Tem

a 1

: In

tro

du

cció

n

�Concepto de campo

�Repaso de álgebra vectorial

�Sistemas de coordenadas

�Cartesiano

�Curvilíneas generalizadas: cilíndrico y esférico.

�Operadores vectoriales.

J.L. Fernández Jambrina

EyM 1a-1

�Operadores vectoriales.

�Gradiente

�Divergencia

�Rotacional

�Derivada temporal

�Combinación de operadores: Laplaciana

�Expresiones con operadores

�Teorema de Helmholtz: fuentes de los campos

Op

era

do

res

Vec

tori

ale

s

•Los operadores vectoriales describen el comportamiento de los campos en

un entorno del punto en que se particularizan.

•Fundamentalmente hay dos formas de trabajar con campos:

–Expresiones integrales: circulaciones y flujos.

»son más intuitivas.

»permiten las discontinuidades de los campos.

J.L. Fernández Jambrina

EyM 1b-2

»permiten las discontinuidades de los campos.

»requieren elementos adicionales: contornos, superficies y volúmenes

–Expresiones diferenciales: gradientes, divergencias y rotacionales.

»son más manejables.

»requieren la continuidad y existencia de derivadas de los campos.

»se basan en los operadores vectoriales.

•Comentarios sobre las discontinuidades

–se deben a cambios en la composición del medio.

–Los puntos en los que no hay discontinuidades de los medios se denominan

puntos ordinarios.

•Conviene recordar como se aproxima una función en las

proximidades de un punto,

x=a, siempre que la función y sus

derivadas sean continuas:

–Para una función escalar de una variable:

()

()

()(

)()(

)(

) ()(

)()

()

⋅⋅⋅+

−−

+⋅⋅⋅+

−′′

+−

′+

=−

−

!1

!2

11

2

n

ax

af

ax

af

ax

af

af

xf

nn

Des

arr

oll

os

en s

erie

de

Ta

ylo

r

J.L. Fernández Jambrina

EyM 1b-3

–Si la diferencia ∆

x=x-

aes pequeña, se puede obtener una buena

aproximación con sólo los dos primeros términos:

–En la práctica el punto alrededor del que se realiza el desarrollo se suele

llamar

xy el punto en el que se aplica x

+∆

x:

»Y si el incremento es infinitesimal:

()

()

()

dx

dx

df

xf

dx

xf

xd

f=

−+

=

()

()

()

()

()

()

xa

fa

fx

af

fx

af

af

xa

f∆

′≈

−∆

+=

∆⇔

∆′

+≈

∆+

()

()

()

xx

fx

fx

xf

f∆

′≈

−∆

+=

∆

•Para funciones escalares de tres variables (las coordenadas) e

incrementos pequeños alrededor de un punto P

(u1,u

2,u

3):

–de forma más compacta:

()

()

3

3

2

2

1

1

32

13

32

21

1

321

321

321

,,

,,

uuU

uuU

uuU

uu

uU

uu

uu

uu

U

uuu

uuu

uuu∆

+∆

+∆

+≈

∆+

∆+

∆+

∂∂∂∂

∂∂

Des

arr

oll

os

en s

erie

de

Ta

ylo

r(2

)

UU

U∂

∂∂

J.L. Fernández Jambrina

EyM 1b-4

–Y si los incrementos son infinitesimales:

•En el caso de funciones vectoriales, no sólo hay que considerar cada

componente como una función escalar sino que también los vectores

unitarios son susceptibles de cambio.

3

3

2

2

1

1

du

uUdu

uUdu

uUdU

∂∂∂∂

∂∂+

+=

()

()

uuU

uuU

uuU

PU

PP

U

PP

P

∆+

∆+

∆+

≈∆

+3

2

2

1

1∂∂

∂∂∂∂

•El gradiente caracteriza el comportamiento de un campo escalar en

el entorno de un punto.

•Expresión en curvilíneas generalizadas ortogonales:

–Suponiendo un entorno infinitesimal alrededor de un punto ordinario y

suponiendo las derivadas particularizadas en dicho punto:

Gra

die

nte

32

1du

Udu

Udu

UdU

∂∂

∂+

+=

J.L. Fernández Jambrina

EyM 1b-5

–Recordando la expresión del diferencial de longitud:

–Y con un poco de habilidad:

33

32

22

11

1ˆ

ˆˆ

udu

hu

du

hu

du

hl

d+

+=

r

()

44

44

43

444

44

21

r ld

ud

uh

ud

uh

ud

uh

uuU

hu

uU

hu

uU

h

du

huU

hd

uh

uU

hd

uh

uU

hd

U

33

32

22

11

13

33

2

22

1

11

33

33

22

22

11

11

ˆˆ

ˆˆ

1ˆ

1ˆ

1

11

1

++

⋅

∂∂+

∂∂+

∂∂=

=∂∂

+∂∂

+∂∂

=

3

3

2

2

1

1

du

ud

uu

du

ud

U∂

∂∂

++

=

Gradiente de U

•El gradiente de un campo escalar suele representarse por una de las

dos expresiones siguientes:

–En estas transparencias se utilizará la segunda:

–∇es un símbolo denominado nabla.

•Definición:

)grad(U

U∇

Def

inic

ión

de

Gra

die

nte

U∇

J.L. Fernández Jambrina

EyM 1b-6

•Definición:

–De la transparencia anterior:

–Por otro lado, si les una coordenada definida

a propósito en la dirección del desplazamiento:

–Reuniendo ambas expresiones se obtiene la expresión que se utiliza

para definir el gradiente:

()dl

lU

ld

UdU

ˆ ⋅∇

=⋅

∇=

r

dl

lUdU

∂∂=

El gradiente de un campo escalar es un campo

vectorial cuya componente en cualquier dirección

es la derivada del escalar en esa dirección.

lU

lUˆ ⋅

∇=

∂∂

Exp

resi

on

es d

el G

rad

ien

te

•Partiendo de la expresión general de curvilíneas y particularizando:

–Curvilíneas:

–Cartesianas:

3

33

2

22

1

11

ˆ1

ˆ1

ˆ1

uuU

hu

uU

hu

uU

hU

∂∂+

∂∂+

∂∂=

∇

zU

yU

xU

Uˆ

ˆˆ

∂+

∂+

∂=

∇1

==

=h

hh

J.L. Fernández Jambrina

EyM 1b-7

–Cartesianas:

–Cilíndricas:

–Esféricas:

zzU

yyU

xxU

Uˆ

ˆˆ

∂∂+

∂∂+

∂∂=

∇

zzU

UU

Uˆ

ˆ1

ˆ∂∂

+ϕ

∂ϕ∂ρ

+ρ

∂ρ∂=

∇

ϕ∂ϕ∂

θ+

θ∂θ∂

+∂∂

=∇

ˆsen1

ˆ1

ˆU

r

U

rr

rUU

ρ=

==

ϕρ h

hh

z1

1=

==

zy

xh

hh

θ===

ϕθ

sen

1 rh

rhh r

Pro

pie

da

des

del

gra

die

nte

•Es un campo vectorial.

•Es normal a las superficies isotímicas del

campo escalar.

–Si el desplazamiento se realiza sobre una

superficie isotímica, dU=0 y:

ld

Ul

dU

dU

rr

⊥∇

⇒⋅

∇=

=0

U2

U3

∇U dlr

dlr

J.L. Fernández Jambrina

EyM 1b-8

•Su módulo coincide con la derivada

direccional máxima del campo escalar.

•Su sentido es el de máximo crecimiento del

campo escalar.

llU

Ul

UlU

∂∂

=∇

⇒⋅

∇=

∂∂max

ˆ

U1

UU

U1

23

<<

•La circulación entre dos puntos Py Qdel gradiente de un campo

escalar es el valor del campo escalar en Qmenos su valor en P:

–La circulación de un gradiente sólo depende

de los puntos extremos: Es independiente del

camino seguido.

()

()

PU

QU

dU

ld

UQ P

Q P−

==

⋅∇

∫∫

r

QP

Q

Cir

cula

ció

n d

e u

n G

rad

ien

te

J.L. Fernández Jambrina

EyM 1b-9

–La circulación de un gradiente a lo largo

de un camino cerrado es nula.

•Si la circulación de un vector entre dos puntos cualesquiera es

independiente del camino seguido, entonces existe un escalar tal que

el vector es su gradiente:

–Escogiendo un punto de referencia,

O:

–El escalar queda determinado excepto una constante aditiva:

()

()

[]

()

()

[]0

=−

+−

=⋅

∇+

⋅∇

=⋅

∇∫

∫∫

QU

PU

PU

QU

ld

Ul

dU

ld

UP Q

Q PC

rr

r

()

()∫

⋅=

−P O

ld

AO

UP

Ur

r

P

Kl

dA

U+

⋅=∫

rr

•Definiciones:

–El flujo de un campo vectorial a

través de una superficie se define como:

»es un vector de módulo d

Sy dirección

normal a la superficie. Sentido por convenio.

–Si la superficie es cerrada, el

flujo se representa como:

Flu

jo d

e u

n v

ecto

r a

tra

vés

un

a s

up

erfi

cie

∫∫⋅

Sd

Ar

r

Sdr

∫∫⋅

SS

dA

rr

dSr

dSr

S

J.L. Fernández Jambrina

EyM 1b-10

flujo se representa como:

»Por convenio es saliente del volumen

encerrado por la superficie.

•Interpretación:

–El flujo de un vector a través

de una superficie cerrada

mide si las líneas de campo

tienen su origen o su fin en el

volumen encerrado:

∫∫⋅

SS

dA

S

sr

AdS

S⋅

>∫∫

0s

rAdS

S⋅

<∫∫

0s

rAdS

S⋅

=∫∫

0

Sdr

Div

erg

enci

a

•Definición:

–Ves el volumen encerrado por la superficie cerrada S.

–La normalización respecto de Ves necesaria para obtener resultados

finitos.

()V

Sd

AA

Adiv

S

VS

∫∫⋅

=⋅

∇=

→→

rr

rr

00lim

J.L. Fernández Jambrina

EyM 1b-11

finitos.

•La divergencia caracteriza el comportamiento punto a punto del

campo vectorial respecto del flujo del mismo a través de superficies

cerradas:

–Si es positiva, el punto es origen de líneas de campo.

–Si es negativa, el punto es sumidero, final, de líneas de campo.

–Si es nula, el punto no es ni principio ni final de líneas de campo.

Exp

resi

ón

en

cu

rvil

ínea

s ..

.

•Tomando un volumen muy pequeño limitado por superficies del tipo

ui=ctey cuyo centro es el punto de estudio, P(u1,u2,u3), ver figura, el

flujo será la suma del flujo a través de las caras.

–Al calcular el flujo a través de la superficie superior, como corresponde a

u3=ctey , resulta que sólo

contribuye la componente A3:

∫∫∫∫

=⋅

=⋅

ˆdS

uA

Sd

Ar

rr

∆u

$$

nu

≡3

3ˆˆ

un≡

J.L. Fernández Jambrina

EyM 1b-12

–Si la superficie es pequeña, se puede

suponer constante A3sobre ella y tomando

el valor en su centro:

()

()

()

()

∫∫∫∫∫∫

∆+

∆+

∆+

∆+

=

=⋅

=⋅

23

33

21

3

23

32

33

33

33

2,

,

ˆ

uu

S

uu

Su

uS

dS

uu

uu

A

dS

uA

Sd

A ()

()

()2

2,

,3

33

33

21

32

33

uu

Su

uu

uA

Sd

Au

uS

∆+

∆+

=⋅

∫∫∆

+

rr

∆u3

∆u2

∆u1

P

Exp

resi

ón

en

cu

rvil

ínea

s ..

.(2

)

–Partiendo del valor del flujo a través de

la superficie u3=cte que contiene el punto P:

es posible realizar la siguiente aproximación:

()

()

()2

2,

,3

33

33

21

32

33

uu

Su

uu

uA

Sd

Au

uS

∆+

∆+

=⋅

∫∫∆

+

rr

()

()

()

21

21

33

33

21

3,

,3

uu

hh

Au

Su

uu

AS

dA u

S∆

∆=

=⋅

∫∫r

r

32

13

uu

uh

hA

hh

AS

dA

∆∆

∆∂

+=

⋅∫∫

rr

∆u3

∆u2

∆u1

P

$$

nu

≡3

∆u

∆u1

$$

nu

≡3

J.L. Fernández Jambrina

EyM 1b-13

donde todos los términos están particularizados en P.

–Trabajando con la cara inferior se obtendría:

–Y sumando estas dos contribuciones:

()

21

3

3

21

32

13

22

33

uu

u

u

hh

Ah

hA

Sd

A

P

uu

S∆

∆

∆

∂∂

+=

⋅∫∫

∆+

()

21

3

3

21

32

13

22

33

uu

u

u

hh

Ah

hA

Sd

A

P

uu

S∆

∆

∆

∂∂

−−

=⋅

∫∫∆

−

rr (

)(

)3

21

3

21

3

22

33

33

uu

uu

hh

AS

dA

Sd

A

Pu

uS

uu

S∆

∆∆

∂∂

=⋅

+⋅

∫∫∫∫

∆−

∆+

rr

rr

∆u3

∆u2

∆u1

P

$$

nu

≡−

3∆u3

∆u2

∆u1

P

Exp

resi

ón

en

cu

rvil

ínea

s ..

.(3

)

•Repitiendo el proceso con las dos caras de la figura,

u1=cte:

•Y con las dos restantes,

u2=cte:

∆u3

∆u2

∆u1

P

()

()

32

1

1

32

1

22

11

11

uu

uu

hh

AS

dA

Sd

A

Pu

uS

uu

S∆

∆∆

∂∂

=⋅

+⋅

∫∫∫∫

∆−

∆+

rr

rr

hh

A∂r

rr

r∆u

J.L. Fernández Jambrina

EyM 1b-14

•Combinando los resultados:

•Y la divergencia:

()

()

32

1

2

13

2

22

22

22

uu

uu

hh

AS

dA

Sd

A

Pu

uS

uu

S∆

∆∆

∂∂

=⋅

+⋅

∫∫∫∫

∆−

∆+

rr

rr

∆u3

∆u2

∆u1

P3

21

3

21

3

2

13

2

1

32

1u

uu

u

hh

A

u

hh

A

u

hh

A

SS

dA

P

∆∆

∆

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=⋅

∫∫r

r

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=⋅

=⋅

∇∫∫

→→3

21

3

2

13

2

1

32

1

32

100

1lim

u

hh

A

u

hh

A

u

hh

A

hh

hV

Sd

AA

S

VS

rr

r

∆∆

∆∆

Vhhhuuu

=123

12

3

Exp

resi

on

es d

e la

Div

erg

enci

a

•Curvilíneas:

•Cartesianas:

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=⋅

∇3

21

3

2

13

2

1

32

1

32

1

1

u

hh

A

u

hh

A

u

hh

A

hh

hAr

zA

yA

xAA

zy

x

∂∂+

∂∂+

∂∂=

⋅∇

r

J.L. Fernández Jambrina

EyM 1b-15

•Cilíndricas:

•Esféricas:

zy

x∂

∂∂

zAA

AA

z

∂∂+

∂ϕ∂

ρ+

∂ρ∂ρ

ρ=

⋅∇

ϕρ1

1r

∂ϕ∂

θ+

∂θθ

∂θ

+∂

∂=

⋅∇

ϕθ

A

r

A

rrA

r

rA

r

sen1

sen

sen1

12

2

r

Teo

rem

a d

e G

au

ss

•Enunciado:

El flujo de un campo vectorial a través de una superficie cerrada S

es igual a la integral de la divergencia del campo extendida al

volumen Vencerrado por

S, suponiendo que el volumen V

contenga únicamente puntos ordinarios.

J.L. Fernández Jambrina

EyM 1b-16

∫∫∫∫∫

⋅∇

=⋅

VS

dV

AS

dA

rr

rdSr

S

V

Teo

rem

a d

e G

au

ss (

2)

•Demostración:

–El volumen se puede dividir en un número arbitrario,

N, de subvolúmenes.

–El flujo a través de la cara común de dos subvolúmenes

contiguos se cancela: la suma de los flujos a través de

las superficies asociadas,

Si, a los subvolúmenes es el

flujo a través de la superficie externa.

J.L. Fernández Jambrina

EyM 1b-17

–Si las Sison suficientemente pequeñas (

N→∞),

a partir de la definición de divergencia:

–Por tanto:

∫∫∫∑

∫∫⋅

∇=

⋅∇

=⋅

∞→

V

N i

iN

Sd

VA

VA

Sd

Ar

rr

rlim

() i

SVS

S

VSV

AS

dA

V

Sd

AA

i

i

rr

rr

rr

⋅∇

=⋅

⇒⋅

=⋅

∇∫∫

∫∫→→

→→00

00lim

lim

∑∫∫

∫∫⋅

=⋅

N iS

Si

Sd

AS

dA

rr

rr

V

S

$ n

+=