+ All Categories
Home > Documents > Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic

Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic

Date post: 09-Feb-2017
Category:
Upload: vuduong
View: 227 times
Download: 4 times
Share this document with a friend
79
Transcript
Page 1: Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic

�������������� ������������������������! #"%$'&)(+*'���,�-"%./ #

021�354'6�1'7�893 : 3�1';=<?>@BA#<C4EDF<CG)8H7-I=J KL6M4N1'7�6�GPOQ7)RS3T4�3TIUV3WYXFZ 6�1N7�<CI@[<�A W G�G-7-\]1'7�U ^`_H\a3

bdcOe6f8H7-> : g]hi< Z I=J=j=kl4fg

m

Page 2: Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic

npo�q�r�sut,qvxwzy#m|{p}�~,�u�������%�����z��m|��m|��~,����~��������/�5~,�����5�z����w��,�/~����#�%~����5~#{����������u�5����m���w���w��uw����#��m|������m|�%� ���zw-��m|~,�%¡

{���y��z��~�¢��5�z���pw���{Fw��uw����#��m|��~��/���u��£#�u��� �z����m|y���¤�y��������z�|w�¥�w-��m�~,�§¦¨£u¤�©�ª��5������~#{F�uw��x«����z�¬�­�u�u{uw��5�z����w��m|�C~,���®�u��{������¯��w��u{�m|���5~���m��¯����w-��m|y����5������~#{u�°��~��x�¯~,��y#m|���±��m|���zw-���z²��uw-��m�~,�u�z�°�°�f������y���������w-«��¯�¯��w�� �¯�z{l������|m|�u�zw-�Nw��|����«u��wT¢u��~�«����z�P�³��~,�Y������~��´m��,m|��~��µ���u�p�¶w-�¯��m·¥�w���{M«��M�¯���u{��#m|���T�¶w-�¯��m�� �z�N�°m����l��¸���~�¢���������¹��%¡���'� ~,�u�|{5w���w�����º��'���u�®£u¤x©�5������~#{5�³~����|w-���������|w����¯�z�2~���¢���~�«����z�¶�z�µ»����'{um������u����m|~,�V~����¶w-�¯��m|� �z�2�®m����T��������z{�¼)«��|w����½~���{u����m|���±��w��°«����z�9~��¾�����zw-��m|�5¢�~�����w��u� �Vm��C{���y��z��~�¢�m|���±�5�����u~�{u�®�³~��®¢�w-�´w��|���z��w-���´�um��¯�z� �������z���»����p�±w����Mm|{��zw��'���z�u����w-�¯�z{9m��M���um|�N�����z��m��'�uwzy��f�uw�{��|w��¯��m����5m|�5¢�w�� ���

»��u�/�����z��m|�d��w��2~���m|�,m|�uw��|���x����¢��z{f«��fw��!��¢�m|�¯�2m|�5¿Nw��V«���m|{�����¡,Àl¹§�°�u~®�Nw��2�!��¢�m|�������������N~��������¾���u�z�¯�z�w-����������m��5�®ÁEw��|��~��d�°�um|�´�M�/������¢�w��¯��{u����¡#}�~,�u�u�5���z��w��|�|����vxw�y�m|{Cw��u{½�um|�N�°m|����¡�Àlm|�|{����z{�¡�����~��¯�pm|�½w��|������¶�z²��uw-��m�~,���pw��u{?�¯�#��«Â~,����m|�?m|���lm|�¬����������� ~�¢�m��z��~��N�����¶���u�z��m|���¶ÃÄ�ÅzÆ,Ç-È�¡¾v�~���~������?ÉNw-�����f��� Ê¨�!��¢��z{���um|�N���u�z��m|��w-�°»°���pË®��m�y�������m����±~��¾»µ� ¥#w��®w-�°¹®���¯��m|�%�

ÉNw-��«�w-�´w�ÀC~�����m|��ÌÎÍ�»uÏ#Ю�z{?�����±���������z���xy�������m|~,�%¡����z� ~,�u��m��|m|���M�����5���/~9y�������m�~,�u�x~��������¶����¢��z{F���u�z��m|���£�~,�5�V�z{um��¯~���m|w��%�´��~,m|� �z��w��u{��´�uw������z���������f�¶w�{��p������~,���,��~,�����u��m|���5�5~#{������½����¢�~�����w-¢���m|��w����¯����������m|�u� ��5~#{������M����¢�~�����w-¢����½m|�'w5«�m|�N{�m·ÑÂ�����z���'�³��~,�`�°�u�z��}�~,�u���¶����~��¯�V�um|�N�����z��m|��È-Ò¶���zw-���®w-��~�Ó

vxwzy#m|{ÕÔpm��u��w�m|{Ö� ~,�5¢�w-���z{Ö���um|�l����¢�� Ê!�¯���Fy�������m�~,�Ö�¯~+���/~×� ~�¢�m��z�¬~��±�����]~���m��,m��uw��V���u�z��m|�¬w��u{Ö�¯~v�~���~����������½y����´��m�~,�%�Pvxw�y�m|{S}�~,�u���w��u{×Ø��z����Ø�~,����«S���|w-��m·Ù��z{+w��u{Ú���z��~,��y��z{Sw����+²��u�z�¯��m�~,�u���Y£�~,�5��¶m|�u~������uw������z���uw�y��°«����z�¶�¶w�{����¾Û�~���m|�u�¯��w���� ��¡�Ì��z�±�¶w��/Ü��ÞÝfw��u{±Ü��ßÈ�w-���°��w-���z�±�³��~,�Pw��¶�zw-�����f����y�m���m�~,�%à«�����¡����V�uw�y��p�¯��m��z{��¯~¶������¢C�¯~¶���u�p~���m��,m|��w��Âw��°�³w-�®w���¢�~,����m�«������

á�âäã�âxåfæµá�ç�è!é�ê5ë-ã�ì�í�ë,î�ï­ì�ð�æuñpï|ã�ò´ë-ïóì

m|m

Page 3: Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic

ô õ�q�o)s�õ�ö�÷Âq9øÖq�õ)ù�ú%ûdü¶r�ú�oCý�úÂþ�÷�ö­ÿ���n�suo)õ)ö³s�þ���ö���q�o�q#ÿ�t,q��� s�õ)ö³ú�ÿµü¶ú�r � þ­þ³ö��µõ)ö³t� ����q

«��vxwzy#m|{�À���}�~,�u����¡����z�

»°���z��m|�N����«��¶m��¯�¯�z{½m|�M¢�w-����m|w����³���·Ù��|�|�¶�z���~��d���u�����z²���m����z�5�z�����'�³~��������p{�����������~��

v®~#� �¯~��°~��¾¸/�um|��~,�¯~�¢����

v®��¢�w-�����5�z���°~��2À9w-�����z�±w-��m|���

�®w-��y�w-��{CË®�um|y�������m����¿Nw��V«���m|{�����¡uÀlw�����¡Àlwz�?Å-¡�ÅzÆ�È-Ò

m�m|m

Page 4: Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic

� ú�o�q��Tú�o�û»����Mw�������~��¶m��V�����zw-���|��m|�u{u��«u�¯�z{H�¯~?¸���~��³�z���¯~��±Øxw-�������¯�¶ÉNm�������~-Ña��~��5�um|�f���z��¢��³�u�/���������z�¯��m|~,�u�Tw��u{=�um|��,�um|{�w��u� ��m|�C�����f¢u���z�¯�z���®m|��y��z�¯��m��,w-��m|~,�%�®»��u��m|���¯�����z�¯�xw��u{9�z�u� ~,����w-���z�5�z���x~���¸���~����z����~���ÉNm����#��~-ÑF��������¯��m|�f�u�|w-��m����5w��u{½y-w��|�uw-«������

»����xw�������~��N����w-�¯���­�u�|�|�¶w����#��~��°�|�z{����z�'�����x����¢u¢�~����/~��������p¤���� �x~�����wzy-w��%©��z���zw-�����%¡�� ¥#�¯�z�u{��z{M���u��~,���,�¿�~,���¯��w�� ���xÈ)ʨ~���m·Ê!Ò�Ç�����Ý�¡Â�°m����½��w-��y-w-��{�Ë��um�y�������m��!���

m�y

Page 5: Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic

�s��dþ³qlú�r! �ú�ÿÂõ�q#ÿÂõ�üÛu~������/~��´{ m�yÃÄ���¯��~�{��u� ��m�~,� Å

¿N��w-¢u�¯���'à ¸2w-����m�w���vxm·ÑÂ�����z�u� � Ï ²��uw-��m�~,���N~�� Ï �|�|m�¢���m|�°»/��¢�� �" Å-��ÉNw���m���Ûuw�� ��� Ç"$# �%���u�5���´m|��w��%ÀC�����u~�{u� Å Ý¿N�uw-¢��¯����Ã�à ©®w-�¯�z��~���¿�~,��y��������z�u� ��~��µ������Ô�~����5�z��À9������~#{�w��u{½~��2�����p̵m���«��¶w����½ÀC������~#{ # Å" ����»°���p©°w-�¯�p~���¿�~,��y��������z�u� ��~��dw±Ì�m|���zw-��»µ��w��u����~����±w-��m�~,� # Å" Ý���»°���pÔ�~����5�z�°ÀC������~#{ # È" È���»°���pÌ�m���«��¶w��u�MÀC�����u~�{C�°m����½w±¿�~,�u��m|�¯�¯�z���®¤���{�����m���� ��È" ���E¤x��������¤���{u����m|���,� Ý�Ý" Ç���»°���pË®����~��2̵w-�����V¹����¯~,�¶w-��m|�f¿�~,�5¢�����m����5À9w��´�um|���z� Ý�Æ¿N�uw-¢��¯����Ã�Ã�à »°����£#�u��� �z����m�y���¤�y��������z��w�¥#w-��m�~,�CÀC������~#{ È#Å" Ü�� Ï m����z��y�w��|�u�z�'w��u{ Ï m|���z��y��z� �¯~���� È��" Æ���»°����£#��¢�����m�~��´m��!��¤�y����®�����pÌ�m|��«��¶w��u�½À9������~#{ �-Ò" Å�Ò#��»°���pv����¯�����¶m|�uw-��m|~,�½~��µ���u�f¤�¢u��m|�f�u�Y©��z��w�¥#w-��m�~,�9Ûuw�� �¯~�� ���

©°���������z�u� �z� Ç�Ò£��u�¶�¶w-��� Ç #

y

Page 6: Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic

&�'�(*),+!-/.102(*34+�'Û2m|�um��¯��{um�ÑÂ�����z��� �p�5������~#{u�'w�ÑÂ~��´{�w5¢�~��������­�u�Â�¯~�~,�%�³~���~�«u��w�m��um|���5w-¢u¢u��~z¥�m|�¶w-�¯�p���u�5����m|��w��%��~,�|����m�~,�u���³~���¶w����?{um·Ñ������z����m|w��¾�z²��uw-��m�~,�u�V�°��~,�¯�±w���w�������m��¶�¯~,�|����m|~,�u�pw-������~��V�#��~��®�%�½»����±{um�ÑÂ�����z����m|w��¾�z²��uw-��m�~,��m|�����¢���w�� �z{M«��Mw5{um·Ñ������z�u� ���z²��uw-��m�~,�M�°��m|���½�f�u�¯�'«�����w-��m|�ÄÙ��z{M«���������y-w��|���z�N~��d�����p�u���#��~��®���­�u�u� ��m|~,�65w-�pw�Ù��um��¯�T�¯���x~���¢�~,m|�����xm|�9�����5{�~,�¶w�m|�%¡7x¡%~��/�����5m|�u{���¢��z�u{u�z����y-w-��m|w-«������p»��um|���¯����~���¢�~,m|�����x�u���uw������� ~,�u��m��¯���5~��������C��~#{��z��¡/~��±�����¶¢�~,m|������¡�~��xw?��²��uw-�����u���!��~����87:9F� ~,����w�m����z{§m|�87x�§»°�����5�z���§��m�º���m|�{��z��~��¯�z{�«���;H¦=<aÒ�ª$>

à ��m��®���u~��°�lm|�l¿'�uw-¢u�¯���xÃ'���uw-�xm��@?Bm|�®�����T���u��«����°~����u���®¢�~,m|�����®w���{A5CBY¦�5�DFEG5IH�EJ>J>J>FEG5*K�ª°m|�®������u���#��~)�°�½�­�u�u� ��m�~,�%¡�� ~������z�¯¢�~,�u{um����5�¯~�w��|m|���zw-�®�¯�z���¾w�{ML¯~,m|�����¯�z� ~,�u{9~���{����®¢�w-����m|w��µ{um·Ñ������z����m�w��%�z²���w-��m�~,�~����z���|m�¢u��m|�°�!��¢����°m�����¢u���z��� �´m�«��z{¶«�~,�u�u{uw-���5y�w��|�u�z��¡N59�f�u�¯�'��w-��m|�¯�³�±w5�¯�#�¯�¯�z�Y~��2�|m|���zw-���z²��uw-��m�~,�u�N~��d������³~���� KOP$Q D�RTS�U P 5 P�VXW S BÚÒ ¦�YZB Å�E # EJ>[>[>[E\?Fª¦­Ò#�|Å�ª

�°�������������p� ~��]����m��z����� RTS�U P w-���p���zw���w���{½�°�������^_________________________` _________________________a

¦­w�ª R�SbS <§Ò ¦�YcB Å�E # EJ>J>J>ME\?¬ª¦³«Âª R�S�U P!d Ò ¦�Y�eBgf�àhY\EifjB Å�E # EJ>J>J>kE\?Fª¦­��ª R�SbSZl KmPnQ DP�oQ S p R�S�U P p ¦�YcB Å�E # EJ>J>J>ME\?¬ª w��u{½�³~��°�¯~,�5�!Y

R�SbS < KmPnQ DP�oQ S p R�S�U P p¦­{�ªP»����q?sr�? �¶w-�¯��m·¥F¦ R�S�U P ªNm|��ö³o)o�q�û t�ö��dþ³q�¡ut'���uw-�®m|��¡��,m�y��z��w����M�!��~��~,�M�z�5¢��!�½� ~,�5¢����z�¶�z����w-���½���u«��¯������¡wv,x�w��u{yv,z�~��µ���u�V�¯����~��d������Ù��´�¯�? m|���¯�������´�'���������p� ¥�m|�¯��� R�S�U P eB+Ò±���u�������uw-�{Y}|Av~w��u{/f/|Av��>

¦­Ò#� # ª

�½qT�2ÿdö�õ)ö³ú�ÿ��,���a¹+{um·Ñ������z�u� �N�z²��uw-��m�~,�¶m��¾q�þ­þ­ö���õ)ö³tpm|��¡��°�u�z�T���z{u�u� �z{T�¯~������'�³~���� ¦­Ò#�|Å�ª´¡�������� ~��]����m��z�����~���¦ R�S�U P ª'��w-��m|�¯�³��� ~,��{um���m�~,�u��¦­Ò#� # ª´��½qT�2ÿdö�õ)ö³ú�ÿ��,���×¹��½�z�|��m�¢u��m|��{um·Ñ������z�u� ���z²��uw-��m�~,��m���üzq#þ�r®suûN�zú�ö­ÿÂõVm|�

¦³�)ª R�S�U P B R P U S ¦�Y\EifjB Å�E # EJ>J>J>kE\?Fª$>¦­Ò#�u�,ª¹�������~,���,�p�����¾Ù��um|�¯�2{�m·ÑÂ�����z�u� ��w��uw���~��,����~��#w°�¯�z���#w�{MLÄ~,m����%¢�w-����m|w���{um·Ñ������z����m|w��-�z²���w-��m�~,�Vm|�%���z����w�{�LÄ~,m|����¡

m����������¶�z���?��m�º���m|�pw����¯�����z{�¡dw�����~���� ¥#w��¶¢����¶���zw-�������±«�~,�u�u{�w-����¡/¦³�)ªx�®m|�|�¾��~C�|~,�������V«��5�­�u�·Ù��|�|�z{%�j�F����uw����%wzy�~,m|{9�u��m|���½¦³�)ªN�®���z����y�����¢�~,����m|«�����¡#w��u{����uw����%w�����w����®�¯��w-�¯�p�°�u�z��m���m|�'�u���z{%�

Ø��zm|��m|���������·Å #M� ��w������u~��°�a���uw-�Mw����§�¯�#�¯�¯�z� ~��p�z²��uw-��m�~,�u�z¡'�³�u��Ù��|�|m|�u�9�����l� ~,�u{um���m|~,�u�9¦­Ò#� # ª��uw��Mw�u�um�²����T�¯~,�|�u��m�~,�%�5»����T¢u��~�~����°m|�|�µ«��5�,m�y��z�?m|�H¿N��w-¢u�¯����ô�µ¹®� ���uw������C~�«u��w�m��um|���M�����¶�¯~,������m�~,�%¡���~)�/��y�����¡�¶w���«���y������M�|w-«�~���m�~,�����

à �°m|�'���u�p¢�����¢�~,�¯�x~��2���um|�N���u�z��m|�'�¯~�� ~,�u��m|{����'���u�p¢u��w�� ��m|��w-«�m|�|m����±~��2�����py-w-��m�~,�u�°�5������~#{u�'�³~��°�¯~,��y#m|��������z�¯�½�z²��uw-��m�~,����¡��°m����=�¯¢��z��m|w����z�5¢��uw���m|�f~,�=����~,�¯���¶������~�{����®�um|���=w-����w�{�w-¢u�¯�z{�¯~?�|w-�����½w����¯~,�±w-��m|�� ~,�5¢��u��m|���5�¶w�����m|���z����ÃN���uw�����«Â�x¢�w-����m|���u�|w-���|�±� ~,�u� �������z{C�°m����M�����pvxm��´m|���u�|����¸���~�«��|�z�½�Á§Á§Á Á§Á§Á§Á§Á Á§Á§Á§Á§Á Á���2�=�������M�$�������G�4��� �2¡M¢�£�����¤*����£¥�i¦$§i¨]��©�¤=ªT�¥��ª¥����«b�¬��©�­�©�®k�Z£M��£k¯u��­$�$�i¦$°k®J±�¦\©�©�®k�Z�=�M²�­$«³©�®M�Z©�®M��¤��u¤=�

Å

Page 7: Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic

vxm����z� �N�5������~#{u�����u�´��w��������x�u�¯�®~���{����¯�����±m|�uw������/w��u{��z�|m|�±m|�uw-��m�~,�5�³~��'�¯~,��y#m|����¦­Ò#�|Å�ª�{u~f��~��Nw-¢u¢��zw-��¯~5«��xy������±¢u�´w�� ��m|��w����°���z�6? m|�N�|w-������¡uw��u{�y-w-��m�~,�u�'�5�����u~�{u��~��2���u��� �z����m�y���w-¢u¢u��~�¥#m|�±w-��m�~,�½w-�����u���uw�������z�5¢��|~����z{%¡#m|�u���|��{um|���������°m��¯���´w-��m�y��®�5�����u~�{u��~���Ô�~����5�z���·ÅzÆ � w���{±Ì�m|��«��¶w��u��� # Å � ¦­�5~#{um·Ù��z{5«��±£#��~������|���w��u{y�F�z�������´���-Ò � ªNw���{½���������z�|w�¥�w-��m�~,���¶������~�{��'~��¾£#~,���������z�|�}��� #�� �

Û�~������u�z�¯�f�¶������~�{���w��¬w-��«�m��¯��w-���½m|�um|��m|w���w-¢u¢���~z¥�m|�¶w-��m�~,�A5µ �\¶ B`¦�5 µ �\¶D EG5 µ �\¶H EJ>J>J>¥EG5 µ �\¶K ª�m|�����u~,�¯�z�Fw��u{���u��� �z����m�y��z���Mm|�5¢u��~�y��z{%�/¤x�u��~�«u��w�m|�u��w5���z²����z��� �j·F5 µ¹¸ ¶\º ���u�´�½���uw-�°�u��{����'�����p� ~,�u{um|��m�~,�u�N~,�H¦ RTS�U P ª

�|m��¸�»!¼ 5 µ½¸ ¶S B�5 S ¦�YZB Å�E # EJ>J>J>ME\?¬ª¦­Ò#�ÞÝ�ª¦­w�ªdÛ�~������u�¿¾9ú�o�ÀHq�üxø q�õ)ùµú%û�¡��°�um|�´�V�Nw���w-¢u¢���m��z{V«��VÔ�~��´�5�z�2�¯~pwx�¯¢��z��m|w��#��w��¯�'~��d¦­Ò#�|Å�ª´¡��������¯�z²����z�u� �·F5µ¹¸ ¶ º m|�'{�� ÙÂ���z{M«�� 5 µ¹¸�Á D¬¶S BàKOP$Q DP�oQ S RTS�U PRTSbS 5 µ¹¸

¶P  W SRTS¹S ¦�YcB Å�E # EJ>J>J>ME\?¬ª¦­Ò#�ßÈ,ª

~��¦­Ò#�ßÈ-w�ª 5 µ½¸¿Á D¬¶ B�ÄÅ� 5 µ½¸ ¶ � VXÆ E�°�������1Ä`m���w½��m|���zw-�x~�¢�����w-�¯~���~,�ÈÇIK �����5y��z� �¯~�����¢�w�� �5~����°Ê¨����¢����z�x~���� ~,�5¢���� ¥¬�����V«�������¡�w���{9�®������������py��z� �¯~�� Æ m|�'�,m�y��z��«�� Æ B ¦� W DR DGD EJ W HR HGH EJ>J>J>FEJ W KR K�K ª$>¦­Ò#�u�,ª¦³«Âª�Û�~��'�����qÉNö�q³�ZÀHs�ÿdÿ=øÖq�õ)ùµú%û/¡��®�um|����m|�Nw�� ���uw��|�|�±w���¢Â�z��m�w�����w��¯�x~��µ������Ø�w��u���ÄÊ £��zm�{��z��À9������~#{Ê� # Ü � ¡�����p�z²��uw-��m�~,����w-������w-���z�lm|�½w5¢u���z��� ��m�«��z{�~���{����z¡�Ë2¡uw��u{������V�¯�z²����z�u� �j·F5 µ½¸ ¶Gº m|�°{�� Ù����z{M«��5 µ¹¸�Á D¬¶S BÌ S�Í DOP$Q D RTS�U PRTS�U S 5 µ¹¸�Á D¬¶P  KOPnQ S Á D RTS�U PRTS�U S 5 µ¹¸ ¶P  W SRTS¹S ¦�YcB Å�E # EJ>J>J>ME\?¬ª¦­Ò#� Ç�ª

~��¦­Ò#� Ç�w�ª 5µ¹¸�Á D¬¶ BÏÎ�ÐI� 5µ¹¸ ¶ � VÑÆ �¿N���zw-�´����¡�Î Ð m|��w¶�|m����zw-�N~�¢Â���´w-�¯~��°~,�ÒÇ K �

ÃÄ�§¿N�uw-¢u�¯���TÃä¡2wl¢u��~�~�� ¡�{u�����¯~HØ��zm���m|�u�����6�·Å #�� m|�f�,m�y��z�=�³~��T�����½� ~,��y��������z�u� ��~��������½Ô�~��´�5�z�5w��u{Ì�m|��«��¶w��u�½À9������~#{u��¡u�u��m����T�������³w�� �®���uw-�������p�±w-�¯��m·¥?¦ R�S�U P ª���w-��m|�ÄÙ��z�'���u�V� ~,�u{um���m|~,�u��¦­Ò#� # ª´�¦­��ªNÛ�~��������po�q�þ³swÓ�suõ)ö³ú�ÿ�ÀHq�õ)ùµú%ûµü�¡�~,�u�xÙ����¯��� ~,�5¢����¯�z�����������z��m|{u�uw����/~��Z5 µ �\¶ «��M�������³~��������|w

Ô µ �\¶S BÃÂÖÕ× KOPnQ D RTS�U P 5 µ �\¶P VgW S ØÙ ¦�YcB Å�E # EJ>J>J>kE\?Fª�>¦­Ò#�ßÜ,ª

à ��Ô µ �\¶S BÚÒf�³~���w���� Y\E�5µ �\¶ ��w-��m|�ÄÙ��z�x¦­Ò#�|Å�ª´�N¤����������°m��¯��¡����u�®y-w��|���z�/~��5 µ �\¶S w-���xw�{ML¯���¯�¯�z{�w���{±���������z��m�{u�uw��|�w-���N���z� ~,�5¢����¯�z{%�¾»��um|�µ¢u��~#� �z���2m|�2� ~,����m|���u�z{f������m|�#w��|�����z��m�{u�uw��|�dw-���N���z{u�u� �z{f�¯~pwx�����,�|m|�,m�«�����w��¶~,�u�����c�®~� ¥�w�� �Nm��u�¯�¯���u� ��m|~,�u��w-���x�u���uw������T�,m�y��z�±�³~��N{�~,m|�������um|��à2ÚÄ�����x��~����¶���x¦³���������z�|w�¥�w-��m�~,���5������~#{u�´ª����uw��|�|�z�����z�~,�������fm|���¯�z�|���z� ��w-���zw�����¯�¯��¢]�¯~9�±w-����������«��z�¯�V¢�~,����m|«����T�,���z���������AÛÜ�·Å�Å � �9¤��?������~��������5�uw��u{%¡d�um��,�m|���¯�z�|���z� ���uw���¢�~���������w-������~������z²���m����z{%à,«��¶w�{ML��u�¯��m|�u�������®� ~�~���{um|��w-�¯�z��~��,5 µ �\¶ ~,���®w-��wp��m|�¶��¡FL��u�¯���z�u~,���,�

#

Page 8: Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic

�¯~=���z�5~)y��F�����l� ~������z�¯¢�~,�u{um|�u�?���z��m|{��uw��ó¡�w��u{Ú�¯~]���uw-�M�����F� ~�~��´{um|�uw-�¯�z�Mw-���¬w�{ML��u�¯�¯�z{Ú� ������m|��w��|���§m|�+w¢u���z��� ��m�«��z{5~���{�����¡�~,���x�uw��������xÌ�m���«��¶w��u�¶À9������~#{%��¹®���¶~,�������z��m�{u�uw��IÔ µ½¸ ¶S ��w���«Â�®���z�5~)y��z{½w��/�³~,�|��~)�°�^_` _a 5 µ½¸¿Á D¬¶P BÏ5 µ½¸ ¶P ¦[fAeB�Y ª5 µ½¸¿Á D¬¶S BÏ5 µ½¸ ¶S V Ô µ¹¸ ¶SRTSbS¦­Ò#�ßÆ,ª

w��x��w��C«���y�����m·Ù��z{9{um����z� �������®»��um|��m��®��w��|�|�z{Co�q�þ³swÓ�ö­ÿ��¬�����V���z��m|{u�uw���Ô µ¹¸ ¶S ��¤x���f��~��,m|��w����Nwz�9~��¾���z�|w�¥�m|��������p���z��m|{u�uw�����m��'�¯~¶���z�|w�¥M�����p���z��m|{u�uw��Â~��¾�|w-�����z���°�¶w-�,�um�����{��pw-���zw����l�¯��w-�����/à �9¿'�uw-¢u�¯����Ãä¡�w5¢u��~�~��2{u����¯~M»��z�5¢����Ý����È � ¡�m|�®�,m�y��z�9��~��x�����f� ~,��y��������z��� �5~������um|�°¢u��~#� �z{u�����p�®���z�]¦ RTS�U P ª°��w-��m|�ÄÙ��z�T¦­Ò#� # ª®w��u{=¦­Ò#�u�,ª´�à �¾~,�u���H¦­Ò#� # ª�m|��w������u�¶�z{%¡����u�f�5�����u~�{lm|������~��®�C�¯~M� ~,��y��������¶�u�u{����xw±���zw-�Cw������u�5¢u��m�~,�9~,�9������~��´{����~��2���z�|w�¥�m|�����Þ�w-��m|~,�u�N{���y�m�� �z����wzy���«����z��m����¯��~#{u�u� �z{��¯~5w���� �z������w-�¯��������� ~,��y��������z�u� ��¡����u���Mw��:�2þ�ú%tMß]o)q#þ³swÓ�s�õ)ö³ú�ÿ¦G��� #�� ¢�w-���FÈ�È,ª±�°�������¬wH����~,��¢a~��Vy�w��|�u�z�à5 µ½¸ ¶S w-���l�¶~�{um�Ù��z{ ��m����u�|��w�����~,�u������¡'w��u{Úú�÷�q�o�o)q#þ³swÓ�s�õ)ö³ú�ÿw��u{ ÿµûdq�o�o)q#þ³swÓ�s�õ)ö³úÂÿS¦G��� #M� ¢�w-���1��È,ª´¡��°�������p~,���T�5~�{�m·Ù��z�:5 µ½¸ ¶S «����5~�����~����|�z����¡Â���z�¯¢��z� ��m�y��z����¡����uw��m|�u{�m|��w-�¯�z{M«��F¦­Ò#�ßÆ,ª´�N»����z�¯���°m��|�«Â��{um������u���¯�z{½��w-�¯���°m|�M���um|�'���z� ��m�~,�%�

Ï �¶�5~,�u���·Å�Å � �z�¯��m|�¶w-�¯�z�����uw-�N«��5¢u��~�¢��������¯�°~������u�®���z��w�¥#w-��m�~,���5������~#{u��¡������x�|w-«�~������z²��um����z{¶«��¶�����Ì�m|��«��¶w��u�fÀC�����u~�{¶��w��T«��N���z{u��� �z{�«���wx�­w�� �¯~���~���È��2�®~�����y����z¡������'� Ñ��z� ��m�y����u�¯�N~��Â���z�|w�¥�w-��m�~,�5�5������~#{u����z²��um����z������w��u��m|���V~��������®���z��m|{u�uw�����¡�w�¢u��~#� �z�����°�um|�´��m����zw��¯����~��'wT���u�¶w���� ~,�5¢����¯���N«����/�°�um|�´����w�����~��«��p{�~,�����]����m|�z��������«���w����½�|w-�����pw����¯~,�¶w-��m��V� ~,�5¢��u��m|���5�¶w�����m|���pm|�M� ¥�m|�¯�¯�z�u� �V~��°«��zm|���T«��um������

à �¯����w-��m�y��T�5������~#{u��¡u~,�9������~�����������w��u{%¡�w-¢u¢��zw-�®�¯~±«��p«��z�¯�®���um��¯�z{½�³~��®�|w-������w����¯~,�¶w-��m���� ~,�5¢�����m|����¶w��´�um|���z���ÖÃÄ�S¿'�uw-¢u�¯����Ã�ô¡������l��w-�¯�z�M~��V� ~,��y��������z�u� �?~��V�����lÔp~����5�z�Mw��u{+Ì�m���«��±w��u�aÀ9������~#{u�Mw-����¯���u{�m��z{9m��9{�����w�m��ó��»°�����´w-�¯�z�x~���� ~,��y��������z�u� �±{���¢��z�u{9~,�l�������zm|���z��y-w��|���z�x~������u��~�¢�����w-�¯~����qÄYw��u{CÎ�Ð���z�¯¢��z� ��m�y��z�|����Û�~��°�������¯���u{���~��µ�����z���p�zm����z��y�w��|�u�z��¡��/���¶w-���V�u�¯��~��d�����p�­w�� �����uw-�'���u�V�¶w-�¯��m·¥F¦ R S�U P ª��uw��¢u��~�¢��������¬¦âá�ã�ª���~��®�¯~,�5�åä���»��um��N¢u��~�¢������!�Mm|�'��~)� {�� Ù��u�z{%��½qT�2ÿdö�õ)ö³ú�ÿ��,��æ ¹��ç?%rÈ? �¶w-�¯�´m·¥S¦ RTS�U P ª¶�uw��à�do)úI��q�o�õn� ¦�èÝé�ªTm��x���������C� ¥#m|������~,� �z�5¢u�!�§{�m|��L¯~,m|�������«��¯�����¿ê D E=ê H EJ>J>J>¥E=ê ã ~��c뱡u���u�V�¯����~��2������Ù����¯�:? m|���¯�������´��¡����u�´�����uw-�

ãìí Q D ê í BÏë�¡�w��u{��������½���uw-�®�����ê,î���w���«��p�|w-«��z���z{M�¯~¶����w-�R S�U P BÚÒ �u�u���z����YcBgf ~�� Y�|yê í w���{ f/|�ê í Í DIï ê í Á D >¦­Ò#�|Å�Ò�ª¦­É��½� ~,��y��z����m�~,�Aê*�xw��u{6ê,ã Á D°{��z��~��¯�p���u���z�5¢u�!�½�¯����� ª

£#m��u� �®¦ RTS�U P ª%�uw��µ¢u��~�¢��������¶¦âá�ã�ª%�³~��µ��~,�5��ä�¡-m��µm����zw��¯���¯~x����~)�����uw-�2m��³ð�m|�µw��V�zm|���z��y-w��|���/~���Ä1EN¦�Â{ðµª�m|�w��|�¯~�w��f�zm����z��y�w��������¾»���������� ¥#m��¯�¾� ������w�m|�f~���{�����m����,��¡�Ë2¡,~������u���z²��uw-��m�~,����¡,��w��|���z{Tt,úÂÿ�ü�ö³ü�õ)q�ÿÂõ�ú�o�ûdq�o-ö­ÿ���ü�¡���u�´�T���uw-�2�¯~��zw����¶���u���T¢�w�m|�'¦�ðcEJÂhðµª�~����zm����z��y�w��|�u�z�2~���ÄÚ� ~������z��¢Â~,��{u�2w��T�zm����z��y-w��|���hñÝB�ð H ~��IÎ�Ðu�2»������w-�¯��~��%� ~,��y��������z�u� ��~��,Î Ð m|�¾� ¥�w�� �����5�!�°m�� �����uw-��~��,ÄT�¾»��um|�¾��w���«����z�¶����~)�°�5�¯~p«��'�¯���u� ë�ò�ó�ôåõcö!ç³öóï­ò´ë-è|èbóm|��? «��C£#��~����������Mw��u{A�F�z�|�����÷���-Ò � �N¹���� ¥#¢��|m���m��N� ¥�¢u���z����m�~,�½~��2�������zm����z��y��z� �¯~�����~��@Î�Ð�m|�½�¯�����¶�°~��¾������zm����z��y��z� �¯~����p~��¿Ä`m|�xw��|�¯~M�,m�y��z����à � RTS�U P B R P U S w����µ�zm|���z��y-w��|���z�x~��¿ÄYw��u{ÊÎ�ÐCw-���5���zw��¾w��u{l�����à�,~���{uw����~����±w��#��~���� ~��Â���u�°� ~������z�¯¢�~,�u{�m|���x�¶w-�¯��m|� �z��w-���°{um|w-��~,�uw��u�°m����T������¢�~,����m�«������ ¥#� ��¢���m�~,�5~��������°���u«��¯¢�w�� �w����¯~#��m|w-�¯�z{C�°m����AñÝBÚÒ5�³~��hÎ�Ð��

à ��¡uw����¯~�¡ R S¹S B � ~,�u����w�����¡Âw����³~��������pvxm���m|�´�u������¸���~�«����z�½¡#�����V�zm����z��y��z� �¯~��´�°~��ZÄ w-���p~�������~���~,�uw��ó��Ûu~�������Tvxm���m|�´�u�����®¸���~�«����z� �����f�zm����z��y�w��|�u�z��w���{C�zm����z��y��z� �¯~�����~���Ä w��u{�Î�ÐM��w��9«��T� ~,�5¢����¯�z{9� ¥�w�� �����C�³~��wf���z� ��w����,�u��w-�������,m�~,�%�¾Û�~��°~,����~���{�����m�����¡³Ë H ¡���������~����¶w��Â�³~����Y~����������¶w-�¯�´m·¥�~��2Î ÐFø m|�N{um|w-��~,�uw���w��u{½m|������T� ~�~��´{um|�uw-�¯�z�®~���w��¬w-��«�m��¯��w-����y��z� �¯~��pm��CÇIKÖ�������������z{C�¯~�������«�w���m|�®~��¾�zm����z��y��z� �¯~�����~��@ÄLw-�����#��~)�°�%¡�����x� ~�~��´{um|�uw-�¯�z�/~������uw-�N��w��5��y��z� �¯~��������³�������z{±�¯~f���u�®«�w���m|��~����zm|���z��y��z� �¯~�����~��Î�Ð ø ��w���«���� ~,�5¢����¯�z{�w-�~,�u� ��� �

Page 9: Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic

Û�~��f�����¶�¯�#�¶�5���¯�´m|�¶��w��¯��¡2w�� ~,�ML¯�z� �������¶����w-�V«��9������Ì�m���«��±w��u�FÀC�����u~�{%¡µ�����¶��w-�¯��~��'� ~,��y��������z��� ���w��=��~��f«Â��m|�u� ���zw����z{H«��H�u��m����Cw���~���{�����m|�u�C�°�um����Hm�����~��T� ~,�u��m��¯�¯�z���Tm|��¢u��~)y��z{]m��?~,���M�¯¢��z��m|w�����w��¯���£�~,�5�����u�¶����m|��w��%�¯���u{�m��z�'«��zw-��~,����w¶� ~,�ML¯�z� �������p«��C£#��~����������Mw��u{A�F�z�|�����´���-Ò � ���uw-�°�³~��®�|w-�����å? ¦­�u�z�u� ����¶w����;�ª��������´w-�¯�V~��2� ~,��y��������z��� ��~��ZÎ�Ð�m|�'¢u�´w�� ��m|��w��|����m|�u{���¢��z�u{��z����~��ZË2�

à ��m|�xw��|�¯~½����~)�°�l���uw-�x��~�������~,���T�¶������~�{��®���u�T���u��«�����~��/m��¯����w-��m�~,�u�x���z²��um|���z{C�¯~M���z{��u� �T�����5��~����~��2�����pm|�um|��m|w��Â������~����­�u�u� ��m�~,�

ù$ú µ �\¶ ù Bsû KOS Q D ú µ �\¶ øS ü D¬ý=H¦­Ò#�|Å�Å�ª

�°������� ú µ �\¶S B�5 µ �\¶S Âþ5 S ¦�YZB Å�E # EJ>J>J>ME\?Fª¦­Ò#�|Å # ª�¯~TwV{�� Ù���m��¯�'���´w�� ��m�~,�±~���m|���¯�z����m|��w��¯�#�5¢u�¯~���m���w��|���T��~��N���¶w���� ;�¢u��~�¢�~�����m�~,�uw��u�¯~÷; Í H ��Ûu~����¯~,�¶�°¢u��~�«����z�¶��¡�����½��m|�¶�½���z²���m����z{]�¯~?~�«u��w�m|� w��§w���� ��¢u��w-«����9{�����������~��xw���������w�� ��¡N��y��z�§�®m����w¬�³w����±�|w-������w����¯~,�±w-��m|�� ~,�5¢��u��m|���5�¶w�����m|���V��������w��'���u�VË��®Ã�Þd¹°¿�¡�m|�N¢u��~,�um|«�m���m�y����

ÃÄ�]¿N��w-¢u�¯���pÃ�Ã�Ãä¡�m��Vm��p����~)�°�?���uw-�������¶���z²��um����z{?�����V«����p~��'m��¯����w-��m|~,�u�V��w��H«Â�±�����zw-�����F���z{u��� �z{F«���u��m����x������£#�u��� �z����m�y��®¤�y��������z�|w�¥#w-��m|~,�¶ÀC�����u~�{%¡��°�������'���u�°m|{��zwx~�� ò�ó�òFö!ânô±ëNöóï­òNç,î�â$ÿ\ÿäâäè�ë��uëNöóï�ç�ã ¡�Ù��������u�¯�z{«��fÌ��,Û/�,©®m|����w-��{u�¯~,�%¡�� # � � ¡�m|�¾� ~,��«�m|���z{¶�°m����f�����°Ìµm���«��¶w��u�TÀ9������~#{%�¾»����'m|{��zwx~��Â~�y��������z�|w�¥#w-��m|~,�±m����¯�z�|��uw��V«Â���z�H�u�¯�z{Hm��?� ~,�u���z� ��m�~,�H�°m����F���u�¶���z�|w�¥�w-��m�~,�H�¶������~�{��p«��¬���u����w�������~�����w��V��w-���¯������¡{�·Å Ý � ¡d¢�w-���Å # Ò#¡/£�~,���������z�|�ó¡���� #�� ¡µ¢�w-���6��È�¡¾w��u{ Ï �¶�¶~,�u� �·Å�Å � �9¤xy��������z�|w�¥�w-��m�~,�]m|�pw��]w-�¯�¯�z�5¢u�f�¯~�Ú¯w�����m|��m�¢�w-�¯��w-��zw����¬�¯�¯��¢¬������� ÑÂ�z� �x~����|w-�¯�����¯�¯��¢��®m|�C�����V¢���~�� �z����¡�ÛC�·Å Ý � �®É���©°m|�´�uw-��{u��~,�%���®À9������~#{%¡Â�����Vy-w��|���z�®~���w��w-¢u¢u��~z¥�m|�¶w-�¯�V�¯~,������m�~,�%¡N5 µ¹¸ ¶ ~��N¦­Ò#�|Å�ª�w-���V�5~#{um·Ù��z{�������� �����������������«����������³~����f�u�|w

5 µ½¸¿Á D¬¶S BÏ5 µ½¸ ¶S Â�� ^` a KOPnQ D R�S�U P 5 µ½¸ ¶P VÑW S � �� ¦�YZB Å�E # EJ>J>J>ME\?¬ª¦­Ò#�|ÅF�,ª~��¦­Ò#�|ÅF�-w�ª 5�µ½¸�Á D¬¶ B �"!�� 5µ½¸ ¶ � V � W�°�������#� m|�'������o)q#þ³swÓ�s�õ)ö³ú�ÿar!s�t�õ�ú�o���à � R�SbS m|��� ~,�u����w����®��~��{Y@B Å�E # EJ>J>J>ME\? w��u{$�XB Å&% R�SbS ���V�uwzy��������Ô�~����¶�z�°m|�5¢���~�y��z�5�z�����³~����f�u�|wC¦­Ò#�ßÈ,ª´�NÃÄ�����z������w��¨¡u��~��®������Ôp~����5�z��À9������~#{C� ~,��«�m|���z{C�°m����½~)y��������z�|w�¥�Êw-��m�~,�½���V�uw�y��V�����pm��5¢u��~)y��z�5�z���°��~����f�u�|w5 µ½¸¿Á D¬¶S B �(' KOPnQ DP�oQ S  R�S�U PR�S�U S 5 µ½¸

¶P  W SRTS�U S*) Âa¦+�ÊÂaÅ�ª¬5 µ½¸ ¶S ¦�YZB Å�E # EJ>J>J>ME\?¬ª$E¦­Ò#�|Å Ý�ª

~��¦­Ò#�|Å Ý,w�ª 5�µ½¸�Á D¬¶ BÏÄ,!�� 5µ¹¸ ¶ � V � Æ�°������� Æ m|�'�,m|y��z�9m|��¦­Ò#�u�,ª´�°¹°�,w�m��Cm�� R�S�U S m|�°� ~,�u�¯��w����®�³~��hY@B Å�E # EJ>J>J>ME\? ¦­Ò#�|Å Ý�ª®m|�°�z²��um|y�w����z���'�¯~F¦­Ò#�|ÅF�,ª�³~��°���um���w-«���������~,m|� �V~��-�'�

»��u�p�,w�m|�Cm���� ~,��y��������z�u� �T��w-�¯�f����m|���¶w#.-/���0����z��w�¥#w-��m�~,�C�³w�� �¯~��xm|�®m|�½���z������w��µy�����������m��,����m��u{����z{½�³~���zm��������C¦­Ò#�|ÅF�,ª5~��9¦­Ò#�|Å Ý�ª´�a©®m|����w-��{u�¯~,�=�u�¯�z{{�m·ÑÂ�����z���5y-w��|���z�T~��1�Õ��~��5�zw��´� m��¯���´w-��m�~,�%¡�«����5m��¶w-¢u¢��zw-���{�~,��«��¯�³�u�����uw-��wF�,w�m|�~��xwF�­w�� �¯~��±~��x�����zw-�¯���±����w�� ÈFm|�=�����½�´w-�¯��~���� ~,��y��������z��� �l��w��§m��=���z������w���«�����zw��|m|º��z{±�u�u�|�z���¾~,����m|��� ¥#�¯���z�5�z���5�³~������u��w-�¯��m|�¶�����®�´��~,m|� ��~��%�����°y-w��|���z��~��2�'�/£#��~����������Tw��u{ �F�z�|���������-Ò � ¡w-���p~��d�����p~�¢�m|�um�~,�����uw-�����u�p�,w�m|��m|�N��y��z�9���z������»°�um|�'m|�'{um������u���¯�z{M�­�������u����m|�C¿N�uw-¢u�¯���'Ã�Ã�ô�

�®~�����y����z¡�«��¶��������m��5¢�����{���y�m�� �®~��dm|�5¢u��~)y�m����V�����xy-w��|���z��5 µ¹¸ ¶S ���43*35�6�*����7��68��m|�MwT� �#���|m|�®~���{����{ˬw��u{�u��m����9���6:;7<��8�=����w��V�¯~�~,�?w��V�������Fw-���±wzy-w�m|�|w-«�����¡�~,������w��H�u�¯�¶w>.?/��*0¶���z��w�¥#w-��m�~,�?�³w�� �¯~��z¡¾w��u{�¡�m������um|���m|�u�,�����­w�� �¯~��Nm������um|��w-«����T����~,�¯�z��¡#w��|w-�������,w�m|�±m��¶��������w-�¯��~���� ~,��y��������z��� �xm���¢�~,����m|«������µÛu~������u�®vxm���m|�´�u�����

Ý

Page 10: Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic

¸���~�«����z�½¡,���u���,w�m|�±m��¾~���������~���{�����~��,; Í D w��u{5�³~������u�����z������w����¯�z����w�{MLÄ~,m�������w�����¡�m��Â���������z²��um|���z{5�����V«����~���m��¯���´w-��m�~,�u�/�°m����¶���u��̵m���«��¶w��u��ÀC�����u~�{Mm|�/~��������®~���{����N~���; Í=@ ����w-�����u��«Â���Nm|�/~��%������~���{����N~���; Í=@ ý=Hm��¾���um����u��� �¶������~�{�¡Â���u��ý t,t,q�üzü�ö�÷�qBA5÷�q�o)o�q�þ³swÓ�suõ)ö³ú�ÿ×øÖq�õ)ù�ú%û/¡�m|���u�¯�z{l�°m����9�����T¢u��~�¢�����y�w�������~���'�»��u�pm|�5¢u��~)y��z�5�z������~��´���u��w��³~��������T£#�u��� �z����m|y���¤�y��������z�|w�¥�w-��m�~,�9ÀC������~#{�m|�5 µ½¸¿Á D¬¶S B � '  S�Í DOPnQ D RTS�U PR�S�U S 5 µ½¸¿Á D¬¶P  KOP$Q S Á D RTS�U PR�S�U S 5 µ½¸ ¶P  W SR�S�U S ) Âa¦+�  Å�ª¬5 µ¹¸ ¶S ¦�YZB Å�E # EJ>J>J>ME\?Fª¦­Ò#�|ÅzÈ,ª

~��¦­Ò#�|ÅzÈ-w�ª 5 µ¹¸�Á D¬¶ B�Î�Ð U !2� 5 µ½¸ ¶ � V � Æ�°�������¶�����±���u«���� ��m�¢����qË w��u{C�×~��:Î�Ð U !]{��z�u~��¯�±�����9��DE0��6D�����FMw���{F������D��6G�H/����I�I���KJ6�L3H����Dp���z�¯¢��z� ��m�y��z�����¿N���zw-�´���þÎ�Ð U !m|�Tw9�|m����zw-��~�¢�����w-�¯~���¡�w��u{=m��M� B Å�������wzy��½�����MÌ�m���«��¶w��u�]ÀC������~#{%�F»�����£#�u��� �z����m�y��¤�y��������z�|w�¥#w-��m|~,�FÀC������~#{?m|�xm|�����|�u{��z{lm|�¬w½�5~����5���z�����´w��¾���|w����x~��Nm��¯����w-��m�y��¶�5�����u~�{u��� ~,����m|{������z{l«��l���Ø��zm��´m|�������å�·Å #M� �

à ��m|��«��5�u��m����x�����°�­w�� �����uw-�/�����°�¶w-�¯�´m·¥C¦ R�S�U P ª��uw���¢u��~�¢Â�����!�½¦âá�ãzªd���uw-��m�����w��±«Â�®����~��®�%¡,�³~��������°Ù����¯���m|�5��¡�����w-�µ~,���'��w��f~�«u��w�m|�f�����Nw-«�~�y����5�z����m�~,���z{����z�¶w-����w-«��|�/�,w�m|�Tm|�V�����N��w-�¯�N~���� ~,��y��������z�u� ���@�F�'����~)����uw-��¡�w�����w�����w������u�¶m����q˽� ~,�u��m|�¯�¯�z����¡����u������m|�¾w��5� ¥�w�� ��w�������«u�´w�m|�N���z�|w-��m�~,�T«������/���z�±�����'�zm����z��y�w��|�u�z��w��u{�zm����z��y��z� �¯~����®~��ZÄPw��u{�Î�Ð U !��à ��ð?m���w������zm����z��y�w������p~��ZÄÕ���������p� ¥�m|�¯���°w��½�zm����z��y�w��|�u�ON ñ�~��ZÎ�Ð U !9���u���½����w-�ð2� Nñ D¬ý=H B N ñ V ¦+�Ê Å�ª¦­Ò#�|ÅF�,ªw��u{�� ~,��y������¯�z�|����y��������zm|���z��y-w��|���p~��ZÎ Ð U ! ��w��C«��p{����¯�����¶m|�u�z{M«��F¦­Ò#�|ÅF�,ª'�³~��°�¯~,�¶�!ð¾��»������zm|���z��y��z� �¯~����~��,Î�Ð U !���w���w��|�¯~p«��'� ¥#¢u���z���¯�z{±� ¥�¢��|m|��m�������m|�5�¯�����¶��~��%�������zm����z��y��z� �¯~����/~��*ÄT�¾Ã �¾¦ R�S�U P ª¾m|���¯�#�¶�5���¯��m��N�����z������p~�¢���m|�����Y���z�|w�¥�w-��m�~,�½�­w�� �¯~��P�?Q'm��N�,m�y��z�½«��ð H D � HQ B+Ý�¦+�-Q�ÂaÅ�ª¦­Ò#�|Å�Ç�ª�°�������qðZD'm��'�����p�|w-�����z�����zm����z��y�w��|�u��~��ZÄT�/Û�~��®w��|�R� l �?QN��y������M�zm����z��y�w�������~��cÎ�Ð U !C�uw���w-«���~,�|���¯��y-w��|���¦+�þ Å�ª�w��u{����u�÷��~��´{uw�����~����±w��%��~��´� ~��2�������±w-�¯��m·¥M~��@Î�Ð U !9m|�®{um|w-��~,�uw������u���z���M�ÑBS�-Q´��ÃÄ�½���um|�®��w��¯��¡�����V�u~����¶w��%�¶w-�¯��m�¥��³~���� � ~,����w�m|�u�'¢����z��m|�¯�z����~,���V��~,�½{�m|w-��~,�uw��%�z���z�¶�z�����

Û�~��5���u��vxm���m����u������¸���~�«��|�z� �³~��f���¶w��|�¿;,E÷ðZDfm|��y������H���zw-�´���F�z²���w����¯~¬~,�����CðZDf��w��]«�����w��|�����|w-�¯�z{�³~���w½���z� ��w��u�,����w��u{H��w��?«��5�z�¯��m|�¶w-�¯�z{��³~��p~��������V�����,m�~,�u�p«��F� ~,�5¢�w-��m��¯~,�F������~����z�±����Û�~��f�����¶���z�u����w���¯�z���dw�{ML¯~,m|������w�����¡�¢u��~)y�m�{��z{ÝðZD°m|�'��~����u�u{u�����z�¯��m|�¶w-�¯�z{?¦³�³~���������v�m|��m|���������'¸���~�«��|�z�`w5��~,�½�¯��m�y#m|w�����¢u¢����«�~,�u�u{¬�³~��åðZDV��w��]w����Nwz�#�V«��5�³~,�u�u{�ª����u�¶���z�|w-��m�y���{��z� ���zw��¯�Mm|�¬��������w-�¯�±~��'� ~,��y��������z�u� �½m��T� z l �-Q�m|��u�¯�z{Cm|�'w-¢u¢u��~�¥#m��¶w-�¯�z��� U Í D¬ý=H  Ŧ­Ò#�|ÅzÜ,ª�°�������

¦ÄÅ{ÂÊð z D ªcB U ¦ÄÅ:ÂþðZD´ª ¦ÄÅWV U d Å�ª¦­Ò#�|ÅzÆ,ªw��u{¬�°�u������ z m|��{����¯���´�¶m|���z{l�³��~,�B¦­Ò#�|Å�Ç�ªx«��u���®m����CðZD�����¢��|w�� �z{¬«��l�����T�z�¯��m|�±w-�¯�z{Fy�w������1ð z D �T»����u��w���z�|w-��m|y��z���C�|w-�����T������~��xm��9���u�f�z����m|�¶w-��m�~,�l~���¦ÄÅ�ÂXðZD䪰��w��¬«��Tw��|��~)�/�z{%¡%w��u{¬���u�Tm��5¢u��~)y��z�5�z���x~)y����p�����Ì�m|��«��¶w��u��ÀC������~#{T�°m|���,��~��¾���#Ñ����dw-¢�¢u���z��m|w-«��|���µ»��um��µw��|��~����u�����z�¯���2���uw-�d�����°£#�u��� �z����m|y��'¤�y��������z�|w�¥�w-��m�~,�À9������~�{C��w���«��p���u��� �z�����³�u�����±w-¢u¢���m��z{��¯~±�¯�z���2w�{ML¯~,m|���'�z²��uw-��m�~,���'~��������°����w���Ì�w-¢���w�� ����� Ï ²��uw-��m�~,���

»��u�¶£��u��� �z����m�y���¤xy��������z�|w�¥�w-��m�~,�FÀ9������~�{F��w��?«Â�5�u���z{¬�°m����¬w����¬�|w-�����5w����¯~,�±w-��m|�¶� ~,�5¢��u��m|���M�¶w�Ê����m|���p�³~��°�°��m|���M�����fÌ�m���«��¶w��u�½À9������~�{9��w��C«��p�u���z{%�/»��u�V�¶w�����m|���p��m|�¶��¢Â����m��¯����w-��m�~,���/~,�u��{���~��°«��m|�u� ���zw��¯�z{½«��M�¶~��������uw��HÅ�ÒLXM��à �°m|�'� ¥#¢��z� �¯�z{����uw-�����u�V�u�¯��~��2�����f£��u��� �z����m�y���¤xy��������z�|w�¥�w-��m�~,�CÀ9������~#{�°m|���¾� ~,�u��m|{����´w-«����9w��u�,�5�z��������������w����p~��N¢u��~�«����z�¶���³~��V�°��m|���F���u���u�¯�±~��N��w-������w����¯~,�±w-��m|�±� ~,�5¢�����m|����¶w��´�um|���z��m��N¢u��w�� ��m|��w��ó�

È

Page 11: Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic

YSZ[]\ (�^@) &_ [ )�(,3 []`ba 3�cd^@)2^�'10e^gfihå. [ (*34+�'jÃ+Pklf `5` 3 \ (,3\0gmin \ ^Ì����:7 «Â�xwf����~,�¯�z{�«Â~,���u{��z{¶�����,m�~,��m�� Ï �����|m|{��zw��"o�Ê!�¯¢�w�� ��¡#�°m�����m|���¯���´m�~��Tp w��u{�«Â~,���u{uw-���"q��/¿�~,����m|{���������V���z���µw�{ML¯~,m|���'�z�|�|m�¢���m|�°¢�w-����m|w��%{um·Ñ������z����m|w����z²��uw-��m�~,�½~��2�����V���z� ~,�u{½~���{����¦³Ãä��Ò#�|Å�ª ¦Ir��+s5 � VBt ª ¦+u�ª�BÚÒ uÒ|�ps52¦+u�ª@B v¦+u�ª uA|wq�°�������¦³Ãä��Ò#� # ª r��+s5 � B xm@ Q Dzyy u @|{L} µ @ ¶ y s5y u @�~ V�� s5w��u{Bs5�E } µ @ ¶ ¦��yB Å�E # EJ>J>J>ME�oµª$E � E�w��u{(v�w-�����³�u��� ��m�~,�u��~��������Vy��z� �¯~��#u¬�°��~,����� ~,�5¢�~,���z������¡¾¦³�������������z{�¯~Tw���~�������~���~,�uw��«�w���m|� ú DJE ú H�EJ>J>J>FE ú x ~����u�um���� ~�~���{�m|�uw-�¯�°y��z� �¯~��´�´ª´¡�w-���5¦+uDJE�uIH�EJ>J>J>kE�u x ª´�c�F�xw������u�5� � ¡} µ @ ¶ w��u{ t w-���p� ~,����m�����~,���N�³�u��� ��m�~,�u��~��?uC�°m����½� ~,����m|���u~,�u��Ù����¯�'w��u{½���z� ~,�u{M¢�w-����m|w��%{u����m�y-w-��m�y��z�'m|�y7x¡w��u{½����w-�Mv�m|�'w±� ~,����m|����~,�u���³�u��� ��m�~,�M~��?ul~,�bq�� } µ @ ¶ w��u{ � ��w-��m|�¯�³��������� ~,�u{um���m�~,���¦³Ãä��Ò#�u�-w�ª } µ @ ¶ <§Ò ¦�� B Å�E # EJ>J>J>kE�oµª¦³Ãä��Ò#�u��«Âª � d Ò½�

à ���¬m��'w����M�­�u�u� ��m�~,�½{�� ÙÂ���z{M~,�A7Ú���p����m|�¯�¦³Ãä��Ò#�ÞÝ�ª �¾¦+u�ªcBS�¾¦+u�D]E�u�H�EJ>J>J>¥E�u x ª��

¹��Cm|�¶¢Â~�����w������¯¢��z��m|w��%��w����V~��°¦³Ãä��Ò#� # ª'm|�'���u�´��ö³o�ö³t-ùµþ³q�õ�npo�ú �2þ³q³À ¡�Ô��z����~����Ò�·ÅzÜ � ¢�w-��� # �����Nà �����um|���w��¯�¦³Ãä��Ò#�ßÈ,ª r��+s5 � BS� H �+s5 � B xm@ Q D(y H s5y u @ H �

Page 12: Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic

���P��� [ j�340z� [ 02(RjÛ�~��p���u�Tvxm��´m|���u�|���x¸���~�«����z��¡Â���u�f� ¥�m|�¯�¯�z��� �5~��/w½�u�um�²����f�¯~,�|����m|~,�l��w��x«Â���z�¬¢���~�y��z{¬�³~��pwM�°m|{��T���|w����x~�������,m�~,����¡������®�³~��/� ¥�w��5¢��|�®Ì�m������¯�z�u�¯�¯�zm|��� # Ò � w���{�Ô��z����~����6�·ÅzÜ � ¡�¿N��w-¢u�¯���/Ð�Ãä��ÃÄ�Ò�·ÅzÜ � ¢�w-���q� # Æ���w-���z��«�w#���� ��m��¯���´m�~,�½m|�'�,m�y��z����~��]oÒB ���

wM�u�um|²����T�¯~,�|����m�~,�l� ¥�m|�¯����m����zw����?¢�~,m|�����Y~��Mq+m|�x���u�fy������¯� ¥¬~���wM��m��,������m������u�|w-��� ~,����¡�®�um|���½��w�����~¶¢�~,m|�����'m|�M�����p¢�~�����m|~,�M~��-pÕm|�½w����½�¯¢��������pw-«Â~,�u�]� ��~�����y����x���¶w��|�ó�

¸���m|�|�|m�¢��%w��u{÷�+m��z�u���:� # È � �,w�y��°w°¢���~�~�� ¡�«�w��¯�z{�~,�T�����N�u�¯��~��uÙ���m��¯�/{um�ÑÂ�����z��� ���5�����u~�{u�z¡��³~��2������� ¥#m|���¯�z�u� �~��¾w5�u�um|²������¯~,�|�u��m�~,�M~��µ���u�Vvxm���m|�´�u�����'¸���~�«����z�Y��~��®w����M�����,m�~,�Ò7Ú�°m����M�����V��~,�|�|~��°m|�u��¢u��~�¢Â�����!����+�u�z����y����VwM¢�~,m|����� «Â�z�|~,���,�x�¯~bq+���������¶w-���¶¢�~,��m���m�y��T�����V«������ R w��u{��f���u�´�¬���uw-�Vm��� V R w���{Vw��Wo�Ê!��¢�����������~�����w�{um��u� � m|��{u��wz�°�V�°m������ w��d� �z���¯���z¡,w���{Vm��4�Fm|�������/������~���¢�~,m|�����m����]«�������~���m���pT¡����u�z�C�����f¢u��~ML¯�z� ��m�~,�9~����S~,�¬w-�x���zw��¯�®~,����~��¾���u�M¦+o�Â+Å�ª®{um|�5�z�u��m�~,�uw��

��¢�w�� �z�°{����¯���´�¶m|���z{M«���w±�¯����~���o¬¢Â����¢Â�z��{um|���u�|w-�Nw�¥#�z��� ¥�� ���z{u�,� � x Í D m|�½� ~,���¯�z�����¿�~,���´w�����¡�Û���m|�z{���m|�´�u��w��u{MÌ�������¡*�ÞÜ � �uw�y����,m�y��z�MwV¢���~�~��%�³~��N�����x�5~��������z������w��¢u��~�«��|�z� ¦³Ãä��Ò#�|Å�ª�«�w��¯�z{�~,�Ù��um|�¯��{um�ÑÂ�����z��� ���5�����u~�{u�z�2»°���®� ¥�m|�¯�¯�z��� ��~��dwT�u�um|²����°�¯~,������m�~,��~��/¦³Ãä��Ò#�|Å�ªNm|�/¢u��~�y��z{M�³~��'�����,�u��w-�/�����,m|~,�u�¦{�·ÅzÜ � ¢�w-���±Å�ÅF�,ª´¡Â���u���½����w-�

�|m|��\» � Å�����&  5 H W uD W u�Hg>J>J> W u x BÚÒ¦ÄÅ-�|Å�ªm|�5¢��|m��z��56BÚÒ¶~,�bq=�°�u�����Oq � m��'�����V�¯���°~��dw��|��¢�~,m|�����'~��c7Sw-�°w¶{�m|�¯��w��u� �p���z���'���uw�� � �³��~,� �¯~,�5�V¢Â~,m����~���q=w��u{½�®��������5lm��'w����½� ~,����m|���u~,�u�'�­�u�u� ��m�~,�%�¾»���m|�'� ~,�u{um���m|~,�½m|�'w����Nwz�#���­�u�·Ù��|�|�z{±�³~��]oÒB # ¡��ÞÜ � �

»��u�fw��uw��|����m|�f�¯~,�|�u��m�~,�9m��®��~��x�#��~��®�%¡Â�u~�����y����z¡�� ¥�� ��¢u�x��~��x�����5��m|�¶¢����z�¯�������,m�~,�u���V¿�~,�u���z²����z�������Cm|�~,����{��z��m����z�¾���u�5����m|��w��#���z���u������¡,w-¢�¢u��~z¥�m|�¶w-�¯���¶������~�{��¾���u���¾~���{um|�uw-�´m|����«��'�u�¯�z{%�dà �����|�u{��z{Tw��5~,�������u�z�¯��5������~#{u�pw-���±y-w-��m|w-��m�~,�uw����5������~#{u�à�·ÅF� � ¡d�����±���¯�¶~��N~�������~���~,�uw��/�­�u�u� ��m�~,�u�/�·Å � ¦³��~��¡oçB # ª´¡2� ~,����~��´�¶w���¶w-¢u¢�m|����¦³��~��PoÒB # w��u{½�³~��������pvxm��´m|���u�|���N¸���~�«����z��ª´¡uw��u{MÙ��um|�¯�x{�m·ÑÂ�����z�u� �p�5������~#{u�å�·ÅF� � �

ÃÄ�5���um|��{um|���¯������w-��m�~,�%¡,Ã2���uw��|�u«Â��� ~,��� �������z{¶�®m����fÙ��um��¯��{�m·ÑÂ�����z�u� �°�5������~#{u���2»����'�����,m�~,� 7m���� ~�y������z{«��?w9�������/~����È7:9Cw���{H�����M{um·Ñ������z����m|w����z²��uw-��m�~,�]m|�V����¢��|w�� �z{�«���w9{um�ÑÂ�����z��� �¶�z²���w-��m�~,�=m|��y�~,�|y�m|�u�������y-w��|���z�f~��°�����½�u�u����~)�°�]�³���u� ��m�~,�]w-�5�����½��~�{u�z�M¦­�u���5¢Â~,m������´ªp~���7{9���»����½�¯~,�|����m|~,�H~��®�����½{um·Ñ������z�u� ��z²��uw-��m�~,�C{�m·ÑÂ���´�N����~,� �����V�¯~,������m�~,�½~��2�����V{�m·ÑÂ�����z����m|w����z²��uw-��m�~,�C«��½w��9w��5~,�u�����°�um|�´��{���¢��z�u{u�N~,�C�����Ù����z�u�z���N~��2�����p�5�z����w���{½~,�½�����p����¢���~��dÙ��um|�¯�x{�m·ÑÂ�����z�u� �pw-¢u¢u��~�¥#m��¶w-��m�~,�M�°�um����½m|�����¯�z{%� ¿�~,�u��m|{�����w��²��uw-���p�������/~�����¢x�®��~,�¯�p��~#{��z�'w-���p���u�V�¯���uyBÕ¦+uDFE�u�H�EJ>J>J>FE�u x ª���u�´�½���uw-� u @ Bl£ @ ; ¦��àB Å�E # EJ>J>J>ME�oµª�°�������å;Cm|�N���u�V�5�z���½��m|º��Vw��u{M�����M£ @ w-���pm����¯���������z�»'��~±�����'¢�~,m|�����¤u¬w��u{$u z w-��� ë�ì�¥äë�òäâäã�ö m���£ @ Bi£ z @ �³~��®w��|�¦��� ¥�� ��¢u�°�³~��°w¶��m|���,����Yp £ S Â$£ z S p B Å�°������� uyBÕ¦�£D4;,EI£�HF;,EJ>J>J>¥EI£ x ;ªu z BÕ¦�£ z D ;EI£ z H ;,EJ>J>J>kEI£ zx ;ªà �?ulm|��w�{ML�w�� �z���®�¯~>u z ���p����m��¯�#u�§du z �¨�© ���½¦4�M�$¡M¯u¦4��¦$�M²:®M�«ªk¦$�$­n�M¦$¯ �M��©�¬*­4��¨¥¤,®M¦�­]��£����=��¡k¤��G²{£F±]®¥­n¡¥©�®¯¬*�=¯�¯ ¦$�M²h®k��¤*§=­n¯�¯u¦$£�­4�i¦4©�­4��¤�� °]�\����®&±F¡M¦4�����M��©�¬*­4��¨¥¤*¦4���¤���¢:°M¯����GªM¦$�M²�®�¦�­]�2£��=�=��¡k¤��G²�¦4¯u¢:­$¤â©��«ª¥§=¯�¡M¤��²­]�=¯�±h����©�®M��³��M��©��G²1®F©i¦4©���¤=�

Ç

Page 13: Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic

7:9¬m|�T���u�M�����5~���w��|�'���u��������T¢�~,m|�����5� ~,����w�m����z{§m|�g7x��p�9�¡/�����´�+�=�µ�6D��I��D9~��q7:9¬m|�T�����½�¯���5~��xw��|�¢�~,m|�����]u?���u�´�C����w-��w��|�µ������¢Â~,m������®w�{ML¯w�� �z���x�¯~¶u¬«��z��~,�����¯~67{9���¹®����~��������x¢�~,m|������~���7:9±«��z��~,���¶�¯~Kq*9�����K·�������0L��D5�f~���7:9���¹¸�¯�µF��"�6�=�dm|�®w��¯�¯�´w�m��,���x�|m|�u�¿LÄ~,m��um|���¶���/~Mw�{ML�w�� �z����������¢�~,m|��������7:9�m|��35���4���*3H�µ��0¢u��~)y�m�{��z{Mw������!��~¶¢�~,m|�����N~��?p�95��w��½«���LÄ~,m|�u�z{�«��Mw��½�u��«���~����z�½�|m|���x� ~,�u��m��¯��m|���f~��d�����,�5�z�����®� ~,����w�m����z{m|�$p�9#�@�F�Vw������u�5�����uw-��;Cm|�'���N����m��z�����������¶w��|�%�¯~¶����w-��7:95m|�'� ~,�u�u�z� �¯�z{%�

Ì�����? «��°���u�®���u�V«����/~���¢�~,m|������~��¹p�9Vw��u{ ?¡ºH«��°�����������V«�����~���¢Â~,m�������~��-q*9���»����®���z������w���¢Â~,m����~��@7:9T�¶wz�M«��p{��z��~��¯�z{�«��u µ S ¶ BÕ¦+u µ S ¶D E�u µ S ¶H EJ>J>J>¥E�u µ S ¶x ª$E ¦�YcB Å�E # EJ>J>J>kE\? V ? º ª¦ÄÅ-� # ª�°������� u µ S ¶@ Bl£ µ S ¶@ ;!>�F��w��������5������w-�Tm|�:Y d ?ÒEu µ S ¶ |»p�9��?Ì����àÇIK Á K¹¼+«Â�������M�¯¢�w�� �M~��®w����/� ~,�5¢���� ¥Hy-w��|���z{��³�u��� ��m�~,�u�{�� Ù��u�z{M~,�A7:95w��u{��|����Ç K «��������p�¯¢�w�� �p~��¾w��|���­�u�u� ��m|~,�u�N~,�ÒÇ K Á K ¼?y�w���m|���um|�u��~,�bq,9#�¹Ö�­�u�u� ��m�~,�?¦³y��z� �¯~��䪴¡2�Ò|CÇIK Á K¦¼H�uw���� ~�~���{um|��w-�¯�z���BÕ¦��TDJE*��HMEJ>J>J>¥E*��K Á K¦¼µª�����³�������z{5�¯~fw�«�w���m��¾~��%�u�um��2�­�u�u� ��m�~,�u�2�®�um|���¶�z²��uw��u~,���®w-��~,�u��¢�~,m|���¾~��7:9�w���{¶y-w��um|���T�z�|�����°��������¡,�®�������� S BS�¾¦+u µ S ¶ ª ¦�Y2BÕÅ�E # EJ>J>J>kE\? V ? º ªI>¦ÄÅ-�u�,ª�F�f{�� Ù����x�����p~�¢�����w-�¯~��´�V¦G����� � ¢�w-����Ý�ª^_` _a ½P¾&¿ �¾¦+u%ª BS�¾¦+u V ; ú @ ª ¦�� B Å�E # EJ>J>J>kE�oµª½ Í ¾&¿ �¾¦+u%ª BS�¾¦+u  ; ú @ ª¦ÄÅ-�ÞÝ�ª

»µ~�{����´m�y��V�����VÙ��um��¯�p{�m·ÑÂ�����z�u� ��w��uw��|~��,���V~��°¦³Ãä��Ò#�|Å�ª´¡��/������¢��|w�� ��������{����´m�y�w-��m|y��z��«���{um·Ñ������z�u� �V²���~-Ê��m��z��������»����u�'w��®m|�þ�ÞÜ � ¡������V{�m·ÑÂ�����z����m|w���~�¢�����w-�¯~��

yy u @À{L} µ @ ¶ yy u @=~m|�N����¢��|w�� �z{½«�� ; Í HBÁ ¦ÄÅ: ½ Í ¾&¿ ª]� } µ @ ¶ ¦ ½P¾&¿  Å�ª �«Â¦ÄÅ-�ßÈ,ªw��u{½���u��~�¢Â���´w-�¯~��f¦Ir�ª'm|�N����¢��|w�� �z{�«��ÂMÃF; Í H B ; Í HÅÄ xO@ Q D } µ @ ¶ ½]¾ ¿ ÂÇÆ } µ @ ¶ V ½ Í ¾ ¿ } µ @ ¶ VÉÈ ½ Í ¾ ¿ } µ @ ¶�Ê ½ Í ¾ ¿6Ë V ; H �$̦ÄÅ-�u�,ª

Ü

Page 14: Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic

»��u�xÙ��um��¯��{um·Ñ������z�u� �pw���w���~��,���p~��'¦³Ã´��Ò#�|Å�ª�«��z� ~,�5�z�Ä ¦�à � 5 � ª S ÂÈ; H t S BSÒ ¦�YZB Å�E # EJ>J>J>ME\?Fª5 S B v S ¦�YZBÏ? V Å�EJ>J>J>kE\? V ? º ª¦ÄÅ-� Ç�ª

~�� ^_` _a K Á K¦¼mPnQ D RTS�U P 5 P ÂÈ; H t S BÚÒ ¦�YcB Å�E # EJ>J>J>kE\?Fª5 S BÍv S ¦�YcBÏ? V Å�EJ>J>J>¥E\? V ? º ª t¦ÄÅ-�ßÜ,ª

�°�������������p���z������w����z���z�5�z����~��2�����!? r�¦â? V ? º ªN�±w-�¯��m·¥?¦ R�S�U P ªNm��R�S�U P B

^_________` _________axm@ Q D � } µ @ ¶S V ½ Í ¾ ¿ } µ @ ¶S ÂÈ; H � S � ¦�Y2Bgf�ªÂ } µ @ ¶S ¦+u µ P ¶ BÍu µ S ¶ V ; ú @ �³~��°�¯~,�5�¡�uªÂ ½ Í ¾ ¿ } µ @ ¶S ¦+uµ P ¶ BÍu�µ S ¶ ÂÈ; ú @ �³~��°�¯~,�5�¡�uªÒ ¦�Y{eBgf�w��u{$u µ S ¶ ��~��°w�{�L¯w�� �z���°�¯~>u µ P ¶ ª

¦ÄÅ-�ßÆ,ª

Û�~��®�����Vvxm���m����u�����N¢u��~�«����z�½¡ÏÎ����p�uwzy��Â�¦�à � 5 � ª S BÑÐ û xO@ Q D ¦ ½ ¾ ¿ V ½ Í ¾ ¿ ª� # o ü � 5 �ÓÒ S BÚÒ ¦�YZBÕÅ�E # EJ>J>J>kE\?Fª¦ÄÅ-�|Å�Ò�ª

w��u{

¦ÄÅ-�|Å�Ò�w�ª R�S�U P B ^_` _a # o ¦�YZB8f�ªÂVÅ ¦+uµ S ¶ §du�µ P ¶ ªÒ ¦�YheB8f±w��u{(u µ S ¶ ��~���w�{ML�w�� �z���®�¯~>u µ P ¶ ª$>£#m��u� �qð S B v S ¦�YZB ? V Å�EJ>J>J>kE\? V ? º ª´¡��/�V��wzy��KOPnQ D�R�S�U P 5 P VÑW S BSÒ ¦�YZBÕÅ�E # EJ>J>J>kE\?Fª¦ÄÅ-�|Å�Å�ª

�°������� W S B K Á K¹¼OPnQ K Á D RTS�U P v P ÂÈ; H t S ¦�YZBÕÅ�E # EJ>J>J>kE\?Fª$>¦ÄÅ-�|Å # ª�F�f�¶wz�½w��|�¯~¶w-�°��m|�5�z�'���´m��¯�±¦ÄÅ-�|Å�Å�ª'm|�M���u�p��~��´�5 S B KOP$Q D � S�U P 5 P�VÑÆ S ¦�YZB Å�E # EJ>J>J>ME\?Fª¦ÄÅ-�|ÅF�,ª�µÔ �����]Õ6Ö2��¤�©i¦4¨]�=�à¦$¤}©�®M�P­n¦4¯�¡M�]Õ�×GØ�Ùe¬®k�����PØbÚbÛC¦4��²�Ø ��¤}©�®M�h�M�G¦\���=¤â©:°�­n���J©¿­4«eÛ�©�­OØ�Ü Ö8Ý ÚbÛLÞk��ß�¯�©������M¦4©��²­]�=¯�±Jª­n�k��¢:���n®J©��«ªF©��=��²�©�®k�}«¹¡M�M§¬©��u­$�OÕ�©�­1à ¦$�M²�©i¦$¨]�áÕ6Ö�©�­h£��@©�®M�T­$¦$¯�¡k��­4«I©�®k�u¤2�«ªF©��=��²¥�G²�«b¡k�M§�©���­n����ß��k­$©�®M�¬�Z°�­n¤�¤���£k�u¯���©�±!��¤©�­q§i®�¦$�k�n�¿©�®k�:¢:�=¤�®1¤��²â=�{�M�G¦\�¤ài¬®k�=�M�«­]����Ø Ü Ö�Ý Ú(Û�Þq²k­J��¤��k­$©�£��=¯�­n�M��©�­#Û*ª� °5ã$��� © ®M��¤�²k­J�=¤}�M­4©}¢{¦$¨]�¿©�®k�:°k��­n£k¯��=¢�=¤�¤��=�J©��u¦$¯�¯�±q¢:­4���@²k�åä:§=¡k¯�©�«¹��­$¢�¦¿°¥�i¦$§�©���§G¦4¯N°�­n���J©�­$«=­F���«¬C£k¡k©�²k­J��¤�¤�°�­$�u¯³¤�­n¢:�@­$«w©�®k�}¢{¦\©�®M�=¢{¦\©���§G¦$¯ ���=¯u¦4©���­n�k¤�®M��°M¤�©�­:£���n�²­]����¯u¦4©����G��æM¡¥��©�®M����²¥�u¤�§�¡M¤�¤���­n��­4«w©�®M��¤¦±J¡M�=¤â©���­$�1¬��¯u¯T£��c�n�²­]�=��¯u¦4©����G�ç«è�©�®k���RéM�M��©��2²¥�åê �����=�M§��Z¦$�M¦$¯�­n�$¡M�=¤­4«³©�®M�¹ëZ������§¬®k¯���©¹ì���­$£M¯��=¢�ª¯¬��©�®�¦�¤�±J¡�¦\���2�M�¬©GªF®�¦�­]�2£����=�{§=­n�k¤��½²¥�����G²h£F±]í��u¯��k�¿� �5°$�¦$�M²1î���§i¨F¯u�¬±÷� �4���Æ

Page 15: Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic

�°������� � S�U P B ^` a  R�S�U PRTS�U S ¦�Y�eBgf�ªÒ ¦�YcBgf�ª¦ÄÅ-�|Å Ý�ª

Æ S B  W SRTS�U S ¦�YZB Å�E # EJ>J>J>ME\?Fª�>¦ÄÅ-�|ÅzÈ,ª¿N�|�zw-�����±«��F¦ÄÅ-�ßÜ,ª'w��u{H¦³Ãä��Ò#�u�-w#¡Þ«Âª´¡Â�����V� ~��]����m��z������~��'¦ R�S�U P ª��uwzy��������p�³~,�|��~��®m|���f¢u��~�¢�������m��z�^__________________` __________________a

¦­w�ª RTS�U S <§Ò ¦�YZBÕÅ�E # EJ>J>J>kE\?Fª¦³«Âª RTS�U Pqd Ò ¦�Y\EifjB Å�E # EJ>J>J>ME\?¬ª¦­��ª RTS�U S2l KmPnQ DP�oQ S p R�S�U P p ¦�YZBÕÅ�E # EJ>J>J>kE\?Fª$E®w��u{M�³~��°�¯~,�¶�!Y t

RTS�U S < KmPnQ DP�oQ S p R�S�U P p¦­{�ª RTS�U P V§Ò ¦+u µ S ¶ §du µ P ¶ ª¦³�)ª RTS�U P BÚÒ ¦�YheB8f±w��u{Kuµ S ¶ ��~��°w�{ML�w�� �z���°�¯~"uµ P ¶ ª

¦ÄÅ-�|ÅF�,ª

¦³�´ª R S�U P B R P U S ¦�Y\EifjB Å�E # EJ>J>J>ME\?FªEÎ�>¦ÄÅ-�|Å�Ç�ª

fù�q�ú�o�q³À �����+»����p�¶w-�¯��m�¥F¦ RTS�U P ªN��w-��m|�����#m|����¦ÄÅ-�|ÅF�-{�ª´¡2¦ÄÅ-�|ÅF���)ª�m|�°m������z{u����m�«�����w��u{½�uw���¢���~�¢������!�¬¦âá�H�ª´�npo�ú%ú�r*ヲ­w�ª�É/�¦ÄÅ-�|ÅF�-{�ª´¡d�,m�y��z�?w����9���/~9��~,�F�z�5¢u���l� ~,�¶¢����z�5�z����w-���¬����«��¯�����x~��¤p�9����������¶�f�u�¯��� ¥�m|�¯��!��~?w�{ML�w�� �z���5¢�~,m|�����f��~��T«Â�z�|~,���,m|���9�¯~l���u�M��w��5�½����«��¯���T��m|��� �67:9lm|�T� ~,�u���z� �¯�z{��H»����Mm������z{��u��m�«�m|��m��!��³~,�|��~��®�

¦³«Âª/Ì�����ê,H®«Â���������¯���N~��µm����¯���������N�������M���uw-� Km@ Q D £ µ S ¶@ m|�/��y��z�%¡uw��u{M������ê2D�«����������¯���N~���m|���¯���������'���u�´����uw-�

Km@ Q D £ µ S ¶@ m|�N~#{u{%�»��u�z�6ê�D�w��u{yê*H�w-����� ~,�5¢����z�5�z����w-���M����«��������'~��cëPw��u{½«��?¦ÄÅ-�|ÅF���)ª´¡Âm|��YheB8f

R�S�U P BÚÒ�u�u�|�z���¿Y@|yê2D°w��u{àfà|6ê*Hx~���Y@|yê,H�w��u{àfà|yê2D �»����u�p¦ R S�U P ªN�uw��'¢���~�¢������!�¬¦âá H ª´� ð

� Ï �uvf� �ú�o)úÂþ³þ³suok� �����¬¦ÄÅ-� Ç�ª'm|�°w��½�z�|�|m�¢���m|�®���z���µw�{ML¯~,m|����{um·Ñ������z�u� ���z²��uw-��m�~,�%�»��u�l� ¥�m|�¯�¯�z��� �l~��fw=�u�um|²����9��~,�|����m�~,�+~���¦ÄÅ-�|Å�Å�ª½�uw���«Â���z�+¢u��~�y��z{S«��+Ø�������������~���m�� �·ÅF� � ¡®�®m�����~,���

���z²��um���m����¶���uw-�±¦ RTS�U P ª°«Â�T�¯�#�¶�5���¯��m��V«��u�x����m|���¬¦ÄÅ-�|ÅF�-{�ª´�å�F�¶����w��|���,m|y��¶w�¢���~�~�����~���w½�¯~,�5���®�uw-���5~�������z������w�����w��¯��¡��°��m|���½m|�°{u���x�¯~�Ø��zm��´m|�������´�·Å #M� �� �[� �n� «b­4�2¦4¯�¯�ñ ¤�¡M§i®�©�®�¦\©¦Ø�×Gñ�Ù���¤2¦$²*ò�¦4§=�=�J©©�­:¦�°�­$�u�J©­4«�Û�Þk�çóß�¤2¦4¯����G¦n²F±q¤â©i¦4©��G²1¬���¦�­]­$�u²�¡M¤����M�¿©�®k�u¤«[¦4§�©-¬®k�����E­]�¬�2°�­$¤�¤��u£k¯��n�?æM­$�2��«�©�®k�c¢:�=¤�®�¤��²â=�}�u¤?­n¦\�����G²×[¤��=�P×â�n� ô6Ù*«b­J­4©��M­$©���Ù¬ª©�®M��¤§=­$��²k��©���­n���u¤�k­¿¯�­n�M�$���«b¡k¯²éM¯�¯u�=²��Å�Ò

Page 16: Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic

fù�q�ú�o�q³À �����×Ã��N�����±�±w-�¯��m·¥§¦ R�S�U P ª���w-��m|�ÄÙ��z��¦­Ò#� # ª´¡2�����z�?������{����¯�����¶m|��w����p~��p¦ RTS�U P ªx{�~��z�V�u~��py�w���m|���%¡w��u{½���u������� ¥#m��¯����w¶�u��m|²��u�x��~,�|����m�~,�M~��'¦­Ò#�|Å�ª´�npo�ú%ú�r*ï�»�~¶¢���~�y��p���u�p������~����z� �/�V�u���z{½~,�u��������~�� ���uw-� W S BÚÒNE ¦�YZB Å�E # EJ>J>J>ME\?Fª m|�5¢��|m��z�5 S B ÒNE ¦�Y:BYÅ�E # EJ>J>J>ME\?¬ª°m|�®�����T~,�u�����¯~,�|�u��m�~,�C~���¦­Ò#�|Å�ª´�VÉ��C�|m|���zw-���z²��uw-��m�~,�l������~�����¡%���um��°�°m��|��m|�5¢�������uw-�����u�V{����¯�����¶m��uw����N~���¦ RTS�U P ª�m|����~��'º�����~�¡�w��u{M���uw-�°���������p� ¥�m|�¯����w±�u�um|²����x�¯~,�|����m�~,�M~���¦­Ò#�|Å�ª´�»����u��¡2����� W S B`ÒNE ¦�YqB Å�E # EJ>J>J>ME\?Fªpw��u{�����¢u¢�~,�¯�à5 S <PÒC��~��T�¯~,�5� Y���»����z� 5=�f�u�¯�fw������u�¶��w�¶w�¥�m|�f�u� y�w������j5 SGõ B¸ö �³~����¯~,�¶�/Y � �±É��§¦­Ò#� # ªx���um���m|�p��~��p¢�~,����m�«����T�u�u���z��� 5 P B÷ö �³~�� fÊ|gv D�°�������hvZD�m��������x�¯����~���w��|�Âm|���¯���������N���u�������uw-� R�SGõnU P eBSÒ#��£#m|�¶m��|w-������¡�«��¶m|�u{u��� ��m�~,�/5 P BÅö �³~��'w��|�Tfà|�v2ø¯¡�°�������!v ø m|�°�����������°~���w��|�µm|���¯�������´�®�������9���uw-� R S�U P eB Ò Y¿|Cv ø Í D >¬Ã �2�/�f�����hv � B ·FY � º �����uw�y��´v �OùvZD ù vHZ>J>J>��°�������������5m|�����|�u��m�~,�����z�|w-��m�~,�¬m|���¯�¯��m|� ��«��C�����Tm������z{��u��m�«�m|��m��!��~���¦ RTS�U P ª´�V»����������³~����f�/�5�uw�y��5 S BÇö E ¦�Y¿B`Å�E # EJ>J>J>ME\?Fª�w��u{l«��=¦­Ò#� # ª®���um|�xm|�xm|�5¢�~,����m|«������x»����������³~����15 S d ÒNE ¦�Y:B Å�E # EJ>J>J>kE\?Fª´�£#m|�±m|�|w-�����j5 S�l ÒNE ¦�YZBÕÅ�E # EJ>J>J>kE\?Fª´àu�����������³~����!5 S BSÒNE ¦�YZBÕÅ�E # EJ>J>J>kE\?Fª´� ð

� Ï �uvf�¸/�um|�|�|m|¢���w��u{Ê�Úm��z�����à� # È � ¢u��~�y��z{?���uw-��¡��³~��p�����¶vxm���m|�´�u�����x¸���~�«����z�½¡��u�u{u�������u�¶w������u�5¢���m�~,�u��~,�þ7

�¯��w-�¯�z{]w-«�~�y��à5ûú s5]w��÷;lú Ò#�½¿�~,����w�����¡2Û���m��z{��´m|���u��w���{HÌ����°�g�ÞÜ � ¢u��~�y��z{������±��w��5�¶���z����������~�����������z������w���¢u��~�«����z�`���u{����'�����zm���w������u�5¢u��m|~,�u�N~,�A7Sw������zw�{�������w-�¯�z{%�

Ø����´��������~��´m|�C�·ÅF� � {�����m|y��z{±w���������~���«Â~,���u{T��~�� p 5qÂûs5 p �u�u{����/�����®w������u�5¢u��m|~,�5���uw-��s5M��w���� ~,����m|���u~,�u�¢�w-����m�w��d{u����m�y-w-��m�y��z�x~���w����2~���{���������¢¬�¯~�w��u{Fm��u���|�u{um����±�����T�³~,�������%�T�®�¶w��|�¯~M~�«u��w�m|���z{Fw��?������~���«�~,�u�u{�³~�� p 5 z ÂÈ5 p �®�������å5 z m|�°w�����w-¢u¢u��~�¥#m��¶w-�¯���¯~,������m�~,�½~��°¦ÄÅ-�|Å�Å�ª´�°Ûu~������u�Vvxm���m|�´�u�����°¸���~�«����z�`���u�V¢u��~�~��¾m|����z�|w-��m|y��z������m|�5¢����xw��u{�m��N�,m�y��z��«��z��~)�p� fù�q�ú�o�q³À ����æ Ã��

¦�� H �+s5 � ª ¦+u�ª�B xO@ Q D y H s5¾¦+u�ªy u H@ BÚÒ uA|bpw��u{�m|� öCü�B �¶w�¥@ Q D U H Uåýåýåý�U xMþ �¶w�¥¾�ÿ�� ���� y

ü s5d¦+u�ªy u ü @ ���� ������z� p ¦�Ã��Is5 � ª S p d ; ü� ö ü ¦�YcBÖÅ�E # EJ>[>[>[E\?¬ª$>¦ÄÅ-�|ÅzÜ,ªnpo�ú%ú�r*ï�É/�?¦ÄÅ-�|Å�Ò�ª´¡Â�/���uwzy�� Â�¦�à �+s5 � ª S BÑÐ xO@ Q D ½ ¾ ¿ V ½ Í ¾ ¿  # o Ò s52¦+u µ S ¶ ª$>É��½»µw�����~�������»�����~����z��¡

½]¾&¿ ¦�s5 S ª@B÷s5d¦+u µ S ¶ V ; ú @ ªcB¸s5 S V ; { y s5y u @ ~ S V ; H# Ó Ð y H s5y u H@ Ò S V ;����Ó Ð y ��s5y u �@ Ò S V ; üÝ�Ó Ð y ü s5y u ü @ Ò ¦�� Á@ ª�°��������� Á@ m|�°wT¢Â~,m����'~,�½���u�V�¯���,�5�z���ZL¯~,m|�um|���u µ S ¶ w��u{Ku µ S ¶ V ; ú @ �@�F���uwzy��Âf¦�Ã��+s5 � ª S B ; H# Ó ¦�� H s5%ª S V ; ü

Ý�Ó þ xO@ Q D ' y ü s5y u ü @ ¦�� Á@ ª V y ü s5y u ü @ ¦�� Í@ ª )�®�z�u� ��¡ p ¦�à �+s5 � ª S p d ; ü� öCü�> ð� Ï �uvf�

Å�Å

Page 17: Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic

fù�q�ú�o�q³À ���ÖÛ�~��°������v�m|��m|���������'¸���~�«��|�z�½¡�m�� � m|�N���u����w�{um|�u�N~��¾w����¶o�Ê!��¢��������p� ~,����w�m|�um|�u�à7Sw��u{½m��ö8D�B �¶w�¥@ Q D U H Uåýåýåý�U xMþ �¶w�¥¾�ÿ�� ���� y s5d¦+u�ªy u @ ���� ������z��� p 5 S ÂSs5 S p B öCü# Ý ; H � H V� oCö8D$; ¦�YcB Å�E # EJ>J>J>ME\?¬ª$>¦ÄÅ-�|ÅzÆ,ª

npo�ú%ú�r*ïÉ�q³ÀXÀHsÌ�����¬Ã � ¦�à � 5 � ª Sål ÒNE ¦�YåB Å�E # EJ>J>J>kE\?Fªpw���{�m��:5 Sql ÒNE ¦�Y!BÅ? V Å�EJ>J>J>¥E\? V ? º ª´¡¾�����z�5 S2l Ò ¦�YZB Å�E # EJ>J>J>ME\?¬ª$>É�q³ÀXÀHs �����là � p ¦�à � 5 � ª S p d ¦�à � � � ª S E ¦�Y{BYÅ�E # EJ>J>J>ME\?¬ª´¡�w���{lm|� p 5 S p d � S E ¦�Y¿BÃ? V Å�EJ>J>J>¥E\? V ? º ª´¡�����z� p 5 S p d � S E ¦�Y2B Å�E # EJ>J>J>ME\?¬ª´�É�q³ÀXÀHsÑ� �[æ9Ì����Mu µ �\¶ BÕ¦+u µ �\¶D E�u µ �\¶H EJ>J>J>¥E�u µ �\¶x ª�|�� w��u{��|���h7���� � �°��������� � m|�N����������~,�¯�z{$o�Ê!�¯¢��������xO@ Q D È u @ Â�u µ �\¶@ Ê H d � H >

Ì����háÖ«Â��w¶�u~,�������,w-��m�y��p���zw���� ~,�u�¯��w����®w��u{C�����

� ¦+u%ª@BÏá ' Å¿Â xm@ Q D È u @ Â�u µ �\¶@ Ê H� H ) V o�ögD$;�����z�¦�à � � � ª S B Ý�; H� H >�F�f�uwzy��p«��M�����p�5�zw��Cy�w��|�u�����u��~����z�p 5 S »s5 S p d o¹ö D ; ¦�YcBÏ? V Å�EJ>J>J>¥E\? V ?º�ª

��m|��� ����~��]u µ S ¶ |9q*9NE 5 S m|�'��w-���z�9w���������y-w��|����~��1s52¦+u�ª�~,�½���u�p���zw-���z�¯��¢�~,m|���'~��áq��¹��|�¯~�¡�«��½»�����~����z�iÅ-�ÞÝ�w��u{�Ì��z�±�¶w�Å-�u��¡ áÏB ; H# Ý � H ö�üp ¦�à �+s5 � ª S p B p ¦�à �+s5ÝÂþ5 � ª S p d ¦�à � � � ª S ¦�YZB Å�E # EJ>J>J>ME\?Fªw��u{ p 5 S »s5 S p d � S ¦�YZB ? V Å�EJ>J>J>kE\? V ? º ª�>»��������u��~����z� �³~,�|��~)�°�N«��MÌ��z�±�¶w�Å-� # � ð

� Ï �uv�� �ú�o)úÂþ³þ³suok� �����CÛ�~��°���u�Vvxm���m|�´�u�����'¸���~�«����z�½¡�m��25 z m|��w���w-¢u¢���~z¥�m|�¶w-�¯�p�¯~,������m�~,�M~���¦ÄÅ-�|Å�Å�ª�w���{½m���±w�¥S Q D U H Uåýåýåý U K · p Ô zS p º B Ô z���� ­$¯�¯½¦\©�â{� �4�T®M¦$¤¤�®M­�¬�h©�®�¦4©£J±�¦�¢:­F²¥�åé�§G¦\©��u­$��­4«N©�®M�c²¥�åê �����=�M§��Z��±J¡�¦\©��u­$�M¤�M�=¦4�,©�®M�2£�­n¡M�M²M¦\��±JªJ©�®M�Z¤��=§�­n��²h©�����¢Ñ§G¦4�£��c¢{¦n²¥��©�­:¦4°M°¥��­]¦$§i®�â=�¬��­T¬��©�®�� ø �

Å #

Page 18: Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic

�°������� Ô zS B Â�¦�à � 5 z � ª Sw��u{y5lm|�'�����p��~,�|����m�~,�M~���¦ÄÅ-�|Å�Å�ª´¡����u�z�p 5 zS Âþ5 S p d � HÝ�; H Ô z� ¦�YZBÕÅ�E # EJ>J>J>¥E\?Fª$>¦ÄÅ-� # Ò�ªnpo�ú%ú�r*ï:�F�pÙ���������~��¯�p���uw-� p 5 zS  5 S p BÚÒ ¦�YcBÏ? V Å�EJ>J>J>¥E\? V ?º�ª´�¹��|�¯~�¡um��d�/�p�|��� � z ¦+u%ª@BÏá ' Å: xm@ Q D ¦+u @ Â�u µ �\¶@ ª H� H ) E�����z�

¦�à � � z � ª S B Ý á�; H� H >à � á B � H Ô z�Ý�; H ¡������z�H¦�à � � z � ª S2l p ¦�Ã�� 5 z � ª S p B p ¦�Ã�� 5 z  5 � ª S p >¹��|�¯~ � zS l p 5 zS Âþ5 S p BÚÒ ¦�YcBÏ? V Å�EJ>J>J>¥E\? V ? º ª�����������³~����p���u�����z���u���'�³~,�|��~)�°�N«���Ì��z�¶�¶w�Å-�u��� ð

� Ï �uvf�¹Õ{um|��w�{�y�w�����w-���f~��®¦ÄÅ-�|ÅzÆ,ª®m|�°����w-�°�����T{�����m�y-w-��m�y��z�®~��#s5Fw-���f�u~��®�#��~��®�%¡�m|�C���z������w��ó���°~)�/��y�����¡%�/�f�¶wz��z�¯��m|�±w-�¯�p�����V{����´m�y�w-��m|y��z�N«��½{um·Ñ������z�u� �p²���~���m��z�����'~��Z5��

»����u�N�³~��PoAB # ¡u���p����¢��|w�� � y ü s5y u ü D B yü s5y u ü H B y ü s5y u H D y u HH «���ü�¦+u%ªcB ; Í ü �|¦ ½P¾�� V ½ Í ¾�� ª ¦ ½]¾ ø V ½ Í ¾ ø ª�ÂHÝ � 5d¦+u%ª$>à �eq*9��Åq2E��/���uwzy���«��F¦ÄÅ-�|ÅzÆ,ª p 5 S »s5 S p V� ; H � H# Ý �¶ü; ü B � H �¶ü# Ý

�°������� �¶ühBÕ�¶w�¥¾�ÿ�! Þ �ü,¦+u�ª$>Û�~��®�����V�u��m��'��²���w-�����°m����#"�m|���¯����y�w��|��~,��w¶��m|{u��¡����V�uw�y��; B�" Í D w��u{ � B Å# # >�����z� � H# Ý �¶ü¥; Í H B " H# �"ü# Ý B >�Ò,Ü����$" H Ð �¶üÝ Ò >£#��~�����������w��u{��F�z�|�����´���-Ò � �,m�y�� >�Ò �%" H Ð �¶üÝ Òw��°w��Cw��¯���¶¢u�¯~���m|���z�¯��m��¶w-�¯�p�³~���������������~����& Ô �����Z©�®M�2¤â±k¢�£�­n¯(') ¢:�G¦4�M¤+*â¦4°M°¥��­�ª¥��¢{¦4©���¯�±h¯��=¤�¤©�®�¦4��­$����±J¡M¦$¯ ©�­k� ,

ÅF�

Page 19: Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic

�.-��0/ .21 ^@)3\0 []`43 ^Z( Z +!-�j»����½� ¥�m|�¯�¯�z��� �Cw��u{§�u��m|²��u�z���z���T~��xw?�¯~,�|����m|~,�=~��5¦ÄÅ-�|Å�Å�ª±�uw��¶w��|���zw�{��=«����z�¢u��~)y��z{%� »����u��¡�����~,� ������¯��w��u{u¢Â~,m����5~���¢��u���C�¶w-�����z�±w-��m|����¡'�����9¢u��~�«����z�[�¶m��,���¶«��C� ~,�u��m|{u�����z{ �¯~,�|y��z{%�SÛ���~,� �����C¢u�´w�� ��m|��w��ó¡���u�5����m|��w��u¢Â~,m����¾~���y#m����p¡��u~�����y����z¡�w�� ���uw��|���T�¯~,��y#m|���������®�z²���w-��m�~,�u��m��¾�����°�uw-�´{��z�¯��¢�w-����~��%������¢u��~�«����z�½�

s,�!��ö³o�q�t�õ�ø q�õ)ùµú%ûµü»��u�°�³~����¶w�����~,�|����m�~,�±~��/¦ÄÅ-�|Å�Å�ª/m|�¶�¯�����±��~���{����¯���´�¶m|�uw������/m���~����|m|�¯������¢u��w�� ��m���w���y-w��|����� ¥�� ��¢u�N�³~��/y������

���¶w�����?H��vxm����z� �/�¯~,�|�u��m�~,�¶«��T�z�|m|�¶m|��w-��m�~,�¶�5������~#{u�/�¶m��,����«���¢u��w�� ��m���w��u�³~����|w-�����®w����¯~,�¶w-��m��®� ~,�5¢�����m|����¶w��´�um|���z�'«����'�����p���u�V«����'~��2~�¢�����w-��m�~,�u�N���z²��um|���z{½m|�u� ���zw����z�'y������M��w-¢�m|{����¶�°m����y?��

©®�u�����A� # Ç � ¢���~�¢�~,�¯�z{Fw��5������~#{¬«��9�°��m|���¬~,������w��?���z{u��� �5�����¶�����V«�����~��'�|m|���zw-�x�z²��uw-��m�~,�u�p«��Fw�­w�� �¯~��°�°�um�����m|�N~��2������~��´{�����~��@; Í D ��»°���p��m|�5¢��|m|��m����5~��d���u�p~���m��,m|��w����z²��uw-��m�~,���°m|�'��w�� �´m·Ù�� �z{%��»µ~±w-¢u¢��|������5�5������~#{l~,���fÙ����¯��� ¥#¢u���z���¯�z�x���u�÷5 S E¶¦+uµ S ¶ |lp�9�ª$E%m|�l�¯�����±�x~��������15 S E¶¦+uµ S ¶ |+¦ U Á@ ª65wq*9,ª��®�������¦U Á@ ªNm��N�����V�¯���'~��2¢�~,m|�����¤u µ S ¶ ~��-p�95�������½���uw-�

¦+u µ S ¶ ÂÈ; ú 9�ª�|wq*96>Û�~��®� ¥#w��¶¢�����¡�� ~,�u��m|{����'�����pvxm���m����u������¸���~�«����z�Y�³~��°w5¢��|w����x�����,m�~,�H¦­Û2m��,�u���¶Å-�|Å�ª´�

7 u D

8u�H

Û2m��,�����¶Å-�|Å99999

99999

99999

99999

99999

99999

999

� �° :; � < ô =

�Eã �$� �\� �E° �>: � ;�?� �@< �Eô �A=�*ã �F� �n� �*° �B:� ; �C��C< �*ô �C= °�ã °F� °n� °�°�®�����M¦

U Á@ ª$E5¦��yB Å�ª´¡%� ~,�u��m|�¯����~��������V¢�~,m|�����VÅ-¡,��¡�È�¡ # ¡ÂÝ�w��u{]¦ U Í@ ª'� ~,����m|�¯���®~��¾�����V¢�~,m|�����VÅ-¡,��¡ # ¡�Ý�¡�Æ�°��������¡um|�M���z������w��ó¡d¦U Í@ ª�m|�'�����p������~��2¢Â~,m������¤u µ S ¶ ~��ep�95���u�´�½���uw-�

¦+u µ S ¶ V ; ú @ ª�|wq*9Ý>»����å5 S Ef¦+uµ S ¶ |9p�9,ª'��w��9«Â�V� ¥�¢u���z���¯�z{�m|���¯�����¶�®~��25 S ET¦+uµ S ¶ |�q*9D5?¦ U Á@ ª¯ªN«��M�¶�zw��u��~��¾������{um·Ñ������z�u� ��z²��uw-��m�~,�%��»°���u�z¡#m��½Ûdm|�,�����¶Å-�|Å-¡����V�uw�y��5�E V 5 � V 5 H@F V 5 HAG Â?Ý�5IHhBÚÒN>£�~,��y#m|���T�³~��{5 E ���p�uw�y�� 5 E B+Ý�5 H Âþ5 � Âþ5�H@F�Âþ5IHAGM>à ��J @ m|�/�����p���u��«Â����~���¢�~,m|������~���¦ U Á@ ª$EKJ @ m|�Nw��|�¯~f�����p�����V«�����~���¢�~,m|�����/~��N¦ U Í@ ª´��»������ ~,�u{�m���m�~,�����uw-������'{um·Ñ������z�u� ���z²��uw-��m�~,�5�f�u�¯�d«Â�'��w-��m��ÄÙ��z{Tw-�2�����N¢Â~,m������d~��d¦

U Í@ ª��,m|y��z�LJ @ �z²���w-��m�~,�u�2w��u{MJ @ �u���#��~)�°�u���£�~,��y#m|���T�����z���p�/�p��wzy��å5 S Ef¦+uµ S ¶ |H¦ U Á@ ª¯ª´¡�w���{½���z�u� �Vw��|�*5 S Ef¦+uµ S ¶ |Kp�9�ª´�»��u���5������~#{C{u~��z�®��~��®w-¢u¢��zw-���/�z����w�{uw-¢u�¯�z{9�¯~���w-������w����¯~,�±w-��m|��� ~,�¶¢�����m|�����¶w����um����z����»������ ~,�TÊ¢��|m���w-�¯�z{�z²���w-��m�~,�u�¶w-���9��~��5�zw��¯�=�¯~��¯~,�|y��½�zm��������±{um|���z� �����H~���«��=m��¯����w-��m|y��C�5������~#{u���§À9~�����~�y�����¡������

Å Ý

Page 20: Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic

{����¯�����±m|�uw-��m�~,�M~��d�����V� ~��]����m��z�����°m|�'��w-«Â~��´m�~,�u��¡��z�¯¢��z��m|w��|������~��®�|w-�����!?���à �M¢���w�� ��m|� ��¡u~,������~,�u�|{M~�«���w�m|���������~,�#Ê!��~,�5~����z�u��~,�u�p¢�w-���V~��N�����±�z²��uw-��m�~,���p«��¬w������u�¶m|�u�y5 S BYÒNE�¦+u�µ S ¶ |Ö¦

U Á@ ª¯ª´¡dw���{H{����¯�����±m|�um|���5 S E¶¦+u µ S ¶ |+¦ U Í@ ª¯ª´¡%����~,� �����T«�~,�u�u{�w-���½y�w������z�xw���~,�����p»����z��¡��|���¯��m|���������T«Â~,���u{uw-���½y-w��|���z���z²��uw��dº�����~�¡�����V� ~��]����m��z������~��d�����V�u~,�5~����z����~,�u�°¢�w-���'~��2�������z²��uw-��m�~,�u��w-���V{����¯�����¶m����z{½w����³~,�|��~)�°�¯�

¹®�����u�5�65 S B[Žw-�¶~,���C¢Â~,m����T~��5¦U Á@ ªTw��u{=º�����~�w-�±w��|�N~���������¢Â~,m������T~��5¦ U Á@ ª´� »��u�z���w������u�|w-�¯�p�����Vy�w��|�u�z�N~��25lw-�������p¢�~,m|�����N~���¦ U Í@ ª´���m��,�w���������w�� �m|�=w��|�N��w��|�����|w-��m�~,�u�5m|�Ty������]���z� �z����w-���]«Â�z��w����¯�M~��®������m��u�¯��w-«�m|��m��!�F~��®�������5������~#{%�

»����u��¡�m|�±���u�®� ¥�w��5¢����T¦­Û2m��,�����fÅ-�|Å�ª´¡uw���������~��/~��6NNm|�¶�����®Ù��uw���{����¯�����¶m��uw-��m�~,�¶~���5 H ��~,�u�|{����z��������m|��������³~,�|��~��®m|���T������~����H� 5 E B+ÝONFE 5PF¿BÕÅzÈQNJE 5�G{BSÈ��QNJE 5�RhB # Ò,ÆQNFEà �6" @ m|�'������wzy�����w-���T�����V«�����~��¾m|���¯����y-w��|�'m|�½�����Ou @ {um����z� ��m�~,��¡����u�Vw������u�f�u�|w-�¯�z{�������~��°��~,�u�|{M«��pw-«�~,���N'ÝTS ¿ >»��u~,�¶w��/����� � ���������z�����Vw½�5������~#{¬�³~��p{um����z� ���¯~,�|�u��m�~,�¬�°�um|�´�¬���5w����¯�������pm���w-�V���zw��¯��w�����~�~�{Hw��������~���{um��uw-���½�5������~#{u��~��/m��¯����w-��m�~,�C��~��1oÊB # �®�°~)�/��y����z¡%���u�f�5�����u~�{l{�~��z�®��~���w-¢u¢��zw-�®�¯~�«��V���um|��w-«����p�³~���|w-�����®w����¯~,�¶w-��m|�®� ~,�5¢�����m|�u�p�¶w����um����z��w��u{±m|��� ������w�m|�����5��~���w�����~�~#{±w���»����®£#�u��� �z����m�y���¤�y��������z�|w�¥�w-��m�~,�À9������~�{�~��dà �¯����w-��m�~,��¦¨¿N�uw-¢u�¯���®Ã�Ã�Ã�ª´�

Û�~��N�����xvxm���m|�´�u������¸���~�«����z� w��u{���~��NwV���z� ��w����,�����°m����±� ~,�±�5�z�u�����´w-«����°��m�{��z��¡�w���� ¥#¢��|m|��m|���¯~,�|����m�~,��m|��¯�����¶��~��������'«�~,�u��{uw-����y-w��|���z��m|�2¢�~,����m�«�������»°���u�¾�|���c7«Â�'wx���z� ��w��u�,�u�|w-�������,m|~,�T�°m����5��m|{u�z�.UMD]E@UJHMEJ>J>J>kE@U x�°�������VU @ B�" @ ; ¦�� B Å�E # EJ>J>J>kE�oµª'w��u{M�°�������V" @ ¦��àBÕÅ�E # EJ>J>J>kE�oµª�w-����m|���¯�������´����F�¶w������u�5�T���uw-��~,�Cq2EG5þBÕÒM� ¥�� ��¢u��~,�9u x BWU x �°�������÷5 B;v¦+u D E�u H EJ>J>J>FE�u x Í D ª´�5¤�«�y#m�~,�u�����½��������z������w��/�¯~,�|����m|~,�H��w��?«��¶~�«���w�m|���z{?«��F�|m|���zw-������¢�����¢�~,��m���m�~,�l~����������H��~,�|����m�~,�u�z��Ë���m|���½���u���5������~#{?~���¯��¢�w-�´w-��m�~,�½~��2y�w-�´m|w-«����z�'�³~���¦ÄÅ-�|Å�Ò�ª´¡�w����³~��°������� ~,����m|����~,�u�°��w��¯��¦­�¯���1�,w������¯~,�X�·Å�Ç � ¢�w-���fÆ�È,ª'w��u{��u~���m|������uw-� S ¿ Í DOX ¿ Q D ��m|� ÈZY @\[U @ £ @ ; Ê ��m|� È]Y

z@ [U @ £ @ ; Ê B ^` a " @ % # Y @ B Y z@Ò Y @ eB Y z@ ¦��/B Å�E # EJ>J>J>ME�oµª���p~�«u��w�m|�½«��������p�5������~#{u�'~��¾¸���m|�|�|m�¢���w��u{y�Úm��z�����å� # È � ¢5d¦+u�DFE�uIH�EJ>J>J>FE�u x ªcBB # x Í D"MD@"JH_^`^`^B" x Í D S � Í DOa � Q D ^`^`^

Scb\d � Í DOa bed � Q D þS � Í DOXef � Q D ^`^`^

Sgbed � Í DOX`fb\d � Q D x ÍDh@ Q D ��m|� ÈZY @i[U @ £ @ ; Ê x Í Dh@ Q D ��m|� È]Y @i[U @ u @ Ê ��m��u�kj [ u x��m|�u�kj [ U x �

�°���������m|��� H È j�;# Ê B x Í DO@¥Í D ��m|� H ÈZY @\[U @ ; # Ê >

Ã��uwzy��¶�u���z{9���u�Tw-«�~)y��5��~����f�u�|w����¯~½~�«u��w�m��9�z�|�z�5�z����w-���l�¯~,������m�~,�u��¡¾¦­�¯~,�|�u��m�~,�u���°��������vAB`ÅTw-��~,���¢�~,m|����~��#q*9¬w��u{Òl�z�|�¯���°�������)ª´¡��³~��¶��²���w-���z�f�°m����]Ý�¡��¬w��u{ܬm|���¯����y-w��|�f~,�wF��m|{�����»����M�¯~,�|����m�~,�]�³~��w����±«�~,�u�u{uw-���fy-w��|���z�Nm|�������zw-���|�±wT�|m|���zw-��� ~,�V«�m��uw-��m�~,��~��������z�����¯~,������m�~,�u���¾Û�~���wf���z� ��w��u�,���x�°m����l"MD�r$"JHm|���¯����y-w��|��~,�fw���m|{���¡ # ¦m" D ±Å�ª ¦m" H ±Å�ª ¦m" D V " H  # ª����u�|��m�¢��|m|��w-��m|~,�u��w-�������z²��um����z{%¡�w������u�±m|���°���u���z���z�5�z����w-����­�u�u� ��m�~,�u�'w-���p���u~��°�%�

�®~�����y����z¡u�����x� ~,�5¢��u��w-��m�~,��~����z���z�5�z����w-���¶�­�u�u� ��m�~,�����³~���~����u���������,m�~,�u��m|�/m��±���z�����´w��Â�¶~�����{�mb�����u����¡w��u{l��y��z�¬�³~������z� ��w����,�u�|w-�x�����,m|~,�u��¡%�u�u���z���®�¯��y����´w��2¢u��~�«����z�±�®w-���T�¯~½«��T{�~,���f��~��������T��w��5�T�����,m|~,�%¡%������|w-«�~��'~��¾� ~,�5¢�����m����T�����p�z���z�5�z����w-���M�­�u�u� ��m�~,�u�N��~,�u�|{M~��´{um|�uw-��m����¶��~��'«���L¯���¯��m·Ù��z{%�ut¨ ì�®M��¯�¯���°M¤�¦$��²ony���=�M�¬���n¦�­]�Z©�®M�Z¤�­$¯�¡k©���­n��«¹­$��¦�¡M�k��©§=¡M£��.prq�°F�� í�­$¤�¨]­�­F��©�â´� �B:n�,®M¦$¤�°M¡M£k¯��u¤�®k�G²1©i¦$£k¯u��¤�«b­4�M­$¦4����­n¡k¤����=§�©i¦4�M�$¡M¯u¦4�¿�����n��­n�k¤¤¬®M­n¤��h¤�®M­4��©��=¤â©:¤��u²k�h§=­$�F©i¦4���M¤:¦\©¿¢:­n¤â©}«b­$¡k����J©�����­n¦4¯�¤=�Is����=£M¢{¦4�M�å� �J�=�T®�¦$¤�$�Ï­n�=��©i¦$£k¯��=¤,©�­t::²k��§=��¢{¦$¯�¤,«b­$��¤�±J¡�¦\���Z���=�n��­$�M¤¦¬��©�®r::¦$�M²r�����J©�����­$¦$¯�¤­n�q¦�¤��u²¥�n�

ÅzÈ

Page 21: Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic

Û�~��x�|w-�����´? w��u{C��~��®w5�����,m�~,�C~��d���z�u����w�������w-¢Â�pm|���¯���z�¶�°�¶~����p¢u��w�� ��m���w����¯~¶¢u��~�� ���z{C«��½���u��� �z����m�y��w-¢u¢u��~z¥�m|�¶w-��m�~,�½�5�����u~�{u�z����Vô õ�q�o)s�õ�ö�÷ÂqCøÖq�õ�ù�ú%ûdü

»��u��Ô�~��´�5�z��¡,Ì�m|��«��¶w��u��w��u{f�����°£#�u��� �z����m|y��'¤�y��������z�|w�¥�w-��m�~,�5ÀC�����u~�{u�d~��Â�¯�����¯�z�¶w-��m|�Nm��¯����w-��m�~,�T�uw�y��«����z�C{��z��� ��m�«��z{�m|�C�����VÃÄ���¯��~�{u��� ��m�~,���³~��®���z�u����w��µ�����¯�¯�z�±�°~����|m����zw-�°�z²��uw-��m�~,�u�z�:�F�T���uw��|�%�,m�y��Tw¶�´w-����������z������w���¢u��~�~��2~��d���u�V� ~,��y��������z�u� �T~��d���u�VÔ�~����5�z�®w��u{C̵m���«��¶w����½ÀC������~#{u�°�°�um|�´��m|��{u�u���¯~MØ��zm��´m|��������·Å #M� �'Û���~,� ���um|�'���u��� ~,��y��������z�u� �f~��¾�����f£#�u��� �z����m�y��f¤�y��������z�|w�¥�w-��m�~,�CÀ9������~#{C�³~,�|��~)�°��w����®m|�|��«��V����~)�°�m|�C¿N��w-¢u�¯����Ã�Ã�Ãä¡#�°������������m|�'�5������~#{�m|�'{um������u���¯�z{�� fù�q�ú�o�q³À �*���SØxm�y��z�½�������¯�����¯�z�`~��¾�|m|���zw-�'�z²��uw-��m�~,�u�¦­Ò#�|Å�ª

KmPnQ D R�S�U P 5 P}VÑW S BÚÒ ¦�YcB Å�E # EJ>J>J>kE\?Fª�°�������V¦ R�S�U P ª2m��¾m������z{u����m�«�����w��u{T�°�������'���u�'�z���z�5�z�����¾~���¦ R�S�U P ª2��w-��m|�¯�³��¦­Ò#� # ª´¡#�����z�T�����°���z²����z��� �'~���y��z� �¯~�����,m�y��z�5«��V���u��Ô�~����5�z�¾À9������~#{%¡�¦­Ò#�ßÈ,ª´¡#w��u{T�����'Ì�m���«��¶w��u�TÀC�����u~�{%¡Â¦­Ò#�u�,ª´¡��zw��´�±� ~,��y����������¯~p�����'�¯~,������m�~,�~���¦­Ò#�|Å�ª´�npo�ú%ú�r*ﬦ­w�ªVÛ�~��f������̵m���«��¶w��u�HÀC������~#{%¡2m��¿5 µ¹¸ ¶ m|�p���u�$uMʨ���Hw-¢�¢u��~z¥�m|�¶w-��m|~,�?�¯~A5{�� ÙÂ���z{F«�� ¦­Ò#� Ç�ª´¡�����z�½���u�VuMʨ���½������~��°�³�u��� ��m�~,� ú�µ¹¸ ¶ B�5 µ¹¸ ¶ Âþ5m|�N�,m�y��z�C«�� ^__` __a ú µ½¸ ¶S B  S�Í DOPnQ D R�S�U PR S�U S ú µ½¸ ¶P  KOP$Q S Á D R�S�U PR S�U S ú µ½¸ Í D¬¶P ¦�Y2B Å�E # EJ>J>J>ME\?¬ªú µ �\¶ B�5µ �\¶ Âþ5¦ # �|Å�ªÌ���� ú µ¹¸ ¶� B �¶w�¥S Q D U H Uåýåýåý U K p ú µ¹¸ ¶S p

Û�~���w��|�,Y�¡����V�uw�y��V«��¬¦­Ò#� # ª'¢�w-���V¦­��ª p ú µ D¬¶S p d ú µ �\¶�w��u{½�³~��°�¯~,�¶�!Y�¡u«��¬¦­Ò#� # ª'¢�w-���V¦­��ª p ú µ D¬¶S � p V ú µ �\¶� >É��M�����pm������z{��u��m�«�m|��m��!�T~���¦ R�S�U P ª´¡��/�V��wzy�� p ú µ H\¶S � p V ú µ �\¶�p ú µ H\¶S ø p V ú µ �\¶� ��~��®�¯~,�5�!YiH1eBÏYGDF>p ú µ H\¶S p d ú µ �\¶� ¦�YZB Å�E # EJ>J>J>ME\?Fª$>¿�~,����m|���um|���T���um|�N¢���~�� �z����¡��/���uwzy��VÙ��uw��|��� p ú µ K�¶S p V ú µ �\¶� ¦�YZB Å�E # EJ>J>J>ME\?¬ª$>Ì����¯��m���� Y D B �±w�¥S Q D U H Uåýåýåý U K p ú ¢ µ K�¶S pú µ �\¶� �°������� ú ¢ µ �\¶S B ú µ �\¶� ¦�YZB Å�E # EJ>J>J>ME\?¬ª�E���V�uwzy�� ú µ K�¶� d Y D ú µ �\¶� E ¦ Y DPV×Å�ª$>

ÅF�

Page 22: Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic

£#m|�±m|�|w-����� ú µ½¸ K�¶� d Y ¸D ú µ �\¶�w��u{��u�z�u� � �|m|�¸¿»!¼ ú µ¹¸ ¶� B+Òw��u{ �|m|�¸�»!¼ 5 µ½¸ ¶ BÏ5�>¦³«ÂªNÛu~��°�����pÔ�~��´�5�z��À9������~�{�¡u�����Vw-���,���5�z����m��'¢u��w�� ��m|��w������±��������w��5��� ð

� Ï �uvf� �ú�o)úÂþ³þ³suok� �*����Û�~��f¦ÄÅ-�|Å�Å�ª´¡Â�����VÔp~����5�z��À9������~#{�w��u{½�����p̵m���«��¶w����½ÀC������~#{½�zw��´�9� ~,��y�����������F�����z�¶w-���f���uw-��������̵m���«��¶w��u�TÀ9������~#{±m|�¾� ~,��y��������z�����³~���w����f~���{����´m|���x~������u���z²���w-��m�~,�u��¡�w���{T���uw-������p~��´{�����m|���5�¶w��M«Â���´�uw������z{Cw-�³�¯���°�zw��´�C�¯~���w��µ�¯�¯��¢����·Å #��

¹����/�T���uw��|�µ�¯���5m|�l¿'�uw-¢u�¯���xÃ�Ãä¡�w�������~,�u�,�C�����TÌ�m|��«��¶w��u�9ÀC������~#{¬� ~,��y��������z��� ¥#w�� ���|���!�°m�� �fw��x�­w��¯�w��/�����®Ô�~��´�5�z��À9������~#{%¡������®��w-�¯��~���� ~,��y��������z�u� ��m|�¶�zm��������N��w��¯�®m|��y������¶����~)�p��£#��~������|���fw��u{à�F�z�|�����q���-Ò ��uw�y��Tm����¯��~#{u�u� �z{��!��~M�¶~�{um�Ù���w-��m�~,�u�°�¯~�w���� �z�����´w-�¯�f���u�f� ~,��y��������z�u� �5~��¾�����TÌ�m|��«��¶w��u��À9������~#{l��~��������vxm���m|�´�u�����'¸���~�«����z�Y�³~��PoAB # �¦­w�ª�»°���5Ù������pm|�p�������u�¯�¶~��N�³~��������|w���«��?�5�zw��u�p~��N�°��m|���F���u�¶y�w������z�p~��¿5 µ¹¸ ¶S �³~���w��?�z����m����±«���~#���Fw-���m|�5¢���~�y��z{l��m|�f�u����w�����~,���������®£#²��uw-����«���~#���#�°�°m|����Ý�¡%Ʊw��u{ # ȱ«���~#���#�®w-���T�u�¯�z{���¤���{um��uw-��m|����¡����u�V�,w�m|�lm|�� ~,��y��������z�u� �½��~,�u�|{H�����z� �¯~l«��±~-Ñ%�¯���f«��F������� ¥#�¯��wC��~����?m|��y�~,��y��z{]m|���������u���±~��°�5~������ ~,�5¢���m|��w-�¯�z{�³~��������|w����'�°~)�/��y�����¡%«���w����|m��,���°�5~#{um·Ù���w-��m|~,�½~��¾������{�m·ÑÂ�����z�u� �V�z²��uw-��m�~,�u�°���um|�°� ¥��¯��w���~�����m|�����z{u�u� �z{�¯~�w-«�~,��� # ÒLX �u��m|���¶w±��²��uw-���p«���~#���M�°m����C�um|����¢�~,m|������¡u�°��m|���������p�´w-�¯�V~���� ~,��y��������z�u� �5m|��m|�¶¢u��~�y��z{C«��w5�­w�� �¯~��°~��¾w-«�~,���h���ßÈ��¦³«ÂªV»������¯�z� ~,�u{]�5~�{�m·Ù���w-��m�~,��m|�V���u���u���±~��°w���� ¥��¯�´w-¢Â~,��w-��m�~,�H¢���~�� �z{�������w-�³�¯���5�¯~,�5�Mm��¯����w-��m�~,�����uw�y��«����z�±¢������³~����5�z{��dÃÄ���5~,�¯�N��w��¯�z�N�����x���z²��um����z{����u��«�����~��dm��¯����w-��m�~,�u����w���«��®���z{��u� �z{±«��±w��³w�� �¯~��'~��µ�!��~~���������������©��z� �z�������F£��uw����#�÷� # Æ � �uw���{u��y��z��~�¢��z{lwM�5�����u~�{¬�°��m|���l�¶wz�l¢������¶m���wM���N����m��z��������w��������´w-�¯�� ¥#�¯��w-¢�~,�|w-��m�~,��w-�³�¯���°�³���/���®m��¯����w-��m�~,�u�°w��u{����z�u� �pm��u� ���zw��¯�p���u���,w�m|���¯~,�5���®�uw-����®��y����������z���z�����������­w�� �¯~��°~��2��wzy#m|����¡�� Ñ��z� �¯�z{�«��������z�¯�p�5~#{um·Ù���w-��m|~,�u�N{�~��z�°��~���m|�u� ���zw����pw-¢u¢u���z��m|w-«�����°m����g; Í D �]»��u��£��u��� �z����m�y��C¤�y��������z�|w�¥�w-��m�~,�§À9������~�{{u�z��� ��m�«��z{=m|�§¿N�uw-¢u�¯���5Ã�Ã�ô¡d~,�=�����½~����������uw��u{%¡w�Ñ�~���{u��wM�,w�m|�Fm|�¬� ~,��y��������z�u� �¶�®�um|���¬{�~��z��m|�u� ���zw��¯�T�°m����Ê; Í D w��u{¬�³~��������¶vxm���m|�´�u�����x¸���~�«����z� m|��¢u��~-Ê¢�~�����m�~,�uw����¯~Ý; Í D �tw��v�q#þ�s�Ó�s�õ)ö³ú�ÿ+øÖq�õ)ùµú%ûdü

©°�z�|w�¥#w-��m|~,�§�5������~#{u�5�uw�y���«����z�{��z��� ��m�«��z{]«u��m|�xw��Hm|�]�����½ÃÄ���¯��~�{u��� ��m�~,�%�X�F�C���uw��|���,m�y��C«Â�z�|~�� w¢u��~�~�� ¡�{u�u�°�¯~T»��z�5¢����÷����È � ¡�~������u��� ~,��y��������z�u� ��~������u�®���z��w�¥#w-��m�~,�M�5�����u~�{u�/�°���z��w-¢u¢��|m|�z{¶�¯~Tw������|m|���zw-��¯�#�¯�¯�z� ¦­Ò#�|Å�ª�w������u�±m|���T���uw-��¦ RTS�U P ªNm|�'�¯�#�¶�5���¯�´m|��w��u{½¢�~,��m���m|y��x{u� Ù��um��¯��� fù�q�ú�o�q³À �*��� Û�~��'�����x�¯�����¯�z�Y~����|m|���zw-���z²��uw-��m�~,�u�x¦­Ò#�|Å�ª´¡�m���¦ R S�U P ª�m|�N�¯���±�5���¯��m|�®w��u{�¢Â~,��m���m�y��®{u� Ù��um��¯��¡w��u{=m���w-�T�zw�������¯��¢§w9�|w-�����z�¯�T���z��m|{u��w��®¦­m|�=w-«��¯~,�����¯��y-w��|���)ªVm|�����z�|w�¥#�z{%¡¾�����z�]�����M���z�|w�¥�w-��m�~,�]�5������~#{� ~,��y��������z�°�¯~±�����V�¯~,�|�u��m�~,�M~��N¦­Ò#�|Å�ª´�npo�ú%ú�r*ï�¤�«�y#m�~,�u������¡���m��u� ��¦ RTS�U P ª°m|�°¢�~,��m|��m�y���{�� ÙÂ�um��¯��w��u�um�²������¯~,�|����m�~,�C~��®¦­Ò#�|Å�ª®� ¥�m|�¯������Ì�����5µ D¬¶ «Â�fw��w-¢u¢u��~z¥�m|�¶w-�¯�V�¯~,������m�~,��~���¦­Ò#�|Å�ª'w��u{��|����w¶�|w-�����z�¯�°���z��m|{u��w��2¦­m��½w-«��¯~,�|���¯��y-w��|���)ªN~��������®w-�]u µ S ¶ �Û�~���w����M���/~�y��z� �¯~����h5�EA� |ÒÇIKV¡��/�V{u� Ù������������³~,�|��~)�°m|���5�¯�#�¶�5���¯��m��x«�m|�|m|�u�zw-�/�³~����

y ¦�5�EA�#ª�B KOS�U P$Q D R S�U P 5 S � P >Å�Ç

Page 23: Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic

£#m|��� �5¦ RTS�U P ªNm��N¢Â~,��m���m�y���{�� Ù��um|�¯��¡ y ¦�5�EA�#ª l Ò¶w��u{ y ¦�5�EG5%ª}BÚÒ±m��µw��u{�~,�u����m|��5yBÚÒ#�à �µ���V��~)� ����� z¦�5�ª@B Å# y ¦�5�EG5�ª V KOS Q D W S 5 S�����z� y zy 5 S B

KOPnQ D R�S�U P 5 P�VgW S BÚÒ ¦�YcB Å�E # EJ>J>J>¥E\?Fªw��u{ y H zy 5 S y 5 P B R�S�U P ¦�Y\EifjB Å�E # EJ>J>J>ME\?¬ª$>¹��fm��p���z�|���#��~)�°�%¡¾�¯����¡¾�³~���� ¥�w��5¢�����¡c�Úm|{u{u����¦G���,Ç � ¢�w-���z�½Å�Ò,Æ\{�Å�Å # ª´¡Nm��¿5§��w-��m|�ÄÙ��z�M¦­Ò#�|Å�ª´¡������z��¡���m|�u� �¦ RTS�U P ªNm|�°¢Â~,��m���m�y��p{�� Ù���m��¯��¡ z w��������5�z�°w±���z�|w-��m�y��f�¶m|�um|�f�u�½¡#�°��m|���½����{u�z��~��¯�V«��

z ���NÃ��2�������u~�~,�¯�Tw�����×~�������~���~,�uw���«�w���m|�N~��@Ç K «��Mw���~�������~���~,�uw��%�¯��w����¯��~��´�¶w-��m�~,�H¦G��� � ¢�w-��� # Ý�Ç�ª´¡����V�uw�y��

y ¦�5�EG5%ª}B KOS Q D ñ S 5 ¢S H ¦�ñ S < Ò�ª�°�������q5�¢S EG5�¢H EJ>J>J>kEG5�¢K w-���p�����p� ~�~���{um|��w-�¯�z�'~��Z5C�����³�������z{½�¯~±�����p�����׫�w���m|���¾Ã ��m|�������zw-������w-�°w��KOS Q D 5 S H«��z� ~,�5�z��y������C�|w-������¡

z¦�5%ª�m|��w��|�¯~�y������C��w-���������®�z�u� ��¡ z ��m|��w�� ë�ê�òäç�è!éwö!âåô¶ï|ãuï�ôMé�ô �³~��

z¦�5%ª'�³~���w��|�5A|�Ç Kp��F�f�uwzy��z

¦�5 µ D¬¶ V}| ú S ª B Å# y ¦�5 µ D¬¶ V~| ú S EG5 µ D¬¶ V�| ú S ª V KOP$Q D WkP � 5 µ D¬¶P V~| ú S �B Å# y ¦�5 µ D¬¶ EG5 µ D¬¶ ª V}| y ¦�5 µ D¬¶ E ú S ª V Å# | H y ¦ ú S E ú S ª V KOPnQ D WkP � 5 µ D¬¶P V~| ú S �z¦�5 µ D¬¶ V}| ú S ª B z

¦�5 µ D¬¶ ª V~| Æ y ¦�5 µ D¬¶ E ú S ª V KOPnQ D WkP Ë V Å# | H y ¦ ú S E ú S ª�>»��um��N� ¥�¢u���z����m�~,�½m|�'�±m|�um|�¶m|º��z{�«��M�¯���¯��m|���

| B  y ¦�5 µ D¬¶ E ú S ª VÑW Sy ¦ ú S E ú S ª B Â Æ KmP$Q D RTS�U P 5 µ D¬¶P VXW S ËRTS�U S >à ��¡uw��®m|�?¦­Ò#�ßÆ,ª´¡����p~�«u��w�m|��5 µ H\¶ �³��~,� 5 µ D¬¶ «������z�|w�¥#m����5���������z��m�{u�uw���w-�]u µ S ¶ ¡u���V�uw�y��^_____` _____a 5 µ H\¶S BÏ5 µ D¬¶S V Í Æ KOPnQ D�R�S�U P 5 µ D¬¶P VgW S ËRTS�U S5 µ H\¶P BÏ5 µ D¬¶P ¦�YheBgf�ª

ÅzÜ

Page 24: Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic

w��u{ z µ H\¶ B z ¦�5 µ H\¶ ª@B z ¦�5 µ D¬¶ ª2 ¦�Ô µ D¬¶S ª HR S�U S >à �¾���um|��¢���~�� �z���®m|�°����¢��zw-�¯�z{C���f������w�{��z� ���zw���m������¯�z²����z�u� �f~��¾y-w��|���z�®~��

z µ¹¸ ¶ �°�um����Cw-¢�¢u��~,w����¬w��|m|�¶m����m|��� �

z µ½¸ ¶ m|�V«Â~,���u{��z{¬«��z��~�� «��z � �C£#m|��� � R SbS < Ò ¦�YqB Å�E # EJ>J>J>ME\?¬ª±¦³«Â�z��w����¯�l¦ R S�U P ªxm|�V¢�~,��m���m�y��{�� Ù���m��¯�)ª´¡������p�|w-�����z�������z��m|{��uw��Â~��25�µ½¸ ¶ w-¢u¢���~,w������z�°º�����~�à����z��� ����~���w��|��YZB Å�E # EJ>J>J>ME\?

�|m|�¸¿»!¼ ·MÔ µ½¸ ¶S º B+ÒN>�®~��Ö����� R S�U P «Â�����u�p� ~��³w�� �¯~��x~�� R S�U P m��M�����p{����¯�����¶m��uw����'~���¦ R S�U P ª´�@�F����wzy��5 S B KOPnQ D  R S�U P WMP ¦�YZBÖÅ�E # EJ>J>J>ME\?Fª5 µ¹¸ ¶S B KOPnQ D  R S�U P ¦ WMP�V Ô µ¹¸ ¶P ª ¦�YZBÕÅ�E # EJ>J>J>¥E\?Fª�>

»�����������~�����¡��³~��hYZB Å�E # EJ>J>J>kE\?�¡�|m|�¸¿»!¼ 5 µ¹¸ ¶S B �|m|�¸�»!¼ KOP$Q D  R S�U P ¦ WkP¿V Ô µ½¸ ¶P ªcB  KOPnQ D  R S�U P WkP B�5 S > ð

� Ï �uvf� fù�q�ú�o�q³À �*��æ Ã���¦ RTS�U P ª¾m|�/w�� ?År÷? �±w-�¯��m·¥¶��w-��m|�¯�³�#m|����¦­Ò#� # ª/w��u{l¦­Ò#�u�,ª����u�z�9¦ RTS�U P ª¾m|��¢�~,��m���m�y��°{u� Ù��um��¯���npo�ú%ú�r*ï'Ã��°m��N�/�z�|������~)�°�M���uw-�°m|�N¦ RTS�U P ªNm|�'�¯�#�¶�5���¯�´m|�-¡������z�H¦ RTS�U P ªNm|�N¢�~,��m|��m�y���{�� Ù��um��¯�pm|�µw��u{½~,������m��KOPnQ D R�S�U P 5 ¢P B ñ�5 ¢S ¦�ñ d Ò�ª ¦�YZB Å�E # EJ>J>J>ME\?Fªm|�5¢��|m��z�Z5 S ¢{BÚÒNE ¦�YZB Å�E # EJ>J>J>ME\?¬ª¤���¯������~���m|�u�¯��w���� �÷��� � ¢�w-���z� # Ý�ÈVw��u{Ý�-Ò,È���»����u��¡�����¢u¢�~,�¯���³~��N�¯~,�5�ñ d Ò KOP$Q D RTS�U P 5 ¢ P B ñw5 ¢ S ¦�Y2B Å�E # EJ>J>J>ME\?¬ª$>»����z�

¦ R SbS ÂXñª¬5 ¢S V KOPnQ DP�oQ S R S�U P 5 ¢P BÚÒ ¦�YcB Å�E # EJ>J>J>ME\?¬ªw��u{½«��F¦­Ò#� # ª

¦ R SbS ÂXñª l KOP$Q DP�oQ S p R S�U P p ¦�Y2B Å�E # EJ>J>J>ME\?¬ªw��u{½�³~��°�¯~,�¶�!Y

¦ RTSbS ÂÑñ�ª�< KOPnQ DPMoQ S p RTS�U P p >ÅzÆ

Page 25: Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic

É��f»°����~����z�`Å-� # ¡���m��u� � R�S�U P Âàñ�"p��w-��m|�ÄÙ��z��¦­Ò#� # ª´¡������'{����¯�����¶m��uw����2~��¾¦ R�S�U P Âàñ�"#ª´¡�¦³�°�������t"�m|�d�����'m|{��z����m��!��¶w-�¯��m�¥uª´¡u{�~��z����~��°y�w��um����%�¾»����������³~���� 5 ¢S BÚÒ ¦�YZBÖÅ�E # EJ>J>J>ME\?¬ª$> ð� Ï �uvf� �ú�o)úÂþ³þ³suok���,���fÃ��d¦ R S�U P ª���w-��m|�¯Ù��z�'¦­Ò#� # ªdw��u{½¦­Ò#�u�,ªµ�����z�T���������z�|w�¥�w-��m�~,�T�5������~#{f� ~,��y��������z���¯~����u���¯~,������m�~,�~���¦­Ò#�|Å�ª'm�� ¡�w-���zw����l�¯�¯��¢Cw±�|w-�����z�¯�����z��m|{u�uw���m|�N���z�|w�¥��z{��

É��5�����°�¶������~�{±~��%»�����~����z� # �|Å-¡�m��/m|�������zw-�/���uw-�������®���z�|w�¥�w-��m�~,�±�¶������~�{±� ~,��y��������z�Nm��¾¦ RTS�U P ª2��w-��m|�¯Ù��z�¦­Ò#� # ª'm|�µ���������z��m|{u�uw�����w-���p���z�|w�¥#�z{�m|�½w����M~���{���������«wLÄ�z� ���¯~±��������~,����~��°m����T���z�¯�¯��m|� ��m|~,�2�»��u������� ¥#m��¯����wTÙu¥#�z{����u��«Â���Pö ���u�´�½���uw-���³~��®w����*Y/w��u{�ui���u�����z��m|{u��w��%w-�]u µ S ¶ m|�'���z��w�¥��z{�w-�®���zw��¯�~,�u� ��¡u~,�9w���m��¯����w-��m|~,��w-���¯���®������uMʨ���Cw���{M«Â���³~�����������¦�u V öÖª!ʨ������F�H��wzy��?w������zw�{u� ~�«��¯����y��z{Ú���uw-�½���z�|w�¥�w-��m�~,�S�5������~#{u�Mw-���?��~��M���z�|�����um|�¯�z{a�³~����|w-�����Fw����¯~,�±w-��m|�

� ~,�5¢��u��m|���±�¶w��´�um|���z�z�°�°~)�/��y�����¡�w��C�z���z� �¯�´m|�V� ~,�5¢�����m|����«Â~,w-�´{C{���y��z��~�¢��z{9w-�®�����÷�?w-�¯�����¯~)�°�F¹°�´�¯�z�uw��Ì�w-«�~���w-�¯~����Ê�ÞÈ � ¡�w�ÑÂ~��´{u�°w¶� ~,��y��z�um��z���®�¶������~�{�~��d���z�|w�¥#m����5���z��m|{��uw��|����~��®�����Vvxm���m����u�����'¸���~�«����z�`�®m�����w¢��|w��u�p�����,m�~,�C7:95�°�um����C��w��9«��Vm|�u��� ��m�«��z{½m|��w���²��uw-���p�����,m|~,���°m���� # Å�m����¯����y-w��|�'~,�lw±��m|{����'¹Õ�¶w�����m|�����w-¢�w-«��|��~��d«��zm|�u�T���¯�z{M�°m����½�|w-�������������,m�~,�u�°� ~,�u�|{½«��x«��um|�|���

À9~,�u���¯�z{ ~,�+wH�|w-�����C«�~,w-��{§m|��wH��²��uw-���9�|w-�¯��m|� �C~����z�|�z� �¯��m|���¯���´�¶m|�uw��|�z¡/�zw��´�+� ~������z�¯¢�~,�u{um|�u�l�¯~=w�����M¢�~,m|����� Ï w����×�u����¢�~,m|����m���� ~,�����z� �¯�z{Ú�¯~�����l��~,���½w�{ML�w�� �z���½¢Â~,m�������«��Ùu¥#�z{a���z��m|�¯��w��u� �z�z� »�����¯�����¶m��uw��|�±� ~������z�¯¢�~,�u{um|�u�?�¯~=¢Â~,m�������~��!v9]w-���9����~,�u�u{��z{%� »����9���z��m|{��uw��|�¶~��V�����9�¯�´m|w��®��~,�|����m�~,� 5µ �\¶w-���T� ~,�5¢����¯�z{¬w��u{l���������z������¡�¢u��~�¢Â~�����m�~,�uw����¯~������z�¯�T���z��m|{u�uw��|�°w-���5m|���¯��~�{u��� �z{Cm|���¯~����u�f� ~������z�¯¢�~,�u{um|����¯�����¶m��uw��|���2»�����y�~,�|��w-���z��¡#�°�um|�´�¶w-���������z���5�zw��������z{%¡�w-����w-¢u¢u��~�¥#m��¶w-�¯�z���f�¯~��°m|���um|�f�����®w������u��w�� �5~��%������z���z� �¯��m��°�5�zw����u��m|���p{���y#m|� �z��¡�¢u��~�¢�~�����m�~,��w����¯~V������� ~������z� ��m�~,�����¯~�«Â�®w�{u{��z{¶�¯~������h5 µ �\¶S �2»°���°���z��m|{u�uw��|�2~��5 µ D¬¶ ¡�������Ù��´�¯��m��5¢u��~)y��z{½w-¢u¢u��~�¥#m|�±w-��m�~,�±�����u�N~�«u��w�m����z{%¡�w-���x�����z�½� ~,�5¢��u�¯�z{½w��u{������x¢u��~#� �z���N����¢��zw-�¯�z{m��d���z� �z����w-������¹®���M{��z��m����z{½w������u��w�� ���¶wz�M«��x~�«u��w�m|���z{��

»��u��~,���,�9�����f� ~,�u���¯�z�¯�C~��������´�?w-�¯�����¯~��°��¹°�����z�uw��µÌµw-«�~���w-�¯~�����¡%Ã��Nw��xw-«����f�¯~M���¯�V�����5� ~,�5¢�����m|���«�~,w-��{l�¯~��¯~,��y��¶�¯��y����´w��¾¢u��~�«��|�z�¶�°�zw��´�Hm|��y�~,��y#m|����w-«Â~,�u�TÅzÈ-ÒC�����x¢Â~,m���������ð�³~,�u�u{l���uw-�������5�¶w�¥�m|�f�u����z��m�{u�uw�����w��'���z{u�u� �z{M«���wT�­w�� �¯~���~��µ�³��~,� Å�ÒT�¯~±È-Ò#� Ï w�����m|�¯����w-��m�~,�M���z²��um����z{Mw-«�~,���{�T��~,���´��¡#�°m���������������zw-�¯�z�¯�®¢�w-���N~��d��������m|�5�x«��zm|���5{���y�~��¯�z{½�¯~�� ~,�5¢�����m|�u�f���u�����z��m|{u�uw����x¦³«��Mw5{��z�¯���±w����um|�u�)ª´¡uw�{ML¯���¯��m|������������������z�����'w��u{����zw�{�m|���f�����xy�~,����w-���z���/¹��M� ¥#¢Â���´m��z�u� �z{�~�¢�����w-�¯~�����w��M¢�������~��´�Lw-«�~,��������������� ~,�5¢������¯�m��¯����w-��m|~,�u�'�°m����½w # Ò/r # Ò5�����,m|~,��m|�M�!��~±�zm|�,���ÄÊ!��~,�u�°{uwz�#���

# Ò

Page 26: Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic

YÅZ[]\ (R^@) &*&� [ (R^ájÃ+Pk Y +�'��,^@)L�,^}'10e^Å+,k�( Z ^��Ö+�)�1Ñ^áj 3 ^Z( Z +å-[ '1- +Pk�( Z ^��A3�^��21 [ 'j' 3 ^Z( Z +!-

£#��~����������¶w��u{ �F�z�|�����!���-Ò � m|��y��z����m��,w-�¯�z{M��������w-¢�m|{um|�!�5~���� ~,��y��������z�u� ��~���Î�Ðu¡#�������¯��w��u����~����±w-��m�~,��{u� Ù����z{«��l���u��Ì�m|��«��¶w��u�?À9������~#{%¡2�¯���l¦­Ò#� Ç�ª´¡��³~��V���u����w��¯��~��'������vxm���m����u�����p¸���~�«����z����»��u���¬� ~,����m|{������z{H������zm����z��y�w������z��~��¿Î Ð w���{?{�����m�y��z{Fw������5¢��¯~���m|�T�z�¯��m|�¶w-�¯�z�V��~������u�z�½¡��³~��p���¶w��|�@;��5à �¬����m|�����uw-¢��¯���z¡�Ã��°m|�|�{�����m|y��Tw��¬� ¥�w�� �p���z��w-��m�~,�%¡%�³~��p� ������w�m|�þË2¡�«������/���z�F���u�f�zm|���z��y-w��|���z�pw���{¬�zm����z��y��z� �¯~��´�p~��¿Î�Ð�w���{9���u~,�¯�~��cÄT¡������V�¯��w��u�¯�³~����¶w-��m�~,�C{�� Ù����z{½«��M�����VÔ�~��´�5�z��À9������~�{�¡��¯����¦­Ò#�ßÈ,ª´�'»��u�Vw��uw����#��m|�N~��cÄPm��'���z�|w-��m�y��z�|��zw��¯��¡�w��u{¬�u��m|���±���u�z�¯�����z�|w-��m�~,�u�xw��l� ¥#w�� ��w��uw��|����m��®m|���¶w�{��T~��}Î�Ðu��Û���~,� ����m|�xw��uw����#��m|��¡��z�¯��m|�¶w-�¯�z�x�³~�������V���u��«����'~��dm��¯���´w-��m�~,�u�'���z²��um����z{M�¯~¶~�«u��w�m|�½w¶��¢Â�z��m�Ù��z{½w���������w�� �½w-���V{u����m�y��z{%�

�_�#� m Z ^�� [ (R^Å+,k Y +�'M�,^@)L�,^}'10e^Å+,k [ �A3$'^ [ )ÉmÒ) [ 'j�kF+�)�1 [ (,3\+�'�F�±����w��|�¾� ~,�u��m|{u���xÙ����¯�������5�´w-�¯�¶~���� ~,��y��������z�u� ��~��Nw��|m|���zw-���¯�´w��u�¯�³~����¶w-��m�~,�CêP~��'w��þ? {um|�¶�z�u��m�~,�uw��� ~,�5¢��|� ¥?y��z� �¯~��T��¢�w�� ��¡�Ç Kp¡2~,���¯~¬m����¯�z��� �MÃ��P�8B ¦��TDFE*��HMEJ>J>J>¥E*��K®ªpm|�Vw����Fy��z� �¯~��5~���ÇIK�¡2�/�M{�� Ù��u�¶�����ÿµú�o�ÀB~��e�l«�� ù � ù B û KOS Q D p � S p H ü

D¬ý=H >¦����|Å�ª¹��|�¯~�¡��°m����M���u�Vm|�u�����'¢���~�{��u� �

¦���EEv#ª}B KOS Q D � S sv S¦���� # ªÇ K m|�'w Ï �u���|m�{��zw���y��z� �¯~����¯¢�w�� ����½qT�2ÿdö�õ)ö³ú�ÿ�æ,���8êÖm|��w5t,úÂÿÂ÷�q�ok��q�ÿÂõf�¯��w��u�¯�³~����¶w-��m|~,��m����³~��°w��|�¦�C|�Ç K��m|�¸�»!¼ ù ê ¸ ¦���ª ù BÚÒ�½qT�2ÿdö�õ)ö³ú�ÿ�æ,���×»°���po)suõ�qCú�r°t,úÂÿÂ÷�q�ok��q�ÿµt,q½~��2w¶� ~,��y��������z�����¯��w��u����~����±w-��m�~,�%¡NêV¡um|�� ¦�êxª@B Â9��~����x¦�êxª¦����u�,ª

�°������� ��¦�êxª@B ��m|�¸�»!¼ Õ× �|�u«� ÿQ�e�¸ �A� ¸~� �� ù ê ¸ � ¦���ª ùù � ù ØÙ >¦����ÞÝ�ª

¹�����������w��|���¯���f�|w-�¯���z¡����u�V�����V«�����~��¾��m|�¶�z�:êÖ�f�u�¯�°«Â�pw-¢�¢��|m��z{½�¯~�w5y��z� �¯~��W�¬�¯~±���z{u�u� � ù � ù �¯~Mw�¯¢��z��m·Ù��z{M�³��w�� ��m�~,��~��dm������z���dm���¡�w-¢u¢u��~�¥#m|�±w-�¯�z����¡�m|��y������¯�z����¢u��~�¢�~�����m�~,��w����¯~±�����p��w-�¯�p~��¾� ~,��y��������z�u� ���

à �dm������z�|������~)�°�%¡��¯������~��d� ¥�w��5¢����NÀ9w���vx�#Ñ����å� #�#M� ¡�¿N�uw-¢��¯���2Þ�Ã�Ãä¡����uw-��ê§�uw���ö {um|�¯��m��u� ���zm����z��y�w������z�ñ,D]E$ñ H�EJ>J>J>¥E$ñ�� �°m����½�f�u����m|¢��|m|��m���m|�z���*DFEB� H�EJ>J>J>¥EB��� �°��������O S Q D � S BÏ? ># Å

Page 27: Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic

�½qT�2ÿdö�õ)ö³ú�ÿ�æ,��æ ñ,D°m|�N������ûµú�À�ö­ÿµs�ÿÂõ¶q�ö���q�ÿÂ÷�s�þ q�~���êÖm|�p ñ D p l p ñ p�°�������´ñ�m|�°w������zm����z��y�w��|�u�p~���ê���F�M���uw��|������~�� «��z��~�� ���uw-� p ñ,D p B���¦�ê�ª´��»���� �,~���{uw��H�u~����¶w����¶w-�¯�´m·¥F��~���� m|��¡d����m��¯�¯�z�Hm|�F«���~#����³~����½¡�¦G� #�#�� ¢�w-���z� # ���¶w���{ # ÝuÅ�ª �

�������wD Ò Ò > > > ÒÒ ��H Ò > > > ÒÒ Ò � � > > > Ò> > > > > > >Ò Ò Ò > > >���� �

�B������¦����ßÈ,ª�°�������OögD l ö w��u{ � S ¦�YcB Å�E # EJ>J>J>kE*ö8DäªNm|�'w±��²���w-���å��~���{�w����¶w-�¯��m·¥�~��2�����p�³~�����

������ñ S Ò Ò > > >�ÒÅ ñ S Ò > > >�ÒÒ Å ñ S > > >�Ò> > > > > > >Ò Ò Ò > > > ñ S

� ������ >¦����u�,ª�®������¡���~��Tw��|��������ñ S �����z{]«Â��{um|�¯��m|��� ���CÌ����f���������u��«����V~�����~)�°�Tw��u{H� ~,���u�¶�u��~��'�����M�¶w-�¯��m·¥¡� S «��Y S E ¦�YZB Å�E # EJ>J>J>ME*ö8D䪴�

¹����¯~#��m|w-�¯�z{��®m����M�����p��~����±w����¶w-�¯��m·¥���~��´� ¦����ßÈ,ª'm|�°w5«�w���m|�·e� S�U @ º { YcB Å�E # EJ>J>J>ME*ögD�àB Å�E # EJ>J>J>ME Y S ~�°m����½w����¯~���m�w-�¯�z{��zm����z��y�w������´ñ S ��F�f��w�����~����¶w���m�º��������1·e� S�U @ º ��~¶���uw-�ù � S�U @ ù B Å { YZBÕÅ�E # EJ>J>J>kE*ö8D�àB Å�E # EJ>J>J>ME Y S ~ >¦���� Ç�ªÛ�~���w����K�Ò|CÇ K ���V�uw�y�� ��B � �O S Q D a ÖO@ Q D á S�U @ � S�U @¦����ßÜ,ªw��u{ ê ¸ ¦�� S�U @ ª@B @kÍ DO¢ Q � ¸ � ¢ ñ ¸ Í ¢S � S�U @kÍ ¢ { Y2B Å�E # EJ>J>J>ME*ögD�/B Å�E # EJ>J>J>ME Y S ~¦����ßÆ,ª�°������� ¸ � ¢ B uFÓ£ Ó�¦�u  £ ª´Ó >

É��?�u��m�����¦����ßÜ,ªVw��u{a¦����ßÆ,ª´¡�v����z��{��z�?¢u��~�y��z{]���uw-��m|� p ñ,D p V Å-¡ZêYm|�Vw9� ~,��y��������z���T�¯��w��u����~����±w-��m�~,�%�»������³~,�|��~)�°m|���T������~����z� m|�N~�«���w�m|���z{�m|�Cw¶��m|�¶m��|w-�N��w����/à �°�u�u{u~,��«u�¯�z{u�����uw���w-¢u¢��zw-���z{�m��½�����V�|m|�¯����w-�������w�������~,�u�,�½Ã���wzy��V«����z�½�u��w-«����x�¯~5Ù��u{½m|���

#�#

Page 28: Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic

fù�q�ú�o�q³À æ,���aÃ���ê m|�'w¶� ~,��y��������z���®�¯�´w��u�¯�³~����¶w-��m�~,��w���{½m��cñ,D�m|�'�����p{u~,�¶m|�uw����'�zm����z��y�w��|�u��~���ê �����z��x¦�êxª@B p ñ,D p >¦����|Å�Ò�ªnpo�ú%ú�r*ï'Ã��d�/������� u ¸ B ����«� ÿ�� �¸ �A� ¸}� �

� ù ê ¸ � ¦���ª ùù � ù�����½�¯�z²����z�u� �C·Hu ¸ º m��f�¶~,��~��¯~,���½{��z� ���zw���m�����¡�w��u{=m|��«�~,�u�u{��z{H«Â�z�|~��Y«��Hº�����~��H»�����������~�����¡Õ�|m��¸�»!¼ u ¸� ¥�m|�¯�����

É��M�����p��~,�5~����z�u�zm��!�½~���êV¡u���p��w��Cw������u�5� ù � ù B Å-�/É/�F¦����ßÜ,ª°w��u{?¦����ßÆ,ªN���V�uw�y��ê ¸ � ¦���ªcB � �O S Q D a ÖO@ Q D @kÍ DO¢ Q � á S�U @ ¸ � � ¢ ñ ¸ � Í ¢S � S�U @ >¦����|Å�Å�ªÉN��� £ d ?Hà����z�u� ��¡ ¸ � � ¢ d u ¢ D d u K >É��¶�������|m|���zw-��m|�u{���¢��z�u{u�z�u� �'~��%�����D� S�U @ ¡�������� ~��]����m��z�����¿á S�U @ ~���¦����ßÜ,ª�w-���®«�~,�u�u{u�z{5��~��Nw��|� ù � ù B Å-�Ì�����áÏBÚ�±w�¥S�U @ p á S�U @ p >��F�f�uwzy�� ù ê ¸ � ¦���ª ù d ?Cá¤u K D p ñ,D p ¸ � Í Kw��u{ u ¸ d �|��«¸ �A� ¸ ' Á ?Òá¥u K D p ñ D p ¸ � Í K  D¬ý ¸ � )u ¸ d �|��«¸ �@� ¸ Æ ¦â?Cá�ª D¬ý ¸ � u K�ý ¸ �D p ñ D p D Í K�ý ¸ � Ë >ÉN�����³~��°w��|�Pu D < ú E u K�ý ¸ �D m|�'w¶{��z� ���zw���m|���5�­�u�u� ��m�~,�M~��_u D ���®�z�u� � tu ¸ d ¦â?Cá�ª D¬ý ¸ u K�ý ¸ p ñ,D p D Í K�ý ¸ >»�����������~�����¡ �x¦�êxª@B �|m|�¸¿»!¼ u ¸ d p ñ,D p >¤x��������~��������'�uw��u{%¡�m�� êf¦���ªcB ñ D ��E u ¸ B p ñ D p �³~��Nw�����uÊ>#»����������³~����r��¦�êxª l p ñ D p w��u{������®���u��~����z��³~,�|��~��®��� ð

� Ï �uvf� �ú�o)úÂþ³þ³suok�çæ,��� � ¦�êxª@BÃÂC��~�� p ñ,D p >¦����|Å # ª �ú�o)úÂþ³þ³suok� æ,��� êam|��wp� ~,��y��������z�����¯��w��u�¯�³~����¶w-��m|~,�±m��Âw��u{5~,�u���Tm���w��|���zm����z��y-w��|���z�¾~���ê+w-���°���¶w��|�|���¾���uw��~,���Vm��½w-«��¯~,�|���¯��y-w��|����� fù�q�ú�o�q³À æ,��� É/�½��m��¶m|�|w-�N�5������~#{u�'���V��w���¢���~�y����¦�êxª@B ��m|�¸�»!¼ � ¦ ù ê ¸ ù¦����|ÅF�,ª�°������� ù ê ¸ ù B �|�u«� ÿQ�e� ù ê ¸ ¦���ª ùù � ù >¦����|Å Ý�ª� n÷���k­$©��@©�®�¦4©+§ ¨ � § ' ��¤����M§���©þ��¤Z§=­$�&­n�����n�=�J©G�áæk­$�c��«�ªå�u¤2§¬®k­n¤��=�å¤�­�©�®M¦4©6©�׫ª�Ù�q¬¨ � ªå©�®M���®­c© � ׫ª�Ù?­Kq¡§ ¨ � § � ­>ªZ­¦$�M²P¬�­n¡M¯u²��k­$©�¦$°k°k��­n¦$§i®�â=����­¿¡k�M¯��=¤�¤�§ ¨ � § ' �C¯ # �

Page 29: Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic

�F����~)�`� ~,�u��m|{����T�����½���u��«Â���f~��°m��¯���´w-��m�~,�u�T���z� �z����w-���H�¯~F���z{u��� � ù � ù �¯~Fw¬�¯¢��z��m·Ù��z{�����w�� ��m|~,��~��m����¯�z�|����½qT�2ÿdö�õ)ö³ú�ÿ�æ,� à ��ê m|��w5� ~,��y��������z���®�¯��w����¯��~��´�¶w-��m�~,�½~,�ÒÇ KJ � ¦�êhEA°IE$Ç Kxª{��z��~��¯�z�°�����p���¶w������z�¯�����u�V«����+ui�������½���uw-�ù ê ¸ ¦���ª ù d ° ù � ù E ¦­Ò>V¡°dV×Å�ª$>�½qT�2ÿdö�õ)ö³ú�ÿ�æ,�«± JÖ¦�êhEA°IE$Ç Kxª@B �|��«� ÿ��e� J � ¦�êhEA°IE$Ç Kxª�>¦����|ÅzÈ,ª�Ú���z����~�� ~,���³����m�~,�M�°m|����w-��m��¯���/���¶wz�½{���~�¢½���u�p���um���{Mw-���,���5�z���°��~���J ¦�êhEA°IE$Ç K�ª´� fù�q�ú�o�q³À æ,��æ

�|m|�²$» � û J ¦�êhEA°#ªA³ ÂC�|~���°ÂC��~�� p ñ,D p ü B Åj>¦����|ÅF�,ªnpo�ú%ú�r*ï�Û�~��®w��|��°±���V�uwzy�� J�´ � ¦�êhEA°#ª@B ÂC�|~��K°ÂC��~�� p ñ D p�°��������êf¦��³D�ª}B ñ*Do�³D����®�z�u� � JÖ¦�êhEA°�ª l ÂC��~��K°ÂC�|~�� p ñ D p >

»��u�����z²���m����z�5�z���'���uw-� ù � ù «������z{u��� �z{M�¯~�wT�³��w�� ��m�~,�#°�~��dm|���¯�z���µm��'�z²���m�y�w��|�z���'�¯~¶���z²��um|��m|���f���uw-�ù ê ¸ ù B ����«� ÿQ�e� ù ê ¸ ¦���ª ùù � ù B�°Ò>¤�«�y�m|~,�u�����±w��D°ú ÒNEDu ú¶µ+�

É��½»�����~����z� ��� # ¡ p ñ,D p V N�¦�u9ª}B � ¦ ù ê ¸ ù�°��������|m|�¸¿»!¼ N�¦�u9ªcBSÒy>»��u�p� ~,�u{um���m�~,� ù ê ¸ ù B�°����z²��um����z�N���uw-�� p ñ,D p V N�¦�u9ª � ¸ B ù ê ¸ ù B�°

~�� u B ÂC��~��K°ÂC��~��I� p ñ D p V N�¦�u9ª �uÂC�|~��K°ÂC��~�� p ñ D p B ÂC��~�� p ñ,D pÂC�|~��I� p ñ*D p V N�¦�u9ª � >É��M�����p� ~,����m|����m��!�M~��d�����V��~��,w-��m|���u�¶m|���­�u�u� ��m�~,�M�³~�� p ñ,D p <§Ò

�|m|�²$» � uÂC��~���°Â9��~�� p ñ D p B Åj> ð� Ï �uvf�

# Ý

Page 30: Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic

�¸·�� m Z ^��Ö+�)�1Ñ^áj 3 ^Z( Z +å-»�����m|�5¢u��~)y��z�5�z���°�³~��������|w5�³~��°�����fÔ�~����5�z�®ÀC������~#{9~���m��¯����w-��m�~,�9m|���,m�y��z�C«��H¦­Ò#�ßÈ,ª´�®Ë®��m����9¦ÄÅ-�|Å Ý�ª®w��u{¦ÄÅ-�|ÅzÈ,ª´¡Â�/�V��wzy�� 5 µ½¸¿Á D¬¶S B KOPnQ D � S�U P 5 µ¹¸ ¶P VÑÆ S ¦�YZB Å�E # EJ>J>J>ME\?¬ª¦³Ý��|Å�ª~��¦³Ý��|Å�w�ª 5�µ½¸¿Á D¬¶ B�Ä/� 5�µ½¸ ¶ � VÑÆ�°������� Æ {��z��~��¯�z�������xy��z� �¯~���¦ Æ DFE Æ H�EJ>J>J>¥E Æ Kxª´��»��������z������w����z���z�5�z����~���¦âÄ S�U P ª´¡#�������¶w-�¯��m·¥¶~��2ÄT¡�m|���,m�y��z�«�� Ä S�U P BS� S�U P ¦�Y4Eif1BÕÅ�E # EJ>J>J>kE\?Fª�>¦³Ý�� # ªÉ��?¦ÄÅ-�|ÅF�,ª'w��u{H¦ÄÅ-�|Å Ý�ª´¡ � S�U S BÚÒ ¦�YcB Å�E # EJ>J>J>ME\?¬ª� S�U P l Ò YheBgf ¦�Y4Eif1BÕÅ�E # EJ>J>J>kE\?Fªw��u{½���u�p�¶w-�¯��m·¥?¦�� S�U P ª�m|��m������z{u�u��m�«������É�� »��u��~����z� ���|Å-¡®�����C��w-�¯�l~��p� ~,��y��������z�u� �F~��������lÔ�~����5�z��ÀC�����u~�{+{���¢��z�u{u�5~,�a�����¬{�~,�¶m|��w�����zm����z��y�w�������~��cÄT��F�f��~��¯�p���uw-� � BÕ¦ � DF> � H�EJ>J>J>¥E � K�ªNm|�'w�� âäï¹�âäã�î�â�ò¥ö!çkÿ ~��cÄ �°m����½�zm����z��y-w��|���qð?m��dw��u{½~,�u���Mm��Ä/� � � B�ð �¦³Ý��u�,ª~��z¡u�z²��um�y-w����z�������¦³Ý��u�-w�ª KmPnQ D � S�U P � P BÏð � S ¦�YZB Å�E # EJ>J>J>ME\?¬ª�> fù�q�ú�o�q³Àº���aÃ���¦ RTS�U P ª'm|�®w±�¯�#�¶�5���¯�´m|�!?srA? �¶w-�¯�´m·¥���w-��m|�¯�³��m����±� ~,�u{um|��m�~,�u�V¦­Ò#� # ª´¡������z�9�������u~����¶w���³~���� ~��������5�¶w-�¯�´m·¥9~���Ä`m|�xwM���zw��¾{um|w-��~,�uw��2�¶w-�¯�´m·¥Âàµm��@ðZD�{��z��~��¯�z�������5�|w-�����z�¯���zm����z��y�w��|�u�f~��¿Ä1EGðZDpm|���m|�¶¢����5¦­��~�������¢��zw-�¯�z{�ª´�É�q³ÀXÀHs»���¶»������zm����z��y�w������z��~���Ä w-���x��������w��5��w��/���u���zm|���z��y-w��|���z��~���Ä z �°�����������������z������w��Â�z���z�5�z���~���¦âÄ zS�U P ªNm|� Ä zS�U P BS� zS�U P B ^_` _a  RTS�U P R S�U S R S�U P ¦�Y�eBgf�ª

Ò ¦�YcBgf�ªnpo�ú%ú�r*ï'Ã�� Ķ¦ � ª}B�ð �¦³Ý��ÞÝ�ª�����z� KmPnQ D � S�U P � P B�ð � S ¦�Y2B Å�E # EJ>J>J>ME\?¬ªKmPnQ D � S�U P R�S�U S � P B�ð R�S�U S � S ¦�YZB Å�E # EJ>J>J>ME\?Fª�>Ì���� � zS B R�S�U S � S ¦�YZB Å�E # EJ>J>J>ME\?Fª¦³Ý��ßÈ,ª KmPnQ D � S�U P RTS�U S R P U P � zP B�ð � zSBàKmP$Q D U P�oQ S RTS�U P R P U P RTS�U S � zP B  KOPnQ D � zS�U P � zP ># È

Page 31: Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic

»����u� Ä z � � z � BÏð � z >¦³Ý��u�,ª¿�~,��y������¯�z�|�lm���ðm|��w��F�zm����z��y�w������T~���Ä z ���¶��w��?����~)� ���uw-�qð§m|�xw��F�zm����z��y-w��|���5~��¿ÄT�T»°�um|��¢u��~)y��z�

�����V�|�z�¶�¶w#� ð� Ï �uvf�

£#m|��� �5¦âÄ zS�U P ª'm|�'�¯�#�¶�5���¯��m|�x«��Ê��� � ¢�w-���z���-Ò,È\{³��¡Â���������V� ¥#m|������w��½~�������~,�u~����¶w��%«�w���m|�N~��2�zm����z��y��z� �¯~��´�� µ D¬¶ f E � µ H\¶ f EJ>J>J>¥E � µ K�¶ f���u�´�½���uw-� Ä z � � µ S ¶ f � B�ð S � µ S ¶ f ¦�YZB Å�E # EJ>J>J>ME\?Fª�°������� ðZD l ðH l ^`^`^ l ð�K >¦³Ý�� Ç�ª�F������~������uw-�����u��� ~������z�¯¢�~,�u{�m|���'y��z� �¯~���� � µ S ¶ ��w-��m|�¯�³��m|�u�V¦³Ý��ÞÝ�ª%w-�����|m|���zw-���|�®m|�u{u��¢Â�z��{��z������y��z��m����¯~,�5�ðm|������¢��zw-�¯�z{��l��m|�5�z���Và �¬���um�����w����¶����� � µ D¬¶ f E � µ H\¶ f EJ>J>J>¥E � µ @ ¶ f «Â�T�����5�|m����zw-������m|��{���¢��z�u{��z���°�zm����z��y�w������z�~��cÄ z ���u�������uw-���³~���f÷BÕÅ�E # EJ>J>J>kE*� Ä z � � µ P ¶ f � BÏð � µ P ¶ f >¤�«�y�m|~,�u����� � µ P ¶ E ¦[f÷BÕÅ�E # EJ>J>J>kE*�uªNw-���Vw��|�¯~¶�|m����zw-�����±m��u{���¢��z�u{��z���/�®�������

� µ P ¶S B � µ P ¶ fS RTS¹S Ð Y2B Å�E # EJ>J>J>ME\?f÷B Å�E # EJ>J>J>ME*� Òw��u{ RTSbS < Ò#��®�z�u� �p��������~����¶w����³~����`~���¦âÄ S�U P ªNm|��{�m|w-��~,�uw��ó�É�q³ÀXÀHs ����CÌ����V¦ RTS�U P ª�«���w5���zw����¯���±�5���¯��m|�q? r�? �¶w-�¯��m·¥��¦­w�ª�ðZD°m|�N���u�V�|w-�����z�¯�°�zm����z��y-w��|����~���¦ RTS�U P ªNm��dw��u{½~,�u����m��2ðZD'm��'�����p�¶w�¥�m|�f�u�Yy�w�������~��

y � ¼ � B KOS�U P$Q D RTS�U P ¼ S ¼ P¦³Ý��ßÜ,ª

����«wLÄ�z� �'�¯~¶���u�V� ~,�u{um���m|~,� ù ¼ ù H B KO S Q D ¼ HS BÕŦ³Ý��ßÆ,ª

¦³«Âª�à � ù ¼åµ D¬¶ ù H B Å-¡u���u�z�#¼!µ D¬¶ m|�'w��C�zm����z��y��z� �¯~���w�����~���m|w-�¯�z{C�°m����6ðZD°m��dw��u{½~,�u�|��m��y � ¼ µ D¬¶ � B�ðZDJ>npo�ú%ú�r*ïl¦­w�ªxà ��m����/�z���¾���u~��°�H���uw-��w����¬���zw����¯�#�¶�5���¯�´m|�5�¶w-�¯��m·¥?m|�p~�������~���~,�uw��|�|�l�z²��um�y-w����z���p�¯~9w����zw��{um|w-��~,��w��/�¶w-�¯�´m·¥ ¦ Æ S�U P ª´¡¾�������|w-�����z�¯��~��'�®��~,�¯�±�z�|�z�5�z�����Tm|�V�����M�¶w�¥#m����u� ~�� y � ¼ � ����«NL¯�z� �V�¯~l��������� Ê²��um����z�5�z��� ù ¼ ù H B[Å-¡�¦­�����C�³~��±m|�u�¯��w���� � ��� � ¢�w-���z� # Ý�Çe{ # È-Ò�ª´�×»������¶w�¥�m|�f�u�B�����zw-���|��� ¥�m|�¯���¶w���{§m|�w-�¯��w�m|���z{l«��z��w��u�¯� y � ¼ � m|��w�� ~,����m|����~,�u���­�u�u� ��m�~,�C~,�¬w�� ~,�¶¢�w�� ���¯������»����T{um|w-��~,�uw��µ�z���z�5�z�����x~��®¦ Æ S�U P ªw-���p�zm|���z��y-w��|���z�'~���¦ RTS�U P ªNw��u{½� ~,��y������¯�z���H¦­����� ��� � ¢�w-���´�-Ò,È,ª´�N»����u��¡�¦­w�ª'm��N¢u��~�y��z{��

# �

Page 32: Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic

¦³«ÂªN¹���m|�6�Úm|{u{u���å���,Ç � ¢�w-���z��Å�ÅF�\{�Å�ÅzÈ�¡��������¶w�¥#m����u�Y¢���~�«����z�`�¶w��M«Â���³~����f�u�|w-�¯�z{�m��M�¯�����¶�'~��Ì�w-���´w����������®�f�u����m|¢��|m������z���F�V�uw�y��V�����p� ~,��{um���m�~,�u�^_____` _____a yy ¼ S ^` a

KOS�U PnQ D R�S�U P ¼ S ¼ P  ð ' KO S Q D ¼ HS  Š) � �� BÚÒ ¦�YcB Å�E # EJ>J>J>ME\?¬ªKmS Q D ¼ HS B Ŧ³Ý��|Å�Ò�ª

�°�������qð?m|�'w¶Ì�w-���´w����������®�f�u����m|¢��|m����z�dË°¢�~,�½��m��5¢��|m·ÙÂ��w-��m�~,�������z�¯�p� ~,�u{um|��m�~,�u�N«��z� ~,�5�^____` ____aKmP$Q D RTS�U P ¼ P B�ðL¼ S ¦�YcB Å�E # EJ>J>J>kE\?FªKmS Q D ¼ HS B Åj>¦³Ý��|Å�Å�ª

à �½¼ ��w-��m|�ÄÙ��z�V¦³Ý��|Å�Å�ª´¡����V�uw�y�� y � ¼ � B KmS�U PnQ D R�S�U P ¼ S ¼ P B KmS Q D ¼ S þ KmP$Q D RTS�U P ¼ P �B KmS Q D ¼ S ðL¼ S B�ðg>¦³Ý��|Å # ª»����u��¡¾m��+¼åµ D¬¶ ¡¾�°������� ù ¼!µ D¬¶ ù H B Å-¡�m|�Tw��H�zm����z��y��z� �¯~��±~��f¦ R�S�U P ªV�°m������zm����z��y�w������ ðZDJE y � ¼åµ D¬¶ � BÅðZD��¿�~,��y������¯�z����¡#m�� y � ¼ µ D¬¶ � BÏðZD/w��u{ ù ¼ µ D¬¶ ù H B Å-¡#��m|�u� �hðZD/m|�����u�®�¶w�¥�m|�f�u� ~�� y � ¼ � ����«wLÄ�z� �/�¯~ ù ¼ ù H B Å-¡«��¬¦³Ý��|Å�Å�ª´¡I¼!µ D¬¶ m|�°w��½�zm����z��y��z� �¯~��®~���¦ RTS�U P ª/�°m����M�zm����z��y-w��|���!ðZD�� ð

� Ï �uvf�É�q³ÀXÀHs ��[æ9Ì����V¦ RTS�U P ª�«���w5���zw����¯���±�5���¯��m|�q? r�? �¶w-�¯��m·¥½���u�´�½���uw-�R S�U S BÚÒ ¦�YZBÕÅ�E # EJ>J>J>kE\?FªR�S�U P l Ò ¦�Y\EifjB Å�E # EJ>J>J>kE\?Fªw��u{ ¦ R�S�U P ª¶m|��m������z{u�u��m�«��|���+à �qðZD�m��±�����¬�|w-�����z�����zm����z��y-w��|���l~���¦ R�S�U P ª±w��u{Úm��M¼!µ D¬¶ m|��w���� �zm����z��y��z� �¯~��w����¯~#��m|w-�¯�z{C�°m����6ðZD�¡u�����z�½�zm|������� ¼ µ D¬¶S <§Ò ¦�YcB Å�E # EJ>J>J>kE\?Fª~�� ¼ µ D¬¶S V§Ò ¦�Y2B Å�E # EJ>J>J>ME\?¬ª�>À9~�����~�y����z¡�ðZD�m|����m��5¢����5¦­��~�������¢��zw-�¯�z{�ª´�npo�ú%ú�r*ï�É/�½Ì��z�¶�¶w5Ý�� # ¡u�³~��°w��|��¼ |CÇIKp¡ y � ¼ µ D¬¶ � l y � ¼ � >¤x�½���u��~��������®�uw���{%¡���m|�u� � RTS�U P l Ò ¦�Y\Eif�E$BPÅ�E # EJ>J>J>ME\?¬ª$Ey � ¼ µ D¬¶ � d y �@¾¼ µ D¬¶ � E# Ç

Page 33: Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic

�°������� ¾¼ µ D¬¶ B ¦ p ¼ µ D¬¶D p E p ¼ µ D¬¶H p EJ>J>J>¥E p ¼ µ D¬¶K p ª�>¦³Ý��|ÅF�,ªÏ ²��uw��|m|�!����w��C~,�u����~������u�°m�� ¡��®���z����y���� R S�U P eBÚÒ¼ µ D¬¶S ¼ µ D¬¶P l Ò�>¦³Ý��|Å Ý�ª

É��9Ì��z�¶�¶wMÝ�� # ¡ ¾¼ µ D¬¶ m���w��¬�zm|���z��y-w��|���T~���¦ R S�U P ª´�5£#��¢u¢�~,�¯�����uw-����~��p��~,�5�1Y\EA¼ µ D¬¶S B Ò#�f»����z� ¾¼ µ D¬¶S BPÒw��u{ KOP$Q D RTS�U P ¾¼ µ D¬¶P BÏðZD ¾¼ µ D¬¶S BÚÒw��u{l��m|�u� � R µ S�U P ¶ l Ò��/�T�uw�y��¡¾¼ µ D¬¶P BÖÒ��³~���w��|�*fM���u�´�C����w-� RTS�U P eBÖÒ#��Ë���m|���±�����fm|�����z{u�u��m|«�m|�|m����¶~��®¦ RTS�U P ªm�����w��C«Â�x¢u��~�y��z{�����w-�*Î ¾¼ µ D¬¶S BÚÒ ¦�Y2B Å�E # EJ>J>J>ME\?¬ª�>»��um��'� ~,���¯��w�{�m|� ���������p� ~,��{um���m�~,� ù ¼ µ D¬¶ ù H B ù ¾¼ µ D¬¶ ù H B Å»�����������~�����¡(¼ µ D¬¶S eBÚÒ ¦�YZB Å�E # EJ>J>J>ME\?¬ª´�¹®�,w�m|�%¡�«������u�pm������z{u����m�«�m|�|m|�!�T~���¦ R�S�U P ª´¡���m|�u� ��¼ µ D¬¶S ¼ µ D¬¶P l Ò5�°�u�z����y���� RTS�U P eBÚÒ5���V��w�������~)� ���uw-�¼ µ D¬¶S < Ò ¦�YZBÕÅ�E # EJ>J>J>kE\?Fª~�� ¼ µ D¬¶S V§Ò ¦�YZB Å�E # EJ>J>J>kE\?¬ª�>

»µ~����u~��+���uw-�}ðZD�m|� ò�ï�ôåõ�è�â �/�°Ù����¯���u~��¯�°���uw-�/���������°� ¥�m|�¯���/w��±~�������~,��~����¶w���«�w���m|��~��? �zm|���z��y��z� �¯~�����³~��H¦ R�S�U P ª´� à �åðZD½m|������¢��zw-�¯�z{»� ��m|�5�z�M�����z�+���������¬��~,�u�|{+� ¥�m|�¯�K� ��m|���zw-�����§m��u{���¢��z�u{��z���±~������u~���~,�uw���zm����z��y��z� �¯~����¾�zw��´�¶w����¯~#��m|w-�¯�z{T�°m����´ðZD��dÉN���¾��m��u� �/�zw��´�5m|�2��~,��y�w��um����um|���®w��u{f~,���'��m��,���z{fm��2m|�µm��5¢�~,����m�«��|����uw-�����u���M����~,�u�|{�«���~�������~���~,�uw��¨� ð

� Ï �uvf�Û���~,� Ì��z�¶�±wpÝ��u��¡#m��¾��~,����~��°�����uw-�������®�|w-�����z�¯���zm|���z��y-w��|����~��Ä z m|����m|�5¢��|���d»��u�'������~����z� �³~,�|��~)�°��w-��~,�u� �«���Ì��z�¶�¶w5Ý��|Å-� ð

� Ï �uvf� fù�q�ú�o�q³Àº��� Ì�����¦ R S�U P ª�«��pw5���zw��������¶�¶���¯��m|��? rA? �±w-�¯��m·¥�¡�¦â? <×Å�ª'���u�������uw-�RTSbS BÚÒ ¦�YZBÖÅ�E # EJ>J>J>ME\?FªRTS�U P l Ò ¦�YZBÖÅ�E # EJ>J>J>ME\?¬ª

w��u{ ¦ RTS�U P ªTm|�5m|�����z{u�u��m|«�������Ì����9¦ R ¢S�U P ªf«��½������? z rX? z �¶w-�¯�´m·¥]~�«���w�m|���z{=�³��~,��¦ RTS�U P ª�«��={��z������m����F������z���z�5�z�����pm|�§¦â?ÜÂÑ? z ª®��~��®�pw��u{¬�����¶� ~������z�¯¢�~,�u{um|���M� ~,�|�u�±�u��¡%�°�������/? z V ?��fà ��ðZD�w���{�ð ¢ D {u�z��~��¯������V��w-�����z�¯�'�zm����z��y�w������z�'~���¦ R�S�U P ª�w��u{H¦ R ¢S�U P ª/�����z�yðZDPVgð¹¢ D >ç ®F�=�Z©�®M�2°k��­J­$«�­4« © ®M��­$���=¢ �n� �J�

# Ü

Page 34: Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic

npo�ú%ú�r*ï�Ì���� y ¢ � ¼ � B K fOS�U PnQ D R ¢S�U P ¼ S ¼ Pw��u{ y � ¼ � B KOS�U PnQ D�R�S�U P ¼ S ¼ P >à �½¼ ¢ µ D¬¶ �°������� ù ¼ ¢ µ D¬¶ ù H B Åpm|�'w����zm����z��y��z� �¯~��x~��'¦ R ¢S�U P ª������z�ð ¢ D B y ¢ � ¼ ¢ µ D¬¶ � B y � ¼ ¢ µ D¬¶ ��°��������¼ ¢ µ D¬¶S m|�V�����'�¯�z� ~,�u{f� ¥#¢u���z����m|~,�Vm|�d��w-���z�T�¯~�«Â��º�����~�m���������Y¨���f��~)�=w���{f� ~,���u�¶�V��wzy��'«����z��{u�z�����¯�z{%��®�z�u� �1ðZD l ð¹¢ D >�É��CÌ��z�¶�±w±Ý��u��¡�»��u��~����z� Ý��|Å-¡L¼1¢ µ D¬¶ m|�®�u~���w��l�zm����z��y��z� �¯~��p~��®¦ RTS�U P ª°w����¯~#��m|w-�¯�z{l�°m���������V��w-�����z�¯�'�zm����z��y�w������p~��'¦ R�S�U P ª´�/»����������³~�����¡wðZDh<Ñð ¢ D > ð

� Ï �uvf� �ú�o)úÂþ³þ³suok�¡���¶Ã �?p µ D¬¶9 ù p µ H\¶9 �°�u�����#p µ D¬¶9 eBSp µ H\¶9 w���{$p µ H\¶9 m|�'� ~,�����z� �¯�z{%¡�w��u{½m|�ð µ D¬¶D w��u{6ð µ H\¶D {u�z��~��¯������x�|w-�����z�¯���zm����z��y�w������°~���ÄÖw-¢u¢���m��z{¶�¯~½¦ÄÅ-�|Å�Å�ª´¡u�³~��/�����x�������/~����#�:7 µ D¬¶9 w���{Ý7 µ H\¶9 �°m�����m|���¯���´m�~�����p µ D¬¶9 w��u{p µ H\¶9 ���z�¯¢��z� ��m�y��z����¡������z� ð µ D¬¶D V8ð µ H\¶D >�F�T�uwzy��Tw������zw�{��½�¯���z��¡d¦­»�����~����z� Å-�|Å�ª´¡����uw-�T¦ R�S�U P ª��uw���¢���~�¢������!�?¦âá�H�ª´�:�F�f{�� ÙÂ���p������y��z� �¯~��À¿þ|þÇIK���u�´�½���uw-� ¿ S B Å Y}|yê2DJE������p�¯���°�°������� ¸m@ Q D £ µ S ¶@ m|�'~#{u{¿ S BÚÒ Y}|yê,HME������p�¯���°�°������� ¸m@ Q D £ µ S ¶@ m|�'��y��z�%�¦³Ý��|ÅzÈ,ª

fù�q�ú�o�q³Àº��æ Ã��ZÄ/� � � B�ð � w��u{�m�� � ¢ BÕ¦�ÂVÅ�ªgÁ �¦³Ý��|ÅF�,ª�����z� Ä/� � ¢ � BÕ¦�Â{𵪠� ¢ >¦³Ý��|Å�Ç�ª¦��F��{u~¶��~��°�u�¯�����u���³w�� �®���uw-��¦ RTS�U P ªNm|�'�¯�#�¶�5���¯��m���ª´�npo�ú%ú�r*ï KOP$Q D � S�U P � ¢P B KOPnQ D � S�U P ¦�Â�Å�ª Á> � P ¦�YcB Å�E # EJ>J>J>kE\?Fª�>à ��� S�U P eBÚÒNE Y}|6ê2Dz¡�w��u{/fà|yê*H ~��{Y}|yê,H�w��u{/fà|yê2DF>w�F���uw�y��KOP$Q D � S�U P � ¢P B Â�¦�ÂVÅ�ª Á Ö KOP$Q D � S�U P � PB Â�¦�ÂVÅ�ª Á Ö ð � S BÕ¦�Â{𵪠� ¢S ¦�YcB Å�E # EJ>J>J>kE\?Fª�>�®�z�u� ��¡u«��F¦³Ý��u�-w�ª´¡ Ä/� � ¢ � B�ð � ¢ > ð

� Ï �uvf�

# Æ

Page 35: Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic

�ú�o)úÂþ³þ³suok�0���C»������zm����z��y��z� �¯~�� � ¢x�±wz�M«���� ¥#¢u���z���¯�z{�m|�M�����V��~����� ¢ B ¦ÄÅ: # ¿%ª � >¦³Ý��|ÅzÜ,ª�®~��Ö�����h?àD]E\?÷Hx«��������p���u�V«�����~��2m|���¯���������°m��Ýê�DJE=ê,H����z�¯¢��z� ��m�y��z����� fù�q�ú�o�q³Àº�ÖÌ����¡s£ «��������p�����V«����'~��¾��~,�#ʨº�����~±�zm����z��y-w��|���z��~��2Ä w���{������£ z BÚ�¶m|��¦â?àDFE\?÷H�ª £ z z BÚ�¶w�¥�¦â?àDFE\?´H�ª�>¦³Ý��|ÅzÆ,ªÃ �N¦ R S�U P ªNm|�������¶�¶���¯��m|�-¡#�����z�¦­w�ª�»���������w-���"s£ �zm|���z��y��z� �¯~����°w����¯~#��m|w-�¯�z{M�°m����M��~,�#ʨº�����~f�zm|���z��y-w��|���z���°��������Ò d s£ d # £ z ¡#w���{�s£ m|����y��z�%�»����z���pw����¯~#��m|w-�¯�z{��zm����z��y-w��|���z��{�~¶�u~���y�w���m|���½m|{��z����m|��w��|�|�¶~,���zm����u���¿ê�D�~��hê*H��¦³«ÂªN»°����¦â? ÂÅs£ ª�{um|�5�z����m�~,�uw������u�|�%�¯¢�w�� �1Ç��x~��@Ä ��w��C«��p�����³�������z{½�¯~±w±«�w���m|��~��'¦â? ÂÅs£ ª�y��z� �¯~��������u�´����uw-��¦â?÷H¿ÂÅs£ % # ª�~��2�����z�¯��y��z� �¯~����®y-w��um|���½m|{u�z����m|��w������¶~,�yê2D°w��u{?¦â?àD@ÂÅs£ % # ªNy-w��um|���Mm|{��z����m|��w��|�|�±~,�6ê,H-�npo�ú%ú�r*玲m�ª'Ã��@Ä/� � � B ð � ¡��°������� � m|�®��~���m�{��z����m���w��|����º�����~�«���� � y-w��um|�����z��m|{��z����m|��w��|�|��~,�9�zm���������ê,H�~���ê�D�¡Â�����z�ðXB Ò#��Û�~��z¡�Ä/� � � y-w��um|���u�z��m�{��z����m���w��|���½��y��������°����������»�������¡�m��cð eB ÒNE � ���u������~���y-w��um|���9m|{u�z����m|��w������~,�½�zm����u���:ê*Hx~��{ê�Dz�¦­m|m�ª�à � � µ D¬¶ w��u{ � µ H\¶ w-���pw������!��~±�|m|�u�zw-�����¶m|�u{u��¢Â�z��{��z�����zm����z��y��z� �¯~�����~��ZÄ �°m����½�u~,�#ʨº�����~5�zm����z��y�w������z�'m��m|�°~�«�y#m�~,�u�®���uw-� � ¢ µ D¬¶ ¦neB � µ D¬¶ ª'w��u{ � ¢ µ H\¶ ¦neB � µ H\¶ ª�w-���f��m|���zw-�����Mm|�u{u��¢Â�z��{��z������»°���������³~�����¡es£ m|�®��y��z�%���°~)�� ~,�u��m�{������������¯�����tà D BÌ· � µ P ¶  � ¢ µ P ¶=º w��u{®Ã H B · � µ P ¶ V � ¢ µ P ¶=º E ¦[f1B Å�E # EJ>J>J>kE<s£ % # ª´��»��u��y��z� �¯~����Nm|�®Ã Dy-w��um|����m|� ê*H�w��u{�����~,�¯��m|�ÄÃ�H®y�w���m|����m|�/ê2Dz�/¤x�������x~����������uw���{%¡����u�"s£ y��z� �¯~����'~��_ÃhD�5$Ã�H�w-�����|m|���zw-�´���m|�u{u��¢Â�z��{��z�����¾�®�z�u� �ds£ % # d s£ z �¦­m|m|m³ª�à �ZÄ/� � � BÚÒT�/���¶wz�M����m|�¯� � B � z V � z z�°������� � z y-w��um|�����z�'m�{��z����m���w��|���¶~,�6ê2D°w��u{ � z z y�w��um������z�'m|{��z����m|��w��|�|�¶~,�yê,Hxw��u{½«�~���� � z E � z z �|m���m|�AÇ �-��»�����¯���N~���w��|��y��z� �¯~����'~�«���w�m|���z{Mm|�����um|�/��w����¯¢�w���Ç �°w��u{M���z��� �®����������� ¥�m|�¯���NwT�|m|�u�zw-�����Tm|�u{���¢��z�u{��z���/����«��¯����¯¢�w����um|����Ç����TÉ��=¦­m|m³ª´¡�¦â?/D¿Â s£ % # ª®~��������z�¯�5y��z� �¯~����Vy�w���m|���¬m|{��z����m|��w��|���C~,�Cê*H5w��u{¦â?÷HhÂÀs£ % # ª®y�w���m|���m|{��z����m|��w��|�|�¶~,�yê2D�� ð

� Ï �uvf�Øxm|y��z��w��Cw-��«�m��¯��w-����������~���y��z� �¯~��z¡ ú µ �\¶ m|�AÇIK �/�p�¶w��M����m��¯�ú�µ �\¶ B KOPnQ D á P � µ P ¶¦³Ý�� # Ò�ª

w��u{½«��M»�����~����z�`Ý��ÞÝ�¡��/���uwzy��ú µ �\¶ BÆÅ¢ ý=HOP$Q D á P � µ P ¶ V á ¢P � ¢ µ P ¶ V K Í Å¢ ý=HOPnQ Å¢ ý=H Á D á P � µ P ¶¦³Ý�� # Å�ª�°������� Ä/� � µ P ¶ � BÏð P � µ P ¶ ¦[fjBÖÅ�E # EJ>J>J>kE<s£ % # ªð P < Ò ¦[fjBÖÅ�E # EJ>J>J>kE<s£ % # ª� µ K Í P ¶ B � ¢ µ P ¶ ¦[fjBÖÅ�E # EJ>J>J>kE<s£ % # ªá�¢P BÏá�K Í P ¦[fjBÖÅ�E # EJ>J>J>kE<s£ % # ªÄ/� � µ P ¶ � BSÒ ¦[fjB s£ % # V Å�EJ>J>J>¥E\?  s£ % # ªq>�-Ò

Page 36: Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic

¹®���¯���Àuim��¯����w-��m�~,�u�z¡�¦�uÜ<×Å�ª´¡����p�uwzy��ú�µ½¸ ¶ BÇÅ¢ ý=HOPnQ D ð ¸P á P � µ P ¶ V ¦�Â{ð P ª ¸ á ¢P � ¢ µ P ¶ >¦³Ý�� #�# ªÛ�~��N����~,������w��¯�z�N�®������� RTSbS BÖÅ®w��Nm|�±������vxm��´m|���u�|���/¸���~�«����z�½¡������ � µ P ¶ w-����~�������~���~,�uw��ó�¾Ã �%����w������u�5������ � µ P ¶ ��wzy��p«����z����~��´�¶w��|m�º��z{M���V�uw�y��á P B KOS Q D ú µ �\¶S � µ P ¶S ¦[f1B Å�E # EJ>J>J>ME\?¬ª¦³Ý�� # �,ª

w��u{ ù$ú µ �\¶ ù B KOP$Q D á HP >¦³Ý�� # Ý�ªÛ�~��®�����Vvxm���m����u�����'¸���~�«����z�½¡#���p�°m|���Â�u~�� ���u~�� ����w-�ù$ú z ù H d ù Ô z ù H

¦ÄÅ:ÂþðZD´ª H¦³Ý�� # È,ª�°������� ú z B�5 z Â�5�E ð z m|��w��Vw-¢u¢u��~�¥#m|�±w-�¯���¯~,�|����m|~,��~���¦ÄÅ-�|Å�Å�ª´¡,w��u{��°������� ù Ô z ù H m|�����������u�Ú~��#�����/��²���w-���z�~��������f���z��m�{u�uw��|��� � �F�T��wzy��5w������zw�{���¡�m|�F£��z� ��m�~,� # ¡��,m�y��z�¬w±«�~,�u�u{C��~�� p 5 zS ÂX5 S p E ¦�Y�BLÅ�E # EJ>J>J>kE\?Fª{u�����¯~MØ��������´����~���m|�%�

»µ~¶¢u��~)y���¦³Ý�� # È,ª´¡Â�/�V���¯�±¦³Ý�� # �,ª'�¯~±� ¥�¢u���z��� ú z m|�M�¯���´�¶�'~��d�����p�zm����z��y��z� �¯~����®~��ZÄT�}�F���uw�y��ú z B KOPnQ D á P � µ P ¶w��u{ ù$ú z ù H B KOP$Q D á HP >¹��|�¯~

¦�à � 5 z � ª S B KOPnQ D R�S�U P 5 zP VÑW S ¦�YZBÖÅ�E # EJ>J>J>ME\?¬ªw��u{

Ò´B KOPnQ D RTS�U P 5 P�VÑW S ¦�YcB Å�E # EJ>J>J>ME\?¬ª$>�®�z�u� �

¦�à � 5 z � ª S B KOPnQ D�R�S�U P ú zP ¦�YZB Å�E # EJ>J>J>kE\?¬ª�>ÉN���°��m��u� � R�SbS B Å ¦�YcB Å�E # EJ>J>J>ME\?¬ª$E� © ®k�c¤�¡M¢g­4«N©�®M�Z¤�±J¡M¦4���=¤­$«w©�®k�2���=¤��u²k¡M¦$¯�¤�®�¦$¤£��=����¡M¤��=²�¦$¤�¦�¢:�G¦4¤�¡k���Z­4«�§=­n�H­]�¬���n�=�k§=�Z£J±,î�­�¬�u�{� :n���

�#Å

Page 37: Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic

w��u{ � S�U P B  RTS�U P ¦�YheB8f�ª¦�Ã�� 5 z � ª S B ú zS Âa¦âÄ/� ú z � ª SB ú zS  KOPnQ D ð P á P � µ P ¶S ¦�YcB Å�E # EJ>J>J>kE\?Fª¦�Ã�� 5 z � ª S B KOP$Q D ¦ÄÅ: ð P ª�á P � µ P ¶S ¦�YcB Å�E # EJ>J>J>kE\?Fª

ù Ô z ù H B ù ¦�Â]Ã�� 5 z � ª ù H B KOP$Q D ¦ÄÅ{Âþð P ª H á HP l ¦ÄÅ:ÂÊðZDäª H ù$ú z ù H >�®�z�u� ��¡µ¦³Ý�� # È,ª°m|�N¢u��~)y��z{%�

Û�~��°�����pvxm���m|�´�u�����N¸���~�«��|�z� �®m����Mw����z� ��w����,�u�|w-�������,m�~,�%¡#�����x�zm����z��y�w��|�u�z��w��u{��zm����z��y��z� �¯~�����~��ZÄÕ��w��«���� ¥�¢����z���¯�z{½� ¥#¢��|m���m��������2Ì����D" @ «��������p�����V«����'~��¾m|���¯����y�w����N~,�������O�����9��m|{����Z�F����wzy��� µ P ¶S B xh@ Q D ��m|� à µ P

¶@ [ £ µ S ¶@" @¦³Ý�� # �,ª�°������� à µ P ¶@ B Å�E # EJ>J>J>ME@" @¥Í Df B Å�E # EJ>J>J>ME\?A>»����p� ~������z�¯¢�~,�u{um|�u���zm����z��y-w��|���Vm|� ð P B Åo xO@ Q D � ~,� à µ P

¶@ [" @ >¦³Ý�� # Ç�ª»��um��'�¶wz�M«��x���zw�{um|����y�����m·Ù��z{M«��?¦­Ò#�ßÈ,ª'w��u{�¦ÄÅ-�|Å�Ò�ª´�

ÃÄ�½¢�w-����m����u�|w-� ðZD�B Åo xO@ Q D � ~,� [" @¦³Ý�� # Ü,ªÛ�~����|w-������" @ ¦��àB Å�E # EJ>J>J>ME�oµª ðZDkÈÖÅ: [ HÝ xO@ Q D Å" H@¦³Ý�� # Æ,ªw��u{ � ¦âÄVª�È [ HÝ xO@ Q D Å" H@ >¦³Ý��u�-Ò�ª»������´w-�¯�p~��¾� ~,��y��������z��� �fm|�������������³~����py������½����~)�×�³~��®�|w-�����V" @ �@�F�����z�¶w-���M���uw-�{ðZD°w���{����z�u� �������V��w-�¯�~��¾� ~,��y��������z�u� ����w��C«Â���z����m|�¶w-�¯�z{½�³~��®��~,�M���z� ��w����,�u�|w-�®�����,m�~,�u�N«��½�u��m|���5»��u��~����z�`Ý�� # ¡Â¿�~���~,�|�|w-����Ý��|Å-�É À���q�o±ú�r°ô õ�q�o)suõ)ö³ú�ÿµü fù�q�ú�o�q³Àº�«± Û�~��°������v�m|��m|���������'¸���~�«��|�z�J ¦âÄ1EA°#ª}B ÂC�|~���°ÂC��~��@ðZD¦³Ý��u�#Å�ª�°�������oJÖ¦âÄ1EA°�ª'm|�'{�� ÙÂ���z{M«��½v�� Ù��um|��m�~,�����ÞÝ�¡µ¦³�����p����m���{½w-���,�u�¶�z���°��w��'«����z�M~,�¶m��¯�¯�z{�ª´�� #

Page 38: Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic

npo�ú%ú�r*ï�Û�~��®w��|�?�A|�Ç K «��F¦³Ý�� #�# ª°w��u{?¦³Ý�� # Ý�ªù Ä ¸ �å� � ù d ð ¸ D ù � ù >ÉN��� ð ¸ D ù � ù d ° ù � ù¢u��~)y�m�{��z{ u l ÂC��~���°ÂC�|~��}ð D >�®�z�u� � J ¦âÄ1EA°#ª d ÂC��~���°ÂC��~��}ðZD >¤x�½���u��~��������®�uw���{%¡�m����yB � µ D¬¶ ù Ä ¸ �å� � ù B ù 5 ¸ D � ù B�ðZD ù � ù >»�����������~���� J ¦âÄ1EA°#ª l ÂC�|~���°ÂC��~��@ðZDw��u{½���u��������~����z� �³~,�|��~)�°��� ð

� Ï �uvf� fù�q�ú�o�q³Àº�ËÊ Ì����å7:9��z�u����~,���TwM«�~,�u��{��z{C�����,m�~,�þ7x¡�w��u{F�����!7:9�«��5� ~,�u���z� �¯�z{%�TÌ����å7{9 � E47{9 ø EJ>J>J>«��®�������N� ~)y�����m|���/7+w��u{�~�«u��w�m|���z{�����~,� 7{9p«��±����«%{um�y#m|{um����®���u���5�z���±«��±w��³w�� �¯~��'~�� # D E # H EJ>J>J>FE �����z��³~��°�����fv�m|��m|����������¸���~�«����z�½¡������������ ¥#m��¯��¢�~,��m���m�y��p� ~,���¯��w������ru�D°w��u{wögD�w��u{Cw¶�¶�z���C��m|º��´;��p���u���C���uw-��³~��°w��|�;6B ;�� # Í�S �°m����½Ò�V ; d ; � u�D d ; H J ¦âÄ1EA° E$ÇIK Þ ª d ögD¦³Ý��u� # ª�°�������´Ç K Þ {u�z��~��¯�z�'�����py��z� �¯~��x�¯¢�w�� �V~��dw��|���³�u��� ��m�~,�u�'{�� Ù��u�z{M~,�Kp�9#�npo�ú%ú�r*ï�Ì���� H w���{ D «��x���z� ��w����,�u��w-�������,m�~,�u�'��m|�����u�¶��� �´m�«�m|���fw��u{½m|�u��� ��m�«��z{�m��67���Ì����'�����p��m|{��z�~�� D w��u{ H «���¿ µ D¬¶@ w���{#¿ µ H\¶@ ���z�¯¢��z� ��m�y��z����¡¾¦��6BLÅ�E # EJ>J>J>¥E�oµª°w��u{9�|���°������¿ µ P ¶@ «������u~,�¯�z�9��~��������w-���x��������m�¢����z��~���;%��Ì����¤p µ D¬¶9 w��u{dp µ H\¶9 «��°���u�®�¯����~��������/¢Â~,m������/m|���¯���´m�~��/�¯~ D w��u{ H ���z�¯¢��z� ��m�y��z�����à �µw1ð µ D¬¶D ¦�;�ª$EGðZD�¦�;ª�w��u{6ð µ H\¶D ¦�;�ªN{u�z��~��¯�������p�|w-�����z���'�zm����z��y-w��|���x~��ZÄ ��~��]p µ D¬¶9 E�p�95w��u{$p µ H\¶9 ���z�¯¢��z� ��m�y��z�|����V�uwzy��V«��½»�����~����z�`Ý�� # ¡�¿�~���~,�|�|w-����Ý��|Å-¡ð µ D¬¶D ¦�;�ª d ð D ¦�;�ª d ð µ H\¶D ¦�;ª$>¦³Ý��u���,ªÉ��?¦³Ý�� # Ü,ª´¡ ð µ D¬¶D BÕÅ: [ H ; HÝ xO@ Q D ¦Ì¿ µ D¬¶@ ª Í H VÎÍ ¦�; ü ªÂ9��~��}ð µ D¬¶D B [ H ; HÝ xO@ Q D ¦Ì¿ µ D¬¶@ ª Í H V0Í ¦�; ü ªÂ9��~��}ð µ H\¶D B [ H ; HÝ xO@ Q D ¦Ì¿ µ H\¶@ ª Í H V0Í ¦�; ü ª���

Page 39: Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic

�°������� Í ¦�; ü ªNy�w��um������z�N�°m�����; ü �»�����������~�����¡�«��?¦³Ý��u�#Å�ª´¡ Â9��~��K°Â�; H [ HÝ xO@ Q D ¦Ì¿ µ D¬¶@ ª Í H V0Í ¦�; ü ª dJ ¦âÄ1EA° E$Ç K Þ ª d ÂC��~��K°Â�; H [ HÝ xO@ Q D ¦Ì¿ µ H\¶@ ª Í H V0Í ¦�; ü ª

w��u{½���u��������~����z� �³~,�|��~)�°��� ð� Ï �uvf�

ÃÄ��������w-«�~�y����¯�z�u�¯�¾�����¶w����¯��w-�¯�����uw-�µw���;¶úBÒN���������z²��um����z{����u��«����%~���m|�¯����w-��m�~,�u��m���w��¯�#�5¢u�¯~���m|��w��|�|�¢u��~�¢�~�����m|~,�uw��Â�¯~ ; Í H ��ÃÄ�½�¯�#�V«�~,�|� JÖ¦âÄ1EA°�ª}B Í ¦�; Í H ª�>¦³Ý��u��Ý�ª

��Ý

Page 40: Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic

�.Ï�� m Z ^��Ò3�^��21 [ 'j' 3 ^Z( Z +!-ÑÐ 3G( Z [ Y +�'j*3�j (�^}'�(�ÒÌ),-�^@)3$'��»����Mm|�5¢���~�y��z�5�z���5�³~��������|wC�³~��5�����½Ì�m|��«��¶w��u�]ÀC�����u~�{�uw��f«����z�=�,m�y��z�=m|�S¦­Ò#� Ç�ª´�=Ë®��m����=¦ÄÅ-�|Å Ý�ª¶w��u{¦ÄÅ-�|ÅzÈ,ª´¡Â�/�V��wzy�� ð µ¹¸�Á D¬¶S B S�Í DOP$Q D � S�U P 5 µ½¸�Á D¬¶P V KOPnQ S Á D � S�U P 5 µ½¸ ¶P VÑÆ S¦óÈ��|Å�ª

~���¦óÈ��|Å�w�ª 5 µ½¸¿Á D¬¶ B Î�Р� 5 µ½¸ ¶ � VgÆ�°�������!ËF{��z��~��¯�z�����u�p~���{�����m����T~��µ�����V�z²��uw-��m|~,�u��w��u{ Æ {��z�u~��¯�z�������py��z� �¯~��5¦ Æ DFE Æ H�EJ>J>J>¥E Æ K�ª$>É��F»�����~����z� ���|Å-¡µ���u�¶��w-�¯�¶~��'� ~,��y��������z�u� ��~������u�±Ì�m���«��¶w��u�FÀ9������~�{H{���¢��z�u{u�x~,�?���u�±{�~,�¶m|��w�����zm����z��y�w�������~��2Î Ð ��»°������~,����~��°m����f��w��'«����z�½��~��¯�z{½«��½Ø��zm|��m|�������å�·Å #M� w���{M«���£��¯�zm|�½w��u{C©�~,�¯�z��«������A����Ý � fù�q�ú�o�q³ÀÓ±*��� Î�Ð�� � � B ñ�� m��2w��u{M~,�u���Mm��S�Í DOP$Q D � S�U P ñ�� P�V KOPnQ S Á D � S�U P � P B ñ(� S ¦�YcBÖÅ�E # EJ>J>J>kE\?Fª�>¦óÈ�� # ªÀ9~�����~�y����z¡�m��µ�����V�¶w-�¯��m�¥¬¦�� S�U P ª�m|���,m�y��z�½«��� S�U P B ^_` _a � S�U P fà<gYñ�� S�U P f"VgYÂ�ñ f÷B�Y¦óÈ��u�,ª�����z� p Î�Ð!ÂÑñ�" p ¡u�����p����w-��w�� �¯����m|�¯��m��V{����¯�����±m|�uw�����~��cÎ�Ðu¡um|���z²��uw����¯~������p{����¯�����±m|�uw����'~��'¦�� S�U P ª´�¿N�|�zw-������¡#������{����¯�����¶m��uw����N~��N¦�� S�U P ª���w���«Â��~�«u��w�m|�u�z{M����~,� p Ä�Âþñ�" p «��±�f�u����m|¢����#m|���p�����x�z���z�¶�z�����'~�������V��w-�¯�¯���°{����¯�����¶m��uw����'�®�um|���½w-���p«��z��~��×���u�p�¶w�m|�½{um|w-��~,��w��%«���ñ�� �úÂÿ�ü�ö³ü�õ)q�ÿÂõ$A¶o�ûµq�o-ö³ÿ���ü

É��z��w��u�¯�M¦ R�S�U P ªN�uw���¢���~�¢������!�F¦âá�ã�ª´¡�m|��m|�'¢�~,����m�«����x�¯~¶~���{����®�����p�z²��uw-��m�~,�u��m������u�´��w5�Nwz�½���uw-�®���������m|��w��C� ¥#w�� �®���z�|w-��m�~,��«Â�����/���z�9�����p�zm|���z��y-w��|���z�®w��u{½�zm����z��y��z� �¯~�����~��cÄ w��u{AÎ�Ð���£#�u�´�½~���{�����m����,�N�°m|�|��«����w��|���z{lt,úÂÿ�ü�ö³ü�õ)q�ÿÂõ�ú�o)ûdq�o-ö­ÿ���ü���É�����~����5{�� ÙÂ�um|���¶���u�z�½¡Â�u~�����y����z¡%�/�5����w��|�%Ù��´�¯�®{�� ÙÂ����w��u{¬���u~��Ö���uw-����������V� ¥#m|������w���ú�o�ûdq�o-ö­ÿ��H÷�q�t�õ�ú�o�� fù�q�ú�o�q³ÀÓ±*���+¹®�Ò? rÒ? �¶w-�¯��m·¥H¦ R S�U P ª'�uw��°¢u��~�¢��������F¦âá ã ª'm��2w��u{C~,�u���½m��d���������V� ¥�m|�¯���®w¶y��z� �¯~��M¿Fm|�ÇIK×�°m|����m|���¯������w���� ~�~���{um|��w-�¯�z�����u�´�����uw-� R�S�U P eBSÒ¶w��u{ YheBçf m|�5¢��|� p ¿ S ¬¿ P p BÕÅ�E9w���{C���u�´�½���uw-�D¿w��������5�z�{äT{um|�¯��m��u� �Ny�w��|�u�z���npo�ú%ú�r*玲w�ª�Ã���¦ RTS�U P ª%�uw���¢u��~�¢��������5¦âá�ãzª´¡-����������� ¥�m|�¯�d��~,�p�z�¶¢u�!�p{um���LÄ~,m������¯������ê2DFE=ê*H�EJ>J>J>kE=ê*ã¾�������p����w-� ãìí Q D ê í BÏë >�F�±w������u�5�T�����¶�¯������ê í ~��´{������z{F�¯~½���uw-�qY�|Èê í w��u{�Y´eBÌf�m��5¢��|m��z� RTS�U P BPÒM~��hfC| ê í Í D ì ê í Á D �M¦­¹��«�����~�����¡,ê*�5w���{Cê*ã Á DVw-���5�z�5¢��!�F�¯�����´ª´�/�F����w��?{�� Ù�����¿=���u�´�F���uw-�qY\Eifþ|Èê í m|�5¢��|m|�z�o¿ S BÔ¿ P w���{?�¯~���uw-�°m|��Y}|�ê í w��u{àfà|yê í Á D ì ê í Í D E p ¿ S ÂÕ¿ P p B Å�>(¿9�®m|�|���uwzy������������z²��um����z{M¢���~�¢�������m��z���Z�F�V��~��¯�V���uw-�¿lm�����~����u�um�²����z�|�±{����¯�����¶m����z{%�¦³«Âª�à �(¿¶� ¥#m��¯����¡�~,�f�����N~����������uw��u{�¡����N{��z��~��¯�N«��åê�DJE=ê,H�EJ>J>J>¥E=ê ¾ ã �¯�����2~,�f�°��m|����¿ S m|�µwx� ~,�u����w�����w-���´w������z{m|�¬w���� �z�u{�m|����~���{����z¡�w��u{l�°�u����� ¾äàB �¶w�¥S ¿ S Â]�¶m��S ¿ S >�¿'���zw-�����Cm|� R�S�U P eBÕÒNEqY�|þê í w��u{CY÷eB f��/�¶�uw�y��p ¿ S ¬¿ P p BYÅTw��u{�fA|Êê í Í D ì ê í Á D �V�°�z��� ��¡�m��@ä�m|�������5���u��«����®~���{um|�¯��m��u� �°y-w��|���z��~��K¿2Eqä±~��/�����5�¯�����ê2DFE=ê*H�EJ>J>J>FE=ê ¾ ã �°m|�|�«�����~,�½�z�5¢��!���/»°���u�z¡%¦ RTS�U P ªN��w��'¢u��~�¢��������l¦âá�ã�ª´� ð

� Ï �uvf�

��È

Page 41: Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic

�ú�o)úÂþ³þ³suok��±*����Ã��'¦ RTS�U P ªN�uw��'¢u��~�¢Â�����!�F¦âá�ãzª´¡�¦âä l # ª´¡�m|���uw��'¢u��~�¢��������¬¦âá ã f ª´¡u�®������� # d ä z d ä³>npo�ú%ú�r*ï'Ã��'¦ R�S�U P ª��uw���¢u��~�¢Â�����!�l¦âá�ãzª����p��w��C�����¿2¦�ê D ª@B Å�E+¿¾¦�ê H ªcB # EJ>J>J>kEt¿¾¦�ê ã f ª}BÏä z¿2¦�ê ã f Á D ª@B ä z  Å�E+¿¾¦�ê ã f Á H ª@BÏä z �����-������¯��m|���°~,�u����ä z {um��¯��m|�u� ��y-w��|���z� # d ä z d ä���¦Ì¿¾¦�ê í ª�{u�z��~��¯�z�L¿ S �³~���Y}|yê í ª´�2�°�z�u� �������H�¯�����ê zD E=ê zH EJ>J>J>¥E=ê zã fw-���p~�«���w�m|���z{�w���m��M�����V»�����~����z� w��u{H¦ RTS�U P ªN�uw��'¢���~�¢������!�F¦âá ã f ª´� ð

� Ï �uvf� �ú�o)úÂþ³þ³suok��±*����Ã��'¦ RTS�U P ªNm|� ï[ÿ4ÿäâ�ìÂé�ò�ï!ê,è�â w��u{½��w��'¢u��~�¢��������¬¦âá�ãzª´¡u�����z�ä!B¤¾ä!BÚ�¶w�¥S ¿ S ÂH�±m|�S ¿ S >npo�ú%ú�r*ï:�F�������z{½~,������¢���~�y��p����w-�°m���¿ S B R ¡(¿ P B R V # ���u�z�½����������� ¥�m|�¯���:Y z ���u���½����w-�+¿ S f B R V Å-�Ì������wD®«��V���u���¯���®~���w��|�YN���u�´�C���uw-�À¿ S d R ¡Âw���{Õ��Hp«��p���u�f�¯���®~���w��|�YN���u�´�C����w-�D¿ S@l�R V # ��É��������m������z{u�u��m�«�m��|m��!�5~��°¦ R S�U P ª'���������V� ¥�m|�¯���hY¿|¬� D ¡NfÝ|¬� H ���u���9���uw-� R S�U P eB×Ò#��ÉN���®���um|�°m��5¢��|m��z� p ¿ S ÂÖ¿ P p BPÅ-¡�°�um����½m|��m��5¢�~,����m�«��|�°m����wD654��HhBÏë¶� ð

� Ï �uvf��½qT�2ÿdö�õ)ö³ú�ÿ�±*���0¿Fm|�'��w��|�|�z{½�����pú�o�ûdq�o-ö­ÿ���÷�q�t�õ�ú�o�~��'¦ RTS�U P ª´��½qT�2ÿdö�õ)ö³ú�ÿ�±*���×¹�� çkÿzì#â$ÿ�ï|ãZ¹ ˧~������u�±��~)�°�Vw��u{H� ~,�|�u�¶�u�p~���w��¶w-�¯��m·¥ ¦ R S�U P ªx�°m|���¬¢u��~�¢������!�§¦âá ã ªpm|�t,úÂÿ�ü�ö³ü�õ)q�ÿÂõ,¡�m��µ�³~��°�¯~,�¶�p~���{�����m����Ty��z� �¯~��D¿d¡Z¿ S <�¿ P m|�5¢���m��z�}Y�< f��u�u{����{Ë2¡ t �³~��°w��|�*Y4Eifà|�êV��Ú���z�����V�¯¢��zw-�M~��¾w òäç�ã�ò�ï�òFö!âäã�ö/çkÿ�ì#â$ÿ�ï�ãZ¹ ¡um��°m|�°m|�5¢��|m|�z{�����w-�f¦ RTS�U P ª'�uw��'¢���~�¢������!�?¦âá�ã ª'��~��°��~,�5�´ä��à ��m|�®~�«�y�m�~,���®����w-�xm|��w��¶w-�¯�´m·¥]¦ RTS�U P ª���w��®¢���~�¢������!�H¦âá�ãzª'�����z�¬w-�����zw��¯�x~,���T� ~,�u��m��¯�¯�z���x~���{u����m|���¶~��/�������~)�°��w��u{�� ~,���u�¶�u�N~���¦ RTS�U P ª�� ¥#m��¯����� �ú�o)úÂþ³þ³suok��±*��æCÃ��ZËFm|��w±� ~,�u��m|�¯�¯�z���'~���{����´m|���5w��u{�m�� R�S�U P eBÚÒ¶w��u{6Y�< f�¡u���u�z��¿ S <�¿ P �� Ó�s ÀÈ�dþ³q�ü5ú�r#A¶o�ûµq�o-ö³ÿ���ü�F�pÙ����¯�'{�� Ù������z²��um�y-w����z���'~���{�����m����,����½qT�2ÿdö�õ)ö³ú�ÿ�±*��æ »��/~¶~��´{�����m|���,�z¡NË2¡IË z w-���pq � ö�÷#s�þ�q#ÿÂõ�m|���°��������y����,� S�U P eBÚÒ¶w��u{6Y�eBgfY}<Èf±�u��{����{ËFm��2w��u{½~,�u����m���Y�< f��u�u{����{Ë z > �ú�o)úÂþ³þ³suok��±*�9Ã��ZËFm|�'�z²��um�y-w����z���'�¯~àË z ¡ ËFm|��� ~,�u��m|�¯�¯�z����m��dw���{½~,�u����m���Ë z m|��� ~,����m|�¯�¯�z�����¿N�|�zw-������¡�m��ZËHm���� ~,�u��m|���¯�z���®~,�����¶w���m|���¯�������uw��u���V�����´Y¨���Cw��u{C������f,���C��~�� ~��°¦ RTS�U P ª´¡Â�°�������M¿ S B�¿ Pw��u{½���u�p�����×~���{����´m|���T~�«u��w�m|���z{��°m|�|�«���� ~,�u��m|�¯�¯�z�����Û�~��Wp @ ¡%�/�5�����z{l~,�u�|�C{�� Ù����f�����f~���{�����m��������z�|w-��m�~,�9��~��pw�{ML�w�� �z���p�����®¢�~,m|������«��]¦ÄÅ-�|ÅF���)ª´�´�F�¶��~)�{�� Ù��u�p�¯~,�5���!��¢�m|��w���~���{�����m|�u�,���� *�ñ�×ÙØ:¡M��²¥���LÚO,¿¢:�G¦4�M¤*©�®�¦\©¡M�M²k���,©�®k�c­$�i²k�¬���u�k��©�®M�-ñ�©�®h��­�¬Ò«¹­n¯�¯�­�¬¤�©�®M��Ø$©�®���­�¬A­4«¦×Û�ÖÜ Â Ù¬�

���

Page 42: Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic

�½qT�2ÿdö�õ)ö³ú�ÿ�±*�¦­w�ª Ë � uÒ<�u z m��

^___` ___a £ x <w£zx ~��£ x BC£ zx ¡�w��u{£ x Í D{<9£ zx Í D ~��>[>[>[>[>[>[>[>[>[>[>[>[>[>[>[>[>[>[>[>[>[>[>[>[>[>[>[>�>[>[>[>�>[>[>[>�>[>[>£ x BC£ zx EJ>J>J>kEI£ H Bl£ z H E�£ D <´£ z D

¦³«Âª Ë,D uÒ<�u z m��´xmS Q D £ S < xmS Q D £ zS¦­��ª Ë H uÒ<�u z m�� xmS Q D £ S m|�N~#{u{�w��u{ xmS Q D £ zS m|�N��y��z�¦­{�ª Ë � uÒ<�u z

¦+oÒB # ª m�� Ä £IHxm|�'��y��z�9w��u{¡£ z H m|�N~#{u{%¡�~��£IH{Bl£ z H w��u{¡£�Dh<9£IH¦³�)ª Ë4ü uÒ<�u z

¦+oÒB # ª m��^_` _a £IH�<9£ z H£IHxm|�N~#{u{�w���{£ z � £ z D£IHxm|�N��y��z�lw��u{¡£DPV´£ z D >

à �5m|�V��y#m|{��z���T���uw-�jË ��m|���z²��um|y�w����z���f�¯~�ËD��þËI��m������u���5~,���T� ~,�±�5~,�=~���{�����m����9w������u~,���,�ÑË H��uw��� ������w�m|�Cw�{�y�w�����w-���z��� fù�q�ú�o�q³ÀÓ±*��� »�����~���{u����m|���,�@ËI�ME\Ë,DFE\Ë H°w��u{/Ë � w-���®� ~,�u��m|�¯�¯�z�����2»°����~���{����´m|���!Ë4ü®m|����~���� ~,�u��m|�¯�¯�z�����³~��w��|�%�������/~��������npo�ú%ú�r*ïV¦­w�ª¿�F�V�uw�y���w������zw�{����u~��¯�z{½���uw-�hËI��m|�'�z²��um�y-w����z���N�¯~àËDz�@�F�V{�� ÙÂ����������~���{����´m|���Ty��z� �¯~��®«��¿ S B xO@ Q D £ µ S ¶@ ¦�YZB Å�E # EJ>J>J>ME\?¬ª�>¦óÈ��ÞÝ�ª

¿N���zw-�´��� R S�U P eB×Ò�w��u{�Y�eBçf�m|�¶¢��|m��z� p ¿ S ÂÕ¿ P p BPÅ-���°�z�u� �f«��M»°����~����z� ¦óÈ��|Å�ª´¡�¦ R S�U P ª'��w���¢u��~�¢��������?¦âá ã ª�°�������!äfm��N�����V���u�V«����'~��¾{um|����m|�u� ��y�w��|�u�z�'~��6¿ S �ËD°m|�'� ~,�u��m|���¯�z���°��m|�u� �M¿ S <�¿ P m|�5¢��|m��z�Tu µ D¬¶ <ûu µ P ¶ �u�u{u���{Ë,D��¦³«Âªh�F�±�uw�y��¶w������zw�{��l�¯���z�¬���uw-�¶¦ RTS�U P ª®�uw��x¢u��~�¢��������]¦âá�H�ª��®�������÷ê�DJE=ê,HTw-���5�����5�¯�������°�u����� xm@ Q D £ µ S ¶@ m|�~#{u{M~��°��y��z�%¡����z�¯¢��z� ��m�y��z�����

»��u��~���{�����m|�u�fy��z� �¯~��xm|�N�,m�y��z�C«��

¿ S B ^___` ___a Å m|� xm@ Q D £ µ S ¶@ m|�N~#{u{

Ò m|� xm@ Q D £ µ S ¶@ m|�N��y��z�?�¦óÈ��ßÈ,ª

¿N���zw-�´��� RTS�U P eBSÒ#¡IYheBgf�m|�¶¢��|m��z� p ¿ S ÂÕ¿ P p BÕÅ-�/¹��|�¯~2¿ S <0¿ P m|�5¢��|m|�z��u�µ D¬¶ <�u�µ P ¶ �u�u{u���{Ë H��/�®�z�u� �´ËIH�m|�� ~,�u��m��¯�¯�z�����¦­��ªNÛ�~���Ë � ¡����V���������u��~���{�����m|�u�fy��z� �¯~���«����,m�y��z�½«��¿ S B ^_` _a £ µ S ¶S m|�K£ µ S ¶H m|�'~#{u{£ µ S ¶S  Šm|�K£ µ S ¶H m|�'��y��z�H�¦óÈ��u�,ª

�,Ç

Page 43: Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic

¹®�,w�m|� RTS�U P eB×Ò±w��u{AY�eBçf�m��5¢���� p ¿ S ÂÖ¿ P p BPÅ-¡�w��u{Ä¿ S <0¿ P m|�5¢��|m|�z��u µ S ¶ <Bu µ P ¶ �u��{����hË � �'»����u��¡�Ë � m|�� ~,�u��m��¯�¯�z�����}�F����~��¯�p����w-��¦ R�S�U P ª'�uw��'¢u��~�¢��������¬¦âá�H�ª/�°�������!äfm��'�����p���u�V«����'~��¾{um|����m|�u� �Ny�w������z�N~��6¿µ�¦­{�ªNÌ����]p�9¶� ~,�u��m|���'~��µ�����Vy�������m|� �z��~��2w¶��²��uw-���R > � >Ë��u{����{Ë=ü�������~���{����´m|���5m|�W > Æ > R E*�kE Æ E W >

à �{Ë ü �������M� ~,�u��m|�¯�¯�z���V���M� ~,�u�|{H{u� Ù����±w���~���{�����m�����y��z� �¯~���¿§���u�´�H���uw-�Ý¿2¦ R ªåB Å-�CÉ��F���������z²��um����z{¢u��~�¢�������m|�z�N~��¸¿¬�/�V�/~,�u��{½�uwzy�� ¿2¦���ª}B # ¿2¦ Æ ª@B � ¿2¦ W ª}B+Ýw>»�����������~�����¡ p ¿2¦ W ªZÂÕ¿2¦ R ª p <×Å-¡�w5� ~,���¯��w�{�m|� ��m�~,�%� ð

� Ï �uvf� fù�q�ú�o�q³ÀÓ±*��æ Ì����±¦ R S�U P ª®«Â�5w��Ê? rC?[�±w-�¯��m·¥9�®m����l¢u��~�¢������!�=¦âá ã ª�w��u{¬�°�u�����T�����T~���{�����m|�u��~����������~)�°��w��u{�� ~,���u�¶�u�N~���¦ RTS�U P ªNm|�'� ~,�u��m��¯�¯�z�����/Ì����������V���z������w��%�z���z�¶�z����~���¦ R zS�U P ª�«����,m�y��z�½«��R zS�U P B RTS�U P ¦�YcBgf ~�� Y�V f�ªR zS�U P B ñ R�S�U P ¦�Y�< f�ª�>»����z��¡������p{����¯�����¶m��uw���� p ¦ R zS�U P ª p �z²��uw��|� p ¦ R z zS�U P ª p �®�������������p���z�u����w��%�z���z�5�z����~��'¦ R z zS�U P ªNm|�N�,m�y��z�½«��R z zS�U P B R�S�U P ¦�YZB8f�ªR z zS�U P B ñ R S�U P ¦�YheB8f�ª�>npo�ú%ú�r*ï Ï w����C�¯����� ~�� p ¦ R zS�U P ª p m|�N~��2�����p�³~����| ¦[f�¦�Y ª¯ª�B KhS Q D ¦ R zS�U P µ S ¶ ª�°�������hf�¦�Y ª�m|�'w5¢������f����w-��m�~,�M~��2������Ù��´�¯�:? m|���¯�����������

| ¦[f�¦�YĪ¯ª�B KhS Q DP µ S ¶ Q S R S�U P µ S ¶KhS Q DP µ S ¶mÞ S ñ R S�U P µ S ¶

KhS Q DP µ S ¶ � S R S�U P µ S¶ >

ÉN������m|�u� �M¦ R�S�U P ª�w��u{9�u�z�u� ��¦ R zS�U P ª���w���¢u��~�¢��������H¦âá�ã�ª°m�� R�S�U P eB×Ò#¡�Y]VÑfMm|�5¢��|m|�z�k¿ P µ S ¶ ¬¿ S B Å-¡�w��u{Y�<Èf�¦�Y ª�m|�5¢��|m|�z�K¿ S  ¿ P µ S ¶ B Å-¡u�®�������������p~��´{�����m|���Ty��z� �¯~��À¿9� ¥�m|�¯���'«��M»�����~����z� ¦óÈ��|Å�ª´���F����wzy��| ¦[f�¦�Y ª¯ª�B KhS Q DP µ S ¶ Q S R S�U P µ S ¶

KhS Q DÁ Ö � Á Â Ü Ö�Ý ñ R S�U P µ S ¶KhS Q DÁ Ö Þ Á Â Ü Ö�Ý R S�U P µ S ¶ >

Ì����kjD�«������������u��«����/~����³w�� �¯~������°m����$¿ S <�¿ P µ S ¶ w��u{lj H®«��®���������u��«Â����~����­w�� �¯~����'�°m|���%¿ S V�¿ P µ S ¶ �j,D�B KOS Q DÁ Ö � Á Â Ü Ö8Ý¿ S ÂÕ¿ P µ S ¶

��Ü

Page 44: Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic

j HhB KOS Q DÁ Ö Þ Á Â Ü Ö8Ý ¿ P µ S ¶ ÂÕ¿ SjD@ÂÖj HhB KOS Q DÁ Ö oQ Á Â Ü Ö8Ý ¿ S ÂÕ¿ P µ S ¶ BÚÒ�>»�����������~���� | ¦[f�¦�Y ª¯ª�B KhS Q DP µ S ¶ Q S R S�U P µ S ¶

KhS Q DP µ S ¶ oQ S ñ R S�U P µ S ¶�°�um����½m|��wT���z�u����w����¯����� ~�� p ¦ R z zS�U P p � ð� Ï �uvf� fù�q�ú�o�q³ÀÓ±*� Ã���ð m|�¶wl��ʨ��~,�|{ ��~,�#ʨº�����~��zm����z��y-w��|���½~��qÄ w��u{§m���Ë×m|�5w�� ~,�u��m|�¯�¯�z���¶~���{u����m|����¡/�����z�ñÝB�ð H m��/w���ʨ�³~,�|{±�zm|���z��y-w��|����~���Î�Ð��¾Ã �¤s£ m|�/�����������V«�����~�����~,�#ʨº�����~T�zm����z��y-w��|���z��~���ÄT¡������z�lß â$ÿäç m|��w��¦â?  s£ % # ª!ʨ�³~,�|{C�zm����z��y-w��|����~��cÎ�Ð��

npo�ú%ú�r*ï�É/�½»��u��~����z� È���Ò±w���{½»�����~����z� È��u�¶�����p����w-��w�� �¯����m|�¯��m��V{����¯�����±m|�uw�����~��cÎ�ж�z²��uw��|�p Î�ÐåÂXñ�" p B p ñ Ä ÂXñ�" p B ñ K�ý=H p Ä Â ñ�" p >É��½»�����~����z�`Ý��u��¡ p Ä Â ñ�" p BàÅ¢ ý=HhS Q D ¦�ñàÂþð HS ª ¦ ñ�ª K Í Å¢ E���z�u� � p Î�ÐåÂXñ�" p B ñ K Í Å¢ ý=H Å¢ ý=HhS Q D ¦�ñjÂþð HS ª�> ð

� Ï �uvf� �ú�o)úÂþ³þ³suok�¥±,�˱?à �¿Ë m|��� ~,�u��m|���¯�z����¡d�����z�F�����±��w-�¯�±~��'� ~,��y��������z�u� ��~��¿Î�ÐCm���� ¥#w�� ���|�l���°m|� �¶���u�¶��w-�¯�±~��� ~,��y��������z�u� �f~��2ÄT� �ú�o)úÂþ³þ³suok�α*�ËÊMà ��¦ RTS�U P ª/m|�'�¯�#�¶�5���¯��m��®w��u{½m|��ˬm|�'� ~,�u��m|���¯�z����¡������z���������zm|���z��y-w��|���z�N~��2Î�жw-�������zw��%w��u{��~,���u���,w-��m�y���� fù�q�ú�o�q³ÀÓ±*�«±×Ã��ZËFm|��w¶� ~,����m|�¯�¯�z���'~���{�����m����5w��u{�m��2Ä/� � � B�ð � w��u{�m��ñÝB�ð H¦óÈ�� Ç�ª �/B ñ Á ý=H �¦óÈ��ßÜ,ª�����z� Î�Р� � � B ñ��Ò>¦óÈ��ßÆ,ª

��Æ

Page 45: Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic

npo�ú%ú�r*ï�É/�½»��u��~����z� È��ÞÝ�¡*ñÝB�ð H m|�'w����zm����z��y-w��|���V~��2Î�Ðu�c�F�f�uwzy��S�Í DOP$Q D � S�U P ñÄ� P�V KOPnQ S Á D � S�U P � P B S�Í DOP$Q D � S�U P ñ µ Á> ý=H\¶ Á D � P�V KOPnQ S Á D � S�U P ñ(Á> ý=H � P >ÉN�����³~��,� S�U P eBÚÒ ¿ P B Ä ¿ S V Å fà<gY¿ S  Šf"VgY��m|��� ��������~���{�����m����5m|��� ~,�u��m��¯�¯�z����¡�«��Mv�� Ù��um���m�~,��È�� # ¡%¿�~���~,�|��w-����È��u����»������|w��¯��� ¥#¢u���z����m�~,�M«��z� ~,�5�z�ñ µ Á Ö Á D¬¶�ý=H KO Â�á �ÂCâá Ö � S�U P � P B ñ µ Á Ö Á D¬¶�ý=H ð � S B ¦�ñ D¬ý=H ðµª�� S B ñ�� S �É��½»�����~����z� È���Ò#¡ Î�ÐI� � � B ñ#�l� ð

� Ï �uvf� fù�q�ú�o�q³ÀÓ±*�ËÊ Ã��'¦ R�S�U P ª'm|�'�¯�#�¶�5���¯��m|��w���{½m���Ë?m��'� ~,�u��m|�¯�¯�z����¡u�����p�u~����¶w��%�³~����Y~��2�����p�¶w-�¯��m�¥�~��ZÎ�Ð�m|�{um|w-��~,��w��%� ¥#� ��¢���¢�~,����m�«��|�5��~��®�����p����«��±w-�¯��m·¥�w����¯~���m�w-�¯�z{��°m����M���u���zm����z��y-w��|���Vº�����~��npo�ú%ú�r*ï�à ��ñÌeB ÒCm|�fwb��ʨ�³~,�|{���~�~��f~�� p Î�Ð/Â�ñ�" p B`Ò#¡cðÏB ñ]m|�fwb��ʨ�³~,�|{���~�~��f~�� p Ä Â�ñ�" p B`Ò9«��»�����~����z� È��ÞÝ��/£#m|��� ��¦ R S�U P ª�m|���¯�#�¶�5���¯�´m|�-¡������®��~����¶w����³~����P~��Â���u�®�¶w-�¯��m�¥f~��Ä×m���{um|w-��~,��w���«��5»��u��~����z�Ý��|Åpw��u{C���z�u� �p����������� ¥#m|���P�½�|m|���zw-�´���±m|�u{u��¢Â�z��{��z�����zm����z��y��z� �¯~����®~��ZÄ� µ P ¶ ¦[f÷B Å�E # EJ>J>J>ME*�uª$>»������zm|���z��y��z� �¯~���� � µ P ¶ ¦[f1B Å�E # EJ>J>J>ME*�uª~��cÎ�ж�,m�y��z��«��¬¦óÈ��ßÜ,ª´¡Âw-���Vw��|��~±�|m|���zw-�´���±m|�u{u��¢Â�z��{��z������¤����������°m|�¯�x���������V�/~,�u��{M� ¥#m|����� ~,�u�¯��w������Y DJE Y H�EJ>J>J>¥E Y @ ��~��°w��|��º�����~±���u�´�½���uw-� @OPnQ D Y P � µ P ¶ BÚÒN>Û�~���w��|�*YZB Å�E # EJ>J>J>ME\? @OPnQ D Y P � µ P ¶S B @OPnQ D Y P ñ Á Ö ý=HP � µ P ¶S B+ÒN>£#m|��� �!ñ P eBSÒ5���um|�'m|�¶¢��|m��z� @OP$Q D Y P � µ P ¶S BÚÒ ¦�YcB Å�E # EJ>J>J>¥E\?Fª~�� @OPnQ D Y P � µ P ¶ BÚÒN>»��um��'� ~,���¯��w�{�m|� �����������­w�� �����uw-�°����� � µ P ¶ w-���V��m|���zw-������m|�u{���¢��z�u{��z����� ð

� Ï �uvf�

Ý,Ò

Page 46: Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic

fù�q�ú�o�q³ÀÓ±*��ãÚÃ��'¦ R�S�U P ª'm|���¯�#�¶�5���¯��m��-¡����u�V��~����¶w����³~����`~��cÎ�Ð ø m|�'{um|w-��~,�uw��¨�npo�ú%ú�r*ïNÉ��¶»��u��~����z�¶�/È��ÞÝTw��u{�È��u��¡����®�u���z{±~,�u�|�T����~��+���uw-�����u�����°� ¥�m|�¯��? Â�s£ % # �|m|���zw-���|��m|�u{u��¢Â�z��{��z���y��z� �¯~����5m|�H���������u�|���¯¢�w�� ��~��{Î�Ð ø �C»��u������w-���Ý?´H��|m|���zw-�´���lm��u{���¢��z�u{��z����y��z� �¯~����5m|�F���u�����u�|����¢�w�� ��~��Î�ÐFø¶�°�u~,�¯��� ~,�¶¢Â~,�u�z�����5w-���½º�����~l� ¥�� ��¢u�5�³~��5~,���6Y/|Ïê,H�w��5�±wz�H«��½�¯���z�=�zw���m������HÉ���»��u��~����z� Ý��ÞÝ�¡����������w-���´?àD@ÂÅs£ % # �|m|�u�zw-������m��u{���¢��z�u{��z���Ny��z� �¯~����®m��½���������u�|�%��¢�w�� �p~��@ÄÕ�°��m|���½y-w��um|����m|{��z����m|��w��|����~,�ê H �p¤x«�y#m�~,�u���|��¡������z���fy��z� �¯~��´�pw-���5w��|�¯~Mm|�9�����5���u�����¯¢�w�� �T~���Î ÐFø ��»����u��¡������f�¯~���w��������V«�����~����|m|���zw-�´���m|�u{u��¢Â�z��{��z����y��z� �¯~�����m|�M�����V���u�|���¯¢�w�� �p~��2Î�ÐFø�m|�?÷H V ¦â?/D@ s£# ª@BÏ?  s£# � ð

� Ï �uvf�»��uw-�M»�����~����z�eÈ�� ÇH��w�����~��M«Â�l� ¥#�¯�z�u{��z{+�¯~§w��|��� ~,�u��m|�¯�¯�z���M~���{�����m����,����w��Ú«��l����~��®�a�zw���m|����� »����u��¡� ~,�u��m�{�����wM�����,m�~,�¬�°m����¬�³~,���x¢�~,m|������uµ D¬¶ B ¦ÄÅ�EzÅ�ª$E u�µ H\¶ B ¦ÄÅ�E # ª$E u�µ � ¶ B ¦ # EzÅ�ª w��u{9u�µ ü4¶ B ¦ # E # ª�°m����M���u�p~���{�����m����jË �1��u µ D¬¶ E�u µ H\¶ E�u µ � ¶ E�u µ ü4¶ �@�F���uwzy�����~������u�Vvxm���m|�´�u�����'¸���~�«����z�Î Ð õ ¦­ÒNE # E # EJÂVÅ�ª¿BÕ¦ÄÅ�E�ÒNE�ÒNE�Ò�ª�°�������sÎ�Ð õ ¦ÄÅ�E�ÒNE�ÒNE�Ò�ªjB Ò >d»°���u�z¡dwl�um|��¢�~��¯�z���py��z� �¯~��T� ¥#m��¯�����Cà ����w��]«��¶�zw���m����?����~)�°� ���-Ò � ���uw-�f�������~����±w�����~���� ~��d���u�p�¶w-�¯��m·¥M~��cÎ�Ð õ m|� �

���� Å&%)Ý Ò Ò ÒÒ Ò Ò ÒÒ ÅEÒ ÒÒ Ò Ò Ò

� �����°m����½� ~������z�¯¢�~,�u{um|�u��«�w���m|�

¦³ÝwE # E # E Å�ª¦ÄÅ�EYÒNE ÒNE Ò�ª¦­ÒNE # E # E ÂVÅ�ª¦­ÒNE Å�E ÂVÅ�E Ò�ª$>

ÃÄ�½�������³~,�|��~)�°m|����¡ Î ���Vw��������5�±¦ R�S�U P ª'm|���¯�#�¶�5���¯��m��-�/Øxm�y��z��w���w-��«�m��¯��w-����������~���y��z� �¯~��ú�µ �\¶ B�5 µ �\¶ Âþ5¦óÈ��|Å�Ò�ª������w���� ¥#¢�w��u{ ú µ �\¶ m|�±�zm|���z��y��z� �¯~����'w���{���m|��¢�~��¯�z����y��z� �¯~����N~���Î�Ð�¦âË9� ~,�u��m|�¯�¯�z���´ª´¡�«��±»��u��~����z�`È��u���@�F��uw�y�� ú µ �\¶ BÆÅ¢ ý=HOP$Q DOä P � µ P ¶ V~å¦óÈ��|Å�Å�ª

�°������� Î�Р� � µ P ¶ � B ñ P � µ P ¶çgæ ®�¦�­]���M­4©*±J��©,£����=��¦4£M¯��2©�­�°k��­�­]��©�®k��«¹­n¯�¯�­�¬���k�:§=­n�*òâ�=§�©�¡¥���=¤R¬®M��§i®�¦\���Z¤�¡M�$�n�=¤â©��G²h£J±:�F¡M¢:������§G¦4¯����=¤�¡M¯�©�¤R¬��©�®�¤�±J¡�¦\������=�$�u­$�M¤¦¬��©�®#°¥ªi::¦$�M² ; ���J©�����­$¦$¯�¤­n�q¦�¤�§G¦$¯��n�×�¦6Ù�æM­4�,©�®M�?ëZ�����u§i®M¯���©¹ìw��­n£k¯��=¢g¦$�M²{«¹­$��¦@¤�±F¡M¦4���2�����n��­n�P¬��©�®Àç¿���J©�����­n¦4¯�¤,­n��¦�¤��u²k�nªF©�®k�����c¦4���T×ç6èMé�Ù �M��¯�°�­$©��=�J©¦­]�=§¬©�­$��¤­$«w²k�=�4���=�.é ×ç�è/�.×%éPê���Ù¬ª¥«b­4��©�®k�Z­$�i²¥�������M�tÚ õ �×[£�ÙRæM­4�2¦4�J±h�����n��­n��ªM©�®M�2®M���n®k�=¤â©�²k�=�4���=�c­$«w�k��¯u°�­4©��=�M§¬±�²¥­J�=¤�M­$©��«ª¥§=���G²h©�®k�Z�F¡M¢�£��¬�,­$«�²¥��¤â©��u�k§�©¹­n¦4¯�¡M�=¤­$«]ëNªk«¹­$�½Ú õ �ÝuÅ

Page 47: Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic

w��u{]�°������� å m|�Twl���um���w-«������|m|���zw-�T� ~,��«�m|�uw-��m�~,��~��®��m|��¢�~��¯�z����y��z� �¯~������]¹°�³�¯���2u m|�¯����w-��m�~,�u��¡�������������~��y��z� �¯~���«Â�z� ~,�¶�z� ú�µ½¸ ¶ BÆÅ¢ ý=HOPnQ D ñ ¸P ä P � µ P ¶ V Î ¸ Ð � å �¦óÈ��|Å # ª�°����������~��°��~,�5��ö d ?AE uÜ<Bö m|�5¢��|m|�z��Î�¸Ð � å � BÚÒ#�à �%�����®� ~��]����m��z������¦âá P ª2~���¦³Ý�� # �,ª��³~��������®� ¥#¢�w��u��m�~,�¶~�� ú µ �\¶ m|�±�zm����z��y��z� �¯~��´�N~���Ä w-���°�#��~��°��¡������ ä P~���¦óÈ��|Å�Å�ª'�¶w��M«Â�p� ~,�¶¢����¯�z{½�zw���m������³~���������~��´{�����m|���jËIH-�c�F���uw�y��V«��¬¦óÈ��ßܱw��u{�È��ßÆ,ª� µ P ¶ B ñ Á ý=H � µ P ¶ ¦[f1B Å�E # EJ>J>J>ME<s£ % # ª�°������� Ä/� � µ P ¶ � B�ð P � µ P ¶ à{ð P <§Ò ¦[f1B Å�E # EJ>J>J>ME<s£ % # ªw��u{½�®������� Î ÐFø � � µ P ¶ � B ñ P � µ P ¶ B�ð HP � µ P ¶ ¦[f1B Å�E # EJ>J>J>kE<s£ % # ª$>Û���~,� ¦óÈ��ßÈ,ª´¡����V�uw�y���¡���m|��� �ñ Á ý=HP B ¦ÄÅ:ÂÕ¿%ª V ñ D¬ý=HP ¿ ¦[f1B Å�E # EJ>J>J>ME<s£ % # ª� µ P ¶ B ¦¯¦ÄÅ:ÂÕ¿%ª V ¿Êñ D¬ý=HP ª � ¦[f1B Å�E # EJ>J>J>kE<s£ % # ª$>¦óÈ��|ÅF�,ªÃ �µ���V�¯��� � ¢ µ P ¶ BÕ¦ÄÅ:ÂÕ¿�ª � µ P ¶ ¦[f1B Å�E # EJ>J>J>kE<s£ % # ª¦óÈ��|Å Ý�ªm�����w��C«Â�x�zw���m�����y����´m·Ù��z{M���uw-� Î ÐFø � � ¢ µ P ¶ � BÚÒ ¦[f÷BÕÅ�E # EJ>J>J>kE<s£ % # ª$>

É��?¦³Ý��|ÅzÜ,ª´¡����V�uw�y��^___` ___a ¿ � µ P ¶ B Å# � � µ P ¶  � ¢ µ P ¶ �¦ÄÅ:ÂÕ¿%ª � µ P ¶ B Å# � � µ P ¶ V � ¢ µ P ¶ � ¦[f1B Å�E # EJ>J>J>ME�s£ % # ª¦óÈ��|ÅzÈ,ª

�����������³~���� ^____` ____a ��µ P ¶ B Å V ñ D¬ý=HP# � µ P ¶ V Å{ÂXñ D¬ý=HP# � ¢ µ P ¶¦[fjB Å�E # EJ>J>J>ME<s£ % # ª$>� ¢ µ P ¶ B Å# � µ P ¶ V Å# � ¢ µ P ¶¦óÈ��|ÅF�,ª

£�~,��y#m|���T�����z���p�z²���w-��m�~,�u�'�³~�� � µ P ¶ w��u{ � ¢ µ P ¶ ¡��/�������^_` _a � µ P ¶ B ñ Í D¬ý=HP � � µ P ¶ V ¦ÄÅ:ÂÑñ D¬ý=HP ª���¢ µ P ¶ B ñ Í D¬ý=HP � µ P ¶ V~å D ¦[f1B Å�E # EJ>J>J>ME�s£ % # ª� ¢ µ P ¶ B ñ Í D¬ý=HP �¹Âo� µ P ¶ V ¦ÄÅ V ñ D¬ý=HP ª���¢ µ P ¶ BÌÂ�ñ Í D¬ý=HP � µ P ¶ V~å H¦óÈ��|Å�Ç�ª

�°������� Î ÐFø � å D � BÏÎ ÐFø � å H � BSÒN>Ý #

Page 48: Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic

É��?¦³Ý�� # Å�ª´¡Âw���w-��«�m��¯��w-����������~���y��z� �¯~�� ú µ �\¶ ��w��C«����°��m��¯�¯�z��m|�M���u����~����ú�µ �\¶ B�Å¢ ý=HOPnQ D á P � µ P ¶ V á ¢P � ¢ µ P ¶ V K Í Å¢ ý=HOPnQ Å¢ ý=H Á D á P � µ P ¶ >Ë���m|���C¦óÈ��|Å�Ç�ª�w��u{½�����p�­w�� �����uw-� Ä/� � µ P ¶ � BÚÒ m��5¢��|m��z� Î ÐFø � � µ P ¶ � BÚÒyE���V�uwzy�� ú�µ �\¶ B�Å¢ ý=HOPnQ D ñ Í D¬ý=HP ¦âá P Â á ¢P ªk� µ P ¶ V~å¦óÈ��|ÅzÜ,ª

�°��������Î�ÐFø�� å � BSÒ��¾ÃÄ��£��z� ��m�~,�CÇ�¡��������uw��|�Â�u�¯�����um|��� ¥#¢�w��u��m�~,���¯~5������w��M��¢u¢�����«Â~,���u{±�³~��N�����������V«����~��¾m��¯����w-��m�~,���N���z²���m����z{M�¯~±�¯~,�|y��p�����xÙ��um|�¯�p{um·Ñ������z�u� ��w��uw���~��,���V~��d���u�pv�m|��m|����������¸���~�«����z�`�u��m|�u�1Î�ÐFø��Û�~���w����z������w��d� ~,�u��m|���¯�z����~���{�����m�����¡ Ë2¡���~�����y����z¡%��y��z�¬m��2�����´á P w��u{ � µ P ¶ ~��°¦³Ý�� # Ò�ª�w-��������~)�°�%¡Â�����{����¯�����±m|�uw-��m�~,�9~�������� ä P ~���¦óÈ��|Å�Å�ªx� ~,�u�|{9~,�u���½«���{u~,����«��C�¯~,�|y�m|�u�±wM�¯���®~��/�|m|���zw-���z²���w-��m�~,�u���x»��um|�®m|��¯��������y��z�C����~,���,�½���u�p�zm����z��y��z� �¯~�����¡�� µ P ¶ ~��ZÎ�бw-���p�#��~)�°�½� ¥#¢��|m|��m����|�±m|�M�¯�����¶��~��µ����� � µ P ¶ �

��

Page 49: Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic

�_ì#� Ò ( Z ^@)�ÒÌ),-�^})34'��Pj�F�5�uwzy��5�¯���z�l���uw-�x�����f��w-�¯�f~���� ~,��y��������z�u� �5~��������TÌ�m|��«��¶w��u�9ÀC������~#{l�°m����lw�� ~,����m|�¯�¯�z���®~��´{�����m|����m|�� ¥�w�� �������!�®m|� �V��������w-�¯�f~���� ~,��y��������z��� �f~��¾���u��Ô�~����¶�z�®À9������~#{%�'Ã���m|�°�|~��,m|��w����¯~Mw��¯�½�°�������u���°��������w-�¯�~��/� ~,��y��������z�u� �5~��/�����TÌ�m���«��±w��u�9À9������~#{¬� ~,�u�|{¬��~���«Â�Tm|�u� ���zw��¯�z{l«��C����m|����~���{�����m|�u�,�°�°��m|���lw-���5��~��� ~,�u��m��¯�¯�z�����

£#�u~�����������w���{1�F�z�|���������-Ò � ����w-�¯�����uw-��¡�� ¥�� ��¢u���³~������±w��|�N?H¡,���u����w-�¯�'~���� ~,��y��������z��� �®~��Â������Ì�m|��«��¶w��u�À9������~�{±w-¢u¢��|m��z{f�¯~�������vxm��´m|���u�|���2¸���~�«����z�Õm��2¢u��w�� ��m|��w��|�|��m|�u{u��¢Â�z��{��z���µ~������u�'~���{�����m|�f�°��m|���T�����'¢�~,m|�����w-���f�¯��wzy����´�¯�z{%���®�u�¶����m|��w��µ��y�m|{u�z�u� ��¡��,m|y��z�lm��C»dw-«����÷���|Å-¡�m��u{um|��w-�¯�z�°���uw-�®���u��� Ñ��z� �x~��������f~���{�����m|�u�¶~,������'��w-�¯�®~��Â� ~,��y��������z�u� �xm|�¾���±w��|�ó¡,��~���� ¥�� ���z{um|�u�¶Å # XÕm|�T�����®�5~,�¯�¾� ¥#�¯���z�5�°��w��¯�®�¯���zw-�¯�z{%¡�w��u{¶{��z� ���zw����z���w-¢�m�{u����w���? m|�u� ���zw��¯�z�z�2Û��������������¶~�����¡�m|�¶�����z�¯�°��w��¯�z�z¡�������� ~,�u��m|���¯�z����~��´{�����m|���,���/�����®��~,���u{T�¯~V�,m�y��®�����«��z�¯�µ� ~,��y��������z�u� ���¾Ã �2m|�����V� ~,�ML¯�z� �����������uw-�d�����/� ~,�u��m|�¯�¯�z���µ~���{u����m|���,�T���:������µ�,m�y��/���u��«��z�¯�µ� ~,��y��������z�u� ���Ã2�uwzy��°�u~��¾��~,�u��{5wx¢u��~�~���~��Â���um|�2� ¥�� ��¢u���³~��¾~,���°�¯¢��z��m|w��#��w��¯���¾Ã �Â�����'~���{�����m����x���z�|w-��m�~,�u���um�¢f«Â�����/���z��w����~,�����,m|y��z�±¢�~,m|����w��u{5~,���®~��/�5~����°w�{ML�w�� �z����¢�~,m|������m|������w������z{%¡#wV� ~,�u��m��¯�¯�z����~���{�����m|�u���°m|�|��m|�T���z�u����w���«���¶w�{�����~,�C� ~,�u��m|�¯�¯�z����à�m��°m|��¢u��~�y��z{C��~��®�����V�¯�z�|�2w�{�LÄ~,m|������w��¯�f���uw-�°m|�Cw����½��w��¯�������V��w-�¯�V~���� ~,��y��������z��� �m|�'��~��®m|�u� ���zw��¯�z{��

É����³~����5�,m�y#m|���������5¢u��~�~���~�������m|���³w�� ��¡µ�/�5���uw�����Ù����¯���,m�y��¶w��¬� ¥#w��¶¢����T�¯~�����~)�Õ���uw-�x�����5���z���u�|���®~��£��z� ��m�~,�9È5w-���V��~��'y-w��|m|{M�³~��°w��|��~��´{�����m|���,�z�Ê èÒ�@èMÿSA¶o�ûµq�o-ö³ÿ��Hr�ú�o®í ùdö³t�ùaõ)ùµq»v�q�ü þ�õ�ü�ú�r� �ùµq�ú�o)qNÀî±,�Èè�o)qïÉCú�õ%ðps�þ­ö³û

¿�~,����m|{�����������vxm��´m|���u�|���V¸���~�«����z� �³~��Tw9��²��uw-���������,m�~,�]�°m����H��~,�u�fm|���¯����m�~���¢�~,m|�����z�Cà �'������~��´{�����~��m|�5¢���~�y��z�5�z���°m|� Ë � û >|Å > #>u� >ÞÝ ü ���u�p���uw-��w�� �¯���´m|�¯��m|�V�z²��uw-��m|~,�½��~��°�����pÌ�m���«��¶w��u�½À9������~�{Cm|�

Å# È�� � # È�� ñ ü ÂX��ÝTñ � � BSÒ¦����|Å�ªw��u{½���u���zm����z��y-w��|���z�®w-��� ñÝBÚÒNE�ÒNE�ÒNEzÅ&%)Ý�>

Û�~��®�����VÔ�~��´�5�z��À9������~�{������p�zm����z��y�w������z��w-���ðÒBÚÒNE�ÒNEzÅ&% # EJÂ�Å&% # >»��um��°w-�������z���®m����9»°����~����z� È��ÞÝ��f¤x�9������~����u���p�uw��u{%¡Â�°m����9�����f~���{�����m|�u� Ë ü û >|Å > #>ÞÝ >u� ü �����T����w-�¯Êw�� �¯����m|����m|���z²��uw-��m�~,�½�³~��������V̵m���«��¶w�����À9������~#{�m|�

Å# È�� � # È�� ñ ü ÂÈ��È ñ � V # ñ H ÂÑñ � BÚÒNE¦���� # ªw��u{½���u���zm����z��y-w��|���z�®w-��� ñÝBÚÒNE Âå>�Ò�Å�ÅzÈ V >|Å�ÅzÜ�ÈMY\E Â!>�Ò�Å�ÅzÈ!Â8>|Å�ÅzÜ�ÈMY\E > # Ç�Ç6>

£#m��u� �j> # Ç�Ç/<ÖÅ&%)Ý�¡����u�V��w-�¯��~��2� ~,��y��������z�u� �f~��@Î�Ð`ñ�m|�����z�������uw��������V��w-�¯�V~���� ~,��y��������z�u� �f~��cÎ�Ð õ �³~�����um|�N�����,m�~,�%��F�x~�«��¯����y��®���uw-�N��������w-�¯��~���� ~,��y��������z�u� �pm|��m|�u{���¢��z�u{u�z����~��µw�� �#���|m|�°¢Â���´������w-��m|~,�±~������u�®~���{u����m|������®�z�u� ��¡u�����p�z���¯�z����m�w��|����{�m·ÑÂ�����z���'~���{u����m|���,�'w-���Ë � û >|Å > #>u� >ÞÝ ü Ë H û >|Å >u�>ÞÝ > # ü Ë zH û >|Å >ÞÝ>u� > # üË4ü û >|Å > #>ÞÝ >u� ü Ë z� û >|Å >u�> # >ÞÝ ü Ë zü û >|Å >ÞÝ> # >u� ü

Ý�Ý

Page 50: Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic

»����V~���{�����m|�u�,�{Ë �ME\Ë z� E\ËIHpw��u{�Ë zH w-���f� ~,�u��m|�¯�¯�z�����NÉ/�������¶�¶���¯����¡�m���m�����y#m|{��z�������uw-��Ë=üpm|�'�z²��um�y-w����z�����¯~Ë zü ��»���������~������um|�������,m�~,�%¡����±�uw�y������u~��°�F����w-�V�³~��V��~�~���{u����m|������w��H�����¶��w-�¯�¶~��'� ~,��y��������z�u� �M~��N�����Ì�m|��«��¶w��u�½À9������~#{½� ¥#� ���z{C���uw-���³~��°w¶� ~,�u��m|�¯�¯�z����~���{�����m������Ê�òÝ�å fù�q � ��q�t�õHú�r� fùµs�ÿ��Âö­ÿ�� õ)ù�q�v�q�þ³s�õ)ö�÷Âqan�ú�ü�ö�õ)ö³úÂÿYú�r$A±ÿµq ��� s�õ)ö³ú�ÿLö­ÿPs �ú�ÿµü�ö³ü�õ�q#ÿÂõA¶o)ûdq�o�ö­ÿ���F����~)�a¢u��~�y��xw��¯¢��z��m|w�����w��¯�x~��%�����x� ~,�MLÄ�z� ���u���®����w-�/�³~��x¦ RTS�U P ª��¯�#�¶�5���¯��m|�-¡���������w-�¯�®~��µ� ~,��y��������z��� �~��2�����pÌ�m|��«��¶w��u�½À9������~#{½��~��®w����M~���{����´m|���5{�~��z����~���� ¥�� ���z{����uw-�°��~��°w±� ~,�u��m|�¯�¯�z����~���{u����m|����� fù�q�ú�o�q³ÀîÊ,���+Ì����!Ë=«��5w½� ~,�u��m|�¯�¯�z����~���{����´m|���M~��������5��~��°�pw���{F� ~,�|�u�¶�u��~��������¶�¯�#�¶�5���¯��m��÷? rC?�¶w-�¯��m�¥?¦ RTS�U P ª���w-��m|�¯�³��m����C¦­Ò#� # ª´��à �@Ë z m|��w±�u��� ~���{u����m|���5~�«u��w�m����z{�«������uw��u�,m|���¶���������z�|w-��m�y���¢�~,��m���m�~,�½~��w����¶��m|���,���'��~��Úw��u{¶������� ~������z�¯¢�~,�u{�m|����� ~,�|�u�¶���u�u{�����Ë2¡������z�±�����°�´w-�¯�°~���� ~,��y��������z�u� �x~��Î Ð f {u~��z����~��� ¥�� ���z{������p�´w-�¯�p~��¾� ~,��y��������z��� �V~��cÎ Ð �npo�ú%ú�r*ï�É/�½»��u��~����z� È���Ò p Î�ÐåÂXñ�" p B p ¦�� S�U P ª p�°������� � S�U P B ^__` __a � S�U P ¦[fà<gYĪñ�� S�U P ¦[f"VgYĪÂ�ñ ¦[f÷B�YĪw��u{½�®��������¡�«��¬¦ÄÅ-�ÞÝ�ª � S�U P B ^_` _a Ò ¦�YcBgf�ªÂ RTS�U PRTS�U S ¦�YheBgf�ª�>à ��m|�'�zw���m|�|�±y�����m·Ù��z{½���uw-� p ¦�� S�U P ª p B p ¦�� zS�U P ª p E�°������� � zS�U P B ^__` __a � zS�U P ¦[fà<gYĪñ�� zS�U P ¦[f"VgYĪÂ�ñ ¦[f÷B�YĪw��u{½�®������� � zS�U P B ^_` _a Ò ¦�Y2Bgf�ªÂ RTS�U P R�S�U S R P U P ¦�Y�eBgf�ª�>�F���u~��¯�p���uw-�o� zS�U P m|�'�����¶�¶���¯��m|�-�É�q³ÀXÀHs Ê,����Ì����{? «�����y��z��w��u{�������ñ,D'«������u�p�|w-�����z�¯���zm|���z��y-w��|����~��ZÎ�Ð���»����z�½w��|�%����«%{����¯�����¶m|��w�������¡~�«u��w�m|�u�z{¶�³��~,�P���u�®�¶w-�¯��m�¥�¦�� zS�U P ª2«��¶{��z������m|����w��¶��y��z�M�����V«�����~��%��~��°��w��u{¶���u�®� ~������z��¢Â~,��{um|���p� ~,�|���¶�u�w-���p¢�~,��m|��m�y���¡#�°���z�ÒñÝB ñ,D �npo�ú%ú�r*ï:�F��Ù����¯�N���z�±w-��������w-��¡���m|�u� �qËFm|�'� ~,����m|�¯�¯�z���'��~��f¦�� zS�U P ª´¡�m��'m|�'w��|�¯~¶� ~,�u��m|�¯�¯�z���'��~��°w����M����«��¶w-�¯�´m·¥~��������°w-«�~�y��®�!��¢����2É��5»�����~����z�ÕÝ�� # ¡����u�°�|w-�����z�¯���zm����z��y-w��|���°~��Â���u��Ô�~����5�z�/ÀC������~#{5�³~��������®����«��¶w-�¯�´m·¥m|�����¶w��|�����¾���uw��¶��~������u���z����m|���°�¶w-�¯��m�¥Â�2ÉN����«��f»��u��~����z� È��ÞÝ�¡���������w��5�®m|�¾�¯�����'�³~���Î�Ð���£#m|��� �{? m|����y��z�%¡p Î Ð ÂXñ�" p <aÒ¶��~��®���������u«��¶w-�¯��m·¥Mw��u{C�u�z�u� �p�����f�¶w-�¯��m·¥�m|�'¢�~,��m|��m�y�����~������N����m|�z�������M�|w-�����jñ%à������������³~����p Î�Ð!ÂXñ,D@" p <§Ò¶��~������u�p����«��¶w-�¯�´m·¥Â� ð

� Ï �uvf�

Ý�È

Page 51: Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic

�®~�� �|������������~)�°�°w��u{½� ~,���u�¶�u�'~�� p Î Ð f ÂXñ�" p B p ¦ ¾� zS�U P ª p «��pw-���´w������z{��¯~¶����w-���������½w-���pm|�½���u��~���{����hË z �à �µ�����qY¬�äʨ�����z²��uw-��m�~,�½�Nw���~���m|�,m|�uw��|���¶{�m|�¯¢��|w�� �z{M���V�uw�y��¾� zS�U P B ^___` ___a �

zS�U P ¦[fà<gYĪñ�� zS�U P ¦[f"VgYĪÂ�ñ ¦[f÷B�YĪ¦����u�,ª� ¥�� ��¢u�����uw-���³~��°�¯~,�¶���M���V�¶wz�½�uw�y��^_________` _________a

^` a ¾� z@kU SGõ B»� z @kU SGõ w��u{¾� zS õ U @ B ñ=� zS õ U @ ¦�Yi�#VB�uª~��^` a ¾� z@kU SGõ B ñ=� z @kU SGõ w���{¾� zSGõnU @ B»� zSGõnU @ ¦�Yi�q<B�uª�>¦����ÞÝ�ª

à �d�u~¶���u���b�M� ¥#m��¯��� p Î�Ð!ÂÑñ�" p B p Î Ð f ÂÑñ�" pw��u{½���u��������~����z� �³~,�|��~)�°��w-��~,��� ���

É���¦����u�,ª°w��u{=¦����ÞÝ�ª´¡Â���u�f{����¯���´�¶m|�uw������ p ¦�� zS�U P ª p w��u{ p ¦ ¾� zS�U P ª p ��w��l{um·Ñ����°~,�u�|�Mm����¯�����¶��� ~,����w�m|�um|����������­w�� �¯~�����¦�� zSGõnU @ � zP U SGõ ª��°�������qY¬�1eBgf�E*�½w���{��CeBgf��»/��¢�m|��w��%�¯������~��¾�������½�¯�����±�'��~�� p ¦�� zS�U P ª p w-���U�¦[f�¦�Y ª¯ª}B ÂD� zS õ U S � � zS � U S ø ^`^`^@� zSó4U S õ } ¦[f�¦�Y ª¯ªw��u{½���u�p� ~,�5¢����z�5�z����w-���½�¯��� U�¦[f ¢ ¦�Y ª¯ª}B ÂD� zS � U SGõ � zS ø U S � ^`^`^B� zSGõ$U S ó } ¦[f�¦�Y ª¯ª�°�������´YGDFEGY¬H�EJ>J>J>¥EGY ¢ EGYi�Tw-���5{um|�¯��m|��� �®m|���¯����������¡�w��u{ } ¦[f�¦�YĪ¯ªxm|�������T����«%{����¯�����¶m��uw����®~�«u��w�m|���z{l�³��~,� ¦�� zS�U P ª«��½���z�5~�y#m|���±�����V��~)�°�°w���{C� ~,�|�u�±�u�°� ~,����w�m|�um|�u�/Yi��EGYGDFEJ>J>J>FEGY ¢ �°£#�u�´�C���u«�{u���¯�����¶m|�uw�������w-����¢�~,��m���m�y����³~��ñÊB ñ,D�«��lÌ��z�¶�±w����|Å-�5£#m��¶m|�|w-����~��´���u��w�����w��¬«��T�,m�y��z�¬�³~��������¶� ~������z��¢Â~,��{um|�����¯������~����¯���´�¶�ݾU�¦[f�¦�YĪ¯ªw��u{ ¾U�¦[f�¢�¦�Y ª¯ªN�³~�� p ¦ ¾� zS�U P ª p ��F����~��¯�'����w-�2��m|�u� ��¦ R S�U P ªµ�uw��d¢u��~�¢Â�����!�´á H ¡ £ �f�u�¯�2«��/~#{u{%�dÀC~�����~�y������³~��¾�zw����±�¯���2~����¯�����¶�z¡������'�¯���~����¯�z� ~,�u{M���u«���� ��m�¢����¾m|��~�«���w�m|���z{¶�³��~,� �����®�����/~���Ù��´�¯�/���u«���� ��m�¢����¾«��¶w��9�H0�0x���u��«�����~��%�¯��w��u��¢Â~,��m���m�~,�u��¡���z�u� �V�/�p�uw�y���w¶�u���,w-��m�y��V��m��,���

É��½»�����~����z� È��u��¡ U�¦[f�¦�Y ª¯ª}BôU�¦[f ¢ ¦�Y ª¯ª$>¹��|�¯~5�³~���ñ B ñ*Dz¡����V�uw�y�� U�¦[f�¦�Y ª¯ª d ÒN>¤x�½���u��~��������®�uw���{%¡#«��F¦����ÞÝ�ª ¾U�¦[f�¦�Y ª¯ª�B ñ � U�¦[f�¦�Y ª¯ª¾U�¦[f ¢ ¦�Y ª¯ª@B ñ Í � U�¦[f�¦�Y ª¯ª�³~��°�¯~,�5�Vm����¯������� � ��»°���������³~����� ¾U�¦[f�¦�YĪ¯ª V ¾U�¦[f ¢ ¦�Y ª¯ªZ # U�¦[f�¦�Y ª¯ª � ���� õ Q õ � B ��¦�ñ � ý=HD ÂXñ Í � ý=HD ª H U�¦[f�¦�Y ª¯ª � ���� õ Q õ � d Òy>Ý��

Page 52: Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic

£#�u�±�¶m|���f~�y����xw��|�%���u�´���¯�����°~��µ�¯�����±��¡u���p�����p Î Ð f ÂXñ D " p d p Î Ð ÂXñ D " p BSÒ6>£#m|��� ��?im|����y��z�%¡ p Î Ð f Â�ñ�" p m|��¢�~,��m���m�y��®��~��'���N����m��z�����|�¶�|w-�����!ñ%��»��u��������~�����¡��³~��'�¯~,�5�åñ z D l ñ*D�¡#�/���uw�y��p Î Ð f ÂXñ z D " p BÚÒN>¹Ö��m|�¶m|��w-�Nw-���,�u�5�z���°��w���«����u�¯�z{½�®���z�y? m|�N~�{�{%� ð

� Ï �uvf�»��u��w�������~����uw�����~��³w-���u~��¾«Â���z�±w-«����N�¯~p� ¥#�¯�z�u{5�����'¢u��~�~����¯~p��������w��¯���®���������5~����'����w��5~,��������w������

m|�'�¶w�{u�Vm|�M������~���{u����m|�����»��u�f�³~,�|��~)�°m|���������5����m|��w��d���z���������°�³~��������5vxm���m|�´�u�����x¸���~�«����z� w-���T�,m�y��z�¬�¯~�����~)�Õ���uw-�x�����T� ÑÂ�z� �p~��

wM���uw��u���5~��/~���{u����m|����m|�x���¶w��|�ó¡%m|�¬w��|�d¢u��~�«�w-«�m|�|m|�!��� Ï ¥�� ��¢u�x��~�� Ï ¥#w��¶¢����z�TÅ-¡ # w��u{Ê��¡������T�zm����z��y�w������z��³~��p�����¶��~,�?� ~,����m|�¯�¯�z����~���{�����m����,�x�/�����5~�«u��w�m|���z{¬� ¥#¢�����m|�5�z����w��|����¡}���-Ò � �j�F�±��~��¯�5���uw-�p�³~��Vw����9�����,m�~,��°m����¬��~½�5~����5���uw��¬���������T¢�~,m|�����x��y������9~��´{�����m|���Mm|�x� ~,�u��m��¯�¯�z�����T�®�z�u� ��¡�~,�F�����T¢���w��u��m�«��|�Vw������u�¶¢u��m�~,����uw-�®�����V� Ñ��z� �®~��¾{um�ÑÂ�����z����~���{u����m|���,��{u�z� ���zw��¯�z��w���? m|�u� ���zw��¯�z��¡�m|���/~,���|{�w-¢u¢��zw-�°����w-�®m��°m����|w-�����z�¯��m|�Ï ¥�w��5¢��|�¶Å-�

Ý�Ç

Page 53: Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic

»dw-«����å���|Å©����,m�~,�Cw��u{9¤���{u����m|��� ñ,D ñ,D t

¦­� ~,�u��m��¯�¯�z���°~���{�����m|�u��ª��> Å�> # >Ýw> �³> > # Ç�Ç�t > # È-Ò

�*> Å�> # > �³>ȳ>YÝw> >u�-Ò�Ç t > # Ü�È

æ,> Å�> # > �³>�³> ȳ>YÝw> >u��Æ�� t >u�����> Å�> # > �³>�³> ȳ>YÝw>

ÇT> ܳ> Ƴ> >ßÈ#ÅzÆrö�>�Ò�Ò � >ßÈ-Ò�Ò±*> Å�> # > �³>

ܳ> Ƴ>YÝw>ÇT> �³> ȳ> >ßÈ # ÒMö�>�Ò�Ò�Å >ßÈ-Ò�Ò

Ê,> Å�> # >Ýw> �³>ȳ> �³>ܳ> ÇT> >ÞÝ�Ý�Èrö�>�Ò�Ò-Ý >ÞÝ # Ü

ãI> Å�> # > �³>�³> ȳ> Ýw>ÇT> ܳ> Ƴ>Å # > Å�Å�>iÅ�ÒN> >ßÈ�Ü,ÇÀö�>�Ò�Ò,È >ßÈ,Ç)Ý�È

÷ > Å�> # > �³> Ýw>ܳ> ÇT> �³> ȳ>Ƴ> Å�ÒN>iÅ�Å�> Å # >ÅF�³> Åzȳ>iÅ Ýw> ÅF�³> >u����Ý�ö�>�Ò�Ò�Ç >u��È�È

Á§Á§Á Á§Á§Á§Á§Á Á§Á§Á§Á§ÁÎ{tAø ªk¦$§¬©¦­n¦4¯u¡k�=¤,©�­¿�F¡M¢�£����,­$«w²k�=§=��¢{¦4¯u¤�$�Ï­n�=�T�Ý�Ü

Page 54: Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic

�.ù�� m Z ^�ú÷j�^ +Pk}� [ )L�P^üû .´(�+r1 [ (*340 Y +r1 \ .´(,34'�� 3 [ 0 Z 3$'^áj¤x�����¶m��,��������¢u¢�~,�¯�����uw-��¡Âm��2w±�|w-������w����¯~,�¶w-��m|��� ~,�5¢�����m|�u�¶�¶w����um����V��w���«��p�u���z{��°m����������VÌ�m|��«��¶w��u�À9������~�{�¡����u�x����~��Ú��w-�¯��~���� ~,��y��������z�u� �V�/~,�u��{�«��x� ~,�5¢��z�u��w-�¯�z{M«��¶�������¯¢����z{�~����������¶w��´�um|������¹ �5~������w-�����­�u�dw��uw����#��m|�®����y��zw��|�x��~�����y��������uw-�������T���u��«����®~��/m��¯����w-��m�~,�u�®���z²��um����z{9�¶wz�9«����¯~M�|w-�����f���uw-����y��z��°m����½w¶�³w��¯�®�¶w����um�������������m|�5�pm��'¢u��~,�um|«�m���m�y����

Û�~��¾� ¥�w��5¢��|��¡-m��Ý���#Å � ¡,Û��,£#����{����2w��u{T����̵m�y�m����,�¯�¯~,�p¢���~�¢�~,�¯��w��¯���2~���� ~#{um|����m|�u�¯�¯�´�u� ��m�~,�u�%�³~��¾�¯~,��y#m|���w�Ú¯Ì�w-¢���w�� �pÉ/~,���u{uw-���/Þ�w�������¸���~�«��|�z�/ÛV�³~��'wT¢��|w����®�����,m�~,�M«��±�5�zw��u�N~��µ������Ë��®Ã�Þd¹°¿�¡ t w���{�����m|���f�����Ì�m|��«��¶w��u�lÀC�����u~�{%�ÏÎ?»����Tw�������~����x�¯��w-�¯�¶����w-��¢���~�«����z�¶�®�³~��xwM��²��uw-���T�����,m|~,�9�®m����C�-Ò�Ò½m����¯����y-w��|��~,�Fw��m|{u��¡�w��u{�¡�~��µ� ~,�����¯��¡u���±w��|�����������,m�~,�u��¡#w-���x�zw���m|�|�¶¢u��~�����w��±�5�z{%�/¤x�������x~����������uw��u{�¡�������w������u~����N�¶w-�����~9�z�¯��m|�¶w-�¯��~��'���������u��«����p~��°m��¯����w-��m|~,�u�p���z²��um����z{%�½¹®���/�����uw��|���¯����¡¾��~��������Mv�m|��m|���������p¸���~�«����z�i�³~��wy�-Ò�Ògr �-Ò�Ò�m����¯����y-w��2��²��uw-����¡������5Ë��®Ã�Þd¹°¿ ��~,�u�|{9���z²��um����fw-«Â~,�u� # ���zw-���x�¯~M���z{u��� �������T������~���~��/�����~���m��,m��uw����z�¯��m|�¶w-�¯�z{C�¯~,�|����m�~,�M«��Mw5�³w�� �¯~��®~��'Å�Ò�Ò�Ò#�

Û�~��±�����½���u��«�����~���m��¯����w-��m�~,�������z²��um|���z{H�¯~F���z{u�u� � ù$ú µ �\¶ ù �¯~?w¬{�� Ù��um��¯���³��w�� ��m�~,�~°?~��®m|����~��´m��,m|�uw��y-w��|����¡����V�uwzy���«��Mv�� Ù��um���m|~,�����ßÈ5w��u{�»��u��~����z�Å���u���

�|m|�²$» � ' J ¦âÎ Ð EA°#ªAý ÂC�|~���°ÂC��~�� p ñ,D p ) BÖÅ�>¦¨Ç��|Å�ªÉ��½»�����~����z�`Ý��u�¶w��u{�»�����~����z� È��ÞÝ�¡�¿�~���~,�|�|w-���MÈ��ßÈ�¡����p�uwzy��J ¦âÎ�Ð�EA°#ª}B Í ¦�; Í H ª¦¨Ç�� # ª¢u��~)y�m�{��z{�Ë]m���� ~,����m|�¯�¯�z������É��C���u�T� ~,����m|{�����w-��m|~,�u��~��N£��z� ��m�~,�þ��¡%����m|�xm|�xw��|�5~,�¯��� ������w�m|�������¯�����T�³~��pw����~���{����´m|�����

Û�~��9�����F~���{����´m|���ÑË H-¡þ�����?��w�� �¶w-���?w§�¶~����F� ¥#w�� �9�¯��w-�¯�z�5�z���9w-«�~,���M�����F���z²��um����z{Ú���u��«Â���½~��m��¯����w-��m|~,�u��� fù�q�ú�o�q³ÀÿãI���+Û�~��®w��|�P° ¦­Ò>V¡°(V×Å�ªJ ¦âÎ�Ð ø EA°�ª d ÂC��~���°�% #ÂC��~��¿ñ,D V Å�>¦¨Ç��u�,ªnpo�ú%ú�r*ï�É/�?¦óÈ��|ÅzÜ,ª´¡Â�/���uwzy�� ú µ �\¶ BÆÅ¢ ý=HOPnQ D Õ× á P  á�¢Pñ D¬ý=HP ØÙ � µ P ¶ V�å�°�������!Î ÐFø � å � BÚÒN>�»��u�z�M��~��ou l Åú µ¹¸ ¶ B�Å¢ ý=HOPnQ D

�� á P Â á ¢Pñ D¬ý=HP �� ñ ¸P � µ P ¶ >

É��?¦óÈ��|ÅF�,ª � µ P ¶S B Å V ñ D¬ý=HP# � µ P ¶S V Å:ÂXñ D¬ý=HP# � µ P ¶S >� n6®M�=�h©�®M�c°�¦4°����@� °¥�=�L¬,¦4¤¹¬,����©�©��=��ªk©�®k�Z§=­$�M¤â©���¡M§¬©��u­$��­$«w©�®k��³2� æ�� ß � ®M¦n²��k­$©±J��©£����=��§=­$¢:°M¯���©��G² �ç © ®k�.sT���=£k¢{¦$�k��í���©�®k­F²���¤§=¯��G¦4��¯�±�°k����«¹���i¦$£k¯��Z©�­�©�®M���c­$��¢:�=¤¦í��¬©�®M­F²�� ��­$©,­$�M¯�±h�u¤,©�®k���i¦4©��c­4«N§=­$�H­]�����n���M§=�Z©�¬�u§��c¦$¤¯u¦4���$�nª�£k¡k©,©�®M�2¤â©�­$�i¦$�$�@°k��­n£k¯��=¢g��¤�¤���¢:°M¯��åé��=²��� © ®k�Z­$�i²¥�������M��Ú õ ¬*¦$¤¡M¤��G²:«b­4�,©�®M��§=­F²k���M�@«b­4�©�®M�-³�� æ�� ß � �n�²­]�������å� °F�=��� © ®M�Z§�­F²k���M�}«b­$�,©�®k�2­4�i²k�������M��Ú ø ¬�­n¡k¯½²h£��­n�k¯�±q¤�¯��u�$®J©�¯�±!¢:­4����²¥�åä:§=¡M¯�©Z¦$��²!¦4°M°k��­�ª¥��¢{¦4©��=¯�±�®�¦$¯�«�¦$¤Z¢{¦4�J±�¤â©�­$�i¦4�n�}���=�n��¤â©�����¤�¬�­n¡M¯u²!£��}���E±F¡k�����G²�� © ®M��¤Z��¤c²¥¡M�@©�­{©�®k�«[¦4§�©©�®�¦\©�©�®k��­$¦$¯�¡M�=¤­4«�� Ü � ÝÖ ¬®M�¬��� øm¿ á � � Ü Ö�Ý¿ ��¤­F²M²�§�­n¢:°M¯���©���¯�±�²¥��©�����¢:���M��� Ü � � � ÝÖ ×GñZqC� � ¯?¯?¯ � Ù¬�Ý�Æ

Page 55: Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic

�®�z�u� � ù Î ¸ ÐFø � ú µ �\¶ � ù H B Å¢ ý=HOPnQ D ñ H ¸P�� á P  á�¢Pñ D¬ý=HP �� H { Å V ñ P# ~d # ñ H ¸ Í DD KOPnQ D á HP B # ñ H ¸ Í DD ù$ú µ �\¶ ù Hù Î ¸ ÐFø � ú�µ �\¶ � ù d # ñ ¸ Í �øD ù$ú�µ �\¶ ù >¦¨Ç��ÞÝ�ª

»�����������~���� J ¦âÎ�ÐFøMEA°�ª d ÂC��~���°�% #ÂC��~��¿ñ D V Å�>¦¨Ç��ßÈ,ª ð� Ï �uvf��®~f�±w-�¯�¯���/�°��w-��~���{����´m|���Vm|�/�u�¯�z{%¡������°�´w-�¯�®~���� ~,��y��������z�u� �x~���������Ì�m���«��¶w��u�¶À9������~#{�m|��y������¶����~)�p�

Û�~��,oÒB # ��������m|�5��¢�����m��¯���´w-��m�~,�%¡uw��'���z�|�%w������u�p���u��«����'~��dm|�¯����w-��m�~,�u�'m|�N~��2������~��´{����'~��@; Í H ���®�z�u� ��¡�����p�¯~���w�����m|�5�pm|�N~��2������~��´{�����~��@; Í ü �¿�~,����m|{����z¡#�³~���� ¥�w��5¢�����¡��������u�um��'��²��uw-�����°m|����; Í D B �-Ò�Ò#���F���uw�y��p«��F¦³Ý��u�-Ò�ªðZD�È Å: [ H# ¦��-Ò�Ò�ª Í Hñ*DkÈÕÅ¿Â [ H ¦��-Ò�Ò�ª Í H >£����¯��m|�u�2°1B Å�Ò Í � ¡����V�uw�y��V«��¬¦¨Ç��|Å�ªJ ¦âÎ Ð EzÅ�Ò Í � ªKÈ Â��2�|~��®Å�Ò[ H �-Ò�Ò Í H B ���³E�Ò�Ò�Ò�m��¯����w-��m|~,�u�]>Û�~��������¶Ë��°Ã�Þd¹°¿x¡%�����5�z�¯��m|�¶w-�¯�±~��������5��m|�¶�5���z²���m����z{¦­m|�F�¯�z� ~,�u{��´ª®¢����xm|�¯����w-��m�~,�F�,m�y��z�Fm��8���#Å � m|�"MD@"JH&%�Å�Ò�Òf�°�������r"MDFE@"JH°w-���������x���u��«�����~���m����¯����y-w��|��~,�����u����m�{��z��~���w�¢��|w��u�°���z� ��w����,�|���¾Ã ��~,���N��w��¯��¡�Æ-Ò�Ò

�¯�z� ~,�u{���w-���p���z²��um����z{M¢Â����m|�¯����w-��m�~,�%�»��u���¯~���w�����m|�5�����z²��um|���z{½m|����³E4�-Ò�Ò r9Æ-Ò�Ò¶�¯�z� ~,�u{u�tÈ ÅzȳE�Ü-Ò�Ò���~,������È ���-Ò±{uwz�#������u�5����m|��w����z����m|�¶w-�¯�z���³~���~����������5�z������m�º��z�'�°m|����«��x�,m�y��z�9m|�C£��z� ��m�~,�CÆ��¤�«�y#m�~,�u������¡���~��f�|w-�����à?�¡dwC�5~����¶��w-¢�m|{u���l� ~,��y������,m����9�5�����u~�{?m��p�����z{��z{%��à �H�����±��� ¥#�V�´�uw-¢u�¯���z¡2m��

m|�®����~��®�����uw-�®�����VÌ�m|��«��¶w��u��À9������~#{9��w��C«��V�5~#{um·Ù��z{�m������u�´�Cw¶�Nwz�C���uw-�°�����f�����V«�����~���m��¯���´w-��m�~,�u����z²��um����z{½m��N¢u��~�¢�~�����m�~,�uw��Â�¯~ ; Í D m|�u�¯�¯�zw�{�~��c; Í H �

È-Ò

Page 56: Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic

YÅZ[]\ (�^}) &*&�&m Z ^ �´.10c0e^áj�j�3@�,^ÇÒ¤�,^@),)2^ `*[���[ (*34+�' 3 ^Z( Z +!-Ì��µÛ/�d©°m|�´�uw-��{u��~,�%���p�5������~#{F~��'�¯�#�¯�¯�z�¶w-��m|�±~�y��������z�|w�¥#w-��m|~,���uw���w������zw�{��l«����z�H{��z��� ��m�«��z{Fm|�¬�����¶ÃÄ���¯��~-Ê{u�u� ��m|~,�%�dË���m|�u�pwxÙu¥#�z{5���z�|w�¥�w-��m�~,�5�­w�� �¯~����'¡���������w-�¯�°~���� ~,��y��������z�u� �x��w��u��~��/m|�5���z������w���«���w-¢u¢u���z��m|w-«����m|�u� ���zw��¯�z{%�T¿N~,�u��m|{����������¶vxm���m����u�����x¸���~�«����z� ��~���� ¥�w��5¢��|����ÃÄ�l�����¶��~���w-��m�~,�¬~���¦ÄÅ-�|Å Ý�ªxw��u{§¦ÄÅ-�|ÅzÈ,ª´¡d�����m|�5¢���~�y��z�5�z�����³~����f�u�|w½¦­Ò#�|ÅF�,ª'«��z� ~,�5�z�z¡µ¦­m������p����¢��|w�� �W� R S¹S «��¶�/ª´¡¦³Ã�Ã�Ãä��Ò#�|Å�ª 5 µ½¸¿Á D¬¶S BÅ� KmP$Q D � S�U P 5 µ¹¸ ¶P V � Æ S Â+¦+�Ê Å�ª¬5 µ¹¸ ¶S ¦�YZBÕÅ�E # EJ>J>J>kE\?Fª~��¦³Ã�Ã�Ãä��Ò#�|Å�w�ª 5 µ½¸¿Á D¬¶ BÅ�>!2� 5 µ½¸ ¶ � V � Æ ��F�V~�«��¯����y��p���uw-�®wTy��z� �¯~�� N� m|��w����zm����z��y��z� �¯~���~���� ! �®m����M�zm����z��y�w��|�u� Nð?m��µw��u{�~,�u���Mm��¦³Ã�Ã�Ãä��Ò#� # ª Nð N� S BÅ� KmP$Q D � S�U P N� S  ¦+�þ Å�ª N� S ¦�Y2B Å�E # EJ>J>J>ME\?¬ª$>ÉN���°m�� Ä/� � � BÏð �¦³Ã�Ã�Ãä��Ò#�u�,ª � KmP$Q D � S�U P � P Â+¦+�þ Å�ª � S B �cð � S Âa¦+�Ê Å�ª � SB � S � �cðyÂa¦+�  Å�ª � B � S �·Å:Â��°¦ÄÅ{Âþ𵪠� ¦�YcB Å�E # EJ>J>J>kE\?Fª$>»�����������~����¦³Ã�Ã�Ãä��Ò#�ÞÝ�ª �>!�� � � BÃ�·Å:Â��°¦ÄÅ{Âþ𵪠� �w��u{ �·Å{Â��°¦ÄÅ:Âþ𵪠�m|�'w��C�zm����z��y-w��|����~����"!��

É��½»�����~����z� ���|Å-¡�¿�~���~,���|w-��� # ¡=�>!��°m|���Â� ~,��y��������Tm��µw���{½~,�u����m��¦³Ã�Ã�Ãä��Ò#�ßÈ,ª p Å:Â��°¦ÄÅ¿Âþ𵪠p V Å�³~��°w��|���zm����z��y�w������z�{ðF~��ZÄT�

Û�~��������Vvxm��´m|���u�|���N¸���~�«����z��¡uw��|�,ðHw-���V���zw��ó�/À9~�����~)y����z¡Âm|��ðZD°m|�������V�|w-�����z�����zm����z��y�w��|�u�p~��cÄ1E�¦�Â{ðZDäªm|�N���������¶w��|���z����«��½»�����~����z� Ý��u�5w��u{½������w-«Â~)y��p���z²��um����z�¶�z����m|�N�z²��um�y-w����z���'�¯~¶�����V� ~,��{um���m�~,�¦³Ã�Ã�Ãä��Ò#�u�,ª Ò�Vû�BV #

Å V ð D >»�����������~�����¡����u����w-�¯��~��d� ~,��y��������z�u� �f��w��u��~���«���m|�u� ���zw��¯�z{M«��MwT�­w�� �¯~��°~��µ�¶~��������uw�� # %#¦ÄÅ V ð D ª/�°�um����m|�Ny������½����m��,�����|�±�����zw-�¯���®���uw���~,����¡u��m|�u� �qðZD°m|�'m|�M���z�u����w���y������M���zw-���|��~,�����

¹��T�¯��w-�¯�z{=¢u����y#m�~,�u���|��¡d©®m|���uw-�´{u�¯~,��y�w-��m|�z{C� ~,���zw��´�m��¯����w-��m�~,���lÛ�~��5���u��vxm���m����u�����f¸���~�«����z�½¡2�����m|�5¢���~�y��z�5�z�����³~����f�u�|wT�¶wz�M«�������m|�¯�¯�z�

¦³Ã�Ã�Ãä��Ò#� Ç�ª 5 µ½¸¿Á D¬¶S BÅ� ¸ KmPnQ D � S�U P 5 µ½¸ ¶P V � ¸ Æ S Âa¦+� ¸  Å�ª¬5 µ¹¸ ¶S ¦�YZBÕÅ�E # EJ>J>J>kE\?FªÈ#Å

Page 57: Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic

~��¦³Ã�Ã�Ãä��Ò#� Ç�w�ª 5µ½¸¿Á D¬¶ BÅ�>! � � 5�µ½¸ ¶ � V � ¸ Æ �à �¦³Ã�Ã�Ãä��Ò#�ßÜ,ª ú µ �\¶ B�5 µ �\¶  56B Km@ Q D á @ � µ @ ¶�°�������1· � µ @ ¶�º m|�'���u��~�������~,��~����±w����¯����~��d�zm����z��y��z� �¯~�����~��2ÄT¡u���u�z��m�����w���«����zw���m����±y�����m�Ù��z{½���uw-�¦³Ã�Ã�Ãä��Ò#�ßÆ,ª ú µ½¸ ¶ BÏ5 µ½¸ ¶ Âþ5�B Km@ Q D á @ � µ @ ¶ ¸�Á Q D ¦ÄÅ{Â�� Á ¦ÄÅ:Âþð @ ª¯ªw��u{¦³Ã�Ã�Ãä��Ò#�|Å�Ò�ª ù$ú µ½¸ ¶ ù H B Km@ Q D á H@ ¸�Á Q D ¦ÄÅ:Â�� Á ¦ÄÅ{Âþð @ ª¯ª H �»����u��¡u���u�V� Ñ��z� �®~����u��m|���>��< # %#¦ÄÅ V ðZD´ªN~,�9~,���fm��¯����w-��m�~,�9m|�°� ~,�5¢��z�u��w-�¯�z{C«��½�u��m|�����ÅVÖÅp~,�9~��������m��¯����w-��m|~,�u����É��?¦³Ã�Ã�Ãä��Ò#�ßÆ,ª´¡u�/�p�u~��¯�p���uw-�°m��dw��½�zm����z��y�w������qð @ m��N����~)�°�½� ¥�w�� �����M�����p� ~��]����m��z���há @ ~��2������ ~������z��¢Â~,��{um|���5�zm����z��y��z� �¯~��V��w��9«��V���z�5~)y��z{l~,�9~,�u��m��¯����w-��m|~,�C«����¯���¯��m|���d�8BPÅ&%#¦ÄÅ�ÂÈð @ ªp��à �9�­w�� ��¡�m|�w��|�*ð @ EV¦��àB Å�E # EJ>J>J>ME\?¬ª´¡��/�����V����~)�°�%¡������V������~��°� ~,�u��{M«Â�����z{u�u� �z{½�¯~¶º�����~±w-���¯����? m|�¯����w-��m�~,�u���

ÃÄ�T¢u��w�� ��m|� ���u~�����y����z¡�w��|�������:ð @ w-���'�¯�z�|{�~,� �#��~)�°�5w��u{T��y��z�¶m�������������������¡,���u�����u��«����2~��Âm��¯���´w-��m�~,�u���~,�u�|{�«Â��¢u��~,�um|«�m���m�y��¶«��?�����½w-«�~�y��½�5�����u~�{%�¬©°m����uw-��{��¯~,���´��~,�¯�½y-w��|���z��~��P�Öw-¢u¢u��~�¥#m|�±w-�¯�z���?��y��z�u����¯¢�w�� �z{Cm|�M�����p��w��u���

Ò�Vû�ÍV ÅÅ:Âþð D

m|�½w���w-�¯�¯�z�¶¢u�°�¯~¶���z{u�u� � ¸hÁ Q D ¦ÄÅ:Â�� Á ¦ÄÅ{Âþð @ ª¯ªw��°���um��³~����¶���¶w��°¢Â~,����m�«������³~��°w��|�*ð @ ��®~�����y����z¡��³��~,� ���u�5����m���w��µ�¯����{um��z����~��pwM��²��uw-���T�����,m|~,�9�®m���� # Ò½m|���¯����y�w��|��~,�FwM��m|{u�M¦³�°�u�����5w��|�2ð @w-���®����~)�°��ª´¡#m��/w-¢�¢Â�zw-�´��{�~,��«��¯�³�u�u���uw-���������,w�m|��m|�±� ~,��y��������z�u� �x��w-�¯�x� ~,�u�|{±«Â���¶w�{��®�¯~V� ¥�� ���z{½wp�­w�� �¯~��~��dÙ�y���¡�� ¥�� ��¢u�°«���w¶y������M��~��������uw-�¯�p����~,m�� �p~��2�����W� Á �¹��x�¯��w-�¯�z{¬m|�C���u��ÃÄ���¯��~�{u��� ��m�~,�%¡�~,�u�f��w��l«��C���u��� �z����m�y��z�����5~#{um��³��m����5�����fy�w��|�u�z�°~��@5 µ½¸ ¶S w��u{9����m|��������ay�w��|�u�z�/w����¯~�~,�±w����������¶w-����wzy-w�m|�|w-«�����¡��u�¯�@L¯�u����~,����� �uâ�ì ���z�|w�¥�w-��m�~,�±�­w�� �¯~��z¡�w��u{±�����/~�«u��w�m���w��|w-�����m|�u� ���zw��¯�±m|�¬��������w-�¯�¶~��'� ~,��y��������z�u� ����»�����m|�5¢u��~)y��z�5�z���p��~��´���u��wM��~���������£#�u��� �z����m�y���¤�y��������z�|w�¥�w-��m�~,�À9������~�{Cm|��¡um|�M��������~���w-��m�~,�½~���¦ÄÅ-�|Å Ý�ª'w���{H¦ÄÅ-�|ÅzÈ,ª´¡�«��F¦­Ò#�|ÅzÈ,ª

¦³Ã�Ã�Ãä��Ò#�|Å�Å�ª 5 µ½¸¿Á D¬¶S BÅ� ' S�Í DmPnQ D � S�U P 5 µ½¸¿Á D¬¶P V KmP$Q S Á D � S�U P 5 µ¹¸ ¶P )  ¦+�  Å�ª¬5 µ¹¸ ¶S V � Æ S~��¦³Ã�Ã�Ãä��Ò#�|Å�Å�w�ª 5 µ½¸¿Á D¬¶S B Î Ð U ! � 5 µ¹¸ ¶ � V � Æ �

È #

Page 58: Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic

���#� fÑ3@�,^}'M� []` .^�j [ '1- fÑ3@�,^}'M�1^@02(�+�)2jÃÄ�T~���{����¾�¯~V�¯����{��V�����'�´w-�¯�'~��Â� ~,��y��������z�u� �®~��������®£��u��� �z����m�y��®¤xy��������z�|w�¥�w-��m�~,�5À9������~�{�¡,�/�®���uw��|�#w��uw�����º���������zm|���z��y-w��|���z�/w��u{5�zm����z��y��z� �¯~�����~��,Î�Ð U !��Z�F�°���z���¯��m|� �¾~,�������z��y��z���¯~������°��w��¯�®�°�������V¦ RTS�U P ª2�uw���¢u��~�¢��������¦âá�ã�ª�w���{½�°�����������u��~���{�����m|�u�/ËFm|�'� ~,�u��m|���¯�z����� fù�q�ú�o�q³À ÷ ��� Î�Ð U !�� N� � B N ñ N�¦óÜ��|Å�ªm��dw��u{½~,�u���Mm�� � ^` a S�Í DOPnQ D � S�U P N ñ N� P�V KOP$Q S Á D � S�U P N� P � ��  ¦+�þ Å�ª N� S B N ñ N� S ¦�YcB Å�E # EJ>J>J>ME\?¬ª�>¦óÜ�� # ª»�����¢���~�~��dm|��m|�±�5�z{um|w-�¯�x«��F¦³Ã�Ã�ô��Ò#�|Å�Å�ª´� fù�q�ú�o�q³À ÷ ���×Ã�� Ä/� � � B�ð � Nñ V ¦+�þÂaÅ�ª B �cð N ñ D¬ý=H¦óÜ��u�,ª N� B Nñ Á ý=H �¦óÜ��ÞÝ�ª�����z� Î�Ð U !2� N� � B N ñ N� E¦óÜ��ßÈ,ª�°�������M¿lm|�'���u�"��DE0��6D�����F$7���3&����Dä¡d¦­�¯���f£#�z� ��m�~,�CÈ,ª´�npo�ú%ú�r*ï'Ã�� N� S B N ñ Á Ö ý=H � S ¦�YZBÕÅ�E # EJ>J>J>kE\?Fª w��u{Cm��N ñ V ¦+�Ê Å�ª@B �cð¹N ñ D¬ý=H�����z� � ^` a S�Í DOPnQ D � S�U P N ñ N� P�V KOPnQ S Á D � S�U P N� P � �� Âa¦+�Ê Å�ª N� SB � ^` a S�Í DOP$Q D � S�U P N ñ%^Mñ Á Ö ý=H � P V KOP$Q S Á D � S�U P N ñ Á Ö ý=H N� P � �� Âa¦+�þ Å�ªEN ñ Á Ö ý=H � S >ÉN�����³~��,� S�U P BÚÒ#¡u���V�uw�y�� ¿ P B Ä ¿ S V Å ¦[f <gY ª¿ S  Š¦[f¶VgY ª�®�z�u� ��¡u���V�uwzy�����~��°�����V�|w��¯�'� ¥#¢u���z����m�~,���Nñ µ Á Ö Á D¬¶�ý=H ^_` _a KO Â�á � âá Ö � S�U P � P

� _�_� Âa¦+�þ Å�ªEN ñ Á Ö ý=H � S B � �cð¦N ñ D¬ý=H Âa¦+�  Å�ª � N ñ Á Ö ý=H � S E'«��F¦³Ý��u�-w�ª´¡�w��u{B N ñ N� S ¦�YZB Å�E # EJ>J>J>ME\?Fª�E«��¬¦óÜ��u�,ª´�N�°�z��� ��¡ N��m��'w����zm����z��y��z� �¯~���w���{ N ñ�m���w��½�zm����z��y�w�������~��cÎ�Ð U !�¡u«���»��u��~����z� Ü��|Å-� ð

� Ï �uvf�

��

Page 59: Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic

fù�q�ú�o�q³À ÷ ��æ Ã�� Ä/� � � B�ð � w��u{ ð H � H Â?Ý�¦+�þ Å�ª B Ò¦óÜ��u�,ª Î�Ð U !2� N� � B N ñ N�Nñ V ¦+�þ Å�ª B �cð N ñ D¬ý=HN� B N ñZÁ ý=H �N� z B WW N ñ N�1BÕ¦ ¿ #  Å�ª N ñ µ Á ý=H\¶ Í D �¦óÜ�� Ç�ª�����z� Î�Ð U !�� N� z � BSN ñ N� z V N�I>¦óÜ��ßÜ,ª�F����w���� N� z w��´�+�47<��D������=�T7��*3H����DN~��cÎ�Ð U !H�npo�ú%ú�r*ïÉ�q³ÀXÀHs ÷ �â��à �2Î�Ð U !�� N� � B»Nñ N�����u�z� Î�Ð U !2� N� z � B N ñ N� z V N�m��dw��u{½~,�u���Mm��N ñ N� zS V N� S B � ^` a S�Í DOP$Q D � S�U P ¦ N ñ N� zP V N� P ª V KOPnQ S Á D � S�U P N� zP � �� Âa¦+�Ê Å�ª N� zS E ¦�YZBÕÅ�E # EJ>J>J>kE\?Fª�>¦óÜ��ßÆ,ª

»�����¢���~�~��dm|��m|�±�5�z{um|w-�¯�x�³��~,� ¦³Ã�Ã�Ãä��Ò#�|Å�Å�ª´��F�f�uwzy��p�³~��°w��|�Y2B Å�E # EJ>J>J>ME\?� ^` a S�Í DOPnQ D � S�U P ¦ N ñ N� zP V N� P ª V KOP$Q S Á D � S�U P N� zP � �� Âa¦+�Ê Å�ª N� zSBÅ� ^` a S�Í DOPnQ D � S�U P N ñ Á? ý=H { ¿ P# ~ � P}V KOPnQ S Á D � S�U P { ¿ P#  Š~ N ñ µ Á> ý=H\¶ Í D � P � �� Â+¦+�Ê Å�ª { ¿ S# §Š~ Nñ µ Á Ö ý=H\¶ Í D � S >£#m|��� � ¿ P B Ä ¿ S V Å fà<gY¿ S  Šf"VgY�����V��w��¯�'� ¥�¢����z����m�~,�M«��z� ~,�5�z�� Nñ µ Á Ö ý=H\¶ Í D { ¿ S  Å# ~ KOPnQ D � S�U P � P Âa¦+�ÊÂaÅ�ª N ñ µ Á Ö ý=H\¶ Í D { ¿ S#  Š~ � S >É��?¦³Ý��u�-w�ª´¡����p�uwzy�� N ñ µ Á Ö ý=H\¶ Í D þ � { ¿ S ÂaÅ# ~ ð N ñ D¬ý=H Âa¦+�Ê Å�ª { ¿ S#  Š~ � � S >£����¯��m|�u� �cð N ñ D¬ý=H B ¦+�Ê Å�ª V Nñ w��u{ ð H � H ÂHÝ�¦+�þ§Å�ª}B+Ò �/�p�����Nñ B ¦+�þ Å�ª w��u{ ð2�ÈB # N ñ D¬ý=H >

È�Ý

Page 60: Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic

�®�z�u� ��¡u���V�uwzy��

þ # N ñ µ Á Ö ý=H\¶ Í D ÂiNñ { ¿ S#  Š~ � N ñ µ Á Ö ý=H\¶ Í D � S B þ N ñ { ¿ S#  Š~ V N ñ � N ñ µ Á Ö ý=H\¶ Í D � SB Nñ N� zS V N� zS ¦�YZB Å�E # EJ>J>J>ME\?¬ª�>»��������u��~����z� �³~,�|��~)�°�N«��MÌ��z�±�¶w±Ü��|Å-� ð

� Ï �uvf� �ú�o)úÂþ³þ³suok� ÷ ���CÃ��x¦ R�S�U P ª�m��������¶�¶���¯��m|�Tw��u{Fm���ð=m���wK��ʨ�³~,�|{¬��~�~���~�� p ÄÌÂÑð�" p BPÒ½w��u{F��w-��m|�ÄÙ��z�¶¦óÜ��u�,ª´¡�����z�F���u�����5� ¥#m��¯�O�¬�|m|���zw-�´���Cm|�u{u��¢Â�z��{��z�����zm����z��y��z� �¯~����fw��u{��F�|m|�u�zw-������m|�u{u��¢Â�z��{��z���xm|��y�w-�´m|w����xy��z� �¯~����~��cÎ�Ð U !Cw����¯~#��m|w-�¯�z{C�°m����M�����p�zm|���z��y-w��|��� Nñ��,m�y��z��«��F¦óÜ��u�,ª´� fù�q�ú�o�q³À ÷ � Ã��1ð S EZY2BÕÅ�E # EJ>J>J>kE\?�¡,w-���N�����N�zm����z��y�w��|�u�z�µ~���ÄÚw��u{Tm�� �8<×Å-¡,�����z�Tw��|�������N�zm����z��y�w������z�~��cÎ�Ð U !Cw-���p�,m|y��z�½«�� N ñ V ¦+�Ê Å�ª@BÅ�cð S Nñ D¬ý=H¦óÜ��|Å�Ò�ªÀl�u����m�¢���m|��m���m��z�/~��µ���u�p�zm����z��y�w��|�u�z��w-���p¢u���z�¯����y��z{%�npo�ú%ú�r*ï�Ì���� p Î Ð U ! ÂiNñ�" p B p N� S�U P p ¡u�®��������«���»��u��~����z� Ü��|Å-¡

N� zS�U P B ^___` ___a Â�¦+�ÊÂaÅ�ª2ÂiNñ YZBgf��� S�U P Y�V fNñ4��� S�U P Y�< fÉ��½»�����~����z� È��u��¡ p ¦�N� zS�U P ª p B p ¦�N� z zS�U P ª p ¡��°�������N� z zS�U P B ^` a Â�¦+�Ê Å�ªZ N ñ ¦�YcBgf�ªE¦�YcBÖÅ�E # EJ>J>J>kE\?FªN ñ D¬ý=H � S�U P ¦�Y�eBgf�ªE¦�YcBÖÅ�E # EJ>J>J>kE\?Fª»�����������~���� p Î�Ð U ! ÂCN ñ�" p B � K N ñ K�ý=H ����� ÄÏ ¦+�  Å�ª V N ñ� Nñ D¬ý=H " �����B � K N ñ K�ý=H KhS Q D ÐNð S  ¦+� §Å�ª V Nñ��Nñ D¬ý=H Ò

B KhS Q D ¦+�cð S N ñ D¬ý=H  ��¦+�  Å�ª V N ñ � ª$>»�����������~�����¡ p Î�Ð U !àÂiNñ�" p y-w��um|���u�z�'m��µw��u{�~,�u���Mm���cð S N ñ D¬ý=H BÕ¦+�þ§Å�ª V N ñþE�°m����½�f�u����m|¢��|m|��m���m|�z��¢u���z�¯����y��z{%� ð

� Ï �uvf�

È�È

Page 61: Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic

fù�q�ú�o�q³À ÷ �«± Û�~��P�8<×Å-¡um|��¦ RTS�U P ª�m|�'�¯�#�¶�5���¯��m��-¡������p��~����¶w����³~����Y~��2�����p�¶w-�¯�´m·¥�~��ZÎ�Ð U !9m|�'{�m|w-��~,�uw��� ¥�� ��¢u�°�³~��������V����«��¶w-�¯��m�¥�w����¯~#��m|w-�¯�z{9�°m�����N ñµ¦�ðµªN{�� Ù��u�z{½«��?¦óÜ��u�,ª'�°�������qð H � H ÂHÝ�¦+�  Å�ª}BÚÒ#��ÃÄ�½������|w-�¯�¯������w��¯��¡%m��Zð�m��®w(��ʨ��~,��{C��~�~��°~�� p Ä Â ð�" p BÖÒ±m|�C�����f�u~����¶w����³~����½¡Â�����Tw����¯~#��m|w-�¯�z{¬����«��±w-�¯��m·¥½�uw��# ��{um|w-��~,�uw����z���z�5�z�����/�z²��uw����¯~N ñµ¦�ðµª�w��u{±�uw��Nw����¯���´�uw-��m|���pº�����~,��w���{±~,���z�Nm|�±�����®{�m|w-��~,�uw��Âm|�¶�5�z{um�w-�¯�z���«��z��~�� �����p�¶w�m|�½{um�w-��~,�uw��ó�

npo�ú%ú�r*ﮣ�~,��y#m|����¦óÜ��u�,ªN�³~��1N ñ D¬ý=H ¡u�/�V�����Nñµ¦�ð S ª D¬ý=H B �cð S ö ¦ � H ð HS Â?Ý�¦+�þ§Å�ª# >¦óÜ��|Å�Å�ª

à �?�8<×ÅVw��u{½m��-� H ð HS ÂFÝ�¦+�  Å�ª�eBÚÒ#¡u���p�����®�!��~±{um|�¯��m��u� �'�¯~,�|����m�~,���Nñ z ¦�ð S ª D¬ý=H B �Zð S V ¦ � H ð HS Â?Ý�¦+�þ Å�ª#¦óÜ��|Å # ªN ñ z z ¦�ð S ª D¬ý=H B �cð S  ¦ � H ð HS Â?Ý�¦+�  Å�ª# >¦óÜ��|ÅF�,ª

É��½»�����~����z� ¦³Ý��u�,ª´¡������V�u~,�#ʨº�����~¶�zm����z��y-w��|���z�'~��cÄ ~#�������®m|�M¢�w�m������Z�F���u~��¯�p���uw-�Nñ z ¦�ð S ª D¬ý=H B  N ñ z z ¦�Â{ð S ª D¬ý=H¦óÜ��|Å Ý�ª Nñ z z ¦�ð S ª D¬ý=H B  N ñ z ¦�Â{ð S ª D¬ý=H >¦óÜ��|ÅzÈ,ª»��������pw-���p���������p��w����z�°�¯~±� ~,����m|{����¦­w�ª�à � � H ð HS ÂHÝ�¦+�þ Å�ª¿<§Ò(��F�x�������!��~f{um��¯��m|�u� ��¡����zw���¢�~,��m|��m�y���y-w��|���z� Nñ z ¦�ð S ª�w��u{ N ñ z z ¦�ð S ª�w��u{��!��~f{um��¯��m|�u� ���zm|���z��y��z� �¯~����'{u� Ù����z{«��F¦óÜ��ÞÝ�ª´��»����p¢�w�m���~��¾�zm����z��y��z� �¯~����xw����¯~#��m|w-�¯�z{9�°m�����ð S w-���f�����zw-�����½m|{u�z����m|��w����°m����½������¢�w�m��°w����¯~���m�w-�¯�z{�°m���������~,���pw����¯~#��m|w-�¯�z{½�°m����CÂ{ð S «��¬¦óÜ��ÞÝ�ª´¡d¦³Ý��|ÅF�,ªNw���{?¦óÜ��|Å�Å�ª´��»����u��¡��³~����zw����½¢�w�m��p¦�ð S EJÂhð S ª/��w-��m|�����#m|���¦³Ý��u�,ª´¡°���C�������!��~=�|m|���zw-���|�]m|��{���¢��z�u{��z���5�zm����z��y��z� �¯~��´��~��!Î�Ð U !�� ¤���� ~,�����¯��¡®m��,�Ü< Å�EGð S eB Ò]��m|�u� �� H ð HS <Ý�¦+�þ§Å�ª´�¦³«Âª�à � � H ð HS ÂHÝ�¦+�þ Å�ª¤V§Ò(�ÃÄ�F���um|�V��w��¯��¡µ���¶�������!��~9{um|����m|�u� ��� ~,�5¢���� ¥¬�zm����z��y�w������z� N ñ z w��u{ N ñ z z �u�����z����ð S BLÒ#��Ã���ð S BLÒCm|�pw��ʨ�³~,�|{½�zm����z��y�w�������~��cÄÕ�/�V������«��?¦óÜ��ÞÝ�ª´¡R�½�|m|���zw-�´���±m|�u{u��¢Â�z��{��z�����zm����z��y��z� �¯~����®~��ZÎ�Ð U !C�°m����M�zm����z��y-w��|���N ñÝB Â�¦+�Ê Å�ª´�/Ã��2ð S eBSÒ N ñ z ¦�ð S ª D¬ý=H B �cð S V Y U S# E N ñ z z ¦�ð S ª D¬ý=H B �cð S ÂþY U S#�°�������

U HS B+Ý�¦+�þ Å�ªZÂ�� H ð HS < Ò½�¹��°m|�H¦­w�ª´¡Â���V~�«u��w�m|��� ¥#w�� �����½���/~M{um|����m|�u� �'� ~,�5¢���� ¥½�zm����z��y��z� �¯~�����~��@Î�Ð U !C�³~��°�zw��´�l¢�w�m���~��2�zm����z��y�w������z�¦�ð S EJÂ{ð S ªN~��ZÄT��Ã��2ð S m��'w"��ʨ��~,��{½�zm����z��y�w��|�u��¡u�/��~�«���w�m|���½�������½¢�w�m|�����¦­��ª�à � � H ð HS ÂHÝ�¦+�þ Å�ª@BÚÒ(��F��~�«u��w�m|�Cm��M���um|����w��¯�fm|��y�w-��m�w����'y��z� �¯~����®«��M»°����~����z� Ü��u����à �2ð S m|������¢��zw-�¯�z{b�M��m|�¶�z��¡����������fw-������|m|�u�zw-������m��u{���¢��z�u{��z���'�zm����z��y�w��|�u�z�°w����¯~#��m|w-�¯�z{9�°m����bN ñµ¦�ð S ª'w��u{w�½m|��y�w-�´m|w����°y��z� �¯~�����«��9¿�~���~,�|�|w-���½Ü��|ÅV~��»�����~����z� Ü��u��� ð

� Ï ��vf�

��

Page 62: Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic

Ì����/�u������¢��|w�� �1N ñ D¬ý=H ~��%�z²��uw-��m|~,�9¦óÜ��u�,ª�«����fw��u{/ð9«���¼��c�F�®~�«u��w�m��¶��������~,����~)�°�¯�#m��¯��w����¯��~��´�¶w-��m�~,�� V ¦+�Ê Å�ª�� Í D B �¡¼ >¦óÜ��|ÅF�,ª

£�~,��y#m|���T�³~�����¡u���V�uw�y���´B�� � ¦�¼�ª}B �¡¼0ö�� � H ¼ H Â?Ý�¦+�þ Å�ª#¦óÜ��|Å�Ç�ª

����

¦óÜ��|Å�Ç�w�ª^___` ___a � z� ¦�¼xª}B �¡¼ V � � H ¼ H ÂHÝ�¦+�þ Å�ª#� z z� ¦�¼xª}B �¡¼  � � H ¼ H ÂHÝ�¦+�þ Å�ª#

¦óÜ��|Å�Ç)«Âª R � ¦�¼xª�BÚ�¶w�¥�¦ p � z� ¦�¼�ª p E p � z z� ¦�¼�ª p ª´��F���u~��¯�p���uw-� R � ¦�¼xª@B R � ¦�Âo¼xª´� fù�q�ú�o�q³À ÷ �ËÊ Ã��Zá m���w5¢�~,��m���m�y��x���zw���� ~,�u�¯��w����®w��u{½m����Q}BÕÅ V û Å: Å: á Há ü H¦óÜ��|ÅzÜ,ª

�����z�¦óÜ��|ÅzÜ-w�ª p � ��� ¦�¼�ª p H B p �áQZ Šp ��~���w��|�����zw��L¼´E�¦ p ¼ p d áxªw��u{¦óÜ��|ÅzÜ�«Âª ���/¦+�/ª@B �|�u«Í ���! "�#� %$�&('*)

p R � ¦�¼xª p H < p �áQ2 Špm��?� eB �áQ �npo�ú%ú�r*ï:�F��w��������5��������~,���,�u~,���'���uw-�o¼ m|�N���zw��ó�É�q³ÀXÀHs ÷ ����à � ¼ H V Ý�¦+�Ê Å�ª� H� � ¦�¼�ª'm|�'� ~,�5¢���� ¥Mw���{ p � � ¦�¼�ª p H B p �Ê Šp �npo�ú%ú�r*ï�»�����¢u��~�~��d��~,�|�|~��°�N�³��~,� ¦óÜ��|Å�Ç�ª´�

ð� Ï �uvf�É�q³ÀXÀHs ÷ �[æCà � ¼ H D <¡¼ HH < Ý�¦+� §Å�ª� H�����z� R � ¦�¼�D䪿< R � ¦�¼{H�ª�>npo�ú%ú�r*ïxÉ���¦óÜ��|Å�Ç�w�ª�w���{]¦óÜ��|Å�Ç)«Âª´¡%���T�¶wz�Cw������u�5�ݼ�DFEA¼{Hp¢�~,��m���m�y���¡Âm��¾������w-���T�����f��m��,�9~��¾�������´w�{um|��w��

w���¢��|�u���

R � ¦�¼�Däª2 R � ¦�¼{H�ª B �°¦�¼�D@¬¼{H�ª V ¦ � H ¼ H D Â?Ý�¦+�þ Å�ª2 ¦ � H ¼ HH ÂHÝ�¦+�þ Å�ª#B � # ¦�¼ D ¬¼ H ª V � H ¦�¼ H D ÂÖ¼ HH ª¦ � H ¼ H D Â?Ý�¦+�þ Å�ª V ¦ � H ¼ HH ÂHÝ�¦+�þ Å�ª< Ò�> ð

� Ï �uvf�

È,Ç

Page 63: Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic

É�q³ÀXÀHs ÷ � 9à � # <û�}D{<û��Hq<§Ò#¡������z�Ý�¦+�@D@ Å�ª� D H < Ý�¦+��H¿Â Å�ª� H H >

npo�ú%ú�r*ï Ý�¦+�}D@ Å�ª�}D H  Ý�¦+�2H¿Â§Å�ª�2H HB Ý�}D H �2H H ¦+� D ´� H ª ' �@D# ¦ # ÂC� H ª V ��H# ¦ # ÂC� D ª ) <§Ò ð� Ï �uvf�É�q³ÀXÀHs ÷ �˱�à � # <û�}D{<û��Hq<§Ò5w���{�m��¸¼ H l Ý�¦+�}D@ Å�ª� D H E������z�

R � D ¦�¼xªMV R � H ¦�¼�ª�>npo�ú%ú�r*ï�É/�½Ì��z�¶�¶w±Ü��ÞÝ�¡�¼ H < Ý�¦+��H¿ÂaÅ�ª� H H �}�®~��

R �}D ¦�¼�ªZ R ��H ¦�¼xª B �@DcÂ��2H# ¼ V � �@D H ¼ H Â?Ý�¦+�}D@ Å�ª2 � ��H H ¼ H ÂHÝ�¦+��H¿Â Å�ª#B ¦+�@DcÂ��2H�ª# ¼ V ¼ H ¦+�@D H Â���H H ª V Ý�¦+�2H¿Â��@D´ªHmS Q D ¦ � HS ¼ H Â?Ý�¦+� S  Å�ªB ¦+�@DcÂ��2H�ª# ¼ V ¦+�}D@Â���Hzª,+i¼ H ¦+�}D V ��Hzª2ÂFÝ#-HmS Q D ¦ � HS ¼ H Â?Ý�¦+� S  Å�ªB ¦+�@DcÂ��2H�ª# Õ...× HmS Q D ¦ � HS ¼ ü ÂHÝQ¼ H ¦+� S  Å�ª V ¦�¼ H � S  # ªHmS Q D ¦ � HS ¼ H ÂHÝ�¦+� S ÂaÅ�ªØ///Ù >

ÉN��� þ ¦ � HS ¼ ü ÂHÝQ¼ H ¦+� S  Å�ª � H BÕ¦ # Â�� S ¼ H ª H V Ý�¦�¼ H  Å�ª ¦�YZB Å�E # ª$>£#m|��� � # Â�� S ¼ H <§Ò#¡u���V�uw�y��

¦ � HS ¼ ü ÂHÝQ¼ H ¦+� S  Å�ª2Âa¦ # Â�� S ¼ H ªTV§Ò ¦�YZB Å�E # ªw��u{ R �@D ¦�¼xªZ R �2H ¦�¼xª¤V§Ò#�/»��um|�N¢u��~�y��z�����u�p���z�¶�¶w#� ð

� Ï �uvf�»��������u��~����z� ��~)�×�³~,�|��~��®�'����~,�Y�����V���z�¶�±w���� ð

� Ï �uvf�

È�Ü

Page 64: Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic

fù�q�ú�o�q³À ÷ ��ãÚÃ��'¦ R�S�U P ª'm|���¯�#�¶�5���¯��m��-¡#w���{�m��d���������z�|w�¥�w-��m�~,�½�­w�� �¯~��P�XBÅ��Q'm��'�u�¯�z{%¡��°�u������áQ@B Å V Õ× Å: ¦ Å¿Âþð H DðZD ØÙ H¦óÜ��|ÅzÆ,ª

�����z�½���u�p��w-�¯�p~��2� ~,��y��������z�u� ��~��cÎ�Ð U !Cm����¶w�¥�m|�¶m�º��z{%�¾»��u����w-�¯�p~��¾� ~,��y��������z�u� ��~��ZÎ�Ð U � � m��� ¦âÎ�Ð U � � ªcB ÂC�|~���¦+��Q2 Å�ª�>¦óÜ�� # Ò�ªÀ9~�����~�y����z¡Â�³~��°w��|�*Y�¡¦óÜ�� # Ò�w�ª p N ñµ¦�ð S ª p B �áQ2 Å/>npo�ú%ú�r*ï�»����±¢u��~�~��/�³~,�|��~)�°���³��~,� »��u��~����z� ���|Å-¡�¿�~���~,���|w-���Ê���|Å-¡2w���{?»�����~����z� Ü��u��¡¾w��u{?�����±�³w�� �����uw-�«��z��w��u�¯�±¦ RTS�U P ªNm|�'�����¶�¶���¯��m|�x�������zm����z��y-w��|���z�'~��cÄ w-���V���zw��ó� �ú�o)úÂþ³þ³suok� ÷ ��� Å d �áQMV # >npo�ú%ú�r*ﮣ#m|�u� �pÒ d ð D V Å-¡u�/����w��������ðZD�BÚ� ~,�#0�E'�°������� Ò"V10 d [ #�áQ}BÕÅ V ' Å:Â?��m|�20� ~,�30 ) H»����z� Å:Â���m|�40

� ~,�#0 B+��w���¦ [ Ý Â 0# ª�>»�����������~���� Ò d Å:Â���m|�20

� ~,�#0 V×Å5� ð� Ï �uvf� fù�q�ú�o�q³À ÷ � ÷ Ã��x¦ R�S�U P ª®m|�������¶�¶���¯��m|�-¡%�°m����l�����Ty-w��|����áQ��,m�y��z�¬«��=¦óÜ��|ÅzÆ,ª´¡d�����z�¬�����5��~����±w��2��~���� ~��Î�Ð U � � � ~,����w�m|����¢u���z��m��¯�z���f~,���°��~,��{um|w-��~,�uw����z�|�z�5�z����w����¯~#��m|w-�¯�z{¶�®m����5�����®����¢��zw-�¯�z{¶�zm����z��y�w�������¦+�áQw¬Å�ª´�»����p����«��¶w-�¯��m�¥�m|�'~��d�����p�³~���� Ð �áQZÂaÅ Ò

Å �áQZÂ§Å Ò >¦óÜ�� # Å�ªnpo�ú%ú�r*ï�»�����¢u��~�~��d��~,�|�|~��°�N�³��~,� »��u��~����z� Ü��ÞÝ�¡�»°����~����z� Ü��ßȱw��u{½»�����~����z� Ý��|Å-� ð

� Ï �uvf� fù�q�ú�o�q³À ÷ �65 Ã��'¦ R�S�U P ª'm|���¯�#�¶�5���¯��m��-¡����u�z���³~��°w��|�R�8<û�áQp N ñµ¦�ð S ª p BÕ¦+�Ê Å�ª ¦�YZB Å�E # EJ>J>J>ME\?Fª�³~��°w��|�*Y�¡�w���{½�����V��~��´�¶w�����~��´�`~��µ���u�V�¶w-�¯��m·¥M~��ZÎ�Ð U !9m|�'{um�w-��~,�uw��ó�npo�ú%ú�r*ï�»�����¢u��~�~��d��~,�|�|~��°�N�³��~,� »��u��~����z� Ü��ßȶw���{�Ì��z�¶�±w¶Ü�� # ~��2»�����~����z� Ü��u��� ð

� Ï �uvf�»����u��¡���~��x¦ R�S�U P ª¾�¯���±�5���¯��m|�-¡�������~�¢�����w-�¯~���Î�Ð U !��uw���«Â���z�±w��uw�����º��z{±� ~,�5¢��|���¯�z����� Ï y��z��m��2¦ RTS�U P ª¾m�����~���¯�#�¶�5���¯��m��p�����uw�y��T����~��°��¡�»�����~����z� Ü��ÞÝ�¡%��~)� �����f�zm����z��y�w������z�°~��@Î�Ð U !¬��w��9«���{����¯�����±m|���z{��³��~,� �����

�zm����z��y�w������z�'~��cÄÕ�°���z�M���u�z�¯�Vw-���p�#��~)�°�%��F�p����w��|����~��×���u~��S���uw-�'�³~��N¢u��~�¢��������¶�´��~,�¯�z�$�=�����x��w-�¯��~��d� ~,��y��������z��� �V~���Î Ð U ! m��N~��������x~���{����'~�������V��²��uw-������~�~��'~��2�������´w-�¯�V~��2� ~,��y��������z��� ��~��d�����V̵m���«��¶w��u�½À9������~#{%¡��³~���¦ R�S�U P ªN�¯�#�¶�5���¯��m|�-�È�Æ

Page 65: Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic

��7#� m Z ^ �´. \ ^@)34+h)3G(�n Ò¤�,^@)Ã( Z ^��A3*^��21 [ 'j' 3 ^Z( Z +å-èÒ�.v�s�õ)q�ü¶ú�rq �úÂÿÂ÷�q�ok��q�ÿµt,qà �2? m|����w-������¡wðZD°m|�Ny������½���zw-���|��~,�����}�F�V�uwzy�� fù�q�ú�o�q³À85,���

�|m|�9 � » D � ¦âÎ Ð U � � ª� ¦âÎ�Ð�ª � Å¿Â ðZD�B # E¦óÆ��|Å�ª

�°������� � m��'��������w-�¯�p~��¾� ~,��y��������z�u� �T{�� Ù����z{½m��½v®� ÙÂ�um���m�~,����� # ¡Âw��u{M�°�������#�áQ'm��N�,m�y��z��«��¬¦óÜ��|ÅzÆ,ª´�npo�ú%ú�r*ïNÉ��¬¦óÜ�� # Ò�w�ª´¡��u��m����O�áQ������x~�¢u��m|�f�u�Ly�w��|�u�°~��¹�'¡#������{�~,�±m|�uw������zm����z��y�w������x~���Î Ð U � � m|���,m�y��z��«��p N ñ�¦�ð D ª p BÅ�áQZ ÅhB Õ× Å¿Â ¦ Å:Âþð H DðZD ØÙ H >¦óÆ�� # ªÉN��� ÂC�|~���¦ÄÅ: ¦ Å:ÂþðZD H ª B � # ¦ÄÅ:ÂþðZD´ª V ¦ÄÅ:ÂÊðZDäª V Í D)¦¯¦ÄÅ{ÂþðZD´ª>� ý=H ªÂC�|~��@ðZD B ¦ÄÅ: ðZDäª V Í H,¦¯¦ÄÅ{ÂþðZD´ª>� ý=H ªÂC��~�� Õ× Å¿Â ¦ Å{Âþð H DðZD ØÙ B ¦ # ¦ÄÅ:ÂþðZD´ª V Í ¦¯¦ÄÅ{ÂÊðZDäª � ý=H ª�>»�����������~�����¡�«��?¦����u�,ª'w��u{�¦óÈ�� Ç�ª´¡� ¦âÎ�Ð U � � ª� ¦âÎ Ð ª B ÂC�|~�� p N ñµ¦�ðZDäª p # �|~��}ð D B # Å:Âþð D V0Í ¦¯¦ÄÅ:ÂþðZD´ª D¬ý=H ªw��u{½���u��������~����z� �³~,�|��~)�°��� ð

� Ï �uvf� �ú�o)úÂþ³þ³suok�:5,��� � ¦âÎ�Ð U � � ª.È # � � ¦âÎ�Ð#ª � D¬ý=H >¦óÆ��u�,ªnpo�ú%ú�r*ï�»��um|�N�³~,�|��~)�°�'��m|�u� �� ¦âÎ Ð ª@Bà# ��~��}ð D B  # ¦ÄÅ:Âþð D ª2 # Í H ¦¯¦ÄÅ{ ð D ª � ý=H ª�> ð

� Ï �uvf�òÝ�.É À���q�o�ú�r®ô õ�q�o�s�õ)ö³úÂÿ�ü2É9q�t,q�üzüzs�o¥�§õ)ú¬v�q�û t�qCõ)ùµq � o�o�ú�oÝ�*�§s=ý*��q�t�ö��2q�ûÏè6ÀHú ÿÂõà �������5«��z�¯�x~)y��������z�|w�¥�w-��m�~,�?�­w�� �¯~��z¡?�áQ�m����u�¯�z{%¡%�����¶���u��«�����~��Nm��¯����w-��m|~,�u�����z� �z����w-���9�¯~½���z{��u� �5�����

������~��°�¯~±w¶�¯¢��z��m·Ù��z{M�³��w�� ��m�~,��~��dm������z���µm|�z¡�«��M»�����~����z� ���u��¡�w-¢u¢u��~z¥�m|�¶w-�¯�z������~��®���¶w��|�P°JÖ¦âÎ�Ð U ! � EA°�ªKÈ ÂC��~���°ÂC�|~���¦+�áQ2 Å�ª >¦óÆ��ÞÝ�ª

Û�~���ðZD°���zw-�������z²���w��%�¯~¶~,����¡u���V�uw�y��ÂC�|~���¦+�áQZ Å�ªKÈ # #�� Å{ÂþðZDq>�-Ò

Page 66: Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic

»�����������~����¦óÆ��ßÈ-w�ª JÖ¦âÎ�Ð U ! � EA°�ªKÈ ÂC��~���°# # Å:Âþð Dw��u{½�³~��������p̵m���«��¶w����½ÀC������~#{¦óÆ��ßÈ�«Âª JÖ¦âÎ�ÐwEA°#ª�È ÂC��~���°# ¦ÄÅ{Âþð D ª >

�®�z�u� ��¡°w��Mw������zw�{u�§�¯��w-�¯�z{Úm|�§�����9à ���¯��~#{u�u� ��m�~,��¡�m��x�����C���z²��um����z{ ���u�V«�����~��pm��¯����w-��m�~,�u��m|�±~��p�����~���{����T~���; Í=@ «��H���u�M̵m���«��¶w�����À9������~#{%¡����uw-�¶���u��«Â���Tm|�f~��°���u��~��´{����5~���; Í=@ ý=H «��H�����C£#�u��� �z����m�y��¤�y��������z�|w�¥#w-��m|~,��ÀC�����u~�{%�/Û�~��°������v�m|��m|���������'¸���~�«��|�z�½¡#«��?¦¨Ç�� # ª´¡��/B # �

Û�~��2�����Nvxm���m|�´�u������¸���~�«����z� w��u{���~��d������~���{�����m|�u�hË H-¡-������w��f{�����m�y���w��d�<;=; �6DP·�������0��³~��LJÖ¦âÎ�ÐFø U !EA°#ª@> fù�q�ú�o�q³À85,��� Û�~��°������v�m|��m|���������'¸���~�«��|�z�½¡�m�� p N ñ D p B �Ê Å-¡��°�������¼ l �áQcBÕÅ V Õ× Å: ¦ Å¿Âþð H Dð D ØÙ H E

�����z�%J ¦âÎ ÐFø U ! EA°#ªNm|�°��~��'�����zw-�¯�������uw��½�����p�|w-�����z�¯�°�¯~,�|�u��m�~,��u ~��u p N ñ D p ¸ Í D B�°�%-È6>¦óÆ��u�,ªnpo�ú%ú�r*ï�É/�?¦³Ý�� # Å�ª°w��u{?¦³Ý�� # Ý�ª´¡Â�/�V��wzy��V�³~��°w����K�A|�Ç K

��B s£ % HOPnQ D á P � µ P ¶ V á ¢P � ¢ µ P ¶ V K Í s£ % HOÅ¢ ý=H Á D á P � µ P ¶w��u{ ù � ù H B KmP$Q D á HP �É��?¦óÜ��ÞÝ�ª´¡���m|��� �WN ñ Á ý=HP BÕ¦ÄÅ{ÂÕ¿%ª V N ñ D¬ý=HP ¿XE �/���uwzy��^_` _a N��µ P ¶ B �%¦ÄÅ:ÂÕ¿�ª V N ñ D¬ý=HP ¿ � � µ P ¶N��¢ µ P ¶ B �%¦ÄÅ:ÂÕ¿�ª V N ñ ¢ D¬ý=HP ¿ � � µ P ¶¦óÆ�� Ç�ª

�°�������

¦óÆ�� Ç�w�ª^_____` _____a Nñ

D¬ý=HP B �cð P�V ¦ � H ð HP Â?Ý�¦+�þ Å�ª#Nñ ¢ D¬ý=HP B �cð P  ¦ � H ð HP Â?Ý�¦+�þ Å�ª#w��u{

¦óÆ�� Ç)«Âª ^_` _a Î�Ð ø U !�� N� µ P ¶ � B Nñ P N� µ P ¶Î ÐFø U ! � N��¢ µ P ¶ � B Nñ ¢P N��¢ µ P ¶ >£#m|��� � � ¢ µ P ¶ BÕ¦ÄÅ: # ¿�ª � µ P ¶ ¦[f1B Å�E # EJ>J>J>ME�s£ % # ª¦óÆ��ßÜ,ª �#Å

Page 67: Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic

���V�uwzy�� ^___` ___a N� µ P ¶ B Å V R P# � µ P ¶ V Å: R P# � ¢ µ P ¶N��¢ µ P ¶ B Å V R ¢P# � µ P ¶ V Å¿Â R ¢P# � ¢ µ P ¶ ¦[f1B Å�E # EJ>J>J>ME�s£ % # ª¦óÆ��ßÆ,ª

�°��������¡���~��°� ~,��y��z�um��z��� ��¡����V�����

R P B N ñ D¬ý=HPR ¢P B N ñ ¢ D¬ý=HP ¦[f1BÕÅ�E # EJ>J>J>¥E�s£ % # ª�>¦óÆ��|Å�Ò�ª

¿�~,��y������¯�z����¡��/�V��wzy�� ^____` ____a � µ P¶ B Å: R ¢PR P  R ¢P � µ P ¶ V Å V R PR P  R ¢P � ¢ µ P ¶� ¢ µ P ¶ B ÂVÅ¿Â R ¢PR P  R ¢P � µ P ¶ V Å V R PR P  R ¢P � ¢ µ P ¶ ¦[f1B Å�E # EJ>J>J>kE<s£ % # ª�>¦óÆ��|Å�Å�ª

À9~�����~�y����z¡�m�� s£# V f d ?Å s£# E � µ P ¶ B � ¢ µ P ¶ w���{ N��µ P ¶ w��u{ N� ¢ µ P ¶ w-���p��m|���zw-������m|�u{���¢��z�u{��z�����

Û�~�� ?  s£# l fà< s£# Ä/� � µ P ¶ � BÚÒNE w��u{ Î�ÐFø U !�� � µ P ¶ � B Â�¦+�Ê Å�ª � µ P ¶ >»����u��¡����p�¶wz�½����� N� µ P ¶ B N� ¢ µ P ¶ B � µ P ¶ ¦[fjB s£# V Å�EJ>J>J>kE\?  s£# ª$>�F����wzy�� ��B s£ % HOPnQ D ÅR P  R P ¢ Æ Á á P ¦ÄÅ: R P ¢ ª V á ¢P ¦�ÂVÅ: R P ¢ ª  N� µ P ¶¦óÆ��|Å # ª

V Á á P ¦�ÂVÅ V R P ª V á ¢P ¦ÄÅ V R P ª  N� ¢ µ P ¶ Ë V K Í s£ % HOPnQ µ s£ % H4¶ Á D á P N� µ P ¶w��u{ Î ¸ ÐFø U ! �å� � B s£ % HOPnQ D û R P H ¸  R P ¢ H ¸# ¦ R P  R P ¢ ª Á á ¢P ¦�ÂVÅ¿Â R P ¢ ª ¦ÄÅ V R P ª V á P ¦ÄÅ: R P R P ¢ ª ÂV R P H ¸ V R P ¢ H ¸# á P ü � µ P ¶ V û R P H ¸  R P ¢ H ¸# ¦ R P  R P ¢ ª Á á P ¦ÄÅ: R P ¢ ª ¦ÄÅ{ R P ª V á ¢P ¦�ÂVÅ V R P R P ¢ ª ÂV R P H ¸ V R P ¢ H ¸# á P ¢ ü � ¢ µ P ¶ V K Í s£ % HOPnQ µ s£ % H4¶ Á D R P H ¸ á P � µ P ¶B s£ % HOPnQ D á P µ½¸ ¶ � µ P ¶ V á P ¢ µ¹¸ ¶ � ¢ µ P ¶ V K Í s£ % HOP$Q µ s£ % H4¶ Á D R P H ¸ á µ½¸ ¶P � µ P ¶

� #

Page 68: Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic

É��±¦óÜ��|Å�Å�ª�w���{�¦óÆ��|Å�Ò�ª´¡,�zm����u��� R P w��u{ R P ¢¾w-�����zw��´�f���zw���w��u{V¢�~,��m���m�y��¾~��d�z�|�¯�����u���pw-����� ~,�5¢��|� ¥V� ~,�ML¯�u�,w-�¯�z��¡�°m����M¢�~,��m|��m�y��x���zw��%¢�w-�����z��ÀC~�����~�y����z¡ p R P p V×Åpw��u{ p R P ¢ p V Å-��»����u��¡����V�uwzy��^___________` ___________a����� R P H ¸ç R P ¢ H ¸R P  R P ¢ ����� d # u p sR P p H ¸ Í Dp Å: R P R P ¢ p d Åp ¦ÄÅ: R P ª ¦ÄÅ: R P ¢zª p d #p ¦ÄÅ V R P ¢ ª ¦ÄÅ V R P ª p d Ý�°������� p sR P p BÚ�¶w�¥�¦ p R P p E p R P ¢ p ª$>»�����������~�����¡

¦óÆ��|Å # w�ª ^` a p á P µ½¸ ¶ p d u p sR P p H ¸ Í D ¦³Ý p á P ¢ p V p á P p ª V p sR P p H ¸ p á P pp á P ¢ µ½¸ ¶ p d u p sR P p H ¸ Í D ¦ # p á P p V p á P ¢ p ª V p sR P p H ¸ p á P ¢ p >É��±���u�p��w��5���5������~#{%¡�m��N��w��½«������u~��°�����uw-�'������w-«�~�y��pm����z²���w��|m��!�¶�u~,�|{u����y��z��m�� R P B R P ¢ �°�um����Mm|�¢�~,����m�«����N��~��á�ÑB �eQ �dÃÄ�5���um�����w��¯��¡ R D�B R ¢ D w��u{ws��¢ µ D¬¶ m|������¢��|w�� �z{±«��T�����°m���y-w-��m|w����¾y��z� �¯~��p¦­�¯���®»��u��~����z�Ü��u�,ª � z µ D¬¶ B �|m��> ¨ � »?> � N� µ

D¬¶  N��¢ µ D¬¶R D@ R ¢ D B Å# R Í DD ¿ � µ D¬¶�°������� � µ D¬¶ BÕ¦¯¦ÄÅ{ÂÕ¿�ª� R DA¿%ª � µ D¬¶ >»����u��¡������pm����z²���w��|m��!�¬¦óÆ��|Å # w�ª�m��Ny�w��|m�{M��~��°w����R� l �áQ ��F���u~�� �uw�y��ù Î ¸ ÐFø U ! �å� � ù H d s£ % HOP$Q D Á u H p sR P p H µ H ¸ Í D¬¶ �·Å�Ç p á P ¢ p V È p á P p HV Å # p á P p[p á P ¢ p V p sR P p ü ¸ � p á P p H V p á P ¢ p H �«Â V K Í s£ % HOP$Q µ s£ % H4¶ Á D p á P p H p R P p H ¸ >»�����������~���� ù Î ¸ ÐFø U ! �å� � ù H d # Ò p N ñ D p H µ½¸ Í D¬¶ u H ù � ù H

~��¦óÆ��|ÅF�,ª ù Î ¸ Ð ø U ! �å� � ù d È�u p N ñ,D p ¸ Í D ù � ù >�®�z�u� ��¡�m��PJQm��N�����V�|w-�����z���°�¯~,�|����m|~,�M~�� u p N ñ,D p ¸ Í D B�° %-È�³~��°w��|� uÜ<ÖJ ù Î ¸ ÐFø U ! ù d ° ù � ù > ð

� Ï �uvf�

���

Page 69: Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic

»��u�����z{u�u� ��m|~,�¶~��������®���u��«�����~��%m��¯����w-��m�~,�������z²��um����z{±�u��m|�������u�x£#�u��� �z����m�y��x¤xy��������z�|w�¥�w-��m�~,�±À9������~#{m|���¯���z�M«��9¦óÆ��u�,ª/�¯~5«��®m|�����z������w��%��~��'w��N�|w-������w��������x�,w�m|�Mm|�������x��w-�¯�x~���� ~,��y��������z�u� ���N�°~)�/��y����z¡��°���z�°�m��'y������M���¶w��|�������V�,w�m|�u��m|�M�zw��´�C��w��¯�fw-���Vw-¢u¢���~z¥�m|�¶w-�¯�z�����z²���w��ó��Û�~������¶w��|�P°�w��u{½�³~��{ðZD����zw-������~,���J ¦âÎ�ÐFøkEA°#ª�È Â9��~��K°ÂC��~��:ñ*Dw��u{½«��M»�����~����z� Æ��|Å J ¦âÎ�ÐFø U � � EA°#ªKÈ Â9��~���° Â9��~��¿ñ,D

Û�~��®�����Vvxm���m����u�����'¸���~�«����z�½¡#�³~��®�u��m��'��²���w-�����°m�����;ÝB Å&%�"��/�p�uw�y��V«��¬¦³Ý��u�-Ò�ª°w��u{�»°����~����z� È��ÞÝñ D È Å{ [ H" H à ÂC��~��:ñ D È [ H" HÉ��½»�����~����z� Ü�� Ç N ñ,D p � Q � � B �áQ2 ÅÀÈ Å{ # ["ÂC�|~��TNñ*D p � Q � � È # ["ÂC��~�� N ñ*D p � Q � �ÂC��~���ñ,D È # "[»����u��¡��������,w�m���m|�M�����p�´w-�¯�p~��d� ~,��y��������z�u� �f«����u��m|���T�����f£#����� �z����m�y���¤�y��������z�|w�¥�w-��m�~,��À9������~�{9m|�N~��2�����~���{����°~��6"�� à�c �ùµq%@½üzq9ú�rhÉ�suoM��q�è õ�ú�ÀHs�õ�ö�tC fúIÀÈ� õ)ö­ÿ���ø s�t�ùdö­ÿ�q�ü��

»��u�f�|w-���������z{��u� ��m�~,�lm|�C���u�����z²��um����z{C���u�V«�����~���m��¯����w-��m|~,�u�x�¶w-���z�x�����¶£#�u��� �z����m|y��5¤�y��������z�|w�¥�w-��m�~,�À9������~�{]�f�u���]�5~�����¢u��w�� ��m|��w��/��~��T�u�¯���°m����?��w-������w��u�¯~,�¶w-��m|��� ~,�5¢�����m|�u�C�¶w�����m|���z����¹`�¯����{��F~��'������ ~#{um|������~������u�¶Ë��®Ã¬Þ2¹°¿Ö�³~��pw½vxm���m|�´�u�����x¸���~�«��|�z� �¯~½«��5�¯~,��y��z{¬«��9�¶�zw��u�x~��/���u�T̵m���«��¶w����lÀ9������~#{���#Å � ¦­�¯���pw����¯~±£��z� ��m�~,�½Ã�Ãä�ÞÝ�ª�����y��zw��|�'����w-�'~,�u���¶���/~±w�{�{um���m�~,�uw����5�z�¶~�������~#��w-��m�~,�u�N��~,�u�|{�«��x���z²��um����z{��¯~�u�¯�V�����f£#�u��� �z����m�y��T¤xy��������z�|w�¥�w-��m�~,�CÀ9������~#{Cw��u{C���uw-�°���u�p��m|�5�p¢����°m|�¯����w-��m�~,����~,�u�|{C��~��°«��Vm|��� ���zw��¯�z{«����5~��������uw��?Å�ÒLX���Ûu~��°«�~������5������~#{u��¡#�������¯�¯~����z{½y-w��|���z�'�®�um|���Mw-�����u�¯�z{M~,�½�zw��´�C~�¢�����w-��m�~,�½w-���p�����y-w��|���z�'~��25lw-�°�����p��w��5�V������~��d�u����¢�~,m|�����z�

»��u����~,����~��°m�������w-«����®�,m�y��z�/w�� ~,�5¢�w-��m��¯~,�5~��%�����®�z�¯��m|�¶w-�¯�z{������V«�����~���m��¯���´w-��m�~,�u�����z²��um|���z{¶�u��m����������Ì�m|��«��¶w��u�lÀC�����u~�{Fw��u{l�����±£#����� �z����m�y��¶¤�y��������z��w�¥#w-��m�~,�FÀ9������~#{¬��~��x�����5vxm���m����u�����x¸���~�«����z� �°m����l������u�um|����²���w-���p�°m����»"�m|���¯����y-w��|�'~,�9w±��m|{u���/»�m|�¶���z�¯��m|�¶w-�¯�z�®��~��®������Ë��®Ã¬Þ2¹°¿Sw-���fw��|�¯~¶�,m|y��z�%�!��£����V»dw-«������� ¥#��¢�w-����� �

��Ý

Page 70: Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic

»dw-«����VÆ��|ÅACBEDGF!HIDKJ�LNMEOPOQLND"ACB�R�S ACBPDGTVU4WCW�D"TXTVHZYED[R�YEDK\P\�DKF3M�]EM^A�H(R�OQLND"ACB�R�S

à ñ*D J ¦âÎ�Ð�EA°#ª t »�m|�5� Î �áQ N ñ*D J ¦âÎ�Ð U � � EA°�ª t »�m|�5� Î# Ò �ßÆ,Ç-È�Ý # Ü-Ò �u�#Å Å-� Ç-È�È � Ç-È�È Ý�È ��Ò,ÈÈ-Ò �ßÆ�Æ��-Ò,È Å�Ç-È-Ò Å # �|ÅzÈ Å-�ßÜ�Ü # �ßÜ�Ü # Å�Ò � � Ç)ÝÅ�Ò�Ò �ßÆ�Æ�Æ-Ò�ÅzÈ Ç�Ò�Å�Ò ÅzÆ�È���Ò Å-�ßÆ�Ý,Ò �ßÆ�Ý,Ò #�# Ç Ç��ßÆ�È�-Ò�Ò �ßÆ�Æ�Æ�Ü�Æ-Ò �����-Ò�Ò ÅzÈ�¡ Ç-È-Ò Å-�ßÆ�Ü-Ò �ßÆ�Ü-Ò Ç-È-Ò ÅzÜ����ßÈ

ÃÄ�C�����fw-«�~�y��T�z�¯��m|�¶w-�¯�z�r°M�Nw���w������u�5�z{9�¯~�«���Å�Ò Í � �®Û�~������¶w��������D°�¡������fw�{�y-w�����w-���5~��¾�����¶£#�u��� �z����m�y��¤�y��������z�|w�¥#w-��m|~,��ÀC�����u~�{C�/~,�u��{M«Â�x�����zw-�¯�����£#m��u� �1ðZD!B ñ,DVm|�x���u~��°�F� ¥�w�� �����¬�³~��Vw½��²��uw-���5~��p���z� ��w��u�,�u�|w-�p�����,m|~,�%¡������±{u���¯�����¶m|�uw-��m|~,�¬~����áQ�Nw����zw��¯�½m|�M�����pw-«�~)y��V� ¥�w��5¢����z���¾ÃÄ�½�����p�u� ¥��°���z� ��m�~,�%¡u���V{um|�����u���N�5������~#{u�'�³~��°���u~�~,��m������áQN��~��®�5~����

���z������w��������,m�~,�u���

Á§Á§Á Á§Á§Á§Á§Á Á§Á§Á§Á§Á Á§Á§Á§Át^_ ×a`cbxÜ dce gf Ù���¤�©�®k�Z¤�­n¯�¡k©���­$��­$« h�§ d � è/�`§ � d � q fji ; ¯_ ×a`3b gf Ù*�u¤,©�®k�Z¤�­n¯�¡k©���­$�q­$« ¨ � � q f ¯Î © ®M����¤â©��u¢{¦\©��G²1©���¢:����¤:���/®M­n¡¥��¤¿§=­$¢:°M¡k©����k�!©���¢:�{«b­4�:©�®M�P³2� æ�� ß � � © ®M���F¡M¢�£��¬��­4«2¤��=§�­n��²¥¤:°����¿��©����i¦\©���­n�¶¬*¦$¤¦$¤�¤�¡k¢:�G²h©�­�£��_ç ø i �Eã�ã�ªT� °F�=��� ��È

Page 71: Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic

���PkO� m Z ^ a ^c(�^@)�1 34' [ (*34+�'%+Pk�( Z ^ÇÒ \ (*3C1 .21 � ^ `*[���[ (*34+�' � [ 02(*+h)É��l¦óÜ��|ÅzÆ,ª´¡u���u�®~�¢u��m����u� ���z�|w�¥�w-��m�~,���­w�� �¯~��M�áQ/m|�/�,m�y��z��«��>�áQ}B Å V Õ× Å: ¦ Å{Âþð H DðZD ØÙ H

�°�u������ðZDNm|��������|w-�����z�����zm����z��y�w��|�u��~��d���u�pÔ�~����5�z��À9������~#{%�

Û�~������u�Tvxm��´m|���u�|����¸���~�«����z�½¡�ðZD���w��9«��f� ¥�¢����z���¯�z{¬m|�l�¯�����¶��~���ð,l D ¡Â���u�T���¶w��|���z�¯���zm����z��y�w�������~��/�����Ù��um|�¯�x{�m·ÑÂ�����z�u� �pw��uw���~��,���V~�� ^_` _a xm@ Q D y H 52¦+u�ªy u H@ B Â�m}52¦+u�ª uÒ|�p52¦+u�ª B Ò uA|9q¦ÄÅ�Ò#�|Å�ª

�°�um����½m|�'�,m|y��z�½«�� Ð û xO@ Q D ½P¾&¿ V ½ Í ¾&¿  # o ü 5 Ò S B Â{ð l 5 S ¦+u µ S ¶ |bp�9�ª¦ÄÅ�Ò#� # ª 5 S B Ò ¦+u µ S ¶ |wq*9,ª�>É��?¦ÄÅ�Ò#� # ª'w��u{�¦³Ý��u�-w�ª´¡����V�uw�y�� # o�¦ÄÅ: ðZD�ª}B�ð l D >¦ÄÅ�Ò#�u�,ª

¹��|�¯~�¡�«��Ê�ÞÜ ��|m|�9 » � ð l D; H B�mhDF>¦ÄÅ�Ò#�ÞÝ�ª

�°�������nm{D°m|�N���u�V���¶w��|�|�z�¯�N�zm����z��y-w��|���V~��N¦ÄÅ�Ò#�|Å�ª´�»��u�p���z�|w-��m�~,�C«����!�����z�Að,l D %�; H w��u{omhD®�uw��®«����z��m|��y��z�¯��m��,w-�¯�z{l«���¿N~,�|�|w-�¯º�¦G��Ç � ¡�¢�w-���z� # Ü-Òi{ # Æ,Ç�ª�w��u{

�����5w-�������z�5�z���V�uw��p«Â���z�¬���u~��°�¬�¯~½«��f���z�¶w-���-w-«����l����~,�¯�T��~��p��~,�5�5�����,m�~,�u�x��y��z�?�°m����¬� ~,w-���¯�¶�5�z�����z���mhD���w��H«��±� ~,�¶¢����¯�z{�� ¥#w�� �����F�³~��T�¯~,�5�±�����,m�~,�u�Vm��u���|�u{um��������u����m������|�9¦G�ÞÆ � ¢�w-��� # �-Ò�ª´¡�w��u{H�����±�z���|m�¢��¯��·ÅzÈ � ��¤x�d� ~,���´�¯��¡�ðZD�m����¯�z���d��w���«��p� ~,�5¢��u�¯�z{½� ¥#w�� ���|���³~��°��²��uw-����~��®���z� ��w����,�u��w-�������,m�~,�u�z¡�¦³Ý�� # Ü,ª´�

Û�~��®�����V��w��¯�V~��2w¶���z� ��w����,�u�|w-�°�����,m�~,�½�°m|���½��m|{������z���������" @ ; BôU @ ¦�� B Å�E # EJ>J>J>kE�oµª�E���V�uwzy��

m{D�B [ H; H xO@ Q D Å" H@ B [ H xO@ Q D ÅU H@ >¦ÄÅ�Ò#�ßÈ,ª

É��?¦ÄÅ�Ò#�u�,ª'w��u{H¦³Ý�� # Ü,ª´¡ ð,l D; H B Å; H Ä # oy # xO@ Q D � ~,� [" @ ÌB [ H; H Ä xO@ Q D Å" H@  ÅÅ # xO@ Q D Å" ü@ V0Í ¦�; E ª Ìð l D; H B [ Ä xO@ Q D ÅU H@  ; H

Å # xO@ Q D ÅU ü@ Ì VQp ¦�; E ª�>¦ÄÅ�Ò#�u�,ª���

Page 72: Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic

�®�z�u� ��¡u�����V� ~,��y��������z�u� �f~��2ð,l D %�; H �¯~qm®¡�m|�z¡#m��M���um|����w��¯�Vy������M��w-¢�m|{%�ÃÄ�½w�������w��¯��¡u�³~��'������vxm���m|�´�u�����N¸���~�«��|�z�½¡�wf�|~�������«�~,�u�u{��¯~jð l D ��w��M«��x�³~,�u�u{�«���� ~,�5¢�����m����´ð l D �³~��

w¶��m��´���u�¶��� ��m|«�m|�������z� ��w����,�u�|w-�°�����,m�~,�%¡�«��z��w��u�¯�V~��µ������»�����~����z�`Ý�� # ¡%¿�~���~,�|��w-������F����~)�+���u~��Ú���uw-����~��������°���z�u����w����¯�z���%w�{ML¯~,m|���N��w��¯��¡�m���¦ÄÅ:ÂþðZD´ª�m|����~���~)y������z�¯��m|�¶w-�¯�z{�¡������®���z�|w-��m�y��{��z� ���zw����Mm��H��������w-�¯�M~��®� ~,��y��������z�u� ��m���¡�w��¯�#�5¢u�¯~���m|��w��|�|��¡¾��~��5���¶w�����������~�����m��+¦ÄÅ: ðZD�ª�w��u{��³~��T���¶w��|�¦ÄÅ:Âþð D ª´¡u�z²��uw��%�¯~±~,���V�uw����µ�����p���z��w-��m�y���������~��°m��M�����p�z�¯��m|�±w-��m�~,�½~��'¦ÄÅ:Âþð D ª´��½qT�2ÿdö�õ)ö³ú�ÿÌ�T�,���Ú»�����o�q�þ³s�õ�ö�÷Âq9t-ùµs�ÿ���q�¡�~��®q�o)o�ú�o�¡�~���r z �°m����½���z�¯¢��z� �'�¯~Nr�m��

þ p r z Â[r pp r p � ¦�rCeBÚÒ�ª�> fù�q�ú�o�q³À �T��â�+Ì�����ð D «��������5{�~,�±m|�uw����®�zm����z��y-w��|���f~���ÄYw��u{¬������ð z D «��f�����T�z�¯��m|�¶w-�¯�z{¬y-w��|���f~��}ð D���u�´�½���uw-� ðZD d ð z D V Å»����z�

��m|�9 � » D

^__` __a �|m|�9\f � »?9 ���� � ¦âÎ Ð U ! f ª� � ¦âÎ Ð U ! ªs µ Î Ð U ! ¶ ������ µ Å:Âþð D f ¶ Í µ Å: ð D ¶Å:ÂþðZD ���

� __�__� B Å#¦ÄÅ�Ò#� Ç�ª

�°���������:E#� z w-���5{����¯�����¶m|�u�z{C�³��~,�B¦óÜ��|ÅzÆ,ª�«�w����z{¬~,�ÒðZD�w��u{�ð z D ���z�¯¢��z� ��m�y��z����¡�w���{9�®������� � ¦âÎ�Ð U !�ª�w��u{� ¦âÎ Ð U ! f ªNw-���p�������´w-�¯�z��~��¾� ~,��y��������z�u� ��~��ZÎ�Ð U !9w���{�Î Ð U ! f ���z�¯¢��z� ��m�y��z�����npo�ú%ú�r*ï�»����p�����³���5�z��«Â���°~��'¦ÄÅ�Ò#� Ç�ª'�z²���w��|��|m��9 � » D

 WW ðZD � ��~�� � ¦âÎ�Ð U !�ª � WW ðZD � ��~��¦ÄÅ: ð D ª �¦ÄÅ�Ò#�ßÜ,ª

¢u��~)y�m�{��z{M�����V{����´m�y�w-��m|y��z�N� ¥#m|�����}�°~)� �����:ðZD�BS� ~,�#0�à#«��F¦óÜ��|ÅzÆ,ª¦+�þ§Å�ª D¬ý=H B Å:ÂH��m|�20

� ~,�30 BÚ��w���¦ [ Ý Â 0 # ªWW 0 ¦+�  Å�ª D¬ý=H B  Å# ���z� H ¦ [ Ý Â 0# ªÂ WW ðZD � �|~�� � ¦âÎ Ð U ! ª � B  WW ðZD � ��~��¦�ÂC��~��¦+�ÊÂaÅ�ª¯ª �B WW ðZD ¦�ÂC��~��¦+�þ Å�ª¯ªÂC��~���¦+�Ê Å�ª B  # WW ðZD ¦+�Ê Å�ª D¬ý=HÂ9��~���¦+�þ Å�ª_^�¦+�Ê Å�ª D¬ý=HB  # WW ð D ¦+�þ Å�ª D¬ý=H W 0W ð DÂC��~��¦+�ÊÂaÅ�ª6^�¦+�þ Å�ª D¬ý=HB �¯�z� H ¦ [ Ý Â 0 # ªÂC��~�����w�� H ¦ [ Ý Â 0 # ª6^���w��µ¦ [ Ý Â 0 # ª W 0W ðZD

�,Ç

Page 73: Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic

 WW ðZD � ��~�� � ¦âÎ�Ð U !�ª � B ÅÂC��~��/��w���¦ [ Ý Â 0 # ª_^z� ~,�#0 W 0W ðZD >¦ÄÅ�Ò#�ßÆ,ª

¹��|�¯~¦ÄÅ�Ò#�ßÆ-w�ª  WW ðZD ��~���¦ÄÅ: ð D ªcB Å

Å:ÂþðZD W ðZDW 0 W 0W ðZD BÚ� ~�� 0 # W 0W ðZD �»����p�|�������5�z��«�����~��'¦ÄÅ�Ò#� Ç�ª'�z²��uw��|�

�|m��t » � ��w�� 0 #ÂC��~�����w��µ¦ [ Ý Â 0 # ª6^z� ~,�30 B Å#¦ÄÅ�Ò#�|Å�Ò�ª

«����ó����u~�¢�m���w��¨����©°�u�|��� ð� Ï �uvf� fù�q�ú�o�q³À �T����

�|m|�9 � » D � ¦âÎ Ð U ! f ª� ¦âÎ Ð U ! ª B �

U¦ÄÅ�Ò#�|Å�Å�ª�°�������

¦ÄÅ:Âþð z D ª@B U ¦ÄÅ¿ÂþðZD´ª ¦­Ò>V U d Å�ª�Ew��u{½�®�������#�¿E�� z w-���V{����¯�����±m|���z{M�³��~,� ¦óÜ��|ÅzÆ,ª°�u��m|���1ð D w��u{yð z D ���z��¢Â�z� ��m|y��z�����npo�ú%ú�r*ïM� l � z ¡u���z�u� �Vw��|���zm|���z��y-w��|���z�'~��cÎ Ð U ! f �uw�y��Vw-«��¯~,�|�u�¯�py�w������ p � z ÂaÅ p� ¦âÎ Ð U ! f ª� ¦âÎ�Ð U !�ª B ÂC��~���¦+� z ÂaÅ�ªÂ9��~���¦+�þ Å�ª >Ì���� ðZD�BÚ� ~,�#06E ð z D BÚ� ~,�#0 z �°�u����� 0 z d 0

Å¿ÂH� ~,�30 z B U ¦ÄÅ¿ÂH� ~,�30�ª��m|� H 0 z# B U ��m|� H 0 # >

ÉN����¡�w���m��½»�����~����z� Å�Ò#�|Å-¡¦+�þÂaÅ�ª D¬ý=H B Å¿ÂH��m��20

� ~,�#0 Ba��w��µ¦ [ Ý Â 0 # ª�E¦ÄÅ�Ò#�|Å # ª¦+� z  Å�ª D¬ý=H B Å:ÂH��m|�20 z

� ~,�30 z B+��w��d¦ [ Ý Â 0 z# ª�>¦ÄÅ�Ò#�|ÅF�,ª�®���,���z� ��m|���±�¯�����¶��m|�v05w��u{w0 z ~��¾{����������V�um|�,�����'���uw��½�����xÙ����¯�'���V�uwzy��0 z B �

U0 VQp ¦g0�ª�E¦ÄÅ�Ò#�|Å Ý�ª

w��u{  # �|~���¦+�þ Å�ª D¬ý=H B # 0 Vxp ¦g0�ªÂ # ��~��¦+� z  Å�ª D¬ý=H B # 0 z Vyp ¦g0�ª�°������� p ¦g0�ª+y�w���m|�����z�N�°m|���z0����°�z��� ��¡�������������~����z� �³~,�|��~��®��� ð

� Ï �uvf�

��Ü

Page 74: Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic

Û���~,� ���um|�z¡um�����w���«��p�¯���z�½����w-����y��z�9m|�Ú¦ÄÅ:ÂÊðZDäªSm|���u�u{u�����z�¯��m|�¶w-�¯�z{M«��Mw��°�f�u���9w��°È-ÒLXY�����V��w-�¯�~���� ~,��y��������z�u� �½�°m|���¾«��±{��z� ���zw��¯�z{]«��?���z���V���uw��X�-ÒLXM�¬£#m|��� �¶�������,w�m|��m��F��������w-�¯��~���� ~,��y��������z�u� �½~��������£#�u��� �z����m�y��M¤�y��������z�|w�¥�w-��m�~,��À9������~#{=m|�p~��°w���~���{����f~��°�¶w-�,��m����u{���¡2��~�����y����z¡����u���]w��=m|�u� ���zw��¯��m|����z�|w-��m|y��z�������um|�5¢�~�����w������

¤x��������~��������®��w��u{%¡�m��U <×ÅÕ���V�uw�y��

� ¦âÎ Ð U ! f ª@BÌÂC�|~�� ^` a � z ð D# V ¦ � z�H ð H D Â?Ý�¦+� z  Å�ª# � ���°������� � z�H ð z�HD Â?Ý�¦+� z  Å�ª}BÚÒ «��F¦óÜ��|ÅzÆ,ª´�N»�����������~����� ¦âÎ Ð U ! f ª@B Â9��~�� þ � z# ' ðZD V ¦ ð H D  ð z HD ) � >à �Èð z D BÚ� ~,�30 z E�«��F¦ÄÅ�Ò#�|ÅF�,ª´¡

¦+� z  Å�ª D¬ý=H B Å:Â���m|�40 z� ~,�#0 z B+��w���¦ [ Ý Â 0 z# ª� z BÚ�¯�z� H ¦ [ Ý Â 0 z# ª�>�®���,���z� ��m|���±�¯�����¶��m|�v0 z ��m��,�����'���uw��½���u��Ù����¯�'w��u{C�¯���¯��m|���{0 z B U 0 VQp ¦g0�ªÚw���m��?¦ÄÅ�Ò#�|Å Ý�ª� ¦âÎ Ð U ! f ª@B�0 Æ � U  � U ÂaÅ Ë Vyp ¦g0�ª£#m��u� � � ¦âÎ�Ð U !�ªcB�0 Vyp ¦g0�ª�Eu�/�p��wzy��û � ¦âÎ Ð U ! f ª� ¦âÎ�Ð U !%ª ü B �U  � U ÂaÅ VQp ¦g0�ª�>¦ÄÅ�Ò#�|ÅzÈ,ª

É��z��w��u�¯��~��2�����p¢u���z���z�u� �p~��2�����p�¯����� U  Ŷ¡u�����V{����´m�y�w-��m|y��p~��µ���u�Vw-«�~�y��V�´w-��m�~¶�°m����M���z�¯¢��z� ���¯~U«��z� ~,�5�z���|w-������w��

Uw-¢u¢u��~,w��´���z�'~,������»°���u�z¡#m|��m|�Nw����Nwz�#�'«����¯�¯���'�¯~ ÿ�ûdq�o�q�ü�õ)öâÀHsuõ�q ¦ÄÅ:Âþð D ª$Eumó�Þ���

«��p�������U d Å-�

¹��N�¯��w-�¯�z{½m|�������®ÃÄ���¯��~�{��u� ��m�~,�%¡��������³w�� �N���uw-�N�������,w�m|�Mm|����w-�¯�x~���� ~,��y��������z�u� �Vm|����~���y��������¯�z����m���m�y���¯~T���z�|w-��m�y����´�uw������z��m|� ¦ÄÅ:ÂÊðZDäª×¦­w��'�|~,���5w��Ö¦ÄÅ: ðZD�ª m|����~��N~�y������z����m|�¶w-�¯�z{�ª´¡����������z�¯���'���uw-�'��~��N~,�u�|��³~���������v�m|��m|����������¸���~�«����z�Õ«��u����~��/~��������N�¯�z���%w�{ML¯~,m|�����z²��uw-��m|~,�u�������®���z�|w�¥�w-��m�~,�¶�­w�� �¯~��'��w��±«��°�´��~,�¯�z���¯~���uw-�N������¢u��~�«��|�z�¶�/��w��M«����¯~,��y��z{½�f�u���M�5~�������w-¢�m�{u�����2Û�~����z²��uw-��m�~,�u��~��������x����¢��5¦ÄÅ-�|Å�Å�ª��°�������L¦ R S�U P ªm|����~��N�¯���±�5���¯��m|�-¡���~�����y����z¡��������zm����z��y�w��|�u�z�/~��Ä w-���x��~��Nm|�¶���z�u����w��Â���zw���w���{±�������,w�m|��m|��� ~,��y��������z��� ��°�um����+� ~,�u�|{a«Â�9~�«u��w�m|���z{�¡���y��z�Ú�°m����a�����l«Â�z�������z��w�¥#w-��m�~,�a�­w�� �¯~��z¡�m����f�u���Ú���z����� �®��y����������z�|�z���M��������z�|w-��m|~,�C«����!�����z�¬�����f�zm����z��y�w��|�u�z�®~�� Ä1EqÎ�Ð w��u{CÎ�Ð U ! w-���Ty-w��|m|{%��»����f�¯���u{��½~������u�f� ~,��y��������z�u� �¶~��Î�Ð w��u{�Î�Ð U ! m|�N�����������³~����V��m|�5¢��|m�Ù��z{%�

��Æ

Page 75: Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic

� ^ákH^})2^}'10e^áj�·Å � £��uÉ/�����,�¶w��u�%¡#| ëMÿ¥öóï�ë-è�íxïa}^~$ÿ�~��IöZ�����^�����=�NöZ������ò��#���3�����,��~<���c�]õ^�g�4ò��!�����j���o���! a¡V¢��¤£¤ a¥�¦V�K§*¨�©�ª!¨<«­¬®°¯j±³² ¬3´µ¬!�4 6¶¤·¹¸a¢�¦V�Eº¼»� ��! a¥¼¢?½¾ À¿c¢��¤¢��!¶�¢n»��V�¤ÁµÂ!¸6Ã�¢?Ä��V�2¥�Å�¢³Æ�ǹÂ!Ã���¢?ÈKÃ�¥¼¥� �¶�¢V�ÊÉÌË?�X��Í<Î3Ï�Î!Ð%~<�*Ñ�Î#���,�q�4Ò!ÒCÎ

Ð%��ÓZÑ�Î�¨�� ¯VÔVÕ { ¯XÖ ©¹�C§*¨�©�ª=×X«­¬®°Õj± ´Ø¬#�4 a��·�Å���¿%ÃV�!Ù%Æc¬!ÚÌÃV¶�È"ÃV��¢V�3�ÜÛ^�VÍ<�<~�ÝÞ��ßCÐ�����~­Í­�à�á� ¹¹~�âVÍ­�¹�#ãá¢��åä��V��·c�3Ú%ÃV¶�ÁN 6¸6¸6ÃV���^§*¨�©�ª=æX«­¬® ª ±�ç ¬#���<�� a¢V�Eº¼èéÈ�¢�ÃV£¼¥*ê�Æ�ǹÂ!Ã���¢³è�ë!ë3¸6 6¶�Ã�¥� a�X�쥼�qí�¢�¸6Ã�î�Ã�¥� a�X�oÚÌ¢�¥�Å���Ù!£��ÊÉàÏ�Î���Ò#ÒCÎ | ÑXÝ!ï�ÎÀ�K¨�×¹�c× Õ�ð { × ÕXÖ �

§*¨�©�ª Ö «­¬®°Ôj±�ç ¬"È�¬����<�� 6¢V���P��~<�<Ógͤ�Z�­���¾ñ���ò³Ò���ÓZ�6�Z¹%ó2����Í��GßZ�jÍìÓZÑ3~NôØ�Vòõ~­Í­�g�­����Û!���(��ÓZ�����x��ß | ��Í<ÓZ������ö¾�a}�~­Í�~��cÓZ�����

�����=��ÓZ�����!ï�� ² Ã�¥¼¢���¥¼�j���%è��¤£�¢��!ÃV¸�ÈKÃ�÷,�V�¤Ã�¥¼�V�¤¦øí�¢�ëc�V�¤¥�� ² è�È Ö © ð=ù�¯V¯® æ ± ÈP¬�ú��X¸6¸�Ã�¥¼ûV�Ẽ��¢�Á�¢���·�Â!��üV¢��[û�Â��³»�¢�Å#¸a¢��¤Ã�÷#£�¶­ÅKýÃ�¥¼û�Â!��üoÄ­ýÂ��³Ù!ÃV£�½¾ À¿,¢���¢���û�¢��þ¡V¢���ÄgÃVÅ���¢��ÿ÷,¢� �ë#Ã��¤¥� a¢�¸6¸a¢��

½¾ À¿,¢���¢��þ¥� 6ÃV¸aüX¸a¢� �¶¤Å¹Â!��üV¢��^�ÊÉ���~���ÓZï�Î�ß(Î����Z¹¹~���Î3ÐÌ��ÓZÑ�Î"��Î!Ð%~<�*Ñ�ÎÀ�"¨ Õ � Ô æ�� ÔXÖ ��§*¨�© ÕVÕ «®ÊÖ<± ÈP¬�ú��X¸�¸6Ã�¥¼ûV�þ�E� ¹¹~����C~­Í<Ó6Ò,Í���âV��~�òõ~��V�,���*Ñ�Í�~4ôØ�Vòõ~­Í­�6ï���Ñc~2ó�~�Ñ#���,�þ�(�V�Z¹!�=ãá¢��:ä��V�¤·3�#ú4Å�¢�¸�£¼¢�ÃPÂ!÷#¸6 6£�Å�ê

 ���üqú���¬a�"§*¨�©�ª=×X«­¬® × ± í�¬þú��XÂ��¤ÃV�þ¥�����¬V»��­ a¢�Ù��¤ 6¶­Å!£CÃV�!Ù� ³¬XÈ�¢���¦V�"º ý��÷,¢���Ù! a¢��Ã���¥� a¢�¸�¸a¢���½¾ À¿c¢��¤¢���û�¢���üX¸a¢� 6¶­ÅþÂ#��üV¢���Ù�¢���Ú%Ã�¥�Å�ê

¢�ÁqÃ�¥� 6£�¶¤Å!¢���PÅþ¦�£� a·c�ÊÉØÐ%��ÓZÑ�Î3�á�!�KÎc¨ ðVð � ÕV¯ � Ö ª���§*¨�© ¯ ×X«­¬® © ± í�¬3ú��XÂ��¤ÃV�þ¥�ÃV�!Ùཱུ¬� � 6¸a÷,¢���¥��!Ð%~�ÓZÑc����~��%��~­ÍáÐÌ��ÓZÑc~�òq��ÓZ�6ï��*Ñ3~�� | ÑVÝ!ï����c���­����¢��¤¸6 6�����=Â!¸6 6Â#£4ƹë#�¤ 6��üV¢����

§*¨�© Õ ¨<«­¬® ¨ ð�± 賬^½���¢�£�Ù�¢��^�2º ç �Ì¥�Å�¢���¥¼¢��¤Ã�¥� a�X���VÄPÈ" 6��¢�Ã��� ��XÁ��VüV¢��!¢��XÂ!£�"�¤ÃV�!£¼Ä��V�¤ÁNÃ�¥� a�X�#£��ÊÉìó¾�X�6�IÎ#��òõ~­Í<Î,Ð%��ÓZÑ�Î

Û#���<ÎÀ�!ª=×¹� ÔXÖVÖ � ÔXÖ ©¹�C§*¨�©�ª ¯ «­¬® ¨V¨ ± ³¬��PÁNÁ��X�#£��qº¼ã�Â!Á�¢��¤ 6¶�ÃV¸?ƹ�X¸6Â!¥� a�X�1�VÄ��Ã���¥� �ÃV¸�½¾ À¿,¢���¢��þ¥� 6ÃV¸��PǹÂ!Ã�¥� a�X�!£��ÊÉ Ë?�X��Í<ÎE��Ò#ÒCÎEÐ%��ÓZÑ�Î ¯ �

¨ Ö�Õ �3¨�© Ô ��§*¨�©�ª Ô «­¬® ¨ ¯j± ³¬,´¾¢� a�¤ 6��üV¢��<���4�xÓZÑ3~�Û#������ÓZ��������ßPÛ=Ý�ï<Ó�~�òNï¾��ß �"�6�3~���Í��2�!�X��ÓZ�����!ïØâ�ÝQñP~­Í<ÓI���6�!��Ó�~­Í­��ÓZ�����GÐ�~�ÓZÑ3���þï��

è��!�àèá��÷,�V���!Ú% 6¶¤Å! 6üXÃV�^�!í�¢� 6£¤£���¢���è��!�! a¡V¢��¤£¤Ã���¦�"C�X¸6Â#Á�¢V� Õ æ Ô � Õ © Õ �C§*¨�©�ª=©X«­¬® ¨ Õj± Æ,¬!´¾¢��¤£�¶¤Å!üV�V�¤ 6�^��º¼»�¢�Å#¸a¢��¤Ã�÷#£�¶­ÅKýÃ�¥¼û�Â!��üqÄ­ýÂ���Ù#ÃV£2½� a¿c¢���¢��!û�¢��=¡V¢���ÄgÃVÅ���¢��Þû�Â���ÈEý�X£�Â#��ü��Ã��¤¥� a¢�¸6¸a¢���½¾ À¿,¢��¼ê

¢��þ¥� 6ÃV¸aüX¸6¢� 6¶¤Å¹Â!��üV¢��^�ÊÉ��K~��IÓZï�Î�ß�Î��á��#¹~���Î#ÐÌ��ÓZÑKÎK��Î#Ð�~<��Ñ�ÎÀ�"¨ ð � ÕXÖ�Õ � Õ × ¯ ��§*¨�© Õ�ð «­¬® ¨�ª ± ½µ¬$ �Ã���¥¼��¢�¢V��ñC���g�j�V����ÓZ����#����!ï<ÓgÍj�Vòõ~��cÓZï����,�õÐ%�þ��Ñ!���3~�ï��#�á��÷#ÃV�!Ã��!���! a¡c¬��VÄ%��¸6¸� 6���X 6£&���¢�£¤£��K§*¨�©�ª=©X«­¬® ¨ Ôj± �!¬' á¢����¤ 6�V¥��E��Ñ3~ | ͤ�6�^�¤� Ò����)(�Í�~<���=~��^�*Ýÿ��ßE���G�E�6�6� Ò�ÓZ�g�áÐ%~�òìâ�Í­���c~j�)�K¢�¶­Å!�! 6¶�ÃV¸�í�¢�ë,�V��¥?ãá��¬ Õ ��ãáÃ<¡þ¦

ú4�X�=¥¼�¤ÃV¶�¥áã�æjê ç í��4ꤨ ð æ¹�*��ÃV£¼· ç �¤Ù�¢�� Ô �cú2ÃV¸6 aÄ��V�¤�! 6Ã��!ƹ¥�ÃV��Ä��V�¤ÙÞ���! a¡V¢��¤£¤ a¥�¦V�!è�Â�üXÂ!£¼¥���§*¨�©�ª=©X«­¬® ¨�æ ± �n¬+��¬, á aüVüV¢��#£���º¼è Æ�Â���¡V¢�¦Ø�VÄ^¥�Å�¢áèáë!ë!�¤��î� 6ÁNÃ�¥¼¢�ƹ�X¸�Â�¥� a�X���VÄ)�2���³½¾ 6ÁN¢��!£� a�X�!ÃV¸$PÅþ¦¹£� �¶�ÃV¸�����V÷3¸a¢�ÁN£

÷¹¦-"�Ã��¤ �Ã�¥� a�X�!ÃV¸cÚo¢�¥�Å���Ù!£4ÃV�!Ùø»� 6�! a¥¼¢�½� a¿c¢���¢��#¶�¢�P����¶�¢�Ù!Â���¢�£��ÊÉ�ú4Å!Ã�ë#¥¼¢���¨ ð �VÄKôØ�Vòõ~­Í¤�Z�­���cÐ�~�ÓZÑ3���þï��ß����#��� Ý!ï��6ï2�6�à�E��#=�6�3~�~­Í¤����#!��ã�¢��åä��V�¤·3�cÚÌÃV¶�ÁN �¸6¸6ÃV�^��§*¨�©�ª=©X«­¬

® ¨ Ö<± ½µ¬ �XÃV¶¤·¹£¼�X���.(3����ͤ��~­ÍNÛ#~­Í¤��~�ïØ���,�/�4Í<ÓZÑ3��#¹���#��� | ��� Ý��c��òN�����6ï��Cãá��¬�æ¹�Eú4Ã��¤Â!£µÚÌÃ�¥�Å!¢�ÁNÃ�¥� 6¶�ÃV¸2ÚÌ�X����êüV�­Ã�ë#Å!£��!Ú%Ã�¥�Å�¢�ÁNÃ�¥� 6¶�ÃV¸"èᣤ£¼�¹¶� �Ã�¥� a�X�à�VÄ�èáÁ�¢��­ 6¶�Ã��"§*¨�©�ª!¨<«­¬

® ¨�× ±�ç ¬!½³¬��?¢�¸6¸a�VüVü��$(c���V�,�¹��ÓZ�����#ïá��ß | �¹Ó�~��cÓZ�������CÑ3~��jÍ*Ý^�!ÚÌÂ��¤�¤Ã�¦0��­ 6�=¥� ���ü�ú4��¬a�"§*¨�© ¯ ©X«­¬® ¨�© ± Ú ¬*�?�V�¤Á�¢�£��4º¼ã�Â!Á�¢��¤ 6¶�ÃV¸Cƹ�X¸6Â!¥� a�X�Þ�VÄC¥�Å�¢Ø���XÂ!�!Ù!Ã��¤¦0"�ÃV¸6Â�¢�����V÷#¸6¢�Á Ä��V�á¥�Å�¢���V¥¼¢��=¥� �ÃV¸ �PǹÂ!Ã�¥� a�X�

÷¹¦ìÚo¢�ÃV�!£��VÄ PÂ!�!¶­Å�¢�Ùoú4Ã��¤Ù#£��ÊÉ�1�~��¹Î3Û3�¤�IÎ��*�!ï�Ó¼Î^¨�ª�� ¯ ª=×�� ¯VÔ�ð �C§*¨�©�ª Õ «­¬Ö�ð

Page 76: Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic

®°¯�ð�± ÈP¬!ÈK 6¶­Å=¥¼¢��#£¼¥¼¢� 6�^��º¼ãá¢�Â�¢���¢��E�=¥(�� 6¶¤·V¢�¸6Â!��üV¢��ÞÙ!¢��2��V¥¼¢��=¥� 6ÃV¸6¥�Å�¢��V�¤ a¢V�$�n�X��Ä��V�­Á�¢?è�÷!÷3 6¸6Ù!Â!�!ü��Êɳ�E�,�*Ý���3����Ò54�þ�þ��~n��~­ÍáÐ%��ÓZÑ3~�òq��ÓZ��ï���Ñ3~��76%��ï�ï­~��!ï��*Ñ#��ß�Ó�~��^���8�8��¬#ú�¬ Õ �K¨ ÖVÖ � ÕXÖVÖ ¬

®°¯ ¨ ± ³¬#È" a¢�÷#ÁNÃV�!����º¼½¾ a¢µèá�!üV¢��KýÃVÅ���¥¼¢��P�¤ÁN a¥¼¥¼¢�¸�Â!��ü�Å!Ã��¤Á��X�# 6£�¶¤Å!¢���»!Â!�!¶�¥� a�X�!¢��oÂ!�!Ù0�n�X��Ä��V�­Á�¢���èá÷!÷# 6¸ÀêÙ#Â!��üV¢��^�ÊÉqÛ���Ó:9�3gó4��Ý�~­Í<Î#�;�V�þ�3Î 6��6ï�ï�Î!Ð%��ÓZÑ�Î=< | ÑXÝ!ï�Î�>n����ï¤ï­~j� Õ × Ô �=ª!¨�æ�§*¨�©�¨�×X«­¬

®°¯V¯j± ú¾¬þÚ%ÃV¶�½�Â�¿c¢�¢V���*�3ÓgÍ����c���<ÓZ�����oÓ����µâXï�ÓgÍ­�þ�<ÓK���?#¹~�â�Í��¹�¹ãá¢�� ä��V��·3��ãá¢�� ä��V�¤·3���V�XÅ!� ²  �¸a¢�¦NÃV�!ÙøÆ��X�!£���*�!¶�¬a�K§*¨�©�ª ð «­¬®°¯VÕj±³² ¬@��¬KÚÌ �¸6��¢V��º¼ã�Â!Á�¢��¤ �¶�ÃV¸�Úo¢�¥�Å!�¹Ù!£³èᣤ£¼�¹¶� �Ã�¥¼¢�Ùÿ�� a¥�ÅGÈ"Ã�ë#¸6ÃV¶�¢BAÊ£C�PǹÂ!Ã�¥� a�X�^�ÊÉÌ¥¼�Þ÷,¢�ë#Â�÷#¸� 6£�Å�¢�Ù% 6�

¥�Å!¢ | Í�����~�~<�¹�6��#=ï���ßPÓZÑ3~áÛþÝ�ò�ÒC��ï��(�Vò ���D�"��ÍE#¹~F3IÛ3�­����~�ö¾�?#=�IÓI���CñC���g�j�X����ÓZ�6��#µÐ%�þ��Ñ#�6�3~­Í*Ý^�#ú4ÃVÁ�÷#�¤ 6Ù�üV¢V� �Ã���¡�Ã��¤ÙÞ���! a¡V¢��¤£¤ a¥�¦V�3ƹ¢�ë#¥¼¢�Á�÷,¢����K§*¨�©�ª=©X«­¬®°¯ ª ± ½µ¬CÚÌ�X£�¶��<¡� a¥¼ûV�³ºE��Å�¢øã�Â!Á�¢��­ 6¶�ÃV¸4Æ��X¸6Â�¥� a�X� �VÄ�ÈKÃ�ë3¸6ÃV¶�¢BAÊ£�ÃV�!ÙG��X 6£�£¼�X�HAÊ£��EÇþÂ!Ã�¥� 6�X�!£��ÊÉ:Ë?�X��ÍjÎ"�4Ò!ÒCÎ

Ð%��ÓZÑ�Î ¯ �"¨�ª=×��3¨�æ Õ §*¨�©�ªVªþ«­¬®°¯VÔj± ³¬P��¬.EÅ! 6¸6¸6 6ë#£�ÃV�!Ùy㳬 ²  a¢���¢����غ¼ãá¢�¥�£qÃV�!Ùy¥�Å!¢o½¾ a�¤ 6¶­Å!¸a¢�¥�����V÷3¸a¢�Áà�ÊÉ:ϹÎ�Ð%��ÓZÑ�ÎP���,� | ÑVÝ!ï�ÎÀ� ¯ ×¹�

¨ ðXÔ �3¨ ¯ ªG§*¨�© ¯VÕ «­¬®°¯ æ ± ÈP¬c»�¬,í� 6¶­Å!Ã��¤Ù!£��X�^�EºE��Å!¢µèáë!ë!���<î� �ÁNÃ�¥¼¢³èá�¤ a¥�Å!ÁN¢�¥� 6¶�ÃV¸�Æ��X¸6Â�¥� a�X�o÷þ¦Þ»� 6�! 6¥¼¢³½¾ À¿,¢���¢��!¶�¢�£��VÄ.PÅþ¦�£� 6¶�ÃV¸P���V÷#¸a¢�Áq£I�*�=¡V�X¸a¡� 6��üø½¾ À¿c¢��¤¢��=¥� 6ÃV¸%�PǹÂ!Ã�¥� a�X�#£ ²  a¥�ÅÌÃV��èáë!ë#¸6 �¶�Ã�¥� a�X�ॼ�ì¥�Å�¢ØÆ�¥¼��¢�£�£¼¢�£¾ 6�ÌÃõÚ%ÃV£¼�X����¦

½¾ÃVÁà�ÊÉ | Ñ!���IÎ���Í����!ï�ÎÀ� ¯ ¨ ð è Õ�ð=Ö � ÕVÔXÖ §*¨�©�¨ ð «­¬®°¯XÖ<± ú¾¬¹íáÂ!��üV¢V�Cº ý��÷,¢��4¢� 6��¢¾ÚÌ¢�¥�Å��¹Ù!¢¾Ù# a¢áë3Ã���¥� a¢�¸6¸a¢�½¾ À¿c¢��¤¢��=¥� 6ÃV¸6üX¸a¢� 6¶¤Å¹Â!��üV¢��0JLK0M ¶��X�#£¼¥�ÃV�!£2�¹Â!Á�¢��¤ 6£¤¶¤Å

û�Âo 6�=¥¼¢�üV�­ a¢���¢��^�ÊÉ���~���ÓZï�Î�ß(Î3ÐÌ��ÓZÑ�Î"��Î | ÑXÝ�ï<Î Ô æ¹� ¯V¯VÔ � ¯VÕV¯ �C§*¨�© ð ×�� ð ©X«­¬®°¯ × ± È"Â!Ù��� 6ü�ƹ¢� �Ù�¢�¸Z�!ÐN4�X�,��Ñ3~��c~­Í��2�V�þ��~�òN��ï���Ñ3~?�µâVÑ3���,�þ���V��#¹~��^� ¯ èá÷#Å!ÃV�#Ù!¸6Â!��üV¢�����×�¨�ꤨ ð ×¹�C§*¨�× Ö ªþ«­¬®°¯ © ± ½µ¬!Æ�Å!ÃV��·�£��=���ø�á�#������#�Ý%â�~�ÓO��~�~��ÿ�!Í­���!ï���~��3ÓZï����,��Ð%��ÓZÑ3~�òq��ÓZ�Z�­���^Û#~<���=~��^��~�ï����,�NÛ!��òõ~�ô¾���!���6�3~���Í

Û#~<���=~��^��~F3*Ó��P3IÛ!~<���þ~��,��~o�!Í­���!ï�ßZ�jͤòq��ÓZ�����!ï³Û^��#B#¹~�ï<Ó�~<�Qâ�ÝQ��Ó*�"ã�Ã�¡�ÃV¸ ç �¤Ù!�!ÃV�#¶�¢NÈKÃ�÷,�V�¤Ã�¥¼�V��¦GÚÌ¢�Á���ê�­ÃV�!Ù!Â!Á ©V©V©�ª�� ² Å! 6¥¼¢ ç Ã�·3�3ÚÌÃ���¦�¸6ÃV�!Ù�� ¯ æR�XÂ!¸6¦V�^§*¨�©�ª=©X«­¬

®°Õ�ð�± ´Ø¬, ³¬�Æ�Å!�V��¥�¸a¢�¦�ÃV�!Ùøín¬ ² ¢�¸�¸a¢�����ºE��Å�¢áã�Â!Á�¢��­ 6¶�ÃV¸cƹ�X¸�Â�¥� a�X�N�VÄ�È"Ã�ë#¸6ÃV¶�¢BAÊ£��PǹÂ!Ã�¥� a�X���ÊÉ�ϹÎþ��Ò#ÒCÎ | ÑVÝ!ï�¬©¹� ÕVÕ ª�� Õ ªVª�§*¨�© Õ ×X«­¬

®°Õ ¨ ± »�¬VÆ��=¦�Ù�¢���ÃV�!Ù� ³¬jÈ" a¡¹ ���üX£¼¥¼�X�^�,º¤ú���Ù! 6��ü2�VÄ!ÃáÈKÃ�ë#¸6ÃV¶�¢����XÂ!�!Ù!Ã���¦5"�ÃV¸�Â�¢.��¤�V÷#¸a¢�Á Ä��V��¥�Å�¢E��ã2�S"�è�ú��ÊÉÐ%��ÓZÑ�Î"�3��âV��~¾���^�ì�¹ÓZÑ3~­Í����g�þïnÓ��oñ���ò�Ò���ÓI��ÓZ�����^���8�8��� Õ ª!¨T� ÕVÔ�ð ��§*¨�©�ª=©X«­¬

®°ÕV¯j± í�¬�"µ¬�Æ��XÂ�¥�Å=��¢�¸6¸Z�,1�~����VU!��ÓZ�����àÐ�~�ÓZÑ3���¹ïE�6����Ñ3~��jÍ�~�ÓZ�Z�­��� | ÑVÝ!ï��g�¤ï�� ç î�Ä��V�¤Ùø���! a¡V¢��¤£� 6¥�¦����¢�£¤£��,§*¨�©�ª=æX«­¬®°ÕVÕj± �!¬!»�¬cƹ¥¼¢�¿,¢��!£¼¢��^���*�cÓ�~­Í(ÒC������ÓZ�����^���4ÃV¸a¥� 6Á��V�¤¢V� ²  �¸6¸6 6ÃVÁN£�ÃV�!Ù ²  6¸a·� 6�!£��,§*¨�© ¯XÖ «­¬®°Õ ª ± Æ�¥¼¢� 6�ÌÃV�#Ù%í��X£¼¢��þ÷c¢��¤ü��4º ç �Ì¥�Å!¢NÆ��X¸6Â�¥� a�X�o�VÄ4ƹ¦�£¼¥¼¢�ÁN£á�VÄ4Æ� �Á³Â!¸6¥�ÃV��¢��XÂ!£2�EÇþÂ#Ã�¥� a�X�!£�÷þ¦��(¥¼¢��¤Ã�¥� 6�X�^�ÊÉ

ÏX����Í<Î������,�����ÞÐ%��ÓZÑ�Î3Û!���<ÎÀ� ¯VÕ �"¨V¨V¨T�3¨V¨�×¹�C§*¨�©�ª=æX«­¬®°ÕVÔj± ´Ø¬*�"¢�Á�ë#¸6¢V��ºE��Å�¢q´�¢���¢��¤ÃV¸ ��Å�¢��V��¦o�VÄ�í�¢�¸6Ã�î�Ã�¥� a�X�GÚÌ¢�¥�Å���Ù!£?è�ë#ë#¸6 a¢�ÙÌ¥¼�àÈK 6��¢�Ã��³Æ�¦¹£¼¥¼¢�Áq£��ÊÉ | Í����<Î1¾�­ÝX��Û!����¬!è ¨�æV©¹�3ª Ö æ�� Ô�ðVð §*¨�© Õ ×�� Õ ©X«­¬®°Õ æ ± ³¬W��Å��XÁqÃV£��KºE�P¸�¸6 aë!¥� 6¶&��¤�V÷#¸a¢�ÁN£� 6��È" 6��¢�Ã���½¾ À¿,¢���¢��!¶�¢I�PǹÂ!Ã�¥� a�X�#£��<¡V¢��EÃ�ã�¢�¥(�E�V��·c�ÊɵÈ�¢�¶�¥�Â���¢��!�V¥¼¢�£��

² Ã�¥�£��X��Æ�¶� 6¢��=¥� ?Xc¶�È"Ã�÷,�V�¤Ã�¥¼�V��¦V�#ãá¢�� ä��V��·c�K¨T� Ö ¬®°ÕXÖ<± ½µ¬ ²  6Ù!Ù!¢������n�3�����,��~<��ñ����g�j�V���Vï���ãá¢��åä��V��·c��P��¢��þ¥� 6¶�¢ áÃV¸�¸Z�����#¶�¬a�K§*¨�©�ª Ö «­¬

Ö ¨

Page 77: Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic

Y)Z\[][_^$`�abFc�d `V^ c�egf'dihjd+cVk@lHm%n-oOl `�Y l'pgf@e:q\rts ^�` cVe ^ p&u!ewv.d ` d�q@xWdy�z Z\^ cVe{l�q\n-l�o y p:p{e{|\cVe{x!} a |~d

½¾Ã�¡� 6ÙÞÚ ¬�ä��XÂ!��ü��'�V��¬��Å!¢DX3�! a¥¼¢àÙ! À¿,¢���¢��!¶�¢ÞÃV�#ÃV¸a�VüXÂ�¢Þ�VÄ?ÃG÷,�XÂ!�!Ù#Ã���¦ÿ¡�ÃV¸6Â�¢àë!���V÷3¸a¢�Á  6�þ¡V�X¸a¡¹ ���üGÃG¸6 6��¢�Ã�����£¼¢�¶��X�!Ùy�V�­Ù�¢��ë#Ã���¥� �ÃV¸�Ù# À¿c¢��¤¢��=¥� 6ÃV¸�¢�ǹÂ!Ã�¥� a�X���VÄ�¢�¸6¸6 aë#¥� 6¶n¥(¦þë,¢�¶�ÃV�G÷,¢Ø��¢�Ù!Â!¶�¢�Ù%¥¼�ÞÃࣼ¦�£¼¥¼¢�Áz�VÄ�¸6 6��¢�Ã��¾¢�ǹÂ!Ã�¥� a�X�!£¾�VÄ�¥�Å�¢Ä��V�¤Á ���T�\���+�{� � K �&�]� � M ð §{��M ¨P� ¯ ���������8�G«§*¨<«

��Å�¢��¤¢?¥�Å�¢n¶��þ¢F�ø¶� a¢��=¥�£ � �w� � £�Ã�¥� 6£¼Ä�¦õ¥�Å!¢n¶��X�!Ù! a¥� a�X�#£��������������������������� ��������������������������

§gÃ=« � �{� ��� ð §{��M ¨P� ¯ ���������8�G«§�÷c« � �{� �� ð §{�2�M����I�8����M ¨P� ¯ ���������8��«§g¶<« ���{� �%�

�����\��P�� �� ���{� � � §{��M ¨P� ¯ ���������8�G«

ÃV�!ÙàÄ��V��£¼�XÁ�¢��� �{� ���

�����\��P�� �� � �{� � �

§gÙ3«���Å�¢5�¡ !� ÁNÃ�¥¼�¤ ÀîG§ � �{� � «4 6£�¢{£T£8¤8¥P¦�§¨¢ª©�«�¤��#¥�Å!Ã�¥� �£���üX a¡V¢��oÃV�þ¦õ¥(�E����X�ì¢�Á�ë#¥�¦à¶��XÁ�ë#¸a¢�ÁN¢��=¥�Ã���¦à£�Â!÷#£¼¢�¥�£���¬H­øÃV�!Ù0¬H®,�VÄ"¥�Å!¢�£¼¢�¥��VÄ�¥�Å�¢5X#�­£¼¥�  6�=¥¼¢�üV¢��­£2¥�Å�¢���¢n¢�î� 6£¼¥�£ � �{� � �M ð £�Â!¶¤ÅÞ¥�Å!Ã�¥I�.¯�¬)°yÃV�!Ù-�-¯�¬)±P�

§ ¯ «

»��V�á¥�Å�¢�£¼¢�¸6Ä"ÃVÙ�²¼�X 6�þ¥�¶�ÃV£¼¢V�� �{� � M � � � � §{�8����M ¨P� ¯ ���������8��«T�§ Õ «

´�¢� a�­ 6��üV¢�� ® ¨ ¯�± Å!ÃV£K£¤Å��<����¥�Å!Ã�¥" 6Ä^§ � �{� � «^£¤Ã�¥� 6£³X#¢�£�§ ¯ «­�V¥�Å�¢��õ§*¨<«�Å!ÃV£"ÃáÂ!�! 6ǹÂ�¢C£¼�X¸6Â!¥� a�X�^¬Kè�¶�¥�Â!ÃV¸6¸a¦¾�V÷!¥�ÃV ��! 6��ü¥�Å�¢n£¼�X¸�Â�¥� a�X�àÁNÃ<¦ø÷,¢?¡V¢���¦ì¸6Ã�÷,�V�¤ a�XÂ#£�¬����ì¥�Å! �£4¥�Å�¢�£� 6£2¥�Å!¢?ë!�¤ÃV¶�¥� 6¶�Ã�÷# �¸6 a¥�¦õ�VÄ"¡�Ã��¤ a�XÂ#£�Á�¢�¥�Å���Ù!£4Ä��V��£¼�X¸a¡� 6��ü§*¨<«� 6£2¶��X�!£¤ 6Ù�¢���¢�Ù^�¹�� a¥�Åà£�ëc¢�¶� �ÃV¸#¢�Á�ë3Å!ÃV£� 6£��X�à¥�Å��X£�¢¾ÃVÙ#Ã�ë!¥¼¢�Ùॼ�N¸6Ã���üV¢?ÃVÂ�¥¼�XÁqÃ�¥� 6¶n¶��XÁ�ë#Â!¥� 6��üØÁNÃV¶¤Å! ���¢�£�¬�Ã���¥� 6¶�Â!¸�Ã���Ã�¥¼¥¼¢��=¥� 6�X�o 6£4üX a¡V¢��o¥¼�N¥�Å�¢�X3�# a¥¼¢nÙ! À¿,¢���¢��!¶�¢nÃV�!ÃV¸6�VüXÂ�¢?�VÄ�¥�Å�¢n½¾ a�¤ 6¶­Å!¸a¢�¥I��¤�V÷#¸a¢�Áà¬

½¾ a��¢�¶�¥�Á�¢�¥�Å!�¹Ù!£µ£�Â!¶­ÅQÃV£Ø¥�Å�¢øÂ#£¼¢õ�VÄáÙ�¢�¥¼¢��¤ÁN 6�#ÃV�=¥�£ØÃV�!Ùx¢�¸6 6Áq 6�!Ã�¥� a�X�ÿÙ!�%���V¥�Ã�ë!ë,¢�Ã��µë!�¤ÃV¶�¥� 6¶�ÃV¸�Ä��V�¸6Ã���üV¢I� �þÃV�#Ù�¡�Ã��­ a�XÂ!£CÁ�¢�¥�Å���Ù!£C�VÄ,£�Â!¶�¶�¢�£¤£� a¡V¢�Ã�ë!ë#����î� 6ÁNÃ�¥� a�X��Ã��¤¢�Â!£�Â!ÃV¸�¸a¦n¢�Á�ë#¸6�<¦V¢�Ù^�¹ 6�!¶�¸6Â!Ù# 6��ü� a¥¼¢��­Ã�¥� a¡V¢Á�¢�¥�Å���Ù!£¾ÃV�!Ù%��¢�¸6Ã�î�Ã�¥� a�X��Á�¢�¥�Å���Ù!£�¬n»!�V�n£�Â!¶�¶�¢�£�£� 6¡V¢ØÃ�ë#ë!����î� 6ÁNÃ�¥� 6�X�%ÁN¢�¥�Å��¹Ù#£��^ÃV�%Ã��¤÷# a¥¼�¤Ã���¦Ì 6�! a¥� 6ÃV¸"Ã�ë�êë!���<î� �ÁNÃ�¥� a�X�´K@µ ±8¶ Mܧ{K µ ±8¶� �EK µ ±8¶· ���������EK µ ±8¶� «å 6£�¶¤Å!�X£¼¢��oÃV�!ÙÌ£�Â!¶�¶�¢�£�£¤ a¡V¢�¸a¦ì 6Á�ë!���j¡V¢�Ù^¬~�*�Ìú4Å!Ã�ë#¥¼¢��I�E·����j���ë!���¹�VÄg£2Ã���¢nüX a¡V¢��oÄ��V��¥�Å!¢n¶��X�=¡V¢���üV¢��#¶�¢³�VÄGK)µ¹¸ ¶ ¥¼�N¥�Å�¢n£¼�X¸�Â�¥� a�X�ì�VÄ�§*¨<«4ÃV£»º½¼¿¾ ¬��¥¼¢��¤Ã�¥� a¡V¢�ÁN¢�¥�Å��¹Ù#£�Ã�ë!ë,¢�Ã���¥¼�n÷,¢2Á��X£¼¥P£¤Â! a¥¼¢�ÙØÄ��V�P¸6Ã���üV¢�ÃVÂ�¥¼�XÁqÃ�¥� 6¶�¶��XÁ�ë3Â�¥� 6��ü?ÁNÃV¶­Å! 6��¢�£�¬ ��Å!¢4Â#£�Â!ÃV¸Á�¢�¥�Å���Ù!£4Ã���¢¾¥�Å�¢5�?�V�¤ÁN¢�£2Úo¢�¥�Å���ÙàÃV�!Ùø¥�Å�¢?ÈK 6¢�÷#ÁNÃV�!�øÚo¢�¥�Å!�¹Ù^¬~��Å�¢?£¼¢�ÇþÂ!¢��!¶�¢�£ÁÀ¨K)µ¹¸ ¶8 Ã��¤¢¾Ù!¢FX3��¢�ÙìÃV£Ä��X¸6¸a�<�á£

§gÃ=«I��Å�¢5�?�V�¤Á�¢�£áÚo¢�¥�Å!�¹ÙK µ¹¸&à � ¶� MÅÄ ���T�\��P�� �

� �{� �� �{� � K µ¹¸¶� Ä � �� �¹� §{� M ¨P� ¯ ��Æ�Æ�Æ��8��«§�ªþ«

Ö�¯

Page 78: Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic

�V�§�ªXÃ=« K µÇ¸�à � ¶ MÉÈ ® K µ¹¸ ¶ ± �GÊ ���Å�¢��¤¢ Ê MܧSÄ � �� �E� ��Ä � ·� ·E· �������¨��Ä � �� �&� «;�§ Ô «

§�÷c«���Å�¢nÈK 6¢�÷#ÁNÃV�!�ìÚÌ¢�¥�Å��¹ÙK µ¹¸&à � ¶� MjÄ �{Ë �����\� � �{� ��+�{� � K µÇ¸&à �

¶� Ä ����� � à � � �{���+�{� � K µ¹¸

¶� Ä � ��+�w� � §{� M ¨P� ¯ ��Æ�Æ�Æ��8�G«§ZæX«

�V�§Zæ�Ã=« K µÇ¸&à � ¶ MÍÌ&Î ® K µÇ¸ ¶ ± �GÊ��Å�¢��¤¢ÏGÙ�¢����V¥¼¢�£�¥�Å!¢n�V�¤Ù�¢��¤ ���üØ�VÄ"¥�Å�¢�¢�ÇþÂ!Ã�¥� 6�X�!£�¬��Å!¢N�¤Ã�¥¼¢�£³�VÄ4¶��X�þ¡V¢���üV¢��!¶�¢ì�VÄ4¥�Å�¢�£¼¢øÁ�¢�¥�Å���Ù!£nÙ�¢�ë,¢��!Ùÿ�X�ÿ¥�Å�¢qÙ!�XÁN 6�!ÃV�þ¥n¢� aüV¢��þ¡�ÃV¸�Â�¢�£n�VÄ4¥�Å�¢ø¸6 6��¢�Ã���Vë,¢��¤Ã�¥¼�V�¤£�È ÃV�!Ù]ÌÐÎ#�C��Å! 6¶­Å[Ã���¢à¸6 6�!¢�Ã����Vë,¢��¤Ã�¥¼�V�¤£µ�X�x¥�Å�¢ø¡V¢�¶�¥¼�V�q£¼ë#ÃV¶�¢�Ñ � �VÄ2�ÞêI¥�Â!ë#¸a¢�£³�VÄ�¶��XÁ�ë#¸a¢�î�¹Â!Á�÷,¢��¤£�¬�»!�V��¥�Å�¢�£�¥�Â!Ù�¦q�VÄ�¥�Å�¢�£�¢V�!�E¢³Â!£¼¢?¥�Å�¢nÄgÃV¶�¥�¥�Å!Ã�¥µ§ � �{� � «4Å#ÃV£2ë!���Vë,¢���¥(¦�§:ÒÁÓ�«4Ä��V��£��XÁ�¢� 6�þ¥¼¢�üV¢��;Ô¹¬u0d+Õ�q%ewcVe{l�q.Ö § � �{� � «CÅ#ÃV£ | ` l�|~d ` c a §ª×LØ�«C aÄ,¥�Å�¢���¢á¢�î� �£¼¥E���X�õ¢�Á�ë!¥(¦NÙ! 6£{²¼�X 6�þ¥P£�Â�÷3£¼¢�¥�£ Ù � �³Ù · ���������³Ù*Ó2�VÄ)Úõ�¥�Å�¢�£�¢�¥2�VÄ�¥�Å!¢5X#�¤£¼¥��  6�þ¥¼¢�üV¢��¤£��#£�Â#¶¤Åà¥�Å!Ã�¥

ÓÛÜ �\� Ù Ü MÍÚN�3ÃV�!ÙÞ£�Â!¶­Åà¥�Å!Ã�¥�¥�Å!¢�Ù Ü ¶�ÃV�à÷,¢n¸6Ã�÷,¢�¸a¢�Ùࣼ��¥�Å#Ã�¥� �w� � M ð Â!�!¸6¢�£�£��%M�� �V�»�Я0Ù Ü ÃV�!ÙÝ��¯0Ù Ü Ë � Û Ù Ü Ã � ¬á§wÙ*±?ÃV�#ÙDÙ*Ó Ã � Ù�¢��!�V¥¼¢n¥�Å�¢?¢�Á�ë!¥(¦à£¼¢�¥�¬ «��£� 6��üµ¥�Å! 6£Eë!���Vë,¢���¥(¦V���E¢?£�Å��j��¥�Å!Ã�¥2¥�Å�¢�¢� aüV¢��=¡�ÃV¸6Â�¢�£ßÞv�VÄàÈ �¹¶�¶�Â!�4 ��õë3ÃV a�¤£¾§{Þ ��ÄIÞ"«­¬~��Å�¢���¢�¢�î� 6£¼¥¶�¢���¥�ÃV 6�Q�V�­Ù�¢��¤ 6��üX£Tá��VÄ�¥�Å�¢ì¢�ǹÂ!Ã�¥� a�X�!£�£�Â#¶¤Åy¥�Å!Ã�¥�¥¼�G¢�ÃV¶­Å1£�Â!¶­Åyë#ÃV a�Ø¥�Å�¢��¤¢Þ¶��V����¢�£¼ë,�X�!Ù!£ØÃV�Q¢� aüV¢��þ¡�ÃV¸6Â�¢â MãÞ · �VÄ'Ì&Î��¹Å�¢��!¶�¢V�X¥�Å�¢2�­Ã�¥¼¢��VÄc¶��X�þ¡V¢���üV¢��!¶�¢á�VÄ'Ì&Î� �£�¢�î�ÃV¶�¥�¸a¦µ¥��á 6¶�¢�¥�Å!Ã�¥C�VÄ*ÈجCèá��¢�î�ë#¸6 �¶� a¥"¢�î�ë!��¢�£¤£� a�X��VÄP¥�Å!¢³¢� aüV¢��þ¡V¢�¶�¥¼�V�¤£?�VÄ&Ì Î  ��o¥¼¢��¤Áq£á�VÄE¥�Å�¢µ¢� aüV¢��=¡V¢�¶�¥¼�V�­£?�VÄÐÈ  6£�ÃV¸6£¼�ìüX a¡V¢��^¬?»��V�?¥�Å!¢Ø£�¦¹ÁNÁN¢�¥¼�¤ 6¶µ¶�ÃV£¼¢V�ÃV¸6¸P¢� aüV¢��=¡�ÃV¸6Â�¢�£µ�VÄIÈ ÃV�!Ù]Ì Î Ã���¢ø��¢�ÃV¸�ÃV�!Ù[¥�Å!¢D�X�V�¤Ù!ÃV�x���V�¤ÁNÃV¸PÄ��V�¤Á �VÄ�¥�Å�¢ø¶��V����¢�£¼ë,�X�!Ù# 6��üoÁNÃ�¥¼�­ 6¶�¢�£Ã���¢qÙ# 6Ã�üV�X�!ÃV¸��� a¥�Å�¥�Å!¢�ëc�X£¤£� a÷#¸a¢µ¢�î�¶�¢�ë!¥� a�X�G�VÄ4¥�Å�¢N£�Â!÷#£¼ë#ÃV¶�¢NÃV£�£¤£¼�¹¶� �Ã�¥¼¢�ÙG�� a¥�Å â M ð Ä��V��Ì Î ¬-��Ä(�"ÃV¸6£¼���� �¹� M�¶��X�#£¼¥�ÃV�=¥���ÃV£�Ä��V��¥�Å�¢á½� 6�¤ 6¶¤Å#¸a¢�¥ ����V÷#¸6¢�Áà�X¥�Å�¢2¢� aüV¢��þ¡V¢�¶�¥¼�V�¤£��VÄ*È Ã���¢2�V��¥�Å!�VüV�X�!ÃV¸Z¬�»��V�E¥�Å�¢�½¾ a�¤ 6¶­Å!¸a¢�¥��¤�V÷#¸a¢�Á ¥�Å�¢³¢� aüV¢��þ¡�ÃV¸6Â!¢�£�ÃV�!Ùo¢� aüV¢��=¡V¢�¶�¥¼�V�­£á�VÄ È ÃV�!Ù�Ì&Îõ¶�ÃV�o÷,¢�¶��XÁ�ë#Â�¥¼¢�Ùo¢�î�ÃV¶�¥�¸6¦àÄ��V��ÃN��¢�¶�¥�ÃV��üXÂ#¸6Ã����¢�üX a�X��¬�»��V�P�X��¢2�V�¤Ù�¢��¤ ���ü��BÏ · �X¥�Å�¢2���V�¤ÁqÃV¸þÄ��V�¤Á �VÄ3¥�Å�¢�ÁNÃ�¥¼�¤ Àî³�VÄ'Ì Î¨ä  �£�Ù# 6Ã�üV�X�!ÃV¸�ÃV�!Ù� aÄ!¥�Å!¢4¶��¹�V�¤Ù! ��!Ã�¥¼¢�£�VÄPÃV�%Ã���÷# a¥¼�­Ã���¦ì¡V¢�¶�¥¼�V�n 6�åÑ � ��¢�Ä�¢�����¢�ÙÌ¥¼�õ¥�Å�¢³÷#ÃV£� 6£á�VÄC¢� aüV¢��þ¡V¢�¶�¥¼�V�¤£?�VÄ~È Ã���¢µ·¹���j���^�c¥�Å�¢³¶��¹�V�¤Ù! ��!Ã�¥¼¢�£�VÄ�¥�Å!Ã�¥�£�ÃVÁN¢?¡V¢�¶�¥¼�V�á��¢�Ä�¢�����¢�ÙÞ¥¼�N¥�Å�¢n÷#ÃV£¤ 6£4�VÄ"¢� 6üV¢��=¡V¢�¶�¥¼�V�¤£��VÄ�Ì Î¨ä ¶�ÃV�o÷c¢n¶��XÁNë#Â�¥¼¢�ÙÞÃ�¥��X�#¶�¢V¬

»��V��¥�Å�¢�£�¦¹ÁNÁN¢�¥¼�¤ 6¶�¶�ÃV£¼¢V��Ãn¶��X��²¼¢�¶�¥�Â���¢á¥�Å!Ã�¥P÷¹¦Ø¥�Å�¢�È" a¢�÷#ÁNÃV�!��ÚÌ¢�¥�Å���ÙN¥�Å�¢��¤Ã�¥¼¢��VÄ^¶��X�þ¡V¢���üV¢��!¶�¢?¶�ÃV����V¥�÷,¢� ��!¶���¢�ÃV£¼¢�Ùà÷¹¦àÂ!£� 6�!üNÃV�Þ�V�¤Ù�¢��­ 6��ü���Å! �¶¤Åà 6£��!�V¥á¶��X�!£� �£¼¥¼¢��=¥��c 6£2ë!�¤�<¡V¢�Ùo ��à�X��¢�£¼ë,¢�¶� 6ÃV¸K¶�ÃV£¼¢V¬�ƹ�XÁ�¢�¹Â!Á�¢��¤ 6¶�ÃV¸"£¼¥�Â!Ù! 6¢�£�÷,¢�Ã����XÂ�¥�Ãø¶��X��²¼¢�¶�¥�Â���¢µ÷þ¦�Æ�Å��V��¥�¸a¢�¦ÞÃV�#Ù ² ¢�¸6¸6¢���� ®°Õ�ðV± �c¥�Å#Ã�¥áÄ��V�?¸6Ã���üV¢�� ¥�Å�¢³�­Ã�¥¼¢µ�VĶ��X�þ¡V¢���üV¢��!¶�¢µ�VÄ%Ì&Îq 6£���¢�Ã��¤¸a¦ø 6�!Ù�¢�ë,¢��!Ù�¢��þ¥��VÄ�Ï�¬��Å!¢n�þÂ!Á³÷,¢��2�VÄC a¥¼¢��¤Ã�¥� a�X�!£4�¤¢�ÇþÂ! 6��¢�Ù쥼�N��¢�Ù!Â#¶�¢?¥�Å�¢����V�¤Á �VÄ�¥�Å�¢³ 6�! a¥� 6ÃV¸3¢������V��Ä�Â!�#¶�¥� a�X�

æ K µ ±8¶ ÄàK æ Mèç ��� �\� §{Kµ ±8¶� ÄàK � « ·Té

�Oê ·¥¼� à Ù�¢FX3�! 6¥¼¢àÄ��¤ÃV¶�¥� 6�X�1�VÄn a¥�£¼¢�¸6Ä� 6£õÃV£¼¦�Á�ë!¥¼�V¥� 6¶�ÃV¸6¸6¦ Ä��V�õ£�ÁqÃV¸6¸2ë ë!���Vë,�V��¥� a�X�#ÃV¸4¥¼�]ë Ë · §ªë  �£N¥�Å�¢oÁN¢�£�Å£� aû�¢j«­¬á»��V��£��XÁ�¢³ë#���V÷#¸a¢�ÁN£���Å�¢���¢�Ãq¡V¢���¦o£�ÁqÃV¸6¸�Á�¢�£�ÅÌ£� aû�¢µÁ³Â!£�¥�÷,¢�Â!£¼¢�Ù��#¥�Å�¢³¥� 6Á�¢��¤¢�ÇþÂ! 6��¢�Ùॼ�q�V÷#¥�ÃV 6�ÃV�yÃV¶�¶�¢�ë!¥�Ã�÷#¸6¢ÞÙ�¢�üV��¢�¢ì�VÄáÃV¶�¶�Â��­ÃV¶�¦V�E¢�¡V¢��y�á a¥�Å Ã�ÄgÃV£¼¥�¶��XÁ�ë#Â!¥� 6��ü�ÁNÃV¶¤Å! ���¢ø£¤Â!¶¤ÅyÃV£Ø¥�Å�¢à��ã2�S"�è�ú��� 6£ë!���XÅ# a÷# a¥� a¡V¢V¬ìSí¨î�ï�ðÁñóò�ôVõSò÷ö=ø�ùTú@ûóò÷õ~ïEûTü=ü=õEôLýwï³ñ�øVúªö=ú:þ÷õ³ø�þ÷ÿ�ñTò�ôVõOò÷ö øVù�ú �

Ö�Õ

Page 79: Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptic

�*�xú4Å#Ã�ë!¥¼¢���8�8���� a¥� �£n£�Å��j���ÿ¥�Å!Ã�¥³¥�Å�¢N��¢�ǹÂ! a�¤¢�Ùÿ�þÂ#Á�÷,¢��n�VÄ2 a¥¼¢��¤Ã�¥� 6�X�!£�¶�ÃV�[÷c¢qüV��¢�Ã�¥�¸a¦G��¢�Ù!Â#¶�¢�ÙG÷þ¦Â!£� ���ü¾¥�Å�¢�Û^�¹����~�ï¤ï��I�<~5�¾�<~­Í�Í�~����VU���ÓZ�����qÐ%~�ÓZÑc���#�þ��Å�¢���¢2¥�Å!¢� 6Ù�¢�þ�VÄ,ï�Ý!ï�Ó�~�òq��ÓZ�g�4�X�<~­Í�Í�~����VU!��ÓZ�����^�+X#�¤£�¥�Â!£¼¢�Ù÷¹¦õÈ�¬�»�¬!í� 6¶­Å!Ã��¤Ù!£��X�^� ®°¯ æ ± �� �£�¶��XÁ³÷# 6�!¢�Ùõ�á a¥�Åø¥�Å�¢?ÈK a¢�÷#ÁqÃV�!�qÚÌ¢�¥�Å���Ù^¬P»��V�2¥�Å�¢?½¾ a�¤ �¶¤Å!¸a¢�¥���¤�V÷#¸a¢�Áà�¹¥�Å�¢��¢�Ù!Â#¶�¥� a�X�[ 6£³�VÄ2¥�Å�¢ø�V�¤Ù�¢��³�VÄ;ë Ë � �CÃV�!Ù Ä��V�µ¥�Å�¢õüV¢���¢��¤ÃV¸4£¼¢�¸aÄ2ÃVÙ�²¼�X 6�þ¥³¶�ÃV£¼¢V�� aÄ2¥�Å!¢q��¢�ǹÂ! a��¢�Ù �þÂ#Á�÷,¢����VÄ a¥¼¢��¤Ã�¥� 6�X�!£��� a¥�Åõ¥�Å�¢?ÈK a¢�÷#ÁqÃV�!�õÚÌ¢�¥�Å���Ùà 6£��VÄ�¥�Å�¢¾�V�¤Ù�¢��4�VÄ�ë Ë � �¹¥�Å!¢��¤¢�Ù!Â!¶�¥� a�X�ì 6£��VÄ�¥�Å�¢¾�V�¤Ù!¢����VÄ�ë Ë � ê · � aÄ4¥�Å�¢ÞÆ�Â!¶�¶�¢�£�£¤ a¡V¢ ç ¡V¢�����¢�¸6Ã�î�Ã�¥� a�X�xÚo¢�¥�Å���Ùx 6£³Â#£¼¢�Ùÿ�� 6¥�Å[¥�Å�¢õë!���Vë,¢����¤¢�¸6Ã�î�Ã�¥� 6�X�[ÄgÃV¶�¥¼�V���2¬ÌÚÌ�V��¢��<¡V¢��<�¥�Å! 6£E��¢��  �Á�ë!���j¡V¢�ÙõÁ�¢�¥�Å!�¹Ùõ¶�ÃV�q÷,¢áÂ#£¼¢�ÙN�� 6¥�ÅNÃV�=¦õ¸6Ã���üV¢áÃVÂ!¥¼�XÁNÃ�¥� 6¶�¶��XÁ�ë#Â�¥� 6�!ü�ÁNÃV¶¤Å# 6��¢�Ä��V�E�áÅ! 6¶¤Åq¥�Å�¢ÈK 6¢�÷#ÁNÃV�!�ÿÚÌ¢�¥�Å���Ù[¶�ÃV� ÷,¢qÂ!£¼¢�ÙH��¥�Å�¢øÁNÃV¶¤Å# 6��¢N¥� 6ÁN¢që,¢��� a¥¼¢��¤Ã�¥� 6�X�ÿ���XÂ!¸6Ù[�!�V¥n÷,¢q 6�!¶���¢�ÃV£�¢�Ùÿ÷¹¦ÿÁ��V��¢¥�Å!ÃV�ÿ¨ ð�� ¬��Å!¢n 6Á�ë!���j¡V¢�Á�¢��þ¥�Ä��V�­Á³Â!¸�õ �£

K µ¹¸&à � ¶� M�� � Ä �{Ë �����\� ���{� �� �{� � K µÇ¸�à �¶� Ä ����� � à � ���{�

�� �{� � K µÇ¸¶� Ä � �� �{� �

� Ä §��QÄ:¨<«OK µ¹¸ ¶� §{��Mé¨P� ¯ �������V�8�G«§ Ö «

�V�§ ð ¬ Ö Ã=« K)µ¹¸&à � ¶ MÍÌÐÎ � ® K)µ¹¸ ¶ ± � � Ê��Å�¢��¤¢n¥�Å�¢³£¤Â�÷#£�¶��¤ 6ë!¥�£�ÏÿÃV�!Ù��:�VÄ Ì Î � Ù!¢����V¥¼¢�¥�Å�¢³�V�¤Ù�¢��¤ ���ü��"§gÃV£�£�Â#Á�¢�Ùo¶��X�!£¤ 6£¼¥¼¢��þ¥­«­�3�VÄ�¥�Å�¢³¢�ÇþÂ!Ã�¥� 6�X�!£��ÃV�!ÙÌ¥�Å�¢µ��¢�¸6Ã�î�Ã�¥� a�X�oÄgÃV¶�¥¼�V�?��¢�£¼ë,¢�¶�¥� a¡V¢�¸6¦V¬ÁÌ Î �  6£áÃø¸� 6��¢�Ã����Vë,¢��¤Ã�¥¼�V�¾�X�QÑ � �,ÃV�!ÙÌ 6Ä��/M ¨��,��¢µÅ#Ã�¡V¢Ø¥�Å�¢ÈK 6¢�÷#ÁNÃV�!�àÚÌ¢�¥�Å���Ù^¬��Ä\Þÿ �£�ÃV�à¢� aüV¢��þ¡�ÃV¸�Â�¢?�VÄ ÈØ�!¥�Å�¢���¢?¢�î� 6£¼¥�£�ÃV�o¢� aüV¢��þ¡�ÃV¸6Â!¢�� â �VÄ�Ì Î � £¤Â!¶¤Åà¥�Å#Ã�¥

Þ�� � â �Oê · M � â � §��QÄ:¨<«§Z×X«ÃV�!Ù�¶��X�þ¡V¢��¤£¼¢�¸a¦%¢�¡V¢���¦o¢� 6üV¢��=¡�ÃV¸6Â�¢Ø�VÄÐÌ Î � ¶�ÃV��÷,¢ØÙ�¢�¥¼¢��¤ÁN 6�!¢�ÙÌ÷¹¦ §Z×X«­��Ä��V�n£¼�XÁ�¢�ÞC¬���Å�¢³¢� 6üV¢��=¡V¢�¶�¥¼�V�¤£�VÄ.Ì Î � ¶�ÃV�Ì÷,¢³¢�î¹ë!�¤¢�£�£¼¢�ÙÌ¢�î¹ë#¸� 6¶� a¥�¸a¦à 6�o¥¼¢��¤ÁN£��VÄ�¥�Å�¢µ¢� aüV¢��þ¡V¢�¶�¥¼�V�¤£¾�VÄ.Èج��(Ä�§ � �{� � «á 6£�£�¦¹ÁNÁN¢�¥¼�¤ 6¶��c¥�Å�¢��¥�Å�¢n�Vë#¥� 6Á³Â#Á ��¢�¸6Ã�î�Ã�¥� a�X�àÄgÃV¶�¥¼�V���������! 6£2üX 6¡V¢��à÷þ¦Þ · � � ·� M ª#§����%Ä:¨<«§Z©X«��Å�¢��¤¢IÞ �  6£P¥�Å�¢�¸�Ã���üV¢�£¼¥P¢� 6üV¢��=¡�ÃV¸6Â�¢á�VÄ)Èج�»��V��ÃV¸�¸��tM������þ¢�¡V¢���¦N¢� aüV¢��þ¡�ÃV¸�Â�¢��VÄ)Ì Î � Å!ÃV£�Ã�÷#£¼�X¸�Â�¥¼¢�¡�ÃV¸6Â�¢§���Äx¨<«­�!ÃV�!Ùø¥�Å�¢�V�V�¤Ù#ÃV�õ���V�­ÁNÃV¸cÄ��V�¤Á �VÄ"¥�Å�¢?ÁNÃ�¥¼�¤ ÀîN�VÄ%Ì Î �  �£EÙ! �Ã�üV�X�!ÃV¸,Â!�!¸a¢�£�£��tM�����¬ �*�õ¥�Å# 6£4¶�ÃV£¼¢V�¥�Å�¢��!�V�¤ÁNÃV¸^ÁNÃ�¥¼�¤ aîøÄ��V�¤Á ¶��X�þ¥�ÃV 6�!£2ë#��¢�¶� 6£¼¢�¸a¦õ�X��¢����X�àÙ# 6Ã�üV�X�!ÃV¸^¢�¸a¢�ÁN¢��=¥�¬

»��V��¥�Å�¢�½¾ a�­ 6¶¤Å!¸6¢�¥�P���V÷#¸a¢�ÁÞ�= aÄHëq 6£P£�ÁNÃV¸6¸Z�BÞ �  �£C¡V¢���¦���¢�Ã��¤¸a¦µ�X��¢V¬ Þ � ¶�ÃV�õ÷c¢�¶�ÃV¸�¶�Â!¸6Ã�¥¼¢�Ù�¢�î�ÃV¶�¥�¸a¦�Ä��V�EÃ��¢�¶�¥�ÃV��üXÂ#¸6Ã��P��¢�üX 6�X�qÃV�!ÙqÄ��V�E�V¥�Å�¢��P��¢�üX 6�X�!£P¶�ÃV�q÷c¢�¢�£¼¥� 6ÁNÃ�¥¼¢�Ùq÷þ¦�¶��XÁ�ë#Ã��­ 6£¼�X�N¥�Å!¢��V��¢�ÁN£�¬�»��V��¥�Å�¢�üV¢��!¢��¤ÃV¸£¼¢�¸aÄ"ÃVÙ�²*�X ��=¥4¶�ÃV£¼¢V��ë!���j¡¹ �Ù�¢�Ù�Þ �  6£4���V¥4Â!�!Ù�¢���¢�£�¥� 6ÁNÃ�¥¼¢�Ù^�^§�Ä��V�2¥�Å!¢�½¾ a�¤ �¶¤Å!¸a¢�¥���¤�V÷#¸a¢�Á õ�!�X�q¥¼�¤ 6¡¹ 6ÃV¸cÂ�ë!ë,¢��÷,�XÂ!�!Ù[Ä��V��Þ � ¶�ÃV�xÃV¸6��Ã<¦¹£Ø÷,¢øÄ��XÂ!�#Ù3«­��¥�Å�¢ì��¢�¸6Ã�¥� a¡V¢ìÙ�¢�¶���¢�ÃV£¼¢à 6� ¥�Å�¢ì�¤Ã�¥¼¢ì�VÄ�¶��X�þ¡V¢���üV¢��!¶�¢V�4 aÄ�� ® � ��� 6£ØÂ!£¼¢�Ù��P 6£ØÃ�ë!ë!���<î� �ÁNÃ�¥¼¢�¸a¦�� Ë �Oê · Ä ¨��E��Å�¢���¢G§*¨ÄßÞ ® � «�M��#§*¨�ÄàÞ � « § ð�� � � ¨<«µÃV�!Ùx��Å�¢��¤¢�� ®  6£Ù�¢�¥¼¢��¤Áq 6��¢�ÙõÄ����XÁz§Z©X«­��÷#Â!¥P�� a¥�ÅRÞ � ��¢�ë#¸6ÃV¶�¢�Ùõ÷þ¦RÞ ® � ¬~��ÅþÂ#£Eõ��¢�¸6Ã�¥� 6¡V¢�¸a¦N¸6Ã���üV¢¾¢������V�4 6�õ¥�Å�¢¾¢�£¼¥� 6ÁNÃ�¥� 6�X�õ�Vħ*¨�ÄàÞ � «K¶�ÃV��÷,¢�ÃV¸6¸a�<��¢�ÙµÃV�!Ù�¥�Å!¢E 6Á�ë#���<¡V¢�Á�¢��þ¥��<¡V¢���¥�Å�¢4ÈK a¢�÷#ÁqÃV�!�nÚÌ¢�¥�Å��¹Ù³�� 6¸�¸X���V¥"£¤Â�¿c¢���Ã�ë!ë!�¤¢�¶� 6Ã�÷#¸a¦V¬��Å! �£�£�Â�üVüV¢�£¼¥�£E¥�Å!Ã�¥�¥�Å!¢¾Æ�Â!¶�¶�¢�£¤£� a¡V¢ ç ¡V¢��¤��¢�¸6Ã�î�Ã�¥� a�X�qÚÌ¢�¥�Å���Ùõ¶�ÃV�q÷c¢áÃ�ë!ë#¸6 a¢�Ù�£¤Â!¶�¶�¢�£�£¼ÄgÂ!¸6¸a¦µ¥¼�³£�¢�¸aÄcÃVÙP²*�X 6�þ¥¢�ǹÂ!Ã�¥� a�X�!£2�V¥�Å!¢���¥�Å!ÃV�ÞÈ"Ã�ë#¸6ÃV¶�¢BAÊ£;�PǹÂ!Ã�¥� a�X�^¬

Ö ª


Recommended