Kef1.1 1.2

Συναρτήσεις

§ 1.1 – 1.2

ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ – ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

www.ask si.blogspot.gre

Το σύνολο των πραγματικών αριθμών

Το σύνολο των φυσικών αριθμών είναι: ΙΝ = {0, 1, 2, 3, …}




Το σύνολο των ακεραίων αριθμών είναι: Ζ={ …, −2, −1, 0, 1, 2, …}





Ρητοί αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που μπορούν να γραφούν ως κλάσματα με αριθμητή και παρονομαστή ακεραίους αριθμούς.

Το σύνολο των ρητών αριθμών είναι: Q={ / α, βZ με β≠0}β

α






Το σύνολο των ρητών αριθμών είναι: Q={ / α, βZ με β≠0}

Το σύνολο των πραγματικών αριθμών IR αποτελείται από όλους τους ρητούς και άρρητους αριθμούς και ως γνωστόν μπορεί να παρασταθεί με τη βοήθεια του άξονα των πραγματικών αριθμών.

β

α






Το σύνολο των ρητών αριθμών είναι: Q={ / α, βZ με β≠0}

Το σύνολο των πραγματικών αριθμών IR αποτελείται από όλους τους ρητούς και άρρητους αριθμούς και ως γνωστόν μπορεί να παρασταθεί με τη βοήθεια του άξονα των πραγματικών αριθμών.

Παρατήρηση :Τα σύνολα ΙΝ −{0}, Ζ−{0}, Q−{0}, IR −{0} τα συμβολίζουμε συντομότερα με ΙΝ * , Ζ*, Q*, IR* αντίστοιχα.

β

α


Ταυτότητες

(α+β)2=α2+2αβ+β2 (α+β)3=α3+3α2β+3αβ2+β3

(x+α)(x+β)=x2+(α+β)x+αβ (αβ)2=α22αβ+β2

(αβ)3=α33α2β+3αβ2β3 (α+β+γ)2=α2+β2+γ2+2αβ+2βγ+2γα

α2β2=(αβ)(α+β) α3+β3=(α+β)(α2αβ+β2)

(α+β+γ)3=α3+β3+γ3+3(α+β)(β+γ)(γ+α)

α3β3=(αβ)(α2+αβ+β2)

ανβν=(αβ)(αν1+αν2β+.....+αβν2+βν1) νN*

Ταυτότητα Euler : α3+β3+γ33αβγ= (α+β+γ)[(αβ)2+(βγ)2+(γα)2]

Αν α+β+γ=0 ή α=β=γ α3+β3+γ3=3αβγ

Επίσης χρήσιμες είναι οι ταυτότητες: α2+β2=(α+β)22αβ και α3+β3=(α+β)33αβ(α+β)

2

1


Ιδιότητες απόλυτης τιμής

|x| =

|xy|=|x||y| και , αν y0

|x|x και |x|x για κάθε x IR

|x|<θ θ<x<θ αν θ>0

|x|>θ x>θ ή x<θ αν θ>0

|xy||x|+|y| για κάθε x,y IR.

0x,x

0x,x

y

x

y

x


Η έννοια της συνάρτησης

Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α (Α IR) μια διαδικασία με την οποία κάθε στοιχείο xA αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο πραγματικό αριθμό y. Το y ονομάζεται τιμή της f στο x και συμβολίζεται με f(x).

ΟΡΙΣΜΟΣ




ΟΡΙΣΜΟΣ

Η μεταβλητή x ονομάζεται ανεξάρτητη μεταβλητή ενώ η y ονομάζεται εξαρτημένη μεταβλητή.




ΟΡΙΣΜΟΣ


Το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης f συμβολίζεται με Df.




ΟΡΙΣΜΟΣ


Το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης f συμβολίζεται με Df.

Το σύνολο που έχει ως στοιχεία τις τιμές της f για όλα τα xA, λέγεται σύνολο τιμών της f και συμβολίζεται με f(A) δηλαδή:f(A)={y IR / υπάρχει xA ώστε y=f(x)}


Όταν σε μία συνάρτηση δεν δίνεται το πεδίο ορισμού της, πρέπει να το προσδιορίσουμε, βρίσκοντας το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών για τους οποίους ο τύπος της συνάρτησης έχει νόημα.


Όταν σε μία συνάρτηση δεν δίνεται το πεδίο ορισμού της, πρέπει να το προσδιορίσουμε, βρίσκοντας το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών για τους οποίους ο τύπος της συνάρτησης έχει νόημα.

Για την εύρεση του πεδίου ορισμού μιας συνάρτησης της οποίας μας δίνεται ο τύπος, σημειώνουμε ότι: οι πολυωνυμικές συναρτήσεις έχουν πεδίο ορισμού το IR . Το ίδιο συμβαίνει και για τις συναρτήσεις ημx, συνx και αx

οι παρονομαστές, όπου κι αν αυτοί εμφανίζονται, πρέπει να είναι διάφοροι του μηδενός οι υπόριζες ποσότητες πρέπει να είναι μεγαλύτερες ή ίσες του μηδενός όπου παρουσιάζονται λογάριθμοι logf(x) ή lnf(x) πρέπει να ισχύει f(x)>0.


Γραφική παράσταση συνάρτησης

Θεωρούμε τη συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α. Το σύνολο των σημείων Μ(x, f(x))για κάθε xA λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με Cf.

ΟΡΙΣΜΟΣ




ΟΡΙΣΜΟΣ

Ο τύπος μιας συνάρτησης (δηλ. η εξίσωση y=f(x) )επαληθεύεται μόνο από τις συντεταγμένες των σημείων της Cf.




ΟΡΙΣΜΟΣ

Ο τύπος μιας συνάρτησης (δηλ. η εξίσωση y=f(x) )επαληθεύεται μόνο από τις συντεταγμένες των σημείων της Cf.

H y = f(x) λέγεται εξίσωση της γραφικής παράστασης της f


Παρατηρήσεις

α) Κάθε κατακόρυφη ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης σε ένα το πολύ σημείο.







β) Το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο των τετμημένων της Cf.





γ) Το σύνολο τιμών της f είναι το σύνολο των τεταγμένων της Cf.





γ) Το σύνολο τιμών της f είναι το σύνολο των τεταγμένων της Cf. δ) Τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων δύο συναρτήσεων f και g βρίσκονται από τη λύση του συστήματος:

)x(gy

)x(fy





γ) Το σύνολο τιμών της f είναι το σύνολο των τεταγμένων της Cf. δ) Τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων δύο συναρτήσεων f και g βρίσκονται από τη λύση του συστήματος:

ε) Τα κοινά σημεία της Cf μιας συνάρτησης f με τον άξονα xx΄ βρίσκονται από τη λύση του συστήματος:

)x(gy

)x(fy

0y

)x(fy



στ) Τα κοινά σημεία της Cf μιας συνάρτησης f με τον άξονα xx΄ βρίσκονται από τη λύση του συστήματος:

0x

)x(fy




ζ) Για να βρούμε τη σχετική θέση των γραφικών παραστάσεων Cf, Cg των συναρτήσεων f, g αντίστοιχα, μελετάμε το πρόσημο της διαφοράς f(x)g(x) (xDfDg). Επομένως:

αν f(x)g(x)>0 για κάθε x ενός διαστήματος Δ, τότε στο Δ η Cf είναι ψηλότερα από τη Cg. αν f(x)g(x)<0 για κάθε x ενός διαστήματος Δ, τότε στο Δ η Cf είναι χαμηλότερα από τη Cg.

0x

)x(fy




ζ) Για να βρούμε τη σχετική θέση των γραφικών παραστάσεων Cf, Cg των συναρτήσεων f, g αντίστοιχα, μελετάμε το πρόσημο της διαφοράς f(x)g(x) (xDfDg). Επομένως:

αν f(x)g(x)>0 για κάθε x ενός διαστήματος Δ, τότε στο Δ η Cf είναι ψηλότερα από τη Cg. αν f(x)g(x)<0 για κάθε x ενός διαστήματος Δ, τότε στο Δ η Cf είναι χαμηλότερα από τη Cg.

η) Η γραφική παράσταση της |f| αποτελείται από τα τμήματα της Cf που είναι πάνω από τον άξονα xx΄ και από τα συμμετρικά σημεία ως προς τον xx΄ της Cf που βρίσκονται κάτω από αυτόν.

0x

)x(fy


θ) Η γραφική παράσταση της f είναι συμμετρική της γραφικής παράστασης της f ως προς τον xx΄ .


Γραφικές παραστάσεις βασικών συναρτήσεων








Ιδιότητες λογαρίθμων

1) logx=y x=10y και lnx=y x=ey

2) log10=1 και lne=13) log1=0 και ln1=04) logx=logy x=y και lnx=lny x=y5) logx<logy x<y και lnx<lny x<y6) log(x1x2)=logx1+logx2 και ln(x1x2)=lnx1+lnx2

7) log =logx1−logx2 και ln =lnx1−lnx2

8) logxκ=κlogx και lnxκ=κlnx

Όλες οι παραπάνω ιδιότητες ισχύουν με την προϋπόθεση ότι οι λογάριθμοι έχουν νόημα.

2

1

x

x


Ίσες συναρτήσεις

Δυο συναρτήσεις f και g λέγονται ίσες όταν: έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α για κάθε xA ισχύει f(x)=g(x)

ΟΡΙΣΜΟΣ

Παρατήρηση: Θεωρούμε δυο συναρτήσεις f, g και τα πεδία ορισμού τους Α, Β με Α≠Β. Αν υπάρχει ένα υποσύνολο Γ των Α, Β έτσι ώστε για κάθε xΓ να ισχύει f(x)=g(x), τότε λέμε ότι οι συναρτήσεις είναι ίσες στο Γ.


Πράξεις με συναρτήσεις

Θεωρούμε τις συναρτήσεις f, g με πεδίο ορισμού Α, Β αντίστοιχα.

Ορίζουμε τις ακόλουθες πράξεις μεταξύ των συναρτήσεων:

Πρόσθεση: (f+g)(x)=f(x)+g(x) με Df+g=AB

Αφαίρεση: (fg)(x)=f(x)g(x) με Dfg=AB

Πολλαπλασιασμός: (fg)(x)=f(x)g(x) με Dfg=AB

Διαίρεση: 0 g(x) / B Ax Dμε)x(g

)x(f)x(

g

f

g

f


Σύνθεση συναρτήσεων

Αν f, g είναι δυο συναρτήσεις με πεδία ορισμού Df και Dg αντί-στοιχα, τότε ονομάζουμε σύνθεση της f με τη g και τη συμβολί-ζουμε gοf τη συνάρτηση με τύπο (gof)(x)=g(f(x)).Το πεδίο ορισμού της gοf είναι Dgοf={xDf / f(x)Dg}

ΟΡΙΣΜΟΣ



α) Γενικά ισχύει fοg gοf

β) Αν f, g, h είναι τρεις συναρτήσεις και ορίζονται οι συνθέσεις (fοg)οh και fο(gοh) τότε:

(fοg)οh=fο(gοh)


Date post:	30-Jun-2015
Category:	Education
Upload:	-
View:	476 times
Download:	2 times

Kef1.1 1.2

Education