1
Kebolehan Penyelesaian Masalah Algebra: Masalah dan Pendekatan Pengajaran dan Pembelajaran
(Algebraic Solving Ability: Problems and Approaches in Teaching and Learning)
Lim Hooi Lian
Pusat Pengajian Ilmu Pendidikan, Universiti Sains Malaysia
2
Kebolehan penyelesaian masalah algebra: Masalah dan Pendekatan Pengajaran dan Pembelajaran
Lim Hooi Lian
Pusat Pengajian Ilmu Pendidikan, Universiti Sains Malaysia
Abstrak
Penekanan kepada perkembangan kebolehan penyelesaian masalah algebra bagi abad ke-21 telah mencabar pandangan lama algebra. Ia telah menekankan pemahaman dan pengaplikasian konsep algebra untuk menterjemah, menganalisa dan mengitlakkan sesuatu situasi masalah yang mempunyai pelbagai jalan penyelesaian. Bagaimanapun, kini masih terdapat banyak masalah yang timbul dalam penguasaan topik algebra seperti konsep asas, pola dan pengaplikasian konsep. Dengan itu, ramai penyelidik telah mengemukakan pandangan mereka masing-masing untuk mewujudkan satu suasana pengajaran dan pembelajaran kebolehan penyelesaian masalah algebra yang lebih berkesan. Secara umumnya, pandangan mereka boleh dikategorikan kepada tiga pendekatan yang utama iaitu pengitlakan, permodelan dan fungsian. Pendekatan-pendekatan tersebut telah dipraktis dan dibukti keberkesanaannya dalam menyiasat dan memperkembangkan kebolehan penyelesaian masalah algebra pelajar oleh penyelidik.
Kata Kunci: kebolehan penyelesaian masalah algebra, pengitlakan, permodelan dan fungsian.
Abstract:
The emphasis and development of algebraic problem solving ability for the 21st century had challenged the conventional view of algebra. It had emphasized more on the understanding and application of algebra concept in translating, analyzing dan generalizing the problem situations which have multiple solutions. Nevertheless, currently, many problems had emerged regarding the mastery of the algebraic topic such as basic concept, pattern and application of concept. Hence, many researchers had presented their views in order to create a more effective situation of teaching and learning of algebra problem solving activity. In general, their views can be categorized into three main approaches, namely generalization, modeling and functional. All these approaches had been practiced and their effectiveness had been proven by researchers in investigating and developing students’ algebraic problem solving ability.
Key words: algebraic problem solving ability, generalization, modeling and functional.
3
PENGENALAN
Walaupun topik algebra telah mula didedahkan kepada pelajar sejak peringkat sekolah rendah
atas atau peringkat sekolah menengah rendah di kebanyakan negara, namun masih terdapat ramai
pelajar berasa bimbang dan tidak berminat untuk mempelajari topik yang dianggap terlalu
abstrak ini (Martinez, 2002; Radford & Puig, 2007). Demi memupuk minat dan mengubah sikap
negatif pelajar terhadap topik yang penting ini, para penyelidik dan pakar matematik telah
membuat penekanan baru kepada perkembangan kebolehan penyelesaian masalah algebra, iaitu
berfokus kepada pemahaman dan pengaplikasian konsep algebra untuk mewakil, menganalisa
dan mengitlakkan sesuatu situasi masalah berpola yang mempunyai penyelesaian alternatif
(Friedlander dan Hershkowitz, 1997; Latterell, 2003; Sinclair, 2005). Konsep baru ini jelas
meruntuhkan konsep lama algebra yang sekian lama diamalkan, iaitu satu displin yang
melibatkan proses memanipulasi simbol yang abstrak, penghafalan prosedur penyelesaian yang
rutin untuk mendapat satu jawapan (Femiano, 2003; Fernandez dan Anhalt, 2001). Dengan erti
kata lain, kebolehan penyelesaian masalah algebra bukan lagi setakat membabitkan kemahiran
bertatacara dan kemahiran memanipulasi simbol untuk mendapat jawapan yang muktamad bagi
anu ’x’ atau ’y’, tetapi ia melibatkan pengaplikasian konsep algebra yang dipelajari melalui
proses penyiasatan, penterjemahan, penganalisaan dan pengitlakan untuk mendapat
penyelesaian bagi sesuatu situasi masalah.
4
Apakah ‘Kebolehan penyelesaian masalah algebra’?
Ramai pendidik masih menghadapi kesukaran untuk memberikan satu definisi yang jelas tentang
kebolehan penyelesaian masalah algebra. Oleh itu sebilangan penyelidik telah berusaha untuk
memberi pandangan mereka tentang maksud kebolehan penyelesaian masalah algebra. Menurut
Bell (1996), sekiranya kebolehan penyelesaian masalah algebra hanya merujuk kepada
penyelesaian masalah melalui pembentukan dan penyelesaian persamaan adalah terlalu dangkal
pengertiannya. Sebenarnya kebolehan penyelesaian masalah algebra terdiri daripada satu
keperluan perkembangan dalam: (i) menggunakan bahasa algebra untuk mengungkapkan
perhubungan, (ii) mengendalikan ungkapan simbol dalam bentuk yang berbeza, dan (iii)
memperlihatkan kedua-dua kebolehan ( i dan ii) dalam proses mengitlak, membentuk dan
menyelesaikan persamaan, serta bekerja dengan fungsi dan rumus.
Friedlander dan Hershkowitz (1997) menyimpulkan bahawa kebolehan penyelesaian masalah
algebra muncul daripada keperluan untuk menyiasat masalah rumit yang membabitkan proses
pengitlakan dan justifikasi pola. Terdapat beberapa fasa yang berurutan untuk menyiasat pola
iaitu: (i) menghadapi contoh khusus, (ii) mengemukakan contoh tambahan dan
menyelesaikannya secara cekap, (iii) mencari satu petua am, dan (iv) mempertahankan petua am
tersebut.
Sementara Latterell (2003) menyatakan bahawa terdapat tiga peringkat untuk mengenal pasti
kebolehan penyelesaian masalah algebra iaitu: (i) memahami masalah yang diberikan, (ii)
menggunakan dan memanipulasi simbol algebra untuk membuat penyelesaian, dan (iii)
fleksibiliti dalam penyelesaian; iaitu mencari lebih daripada satu jalan penyelesaian.
5
Huntley (2000) pula mengenal pasti tiga komponen utama kebolehan penyelesaian masalah
algebra iaitu: (i) menggunakan idea algebra untuk mematematikkan situasi masalah yang
kuantitatif, (ii) menggunakan idea algebra (seperti persamaan atau ketaksamaan) untuk
menghasilkan keputusan melampaui maklumat yang diberikan dalam situasi masalah, dan (iii)
menginterpretasikan keputusan dalam situasi masalah.
Swafford dan Langrall (2000) melaporkan bahawa kebolehan penyelesaian masalah algebra
boleh disiasat melalui satu siri tugas yang melibatkan empat peringkat iaitu: (i) menyelesaikan
masalah yang melibatkan nilai kes khusus, (ii) membuat pengitlakan bagi situasi masalah secara
simbolik, (iii) membuat perwakilan dalam pelbagai bentuk, dan (iv) mengaplikasikan perwakilan
simbolik untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan.
Berdasarkan definisi-definisi di atas, tidak dapat dinafikan bahawa kebolehan penyelesaian
masalah algebra boleh dilihat daripada perspektif yang berbeza. Namun, wujudnya satu
persamaan antara pelbagai definisi tersebut iaitu kebanyakan definisi di atas berfokus kepada
pengenalpastian pelbagai peringkat proses dalam menyelesaikan masalah algebra. Dengan erti
kata lain, definisi mereka jelas menekankan perkembangan pelajar dalam mengaplikasikan
konsep dan pengetahuan algebra melalui proses penyiasatan, penterjemahan, penganalisaan dan
pengitlakan untuk mendapat penyelesaian sesuatu situasi masalah.
Walau bagaimanapun, kini masih terdapat banyak masalah yang timbul dalam penguasaan
konsep algebra seperti konsep asas, pola dan pengaplikasian konsep dalam pengajaran dan
pembelajaran algebra. Bahagian yang berikut membincangkan isu tersebut.
6
MASALAH PENGAJARAN DAN PEMBELAJARAN KEBOLEHAN PENYELESAIAN
MASALAH ALGEBRA
i. Masalah Penguasaan Konsep Asas Algebra
Terdapat beberapa kajian lepas (Kaur dan Boey, 1994; Clements, 1999; Edwards, 2000;
Martinez, 2002; Mok, 1997) telah mendedahkan bahawa pelajar menghadapi kesukaran dalam
menguasai konsep asas yang diperlukan dalam perkembangan kebolehan penyelesaian masalah
algebra.
Kaur dan Boey (1994) melaporkan bahawa walaupun banyak kesilapan matematik yang selalu
dilakukan oleh pelajar adalah disebabkan oleh kecuaian, tetapi dalam pembelajaran algebra,
faktor yang utama ialah masalah pemahaman konsep dan kemahiran pengitlakan. Kaur dan Boey
telah mengenal pasti beberapa miskonsepsi algebra dalam kalangan pelajar tahun pertama
(berumur 17 tahun) dari Kolej Junior di Singapura. Daripada analisa dapatan, Kaur dan Boey
mendapati lebih daripada separuh jenis-jenis kesalahan yang dilakukan oleh pelajar adalah
berpunca daripada kegagalan membuat interpretasi konsep yang tepat dan menyalahfahami
konsep. Mereka melaporkan bahawa masalah miskonsepsi tersebut berpunca daripada
interpretasi sempit pelajar tentang konsep algebra.
Mok (1997) pula melaporkan bahawa kebanyakan kesilapan algebra yang dilakukan oleh 40
orang pelajar Menengah Satu (Secondary One student) di Hong Kong berpunca daripada
7
kekeliruan dalam pemahaman konsep tentang hukum penaburan. Dapatan kajian Mok
menunjukkan bahawa cara pelajar membina pemahaman sendiri tentang sesuatu konsep algebra
adalah berdasarkan pengetahuan matematik yang terhad. Penerangan pelajar menunjukkan
mereka terlalu bergantung kepada bukti berangka seperti hasil sesuatu penggantian.
Menurut Martinez (2002), walaupun pemikiran algebra dan beberapa konsep algebra yang
penting telah mula diajar pada peringkat gred awal, namun terdapat ramai pelajar masih
menganggap algebra sukar difahami. Dalam kajian TIMSS, beliau mendapati pelajar Amerika
mencapai kejayaan yang jelas dalam menjawab soalan yang melibatkan kemahiran bertatacara
yang rutin, misalnya carikan nilai x dalam sesuatu persamaan linear. Bagaimanapun mereka
mengalami kesukaran menjawab soalan yang memerlukan pemahaman dan penggunaan konsep
ungkapan algebra untuk menjalankan prosedur yang kompleks. Martinez mendapati masalah
utama yang dihadapi oleh pelajar dalam menyelesaikan masalah yang memerlukan prosedur
yang kompleks ialah penguasaan konsep kesetaraan bagi ungkapan algebra.
Edwards (2000) mendapati bahawa pada peringkat awal sekolah pertengahan (middle school),
aspek yang paling sukar dalam memperkembangkan kebolehan algebra dalam kalangan pelajar
ialah penguasaan beberapa konsep yang penting iaitu notasi algebra, pembolehubah, fungsian
dan sifat-sifat nombor. Keempat-empat konsep asas ini telah digolongkan sebagai idea utama
algebra dan perlu dikembangkan untuk membina asas penyelesaian algebra yang kukuh di dalam
bilik darjah.
Clements (1999) mendakwa bahawa tiada seorang daripada 12 orang pelajar yang ditemu bual
(pelajar peringkat lanjutan (A-level) di Brunei) dapat menunjukkan pemahaman yang kuat
tentang konsep fungsi dalam algebra. Selain itu, pelajar juga menghadapi masalah tentang
8
pengitlakan algebra dalam menyelesaikan masalah. Mereka cenderung kepada penggunaan
kaedah lain yang lebih mudah dan ringkas.
ii. Masalah Pengaplikasian Konsep Algebra
Kelemahan dalam penguasaan konsep persamaan menjadi faktor utama pelajar menghadapi
kesulitan untuk mengaplikasikan konsep persamaan dalam menyelesaikan masalah. Keadaan ini
telah dibuktikan dalam kajian Steinberg, Sleeman dan Ktorza (1990), Swafford dan Langrall
(2000), Amerom (2003), Stacey dan MacGregor (1999), dan Lannin (2003).
Steinberg, Sleeman dan Ktorza (1990) mendakwa bahawa ramai pelajar tidak mempunyai
pemahaman konsep yang baik tentang kesetaraan persamaan. Hampir satu pertiga daripada
sampel kajian mereka telah menilai kesetaraan persamaan dengan kaedah menghitung.
Walaupun strategi menghitung adalah betul dan menunjukkan bahawa pelajar memahami
maksud penyelesaian bagi suatu persamaan, tetapi penggunaan cara ini mendedahkan kelemahan
pelajar dalam aspek pemahaman konsep dan penggunaan operasi untuk menyelesaikan masalah.
Di samping itu, Steinberg, Sleeman dan Ktorza melaporkan bahawa hampir separuh daripada
pelajar Gred Lapan dan sebilangan kecil pelajar Gred Sembilan memberikan alasan yang salah
dalam menilai sama ada sesuatu persamaan itu setara atau tidak. Ini disebabkan pelajar
menyalahfahami tentang konsep asas dan kurang pengetahuan prosedural dalam persamaan.
Swafford dan Langrall (2000) mengkaji tentang penggunaan persamaan untuk menghuraikan dan
mewakilkan situasi masalah dalam kalangan pelajar Gred Enam. Terdapat lima domain
9
kandungan algebra telah dipilih untuk membina soalan-soalan yang berbentuk situasi masalah.
Domain kandungan tersebut ialah ubahan langsung, hubungan linear, jujukan aritmetik,
hubungan eksponen dan ubahan songsang. Dapatan kajian tersebut menunjukkan 98% daripada
bilangan pelajar dapat menyelesaikan masalah yang melibatkan kes khusus, 88% dapat
menghuraikan hubungan, 50% pula dapat mewakilkan masalah secara simbolik dan hanya 20%
daripada pelajar tersebut dapat menggunakan persamaan untuk menyelesaikan masalah. Secara
kesimpulan, pelajar menunjukkan keupayaan yang jelas dalam menyelesaikan masalah yang
berbentuk kes khusus dan menghuraikan hubungan antara pembolehubah bersandar dan
pembolehubah tidak bersandar dalam situasi masalah secara lisan (temubual). Namun, mereka
kurang berkeupayaan untuk menjana persamaan bagi mewakilkan masalah yang diberi. Pelajar
juga menunjukkan kelemahan yang jelas dalam mengaplikasikan persamaan untuk
menyelesaikan situasi masalah yang berkaitan.
Kajian Amerom (2003) juga menunjukkan ramai pelajar sekolah menengah menghadapi
kesukaran dalam mengaplikasikan konsep algebra asas untuk menyelesaikan persamaan. Dalam
kajiannya, didapati walaupun persamaan muncul dalam kerja pelajar, tetapi sebenarnya mereka
tidak beroperasi terhadap persamaan tersebut. Dengan kata lain, persamaan tersebut kerap kali
hanya membantu mereka menstrukturkan masalah dan bukan sebahagian daripada proses
penyelesaian mereka. Misalnya terdapat kerja pelajar yang membina persamaan tetapi diikuti
pula dengan strategi penyelesaian yang informal dan praalgebra.
Manakala Stacey dan MacGregor (1999) pula melaporkan bahawa masalah persamaan linear
yang disediakan dalam buku teks adalah terlalu mudah sehingga pelajar tidak perlu
menggunakan persamaan linear untuk menyelesaikannya. Dapatan kajian Stacey dan Mac
10
Gregor ini mendapati hanya segelintir pelajar cuba menggunakan persamaan linear untuk
menyelesaikan masalah yang dikemukakan. Kebanyakan pelajar menggunakan kaedah lain
seperti penaakulan mantik tentang operasi songsang dan kaedah cuba jaya. Secara umumnya
pelajar menonjolkan kemampuan yang lebih dalam menyelesaikan masalah persamaan linear
secara berangka berbanding dengan menggunakan persamaan linear untuk menyelesaikan
masalah yang berkenaan.
Lannin (2003) telah menyelidiki pelbagai strategi yang digunakan oleh pelajar apabila mereka
cuba mengitlakkan contoh-contoh berangka dan menyatakan justifikasi yang berkaitan melalui
aktiviti masalah pelekat kubus (cube sticker problem). Beliau memberi peluang kepada pelajar
untuk mencipta dan membincangkan petua mereka masing-masing dalam bentuk kumpulan
kecil. Justifikasi sesuatu pengitlakan adalah mengaitkan petua dengan satu hubungan am yang
wujud dalam situasi masalah. Dapatan kajian Lannin teleh mengenal pasti enam strategi yang
digunakan pelajar dalam membuat justifikasi sesuatu pengitlakan. Kebanyakan strategi tersebut
masih terbatas kepada situasi berangka. Dalam kajian tersebut, tiga jenis justifikasi ditonjolkan:
i) menyediakan justifikasi melalui contoh ii) menerangkan setiap komponen dalam petua iii)
menghuraikan bagaimana dan apa yang pelajar tahu tentang hubungan pembolehubah-
pembolehubah dalam petua. Dapatan kajian Lannin menunjukkan bahawa pelajar menghadapi
kesukaran apabila mereka diminta untuk menjustifikasikan pengitlakan mereka. Pelajar
menjustifikasikan sesuatu petua itu sah hanya melalui percubaan dua atau tiga contoh. Mereka
tidak mengambil tahu sama ada petua tersebut betul-betul berjaya bagi semua nilai. Ia
diibaratkan teka dan semak. Akibatnya, penyalahgunaan contoh yang terbatas telah
menyebabkan pelajar tersalah faham tentang apa yang membentuk sesuatu justifikasi yang sah
bagi satu pernyataan am.
11
Kemahiran membuat penaakulan deduktif dan induktif adalah asas kepada perkembangan
kebolehan penyelesaian masalah algebra. Pelajar harus membuat dan menguji konjektur
berdasarkan contoh-contoh berangka, mengesahkan hipotesis atau petua yang dibentuk
berdasarkan bukti yang kukuh dan logik. Kelemahan pelajar dalam membuat penaakulan
deduktif telah dinyatakan dalam kajian Lannin (2003). Beliau mendapati pelajar menghadapi
masalah dalam membentuk perkaitan antara algebra dan penaakulan.
Berdasarkan masalah-masalah yang timbul, ramai penyelidik telah mengemukakan pandangan
mereka masing-masing untuk mewujudkan suasana pengajaran dan pembelajaran kebolehan
penyelesaian masalah algebra yang lebih berkesan. Secara umumnya, pandangan mereka boleh
digolongkan kepada tiga pendekatan yang utama iaitu pengitlakan, permodelan dan fungsian.
PENDEKATAN-PENDEKATAN PENGAJARAN DAN PEMBELAJARAN
KEBOLEHAN PENYELESAIAN MASALAH ALGEBRA
i. Perkembangan kebolehan penyelesaian masalah algebra melalui pendekatan pengitlakan
Bednarz dan Janvier (1996) menegaskan bahawa cara aritmetik hanya mampu digunakan untuk
mengoperasikan nilai-nilai nombor yang diberi dalam sesuatu masalah. Algebra pula dapat
digunakan untuk membuat pengitlakan terhadap masalah secara keseluruhan. Fernandez dan
Anhalt (2001), Bishop, Otto dan Lubinski (2001), Friedlander dan Hershkowiz (1997), Herbert
dan Brown (1997), dan Swafford dan Langrall (2000) berpendapat bahawa matematik pada era
baru telah memperkenalkan algebra sebagai satu pendekatan untuk menjelaskan pola dan
12
hubungan. Maka, pengenalan dan perkembangan kebolehan penyelesaian masalah algebra harus
dipupuk melalui pengitlakan pola yang selalu wujud dalam kehidupan seharian.
Fernandez dan Anhalt (2001) melaporkan bahawa pengenalan Ke Arah Projek Algebra (Toward
Algebra Project) dapat memupuk satu suasana kebolehan penyelesaian masalah algebra dan
pemikiran algebra yang kaya dan positif dalam kalangan pelajar Gred Lima ke Gred Tujuh
melalui pengitlakan pola. Projek ini telah mengemukakan tiga pandangan utama tentang algebra
iaitu: (i) sebagai satu cara untuk pembelajaran pola dan hubungan; (ii) sebagai satu alat
penyelesaian masalah; memahami hubungan antara pembolehubah; dan iii) penerokaan dan
pengitlakan hubungan operasi berangka. Ketiga-tiga pandangan ini telah menekankan
perkembangan penaakulan induktif dan deduktif melalui tiga langkah utama: (i)
mengorganisasikan data ke dalam bentuk jadual. Pelajar akan menyedari dan memahami pola
dan hubungan melalui proses ini; (ii) menentukan hubungan yang wujud dengan membentuk
persamaan; dan (iii) mengesahkan hubungan tersebut dengan alasan yang logik. Fernandez
dan Anhalt mendapati projek tersebut memberi kesan positif kepada guru dan pelajar dalam
memahami kepentingan melibatkan diri dalam penyelesaian masalah, menemui hubungan
sesuatu pola dan menterjemah hubungan pola ke dalam bentuk perwakilan yang berbeza.
Bishop, Otto dan Lubinski (2001) pula mencadangkan beberapa langkah yang digunakan oleh
pelajar untuk menyelesaikan masalah pola dan membuat pengitlakan secara beralgebra. Pada
mulanya, pelajar diminta membentuk satu ungkapan aritmetik untuk menyelesaikan beberapa
nilai khusus yang disoal. Langkah ini penting untuk menggalakkan perkembangan penaakulan
pelajar melalui hasil perwakilan mereka masing-masing seperti mengenal pasti hubungan rekursi
bagi nilai perimeter yang semakin bertambah dalam sesuatu pola. Seterusnya, pelajar diminta
13
menggunakan strategi yang dibentuk sebelumnya untuk membina satu ungkapan algebra (seperti
nilai perimeter untuk bentuk yang ke-n). Akhir sekali, pelajar diminta menyelesaikan masalah
dengan menggunakan persamaan. Secara ringkas, penyiasatan dan pengitlakan terhadap sesuatu
pola menekankan kaedah menghitung, mengaitkan perwakilan simbol dengan tindakan
menghitung dan menggunakan persamaan untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan.
Langkah-langkah ini telah menawarkan satu format untuk melaksanakan proses algebra piawai
iaitu: (i) pelajar membentuk strategi penyelesaian masalah; (ii) pelajar berkomunikasi strategi
mereka dalam perkataan dan symbol; (iii) pelajar menaakul tentang hubungan antara strategi
menghitung dan perwakilan simbolik; dan (iv) pelajar mengaitkan kaedah menghitung
(aritmetik) dengan pengitlakan algebra.
Sementara Friedlander dan Hershkowiz (1997) telah membincangkan beberapa contoh yang
dapat mengaplikasikan algebra sebagai satu alat yang berkesan bagi pengitlakan pola am dan
hubungan. Mereka mendapati bahawa proses mengitlak dan menjustifikasi sesuatu pola
memerlukan pelajar mematuhi beberapa langkah utama. Langkah pertama, pelajar akan
dikemukakan latihan berangka. Kemungkinan besar pola akan dikesan oleh pelajar melalui
latihan ini. Langkah yang kedua adalah membuat pengitlakan bagi pola tersebut. Perasaan intuitif
terhadap pola am dapat dicungkilkan melalui penyelesaian tugas yang diberikan. Langkah yang
ketiga pula ialah mencari satu petua umum yang dapat mengitlakkan situasi masalah tersebut.
Langkah keempat bertujuan membuktikan kesahan petua tersebut atau menyakinkan pemerhatian
dan kesimpulan mereka.
Dapatan kajian Friedlander dan Hershkowitz (1997) mendapati bahawa urutan langkah-langkah
tersebut berada dalam bentuk hierarki iaitu daripada peringkat konkrit (latihan berangka) kepada
14
peringkat abstrak (pengitlakan petua). Oleh itu, langkah-langkah itu didapati amat sesuai dan
berkesan untuk membimbing pelajar dalam menyelesaikan proses-proses yang mudah seperti
menyiasat pola dan mencari sebutan sebelum menghadapi proses yang kompleks misalnya
membuat pengitlakan pola dalam bentuk persamaan.
Herbert dan Brown (1997) mempercayai bahawa pendekatan pengitlakaan pola ialah satu cara
yang berkesan untuk mengkaji kebolehan penyelesaian masalah algebra pelajar. Kajian mereka
telah melaporkan beberapa langkah yang dapat dikenal pasti apabila pelajar melibatkan diri
dalam proses penyiasatan. Secara amnya, terdapat tiga fasa dalam proses penyiasatan iaitu: (i)
menggunakan maklumat daripada situasi masalah bagi pengumpulan data dan pemerhatian
hubungan berangka antara dua pembolehubah; (ii) mewakilkan maklumat dalam bentuk jadual,
graf dan persamaan; mengitlakkan pola dalam bentuk persamaan, perkataan atau rajah; dan (iii)
menginterpretasikan dan mengaplikasikan dapatan (misalnya petua sesuatu pola dalam bentuk
perkataan, simbol atau persamaan) untuk menyelesaikan masalah dan menguji konjektur bagi
menyelesaikan masalah yang berkaitan. Proses penyiasatan ini telah menunjukkan motivasi
positif untuk mendorong pelajar melibatkan diri dalam situasi masalah algebra dan menonjolkan
kebolehan penyelesaian masalah algebra mereka yang terpendam.
Swafford dan Langrall (2000) pula mengkaji pengaplikasian algebra untuk mengitlakkan pola
dalam kalangan pelajar Gred Enam. Pelajar diberikan satu siri tugas yang merangkumi enam
domain kandungan persamaan yang berbeza iaitu ubahan langsung, hubungan linear dalam
konteks geometri, jujukan aritmetik, eksponen dan ubahan songsang. Kebolehan penyelesaian
persamaan pelajar dalam menyelesaikan siri tugas tersebut ditentukan oleh beberapa peringkat
langkah iaitu mencari jawapan yang betul untuk nilai-nilai khusus, mengitlakkan hubungan dan
15
membuat perwakilan, menggunakan simbol algebra untuk mewakilkan dan menyelesaikan
masalah yang berkaitan.
ii. Perkembangan kebolehan penyelesaian masalah algebra melalui pendekatan
permodelan
Dalam usaha mengembangkan kebolehan penyelesaian masalah algebra dalam pembelajaran dan
pengajaran di bilik darjah, Ferrucci, Yeap dan Carter (2003) dan Sinclair (2005) mendapati
permodelan merupakan pendekatan yang tidak kurang penting. Ferrucci, Yeap dan Carter (2003)
menegaskan bahawa pendekatan permodelan ialah satu 'alat yang berkuasa' untuk meningkatkan
kemahiran penyelesaian masalah algebra dalam kalangan pelajar sekolah pertengahan (middle
school). Pendekatan ini bertujuan untuk membantu pelajar dalam menggambarkan hubungan
matematik yang abstrak dalam bentuk model (graf dan jadual) di mana pelajar boleh mendapat
pemahaman yang lebih mendalam tentang konsep simbol dan kemahiran memanipulasi
persamaan. Mengikut mereka, pendekatan permodelan menekankan perwakilan bergambar untuk
menganalisa dan mewakili hubungan kuantiti dalam sesuatu situasi masalah algebra misalnya
hubungan linear. Pendekatan ini merangkumi dua fasa utama, iaitu: (i) penyiasatan hubungan
pembolehubah dalam situasi masalah, dan (ii) melibatkan proses transformasi matematik seperti
pembinaan ungkapan algebra dan persamaan, graf atau jadual.
Mengikut Sinclair (2005) pula, penggunaan spreadsheet merupakan satu pendekatan permodelan
dalam menyelesaikan masalah algebra di mana dapat membantu pelajar menggambarkan konsep
16
algebra misalnya konsep persamaan, membenarkan penyelesaian masalah realistik yang lebih
banyak, membolehkan pelajar menganalisa sesuatu situasi masalah melalui pelbagai bentuk
perwakilan dan kemahiran menggunakan komputer. Terdapat tiga keputusan penting tentang
penggunaan spreadsheet dalam mengembangkan kebolehan penyelesaian masalah algebra. Ini
termasuklah: (i) pelajar menggunakan pelbagai cara perwakilan apabila mereka tidak dihadkan
dengan jenis masalah tertentu, (ii) pelajar memaparkan kemahiran mencipta dan mengendalikan
rumus, dan (iii) pelajar mencuba masalah yang baru dan berbeza-beza dengan penuh keyakinan.
iii. Perkembangan kebolehan penyelesaian masalah algebra melalui pendekatan fungsian
Thornton (2001) mengutarakan pendekatan fungsian sebagai salah satu perspektif yang
membawa pengertian baru dalam mewakilkan situasi masalah algebra melalui cara alternatif.
Melalui pendekatan ini, kebolehan penyelesaian masalah algebra dapat dipupuk melalui
pengaplikasian pembolehubah untuk mewakili kuantiti yang berubah-ubah nilai dalam situasi
masalah dan seterusnya mewakilkan hubungan tersebut dalam bentuk grafik (graf) dan nombor
(jadual). Pendekatan ini adalah penting kerana ia memberi penekanan yang lebih kepada
pemahaman konsep tentang pembolehubah, ungkapan dan persamaan linear berbanding dengan
proses memanipulasi simbol semata-mata.
Smith dan Phillips (2000) meneliti tingkah laku kebolehan penyelesaian masalah algebra pelajar
dalam menilai kesetaraan melalui hasil kerja pelajar masing-masing. Dalam proses kajian
tersebut, pelajar menonjolkan beberapa kemahiran algebra misalnya kemahiran penyelesaian
persamaan dalam konteks fungsi yang difikirkan sebagai set kecekapan awalan dan berfungsi
sebagai asas yang kukuh untuk mencapai kebolehan algebra yang lebih tinggi. Ini termasuklah:
17
(i) mengenal pasti kuantiti yang berubah-ubah dalam situasi masalah dan menghuraikan
bagaimana pembolehubah-pembolehubah itu berkaitan, (ii) menghuraikan kadar perubahan
hubungan kuantiti dalam bentuk jadual, graf atau ungkapan algebra, dan (iii) memahami
kesetaraan ungkapan algebra dalam pelbagai cara.
KESIMPULAN
Setiap pendekatan tersebut mempunyai kelebihan dan keunikan yang tersendiri. Guru harus
merujuk pendekatan yang sesuai dengan kebolehan pelajar dan selaras dengan kandungan
pengajaran. Selain itu, guru juga digalakkan untuk mengubahsuai atau memperkembangkan
pendekatan-pendekatan tersebut supaya memberi impak yang lebih berkesan dalam pengajaran
dan pembelajaran. Penggunaan pendekatan ini bukan terhad kepada pelajar sekolah menengah
yang mula mempelajari topik algebra, pelajar sekolah rendah juga boleh didedahkan aktiviti
penyiasatan, perwakilan dan pengitlakan pola yang melibatkan nilai-nilai khusus, iaitu
pengenalan dan perkembangan pra-kebolehan penyelesaian masalah algebra (prealgebraic
solving ability).
RUJUKAN
Amerom, B. A. (2003). Developing a framework for analyzing algebraic thinking. Retrieved Sept 7, 2003, from http://www.msi.vxu.se/picme 10/F4JT.pdf.
Bednarz, N., & Janvier, B. (1996). Emergence and development of algebra as a problem solving tool: continuities and discontinuities with arithmetic. In N. Bednarz, C. Kieran and L. Lee (Eds.), Approaches to algebra: Perspectives for research and teaching (pp. 115-136). Dordrecht: Kluwer.
18
Bell, A. (1996). Problem solving approached to algebra: Two aspects. In N. Bednarz, C. Kieran and L. Lee (Eds.), Approaches to algebra: Perspectives for research and teaching (pp. 167-186). Dordrecht: Kluwer.
Billstein, R., Libeskind, K., & Lott, J.W. (2001). A problem approach to mathematics for elementary school teacher (7th ed.). Boston: Addison Wesley Longman.
Bishop, J. W., Otto, A. D., & Lubinski, C. A. (2001). Promoting algebraic reasoning using students' thinking. Mathematics Teaching in the Middle School, 6(9), 508- 514.
Campbell, R. D., Peterson, J. C., & Yoshiwara, K. (2000). Information Technology 1. Retrieved May 1, 2005, from CRAFTY Curriculum Foundations Project Web site: h http://www.waketech.edu/~rlkimbal/CRAFTY/reportinf.doc.
Clements, M. A. (1999). The teaching and learning of algebra. Proceedings of The First Brunei Mathematics Teacher Conference, Negara Brunei, 31-46.
Day, R., & Jones, G. A. (1997). Building bridges to algebraic thinking. Mathematics Teaching in the Middle Schools, 2(4), 208-213.
Edwards, T. G. (2000). Some big ideas of algebra in the middle grades. Mathematics Teaching in the Middle School, 6(1), 26-32.
Femiano, R. B. (2003). Algebraic problem solving in the primary grades. Teaching Children Mathematics, 9(8), 444-449.
Fernandez, M. L., & Anhalt, C. O. (2001). Transition toward algebra. Mathematics Teaching in the Middle School, 7(4), 236-242.
Ferrucci, B. J., Yeap, B. H., & Carter, J. A. (2003). A modeling approach for enhancing problem solving in the middle grades. Mathematics Teaching in the Middle School, 8(9), 470-476.
Friedlander, A., & Hershkowitz, R. (1997). Reasoning with algebra. The Mathematics Teacher, 90(6), 442-447.
Herbert, K., & Brown, R. H. (1997). Patterns as tools for algebraic reasoning. Teaching Children Mathematics, 3(6), 340-345.
Huntley, M. A. (2000). Effects of standards-based mathematics education: A study of the Core-Plus Mathematics Project Algebra and Function Strand. Journal for Research in Mathematics Education, 31(3), 328-362.
Kamus Matematik KBSM (1997). Kuala Lumpur: Dewan Bahasa dan Pustaka.
Kaur, B., & Boey, H. P. (1994). Algebraic misconceptions of first year college students. Focus on Learning Problem in Mathematics, 16(4), 43-57.
Lannin, J. K. (2003). Developing algebraic reasoning through generalization. Mathematics Teaching in The Middle School, 8(7), 342-346.
19
Latterell, C. M. (2003). Testing the problem solving skills of students in an NCTM- oriented curriculum. The Mathematics Educator, 13(1), 5-14.
Martinez, J. G. R. (2002). Building conceptual bridges from arithmetic to algebra. Mathematics Teaching in the Middle School, 7(6), 326-332.
Meyer, M. R. (1999). Multiple strategies = multiple challenges. Mathematics Teaching in the Middle School, 4(8), 519.
Mok, A. C. Ida (1997). Algebraic thinking of secondary-one students in Hong Kong: A Case study. Curriculum Forum, 7(1), 32-48.
Moses, B. (1997). Algebra for a new century. Teaching Children Mathematics, 3(6), 264- 265.
Orton, A., & Orton, J. (1994). Students' perception and use of pattern and generalization. Proceedings of the 18th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, Lisbon: University of Lisbon, 404- 414.
Orton, A., & Orton, J. (2005). Pattern and the approach to pattern. In A. Orton (Ed.), Pattern in the teaching and learning of mathematics (pp. 104-120). New York: Continuum.
Orton, J., & Orton, A. (1996). Making sense of children's patterning. Proceedings of the Twentieth International Conference for the Psychology of Mathematics Education, Volume 4, Valencia: Universitat de Valencia, 83-90.
Radford, L., & Puig, L. (2007). Syntax and meaning as sensuous, visual, historical forms of algebraic thinking. Educational Studies in Mathematics, 66, 145-164. Sinclair, F. (2005). Algebraic problem using spreadsheets: A unit for grade 9. Retrieved March 1, 2005, from http://mathforum.org/workshops/sum98/participants/Sinclair/problem/intro.htm/.
Smith, J., & Phillips, E. (2000). Listening to middle school students' algebraic thinking. Mathematics Teaching in the Middle School, 6(3), 156-161.
Stacey, K. (1989). Finding and using patterns in linear generating problems. Educational Studies in Mathematics, 42(3), 379-402.
Stacey, K., & MacGregor, M. (1997). Ideas about symbolism that students bring to algebra. Mathematics Teacher, 90(2), 110-113.
Stacey, K., & MacGregor, M. (1999). Implications for mathematics education policy of research on algebra learning. Australian Journal of Education, 43(1), 58-71.
Steinberg, R. M., Sleeman, D. H., & Ktorza, D. (1990). Algebra students' knowledge of equivalence of equation. Journal for Research in Mathematic Education, 22(2), 112- 121.
20
Swafford, J. O., & Langrall, C. W. ( 2000). Grade 6 students' preinstructional use of equation to describe and represent problem. Journal for Research in Mathematics Education, 31(1), 89-112.
Thornton, S. J. (2001). New approach to algebra. Mathematics Teaching in the Middle School, 6(7), 388-391.
21
