8/3/2019 James H. White and Nicholas R. Cozzarelli- A simple topological method for describing stereoisomers of DNA catena

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P r o c . N a d . A c a d . S c i . USAV o l . 8 1 , p p . 3 3 2 2 - 3 3 2 6 , J u n e 1 9 8 4B i o c h e m i s t r y

A s i m p l e t o p o l o g i c a l m e t h o d f o r d e s c r i b i n g s t e r e o i s o m e r s o f DNAc a t e n a n e s a n d k n o t s( t o p o i s o m e r s / l i n k i n g n u m b e r / t r e f o i l s / s i g n a n d h a n d e d n e s s / t w o - b r i d g e l i n k s )

J A M E S H . W H I T E * AND N I C H O L A S R . C O Z Z A R E L L I t* D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s , U n i v e r s i t y o f C a l i f o r n i a , L o s A n g e l e s , CA 9 0 0 2 4 ; a n d t D e pa r t me n t o f M o l e c u l a r B i o l o g y , U n i v e r s i t y o f C a l i f o r n i a ,B e r k e l e y , CA 9 4 7 2 0C o m m u n i c a t e d b y R o b l e y C . W i l l i a m s , F e b r u a r y 1 3 , 1 9 8 4ABSTRACT A l t h o u g h l i n k i n g n u m b e r i s a n e f f e c t i v e t o -p o l o g i c a l i n v a r i a n t f o r d e s c r i b i n g s u p e r c o i l e d DNA, i t i s i n a d e -q u a t e f o r t h e a d d i t i o n a l i n t e r w i n d i n g i n c a t e n a t e d o r k n o t t e dD N A . We e x p l a i n h o w t h e t w o - b r i d g e t h e o r y o f S c h u b e r t p r o -v i d e s a p o we r f u l y e t s i m p l e m e t h o d f o r a n a l y z i n g t h e s e f o r m sb y a s s o c i a t i n g t h e m w i t h t w o i n t e g r a l i n v a r i a n t s , a a n d A , t h a tm e a s u r e t h e i r g e o m e t r i c c o m p l e x i t y . T h e s e i n t e g e r s c a n e i t h e rb e d e t e r m i n e d g r a p h i c a l l y o r c o m p u t e d w i t h t h e a i d o f s t a n -d a r d t a b l e s , a n d t h e y a l l o w t a b u l a t i o n o f a l l p o s s i b l e s t e r e o i s o -m e r s o f a g i v e n k n o t o r c a t e n a n e . A c o m p l e t e c l a s s i f i c a t i o n c a nt h e n b e m a d e v i a a s i m p l e t h e o r e m . S t e r e o i s o m e r s o f r e p r e -s e n t a t i v e k n o t s a n d c a t e n a n e s a r e t a b u l a t e d f o r e a s y r e f e r e n c e .T h e r e a r e f o u r s t e r e o i s o m e r s o f r e g u l a r l y i n t e r l o c k e d c a t e n -a n e s t h a t w e d e s i g n a t e r i g h t - h a n d e d p a r a l l e l , r i g h t - h a n d e d a n -t i p a r a l l e l , l e f t - h a n d e d p a r a l l e l , a n d l e f t - h a n d e d a n t i p a r a l l e la c c o r d i n g t o t h e h e l i c a l i n t e r t w i n i n g o f t h e r i n g s . T h e b i o l o g i -c a l p r o c e s s e s t h a t f o r m c a t e n a n e s - r e p l i c a t i o n , r e c o m b i n a -t i o n , a n d t o p o i s o m e r a s e a c t i o n - p r e d i c t d i s t i n c t l y d i f f e r e n ti s o m e r s .A l l n a t u r a l p o p u l a t i o n s o f DNA r i n g s a r e t o s o m e e x t e n t i n -t e r l o c k e d a s c a t e n a n e s . T h e f r a c t i o n i s s m a l l f o r m o s t v i r a la n d p l a s m i d D N A s , b u t i n s o m e i n s t a n c e s c a t e n a n e s a r e t h ep r e d o m i n a n t s p e c i e s ( 1 , 2 ) . T h e u b i q u i t y o f c a t e n a n e s a r i s e sf r o m t h e m u l t i p l i c i t y o f p r o c e s s e s t h a t p r o d u c e t h e m . R e p l i -c a t i o n o r r e c o m b i n a t i o n o f DNA r i n g s i n p u r i f i e d e n z y m es y s t e m s u s u a l l y g e n e r a t e s c a t e n a n e s a s t h e s o l e o r m a j o rp r o d u c t ( 3 - 6 ) . M o r e o v e r , a l l c e l l s c o n t a i n e n z y m e s c a l l e dt o p o i s o m e r a s e s t h a t c a n f o r m a n d r e s o l v e c a t e n a n e s ( 7 ) .I n t e r e s t i n c a t e n a n e s s t e m s n o t j u s t f r o m t h e i r w i d e s p r e a do c c u r r e n c e ; k n o w l e d g e o f t h e i r s t r u c t u r e h a s p r o v i d e d c r i t i -c a l i n s i g h t i n t o t h e m e c h a n i s m o f t h e p r o c e s s e s t h a t g e n e r a t et h e m . T h e y h a v e b e e n i m p o r t a n t i n e s t a b l i s h i n g how t h e t w ot y p e s o f t o p o i s o m e r a s e s p a s s DNA s e g m e n t s t h r o u g h e a c ho t h e r , i n s u g g e s t i n g ho w t o p o l o g i c a l p r o b l e m s a t t h e t e r m i -n a t i o n o f DNA r e p l i c a t i o n c a n b e b y p a s s e d , a n d i n s h o w i n gh o w r e c o m b i n a t i o n e n z y m e s i n a u n i q u e f a s h i o n s y n a p s e a n dr e a r r a n g e s i t e s e x t e n s i v e l y i n t e r t w i n e d b y s u p e r c o i l i n g ( 5 , 8 -1 1 ) .T h e n e e d f o r r i g o r o u s c l a s s i f i c a t i o n o f c a t e n a n e s h a s b e -c o m e m o r e p r e s s i n g w i t h i m p r o v e d a n a l y t i c a l t e c h n i q u e s .A g a r o s e g e l e l e c t r o p h o r e s i s r e s o l v e s e v e n c o m p l e x m i x t u r e so f d i m e r i c DNA c a t e n a n e s i n t o d i s c r e t e b a n d s a c c o r d i n g t ot h e n u m b e r o f i n t e r l o c k s ( 1 1 ) . An i m p r o v e d e l e c t r o n m i c r o -s c o p i c t e c h n i q u e f o r v i e w i n g D N A h a s r e c e n t l y p r o v i d e d t h ef i r s t r e l i a b l e m e t h o d f o r d e t e r m i n i n g t h e c o m p l e t e s t r u c t u r eo f k n o t s a n d c a t e n a n e s ( 1 0 ) . What i s n o t w i d e l y knowna m o n g b i o l o g i s t s a r e t h e t o p o l o g i c a l l y d i s t i n c t w a y s r i n g sc a n b e i n t e r l o c k e d .T h e f o r m u l a t i o n f o r t h e l i n k i n g n u m b e r o f two c u r v e s b yW h i t e i n 1 9 6 9 ( 1 2 ) h a s b e e n o f g r e a t v a l u e i n a n a l y z i n g DNA

s t r u c t u r e . T h e l i n k i n g n u m b e r o f c l o se d c i r c u l a r d u p l e xD N A i s t h e s u m o f t h e w r i t h i n g o f t h e DNA a x i s i n s p a c e a n dt h e t w i s t i n g o f e i t h e r s t r a n d o f t h e d o u b l e h e l i x a b o u t t h i sa x i s ( 1 3 , 1 4 ) . U n l i k e l i n k i n g n u m b e r , n e i t h e r o f t h e s e f e a -t u r e s n e e d b e i n v a r i a n t o r i n t e g r a l f o r a g i v e n DNA m o l e -c u l e . L i n k i n g n u m b e r , h o w e v e r , i s n o t v e r y u s e f u l f o r d e -s c r i b i n g t h e a d d i t i o n a l i n t e r w i n d i n g o f D N A s t r a n d s i n c a t e -n a n e s , b e c a u s e m a n y t o p o l o g i c a l l y d i f f e r e n t c a t e n a n e s h a v et h e s a m e l i n k i n g n u m b e r ( 1 5 ) .F o r t u n a t e l y t h e t w o - b r i d g e d e s c r i p t i o n o f c u r v e s b y S c h u -b e r t ( 1 6 ) d i s t i n g u i s h e s i n a s i m p l e w a y t h e s t e r e o i s o m e r s o fm a n y c a t e n a n e s b y a s s o c i a t i n g t h e m w i t h t w o i n t e g e r s , aa n d P 3 . We s h o w how a c a t e n a n e c a n b e d i a g r a m m e d i n t h eS c h u b e r t t w o - b r i d g e f a s h i o n t h a t p r e s e n t s a a n d P g r a p h i c a l -l y . T h i s p r o c e d u r e may t h e n b e u s e d t o f i n d a a n d 3 f o r t h es t e r e o i s o m e r s o f t h e c a t e n a n e w i t h o r i e n t a t i o n s r e v e r s e d o rr e f l e c t e d i n a m i r r o r . V i a a s i m p l e t h e o r e m , t h e i d e n t i t y o ft h e s e c u r v e s c a n b e a n a l y z e d f o r a c o m p l e t e c l a s s i f i c a t i o n .We d e t e r m i n e t w o i m p o r t a n t c o r o l l a r i e s c o n c e r n i n g a a n d , 3t h a t c a n b e u s e d t o t a b u l a t e a l l s t e r e o i s o m e r s o f a g i v e n t y p eo f c a t e n a n e . A t a b l e o f r e p r e s e n t a t i v e e x a m p l e s i s p r e s e n t e df o r r e f e r e n c e a p a r t f r o m t h e m a t h e m a t i c s . We d e s c r i b e a na l t e r n a t i v e t o t w o - b r i d g e d i a g r a m s , c a l l e d g r i d d i a g r a m s , t h a ta r e e a s i e r t o c o n s t r u c t o n c e a a n d / 3 a r e k n o w n . F i n a l l y , w ea p p l y t h e t w o - b r i d g e t r e a t m e n t t o D N A k n o t s .C a t e n a n e D e s c r i p t i o n i n t h e T w o - B r i d g e F a s h i o n . We b e g i nb y a p p l y i n g t h e t h e o r y o f t w o - b r i d g e l i n k s t o t w o k i n d s o fDNA c a t e n a n e s . F i r s t , we c l a s s i f y a l l p o s s i b l e p a i r s o fc l o s e d c i r c u l a r D N A s i n t e r l o c k e d w i t h a r e g u l a r r i g h t - h a n d -e d o r l e f t - h a n d e d i n t e r t w i n i n g . I n t h e b o t t o m r o w o f F i g s . 1a n d 2 , s i n g l e a n d d o u b l e i n t e r l i n k s a r e i l l u s t r a t e d . S e c o n d ,w e p r e s e n t t h e c a s e o f f i g u r e - 8 c a t e n a n e s t h a t c o n t a i n a ne n t r a p p e d s u p e r c o i l ( F i g . 3 ) . T h e s e t w o c a s e s r e p r e s e n t t h eo n l y t y p e s o f l i n k s b e t w e e n DNA r i n g s t h a t h a v e b e e n e s t a b -l i s h e d t h u s f a r ( 1 , 1 0 ) .I n t h e m i d d l e r o w o f F i g s . 1 - 3 , t h e s e DNAs a r e d r a w n i nt h e t w o - b r i d g e f a s h i o n . T h e r e a s o n f o r t h e n a m e t w o - b r i d g ei s e a s i l y e x p l a i n e d . I n F i g . l b , t h e b l a c k c u r v e c r o s s e s o v e r ,o r b r i d g e s , t h e g r e y c u r v e o n t h e l e f t s i d e o f t h e f i g u r e , a n dt h e g r e y c u r v e b r i d g e s t h e b l a c k c u r v e o n t h e r i g h t s i d e . T h e

h o r i z o n t a l p a r t s o f t h e c u r v e s a r e t h e b r i d g e s . I n F i g . 2 b , t h eb l a c k c u r v e b r i d g e s t h e g r e y a n d b l a c k c u r v e s a t o t a l o f t h r e et i m e s , a s d o e s t h e g r e y c u r v e . I n F i g . 3 b , t h e g r e y a n d b l a c kc u r v e s e a c h b r i d g e t h e c u r v e s s e v e n t i m e s . I n e a c h c a s e ,t h e r e a r e t w o a n d o n l y t w o b r i d g e s .S c h u b e r t h a s s h o w n t h a t a s s o c i a t e d w i t h a n y t w o - b r i d g el i n k a r e i n t e g e r s a a n d 3 w i t h t h e p r o p e r t i e s t h a t 1 X 1 < a ,t h e i r g r e a t e s t c o m m o n d i v i s o r i s o n e , a i s e v e n , a n d ( 3 i s o d d( 1 6 ) . a i s o n e p l u s t h e n u m b e r o f t i m e s e i t h e r b r i d g e c r o s s e so v e r t h e c u r v e s . T h u s , a i s 2 f o r t h e s i n g l e i n t e r l o c k , 4 f o r t h ed o u b l e , a n d 8 f o r t h e f i g u r e - 8 c a t e n a n e . F o r t w o c u r v e s t h a ti n t e r l o c k i n t h e r e g u l a r w a y n t i m e s , a i s e q u a l t o 2 n - i . e . ,t h e n u m b e r o f i n t e r m o l e c u l a r n o d e s .To d e s c r i b e t h e d e t e r m i n a t i o n o f A , w e m u s t i n t r o d u c e t h ec o n c e p t s o f o r i e n t a t i o n a n d o r i e n t e d c r o s s i n g s . An o r i e n t a -3 3 2 2

T h e p u b l i c a t i o n c o s t s o f t h i s a r t i c l e were d e f r a y e d i n p a r t b y p a g e c h a r g ep a y m e n t . T h i s a r t i c l e m u s t t h e r e f o r e b e h e r e b y m a r k e d " a d v e r t i s e m e n t "i n a c c o r d a n c e w i t h 1 8 U . S . C . 1 7 3 4 s o l e l y t o i n d i c a t e t h i s f a c t .

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P r o c . N a t l . A c a d . S c i . USA 8 1 ( 1 9 8 4 ) 3 3 2 3G r i d

a

T w o - b r i d g e

b( X 2 . t z

Standarda

CAo '.e

( x 2 . j i 1

I f k B

I

h . . I t

h 1 , - 1 , - ( 2 n - 1 ) , a n d 2 n - 1 a r e n o t c o n g r u e n tt o 1 ( m o d 4 n ) , a l l f o u r c l a s s e s a r e i n d e p e n d e n t .T h u s , t h e r e a r e e x a c t l y f o u r c l a s s e s o f r e g u l a r l y i n t e r -l o c k e d c a t e n a n e s . We c a n d e s c r i b e t h e s e a n a l o g o u s l y t o t h ec l a s s e s o f DNA d o u b l e h e l i c e s , b e c a u s e t h e t w o r i n g s h e l i -c a l l y i n t e r t w i n e . T h e h e l i x c a n b e l e f t - h a n d e d o r r i g h t - h a n d -e d , a n d t h e o r i e n t a t i o n o f t h e t w o r i n g s c a n b e p a r a l l e l o ra n t i p a r a l l e l . T h e r e s u l t i n g f o u r c l a s s e s a r e r i g h t - h a n d e d p a r -a l l e l , l e f t - h a n d e d p a r a l l e l , r i g h t - h a n d e d a n t i p a r a l l e l , a n d l e f t -h a n d e d a n t i p a r a l l e l , a s s h o w n i n t h e b o t t o m row o f F i g . 2 .R i g h t - h a n d e d p a r a l l e l a n d l e f t - h a n d e d a n t i p a r a l l e l c a t e n a n e sh a v e o n l y p o s i t i v e n o d e s , w h e r e a s l e f t - h a n d e d p a r a l l e l a n dr i g h t - h a n d e d a n t i p a r a l l e l c a t e n a n e s h a v e n e g a t i v e n o d e s .O n e m i g h t h a v e e x p e c t e d o n l y t w o c l a s s e s o f c a t e n a n e s c o r -r e s p o n d i n g t o r i g h t - a n d l e f t - h a n d e d o r p o s i t i v e a n d n e g a t i v en o d e s , b u t b e c a u s e h a n d e d n e s s a n d n o d e s i g n a s s o r t i n d e -p e n d e n t l y , t h e r e a r e f o u r .

I t i s i m p o r t a n t t o n o t e t h a t t h e v a r i o u s p r o c e s s e s f o r g e n e r -a t i n g c a t e n a n e s p r e d i c t d i f f e r e n t s t r u c t u r e s . C a t e n a n e s r e -s u l t i n g a t t h e t e r m i n a t i o n o f DNA r e p l i c a t i o n ( 1 1 ) p r e s e r v et h e p o s i t i v e n o d e s a n d t h e r i g h t - h a n d e d i n t e r t w i n i n g o f t h ed o u b l e h e l i x a n d a r e t h e r e f o r e p a r a l l e l . D u r i n g i n t r a m o l e c u -l a r r e c o m b i n a t i o n , c a t e n a n e s t h a t r e s u l t f r o m t h e i n t e r t w i n -i n g o f s u b s t r a t e p l e c t o n e m i c s u p e r c o i l s ( 8 ) m u s t h a v e n e g a -t i v e n o d e s a n d y e t b e r i g h t - h a n d e d , a s a r e s u c h s u p e r c o i l s ,a n d t h e r e f o r e t h e y m u s t b e a n t i p a r a l l e l . E s c h e r i c h i a c o l i t o -p o i s o m e r a s e I g e n e r a t e s a r a c e m i c m i x t u r e o f d u p l e x DNAk n o t s ( 1 0 ) a n d s h o u l d p r o d u c e a m i x t u r e o f c a t e n a n e s . R a c e -m i c c a t e n a n e s s h o u l d a l s o r e s u l t f r o m c y c l i z a t i o n o f l i n e a rDNA i n t h e p r e s e n c e o f DNA r i n g s ( 1 7 ) .S t r i k i n g l y , t h e r e a r e o n l y t w o s t e r e o i s o m e r s o f f i g u r e - 8 c a -t e n a n e s ( F i g . 3 ) e v e n t h o u g h t h e y a r e m o r e e l a b o r a t e t h a n

P r o c . N a t l . Acad S c i . USA 8 1 ( 1 9 8 4 )

8/3/2019 James H. White and Nicholas R. Cozzarelli- A simple topological method for describing stereoisomers of DNA catena

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P r o c . N a t l . A c a d . S c i . U SA 8 1 ( 1 9 8 4 ) 3 3 2 5r e g u l a r c a t e n a n e s . F o r f i g u r e - 8 c a t e n a n e s , a= 8 a n d t h e pos-s i b l e v a l u e s o f /3 a r e 3 f o r t h e m o d e l , - 3 f o r t h e m i r r o r , -5f o r t h e r e v e r s e d , a n d 5 f o r t h e m i r r o r r e v e r s e d . T h e p o s s i b l ep r o d u c t s are t h e n - 9 , - 1 5 , a n d 1 5 . Now, - 1 5 1 ( m o d 1 6 ) .H e n c e , b y S c h u b e r t ' s t h e o r e m , t h e 1 3 = 3 a n d 1 3 = - 5 c a t e -nanes are e q u i v a l e n t , a s a re t h e i r m i r r o r i m a g e s . T h i s m e a n st h a t r e v e r s a l o f o r i e n t a t i o n o f o ne o f t h e t wo DNA r i n g s d o e sn o t a l t e r t h e c a t e n a n e , b u t t h a t m i r r o r i m a g e s are n o t s u p e r -i m p o s a b l e . We n o t e t h a t t h e i n t e r m o l e c u l a r l i n k i n g numbermust b e zero, b e c a u s e l i n k i n g number c h a n g e s s i g n u n d e rr e v e r s a l o f o ne o f t h e curves ( 1 2 ) . S i n c e s e p a r a t i o n o f t h et wo r i n g s o f a f i g u r e - 8 c a t e n a n e r e q u i r e s a d o u b l e - s t r a n db r e a k , a p a i r o f DNA r i n g s t h a t a re t o p o l o g i c a l l y l i n k e d ca nn o n e t h e l e s s h a v e a l i n k i n g n u m b e r o f z e r o .C l a s s i f i c a t i o n o f A d d i t i o n a l E x a m p l e s . To c l a s s i f y c a t e -nanes, i t i s p o s s i b l e t o b y p a s s t h e S c h u b e r t t w o - b r i d g e d r a w -i n g s a n d t o compute a a n d 1 3 w i t h t h e a i d o f a s t a n d a r d t a b l e .R o l f s e n ' s u s e f u l t a b l e ( 1 5 ) i l l u s t r a t e s a s i n g l e u n o r i e n t e d ex -a m p l e o f many c a t e n a n e s a l o n g w i t h a d e s c r i p t i v e n o t a t i o nd e v e l o p e d b y Conway ( 1 8 ) . The Conway n o t a t i o n i s a s i n g l ei n t e g e r f o r curves t h a t ca n b e d r a w n i n t h e t w o - b r i d g e f a s h -i o n ; t h i s i n c l u d e s a l l c a t e n a n e s i n t h e R o l f s e n t a b l e t h a t h a v eup t o 7 n o d e s a n d many more c o m p l e x l i n k s . Th e c o n t i n u e df r a c t i o n o f t h e Conway i n t e g e r i s e q u a l t o -13/a a n d t h e con-t i n u e d f r a c t i o n o f a n u m b e r a b c i s

11a +

b +C

A n e g a t i v e s i g n r e s u l t s b e c a u s e Conway u s e d t h e o p p o s i t es i g n c o n v e n t i o n f r o m o u r s . The c o m p l e t e s e t o f a l l o w e d v a l -ue s o f / 3 ca n t h e n b e c a l c u l a t e d f r o m t h e c o r o l l a r i e s a b o v ea n d t h e S c h u b e r t c l a s s i f i c a t i o n t h e o r e m a p p l i e d . B e c a u s et h e s t e r e o i s o m e r s o f curves are n o t g i v e n i n R o l f s e n ' s t a b l e ,we h a v e c o m p i l ed i n T a b l e 1 t h e v a l u e s o f a , 1 3 , t h e Conwayn o t a t i o n , a n d t h e n o t a t i o n u s e d b y R o l f s e n f o r a l l p o s s i b l es t e r e o i s o m e r s o f some common c a t e n a n e s . C o m p a r i s o n o fT a b l e 1 w i t h t h e R o l f s e n t a b l e w i l l make i t e a s i e r t o c l a s s i f ya d d i t i o n a l e x a m p l e s .G r i d p l o t s . T h e S c h u b e r t t w o - b r i d g e r e p r e s e n t a t i o n s arev a l u a b l e f o r a t o p o l o g i c a l d e s c r i p t i o n o f a c a t e n a n e b u t ca nb e d i f f i c u l t t o c o n s t r u c t . An a l t e r n a t i v e g r a p h i c a l p r e s e n t a -t i o n , c a l l e d t h e g r i d o r r e c t a n g u l a r p l o t , i s much e a s i e r t od r a w . T h e g r i d c a n n o t b e u s e d t o d e t e r m i n e t h e v a l u e o f aa n d / 3 , b e c a u s e i t s c o n s t r u c t i o n r e q u i r e s t h e m . The g r i d s areu s e f u l , h o w e v e r , i n p e r c e i v i n g t h e t o p o l o g y o f a curve a n d i t sr e l a t i o n s h i p t o o t h e r curves. E x a m p l e s o f g r i d s o f o ur c a t e -n a ne t y p e s are s h o w n i n t h e t o p r o w o f F i g s . 1 - 3 .We e x p l a i n s t e p - b y - s t e p h o w t o c o n s t r u c t g r i d s f o r d o u b l yi n t e r l o c k e d ( F i g . 2 a ) a n d f i g u r e - 8 ( F i g . 3 a ) c a t e n a n e s . F o rt h e f o r m e r , a = 4 a n d = 1 ; f o r t h e l a t t e r , a = 8 a n d = 3 .S t a r t w i t h a r e c t a n g l e w h o s e v e r t i c a l s i d e s are d i v i d e d i n t o as e g m e n t s a n d w h o s e h o r i z o n t a l s i d e s are d i v i d e d i n t o / 3 s e g -m e n t s . B e g i n a t t h e l o w e r l e f t - h a n d corner a n d d r a w as t r a i g h t l i n e t o t h e 1 3 t h d i v i d i n g p o i n t o n t h e r i g h t v e r t i c a lw a l l . T h i n k o f t h e r e c t a n g l e as a s o l i d p l a t e w i t h t h e l i n e seg-ment o n t o p . N e x t , d r a w a l i n e c o n n e c t i n g t h e P t h d i v i d i n gp o i n t o n t h e r i g h t v e r t i c a l w a l l t o t h e 2 1 3 t h d i v i s o r o n t h e l e f tw a l l o n t h e b a c k s i d e o f t h e r e c t a n g l e . R e p e a t t h i s p r o c e d u r eu n t i l t h e upper l e f t h a n d corner o r t h e upper h o r i z o n t a l t o p i sr e a c h e d . I n t h e a = 4 a n d = 1 m o d e l , t h e upper l e f t - h a n dcorner i s r e a c h e d i n f o u r s t e p s . N o w , connect t h i s c o rne r t ot h e l o w e r l e f t h a n d corner b y a n a r c . I n t h e a=8 a n d 8 3 =3m o d e l , a f t e r t h e f i r s t t w o s t e p s you a re s e a r c h i n g f o r t he 9 t hd i v i d i n g p o i n t on t h e r i g h t - h a n d w a l l , b u t t h e r e are o n l y 8s e g m e n t s , so t h a t t h e t o p w a l l i s r e a c h e d f i r s t . T h e next s t e pi s t o c o u n t down t h e r i g h t - h a n d w a l l one n o t c h t o d i v i d e rp o i n t n u m b e r 7 a n d d r a w on t h e b a c k s i d e o f t h e p l a t e a l i n e

T a b l e 1 . S t e r e o i s o m e r s o f DNA c a t e n a n e s a n d k n o t sR o l f s e n * C o n w a y *n o t a t i o n N o d e s t a / 3 n o t a t i o n F i g .

C a t e n a n e s2 2 2+ 2 + 1 1 c a n d I2 2 2 - 2 - 1 2 1fand i2 n 2 2 n + 2 n + 1 2 c2 n 2 2 n - 2 n - 1 2 n 2 f2 n 2 2 n - 2 n - ( 2 n - 1 ) 2 i2 n 2 2 n + 2 n + ( 2 n - 1 ) 2 15 2 3+,2- 8 + 3 3candi5 2 3 - , 2+ 8 -3 2 1 2 3 f a n d 1

6+ 1 0 + 36 2 6- 1 0 - 3 3 36 2 6- 1 0 -76+ 1 0 + 73 6 2 6+ 1 2 + 53 6 2 6- 1 2 - 5 2 2 23 6 2 4 - , 2 + 1 2 - 73 6 2 4+,2- 1 2 +7K n o t s( 2 m + 1 ) 1 ( 2 m + 1 ) + 2m + 1 + 1 5( 2 m + 1 ) 1 ( 2 m + 1 ) - 2m + 1 - 1 2m + 14 1 2 + , 2- 5 + 3 2 25 2 5 + 7 + 35 2 5 - 7 - 3 3 26 1 4 + , 2- 9 + 56 1 4 - , 2 + 9 - 5 4 26 2 4 + , 2- 1 1 + 36 2 4 - , 2 + 1 1 - 3 3 1 26 3 3 - , 3 + 1 3 +5 2 1 1 2* T h e f i r s t n u m b e r i n t h e n o t a t i o n u s e d b y R o l f s e n ( 1 5 ) i s t h e n u m b e ro f n o d e s i n t h e s i m p l e s t r e p r e s e n t a t i o n o f t h e c u r v e . T h e s u p e r -s c r i p t i s t h e n u m b e r o f c a t e n a t e d r i n g s , a n d t h e s u b s c r i p t d i s t i n -g u i s h e s c u r v e s w i t h t h e s a m e n u m b e r o f n o d e s . B e c a u s e t h e c u r v e si n R o l f s e n ' s t a b l e a r e n o t o r i e n t e d , s t e r e o i s o m e r s h a v e t h e s a m eR o l f s e n n o t a t i o n . T h e C o n w a y n o t a t i o n i s g i v e n f o r a n o r i e n t e dv e r s i o n o f a c u r v e d e p i c t e d i n R o l f s e n ' s t a b l e . F o r a m p h i c h i r a l

k n o t s , t h e - 1 3 v a l u e i s n o t l i s t e d b e c a u s e i t i s e q u i v a l e n t t o t h e + 1 3k n o t . n = i n t e g e r > 1 ; m = i n t e g e r > 0 .t N o d e c o m p o s i t i o n i n s i m p l e s t r e p r e s e n t a t i o n o f t h e c u r v e .f r o m w h e r e y o u l e f t o f f a t t h e t o p w a l l t o t h i s p o i n t . T h es a m e p r o c e d u r e i s no w u s e d g o i n g d o w n a n d b a c k u p t h i sg r i d . T h e p r o c e d u r e i s a l w a y s u s e d a t o t a l o f / 3 t i m e s t o r e a c ht h e u p p e r l e f t - h a n d c o r n e r , w h i c h i s t h e n c o n n e c t e d t o t h el o w e r l e f t - h a n d c o r n e r b y a n a r c . T h e f i n a l s t e p i s t o r e p e a tt h e p r o c e s s f o r t h e g r e y c u r v e o f b o t h c a t e n a n e s b u t s t a r t i n ga t t h e l o w e r r i g h t - h a n d c o r n e r a n d o n t h e b a c k o f t h e p l a t e .T h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n g r i d a n d S c h u b e r t p r e s e n t a t i o n si s a s f o l l o w s . T h e s o l i d p a r t s o f t h e c u r v e s o n t h e t o p s i d e o ft h e g r i d c o r r e s p o n d t o t h e p a r t s o f t h e c u r v e s a b o v e t h eb r i d g e s . T h e d a s h e d p a r t s o f t h e c u r v e s o n t h e b a c k s i d e o ft h e g r i d c o r r e s p o n d t o t h e p a r t s o f t h e c u r v e s b e l o w t h eb r i d g e s , a n d t h e c o n n e c t i n g a r c s c o r r e s p o n d t o t h e b r i d g e s .B r i d g e c r o s s i n g s c o r r e s p o n d t o t h e p o i n t w h e r e a c u r v ec h a n g e s s i d e s o f t h e r e c t a n g u l a r p l a t e . T h e h a n d e d n e s s o f ac u r v e i s m o r e a p p a r e n t i n t h e g r i d p l o t s . T h e g r i d , t w o -b r i d g e , a n d s t a n d a r d r e p r e s e n t a t i o n s a r e t o p o l o g i c a l l y e q u i v -a l e n t ; a g r i d c o n s t r u c t e d u s i n g a m o d e l f o r D N A, s u c h a st u b i n g , c a n b e e a s i l y c o n v e r t e d t o t h e s t a n d a r d f o r m b y r e -m o v i n g t h e r e c t a n g u l a r p l a t e s u p p o r t .K n o t s . DNA k n o t s a r e l e s s w e l l - s t u d i e d t h a n c a t e n a n e sb u t a r e a l s o i m p o r t a n t p r o d u c t s o f r e c o m b i n a t i o n i n v i t r o ( 5 ) ,a n d t o p o i s o m e r a s e s r e a d i l y t i e a n d u n t i e k n o t s ( 7 , 1 9 , 2 0 ) .K n o t t e d DNA h a s b e e n i d e n t i f i e d i n b a c t e r i o p h a g e c a p s i d s( 2 1 ) a n d i n p r e p a r a t i o n s o f b a c t e r i a l p l a s m i d s .L i n k i n g n u m b e r i s u n d e f i n e d f o r k n o t s . F o r t u n a t e l y , t h eS c h u b e r t t h e o r y a l s o a p p l i e s t o k n o t s , b e c a u s e s i n g l e c u r v e s

B i o c h e m i s t r y : W h i t e a n d C o z z a r e l l i

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3 3 2 6 B i o c h e m i s t r y : W h i t e a n d C o z z a r e l l ia . G r i d b . T w o - b r i d g e c . S t a n d a r d

a=3 , P = 1F I G . 5 . R e p r e s e n t a t i o n s o f a t r e f o i l k n o t . S e e F i g . 1 l e g e n d f o re x p l a n a t i o n .

can b e d r a w n i n t h e t w o - b r i d g e f a s h i o n . F o r k n o t s , b o t h aa n d P a r e o d d . We p r e s e n t j u s t t wo e x a m p l e s , t r e f o i l a n df i g u r e - 8 k n o t s , b e c a u s e t h e t r e a t m e n t i s a n a l o g o u s t o t h a tu s e d f o r c a t e n a n e s . F o r o ur m o d e l t r e f o i l o r 3 - n o d e d k n o t , 8 3= 1 a n d a = 3 . S i n c e o n l y a s i n g l e curve i s i n v o l v e d , t h ecurve m u s t c over a l l d i v i d i n g p o i n t s o f b o t h t h e l e f t a n d r i g h tw a l l s o f t h e g r i d m o d e l ( F i g . S a ) . I n t h e S c h u b e r t r e p r e s e n t a -t i o n , t h e s a m e curve serves as b o t h b r i d g e s ( F i g . 5 b ) . R e v e r -s a l o f o r i e n t a t i o n d o e s n o t c h a n g e 8 f o r a k n o t , b u t r e f l e c t i o nc h a n g e s t h e s i g n o f 8 3 . 3 i s t h e n - 1 f o r t h e m i r r o r i m a g e o f t h em o d e l t r e f o i l . M o d 6 , - 1 - 1 - 1 . T h u s , t h e r e are t w o , a n do n l y t w o , t r e f o i l s t e r e o i s o m e r s .

F o r t h e 4 - n o d e d o r f i g u r e - 8 k n o t , a= 5 a n d = 3 . H ow-e v e r , mod 1 0 , 3 -3 1 . T h u s , s u r p r i s i n g l y , t h e m i r r o r i m -ages are s u p e r i m p o s a b l e a n d t h e r e i s o n l y one 4 - n o d e d k n o t ;i . e . , i t i s a m p h i c h i r a l . A d d i t i o n a l e x a m p l e s o f s t e r e o i s o m e r so f s o m e common k n o t s are i n d e x e d i n T a b l e 1 , a n d R o l f s e n ' st a b l e i l l u s t r a t e s a s i n g l e s t e r e o i s o m e r o f k n o t s t h a t c o n t a i nt e n or f e w e r n o d e s . A s i n t h e case o f c a t e n a n e s , t h e c o n t i n -u e d f r a c t i o n o f t h e C o n w a y n u m b e r i s - , B / a , w i t h o n e com-p l i c a t i o n . I f t h e n u m e r a t o r o f t h e f r a c t i o n i s o d d , i t i s i n d e e de q u a l t o -(3. H o w e v e r , i f t h e n u m e r a t o r i s even, t h e n 8 3 i s t h en u m e r a t o r m i n u s a o r i t s e q u i v a l e n t v i a t h e S c h u b e r t t h e o -rem. P i s a l w a y s t h e s m a l l e s t p o s i t i v e o d d i n t e g e r , w h i c h rep-r e s e n t s t h e k n o t t y p e . F o r e x a m p l e , f o r t h e 4 1 k n o t , t h e c o n -t i n u e d f r a c t i o n o f 2 2 i s 2 / 5 , s o t h a t = 2 - 5 = - 3 . F o r t h e5 2 k n o t , 3 i s s h o w n t o b e - 3 as f o l l o w s . T h e c o n t i n u e d f r a c -t i o n o f 3 2 i s 2 / 7 a n d 2 -7 = - 5 , w h i c h i n t u r n e q u a l s -3 i nt h e S c h u b e r t s y s t e m b e c a u s e - 3 - - 5 = 1 5 1 ( m o d 1 4 ) .

We a r e i n d e b t e d t o M . K r a s n o w f o r s t i m u l a t i n g d i s c u s s i o n s a n df o r t h e n o m e n c l a t u r e f o r c a t e n a n e s t e r e o i s o m e r s . T h i s w o r k w a ss u p p o r t e d b y N a t i o n a l I n s t i t u t e s o f H e a l t h G r a n t s GM 3 1 6 5 5 a n dGM 3 1 6 5 7 .1 . K a s a m a t s u , H . & V i n o g r a d , J . ( 1 9 7 4 ) A n n u . R e v . B i o c h e m . 4 3 ,6 9 5 - 7 1 9 .2 . E n g l u n d , P . T . , H a j d u k , S . L . & M a r i n i , J . C . ( 1 9 8 2 ) A n n u .R e v . B i o c h e m . 5 1 , 6 9 5 - 7 2 6 .3 . S a k a k i b a r a , Y . , S u z u k i , K . & T o m i z a w a , J . - I . ( 1 9 7 6 ) J . M o l .B i o l . 1 0 8 , 5 6 9 - 5 8 2 .4 . W o l d , M . S . , M a l l o r y , J . B . , R o b e r t s , J . D . , L e B o w i t z , J . H .& M c M a c k e n , R . ( 1 9 8 2 ) P r o c . N a t l . A c a d . S c i . USA 7 9 , 6 1 7 6 -6 1 8 0 .5 . N as h, H . A . ( 1 9 8 1 ) A n n u . R e v . G e n e t . 1 5 , 1 4 3 - 1 6 7 .6 . R e e d , R . A . ( 1 9 8 1 ) C e l l 2 5 , 7 1 3 - 7 1 9 .7 . C o z z a r e l l i , N . R . ( 1 9 8 0 ) C e l l 2 2 , 3 2 7 - 3 2 8 .8 . M i z u u c h i , K . , G e l l e r t , M . , W e i s b e r g , R . A . & N a s h , H . A .( 1 9 8 0 ) J . M o l . B i o l . 1 4 1 , 4 8 5 - 4 9 4 .9 . K r a s n o w , M . A . & C o z z a r e l l i , N . R . ( 1 9 8 3 ) C e l l 3 2 , 1 3 1 3 -1 3 2 4 .1 0 . K r a s n o w , M . A . , S t a s i a k , A . , S p e n g l e r , S . J . , D e a n , F . ,K o l l e r , T h . & C o z z a r e l l i , N . R . ( 1 9 8 3 ) N a t u r e ( L o n d o n ) 3 0 4 ,5 5 9 - 5 6 0 .1 1 . S u n d i n , 0 . & V a r s h a v s k y , A . ( 1 9 8 1 ) C e l l 2 5 , 6 5 9 - 6 6 9 .1 2 . W h i t e , J . H . ( 1 9 6 9 ) Am. J . M a t h . 9 1 , 6 9 3 - 7 2 8 .1 3 . C r i c k , F . H . C . ( 1 9 7 6 ) P r o c . N a t l . A c a d . S c i . USA 7 3 , 2 6 3 9 -2 6 4 3 .1 4 . B a u e r , W. R . , C r i c k , F . H . C . & W h i t e , J . H . ( 1 9 8 0 ) S c i . Am.2 4 3 ( 7 ) , 1 1 8 - 1 3 3 .1 5 . R o l f s e n , D . ( 1 9 7 6 ) K n o t s a n d L i n k s ( P u b l i s h o r P e r i s h I n c . ,W i l m i n g t o n , D E ) .1 6 . S c h u b e r t , H . ( 1 9 5 6 ) M a t h Z . 6 5 , 1 3 3 - 1 7 0 .1 7 . W a n g , J . C . & S c h w a r t z , H . ( 1 9 6 7 ) B i o p o l y m e r s 5 , 9 5 3 - 9 6 6 .1 8 . C o n w a y , J . H . ( 1 9 7 0 ) i n C o m p u t a t i o n a l P r o b l e m s i n A b s t r a c tA l g e b r a , e d . L e e c h , J . ( P e r g a m o n , O x f o r d ) , p p . 3 2 9 - 3 5 8 .1 9 . L i u , L . F . , D e p e w , R . E . & W a n g , J . C . ( 1 9 7 6 ) J . M o l . B i o l .1 0 6 , 4 3 9 - 4 5 2 .2 0 . L i u , L . F . , L i u , C . - C . & A l b e r t s , B . M . ( 1 9 8 0 ) C e l l 1 9 , 6 9 7 -7 0 7 .

2 1 . L i u , L . F . , P e r k o c h a , L . , C a l e n d a r , R . & W a n g , J . C . ( 1 9 8 1 )P r o c . N a t l . A c a d . S c i . USA 7 8 , 5 4 9 8 - 5 5 0 2 .

P r o c . N a t L A c a d S c i . USA 8 1 ( 1 9 8 4 )