Ecuaciones Diferenciales

Jose Vicente Romero Bausetjvromero@mat.upv.es

Ecuaciones Diferenciales

Tema 2: Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden 1

Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones diferenciales separables

EDO separable

Una EDO de orden 1 F (t,y ,y ′) se dice separable si puede ser escrita de la forma

A(t)dt = B(y)dy

(y ′ =

A(t)

B(y),y ′ = C (t)D(y)

)Resolucion ∫

A(t)dt =∫

B(y)dy +K∫ t

t0

A(t)dt =∫ y

y0

B(y)dy

Ejercicio

El ritmo al que se enfrıa un cuerpo caliente es proporcional a la diferencia detemperatura entre el y el ambiente que lo rodea (ley de enfriamiento de Newton).Un cuerpo se calienta a 110oC y se expone al ambiente a una temperatura de10oC. Al cabo de una hora su temperatura es de 60oC. ¿Cuanto tiempo adicionaldebe transcurrir para que se enfrıe a 30oC?

Ecuaciones Diferenciales

EDO homogeneas

Funcion homogenea

f (x ,y) es una funcion homogenea de grado n si

f (λx ,λy) = λnf (x ,y).

EDO homogenea

Una EDO de primer orden

M(x ,y)dx +N(x ,y)dy = 0

es homogenea si M y N son funciones homogeneas del mismo grado.

Nota

Definiciones equivalentes a la anterior son:

• y ′ = f (x ,y) es homogenea si f (x ,y) es homogenea de grado 0

• y ′ = f(y

x

)Ecuaciones Diferenciales

EDO homogeneas

Resolucion

1o Con el cambio u =y

x→

{y = ux

y ′ = u′x +uSe obtiene E.D.O de

variables separables:

y ′ = f (x ,y)⇐⇒ u′x +u = f (1,u)

2o Resolvemos la E.D.O separable.

3o Deshacemos el cambio.

Ejercicios

t3y ′ = t2y −2y3

Encuentra la forma de un espejo curvo en el que la luz de una fuenteen el origen se separe en un haz de rayos paralelos al eje X.

Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones reducibles a separables

y ′ =ax +by + c

dx + ey + f

(y ′ = f

(ax +by + c

dx + ey + f

))

Casos posibles

• c = f = 0 es homogenea

• b = e = 0 o a = d = 0 es de variables separables

• ae−bd 6= 0

• ae−bd = 0

Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones reducibles a separables

y ′ =ax +by + c

dx + ey + f

(y ′ = f

(ax +by + c

dx + ey + f

))

Caso ae−bd 6= 0

1o Se calcula el punto de corte (x0,y0) de las rectas:{ax +by + c = 0

dx + ey + f = 0

2o Se aplica el siguiente cambio que conduce a E.D.O homogenea:{X = x−x0

Y = y −y0

⇐⇒

x = X + x0

y = Y + y0

y ′ = Y ′

3o Resolvemos la E.D.O homogenea y deshacemos el cambio.

Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones reducibles a separables:Ejemplo

(6x + 4y −8)dx + (x + y −1)dy = 0

Las rectas 6x + 4y −8 = 0 y x +y −1 = 0 no son paralelas y se cortan en elpunto x = 2 e y =−1.

Se hace el cambio de variable x = X + 2,y = Y −1.

dY

dX=

6X + 4Y

−X −Y, homogenea−−−−−−−→

Y = uX

u +Xdu

dX=

6X + 4Xu

−X −Xu=

6 + 4u

−1−u⇒ −1−u

u2 + 5u + 6du =

dX

X

lnCX =∫

1

u + 2du +

∫ −2

u + 3du = ln

u + 2

(u + 3)2

C (x−2) =y+1x−2 + 2(y+1x−2 + 3

)2=

y + 1 + 2x−4

(3x + y −5)2= C , 2x + y −3 = C (3x + y −5)2

Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones reducibles a separables

y ′ =ax +by + c

dx + ey + f

(y ′ = f

(ax +by + c

dx + ey + f

))Caso ae−bd = 0

Se cumple que ambas rectas son paralelas, por tanto se cumplira que:

∃k ∈ R/ax +by = k(dx + ey)

1o Si e 6= 0 se realiza el cambio:

t = t(x) = dx + ey ⇒

y =

1

e(t−dx)

y ′ =1

e(t ′−d)

2o Se resuelve la E.D.O de variables separables a la que conduce elcambio:

1

e(t ′−d) =

tk + c

t + f3o Deshacemos el cambio.

Nota

Si e = 0 se hace el cambio t = ax +by

Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones reducibles a separables:Ejemplo

(x + y + 1)dx + (2x + 2y −1)dy = 0

Las rectas x + y + 1 = 0 y 2x + 2y −1 = 0 son paralelas.

Se hace el cambio de variable z = x + y 1 +dy

dx=

dz

dx.

dz

dx−1 =

z + 1

−2z + 1,

dz

dx=

z + 1−2z + 1

1−2z

1−2z

2− zdz = dx

∫ (2− 3

2− z

)dz =

∫dx +C , 2z−3 ln |2− z |= x +C

2(x + y) + 3ln |2− (x + y)|= x +C

Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones diferenciales exactas

EDO exacta

Una ecuacion diferencial M(t,y)dt +N(t,y)dy = 0 es exacta si existe unafuncion F (t,y), llamada funcion potencial de la ecuacion diferencial, cuyadiferencial coincide con M(t,y)dt +N(t,y)dy , es decir

∂F

∂ t= M(t,y) y

∂F

∂y= N(t,y)

Teorema

Si M, N,∂M

∂y,

∂N

∂ tson continuas en un rectangulo R del plano, entonces

M dt +N dy = 0 es exacta en R si y solo si

∂M

∂y=

∂N

∂ ten R

Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones diferenciales exactas

Resolucion (Si sabemos calcular∫

M(t,y)d t)

1o Se comprueba que es exacta:∂M

∂y=

∂N

∂ t2o Se calcula la funcion potencial:

F (t,y) /∂F

∂ t= M(t,y) y

∂F

∂y= N(t,y)

(a) F (t,y) =∫

M(t,y)d t + ϕ(y)

(b) Calculamos ϕ(y) utilizando:∂F

∂y= N(t,y) y

∂F

∂y=

∂

∂y

∫M(t,y)d t + ϕ

′(y)

=⇒ ϕ′(y) = N(t,y)− ∂

∂y

∫M(t,y) d t (1)

(c) Sustituimos ϕ(y) en (a) y se obtiene la solucion general de la E.D.O:F (t,y) = C

Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones diferenciales exactas

Resolucion (Si sabemos calcular∫

N(t,y)dy)

1o Se comprueba que es exacta: ∂M∂y = ∂N

∂ t

2o Se calcula la funcion potencial:

F (t,y) /∂F

∂ t= M(t,y) y

∂F

∂y= N(t,y)

(a) F (t,y) =∫

N(t,y)dy +g(t)

(b) Calculamos g(t) utilizando:∂F

∂ t= M(t,y) y

∂F

∂ t=

∂

∂ t

∫N(t,y)dy +g ′(t)

=⇒ g ′(t) = M(t,y)− ∂

∂ t

∫N(t,y) dy (2)

(c) Sustituimos g(t) en (a) y se obtiene la solucion general de la E.D.O:

F (t,y) = C

Ecuaciones Diferenciales

Factor integrante

Factor integrante

Sea M(t,y)d t +N(t,y)dy = 0 una ecuacion diferencial no exacta, yµ(t,y) una funcion no nula en cada punto de un cierto rectangulo R y talque µ(t,y)M(t,y)d t + µ(t,y)N(t,y)dy = 0 es exacta. Entonces se diceque µ(t,y) es un factor integrante para M(t,y)d t +N(t,y)dy = 0, y deesta ecuacion se dice que es reducible a exacta.

Busqueda de factores integrantes:

∂ (µM)

∂y=

∂ (µN)

∂ t

es decir

µ∂M

∂y+M

∂ µ

∂y= µ

∂N

∂ t+N

∂ µ

∂ t

Ecuaciones Diferenciales

Factor integrante: µ = µ(t)

µ∂M

∂y+M

∂ µ

∂y= µ

∂N

∂ t+N

∂ µ

∂ tµ = µ(t)−−−−−−→

µ(t)∂M

∂y+M0 = µ(t)

∂N

∂ t+N

∂ µ(t)

∂ t⇓

µ(t)

(∂M

∂y− ∂N

∂ t

)= N

d µ(t)

d t

⇓

d µ(t)

µ(t)=

(∂M∂y− ∂N

∂ t

)N

d t⇒ a(t) =

(∂M∂y− ∂N

∂ t

)N

solo depende de t

⇓

ln µ(t) =∫

a(t)dt

⇓

µ(t) = e∫

a(t)dt

Ecuaciones Diferenciales

Factor integrante

Busqueda de factores integrantes

• µ = µ(t) ⇒ My−Nt

N es solo funcion de t

µ = e∫

a(t)dt , a(t) =1

N

(∂M

∂y− ∂N

∂ t

)• µ = µ(y) ⇒ Nt−My

M es solo funcion de y

µ = e∫

b(y)dy , b(y) =1

M

(∂N

∂ t− ∂M

∂y

)• µ = µ(ν), ν = at +by ⇒ Nt−My

bM−an es solo funcion de at +by

µ = e∫

c(ν)dν , c(ν) =

∂N

∂ t− ∂M

∂y

bM−aN

• µ = µ(ν), ν = ty ⇒ Nt−My

tM−Ny es solo funcion de ty

µ = e∫

d(ν)dν , d(ν) =

∂N

∂ t− ∂M

∂y

tM−Ny

Ecuaciones Diferenciales

EDO exactas: factor integrante

Algunas formulas utiles

d(

xy

)= y dx−x dy

y2

d(xy) = x dy + y dx

d(x2 + y2

)= 2x dx + 2y dy

d(

arctanxy

)= y dx−x dy

x2 + y2

d(

log(

xy

))= y dx−x dy

xy

Ecuaciones Diferenciales

Ecuacion Lineal

EDO lineal

Una EDO de primer orden de la formady

dt= P(t)y +Q(t)

es una ecuacion lineal.

Resolucion

Se puede encontrar un factor integrante

µ(t) = e∫−P(t)dt .

e∫−P(t)dt dy

dt− e

∫−P(t)dt P(t)y = e

∫−P(t)dt Q(t)

⇓d

d t

(e∫−P(t)dt y

)= e

∫−P(t)dt Q(t)

⇓

e∫−P(t)dt y =

∫e∫−P(t)dt Q(t)d t +C

Ecuaciones Diferenciales

Ecuacion Lineal

Ejemplo (y + x2 cosx

)dx−x dy = 0

y ′ =y

x+ x cosx

El factor integrante es

µ(x) = e−∫ 1

x dx =1

xLa ecuacion se puede reescribir como

e−∫ 1

x dx dy

dx− e−

∫ 1x dx y

x= e−

∫ 1x dx x cosx

es decir

d(

e−∫ 1

x dx y)

dx= e−

∫ 1x dx x cosx

y la solucion de la ecuacion es

y

x=∫ (

1

xx cosx

)dx +C = sinx +C

Ecuaciones Diferenciales

Reduccion del ordenAusencia de variable dependiente

Si no aparece la y , la ecuacion es de la forma f(t,y ′,y ′′

)= 0.

Resolucion

Se hace el cambioy ′ = p y ′′ =

dp

dt

y la ecuacion diferencial queda de la forma f

(t,p,

dp

dt

)= 0.

Ausencia de variable independiente

Si no aparece t, la ecuacion es de la forma f(y ,y ′,y ′′

)= 0.

Resolucion

Se hace el cambio

y ′ = p y ′′ =dp

dt=

dp

dy

dy

dt= p

dp

dy

y la ecuacion diferencial queda de la forma f

(y ,p,p

dp

dy

)= 0.

Ecuaciones Diferenciales

Reduccion del orden: Ejemplos

ty ′′−y ′ = 3t2

Falta la y ⇒ se puede hacer el cambio y ′ = p

⇓

tdp

d t−p = 3t2

⇓dp

d t− 1

tp = 3t lineal

Multiplicando por e−∫ 1

t dt = 1t se obtiene

d

d t

(1

tp

)= 3 ⇒ p

t= 3t +C ⇒ p = 3t2 +Ct

⇓

y = t3 +1

2Ct2 +D

Ecuaciones Diferenciales

Reduccion del orden: Ejemplos

y ′′+k2y = 0

Falta la t ⇒ se puede hacer el cambio y ′ = p, y ′′ = pdp

dy⇓p

dp

dy+k2y = 0⇒ p dp +k2y dy = 0

⇓p2 +k2y2 = k2a2

⇓

p =dy

d t=±k

√a2−y2⇒ dy√

a2−y2=±k d t

⇓

arcseny

a=±kt +b

⇓

y = a sen(±kt +b)⇒ y = Asen(kt +B) (o y = C1 senkt +C2 coskt)

Ecuaciones Diferenciales

Trayectorias ortogonales y oblicuas

Familia de curvas

Es una expresion de la forma

F (x ,y ,K ) = 0

en la que K es un parametro arbitrario.

Ejemplo

x2 + 2kx + y2 = 0

Trayectoria ortogonal

Una trayectoria ortogonal de una familia de curvas es una curva que cruzacon cada una de las curvas de la familia de forma ortogonal. En un campoelectrostatico, las lineas de fuerza son ortogonales a las lıneas de potencialconstante.

Ecuaciones Diferenciales

Trayectorias ortogonales y oblicuas

Ejemplo

y2 + 2ky + x2 = 0son ortogonales ax2 + 2kx + y2 = 0

Calculo trayectoria ortogonal

1 Se obtiene la ecuacion diferencial y ′ = f (x ,y) de la familia de curvasF (x ,y ,K ) = 0 (Eliminando la K ).

2 La familia ortogonal a F (x ,y ,K ) = 0 tiene como ecuacion diferencial

y ′ =− 1

f (x ,y).

Un vector ortogonal (1,v) es (1,− 1v )

3 Se obtiene la solucion general de la ecuacion diferencial anterior.

Ecuaciones Diferenciales

Trayectorias ortogonales y oblicuas

Calculo trayectoria ortogonal

1 x2 +2kx +y2=0 derivando−−−−−−→ 2x +2k +2yy ′=0 k =− x2+y2

2x−−−−−−−→2x− x2+y2

x +2yy ′=0⇓

La ecuacion diferencial de la familia de curvas es y ′ = f (x ,y) =− x2−y2

2yx

2 La familia ortogonal a F (x ,y ,K ) = 0 tiene como ecuacion diferencial

y ′ =− 1

f (x ,y)=

2yx

x2−y2.

3

y ′ =2yx

x2−y2y = ux−−−−→

u′x +u =2u

1−u2.

⇓

u′x =u +u3

1−u2⇒ du

1−u2

u +u3=

dx

x⇒ du

(1

u− 2u

1 +u2

)=

dx

x⇓

ln |C |+ ln |u|− ln |1 +u2|= ln |x | ⇒ Au

1 +u2= x ⇒ Ay = x2 + y2

Ecuaciones Diferenciales

Trayectorias ortogonales y oblicuas

x

y

θ

α

β

y=f(x)

y=g(x)

tanθ =d f

dx

tanβ =dg

dx

β = α + θ ⇒ tanβ = tan(α + θ) =tanα + tanθ

1− tanα tanθ

Ecuaciones Diferenciales

Trayectorias ortogonales y oblicuas

Calculo trayectoria oblıcua

1 Se obtiene la ecuacion diferencial y ′ = f (x ,y) de la familia de curvasF (x ,y ,K ) = 0.

2 La familia oblicua a F (x ,y ,K ) = 0 tiene como ecuacion diferencial

y ′ =f (x ,y) + tg(α)

1− f (x ,y)tg(α).

3 Se obtiene la solucion general de la ecuacion diferencial anterior.

Ejemplo

Calcular las trayectorias oblıcuas con un angulo de 45 grados a la familia decurvas y = Aex

Ecuaciones Diferenciales

Trayectorias ortogonales(coordenadas polares)

ρ = ρ(θ)⇒{

x = ρ(θ)cosθ

y = ρ(θ)senθ

}⇒ dx

dy=

(dxdθ

)(dydθ

) =ρ ′ cosθ −ρ senθ

ρ ′ senθ + ρcosθ

y ′ = f (x) (ρ = ρ(θ))⇓ curva ortogonal

y ′ =− 1f (x) (ρo = ρo(θ))

⇒ ρ′o cosθ −ρo senθ

ρ′o senθ + ρo cosθ

=ρ′ senθ + ρ cosθ

ρsenθ −ρ′ cosθ

⇓ ρ = ρo

−ρ ′oρ ′ = ρ2

Trayectorias ortogonales en coordenadas polares

1 Se obtiene la ecuacion diferencial f (θ ,ρ,ρ ′) de la familia de curvasF (θ ,ρ,K ) = 0.

2 La familia ortogonal a F (θ ,ρ,K ) = 0 tiene como ecuacion diferencial

f

(θ ,ρ,−ρ2

ρ ′

).

3 Se obtiene la solucion general de la ecuacion diferencial anterior.

Ecuaciones Diferenciales