KarolPak Reorg NatDeduction Proofs MathUI10

7/27/2019 KarolPak Reorg NatDeduction Proofs MathUI10

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T h e M e t h o d s o f I m p r o v i n g a n d R e o r g a n i z i n g

N a t u r a l D e d u c t i o n P r o o f s

K a r o l P k

U n i v e r s i t y o f B i a y s t o k ,

I n s t i t u t e o f C o m p u t e r S c i e n c e , B i a y s t o k , P o l a n d

p a k k a r o l @u w b . e d u . p l

A b s t r a c t . T h e i n t e r a c t i o n b e t w e e n a p r o o f a s s i s t a n t s y s t e m a n d i t s u s e r

c a n b e i m p r o v e d n o t o n l y b y d e v e l o p i n g n e w f e a t u r e s o f t h e f r o n t - e n d

a p p l i c a t i o n s , b u t a l s o b y o e r i n g t h e u s e r e n r i c h e d r e a d a b i l i t y o f t h e u n -

d e r l y i n g f o r m a l l a n g u a g e . E n c o d i n g o f n e w m a t h e m a t i c s i s g r e a t l y s i m -

p l i e d i f t h e u s e r h a s a c c e s s t o m o r e l e g i b l e t e x t s i n t h e l i b r a r y o f a l r e a d y

f o r m a l i z e d t h e o r i e s . A l t h o u g h a r i c h l a n g u a g e e n a b l e s w r i t i n g r e a d a b l e

t e x t s , i t d o e s n o t m e a n t h a t a l l t e x t s p r o d u c e d b y a u t h o r s s u c i e n t l y e x -

p l o i t t h e l a n g u a g e ' s c a p a b i l i t i e s . I t c a n b e o b s e r v e d a n a l y z i n g n o n t r i v i a l

e x a m p l e s o f n a t u r a l d e d u c t i o n p r o o f s , e i t h e r d e c l a r a t i v e o r p r o c e d u r a l ,

t h a t a u t h o r s t e n d t o c r e a t e d e d u c t i o n s w h i c h a r e c o r r e c t f o r c o m p u t e r s ,

b u t h a r d l y r e a d a b l e f o r h u m a n s , a s t h e y b e l i e v e t h a t n d i n g a n d r e m o v -

i n g i n e s s e n t i a l r e a s o n i n g f r a g m e n t s , o r s h o r t e n i n g t h e p r o o f s i s n o t s o

i m p o r t a n t a s l o n g a s t h e c o m p u t e r a c c e p t s t h e p r o o f s c r i p t . T o r e s o l v e

t h i s p r o b l e m w e c r e a t e d a u x i l i a r y a p p l i c a t i o n s t o i m p r o v e t h e q u a l i t y o f

f o r m a l t e x t s a n d w e p r e s e n t t h e m i n t h i s a r t i c l e .

1 I n t r o d u c t i o n

T h e d a t a b a s e s o f t h e f o r m a l i z e d m a t h e m a t i c s a r e c o n s t a n t l y e n l a r g i n g a n d

a c h i e v e t h e c o n s i d e r a b l e s i z e s b e c a u s e o f a d d i n g t o i t m o r e a n d m o r e a r t i c l e s .

U n f o r t u n a t e l y , t h i s e n l a r g e m e n t o f t h e d a t a b a s e s i n n o t a l w a y s a c c o m p a n i e d b y

t h e i m p r o v e m e n t o f t h e q u a l i t y o f t h e f o r m a l i z a t i o n o f t h e a r t i c l e s . O b v i o u s l y , t h e

l e g i b i l i t y i s a s u b j e c t i v e n o t i o n a n d a n i n d i v i d u a l m a t t e r f o r d i e r e n t a u t h o r s .

T h e r e a r e s o m e r e a s o n s o f d a t a b a s e ' s i l l e g i b i l i t y . F i r s t l y , t h e a r t i c l e s a r e w r i t -

t e n n o t o n l y b y t h e u s e r s w h o k n o w t h e c o n t e n t o f t h e d a t a b a s e a n d a r e a b l e t o

u s e i t , b u t a l s o b y i n e x p e r i e n c e d u s e r s . T h e s e n e w u s e r s d o n o t k n o w t h e w h o l e

d a t a b a s e a n d b e c a u s e o f t h a t t h e y p r o v e u n i n t e n t i o n a l l y t h e o r e m s w h i c h h a v e

b e e n a l r e a d y p r o v e d . M o r e o v e r , n e w u s e r s l e a r n f r o m s i m p l e a n d n o t s o p h i s t i -

c a t e d a r t i c l e s w h i c h w e r e w r i t t e n i n t h e o l d e r v e r s i o n s o f t h e s y s t e m . B e c a u s e

o f t h i s f a c t , i n e x p e r i e n c e d u s e r s a r e o f t e n r e p e a t i n g t h e o l d p r o o f s t r a t e g i e s a n d

d o n o t u s e a l l p o s s i b i l i t i e s o f t h e d a t a b a s e a n d o f t h e s y s t e m f o r v e r i f y i n g c o r -

r e c t n e s s o f p r o o f s . T h e s e c o n d r e a s o n o f i l l e g i b i l i t y c o n s i s t s o f t h e f a c t t h a t t h e

m a j o r i t y o f a u t h o r s w h o d e v e l o p a n d r e v i s e s u b s e q u e n t v e r s i o n s o f a p r o o f o f t e n

a d d s t a t e m e n t s t h a t m i g h t h a v e b e e n u s e f u l a t s o m e p o i n t o f a r e v i s i o n , b u t a r e

n o t r e a l l y n e c e s s a r y f o r t h e n a l v e r s i o n o f t h e p r o o f . F i n a l l y , l a c k o f t h e l e g i b i l i t y


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2 K a r o l P k

o f t h e d a t a b a s e r e s u l t s f r o m t h e f a c t t h a t s o m e p r o o f s a r e e x c e s s i v e l y l a r g e , o f t e n

b e c a u s e o f m a n u a l r e v i s i o n s w h i c h u n w i t t i n g l y i n t r o d u c e u n n e c e s s a r y i t e m s .

T o a v o i d t h i s p r o b l e m m u s t b e e l a b o r a t e d t h e u n i f o r m c r i t e r i a o f t h e p r o o f s '

l e g i b i l i t y a n d t h e n t h e t o o l s w h i c h w i l l c a u s e t h a t t h e s e c r i t e r i a w i l l b e f u l l l e d .

T h e r e a r e t w o p o s s i b i l i t i e s t o d o i t . F i r s t l y , a l l a r t i c l e s c a n b e i m p r o v e d m a n -

u a l l y , w h a t r e q u i r e s t h o u s a n d s o f h o u r s o f w o r k . S e c o n d l y , i t c a n b e d o n e w i t h

i n n o v a t i v e p r o g r a m s w h i c h a u t o m a t i c a l l y s h o r t e n t h e c o n s i d e r a b l e p a r t o f t h i s

m a n u a l a n d a r d u o u s w o r k . I t i s p o s s i b l e b e c a u s e t h e s e a u x i l i a r y a p p l i c a t i o n s a u -

t o m a t i c a l l y s t a n d a r d i z e a n d s h o r t e n c e r t a i n s t e p s o f d e d u c t i o n . T h e u s e r o f t h i s

a p p l i c a t i o n c a n e s t a b l i s h t h e h i e r a r c h y o f t h e c r i t e r i a w h i c h m u s t b e u s e d d u r i n g

t h e r e o r g a n i z a t i o n o f t h e p r o o f b y t h i s p r o g r a m . T h e s e c r i t e r i a a r e d e s c r i b e d i n

t h e o u r p a p e r a r e i l l u s t r a t e d w i t h M i z a r s y s t e m [ 7 ] i n o r d e r t o i m p r o v e t h e q u a l -

i t y o f t h e M i z a r M a t h e m a t i c a l L i b r a r y ( M M L ) [ 1 3 ]

1

. H o w e v e r , t h e s e t e c h n i q u e s

a r e u s e f u l i n e v e r y d e c l a r a t i v e s y s t e m b a s i n g o n t h e n a t u r a l d e d u c t i o n , c r e a t e d

b y S . J a k o w s k i a n d F . B . F i t c h [ 3 , 4 , 6 ] .

T h e s t r u c t u r e o f t h i s a r t i c l e i s a s f o l l o w s . I n S e c t i o n 2 w e p r e s e n t t h e a b s t r a c t

r e p r e s e n t a t i o n o f p r o o f s i n t h e f o r m o f a g r a p h , b a s e d o n n a t u r a l d e d u c t i o n o f

J a k o w s k i . S u b s e q u e n t l y , S e c t i o n 3 p r e s e n t s s e l e c t e d t y p e s o f e x c e s s i v e s t e p s o f

d e d u c t i o n , w h i c h c a n a p p e a r i n d e c l a r a t i v e f o r m a l p r o o f s . T h i s s e c t i o n a l s o c o n -

t a i n s t h e d e s c r i p t i o n o f p r o b l e m s o c c u r r i n g d u r i n g t h e e l i m i n a t i o n o f t h e s e s t e p s

o f d e d u c t i o n . T h e k n o w l e d g e o f t h e M i z a r s y s t e m i s n o t r e q u i r e d t o u n d e r s t a n d

t h e p r o b l e m e v e n i f t h e p r o o f s w h i c h a r e d e s c r i b e d a r e r e p r e s e n t e d i n t h e M i z a r

s t y l e . I n S e c t i o n 4 w e p r e s e n t t h e a l g o r i t h m s f o r r e o r g a n i z a t i o n a n d e l i m i n a t i o n ,

a n d a l s o w e r e p o r t t h e s t a t i s t i c a l r e s u l t s o b t a i n e d w i t h t h e M M L d a t a b a s e .

2 T h e P r o o f G r a p h

W h e n p r o o f s w r i t t e n i n a f o r m a l s y s t e m a r e c o n s i d e r e d , g r a p h s a n d d i r e c t e d

t r e e s a r e o f t e n e m p l o y e d t o e x p r e s s t h e i n t u i t i o n s c o n n e c t e d w i t h t h e r e a s o n i n g .

I n t h i s s e c t i o n , o n t h e b a s i s o f t h e n a t u r a l d e d u c t i o n s y s t e m , w e w i l l t r y t o g i v e

a d e n i t i o n o f t h e p r o o f g r a p h , w h i c h w i l l e x p r e s s t h e m o s t g e n e r a l a p p r o a c h t o

t h i s q u e s t i o n .

F o r a n a l y z i n g t h e r e l a t i o n s b e t w e e n c o n s e c u t i v e s t e p s i n f o r m a l p r o o f s i n t h e

s y s t e m o f S . J a k o w s k i , t h e i n t e r p r e t a t i o n o f t h e p r o o f g r a p h a s a d i r e c t e d g r a p h

( d i g r a p h ) o f t h e r e f e r e n c e

Ri s o f t e n u s e d , w h e r e t h e i n d i v i d u a l s t e p s o f r e a s o n i n g

a r e t h e v e r t i c e s a n d t h e d i r e c t e d e d g e s d e n e t h e r e l a t i o n s b e t w e e n a n e x p r e s s i o n

a n d a p r e v i o u s l y j u s t i e d f a c t u s e d a s t h e j u s t i c a t i o n f o r t h a t e x p r e s s i o n .

M o r e p r e c i s e l y , t h e e x p r e s s i o n s a n d a r e c o n n e c t e d w i t h a d i r e c t e d e d g e

p o i n t i n g d i r e c t l y f r o m

t o

, i f a n d o n l y i f t h e r e e x i s t a s e t

R, s u c h t h a t

Ra n d t h e c o m p u t e r s y s t e m c a n v e r i f y c o r r e c t n e s s o f u s i n g p r e m i s e s f r o m R W ew o u l d l i k e t h a t R n o t c o n t a i n c o n c l u s i o n s f r o m ( t h e n s u c h a g r a p h d o e s n o t h a v e d i r e c t e d c y c l e s ) a n d t h e c a r d i n a l i t y o f R i s a s s m a l l a s p o s s i b l e .

1

R e s u l t s o n t h e i m p r o v e m e n t o f t h e q u a l i t y o f t h e b a s e M M L , w h i c h c o n t a i n s m o r e

t h a n 1 0 0 0 a r t i c l e s v e r i e d t h e M i z a r p r o o f c h e c k e r , a r e o n t h e w e b s i t e [ 1 0 ]


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T h e M e t h o d s o f I m p r o v i n g a n d R e o r g a n i z i n g N a t u r a l D e d u c t i o n P r o o f s 3

I n s u c h i n t e r p r e t a t i o n , t h e o w o f i n f o r m a t i o n i n t h e p r o o f i s w e l l p r e s e n t e d

b u t t h e s t r u c t u r e o f t h e p r o o f s i s n o t p r e s e r v e d . I n o r d e r t o r e p r e s e n t t h e s t r u c -

t u r e , i t i s n e c e s s a r y t o e x t e n d t h e a n a l y z e d g r a p h w i t h t h e r e l a t i o n s d e s c r i b i n g

t h e d e p e n d e n c e b e t w e e n t h e e x p r e s s i o n a n d i t s p r o o f .

T h e r e f o r e , w e c a n c o n s i d e r t h e p r o o f D , t h a t c a n c o n t a i n n e s t e d l e m m a s , a s a n i t e s e q u e n c e o f f a m i l i e s o f p r o o f g r a p h s w i t h o u t t h e s e n e s t e d l e m m a s . T o

c o n s t r u c t s u c h s e q u e n c e , t h e r s t f a m i l y h a v e t o c o n s i s t o f o n l y o n e e l e m e n t

( t h e p r o o f g r a p h o f D w i t h c u t n e s t e d l e m m a s ) . I n t h e s e c o n d s t e p , w e c r e a t e a s e c o n d f a m i l y w h i c h c o n s i s t s o f p r o o f g r a p h n e s t e d l e m m a s c u t f r o m t h e p r o o f

g r a p h o f D . I n t h e t h i r d s t e p , w e c u t t h e n e s t e d l e m m a s f r o m a l l p r o o f g r a p h s f r o m t h e s e c o n d f a m i l y a n d w e c r e a t e f r o m i t t h e t h i r d f a m i l y . W e r e p e a t t h e

t h i r d s t e p u n t i l t h e l a s t f a m i l y w i l l n o t c o n t a i n a n y n e s t i n g . T h e n , t o r e g a i n t h e

l o s t r e l a t i o n s b e t w e e n t h e e x p r e s s i o n a n d i t s p r o o f , w e i n t r o d u c e a n a d d i t i o n a l

s e t o f a r c s , t h a t w e w i l l c a l l m e t a - e d g e s . A m e t a - e d g e l e a d s f r o m

t o

i f a n d

o n l y i f i s o n e o f t h e s t e p s i n t h e r e a s o n i n g o f t h e p r o o f o f .

T h e m e t a - e d g e s d e s c r i b e r e l a t i o n s b e t w e e n s u i t a b l e v e r t i c e s o f f a m i l i e s i a n d

i + 1. O b v i o u s l y , t h e e x t e n d e d g r a p h d o e s n o t c o n t a i n d i r e c t e d c y c l e s , a n d f o r a n

a r b i t r a r y a r c r e s u l t i n g f r o m t h e r e f e r e n c e c o n n e c t e d d i r e c t l y f r o m b e l o n g i n g

t o t h e g r a p h

Gf r o m t h e

n- f a m i l y t o

b e l o n g i n g t o t h e g r a p h f r o m t h e

k- f a m i l y

w e c a n s a y t h a t

n k , t h e r e e x i s t s a p a t h d i r e c t e d t o m e t a - e d g e s j o i n i n g a n d a c h o s e n v e r t e x i n

G.

T h i s a p p r o a c h w a s c r e a t e d b y M i l e w s k i [ 8 ] h o w e v e r i t d o e s n o t d e s c r i b e t h e

s u c i e n t n u m b e r o f r e l a t i o n s n e c e s s a r y t o r e o r g a n i z e t h e p r o o f .

T h e f o l l o w i n g e x a m p l e s h o w s a f o r m a l p r o o f i n F i t c h n o t a t i o n a n d i t s a s s o -

c i a t e d g r a p h w i t h m e t a e d g e s , w h i c h d e m o n s t r a t e t h i s l a c k o f t h e r e l a t i o n s .

1

xP(x) p r e m i s e 2

x (P(x) (R(x)Q(x))) p r e m i s e 3

x (R(x) S(x)) p r e m i s e 4

x0 P(x0) a s s u m p t i o n 5

P(x0) (R(x0)Q(x0)) x e 26

R(x0) Q(x0) e 5 , 4 7

R(x0) a s s u m p t i o n Q(x0) a s s u m p t i o n 8

R(x0) S(x0) x e 3 S(x0)Q(x0) i 2 79

S(x0) e 9 , 8 x (S(x)Q(x)) x i 81 0

S(x0)Q(x0) i 1 91 1

x (S(x)Q(x)) x i 1 01 2

x (S(x)Q(x)) e 6 , 7 - 9 ; 7 - 1 1 1 3 x (S(x)Q(x)) x e 1 , 4 - 1 2

T h e i n t e r p r e t a t i o n o f t h e a b o v e - m e n t i o n e d f o r m a l p r o o f a s a g r a p h w i t h m e t a -

e d g e s h a s t h e f o l l o w i n g s t r u c t u r e , w h e r e a r r o w s r e p r e s e n t t h e r e f e r e n c e s a n d a r r o w s i l l u s t r a t e t h e m e t a - e d g e s . T h e d a s h e d a n d d o t t e d a r r o w s d o n o t b e l o n g

t o t h e s e g r a p h , t h e i r m e a n i n g w i l l b e d e s c r i b e d i n t h e f u r t h e r p a r t .


4/15


5/15


T h e P r o o f G r a p h T h e s t r u c t u r e

P := V , M , E w i l l b e c a l l e d t h e p r o o f g r a p h i f a n d o n l y i f

1 .

M := V, M i s a f o r e s t , i . e . a d i s j o i n t u n i o n o f t r e e s , i n w h i c h e v e r y c o n n e c t e d m a x i m a l t r e e i s a n a r b o r e s c e n c e , i . e a r o o t e d t r e e w i t h i n v e r t e d d i r e c t i o n ( a l l

a r c s g o i n t h e d i r e c t i o n f r o m l e a v e s t o t h e r o o t ) [ 5 ] .

2 . A n a r b i t r a r y a r c (u, v) i n t h e d i r e c t e d g r a p h E := V, E f u l l l s t h e c o n d i t i o n :e v e r y n e a r e s t s u c c e s s o r o f

ui s a p r e d e c e s s o r o f

vi n t h e f o r e s t

M.

3 . T h e d i r e c t e d g r a p h G := V, M E i s a c y c l i c .

T h e e e c t o f i n v e r s i o n o f d i r e c t i o n c o n s i s t s i n s w a p p i n g t h e n o t i o n s o f c h i l d a n d

p a r e n t ( o r p r e d e c e s s o r a n d s u c c e s s o r ) i n c o m p a r i s o n t o t h e n a t u r a l t r e e s .

T o e x p l a i n w h y w e u s e t h e d e n i t i o n o f t h e f o r e s t , i n w h i c h e v e r y c o n n e c t e d

m a x i m a l t r e e i s a n a r b o r e s c e n c e w i t h t h e r o o t a n d i n v e r t e d d i r e c t i o n s , l e t u s

d e n e t h e a u x i l i a r y f u n c t i o n

l : V N. T h e v a l u e o f l(v) i s e q u a l t o t h e l e n g t h o f t h e d i r e c t e d p a t h i n c r e a s e d b y o n e f r o m

vt o t h e r o o t i n t h e c o n n e c t e d m a x i m a l

t r e e o f

M, w h i c h c o n t a i n s

v. T h e n

l(v)w e c a n i n t e r p r e t a s a i n d e x o f f a m i l y f r o m

t h e s e q u e n c e o f f a m i l i e s o f p r o o f g r a p h s w i t h o u t n e s t e d l e m m a s , w h i c h c o n t a i n s

v.

A d d i t i o n a l l y , g r a p h s f r o m i n d i v i d u a l f a m i l i e s a r e d e n e d b y t h e n o t i o n o f

t h e n e a r e s t s u c c e s s o r ( i n v e r t e d r e l a t i o n o f s i b l i n g s ) . L e t u s a l s o n o t i c e t h a t s u c h

i n t r o d u c t i o n o f t h e s e q u e n c e o f t h e f a m i l i e s o f g r a p h s o n t h e b a s i s o f f o r e s t

M,

c a u s e s t h a t m e t a - e d g e s c o n n e c t s t a t e m e n t s o f t h e f a m i l y i + 1 w i t h s t a t e m e n t s o f t h e f a m i l y

i.

I n g r a p h t h e o r y t h e t w o c o n d i t i o n s d e s c r i b e l i m i t a t i o n s i m p o s e d o n t h e f o r -

m a l p r o o f . N a m e l y , t h e s e c o n d c o n d i t i o n s a y s t h a t t h e s t a t e m e n t s o f r e a s o n i n g

o f t h e p r o v i d e d t h e o r e m a r e i n v i s i b l e b e y o n d t h a t p r o o f . W h e r e a s , t h e t h i r d c o n -

d i t i o n r e j e c t s e x i s t e n c e o f d i r e c t e d c y c l e s w h i c h i s e q u i v a l e n t t o t h e a p p l i c a t i o n

o f p r o v i d e d t h e o r e m o r c o n c l u s i o n f r o m t h a t t h e o r e m i n s i d e t h e p r o o f .

I n s i d e t h e f a m i l y o f a r c s E w e c a n d i s t i n g u i s h t h r e e i m p o r t a n t s u b f a m i l i e s :

R a r c s r e s u l t i n g f r o m t h e u s e o f f a c t s w h i c h h a v e b e e n a l r e a d y p r o v e d i n t h e j u s t i c a t i o n o f a n o t h e r r u l e ;

V a r c s d e n i n g t h e d e p e n d e n c e b e t w e e n t h e i n t r o d u c t i o n o f t h e v a r i a b l e a n d i t s u s e ;

S a r c s d e n i n g t h e o r d e r o f s k e l e t o n s t e p s .

O b v i o u s l y , t h e a b o v e - m e n t i o n e d f a m i l i e s a r e n o t d i s j o i n t a n d t h e y d o n o t e x h a u s t

t h e s e t

E.

T o i l l u s t r a t e t h e a b o v e - m e n t i o n e d d e n i t i o n , l e t u s c o n s i d e r t h e f o l l o w i n g

e x a m p l e . W e w i l l r e p r e s e n t t h e d r i n k e r ' s p r i n c i p l e d e s c r i b e d i n t h e a r t i c l e [ 1 5 ] .

I t s t a t e s t h a t i n e v e r y g r o u p o f p e o p l e o n e c a n p o i n t t o o n e p e r s o n i n t h e g r o u p

s u c h t h a t i f t h a t p e r s o n d r i n k s , t h e n a l l t h e p e o p l e i n t h e g r o u p d r i n k . T h e

q u o t e d p r o o f i s n o t i n d i s p e n s a b l e f o r t h e M i z a r s y s t e m ( a n e m p t y s e m i c o l o n

j u s t i c a t i o n s u c e s t o h a v e i t a c c e p t e d b y t h e c h e c k e r ) , b u t a p r o o f g r a p h b a s e d

o n t h i s r e a s o n i n g i l l u s t r a t e s w e l l t h e s u b f a m i l i e s o f t h e f a m i l y E.

T h e r e a s o n i n g i n t h e M i z a r s t y l e :


6/15


7/15


r e f e r e n c e s w h i c h c a n b e r e p l a c e d b y a l l r e f e r e n c e s u s e d t o j u s t i f y s t a t e m e n t s

t h e y p o i n t t o ,

s t e p s o f d e d u c t i o n w h i c h a r e n o t u s e d i n a n y p r o o f l e a d i n g t o t h e f a c t t h a t

s o m e t h e s i s o r s t e p s o f d e d u c t i o n h a v e n o r e f e r e n c e s p o i n t i n g t o t h e m ( v e r -

t i c e s f o r w h i c h e v e r y t h e s i s i s n o t a s u c c e s s o r i n t h e p r o o f g r a p h ) ,

s t e p s o f d e d u c t i o n w h i c h c a n b e t o t a l l y r e p l a c e d b y e x t e r n a l r e f e r e n c e s , w h i c h

c a n b e f o u n d i n j u s t i c a t i o n s o f t h e s e s t e p s o f d e d u c t i o n .

a r e a l r e a d y r e s o l v e d ( s e e [ 9 ] ) a n d i n t h i s a i m t h e n e c e s s a r y a u x i l i a r y a p p l i c a t i o n s

( e . g . R e l p r e m , R e l i n f e r , I n a c c o r T r i v d e m o ) h a v e a l r e a d y b e e n c r e a t e d .

T h e s e a u x i l i a r y a p p l i c a t i o n s h a v e e n a b l e d t o d i s c o v e r t h e n e x t i m p o r t a n t

p r o b l e m t h a t w a s n o t r e s o l v e d . W e c a n q u a l i f y i t a s c o v e r e d b y

& . T o d e s c r i b e

t h i s p r o b l e m l e t u s c o n s i d e r t w o d e d u c t i o n s m e r g e d b y t h e a u t h o r i n t o o n e

r e a s o n i n g .

1 i m p l i e s n 1 i m p l i e s m 1 & 1 i m p l i e s n & mp r o o f p r o o f p r o o f

a s s u m e

1 ; a s s u m e 1 ; a s s u m e 1 & 1 ;

t h e n

2 ; t h e n 2 ; t h e n 2 & 2 ;.

.

.

.

.

.

.

.

.

h e n c e

n ; t h e n n ; t h e n n & n ;

e n d ; t h e n

n+1 ; t h e n n & n+1 ;.

.

.

.

.

.

h e n c e

m ; h e n c e n & m ;

e n d ; e n d ;

S u c h a m e r g e d o e s n o t c a u s e m i s t a k e s i n t h e r e a s o n i n g , b u t c a n c o n t a i n s o m e

r e p e a t e d e x p r e s s i o n s ( n o t o n l y t h e e x p r e s s i o n n ) . L e t u s a l s o n o t i c e t h a t i n s u c h

a p r o o f , e . g . t o p r o v e t h e r u l e

i+1 a n u n n e c e s s a r y s t e p , i , i s u s e d . M o r e o v e r ,

t h e r u l e i & i c a n b e n e c e s s a r y i n r e a s o n i n g d e s p i t e t h e f a c t t h a t o n e o f t h e s t e p s i o r i i s n o t n e c e s s a r y .

A n o t h e r p r o b l e m w h i c h c a n o c c u r i n t h e m e r g e d p a r a l l e l d e d u c t i o n c o n s i s t

o f r e m o v i n g b y t h e a u t h o r s o m e p a r t o f t h e t h e s i s ( e . g . m ) w i t h o u t c h a n g i n g

t h e a s s u m p t i o n s a n d p r o o f . S u c h c h a n g e l i m i t s , i n a n i m p o r t a n t w a y , t h e s t a t e -

m e n t ; h o w e v e r t h e p r o o f i s s t i l l c o r r e c t . N o n e o f t h e a b o v e - m e n t i o n e d a u x i l i a r y

a p p l i c a t i o n s c a n d e t e c t s u c h c a s e s . I t i s e a s y t o n o t i c e t h a t t h e c r e a t i o n o f a l -

g o r i t h m t h a t c o u l d a u t o m a t i c a l l y n d s u c h c a s e s i s i n c o m p a r a b l y m o r e d i c u l t

t h a n t h e c r e a t i o n o f t h e a b o v e - m e n t i o n e d a u x i l i a r y a p p l i c a t i o n . S u c h a n a l g o -

r i t h m s h o u l d c o n s i d e r a l l d e d u c t i o n s a n d n o t o n l y o n e s t e p a s i t i s d o n e b y t h e

a u x i l i a r y a p p l i c a t i o n s c r e a t e d u n t i l n o w .

O u r a u x i l i a r y a p p l i c a t i o n s o l v e s m u c h m o r e c o m p l i c a t e d p r o b l e m s , s u c h a s

t h e f o l l o w i n g e x a m p l e i l l u s t r a t e s :


8/15

8 K a r o l P k

1 & 1 i m p l i e s 4p r o o f

a s s u m e A 1 :

1 & 1 ;

4 & 4p r o o f

2 & 2 b y A 1 ;

t h e n

3 & 3 ;

h e n c e

4 & 4 ;

e n d ;

h e n c e

4 ;

e n d ;

O u r a u x i l i a r y a p p l i c a t i o n h a s f o u n d n u m e r o u s c a s e s o f s u c h p r o b l e m n o t o n l y i n

l e m m a s b u t a l s o i n 5 4 1 t h e o r e m s i n M M L ( i t m e a n s , o n a v e r a g e , o n e i n e v e r y

1 0 0 t h e o r e m s ) , a s i n t h e e x e m p l e [ 1 2 ] :

t h e o r e m : : N A G A T A _ 1 : 2 0

f o r T b e i n g n o n e m p t y T o p S p a c e s t T i s r e g u l a r & T i s T _ 1 &

e x B n b e i n g F a m i l y S e q u e n c e o f T s t B n i s B a s i s _ s i g m a _ l o c a l l y _ f i n i t e

h o l d s T i s n o r m a l ;

i n w h i c h t h e a s s u m p t i o n T i s T _ 1 i s u n n e c e s s a r y , a l t h o u g h t h e t h e o r e m w a s f o r -

m a l i z e d o n t h e b a s e o f t h e b o o k [ 2 ] ( i n t h e b o o k , t h e a t t r i b u t e s T3 a n d " r e g u l a r "

a r e s y n o n y m o u s , w h i l e i n t h e M i z a r s y s t e m e v e r y T3 s p a c e i s a r e g u l a r T1 s p a c e ,

b u t t h e a t t r i b u t e s

T1 a n d " r e g u l a r " a r e n o t t h e s a m e ) .

T h e s o l u t i o n p r e s e n t e d i n S e c t i o n 4 b r e a k s c o n j u n c t i o n s a n d r e m o v e s u n n e c -

e s s a r y s t e p s t h a t w e r e c r e a t e d i n t h i s w a y , i n t h e w h o l e b a s e M M L . I s t o e a s y

t o n o t i c e t h a t t h e m a j o r i t y o f t h e s t e p s o f d e d u c t i o n w h i c h c o n t a i n c o n j u n c t i o n s

h a s b e c o m e i l l e g i b l e . T h e a n a l y z e d p r o o f o f t h e s t e p

1 & 1 i m p l i e s n & mc a n l o o k a s f o l l o w s :

1 & 1 i m p l i e s n & mp r o o f

a s s u m e t h a t A 1 : 1 a n d A 2 : 1 ;

A 3 : 2 b y A 1 ;

A 4 : 2 b y A 2 ;

A 5 : 3 b y A 3 ;

A 6 : 3 b y A 4 ;

A 7 : 4 b y A 5 ;

.

.

.

I n o r d e r t o p r e s e n t t h i s p r o b l e m p r e c i s e l y , l e t u s c o n s i d e r a s i m p l e M i z a r - s t y l e

p r o o f , w h o s e p r o o f g r a p h w e l l i l l u s t r a t e s t y p i c a l s i t u a t i o n s m e t d u r i n g t h e r e o r -

g a n i z a t i o n o f t h e p r o o f .

t h e o r e m

i i n S e g n i m p l i e s i + m i n S e g ( n + m )

p r o o f

a s s u m e i i n S e g n ;

t h e n 1 < = i & i < = n & i < = i + m b y N A T _ 1 : 1 1 , F I N S E Q _ 1 : 3 ;

t h e n 1 < = i + m & i + m < = n + m b y X R E A L _ 1 : 9 , X X R E A L _ 0 : 2 ;

h e n c e t h e s i s b y F I N S E Q _ 1 : 3 ;

e n d ;


9/15


w h e r e i , n , m N a n d S e g n = { 1 , . . . , n } . W e c a n a l s o a n a l y z e t h e a b o v e - m e n t i o n e d r e a s o n i n g i n a d i e r e n t s y s t e m , e . g . i n t h e I s a b e l l e s t y l e [ 1 1 ] :

l e m m a

f i x e s n i m : : n a t

a s s u m e s a : " i \ < i n > { k : : n a t . 1 < = k & k < = n } "

s h o w s " i + m \ < i n > { k : : n a t . 1 < = k & k < = n + m } "

p r o o f -

h a v e " 1 < = i & i < = n & i < = i + m " u s i n g a b y a u t o

t h e n h a v e " 1 < = i + m & i + m < = n + m " b y a u t o

t h e n s h o w ? t h e s i s b y a u t o

q e d

H a v i n g b r o k e n a l l c o n j u n c t i o n s o f t h e r e a s o n i n g a n d h a v i n g s i m p l i e d t h e l i s t s

o f t h e r e f e r e n c e , w e o b t a i n :

t h e o r e m


p r o o f

a s s u m e A 1 : i i n S e g n ;

t h e n A 2 : 1 < = i b y F I N S E Q _ 1 : 3 ;

A 3 : i < = n b y A 1 , F I N S E Q _ 1 : 3 ;

i < = i + m b y N A T _ 1 : 1 1 ;

t h e n A 4 : 1 < = i + m b y A 2 , X X R E A L _ 0 : 2 ;

i + m < = n + m b y A 3 , X R E A L _ 1 : 9 ;

h e n c e t h e s i s b y A 4 , F I N S E Q _ 1 : 3 ;

e n d ;

a n d p r o o f g r a p h :


a s s u m e

i i n S e g n

1


10/15

1 0 K a r o l P k

p r o o f ' s r e o r g a n i z a t i o n . T h i s e s s e n t i a l p o i n t c o n s i s t s o f d e t e r m i n a t i o n o f c r i t e r i a

w h i c h c a n i m p r o v e t h e l e g i b i l i t y o f f o r m a l p r o o f s i n t h e s y s t e m o f n a t u r a l d e -

d u c t i o n . H a v i n g a n a l y z e d t h e d i e r e n t o p i n i o n s o f u s e r s o f d a t a b a s e w e p r o p o s e

t h e f o l l o w i n g f o u r c r i t e r i a o f l e g i b i l i t y o f d e d u c t i o n :

1 . m a x i m i z a t i o n o f t h e l e n g t h o f t h e p a t h s w h e r e e v e r y c o n s e c u t i v e j u s t i c a t i o n

s h o u l d r e f e r t o a p r e v i o u s l i n e ( r e f e r e n c e w i t h w o r d s t h e n , h e n c e w i t h o u t

i n t r o d u c i n g n e w l a b e l s ) a n d , i f i t i s p o s s i b l e , t o a m i n i m a l n u m b e r o f d i e r e n t

l a b e l s w h i c h d o e s n o t b e l o n g t o t h i s p a t h ,

2 . m i n i m i z a t i o n o f t h e q u a n t i t y o f i n t r o d u c e d l a b e l s ,

3 . m i n i m i z a t i o n o f t h e t o t a l l e n g t h o f j u m p s t o d i s t a n t , p r e v i o u s l y j u s t i e d

f a c t s ,

4 . p r e s e n t a t i o n , i n t h e c o h e r e n t e n t i r e t y o f t h e p r o o f , o f r e a s o n i n g s t e p s w h i c h

i n t h e p r o o f g r a p h l o c a l l y c r e a t e t h e s u b - d e d u c t i o n .

A s w e m e n t i o n e d i n t h e i n t r o d u c t i o n , e s t a b l i s h i n g o f t h e d e g r e e o f i m p o r t a n c e o f

p a r t i c u l a r c r i t e r i a i s a c o n t r o v e r s i a l m a t t e r . S o w e c r e a t e d a e x i b l e a p p l i c a t i o n

w h i c h c a n b e u s e d w i t h d i e r e n t p a r a m e t e r s w h i c h e n a b l e m o d i c a t i o n o f t h e

c r i t e r i a ' s h i e r a r c h y . T h e u s e r s c h o s e t h e m o s t o f t e n t w o r s t c r i t e r i a o r t h e t h i r d

o n e a s t h e p r e d o m i n a n t . I f w e c o m p a r e t h e r e s u l t s o b t a i n e d f o r t h e s e t w o d i e r e n t

s i t u a t i o n s , w e g e t t w o v a r i o u s g u r e s , w h i c h a r e p r e s e n t e d b e l o w :

1 t h e o r e m 1 t h e o r e m

2 i i n S e g n i m p l i e s i + m i n S e g ( n + m ) 2 i i n S e g n i m p l i e s i + m i n S e g ( n + m )

3 p r o o f 3 p r o o f

4 A 1 : i < = i + m b y N A T _ 1 : 1 1 ; 4 a s s u m e A 1 : i i n S e g n ;

5 a s s u m e A 2 : i i n S e g n ; 5 t h e n A 2 : 1 < = i b y F I N S E Q _ 1 : 3 ;

6 t h e n i < = n b y F I N S E Q _ 1 : 3 ; 6 i < = n b y A 1 , F I N S E Q _ 1 : 3 ;

7 t h e n A 3 : i + m < = n + m b y X R E A L _ 1 : 9 ; 7 t h e n A 3 : i + m < = n + m b y X R E A L _ 1 : 9 ;

81 < = i b y A 2 , F I N S E Q _ 1 : 3 ;

8i < = i + m b y N A T _ 1 : 1 1 ;

9 t h e n 1 < = i + m b y A 1 , X X R E A L _ 0 : 2 ; 9 t h e n 1 < = i + m b y A 2 , X X R E A L _ 0 : 2 ;

10 h e n c e t h e s i s b y A 3 , F I N S E Q _ 1 : 3 ; 10 h e n c e t h e s i s b y A 3 , F I N S E Q _ 1 : 3 ;

11 e n d ; 11 e n d ;

I n t h e r s t c a s e , w e n d t w o c h a i n s o f t h r e e s t e p s ( l i n e s 5 , 6 , 7 ; 8, 9 , 10) ,w h e r e a s i n t h e s e c o n d c a s e t h e r e i s o n l y o n e c h a i n o f t h r e e s t e p s ( l i n e s

8,

9,

10)

a n d t w o c h a i n s c o n t a i n i n g t w o s t e p s ( l i n e s

4,

5;

6,

7) . T h e r s t c r i t e r i o n d o e s n o t

d e n e w h e t h e r i t i s m o r e n a t u r a l t o c r e a t e a m a x i m a l c h a i n w i t h m a n y , o f t e n

o n e - s t e p c h a i n s , o r t o f o r m u l a t e s e v e r a l a v e r a g e o n e s .

H a v i n g a n a l y z e d t h e t o t a l d i s t a n c e o f j u m p s b e t w e e n a l a b e l a n d i t s u s e , w e

o b s e r v e t h a t c r e a t i n g l o n g e r c h a i n s e n l a r g e d t h e t o t a l d i s t a n c e o f j u m p s o f t w o

s t e p s .

I f w e c o u n t t h e n u m b e r o f l a b e l s i n t h e a b o v e - m e n t i o n e d r e a s o n i n g , w e s e e

t h a t t h e r e a r e t h r e e o f t h e m i n b o t h c a s e s . W e c a n p r o v e t h a t t h i s i s t h e m i n i m a l

n u m b e r o f l a b e l s f o r t h i s p r o o f . M o r e o v e r , a m a x i m a l a n t i - c h a i n i n t h e t r a n s i t i v e

c l o s e d p r o o f g r a p h o f t h i s r e a s o n i n g h a s a t m o s t t h r e e e l e m e n t s . T h i s d e p e n d e n c e

i s o f t e n a l o o s e r e l a t i o n s h i p . T h e n u m b e r o f l a b e l s c a n b e j u s t a l i t t l e s m a l l e r ,

e . g . i n g r a p h s o f r e f e r e n c e s w h i c h l o o k a s i n t h e r s t e x a m p l e , o r m a n y t i m e s

l a r g e r ( t h e s e c o n d e x a m p l e ) .


11/15

T h e M e t h o d s o f I m p r o v i n g a n d R e o r g a n i z i n g N a t u r a l D e d u c t i o n P r o o f s 1 1

1

1 2

2

1 2 n

1 2 3 n

1 2 n

( i n t h e s e c o n d e x a m p l e , a n a r b i t r a r y m a x i m a l a n t i - c h a i n h a s a t m o s t t w o e l e -

m e n t s , b u t t h e n u m b e r o f l a b e l s i s e s t i m a t e d b y 2 n ) .

T h e b e s t w a y o f e s t i m a t i n g t h e n u m b e r o f l a b e l s i n a r e f e r e n c e g r a p h c o n s i s t s

o f c o u n t i n g t h e v e r t i c e s w h o s e o u t d e g r e e i s a t l e a s t t w o ; a n d t h e n u m b e r o f t h e

a r c s (u, v) f o r w h i c h t h e i n d e g r e e o f v i s a t l e a s t t w o a n d t h e v e r t e x v d o e s n o t h a v e y e t t h e l a b e l ( t h e n u m b e r o f e n t e r i n g a r c s w i t h o u t a l a b e l i s a t t h e m o s t ) . I f

w e t a k e i n t o c o n s i d e r a t i o n a l l a r c s i n t h e p r o o f g r a p h , i t e n l a r g e s , i n t h e g e n e r a l

c a s e , t h e n u m b e r o f l a b e l s c o u n t e d i n t h i s w a y .

4 A u x i l i a r y A p p l i c a t i o n s a n d S t a t i s t i c a l R e s u l t s

T h e p r o b l e m s d e s c r i b e d i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n c a n b e s o l v e d w i t h t w o i n d e p e n -

d e n t s e t s o f p r o g r a m s . T h e a i m o f t h e r s t o n e c o n s i s t s o f n d i n g a n d r e m o v i n g

a s m a n y a s p o s s i b l e u n n e c e s s a r y s t e p s o f r e a s o n i n g h i d d e n i n & . T o t h i s e n d ,

t h e e x i s t i n g u t i l i t i e s h a v e b e e n e x t e n d e d w i t h v e p r o g r a m s , w h i c h w e d e s c r i b e

b e l o w . T h e a i m o f t h e s e c o n d s o r t o f p r o g r a m s i s t h e r e o r g a n i z a t i o n o f t h e o r -

d e r o f p r o o f s t e p s . T h i s s o r t i n g w a s m a d e w i t h t h e a p p l i c a t i o n S o r t I t e m , w h i c h

p r e s e r v e s c o r r e c t n e s s o f t h e r e a s o n i n g a n d r e l a t i o n s i n t h e p r o o f g r a p h . S t a t i s -

t i c a l r e s u l t s w e r e o b t a i n e d o n t h e M M L d a t a b a s e v e r s i o n 4 . 1 2 1 . 1 0 5 4 a n d w e r e

i n t r o d u c e d t o t h e v e r s i o n 4 . 1 2 7 . 1 0 6 0 [ 1 0 ] .

B r e a k B i n a r y A n d T h e a p p l i c a t i o n b r e a k s i n a s i m p l e w a y ( w i t h s o m e n o t

s o i m p o r t a n t e x c e p t i o n s ) a l l s t a t e m e n t s t h a t c o n t a i n a c o n j u n c t i o n . T h e a p p l i -

c a t i o n c h a n g e s t h e s e q u e n c e o f e x p r e s s i o n s j o i n t w i t h t h e c o n j u n c t i o n i n t o t h e

s e q u e n c e s o f c o n s e c u t i v e s t e p s o f r e a s o n i n g , w h i c h i n c l u d e t h e s u i t a b l e e l e m e n t s

o f t h a t s e q u e n c e o f e x p r e s s i o n s a n d t h e i d e n t i c a l l i s t o f t h e r e f e r e n c e u s e d i n t h e

r e a s o n i n g . B r e a k i n g a l l o f t h e a b o v e - m e n t i o n e d c o n j u n c t i o n s h a s e n a b l e d n d -

i n g i n M M L o f 7 6 7 1 3 9 u n n e c e s s a r y r e f e r e n c e s i n t h e j u s t i c a t i o n s , w h i c h c a u s e d

a t r a n s m i s s i o n o f u n n e c e s s a r y s e q u e n c e s o f c o n j u n c t i o n s . M o r e o v e r , w e f o u n d

3 9 7 4 5 s t e p s i n d e d u c t i o n s w h i c h w e r e u n n e c e s s a r y f o r t h e i r c o r r e c t n e s s a n d w e

c o u l d r e m o v e t h e m .

D e l B l o c k T h e a p p l i c a t i o n s i g n i c a n t l y b r e a k s t h e p r o o f s o f c o n j u n c t i o n

s t a t e m e n t s w h i c h d o n o t c o n t a i n i m p l i c i t u n i v e r s a l q u a n t i e r s . M o r e o v e r , t h e

d e d u c t i o n s c a n n o t c o n t a i n t h e e l i m i n a t i o n o f a u n i v e r s a l o r e x i s t e n t i a l q u a n t i e r

a n d t h e i n t r o d u c t i o n o f r e a s o n i n g p e r c a s e s .

W e c a n d e s c r i b e t h e t r a n s f o r m a t i o n m a d e i n t h e g e n e r a l c a s e i n t h e f o l l o w i n g

s t y l e :


12/15

1 2 K a r o l P k

L a b 1 :

&

p r o o f

. . . . . .

t h u s

; T h u s 1 :

;

. . . . . .

t h u s

; T h u s 2 :

;

e n d ; L a b 1 :

&

b y T h u s 1 , T h u s 2 ;

R e n I n f e r T h e a p p l i c a t i o n c o l l a b o r a t e s w i t h t h e a u x i l i a r y a p p l i c a t i o n R E -

L I N R E F . T h e p r o g r a m c h a n g e s s e l e c t e d r e f e r e n c e s f o r w h i c h R e l i n f e r r e p o r t s t h e

m e s s a g e 6 0 4 i t m e a n s r e f e r e n c e s w h i c h c a n b e r e p l a c e d b y a l l r e f e r e n c e s u s e d

t o t h e i r j u s t i c a t i o n ) . T h e p r o g r a m c r e a t e s a l i s t o f l a b e l s s o r t e d u s i n g t h r e e

c r i t e r i a w i t h d e c r e a s i n g s i g n i c a n c e :

1 . t h e n u m b e r o f r e f e r e n c e s t o a p a r t i c u l a r l a b e l w i t h o u t t h e m e s s a g e 6 0 4 i s

m i n i m a l ,

2 . t h e n u m b e r o f a l l r e f e r e n c e s t o a p a r t i c u l a r l a b e l i s m i n i m a l ,

3 . t h e n u m b e r o f r e f e r e n c e s w i t h m e s s a g e 6 0 4 , u s e d a s j u s t i c a t i o n f o r t h e

s t a t e m e n t a s s i g n e d t o t h i s l a b e l , i s m i n i m a l .

T h e n , f o r a l a b e l s e l e c t e d i n t h i s w a y , t h e p r o g r a m r e p l a c e s s o m e o f i t s u s e s b y

a l l r e f e r e n c e s u s e d t o j u s t i f y t h e e x p r e s s i o n s j o i n e d w i t h t h e l a b e l .

O b v i o u s l y , e v e r y t i m e s u c h a l a b e l i s c h o s e n , t h e l a b e l s o f s t a t e m e n t w h o s e

l i s t o f j u s t i c a t i o n s w i l l b e m o d i e d a r e i g n o r e d i n t h e n e x t s e a r c h . T h e d e s c r i b e d

a l g o r i t h m d o e s n o t r e m o v e a l l 6 0 4 m e s s a g e s . A f t e r o n e u s e o f t h e p r o g r a m , o n

a v e r a g e 8 8 , 7 % o f m e s s a g e s 6 0 4 i s r e m o v e d , a n d a l l t h e s e m e s s a g e s a r e r e m o v e d

o n a v e r a g e a f t e r o n e a n d a h a l f ( 1 , 5 3 2 ) r u n s o f t h i s p r o g r a m .

T r i v C o n s i d e r T h i s a p p l i c a t i o n f o u n d 6 1 5 4 c a s e s i n w h i c h r e m o v i n g i n t r o -

d u c e d v a r i a b l e s w a s p o s s i b l e u s i n g c o n s t r u c t i o n c o n s i d e r ( t h e i n c o r r e c t n e s s i n

m o d i e d r e a s o n i n g o c c u r r e d o n l y i n t w o c a s e s ) . S u c h i n t r o d u c t i o n o f e x i s t e n t i a l

q u a n t i e r s e n a b l e d n d i n g n e w u n n e c e s s a r y s t e p s i n d e d u c t i o n s . I t i s i n t e r e s t -

i n g t o n o t i c e t h a t a f t e r r e m o v i n g u n n e c e s s a r y s t e p s , t h e a p p l i c a t i o n c o u l d n d

a n o t h e r 5 9 c a s e s .

M e r g e I t e m s T h e p r o g r a m n d s s t a t e m e n t s a l w a y s u s e d t o g e t h e r i n t h e

r e a s o n i n g , a n d t h e n i t t r i e s t o m e r g e t h e m i n t o a c o n j u n c t i o n . O b v i o u s l y , n o n e

o f t h e s t a t e m e n t s c a n b e a s u c c e s s o r o f t h e o t h e r o n e i n t h e p r o o f g r a p h . T o a v o i d

c r e a t i n g l o n g l i s t o f r e f e r e n c e s , w h i c h c a n l e n g t h e n t h e t i m e n e e d e d t o v e r i f y j o i n t

s t a t e m e n t s , i n t h e j u s t i c a t i o n o f j o i n t s t a t e m e n t s i t i s r e q u i r e d t h a t t h e l i s t s o f

t h e r e f e r e n c e s a r e c o m p a t i b l e . T h e l e v e l o f c o m p a t i b i l i t y i s d e t e r m i n e d b y u s e r s .

T h e u s e o f t h e v e a b o v e - m e n t i o n e d p r o g r a m s e n a b l e d n d i n g i n M M L t h e

t h e o r e m s w i t h u n n e c e s s a r y a s s u m p t i o n s . R e m o v i n g t h e s e a s s u m p t i o n s e n a b l e d

n d i n g n e x t u n n e c e s s a r y s t e p s a n d s t a t e m e n t s i n d e d u c t i o n . T h e s t a t i s t i c a l r e -

s u l t s a r e p r e s e n t e d i n t h e f o l l o w i n g t a b l e :


13/15


S t a g e s U n n e c e s s a r y M e s s a g e U n n e c e s s a r y A l t e r e d A l t e r e d

r e f e r e n c e s 6 0 4 i n f e r e n c e s a r t i c l e s t h e o r e m s

1 7 5 5 1 9 6 3 7 3 0 4 3 8 9 4 4 1 0 1 7 4 6 1

2 1 6 4 0 2 3 6 3 3 1 1 8 6 4

3 5 9 6 2 1 6 8 5 5 1 6

S o r t I t e m T h e p r o g r a m c r e a t e s a p r o o f g r a p h f o r a p a r t i c u l a r a r t i c l e a n d , o n

t h e b a s i s o f i t , i t r e o r g a n i z e s t h e o r d e r o f s t a t e m e n t s i n r e a s o n i n g . T h e a l g o r i t h m

o f r e o r g a n i z a t i o n i s b a s e d o n a s u c c e s s i v e r e c u r r e n t j o i n i n g o f s e q u e n c e s o f s u b -

d e d u c t i o n c h o s e n w i t h t h e i m p o s e d c r i t e r i a w h i c h d o n o t c a u s e t h e c o n i c t i n

t h e g r a p h ( i . e . n o v e r t e x f r o m r s t r e a s o n i n g i s t h e p r e d e c e s s o r o f a v e r t e x f r o m

t h e s e c o n d r e a s o n i n g ) . U s i n g a g r e e d y a l g o r i t h m , w h i c h s o l v e s t h e p r o b l e m o f

m a k i n g t h e l o c a l l y o p t i m a l c h o i c e a t e a c h s t a g e , o f t e n d o e s n o t e n a b l e t o n d a n

o p t i m a l g l o b a l s o l u t i o n , b u t i n c o n t r a s t t o o t h e r a l g o r i t h m s , e n a b l e s a c o h e r e n t

p r e s e n t a t i o n o f l o c a l s u b - d e d u c t i o n s .

L e t u s i n t r o d u c e t h e a u x i l i a r y f u n c t i o n s f o r a p r o o f g r a p h , i n o r d e r t o d e s c r i b e

t h e b a s i c c r i t e r i a i n a l e g i b l e w a y V , M , E .L e t u s t a k e a s u b s e t A o f t h e s e t E. W e d e n e t h r e e f u n c t i o n s :

indeg A(v) = |{w : w V (w, v) A}|,outdeg A(v) = |{w : w V (v, w) A}|,

IA(F) = |{(i, j) : 1 i, j n : (fi, fj) A},

w h e r e v i s a n a r b i t r a r y v e r t e x , a n d F = {fi}ni=0 i s a s e q u e n c e o f v e r t i c e s f r o m

t h e f a m i l y

E.

I n t h i s c a s e t h e m i n i m i z a t i o n o f t h e n u m b e r o f l a b e l s o n t h e b a s e o f t w o

b a s i s c r i t e r i a w i t h d e c r e a s i n g s i g n i c a n c e i s i m p o r t a n t ( w h e r e

Fj = {fji }nji=0 f o r

j = 1, 2 , a n d F1F2 i s t h e c o n c a t e n a t i o n o f F1

, F2

) .

1 . T h e a i m o f t h e r s t c r i t e r i o n i s n d i n g t h e p a i r s o f s e q u e n c e s f o r w h i c h t h e

f o l l o w i n g c o n d i t i o n i s f u l l l e d : (f1n1 , f21 ) R , a n d t h e n i t c h o o s e s t h e p a i r s

f o r w h i c h t h e v a l u e

outdeg R(f1n1) i s m i n i m a l , a n d t h e n c h o o s e s t h e p a i r s

f o r w h i c h t h e v a l u e

n1i=1

outdeg R(f1i )

IR(F1) i s m i n i m a l .

2 . T h e a i m o f t h e s e c o n d c r i t e r i o n i s n d i n g t h e t w o p a i r s o f s e q u e n c e s f o r

w h i c h t h e n u m b e r o f d y s f u n c t i o n s ( i . e . t h e i n c r e a s e o f t o t a l d i s t a n c e b e t w e e n

p l a c e s o f i n t r o d u c t i o n o f t h e l a b e l a n d i t s u s e s ) c r e a t e d a f t e r m e r g i n g t h e s e

s e q u e n c e s i s m i n i m a l T h e n u m b e r o f d y s f u n c t i o n s i s d e s c r i b e d o n t h e b a s i s

o f t h e r e l a t i o n :

n1

n2i=1

indeg R(f2i ))

+n2

n1i=1

outdeg R(f1i )

(n1+n2)IR(F

1F2).

A p a r t f r o m t h e m a i n c r i t e r i a t h e r e a r e s e v e r a l a u x i l i a r y o n e s , q u i t e d i c u l t t o

d e s c r i b e . T h a n k s t o a l l t h e s e c r i t e r i a t h e o r d e r o f w r i t i n g t h e p r o o f t r e e b e c o m e s

m u c h m o r e u n e q u i v o c a l .


14/15

1 4 K a r o l P k

S t a t i s t i c a l R e s u l t s

H a v i n g m e a s u r e d ( i n t o k e n s ) t h e l e n g t h o f a r t i c l e s w e o b s e r v e t h a t d e s p i t e a n

i m p o r t a n t n u m b e r o f m o d i c a t i o n s , t h e l e n g t h o f a r t i c l e s d i d n o t c h a n g e i n

a n i m p o r t a n t w a y ( t h e a r t i c l e s w e r e r e d u c e d o n a v e r a g e b y 0 , 3 1 % ) . O n t h e

o t h e r h a n d , h a v i n g a n a l y z e d t h e n e w f o r m o f t h e a r t i c l e s , w e o b s e r v e d t h a t t h e

m o d i c a t i o n c a u s e d a r e d u c t i o n o f t h e l e n g t h o f f o r m u l a s o n a v e r a g e b y 3 , 1 2 % ,

b u t t h e l e n g t h o f t h e r e f e r e n c e s w a s e x t e n d e d b y 3 , 7 % . T h e v e r i c a t i o n t i m e o f

F i g . 1 . T h e c h a n g e o f a r t i c l e l e n g t h

a n a r t i c l e ( t i m e o f m i z a r i n g ) i s a n o t h e r m e a s u r e w h i c h c a n b e u s e d t o d e s c r i b e

t h e m o d i c a t i o n s . T h i s t i m e o n a v e r a g e w a s r e d u c e d b y 5 , 1 3 % .

F i g . 2 . T h e c h a n g e o f v e r i c a t i o n t i m e

F i n a l R e m a r k s

T h a n k s t o a l g o r i t h m s p r e s e n t e d i n o u r p a p e r m a n y a d v a n t a g e s h a v e b e e n o b -

t a i n e d . F i r s t l y , o u r a l g o r i t h m s c o n s t i t u t e i n t h e M i z a r s y s t e m f u l l y a u t o m a t i c


15/15


w a y s o f s t a n d a r d i z i n g t h e r e a s o n i n g ' s s t r u c t u r e b a s e d o n t h e i m p o s e d c r i t e r i a

i n t h e a i m o f l e g i b i l i t y ' s i m p r o v e m e n t ( s o f a r , i t w a s d o n e m a i n l y m a n u a l l y ) .

S e c o n d l y , t h e r e a s o n i n g ' s s t r u c t u r e w a s i m p r o v e d i n i m p o r t a n t w a y a n d t h e p a r -

t i c u l a r s t e p s o f d e d u c t i o n h a v e b e c a m e m o r e r e a d a b l e f o r u s e r s o f d a t a b a s e .

I n c o n s e q u e n t , u s i n g o f d a t a b a s e h a s b e c o m e e a s i e r . T h i r d l y , o u r a l g o r i t h m o f

t h e p r o o f ' s r e o r g a n i z a t i o n c a n b e u s e d i n d e p e n d e n t l y t o t h e i n t r o d u c t i o n o f t h e

r e s u l t s o f t h e d i e r e n t e x p e r i m e n t s w h i c h h a v e n o t e n a b l e d t o m a i n t a i n t h e r e a d -

a b l e p r o o f ' s s t r u c t u r e . I t i s r e a l l y i m p o r t a n t b e c a u s e d a t a b a s e s a r e p u b l i c a n d

t h e p e r s e v e r a n c e o f t h e h i g h l e v e l o f q u a l i t y i s a p r i o r i t y . I t d o e s n o t c h a n g e

t h e f a c t t h a t o u r a l g o r i t h m s a r e t h e r s t c o m p l e x t o o l w h i c h e n a b l e b o t h t h e

s h o r t e n i n g o f t h e d a t a b a s e a n d t h e p r e s e r v a t i o n a n d e v e n i m p r o v e m e n t o f i t s

l e g i b i l i t y . F o u r t h l y , a n a v e r a g e t i m e o f t h e v e r i c a t i o n o f a r t i c l e s o f d a t a b a s e

h a s b e e n s h o r t e n . A n d l a s t b u t n o t l e a s t , s h o r t e n i n g o f t h e n u m b e r o f s t e p s o f

d e d u c t i o n ( a b o u t

3%) a n d r e d u c t i o n o f t h e n u m b e r o f a s s u m p t i o n s i n a b o u t

1% t h e o r e m s m a y d o e s n o t s e e m a t a r s t g l a n c e a n i m p r e s s i v e r e s u l t . H o w e v e r t h e t i m e n e c e s s a r y t o o b t a i n s u c h e e c t s m a n u a l l y i s c o m p a r a b l e w i t h t i m e o f

m a n u a l c a l c u l a t i o n o f 3 5 d e c i m a l s o f b y L u d o l p h v a n C e u l e n .

R e f e r e n c e s

1 . E . B o n a r s k a , A n I n t r o d u c t i o n t o P C M i z a r , F o n d a t i o n P h . l e H o d e y , B r u s s e l s , 1 9 9 0 .

2 . R . E n g e l k i n g , G e n e r a l T o p o l o g y , P W N P o l i s h S c i e n t i c P u b l i s h e r s , W a r s a w , 1 9 7 7 .

3 . F . B . F i t c h . S y m b o l i c L o g i c : a n I n t r o d u c t i o n . T h e R o n a l d P r e s s C o . , N e w Y o r k ,

1 9 5 2 .

4 . S . J a k o w s k i , O n t h e R u l e s o f S u p p o s i t i o n i n F o r m a l L o g i c , S t u d i a L o g i c a I , 1 9 3 4 ,

W a r s z a w a R e p r i n t e d i n P o l i s h L o g i c , e d . S . M c C a l l , C l a r e n d o n P r e s s , O x f o r d , 1 9 6 7 .

5 . B . J o r g e n , G . G r e g o r y , D i g r a p h s : T h e o r y , A l g o r i t h m s a n d A p p l i c a t i o n s , S p r i n g e r ,

I S B N 1 - 8 5 2 3 3 - 2 6 8 - 9 , 2 0 0 0 .

6 . W . M a r c i s z e w s k i , A J a k o w s k i - S t y l e S y s t e m o f C o m p u t e r - A s s i s t e d R e a s o n i n g , P h i l o -

s o p h i c a l L o g i c i n P o l a n d , K l u w e r , 1 9 9 3 .

7 . R . M a t u s z e w s k i , P . R u d n i c k i , M I Z A R : t h e r s t 3 0 y e a r s , M e c h a n i z e d M a t h e m a t i c s

a n d I t s A p p l i c a t i o n s , 4 ( 1 ) , p . 3 2 4 , 2 0 0 5 .

8 . R . M i l e w s k i , A l g o r i t h m s a n a l y z i n g f o r m a l d e d u c t i o n s u p p o r t s y s t e m s - P h D t h e s i s ,

T h e C o m p u t e r S c i e n c e F a c u l t y o f B i a y s t o k T e c h n i c a l U n i v e r s i t y , B i a y s t o k , 2 0 0 8 .

9 . R . M i l e w s k i , N e w A u x i l i a r y S o f t w a r e f o r M M L D a t a b a s e M a n a g e m e n t M e c h a n i z e d

M a t h e m a t i c s a n d I t s A p p l i c a t i o n s , I S S N 1 3 4 5 - 8 2 7 2 , V o l . 5 , N o . 2 , p . 1 1 0 , 2 0 0 6 .

1 0 . M i z a r H o m e P a g e , < h t t p : / / m i z a r . u w b . e d u . p l / > .

1 1 . L . C . P a u l s o n , T h e I s a b e l l e R e f e r e n c e M a n u a l , 2 0 0 0 .

1 2 . K . P k , T h e N a g a t a S m i r n o v T h e o r e m . P a r t I , F o r m a l i z e d M a t h e m a t i c s 1 2 ( 3 ) , p .

3 4 1 3 4 6 , 2 0 0 4 .

1 3 . P . R u d n i c k i , A n O v e r v i e w o f t h e M i z a r P r o j e c t , P r o c e e d i n g s o f t h e 1 9 9 2 W o r k s h o p

o n T y p e s f o r P r o o f s a n d P r o g r a m s , C h a l m e r s U n i v e r s i t y o f T e c h n o l o g y , B a s t a d ,

1 9 9 2 .

1 4 . A . T r y b u l e c , S o m e f e a t u r e s o f t h e M i z a r l a n g u a g e , P r e s e n t e d a t a w o r k s h o p i n

T u r i n , I t a l y , 1 9 9 3 .

1 5 . F . W i e d i j k , M i z a r L i g h t f o r H O L L i g h t , P r o c e e d i n g s o f t h e 1 4 t h I n t e r n a t i o n a l

C o n f e r e n c e o n T h e o r e m P r o v i n g i n H i g h e r O r d e r L o g i c s , p . 3 7 8 3 9 4 , S e p t e m b e r

0 3 0 6 , 2 0 0 1 .

Date post:	14-Apr-2018
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