# 1Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 6
Kazan University1804-2004
Ю.Н. Прошинкафедра теоретической физики
Казанского федерального университета
2004-2013, Казань
ФИЗИКА
# 2Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 6ВычФиз
Решениедифференциальных
уравнений
# 3Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 6ВычФиз
Основные определения
0 0( , ) (1) ( ) (2)dy
f y x y x ydx
где
y – зависимая переменная,
x – независимая переменная,
f(y,x ) – функция производной = правая часть,
x0 - начальное значение независимой переменной,
y0 - начальное значение зависимой переменной.
# 4Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 6ВычФиз
Метод Эйлера• Пусть задано уравнение
Решение будет искаться в виде
где h – шаг сетки, f (tk, yk) = tg αk
и h*tg αk = Δyk
• Ошибка дискретизации δ ~ h
000 )(,),,( ytytttytfdt
dyn
),,()(1 kkkk ytfhtyy yk
tk tk+1
h
αk
δk
Основные определения
Δyk
yk+1
# 5Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 6ВычФиз
Основные определения
0 0(3) ( ) (4)tdye y y t y
dt
Уравнение (3) – дифференциальное уравнение
•первого порядка
•линейное
•в обыкновенных производных
•с зависящими от нез. переменной коэффициентами
# 6Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 6ВычФиз
Основные определения
0 0(3) ( ) (4)tdye y y t y
dt
Метод численного решения – замена производных разностями
Простейший метод – метод Эйлера –> погрешность ~Δt = h
11 1
1
0 0 1
( ) ( ) (5)
( ) , (6)
k kk k k k k k
k k
k k
y yf t y y t t f t
t t
y t y t t t h
1 0 0exp( ) , ( ) (7)k k k ky y t y h y t y
# 7Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 6ВычФиз
Решения
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.60.81.01.21.41.61.82.02.22.42.6
Euler RK4
y
t
# 8Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 6ВычФиз
Решения
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.60.81.01.21.41.61.82.02.22.42.6
Euler RK4 Точное решение
y
t
# 9Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 6ВычФиз
Дифференциальные уравнения.
• Общий случай
•Роль дифф. уравнений в физике (рост, убывание, стремление к равновесию,…, механика, молекулярная физика, квантовая механика, электродинамика, …. ).
•Примеры
0 0
( , , , , ,..., , , ,...)
( )
da b c
d
yF y x
x
y x y
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
# 10Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 6ВычФиз
Танцы звезд
• Задача многих тел.
Уравнения Ньютона или Гамильтона.
, 1, ,
jj
jj
Hp
qj n
Hq
p
2
2 3
1 1
, 1, ,
rr F r
N N
i jii i i ij ij
ijj j
m mdm m i Ndt r
2 2 2
1 , 12
N Nix iy iz i k
i iki i k
i k
p p p m mH
m r
# 11Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 6ВычФиз
Танцы звезд
• Задача многих тел. (3 тела).
Уравнения Ньютона или Гамильтона
# 12Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 6ВычФиз
Танцы звезд
• Задача многих тел. (3 тела и чуть больше).
Уравнения Ньютона или Гамильтона.
# 13Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 6ВычФиз
Танцы звезд
• Задача многих тел. (3 тела и чуть больше).
Уравнения Ньютона или Гамильтона.
# 14Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 6ВычФиз
Танцы звезд
• Задача многих тел. (3 тела и чуть больше).
Уравнения Ньютона или Гамильтона.
# 15Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 6ВычФиз
Сеточные функции
• Пусть задана непрерывная функция g(x) на участке [a,b].
• Введем дискретный набор точек xi, сетку.
• Точки {x0,x1,x2,…xn} – узлы сетки
• Сетка с одинаковым расстоянием между произвольной парой соседних точек – равномерная сетка.
• yi=g(xi) – сеточная функция, задаваемая в виде таблицы.
g(x)
x
y
a b
...
y0 y1 y2yn
x1 x2
# 16Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 6ВычФиз
Разности
• Можно ввести аналог производной для сеточной функции
• Также задается
• В общем случае
1
i
i i ix
dfdx y y y
dx - правая разность
1i i iy y y - левая разность
1 1
1 1( ) ( )
2 2i i i i iy y y y y - центральная разность
1( )m mi iy y
# 17Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 6ВычФиз
• Производные второго порядка
• Дифференцирование произведения
• Суммирование по частям
Разности
Полезные выражения
22 12i i i iy y y y 1 12i i i iy y y y 2
1i iy y
1 1( )i i i i i i i i i iy v y v v y y v v y
1 1( )i i i i i i i i i iy v y v v y y v v y
1 1
1 0 1 0 00 1 0
N N N
i i i i N N i i N Ni i i
y v v y y v y v v y y v y v
# 18Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 6ВычФиз
Разностные уравнения
• Линейное разностное уравнение m-го порядка
или
• Например
)()(...)()()( 22110 ifyiayiayiayia mimiii
)()(...)()()( 2210 ifyiyiyiyi m
imiii
)()()( 110 ifyiayia ii - уравнение первого порядка
ii yiiy )()(1 Решение
Если задано граничное условие y0=const, все остальные значения находятся последовательно
# 19Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 6ВычФиз
Разностные уравнения
Граничные условия• Аналогично дифференциальным уравнениям чтобы найти частное решение требуется задать граничные условия.
- уравнение первого порядка – один параметр
- уравнение второго порядка – два параметра и т.д.
• Согласно заданным условиям уравнения второго порядка можно классифицировать как
- Задача Коши. Заданы граничные условия в двух соседних
точках.
- Краевая задача. Заданные точки не являются соседними.
• Граничные условия могут быть первого, второго и третьего рода.
# 20Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 6ВычФиз
Уравнения первого порядка
Метод Эйлера• Пусть задана система уравнений
(здесь yi – разные функции)
• Решение будет искаться в виде
где h – шаг сетки
• Ошибка дискретизации ~h
)),(),...(),(,()()( 211 knkkkikiki xyxyxyxfhxyxy
iinii aybxanixyxyxyxf
dx
dy )(,,,...,1)),(),...(),(,( 21
# 21Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 6ВычФиз
Методы Рунге-Кутта
q
iiikk hkpxyxy
11 )()()( - общая формула, где
;;)(1 yxfhhk
;;)( 12122 kyhxfhhk
;;)( 23213133 kkyhxfhhk
..........................................................
;...;)( 3322113 kkkyhxfhhk nnnn
qijpp ijqq 0...... 12 - константы
# 22Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 6ВычФиз
Методы Рунге-Кутта
Выбор параметров
Введем функцию погрешности метода
);(...)()()()()( 2211 hkphkphkpxyhxyh iii
Будем искать коэффициенты из условия чтобы
0)0(,0)0(...)0()0( )1()( ss
тогда
1)1(
1)1(
1
)(
)!1(
)(
)!1(
)(
!
)0()(
s
ss
ss
i
ss
hs
hh
s
hh
sh
# 24Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 6ВычФиз
Уравнения первого порядка
Методы Рунге-Кутта• Метод Рунге-Кутта второго порядка (Метод Хьюна) ε ~ h2
• Метод Рунге-Кутта-Фельберга ε ~ h5
,))(,()(,))(,(2
)()( 11 kkkkkkkk xyxfhxyxfxyxfh
xyxy
43201 12
1
45
16
20
9
9
1)()( kkkkxyxy ii ;;0 ii yxfhk
;9
2;
9
201
kyhxfhk ii ;
4
1
12
1;
3
1102
kkyhxfhk ii
;64
135
128
143
128
69;
4
32103
kkkyhxfhk ii
;15
16
5
27
4
27
12
17; 32104
kkkkyhxfhk ii
# 25Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 6ВычФиз
• Например уравнение дрифт-диффузии
это уравнение в частных производных. Можно решать стационарное уравнение, приравняв нулю производную по времени.
Линейные уравнения второго порядка
0
n n B
n J
t xn
J q nE k Tx
2
20n n
n n n ED q E q n
t x x x
2
20
n nA Bn
x x
1 1 1 1
2
( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0
2i i i i i
i i i
n x n x n x n x n xA B n x
h h
# 26Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 6ВычФиз
2D уравнение Пуассона
),( 2122
2
21
2
xxfx
u
x
u
- уравнение в частных производных
Функция u определена на всей границе – задача Дирихле ),(| 21 xxu B
Линейные уравнения второго порядка
),()1,(),(2)1,(),1(),(2),1(
2122
2121212
1
212121 iifh
iiyiiyiiy
h
iiyiiyiiy
Разностное уравнение
# 27Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 6ВычФиз
• Разностное уравнение
с граничными условиями
можно представить в виде матричного уравнения
iiiiiii fybycya 11
Метод прогонки
Линейные уравнения второго порядка
2121110 , NN yyyy
2
1
2
2
1
1
1
2
2
1
0
2
111
22
22
111
1
......
10...000
...000
0...000
.....................
000...0
000...
000...01
N
N
N
N
N
NNN
NN
f
f
f
f
y
y
y
y
y
y
bca
bc
ca
bca
# 28Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 6ВычФиз
Метод прогонки
Алгоритм
• Выберем соотношение
где коэффициенты определены как
с граничными условиями
• За один проход -> можно расcчитать все коэффициенты αi βi.
111 iiii yy
;; 11iii
iiii
iii
ii ac
fa
ac
b
;; 1111
# 29Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 6ВычФиз
Метод прогонки
Алгоритм
• Теперь идем <- и считаем
где yN находится из граничных условий
111 iiii yy
2
22
1
N
NNy
# 30Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 6ВычФиз
Buffer Layer AlxGax-1As n-
Schottky Layer AlxGax-1As n
Doping Layer AlxGax-1As n+
Channel Layer GaAs n-
Substrate Layer AlxGax-1As n-
Source
(~50nm)
(~20nm)
(~20nm)
(~8nm)
(~6nm)
Drain
Gate Metal
Пример
Структура
# 31Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 6ВычФиз
Пример
Задача
Рассчитать константы спин-орбитального взаимодействия в полупроводниковой гетероструктуре с металлическим затвором, как функции напряжения на затворе.
# 32Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 6ВычФиз
Спин-орбитальное взаимодействие
SO 20
ˆ( )(2 )
ˆH Vm c
pσ
D ( )iz y y x xH k k k
2
( )i iz zk k
- общий вид
- формула специфичная для III-Vполупроводниковых гетероструктур
- константа спин-орбитального взаимодействия
Параметр β определяется зонной структурой полупроводника
Задача сводится к нахождению волновых функций электронов локализованных в квантовой яме
# 33Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 6ВычФиз
X
m
Xs
o
Xs
o X
s
E
f
E
0
E
c
E
v
METAL Semiconductor
Φb
Vb
i
Металл/полупроводник Полупроводник/полупроводник
Band structure
# 34Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 6ВычФиз
n n n BJ q nE k T n
0B B
qE qEn n n
k T k T
,
Уравнение дрифт-диффузии:
Уравнение Пуассона: 0 ( )r d ae p n N N
Уравнение Шрёдингера:2 1
( ) 02 * k k kV E
m
Уравнения
# 35Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 6ВычФиз
Initialize dopingconcentration
Poisson Equation
Schrödinger Equation
Continuity andTransport Equations
Efn calculation
Does electrondensity converge
End
Does electrondensity converge
Yes
Yes
No
No
Calculate Spin Orbit terms
Алгоритм
Микроскопическая Микроскопическая
модельмодель
МакроскопическаяМакроскопическая
модельмодель
# 36Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 6ВычФиз
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100
x (nm)
En
erg
y (e
V)
psi_sch
ef
Esub#1
Esub#2
Esub#3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100
x (nm)
En
erg
y (e
V)
psi_sch
ef
Esub#1
Esub#2
Esub#3
Результаты
Vg = 0 V
Vg = 0.5 V
# 37Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 6ВычФиз
Результаты
Константы С-О взаимодействия
# 38Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 6ВычФиз
Литература
Д. Поттер, Вычислительные методы в физике.
Н. Н. Калиткин, Численные методы.
Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков, Численные методы.
Р.П. Федоренко, Введение в вычислительную физику.
Самарский А.А., Введение в численные методы.
Ортега Дж., Пул У., Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений.
# 39Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 6ВычФиз
The End