KANAT PROFİLLERİETRAFINDA SIKIŞTIRILAMAZ AKIMyukselen/Uck351/5-%20Kanat%20... · 2012. 12....

UCK351 Aerodinamik ders notları- MAY

1

KANAT PROFİLLERİ ETRAFINDA SIKIŞTIRILAMAZ AKIM

Of the many problems now engaging attention, the following are considered of immediate importance and will be considered by thecommittee as rapidly as funds can be secured for the purpose.... The evolution of more efficient wing sections of practical form, embodying suitable dimensions for an economical structure, with moderate travel of the center-of-pressure and still affording a large range of angle-of-attack combined with efficient action.

From the first Annual Report of the NACA, 1915


2

Kanat profillerinin gelişimi

Süpersonik profiller

Kritiküstü profil

NACA laminer profilleri

II. Dünya savaşı öncesi düşük hızlı profiller


3

Kanat kesit profilinin şekli neden önemlidir?

Bir uçak kanadının

- Sıfır taşıma hücum açısı,- Taşıma eğrisi eğimi,- Tutunma kaybı (stall) bölgesindeki tabiatı,- Aerodinamik merkezi, (ac) etrafındaki yunuslama momenti- Parazit sürükleme

vb gibi 3-boyutlu karakteristiklerini, önemli ölçüde kesit profilinin şekli belirler.

Kesit profili karakteristiklerini kullanarak bir kanadın 3-Boyutlu karakteristikleri elde edilebilir.


4

Kanat profili nedir?

V∞

∞

∞ Dik kesitdüzlemi

∞

∞

Đki-boyutlu akım

kanat profili

b=1

- Bütün kesit profilleri aynı olan,- dikdörtgensel üst görünümlü,- sonsuz açıklıklı bir kanattır.

Öyle ki;Bu kanat etrafındaki akım2-boyutludur


5

Kanat profili geometrisi

c - veter uzunluğu

Firar kenarı

Hücumkenarı

V∞

α

Hücum açısı

veter çizgisi

y

x

kamburluk eğrisi kalınlık

t

Maksimum kalınlık

tmax

Maksimum kamburluk

emax

Kalınlık oranıc

tmax=δδ < %10 ince profil (yüksek hızlarda)δ ∼ %10-14 orta kalınlıkta profilδ > %14 kalın profil (düşük hızlarda)

Kamburluk oranıc

emax=γ γ < % 4-5 küçük kamburluk (uçaklarda)

γ > % 4-5 büyük kamburluk (kompresör-türbin pallerinde)


6

NACA profilleri – 4 haneli seri

Kamburluk oranı

m = 2 / 100 = 0.02

N A C A 2 4 1 2

Maksimum kamburluk

noktası konumu

p = 4 × (c/10) = 0.4c

Kalınlık oranı

t = 12 / 100 = 0.12

Jacobs EN, Ward KE, Pinkerton RM,The characteristics of 78 related airfoil sections from tests in the variable density wind tunnel,NACA TR-460, 1933

Ou(xU, yU)

0.10

θ

Veter sonundaki eğrilik yarıçapı

(Kamburluk eğrisinin yüzde 0.5 veterdeki eğimi)

y

x

p(x, yc)

OL(xL, yL)

-0.10

yt

yt

xU = x - yt sin θ yU = yc + yt cosθ

xL = x + yt sin θ yL = yc - yt cosθ 1.0

veter çizgisi

kamburluk eğrisi

)10150.028430.035160.012600.029690.0(20.0

432xxxxx

tyt −+−−=±

≥−+−−

≤−

=

pxxpxpp

m

pxxpxp

m

yc

)2)21[()1(

)2(

2

2

2

2

Kalınlık dağılımı

Kamburluk eğrisi

m → γp → x γ

t → δ


7

NACA profilleri – 5 rakamlı seri

Tasarım taşıma katsayısı

2 × (3/2)/10 = 0.3

N A C A 2 3 0 1 2

Maksimum kamburluk

noktası konumu

30 /2 × (c/100) = 0.15c

Kalınlık oranı

12 / 100 = 0.12

Abbott IH, Doenhoff AE, Stivers LS,Summary of airfoil data,NACA TR-824, 1946


8

NACA profilleri – 6 rakamlı seri – Laminer profiller

Tasarım taşıma katsayısı

2 /10 = 0.2

N A C A 6 5 - 2 1 8

Minimum basınç

noktası konumu

5 × (c/10) = 0.5c

Kalınlık oranı

18 / 100 = 0.18

Bu serinin etiket

numarası

Abbott IH, Doenhoff AE, Stivers LS,Summary of airfoil data,NACA TR-824, 1946


9

Kanat profillerinin performans karakteristikleri

),,,(Re,)2/1( 2

α=ρ

=∞

yxMCcV

LC LL

),,,(Re,)2/1( 2

α=ρ

=∞

yxMCcV

DC DD

),,,(Re,)2/1( 22

α=ρ

=∞

yxMCcV

MC

yy M

y

M

Taşıma katsayısı

Sürükleme katsayısı

Yunusma katsayısı


10

Kanat profilinin performansı nasıl belirlenebilir?

Deneysel çalışmalarla:

- Taşıma ve yunuslama için basınç dağılımı ölçümü- Sürükleme için iz taraması

Teorik çalışmalarla:

- Potansiyel akım çözümleri- Potansiyel akım + sınır tabaka etkileşim yöntemleri- N/S çözümleri


11


Akım ayrılması

kaynaklı tutunma

kaybı

cl

α

cl,max

a0 = ------ = Taşıma eğrisi eğimi dcl

dα

αL = 0

cl,max Vstall


12


NACA 2412 profili

αL=0 = -2.1°

cl,max ≈ 1. 6

αstall ≈ 16°

)(4

124/, AAc cm −π

=

cl

cm,c/4

2.0

1.6

1.2

0.8

0.4

0

-0.4

-0.8

-1.2

α (°)

Moment katsayısı

Re = 3.1 × 106

Re = 8.9 × 106

0

-0.1

-0.2

-0.3

-0.4

-8 0 8 16 24

])1(cos1

[2

0

00∫π

θ−θπ

+απ= ddx

dzcl

Taşıma katsayısı cd

cm,ac

0.024

0.020

0.016

0.012

0.008

0.004

0

α (°)

Moment katsayısı

Re = 3.1 × 106

Re = 8.9 × 106

0

-0.05

-0.10

-0.15

-12 -8 -4 0 4 8 16 24

Sürükleme katsayısı


13

Örnek problem

Deniz seviyesinde standart koşullarda 70 m/s hızdaki serbest akımda yer alan 0.64 m

veter uzunluğuna sahip NACA 2412 profilinin birim açıklık başına taşıması 1254 N/m

dir. Hücum açısını ve birim açıklık başına sürükleme kuvvetini hesaplayınız.

Çözüm

³/23.1 mkg=ρ

²/5.3013)70()23.1(½½ 22 mNVq =××=ρ= ∞∞∞

65.064.05.3013

1254

)1(

''=

×=

×==

∞∞ cq

L

Sq

Lcl

°=α 4

6

51008.3

10789.1

64.07023.1Re ×=

×

××=

µ

ρ=

−∞

∞∞ cV

mNccqcSqD dd /1.130068.064.05.3013)1(' =××=×== ∞∞

Deniz seviyesinde standart koşullarda

cl - α eğrisinden

Deniz seviyesinde standart koşullarda, µ=1.789×10-5 kg/(ms)

cd - α eğrisinden Re=3.1×106 için cd = 0.0068


14

Örnek problem

Deniz seviyesinde standart koşullarda 70 m/s hızdaki serbest akımda yer alan 0.64 m

veter uzunluğuna sahip NACA 2412 profilinin birim açıklık başına aerodinamik merkez

etrafındaki momentini hesaplayınız.

Çözüm

²/5.3013)70()23.1(½½ 22 mNVq =××=ρ= ∞∞∞

³/23.1 mkg=ρDeniz seviyesinde standart koşullarda

05.0, −=acmccm,ac - α eğrisinden

)05.0(64.0)1(64.05,3013' , −×××== ∞ acmac ccSqM

mNmM ac /7.61' −=


15

Örnek problem

NACA 2412 profili için 0°, 4°, 8°ve 12°hücum açılarındaki taşıma/sürükleme oranlarını

hesaplayınız.

Çözüm

cl - α ve cd - α eğrilerinden

d

l

d

l

c

c

cSq

cSq

D

L==

∞

∞

38.5939685

0.00650.00700.01120.017

0.250.651.081.44

04812

Cl/ C

dC

dC

lα


16

Kanat profillerinin performans karakteristikleriNACA 4412 profili (NACA TR-824)


17


NACA 4412 profilinin basınç dağılımı, (Pinkerton, NACA TR-563)

0.0 0.5 1.0

-6.0

-5.0

-4.0

-3.0

-2.0

-1.0

0.0

1.00.0 0.5 1.0

-6.0

-5.0

-4.0

-3.0

-2.0

-1.0

0.0

1.00.0 0.5 1.0

-9.0

-8.0

-7.0

-6.0

-5.0

-4.0

-3.0

-2.0

-1.0

0.0

1.0

α=30° α=24° α=20°

0.0 0.5 1.0

-8.0

-7.0

-6.0

-5.0

-4.0

-3.0

-2.0

-1.0

0.0

1.0

α=18°

0.0 0.5 1.0

-6.0

-5.0

-4.0

-3.0

-2.0

-1.0

0.0

1.0

α=16°

0.0 0.5 1.0

-4.0

-3.0

-2.0

-1.0

0.0

1.0

α=12°

0.0 0.5 1.0

-2.0

-1.0

0.0

1.00.0 0.5 1.0

-2.0

-1.0

0.0

1.0

α=4°

0.0 0.5 1.0

-2.0

-1.0

0.0

1.0

α=8° α=2°

0.0 0.5 1.00.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

0.0 0.5 1.00.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

0.0 0.5 1.00.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

8.0

9.0

10.0

α=30°

α=24°

α=20°

0.0 0.5 1.00.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

8.0

α=18°

0.0 0.5 1.00.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

α=16°

0.0 0.5 1.00.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

α=12°

0.0 0.5 1.00.0

1.0

2.0

3.0

1-Cp

0.0 0.5 1.00.0

1.0

2.0

3.0α=4°

0.0 0.5 1.00.0

1.0

2.0

3.0

α=8°α=2°


18

İNCE PROFİL TEORİSİGirdap çizgisi – girdap yüzeyi

Girdap çizgisi

∞

O

∞

O’ Γ

y

∞

x

z

- ∞

Girdap yüzeyi


19

Girdap yüzeyinin indüklemesi

r

dsdV

π

γ−=

2

θπ

γ−=φ

2

)( dssd ∫ γθ

π−=φ

b

a

dszx2

1),( ∫ γ=Γ

b

a

ds

a

x

z

bs

ds

r

P(x,z)

θ

dV


20

Girdap yüzeyinin indüklemesi

)( 2112 dsudnvdsudnv +−−−=Γ

dnvvdsuu )()( 2121 −+−=Γ

dsγ=Γdnvvdsuuds )()( 2121 −+−=γ

dn → 0

21 uu −=γ

u1

v2

u2

v1

ds

dn


21

Bir kanat profilinin bir girdap yüzeyi ile simülasyon

Sınır koşulu: Yüzey bir akım çizgisi olmalı

∫ γ=Γ ds Γρ=′∞∞VL

Herhangi şekle ve kalınlığa sahip kanat profili

s

γ(s)


22

İnce profil yaklaşımı

Sınır koşulu: Yüzey bir akım çizgisi olmalı

∫ γ=Γ ds Γρ=′∞∞VL

s

İnce profil Kamburluk eğrisi boyunca girdap yüzeyi

γ(s)

V∞ V∞


23

Kutta koşulu – Sirkülasyona bağlı çözüm

Bir kanat profili etrafındaki potansiyel akımda, aynı hücum açısında farklı

sirkülasyonlar için farklı (matematiksel) çözümler elde etmek mümkündür.

Oysa bir kanat profili etrafındaki gerçek akımda, belli bir hücum açısında

tek bir taşıma kuvveti elde edilir.

O halde matematiksel olarak elde edilenlerden hangisi doğru çözümdür ?

Γ2

1

2

Γ1

1 2


24

Kutta koşulu - Başlangıç girdabı (Prandtl ve Tiejens)

Bir kanat profili etrafındaki akımın ilk harekete

geçme anında firar kenarında bir girdap

oluşarak akımla birlikte geriye doğru gider.

Girdap uzağa gittiğinde firar kenarındaki akım

artık yüzeyi düzgün biçimde terk etmektedir.

Bu girdabın şiddeti profil etrafındaki

sirkülasyona eşittir.


25

Kutta koşulu – Matematiksel uygulaması

Bir kanat profili etrafındaki akım profili - firar kenarından

- düzgün biçimde terk eder.

Açılı firar kenarı

a

a noktasında V1=V2=0

V1

V2

Keskin firar kenarı

a

a noktasında V1=V2≠0

V1

V2

222

211 ½½ VpVp ρ+=ρ+

21 pp =

021 == VV 021 ≠= VV

Firar kenarından düzgün çıkış için

olmalıdır.

Bernoulli denklemi gereği

21 VV =


26

İnce profil yaklaşımı için Kutta koşulu

21 uu −=γTETE

VVaTE 21)()( −=γ=γ

s

γ(s)

V∞

V1(s)

V2(s)V1TE

V2TE

TE

Keskin firar kenarı halinde

Açılı firar kenarı halinde 021 == VV

021 ≠= VV0)( =γ TE


27

Kelvin sirkülasyon teoremi

Aynı akışkan elemanlarını içeren bir kapalı eğri

etrafındaki sirkülasyon akış boyunca değişmez.0=

Γ

Dt

D

C2

Aynı akışkan elemanları daha sonraki bir t2 anında başka bir C2

eğrisi oluşturmakta

t anında C1 eğrisi boyunca yer alan akışkan elemanları

Γ1=Γ2

C1


28

Kelvin teoremi ve başlangıç girdabı

Bir kanat profilinin ilk harekete geçme anında, başlangıçta her yerde hız sıfırolup, C1 eğrisi etrafında sirkülasyon sıfırdır.

Profil harekete geçince akım önce firar kenarından yukarıya dönme eğiliminde olup, firar kenarında çok yüksek bir akım hızı oluşur.

Böylece firar kenarında çok büyük hız gradyantları ve bir vortisite bölgesi meydana gelir.

Bu yüksek vortisite bölgesindeki akışkan kitlesi genel akımla birlikte geriye doğru uzaklaşırken bir girdap oluşturur ki buna başlangıç girdabı adıverilir.

Γ1=0C1

V≈0

Firar kenarını çok büyük hızla dönen akım

Γ1=0C1

V=0


29

Kelvin teoremi ve başlangıç girdabı

Şimdi C2 eğrisi başlangıç girdabını çevreleyen bir C3 (dcb) ve profili çevreleyen bir C4 (dba) eğrisi olmak üzere iki eğriye bölünürse, bu eğriler üzerindeki sirkülasyonların toplamı C2

eğrisi üzerindeki Γ2 sirkülasyonuna eşit olacaktır.

Γ4

C2

V∞≠0

Γ2=Γ1=0Γ3=-Γ4

Γ3

a b

d

cBaşlangıçgirdabı

Profil etrafında harekete geçmeden önce C1 eğrisi üzerinde yer alan akışkan elemanları profilin hareket geçmesiyle birlikte başlangıç girdabı oluşup firar kenarını terk ettikten hemen sonra C2

eğrisi üzerinde yer alsın.

C2 etrafındaki Γ2 sirkülasyonu Kelvin

sirkülasyon teoremi gereği Γ1 ile aynı

olup Γ1 = Γ2= 0 dır.

243 Γ=Γ+Γ

Γ2 = 0 olduğundan olacağı görülür.34 Γ−=Γ


30

Klasik ince profil teorisi

Kamburluk eğrisinin bir akım çizgisi

olması için

Kamburluk eğrisi üzerinde girdap yüzeyi

V∞

z

w’

Kamburluk eğrisi, z=z(x)

xVeter çizgisi0 cα

s

0)(, =′+∞ swV n

nV ,∞

)(sw′ Girdap tabakasının oluşturduğu

dikey hız bileşeni

Serbest akım hızının kamburluk

eğrisine dik bileşeni

z

V∞


x

P

α

V∞,n

α

−−

dx

dz1tan

−−

dx

dz1tan

−+α= −

∞∞dx

dzVV n

1

, tansin


31

Klasik ince profil teorisi

Veter çizgisi üzerinde girdap yüzeyi

z

V∞

w’


xVeter çizgisi0 cα

s

z

w

x, ξ

dξ

ξx

Çizgisel girdap parçasının indüklemesi r

dsdV

π

γ−=

2

)(2

)(

ξ−π

ξξγ=

x

ddw

Veter üzerindeki çizgisel girdap parçasının indüklemesi

∫ ξ−π

ξξγ−=

c

x

dxw

0)(2

)()(

Veter boyunca girdap dağılımının indüklemesi

0)(2

)(

0

=ξ−π

ξξγ−

−α ∫∞

c

x

d

dx

dzV

Yüzey sınır koşulu uygulanarak

Düzenlenerek

−α=

ξ−

ξξγ

π∞∫ dx

dzV

x

dc

0

)(

2

1İnce profiller için integro-diferansiyel denklem


32

Düz levha için uygulama

değişken dönüşümüyle

α=ξ−π

ξξγ→= ∞∫ V

x

d

dx

dzc

0)(2

)(0

)cos1(2

0θ−=c

x

θθ=ξ→θ−=ξ dc

dc

sin2

)cos1(2

α=θ−θ

θθθγ

π∞

π

∫ Vd

0 0coscos

sin)(

2

1

z

w

x, ξ

dξ

ξ

x

c

V∞

α

θ

θ+α=θγ ∞

sin

cos12)( VÇözümün olduğu gösterilebilir

∫∫π

∞

π

θ−θ

θθ+

π

α=

θ−θ

θθθγ

π0 00 0 coscos

)cos1(

coscos

sin)(

2

1 dVd

0

0

0 0 sin

sin

coscos

cos

θ

θπ=

θ−θ

θθ= ∫

πndn

Gn

Glauertintegrali

α=π+π

α=

θ−θ

θθ+

θ−θ

θ

π

α=

θ−θ

θθ+

π

α∞

∞

ππ

∞

π

∞ ∫∫∫ VVddVdV

)0(coscos

cos

coscoscoscos

)cos1(

0 00 00 0

Verilen girdap dağılımı integral denklemini sağlamaktadır. O halde doğru bir çözümdür.


33


Kutta şartı sağlanıyor mu ?

Profil etrafındaki sirkülasyon

θ

θ+α=θγ ∞

sin

cos12)( V

0

0)( =πγπ→θ

θ

θ−α=

θ

θ+α=πγ π→θ∞π→θ∞

cos

sinlim2

sin

cos1lim2)( VV

θθ+α=θθθγ=ξξγ=Γ ∫∫∫ ∞ dcVdc

d

ccc

)cos1(sin)(2

)(

000

∞πα=Γ cV

Profilin taşıma kuvveti2

∞∞∞∞ ρπα=Γρ=′ VcVL

Profilin taşıma katsayısı)1(½

2

2

cV

Vc

Sq

Lcl

∞∞

∞∞

∞ ρ

ρπα=

′=

Taşıma eğrisi eğimi 12 −π=α

radd

dcl

1802

ππ=

α

α

α=

α d

r

r

l

d

l

d

d

d

dc

d

dc

πα= 2lc

12

deg90

−π=

αd

l

d

dc

0)( =πγ


34



Taşıma eğrisi eğimi12 −π=α

radd

dcl

πα= 2lc

12

deg90

−π=

αd

l

d

dc

α(rad)

Cl

1 rad

a∞ = dCl / dα = 2π≅ 6.28

α(deg)

Cl

1 deg

a∞ = dCl / dα ≅ 0.11


35


Yunuslama momenti

Verilen girdap dağılımı ve değişken dönüşümü kullanılarak integralalınırsa

M’HK

dL’

dΓ = γ(ξ) dξ

ξdξ

x

ξξγξρ−=ξ−=′ ∫∫ ∞∞ dVdLM

cc

LE

00

)(

2

2 πα−=′

∞cqM LE

2,cq

M

cSq

Mc LELE

lem

∞∞

′=

′=Yunuslama katsayısı

2,

πα−=lemc

α(rad)

Cm, le

1 rad

dCm,le / dα = -π/2 ≅ - 1.57


36


Basınç merkezi / Aerodinamik merkez

πα= 2lc

4,

l

lem

cc −=

x noktasında moment

0, =cpxmc

απ

−=2

,lemc

2

lc=πα

Basınç merkezi

xLMM lex ⋅′+′=′

moment katsayısıc

xccc llemxm += ,,

M’le

L’

x

M’x

HK da yunuslama katsayısı


+−=

c

xcc lxm

4

1,

4

1=

c

xcp Çeyrek veter noktası

Aerodinamik merkez 0,

=l

xm

dc

dcac

4

1=

c

xacÇeyrek veter noktası

0, =acxmcAerodinamik merkez etrafında yunuslama


37


04/, =cmc cm,c/4

2.4

2.0

1.6

1.2

0.8

0.4

0

-0.4

-0.8

-1.2

α (°)

Re = 3.0 × 106

Re = 9.0 × 106

0

-0.1

-0.2

-0.3

-0.4

-24 -16 -8 0 8 16 24 32

πα= 2l

c

NACA 0012 profili


38

Örnek problem

5 derece hücum açısındaki bir düz levha için: (a) taşıma katsayısını, (b) hücum

kenarı etrafındaki yunuslama katsayısını, (c) çeyrek veter etrafındaki yunuslama

katsayısını ve (d) firar kenarı etrafındaki yunuslama katsayısını hesaplayınız.

Çözüm

(a) πα= 2lc rad0873.03.57

5==α =π= )0873.0(2lc 5485.0

04/, =cmc

=−=−=4

5485.0

4,

l

lem

cc 137.0−(b)

(c)

(d)

V∞

Mc/4

c

3c/4c/4

L’

TE5°

4/4

3cte ML

cM ′+′=′

2

4/

22,4

3

cq

M

cq

Lc

cq

Mc cte

tem

∞∞∞

′+

′=

′= ==+=+= 5485.0

4

30

4

3

4

34/,, lcmltem cccc 411.0


39

Kamburluklu profiller için uygulama

değişken dönüşümü ile

)cos1(2

0θ−=c

x

θθ=ξ→θ−=ξ dc

dc

sin2

)cos1(2

z

w

x, ξ

dξ

ξx

c

V∞

α


−α=

ξ−

ξξγ

π∞∫ dx

dzV

x

dc

0

)(

2

1

İntegro-diferansiyel denklem

−α=

θ−θ

θθθγ

π∞

π

∫ dx

dzV

d

0 0coscos

sin)(

2

1

θ+

θ

θ+=θγ ∑

∞

=

∞

1

0 sinsin

cos12)(

n

n nAAV

Bu denklem için genel bir çözüm, düz levha için elde edilen çözüm bir Fourier serisi ile süperpoze edilerek aşağıdaki gibi önerilebilir


40


Önerilen çözüm dönüştürülmüş integro-diferansiyel denklemde yerleştirilerek

0

0

0 0 sin

sin

coscos

cos

θ

θπ=

θ−θ

θθ= ∫

πkdk

GkBurada Gk lar Glauert integralleri olup

dx

dzdnAdA

n

n −α=θ−θ

θθθ

π+

θ−θ

θθ+

π∑∫∫

∞

=

ππ

1 0 00 0

0

coscos

sinsin1

coscos

)cos1(1

dx

dzdndnAddA

n

n −α=

θ−θ

θθ+−

θ−θ

θθ−

π+

θ−θ

θθ+

θ−θ

θ

π∑ ∫∫∫∫

∞

=

ππππ

1 0 00 00 00 0

0

coscos

)1cos(

coscos

)1cos(

2

1

coscos

cos

coscos

])1cos()1[cos(2

1sinsin θ+−θ−=θθ nnn olmak üzere

( ) ( )dx

dzGG

AGG

A

n

nnn −α=−

π++

π∑

∞

=

+−

1

11100

2

1

olmak üzere

( )dx

dznnAA

n

n −α=

θ

θ+π−

θ

θ−π

π+π+

π∑

∞

=1

0

sin

)1sin(

sin

)1sin(

2

10


41


Uygun integrasyonlarla katsayılar elde edilebilir:

veya olmak üzereθθ±θθ=θ± nnn cossincossin)1sin(

veyadx

dznAA

n

n −α=θ−∑∞

=1

0 cos ∑∞

=

θ+−α=1

0 cos)(n

n nAAdx

dz

{

∑ ∫∫∫∞

=

π

π

ππ

θθ+θ−α=θ1

0

00

0

0

cos)(n

n dnAdAddx

dz

43421

∫π

θπ

−α=0

0

1d

dx

dzA

∑ ∫∫∫∞

=

πππ

θθθ+θθ−α=θθ1 0

0

0

0

0

coscoscos)(cosn

n dknAdkAdkdx

dz

43421

olmak üzere

π=+

θ++

−

θ−=θθ ∑∫

∞

=

π

≠π=

π

2]

)sin()sin([

2cos

1

0

00

0

k

n

içinkniçinkn

n A

kn

kn

nk

knAdk

dx

dz

4342143421

∑ ∫∫∞

=

ππ

θθ++θ−=θθ1 00

])cos()[cos(2

cosn

n dknknA

dkdx

dz

∫π

θθπ

=0

cos2

dkdx

dzAk


42

Kamburluklu profiller için uygulama - Taşıma

Taşıma

∫∫π

θθθγ=ξξγ=Γ00

sin)(2

)( dc

d

c

θθθ+θθ+=Γ ∑ ∫∫

∞

=

ππ

∞

n

n dnAdAcV

00

0 sinsin)cos1(

θ+

θ

θ+=θγ ∑

∞

=

∞

n

n nAAV sinsin

cos12)( 0

olupπ=θθ+∫π

0

)cos1( d

≠

=π=θθθ∫

π

içinn

içinndn

10

12/sinsin

0

π+π=Γ ∞ 10

2AAcV

π+πρ=Γρ=′ ∞∞∞∞ 10

2

2AAcVVL

)1(½ 2cV

Lcl

∞∞ρ

′=

+π=

22 1

0

AAcl

θ−θ

π+απ= ∫

π

0

00 )1(cos1

2 ddx

dzcl

π=α

2d

dclTaşıma eğrisi eğimi

0=lc Sıfır taşıma açısı ∫π

= θ−θπ

−=α0

000 )1(cos1

ddx

dzL


43

Kamburluklu profiller için uygulama - Yunuslama

θ+

θ

θ+=θγ ∑

∞

=

∞

n

n nAAV sinsin

cos12)( 0

olup

ξξγξρ−=′ ∫∞∞ dVM

c

LE

0

)(

θθ

θ+

θ

θ+θ−ρ−=′ ∫ ∑

π ∞

=

∞∞∞ dc

nAAVc

VMn

nLE sin2

sinsin

cos12)cos1(

20 1

0

∫∑∫π∞

=

π

∞∞

θθθθ−−θθ−−=ρ

′

010

2022

sinsin)cos1()cos1(½

dnAdAcV

M

n

nLE

∑ ∫∫∫∞

=

πππ

θθθ−θθθ−θθ−=

1 000

20, 2sinsin

2

1sinsinsin

n

nlem dndnAdAc

≠

=π=θθθ∫

π

içinn

içinndn

10

12/sinsin

02

sin

0

2 π=θθ∫

c

d

≠

=π=θθθ∫

π

içinn

içinndn

20

22/2sinsin

0

π−

π−

π−=

2222

210,

AAAc lem

−+

π−=

22

210,

AAAc lem


44

Kamburluklu profiller için uygulama –Basınç merkezi / Aerodinamik merkez

−++

π−=

−+

π−=

22222

2110

210,

AAAA

AAAc lem

+π=

22 1

0

AAcl

π

−+−=

44

21,

AAcc l

lem

Herhangi bir nokta etrafındaki yunuslama

Aerodinamik merkez (Çeyrek veter noktası) etrafındaki yunuslama π−

−=4

214/,

AAc cm

xcAAc

xccc ll

llemxm +

π

−+−=+=

44

21,, π

−−

−=

44

1 21,

AA

c

xcc lxm

Aerodinamik merkezi 04

1,=−=

c

x

dc

dcac

l

xm

4

1=

c

xac

Basınç merkezi 044

1 21, =π

−−

−=

AAxcc cplxm

π−

+=l

cp

c

AA

c

x

44

1 21

Basınç merkezi daima çeyrek veter noktasının gerisinde taşıma ile değişen bir noktadır.


45

Örnek Problem

Kamburluk oranı 0.02 olan, ikinci dereceden polinom şeklinde kamburluk eğrisine sahip bir kanat profilinin sıfır taşıma hücum açısını ve aerodinamik merkezi etrafındaki yunuslamakatsayısını hesaplayınız .

Çözüm

Maksimum kamburluk

)cos1(2

1θ−=x

2. dereceden polinomşeklinde kamburluk eğrisi

Uç koşullarından

Açısal koordinatlarda

==++=

c

xx

c

yyxaxaay ,,2

210

x

y

1

00 == ydax 00

=a

01 == ydex12

aa −=210 aa +=( )2

1 xxay −=

Kamburluk eğrisi eğimi ( )x21axd

yd1 −=

021 =−= xxd

yd2/1=x γ==

4

1ay 08.041 =γ=a

θ=− cos21 x θ= cos1axd

yd


46

Örnek Problem – Çözüm (devam)

Aerodinamik merkez etrafında yunuslama

Buna göre Fourier katsayıları

Sıfır taşıma hücum açısı


∫∫ππ

θθπ

−α=θπ

−α=0

1

0

0 cos11

daddx

dyA w

α=0A

∫∫∫πππ

θθ−

π=θθθ

π=θθ

π=

0

1

0

1

0

12

cos212coscos

2cos

2dadad

dx

dyA w

11 aA =

( ) ( )∫∫ππ

θθθπ

=θθπ

=0

1

0

2 2coscos2

2cos2

daddx

dyA w 0

2=A

( )04.022

42

22

22 11

0 +απ=

γ+απ=

+απ=

+π=

aAACL

( ) 004.02 0 =+απ=LC =π×−=α /18004.00 rad deg3.2−

( ) 08.0444

121, ×π

−=π

−=−π

−= aAAC acm 063.0−=MacC


47

Örnek Problem

Kamburluk eğrisi aşağıdaki şekilde verilen bir NACA 23012 profilini için (a) sıfır taşıma hücum

açısını, (b) α = 4° hücum açısındaki taşıma katsayısını, (c) çeyrek veter noktası etrafındaki yunuslama katsayısını ve (d) α = 4° hücum açısında basınç merkezinin yerini hesaplayınız. Sonuçları deneysel verilerle karşılaştırınız.

c

zz

c

xx

xx

xxxxz ==

≤≤−

≤≤+−= ,

0.12025.0)1(02208.0

2025.00)1147.06075.0(6595.2 23

Çözüm

olmak üzere)cos1(2

1θ−=x

θ+θ−= 2cos

2

1cos2

2

3

4

12x

Kamburluk eğrisinin eğimi

≤≤−

≤≤+−=

0.12025.002208.0

2025.00)1147.0215.13(6595.2 2

x

xxx

xd

zd

olup

elde edilir

π≤θ≤−

≤θ≤θ+θ−=

9335.002208.0

9335.00)2cos375.0cos8925.06322.0(6595.2

xd

zd


48

Buna göre

]04875.047693.090768.156949.1[1

)9335.0(02208.02

867.1sin9973.0)9335.0(sin3736.2)9335.0(6813.1

1

)02208.0()2cos9973.0cos3736.26813.1(1

11

9335.0

9335.0

0

9335.0

9335.0

00

0

−+−π

−α=

−π−+−

π−α=

θ−+θθ+θ−

π−α=

θ+θ

π−α=θ

π−α=

∫∫

∫∫∫π

ππ

dd

ddx

dzd

dx

dzd

dx

dzA

0286.00 −α=A

π≤θ≤−

≤θ≤θ+θ−=

9335.002208.0

9335.00)2cos9973.0cos3736.26813.1

xd

zd


49

[ ]01775.045637.06754.135127.12

01775.0)9335.0sin3

8005.2sin(49865.0)9335.0

2

867.1sin(1868.135127.1

2

)9335.0sin(02208.0

)cos3(cos2

19973.0)12(cos

2

13736.2)9335.0(sin6813.12

cos)02208.0()cos2cos9973.0cos3736.2cos6813.1(2

coscos2

cos2

9335.0

0

9335.0

0

9335.0

9335.0

0

2

9335.0

9335.0

00

1

++−π

=

++++−

π=

−−

θθ+θ+θ+θ−

π=

θθ−+θθθ+θ−θ

π=

θθ+θθ

π=θθ

π=

∫∫

∫∫

∫∫∫π

ππ

dd

dd

ddx

dzd

dx

dzd

dx

dzA

0955.01 =A

π≤θ≤−

≤θ≤θ+θ−=

9335.002208.0

9335.00)2cos9973.0cos3736.26813.1

xd

zd


50

[ ]01056.039588.008617.180404.02

01056.0)9335.04

734.3sin(49865.0)9335.0sin

3

8005.2sin(1868.180404.0

2

)2

867.1sin(02208.0

)14(cos2

19973.0)cos3(cos

2

13736.2)

2

867.1sin(6813.1

2

2cos)02208.0()2cos9973.02coscos3736.22cos6813.1(2

2cos2cos2

2cos2

9335.0

0

9335.0

0

9335.0

9335.0

0

2

9335.0

9335.0

00

2

++−π

=

++++−

π=

−−

θ+θ+θθ+θ−

π=

θθ−+θθ+θθ−θ

π=

θθ+θθ

π=θθ

π=

∫∫

∫∫

∫∫∫π

ππ

dd

dd

ddx

dzd

dx

dzd

dx

dzA

0791.02 =A

π≤θ≤−

≤θ≤θ+θ−=

9335.002208.0

9335.00)2cos9973.0cos3736.26813.1

xd

zd


51

0791.02 =A

(a) Sıfır taşıma hücum açısı

0955.01 =A0286.00 −α=A

+π=

22 1

0

AAcl ( )01915.02

2

0955.00286.02 +απ=

+−απ=lc

0=lc π×−=α /18001915.0 °−=α 097.1

(b) α=4° de Taşıma katsayısı ( )01915.0180/42 +π×π=lc 559.0=lc

)0955.00791.0(4

)(4

124/, −π

=−π

= AAc cm0129.04/, −=cmc

(c) Çeyrek veter etrafında yunuslama

(d) α=4° de basınç merkezinin konumu

π×

−+=π

−+=

559.04

0791.00955.0

4

1

44

1 21

l

cp

c

AA

c

x273.0=

c

xcp


52

Karşılaştırma___________________________

Hesap Deney___________________________αL=0 -1.097 -1.1cl (α=4° de) 0.559 0.55cm,c/4 -0.0129 -0.01___________________________

NACA 23012 Deneysel sonuçlar

cm,c/4

2.0

1.6

1.2

0.8

0.4

0

-0.4

-0.8

-1.2

-1.6

-2.0

0

-0.1

-0.2

-0.3

-0.4

-0.5-32 -24 -16 -8 0 8 16 24 32

α (°)

cl


53

Örnek Problem

Üçüncü dereceden öyle bir kamburluk eğrisi bulunuz ki, bu kamburluk eğrisine sahip ince profilin sıfır taşıma hücum açısı 1° ve aerodinamik merkez etrafındaki yunuslama momenti de -0.02 olsun

Çözüm

)cos1(2

1θ−=x

θ+θ−= 2cos

2

1cos2

2

3

4

12x

Kamburluk eğrisinin eğimi

Uç koşullarından

x

y

1

)/,/(,33

2210 cxxcyyxaxaxaay ==⋅+⋅+⋅+=3. dereceden kamburluk eğrisi

00 == ydax 00

=a

01 == ydex )( 321 aaa +−=3210 aaa ++=

33

2232 )( xaxaxaay ⋅+⋅+⋅+−=Böylece kamburluk eğrisi

( ) 23232 32 xaxaaa

xd

yd⋅+⋅++−=

Açısal koordinat sistemine geçmek için

Böylece kamburluk eğrisi eğimi θ+θ+

−= 2cos8

3cos

2

32

8

3323 aaaa

xd

yd


54


Aerodinamik merkez etrafında yunuslama

Buna göre Fourier katsayıları


∫∫ππ

θπ

−α=θπ

−α=0

3

0

08

11d

ad

dx

dyA w

8

30

aA −α=

∫∫ππ

θθ

+−

π=θθ

π=

0

232

0

1 cos2

322cos

2d

aad

dx

dyA w

2

32 321

aaA

+−=

( ) ∫∫ππ

θθ

π=θθ

π=

0

23

0

2 2cos8

322cos

2d

ad

dx

dyA w

8

3 32

aA =

+−−απ=

+π=

4

32

82

22 3231

0

aaaAACl

( )

−

+−

π−=−

π−=

8

3

2

32

24

33221,

aaaAAC acm

+−απ=

8

742 32 aa

Cl

+π=

16

158

2

32,

aaC acm

θ+θ+

−= 2cos8

3cos

2

32

8

3323 aaaa

xd

yd


55


2037.0158

1396.074

32

32

−=+

−=+

aa

aa

0755.0

1671.0

3

2

=

−=

a

a ( ) 0916.0321 =+−= aaa

Böylece aranan kamburluk eğrisi 32 0755.01671.00916.0 xxxy ⋅+⋅−⋅=

için180/10 π×°−=α 08

74

1802 32 =

+−

ππ=

aaCl 13960

45

274

32.−=−=+

πaa

02.0, −=acmC için 02.016

158

2

32, −=

+π=

aaC acm 20370

640158

32.

.−=−=+

πaa


56

Aerodinamik Merkez – İlave bilgiler

Aerodinamik merkezde

4/)4/( cacac McxcLM ′+−′=′4/,, )25.0( cmaclacm cxcc +−=

0)25.0(4/,,

=α

+−α

=α d

dcx

d

dc

d

dc cm

aclacm

0

4/,

0 ; md

dca

d

dc cml ≡α

≡α

00 )25.0(0 mxa ac +−=

25.00

0 +−=a

mxac

xac

D’ M’ac ac

L’

c/4

M’c/4 ac

L’

cxac

0,

=αd

dc acm

olmak üzere


57

Örnek Problem

NACA 23012 profiline ait deneysel verilerden α = 4° hücum açısında, cl = 0.55 ve cm,c/4 = - 0.005olduğu görülmektedir. Ayrıca sıfır taşıma hücum açısı -1.1° olup α = - 4° hücum açısındacm,c/4 = - 0.0125 dir. Buna göre aerodinamik merkezinin konumunu hesaplayınız.

Çözüm

Taşıma eğrisi eğimi 10 1078.0

)1.1(4

055.0 −=−−

−= derecea

140 10375.9

)4(4

)0125.0(005.0 −−×=−−

−−−= derecemMoment eğrisi eğimi

25.01078.0

10375.925.0

4

0

0 +×

−=+−=−

a

mxac 241.0=acx


58

Kalın profiller için girdap panel yöntemi

Yüzeye dik hız bileşeni

s

γ(s)

V∞

α

ds

C Θ

C noktası yüzey üzerinde olmak üzere

C noktasında potansiyel ∫ Θπ

γ−φ=φ ∞ sCCC

dss

2

)(

sP

sPsC

xx

yy

−

−=Θ −1tan

C noktasında hız vektörü ∫ Θ∇γπ

−φ∇=φ∇= ∞ dssV sCC )(2

1r

∫ ∂

Θ∂γ

π−⋅=⋅φ∇= ∞ ds

nsnVnV sC

CCCCn )(2

1rrrr

Yüzeye teğet hız bileşeni ∫ ∂

Θ∂γ

π−⋅=⋅φ∇= ∞ ds

tstVtV sC

CCCCt )(2

1rrrr

?)( =γ s


59

Kalın profiller için girdap panel yöntemiYüzey sınır koşulunun uygulanması - Panellerin oluşturulması

γ(s) ‘yi hesaplamak için yüzey üzerindeki sınır koşullarından yararlanılır

γ(s)

V∞

α P1 P2 P3

Pj

Pj+1 Pi Pi+1

PN

PN+1

Ci Vti

Vni= 0

Bilinmeyen γ(s) büyüklüğü integral içinde olduğu için analitik çözüm mümkün değil

CsC nVdsn

srr

⋅=∂

Θ∂γ

π∞∫ )(

2

10=

CnVr

∑ ∫=

∞∂

Θ∂γ

π−⋅=

N

j j i

isiit ds

tstVV

1

)(2

1rrrYüzey N adet panele ayrılarak

),...,2,1()(2

1

1

NinVdsn

s i

N

j j i

is =⋅=∂

Θ∂γ

π∞

=

∑ ∫rr


60

Kalın profiller için girdap panel yöntemiDoğrusal paneller üzerinde sabit şiddette girdap dağılımı

γ(s)

V∞

α P1 P2 P3

Pj

Pj+1

Pi Pi+1

PN

PN+1

Ci Aij

Bij

Paneller doğrusal ve her bir panel boyunca girdap şiddetleri sabit alınarak ∑

∑

=

∞

∞

=

γ−⋅=

=⋅=γ

N

j

jijiit

i

N

j

jij

AtVV

NinVB

1

1

),...,2,1(

rrr

rr

∫

∫

∂

Θ∂

π=

∂

Θ∂

π=

j i

isij

j i

isij

dst

A

dsn

B

2

1

2

1

Burada

Yukarıdaki denklem sistemi sadece yüzey üzerindeki sınır koşulu uygulanarak elde edilmiştir.Ayrıca Kutta koşulunun sağlanması gerekir.


61

Kalın profiller için girdap panel yöntemiKutta koşulu

γN

Q1 Q2

Q3

QN

QN+1

QN-1

PN

P1

γ1

0

),...,2,1(

1

1

=γ+γ

=⋅=γ ∞

=

∑

N

i

N

j

jij NinVBr

Girdap şiddeti firar kenarında sıfır olmalı.

0=γTE 01 =γ+γ N

Böylece denklem sistemi:

şekline gelir. Burada Bilinmeyen sayısı: N (γ1, γ1,…,γN)Denklem sayısı : N+1

Denklem sayısı bilinmeyen sayısından 1 fazla olup, 1 adet denklemin atılması gerekir.


62

Kalın profiller için girdap panel yöntemiAij ve Bij katsayılarının hesaplanması

- i panelinin teğetidoğrultusundaki bileşeni

- i panelinin normalidoğrultusundaki bileşeni

j paneli üzerindeki sabit birimşiddetli girdap dağılımının

i panelinin kontrol noktasında indüklediği hızın

Pj

Pj+1

Pi

Pi+1

Ci

x

y

tj

nj

ni

ti

θj

θirij

Cj

γ = 1

∫

∫

∂

Θ∂

π=

∂

Θ∂

π=

j i

isij

j i

isij

dst

A

dsn

B

2

1

2

1

Θi


63

Kalın profiller için girdap panel yöntemiAij ve Bij katsayılarının hesaplanması- Panel özellikleri

Panel orta noktaları

iiyiixiyixi

iiyiixiyixi

nnjninn

ttjtitt

θ=θ−=+=

θ=θ=+=

cos,sin,

sin,cos,rrr

rrr

Teğet ve normal birim vektörleri

22

1

1

)()(

cos,sin

yxs

yyy

xxx

s

x

s

y

iPiP

iPiP

ii

∆+∆=∆

−=∆

−=∆

∆

∆=θ

∆

∆=θ

+

+

Ci

x

y

θi

θi

θi

ni

txi= cosθi

nyi= cosθi

nxi= -sinθi

∆xi

∆yi

∆si

Pi

Pi+1ti

2,

2

11 ++ +=

+= iPiP

iCiPiP

iC

yyy

xxx

tyi= sinθi


64


∫ ∂

Θ∂

π=

j i

isij ds

nB

2

1

∫ ∂

Θ∂

π=

j i

is

ij dst

A2

1

1) j paneli üzerindeki sabit birim şiddetli girdap dağılımınıni panelinin kontrol noktasında indüklediği hız bileşenlerinij paneline bağlı eksen takımında hesapla

Pj

Pj+1

Ci

x

y

tj

nj

θjCj

γ = 1

te

nerij

ue

ve

jyyixxrjCiCjCiCij

rrr)()( −+−=

)(])()[( jtitjyyixxtrtjyjxjCiCjCiCjije

rrrrrr+⋅−+−=⋅= jyjCiCjxjCiCe tyytxxt )()( −+−=

)(])()[( jninjyyixxnrnjyjxjCiCjCiCjije

rrrrrr+⋅−+−=⋅= jyjCiCjxjCiCe nyynxxn )()( −+−=

∫+

∂

Θ∂

π=

1

2

1j

j

P

P

is

e dtt

u

∫+

∂

Θ∂

π=

1

2

1j

j

P

P

is

e dtn

v


65


[ ] 2

1

1

2

1

2

1 ββΘ

π=

∂

Θ∂

π= ∫

+j

j

P

P

e dtt

u

1) Hız bileşenlerini j paneline bağlı eksen takımında hesapla

1

2ln2

1

R

Rve

π=

222

221

)2/(

)2/(

eje

eje

ntR

ntR

+∆−=

+∆+=

( )∫∫++

+−π=

∂

Θ∂

π=

11

222

1

2

1j

j

j

j

P

P ee

e

P

P

e dtntt

ndt

nv

)(2

112 β−β

π=eu

Ci

t

n

Θ

te

ne

ue

ve

Pj+1

Cj

Pj

∆ j /2 ∆ j /2

r

dt

R1

R2

β1β2

t

222

112

)2/(tan

jee

je

nt

n

∆−+

∆=β−β −

2/tan

2/tan

12

11

je

e

je

e

t

n

t

n

∆−=β

∆+=β

−

−


66


1) Hız bileşenlerini j paneline bağlı eksen takımında hesaplaPanelin kendi kontrol noktasındaki etkisi ( i = j hali )

Ci

t

n

ue

ve

Pj+1CjPj

∆ j /2 ∆ j /2

R1

R2

β1

β2

ji CC →

0=ev

0ln12/

2/

1

2

1

2

2

1→⇒→⇒

∆→

∆→

R

R

R

R

R

R

j

j

2

1=eu

π→β−β⇒

→β

π→β12

2

1

0


67


2) Hız bileşenlerini cisim eksenlerine aktar

jeje nvtuVrrr

+=

ijninvjtituinvtuiVujyjxejyjxejeje

rrrrrrrrrr

⋅+++=⋅+=⋅= ))()([)(

Ci

x

y

tj

nj

θjCj

v

u

V

ue

ve

jxejxe nvtuu +=

jjninvjtitujnvtujVvjyjxejyjxejeje

rrrrrrrrrr

⋅+++=⋅+=⋅= )]()([)( jyejye nvtuv +=

jninn

jtitt

jyjxj

jyjxj

rrr

rrr

+=

+=


68


3) Hız bileşenlerini i paneline bağlı teğet-normal eksen takımına aktar

jviuVrrr

+=

)()( jtitjviutVviyixit

rrrrrr

+⋅+=⋅= ijiyixit Atvtuv =+=

jninn

jtitt

iyixi

iyixi

rrr

rrr

+=

+=

x

y

ti

ni

Ci

v

u

V

vtvn

)()( jninjviunVviyixin

rrrrrr

+⋅+=⋅= ijiyixin Bnvnuv =+=


69

Kalın profiller için girdap panel yöntemiDenklem sistemi

=

γ

γ

γ

γ

⋅

0100001

0

0

0

0

3

2

1

3

2

1

321

33231

22321

11312

Nn

n

n

n

NNNN

N

N

N

V

V

V

V

BBB

BBB

BBB

BBB

LL

LL

LLLLLL

LL

LL

LL

Girdap şiddeti firar kenarında sıfır olmalı.

şekline gelir. Burada Bilinmeyen sayısı: N (γ1, γ1,…,γN)Denklem sayısı : N+1

Denklem sayısı bilinmeyen sayısından 1 fazla olup, 1 adet denklemin atılması gerekir.

Date post:	28-Feb-2021
Category:	Documents
Upload:	others
View:	4 times
Download:	0 times

KANAT PROFİLLERİETRAFINDA SIKIŞTIRILAMAZ AKIMyukselen/Uck351/5-%20Kanat%20... · 2012. 12....

Documents