J.Muller - Conversion Electromecanica de Energia.pdf

5/28/2018 J.Muller - Conversion Electromecanica de Energia.pdf

UNIVERSIDAD

TCNICAFEDERICOSANTA MARADepartamento de Electricidad

ConversinElectromecnica

de Energa

J.Mller 1999


Todo ocurre en nuestro universo menta

Ren Magritte

Prefacio

Desde nuestra ms tierna infancia estamos empeados en la tarea de dar forma

a nuestro universo mental. Slo all existen y se relacionan las ideas. Slo all

existe la recta, el punto y otros conceptos abstractos. Slo all se cumplen las

leyes de la naturaleza.

Desde esta perspectiva, este curso es slo un paso ms en el proceso continuode ampliacin de nuestro universo mental.

El esfuerzo de decodificar el material expuesto en estos apuntes y codificarlo deacuerdo con las imgenes del propio universo mental, expandindolo de paso,

es necesariamente personal e indelegable.

La tarea es excitante y la recompensa es altamente gratificante. Pero tambines ardua.

Esto es especialmente vlido en un contexto de un semestre de 16 semanaslectivas, que implica que para cada captulo slo se dispone de dos semanas o,

considerando que se trata de una asignatura de 4 crditos, de escasas 24 horaspara el correspondiente estudio y ejercitacin. Es un tiempo escaso para

crearse una visin propia de las ideas expuestas y desarrollar la capacidad de

aplicarla a problemas concretos.

Slo a travs de un trabajo responsable y sistemtico guiado por el inters en

crecer y la pasin de saber ser posible alcanzar el objetivo propuesto.


NDICE

1. EL CIRCUITO MAGNTICO 1-5

1.1 Introduccin 1-5

1.2 Prototipo y aproximaciones 1-6

1.3 Circuitos magnticos 1-10

1.4 Imanes permanentes 1-14

2. EL REACTOR 2-172.1 Introduccin 2-17

2.2 Efectos fsicos en el reactor 2-202.2.1 Dispersin magntica 2-20

2.2.2 Prdidas en el fierro 2-21

2.2.3 Corriente magnetizante compleja 2-26

2.2.4 Prdidas en el cobre 2-27

2.3 Circuito equivalente. 2-292.3.1 Circuitos electromagnticos. 2-29

2.3.2 Circuito equivalente del reactor 2-33

2.4 Tensin inducida 2-35

3. EL TRANSFORMADOR 3-38

3.1 Introduccin 3-38

3.2 Dispersin inductiva y esquema de acoplamiento inductivo 3-39

3.3 El transformador de potencia. 3-423.3.1 Circuito equivalente 3-43

3.3.2 Diagrama fasorial 3-47

3.3.3 Funcionamiento en vaco 3-51

3.3.4 Funcionamiento en cortocircuito estacionario 3-51

3.3.5 Funcionamiento con carga 3-54


4. DEVANADOS 4-59


4.2 Corrientes y campo magntico en el entrehierro 4-604.2.1 Bobinas acortadas, el factor de cuerda 4-66

4.2.2 Bobinas distribuidas, factor de zona 4-68

4.2.3 Devanados de corriente alterna 4-70

4.2.4 Campo giratorio mediante devanado trifsico 4-73

4.2.5 La distribucin de induccin en el entrehierro 4-76

4.3 Tensin inducida en un devanado 4-774.3.1 Tensin inducida en una bobina de paso completo 4-79

4.3.2 Tensin inducida en una bobina de paso acortado 4-82

4.3.3 Tensin inducida en un grupo de bobinas 4-82

4.3.4 Tensin inducida en un devanado de corriente continua 4-84

4.4 Inductancias propias y mutuas de devanados 4-86

5. FUERZAS ELECTROMAGNTICAS 5-89


5.2 Fuerza y energa, una visin sistmica 5-90

5.3 Transductores de movimiento limitado 5-935.3.1 Torque de reluctancia 5-95

5.3.2 Torque de excitacin 5-98

5.4 Mquinas rotatorias, conversin continua de energa 5-101

5.5 Resumen 5-105

6. MQUINA DE CORRIENTE CONTINUA 6-106


6.2 Caractersticas constructivas 6-107

6.3 Principio de funcionamiento 6-109

6.4 Ecuaciones de equilibrio elctricas 6-111

6.5 Ecuacin de equilibrio mecnica 6-115


6.6 Funcionamiento estacionario 6-1166.6.1 Distribucin del campo en el entrehierro 6-117

6.6.2 Efecto desmagnetizante de la reaccin de armadura 6-118

6.6.3 Autoexcitacin 6-1216.6.4 Conmutacin 6-122

6.6.5 Caractersticas estacionarias como generador 6-125

6.6.6 Caractersticas estacionarias como motor 6-128

7. MQUINA SINCRNICA 7-132




7.4 Ecuaciones de equilibrio elctricas 7-1357.4.1 Circuito equivalente por fase 7-140

7.4.2 Efecto de la saturacin 7-141

7.4.3 Diagrama fasorial 7-142

7.5 Potencia y momento 7-146

7.6 Condiciones de funcionamiento especiales 7-1507.6.1 Cortocircuito estacionario 7-150

7.6.2 Carga reactiva inductiva pura 7-152

7.7 Determinacin experimental de la reactancia sincrnica 7-153

7.8 Funcionamiento en red infinita 7-1557.8.1 Variacin de la excitacin 7-157

7.8.2 Variacin del momento 7-157

7.8.3 Lugar geomtrico de la corriente 7-158

8. MQUINA ASINCRNICA 8-161




8.4 Ecuaciones de equilibrio elctricas 8-166

8.5 Circuito equivalente y diagrama fasorial 8-171

8.6 Potencia y momento 8-175

9. EJERCICIOS 9-180


1. El circuito magntico

1.1 Introduccin

Desde los tiempos de Oersted (1820) se sabe que corrientes elctricas producencampos magnticos. Esta relacin fundamental se expresa analticamente en la ley deAmpere:

H ds I = (1.1.1)

que recoge la evidencia emprica que, a lo largo de una trayectoria cerrada s cualquiera,

la integral de la componente de la intensidad del campo magntico

H paralela alcamino de integracin es igual a la totalidad de la corriente Iabrazada por ese camino

de integracin.

La relacin (1.1.1) es completamente general e independiente de las caractersticas delmedio que atraviesa el camino de integracin cerrado. Mediante ella se puede calcular

la corriente abrazada por ste si se conoce la distribucin espacial de

H.

En la prctica es ms comn el problema inverso, es decir, normalmente existe la

necesidad de determinar la distribucin espacial de

H creada por una distribucin decorrientes conocida.

La solucin de este problema requiere de un despliegue matemtico considerable y,

an as, slo es posible encontrar soluciones analticas rigurosas para mediosisotrpicos de geometras muy simples. Sin embargo, estos mtodos forman la basepara algortmos que permiten lograr soluciones numricasan para las situaciones mscomplejas.

Si bien los programas para el clculo numrico de campos dan respuestas cuantitativassatisfactorias para situaciones especficas, estas, por su naturaleza, no permiten unavisin global y subsiste la necesidad de contar con soluciones analticas, aunque estassean aproximadas, que permitan apreciar la influencia de los parmetros sobre lasolucin.

Las formas geomtricas y las caractersticas de los materiales usados en la mayor partede los dispositivos electromagnticos prcticos, como los transformadores y lasmquinas elctricas rotatorias, permiten simplificar el problema y formular solucionesanalticas aproximadas.

Para concretar estas ideas y entender la naturaleza de las aproximaciones necesariasse analiza primeramente el caso de una bobina toroidal.


captulo 1: circuitos magnticos 1-6

1.2 Prototipo y aproximaciones

Considrese un solenoide de seccin circular formado por N vueltas de alambre decobre aislado, uniformemente distribuidas, doblado de manera que sus dos seccionesextremas se toquen, dejando en el interior un espacio toroidal (figura 1.2.1).

Figura 1.2.1 Electroimn toroidal

espiras

seccin q

rri

re

Si por la bobina circula una corriente i, crear en el interior del toroide un campo

magntico cuyas lneas de fuerza, por consideraciones de simetra, sernnecesariamente circunferencias concntricas.

Tambin es la simetra la que permite concluir que a lo largo de una lnea de fuerza de

radio rel mdulo de

Hdebe permanecer constante, ya que todos los puntos sobre esacircunferencia son equivalentes en cuanto a su relacin con la distribucin decorrientes.

Considerando estos hechos, que nacen de la geometra y de la distribucin de

corrientes considerada, la evaluacin de la integral en (1.1.1) es inmediata, ya que

Hestangente a la circunferencia. Para el espacio interior del toroide rige entonces:

H riN

r( )=

2. (1.2.1)

Para el espacio exterior vale H r( )= 0 , ya que la corriente total abrazada por un caminode integracin concntrico con el toroide es cero y cualquier punto sobre esa trayectoriaest en la misma condicin respecto a la distribucin espacial de corrientes (simetra).



El campo magntico est confinado al interior del toroide.

En la figura 1.2.2, que corresponde a larepresentacin grfica de la relacin (1.2.1),

se puede apreciar que el campo en el interiordel toroide no es homogneo. Slo si lasdimensiones del toroide son tales que (re-ri)> 0. De acuerdo con (1.2.1) el valor de Hno es afectado por elcambio de ncleo. En cambio la induccin By el flujo s se incrementan. La misma

corrienteiproduce ahora un flujo r = /0 veces mayor. La amplificacin del flujo por

el ncleo ferromagntico se puede explicar en trminos del efecto orientador sobre losimanes moleculares, originalmente desordenados, ejercido por el campo producido porla corrientei.

Supngase que el toroide haya sido dividido en dos partes iguales, de seccin

semicircular, una ocupada por material ferromagntico de permeabilidad y la otra pormaterial nomagntico de permeabilidad 0 (figura 1.2.3).

Como no se ha alterado ni la simetra, ni la corriente de excitacin i, la modificacin

planteada no afecta a la intensidad del campo H(r) , que sigue descrita por la relacin(1.2.1). La diferencia de permeabilidad slo afecta a la divisin del flujo entre los dossemitoroides.

ri re r

H(r)

Hi

He

Figura 1.2.2Distribucin H(r) en unelectroimn toroidal.



De acuerdo con la relacin (1.2.2) el flujo en el semitoroide de material ferromagnticovale:

fe fe Bq Nq

ri= =

2 4

, (1.2.3)

mientras que el flujo en el semitoroide de material nomagntico vale :

a aBq Nq

ri= =

2 40

. (1.2.4)

Como >> 0 , fe>> a , es decir, el flujo por el material nomagntico es slo unapequea fraccin del flujo por el material magntico , por lo que en primeraaproximacin se puede suponer que el flujo por el material nomagntico esdespreciablemente pequeo y que todo el flujo se encuentra en el volumen delsemitoroide de material magntico.

Este resultado permite relajar la exigencia inicial de un enrollado uniformementedistribuido sobre el ncleo, mediante la cual se garantizaba la circularidad de las lneasde fuerza y se limitaba el campo al interior del toroide.

Al utilizar material de alta permeabilidad para el ncleo del toroide , la altapermeabilidad hace que el flujo siga esencialmente confinado al volumen del toroide,aunque las espiras del enrollado se concentren en un sector del ncleo, dejando alresto del ncleo descubierto. En esta circunstancia, el campo creado por el devanadouniformemente distribuidoes aproximadamente igual al campo creado por el devanadoconcentrado en un sector del toroide, por lo que en este segundo caso tambin sepuede usar la relacin (1.2.2) para calcular el flujo. Este recurso es de gran utilidad parala obtencin de soluciones analticas aproximadas.

iNi

Figura 1.2.3Semitoroide de material ferromagntico cona) Excitacin magntica distribuida

b) Excitacin magntica concentrada

fierro

aire

a) b)



Siempre con la intensin de introduciraproximaciones razonables que permitanla formulacin de soluciones analticas,considrese nuevamente al ncleo toroidalde material ferromagntico, para analizar

las consecuencias de un pequeo corteradial de ancho la sobre la distribucin delcampo magntico (figura 1.2.4).

Por efecto del corte desapareci lasimetra y, con ella, la lnea argumentativaque anteriormente permiti obtenerimportantes conclusiones sobre ladistribucin espacial del campo.

Sin embargo, la presencia de material ferromagntico de alta permeabilidad,

eventualmente apoyado por un enrollado uniformemente distribuido a lo largo delncleo, hace que el flujo quede confinado esencialmente al volumen del toroide,excepto en la regin prxima al corte o entrehierro.

Dada la dificultad de determinar el campo en el entrehierro y en su entorno inmediato,se hace una suposicin simplificatoria, es decir, se formula un modelo, asumiendo quelas lneas de fuerza siguen siendo circunferencias en la regin problemtica.

Esto implica que la induccin en el ncleo ferromagntico y en el aire debe tener elmismo valor:

B Bi a= ,

de lo que sigue que

H Hi a= 0 , (1.2.5)

donde Hies la intensidad del campo magntico homogneo en el interior del materialferromagntico, mientras queHaes su valor en el entrehierro.

De acuerdo con el modelo, el campo es homogneo tanto en el ncleo como en elentrehierro y HI y Hason constantes. En consecuencia

H ds H l H l N i i i a a = + = (1.2.6)

con l r li a= 2 .

A partir de las relaciones (1.2.5) y (1.2.6) se determina la intensidad del campo en elentrehierro como :

Figura 1.2.4Relativo a la formulacin deun modelo para un toroidecon entrehierro.

N

i

r

la



HN i

l la

i a

=+

0

. (1.2.7)

Si bien el valor numrico calculado mediante esta relacin es algo superior al real, laexpresin tiene el mrito de mostrar claramente la influencia de los parmetros sobre elresultado.

Por las caractersticas del modelo, el flujo en el ncleo y en el entrehierro esnecesariamente el mismo y vale

= =+

0

0

H qN i

l

q

l

q

ai a

, (1.2.8)

donde qes la seccin del toroide, igual a la del entrehierro.

Si los parmetros en (1.2.8) fuesen conocidos, la relacin permitira determinar con ungrado de aproximacin razonable el flujo en el entrehierro producido por ciertaexcitacin magntica, como tambin la excitacin magntica necesaria para obtener undeterminado flujo en el entrehierro. Lamentablemente la permeabilidad de losmateriales ferromagnticos no es constante, ni se conoce de antemano, por lo que elvalor prctico de la expresin (1.2.8) es limitado.

El toroide con entrehierro puede ser considerado como el prototipo de las mquinaselctricas en lo que a la determinacin del campo magntico se refiere y las

aproximaciones y consideraciones practicadas en relacin con l pueden ser aplicadassin mayor dificultad a geometras ms generales si se respeta las restricciones quelimitan su validez. Los conceptos y tcnicas para ello necesarias son el motivo delprrafo siguiente.

1.3 Circuitos magnticos

Para un circuito de corriente continua, formado por la conexin en serie de una fuentede tensin V y de dos conductores de longitudes l1 y l2, secciones q1 y q2 y

conductividades 1 y 2respectivamente, la corriente se calcula como :

IV

R R

V

l

q

l

q

=+

=+1 2 1

1 1

2

2 2

(1.3.1)



Al comparar (1.3.1) con (1.2.8) salta a la vista la correspondencia formal entre ambasrelaciones. Esta correspondencia a llevado a introducir el concepto circuito magnticoen analoga con el circuito elctrico de corriente continua.

Para ello se establece las siguientes analogas :

Corriente I Flujo Tensin V Excitacin magntica FResistencia R Reluctancia

Extendiendo la analoga a las leyes de Ohm y de Kirchhoff, se tiene que en el circuitomagntico rige:

=F

(en cada elemento) (1.3.2)

ii

= 0 (en cada nodo) (1.3.3)

Fii

= 0 (en cada malla) (1.3.4)

Como consecuencia de lo anterior, los elementos del circuito magntico, es decir, lasreluctancias, se combinan de la misma manera como se combinan las resistencias en elcircuito elctrico.

Sin embargo, hay una caracterstica fundamental del circuito elctrico que, en general,

no tiene su equivalente en el circuito magntico : la constancia de los parmetros.

Efectivamente, la reluctancia, que para cada tramo con campo homogneo -de longitudl, seccin q y permeabilidad - se calcula como

=l

q , (1.3.5)

en el caso de materiales ferromagnticos, depende fuertemente del grado desaturacin, determinado por el flujo.

En consecuencia, los circuitos magnticos, en general, sern nolineales y por lo tantopara ellos dejan de ser aplicables los mtodos de anlisis basados en el principio desuperposicin, que son justamente los que han hecho de la teora de circuitos unaherramienta tan poderosa .

Frente a esta situacin, y como la nolinealidad se expresa habitualmente a travs de lacaracterstica de magnetizacinBmax(Hef), en la prctica se prefiere usar directamentelas variables de campo By H.



La caracterstica de magnetizacin es suministrada por el fabricante del material. Lafigura 1.3.1 muestra esta caracterstica, a modo de ejemplo, para algunos materialescomunes.

Para ilustrar el tratamiento de los problemas asociados con la nolinealidad, considresenuevamente el toroide con entrehierro de la figura 1.2.4., para el cual se deseadeterminar la excitacin magntica necesaria para producir un determinado flujo en elncleo.

Como el flujo y las dimensiones del toroide son conocidas, se calcula B q= , valor con

el que se entra a la caracterstica del material del ncleo para determinar Hi. Dado queel flujo supuestamente est limitado a la seccin del ncleo, la induccin en elentrehierro es la misma que en el ncleo, por lo que H Ba= 0 . Finalmente se calculala excitacin magntica o fuerza magnetomotriz i N H l H l i i a a = + .

Supngase ahora que la excitacin magntica sea conocida y que se desea determinarel flujo correspondiente.

Figura 1.3.1.Curva de magnetizacin B( H) de algunosmateriales ferrromagnticos

Acero fundido

Fierro fundido

Chapa silicosa

Chapa silicosa

BWb

m2

m

AH

BWb

m2

HA

m



Como slo se conoce H li ii

, pero no los sumandos, no se puede determinar el valorde Hi en cada tramo del circuito magntico. Esto implica que el problema no tiene unasolucin directa y que es necesario recurrir a un procedimiento iterativo. Para ello seasumeun flujo y se calcula la excitacin magntica necesaria, que se compara con el

dato inicial. Si los dos valores no coinciden dentro de un margen de error razonable, semodifica apropiadamente el valor supuesto para el flujo y se repite el procedimientohasta lograr la convergencia.

Otro problema que carece de una solucin analtica directa corresponde a ladistribucin de un flujo conocido t entre dos ramas en paralelo. La figura 1.3.2muestra esta situacin y la relacin entre flujos y fmms para cada una de las ramas enparalelo. Se aprecia que mediante el artificio de representar la relacin entre flujo y fmmpara una de las ramas en el cuarto cuadrante usando una abscisa comn para las

fmms, el flujo total ttambin queda representado por un trazo y es posible obtener unasolucin grfica para el problema.

Pero tambin en este caso se puede recurrir al procedimiento iterativo y suponer unvalor para el flujo 1por una de las ramas. El flujo por la otra rama se determina como 2 1= t . Para cada flujo se determina la induccin correspondiente y con ella seentra a la respectiva caracterstica de magnetizacin para obtener el valor deHen cadarama. El criterio de iteracin, que verifica si la distribucin de flujos es la correcta, es eneste caso la igualdad de las fuerzas magnetomotrices en las dos ramas : H l H l 1 1 2 2= .

t

1

2

2(F2)

1

F

1(F1)t

0

2

Figura 1.3.2Relacin entre flujos y fmm en un circuitomagntico formado por dos elementos en paralelo

F1=F2



Para completar el anlisis de los circuitos magnticos es necesario incluir la posibilidadque el flujo tenga su origen en un imn permanente en vez de tenerlo en una corriente.Esto es materia del prrafo siguiente.

1.4 Imanes permanentes

El material ferromagntico incluido en los circuitos magnticos hasta aqu consideradosest caracterizado por un lazo de histresis muy estrecho, cuyas ramas ascendente ydescendente pueden ser consideradas en primera aproximacin como coincidentes. Lainduccin By la intensidad de campo Hestn relacionadas en forma unvoca.

Pero tambin existen materiales con un lazo de histresis muy marcado. Una vezmagnetizado el material, la induccin no vuelve a cero cuando se anula la corriente,sino a un valor conocido como induccin remanenteBr. Para llevar la induccin a ceroes necesario invertir la excitacin magntica. El valor de la intensidad de campo(negativa) para el cual la induccin se hace cero se conoce como fuerza coercitiva Hc .Las curvas virgen y de desmagnetizacin de la figura 1.4.1 ilustran la relacin entre ByHdescrita.

Los imanes permanentes (de creciente importancia tecnolgica) estn hechos de estetipo de material (aleaciones NiCo,SmCo,NdFe) y para su caracterizacin importa elsegundo cuadrante de la caracterstica B(H).

Sea un ncleo toroidal magnetizado mediante la aplicacin de una fuerzamagnetomotriz, que, despus de alcanzar cierto valor mximo, es reducida a cero. Enesas condiciones la induccin en el interior del toroide toma el valor de remanencia , Bi= Br, y la intensidad de campo es cero (Hi = 0).

Figura 1.4.1. Caracterstica magntica de un materialmagnticamente duro magnetizado hasta lasaturacin y luego desmagnetizado.

Bi

curva virgen

caracterstica del entrehierro

curva de desmagnetizacin

P

Hi

Hc

Br

BP

HP



Considrese ahora el corte radial de ancho laatravs del ncleo representado en la figura 1.4.2

De acuerdo con la ley de Ampere debe

cumplirse que

H l H l i i a a + = 0 , (1.4.1)

por lo que

H Hl

la ii

a

= . (1.4.2)

Se puede apreciar que, como consecuencia del

corte, Hi es ahora distinto de cero y que susentido es inverso al de Haen el corte.

En el entrehierro formado por el corte rige:

B Ha a= 0 (1.4.3)

La condicin de continuidad para el flujo implica que

q B q B i i a a = . (1.4.4)

En el caso del imn toroidal, suponiendo un entrehierro suficientemente estrecho, lassecciones qiy qapueden ser consideradas como iguales, lo que hace que en ese casola induccin en el ncleo sea igual a la induccin en el entrehierro.

Las restricciones (1.4.2) a (1.4.4) implican la siguiente relacin entre Bi y Hi:

Bl q

l qHi

i a

a ii= 0 (1.4.5)

que en el plano B(H) corresponde a una recta por el origen en el segundo cuadrante.

Como, por otra parte, los valores de Biy Hiestn relacionados por la caracterstica demagnetizacin del material, los valores de Biy Hique satisfacen ambas condiciones seencuentran necesariamente sobre la interseccin de las dos caractersticas: la recta delentrehierro y la curva de magnetizacin. Este punto P se conoce como punto de trabajo.

La representacin grfica de estas relaciones en la figura 1.4.1 permite apreciar que,como consecuencia del corte, la induccin en el ncleo se reduce del valor de

Figura 1.4.2 Relativo a la aplicacinde la Ley de Ampere a

un imn permanente.

lali

qi



remanencia Br a BP. De la relacin (1.4.5) se desprende que la reduccin estdirectamente relacionada tanto con la geometra del imn como con la del entrehierro.Para aclarar el papel de las geometras en el logro de un determinado valor de lainduccin en el entrehierro amplifquese (1.4.5) con Biy luego reemplcese Bipor Badeacuerdo con (1.4.4). De esa manera se logra

Bq l

q lB Ha

i i

a ai i= 0 , (1.4.6)

donde se aprecia que, para volmenes dados, la induccin en el entrehierro slodepende del producto Bi Hi , el que a su vez depende de la ubicacin del punto detrabajo sobre la caracterstica de magnetizacin. Para un punto determinado (quecorresponde aproximadamente a la interseccin de la caracterstica con la diagonal delrectngulo Br Hc) el producto alcanza su valor mximo. Este valor mximo es unparmetro bsico para la caracterizacin de los imanes permanentes.

Con los valores para Bi y Hi correspondientes al producto mximo se determina laseccin ms favorable para el imn a partir de (1.4.6) y (1.4.4).

Material magntico Br (T) Hc (kA/m) (BH)max ( kJ/m3)

Tierras raras-Cobalto 0,92 705 167Neodimio-Fierro-Boro 1,20 860 240Alnico (Al-Ni-Co-Fe) 0,73 34 10

Tabla 1.4.1 Valores caractersticos para imanes permanentes.


2. El reactor

2.1 Introduccin

Fue Faraday quien se pregunt (1822) si a la observacin fundamental de Oersted no ledeba corresponder una relacin causal inversa. Si una corriente estacionaria convierteen imn al fierro que rodea, por qu un imn permanente no produce corrientesestacionarias en las espiras que lo rodean?

Nueve aos despus encontr la respuesta a esa interrogante, la que hoy se conocecomo la ley de Faraday y que en su formulacin integral establece que:

E ds

d

dt = (2.1.1)

es decir, que, a lo largo de un camino de integracin cerrado, la integral de la

componente del campo elctrico

E paralela al camino de integracin es igual a larapidez de variacin del flujo enlazado por ese camino de integracin. Esta leyconstituye una de las piedras angulares de la Electrotecnia, pues establece la relacinentre el campo elctrico y el campo magntico que lo origina.

Debido a la relacin existente entre la intensidad del campo elctrico y la densidad decorriente asociada a ese campo:

= jE

(2.1.2)

y a la relacin entre la intensidad del

campo magntico

H y la corrienteabrazada por ste, planteada por laley de Ampere, esta y la ley deFaraday constituyen tambin el nexoentre la teora de campos y la teorade circuitos.

Para ilustrar esta relacin considrese

nuevamente a un reactor toroidal conncleo de aire en cuyo interior sedesarrolle un campo que en primeraaproximacin puede ser consideradocomo homogneo (figura 2.1.1). El campo elctrico en el interior del conductor enrolladosobre el ncleo tambin sea homogneo.

Figura 2.1.1. Reactor en forma de toroide

r

v

i1

2


captulo 2: reactor 2-18

Con esta aproximacin y considerando la relacin (2.1.2), la integral curvilnea cerradadel primer miembro de la ecuacin (2.1.1) toma la forma:

E ds j ds E ds = +

112

1

2

12

2

1

(2.1.3)

donde el camino de integracin cerrado se ha dividido en dos tramos, el primero de loscuales va de 1 a 2 por el conductor y corresponde al primer trmino del segundomiembro de (2.1.3) mientras que el segundo va de 2 a 1 a travs de la fuente.

Como los campos son paralelos al camino de integracin, las integrales del segundomiembro de (2.1.3) se convierten en integrales simples cuya integracin es trivial,obtenindose que :

E ds

l

q i v R i v cu

cu

cu = = (2.1.4)

donde lcues la longitud del conductor entre 1 y 2, qcu es su seccin transversal, laconductividad yj12 la densidad de corriente constante sobre la seccin y a lo largo delconductor. La tensin v corresponde a la diferencia de potencial entre 1 y 2, impuestapor la fuente.

Se aprecia que el campo asociado a la corriente en el conductor del toroide ha quedadorepresentado circuitalmente por una resistencia equivalente, en la que se disipa lamisma energa que en el conductor original.

En cuanto al segundo miembro de (2.1.1), se haba establecido anteriormente (prrafo1.2) la siguiente relacin entre el flujo en el interior del toroide y la corriente que loproduce:

=

Nq

ri

2(2.1.5)

Considerando que este flujo es enlazado N veces por el conductor, el flujo totalenlazado por el camino de integracin 1-2 vale

= = N qr

N i2

2 , (2.1.6)

aprecindose que para medios de permeabilidad constante el enlace de flujo esdirectamente proporcional a la corriente i.El factor de proporcionalidad lo constituye lainductancia



22

2NN

r

qL =

= , (2.1.7)

cuyo valor depende de la geometra del circuito magntico a travs de la permeancia

.

Se aprecia que el campo magntico en el interior del toroide ha quedado representadopor una inductancia equivalente en la que se acumula la misma energa que en elcampo original.

Reemplazando finalmente lasrelaciones (2.1.4) y (2.1.6) en (2.1.1)se logra, despus de reagrupar lostrminos, la siguiente ecuacin:

v R i L didt= + , (2.1.8)

que corresponde a la ecuacin deKirchhoff para la malla RLrepresentada en la figura 2.1.2.

Las leyes de Ampere y de Faraday,que son relaciones entre variables de campo que dependen del espacio y del tiempo,se han reducido a las leyes de Kirchhoff, que son relaciones entre variables de circuitoque slo dependen del tiempo.

Desde el punto de vista energtico las ecuaciones (2.1.1) y (2.1.8) son totalmenteequivalentes y la malla de la figura 2.1.2 constituye el circuito equivalente del dispositivode la figura 2.1.1. Cada elemento del circuito equivalente representa un efecto fsico deldispositivo original, como la conversin de energa elctrica en calor, la acumulacin deenerga magntica y la relacin entre la corriente y el enlace de flujo. Las variables determinales del circuito equivalente son idnticas con las del dispositivo original.

Estas caractersticas, junto con la mayor simplicidad de la teora de redes, hacendeseable disponer de un procedimiento para derivar en forma sistemtica el circuitoequivalente de dispositivos electromagnticos ms complejos, para poder caracterizar y

analizar su comportamiento en trminos de las variables de terminales.Para ello es necesario examinar previamente los efectos fsicos ms comunes en losdispositivos electromagnticos.

Figura 2.1.2. Circuito galvnico equivalente

para el reactor toroidal.

v

i

Lq

rN=

2 2

Rcu

lcuq

cu

=



2.2 Efectos fsicos en el reactor

El objetivo fundamental de un reactor es la acumulacin de energa magntica. Porrazones econmicas, en su construccin se trata de ocupar un mnimo de materialactivo (fierro, cobre), lo que implica el uso de densidades de flujo y de densidades decorriente lo ms altas que sea posible, sin que las prdidas en elfierroy las prdidasen el cobredeterminen un calentamiento superior al admisible para el material aislanteutilizado.

El uso de valores elevados para la induccin determina la saturacin del ncleo, que serefleja en la disminucin de la permeabilidad de ste. Como consecuencia de loanterior, una cierta fraccin del flujo se dispersa del camino magntico previsto (atravs del ncleo) y se cierra a travs del aire. Eso implica la aparicin de un circuitomagntico adicional, en paralelo con el correspondiente al ncleo (figura 2.1.1).

Cuando se excita al reactor con corrientes de alta frecuencia se hace sentir el campoelctrico entre las capas del devanado y entre estas y el ncleo. Las correspondientescorrientes de desplazamiento ahora se hacen significativas en comparacin con lacorriente por el devanado y alteran la distribucin de tensin a lo largo del devanado yla relacin entre las variables de terminales. Este efecto se puede incluir en el circuitoequivalente mediante capacitancias, pero no ser considerado en este captulo.

2.2.1 Dispersin magntica

Por flujo de dispersin se entiende aquellafraccin del flujo total que no contribuye a unpropsito determinado. El propsito del ncleodel reactor es servir de camino de bajareluctancia para el flujo creado por eldevanado. Por lo tanto, el flujo que no sigueese camino es considerado como flujo dedispersin.Del esquema de la figura 2.2.1 se desprendeque el flujo de dispersin del reactor se cierraprincipalmente por el aire, a travs de vasparalelas a las del flujo principal.

La introduccin del concepto dispersinmagntica implica la divisin del espacio en dos regiones, una asociada al flujo principaly otra asociada al flujo de dispersin. A cada una de estas regiones est adscrita unafraccin de la energa magntica total.

Figura 2.2.1 Flujo de dispersin de unreactor.



Este punto de vista es recogido porel modelo de la figura 2.2.2,formado por un circuito magnticoideal con dos ramas en paralelo. El

entrehierro incluido en cada ramaes tal que la energa magnticaacumulada en l sea igual a la dela respectiva regin del espacioque se est modelando.

De acuerdo con el modelo

t m= + .(2.2.1)

Al introducir la fuerza magnetomotriz comn y las permeancias correspondientes a cadarama se logra:

t m mF F Ni = + = + ( ) . (2.2.2)

Para representar correctamente la energa

W F N i m = =1

2

1

22 2 , (2.2.3)

asociada al campo de dispersin, la permeancia de la rama de dispersin debe ser talque

=

22 2

W

N i

m. , (2.2.4)

donde el valor de Wm se supone conocido.

La distincin entre campo en el aire y campo en el fierro se hace necesaria porque elcampo en el aire es conservativo, mientras que el campo en el fierro, cuando es alterno,es disipativo. Este ltimo aspecto estaba explcitamente excluido en el toroide de la

figura 2.1.1 y ser el objetivo del prximo prrafo.

2.2.2 Prdidas en el fierro

La expresin para el flujo reproducida en (2.1.5) slo es rigurosamente vlida en el casode una excitacin continua o cuando el ncleo est formado por material no conductor.Cuando el ncleo es de material ferromagntico y es excitado por corrientes alternas, el

Figura 2.2.2. Esquema de un circuito magntico equivalente para el reactor.

i

N

t

m



flujo alterno induce corrientes adicionales, que circulan en el interior del ncleo,abrazando el flujo que las induce. Estas corrientes parsitasmodifican la distribucindel flujo sobre la seccin del ncleo, hacindola inhomognea, y tambin son la causade la conversin irreversible de energa elctrica en calor, conocida como prdidas deFoucaulto de corrientes parsitas.

El efecto amplificador de flujo de los materiales ferromagnticos puede interpretarsecualitativamente postulando la existencia de imanes moleculares. Cuando el material essometido a un proceso de magnetizacin alterna estos imanes tienen que reorientarsedos veces por ciclo, lo que requiere de energa, cuya transformacin en calor puedeatribuirse al roceentre los imanes molecularesdurante su reorientacin. La cantidad deenerga convertida en calor por cada ciclo es proporcional al rea del lazo de histresis,conocindose esas prdidas como prdidas de histresis.

Para los fines de la modelacin de estos efectos fsicos mediante el circuito equivalentebasta su anlisis cualitativo sobre la base de aproximaciones relativamente groseras,

que permiten evitar desarrollos matemticos ms complejos, pero mantienen lainformacin relevante.

2.2.2.1 Prdidas de Foucault.

Considrese una platina de material

ferromagntico de resistencia especfica ,de longitud ly seccin rectangular tal, queel espesor d sea mucho menor que elancho b (figura 2.2.3). En el interior de la

platina exista un campo alterno sinusoidalde frecuencia angular que en primeraaproximacin puede ser considerado comohomogneo.

Un circuito coincidente con los lados de laseccin rectangular abrazara un flujo cuyovalor mximo sera m mB b d= , alsuponer que el campo es homogneo, yen l se inducira la tensin

vd

dtt t V t i m m i = = =( sen ) cos cos 2 (2.2.5)

que hara circular una corriente limitada slo por la resistencia de ese circuito.

Dadas las proporciones de la platina, para la resistencia del circuito se puede plantearen primera aproximacin

Figura 2.2.3.Platina de material

ferromagntico.

b

l

d

m



Rb

dl

2

2

. (2.2.6)

Considerando las relaciones (2.2.5) y (2.2.6), las prdidas por corrientes parsitas porunidad de volumen estaran dadas por

P

V V

V

R

B dF i m= 1

4

2 2 2 2

( )

(2.2.7)

donde V bdl = es el volumen de la platina.

A pesar de las aproximaciones usadas en su obtencin, la relacin (2.2.7) reflejaadecuadamente la influencia de los principales parmetros sobre las prdidas porcorrientes parsitas. As se aprecia que stas pueden ser reducidas notablemente a

travs de la disminucin del espesor de la platina y mediante el aumento de laresistencia especfica.

Esta conclusin se refleja en la prctica en el uso de chapas silicosas de 0,35 mm deespesor, aisladas elctricamente entre s, para la construccin de ncleos y circuitosmagnticos sometidos a excitacin alterna.

Por otra parte, el uso de chapas aisladas no solamente atena la magnitud de lascorrientes parsitas, sino que, al fijarles los circuitos por los cuales pueden circular,tambin limita su desarrollo espacial sobre la seccin del ncleo, con lo que se recuperauna distribucin de induccin prcticamente homognea.

En consecuencia, para frecuencias industriales (50Hz) los ncleos laminados puedenser modelados con el concepto de circuito magnticoy el nico fenmeno adicional quehay que considerar son las prdidas debidas a las corrientes parsitas.

Para fines prcticos las prdidas en el fierro debidas a las corrientes parsitas oprdidas de Foucault se expresan como

P C Bf d

mF F m=

2

2 2

50 0 5,W (2.2.8)

donde mes la masa en kg yCFes la cifra de prdidas por corrientes parsitas, quecorresponde a las prdidas en W en 1kg de chapas de 0,5mm de espesor, medidaspara una induccin mxima de 1T y una frecuencia de 50Hz.

La cifra de prdidas por corrientes parsitas CF vara entre valores del orden de 0,16W/kg para chapas de grano orientado para uso en transformadores y valores del ordende 0,8 W/kg para el uso en motores de potencia fraccionaria.



2.2.2.2 Prdidas por histresis

En el anlisis precedente se haba supuesto tcitamente que la permeabilidad delmaterial del ncleo era constante. Ahora se relajar esa restriccin para examinar msdetenidamente una caracterstica nolineal propia de los materiales ferromagnticos ysus consecuencias.

Resulta que la caracterstica de magnetizacin de los materiales ferromagnticos no esunvoca, vale decir, a un determinado valor de la intensidad del campo H no lecorresponde un valor de induccin Bnico, sino que ese valor depende de la historiamagntica previa del material.

En un material ferromagntico sometido a una magnetizacin alterna de amplitud yfrecuencia constantes se establece finalmente un estado cclico que en el plano B-Htoma la forma del lazo de histresis .Esta caracterstica emprica refleja el efecto de lasaturacin y de la histresis sobre el campo magntico y constituye el punto de partidapara el anlisis que sigue.

Para fijar las ideas, considrese nuevamente un reactor de ncleo toroidalferromagntico de radio r y seccin q. El campo, confinado al volumen del toroide,puede ser considerado homogneo. La resistencia del enrollado de N vueltas seadespreciable.

La energa suministrada al campo a travs de los terminales de la bobina en el lapso d tvale:

dW pdt iv dt iNd iNq dB = = = =

pero como iN r H = 2

dW rq HdB V HdB = =2 , (2.2.9)

donde V rq= 2 es el volumen del toroide.

En consecuencia, la energa magntica suministrada al campo cuando la induccin Bvara desde un valor inicial B1hasta un valor final B2vale

W V HdB B

B

= 1

2

(2.2.10)

y como se trata de un campo homogneo, la densidad de energa, o energa por unidadde volumen, queda expresada por la relacin:



w HdB B

B

=1

2

. (2.2.11)

Esta ltima relacin es vlida para cualquier campo, ya que todo campo puede ser

tomado por homogneo si se considera regiones suficientemente pequeas. Suinterpretacin geomtrica corresponde a un elemento de rea en el plano B-H.

Esta interpretacin permite visualizar las prdidas de histresis por ciclo y por unidad devolumen como el rea encerrada por el lazo de histresis.

Para comprobarlo, basta recorrer ellazo de histresis de la figura 2.2.4durante un ciclo de la excitacin. En elprimer cuarto de ciclo Hvara entre 0y+Hmaxy la induccin Blo hace entre -Br

y +Bmax. La energa absorbidacorresponde al rea entre la ramaascendente (abc) de la curva H(B) y eleje de ordenadas. En el segundocuarto de ciclo Hvara entre +Hmaxy0y la induccin B lo hace entre +Bmaxy+Br. El rea bajo la rama descendente(cd) de la curva H(B) y el eje deordenadas es ahora negativa ycorresponde a la energa devuelta a lafuente. De manera que la energa por

unidad de volumen neta absorbidadesde la fuente durante el primersemiciclo de la funcin de excitacin(corriente) corresponde al rea abcd0aen la figura 2.2.4. La continuacin delanlisis durante el segundo semiciclo

de la corriente permite comprobar la relacin entre el rea del lazo de histresis y laenerga disipada por unidad de volumen del ncleo en cada ciclo debido a la histresis.A Steinmetz se debe la siguiente expresin emprica para las prdidas especficas porhistresis

w BH max x

= (2.2.12)

cuyos parmetrosy x deben ser determinados experimentalmente para cada materialespecfico. Para fines analticos se supone que el exponente de Steinmetztoma el valorx=2.

En consecuencia, las prdidas por histresis para un ncleo de volumen V excitadocon corrientes de frecuencia fvalen

Fi ura 2.2.4.Lazo de Histresis

H

+Hmax

+Hc

+Bmax

+Br

-Br

-Bmax

-Hc

-Hmax

B

0 b

c

d

a



P fB V H max 2 (2.2.13)

Para fines prcticos se utiliza la frmula

P C Bf

mH H max =

2 50 W (2.2.14)

donde m es la masa del ncleo en kg, CH es la cifra de prdidas por histresis quecorresponde a las prdidas en W en 1 kg de material, medidas para una induccinmxima de 1 T y frecuencia igual a 50 Hz.

CH vara tpicamente entre 0,4W/kg para chapas de transformadores y 1,6W/kg parachapas de motores de potencia fraccionaria.

2.2.3 Corriente magnetizante compleja

La forma peculiar del lazo de histresis implica una relacin nolineal entre la induccinBy la intensidad de campo Hy por lo tanto entre la tensin y la corriente magnetizante.

Al aplicar al devanado de excitacin una tensin sinusoidal se fuerza que el flujo, y porlo tanto la induccin, sea sinusoidal. La caracterstica B(H) nolineal determina que Hypor lo tanto la corriente magnetizante sean nosinusoidales, es decir, que junto a lacomponente fundamental aparezcan armnicas impares.

La figura 2.2.5 ilustra la obtencin grfica de la forma de onda de la corriente a partir de

la forma de onda de la induccin y del lazo de histresis esttico, trazado con lnea llena(no incluye el efecto de las corrientes parsitas).

Como el circuito equivalente est compuesto por elementos lineales y por esa razn nopuede reproducir efectos nolineales, la corriente magnetizante compleja tiene que serreemplazada por una corriente sinusoidal equivalentecuyos parmetros caractersticos:amplitud, frecuencia y fase estn determinados por las siguientes exigencias:

Amplitud: El valor efectivo de la corriente sinusoidal equivalente debe ser igual alvalor efectivo de la corriente compleja que reemplaza

I I I I = + + +12

32

52

....... (2.2.15)



Figura 2.2.5. Determinacion grfica de la corriente de excitacin delreactor.

i, H

Lazo esttico

Lazo dinmico

i H

i H+iF

B,

i F wt

Frecuencia: La frecuencia de la corriente sinusoidal equivalente debe ser igual a lafrecuencia fundamental de la corriente compleja que reemplaza

f = f1 (2.2.16)

Fase: El ngulo de fase de la corriente sinusoidal equivalente respecto a la

tensin inducida Videbe ser tal que las prdidas sean las mismas

= +

arccos

P P

V IH F

i

. (2.2.17)

2.2.4 Prdidas en el cobre

Al integrar la expresin (2.1.3) se haba supuesto que el campo elctrico en el interior

del conductor fuera homogneo. Esto se cumple en el caso de corrientes continuas, porlo que la potencia disipada en el conductor al circular una corriente continua deintensidad I por l vale

P V I R I cu= =2 (2.2.18)

donde Rl

q= es la resistencia de corriente continua.



Esta relacin se puede reescribir como

( )Pl

qq j j V cu cu = =

2 2 , (2.2.19)

con Vcu=ql volumen del conductor, de la que se desprende que las prdidas por unidadde volumen estn dadas por

p jcu= 2 , (2.2.20)

relacin de validez general, ya que cualquier campo puede ser tomado comohomogneo si se considera regiones suficientemente pequeas.

En cambio con excitacin alterna el volumen del conductor es ocupado por un campomagntico alterno que induce en el conductor corrientes parsitas que alteran ladistribucin de la densidad de corriente sobre la seccin del conductor hacindola

nohomognea, por lo que las prdidas deben determinarse a partir de

P j dV l j dq cu ca cu V qcu

, = = 2 2 . (2.2.21)

Resulta que para distribuciones nohomogneas

j dqq

2 >I

q

2

(2.2.22)

donde I es el valor efectivo de la corriente en el conductor.

En consecuencia, Pcu,ca> R I2= Pcu,cc , es decir, las prdidas con corriente alterna de

igual valor efectivo que una corriente continua son mayores que las causadas por lacorriente continua.

En la prctica se considera este hecho definiendo una resistencia para corriente alternaRca > R tal que

P R Icu ca ca , =2 , (2.2.23)

reduciendo de esta manera el problema a uno homogneo equivalente. El valor de laresistencia equivalente para corriente alterna depende de la geometra de la bobina, dela seccin de los conductores y de la frecuencia. Para frecuencias industriales (50Hz) elvalor es del orden de un 10% superior al de la correspondiente resistencia paracorriente continua.



2.3 Circuito equivalente.

Por circuito equivalente de una mquina o dispositivo electromagntico se entiende unared de elementos concentrados (resistencias, inductancias, capacitancias), donde cadaelemento representa un efecto fsico (acumulacin o disipacin de energa) asociado aldispositivo original.

En forma ms general el trmino tambin se aplica a la red que se obtiene de la anteriormediante transformaciones de esta que mantengan la identidad de los terminales de lared (y dispositivo) original.

Para la derivacin sistemtica de estos circuitos equivalentes resulta convenienteintroducir previamente algunos elementos de la teora de los circuitoselectromagnticos.

2.3.1 Circuitos electromagnticos.

En general, la nocin de circuito involucra la aproximacin campos homogneos(eventualmente equivalentes) limitados a una regin del espacio. Con estaaproximacin se hace posible la integracin de las ecuaciones de Faraday y de Amperey con ello, la descripcin del problema en trminos de parmetros, que dependen delas dimensiones geomtricas y de las propiedades elctricas o magnticas de losmedios, y de variables que slo son funciones del tiempo.

En el caso de los circuitos electromagnticos, a esta caracterstica fundamental de loscircuitos se agrega el hecho que su forma topolgica siempre puede ser obtenida porinspeccin del dispositivo fsico que se pretende modelar.

Para fijar las ideas, considrese nuevamente el reactor toroidal de la figura 2.1.1, peroahora su ncleo sea de material ferromagntico de permeabilidad y resistividad finitas yconstantes.En consecuencia, en l se acumular energa magntica y, en caso de flujo alterno,tambin se producirn prdidas.

La energa acumulada en el campo, que se concentra en el ncleo, es igual a la

densidad de energa (en el caso lineal igual a BH21 ) por el volumen del toroide:

W H rq m= 1

222 (2.3.1)

Reemplazandor

NiH m

=

2 queda

222

2

1

22

1mmm iLiN

r

qW =

= (2.3.2)



Se aprecia que la energa magntica queda expresada en trminos del parmetroinductancia (L) y de la variable corriente (im).

Si ahora tambin se consideran las prdidas en el fierro, estas se determinan como

P C f B rq C f rqfe m m

= = ( ) ( )2 22 2 , (2.3.3)

donde C f( )es la cifra de prdidas por unidad de volumen para cierta frecuencia fy una

induccin mxima de 1T.

Considerando que con excitacin sinusoidal V N m= / 2 , se logra la expresin

P C fr

q NV

RVfe

fe

= =( )2

21

2 2

2 2

. (2.3.4)

donde las prdidas quedan expresadas en trminos del parmetro resistencia ( Rfe) y

de la variable tensin (V).

De las relaciones (2.3.2) y (2.3.4) se desprende que desde el punto de vista energticoel dispositivo original de la figura 2.1.1 es equivalente al modelo de la figura 2.3.1,donde el ncleo real ha sido reemplazado por un ncleo ideal provisto de dos bobinasideales de N vueltas cada una, a cuyos terminales estn conectadas respectivamenteuna inductancia, que acumula la energa magntica que estaba asociada al ncleo real(impedancia magntica conservativa), y una resistencia, en la que se disipa la energaequivalente a las prdidas en el fierro del ncleo real (impedancia magntica disipativa).

A cada bobina ideal se puede asociar unafuerza magnetomotriz, relacionada con el flujoabrazado por esa bobina mediante unaimpedancia magntica:

F Z= m (2.3.5)

Al reemplazar la fuerza magnetomotriz entrminos de la corriente, F I= N , y el flujo entrminos de la tensin inducida por l en labobina, V= j N , se logra una relacinentre la impedancia magntica y laimpedancia elctrica , Z V I= / , conectadaa los terminales de la bobina ideal:

ZZ

2Njm

= (2.3.6)

Figura 2.3.1. Circuito electromagnticode un electroimn con

ncleo de fierro.

v1

N

N

N

im

RFei1 v

L

0



En trminos de las variables flujo y fuerza magnetomotriz y del parmetro impedanciaelectromagntica el dispositivo original puede ser reducido al circuito electromagnticode la figura 2.3.2.

En el caso ms general, un circuitoelectromagntico est constituido porcombinaciones en serie y en paralelo deimpedancias electromagnticas, que puedenser reducidas a impedancias equivalentes.

Para encontrar la expresin correspondiente auna combinacin serie de dos impedanciaselectromagnticas (figura 2.3.3) debeconsiderarse que el flujo es comn a los doselementos y que la fuerza magnetomotriz

equivalente es igual a la suma de las fuerzasmagnetomotrices correspondientes a cadaelemento:

F F F= +1 2 (2.3.7)

Expresando las fuerzas magnetomotrices de los elementos en trminos de lascorrespondientes impedancias electromagnticas y del flujo comn se obtiene:

F

Z Z

= +

j N

2

1 2

1 1 (2.3.8)

Se aprecia que la impedancia magntica equivalente

Figura 2.3.2. Circuito electromagntico

serie

Zm1

Zm2F2

F1

F

Figura 2.3.3.Reduccin de dos impedanciasmagnticas en serie

F2

F1

F Z1N

Z2

N

N Z1

Z2



ZZ ZZ Zm

j N= +

2 1 2

1 2

(2.3.9)

est formada por una bobina ideal de N vueltas a cuyos terminales est conectada una

impedancia que corresponde a la conexin en paralelo de las impedancias asociadas acada elemento.

Para encontrar la impedancia magntica equivalente de una combinacin en paralelo dedos elementos (figura 2.3.4) debe considerarse que ahora la fuerza magnetomotriz escomn a ambos elementos, mientras que el flujo resultante es igual a la suma de losflujos por cada elemento:

= +1 2 (2.3.10)

Reemplazando el flujo a travs de cada elemento en trminos de la fuerzamagnetomotriz comn y de las correspondientes impedancias magnticas se obtiene:

= + Z Z F1 22j N

(2.3.11)

de lo que se desprende que la impedancia magntica equivalente vale en este caso:

ZZ Zm

j N=+

2

1 2

1 . (2.3.12)

Est formada por una bobina de N vueltas a cuyos terminales est conectada unaimpedancia equivalente a la conexin serie de las impedancias correspondientes a cadaelemento.Topolgicamente las impedancias magnticas y elctricas se comportan comoelementos duales.

Figura 2.3.4.Reduccin de dos impedancias magnticasen paralelo.

2

N

Z1

N

Z2

F N Z2

1

Z1 F



Los conceptos hasta aqu desarrollados son suficientes para la obtencin sistemtica delos circuitos equivalentes de aparatos electromagnticos.

2.3.2 Circuito equivalente del reactor

El procedimiento general para la obtencin del circuito equivalente consiste en:

La fijacin de la topologa del circuitomagntico ideal que incluya a todoslos flujos que se quiera representar.

La inclusin, en los lugares quecorresponda, de las impedanciasmagnticas correspondientes a los

efectos fsicos que se deseerepresentar.

La reduccin del circuitoelectromagntico resultante, mediantecombinaciones en serie o en paralelode impedancias magnticas,manteniendo la identidad de losterminales externos.

Para el caso especfico del reactorse puede identificar un flujocomn, abrazado por la bobina deexcitacin, que fuera de ella,debido a la permeabilidad finita delfierro del ncleo y a la eventualpresencia de un entrehierro, sedivide en un flujo por el ncleo yen un flujo por el aire. Lacorrespondiente topologa delcircuito magntico ideal semuestra en la figura 2.3.5, donde

la bobina de excitacin real hasido convenientementereemplazada por una bobina idealy una resistencia en serie querepresenta las prdidas en elcobre de la bobina real.

Si ahora se supone en primera aproximacin que las prdidas en el fierro pueden serasociadas solamente al flujo en el ncleo, se las puede representar mediante la

Figura 2.3.5.Circuito magntico ideal delreactor con dispersin.

N

mI

R

Figura 2.3.6Circuito electromagntico del reactor

m

N

N

RFe

Lm

LNN

I

R



correspondiente impedancia magntica (disipativa) ubicada en esa rama del circuitomagntico.

Las energas magnticas asociadas respectivamente a los flujos en el ncleo y en elaire se representan mediante sendas impedancias magnticas (conservativas) en las

correspondientes ramas del circuito magntico.

La figura 2.3.6 muestra el circuito electromagntico obtenido en la forma descrita.

Los pasos siguientes sonpuramente rutinarios yconsisten en la reduccinde las dos impedanciasen serie a una impedanciaequivalente y de las dosimpedancias en paralelo a

otra impedanciaequivalente (figura 2.3.7)y luego en la reduccin delas dos impedancias enserie, resultantes de laoperacin anterior, a unasola impedanciaequivalente (figura 2.3.8).

El resultado final de estas operaciones es una red elctrica conectada en paralelo conun reactor ideal. Este ltimo equivale a un circuito abierto, ya que no absorbe corriente

(H=0), y por lo tanto puede ser ignorado.

Toda la informacin relevante respecto al reactor est contenida en la red elctrica. Ellaconstituye el circuito equivalentedel reactor. Cada elemento representa un fenmenofsico de ste que ha sido considerado en el proceso de modelacin. Su impedancia deentrada es igual a la del reactor original, si se asigna los valores adecuados a los cuatroparmetros.

Si se intenta determinar los valores de los cuatro parmetros a partir de mediciones detensin, corriente y potencia en los terminales del reactor se encuentra que estasmediciones slo permiten determinar dos parmetros: una resistencia equivalente y una

inductancia equivalente. No es posible determinar separadamente, por ejemplo, lainductancia de dispersin. Este hecho pone lmites prcticos en el momento de formularel modelo de un dispositivo electromagntico, pues un modelo cuyos parmetros nopueden ser verificados empricamente es de poca utilidad prctica.

Figura 2.3.7 Reduccin del circuito electromagntico

m

N N L RFe

I LR



2.4 Tensin inducida

En su formulacin ms general de la ecuacin (2.1.1), la ley de Faraday no imponeninguna restriccin sobre la forma en que vara el flujo con el tiempo. Slo estableceque cada vez que vare el flujo enlazado por un circuito cerrado se inducir una tensinen ste.

Considrese ahora el importante caso particular en el que el flujo es una funcinperidica del tiempo (figura 2.4.1):

( ) ( )t t T= + (2.4.1)

t

max

T

Figura 2.4.1 Funcin peridica de perodo T

min

m

N

I R L

RFeLm

i=0

circuito equivalente reactor ideal

Figura 2.3.8. Resultado final de la reduccin del circuitoelectromagntico del reactor



El valor medio de la tensininducida por la variacin del flujo durante el perodo T estdado por la expresin

V

T

v dtmedt

t T

=+

11

1

(2.4.2)

que, al reemplazar vd

dt=

y cambiar los lmites correspondientemente, toma la forma

( )VT

dT

t T tmed= = + 1 11

2

1 1

( ) ( ) (2.4.3)

donde se puede apreciar que el valor medio de la tensin inducida slo depende delvalor inicial y del valor final del flujo enlazado, siendo independiente de los valores

intermedios. Esto implica que sobre un perodo el valor medio de la tensin inducida escero.

Si (t)es tal que el valor mximo maxy el valor mnimo minestn separados por unsemiciclo, el valor medio vale

( )VTmed max min

= 2

(2.4.4)

y si adicionalmente max min m = = , la expresin para el valor medio de la tensininducida se reduce a

VTmed

m=4

(2.4.5)

Si el circuito inducido corresponde a un devanado concentrado, cuyas N vueltas

enlazan todas el mismo flujom, entonces m= Nm y

V f Nmed m = 4 . (2.4.6)

La relacin entre el valor efectivoVy el valor medio se conoce como factor de forma

=V

Vmed , (2.4.7)

cuyo valor depende de la forma de onda.

Para ondas sinusoidales el factor de forma vale



= =2 2

111, (2.4.8)

y por lo tanto el valor efectivo de la tensin inducida vale en este caso:

V f N m= 4 44, . (2.4.9)

Esta forma ms especializada de la ley de Faraday es el punto de partida para eldimensionamiento de mquinas y dispositivos de corriente alterna.


3. El transformador

3.1 Introduccin

La ley de Faraday establece la relacin entre la tensin inducida en un circuito y larapidez de la variacin del flujo enlazado por ese circuito, dejando abierto el origen delflujo y de la causa de la variacin del flujo.

Si el origen del flujo enlazado por un circuito (1) se encuentra en la corriente que circulapor otro circuito (2), se dice que esos dos circuitos estn acoplados inductivamente.Esta influencia inductiva recproca se caracteriza mediante la inductancia mutua L12=L21, parmetro que en conjunto con las inductancias propias de esos circuitosL1 y L2permite describir el flujo enlazado por cada circuito en trminos de las corrientes i1yi2en esos circuitos:

1 1 1 12 2

2 21 1 2 2

= += +

L i L i

L i L i (3.1.1)

Los valores de las inductancias mutuas y de las inductancias propias dependen de lageometra de los circuitos y de la permeabilidad del medio. En presencia de materialesferromagnticos el valor de la permeabilidad depende del grado de saturacin, por loque las inductancias dejan de ser constantes.

Para evitar las dificultades implcitas en el hecho que todas las inductancias sean

nolineales se ha buscado formas alternativas para describir el acoplamiento inductivoentre bobinas a travs de la definicin de esquemas de acoplamiento inductivo basadosen flujos ficticios.

Debido a la distribucin espacial de los circuitos no todo el flujo enlazado por el circuitoinductor es tambin enlazado por el circuito inducido. El acoplamiento magntico esimperfecto y se habla de dispersin inductiva.

En la teora clsicadel transformador de dos devanados, cuyo estudio es el objetivo deeste captulo, el acoplamiento inductivo imperfecto se modela definiendo un flujo comna ambos devanados y sendos flujos de dispersin, cada uno acoplado slo con uno de

los devanados. Se supone los flujos de dispersin se cierran principalmente por el aire,por lo que las correspondientes inductancias sern constantes.

El circuito magntico ideal as definido se completa para formar el circuitoelectromagntico a partir del cual se logra en forma rutinaria el circuito equivalente deltransformador, de cuyos parmetros inductivos solamente uno depende de lasaturacin.


captulo 3: transformador 3-39

Sobre la base de ese modelo se analiza las caractersticas de funcionamiento deltransformador de dos devanados.

3.2 Dispersin inductiva y esquema de acoplamiento inductivo

Sean dos circuitos de geometra cualquiera, rodeados de un medio de permeabilidadconstante0 . Los enlaces de flujo de esos circuitos estn definidos por la relaciones(3.1.1) y los parmetros L1, L2y L12 pueden ser determinados mediante mediciones enlos terminales de los dos circuitos. La resistencia de los circuitos sea despreciable.

Para los circuitos rige respectivamente:

vd

dt11=

(3.2.1)

vd

dt22=

(3.2.2)

Supngase ahora que el circuito 2 est cortocircuitado , es decir, v 2= 0.

De acuerdo con (3.2.2) esto implica que el flujo enlazado por el circuito 2 debepermanecer constante, lo que en ausencia de corriente continua significa que debe sercero.

Considerando esto en (3.1.1) se logra la siguiente expresin para el flujo enlazado por

el circuito 1 estando el circuito 2 cortocircuitado:

112 21

1 21 11=

L L

L LL i (3.2.3)

Como 2 0= , el flujo producido por la corriente i1 en esas condiciones no puedeenlazar el devanado 2 y debe cerrarse a travs de vas de dispersin.

La expresin entre parntesis se conoce como coeficiente de dispersin total

= 112 21

1 2

L L

L L (3.2.4)

es una medida del grado de acoplamiento inductivo entre los dos circuitos y tiene unaestrecha relacin con el coeficiente de acoplamiento kde la teora de redes:

= 1 2k (3.2.5)



vara entre 0 para circuitos perfectamente acoplados y 1 para circuitos totalmentedesacoplados.

El sistema de dos bobinas de geometra indefinida hasta aqu considerado no posee uncircuito magntico en el sentido del concepto definido en el captulo 1.

Sin embargo, mediante una conveniente manipulacin de las ecuaciones (3.1.1) esposible crear las ficcionesflujo comny flujos de dispersin.

Para ello las ecuaciones (3.1.1) se reescriben en forma amplificada como sigue:

1 1 1 12 2 1 21 1 1 21 1

2 2 2 21 1 2 12 2 2 12 2

= + +

= + +

L i L i L I L i

L i L i L i L i (3.2.6)

donde1 y 2son constantes arbitrarias .

Reagrupando los trminos de (3.2.6) se logra

1 1 1 12 1 12 1 1 2

2 2 2 12 2 12 2 2 1

= + += + +

( ) ( )

( ) ( )

L L i L i i

L L i L i i (3.2.7)

donde puede apreciarse que como resultado de la manipulacin los enlaces de flujo 1y 2 aparecen formados por dos componentes : una debida exclusivamente a lacorriente del propio circuito y otra en que participan las corrientes de ambos circuitos.

A las componentes

1 1 1 12 1 1 1

2 2 2 12 2 2 2

= == =

( )

( )

L L i L i

L L i L i (3.2.9)

se las denomina enlaces de flujo de dispersin, mientras que a las componentes

m

m

L i i

L i i

1 12 1 1 2

2 12 2 2 1

= += +

( )

( )(3.2.10)

se las denomina enlaces de flujo principal.

Entre los coeficientes arbitrarios1y 2se puede establecer una relacin, si se exigeque las inductancias de dispersin L1 y L2 definidas en (3.2.9) se anulen cuando el

coeficiente de dispersin total se hace cero.

Reemplazando



L L L

L L L

1 1 12 1

2 2 12 2

= += +

(3.2.11)

en la relacin (3.2.4) queda:

= + + +

1122

1 2 122

1 2 12 1 1 2 2

L

L L L L L L( )(3.2.12)

de donde se desprende que con L L 1 2 0= = slo se anula si

1 2 1= . (3.2.13)

El establecimiento de una relacin, exigible desde el punto de vista de la fsica, entre el

coeficiente de dispersin total , que es una medida del grado de acoplamiento de loscircuitos reales, y las inductancias de dispersin ficticiasL1y L2, que representan elacoplamiento imperfecto en el esquema de acoplamiento inductivo, reduce el nmerode parmetros arbitrarios a uno solo:

1 2

1= (3.2.14)

del que se puede disponer de acuerdo con la ventaja analtica que se busque. As, porejemplo, si se hace 1 1 12= L L , resulta de (3.2.9) que L1 0= , lo que puede ser muyconveniente en algunas ocasiones.

En el caso del transformador de potencia,con sus dos devanados de N1yN2vueltasrespectivamente, estrechamenteacoplados a travs de un ncleo comnde material ferromagntico, la teoraclsica del transformador de dosdevanados dispone del parmetro 1postulando el esquema de acoplamientoinductivo de la figura 3.2.1 con un flujoficticio m , que enlaza todas las N1vueltas del devanado (1) y todas las N2

vueltas del devanado (2).Es decir, impone

mm

mm

N

N

=

=

22

11(3.2.15)

que al reemplazar (3.2.10) y (3.2.14) toma la forma

Figura 3.2.1 Esquema de coplamientoinductivo

m

1

2



L i i N

L i i N

m

m

12 1 1 2 1

121

2 1 2

1

( )

( )

+ =

+ =

(3.2.16)

Al multiplicar la primera de estas ecuaciones por N2 y la segunda por N1 y formar ladiferencia, queda finalmente

( ) ( )N N i N N

i2 1 1 1 21

12 0

+ = , (3.2.17)

relacin que debe cumplirse para cualquier valor de i1e i2 , por lo que los coeficientesde i1y dei2deben ser nulos, lo que se cumple si

11

2

=N

N. (3.2.18)

Como se ver, la introduccin de un esquema de acoplamiento inductivo permitedescribir el comportamiento del transformador en forma simple y superar la dificultadasociada a la influencia de la saturacin del ncleo sobre las inductancias, pero noautoriza a pensar que los flujos tan arbitrariamente definidos tienen existencia real.Deben ser considerados como ficciones y en cada caso particular hay que averiguarhasta qu punto son identificables con los flujos existentes en el dispositivo que se estmodelando.

La importancia prctica del esquema de acoplamiento inductivo reside en el hecho queen las principales mquinas elctricas es efectivamente posible asociar razonablementelos flujos del esquema con flujos existentes en diferentes regiones de la mquina,siendo de ese modo posible determinar los correspondientes parmetros a partir de lageometra de la mquina.

3.3 El transformador de potencia.

La transmisin eficiente de energa elctrica desde los lugares de generacin a los deconsumo requiere del uso de diferentes niveles de tensin que se logran mediantetransformadores de potencia.

El transformador de potencia monofsico consiste, en lo esencial, en un ncleo cerrado

de chapas de alta permeabilidad, sobre el cual estn dispuestas dos bobinas. La figura3.3.1 muestra en forma esquemtica un dibujo en corte.Para la construccin del ncleo se emplea casi exclusivamente chapas de granoorientado, laminadas en fro, de 0,3mm de espesor, con cifras de prdidas del orden de0,3W/kg, con las que se alcanza inducciones de 1,7 a 1,9T.



Figura 3.3.1.Esquema del transformador

tcnico de dos devanados

Bobina primaria

Ncleo

Bobina secundaria

La alta permeabilidad del ncleo hace que ste se constituya en camino preferencialpara el flujo, por lo que la mayor parte de ste se cierra a travs del ncleo, enlazandoas a ambos devanados. Pero como la permeabilidad del ncleo no es infinita, tambinhabr flujo por el aire.

Debido a la extensin geomtrica de las bobinas, una parte del flujo por el aire tambinest enlazado con ambas bobinas, pero su efecto es insignificante, comparado con eldel flujo en el ncleo. Este hecho autoriza a identificar el flujo en el ncleo con el flujo

comn mdefinido en el esquema de acoplamiento inductivo.

Si bien la parte del flujo por el aire que enlaza a ambos devanados es despreciable encomparacin con el flujo por el ncleo, no lo es en absoluto en comparacin con latotalidad del flujo por el aire. En consecuencia no es posible identificar el flujo por el airecon el flujo de dispersin del esquema de acoplamiento inductivo. Dispersin magnticay dispersin inductiva son conceptos diferentes.

Slo si se anula el flujo comn, lo que de acuerdo con (3.2.10) ocurre si N i N i 1 1 2 2 0+ = ,el aire estara ocupado exclusivamente por flujo de dispersin. Esta situacin se daaproximadamente en cortocircuito.

3.3.1 Circuito equivalente

La definicin del esquema de acoplamiento inductivo y la posterior identificacin delflujo comn de ese esquema con el flujo por el ncleo del transformador de potencia haconvertido la obtencin del circuito equivalente del transformador en un ejercicio casirutinario, si se considera la metodologa desarrollada en el captulo 2.



Figura 3.3.2.Esquema de acoplamiento inductivodel transformador.

V1 V2

m

1

2

N1 N2

En la figura 3.3.2 se reproduce el dibujo en corte del transformador superponindole elesquema de acoplamiento inductivo definido en el prrafo anterior. De l se apreciaclaramente la topologa del circuito magntico ideal de la figura 3.3.3.

Figura 3.3.3.Circuito magntico ideal del transformador

N1

2

m

R2

2

R1

N2

Tal como se hizo en el caso del reactor, las bobinas reales, de N1 y N2 vueltasrespectivamente, se reemplazan por bobinas ideales, sin prdidas, en serie con lascuales se conectan sendas resistencias, cuyo valor es tal que las prdidas generadas

en ellas sean iguales a las prdidas que se producen en las bobinas reales.

Si ahora se incluye la energa magntica asociada a cada campo de dispersinmediante una impedancia magntica conservativa por la cual circula el correspondienteflujo y la energa magntica y las prdidas en el ncleo mediante sendas impedanciasmagnticas, conservativa y disipativa respectivamente, en serie con el flujo comn, selogra el circuito electromagntico de la figura 3.3.4



Figura 3.3.4.Circuito electromagntico del transformadorcon dispersin y prdidas.

m

L2

1 2

L1N2

R2R1

N1N1

N2

Rfe Lm

N1 N1

Figura 3.3.5Reduccin del circuito electromagntico.

m

Lm Rfe

L1R1 R2L2

N1 N2 V2V1

La reduccin de este circuito electromagntico segn las reglas vistas en el captulo 2.lleva al circuito de la figura 3.3.5, donde el transformador real, con dispersin yprdidas, aparece reemplazado por un transformador ideal, con ncleo depermeabilidad infinita, sin dispersin ni prdidas, en cuyo primarioy secundarioestnconectados elementos concentrados que representan los efectos ausentes en eltransformador ideal. El conjunto formado por el transformador ideal y los circuitoselctricos en el primario y en el secundario es equivalenteal transformador real al quereemplaza.

Es costumbre hacer aparecer todas las resistencias e inductancias en un solo circuitoacoplado galvnicamente. Para ello basta reemplazar las dos impedancias magnticasen serie de la figura 3.3.5 por una equivalente, con bobina ideal de N1 vueltas, cuyafuerza magnetomotriz es igual a la suma de las fuerzas magnetomotricescorrespondientes a cada una de las impedancias.



F F F Z ZZ Z Z

Z

= + = + = +

= +

1 2 1 212

1

22

2

12

1 12

22 2

1 1 ( )m m jN N

j NN

N

(3.3.1)

Se aprecia que la impedancia magntica equivalente posee N1 vueltas, a cuyos

terminales est conectada la impedancia Z1 en paralelo con la impedancia modificada

=

Z Z2 2

1

2

2N

N(3.3.2)

conocida como la impedancia del secundario reducida al primario.

En el caso especfico de la figura 3.3.5, la impedancia vale:

= + +

= + +

ZVI

VI2 2 2

2

2

1

2

2

2 22

2

R j XN

NR j X (3.3.3)

donde

=V V21

2

2

N

N(3.3.4)

se conoce como la tensinsecundaria referidaal primario y es la tensin inducida por el

flujo comn en la bobina de N1vueltas e

=I I22

1

2

N

N(3.3.5)

se conoce como la corrientesecundaria referidaal primario y es la corriente que en labobina de N1vueltas produce la misma fuerza magnetomotriz que la corriente I2en labobina de N2vueltas.

El cuociente

nN

N= 1

2

(3.3.6)

se conoce como relacin de transformacindel transformador.



Como resultado de la reduccin descrita se obtiene el circuito equivalente deltransformador referido al primario, representado en la figura 3.3.6, en la que se hasuprimido la bobina ideal, ya que la corriente por ella es nula.

Figura 3.3.6.Circuito equivalente galvnico del transformador.

Xm Rfe

X1 X2 R2V2

I2

j 2j1 j mV1

I1

R1

Ntese que en el proceso de reduccin de los parmetros del secundario al primarioestos se transformaron de manera que la potencia disipada y la potencia reactiva

permanezcan invariantes:

I R I R 22

2 22

2= e I X I X 22

2 22

2= (3.3.7)

El circuito equivalente aqu derivado es el punto de partida para el anlisis de lascaractersticas de funcionamiento del transformador en estado sinusoidal estacionario.

3.3.2 Diagrama fasorial

Para el anlisis del funcionamiento en estado sinusoidal estacionario se recurre

convenientemente a la representacin de las variables en el dominio de frecuencias atravs de la transformacin fasorial.

Las variables transformadas admiten una representacin grfica en el plano complejoque se conoce como diagrama fasorial y que representa un modelo matemticoequivalente a las ecuaciones de Kirchhoff.

La fundamentacin terica del mtodo fasorial fue desarrollada en el curso de redes,por lo que aqu slo se insistir en la importante cuestin de los sentidos y polaridadesde referencia, sin las cuales un diagrama fasorial queda ambiguo.

Tensin y corriente son magnitudes alternas peridicas cuyo sentido cambia con cadasemiciclo. Se dice que la tensin o corriente es positiva cuando su sentido coincide conuna direccin dereferenciaestablecida arbitrariamentecomo positiva y que es negativacuando su sentido es opuesto a la direccin de referencia.

Antes de poder establecer una relacin coherente entre las variables de un circuito espues necesario fijar las referencias positivas para la tensin y la corriente en cadaelemento, lo que se hace con las flechas de referencia usuales.



Existen dos combinaciones de referencias posibles:

La corriente positiva entra al elemento por el terminal positivo, lo que implicaconsiderar a la potencia absorbida por el elemento como positiva. Se habla deconvencin carga.

La corriente positiva sale del elemento por el terminal positivo, lo que implicaconsiderar a la potencia entregada por el elemento como positiva. Se habla deconvencin fuente.

Ambos sistemas de referencia son equivalentes y la eleccin de uno u otro es un asuntode conveniencia.

Histricamente la convencin carga ha tenido una difusin ms amplia y suele serpreferida por ese motivo. Esta preferencia conduce a expresiones como en unainductancia la corriente est atrasada respecto a la tensin en 90 , que slo tienensentido si se explicita el sistema de referencia usado y que sin esa informacin adicional

son ambiguas.

Para aclarar esto considrese una inductancia con referencias correspondientes a laconvencin fuente. Cuando la corriente pasa por cero, la energa acumulada en lainductancia tambin vale cero. Por lo tanto, durante el primer cuarto de ciclo que sigueal paso de la corriente por cero el elemento absorbe energa de la fuente, energa quees transferida al campo magntico. Debido al uso de la convencin fuente, la potenciaabsorbida por el elemento es considerada negativa. Durante el segundo cuarto de ciclo,la energa acumulada en el campo es devuelta a la fuente, lo que implica que en elsegundo cuarto de ciclo la potencia es positiva. Si durante el primer semiciclo la

corriente es positiva, el signo de la potencia exige que durante el primer cuarto de ciclola tensin tiene que ser negativa y que durante el segundo cuarto de ciclo debe serpositiva. Esta relacin es satisfecha por una tensin que corresponde a una cosinusoidenegativa, lo que en trminos fasoriales significa que la corriente est adelantada a latensin en 90. La figura 3.3.7 ilustra la relacin descrita.

Figura 3.3.7 Relacin de fase entre tensin y corriente en una

inductancia con convencin fuente algebraica.

V

I

vi

i

v L t

20



Del anlisis anterior se desprende que es imprescindible la fijacin de la referenciapositiva para tensin y corriente en cada elemento y si bien esto puede hacerse enforma arbitraria, resulta conveniente usar sistemticamente el mismo sistema dereferencia para todos los elementos del circuito.

Con este prembulo, considrese ahora la construccin del diagrama fasorial deltransformador, para lo cual se fija convenientemente las referencias en la formaindicada en la figura 3.3.8.

Debido a la gran diferencia entre los mdulos de los fasores por representar, slo tienesentido construir un diagrama cualitativo, cuya construccin comienzaconvenientemente en la impedancia de carga conocida, supuesta hmico-inductiva, yque fija una determinada relacin de fase entre tensin y corriente.

Para las referencias consideradas, la corriente Ic est atrasada respecto a la tensin

V2 en un ngulo menor que 90, por lo que la corriente I2 , cuya referencia es opuesta ala deIc, debe estar adelantada respecto a V2 en un ngulo mayor que 90. La cada detensin en la resistencia R2 est en fase con la corriente I2 , mientras que la cada detensin en la reactancia inductiva X2 est adelantada en 90 respecto a esa corriente.Restando estas cadas de tensin fasorialmente de la tensin V2 se logra la tensininducida por el flujo comn Vi.

La corriente magnetizante Imest atrasada en 90 respecto a Vi , mientras que lacorriente de prdidas Ifeest en fase con Vi . La suma de Imy de Ife da lugar a la

corriente de vaco I0 .

La corriente I1 se encuentra aplicando la ley de nodos de Kirchhoff al nodo a delcircuito equivalente, es decir, restando fasorialmente I2 deI0 .

Ahora se puede determinar las cadas de tensin en X1 y en R1, que sumadas a Vi ,permiten determinar V1 . El diagrama fasorial del transformador est completo.

Figura 3.3.8. Circuito equivalente con carga referido al primario.

V1 V2

I1 I2I0

Im Ife

Vi

a

Xm RFe

X1R1 X2 R2

ZIc



La aplicacin consecuente de un sistema de referencia a todos elementos y puertas delcircuito equivalente hace que el diagrama fasorial sea ms transparente . En el caso deaplicar la convencin carga, en las puertas que absorben potencia el ngulo de faseentre la tensin y corriente correspondientes es menor que 90 , mientras que en las

puertas que entregan potencia el ngulo de fase es mayor que 90. En el diagramafasorial de la figura 3.3.9 , dibujado con las referencias de la figura 3.3.8, se aprecia queel transformador, visto desde la red, es una carga, mientras que visto desde la carga esuna fuente.

Figura 3.3.9. Diagrama fasorial del transformadorcon carga hmica inductiva.

1

2

I2 2R

I1

I2

IFe

I0

V1

I2

V2

I1 1R

j XI1 1

j X I2 2

Im

Vi



3.3.3 Funcionamiento en vaco

Se dice que el transformador funciona en vaco cuando sus terminales primarios estnconectados a la red y sus terminales secundarios estn abiertos. En esas condiciones lacorriente en el devanado secundario es nula y el transformador se comporta como unreactor. El circuito equivalente se reduce al de la figura 3.3.10, para el que rige e

diagrama fasorial de la figura 3.3.11.

Para tensiones aplicadasiguales o menores que latensin nominal el grado de

saturacin del ncleo es

moderado y la corriente devaco es muy pequea (< 1%de la corriente nominal parancleos con chapas de grano

orientado ) y reactiva.

En consecuencia, en vaco lasprdidas en el devanado primario son tambin muy pequeas, por lo que predominan lasprdidas en el fierro. Prdidas en vacoyprdidas en el fierropasan a ser sinnimos.

Por lo pequeo de la corriente de vaco, las cadas

de tensin en la resistencia y la reactancia dedispersin primaria son muy pequeas en relacincon la tensin aplicada, por lo que rige

aproximadamente:

V

V

f N

f N

N

Nnm

m

1

20

1

2

1

2

4 44

4 44= = =

,

,

, (3.3.8)

donde V20 es la tensin inducida en vaco en el

devanado secundario. Esta proporcionalidad se

usa para determinar experimentalmente la relacinde transformacin n.

3.3.4 Funcionamiento en cortocircuito estacionario

Se dice que un transformador funciona en cortocircuito cuando los terminales deldevanado primario estn conectados a la red y los terminales del devanado secundarioestn cortocircuitados (Zc= 0).

Figur a 3.3.10. Circuito equivalente galvnico en vaco

V1 Lm

IFeI

2RFe

R1 L1 =I2 0I1

V2

IfeI10

Im

V1

Figu ra 3.3.11 Diagrama fasorial

en vaco



En esas condiciones la corriente absorbida suele ser tan alta, que, en comparacin, lacorriente en la rama de magnetizacin puede ser despreciada. El circuito equivalente sereduce al de la figura 3.3.12 para el cual rige el diagrama fasorial de la figura 3.3.13.En cortocircuito con tensin reducida las prdidas en el fierro disminuyencuadrticamente con la tensin inducida, por lo que pueden considerarse despreciables

en comparacin con las prdidas en los devanados. Prdidas en cortocircuito essinnimo de prdidas en los devanados.

Al despreciar la corriente en la rama de magnetizacin queda:

I I1 2= , (3.3.9)

lo que equivale a i N i N 1 1 2 2 0+ = , por lo que, de acuerdo con (3.2.10), el enlace de flujocomn se hace cero y el flujo en el aire corresponde en buena aproximacin al flujo dedispersin. Este hecho se aprovecha para calcular la reactancia de dispersin total, ode cortocircuito, X, a partir de la geometra de las bobinas.

Figura 3.3.13. Diagrama fasorial de untransformador en cortocircuito.

cc

Vcc

Icc

Figura 3.3.12.Circuito equivalente deltransformador en cortocircuito.

Vcc

X ReIcc

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