J. Mauricio López R.
CENAM Time and Frequency Division
Statistical Analysis of Measurements
(time domain)
OUTLINE
1. Introduction
3. Allan Variance (AVAR)
4. AVAR uncertainty
5. Trazability
2. Time and Frequency Measurements
5. Time Deviation
Introduction
Real Clocks
There not exist the perfect clock, all the real clocks are unestable. The output frequency of a clock changes with time. A correct mathematical tool is needed to characterise the frequency instability of oscillators.
)2sin()( tAtV
A: amplitude: frequencyt: time
+A
-A
Mathematical model for ideal frequency signal
Quartz oscillators are a very common equipment to produce frequency signals but their frequency output could be more or less instable as function of many parameters
V(t) = V0 sen(20t)
V(t) =[V0 + (t)] sen[20t + (t)]
tiempo
tiempo
Mathematical model for real (instable) frequency signals
Precisión sin exactitud
Ni exactitud ni precisión
Exactitud sin precisión
Exacto y preciso
Tiempo TiempoTiempoTiempo
Estable de baja exactitud
Inestable de baja exactitud
Alta exactitud a largo tiempo e
inestable a corto tiempo
Alta estabilidad y alta exactitud
0
f fff
Exactitud y Estabilidad
Standard deviation to specify frrequency satbility
Time and Frequency Measurements
Método de medición directa de frecuencia
MEDICIONES DE FRECUENCIA FIGURA 1 (04-2003F.DAT)
4999999.509
4999999.510
4999999.511
4999999.512
4999999.513
4999999.514
4999999.515
4999999.516
0 3600 7200 10800 14400 18000 21600 25200 28800 32400 36000
DATOS (10horasdemedición con =1s)
FR
EC
UE
NC
IA (
Hz)
Frecuencia Bajo
Calibración
Frecuencia Patrón para amarrar en
frecuencia al contador
Direct Frequency Measurement
Automatic data adquisition system
PC
Frequency Standard Device Under Test
Frequencymeter
Método de medición de diferencia de fase
Pa tró n d e re fe re nc ia Pa tró n d e re fe re nc ia
Instrum e nto b a jo
c a lib ra c ió n
Instrum e nto b a jo
c a lib ra c ió n
Ad q u isic ió n d e d a to s a uto m a tiza d o
PC
Frecuencia Bajo
Calibración
Interfacede
Comunicación
Frecuencia Patrón para amarrar en
frecuencia al contador
Frecuencia Patrón para la calibración
Mediciones de Diferencia de Fase
Contador de Intervalos de
Tiempo
4 - 1 6
F r e c u e n c i a e s t a b l e ( o s c i l a d o r i d e a l )
U n s t a b l e F r e q u e n c y ( R e a l O s c i l l a t o r )
T i m e
( t )
T i m e
( t )
V1
- 1T 1 T 2 T 3
1- 1
T 1 T 2 T 3
V ( t ) = V 0 s i n ( 2 0 t )
V ( t ) = [ V 0 + ( t ) ] s i n [ 2 0 t + ( t ) ]
( t ) = 2 0 t
( t ) = 2 0 t + ( t )
V ( t ) = s a l i d a d e l o s c i l a d o r , V 0 = A m p l i t u d n o m i n a l p i c o - a - p i c o ( t ) = a m p l i t u d d e r u i d o , 0 = f r e c u e n c i a n o m i n a l ( t ) = f a s e , a n d ( t ) = r u i d o d e f a s e
t d)t(d
21=
t d)t(d
21 = )t( 0
π
Φπ
frequency, ousInstantane
V
I n e s t a b i l i d a d e n f r e c u e n c i a ( r u i d o )
Allan Variance
La Varianza de Allan es la herramienta usada para el análisis en el dominio del tiempo de mediciones de Tiempo y Frecuencia siendo un estimador de la dispersión de las mediciones, determinando así, la estabilidad del oscilador bajo calibración.
The Allan Variance is a statistical tool used for the time domain analysis of time and frequency measurements to estimate the noise behind measurements and to determine the stability of an oscillator under calibration.
22y 2
1σ iy 22
2
2y 2
1σ ix
Frecuencia Fase
iii yyy 1 iiii xxxx 122 2
Concepto de la Varianza de Allan
ii
i
xxy
1
Varianza de Allan para Mediciones de Frecuencia
1N
1i
2i1i
0
2y yy
1N21
σ
donde:
Varianza de Allan
Número de datos espaciados 0
i-ésima medición de fase
2y
N
iy
Tiempo de observación = m0
m =2n cálculos posibles
mN
iimimiy xxx
mN
2
1
222
2 222
1
donde:
Varianza de Allan
Número de datos espaciados 0
Tiempo de observación = m0
i-ésima medición de fase
2y
Nix
m =2n cálculos posibles
Varianza de Allan para Mediciones de Diferencia de Fase
Barras de Incertidumbre
Distribución 2
Para df < 100
2
2
2 )(y
ysdf
2ys
donde:Estimado de la Varianza de Allan
df Número de grados de libertad
Varianza de Allan verdadera2
y
Distribución X
2
Barras de incertidumbre
2
2
2 )(y
ysdf
025,0975.0 2
22
2
2
dfsdfs y
yy
Tablas 2
Barra Inferior Barra Superior
Tabla 2
Para df > 100
Barras de incertidumbre
Barras de incertidumbre
22 96,121
025,0 h
Para df > 100
22 96,121
975,0 h
12 dfh
donde:
Barra Inferior
Barra Superior
Número de Grados de Libertad
NBS Technical note 679
White Phase
Flicker Phase
White Frquency
mN
mNNdf
221
4112
ln2
1lnexp
Nmn
Ndf
54
4222
132
2
mm
NN
mN
df
Flicker Frequency
Random Walk Frequency
234
5
19,43,2
22
2
mparamNm
Ndf
mparaNN
df
2
22
3
41312
N
mNmNm
Ndf
4-25
Por debajo del ruido “fliker”, los cristales de cuarzo tipicamente tienen una dependencia -1 (white phase noise). Los patrones atómicos de frecuencia muestran una dependencia del tipo -1/2 (white frequency noise) para tiempos de promediación cercanos al tiempo de ataque del lazo de amarre, y -1 para tiempos menores del tiempo de ataque. Tipicamente los ’s para el ruido flicker son: 1 s para osciladores de cuarzo, 103s para relojes de rubidio y 105s para Cesio.
y()-1
-1
0
Tipo de ruido:
Whitephase
Flickerphase
Whitefreq.
Flickerfreq.
Randomwalk freq.
-12 12
Dependencia temporal de Dependencia temporal de yy(())
Ejemplos de cálculo de varianza de Allan
NIST Special Publication 1065
NIST Special Publication 1065
Incertidumbre de medición
La pendiente del gráfico ofrece información sobre la diferencia fraccional de frecuencia “promedio” entre los
osciladores
mff
La desviación de los datos experimentales respecto a la línea recta que mejor los representa ofrece información
sobre la incertidumbre en la desviación fraccional de frecuencia
La desviación de los datos experimentales respecto a la línea recta que mejor los representa ofrece información
sobre la incertidumbre en la desviación fraccional de frecuencia
0
La desviación de los datos experimentales respecto a la línea recta que mejor los representa ofrece información
sobre la incertidumbre en la desviación fraccional de frecuencia
1
La desviación de los datos experimentales respecto a la línea recta que mejor los representa ofrece información
sobre la incertidumbre en la desviación fraccional de frecuencia
3
La desviación de los datos experimentales respecto a la línea recta que mejor los representa ofrece información
sobre la incertidumbre en la desviación fraccional de frecuencia
)( y
)(
ymff
0
0
fff
ff
Frecuencia del
oscilador
Frecuencia de
referencia
))(1(0 ymff
))(21(0 ymff
Factor de cobertura k=2
......)( 2210
122
fhfhh
fh
fh
fhfS y
=-2 Random walk frequency=-1 Flicker frequency=0 White frequency=+1 Flicker phase=+2 White phase
y2 ()
= -1 Random walk frequency= -1 Flicker frequency= -1/2 White frequency= 0 Flicker phase = +1/2 White phase
Dominio de la frecuencia
Dominio del tiempo
0 1 2 3 4 5 6 7 8 -17
-15
-13
-11
-9
log
logy
White PM o flicker PM
White FM
Flicker FM Random walk FM
103
100 101 102 103
10-1
100
101
102
=2 =1
=0
=-1
=-2
N (número de mediciones)
),2(
),(2
2
N
Random walk frequency
Flicker frequency
White frequency
Flicker phase
White phase
Varianza de Allan
Varianza estándar
=--1
Varianza de Allan vs Varianza Estándar
Traceability
NMI 2
Labs. Sec.
Labs. Ind.
NMI 1
Labs. Sec.
Labs. Ind.
BIPM
u1
u2
u´1
u´2
u´0 u0
Concepto de Trazabilidad
NMI 2
Labs. Sec.
Labs. Ind.
NMI 1
Labs. Sec.
Labs. Ind.
BIPM
u1
u2
u´1
u´2
u´0 u0
Concepto de Trazabilidad
NMI 2
Labs. Sec.
Labs. Ind.
NMI 1
Labs. Sec.
Labs. Ind.
BIPM
u1
u2
u´1
u´2
u´0 u0
CMC´sCMC´s
Concepto de Trazabilidad
NMI 2
Labs. Sec.
Labs. Ind.
NMI 1
Labs. Sec.
Labs. Ind.
BIPM
u1
u2
u´1
u´2
u´0 u0
CMC´sCMC´s
CMC´s CMC´s
Concepto de Trazabilidad
NMI
Labs. Sec.
DUT
BIPM
u1
u2
u0
Concepto de Trazabilidad
210 uuu
NMI
Labs. Sec.
DUT
BIPM
Concepto de Trazabilidad
,0
ff y()0
,1
ff y()1
,2
ff y()2
NMI
Labs. Sec.
DUT
BIPM
Concepto de Trazabilidad
,0
ff y()0
,1
ff y()1
,2
ff y()2
NMI
Labs. Sec.
DUT
BIPM
Concepto de Trazabilidad
,0
ff y()0
,1
ff y()1
,2
ff y()2
,ff y()
NMI
Labs. Sec.
DUT
BIPM
Concepto de Trazabilidad
,0
ff y()0
,1
ff y()1
,2
ff y()2
n
i iff
ff
1
n
ii
yy1
2 )()(
Concepto de Trazabilidad
Frecuencia, f
BIPM
Frecuencia, ff0
BIPM
NMI
Concepto de Trazabilidad
Concepto de Trazabilidad
Frecuencia, ff0
BIPM
NMI
f0
Concepto de Trazabilidad
Frecuencia, ff0f1
NMILab Acred.
BIPM
Concepto de Trazabilidad
Frecuencia, ff0f1
BIPM
NMI
f1
Lab Acred.
Concepto de Trazabilidad
Frecuencia, ff0f1 f2
BIPM
NMI DUTLab Acred.
Concepto de Trazabilidad
Frecuencia, ff0f1 f2
BIPM
NMI DUT
f2
Lab Acred.
Concepto de Trazabilidad
Frecuencia, ff0f1 f2
BIPM
NMI DUT
f
Lab Acred.
Concepto de Trazabilidad
Frecuencia, ff0f1 f2
BIPM
NMI DUT
n
ii
ff1
Lab Acred.
Concepto de Trazabilidad
y()0
y()1
y()2
n
ii
yy1
2 )()(
J. Mauricio López R.
CENAM Time and Frequency Division
Statistical Analysis of Measurements
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THANK YOU!!