106 CAPITUL0 4 Movimiento en dos dimensiones

Figura P4.52

esta manera llegará más rápido. Suponga que el ánguloal cual una pelota que rebota deja el piso es el mismo

que el ángulo al cual el jardinero Ia lanza, como en la fi-gura P4.54, pero qLre la rapiclez de la bola después del

bote es la mitad cle la que era antes dei bote' a) Supo-

niendo que la pelota siempre se lanza con la misma ra-

pidez inicial, ¿a qué ángulo 0 debe lanzarse Para qLre re-

corra la misma distancia D con un bote (línea azul) qne

con un lanzamiento dirigido hacia arriba a 45.0' que lle-ga sin botar (lÍnea verde)? b) Determine la proporciónde tiempos correspondientes a lanzamientos de Lrn botey sin bote.

7\z\z\/\/'

5ó.

ftro-lVlj

60.

55.

56.

5t,ü

D+Figuro P4.54

Un muchacho puede lanzar una pelota una distancia ho-rizontal máxima de 40.0 m en un campo plano. ¿A quédistancia puede lanzar la misma pelota verticalmente ha-

cia arriba? Suponga que sus músculos le dan a la pelotala misma rapidez en cada caso.

Un muchacho puede ianzar una pelota una distancia ho-rizontal máxima R en un campo plano. ¿A qué distanciapuede lanzar ia misma pelota verticalmente hacia arriba?Imagine que sus múrsculos le dan a la pelota ia misma ve-

locidad en cada caso.

Una piedra en el extremo de una cuerda se hace giraren un círculo vertical de 1.20 m de radio a una rapidezconstante

"¡ = 1.50 m/s, como mlrestra 1a figura P4.57.

El centro de la cuerda se enctlentra a 1.50 m sobre el Pi-so. ¿Cuál es el aicance de la piedra si se sr-relta cuando lacuercla esá inciinacla a 30.0' respecto de la horizontal a)

en ,{, b) en B? ¿CtLál es la aceleración cle la piedra, c)

justo antes cle que se suelta en A, d) jtuto clespr-rés cie que

se sr-relte en A?

figuro P4.57

Un mariscal cle campo lanza un balón de futbol amer!cano hacia Lrn receptor con Lrna rapidez iniciai de 20.0

m/s a un ángtto de 30.0' sobre 1a horizontai. En ese ins-

tante el receptor está a 20.0 m del mariscal cte campo.

¿En qué dirección y a qué rapidez constante debe correrel receptor para atrapar el balón a la misma aitura a iacual [r"re lanzaclo?Un bombardero vuela horizontalmente sobre terrenoplano con una rapidez de 275 m/s respecto del suelo, a

una altitud de 3 000 m. Ignore Ios efectos de 1a resisten-cia del aire. a) ¿Cuán lejos üajará la bomba horizont¿rl-mente entre ei punto donde deja el avión y su impactocon el suelo? b) Si el avión mantiene su clrrso y veloc!dad originaies, ¿dónde se encuentra cuando la bombaestalla en el suelo? c) ¿A qué ángr-rlo, desde la vertical enel punto de liberación, debe apuntar la mira,,telescópicadel bombardero de modo que la bomba dé.en el blancoobservado en la mira en e1 momento en qlle se suelta elproyectil?Una persona sobre la parte superior de una roca hemis-férica de radio rR patea una pelota (inicialmente en re-

poso en la parte superior de Ia roca) para darle Llna ve-

locidad horizontal vi como en la figura P4.60. a) ¿Cuáldebe ser la rapidez inicial mínima si la pelota nunca de-

be tocar Ia roca después de haber sido pateada? b) Conesta rapidez inicial, ¿a qué distancia de la base de la ro-ca golpeará el suelo la pelota?

ffis!§l

Figura P4.6A

lrli-l Un halcón vuela horizontalmente a i0.0 m/s en lÍnea(. recta, 200 m arriba del suelo. Un ratón que lleva escapa

de sus garras. El halcón continúa en su misma trayecto-ria a la tnisma rapidez durante 2.00 s antes de intentarrecuperar a su presa. Para lograrlo desciende en línea

recta con rapidez constante y recaPtura al ratón a 3'00 m

sobre él suelo. a) Suponiendo que no hay resistencia del

aire, encuentre Ia rapidez de descenso del halcón. b)

¿Qué ángulo con la horizontal forma el halcón durante

su descenso? c) ¿Durante cuánto tiempo el ratón "disfru-ta" su caída libre?

62. Un camión cargado con sandías se detiene súbitamente

para evitar caer Por el borde de un puente destruido(Fig. P4.62). El frenado rápido hace que rarias sandías

salgan del camión. Una sandía rueda sobre la orilla con

una rapidez inicial r.r, = 10 m/s en dirección horizontai'{Jna sección transversal del banco tiene la forma de Ia

mitad inferior de una parábola con su vértice en Ia ori-

lla del camino, y con la ecuación !2 = l6x, donde ,r y ) se

miden en metros. ¿Cuáles son las coordenadas r y y de

la sandía cuando salpica la rivera?

Figuro P4.62

Una catapultalanza un cohete a un ángulo de 53.0' so-

bre la horizontal con una rapidez inicial de 100 m/s. Elmotor del cohete inmediatamente comienza a arder, y

durante 3.00 s el cohete se mueve a lo largo de su líneainicial de movimiento con una aceleración de 30'0 m,/s2.

Entonces falla el motor y el cohete comienza a moverse

en caída libre. Encuentre a) Ia altitud mirima que alcan-za el cohete, b) su tiempo total de vuelo y c) su alcancehorizontal.Un río fluye con velocidad uniforme v. Una persona en

un bote de motor viaja 1.00 km aguas arriba, momentoen que observa un tronco flotando. La persona continúadesplazándose aguas arriba durante 60.0 min a la mismavelocidad y luego regresá aguas ab4jo hasta el punto de

partida, el cual alcanzajusto cuando 1o hace el mismotronco. Determine la velocidad clel río. (Stt'gne'ncia: Eltiempo cle viaje del bote clespués cle que alcanza al tron-co es igr-ral al tiempo de viaje del tronco.)

Problemas *7

Un automóvil se estaciona viendo hacia el océano sobreuna pendiente que forma un ángulo de 37.0' bajo la ho.rizontal. El negligente conductor deja el allto en neutraly el freno de mano está clefectlroso. El auto rueda desdeel reposo hacia abajo de la pendiente con una acelera-ción constante de 4.00 m/s2, üajando 50.0 m hacia laorilla de un risco vertical. El risco está 30.0 m sobre elocéano. Encuentre: a) la rapidez del autojusto cuandoalcanza el montículo y el tiempo que tarda en llegar ahí,b) Ia velocidad del alrto jlrsto cuando se hunde en elocéano, c) el tiempo total que el auto está en moümien-to, y d) la posición del auto, con respecto a Ia base delmontículo, justo cuando entra al agua.El decidido coyote otra vez está listo para intentar captu-rar al elusivo correcaminos. El coyote porta un par depatines de ruedas de propulsión a chorro marca Acme,que dan una aceleración horizontal constante de 15.0

m/s! (Fig. P4.66). El coyote parte del reposo a 70.0 mdel borde de un precipicio en el instante en que el co-

rrecaminos lo pasa rápidamente en dirección dél preci-picio. a) Si el correcaminos se mueve con rapidez cons-tante, determine la rapidez mínima que debe tener ParaIlegar al precipicio antes qLre el coyote. En la orilla delprecipicio el correcaminos escapa haciendo un giro re-pentino, mientras el coyote continúra hacia el frente. b)Si el peflasco está a 100 m sobre el fondo de un cañón,determine dónde aterriza el coyote en el cañón (supon-ga que los patines siguen en Ia horizontal y continúan enoperación cuando está "volando"). c) Determine las com-ponentes de la velocidad de impacto del coyote.

PollusDelicius

ffioawE8

ffior.t,

DJ,

CoyoteStupidus

r9"

Figuro P4.66

lOfl Un esquiador sale de rrna rampa de salto con una velo'cidad de 10 m,/s, 15.0" arriba de la horizontal, como se

muestra en la {igura P4.67. La pendiente está inclinadaa 50.0' y la resistencia dei aire es despreciable. Determi-ne a) la distancia desde la rampa a Ia cual el esquiadoraterrtza y b) las componentes de velocidad justo antesde1 aterrizqje. (¿Cómo cree usted qr,re podrían afectarse' los resultados si se incluyera la resistencia del aire? Ob-serve que los saltadores de esquí se impulsan hacia ade-lante como 1o hace Lln proyectil aerodinámico, con las

manos en sus costados, para incrementar sLI distancia.

¿Por qué funcior-ia esto?)

64.

u¡ = l0 m,/s

ffia

t-108" CAP¡TUL0 4 Movimiento en dos dimensiones

2500m

Dos jugadoras de futbol soccer-, Ivlari y Ana, empi'ezan acorrer casi del mismo pllnto a1 mismo tiempo. Ivlari co-rre en dirección este a 4.00 m/s, mientras que Ana par-te en Lrna dirección 60.0' al norte del este a 5.40 m,/s. a)

¿Cuánto tiempo transcurre antes de que estén separaclaspor Llna distancia de 25.0 m? b) ¿Cuál es Ia velocidad deAna en relación con la de lvlari? c) ¿A qué disrancia se

enclrentran después de 4.00 s?

No se iastime; no golpee sll rrtano contra nada. Con es-tas limitaciones describa lo que haría para clarle a sLl ma-no ulla gran aceleración. Calcule un¿l estimación a Lrn

orden de magnitucl de esta aceleración expresando las

tu cantidades que midió o estimó y sr"rs valores.ffi ZO, En Ia figura P4.70 se mlresrra r-rn barco enemigo qlre es-

tá en el lado oeste de una isla montañosa. El barco ene-migo pr.rede nraniobrar hasta 2 500 m de distancia de 1a

cima del monte de 1 800 m de altr-rra y puede dispararproyectiles con una rapidez inicial cle 250 m/s. Si la ori-lla oriental de Ia playa se enclrentra horizontalmente a

300 m de 1¿ cima, ¿cuáles son ias distancias desde la ori-lla orientai a las cuales un barco puede estar fi-rera delalcance del bombardeo de 1a ernbarcación enemiga?

, r '.1:..

P4,70

68.

Aü

,,k

Figuro P4.67

t¡= 250 m/s

ji :.:i:::l:l: r.i:::..t y.

¡

I

I

300 m---+r

Rrspursrns A LAS zREGUNTAS soRpRESA

4.1 a) Puesto que la aceleración ocurre cada vez que la ve-locidad cambia de cualquier forma -con un incremen-to o reducción de la rapidez, un cambio de dirección, oambos- eI freno puede considerarse Lln acelerador pa-ra frenar el auto. Ei volanre de la dirección también es

nn aceleraclor porque cambia la dirección dei vector ve-locidad. b) Cuando el auto se mlreve con rapidez cons-tante, el pedal del combustible no está provocando Linaaceleración; es un acelerador cuando provoca Lrn carn-bio en la lectura del rapidómetro.

4.2 a) Só1o en un punto -la parte aita de la trayectoria-los vectores velocidad y aceleración son perpendicularesentre sí. b) Si el objeto se ianza directamente hacia arri-ba o hacia abajo, v y a son paralelos entre sí a lo largodei movimiento descendente. De otra forma, los vecto-res velocidacl y aceleración tlunca son paralelos entreellos. c) Cuanto mayor sea la altura máxima, rnás tiem-po Ie tor.nar'á al proyectil alcanzar clicha altitud y luegocaer de regreso descie ahí. Por ende, conforne se incre-

menta el ánguio de 0 a. 90", aumenta el tiempo de vue-1o. De esta forma, ei ángulo de 15" cla el riempo cle vue-1o m¿{s corto, y el de 75' da ei más 1argo.

4.3 a) Puresto que el objeto se está moviendo a una rapidezcorlstante, el vector velocidad siempre tiene la mismalongiturd; como el movimiento es circular, este vectorsiempre es tangente al círcuio. La úrnica aceieración esla que.cambia la clirección del vector velocidad; aplrntaradialmente hacia denffo.

ffiñ.-rmE-#*.681?{r

7iRespuestas a las preguntas sorpresa

4.4 El diagrama de moümiento se muestra ab{jo. Observeque cada vector de posición aplrnta desde el Punto pivo-

'te en el centro del círculo a la posición de la pelota.

4.5 a) El pas{ero ve que el café se vierte casi verticalmenteen la iaza, como si estuviera sirüéndolo en el piso. b) Elobservador estacionario ve que el café §e mueve en Lrna

trayectoria parabólica con una velocidad horizontal cons-

tante de 60 milh (= 88 Pies/s) y una aceleración hacia

abajo de -g. Si al café le toma 0.10 s alcanzar la taza, ¡elobservador estacionario ve que el café se mtteve 8.8 pies

. horizontalmente antes de golpear la tazat c) Si el auto se

detiene de irnproviso, el café alcanza el lugar donde d¿-

. bnía haber estado la taza, no tendría cambio en su veloci-

dad y continuarÍa cayendo Porque la taza airn no alcan'za dicha ubicación. Si el auto acelera con rapidez, el café

cae arás de la taza. Si el carro acelera hacia los lados, elcafé nuevamente terminará en algún otro lugar distintoque la taza.

409

b) Ahora hay una componente del vector aceleración

que es tangente al círculo y aPunta en dirección opues-

tá a Ia veiocidad. Como resultado, el vector aceleración

no apunta hacia el centro. El objeto está deleniéndose,

de modo que el vector velocidad se vuelve cada vez más

corto.

@b)

c) Ahora la componente tangencial de la aceleración

aplrnta en la misma dirección que la velocidad. El obje-

to está incrementando su rapidez y, Por tanto, los vecto-

res velocidad son cada vez más grandes. Puesto que la ra-

pidez cambia aquí rápidamente' Pero de manera gradual

en Ia parte b), los vectores aceleración son más grandes

aquí que en la parte b).

tapítulo 4

1. a) 4.87 km a 209' ctescle et este (b) 23.3 mz's

c) 13.5 m,/s a 209'3. a) (I8.0¡)i + (4.00¿ - 4.90r:)j

b) 18.0i + (4.00 - 9.s00j c) -9.80jcl) (54.0i - 32.Ij) m

e) (18.0i - 25.4j) m,zs 0 (-9.80j) m/s'9

5. a) (2.00i + 3.00j) m/slb) (3.00t+ rs)i m, (1.50 r'?- 2.00t)j ma) (0.800i - 0.300j) m/s'? b) 339'c) (360i - 72.7)) m, -15.2"a) (3.34i) m/s b) -50.9'a) 20.0" b) 3.05 s

x = 7.23 km ) = 1.68 km53.1'22.4' o 89.4"a) La bola libra por 0.889 m b) mientras está descen-cliendo

BespuesÍas a problentas de número inpar 4.43

c) 26.8 m/s: hacia adenrro a 21.4" bajo la horizontal8.94 m/s a -63.4' en relación con el e¡e x positivo20.0 ma) 0.600 m b) 0.402 m c) 1.87 m/s2 hacia el cenrrocl) 9.80 m,/s: hacia abajoa) 6.80 km b) 3.00 km verricalmenre sobre el punto cte

3J.b5.

57.

59.

l.

9.

11.1r.15.

t7.19.

21. d t¿rn 0,- gd2/(Zui cos20,)

23. a) 0.852 s b) 3.29 m/s c) 4.03 m/s cl) 50.8"e) 1.12 s

25. 377 rn/s2?7. 10.5 m,/s, 219 m/s2

a) 6.00 rev,/s b) I.52 km,/s: c) 1.28 km,/sr1.48 m,/s2 hacia actentro a ?9.9' tras ei radioa) 13.0 m/s2 b) 5.70 m/s c) 7.50 m/s:a)

20.2 m/sz

22.5 m/s2

b) 29.7 m/s: c) 6.67 m,/s a 36.9' sobre la horizonral2.02 x 103 s;21.\Vo más largo153 km/h a 11.3" al norre del oesrea) 36.9' b) 41.6' c) 3.00 min15.3 m2 u,t cos 0,

b) 45' + ó/ 2; ui (1 - sen ó) / g cos'?Qa) 41'.7 m/s b) 3.81 s c) (34.1i- 13.4j) m,/s; 36.6 m,/s

impacro c) 66.2'61. a) 46.5 m/s b) -77.0" c) 6.34 s63. a) 1.53 km b) 36.2 s c) 4.04 km65. a) 20.0 m/s,5.00 s b) (16.0i -27.1j) r¡/s c) 6.54 s

d) (2a.6i) m67. a) zl$.2 nr b) (9.66i - ?5.5j) m/s69. imagine qr-re usted está saclrcliefldo un termómetro para

bajarle el mercnrio. Partiencio con slr mano al nivel delhombro, mLleva su mano can rápiclo como pnecla y rüñ-dala en el fondo cle un arco. -100 m,/s2 : 10 g

Capítulo 5

I. a) l/3 b) 0.750 m/s,3. (6.00i + 15.0j) N; 16.2 N5. 312 N7. a) x = ut/2 b) F"vi/ gt + Frj9. a) (2.50i + 5.00j) N b) 5.59 N

11. a) 3.64 x 10-rs N b) S.9g x 10-30 N es 40g mil millonesde vecés más pequeño.

13. 2.58 kN15. a) 5.00 m,/se e 36.9' b) 6.08 m,/s? a 25.3"17. a) --10-2: ¡¡lsr b) -10-23 m19. a) 0.200 m,/s? hacia acleiante b) 10.0 m c) ?.00 m/s21. a) 15.0 lb hacia a¡riba b) 5.00 Ib hacia arriba c) 023. 613 N

a) 49.0 N b) 98.0 N c) 24.5 N8.66 N al esre100Ny20aN3.73 m

35. a = F/ (m, + ,m"); 1'= F rnr/ (m¡ + m ") v

37. a) F, > 19.6 N b) 4= -78.4 Nc) Véase la parte superior cle la siguiente página

39. a) 706 N b) 814 N c) ?06 N ct) 648 N4!,, ¡-t,= 0.306; ph=0.24543. a) 256 m b) 42.7 m45. a) 1.78 m,zs? b) 0.368 c) 9.3? N ct) 2.67 m,zs47. a) 0.161 b) 1.01 r¡,/s?49. 37.8 Nr

9A

J1,

JJ.

,c.

37.39.

4L,43.45.47.49.51.

29.31.

JJ.a) 25.0 m/ss (radial); 9.80 m,/s: (rangencial)

9.80 m,,'s:

t.'