Klasična mehanike

KLASICNA MEHANIKA

UVOD

Zvonko Glumac

Osijek, 2006.

v

All science is either physics or stamp collecting.

lord Ernest Rutherford, 1871 - 1937

vi

Sadrzaj

1 Uvod 1

I Mehanika jedne cestice 5

2 Matematicki uvod - elementi vektorskog racuna 72.1 Vektori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Derivacija vektorskog polja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3 Integral vektorskog polja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4 Vektorski diferencijalni operatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4.1 Gradijent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.4.2 Divergencija: Gaussov teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.4.3 Gaussov zakon - dovrsiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4.4 Rotacija: Stokesov teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.4.5 Laplaceov operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.5 Cilindricni koordinatni sustav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.6 Sferni koordinatni sustav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.7 Kovarijantne i kontravarijantne komponente vektora . . . . . . . . . . . . . . . . 552.8 Ortogonalna transformacija (preobrazba) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.9 Svojstva transformacijske matrice A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.10 Tenzori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3 Kinematika 693.1 Brzina i ubrzanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.2 Trobrid pratilac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.3 Frenet-Serretove formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.4 Kruzno gibanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4 Newtonovi aksiomi gibanja, konzervativnost, rad, energija, momenti 794.1 Newtonovi aksiomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.2 Rad, snaga i kineticka energija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.3 Konzervativne sile i potencijalna energija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.4 Impuls sile i momenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.5 Statika ili ravnoteza cestice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5 Gibanje cestice u polju konstantne sile i sila ovisnih o brzini 1015.1 Gibanje u polju konstantne sile: slobodan pad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1015.2 Gibanje u polju konstantne sile: kosi hitac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

vii

viii SADRZAJ

5.3 Uvjeti na gibanje: sila trenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095.4 Sile ovisne o brzini: (1) sila prigusenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

5.4.1 Slobodan pad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.4.2 Kosi hitac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.5 Sile ovisne o brzini: (2) Lorentzova sila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

6 Gibanje pod djelovanjem elasticne sile: harmonijski oscilator i matematickonjihalo 1256.1 Slobodni harmonijski oscilator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1256.2 Gustoca vjerojatnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1306.3 Nelinearni oscilator - racun smetnje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1316.4 Priguseni harmonijski oscilator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1356.5 Prisilni titraji harmonijskog oscilatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1396.6 Apsorpcija snage vanjske sile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

6.6.1 Neperiodicna vanjska sila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1516.7 Dvodimenzijski harmonijski oscilator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1546.8 Matematicko njihalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

7 Gravitacija i centralne sile 1657.1 Newtonov zakon gravitacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1687.2 Gravitacijsko privlacenje okruglih tijela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1787.3 Divergencija i rotacija gravitacijskog polja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1847.4 Multipolni razvoj potencijala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1897.5 Problem dva tijela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1977.6 Centralne sile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2017.7 Jednadzba gibanja cestice u polju centralne sile . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2047.8 Potencijalna energija cestice u polju centralne sile . . . . . . . . . . . . . . . . . 2077.9 Sacuvanje energije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2077.10 Opis gibanja nebeskih tijela pomocu grafa energije . . . . . . . . . . . . . . . . . 2097.11 Ekvivalentnost Keplerovih zakona i zakona gravitacije . . . . . . . . . . . . . . . 2147.12 Virijalni teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

7.12.1 Pocetni uvjeti i putanja satelita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2217.13 Sto bi bilo ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2217.14 Rasprsenje cestica u polju centralne sile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

8 Inercijski i neinercijski sustavi 2298.1 Vremenska promjena vektora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2298.2 Brzina i ubrzanje u sustavu koji se vrti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2338.3 Opcenito gibanje koordinatnih sustava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

8.3.1 Jednadzba gibanja u neinercijskom sustavu vezanom za povrsinu Zemlje . 2358.3.2 Slobodan pad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2398.3.3 Okomiti hitac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2408.3.4 Kosi hitac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2418.3.5 Rijeke i cikloni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

8.4 Foucaultovo njihalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2438.5 Opcenita jednadzba gibanja cestice u neinercijskom sustavu . . . . . . . . . . . 249

SADRZAJ ix

9 Specijalna teorija relativnosti 251

9.1 Lorentzove transformacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

9.2 Relativisticka kinematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

9.3 Relativisticka dinamika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

II Mehanika sustava cestica 253

10 Sustavi cestica 255

10.1 Diskretni i kontinuirani sustavi cestica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

10.2 Srediste mase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

10.3 Kolicina gibanja sustava cestica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

10.4 Moment kolicine gibanja sustava cestica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

10.5 Energija sustava cestica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

10.6 Gibanje sustava cestica u odnosu na srediste mase . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

10.7 Impuls sile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

10.8 Lagrangeovo i D’Alembertovo nacelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

10.9 Sustavi s promjenjivom masom: gibanje rakete . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

10.10Sudari cestica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

10.10.1Centralni sudar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

10.10.2Necentralni sudar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

11 Mali titraji sustava cestica 293

11.1 Mali longitudinalni titraji jednodimenzijskog diskretnog sustava cestica . . . . 293

11.1.1 Granica kontinuuma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

11.2 Mali transverzalni titraji kontinuiranog jednodimenzijskog sustava cestica . . . 302

11.2.1 Titranje napete niti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

11.2.2 Nit s oba nepomicna ruba: stojni val . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

11.2.3 Nit s oba nepomicna ruba: putujuci val (J. D’Alembert) . . . . . . . . 309

11.2.4 Nit s nepomicnim lijevim i slobodnim desnim rubom . . . . . . . . . . . 313

11.2.5 Nit sa slobodnim desnim i nepomicnim lijevim rubom . . . . . . . . . . 315

11.2.6 Nit slobodna na oba ruba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

11.2.7 Energija titranja napete niti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

11.3 Titranje pravokutne membrane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

11.4 Titranje kruzne membrane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

12 Ravninsko gibanje krutog tijela 333

12.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

12.2 Moment tromosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

12.3 Teoremi o momentima tromosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

12.4 Parovi sila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

12.5 Kineticka energija, rad i snaga vrtnje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

12.6 Fizicko njihalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

12.7 Opcenito ravninsko gibanje krutog tijela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

12.8 Trenutno srediste vrtnje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

12.9 Statika krutog tijela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354

x SADRZAJ

13 Prostorno gibanje krutog tijela 35513.1 Tenzor tromosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35513.2 Eulerove jednadzbe gibanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36413.3 Gibanje Zemlje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36613.4 Eulerovi kutovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37013.5 Gibanje zvrka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374

III Analiticka mehanika 383

14 Lagrangeove jednadzbe 38514.1 Poopcene koordinate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38514.2 Stupnjevi slobode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38614.3 Neholonomni sustavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38914.4 Lagrangeove jednadzbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39114.5 Lagrangeove jednadzbe za impulsnu silu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40114.6 Lagrangeova funkcija naelektrizirane cestice u elektromagnetskom polju . . . . 40114.7 Hamiltonovo nacelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405

14.7.1 Primjene Euler - Lagrangeove jednadzbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40714.8 Funkcija djelovanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409

15 Hamiltonove jednadzbe 41115.1 Hamiltonove jednadzbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41115.2 Poissonove zagrade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41615.3 Kanonska preobrazba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41815.4 Liouvilleov teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42015.5 Prijelaz na kvantnu mehaniku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425

A Delta funkcija 431

B Presjeci stosca 437

C Fourierovi redovi 443

D Vucedolski kalendar 447

Ovo su biljeske s autorovih predavanja iz kolegija Osnovi Teorijske Mehanike 1 i 2, na drugojgodini studija fizike sveucilista u Osijeku. Biljeske nisu strucno recenzirane i daju se na uvidstudentima kao orjentacija za pripremanje ispita.

xi

xii SADRZAJ

Predgovor

Iz podrucja teorijske mehanike je vec napisano mnostvo vrlo dobrih knjiga i stoga bi bio vrlotezak zadatak reci nesto novo ili originalno u ovom podrucju. Umjesto toga, autor si je postaviopuno skromniji cilj, a to je: olaksati pracenje predavanja iz kolegija Klasicna mehanika 1 i 2na studiju fizike osjeckog sveucilista.Za pracenje izlaganja u ovoj knjizi, dovoljno je elementarno poznavanje vektorskog i integro-diferencijanog racuna, kao i osnovnih pojmova opce fizike.Iz svojeg visegodisnjeg rada sa studentima, autor je dosao do nedvojbenog zakljucka da opsirnostknjige nikako ne moze biti njezin nedostatak. Stoga su i mnoga objasnjenja, racuni i izvodidani dosta detaljno, uz izostanak samo najelementarnijih algebarskih operacija.Pojedine teme su u ovoj knjizi obradene nesto detaljnije i opsirnije nego na predavanjima, atakoder postoje i teme koje su (zbog nedostatka vremena) potpuno izostavljene na predavanji-ma. Isto tako postoje cijela podrucja (poput specijalne teorije relativnosti, mehanike fluida,teorije elasticnosti i sl.) koja se ne nalaze u ovoj knjizi, a koja zainteresirani citatelj moze naciu nekima od knjiga navedenih u popisu literature.

Osijek, lipnja 2006. Autor

xiii

xiv SADRZAJ

Kazalo kratica i simbola

~A vektorski potencijala velika poluos elipse~a ubrzanje, ~a = d~v/dt~B indukcija magnetskog poljab mala poluos elipsec brzina svjetlosti u vakuumu, 2.9979250(10) 108 ms−1

D dimenzija prostoraE ukupna energijaEk ukupna kineticka energijaEk,t translacijska kineticka energijaEk,vrt kineticka energija vrtnjeEp potencijalna energija~E elektricno poljee j jedinicni vektori u smjerovima glavnih osi krutog tijela~F silaG univerzalna konstanta gravitacije, 6.6732(31) 10−11 N m2 kg−2

g standardno ubrzanje u Zemljinom gravitacijskom polju, 9.80665 ms−2

gij komponente kovarijantnog metrickog tenzoraH Hamiltonova funkcijah Planckova konstanta, 6.626 . . . · 10−34 Js~ Planckova konstanta podijeljena s 2 π: ~ = h/(2 π)I, Iαα moment tromosti oko zadane osiIαβ devijacijski (centrifugalni) momenti tromostiJ Jacobijeva determinantaL Lagrangeova funkcija~L moment kolicine gibanja, ~L = ~r × ~pl duljina~M moment sile, ~M = ~r × ~Fm masa tijela ili cesticeP snaga, P = dW/d t~p kolicina gibanja, ~p = m~vR polumjer zakrivljenosti~r radij vektorr, r koordinata i jedinicni vektor sfernog koordinatnog sustavaS povrsina; djelovanjeT period, f(t) ≡ f(t+ T )t vrijeme

xv

xvi SADRZAJ

V volumen; skalarni potencijal~v brzina, ~v = d~r/d t

W rad, W =∫~F d~r

x, x koordinata i jedinicni vektor pravokutnog koordinatnog sustavay, y koordinata i jedinicni vektor pravokutnog koordinatnog sustavaz, z koordinata i jedinicni vektor pravokutnog i cilindricnog koordinatnog sustava~α kutno ubrzanje, ~α = d~ω /dtγ koeficijent prigusenja kod harmonijskog titranjaδ(a, b) Kroneckerov simbol: jednak jedinici ako je a = b, a nuli ako je a 6= bδ(x− x0) Diracova δ funkcija

ε ekscentricitet elipse ε =√a2 − b2/a

Θ jedan od Eulerovih kutova

θ, θ koordinata i jedinicni vektor sfernog koordinatnog sustavaκ zakrivljenost ili fleksija κ = 1/Rλ kut kolatitude; valna duljina f(x) = f(x+ λ)λm linijska masena gustoca, λm = dm/d lµ reducirana masa, 1/µ = 1/m1 + 1/m2 + · · ·ν frekvencija, inverzna vrijednost perioda ν = 1/Tρ, ρ koordinata i jedinicni vektor cilindricnog (polarnog) koordinatnog sustavaρm volumna masena gustoca, ρm = dm/dVσm povrsinska masena gustoca, σm = dm/dSΦ jedan od Eulerovih kutovaϕ, ϕ koordinata i jedinicni vektor cilindricnog (polarnog) koordinatnog sustavaΨ jedan od Eulerovih kutovaψ otklon cestice sredstva kod titrajnog ili valnog gibanja (valna funkcija)~ω kutna brzina, |~ω | = dϕ/dt

Grcko slovo ∆ ispred odredenog simbola oznacava promjenu oznacene velicine za konacan iznos.Npr.

∆A = Akon − Apoc.

Slovo d ispred odredenog simbola oznacava infinitezimalnu promjenu oznacene velicine. Npr.

d ~V (q) = ~V (q + d q)− ~V (q).

Diferencijali volumena ce se oznacavati s d V ili s d3r, a diferencijali povrsine s dS ili s d2r.

Poglavlje 1

Uvod

Na pocetku svake knjige, autor je duzan upoznati citatelje s glavnim likovima koji se u njojpojavljuju. Glavni likovi ove knjige o mehanici1 su pomalo nesvakidasnji: to su vrijeme,prostor i tvar (ili materija). Reci neku vise ili manje preciznu definiciju ovih pojmova jenajvjerojatnije nemoguce. Umjesto toga postoje neke druge mogucnosti kao sto su npr.- nabrajati svojstva pojmova koje ne znamo definirati, nadajuci se da cemo nabrojati tolikosvojstava koliko nema ni jedan drugi pojam i time ih jednoznacno odrediti, ili- puno jednostavnije, naprosto se pozvati na nasu intuiciju: svi mi intuitivno shvacamo pojmoveprostora, vremena i tvari i stoga ih nije potrebno posebno objasnjavati.

Na toj ili slicnoj liniji razmisljanja je vjerojatno bio i blazeni Augustin kada je (u DrzaviBozijoj), govoreci o vremenu, rekao otprilike ovako:

Sve dok me ne pitate sto je vrijeme, ja znam sto je ono, ali ako me pitateda vam objasnim, ja ne znam.

Ovom je recenicom sazeto dano nase znanje o vremenu: intuitivno nam je jasno o cemu seradi, ali kako to objasniti (npr. nekome dosljaku iz svemira tko ne posjeduje nasu intuiciju),to nismo u stanju. Naravno, mi mozemo govoriti o vremenskom slijedu, o tome da se jedandogadaj dogodio prije nekog drugog dogadaja ili slicno, ali time samo govorimo o vremenskimrelacijama, ali ne i o samom vremenu. Vezano za vremenski slijed, treba spomenuti i (naizgledtrivijalnu) usporedbu s prostorom: dok je u prostoru moguce gibanje u proizvoljnim smjerovima,u vremenu postoji istaknuti smjer koji se naziva buducnost. Vrlo omiljena (unatoc svojim ocitimlogickim kontradikcijama) knjizevna i filmska tema putovanja u proslost, jos nije nasla uporisteu fizici.

Nista manje nije jednostavan ni problem prostora. Dugo je vremena (napose od Newtona, panadalje), Prostor smatran za neku vrstu kazalisne pozornice na kojoj glumci (tj. cestice tvari)izvode svoju predstavu (gibaju se tijekom vremena) koju nazivamo fysis - priroda. Prostorje naravno bio zamisljan kao ravni trodimenzijski Euklidski prostor. Pri svemu tome, sva su tripojma: prostor, vrijeme i tvar smatrani medusobno neovisnim. Pocetkom dvadesetog stoljecadolazi do postupnog povezivanja ovih pojmova. Najprije je Einstein2 1905. godine u svojojSpecijalnoj teoriji relativnost povezao pojmove prostora i vremena u jednu jedinstvenu tvorevi-nu nazvanu prostor-vrijeme, da bi nesto kasnije, oko 1920. godine, u Opcoj teoriji relativnostpokazao da svojstva prostor-vremena (napose njegova zakrivljenost) ovise o jednom svojstvu

1Sama rijec mehanika potjece od grcke rijeci µηχανη, koja oznacava orude ili stroj, a oznacava dio fizike koji proucava gibanjei mirovanje cestica.

2Albert Einstein, njemacki fizicar, Ulm 1879. - Princeton 1956.

1

2 POGLAVLJE 1. UVOD

tvari koje se zove masa. Prostor bez tvari je ravan (euklidski), dok nazocnost tvari (uslijednjezine mase) mijenja geometrijska svojstva prostora i cini ga zakrivljenim. Geometriju ovakvihzakrivljenih prostora, vec su ranije razvili Riemann 3 i Lobacevskij4. Ucinci opisani teorijamarelativnosti postaju zamjetni tek ako se tijela gibaju brzinama bliskim brzini svjetlosti (speci-jalna teorija relativnosti) ili ako je masa reda velicine mase planeta ili zvijezda (opca teorijarelativnosti). U ovoj cemo se knjizi ograniciti na pojave kod kojih ucinci opisani teorijamarelativnosti imaju vrlo mali utjecaj i zato cemo ih u cjelosti zanemariti (cak i u poglavlju ogravitaciji). Prostor cemo shvacati kao ravan euklidski, homogen i izotropan kontinuum.Svojstvo homogenosti oznacava da prostor ima ista svojstva u svakoj svojoj tocki, tj. sve sutocke ravnopravne, ne postoji istaknuta tocka. Izotropnost znaci da prostor ima ista svojstvau svim smjerovima, tj. svi su smjerovi ravnopravni, ne postoji istaknuti smjer u prostoru.Za dani konkretni problem, ova svojstva omogucavaju najpogodniji odabir polozaja ishodistakoordinatnog sustava i smjerova koordinatnih osi.

Govoreci o prostoru i vremenu, spomenuli smo i tvar navodeci jedno njezino svojstvo: masu.Osim mase, tvar moze imati i neka druga svojstava kao sto su: elektricni naboj, spin, cesticetvari se mogu gibati odredenom brzinom, itd. Neka od tih svojstava su nam bliska iz svakod-nevnog zivota (npr. masa ili brzina), dok postoje svojstva tvari (kao sto je npr. spin), koja sujako daleko od nase svakodnevice, sto ih, naravno, ne cini i manje vaznima.Paralelno s Einsteinovim radovima iz teorija relativnosti, u to se doba (pocetkom dvadesetogstoljeca) razvijala i jedna nova grana fizike, koja ce kasnije biti nazvana kvantnom mehani-kom. Ona je u bitnome promjenila dotadasnje poimanje tvari. Stoljecima se zamisljalo da setvar sastoji od malih cestica, koje su jos stari Heleni nazvali nedjeljivima (Demokritovi atomi, ilidanasnjim jezikom receno: elementarne cestice). Gibanje tih malih cestica i njihovo medusobnopovezivanje, tvorilo je sav vidljivi prirodni svijet. Pokusi nad elektronima (npr. Comptonovorasprsenje) su pokazali da elementarne cestice nemaju samo cesticna (korpuskularna) svojstva,nego imaju i valna svojstva (kao sto je npr. ogib). Ukratko, doslo je do shvacanja da nijesasvim tocno elementarne cestice zamisljati kao jako smanjene biljarske kuglice koje jure krozprostor. Slika je ipak nesto slozenija: pod odredenim uvjetima tvar pokazuje cesticna svojstva,a pod nekim drugim uvjetima pokazuje valna svojstva. Stoga bi, umjesto izraza cestica ili val,korektnije bilo koristiti izraz cestica-val ili sto slicno. Razlog zasto se takav nekakav izraz vecnije udomacio u literaturi, jeste taj sto se dvojni valno-cesticni karakter tvari prikazuje tek navrlo maloj prostornoj skali, tako da makroskopski - tj. u nasem svakidasnjem iskustvu - tvarmahom pokazuje ili samo svoja cesticna ili samo svoja valna svojstva. Prema De Broglieu5,veza valnih (valna duljina λ) i cesticnih (kolicina gibanja ~p ) svojstava cestice-vala, je danaizrazom

λ p = h,

gdje je h = 6.626 . . . · 10−34 Js jedna univerzalna prirodna konstanta, nazvana Planckova6

konstanta. Evo jednog jednostavnog primjera. Srednja brzina helijeva plina na sobnoj tem-peraturi je oko 1 350ms−1, a masa atoma helija je priblizno cetiri puta veca od mase proto-na. Uvrstavanje ovih vrijednosti u De Broglievu relaciju, daje za valnu duljinu vrijednost od0.74 · 10−10m, sto je oko sto puta manje od srednje udaljenosti medu atomima u plinu. Dakle,helijevi su atomi dovoljno dobro lokalizirani u prostoru, da bi se mogli smatrati cesticama.

3Georg Friedrich Bernhard Riemann, 1826. - 1866., njemacki matematicar.4Nikolaj Ivanovic Lobacevskij, 1792. - 1856., ruski matematicar.5Louis-Victor Pierre Raymond, prince De Broglie, 1892. - 1958., francuski fizicar6Max Karl Ernst Ludwig Planck, 1858. - 1947., njemacki fizicar

3

Naprotiv, snizavanjem temperature od sobne na 0.01K, njihova se brzina smanjuje, a val-na duljina se povecava i postaje stotinjak puta veca od srednjeg razmaka medu atomima. Uovoj situaciji, kada se valovi (tocnije receno: valne funkcije) razlicitih atoma jako preklapaju,nije moguce primjeniti klasicnu sliku malih cestica, nego je potrebno prijeci sa klasicnog nakvantnomehanicki opis plina.Svakodnevni zivot se mahom odvija na sobnoj temperaturi i na makroskopskoj prostornojskali i to je razlog zasto se dvojni karakter tvari moze opaziti tek vrlo pazljivo pripremljenimpokusima.U ovoj cemo se knjizi baviti pojavama na prostornoj skali puno vecoj od valne duljine ele-mentarnih cestica, tako da cemo dvojni karakter tvari zanemarivati, praveci time zanemarivugresku u nasim racunima.

Na kraju cemo pokusati sazeto iznijeti i glavni nas cilj u ovome izlaganju klasicne mehanike:

ako su nam poznati polozaj i brzina cestice u trenutku t0, tada je nas zadatakodrediti polozaj te iste cestice u proizvoljnom trenutku t 6= t0.

Ovaj se zadatak moze iskazati i pomocu matematickh simbola

~r(t0), ~v(t0) ⇒ ~r(t) =?

Stranice koje slijede, posvecene su trazenju odgovora na ovo pitanje (i njegove brojne varijacije).

4 POGLAVLJE 1. UVOD

Dio I

Mehanika jedne cestice

5

Poglavlje 2

Matematicki uvod - elementivektorskog racuna

Mathematics is part of physics.Vladimir Igorevich Arnold

2.1 Vektori

U ovom poglavlju krecemo od pretpostavke da su citatelji vec upoznati s pojmom vektora injihovim osnovnim svojstvima. Stoga cemo ovdje dati samo pregled nekih vektorskih definicija,svojstava i relacija, vise sa ciljem da uvedemo notaciju, nego da damo neki sustavan uvod uvektorski racun.Po svojem algebarskom znacenju, sve su fizicke velicine tenzori odredenog reda.Ako je za odredenje dane fizicke velicine u D-dimenzijskom prostoru potrebno

D n

realnih brojeva, tada se takva velicina zove tenzor n-tog reda.

n = 0Najjednostavniji medu njima su tenzori nultog reda ili skalari. Za potpuno odredenje skalarapotreban je D0 = 1 realan broj (iznos skalara). Skalari su npr.: masa m, temperatura T , radW , vrijeme t, energija E, snaga P itd.

n = 1Nesto su slozeniji tenzori prvog reda ili vektori1. Za potpuno odredenje vektora potrebno jeD1 = D realnih brojeva. Za razliku od skalara, vektor je karakteriziran, osim svojim iznosom,jos i smjerom i pravilom zbrajanja. Citatelji su se zacijelo vec susretali s vektorskim ve-licinama kao sto su sila ~F , brzina ~v, radij vektor ~r, elektricno polje ~E , indukcija magnetskogpolja ~B itd.

n ≥ 2Postoje fizicke velicine (npr. tenzor tromosti, magnetska susceptibilnost, tenzor energije-kolicinegibanja, tenzor napona i sl.) za cije je potpuno odredenje potrebno vise od D brojeva. Za

1Vektori se prvi puta spominju u djelima nizozemskog fizicara Simona Stevina (godine 1585.) u vezi zbrajanja sila predstavljenihusmjerenim duzinama.

7

8 POGLAVLJE 2. MATEMATICKI UVOD - ELEMENTI VEKTORSKOG RACUNA

potpuno odredenje navedenih velicina, potrebno je D2 realnih brojeva i zato se one zovu tenzoridrugog reda. U odgovarajucoj bazi, tenzori drugog reda se mogu reprezentirati kvadratnimmatricama.Skalarni, vektorski ili opcenito tenzorski karakter odredene fizicke velicine se vidi iz njezinogponasanja u odnosu na vrtnju (zakret) koordinatnog sustava (vidjeti (2.91) i (2.105)). Skalarje odreden samo jednim brojem, pa ne ovisi o promjeni smjerova koordinatnog sustava, kazese da je invarijantan na zakret koordinatnog sustava (npr. zapis mase cestice od 5 kg ostajenepromjenjen nakon zakreta sustava za proizvoljni kut).Za razliku od skalara, vektor je osim svojim iznosom, karakteriziran i smjerom u odnosu nareferentne smjerove koordinatnog sustava. Stoga ce promjena referentnih smjerova (pri zakretusustava) uzrokovati i promjenu u zapisu vektora (npr. zapisi polozaja i brzine spomenute cesticemase 5 kg, ce se promijeniti uslijed zakreta koordinatnog sustava).Uvedimo sada pojam fizickog polja. Ako svakoj tocki prostora (ciji polozaj oznacavamo s~r), u svakom vremenskom trenutku (koji opet oznacavamo s t) mozemo pridruziti odredenu

vrijednost skalara s, vektora ~V ili tenzora T

s(~r, t), ~V (~r, t), T (~r, t),

tada cemo takve skalare, vektore ili tenzore, nazivati skalarnim, vektorskim ili tenzorskimpoljem. Npr. skalarno polje temperature T (~r, t) daje vrijednost temperature u odredenoj tockiprostora ~r u odredenom vremenskom trenutku t. Za fluid koji se giba, moze se definirativektorsko polje brzine ~v(~r, t), koje oznacava brzinu fluida u tocki ~r u trenutku t. Slicno je

i s gravitacijskom privlacnom silom Zemlje ~FG(~r): svakoj tocki prostora pridruzujemo vektorusmjeren prema sredistu Zemlje, iznosa jednakog gravitacijskoj sili u toj tocki - skup svih takvihvektora se zove polje gravitacijske sile Zemlje.Vektore je uobicajeno prikazivati u koordinatnim sustavima. Najcesce cemo koristiti pra-vokutni (PKS), 2 cilindricni (CKS, odjeljak 2.5) i sferni (SKS, odjeljak 2.6) koordinatni sustav.Zadrzimo se, za sada, na dobro nam poznatom, pravokutnom sustavu.

Bazne vektorecemo oznacavati s

x , y , z .

Svaki od gornjih vektora ima smjer porasta koordinate cije ime nosi. Komponentama vektora~V cemo nazivati projekcije danog vektora na bazne vektore odabranog koordinatnog sustava:

~V = Vx x + Vy y + Vz z .

Vektori se mogu prikazati i u obliku D × 1 matrice (gdje je D dimenzija prostora; u nasimprimjerima je D = 3), tako sto ce bazni vektori biti stupci oblika

x =

1

0

0

, y =

0

1

0

, z =

0

0

1

,

2Pravokutni koordinatni sustav je prvi uveo Rene Descartes (latinizirano: Cartesius), 1637. godine.

2.1. VEKTORI 9

a sam vektor ~V je tada

~V = Vx

1

0

0

+ Vy

0

1

0

+ Vz

0

0

1

=

Vx

Vy

Vz

.

Iznosili norma vektora ~V je skalar iznosa jednakog duljini vektora ~V izrazenoj u odgovarajucimmjernim jedinicama. Oznacava se s V ili |~V |. Iznos (kao ni smjer) vektora ne ovise o izborukoordinatnog sustava. Primjenom Pitagorinog teorema, dolazi se do iznosa vektora

|~V | =√V 2x + V 2

y + V 2z .

Za dva vektora se kaze da su jednaki, ako imaju isti iznos i smjer (ne nuzno i hvatiste).

Jedinicni vektorod vektora ~V cemo oznacavati s V . To je vektor istog smjera kao i ~V , a jedinicnog iznosa.Ocito je

V =~V

|~V |. (2.1)

Radij vektorom, ~rneke tocke naziva se vektor koji spaja ishodiste koordinatnog sustava s promatranom tockom.U pravokutnom koordinatnom sustavu, radij vektor je

~r = x x + y y + z z ,

|~r| = r =√x2 + y2 + z2.

Racunske operacije koje se mogu izvodi s vektorima jesu: zbrajanje vektora, mnozenje vektoraskalarom, mnozenje vektora vektorom (na vise nacina), deriviranje i integriranje vektora. Di-jeljenje vektorom nije definirana racunska operacija.

Zbrajanje vektora~V i ~U se izvodi po pravilu paralelograma (slika 2.1): pocetak vektora ~U translatiramo na kraj

vektora ~V , a zatim spojimo pocetak od ~V sa krajem od ~U . Iz opisanog postupka je ocito da jezbrajanje komutativno: ~V + ~U = ~U + ~V . Primjetimo da vrtnje (zakreti, rotacije) za konacnikut oko zadane osi nisu vektori iako imaju iznos (to je kut zakreta) i smjer (to je smjer osi


Slika 2.1: Uz zbrajanje vektora.

oko koje se vrsi zakret). Nisu vektori upravo zato jer ne zadovoljavaju pravilo komutativnosti3.Promotrimo, za primjer, dva zakreta za konacni kut: Zz = (π/2, z ) je zakret za π/2 oko osi z ,a Zx = (π/2, x ) je zakret za π/2 oko osi x . Iznos ovih velicina je π/2, a njihov smjer je smjerosi oko koje se vrsi zakret. Sa slike 2.2 se vidi da

Zz + Zx 6= Zx + Zz.

Slika 2.2: Uz nekomutativnost vrtnji za konacni kut.

3Zakreti za infinitezimalni kut zadovoljavaju pravilo komutativnosti i zato kutna brzina, definirana relacijom (3.15), jeste vektor.

2.1. VEKTORI 11

Dekompozicija ili rastavvektora je postupak suprotan zbrajanju vektora, gdje se jedan vektor rastavlja na dva (ili vise)vektora koji, zbrojeni, daju opet pocetni vektor. Ovaj je postupak koristan npr. kod analize silakoje djeluju na promatrano tijelo, pri cemu se sile rastavljaju na svoje komponente u prikladnoodabranim smjerovima (za ilustraciju pogledati npr. sliku 5.3) Iz definicije zbrajanja vektora

slijedi da je zbrajanje vektora asocijativno: ~V +(~U + ~W ) = (~V + ~U)+ ~W . Primjenom svojstvaasocijativnosti, zbrajanje proizvoljnog broja vektora se svodi na zbrajanje dva vektora.

Mnozenje vektora ~V skalarom smijenja duljinu (normu, iznos) vektora tako da ona postaje jednaka s |~V |, a smjer vektora

ostaje nepromjenjen: s~V = s |~V | V . Mnozenje skalarom je distributivno (tj. moze se

shvatiti i kao linearni operator): s (~V + ~U) = s ~V + s ~U . Ovo mozemo primjeniti i na rastavvektora po komponentama

s ~V = s Vx x + s Vy y + s Vz z .

Kod mnozenja vektora vektorom, razlikuju se dva slucaja: skalarno mnozenje, gdje je rezultatmnozenja dva vektora, skalar i vektorsko mnozenje, gdje je rezultat mnozenja dva vektoraneki treci vektor.

Skalarni umnozakdva vektora ~V i ~U je skalar, definiran kao

~V · ~U = |~V | |~U | cos(~V , ~U), (2.2)

gdje je s cos(~V , ~U) oznacen kosinus kuta izmedu vektora ~V i ~U . Ocito je skalarni umnozak

dva medusobno okomita vektora, jednak nuli: ~V ⊥ ~U ⇔ ~V · ~U = 0. Prema samoj definiciji,skalarni je umnozak komutativan: ~V · ~U = ~U · ~V . Skalarni umnosci baznih vektora pravokutnogkoordinatnog sustava su, redom:

x · x = 1, x · y = 0, x · z = 0,

y · x = 0, y · y = 1, y · z = 0, (2.3)

z · x = 0, z · y = 0, z · z = 1,

Geometrijski, umnozak |U | cos(~V , ~U) je komponenta od ~U u smjeru ~V . Jedna od fizickihrealizacija skalarnog umnoska je pojam rada: kod izracunavanja rada sile pri pomaku cestice,vazna je samo ona komponeta sile koja lezi u smjeru pomaka, a ona je upravo dana skalarnimumnoskom sile i radij vektora pomaka cestice, ~F · d~r. Primjenom definicije (2.2) na rastav

vektora ~V i ~U po komponentama, a uzevsi u obzir ortonormiranost baze, (2.3), dolazi se do

~V · ~U = (Vx x + Vy y + Vz z ) · (Ux x + Uy y + Uz z ) = Vx Ux + Vy Uy + Vz Uz,

Iznos (norma) vektora se moze napisati preko skalarnog umnoska kao

V =√~V · ~V =

√V 2x + V 2

y + V 2z .

Pomocu skalarnog umnoska se i kut medu vektorima moze napisati kao: V · U = 1 ·1 cos(~V , ~U),sto mozemo iskoristiti da dodemo do zapisa vektora preko njegovog iznosa i kosinusa kutova


koje zatvara s koordinatnim osima. Npr. za pravokutni koordinatni sustav:

~V = Vx x + Vy y + Vz z/

· x

~V · x = Vx.

No, prema definiciji skalarnog umnoska (2.2), je

~V · x = V cos(~V , x ),

pa se, usporedbom s gornjim izrazom, dobiva

Vx = V cos(~V , x ).

Slicnim se postupkom dobiva i

Vy = V cos(~V , y ), Vz = V cos(~V , z ),

sto, sve zajedno, vodi na

~V = V[cos(~V , x ) x + cos(~V , y ) y + cos(~V , z ) z

]. (2.4)

Vektorski umnozakdva vektora, ~V i ~U , je vektor ~W = ~V × ~U , okomit na vektore ~V i ~U ciji je smjer odredensmjerovima ~V i ~U i pravilom desne ruke: ako prstima desne ruke idemo u smjeru od prvogvektora iz umnoska prema drugom, tada palac pokazuje smjer rezultantnog vektora (kao na

slici 2.3). Iznos vektorskog umnoska je dan povrsinom paralelograma cije su stranice vektori ~V

Slika 2.3: Uz vektorski umnozak dva vektora.

i ~U , pa se moze napisati da je

~W = |V | |U | sin(~V , ~U) W . (2.5)

2.1. VEKTORI 13

Prema samoj definiciji, slijedi da je vektorski umnozak antikomutativan: ~V × ~U = −~U × ~V .Iz definicije takoder slijedi i da su dva vektora paralelna ako im je vektorski umnozak jednaknuli:

~V × ~U = 0 ⇔ ~V ‖ ~U.

Svoju fizicku realizaciju vektorski umnozak nalazi u izracunavanju momenta sile ~M = ~r × ~F ,momenta kolicine gibanja ~L = ~r × ~p , indukcije magnetskog polja ~B (preko Biot-Savartovogzakona) i drugih velicina.Vektorski umnosci baznih vektora pravokutnog koordinatnog sustava su:

x × x = 0, x × y = z , x × z = −y ,y × x = −z , y × y = 0, y × z = x , (2.6)

z × x = y , z × y = −x , z × z = 0,

Pomocu gornjih umnozaka, lako se dobiva i izraz za komponente vektorskog umnoska dva opcavektora

~V × ~U = (Vx x + Vy y + Vz z ) × (Ux x + Uy y + Uz z )

= Vx Ux x × x + Vx Uy x × y + Vx Uz x × z

+ Vy Ux y × x + Vy Uy y × y + Vy Uz y × z

+ Vz Ux z × x + Vz Uy z × y + Vz Uz z × z

= x (Vy Uz − Vz Uy) + y (Vz Ux − Vx Uz) + z (Vx Uy − Vy Ux)

Primjetimo ciklicnost u definiciji komponenata vektorskog umnoska: x → y → z → x →y → · · · . Vektorski umnozak se moze pregledno napisati i preko determinante (u pomalonekorektnom obliku, jer nisu svi elementi determinate skalari)

~V × ~U =

x y z

Vx Vy Vz

Ux Uy Uz

Za vektorski umnozak vrijedi i distributivnost prema zbrajanju: ~V × (~U + ~W ) = ~V × ~U +~V × ~W .

Visestruki umnosciPomocu definicije skalarnog i vektorskog umnoska, mogu se konstruirati i visestruki umnoscivektora. Tako se npr. vektorski umnozak moze skalarno pomnoziti s nekim trecim vektorom idobiti skalarno vektorski umnozak. Za ovaj se umnozak lako pokazuje ciklicnost

~V · (~U × ~W ) =

∣∣∣∣∣∣

Vx Vy VzUx Uy UzWx Wy Wz

∣∣∣∣∣∣= ~U · ( ~W × ~V ) = ~W · (~V × ~U). (2.7)

Ovo je svojstvo posljedica geometrijskog znacenja gornjeg umnoska: buduci da je |~U × ~W |povrsina paralelograma sa stranicama ~U i ~W , to je gornji umnozak jednak V · cosα · |~U × ~W |,


Slika 2.4: Uz skalarno vektorski umnozak.

gdje je α kut izmedu vektora ~V i ~U × ~W , a to nije nista drugo do volumen paralelopipeda sastranicama ~V , ~U i ~W (slika 2.4).

Rezultat dvostrukog vektorskog umnoska tri nekomplanarna vektora ~V , ~U i ~W je opet vektor

−→D = ~V × (~U × ~W )

Ovakav se umnozak naziva vektorsko vektorski umnozak. Buduci da je ~U × ~W vektorokomit na ravninu odredenu vektorima ~U i ~W , to ce vektor ~V × (~U × ~W ) lezati u toj istojravnini, pa postoji zapis oblika

−→D = ~V × (~U × ~W ) = β ~U + γ ~W.

Nas je zadatak odrediti skalare β i γ. Promotrimo sliku 2.5. S n je oznacen jedinicni vektorokomit na ~W , koji lezi u (~U, ~W ) ravnini, a usmjeren je tako da su n , ~U i ~W zakrenuti u

pozitivnom smjeru gledano s vrha vektora ~U × ~W . Pomnozimo

n · −→D = n · (β ~U + γ ~W ) = β n · ~U,

(zato jer je n okomit na ~W , pa je n · ~W = 0). S druge strane, taj isti umnozak mozemo napisati(zbog ciklicnosti skalarno vektorskog umnoska) i kao

n · −→D = n · [~V × (~U × ~W )] = (~U × ~W ) · (n × ~V ) = ~V · [(~U × ~W )× n ].

No, prema definiciji vektorskog umnoska je

(~U × ~W )× n = W |~U × ~W | |n | sin(~U × ~W, n )

= W U W sin(~U, ~W ) 1 sin(π/2)

= W U W sin(~U, ~W ) = ~W U sin(~U, ~W ).

2.1. VEKTORI 15

Slika 2.5: Uz vektorsko vektorski umnozak.

Sa slike 2.5 se vidi da vrijedi

∠(~U, ~W ) =π

2− ∠(n , ~U)

sin(~U, ~W ) = sin(π

2− ∠(n , ~U)

)= cos(n , ~U).

Pomocu gornje relacije postaje

U sin(~U, ~W ) = U cos(n , ~U) = ~U · n .

Uvrstimo li ovo u izraz za n · −→D , dobivamo

n · −→D = ~V [ ~W (n · ~U)] = (~V · ~W )(n · ~U).

Ako sada gornji izraz usporedimo s (2.8), zakljucujemo da je

β = ~V · ~W.

Po konstrukciji je−→D ⊥ ~V , pa je zato

−→D · ~V = 0 = (β ~U + γ ~W ) · ~V

= β (~U · ~V ) + γ ( ~W · ~V )

= β (~U · ~V ) + γ β

⇒ γ = −~U · ~V .

Time su odredeni nepoznati skalari β i γ, pa mozemo napisati

~V × (~U × ~W ) = (~V · ~W ) ~U − (~V · ~U) ~W. (2.8)

Zrcaljenjem


ili refleksijom ili prostornom inverzijom nazivamo operaciju kojom mijenjamo smjerove koor-dinatnih osi. U pravokutnom koordinatnom sustavu, to znaci da treba zamijeniti

x → −x , y → −y , z → −z .

Ovom se transformacijom vektor ~V = Vx x + Vy y + Vz z prevodi u

~V −→ Vx (−x ) + Vy (−y ) + Vz (−z ) = −~V .

Dakle, operacijom zrcaljenja vektor mijenja svoj predznak (prema svojoj definiciji, skalar neovisi o smjerovima u prostoru, pa se on ne mijenja operacijom zrcaljenja). Promotrimo kakose neke velicine konstruirane od vektora, transformiraju uslijed operacije zrcaljenja:

• skalarni umnozak

~V · ~U −→ (−~V ) · (−~U) = ~V · ~U.

• vektorski umnozak

~V × ~U −→ (−~V )× (−~U) = ~V × ~U.

• skalarno vektorski umnozak

~V · (~U × ~W ) −→ (−~V ) · [(−~U)× (− ~W )] = −~V · (~U × ~W ).

• vektorsko vektorski umnozak

~V × (~U × ~W ) −→ (−~V )× [(−~U)× (− ~W )] = −~V × (~U × ~W ).

Vidimo da se skalarni umnozak transformira kao pravi skalar (ne mijenja predznak), a dase vektorsko vektorski umnozak transformira kao pravi vektor (mijenja predznak). Rezultatskalarno vektorskog umnoska je skalar koji mijenja predznak uslijed zrcaljenja, pa se takavskalar obicno naziva pseudo skalar. Slicno tome, vektorski umnozak je vektor, ali ne mijenjapredznak uslijed zrcaljenja, pa se obicno naziva pseudo vektor. Moze se reci da se u odnosuna operaciju zrcaljenja vektori dijele na prave ili polarne vektore i pseudo (lazne) ili aksijalnevektore. Pravi se vektori nazivaju i polarni zato jer su vezani za neku tocku (pol), kao npr.radij vektor, brzina ili sila. Pseudo vektori se nazivaju aksijalnima zato jer su povezani s nekomodredenom osi zakreta (kao kod momenta sile ili momenta kolicine gibanja) ili sa smjeromobilaska neke krivulje (kao kod magnetskog polja, Biot-Savartov zakon). U odnosu na operacijuzrcaljenja, pravi vektori mijenjaju svoj predznak, dok pseudo vektori ne mijenjaju predznak.Npr. radij vektor ~r = xx + yy + zz je pravi vektor jer zrcaljenjem mijenja svoj predznak,

~r = xx + yy + zz → −xx − yy − zz = −~r.

Primjer pseudo vektora je moment kolicine gibanja ~L = ~r × ~p , gdje je kolicina gibanja, ~p =m(d~r/dt), pravi vektor. Operacijom zrcaljenja ce i ~r i d~r promjeniti predznak, tako da ce

~L → (−~r)× (−~p ) = ~L

ostati nepromjenjen.

2.2. DERIVACIJA VEKTORSKOG POLJA 17

2.2 Derivacija vektorskog polja

Osim zbrajanja i mnozenja, vektori se mogu derivirati i integrirati. Komponete vektora ~Vmogu biti funkcije neke nezavisne varijable: prostornih koordinata, vremena, kuteva i slicno.Kada svakoj vrijednosti nezavisne varijable mozemo jednoznacno pridruziti vektor, tada o tomvektoru govorimo kao o vektorskom polju ili vekorskoj funkciji (slika 2.6)

~V (~r), ~V (t), ~V (~r, t), ~V (x, y, z), ~V (θ, ϕ), · · · .Vektorska polja je zgodno prikazati u prostoru pomocu linija koje se zovu silnice. Silnice su

Slika 2.6: Vektorsko polje ~V (~r, t) : (A) u jednoj tocki i razlicitim vremenskim trenucima ili (B) u jednomvremenskom trenutku, ali u razlicitim prostornim tockama (crtkana linija prikazuje silnicu).

prostorne krivulje sa svojstvom tangenta na krivulju u svakoj tocki ima smjer vektora u tojtocki, a iznos vektora je jednak gustoci silnica u toj tocki (desna strana slike 2.6).

Za derivacije vektorskih polja vrijede pravila koja se lako izvode iz pravila za derivaciju obicnihskalarnih polja (tj. funkcija, kako se nazivaju u matematici). Sjetimo se definicije derivacijefunkcije f(x) po varijabli x: promatraju se dvije velicine koje svaka za sebe iscezavaju, alinjihov omjer ne mora biti jednak nuli, nego je opcenito razlicit od nule i zove se derivacijafunkcije u tocki x

lim∆x→ 0

[f(x+ ∆ x)− f(x)

]= 0

lim∆x→ 0 ∆ x = 0

⇒ lim∆x→ 0

f(x+ ∆ x)− f(x)

∆ x=d f

d x.

Pokusajmo, pomocu gornjeg izraza, naci derivaciju vektorskog polja ~V koje ovisi samo o jednojvarijabli koju cemo oznaciti s q (ovaj q moze biti vrijeme, prostorna koordinata ili sto slicno)

~V (q) = x Vx(q) + y Vy(q) + z Vz(q).

Napravimo razliku ~V u bliskim tockama q i q + ∆ q

~V (q + ∆ q)− ~V (q) = x Vx(q + ∆ q) + y Vy(q + ∆ q) + z Vz(q + ∆ q)− x Vx(q)− y Vy(q)− z Vz(q)

= x[Vx(q + ∆ q)− Vx(q)

]+ y

[Vy(q + ∆ q)− Vy(q)

]+ z

[Vz(q + ∆ q)− Vz(q)

].


Izvedemo li sada granicni prijelaz

lim∆ q → 0

~V (q + ∆ q)− ~V (q)

∆ q= x lim

∆ q → 0

Vx(q + ∆ q)− Vx(q)

∆ q

+ y lim∆ q → 0

Vy(q + ∆ q)− Vy(q)

∆ q

+ z lim∆ q → 0

Vz(q + ∆ q)− Vz(q)

∆ q.

No, gornje granicne vrijednosti prepoznajemo kao derivacije skalarnih funkcija - komponenatavektorskog polja

lim∆ q → 0

~V (q + ∆ q)− ~V (q)

∆ q= x

d Vxd q

+ yd Vyd q

+ zd Vzd q

=d

d q

[x Vx(q) + y Vy(q) + z Vz(q)

]=d ~V

d q.

Tako smo dosli do izraza za derivaciju vektorskog polja

d ~V

d q= lim

∆ q→ 0

~V (q + ∆ q)− ~V (t)

∆ q= x

d Vxd q

+ yd Vyd q

+ zd Vzd q

. (2.9)

Za skalarno polje s(q) i vektorska polja ~V (q), ~U(q) se lako dokazuje (npr. raspisom po kompo-nentama u pravokutnom koordinatnom sustavu) da vrijede slijedeca pravila:

d (s ~V )

d q=

d s

d q~V + s

d ~V

d q,

d (~V · ~U)

d q=

d ~V

d q~U + ~V

d ~U

d q,

d (~V × ~U)

d q=

d ~V

d q× ~U + ~V × d ~U

d q.

Primjenimo li prvo od gornja tri pravila na zapis vektora u obliku ~V (q) = V (q)V (q), dobivamo

d ~V

d q=d (V V )

d q=d V

d qV + V

d V

d q,

pri cemu smo uzeli u obzir mogucnost da smjer vektora ~V (odreden jedinicnim vektorom V )ovisi o varijabli q.

Pokazimo da je derivacija jedinicnog vektora okomita na sam jedinicni vektorV = V (q). Derivirajmo po q skalarni umnozak

V · V = 1

/d

d q,

pa cemo dobiti

dV

d q· V + V · dV

d q= 0 ⇒ 2 V · dV

d q= 0 ⇒ V ⊥ dV

d q. (2.10)

2.3. INTEGRAL VEKTORSKOG POLJA 19

Zaista, kada bi derivacija jedinicnog vektora imala komponentu u smjeru samog vektora, ondabi ta komponenta vodila na promjenu duljine vektora i on vise ne bi bio jedinicne duljine. Zatoderivacija jedinicnog vektora ne moze imati komponentu u smjeru samog vektora.

2.3 Integral vektorskog polja

U skladu s pravilom da je integral zbroja funkcija jednak zbroju integrala pojedinih funkcija(ili, drukcije receno, integral je linearni operator), neodredeni integral od ~V (q) se racuna kao

∫~V (q) dq =

∫ [x Vx(q) + y Vy(q) + z Vz(q)

]dq

= x

∫Vx(q) dq + y

∫Vy(q) dq + z

∫Vz(q) dq,

i slicno za odredeni integral∫ q2

q1

~V (q) dq = x

∫ q2

q1

Vx(q) dq + y

∫ q2

q1

Vy(q) dq + z

∫ q2

q1

Vz(q) dq. (2.11)

Ukoliko postoji vektorsko polje ~U , takvo da je ~V (q) = d ~U(q)/d q, tada je

∫~V (q) dq =

∫d ~U(q)

d qdq = ~U(q) + ~c0. (2.12)

U tom je slucaju i odredeni integral jednak∫ q2

q1

~V (q) dq =

∫ q2

q1

d ~U(q)

d qdq = ~U(q2)− ~U(q1). (2.13)

Linijski integral:Neka je ~r(t) = x x(t) + y y(t) + z z(t) radij vektor cestice koja se giba po krivulji C (slika

2.7). U trenutku t1, cestica se nalazi u tocki T1 s radij vektorom ~r1 = ~r(t1) =−−→O T1, a u

kasnijem trenutku t2, ona je u tocki ~r2 = ~r(t2) =−−→O T2. Vektor ∆~r = ~r2− ~r1 ima smjer sekante

krivulje C. Ako se vremenski razmak t2 − t1, neizmjerno smanjuje, tj. ako su tocke T1 i T2

neizmjerno blizu jedna drugoj, vektor ∆~r ce prijeci u d~r, a sekanta ce prijeci u tangentu. Kazese da diferencijal d~r ima smjer tangente na krivulju C u okolici tocke ~r (slika 2.7). Prema

samom znacenju skalarnog umnoska, ~V · d~r je projekcija vektora ~V na smjer d~r, tj. to jetangencijalna komponeneta vektora ~V (naravno, pomnozena s dr) u svakoj tocki krivulje C.

Integral tangencijalne komponente ~V duz C od T1 do T2 se zove linijski integral∫ T2

T1

~V d~r =

∫

C~V d~r =

∫

C(x Vx + y Vy + z Vz) (x dx+ y dy + z dz)

=

∫

C(Vx dx+ Vy dy + Vz dz)

=

∫

CVx dx+

∫

CVy dy +

∫

CVz dz.

Ako je C zatvorena krivulja, linijski integral se oznacava kao∮

~V d~r =

∮Vx dx+

∮Vy dy +

∮Vz dz. (2.14)


Slika 2.7: Razlika ∆~r = ~r2 − ~r1 ima smjer sekante, a diferencijal d~r ima smjer tangente na krivulju C.

Povrsinski integral:Na slican se nacin definira i povrsinski integral vektorskog polja (slika 2.8)

Slika 2.8: Uz povrsinski integral.

∫~V d ~S =

∫Vx dSx +

∫Vy dSy +

∫Vz dSz, (2.15)

gdje je d~S vektor kojemu je iznos jednak diferencijalu plohe dS, a smjer je dan okomicom4 nataj isti diferencijal plohe

d ~S = dS n ,

gdje je n jedinicni vektor okomit na element dS. Dakle, skalarnim umnoskom ~V d ~S se usvakoj tocki plohe racuna komponeta polja okomita na malu okolicu promatrane tocke

~V d ~S = V⊥ dS,4Sama ploha S po kojoj se integrira, niposto ne mora biti ravnina, ali diferencijal dS se uvijek smatra toliko malenim da se jako

dobro aproksimira ravninom i zato je na tu ravninu moguce definirati okomicu.

2.3. INTEGRAL VEKTORSKOG POLJA 21

vrijednosti svih tih okomitih komponenata se zbrajaju po svim tockama plohe i rezultat jegornji povrsinski integral.Ako se radi o zatvorenoj plohi, integral se oznacava kao

∮~V d ~S =

∮Vx dSx +

∮Vy dSy +

∮Vz dSz,

a smjer d~S je iz unutrasnjosti plohe prema van.

Primjetimo da je obicni integral vektorskog polja, opet neki vektor kao npr. (2.11), (2.12)ili (2.13), dok su linijski (2.14) i povrsinski integrali (2.15), po svom algebarskom karakteruskalari.

Primjer: 2.1 Zadano je vektorsko polje ~F = x (2xy+z3)+y (x2+2y)+z (3xz2−2). Izracunajte

linijski integral polja∫c~F d~r po putu od (0, 0, 0) do (1, 1, 1), ako je put zadan sa: (a)

x = t, y = t2, z = t3 , (b) nizom pravaca (0, 0, 0) → (0, 0, 1) → (0, 1, 1) → (1, 1, 1),(c) pravcem od (0, 0, 0) do (1, 1, 1) . Zasto su rezultati u (b), (c) i (d) medusobnojednaki? Moze li ovo polje predstavljati elektrostatsko polje i zasto? Izracunajte

funkciju f koja zadovoljava relaciju ~F =−→∇ f .

R: (a) Integral se racuna po komponentama:∫c~F d~r =

∫c(Fx d x + Fy d y +

Fz d z). Iz x = t slijedi d x = d t, y = t2 daje d y = 2t d t i z = t3 daje d z = 3t2 d t.Uvrstavanje u gornji integral daje

∫

c

~F d~r =

∫ 1

0

(−6t2 + 8t3 + 10t9) d t = 1.

(b) Integral po cijelom putu je zbroj integrala po dijelovima puta:

∫

c

=

∫ (0,0,1)

(0,0,0)

+

∫ (0,1,1)

(0,0,1)

+

∫ (1,1,1)

(0,1,1)

.

Na prvom dijelu puta je x = y = d x = d y = 0, pa preostaje samo

∫ 1

0

(0− 2) d z = −2.

Na drugom dijelu puta je x = d x = 0, z = 1, d z = 0, pa tu preostaje

∫ 1

0

(0 + 2y) d y = 1.

Na trecem dijelu puta je y = z = 1, d y = d z = 0, pa tu preostaje

∫ 1

0

(2x+ 1) d x = 2.

Ukupno rijesenje je zbroj integrala po dijelovima puta.∫

c

~F d~r = −2 + 1 + 2 = 1.


(c) Jednadzba zadanog pravca je x = y = z, pa je time i d x = d y = d z. Uvrstavanjeovoga u integral vodi do

∫

c

~F d~r =

∫ 1

0

(−2 + 2x+ 3x2 + 4x3) d x = 1.

Polje je konzervativno (rotacija mu je jednaka nuli), pa zato linijski integrali neovise o putu (ukoliko su konacne tocke iste). Konzervativnost je i razlog zasto ovo

polje moze predstavljati elektrostatsko polje. Funkcija f sa svojstvom ~F =−→∇ f tj.

Fx = ∂ f / ∂ x, Fy = ∂ f / ∂ y, Fz = ∂ f / ∂ z, se moze dobiti iz donjih jednadzba:

∂ f

∂ x= 2xy + z3 ⇒ f = x2y + xz3 + c1(y, z)

∂ f

∂ y= x2 + 2y ⇒ f = x2y + xy2 + c2(x, z)

∂ f

∂ x= 3xz2 − 2 ⇒ f = xz3 − 2z + c3(x, y),

Gdje su cj funkcije oznacenih varijabla. Usporedbom ovih jednadzba, slijedi

f = x2y + xz3 + y2 − 2z + const.

2.4 Vektorski diferencijalni operatori

Za opis prostornih promjena, bilo skalarnih, s(x, y, z), bilo vektorskih, ~V (x, y, z), polja, korisnoje uvesti operatore

gradijenta,

divergencije,

rotacije.

Sva su ova tri operatora izgradena od vektorskog diferencijalnog operatora nabla5 , s oznakom−→∇ , koji se u pravokutnom koordinatnom sustavu definira kao

−→∇ = x∂

∂ x+ y

∂

∂ y+ z

∂

∂ z. (2.16)

Nabla je diferencijalni operator zato jer se njegovo djelovanje na neku funkciju sastoji u parci-jalnom deriviranju te funkcije po oznacenoj koordinati, a vektorski je operator zato jer rezultatuderiviranja pridruzuje odredeni smjer u prostoru (usmjerena derivacija).

5Operator−→∇ je prvi uveo irski fizicar, astronom i matematicar, William Rowan Hamilton (o kojemu ce vise rijeci biti u poglavlju

15). Hamilton je takoder uveo pojam vektorskog polja i definirao osnovne diferencijalne operacije nad poljima.

2.4. VEKTORSKI DIFERENCIJALNI OPERATORI 23

2.4.1 Gradijent

Neka je zadano skalarno polje s(x, y, z). U razlicitim tockama prostora, ono ima opcenito raz-licite vrijednosti. Ako se postavimo u jednu prostornu tocku i promatramo vrijednosti poljau susjednim tockama, uocit cemo da promjena vrijednosti polja nije ista u svim smjerovima:postoje smjerovi u kojima se polje mijenja za veci iznos i postoje smjerovi u prostoru u kojimase polje mijenja za manji iznos. Nas je zadatak odrediti

smjer u kojemu se polje mijenja za najveci iznos,ili drugim rijecima, treba odrediti smjer najvece strmine polja.Nazovimo ekvipotencijalnom plohom onu plohu u prostoru na kojoj skalarno polje s(x, y, z)ima konstantnu vrijednost6. Promatrajmo sada dvije bliske ekvipotencijalne plohe, odredenesa s(x, y, z) = s0 i s(x, y, z) = s0 +ds (slika 2.9.A). Bliske male djelove ekvipotencijalnih ploha,

Slika 2.9: Uz ilustraciju gradijenta kao smjera najbrze promjene skalarnog polja.

mozemo smatrati ravninama. Prijelazom iz bilo koje pocetne tocke P na plohi s = s0, u bilokoju krajnu tocku Kj na plohi s = s0 + ds, vrijednost polja s se promjenila za isti iznosds. Neka je udaljenost izmedu pocetne i krajnje tocke oznacena s d lj. Ako je krajnja tockaokomito iznad pocetne (u polozaju K1, slika 2.9.B), tada je dl1 = P K1 najkraca udaljenostizmedu P i bilo koje tocke iz infinitezimalne okoline tocke K1, pa je tada

ds

dl1= max.

U svakoj drugoj krajnjoj tocki K2 je dl2 > dl1, pa je i

ds

dl2<ds

dl1.

Oznacimo li s l1 jedinicni vektor u smjeru spojnice P K1, tada je sa slike 2.9.B, ocito da jenajbrza promjena skalarnog polja s dana preko derivacije u okomitom smjeru. Usmjerena

6Npr. ako je s = x2 + y2 + z2, tada je ekvipotencijalna ploha s = s0 sfera polumjera√s0 sa sredistem u ishodistu


derivacija

ds

dl1l1,

se naziva gradijent skalarnog polja s(~r). Iz izvoda se vidi da gradijent ima smjer najbrzepromjene polja, tj. da je okomit na ekvipotencijalnu plohu. Da bi se dobio oblik gradijentau pravokutnom koordinatnom sustavu, jedinicni vektor smjera l1 mozemo razviti po vektorimabaze pravokutnog koordinatnog sustava, kao sto je pokazano u (2.4)

l1 = (l1 · x ) x + (l1 · y ) y + (l1 · z ) z

= cosαx x + cosαy y + cosαz z ,

gdje je αx kut izmedu l1 i x i slicno za ostale kutove. Time se za gradijent dobiva

ds

dl1l1 =

ds

dl1(cosαx x + cosαy y + cosαz z ). (2.17)

No, sa slike 2.9.B se vidi da je

cosαx =dl1dx

i slicno za kutove prema osima y i z

cosαy =dl1dy, cosαz =

dl1dz.

Uvrstavanjem ova tri kosinusa u izraz za gradijent (2.17) i primjenom pravila za derivacijuslozene funkcije, dobiva se

ds

dl1l1 =

ds

dl1

(dl1dx

x +dl1dy

y +dl1dz

z

)=∂s

∂xx +

∂s

∂yy +

∂s

∂zz =

(x∂

∂x+ y

∂

∂y+ z

∂

∂z

)s =

−→∇s.

Time smo pokazali da je smjer najbrze promjene skalarnog polja moze napisati pomocu djelo-vanja operatora nabla

grad s =−→∇s =

(x∂

∂ x+ y

∂

∂ y+ z

∂

∂ z

)s = x

∂ s

∂ x+ y

∂ s

∂ y+ z

∂ s

∂ z. (2.18)

Primjetimo da je gradijent skalarnog polja jedno novo vektorsko polje−→∇s. Operacija

gradijenta podsjeca na mnozenje vektora (−→∇) skalarom (s), s tom razlikom sto sada binarna

relacija nije mnozenje nego deriviranje.

Primjer: 2.2 Skalarni potencijal elektricnog dipola s dipolnim momentom ~p je dan izrazom

V (~r) =1

4πε0

~p · ~rr3

.

Izracunajte elektricno polje ~E = −−→∇ V .

R: Prema definiciji gradijenta (2.18) je

~E = −−→∇ V = −x ∂ V

∂ x− y

∂ V

∂ y− z

∂ V

∂ z.


Za primjer izracunavamo prvi clan desne strane:

∂ V

∂ x=

1

4πε0

∂

∂ x

px x+ py y + pz z

(x2 + y2 + z2)3/2

=1

4πε0

pxr2 − 3x(~p · ~r)

r5.

Preostala dva clana se dobiju na slican nacin. Zbroj svih clanova daje elektricnopolje dipola

~E =1

4πε0

−~p (~r · ~r) + 3~r (~p · ~r)r5

=1

4πε0

−~p + 3r (~p · r )

r3.

Zbog sferne simetrije dipolnog potencijala, isti se racun moze provesti i u sfernimkoordinatama: Postavi li se koordinatni sustav tako da je dipol u smjeru z ,

V (~r) =1

4πε0

p r cos θ

r3= V (r, θ),

pa je

−−→∇ V = −(r∂

∂ r+θ

r

∂

∂ θ+

ϕ

r sin θ

∂

∂ ϕ

)p

4π ε0

cos θ

r2

=p

4π ε0

(r

2 cos θ

r3+θ

r

sin θ

r2

)

=p

4π ε0(3 r cos θ − z ) =

1

4πε0

−~p + 3r (~p · r )

r3.

2.4.2 Divergencija: Gaussov teorem

Tok:Zadani su vektorsko polje ~V (~r) = x Vx(x, y, z) + y Vy(x, y, z) + z Vz(x, y, z) i zatvorena ploha

S. Definirajmo tok Φ vektorskog polja ~V kroz prostor omeden zatvorenom plohom S kaopovrsinski integral

Φ =

∮

S

~V d ~S .

Sjetimo se da je diferencijal povrsine d ~S uvijek usmjeren prema van u odnosu na zatvorenuplohu S. Podijelimo zatim unutrasnjost plohe S, dodatnom ravnom plohom S ′ na dva dijela(slika 2.10). Time smo dobili dvije zatvorene plohe S1 i S2, koje imaju jedan zajednicki dio, a

to je ploha S ′. Izracunajmo tok ~V kroz dvije novonastale zatvorene plohe S1 + S ′ i S2 + S ′∮

S1+S′~V d ~S 1 +

∮

S2+S′~V d ~S 2 = ?

Buduci da je d ~S uvijek usmjeren izvan plohe, to ce se doprinosi toku od plohe S ′ u oba gornjaintegrala medusobno egzaktno ponistiti

∫ (1)

S′~V d ~S = −

∫ (2)

S′~V d ~S


Slika 2.10: Uz izvod Gaussova teorema.

i bit ce∮

S

~V d ~S =

∮

S1+S′~V d ~S 1 +

∮

S2+S′~V d ~S 2.

Prostor unutar plohe S mozemo u mislima nastaviti dijeliti na N sve manjih i manjih djelica,pri cemu ce se, slicno gornjem primjeru, integrali po unutrasnjim plohama ponistiti i za svakiN ce vrijediti

∮

S

~V d ~S =N∑j=1

∮

Sj

~V d ~S j.

Divergencija:Jasno je da u granici N → ∞ plohe Sj postaju iscezavajuce malene, pa ce i integrali po timmalenim plohama takoder iscezavati:

∮

Sj

~V d ~S j → 0.

U istoj granici, N → ∞, i mali djelici volumena, ∆ vj, ograniceni plohama Sj iscezavaju:

∆ vj → 0.

Pitanje je

sto se dogada s omjerom ove dvije iscezavajuci male velicine?

Je li on konacan, beskonacan ili je jednak nuli?

limN→∞∮Sj

~V d ~S j = 0

limN→∞ ∆ vj = 0

lim

∆ vj → 0

∮Sj

~V d ~S j

∆ vj= ? (2.19)


Diferencijalno male volumene ∆ vj mozemo zamisliti kao male kvadre duljine stranica dx, dy, dz

i promatrati tok polja ~V (x, y, z) = x Vx(x, y, z)+y Vy(x, y, z)+z Vz(x, y, z) kroz njih (slika 2.11).Izostavimo li za trenutak, radi jednostavnosti, indeks j, gornji povrsinski integral po plohamakvadra, mozemo napisati kao zbroj povrsinskih integrala po stranicam kvadra

∮

S

~V d ~S =

∫

Gor+Dolj

~V d ~S +

∫

Lij+Des

~V d ~S +

∫

Nap+Nat

~V d ~S .

Diferencijali povrsine na pojedinim plohama su:

Slika 2.11: Tok polja kroz diferencijalni volumen.

dolje : d ~S = −z dx dy,gore : d ~S = +z dx dy,

lijevo : d ~S = −x dy dz,desno : d ~S = +x dy dz,

naprijed : d ~S = −y dx dz,natrag : d ~S = +y dx dz.

Buduci da su plohe diferencijano male, vrijednost polja u bilo kojoj tocki plohe je pribliznokonstantna i jednaka vrijednosti polja u sredistu te plohe, pa ju zato mozemo izvuci ispredintegrala. U toj aproksimaciji integracija polja po gornjoj i donjoj plohi daje

∫

G+D

~V d ~S =

∫

G

~V z dx dy +

∫

D

~V (−z ) dx dy

' Vz(x+ dx/2, y + dy/2, z + dz) dx dy (+1)− Vz(x+ dx/2, y + dy/2, z) dx dy.


Razvije li se desna strana gornje jednakosti u Taylorov red oko tocke (x, y, z), dobije se

∫

G+D

~V d ~S = dx dy

(Vz +

dx

2

∂ Vz∂ x

+dy

2

∂ Vz∂ y

+ dz∂ Vz∂ z

+ · · ·)

− dx dy

(Vz +

dx

2

∂ Vz∂ x

+dy

2

∂ Vz∂ y

+ · · ·)

= dx dy dz∂ Vz∂ z

+O(d4),

gdje smo s O(d4) oznacili umnoske cetiri i vise diferencijala dx, dy i dz. Slicno se i za preostaladva para ploha dobiva

∫

L+D

~V d ~S = dx dy dz∂ Vx∂ x

+O(d4),

∫

N+N

~V d ~S = dx dy dz∂ Vy∂ y

+O(d4),

pa je ukupan tok polja kroz promatrani mali kvadar jednak

∮

Sj

~V d ~S j = dx dy dz

(∂ Vx∂ x

+∂ Vy∂ y

+∂ Vz∂ z

)+O(d4).

Umnozak dx dy dz prepoznajemo kao mali volumen ∆ v. Vratimo li se sada pocetnom omjeru(2.19), mozemo pisati

lim∆ vj → 0

∮Sj

~V d ~S j

∆ vj= lim

∆ vj → 0

1

dx dy dz

[dx dy dz

(∂ Vx∂ x

+∂ Vy∂ y

+∂ Vz∂ z

)+O(d4)

]

=∂ Vx∂ x

+∂ Vy∂ y

+∂ Vz∂ z

.

U granici kada se promatrani mali voluman steze u tocku, gornji se izraz odnosi na tocku uprostoru i zove se divergencija vektorskog polja ~V .Iz gornjeg izraza se vidi i fizicko znacenje divergencije: to je omjer toka polja kroz zatvore-nu plohu i volumena definiranog tom plohom u granici kada se ploha neizmjerno smanjuje -koliko polja izvire ili ponire u toj tocki prostora7. Upravo je izveden oblik divergencije upravokutnom koordinatnom sustavu,

div ~V =∂ Vx∂ x

+∂ Vy∂ y

+∂ Vz∂ z

.

Divergenciju vektorskog polja mozemo zapisati i pomocu operatora nabla (2.16),

div ~V =−→∇ ~V =

(x∂

∂ x+ y

∂

∂ y+ z

∂

∂ z

)(Vxx + Vyy + Vz z )

div ~V =−→∇ ~V =

∂ Vx∂ x

+∂ Vy∂ y

+∂ Vz∂ z

. (2.20)

7Tako npr. (staticka) Maxwellova jednadzba−→∇ ~E = ρel/ε0, kaze da su su izvori i ponori elektricnog polja u elektricnim nabojima

koji se u gornjoj jednadzbi pojavljuju kroz gustocu elektricnog naboja ρel


Gornji je rezultat dobiven izravnom primjenom pravila za derivaciju umnoska dvije funkcije.Tako npr. clan s derivacijom po x daje

x∂

∂ x

(Vxx + Vyy + Vz z

)= x

∂ Vxx

∂ x+ x

∂ Vyy

∂ x+ x

∂ Vyy

∂ x

= x

(x∂ Vx∂ x

+ Vx∂ x

∂ x

)+ x

(y∂ Vy∂ x

+ Vy∂ y

∂ x

)+ x

(z∂ Vz∂ x

+ Vz∂ z

∂ x

)

=∂ Vx∂ x

,

gdje smo koristili cinjenice da su vektori x , y , z medusobno okomiti i konstantni po svom iznosui smjeru, tako da su njihove derivacije i medusobni skalarni umnosci, jednaki nuli. Slican jepostupak i za ostale komponente. Rezultat divergencije vektorskog polja ~V je skalarno

polje−→∇ ~V dano izrazom (2.20).

Sjetimo se sto smo zapravo htjeli izracunati? Racunali smo tok polja ~V kroz zatvorenu plohuS i dobili smo

Φ =

∮

S

~V d ~S =N∑j=1

∆ vj

[1

∆ vj

∮

Sj

~V d ~S j

]=

/N → ∞∑N

j=1 ∆ vj →∫v(S)

d3r

/=

∫

v(S)

d3r−→∇ ~V .

Buduci da nismo trazili da ~V zadovoljava nikakva posebna svojstva osim derivabilnosti, mozemoreci da za proizvoljno derivabilno vektorsko polje ~V vrijedi Gaussov teorem8

∮

S

~V d ~S =

∫

v(S)

−→∇ ~V d3r, (2.21)

gdje je v(S) volumen odreden zatvorenom plohom S.

Primjer: 2.3 Izracunajte tok radij vektora ~r kroz plohu valjka polumjera baze R i visine H,ako je srediste baze u ishodistu koordinatnog sustava, a os valjka se podudara sa osiz , kao sto je to prikazano slikom 2.12.

R: U ovom je primjeru vektorsko polje naprosto zadano radij vektorom, ~V = ~r.Treba, dakle izracunati

∮~r d~S ,

pri cemu integral ide po povrsini plohe valjka. Zbog simetrje plohe, prirodno jeodabrati cilindicni koordinatni sustav (odjeljak 2.5). U njemu je ~r = ρρ+zz , a d~S =dB1(−z ) + dB2(+z ) + dP ρ , gdje dBj oznacava diferencijale povrsine na bazamavaljka, a dP na njegovom plastu. Uzmemo li u obzir ortonormiranost vektora ρ i

8Koji treba razlikovati od Gaussovog zakona iz elektrostatike.


Slika 2.12: Tok radij vektora kroz plohu valjka.

z , slijedi∮

~r d~S =

∮(ρρ + zz ) [dB1(−z ) + dB2(+z ) + dP ρ ]

=

∫ [RdP −

(−H2

)dB1 +

(H

2

)dB2

]

= R

∫dP +

H

2

∫dB1 +

H

2

∫dB2 = 3R2πH.

Do istog se rezultata moze doci i primjenom Gaussova teorema. Tako je npr. upravokutnom koordinatnom sustavu u kojemu znamo oblik divergencije i gdje je~r = xx + yy + zz

∮~r d~S =

∫(−→∇~r) d3r =

∫ (∂x

∂x+∂y

∂y+∂z

∂z

)d3r = 3

∫d3r = 3Vvalj. = 3R2πH.

Primjer: 2.4 Iz elektrostatike je poznat izraz za elektricno polje jednoliko naelektrizirane kuglepolumjera R i ukupnog naboja Q

~E < =ρ0

3 ε0~r, r ≤ R,

~E > =1

4πε0Q~r

r3r ≥ R,

gdje je ρ0 = Q/(4R3π/3) (primjetimo da je polje izvan kugle jednako polju tockastognaboja iznosa Q). Provjerite prvu Maxwellovu jednadzbu na ovom primjeru.

R: Prema prvoj Maxwellovoj jednadzbi je−→∇ ~E = ρel/ε0. Unutar kugle je

ρel = ρ0, a izvan kugle je ρel = 0, pa se treba uvjeriti da Maxwellova jednadzba


glasi

−→∇ ~E = ρ0/ε0, r ≤ R,−→∇ ~E = 0, r ≥ R.

Za r ≤ R je ~E = ~E < = [ρ0/(3 ε0)](x x+ y y + z z), pa je

Ex =ρ0

3 ε0x, Ey =

ρ0

3 ε0y, Ez =

ρ0

3 ε0z,

−→∇ ~E =∂ Ex∂ x

+∂ Ey∂ y

+∂ Ez∂ z

=ρ0

3 ε0+

ρ0

3 ε0+

ρ0

3 ε0=ρ0

ε0,

a to je upravo prva Maxwellova jednadzba u prostoru unutar kugle.Izvan kugle je ~E = ~E > ili po komponetama

Ex =1

4πε0Q

x

(x2 + y2 + z2)3/2,

∂ Ex∂ x

=1

4πε0Q

(1

r3− 3x2

r5

)

Ey =1

4πε0Q

y

(x2 + y2 + z2)3/2,

∂ Ey∂ y

=1

4πε0Q

(1

r3− 3y2

r5

),

Ez =1

4πε0Q

z

(x2 + y2 + z2)3/2,

∂ Ez∂ z

=1

4πε0Q

(1

r3− 3z2

r5

).

Sveukupno se za divergencioju polja izvan kugle dobije

−→∇ ~E =∂ Ex∂ x

+∂ Ey∂ y

+∂ Ez∂ z

=1

4πε0Q

[(1

r3− 3x2

r5

)+

(1

r3− 3y2

r5

)+

(1

r3− 3z2

r5

)]= 0

sto je u skladu s prvom Maxwellovom jednadzbom.

2.4.3 Gaussov zakon - dovrsiti

Uvedimo pojam toka ili fluksa Φ vektorskog polja ~E , kao integrala polja po zatvorenoj plohiS

Φ =

∮

S

~E d ~S . (2.22)

Diferencijal povrsine d~S = dS n je usmjeren prema van u odnosu na povrsinu.

dovrsiti

Izvedimo najprije jednostavni racun toka polja tockastog naboja kroz sfernu plohu polumjerar sa sredistem u tocki gdje se nalazi naboj.

∮

S

~E d ~S =

∫1

4πε0

q

r2r r2 dΩ r =

1

4πε0q 4π =

q

ε0(2.23)


Primjetimo da zbog toga sto polje opada s kvadratom udaljenosti, a diferencijal povrsine rastes kvadratom te iste udaljenosti, tok ne ovisi o polumjeru sfere, tj. isti je kroz svaku sferu.Neka se sada tockasti naboj q nalazi unutar zatvorene plohe S proizvoljnog oblika (ne nuznosfernog) kao na slici. Izracunajmo tok polja tockastog naboja kroz tu plohu

Φ =

∮

S

1

4πε0

q

r2r dS n = (2.24)

=1

4πε0

∮

S

q

r2dS cosα.

Ako se uoceni diferencijal plohe d~S = dS n nalazi na udaljenosti r od naboja i vidljiv je podprostornim kutom dΩ, tada je njegova projekcija na smjer r s jedne strane jednaka d~S · r =dS cosα, a s druge strane to je upravo jednako diferencijalu povrsine kugline plohe na toj istojudaljenosti i pod istim prostornim kutom r2 dΩ

r2 dΩ = dS cosα. (2.25)

Time tok polja tockastog naboja kroz proizvoljnu plohu koja ga okruzuje, postaje

Φ =1

4πε0q

∮

S

dΩ =1

4πε0q 4π =

q

ε0. (2.26)

Tok ne ovisi niti o obliku plohe S niti o polozaju naboja unutar te plohe. Ukoliko zatvorenaploha ne sadrzi naboj (ili je suma naboja unutar plohe jednaka nuli), tok elektricnog polja krozplohu je jednak nuli. Neka je tok kroz zatvorenu plohu S jednak q/ε0. Deformiramo li plohukao na donjoj slici, dolazimo do

dovrsiti

S = S1 + S2 (2.27)

Φ = Φ1 + Φ2.

Kako je sav naboj sadrzan u plohi S1, to mora biti i Φ1 = q/ε0 iz cega zakljucujemo da je tokkroz zatvorenu plohu koja ne sadrzi naboj, jednak nuli Φ2 = 0. Primjetimo da iako je tok krozzatvorenu plohu S2 jednak nuli, to niposto ne znaci da je i polje u unutrasnjosti plohe jednakonuli.Prema nacelu pridodavanja sila tj. polja, tok od N tockastih naboja unutar plohe S ce bitijednak sumi tokova pojedinih naboja

~E (q1 + q2 + · · · ) = ~E 1(q1) + ~E 2(q2) + · · · (2.28)∮

S

~E d~S =

∮

S

~E 1 d~S +

∮

S

~E 2 d~S + · · · (2.29)

=q1ε0

+q2ε0

+ · · ·

ili, krace, ∮

S

~E d~S =1

ε0

N∑n=1

qn =QS

ε0, (2.30)


gdje je QS ukupan naboj sadrzan unutar zatvorene plohe S. U slucaju kontinuirane raspodjelenaboja

1

ε0

N∑n=1

qn → 1

ε0

∫

V (S)

dq =1

ε0

∫

V (S)

ρ(~r) d3r, (2.31)

pa je time

∮

S

~E d~S =1

ε0

∫

V (S)

ρ(~r) d3r, (2.32)

gdje je V (S) volumen definiran zatvorenom plohom S. Gornja se relacija zove Gaussov zakon.Iz izvoda se vidi da Gaussov zakon vrijedi ne samo za kulonsku silu, nego i za svaku drugusilu cije polje opada s kvadratom udaljenosti i za koju vrijedi nacelo pridodavanja (kao npr. zagravitacijsku silu, pri cemu ρ oznacava masenu gustocu, a umjesto konstante 1/ε0 dolazi 4π G).Gaussov zakon je posebno pogodan za izracunavanje elektricnog polja raspodjele naboja svisokim stupnjem simetrije.

Primjer: 2.5 Gaussov zakonKoristeci Gaussov zakon, izracunajte elektricno polje beskonacno duge i beskonacnotanke zice naelektrizirane konstantnom linijskom gustocom naboja λ0.

R: Zbog simetrije problema, prirodno je odabrati cilindricni koordinatni sustav(ρ, ϕ, z). Buduci da je zica beskonacno duga, polje ne moze ovisiti o pomacima usmjeru osi z. Takoder, zbog invarijantnosti na rotaciju u ravnini (x, y), polje ne mozeovisiti niti o koordinati ϕ. Ono, dakle, moze ovisiti samo o radijalnoj udaljenostiod zice ρ i moze imati samo smjer ρ

~E (~r) = E(ρ) ρ . (2.33)

Ako sada za plohu integracije S u izrazu (2.32) odaberemo valjak duljine h i polu-mjera baze ρ, koncentricno postavljen oko zice, dobit cemo

∫

Bg

E(ρ) ρ dS z +

∫

pl

E(ρ) ρ dS ρ +

∫

Bd

E(ρ) ρ dS (−z ) =λ0

ε0

∫ h+z

z

dz. (2.34)

Prvi i treci integral lijeve strane su jednaki nuli jer je ρ · z = 0. U bilo kojoj tockiplasta valjka je polje istog iznosa, pa se kao konstantno moze izvuci ispred integrala,tako da se drugi integral lijeve strane svodi na | ~E (ρ)| puta povrsina plasta valjka

| ~E (ρ)| 2 ρ π h =λ0

ε0h, (2.35)

tj. dobivamo isti izraz kao i ranije izravnom integracijom

~E (ρ) =λ0

2π ε0

1

ρρ . (2.36)

Primjer: 2.6 Ako bismo umjesto beskonacno tanke plohe promatrali beskonacno debelu plohuvodica koja zauzima poluprostor x < 0, na cijoj se granici nalazi naboj rasporeden


konstantnom gustocom σ0, postupkom kao gore, dobilo bi se

1 · R2 π E =1

ε0σ0R

2 π

~E =σ0

ε0x . (2.37)

(Kasnije cemo pokazati da je u unutrasnjosti vodica polje jednako nuli.)

Ako su zadane dvije beskonacno velike i beskonacno tanke paralelno postavljnene ravnine na-elektrizirane konstantnim gustocama naboja σ1 i −σ2, tada su iznosi polja od pojedinih plocajednaki

E1 =σ1

2 ε0, E2 =

σ2

2 ε0, (2.38)

a smjerovi su prikazani na slici. Izvan ploca su silnice antiparalelne, pa je

Eout =σ1 − σ2

2 ε0. (2.39)

Unutar ploca su silnice paralelne, pa je

Ein =σ1 + σ2

2 ε0. (2.40)

Specijalno, ako je σ1 = σ2 = σ0, polje izvan ploca je jednako nuli, a polje unutar ploca je

Ein =σ0

ε0. (2.41)

To je upravo polje ravnog plocastog kondenzatora (o kojemu cemo govoriti kasnije).

Primjer: 2.7 Da bismo izracunali polje izvan kugle, za plohu integracije opet odabiremo kon-centricnu sferu, ali je ona sada polumjera r > R.

∫Eout(r) r r

2 dΩ r =1

ε0

∫ρ0 d

3r

Eout(r) r2 4π =

1

ε0

4

3R3 π ρ0 =

Q

ε0

~E out =1

4π ε0

Q

r2r . (2.42)

Polje izvan kugle opada s udaljenoscu od sredista. i isto je kao polje tockastognaboja iznosa jednakog ukupnom naboju kugle Q = ρ0(4/3)R3π.

2.4.4 Rotacija: Stokesov teorem

Promatrajmo linijski integral proizvoljnog vektorskog polja ~V (~r) po zatvorenoj usmjerenojkrivulji C. Krivulja ne mora lezati u ravnini, a pozitivnim smjerom obilaska krivulje se nazivasmjer suprotan gibanju kazaljke na satu. Takav se integral naziva cirkulacija polja ~V (~r) ioznacava se s Γ

Γ =

∮

C~V (~r) d~r.


Slika 2.13: Uz definiciju cirkulacije vektorskog polja..

Diferencijal d~r ima smjer obilaska krivulje, a sama krivulja ne mora nuzno lezati u ravnini.Podijeli li se zatvorena krivulja C na dvije zatvorene krivulje, kao na slici 2.13, lako se vidida se integrali po zajednickom dijelu krivulje ponistavaju zbog suprotnog smjera obilaska togdijela krivulje, pa je zato

Γ =

∮

C~V (~r) d~r =

∮

C1~V (~r1) d~r1 +

∮

C2~V (~r2) d~r2.

Ocito ce se nastavljanjem dijeljenja gornje dvije zatvorene krivulje na sve manje i manje dijelove,opet medusobno ponistavati integrali po zajednickim dijelovima, i za podjelu pocetne zatvorenekrivulje na N manjih ce vrijediti

Γ =

∮

C~V (~r) d~r =

N∑j=1

∮

Cj

~V (~rj) d~rj.

Za N >> 1, tj. kada je pocetna krivulja podjeljena na puno vrlo malih zatvorenih krivulja,svakoj toj maloj krivulji Cj se moze pridruziti ravna ploha ∆ ~S j = n ∆Sj ciji je iznos odredenpovrsinom plohe definirane krivuljom, a smjer okomicom na plohu i pravilom desne ruke. Ugranici N → ∞, male krivulje Cj iscezavaju, pa iscezava i integral polja po toj krivulji. Istotako iscezava i povrsina ∆Sj. Ako dvije velicine svaka za sebe iscezavaju, nije nuzno da iscezavai njihov omjer. Izracunajmo slijedecu granicnu vrijednost

limN→∞∮Cj

~V (~rj) d~rj = 0

limN→∞ ∆Sj = 0

lim

Cj ,∆Sj → 0

∮Cj

~V (~rj) d~rj

∆Sj= ?.

Ogranicimo se na j-tu krivulju, tako da mozemo izostaviti indeks j. Radi jednostavnosti, nekaje mala zatvorena krivulja pravokutnog oblika i neka lezi u ravnini z = const. kao na slici 2.14.Opcenito je, u pravokutnom koordinatnom sustavu,

~V (~r) = x Vx(x, y, z) + y Vy(x, y, z)y + z Vz(x, y, z).


Slika 2.14: Uz izvod Stokesova teorema.

Slicno je i

~r = x x+ y y + z z,

pa je, uz konstantni z,

d~r = x dx+ y dy, z = const.

Izracunajmo sada cirkulaciju po malom pravokutniku imajuci u vidu da d~r ima smjer obilaskakrivulje:

∮

C~V d~r =

∮

C

[Vx(x, y, z) dx+ Vy(x, y, z) dy

]

=

∫ x+dx

x

Vx(x, y, z) dx +

∫ y+dy

y

Vy(x+ d x, y, z) dy

+

∫ x

x+dx

Vx(x, y + d y, z) dx +

∫ y

y+dy

Vy(x, y, z) dy .

Buduci da su pravokutnici infinitezimalni, vrijednost polja je priblizno konstantna u svimtockama stranica pravokutnika i priblizno je jednaka vrijednosti na polovici promatrane stra-nice. Zato je promatrani integral priblizno jednak

' Vx(x+ dx/2, y, z) dx+ Vy(x+ dx, y + dy/2, z) dy − Vx(x+ dx/2, y + dy, z) dx− Vy(x, y + dy/2, z) dy.

Za male dx, dy i dz, komponente polja Vx,y,z se mogu razviti u Taylorov red

=

[Vx(x, y, z) +

dx

2

∂ Vx∂ x

+ · · ·]dx+

[Vy(x, y, z) + dx

∂ Vy∂ x

+dy

2

∂ Vy∂ y

+ · · ·]dy

−[Vx(x, y, z) +

dx

2

∂ Vx∂ x

+ dy∂ Vx∂ y

+ · · ·]dx−

[Vy(x, y, z) +

dy

2

∂ Vy∂ y

+ · · ·]dy

=

(∂ Vy∂ x

− ∂ Vx∂ y

)dx dy +O(d3)


Uvedimo pojam rotacije vektorskog polja ~V , slijedecom definicijom (u pravokutnomkoordinatnom sustavu)

rot ~V = x

(∂ Vz∂ y

− ∂ Vy∂ z

)+ y

(∂ Vx∂ z

− ∂ Vz∂ x

)+ z

(∂ Vy∂ x

− ∂ Vx∂ y

).

Uocimo ciklicnost (x → y → z → x → y → · · · ) u definiranju komponenata vektora rotacije,slicno kao i kod definicije vektorskog umnoska dva vektora.

Sada mozemo u gornjem rezultatu za cirkulaciju, prepoznati z-komponentu vektora rotacijepolja ~V ∮

C~V d~r =

(∂ Vy∂ x

− ∂ Vx∂ y

)dx dy +O(d3) = (

−→∇ × ~V )z dx dy +O(d3) (2.43)

Takoder, mozemo izracunati i pocetni limes

limCj ,∆Sj → 0

∮Cj

~V (~rj) d~rj

∆Sj= lim

dx,dy→ 0

[(−→∇ × ~V )z dx dy

dx dy+O(d3)

dx dy

]= (

−→∇ × ~V )z.

Slicni bi se izrazi dobili i za preostale komponente rotacije (pri cemu gornju zatvorenu krivuljushvacamo kao projekciju neke male prostorne krivulje na ravninu (x, y))

(rot ~V )x =∂ Vz∂ y

− ∂ Vy∂ z

,

(rot ~V )y =∂ Vx∂ z

− ∂ Vz∂ x

.

Primjetimo da rotaciju vektorske funkcije mozemo zapisati i pomocu operatora nabla, (2.16),

rot ~V =−→∇ × ~V =

(x∂

∂ x+ y

∂

∂ y+ z

∂

∂ z

)× (Vxx + Vyy + Vz z ) (2.44)

=

x y z

∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z

Vx Vy Vz

= x

(∂ Vz∂ y

− ∂ Vy∂ z

)+ y

(∂ Vx∂ z

− ∂ Vz∂ x

)+ z

(∂ Vy∂ x

− ∂ Vx∂ y

),

tj.

rot ~V ≡ −→∇ × ~V = x

(∂ Vz∂ y

− ∂ Vy∂ z

)+ y

(∂ Vx∂ z

− ∂ Vz∂ x

)+ z

(∂ Vy∂ x

− ∂ Vx∂ y

).

(2.45)

Rezultat rotacije vektorskog polja ~V je novo vektorsko polje−→∇ × ~V .

Sada se mozemo vratiti pocetnom izrazu za cirkulaciju vektorskog polja, koji u granici N → ∞


postaje

∮

C~V (~r) d~r =

N∑j=1

∆Sj

[1

∆Sj

∮

Cj

~V (~rj) d~rj

]=

N∑j=1

∆Sj n j (−→∇ × ~V )

=

/N → ∞∑N

j=1 ∆Sj n j →∫S(C) d

~S

/=

∫

S(C)(−→∇ × ~V ) d~S .

S n j je oznacen jedinicni vektor okomit na malu plohu dS. Time su povezani linijski integralvektorskog polja po zatvorenoj krivulji C i povrsinski integral rotacije tog istog polja po povrsiniS(C) definiranoj krivuljom C, a dobivena se veza zove Stokesov teorem

∮

C~V (~r) d~r =

∫

S(C)(−→∇ × ~V ) d~S . (2.46)

Primjetimo da jedna jedina krivulja C definira beskonacno mnogo ploha S(C) ciji je ona rub.Fizicko znacenje rotacije jeste opis jednog svojstva vektorskog polja koje se naziva vrtloznost.Ono se moze iscitati iz relacije (2.43): zamislimo da ~V opisuje brzinu fluida, tada je integralna lijevoj strani razlicit od nule samo u onom dijelu prostora gdje fluid ima vrtloge (virove) i

tada je i odgovarajuca komponenta rotacije ~V razlicita od nule. Naprotiv, ako je−→∇ × ~V = 0,

kaze se da je polje bezvrtlozno.

Primjer: 2.8 Izravnim racunom izracunajte cirkulaciju vektorskog polja ~V = x2y3x + y + zzpo kruznici x2 + y2 = R2, z = 0. Isti racun provedite koristeci Stokesov teorem, akose za plohu integracije odabere polukugla z = +

√R2 − x2 − y2.

R: Izracunajmo cirkulaciju

Γ =

∮

C~V (~r) d~r.

Uvrstimo veze pravokutnog i cilindricnog koordinatnog sustava, odjeljak 2.5,

~r = R ρ ,

d~r = Rdρ = Rdϕ ϕ ,

ϕ = −x sinϕ+ y cosϕ,

x = R cosϕ, y = R sinϕ,

tako da je∮

C~V (~r) d~r = R

(−R5

∫ 2π

0

sin4 ϕ cos2 ϕ dϕ+

∫ 2π

0

cosϕ dϕ

)= −π R

6

8.

Naravno, do istog se rezultata moze doci i racunom pomocu Stokesova teorema.Uvrstavanjem veze pravokutnog i sfernog koordinatnog sustava, odjeljak 2.6:

d~S = r R2 sin θdθdϕ, r = x sin θ cosϕ+ y sin θ sinϕ+ z cos θ,

x = R sin θ cosϕ, y = R sin θ sinϕ,


i integracijom po gornjoj polusferi

∫

S(C)(−→∇ × ~V ) d~S =

∫ π/2

0

sin θdθ

∫ 2π

0

dϕR2r (−3x2y2z ) = −3R6 · 1

6· π4

= −π R6

8.

dobijemo iti rezultat za cirkulaciju.

Primjer: 2.9 Zadano je vektorsko polje iz primjera 2.1 ~F = x (2xy + z3) + y (x2 + 2y) +

z (3xz2 − 2). Izracunajte−→∇ × ~F . Razumijet li sada zasto su rezultati u (a), (b) i

(c) iz primjera 2.1 medusobno jednaki? Moze li ovo polje predstavljati elektrostatskopolje i zasto?

R: Izravnim uvrstavanjem ~F u (2.44) i deriviranjem, odmah se dobiva

−→∇ × ~F = x (0− 0) + y (3z2 − 3z2) + z (2x− 2x) = 0.

Polje je konzervativno (rotacija mu je jednaka nuli), pa zato linijski integrali ne oviseo putu (ukoliko su konacne tocke iste). Konzervativnost je i razlog zasto ovo poljemoze predstavljati elektrostatsko polje.

Primjer: 2.10 Pokazimo da polje tockastog naboja zadovoljava drugu Maxwellovu jednadzbu

−→∇ × ~E = 0.

R: Polje tockastog naboja iznosa q smjestenog u ishodistu je

~E (~r) =1

4πε0

q

r3~r, (2.47)

ili, po komponentama pravokutnog sustava

Ex =1

4πε0q

x

(x2 + y2 + z2)3/2, (2.48)

Ey =1

4πε0q

y

(x2 + y2 + z2)3/2,

Ez =1

4πε0q

z

(x2 + y2 + z2)3/2.

−→∇ × ~E = x

(∂ Ez∂ y

− ∂ Ey∂ z

)+ y

(∂ Ex∂ z

− ∂ Ez∂ x

)+ z

(∂ Ey∂ x

− ∂ Ex∂ y

). (2.49)

Izravnom derivacijom se lako dobije da je svaka od okruglih zagrada jednaka nuli,pa je i njihov zbroj jednak nuli.


2.4.5 Laplaceov operator

Od osobite je vaznosti (napose u izucavanju valnih pojava u mehanici ili elektrostatskih pojavau elektromagnetizmu) operator nastao djelovanjem divergencije na gradijent skalarnog poljas(x, y, z). Taj se operator naziva Laplaceov9 operator ili laplasijan. U pravokutnom koordi-natnom sustavu je on oblika

div (grad s) =

(x∂

∂ x+ y

∂

∂ y+ z

∂

∂ z

) (x∂ s

∂ x+ y

∂ s

∂ y+ z

∂ s

∂ z

)=∂2 s

∂ x2+∂2 s

∂ y2+∂2 s

∂ z2≡ ∇ 2 s

gdje je s ∇ 2 oznacen Laplaceov operator

∇ 2 =∂2

∂ x2+

∂2

∂ y2+

∂2

∂ z2. (2.50)

Operacije gradijenta, divergencije i rotacije se mogu i kombinirati. Tako je npr. lako pokazati(izravnim uvrstavanjem prema definicijama) da je za svako vektorsko polje ~V

div rot ~V ≡ −→∇ · (−→∇ × ~V ) = 0. (2.51)

Slicno je i za svako skalarno polje s

rot grad s ≡ −→∇ × (−→∇ s) = 0. (2.52)

Primjer: 2.11 Pokazite da vrijedi

−→∇ × (−→∇ × ~V ) =

−→∇(−→∇ ~V )−∇ 2~V . (2.53)

R:

Primjer: 2.12 Iz elektrostatike je poznata veza izmedu elektricnog polja ~E i elektricnog poten-cijala V

~E = −−→∇ V.

Pokazite da iz nje izravno slijedi druga Maxwellova jednadzba−→∇ × ~E = 0.

R:−→∇V = x

∂V

∂x+ y

∂V

∂y+ z

∂V

∂z

−→∇ × (−→∇V ) = x

(∂

∂y

∂V

∂z− ∂

∂z

∂V

∂y

)+ y

(∂

∂z

∂V

∂x− ∂

∂x

∂sV

∂z

)+ z

(∂

∂x

∂V

∂y− ∂

∂y

∂V

∂x

)= 0.

9Pierre Simon marquis de Laplace, 1749 - 1827, francuski fizicar, astronom, matematicar i filozof,

2.5. CILINDRICNI KOORDINATNI SUSTAV 41

Primjer: 2.13 Pokazite da vrijede slijedece relacije:

−→∇ × (ϕ ~a ) = ϕ−→∇ × ~a + (

−→∇ϕ)× ~a (2.54)−→∇(~a × ~b ) = ~b (

−→∇ × ~a )− ~a (−→∇ × ~b ). (2.55)

−→∇ × (a ~b ) = a(−→∇ × ~b ) + (

−→∇ a)× ~b . (2.56)

R:

Primjer: 2.14 Poznat je elektricni potencijal izmedu dvije beskonacne paralelne vodljive plocekoje su okomite na os x

V (x) = Ax4/3 +B x+ C, A,B,C = const.

Odredite raspodjelu naboja koja stvara takav potencijal.

R: Iz elektrostatike je poznata veza izmedu potencijala i gustoce elektricnog na-boja u obliku Possonove jednadzbe

∇ 2 V (~r) = − ρel(~r)

ε0.

Raspisana u pravokutnom koordinatnom sustavu, gornja jednadzba vodi na

− ρelε0

=∂2 V

∂ x2+∂2 V

∂ y2+∂2 V

∂ z2

= A4

3

1

3x−2/3

ρel(x) = −A ε04

9

1

x2/3.

2.5 Cilindricni koordinatni sustav

Kao sto smo spomenuli na pocetku ovog odjeljka, pored pravokutnog koordinatnog sustavapostoje i drugi koordinatni sustavi. Odabir odredenog sustava ovisi o simetriji problema kojise rjesava. U situacijama kada je razmatrani problem simetrican na zakret oko nepomicneosi, koristi se cilindricni koordinatni sustav. Polozaj tocke u prostoru se, unutar cilindricnogkoordinatnog sustava, opisuje koordinatama: ρ, ϕ i z, gdje je z jedna od koordinata pravokutnogkoordinatnog sustava. Koordinata ρ ima vrijednost okomite udaljenosti promatrane tocke odosi z. Koordinata ϕ je kut koji duzina ρ zatvara s pozitivnim smjerom osi x. Svakoj tockiprostora je jednoznacno pridruzena trojka brojeva (ρ, ϕ, z), pri cemu ρ, ϕ i z mogu poprimativrijednosti iz slijedecih intervala

ρ ∈ (0,∞), ϕ ∈ (0, 2π), z ∈ (−∞,+∞).


Slika 2.15: Uz definiciju koordinata cilindricnog koordinatnog sustava.

Cilindricni koordinatni sustav ogranicen na ravninu (x, y), se zove polarni koordinatnisustav , slika 2.16. Veze pravokutnih i cilindricnih koordinata se dobivaju elementarnomtrigonometrijom

x = ρ cosϕ, ρ =√x2 + y2,

y = ρ sinϕ, ϕ = arctany

x, (2.57)

z = z.

Slika 2.16: Uz definiciju koordinata polarnog koordinatnog sustava.

Svakoj od koordinata ρ, ϕ i z, se pridruzuju jedinicni vektori smjera ρ , ϕ i z , koji su


usmjereni u pravcu porasta odgovarajuce koordinate

(slika 2.15) uz konstantne vrijednosti preostale dvije koordinate. Ako radij vektoru ~r po-vecavamo koordinatu ρ za infinitezimalni iznos dρ, a ϕ i z drzimo konstantnim, rezultatntnivektor,

~r(ρ+ dρ, ϕ, z)− ~r(ρ, ϕ, z)ima smjer ρ . Isti smjer ima i gornji vektor pomnozen skalarom 1/dρ. Smjer se nece promijenitini kada izvedemo granicni prijelaz dρ→ 0, koji zatim prepoznajemo kao derivaciju ~r po ρ

ρ ∼ limdρ→0

~r(ρ+ dρ, ϕ, z)− ~r(ρ, ϕ, z)dρ

=

(∂ ~r

∂ ρ

)

ϕ,z

.

No, gornji vektor jos ne mora biti i jedinicnog iznosa. Da bismo ga napravili jedinicnim, trebaga podijeliti njegovim iznosom, kao u (2.1),

ρ =

(∂ ~r

∂ ρ

)

ϕ,z

/ ∣∣∣∣∣(∂ ~r

∂ ρ

)

ϕ,z

∣∣∣∣∣Na slican nacin se odreduju i preostala dva jedinicna vektora ϕ i z

ϕ =

(∂ ~r

∂ ϕ

)

ρ,z

/ ∣∣∣∣∣(∂ ~r

∂ ϕ

)

ρ,z

∣∣∣∣∣ , z =

(∂ ~r

∂ z

)

ρ,ϕ

/ ∣∣∣∣∣(∂ ~r

∂ z

)

ρ,ϕ

∣∣∣∣∣ .

Izracunajmo ove jedinicne vektore, koristeci izraz za radij vektor u pravokutnom koordinatnomsustavu ~r = x x + y y + z z i vezu cilindrickog s pravokutnim koordinatnim sustavom (2.57).Zapocnimo s jedinicnim vektorom ρ(

∂ ~r

∂ ρ

)

ϕ,z

=∂

∂ ρ

(xx + yy + zz

)ϕ,z

=∂

∂ ρ

[x (ρ cosϕ) + y (ρ sinϕ) + z z

]ϕ,z

= x cosϕ+ y sinϕ,∣∣∣∣∣(∂ ~r

∂ ρ

)

ϕ,z

∣∣∣∣∣ =

√cos2 ϕ+ sin2 ϕ = 1,

pa je

ρ = ρ (ϕ) = x cosϕ+ y sinϕ. (2.58)

Na slican nacin se odreduju i preostala dva jedinicna vektora ϕ i z :(∂ ~r

∂ ϕ

)

ρ,z

=∂

∂ ϕ

(xx + yy + zz

)ρ,z

=∂

∂ ϕ

[x (ρ cosϕ) + y (ρ sinϕ) + z z

]ρ,z

=[x ρ(−) sinϕ+ y ρ cosϕ

],

∣∣∣∣∣(∂ ~r

∂ ϕ

)

ρ,z

∣∣∣∣∣ =√ρ2(sin2 ϕ+ cos2 ϕ) = ρ,


pa je

ϕ = ϕ (ϕ) = −x sinϕ+ y cosϕ. (2.59)

Vektor z je naprosto z koji smo upoznali jos kod pravokutnog koordinatnog sustava i tu sene treba nista racunati.Ove jedinicne vektore mozemo prikazati i u obliku jednostupcanih matrica

ρ =

1

0

0

, ϕ =

0

1

0

, z =

0

0

1

,

Pravokutnu i cilindricnu bazu mozemo povezati matricom Mρϕz

= M

xyz

, M =

cosϕ sinϕ 0− sinϕ cosϕ 0

0 0 1

.

Lako je vidjeti da je inverzna matrica jednaka transponiranoj

M −1 = M T ,

M T ·M = M ·M T = 1,

iz cega odmah slijedixyz

= M T

ρϕz

, M T =

cosϕ − sinϕ 0sinϕ cosϕ 0

0 0 1

. (2.60)

U skladu s gornjom analizom, zakljucujemo da se proizvoljni vektor ~V moze prikazati kaojednostupcana matrica

~V =

Vρ

Vϕ

Vz

.

Posebno, radij vektor je oblika

~r = ρ (x cosϕ+ y sinϕ) + z z = ρ ρ + z z =

ρ

0

z

.


Iznos vektora je dan Pitagorinim pouckom

|~V | =√V 2ρ + V 2

ϕ + V 2z .

Mnozenje vektora sklarom s

s ~V = s Vρ ρ + s Vϕ ϕ + s ~V z z .

U skladu s definicijom skalarnog umnoska, a pomocu relacija (2.58) i (2.59), za bazne vektorevrijedi

ρ · ρ = 1, ρ · ϕ = 0, ρ · z = 0,

ϕ · ρ = 0, ϕ · ϕ = 1, ϕ · z = 0, (2.61)

z · ρ = 0, z · ϕ = 0, z · z = 1.

Iz gornje tablice slijedi izraz za skalarni umnozak dva proizvoljna vektora

~V · ~U = (Vρ ρ + Vϕ ϕ + Vz z ) · (Uρ ρ + Uϕ ϕ + Uz z ) = Vρ Uρ + Vϕ Uϕ + Vz Uz.

Pomocu skalarnog umnoska se i kut medu vektorima moze napisati kao: V · U = 1 ·1 cos(~V , ~U),sto mozemo iskoristiti da dodemo do zapisa vektora preko njegovog iznosa i kosinusa kutovakoje zatvara s koordinatnim osima.

V · ρ = cos(~V , ρ ) =~V

V· ρ =

Vρ ρ + Vϕ ϕ + Vz z

V· ρ =

VρV

⇒ Vρ = V cos(~V , ρ ),

~V = V[cos(~V , ρ ) ρ + cos(~V , ϕ ) ϕ + cos(~V , z ) z

].

Iz relacija (2.58) i (2.59) se takoder dolazi i do izraza za vektorske umnoske baznih vektora

ρ × ρ = 0, ρ × ϕ = z , ρ × z = −ϕ ,ϕ × ρ = −z , ϕ × ϕ = 0, ϕ × z = ρ , (2.62)

z × ρ = ϕ , z × ϕ = −ρ , z × z = 0.


~V × ~U = ρ (Vϕ Uz − Vz Uϕ) + ϕ (Vz Uρ − Vρ Uz) + z (Vρ Uϕ − Vϕ Uρ).

Primjetimo ciklicnost u definiciji komponenata vektorskog umnoska: ρ → ϕ → z → ρ →ϕ → · · · . Vektorski umnozak se moze pregledno napisati i preko determinante (u pomalonekorektnom obliku, jer nisu svi elementi determinate skalari)

~V × ~U =

ρ ϕ z

Vρ Vϕ Vz

Uρ Uϕ Uz

.

Usporedbom rastava ~V u pravokutnoj i cilindricnoj bazi

~V = Vx x + Vy y + Vz z = Vρ ρ + Vϕ ϕ + Vz z ,


i koristeci (2.58) i (2.59), zakljucujemo da postoji slijedeca veza medu komponentama

VxVyVz

= M T

VρVϕVz

,

VρVϕVz

= M

VxVyVz

.

Za razliku od vektora x , y , z koji su istog smjera u svakoj tocki prostora (slika 2.17.A), iz rela-cija (2.58) i (2.59) se jasno vidi da, kako se mijenja polozaj tocke u prostoru, tako se mijenjaju ismjerovi baznih vektora u ravnini (x, y) (slika 2.17.B) Izracunajmo promjene smjerova vektora

Slika 2.17: Smjerovi baznih vektora pravokutnog (A) i cilindricnog (tj. polarnog) (B) koordinatnog sustava.

ρ i ϕ (iznosi su im jedinicni, pa se oni ne mogu mijenjati, mijenja im se samo smjer). Premarelacijama (2.58) i (2.59) je

dρ = −x sinϕdϕ+ y cosϕdϕ = ϕ dϕ,

dϕ = −x cosϕdϕ− y sinϕdϕ = −ρ dϕ, (2.63)

dz = 0.

Primjetimo da je promjena baznih vektora okomita na same vektore, tj. da je

dρ · ρ = dϕ · ϕ = 0

kao sto i mora biti, jer bi npr. promjena ρ u smjeru ρ promjenila normu od ρ i on vise ne bibio jedinicni vektor10.Pomocu gornjih diferencijala mozemo izracunati diferencijalni volumen u okolici tocke ~r. Nekase koordinata ρ promjeni od vrijednosti ρ na ρ+ dρ, koordinata ϕ od ϕ na ϕ+ dϕ i koordinataz od z na z + dz. Zbog infinitezimalnog karaktera ovih promjena, dobiveni infinitezimalni

volumen se moze aproksimirati paralelopipedom ciji su vektori bridova ~a ,~b ,~c , upravo jednaki

10Usporedite s relacijom (2.10)


(slika 2.18)

~a = ~r(ρ+ dρ, ϕ, z)− ~r(ρ, ϕ, z) =∂ ~r

∂ρdρ = ρ dρ,

~b = ~r(ρ, ϕ+ dϕ, z)− ~r(ρ, ϕ, z) =∂ ~r

∂ϕdϕ = ρϕ dϕ,

~c = ~r(ρ, ϕ, z + dz)− ~r(ρ, ϕ, z) =∂ ~r

∂zdz = z dz.

Prema (2.7) volumen se racuna pomocu mjesovitog umnoska vektora

Slika 2.18: Uz diferencijal volumena u cilindricnom koordinatnom sustavu.

d3 r ≡ dV = ~a · (~b × ~c ) = ρ dρ · (ρϕ dϕ× z dz) = ρ dρ dϕ dz.

Na slican nacin se moze izracunati i diferencijal zakrivljene plohe z = const. Prema relaciji

(2.5) povrsina paralelograma je dana iznosom vektorskog umnoska vektora stranica |~a × ~b |. Unasem primjeru je

d2 r ≡ dS = |ρ dρ× ρϕ dϕ| = ρdρ dϕ.

Izracunajmo jos i udaljenost ds dvije bliske tocke: (ρ, ϕ, z) i (ρ + dρ, ϕ + dϕ, z + dz). Upravokutnom koordinatnom sustavu bi se ta udaljenost lako izracunala pomocu Pitagorinogpoucka: koordinate tocaka bi bile (x, y, z) i (x+ dx, y + dy, z + dz), a kvadrat udaljenosti

ds2 = dx2 + dy2 + dz2.

Koristeci veze (2.57) izmedu pravokutnog i cilindricnog sustava, lako se dobiva

dx = dρ cosϕ− ρ sinϕdϕ,

dy = dρ sinϕ+ ρ cosϕdϕ,

ds2 = (dρ)2 + ρ2(dϕ)2 + (dz)2.


Pored gore opisanog cilindricnog sustava koji se naziva jos i kruzni cilindricni sustav, postojijos nekoliko cilindricnih sustava, definiranih na slijedeci nacin:(a) elipticki cilindar

x = a coshu cos v,

y = a sinhu sin v.

(b) parabolicki cilindar

x = ξ η,

y =1

2

(η2 − ξ2

).

(c) bipolarni

x =a sinh η

cosh η − cos ξ,

y =a sin η

cosh η − cos ξ.

2.6 Sferni koordinatni sustav

Pored pravokutnog i cilindricnog koordinatnog sustava, cesto se koristi i sferni koordinatnisustav. Ako je sustav koji se razmatra invarijantan na zakrete oko nepomicne tocke, tada jenajcesce korisno raditi u sfernom koordinatnom sustavu. Polozaj tocke u prostoru se, unutarsfernog koordinatnog sustava, opisuje koordinatama: r, θ i ϕ (slika 2.19). Koordinata r ima

Slika 2.19: Uz definiciju koordinata sfernog koordinatnog sustava.

vrijednost radijalne udaljenosti promatrane tocke od ishodista. Koordinata θ je kut koji radijvektor zatvara s pozitivnim smjerom osi z, a ϕ je kut koji projekcija radij vektora na ravninu(x, y), zatvara s pozitivnim smjerom osi x (slika 2.19). Svakoj tocki prostora je jednoznacnopridruzena trojka brojeva (r, θ, ϕ), pri cemu r, θ i ϕ mogu poprimati slijedece vrijednosti

r ∈ (0,∞), θ ∈ (0, π) , ϕ ∈ (0, 2π).

2.6. SFERNI KOORDINATNI SUSTAV 49

Veze pravokutnih i sfernih koordinata se dobivaju elementarnom trigonometrijom

x = r sin θ cosϕ, r =√x2 + y2 + z2,

y = r sin θ sinϕ, θ = arccosz√

x2 + y2 + z2, (2.64)

z = r cos θ, ϕ = arctany

x.

Svakoj od koordinata r, θ i ϕ, se pridruzuju jedinicni vektori smjera r , θ i ϕ , koji su usmjereniu pravcu porasta odgovarajuce koordinate (slika 2.19) uz konstantne vrijednosti preostale dvijekoordinate. Npr. ako radij vektoru ~r povecavamo koordinatu r za infinitezimalni iznos dr, pricemu kutove θ i ϕ drzimo konstantnim, rezultantni vektor

~r(r + dr, θ, ϕ)− ~r(r, θ, ϕ)

ima smjer r . Ako gornji vektor pomnozimo skalarom 1/dr i izvedemo granicni prijelaz dr → 0,smjer vektora ce i dalje biti smjer r . No, prema definiciji derivacije, dobiveni izraz je upravoderivacija ~r po r

r ∼ limdr→0

~r(r + dr, θ, ϕ)− ~r(r, θ, ϕ)

dr=

(∂ ~r

∂ r

)

θ,ϕ

.

Je li gornji vektor nas trazeni vektor r ? Ne nuzno. Naime, gornji vektor ne mora biti jedinicnogiznosa. No, poznato je (relacija (2.1)) kako se od proizvoljnog vektora napravi jedinicni vektoristog smjera: treba ga jednostavno podijeliti njegovom normom

r =

(∂ ~r

∂ r

)

θ,ϕ

/ ∣∣∣∣∣(∂ ~r

∂ r

)

θ,ϕ

∣∣∣∣∣ .

Na slican nacin se odreduju i preostala dva jedinicna vektora θ i ϕ

θ =

(∂ ~r

∂ θ

)

r,ϕ

/ ∣∣∣∣∣(∂ ~r

∂ θ

)

r,ϕ

∣∣∣∣∣ , ϕ =

(∂ ~r

∂ ϕ

)

r,θ

/ ∣∣∣∣∣(∂ ~r

∂ ϕ

)

r,θ

∣∣∣∣∣ .

Izracunajmo ove jedinicne vektore, koristeci vezu s pravokutnim koordinatnim sustavom (2.64)i ~r = xx + yy + zz . Krenimo s jedinicnim vektorom r

(∂ ~r

∂ r

)

θ,ϕ

=∂

∂ r

(xx + yy + zz

)θ,ϕ

=

[x∂

∂ r(r sin θ cosϕ) + y

∂

∂ r(r sin θ sinϕ) + z

∂

∂ r(r cos θ)

]

θ,ϕ

= x sin θ cosϕ+ y sin θ sinϕ+ z cos θ.

Sada jos treba izracunati iznos gornjeg vektora∣∣∣∣∣(∂ ~r

∂ r

)

θ,ϕ

∣∣∣∣∣ =

√sin2 θ cos2 ϕ+ sin2 θ sin2 ϕ+ cos2 θ = 1,

pa je

r = r (θ, ϕ) = x sin θ cosϕ+ y sin θ sinϕ+ z cos θ. (2.65)


Slicnim putem se dolazi i do preostala dva jedinicna vektora.(∂ ~r

∂ θ

)

r,ϕ

=∂

∂ θ(xx + yy + zz )r,ϕ

=

[x∂

∂ θ(r sin θ cosϕ) + y

∂

∂ θ(r sin θ sinϕ) + z

∂

∂ θ(r cos θ)

]

r,ϕ

= r (x cos θ cosϕ+ y cos θ sinϕ− z sin θ) .

Izracunajmo i iznos gornjeg vektora∣∣∣∣∣(∂ ~r

∂ θ

)

r,ϕ

∣∣∣∣∣ =√r2(cos2 θ cos2 ϕ+ cos2 θ sin2 ϕ+ sin2 θ) = r,

pa je

θ = θ (θ, ϕ) = x cos θ cosϕ+ y cos θ sinϕ− z sin θ. (2.66)

(∂ ~r

∂ ϕ

)

r,θ

=∂

∂ ϕ(xx + yy + zz )r,θ

=

[x∂

∂ ϕ(r sin θ cosϕ) + y

∂

∂ ϕ(r sin θ sinϕ) + z

∂

∂ ϕ(r cos θ)

]

r,θ

= [x r sin θ(−) sinϕ+ y r sin θ cosϕ+ z · 0] .

Izracunajmo i iznos gornjeg vektora∣∣∣∣∣(∂ ~r

∂ ϕ

)

r,θ

∣∣∣∣∣ =√r2(sin2 θ sin2 ϕ+ sin2 θ cos2 ϕ) = r · sin θ,

pa je

ϕ = ϕ (ϕ) = −x sinϕ+ y cosϕ. (2.67)

Primjetimo da sva tri jedinicna vektora ovise o kutovima θ i/ili ϕ, pa prema tome nisu kons-tantni, vec ovise o polozaju pojedine tocke. Ove jedinicne vektore mozemo prikazati i u oblikuD × 1 matrice (gdje je D = 3 dimenzija prostora)

r =

1

0

0

, θ =

0

1

0

, ϕ =

0

0

1

,

Nadalje, pravokutnu i sfernu bazu mozemo povezati matricom Mr

θϕ

= M

xyz

, M =

sin θ cosϕ sin θ sinϕ cos θcos θ cosϕ cos θ sinϕ − sin θ− sinϕ cosϕ 0

.


Lako je vidjeti da je inverzna matrica jednaka transponiranoj M −1 = M T

M T ·M = M ·M T = 1,

iz cega odmah slijedixyz

= M T

r

θϕ

, M T =

sin θ cosϕ cos θ cosϕ − sinϕsin θ sinϕ cos θ sinϕ cosϕ

cos θ − sin θ 0

.

U skladu s gornjom analizom, zakljucujemo da se proizvoljni vektor ~V moze prikazati kaojednostupcana matrica

~V =

Vr

Vθ

Vϕ

.

Posebno, radij vektor je oblika

~r = r r =

r

0

0

.

Iznos vektora je dan preko Pitagorina poucka

|~V | =√V 2r + V 2

θ + V 2ϕ .

Mnozenje vektora ~V sklarom s raspisano po komponentama

s ~V = s Vr r + s Vθ θ + s ~V ϕ ϕ .

U skladu s definicijom skalarnog umnoska, a pomocu relacija (2.65) - (2.67), za bazne vektorevrijedi

r · r = 1, r · θ = 0, r · ϕ = 0,

θ · r = 0, θ · θ = 1, θ · ϕ = 0, (2.68)

ϕ · r = 0, ϕ · θ = 0, ϕ · ϕ = 1,

Prema gornjoj tablici, skalarni umnozak dva vektora je

~V · ~U = (Vr r + Vθ θ + Vϕ ϕ ) · (Ur r + Uθ θ + Uϕ ϕ ) = Vr Ur + Vθ Uθ + Vϕ Uϕ;

Pomocu skalarnog umnoska se i kut medu vektorima moze napisati kao: V · U = 1 ·1 cos(~V , ~U),sto mozemo iskoristiti da dodemo do zapisa vektora preko njegovog iznosa i kosinusa kutovakoje zatvara s koordinatnim osima.

V · r = cos(~V , r ) =~V

V· r =

Vr r + Vθ θ + Vϕ ϕ

V· r =

VrV

⇒ Vr = V cos(~V , r ),

~V = V[cos(~V , r ) r + cos(~V , θ ) θ + cos(~V , ϕ ) ϕ

].


Iz relacija (2.65) - (2.67) lako se moze doci do izraza za vektorske umnoske baznih vektora

r × r = 0, r × θ = ϕ , r × ϕ = −θθ × r = −ϕ , θ × θ = 0, θ × ϕ = r (2.69)

ϕ × r = θ , ϕ × θ = −r , ϕ × ϕ = 0


~V × ~U = (Vr r + Vθ θ + Vϕ ϕ ) × (Ur r + Uθ θ + Uϕ ϕ )

= Vr Ur r × r + Vr Uθ r × θ + Vr Uϕ r × ϕ

+ Vθ Ur θ × r + Vθ Uθ θ × θ + Vθ Uϕ θ × ϕ

+ Vϕ Ur ϕ × r + Vϕ Uθ ϕ × θ + Vϕ Uϕ ϕ × ϕ

= r (Vθ Uϕ − Vϕ Uθ) + θ (Vϕ Ur − Vr Uϕ) + ϕ (Vr Uθ − Vθ Ur).

Primjetimo ciklicnost u definiciji komponenata vektorskog umnoska: r → θ → ϕ → r →θ → · · · . Vektorski umnozak se moze pregledno napisati i preko determinante (u pomalonekorektnom obliku, jer nisu svi elementi determinate skalari)

~V × ~U =

r θ ϕ

Vr Vθ Vϕ

Ur Uθ Uϕ

.

S obzirom da bazni vektori zadovoljavaju relacije (2.68) i (2.69), oni cine ortonormiranu desnubazu trodimenzijskog prostora.Usporedbom rastava ~V u pravokutnoj i sfernoj bazi,

~V = Vx x + Vy y + Vz z = Vr r + Vθ θ + Vϕ ϕ ,

i koristenjem relacija (2.65) - (2.67), dolazimo do slijedece veze medu komponentama

VxVyVz

= M T

VrVθVϕ

,

VrVθVϕ

= M

VxVyVz

.

Za razliku od vektora x , y , z koji su istog smjera u svakoj tocki prostora (slika 2.20.A), izrelacija (2.65) - (2.67) se jasno vidi da, kako se mijenja polozaj tocke u prostoru, tako semijenjaju i smjerovi baznih vektora (slika 2.20.B). Izracunajmo promjenu smjera vektora r(iznos mu je jedinicni, pa se on ne moze mijenjati, mijenja se samo smjer). Prema relaciji(2.65) je

dr = x d(sin θ cosϕ) + y d(sin θ sinϕ) + z d(cos θ) (2.70)

= (x cos θ cosϕ+ y cos θ sinϕ− z sin θ)dθ + (−x sin θ sinϕ+ y sin θ cosϕ)dϕ

= θ dθ + ϕ sin θdϕ.


Slika 2.20: Smjerovi baznih vektora pravokutnog (A) i sfernog (B) koordinatnog sustava.

Primjetimo da je promjena dr okomita na sam vektor r , tj. da je dr · r = 0 kao sto i morabiti, jer bi promjena r u smjeru r promjenila normu od r i on vise ne bi bio jedinicni vektor.Na slican nacin se i iz relacije (2.66) dobije

dθ = x d(cos θ cosϕ) + y d(cos θ sinϕ)− z d(sin θ) (2.71)

= (−x sin θ cosϕ− y sin θ sinϕ− z cos θ)dθ + (−x cos θ sinϕ+ y cos θ cosϕ)dϕ

= −r dθ + ϕ cos θdϕ.

I ovdje je dθ okomito na θ . I na kraju, vektor dϕ

dϕ = (−x cosϕ− y sinϕ)dϕ = (− sin θr − cos θθ )dϕ. (2.72)

Opet je

dr · r = dθ · θ = dϕ · ϕ = 0.

Pomocu gornjih diferencijala mozemo izracunati diferencijalni volumen u okolici tocke ~r. Nekase koordinata r promjeni od vrijednosti r na r + dr, koordinata θ od θ na θ + dθ i koordinataϕ od ϕ na ϕ + dϕ. Zbog infinitezimalnog karaktera ovih promjena, dobiveni infinitezimalni

volumen se moze aproksimirati paralelopipedom ciji su vektori stranica ~a ,~b ,~c , upravo jednaki(slika 2.21)

~a = ~r(r + dr, θ, ϕ)− ~r(r, θ, ϕ) =∂ ~r

∂rdr = r dr,

~b = ~r(r, θ + dθ, ϕ)− ~r(r, θ, ϕ) =∂ ~r

∂θdθ = rθ dθ,

~c = ~r(r, θ, ϕ+ dϕ)− ~r(r, θ, ϕ) =∂ ~r

∂ϕdϕ = r sin θϕ dϕ.

Prema (2.7) volumen racunamo pomocu mjesovitog umnoska vektora

dV = ~a · (~b × ~c ) = r dr · (rθ dθ × r sin θϕ dϕ) = r2 sin θdrdθdϕ.


Slika 2.21: Uz diferencijal volumena u sfernom koordinatnom sustavu.

Na slican nacin se moze izracunati i diferencijal sferne plohe r = const. Prema relaciji (2.5)

povrsina paralelograma je dana iznosom vektorskog umnoska vektora stranica |~b × ~c |. U nasemprimjeru je (slika 2.21)

dS =∣∣∣rθ dθ × r sin θϕ dϕ

∣∣∣ = r2 sin θdθdϕ.

Za diferencijal prostornog kuta se obicno korisiti oznaka dΩ ≡ sin θdθdϕ, tako da je puniprostorni kut jednak

∫dΩ =

∫ π

0

sin θ dθ

∫ 2π

0

dϕ = 4π.

Izracunajmo jos i udaljenost ds dvije bliske tocke: (r, θ, ϕ) i (r + dr, θ + dθ, ϕ + dϕ). Kao ikod cilindricnog koordinatnog sustava i ovdje krecemo od pravokutnog koordinatnog sustavai Pitagorinog poucka: koordinate tocaka bi bile (x, y, z) i (x + dx, y + dy, z + dz), a kvadratudaljenosti

ds2 = dx2 + dy2 + dz2.

Koristeci veze (2.64) izmedu pravokutnog i sfernog sustava, lako se dobiva

(ds)2 = (dr)2 + r2 (dθ)2 + r2 sin θ2 (dϕ)2.

Sferni koordinatni sustav se moze i poopciti s tri dimenzije na proizvoljan broj dimenzija D.Neka su, umjesto s x, y, z, pravokutne koordinate oznacene s

x1, x2, · · · , xD,

2.7. KOVARIJANTNE I KONTRAVARIJANTNE KOMPONENTE VEKTORA 55

a

R, θ1, θ2, · · · , θD−1

neka su sferne koordinate u D-dimenzijskom prostoru. Veza medu njima je dana relacijama

x1 = R cos θ1,

x2 = R sin θ1 cos θ2,

x3 = R sin θ1 sin θ2 cos θ3,...

xD−1 = R sin θ1 sin θ2 · · · sin θD−2 cos θD−1,

xD = R sin θ1 sin θ2 · · · sin θD−2 sin θD−1.

Odgovarajuci integrali se racunaju kao∫

dD x =

∫dΩD

∫ ∞

0

RD−1 dR =

∫dΩD−1

(sin θD−1

)D−2

d θD−1

∫ ∞

0

RD−1 dR,

∫dΩD =

∫ 2π

0

d θ1

∫ π

0

sin θ2 d θ2 · · ·∫ π

0

(sin θD−1

)D−2

d θD−1 =2 πD/2

Γ(D/2).

2.7 Kovarijantne i kontravarijantne komponente vektora

Naka su u trodimenzijskom prostoru zadana tri nekomplanarna vektora

~e 1, ~e 2, ~e 3.

Ovi vektori ne moraju biti medusobno okomiti i ne moraju biti jedinicne duljine. Pomocu ovihvektora se moze proizvoljni vektor ~V napisati u obliku njihove linearne kombinacije

~V = V 1 ~e 1 + V 2 ~e 2 + V 3 ~e 3

(primjetimo da sada V 2 ne znaci V · V , nego je to samo oznaka za drugu komponetu vektora).Pomocu vektora ~e j definiramo novi skup vektora

~e 1, ~e 2, ~e 3,

tako da vektor ~e i bude okomit na ravninu u kojoj leze vektori ~e j i ~e k (gdje i, j, k oznacavajuciklicni redoslijed . . . , 2, 3, 1, 2, 3, . . .)

~e i = const. ~e j × ~e k.U tom slucaju za skalarne umnoske vrijedi

~e i · ~e i = const. (~e j × ~e k) · ~e i = const. V~e i · ~e j = const. (~e j × ~e k) · ~e j = 0 i 6= j

gdje je volumen V = (~e j×~e k)·~e i, a nula u drugoj jednadzbi dolazi od okomitosti (~e j×~e k) ⊥ ~e j.Odaberemo li konstantu u gornjim izrazima tako da bude const. = V −1, moze se jednostavnonapisati

~e i =1

V ~e j × ~e k, ~e i · ~e j = δi,j.


Izracunajmo volumen V paralelopipeda cije su stranice vektori ~e i, npr.

V = ~e 1 · (~e 2 × ~e 3) =1

V (~e 2 × ~e 3) ·[

1

V (~e 3 × ~e 1)× 1

V (~e 1 × ~e 2)

].

Primjenom relacije (2.8), dobiva se

V =1

V 3(~e 2 × ~e 3) · [(~e 3 × ~e 1) · ~e 2] · ~e 1 − [(~e 3 × ~e 1) · ~e 1] · ~e 2 (2.73)

=1

V 3(~e 2 × ~e 3) · V ~e 1 − 0 =

1

V 2(~e 2 × ~e 3) · ~e 1 =

1

V .

Vektori ~e i su takoder nekomplanarni, pa se proizvoljni vektor ~V moze napisati i u obliku

~V = V1 ~e1 + V2 ~e

2 + V3 ~e3.

Izrazimo i vektore ~e i preko vektora ~e i, tako sto cemo (ponovo koristeci (2.8)) izracunati npr.

~e 2 × ~e 3 =1

V (~e 3 × ~e 1)× 1

V (~e 1 × ~e 2)

=1

V 2[(~e 3 × ~e 1) · ~e 2] · ~e 1 − [(~e 3 × ~e 1) · ~e 1] · ~e 2 =

1

V ~e 1

⇒ ~e 1 = V ~e 2 × ~e 3

ili, opcenito

~e i = V ~e j × ~e k.Sada je lako vidjeti da je

~e i · ~e i = V (~e j × ~e k) · ~e i = V V = 1

~e i · ~e j = V (~e j × ~e k) · ~e j = 0, i 6= j

ili, krace

~e i · ~e j = δi,j.

Sada i skalarni umnozak vektora ~V i ~U mozemo napisati kao

~V · ~U =

(3∑i=1

Vi ~ei

)·(

3∑j=1

U j ~e j

)=

3∑i=1

3∑j=1

Vi Uj ~e i · ~e j =

3∑i=1

3∑j=1

Vi Uj δi,j =

3∑j=1

Vj Uj,

=

(3∑i=1

V i ~e i

)·(

3∑j=1

Uj ~ej

)=

3∑i=1

3∑j=1

V i Uj ~e i · ~e j =3∑i=1

3∑j=1

V i Uj δi,j =3∑j=1

V j Uj.

Skupove vektora (~e 1, ~e 2, ~e 3) i (~e 1, ~e 2, ~e 3) nazivamo medusobno reciprocnim. U odnosu na skupvektora (~e 1, ~e 2, ~e 3), komponente V i se nazivaju kontravarijantne, a Vi kovarijantne

komponente vektora ~V . U tri dimenzije vektori ~e i i ~e i se koriste u kristalografiji za opiskristalne resetke i njoj reciprocne (inverzne) resetke, a poopcenje na cetverodimenzijski prostorse primjenjuje u teoriji relativnosti.U posebnom slucaju kada su ~e i medusobno okomiti i jedinicnog iznosa, tada je i

~e i · ~e j = δi,j,

~e i = ~e i,

Vi = V i.

2.7. KOVARIJANTNE I KONTRAVARIJANTNE KOMPONENTE VEKTORA 57

Oznacimo skalarne umnoske vektora ~e i i ~e i na slijedeci nacin:

~e i · ~e j = gi,j, ~e i · ~e j = gi,j.

Uskoro cemo, relacijama (2.78) i (2.79), pokazati da velicine gi,j i gi,j odreduju udaljenosttocaka u prostoru i to je razlog zasto se nazivaju elementima metrickog tenzora Zbogkomutativnosti skalarnog umnoska je gi,j = gj,i i gi,j = gj,i, tj. metricki je tenzor simetrican.Tada je

~e i · ~V = ~e i · (V 1 ~e 1 + V 2 ~e 2 + V 3 ~e 3) = V i

V i = ~e i · ~V = ~e i3∑j=1

Vj ~ej

V i =3∑j=1

Vj gj,i. (2.74)

I slicno

~e i · ~V = ~e i · (V1 ~e1 + V2 ~e

2 + V3 ~e3) = Vi

Vi = ~e i · ~V = ~e i

3∑j=1

V j ~e j

Vi =3∑j=1

V j gj,i. (2.75)

Iz relacija (2.74) i (2.75) se vidi da gi,j i gi,j nisu medusobno nezavisni

Vj =3∑i=1

V i gi,j =3∑i=1

(3∑

k=1

Vk gk,i

)gi,j = Vj

3∑i=1

gj,i gi,j +3∑

k=1k 6=j

Vk

(3∑i=1

gk,i gi,j

).

Iz gornje jednakosti zakljucujemo da je

3∑i=1

gk,i gi,j = δk,j. (2.76)

Na slican nacin dolazimo i do simetricne relacije

V j =3∑i=1

Vi gi,j =

3∑i=1

(3∑

k=1

V k gk,i

)gi,j = V j

3∑i=1

gj,i gi,j +

3∑k=1k 6=j

V k

(3∑i=1

gk,i gi,j

).

3∑i=1

gk,i gi,j = δk,j. (2.77)

Jednadzbe (2.76) i (2.77) mozemo preglednije napisati u matricnom obliku

g1 1 g1 2 g1 3

g2 1 g2 2 g2 3

g3 1 g3 2 g3 3

·

g1 1 g1 2 g1 3

g2 1 g2 2 g2 3

g3 1 g3 2 g3 3

=

1 0 0

0 1 0

0 0 1

=

g1 1 g1 2 g1 3

g2 1 g2 2 g2 3

g3 1 g3 2 g3 3

·

g1 1 g1 2 g1 3

g2 1 g2 2 g2 3

g3 1 g3 2 g3 3

,


tj. matrice [ gi,j ] i [ gi,j ] su jedna drugoj inverzne. Gornje relacije sadrze veze medu kovarijant-nim i kontravarijantnim komponentama metrickog tenzora. Tako je npr.

g1 1 =g2 2 g3 3 − g3 2 g2 3

g,

g1 2 = − g2 1 g3 3 − g2 3 g3 1

g,

g1 3 = · · · itd. · · · ,gdje je s g oznacena determinanta metrickog tenzora

g =

g1 1 g1 2 g1 3

g2 1 g2 2 g2 3

g3 1 g3 2 g3 3

.

Neka vekor ~V oznacava vektor koji spaja ishodiste koordinatnog sustava s tockom V . Kvadratudaljenosti tocke od ishodista, ~V · ~V , se naziva metricka forma. Ona se moze izraziti prekokontravarijantnih

~V · ~V = (V 1 ~e 1 + V 2 ~e 2 + V 3 ~e 3) · (V 1 ~e 1 + V 2 ~e 2 + V 3 ~e 3) (2.78)

= (V 1)2 g1 1 + (V 2)2 g2 2 + (V 3)2 g3 3 + 2V 1 V 2 g1 2 + 2V 1 V 3 g1 3 + 2V 2 V 3 g2 3

i preko kovarijantnih komponenata

~V · ~V = (V1 ~e1 + V2 ~e

2 + V3 ~e3) · (V1 ~e

1 + V2 ~e2 + V3 ~e

3) (2.79)

= (V1)2 g1 1 + (V2)

2 g2 2 + (V3)2 g3 3 + 2V1 V2 g

1 2 + 2V1 V3 g1 3 + 2V2 V3 g

2 3

vektora ~V (pri cemu smo uzeli u obzir da je metricki tenzor simetrican) .I skalarni umnozak dva vektora se moze izraziti preko komponenata metrickog tenzora:

~V · ~U =3∑i=1

Vi ~ei

3∑j=1

Uj ~ej =

3∑i=1

3∑j=1

Vi Uj ~ei ~e j =

3∑i=1

3∑j=1

Vi Uj gi j

= g1 1 V1 U1 + g2 2 V2 U2 + g3 3 V3 U3

+ g1 2 (V1 U2 + V2 U1) + g1 3 (V1 U3 + V3 U1) + g2 3 (V2 U3 + V3 U2),

~V · ~U =3∑i=1

V i ~e i

3∑j=1

U j ~e j =3∑i=1

3∑j=1

V i U j ~e i ~e j =3∑i=1

3∑j=1

V i U j gi j

= g1 1 V1 U1 + g2 2 V

2 U2 + g3 3 V3 U3

+ g1 2 (V 1 U2 + V 2 U1) + g1 3 (V 1 U3 + V 3 U1) + g2 3 (V 2 U3 + V 3 U2).

2.8 Ortogonalna transformacija (preobrazba)

U nastavku cemo se ograniciti na ortonormirane koordinatne sustave, pa necemo praviti razlikuizmedu ko- i kontravarijantnih vektora.

2.8. ORTOGONALNA TRANSFORMACIJA (PREOBRAZBA) 59

Slika 2.22: Uz ilustraciju ortogonalne transformacije.

Promatrajmo dva pravokutna koordinatna sustava (O, x, y, z) i (O, x ′, y ′, z ′) sa istim ishodistemO, ali razlicitim smjerovima koordinatnih osi, kao na slici 2.22. Za zadani proizvoljni vektor~V (npr. ~V moze biti radij vektor ~r, vektor brzine ~v, sile ~F ili bilo koji drugi vektor), glavni

zadatak u ovom odjeljku je naci vezu medu komponentama vektora ~V u sustavu (O, x ′, y ′, z ′)i sustavu (O, x, y, z).

Oznacimo s mj kosinuse kutova koje vektor x ′ zatvara redom s vektorima x , y i z . U skladus definicijom skalarnog umnoska (2.2), mozemo pisati

cos(x ′ , x ) = x · x ′ ≡ m1,

cos(x ′ , y ) = y · x ′ ≡ m2,

cos(x ′ , z ) = z · x ′ ≡ m3.

Svaki vektor, pa tako i x ′ , se moze napisati kao linearna kombinacija vektora baze (O, x, y, z),tako da je

x ′ = (x · x ′ ) x + (y · x ′ ) y + (z · x ′ ) z = m1 x +m2 y +m3 z . (2.80)

Neka su nj kosinusi kutova koje vektor y ′ zatvara s vektorima x , y i z , a lj neka su kosinusikutova koje vektor z ′ zatvara s vektorima x , y i z . Ako se sustav (O, x ′, y ′, z ′) vrti u odnosuna sustav (O, x, y, z), svi su ovi kosinusi smjerova funkcije vremena. Slicnim postupkom kaogore, dolazi se do

y ′ = n1 x + n2 y + n3 z , (2.81)

z ′ = l1 x + l2 y + l3 z .

Ovih devet kosinusa smjerova, mj, nj i lj, u cjelosti odreduju orjentaciju koordinatnog sustava(O, x ′, y ′, z ′) prema (O, x, y, z). No, buduci da i vektori x ′ , y ′ i z ′ takoder cine bazu, to se


svaki vektor, pa tako i x , y i z , mogu prikazati kao njihova linearna kombinacija

x = (x · x ′ ) x ′ + (x · y ′ ) y ′ + (x · z ′ ) z ′ = m1 x′ + n1 y

′ + l1 z′ ,

y = (y · x ′ ) x ′ + (y · y ′ ) y ′ + (y · z ′ ) z ′ = m2 x′ + n2 y

′ + l2 z′ , (2.82)

z = (z · x ′ ) x ′ + (z · y ′ ) y ′ + (z · z ′ ) z ′ = m3 x′ + n3 y

′ + l3 z′ .

Promotrimo sada opci vektor ~V i raspisimo ga po komponentama u oba sustava

~V = Vx x + Vy y + Vz z = V ′x x

′ + V ′y y

′ + V ′z z

′ .

Pomnozi li se gornja relacija najprije skalarno s x ′ , a zatim i sa y ′ i z ′ , dobiju se slijedecerelacije

V ′x = m1 Vx +m2 Vy +m3 Vz,

V ′y = n1 Vx + n2 Vy + n3 Vz, (2.83)

V ′z = l1 Vx + l2 Vy + l3 Vz,

Ovo je veza medu komponentama proizvoljnog vektora u obje baze.

Pokazimo sada ovih devet kosinusa smjerova, mj, nj i lj, nisu svi medusobno nezavisni. Nisunezavisni zato jer bazni vektori moraju zadovoljavati sest relacija ortonormiranosti

x · x = y · y = z · z = 1, x · y = x · z = y · z = 0 (2.84)

i slicno za x ′ , y ′ i z ′ (ali to vodi na iste uvjete). Ako devet velicina zadovoljava sest jednadzba,onda to znaci da su samo tri medu njima medusobno neovisni, a ostalih sest se moze izracuantiiz ova tri i sest jednadzba uvjeta (2.84). Raspisimo ove uvjete

x · x = 1 = (m1 x′ + n1 y

′ + l1 z′ ) · (m1 x

′ + n1 y′ + l1 z

′ ) = m21 + n2

1 + l21,

y · y = 1 = (m2 x′ + n2 y

′ + l2 z′ ) · (m2 x

′ + n2 y′ + l2 z

′ ) = m22 + n2

2 + l22,

z · z = 1 = (m3 x′ + n3 y

′ + l3 z′ ) · (m3 x

′ + n3 y′ + l3 z

′ ) = m23 + n2

3 + l23.

Tri gornje relacije mogu se sazeti u

m2j + n2

j + l2j = 1, j = 1, 2, 3. (2.85)

Nadalje je

x · y = 0 = (m1 x′ + n1 y

′ + l1 z′ ) · (m2 x

′ + n2 y′ + l2 z

′ ) = m1m2 + n1 n2 + l1 l2,

x · z = 0 = (m1 x′ + n1 y

′ + l1 z′ ) · (m3 x

′ + n3 y′ + l3 z

′ ) = m1m3 + n1 n3 + l1 l3,

y · z = 0 = (m2 x′ + n2 y

′ + l2 z′ ) · (m3 x

′ + n3 y′ + l3 z

′ ) = m2m3 + n2 n3 + l2 l3.

Ove se tri relacije mogu sazeti u

mimj + ni nj + li lj = 0, i 6= j. (2.86)

Obje relacije (2.85) i (2.86) mogu se sazeti u

mimj + ni nj + li lj = δi,j, i, j = 1, 2, 3. (2.87)

Radi jednostavnijeg oznacavanja u izvodima koji slijede, prijedimo na slijedece oznake

x → 1, y → 2, z → 3.

2.8. ORTOGONALNA TRANSFORMACIJA (PREOBRAZBA) 61

Tako npr Vx, Vy i Vz postaju V1, V2 i V3, a relacija (2.83) postaje

V ′1 = m1 V1 +m2 V2 +m3 V3,

V ′2 = n1 V1 + n2 V2 + n3 V3, (2.88)

V ′3 = l1 V1 + l2 V2 + l3 V3.

Gornje su relacije poseban slucaj opce (ne i najopcenitije, jer nema konstantnog aditivnogclana) linearne transformacije oblika

V ′1 = a1 1 V1 + a1 2 V2 + a1 3 V3,

V ′2 = a2 1 V1 + a2 2 V2 + a2 3 V3, (2.89)

V ′3 = a3 1 V1 + a3 2 V2 + a3 3 V3.

Kada kazemo opca linearna transformacija, time mislimo reci da su koeficijenti ai j medusobnonezavisni, dok su koeficijenti iz transformacije (2.88) medusobno povezani relacijama (2.87).Gornje tri relacije mozemo sazeto napisati kao

V ′i =

3∑j=1

ai j Vj, i, j = 1, 2, 3, (2.90)

ili u matricnom obliku

~V ′ = A ~V ⇔

V ′1

V ′2

V ′3

=

a1 1 a1 2 a1 3

a2 1 a2 2 a2 3

a3 1 a3 2 a3 3

V1

V2

V3

. (2.91)

Ako na gornju transformaciju, tj. na (2.89), nametnemo zahtjev da ne mijenja duljinu vek-tora, tj. da je duljina vektora prije transformacije jednaka duljini vektora poslije transformacije

3∑i=1

V ′i V

′i =

3∑i=1

Vi Vi,

uvrstavanjem (2.90), dolazimo do

3∑i=1

V ′i V

′i =

3∑i=1

Vi Vi,

3∑i=1

3∑j=1

ai j Vj

3∑

k=1

ai k Vk =3∑i=1

Vi Vi,

3∑j=1

3∑

k=1

(3∑i=1

ai j ai k

)Vj Vk =

3∑i=1

Vi Vi

Da bi gornja jednakost bila zadovoljena, ocito mora biti

3∑i=1

ai j ai k = δj k. (2.92)


Gornja se relacija naziva uvjet ortogonalnosti i ekvivalentna je s jednadzbom (2.87), tj.mimj + ni nj + li lj = δi,j. Tako je npr.

j = 1, k = 1 :3∑i=1

ai 1 ai 1 = 1,

a1 1 a1 1 + a2 1 a2 1 + a3 1 a3 1 = 1,

m21 + n2

1 + l21 = 1.

j = 1, k = 2 :3∑i=1

ai 1 ai 2 = 0,

a1 1 a1 2 + a2 1 a2 2 + a3 1 a3 2 = 0,

m1 m2 + n1 n2 + l1 l2 = 0.

Svaka linearna transformacija (2.89) sa svojstvom (2.92) se zove ortogonalna transfor-macija. Matrica A

A =

a1 1 a1 2 a1 3

a2 1 a2 2 a2 3

a3 1 a3 2 a3 3

.

se zove ortogonalna matrica.Primjetimo da se relacija ~V ′ = A ~V moze shvatiti na dva nacina:- koordinatni sustav se zakrece od (O, x, y, z) prema (O, x ′, y ′, z ′), dok se sam vektor ~V

ne mijenja; relacija ~V ′ = A ~V daje vezu medu komponentama istog vektora, ali promatranogiz dva razlicita sustava - zakrenutog i nezakrenutog; ovakva se transformacija naziva pasivnavrtnja i to je smisao koji cemo koristiti u ovom odjeljku.- druga je mogucnost da promatramo zakret vektora ~V u fiksnom koordinatnom sustavu;tada ~V oznacava vektor prije, a ~V ′ vektor poslije zakreta; u tom slucaju se govori o aktivnojvrtnji.

Primjer: 2.15 Pogledajmo jednostavan primjer u dvije dimenzije (slika 2.23). Matrica A jeoblika

A =

a1 1 a1 2

a2 1 a2 2

.

Treba postaviti i rijesiti relacije ortogonalnosti.

R: U ovom primjeru postoje tri relacije ortogonalnosti (2.92)

a21 1 + a2

2 1 = 1,

a21 2 + a2

2 2 = 1, (2.93)

a1 1 a1 2 + a2 1 a2 2 = 0.

2.9. SVOJSTVA TRANSFORMACIJSKE MATRICE A 63

Slika 2.23: Ortogonalna transformacija u dvije dimenzije.

Dakle, od cetiri elementa ai j, samo je 4 − 3 = 1 element nezavisan, a svi ostali semogu izraziti preko njega. I zaista, elementarnom trigonometrijom sa slike 2.23 sezakljucuje da je

x ′ = cosϕ x + sinϕ y ,

y ′ = − sinϕ x + cosϕ y ,

odakle zatim procitamo koeficijente ai j

a1 1 = cosϕ, a1 2 = sinϕ,

a2 1 = − sin ϕ, a2 2 = cosϕ.

Jednadzbe uvjeta (2.93) su ocito zadovoljene

cos2 ϕ+ (− sin ϕ)2 = 1,

sin2 ϕ+ cos2 ϕ = 1,

cosϕ sinϕ+ (− sin ϕ) cosϕ = 0.

2.9 Svojstva transformacijske matrice A

• Promatrajmo dvije uzastopne ortogonalne tansformacije opisane matricama A i B

~V → ~V ′ : V ′k =

3∑j=1

bk j Vj,

~V ′ → ~V ′ ′ : V ′ ′i =

3∑

k=1

ai k V′k .


Uvrstavanjem prve u drugu od gornjih relacija, dobiva se

V ′ ′i =

3∑

k=1

ai k

3∑j=1

bk j Vj

=3∑j=1

(3∑

k=1

ai k bk j

)Vj

=3∑j=1

ci j Vj,

Gdje smo oznacili

ci j =3∑

k=1

ai k bk j ⇔ C = A B. (2.94)

Pokazimo da je i C ortogonalna transformacija. To je ujedno i osnovno svojstvo grupe: rezultatmnozenja (ili neke druge binarne operacije) dva elementa grupe daje neki treci element grupe.Ako je C ortogonalna transformacija, tada za nju mora vrijediti (2.92)

3∑i=1

ci j ci k = δj k.

Da bi se to pokazalo, treba naprosto iz (2.94) izraziti c-ove preko a-ova i b-ova, a zatim koristiticinjenicu (2.92) da A i B jesu ortogonalne transformacije

3∑i=1

ci j ci k =3∑i=1

(3∑

l=1

ai l bl j

) (3∑p=1

ai p bp k

)

=3∑

l=1

3∑p=1

(3∑i=1

ai l ai p

)

︸︷︷︸= δl p

bl j bp k =3∑

l=1

3∑p=1

δl pbl j bp k =3∑

l=1

bl j bl k

= δj k.

• Ortogonalna transformacija opcenito nije komutativna

A B 6= B A,

• ali jeste asocijativna

(A B) C = A (B C),

dokaz cega prepustamo citatelju.• Zbrajanje

C = A + B ⇒ ci j = ai j + bi j.

• Inverznu transformaciju od A cemo oznacavati s A−1, pri cemu je

~V ′ = A ~V ⇔ V ′k =

3∑i=1

ak i Vi, (2.95)

~V = A−1 ~V ′ ⇔ Vi =3∑j=1

a′i j V′j ,


gdje smo s a′i j oznacili matricne elemente inverzne transformacije. Uvrstavanjem gornje dvijerelacije jedne u drugu, dobivamo

V ′k =

3∑i=1

ak i

3∑j=1

a′i j V′j =

3∑j=1

(3∑i=1

ak i a′i j

)V ′j .

Da bi gornja jednakost mogla vrijediti, mora biti izraz u zagradi jednak δj k

3∑i=1

ak i a′i j = δj k, (2.96)

ili matricno

A A−1 = 1,

gdje je 1 jedinicna 3× 3 matrica

1 =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

koja predstavlja identicnu transformaciju

~V = 1 · ~V , A · 1 = 1 · A = A.

Koristeci (2.95) mozemo doci do slijedece veze

Vi =3∑j=1

a′i j V′j =

3∑j=1

a′i j

3∑

k=1

aj k Vk =3∑

k=1

(3∑j=1

a′i j aj k

)Vk.

Usporedbom lijeve i desne strane gornje relacije, zakljucujemo da okrugla zagrada mora bitijednaka δi k

3∑j=1

a′i j aj k = δi k, (2.97)

ili matricno

A−1 A = 1.

Iz (2.96) i (2.97) vidimo da vrijedi A A−1 = A−1 A = 1. Da bismo izracunali matricneelemente inverzne matrice, promotrimo slijedeci dvostruki zbroj

3∑

k=1

3∑i=1

ak l ak i a′i j. (2.98)

Primjetimo da je, prema (2.92)∑3

k=1 ak l ak i = δi l, pa je gornji zbroj jednak

3∑i=1

δi l a′i j = a′l j. (2.99)


No, s druge strane iz zbroja (2.98) mozemo izdvojiti i∑3

i=1 ak i a′i j, sto je prema (2.96) jednako

δj k, tako da (2.98) postaje3∑

k=1

ak l δj k = aj l. (2.100)

Relacije (2.99) i (2.100) su samo dva razlicita zapisa istog izraza (2.98), pa moraju biti imedusobno jednake

a′l j = aj l ⇔ (A−1

)l j

= (A)j l . (2.101)

To je trazeni izraz za matricne elemente inverzne matrice: oni se dobiju jednostavnom zamjenomredaka i stupaca u matrici transformacije A. Ova se operacija zove transponiranje, a matricase zove transponirana matrica s oznakom AT

(AT

)i j

= (A)j i .

Inverz ortogonalne matrice je transponirana matrica

A−1 = AT , ⇒ A AT = AT A = 1.

Iz samog izvoda vidimo da su gornje relacije ekvivalentne s (2.92). Determinantu matriceA cemo oznacavati s |A|. Buduci da je determinanta umnoska matrica jednaka umnoskudeterminanata pojedinih matrica, to iz gornje relacije slijedi

|AT | · |A| = 1 ⇒ |AT | = 1

|A| .

Pojam transponirane matrice se koristi i kod mnozenja matrice i vektora. Ako je vektor desnood matrice, shvacamo ga kao jednostupcanu matricu i pisemo

A ~V ⇔3∑j=1

ai j Vj. (2.102)

Ako vektor mnozi matricu s lijeve strane, shvacamo ga kao matricu s jednim redom

~V A ⇔3∑j=1

Vj aj i,

a ako s lijeva mnozi transponiranu matricu

~V AT ⇔3∑j=1

Vj (aT )j i =3∑j=1

Vj ai j. (2.103)

Usporedbom (2.102) i (2.103) vidimo da je

~V AT = A ~V .

Ako je kvadratna matrica jednaka svojoj transponiranoj matrici

A = AT ⇒ ai j = (aT )i j = aj i,


onda se ona naziva i simetricna matrica. Determinanta simetricne matrice je +1 ili −1

|AT | · |A| = |A|2 = 1 ⇒ |A| = ± 1.

Ako je

A = −AT ⇒ ai j = −(aT )i j = −aj i,onda se A nasiva antisimetricna matrica. Ocito su dijagonalni elementi antisimetricne matri-ce jednaki nuli. Slicnim razmatranjem kao gore, zakljucuje se da je determinanta antisimetricnematrice |A| = ± ı.Iz gornjeg razmatranja se vidi da se svakoj kvadratnoj matrici A mogu pridruziti simetricna iantisimetricna matrica

As =1

2(A + AT ), Aas =

1

2(A−AT ),

tako da vrijedi

A = As + Aas, AT = As −Aas.

U vezi s pojmom ortogonalnosti je i pojam unitarnosti. Ukoliko su elementi matrice kom-pleksni, tada se

A† = (AT )∗

naziva hermitski adjungirana matrica matrice A (zvjezdica oznacava kompleksno konjugi-ranje). Unitarnom nazivamo matricu za koju je

A† A = A A† = 1.

Svaka realna ortogonalna matrica je ujedno i unitarna. Matrica koja je jednaka svojoj hermitskiadjungiranoj matrici, A† = A, zove se hermitska matrica.

Relacijom (2.90), tj. (2.91) smo vidjeli kako se transformira vektor uslijed linearne transforma-cije koordinata. Sada se mozemo zapitati kako se transformira operator uslijed te iste linearnetransformacije koordinata?Neka je O proizvoljni linearni operator koji djeluje na vektor ~V 1 i kao rezultat daje vektor ~V 2

~V 2 = O ~V 1. (2.104)

Neka je A matrica linearne transformacije koordinatnih sustava. Tada je ~V 2 u novom koordi-natnom sustavu dan sa ~V ′

2 = A ~V 2. Isto vrijedi i za vektor ~V 1, tj. ~V ′1 = A ~V 1

A ~V 2 = A O ~V 1 = A O A−1 A ~V 1

~V ′2 = (A O A−1) ~V ′

1.

No, gornja relacija nije nista drugo nego (2.104) napisana u transformiranom koordinatnomsustavu. Iz toga zakljucujemo da se operator O transformira iz starog u novi koordinatnisustav relacijom

O′ = A O A−1, (2.105)


ili, po komponentama

o′i j =3∑

k=1

3∑

l=1

ai k ok l (a−1)l j =3∑

k=1

3∑

l=1

ai k aj l ok l. (2.106)

Transformacijee gornjeg oblika se zovu transformacije slicnosti.Lako je dvidjeti da transformacija slicnosti ne mijenja vrijednost determinante operatora

O′ = A O A−1 / ·AO′ A = A O

|O′| |A| = |A| |O||O′| = |O|.

2.10 Tenzori

U D-dimenzijskom prostoru, tenzorom n-tog reda cemo nazivati velicinu sastavljenu od Dn

komponenata,

Ti1 i2 ··· in , ip = 1, 2, · · · , D,koja se u donosu na ortogonalnu transformaciju koordinatnog sustava (opisanu matricom A)transformira kao

T ′i1 i2 ··· in =D∑

j1=1

D∑j2=1

· · ·D∑

jn=1

ai1 j1 ai2 j2 · · · ain jn Tj1 j2 ··· jn .

Povezimo gornju definiciju s nekima od velicina koje smo vec upoznali:• Prema gornjoj definiciji, tenzor nultog reda ima samo jednu komponentu, koja je samim timei invarijantna na ortogonalnu transformaciju. Buduci da su skalari invarijantni na ortogonalnetransformacije, to tenzor nultog reda nazivamo i skalarom.• Ogranicimo li se na D = 3-dimenzijski prostor, tenzor prvog reda se transformira kao

T ′i =3∑j=1

ai j Tj,

sto prepoznajemo kao transformaciju vektora (2.90), tj. tenzori prvog reda su vektori.• Tenzor drugog reda u D = 3-dimenzijskom prostoru se transformira kao

T ′i1 i2 =3∑

j1=1

3∑j2=1

ai1 j1 ai2 j2 Tj1 j2 .

Gornju relaciju prepoznajemo kao operaciju slicnosti (2.105) tj. (2.106). Dakle u odnosu naortogonalne transformacije, tenzori drugog reda su isto sto i kvadratne matrice.

Poglavlje 3

Kinematika

Kinematika je dio fizike koji se bavi opisom gibanja, ne ulazeci u objasnjavanje toga sto jeuzrok gibanja. Sama rijec kinematika, potjece od grcke rijeci kinema, sto znaci gibanje.Osnovni pojam kinematike jest pojam brzine. Brzina je velicina zadana omjerom prijedenogputa i proteklog vremena. Prijedeni put je vektor, a proteklo vrijeme je skalar, pa je zato njihovomjer, brzina, vektorska velicina. Prema tome, brzina ima svoj iznos i smjer, a zbrajanje brzinaje komutativno. Smjer brzine odreduje kojim ce prostornim tockama proci cestica u svojemgibanju. Skup tih tocaka se naziva putanja ili trajektorija. Ako je taj smjer stalno isti tokomvremena, cestica se giba po pravcu, a gibanje se naziva pravocrtno. Sva ostala gibanja(kod kojih se smjer brzine mijenja u vremenu) se nazivaju krivocrtna gibanja. Posebnioblik krivocrtnog gibanja je kruzno gibanje, kod kojega putanja cestice opisuje kruznicu. Akoje iznos brzine nepromjenjiv u vremenu, gibanje se naziva jednoliko. Ako se iznos brzinemijenja u vremenu, gibanje se zove nejednoliko (naziva se ubrzano ako se brzina povecava,a usporeno ako se brzina smanjuje). Velicina koja opisuje vremenske promjene brzine, zovese ubrzanje (ili akceleracija) i definirana je kao omjer promjene brzine i proteklog vremena.Prema ovoj definiciji i ubrzanje je vektor. Deceleracijom (usporavanjem) se naziva smanjenjeiznosa brzine tijekom vremena.

3.1 Brzina i ubrzanje

Promatrajmo cesticu koja se giba po krivulji C (slika 3.1). Neka se u trenutku t cestica nalazi upocetnoj tocki P ciji polozaj odreduje radij vektor ~r(t). U nesto kasnijem trenutku t+∆ t, nekase cestica nalazi u konacnoj tocki K opisanoj radij vektorom ~r(t + ∆ t) = ~r + ∆~r. Srednjombrzinom ~v cestice na putu ∆~r se naziva omjer

~v =∆~r

∆ t.

Omjer vektora i skalara je vektor, pa je srednja brzina vektorska velicina. Po svojoj dimenziji,srednja brzina je omjer duljine i vremena

[~v]

=[∆~r]

[∆ t]=l

t,

pa se, u SI sustavu, mjeri u jedinicama ms−1. Po svojem geometrijskom znacenju, srednja jebrzina sekanta krivulje C, tj. putanje cestice (slika 3.1). Unutar vremenskog intervala ∆ t,brzina se moze mijenjati (i po iznosu i po smjeru), pa ako zelimo doznati pravu (trenutnu)

69

70 POGLAVLJE 3. KINEMATIKA

Slika 3.1: Uz definiciju brzine.

brzinu, ~v, cestice u promatranoj tocki, u definiciji srednje brzine treba izvesti granicni prijelaz∆ t→ 0, koji tada prepoznajemo kao definiciju derivacije 1

~v = lim∆ t→0

~r(t+ ∆ t)− ~r(t)∆ t

= lim∆ t→0

∆~r

∆ t=d~r

dt= ~r, (3.1)

ili, po komponentama pravokutnog koordinatnog sustava

~v =d~r

dt= x

dx

dt+ y

dy

dt+ z

dz

dt= x x + y y + z z .

Geometrijski, pri granicnom prijelazu ∆ t → 0 ce i sekanta sa slike 3.1, prijeci u tangentu naputanju u promatranoj tocki, tj. prava brzina ima smjer tangente na putanju. PremaPitagorinom poucku, iznos brzine

v = |~v| =∣∣∣∣d~r

dt

∣∣∣∣ =

√(dx

dt

)2

+

(dy

dt

)2

+

(dz

dt

)2

=1

dt

√(dx)2 + (dy)2 + (dz)2 =

ds

dt

je jednak omjeru infinitezimalne duljine luka krivulje ds =√

(dx)2 + (dy)2 + (dz)2 i vremenskogintervala dt. Svaki se vektor, pa tako i vektor brzine, moze prikazati kao umnozak iznosa v, ijedinicnog vektora smjera v,

~v = v v.

Opcenito, svaka promjena neke velicine s vremenom se moze shvatiti kao brzina. Tako se npr.upravo uvedena brzina moze nazvati i brzinom promjene polozaja radij vektora Moguce jedefinirati i neke druge brzine:

1Newton je uveo skraceno oznacavanje vremenske derivacije neke velicine tockicom iznad te velicine. Tako se npr. za brzinumoze skraceno napisati ~r.

3.1. BRZINA I UBRZANJE 71

♣ Promatrajmo povrsinu plohe, S, koju opisuje radij vektor cestice u gibanju. Plosnom brzi-nom, vpl, nazivamo slijedeci diferencijalni omjer

vpl =dS

dt,

gdje je dS povrsina plohe koju je u vremenu dt opisao radij vektor.♣ Brzinu kojom neka sila obavlja rad, W , nazivamo snagom, P

P =dW

dt,

gdje je dW rad koji je u vremenu dt obavila neka sila.♣ Brzinu kojom elektricni naboj Q prolazi kroz zamisljenu ravnu plohu, nazivamo elektricnomstrujom

I =dQ

dt,

gdje je dQ kolicina naboja koja je u vremenu dt prosla kroz plohu.

Brzina u cilindricnom koordinatnom sustavu. U cilindricnom koordinatnom sustavuje ~r(t) = ρ(t) ρ (t) + z(t) z , gdje samo jedinicni vektor z , ne ovisi o vremenu. Stoga je brzinajednaka

~v =d~r

dt=dρ

dtρ + ρ

dρ

dt+dz

dtz .

U odjeljku 2 smo, relacijom (2.63) pokazali da je dρ = ϕ dϕ, sto, uvrsteno u gornji izraz zabrzinu, daje

~v = ρ ρ + ρϕ ϕ + z z . (3.2)

Brzina u sfernom koordinatnom sustavu. U sfernom koordinatnom sustavu je ~r(t) =r(t) r (t), gdje se obje velicine, i iznos r i smjer radij vektora r , mogu mijenjati s vremenom.Stoga je i brzina jednaka

~v =d~r

dt=

d

dt

[r(t) · r (t)

]=dr

dtr + r

dr

dt.

Prvi clan opisuje promjenu iznosa radij vektora uz konstantan smjer, a drugi opisuje promjenusmjera radij vektora uz njegov konstantan iznos. U odjeljku 2 smo, relacijom (2.70) pokazalida je

dr = θ dθ + ϕ sin θdϕ,

sto, uvrsteno u gornji izraz za brzinu, daje

~v = rr + r ˙r = rr + r(θ θ + ϕ sin θϕ ) = rr + rθ θ + r sin θϕ ϕ . (3.3)

Ubrzanje se definira kao promjena brzine u danoj tocki (ili kao brzina kojom se mijenja brzina)

~a = lim∆ t→0

~v(t+ ∆ t)− ~v(t)∆ t

=d~v

dt=d2~r

dt2= ~r. (3.4)


Ubrzanje je omjer vektora d~v i skalara dt, pa je i samo vektor

~a =d~v

dt=

d

dt( v · v ) =

dv

dtv + v

dv

dt.

Po svojoj dimenziji je ubrzanje omjer duljine i kvadrata vremena

[~a ] =[d~v]

[dt]=

l

t2,

i, u SI sustavu mjernih jedinica, mjeri se u ms−2. Po komponentama u pravokutnom koordi-natnom sustavu, ubrzanje je jednako

~a =d2~r

dt2= x x + y y + z z ,

a po svojem iznosu je

a = |~a | =√x 2 + y 2 + z 2.

Ubrzanje u cilindricnom koordinatnom sustavu. U cilindricnom koordinatnom sustavuje brzina dan izrazom (3.2), a ubrzanje dobivamo vremenskom derivacijom brzine

~a =d~v

dt= ρ ρ + ρ ˙ρ + ρ ϕ ϕ + ρϕ ϕ + ρϕ ˙ϕ + z z .

U odjeljku 2 smo, relacijama (2.63) pokazali da je

dρ = ϕ dϕ, dϕ = −ρ dϕ.sto, uvrsteno u gornji izraz za ubrzanje, daje

~a = (ρ − ρϕ 2)ρ + (2ρ ϕ + ρϕ )ϕ + z z . (3.5)

Ubrzanje u sfernom koordinatnom sustavu. U sfernom koordinatnom sustavu je brzinadana izrazom (3.3), a ubrzanje dobivamo vremenskom derivacijm brzine

~a =d~v

dt= rr + r ˙r + rθ θ + rθ θ + rθ

˙θ + r sin θϕ ϕ + r cos θθ ϕ ϕ + r sin θϕ ϕ + r sin θϕ ˙ϕ .

U odjeljku 2 smo, relacijama (2.70),(2.71) i (2.72) pokazali da je

dr = θ dθ + ϕ sin θdϕ, dθ = −r dθ + ϕ cos θdϕ, dϕ = (− sin θr − cos θθ )dϕ.

sto, uvrsteno u gornji izraz za ubrzanje, daje

~a = (r−rθ 2−rϕ 2 sin2 θ)r +(2rθ +rθ −rϕ 2 sin θ cos θ)θ +(2rϕ sin θ+2rθ ϕ cos θ+rϕ sinθ)ϕ .(3.6)

3.2 Trobrid pratilac

Promatrajmo cesticu koja se giba po prostornoj krivulji C. Neka je polozaj cestice u trenutku

t opisan radij vektorom−→OP = ~r(t) koordinatnog sustava (O, x, y, z) (kao na slici 3.2). Pored

3.2. TROBRID PRATILAC 73

Slika 3.2: Uz trobrid pratilac.

nepomicnog koordinatnog sustava (O, x, y, z), ponekad je korisno uvesti jos jedan pravokutnikoordinatni sustav koji se giba zajedno s cesticom (prati ju) i koji se naziva trobrid prati-lac. On je definiran trima, medusobno okomitim, jedinicnim vektorima. To su :

♠ T jedinicni vektor u smjeru tangente na krivulju. Relacijom (3.1) je pokazano da brzina

ima smjer tangente, pa je zato T jednak jedinicnom vektoru brzine v

T =~v

v=d~r / dt

ds / dt=d~r

ds= v, (3.7)

gdje je ds duljina luka krivulje C u okolici tocke P .

♠ Buduci da je derivacija jedinicnog vektora okomita na taj isti jedinicni vektor (relacija (2.10)),

to je N , jedinicni vektor normale, definiran preko derivacije jedinicnog vektora vektoraT kao

N = RdT

ds. (3.8)

Sama derivacija dT /ds ne mora biti i jedinicne duljine, pa se mnozitelj R odabire tako da

N bude jedinicne duljine. Velicina R se naziva polumjer zakrivljenosti krivulje C utocki P (i kod gibanja po kruznici je jednak polumjeru kruznice - odatle potjece i oznaka).Inverz od R se naziva zakrivljenost ili fleksija i oznacava se s

κ =1

R.

♠ Sada, kada su poznata dva jedinicna i medusobno okomita vektora, lako je pomocu njihovogvektorskog umnoska, definirati i treci jedinicni vektor, B , koji ce se zvati vektor binormale,

B = T × N . (3.9)


Prema samoj definiciji vektorskog umnoska, slijedi da je B jedinicnog iznosa i da je okomiti na T i na N .

Ova tri vektora, T , N i B , cine trobrid pratilac cestice.Izrazimo ubrzanje cestice preko ovih vektora

~a =d~v

dt=d(vT )

dt=dv

dtT + v

dT

dt

=dv

dtT + v

(dT

ds

ds

dt

)=dv

dtT + v

(1

RN v

)

=dv

dtT +

v2

RN ≡ aT T + aNN .

Clan aT = dv/dt uz T se naziva tangencijalno, a clan aN = v2/R uz N normalno ubrzanje.Koordinatni sustav trobrida pratioca se giba zajedno s cesticom duz njezine putanje, i stoganije ni staticki ni inercijski.

3.3 Frenet-Serretove formule

Frenet - Serret-ove2 formule, opisuju nacin na koji se mijenjaju vektori T , N i B duz putanjecestice.Pokazimo najprije da jedinicni vektori T , N i B cine desnu bazu trodimenzijskog prostora. Iz(3.9) slijedi

B × T = (T × N )× T ,

no, primjenom vektorskog identiteta (2.8) (~a × ~b )× ~c = ~b (~c~a )−~a (~b~c ) na gornji izraz, dobivase

B × T = N (T T )− T (N T ) = N

zbog okomitosti N i T . Na slican se nacin, pomocu gornje relacije, dobiva i

N × B = (B × T )× B = T (B B )− B (T B ) = T ,

zbog okomitosti T i B . Time je pokazano da vrijedi

T = N × B , N = B × T , B = T × N . (3.10)

Prva od Frenet-Serret-ovih formula je upravo definicija (3.8) vektora N

dT

ds= κN . (3.11)

2Jean Frederic Frenet, 1816 - 1900, i Joseph Alfred Serret, 1819 - 1885, francuski matematicari.

3.4. KRUZNO GIBANJE 75

Za izvod trece Frenet-Serret-ove formule (treca je zato jer opisuje promjenu treceg po redu

vektora , B ), treba krenuti od izraza za B u (3.10)

B = T × N

/d

d s

d B

d s=

d T

d s× N + T × d N

d s= κN × N + T × d N

d s= T × d N

d s.

Kao sto je vec vise puta receno, (npr. relacija (2.10)), derivacija jedinicnog vektora mora biti

okomita na sam vektor i zato d N /d s mora biti neka linearna kombinacija vektora T i B .

Napisimo tu linearnu kombinaciju kao αT + βB . Tada gornji izraz postaje

d B

d s= T × (αT + βB ) = −βN .

Umjesto −β uobicajeno je koristiti oznaku τ = −β koja se naziva i torzija jer se moze pokazatida opisuje torzijska svojstva putanje (zakret oko lokalne osi). Tako smo dosli do trece Frenet-Serret-ove formule

dB

ds= τN . (3.12)

Za izvod druge Frenet-Serret-ove formule, krecemo od izraza za N u (3.10)

N = B × T

/d

d s

d N

d s=

d B

d s× T + B × d T

d s= τN × T + B × κN = τ(−B ) + κ(−T ).

Tako smo dosli i do druge Frenet-Serret-ove formule

dN

ds= −κT − τB . (3.13)

Sve tri zajedno glase

dT

ds= κN ,

dN

ds= −κT − τB ,

dB

ds= τN . (3.14)

3.4 Kruzno gibanje

Kao posebno jednostavan oblik gibanja po krivulji, promotrimo gibanje cestice po kruznici.Krivulja C je sada kruznica polumjera ρ, a zbog homogenosti i izotropnosti prostora, koor-dinatni sustav se uvijek moze postaviti tako da kruznica lezi u ravnini (x, y) sa sredistem uishodistu koordinatnog sustva, kao na slici 3.3. Smjer brzine je smjer tangenete, a to je smjerϕ jedinicnog vektora polarnog koordinatnog sustava, ~v = vϕ . Duljina luka kruznice s i kut ϕsu povezani jednostavnom relacijom

s = ρ ϕ,


Slika 3.3: Uz gibanje po kruznici.

pa se, za konstantni ρ, brzina cestice moze napisati u obliku

~v =ds

dtϕ =

d(ρϕ)

dtϕ = ρω ϕ ,

gdje je uvedena kutna (ili kruzna) brzina, ciji je iznos jednak

ω =dϕ

dt. (3.15)

Slicno se moze dobiti i iznos tangencijalnog ubrzanja

aT =dv

dt= ρ

dω

dt= ρ

d2ϕ

dt2= ρα,

gdje je

α =dω

dt=d2ϕ

dt2

iznos kutnog (ili kruznog) ubrzanje. Izracunajmo i normalnu komponentu ubrzanja. Da bismo

to izveli, potrebno je odrediti jedinicni vektor N i polumjer zakrivljenosti R. Krenimo oddefinicije N uz uvrstavanje T = ϕ

N = RdT

ds= R

dϕ

ds= R

dϕ

dt

dt

ds.

No, iz (2.63) znamo da je dϕ = −ρ dϕ, a dt/ds je naprosto 1/v uz v = ωρ, sto sve zajedno daje

N = R(−)dϕ

dtρ

1

v= −R ω

ωρρ .

Da bi N bio jedinicne duljine, ocito za polumjer zakrivljenosti R treba odabrati R = ρ, iz cegaslijedi

N = −ρ

3.4. KRUZNO GIBANJE 77

i normalna (radijalna) komponenta ubrzanja je aN = v2/ρ = ω2ρ. Za cijelo ubrzanje se dobije

~a =dv

dtϕ − v2

ρρ .


Poglavlje 4

Newtonovi aksiomi gibanja,konzervativnost, rad, energija,momenti

Starogrcki matematicar Euklid1 je u svojem najznacajnijem djelu, Stoicheia (Elementi), izgra-dio cijelu geometriju na nacin koji ce buducim narastajima postati uzor elegancije i strogosti.Najprije je definirao sve pojmove koje ce kasnije koristiti (npr. tocka je ono sto nema ni du-ljinu ni sirinu, pravac je ono sto ima duljinu, ali nema sirinu i slicno), a zatim je postavio pettemeljnih i nedokazivih tvrdnji (postulata ili aksioma) za koje pretpostavlja da vrijede meduvelicinama koje su prethodno definirane. Na temelju (samo) tih pet postulata i logickog za-kljucivanja, Euklid izvodi teoreme o geometriji u ravnini i u prostoru. Ovaj veliki uspjeh dase cijela geometrija svede na samo pet aksioma, posluzio je slijedecih skoro dvije tisuce godinakao uzor za izgradnju i drugih znanstvenih disciplina. Tako je npr. Spinoza 2 napisao svojuEtiku po uzoru na Euklidove elemente: definirao je osnovne eticke pojmove, postulirao vezemedu njima, a zatim je logickim zakljucivanjem izvodio eticke stavove. No, nisu samo filozofipokusali izgraditi svoje sustave po uzoru na Euklida. Izgradnje mehanike na aksiomatskimtemeljima poduhvatio se Isaac Newton3 u svojem glasovitom djelu Principia Mathemati-ca Philosophiae Naturalis koje se pojavilo u Londonu godine 1687. S obzirom da se uNewtonovo vrijeme filozofijom prirode nazivalo ono sto se danas zove teorijskom fizikom, nas-lov bi se mogao prevesti i kao Matematicka nacela teorijske fizike. U toj je knjizi po prvi putauveden diferencijalni racun, objavljen je zakon gravitacije, a najvaznije vezano za ovo poglav-lje je aksiomatski temelj onoga sto ce se kasnije nazvati klasicna mehanika (za razliku odkvantne mehanike koja ce se pojaviti pocetkom dvadesetog stoljeca). Newton je uveo silu kaouzrok promjene stanja gibanja cestice i cijelu je mehaniku sazeo u tri aksioma koji govore stose dogada s cesticom kada na nju djeluju ili ne djeluju sile.Temelj klasicne mehanike predstavlja drugi Newtonov aksiom

d 2 ~r

d t 2=

1

m~F,

koji, dopunjen pocetnim uvjetima na brzinu i polozaj, kaze da je iz poznavanja svih sila ~F koje1Euklid iz Aleksandrije, IV - III stoljece prije nove ere; trinaest knjiga njegovih Elemenata se moze naci na adresi:

http://aleph0.clarku.edu/∼djoyce/java/elements/toc.html.2Baruch de Spinoza, 1632. - 1677.3Sir Isaac Newton, 1642 Woolsthorpe, grofovija Lincoln - 31. III 1727 Kensington, bio je svecenik i svoje teoloske radove je

smatrao puno vaznijim od radova u mehanici i matematici; bio je zastupnik sveucilista Cambridge u engleskom Parlamentu idirektor kovnice novca u Londonu. Osim navedenog djela, navedimo jos i: Metoda fluksija i beskonacnih redova (koja sadrzi otkricediferencijalnog i integralnog racuna), Rasprava o kvadraturi krivulja, Univerzalna aritmetika, Optika i dr..

79

80POGLAVLJE 4. NEWTONOVI AKSIOMI GIBANJA, KONZERVATIVNOST, RAD, ENERGIJA, MOMENTI

djeluju na cesticu mase m, rjesavanjem gornje diferencijalne jednadzbe, moguce proizvoljnotocno odrediti njezin polozaj ~r u prostoru u proizvoljnom vremenskom trenutku t, kako proslom,tako i buducem. Ova je tvrdnja imala i velike filozofske implikacije, koje je najjasnije izrazioLaplace4 kada je 1814., u Filozofskim esejima o vjerojatnosti, rekao

Mi moramo smatrati sadasnje stanje svemira, kao posljedicu njegovogprethodnog stanja, i kao uzrok onome stanju koje slijedi. Um koji bi udanom trenutku poznavao sve sile koje djeluju u prirodi, kao i polozaje ibrzine svih svemirskih tjelesa, i koji bi bio sposoban rijesiti njihove jed-nadzbe gibanja, obuhvatio bi jednom jedinom formulom gibanje najvecihzvijezda i planeta, kao i gibanje najmanjih atoma. Takvom umu nistane bi bilo nepoznato: pred njegovim bi ocima bila sva proslost, kao i svabuducnost.

Svjetonazor izgraden na temelju shvacanja o cvrstoj determiniranosti svih dogadaja u prirodi,nazvan je mehanicizam.No, svijet ipak nije tako cvrsto determiniran, kao sto su to mislili Laplace i njegovi suvremenici.Gornja bi tvrdnja bila istinita samo onda, kada bi Newtonova jednadzba gibanja bila primje-njiva na sve sastavne elemente svemira. Suvremena kvantna fizika nas uci da se ponasanjemikroskopskih objekata ne pokorava Newtonovoj jednadzbi gibanja, nego da ono zadovoljavaneke druge jednadzbe (Schrodingerovu tj. Heisenbergovu), cija rjesenja ne daju tocan polozaji brzinu cestice, nego samo njihovu vjerojatnost. Stovise, Heisenbergovo nacelo neodredenostieksplicite tvrdi da se polozaj i brzina (tocnije receno: kolicina gibanja) mikroskopskog objektane mogu proizvoljno tocno odrediti, ili drugim rjecima, sam pojam putanje ne postoji. Istotako, u analizi gibanja masivnih objekata kao sto su zvijezde, galaksije i slicno, treba racunatis ucincima zakrivljenosti prostor-vremena, kako je to pokazano u Einsteinovoj opcoj teorijirelativnosti. No, ta pitanja vec izlaze izvan okvira ove knjige.

4.1 Newtonovi aksiomi

Slijedece tri tvrdnje predstavljaju aksiome klasicne mehanike5:

(1)Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi unifor-miter in directum, nisi quatenus a viribus impressis cogitur statumillum mutare.

Prvi se aksiom naziva aksiom tromosti i u slobodnom prijevodu glasi: ukoliko na tijelo (cesticu)ne djeluje nikakva sila, ono ostaje u stanju mirovanja ili jednolikog gibanja po pravcu (tj.njegova je brzina konstantna)

~F = 0 ⇒ ~v = const. (4.1)

Za ilustraciju ovog aksioma zamislimo slijedeci pokus: nekakva vanjska sila (izvodac pokusa)je kuglicu dovela u stanje gibanja; nakon toga ta vanjska sila vise ne djeluje; ako se kuglicagiba po ravnoj podlozi, primjetit cemo da se kuglica nakon nekog vremena zaustavlja. Je li to

4Pierre Simon Laplace, 1749 - 1827, francuski matematicar, fizicar, astronom i filozof.5Latinski navodi potjecu iz reference [17]

4.1. NEWTONOVI AKSIOMI 81

u suprotnosti s gornjim aksiomom koji kaze da bi se kuglica trebala nastaviti gibati beskonacnodugo istom brzinom koju je imala u trenutku kada je na nju prestala djelovati vanjska sila?Naravno da nije. Zasto? Zato jer nakon prestanka djelovanja sile koja je kuglicu dovela ustanje gibanja, na kuglicu sve vrijeme djeluju sile trenja (sa podlogom i s medijem kroz koji sekuglica giba) pa zato nije ispunjena pretpostavka aksioma, da je zbroj svih sila koje djeluju natijelo jednak nuli. Upravo ovo ne racunanje sa silama trenja je bio glavni razlog sto vec ranijenije doslo do spoznaje gornje relacije. Ako bi se gornji pokus izveo negdje u svemiru tako stobi astronaut bacio kuglicu u smjeru van Sunceva sustava, prema nekoj udaljenoj zvijezdi, tabi se kuglica, u skladu s gornjim aksiomom, gibala pocetnom brzinom i pravocrtno. Ovakvobi se gibanje odvijalo tako dugo dok kuglica ne bi bila zahvacena gravitacijskom silom nekogsvemirskog objekta kraj kojega bi prolazila, a tada je dalja sudbina kuglice krajnje neizvjesna.

(2)Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressae et fieri se-cundum lineam rectam qua vis illa imprimitur.

Drugi se aksiom naziva aksiom sile i u slobodnom prijevodu glasi: vremenska promjena kolicinegibanja (~p = m~v) cestice (tijela), jednaka je zbroju svih sila, ~F , koje djeluju na cesticu (tijelo)

d~p

dt= ~F . (4.2)

Sila vodi na promjenu kolicine gibanja cestice. Ako se sila jednaka nuli, tada nema ni promjenekolicine gibanja, tj. kolicina gibanja je konstantna, sacuvana velicina. U tom se slucaju kazeda vrijedi zakon o sacuvanju kolicine gibanja

~p = const. (4.3)

Kolicina gibanja je vektorska velicina, pa njezina konstantnost znaci konstantnost i po iznosui po smjeru

p = const., p = const.,

ili po komponentma u npr. cilindricnom koordinatnom sustavu

pρ = const., pϕ = const., pz = const.

Ne moraju sve komponente kolicine gibanja biti ili sacuvane ili nesacuvane. Moguce su situ-acije u kojima sila djeluje npr. samo u ρ smjeru cilindricnog koordinatnog sustava, a nemakomponenata u ϕ i z smjeru. U tom slucaju pρ nije konstantan (sacuvan), dok pϕ i pz jesukonstantni.

Ukoliko se masa, m, cestice ne mijenja s vremenom, dm/d t = 0, (a sto je istina za tijela kojase gibaju brzinama puno manjim od brzine svjetlosti), tada drugi aksiom glasi

d~p

dt= m

d~v

dt+ ~v

dm

dt= m~a = ~F ,


gdje je ~a ubrzanje cestice. No, ubrzanje je druga vremenska derivacija radij vektora cestice,pa se drugi Newtonov aksiom cita kao nehomogena diferencijalna jednadzba drugog reda zanepoznatu funkciju ~r = ~r(t)

d 2 ~r

dt 2=

1

m~F (~r, t), (4.4)

gdje je nehomogeni clan srazmjeran zbroju vanjskih sila ~F koje se smatraju poznatim (zadanim)funkcijama. Rjesenje gornje jednadzbe je jednoznacno odredeno pocetnim uvjetima kojiodreduju stanje gibanja cestice (njezin polozaj i brzinu) u nekom odredenom vremenskomtrenutku t0

~r(t = t0) = ~r0, ~v(t = t0) = ~v0.

Rjesenje jednadzbe (4.4)

~r = ~r(t;~r0, ~v0)

daje polozaj cestice u svakom vremenskom trenutku (i proslom, t < t0, i buducem, t > t0).Drugi Newtonov aksiom se smatra definicijskom jednadzbom za silu iz koje slijedi dimenzijasile

[~F]

= [m]

[d 2 ~r

dt 2

]=ml

t 2

i njezina mjerna jedinica koja se u SI sustavu zove njutn i oznacava s N

N = kgm

s 2.

♣ Na ovom mjestu je zgodno uvesti pojmove inercijskog i neinercijskog koordinatnog ili re-ferentnog sustava. Svi koordinatni sustavi u kojima vrijedi drugi Newtonov aksiom se zovuinercijski sustavi. Svaki sustav koji se giba konstantnom brzinom u odnosu na neki inercij-ski sustav, i sam je inercijski. Svi sustavi koji nisu inercijski, jesu neinercijski.Precizirajmo malo pojmove inercijskog i neinercijskog sustava. Promatrajmo dva pravokutnakoordinatna sustva: S = (O, x, y, z) i S ′ = (O ′ , x ′, y ′, z ′) kao na slici 4.1. Neka se cestica(trome) mase m giba kroz prostor tako da se u trenutku t nalazi u tocki P . Gledano iz sustavaS, njezin je radij vektor tada ~r(t), a gledano iz sustva S ′, radij vektor je ~r ′(t) (primjetimo dasmo ovime implicitno pretpostavili da su vremena u oba sustava ista, tj. da je t = t′). Ova

su dva vektora povezana jednostavnom relacijom ~r = ~R + ~r ′ (sjetimo se pravila o zbrajanjuvektora sa str. 9). Promatrac koji miruje u sustavu S, opisuje gibanje cestice jednadzbom (4.4)

m~r = ~F ,

gdje ~F oznacava zbroj svih sila koje djeluju na cesticu u sustavu S. Promatrac koji miruje usustavu S ′, takoder opisuje gibanje cestice jednadzbom (4.4)

m~ ′r = ~F ′ ,

gdje sada ~F ′ oznacava zbroj svih sila koje djeluju na cesticu u sustavu S ′. Ove dvije jednadzbegibanja su povezane relacijom ~r = ~R + ~r ′

~F = m~r = m( ~R + ~ ′r) = m~R + ~F ′

~F = m ~R + ~F ′ .

4.1. NEWTONOVI AKSIOMI 83

Slika 4.1: Uz definiciju (ne)inercijskog sustava.

Zakljucak je: ukoliko je relativno ubrzanje, ~R, izmedu oba sustva jednako nuli, na cesticudjeluju iste sile, bez obzira opisuje li se gibanje iz sustava S ili S ′. Ubrzanje je nula kada jebrzina konstantna, pa se moze reci da su svi sustavi koji se gibaju konstantnom (po iznosu ismjeru) brzinom u odnosu na neki inercijski sustav, i sami inercijski. U svim takvim sustavimadjeluju iste sile

~F = ~F ′ = · · · = inv.

Ukoliko ubrzanje medu sustavima nije jednako nuli, tada osim vanjskih sila djeluje jos i iner-

cijska sila m ~R.

Kao referentni inercijski sustav, najcesce se uzima sustav fiksiran uz zvijezde stajacice. Jedanprimjer neinercijskog sustava je i sama Zemlja na cijoj povrsini mi svi zivimo. U odnosu nasustav zvijezda stajacica, Zemlja se ne giba konstantnom brzinom: ona se vrti oko svoje osi,giba se po elipticnoj putanji oko Sunca i zajedno sa cijelim suncevim sustavom se giba okosredista nase galaksije. O ucincima ovih gibanja ce biti vise rijeci u poglavlju 8.Detaljnija analiza gibanja u odnosu na razlicite sustave koji se i sami relativno gibaju dovelaje A. Einsteina6 1905. godine do otkrica Specijalne teorije relativnosti. Pokazalo seda su relativisticki ucinci vazni za opis gibanja tek kod brzina bliskim brzini svjetlosti c '300 000 kms−1. Za opis gibanja cestica koje se gibaju bitno manjim brzinama nego sto je c,relativisticki se ucinci mogu zanemariti.

♣ U vezi s Newtonovim aksiomima potrebno je posebno komentirati i pojam mase koji sepojavljuje u drugom aksiomu

~a =1

m~F.

6Alber Einstein, Ulm 14. III 1879. - Princeton 1955.


Gornja je jednadzba primjer jednog cijelog tipa jednadzba koje se pojavljuju u fizici, a koje suoblika

[ sustav ] = [odziv] · [vanjska smetnja],

gdje se promatra medudjelovanje sustava i okolice, a odzivna funkcija mjeri kako jako ili kakoslabo se sustav mijenja uslijed djelovanja vanjske smetnje. Npr. ako na dva tijela, jedno malemase m i drugo velike mase M , djeluje ista sila, tada ce tijelo manje mase m dobiti veceubrzanje, nego tijelo vece mase M . Vidimo da se tu masa pojavljuje kao velicina koja odredujeodziv (odzivna funkcija, susceptibilnost) tijela (sustava) na vanjsku pobudu (silu): sto je vecamasa, manja je reakcija (ubrzanje). Masa se dakle, pojavljuje kao mjera tromosti, kao osobinakojom se cestica odziva na djelovanje vanjske pobude (sile). Zbog ove svoje osobine, masa kojase pojavljuje u gornjoj jednadzbi se naziva troma masa.Drugo svojstvo mase se sastoji u slijedecem: u poglavlju 7 ove knjige cemo vidjeti (takoderzahvaljujuci Newtonovu otkricu) da se cestice (tijela) jedna na drugu djeluju privlacnom (gra-vitacijskom) silom

∣∣∣ ~FG∣∣∣ = G

m1 m2

r 21,2

,

koja je utoliko veca ukoliko je vece jedno svojstvo cestice koje se naziva teska masa. Ovo jesvojstvo zgodno usporediti sa elektricnim nabojem: kao sto znamo tockasti elektricni nabojidjeluju jedni na druge silom koja je srazmjerna umnosku naboja i obratno srazmjerna kvadratunjihove medusobne udaljenosti

∣∣∣ ~FC∣∣∣ =

1

4πε0

q1 q2r 21,2

,

(Coulombova elektrostatska sila). Sto je vise naboja i sila je veca. Slicno se moze i teska masazamisliti kao neka vrsta gravitacijskog naboja koja je izvor gravitacijske sile, bas kao stosu i elektricni naboji izvor elektricne sile7 .Uocimo da se radi o dva posve razlicita svojstva cestice: odzivu i naboju. Jedno je odzivcestice (sustava) na djelovanje neke vanjske pobude (sile), a drugo je svojstvo koje samoj cesticiomogucava da bude izvor sile (naboj) u odnosu na okolinu. Eksperimentalno je s vrlo velikimstupnjem tocnosti utvrdeno da su ova dva svojstva numericki jednaka (istog su iznosa iako imje fizicko znacenje posve razlicito) i zato se za njih koristi ista oznaka m, a oba se svojstvanazivaju jednostavno masa, bez preciziranja radi li se o tromoj ili teskoj masi.

Nakon ovih malih digresija, vratimo se Newtonovim aksiomima. Treci Newtonov aksiom izvor-no glasi:

(3 )Actioni contrariam semper et aequalem esse reactionem sive corporumduorum actiones in se mutuo semper esse aequales et in partes contrariasdirigi.

7Postoji naravno i razlika: elektricni naboji mogu biti pozitivni i negativni, dok je gravitacijski naboj uvijek pozitivan. Posljedicaovoga je da se medudjelovanje elektricnih naboja moze ostvariti na dva nacina: medudjelovanje istoimenih i medudjelovanjeraznoimenih naboja, sto vodi na odbojne i privlacne sile. Gravitacijski naboj je uvijek istog predznaka i zato sila ima uvijek isti -privlacni - karakter.

4.2. RAD, SNAGA I KINETICKA ENERGIJA 85

On se naziva aksiom djelovanja i protudjelovanja (akcije i reakcije) i u slobodnom prijevodu

glasi: ako cestica (tijelo) A djeluje na cesticu (tijelo) B silom ~FAB, tada i cestica (tijelo) B

djeluje na cesticu (tijelo) A silom ~FBA, istog iznosa, a suprotnog smjera

~FAB = −~FBA. (4.5)

Nerazumjevanje ovog aksioma je izvor mnogih prividnih paradoksa. Jedan od najcescih jepitanje kako objasniti da konj vuce kola: ako konj djeluje na kola istom silom kao i kola nakonja, onda bi i konj i kola trebali ostati na mjestu. To se ipak ne dogada. Zasto?

4.2 Rad, snaga i kineticka energija

Neka se cestica nalazi u tocki opisanoj radij vektorom ~r. Pomakne li se cestica za d~r u poljukonstantne vanjske8 sile ~F , definira se diferencijal rada W (od engl. work) kao

dW = ~F · d~r = F dr cos(~F , d~r). (4.6)

Prema samoj definiciji skalarnog umnoska slijedi da je komponenta sile paralelna s poma-kom cestice, upravo dana mnoziteljem F cos(~F , d~r). Prema tome, ako je cos(~F , d~r) > 0, po-mak cestice je u smjeru paralelne komponente sile i kaze se da sila (okolina) obavlja rad nad

cesticom (sustavom). Ako je cos(~F , d~r) < 0, tada je pomak cestice u smjeru suprotnom odsmjera paralelne komponente vanjske sile i kaze se da cestica obavlja rad nad okolinom. Akoje cos(~F , d~r) = 0, tada sila nema komponentu u smjeru pomaka cestice i nije obavljen nikakvrad. Iz gornje definicijske jednakosti, jedinica za rad je umnozak jedinice za silu i jedinice zaput. U SI sustavu ta se jedinica zove dzul9 i oznacava se s J

J = N m = kgm 2

s 2.

Po svojim dimenzijama, rad je

[W ] = [m][L 2]

[T 2].

Izraz (4.6) daje rad na diferencijalnom dijelu puta. Kako izracunati rad na konacnom dijelu puta(slika 4.2), ako uzmemo u obzir da sila ne mora biti ista u svakoj tocki putanje? Razdijelimo umislima putanju cestice u N djelica d~r koji su toliko mali da je sila priblizno konstantna unutarsvakog tog djelica. Sada mozemo pomocu gornjeg zaokvirenog izraza izracunati diferencijalrada unutar svakog tog djelica putanje, a ukupan rad po cijeloj putanji od pocetne tocke Pdo konacne tocke K racunamo tako da zbrojimo radove po svim djelicima od kojih se sastoji

8Sila se moze shvatiti kao nacin na koji okolina djeluje na cesticu9James Prescot Joul, engleski fizicar, 1818 - 1889, prvi je shvatio vezu izmedu mehanickog rada, energije i topline.


Slika 4.2: Uz definiciju rada.

putanja. U granici kada N →∞, ovaj zbroj prelazi u integral, pa se za ukupan rad dobiva

W1,2 =

∫ K

P

~F · d~r =

∫

c

~F · d~r =

∫ ~rK

~rP

~F · d~r. (4.7)

Integrira se po putanji C od pocetne do konacne tocke.

SNAGA, P (od engl. power) se definira kao brzina kojom se obavlja rad

P =dW

d t=

~Fd~r

d t= ~F ~v. (4.8)

U SI sustavu, jedinica za snagu se zove vat10 s oznakom W i definira se kao

W =J

s= N

m

s= kg

m 2

s3.

Po dimenziji, snaga je

[P ] = [m][L 2]

[T 3].

ENERGIJA, E: cestica moze posjedovati dvije vrste mehanicke energije: jedna - kineticka- potjece od gibanja cestice, a druga - potencijalna - potjece od polozaja cestice u polju kon-zervativne sile (o konzervativnim silama cemo govoriti u slijedecem odjeljku). Neka se cesticamase m giba od pocetne tocke s radij vektorom ~rP , u kojoj ima brzinu ~vP , do konacne tocke

10u cast engl. fizicara i inzenjera Watta, koji je ....

4.3. KONZERVATIVNE SILE I POTENCIJALNA ENERGIJA 87

s radij vektorom ~rK , u kojoj ima brzinu ~vK . Izracunajmo ukupan rad koji sila ~F obavi nadcesticom pri njezinom gibanju od pocetne do konacne tocke. U skladu s drugim Newtonovimaksiomom (4.2), umnozak mase i ubrzanja cestice jednak je sili koja djeluje na cesticu, pa jestoga rad (4.7) jednak

WP,K =

∫ ~rK

~rP

~F · d~r =

∫ ~rK

~rP

md~v

dtd~r = m

∫ ~vK

~vP

~v d~v =m~v 2

K

2− m~v 2

P

2≡ Ek(K)− Ek(P ). (4.9)

Vidimo da je rad obavljen na racun promjene jedne velicine koja ovisi samo o svojstvimacestice: njezinoj masi i brzini. Ta se velicina naziva kineticka energija i oznacava se s Ek

Ek =m~v 2

2.

Ako je konacna kineticka energija veca od pocetne, Ek(K) > Ek(P ), vanjska sila (okolina) jeobavila rad nad cesticom i povecala joj brzinu. Ako se kineticka energija smanjila, Ek(K) <Ek(P ), tada je cestica dio svoje kineticke energije potrosila na obavljanje rada nad okolicom(savladavanje vanjske sile).Iz cinjenice da je rad jednak razlici kinetickih energija, slijedi zakljucak da su i rad i kinetickaenergija istih dimenzija i da se mjere u istim jedinicama, dzulima.

4.3 Konzervativne sile i potencijalna energija

U prirodi postoji jedna vrsta sila koje zovemo konzervativne sile i koje imaju vrlo posebnosvojstvo u odnosu na rad koji obavljaju nad cesticom:

rad konzervativnih sila ne ovisi o obliku putanje

po kojoj se rad obavlja, nego samo o pocetnoj i konacnoj tocki. To je osnovno fizicko znacenjepojma konzervativnosti: rad ne ovisi o obliku puta. Ovaj se fizicki sadrzaj moze matema-ticki iskazati u integralnom i diferencijalnom obliku. Integralni iskaz bi mogao biti ovakav:kontinuirano i derivabilno polje sila ~F je konzervativno, ako je rad takve sile po svakoj zatvore-noj (takvoj da su pocetna i konacna tocka iste) jednostavnoj (nema samopresjecanja) putanjijednak nuli

∮

c

~F · d~r = 0. (4.10)

Pokazat cemo da se u tom slucaju sila moze napisati u obliku (negativnog) gradijenta jedneskalarne funkcije koja se naziva potencijalna energija, Ep (to je diferencijalni oblik zapisakonzervativnosti)

~F = −−→∇Ep. (4.11)

Primjetimo da je ovako definirana potencijalna energija neodredena do na konstantu, zatojer i Ep i Ep + const. daju istu silu. Ako se citatelj pita zasto je potreban minus u gornjojdefiniciji, onda se treba prisjetiti odjeljka 2.4.1 u kojem je pokazano da gradijent ima smjer


najbrzeg porasta funkcije. Odabir minusa znaci da sila ima smjer najbrzeg opadanja funkcijepotencijalne energije, tj. sila ima smjer prema lokalnom minimumu potencijalne energije. Naprimjeru gravitacijske sile (za koju ce se kasnije pokazati da je takoder konzervativna) to znacida voda sama od sebe tece niz brdo, a ne uz brdo kao sto bi to bio slucaj kada u gornjojdefiniciji ne bi bilo minusa. Taj minus je dakle odabrala priroda, a ne fizicari.Konzervativne sile imaju i to svojstvo da je njihova rotacije jednaka nuli (to su bezvrtloznapolja)

−→∇ × ~F = 0. (4.12)

Najprije cemo pokazati da za konzervativne sile vrijedi (4.10), a zatim cemo pokazati da susva tri gornja iskaza: (4.10), (4.11) i (4.12), medusobno ekvivalentna.

(ako rad ne ovisi o obliku putanje) ⇒ (∮~Fd~r = 0)

Dokazimo relaciju (4.10): pretpostavimo da polje sile jeste konzervativno (da rad ne ovisi oputu i pokazimo da je tada rad po zatvorenoj putanji jedank nuli. Na slici 4.3.A je prikazanajedna zatvorena putanja PAKBP . Tu cemo putanju rastaviti na dva dijela PAK i KBP (kojezajedno cine cijelu zatvorenu putanju) i izracunati zbroj integrala po te dvije putanje

∮~Fd~r =

∫

PAK

~Fd~r +

∫

KBP

~Fd~r = −∫

KAP

~Fd~r +

∫

KBP

~Fd~r.

No, prema nasoj pretpostavci, integrali ovise samo o pocetnoj i konacnoj tocki, a one su isteu gornja dva integrala, pa je zbog negativnog predznaka ispred prvog integrala, njihov zbrojjednak nuli, tj.

∮~Fd~r = 0,

cime je dokazana polazna tvrdnja.

(∮~Fd~r = 0) ⇒ ( rad ne ovisi o obliku putanje)

Slicno se dokazuje i suprotan smjer tvrdnje: ako pretpostavimo da je integral po zatvoremojputanji jednak nuli, treba pokazati da integral po bilo kojoj putanji ovisi samo o pocetnoj ikonacnoj tocki te putanje

∮~Fd~r = 0 =

∫

PAK

~Fd~r +

∫

KBP

~Fd~r = −∫

KAP

~Fd~r +

∫

KBP

~Fd~r

⇒∫

KAP

~Fd~r =

∫

KBP

~Fd~r,

tj. integral od pocetne tocke P do konacne tocke K je isti bez obzira ide li putanja preko tockeA ili tocke B, dakle ne ovisi o obliku putanje.

( rad ne ovisi o obliku putanje) ⇒ (~F = −−→∇Ep)Pretpostavimo da vrijedi (4.10), tj. rad ne ovisi o obliku putanje i pokazimo da tada vrijedi(4.11). Pocetna tocka je konstantna s koordinatama (xP , yP , zP ), a konacna je varijabilna s


Slika 4.3: Uz dokaz konzervativnosti.

koordinatama (x, y, z), kao na slici 4.3.B. Oznacimo s EP slijedeci integral

EP (x, y, z) = −∫ (x,y,z)

(xP ,yP ,zP )

~Fd~r (4.13)

= −∫ (x,y,z)

(xP ,yP ,zP )

[Fx(x, y, z)dx+ Fy(x, y, z)dy + Fz(x, y, z)dz

]

= −∫ (x,y,z)

(xP ,yP ,zP )

Fx(x, y, z)dx−∫ (x,y,z)

(xP ,yP ,zP )

Fy(x, y, z)dy −∫ (x,y,z)

(xP ,yP ,zP )

Fz(x, y, z)dz.

Po pretpostavci, gornji integral ne ovisi o putanji, pa za putanju C, mozemo odabrati slijedeciniz od tri pravaca11:

C ≡ p1 ⊕ p2 ⊕ p3.

p1: (xP , yP , zP ) → (x, yP , zP ) ,

p2: (x, yP , zP ) → (x, y, zP ),

p3: (x, y, zP ) → (x, y, z).

Na prvom se pravcu samo x mijenja od xP do x, a preostale dvije koordinate imaju nepromi-jenjene vrijednosti yP i zP . Zato je na ovom pravcu

dx 6= 0, dy = dz = 0

i od gornja tri integrala, doprinos razlicit od nule dolazi samo od prvog clana

−∫ x

xP

Fx (η, yP , zP ) d η.

11Pravce odabiremo zato jer je po njima lagano integrirati.


(nijema varijabla, po kojoj se integrira, oznacena je s η). Na drugom se pravcu samo y mijenjaod yP do y, a preostale dvije koordinate imaju nepromijenjene vrijednosti x i zP . Zato je naovom pravcu

dy 6= 0, dx = dz = 0

i od tri integrala iz (4.13), doprinos razlicit od nule dolazi samo od drugog clana

−∫ y

yP

Fy (x, η, zP ) d η.

I na trecem pravcu se samo z mijenja od zP do z, a preostale dvije koordinate imaju nepromi-jenjene vrijednosti x i y. Zato je na ovom pravcu

dz 6= 0, dx = dy = 0

i od tri integrala iz (4.13), doprinos razlicit od nule dolazi samo od treceg clana

−∫ z

zP

Fz (x, y, η) d η.

Sada (4.13) glasi

Ep(x, y, z) = −∫ x

xP

Fx(η, yP , zP ) d η −∫ y

yP

Fy(x, η, zP ) d η −∫ z

zP

Fz(x, y, η) d η. (4.14)

Ako se gornja relacija parcijalno derivira12 po z, dobit ce se

∂Ep(x, y, z)

∂z= −Fz(x, y, z), (4.15)

zato sto u prva dva clana desne strane (4.14) varijabla z ima konstantnu vrijednost zP , paderivacija konstante iscezava. Ako se (4.14) parcijalno derivira po y, dobiva se

∂Ep(x, y, z)

∂y= −Fy(x, y, zP )−

∫ z

zP

∂ Fz(x, y, η)

∂yd η.

Ako se u gornji izraz za Fz uvrsti (4.15), slijedi

∂Ep(x, y, z)

∂y= −Fy(x, y, zP ) +

∫ z

zP

∂

∂y

∂Ep(x, y, η)

∂ηdη

= −Fy(x, y, zP ) +

∫ z

zP

∂

∂η

[∂Ep(x, y, η)

∂y

]dη

= −Fy(x, y, zP ) +∂Ep(x, y, z)

∂y− ∂Ep(x, y, zP )

∂y

⇒ ∂Ep(x, y, zP )

∂y= −Fy(x, y, zP ),

12Parcijalna derivacija odredenog integrala se izvodi na slijedeci nacin (vidjeti npr. referencu [3], str. 507)

d

dα

Z h(α)

g(α)f(η, α) d η =

Z h(α)

g(α)

∂ f(η, α)

∂ αd η + f(h(α), α)

d h(α)

dα− f(g(α), α)

d g(α)

dα.


No, ono sto vrijedi za zP , vrijedi za svaki drugi z, pa iz gornjeg izraza slijedi

∂Ep(x, y, z)

∂y= −Fy(x, y, z). (4.16)

Ako se sada (4.14) parcijalno derivira jos i po x, dobiva se

∂Ep(x, y, z)

∂x= −Fx(x, yP , zP )−

∫ y

yP

∂ Fy(x, η, zP )

∂xd η −

∫ z

zP

∂ Fz(x, y, η)

∂xd η. (4.17)

Za Fz i Fy se uvrsti (4.15) i (4.16), pa slijedi

∂Ep(x, y, z)

∂x= −Fx(x, yP , zP ) +

∫ y

yP

∂

∂x

∂Ep(x, η, zP )

∂ηd η +

∫ z

zP

∂

∂x

∂Ep(x, y, η)

∂ηd η

= −Fx(x, yP , zP ) +

∫ y

yP

∂

∂η

[∂Ep(x, η, zP )

∂x

]d η +

∫ z

zP

∂

∂η

[∂Ep(x, y, η)

∂x

]d η

= −Fx(x, yP , zP ) +∂Ep(x, y, zP )

∂x− ∂Ep(x, yP , zP )

∂x+∂Ep(x, y, z)

∂x− ∂Ep(x, y, zP )

∂x

⇒ ∂Ep(x, yP , zP )

∂x= −Fy(x, yP , zP ).

Ono sto vrijedi za yP i zP , vrijedi za svaki drugi y i z, pa je

∂Ep(x, y, z)

∂x= −Fx(x, y, z). (4.18)

Relacijama (4.15), (4.16) i (4.18) je pokazano da iz pretpostavke o neovisnosti integrala o

putanji slijedi ~F = −−→∇Ep.

(~F = −−→∇Ep) ⇒ (∮~F · d~r = 0)

Pretpostavimo da vrijedi (4.11) i pokazimo da je tada zadovoljena relacija (4.10). Podsjetimose najprije kako izgleda diferencijal funkcije tri varijable

dEp(x, y, z) =∂ Ep∂x

dx+∂ Ep∂y

dy +∂ Ep∂z

dz.

Izracunajmo rad sile oblika (4.11) od tocke P do tocke K duz proizvoljne putanje

WP,K =

∫ K

P

~F · d~r = −∫ K

P

(x∂Ep∂x

+ y∂Ep∂y

+ z∂Ep∂z

)(x dx+ y dy + z dz)

=

∫ P

K

(∂Ep∂x

dx+∂Ep∂y

dy +∂Ep∂z

dz

)

=

∫ P

K

dEp = Ep(xP , yp, zP )− Ep(xK , yK , zK). (4.19)


Ovime je pokazano da rad ne ovisi o obliku putanje, nego samo o pocetnoj i konacnoj tocki.Ako je putanja zatvorena, P ≡ K i gornji je rad jednak nuli.

(~F = −−→∇Ep) ⇒ (−→∇ × ~F = 0)

Vec je ranije, relacijom (2.52), pokazano da je rotacija gradijenta jednaka nuli, pa time odmahiz pretpostavke da vrijedi (4.11) slijedi (4.12)

−→∇ × ~F = −−→∇ × (−→∇Ep) = 0.

(−→∇ × ~F = 0) ⇒ (~F = −−→∇Ep)

Suprotan smjer: pretpostavimo da je−→∇ × ~F = 0, sto daje tri skalarne jednadzbe

∂ Fz∂ y

=∂ Fy∂ z

,∂ Fx∂ z

=∂ Fz∂ x

,∂ Fy∂ x

=∂ Fx∂ y

. (4.20)

Ocito ce gornje jednadzbe biti zadovoljene, ako je svaka komponenta sile srazmjerna derivacijineke skalarne funkcije po toj istoj komponenti radij vektora,

Fx = −∂Ep∂x

, Fy = −∂Ep∂y

, Fz = −∂Ep∂z

. (4.21)

Uz gornje veze, zadovoljene su relacije (4.20)

∂

∂ y

∂Ep∂z

=∂

∂ z

∂Ep∂y

∂

∂ z

∂Ep∂x

=∂

∂ x

∂Ep∂z

∂

∂ x

∂Ep∂y

=∂

∂ y

∂Ep∂x

.

No, (4.21) je upravo (4.11).

(−→∇ × ~F = 0) ⇒ (

∮~F · d~r = 0) i (

∮~F · d~r = 0) ⇒ (

−→∇ × ~F = 0)Oba smjera proizlaze iz Stokesova teorema (odjeljak 2.4.4).

Primjer: 4.1 Nadite rad obavljen po dijelu jedinicne kruznice od 0 do π u ravnini (x, y), protivsile dane sa

~F = −x y

x 2 + y 2+ y

x

x 2 + y 2.

Uocite da obavljeni rad ovisi o putu. Cemu je jednaka rotacija ~F? Objasnite ovajrezultat.

R:

4.4. IMPULS SILE I MOMENTI 93

Sacuvanje mehanicke energije. Iz drugog Newtonovog aksioma smo dosli do veze (4.9)izmedu obavljenog rada i kineticke energije, a u (4.19) smo povezali rad s potencijalnom ener-gijom cestice u polju konzervativne sile. Kombiniranjem ova dva izraza, dolazi se do

Ek(K)− Ek(P ) = WP,K = EP (P )− EP (K),

Ek(P ) + EP (P ) = Ek(K) + EP (K),

tj. zbroj kineticke i potencijalne energije cestice je isti u tocki P kao i u tocki K. Buduci date tocke nisu ni po cemu posebne, zakljucujemo da je zbroj kineticke i potencijalne energijekonstantan u svakoj tocki prostora. Ova se konstanta naziva mehanicka energija

Ek + Ep = Emeh. = const. (4.22)

Gornja relacija predstavlja zakon o sacuvanju mehanicke energije. Naglasimo jos jednom daona vrijedi samo u slucaju kada su sve sile koje djeluju na cesticu, konzervativne. Neke odkonzervativnih sila s kojima cemo se jos susretati su: gravitacijska, elasticna, Lorentzova, ...

Recimo na kraju i kakve su to nekonzervativne sile. Nekonzervativne sile su sve one silekoje nisu konzervativne (npr. to su brojne sila trenja koje se pojavljuju u realnim procesima,zatim neke od sila u hidrodinamici itd.), tj. to su one sile kod kojih rad ovisi o obliku putanjeod pocetne do krajnje tocke. Vise matematicki receno, to su sve one sile koje se ne mogunapisati u obliku gradijenta nekog skalarnog polja (ne postoji njima pridruzena potencijalnaenergija).

4.4 Impuls sile i momenti

Impuls sile. Promatra li se sila kao vektorsko polje, ona moze ovisiti i o prostornim i ovremenskoj kooordinati ~F = ~F (~r, t). Sa stanovista vremenske ovisnosti, sila ne mora bitikonstantna u vremenu: njezini iznos i smjer se mogu mijenjati tijekom vremena. Rezultatdjelovanja sile unutar vremenskog intervala tP ≤ t ≤ tK , jeste promjena kolicine gibanja cestice

∫ tK

tP

~F (t) dt =

∫ tK

tP

d~p

dtdt = ~p (tK)− ~p (tP ). (4.23)

Gornji integral se naziva impuls sile. Primjetimo da ovaj rezultat vrijedi i ako se masa cesticemijenja s vremenom, kao i da ne ovisi o tome je li sila konzervativna ili nije.

Moment sile i moment kolicine gibanja. Za cesticu koja se giba po putanji opisanojradij vektorom ~r(t) u odnosu na ishodiste nekog koordinatnog sustava O (slika 4.4) u polju sile~F , definira se moment sile ~M u odnosu na ishodiste, relacijom

~M = ~r × ~F . (4.24)

Iznos momenta sile | ~M | je mjera ucinka zakreta koji sila izvodi nad cesticom. Slicno se definira

i moment kolicine gibanja cestice, ~L ,

~L = ~r × ~p . (4.25)


Slika 4.4: Uz definiciju momenta sile i momenta kolicine gibanja.

Pokazimo vezu koja postoji izmedu ova dva momenta. Izraz za drugi Newtonov aksiom (4.2),pomnozimo s lijeva vektorski s ~r

~r ×/

d~p

dt= ~F ⇒ ~r × d~p

dt= ~r × ~F .

Na desnoj strani prepoznajemo ~M = ~r × ~F , a lijevu stranu mozemo napisati kao

~r × d~p

dt=

d

dt(~r × ~p )︸︷︷︸= ~L

− d~r

dt× ~p

︸︷︷︸= 0

.

Drugi clan desne strane je jednak nuli zato jer su d~r/dt = ~v i ~p = m ~v kolinearni vektori, paje po definiciji, njihov vektorski umnozak jednak nuli. Kombiniranjem gornje dvije jednadzbe,zakljucujemo da je

d~L

dt= ~M. (4.26)

Time je pokazano da izmedu momenta kolicine gibanja i momenta sile postoji ista veza kao iizmedu kolicine gibanja i sile (drugi Newtonov aksiom (4.2), d~p /dt = ~F ). Gornji izraz vrijedi iako je masa cestice promjenjiva i za sve sile (a ne samo za konzervativne). Ukoliko je momentsila jednak nuli

d~L

dt= 0 ⇒ ~L = const.,

moment kolicine gibanja je konstantan u vremenu. Kaze se da tada vrijedi zakon o sacuvanjumomenta kolicine gibanja. Ako je samo jedna od komponenata ~M jednaka nuli, npr. Mz = 0,tada je samo z komponeta momenta kolicine gibanja sacuvana, dok su druge dvije komponente

4.5. STATIKA ILI RAVNOTEZA CESTICE 95

promjenjive

Mx 6= 0 ⇒ Lx 6= const.,

My 6= 0 ⇒ Ly 6= const.,

Mz = 0 ⇒ Lz = const.

Podsjetimo se da su i moment sile, kao i moment kolicine gibanja pseudo vektori, zato jer nemijenjaju svoj predznak kada koordinatne osi promjene predznak

~M(−x,−y,−z) = (−~r)× (−~F ) = ~r × ~F = ~M(x, y, z),

i slicno za ~L .

Rezimirajmo: za sve sile (i konzervativne i nekonzervativne) vrijede relacije:

WP,K =

∫ K

P

~Fd~r = Ek(K)− Ek(P ),

∫ tK

tP

~F (t) dt = ~pK − ~p P ,d~L

dt= ~M,

a samo za konzervativne sile vrijedi:

∫ K

P

~F d~r = Ep(P )− Ep(K), Ek + Ep = const..

4.5 Statika ili ravnoteza cestice

Ravnoteznim stanjem cestice nazivamo situaciju u kojoj je zbroj svih sila koje djeluju na cesticujednak nuli i cestica miruje ili se giba konstantnom brzinom u odnosu ne neki inercijski sustav.Shvati li se mirovanje kao poseban slucaj gibanja konstantnom brzinom jednakom nuli, u skladus drugim Newtonovim aksiomom, (4.2), uvjet ravnoteze cestice se moze napisati kao

~F = 0, (4.27)

gdje je ~F zbroj svih sila koje djeluju na cesticu. U ovom je slucaju kolicina gibanja cesticekonstantna

d~p

dt= ~F = 0 ~p = ~p 0 = const.,

Kolicina gibanja je konstantna i jednaka svojoj pocetnoj vrijednosti. Ako je cestica u pocetnomtrenutku mirovala i ako na nju ne djeluju sile, ona ce ostati u stanju mirovanja. To je zakonsacuvanja kolicine gibanja: kolicina gibanja je konstantna u vremenu. Ako je samo jedna odkomponenata ~F jednaka nuli, npr. Fz = 0, tada je samo z komponeta kolicine gibanja sacuvana,dok su druge dvije komponente promjenjive

Fx 6= 0 ⇒ px 6= const.,

Fy 6= 0 ⇒ py 6= const.,

Fz = 0 ⇒ pz = const.


Ako su sile koje djeluju na cesticu konzervativne, a pripadna potencijalna energija je Ep, tadase nuzan uvjet ravnoteze u tocki (x0, y0, z0), moze napisati kao

~F = −−→∇Ep = 0 ⇔ ∂Ep∂x

∣∣∣∣(x0,y0,z0)

=∂Ep∂y

∣∣∣∣(x0,y0,z0)

=∂Ep∂z

∣∣∣∣(x0,y0,z0)

= 0. (4.28)

Ravnoteza cestice moze biti stabilna, labilna i indeferentna (slika 4.5).

Slika 4.5: Uz definiciju (A) stabilne, (B) labilne i (C) indiferentne ravnoteze cestice i tijela.

♣ Stabilna ravnoteza, slika 4.5.A, odgovara lokalnom minimumu potencijalne energije: nacesticu koja se malo otkloni od polozaja ravnoteze, djeluju sile koje ju nastoje vratiti u rav-notezni polozaj. Ako otklon cestice od polozaja ravnoteze nije mali, cestica moze prijeci u nekidrugi lokalni polozaj ravnoteze.

♣ Labilna ravnoteza, slika 4.5.B, odgovara lokalnom maksimimu potencijalne energije: nacesticu koja se malo otkloni od polozaja ravnoteze, djeluju sile koje ju udaljavaju od pocetnogravnoteznog polozaja.

♣ Indiferentna ravnoteza, slika 4.5.C, odgovara lokalno konstantnoj vrijednosti potencijalneenergije: mali otklon od pocetnog polozaja ne dovodi do djelovanja nikakve sile na cesticu. Svetocke iz male okolice pocetne tocke su medusobno ekvivalentne.

Da je (4.28) nuzan, ali ne i dovoljan uvjet ravnoteze, vidi se iz slijedeceg primjera.


Primjer: 4.2 Pokazite da polje potencijalne energije Ep(x, y) = x · y, iako zadovoljava relaciju(4.28), ipak nema ekstrem u tocki (0, 0), tj. ishodiste nije ravnotezni polozaj.

R: Pokazimo majprije da Ep zadovoljava uvjete(4.28):

Slika 4.6: Ilustracija sedlaste plohe potencijalne energije.

x*y

-10-5 0 5 10x

-10-5

0 5

10y

-100

-50

0

50

100

∂Ep∂x

= y = 0 za x = y = 0, i∂Ep∂y

= x = 0 za x = y = 0.

Dakle, i Ep(x, y) i njezine prve derivacije su jednake nuli u ishodistu. Nacrtamo liEp uokolici ishodista, dobit cemo sedlastu plohu (pozitivan Ep u prvom i trecem, anegativan u drugom i cetvrtom kvadrantu) kao na slici 4.6. Ocito je da ishodistenije ekstremna tj. ravnotezna tocka cestice u polju potencijalne energije Ep.

Dakle, u prostoru dimenzije vece od jedan, relacije (4.28) jesu nuzan, ali ne i dovoljan uvjetza odredivanje ravnoteznog polozaja cestice. Da bi se odredio ravnotezan polozaj, potrebno jestudirati i druge parcijalne derivacije potencijalne energije. Radi jednostavnosti, zadrzat cemose na dvodimenzijskom primjeru. Razvijmo u red funkciju potencijalne energije u okolici tocke(x0, y0)

Ep(x, y) = Ep(x0, y0) + (x− x0)∂Ep∂x

∣∣∣∣x0,y0

+ (y − y0)∂Ep∂y

∣∣∣∣x0,y0

+1

2(x− x0)

2 ∂2Ep∂x 2

∣∣∣∣x0,y0

+ (x− x0)(y − y0)∂ 2Ep∂x∂y

∣∣∣∣x0,y0

+1

2(y − y0)

2 ∂2Ep∂y 2

∣∣∣∣x0,y0

+ · · · ,


gdje su tockicama oznaceni clanovi viseg reda u (x−x0)n(y−y0)

m, tj. oni za koje je n+m > 2.Da bi (x0, y0) bila tocka ravnoteze, nuzno je, prema (4.28),

∂Ep∂x

∣∣∣∣x0,y0

=∂Ep∂y

∣∣∣∣x0,y0

= 0. (4.29)

Radi kraceg zapisa, oznacimo

∆ x = x− x0, ∆ y = y − y0, A =∂ 2Ep∂x 2

∣∣∣∣x0,y0

, B =∂ 2Ep∂x∂y

∣∣∣∣x0,y0

, C =∂ 2Ep∂y 2

∣∣∣∣x0,y0

.

U ovim oznakama, razvoj za potencijalnu energiju glasi

Ep(x, y) = Ep(x0, y0) +1

2

(∆x 2 A+ 2∆ x∆ y B + ∆ y 2 C

)+ · · ·

= Ep(x0, y0) + ∆Ep.

Ako otklon od (x0, y0) povecava vrijednost potencijalne energije, onda je (x0, y0) polozaj lokal-nog minimuma

(x0, y0) = min. ⇒ ∆x 2A+ 2∆ x∆ yB + ∆ y 2C > 0.

Naprotiv, ako otklon od (x0, y0) snizava vrijednost potencijalne energije, tada je (x0, y0) lokalnimaksimum

(x0, y0) = max. ⇒ ∆x 2A+ 2∆ x∆ yB + ∆ y 2C < 0.

Potrazimo koje uvjete mora zadovoljavati potencijalna energija, pa da (x0, y0) bude njezinlokalni minimum

∆Ep ≡ ∆x 2A+ 2∆ x∆ yB + ∆ y 2C > 0.

Prijedimo s pravokutnih varijabli ∆ x i ∆ y, na polarne varijable ρ i ϕ (ρ ≥ 0, 0 ≤ ϕ ≤ 2π)

∆x = ρ cosϕ, ∆ y = ρ sinϕ.

Izravnim trigonometrijskim preobrazbama, za ∆Ep se dobiva

∆Epρ 2

= A cos 2 ϕ+ 2B sinϕ cosϕ+ C sin 2 ϕ

=A+ C

2+A− C

2cos 2ϕ+B sin 2ϕ

=A+ C

2+

√B 2 − AC +

(A+ C

2

) 2

sin(2ϕ+ 2δ),

gdje je konstantni kut δ odreden relacijom

tan 2δ =2B

A− C.

Trazimo da bude ∆Ep/ρ2 > 0 za svaku vrijednost sin(2ϕ + 2δ), pa i za njegovu najmanju


vrijednost −1:

A+ C

2−

√B 2 − AC +

(A+ C

2

) 2

> 0

A+ C

2>

√B 2 − AC +

(A+ C

2

) 2/

2

(A+ C

2

) 2

> B 2 − AC +

(A+ C

2

) 2

AC > B 2.

Buduci da je B 2 > 0, iz gornjeg izraza zakljucujemo da su A i C istog predznaka, a buduci datrazimo da bude ∆Ep pozitivan, i A i C moraju biti pozitivni. Tako smo dobili tri uvjeta datocka (x0, y0) bude lokalni minimum, tj, polozaj stabilne ravnoteze: A > 0, C > 0, AC−B 2 >0. U pocetnim oznakama ovi uvjeti (zajedno s uvjetima iscezavanja prvih parcijalnih derivacija(4.29)) glase:

∂Ep∂x

∣∣∣∣x0,y0

=∂Ep∂y

∣∣∣∣x0,y0

= 0,

∂ 2Ep∂x 2

∣∣∣∣x0,y0

> 0,∂ 2Ep∂y 2

∣∣∣∣x0,y0

> 0, (4.30)

[∂ 2Ep∂x 2

∂ 2Ep∂y 2

−(∂ 2Ep∂x ∂y

) 2]

x0,y0

> 0.

To su uvjeti da tocka (x0, y0) bude tocka stabilne ravnoteze cestice u polju sile opisane poten-cijalnom energijom Ep(x, y). Ovaj se posljednji uvjet moze napisati i u obliku determinante

∂ 2Ep∂x 2

∂ 2Ep∂x ∂y

∂ 2Ep∂x ∂y

∂ 2Ep∂y 2

x0,y0

> 0.

Slicnim se postupkom dobiju uvjeti da je tocka (x0, y0, z0), tocka stabilne ravnoteze cestice u


trodimenzijskom prostoru:

∂Ep∂x

∣∣∣∣x0,y0,z0

=∂Ep∂y

∣∣∣∣x0,y0,z0

=∂Ep∂z

∣∣∣∣x0,y0,z0

= 0, (4.31)

∂ 2Ep∂x 2

∣∣∣∣x0,y0,z0

> 0,

∂ 2Ep∂x 2

∂ 2Ep∂x ∂y

∂ 2Ep∂x ∂y

∂ 2Ep∂y 2

x0,y0,z0

> 0,

∂ 2Ep∂x 2

∂ 2Ep∂x ∂y

∂ 2Ep∂x ∂z

∂ 2Ep∂y ∂x

∂ 2Ep∂y 2

∂ 2Ep∂y ∂z

∂ 2Ep∂z ∂x

∂ 2Ep∂z ∂y

∂ 2Ep∂z 2

x0,y0,z0

> 0.

Determinante koje se pojavljuju u gornjim izrazima se zovu Hesseove13 determinante.

13L. O. Hesse, 1811 - 1874.

Poglavlje 5

Gibanje cestice u polju konstantne silei sila ovisnih o brzini

5.1 Gibanje u polju konstantne sile: slobodan pad

U prethodnom smo se poglavlju upoznali s drugim Newtonovim aksiomom, tj. jednadzbomgibanja, (4.4), cestice pod djelovanjem sila ~F

d 2 ~r

dt 2=

1

m~F. (5.1)

Ponovimo jos jednom da je to diferencijalna jednadzba drugog reda i da je njezino rjesenje

~r = ~r(t;~r0, ~v0) (5.2)

jednoznacno odredeno zadavanjem pocetnih uvjeta, tj. poznavanjem polozaja i brzine cesticeu jednom odredenom trenutku t0

~r0 = ~r(t0), ~v0 = ~v(t0).

U ovom cemo se poglavlju baviti rjesavanjem ove jednadzbe u osobito jednostavnim slucajevimakada je sila (desna strana jednadzbe) konstantna. Buduci da je sila vektor, njezina konstantnostznaci konstantnost i po iznosu i po smjeru.Evo najjednostavnijeg primjera: sila je konstantna i nema nikakvih dodatnih uvjeta na gibanje.Zbog opcenitosti cemo pretpostaviti da je sila koja djeluje na cesticu oblika

~F = x F0,x + y F0,y + z F0,z,

(slika 5.1), gdje su F0,x, F0,y i F0,z konstante. Ako se u trenutku t0 cestica nalazila u tocki~r0 = (x0, y0, z0) i imala brzinu ~v0 = (v0,x, v0,y, v0,z), treba odrediti polozaj, brzinu i ubrzanjecestice u proizvoljnom trenutku t (bez obzira proslom, t < t0, ili buducem, t > t0). Postavimojednadzbu gibanja (5.1) i raspisimo ju po komponentama u pravokutnom koordinatnom sustavu

d 2 x

dt 2=F0,x

m,

d 2 y

dt 2=F0,y

m,

d 2 z

dt 2=F0,z

m. (5.3)

Navedimo i pocetne uvjete u pravokutnom koordinatnom sustavu:

x(t = t0) = x0, y(t = t0) = y0, z(t = t0) = z0,

vx(t = t0) = v0,x, vy(t = t0) = v0,y, vz(t = t0) = v0,z.

101

102 POGLAVLJE 5. GIBANJE CESTICE U POLJU KONSTANTNE SILE I SILA OVISNIH O BRZINI

Slika 5.1: U trenutku t0, konstantna sila ~F = x F0,x + y F0,y + z F0,z pocinje djelovati na cesticu mase m. Naslici su oznaceni i pocetni uvjeti.

Iz jednadzba (5.3) se vidi da su gibanja u smjerovima x, y i z osi medusobno nepovezana imogu se rjesavati neovisno jedno o drugom. Gibanja po sve tri osi imaju jednadzbe i pocetneuvjete istog oblika, pa ce im i rjesenja biti istog oblika. Stoga je dovoljno rjesavati samo jednuod njih, npr. onu za koordinatu x. Integracijom ubrzanja, dobit ce se brzina

∫ t

t0

dt

/d 2 x

dt 2=

F0,x

m∫ t

t0

d

dt

(d x

dt

)dt =

F0,x

m

∫ t

t0

dt

(d x

dt

)

t

−(d x

dt

)

t0

=F0,x

m(t− t0).

Prvi clan lijeve strane je x komponenta brzine u trenutku t, a drugi clan je x komponentabrzine u trenutku t0, koja je po pocetnim uvjetima, jednaka v0,x, sto sve zajedno daje za brzinupo osi x

vx(t) ≡(d x

dt

)

t

= v0,x +F0,x

m(t− t0).

Integracijom brzine dolazi se do polozaja∫ t

t0

d x

dtdt =

∫ t

t0

v0,x dt+

∫ t

t0

F0,x

m(t− t0) dt

x(t)− x(t0) = v0,x (t− t0) +1

2

F0,x

m(t− t0)

2.

Prema pocetnim uvjetima je x(t0) = x0, pa ukupno rjesenje (polozaj, brzina i ubrzanje) zagibanje u smjeru osi x glasi

x(t) = x0+v0,x (t−t0)+ 1

2

F0,x

m(t−t0) 2, vx(t) = v0,x+

F0,x

m(t−t0), ax =

F0,x

m. (5.4)

5.1. GIBANJE U POLJU KONSTANTNE SILE: SLOBODAN PAD 103

Slicnim bi se postupkom dobile odgovarajuce jednadzbe polozaja i brzine i za preostale dvijekoordinate. Ukupno rjesenje koje daje polozaj, brzinu i ubrzanje (u pravokutnim koordinatama)

cestice mase m koja se giba pod djelovanjem konstantne sile ~F = x F0,x + y F0,y + z F0,z uzzadane pocetne uvjete, za sve tri koordinate je

x(t) = x0 + v0,x (t− t0) +1

2

F0,x

m(t− t0)

2, vx(t) = v0,x +F0,x

m(t− t0), ax =

F0,x

m,

y(t) = y0 + v0,y (t− t0) +1

2

F0,y

m(t− t0)

2, vy(t) = v0,y +F0,y

m(t− t0), ay =

F0,y

m,

z(t) = z0 + v0,z (t− t0) +1

2

F0,z

m(t− t0)

2, vz(t) = v0,z +F0,z

m(t− t0), az =

F0,z

m.

(5.5)

Gornji izrazi su komponente rjesenja (5.2) u pravokutnom koordinatnom sustavu.

Konstantna sila je konzervativna. Pokazat cemo da rad konstantne sile ne ovisi o oblikuputanje, nego samo o pocetnoj i konacnoj tocki, tako sto cemo izracunati njezin rad od pocetnetocke (x0, y0, z0) do proizvoljne krajnje tocke (x, y, z)

W =

∫ (x,y,z)

(x0,y0,z0)

~F · d~r =

∫ (x,y,z)

(x0,y0,z0)

(x F0,x + y F0,y + z F0,z) · (x dx+ y dy + z dz)

= F0,x

∫ x

x0

dx+ F0,y

∫ y

y0

dy + F0,z

∫ z

z0

dz

= F0,x (x− x0) + F0,y (y − y0) + F0,z (z − z0). (5.6)

Vidimo da rad ne ovisi o obliku putanje, pa zakljucujemo da je konstantna sila konzervativna.

Buduci da je sila konzervativna, moze joj se, relacijom ~F = −−→∇Ep, pridruziti potencijalnaenergija Ep(x, y, z)

x F0,x + y F0,y + z F0,z = −(x∂Ep∂x

+ y∂Ep∂y

+ z∂Ep∂z

)

⇒ F0,x = −∂Ep∂x

, F0,y = −∂Ep∂y

, F0,z = −∂Ep∂z

.

Sve su tri jednadzbe istog oblika, pa je dovoljno rjesavati samo jednu od njih, npr. za xkoordinatu

∫dx

/F0,x = −∂Ep

∂x

F0,x x = −∫

∂Ep∂x

dx = −Ep(x, y, z) + f1(y, z) + c1

i slicno za preostale dvije jednadzbe. Sve zajedno se dobije

F0,x x = −Ep(x, y, z) + f1(y, z) + c1,

F0,y y = −Ep(x, y, z) + f2(x, z) + c2,

F0,z z = −Ep(x, y, z) + f3(x, y) + c3,


gdje je su ci konstante. Iz gornjeg izraza se ocitava cijeli izraz za potencijalnu energiju

Ep(x, y, z) = −F0,x x− F0,y y − F0,z z + c0, (5.7)

gdje je c0 proizvoljna konstanta. Ovaj je rezultat konzistentan s rezultatom (5.6) za rad kons-tantne sile, jer je

Wp,k = Ep(x0, y0, z0)− Ep(x, y, z).

Primjeri gibanja u polju konstantne sile:Primjenimo relacije (5.5) na nekoliko jednostavnih primjera.

Slobodan pad:Jedan primjer konstantne sile je i sila kojom Zemlja privlaci tijela u svojoj blizini. Zemlja

djeluje privlacnom silom na sva tijela (tijelom nazivamo skup cestica). Ta se sila zove gravita-cijska sila i uz odredena zanemarivanja, moze se smatrati konstantnom silom (o gravitacijskojsili ce vise biti rijeci u poglavlju 7). Gravitacijska je sila usmjerena (priblizno - vidjeti poglavlje8) prema sredistu Zemlje, a po iznosu je jednaka umnosku mase tijela na koje djeluje i jed-nog ubrzanja koje se zove Zemljino gravitacijsko ubrzanje, ~g . U blizini Zemljine povrsine ovoubrzanje iznosi priblizno

g = 9.80665m

s 2

i malo se mijenja ovisno o zemljopisnoj sirini mjesta na kojemu se ono mjeri. Kada se kaze ublizini Zemljine povrsine, onda se misli na udaljenosti od povrsine koje su male u odnosu napolumjer Zemlje.Ako promatramo cesticu mase m koja se giba u blizini Zemljine povrsine pod djelovanjemgravitacijske sile i ako zanemarimo sile trenja koje dolaze od otpora koje pruzaju cestice zrakaiz atmosfere, mozemo reci da se cestica giba pod djelovanjem konstantne sile. Promatramoli gibanja na prostornoj skali maloj u usporedbi s polumjerom Zemlje, mozemo dio Zemljinekugle zamjeniti ravninom. Postavimo pravokutni koordinatni sustav tako da ravnina (x, y) lezina povrsini Zemlje, a da je os z okomita na nju i usmjerena prema gore. U tom koordinatnomsustavu je gravitacijska sila Zemlje

~FG = −m g z .

Gornja sila je sila kojom Zemlja privlaci sva tijela u svojoj blizini i naziva se jos i sila teza.Tezinom tijela, s oznakom ~G , cemo oznacavati silu kojom tijelo djeluje na podlogu na kojojse nalazi ili na objesiste o koje je objeseno. U inercijskim sustavima (vidjeti poglavlje 8) ovesu dvije sile istog iznosa. U neinercijskim sustavima (npr. u dizalu koje se ubrzano giba), ovesile nisu istog iznosa1 Primjetimo jos i da sila teza i tezina tijela nisu sile akcije i reakcije okojima se govori u trecem Newtonovom aksiomu (4.5). U trecem aksiomu se govori o dva tijelakoji jedan na drugi djeluju silama. Sada imamo tri tijela: Zemlja, tijelo mase m i podloga (iliobjesiste). Sila teza je sila kojom Zemlja djeluje na tijelo mase m, a tezina je sila kojom to istotijelo mase m djeluje na podlogu (ili objesiste) na kojoj se nalazi.

1U tekucini, zbog uzgona, ove sile takoder nece biti istog iznosa.

5.1. GIBANJE U POLJU KONSTANTNE SILE: SLOBODAN PAD 105

Gibanje tijela u smjeru prema tlu, pod djelovanjem sile teze (i nijedne druge sile) u bliziniZemljine povrsine, naziva se slobodan pad. Neka se cestica mase m u trenutku t0 nalazi u tocki

~r0 = (0, 0, z0)

i neka ima brzinu

~v0 = (0, 0, v0)

(v0 > 0 ako se cestica giba prema gore, a v0 < 0, ako se cestica giba prema dolje). Jednadzbagibanja (4.4) glasi

d 2~r

dt 2= −gz . (5.8)

Ova je jednadzba istog oblika kao i (5.1), s tom razlikom da su sada sila i pocetni uvjeti drukciji.Uzme li se to u obzir, mozemo iskoristiti rjesenja (5.5)

x(t) = 0, vx(t) = 0, ax(t) = 0,

y(t) = 0, vy(t) = 0, ay(t) = 0, (5.9)

z(t) = z0 + v0(t− t0)− 1

2g(t− t0)

2, vz(t) = v0 − g(t− t0), az(t) = −g.

Iako jednostavno, gornje rjesenje sadrzi jednu vaznu informaciju: u njemu se ne pojavljujemasa tijela koje pada, ili drugim rjecima, tijela razlicitih masa, padaju na isti nacin. Ovoje dakako istina samo dotle dok mozemo zanemariti otpor zraka (kao sto je i napravljeno ugornjem racunu). Ako uzmemo u obzir i otpor zraka (odjeljak 5.4), vidjet cemo da gibanjetijela ovisi i o masi i o obliku tijela. Prigodom jednog od spustanja americkih astronauta napovrsinu Mjeseca, izveden je jedan jednostavan pokus: cekic i pticje pero pusteni su padati spriblizno iste visine prema povrsini Mjeseca. Buduci da Mjesec gotovo i nema atmosferu, nijebilo ni otpora sile trenja i oba tijela, cekic i pero, su pali na povrsinu Mjeseca u priblizno istomtrenutku, u skladu s gornjim jednadzbama.

Primjenom rezultata (5.7) za potencijalnu energiju konstantne sile na ovaj posebni primjergravitacijske sile, dobije se gravitacijska potencijalna energija cestice mase m u obliku

Ep = mgz. (5.10)

Primjetimo da se ovako napisana gravitacijska potencijalna energija moze shvatiti i kao rad sileteze (mg) pri pomaku cestice od povrsine z = 0 do tocke z, bez obzira na vrijednosti x i ykoordinata. Sada z oznacava polozaj cestice iznad Zemljine povrsine, tj. njezinu visinu h, pase gravitacijska potencijalna energija cesto pise i kao Ep = mgh.

Buduci da je gravitacijska sila konzervativna, mora biti zbroj kineticke i potencijalne energijecestice, koja se giba u njezinom polju, konstantan u vremenu i prostoru. Pokazimo da je

Emeh(~r, t) = Emeh(~r0, t0) = const.,

tj. da je zbroj kineticke i potencijalne energije u svakom trenutku jednak zbroju kineticke ipotencijalne energije u pocetnom trenutku. Uvrstimo izraze za kineticku i potencijalnu energiju


cestice

Emeh(~r, t) = Ek(~r, t) + Ep(~r, t) =mv 2(t)

2+mgz(t) =

m

2(v 2x + v 2

y + v 2z ) +mgz

=m

2

[v 2

0 − 2v0g(t− t0) + g 2 (t− t0)2]

+mg

[z0 + v0(t− t0)− 1

2g(t− t0)

2

]

=mv 2

0

2+mgz0

= Emeh(~r0, t0).

5.2 Gibanje u polju konstantne sile: kosi hitac

Kosi hitac je, slicno slobodnom padu, takoder gibanje pod djelovanjem samo sile teze (otporzraka se ponovo zanemaruje)

d 2~r

dt 2= −gz ⇒ d 2x

dt 2= 0,

d 2y

dt 2= 0,

d 2z

dt 2= −g, (5.11)

ali ga od slobodnog pada razlikuju pocetni uvjeti. U pocetnom trenutku (koji, radi jednos-tavnosti, odabiremo tako da je t0 = 0) cestica ima brzinu iznosa v0 koja zatvara kut α premaZemljinoj povrsini. Postavimo koordinatni sustav tako da u pocetnom trenutku brzina ima

Slika 5.2: Uz kosi hitac.

samo y i z komponentu (kao na slici 5.2). U tom slucaju pocetni uvjeti glase

x(0) = 0, y(0) = 0, z(0) = z0, (5.12)

vx(0) = 0, vy(0) = v0 cosα, vz(0) = v0 sinα.

Gornji pocetni uvjeti sadrze u sebi i posebne slucajeve okomitog hica, α = π/2; vodoravnoghica, α = 0 i hica prema dolje, α = −π/2. Jednadzbe gibanja (5.11) su istog oblika kao i

5.2. GIBANJE U POLJU KONSTANTNE SILE: KOSI HITAC 107

jednadzbe (5.3), pa ce zato i rjesenja biti oblika (5.5)

x(t) = 0, vx(t) = 0, ax(t) = 0,

y(t) = v0 t cosα, vy(t) = v0 cosα, ay(t) = 0, (5.13)

z(t) = z0 + v0 t sinα− 1

2gt 2, vz(t) = v0 sinα− gt, az(t) = −g.

Razmislimo o gornjem rjesenju. Buduci da je x(t) uvijek nula, zakljucujemo da se gibanje svevrijeme odvija u ravnini (y, z) (u odjeljku 8 cemo uzeti u obzir i vrtnju Zemlje oko svoje osi itada cemo vidjeti da ovo vise nece biti istina). U smjeru osi y gibanje je jednoliko: zaista,u smjeru osi y ne djeluju nikakve sile (gravitacija djeluje samo u smjeru osi z), pa nema nipromjene brzine, ona je ista kao i na pocetku gibanja vy(t) = vy(0) = v0 cosα. Sila djelujesamo u smjeru osi z i u tom smjeru je gibanje sastavljeno od dvije vrste gibanja: pocetnogjednolikog gibanja (konstantnom brzinom v0 sinα ) u smjeru +z i jednoliko ubrzanoggibanja u smjeru −z (padanja konstantnim ubrzanjem, g).Izracunajmo maksimalnu visinu H koju postigne cestica kod kosog hica uz konstantnupocetnu brzinu v0 i konstantni kut ispaljenja α. Jasno je da ce cestica dostici najvisu tockuputanje u onom trenutku t = tH kada njezina okomita komponenta brzine bude jednaka nuli,tj. kada z koordinata dostigne svoju ekstremni (maksimalni) iznos

vz(t = tH) =d z

d t

∣∣∣∣t=tH

= 0 ⇒ (5.13) ⇒ tH =v0 sinα

g.

To je vrijeme potrebno cestici da dostigna najvisu tocku putanje. Najvisu tocku, zmax = H,izracunavamo tako da u z(t) uvrstimo tH

H = z(t = tH) = z0 +1

2

v 20 sin 2 α

g. (5.14)

Koliki je doseg, D, kosog hica uz konstantnu pocetnu brzinu v0 i konstantni kut ispaljenja α.Da bismo to izracunali, treba najprije naci vrijeme tD u kojemu ce cestica ponovo pasti na tlo.Uvjet da u trenutku tD cestica bude na tlu glasi

z(t = tD) = 0 = z0 + v0tD sinα− 1

2gt 2D.

Gornja kvadratna jednadzba ima formalno dva rjesenja za tD. Od ta dva rjesenja jedno jemanje od nule, pa ga odbacujemo jer nas zanima samo gibanje cestice nakon pocetnog trenutkat = 0. Pozitivno rjesenje glasi

tD =v0 sinα

g+

√v 2

0 sin 2 α

g 2+

2z0

g.

Primjetimo da ako se cestica u pocetku nalazila na tlu (z0 = 0), tada je tD = 2 tH . Koordinatay opisuje otklon od pocetne tocke u vodoravnom smjeru, pa se doseg dobije tako da se izracunakoliki je y(t = tD)

D = y(t = tD) =v 2

0

2 gsin 2α

(1 +

√1 +

2z0g

v 20 sin 2 α

). (5.15)


Prema (5.14) i (5.15), visina H i doseg D ovise o pocetnoj brzini v0 i kutu ispaljenja α, pa semoze postaviti slijedece pitanje: ako se projektil ispaljuje s tla, z0 = 0 i ako je brzina ispaljenjav0 konstantna, koliki treba biti kut α, pa da visina H i doseg D budu maksimalni? Uz oveuvjete, visina i doseg su funkcije kuta, H = H(α) i D = D(α), pa se njihov ekstrem, u ovomslucaju maksimum, odreduje iz uvjeta

(5.14) ⇒ ∂ H

∂ α

∣∣∣∣αmax,H

= 0, ⇒ αmax,H =π

2,

(5.15) ⇒ ∂ D

∂ α

∣∣∣∣αmax,D

= 0 ⇒ αmax,D =π

4.

Primjetimo da (kada se ispaljenje vrsi s tla, z0 = 0), tada je αmax,H = 2αmax,D. Kada se izgornjih jednadzba nadu αmax,H i αmax,D, maksimalni visina i doseg se dobiju kao

Hmax = H(αmax,H) =1

2

v 20

g,

Dmax = D(αmax,D) =v 2

0

g= 2Hmax.

Izracunajmo i oblik putanje cestice, tako sto cemo iz rjesenja za y u jednadzbi gibanja (5.13)eliminirati vrijeme

t =y

v0 cosα

i uvrstiti ga u jednadzbu za z

z − z0 = y tanα− g

2v 20 cos 2 α

y 2.

Gornju jednadzbu prepoznajemo kao jednadzbu parabole u (y, z) ravnini.Kao i kod slobodnog pada, i ovdje djeluje samo gravitacijska konzervativna sila, pa zato morabiti zbroj kineticke i potencijalne energije cestice konstantan. Pokazimo da je

Emeh(~r, t) = Emeh(~r0, 0) = const

Uvrstimo izraze za kineticku i potencijalnu energiju cestice

Emeh(~r, t) = Ek(~r, t) + Ep(~r, t) =mv 2(t)

2+mgz(t) =

m

2(x 2 + y 2 + z 2) +mgz

=m

2(0 + v 2

0 cos 2 α + v 20 sin 2 α− 2v0gt sinα+ g 2t 2) +mg

(z0 + v0t sinα− 1

2gt 2

)

=mv 2

0

2+mgz0 = Emeh(~r0, 0).

Ako bismo u racun uzeli i silu trenja izmedu cestice koja se giba i molekula zraka iz zem-ljine atmosfere, tada ukupna mehanicka energija nece biti sacuvana, nego ce se smanjivati(dEmeh / dt) < 0, a smanjenje mehanicke energije cestice je po iznosu jednako (a po predznakusuprotno) povecanju mehanicke energije gibanja molekula zraka. Promatra li se sustav koji sesastoji od cestice i zraka kroz koji se ona giba, opet ce mehanicka energija takvog sustava ostatinepromjenjena u vremenu.

5.3. UVJETI NA GIBANJE: SILA TRENJA 109

5.3 Uvjeti na gibanje: sila trenja

Postoje situacije u kojim je cestica prisiljena gibati se duz neke odredene povrsine ( npr. kosine,slika 5.3.A) ili krivulje (npr. po unutrasnjosti zakrivljene plohe, slika 5.3.B). U takvim se

Slika 5.3: Uz definiciju uvjeta na gibanje.

slucajevima kaze da je gibanje cestice podvrgnuto odredenim uvjetima. Uslijed djelovanjavanjskih sila (npr. sile teze), cestica ce djelovati silom na plohu kojom se giba, pa ce u skladu strecim Newtonovim aksiomom (4.5), i ploha djelovati na cesticu silom iste jakosti, ali suprotnog

smjera, ~N . Osim ove sile reakcije podloge, postoji jos jedna sila koja je posljedica postojanjauvjeta na gibanje, a zove se trenje. Uslijed privlacnog medudjelovanja cestice s molekulamapodloge po kojoj se giba, pojavit ce se sile koje nastoje zustaviti cesticu u njezinom gibanju.Fenomenoloski se ta sila naziva trenjem, ~Ftr i opisuje se preko koeficijenta trenja µ

Ftr = µ N.

Koeficijent trenja se eksperimantalno odreduje. Smjer sile trenja je suprotan smjeru gibanjacestice,

~Ftr = −µ N v.

Ilustrirajmo ovo primjerom gibanja cestice po kosini kuta nagiba α (slika 5.3.A). Jednostavnomtrigonometrijom se dolazi do

e 1 = x cosα− y sinα,

e 2 = x sinα + y cosα,

Jednadzba gibanja glasi

m(x x + y y ) = −mgy +Ne 2 − Ftre 1

= −mgy +N(x sinα + y cosα)− Ftr(x cosα− y sinα),



mx = N sinα− Ftr cosα = N (sinα− µ cosα),

my = −mg +N cosα + Ftr sinα = −mg +N (cosα+ µ sinα),

uz pocetni uvjet da je cestica u t = 0 mirovala na vrhu kosine:

x(0) = 0, y(0) = y0,

x (0) = 0, y (0) = 0.

Sa slike 5.3.A je

N = mg cosα,

sto uvrsteno u jednadzbe gibanja daje za ubrzanje cestice

x = g cosα(sinα− µ cosα),

y = −g sinα(sinα− µ cosα),

a =√x 2 + y 2 = g(sinα− µ cosα).

Sile, tj. desne strane gornjih jednadzba su konstantne, pa mozemo primjeniti rjesenja (5.5) iliih izravno rjesavati. Integracijom po vremenu dobivamo brzinu

x = gt cosα(sinα− µ cosα),

y = −gt sinα(sinα− µ cosα),

v =√x 2 + y 2 = gt(sinα− µ cosα),

a integracijom brzine po vremenu dobivamo koordinate polozaja cestice

x(t) =1

2gt 2 cosα(sinα− µ cosα),

y(t) = y0 − 1

2gt 2 sinα(sinα− µ cosα).

Prijedeni put od pocetka gibanja pa do trenutka t je jednak

√x 2 + (y − y0) 2 =

1

2gt 2 sinα(sinα− µ cosα).

5.4 Sile ovisne o brzini: (1) sila prigusenja

Cestica koja se giba kroz neko sredstvo, sudara se s cesticama tog sredstva i tijekom tih suda-ra, izmjenjuje s njima energiju i kolicinu gibanja. Makroskopski ucinak ovih sudara je slicandjelovanju jedne sile, koju cemo zvati silom otpora, prigusenja ili disipativnom silom, ~Fprig, a

5.4. SILE OVISNE O BRZINI: (1) SILA PRIGUSENJA 111

koja ima smjer suprotan smjeru gibanja cestice. Najcesca aproksimacija se sastoji u tome dase pretpostavi da je sila otpora srazmjerna nekoj potenciji brzine, v(t), cestice,

~Fprig = −v β vn, β > 0

β je pozitivna konstanta srazmjernosti koja, osim sto prilagodava mjerne jedinice na lijevoji desnoj strani, opisuje (eksperimentalno) svojstva medija u kojem se odvija gibanje i oblik(geometriju) tijela koje se giba.

5.4.1 Slobodan pad

Pogledajmo kako se mijenja jednadzba gibanja cestice u konstantnom polju gravitacijske sile,kada ukljucimo i djelovanje otpora zraka, kada je otpor srazmjeran prvoj potenciji brzine.Jednadzba gibanja sada ima dva clana na desnoj strani

md 2~r

dt 2= −mgz + ~Fprig = −mgz − β~v.

Za razliku od (5.8), gdje se masa kracenjem nestala iz jednadzbe, u gornjoj jednadzbi ostajemasa, tj. nece se tijela razlicitih masa gibati na isti nacin (sto nam je blisko iz svakodnevnogiskustva). Gornju jednadzbu jos treba nadopuniti pocetnim uvjetima:

t0 = 0 : ~r(0) = z z0, ~v(0) = z v0.

Raspisane po komponentama, jednadzbe gibanja glase

mx = −βx , my = −βy , mz = −mg − βz .

Primjetimo da se tijekom padanja, z koordinata cestice smanjuje, tako da je dz < 0 dok jedt > 0, pa je z = dz/dt < 0.

Gornje su jednadzbe medusobno nezavisne, pa se moze rjesavati svaka posebno. Jednadzbe ipocetni uvjeti za x i y komponentu su istog oblika, pa ce i rjesenja biti istog oblika. Rijesimozato samo jednadzbu za komponentu x. Uvedimo novu varijablu vx = x , u kojoj jednadzba zakomponentu x glasi

mdvxdt

= −βvxdvxvx

= − β

mdt

/∫ t

0∫ vx(t)

vx(0)

dvxvx

= − β

m

∫ t

0

dt

lnvx(t)

vx(0)= − β

mt

vx(t) = vx(0) e−β t/m.

No, prema pocetnim je uvjetima, u pocetnom trenutku, x komponenta brzine jednaka nuli,vx(0) = 0, pa iz toga slijedi

vx(t) = 0.


Ako je x komponenta brzine sve vrijeme jednaka nuli, tada je polozaj cestice po osi x nepro-mjenjen i jednak polozaju u trenutku t0 = 0, tj.

x(t) = const. = x(0) = 0.

Istim postupkom se i za polozaj po osi y dobije

y(t) = 0.

Preostaje jednadzba za z komponentu

z = −g − β

mz .

Kao sto je vec spomenuto, tijekom padanja, z koordinata cestice smanjuje, tako da je dz < 0dok je dt > 0, pa je z = dz/dt < 0. Uvedimo novu varijablu Z = −g − βz /m. U varijabli Z,jednadzba gibanja postaje

−mβ

dZ

dt= Z.

Integracijom od pocetnog do trenutka t, se dobije∫ Z(t)

Z(0)

dZ

Z= − β

m

∫ t

0

dt ⇒ Z(t) = Z(0) e−β t/m.

Vratimo li se u pocetne oznake

z (t) = −mgβ

+

(mg

β+ v0

)e−β t/m. (5.16)

Primjetimo da se, u granici t→∞, brzina priblizava konacnoj granicnoj vrijednosti

limt→∞

z (t) = −mgβ.

Vremenskom derivacijom izraza za brzinu (5.16), dobiva se ubrzanje cestice u sredstvu s otporom

z = −(g +

β

mv0

)e−β t/m, (5.17)

a integracijom (5.16), se dobiva polozaj, tj. putanja z = z(t):∫ t

0

dz

dtdt = −m

βgt+

(m

βg + v0

) ∫ t

0

dt e−β t/m

z(t) = z0 − mg

βt− m

β

(mg

β+ v0

) [e−β t/m − 1

].

Granicni slucaj slobodnog pada (bez otpora sredstva) dobiva se kada β u gornjem izrazuiscezava. U tom slucaju moze se razviti eksponencijana funkcija po malom argumentu βt/m idobiti

limβ→0

z(t) = z0 − m

βgt− m

β

(m

βg + v0

) [1− β

mt+

1

2

β 2

m 2t 2 + · · · − 1

]

= z0 + v0t− 1

2gt 2,

5.4. SILE OVISNE O BRZINI: (1) SILA PRIGUSENJA 113

sto je upravo rezultat (5.9) koji se dobije promatranjem slobodnog pada bez ucinka trenja.

Izracunajmo mehanicku energiju u proizvoljnom trenutku t > 0 i pokazimo da je manja odpocetne energije mgz0 + mv 2

0 /2, a da je smanjenje energije srazmjerno s koeficijentom β kojiodreduje silu prigusenja. U trenutku t > 0, energija je jednaka E = mg z +m z 2/2. Izravnomderivacijom E po vremenu, i uvrstavanjem (5.16) i (5.17), dolazi se do

dE

dt= mz (g + z ) =

−1

β

[mg

(1− e−βt/m

)− βv0e−βt/m

] 2

.

Desna je strana uvijek manja od nule, sto znaci da se energija smanjuje s vremenom (vrijemeuvijek ide u jednom smjeru, pa je zato dt uvijek veci od nule; da bi i lijeva strana bila negativnamora biti dE < 0, tj. energija se mora smanjivati). Primjetimo da gubitak energije nijeravnomjeran u vremenu, tako npr. za male vrijednosti β i/ili t je

dE

dt= −β(v0 − gt+ · · · ) 2.

(od t = 0 pa do t = v0/g se gubitak energije smanjuje, a zatim se ponovo povecava). U graniciβ → 0, energija ostaje sacuvana.

5.4.2 Kosi hitac

Jednadzbama kosog hica (5.11), dodajmo clan s trenjem

md 2~r

dt 2= −gz − β ~v ⇒ d 2x

dt 2= − β

mx ,

d 2y

dt 2= − β

my ,

d 2z

dt 2= −g − β

mz . (5.18)

Jednadzbe za x i y koordinatu su istog oblika, pa je dovoljno rijesiti samo jednu od njih, npr.za komponentu x (slicno kao kod slobodnog pada)

mdvxdt

= −βvxdvxvx

= − β

mdt

/∫ t

0∫ vx(t)

vx(0)

dvxvx

= − β

m

∫ t

0

dt

lnvx(t)

vx(0)= − β

mt

vx(t) = vx(0) e−β t/m.

Slicno bi se dobilo i za vy(t)

vx(t) = vx(0) e−β t/m, vy(t) = vy(0) e−β t/m.

Prema pocetnim uvjetima je vx(0) = 0, vy(0) = v0 cosα, sto vodi na

vx(t) = 0, vy(t) = v0 cosα e−β t/m.

Rjesavanje z komponente takoder ide kao i kod slobodnog pada: uvodi se nova varabla Z =−g − βz cime jednadzba za z komponentu postaje

− β

m

dZ

dt= Z,


s rjesenjem (kada se vratimo u pocetne oznake)

vz(t) = v0 sinα e−β t/m − m

βg

(1− e−β t/m

).

Sada, kada su poznate svi tri komponente brzine, njihovom integracijom uz uvrstavanje pocetnihuvjeta, dobiju se polozaji

x(t) = 0,

y(t) =m

βv0 cosα

(1− e−β t/m

),

(5.19)

z(t) = z0 +m

βv0 sinα

(1− e−β t/m

)− m

βg t+

m 2

β 2g

(1− e−β t/m

).

U granici β → 0, kada sila trenja iscezava, iz (5.19) i odgovarajucih derivacija, dobiju serezultati za kosi hitac bez trenja

limβ → 0

y(t) = v0 t cosα,

limβ → 0

vy(t) = v0 cosα,

limβ → 0

ay(t) = 0,

limβ → 0

z(t) = z0 + v0 t sinα− 1

2g t2,

limβ → 0

vz(t) = v0 sinα− g t,

limβ → 0

az(t) = −g.

Slicno kao i kod slobodnog pada, i sada se moze pokazati da mehanicka energija nije sacuvana,nego se smanjuje uslijed trenja. Izravnom derivacijom ukupne mehanicke energije

E =m

2(y 2 + z 2) +mgz

po vremenu, i uvrstavanjem (5.19) i odgovarajucih derivacija, dolazi se do

dE

dt= my y +mz (g + z )

= −βv2

0 cos2 α e−2β t/m +

[v0 sinα e−β t/m − mg

β

(1− e−β t/m

)]2

Izraz u viticastoj zagradi gornjeg izraza je zbroj dva pozitivna broja, pa je i sam uvijek pozitivan,sto znaci da se energija smanjuje s vremenom U granici slabog prigusenja, tj. za male vrijednostiβ je

dE

dt= −β

(v2

0 − 2 v0 g t sinα+ g2 t2)− β2 g t

2

m

(v0 sinα− 1

2g t

)+O

(β3

).

5.5. SILE OVISNE O BRZINI: (2) LORENTZOVA SILA 115

U granici β → 0, energija ostaje sacuvana.

pocetak balistike

5.5 Sile ovisne o brzini: (2) Lorentzova sila

Ovaj cemo odjeljak posvetiti analizi gibanja cestice u jos jednom polju sile koje nije kons-tantno. To je primjer gibanja cestice koja, osim mase, posjeduje i elektricni naboj iznosaq ≶ 0 i koja se giba u elektromagnetskom polju koje je konstantno i u prostoru i u vremenu.Elektromagnetsko polje opisujemo dvama vektorima: vektorom jakosti elektricnog polja ~E ivektorom indukcije magnetskog polja ~B . Sila koja djeluje na cesticu je oblika

~FL = q ~E + q ~v × ~B (5.20)

i zove se Lorentzova sila2 Sastoji se od dva clana: prvog koji predstavlja silu od elektricnogpolja i drugog koji predstavlja silu od magnetskog polja. Ova je druga sila osobita po tome stoovisi o brzini cestice ~v = ~v(t) koja ne mora biti konstanatna u vremenu, pa time i cijela silamoze ovisiti o vremenu. Lorentzova je sila konzervativna, sto se lako vidi ako se izracunarad ~FL izmedu dvije tocke. Za polja ~E i ~B konstantna u prostoru (neovisna o ~r) je

W =

∫ ~r

~r0

~FL d~r =

∫ ~r

~r0

(q ~E + q~v × ~B )d~r = q ~E (~r − ~r0) + q

∫ ~r

~r0

d~r ·(d~r

dt× ~B

)

︸︷︷︸= 0

= q ~E (~r − ~r0)

koji ovisi samo o pocetnoj ~r0 i konacnoj tocki ~r, a ne i o obliku putanje izmedu te dvije tocke.Buduci da je sila konzervativna, moze joj se pridruziti potencijalna energija. O tome ce viserijeci biti u odjeljku 14.6, jednadzba (14.21).Takoder treba primjetiti i da sav rad potjece od elektricne komponente sile: magnetski dio nevrsi rad, jer je magnetska komponenta sile uvijek okomita na pomak cestice (zato je magnetskiclan i jednak nuli). Ovaj rad Lorentzove sile mijenja kineticku energiju cestice, kao u (4.9), tj.iznos brzine cestice. Vidjet cemo da magnetska komponenta sile, iako ne mijenja iznos brzine,mijenja njezin smjer.Radi jednostavnosti, u ovom cemo primjeru zanemariti utjecaj gravitacijske sile i sile trenja nagibanje cestice. U tom slucaju, drugi Newtonov aksiom, tj. jednadzba gibanja cestice (4.4),glasi

d 2~r

dt 2=

1

m

(q ~E + q

d~r

dt× ~B

).

Rjesenje jednadzbe gibanja je jednoznacno odredeno pocetnim uvjetima: neka se u trenutkut = 0, cestica nalazi u tocki ~r0 i ima brzinu ~v0. Vektori polja ~E i ~B neka zatvaraju neki prizvoljnikut θ. Zbog izotropnosti prostora, koordinatni sustav mozemo orjentirati tako da os z imasmjer vektora ~B = Bz (uz B > 0), a da vektor ~E lezi u ravnini (y, z). Zbog homogenosti

2Hendrick Antoon Lorentz, nizozemski fizicar, 1853 - 1928; zajedno s P. Zeemanom, 1902. god. je dobio Nobelovu nagradu zafiziku.


prostora, ishodiste koordinatnog sustava mozemo postaviti u tocku ~r0 (slika 5.4). Uz ovajodabir, pocetni uvjeti glase:

~r(0) = ~0,

(5.21)

~v(0) = ~v0 = v0,x x + v0,y y + v0,z z .

Napisimo jednadzbu gibanja

Slika 5.4: Uz Lorentzovu silu.

m~r = q E (y sin θ + z cos θ) + q ~r × z B,

= q E (y sin θ + z cos θ) + q(x x + y y + z z

)× z B,

= q E (y sin θ + z cos θ) + q Bq,(− x y + y x

),

po komponentama

x =qB

my = ω y ,

y =qE

msin θ − qB

mx =

qE

msin θ − ω x ,

z =qE

mcos θ,

gdje je uvedena tzv. ciklotronska frekvencija

ω =qB

m.

Primjetimo da je predznak ω jednak predznaku naboja cestice: sgnω = sgn q. Prve dvijejednadzbe, za x i y, su medusobno povezane, dok je gibanje u smjeru osi z neovisno o gibanjuu ravnini (x, y).


Promatrajuci jednadzbu gibanja u smjeru osi z, primjecujemo da je desna strana jednadzbekonstantna, tj. tu se radi o gibanju u polju konstantne sile, koje smo vec rijesili na pocetkuovog poglavlja, (5.5), uz z(0) = 0, vz(0) = v0,z i F0,z = qE cos θ. Primjenom tog rjesenja naovaj problem, moze se odmah napisati

z(t) = v0,z t+1

2

qE cos θ

mt 2, vz(t) = v0,z +

qE cos θ

mt, az(t) =

qE cos θ

m. (5.22)

Vezani 2 × 2 sustav diferencijalnih jednadzba za x i y koordinate, cemo rijesiti uvodenjemkompleksne varijable

ζ = x+ i y,

gdje je i 2 = −1, imaginarna jedinica. Pomnozimo li jednadzbu za y s i i zbrojimo ju s jed-nadzbom za x, dobit cemo

x + iy = ωy + iqE

msin θ − iωx

ζ + iωζ = iqE

msin θ. (5.23)

Prema konstrukciji gornje jednadzbe, njezin realni dio je rjesenje za x, a imaginarni dio jerjesenje za y. Gornju cemo jednadzbu rjesavati postupno.

♣ Radi jednostavnosti, ogranicimo se najprije na slucaj gibanja u (samo) elektricnom polju:B = 0 = ω i E 6= 0. Tada jednadzba (5.23) postaje

ζ = x + ı y = iqE

msin θ.

Izjednacimo realne i imaginarne dijelove na lijevoj i desnoj strani

x = 0,

y =qE

msin θ.

No, to su jednadzbe istog oblika kao i u odjeljku 5.1, uz konstantne komponente sile

F0,x = 0, F0,y = q E sin θ.

Rjesenja ove jednadzbe su nam poznata iz (5.5) (dodajmo jos i rjesenje (5.22) za z)

x(t) = v0,x t, y(t) = v0,y t+1

2

q E sin θ

mt 2, z(t) = v0,z t+

1

2

qE cos θ

mt 2.

(5.24)To je rjesenje za

E 6= 0, B = 0.

Gibanje u smjeru osi x je jednoliko i odvija se konstantnom pocetnom brzinom v0,x. U smjeruosi y i z postoji ubrzanje koje dolazi od y i z komponenata sile elektricnog polja, F0,y = q E sin θi F0,z = q E cos θ.


♣ Neka se sada cestica giba (samo) u magnetskom polju, tj. neka je: E = 0, a B 6= 0. Tadajednadzba (5.23) prelazi u

ζ + iωζ = 0. (5.25)

Funkcija cija je druga derivacija srazmjerna prvoj derivaciji, mora biti (do na konstantu) jednakaeksponencijalnoj funkciji. Zato rjesenje gornje jednadzbe trazimo u obliku

ζ = a+ b e c t, ⇒ ζ = b c e c t,

ζ = b c 2 e c t.

Tri nepoznate konstante a, b i c se odreduju iz same jednadzbe (5.25) i dva pocetna uvjeta(5.21). Uvrstavanje gornjeg rjesenja u jednadzbu daje

b c ec t(c+ iω) = 0 ⇒ c = −iωPreostale dvije konstante a i b se odreduju iz pocetnih uvjeta

ζ(0) = x(0) + i y(0) = 0 = a+ b ⇒ a = −b,ζ (0) = x (0) + i y (0) = v0,x + iv0,y = b(−iω),

a = −b =−iv0,x + v0,y

ω.

Uvrstimo ove vrijednosti za konstante a, b i c u ζ = x + i y i odvojimo realni x i imaginarni ydio

Re (ζ) = x(t) =v0,y

ω+v0,x

ωsinωt− v0,y

ωcosωt,

Im (ζ) = y(t) = −v0,x

ω+v0,x

ωcosωt+

v0,y

ωsinωt.

Ova rjesenja mozemo napisati preglednije, uvedemo li velicine R i Φ relacijama

R =

√v 2

0,x + v 20,y

|ω| , tan Φ =v0,y

v0,x

.

Primjetimo da R i Φ ovise o pocetnim uvjetima, tj. pocetnim brzinama. Sada za ukupnorjesenje x, y i z mozemo napisati

x(t)− v0,y

ω= R sin(ωt− Φ), y(t) +

v0,x

ω= R cos(ωt− Φ), z(t) = v0,z t.

(5.26)To je rjesenje za

E = 0, B 6= 0.

U gornjim su jednadzbama vrijednosti x i y odredene parametarski preko vremena t kao para-metra. Ako se zeli dobiti eksplicitna veza izmedu x i y, treba eliminirati parametar tj. vrijeme.Za gornje je jednadzbe to lako napraviti koristeci relaciju

sin2 α+ cos2 α = 1.


Ovime se iz gornjih jednadzba, dobiva(x− v0,y

ω

) 2

+(y +

v0,x

ω

) 2

= R 2.

Lako vidi da cestica u ravnini (x, y) opisuje kruznicu, (slika 5.5.A), s jednadzbom

(x− x0)2 + (y − y0)

2 = R 2 (5.27)

i sa sredistem u tocki

(x0, y0) = (v0,y/ω,−v0,x/ω)

i polumjerom

R =

√v 2

0,x + v 20,y

|ω| .

Polumjer ovisi o pocetnim uvjetima: sto su pocetne brzine vece, veci je i polumjer kruznice.Udaljenost od sredista kruznice do ishodista je

√x 2

0 + y 20 = R,

pa kruznica prolazi ishodistem. Smjer kruzenja ovisi o predznaku ω tj, o predznaku naboja.

Slika 5.5: (A) Gibanje po kruznici u ravnini (x, y). (B) Gibanje po zavojnici u prostoru.

Period kruzenja je odreden zahtjevima

x(t) = x(t+ T ), y(t) = y(t+ T ).

Oba ova zahtjeva su ispunjena ako je

sin(ωt− Φ) = sin[ω(t+ T )− Φ

]= sin(ωt− Φ) cos(ωT ) + cos(ωt− Φ) sin(ωT ).


Gornja relacija vrijedi ako je ωT = ±n · 2π za svaki n = 1, 2, 3, · · · . Period je najkracevrijeme koje zadovoljava ovu relaciju, pa je zato

T =2π

|ω| = 2πm

|q|B.

Primjetimo da period ne ovisi o pocetnim uvjetima, tj. pocetnim brzinama.Uzmemo li u obzir i jednoliko gibanje u smjeru osi z = v0,z t, zakljucujemo da se cestica giba pokrivulji oblika zavojnice (spirale) koja nastaje kombiniranjem jednolikog pravocrtnog gibanja

u smjeru vektora ~B i jednolikog kruzenja u ravnini okomitoj na ~B . Zavojnica je namotana navaljak polumjera R, cija je jedna izvodnica os z. Visina hoda zavojnice je (slika 5.5.B)

∆ z = z(t+ T )− z(t) = v0,z T = v0,z2π

|ω| .

Naboji izbaceni iz ishodista istom pocetnom brzinom v0,z, a razlicitim pocetnim brzinama v0,x

i v0,y, gibat ce se po zavojnicama razlicitih polumjera R, ali ce se ponovo sastati u tockama(0, 0, z(n ·T )), jer im za jedan ophod treba isto vrijeme T (koje ne ovisi o pocetnim brzinama).

♣ Promotrimo sada i najopcenitiji slucaj kada su i elektricno i magnetsko polje razliciti odnule. U tom slucaju treba rijesiti nehomogenu diferencijalnu jednadzbu

ζ + iωζ = iqE sin θ

m.

Opce rjesenje ovakve jednadzbe je zbroj rjesenja homogene, ζH i partikularnog rjesenja, ζPnehomogene jednadzbe

ζ = ζH + ζP .

Homogeno rjesenje znamo iz (5.25) da je oblika ζH = a + b exp(−iωt) (frekvencija vrtnje ω jeista kao i ranije, dok konstante a i b ovise o pocetnim uvjetima na cijelo rjesenje i nece bitiiste kao ranije). Lako je provjeriti da je partikularno rjesenje jednostavno linearna3 funkcijaζP = A · t. Ocito je

ζP = A · t, ζ P = A, ζ P = 0,

pa odabir konstante A = E sin θ/B, zadovoljava jednadzbu. Tako smo dosli do opceg rjesenjau obliku

ζ = a+ be−iωt +E sin θ

Bt,

gdje se konstante a i b odreduju iz pocetnih uvjeta:

ζ(0) = x(0) + i y(0) = 0 = a+ b ⇒ a = −b,ζ (0) = x (0) + i y (0) = v0,x + iv0,y = b(−iω) +

E sin θ

B,

a = ıE sin θ

ωB− ı

v0,x + iv0,y

ω.

b = −ıE sin θ

ωB+ ı

v0,x + iv0,y

ω.

3Opcenita linearna funkcija je oblika a+A · t, no konstantni clan a je vec uracunat kod homogenog dijela rjesenja.


Uvrstavanjem ovih konstanata u izraz za ζ = x + i y i razdvajanjem realnog i imaginarnogdijela, dobivamo rjesenja za x i y

Re (ζ) = x(t) =v0,y

ω+E sin θ

Bt+

(−E sin θ

ωB+v0,x

ω

)sinωt− v0,y

ωcosωt,

Im (ζ) = y(t) = −v0,x

ω+E sin θ

ωB+

(−E sin θ

ωB+v0,x

ω

)cosωt+

v0,y

ωsinωt.

Ponovo se gornja rjesenja mogu preglednije zapisati preko velicina R i Φ, ovoga puta definiranihrelacijama

R =

√[v0,x − E sin θ/B] 2 + v 2

0,y

|ω| , tan Φ =v0,y

v0,x − E sin θ/B.

Pomocu ovih velicina, rjesenja za x, y i z komponente vektora polozaja cestice, tj. njihovaputanja, glasi

x(t)−(v0,y

ω+E sin θ

Bt

)= R sin(ωt− Φ),

y(t) +

(v0,x

ω− E sin θ

ωB

)= R cos(ωt− Φ),

z(t) = v0,z t+1

2

qE cos θ

mt 2.

(5.28)

To je putanja kada su

E 6= 0, B 6= 0.

Sada se u ravnini (x, y), cestica se giba po krivulji koja nastaje gibanjem po kruznici (5.27)kada se i samo srediste kruznice (x0(t), y0), uz

x0(t) =v0,y

ω+E sin θ

Bt, y0 = −v0,x

ω− E sin θ

ωB,

giba konstantnom brzinom

x0 =E sin θ

B, y0 = 0.

u smjeru osi x (slika 5.6.A)

[x− x0(t)

]2

+[y − y0

]2

= R2,

[x−

(v0,y

ω+E sin θ

Bt

)] 2

+

[y +

(v0,x

ω− E sin θ

ωB

)] 2

= R 2.

Kombinacija ova dva gibanja (kruzenje i jednoliko gibanje po pravcu) u ravnini (x, y), daje


Slika 5.6: Gibanje uz ~E 6= 0 i ~B 6= 0: (A) u ravnini (x, y); (B) u trodimenzijskom prostoru.

krivulju koja se zove cikloida4, cija je opcenita parametarska jednadzba oblika

x = a ϕ− b sinϕ, y = a − b cosϕ. (5.29)

Gornje su jednadzbe istog oblika kao i jednadzbe (5.28) za x i y komponentu polozaja. Cikloidamoze biti:

obicna a = b,

produljena b > a,(prolate, extended)

skracena b < a,(curtate, contracted)

ovisno o omjeru putova koje prede cestica gibajuci se po kruznici i po pravcu (slika 5.7) gibajucise brzinom x0. U vremenu od jednog perioda T , cestica obide cijelim opsegom kruznice stoiznosi 2Rπ, a pravocrtno se pomakne za T E sin θ/B

2πR >E sin θ

BT produljena,

2πR =E sin θ

BT obicna,

2πR <E sin θ

BT skracena.

Ukupno, trodimenzijsko, gibanje cestice je kombinacija gibanja po cikloidi u ravnini (x, y) ijednoliko ubrzanog gibanja u smjeru osi z (slika 5.6.B).

4Cikloida je krivulja koju opisuje tocka na kruznici, kada se kruznica kotrlja po pravcu.


Slika 5.7: Cikloide, odozgo prema dolje: obicna, skracena i produljena.

0

2

4

0

2

4

6

0 50 100 150 200-2

0

2

4

6

Pokazimo da su jednadzbe za x i y iz (5.28) oblika jednadzba cikloide (5.29). Nazovimo

ϕ = ωt− Φ.

Tada jednadzbe za x i y iz (5.28), glase

x(t)− v0,y

ω− E sin θ

ω BΦ =

E sin θ

ω Bϕ+R sinϕ,

y(t) +v0,x

ω=

E sin θ

ωB+R cosϕ.

Uvedu li se nove (pomaknute) koordinate

x(t) = x(t)− v0,y

ω− E sin θ

ω BΦ,

y(t) = y(t) +v0,x

ω,

tada su gornje parametarske jednadzbe za x(t) i y(t) upravo oblika jednadzba cikloide (5.29)

x(t) = aϕ+ b sinϕ,

y(t) = a+ b sinϕ,

uz

a ≡ E sin θ

ω B, b ≡ −R.


Sada se usporedba a i b svodi na usporedbu

E sin θ

|ω|B S R,

ili, ako su umjesto |ω| koristi T = 2π/|ω|E sin θ

BS 2 π R.

Poglavlje 6

Gibanje pod djelovanjem elasticne sile:harmonijski oscilator i matematickonjihalo

6.1 Slobodni harmonijski oscilator

U prethodnom poglavlju smo upoznali konstantnu silu, silu trenja i neke od sila ovisnih o brzinicestice. U ovom cemo poglavlju upoznati elasticnu silu koja ovisi o koordinati, tj. o uda-ljenosti cestice od njezinog polozaja ravnoteze. Kao vektorska velicina, sila je karakteriziranasvojim iznosom i smjerom. Kod elasticne sile

iznos sile ovisi linearno o udaljenosti od polozaja ravnoteze, a

smjer sile je smjer prema polozaju ravnoteze.

Cestica koja se giba (samo) pod djelovanjem elasticne sile se zove slobodni harmonijskioscilator ili linearni oscilator.Najjednostavnija realizacija harmonijskog oscilatora jeste elasticna opruga, ciji je jedan krajpricvrscen za nepomicnu stjenku, a za drugi je kraj pricvrscena cestica mase m (slika 6.1.A).Postavimo koordinatni sustav tako da se cestica nalazi u ishodistu kada je opruga nerastegnuta.

Slika 6.1: Uz definiciju elasticne sile.

125

126POGLAVLJE 6. GIBANJE POD DJELOVANJEM ELASTICNE SILE: HARMONIJSKI OSCILATOR I MATEMATICKO NJIHALO

Ako se cestica pomakne iz ravnoteznog polozaja lijevo ili desno po osi x, opruga ce se rastegnutiili sabiti (slike 6.1.B i C) za neki iznos x. Ako je x mali prema duljini opruge, tada ce opruga nacesticu djelovati silom koja je srazmjerna pomaku x (Hookov1 zakon) i bit ce uvijek usmjerenaprema polozaju ravnoteze (u ovom slucaju prema ishodistu)

~Fel = −K x x .

Konstanta K je primjer necega sto se opcenito naziva konstantom vezanja. To je konstantakoja opisuje jakost medudjelovanja promatranog sustava i okoline. U ovom primjeru, sustav jejednostavno jedna cestica, a okolina s kojom ona medudjeluje je opruga. Pozitivna konstantaK se naziva konstanta opruge ili elasticna konstanta, a opisuje kako se lako ili tesko oprugarasteze. Podrijetlo elasticne sile je u (elektricnim) silama koje djeluju medu molekulama tvariod koje je izradena opruga. Ako zanemarimo trenje izmedu cestice i podloge kao i trenje izmeducestice i molekula sredstva kroz koje se cestica giba, jedina sila koja djeluje je elasticna silai sustav sa slike 6.1 predstavlja slobodni harmonijski oscilator. Jednadzba gibanja cestice nakoju djeluje samo elasticna sila glasi

mx = −Kx,a sustav cije je gibanje opisano gornjom jednadzbom se zove slobodni jednodimenzijskiharmonijski oscilator (ili linearni harmonijski oscilator). Samo gibanje se zove harmonijskogibanje. Rijesimo jednadzbu gibanja uz najopcenitije pocetne uvjete: u pocetnom trenutkut = 0, cestica je otklonjena iz polozaja ravnoteze za x0 i ima brzinu v0

t = 0 : x(0) = x0, x (0) = v0. (6.1)

Uvede li se pozitivna konstanta ω0 =√K/m, jednadzba gibanja glasi

x = −ω20 x. (6.2)

Gornja jednadzba kaze da treba naci funkciju cija je druga derivacija srazmjerna negativnojvrijednosti same funkcije. Takvo svojstvo imaju funkcije

sinαt, cosαt, e ı αt, e−ı αt.

Eulerovom relacijom

e±ı αt = cosαt± ı sinαt,

povezane su eksponecijalna i trigonometrijske funkcije, pa se mozemo zadrzati npr. samo natrigonometrijskim funkcijama. Zbog linearnosti diferencijalne jednadzbe (6.2), njezino opcerjesenje je linearna kombinacija sinusa i kosinusa

x(t) = C cosαt+ S sinαt

s nepoznanicama C, S i α. Ove tri nepoznanice cemo odrediti pomocu tri jednadzbe: jednadzbegibanja (6.2) i dvije jednadzbe pocetnih uvjeta (6.1).Uvrstavanjem gornjeg izraza u (6.2), slijedi

α = ± ω0.

Buduci da su C i S jos neodredene, mozemo odabrati bilo koji predznak, npr. pozitivni2

x(t) = C cosω0t+ S sinω0t.1Robert Hook, engleski fizicar, 1635 - 17032Odabir negativnog predznaka samo znaci redefiniciju S → −S.

6.1. SLOBODNI HARMONIJSKI OSCILATOR 127

Preostale dvije nepoznate konstante, C i S, cemo odrediti iz dva pocetna uvjeta (6.1).

x(t = 0) = x0 = C · 1 + S · 0 ⇒ C = x0,

x (t = 0) = v0 = ω0 (−x0 · 0 + S · 1) ⇒ S =v0

ω0

,

x(t) = x0 cosω0t+v0

ω0

sinω0t.

Umjesto zbroja funkcija sinusa i kosinusa, gornje rjesenje mozemo napisati i kao jednu od tihfunkcija, ali s pomakom u fazi. Tako se npr. uvodenjem konstanata A (amplituda) i Φ (pomaku fazi)

A =

√x2

0 +v2

0

ω20

, tan Φ =v0

ω0 x0

, (6.3)

rjesenje za trenutni otklon od polozaja ravnoteze (tj. putanju), x(t), dobiva u obliku (slika 6.2)

x(t) = A cos(ω0t− Φ). (6.4)

Trenutni otklon od polozaja ravnoteze, x(t), se naziva i elongacija. Maksimalni otklon kodtitranja nazivamo amplituda i ona je, prema gornjem izrazu, jednaka ±A. Osim o K i m,amplituda ovisi i o pocetnim uvjetima x0 i v0. Cestica titra oko polozaja ravnoteze kruznomfrekvencijom ω0 koja se naziva vlastita frekvencija titranja.

Slika 6.2: Otklon x(t) = 0.5 cos(2 t− 0.8).

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5t

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

x ( t

)

Ako nismo dovoljno dosjetljivi da pogodimo rjesenje jednadzbe, onda ju trebamo rijesiti.Zaboravimo na trenutak na gornje rjesenje i pocnimo rjesavati jednadzbu gibanja (6.2). Pom-nozimo li obje strane jednadzbe s 2x

2 x x = −2 ω20 x x ,


na lijevoj strani prepoznajemo vremensku derivaciju kvadrata brzine, a na desnoj strani pre-poznajemo vremensku derivaciju kvadrata pomaka

d

dtx 2 = −ω2

0

d

dtx2.

Integracijom po vremenu od pocetnog trenutka 0 do nekog opceg t, dobivamo

∫ t

0

d

dtx 2 dt = −ω2

0

∫ t

0

d

dtx2 dt

∫ t

0

d(x 2) = −ω20

∫ t

0

d(x2)

x 2(t)− x 2(0) = −ω20

[x2(t)− x2(0)

].

No, x 2(0) je kvadrat brzine u pocetnom trenutku, v20, a x2(0) je kvadrat polozaja cestice u

pocetnom trenutku, x20. Uvrstavanjem se dobije izraz za brzinu u proizvoljnom trenutku

x (t) ≡ dx(t)

dt= ± ω0

√(v2

0

ω20

+ x20

)− x2(t) = ± ω0

√A2 − x2(t). (6.5)

Pozitivan predznak brzine se odnosi na onaj dio gibanja kada se cestica pomice desno odpolozaja ravnoteze (kada je dx > 0, opruga se rasteze), a negativni se predznak odnosi napomak cestice lijevo od polozaja ravnoteze (kada je dx < 0, opruga se sabija). Buduci da jebrzina realna velicina, mora izraz pod korjenom biti veci ili jednak nuli. To je moguce samoonda ako se gibanje cestice odvija po ogranicenom dijelu osi x iz intervala −A ≤ x ≤ +A (gdjesmo se posluzili pokratom (6.3)). Opisimo gibanje pocevsi od proizvoljnog trenutka u kojemuje x > 0. Prema jednadzbi (6.5), brzina se smanjuje i postaje jednaka nuli kada cestica dode utocku x = +A. U toj tocki brzina mijenja predznak i postaje negativna. Brzina ima negativnevrijednosti sve dok cestica ne dode u tocku x = −A, kada opet mijenja predznak i postajepozitivna, itd. Ocito ce brzina biti najveca u trenutku prolaska kroz polozaj ravnoteze, x = 0.Ovime smo pokazali kako iz samih jednadzba (6.2) i (6.5), a bez njihova rjesavanja, mozemozakljuciti da ce se cestica pod djelovanjem elasticne sile, gibati periodicki izmedu x = +A ix = −A. Ovaj se zakljucak ne moze izvesti iz samog oblika elasticne sile. Nastavimo sadarjesavati jednadzbu (6.5) tako sto cemo se ograniciti na pocetni uvjet v0 > 0 i zadrzati samopozitivni predznak. Izvedimo zatim razdvajanje varijabli

+dx√A2 − x2

= ω0 dt

/∫

∫ x

x0

dx√A2 − x2= ω0

∫ t

0

dt

arcsinx

A∣∣∣x

x0

= ω0 t ⇒ x(t) = A sin(ω0t+ arcsin

x0

A).

Citateljima prepustamo da pokazu identicnost gornjeg rjesenja s rjesenjem (6.4).

Period:Periodom T cemo nazivati najkraci vremenski interval izmedu dva uzastopna identicna polozaja

6.1. SLOBODNI HARMONIJSKI OSCILATOR 129

cestice. Prema (6.4), moze se napisati

x(t) = x(t+ T )

A cos(ω0t− Φ) = A cos[ω0(t+ T )− Φ

]= A cos

[(ω0t− Φ) + ω0T

]

A cos(ω0t− Φ) = A[cos(ω0t− Φ) cos(ω0T )− sin(ω0t− Φ) sin(ω0T )

]

Usporedbom lijeve i desne strane gornje jednadzbe, zakljucujemo da mora biti

cos(ω0T ) = 1, sin(ω0T ) = 0, ⇒ ω0T = 2π · n,gdje je n neki cijeli broj. Period je najkrace vrijeme koje zadovoljava gornji uvjet, pa zatoodabiremo n = 1,

T =2π

ω0

= 2π

√m

K.

Primjetimo da pocetni uvjeti odreduju amplitudu A i pocetnu fazu Φ, ali ne i na period titranja.Period je odreden samo svojstvima sustava: konstantom vezanja K i masom cestice m.Frekvencija:Frekvencijom ν se naziva broj titraja u jednoj sekundi

ν =1

T=ω0

2π=

1

2π

√K

m. (6.6)

konzervativnost:Pokazimo da je elasticna sila konzervativna, tako sto cemo pokazati da rad elasticne sile ovisisamo o pocetnoj i konacnoj tocki putanje.

Wx0,x =

∫ x

x0

Fel dx = −K∫ x

x0

x dx = −1

2K x2 +

1

2K x2

0

U skladu s (4.19), iz izraza za rad ocitavamo i potencijalnu energiju elasticne sile

Wx0,x = Ep(x0)− Ep(x) = −1

2K x2 +

1

2K x2

0,

iz cega se zakljucuje da je potencijalna energija pridruzena elasticnoj sili

Ep(x) =1

2K x2.

sacuvanje energije:Izracunajmo mehanicku energiju harmonijskog oscilatora u proizvoljnom vremenskom trenutkut

Emeh(t) = Ek(t) + Ep(t) =1

2m x 2 +

1

2K x2

=m

2

[− ω0 A sin(ω0t− Φ)

]2

+K

2

[A cos(ω0t− Φ)

]2

=1

2K A2

=1

2K

(x2

0 +v2

0

ω20

)=

1

2m v2

0 +1

2K x2

0

= Ek(0) + Ep(0) = Emeh(0).


Mehanicka je energija ista u pocetnom kao i u bilo kojem slijedecem trenutku, Emeh(0) =Emeh(t), tj. ona je konstantna (sacuvana)

Ek + Ep = const. (6.7)

U odjeljku 6.4 cemo pokazati kako medudjelovanje cestice s medijem u kojem se odvija titranje,vodi na smanjenje energije cestice (relacija (6.22)).

6.2 Gustoca vjerojatnosti

U ovom odjeljku zelimo odgovoriti na slijedece pitanje: ako se tijekom vremena, oscilator gibapo osi x unutar intervala (−A,+A), kolika je vjerojatnost da se u danom trenutku oscilatornalazi unutar infinitezimalnog intervala [x, x + d x]? Tu cemo vjerojatnost oznaciti s dP (x).Buduci da se oscilator mora nalaziti negdje u intervalu −A ≤ x ≤ +A, to za dP (x) moravrijediti (normiranje vjerojatnosti)

∫ +A

−AdP (x) = 1.

Umjesto same vjerojatnosti dP (x), uobicajeno je uvesti gustocu vjerojatnosti ρ(x). I gustocavjerojatnosti se definira kao i sve ostale gustoce s kojima smo se do sada susretali (gustocamase, naboja, energije, . . . ): ako je dP (x) vjerojatnost nalazenja oscilatora negdje u intervalu[x, x + dx], tada je gustoca vjerojatnosti dana omjerom

ρ(x) =dP (x)

d x,

a uvjet normiranja glasi∫ +A

−Aρ(x) dx = 1.

Izracunajmo gustocu vjerojatnosti ρ(x) za harmonijski oscilator iz prethodnog odjeljka. Naj-prije cemo gornju relaciju normiranja transformirati tako sto cemo s integracije po prostoru,prijeci na vremensku integraciju: dx = v dt

∫ +A

−Aρ(x) dx =

∫ T/2

0

ρ v dt = 1.

Lako je uvjeriti se da ce gornja relacija biti zadovoljena ako je

ρ = 2/(vT ),

jer je tada∫ T/2

0

ρ v dt =

∫ T/2

0

2

v Tv dt =

2

T

T

2= 1.

Da bismo iz ρ = 2/(vT ) mogli procitati ρ kao funkciju polozaja x, treba brzinu izraziti kaofunkciju od x. Prema (6.5) je

v =dx

dt= ω0

√A2 − x2

6.3. NELINEARNI OSCILATOR - RACUN SMETNJE 131

Primjetimo da je brzina najmanja i jednaka je nuli u tockama okretista, x = ± A, a najvecaje pri prolazu kroz polozaj ravnoteze x = 0. Pomocu gornjeg izraza za brzinu, za gustocuvjerojatnosti, ρ = 2/(vT ), se dobiva (slika 6.3)

ρ(x) =1

π

1√A2 − x2.

Najmanja je vjerojatnost da cemo oscilator zateci tamo gdje se on najbrze giba, a to je u

Slika 6.3: Gustoca vjerojatnosti nalazenja harmonijskog oscilatora ρ(x) = 1/√

1− x2.

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5x

0

1

2

3

4

5

6

7

8

ρ (

x )

okolini tocke x = 0. Naprotiv, najveca je vjerojatnost da cemo naci oscilator tamo gdje se onnajsporije giba (jer tamo provodi najvise vremena), a to je u okolini tocaka x = ± A.

Primjer: 6.1 tekst primjera

R: tekst rjesenja

6.3 Nelinearni oscilator - racun smetnje

Ako sila koja djeluje na cesticu, pored clana linearnog s udaljenoscu od polozaja ravnoteze,sadrzi i clanove visih potencija,

F = −K x+K2 x2 +K3 x

3 + · · · ,tada se sustav sastavljen od cestice i sile koja na nju djeluje, naziva neharmonijski ili neli-nearni oscilator ili oscilator sa smetnjom. Na primjeru opruge, visi clanovi u izrazu za silu cese pojaviti ako rastezanje ili sabijanje opruge vise nije malo u odnosu na nerastegnutu dulji-nu opruge. Ocekujemo da najveci doprinos sili potjece od linearnog clana, dok su doprinosiostalih clanova po iznosu utoliko manji ukoliko im je potencija visa. Slijedeci primjer neliner-nosti mozemo naci kod matematickog njihala, relacija (6.56), gdje je vodeci nelinearni clan u


izrazu za silu, srazmjeran trecoj potenciji kuta otklona od polozaja ravnoteze. Postupak kojimcemo izracunavati putanju cestice pod djelovanjem nelinearne sile je primjer jednog opcenitogpostupka koji se naziva racun smetnje. Naziv dolazi od toga sto se ovi dodatni nelinearniclanovi sile shvacaju kao smetnja u odnosu na gibanje cestice koje bi se odvijalao kada tihclanova ne bi bilo. Osnovna pretpostavka racuna smetnje je da se putanja cestice sa smetnjommalo razlikuje od putanje nesmetane cestice. Ili, vise tehnicki receno, da postoji mala velicinapo kojoj se moze izvesti razvoj velicina od interesa (npr. otklona i kruzne frekvencije, relacije(6.9)).Ako se, radi jednostavnosti, zadrzimo samo na vodecem (kvadratnom) nelinearnom clanu, jed-nadzba gibanja glasi

mx = −Kx+K2x2.

Zbog pretpostavke da su dodatni clanovi (u odnosu na elasticnu silu) mali, ocekujemo da ce serjesenje gornje jednadzbe malo razlikovati od rjesenja harmonijskog oscilatora i da ce u graniciK2 → 0, prijeci u (6.4). Takoder cemo se ograniciti na trazenje periodickih rjesenja za kojaje x(t) = x(t + T ). Za period titranja T = 2π/ω ocekujemo da ce se razlikovati od periodalinearnog oscilatora 2π/ω0, kao i da ce ta razlika iscezavati u granici K2 → 0.Umjesto vremena, uvedimo novu bezdimenzijsku varijablu ϕ = ωt u kojoj jednadzba gibanjapostaje

ω2 d2x

dϕ2= −ω2

0x+K2

mx2

/1

ω20(

ω

ω0

)2d2x

dϕ2+ x− ε x2 = 0, (6.8)

gdje smo uveli pokratu ε = K2/(mω20) (primjetimo da ε ima dimenziju inverzne duljine). Zbog

pretpostavke da je kvadratni clan u izrazu za silu malen, ocekujemo da je otklon x i kruznufrekvenciju ω, moguce napisati u obliku razvoja u red po maloj velicini ε

x(ϕ) =∞∑n=0

an(ϕ) εn,

(ω

ω0

)2

=∞∑n=0

bn(ϕ) εn. (6.9)

Kako bismo u granici ε → 0 dobili rjesenja linearnog oscilatora (uz iste pocetne uvjete), morabiti a0 jednako rjesenju (6.4), a b0 mora biti jednako jedinici.Pocetne uvjete cemo odabrati tako da je

x(ϕ = 0) = x0, x (ϕ = 0) = 0 (6.10)

(primjetimo da su ovi uvjeti nesto jednostavniji od uvjeta (6.1). Prevedeno na jezik koeficijenataan, ovi uvjeti glase

a0(ϕ = 0) = x0, an(ϕ = 0) = 0, n = 1, 2, · · · (6.11)

an(ϕ = 0) = ωd andϕ

∣∣∣∣ϕ=0

= 0, n = 0, 1, 2, · · ·

Uvrstimo razvoje (6.9) u jednadzbu gibanja (6.8)

( ∞∑n=0

bn εn

) ( ∞∑n=0

d2andϕ2

εn

)+

( ∞∑n=0

an εn

)− ε

( ∞∑n=0

an εn

)2

= 0.

6.3. NELINEARNI OSCILATOR - RACUN SMETNJE 133

Grupiraju li se clanovi s istom potencijom ε, dobit ce se red cijih nekoliko prvih clanova izgledaovako

[b0a′ ′0 + a0] ε

0 +[b0a

′ ′1 + b1a

′ ′0 + a1 − a2

0

]ε1 + [b0a

′ ′2 + b1a

′ ′1 + b2a

′ ′0 + a2 − 2a0a1] ε

2 + · · · = 0

(crticom su oznacene derivacije po ϕ). Zanemareni su clanovi s trecom i visim potencijamaε. S obzirom da je ε konstanta, gornja jednadzba moze biti zadovoljena samo ako je svaka oduglatih zagrada jednaka nuli, sto vodi na sustav jednadzba (gdje smo uzeli u obzir da je b0 = 1)

ε0 : a ′ ′0 + a0 = 0,

ε1 : a ′ ′1 + a1 = a20 − b1a

′ ′0 , (6.12)

ε2 : a ′ ′2 + a2 = 2a0a1 − b1a′ ′1 − b2a

′ ′0 .

Rjesavanje jednadzbe uz ε0 uz pocetne uvjete (6.11) ide isto kao i rjesavanje jednadzbe linearnogoscilatora i daje

a0 = x0 cos(ωt), b0 = 1. (6.13)

Sada ovo rjesenje za a0 uvrstavamo u jednadzbu uz ε1 i dolazimo do

a ′ ′1 + a1 =x2

0

2+ b1x0 cosϕ+

x20

2cos 2ϕ.

To je nehomogena diferencijalna jednadzba, pa je njezino opce rjesnje zbroj homogenog i par-tikularnog rjesenja a1 = a1,H + a1,P . Homogeno rjesenje je ocito oblika A cosϕ + B sinϕ, dokcemo partikularno rjesenje potraziti u obliku

a1,P = c1 + c2 ϕ sinϕ+ c3 cos 2ϕ.

Uvrstavanjem u jednadzbu za a1 i usporedbom lijeve i desne strane jednadzbe, zakljucujemoda konstante cj moraju biti jednake

c1 =x2

0

2, c2 =

b1x0

2, c3 = −x

20

6.

No, dio rjesenja srazmjeran s ϕ sinϕ nije periodican, pa ga moramo odbaciti, tj. njegovkoeficijent, c2, mora biti jednak nuli, a to je moguce samo ako je b1 = 0. Sada za cijelo(homogeno plus partikularno) rjesenje a1 preostaje

a1 = A cosϕ+B sinϕ+x2

0

2− x2

0

6cos 2ϕ.

Konstante A i B odredujemo iz pocetnih uvjeta (6.11): A = −x20/3, B = 0,

a1 =x2

0

2− x2

0

3cos(ωt)− x2

0

6cos(2ωt), b1 = 0. (6.14)

Za izracunavanje a2(ϕ) treba rijesiti trecu od jednadzba (6.12)

a ′ ′2 + a2 = 2a0a1 − b1a′ ′1 − b2a

′ ′0 = 2a0a1 + b2a0.

Nakon uvrstavanja rjesenja (6.13) i (6.14) za a0 i a1, desna strana gornje jednadzbe je oblikacn · cos(nϕ)

a ′ ′2 + a2 = −x30

3+ x0(b2 +

5

6x2

0) cosϕ− x30

3cos 2ϕ− x3

0

6cos 3ϕ. (6.15)


Iz rjesavanja jednadzbe za a1 smo vidjeli da clan s cosϕ na desnoj strani, vodi na neperiodickidio rjesenja za a1, pa se stoga taj clan ne smije pojaviti niti na desnoj strani jednadzbe zaa2, tj. mora biti b2 = −5x2

0/6. Jednadzba za a2 je nehomogena, pa je njezino rjesenje zbrojrjesenja homogene i partikularnog rjesenja nehomogene jednadzbe: a2 = a2,H+a2,P . Homogenorjesenje je opet oblika A cosϕ + B sinϕ, dok cemo za partikularno rjesenje pretpostaviti redoblika cn cosnϕ (izostavivsi clan s n = 1, koji vodi na neperiodicnost)

a2,P = c0 + c2 cos 2ϕ+ c3 cos 3ϕ.

Konstante cj odredujemo iz zahtjeva da a2,P zadovoljava jednadzbu (6.15)

c0 = −x30

3, c2 =

x30

9, c3 =

x30

48.

Ukupno rjesenje za a2

a2 = A cosϕ+B sinϕ− x30

3+x3

0

9cos 2ϕ+

x30

48cos 3ϕ,

sadrzi konstante A i B koje se odrede iz pocetnih uvjeta (6.11): A = 29x30/144, B = 0,

a2 = −x30

3+

29 x30

144cosϕ+

x30

9cos 2ϕ+

x30

48cos 3ϕ, b2 = −5

6x2

0. (6.16)

Uvrstavanje rjesenja (6.13), (6.14) i (6.16) u razvoj (6.9) za otklon x(ϕ) daje

x(ϕ) = x0 cosϕ+

(1

2− cosϕ

3− cos 2ϕ

6

)x2

0 ε1+

(−1

3+

29 cosϕ

144+

cos 2ϕ

9+

cos 3ϕ

48

)x3

0 ε2+· · ·

(6.17)Nakon preraspodjele clanova, izraz za otklon, se moze napisati preglednije kao

x = x0

(1

2x0 ε− 1

3x2

0 ε2 + · · ·

)+

(1− 1

3x0 ε+

29

144x2

0 ε2 + · · ·

)cosωt (6.18)

+

(−1

6x0 ε+

1

9x2

0 ε2 + · · ·

)cos 2ωt+

(1

48x2

0 ε2 + · · ·

)cos 3ωt

.

Kruzna frekvencija ω iz gornjeg izraza je takoder poznata s tocnoscu od O(ε3). Razvoj (6.9)za ω daje

ω = ω0

(1− 5

12x2

0 ε2 + · · ·

). (6.19)

Vidimo da uvodenje nelinearnog clana snizava frekvenciju (tj. povecava period) titranja uodnosu na frekvenciju linearnog oscilatora (6.6). Takoder primjecujemo da sada frekvencija (patime i period) ovise i o pocetnim uvjetima (kroz x0), a ne samo o svojstvima sustava (masa ikonstanta vezanja) kao kod linearnog oscilatora.

Osim ovog primjera nelinearnog oscilatora, racun smetnje se moze primjeniti i na vec spomenutiprimjer matematickog njihala. Vise detalja o ovome primjeru se moze naci u odjeljku 15.3reference [18] ili na str. 130 reference [5].

6.4. PRIGUSENI HARMONIJSKI OSCILATOR 135

6.4 Priguseni harmonijski oscilator

Na harmonijski oscilator koji titra u nekom sredstvu (zraku, tekucini) djelovat ce i sila pri-gusenja (otpora, trenja). Ova je sila rezultat medudjelovanja cestice koja titra i cestica sredstvau kojemu se odvija titranje. Eksperimentalno je ustanovljeno da sila prigusenja ovisi o brzinicestice (ili tijela) koja se giba kroz sredstvo i da ima smjer suprotan smjeru trenutne brzine.

Radi jednostavnosti, pretpostavit cemo da je sila prigusenja, ~Fprig, srazmjerna prvoj potencijibrzine (prisjetiti se slicnog racuna iz odjeljka 5.4). Za gibanje po osi x je

~Fprig = −β ~v = −β v x = −β dx

dtx , β > 0.

Koeficijent prigusenja β je pozitivna konstanta koja opisuje oblik tijela i svojstva sredstva ukojemu se odvija titranje3.Uz elasticnu silu i silu prigusnja, jednadzba gibanja glasi

mx = Fel + Fprig = −Kx− βx . (6.20)

Postavimo i pocetne uvjete

x(0) = x0, x (0) = v0.

Uvede li se konstanta γ = β/(2m), gornja jednadzba gibanja se moze preglednija napisati kao

x + 2γx + ω20x = 0. (6.21)

To je homogena linearna diferencijalna jednadzba drugog reda, cija cemo rjesenja potraziti uobliku eksponencijalne funkcije

x(t) = a e b t,

za konstantne a i b. Uvrstavanje u jednadzbu vodi do

(b2 + 2 γ b+ ω20) a e

b t = 0.

i dva rjesenja za b

b± = −γ ±√γ2 − ω2

0.

Oznacimo izraz pod korjenom (diskriminantu) s D2 = γ2 − ω20. Uz pretpostavku da je D2 6= 0,

postoje dva rjesenja za x, pa je opce rjesenje njihova linearna kombinacija

x(t) = a+ e b+ t + a− e b− t.

Dvije konstante a± se odreduju iz dva pocetna uvjeta: pocetni polozaj i pocetna brzina.

(D2 > 0) Ako je D2 = γ2 − ω20 > 0, tada je u pocetnim oznakama β2 > 4mK; to je granica

jakog prigusenja. Obje vrijednosti b± = −γ±√γ2 − ω2

0 su realne i negativne, uz 0 > b+ > b−

x(t) = a+ e −|b+| t + a− e −|b−| t

= e −γ t(a+ e t

√γ2−ω2

0 + a− e −t√γ2−ω2

0

).

3Takva je npr. sila viskoznosti koja djeluje na tijelo koje se giba kroz viskozni fluid. Ova sila ovisi o obliku tijela, a u slucajukugle polumjera r, ona je po svojem iznosu, dana sa F = 6πηrv, gdje je η koeficijent viskoznosti, a v brzina. Ovakva sile se zoveStokesova sila.


Slika 6.4: Jako priguseno titranje uz D2 = γ2 − ω20 > 0.

0 5 10 15 20 25 30t

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

x ( t )

( A )

a +

> 0, a - > 0

a +

< 0, a - < 0

0 5 10 15 20 25 30t

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

x(t)

a +

- | a - | < 0

( B )

Ako su a+ i a− istog predznaka (a to ovisi o pocetnim uvjetima), i otklon x(t) ce biti stalnoistog predznaka, pa ce se cestica priblizavati polozaju ravnoteze samo s jedne strane (slika6.4.A), ne prelazeci niti jednom na drugu stranu.

Ako je a− (koji stoji uz exp(−|b−|t), koji brze opada jer je |b+| < |b−|) suprotnog predznaka,a veceg iznosa od a+, tada cestica zapocinje gibanje s jedne strane, prijede na drugu stranu i ste druge strane se priblizava polozaju ravnoteze (slika 6.4.B).

Ovaj oblik rjesenja se naziva neperiodickim.

(D2 = 0) Ako je D2 = 0 ili γ2 = ω20, tada je i b− = b+ = −γ, pa imamo samo jedno rjesenje

za x

x1 = e −γ t,

a ne dva. Drugo rjesenje, linearno nezavisno od ovoga, doznajemo iz teorije rjesavanja diferen-cijalnih jednadzba, relacija (6.49), i ono je oblika

x2 = t · e −γ t.

Uvrstavanjem ovog izraza u jednadzbu gibanja harmonijskog oscilatora s prigusenjem, lako jeuvjeriti se da ono zadovoljava jednadzbu. Sada opet imamo dva linearno nezavisna rjesenja, i

6.4. PRIGUSENI HARMONIJSKI OSCILATOR 137

ukupno rjesenje je njihova linearna kombinacija

x(t) = a x1(t) + b x2(t), a, b = const.

= a e −γ t + b t · e −γ t = e −γ t (a+ b t).

Konstante a i b se odreduju iz pocetnih uvjeta. Ovo je granicni slucaj neperiodickog gibanja.Za male t, eksponencijalni je clan priblizno jednak jedan, pa x(t) linearno raste s t. Kasnijeeksponencijalni clan postaje dominantan i cijelo rjesenje eksponencijalno trne. Kao rezultatkompeticije ova dva clana, vremenska ce ovisnost otklona od polozaja ravnoteze, x(t), izgledatikao na slici 6.5. Koordinate maksimalnog otklona (tmax, xmax), odredujemo iz uvjeta

Slika 6.5: Titranje uz D2 = 0. Otklon je x(t) = e −0.5 t (1 + 8 t).

0 5 10 15 20 25 30t

0

1

2

3

4

5

6

7

x ( t

)

t max

d x

d t= 0 ⇒ tmax =

b− γ a

b γ, xmax = x(tmax) =

b

γe −(1−γ a/b).

(D2 < 0) Ako je D2 = γ2 − ω20 < 0, tada je u pocetnim oznakama β2 < 4mK; to je granica

slabog prigusenja.

b± = −γ ± i√ω2

0 − γ2

x(t) = e −γ t(a+ e it

√ω2

0−γ2+ a− e −it

√ω2

0−γ2).

Nazovemo li ω =√ω2

0 − γ2, rjesenje za otklon x(t) mozemo napisati kao

x(t) = e −γ t

(a+ + a−)︸︷︷︸

= C

cosωt+ ı(a+ − a−)︸︷︷︸= S

sinωt

.

Uz oznake

A0 =√C2 + S2, tan Φ =

S

C,


otklon se moze napisati u obliku

x(t) = A(t) cos(ωt− Φ), A(t) = A0 e−γ t

gdje se konstante A0 i Φ odreduju iz pocetnih uvjeta na polozaj i brzinu cestice. Rjesenje jeprikazano na slici 6.6: to je kosinus cija amplituda, A(t) = A0 e

−γ t, nije konstantna u vremenu,nego eksponencijalno opada. Ovaj oblik rjesenja se naziva periodickim. Period ovog prigusenog

Slika 6.6: Titranje uz D2 = γ2 − ω20 < 0. Otklon je x(t) = 10 e −0.3 t cos(2t − 4). Za usporedbu, zelena linija

pokazuje titranje bez trenja.

0 5 10 15 20t

-10

-5

0

5

10

x(t)

titranja

T =2π

ω=

2π√ω2

0 − γ2

je veci od perioda slobodnog (neprigusenog , γ ≡ 0) harmonijskog oscilatora.

Izracunajmo vrijednost otklona za dvije susjedne vrijednosti t (oznacene s tn i tn+1) za koje jecos(ωtn − Φ) = 1 i cos(ωtn+1 − Φ) = 1

t = tn, → x = xn

t = tn+1 = tn + T, → x = xn+1

xn = A e −γ tn · 1xn+1 = A e −γ tn+1 · 1 = A e −γ (tn+T )

xnxn+1

=A e −γ tn

A e −γ tn e −γ T= e γ T

Velicinu koja opisuje brzinu opadanja amplitude na logaritamskoj skali, zovemo logaritamskidekrement i oznacavamo ju s δ

δ = lnxnxn+1

= γT =2πγ√ω2

0 − γ2.

6.5. PRISILNI TITRAJI HARMONIJSKOG OSCILATORA 139

Primjetimo zajednicku karakteristiku sva tri tipa gornjih rjesenja (D2 > 0, D2 = 0 i D2 < 0):amplituda svih ovih rjesenja eksponencijalno trne s vremenom, tj. nakon dovoljno dugovremena, njihova ce amplituda postati proizvoljno mala. To je upravo ucinak prigusenja. Unastavku ovog odjeljka cemo pokazati kako se zbog prigusenja smanjuje i energija oscilatora, au slijedecem odjeljku cemo pokazati kako vanjska sila moze nadoknaditi ovaj gubitak energijei odrzati titranje oscilatora, unatoc gubicima energije kroz prigusenje.

Energija:Pokazimo da sada, kada na cesticu djeluje i sila prigusenja4, mehanicka enegija cestice nijesacuvana, nego s s vremenom smanjuje.

Emeh =mx 2

2+Kx2

2dEmehdt

=m

22x x +

K

22xx = x (mx +Kx).

No, prema jednadzbi gibanja (6.20), izraz u okrugloj zagradi je upravo jednak −βx , pa jevremenska promjena mehanicke energije (tj. snaga) jednaka

dEmehdt

= −β x 2. (6.22)

Ako nema prigusenja (β ≡ 0), energija je sacuvana Emeh(t) = const., kao sto smo i dobili kodizvoda (6.7). Buduci da je β > 0, desna je strana negativna, sto znaci da se energija cesticesmanjuje s vremenom. Lako je vidjeti da je ovaj gubitak energije rezultat rada sile prigusenja

Pprig =dWprig

d t=

~Fprig d~r

d t= ~Fprig ~v = (−βx ) x = −β x 2.

Jedno od osnovnih nacela fizike kaze da se energija ne moze ni povecati ni smanjiti. Iz togazakljucujemo da ako se energija cestice oscilatora smanjila, neka se druga energija moralapovecati, tako da je njihov zbroj nepromjenjen. Cestica oscilatora se u svom gibaju sudara scesticama sredstva u kojemu se odvija titranje i prenosi na njih dio svoje energije (pogledatidio o sudarima). Time se povecava kineticka energija cestica sredstva. U statistickoj fizici sesrednja kineticka energija cestica povezuje s temperaturom, tako da visa energija odgovara visojtemperaturi. Prema tome mozemo reci da se mehanicka energija cestice oscilatora postupnopretvara u energiju toplinskog gibanja cestica sredstva u kojemu se nalazi oscilator.


R: tekst rjesenja

6.5 Prisilni titraji harmonijskog oscilatora

Pretpostavimo sada da na harmonijski oscilator, osim elasticne sile i sile prigusenja, djelujejos i periodicna vanjska sila ~Fv(t) u smjeru osi x. Sila je periodicna s periodom T , tako da je

~Fv(t) = ~Fv(t+ T ).4Prigusenje nije konzervativna sila, pa nema potencijalnu energiju.


Jednadzba gibanja tada glasi

mx = −Kx− βx + Fv(t).

Uz oznake ω20 = K/m i 2γ = β/m, gornja jednadzba postaje linearna nehomogena diferenci-

jalna jednadzba drugog reda s konstantnim koeficijentima

x + 2 γ x + ω20 x =

1

mFv(t).

Zadajmo i pocetne uvjete

x(0) = x0, x (0) = v0.

Opce rjesenje nehomogene jednadzbe, x(t), je zbroj rjesenja homogene jednadzbe xH (koje vecznamo iz prethodnog odjeljka) i partikularnog rjesenja xP nehomogene jednadzbe, koje cemosada izracunati

x = xH + xP .

No, prije toga primjetimo jednu posljedicu linearnosti gornje jednadzbe: ako se vanjska silamoze napisati kao zbroj dva clana, npr.

Fv(t) = Fv,1(t) + Fv,2(t),

tada je i partikularno rjesenje oblika

xP = xP,1 + xP,2,

gdje je xP,1 partikularno rjesenje jednadzbe

x P,1 + 2 γ x P,1 + ω20 xP,1 =

1

mFv,1(t), (6.23)

a xP,2 je partikularno rjesenje jednadzbe

x P,2 + 2 γ x P,2 + ω20 xP,2 =

1

mFv,2(t). (6.24)

Zaista, ako se u jednadzbu

x + 2 γ x + ω20 x =

1

mFv,1(t) +

1

mFv,2(t)

uvrsti za x = xP,1 + xP,2, dobit ce se

(x P,1 + x P,2) + 2 γ (x P,1 + x P,2) + ω20 (xP,1 + xP,2) =

1

mFv,1(t) +

1

mFv,2(t)

[x P,1 + 2 γ x P,1 + ω2

0 xP,1 −1

mFv,1(t)

]+

[x P,2 + 2 γ x P,2 + ω2

0 xP,2 −1

mFv,2(t)

]= 0.

No, xP,1 je rjesenje od (6.23), a xP,2 rjesenje od (6.24) i zato su obje gornje uglate zagradejednake nuli. Ocito je da se gornje razmatranje moze primjeniti i na slucaj kada je vanjska siladana u obliku zbroja proizvoljno mnogo clanova

Fv =∑j

Fv,j.


Tada je partikularno rjesenje zbroj rjesenja koja odgovaraju svakom pojedinom clanu vanjskesile

xP =∑j

xP,j. (6.25)

Kao sto je pokazano u dodatku C , svaka se periodicna funkcija moze napisati u obliku besko-nacnog reda trigonometrijskih funkcija. Shodno tomu, i vanjska se periodicna sila Fv mozenapisati kao

Fv(t) =1

2C0 +

∞∑j=1

[Cj cos (j ω t) + Sj sin (j ω t)

],

gdje je ω kruzna frekvencija koja odgovara periodu vanjske sile ω = 2 π/T , a Cj i Sj su poznatikoeficijenti razvoja

C0 =2

T

∫ T

0

Fv(t) d t,

Cj =2

T

∫ T

0

Fv(t) cos (j ω t) d t,

Sj =2

T

∫ T

0

Fv(t) sin (j ω t) d t.

Uz ovakav izraz za vanjsku silu, potrebno je naci partikularna rjesenja slijedecih jednadzba:

x(0)P x + 2 γ x + ω2

0 x =C0

2 m,

x(c)P x + 2 γ x + ω2

0 x =Cjm

cos (j ω t), (6.26)

x(s)P x + 2 γ x + ω2

0 x =Sjm

sin (j ω t).

a ukupno partikularno rjesenje je njihov zbroj

xP = x(0)P +

∞∑j=1

[x

(c)P + x

(s)P

](6.27)

Lako je vidjeti da je partikularno rjesenje prve od jednadzba (6.26), naprosto konstanta

x(0)P =

C0

2mω20

. (6.28)

Potrazimo sada rjesenje druge i trece od jednadzba (6.26) za j = 1. Rjesenja za ostale j-ovecemo dobiti tako sto cemo u j = 1 rjesenje uvesti zamjene

ω → j ω, C1 → Cj, S1 → Sj. (6.29)

Uz oznake f0 = C1/m i g0 = S1/m, jednadzbe cija partikularna rjesenje trazimo, postaju

x + 2 γ x + ω20 x = f0 cos ω t, x + 2 γ x + ω2

0 x = g0 sin ω t. (6.30)

Jednadzbe su istog oblika, pa je dovoljno rjesavati jednu od njih, npr. prvu. Pretpostavimo dace se, uslijed djelovanja vanjske sile, titranje odvijati kruznom frekvencijom vanjske


sile ω i da ce zato otklon x(c)P (t) biti oblika

x(c)P (t) = CP cosωt+ SP sinωt,

x(c)P (t) = −ω CP sinωt+ ω SP cosωt,

x(c)P (t) = −ω2

[CP cosωt+ SP sinωt

],

gdje su CP i SP nepoznate konstante koje treba odrediti. Uvrstavanjem ovog pretpostavljenogrjesenja u prvu od jednadzba gibanja (6.30), dolazi se do

sinωt[−2CPγω + SP (ω2

0 − ω2)]+ cosωt

[CP (ω2

0 − ω2) + 2SPγω − f0

]= 0.

Buduci da sinusi i kosinusi iz gornje jednadzbe ne mogu istovremeni biti jednaki nuli, za-kljucujemo da svaka od gornjih uglatih zagrada mora zasebno iscezavati

−2CP γ ω + SP (ω20 − ω2) = 0,

CP (ω20 − ω2) + 2SP γ ω = f0.

To je 2 × 2 sustav za nepoznanice CP i SP , koji daje njihova rjesenja

CP =f0

4γ2ω2 + (ω20 − ω2)2

(ω20 − ω2), SP =

f0

4γ2ω2 + (ω20 − ω2)2

2γω,

a time i partikuarno rjesenje x(c)P

x(c)P =

f0

4γ2ω2 + (ω20 − ω2)2

[(ω2

0 − ω2) cosωt+ 2γω sinωt],

= A (c)(ω) cos[ωt− Φ(ω)

](6.31)

gdje smo uveli frekventno ovisan pomak u fazi Φ(ω) relacijom

tan Φ(ω) =2 γ ω

ω20 − ω2

, 0 ≤ Φ ≤ π (6.32)

i frekventno ovisnu amplitudu

A (c)(ω) =f0√

4 γ2 ω2 + (ω20 − ω2)2

=C1

m√

4 γ2 ω2 + (ω20 − ω2)2

. (6.33)

Slicnim se putem za drugu jednadzbu iz (6.30), dobije

x(s)P = A (s)(ω) sin

[ωt− Φ(ω)

]

s istim faznim pomakom Φ(ω) i amplitudom

A (s)(ω) =g0√

4 γ2 ω2 + (ω20 − ω2)2

=S1

m√

4 γ2 ω2 + (ω20 − ω2)2

. (6.34)


Pomocu rjesenja (6.28) i gornja dva rjesenja za x(c)P i x

(s)P , jednostavnim zamjenama iz (6.29),

dolazi se do partikularnog rjesenja jednadzbi (6.26) u obliku (6.27)

xP (t) =C0

2mω20

+∞∑j=1

Cj cos[jωt− Φ(j ω)

]+ Sj sin

[jωt− Φ(j ω)

]

m

√4γ2(j ω)2 +

[ω2

0 − (j ω)2]2

,

i, dodavanjem rjesenja homogene jednadzbe, do opceg rjesenja

x(t) = xH(t) +C0

2mω20

+∞∑j=1

Cj cos[jωt− Φ(j ω)

]+ Sj sin

[jωt− Φ(j ω)

]

m

√4γ2(j ω)2 +

[ω2

0 − (j ω)2]2

,

gdje su faze Φ(j ω) zadane sa

tan Φ(j ω) =2 γ j ω

ω20 − j2 ω2

, 0 ≤ Φ ≤ π. (6.35)

Kao sto smo pokazali u prethodnom odjeljku, sva rjesenja homogene jednadzbe eksponenci-jalno trnu s vremenom kao e −γ t, i zato su vazna samo u kratkom vremenskom intervalu nakonukljucivanja vanjske sile - zovu se tranzijentna ili prijelazna rjesenja zato jer opisuju prije-lazni rezim titranja harmonijskog oscilatora (prijelaz iz rezima kada ne djeluje vanjska sila, urezim kada vanjska sila pocinje djelovati)

limt→∞

xH(t) = 0.

To je razlog zasto izvan tog prijelaznog vremenskog intervala, mozemo zanemariti utjecaj homo-genog rjesenja i smatrati da je gibanje harmonijskog oscilatora odredeno samo partikularnimrjesenjem. Ovo partikularno rjesenje se naziva i stacionarno rjesenje, zato jer je to onorjesenje koje se opaza u dugom vremenskom intervalu nakon pocetka djelovanja vanjske sile.Vidimo da sada cestica titra frekvencijom vanjskog polja, uz pomak u fazi Φj, a taj je pomakuzrokovan silom prigusenja opisanom koeficijentom γ = β/(2m). Zbog otpora cestica sredstva,harmonijski oscilator ne moze tocno slijediti titranje vanjske sile, nego malo kasni za njim.

RezonancijaRadi jednostavnosti dalje analize, ogranicimo se na jednostavnu periodicnu silu ciji je samo

jedan koeficijent, neka to bude C1 ≡ F0 iz (6.26), razlicit od nule. Promotrimo amplitudu(6.33) stacionarnog titranja (slika 6.7)

A(ω) =f0√

4γ2ω2 + (ω20 − ω2)2

, f0 =F0

m.

Primjecujemo da amplituda ovisi o kruznoj frekvenciji vanjskog polja, A = A(ω), i da je najvecana frekvenciji koju cemo nazvati rezonantnom kruznom frekvencijom ωR

dAdω

∣∣∣∣ω=ωR

= 0 ⇒ ω2R = ω2

0 − 2γ2 ⇒ Amax = A(ωR) =f0

2γ√ω2

0 − γ2. (6.36)

Blizu ove kruzne frekvencije, amplitude titranja harmonijskog oscilatora su vrlo velike i mogu


Slika 6.7: Amplituda titraja, (6.33), u slucaju rezonancije s prigusenjem, za ω0 = 2 Hz.

0 1 2 3 4 5ω

0

0.2

0.4

0.6

0.8

A (ω

) / f 0

γ = 0.3 Hzγ = 0.5 Hzγ = 1.0 Hzγ = 2.0 Hz

ostetiti5 sam sustav koji titra. Ta se pojava naziva rezonancija. Izraz za amplitudu moze senapisati i preko ωR

A(ω) =f0√

4γ2ω2 + (ω20 − ω2)2

=f0√

4γ2ω2 + (ω20 − 2γ2 + 2γ2 − ω2)2

=f0√

4γ2ω2 + [(ω2R − ω2) + 2γ2]2

= · · · = f0√4γ2(ω2

0 − γ2) + (ω2 − ω2R)2

. (6.37)

Granicne vrijednosti amplitude za male i velike frekvencije, slijede iz (6.33)

A(ω → 0) =f0√ω4

0 + 0=f0

ω20

= const.,

A(ω →∞) =f0√ω4 + 0

=f0

ω2→ 0.

Iako graf A(ω) nije simetrican u varijabli ω, on je simetrican oko ωR u varijabli ω2. Neka jeω2 = ω2

R ±∆ 2, tada je prema (6.37)

A(ω2 = ω2R ±∆ 2) =

f0√4γ2(ω2

0 − γ2) + (ω2R ±∆ 2 − ω2

R)2=

f0√4γ2(ω2

0 − γ2) + ∆ 4,

pa je

A(ω2 = ω2R + ∆ 2) = A(ω2 = ω2

R −∆ 2).

Gornja relacija vrijedi za 0 ≤ ∆ ≤ ωR, kako bi ω2 = ω2R ±∆ 2 bilo uvijek pozitivno ili nula.

5Vjerojatno najpoznatiji primjer destruktivnog ucinka rezonancije je rusenje Tacoma mosta. Ovaj viseci most je pusten u promet1. VII 1940., a spajao je dvije strane zaljevskog tjesnaca Pudget Sound u americkoj drzavi Washington. Ukupna duzina mu je bilaod oko dva kilometra, a najveci raspon mosta je bio 853m. Samo cetiri meseca kasnije, 7. XI 1940., vjetar brzine od oko 60 km/hga je doveo u rezonantno torzijsko stanje titranja perioda oko 5 s. Buduci da je cijelo je titranje trajalo oko sat vremena, svi koji suse tada zatekli na mostu imali su dovoljno vremena da se maknu s njega, a bilo je vremena i za dolazak snimatelja koji su snimilimost za vrijeme titranja i rusenja. Dio snimka mozete pogledati na http://www.youtube.com/watch?v=j-zczJXSxnw&feature=fvst.


Rezonancija bez prigusenja:Promotrimo sada detaljnije situaciju kada na harmonijski oscilator djeluje vanjska periodicnasila, ali kada nema otpora sredstva β = γ = 0. Tada je, prema (6.36), rezonantnafrekvencija jednaka vlastitoj frekvenciji slobodnog harmonijskog oscilatora

ωR = ω0.

Rijesimo jednadzbu gibanja kada je ω = ωR = ω0

x + ω20x = f0 cosω0t. (6.38)

Ukupno rjesenje je opet zbroj homogenog i partikularnog rjesenja x = xH+xP . Kao i u odjeljku6.1, lako je uvjeriti se da je homogeno rjesenje linearna kombinacija sinusa i kosinusa

xH(t) = C cosω0t+ S sinω0t,

dok iz teorije diferencijalnih jednadzba (slicno kao kod D2 = 0 rjesenja sa strane 136 ili (6.50)),slijedi da je drugo linearno nezavisno rjesenje oblika

xP (t) = t(CP cosω0t+ SP sinω0t

).

Uvrstavanjem gornjeg xP u jednadzbu gibanja (6.38) i izjednacavanjem clanova uz sinω0t icosω0t na lijevoj i desnoj strani jednadzbe, dobivamo dvije jednadzbe za dvije nepoznanice:CP i SP

−2ω0CP = 0 ⇒ CP = 0,

2ω0SP = f0 ⇒ SP =f0

2ω0

.

Ukupno je rjesenje (slika 6.8)

x(t) = xH + xP = C cosω0t+

(S + t

f0

2ω0

)sinω0t

≡ A(t) cos[ω0t− Φ(t)

]. (6.39)

gdje smo uveli vremenski ovisnu amplitudu A = A(t)

A(t) ≡√C2 +

(S + t

f0

2ω0

)2

i vremenski ovisan pomak u fazi Φ(t)

tan Φ(t) =1

C

(S + t

f0

2ω0

)

(konstante C i S odreduju se iz pocetnih uvjeta: x(0) = x0, x (0) = v0). Vidimo da sadaamlituda titranja, A(t), raste s vremenom, sto ce, nakon dovoljno dugo vremena, dovestido raspada sustava.Takoder treba primjetiti i da pomak u fazi Φ(t) ovisi o vremenu, pa se vremena t u kojima jex(t) = 0 :

ω0 t+ Φ(t) = (2n+ 1)π

2.

razlikuju od onih za f0 ≡ 0


Slika 6.8: Elongacija (6.39) za slucaj rezonancije bez prigusenja.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10t

-30

-20

-10

0

10

20

30

x ( t

)

Primjer: 6.3 Izvedite izraz za struju u strujnom krugu sa slike 6.9, ako je vanjski napon oblika

V (t) = V0 sinωt.

Slika 6.9: Uz primjer 6.3.

R: Izjednacimo napone u strujnom krugu

V0 sinωt = RI + Ld I

d t+Q

C.

Da bi se ovaj primjer povezao s modelom harmonijskog oscilatora, derivirajmo gor-


nju jednadzbu po vremenu i podijelimo ju s L

d2 I

d t2+R

L

d I

d t+

1

LCI =

V0 ω

Lcosωt. (6.40)

No, gornja je jednadzba upravo oblika (6.26), s prigusenjem danim sa

2 γ =R

L,

vlastitom frekvencijom

ω20 =

1

LC,

i vanjskom periodicnom silom

Fv =V0 ω

Lcosωt.

Ukupno rjesenje za struju je zbroj homogenog i partikularnog rjesenja, pri cemuhomogeno rjesenje eksponencijalno trne s vremenom i vazno je samo u kratkomvremenskom intervalu nakon ikljucenja vanjskog napona. Ono sto odreduje oblikstruje nakon ukljucenja vanjskog napona je partikularno rjesenje IP koje cemo sa-da izracunati. Pretpostavljamo da ce struja u krugu titrati frekvencijom vanjskognapona, tj. da ce biti oblika

IP (t) = C cosωt+ S sinωt. (6.41)

Uvrstavanje ovog izraza za sruju u (6.40), vodi na

cosωt

[−ω2 C +

R

Lω S +

1

LCC − V0 ω

L

]+ sinωt

[−ω2 S − R

Lω C +

1

LCS

]= 0.

Buducu da sinusi i kosinusi ne mogu istovremeno biti jednaki nuli, mora svaka odgornjih uglatih zagrada zasebno iscezavati

(1

LC− ω2

)C +

Rω

LS =

V0 ω

L,

−RωLC +

(1

LC− ω2

)S = 0.

Rjesavanje gornjeg 2 × 2 sustava za C i S daje

C =V0

R2 +(

1ωC

− ω L)2

(1

ω C− ω L

),

S =V0

R2 +(

1ωC

− ω L)2 R

Uvrstavane gornjih vrijednosti u (6.41), daje konacni izraz za struju u stacionarnomrezimu

IP (t) = A cos(ωt− Φ),


gdje su

A =V0√

R2 +(

1ω C

− ω L)2,

tan Φ =R

1ω C

− ω L.

Primjetimo jos da uvjet rezonancije (maksimalne amplitude)

dAd t

= 0,

daje da je rezonantna frekvencija jednaka vlastitoj frekvenciji

ωR = ω0 =1√LC

.

6.6 Apsorpcija snage vanjske sile

Radi jednostavnosti, ogranicimo se opet na vanjsku silu ciji je koeficijent C1 ≡ F0 razvoja (6.26),razlicit od nule, dok su svi ostali koeficijenti jednaki nuli. Djelujuci na harmonijski oscilator,vanjska sila ~Fv(t) = F0 cosωt x nad njim obavlja odredeni rad i time povecava njegovuenergiju. U ovom cemo odjeljku izracunati koliko je to povecanje energije po jedinici vremenatako sto cemo izracunati snagu vanjske sile Pv

Pv =dWv

d t=

~Fv d~r

d t= ~Fv ~v = F0 cosωt x x x = F0 x cosωt.

Brzinu x cemo izracunati pomocu stacionarnog (partikularnog) rjesenja (6.31) jer nas zanimaponasanje sustava u vremenima nakon ukljucenja sile, a ne sam prijelazni rezim u trenutkuukljucenja. Vremenskom derivacijom (6.31) i uvrstavanjem u gornji izraz za snagu, dobije setrenutna apsorbirana snaga vanjske sile kao

Pv(t) = − F 20

m

ω√4γ2ω2 + (ω2

0 − ω2)2sin(ωt− Φ) cosωt.

Buduci da se vanjska sila mijenja s vremenom, isto tako ce se s vremenom mijenjati i apsor-birana snaga. Kako je sila periodicna s periodom T = 2 π/ω, relevantna je srednja snagaapsorbirana tijekom jednog perioda. Opci izraz za racun srednje vrijednosti periodicnefunkcije 〈 f 〉 tijekom jednog perioda je

〈 f 〉 =1

T

∫ t+T

t

f(t) d t. (6.42)

Primjenimo gornji izraz na racun srednje apsorbirane snage

〈Pv〉 = − F 20

m

ω√4γ2ω2 + (ω2

0 − ω2)2〈 sin(ωt− Φ) cosωt 〉

= − F 20

m

ω√4γ2ω2 + (ω2

0 − ω2)2

(1

2cos Φ 〈 sin 2ωt 〉 − sin Φ 〈 cos2 ωt 〉

).

6.6. APSORPCIJA SNAGE VANJSKE SILE 149

Elementarnom integracijom se dobiva

〈 sin 2ωt 〉 =1

T

∫ t+T

t

sin 2ωt d t = 0, (6.43)

〈 cos2 ωt 〉 =1

T

∫ t+T

t

cos2 ωt d t =1

2,

sto, uvrsteno u izraz za srednju snagu, daje

〈Pv〉 =1

2

F 20

m

ω√4γ2ω2 + (ω2

0 − ω2)2sin Φ.

Trigonometrijskim preobrazbama se iz (6.32) dobije

sin Φ =2 γ ω√

4γ2ω2 + (ω20 − ω2)2

,

pa je konacno

〈Pv〉 =γ F 2

0

m

ω2

4γ2ω2 + (ω20 − ω2)2

. (6.44)

Gornji izraz je predstavlja snagu (usrednjenu po jednom priodu) koju vanjska sila predaje har-monijskom oscilatoru (slika 6.10). Vidi se da apsorbirana snaga ovisi o frekvenciji vanjske sile:na nekim je frekvencijama apsorpcija veca, a na nekima je manja. Sad je prirodno postavi-

Slika 6.10: Snaga, (6.44), usrednjena po jednom periodu koju vanjska sila predaje harmonijskom oscilatoru (zaω0 = 2 Hz).

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4ω

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

< P v

> m

/ (

γ F 0

2 )

γ = 0.3 Hzγ = 0.5 Hzγ = 1.0 Hzγ = 2.0 Hz

ti slijedece pitanje: koliku frekvenciju treba imati vanjska sila, pa da apsorpcija snage budemaksimalna? Kao i obicno, ekstrem funkcije trazimo izjednacavanjem njezine prve derivacije snulom

d

dω〈Pv〉 = 0,


sto je zadovoljeno ako je

ω = ω0.

Dakle, kao sto se moglo i ocekivati, sustav apsorbira najvise energije (po jedinici vremena), akovanjska sila titra vlastitom frekvencijom samog sustava. Maksimalna apsorbirana snaga je

〈Pv〉max = 〈Pv〉ω=ω0 =1

4

F 20

γ m. (6.45)

Apsorpcija snage je veca ako je veci intezitet vanjske sile, ako je manje prigusenje i ako je manjamasa cestice koja titra (ovdje je rijec o tromoj masi).

polusirina linije:Osim polozaj maksimuma 〈Pv〉, oblik apsorpcijske linije sa slike 6.10 se opisuje i pojmompolusirine linije. Polusirina se definira tako sto se pitamo za koliko se treba pomaknuti nalijevu i desnu stranu od maksimuma, ω = ω0 ± ∆ω, pa da vrijednost 〈Pv〉 bude jednakapolovici maksimalne? Kada nademo ∆ω, trazena polusirina je 2 ∆ω. Sama ∆ω je daklerjesenje jednadzbe

〈Pv〉ω=ω0±∆ω =1

2〈Pv〉max.

Izravnim uvrstavanjem (6.44) i (6.45) u gornju jednadzbu, i njezinim rjesavanjem, dobiva se

∆ ω = γ − ω0 +√γ2 + ω2

0.

U granici slabog prigusenja γ << ω0, priblizno je

∆ ω ' γ.

Polusirina linije je dakle priblizno jednaka 2 γ i odredena je koeficijentom prigusenja: sto jemanje prigusenje, apsorpcijska linija postaje sve uza (slika 6.10).Primjetimo jos i da se apsorbirana snaga moze dobiti u obliku Lorentzove funkcije (lorencijana)

fL(Y ) =1

1 + Y 2.

Da bi se to izvelo, u (6.44) treba izvesti zamjenu varijable, tako da se za varijablu koristiY ≡ 1/ tan Φ, koji je, prema (6.32), jednak

Y ≡ 1

tan Φ=ω2

0 − ω2

2γω.

U toj je varijabli

〈Pv〉 =F 2

0

4 m γ

1

1 + Y 2.

Vidimo da je apsorpcijska linija uistinu oblika lorencijana, a da se maksimum postize za Φ =π/2.


Sacuvanje energije:Na kraju jos jedna mala provjera cijelog racuna. Upravo smo ustanovili da, uslijed rada vanj-ske sile, postoji tok energije u sustav (harmonijski oscilator). Buduci da smo sve smo vrijemeradili sa stacionarnim rjesenjem (6.31), zakljucujemo da istovremeno mora postojati i tokenergije iz sustava koji je po iznosu jednak toku energije u sustav. U suprotonom, stacionarnostanje se ne bi moglo ostvariti. Jasno je da se tok energije iz sustava u okolinu odvija mehaniz-mom prigusenja (medudjelovanja harmonijskog oscilatora sa cesticama okoline). Ovaj gubitakenergije smo vec izracunali u (6.22), i on je jednak

Pprig =dEmehd t

= −β x 2 = −2 m γ x 2.

Uvrsti li se za x brzina dobivena iz stacionarnog rjesenja (6.31) i izvede li se vremensko usred-njenje po jednom periodu, nakon kraceg racuna dolazi se do

〈 Pprig 〉 = −2 γ m ω2 A2(ω)(

cos2 Φ〈 sin2 ωt 〉+ sin2 Φ〈 cos2 ωt 〉 − 2 sin Φ cos Φ 〈sinωt cosωt〉)

= −γ m ω2 A2(ω),

gdje smo za izracunavanje vremenskih srednjih vrijednosti koristili (6.43). Uvrstavanjem am-plitude iz (6.33), dobije se brzina gubitka energije kao

〈 Pprig 〉 = −γ F20

m

ω2

4γ2ω2 + (ω20 − ω2)2

. (6.46)

Usporedimo li gornji izraz sa (6.44), vidimo da je ukupna bilanca energije

〈 Pprig 〉+ 〈Pv〉 = 0,

ili

| 〈 Pprig 〉 | = 〈Pv〉.Ostvaren je stacionarni protok energije: koliko energije posredstvom vanjske sile ude u sustav(harmonijski oscilator), toliko i izade procesom prigusenja.

6.6.1 Neperiodicna vanjska sila

Do sada smo govorili o harmonijskom oscilatoru na koji djeluje periodicna vanjska sila. Po-gledajmo sada sto se moze reci o rjesenju jednadzbe gibanja oscilatora, ako vanjska sila nijenuzno periodicna?

Radi jednostavnosti, izostavit cemo ucinke prigusenja i promatrati gibanje cestice pod djelova-njem samo elasticne sile i vanjske sile Fv(t). Jednadzba gibanja je

mx +K x = Fv(t),

a pocetni uvjeti neka su: x(0) = x0, x (0) = v0. Opce rjesenje gornje jednadzbe je zbrojhomogenog i partikularnog rjesenja x = xH + xP . Homogeno rjesenje je oblika

xH = CH cosω0t+ SH sinω0t,

gdje su CH i SH konstante, a ω0 =√K/m.


Ukupno rjesenje (dakle, ne samo partikularno) cemo potraziti polazeci od homogenog rjesenjai koristeci metodu varijacije konstanata. Kao sto je poznato iz matematicke analize(vidjeti npr. [23], str. 535) ukupno rjesenje gornje jednadzbe se trazi u obliku

x(t) = C(t) cosω0t+ S(t) sinω0t,

pri cemu su funkcije S(t) i C(t), rjesenja 2 × 2 sustava

C ′ cosω0t+ S ′ sinω0t = 0,

C ′ (cosω0t)′ + S ′ (sinω0t)

′ = Fv,

tj. (nakon deriviranja)

C ′ cosω0t+ S ′ sinω0t = 0,

−C ′ sinω0t+ S ′ cosω0t =Fvω0

.

Prva od gornjih jednadzba se pomnozi sa sinω0t, a druga s cosω0t, a zatim se dobivene jed-nadzbe zbroje. Rezultat je

dS

d t=

1

ω0

Fv(t) cosω0t

/ ∫ t

0

d t

S(t)− S(0) =1

ω0

∫ t

0

Fv(s) cosω0s d s.

Na slican nacin (mnozenjem prve jednadzbe s cosω0t, a druge sa sinω0t i oduzimanjem prveod druge), dobiva se i

dC

d t= − 1

ω0

Fv(t) sinω0t

/ ∫ t

0

d t (6.47)

C(t)− C(0) = − 1

ω0

∫ t

0

Fv(s) sinω0s d s.

Sada je opce rjesenje

x(t) =

[S(0) +

1

ω0

∫ t

0

Fv(s) cosω0s d s

]sinω0t

+

[C(0)− 1

ω0

∫ t

0

Fv(s) sinω0s d s

]cosω0t.

Uvrstimo u gornje rjesenje pocetne uvjete:

x(0) = x0 = 0 +[C(0)− 0

]⇒ C(0) = x0.

Racun pocetnog uvjeta na brzinu

x(t) = C(t) cosω0t+ S(t) sinω0t

x (t) = C ′(t) cosω0t− ω0C(t) sinω0t

+ S ′(t) sinω0t+ ω0S(t) cosω0t,

x (0) = v0 = C ′(0) + ω0S(0).


Iz relacije (6.47) se ocitava C ′(0) = 0, pa je

S(0) =v0

ω0

.

Sada se cijelo rjesenje moze napisati u obliku

x(t) = x0 cosω0t+v0

ω0

sinω0t

+1

ω0

∫ t

0

Fv(s)[

sinω0t cosω0s− cosω0t sinω0s]d s

= x0 cosω0t+v0

ω0

sinω0t+1

ω0

∫ t

0

Fv(s) sinω0(t− s) d s

= xH + xP ,

gdje smo prepoznali homogeno rjesenje xH , poznato iz odjeljka 6.1 (koje preostane ako nemavanjske sile: Fv = 0)

xH = x0 cosω0t+v0

ω0

sinω0t

i drugi dio koji je partikularno rjesenje

xP =1

ω0

∫ t

0

Fv(s) sinω0(t− s) d s.

Opcenitije:Gore izlozena teorija se odnosi na nepriguseni harmonijski oscilator na koji djeluje neperiodicnavanjska sila. No, to je samo poseban slucaj opcenitog problema trazenja partikularnog rjesenjadiferencijalne jednadzbe drugog reda s konstantnim koeficijentima

x + p x + q x = f(t), (6.48)

gdje su p i q konstante. Gornjoj se diferencijalnoj jednadzbi pridruzuje algebarska jednadzba

ϕ(k) = k2 + p k + q = 0

koja se naziva karakteristicna jednadzba. Navodimo rjesenja jednadzbe (6.48) za dva mogucaoblika funkcije f(t).

(1)

f(t) = e a t Pn(t),

gdje je Pn(t) polinom n-tog reda u varijabli t. Ako a nije korjen karakteristicne jednadzbe, tj.ako je

ϕ(a) 6= 0,

tada se partikularno rjesenje trazi u obliku

xp = e a t Qn(t),


gdje je Qn(t) polinom n-tog reda u varijabli t, ciji se koeficijenti odreduju uvrstavanjem xpu jednadzbu i usporedbom clanova s istom potencijom t. Ako a jeste korjen karakteristicnejednadzbe, tj. ako je

ϕ(a) = 0,


xp = xr e a t Qn(t), (6.49)

gdje je r visestrukost korjena a (tj. r = 1 ili je r = 2).

(2)Ako je nehomogeni dio oblika

f(t) = e a t[Pn(t) cos bt+Qm(t) sin bt

]

gdje su Pn(t) i Qm(t) polinomi n-tog i m-tog reda u varijabli t. Ako a ± ı b nisu korjenikarakteristicne jednadzbe, tj. ako je

ϕ(a± ı b) 6= 0,


xp = e a t[CN(t) cos bt+ SN(t) sin bt

],

gdje su CN(t) i SN(t) polinomi reda N = max n,m u varijabli t, ciji se koeficijenti odredujuuvrstavanjem xp u jednadzbu i usporedbom clanova s istom potencijom t i uz istu trigonome-trijsku funkciju. Ako a± ı b jeste korjen karakteristicne jednadzbe, tj. ako je

ϕ(a± ı b) = 0,


xp = xr e a t[CN(t) cos bt+ SN(t) sin bt

], (6.50)

gdje je r visestrukost korjena a± ı b (tj. r = 1 ili je r = 2).


R: tekst rjesenja

6.7 Dvodimenzijski harmonijski oscilator

U prethodnim smo odjeljcima promatrali iskljucivo jednodimenzijsko gibanje cestice pod dje-lovanjem elasticne sile (i sile prigusenja, vanjske sile itd.) Promotrimo sada dvodimenzijskogibanje cestice pod djelovanjem samo elasticne sile u ravnini (x, y)

~F = −Kx x x −Ky y y , (6.51)

6.7. DVODIMENZIJSKI HARMONIJSKI OSCILATOR 155

Slika 6.11: Elasticna sila u dvije dimenzije.

gdje suKx iKy pozitivne konstante (slika 6.11). Primjetimo da zaKx 6= Ky, sila nije usmjerenaprema ishodistu . Jednadzba gibanja cestice mase m pod djelovanjem gornje sile je

md2 ~r

d t2= −Kx x x −Ky y y ,

raspisana po komponentama pravokutnog koordinatnog sustava postaje

x = −ω20,x x, ω2

0,x =Kx

m,

y = −ω20,y y, ω2

0,y =Ky

m, (6.52)

z = 0.

Osim gornjim jednadzbama, gibanje je odredeno i pocetnim uvjetima:

x(0) = x0, x (0) = v0x, y(0) = y0, y (0) = v0 y, z(0) = 0, z (0) = 0.

Uz ove uvjete, cestica ce se sve vrijeme gibati u ravnini (x, y). Dobila su se dva nevezana jed-nodimenzijska slobodna harmonijska oscilatora, cije su jednadzbe gibanja vec rjesne u odjeljku6.1

x(t) = Cx cosω0,xt+ Sx sinω0,xt = Ax cos(ω0,xt− Φx),

y(t) = Cy cosω0,yt+ Sy sinω0,yt = Ay cos(ω0,yt− Φy).

To su parametarske jednadzbe s vremenom t kao parametrom. Konstante Cj i Sj, tj. Aj i Φj

se odreduju iz gornjih pocetnih uvjeta na polozaj i brzinu cestice, kao u (6.3)

Ax =

√x2

0 +v2

0x

ω20x

, tan Φx =v0x

ω0x x0

,

Ay =

√y2

0 +v2

0 y

ω20 y

, tan Φy =v0 y

ω0 y y0

.


Putanje koje cestica opisuje u ravnini (x, y) se zovu Lissajousove6 krivulje. Nekoliko razlicitihLissajousovih krivulja je prikazano na slici 6.12. Razmotrimo neke njihove najjednostavnije

Slika 6.12: Lissajousova krivulje kao rjesenja jednadzba: x = A sin(ω0,xt + δ), y = A sin(ω0,yt) za δ = π/2 inavedene vrijednosti ω0,x i ω0,y, pri cemu je ω0,x neparan prirodan broj i |ω0,x − ω0,y| = 1

ω0,x = 1, ω0,y = 2 ω0,x = 3, ω0,y = 2 ω0,x = 3, ω0,y = 4

ω0,x = 5, ω0,y = 4 ω0,x = 5, ω0,y = 6 ω0,x = 9, ω0,y = 8

slucajeve:

♣ Neka su frekvencije titranja iste ω0,x = ω0,y = ω0, tj. Kx = Ky. Sada je, prema(6.51), elasticna sila usmjerena prema ishodistu. Rjesenja za pomak u x i y smjeru su

x

Ax

= cosω0t cos Φx + sinω0t sin Φx, (6.53)

y

Ay

= cosω0t cos Φy + sinω0t sin Φy.

To su parametarske jednadzbe krivulje u ravnini (x, y), s vremenom t kao parametrom. Eli-minirat cemo vrijeme, kako bismo dobili izravnu vezu x i y. Pomnozimo gornju jednadzbu scos Φy, a donju s − cos Φx i zbrojimo ih

x

Ax

cos Φy − y

Ay

cos Φx = sinω0t sin(Φx − Φy).

Ako sada gornju od jednadzba (6.53) pomnozimo sa − sin Φy, a donju sa sin Φx i zbrojimo,dobivamo

− x

Ax

sin Φy +y

Ay

sin Φx = cosω0t sin(Φx − Φy).

6Ove su krivulje proucavali Nathaniel Bowditch 1815, a kasnije, 1857, i puno detaljnije Jules Antoine Lissajous.


Ako sada gornje dvije jednadzbe kvadriramo i zbrojimo, vrijeme t nestaje iz jednadzbe i pre-ostaje

(x

Ax

)2

− 2xy

AxAy

cos(Φx − Φy) +

(y

Ay

)2

= sin2(Φx − Φy). (6.54)

Gornja jednadzba predstavlja elipsu u ravnini (x, y) sa sredistem u ishodistu i s glavnom

Slika 6.13: Elipsa kao Lissajousova krivulja.

osom zakrenutom za odredeni kut Φ prema pozitivnom smjeru osi x (slika 6.13). S gibanjemcestice po elipsi uslijed djelovanja elasticne sile u smjerene prema ishodistu, cemo se susrestiponovo u poglavlju 7 o centralnim silama.Lako je odrediti kut zakreta Φ. Uvedimo pomocni koordinatni sustav (x ′, y ′) kao na slici 6.13.U tom koordinatnom sustavu su osi elipse usmjerene duz koordinatnih osi x ′ i y ′, pa jednadzbaelipse glasi

(x ′

A′x

)2

+

(y ′

A′y

)2

= 1.

Veza (x ′, y ′) s (x, y) sustavom je dana relacijama

x = x ′ cos Φ− y ′ sin Φ,

y = x ′ sin Φ + y ′ cos Φ.

Pomocu gornjih relacija cemo elipsu (6.54) napisati u koordinatama x ′ i y ′

x ′ 2 ·[cos2 Φ

A2x

− sin 2Φ

AxAy

cos(Φx − Φy) +sin2 Φ

A2y

]

+x ′y ′ ·[−sin 2Φ

A2x

− 2cos 2Φ

AxAy

cos(Φx − Φy) +sin 2Φ

A2y

]

+ y ′ 2 ·[sin2 Φ

A2x

+sin 2Φ

AxAy

cos(Φx − Φy) +cos2 Φ

A2y

]= sin2(Φx − Φy).


Gornje dvije jednadzbe prikazuju istu elipsu, pa moraju biti jednake, tj. clan srazmjeranumnosku x ′ · y ′, mora biti jednak nuli, a to je moguce samo ako je

−sin 2Φ

A2x

− 2cos 2Φ

AxAy

cos(Φx − Φy) +sin 2Φ

A2y

= 0,

ili, nakon kraceg sredivanja,

tan 2Φ =2AxAy

A2x − A2

y

cos(Φx − Φy),

sto predstavlja jednadzbu za odredivanje kuta zakreta koordinatnih sustava, Φ. Usporedbomgornjih izraza jos zakljucujemo i da je

(A′x)−2 =

(cos2 Φ

A2x

− sin 2Φ

AxAy

cos(Φx − Φy) +sin2 Φ

A2y

)/sin2(Φx − Φy)

(A′y)−2 =

(sin2 Φ

A2x

+sin 2Φ

AxAy

cos(Φx − Φy) +cos2 Φ

A2y

)/sin2(Φx − Φy).

Promotrimo neke posebne slucajeve jednadzbe (6.54):Ako je Φx = Φy, tada se jednadzba elipse, (6.54), degenerira u

(x

Ax

− y

Ay

)2

= 0 ⇒ y =Ay

Ax

x

pravac koji lezi na dijagonali pravokutnika duljine stranica Ax i Ay (slika 6.14.A).

Slika 6.14: Elipsa - posebni slucajevi .

Ako je Φx = Φy + π, tada se jednadzba elipse degenerira u

(x

Ax

+y

Ay

)2

= 0 ⇒ y = −Ay

Ax

x

pravac koji lezi na drugoj dijagonali pravokutnika duljine stranica Ax i Ay (slika 6.14.B).


Ako je Φx = Φy + π/2, tada je putanja cestice elipsa, a kut zakreta Φ = 0

(x

Ax

)2

+

(y

Ay

)2

= 1,

a titranje u smjeru osi x je za 1/4 perioda ispred titranja u smjeru osi y (slika 6.14.C).Ako je Φx = Φy + 3π/2, tada je putanja cestice opet elipsa s kutom zakreta Φ = 0

(x

Ax

)2

+

(y

Ay

)2

= 1,

a titranje u smjeru osi x za 1/4 perioda kasni u odnosu na titranje u smjeru osi y (slika 6.14.C).Ako je jos i Ax = Ay, elipsa degenerira u kruznicu.Gornja je analiza primjenjiva na opis polarizacije elektromagnetskog vala. Elektricnai magnetska komponenta vala titraju u ravnini okomitoj na smjer sirenja vala i jos su medusobnookomite. Uzme li se za tu ravninu upravo ravnina (x, y), tada jednostavna promjena notacijex → E i y → B, prevodi gornju analizu na opis linearno, kruzno i elipticki polariziranogelektromagnetskog vala. Kruzna i elipticka polarizacija jos mogu biti lijevo ili desno orjentirane,ovisno o tome vrti li se vrh vektora elektricnog (pa time i magnetskog) polja u smjeru ili suprotnosmjeru kazaljke na satu.

♠ Ako je ω0,x = 2ω0,y i razlika u fazama Φx − Φy = π2, Lissajousova krivulja je parabola7

x(t)

Ax

= cos(2ω0,yt− Φy − π/2),

y(t)

Ay

= cos(ω0,yt− Φy).

Eliminacijom vremena iz gornjih parametarskih jednadzba, dolazi se do

x±Ax

= − sin Φy + 2 sin Φy

(y

Ay

)2

± 2y

Ay

√sin2 Φy + (1 + sin2 Φy)

(y

Ay

)2

,

ili, jednostavnije, ako je pocetna faza Φy = 0, tada je

x±Ax

= ±2

(y

Ay

)2

.

♠ Napomenimo samo jos i to da u slucaju kada je ω0,x = 1, a ω0,y = n, gdje je n prirodanbroj, a razlika u fazama

Φx − Φy =N − 1

N

π

2,

Lissajousove krivulje su Cebisevljevi polinomi prve vrste i stupnja n.

7Primjetimo da sada sila vise nije centralna, tj. nije usmjerena prema ishodistu.


♠ U opcem slucaju ω0,x 6= ω0,y, u skladu s relacijama (6.52), elasticna sila nije usmjerenaprema ishodistu koordinatnog sustava i putanja cestice ce biti znatno slozenija (sto necemodalje diskutirati).


R: tekst rjesenja

6.8 Matematicko njihalo

Matematicko njihalo, slika 6.15, je sustav koji se sastoji od cestice mase m pricvrscene za jedankraj niti duljine l. Drugi kraj niti je pricvrscen za nepomicnu tocku objesista O. Masa irastezivost niti se zanemaruju. Ako se cestica otkloni od polozaja ravnoteze u tocki A i otpusti,ona ce se njihati lijevo i desno od tocke A.Izvedimo i rjesimo jednadzbu gibanja matematickog njihala uz zanemarivanje sile otpora kojapotjece od sudara cestice njihala sa cesticama sredstva u kojemu se odvija njihanje i od tre-nja u tocki objesista. Takoder cemo zanemariti i ucinke od vrtnje Zemlje oko svoje osi, tj.pretpostavit cemo da se njihanje odvija u inercijskom sustavu (ucincima neinercijalnosti cemose posvetiti u poglavlju 8 - Foucaultovo njihalo). Zbog toga sto se gibanje odvija u ravnini,

Slika 6.15: Matematicko njihalo .

prirodno je postaviti jednadzbu gibanja u polarnom koordinatnom sustavu. Polozaj cestice jeodreden vektorom ~r(t) = lρ (t), a sile koje djeluju na cesticu jesu sila teza mgx i sila napetosti

niti ~Fnap = −Fnap ρ (t). Stoga je jednadzba gibanja

m~r = mgx − ρ Fnap.

U odjeljku 3.1 smo izracunali opci izraz (3.5) za ubrzanje u polarnom koordinatnom sustavu

~r = (ρ− ρϕ2)ρ + (ρϕ+ 2ρϕ)ϕ .

6.8. MATEMATICKO NJIHALO 161

Sada je ρ = l = const., zbog nerastezivosti niti, pa je ρ = ρ = 0. Iz relacije (2.60) takoderznamo i da je

x = ρ cosϕ− ϕ sinϕ.

Uvrstavanjem u jednadzbu gibanja, slijedi

m(−lϕ2ρ + lϕϕ ) = mg(ρ cosϕ− ϕ sinϕ)− ρ Fnap,


−lϕ2 = g cosϕ− Fnapm

,

lϕ = −g sinϕ.

Prva jednadzba daje napetost niti

Fnap = mg cosϕ+mlω2

kao zbroj dva doprinosa: prvog od radijalne komponente sile teze i drugog od centrifugalne sile(ω = ϕ ). Druga jednadzba

ϕ = −gl

sinϕ. (6.55)

je jednadzba njihanja koju treba rijesiti i naci kut otklona ϕ kao funkciju vremena.

Za male kutove otklona ϕ (izrazenog u radijanima), vrijedi Taylorov razvoj

sinϕ = ϕ− 1

6ϕ3 +O(ϕ5), (6.56)

pa jednadzba gibanja, s tocnoscu reda O(ϕ3), glasi

ϕ = −glϕ.

Oznaci i se

ω20 =

g

l,

gornju jednadzbu prepoznajemo kao jednadzbu slobodnog jednodimenzijskog harmonijskog os-cilatora (6.2)

ϕ = −ω20 ϕ.

Opce rjesenje gornje jednadzbe je

ϕ(t) = C cosω0t+ S sinω0t,

gdje se konstante C i S odreduju iz pocetnih uvjeta: ϕ(0) = ϕ0, ϕ (0) = 0. Uvrstenje pocetnihuvjeta daje

ϕ(t) = ϕ0 cosω0t.


Period njihanja, T , se odreduje iz zahtjeva periodicnosti

ϕ(t) = ϕ(t+ T ) ⇒ T =2π

ω0

= 2π

√l

g. (6.57)

Vidimo da se rjesavanje problema njihanja matematickog njihala kada su amplitude male, svodina problem slobodnog harmonijskog oscilatora.

No, sto ako amplitude nisu male? Tada postoje dva puta: egzaktno (kao u nastavku ovogodjeljka) ili racunom smetnje (kao u [18], str 130 ili u odjeljku 15.3 reference [5]).Evo egzaktnog racuna. Ako amplituda nije mala, tada zadrzavanje vodeceg clana u razvojusinusa u (6.56) nije opravdano i treba rjesavati cijelu jednadzbu (6.55). Uvedimo

ω = ω(ϕ) =dϕ

dt

i shvatimo ju kao funkciju kuta ϕ. tada je

d2ϕ

dt2=dω

dt=dω

dϕ

dϕ

dt= ω

dω

dϕ

Uvrstavanjem ove zamjene u jednadzbu gibanja (6.55), sa varijable vremena t, prelazimo nakutnu varijablu ϕ,

ωdω

dϕ= −g

lsinϕ

ωdω = −gl

sinϕ dϕ

/∫ t

0

≡∫ ϕ

ϕ0∫ ϕ

ϕ0

ωdω = −gl

∫ t

0

sinϕ dϕ

1

2ω2(ϕ)− 1

2ω2(ϕ0) =

g

l

[cosϕ(t)− cosϕ(0)

].

Uzmemo li u obzir pocetne uvjete: ϕ(0) = ϕ0, ω(0) = 0,

ω =dϕ

dt= ±

√2g

l

(cosϕ− cosϕ0

).

Odlucimo se sa predznak. U vremenskom intervalu 0 ≤ t ≤ T/4, vrijeme raste, dt > 0, a kutϕ se smanjuje od maksimalne vrijednosti ϕ0 do nule, tj. dϕ < 0. Zato je omjer dϕ/dt < 0i mi u gornjem izrazu odabiremo negativni predznak (drzeci na umu da smo se ogranicili na0 ≤ t ≤ T/4)

dϕ

dt= −

√2g

l

(cosϕ− cosϕ0

)

−∫ T/4

0

dt = −T4

=

√l

2g

∫ 0

ϕ0

dϕ√cosϕ− cosϕ0

T = 4

√l

2g

∫ ϕ0

0

dϕ√cosϕ− cosϕ0

= 2

√l

g

∫ ϕ0

0

dϕ√sin2(ϕ0/2)− sin2(ϕ/2)

6.8. MATEMATICKO NJIHALO 163

Uvedimo sada novu varijablu Φ relacijom

sin(ϕ/2) = sin(ϕ0/2) sin Φ.

U varijabli Φ, jednadzba za period glasi

T = 4

√l

g

∫ π/2

0

dΦ√1− k2 sin2 Φ

, (6.58)

gdje je

k2 = sin2(ϕ0/2).

Integral koji se pojavljuje na desnoj strani se zove elipticki integral prve vrste i ne mozese izraziti preko elementarnih funkcija. Koristeci se binomnim teoremom

(1 + x)p = 1 + px+p(p− 1)

1 · 2 x2 +p(p− 1)(p− 2)

1 · 2 · 3 x3 + · · · ,

korjen pod integralom moze razviti u red potencija. Uz p = −1/2 i x = −k2 sin2 Φ, binomniteorem mozemo primjeniti na razvoj podintegralne funkcije u izrazu za period

T = 4

√l

g

∫ π/2

0

dΦ

(1 +

1

2k2 sin2 Φ +

1 · 32 · 4k

4 sin4 Φ +1 · 3 · 52 · 4 · 6k

6 sin6 Φ · · ·).

Svi su integrali s desne strane rjesivi

∫ π/2

0

(sinx)2n dx =1 · 3 · 5 · · · (2n− 1)

2 · 4 · 6 · · · (2n)

π

2.

Uvrstavanjem ovih rjesenja, dobije se period matematickog njihala za proizvoljnuvrijednost amplitude ϕ0, u obliku beskonacnog reda potencija u varijabli k

T = 2π

√l

g

[1 +

(1

2

)2

k2 +

(1 · 32 · 4

)2

k4 +

(1 · 3 · 52 · 4 · 6

)2

k6 + · · ·]. (6.59)

U granici malih amplituda ϕ0, i k ce biti mala velicina, pa najveci doprinos periodu dolazi odprvog clana koji prepoznajemo kao (6.57), T = 2π

√l/g.


R: tekst rjesenja


Poglavlje 7

Gravitacija i centralne sile

Sir Isaac Newton secretly admitted to some of his friends:I understand how gravity behaves, but not how it works!

Gibanje nebeskih tijela je privlacilo pozornost ljudi jos od najdavnijih vremena. Vrlo rano(Babilon, Asirija, Maye), promatranjem nocnog neba, ljudi su uocili da se nebeska tijela gibajuu odnosu na nepomicne tocke na Zemlji. Ta su se gibanja pokazala periodicnim, i posluzilasu za stvaranje kalendara. Jedan od najstarijih kalendara naden je u ovom nasem podrucju,a potjece iz bakrenog doba (prije otprilike 5 000 godina) i nalazi se na jednoj glinenoj posudikoja pripada Vucedolskoj kulturi, a pronadena je na nalazistu u blizini Vinkovaca (slika 7.1,dodatak D ).

Slika 7.1: Orionov kalendar - vucedolska kultura, nalaziste kod Vinkovaca.

165

166 POGLAVLJE 7. GRAVITACIJA I CENTRALNE SILE

U vrijeme procvata helenske kulture, pitanjem gibanja nebeskih tijela se bavio i Aristarh saotoka Samosa (oko 280 god. p.n.e., dakle suvremenik Euklida i Apolonija) Koliko je poznato,on je prvi covjek koji je dao cjeloviti prikaz heliocentricnog sustava, no postoje indicije daje samo ucenje o heliocentricnom sustavu bilo pozanto jos polaznicima Platonove Akademije,stotinjak godina prije Aristarha. U isto doba je i Eratosten (bibliotekar u Aleksandriji, oko200 god. p.n.e.), smatrao da je Zemlja loptastog oblika i razmjerno tocno je izracunao njezinpolumjer. No, u to vrijeme, ljudi su vise pozornosti poklanjali nekim drugim pitanjima filozofije,matematike, knjizevnosti, itd., tako da su Aristarhova i Eratostenova otkrica prosla gotovonezapazeno i s vremenom su pala u zaborav1. Kasnije, s propascu helenske civilizacije, dosloje do bitne promjene u gledanju i objasnjavanju prirodnih pojava. To je vrijeme kada jeu Europi krscanstvo, putem crkvene organizacije, postalo apsolutni arbitar u svim poljimaduhovnog i svjetovnog zivota europskih naroda. Zaboravljena i zanemarena su ne samo znanjaiz astronomije i matematike, vec i gotovo cjelokupno knjizevno nasljede stare Helade i Rima.Biblija i spisi svetih otaca (i odabranih antickih filozofa poput Aristotela) su bili jedini priznatiizvor sveg znanja, oznacenog kao dogma. Izmedu ostalog, Crkva je naucavala da je Zemljasrediste svemira oko kojega se okrecu i Sunce i Mjesec i svih sedam (tada poznatih) planeta. Dabi se tom sklopu objasnile astronomske pojave, konstruirane su slozene teorije (epicikli) koje suopisivale putanje nebeskih tijela. To je Ptolomjev geocentricni sustav svijeta. Duhovna jeklima tada bila posve drukcija nego u vrijeme Aristarha i Eratostena. Za razliku od razmjernoslobodoumnih Helena koji su uvazavali tude misljenje, ako je valjano argumentirano, sada jesvako odstupanje od crkvenog ucenja proglasavano herezom i potpadalo je pod jurisdikcijuposebno osnovanog suda - inkvizicije. Postupni i spori razvoj znanja iz podrucja matematike imehanike, vodio je do zakljucaka suprotnih ucenju Crkve: Sunce je nepomicno, Zemlja i ostaliplaneti se okrecu oko njega. Time Zemlja, pa i covjek koji zivi na njoj, gube sredisnje mjestou Svemiru. Naravno da je ovakvo stajaliste bilo neprihvatljivo za Crkvu i da su siritelji takvogucenja bili proganjani.

Razvoj mehanike i astronomije se ipak nije mogao sprijeciti (nego samo usporiti) i 1543. godineje (posmrtno) izasla rasprava poljskog svecenika i astronoma (a bavio se i medicinom) NikoleKopernika2 O gibanju nebeskih tijela, kojom je konacno ustolicen heliocentricni sustav saSuncem u sredistu oko kojega se gibaju planeti i ostala nebeska tijela. Ovu je knjigu, godine1616., inkvizicija stavila na Indeks (popis knjiga koje su vjernicima zabranjene za citanje).

Galileo Galilei je 1610. podrzao Kopernikovu teoriju, a 1632. je izdao (uz suglasnost papeUrbana VIII) i knjigu Dijalog o dvama glavnim sustavima svijeta. Unatoc svojimdobrim odnosima s papom, Galilei biva pozvan u Rim pred inkviziciju i prisiljen da se odreknesvojeg ucenja:

Ja, Galileo Galilei, ucitelj matematike i fizike u Firenzi, odricem se togasto sam ucio da je Sunce srediste svijeta i nepokretno, a da Zemlja nijenjegovo srediste i da se krece. Zaklinjem se, proklinjem i odbacujem siskrenoscu srca i s uvjerenjem sve one zablude i sve ono hereticko, kao idruge nazore koji se protive svetoj Crkvi.

Navodno je, nakon izricanja presude, promrmljao ono cuveno E pur si muove - ipak se okrece,no nikada necemo znati je li to uistinu receno ili su to naknadno dodali povjesnicari radidramatskog ucinka. Poslije ovoga, Galilei se nastavio baviti svojim radom, sto je imalo zaposljedicu njegove dalje sukobe s Crkvom.

1Postoje indicije da je starim Helenima bilo poznato i nacelo rada parnog stroja, sto je takoder zaboravljeno i ponovo otkrivenotek puno kasnije.

2Nikola Kopernik, 1473. - 1543., De revolutionibus orbium coelestium, izaslo godine 1543. Na margini jednog Kopernikovogrukopisa je pronadeno i Aristarhovo ime, sto sugerira da je Koperniku bilo poznato njegovo ucenje.

167

Pored Galilejevog, iz tog nam je razdoblja ostao svakako najpoznatiji primjer Giordana Bruna(Napulj 1548 - Rim 1600). On je nadogradio Kopernikovo ucenje tvrdnjom da nas Suncevsustav nije nikakva posebnost, vec da u svemiru postoji mnostvo zvijezda slicnih nasemu Suncu,sa planetima na kojima zive razumna bica slicna nama. Zbog odbijanja da se odrekne togaucenja, inkvizicija ga je javno spalila 1600. godine na trgu Campo dei Fiori u Rimu. Ovakorazlicite sudbine Galileia i Bruna ce, vecini danasnjih ljudi, stav Bruna uciniti u najmanju rukudvojbenim. Zacijelo bi i starim Helenima bilo neshvatljivo da jedan covjek ubije drugog (i tona veoma okrutan nacin) zato jer se ne slazu oko toga vrti li se Zemlja oko Sunca ili Sunce okoZemlje.

Iz istog razdoblja potjecu i rezultati astronomskih opazanja velikog danskog astronoma TychoBrachea. Ova je opazanja Jochan Kepler3, sazeo u tri poznata zakona koja su dobila njegovoime (odjeljak 7.11).

Teorijsko obrazlozenje ovih opazajna je dao Isaac Newton, godine 1687. izdavsi u Londonusvoje glasovito djelo

Principa Mathematica Philosophia Naturalis - Matematicka nacela fizike

(tada se fizika nazivala filozofijom prirode), gdje se izlazu osnovni aksiomi dinamike, a zatim izakon gravitacije koji se primjenjuje na objasnjenje gibanja planeta.

Le Verrier4 i Adams5 su 1846. godine, a na temelju odstupanja putanje planeta Urana odputanje izracunate na temelju zakona gravitacije, zakljucili da mora postojati jos jedan planetcija gravitacijska sila izaziva uocena odstupanja. Oni su uspjeli odrediti kakva mora biti putanjatog nepoznatog planeta, pa da proizvede opazena odstupanja Urana. Na temelju njihovihproracuna, Galle je 23. IX 1844. zaista i ugledao novi, do tada nepoznati planet koji je dobioime Neptun6. Suvremenici su zbog toga ustvrdili da je Neptun otkriven vrhom pera. Na slicanje nacin, 1929. godine otkriven i deveti planet, Pluton.

Ovaj i mnogi drugi uspjesi Newtonove teorije su doveli do razvoja citavog jednog novog pogledana svijet nazvanog mehanicizam. Sustina je ovog svjetonazora da se svijet promatra kao jedanveliki mehanicki stroj. Ovaj je stroj sastavljen od dijelova koji se mogu proucavati neovisnojedan o drugom i razumjeti (iskljucivo) pomocu zakona mehanike. Ovo je najsazetije izrazioLaplace7 u svojem djelu Essai philosophique sur les probabilites (Filozofski esej o vjerojatnosti)izaslom godine 1814:

Mi moramo smatrati sadasnje stanje svemira, kao posljedicu njegovogprethodnog stanja, i kao uzrok onome stanju koje slijedi. Um koji bi udanom trenutku poznavao sve sile koje djeluju u prirodi, kao i polozaje ibrzine svih svemirskih tjelesa, i koji bi bio sposoban rijesiti njihove jed-nadzbe gibanja, obuhvatio bi jednom jedinom formulom gibanje najvecihzvijezda i planeta, kao i gibanje najmanjih atoma. Takvom umu nistane bi bilo nepoznato: pred njegovim bi ocima bila sva proslost, kao i svabuducnost.

Suvremene spoznaje (poglavito kvantna teorija) sve vise odbacuju ideju o svijetu kao meha-nickom stroju i naglasavaju njegovo jedinstvo u kojemu je svijet kao cjelina (puno) vise negozbroj njegovih dijelova.

3Jochan Kepler, 1571. - 1630., njemacki astronom4Urbain Le Verrier, 1811. - 1877., francuski astronom5John Couch Adams, 1819. - 1892., engleski astronom6zapravo je otkriven malo dalje od mjesta gdje je proracun pokazivao, zbog utjecaja tada takoder jos nepoznatog Plutona7Pierre Simon marquis de Laplace, 1749 - 1827, francuski fizicar, astronom, matematicar i filozof,


Pogledajmo sada detaljnije u cemu se sastoji hereza zbog koje je Giordano Bruno zavrsio nalomaci.8

7.1 Newtonov zakon gravitacije

Sir Isaac Newton (1642 Woolsthorpe - 1727 Kensington) je prvi covjek koji je uocio i pre-cizno izrazio identicnost sile koja izaziva slobodni pad tijela u blizini Zemljine povrsine (dakle,jedno pravocrtno gibanje) i sile kojom medudjeluju nebeska tijela (a koja vodi na krivocrtnogibanje). Razlika u obliku putanje u slucaju ova dva spomenuta gibanja dolazi, kao sto cemouskoro vidjeti, od razlike u pocetnim uvjetima. Ta je sila nazvana gravitacijska9 sila i ima

Slika 7.2: Gravitacijska sila izmedu cestice mase m1 u tocki ~r1 i cestice mase m u tocki ~r.

slijedeca svojstva:

- djeluje medu parovima cestica,

- srazmjerna je umnosku masa cestica,

- obrnuto je srazmjerna kvadratu njihove medusobne udaljenosti,

- uvijek je privlacna.

Masa o kojoj se ovdje govori jeste teska masa.

8Vise detalja o zivotu Giordana Bruna se moze naci npr. na http://www.moljac.hr/biografije/bruno.htm9od lat. gravitas = tezina, teret.

7.1. NEWTONOV ZAKON GRAVITACIJE 169

Preciznije, neka je cestica mase m1 smjestena u tocki ~r1, a cestica mase m u tocki ~r. Tada jegravitacijska sila kojom cestica mase m1 djeluje na cesticu mase m, dana sa (slika 7.2)

~FG(~r) = −G m1m~r − ~r1|~r − ~r1|3 , (7.1)

gdje je

G = 6.6732 · 10−11 Nm2

kg2,

univerzalna gravitacijska konstanta koja ima ulogu konstante vezanja, tj. opisuje jakostkojom medudjeluju mase m i m1. Prvi ju je eksperimentalno izracunao H. Cavendish10, 1798.godine.

Sada se mozemo zapitati kolika gravitacijska sila djeluje na cesticu mase m, ako se ona nalaziu blizini dvije cestice masa m1 i m2? Odgovor na to pitanje nije sadrzan u (7.1), nego jedobiven iskustvom (eksperimentom), a glasi da je rezultantna sila jednostavno jednaka vektor-skom zbroju sile od prve i druge cestice. Zato se kaze da za gravitacijsku silu vrijedi nacelopridodavanja ili superpozicije. Opcenito sila kojom N cestica djeluje na promatranu cesticu,jednaka je vektorskom zbroju sila svake pojedine od tih N cestica (slika 7.3.A)

Slika 7.3: Nacelo pridodavanja za gravitacijsku silu: (A) za skup cestica; (B) za tijelo.

~FG(~r) = −G m

N∑j=1

mj~r − ~rj|~r − ~rj|3 . (7.2)

10Sir Henry Cavendish, 1731 - 1810, engleski fizicar i kemicar


Gornjom formulom mozemo racunati i gravitacijsko privlacenje koje potjece izmedu cesticemase m i makroskopskog tijela. U tu cemo svrhu, u mislima, podijeliti cijelo tijelo na vrloveliki broj, N >> 1, djelica mase ∆mj (slika 7.3.B). Ti su djelici dovoljno mali da se zasvaki od njih moze tocno definirati vektor njihovog polozaja ~rj. Na svaki od tih malih djelicaprimjenimo gornji izraz i za silu gravitacijskog privlacenja izmedu cestice i tijela dobijemo

~FG = −G m

N∑j=1

∆mj~r − ~rj|~r − ~rj|3 .

Promatrani dijelovi ∆mj su mali u odnosu na ukupnu masu tijela, ali oni jos uvijek sadrzeogroman broj (reda 1023) atoma ili molekula. Zbog tog velikog broja gradivnih cestica pojammasene volumne gustoce tijela, ρm(~rj), u okolici tocke ~rj je dobro definiran i dan je omjerommase ∆mj i volumena ∆Vj promatranog malog dijela tijela

ρm(~rj) =∆mj

∆Vj,

gdje ∆Vj oznacava mali volumen u okolici tocke ~rj. Uz ove oznake, mozemo za silu napisati

~FG = −G m

N∑j=1

∆Vj ρm(~rj)~r − ~rj|~r − ~rj|3 .

U granici kada podjela na male djelice postaje sve finija i finija, tj. kada N →∞, gornji zbrojprelazi u integral, a zbrajanje po indeksu j prelazi u integraciju po varijabli ~rj → ~r ′, kojaprolazi svim tockama tijela

N∑j=1

∆Vj →∫

d V (~r ′).

Slovom V cemo uskoro poceti oznacavati gravitacijski potencijal, pa cemo zato za diferencijalvolumena koristiti oznaku d3 r ′ , umjesto d V (~r ′). Time za gravitacijsku silu izmedu cesticemase m u tocki ~r i tijela opisanog masenom gustocom ρm(~r ′), dobivamo

~FG(~r) = −G m

∫ρm(~r ′)

~r − ~r ′|~r − ~r ′|3 d

3 r ′ . (7.3)

Integrira se po volumenu tijela, tj. po dijelu prostora u kojemu je ρm(~r ′) 6= 0.Na slican nacin, primjenom nacela pridodavanja, mozemo izracunati i silu gravitacijskog priv-lacenja izmedu dva tijela A i B (slika 7.4). Rastavimo, u mislima, oba tijela na male dijelovemasa dmA i dmB. Ti su dijelovi toliko mali da na njih mozemo primjeniti izraz za silu izmeducestica

d ~FG = −G dmA dmB~rA − ~rB|~rA − ~rB|3 .

Ukupna sila izmedu tijela A i B se dobije zbrajanjem (tj. integracijom) sila medu pojedinimdjelicima oba tijela

~FG = −G∫

A

dmA

∫

B

dmB~rA − ~rB|~rA − ~rB|3 .


Slika 7.4: Gravitacijska sila izmedu dva tijela.

Uvedu li se volumne masene gustoce oba tijela ρm(~rA,B) = dmA,B/d V (~rA,B), ukupna sila je

~FG = −G∫

A

ρm(~rA) d3 ~rA

∫

B

ρm(~rB) d3~rB~rA − ~rB|~rA − ~rB|3 .

Gravitacijsko polje:Iz relacije (7.3) se vidi da je sila na cesticu mase m koje se nalazi u tocki ~r jednostavna

jednaka umnosku mase cestice i jednog vektora. Taj se vektor opcenito naziva polje pridruzenoodgovarajucoj sili, u ovom slucaju je to polje gravitacijske sile

~g =~FGm

~g (~r) = −G∫

ρm(~r ′)~r − ~r ′|~r − ~r ′|3 d

3 r ′ . (7.4)

Ako se radi o diskretnoj raspodjeli N cestica mase mj u tockama ~rj, tada je, prema (7.2), poljeu tocki ~r jednako

~g (~r) = −GN∑j=1

mj~r − ~rj|~r − ~rj|3 .

Posebno jednostavno je polje koje u tocki ~r stvara jedna jedina cestica mase m1 smjestena uishodistu (tako da je ~r1 = 0). U skladu s gornjim izrazom, ono je jednako

~g (~r) = −G m1~r

|~r|3 . (7.5)


Sama gravitacijska sila je jednaka umnosku mase cestice, koja u ovom slucaju ima znacenjeteske mase ili gravitacijskog naboja, i gravitacijskog polja11

~FG = m~g .

Primjetimo da gravitacijsko polje ima dimenziju ubrzanja. Uvodenjem pojma polja je rijesentzv. problem djelovanja na daljinu. Naime, ljudi su se pitali: kako to da cestica u tocki ~r znada se u tocki ~r ′ nalazi neka druga cestica koja na nju djeluje nekakvom silom? Odgovor jepronaden u pojmu polja: svaka cestica (pa time i tijelo), uslijed svoje mase, stvara oko sebegravitacijsko polje. Ovo polje mijenja svojstva prostora u okolici cestice u smislu da ako se ublizini ove cestice (ili tijela) izvora polja, nade neka druga (probna) cestica, na nju ce djelovatisila. Ova je sila jednaka umnosku mase m (tj. naboja - gravitacijskog ili elektricnog, ovisno okojoj se sili radi) probne cestice i vrijednosti vektora polja cestice izvora, ~g (~r) u onoj tocki ukojoj se nalazi probna cestica.

konzervativnost:Promatrajmo cesticu mase m koja se giba u polju gravitacijske sile koja potjece od cestice

mase m1 koja se nalazi u tocki ~r1. Dokazimo da je gravitacijska sila konzervativna tako stocemo pokazati da rad gravitacijske sile obavljen nad cesticom mase m na putu izmedu bilo kojepocetne tocake ~r = ~rp i bilo koje konacne tocke ~r = ~rk, ne ovisi o obliku putanje koja povezujete dvije tocke, nego samo o krajnjim tockama.

Wp,k =

∫ ~rk

~rp

~FG(~r) d~r = −G m m1

∫ ~rk

~rp

~r − ~r1|~r − ~r1|3 d~r.

Pod integralom je ~r1 konstantno, pa je d~r = d(~r − ~r1). Uvedemo li novu varijablu ~R = ~r − ~r1,lako se pokazuje da je ~R d~R = RdR

~R · d~R = RR · d(RR ) = RR · (dRR +RdR ).

Buduci da je dR okomit na sam jedinicni vektor R , to ce drugi clan na desnoj strani gornjegizraza biti jednak nuli. Sada za rad mozemo napisati

Wp,k = −G m m1

∫ ~R k

~R p

dRR

R3= −G m m1

(1

|~rp − ~r1| −1

|~rk − ~r1|).

Vidimo da rad ovisi samo o pocetnom i konacnom polozaju cestice mase m, tj. sila koja jeobavila rad je konzervativna. U odjeljku 4.3 je pokazano da se za konzervativne sile mozedefinirati skalarno polje, koje se naziva potencijalna energija Ep,

~FG = −−→∇Ep,a rad se obavlja na racun promjene potencijalne energije

Wp,k = −∆Ep = Ep(~rp)− Ep(~rk).

Usporedbom dva gornja izraza za Wp,k, se vidi da je potencijalna energija cestice mase m kojase nalazi u tocki ~r, dana sa

Ep(~r) = −G m m1

|~r − ~r1| + c0,

11Slicno kao sto je elektrostatske Coulombova sila (str. ) jednaka umnosku elektricnog naboja i elektrostatskog polja.


gdje je c0 konstanta. Beskonacno daleko od cestica izvora gravitacijske sile, gravitacijska po-tencijalna energija iscezava, tj, Ep(~r →∞) = 0, pa je i c0 = 0.Zamislimo sada da imamo dvije cestice: (m1, ~r1) i (m2, ~r2) na konacnoj medusobnoj udaljenosti|~r1−~r2|. Beskonacno daleko od njih se nalazi treca cestica mase m3. Buduci da je potencijalanaenergija beskonacno razmaknutih cestica jednaka nuli, potencijalna energija sustava ove tricestice je jednaka naprosto potencijalnoj energiji izmedu prve i druge cestice

Ep = −G m1 m2

|~r1 − ~r2| .

Ako tu trecu cesticu zelimo dovesti u blizinu prve dvije, u tocku ~r3, gravitacijska ce sila obavitiodredeni rad i time promjeniti potencijalnu energiju sustava ove tri cestice. Prema nacelupridodavanja, sila na cesticu mase m3 je vektorski zbroj sila od cestica masa m1 i m2, pa ce irad ukupne sile biti jednak zbroju radova pojedinih sila

∫ ~r3

∞~F d~r =

∫ ~r3

∞(~F1,3 + ~F2,3) d~r = G

m1m3

|~r1 − ~r3| +Gm2m3

|~r2 − ~r3| .

Potencijalna energija sustava ove tri cestice se promijenila za iznos jednak ovome radu. Timese za potencijalnu energiju sustava tri cestice dobiva izraz

Ep = −G(m1m2

|~r1 − ~r2| +m1m3

|~r1 − ~r3| +m2m3

|~r2 − ~r3|).

Protegne li se ovaj nacin razmisljanja na sustav od N cestica masa mj smjestenih u tocke ~rj,lako se dolazi do izraza za potencijalnu energiju cijele nakupine

Ep = − 1

2G

N∑j=1

N∑k=1j 6=k

mjmk

|~rj − ~rk| (7.6)

(mnozitelj 1/2 dolazi od dvostrukog brojanja istog para cestica u zbrajanju po j i po k).Slicno kao sto se pojam polja izvodi iz pojma sile,

~g =~F

m,

tako se i pojam potencijala

V =Epm

uvodi kao potencijalna energija koju bi cestica mase m imala u tocki ~r. Kao i potencijalnaenergija, i potencijal je definiran samo u smislu razlike potencijala izmedu dvije tocke, pa sezato moze napisati

d V =1

mdEp = − 1

m~F d~r = −~g d~r,

sto nakon integracije od pocetne ~rp do konacne tocke ~rk, daje

V (~rk)− V (~rp) = −∫ ~rk

~rp

~g d~r. (7.7)


Gravitacijski potencijal koji u tocki ~r stvara cestica mase m smjestena u ishodistu je (uzmimo~rp = ∞ uz V (∞) = 0 i ~rk = ~r)

V (~r)− V (∞) = G

∫ ~r

∞

m

r2dr

V (~r) = − Gm

r. (7.8)

Prema nacelu pridodavanja sila, a time i polja, slijedi da je potencijal koji u tocki ~r stvaramnostvo cestica masa mj koji se nalaze u tockama ~rj jednak zbroju potencijala koje stvarajupojedine cestica

V (~r) =N∑j=1

Vj(~r) = −GN∑j=1

mj

|~r − ~rj| . (7.9)

U granici kontinuirane raspodjele mase

N∑j=1

mj →∫

dm =

∫ρm(~r ′) d3r ′ ,

(~r ′ je nijema varijabla integracije), pa konacni izraz za racunanje gravitacijskog potencijala utocki ~r, koji potjece od kontinuirane raspodjele mase opisane volumnom gustocom ρm(~r ′) glasi

V (~r) = −G∫

ρm(~r ′)|~r − ~r ′| d

3r ′ . (7.10)

U slucaju povrsinske raspodjele mase opisane povrsinskom gustocom σm(~r ′), potencijal je dansa

V (~r) = −G∫

σm(~r ′)|~r − ~r ′| d

2r ′

a u slucaju linijske raspodjele mase opisane linijskom gustocom λm(~r ′), potencijal je dan sa

V (~r) = −G∫

λm(~r ′)|~r − ~r ′| dr

′ .

Integrali se protezu po dijelu prostora u kojemu je masena gustoca razlicita od nule.Skup tocaka u prostoru na kojima je potencijal konstantan

V (~r) = const.

se zove ekvipotencijalna ploha . Npr. ako je masa rasporedena s konstantnom gustocomunutar kugle, ekvipotencijalne plohe su sfere sa sredistem u tocki gdje je i srediste kugle.

Uocimo u jednadzbi (7.6)

Ep = −1

2G

N∑j=1

N∑k=1j 6=k

mjmk

|~rj − ~rk|


izraz za potencijal (7.9) u tocki ~rj koji stvara preostalih N − 1 cestica u tockama ~rk. Time sepotencijalna energija moze napisati kao

Ep =1

2

N∑j=1

mj V (~rj).

Opet u granici kontinuirane raspodjele mase, kao gore,

N∑j=1

mj →∫

dm =

∫ρm(~r) d3r,

dobiva se izraz za potencijalnu energiju kontinuirane raspodjele mase

Ep =1

2

∫ρm(~r)V (~r) d3r. (7.11)

Izmedu gravitacijskog polja i potencijala vrijedi ista relacija kao i izmedu gravitacijske sile ipotencijalne energije

~FG = −−→∇Ep, ~g = −−→∇V. (7.12)

U konkretnim racunima je cesto jednostavnije raditi s potencijalnom energijom ili potencijalom,koji su skalari, nego sa silom ili gravitacijskim poljem koji je vektori (dakle kombinacija triskalara).

Napomena o elektrostatskoj sili:Sva gore navedena svojstva gravitacijske sile, mogu se izravno primjeniti i na elektrostatsku

Coulombovu12 silu, ~FC , kojom medudjeluju dvije naelektrizirane cestice s nabojima q1 i q, akoje se nalaze, redom, u tockama ~r1 i ~r. Umjesto masa dolaze elektricni naboji, a umjestokonstante vezanja −G dolazi jedna druga konstanta vezanja 1/(4πε0)

13

~FC(~r) =1

4πε0q1 q

~r − ~r1|~r − ~r1|3 (7.13)

(usporediti sa (7.1)). Bitna je razlika izmedu gravitacijske i elektrostatske sile u tome sto jegravitacijska sila uvijek privlacna, dok elektrostaska sila moze biti i privlacna (medu raznoime-nim nabojima) i odbojna (medu istoimenim nabojima). Moze se reci da postoji samo jedangravitacijski naboj (to je masa14), dok postoje dva elektricna naboja (pozitivni i negativni15).U dvocesticnom medudjelovanju, jedan gravitacijski naboj se moze kombinirati samo sam sanekim drugim istovrsnim nabojem, pa zato gravitacijska sila ima samo jedan (privlacan) ka-rakter. Naprotiv, dva elektricna naboja se u parnom medudjelovanju mogu kombinirati na dva

12Charles Augustin de Coulomb, 1736 - 1806, francuski fizicar. Pomocu vrlo osjetljive torzijske vage, mjerio je silu kojommedudjeluju elektricni naboji smjesteni na krajevima dugog stapa. Ustanovio je da je sila srazmjerna umnosku naboja, a obrnutosrazmjerna kvadratu njihove medusobne udaljenosti. Memoires del’Acad. r. des sc. izdano u razdoblju od 1785 do 1789.

13ε0 = 8.854 · 10−12 F/m, se naziva permitivnost vakuuma. Ako se elektricni naboji nalaze u nekom sredstvu, dolazi domedudjelovanja naboja s cesticama sredstva (polarizacija) i sila medu njima se mijenja (smanjuje). Ova je promjena opisanabezdimenzijskom velicinom koja se zove relativna dielektricna konstanta εr, koja se u izrazu za silu pojavljuje kroz 1/(4πε0 εr).

14Preciznije receno radi se o teskoj masi, za razliku od trome mase koja je je mjera tormosti kojom se tijelo opire promjenistanja gibanja - str. 84

15Primjetimo da je oznacavanje jedne vrste elektricnih naboja kao pozitivnih, a drugih kao negativnih, samo zgodna matematickadosjetka koja pociva na cinjenici da je (−) · (−) = (+) · (+) = +, a (−) · (+) = −, pa sila medu elektricnim nabojima zapisanau obliku (7.13) ima privlacan smjer za raznoimene, a odbojini za istoimene naboje. U samim nabojima (elektronima, protonima,itd.) nema niceg ni pozitivnog ni negativnog. Oni su mogli biti oznaceni i kao crni i bijeli naboj, ili kao gornji i donji naboj, pricemu bi zapis sile morao biti nesto drukciji.


razlicita nacina (dva istoimena i dva raznoimena naboja) sto rezultira dvojnim karakterom sile:privlacnim i odbojnim.Uvazavajuci ovu razliku u pogledu privlacnosti/odbojnosti izmedu gravitacijske i elektrostatskesile, sva se gornja razmatranja mogu provesti i za elektrostatsku silu uz zamjene konstante

−G ⇔ 1

4πε0(7.14)

i naboja tj. gustoce nabojam ⇔ q, ρm ⇔ ρq. (7.15)

Tako je npr. elektrostatski potencijal dan izrazom

V (~r) =1

4πε0

∫ρq(~r

′)|~r − ~r ′| d

3 r ′ . (7.16)

Evo i nekoliko primjera:

Primjer: 7.1 Izracunajte gravitacijski potencijal kugle polumjera R, ispunjene masom kons-tantne gustoce ρ0.

R: Polazimo od izraza

V (~r) = −G∫

ρm(~r ′)|~r − ~r ′| d

3r ′

u kojemu je gustoca konstantna ρm(~r ′) = ρ0. Zbog simetrije problema, integracijuizvodimo u sfernom koordinatnom sustavu, tako da je d3r ′ = r ′ 2 sin θ ′ dr ′ dθ ′ dϕ′.Takoder zbog sferne simetrije, tocku u kojoj racunamo potencijal, mozemo stavitina os z , ~r = r z , tako da izraz za potencijal postaje

V (~r) = −G ρ0

∫ R

0

r ′ 2 dr ′∫ π

0

sin θ ′ dθ ′∫ 2π

0

dϕ′1√

r2 + r ′ 2 − 2rr ′ cos θ ′

Integracija po ϕ′ daje 2 π, a uvodenje nove varijable t umjesto θ ′

t = r2 + r ′ 2 − 2rr ′ cos θ ′

d t = 2rr ′ sin θ ′ dθ ′,

vodi na

V (~r) = −2πG ρ0

∫ R

0

r ′ 2 dr ′∫ t(π)

t(0)

dt

2rr ′1√t

= −2πGρ0

r

∫ R

0

r ′ dr ′(√

r2 + r ′ 2 + 2rr ′ −√r2 + r ′ 2 − 2rr ′

)

= −2πGρ0

r

∫ R

0

r ′ dr ′ (r + r ′ − |r − r ′ |) .

Sada postoje dvije mogucnosti: r < R, potencijal unutar kugle i r > R, potencijalizvan kugle.• Unutar kugle je

∫ R

0

=

∫ r

0

+

∫ R

r

.


U prvom integralu desne strane je r ′ < r, a u drugom integralu je r ′ > r, sto vodina izraz za potencijal unutar kugle

Vin(~r) = −2πGρ0

r

(∫ r

0

r ′ dr ′ 2 r ′ +

∫ R

r

r ′ dr ′ 2 r

)= −2πGρ0

(R2 − 1

3r2

).

• Izvan kugle je r > R > r ′ > 0, pa je potencijal dan sa

Vout(~r) = −2πGρ0

r

∫ R

0

r ′ dr ′ 2 r ′ = −4πGρ0R3

3 r= −Gm

r, (7.17)

dakle isto kao i potencijal cestice mase m, smjestene u sredistu kugle.

Primjer: 7.2 Kugla polumjera R je jednoliko ispunjena masom konstantne volumne gustoceρ0. Izracunajte potencijalnu energiju kugle, tj. rad koji treba utrositi da bi se svidjelici kugle razmaknuli na medusobno beskonacnu udaljenost.

R: Izraz (7.11) za Ep primjenimo na zadanu raspodjelu mase

Ep =1

2

∫ρ(~r)V (~r) d3r.

Gustoca je

ρ(r) =

ρ0 0 ≤ r ≤ R

0 r > R.

Iz prehodnog primjera znamo da se potencijal ima razlicite vrijednosti unutar kugle(gdje je ρ = ρ0) i izvan kugle (gdje je ρ = 0)

Ep =1

2

∫ R

0

ρ0Vin d3r +

1

2

∫ ∞

R

0 · Vout d3r.

Ep =1

2

∫ R

0

ρ0(−2πG)ρ0

(R2 − 1

3r2

)d3r = −G3

5

m2

R, (7.18)

gdje je m = ρ04πR3/3 ukupna masa kugle.

Gornji racun moze posluziti za definiciju klasicnog polumjera elektrona. Naime, akobismo elektron zamislili kao tockastu cesticu, tada bi, u skladu sa (7.8), potencijal u blizinielektrona neizmjerno rastao po iznosu, sto je fizicki neprihvatljivo. Zato se krenulo sa slijedecomzamisli: neka je elektron slican maloj kuglici polumjera Re unutar koje je jednoliko rasporedennaboj elektrona qe. Isti bi racun kao gore, dao za elektrostatsku (vlastitu) potencijalnu energijuelektrona (uz −G→ 1/(4πε0) i m→ qe)

Ep =3

5

q2e

4 π ε0

1

Re

.

Izjednaci li se ova energija s relativistickim izrazom za energiju

E = m0 c2,


gdje je m0 masa mirujuceg elektrona, a c brzina svjetlosti u vakuumu, dolazi se do izraza zaklasicni polumjer elektrona

Re =3

5

q2e

4 π ε0

1

m0 c2= 1.69 · 10−15m. (7.19)

Je li ovime rijesen problem elektrona? Naravno da nije! Ovako zamisljena tvorevina bi, zbogsnaznog elektrostatskog odbijanja pojedinih dijelova elektrona, bila posve nestabilna, tj. ova-kav bi elektron eksplodirao. Pa ipak ova ideja klasicnog polumjer elektrona nije lisena svogznacenja. Ona nam daje ocjenu reda velicine (to je 10−15m) gdje pojmovi i predstave kla-sicne fizike prestaju vrijediti i gdje je potrebno uvesti kvalitativno novi pristup kakav je dan ukvantnoj mehanici. Ovo je samo jedan od primjera iz kojih se vidi da se mikroskopski objek-ti ne mogu zamisljati jednostavno kao proizvoljno smanjeni makroskopski objekti (konkretno,elektroni nisu nikakve proizvoljno smanjene kuglice).

Napomena o silama u atomskoj jezgri : Atomska jezgra je nakupina protona (elek-tropozitivnih cestica) i neutrona (elektroneutralnih cestica) na maloj medusobnoj udaljenosti(reda 10−14m). Upravo smo vidjeli da izmedu istoimenih elektricnih naboja djeluju odbojneelektricne sile. Prirodno je onda zapitati se kako to da se jezgra ne razleti uslijed snaznog elek-trostatskog odbijanja istoimenih elektricnih naboja na maloj udaljenosti? Odgovor je da osimelektrostatske, medu protonima i neutronima djeluje i privlacna jaka nuklearna sila, kojaje po iznosu puno jaca od elektricne sile (konstanta fine strukture je 1/137, to je mjera jakostielektricne ili opcenitije govoreci elektromagnetske sile, dok je konstanta vezanja jake nuklearnesile jednaka 10, iz cega se zakljucuje da je jaka sila oko stotinu puta jaca od elektromagnetskesile). Druga vazna razlika izmedu elektromagnetske i jake nuklearne sile je u dosegu. Dosegelektromagnetske sile je beskonacan (sto je povezano s cinjenicom da foton γ - nositelj elektro-magnetske sile - ima masu mirovanja jednaku nuli), dok je doseg jake nuklerane sile vrlo malii reda je 10−15m (sto je opet povezano s cinjenicom da cestice nositelji jake sile - π mezoni -imaju konacnu masu mirovanja). Stoga na makroskopskim udaljenostima (svakako vecim od10−15m), medu protonima djeluje odbojna kulonska sila, dok na vrlo malim udaljenostima naprotone djeluju i odbojna kulonska i privlacna jaka nuklearna sila.

7.2 Gravitacijsko privlacenje okruglih tijela

Ako Vas netko zapita kako izracunati gravitacijsko privlacenje izmedu Zemlje i Sunca, Vas ceodgovor, zacijelo glasiti otprilike ovako: u formulu (7.1) treba uvrstiti mase Zemlje, Sunca isrednje udaljenosti medu njima (jer mi znamo da se Zemlja giba po elipsi, pa udaljenost doSunca nije uvijek ista) i izvrijedniti

FG = GmZmS

R2.

No, sada Vas taj netko moze dalje zapitati zasto koristite (7.1) koji vrijedi za cestice, tj.geometrijske tocke, kada ni Zemlja ni Sunce nisu cestice, nego su tijela koja zauzimaju vrlovelike dijelove prostora?

Odgovor na ovo pitanje se nalazi u nastavku ovog odjeljka.

7.2. GRAVITACIJSKO PRIVLACENJE OKRUGLIH TIJELA 179

Krenimo od jednog malo opcenitije postavljenog problema. Izracunat cemo gravitacijsku siluizmedu homogene suplje kugle mase M , unutrasnjeg polumjera Ru, vanjskog polumjera Rv icestice mase m koja se nalazi na udaljenosti r od sredista kugle (slika 7.5). Ako se odabereRu = 0, dobit ce se obicna puna kugla.Vazno svojstvo kugle je da ona ima konstantnu masenu gustocu ρ0 = 3M/[4(R3

v −R3u)π]. Zbog

Slika 7.5: Gravitacijska sila suplje kugle.

sferne simetrije problema, koristit cemo sferni koordinatni sustav, koji cemo postaviti tako dase cestica nalazi na osi z, a srediste kugle je u ishodistu. Sila na cesticu mase m u tocki ~r = rzje

~FG(~r) = −G m

∫ρ0

~r − ~r ′|~r − ~r ′|3 d

3r ′ .

Integrira po dijelu prostora u kojemu je gustoca suplje kugle razlicita od nule.

~FG(~r) =−3GmM

4(R3v −R3

u)π

∫ Rv

Ru

r ′ 2dr ′∫ π

0

sin θ ′dθ ′∫ 2π

0

dϕ′rz − r ′ r ′

(r2 + r ′ 2 − 2rr ′ cos θ ′)3/2.

Uvrstimo li za r ′ = x sin θ ′ cosϕ′ + y sin θ ′ sinϕ′ + z cos θ ′ (dobiven ranije u (2.65)),razlomak podintegralnog izraza postaje

r ′ (sin θ ′ cosϕ′x + sin θ ′ sinϕ′y ) + (r − r ′ cos θ ′)z(r2 + r ′ 2 − 2rr ′ cos θ ′)3/2

,

lako se vidi da integracija po ϕ′ u clanovima uz x i y daje nulu, a uz clan z daje 2π

x

∫ 2π

0

dϕ′ cosϕ′ = 0, y

∫ 2π

0

dϕ′ sinϕ′ = 0, z

∫ 2π

0

dϕ′ = 2π.

Tako se, nakon integracije po ϕ′, dolazi do

~FG(~r) = z−3GmM

2(R3v −R3

u)

∫ Rv

Ru

r ′ 2dr ′∫ π

0

sin θ ′dθ ′r − r ′ cos θ ′

(r2 + r ′ 2 − 2rr ′ cos θ ′)3/2.


Za integraciju po θ ′, uvodimo novu varijablu v relacijom

v2∣∣r+r ′|r−r ′ | = r2 + r ′ 2 − 2rr ′ cos θ ′

∣∣π0,

2vdv = 2rr ′ sin θ ′dθ ′,

cos θ ′ =−v2 + r2 + r ′ 2

2rr ′.

Nakon uvrstavanja u izraz za silu i skracivanja, dobiva se

~FG(~r) = z−3GmM

2(R3v −R3

u)

∫ Rv

Ru

r ′ 2dr ′∫ r+r ′

|r−r ′ |

2vdv

2rr ′r − r ′ (−v2 + r2 + r ′ 2)/(2rr ′ )

v3,

=z

2r2

−3GmM

2(R3v −R3

u)

∫ Rv

Ru

r ′ dr ′(

2r ′ +(r − r ′ )(r + r ′ )

|r − r ′ | − |r − r ′ |). (7.20)

Sada trebamo razmotriti tri moguca polozaja cestice u odnosu na suplju kuglu:IN: cestica moze biti u supljini,INTER: cestica moze biti u prostoru izmedu Ru i Rv, iOUT: cestica moze biti izvan kugle.

IN: unutar supljine je uvijek r < Ru ≤ r ′ , pa je i |r − r ′ | = r ′ − r, pa (7.20) postaje

~F ING (~r) =

−3GmM

2(R3v −R3

u)

z

2r2

∫ Rv

Ru

r ′ dr ′[2r ′ +

(r − r ′ )(r + r ′ )r ′ − r

− (r ′ − r)

]

=−3GmM

2(R3v −R3

u)

z

2r2

∫ Rv

Ru

r ′ dr ′ [2r ′ − (r + r ′ )− (r ′ − r)] = 0.

~F ING (~r) = 0, =⇒ ~g IN =

~F ING

m= 0. (7.21)

Dobili smo vazan rezultat: sila na cesticu mase m koja se nalazi u supljini kugle, je jednakanuli.

INTER: kolika je sila ~F INTERG na cesticu koja se nalazi u dijelu prostora Ru ≤ r ≤ Rv? U ovom

slucaju integraciju u (7.20) treba rastaviti na dva dijela:

Ru ≤ r ′ ≤ r ⇒ |r − r ′ | = r − r ′ ,r ≤ r ′ ≤ Rv ⇒ |r − r ′ | = r ′ − r.

Za silu ~F INTERG u prostoru izmedu Ru i Rv, dobiva se

~F INTERG (~r) =

−3GmM

2(R3v −R3

u)

z

2r2

(∫ r

Ru

r ′ dr ′ 4r ′ +

∫ Rv

r

r ′ dr ′ · 0)

=−3GmM

2(R3v −R3

u)

z

2r2

4

3(r3 −R3

u) = −Gm[ρ0

4

3(r3 −R3

u)π

]z

r2

= −z G m · mINTER

r2,

gdje je s mINTER oznacen dio mase kugle sadrzan u dijelu prostora izmedu Ru i r

mINTER = ρ04 π

3(r3 −R3

u).


Iz gornjeg izraza za silu se vidi da na cesticu mase m, djeluje ista sila kao da se u ishodistukoordinatnog sustava nalazi jedna druga cestica (a ne suplja kugla), mase jednake mINTER.Kada se cestica mase m ne bi nalazila na osi z , nego u nekoj opcoj tocki u prostoru, izraz zasilu bi glasio

~F INTERG (~r) = −GmmINTER

r

r2=⇒ ~g INTER(~r) = −GmINTER

r

r2. (7.22)

U slucaju pune kugle, Ru = 0, polje je

~g = −G 4 π

3ρ0 r r , (7.23)

tj. u unutrasnjosti pune homogene kugle, polje raste linearno s udaljenoscu od ishodista.

OUT: pogledajmo na kraju i silu ~FOUTG koja djeluje na cesticu smjestenu izvan kugle, gdje je

r > Rv ≥ r ′ , pa je i |r − r ′ | = r − r ′

~FOUTG (~r) =

−3GmM

2(R3v −R3

u)

z

2r2

∫ Rv

Ru

r ′ dr ′ 4r ′ =−3GmM

2(R3v −R3

u)

z

2r2

4

3(R3

v −R3u) = −G mM

r2z .

Za cesticu mase m izvan osi z , bi se ocito dobio ovaj izraz za silu

~FOUTG (~r) = −G mM

r2r

Izvan kugle je sila na cesticu ista kao i da se umjesto suplje kugle, u ishodistu nalazi cesticamase jednake ukupnoj masi kugle M . Gravitacijsko polje izvan kugle je

~g =~FOUTG

m= −G M

r2r . (7.24)

Gornji rezultati sadrze dva granicna slucaja:(1) u granici kada Ru → 0, gornji se rezulatati svode na privlacenje izmedu cestice i pune kuglepolumjera Rv = R;(2) u granici kada Ru → Rv = R, gornji se rezultati svode na privlacenje cestice i sferne ljuskemase M i polumjera R.

Sada mozemo razumijeti odgovor na pitanje s pocetka ovog odjeljka. Rastavimo u mislima Zem-lju na velik broj malih dijelova. Na svaki taj djelic Sunce djeluje istom silom kao i da umjestonjega imamo cesticu iste mase na mjestu njegova sredista. U skladu s nacelom pridodavanja,ukupna sila na cijelu Zemlju je jednaka zbroju sila na svaki njezin dio, a to je upravo izrazs pocetka odjeljka (istina je da se pojedini dijelovi Zemlje nalaze na razlicitim udaljenostimaod sredista Sunca, ali je ta razlika neusporedivo manja od udaljenosti izmedu Zemlje i Sunca,pa se zanemaruje). Naravno da se ista argumentacija primjenjuje i na medusobno privlacenjeplaneta i ostalih sfernih objekata.Pokazimo da se do istog rezultata za silu, moze doci i racunom potencijala i koristenjem veze

sile i potencijala: ~F = −−→∇Ep = −m−→∇V . Gravitacijski potencijal cemo racunati izrazom(7.10)

V (~r) = −G∫

ρm(~r ′)|~r − ~r ′| d

3r ′ .


Koristeci oznake sa slike 7.5, mozemo napisati

V (~r) = −G ρ0

∫ Rv

Ru

r ′ 2 dr ′∫ π

0


0

dϕ′1

|~r ′ − rz |Slicnim postupkom kao kod racuna sile, kutni dio integracije daje

∫ π

0


0

dϕ′1

|~r ′ − rz | =

∫ π

0

sin θ ′ dθ ′√r ′ 2 + r2 − 2rr ′ cos θ ′

∫ 2π

0

dϕ′

=2π

rr ′(r ′ + r − |r ′ − r|),

sto vodi na integral za potencijal

V (r) = −Gρ02π

r

∫ Rv

Ru

r ′ dr ′ (r ′ + r − |r ′ − r|).

Sada opet razlikujemo tri moguca polozaja cestice u odnosu na suplju kuglu:IN: cestica moze biti u supljini,INTER: cestica moze biti u prostoru izmedu Ru i Rv, iOUT: cestica moze biti izvan kugle.

IN: unutar supljine je r < Ru ≤ r ′ , pa je i |r − r ′ | = r ′ − r

VIN = −Gρ02π

r

∫ Rv

Ru

r ′ dr ′ (r ′ + r − r ′ + r) = −G 2 π ρ0 (R2v −R2

u). (7.25)

Potencijal u supljini je konstantan.

INTER: U ovom dijelu prostora, integraciju treba rastaviti na dva dijela:

Ru ≤ r ′ ≤ r ⇒ |r − r ′ | = r − r ′ ,r ≤ r ′ ≤ Rv ⇒ |r − r ′ | = r ′ − r.,

tako da je

∫ Rv

Ru

dr ′ =

∫ r

Ru

dr ′

︸︷︷︸r ′ < r

+

∫ Rv

r

dr ′

︸︷︷︸r ′ > r

.

Uz gornji rastav, za potencijal se dobiva,

VINTER(r) = −Gρ02 π

r

[∫ r

Ru

r ′ dr ′ (r ′ + r + r ′ − r) +

∫ Rv

r

r ′ dr ′ (r ′ + r − r ′ + r)

]

= −G 2 π ρo

(R2v −

r2

3− 2R3

u

3 r

)(7.26)


OUT: neka se sada cestica nalazi izvan kugle, r > Rv ≥ r ′ , pa je i |r − r ′ | = r − r ′

VOUT (r) = −Gρ02π

r

∫ Rv

Ru

r ′ dr ′ (r ′ + r + r ′ − r)

= −Gρ04π

3(R3

v −R3u)

1

r= −G M

r, (7.27)

a to je isti potencijal kao da umjesto suplje kugle mase M , u ishodistu imamo cesticu iste mase.Pokazimo jos i da se iz ovih potencijala, dobivaju ranije izracunati izrazi za sile. Sila i potencijalsu vezani operacijom gradijenta, koja je u pravokutnom koordinatnom sustavu, oblika

~F = −−→∇Ep = −m −→∇V = −m(x

∂

∂ x+ y

∂

∂ y+ z

∂

∂ z

)V.

IN: unutar supljine je potencijal konstantan, (7.25), pa je sukladno gornjem izrazu derivacija

konstante jednaka nuli i sila u supljini je jednaka nuli, ~F ING = 0, bas kao i u (7.21).

INTER: Potencijal VINTER je dan izrazom (7.26). Izracunajmo najprije samo x komponentesile u prostoru izmedu Ru u Rv:

F INTERGx = G 2π ρo m

∂

∂x

(R2v −

x2 + y2 + z2

3− 2R3

u

3√x2 + y2 + z2

)

= Gm4 π

3ρ0

(−x+

R3u

r3x

)

i slicno za y i z komponentu sile. Sve zajedno, za ~F INTERG = x F INTER

Gx + y F INTERGy + z F INTER

Gz ,dobivamo, bas kao i u (7.22)

~F INTERG = −Gm 4π

3ρ0

(~r − R3

u

r3~r

)= −GmmINTER(r)

r

r3,

gdje smo prepoznali

mINTER(r) =4π

3ρ0 (r3 −R3

u).

OUT: Izvan kugle je potencijal dan sa (7.27). Ponovo je dovoljno izracunati samo jednu, npr.x, komponentu sile

FOUTGx = G m M

∂

∂x

1√x2 + y2 + z2

= −G m Mx

r3

i slicno za preostale dvije komponente. Sve zajedno, ~FOUTG = x FOUT

Gx + y FOUTGy + z FOUT

Gz ,dobivamo kao i u (7.24)

~FOUTG = −G m M

~r

r3.

O tome kako izgleda gravitacijski potencijal koji potjece od nesfernih objekata (kao sto sunpr. dvojne zvijezde, spiralne ili elipticke galaksije), bit ce vise rijeci u odjeljku o multipolnomrazvoju potencijala.


Svi gornji racuni i rezulatati vrijede i za elektrostatsku silu, ako se u odgovarajucim izrazimaizvedu zamjene (7.14) i (7.15). Primjetimo da je vazan dio u gornjim racunima pretpostavka okonstantnoj gustoci kojom je masa (za gravitacijsku silu ili elektricni naboj za elektrostatskusilu) rasporedena u prostoru.

7.3 Divergencija i rotacija gravitacijskog polja

Prema Helmohltzovu16 teoremu, vektorsko je polje u cjelosti odredeno svojom rotacijom idivergencijom. U ovom cemo odjeljku izracunati divergenciju i rotaciju gravitacijskog polja

~g (~r) = −G∫

ρm(~r ′)~r − ~r ′|~r − ~r ′|3 d

3 r ′ , (7.28)

a sve sto izvedemo za gravitacijsko polje, moze se relacijama (7.14) i (7.15) prevesti u termine

elektrostatskog polja ~E .

Relacijom (7.12) je pokazano da je gravitacijsko polje dano negativnim gradijentom potencijala,a buduci da smo vec pokazali, relacijom (2.52), i da je rotacija gradijenta jednaka nuli, to odmahslijedi

−→∇ × ~g = 0. (7.29)

Gornja jednadzba je jedan od mogucih nacina da se matematicki kaze da je gravitacijsko poljekonzervativno. Izracunamo li plosni integral gornje jednadzbe

∫(−→∇ × ~g ) d~S = 0

i primjenimo Stokesov teorem (2.46)∫

(−→∇ × ~g ) d~S =

∮~g d~r = 0,

dolazimo do tvrdnje da je rad gravitacijskog polja (tj. sile) po zatvorenoj krivulji jednaknuli (tako npr. Zemlja ne obavlja nikakav rad gibajuci se oko Sunca). Elektrostatsko je poljetakoder konzervativno i za njega vrijedi

−→∇ × ~E = 0.

Ova se jednadzba naziva druga Maxwellova17 jednadzba.

Primjer: 7.3 Pokazimo da gravitacijsko polje cestice na svim udaljenostima i gravitacijskopolje homogene kugle na udaljenostima vecim od polumjera kugle, zadovoljava jed-nadzbu (7.29).

R: Polje cestice mase m smjestene u ishodistu koordinatnog sustava je

~g (~r) = −G m

r3~r

16Hermann Ludwig Ferdinand von Helmohltz, 1821 - 1894, njemacki fizicar17James Clerck Maxwell, 1831 - 1879, skotski fizicar

7.3. DIVERGENCIJA I ROTACIJA GRAVITACIJSKOG POLJA 185

(a kao sto znamo iz (7.24), to je i polje kugle, ako je r vece od polumjera kugle).Raspisano po komponentama pravokutnog koordinatnog sustava

gx = −Gm x

(x2 + y2 + z2)3/2,

gy = −Gm y

(x2 + y2 + z2)3/2,

gz = −Gm z

(x2 + y2 + z2)3/2.

Komponente rotacije u pravokutnim koordinatama su

−→∇ × ~g = x

(∂ gz∂ y

− ∂ gy∂ z

)+ y

(∂ gx∂ z

− ∂ gz∂ x

)+ z

(∂ gy∂ x

− ∂ gx∂ y

).

Izravnom derivacijom se lako dobije da je svaka od okruglih zagrada jednaka nuli

−→∇ × ~g = 0.

Da bismo izracunali divergenciju gravitacijskog polja,−→∇~g (~r), trebamo najprije primjetiti da

operator nabla djeluje na koordinatu ~r (a ne na ~r ′) na desnoj strani relacije (7.28). Ovo

cemo naglasiti time sto cemo (samo u ovom odjeljku) umjesto−→∇ pisati

−→∇r. Integrira se po

koordinati ~r ′, pa je dozvoljeno komutirati integraciju i−→∇r

−→∇r~g = −G∫

ρm(~r ′)−→∇r

~r − ~r ′|~r − ~r ′|3 d

3 r ′ .

Neka je ~r 6= ~r ′. Izracunajmo rezultat djelovanja−→∇r

−→∇r~r − ~r ′|~r − ~r ′|3 =

(x∂

∂ x+ y

∂

∂ y+ z

∂

∂ z

)x (x− x ′) + y (y − y ′) + z (z − z ′)

[(x− x ′)2 + (y − y ′)2 + (z − z ′)2]3/2(7.30)

=∂

∂ x

x− x ′

[(x− x ′)2 + (y − y ′)2 + (z − z ′)2]3/2

+∂

∂ y

y − y ′

[(x− x ′)2 + (y − y ′)2 + (z − z ′)2]3/2

+∂

∂ z

z − z ′

[(x− x ′)2 + (y − y ′)2 + (z − z ′)2]3/2

=

(1

|~r − ~r ′|3 −3(x− x ′ )2

|~r − ~r ′|5)

+

(1

|~r − ~r ′|3 −3(y − y ′ )2

|~r − ~r ′|5)

+

(1

|~r − ~r ′|3 −3(z − z ′ )2

|~r − ~r ′|5)

= 0.

Izracunajmo sada∫d3r

−→∇r~r − ~r ′|~r − ~r ′|3


po kugli unutar koje se nalazi i tocka ~r = ~r ′. Umjesto ~r, uvedimo novu varijablu ~R = ~r − ~r ′,tako da je d3r = d3R i

−→∇r =−→∇R. Primjenom Gaussova teorema (2.21), prelazimo s integracije

po volumenu kugle, na integraciju po povrsini sfere

∫d3R

−→∇R

~R

R3=

∮d~S

~R

R3=

∮

Ω

R R2dΩR R

R3= 4π. (7.31)

Funkcija koje jednaka nuli kada je njezin argument razlicit od nule, a integral koje je jednakjedinici kada podrucje integracije sadrzi i tocku koja ponistava njezin argument, naziva seDiracova18 δ-funkcija . O definiciji i svojstvima δ-funkcije, vidjeti vise u dodatku A i [3]. Izrelacija (7.30) i (7.31) zakljucujemo da je

−→∇r~r − ~r ′|~r − ~r ′|3 = 4πδ(~r − ~r ′).

Sada je

−→∇~g (~r) = −G∫

ρm(~r ′)−→∇r

~r − ~r ′|~r − ~r ′|3 d

3 r ′ = −G∫

ρm(~r ′)4πδ(~r − ~r ′) d3 r ′ = −4πGρm(~r).

Time smo dosli do jednadzbe za divergenciju gravitacijskog polja

−→∇~g (~r) = − 4 π G ρm(~r). (7.32)

Odgovarajuca elektrostatska jednadzba

−→∇ ~E (~r) =ρq(~r)

ε0

se naziva prva Maxwellova jednadzba. Gornju jednadzbu mozemo napisati i u integralnomobliku, koristeci Gaussov teorem

∫d3r

−→∇~g = −4 π G

∫d3r ρm

∮

S

~g d~S = −4 π G mS, (7.33)

gdje mS oznacava masu sadrzanu unutar zatvorene plohe S. Gornja jednadzba kaze da je tokgravitacijskog polja kroz proizvoljnu zatvorenu plohu, srazmjeran kolicini mase sadrzane unutarplohe. Odgovarajuci iskaz za elektricno polje se zove Gaussov zakon

∮~E d~S =

qSε0.

Gornji su izrazi jako pogodni racun gravitacijskog ili elektrostatskog polja, kada su masa ilielektricni naboj na neki posebno jednostavan i simetrican nacin rasporedeni u prostoru. Ovutvrdnju ilustriramo slijedecim primjerom.

18Paul Adrien Maurice Dirac, 1902 - 1984, engleski fizicar

7.3. DIVERGENCIJA I ROTACIJA GRAVITACIJSKOG POLJA 187

Primjer: 7.4 Koristeci jednadzbu (7.33), izracunajte gravitacijsko polje suplje kugle jednolikegustoce (to smo vec izracunali na drugi nacin - izravnom integracijom - u odjeljku7.2).

R: Zbog sferne simetrije odabiremo sferni koordinatni sustav s koordinatama(r, θ, ϕ) i s ishodistem u sredistu kugle. Isto tako zbog sferne simetrije je jasnoda polje ne moze ovisiti o kutovima θ i ϕ, nego samo o odaljenosti r i da mora bitiusmjereno samo u r smjeru

~g (~r) = g(r) r . (7.34)

IN: izracunajmo najprije polje u supljini kugle na udaljenosti r od ishodista. Dabismo to izveli, za plohu integracije, u izrazu (7.33), uzimamo sferu polumjera r <

Ru, tako da je d~S = r r2dΩ, pa je lijeva strana (7.33) jednaka∮

S

~g INd~S =

∫

Ω

gIN(r) r r r2dΩ = gIN(r) r2 4π.

Na desnoj strani (7.33) se pojavljuje mS, masa obuhva”ena plohom integracije. Noploha integracije (sfera polumjera r < Ru) se u cjelosti nalazi unutar supljine, pazato ne obuhvaca nikakvu masu, tj. mS = 0 i Gaussov zakon u supljini kugle glasi

gIN(r) r2 4π = 0,

tj. ~g IN = 0, kao sto smo dobili i ranije u (7.21).INTER: izracunajmo sada polje na udaljenosti r od ishodista, gdje je Ru ≤ r ≤ Rv.Za plohu integracije opet odabiremo sferu polumjera Ru ≤ r ≤ Rv sa sredistem uishodistu. Lijeva strana (7.33) je opet jednaka

∮

S

~g INTERd~S =

∫

Ω

gINTER(r) r r r2dΩ = gINTER(r) r2 4 π,

no masa obuhvacena plohom integracije je sada jednaka onome sto smo gore oz-nacavali sa mINTER(r) ≡ mS = ρ0 [(4π/3) r3 − (4π/3) R3

u], pa Gaussov zakondaje

gINTER(r) r2 4π = −4 π G mINTER(r) ⇒ ~g INTER(r) = −GmINTER(r)r

r2,

bas kao i u (7.22).OUT: da bismo izracunali polje izvan kugle, za plohu integracije opet odabiremokoncentricnu sferu, ali je ona sada polumjera r > Rv. Kao i u dva prethodna slucaja,lijeva strana (7.33) je opet jednaka gOUT (r) r2 4π. Masa obuhvacena plohom inte-gracije, koja se sada pojavljuje na desnoj strani (7.33), je upravo cijela masa supljekugle M , pa Gaussov zakon glasi

gOUT (r) r2 4π = −4π G M =⇒ ~g OUT (r) = −GM r

r2,

sto je isto kao i u (7.24): polje ima oblik polja cestice.


Primjer: 7.5 Polazeci od relacije (7.28) pokazite da se gravitacijsko polje moze prikazati kaogradijent jedne skalarne funkcije i odredite tu skalarnu funkciju.

R: Primjetimo da je

−→∇r1

|~r − ~r ′| =

(x∂

∂ x+ y

∂

∂ y+ z

∂

∂ z

) [(x− x ′)2 + (y − y ′)2 + (z − z ′)2

]−1/2

= x−2(x− x ′)

2 [(x− x ′)2 + (y − y ′)2 + (z − z ′)2]3/2

+ y−2(y − y ′)

2 [(x− x ′)2 + (y − y ′)2 + (z − z ′)2]3/2

+ z−2(z − z ′)

2 [(x− x ′)2 + (y − y ′)2 + (z − z ′)2]3/2

= − ~r − ~r ′|~r − ~r ′|3

Pomocu gornjeg izraza, mozemo gravitacijsko polje napisati kao

~g (~r) = −G∫

ρm(~r ′)(−−→∇r

1

|~r − ~r ′|)d3 r ′ = −−→∇r

(−G

∫ρm(~r ′)

1

|~r − ~r ′| d3 r ′

)

= −−→∇V (~r),

gdje je

V (~r) = −G∫

ρm(~r ′)|~r − ~r ′| d

3 r ′ .

Primjer: 7.6 Od ranije, relacije (7.23) i (7.24), nam je poznato gravitacijsko polje kugle jed-nolike masene gustoce ρ0 i ukupne mase m, sa sredistem u ishodistu koordinatnogsustava. Uvjerimo se da to polje zadovoljava relaciju (7.32).

R: Znamo da je za r ≤ R

~g IN = −4πGρ0

3~r = −4πGρ0

3(xx + yy + zz ),

a za r ≥ R je

~g OUT = −Gm ~r

r3= −Gm xx + yy + zz

(x2 + y2 + z2)3/2,

gdje je ρ0 = 3m/(4R3π), konstantna masena gustoca kugle. Unutar kugle je gustocaρ = ρ0, dok izvan kugle nema mase pa je tamo ρ = 0. Prema jednadzbi (7.32), trebadobiti

−→∇~g IN = −4πGρ0−→∇~g OUT = 0.

7.4. MULTIPOLNI RAZVOJ POTENCIJALA 189

Divergencija je naprosto zbroj parcijalnih derivacija komponenata polja

−→∇~g =∂gx∂x

+∂gy∂y

+∂gz∂z

.

Unutar kugle, x-komponenta divergencije daje

∂gx∂x

=∂

∂x

−4πGρ0

3x =

−4πGρ0

3.

Isti rezultat daju i y i z komponenta, pa je konacno

−→∇~g IN = 3−4πGρ0

3= −4πGρ0.

Izvan kugle, x-komponenta divergencije daje

∂gx∂x

=∂

∂x(−G)

mx

(x2 + y2 + z2)3/2

= −Gm[

1

r3+ x(−3/2)(x2 + y2 + z2)−5/22x

]= −Gm

[1

r3− 3x2

r5

]

i simetricno za y i z komponentu. Sve zajedno daje

−→∇~g OUT = −Gm(

1

r3− 3x2

r5+

1

r3− 3y2

r5+

1

r3− 3z2

r5

)= −Gm

(3

r3− 3r2

r5

)= 0,

kao sto i treba biti.

7.4 Multipolni razvoj potencijala

U odjeljku 7.2, rijesen je jednostavan problem izracunavanja potencijala tj. gravitacijske ielektrostatske sile, koja potjece od sfernih objekata. Vidjeli smo da je sila u prostoru izvansfere ista kao i sila od cestice koja bi se nalazila na mjestu sredista sfere, a cija je masa (naboj)ista kao i ukupna masa (naboj) sfere.Pogledajmo sada slijedeci elektrostatski problem: dva naboja istog iznosa, a suprotnog predz-naka se nalaze na medusobnoj udaljenosti l; zadatak je izracunati potencijal ovog sustava naudaljenostima ~r velikim u usporedbi s medusobnom udaljenoscu naboja

r >> l.

Promatran u gornjoj granici, ovaj sustav dva naboja se naziva elektricni dipol i prikazanje na slici 7.6. Zbog homogenosti i izotropnosti prostora, koordinatni sustav mozemo postavititako da se ishodiste nalazi na polovistu spojnice naboja, os z lezi u smjeru spojnice. U skladu snacelom pridodavanja, potencijal zbroja naboja je jednak zbroju potencijala pojedinih naboja.Oznacimo li s V+ potencijal naboja +q koji se nalazi u tocki (l/2)z , a s V− potencijal naboja−q koji se nalazi u tocki (−l/2)z , tada je njihovu ukupni potencijal, Vdip jednak

Vdip(~r) = V+(~r) + V−(~r),

pri cemu su potencijali tockastih naboja

V±(~r) =1

4πε0

±q|~r − ~r±| .


Slika 7.6: Elektricni dipol.

Ukupni, dipolni, potencijal je tada jednak

Vdip(~r) =1

4πε0q

(1

|~r − z l/2| −1

|~r + z l/2|)

=1

4πε0

q

r

[(1− cos θ

l

r+

1

4

l2

r2

)− 12

−(

1 + cos θl

r+

1

4

l2

r2

)− 12

].

U granici r >> l, na gornji se izraz moze primjeniti Taylorov razvoj

(1 + x)−12 = 1− 1

2x+

1 · 32 · 4x

2 − 1 · 3 · 52 · 4 · 6x

3 +O(x4), (7.35)

za |x| < 1, pri cemu je

x ≡ ∓ cos θl

r+

1

4

l2

r2.

Uvrstavanjem vrijednosti za x i sredivanjem dobivenog razvoja, za dipolni potencijal se dobije

Vdip(~r) =1

4πε0

q

r

[l

rcos θ +O

(l3

r3

)].

Drugi clan na desnoj strani gornjeg izraza oznacava zanemarene clanove razvoja, koji su zboguvjeta r >> l manji od clana koji je zadrzan. U nastavku, taj clan vise necemo eksplicitnonavoditi. Definiramo li vektor dipolnog momenta (usmjerenog od negativnog prema pozi-tivnom naboju) kao ~p = qlz , tada se dipolni potencijal moze napisati u uobicajenom obliku

Vdip(~r) =1

4πε0

~p · rr2

. (7.36)

Primjetimo da, za razliku od potencijala jednog tockastog naboja, koji opada kao 1/r, potencijal

dipola opada brze, kao 1/r2. Iz poznatog potencijala, polje se racuna kao ~E dip = −−→∇Vdip.


Operator gradijenta u sfernom koordinatnom sustavu se moze naci npr. u [10], pa jednostavnomderivacijom, dobivamo polje dipola

~E dip = −(r∂

∂r+ θ

1

r

∂

∂θ+ ϕ

1

r sin θ

∂

∂ϕ

)1

4πε0

p cos θ

r2

=1

4πε0

p

r3

(2 cos θr + sin θθ

)=

1

4πε0

1

r3(3p cos θr − pz ) .

Prepoznamo li u gornjem izrazu p cos θ kao skalarni umnozak ~p · r , a pz kao ~p , elektricnopolje dipola postaje

~E dip(~r) =1

4πε0

3(~p · r )r − ~p

r3.

Za razliku od polja tockastog naboja (7.5) (uz zamjene m → q i −G → 1/4 π ε0) koje jesferno simetricno, polje dipola nije sferno simetricno, vec ovisi o kutu θ koji mjeri otklon odosi dipola. Sila kojom ovaj dipol djeluje na tockasti naboj iznosa q koji se nalazi u tocki ~r jejednaka ~Fdip = q ~E dip(~r).S obzirom da elektricni naboji mogu biti pozitivni i negativni, a gravitacijski naboj (teska masa)je uvijek pozitivan, mozemo se zapitati postoji li neki gravitacijski sustav tijela koji bi proizveodipolni potencijal oblika (7.36)? Pogledajmo sliku 7.7. Dvojni sustav zvijezda sastavljen od

Slika 7.7: Uz objasnjenje gravitacijskog dipola.

jedne velike i jedne male zvijezde ili sustav sastavljen od zvijezde i masivnog planeta, mozemozamisliti kao rezultat zbrajanja (pridodavanja) potencijala od velike mase iznosa M + m idvaju manjih masa iznosa ±m ′ od kojih je jedna negativna. Ova negativna masa je samofikcija korisna za razumjevanje oblika potencijala. Na udaljenostima velikim u usporedbi sdimenzijom sustava, gravitacijski potencijal ce biti priblizno jednak zbroju potencijala velikemase iznosa M + m (to je potencijal tockastog izvora) i potencijala dipola sastavljenog odpozitivne i negativne mase m ′.Ukoliko se promatra sustav dvije zvijezde jednakih masa, kao na slici 7.8, rezultantni potencijalzbog simetrije mase obje zvijezde, nece sadrzavati dipolni nego ce poslije monopolnog, prvi


Slika 7.8: Uz objasnjenje gravitacijskog kvadrupola.

slijedeci neiscezavajuci clan biti kvadrupolni.

Gornja se razmatranja mogu dalje poopcavati. Sto ako nemamo dva naboja (ili dvije masenecestice), nego imamo nekakav skup od N naboja (ili masa) rasporeden unutar nekog ogra-nicenog dijela prostora? Kako ce izgledati potencijal ove nakupine na udaljenostima velikim uusporedbi s dimenzijama same nakupine (slika 7.9)? Evo nekoliko primjera:

(1) astronomija - nebeska tijela kao sto su dvojne zvijezde, galaksije, nakupine plina, nisu uvi-jek sfernog oblika i nalaze se na udaljenostima puno vecim nego sto su prostorne dimenzijesamih tijela;

(2) nuklearne fizika - atomske jezgre teskih elemenata cesto nisu okruglog oblika: ili su maloizduzene u oblik cigare, ili su spljostene u oblik palacinke. Zato elektricna sila kojom djelujuna elektrone iz elektronskog plasta atoma, nije ista kao sila od kuglastog objekta (koju smoracunali u odjeljku 7.2). Srednja udaljenost elektrona od jezgre je oko pet redova velicineveca od dimenzije same jezgre, pa smo i ovdje u situaciji da nas zanima sila (tj. potencijaliz kojega cemo dobiti silu) na udaljenostima velikim u usporedbi s prostornim dimenzijamakoje zauzima izvor sile (tj. potencijala);

(3) atomska fizika - atomi su kao cjeline elektricki neutralni jer imaju isti broj elektrona uplastu, kao i protona u jezgri, no zbog nejednolike raspodjele naboja unutar atoma, utockama izvan atoma postojat ce elektrostatski potencijal razlicit od nule.

Radi odredenosti, u nastavku cemo govoriti o elektrostatskom potencijalu, a zamjenama (7.14)i (7.15) sve se moze prevesti i u jezik gravitacijskog potencijala.

Postavimo koordinatni sustav tako da je polozaj tocke u kojoj racunamo potencijal odredensfernim koordinatama (r, θ, ϕ), polozaj tocaka u kojima se nalaze izvori potencijala je oznacen


Slika 7.9: Uz multipolni razvoj gravitacijskog potencijala.

s (r ′ , θ ′, ϕ′)

~r = r(x sin θ cosϕ+ y sin θ sinϕ+ z cos θ) = rr ,

~r ′ = r ′ (x sin θ ′ cosϕ′ + y sin θ ′ sinϕ′ + z cos θ ′) = r ′ r ′ .

Smatrat cemo da su tocke izvori potencijala kontinuirano raspodjeljene gustocom naboja ρq(~r′)

po konacnom dijelu prostora u okolici ishodista (slika 7.9). U skladu s gornjom diskusijom,ogranicit cemo se na racun potencijala u tockama na udaljenostima r za koje vrijedi

r >> r ′ .

Gornja nejednakost nam omogucava definirati malu velicinu r ′ /r po kojoj razvijamo nazivnikiz podintegralne funkcije u izrazu za potencijal (7.16)

1

|~r − ~r ′| =1√

r2 − 2rr ′ (r · r ′ ) + r ′ 2=

1

r

[1− 2

r ′

r(r · r ′ ) +

(r ′

r

)2]−1/2

.

Koristeci Taylorov (7.35) uz:

x ≡ −2r ′

r(r · r ′ ) +

(r ′

r

)2

,

x2 = 4

(r ′

r

)2

(r · r ′ )2 − 4

(r ′

r

)3

(r · r ′ ) +O(r ′ 4

r4

),

x3 = −8

(r ′

r

)3

(r · r ′ )3 +O(r ′ 4

r4

).

dobivamo

1

|~r − ~r ′| =1

r

1 +

r ′

r(r · r ′ ) +

1

2

(r ′

r

)2

[3(r · r ′ )2 − 1] +3

2

(r ′

r

)3

(r · r ′ )[5

3(r · r ′ )2 − 1

]+O

(r ′ 4

r4

).


Uvrstavanjem gornjeg razvoja u izraz za elektrostatski potencijal, (7.16), dobiva se

V (~r) = V (~r)mon + V (~r)dip + V (~r)kva + V (~r)okt + · · · (7.37)

Prvi clan gornjeg razvoja je monopolni potencijal , tj. potencijal koji dolazi od ukupnog nabojacijelog sustava

V (~r)mon =1

4πε0

1

r

∫ρq(~r

′)d3r ′ =1

4πε0

q

r. (7.38)

Ako je ukupan naboj cijelog sustava jednak nuli (kao sto je to npr. slucaj kod neutralnih atomagdje je q = q+ + q− = 0), onda ovaj clan iscezava.Drugi clan se naziva dipolni potencijal

V (~r)dip =1

4πε0

1

r2

∫r · r ′ r ′ ρq(~r ′)d3r ′ =

1

4πε0

r

r2

∫~r ′ρq(~r ′)d3r ′ .

Nazovemo li dipolnim momentom ~p

~p =

∫~r ′ρq(~r ′)d3r ′ , (7.39)

tada je gornji dipolni potencijal oblika kao i (7.36)

V (~r)dip =1

4πε0

~p r

r2. (7.40)

Ako u (7.39) uvrstimo da je gustoca naboja ρq(~r′) razlicita od nule samo u dvije tocke: ±(l/2)z

u kojima ima vrijednost ±q, dobit cemo rezultat ~p = qlz s pocetka ovog odjeljka (gornji jeizraz za ~p je puno opcenitiji od ~p = qlz koji vrijedi samo za dva tockasta naboja). Za razlikuod potencijala monopola, dipolni potencijal opada brze, kao 1/r2.Treci se clan naziva kvadrupolni potencijal i opada jos brze (kao 1/r3) od prethodna dva clana.

V (~r)kva =1

4πε0

1

r3

1

2

∫r ′ 2[3(r · r ′ )2−1]ρq(~r

′)d3r ′ =1

4πε0

1

r3

1

2

∫[3(r ·~r ′)2−r ′ 2]ρq(~r ′)d3r ′ .

(7.41)Raspisimo izraz iz uglate zagrade u pravokutnim koordinatama

r = x sin θ cosϕ+ y sin θ sinϕ+ z cos θ ≡ x rx + y ry + z rz,

~r ′ = x x ′ + y y ′ + z z ′,3(r · ~r ′)2 − r ′ 2 = 3(rxx

′ + ryy + rz z )2 − (x ′ 2 + y ′ 2 + z ′ 2)= 3(r2

xx′ 2 + r2

yy′ 2 + r2

zz′ 2 + 2rxryx

′y ′ + 2rxrzx′z ′ + 2ryrzy

′z ′)− x ′ 2 − y ′ 2 − z ′ 2.

Citatelj ce se lako uvjeriti, izravnim mnozenjem, da se gornji izraz moze preglednije napisatipomocu matrice T (~r ′) definirane donjim izrazom

< r |T (~r ′)|r >=[rx ry rz

]

2x ′ 2 − y ′ 2 − z ′ 2 3x ′y ′ 3x ′z ′

3y ′x ′ 2y ′ 2 − x ′ 2 − z ′ 2 3y ′z ′

3z ′x ′ 3z ′y ′ 2z ′ 2 − x ′ 2 − y ′ 2

rxryrz

Uvedemo li sada realnu i simetricnu matricu koja se, u analogiji s dipolnim momentom (koji jevektor), naziva kvadrupolni moment Q

Q =

∫ρq(~r

′) T (~r ′) d3r ′ , (7.42)


kvadrupolni potencijal mozemo zapisati u obliku

V (~r)kva =1

4πε0

1

r3

< r |Q |r >2

.

Uvedimo lijeve < λj| i desne svojstvene vektore |λj > i njima pridruzene svojstvene vrijednostiλj, matrice Q

Q |λj >= λj|λj >, < λj|Q = λj < λj|,za j = 1, 2, 3. Ovi svojstveni vektori cine ortonormiran i potpun skup

< λi|λj >= δi,j,

3∑j=1

|λj >< λj| = 1,

gdje 1 oznacava jedninicnu 3× 3 matricu. Primjenom relacije potpunosti, slijedi

< r |Q |r >=< r |Q3∑j=1

|λj >< λj|r >=3∑j=1

λj < r |λj >< λj|r > .

No, < r |λj >=< λj|r > su samo oznake za skalarne umnoske dva jedinicna vektora i zato je

< r |λj >=< λj|r >= cos Ψj,

gdje smo s Ψj oznacili kutove koje r zatvara sa smjerovima svojstvenih vektora matrice Q(slika 7.10). Pomocu ovih velicina, kvadrupolni elektrostatski potencijal glasi

Slika 7.10: Smjerovi svojstvenih vektora matrice Q .

V (~r)kva =1

4πε0

1

r3

1

2

3∑j=1

λj cos2 Ψj,


a gravitacijski kvadrupolni potencijal je

V (~r)kva = −G 1

r3

1

2

3∑j=1

λj cos2 Ψj. (7.43)

Cetvrti se clan naziva oktupolni potencijal i opada kao 1/r4,

V (~r)okt =1

4πε0

1

r4

3

2

∫r ′ 3

[5

3(r · r ′ )3 − (r · r ′ )

]ρq(~r

′) d3r ′ . (7.44)

Odgovarajuce gravitacijske potencijale dobivamo iz gornjih izraza zamjenama (7.14) i (7.15).

S obzirom da Zemlja nije savrsena kugla i da njezina masena gustoca nije konstantna, rezultat(7.17) dobiven za kuglu konstantne gustoce nece biti potpuno primjenjiv na Zemlju. Naravnoda ce odstupanja biti mala, a ta mala odstupanja su upravo dana izrazima (7.40), (7.43) i(7.44). Ukupan gravitacijski potencijal je dan sa (7.37), a to je potencijal homogene kugle plusmale korekcije od nehomogenosti i nesfericnosti. Vise o gravitacijskom potencijalu Zemlje mozese naci u [28].

Primjer: 7.7 Pokazite da za sustav elektricnih naboja sa slike 7.6, vrijedi: Vmon = Vkva =Vokt = 0.

R: gustoca naboja koja se pojavljuje u izrazima za potencijale, je razlicita odnule samo u dvije tocke: z = ± l/2 i u tim tockama ima vrijednost ± q. Ovomozemo zapisati pomocu Diracove δ-funkcije u npr. pravokutnom koordinatnomsustavu

ρq(~r′) = + q δ(x ′) δ(y ′) δ(z ′ − l/2)− q δ(x ′) δ(y ′) δ(z ′ + l/2).

Monopolni potencijal gornje raspodjele naboja, racunamo prema (7.38)

V (~r)mon =1

4πε0

1

r

∫ρq(~r

′)d3r ′

=1

4πε0

q

r

∫ +∞

−∞δ(x ′) δ(y ′) δ(z ′ − l/2) dx ′dy ′dz ′

−∫ +∞

−∞δ(x ′) δ(y ′) δ(z ′ + l/2) dx ′dy ′dz ′

=1

4πε0

q

r(1− 1) = 0.

7.5. PROBLEM DVA TIJELA 197

Kvadrupolni potencijal racunamo pomocu (7.41

V (~r)kva =1

4πε0

1

r3

1

2

∫[3(r · ~r ′)2 − r ′ 2]ρq(~r ′)d3r ′

=1

4πε0

1

r3

1

2

[3(r · ~r ′)2 − r ′ 2] (+q)

∣∣x ′=y ′=0,z ′=l/2

+ [3(r · ~r ′)2 − r ′ 2] (−q)∣∣x ′=y ′=0,z ′=−l/2

=1

4πε0

1

r3

1

2

[3

(l

2

)2

−(l

2

)2]q +

[3

(− l

2

)2

−(− l

2

)2]

(−q)

= 0,

a oktupolni, pomocu (7.44)

V (~r)okt =1

4πε0

1

r4

3

2

∫r ′ 3

[5

3(r · r ′ )3 − (r · r ′ )

]ρq(~r

′) d3r ′ .

=1

4πε0

1

r4

3

2

√(l

2

)23 (

5

3− 1

)(+q) +

√(− l

2

)23 (

5

3− 1

)(−q)

= 0.

7.5 Problem dva tijela

U svakodnevnom govoru je uobicajeno reci: Zemlja se giba oko Sunca po elipsi, pri cemuSunce miruje u jednom od zarista elipse. Strogo gledano, ta tvrdnja nije tocna. U ovom cemoodjeljku pokazati da se i Zemlja i Sunce gibaju oko jedne tocke koju cemo kasnije u poglavlju10.2 prepoznati kao srediste mase. No, zbog toga sto je masa Sunca puno veca od mase Zemlje(a i svih ostalih planeta uzetih zajedno), ova se tocka nalazi tako blizu sredista Sunca da se ujako dobroj pribliznosti moze smatrati da Sunce miruje. Radi jednostavnosti, promatrat cemosamo medudjelovanje Zemlje i Sunca, a utjecaj ostalih nebeskih tijela cemo zanemariti.U odjeljku 7.2 smo pokazali da se, u odnosu na gravitacijsku silu, a zbog svojeg pribliznokuglastog oblika, Sunce i planeti mogu tretirati kao cestice. Opisimo zato opcenito gibanjedvije cestice masa m1 i m2 medu kojima djeluje gravitacijska sila (slika 7.11) iznosa

FG = Gm1m2

|~r1 − ~r2|2 .

Ova formulacija, osim gravitacijske, obuhvaca i Coulombovu silu

FC =1

4πε0

q1 q2|~r1 − ~r2|2 ,

koja djeluje medu cesticama raznoimenih elektricnih naboja (s time da se tu javlja i, klasicnimpojmovima nerjesiv, problem zracenja naboja koji se ubrzano giba. Prema trecem Newtonovomaksiomu je ~F2,1 = −~F1,2, pa jednadzbe gibanja za obje cestice glase

m1d2~r1d t2

= ~F2,1,

m2d2~r2d t2

= ~F1,2 = −~F2,1.


Slika 7.11: Uz problem dva tijela.

Zbrajanjem gornjih jednadzba, dolazi se do zakona o sacuvanju ukupne kolicine gibanja

m1d2~r1d t2

+m2d2~r2d t2

= 0,

d

d t

[m1~ 1r +m2~ 2r

]= 0,

m1~ 1r +m2~ 2r = const.,

tj. ukupna kolicina gibanja sustava se ne mijenja u vremenu. Ako uvedemo pojam sredistamase sustava ~rSM

~rSM =m1~r1 +m2~r2m1 +m2

,

tada je i

m1d2~r1d t2

+m2d2~r2d t2

= (m1 +m2)~rSM = 0,

pa je ~rSM = const., tj. srediste mase sustava dvije cestice se giba konstantnom brzinom(konstantnom po iznosu i po smjeru), a buduci da je konstantna, onda je i jednaka brzini upocetnom trenutku. Primjetimo na ovom mjestu, da ako je jedna masa puno veca od druge,npr. m1 >> m2 (kao sto je to slucaj u sustavu Sunce - Zemlja), tada ce se srediste masenalaziti vrlo blizu polozaja masivnijeg tijela. Taylorovim razvojem izraza za ~rSM po malojvelicini m2/m1, lako se dolazi do

m1 >> m2 ⇒ ~rSM = ~r1 +m2

m1

(~r2 − ~r1) + · · · .

Pokazimo jos i da je i moment kolicine gibanja cijelog sustava konstantan u vremenu.

~r1 × m1~ 1r = ~r1 × ~F2,1,

~r2 × m2~ 2r = ~r2 × ~F1,2 = −~r2 × ~F2,1.

7.5. PROBLEM DVA TIJELA 199

Zbrajanjem gornje dvije jednadzbe, dobiva se

~r1 × m1~ 1r + ~r2 × m2~ 2r = (~r1 − ~r2)× ~F2,1 = 0,

d

d t(~r1 × m1~ 1r + ~r2 × m2~ 2r) = 0.

Desne strane gornjih jednadzba su jednake nuli zato jer sila ~F2,1 ima smjer spojnice tocaka ~r1i ~r2, pa je kolinearna s (~r1 − ~r2) i vektorski umnozak na desnoj strani je jednak nuli. Definira

li se moment kolicine gibanja cijelog sustava ~L izrazom

~L = ~r1 × m1~ 1r + ~r2 × m2~ 2r, (7.45)

tada iz gornjeg razmatranja zakljucujemo da je ~L konstantan u vremenu i jednak vrijednostimomenta kolicine gibanja u pocetnom trenutku. Ovu konstantnu vrijednost cemo oznacavati s~L 0.Postavimo sada ishodiste koordinatnog sustava u tocku srediste mase, ~rSM = (m1~r1+m2~r2)/(m1+m2) = 0 (slika 7.12). Tada je po komponentama

Slika 7.12: Ishodiste koordinatnog sustava je u sredistu mase.

m1x1 +m2x2 = 0, m1y1 +m2y2 = 0, m1z1 +m2z2 = 0. (7.46)

U koordinatnom sustavu u kojemu je ~rSM = 0 je i ukupna kolicina gibanja m1~ 1r+m2~ 2r = (m1+

m2)~rSM = 0, pa jedini konstantni vektor koji nam preostaje je vektor ukupnog momenta kolicinegibanja. On predstavlja istaknuti smjer u prostoru. Zbog izotropnosti prostora, koordinatneosi mozemo usmjeriti kako zelimo, a u ovom je slucaju je prirodno jednu od osa postaviti usmjer momenta kolicine gibanja. Neka to bude os z. Sada je ~L = L0 z . U ovako postavljenomkoordinatnom sustavu, a prema relaciji (7.45), je

Lx = 0 = m1(y1z1 − z1y1) +m2(y2z2 − z2y2),

Ly = 0 = m1(z1x1 − x1z1) +m2(z2x2 − x2z2),

Lz = L0 = m1(x1y1 − y1x1) +m2(x2y2 − y2x2).

Gornje su jednadzbe zadovoljene ako je z1 = z2 = 0. Time smo dosli do dva vazna zakljucka:(1) da se cestice gibaju oko sredista mase u ravnini (x, y), i

(2) da je ta ravnina okomita na konstantni vektor momenta kolicine gibanja ~L 0.


Kao sto smo pokazali na strani 172, gravitacijska je sila konzervativna, a za konzervativnesile vrijedi zakon o sacuvanju mehanicke energije (zbroj kineticke i potencijalne energije jekonstantan). Izracunajmo ukupnu mehanicku energiju ovog sustava

E =m1

2(x2

1 + y21) +

m2

2(x2

2 + y22)−G

m1m2

|~r1 − ~r2| ,

|~r1 − ~r2| =√

(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2.

Uvedimo relativne koordinate

x = x2 − x1, y = y2 − y1.

U sustavu s ishodistem u sredistu mase je, prema (7.46),

x2 = −m1

m2

x1, y2 = −m1

m2

y1

(sjetimo se da smo postavili koordinatni sustav tako da je z1 = z2 = 0). Gornje veze namomogucavaju izraziti xj i yj preko relativnih koordinata x i y

x1 = x2 − x = −m1

m2

x1 − x ⇒ x1 = − m2

m1 +m2

x,

x2 = −m1

m2

x1 =m1

m1 +m2

x,

y1 = y2 − x = −m1

m2

y1 − y ⇒ y1 = − m2

m1 +m2

y,

y2 = −m1

m2

y1 =m1

m1 +m2

y,

Oznacimo li s ρ medusobnu udaljenost cestica, ρ =√x2 + y2, tada energiju dobivamo izrazenu

preko relativnih koordinata

E =m1

2

[m2

2

(m1 +m2)2x2 +

m22

(m1 +m2)2y2

]+m2

2

[m2

1

(m1 +m2)2x2 +

m21

(m1 +m2)2y2

]−G

m1m2

ρ

=1

2

(m1 +m2)m1m2(x2 + y2)

(m1 +m2)2−G

m1m2

ρ.

Uvede li se reducirana masa µ

1

µ=

1

m1

+1

m2

, µ =m1m2

m1 +m2

,

ukupna je energija jednaka

E =1

2µρ2 −G

m1m2

ρ.

Opet vidimo da ako je m1 >> m2, reducirana je masa priblizno jednaka manjoj masi m2 i svakineticka energija (energija gibanja) dolazi od gibanja cestice manje mase: samo se mala masagiba, a velika masa priblizno miruje u ishodistu.

7.6. CENTRALNE SILE 201

Na slican se nacin moze i ukupan moment kolicine gibanja izraziti u relativnim koordinatma

L0 = Lz = m1(x1y1 − y1x1) +m2(x2y2 − y2x2)

= m1

[m2

m1 +m2

xm2

m1 +m2

y − m2

m1 +m2

ym2

m1 +m2

x

]

=(m1 +m2)m1m2(xy − yx)

(m1 +m2)2= µ(~ρ× ~ρ)z.

Ovime smo, sve zajedno, dobili deset konstantnih velicina:- polozaj sredista mase, 3 konstante,- brzina sredista mase (tj. ukupna kolicina gibanja), 3 konstante,- ukupan moment kolicine gibanja, 3 konstante,- mehanicka energija, 1 konstanta.

Ovih deset konstanata je dovoljno za potpuno odredenje gibanja dva tijela. Problem gibanjatri i vise tijela nije rjesiv, jer je broj zakona sacuvanja isti (to su gornja 4 zakona), dok brojkoordinata cestica sustava raste s porastom broja cestica.

7.6 Centralne sile

Gravitacijska sila iz prethodnog odjeljka je poseban slucaj opceg oblika sila koje se jednimimenom zovu centralne sile. U ovom cemo se odjeljku posvetiti proucavanju opcih svojstavacentralnih sila, imajuci sve vrijeme na umu gravitacijsku silu kao posebno vazan primjer cen-tralne sile.

Navedimo dvije osnovne karakteristike centralnih sila (slika 7.13):smjer Sila na cesticu je uvjek usmjerena duz spojnice cestice i nepomicne tocke O koja se

zove centar sile. Ako je sila usmjerena od cestice prema O, sila je privlacna, a ako jeusmjerena od tocke O prema cestici, sila je odbojna.

iznos Iznos sile ovisi samo o udaljenosti r od cestice do tocke O (a ne i kutovima kao npr.kod sile od dipola ili kvadrupola).

Oba se gornja svojstva mogu sazeti u izraz

~F = f(r) r . (7.47)

Sila je privlacna ako je f(r) < 0, a odbojna ako je f(r) > 0. Elasticna sila (u jednoj dimenziji),gravitacijska i elektrostatska sila su primjeri centralnih sila. Elasticna sila u dvije ili tridimenzije s razlicitim konstantama vezanja, zatim sile od dipola i visih multipola gravitacijskeili elektrostatske sile, su primjeri necentralnih sila.

Oblik sile kao u (7.47) ima dvije vazne posljedice:

ravninska krivulja:Pokazimo da je putanja (ili orbita ili trajektorija) cestice, ravninska krivulja, tj. pod djelova-njem centralnog polja sila, cestica se sve vrijeme giba u jednoj ravnini19. Obicno se uzima da je

19U slucaju gibanja Zemlje, ta se ravnina naziva ravnina ekliptike.


Slika 7.13: Uz svojstva centralne sile.

to ravnina (x, y), slika 7.14 u pravokutnom koordinatnom sustavu, ili (ρ, ϕ) ravnina cilindricnogkoordinatnog sustava (u odjeljku 2.5 smo tu ravninu zvali polarna ravnina). Primjetimo da jemoment centralne sile jednak nuli

~F = f(r) r ⇒ ~r × ~F = f(r) ~r × r = 0.

Prema drugom Newtonovom aksiomu je

~r× / m~v = ~F

m~r × ~v = ~r × ~F = 0 ⇒ ~r × ~v = 0.

Izracunajmo vremensku promjenu momenta kolicine gibanja

~L = ~r × ~p = m ~r × ~v,

uzevsi u obzir rezultat koji smo upravo dobili: ~r × ~v = 0,

d ~L

d t= m

d

d t(~r × ~v) = m(~v × ~v + ~r × ~v) = 0.

Buduci da su oba clana desne strane gornjeg izraza jednaka nuli, zakljucujemo da se momentkolicine gibanja ne mijenja u vremenu

~L = ~r × m~v = const. = ~L 0 (7.48)

Moment kolicine gibanja je dakle sve vrijeme gibanja konstantan po iznosu i smjeru i jednak jemomentu kolicine gibanja u pocetnom trenutku

~L 0 = ~r0 × m ~v0.

Ako je u tom pocetnom trenutku pocetna brzina ~v0 bila jednaka nuli ili je bila kolinearna s ~r0,pocetni moment kolicine gibanja ~L 0 je jednak nuli. Takvo smo gibanje proucavali u prethodnim

7.6. CENTRALNE SILE 203

odjeljcima. Tek ako je ~L 0 razlicit od nule (pocetna brzina nije kolinearna s ~r0) i dovoljno velik,gibanje ce biti krivocrtno. Ovdje se jasno vidi kako oblik putanje ovisi o pocetnim uvjetima.Moguce oblike tog gibanja cemo prouciti u ovom odjeljku. Npr. jabuka s drveta pada ravnona tlo, jer je njezin pocetni moment kolicine gibanja jednak nuli. Naprotiv, Mjesec se giba okoZemlje jer je u trenutku formiranja Suncevog sustava (to je pocetni trenutak za opis Mjesecevog

gibanja oko Zemlje) imao dovoljno veliki ~L 0. Na oba tijela, jabuku i Mjesec, djeluje ista,gravitacijska sila. Razlika je jedino u pocetnim uvjetima. Zbog medusobne okomitosti vektora~r i ~r × ~v, skalarni umnozak ~r sa ~L 0 je jednak nuli

~r(t) · ~L 0 = m ~r · (~r × ~v) = 0.

Geometrijski to znaci da je projekcija vektora polozaja cestice ~r(t), na smjer konstantnog

vektora ~L 0, jednaka nuli za svaki trenutak t, tj. za sve vrijeme gibanja. Drugim rijecima,cestica se giba u ravnini okomitoj na vektor ~L 0.

Zbog izotropnosti prostora, smjerove koordinatnih osa mozemo odabrati proizvoljno. Opisgibanja cemo pojednostaviti, odaberemo li z za smjer vektora ~L 0. U tom ce se slucaju cesticagibati u ravnini (x, y) tj. u ravnini (ρ, ϕ) polarnog koordinatnog sustava (slika 7.14.A):

Slika 7.14: (A): Pod djelovanjem centralne sile, cestica se giba u ravnini okomitoj na konstantni vektor ~L 0.(B) Pod djelovanjem centralne sile, cestica se giba tako da u jednakim vremenskim intervalima, opisuje jednakepovrsine.

x = ρ cosϕ, y = ρ sinϕ,

~r → ~ρ , r → ρ ,

~F = f(ρ)ρ .

povrsinska brzina:Pokazimo da se cestica giba tako da radij vektor (spojnica tocke izvora sile i trenutnog polozaja


cestice) u jednakim vremenskim razmacima opisuje jednake povrsine (slika 7.14.B). Definirajmopovrsinsku brzinu S kao omjer povrsine ∆S koju u vremenu ∆ t opise radij vektor.

S = lim∆t→0

∆S

∆t.

Pokazimo da je ta brzina konstantna: opisanu povrsinu (slika 7.14.B) mozemo izraziti vektor-skim umnoskom

∆S ' 1

2|~ρ × ∆~ρ |.

Umjesto znaka jednakosti doalzi znak priblizno jednako, jer smo zanemarili oznaceni dio izmeduvektora ∆~ρ i linije same putanje. U granici kada ∆t postaje iscezavajuce malen, i ovaj znakpriblizno jednako prelazi u pravu jednakost. Iz gornjeg izraza slijedi

∆S

∆t=

1

2

∣∣∣∣~ρ ×∆~ρ

∆t

∣∣∣∣ =1

2|~ρ × ~v| = |~L 0|

2m= const. (7.49)

Pod djelovanjem centralne sile, cestica se dakle giba tako da radij vektor u jednakim vremenskimintervalima opisuje jednake povrsine. Kao sto ce se uskoro vidjeti, ova tvrdnja je sadrzaj jednogod Keplerovih zakona.

7.7 Jednadzba gibanja cestice u polju centralne sile

U prethodnom odjeljku smo zakljucili da se, pod djelovanjem centralne sile, cestica giba uravnini. Za tu ravninu smo odabrali ravninu polarnog koordinatnog sustava. Brzinu i ubrzanjeu polarnom koordinatnom sustavu smo izracunali ranije relacijama (3.2) i (3.5)

~ρ = ρρ + ρϕϕ ,

~ρ = (ρ− ρϕ2)ρ + (ρϕ+ 2ρϕ)ϕ .

U slucaju kada na promatranu cesticu djeluje samo centralna sila, jednadzba gibanja (drugi

Newtonov aksiom), m~ρ = ~F , glasi

m(ρ− ρϕ2) ρ +m(ρϕ+ 2ρϕ) ϕ = f(ρ) ρ ,


ρ : m (ρ− ρϕ2) = f(ρ), (7.50)

ϕ : m (ρϕ+ 2ρϕ) = 0.

Pogledajmo najprije drugu od gornjih jednadzba. Primjetimo da je

d

d t

[ρ2(t) ϕ(t)

]= 2ρρϕ+ ρ2ϕ = ρ(ρϕ+ 2ρϕ).

Pomocu gornjeg rezultata, mozemo drugu od jednadzba (7.50) napisati u obliku

m

ρ

d

d t(ρ2ϕ) = 0,

tj.

ρ2ϕ = const.

7.7. JEDNADZBA GIBANJA CESTICE U POLJU CENTRALNE SILE 205

je konstantno u vremenu. Primjetimo da je ovo konstanta s kojom smo se vec sreli: u polarnomkoordinatnom sustavu je moment kolicine gibanja

~L 0 = m~ρ × ~ρ = m~ρ × (ρρ + ρϕϕ ) = mρ2ϕz = const. ⇒ ρ2ϕ =|~L 0|m

= const.

U jednadzbi gibanja (7.50), se pojavljuju ρ i ϕ kao funkcije vremena,

ρ = ρ(t), ϕ = ϕ(t),

uz uvjet da je ρ2ϕ konstantno u vremenu. Ta se jednadzba moze rjesavati na dva nacina:

(1) parametarski: pomocu uvjeta ρ2ϕ = const., eliminirati kutnu varijablu ϕ i dobiti jed-nadzbu za ρ kao funkciju vremena: ρ = ρ(t); rijesiti tu jednadzbu i zatim taj ρ = ρ(t)uvrstiti u ρ2ϕ = const.; time dobivamo diferencijalnu jednadzbu za ϕ kao funciju vremena:ϕ = ϕ(t)

ρ = ρ(t),

ϕ = ϕ(t).

(2) eksplicitno: shvatiti ρ kao slozenu funkciju u smislu da ρ ovisi o vremenu samo krozkutnu varijablu ϕ, tj. da je ρ = ρ(ϕ) i ϕ = ϕ(t)

ρ = ρ(ϕ(t) ).

(1): Pogledajmo prvi nacin: u jednadzbu (7.50)

ρ− ρϕ2 =f(ρ)

m,

uvrstimo ϕ iz ρ2ϕ = L0/m = const. i dobijemo

ρ− L20

m2ρ3=f(ρ)

m, (7.51)

jednadzbu za ρ = ρ(t) u kojoj je eliminirana kutna varijabla. Kada se rijesi ova jednadzba,dobit ce se eksplicitna ovisnost ρ = ρ(t). Ovo rjesenje za ρ uvrsti se zatim u ρ2ϕ = L0/m i tase jednadzba rijesi po ϕ

dϕ

d t=

|~L 0|m ρ2(t)

∫ ϕ

ϕ0

dϕ =|~L 0|m

∫ t

t0

d t

ρ2(t)

ϕ = ϕ0 +|~L 0|m

∫ t

t0

d t

ρ2(t)= ϕ(ϕ0, L0, t0; t).


(2): Drugi nacin je ovaj: uvedimo novu varijablu

u(ϕ) = 1/ρ

koju shvacamo kao funkciju kuta ϕ

L0

m= ρ2ϕ =

1

u2ϕ ⇒ ϕ =

L0

mu2

ρ =d ρ

d t=

d ρ

dϕ

dϕ

d t=

d u−1

dϕϕ =

−1

u2

d u

dϕ

L0

mu2 = −L0

m

du

dϕ,

ρ =d ρ

d t=

d

d t

(−L0

m

du

dϕ

)= −L0

m

d

dϕ

du

d t= −L0

m

d

dϕ

(d u

dϕ

dϕ

d t

)

= −L0

mϕd2 u

dϕ2= −L2

0

m2u2 d

2 u

dϕ2.

Sada jednadzba gibanja (7.50), poprima oblik

m(ρ− ρϕ2) = f(ρ)

m

(−L2

0

m2u2 d

2 u

dϕ2− 1

u

L20

m2u4

)= f(1/u)

/· −mL2

0u2,

d2 u

dϕ2+ u = −m

L20

f(1/u)

u2, (7.52)

gdje je u = u(ϕ), tj. eliminirano je vrijeme. Gornja se jednadzba zove Binetova 20 formula.Ako se sada vratimo u varijablu ρ = 1/u,

d u

dϕ=

d

dϕ

1

ρ=−1

ρ2

d ρ

dϕ,

d2 u

dϕ2=

d

dϕ

(−1

ρ2

d ρ

dϕ

)=

2

ρ3

(d ρ

dϕ

)2

− 1

ρ2

d2 ρ

dϕ2,

Binetovu formulu (7.52) mozemo napisati i u varijabli ρ = ρ(ϕ)

2

ρ3

(d ρ

dϕ

)2

− 1

ρ2

d2 ρ

dϕ2+

1

ρ=

m

L20

ρ2f(ρ)

/· (−ρ2),

d2 ρ

dϕ2− 2

ρ

(d ρ

dϕ

)2

− ρ =m

L20

ρ4f(ρ) (7.53)

20Jacques Philippe Marie Binet, 1786. - 1856., francuski matematicar.

7.8. POTENCIJALNA ENERGIJA CESTICE U POLJU CENTRALNE SILE 207

7.8 Potencijalna energija cestice u polju centralne sile

Pokazimo da je centralno polje sile konzervativno (kao sto smo vec pokazali za gravitacij-sku silu), tako sto cemo pokazati da je njegova rotacija jednaka nuli. Operator rotacije ucilindricnom koordinatnom sustavu se moze naci npr. u [12]

−→∇ × ~F =

[1

ρ

∂ Fz∂ ϕ

− ∂ Fϕ∂ z

]ρ +

[∂ Fρ∂ z

− ∂ Fz∂ ρ

]ϕ +

1

ρ

[∂ (ρFϕ)

∂ ρ− ∂ Fρ

∂ ϕ

]z .

Za centralne sile je ~F = f(ρ)ρ , pa su Fϕ = Fz = 0, a Fρ = f(ρ) ovisi samo o varijabli ρ, takoda su svi clanovi desne strane gornjeg izraza jednaki nuli

−→∇ × ~F = 0.

Buduci da je centralno polje sila konzervativno, moze se definirati potencijalna energija Ep sasvojstvom

~F = −−→∇Ep.Uvrstavanjem gradijenta u cilindricnom koordinatnom sustavu, (koji se takoder moze naci u[12]),

−f(ρ) ρ =−→∇Ep = ρ

∂ Ep∂ ρ

+ϕ

ρ

∂ Ep∂ ϕ

+ z∂ Ep∂ z

,

dolazi se do tri skalarne jednadzbe

∂ Ep∂ ρ

= −f(ρ),∂ Ep∂ ϕ

= 0,∂ Ep∂ z

= 0,

s rjesenjima

Ep = −∫f(ρ)dρ+ c1(ϕ, z), Ep = c2(ρ, z), Ep = c3(ϕ, z).

Sve tri gornje jednadzbe su zadovoljne za potencijalnu energiju

Ep = −∫f(ρ)dρ+ c0.

Konstanta c0 se odreduje odabirom ekvipotencijalne plohe na kojoj je potencijalna energijajednaka nuli. Npr. kod elasticne sile se obicno odabire Ep(ρ = 0) = 0, dok se kod gravitacijskesile najcesce odabire Ep(ρ→∞) = 0.

7.9 Sacuvanje energije

Ukupna mehanicka energija u polju konzervativne sile je

E = Ek + Ep = const.

Kineticka energija je

Ek =mv2

2=m

2(ρρ + ρϕϕ )2 =

m

2(ρ2 + ρ2ϕ2).


Do na aditivnu konstantu, potencijalna je energija

Ep = −∫f(ρ) dρ,

pa je ukupna energija

E =m

2(ρ2 + ρ2ϕ2)−

∫f(ρ) dρ = const. (7.54)

Uvrstavanjem ϕ iz uvjeta ρ2ϕ = L0/m = const., u jednadzbu (7.54), dolazi se do jednadzbe zaenergiju izrazene preko ρ = ρ(t)

E =m

2

(ρ2 +

L20

m2ρ2

)−

∫f(ρ) dρ = const.

Shvatimo li jos i ρ kao funkciju od ϕ(t), dolazi se do jednadzbe za energiju izrazene prekoρ = ρ(ϕ)

d ρ

d t=

d ρ

dϕ

dϕ

d t=d ρ

dϕϕ =

d ρ

dϕ

L0

mρ2,

E =m

2

[(d ρ

dϕ

)2L2

0

m2ρ4+

L20

m2ρ2+

]−

∫f(ρ)dρ,

E =L2

0

2mρ4

[(d ρ

dϕ

)2

+ ρ2

]−

∫f(ρ)dρ.

U terminima varijable u(ϕ) = 1/ρ(ϕ), jednadzba sacuvanja energije se moze napisati kao

d ρ

dϕ=

d

dϕ

1

u=−1

u2

d u

dϕ,

E − Ep =L2

0

2mu4

[1

u4

(d u

dϕ

)2

+1

u2

]=

L20

2m

[(d u

dϕ

)2

+ u2

],

2m(E − Ep)

L20

=

(d u

dϕ

)2

+ u2. (7.55)

Pomocu jednadzbe (7.54), dolazi se do izraza za proteklo vrijeme gibanja cestice. Ri-jesimo tu jednadzbu po nepoznanici ρ

ρ2 =2

m

(E − Ep(ρ)− L2

0

2mρ2

)

d ρ

d t=

√2

m

(E − Ep(ρ)− L2

0

2mρ2

)(7.56)

(zadrzali smo samo pozitivan predznak, jer je na lijevoj strani iznos brzine koji je nuzno poziti-van). Sada izvedimo razdvajanje varijabli i integraciju od pocetnog trenutka t0 kada se cestica

7.10. OPIS GIBANJA NEBESKIH TIJELA POMOCU GRAFA ENERGIJE 209

nalazila u tocki ρ(t0) = ρ0, do nekog opceg trenutka t kada se cestica nalazi u ρ∫ t

t0

d t =

√m

2

∫ ρ

ρ0

d ρ√E − Ep(ρ)− L2

0/(2mρ2)

t = t0 +

√m

2

∫ ρ

ρ0


0/(2mρ2)

t = t(t0, E, L0, ρ0; ρ).

Pomocu gornjih izraza, moze se doci i do relacije koja daje opisani kut kao funkciju koordinateρ. Krenimo od relacije (7.56), prema kojoj je

d t =

√m

2


0/(2mρ2)

i d t izrazimo preko dϕ koristeci izraz za konstantnost momenta kolicine gibanja L0 d t =dϕ mρ2. Tako dobivamo

dϕ =L0

mρ2

√m

2


0/(2mρ2)∫ ϕ

ϕ0

dϕ =

∫ ρ

ρ0

d ρ

ρ2√

2m (E − Ep(ρ))/L20 − 1/ρ2

ϕ = ϕ0 +

∫ ρ

ρ0

d ρ

ρ2√

2m (E − Ep(ρ))/L20 − 1/ρ2

ϕ = ϕ(ϕ0, E, ρ0, L0; ρ).

Dobili smo ϕ kao funkciju konstanti i trenutnog polozaja ρ.

7.10 Opis gibanja nebeskih tijela pomocu grafa energije

Nebeska se tijela gibaju pod utjecajem gravitacijske sile, a jedan zgodan nacin za razumijevanjenjihova gibanja je opis preko grafa energije. Vratimo se dakle gravitacijskoj sili, kao jednomvaznom primjeru centralnih sila.Ono sto se naziva graf energije, se dobije tako da se na ordinatu nanosi energija (ukupna,kineticka, potencijalna), a na apscisu relativna udaljenost promatranog tijela i drugih tijela skojim ono medudjeluje.Npr. promatrajmo gibanje nebeskog tijela mase m uslijed gravitacijskog djelovanja Suncamase M , pri cemu cemo zanemariti gravitacijski utjecaj ostalih tijela na promatrano tijelo.Takoder cemo zanemariti i gravitacijski utjecaj promatranog tijela na Sunce (akcija i reakcija)i pretpostaviti da Sunce miruje (tj. da je njegovo ubrzanje zanemarivo). Uz ove aproksimacije,energija promatranog tijela (planeta, komete, asteroida) je

E = Ek + Ep =p2

2m−G

mM

ρ,

gdje je ρ udaljenost izmedu sredista mase tijela i Sunca, a ~p = m~v je kolicina gibanja sre-dista mase tijela. Rastavimo li kolicinu gibanja na komponentu ~p ⊥ okomitu na radij vektor ikomponentu ~p ‖ paralelnu s radij vektorom (slika 7.15), tada je


Slika 7.15: Rastav vektora kolicine gibanja ~p na komponentu ~p⊥ okomitu na radij vektor i komponentu ~p ‖paralelnu s radij vektorom. Sam vektor ~p ima smjer tangente na krivulju u danoj tocki (odjeljak 3).

~p = ~p ‖ + ~p ⊥,~p 2 = p2

‖ + p2⊥.

Primjetimo da je, prema istoj slici, moment kolicine gibanja

~L 0 = ~ρ × (~p ⊥ + ~p ‖) = ρp⊥z , ⇒ p⊥ =L0

ρ

Sada se za energiju moze napisati

E =p2‖

2m+p2⊥

2m−G

mM

ρ=

p2‖

2m+

L20

2m ρ2−G

mM

ρ.

Prvi clan desne strane cemo nazivati kinetickom energijom E‖k jer ovisi o paralelnoj komponenti

brzine tijela kroz p‖. Druga dva clana ovise samo o polozaju tijela (kroz radij vektor ρ), pacemo ih nazvati efektivnom potencijalnom energijom

Eef.p =

L20

2mρ2−G

mM

ρ.

Efektivna potencijalna energija se sastoji od dva clana: prvi je uvijek pozitivan, a drugi je uvijeknegativan. Ovisno o tome koji je od ta dva clana veci, Eef.

p moze biti pozitivna, negativna i

jednaka nuli. Kineticka energija je uvijek pozitivna, tako da ukupna energija E = E‖k + Eef.

p

takoder moze biti i veca i manja i jednaka nuli.Graf efektivne potencijalne energije, za danu konstantnu vrijednost ~L 0, je prikazan na sli-ci 7.16.A (primjetimo da se Eef.

p asimptotski priblizava nultoj vrijednosti, kada ρ tezi premabeskonacnosti). Promotrimo detaljnije sliku 7.16.B. Tijelo uvijek ima konstantnu vrijednostmomenta kolicine gibanja L0, pa je i oblik efektivne potencijalne energije konstantan. Kao po-sljedica zakona o sacuvanju energije, zbroj kineticke i potencijalne energije tijela je konstantantijekom cijelog gibanja.


Slika 7.16: (A) Graf efektivne potencijalne energije. (B) Oblik putanje tijela ovisi o njegovoj ukupnoj mehanickojenergiji.

Promotrimo nekoliko tipicnih situacija:

(1) Neka se tijelo giba s ukupnom mehanickom energijom koju cemo oznaciti s Eelp < 0

Eelp = E‖k + Eef.

p < 0 (7.57)

(slika 7.16.B). U tockama ρ1 i ρ2 vrijedi da je

Eelp = Eef.p ,

pa u tim tockama mora biti

E‖k =

p2‖

2m= 0

tj.

v‖(ρ = ρ1,2) = 0, v⊥ 6= 0.

Na udaljenostima manjim od ρ1 i vecim od ρ2 , je (slika 7.16.B)

Eelp < Eef.p ,

pa da bi relacija (7.57) bila zadovoljena morala bi biti i

E‖k =

p2‖

2m< 0,

no to je nemoguce jer je p2‖/(2m) uvijek pozitivno (radijalna komponenta brzine ne moze biti

imaginarna, to je fizicki neprihvatljivo). Iz tog razloga zakljucujemo da ce se tijelo gibati


Slika 7.17: (A) Periodicka putanja. (B) Neperiodicka putanja.

u ogranicenom dijelu prostora izmedu ρ1 (najmanja udaljenost tijela od Sunca) i ρ2 (najvecaudaljenost tijela od Sunca) (slika 7.17). Ova putanja opcenito ne mora biti zatvorena (slika 7.17B ). Moze se pokazati da je u posebnim slucajevima, ako je sila koja izvodi gibanje harmonijskaili gravitacijska (kao u ovom primjeru), putanja je uvijek zatvorena. To je elipsa smjestena udijelu ravnine izmedu kruznica polumjera ρ1 i ρ2 sa izvorom sile u jednom od fokusa (ako jesila obrnuto srazmjerna kvadratu udaljenosti, kao kod gravitacijske sile), tj. sa izvorom sile usredistu elipse (ako je sila srazmjerna udaljenosti, kao kod elasticne sile - odjeljak 6).Pokazimo kako ukupna energija tijela odreduje veliku poluos elipse. Na udaljenostima ρ = ρ1

i ρ = ρ2 , vrijedi

Eelp = Eef.p =

L20

2mρ2− K

ρ, K ≡ G M m.

Rijesenja po ρ gornje jednadzbe su upravo ρ = ρ1 i ρ = ρ2

ρ1,2 =1

2

(− K

Eelp±

√K2

E2elp

+2L2

0

mEelp

),

a njihov zbroj je (slike 7.16.B ili 7.17A), jednak 2a

a =1

2(ρ1 + ρ2) = −1

2

K

Eelp.

Time smo dobili vezu izmedu ukupne energije tijela koje se giba po elipsi i velike poluosi elipse

Eelp = −K2a. (7.58)

(2) Ako je energija tijela najmanja moguca E = Ekru < 0, tada je u svakoj tocki putanje

Ekru = Eefp = min, a E

‖k = 0. S obzirom da je E

‖k = 0 to je i v‖ = 0, tj. brzina tijela je u svakoj


Slika 7.18: (A) Putanja kruznica ako je E = Ekru < 0, udaljenost od Sunca je konstantna i jednaka ρ0. (B)Putanja parabola ako je E = Epar = 0, najmanja udaljenost od Sunca je ρ3 < ρ0. (C) Putanja je hiperbola akoje E = Ehip > 0, najmanja udaljenost od Sunca je ρ4 < ρ3

tocki putanje okomita na radij vektor. Udaljenost tijela od Sunca je ρ = ρ0 = const., tj. tijelose giba po kruznici polumjera ρ0 (slika 7.18.A). Polozaj minimuma Eef.

p , tj. udaljenost tijela

od izvora sile, je lako odrediti kao ekstrem funkcije Eef.p (ρ)

∂Eef.p

∂ρ

∣∣∣∣∣ρ0

= 0 ⇒ ρ0 =L2

0

mK.

Sada mozemo izracunati i energiju tijela koje se giba po kruznici

Ekru = Eefp (ρ0) = −1

2

mK2

L20

= − K

2ρ0

. (7.59)

Iz (1) i (2) zakljucujemo da negativne vrijednosti energije, vode na gibanje po zatvorenimkrivuljama u polju gravitacijske i harmonijske sile. Za druge oblike centralnih sila, krivulje nemoraju biti zatvorene, ali se gibanje i dalje odvija u jednom ogranicenom dijelu prostora.

(3) Neka je sada ukupna mehanicka energija tijela konstantna i jednaka nuli:

E = Epar = 0

ili veca od nule

E = Ehip > 0

(slika 7.18 B i C). U tom slucaju postoji samo najmanja dozvoljena udaljenost tijela od Sunca,ρ3, tj. ρ4. Najveca udaljenost tijela od Sunca nije ogranicena. U nastavku ovog odjeljka cemopokazati da ova gibanja jesu gibanja po paraboli (E = Epar = 0) i hiperboli (E = Ehip > 0).Ova se gibanja dakle odvijaju u neogranicenom dijelu prostora.Podsjetimo se jos jednom, da se sva gibanja, opisana u (1), (2) i (3) odvijaju u ravnini okomitoj

na konstantni vektor momenta kolicine gibanja tijela ~L 0. Primjetimo da sto je energija tijelaveca (pozitivnija), to se tijelo vise priblizava izvoru sile - Suncu (cije se srediste nalazi u ρ = 0).


7.11 Ekvivalentnost Keplerovih zakona i zakona gravitacije

Vratimo se opet gravitacijskoj sili kao vaznom primjeru centralne sile.Na temelju velikog broja osmatrackih podataka o polozajima planeta, do kojih je dosao TychoBrache 21, formulirao je njegov ucenik Johannes Kepler 22 tri zakona o gibanjima planetaoko Sunca (slika 7.19):

Slika 7.19: Uz Keplerove zakone o gibanju planeta (P ) oko Sunca (S).

(1) svaki se planet giba po elipticnoj putanji sa Suncem u jednom od zarista elipse; elipse svihplanata imaju jedno zajednicko zeriste u kojemu se nalazi Sunce;

(2) radij vektor, tj. spojnica Sunce-planet, u jednakim vremenima opisuje jednake povrsine (tj.povrsinska brzina je konstantna)23;

(3) kvadrati ophodnih vremena planeta oko Sunca, srazmjerni su kubovima velikih poluosanjihovih orbita.

Izvod gravitacijske sile iz Keplerovih zakona :Pokazimo da se iz Keplerovih zakona moze izvesti Newtonov izraz za gravitacijsku silu.Prema prvom Keplerovom zakonu (koji je rezultat opazanja), planeti se oko Sunca gibaju poelipsama. Izvedimo oblik sile koja izaziva gibanje po takvoj orbiti. Jednadzba elipse sa jednimod zarista u tocki ishodista, ρ = ρ(ϕ), u polarnim koordinatama je (dodatak B)

ρ(ϕ) =a(1− ε2)

1 + ε cosϕ,

21Tycho Brache, 1546. - 1630., svedski astronom i astrolog danskog kralja Fridricha II; nije vjerovao da se Zemlja giba oko Sunca.22Johannes Kepler, 1571. - 1630., njemacki astronom23Dakle linijska brzina nije konstantna, vec se planet brze giba kada je blize Suncu.

7.11. EKVIVALENTNOST KEPLEROVIH ZAKONA I ZAKONA GRAVITACIJE 215

gdje je a velika poluos elipse, b je mala poluos, a ekscentricitet

ε =

√a2 − b2

a< 1.

Iz poznate putanje, sila se moze izracunati iz Binetove formule (7.52)

f(ρ) = −L20u

2

m

(d2 u

dϕ2+ u

),

gdje je u(ϕ) = 1/ρ(ϕ).

d u

dϕ=− ε sinϕ

a(1− ε2),

d2 u

dϕ2=−ε cosϕ

a(1− ε2).

Uvrstavanjem u izraz za silu, slijedi

f = −L20u

2

m

[ −»»»»ε cosϕ

a(1− ε2)+

1 +»»»»ε cosϕ

a(1− ε2)

]= − L2

0

ma(1− ε2)

1

ρ2= −K

ρ2.

Dobivena je privlacna sila obrnuto srazmjerna kvadratu udaljenosti od tocke izvora sile, a to jeupravo gravitacijska sila. Pozitivnom konstantom K smo oznacili

K =L2

0

ma(1− ε2)(7.60)

koja se u Newtonovom obliku pise kao GMm (tj. kao −q1q2/(4πε0) za Coulombovu elektros-tatsku silu).

Izvod prvog Keplerovog zakona iz Newtonovog zakona gravitacije:Pokazimo sada da su putanje tijela (planete, komete, sateliti, . . .) koja se gibaju u polju priv-lacne sile inverznog kvadrata, presjeci stosca (kruznica, elipsa, parabola ili hiperbola). Neka jesila oblika

f(ρ) = −Kρ2

= −K u2,

uz pozitivnu konstantu K danu sa (7.60). U Binotovom obliku jednadzbe gibanja (7.52), sadaje poznat oblik sile f , a nepoznanica je u tj. ρ = ρ(ϕ)

d2 u

dϕ2+ u = − m

L20u

2f = − m

L20u

2(−K u2) =

Km

L20

Rjesenje nehomogene diferencijalne jednadzbe

d2 u

dϕ2+ u =

Km

L20

potrazimo u obliku zbroja rjesenja pripadne homogene jednadzbe i partikularnog rjesenja ne-homogene jednadzbe

u = uH + uP .


Homogena varijanta gornje jednadzbe nam je dobro poznata iz odjeljka 6, gdje je opisivala giba-nje cestice pod djelovanjem elasticne sile (sada s ω0 = 1). Njezina su rjesenja trigonometrijskefunkcije, koje sazeto mozemo napisati u obliku

uH = C0 cos(ϕ− ϕ0),

uz konstantne C0 i ϕ0 koje se odreduju iz pocetnih uvjeta na cijelo rjesenje u = uH + uP . Lakoje uvjeriti se da je partikularno rjesenje konstanta

uP =Km

L20

,

pa je cijelo rjesenje

u = uH + uP = C0 cos(ϕ− ϕ0) +Km

L20

.

Zbog izotropnosti prostora, smjerovi koordinatnih osi se mogu postaviti tako da je pocetniotklon ϕ0 = 0. Vratimo li se u varijablu ρ = 1/u, gornje rjesenje je

ρ(ϕ) =L2

0/(Km)

1 +[C0 L2

0/(Km)]

cosϕ,

sto prepoznajemo kao jednadzbu presjeka stosca iz dodatka B,

ρ(ϕ) =p

1 + ε cosϕ,

uz p = L20/(Km) i ε = C0 p > 0. Ovime je pokazano da su putanje tijela u polju privlacne sila

inverznog kvadrata, oblika presjeka stosca. Primjetimo da smo, pomocu Binetove formule, izoblika putanje jednoznacno dobili oblik sile, ali da iz oblika sile dobivamo vise mogucih oblikaputanje. Stvarni oblik putanje ovisi o pocetnim uvjetima.

Povezimo konstantu C0 s ukupnom energijom tijela E. Gibanje u polju sile inverznog kvadratase moze odvijati po zatvorenoj (planeti, sateliti) ili otvorenoj putanji (komete, meteori), ovisnoo tome je li ukupna mehanicka energija objekta koji se giba E < 0 ili E ≥ 0. Iz razmatranja oenergiji, (7.55 ), znamo da je

2m(E − Ep)

L20

=

(d u

dϕ

)2

+ u2.

Uvrsti li se u gornji izraz

u = C0 cosϕ+Km

L20

, Ep = −K u,

dolazi se do

2m

L20

E +2mK

L20

(C0 cosϕ+

Km

L20

)= C2

0 sin2 ϕ+

(C0 cosϕ+

Km

L20

)2

.

Rjesavanjem gornje jednadzbe po C0, dolazi se do

C0 =Km

L20

√1 +

2L20

K2mE,

7.11. EKVIVALENTNOST KEPLEROVIH ZAKONA I ZAKONA GRAVITACIJE 217

pa je

ε =L2

0

KmC0 =

√1 +

2L20

mK2E. (7.61)

Iz dodatka B znamo da vrijednost ε odreduje oblik putanje:

ε = 0 kruznica

0 < ε < 1 elipsa

ε = 1 parabola

ε > 1 hiperbola

Na kruznici je ε = 0, pa je, prema (7.61), energija kruznog gibanja

E = Ekru = −mK2

2L20

, (7.62)

upravo kao sto smo i dobili iz razmatranje grafa energije (7.59).Na elipsi je 0 < ε < 1 i zato, prema (7.61), energija mora biti

−mK2

2L20

< E < 0.

Za gibanje po paraboli, energija mora biti jednaka nuli, a za gibanje po hiperboli, mora bitipozitivna.Gornja razmatranja mozemo pregledno prikazati na slijedeci nacin:

E = −mK2/(2L20) ⇔ ε = 0 ⇒ kruznica, (7.63)

−mK2/(2L20) < E < 0 ⇔ ε < 1 ⇒ elipsa,

E = 0 ⇔ ε = 1 ⇒ parabola,

E > 0 ⇔ ε > 1 ⇒ hiperbola.

I ovdje se vidi kako pocetni uvjeti (ovdje je to vrijednost energije koja je konstantana, dakleista kao i u pocetnom trenutku), utjecu na oblik24 putanje tijela.

Izvod drugog Keplerovog zakona iz zakona gravitacije :Ranije smo, relacijom (7.49), vec pokazali da je opcenito u polju bilo koje centralne sile (patako i gravitacijske), povrsinska brzina konstantna

dS

dt=

L0

2m= const.

i time je drugi Keplerov zakon dokazan.

24Primjetimo da je energija E zbroj kineticke i potencijalne energije.


Primjetimo usput i to, da u tom slucaju sama linijska (obodna) brzina cestice, v = dl/dt, nijekonstantna, nego je veca kada je cestica blize izvoru sile (zaristu elipse), a manja kada je cesticadalje od izvora sile. Relacijom (7.58), smo pokazali da je energija gibanja po eliptickoj putanji

Eelp = −K2a. (7.64)

S druge je strane, ukupna mehanicka energija jednaka zbroju kineticke i potencijalne energije

mv2

2− K

ρ= E = − K

2a

/2

m, (7.65)

v2 =K

m

(2

ρ− 1

a

).

Kao posljedicu konstantnosti povrsinske brzine, dobili smo linijsku brzinu koja nije konstantna,nego je najveca kada je planet najblizi Suncu (tj. kada je ρ najmanji), a najmanja kada jenajdalje od njega (tj. kada je ρ najveci).

Izvod treceg Keplerovog zakona iz Newtonovog zakona gravitacije :Treci Keplerov zakon kaze da je omjer kvadrata ophodnog vremena T planeta oko Sunca i kubavelike poluosi a njegove putanje konstantan za sve planete. Ako poluosi elipse po kojoj se gibaplanet oznacimo s a i b, tada je povrsina elipse jednaka abπ. Povrsinska brzina S je konstantnai jednaka je L0/(2m). U vremenu od jednog perioda, planet ce opisati povrsinu cijele elipse, paje

L0

2m=abπ

T⇒ T =

2m

L0

abπ.

Da bi se dobila veza izmedu perioda T i velike poluosi a, treba malu poluos b izraziti preko a.Iz definicije ekscentriciteta, ε =

√a2 − b2/a, je

b = a√

1− ε2.

Izracunamo li ε iz (7.61), tako sto cemo uvrstiti energiju Eelp = −K/(2a), dobivamo

ε2 = 1− L20

Kam⇒ 1− ε2 =

L20

Kam.

Uvrstavanjem gornjeg 1− ε2 u izraz za b, slijedi

b = a√

1− ε2 = a

√L2

0

Kam.

Sada je povrsina elipse

abπ = a2 π

√L2

0

Kam= π

√L2

0a3

Km.

Uvrstavanje abπ u izraz za period, daje

T =2πm

L0

√L2

0a3

Km

/ 2

⇒ T 2 =4π2m2

L20

L20a

3

Km=

4π2m

Ka3.

7.12. VIRIJALNI TEOREM 219

Uvrstavanjem K = GMm dobiva se

T 2

a3=

4π2

GM.

Iako su svaki za sebe, T i m razliciti za razlicite planete, omjer T 2/a3 ovisi samo o masi SuncaM i nekoliko konstanata, pa je zato isti za sve planete.

7.12 Virijalni teorem

Promatrajmo cesticu s kolicinom gibanja ~p , koja se giba u polju sile ~F (~r) i definirajmo velicinuT izrazom

T = ~r · ~p .T je iste dimenzije kao i moment kolicine gibanja ~L = ~r × ~p , ali, kao sto cemo uskoro vidjeti,ima posve drukcije fizicko znacenje. Pogledajmo kako se T mijenja u vremenu

d Td t

=d~r

d t~p + ~r

d ~p

d t

= ~v ~p + ~r ~F =~p 2

m+ ~r ~F

= 2Ek + ~r ~F .

Usrednjimo gornji izraz po vremenu od pocetnog trenutka t = 0 do t = t0 prema slijedecemobrascu

〈 f(t) 〉 =1

t0

∫ t0

0

dt f(t),

⟨ d Td t

⟩= 2 〈 Ek 〉+ 〈 ~r ~F 〉.

Lijeva strana je jednaka

⟨ d Td t

⟩=

1

t0

∫ t0

0

dtd Td t

=1

t0

[T (t0)− T (0)

].

Ako je gibanje periodicno s periodom T = t0, tada je T (t0) = T (0), pa je

⟨ d Td t

⟩= 0.

Ako gibanje nije periodicno, ali se odvija u konacnom dijelu prostora, tada ~r i ~p imaju konacnevrijednosti, pa i T (t) = ~r · ~p koji je dan njihovim umnoskom i sam mora biti konacan. U tomslucaju je i razlika T (t0)− T (0), konacna, pa ce, za dovoljno velike vremenske intervale t0 biti

⟨ d Td t

⟩=T (t0)− T (0)

t0= 0.

Tako dolazimo do zakljucka da je za periodicna i prostorno ogranicena neperiodicna gibanja

〈 T 〉 = 0,


sto znaci da je

〈 Ek 〉 = −1

2〈 ~r · ~F 〉. (7.66)

Gornji se izraz zove virijalni teorem, a sama velicina

−〈 ~r · ~F 〉/2se zove virijal jedne cestice. Virijalni teorem kaze da je vremenska srednja vrijednostkineticke energije jednaka virijalu.

Prmjenimo virijalni teorem na gibanje cestice u polju centralne sile: ~r = ~ρ

~F = f(ρ)ρ ,

~F = −−→∇Ep = −dEpd ρ

ρ .

Iz gornjih jednadzba slijedi

~ρ ~F = −ρρ dEpd ρ

ρ = −ρdEpd ρ

.

Prema virijalnom teoremu je

〈 Ek 〉 = −1

2〈 ~ρ · ~F 〉 =

1

2

⟨ρdEpd ρ

⟩.

Specijalno, u polju gravitacijske sile je

Ep = −G mM

ρ, ⇒ dEp

d ρ= G

mM

ρ2,

ρdEpd ρ

= GmM

ρ= −Ep,

〈 Ek 〉 =1

2

⟨ρdEpd ρ

⟩= −1

2〈 Ep 〉.

Sada je vremenska srednja vrijednost ukupne mehanicke energije jednaka

〈 E 〉 = 〈 Ek 〉+ 〈 Ep 〉 = −1

2〈 Ep 〉+ 〈 Ep 〉 =

1

2〈 Ep 〉,

tj. gravitacijsku silu (i opcenito za privlacnu centralnu silu koja opada s kvadratom udaljenosti)je

〈 E 〉 =1

2〈 Ep 〉.

Gornji je izraz u skladu s (7.64): Eelp = −K/(2a).

7.13. STO BI BILO ... 221

7.12.1 Pocetni uvjeti i putanja satelita

7.13 Sto bi bilo ...

Kao rezultat pretpostavke da izmedu Zemlje i Sunca djeluje gravitacijska sila, dobili smo elip-ticku putanju Zemlje oko Sunca (uz drukcije pocetne uvjete, ona bi se gibala po hiperboli,paraboli ili cak pravocrtno prema Suncu, ali tada zivot na Zemlji ne bi bio moguc, pa ni mi nebismo dosli u situaciju da o tome razmisljamo).

No, u nasim smo racunima propustili primjetiti jednu vaznu stvar, a to je da osim Sunca, naZemlju djeluje i gravitacijsko privlacenje od drugih tjela suncevog sustava:planeta, meteora, kometa itd. Ovo je privlacenje naravno po iznosu puno manje od Suncevog,ali ipak treba prouciti i njegov utjecaj. U nekim situacijama i mala promjena vanjskih uvjetamoze izazvati velike promjene u stanju sustava. Npr. mala kuglica na vrhu brijega se nalaziu stanju (labilne) ravnoteze (slika 7.20.A). Ako se vanjski uvjeti ne promjene, ona ce ostati utom polozaju beskonacno dugo. No, ako neka vanjska sila malo pomakne cesticu iz njenog

Slika 7.20: Uz ilustraciju stabilnosti kuglice.

polozaja, ona ce se otkotrljati niz strminu i zauzeti neki novi polozaj ravnoteze, udaljen odpocetnog za neki konacan iznos. Drukcija je situacija ako se cestica nalazina dnu jame kaona slici 7.20.B. Tada mali pomaci od pocetnog polozaja nece izazvati trajno udaljavanje odpocetnog polozaja: cestica se nalazi u stanju stabilne ravnoteze. Slicno je i sa gibanjem Zemlje:gravitacijsko privlacenje Sunca i uvjeti koji su vladali u vremenu formiranja Zemlje, doveli suZemlju u elipticnu putanju oko Sunca. Kada ne bi bilo gravitacijskih utjecaja drugih nebeskihtijela, Zemlja bi se vjecito (ili bar dok postoji Sunce) gibala po savrsenoj elipsi (sa zaristem usredistu mase sustava Zemlja - Sunce). No ostala nebeska tijela predstavljaju vanjsku smetnjuu odnosu na sustav Zemlja - Sunce. Ona svojom gravitacijskom silom otklanjaju Zemlju saelipticne putanje. Pitanje je hoce li se Zemlja pod utjecajem ove smetnje ponasati kao kuglicana vrhu brijega ili kao kuglica na dnu jame? S obzirom da smo mi u situaciji da mozemo o tomeraspravljati, jasno je da se Zemlja ponasa kao cestica na dnu jame. U ostatku ovog odjeljkacemo pokusati razjasniti i zasto je to tako.


U odjeljku 7.3 smo pokazali, relacijom (7.32), da gravitacijsko polje zadovoljava jednadzbu

−→∇ ~g = −4πGρm(~r).

Izracunajmo gravitacijsko polje Sunca u D-dimenzijskom prostoru. Izvan Sunceve kugle jeρm ≡ 0 i gornja se jednadzba svodi na

−→∇ ~g = 0.

Buduci da je Sunce sferno simetricno tijelo, njegovo gravitacijsko polje mora odrazavati tusfernu simetriju, tj. u koordinatnom sustavu sa ishodistem u sredistu Sunca, ono mora bitioblika

~g (~r) = f(r) ~r.

Oznacimo komponente vektora ~g , ~r i−→∇ uD-dimenzijskom pravokutnom koordinatnom sustavu

sa

~g = x 1 g1 + x 2 g2 + · · ·+ xD gD,

~r = x 1 x1 + x 2 x2 + · · ·+ xD xD,−→∇ = x 1

∂

∂x1

+ x 2∂

∂x2

+ · · ·+ xD∂

∂xD

(za D = 3 je x 1 = x , x 2 = y , x 3 = z , a komponente vektora su g1 = gx, g2 = gy, g3 = gzi x1 = x, x2 = y, x3 = z). U ovom koordinatnom sustavu, raspisana po komponentama,divergencija polja je

−→∇ ~g =∂ g1

∂x1

+∂ g2

∂x2

+ · · ·+ ∂ gD∂xD

=D∑j=1

∂ gj∂xj

,

pri cemu je gj = f(r) xj. Izracunajmo gornje parcijalne derivacije

∂ gj∂xj

=∂

∂xj[f(r) xj] =

∂ f(r)

∂ xjxj + f(r)

∂ xj∂xj

=d f(r)

d r

∂ r

∂xjxj + f(r).

Prema poopcenom Pitagorinom poucku je

r =

(N∑j=1

x2j

)1/2

⇒ ∂ r

∂xj=

1

22xj

(N∑j=1

x2j

)−1/2

=xjr,

sto, uvrsteno u gornju parcijalnu drivaciju, daje

∂ gj∂xj

=d f(r)

d r

x2j

r+ f(r).

Sada mozemo izracunati i−→∇~g

−→∇ ~g =D∑j=1

∂ gj∂xj

=D∑j=1

(d f(r)

d r

x2j

r+ f(r)

)= r

d f(r)

d r+Df(r).

7.13. STO BI BILO ... 223

Primjetimo da se u gornjoj jednakosti prostorna dimenziju D pojavljuje kao parametar. Ri-jesimo sada jednadzbu za gravitacijsko polje u prostoru gdje nema mase

−→∇ ~g = 0 = rd f(r)

d r+Df(r)

d f

f= −D d r

r

f(r) =const.

rD⇒ ~g = r

const.

rD−1.

Kako bi gravitacijsko polje bilo usmjereno prema sredistu Sunca (ishodistu koordinatnog sus-tava), konstantu odabiremo tako da je const. = −K, pri cemu je K > 0

~g = −r K

rD−1.

U trodimenzijskom svijetu, to je polje koje opada s kvadratom udaljenosti (7.4). Gravitacijska

sila kojom Sunce djeluje na Zemlju je ~FG = mz ~g . Radi jednostavnosti, pretpostavit cemo daZemlja ima takvu ukupnu mehanicku energiju da joj je putanja kruznica (o ovisnosti oblikaputanje i ukupne mehanicke energije, vidjeti odjeljak 7.10). U tom je slucaju gravitacijska silauravnotezena centrifugalnom silom

~FG + ~Fcf = 0.

Izjednacavanjem iznosa ove dvije sile, dobije se brzina Zemlje

v =

√K

rD−2. (7.67)

Pretpostavimo sada da osim Sunceve gravitacije, na Zemlju djeluje i gravitacija nekog drugogtijela cija je masa puno manja od Sunceve, npr. neki planet ili asteroid. Utjecaj ovog drugogtijela ce malo promjeniti putanju Zemlje, tako da njezin polozaj vise nece biti ~r, nego ~r+ δr r ,pri cemu je |δr| << r, a δr moze biti i manje od nule (priblizavanje Zemlje Suncu) ili veceod nule (udaljavanje Zemlje od Sunca). Mala promjena udaljenosti ~r, mijenja i gravitacijsku icentrifugalnu silu (slika 7.21)

~FG → ~FG + δ ~FG,~Fcf → ~Fcf + δ ~Fcf .

Koji je uvjet stabilnosti putanje Zemlje? Ako je δr > 0, Zemlja se udaljila od prvobitneputanje, pa ukupna promjena sile δ ~FG+ δ ~Fcf mora vratiti Zemlju prema Suncu, tj. mora imatismjer −r . S druge strane, ako je δr < 0, Zemlja se priblizila Suncu, pa ukupna promjenasile δ ~FG + δ ~Fcf mora odmaknuti Zemlju od Sunca, tj. mora imati smjer +r . Oba ova slucajamozemo sazeti u relaciju

(δ ~FG + δ ~Fcf ) · δr r < 0. (7.68)

Izracunajmo promjenu gravitacijske sile uslijed promjene udaljenosti za δr:

~FG + δ ~FG = −K mz

(r + δr)D−1r = −K mz

rD−1r

[1− (D − 1)

δr

r+ · · ·

]

= −K mz

rD−1r +K(D − 1)

mz δr

rDr + · · ·

⇒ δ ~FG = K(D − 1)mz

rDδr r . (7.69)


Slika 7.21: Uz ilustraciju stabilnosti gravitacijske sile.

Primjetimo da promjena gravitacijske sile ovisi o prostronoj dimenziji D. Prije izracunavanjapromjene centrifugalne sile, prisjetimo se da je, prema (7.48), moment kolicine gibanja u poljucentralne sile, konstantan, tj. da je

L(r) = L(r + δr),

mzv(r)r = mzv(r + δr)(r + δr) = mz[v(r) + δv(r)](r + δr),

0 = vδr + rδv +O(δ2),

δ v = −vrδ r. (7.70)

Izracunajmo sada i promjenu centrifugalne sile:

~Fcf + δ ~Fcf =mz (v + δv)2

(r + δr)r =

mz v2(1 + 2δv/v + · · · )r(1 + δr/r)

r

Uvrstavanjem promjene brzine (7.70) u gornji izraz, dobije se

~Fcf + δ ~Fcf =mz v

2

rr

(1− 2

δr

r+ · · ·

)(1− δr

r+ · · ·

)=mz v

2

rr

(1− 3

δr

r+ · · ·

).

Iz gornjeg je izraza lako ocitati vodeci clan za promjenu centrifugalne sile

δ ~Fcf = −3mz v

2

r2δr r . (7.71)

Primjetimo da promjena centrifugalne sile ne ovisi o prostornoj dimenziji D. Ukupna promjenagravitacijske i centrifugalne sile je

δ ~F = δ ~FG + δ ~Fcf = K(D − 1)mz

rDδr r − 3

mz v2

r2δr r .

Uvrsti li se za brzinu izraz (7.67), dobije se ukupna promjena sile u D-dimenzijskom prostoru

δ ~F = (D − 4)Kmz

rDδr r .

7.13. STO BI BILO ... 225

Iz gornjeg izraza zakljucujemo da je uvjet stabilnosti putanje (7.68), uvijek zadovoljen, ako je

D < 4.

Vazno je primjetiti da gornji uvjet ne ovisi o udaljenosti r planeta od Sunca, tj. da vrijediza sve planete jednako (time je iskljucna mogucnost postojanja odredenih podrucja u kojimabi sila bila stabilna ili nestabilna). Dakle, u D = 3-dimenzijskom prostoru u kojemu zivimo,gornji je uvjet zadovoljen i putanje svih planeta su stabilne u odnosu na male gravitacijskesmetnje drugih nebeskih tijela.

Primjer: 7.8 Polazeci od izraza za polje gravitacijske sile u D-dimenzijskom prostoru

~g (~r) = − K

rD−1r ,

izracunajte gravitacijski potencijal u D = 1, D = 2 i D = 3-dimenzijskom prostoru.

R: Polazimo od izraza

~g = −−→∇V = −K ~r

rD.

(D = 1)

−−→∇V = −K~r

r, ~r = xx , r = x,

xdV

dx= K

xx

x= Kx ,

∫dV = K

∫dx,

V (r) = V (0) +K r.

(D = 2)

−−→∇V = −K ~r

r2, ~r = xx + yy , r2 = x2 + y2,

x∂V

∂x+ y

∂V

∂y= K

xx + yy

x2 + y2,

∂V

∂x= K

x

x2 + y2,

∂V

∂y= K

y

x2 + y2,

∫dV = K

∫x dx

x2 + y2,

∫dV = K

∫y dy

x2 + y2,

V (~r) = V (~r0) +K ln r.

(D = 3)


−−→∇V = −K ~r

r3, ~r = xx + yy + zz , r2 = x2 + y2 + z2,

x∂V

∂x+ y

∂V

∂y+ z

∂V

∂z= K

xx + yy + zz

x2 + y2 + z2,

∂V

∂x= K

x

(x2 + y2 + z2)3/2,

∂V

∂y= K

y

(x2 + y2 + z2)3/2,

∂V

∂z= K

z

(x2 + y2 + z2)3/2,

∫dV = K

∫x dx

(x2 + y2 + z2)3/2+ f1(y, z),

= K

∫y dy

(x2 + y2 + z2)3/2+ f2(x, z),

= K

∫z dz

(x2 + y2 + z2)3/2+ f3(x, y),

V (~r) = −K 1

r.

7.14 Rasprsenje cestica u polju centralne sile

U ovom se odjeljku daje prikaz klasicnog opisa rasprsenja cestica na polju centralne sile.Promatra se homogeni snop cestica (elektroni, α-cestice, planeti, · · · ) iste mase i energije, koje sepriblizavaju centru sile. Uobicajeno je pretpostaviti da sila iscezava u beskonacnosti, tako da secestice snopa kada su jos daleko od izvora sile, gibaju po pravcu. Upadni je snop karakteriziransvojim intenzitetom I, koji se jos naziva i gustoca toka, a koji je jednak broju cestica snopakoje u jedinici vremena produ kroz jedinicnu plohu postavljenu okomito na smjer snopa. Kakose cestice priblizavaju centru sile, one ce biti ili privucene njemu (ako je sila privlacna) iliodbijene od njega (ako je sila odbojna). Kao rezultat ovakvog djelovanja sile, putanja cesticevise nece biti pravocrtna, nego ce doci do promjene oblika putanje. Nakon prolaska poredcentra sile i udaljavanjem od njega, putanja ce ponovo postati pravocrtna. Dakle i sada cese cestice snopa gibati po pravcu, ali kao rezultat djelovanja sile, ovaj pravac zatvara odedenikut s upadnim pravcem. Kaze se da je doslo do rasprsenja. Velicina koja opisuje procesrasprsenja se zove udarni presjek za rasprsenje u danom smjeru i oznacava se s σ(Ω), gdjeΩ oznacava prostorni kut u smjeru kojega se dogodilo rasprsenje

σ(Ω) dΩ =broj cestica rasprsenih u prostorni kut dΩ u jedinici vremena

upadni intenzitet.

S dΩ je oznacen diferencijal prostornog kuta

dΩ = sin θ d θ dϕ.

U literaturi se σ(Ω) naziva i diferencijalni udarni presjek. Uobicajeno je koordinatni sustavpostaviti tako da upadni snop lezi na osi z. Zbog simetrije centralne sile, sada je cijeli sustav(snop + polje sile) invarijantan na zakrete oko osi z, tj. nece ovisiti o kutu ϕ, po kojemu se

7.14. RASPRSENJE CESTICA U POLJU CENTRALNE SILE 227

moze printegrirati, tako da je sada

dΩ = 2 π sin θ d θ.

Cijeli se proces rasprsenja opisuje jednim kutom, θ, koji opisuje otklon cestica snopa od upadnogsmjera (slika 7.22 prikazuje rasprsenje na odbojnoj sili) i zove se kut rasprsenja. Primjetimo

Slika 7.22: Rasprsenje upadnog snopa na odbojnom centru sile.

jos i da izraz udarni presjek potjece od toga sto σ(Ω) ima dimenziju povrsine.Za svaku pojedinu cesticu se parametri putanje, pa time i rasprsenja, odreduju iz njezineenergije i momenta kolicine gibanja. Uobicajen je iznos momenta kolicine gibanja izraziti prekoenergije i jedne velicine koja se naziva25 upadni parametar, s oznakom s, a koja predstavljaokomitu udaljenost izmedu sredista sile i smjera upadne brzine (slika 7.22). Ako se s v0 oznaciiznos upadne brzine cestica, tada je

L0 = s m v0 = s√

2mE.

Odabir E i s, jednoznacno odreduje kut rasprsenja θ. Polazi se od pretpostavke da razlicitevrijednosti s, ne mogu voditi na isti kut rasprsenja θ. Prema ovoj pretpostavci je broj cesticakoje se rasprse u prostorni kut dΩ omeden s θ i θ+d θ jednak broju cestica koje su se u ulaznomsnopu nalazile unutar elipticnog podrucja izmedu s i s+ d s.

25engl. impact parameter


Poglavlje 8

Inercijski i neinercijski sustavi

U ovom cemo se poglavlju detaljnije baviti ucincima neinercijalnosti sustava u kojemu se odvijagibanje. Napose cemo detaljno razmotriti slucaj gibanja u sustavu vezanom za povrsinu Zemlje.Zemlja se vrti oko svoje osi, pa su zbog toga svi sustavi koji miruju prema Zemljinoj povrsini- neinercijski.

8.1 Vremenska promjena vektora

Do sada smo promatrali gibanje cestice u sustavima za koje smo pretpostavili da su inercijski(tj. da u njima vrijede Newtonovi aksiomi). U mnogim slucajevima od prakticne vaznosti,ta je pretpostavka pogresna. Tako npr. koordinatni sustav vezan za Zemljinu povrsinu nijeinercijski zbog Zemljine vrtnje oko svoje osi, njezinog gibanja oko Sunca itd. Sukladno tome,opis gibanja cestice u sustavu vezanom za povrsinu Zemlje moze rezultirati pogreskom (ovisnoo tocnosti kojom se opisuje gibanje).

Sada cemo prouciti opis gibanja cestice u sustavu koji se vrti u odnosu na inercijski sustav.Uvedimo najprije oznake:

(X,Y, Z) ce oznacavati nepomicni, inercijski koordinatni sustav s ishodistem u tocki O(origin). Velicine koje se odnose na taj sustav, biti ce oznacene indeksom in.

(x, y, z) ce oznacavati koordinatni sustav koji se vrti u odnosu na sustav (X, Y, Z), sa ishodistemu istoj tocki O. Velicine koje se odnose na taj sustav, biti ce oznacene indeksom nin,zato jer je , uslijed svoje vrtnje, ovaj sustav neinercijski.

Promotrimo proizvoljni vektor ~V (slika 8.1) u neinercijskom (x, y, z) sustavu

~V = Vx x + Vy y + Vz z .

Osnovni zadatak u ovom odjeljku jeste

pronaci vezu izmedu vremenske promjene vektora ~Vu inercijskom i neinercijskom sustavu.

Sa stanovista promatraca nepomicnog u (x, y, z) sustavu, smjerovi x , y i z se ne mjenjaju

229

230 POGLAVLJE 8. INERCIJSKI I NEINERCIJSKI SUSTAVI

Slika 8.1: Vektor ~V gledan iz inercijskog (X,Y, Z) i neinercijskog (x, y, z) sustva. Os vrtnje je oznacena s ~ω .

u vremenu, pa sva vremenska promjena vektora ~V dolazi od vremenske promjene njegovihkomponenata

d ~V

d t

∣∣∣∣∣nin

=d Vxd t

x +d Vyd t

y +d Vzd t

z .

Zanima nas kako izgleda vremenska promjena vektora ~V , gledana iz nepomicnog koordinatnogsustava (X,Y, Z),

d ~V

d t

∣∣∣∣∣in

= ?

Sa stanovista promatraca u nepomicnom sustavu, u vremenu se mijenjaju i komponente vektora~V , ali se mijenjaju i smjerovi (ne i iznosi, jer se radi o jedinicnim vektorima) jedinicnih vektorax , y , z sustava koji se vrti

d ~V

d t

∣∣∣∣∣in

=d Vxd t

x +d Vyd t

y +d Vzd t

z (8.1)

+ Vxd x

d t+ Vy

d y

d t+ Vz

d z

d t.

Prvi red gornje jednazbe opisuje promjene komponenata ~V uz konstantne x , y , z , pa je toupravo (d ~V /d t)nin

d ~V

d t

∣∣∣∣∣in

=d ~V

d t

∣∣∣∣∣nin

+ Vxd x

d t+ Vy

d y

d t+ Vz

d z

d t.

Izracunajmo sada vremensku promjenu baznih vektora (x, y, z) sustava, gledano iz nepomicnogsustava. Neka se sustav (x, y, z) vrti oko sustava (X, Y, Z) tako da je os vrtnje vektor ~ω , slika

8.1. VREMENSKA PROMJENA VEKTORA 231

8.1, a iznos kutne brzine vrtnje neka je ω = dϕ/d t (~ω ne mora biti konstanta u vremenu).

Sa ~U oznacimo bilo koji konstantni vektor u (x, y, z) sustavu. Kasnije cemo ~U identificirati

s x , y ili z . Gledano iz (X, Y, Z) sustava, ~U ce se, uslijed vrtnje sustava (x, y, z) oko osi ~ω

nepomicne u (X, Y, Z) sustavu, mijenjati po smjeru, ali ne i po iznosu. Rastavimo vektor ~U nadvije komponente: okomitu i paralelnu u odnosu na ~ω (slika 8.2.A)

~U = ~U⊥ + ~U‖,

~U‖ = ω · (ω · ~U),

~U⊥ = ~U − ω · (ω · ~U).

Primjetimo da je, gledano iz nepomicnog (inercijskog) sustava,

Slika 8.2: (A) Rastav vektora ~U na komponente paralelne i okomite na ~ω . (B) Zakret sustava. (C) Hvatistevektora ~V nije na osi vrtnje.

~U(t) = ~U⊥(t) + ~U‖,

tj. s vremenom se mijenja samo okomita, ali ne i paralelna komponenta vektora ~U . Definirajmo

novi pomocni vektor ~b tako da bude okomit i na ~U⊥ i na ~ω

~b = ω × ~U⊥

b = U⊥.

Da bismo izracunali vremensku promjenu (derivaciju) U⊥(t), postupamo ovako: za kratko vri-jeme d t, sustav (x, y, z) ce se zakrenuti za dϕ = ω d t u odnosu na nepomicni sustav (slika8.2.B). Sa slike se vidi da je

~U⊥(t+ ∆ t) = cosω∆ t · U⊥(t) U⊥(t) + sinω∆ t · U⊥(t) b(t),

= cosω∆ t · ~U⊥(t) + sinω∆ t ·~b (t),

~U⊥(t+ ∆ t) − ~U⊥(t) = (cosω∆ t− 1) · ~U⊥(t) + sinω∆ t ·~b (t).


U granici kada ∆ t postaje iscezavajuce malen, dobiva se

d ~U⊥d t

= lim∆ t→0

~U⊥(t+ ∆ t)− ~U⊥(t)

∆ t

= lim∆ t→0

(cosω∆ t− 1) · ~U⊥(t) + sinω∆ t ·~b (t)

∆ t

= lim∆ t→0

[1− (ω∆ t)2/2 + · · · − 1

]· ~U⊥(t) +

[ω∆ t− (ω∆ t)3/6 + · · ·

]·~b (t)

∆ t

= lim∆ t→0

[(−1

2ω2∆ t+ · · ·

)· ~U⊥(t) +

(ω − ω3(∆ t)2

6+ · · ·

)·~b (t)

]= ω ~b .

Tako smo dobili

d ~U⊥d t

= ω ~b .

Buduci da je ~U‖ konstantno u vremenu, to je

d ~U

d t=d ~U⊥d t

= ω ~b .

Kako je ~b definiran kao

~b = ω × ~U⊥,

a zbog kolinearnosti ω i ~U‖, to je i

~b = ω × (~U⊥ + ~U‖) = ω × ~U.

Uvrsti li se ovo u gornju jednadzbu, dobiva se da, za svaki vektor ~U , konstantan usustavu koji se vrti, a gledan iz nepomicnog sustava, vrijedi

d ~U

d t= ~ω × ~U, (8.2)

gdje je ~ω vektor vrtnje (x, y, z) sustava oko nepomicnog sustava (X, Y, Z).

Ako se sada vektor ~U identificira redom sa vektorima x , y , z , dobiva se

d x

d t= ~ω × x ,

d y

d t= ~ω × y ,

d z

d t= ~ω × z .

Ovi se rezultati mogu primjeniti na problem trazenja veze izmedu vremenskih promjena vektora~V gledano iz nepomicnog i sustava koji se vrti, postavljen jednadzbom (8.1)

d ~V

d t

∣∣∣∣∣in

=d ~V

d t

∣∣∣∣∣nin

+ Vx (~ω × x ) + Vy (~ω × y ) + Vz (~ω × z )

=d ~V

d t

∣∣∣∣∣nin

+ ~ω × (Vx x + Vy y + Vz z )

8.2. BRZINA I UBRZANJE U SUSTAVU KOJI SE VRTI 233

d ~V

d t

∣∣∣∣∣in

=d ~V

d t

∣∣∣∣∣nin

+ ~ω × ~V . (8.3)

Gornji izraz povezuje vremensku promjenu proizvoljnog vektora u inercijskom i neinercijskomsustavu i predstavlja sredisnji rezultat ovog odjeljka .Sto ako vektor ~V nema hvatiste na osi vrtnje (slika 8.2.C)? U tom slucaju postoje vektori ~B i~C sa hvatistem na osi vrtnje, takvi da je ~C = ~V + ~B . U tom slucaju je

d ~V

d t

∣∣∣∣∣in

=d ~C

d t

∣∣∣∣∣in

− d ~B

d t

∣∣∣∣∣in

=d ~C

d t

∣∣∣∣∣nin

+ ω × ~C − d ~B

d t

∣∣∣∣∣nin

− ω × ~B

=d (~C − ~B )

d t

∣∣∣∣∣nin

+ ω × (~C − ~B )

=d ~V

d t

∣∣∣∣∣nin

+ ω × ~V ,

pa vidimo da ista relacija vrijedi i za taj vektor.

8.2 Brzina i ubrzanje u sustavu koji se vrti

Uzme li se za vektor ~V upravo radij vektor, ~V ≡ ~r, jednadzba (8.3) daje veze medu brzinamamirujuceg i sustava koji se vrti

d~r

d t

∣∣∣∣in

=d~r

d t

∣∣∣∣nin

+ ~ω × ~r ⇐⇒ ~vin = ~vnin + ~ω × ~r.

Ubrzanje u mirujucem sustavu se dobije tako da za ~V u (8.3) uvrstimo ~vin

~a in =d

d t

∣∣∣∣nin

(~vnin + ~ω × ~r) + ~ω × (~vnin + ~ω × ~r)

= ~a nin +d ~ω

d t

∣∣∣∣nin

× ~r + ~ω × ~vnin + ~ω × ~vnin + ~ω × (~ω × ~r).

Time se dobila veza izmedu ubrzanja mirujuceg i sustava koji se vrti

~a in = ~a nin +d ~ω

d t

∣∣∣∣nin

× ~r + 2 ~ω × ~vnin + ~ω × (~ω × ~r). (8.4)

Prvi clan na desnoj strani ocito predstavlja ubrzanje onako kako ga vidi nepomicni promatracu sustavu koji se vrti. Drugi, treci i cetvrti clan su rezultat vrtnje (svi su srazmjerni s ~ω )i cine razliku ubrzanja koje vidi nepomicni promatrac u nepomicnom sustavu u odnosu nanepomicnog promatraca u sustavu koji se vrti. Drugi clan desne strane potjece od vremenskepromjene brzine vrtnje i on je jednak nuli ako je brzina vrtnje konstantna. Treci se clan,


Slika 8.3: Coriolisovo ubrzanje.

2 ~ω × ~vnin, naziva Coriolisovo ubrzanje i okomito je (slika 8.3 ) na smjer brzine kojomse cestica giba u sustavu koji se vrti (okomito je i na ~ω ). Posljednji clan gornjeg izraza jecentripetalno ubrzanje, ~ω × (~ω × ~r). Ako su ~ω ,~r i ~v medusobno okomiti vektori, tadaje v = ωr i centripetalno ubrzanje dobivamo u poznatom obliku v2/r. Velicina −~ω × (~ω × ~r)se zove centrifugalno ubrzanje.

8.3 Opcenito gibanje koordinatnih sustava

Promatrajmo sada situaciju kada se (x, y, z) sustav vrti oko nepomicnog sustava ali tako da

im se ishodista ne poklapaju (slika 8.4) nego su medusobno povezana vektorom ~R . U tom

Slika 8.4: Gibanje sustava (Q;x, y, z) u odnosu na inercijski sustav (O; X, Y, Z).

8.3. OPCENITO GIBANJE KOORDINATNIH SUSTAVA 235

slucaju su ~R i ~R brzina i ubrzanje ishodista sustava koji se vrti prema ishodistu nepomicnogsustava. Oznaci li se s ~r polozaj tocke P u neinercijskom sustavu, tada je polozaj te iste tockeP promatran iz nepomicnog sustava jednak

~rin = ~R + ~r/ d

d t

∣∣∣∣in

d~rind t

∣∣∣∣in

=d ~R

d t

∣∣∣∣∣in

+d~r

d t

∣∣∣∣in

~vin = ~Rin + ~vnin + ~ω × ~r. (8.5)

Slicno se dobivaju i veze medu ubrzanjima

d2 ~rind t2

∣∣∣∣in

= ~Rin +d2 ~r

d t2

∣∣∣∣in

⇒ (8.4) ⇒

~a in = ~Rin + ~a nin + ~ωnin × ~r + 2 ~ω × ~vnin + ~ω × (~ω × ~r). (8.6)

8.3.1 Jednadzba gibanja u neinercijskom sustavu vezanom za povrsinu Zemlje

Ono sto zanima nas koji zivimo na povrsini Zemlje, jeste kako izgleda gibanje promatrano izneinercijskog sustava, tj. zanima nas ~a nin.Drugi Newtonov aksiom vrijedi u inercijskim sustavima. Iz prethodnog odjeljka se vidi da jeumnozak mase i ubrzanja u neinercijskom sustavu jednak

m~a nin = m~a in −m~Rin −m~ωnin × ~r − 2m~ω × ~vnin −m~ω × (~ω × ~r). (8.7)

Umnozak mase i ubrzanja u inercijskom sustavu, m~a in = ~F jeste sila videna iz inercijskogsustava, dok su ostali clanovi posljedica neinercijalnosti. Za sustav vezan s povrsinom Zemlje,R ima znacenje udaljenosti do sredista Zemlje.Nadimo jednadzbu gibanja cestice u odnosu na promatraca na povrsini Zemlje. Zbog jednos-tavnosti, pretpostavit cemo da je Zemlja kugla sa sredistem u tocki O (slika 8.5.A). U tom jeslucaju, slika 8.5.B, istok (E) u smjeru +y , zapad (W ) je u smjeru −y , jug (S) je u smjeru +x ,

a sjever (N) je u smjeru −x . Zemlja se vrti oko osi Z konstantnom kutnom brzinom ~Ω = Ω Zi napravi jedan okret za 23 sata 56 min. i 4 sec. Stoga je

Ω =2π

86 164 s' 0. 000 072 9 s−1 ' 7.3 · 10−5 s−1.

Istovremeno se Zemlja giba oko Sunca, a kutna brzina toga gibanja je priblizno jednaka

ωz−s =2π

365 · 86 164 s' 2 · 10−7 s−1.

Cijeli se Suncev sustav giba oko sredista galaksije kutnom brzinom koja je priblizno jednaka

ωs−g =2π

6.3 · 1015 s' 1 · 10−15 s−1.


Slika 8.5: Zemlja kao neinercijski sustav (λ je kolatituda).

Svakoj od gornjih kutnih brzina se moze pridruziti period T relacijom T = 2π/ω (odgovarajucakutna brzina). Ako je vrijeme trajanja pokusa puno manje od nekog od ovih perioda, tadase ucinak tog neinercijskog gibanja moze zanemariti u racunu. Tako npr. ako se promatranogibanje odvija u vremenskom intervalu manjem od jedne godine, s visokom tocnoscu se moguzanemariti neinercijski ucinci koji potjecu od gibanja Zemlje oko Sunca i Sunca oko sredistagalaksije. U ovoj cemo aproksimaciji, sustav vezan za srediste Zemlje smatrati inercijskim.Prema relaciji (8.4) je

~R∣∣∣in

= ~R∣∣∣nin

+ ~Ω× ~R + 2~Ω × ~Rnin + ~Ω × (~Ω × ~R ).

Kutna brzina vrtnje Zemlje je konstantna, pa je ~Ω = 0, a isto tako su i ~R∣∣∣nin

= ~R∣∣∣nin

= 0.

Posljednji clan sadrzi malu velicinu Ω 2 pomnozenu s polumjerom Zemlje R, tako da je cijelitaj clan reda velicine Ω .

~R∣∣∣in

= ~Ω × (~Ω × ~R ).

Uvrstavanjem gornjeg izraza u jednadzbu gibanja u neinercijskom sustavu (8.7), uz izostavljanjeoznaka in i nin, dolazi se do

md2 ~r

d t2= ~F − 2m~Ω × ~v −m~Ω × (~Ω × ~r)−m~Ω × (~Ω × ~R ).

Oznakom ~F su predstavljene sve sile koje djeluju na cesticu, gledane iz inercijskog sustvavezanog za srediste Zemlje. Jedna od tih sila je uvijek i gravitacijska sila

~FG = −G MZ m~R + ~r

|~R + ~r|3.

Ako je gravitacijska sila i jedina sila koja djeluje, jednadzba gibanja glasi

©©md2 ~r

d t2= −GMZ©©m

~R + ~r

|~R + ~r|3−©©m~Ω × (~Ω × ~R )− 2©©m~Ω × ~v −©©m~Ω × (~Ω × ~r).


Definira li se gravitacijsko polje (tj. ubrzanje) ~g kao

~g = −G MZ

~R + ~r

|~R + ~r|3− ~Ω × (~Ω × ~R ), (8.8)

jednadzba gibanja postaje

d2 ~r

d t2= ~g − 2~Ω × ~v − ~Ω × (~Ω × ~r).

Ako je ~r malen u usporedbi s polumjerom Zemlje, tada je posljednji clan gornje jednadzbesrazmjeran s Ω 2, pa je zato puno manji od prethodna dva clana koji su reda velicine Ω i mozese zanemariti. Uz ovu aproksimaciju, jednadzba gibanja se dalje pojednostavljuje do

d2 ~r

d t2= ~g − 2~Ω × ~v.

Ako osim gravitacijske sile djeluju jos neke sile ~Fj, desnoj strani gornje jednadzbe treba dodati

clanove oblika ~Fj/m.

d2 ~r

d t2= ~g +

1

m

∑j

~Fj − 2~Ω × d~r

d t,

=~F

m− 2~Ω × d~r

d t(8.9)

gdje su s ~F/m = ~g +∑

j~Fj/m oznacene sve sile (podijeljene s masom). Rjesenje gornje jed-

nadzbe je potpuno odredeno zadavanjem pocetnih uvjeta. Postavit cemo najopcenitije pocetneuvjete: neka je u t = 0 polozaj cestice ~r(0) = ~r0, a brzina neka je ~r(0) = ~v0. Jednadzbu cemorjesavati uz:♣ pretpostavku da su ~Ω i ~F konstantni u vremenu, i♣ zanemarivanje clanova srazmjernih s Ω 2,Ω 3, · · · .Integracijom po vremenu gornje jednadzbe, dolazi se do

d2 ~r

d t2=

~F

m− 2~Ω × d~r

d t

/ ∫ t

0

dt

~r(t)− ~r(0) =~F

mt− 2~Ω × [~r(t)− ~r(0)]

~v(t) = ~v0 +~F

mt− 2~Ω × ~r(t) + 2~Ω × ~r0.

Uvrstavanjem gornjeg izraza za brzinu u (8.9)

~r =~F

m− 2~Ω ×

[~v0 +

~F

mt− 2~Ω × ~r(t) + 2~Ω × ~r0

]

i zanemarivanjem clanova srazmjernih s Ω 2,Ω 3, · · · , dolazi se do

~r =~F

m− 2~Ω × ~v0 − 2t

m~Ω × ~F +O(Ω 2).


U gornjoj je jednadzbi sva ovisnost o vremenu na desnoj strani, eksplicitna i zato se jednadzbamoze rijesiti izravnom integracijom

~r =~F

m− 2~Ω × ~v0 − 2t

m~Ω × ~F +O(Ω 2)

/ ∫ t

0

dt

~r(t)− ~r(0) =~F

mt− 2~Ω × ~v0t− 2

m

t2

2~Ω × ~F +O(Ω 2)

~r(t) = ~v0 +~F

mt− 2t~Ω × ~v0 − t2

m~Ω × ~F +O(Ω 2)

/ ∫ t

0

dt

~r(t)− ~r(0) = ~v0t+~F

m

t2

2− t2~Ω × ~v0 − t3

3m~Ω × ~F +O(Ω 2)

~r(t) = ~r0 + ~v0t+~F

2mt2 − t2~Ω × ~v0 − t3

3m~Ω × ~F +O(Ω 2).

Gornja jednadzba daje polozaj cestice mase m u neinercijskom sustavu (x, y, z) u trenutku

t > 0. ~F je zbroj svih vanjskih sila konstantnih u vremenu (to su sile koje bi djelovale nacesticu i kada bi bilo Ω = 0). Da bismo gornju vektorsku jednadzbu rastavili na njezineskalarne komponente, moramo najprije raspisati vektorske umnoske na desnoj strani. Sa slike8.6 vidimo da je

Slika 8.6: Uz prikaz ~Ω u sustavu (x, y, z).

~Ω = Ω Z

Z = (Z · x )x + (Z · y )y + (Z · z )z

= cos(λ+ π/2)x + 0 · y + cosλz

= − sinλ x + cosλ z~Ω = Ω (− sinλx + cosλz ).


Za opceniti vektor ~V je

~Ω × ~V = Ω (− sinλx + cosλz )× (Vxx + Vyy + Vz z )

= Ω (− sinλVyz + sinλVzy + cosλVxy − cosλVyx )

= −Ω cosλVyx + Ω (sinλVz + cosλVx)y − Ω sinλVyz .

Primjenom gornjeg izraza na ~V ≡ ~v0 i ~V ≡ ~F , dolazi se do skalarnih komponenata rjesenjajednadzbe gibanja

x(t) = x0 + v0,xt+Fx2m

t2 + t2Ω v0,y cosλ+t3

3mΩ cosλFy +O(Ω 2), (8.10)

y(t) = y0 + v0,yt+Fy2m

t2 − t2Ω (v0,z sinλ+ v0,x cosλ)− t3

3mΩ (Fz sinλ+ Fx cosλ) +O(Ω 2),

z(t) = z0 + v0,zt+Fz2m

t2 + t2Ω v0,y sinλ+t3

3mΩFy sinλ+O(Ω 2).

Recimo jos jednom, da su gornje jednadzbe izvedene uz pretpostavku da je sila konstantna.

8.3.2 Slobodan pad

Rjesimo jednadzbe gibanja (8.10) iz prethodnog odjeljka na slucaju slobodnog pada u gravita-cijskom polju Zemlje u blizini njezine povrsine. U odjeljku 5.1 je pokazano da se gibanje cesticekoja slobodno pada u inercijskom sustavu, odvija po pravcu (bio je to pravac koji je lezao naosi z). Pocetni uvjeti i vanjske sile kod slobodnog pada su zadani na slijedeci nacin

x0 = y0 = 0, z0 = h,

v0,x = v0,y = v0,z = 0,

Fx = Fy = 0, Fz = −mg.

Uvrstavanjem gornjih vrijednosti u relacije (8.10), dobiva se

x(t) = O(Ω 2),

y(t) =t3

3Ω g sinλ+O(Ω 2)

z(t) = h− 1

2gt2 +O(Ω 2).

I na sjevernoj (gdje je 0 ≤ λ ≤ π/2) i na juznoj polusferi (gdje je π/2 ≤ λ ≤ π) je sinλ > 0pa, za razliku od slobodnog pada u inercijskom sustavu, dolazi do otklona na istok (slika8.7) u odnosu na okomicu. U trenutku t0 pada na zemljinu povrsinu, je z(t0) = 0, pa je vrijeme

padanja t0 =√

2h/g, tako da je u trenutku pada na tlo, otklon na istok od okomice jednak

y(t0) =2

3h Ω

√2h

gsinλ.

primjetimo da je otklon srazmjeran s Ω i da je najveci na ekvatoru, λ = π/2, gdje je sinλ = 1,a otklona nema na polovima, λ = 0 ili λ = π.


Slika 8.7: Uz slobodan pad, okomiti hitac i kosi hitac u neinercijskom sustavu.

8.3.3 Okomiti hitac

Promotrimo sada slucaj gibanja cestice koja je konacnom pocetnom brzinom izbacena okomitou vis - okomiti hitac. U inercijskom sustavu se cestica sve vrijeme giba po pravcu. Pogledajmoucinke neinercijalnosti. Pocetni uvjeti i sila na cesticu su dani slijedecim jednadzbama:

x0 = y0 = z0 = 0,

v0,x = v0,y = 0, v0,z = v0,

Fx = Fy = 0, Fz = −mg.Uvrstavanjem gornjih vrijednosti u rjesenje (8.10), dobiva se

x(t) = O(Ω 2),

y(t) = −Ω t2 sinλ (v0 − gt

3) +O(Ω 2)

z(t) = v0t− 1

2gt2 +O(Ω 2).

Cestica postize maksimalnu visinu u trenutku t = tmax, kada je z(t = tmax) = 0, tj. kada jev0 = g tmax. U tom je trenutku

y(tmax) = −Ωv2

0

g2sinλ(v0 − g

3

v0

g) +O(Ω 2)

= −2

3Ωv3

0

g2sinλ+O(Ω 2) < 0,

pa je otklon prema zapadu. U trenutku ponovnog pada na Zemlju je z(t0) = 0, pa jet0 = 2v0/g = 2tmax. Uvrstavanjem ovog vremena u izraz za y, dobije se otklon prema zapadu(slika 8.7) u iznosu od

y(2 tmax) = −4

3Ωv3

0

g2sinλ+O(Ω 2).


8.3.4 Kosi hitac

Promatrajmo sada slucaj kada je cestica ispaljena pocetnom brzinom v0 pod kutom α u odnosuna ravninu (x, y) (slika 8.8). Neka u pocetnom trenutku smjer brzine lezi u ravnini (x, z). Kao

Slika 8.8: Uz kosi hitac u neinercijskom sustavu.

sto znamo iz odjeljka 5.2, u inercijskom ce se sustavu, cestica sve vrijeme gibati u toj istoj (z, x)ravnini. Sada cemo pokazati da gibanje u neinercijskom sustavu vodi na otklon putanje uodnosu na pocetnu ravninu.

x0 = y0 = 0, z0 = 0,

v0,x = v0 cosα, v0,y = 0, v0,z = v0 sinα,

Fx = Fy = 0, Fz = −mg.

Uvrstavanjem gornjih vrijednosti u relacije (8.10), dobiva se

x(t) = v0t cosα+O(Ω 2),

y(t) = −Ω t2v0(sinα sinλ+ cosα cosλ) +t3

3Ω g sinλ+O(Ω 2)

= −Ω t2v0 cos(α− λ) +t3

3Ω g sinλ+O(Ω 2)

z(t) = v0t sinα− 1

2gt2 +O(Ω 2).

Gornje jednadzbe opisuju polozaj cestice u proizvoljnom trenutku t > 0 nakon pocetka gibanja,a prije ponovnog pada na tlo. Primjecujemo otklon u y smjeru u odnosu na gibanje u pocetnoj(x, z) ravnini. Ovaj je otklon srazmjeran s Ω . Izracunajmo otklon u trenutku t0 kada cesticapada na tlo. U trenutku pada na tlo je vrijednost z koordinate jednaka nuli, pa se t0 odredujekao rjesenje jednadzbe

z(t0) = 0 = v0t0 sinα− 1

2gt20.


To je kvdratna jednadzba, pa ima dva rjesenja

t(1)0 = 0, t

(2)0 =

2v0 sinα

g.

U oba ova vremenska trenutka, tijelo se nalazi na tlu: trenutak t(1)0 je trenutak ispaljenja, a t

(2)0

je ponovni pad na tlo. Konacni otklon od pocetne (x, z) ravnine dobijemo tako da izracunamo

vrijednost y(t(2)0 )

y(t(2)0 ) = −4

3

Ω v30 sin2 α

g2(3 cosα cosλ+ sinα sinλ).

Na sjevernoj polusferi, na kojoj mi zivimo, je 0 < λ < π/2, pa su cosλ i sinλ pozitivni i cijeli

je otklon y y(t(2)0 ) < 0. Cestica se otklanja na zapad.

8.3.5 Rijeke i cikloni

Slika 8.9: Uz opis utjecaja Coriolisove sile na: (A) tok rijeka i (B) formiranje ciklona.

Coriolisovo ubrzanje, tj. Coriolisova sila cini da na sjevernoj polusferi, rijeke pri svom toku visepotkopavaju desnu nego lijevu obalu (slika 8.9.A). Postavimo koordinatni sustav tako da je zokomica, a smjer rijeke (lokalno) ima smjer osi y. Tada je brzina rijeke ~v = vy , a kutna brzina

vrtnje Zemlje je ~Ω = Ω Z . Zbog Coriolisove sile, na element rijecnog toka mase m i brzine ~v,djeluje sila

~FCor = −2 m ~Ω × ~v = −2 m[Ω (− sinλx + cosλz )

]× vy = ~F vod

Cor + ~F okoCor ,

gdje su vodoravna ~F vodCor i okomita ~F oko

Cor komponenta sile jednake

~F vodCor = 2mΩ cosλ v x ,

~F okoCor = 2mΩ sinλ v z .

8.4. FOUCAULTOVO NJIHALO 243

Vidimo da je, na zapadnoj polusferi (0 ≤ λ ≤ π/2 i cosλ ≥ 0), vodoravna komponenta Co-riolisove sile uvijek usmjerena na desnu obalu rijeke (ima smjer + x ). Na juznoj polusferi jeπ/2 ≤ λ ≤ π i cosλ ≤ 0 i smjer Coriolisove sile je − x . Tamo rijeke potkopavaju svoju lijevuobalu.Okomita komponena, ~F oko

Cor , samo podize razinu vode.

Isti nacin razmisljanja primjenjen gore na opis gibanja rijecnih masa, moze se primjeniti ina opis gibanja zracnih masa. Na gibanje zracne mase djeluje Coriolisova sila koja zracnustruju otklanja u desno. Kombinacija otklona brzine u desno za sve zracne struje koje segibaju prema sredistu ciklona, na sjevernoj Zemljinoj polusferi rezultira vrtnjom zracnih masau smjeru suprotnom od kazaljke na satu, kao sto je skicirano na slici 8.9.B (primjetimo daCoriolisova sila djeluje udesno bez obzira iz kojeg smjera dolazi pojedina zracna struja). Istiovaj mehanizam mozemo svaki dan primjetiti u vlastitoj kupaonici: voda u kadi koja se zavrtiprije izlaska kroz slivnik, cini to zbog Coriolisove sile i vrtnje Zemlje.Na juznoj polusferi, i zracne struje i voda u kupaonici se vrte u smjeru kazaljke na satu.

8.4 Foucaultovo njihalo

U odjeljku 6.8 smo se upoznali s gibanjem matematickog njihala u inercijskom sustavu. Poredostalog, konstatirali smo da se njihanje odvija stalno u istoj ravnini. U ovom cemo odjeljkuprouciti gibanje matematickog njihala u neinercijskom sustavu. Glavni je rezulatat da se uneinercijskom sustavu vezanom za povrsini Zemlje, njihanje vise nece odvijati stalno u istojravni, vec ce doci do zakreta ravnine njihanja na takav nacin da unutar jednog dana ravninanjihanja napravi jedan puni okret.

Promotrimo njihalo koje se sastoji od duge i priblizno nerastezive niti na cijem je kraju objesenateska kugla. Trenje u tocki objesista i trenje s cesticama zraka se zanemaruje. Pretpostavimoda je njihalo otklonjeno iz polozaja ravnoteze i ostavljeno da slobodno njise u okomitoj ravnini.Ovaj je pokus prvi izveo Jean Foucault, godine 1851. u zgradi pariskog Panteona s njihalomduljine 67m i mase 28 kg (slika 8.10.A). Pod je bio posut pijeskom, a na kugli se nalazio siljakkoji je ostavljao trag po pijesku, tako da se lako mogao uociti polozaj ravnine u kojoj njihalotrenutno njise. Kao sto ce se uskoro pokazati, uslijed vrtnje Zemlje, ravnina njihanja ce sepostupno zakretati oko okomite osi. Na sjevernoj polusferi, zakret je u smjeru kazaljke nasatu (slika 8.10.B), ako gledamo odozgo prema dolje, a na juznoj je polusferi zakret u smjerusuprotnom od gibanja kazaljke na satu (slika 8.10.C).

Opisimo matematicki rezultat Foucaultovog pokusa (slika 8.11.A). Ukupna sila koja djeluje na

cesticu je zbroj gravitacijske sile ~FG = −mgz i napetosti niti ~Fnap. Sa slike 8.11.B i C se vidida je

cos(~Fnap, x ) = cos(π − βx) = − cos βx = −xl,

cos(~Fnap, y ) = cos(π − βy) = − cos βy = −yl,

cos(~Fnap, z ) = cos(π/2− βx) = sin βx =l − z

l.

= cos(π/2− βy) = sin βy =l − z

l.


Slika 8.10: Uz Foucaultovo njihalo.

Slika 8.11: Uz odredenje sila na cesticu Foucaultovog njihala.

~Fnap = (~Fnap · x )x + (~Fnap · y )y + (~Fnap · z )z

= Fnap cos(~Fnap, x )x + Fnap cos(~Fnap, y )y + Fnap cos(~Fnap, z )z

= Fnap

(−xlx − y

ly +

l − z

lz

).

Buduci da ~Fnap ovisi o x, y i z, a ovi opet ovise o vremenu, izlazi da cijela sila na cesticu~F = ~FG + ~Fnap ovisi o vremenu, pa se ne mogu primjeniti rjesenja (8.10) koja vrijede samoza sile konstantne u vremenu. Umjesto toga treba rjesiti jednadzbu

m~r = ~F − 2 m ~Ω × ~r

U kojoj je ~F = ~FG + ~Fnap. Vektorski umnozak na desnoj strani je jednak

~Ω × ~r = Ω (− sinλx + cosλz )× (xx + yy + zz )

= −Ω cosλ y x + Ω (sinλ z + cosλ x) y − Ω sinλ y z .

Uvrstavanjem gornjeg izraza i izraza za sile, u jednadzbu gibanja, dolazi se do slijedece tri


skalarne jednadzbe

mx = −xlFnap + 2 m Ω y cosλ

m y = −ylFnap − 2 m Ω (x cosλ+ z sinλ)

m z = −mg +l − z

lFnap + 2 m Ω y sinλ

Pojednostavimo ove jednadzbe pretpostavkom da su amplitude njihanja male, tako da sekugla priblizno nalazi u ravnini poda sto je (x, y) ravnina. U matematickom jeziku to znaci dapretpostavljamo da je z = z = z ' 0. Uz ovu pretpostavku, iz posljednje od gornjih jednadzbaslijedi iznos sile napetosti niti

Fnap = m g − 2 m Ω y sinλ

Uvrstavanjem ovog izraza za napetost u preostale dvije jednadzbe, dolazi se do

x = −glx+ 2 Ω y cosλ+

2 Ω sinλ

lx y

y = −gly − 2 Ω x cosλ+

2 Ω sinλ

ly y.

Za pretpostavljene male amplitude titraja, nelinearni clanovi xy i yy su manji od ostalihclanova, pa ih zato zanemarujemo. Preostaje vezani 2 × 2 linearni sustav diferncijalnih jed-nadzba za x i y

x = −glx+ 2 Ω y cosλ

y = −gly − 2 Ω x cosλ.

Definirajmo pocetne uvjete gibanja, uz koje cemo traziti rjesenje. Neka se u pocetnomtrenutku t = 0, njihalo nalazi u ravnini (y, z) otklonjeno za A u smjeru osi y (slika 8.12).

x(0) = 0, x(0) = 0, (8.11)

y(0) = A, y(0) = 0.

Uz pokrate ω20 = g/l i α = Ω cosλ, jednadzbe gibanja glase

x = −ω20 x+ 2α y

y = −ω20 y − 2α x.

Pomnozimo drugu od gornjih jednadzba imaginarnom jedinicom i i zbrojimo obje jednadzbe

x+ iy = ω20(x+ iy)− 2iα(x+ iy).

U novoj kompleksnoj varijabli ζ = x+ iy, gornja jednadzba postaje

ζ + 2iα ζ + ω20 ζ = 0,

sto po obliku prepoznajemo kao jednadzbu harmonijskog oscilatora s prigusenjem srazmjernimbrzini (relacija (6.21)), ali je koeficijent prigusenja imaginaran. Potrazimo rjesenje gornjehomogene jednadzbe u obliku

ζ(t) = c eγ t,


Slika 8.12: Ilustracija pocetnih uvjeta za opis gibanja Foucaultovog njihala.

s konstantnim c i γ.

ζ[γ2 + 2αγi+ ω2

0

]= 0,

γ± = −iα± i√α2 + ω2

0.

Buduci da je Ω 2 ' 10−10s−2, to je α2 = Ω 2 cos2 α << ω20 = g/l ' 0.15 s−2, pa je zato

γ± ' −iα± iω0.

Postoje, dakle, dva rjesenja gornje jednadzbe, c+ eγ+ t, c− eγ− t, sto znaci da je opce rjesenje

linearna kombinacija ta dva rjesenja

ζ = (c1 + ic2)e−i(α−ω0)t + (c3 + ic4)e

−i(α+ω0)t,

za realne konstante cj. Koristeci Eulerovu relaciju

e±ia = cos a± i sin a,

prethodna relacija postaje

x+ iy = ζ

= (c1 + ic2)[cos(α− ω0)t− i sin(α− ω0)t

]+ (c3 + ic4))

[cos(α + ω0)t− i sin(α+ ω0)t

].

Izjednacavanjem realnih i imaginarnih dijelova, dolazi se do

x = c1 cos(α− ω0)t+ c2 sin(α− ω0)t+ c3 cos(α + ω0)t+ c4 sin(α + ω0)t

y = −c1 sin(α− ω0)t+ c2 cos(α− ω0)t− c3 sin(α + ω0)t+ c4 cos(α + ω0)t.

Cetiri nepoznate konstante c1, c2, c3 i c4 odreduju se iz cetiri pocetna uvjeta (8.11). Uvrstavanjempocetnih uvjeta za x:

x(0) = 0 = c1 + c3 ⇒ c3 = −c1x(0) = 0 = c2(α− ω0) + c4(α + ω0) ⇒ c4 = c2

ω0 − α

ω0 + α,


dolazi se do

c4 = c2

√g/l − Ω cosλ√g/l + Ω cosλ

= c21− Ω cosλ

√l/g

1− Ω cosλ√l/g

= c2 +O(Ω ).

Uvrstavanjem pocetnih uvjeta za y, dobiva se

y(0) = A = c2 + c4 = 2 c2 ⇒ c2 = c4 =1

2A

y(0) = 0 = −c1(α− ω0)− c3(α + ω0) ⇒/c1 = −c3

/⇒ 2 ω0 c1 = 0 ⇒ c1 = c3 = 0.

Time je, konacno

c1 = 0, c2 = A/2, c3 = 0, c4 = A/2.

x(t) =A

2

[sin(α− ω0)t+ sin(α+ ω0)t

]= A sinαt cosω0t,

y(t) =A

2

[cos(α− ω0)t+ cos(α+ ω0)t

]= A cosαt cosω0t.

Prisjetimo li se da je α = Ω cosλ, a ω0 =√g/l, konacno rjesenje je

x(t) = A cos

(√g

lt

)· sin(Ω t cosλ),

y(t) = A cos

(√g

lt

)· cos(Ω t cosλ).

Pogledajmo fizicko znacenje ovog rjesenja: polozaj kugle njihala je dan radij vektorom

~r(t) = x(t) x + y(t) y = A[x sin(Ω t cosλ) + y cos(Ω t cosλ)

]cos

(√g

lt

).

Izraz u uglatoj zagradi je vektor jedinicne duljine, ciji se smjer mijenja s vremenom.Oznacimo ga s n (t)

n (t) ≡ x sin(Ω t cosλ) + y cos(Ω t cosλ).

Vektor n (t) odreduje smjer njihanja, a amplituda je A

~r(t) = n (t) A cos

(t

√g

l

). (8.12)

Taj se smjer periodicki mijenja u vremenu s periodom

Tn =2π

Ω | cosλ| ' 24h,

ravnina njihanja se zakrece tako da za 24 h napravi jedan puni okret. Ovaj zakret ravninenjihanja je izravna posljedica vrtnje Zemlje oko svoje osi. Ovaj je period puno veci od samogperida titranja T0

T0 =2π

ω0

= 2π

√l

g' 16.41 s, l = 67m


Tn >> T0,

tj. njihalo napravi puno titraja prije nego sto mu se ravnina zakrene za puni kut.

Pokazimo da se ravnina njihanja zakrece u suprotnim smjerovima na sjevernoj i juznoj Zemljinojpolusferi. Pomocu Tn, moze se n (t) napisati u obliku

n (t) = x sin(Ω t cosλ) + y cos(Ω t cosλ)

= x sin

(sgn(cosλ)

2π t

Tn

)+ y cos

(sgn(cosλ)

2 π t

Tn

),

Neka u t = 0, njihalo njise u (y, z) ravnini, tj. neka je

n (0) = y .

Nakon vremena t = Tn/4, na sjevernoj polusferi je 0 ≤ λ ≤ π/2, pa ce biti i cosλ > 0

n (t = Tn/4) = x sin

(2π t

Tn

)

t=Tn/4

+ y cos

(2π t

Tn

)

t=Tn/4

= x ,

tj. ravnina njihanja se zakrenula za π/2 u smjeru kazaljke na satu (slika 8.13.A).Na juznoj polusferi je π/2 ≤ λ ≤ π, pa ce biti i cosλ < 0

n (t) = x sin

(−2 π t

Tn

)

t=Tn/4

+ y cos

(−2π t

Tn

)

t=Tn/4

= −x ,tj. ravnina njihanja se zakrenula za π/2 u smjeru suprotnom od kazaljke na satu (slika 8.13.B).

Slika 8.13: Zakret ravnine njihanja Foucaultovog njihala. .

8.5. OPCENITA JEDNADZBA GIBANJA CESTICE U NEINERCIJSKOM SUSTAVU 249

8.5 Opcenita jednadzba gibanja cestice u neinercijskom sustavu

Izvedimo sada opcenitu jednadzbu gibanja cestice u neinercijskom sustavu bez pretpostavkeda je kutna brzina vrtnje ω konstantna u vremenu i bez pretpostavke da je kutna brzina vrtnjemala po iznosu. Takoder cemo dozvoliti da sila ~F (koja djeluje i kada je ω = 0) moze ovisiti ovremenu. Jednadzba gibanja je

m~r = ~F (t)−m~ω × ~r − 2m~ω × ~r −m~ω × (~ω × ~r).

~ω = ωZ = ω(−x sinλ+ z cosλ),

~ω = ω(−x sinλ+ z cosλ).

~ω × ~r = ω(−x sinλ+ z cosλ)× (xx + yy + zz )

= −x ωy cosλ+ y ω(x cosλ+ z sinλ)− z ωy sinλ,

~ω × ~r = ω(−x sinλ+ z cosλ)× (xx + yy + zz )

= −x ωy cosλ+ y ω(x cosλ+ z sinλ)− z ωy sinλ,

~ω × (~ω × ~r) = ω(−x sinλ+ z cosλ)× [−x ωy cosλ+ y ω(x cosλ+ z sinλ)− z ωy sinλ]

= ω2[x (−x cos2 λ− z sinλ cosλ) + y (y sin2 λ− y cos2 λ) + z (−x sinλ cosλ− z sin2 λ)

].

Uvrstavanjem gornjih izraza u pocetnu vektorsku jednadzbu, dobivaju se tri skalarne jednadzbegibanja

mx = Fx(t) +myω cosλ+ 2myω cosλ+mω2(x cos2 λ+ z sinλ cosλ),

my = Fy(t)−mω(x cosλ+ z sinλ)− 2mω(x cosλ+ z sinλ)−mω2y(sin2 λ− cos2 λ),

mz = Fz(t) +myω sinλ+ 2myω sinλ+mω2(x sinλ cosλ+ z sin2 λ),

koje se dalje rjesavaju ovisno o konkretnom obliku sile i kutne brzine kao funkcije vremena.


Poglavlje 9

Specijalna teorija relativnosti

Brzina svjetlosti u vakuumu, c, je najveca moguca brzina i priblizno iznosi 300 000 km/s.Gibanja brzinama bliskim ovoj brzini bitno se razlikuju po svojim fizickim svojstvima od gibanjabrzinama puno manjim od c. U ovom cemo se poglavlju detaljnije baviti ucincima na gibanjetijela koji dolaze od gibanja brzinama bliskim brzini svjetlosti.

9.1 Lorentzove transformacije

9.2 Relativisticka kinematika

9.3 Relativisticka dinamika

251

252 POGLAVLJE 9. SPECIJALNA TEORIJA RELATIVNOSTI

Dio II

Mehanika sustava cestica

253

Poglavlje 10

Sustavi cestica

10.1 Diskretni i kontinuirani sustavi cestica

U prethodnim smo poglavljima razmatrali objekte cije se gibanje moze opisati kao gibanjecestice, tj. objekta konacne mase, ali beskonacno malog volumena. Sada cemo promatratigibanja objekata kod kojih aproksimacija cesticom nije opravdana. To ce biti sustavi izgradeniod mnostva cestica.Ako smo u mogucnosti razlikovati pojedine cestice sustava, govorit cemo o diskretnom sustavucestica, gdje cemo sa ~rj i mj oznacavati polozaj i masu j-te cestice sustava za j = 1, · · · , N .Ukupna masa sustava m je naprosto jednaka zbroju masa pojedinih cestica sustava

m =N∑j=1

mj.

Ako pojedine cestice sustava ne mozemo razlikovati, nego su one priblizno kontinuirano ras-podjeljene u jednom dijelu prostora (onako kako smo to opisali u poglavlju o gravitaciji, str.170), tada govorimo o kontinuiranom sustavu cestica. Raspodjela mase u prostoru se opisujefunkcijom koja se zove masena gustoca.

Volumna masena gustoca:Raspodjela mase tijela koja se protezu u trodimenzijskom prostoru, se opisuje volumnom ma-senom gustocom ρm(~r)

ρm(~r) = lim∆V→0

∆m

∆V=dm

dV,

[ρm] =[m]

[l3],

gdje je d V ≡ d 3r diferencijal volumena u okolini tocke ~r (slika 10.2.A), a dm je masa sadrzanau tom volumenu. Uglatom zagradom je oznacena dimenzija gustoce. Ako ρm(~r) ima istuvrijednost u svim tockama sustava, onda je gustoca konstantna i jednaka je omjeru ukupnemase m i ukupnog volumena V sustava, ρm = m/V . Za zadanu volumnu gustocu, masa m(V0)sustava sadrzana u dijelu volumena V0 < V , racuna se kao

m(V0) =

∫

V0

ρm(~r) dV.

255

256 POGLAVLJE 10. SUSTAVI CESTICA

Posebno, ako je gustoca konstantna, masa tijela sadrzana unutar volumena V0 je jednakam(V0) = m V0/V .

Za odredivanje polozaj tocaka sustava u trodimenzijskom prostoru, potrebna su nam tri broja,tj. tri koordinate. To mogu biti pravokutne, sferne ili koje druge pogodno odabrane koordinate.Opcenito cemo te koordinate oznacavati s q1, q2 i q3 i zvat cemo ih poopcene koordinate

~r = ~r(q1, q2, q3).

U skladu s geometrijskim znacenjem mjesovitog umnoska vektora (str. 14), diferencijal volu-mena u okolini tocke ~r, racunamo kao

dV = d ~q1 · (d ~q2 × d ~q3),

gdje su d ~qj vektori u smjeru porasta poopcene koordinate qj (slika 10.1)

Slika 10.1: Smjer porasta koordinate q1.

d ~q1 = ~r(q1 + dq1, q2, q3)− ~r(q1, q2, q3) =∂ ~r

∂q1dq1

d ~q2 = ~r(q1, q2 + dq2, q3)− ~r(q1, q2, q3) =∂ ~r

∂q2dq2

d ~q2 = ~r(q1, q2, q3 + dq3)− ~r(q1, q2, q3) =∂ ~r

∂q3dq3

Ukoliko su poopcene koordinate uvedene preko pravokutnih

~r = x x+ y y + z z,

relacijama

x = x(q1, q2, q3), y = y(q1, q2, q3), z = z(q1, q2, q3),

10.1. DISKRETNI I KONTINUIRANI SUSTAVI CESTICA 257

tada je i

d ~q1 =∂~r

∂q1dq1 =

(x∂x

∂q1+ y

∂y

∂q1+ z

∂z

∂q1

)dq1

d ~q2 =∂~r

∂q2dq2 =

(x∂x

∂q2+ y

∂y

∂q2+ z

∂z

∂q2

)dq2.

d ~q3 =∂~r

∂q3dq3 =

(x∂x

∂q3+ y

∂y

∂q3+ z

∂z

∂q3

)dq3.

Uvrstavanjem gornjeg izraza u izraz za diferencijal volumena i koristeci zapis mjesovitog um-noska pomocu determinante, dobiva se

dV =

∂x

∂q1

∂y

∂q1

∂z

∂q1

∂x

∂q2

∂y

∂q2

∂z

∂q2

∂x

∂q3

∂y

∂q3

∂z

∂q3

dq1 dq2 dq3.

Gornja se determinanta naziva jakobijan ili Jacobi-jeva 1 determinanta i oznacava se sa

J =∂(x, y, z)

∂(q1, q2, q3).

U poopcenim koordinatama je

m(V0) =

∫

V0

ρm(q1, q2, q3) J dq1 dq2 dq3, (10.1)

a sam obujam volumena je

V0 =

∫

V0

J dq1 dq2 dq3.

Primjer: 10.1 Izracunajte masu kugle polumjera R, cija se masena gustoca ρm mijenja kaoρm(~r) = ρ0(r/R) 2, gdje je ρ0 konstanta, a r je udaljenost od sredista kugle.

R: U ovom primjeru mozemo sferne koordinate shvatiti kao poopcene koordinate

q1 = r, q2 = θ, q3 = ϕ,

sto daje jakobijan

J = r 2 sin θ.

Prema izrazu za masu (10.1), slijedi

m =

∫ R

0

r 2dr

∫

Ω

dΩ ρ0

( rR

) 2

= 4πρ0

R 2

∫ R

0

r4dr =4π

5ρ0R

3.


Slika 10.2: Uz definiciju volumne (A), povrsinske (B) i linijske (C), masene gustoce.

Povrsinska masena gustoca:Ako se sustav s kontinuiranom raspodjelom mase proteze po povrsini, tada se u okolini tocke~r definira povrsinska masena gustoca σm(~r) kao omjer diferencijala mase dm i povrsine dS nakojoj se nalazi ta masa (slika 10.2.B)

σm(~r) = lim∆S→0

∆m

∆S=dm

dS,

[σm] =[m]

[l 2].

Uglatom zagradom je oznacena dimenzija povrsinske gustoce. Ako σm(~r) ima istu vrijednost usvim tockama sustava, onda je gustoca konstantna i jednaka je omjeru ukupne mase m i ukupnepovrsine S sustava, σm = m/S. Za zadanu povrsinsku gustocu, masa m(S0) sustava sadrzanana dijelu povrsine S0 < S, racuna se kao

m(S0) =

∫

S0

σm(~r) dS.

Posebno, ako je gustoca konstantna, masa tijela sadrzana na povrsini S0 je jednaka m(S0) =m S0/S. Kao dvodimenzijski objekt, plohu je moguce opisati s dva parametra, ili dvije poopcenekoordinate q1 i q2, tj. ~r = ~r(q1, q2). U skladu s definicijom vektorskog umnoska, str. 12,diferencijal plostine plohe je dan sa

dS = |d ~q1 × d ~q2|,gdje su d ~q1 i d ~q2 tangencijalni vektori koordinatnih linija (pokazuju smjer porasta odgovarajucekoordinate)

d ~q1 =∂~r

∂q1dq1 =

(x∂x

∂q1+ y

∂y

∂q1+ z

∂z

∂q1

)dq1

d ~q2 =∂~r

∂q2dq2 =

(x∂x

∂q2+ y

∂y

∂q2+ z

∂z

∂q2

)dq2.

1Carl Gustav Jakob Jacobi, 1804 - 1851


Izravnim uvrstavanjem gornjih izraza u vektorski umnozak za diferencijal povrsine, dobiva se

|d ~q1 × d ~q2| =√(

∂y

∂q1

∂z

∂q2− ∂z

∂q1

∂y

∂q2

) 2

+

(∂z

∂q1

∂x

∂q2− ∂x

∂q1

∂z

∂q2

) 2

+

(∂x

∂q1

∂y

∂q2− ∂y

∂q1

∂x

∂q2

) 2

dq1 dq2.

Izraz pod korjenom se dalje moze raspisati, a zatim se dobiveni clanovi grupiraju tako da cijeliizraz poprimi pregledniji oblik

dS = |d ~q1 × d ~q2| =√g11 g22 − g 2

12 dq1 dq2,

gdje su gij velicine koje se nazivaju kovarijantne komponente metrickog tenzorazadane plohe

g11 =

(∂x

∂q1

) 2

+

(∂y

∂q1

) 2

+

(∂z

∂q1

) 2

,

g22 =

(∂x

∂q2

) 2

+

(∂y

∂q2

) 2

+

(∂z

∂q2

) 2

,

g12 =∂x

∂q1

∂x

∂q2+∂y

∂q1

∂y

∂q2+∂z

∂q1

∂z

∂q2= g21.

Primjetimo da se pod korjenom izraza za dS pojavljuje determinanta drugog reda

g11 g12

g21 g22

u kojoj je g12 = g21. Sada masu raspodjeljenu po povrsini racunamo slijedecim integralom

m(S0) =

∫

S0

σm(q1, q2)√g11g22 − g 2

12 dq1 dq2,

a sama je plostina povrsine jednaka je

S0 =

∫

S0

√g11g22 − g 2

12 dq1 dq2.

Posebno, ako je jednadzba povrsine zadana eksplicitno jednadzbom z = z(x, y), tada x i yshvacamo kao gornje poopcene koordinate (parametre) q1 i q2, tj.

x ≡ q1, y ≡ q2, z = z(x, y).

Ovo pojednostavljuje komponente metrickog tenzora, pa se za masu dobiva

m(S0) =

∫

S0

σm(x, y)

√1 +

(∂z

∂x

) 2

+

(∂z

∂y

) 2

dx dy, (10.2)

a za plostinu povrsine

S0 =

∫

S0

√1 +

(∂z

∂x

) 2

+

(∂z

∂y

) 2

dx dy,


Primjer: 10.2 Izracunajte masu pravokutnika duljine stranica a i b, koji lezi u ravnini (x, y),a cija se povrsinska gustoca σm mijenja kao σm(~r) = σ0(x/a)

n, gdje je σ0 konstanta,n 6= −1, a a je duljina stranice u smjeru osi x.

R: Sada se nalazimo u, gore spomenutoj, jednostavnoj situaciji, kada je jed-nadzba plohe eksplicitno zadana (10.2)

z = 0, 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b,

pa x i y shvacamo kao poopcene koordinate. Izraz pod korjenom u gornjem izrazuza masu je naprosto jednak jedinici. Prema tom istom gornjem izrazu za masu,slijedi

m =

∫ a

0

dx

∫ b

0

dy σ0

(xa

)n=σ0 b

an

∫ a

0

xndx =σ0

n+ 1ab.

Linijska masena gustoca:Ako se sustav s kontinuiranom raspodjelom mase proteze duz neke krivulje (linije u trodimenzij-skom prostoru), tada se, u oklici tocke ~r definira linijska masena gustoca λm(~r) kao diferencijalniomjer mase dm i duljine krivulje d l na kojoj se nalazi ta masa (slika 10.2.C)

λm(~r) = lim∆l→0

∆m

∆ l=dm

d l,

[λm] =[m]

[l].

Uglatom zagradom je oznacena dimenzija linijske gustoce. Ako λm(~r) ima istu vrijednost usvim tockama sustava, onda je gustoca konstantna i jednaka je omjeru ukupne mase m i ukupneduljine l krivulje, λm = m/l. Za zadanu linijsku gustocu, masa m(l0) sustava sadrzana na dijelukrivulje duljine l0 < l, racuna se kao

m(l0) =

∫

l0

λm(~r) dl.

Posebno, ako je gustoca konstantna, masa tijela sadrzana na duljini l0 je jednakam(l0) = m l0/l.Za opis jednodimenzijskog objekta kao sto je krivulja, dovoljan je jedan parametar, tj. jednapoopcena koordinata q1. To znaci da, npr. u pravokutnom koordinatnom sustavu, postoje vezeoblika

x = x(q1), y = y(q1), z = z(q1), (10.3)

diferencijal duljine luka krivulje je, prema Pitagorinom teoremu,

dl =√dx 2 + dy 2 + dz 2 =

√(dx

dq1

) 2

+

(dy

dq1

) 2

+

(dz

dq1

) 2

dq1.

Uvrstavanje gornjeg diferencijala u izraz za masu, daje

m(l0) =

∫

l0

λm(q1)

√(dx

dq1

) 2

+

(dy

dq1

) 2

+

(dz

dq1

) 2

dq1. (10.4)


Ocito cemo samu duljinu luka krivulje dobiti kao

l0 =

∫

l0

√(dx

dq1

) 2

+

(dy

dq1

) 2

+

(dz

dq1

) 2

dq1. (10.5)

Ukoliko je krivulja zadana eksplicitno jednadzbama

y = y(x), z = z(x),

tada x shvacamo kao poopcenu koordinatu (parametar) x ≡ q1 i primjenjujemo gornji izraz

m(l0) =

∫

l0

λm(x)

√1 +

(dy

dx

) 2

+

(dz

dx

) 2

dx,

a duljinu lika krivulje racunamo kao

l0 =

∫

l0

√1 +

(dy

dx

) 2

+

(dz

dx

) 2

dx,

Primjer: 10.3 Tanka zica je savijena u obliku zavojnice polumjera R i hoda h. Linijska masenagustoca je dana izrazom

λm = A+B sin 2 ϕ,

gdje su A i B konstante, a ϕ je kut u ravnini okomitoj na os zavojnice, mjeren uodnosu na odabranu pocetnu tocku. Ako su

x = R cosϕ, y = R sinϕ, z =h

2πϕ,

parametarske jednadzbe zavojnice, izracunajte duljinu i masu N zavoja zavojnice.

R: Sada se nalazimo u situaciji da imamo jednadzbu krivulje zadanu u para-metarskom obliku (10.3), gdje je parametar, tj. poopcena koordinata q1 = ϕ, pamozemo primjeniti izraze (10.5) i (10.4). Duljina N zavoja je jednakaN puta duljinajednog zavoja l = l1 ·N

l = N

∫ 2π

0

√(dx

dϕ

) 2

+

(dy

dϕ

) 2

+

(dz

dϕ

) 2

dϕ = N√

4π 2R 2 + h 2,

Masa N zavoja je N puta masa jednog zavoja m = N · m1, a tu masu odredimopomocu (10.4) uz ϕ kao poopcenu koordinatu (parametar)

m = N

∫ 2π

0

(A+B sin 2 ϕ)

√(dx

dϕ

) 2

+

(dy

dϕ

) 2

+

(dz

dϕ

) 2

dϕ.

Iskoristimo li cos 2ϕ = cos 2 ϕ− sin 2 ϕ = 1− 2 sin 2 ϕ, elementarna integracija daje

m = N√

4π 2R 2 + h 2

(A+

1

2B

)= l λ0,

gdje smo s l oznacili ukupnu duljinu zavojnice a λ0 = (A+B/2) je gustoca koju biimala homogena zavojnica iste mase i duljine.

Na slican se nacin mogu uvesti i pojmovi volumne, povrsinske i linijske gustoce elektricnognaboja, energije, struje itd.


10.2 Srediste mase

Promatrajmo diskretni sustav od N cestica cije su mase oznacene s m1,m2, · · · ,mN , a vektoripolozaja s ~r1, ~r2, · · · , ~rN , kao na slici 10.3.A. Srediste mase se definira kao tocka s vektorom

Slika 10.3: Uz definiciju sredista mase (A) diskretnog i (B) kontinuiranog sustava cestica.

polozaja ~rSM

~rSM =m1 ~r1 +m2 ~r2 + · · ·+mN ~rN

m1 +m2 + · · ·+mN

=

∑Nj=1 mj ~rj∑Nj=1 mj

=1

m

N∑j=1

mj ~rj, (10.6)

gdje s m =∑N

j=1 mj oznacena ukupna masa sustava.

Za kontinuirani sustav koji se nalazi unutar volumena V (slika 10.3.B), srediste mase se definiratako da se cijeli volumen podjeli na male dijelove mase dmj. Ovi su dijelovi toliko mali da sesvakome moze pridruziti radij vektor polozaja ~rj koji opisuje priblizni polozaj dmj. Sredistemase se tada racuna kao

~rSM =

∑Nj=1 dmj ~rj∑Nj=1 dmj

.

Ovaj nacin racuna ~rSM sadrzi pogresku koja potjece od zbrajanja masa kockica sa ruba tijela:glatke stranice kockica ne mogu pratiti opcenito zaobljeni oblik tijela. Da bi se ova greskasmanjila, povecava se broj kockica, tj. smanjuje se njihov volumen. U granici kada brojkockica N → ∞, one ce savrseno dobro pratiti (proizvoljni) oblik tijela. No tada ce i gornjizbroj prijeci u integral, pa ce se za polozaj sredista mase dobiti

~rSM =

∫Vdm(~r)~r∫

Vdm(~r)

=1

m

∫

V

dm(~r)~r.

10.2. SREDISTE MASE 263

Uvedu li se gustoce: volumna ρm = dm/dV , povrsinska σm = dm/dS i linijska λm = dm/dl,polozaj sredista mase i ukupna masa volumne raspodjele cestica se odreduje pomocu

~rSM =

∫V~r ρm(~r) dV∫

Vρm(~r) dV

, m =

∫

V

ρm(~r) dV ;

polozaj sredista mase i ukupna masa povrsinske raspodjele cestica se odreduje pomocu

~rSM =

∫S~r σm(~r) dS∫

Sσm(~r) dS

m =

∫

S

σm(~r) dS;

i polozaj sredista mase i ukupna masa linijske raspodjele cestica se odreduje pomocu

~rSM =

∫l~r λm(~r) dl∫lλm(~r) dl

m =

∫

l

λm(~r) dl.

Svaka od gornje tri vektorske relacije za racun polozaja sredista mase, se moze napisati i kao triskalarne relacije. Npr. raspis prve od njih u pravokutnom koordinatnom sustavu (za diskretnui kontinuiranu raspodjelu cestica), vodi na

xSM =1

m

N∑j=1

mj xj =1

m

∫

V

x ρm(x, y, z) dx dy dz,

ySM =1

m

N∑j=1

mj yj =1

m

∫

V

y ρm(x, y, z) dx dy dz,

zSM =1

m

N∑j=1

mj zj =1

m

∫

V

z ρm(x, y, z) dx dy dz.

Slicno se dobije i za raspis u drugim koordinatnim sustavima. Ukoliko gustocu mase shvatimokao funkciju gustoce raspodjele Pm(~r) = ρm(~r), tada se ~rSM pojavljuje kao prvi moment teraspodjele. Opci n-ti moment raspodjele se dobije kao

〈 ~r n 〉 =

∫V~r n Pm(~r) d 3r∫VPm(~r) d 3r

.

Slicne izraze smo vec dobivali u poglavlju o gravitaciji: (7.39) i (7.42).Ako se sutav nalazi u jednolikom gravitacijskom polju, tada se srediste mase naziva i sredistegravitacije ili teziste. Naime, ako brojnik i nazivnik izraza za ~rSM pomnozimo s g, ubrzanjemZemljinog gravitacijskog polja, dobivamo za ~rSM

~rSM =

∑Nj=1 g mj ~rj∑Nj=1 g mj

=

∑Nj=1 FG,j ~rj∑Nj=1 FG,j

,

sto je upravo definicija tezista.

Pokazimo da polozaj sredista mase ne ovisi o izboru ishodista koordinatnog sustava.Postavimo dva koordinatna sustava, jedan s ishodistem u tocki O i drugi s ishodistem u tockiO ′ , kao na slici 10.4.A. S ~rj je oznacen polozaj j-te cestice s masom mj u odnosu na sustav s


Slika 10.4: (A) Dva koordinatna sustava. (B) cetiri tocke u prostoru.

ishodistem u tocki O, a s ~r ′j je oznacen polozaj j-te cestice u odnosu na sustav s ishodistem utocki O ′ . Polozaj sredista mase u oba koordinatna sustava je dan izrazima

~rSM =

∑Nj=1 mj ~rj∑Nj=1 mj

, ~r ′SM =

∑Nj=1 mj ~r

′j∑N

j=1 mj

.

Sa slike 10.4.A vidimo da je

~rj =−−→OO ′ + ~r ′j

/N∑j=1

mj

N∑j=1

mj ~rj =−−→OO ′

N∑j=1

mj +N∑j=1

mj ~r′j

m ~rSM =−−→OO ′m+m ~r ′SM

/1

m

~rSM =−−→OO ′ + ~r ′SM . (10.7)

Ako pretpostavimo da se polozaj sredista mase S u koordinatnom sustavu s ishodistem u Oi polozaj sredista mase S ′ u koordinatnom sustavu s ishodistem u O ′ razlikuju, tada, premaslici 10.4.B, zakljucujemo da mora biti

~rSM =−−→OO ′ + ~r ′SM +

−−→S ′S. (10.8)

Usporedbom izraza (10.7) i (10.8), zakljucuje se da je−−→S ′S = 0, tj. da polozaj sredista mase ne

ovisi o izboru ishodista (niti smjerova osi) koordinatnog sustava.

10.3 Kolicina gibanja sustava cestica

Govoreci o jednoj cestici, u odjeljku 4 smo definirali kolicinu gibanja cestice, ~p , kao umnozaknjezine mase i brzine: ~p = m~v. Sada imamo N cestica oznacenih indeksom j = 1, · · · , N ,

10.3. KOLICINA GIBANJA SUSTAVA CESTICA 265

tako da je masa j-te cestice sustava mj, a brzina ~vj ≡ ~rj. Ukupnu kolicinu gibanja sustava jenajprirodnije definirati kao zbroj kolicina gibanja pojedinih cestica sustava

~p =N∑j=1

~p j =N∑j=1

mj ~rj .

Za sustav s kontinuiranom raspodjelom mase, u gornjem izrazu treba zbroj zamijeniti integra-lom, a masu mj zamijeniti diferencijalom mase u okolini promatrane tocke

N∑j=1

−→∫

mj −→ dm(~r).

Na taj nacin, ukupna kolicina gibanja kontinuiranog sustava cestica postaje

~p =

∫

V

dm(~r)~v =

∫

V

~v ρm(~r) d 3r.

Vremenskom derivacijom vektora polozaja sredista mase dobivamo

~rSM =1

m

N∑j=1

mj ~rj =1

m

∫

V

~r ρm(~r) d 3r

/d

dt

dobivamo brzinu sredista mase

~rSM =1

m

N∑j=1

mj ~vj =1

m

∫

V

~v ρm(~r) + ~r

[(−→∇ ρm)~v +

∂ ρm∂ t

]d 3r

Usporedbom gornjeg i izraza za kolicinu gibanja cijelog sustava ~p , dolazi se do

~p = m~rSM , (10.9)

tj. ukupna kolicina gibanja sustava cestica se dobije kao umnozak ukupne mase sustava i brzinesredista mase.

Sile:Pogledajmo sada koji je ucinak djelovanja sila na cestice sustava? Sve sile koje djeluju nacestice sustava, se mogu podijeliti u dvije skupine: unutarnje (ili meducesticne) i vanjske.Unutarnje sile su one kojima jedna cestica sustava djeluje na neku drugu cesticu sustava, a

vanjske su sile kojima okolina djeluje na sustav (njihovi se izvori nalaze izvan sustava). Zbroj

svih vanjskih sila koje djeluju na j-tu cesticu sustava, oznacit cemo s ~Fv,j, a silu kojom i-ta

cestica sustava djeluje na j-tu cesticu, cemo oznaciti s ~f i,j. Naravno da je ~f j,j ≡ 0, tj. da

cestica ne djeluje silom na samu sebe, i da je prema trecem Newtonovom aksiomu ~f i,j = −~f j,i.Napisimo jednadzbu gibanja (drugi Newtonov aksiom) za j-tu cesticu sustava i zbrojimo svete jednadzbe

d~p jdt

=d 2

dt 2(mj~rj) = ~Fv,j +

N∑i=1

~f i,j

/N∑j=1

.


Lijeva strana je ocito jednaka vremenskoj promjeni ukupne kolicine gibanja sustava, dok nadesnoj strani dobivamo dva clana

d~p

dt=

N∑j=1

~Fv,j +N∑i=1

N∑j=1

~f i,j. (10.10)

Prvi clan desne strane je zbroj svih vanjskih sila koje djeluju na sve cestice sustava i oznacitcemo ga s ~Fv

~Fv =N∑j=1

~Fv,j.

Drugi clan je zbroj svih meducesticnih sila:

N∑i=1

N∑j=1

~f i,j = 0 + ~f 1,2 + ~f 1,3 + ~f 1,4 + · · ·+ ~f 1,N i = 1 (10.11)

+ ~f 2,1 + 0 + ~f 2,3 + ~f 2,4 + · · ·+ ~f 2,N i = 2

+ ~f 3,1 + ~f 3,2 + 0 + ~f 3,4 + · · ·+ ~f 3,N i = 3...

+ ~f N,1 + ~f N,2 + ~f N,3 + · · ·+ ~f N,N−1 + 0. i = N

No, buduci da je ~f 1,2 = −~f 2,1, ~f 1,3 = −~f 3,1, · · · , ~f 1,N = −~f N,1 itd., ocito je gornji zbrojjednak nuli.U prethodnom je odjeljku pokazano da je ~p = m ~rSM , sto uvrsteno u (10.10), daje

d ~p

dt=

d 2

dt 2(m ~rSM) = ~Fv. (10.12)

Pod djelovanjem vanjskih sila, sustav se giba kao cestica smjestena u tocki~rSM , cija je masa jednaka ukupnoj masi sustava, a na koju djeluje sila jednakazbroju svih vanjskih sila koje djeluju na sustav.Ako je zbroj svih vanjskih sila jednak nuli, tada vrijedi relacija koja se naziva zakon osacuvanju kolicine gibanja sustava cestica

d~p

dt= 0 ⇒ ~p = const. (10.13)

Ukupna kolicina gibanja sustava, ~p = m ~rSM je konstantna u vremenu. U tom slucaju, sredistemase sustava ili miruje ili se giba konstantnom brzinom (konstantnom po smjeru - gibanje popravcu, i konstatno po iznosu - jednoliko gibanje).Moguce je da na sustav djeluju vanjske sile samo u jednom smjeru. Npr. nalazi li se sustav uZemljinom gravitacijskom polju u blizini njezine povrsine, na sve ce cestice djelovati gravitacij-ska sila u smjeru −z i zato z komponenta kolicine gibanja nece biti sacuvana, dok ce preostaledvije komponente (okomite na z) ostati sacuvane

px = const. py = const. pz 6= const.

10.4. MOMENT KOLICINE GIBANJA SUSTAVA CESTICA 267

10.4 Moment kolicine gibanja sustava cestica

Moment kolicine gibanja jedne cestice, u odnosu na zadano ishodiste, se definira kao ~L = ~r× ~p .S tim u skladu, moment kolicine gibanja sustava od N cestica se definira kao zbroj pojedinacnihmomenata kolicina gibanja svih cestica sustava

~L =N∑j=1

~L j =N∑j=1

~rj × mj~vj,

ili, za sustav s kontinuiranom raspodjelom mase

~L =

∫~r × dm ~v =

∫~r × ~v ρm(~r) d 3r.

Neka je, ponovo, ~Fv,j oznaka za zbroj svih vanjskih sila koje djeluju na j-tu cesticu sutava(radi jednostavnosti, radit cemo sa sustavom s diskretnom raspodjelom cestica). Velicinu ~rj ×~Fv,j, nazivat cemo momentom vanjskih sila j-te cestice, u odnosu na zadano ishodiste. Zbroj

momenata vanjskih sila svih cestica sustava cemo oznaciti s ~Mv

~Mv =N∑j=1

~rj × ~Fv,j.

Iz odjeljka 4.3, relacija (4.26), znamo da za sustav od jedne cestice vrijedi ~L = ~M . Ispitajmovrijedi li slicna relacija i za sustav cestica? Krenimo opet od jednadzbe gibanja j-te cestice,koju cemo sada s lijeva vektorski pomnoziti s ~rj

d~p jdt

= ~Fv,j +N∑i=1

~f i,j

/~rj ×

~rj × d

dt(mj~rj) = ~rj × ~Fv,j +

N∑i=1

(~rj × ~f i,j

)

d

dt(~rj × mj~rj)︸︷︷︸

= ~L j

− ~rj × mj~rj︸︷︷︸= 0

= ~rj × ~Fv,j +N∑i=1

(~rj × ~f i,j

)

d~L j

dt= ~rj × ~Fv,j +

N∑i=1

(~rj × ~f i,j

) /N∑j=1

d

dt

N∑j=1

~L j =N∑j=1

~rj × ~Fv,j +N∑j=1

N∑i=1

(~rj × ~f i,j

)

Lijevu stranu gornje jednakosti prepoznajemo kao vremensku promjenu momenta kolicine gi-

banja cijelog sustava, ~L, a prvi clan desne strane je ukupni moment vanjskih sila ~M . Pokazimoda je drugi clan desne strane jednak nuli, ako su sile medu cesticama usmjerene duz njihovihspojnica, tj. ako je

~f i,j = fi,j~ri − ~rj|~ri − ~rj| .


Dvostruki zbroj na desnoj strani sadrzi clanove oblika

· · ·+ ~rj × ~f i,j + · · ·+ ~ri × ~f j,i + · · ·

Prema trecem Newtonovom aksiomu je ~f j,i = −~f i,j, pa gornja dva clana mozemo zbrojiti u

· · ·+ (~rj − ~ri)× ~f i,j + · · ·Buduci da su meducesticne sile usmjerene duz spojnica cestica, to je

(~rj − ~ri)× ~f i,j = (~rj − ~ri)× ~ri − ~rj|~ri − ~rj|fi,j = 0, (10.14)

zato jer je vektorski umnozak dva kolinearna vektora jednak nuli. Tako smo, krenuvsi odjednadzbe gibanja, dosli do

d~L

dt= ~Mv. (10.15)

Vremenska promjena momenta kolicine gibanja sustava cestica jednaka je momentu svih vanj-skih sila koje djeluju na cestice sustava. Ovaj rezultat vrijedi uz pretpostavku da su meducesticnesile usmjerene duz spojnica cestica (primjer sile koja nema samo radijalnu komponentu, su di-polne sile koje se izvode iz dipolnog potencijala, odjeljak 7.4).

Ukoliko je moment vanjskih sila jednak nuli, ~Mv = 0, tada je i

d~L

dt= 0, ⇒ ~L =

N∑j=1

mj~rj × ~vj = const. (10.16)

tj. moment kolicine gibanja sustava cestica je konstantan u vremenu. Gornja jednadzba sezove i zakon o sacuvanju momenta kolicine gibanja sustava cestica .Opet, kao i kod sacuvanja kolicine gibanja, str. 266, mozemo pretpostaviti da su neke kom-ponente ~Mv jednake nuli, a neke nisu. Npr. neka je u cilindricnom koordinatnom sustavuMv,ϕ = 0, a preostale dvije komponente neka su razlicite od nule. Tada je

Lρ 6= const. Lϕ = const. Lz 6= const.

10.5 Energija sustava cestica

Kineticka energijasustava cestica se definira kao zbroj kinetickih energija svih cestica sustava (ponovo cemo, radijednostavnosti, raditi s diskretnim sustavom)

Ek =N∑j=1

Ek,j =1

2

N∑j=1

mj~v2j =

N∑j=1

~p 2j

2mj

.

Oznacimo s ~Fj zbroj svih sila, vanjskih i meducesticnih, koje djeluju na j-tu cesticu sustava

~Fj = ~Fv,j +N∑i=1

~f i,j.

10.5. ENERGIJA SUSTAVA CESTICA 269

zelimo izracunati rad koji obave ove sile pri pomaku cijelog sustava iz pocetne konfiguracijeoznacene s

poc = (~r1,p, ~r2,p, · · · , ~rN,p),u konacnu konfiguraciju iznacenu s

kon = (~r1,k, ~r2,k, · · · , ~rN,k).Taj je rad jednak zbroju radova nad svakom pojedinom cesticom

Wpoc,kon =N∑j=1

Wj, poc,kon =N∑j=1

∫ kon

poc

~Fj d~rj.

Povezimo ovaj rad s promjenom ukupne kineticke energije sustava. Prema drugom Newtonovomaksiomu je ~pj = ~Fj, iz cega slijedi (uz zanemarivanje relativistickih ucinaka):

Wpoc,kon =N∑j=1

∫ kon

poc

~Fj d~rj =N∑j=1

∫ kon

poc

d~p jdt

d~rj =N∑j=1

∫ kon

poc

mjd~vjdt

d~rj

=N∑j=1

mj

∫ kon

poc

d~vj ~vj =N∑j=1

mj

~v 2j

2

∣∣∣∣kon

poc

=N∑j=1

(1

2mj~v

2j,k −

1

2mj~v

2j,p

)

= Ek(kon)− Ek(poc). (10.17)

Ukupan obavljeni rad je, dakle, jednak razlici konacne i pocetne kineticke energije cijelog sus-tava.

Konzervativne sile:Pretpostavimo sada da su sve sile, i vanjske i unutarnje, koje djeluju na cestice sustava kon-zervativne. Svaka konzervativna sila se moze napisati kao negativni gradijent odgovarajucepotencijalne energije. Tako cemo vanjskim silama pridruziti vanjsku potencijalnu energiju Ev

p ,a unutarnjim silama, unutarnju potencijalnu energiju Eu

p .

Rad unutarnjih sila:Pogledajmo najprije unutarnje sile i njima pridruzenu potencijalnu energiju. Preciznije, poten-cijalnu energiju i-te cestice u odnosu na j-tu cesticu, cemo oznaciti s Eu

p,i,j. Ta energija ovisisamo o medusobnoj udaljenosti dvije promatrane cestice ri,j

ri,j = rj,i =√

(xi − xj) 2 + (yi − yj) 2 + (zi − zj) 2 (10.18)

i zato je simetricna

Eup,i,j(ri,j) = Eu

p,j,i(rj,i).

Zbog ovog svojstva mozemo izostavljati indekse i, j i jednostavno pisati Eup (ri,j). Primjetimo

da Eup (ri,j) ovisi o sest koordinata

Eup (ri,j) = Eu

p (xi, yi, zi, xj, yjzj),


Pa je zato njezin potpuni diferencijal jednak

dEup =

∂Eup

∂xidxi +

∂Eup

∂yidyi +

∂Eup

∂zidzi +

∂Eup

∂xjdxj +

∂Eup

∂yjdyj +

∂Eup

∂zjdzj. (10.19)

Pokazimo da ovakva potencijalna energija vodi na sile koje zadovoljavaju treci Newtonov aksiom(akcije i reakcije). Sila kojom i-ta cestica djeluje na j-tu cesticu je

~f i,j = −−→∇j Eup (ri,j) = −x ∂E

up (ri,j)

∂xj− y

∂Eup (ri,j)

∂yj− z

∂Eup (ri,j)

∂zj.

Oznaka−→∇j znaci da se derivacije racunaju po koordinatama s indeksom j. Isto tako je i sila

kojom cestica j djeluje na cesticu i jednaka

~f j,i = −−→∇ iEup (rj,i),

zbog simetrije potencijalne energije Eup (ri,j) = Eu

p (rj,i), gornji izraz prelazi u

~f j,i = −−→∇ iEup (ri,j).

No, u skladu s (10.18), derivacije po koordinatama i i j se razlikuju u predznaku, npr.

∂Eup (ri,j)

∂xi=∂Eu

p (ri,j)

∂ri,j

∂ri,j∂xi

=∂Eu

p (ri,j)

∂ri,j(−)

∂ri,j∂xj

= −∂Eup (ri,j)

∂xj

i zato je

−−→∇ iEup (ri,j) = +

−→∇j Eup (ri,j) = −~f i,j,

tj. ~f j,i = −~f i,j u skladu s trecim Newtonovim aksiomom.

Izracunajmo rad meducesticnih sila pri infinitezimalnom pomaku j-te cestice za d~rj i i-tecestice za d~ri

~f i,j d~rj + ~f j,i d~ri = −(x∂Eu

p (ri,j)

∂xj+ y

∂Eup (ri,j)

∂yj+ z

∂Eup (ri,j)

∂zj

)(x dxj + y dyj + z dzj)

−(x∂Eu

p (ri,j)

∂xi+ y

∂Eup (ri,j)

∂yi+ z

∂Eup (ri,j)

∂zi

)(x dxi + y dyi + z dzi)

= −(∂Eu

p (ri,j)

∂xjdxj +

∂Eup (ri,j)

∂yjdyj +

∂Eup (ri,j)

∂zjdzj

+∂Eu

p (ri,j)

∂xidxi +

∂Eup (ri,j)

∂yidyi +

∂Eup (ri,j)

∂zidzi

).

Desna strana je upravo potpuni diferencijal unutarnje potencijalne energije (10.19), koja jefunkcija sest varijabli: xi, yi, zi, xj, yj, zj, tj. dobili smo da je

~f i,j d~rj + ~f j,i d~ri = −dEup (ri,j).

Zbrojimo gornju jednadzbu po i i j:

N∑i=1

N∑j=1

~f i,j d~rj +N∑i=1

N∑j=1

~f j,i d~ri = −N∑i=1

N∑j=1

dEup (ri,j).

10.5. ENERGIJA SUSTAVA CESTICA 271

Zamijenom (nijemih) indeksa po kojima se zbraja u drugom clanu lijeve strane, dobiva se

N∑i=1

N∑j=1

~f i,j d~rj +N∑j=1

N∑i=1

~f i,j d~rj = −N∑i=1

N∑j=1

dEup (ri,j)

N∑i=1

N∑j=1

~f i,j d~rj = −1

2

N∑i=1

N∑j=1

dEup (ri,j).

U gornjem zbroju se izostavljaju clanovi i = j. Izracunajmo sada rad, W upoc,kon meducesticnih

(unutarnjih) sila pri pomaku sustava iz pocetne konfiguracije poc u konacnu konfiguraciju kon,tako sto cemo prointegrirati gornji izraz

W upoc,kon =

N∑i=1

N∑j=1

∫ kon

poc

~f i,j d~rj = −1

2

N∑i=1

N∑j=1

∫ kon

poc

dEup (ri,j) = −1

2

N∑i=1

N∑j=1

[Eup (ri,j)kon − Eu

p (ri,j)poc

]

Uz oznake

Eup =

1

2

N∑i=1

N∑j=1

Eup (ri,j),

dobivamo rad meducesticnih sila u obliku

W upoc,kon = Eu

p (poc)− Eup (kon). (10.20)

Rad vanjskih sila:Prijedimo sada na rad vanjskih sila, koje su po pretpostavci takoder konzervativne, i daju seizraziti kao negativni gradijent vanjske potencijalne energije Ev

p(rj) (primjetimo da ova poten-cijalna energija ovisi o polozaju samo jedne cestice, tj. o njezine tri koordinate, npr.: xj, yj, zj)

~Fv,j = −−→∇jEvp(rj)

/d~rj ·

~Fv,j d~rj = −−→∇jEvp(rj)d~rj

= −(x∂Ev

p(rj)

∂xj+ y

∂Evp(rj)

∂yj+ z

∂Evp(rj)

∂zj

) (x dxj + y dyj + z dzj

)

= −(∂Ev

p(rj)

∂xjdxj +

∂Evp(rj)

∂yjdyj +

∂Evp(rj)

∂zjdzj

).

Izraz u gornjoj zagradi prepoznajemo kao potpuni diferencijal dEvp(rj), pa je

~Fv,j d~rj = = −dEvp(rj)

/ ∫ kon

poc

∫ kon

poc

~Fv,jd~rj = −∫ kon

poc

dEvp(rj) = Ev

p(rj)poc − Evp(rj)kon

/ N∑j=1

N∑j=1

∫ kon

poc

~Fv,jd~rj =N∑j=1

[Evp(rj)poc − Ev

p(rj)kon

].


Znacenje lijeve strane gornjeg izraza je jasno: to je rad vanjskih sila pri pomaku sustava izpocetne u konacnu konfiguraciju; oznacit cemo ga s W v

poc,kon. Isto je tako jasno i znacenje desnestrane: oznacimo li s Ev

p ukupnu potencijalnu enegiju sustava cestica u odnosu na vanjske sile

Evp =

N∑j=1

Evp(rj),

tada je rad vanjskih sila nad sustavom jednak razlici vanjskih potencijalnih energija sustava

W vpoc,kon = Ev

p(poc)− Evp(kon).

Ukupan rad nad sustavom je rad koji potjece i od unutarnjih i od vanjskih sila

Wpoc,kon = W upoc,kon +W v

poc,kon = Eup (poc)− Eu

p (kon) + Evp(poc)− Ev

p(kon).

Oznacimo s

Ep = Eup + Ev

p ,

zbroj potencijalnih energija koje potjecu od unutarnjih i vanjskih sila. Relacijom (10.17) smopovezali rad i promjenu kineticke energije, a relacijom (10.20) smo povezali rad i promjenupotencijalne energije, pa je stoga

Ek(kon)− Ek(poc) = Wpoc,kon = Ep(poc)− Ep(kon)

Ek(kon) + Ep(kon) = Ek(poc) + Ep(poc).

Buduci da gornje pocetne i konacne konfiguracije nisu ni po cemu posebne, zakljucujemo da jezbroj kineticke i potencijalne energije konstantna za svaku konfiguraciju sustava

Ek + Ep = const. (10.21)

Gornja relacija izrazava zakon o sacuvanju mehanicke energije sustava cestica i vrijedi samouz pretpostavku da su sve sile - i vanjske i unutarnje - konzervativne.Ovime smo pokazali da postoji sedam velicina koje (pod odredenim uvjetima koje smo navelitokom izlaganja) su konstante gibanja sustava cestica: to su tri komponente ukupne kolicinegibanja, tri komponente ukupnog momenta kolicine gibanja i energija.

10.6 Gibanje sustava cestica u odnosu na srediste mase

Cesto je korisno opisivati gibanje sustava cestica u odnosu na polozaj sredista mase. Zatocemo pored nepomicnog (inercijskog) koordinatnog sustava oznacenog s (O, x, y, z), uvesti i(neinercijski) koordinatni sustav (O ′ , x ′, y ′, z ′), cije se ishodiste O ′ nalazi u sredistu masesustava (slika 10.5) i koji se giba u skladu s gibanjem svih cestica sustava.

Kolicina gibanja:Pokazimo da je u tom koordinatnom sustavu2 ~r ′SM = 0 kao i da je ukupna kolicina gibanja svihcestica sustava, mjerena iz (O ′ , x ′, y ′, z ′), jednaka nuli

~r ′SM = 0, ~p ′ = 0.2to je zapravo vec i ucinjeno pri kraju odjeljka 10.2, gdje je pokazano da polozaj sredista mase ne ovisi o izboru ishodista

koordinatnog sustava

10.6. GIBANJE SUSTAVA CESTICA U ODNOSU NA SREDISTE MASE 273

Slika 10.5: Veza nepomicnog i sustava vezanog uz srediste mase.

Sa slike se vidi veza polozaja j-te cestice u crtkanom ~r ′j i necrtkanom sustavu ~rj

~rj = ~rSM + ~r ′j

/d

d t⇒ ~vj = ~rSM + ~v ′j . (10.22)

Prema definiciji polozaja sredista mase u necrtkanom i crtkanom sustavu je

~rSM =1

m

N∑j=1

mj~rj,

~r ′SM =1

m

N∑j=1

mj~r′j .

Zbog veze ~rj = ~rSM + ~r ′j , za ~rSM mozemo pisati

~rSM =1

m

N∑j=1

mj~rj =1

m

N∑j=1

mj(~rSM + ~r ′j ) =~rSMm

N∑j=1

mj +1

m

N∑j=1

mj~r′j .

No,∑N

j=1 mj = m, tako da se dobiva

~rSM = ~rSM +1

m

N∑j=1

mj~r′j = ~rSM + ~r ′SM .

Iz gornje jednadzbe zakljucujemo da je

~r ′SM =1

m

N∑j=1

mj~r′j = 0. (10.23)

Dakle, zbroj umnozaka mase i radij vektora svih cestica sustava, racunat u odnosu na koordi-natni sustav sa ishodistem u sredistu mase, jednak je nuli. To je i razlog zasto se srediste mase


zove srediste. Vremenskom derivacijom gornje jednadzbe se dobiva upravo zbroj kolicinagibanja svih cestica sustava izrazen u odnosu na polozaj sredista mase

N∑j=1

mj~r′j = 0

/d

dt

~p ′ =N∑j=1

mj~v′j = 0, (10.24)

tj. ukupna kolicina gibanja sustava u odnosu na srediste mase je jednaka nuli.

Moment kolicine gibanja:Povezimo sada ukupni moment kolicine gibanja sustava cestica, prikazan u sustavima (O, x, y, z)i (O ′ , x ′, y ′, z ′). Uvrstavanjem veza (10.22) u izraz za ukupni moment kolicine gibanja

~L =N∑j=1

mj~rj × ~vj =N∑j=1

mj(~rSM + ~r ′j )× (~vSM + ~v ′j)

=N∑j=1

mj(~rSM × ~vSM + ~rSM × ~v ′j + ~r ′j × ~vSM + ~r ′j × ~v ′j)

= m ~rSM × ~vSM + ~rSM ×(

N∑j=1

mj~v′j

)

︸︷︷︸~p ′ = 0

+

(N∑j=1

mj~r′j

)

︸︷︷︸~r ′SM = 0

×~vSM +N∑j=1

mj~r′j × ~v ′j .

Prema relacijama (10.23) i (10.24) su drugi i treci clan gornjeg izraza jednaki nuli, tako dapreostaje

~L = m ~rSM × ~vSM +N∑j=1

mj~r′j × ~v ′j

~L = m ~rSM × ~vSM + ~L ′ , (10.25)

gdje smo uveli oznaku ~L ′ =∑N

j=1 mj~r′j × ~v ′j . Moment kolicine gibanja je zbroj dva clana:

prvi predstavlja gibanje sustava kao cjeline u odnosu na ishodiste O (brzinom ~vSM), a drugije zbroj momenata kolicine gibanja cestica u odnosu na ishodiste O ′ vezano za srediste masesustava.

Potrazimo jos i vezu izmedu momenta vanjskih sila i momenta kolicine gibanja sustava cestica.Od ranije, relacijom (10.15), znamo da u koordinatnom sustavu (O, x, y, z), vrijedi da je

d~L

dt= ~Mv,

10.6. GIBANJE SUSTAVA CESTICA U ODNOSU NA SREDISTE MASE 275

pri cemu je

~Mv =N∑j=1

~rj × ~Fv,j,

a iz (10.25) znamo da je

~L =N∑j=1

mj~rj × ~vj = m ~rSM × ~vSM + ~L ′ .

Uvrstavanjem ~rj = ~rSM + ~r ′j u gornje izraze, dobiva se

d~L

dt= ~Mv,

d

dt

(m~rSM × ~vSM + ~L ′ .

)=

N∑j=1

(~rSM + ~r ′j )× ~Fv,j (10.26)

m~vSM × ~vSM︸︷︷︸= 0

+~rSM × md~vSMdt

+d~L ′

dt= ~rSM ×

N∑j=1

~Fv,j +N∑j=1

~r ′j × ~Fv,j.

Pogledajmo sada detaljnije sto smo dobili. Prvi clan lijeve strane je vektorski umnozak dvajednaka vektora, pa je time jednak nuli. Da bismo prepoznali drugi clan lijeve strane, prisjetimose jednadzbe gibanja j-te cestice iz prethodnog odjeljka

d~p jdt

= ~Fv,j +N∑i=1

~f i,j

/N∑j=1

N∑j=1

mjd~vjdt

=N∑j=1

~Fv,j +N∑j=1

N∑i=1

~f i,j.

Kao sto smo pokazali relacijom (10.11),∑N

i,j=1~f i,j = 0, pa iz gornje relacije preostaje

md~vSMdt

=N∑j=1

~Fv,j. (10.27)

Prema gornjoj relaciji zakljucujemo da se drugi clan lijeve strane i prvi clan desne strane izraza(10.26) ukidaju, tako da u tom izrazu preostaje

»»»»»»»»»~rSM × m

d~vSMdt

+d~L ′

dt=

©©©©©©©©

~rSM ×N∑j=1

~Fv,j +N∑j=1

~r ′j × ~Fv,j.

d~L ′

dt=

N∑j=1

~r ′j × ~Fv,j.

Fizicki sadrzaj gornje relacije je ocit: nazovemo li moment vanjskih sila u koordinatnom sustavu(O ′ , x ′, y ′, z ′)

~M ′v =

N∑j=1

~r ′j × ~Fv,j,


tada vrijedi

d~L ′

dt= ~M ′

v . (10.28)

Gornja relacija vrijedi ne samo u inercijskim sustavima, nego i u neinercijskim sustavima(koji se na proizvoljan nacin gibaju zajedno sa sredistem mase).

Kineticka energija:Pogledajmo jos i kako izgleda izraz za kineticku energiju u koordinatnom sustavu (O ′ , x ′, y ′, z ′).Izravnim uvrstavanjem veze medu brzinama u oba koordinatna sustava, se dolazi do

Ek =1

2

N∑j=1

mj~v2j =

1

2

N∑j=1

mj(~vSM + ~v ′j)2

=1

2

N∑j=1

mj(~v2SM + 2~vSM~v

′j + ~v ′ 2j )

=1

2m~v 2

SM + ~vSM

N∑j=1

mj~v′j

︸︷︷︸= 0

+1

2

N∑j=1

mj~v′ 2j

︸︷︷︸= E ′

k

.

Prema relaciji (10.24), drugi clan desne strane je jednak nuli, pa za kineticku energiju preostajeizraz

Ek =1

2m~v 2

SM + E ′k. (10.29)

Kineticka energija sustva cestica je jednaka zbroju od dva clana: prvi clan opisuje energijutranslacijskog gibanja sustava kao cjeline, brzinom ~vSM , a drugi clan opisuje kineticku energijugibanja cestica u odnosu na srediste mase sustava.

10.7 Impuls sile

Neka je ~Fv(t) zbroj svih vanjskih sila koje djeluju na sve cestice sustava. One ne moraju biti

konstantne u vremenu, nego o njemu mogu ovisiti na proizvoljan nacin ~Fv = ~Fv(t). Ako vanjskesile djeluju u vremenskom intervalu od t = tpoc do t = tkon, tada se integral

∫ tkon

tpoc

~Fv dt,

naziva ukupni (linearni) impuls vanjske sile. Pokazimo da je on jednak promjeni ukupne kolicine

gibanja sustava. Prema relaciji (10.27) je ~Fv = m d~vSM/dt, sto uvrsteno u izraz za impuls siledaje

∫ tkon

tpoc

md~vSMdt

dt = m

∫ tkon

tpoc

d~vSM = m ~vSM,kon −m ~vSM,poc = ~p kon − ~p poc. (10.30)

10.8. LAGRANGEOVO I D’ALEMBERTOVO NACELO 277

Slicna se relacija dobije i za moment vanjskih sila, uz ~Mv = d~L /dt,

∫ tkon

tpoc

~Mvdt =

∫ tkon

tpoc

d~L

dtdt =

∫ tkon

tpoc

d~L = ~L kon − ~L poc.

10.8 Lagrangeovo i D’Alembertovo nacelo

Kao sto prvi Newtonov aksiom opisuje sto se dogada s cesticom kada na nju ne djeluju sile(tj. kada je zbroj sila jednak nuli), a drugi aksiom opisuje gibanje cestice pod djelovanjem sila,tako i Lagrangeovo i D’Alembertovo nacelo opisuju to isto, ali za sustav cestica: Lagrangeovonacelo daje uvjete kada sustav cestica miruje (statika), a D’Alembertovo nacelo daje uvjetepod kojima se sustav cestica giba (dinamika).

uvjeti:U konkretnim je slucajevima cesto gibanje cestice ili sustava cestica podvrgnuto razlicitimvrstama ogranicenja (uvjeta na gibanje). Ovi uvjeti potjecu od razlicitih sila koje djeluju nacestice i mogu se podijeliti u dvije skupine: uvjeti (ogranicenja) koja dolaze od veza meducesticama sustava (koje potjecu od sila medudjelovanja cestica sustava) i uvjeti koji dolazeod vanjskih sila. Opis ovih sila moze biti jako slozen i nepraktican i zato ih je u nekimsituacijama zgodnije izraziti kroz uvjete na gibanje. Od konkretnog problema ovisi koje cemosile tretirati kroz uvjete, a koje cemo shvatiti kao (prave) aktivne sile. Nekoliko primjera uovom odjeljku ce razjasniti ove pojmove. Kao primjer veze medu cesticama moze posluziti

sustav koji se sastoji od dvije cestice vezane krutim stapom zanemarive mase i duljine d (slika10.6.A). Polozaji cestica nisu nezavisni nego su povezani relacijom |~r1 − ~r2| = d = const.Ako je cestica ogranicena (vanjskim silama) na gibanje po kruznici polumjera R u ravnini (x, y)(slika 10.6.B), onda je, umjesto trazenja eksplicitnog oblika sile koji uzrokuje to ogranicenje,jednostavnije djelovanje te vanjske sile opisati jednim uvjetom na gibanje . U ovomjednostavnom primjeru, to je zahtjev da koordinate cestice zadovoljavaju jednadzbu kruznicex 2 + y 2 − R 2 = 0. U ovom primjeru djelovanje vanjske gravitacijske sile nece biti opisanouvjetom na gibanje, nego ce se u jednadzbi gibanja pojaviti eksplicitno kao m ~g .U oba primjera, dakle, rjesavamo jednadzbu gibanja, ali zahtjevamo da rjesenja osim te jed-nadzbe zadovoljavaju jos i odredene uvjete (slicno kao sto smo u nekim primjerima - npr.kod harmonijskog oscilatora - zahtijevali da rjesenja zadovoljavaju odredene pocetne ili rubneuvjete).

Ravnoteza:Potrazimo uvjet ravnoteze sustava cestica. U fiksnom vremenskom trenutku, promatrajmo dvijemoguce bliske konfiguracije sustava odN cestica, koje su u skladu sa silama i uvjetima kojima supodvrgnute cestice. Ako se prijelaz iz jedne u drugu konfiguraciju, ostvaruje trenutnom (dt =0) promjenom polozaja j-te cestice za δ~rj, tada pomak δ~rj nazivamo virtualni (ili zamisljeni)


Slika 10.6: Primjer veze medu cesticama (A) i uvjeta od vanjskih sila (B).

pomak. On se razlikuje od pravog pomaka d~rj koji se dogada u vremenskom intervalu dt 6= 0tijekom kojega se i sile i uvjeti mogu promjeniti (zamisljeni pomak δ~rj se dogada uz fiksne silei uvjete). Za simbol δ vrijede ista pravila kao i za diferencijal d, npr.

δ(sin θ) = cos θ δθ, δ(x 2) = 2 x δx.

Promatra se sustav vezanih cestica na koji djeluju vanjske sile (one koje nisu opisane uvjetima

na gibanje). Vanjsku silu na j-tu cesticu cemo oznaciti ~Fv,j. Zadatak je

naci uvjete pod kojima je ovakav sustav vezanih cestica u ravnotezi.

Zamislimo da je j-ta cestica pomaknuta za δ~rj u skladu s vezama medu cesticama i vanjskimsilama. Zbog tih istih veza i vanjskih sila, biti ce pomaknute i neke druge cestice sustava, pa ceu tom slucaju ukupan zamisljeni rad vanjskih sila obavljen nad cijelim sustavom biti jednak

δW = ~Fv,1 δ~r1 + ~Fv,2 δ~r2 + · · ·+ ~Fv,N δ~rN =N∑j=1

~Fv,j · δ~rj.

Ako vanjske sile mogu izvrsiti (pozitivan) rad nad sustavom vezanih cestica, one ce ga i izvrsititj. zamisljeni pomaci ce se realizirati i sustav ce prijeci iz jedne konfiguracije u drugu i δW cebiti razlicit od nule. Jedino ako pri svim zamisljenim pomacima rad iscezava, sustav ce ostatiu mirovanju. Dakle, uvjet ravnoteze sustava vezanih cestica glasi

δW =N∑j=1

~Fv,j · δ~rj = 0. (10.31)

Ta se relacija zove Lagrange-ovo 3 nacelo ili nacelo zamisljenih (virtualnih) pomaka. Zasustav nevezanih cestica su pomaci δ~rj medusobno neovisni, pa je gornji zbroj jednak nuli

3Joseph Louis comte de Lagrange, 1736 - 1813, francuski matematicar.


samo ako su sve ~Fv,j = 0. Ovo je lako vidjeti iz slijedeceg rasudivanja: ako su svi pomacimedusobno neovisni, mozemo sve zamisljene pomake, osim prvog, odabrati da su jednaki nuli,pa iz gornje relacije slijedi da je ~Fv,1 = 0. Zatim ostavimo samo drugi zamisljeni pomak

razlicitim od nule, pa zakljucimo da je i ~Fv,2 = 0, itd. za ostale cestice i dobivamo uvjetravnoteze nevezanog sustava cestica u obliku

~Fv,j = 0, j = 1, 2, · · · , N,a to je upravo prvi Newtonov aksiom za svaku pojedinu cesticu. Ako su cestice vezane, gornjaargumentacija nije primjenjiva, jer zbog veze medu cesticama nije moguce da pomak samo jednecestice bude razlicit od nule, a pomaci svih ostalih cestica da su jednaki nuli: zbog postojanjaveza medu cesticama, pomak jedne od njih, izazvati ce i pomake drugih, s njom povezanihcestica. Stoga je uvjet ravnoteze vezanih cestica izrazen gore zaokvirenim izrazom. Taj izrazvrijedi bez obzira jesu li vanjske sile konzervativne ili nisu. U posebnom slucaju kada su vanjskesile konzervativne, tj. kada postoji skalarna funkcija potencijalne energije sa osobinom daje (npr. u pravokutnom koordinatnom sustavu)

~Fv,j = −−→∇jEvp = −

(x∂Ev

p

xj+ y

∂Evp

yj+ z

∂Evp

zj

),

uvjet ravnoteze sustava vezanih cestica se moze napisati i u obliku

0 = δW =N∑j=1

(~Fv,j · δ~rj

)=

N∑j=1

(Fv,j,xδxj + Fv,j,yδyj + Fv,j,zδzj)

= −N∑j=1

(∂Ev

p

xjδxj +

∂Evp

yjδyj +

∂Evp

zjδzj

)= −

N∑j=1

δEvp,j = −δEv

p .

δEvp = 0. (10.32)

U ravnotezi je potencijalna energija minimalna, tako da svaki pomak povecava potencijalnuenergiju.

Primjer: 10.4 Dva tijela masa m1i m2 se nalaze na nepomicnoj dvostrukoj kosini kao na slici10.7. Kosina je bez trenja, a tijela su povezane nerastezivom niti duljine l0 i zane-marive mase, prebacenom preko koloture (takoder bez trenja). Nacelom zamisljenihpomaka pokazite da u ravnotezi vrijedi

sinα1

sinα2

=m2

m1

.

R: U ovom se primjeru pojavljuje posebno jednostavan sustav koji se sastojiod samo dvije cestice. Gibanje cestica je podvrgnuto trima silama: gravitaciji mj ~g ,

otporu podloge po kojoj se gibaju (kosina) ~R j i napetosto niti ~Fnap,j (uz zanemari-vanje sile trenja) i jednom uvjetu: nepromjenjivoj duljini niti

~Fv,j = mj ~g + ~Fnap,j + ~R j

l0 = r1 + r2 = const.


Slika 10.7: Uz primjer 10.4: dvostruka kosina bez trenja.

Lagrangeovo nacelo glasi

0 =2∑

j=1

~Fv,j · δ~rj

=[m1 ~g δ~r1 + ~Fnap,1 δ~r1 + ~R 1 δ~r1

]+

[m2 ~g δ~r2 + ~Fnap,2 δ~r2 + ~R 2 δ~r2

].

Primjetimo da iznosi varijacija pomaka mogu biti i pozitivni i negativni

δrj ≶ 0.

Pogledajmo pojedine clanove. Vektori ~R j i δ~rj su medusobno okomiti, pa je njihov

skalarni umnozak jednak nuli. Sile napetosti ~Fnap,j su kolinearne s pomacima δ~rj, azbog izostanka trenja, one su i jednake po iznosu

~Fnap,1 δ~r1 + ~Fnap,2 δ~r2 = Fnap,1 δr1 + Fnap,2 δr2 = Fnap(δr1 + δr2).

Drugi uvjet na gibanje cestica je da su one povezane nerastezivom niti, tako davrijedi: r1 + r2 = l0, pa je i δr1 + δr2 = 0, tj. δr1 = −δr2, Uvrsti li se to u gornjijednadzbu, slijedi

Fnap(δr1 + δr2) = 0.

Preostaje samo clan s gravitacijskom silom

0 = m1 ~g δ~r1 +m2 ~g δ~r2

0 = m1 g cos(π/2 + α1) δr1 +m2 g cos(π/2 + α2) δr2

0 = m1 g sinα1 δr1 +m2 g sinα2 δr2.

0 = (m1 sinα1 −m2 sinα2) g δr1 = 0,

tj. dobivamo trazenu relacijusinα1

sinα2

=m2

m1

. (10.33)


Primjer: 10.5 Rijesite prethodni zadatak pomocu zahtjeva da je u ravnotezi potencijalna ener-gija minimalna, tj. da je δEp = 0.

R: Uz zanemarivanje sila trenja, jedina (neuvjetna) sila koja djeluje na cesticeje konzervativna gravitacijska sila, koja se moze izraziti preko potencijalne energije.Neka je ukupna duljina niti l0 = r1 + r2, a Ep = 0 na vrhu kosine. Tada je

Ep = −m1 g r1 sinα1 −m2 g (l0 − r1) sinα2,

δEp =∂Ep∂r1

δr1 = −g δr1 (m1 sinα1 −m2 sinα2) = 0.

Primjetimo da je Ep linearna funkcija r1, pa zato ne moze postojati minimum nitimaksimum potencijalne energije.

Gibanje:Polazeci od Lagrangeova nacela, moze se doci i opceg zakona gibanja sustava vezanihcestica. Neka vanjska sila ~Fv,j daje j-toj cestici ubrzanje ~a j. Uslijed veza medu cesticamaili uvjeta na gibanje, ovo ubrzanje ne mora biti kolinearno s vanjskom silom. Npr.kod gibanja cestice niz kosinu uslijed djelovanja vanjske gravitacijske sile, ubrzanje cestice jepo smjeru paralelno s kosinom i prema tome nije kolinearno s vanjskom (gravitacijskom) silom(slika 10.7).

Zamislimo sada da na cesticu osim vanjske sile ~Fv,j djeluje jos i sila jednaka negativnom um-nosku mase i ubrzanja j-te cestice: −mj~a j, koja ponistava djelovanja i vanjskih sila i sila od

uvjeta. Sada je zbroj svih sila koje djeluju na cesticu jednaka ~Fv,j−mj~a j i sustav je u ravnotezi,pa Lagrangeov uvjet ravnoteze poprima oblik

N∑j=1

(~Fv,j −mj~a j

)δ~rj = 0. (10.34)

Gornja se jednadzba zove D’Alembertovo 4 nacelo za gibanje sustava vezanih cestica.Slicnom argumentacijom kao i kod Lagrangeova nacela, zakljucujemo da je uvjet ravnotezenevezanih cestica ekvivalentan Newtonovim jednadzbama gibanja

~Fv,j −mj ~a j = 0, j = 1, 2, · · · , N,a to je upravo drugi Newtonov aksiom za svaku pojedinu cesticu. Ovime je dinamika shvacenakao poseban slucaj statike.

Primjer: 10.6 Koristeci D’Alembertovo nacelo, opisite gibanje sustava iz primjera 10.4.

R: Uz istu oznacavanje kao i u prethodnim primjerima, D’Alembertovo nacelo

4Jean D’Alembert, 1717 - 1783, francuski matematicar.


glasi

0 =2∑

j=1

(~Fv,j −mj ~rj

)· δ~rj

=[m1 ~g + ~Fnap,1 + ~R 1 −m1 ~r1

]· δ~r1 +

[m2 ~g + ~Fnap,2 + ~R 2 −m2 ~r2

]· δ~r2.

Kao i u prethodna dva primjera, clanovi sa silama napetosti i reakcijom podlogeiscezavaju, a preostaje

0 = (m1 ~g −m1 ~r1) δ~r1 + (m2 ~g −m2 ~r2) δ~r2,

0 = (m1 g sinα1 −m1 r1) δr1 + (m2 g sinα2 −m2 r2) δr2.

Zbog nerastezivosti niti je opet r1 + r2 = l0 = const., pa je δr1 = −δr2 i r1 = −r2.Uvrstavanjem ovih veza u gornju relaciju, slijedi

0 = (m1 g sinα1 −m1 r1) δr1 + (m2 g sinα2 +m2 r1) (−δr1),0 = (m1 g sinα1 −m1 r1 −m2 g sinα2 −m2 r1) δr1.

Rjesavanjem gornje jednadzbe po r1, dobiva se ubrzanje prve cestice

r1 = gm1 sinα1 −m2 sinα2

m1 +m2

.

Primjetimo da je ono konstantno u vremenu. Ubrzanje druge cestice je r2 = −r1. Uravnotezi je r1 = r2 = 0, a ove su relacije zadovoljene ako je brojnik gornjeg izrazajednak nuli tj. ako vrijedi (10.33) iz prethodna dva primjera.

10.9 Sustavi s promjenjivom masom: gibanje rakete

Do sada smo promatrali gibanja cestica ili sustva cestica nepromjenjive mase, a sada cemodetaljnije prouciti gibanje jednog sustava promjenjive mase: rakete. Promatrat cemo najjed-nostavniju situaciju u kojoj se raketa giba okomito po pravcu u konstantnom gravitacijskompolju (slika 10.8), zanemarujuci utjecaj otpora zraka tijekom gibanja kroz atmosferu. U trenut-ku t, brzina rakete je ~v = vz , v > 0, a njezina je masa m. Pod masom rakete podrazumjevamomasu kabine mk, masu spremnika za gorivo ms i masu samog goriva mg.

m(t) = mk +ms +mg(t).

Samo se masa goriva mijenja (smanjuje) s vremenom. U trenutku t+ ∆t, raketa je izbacila diosvoje mase u obliku mjesavine cestica goriva, u smjeru suprotnom od smjera svojega gibanja.Masu odbacenih plinova oznacavamo s −∆m > 0, a njihovu brzinu s ~v − ~v0. Brzina izbacenihplinova se dakle sastoji od dvije komponente: brzine same rakete ~v i brzine plinova u odnosuna raketu −~v0 = −v0z , v0 > 0. U tom istom trenutku t + ∆t, masa rakete je umanjenaza masu izbacenih plinova i jednaka je m + ∆m, a brzina joj je povecana na ~v + ∆~v gdje je∆~v = ∆v z , ∆v > 0. Sve se brzine mjere u odnosu na inercijski sustav sa ishodistem u tockiO.Kao sto je pokazano relacijom (10.12), samo vanjska sila moze promijeniti ukupnu kolicinugibanja sustava. Nadalje, relacijom (10.30) je polazano da je ta promjena kolicine gibanja

sustava jednaka je impulsu vanjske sile. Primjetimo da vanjska sila ~Fv (gravitacija ili trenje),

10.9. SUSTAVI S PROMJENJIVOM MASOM: GIBANJE RAKETE 283

Slika 10.8: Gibanje rakete u konstantnom gravitacijskom polju: (A) u trenutku t; (B) u trenutku t + ∆t.

mijenja kolicinu gibanja cijelog sustava koji se sastoji od rakete i izbacenog plina. Unutarsustava, uslijed pogona rakete, njezina brzina se povecava, ali se taj porast brzine (pa timei kolicine gibanja rakete) kompenzira izbacenim plinom, tako da je ukupna kolicina gibanjasustava raketa plus izbaceni plin nepromjenjena. Ili, drugim rijecima, unutarnja sila kojapotjece od pogona, povecat ce brzinu rakete, ali nece promijeniti kolicinu gibanja cijelog sustavaraketa plus izbaceni plin.

kolicina gibanja u t+ ∆t

︷︸︸︷(m+ ∆m) (~v + ∆~v)︸︷︷︸

raketa u t+ ∆t

+ (−∆m)(~v − ~v0)︸︷︷︸plin u t+ ∆t

−

kolicina gibanja u t

︷︸︸︷m ~v︸︷︷︸

raketa u t

=

impuls vanjske sile

︷︸︸︷~Fv ∆t .

m ~v +m ∆~v + ∆m ~v + ∆m ∆~v −∆m ~v + ∆m ~v0 −m ~v = ~Fv ∆t

/1

∆t,

m∆~v

∆t+ ∆m

∆~v

∆t+ ~v0

∆m

∆t= ~Fv

/lim

∆t→0.

U granici kada ∆t iscezava, takoder iscezavaju i ∆m→ 0 , kao i ∆~v → 0, pa preostaje

md~v

dt+ ~v0

dm

dt= ~Fv,

z mdv

dt+ z v0

dm

dt= −z m g,

m(t)dv

dt+ v0

dm

dt= −m(t) g. (10.35)

Radi jednostavnosti, u gornjoj smo jednadzbi u clanu vanjskih sila zanemarili otpor atmosfere,a za gravitacijsku silu smo pretpostavili da se ne mijenja s visinom, g = const. (tocnije bi bilouzeti da je g = g(z)). clan dm/dt opisuje brzinu kojom raketa gubi masu. Najjednostavnije je


pretpostaviti da raketa gubi masu konstantnom brzinom dm/d t. Buduci da je za pozitivni dtmasa rakete smanjuje, dm < 0, pretpostavit cemo da je

dm

dt= −c 2

0 = const.∫ t

0

dm = −c 20

∫ t

0

dt = −c 20 t

m(t) = m(0) − c 20 t,

(((((mk +ms +mg(t) = (((((mk +ms +mg(0)− c 20 t,

mg(t) = mg(0)− c 20 t.

Uvrstavanjem gornjeg izraza za masu u (10.35), dobiva se

[m(0)− c 20 t]

dv

dt− v0 c

20 = −[m(0)− c 2

0 t] g

/1

m(0)− c 20 t

dv

dt=

v0 c20

m(0)− c 20 t

− g

/∫ t

0

dt

v(t)− v(0) = −g t+ v0 c20

∫ t

0

dt1

m(0)− c 20 t

v(t) = v(0)− g t+ v0 lnm(0)

m(0)− c 20 t.

Uz pretpostavku da je pocetna brzina rakete jednaka nuli v(0) = 0, konacno se dobije za brzinurakete u trenutku t > 0

v(t) = v0 lnm(0)

m(0)− c 20 t

− g t. (10.36)

Izracunajmo najvecu brzinu koju moze postici ovakva raketa (uz zanemarivanje relativnomale brzine −g t). To ce ocito biti brzina koju postigne raketa nakon sto potrosi svo gorivo, ato ce se dogoditi nakon vremena koje cemo oznaciti s t = τ

mg(τ) = 0 = mg(0)− c 20 τ ⇒ τ =

mg(0)

c 20

.

U tom je trenutku brzina jednaka (uz zanemarivanje brzine −g t)

v(t = τ) = vmax = v0 lnmk +ms +mg(0)

mk +ms

= v0 ln

(1 +

mg(0)

mk +ms

).

Ukupna pocetna masa goriva i stjenki spremnika se obicno oznacava s m0 = ms + mg(0), aomjer pocetne mase goriva i m0 se naziva strukturni faktor i oznacava se s ε = mg(0)/m0.Prijelazom sa ms i mg(0) na m0 i ε pomocu relacija

mg(0) = ε m0, ms = (1− ε) m0,

za najvecu brzinu se dobiva

vmax = −v0 ln

(1− ε

m0

mk +m0

).

10.9. SUSTAVI S PROMJENJIVOM MASOM: GIBANJE RAKETE 285

Po redu velicine je brzina izlaznih plinova iz rakete jednaka v0 = 4 · 103ms−1, strukturni faktorje ε = 0.8, a omjer mase kabine i mase spremnika i goriva je oko jedan posto. Uvrstavanjemovih brojeva u izraz za maksimalnu brzinu, dobije se

vmax ' 6.28 · 103ms−1.

Ova je brzina manja od prve kozmicke brzine (brzine kruzenja, 8 · 103ms−1), pa ovakva raketane bi imala dovoljnu brzinu potrebnu za orbitiranje oko Zemlje. Zato se konstruiraju dvos-tupanjske rakete. Ove se rakete sastoje od kabine i dva spremnika s gorivom. Nakon stose potrosi gorivo iz prvog spremnika, on se odbacuje, a zapocinje izgaranje goriva iz drugogspremnika. Oznacimo s

m01 = mg1(0) +ms1,

ukupnu masu goriva i stjenki prvog spremnika, a sa

m02 = mg2(0) +ms2,

ukupnu masu goriva i stjenki drugog spremnika. Ukupna masa rakete u trenutku lansiranja jem(0) = mk+m01+m02. Uvrstavanje u jednadzbu (10.36), uz zanemarivanje utjecaja gravitacijei otpora zraka, daje

v(t) = v0 lnmk +m01 +m02

mk +m01 +m02 − c 20 t.

U trenutku t = τ1, potroseno je svo gorivo iz prvog spremnika

mg1(τ1) = 0 = mg1(0)− c 20 τ1,

v(τ1) = v0 ln

(1 +

mg1(0)

mk +ms1 +m02

).

Uvede li se strukturni faktor prvog spremnika izrazom ε1 = mg1(0)/m01, gornji izraz za brzinupostaje

v(τ1) = −v0 ln

(1− ε1

m01

mk +m01 +m02

). (10.37)

Nakon odbacivanja prvog stupnja rakete, njezinu brzinu opet mozemo racunati pomocu (10.36),ali uz drukcije pocetne uvjete: sada je pocetna brzina v(τ1) (a ne nula), a pocetna masa jem(0) = mk +mg2(0) +ms2 (zato jer je prvi spremnik odbacen)

v(t) = v(τ1) + v0 lnmk +mg2(0) +ms2

mk +mg2(0) +ms2 − c 20 t, t > τ1.

Sada pocinje izgaranje goriva iz drugog spremnika. Nakon vremena t = τ2, izgorjet ce svogorivo i iz drugog spremnika

mg2(τ2) = 0 = mg2(0)− c 20 τ2.

v(τ2) = v(τ1) + v0 lnmk +mg2(0) +ms2

mk +ms2

,

v(τ2) = v(τ1) + v0 ln

(1 +

mg2(0)

mk +ms2

).


Tablica 10.1: Brzina dvostupanjske rakete, ovisno o omjeru masa prvog i drugog stupnja.

m01/mk m02/mk v(τ2) · 10−3 ms−1

95 5 9.9890 10 10.1985 15 10.0280 20 9.7670 30 9.1960 40 8.6450 50 8.15

Uvedimo strukturni faktor drugog spremnika izrazom ε2 = mg2(0)/m02. Uvrstavanjem u gornjiizraz za brzinu, daje

v(τ2) = v(τ1)− v0 ln

(1− ε2

m02

mk +m02

).

Brzinu u trenutku τ1 (nakon sto je potroseno gorivo prvog spremnika), daje izraz (10.37), pa jebrzina rakete u trenutku t = τ2, kada je potroseno gorivo iz oba spremnika, jednaka

v(τ2) = −v0 ln

(1− ε1

m01

mk +m01 +m02

)− v0 ln

(1− ε2

m02

mk +m02

).

(10.38)Da bismo dobili osjecaj o redu velicina brzine dvostupanjskle rakete, neka je ε1 = ε2 =

0.8, m01 = m02, m01 +m02 = 100 mk. Uvrstavanje ovih vrijednosti u (10.38), dobije se

v(τ2) = 8.15 · 103m

s,

sto je po redu velicine jednako prvoj kozmickoj brzini. Vece konacne brzine se mogu dobitivariranjem omjera masa prvog i drugog stupnja rakete. Tablica 10.1 pokazuje da je konacnabrzina najveca kada je masa prvog stupnja oko devet puta veca od mase drugog stupnja (uznepromjenjene vrijednosti ostalih parametara).

10.10 Sudari cestica

U ovom cemo poglavlju promatrati posebno jednostavan slucaj sustava cestica koji se sastoji

od samo dvije cestice, tj. N = 2. Od svih parova meducesticnih sila, ~f i,j, preostaje samo jedan

par: ~f 1,2. Ali i ova je sila sve vrijeme jednaka nuli osim u trenutku dodira (sudara) cestica.U tom trenutku djeluju ili jake odbojne sile, pa se cestice odbiju jedna od druge, ili djelujujake privlacne sile, pa se cestice spoje i nakon sudara se gibaju kao jedno tijelo. Od vanjskihsila, na cestice djeluje gravitacijska sila. Radi jednostavnosti, gibanje cemo postaviti na pravacili ravninu okomitu na smjer djelovanja gravitacijske sile, tako da ona nece utjecati na sudarcestica (naravno, samo ako zanemarimo trenje cestica s podlogom po kojoj se gibaju). Takodercemo zanemariti i trenje cestica s medijem u kojem se odvija gibanje. cestice cemo zamisljati

10.10. SUDARI CESTICA 287

kao savrsene glatke kugle koje imaju odredenu masu i odredenu elasticnost, a sve ostale njihoveosobine cemo zanemariti. Vrijeme trajanja sudara se sastoji od vremena kompresije, tijekomkojega dolazi do deformacije cestice-kugle, i vremena restitucije tijekom kojega cestica opetpoprima (u cjelosti ili samo djelomice) svoj nedeformirani oblik. Uslijed glatkosti kugli, sile setijekom sudara prenose duz linije koja spaja sredista kugli i prolazi linijom njihovog dodira.Sudari se mogu razvrstati u odnosu na smjer gibanja cestica na centralne i necentralnei u odnosu na bilancu mehanicke energije na elasticne i neelasticne .

Kod centralnih sudara, smjer gibanja cestica lezi na spojnici njihovih sredista i prije i poslijesudara. Sudari koji nisu centralni, jesu necentralni. I kod centralnih i kod necentralnih sudara,vazna je samo ona komponenta brzine koja izaziva sudar. Koordinatni sustav cemo postavititako da to bude x komponenta brzine (slika 10.11). Brzine cestica prije sudara cemo oznacitis ~v1 i ~v2, a poslije sudara s ~v ′1 i ~v ′2. Ako je v1 > v2, do sudara ce doci bez obzira na smjer ~v2

Slika 10.9: Uz Newtonovo pravilo za sudare: (A) prije sudara, (B) poslije sudara.

(slika 10.9). Nakon sudara mora biti v ′2 > v ′1, ako su cestice razdvojene nakon sudara (zato jerprva cestica ne moze prestici drugu), a v ′2 = v ′1, ako su se cestice nakon sudara slijepile jednaza drugu.U odnosu na bilancu energije, sudar se naziva elasticnim ako je ukupna kineticka energija istaprije kao i poslije sudara. Svi ostali sudari su neelasticni. Kod neeelasticnih sudara se dio (ilisva) kineticke energije radom pretvara u druge oblike energije: npr. da bi se kugla deformirala,potrebno je obaviti rad za savladavanje medumolekularnih sila koje vladaju medu molekulamatvari cime se dio kineticke energije pretvara u medumolekularnu potencijalnu energiju. Za opisi elasticnih i neelasticnih sudara korisiti se jedna relacija koja se temelji na iskustvu, a koja sezove Newtonovo pravilo za sudare. Ono se moze iskazati formulom

ε =|~v ′2 − ~v ′1||~v2 − ~v1| .

Velicina ε se zove koeficijent restitucije i ovisi o osobinama tvari od koje su izgradene cesticekoje sudjeluju u sudaru. Opcenito je 0 ≤ ε ≤ 1.Kao poseban slucaj sudara dvije cestice, moze se promatrati cestica koja nalijece na nepomicnizid (sa stanovista cestice-kugle, zid je kugla beskonacno velikog polumjera i beskonacno velike


mase), tada je ~v2 = ~v ′2 = 0 i ε = v ′1/v1 je omjer brzina cestice nakon i prije sudara.

Primjer: 10.7 Dvije kugle masa m1 i m2 objesene su kao na slici 10.10. Prva se kugla postavitako da u t = 0, zatvara kut α s okomicom i zatim pusti da pada bez pocetne brzinena drugu kuglu koja do tada miruje. Poslije sudara se druga kugla odbije do polozajaopisanog kutom β prema okomici. Odredite koeficijent restitucije.

R: Prema slici 10.10, u trenutku sudara brzine cestica imaju samo x kom-

Slika 10.10: Uz primjer odredivanja koeficijenta restitucije.

ponentu, pa Newtonovo pravilo za sudare glasi

ε =v ′2,x − v ′1,xv1,x − v2,x

=v ′2,x − v ′1,xv1,x − 0

,

jer druga cestica prije sudara miruje pa je v2,x = 0. Izracunajmo v ′1,x, v′2,x i v1,x preko

kutova α i β i masa m1 i m2.Bilanca mehanicke energije za brzinu prve kugle prije sudara, daje

1

2m1 v

21,x = m1 g h1 = m1 g l (1− cosα) ⇒ v1,x = 2 sin

α

2

√g l,

i slicno za brzinu druge kugle poslije sudara

v ′2,x = 2 sinβ

2

√g l.

Iz sacuvanja kolicine gibanja

m1 v1,x + m20 = m1 v′1,x + m2 v

′2,x,

dobivamo brzinu prve cestice poslije sudara

v ′1,x =m1 v1,x − m2 v

′2,x

m1

.


Pomocu ove tri brzine: v1,x, v′1,x i v ′2,x, dobivamo koeficijent restitucije

ε =m1 +m2

m1

sin(β/2)

sin(α/2)− 1.

10.10.1 Centralni sudar

Neka se prije sudara cestica mase m1 giba brzinom ~v1, a cestica mase m2 brzinom ~v2. Iz-racunajmo njihove brzine ~v ′1 i ~v ′2 nakon sudara (slika 10.9). Buduci da na cestice ne djelujuvanjske sile u smjeru gibanja (gravitacija djeluje u okomitom smjeru, pa zbog zanemarivanjatrenja ne utjece na gibanje), bit ce ukupna kolicina gibanja sustava konstantna (strana 266),tj. ista prije i poslije sudara:

m1 ~v1 +m2 ~v2 = m1 ~v′1 +m2 ~v

′2.

Za nalazenje dvije nepoznanice, ~v ′1 i ~v ′2, trebaju nam i dvije jednadzbe. Jednu vec imamo, toje gornja jednadzba sacuvanja ukupne kolicine gibanja sustava (iako je napisana u vektorskimsimbolima, ta jednadzba ima samo jednu - x - komponentu jer se gibanje sve vrijeme - i prijei poslije sudara - odvija po istom pravcu, tj. po osi x), a za drugu ne mozemo uzeti zakono sacuvanju mehanicke energije, jer zelimo opisivati i neelasticne sudare u kojima mehanickaenergija nije sacuvana. Kao druga jednadzba, posluzit ce nam Newtonovo pravilo za sudare(primjetimo da su preznaci brzina odabrani tako da je ε ≥ 0):

~v ′2 − ~v ′1 = ε (~v1 − ~v2).

Sada imamo dvije linearne algebarske jednadzbe iz kojih elementarnim putem dolazimo dobrzina cestica poslije sudara:

~v ′1 =(m1 − ε m2) ~v1 +m2 (1 + ε) ~v2

m1 +m2

, (10.39)

~v ′2 =m1 (1 + ε) ~v1 + (m2 − ε m1) ~v2

m1 +m2

.

Primjetimo da je brzina sredista mase prije sudara

~vSM =m1 ~v1 +m2 ~v2

m1 +m2

,

ista kao i brzina sredista mase poslije sudara

~v ′SM =m1 ~v

′1 +m2 ~v

′2

m1 +m2

=1

m1 +m2

[m1

(m1 − εm2)~v1 +m2(1 + ε)~v2

m1 +m2

+m2m1(1 + ε)~v1 + (m2 − εm1)~v2

m1 +m2

]

=1

(m1 +m2) 2[m1(m1 +m2)~v1 +m2(m1 +m2)~v2] =

m1 ~v1 +m2 ~v2

m1 +m2

= ~vSM .

Brzinu sredista mase mogu promijeniti samo vanjske sile (strana 266), a one su jednake nuli usmjeru gibanja cestica, pa je zato brzina sredista mase cijelog sustava konstantna.


Pogledajmo i koliko se promjenila kineticka energija sustava uslijed sudara. Prije sudara je

Ek =1

2m1 ~v

21 +

1

2m2 ~v

22 ,

a poslije sudara

E ′k =

1

2m1 ~v

′ 21 +

1

2m 2 ~v

′ 22 .

Promjenu kineticke energije cemo dobiti uvrstavanjem izraza (10.39) za ~v ′1 i ~v ′2 u razliku E ′k−Ek.

Nakon kraceg sredivanja, dobije se

∆Ek = E ′k − Ek = −1

2

m1 m2

m1 +m2

(~v1 − ~v2)2 (1− ε 2). (10.40)

Primjetimo da se ∆Ek moze preglednije napisati preko reducirane mase µ definirane kao 1/µ =1/m1 + 1/m2 i relativne brzine ~v = ~v1 − ~v2

∆Ek = −1

2µ ~v 2 (1− ε 2).

Promotrimo sada neke posebne slucajeve.Neka je ε = 0. Uvrstavanje u jednadzbe (10.39), daje

~v ′1 =m1~v1 +m2~v2

m1 +m2

, ~v ′2 =m1~v1 +m2~v2

m1 +m2

= ~v ′1 = ~vSM .

Zakljucujemo da su se cestice uslijed sudara slijepile i poslije se gibaju kao jedno tijelo brzinom~v ′1 = ~v ′2 = ~vSM , a smanjenje kineticke energije (10.40) je najvece. Ovakav se sudar nazivasavrseno neelastican.

Neka je sada ε = 1. Tada su brzine poslije sudara jednake

~v ′1 =(m1 −m2)~v1 + 2m2~v2

m1 +m2

, ~v ′2 =2m1~v1 + (m2 −m1)~v2

m1 +m2

.

Primjetimo da je sada, prema (10.40), kineticka energija nepromjenjena Ek = E ′k, pa se ovakav

sudar naziva elastican sudar.

10.10.2 Necentralni sudar

Promatrajmo sada dvije cestice-kugle, masa m1 i m2, koje se bez trenja gibaju u ravnini (x, y) iu njoj se necentralno sudaraju (slika 10.11). Zbog zanemarivanja trenja, gravitacijska sila neceutjecati na gibanje. Zadatak je izracunati brzine cestica poslije sudara, ako su nam poznatenjihove brzine prije sudara. Brzine prije i poslije sudara su zadane s dva broja: to mogu bitix i y komponente vektora brzine u pravokutnom koordinatnom sustavu ili iznos brzine i kutprema pozitivnoj x koordinati kao u polarnom koordinatnom sustavu:

m1 v1, ϕ1 v ′1, ϕ′1,

v1x, v1y v ′1x, v′1y,

m2 v2, ϕ2 v ′2, ϕ′2.

v2x, v2y v ′2x, v′2y,


Slika 10.11: Necentralni sudar.

Sada trazimo cetiri jednadzbe iz kojih cemo izracunati cetiri nepoznanice: po dvije komponentebrzine za svaku od dvije cestice. Primjetimo, najprije, da y komponente brzine ne sudjeluju usudaru (kada bi cestice imale samo brzinu u smjeru y, do sudara ne bi ni doslo), pa da zatomora biti

v ′1y = v1y = −v1 sin(π − ϕ1) = −v1 sinϕ1. (10.41)

v ′2y = v2y = −v2 sinϕ2.

To su prve dvije od trazene cetiri jednadzbe, one naprosto kazu da se y komponente brzina nemijenjaju. U ravnini (x, y) ne djeluju vanjske sile, pa zato mora vrijediti zakon o sacuvanjuukupne kolicine gibanja

m1 ~v1 +m2 ~v2 = m1 ~v′1 +m2 ~v

′2.

To je vektorska jednadzba koju mozemo rastaviti na x komponentu

m1 v1x +m2 v2x = m1 v′1x +m2 v

′2x, (10.42)

i y komponentum1 v1y +m2 v2y = m1 v

′1y +m2 v

′2y. (10.43)

No, jednadzba (10.43) nije nezavisna, nego je posljedica (10.41), tako da imamo sve skupatri nezavisne jednadzbe (dvije u (10.41) i jednu u (10.42)). cetvrtu jednadzbu cemo dobiti izNewtonovog pravila za sudare. Ponovo, u smjeru y nema sudara, a u smjeru x vrijedi

v ′1x − v ′2x = ε (v2x − v1x). (10.44)

Jednadzbe (10.42) i (10.44) predstavljaju 2× 2 linearni sustav za dvije nepoznanice: v ′1x i v ′2x.Rjesavanjem tog sustava se dobiva

v ′1x = v ′1 cosϕ′1 =−v1 cosϕ1 (m1 −m2 ε)− v2 cosϕ2 m2 (1 + ε)

m1 +m2

,

v ′2x = v ′2 cosϕ′2 =−v1 cosϕ1 m1(1 + ε)− v2 cosϕ2 (m2 −m1 ε)

m1 +m2

.


Buduci da y komponente brzina ostaju nepromjenjene, znamo i x i y komponente brzina poslijesudara

~v ′1 = x−v1 cosϕ1 (m1 −m2 ε)− v2 cosϕ2 m2(1 + ε)

m1 +m2

− y v1 sinϕ1,

= xv1x (m1 −m2 ε) + v2x m2(1 + ε)

m1 +m2

+ y v1y,

~v ′2 = x−v1 cosϕ1 m1 (1 + ε)− v2 cosϕ2 (m2 −m1 ε)

m1 +m2

− y v2 sinϕ2.

= xv1x m1 (1 + ε) + v2x (m2 −m1 ε)

m1 +m2

+ y v2y.

Gornje relacije sadrze u sebi poseban slucaj centralnog sudara koji se dobije kada je ϕ1 = π, aϕ2 = 0 ili π. U tom slucaju gornje relacije prelaze u

~v ′1 = xv1 (m1 −m2 ε)± v2 m2 (1 + ε)

m1 +m2

− y · 0,

~v ′2 = xv1 m1 (1 + ε)± v2 (m2 −m1 ε)

m1 +m2

− y · 0.

koje smo vec na strani 289 dobili za centralni sudar (predznak + se odnosi na kut ϕ2 = π, a −na ϕ2 = 0).

Poglavlje 11

Mali titraji sustava cestica

Za razliku od prethodnog odjeljka gdje smo promatrali sustav od samo dvije cestice kojemedudjeluju samo u trenutku izravnog medusobnog dodira, sada cemo promatrati nesto slozenijisustav. Slozeniji utoliko sto je sada broj cestica proizvoljno velik, a i medudjelovanja cestica

su slozenija. Zamislit cemo da su meducesticne sile ~f i,j jednostavne elasticne sile srazmjerneudaljenosti pojedine cestice od ravnoteznog polozaja (silu ovog tipa smo vec upoznali u odjeljku6). Konkretno, zamislit cemo da se sustav sastoji od malih kuglica koje su medusobno pove-zane isto tako malim oprugama. Sve su cestice iste mase i sve su opruge iste cvrstoce. Oprugepovezuju samo prve susjede (kratki doseg medudjelovanja), kao na slici 11.1.Promatrat cemo situaciju u kojoj neka vanjska sile u jednom (pocetnom) trenutku otkloni izpolozaja ravnoteze nekoliko ili sve cestice sustava, nakon cega se sustav dalje giba u skladu sjednadzbama gibanja. Uslijed elasticnog karaktera meducesticnih sila, rezultat ovakvog gibanjace biti titranje. Ogranicit cemo se na proucavanje gibanja jedno- i dvodimenzijskih sustava.na pravcu ili u ravnini okomitoj na smjer gravitacijskog polja. Ucinci prigusenja (trenja) ce se,radi jednostavnosti, zanemarivati.Titranje koje se odvija u smjeru u kojem su postavljene opruge medu cesticama, nazivat cemolongitudinalnim (uzduznim), a ono koje se odvija u okomitom smjeru cemo zvati tran-sverzalnim (poprecnim).

11.1 Mali longitudinalni titraji jednodimenzijskog diskretnog susta-va cestica

U odjeljku 6 smo vidjeli da jedna cestica koja se giba samo pod djelovanjem elasticne sile(harmonijski oscilator), harmonijski titra oko svog polozaja ravnoteze. Sila je po iznosu jednakaK ∆ x (gdje je ∆ x otklon od polozaja ravnoteze), a smjer je prema polozaja ravnoteze. To se

titranje odvija kruznom frekvencijom ω0 =√K/m za harmonijski oscilator ili ω0 =

√g/l za

matematicko njihalo.U ovom odjeljku cemo prouciti gibanje sustava od N cestica iste mase m, povezanih oprugamaiste konstante K (slika 11.1), tj. promatrat cemo sustav sastavljen od N jednakih i medusobnopovezanih harmonijskih oscilatora. Za razliku od titranja jednog izoliranog harmonijskogoscilatora, gdje smo dobili samo jednu mogucu frekvenciju titranja ω0, sada ocekujemoda ce sustav moci titrati s vise razlicitih frekvencija. Pokazat ce se, relacija (11.7), da postojiupravo N razlicitih frekvencija. Nas glavni zadatak u ovom odjeljku jeste izracunati te frek-vencije i naci otklone cestica u slucaju titranja nekom odredenom frekvencijom. U racunucemo zanemariti utjecaj gravitacije i trenja (prigusenja) bilo kojeg podrijetla (sa cesticama

293

294 POGLAVLJE 11. MALI TITRAJI SUSTAVA CESTICA

Slika 11.1: Sustav od N vezanih jednakih harmonijskih oscilatora.

medija u kojemu se odvija titranje, s podlogom i slicno).

Koordinatni sustav cemo postaviti tako da sustav lezi u smjeru osi x, ravnotezni polozaj j-tecestice cemo oznaciti s x0,j, a njezin polozaj u proizvoljnom trenutku cemo oznaciti s xj(t).Napisimo jednadzbe gibanja za svih N cestica sustava: umnozak mase i ubrzanja svake cesticejednak je zbroju svih sila koje na nju djeluju. Na svaku cesticu djeluje sila koja potjece oddvije opruge, a koja ovisi o otklonima od ravnoteze cestica na krajevima opruge (rubove lijevood prve i desno od N -te cestice, smatramo nepomicnim):

x m x1 = −xK[(x1 − x0,1)− 0 ] + xK[(x2 − x0,2)− (x1 − x0,1)],

x m x2 = −xK[(x2 − x0,2)− (x1 − x0,1)] + xK[(x3 − x0,3)− (x2 − x0,2)],

x m x3 = −xK[(x3 − x0,3)− (x2 − x0,2)] + xK[(x4 − x0,4)− (x3 − x0,3)],...

x m xN−1 = −xK[(xN−1 − x0,N−1)− (xN−2 − x0,N−2)] + xK[(xN − x0,N)− (xN−1 − x0,N−1)],

x m xN = −xK[(xN − x0,N)− (xN−1 − x0,N−1)] + xK[ 0 − (xN − x0,N)].

Buduci da se gibanje odvija samo u smjeru x , nadalje cemo izostavljati tu oznaku. Umjestosamog polozaja cestice, xj(t), uvedimo oznake ψ(j, t), koje opisuju otklon j-te cestice odravnoteznog polozaja u trenutku t

ψ(j, t) ≡ xj(t)− x0,j ,

/d2

d t2

ψ(j, t) = xj.

Primjetimo da u gornjoj oznaci ψ(j, t), varijabla j opisuje prostornu koordinatu, a t vremensku.

11.1. MALI LONGITUDINALNI TITRAJI JEDNODIMENZIJSKOG DISKRETNOG SUSTAVA CESTICA 295

Sada jednadzbe gibanja mozemo napisati puno preglednije

ψ(1, t) = 0 − 2K

mψ(1, t) +

K

mψ(2, t),

ψ(2, t) =K

mψ(1, t) − 2K

mψ(2, t) +

K

mψ(3, t), (11.1)

...

ψ(N − 1, t) =K

mψ(N − 2, t)− 2K

mψ(N − 1, t) +

K

mψ(N, t),

ψ(N, t) =K

mψ(N − 1, t)− 2K

mψ(N, t) + 0 .

Uocimo da su gornje jednadzbe oblika valne jednadzbe. Opci oblik gornjih jednadzba je

ψ(j, t) =K

m

[ψ(j − 1, t)− 2ψ(j, t) + ψ(j + 1, t)

],

uz rubne uvjete ψ(−1, t) = ψ(N + 1, t) ≡ 0. Argument j je diskretna prostorna koordinata iopisuje polozaj j-te cestice. U tom smislu se i razlika ψ(j + 1, t)− ψ(j, t) i ψ(j, t)− ψ(j − 1, t)mogu shvatiti kao diskretne derivacije

ψ(j + 1, t)− ψ(j, t) =ψ(j + 1, t)− ψ(j, t)

(j + 1)− j=

d

d jψ(j + 1/2, t),

ψ(j, t)− ψ(j − 1, t) =ψ(j, t)− ψ(j − 1, t)

j − (j − 1)=

d

d jψ(j − 1/2, t).

Time polazna jednadzba postaje

ψ(j, t) =K

m

[d

d jψ(j + 1/2, t)− d

d jψ(j − 1/2, t)

]=K

m

d

d jψ(j + 1

2, t)− d

d jψ(j − 1

2, t)

(j + 12)− (j − 1

2)

=K

m

d2

d j2ψ(j, t),

tj. dobiva se jednadzba oblika valne jednadzbe

∂2 ψ(j, t)

∂ t2=K

m

∂2 ψ(j, t)

∂ j2, (11.2)

s brzinom sirenja vala jednakom√K/m.

Kao i kod rjesavanja harmonijskog oscilatora u odjeljku 6, pretpostavimo1 rjesenje sustava(11.1) u obliku linearne kombinacije trigonometrijskih funkcija

ψ(j, t) = aj cos(ωt) + bj sin(ωt), (11.3)

gdje je j prostorna, a t vremenska varijabla. Lako je vidjeti da je ψ(j, t) = −ω2ψ(j, t), sto

1Ovaj oblik rjesenja je upravo oblik ψ(j, t) = X(j) · T (t) (vidjeti npr. [12], odjeljak o parcijalnim diferencijalnim jednadzbama).I konacno rjesenje (11.9) je oblika umnoska funkcije ovisne o j i funkcije ovisne o t.


uvrsteno u jednadzbe gibanja daje

−ω2 ψ(1, t) = 0 − 2K

mψ(1, t) +

K

mψ(2, t),

−ω2 ψ(2, t) =K

mψ(1, t) − 2K

mψ(2, t) +

K

mψ(3, t),

−ω2 ψ(3, t) =K

mψ(2, t) − 2K

mψ(3, t) +

K

mψ(4, t),

...

−ω2 ψ(N − 1, t) =K

mψ(N − 2, t)− 2K

mψ(N − 1, t) +

K

mψ(N, t),

−ω2 ψ(N, t) =K

mψ(N − 1, t)− 2K

mψ(N, t) + 0 .

Gornji ce sustav postati malo pregledniji, pomnozimo li ga s −m/K

−0 + 2 ψ(1, t) − ψ(2, t), =m ω2

Kψ(1, t),

−ψ(1, t) + 2 ψ(2, t) − ψ(3, t) =m ω2

Kψ(2, t),

−ψ(2, t) + 2 ψ(3, t) − ψ(4, t) =m ω2

Kψ(3, t),

... (11.4)

−ψ(N − 2, t) + 2 ψ(N − 1, t)− ψ(N, t) =m ω2

Kψ(N − 1, t),

−ψ(N − 1, t) + 2 ψ(N, t) − 0 =m ω2

Kψ(N, t).

Nepoznanice su nam frekvencije kojima titraju cestice (sve titraju istom frekvencijom) i nepoz-nate su nam amplitude titranja

ω = ?, ψj = ?

Uvedemo li realnu simetricnu tridijagonalnu matricu medudjelovanja A i vektor polozajasvih N cestica ~Ψ

A =

2 −1 0 0 · · · 0−1 2 −1 0 · · · 00 −1 2 −1 · · · 0...

......

......

...0 · · · 0 −1 2 −10 · · · 0 0 −1 2

, ~Ψ =

ψ(1, t)ψ(2, t)

...ψ(N − 1, t)ψ(N, t)

,

gornji sustav jednadzba prepoznajemo kao problem nalazenja svojstvenih vrijednosti i svojstve-nih vektora realne simetricne kvadratne matrice A

A ~Ψ =m ω2

K~Ψ ⇒

(A− m ω2

K1

)~Ψ = 0,

(1 je jedinicna matrica N -tog reda) koji je citatelju poznat iz linearne algebre. Podsjetimo se,

ukratko, formulacije tog problema. Za zadanu matricu A treba naci vektor ~V sa svojstvom


da rezultat djelovanja matrice na vektor, bude taj isti vektor ~V pomnozen nekim skalarom λ,tj. da vrijedi A ~V = λ ~V . U ovom problemu su nepoznanice vektor ~V i skalar λ. Vektor~V se naziva svojstveni ili vlastiti vektor matrice A, a skalar λ se zove svojstvena ili vlastitavrijednost. Svojstvene vrijednosti se odreduju kao rjesenja jednadzbe Det [A − λ 1] = 0,gdje je s 1 oznacena jedinicna N × N matrica. To je algebarska jednadzba N -tog reda kojaje zadovoljena za N , opcenito kompleksnih, vrijednosti λn. Kada jednom izracunamo sve λn,mozemo izracunati i njima pridruzene svojstvene vektore: uzmemo neki odredeni λn i uvrstimoga u jednadzbu A ~V n = λn ~V n. To je sadaN×N linearni sustav zaN komponenta vektora ~V n,koji rijesimo i dobijemo svojstveni vektor ~V n pridruzen svojstvenoj vrijednosti λn. Matrica A jerealna i simetricna matrica N -tog reda, a za takve se matrice pokazuje da imaju sve svojstvenevrijednosti realne i da su njihovi svojstveni vektori ~V n medusobno okomiti, tj. da cine bazuN -dimenzijskog prostora. To znaci da se svaki proizvoljni vektor u tom prostoru moze napisatikao linearna kombinacija tih baznih vektora ~V =

∑n cn ~V n (gdje su cn konstante).

U nasem primjeru, fizicki sadrzaj svojstvenih vrijednosti jesu frekvencije titranja sustava veza-nih harmonijskih oscilatora λn ≡ mω2

n/K, a svojstveni vektori predstavljaju pomake oscilatora

u odnosu na njihove ravnotezne polozaje ~V n ≡ ~Ψ n.

Izracunajmo najprije svojstvene frekvencije. Nazovimo M = A− (m ω2/K) 1

M =

c0 −1 0 0 · · · 0−1 c0 −1 0 · · · 00 −1 c0 −1 · · · 0...

......

......

...0 · · · 0 −1 c0 -10 · · · 0 0 −1 c0

,

gdje smo uveli pokratu c0 ≡ (2−mω2/K). Zadatak je rijesiti jednadzbu

DetM = 0.

Izracunajmo determinantu razvojem po prvom redu (ili stupcu), pri cemu cemo eksplicite voditievidenciju o dimenziji matrice ciju determinantu racunamo

Det MN = c0

c0 −1 0 ·−1 c0 −1 ·...

......

...· −1 c0 -1· 0 −1 c0

− (−1)

−1 −1 0 0 ·0 c0 −1 0 ·0 −1 c0 −1 ·...

......

......

· 0 −1 c0 -1· 0 0 −1 c0

.

Prvu determinantu na desnoj strani prepoznajemo kao Det MN−1, a drugu determinantu ra-zvijemo po prvom stupcu

Det MN = c0 Det MN−1 + 1 · (−1)

c0 −1 0 0 ·−1 c0 −1 0 ·0 −1 c0 −1 ·...

......

......

· 0 −1 c0 -1· 0 0 −1 c0

.


Gornju determinantu prepoznajemo kao Det MN−2, pa smo tako dosli do rekurzijske relacije

Det MN = c0 Det MN−1 − Det MN−2. (11.5)

Determinante za N = 1 i N = 2 je trivijalno izracunati

Det MN=1 = c0 Det MN=2 =c0 -1−1 c0

= c20 − 1.

Gornje determinante uvrstene u rekurziju (11.5) za N = 2, daju Det MN=0 = 1. Pretpostavi-mo, nadalje, da se Det MN moze napisati u obliku potencije

Det MN = pN ,

za p koji treba odrediti iz rekurzije (11.5):

pN = c0pN−1 − pN−2,

0 = pN−2(p2 − c0p+ 1),

p± =1

2

(c0 ±

√c20 − 4

).

Nazovimo c0 = 2 cosα. U tom slucaju je p± = exp(± i α). Dobila su se dva rjesenja za p, paje ukupno rjesenje linearna kombinacija oba ova rjesenja

Det MN = a e+iNα + b e−iNα = A cos(Nα) +B sin(Nα).

Koeficijenti A i B se odreduju iz poznavanja Det MN=0 = 1 i Det MN=1 = c0 = 2 cosα

N = 0 ⇒ A · 1 +B · 0 = 1, ⇒ A = 1

N = 1 ⇒ 1 · cosα+B sinα = 2 cosα, ⇒ B =cosα

sinα.

Sada se moze napisati i opce rjesenje sustava od N cestica koje titraju

Det MN = cos(Nα) +cosα

sinαsin(Nα) =

sinα cos(Nα) + cosα sin(Nα)

sinα=

sin(N + 1)α

sinα,

pri cemu je cosα = 1 − mω2/(2K). Prisjetimo se da je uvjet za postojanje rjesenja ψj 6= 0bio Det MN = 0. Prema gornjoj relaciji taj je uvjet zadovoljen za N razlicitih diskretnihvrijednosti kuta α

(N + 1)α = nπ, n = 1, 2, · · · , N, (11.6)

α = αn = nπ

N + 1.

Buduci da su frekvencije titranja sustava cestica povezane s kutom α relacijom cosα = 1 −mω2/(2K), to svakom kutu αn odgovara jedna frekvencija titranja sustava

ωn =

√2K

m(1− cosαn) = 2

√K

msin

nπ

2(N + 1), n = 1, 2, · · · , N. (11.7)

Ove se frekvencije nazivaju svojstvene frekvencije sustava. U nastavku cemo pokazati,relacijom (11.23), da je svako titranje sustava (koje ovisi o pocetnim uvjetima) moguce napisatiu obliku linearne kombinacije titranja svojstvenim frekvencijama. Izolirani harmonijski oscila-tor titra samo jednom frekvencijom

√K/m, dok sustav od N vezanih harmonijskih oscilatora,


Slika 11.2: (A) N razlicitih mogucih frekvencija titranja sustava vezanih harmonijskih oscilatora. (B) Posebnislucaj N = 1

moze titrati s N gornjih frekvencija (slika 11.2.A). Ogranicimo li se na N = 1 (slika 11.2.B),

preostaje samo jedna frekvencija ω1 =√

2K/m, a to je ista frekvencija kao i ω0 =√K/m iz

poglavlja 6, samo sto sada imamo dvije opruge, pa K → 2K.

Sada, kada smo nasli frekvencije, tj. svojstvene vrijednosti matrice medudjelovanja, mozemoprijeci na racun amplituda titranja pojedinog harmonijskog oscilatora, tj. na racun svojstve-nih vektora. Kao sto smo spomenuli na strani 296, komponente svojsvenog vektora pridruzenogdanoj svojstvenoj vrijednosti racunamo tako da svojstvenu vrijednost ωn uvrstimo u jednadzbuA ~Ψ n = (mω2

n/K) ~Ψ n. Ova vektorska jednadzba predstavlja sustav od N skalarnih jednadzba

za N komponenata vektora ~Ψ n, koje cemo oznaciti s ψn(j, t) za j = 1, 2, · · · , N . Dakle, zasvaku od N svojstvenih frekvencija ωn, treba rjesiti N ×N sustav

−ψn(j − 1, t) +

(2− m ω2

n

K

)ψn(j, t)− ψn(j + 1, t) = 0, j = 1, 2, · · · , N, (11.8)

uz rubne uvjete ψn(j = 0, t) ≡ 0 i ψn(j = N + 1, t) ≡ 0. Buduci da se radi o titranju, vecsmo, relacijom (11.3), pretpostavili oblik rjesenja za pomake. Sada u to rjesenje treba unijetispoznaju da sustav moze titrati s vise razlicitih frekvencija, tj. da svakoj frekvenciji trebapridruziti drukciji pomak

ψn(j, t) = an(j) cos(ωnt) + bn(j) sin(ωnt),

Indeks j odreduje prostorni polozaj harmonijskog oscilatora, a index n odreduje frekvencijutitranja. Uvrstenje gornjeg izraza u sustav jednadzba (11.8), daje

cos(ωnt)

[−an(j − 1) + 2 cos

nπ

N + 1an(j)− an(j + 1)

]

+ sin(ωnt)

[−bn(j − 1) + 2 cos

nπ

N + 1bn(j)− bn(j + 1)

]= 0


za sve j = 1, 2, · · · , N i n = 1, 2, · · · , N uz rubne uvjete an(j = 0) = an(j = N + 1) = bn(j =0) = bn(j = N + 1) = 0. Zbog linearne nezavisnosti sinusa i kosinusa, gornji izraz je nula samoako je svaka od gornjih uglatih zagrada jednaka nuli

an(j − 1)− 2 cosnπ

N + 1an(j) + an(j + 1) = 0,

bn(j − 1)− 2 cosnπ

N + 1bn(j) + bn(j + 1) = 0.

Jednadzbe su istog oblika, pa je dovoljno rijesiti samo jednu, npr. onu za a. Pretpostavimoopet rjesenje u obliku potencije an(j) = rjn (sada j oznacava potenciju, a ne indeks)

0 = rj−1n − 2 cos

nπ

N + 1rjn + rj+1

n ,

0 = rj−1n

(1− 2 cos

nπ

N + 1rn + r2

n

),

rn ± =1

2

(2 cos

nπ

N + 1±

√4 cos2

nπ

N + 1− 4

)= cos

nπ

N + 1± i sin

nπ

N + 1= e±i nπ/(N+1).

Dobivena su dva rjesenja, pa je i svaka njihova linerna kombinacija takoder rjesenje

an(j) = rjn = c+,ne+i nπ

N+1j + c−,ne

−i nπN+1

j = a+,n cos

(nπ

N + 1j

)+ a−,n sin

(nπ

N + 1j

).

Na rubovima sustava vrijedi

an(j = 0, t) = 0 = a+,n · 1 + a−,n · 0 ⇒ a+,n = 0,

an(j = N + 1, t) = 0 = a−,n sinnπ ⇒ a−,n 6= 0.

Buduci da je samo a−,n 6= 0, oznaku minus mozemo izostaviti i napisati

an(j) = an sinnjπ

N + 1.

Slicnim postupkom se za amplitudu b dobiva

bn(j) = bn sinnjπ

N + 1.

za konstantni bn. Ukupno rjesenje za ψn(j, t) je

ψn(j, t) = an sinnjπ

N + 1cos(ωnt) + bn sin

njπ

N + 1sin(ωnt).

To su komponente svojstvenog vektora ~Ψ n matrice A pridruzene svojstvenoj vrijednostim ω2n/K,

tj. svojstvenoj frekvenciji ωn. Ovi vektori cine bazu N -dimenzijskog prostora titranja sustavaN vezanih harmonijskih oscilatora. Dakle, u tom prostoru vektori ~Ψ n znace isto sto i vektorix , y i z u nasem svakodnevnom realnom trodimenzijskom prostoru. I kao sto se svaki pro-izvoljni vektor obicnog trodimenzijskog prostora moze napisati kao linearna kobinacija baznihvektora x , y i z , tako se i svaki pomak (titranje) sustava vezanih harmonijskih oscilatora mozeprikazati kao linearna kombinacija ovih svojstvenih pomaka

~Ψ =N∑n=1

~Ψ n,


ili po komponentama

ψ(j, t) =N∑n=1

ψn(j, t) =N∑n=1

sinnjπ

N + 1

[an cos(ωnt) + bn sin(ωnt)

]. (11.9)

U gornjem izrazu je ωn = 2√K/m sin[nπ/(2(N+1))], a 2N konstanata an i bn se odreduju iz

2N pocetnih (u t = 0) vrijednosti polozaja, ψ(j, t = 0), i brzina, ψ(j, t = 0) svih N harmonijskihoscilatora.

11.1.1 Granica kontinuuma

Promatrajmo sada gornji skup harmonijskih oscilatora u granici kada njihov broj N neogra-niceno raste, ali se istovremeno udaljenost medu njima a0 neograniceno smanjuje, tako daudaljenost izmedu prvog i posljednjeg od njih N ·a0 = L ostaje konstantna. S M cemo oznacitiukupnu masu sustava M = Nm. Neka se harmonijski oscilatori nalaze rasporedeni duz osix. Sada otklon od ravnoteznog polozaja vise necemo oznacavati s ψ(j) nego s ψ(x), gdje jex = j · a0. Najmanji razmak medu harmonijskim oscilatorima je ∆ x = 1 · a0. Jednadzbagibanja diskretnog sustava (11.2)

∂2 ψ(j, t)

∂ t2=K

m

∂2 ψ(j, t)

∂ j2,

s rubnim uvjetima ψ(j = 0, t) = ψ(j = N + 1, t) = 0, prelazi sada u jednadzbu (imajmo svevrijeme na umu da je ∆ x = a0 → 0)

∂2 ψ(j, t)

∂ t2= a2

0

K

m

∂2 ψ(x, t)

∂ x2,

tj.

∂2ψ

∂t2= v2∂

2ψ

∂x2. (11.10)

To je parcijalna diferncijalna jednadzba drugog reda koja se zove jednodimenzijska valnajednadzba longitudinalnog vala. Velicina v = a0

√K/m je brzina sirenja vala. O njezinom

opcenitom rjesavanju cemo vise govoriti u slijedecem odjeljku. Zamjenom j = x/a0 i L = a0N ,opce rjesenje ove jednadzbe smo dobili u obliku (11.9), prelazi u

ψ(x, t) =N∑n=1

sinnπx

L

[an cos(ωnt) + bn sin(ωnt)

],

a frekvencije titraja su

ωn =

√2KN

Msin

αn2,

gdje kut αn, u skladu s (11.6), poprima N diskretnih vrijednosti izmedu 0 i π.


11.2 Mali transverzalni titraji kontinuiranog jednodimenzijskog sus-tava cestica

Promotrimo sada sustave kod kojih je broj cestica po jedinici duljine (u jednoj dimenziji ilipo jedinici povrsine za dvodimenzijske sustave) toliko velik da mozemo govoriti o (priblizno)kontinuiranoj raspodjeli mase unutar sustava.Opisat cemo male transverzalne titraje jednog takvog sustava, npr. napete niti glazbenoginstrumenta (violina, klavir - jednodimenzijski sustav). ili membrane bubnja (dvodimenzijskisustav).

11.2.1 Titranje napete niti

Promatrajmo napetu elasticnu nit, polozenu duz osi x i ucvrscenu u tockama x = 0 i x = L(slika 11.3.A). Neka je linijska masena gustoca niti konstantna i jednaka λ0. Neka nit miruje u

Slika 11.3: (A) Napeta nit. (B) Mali titraji napete niti.

polozaju ravnoteze sve do trenutka t = 0. U t = 0, vanjska sila trenutno izbaci nit iz polozajaravnoteze (kasnije sila vise ne djeluje). Nit ce (ako zanemarimo trenje) nastaviti titrati oko svogravnoteznog polozaja (slika 11.3.B). Transverzalni (okomiti) otklon od polozaja ravnotezeu tocki x u trenutku t, cemo oznaciti s ψ(x, t). Osim transverzalnih, pojedini elementi nitice izvoditi i longitudinalne (uzduzne) pomake, koji su po svom iznosu puno manji od iznosatransverzalnih pomaka i zato cemo ih zanemarivati. Uocimo jedan element niti duljine ds i masedm = λ0 ds i promatrajmo sile napetosti kojima susjedni elementi niti djeluju na promatranielement (slika 11.4). Na element djeluje i gravitacijska sila, koju cemo sada radi jednostavnosti,zanemariti (pretpostavljamo da je ona po iznosu puno manja od sila koje uzimamo u racun).U oznakama sa slike 11.4, sile napetosti na rubovima promatranog elementa su iznosa Fnap(x)i Fnap(x+ dx). Ukupna sila u vodoravnom, tj. x smjeru je

Fx = Fnap(x+ dx) cosα(x+ dx)− Fnap(x) cosα(x) = 0.

To je sila koja zeli pomaknuti promatrani element u vodoravnom smjeru. Buduci da zanema-rujemo pomake elementa u vodoravnom smjeru, gornji smo izraz izjednacili s nulom. No, za

11.2. MALI TRANSVERZALNI TITRAJI KONTINUIRANOG JEDNODIMENZIJSKOG SUSTAVA CESTICA 303

Slika 11.4: Sile na element napete niti duljine d s.

male pomake dx je

cosα(x+ dx) = cosα(x) +O[(dx)2],

pa iz gornje jednadzbe zakljucujemo (s istom tocnoscu od O[(dx)2]) da je

Fnap(x+ dx) = Fnap(x) = Fnap = const., (11.11)

tj. da je napetost priblizno konstantna unutar intervala dx.Ukupna sila u okomitom smjeru je

Fy = Fnap(x+ dx) sinα(x+ dx)− Fnap(x) sinα(x). (11.12)

To je sila koja izaziva okomite pomake niti, pa Newtonova jednadzba gibanja u okomitomsmjeru glasi

λ0 ds∂2ψ

∂t2= Fnap(x+ dx) sinα(x+ dx)− Fnap(x) sinα(x),

/· 1

dx

λ0ds

dx

∂2ψ

∂t2=

Fnap(x+ dx) sinα(x+ dx)− Fnap(x) sinα(x)

dx.

U granici kada dx→ 0, desna strana gornje jednadzbe prelazi u derivaciju po x od Fnap(x) sinα(x),dok je na lijevoj strani

ds

dx=

√dx2 + dψ2

dx=

√1 +

(dψ

dx

)2

→√

1 +

(∂ψ

∂x

)2

.

Sve zajedno, uvrsteno u jednadzbu gibanja, daje

λ0

√1 +

(∂ψ

∂x

)2∂2ψ

∂t2=

∂

∂ x(Fnap sinα) = Fnap

∂

∂ xsinα, (11.13)


jer je, prema (11.11), Fnap priblizno neovisno o x unutar intervala dx. Povezimo derivacije pox na lijevoj i desnoj strani gornje jednadzbe: sa slike 11.4 je tanα = ∂ψ/∂x. Izrazimo li sinαiz gornje relacije, preko tangensa, slijedi

sinα =tanα√

1 + tan2 α=∂ψ

∂x

[1 +

(∂ψ

∂x

)2]−1/2

. (11.14)

Uvrstavanjem ovih izraza u jednadzbu gibanja, dobiva se

λ0

√1 +

(∂ψ

∂x

)2∂2ψ

∂t2= Fnap

∂

∂ x

∂ψ

∂x

[1 +

(∂ψ

∂x

)2]−1/2

.

Buduci da je kvadrat male velicine jos puno manji od same male velicine, za titraje u okomitomsmjeru vrijedi

(∂ψ

∂x

)2

<<∂ψ

∂x.

Zanemarivanjem navedenih kvadratnih clanova u jednadzbi gibanja, dolazimo do jednadzbe

∂2ψ

∂t2= v2

f

∂2ψ

∂x2. (11.15)

To je linearna parcijalna diferncijalna jednadzba drugog reda koja se zove jednodimenzijskavalna jednadzba. Linearna je zato jer se nepoznata funkcija ψ pojavljuje linearno, a parci-jalna je zato jer se pojavljuju derivacije i po x i po t. Velicina vf =

√Fnap/λ0 koja se pojavljuje

u gornjoj jednadzbi ima dimenziju brzine i naziva se fazna brzina. Rjesenja ove jednadzbe suu cjelosti odredena rubnim (u prostoru) i pocetnim (u vremenu) uvjetima.

Rubni uvjeti:Rubni uvjeti definiraju otklon (elongaciju) niti u krajnjim tockama niti. Na ucvrscenom krajunema pomaka, ψ = 0, a na slobodnom kraju je pomak maksimalan (ekstreman), pa je zatotamo ψ ′ = 0. Ako su oba ruba niti nepomicni, tada je u svakom trenutku t

ψ(x = 0, t) = 0, ψ(x = L, t) = 0.

Ako je nit nepomicna na svojem lijevom rubu, a slobodna na desnom:

ψ(x = 0, t) = 0,∂ ψ(x, t)

∂ x

∣∣∣∣x=L

= 0.

Ako je nit slobodna na lijevom rubu, a nepomicna na desnom:

∂ ψ(x, t)

∂ x

∣∣∣∣x=0

= 0, ψ(x = L, t) = 0.

I posljednja je mogucnost da je nit slobodna na oba ruba:

∂ ψ(x, t)

∂ x

∣∣∣∣x=0

= 0,∂ ψ(x, t)

∂ x

∣∣∣∣x=L

= 0.


Pocetni uvjeti:Pocetni uvjeti definiraju stanje titranja (to znaci polozaj i brzinu svake tocke niti) u nekomodredenom trenutku (kojemu se najcesce pridruzuje vrijednost t = t0 ili t = 0)

ψ(x, t = 0) = f0(x),∂ψ(x, t)

∂t

∣∣∣∣t=0

= g0(x). (11.16)

Funkcija f0(x) oznacava polozaja, a funkcija g0(x) brzinu svake tocke niti, x ∈ [0, L], u trenutkut = 0. Za usporedbu, kod opisa gibanja jedne cestice, pocetni uvjeti su pocetni polozaj cestice~r0 (to je sada pocetni polozaj svih cestica niti, f0(x)) i pocetna brzina cestice ~v0(x) (to je sadapocetna brzina svih cestica niti, g0(x)).

11.2.2 Nit s oba nepomicna ruba: stojni val

Pretpostavimo da se rjesenje valne jednadzbe ψ(x, t) moze napisati u obliku umnoska2 dvi-je funkcije: jedne, koja ovisi samo o prostornoj koordinati X (x) i druge, koja ovisi samo ovremenskoj koordinati T (t) (to je oblik rjesenja koji potjece od D. Bernoullija3)

ψ(x, t) = X (x) · T (t)

i uvrstimo to u valnu jednadzbu

X d2Tdt2

= v 2f T

d2Xdx2

,

/1

v 2fXT

1

v 2f T

d2Tdt2

=1

Xd2Xdx2

.

Osnovno i najvaznije je primjetiti da lijeva strana ovisi samo o vremenskoj, a desna samoo prostornoj koordinati. Zato je, sa stanovista funkcije T (t), desna strana gornje jednadzbekonstantna. Isto je tako, sa stanovista funkcije X (x), lijeva strana gornje jednadzbe konstantna.Nazovimo tu konstantu −k2 6= 0. Tako dolazimo do dvije jednadzbe

d2Xdx2

= −k2X , d2Tdt2

= −k2v 2f T .

S diferencijalnim jednadzbama ovog tipa smo se vec susretali kod rjesavanja jednadzbe gibanjaharmonijskog oscilatora u odjeljku 6: to su ocito linearne kombinacije trigonometrijskih funkcija

X (x) = a1 cos kx+ b1 sin kx,

T (t) = a2 cos kvf t+ b2 sin kvf t,

ψ(x, t) = (a1 cos kx+ b1 sin kx)(a2 cos kvf t+ b2 sin kvf t),

za konstantne aj i bj. Prema nacinu kako smo uveli konstantu k, vidi se da ona ima dimenzijuinverzne duljine i zvat cemo ju valni broj (a u dvije i tri dimenzije, to ce biti valni vektor).Cetiri nepoznate konstante u gornjem rjesenju cemo odrediti pomocu dva rubna i dva pocetnauvjeta.

2Usporediti s poglavljem o parcijalnim diferencijalnim jednadzbama u [12]3Daniel Bernoulli, 1700. - 1782., nizozemski fizicar.


Rubni uvjeti:

x = 0 ⇒ ψ(0, t) = 0 = a1(a2 cos kvf t+ b2 sin kvf t) ⇒ a1 = 0,

x = L ⇒ ψ(L, t) = 0 = b1 sin kL(a2 cos kvf t+ b2 sin kvf t) ⇒ kL = π, 2π, · · · .Valni broj moze poprimati samo diskretne vrijednosti odredene jednadzbom

k = kn =nπ

L, n = 1, 2, · · · (11.17)

(n ne moze biti jednako nuli, jer su i k i L veci od nule). Time smo dobili niz rjesenja za svakupojedinu vrijednost n. Uz redefiniciju konstanata b1a2 → a i b1b2 → b, ta rjesenja glase

ψn(x, t) = sinnπx

L

(a cos

nπvf t

L+ b sin

nπvf t

L

).

Periodicnost:Rjesenje ψn(x, t) je napisano preko sinusa i kosinusa koje se periodicne funkcije, pa ce zato iψn(x, t) biti periodicna funkcija. Oznacimo prostornu periodicnost ψn(x, t) sa λ,

ψn(x, t) = ψn(x+ λ, t), (11.18)

a vremensku periodicnost sa T

ψn(x, t) = ψn(x, t+ T ). (11.19)

Prostorna ovisnost ψn(x, t) je sadrzana u clanu sin(nπx)/L, pa se λ odreduje iz

sinnπ

Lx = sin

nπ

L(x+ λ) = sin

nπx

Lcos

nπλ

L+ cos

nπx

Lsin

nπλ

L.

Gornja je jednadzba zadovoljena ako je

cosnπλ

L= 1, sin

nπλ

L= 0,

tj. ako je

nπλ

L= 2π ·m, m = 1, 2, · · · ,

λ =2L

nm.

No, λ sa m = 2 je dvostruka vrijednost od λ sa m = 1, itd. Buduci da je period najmanjavrijednost λ koja zadovoljava (11.18), to zakljucujemo, da je za svaki dani n

λ = λn =2L

n, n = 1, 2, . . . .

Periodicnost u prostoru se naziva valna duljina, i u ovom primjeru ona moze poprimitisamo diskretan niz vrijednosti, odreden gornjom relacijom. U skladu s (11.17), valna duljinaje relacijom

kn · λn = 2 π


Slika 11.5: Stojni val za (A) n = 1, (B) n = 2 i (C) n = 3.

povezana s, ranije uvedenim, valnim brojem. Na slici 11.5 su prikazani stojni valovi za trinajnize vrijednosti valnog broja. Primjecujemo da neke cestice sredstva stalno miruju - to sucvorovi stojnog vala. Nasuprot njima, cestice koje se maksimalno otklanjaju se zovu trbusistojnog vala.

Ispitajmo sada uvjete na vremensku periodicnost

sinnπvfL

t = sinnπvfL

(t+ T ) = sinnπvf t

Lcos

nπvf t

L+ cos

nπvf t

Lsin

nπvf t

L,

cosnπvfL

t = cosnπvfL

(t+ T ) = cosnπvf t

Lcos

nπvf t

L− sin

nπvf t

Lsin

nπvf t

L.

Obje gornje jednadzbe su zadovoljene, ako je

cosnπvf t

L= 1, sin

nπvf t

L= 0,


tj. ako je (nπvf t)/L = 2π ·m. Slicno kao i gore, periodicnost za m = 2, 3, · · · itd. su visekratniciperiodicnosti za m = 1, pa je zato periodicnost odredena s m = 1, tj.

T = Tn =2L

nvf, n = 1, 2, . . . .

Vremenski period je takoder diskretan. Frekvencijom se naziva inverzna vrijednost T

ν =1

T, νn =

1

Tn=nvf2L

.

Kutna brzina ωn se definira kao

ωn = 2πνn =nvfπ

L

Umnozak valne duljine i frekvencije daje faznu brzinu vala vf

νn · λn = vf .

Ovu brzinu nazivamo faznom brzinom, zato jer ona (kao sto cemo vidjeti u slijedecem odjeljku)opisuje brzinu sirenja faze vala.

Zbog linearnosti i homogenosti valne jednadzbe i svaka linearna kombinacija rjesenja ψn(x, t)je takoder rjesenje. Zato je opce rjesenje oblika

ψ(x, t) =∞∑n=1

sinnπx

L

(a cos

nπvf t

L+ b sin

nπvf t

L

)(11.20)

=∞∑n=1

sin knx(a cosωnt+ b sinωnt

).

Gornja granica u zbroju je beskonacno, zato jer sustav tretiramo kao kontinuiran. Realno, kadase govori o titrajima kristalne resetke, postoji najmanji razmak medu susjednim cvorovimaresetke koji odreduje najmanju mogucu valnu duljinu, tj. najveci moguci n. Gornja jednadzbaje istog oblika kao i (11.9), s tom razlikom sto je ovdje polozaj u prostoru kontinuirana varijablax, dok je tamo bio diskretna varijabla j i frekvencije titranja su drukcije.

Pocetni uvjeti:Preostale dvije nepoznate konstante, a i b, cemo odrediti iz pocetnih uvjeta (11.16): polozajaf0(x), i brzine g0(x), niti u trenutku t = 0, koristeci se Fourierovom analizom (dodatak C):

ψ(x, t = 0) = f0(x) =∞∑n=1

sinnπx

L(a · 1 + b · 0),

/∫ L

0

sinmπx

Ldx

∫ L

0

f0(x) sinmπx

Ldx =

∞∑n=1

a

∫ L

0

sinmπx

Lsin

nπx

Ldx

︸︷︷︸= (L/2) δn,m

=L

2a.

U gornjem je racunu koristena funkcija Kronecker-delta, definirana izrazom

δm,n =

1 m = n

0 m 6= n


Funkcija f0(x) je poznata (zadana), pa su koeficijenti a ovisni o n i odredeni izrazom

a → an =2

L

∫ L

0

f0(x) sinnπx

Ldx. (11.21)

Primjenimo sada pocetni uvjet na brzinu u trenutku t = 0

∂ψ(x, t)

∂t=

∞∑n=1

sinnπx

L

nπvfL

(−an sin

nπvf t

L+ b cos

nπvf t

L

),

∂ψ(x, t)

∂t

∣∣∣∣t=0

= g0(x) =∞∑n=1

sinnπx

LbnπvfL

,

/∫ L

0

sinmπx

Ldx

∫ L

0

g0(x) sinmπx

Ldx =

∞∑n=1

nπvfL

b

∫ L

0

sinmπx

Lsin

nπx

Ldx

︸︷︷︸= (L/2) δn,m

=mπvf

2b.

Funkcija g0(x) je poznata (zadana), pa su koeficijenti b ovisni o n i odredeni izrazom

b → bn =2

nπvf

∫ L

0

g0(x) sinnπx

Ldx. (11.22)

Ukupno rjesenje za amplitudu titranja se dobiva uvrstavanjem eksplicitnih izraza za an i bn

ψ(x, t) =∞∑n=1

sinnπx

L

an cos

nπvf t

L+ bn sin

nπvf t

L

ψ(x, t) =∞∑n=1

sinnπx

L

[2

L

∫ L

0

f0(z) sinnπz

Ldz

]cos

nπvf t

L+

[2

nπvf

∫ L

0

g0(z) sinnπz

Ldz

]sin

nπvf t

L

.

11.2.3 Nit s oba nepomicna ruba: putujuci val (J. D’Alembert)

Pokazimo sada da se do rjesenja iz prethodnog poglavlja moze doci i na jedan drukciji nacin.Primjetimo da svaka funkcija s argumentom x+ vf t zadovoljava valnu jednadzbu

∂2ψ

∂t2= v 2

f

∂2ψ

∂x2.

Neka je ψ(x, t) = L(x+ vf t), tada je

∂2L∂t2

= L ′′ · v 2f ,

∂2L∂x2

= L ′′

i valna jednadzba je ocito zadovoljena (crticama su oznacene derivacije po argumentu funkcije).No, ocito je da i svaka funkcija s argumentom x− vf t takoder zadovoljava valnu jednadzbu zaψ(x, t) = D(x− vf t),

∂2D∂t2

= D ′′ · (−vf )2,∂2D∂x2

= D ′′.

Buduci da je valna jednadzba linearna, svaka linearna kombinacija rjesenja je takoder rjesenje(sto je lako provjeriti izravnim uvrstavanjem), pa je zato opci oblik rjesenja dan sa

ψ(x, t) = L(x+ vf t) +D(x− vf t).


Ovaj oblik rjesenja se naziva putujuci ili ravni val, a potjece od D’Alemberta 4.Objasnimo sada naziv putujuci val: neka je u t = 0, stanje titranja u proizvoljnoj tocki x0

opisano s L(x0). Pitamo se u kojoj tocki prostora cemo naci to isto stanje titranja u nekomkasnijem trenutku t > 0? Ocito cemo to isto stanje titranja naci u tocki u kojoj L ima istevrijednosti argumenta 5, ali sada za x 6= x0 i t 6= 0, tj. za one x i t koji su rjesenja jednadzbe

L(x0) = L(x+ vf t),

x0 = x+ vf t ⇒ x = x0 − vf t.

Isto stanje titranja ce se pojaviti u tocki koja je za vf t lijevo od tocke x0. Zakljucujemo dafunkcija L opisuje val koji se siri (putuje) konstantnom brzinom vf u smjeru s desna na lijevo.Slicnom argumentacijom zakljucujemo da D(x−vf t) opisuje putujuci val koji se istom brzinomvf giba s lijeva na desno. Buduci da brzina vf opisuje sirenje faze vala, naziva se faznombrzinom.

Grupna brzina:dovrsiti

Pokazimo sada kako se stojni val iz prethodnog odjeljka moze dobiti kao rezultat zbrajanja(interferencije) dva putujuca vala koji se gibaju u suprotnim smjerovima.Neka su, kao i ranije, u pocetnom trenutku t = 0 polozaj i brzina niti koja titra odredenifunkcijama f0 i g0

ψ(x, 0) = f0(x),∂ψ(x, t)

∂t

∣∣∣∣t=0

= g0(x),

gdje su f i g funkcije definirane na intervalu [0, L]. Uvrstavanjem opceg rjesenja za ψ, dobivamo

L(x) +D(x) = f0(x), cL′(x)− cD′(x) = g0(x).

Integracijom od 0 do x, desne gornje jednadzbe, dobiva se

L(x)− L(0)−D(x) +D(0) =1

c

∫ x

0

g0(η)dη.

Nazovemo li konstantu L(0) − D(0) = a0, dolazimo do sustava dvije jednadzbe s dvije nepoz-nanice: L(x) i D(x)

L(x) +D(x) = f0(x)

L(x)−D(x) =1

c

∫ x

0

g0(η)dη + a0,

s rjesenjima

L(x) =1

2f0(x) +

1

2c

∫ x

0

g0(η)dη +1

2a0,

D(x) =1

2f0(x)− 1

2c

∫ x

0

g0(η)dη − 1

2a0.

4Jean D’Alembert, 1717. - 1783., francuski fizicar i matematicar.5Kada se govori o valovima, onda se ovaj argument cesto naziva faza.


Iz ovih je izraza lako procitati ukupno rjesenje za ψ

ψ(x, t) = L(x+ ct) +D(x− ct)

=1

2f0(x+ ct) +

1

2c

∫ x+ct

0

g0(η)dη +1

2a0

+1

2f0(x− ct)− 1

2c

∫ x−ct

0

g0(η)dη − 1

2a0

=1

2[f0(x+ ct) + f0(x− ct)] +

1

2c

∫ x+ct

x−ctg0(η)dη.

Tako smo dosli do rjesenja koje zadovoljava pocetne uvjete na polozaj i brzinu

ψ(x, t) =1

2[f0(x+ ct) + f0(x− ct)] +

1

2c

∫ x+ct

x−ctg0(η)dη. (11.23)

Pogledajmo sada rubne uvjete: na rubu intervala [0, L] je otklon niti jednak nuli ψ(x = 0, t) =ψ(x = L, t) = 0 u svakom trenutku t.

ψ(x = 0, t) = L(0 + ct) +D(0− ct) = 0 ⇒ L(ct) = −D(−ct),ψ(x = L, t) = L(L+ ct) +D(L− ct) = 0 ⇒ L(L+ ct) = −D(L− ct).

Pokazimo da su L i D periodicne funkcije s periodom 2L. Oznacimo s = ct, tako da rubneuvjete mozemo napisati u obliku

L(s) = −D(−s),L(L+ s) = −D(L− s),

za s iz intervala 0 < s < L. Prije dokaza periodicnosti, pokazimo najprije da se funkcije L i Dmogu produljiti izvan intervala [0, L]. Za s ∈ [0, L], argument od L(L+s) iz jednadzbe (11.24),poprima vrijednosti iz [L, 2L], dok funkcija na desnoj strani D(L − s) poprima vrijednosti izintervala [0, L]. Time je L produljena na interval [0, 2L]. Slican se postupak moze provesti idalje na lijevu i desnu stranu intervala [0, L] za funkciju L i za D.Dokazimo sada i periodicnost funkcija L i D. Izvedimo zamjenu s→ s+L u jednadzbu (11.24)

L(L+ s+ L) = −D(L− s− L) = −D(−s),no, prema jednadzbi (11.24), je upravo −D(−s) = L(s), pa smo tako pokazali periodicnost Ls periodom 2L

L(s+ 2L) = L(s).

Na slican nacin, zamjenom s→ s− L u jednadzbi (11.24), dolazi se do

D(L− s+ L) = −L(L+ s− L) = −L(s) = D(−s),D(2L− s) = D(−s),

pri cemu smo u posljednjem koraku koristili i jednadzbu (11.24).Pogledajmo sada sto mozemo zakljuciti o funkcijama f0(x) i g0(x) koje odreduju pocetno (t = 0)stanje niti. Iz pocetnih uvjeta je

f0(x) = L(x) +D(x),

g0(x) = c[L(x)′ −D(x)′].


Buduci da su L i D periodicne funkcije s periodom 2L, iz gornjih relacija zakljucujemo da su if0 i g0 takoder periodicne s istim periodom 2L.Nadalje, iz (11.24) slijedi f0(−x) = L(−x) + D(−x). No, prema (11.24) je L(−x) = −D(x), iD(−x) = −L(x), pa je

f0(−x) = L(−x) +D(−x) = −D(x)− L(x) = −[L(x) +D(x)] = −f0(x),

tj. pokazali smo da je f0(x) = −f0(−x) neparna funkcija na intervalu [−L,L]. Slican je i dokazza funciju g: iz relacije (11.24) je

L(x) = −D(−x),L′(x) = −D′(−x) (−1) = D′(−x) ⇒ L′(−x) = D′(x).

Uvrstavanjem gornjih veza u (11.24), dobiva se

g0(x) = c[L(x)′ −D(x)′],⇒ g0(−x) = c[L(−x)′ −D(−x)′] = c[D(x)′ − L(x)′] = −c[L(x)′ −D(x)′],

g0(−x) = −g0(x),

tj. i g je neparna funkcija od x. Sve zajedno, za f i g znamo da vrijedi: obje su funkcijeperiodicne periodom 2L i obje su neparne u x

f0(x) = f0(x+ 2L), f0(x) = −f0(−x),g0(x) = g0(x+ 2L), g0(x) = −g0(−x).

Svaka se periodicka funkcija moze razviti u Fourierov red, a buduci da je funkcija i neparna,u redu ce se pojaviti samo sinusi

f0(x) =∞∑n=1

an sin

(n

2π

2Lx

).

Iz gornjeg izraza odmah slijedi

f0(x+ vf t) =∞∑n=1

an sinnπ

L(x+ ct),

f0(x− vf t) =∞∑n=1

an sinnπ

L(x− ct).

Funkcija g je takoder neparna i periodicna, pa se i ona moze razviti u red po sinusima

g0(η) =∞∑n=1

bn sin

(n

2π

2Lη

).

U izrazu (11.23) se pojavljuje integral od g, pa nas zapravo zanima∫ x+ct

x−ctg0(η)dη =

∞∑n=1

bn

∫ x+ct

x−ctsin

(nπLη)dη

=∞∑n=1

bnL

nπ

[cos

nπ

Lη]x−ctx+ct

=∞∑n=1

bnL

nπ

[cos

nπ

L(x− ct)− cos

nπ

L(x+ ct)

].


Uvrste li se izrazi za f i integral od g u (11.23), dobiva se

ψ(x, t) =1

2

∞∑n=1

an

[sin

nπ

L(x+ ct) + sin

nπ

L(x− ct)

]

+1

2c

∞∑n=1

bnL

nπ

[cos

nπ

L(x− ct)− cos

nπ

L(x+ ct)

].

Koristeci se trigonometrijskim identitetima

sin(α + β) + sin(α− β) = 2 sinα cos β,

cos(α− β)− cos(α + β) = 2 sinα sin β,

izraz za ψ prelazi u

ψ(x, t) =1

2

∞∑n=1

an 2 sinnπ

Lx cos

nπ

Lct+

1

2c

∞∑n=1

bnL

nπ2 sin

nπ

Lx sin

nπ

Lct,

tj. dobili smo isto rjesenje kao i kod stojnog vala (11.20)

ψ(x, t) =∞∑n=1

sinnπ

Lx

(an cos

nπ

Lct+ bn sin

nπ

Lct

).

11.2.4 Nit s nepomicnim lijevim i slobodnim desnim rubom

Pratimo postupak iz odjeljka 11.2.2, uz izmjenjene rubne uvjete. Krecemo od zapisa valnefunkcije u obliku

ψ(x, t) = (a1 cos kx+ b1 sin kx)(a2 cos kvf t+ b2 sin kvf t).

Cetiri nepoznate konstante odredujemo pomocu dva rubna i dva pocetna uvjeta.Rubni uvjeti:

x = 0 ⇒ ψ(0, t) = 0 = a1 (a2 cos kvf t+ b2 sin kvf t) ⇒ a1 = 0,

x = L ⇒ ∂ ψ(x, t)

∂ x

∣∣∣∣x=L

= 0 = b1 k cos kL (a2 cos kvf t+ b2 sin kvf t)

⇒ kL = (2n+ 1)π

2, n = 0, 1, 2, · · · .

Valni broj moze poprimati samo diskretne vrijednosti odredene jednadzbom

k = kn = (2n+ 1)π

2L, n = 0, 1, 2, · · · .

Time smo dobili niz rjesenja za svaku pojedinu vrijednost n. Uz redefiniciju konstanti b1a2 → ani b1b2 → bn, ta rjesenja glase

ψn(x, t) = sin(2n+ 1)πx

2L

[an cos

(2n+ 1)πct

2L+ bn sin

(2n+ 1)πct

2L

].

Sada ispitujemo periodicnost u prostornoj i vremenskoj varijabli.

ψn(x, t) = ψn(x+ λ, t), (11.24)


a vremensku periodicnost sa Tψn(x, t) = ψn(x, t+ T ). (11.25)

Prostorna ovisnost ψn(x, t) je sadrzana u clanu sin[(2n+ 1)πx]/(2L), pa se λ odreduje iz

sin(2n+ 1)πx

2L= sin

(2n+ 1)π(x+ λ)

2L

= sin(2n+ 1)πx

2Lcos

(2n+ 1)πλ

2L+ cos

(2n+ 1)πx

2Lsin

(2n+ 1)πλ

2L


cos(2n+ 1)πλ

2L= 1, sin

(2n+ 1)πλ

2L= 0,

tj. ako je [(2n+ 1)πλ]/(2L) = 2π ·m, za m = 1, 2, · · · . Opet je najmanja vrijednost λ ona sam = 1, tako da zakljucujemo, da je za svaki dani n

λ = λn =4L

2n+ 1, n = 0, 1, 2, . . . .

Kao i valni broj kn i valna duljina je diskretna, pri cemu je opet kn λn = 2π.Ispitajmo sada uvjete na vremensku periodicnost

sin(2n+ 1)πct

2L= sin

(2n+ 1)πc(t+ T )

2L

= sin(2n+ 1)πct

2Lcos

(2n+ 1)πcT

2L+ cos

(2n+ 1)πct

2Lsin

(2n+ 1)πcT

2L,

cos(2n+ 1)πct

2L= cos

(2n+ 1)πc(t+ T )

2L

= cos(2n+ 1)πct

2Lcos

(2n+ 1)πcT

2L− sin

(2n+ 1)πct

2Lsin

(2n+ 1)πcT

2L.


cos(2n+ 1)πcT

2L= 1, sin

(2n+ 1)πcT

2L= 0,

tj. ako je [(2n+ 1)πcT ]/(2L) = 2π ·m. Period je najmanja takva vrijednost, tj. ona za m = 1

T = Tn =4L

(2n+ 1)c, n = 0, 1, 2, . . . .

Frekvencija je

νn =1

Tn=

(2n+ 1)c

4L.

Brzina vala c je opet

νn · λn = c.

Zbog linearnosti i homogenosti valne jednadzbe i svaka linearna kombinacija rjesenja ψn(x, t)je takoder rjesenje. Zato je opce rjesenje oblika

ψ(x, t) =∞∑n=0

sin(2n+ 1)πx

2L

[an cos

(2n+ 1)πct

2L+ bn sin

(2n+ 1)πct

2L

]. (11.26)


Pocetni uvjeti:Nepoznate konstante an i bn cemo odrediti iz pocetnih uvjeta na polozaj i brzinu niti u trenutkut = 0 (Fourierova analiza, dodatak C):

ψ(x, t = 0) = f0(x) =∞∑n=0

sin(2n+ 1)πx

2Lan,

/∫ L

0

sin(2m+ 1)πx

2Ldx

∫ L

0

f0(x) sin(2m+ 1)πx

2Ldx =

∞∑n=0

an

∫ L

0

sin(2n+ 1)πx

2Lsin

(2m+ 1)πx

2Ldx

︸︷︷︸= (L/2) δn,m

=L

2am.

an =2

L

∫ L

0

f0(x) sin(2n+ 1)πx

2Ldx.


g0(x) =∂ψ(x, t)

∂t

∣∣∣∣t=0

=∞∑n=0

sin(2n+ 1)πx

2Lbn

(2n+ 1)πvf2L

/∫ L

0

sin(2m+ 1)πx

2Ldx

∫ L

0

g0(x) sin(2m+ 1)πx

2Ldx =

∞∑n=0

(2n+ 1)πvf2L

bn

∫ L

0

sin(2n+ 1)πvf

2Lsin

(2m+ 1)πc

2Ldx

︸︷︷︸= (L/2) δn,m

=(2m+ 1)πc

4bm.

Funkcija g0(x) je poznata (zadana), pa su koeficijenti bn odredeni izrazom

bn =4

(2n+ 1)πvf

∫ L

0

g0(x) sin(2n+ 1)πx

2Ldx.

Ukupno rjesenje za amplitudu titranja dobijemo uvrstavanjem eksplicitnih izraza za an i bn

ψ(x, t) =∞∑n=0

sin(2n+ 1)πx

2L·

[2

L

∫ L

0

f0(z) sin(2n+ 1)πz

2Ldz

]cos

(2n+ 1)πct

2L

+

[4

(2n+ 1)πvf

∫ L

0

g0(z) sin(2n+ 1)πz

2Ldz

]sin

(2n+ 1)πct

2L

.

11.2.5 Nit sa slobodnim desnim i nepomicnim lijevim rubom

U cjelosti pratimo postupak iz prethodnog odjeljka, uz simetricno izmjenjene rubne uvjete.Zapocinjemo s valnom funkcijom u obliku

ψ(x, t) = (a1 cos kx+ b1 sin kx)(a2 cos kvf t+ b2 sin kvf t).

Cetiri nepoznate konstante cemo ponovo odrediti pomocu rubnih i pocetnih uvjeta.Rubni uvjeti:

x = 0 ⇒ ∂ ψ(x, t)

∂ x

∣∣∣∣x=0

= 0 = b1 k (a2 cos kvf t+ b2 sin kvf t) ⇒ b1 = 0,

x = L ⇒ ψ(L, t) = 0 = a1 cos kL (a2 cos kvf t+ b2 sin kvf t)

⇒ kL = (2n+ 1)π

2, n = 0, 1, 2, · · · .


Valni broj moze poprimati samo diskretne vrijednosti odredene jednadzbom

k = kn = (2n+ 1)π

2L, n = 0, 1, 2, · · · .

Time smo dobili niz rjesenja za svaku pojedinu vrijednost n. Uz redefiniciju konstanti a1a2 → ani a1b2 → bn, ta rjesenja glase

ψn(x, t) = cos(2n+ 1)πx

2L

[an cos

(2n+ 1)πct

2L+ bn sin

(2n+ 1)πct

2L

].

Sada ispitujemo periodicnost u prostornoj i vremenskoj varijabli.

ψn(x, t) = ψn(x+ λ, t), (11.27)

a vremensku periodicnost sa Tψn(x, t) = ψn(x, t+ T ). (11.28)

Prostorna ovisnost ψn(x, t) je sadrzana u clanu cos[(2n+ 1)πx]/(2L), pa se λ odreduje iz

cos(2n+ 1)πx

2L= cos

(2n+ 1)π(x+ λ)

2L

= cos(2n+ 1)πx

2Lcos

(2n+ 1)πλ

2L− sin

(2n+ 1)πx

2Lsin

(2n+ 1)πλ

2L


cos(2n+ 1)πλ

2L= 1, sin

(2n+ 1)πλ

2L= 0,

tj. ako je [(2n+ 1)πλ]/(2L) = 2π ·m, za m = 1, 2, · · · . Opet je najmanja vrijednost λ ona sam = 1, tako da zakljucujemo, da je za svaki dani n

λ = λn =4L

2n+ 1, n = 0, 1, 2, . . . .

Kao i valni broj kn i valna duljina je diskretna, pri cemu je opet kn λn = 2π.Vremenska ovisnost ψn(x, t) je ista kao i u prethodnom odjeljku, pa je i vremensko ponasanjeisto

T = Tn =4L

(2n+ 1)c, n = 0, 1, 2, . . . ,

ωn =(2n+ 1)πvf

2L.

Zbog linearnosti i homogenosti valne jednadzbe, opce rjesenje za pomak ψn(x, t) je

ψ(x, t) =∞∑n=0

cos(2n+ 1)πx

2L

[an cos

(2n+ 1)πct

2L+ bn sin

(2n+ 1)πct

2L

]. (11.29)

Pocetni uvjeti:Nepoznate konstante an i bn cemo odrediti iz pocetnih uvjeta na polozaj i brzinu svakog elementa


niti u trenutku t = 0 (Fourierova analiza, dodatak C):

ψ(x, t = 0) = f0(x) =∞∑n=0

cos(2n+ 1)πx

2Lan,

/∫ L

0

cos(2m+ 1)πx

2Ldx

∫ L

0

f0(x) cos(2m+ 1)πx

2Ldx =

∞∑n=0

an

∫ L

0

cos(2n+ 1)πx

2Lcos

(2m+ 1)πx

2Ldx

︸︷︷︸= (L/2) δn,m

=L

2am.

an =2

L

∫ L

0

f0(x) cos(2n+ 1)πx

2Ldx.


g0(x) =∂ψ(x, t)

∂t

∣∣∣∣t=0

=∞∑n=0

cos(2n+ 1)πx

2Lbn

(2n+ 1)πvf2L

/∫ L

0

cos(2m+ 1)πx

2Ldx

∫ L

0

g0(x) cos(2m+ 1)πx

2Ldx =

∞∑n=0

(2n+ 1)πvf2L

bn

∫ L

0

cos(2n+ 1)πvf

2Lcos

(2m+ 1)πc

2Ldx

︸︷︷︸= (L/2) δn,m

=(2m+ 1)πc

4bm.

Za poznatu funkciju g0(x), koeficijenti bn se racunaju iz

bn =4

(2n+ 1)πvf

∫ L

0

g0(x) cos(2n+ 1)πx

2Ldx.


ψ(x, t) =∞∑n=0

cos(2n+ 1)πx

2L·

[2

L

∫ L

0

f0(z) cos(2n+ 1)πz

2Ldz

]cos

(2n+ 1)πct

2L

+

[4

(2n+ 1)πvf

∫ L

0

g0(z) cos(2n+ 1)πz

2Ldz

]sin

(2n+ 1)πct

2L

.

11.2.6 Nit slobodna na oba ruba

Opet zapocinjemo s valnom funkcijom u obliku

ψ(x, t) = (a1 cos kx+ b1 sin kx)(a2 cos kvf t+ b2 sin kvf t),

gdje cemo cetiri nepoznate konstante odrediti pomocu rubnih i pocetnih uvjeta.Rubni uvjeti:

x = 0 ⇒ ∂ ψ(x, t)

∂ x

∣∣∣∣x=0

= 0 = b1 k (a2 cos kvf t+ b2 sin kvf t) ⇒ b1 = 0,

x = L ⇒ ∂ ψ(x, t)

∂ x

∣∣∣∣x=L

= 0 = −a1 sin kL (a2 cos kvf t+ b2 sin kvf t)

⇒ kL = nπ, n = 1, 2, · · · ,


(n ne moze biti 0, jer k ne moze biti 0). Valni broj moze poprimati samo diskretne vrijednostiodredene jednadzbom

k = kn =nπ

L, n = 1, 2, · · · .

Time smo dobili niz rjesenja za svaku pojedinu vrijednost n. Uz redefiniciju konstanti a1a2 → ani a1b2 → bn, ta rjesenja glase

ψn(x, t) = cosnπx

L

[an cos

nπvf t

L+ bn sin

nπvf t

L

].

Sada ispitujemo periodicnost u prostornoj i vremenskoj varijabli

ψn(x, t) = ψn(x+ λ, t), ψn(x, t) = ψn(x, t+ T ).

Prostorna ovisnost ψn(x, t) je sadrzana u clanu cos(nπx/L), pa je λ najmanja vrijednost zakoju je

cosnπx

L= cos

nπ(x+ λ)

L

= cosnπx

Lcos

nπλ

L− sin

nπx

Lsin

nπλ

L


cosnπλ

L= 1, sin

nπλ

L= 0,

tj. ako je nπλ/L = 2π ·m, za m = 1, 2, · · · . Opet je najmanja vrijednost λ ona sa m = 1, takoda zakljucujemo, da je za svaki dani n

λ = λn =2L

n, n = 1, 2, . . . .

Kao i valni broj kn i valna duljina je diskretna, pri cemu je opet kn λn = 2π.Vremenska periodicnost:

cosnπvf t

L= cos

nπvf (t+ T )

L= cos

nπvf t

Lcos

nπvf t

L− sin

nπvf t

Lsin

nπvf t

L,

sinnπvf t

L= sin

nπvf (t+ T )

L= sin

nπvf t

Lcos

nπvf t

L+ cos

nπvf t

Lsin

nπvf t

L.


cosnπvf t

L= 1, sin

nπvf t

L= 0,

tj. ako je nπvf t/L = 2π ·m. Periodicnosti za m = 2, 3, · · · itd. su visekratnici periodicnosti zam = 1, pa je zato periodicnost odredena s m = 1, tj.

T = Tn =2L

nvf, ωn =

πnvfL

, n = 1, 2, . . . .

Zbog linearnosti i homogenosti valne jednadzbe, opce rjesenje za pomak ψn(x, t) je

ψ(x, t) =∞∑n=1

cosnπx

L

[an cos

nπvf t

L+ bn sin

nπvf t

L

].


Pocetni uvjeti:Nepoznate konstante an i bn cemo odrediti iz pocetnih uvjeta na polozaj i brzinu svakog elementaniti u trenutku t = 0 (Fourierova analiza, dodatak C):

ψ(x, t = 0) = f0(x) =∞∑n=1

cosnπx

Lan,

/∫ L

0

cosmπx

Ldx

∫ L

0

f0(x) cosmπx

Ldx =

∞∑n=1

an

∫ L

0

cosnπx

Lcos

mπx

Ldx

︸︷︷︸= (L/2) δn,m

=L

2am.

an =2

L

∫ L

0

f0(x) cosnπx

Ldx.


g0(x) =∂ψ(x, t)

∂t

∣∣∣∣t=0

=∞∑n=1

cosnπx

LbnnπvfL

/∫ L

0

cosmπx

Ldx

∫ L

0

g0(x) cosmπx

Ldx =

∞∑n=1

nπvfL

bn

∫ L

0

cosnπvfL

cosmπvfL

dx

︸︷︷︸= (L/2) δn,m

=mπvf

2bm.

Za poznatu funkciju g0(x), koeficijenti bn se racunaju iz

bn =2

nπvf

∫ L

0

g0(x) cosnπx

Ldx.


ψ(x, t) =∞∑n=1

cosnπx

L·

[2

L

∫ L

0

f0(z) cosnπz

Ldz

]cos

nπvf t

L

+

[2

nπvf

∫ L

0

g0(z) cosnπz

Ldz

]sin

nπvf t

L

.

11.2.7 Energija titranja napete niti

Titranje napete niti je pojava koja sadrzi odredenu energiju. To je kineticka energija uslijedgibanja pojedinih dijelova niti i to je potencijalna energija uslijed deformacije dijelova niti nakoju djeluje elasticna sila od ostatka niti.

Kineticka energija:Kineticka energija dijela niti duljine ds i mase dm = λ0 d s potjece od njegovog gibanja uokomitom smjeru. Otklon u okomitom smjeru opisuje varijabla ψ(x, t), pa je zato

dEk =1

2dm v2 =

1

2(λ0 d s)

(∂ ψ

∂ t

)2

.


Prema Pitagorinu poucku, duljina niti je priblizno jednaka

d s =√

(d x)2 + (dψ)2 = d x

√1 +

(∂ ψ

∂ x

)2

' d x + · · · .

Sukladno aproksimacijama koje smo koristili u izvodu valne jednadzbe, i ovdje smo zanemarilikvadratni clan pod korjenom, tako da je d s ' d x, sto vodi na izraz za kineticku energiju

dEk =1

2λ0 d x

(∂ ψ

∂ t

)2

.

To je kineticka energija elementa niti priblizne duljine d x. Kineticku energiju cijele niti sedobiva tako da se gornji izraz prointegrira po cijeloj duljini niti

Ek =λ0

2

∫ L

0

(∂ ψ

∂ t

)2

d x. (11.30)

Za ψ koristimo (11.20)

ψ(x, t) =∞∑n=1

sinnπx

L

(an cos

nπvf t

L+ bn sin

nπvf t

L

)

∂ ψ

∂ t=

∞∑n=1

nπvfL

sinnπx

L

(−an sin

nπvf t

L+ bn cos

nπvf t

L

)

(∂ ψ

∂ t

)2

=

[ ∞∑n=1

nπvfL

sinnπx

L

(−an sin

nπvf t

L+ bn cos

nπvf t

L

)]

·[ ∞∑m=1

mπc

Lsin

mπx

L

(−am sin

mπvf t

L+ bm cos

mπvf t

L

)]

Uvrstavanjem gornjeg izraza u izraz za kineticku energiju (11.30), dobiva se

Ek =λ0

2

∞∑n=1

∞∑m=1

nπvfL

mπvfL

∫ L

0

sinnπx

Lsin

mπx

Ldx

·(−an sin

nπvf t

L+ bn cos

nπvf t

L

) (−am sin

mπvf t

L+ bm cos

mπvf t

L

).

No, gornji integral po sinusima je razlicit od nule samo ako su indeksi n i m jednaki∫ L

0

sinnπx

Lsin

mπx

Ldx =

L

2δn,m,

sto konacno daje za kineticku energiju cijele niti

Ek =λ0π

2v 2f

4L

∞∑n=1

n2

(an sin

nπvf t

L− bn cos

nπvf t

L

)2

.

Sjetimo li se da je v 2f = Fnap/λ0, kineticka se energija moze napisati i kao

Ek =π2Fnap

4L

∞∑n=1

n2

(an sin

nπvf t

L− bn cos

nπvf t

L

)2

. (11.31)


Vidimo da sama kineticka energija nije konstantna u vremenu, nego se mjenja u skladu sgornjim izrazom.

Potencijalna energija:Potencijalna energija potjece od sile napetosti niti. Za tu smo silu, relacija (11.11), pokazali daje priblizno konstantna na dijelu niti d x. Uslijed deformacije niti kod titranja, taj se dio nitirastegne sa duljine d x na duljinu d s, a rad sile Fnap potreban da se obavi ta deformacija, jejednak promjeni potencijalne energije

∆ W = Fnap(d s− d x

)= dEp.

Sa slike 11.4 se vidi da je

d s =√

(d x)2 + (dψ)2 = d x

√1 +

(∂ ψ

∂ x

)2

= d x

1 +

1

2

(∂ ψ

∂ x

)2

+O[(

∂ ψ

∂ x

)4]

.

Zadrzimo li se samo na vodecem6 clanu razvoja, potencijalna energija pridruzena dijelu niti je

dEp ' Fnap2

(∂ ψ

∂ x

)2

d x.

Zbog aditivnosti energije, potencijalna energija cijele niti je zbroj (tj. integral) potencijalnihenergija svih djelova niti

Ep =Fnap

2

∫ L

0

(∂ ψ

∂ x

)2

d x.

Uvrstavanjem derivacije (11.20)

∂ ψ

∂ x=

∞∑n=1

nπ

Lcos

nπx

L

(an cos

nπvf t

L+ bn sin

nπvf t

L

)

(∂ ψ

∂ x

)2

=

[ ∞∑n=1

nπ

Lcos

nπx

L

(an cos

nπvf t

L+ bn sin

nπvf t

L

)]

·[ ∞∑m=1

mπ

Lcos

mπx

L

(am cos

mπvf t

L+ bm sin

mπvf t

L

)],

dolazi se do

Ep =Fnap

2

∞∑n=1

∞∑m=1

nπ

L

mπ

L

∫ L

0

cosnπx

Lcos

mπx

Ldx

·(an cos

nπvf t

L+ bn sin

nπvf t

L

) (am cos

mπvf t

L+ bm sin

mπvf t

L

).

Opet je integral po prostornoj koordinati razlicit od nule samo ako je n = m∫ L

0

cosnπx

Lcos

mπx

Ldx =

L

2δn,m.

6Sve do sada smo clanove srazmjerne (∂ ψ/∂ x)2 zanemarivali, a sada ga zadrzavamo. Zasto? Nije li to nekonzistentno sdosadasnjim izvodima? Nije: u svim dosadasnjim izvodima, spomenuti clan nije bio vodeci clan, nego mala korekcija u odnosu na,puno veci, vodeci clan. Sada, na ovom mjestu je taj clan vodeci clan u odnosu na ostale, puno manje clanove. Zanemarivanje njegavodi na Ep ' 0, a to ne zelimo.


Uz gornji rezultat, potencijalna energija je

Ep =π2Fnap

4L

∞∑n=1

n2

(an cos

nπvf t

L+ bn sin

nπvf t

L

)2

. (11.32)

Vidimo da kao i kineticka energija, ni sama potencijalna energija nije konstantna u vre-menu, nego se mjenja u skladu s gornjim izrazom.

Ukupna mehanicka energija:Ukupna mehanicka energija je zbroj kineticke i potencijalne energije, sto je prema (11.31) i(11.32) jednako

E = Ek + Ep

=π2Fnap

4L

∞∑n=1

n2

(a2n sin2 nπvf t

L−

((((((((((((((2anbn sin

nπvf t

Lcos

nπvf t

L+ b2n cos2 nπvf t

L

+ a2n cos2 nπvf t

L+

((((((((((((((2anbn sin

nπvf t

Lcos

nπvf t

L+ b2n sin2 nπvf t

L

)

=π2Fnap

4L

∞∑n=1

n2(a2n + b2n

).

Za razliku od kineticke i potencijalne energije, ukupna energija ne ovisi o vremenu, tj. onaje konstantna ili sacuvana. Dobili smo jos jedan primjer sacuvanja energije7. Primjetimotakoder da je energija zadana koeficijentima an i bn koji se, relacijama (11.21) i (11.22), odredujuiz pocetnih uvjeta. To znaci da je energija jednaka onom iznosu koji je u pocetku gibanja vanjskasila, putem rada obavljenog nad niti, predala toj istoj niti.

11.3 Titranje pravokutne membrane

Promotrimo sada jedan dvodimenzijski primjer titranja. Neka se savrseno tanka napeta elas-ticna membrana nalazi u ravnini (x, y), sa rubovima u x = 0, x = Lx, y = 0 i y = Ly, kao stoje to prikazano na slici 11.6. Promotrimo mali pravokutni dio te membrane duljine bridova dxi dy. Zbog napetosti membrane, ostali djelovi djeluju silom napetosti na promatrani dio (slika11.6) Ukupna sila na jedan od bridova promatranog dijela, npr. na brid AB duz y smjera, semoze napisati u obliku

~Fnap,y =

∫ B

A

~Fy dy = ~Fy dy,

gdje je ~Fy vektor napetosti (dimenzije sile po jedinici duljine) membrane u y smjeru (opcenito jeFx 6= Fy). Kada je membrana u ravnotezi, ovaj je vektor istog iznosa u svakoj tocki membrane(kada ne bi bilo tako, pojedini bi se dijelovi membrane gibali sve dok se ravnoteza ne uspostavi).

Pretpostavimo sada da neka vanjska sila trenutno deformira membranu na nacin prikazan naslici 11.7, nakon cega vanjska sila vise ne djeluje. Od tog trenutka, na promatrani dio membra-ne djeluje samo gravitacijska sila i sila napetosti kojom susjedni djelovi membrane, djeluju na

7Zanemarisi sva trenja, iz razmatranja smo izbacili medudjelovanje s okolinom i zato energija mora ostati sacuvana; ne postojimehanizam izmjene energije s okolonom.

11.3. TITRANJE PRAVOKUTNE MEMBRANE 323

Slika 11.6: Dvodimenzijska napeta membrana.

promatrani dio. Pretpostavit cemo da je membrana male povrsinske gustoce (lagana membra-na), tako da je gravitacijska sila po iznosu puno manja od sile napetosti, pa cemo ju zanemaritiu daljem racunu. Zadatak je postaviti, a zatim i rijesiti jednazbu gibanja za promatrani dje-lic membrane: umnozak mase i ubrzanja promatranog dijela treba izjednaciti s svim silama(napetosti) koje na njega djeluju. Masa promatranog dijela je jednostavno jednaka

σ0 dsx dsy,

gdje je σ0 konstantna povrsinska masena gustoca, a dsx i dsy su duljine lukova promatranogdjelica. Otklon svake tocke membrane u odnosu na ravninu (x, y) u danom trenutku t, cemooznacavati s ψ(x, y, t), pa je ubrzanje odredene tocke membrane

∂2 ψ(x, y, t)

∂ t2.

Pretpostavit cemo da je gibanje djelica membrane u smjerovima paralelnim s ravninom (x, y)puno manje od gibanja u okomitom smjeru, pa cemo ga zanemariti. Na desnu stranu jednadzbegibanja dolaze sile napetosti u smjeru okomitom na ravninu (x, y), kao sto je to prikazano naslikama 11.7.A i 11.7.B, a slicno racunu koji smo proveli u odjeljku 11.2.2 za opis jednodimen-zijskog titranja (relacije (11.12) do (11.13)). Okomita komponenta sile na bridove CB i DA jejednaka (sa slike 11.7.A)

Fx = Fx dy(dx

∂

∂ xsinαx

)

Transformacijom sinusa kao u (11.14), dobiva se

Fx = Fx dx dy ∂

∂ x

∂ ψ

∂ x

[1 +

(∂ ψ

∂ x

)2]−1/2

= Fx dx dy ∂

2 ψ

∂ x2+O

[(∂ ψ

∂ x

)2]

Potpuno isti postupak proveden nad silama koje djeluju na rubove duz y koordinate, oznacene


Slika 11.7: Mali deformirani dio membrane.

na slici 11.7.B s AB i DC, vodi na okomitu komponentu sile jednaku

Fy = Fy dx dy ∂2 ψ

∂ y2+O

[(∂ ψ

∂ y

)2]

Sada mozemo napisati jednadzbu gibanja kao

σ0 dsx dsy∂2 ψ(x, y, t)

∂ t2= Fx dx dy ∂

2 ψ

∂ x2+ Fy dx dy ∂

2 ψ

∂ y2+O

[(∂ ψ

∂ x

)2

,

(∂ ψ

∂ y

)2]

Duljine lukova dsx i dsy mozemo izraziti kao

dsx =√

(dx)2 + (dψ)2, dsy =√

(dy)2 + (dψ)2

Ako cijelu jednadzbu podijelimo s dx dy, dolazi se do slijedece jednadzbe

σ0

√(dx)2 + (dψ)2

dx

√(dy)2 + (dψ)2

dy

∂2 ψ(x, y, t)

∂ t2= Fx ∂

2 ψ

∂ x2+ Fy ∂

2 ψ

∂ y2+O

[(∂ ψ

∂ x

)2

,

(∂ ψ

∂ y

)2]

σ0

√1 +

(∂ ψ

∂ x

)2√

1 +

(∂ ψ

∂ y

)2∂2 ψ(x, y, t)

∂ t2= Fx ∂

2 ψ

∂ x2+ Fy ∂

2 ψ

∂ y2+O

[(∂ ψ

∂ x

)2

,

(∂ ψ

∂ y

)2].

Zanemarimo li male clanove srazmjerne kvadratu prve derivacije ψ po koordinatama, gornjajednadzba postaje

∂2 ψ(x, y, t)

∂ t2=Fxσ0

∂2 ψ

∂ x2+Fyσ0

∂2 ψ

∂ y2.

Omjeri F/σ0 su dimenzije kvadrata brzine, pa cemo uvesti oznake

cx =

√Fxσ0

, cy =

√Fyσ0

.


Slika 11.8: Sile: (A) u smjeru osi x i (B) u smjeru osi y.

Uz ove oznake, jednadzbu gibanja malog dijela membrane prepoznajemo kao dvodimenzijsku8

valnu jednadzbu

∂2 ψ(x, y, t)

∂ t2= c2x

∂2 ψ(x, y, t)

∂ x2+ c2y

∂2 ψ(x, y, t)

∂ y2. (11.33)

sa razlicitim faznim brzinama u x i y smjerovima.Pretpostavka da je povrsinska masena gustoca σ0 konstantna, znaci da je membrana homogenau svim svojim tockama. Ako jos pretpostavimo da su i sile napetosti u x i y smjeru iste, tadace membrana biti i izotropna, imat ce ista svojstva u svim smjerovima. U tom slucaju cejednake biti i brzine cx = cy ≡ c, pa gornja valna jednadzba postaje

∂2 ψ

∂ t2= v 2

f ∇ 22D ψ,

gdje smo s ∇ 22D oznacili dvodimenzijski Laplaceov operator

∂2

∂ x2+

∂2

∂ y2

u pravokutnom koordinatnom sustavu.Kao sto smo vec vise puta spomenuli, rjesenje diferencijalne jednadzbe je jednoznacno odredenopocetnim uvjetima za vremensku i rubnim uvjetima za prostornu varijablu. Rubni uvjeti kazuda su rubovi membrane sve vrijeme nepomicni, tj. njihov je otklon jednak nuli:

lijevi rub ψ(0, y, t) = 0,

desni rub ψ(Lx, y, t) = 0,

donji rub ψ(x, 0, t) = 0,

gornji rub ψ(x, Ly, t) = 0.

8Usporediti s jednadzbom (11.15) u jednoj dimenziji.


Pocetni uvjeti opisuju polozaj i brzinu svake tocke na membrani u pocetnom trenutku t:

pocetni polozaj ψ(x, y, 0) = f(x, y),

pocetna brzina∂ ψ(x, y, t)

∂ t

∣∣∣∣t=0

= g(x, y),

za poznate (zadane) funkcije f i g.Pretpostavimo rjesenje u Bernoullijevu obliku (s razdvojenim varijablama)

ψ(x, y, t) = X (x) Y(y) T (t).

Uvrstimo li ovo rjesenje u jednadzbu (11.33), dolazimo do

X Y ∂2 T∂ t2

= c2x Y T∂2X∂ x2

+ c2y X T ∂2 Y∂ y2

.

Cijelu jednadzbu podijelimo s umnoskom X Y T i dobijemo

1

T∂2 T∂ t2

=c2xX

∂2X∂ x2

+c2yY∂2 Y∂ y2

.

Svaki od tri clana u gornjoj jednadzbi je funkcija samo jedne varijable, tj. on vidi preostaladva clana kao konstante. Te konstante su dimenzije inverznog kvadrata vremena, pa cemoih oznaciti s ω2, jer je kvadrat kutne brzine iste dimenzije

c2xX

∂2X∂ x2

= − ω2x,

c2yY∂2 Y∂ y2

= − ω2y,

1

T∂2 T∂ t2

= − ω2x − ω2

y.

Na taj nacin sve tri jednadzbe postaju jednadzbe tipa harmonijskog oscilatora,

∂2X∂ x2

= −ω2x

c2xX , ∂2 Y

∂ y2= −ω

2y

c2yY , ∂2 T

∂ t2= −(ω2

x + ω2y) T ,

s kojima smo se vec sretali u poglavlju 6, pa mozemo odmah napisati njihova rjesenja u oblikulinearne kombinacije trigonometrijskih funkcija

X (x) = a1 cos kxx+ b1 sin kxx, kx ≡ ωxcx

Y(y) = a2 cos kyy + b2 sin kyy, ky ≡ ωycy

T (t) = a3 cosωt+ b3 sinωt, ω ≡√ω2x + ω2

y.

Nepoznate koeficijente aj i bj odredujemo iz 4 rubna i 2 pocetna uvjeta na funkciju

ψ(x, y, t) = (a1 cos kxx+ b1 sin kxx) (a2 cos kyy + b2 sin kyy) (a3 cosωt+ b3 sinωt).

Zapocnimo s rubnim uvjetima:Lijevi rub:

ψ(0, y, t) = 0 = a1 Y(y) T (t) ⇒ a1 = 0.

Desni rub:

ψ(Lx, y, t) = 0 = b1 sin kxLx Y(y) T (t) ⇒ kxLx = nπ, n = 1, 2, · · · .


Zakljucujemo da valni broj, a time i valna duljina, frekvencija i period, mogu poprimati samodiskretne vrijednosti

kx = kx,n =nπ

Lx, n = 1, 2, · · · ,

λx = λx,n =2Lxn,

ωx = ωx,n = cxnπ

Lx,

Tx = Tx,n =2Lxn cx

.

Donji rub:

ψ(x, 0, t) = 0 = b1 sin kx,nx a2 T (t) ⇒ a2 = 0.

Gornji rub:

ψ(x, Ly, t) = 0 = b1 sin kx,nx b2 sin kyLy T (t) ⇒ kyLy = mπ, m = 1, 2, · · · .

Ovo opet vodi do zakljucka o diskretnosti

ky = ky,m =mπ

Ly, m = 1, 2, · · · ,

λy = λy,m =2Lym

,

ωy = ωy,m = cymπ

Ly,

Ty = Ty,m =2Lyn cy

.

Diskretna postaje i kruzna frekvencija ω

ω = ωn,m =√ω2x,n + ω2

y,m = π

√c2x n

2

L2x

+c2ym

2

L2y

.

Time rjesenje za ψ postaje ovisno o indeksima n i m

ψn,m(x, y, t) = b1 sin kx,nx b2 sin ky,my (a3 cosωn,mt+ b3 sinωn,mt).

Uz redefiniciju konstanata b1 b2 a3 → an,m i b1 b2 b3 → bn,m, pisemo

ψn,m(x, y, t) = sin kx,nx sin ky,my (an,m cosωn,mt+ bn,m sinωn,mt).

Buduci da je polazna valna jednadzba linearna, to ce ukupno rjesenje (ono koje zadovoljava irubne i pocetne uvjete) biti linearna kombinacija svih mogucih ψn,m-ova

ψ(x, y, t) =∞∑n=1

∞∑m=1

ψn,m(x, y, t) =∞∑n=1

∞∑m=1

sin kx,nx sin ky,my(an,m cosωn,mt+bn,m sinωn,mt

).

(11.34)Kao i u nekoliko prethodnih odjeljaka, preostale nepoznate koeficijente an,m i bn,m cemo odreditiiz (pocetnih) uvjeta na polozaj i brzinu svih tocaka membrane u t = 0.Pocetni polozaj:

f0(x, y) = ψ(x, y, 0) =∞∑n=1

∞∑m=1

sinnπx

Lxsin

mπy

Lyan,m.


Na obje strane gornje jednadzbe djelujemo slijedecim operatorom integriranja

∫ Lx

0

dx sinpπx

Lx

∫ Ly

0

dy sinrπy

Ly

i dobijemo

∫ Lx

0

dx

∫ Ly

0

dy f0(x, y) sinpπx

Lxsin

rπy

Ly=

∞∑n=1

∞∑m=1

an,m

∫ Lx

0

dx sinnπx

Lxsin

pπx

Lx︸︷︷︸= (Lx/2) δn,p

·∫ Ly

0

dy sinmπy

Lysin

rπy

Ly︸︷︷︸= (Ly/2) δm,r

,

iz cega odmah slijedi koeficijent an,m

an,m =4

Lx Ly

∫ Lx

0

dx

∫ Ly

0

dy f0(x, y) sinnπx

Lxsin

mπy

Ly.

Na slican nacin odredujemo i koeficijente bn,m

g0(x, y) =∂ ψ(x, y, t)

∂ t

∣∣∣∣t=0

=∞∑n=1

∞∑m=1

sinnπx

Lxsin

mπy

Lybn,m ωn,m.

Opet cijelu jednadzbu napadamo istim operatorom integriranja

∫ Lx

0

dx sinpπx

Lx

∫ Ly

0

dy sinrπy

Ly,

iz cega slijedi

∫ Lx

0

dx

∫ Ly

0

dy g0(x, y) sinpπx

Lxsin

rπy

Ly=

∞∑n=1

∞∑m=1

bn,m ωn,m

∫ Lx

0

dx sinnπx

Lxsin

pπx

Lx︸︷︷︸= (Lx/2) δn,p

·∫ Ly

0

dy sinmπy

Lysin

rπy

Ly︸︷︷︸= (Ly/2) δm,r

,

sto daje za koeficijent bn,m

bn,m =4

ωn,m Lx Ly

∫ Lx

0

dx

∫ Ly

0

dy g0(x, y) sinnπx

Lxsin

mπy

Ly,

cime je rjesenje (11.34) za ψ u cjelosti odredeno.

Kao sto smo u odjeljku 11.2.1, kod titranja opisanog s ψn(x, t) uocili cvorne tocke (tj. cvorove),tako sada u ovom dvodimenzijskom primjeru, kod titranja modom ψn,m(x, y, t) uocavamo

11.4. TITRANJE KRUZNE MEMBRANE 329

cvorne linije: mjesta na membrani koja stalno miruju. To su pravci paralelni s x i y osi,koji su rjesenja jednadzba

sinnπx

Lx= 0 ⇒ nπx

Lx= p π, p = 0, 1, 2, · · · ,

sinmπy

Ly= 0 ⇒ mπy

Ly= r π, r = 0, 1, 2, · · · ,

iz cega slijede jednadzbe pravaca

x = Lxp

n, y = Ly

r

m.

Slicno se dobiju i jednadzbe pravaca na kojima leze trbusi dvodimenzijskog stojnog vala

sinnπx

Lx= ± 1 ⇒ nπx

Lx= (2 p+ 1)

π

2, p = 0, 1, 2, · · · ,

sinmπy

Ly= ± 1 ⇒ mπy

Ly= (2 r + 1)

π

2, r = 0, 1, 2, · · · ,

x =Lx2

2 p+ 1

n, y =

Ly2

2 r + 1

n.

Nakon ovih primjera titranja u jednoj i dvije dimenzije, vjerujemo da citatelju nece biti teskogornje racune poopci na titanje trodimenzijskog elasticnog kontinuuma s pravokutnom geome-trijom.

11.4 Titranje kruzne membrane

U prethodnom smo odjeljku dosli do valne jednadzbe koja opisuje titranje dvodimenzijskemembrane

∂2 ψ

∂ t2= v 2

f ∇ 22D ψ.

Sada cemo rjesavati tu jednadzbu, ali ne u pravokutnoj geometriji kao u prethodnom odjeljku,nego u cilindrickoj geometriji: pretpostavit cemo da imamo kruznu homogenu membranu kojaje pobudena na titranje. Ispitivanjem svojstava tog titranja, upoznat cemo se s novim i vaznimBesselovim 9 funkcijama koje se pojavljuju i u klasicnoj elektrodinamici i u kvantnoj mehanici.

Postavimo membranu u ravninu (x, y) sa sredistem u ishodistu. Polumjer membrane oznacimos R, a otklon bilo koje tocke membrane od ravnoteznog polozaja cemo opet oznaciti s ψ.Zbog simetrije membrane, necemo korisiti pravokutne, vec polarne koordinate (ρ, ϕ). Laplaceovoperator u polarnim koordinatama je oblika

∇ 2 =∂2

∂ ρ2+

1

ρ

∂

∂ ρ+

1

ρ2

∂2

∂ ϕ2.

U ovim oznakama, valna jednadzba glasi

1

v 2f

∂2 ψ(ρ, ϕ, t)

∂ t2=∂2 ψ(ρ, ϕ, t)

∂ ρ2+

1

ρ

∂ ψ(ρ, ϕ, t)

∂ ρ+

1

ρ2

∂2 ψ(ρ, ϕ, t)

∂ ϕ2.

9Friedrich Wilhelm Bessel, 1784. - 1846., njemacki matematicar i astronom.


Jednadzbu cemo rjesavati metodom razdvajanja varijabli

ψ(ρ, ϕ, t) = R(ρ)F(ϕ) T (t).

U ovim oznakama, valna jednadzba postaje

R Fv 2f

∂2 T (t)

∂ t2= F T

(∂2R(ρ)

∂ ρ2+

1

ρ

∂R(ρ)

∂ ρ

)+R Tρ2

∂2F(ϕ)

∂ ϕ2.

Sada cijelu jednadzbu podijelimo s R(ρ)F(ϕ) T (t)

1

T v 2f

∂2 T (t)

∂ t2=

1

R(∂2R(ρ)

∂ ρ2+

1

ρ

∂R(ρ)

∂ ρ

)+

1

F ρ2

∂2F(ϕ)

∂ ϕ2.

Desna strana jednadzbe ne ovisi o vremenu, pa je sa stanovista vremenske varijable ona kons-tantna. Ta konstanta ima dimenziju inverznog kvadrata duljine, pa cemo ju oznaciti s −k2

∂2 T∂ t2

= −k2 v 2f T ,

1

R(∂2R∂ ρ2

+1

ρ

∂R∂ ρ

)+

1

F ρ2

∂2F∂ ϕ2

= −k2.

Lijevu od gornjih jednadzba prepoznajemo kao jednadzbu harmonijskog oscilatora iz odjeljka6, cija su rjesenja linearna kombinacija trigonometrijskih funkcija

T (t) = a1 cos kvf t+ b1 sin kvf t.

Mnozenje desne od gornjih jednadzba s ρ2, vodi na

ρ2

R(∂2R∂ ρ2

+1

ρ

∂R∂ ρ

+ k2R)

= − 1

F∂2F∂ ϕ2

.

Lijeva strana ovisi samo o varijabli ρ, a desna samo o varijabli ϕ. Sa stanovista varijable ρ,desna je strana konstantna, a isto tako sa stanovista varijable ϕ, lijeva je strana konstantna.Radi se o bezdimenzijskoj konstanti koju cemo oznaciti s n2

∂2F∂ ϕ2

= −n2 F ,(∂2R∂ ρ2

+1

ρ

∂R∂ ρ

+ k2R)

=n2

ρ2R.

Lijevu od gornjih jednadzba prepoznajemo kao jednadzbu harmonijskog oscilatora sa rjesenjima

F(ϕ) = a2 cosnϕ+ b2 sinnϕ.

Zbog kruzne simetrije membrane, F mora biti periodicna funkcija s periodom 2 π

F(ϕ) = F(ϕ+ 2 π),

a to je ispunjeno ako je

cosnϕ = cosn(ϕ+ 2 π) = cosnϕ cosn2π − sinnϕ sinn2π,

sinnϕ = sinn(ϕ+ 2 π) = sinnϕ cosn2π + cosnϕ sinn2 π.

Ocito su gornji uvjeti zadovoljeni ako je n cijeli broj

n = 0,±1,±2, · · ·

11.4. TITRANJE KRUZNE MEMBRANE 331

Pogledajmo sada jednadzbu za R

ρ2 ∂2R∂ ρ2

+ ρ∂R∂ ρ

+ (k2 ρ2 − n2) R = 0.

Prijedimo s varijable ρ na bezdimenzijsku varijablu α = ρ k

∂R∂ ρ

= k∂R∂ α

,∂2R∂ ρ2

= k2 ∂2R∂ α2

.

U varijabli α, jednadzba za R postaje

∂2R∂ α2

+1

α

∂R∂ α

+

(1− n2

α2

)R = 0

Gornja je jednadzba poznata kao Besselova diferencijalna jednadzba, cija su rjesenjapoznata i zovu se Besselove funkcije. One ovise o cijelom broju n (koji se naziva i red funkcije)i oznacavaju se s In

R(ρ) = In(ρ k)

Kao posljedica rubnog uvjeta ψ(R,ϕ, t) = 0 = R(ρ = R), slijedi uvjet na k

In(Rk) = 0.

Konstanta k ne moze biti proizvoljna, vec se mora odabrati tako da Rk bude nul-tocka Besselovefunkcije. Besselove funkcije imaju besnonacno puno diskretnih realnih nul-tocaka koje se moguoznaciti indeksom m = 1, 2, · · · . Dakle ce konstanta k imati dva indeksa: n koji oznacava redfunkcije i m koji oznacava nul-tocku za dani red

k → kn,m.

Time smo dobili rjesenje za ψ koje ovisi o dva indeksa (uz redefiniciju konstanata)

ψn,m(ρ, ϕ, t) = In(ρ kn,m) (an,m cosnϕ+ bn,m sinnϕ) (cn,m cos kn,mct+ dn,m sin kn,mct).

Zbog linearnosti valne jednadzbe, opce je rjesenje linearna kombinacija rjesenja za sve mogucen i m

ψ(ρ, ϕ, t) =∞∑n=0

∞∑m=0

ψn,m(ρ, ϕ, t)

=∞∑n=0

∞∑m=0

In(ρ kn,m) (an,m cosnϕ+ bn,m sinnϕ) (cn,m cos kn,mct+ dn,m sin kn,mct).

Konstante an,m, bn,m, cn,m i dn,m su proizvoljne.


Poglavlje 12

Ravninsko gibanje krutog tijela

12.1 Uvod

Djelovanje vanjske sile na sustav cestica, promjenit ce udaljenosti medu cesticama sustava. Ovaosobina sustava se naziva deformabilnost ili elasticitet. Promotrimo dvije cestice sustava, i ij, na medusobnoj udaljenosti ri,j. Ako je promjena medusobne udaljenosti cestica, ∆ ri,j, punomanja od same meducesticne udaljenosti ri,j,

∆ ri,j << ri,j,

i ako se stoga moze, u prvoj aproksimaciji zanemariti, govori se o krutom (cvrstom) tijelu kodkojega su medusobne udaljenosti cestica nepromjenjive (konstantne),

ri,j = const.

Krutim tijelom nazivamo sustav cestica kod kojega se udaljenost izmedu bilo koje dvije njegovesastavne cestice ne mijenja, bez obzira na jakost sila koje djeluju na cestice sustava.Pomakom krutog tijela nazivamo promjenu njegovog polozaja. Pomaci mogu biti ili vrtnje ilitranslacije. Ako tijekom pomaka tijela, sve tocke tijela sa jedne linije (koju nazivamo os) tijelaostaju nepomicne, tada taj pomak nazivamo vrtnjom, rotacijom ili zakretom oko osi. Zakretimogu biti konacni ili infinitezimalni. Konacni zakreti nisu pravi vektori (nego pseudo-vektori)jer za njih ne vrijedi pravilo komutativnosti zbrajanja. Neka su npr. zadana dva zakreta: prviza π/2 oko osi z, oznacen s Zz = (z , π

2) i drugi za π/2 oko osi x, oznacen s Zx = (x , π

2). Oba

su zakreta definirana u skladu s pravilom desne ruke. Sa slike 12.1 se jasno vidi da ne vrijedikomutativnost

Zz ⊗ Zx 6= Zx ⊗ Zz. (12.1)

Za infinitezimalne zakrete vrijedi

dZz ⊗ dZx = dZx ⊗ dZz (12.2)

i oni se mogu prikazati pravim vektorima (tako je npr. kutna brzina ~ω pravi vektor jer jedefinirana preko zakreta za infinitezimalni kut dϕ).Ako se tijekom pomaka sve tocke krutog tijela gibaju paralelno jedna drugoj, pomak se nazivatranslacija. Fiksiraju li se dvije tocke krutog tijela, ono se ne moze gibati translacijski, alise moze vrtjeti oko osi koja prolazi tim dvjema tockama. No, ako sada fiksiramo jos jednu(trecu) tocku izvan ove osi, tijelo se nece moci niti vrtjeti, tj. fiksiranje tri nekolinearne tockekrutog tijela onemogucava bilo kakav pomak tijela.. Zakljucujemo da tri nekolinearne tockeodreduju polozaj krutog tijela. Neki primjeri translacijskog gibanja su prikazani na slici 12.2

333

334 POGLAVLJE 12. RAVNINSKO GIBANJE KRUTOG TIJELA

Slika 12.1: Nekomutativnost zakreta za konacni kut.

(radi preglednosti, na slici su prikazani polozaji samo tri nekolinearne tocke). Opce gibanjekrutog tijela je ono kod kojega niti jedna tocka tijela ne ostaje nepomicna. Kao sto je pokazanou odjeljku 12.4, ono se moze prikazati kao kombinacija translacije i vrtnje oko pogodnoodabrane tocke (cesto je ta tocka upravo srediste mase tijela).Ako se kruto tijelo giba tako da se sve njegove tocke gibaju paralelno u odnosu na neku nepo-micnu ravninu, a os vrtnje je okomita na tu istu ravninu, takvo se gibanje naziva ravninskogibanje . Kod ravninskog gibanja se razlikuju dva slucaja:(1) Osnovno kod ravninskog gibanja krutog tijela je da tijekom gibanja, os vrtnje ne mi-jenja svoj smjer . Ukoliko tijelo izvodi samo vrtnju (bez translacije), ono ima samo jedanstupanj slobode, jer je potrebna samo jedna koordinata za potpuno odredenje polozaja tijela(to je kut ϕ zakreta tijela oko osi).(2) Opce ravninsko gibanje: gibanje tijela je kombinacija translacije u smjeru paralelno sanepomicnim ravninom i vrtnje oko osi okomite na tu ravninu. cesto se odabire da ta os prolazisredistem mase. Kod ovakvog gibanja, tijelo posjeduje tri stupnja slobode: dvije koordinatesu potrebne za opis translacije (npr. x i y koordinate sredista mase tijela) i jedna koordinata(npr. kut ϕ) koja opisuje zakret oko osi vrtnje. Spomenuta se os zove trenutna os, a njezinopresjeciste s ravninom se zove trenutno srediste vrtnje.

12.2 Moment tromosti

Moment tromosti je velicina koja u opisu vrtnje krutog tijela ima slicnu ulogu koju ima masa kodopisa translacijskog gibanja krutog tijela. Npr. kruto tijelo ukupne mase m koje se translacijskigiba brzinom ~v ima kineticku energiju jednaku m~v 2/2. Pokazat cemo da to isto tijelo koje sevrti kutnom brzinom ω oko nepomicne osi, ima kineticku energiju vrtnje jednaku Iω2/2, gdjeje I moment tromosti tijela u odnosu na danu os vrtnje.Definirajmo najprije moment tromosti cestice mase m cija je okomita udaljenost od zadaneosi AB oznacena s r⊥ (slika 12.3.A)

I = mr2⊥. (12.3)

Do momenta tromosti krutog tijela se dolazi tako da se tijelo (u mislima) razdijeli na

12.2. MOMENT TROMOSTI 335

Slika 12.2: Ilustracija translacijskog gibanja krutog tijela: (A) pravocrtno translacijsko; (B) krivocrtno transla-cijsko i (C) kruzno translacijsko.

N djelica mase ∆mj, dovoljno malih da je okomita udaljenost svakoga od njih, od osi AB(slika 12.3.B), dobro definiran pojam. Tu cemo udaljenost oznaciti s rj,⊥. Moment tromostidefiniramo kao aditivnu velicinu, tako da se moment tromosti cijeloga tijela definira kao zbrojmomenata tromosti svih njegovih dijelova

I =N∑j=1

∆mjr2j,⊥. (12.4)

U granici kada N postaje neograniceno velik (tj. dijelovi postaju sve manji)

I = limN→∞

N∑j=1

∆mj r2j,⊥ →

∫dm r2

⊥(m). (12.5)

Prijelazom s mase na gustocu mase, dm = ρm(~r) d3r, (u trodimenzijskom prostoru) izraz zamoment tromosti postaje

I =

∫r2⊥ ρm(~r) d3r. (12.6)

Integrira se po dijelu prostora u kojemu se nalazi kruto tijelo (tj. tamo gdje je gustoca razlicitaod nule). S r⊥ je oznacena okomita udaljenost elementa volumena d3r od osi u odnosu na kojuse racuna moment tromosti. Volumna masena gustoca krutog tijela je oznacena s ρm(~r) i imaulogu funkcije raspodjele1, a moment tromosti se pojavljuje kao drugi moment te raspodjele.Ako je jedna od dimenzija krutog tijela puno manja od preostale dvije, moze se govoriti odvodimenzijskoj (plosnoj) raspodjeli mase gustoce σm(~r), ili, ako je tijelo oblika tanke zice,govorimo o linijskoj raspodjeli gustoce mase koju oznacavamo s λm(~r). U ta dva slucaja,

1Vidjeti npr. poglavlje Osnovni pojmovi statistike u [13]


Slika 12.3: Uz definiciju momenta tromosti: (A) cestice, (B) krutog tijela.

moment tromosti se racuna slijedecim izrazima

I =

∫r2⊥ σm(~r) d2r, 2D, (12.7)

I =

∫r2⊥ λm(~r) dr, 1D.

Da bi se naglasila slicnost u definiciji momenta tromosti cestice i krutog tijela, uvodi se pojampolumjera tromosti ili polumjera giracije K sustava cestica. On je definiran izrazom

K2 =

∑Nj=1 ∆mj r

2j,⊥∑N

j=1 ∆mj

=I

m,

tj. I = mK2 ili rijecima: jedna cestica koja bi imala masu jednaku ukupnoj masi sustava m icija bi okomita udaljenost od zadane osi bila jednaka K, imala bi isti moment tromosti kao isustav cestica polumjera tromosti K (specijalno: ako se sustav sastoji samo od jedne cestice,tada je K = r⊥).

Za sustave s kontinuiranom raspodjelom mase, polumjer tromosti se racuna iz

K2 =

∫r2⊥ ρm(~r) d3r∫ρm(~r) d3r

.

Primjer: 12.1 Izracunajte moment tromosti homogenog valjka oko osi sa slike

R: dovrsiti

12.3. TEOREMI O MOMENTIMA TROMOSTI 337

Slika 12.4: Uz racunanje momenta tromosti valjka.

12.3 Teoremi o momentima tromosti

Teorem o paralelnim osima (Steinerov teorem):Promatrajmo kruto tijelo koje se vrti oko proizvoljne osi AB koja prolazi tockom O (slika12.5.A). Uocimo sada os paralelnu sa osi AB, ali koja prolazi sredistem mase SM krutogtijela i potrazimo vezu medu momentima tromosti tijela u odnosu na te dvije osi. Neka je bokomita udaljenost medu osima, a m neka je ukupna masa tijela. Postavimo dva koordinatna

Slika 12.5: Uz Steinerov teorem.

sustava kao na slici 12.5.B: jedan, (x, y, z), s ishodistem O na osi AB, a drugi, (x ′, y ′, z ′), s


ishodistem SM u sredistu mase krutog tijela. Osi z i z ′ su medusobno paralelne i imaju smjer

osi vrtnje. Okomita udaljenost medu osima je dana vektorom ~b = b b . Veza medu polozajemj-te cestice gledane iz sustava (x, y, z) i sustava (x ′, y ′, z ′) je dana izrazom

~rj = ~rSM + ~r ′j .

Izracunajmo momente tromosti oko obje osi

IO =N∑j=1

mj r2j,⊥ =

N∑j=1

mj (~rj b )2,

ISM =N∑j=1

mj r′ 2j,⊥ =

N∑j=1

mj (~r ′j b )2.

Vezu izmedu IO i ISM cemo dobiti tako da ~rj = ~rSM + ~r ′j uvrstimo u izraz za IO

IO =N∑j=1

mj[(~rSM + ~r ′j )b ]2 =N∑j=1

mj (~rSM b + ~r ′j b )2

=N∑j=1

mj

[(~rSM b )2 + 2 (~rSM b ) (~r ′j b ) + (~r ′j b )2

]

= (~rSM b )2

N∑j=1

mj + 2 (~rSM b )

(N∑j=1

mj ~r′j

)

︸︷︷︸= 0

b +N∑j=1

mj (~r ′j b )2 = m b2 + ISM .

Nula u gornjem izrazu dolazi odatle sto je ~r ′SM = (1/m)∑N

j=1 mj~r′j = 0. Tako se dolazi do

veze medu momentima tromosti tijela mase m u odnosu na dvije paralelne osi od kojih jednaprolazi tockom O, a druga sredistem mase SM , a medusobno su udaljene za b

IO = ISM +m b2. (12.8)

Gornji izraz se zove Steinerov teorem2. Buduci da je mb2 > 0, zakljucujemo da tijeloima najmanji moment tromosti kada os vrtnje prolazi sredistem mase. To je jos jedna vaznaosobina sredista mase. U odjeljku 12.5 cemo vidjeti da je rad koji je potrebno uloziti da se tijeloiz stanja mirovanja, dovede u stanje vrtnje, srazmjeran s I. Taj ce rad dakle biti najmanji kadaje I najmanji, a iz Steinerova teorema vidimo da je I najmanji kada os vrtnje prolazi sredistemmase (tada je b = 0). Zakljucujemo da najmanje rada treba uloziti da bi se tijelo vrtjelo okoosi kroz srediste mase.

Teorem o okomitim osima:Teorem o okomitim osima je primjenjiv samo na kruta tijela cija je masa rasporedena u ravnini,npr. u ravnini (x, y) pravokutnog koordinatnog sustava (slika 12.6). Neka Ix, Iy i Iz oznacavaju

2Jakob Steiner, 1796 - 1863, njemacki matematicar.

12.4. PAROVI SILA 339

Slika 12.6: Uz teorem o okomitim osima.

momente tromosti tijela oko osi x , y i z , a ~rj = xjx + yj y neka je radij-vektor j-te cesticetijela. Izracunajmo moment tromosti oko osi z

Iz =N∑j=1

mjr2j,⊥ =

N∑j=1

mj r2j =

N∑j=1

mj(x2j + y2

j )

=N∑j=1

mj(x2j + 02)

︸︷︷︸= Iy

+N∑j=1

mj(y2j + 02)

︸︷︷︸= Ix

,

buduci da se tijelo nalazi u ravnini (x, y), njegove su z koordinate jednake nuli, zj ≡ 0. Takose dolazi i do teorema o okomitim osima

Iz = Ix + Iy. (12.9)

12.4 Parovi sila

Parom sila cemo nazivati skup od dvije po iznosu jednake, a po smjeru suprotne sile kojeleze na paralelnim pravcima. To su sile ~F i −~F sa slike 12.7.A. Ako takav par sila djelujena kruto tijelo, on proizvodi ucinak zakreta, a zakretni moment ili moment sile ~M ne ovisi oizboru polozaju ishodista koordinatnog sustava i jednak je ~r × ~F , gdje je r udaljenost meduhvatistima sila

~M = ~r+ × ~F + ~r− × (−~F ).

No, ~r+ = ~r− + ~r, pa je

~M = ~r+ × ~F + (~r+ − ~r)× (−~F ) = ~r+ × ~F − ~r+ × ~F + ~r × ~F = ~r × ~F .


Slika 12.7: Uz definiciju para sila.

Ako sile leze na istom pravcu, tada je ~r kolinearan s ±~F i njihov je vektorski umnozak jednaknuli, ~r × ~F = 0. Vektori ~r± ovise o izboru polozaja ishodista koordinatnog sustava, dok ~r i ~F ,

ne ovise, pa ni ~M ne ovisi o izboru ishodista.

Pokazimo sada da se svaka sila, koja djeluje u proizvoljnoj tocki krutog tijela, P , moze zamijenitijednom drugom silom koja djeluje u nekoj drugoj tocki krutog tijela, O, i jednim pogodnoodabranim parom sila. Slika 12.7.B ilustrira ovu tvrdnju. Neka sila ~F djeluje u tocki P krutog

tijela. Nista se nece promijeniti ako u tocki O djeluju sile ~f i −~f (ovaj par sila nece izazvati

ni translaciju ni zakret). Odaberemo li iznos sile ~f tako da je f = F , tada mozemo reci da na

tijelo djeluje sila ~f = ~F u tocki O i par sila −~f = −~F i ~F .

Podijelimo, opet, u mislima kruto tijelo na N djelica i neka u svakoj j-toj tocki Pj s radij

vektorom ~rj, djeluje sila ~Fj. Tu silu zamjenimo parom sila momenta jednakog ~rj × ~Fj i silom~Fj koja djeluje u tocki O (primjetimo da je O sada postalo zajednicko hvatiste svih sila ~Fj).

Kada to provedemo za sve sile koje djeluju na tijelo, vidimo da smo sustav sila ~Fj koje djelujuu razlicitim tockama ~rj tijela zamjenili jednom silom

~R = ~F1 + ~F1 + · · ·+ ~FN ,

koja djeluje u jednoj proizvoljno odabranoj tocki O i jednim momentom sila

~M = ~r1 × ~F1 + ~r2 × ~F2 + · · ·+ ~rN × ~FN ,

koji ne ovisi o izboru ishodista (koje je postavljeno - radi jednostavnosti- u tocku O).

Uobicajeno je tocku O postaviti u srediste mase tijela. Tada rezultantna sila ~R vodi na transla-cijsko gibanje tijela, a rezultantni moment sile ~M vodi na zakret oko osi koja prolazi sredistemmase.

12.5. KINETICKA ENERGIJA, RAD I SNAGA VRTNJE 341

12.5 Kineticka energija, rad i snaga vrtnje

Kineticka energija:Neka se kruto tijelo vrti oko nepomicne osi AB (slika 12.8) kutnom brzinom ω koja ima smjerosi AB, dakle smjer se ne mjenja u vremenu. Uslijed vrtnje tijela, njegove se cestice gibajui stoga imaju odredenu kineticku energiju. Tu cemo energiju zvati kineticka energija vrtnje, aoznacavat cemo ju s Ek,vrt. Izracunajmo Ek,vrt tijela sa slike 12.8. Zamislimo opet da je tijelo

Slika 12.8: Uz izvod kineticke energije vrtnje.

sastavljeno od N djelica mase mj. Kineticka energija j-tog djelica je jednaka mj v2j/2, a brzina

vj =dljdt

=dϕ rj,⊥dt

= ω rj,⊥.

Energija je aditivna velicina, pa kineticku energiju vrtnje cijelog tijela racunamo kao zbrojkinetickih energija pojedinih djelica

Ek,vrt =N∑j=1

1

2mjv

2j =

1

2

N∑j=1

mj ω2 r2

j,⊥.

U gornjem izrazu prepoznajemo moment tromosti I =∑N

j=1 mj r2j,⊥, tako da je konacno

Ek,vrt =1

2I ω2 (12.10)

Primjecujemo i slicnost gornjeg izraza s izrazom za kineticku energiju translacijskog gibanja,mv2/2: umjesto mase dolazi moment tromosti, a umjesto brzine dolazi kruzna brzina. Primje-timo i razliku: dok je masa uvijek ista3 za svako transalcijsko gibanje, dotle momemt tromostiopcenito ovisi o smjeru osi oko koje se odvija vrtnja.

3Naravno, uz zanemarivanje relativistickih ucinaka


Momenti:Izracunajmo i moment kolicine gibanja krutog tijela koje se vrti oko nepomicne osi. Iznosmomenta kolicine gibanja j-tog djelica tijela je

~L j = ~rj × ~p j = ~rj × mj ~vj = rj r j × mj vjϕ j = rjmjvj(−θ j)= rjmjvj(−x cos θj cosϕj − y cos θj sinϕj + z sin θj).

Smjer vektora ~L je odreden smjerom vektorskog umnoska r × ϕ = −θ i cinjenicom da je(vanjskim silama) smjer osi vrtnje nepromjenjiv. Smjer θ se moze rastaviti na komponentu oko-

mitu na os vrtnje i komponentu paralelnu s osi vrtnje. Komponete ~L okomite na smjer vrtnje(to su Lx i Ly komponente) bi htjele promijeniti smjer osi vrtnje, ali ih u tome sprjecavaju vanj-ske sile koje drze os vrtnje nepomicnom. Ove se komponente dakle ponistavaju s djelovanjemvanjskih sila i preostaje samo komponenta paralelna s osi vrtnje (to je Lz komponenta).

~L j = mj rj vj sin θj z = mj rj,⊥ vj z = mj r2j,⊥ ω z ,

pa je ukupni iznos momenta kolicine gibanja

~L =N∑j=1

~L j =N∑j=1

mj r2j,⊥ ~ω = I ~ω . (12.11)

Ranije smo, relacijom (10.15), pokazali da je ~L = ~M . Primjenimo li to na gornji izraz za ~L ,slijedi

d

dtI ~ω = I ~α = ~M,

gdje smo s ~α = ~ω oznacili kutno ubrzanje, tj. vremensku promjenu kutne brzine vrtnje. Smjervrtnje je nepromjenjiv u vremenu, pa se vremenska derivacija odnosi samo na promjenu iznosakutne brzine. Za tijelo koje se vrti, gornja je relacija analogon drugog Newtonovog aksiomam~a = ~F , gdje umjesto sile dolazi moment sile, umjesto mase dolazi moment tromosti, a umjestoubrzanja dolazi kutno ubrzanje.

Rad i snaga:Ako na tijelo djeluju samo konzervativne vanjske sile, tada se tijelu moze pridruziti potencija-lana energija Ep, a zbroj kineticke energije vrtnje i potencijalne energije je konstantan

Ek,vrt + Ep =1

2I ω2 + Ep = E = const.

Promotrimo sada kruto tijelo koje u pocetku miruje, ali se moze vrtjeti oko osi okomite nazadanu ravninu, a koja prolazi tockom O tijela (slika 12.9.A). Sila ~F koja izaziva vrtnju ti-

jela, djeluje u tocki A (slika 12.9.B) i stvara moment sile ~M . Izracunajmo koliki rad treba

obaviti vanjska sila ~F , da bi u kratkom vremenu dt zakrenula kruto tijelo za mali kut dϕ. Utom kratkom vremenskom intervalu je sila priblizno konstantna, pa je prema opcoj definicijidiferencijala rada

dW = ~F d~r = ~Fd~r

dtdt = ~F ~v dt = ~F (~ω × ~r) dt,

12.5. KINETICKA ENERGIJA, RAD I SNAGA VRTNJE 343

Slika 12.9: Uz izvod izraza za rad koji treba obaviti da bi se tijelo dovelo u stanje vrtnje.

(neka je koordinatni sustav postavljen tako da je ~ω = ωz ). No, za mjesoviti umnozak vektora,

vrijedi pravilo ciklicnosti, prema kojemu je ~F (~ω × ~r) = ~r(~F × ~ω ) = ~ω (~r× ~F ) (sto se lako mozeprovjeriti pomoci raspisa mjesovitog umnoska u obliku determinante). Time se za diferencijalrada vrtnje krutog tijela, dobiva

dW = ~ω ~Mdt = M dϕ (12.12)

(sto je izraz analogan izrazu za rad pri translacijskom pomaku dW = ~F d~r).Ukupni rad koji vanjska sila treba obaviti nad krutim tijelom da bi ga prevela iz pocetnogstanja opisanog vrijednoscu kuta zakreta ϕp i kutnom brzinom ωp, u konacno stanje opisanokutom ϕk i kutnom brzinom ωk je zbroj (tj. integral) radova za sve male zakrete koji vode odpocetnog do konacnog stanja vrtnje

Wp−k =

∫ k

p

dW =

∫ ϕk

ϕp

M dϕ =

∫ ωk

ωp

Idω

dtω dt = I

∫ ωk

ωp

ω dω

=1

2I ω2

k −1

2I ω2

p = Ek,vrt(k)− Ek,vrt(p).

Da bi se tijelo koje u pocetku miruje (ωp = 0), dovelo u stanje vrtnje kutnom brzinom ωk = ω,potrebno je nad tijelom obaviti rad jednak kinetickoj energiji vrtnje Iω2/2. Dakle je radsrazmjeran momentu tromosti I. Prema Steinerovu teoremu (12.8),

I = ISM +mb2,

moment tromosti je najmanji ako os prolazi sredistem mase, pa je i rad koji treba uloziti naj-manji ako se tijelo vrti oko osi koja prolazi sredistem mase. Dakle, ako je zadatak dovesti tijelou stanje vrtnje kutnom brzinom ω oko osi okomite na zadanu ravninu, uz minimalni utrosakenergije, potrebno je os vrtnje postaviti tako da prolazi sredistem mase.

Iz izraza (12.12) se vidi da je snaga P potrebna za obavljanje tog rada jednaka

P =dW

dt=M dϕ

dt= M ω,


sto je posve slicno izrazu za snagu P = Fv kod translacijskog gibanja.

Ukoliko vanjske sile koje djeluju na tijelo nisu konstantne u vremenu, ni njihov moment necebiti konstantan. U tom slucaju je korisno definirati vremenski integral momenta vanjskih sila

J =

∫ tk

tp

M(t) dt,

i nazvati ga moment impulsa vanjskih sila (kao sto smo to radili u odjeljku 10.7 ). Pokazimoda je moment impulsa vanjskih sila jednak promjeni momenta kolicine gibanja (u konacnomvremenskom intervalu)

∫ tk

tp

M dt =

∫ tk

tp

Idω

dtdt = I ωk − I ωp = Lk − Lp.

Ako je ukupni moment vanjskih sila u vremenskom intervalu od tp do tk jednak nuli, tada je imoment kolicine gibanja isti na pocetku i na kraju tog vremenskog intervala

Lp = Lk = const.

12.6 Fizicko njihalo

U odjeljku 6.8 smo se upoznali s matematickim njihalom: cesticom mase m pricvrscenom zanit duljine l, koja se njise oko ravnoteznog polozaja. Zanemarili smo masu i rastezivost niti,kao i otpor sredstva u kojemu se odvija njihanje, a isto tako smo zanemarili i trenje u tockiobjesista. Uz te uvjete, za period malih titraja je dobiveno T = 2 π

√l/g.

Neka slika 12.10 prikazuje kruto tijelo mase m koje se, uslijed djelovanja gravitacijske sile, njiseoko osi kroz tocku O. Njihanje se odvija u ravnini okomitoj na os vrtnje, pri cemu os vrtnjesvo vrijeme zadrzava isti smjer. Ako zanemarimo trenje tijela s cesticama medija u kojemuse odvija njihanje, kao i trenje u tocki objesista, takvo se tijelo naziva fizicko njihalo. Uznavedene uvjete, polozaj tijela je u cjelosti odreden kutom otklona od polozaja ravnoteze (to jekut ϕ sa slike 12.11). Zamislimo li kruto tijelo kao skup od N cestica, djelovanje gravitacijskesile na tijelo mozemo zamisliti kao djelovanje gravitacijske sile na skup cestica od kojih je tijelosastavljeno (slika 12.10). Prema odjeljku 12.4, djelovanje sile u jednoj tocki tijela mozemozamjeniti djelovanjem iste sile u jednoj drugoj tocki tijela i djelovanjem momenta sile u odnosuna tu novu odabranu tocku. Primjenjeno na fizicko njihalo to znaci da djelovanje gravitacijskesile mj ~g u tocki ~rj tijela, mozemo zamjeniti djelovanjem iste takve sile u tocki objesista O imomentom sile u odnosu na to objesiste ~rj× mj ~g . Ovu zamjenu mozemo izvesti za sve cesticeodo kojih se tijelo sastoji i kao rezultat dobivamo rezultantnu silu koja djeluje u tocki objesistaO

~R O = m1 ~g +m2 ~g + · · ·+mN ~g =N∑j=1

mj ~g = m ~g .

12.6. FIZICKO NJIHALO 345

Slika 12.10: Sile koje djeluju na fizicko njihalo: reakcija u objesistu i gravitacijska sila.

i rezultantni moment sila

~MO = ~r1 × m1 ~g + ~r2 × m2 ~g + · · ·+ ~rN × mN ~g =

(N∑j=1

mj ~rj

)× ~g = m ~rSM × ~g .

Rezultantna sila ~R O se ukida sa silom reakcije objesista ~N

~R O + ~N = 0

i cini da se njihalo ne giba translacijski. Rezultantni moment sile ~MO izaziva zakret tijela okoobjesista i oblika je kao da je sva masa tijela skoncentrirana u tocki sredista mase ~rSM .Postavimo koordinatni sustav kao na slici 12.11: ishodiste neka je u objesistu, a os vrtnje nekaje okomita na ravninu crtnje. Sa SM oznacimo polozaj sredista mase njihala, a kut ϕ neka jekut koji zatvara spojnica O − SM , tj vektor ~rSM s pozitivnim smjerom osi x. Uobicajeno jeudaljenost O − SM , tj iznos vektora ~rSM oznaciti s b. Nadimo jednadzbu gibanja njihala.

~MO = ~rSM × ~g m = b (cosϕ x + sinϕ y )× m g x

= −z b m g sinϕ.

Prema (12.11), je ~L = IO ~ω = IOϕ z , gdje je kutna brzina vrtnje ~ω = ϕ z , a IO je momenttromosti njihala oko osi kroz O. Moment sile i moment kolicine gibanja su vezani relacijom

(10.28), ~L = ~M , koja u ovom slucaju postaje

IO ϕ z = −z b m g sinϕ,

tj. dobili smo jednazbu gibanja fizickog njihala u obliku

ϕ+b m g

IOsinϕ = 0. (12.13)


Slika 12.11: Uz fizicko njihalo.

Do istog rezultata se moze doci i razmatranjem energije. Gravitacijska sila je konzervativna, pase moze definirati potencijalna energija Ep kao zbroj potencijalnih energija svih djelica njihala

Ep = −∑j

mj g xj + c0 = −g∑j

mj xj + c0

= −g m xSM + c0 = −g m b cosϕ+ c0.

Postavimo ishodiste potencijalne energije tako da je ona jednaka nuli kada je srediste mase naosi x, tj kada je ϕ = 0. Tada je, ocito, c0 = m g b, pa je

Ep = m g b (1− cosϕ).

Uz zanemarivanje trenja, na njihalo djeluju samo konzervativne sile, pa je ukupna mehanickaenergija sacuvana

const. = Ek,vrt + Ep

const. =1

2IO ϕ

2 +m g b (1− cosϕ)

/d

d t

0 = IO ϕ ϕ+m g b (0 + ϕ sinϕ)

0 = ϕ(IO ϕ+m g b sinϕ

).

Sve dok se njihalo njise, ϕ 6= 0, pa gornja jednadzba moze biti zadovoljena samo ako je zagradajednaka nuli, a to je upravo ista jednadzba koju smo dobili i iz jednadzbe gibanja.

Izracunajmo period malih titraja. Mali titraji su oni za koje je otklon od polozaja ravnotezemali, tj. oni za koje je ϕ << 1. U tom slucaju je sinϕ ' ϕ + O(ϕ3), pa jednadzba gibanja

12.6. FIZICKO NJIHALO 347

postaje

ϕ+b m g

IOϕ ' 0.

Gornju jednadzbu prepoznajemo kao jednazbu gibanja slobodnog harmonijskog oscilatora ϕ+ω2

0 ϕ, s kruznom fekvencijom ω0 = 2π/T . Sada je lako procitati period

T = 2 π

√IO

m g b.

Prema relaciji (6.57), period matematickog njihala duljine l je 2π√l/g, pa ce fizicko i matema-

ticko njihalo imati iste periode, ako je

l =IOm b

.

U tom se slucaju l naziva ekvivalentnom duljinom matematickog njihala. Proanalizirajmogornju relaciju, tako sto cemo sa IO, pomocu Steinerovog teorema IO = ISM +m b2, prijeci naISM

l =ISM +m b2

m b

i rijesimo gornju jednadzbu po b, tj. po udaljenosti od sredista mase do objesista

b± =1

2

[l ±

√l2 − 4

ISMm

].

Koje je znacenje b±? Zamislimo dva koncentricna valjka s polumjerima b+ i b− cije osi prolaze

Slika 12.12: Uz ekvivalentnu duljinu matematickog njihala.

sredistem mase (slika 12.12). Uzme li se za objesiste fizickog njihala, bilo koju izvodnicu ovihvaljaka, njihalo ce se njihati s istim periodom kao i matematicko njihalo duljine l (naravno,


ako su amplitude male). Primjetimo da je zbroj b+ + b− = l, tj. jednak je duljini ekvivalentnogmatematickog njihala. No, l = g(T/2π)2, a odatle slijedi

g =

(2π

T

)2

(b+ + b−),

pa se iz poznatih (izmjerenih) T i b± moze izracunati g. S druge strane, umnozak b+ b− =ISM/m, pa je

ISM = m b+ b−.

Iz poznatih b± mozemo izracunati i moment tromosti i polumjer tromosti K2SM = ISM/m =

b+ b−.

Vidjeli smo, relacijom (12.14), da period titranja ovisi o b, udaljenosti od objesista do sredistamase. Sada se mozemo zapitati kolika treba biti ta udaljenost, pa da period titraja budeminimalan? Napisat cemo period kao funkciju od b, a zatim cemo minimalni period dobitikao uvjet ekstrema na funkciju T (b).

T 2 = 4π2 IOm g b

=4 π2

m g b(ISM +m b2) (12.14)

T 2 =4 π2

m g b(m K2

SM +m b2) =4 π2

g

(K2SM

b+ b

)/d

d b

2TdT

d b=

4 π2

g

(−K

2SM

b2+ 1

)= 0.

Iz gornje je relacije KSM = ±b, a buduci da je polumjer giracije pozitivna velicina, odlucujemose za pozitivni predznak. Takoder je lako vidjeti da se radi o minimumu

d2 T

d b2=

π√g

(K2SM

b+ b

)−3/2 (3

2

K4SM

b4+ 3

K2SM

b2− 1

2

).

Uvrstivsi KSM = b, dobiva se

d2 T

d b2

∣∣∣∣KSM=b

=π√g

4

(2b)3/2> 0,

dakle, radi se o minimumu.

Primjetimo jos, da ova tvrdnja vrijedi i ako titraji nisu malene amplitude. Naime, istimpostupkom kao i kod matematickog njihala, relacija (6.58), dolazi se do izraza za period njihalakoje njise proizvoljnom amplitudom

T = 4

√IO

m b g

∫ π/2

0

dϕ√1− k2 sin2 ϕ

, k2 = sin2 ϕ0

2

=

√IO

m b gf(ϕ0).

Gornji je izraz za period istog oblika kao i (12.14), pa ima i isti minimum.

12.7. OPCENITO RAVNINSKO GIBANJE KRUTOG TIJELA 349

12.7 Opcenito ravninsko gibanje krutog tijela

Opcenito ravninsko gibanje krutog tijela se moze shvatiti kao rezultat uzastopne translacije uravnini paralelnoj nekoj zadanoj fiksnoj ravnini i vrtnje oko pogodno odabrane osi okomite natu istu fiksnu ravninu. Pri tome je dobro imati u vidu tri vazne cinjenice:

Nacelo linearne kolicine gibanja:u poglavlju 10 smo pokazali da vrijedi relacija (10.12)

d ~p

d t= ~Fv,

gdje je ~p = m~rSM ukupna kolicina gibanja sustava, a ~rSM je polozaj sredista mase sustavacestica (u ovom slucaju krutog tijela). S ~Fv je oznacen zbroj svih vanjskih sila koje djeluju nakruto tijelo.

Nacelo momenta klicine gibanja:ako je ISM moment tromosti krutog tijela oko osi koja prolazi sredistem mase, ω kutna brzinanjegove vrtnje oko te osi, tada je ~L SM = ISM ~ω . Ako je s ~MSM oznacen ukupni moment svihvanjskih sila u odnosu na koordinatni sustav sa ishodistem u sredistu mase, tada cemo pokazatida je

d ~L SM

d t= ~MSM .

Zamislimo opet da je kruto tijelo sastavljeno od N cestica i krenimo s jednadzbom gibanja j-tecestice napisanom u koordinatnom sustavu sa ishodistem u sredistu mase i osi z postavljene usmjeru osi vrtnje ~ω = ωz kao na slici 12.13 (~Fv,j je zbroj svih vanjskih sila koje djeluju na j-tu

cesticu, a ~f i,j je sila kojom i-ta cestica sustava djeluje na j-tu cestica sustava).

Slika 12.13: Opce ravninsko gibanje krutog tijela.


N∑j=1

~rj×/

d ~p jd t

= ~Fv,j +N∑i=1

~f i,j

N∑j=1

~rj × mjd~vjd t

=N∑j=1

~rj × ~Fv,j

︸︷︷︸= ~MSM

+N∑j=1

N∑i=1

~rj × ~f i,j,

︸︷︷︸= 0

= ~MSM .

Prvi zbroj na desnoj strani je zbroj momenata vanjskih sila na sve cestice krutog tijela, pa jeto ukupni moment vanjskih sila, a buduci da se radij vektori racuna u odnosu na srediste mase,oznaka ima indeks SM . Da je drugi clan jednak nuli, pokazano je u (10.14). Na lijevoj stranije

N∑j=1

~rj × mjd~vjd t

=d

d t

N∑j=1

~rj × mj~vj

︸︷︷︸= ~L SM

−N∑j=1

~vj × mj~vj ,

︸︷︷︸= 0

uz ~vj = ~ω × ~rj, dobiva se

d ~L SM

d t=

d

d t

N∑j=1

mj~rj × (~ω × ~rj) = ~MSM .

Rastavimo radij vektor ~rj na dvije medusobno okomite komponente: ρ i z komponente

~rj = ρ rj,⊥ + z zj.

Sada je

~ω × ~rj = ω z × (ρ rj,⊥ + z zj) = ω rj,⊥ϕ ,~rj × (~ω × ~rj) = ~rj × ω rj,⊥ϕ = (rj,⊥ ρ + zj z )× ω rj,⊥ϕ = ω r2

j,⊥ z − zj ω rj,⊥ρ .

Posljednji clan (onaj u smjeru ρ ) u gornjem izrazu se ponistava sa silama reakcije uredaja kojiodrzava os vrtnje fiksnom (slika 12.13), pa preostaje

~rj × (~ω × ~rj) = ω r2j,⊥ z = ~ω r2

j,⊥.

Vratimo li se sada jednadzbi gibanja, dobiva se

d

d t~ω

N∑j=1

mj r2j,⊥ =

d

d t~ω ISM =

d ~L SM

d t= ~MSM ,

gdje je ~L SM = ~ω ISM .

Nacelo sacuvanja energije:ako se kruto tijelo nalazi u polju samo konzervativnih sila, tada mu se moze pridruziti po-tencijalna energija Ep, a kineticka energija se moze napisati u obliku zbroja kineticke energije

sredista mase mv2SM/2 i kineticke energije cestica u odnosu na srediste mase 1

2

∑Nj=1 mjv

2j (kao

sto je to pokazano relacijom (10.29)). No, kao i u prethodnom paragrafu, brzina ~vj se mozenapisati kao

~vj = ~ω × ~rj = ω z × (ρ rj,⊥ + z zj) = ω rj,⊥ ϕ ,

12.8. TRENUTNO SREDISTE VRTNJE 351

pa je ~v2j = ω2r2

j,⊥. Time se kineticka energija dobiva kao zbroj kineticke translacijske i kinetickeenergije vrtnje

Ek =1

2m v2

SM +1

2

N∑j=1

mj (ωrj,⊥)2 =1

2m v2

SM +1

2ISM ω2 = Ek,tr. + Ek,vrt .

Bez nekonzervativnih sila, ukupna je mehanicka energija sacuvana

1

2m v2

SM +1

2ISM ω2 + Ep = E = const.

12.8 Trenutno srediste vrtnje

Neka se kruto tijelo giba paralelno s ravninom (x, y). Promotrimo ravninu (x ′, y ′) paralelnus ravninom (x, y) i cvrsto vezanom uz tijelo (slika 12.14.A) koja se i giba zajedno s tijelom.Pokazimo da se opce ravninsko gibanje krutog tijela, sastavljeno od translacijskog gibanja ivrtnje, moze prikazati kao cista vrtnja oko jedne tocke - trenutnog sredista vrtnje. Kako

Slika 12.14: Uz odredivanje trenutnog sredista: (A) graficki; (B) racunski.

se tijelo giba, u svakom ce trenutku postojati tocka gibajuce ravnine (x ′, y ′) koja trenutnomiruje prema ravnini (x, y). Ta tocka, P , koja moze, a i ne mora biti u tijelu, se zove tre-nutno srediste vrtnje . O njemu se moze misliti kao o tocki oko koje tijelo izvodi cistuvrtnju (bez translacije). Za cisto translacijsko gibanje krutog tijela, trenutno se srediste nalaziu beskonacnosti. Naravno da se polozaj trenutnog sredista mijenja kako se tijelo giba.

• Na slici 12.14.A je pokazan graficki nacin odredivanja polozaja trenutnog sredista (tockaP ): A i B su bilo koje dvije tocke krutog tijela, a crtkane linije prikazuju okomice na vektorebrzina tocaka A i B; prema svojoj definiciji, trenutno srediste je tocka presjecista ovih okomica.

• Pokazimo sada kako se moze racunski dobiti vektor polozaja trenutnog sredista krutogtijela

~rP =?


Polozaj P u sustavu (x ′, y ′) cemo oznaciti s ~r ′P (slika 12.14.B). Neka je ~vP brzina tocke P usustavu (x, y), a ~vO ′ neka je brzina ishodista sustava (x ′, y ′). Brzina tocke P u sustavu (x ′, y ′)je uvijek jednaka nuli, jer je taj sustav cvrsto vezan s tijelom, tj. giba se zajedno s njim (utom sustavu tijelo se vrti oko osi kroz P , a sama tocka P miruje). Od ranije, (8.5), znamo za

vezu medu brzinama u inercijskom i neinercijskom sustavu: ~vin = ~Rin + ~vnin + ~ω × ~r, kojaprevedena na sadasnje oznake, glasi

~vP = ~vO ′ + 0 + ~ω × ~r ′P .

Sa slike 12.14 se vidi da je ~rP = ~rO ′ + ~r ′P , pa gornja relacija prelazi u

~vP = ~vO ′ + ~ω × (~rP − ~rO ′ ).

No, ako je P trenutno srediste, tada ono trenutno miruje, tj. njegova je brzina jednaka nuli~vP = 0 i u sustavu (x, y), pa je

~vO ′ = −~ω × (~rP − ~rO ′ ).

Da bismo gornju jednadzbu rijesili po nepoznanici ~rP , cijelu cemo jednadzbu pomnoziti vek-torski s ~ω

~ω ×/

~vO ′ = −~ω × (~rP − ~rO ′ )

~ω × ~vO ′ = −~ω ×[~ω × (~rP − ~rO ′ )

]

~ω × ~vO ′ = −[~ω · (~rP − ~rO ′ )

]~ω + ω2(~rP − ~rO ′ ).

Buduci da vektor (~rP − ~rO ′ ) lezi u ravnini (x, y), to je vektor kutne brzine ~ω = ω z okomit nanjega, pa je prvi clan desne strane gornje relacije jednak nuli. Preostaje

~ω × ~vO ′ = ω2 (~rP − ~rO ′ ),

odakle za polozaj trenutnog sredista dobivamo

~rP = ~rO ′ +~ω × ~vO ′

ω2. (12.15)

Primjer: 12.2 Valjak:Valjak se giba po ravnoj podlozi. Odredite polozaj trenutnog sredista kada se valjakkotrlja bez klizanja i sa klizanjem.

R: Koristimo oznake sa slike 12.15.A:translacijska brzina sredista O ′ valjka je ~vO ′ = vO ′ xpolozaj sredista O ′ valjka u sustavu (x, y) je ~rO ′ = xO ′ (t) x +R ypolozaj trenutnog sredista u sustavu (x, y) je ~rPkutna brzina vrtnje valjka je ~ω = −ω z .Izravnim uvrstavanjem u (12.15) dobivamo

~rP = ~rO ′ +~ω × ~vO ′

ω2= ~rO ′ +

−ωz × vO ′ x

ω2= xO ′ (t) x +

(R− vO ′

ω

)y .

12.8. TRENUTNO SREDISTE VRTNJE 353

Slika 12.15: Uz odredivanje polozaja trenutnog sredista valjka koji se kotrlja.

Tako smo, za koordinate trenutnog sredista dobili: xP = xO ′ (t) =∫vO ′ (t) dt i

yP = R − vO ′ /ω. Sa slike 12.15.B se vidi da yP lezi na spojnici sredista valjka itocke dodira s podlogom.Ako je dozvoljeno samo kotrljanje bez klizanja, tada je vO ′ = R ω, pa je yP = 0 itrenutno srediste se nalazi upravo u tocki dodira valjka i podloge.Ako se dozvoli i klizanje valjka, tada je vO ′ > Rω (veci se put prijede u translacij-skom gibanju nego sto se valjak okrene oko svoje osi) i polozaj trenutnog sredistavrtnje se nalazi izvan valjka (ispod podloge).Primjetimo da mozemo promatrati i granicni slucaj cistog klizanja: valjak se nevrti, ω = 0, nego se samo klize (translatira) po podlozi. Cak i ovo cisto translatornogibanje mozemo shvatiti kao cistu vrtnju oko trenutnog sredista, s time da se tosrediste, prema gornjoj formuli nalazi u tocki −∞ u y smjeru.

Primjer: 12.3 Valjak:Neka je m masa valjka iz prethodnog primjera. Izracunajte njegovu kineticku ener-giju, ako se kotrlja bez klizanja.

R: Zadatak cemo rijesiti na dva nacina: prvo cemo kotrljanje valjka shvatiti kaokombinaciju translacijskog gibanja sredista mase i vrtnje oko osi simetrije valjka,a drugi nacin je da gibanje valjka shvatimo kao cistu vrtnju oko osi kroz trenutnosrediste vrtnje.


(1)

Ek = Ek,tr. + Ek,vrt.(SM) =1

2m v2

O ′ +1

2ISM ω2

ISM =1

2m R2, vO ′ = ω R

Ek =1

2m v2

O ′ +1

2

1

2m R2 v

2O ′

R2=

3

4m v2

O ′

(2)

Ek = Ek,vrt.(P ) =1

2IP ω

2 =1

2(ISM +mR2) ω2 =

3

4m v2

O ′ .

Kineticka energija je ista, bez obzira s koje tocke gledista opisujemo gibanje.

12.9 Statika krutog tijela

Statiku krutog tijela karakterizira iscezavanje gibanja, tj. njegova translacijska brzina i brzinavrtnje su jednake nuli. U tom se slucaju kaze da je tijelo u ravnotezi. Nuzni i dovoljni uvjetiravnoteze krutog tijela su

~Fv = 0, ~Mv = 0,

gdje su ~Fv zbroj svih vanjskih sila, a ~Mv zbroj svih momenata vanjskih sila koje djeluju nakruto tijelo. Prvi uvjet izrice ravnotezu u odnosu na translacijske pomake, a drugi u odnosuna vrtnju4.Buduci da je kruto tijelo poseban slucaj sustava cestica s nepromjenjenom medusobnom uda-ljenosti cestica, nacelo zamisljenog rada i D’Alembertovo nacelo vrijede i za kruto tijelo.Ako su vanjske sile sile koje djeluju na tijelo konzervativne, tada postoji funkcija potencijalne

energije sa svojstvom da je ~Fv = −−→∇Ep, pa se uvjet ravnoteze ~Fv = 0 moze napisati i prekopotencijalne energije

∂ Ep∂ x

=∂ Ep∂ y

=∂ Ep∂ z

= 0.

Ravnoteza je stabilna, Ep = min., ako se tijelo nakon malog otklona iz ravnoteznog polozajaopet vraca u pocetni ravnotezni polozaj. Ravnoteza je nestabilna (labilna), Ep = max., akose tijelo nakon malog otklona iz ravnoteznog polozaja udaljava od pocetnog ravnoteznogpolozaja.

4Buduci da se materijalna cestica zamislja kao matematicka tocka, pojam vrtnje tocke nema smisla, pa je statika cestice odredenasamo jednim uvjetom: ~F = 0.

Poglavlje 13

Prostorno gibanje krutog tijela

U prethodnom smo poglavlju promatrali posebno jednostavan slucaj gibanja krutog tijela kodkojega se ono moze translacijski gibati samo paralelno sa zadanom nepomicnom ravninom ivrtjeti se samo oko osi okomite na tu ravninu. Brzina vrtnje se mogla mijenjati po iznosu, aline i po smjeru. Smjer osi vrtnje je bio konstantan u vremenu.U ovom cemo poglavlju promatrati opcenito gibanje krutog tijela u trodimenzijskom prostoru.Takvo se gibanje sastoji od translacije jedne odredene tocke (najcesce se za tu tocku odabiresrediste mase) i vrtnje oko osi kroz tu tocku. No, sada niti iznos, a niti smjer osi vrtnje nemoraju biti sve vrijeme konstantni, nego se mogu mijenjati s vremenom

~ω = ω(t) ω (t).

Zamislimo kruto tijelo koje se giba i zapitajmo se na koji ga nacin mozemo zaustaviti? Akojednu tocku (tri koordinate) krutog tijela ucinimo nepomicnom, sprijecit cemo njegovo trans-lacijsko gibanje. No, tijelo se jos moze vrtjeti oko bilo koje osi koja prolazi tom tockom. Osvrtnje mozemo fiksirati dvama kutovima (npr. kutovima θ i ϕ sfernog koordinatnog sustava).Sada se tijelo jos moze samo vrtjeti oko fiksne osi. Ako fiksiramo i kut ψ koji opisuje zakretoko osi, u cjelosti smo zaustavili gibanje tijela. Vidimo da smo trebali fiksirati sest velicina,ili kako se to drukcije kaze, kruto tijelo ima sest stupnjeva slobode. Prva tri stupnja slobode sutranslacijski stupnjevi slobode i obicno opisuju polozaj sredista mase, a slijedeca tri (Eulerovikutovi) su rotacijski stupnjevi slobode i opisuju vrtnju oko odabrane tocke. Ako na gibanjekrutog tijela postoje i neki dodatni uvjeti, oni mogu samo smanjiti broj stupnjeva slobode.

13.1 Tenzor tromosti

Buduci da se opce gibanje krutog tijela moze opisati u terminima translacije odabrane tockei vrtnje oko te tocke, zapocet cemo s proucavanjem ciste vrtnje krutog tijela, a kasnije cemododati ucinke translacijskog gibanja.Promotrimo dakle kako se moze gibati kruto tijelo cija je (samo) jedna tocka nepomicna.Oznacimo tu nepomicnu tocku s O i neka se u danom trenutku t tijelo vrti kutnom brzinom~ω (t) oko trenutne osi kroz tocku O (slika 13.1). Neka se u j-toj tocki tijela na mjestu ~rj nalazij-ta cestica tijela, koja se giba brzinom ~vj. Iz poglavlja 8 o neinercijskim sustavima, znamo daje veza medu brzinama u inercijskom i neinercijskom sustavu oblika ~vin = ~vnin+~ω × ~r. Cesticaj miruje u neinercijskom sustavu (cvrsto vezanom za tijelo koje se vrti), pa je zato ~vnin ≡ 0 i

~vj = ~ω × ~rj.

355

356 POGLAVLJE 13. PROSTORNO GIBANJE KRUTOG TIJELA

Slika 13.1: Vrtnja krutog tijela kutnom brzinom ~ω (t) oko nepomicne tocke O.

Izracunajmo moment kolicine gibanja krutog tijela

~L =N∑j=1

~rj × ~p j =N∑j=1

~rj × mj ~vj =N∑j=1

~rj × mj (~ω × ~rj),

gdje zbrajanje ide po svim tockama krutog tijela. Primjetimo da ~L ne mora biti paralelan s~ω . U nepomicnom (inercijskom) pravokutnom koordinatnom sustavu (x, y, z) sa ishodistem uO, moment kolicine gibanja tijela, kutna brzina vrtnje i radij vektor j-te cestice tijela imajukomponente:

~L = Lx x + Ly y + Lz z ,

~ω = ωx x + ωy y + ωz z ,

~rj = xj x + yj y + zj z .

Koristeci se vektorskim identitetom ~A × ( ~B × ~C ) = ( ~A ~C ) ~B − ( ~A ~B )~C , izraz za ~L mozemonapisati kao

~L =N∑j=1

mj ~rj × (~ω × ~rj) =N∑j=1

mj [r2j ~ω − (~rj~ω ) ~rj]

= ~ω

N∑j=1

mj r2j −

N∑j=1

mj (xj ωx + yj ωy + zj ωz) ~rj,

13.1. TENZOR TROMOSTI 357

sto, raspisano po komponentama, vodi na slijedeci sustav

Lx = ωx

N∑j=1

mj r2j −

N∑j=1

mj (xj ωx + yj ωy + zj ωz) xj,

Ly = ωy

N∑j=1

mj r2j −

N∑j=1

mj (xj ωx + yj ωy + zj ωz) yj,

Lz = ωz

N∑j=1

mj r2j −

N∑j=1

mj (xj ωx + yj ωy + zj ωz) zj.

Gornji se sustav moze napisati i preglednije, tako sto ce se izdvojiti komponente kutne brzine

Lx = ωx

N∑j=1

mj (y2j + z2

j ) + ωy (−)N∑j=1

mj xj yj + ωz (−)N∑j=1

mj xj zj,

Ly = +ωx (−)N∑j=1

mj xj yj + ωy

N∑j=1

mj (x2j + z2

j ) + ωz (−)N∑j=1

mj yj zj,

Lz = +ωx (−)N∑j=1

mj zj xj + ωy (−)N∑j=1

mj zj yj + ωz

N∑j=1

mj (x2j + y2

j ).

Umnoske mase s kvadratom koordinata, prepoznajemo kao momente tromosti (usporediti s(12.3)). Oznacimo s Ixx, Iyy, Izz (aksijalne) momente tromosti oko osi x, y i z

Ixx =N∑j=1

mj (y2j + z2

j ) →∫

(y2 + z2) ρm(x, y, z) dx dy dz,

Iyy =N∑j=1

mj (x2j + z2

j ) →∫

(x2 + z2) ρm(x, y, z) dx dy dz,

Izz =N∑j=1

mj (x2j + y2

j ) →∫

(x2 + y2) ρm(x, y, z) dx dy dz.

Velicine Iαβ cemo nazvati devijacijski ili centrifugalni momenti ili umnosci tromosti

Ixy = Iyx = −N∑j=1

mj xj yj → −∫

x y ρm(x, y, z) dx dy dz, (13.1)

Ixz = Izx = −N∑j=1

mj xj zj → −∫

x z ρm(x, y, z) dx dy dz,

Iyz = Izy = −N∑j=1

mj yj zj → −∫

y z ρm(x, y, z) dx dy dz.

Naveli smo i integralne izraze za momente i umnoske tromosti, koji se dobiju na uobicajeninacin prijelazom sa zbroja na integral:

∑j

f(j)mj →∫

f(~r) dm(~r) =

∫f(~r) ρ(~r) d3r.


Momenti tromosti Iα,α i centrifugalni momenti Iα,β jesu elementi jednog tenzora drugog redakoji se zove tenzor tromosti krutog tijela.Fizicko znacenje momenata tromosti se vidi iz relacije (12.10): oni se pojavljuju u izrazu zakineticku energiju vrtnje oko nepomicne osi, dakle rad koji treba utrositi da bi se tijelo dovelo uodredeno stanje vrtnje je srazmjeran momentu tromosti oko te osi. No, koje je fizicko znacenjeumnozaka tromosti? Sjetimo se da na svaku cesticu mase m koja se vrti, djeluje centrifugalnasila (8.4)

~Fcf = ~a cf m = −~ω × (~ω × ~r) m.

Ta sila djeluje po pravcu okomitom na os vrtnje, a u smjeru od osi vrtnje. Ova centrifugalnasila djeluje i na sve cestice od kojih je sastavljeno kruto tijelo. No, zbog krutosti krutogtijela, njegove se cestice ne mogu slobodno gibati, nego se sila na cestice, prenosi na cijelotijelo. Ako su cestice krutog tijela rasporedene simetricno u odnosu na os vrtnje, sve ce seove sile medusobno ponistiti i rezultantna sila na kruto tijelo ce biti jednaka nuli . Naprotiv,ako su cestice rasporedene nesimetricno u odnosu na os vrtnje, one se nece sve medusobnoponistiti, nego ce preostati rezultantna sila u smjeru okomitom na os vrtnje. S obzirom daje okomita na os vrtnje, ocito je da ce ova sila izazvati promjenu smjera osi vrtnje.Uvjerimo se u ispravnost ovog razmisljanja slijedecim racunom: neka se u nekom pocetnomvremenskom trenutku tijelo vrti oko osi ~ω i neka je koordinatni sustav postavljen tako da je~ω = ωz . Izracunajmo ukupni moment centrifugalnih sila koje djeluju na sve cestice krutogtijela (ponovo koristimo identitet ~A × ( ~B × ~C ) = ( ~A ~C ) ~B − ( ~A ~B )~C )

~Mcf =N∑j=1

~rj × ~Fj,cf = −N∑j=1

mj ~rj ×[~ω × (~ω × ~rj)

]

= −N∑j=1

mj ~rj ×[(~ω ~rj) ~ω − ω2 ~rj

]= −

N∑j=1

mj

[(~ω ~rj) (~rj × ~ω )− ω2 (~rj × ~rj)︸︷︷︸

= 0

]

= −N∑j=1

mj (ωzj) (xj x + yj y + zj z )× ω z = −N∑j=1

mj (ωzj) (x yj ω − y xj ω)

= −x ω2

N∑j=1

mj yj zj + y ω2

N∑j=1

mj xj zj = ω2 (x Iyz − y Ixz)

= Mcf,x x −Mcf,y y ,

gdje su komponente momenta centrifugalne sile jednake

Mcf,x = ω2 Iyz, Mcf,y = ω2 Ixz.

Ako se u pocetnom trenutku tijelo okretalo oko osi z, pojavljuju se momenti centrifugalne silekoji zakrecu tijelo u okomitom smjeru u odnosu na os vrtnje (u nasem primjeru su to x i ysmjerovi). Da bi se tijelo sve vrijeme okretalo oko osi z, potrebno je vanjskim silama fiksirati osvrtnje (kao sto je to prikazano na slici 12.13). Ovaj moment sile iscezava, samo ako je raspodjelamasa simetricna prema pocetnoj osi vrtnje, tj. ako je Iyz = Ixz = 0 (simetricna raspodjela maseznaci da u gornjem zbroju za Iyz i Ixz ima jednako mnogo pozitivnih i negativnih doprinosaistog iznosa). U tom je slucaju dovoljno tijelo fiksirati u jednoj tocki i ono ce se trajno vrtjetioko pocetne osi. Ako ovakva os prolazi i sredistem mase krutog tijela, tada je ona i glavna os


i tijelo ne treba ucvrstiti niti u jednoj tocki, a ono ce se ipak trajno vrtjeti oko te osi. Zboggore opisane veze s centrifugalnom silom, umnosci tromosti se nazivaju i devijacijski momentiili centrifugalni momenti.Vratimo se komponentama momenta kolicine gibanja, koje sada mozemo napisati preko mome-nata i umnozaka tromosti

Lx = Ixx ωx + Ixy ωy + Ixz ωz,

Ly = Iyx ωx + Iyy ωy + Iyz ωz, (13.2)

Lz = Izx ωx + Izy ωy + Izz ωz.

Gornji sustav jednadzba mozemo napisati kao jednu matricnu jednadzbu, tako sto cemo uvestimatricu tenzora tromosti I

I =

Ixx Ixy IxzIyx Iyy IyzIzx Izy Izz

.

Elementi matrice su (prema definiciji) realni, a zbog simetrije umnozaka tromosti: Ixy =Iyx, Ixz = Izx, Iyz = Izy, matrica je i simetricna. To znaci da su njezine svojstvene vrijed-nosti realne, a svojstveni vektori su medusobno okomiti. Sustav jednadzba (13.2) sada glasi

~L = I ~ω . (13.3)

U ovom opcem slucaju, kada su Iα,β 6= 0, smjer momenta kolicine gibanja ~L se razlikuje odsmjera osi vrtnje ~ω .Pogledajmo sada kako izgleda kineticka energija vrtnje krutog tijela? Ponovo krecemo od zapisakineticke energije vrtnje kao zbroja kinetickih energija pojedinih cestica krutog tijela

Ek,vrt =1

2

N∑j=1

mj ~v2j =

1

2

N∑j=1

mj ~vj ~vj (13.4)

=1

2

N∑j=1

mj ~vj (~ω × ~rj) =1

2

N∑j=1

mj ~ω (~rj × ~vj) =1

2~ω ~L .

Uvrstimo li relacije (13.2) u skalarni umnozak ~ω ~L , dobivamo za energiju vrtnje

Ek,vrt =1

2

[Ixx ω

2x + Iyy ω

2y + Izz ω

2z + 2 Ixy ωx ωy + 2 Ixz ωx ωz + 2I yz ωy ωz

](13.5)

Primjer: 13.1 Stozac:Stozac jednolike gustoce se, bez klizanja, kotrlja po ravnini (x, y) kutnom brzinomϕ oko osi z. Polumjer stosca je R, visina H, a masa m (slika 13.2). Izracunajtekineticku energiju stosca.

R: Primjetimo najprije da u ovom zadatku postoje dvije kutne brzine. Prvaje kutna brzina vrtnje sredista mase stosca oko ishodista i nju cemo oznaciti s ϕ .Druga je kutna brzina vrtnje stosca oko trenutnog sredista vrtnje, a to je linije po


Slika 13.2: Uz primjer izracunavanja kineticke energije stosca koji se kotrlja po ravnini.

kojoj stozac dodiruje ravninu (x, y). Ovu cemo brzinu oznaciti s ω = χ.Srediste mase stosca se nalazi na osi simetrije, 3H/4 udaljeno od njegovog vrha.Izracunajmo brzinu sredista mase na dva nacina:(a) pomocu ϕ

vSM =ds

dt=ρSM dϕ

dt=

3

4H cosα ϕ ,

(b) pomocu ω

vSM =r dχ

dt=

3

4H sinα ω.

Usporedbom gornja dva izraza, dolazimo do

ω =cosα

sinαϕ =

H

Rϕ .

Ukupnu kineticku energiju mozemo dobiti kao energiju vrtnje oko trenutnog sre-dista. Za to nam je potrebna brzina vrtnje oko trenutnog sredista, a to je ω imoment tromosti oko trenutnog sredista, a to je moment tromosti stosca oko nje-gove izvodnice

Iizv =3

20mR2

(1 +

5H2

R2 +H2

),

za ukupnu energiju stosca dobivamo

E = Et.s.k,vrt =

1

2Iizvω

2 =3

40m H2 ϕ 2 R

2 + 6H2

R2 +H2.

Sustav glavnih osi krutog tijela:Pokusajmo sada pronaci koordinatni sustav u kojemu ce matrica tenzora tromosti biti dijago-nalna s dijagonalnim elementima jednakim Ij za j = 1, 2, 3. Takav cemo sustav zvati sustav


glavnih osi krutog tijela, a jedinicne vektore tog sustava cemo oznaciti s e j (slika 13.3).Buduci da je I realna i simetricna matrica, vektori e j su medusobno okomiti. Naravno da

Slika 13.3: Glavne osi krutog tijela: e 1, e 2, e 3.

je taj sustav cvrsto vezan s krutim tijelom i rotira zajedno s njim. Centrifugalni momenti, usustavu glavnih osi, su jednaki nuli i zato ce tijelo koje se u pocetnom trenutku vrtjelo okojedne od glavnih osi, nastaviti vrtnju oko te osi sve dok vanjske sile ne promjene smjer vrtnje.Da bi se nasle dijagonalne vrijednosti Ij i smjerovi glavnih osa e j, treba rijesiti algebarski pro-blem dijagonalizacije matrice, tj. naci njezine svojstvene vrijednosti Ij i pripadajuce svojstvenevektore e j

I e j = Ij e j →[I− 1 Ij

]e j = 0,

(s 1 je oznacena 3× 3 dijagonalna matrica s jedinicama na dijagonali i nulama izvan dijagonale).Gornja jednadzba ima rjesenje e j 6= 0 ako determinata matrice (I− 1 Ij) iscezava

∣∣∣∣∣∣

Ixx − Ij Ixy IxzIyx Iyy − Ij IyzIzx Izy Izz − Ij

∣∣∣∣∣∣= 0.

Gornja jednadzba je algebarska jednadzba treceg reda za nepoznanice Ij. Zbog realnosti isimetrije elemenata matrice I, ona ima tri realna rjesenja Ij koja zovemo glavni momentitromosti . Njima su pridruzena tri ortonormirana svojstvena vektora e j koja zovemo glavneosi krutog tijela

I e j = Ij e j,

e i · e j = δi,j, i, j = 1, 2, 3.

Smjerovi glavnih osi odgovaraju smjerovima simetrije krutog tijela. Nedijagonalni elementiIi,j iscezavaju samo ako se u izrazu

Ii,j = Ij,i = −N∑n=1

mn ri,n rj,n


(gdje rj,n oznacava projekciju radij vektora n-te cestice na smjer glavne osi e j) pojavi jedna-ko mnogo pozitivnih i negativnih doprinosa koji se medusobno poniste, a to je upravo znaksimetricnosti.Izrazimo kineticku energiju vrtnje preko velicina vezanih za sustav glavnih osi. Oznacimo s ωj iLj za j = 1, 2, 3, komponente kutne brzine vrtnje i momenta kolicine gibanja u sustavu glavnihosi

~L · e j = Lj, ~ω · e j = ωj.

U tom je sustavu sustavu I dijagonalna matrica, pa relacija ~L = I ~ω postaje jednostavno

~L = I1 ω1 e 1 + I2 ω2 e 2 + I3 ω3 e 3,

L1 = I1 ω1, L2 = I2 ω2, L3 = I3 ω3,

a kineticka energija vrtnje

Ek,vrt =1

2~ω ~L =

1

2(I1 ω

21 + I2 ω

22 + I3 ω

23) (13.6)

Ako kutna brzina vrtnje ima smjer jedne od glavnih osi krutog tijela ~ω = ω e j, tada ce biti~L = Ij ω e j, tj. u tom slucaju ~L i ~ω imaju isti smjer, a kineticka energija vrtnje je

Ek,vrt =1

2~ω ~L =

1

2Ij ω

2 (13.7)

Izraz za energiju (13.6) moze napisati i drukcije, tako sto ce se uvesti kosinusi kutova koje osvrtnje zatvara sa smjerovima glavnih osi. Prema samom znacenju komponente ωj je

ωj = ~ω · e j = ω cos(ω , e j),

stoga je, prema (13.6), i kineticka energija vrtnje jednaka

Ek,vrt =1

2

[I1 ω

2 cos2(ω , e 1) + I2 ω2 cos2(ω , e 2) + I3 ω

2 cos2(ω , e 3)] ≡ 1

2ω2 I~ω .

Gornji izraz definira moment tromosti krutog tijela I~ω u odnosu na proizvoljni smjer vrtnje ω ,izrazen preko glavnih momenata tromosti Ij

I~ω = I1 cos2(ω , e 1) + I2 cos2(ω , e 2) + I3 cos2(ω , e 3). (13.8)

Gornji izraz je osobito vazan, jer daje moment tromosti tijela oko proizvoljne osi ω izrazenpreko momenata tromosti oko glavnih osi. Drugim rijecima, ako jednom izracunamo momentetromosti tijela oko glavnih osi, onda pomocu gornjeg izraza mozemo lako izracunati momenttromosti oko proizvoljne osi.

Primjer: 13.2 Valjak:Izracunajmo moment tromosti valjka oko osi oznacene na slici 13.4. Polumjer valj-ka je R, visina H, a masa m.

R: Prema relaciji (13.8), za rjesenje ovog zadatka trebamo samo znati glav-


Slika 13.4: Valjak se vrti oko osi koja prolazi sredistem baze i jednom tockom na spojnici suprotne baze i plasta.

ne momente tromosti valjka Ij i kuteve koje os vrtnje zatvara a glavnim osimavaljka e j. Zbog simetrije valjka, koordinatni sustav uvijek mozemo postaviti takoda os vrtnje lezi u (e 1, e 2) ravnini, pa je

I1 =1

2m R2, I2 = I3 = m

(R2

4+H2

3

)

cos2(ω , e 1) =H2

H2 +R2, cos2(ω , e 2) =

R2

H2 +R2, cos2(ω , e 3) = 0.

Uvrstavanjem gornjih vrijednosti u (13.8), dobiva se

I~ω =1

12m R2 10H2 + 3R2

H2 +R2.

Kao sto smo gornjim izrazom definirali moment tromosti u odnosu na sustav glavnih osi, slicnomozemo definirati i moment tromosti I u odnosu na nepomicni (inercijski) sustav (x, y, z).Neka su α, β i γ kutovi koje osi x, y i z zatvaraju sa smjerom osi vrtnje ω . Tada je

~ω = ω ω = ωx x + ωy y + ωz z / · xω (ω x ) = ωx

ω cosα = ωx

i slicno za y i z komponentu, sto sve zajedno daje

~ω = ω (x cosα+ y cos β + z cos γ).

Uvrsti li se ovaj izraz za kutnu brzinu u (13.5), za kineticku energiju se dobije

Ek,vrt =1

2I ω2,


gdje je s I oznacena velicina

I = Ixx cos2 α+ Iyy cos2 β + Izz cos2 γ

+ 2 Ixy cosα cos β + 2 Ixz cosα cos γ + 2 Iyz cos β cos γ.

Gornja velicina opisuje svojstva tromosti krutog tijela u odnosu na proizvoljan inercijski sustav(x, y, z). Ona se moze vizualizirati u obliku jednog elipsoida, na slijedeci nacin. Uvedimo vektor~η relacijom

~η =ω√I

= xcosα√I

+ ycos β√I

+ zcos γ√I

= x ηx + y ηy + z ηz.

U terminima komponenata vektora ~η , izraz za I glasi

1 = Ixx η2x + Iyy η

2y + Izz η

2z + 2 Ixy ηx ηy + 2 Ixz ηx ηz + 2 Iyz ηy ηz. (13.9)

U koordinatnom sustavu (ηx, ηy, ηz), gornja jednadzba predstavlja elipsoid koji se zove elipsoidtromosti i koji vizualizira osobine tromosti danog tijela u danom koordinatnom sustavu.Ako se koordinatni sustav (x, y, z) zakrene tako da se poklopi sa sustavom glavnih osi, tadaα, β i γ oznacavaju kutove izmedu glavnih osi krutog tijela i osi vrtnje, a centrifugalni momentiiscezavaju. U tom slucaju jednadzba elipsoida tromosti postaje

1 = I1η21 + I2η

22 + I3η

23, (13.10)

gdje su

η1 =cos(ω , e 1)√

I~ω, η2 =

cos(ω , e 2)√I~ω

, η3 =cos(ω , e 3)√

I~ω.

13.2 Eulerove jednadzbe gibanja

Promatrajmo kruto tijelo koje se vrti oko osi ω (t) i na koje djeluju vanjske sile. Ucinak

vanjskih sila na vrtnju tijela opisujemo momentom vanjskih sila ~M . Gibanje tijela cemo pro-matrati iz dva koordinatna sustava: jednog inercijskog (nepomicnog) i drugog koji je cvrstovezan za kruto tijelo i vrti se zajedno s njim (neinercijski). Za ovaj neinercijski sustav cemoodabrati upravo sustav glavnih osi (e 1, e 2, e 3). U tom je sustavu ukupan moment kolicinegibanja krutog tijela jednak

~L = I1 ω1(t) e 1 + I2 ω2(t) e 2 + I3 ω3(t) e 3,

gdje su ωj(t) komponente kutne brzine vrtnje u smjerovima glavnih osi. U neinercijskom sustavuse samo kutna brzina mijenja s vremenom, dok su momenti tromosti Ij i smjerovi vektora e jkonstantni (jer se vektori e j vrte zajedno s neinercijskim sustavom). Prema relaciji (8.3),

vremenske promjene vektora ~L u inercijskom i neinercijskom sustavu su povezane relacijom

d ~L

d t

∣∣∣∣∣in.

=d ~L

d t

∣∣∣∣∣nin.

+ ~ω × ~L

= I1ω 1e 1 + I2ω 2e 2 + I3ω 3e 3 + (ω1e 1 + ω2e 2 + ω3e 3)× (I1ω1e 1 + I2ω2e 2 + I3ω3e 3)

= e 1

[I1ω 1 + (I3 − I2)ω2ω3

]+ e 2

[I2ω 2 + (I1 − I3)ω1ω3

]+ e 3

[I3ω 3 + (I2 − I1)ω1ω2

].

13.2. EULEROVE JEDNADZBE GIBANJA 365

Vanjske sile koje djeluju na tijelo, kao sto im samo ime kaze, djeluju u vanjskom, dakle inercij-skom sustavu, pa njihov moment zadovoljava jednadzbu (10.15)

~M =d ~L

d t

∣∣∣∣∣in.

= M1 e 1 +M2 e 2 +M3 e 3. (13.11)

Primjetimo da se, promatrano iz inercijskog sustava, smjerovi e j mijenjaju u vremenu. Uspo-redbom gornje dvije jednadzbe, dolazimo do sustava

I1 ω 1 + (I3 − I2) ω2 ω3 = M1,I2 ω 2 + (I1 − I3) ω1 ω3 = M2,I3 ω 3 + (I2 − I1) ω1 ω2 = M3.

(13.12)

koji se zove Eulerove 1 jednadzbe gibanja krutog tijela.

Trazimo konstante gibanja uz uvjet da se kruto tijelo vrti oko nepomicne tocke O i dana tijelo ne djeluju vanjske sile, osim sile u tocki oslonca. Tada je krak vanjske sile u tockioslonca jednak nuli, pa je i ukupni moment vanjskih sila jednak nuli

~M = 0.

Prva konstanta: moment kolicine gibanja.

U skladu s relacijom ~M = ~L = 0 (koja vrijedi i u inercijskom (10.15) i u neinercijskom (10.28)sustavu), zakljucujemo da je tada moment kolicine gibanja krutog tijela konstantan,

~L = const.

Konstantnost vektora znaci konstantnost smjera

L = const.

i konstantnost iznosa

L =√L2x + L2

y + L2z =

√L2

1 + L22 + L2

3 = const..

Pravac na kojemu lezi ~L se zove invarijantna linija.

Druga konstanta: kineticka energija.Pokazimo da ce u ovom slucaju i kineticka energija vrtnje biti konstantna. Zapocnimo time stocemo Eulerove jednadzbe redom pomnoziti s ω1,2,3 (neka je u pocetku desna strana razlicita odnule),

I1 ω 1 + (I3 − I2) ω2 ω3 = M1 / · ω1

I2 ω 2 + (I1 − I3) ω1 ω3 = M2 / · ω2

I3 ω 3 + (I2 − I1) ω1 ω2 = M3 / · ω3,

1Leonhard Euler, 1707. - 1783., svicarski matematicar.


a zatim ih zbrojiti

I1 ω 1 ω1 + I2 ω 2 ω2 + I3 ω 3 ω3 + ω1 ω2 ω3 (I3 − I2 + I1 − I3 + I2 − I1)︸︷︷︸= 0

= M1 ω1 +M2 ω2 +M3 ω3.

Primjetimo da je ω j ωj = 12

(dω2j/d t), pa gornji izraz mozemo napisati kao

1

2

(I1dω2

1

d t+ I2

dω22

d t+ I3

dω23

d t

)= ~M · ~ω .

Prema relaciji za energiju (13.6), izraz u zagradi prepoznajemo kao vremensku promjenu kine-ticke energije vrtnje (tj. snagu vrtnje), pa gornji izraz kaze da je vremenska promjena kineticke

energije vrtnje jednaka skalarnom umnosku ~M · ~ωdEk,vrtd t

= ~M · ~ω .

Gornja je jednadzba iste grade kao i (4.8). Ukoliko je moment vanjskih sila jednak nuli, ~M = 0,tada je i energija konstantna

dEk,vrtd t

= 0 ⇒ Ek,vrt = const.

Treca konstanta: projekcija osi vrtnje.Iz cinjenice da je kineticka energija konstantna, a pomocu relacije (13.4) zakljucujemo da je

projekcija osi vrtnje ω (t) na konstantni vektor ~L i sama konstantna (slika 13.5)

Ek =1

2~ω ~L = const.

Drugim rjecima, vrh vektora ~ω (t) opisuje tijekom vremena, neku krivulju po ravnini okomitoj

na vektor ~L . Ta se ravnina zove invarijantna ravnina. Primjetimo da ta krivulja ne morabiti kruznica, jer vektor ~ω (t) ne mora biti konstantnog iznosa - trazi se samo da je njegovaprojekcija na jedan konstantni vektor i sama konstantna. Gornja relacija kaze da projekcija~ω (t) na ~L (dakle umnozak ω cos(ω , ~L )), mora biti u svakom trenutku ista. Opazac smjestenu sustav koji se vrti zajedno s krutim tijelom (e 1, e 2, e 3) primjecuje da se vektor ~ω okrece oko

vektora ~L (koji je, sjetimo se, konstantan). Taj zakret osi vrtnje ~ω (t) oko smjera ~L se nazivaprecesija.

13.3 Gibanje Zemlje

Jedan vazan primjer krutog tijela koje se vrti uz moment vanjskih sila jednak nuli, je vrtnjaZemlje oko svoje osi. Jedina vanjska sila koja djeluje na Zemlju je gravitacijska sila (odSunca i drugih planeta), ali ona djeluje na srediste mase Zemlje, pa je njezin moment silejednak nuli. Zemlja nije savrseno kruto tijelo, jer ima tekucu jezgru, ali cemo ucinke te tekucejezgre na vrtnju Zemlje zanemariti. Takoder cemo oblik Zemlje aproksimirati oblikom elipsoida(spljostene kugle). Oznacimo li smjer osi simetrije takvog tijela kao e 3, tada ce biti I1 = I2 6= I3

13.3. GIBANJE ZEMLJE 367

Slika 13.5: Projekcija osi vrtnje ω (t) na vektor ~L se ne mijenja u vremenu.

i Eulerove jednadzbe glase

I1 ω 1 + (I3 − I1) ω2 ω3 = 0,

I1 ω 2 + (I1 − I3) ω1 ω3 = 0,

I3 ω 3 = 0.

U ovom slucaju, a kao posljedicu simetrije I1 = I2, vidimo da postoji i cetvrta konstantagibanja. Naime iz posljednje od gornjih jednadzba zakljucujemo da je treca komponenta kutnebrzine vrtnje konstantna

ω3 = const. ≡ Ω 3.

Tada se preostale dvije jednadzbe mogu napisati u obliku

ω 1 +I3 − I1I1

ω2 Ω 3 = 0, (13.13)

ω 2 − I3 − I1I1

ω1 Ω 3 = 0.

To je sustav od dvije vezane diferencijalne jednadzbe prvog reda, za nepoznate funkcije ω1(t)i ω2(t). Vremenskom derivacijom druge od gornjih jednadzba i uvrstavanjem prve, dobiva sediferencijalna jednadzba drugog reda, ali se u njoj pojavljuje samo jedna funkcija, ω2(t)

ω2 +

(Ω 3

I3 − I1I1

)2

ω2 = 0. (13.14)

Gornju jednadzbu prepoznajemo kao jednadzbu slobodnog jednodimenzijskog harmonijskogoscilatora (6.2) s opcim rjesenjem

ω2 = A cosω0t+ Ω ⊥ sinω0t,


gdje su A i Ω ⊥ konstante. Odaberu li se pocetni uvjeti tako da je u t = 0 i ω2 = 0, slijedi daje A = 0, tj.

ω2 = Ω ⊥ sinω0t.

Vrijednost ω0 dobiva se iz diferencijalne jednadzbe (13.14) za ω2, i ona iznosi

ω0 = Ω 3|I3 − I1|

I1.

Uvrstavanje ω2 u jednadzbu (13.13) za ω1, daje

ω1 = Ω ⊥ cosω0t.

Uzeto sve zajedno, os vrtnje, tj. vektor ~ω (t), gledano iz sustava glavnih osi tijela, mijenja svojsmjer u vremenu na slijedeci nacin

~ω (t) = e 1 Ω ⊥ cosω0t+ e 2 Ω ⊥ sinω0t+ e 3 Ω 3

(primjetimo da i Ω ⊥ i Ω 3 imaju dimenziju kutne brzine). Primjecujemo da je kutna brzina

vrtnje konstantnog iznosa ω =√

Ω 2⊥ + Ω 2

3 i zato vektor ~ω opisuje stozac u prostoru tako da jeos stosca visine Ω 3 u smjeru e 3, a polumjer baze je Ω ⊥ (slika 13.6), tj. ~ω precesira oko e 3.Kutna brzina precesije je ω0 pa je vrijeme jednog obilaska T0 = 2π/ω0. Konkretno, za Zemlju

Slika 13.6: Precesija ~ω (t) oko e 3.

je

ω3 = Ω 3 = 2πrad

dan,

I3 − I1I1

= 0.00327,

pa period precesije iznosi oko T0 = 305 dana ili desetak mjeseci. Ovo je vrijednost za T0 blizuopazene vrijednosti koja iznosi priblizno 430 dana, a razlika se objasnjava, vec spomenutom,cinjenicom da Zemlja nije savrseno kruta, vec ima i tekuci jezgru, pa u razmatranje treba uzetii hidrodinamicko ponasanje tekucine koja se vrti, a takoder treba uzeti u obzir i atmosferskagibanja, utjecaj plimnog trenja, elasticnosti Zemlje (koja ipak nije savrseno kruta) i slicno.

13.3. GIBANJE ZEMLJE 369

Vidimo da su za odredenje gibanja Zemlje, vazna tri vektora: e 3, ~ω i ~L . Njihove medusobneodnose cemo opisati pomocu dva stosca. To su:prostorni stozac - vezan za sustav (x , y , z ) istozac krutog tijela - vezan za sustav (e 1, e 2, e 3).Opisimo vrtnju Zemlje u u tim terminima. Oznacimo s α kut izmedu osi simetrije Zemlje e 3

(glavne osi su osi simetrije tijela) i konstantnog vektora momenta kolicine gibanja ~L .

~ω = e 1 Ω ⊥ cosω0t+ e 2 Ω ⊥ sinω0t+ e 3 Ω 3,~L = I1ω1e 1 + I1ω2e 2 + I3ω3e 3,

= I1Ω ⊥(e 1 cosω0t+ e 2 sinω0t) + e 3I3 Ω 3,

cosα = e 3 ·~L

L=

I3 Ω 3√I21 Ω 2

⊥ + I23 Ω 2

3

.

Oznacimo s β kut izmedu osi simetrije Zemlje e 3 i vektora vrtnje ~ω

cos β = e 3 · ~ωω

=Ω 3√

Ω 2⊥ + Ω 2

3

.

Uobicajenim trigonometrijskim manipulacijama, dolazi se do sinusa kutova α i β

sinα =I1 Ω ⊥√

I21 Ω 2

⊥ + I23 Ω 2

3

, sin β =Ω ⊥√

Ω 2⊥ + Ω 2

3

,

a zatim i do omjera njihovih tangensa

tanα =I1 Ω ⊥I3 Ω 3

, tan β =Ω ⊥Ω 3

, ⇒ tanα

tan β=I1I3.

Za Zemlju (ili bilo koji drugi sferoid spljosten na polovima) je I1 < I3 (zato jer je zbog sp-ljostenosti, velicina r2

⊥ veca kada se racuna I3, nego kada se racuna I1).

I1 < I3 ⇒ tanα < tan β ⇒ α < β.

Nazovimo prostornim stoscem stozac cija je os simetrije konstantni vektor ~L , os simetrije stoscatijela neka je os e 3 (slika 13.7). Vidimo da gibanje Zemlje mozemo shvatiti kao kotrljanje (bez

klizanja) stosca tijela oko prostornog stosca (vektor ~L je konstantan, pa se prostorni stozac nepomice, nego se pomice stozac tijela) tako da njihova dodirna linija ima smjer vektora vrtnje~ω .Navedimo jos nekoliko opazanja vezanih za opis Zemljinog gibanja:

• Primjetimo da pravci definirani vektorima ~L , e 3 i ~ω leze u istoj ravnini. Ovu cemo tvrd-nju dokazati tako sto cemo pokazati da je volumen paralelopipeda cije su stranice dane ovimvektorima, jednak nuli. Volumen racunamo preko mjesovitog umnoska ta tri vektora, relacijom(2.7), u bazi glavnih osi krutog tijela

~L · (e 3 × ~ω ) =

∣∣∣∣∣∣

I1 ω1 I1 ω2 I3 ω3

0 0 1ω1 ω2 ω3

∣∣∣∣∣∣= 0.

• Opazac u koordinatnom sustavu (O, x, y, z) ce vidjeti da ~ω opisuje prostorni stozac, dok ceopazac u sustavu (O, e 1, e 2, e 3) (a to smo svi mi koji zivimo na Zemlji) vidjeti da ~ω opisujestozac tijela.• Za Zemlju je I1 < I3 (spljostena tijela) i zato je prostorni stozac unutar stosca krutog tijela.Za tijela za koja je I1 > I3 (duguljasta tijela oblika cigare) je lako pokazati da je stozac tijelaunutar prostornog stosca (slika 13.8).


Slika 13.7: Opis gibanja Zemlje pomocu prostornog stosca (os simetrije je ~L ) i stosca tijela (os simetrije je e 3).

13.4 Eulerovi kutovi

Za opis vrtnje krutog tijela oko nepomicne tocke, uobicajeno je koristiti tri kutne varijable Φ,Θi Ψ, koje se zovu Eulerovi kutovi. Osnovna je ideja posve jednostavna:- krecemo s dva koordinatna sustava s istim ishodistem (x, y, z) i (x ′, y ′, z ′), koji se u pocetku

poklapaju;- zatim pomocu kutova Φ i Θ, koje smo upoznali u sfernom koordinatnom sustavu, odredimonovi smjer osi z ′;- i konacno zakrenemo cijeli sustav (x ′, y ′, z ′) oko osi z ′ za kut Ψ.Pokazimo u slijedeca tri koraka kako se iz pocetnog koordinatnog sustava (x, y, z), koristecidva pomocna koordinatan sustava (X,Y, Z) i (X ′ , Y ′ , Z ′ ), stize u konacni zakrenuti sustav(x ′, y ′, z ′):

(x, y, z) ⇒ (X, Y, Z) ⇒ (X ′ , Y ′ , Z ′ ) ⇒ (x ′, y ′, z ′)z = Z X = X ′ Z ′ = z ′

Φ Θ Ψslika 13.9.A slika 13.9.B slika 13.9.C

Povezimo jedinicne vektore pojedinih koordinatnih sustava:prvi korak: zakret oko osi z = Z za kut Φ (slika 13.9.A)

x = (x X )X + (x Y )Y + (x Z )Z = X cos Φ + Y cos(Φ +π

2) + Z cos

π

2

= X cos Φ− Y sin Φ,

y = (y X )X + (y Y )Y + (y Z )Z = X cos(π

2− Φ) + Y cos Φ + Z cos

π

2

= X sin Φ + Y cos Φ,

z = (z X )X + (z Y )Y + (z Z )Z = X cosπ

2+ Y cos

π

2+ Z cos 0

= Z ,

13.4. EULEROVI KUTOVI 371

Slika 13.8: Polozaji prostornog stosca i stosca tijela, ovisno o odnosu I1 i I3.

ili, u matricnom zapisu

xyz

= E Φ

X

Y

Z

, E Φ =

cos Φ − sin Φ 0sin Φ cos Φ 0

0 0 1

.

Drugi korak: zakret oko osi X = X ′ za kut Θ (slika 13.9.B)

X = (X X ′ )X ′ + (X Y ′ )Y ′ + (X Z ′ )Z ′ = X ′ cos 0 + Y ′ cosπ

2+ Z ′ cos

π

2

= X ′ ,

Y = (Y X ′ )X ′ + (Y Y ′ )Y ′ + (Y Z ′ )Z ′ = X ′ cosπ

2+ Y ′ cos Θ + Z ′ cos(Θ +

π

2)

= Y ′ cos Θ− Z ′ sin Θ,

Z = (Z X ′ )X ′ + (Z Y ′ )Y ′ + (Z Z ′ )Z ′ = X ′ cosπ

2+ Y ′ cos(

π

2−Θ) + Z ′ cos Θ

= Y ′ sin Θ + Z ′ cos Θ,

X

Y

Z

= E Θ

X ′

Y ′

Z ′

, E Θ =

1 0 00 cos Θ − sin Θ0 sin Θ cos Θ

.


Slika 13.9: Uz definiciju Eulerovih kutova Φ,Θ i Ψ.

Treci korak: zakret oko osi Z ′ = z ′ za kut Ψ (slika 13.9.C)

X ′ = (X ′ x ′ )x ′ + (X ′ y ′ )y ′ + (X ′ z ′ )z ′ = x ′ cos Ψ + y ′ cos(π

2+ Θ) + z ′ cos

π

2= x ′ cos Ψ− y ′ sin Ψ,

Y ′ = (Y ′ x ′ )x ′ + (Y ′ y ′ )y ′ + (Y ′ z ′ )z ′ = x ′ cos(π

2−Ψ) + y ′ cos Ψ + z ′ cos

π

2= x ′ sin Ψ + y ′ cos Ψ,

Z ′ = (Z ′ x ′ )x ′ + (Z ′ y ′ )y ′ + (Z ′ z ′ )z ′ = x ′ cosπ

2+ y ′ cos

π

2+ z ′ cos 0

= z ′ ,

ili, u matricnom zapisu

X ′

Y ′

Z ′

= E Ψ

x ′

y ′

z ′

, E Ψ =

cos Ψ − sin Ψ 0sin Ψ cos Ψ 0

0 0 1

.

Sada cemo, pomocu gornjih relacija, povezati jedinicne vektore (x , y , z ) sa jedinicnim vektori-ma (x ′ , y ′ , z ′ ).Uzastopnom primjenom gornjih relacija, mozemo povezati sustav (x, y, z) sa sustavom (x ′, y ′, z ′)

xyz

= E ΦE ΘE Ψ

x ′

y ′

z ′

. (13.15)

Iz gornjeg izraza mozemo izvesti i inverznu relaciju, invertiranjem matricax ′

y ′

z ′

= E −1

Ψ E −1Θ E −1

Φ

xyz

. (13.16)

13.4. EULEROVI KUTOVI 373

Lako je vidjeti da su inverzne matrice upravo jednake transponiranim matricama

E −1Φ = E T

Φ, E −1Θ = E T

Θ, E −1Ψ = E T

Ψ.

E −1Ψ E −1

Θ E −1Φ = (E ΦE ΘE Ψ)T.

Izravnim mnozenjem matrica, se dobije za E ΦE ΘE Ψ

cos Φ cos Ψ− sin Φ cos Θ sin Ψ − cos Φ sin Ψ− sin Φ cos Θ cos Ψ sin Φ sin Θ

sin Φ cos Ψ + cos Φ cos Θ sin Ψ − sin Φ sin Ψ + cos Φ cos Θ cos Ψ − cos Φ sin Θ

sin Θ sin Ψ sin Θ cos Ψ cos Θ

,

(13.17)i za E −1

Ψ E −1Θ E −1

Φ

cos Φ cos Ψ− sin Φ cos Θ sin Ψ sin Φ cos Ψ + cos Φ cos Θ sin Ψ sin Θ sin Ψ

− cos Φ sin Ψ− sin Φ cos Θ cos Ψ − sin Φ sin Ψ + cos Φ cos Θ cos Ψ sin Θ cos Ψ

sin Φ sin Θ − cos Φ sin Θ cos Θ

.

(13.18)Uvrstavanjem (13.17) u (13.15), dobiju se relacije

x = x ′ (cos Φ cos Ψ− sin Φ cos Θ sin Ψ) + y ′ (− cos Φ sin Ψ− sin Φ cos Θ cos Ψ) + z ′ sin Φ sin Θ,

y = x ′ (sin Φ cos Ψ + cos Φ cos Θ sin Ψ) + y ′ (− sin Φ sin Ψ + cos Φ cos Θ cos Ψ)− z ′ cos Φ sin Θ,

z = x ′ sin Θ sin Ψ + y ′ sin Θ cos Ψ + z ′ cos Θ, (13.19)

a uvrstavanjem (13.18) u (13.16) dobiju se inverzne relacije

x ′ = x (cos Φ cos Ψ− sin Φ cos Θ sin Ψ) + y (sin Φ cos Ψ + cos Φ cos Θ sin Ψ) + z sin Θ sin Ψ,

y ′ = x (− cos Φ sin Ψ− sin Φ cos Θ cos Ψ) + y (− sin Φ sin Ψ + cos Φ cos Θ cos Ψ) + z sin Θ cos Ψ,

z ′ = x sin Φ sin Θ− y cos Φ sin Θ + z cos Θ. (13.20)

Nadalje cemo se ovim relacijama korisiti kod opisa gibanja zvrka, pri cemu ce (x , y , z ) bitiinercijski sustav (nepomican u prostoru), dok ce (x ′ , y ′ , z ′ ) biti sustav glavnih osi tijela e j

e 1 ≡ x ′ , e 2 ≡ y ′ , e 3 ≡ z ′ .

Izrazimo kutnu brzinu vrtnje tijela ~ω u odnosu na inercijski sustav (x , y , z ), preko Eulerovih

kutova: prvi korak je bio zakret za kut Φ oko osi z = Z , sto daje doprinos od z Φ ; drugi jekorak zakret oko osi X = X ′ za kut Θ, sto daje doprinos od X ′ Θ ; treci je korak zakret okoosi Z ′ = z ′ za kut Ψ, sto daje doprinos od z ′ Ψ . Sva tri doprinosa zajedno, odreduju kutnubrzinu vrtnje

~ω = z Φ + X ′ Θ + z ′ Ψ (13.21)

= Φ (e 1 sin Θ sin Ψ + e 2 sin Θ cos Ψ + e 3 cos Θ) + Θ (e 1 cos Ψ− e 2 sin Ψ) + e 3Ψ

= e 1(Φ sin Θ sin Ψ + Θ cos Ψ) + e 2(Φ sin Θ cos Ψ− Θ sin Ψ) + e 3(Φ cos Θ + Ψ ),



ω1 = Φ sin Θ sin Ψ + Θ cos Ψ,

ω2 = Φ sin Θ cos Ψ− Θ sin Ψ, (13.22)

ω3 = Φ cos Θ + Ψ .

Na slican nacin, polazeci od (13.21) i uvrstavanjem (13.20), mogu se izracunati i komponentebrzine vrtnje ~ω u nepomicnom (inercijskom) (x, y, z) sustavu

~ω = x (Θ cos Φ + Ψ sin Φ sin Θ) + y (Θ sin Φ− Ψ cos Φ sin Θ) + z (Φ + Ψ cos Θ), (13.23)


ωx = Θ cos Φ + Ψ sin Φ sin Θ,

ωy = Θ sin Φ− Ψ cos Φ sin Θ,

ωz = Φ + Ψ cos Θ.

Iz relacije (13.6) znamo oblik kineticke energije vrtnje u sustavu glavnih osi tijela. U vrstimo liu taj izraz gornje vrijednosti za ωj, dobivamo kineticku energiju vrtnje izrazenu preko Eulerovihkutova

Ek,vrt =1

2(I1 ω

21 + I2 ω

22 + I3 ω

23)

=I12

(Φ sin Θ sin Ψ + Θ cos Ψ

)2

+I22

(Φ sin Θ cos Ψ− Θ sin Ψ

)2

+I32

(Φ cos Θ + Ψ

)2

.

U posebnom slucaju kada je tijelo oblika spljostene (ili izduzene) kugle, je I1 = I2 i kinetickase energija svodi na

Ek,vrt =I12

(Φ 2 sin2 Θ + Θ 2

)+I32

(Φ cos Θ + Ψ

)2

.

Ukoliko je tijelo oblika kugle I1 = I2 = I3 = I

Ek,vrt =I

2

(Φ 2 + Θ 2 + Ψ 2 + 2Φ Ψ cos Θ

).

(Moment tromosti kugle oko osi kroz promjer je (2/5)mR2, tada je npr. Θ = Φ = 0, a Ψ = ω.)

13.5 Gibanje zvrka

U ovom cemo odjeljku opisati gibanje zvrka, tj. vrtnju osno simetricnog krutog tijela okoosi vrtnje koja se poklapa s jednom od glavnih osi (osi simetrije) tijela (slika 13.10). Jednatocka zvrka, O, je nepomicna i os vrtnje prolazi kroz tu tocku. Za razliku od prethodnogprimjera (vrtnja Zemlje), gdje je moment vanjskih sila bio jednak nuli, sada ce moment vanjske(gravitacijske) sile biti razlicit od nule. Postavimo inercijski kordinatni sustav (x, y, z) i sustavglavnih osi tijela (e1, e2, e3) (neinercijski, cvrsto vezan uz tijelo) tako da imaju isto ishodiste, ato ishodiste je nepomicna tocka gibanja zvrka, kao na slici 13.10. Sustav (e1, e2, e3) se kutnombrzinom ~ω vrti oko sustava (x, y, z). Prisjetimo se Eulerovih kutova: Φ i Θ odreduju smjer osivrtnje (tj. odreduju smjer e 3, gledano iz (x, y, z) sustava), a kut Ψ tj. kutna brzina Ψ opisujevrtnju zvrka oko osi e 3. Sustav (e 1, e 2, e 3) se giba u skladu s promjenom smjera osi vrtnje

13.5. GIBANJE ZVRKA 375

Slika 13.10: Vrtnja zvrka u gravitacijskom polju Zemlje.

(koje opisuju kutovi Φ i Θ), ali se NE vrti oko svoje e 3 osi (jer bi tada zvrk mirovao u tomsustavu). U sustavu glavnih osi e j, zvrk se vrti kutnom brzinom Ψ oko glavne osi e 3.Uslijed djelovanja momenta vanjskih sila, moment kolicine gibanja zvrka ce se mijenjati u skladu

s ~L = ~M . U sustavu glavnih osi tijela je moment kolicine gibanja sada jednak

~L = I1 ω1 e 1 + I2 ω2 e 2 + I3 (ω3 + Ψ ) e 3,

pri cemu su komponente vektora vrtnje ωj = ωj(Θ(t),Φ(t)). Sada postupamo kao u izvodu

Eulerovih jednadzba, s tom razlikom da u izrazu za ~L imamo i dodatni clan od Ψ . Vezuizmedu vremenske promjene ~L u inercijskom i neinercijskom sustavu znamo iz (8.3), a onaovisi samo o vrtnji neinercijskog sustava kao cjeline, u odnosu na inercijski sustav

d ~L

d t

∣∣∣∣∣in.

=d ~L

d t

∣∣∣∣∣nin.

+ ~ω × ~L (13.24)

= I1 ω 1 e 1 + I2 ω 2 e 2 + I3 (ω 3 + Ψ ) e 3

+ (ω1 e 1 + ω2 e 2 + ω3 e 3)× [I1 ω1 e 1 + I2 ω2 e 2 + I3 (ω3 + Ψ ) e 3]

= e 1 [I1 ω 1 + (I3 − I2) ω2 ω3 + I3 ω2 Ψ ]

+ e 2 [I2 ω 2 + (I1 − I3) ω1 ω3 − I3 ω1 Ψ ]

+ e 3 [I3 (ω 3 + Ψ ) + (I2 − I1) ω1 ω2].

U inercijskom sustavu na zvrk djeluje vanjska gravitacijska sila. Kao sto smo pokazali relacijom(10.12) ta sila djeluje kao da je sva masa zvrka skoncentrirana u njegovom sredistu mase. Nekase srediste mase nalazi u tocki l e 3, gdje je s l oznacena udaljenost od ushodista O do sredistamase SM . Tada je moment gravitacijske sile jednak

~M = l e 3 × m g (−z ) = −l m g e 3 × [(z e 1) e 1 + (z e 2) e 2 + (z e 3) e 3] .

Buduci da vektor e 1 lezi u ravnini (x, y), to je z e 1 = 0. Sa slike 13.10 se vidi da je z e 2 =cos(π/2 − Θ) = sin Θ (ili iz jednadzba (13.19) uz Ψ ≡ 0). Posljedni clan uglate zagrade ima


smjer e 3, pa je njegov vektorski umnozak s e 3 jednak nuli. Tako za moment vanjske sile konacnodobivamo

~M = −l m g e 3 × sin Θ e 2 = e 1 l m g sin Θ. (13.25)

U skladu s relacijom ~L = ~M , ovaj je moment sile upravo jednak vremenskoj promjeni momentakolicine gibanja (13.24). Izjednacavanjem ta dva izraza, uz I1 = I2 za osno simetricni zvrk,dolazimo do Eulerovih jednadzba koje sada glase

I1 ω 1 + (I3 − I1) ω2 ω3 + I3 ω2 Ψ = l m g sin Θ (13.26)

I1 ω 2 + (I1 − I3) ω1 ω3 − I3 ω1 Ψ = 0,

I3 (ω 3 + Ψ ) = 0.

Sustav glavnih osa (e 1, e 2, e 3) je orjentiran prema (x, y, z) sustavu tako sto je u odnosu nanjega zakrenut za kutove Θ i Φ, ali ne i za Ψ (Ψ opisuje vrtnju zvrka u sustavu glavnih osa).Zbog toga za komponente ω1,2,3 mozemo napisati izraze iz (13.22) u kojima je Ψ ≡ 0

ω1 = Θ , ω2 = Φ sin Θ, ω3 = Φ cos Θ. (13.27)

Uvrstavanjem ovih izraza u Eulerove jednadzbe, dobivamo

I1 Θ + (I3 − I1) Φ 2 sin Θ cos Θ + I3 Φ Ψ sin Θ = l m g sin Θ

I1 (Φ sin Θ + Φ Θ cos Θ) + (I1 − I3) Θ Φ cos Θ - I3 Θ Ψ = 0

I3d

d t

(Φ cos Θ + Ψ

)= 0

(13.28)

Znacenja kutnih brzina koje se pojavljuju u gornjim jednadzbama su:- Φ , precesija; vrtnja projekcije vektora e 3 oko osi z, u ravnini (x, y),- Θ , nutacija; gibanje vektora e 3 prema i od osi z,- Ψ , spin; vrtnja zvrka oko glavne osi e 3.

konstante gibanja:Prva konstanta:Primjetimo da iz trece od gornjih jednadzba mozemo zakljuciti

I3d

d t(Φ cos Θ + Ψ ) = 0 ⇒ Φ cos Θ + Ψ = const. ≡ Ω . (13.29)

Ω je konstanta dimenzije kutne brzine. Uvrstavanjem Ψ = Ω − Φ cos Θ u preostale dvijejednadzbe iz (13.28), dobivamo dvije vezane jednadzbe za Φ i Θ

I1 (Θ − Φ 2 sin Θ cos Θ) + I3 Φ Ω sin Θ = l m g sin Θ (13.30)

I1 (Φ sin Θ + 2 Φ Θ cos Θ)− I3 Ω Θ = 0.

Druga konstanta:Buduci da na zvrk djeluje samo (konzervativna) gravitacijska sila, energija je sacuvana. Dabismo to dokazali, pomnozimo jednadzbe (13.26) redom sa ω1, ω2 i (ω3+Ψ ) i zatim ih zbrojimo.Kao rezultat se dobije

I1 (ω1 ω 1 + ω2 ω 2) + I3 (ω3 + Ψ ) (ω 3 + Ψ ) = m g l ω1 sin Θ.


Ako na desnoj strani gornjeg izraza uzmemo u obzir da je ω1 = Θ , obje strane gornjeg izrazamozemo napisati kao vremenske derivacije

1

2I1

(dω2

1

d t+dω2

2

d t

)+

1

2I3

d

d t

(ω3 + Ψ

)2

= −m g ld cos Θ

d t.

Integracijom po vremenu gornje jednadzbe, dobiva se konstanta dimenzije energije

1

2I1

(ω2

1 + ω22

)+

1

2I3

(ω3 + Ψ

)2

+m g l cos Θ = const. ≡ E.

Konacni oblik konstantne energije se dobije uvrstavanjem (13.27) i (13.29) u gornji izraz

1

2I1

(Θ 2 + Φ 2 sin2 Θ

)+

1

2I3 Ω 2 +m g l cos Θ = E.

To je zakon o sacuvanju mehanicke energije zvrka.

Treca konstanta:Pokazali smo, relacijom (13.11), da je u odsustvu momenata vanjskih sila, moment kolicine

gibanja konstantan (sacuvan). Sada je moment vanjskih sila razlicit od nule, pa nece cijeli ~Lbiti sacuvan, nego ce biti sacuvana samo ona njegova komponenta, koja je okomita na momentvanjskih sila (jer ga, zbog medusobne okomitosti, ne moze promjeniti). Sa slike 13.10 i iz relacije

(13.25) vidimo da ~M ima samo e 1 komponentu koja lezi u ravnini (x, y) i zato zakljucujemo

dLxd t

= Mx 6= 0,d Lyd t

= My 6= 0,d Lzd t

= Mz = 0 ⇒ Lz = const.

da ce samo z komponenta momenta kolicine gibanja biti konstantna. Izracunajmo Lz

~L = Lx x + Ly y + Lz z = I1 ω1 e 1 + I1 ω2 e 2 + I3 (ω3 + Ψ )︸︷︷︸= Ω

e 3, / · z

Lz = ~L z = I1 ω1 (e 1z ) + I1 ω2 (e 2z ) + I3 Ω (e 3z ).

No, sa slike 13.10, se vidi da je

e 1z = 0, e 2z = cos(π/2−Θ) = sin Θ, e 3z = cos Θ.

Uvrstivsi jos, ω2 = Φ sin Θ, dobiva se

Lz = I1 Φ sin2 Θ + I3 Ω cos Θ.

Da bismo se uvjerili da je Lz = const., treba vidjeti da njegova vremenska derivacija iscezava

dLzd t

=[I1 (Φ sin Θ + 2 Φ Θ cos Θ)− I3 Ω Θ

]sin Θ

a to je, zbog druge od jednadzba (13.30), jednako nuli, dakle je Lz konstantan u vremenu

Lz = const.

Stacionarna precesijaVratimo se sada jednadzbama (13.30) i nadimo uvjete za stacionarnu precesiju zvrka. Staci-onarnom precesijom se naziva precesija kod koje je kut Θ glavne osi e 3 prema osi z inercijskogsustava, konstantan (dakle, bez nutacije)

Θ = const. ⇒ Θ = Θ = · · · = 0.


Primjetimo da je za konstantni Θ i projekcija sredista mase zvrka na ravninu (x, y) takoderkonstantna i jednaka l sin Θ. Uz uvjet konstantnog Θ, jednadzbe (13.30) glase

− sin Θ(I1 Φ 2 cos Θ− I3 Φ Ω + l m g

)= 0 (13.31)

I1 Φ sin Θ = 0.

Iz druge od gornjih jednadzbi slijedi da je

Φ = const.,

tj. zvrk precesira konstantnom brzinom. Shvatimo li prvu od gornjih jednadzba kao kvadratnujednadzbu u Φ , nalazimo dva rjesenja za kutnu brzinu precesije u ravnini (x, y) (slika 13.11.A)

Φ ± =I3 Ω ±

√I23 Ω 2 − 4 I1 m g l cos Θ

2 I1 cos Θ. (13.32)

Vidimo da su oba rjesenja konstantna (jer je Θ konstantno). Ukoliko je

I23 Ω 2 > 4 I1 m g l cos Θ,

postoje dva realna rjesenja za kutnu brzinu precesije: Φ + i Φ −. Ukoliko je

I23 Ω 2 = 4 I1 m g l cos Θ,

postoji samo jedno rjesenje

Φ = Φ + = Φ − =I3 Ω

2 I1 cos Θ.

Ukoliko je I23 Ω 2 < 4 I1 m g l cos Θ, nema realnih rjesenja. Pogledajmo detaljnije situaciju u

kojoj se zvrk brzo vrti oko svoje osi, gdje brzo znaci da je Ψ >> ωj, tj. vrtnja zvrka oko svojeosi je puno veca od svih ostalih kutnih brzina. U ovoj granici vrijedi i da je

Ω = Ψ + ω3 ' Ψ >> ωj.

Taylorovim razvojem po maloj velicini 1/Ω , za precesijske brzine Φ ± se dobiva

Φ ± =I3 Ω ± I3 Ω

√1− (4 I1 m g l cos Θ)/(I2

3 Ω 2)

2 I1 cos Θ

= · · · =I3 Ω ±

[I3 Ω − (2 I1 m g l cos Θ)/(I3 Ω ) + · · ·

]

2 I1 cos Θ,

sto daje jednu veliku i jednu malu precesijsku brzinu

Φ + ' I3 Ω

I1 cos Θ, Φ − ' m g l

I3 Ω, Φ + >> Φ −.

Primjetimo da je u ovom slucaju, precesijska brzina uvijek konstantna u vremenu. Hoce li zvrkprecesirati brzinom Φ + ili Φ − ovisi o pocetnim uvjetima.

Nutacija - dinamicka precesijaProucimo sada gibanje zvrka bez zahtjeva da je Θ konstantan kut (dinamicka precesija). Vre-menska promjena kuta Θ se naziva nutacija. Pozovimo se na zakone sacuvanja energije i z


Slika 13.11: (A) Precesija: projekcija SM zvrka se kutnom brzinom Φ± giba po kruznici polumjera l sin Θ uravnini (x, y). (B) Nutacija: os simetrije zvrka e 3 se periodicki otklanja od i prema osi z inercijskog sustava.

komponente momenta kolicine gibanja

1

2I1

(Θ 2 + Φ 2 sin2 Θ

)+

1

2I3 Ω 2 +m g l cos Θ = E = const.,

I1 Φ sin2 Θ + I3 Ω cos Θ = Lz = const.

Iz druge od gornjih jednadzba izracunamo Φ

Φ =Lz − I3 Ω cos Θ

I1 sin2 Θ(13.33)

i uvrstimo u prvu, koja time postaje nelinearna diferencijalna jednadzba prvog reda za racunanjeΘ = Θ(t)

1

2I1

[Θ 2 +

(Lz − I3 Ω cos Θ)2

I21 sin2 Θ

]+

1

2I3 Ω 2 + m g l cos Θ− E = 0.

Gornja jednadzba se rjesava uvodenjem nove varijable u(t) = cos Θ(t). Prema svojoj definiciji,kut Θ se moze mijenjati u intervalu 0 ≤ Θ ≤ π/2, pa u moze poprimati vrijednosti iz intervala0 ≤ u ≤ 1. U terminima u, gornja jednadzba postaje nelinearna diferencijalna jednadzba zau(t)

u2 = (1− u2)(α− βu)− (γ − δu)2 ≡ P3(u) (13.34)

gdje je P3(u) pokrata za polinom treceg reda u varijabli u, a konstante α, β, γ i δ su

α =2

I1

(E − I3 Ω 2

2

), β =

2 m g l

I1, γ =

LzI1, δ =

I3I1

Ω .

Sve su gornje konstante zadane preko tri konstanata gibanja: Ω , E i Lz, preko momenatatromosti I1,3, mase m i polozaja sredista mase l.

Primjetimo da se pomocu gornjih konstanata, jednadzba (13.33) za Φ moze napisati kao

Φ (t) =γ − δ u(t)

1− u2(t), (13.35)


tj. precesijska brzina vise nece biti konstantna, kao u (13.32), nego ce se mijenjati s vremenomkroz ovisnost u = u(t).Pretpostavimo da je Θ = Θ(t) periodicka funkcija, tj. da Θ poprima samo vrijednosti izmeduneke dvije granicne vrijednosti Θ1 ≤ Θ ≤ Θ2 i promatrajmo vremenski interval dt u kojemuse Θ smanjuje. Tada ce biti u = −Θ sin Θ > 0, pa iz jednadzbe (13.34) zadrzavamo pozitivnikorjen

d u

d t= +

√P3(u) t =

∫d u√P3(u)

+ const.

Gornji se integral moze izracunati u terminima eliptickih funkcija koje jesu periodicne, sto jesuglasno s nasom pretpostavkom o periodicnosti u. Potrazimo nule polinoma P3(u) = 0

P3(u) = (1− u2) (α− β u)− (γ − δ u)2

0 = β u3 − (α + δ2) u2 + (2 γ δ − β) u+ (α− γ2).

Zasto su nam vazne bas nule polinoma? U tim je tockama u2 = P3(u) = 0, tj. Θ = 0, nutacijskabrzina je nula. Tu se dakle, zvrk zaustavlja u svom nutacijskom gibanju i, zbog periodicnosti,pocinje se gibati u suprotnom smjeru. Prema tome nul-tocke polinoma P3(u) odeduju rubnetocke Θ1 i Θ2 nutacijskog gibanja (slika 13.11.B). Zaboravimo, na trenutak, da je 0 ≤ u ≤ 1 ipogledajmo P3(u) i za u-ove izvan tog intervala. Konstanta β je pozitivna velicina, pa je zatoP3(u→ ±∞) = ±∞ (slika 13.12). Takoder se lako vidi da je

Slika 13.12: Uz odredivanje nul-tocaka polinoma P3(u).

P3(u = +1) = −(γ − δ)2 < 0, P3(u = −1) = −(γ + δ)2 < 0.

Buduci da je P3(u = +1) < 0, a P3(u → ∞) > 0, jedna nul-tocka P3, nazovimo ju u3, moralezati u nefizikalnom podrucju izmedu u = 1 i u → ∞. Iz ovoga zakljucujemo da se preostaledvije nul-tocke

u1 = cos Θ1, u2 = cos Θ2,

moraju nalaziti u intervalu 0 ≤ u ≤ 1. U nekim posebnim slucajevima se moze dogoditi da jeu1 = u2 ili u2 = u3 = 1. Pogledajmo koje je fizicko znacenje ovih rezultata. Iz cinjenice da


postoje dva granicna kuta Θ1 i Θ2, zakljucujemo da ce se kut Θ koji os simetrije zvrka e 3 zatvarasa (nepomicnim) smjerom osi z , periodicki mijenjati s vremenom u intervalu Θ1 ≤ Θ ≤ Θ2

(slika 13.11.B). Kao sto je vec spomenuto, ova se promjena kuta Θ zove nutacija. Osimnutacije, zvrk izvodi i precesiju (slika 13.11.A) kutnom brzinom Φ odredenom relacijom(13.35). Ova precesijska kutna brzina nije konstantna, nego se mijenja onako kako se mijenjai kut Θ: od Φ (Θ1) do Φ (Θ2). Naravno, da osim ova dva gibanja, zvrk izvodi i vrtnju okosvoje glavne osi e 3 kutnom brzinom Ψ , koja se zove SPIN. Sva ova tri gibanja zvrka, mozemoprikazati slikom 13.13. Oblik nutacijskih krivulja ovisi o pocetnim uvjetima, tj. o vrijednostima

Slika 13.13: Tocka na jedinicnoj sferi je presjeciste osi simetrije zvrka e 3 i plohe jedinicne sfere. Na slici suprikazana sva tri karakteristicna gibanje zvrka: precesija (gibanje tocke po jednoj od crtkanih zelenih kruznica),nutacija (gibanje tocke u podrucju Θ1 < Θ < Θ2) i spin (kao Ψ ).

konstanata Ω , E i Lz.


Dio III

Analiticka mehanika

383

Poglavlje 14

Lagrangeove jednadzbe gibanja

Sto te previse cudi, nemoj istrazivati;a sto je iznad tvojih snaga, nemoj ispitivati.

Biblija, Knjiga propovjednikova

U prethodnim poglavljima smo probleme gibanja cestice, sustava cestica i krutih tijela, rjesavaliNewtonovom jednadzbom gibanja, nacelom zamisljenih (virtualnih) pomaka ili Eulerovim jed-nadzbama. U ovom i slijedecem odjeljku, cemo se upoznati s jednim opcenitijim pristupom,koji su uglavnom formulirali Lagrange1 i Hamilton2 . Iako se oba ova pristupa svode naNewtonove zakone, oni se odlikuju na samo relativnom lakocom kojom se problemi formuli-raju i rjesavaju, nego isto tako i mogucnoscu primjene ovih metoda na rjesavanje problemaizvan podrucja tradicionalne klasicne mehanike, kao sto su kvantna fizika, statisticka fizika,elektrodinamika i nebeska mehanika.

14.1 Poopcene koordinate

Promatrajmo sustav sastavljen od N cestica. Ako se svaka cestica tog sustava, za vrijemesvojega gibanja, moze nalaziti u proizvoljnoj tocki prostora i pri tome imati proizvoljnu brzinu,sustav se zove slobodan sustav. Za odredivanje polozaja takvog sustava, potrebno je znatiN radij-vektora polozaja svih njegovih cestica (u odnosu na neku zadanu, nepomicnu tocku uprostoru)

~r1, ~r2, · · · , ~rN .Uvedemo li i pravokutni koordinatni sustav, tada je ~rj = ~rj(xj, yj, zj; t), pa je polozaj cijelogsustava odreden s 3N koordinata

xj, yj, zj, j = 1, 2, · · · , N.Umjesto pravokutnih koordinata, mogu se uvesti neke druge, pogodnije odabrane velicine (kojecak i ne moraju imati dimenziju duljine, nego mogu biti npr. kutovi kao u sfernom koordinatnom

1Joseph Louis comte de Lagrange, 1736 - 1813, francuski fizicar i matematicar2William Rowan Hamilton, 1805 - 1865, irski matematicar i astronom

385

386 POGLAVLJE 14. LAGRANGEOVE JEDNADZBE

sustavu), koje cemo oznacavati s η1, η2, · · · , η3N . U svakom trenutku t, svaka od 3N pravokutnihkoordinata, se moze izraziti preko svih ili samo nekih od varijabla ηj

xj = xj(η1, η2, · · · , η3N ; t), yj = yj(η1, η2, · · · , η3N ; t), zj = zj(η1, η2, · · · , η3N ; t).

14.2 Stupnjevi slobode

Uvedimo pojam broja stupnjeva slobode sustava cestica, S. Pod brojem stupnjevaslobode cemo podrazumjevati najmanji broj medusobno nezavisnih skalarnih velicina nuznihza odredivanje polozaja svih cestica sustava.

Primjer: 14.1 Za odredivanje polozaja jedne cestice koja se slobodno giba u trodimenzijskomprostoru, su potrebne tri koordinate: (x, y, z), (η1, η2, η3), (r, θ, ϕ) ili nesto slicno.Zato je broj stupnjeva slobodne jedne slobodne cestice u trodimenzijskom prostoru,jednak tri (tj. D u opcenitom D-dimenzijskom prostoru).

Primjer: 14.2 Za odredivanje polozaja sustava koji se sastoji od N cestica koje se slobod-no gibaju u trodimenzijskom prostoru, potrebno je odrediti polozaj svake od cesticasustava, a polozaj svake cestice je odreden s tri koordinate. Prema tome, ukupanbroj koordinata potrebnih za odredivanje polozaja sustava je 3N , tj. toliki je brojstupnjeva slobode.

Primjer: 14.3 Koliko stupnjeva slobode ima kruto tijelo:(A) koje se moze slobodno gibati u trodimenzijskom prostoru,(B) koje ima jednu svoju tocku nepomicnu, ali se moze gibati oko te tocke?

R: (A-1) Polozaj krutog tijela u prostoru je jednoznacno odreden poznavanjemkoordinata njegove tri nekolinearne tocke. Neka su koordinate te tri tocke u pravo-kutnom koordinatnom sustavu

T1 = (x1, y1, z1), T2 = (x2, y2, z2), T3 = (x3, y3, z3).

Od ovih devet koordinata nisu sve nezavisne. Kod krutog tijela su udaljenosti meducesticama nepromjenjive, pa gornjih devet koordinata mora zadovoljavati slijedecetri relacije,

(x1 − x2)2 + (y1 − y2)

2 + (z1 − z2)2 = d1,2 = const.,

(x1 − x3)2 + (y1 − y3)

2 + (z1 − z3)2 = d1,3 = const., (14.1)

(x2 − x3)2 + (y2 − y3)

2 + (z2 − z3)2 = d2,3 = const..

tj. samo je sest koordinata nezavisno (bilo kojih sest koordinata), dok su preostaletri koordinate odredene gornjim trima jednadzbama. Zakljucujemo da kruto tijeloima sest stupnjeva slobode.(A-2) Do istog se rezultata dolazi i drukcijim razmisljanjem. Gibanje slobodnog kru-tog tijela mozemo zamisliti kao kombinaciju translacijskog gibanja i vrtnje. Kad bise tijelo gibalo samo translacijski, polozaj jedne tocke tijela bi (zbog uvjeta krutosti)odredivao polozaj cijelog tijela. Polozaj te tocke je odreden s tri stupnja slobode, tj.cijelo kruto tijelo bi imalo tri stupnja slobode. Kada bi se tijelo samo vrtilo, njegovbi polozaj bio odreden s dva kuta, θ(t) i ϕ(t), koji odreduju smjer osi vrtnje i trecikut Ψ(t) koji odreduje zakret tijela oko osi. To sve skupa daje tri stupnja slobode

14.2. STUPNJEVI SLOBODE 387

za vrtnju oko nepomicne tocke. Tako smo opet dosli do broja od sest koordinata tj.sest stupnjeva slobode krutog tijela: tri od vrtnje i tri od translacije.

(B-1) Ako je jedna tocka krutog tijela nepomicna, onda se ono ne moze gibati tran-slacijski, nego se moze samo vrtjeti, a u (A-2) je pokazano da je tada broj stupnjevaslobode jednak tri.(B-2) Tri stupnja slobode za kruto tijelo s jednom nepomicnom tockom, mozemodobiti i drugim nacinom razmisljanja. Neka su koordinate nepomicne tocke T =(x1, y1, z1). Tada je za sve vrijeme gibanja krutog tijela

x1 = c1, y1 = c2, y1 = c3.

za cj = const. Gornje tri jednadzbe predstavljaju dodatne uvjete u odnosu na triuvjetne jednadzbe slobodnog krutog tijela (14.1), tako da u ovom slucaju preostaju6− 3 = 3 stupnja slobode.

Ako polozaji ili brzine cestica sustava ne mogu poprimati proizvoljne vrijednosti, nego samoone vrijednosti koje zadovoljavaju odredene uvjete, onda takav sustav zovemo neslobodansustav cestica. Npr. dvije cestice povezane tankom nerastezivom niti su primjer neslobodnogsustava: njihova medusobna udaljenost je uvijek manja ili jednaka duljini niti. Uvjeti nagibanje se opcenito mogu analiticki izraziti tako sto ce izmedu polozaja i brzina cestica sustavai vremena, postojati M veza (diferencijalnih jednadzba) oblika

fm(ηj, η j; t) = 0, m = 1, 2, · · · ,Mza j = 1, 2, · · · , N . Vrijeme t se pojavljuje u onim slucajevima kada se veze mijenjaju uvremenu.Moze se dogoditi da neki od uvjeta na gibanje ne ovise o brzinama cestica sustava η j.Takvi se uvjeti zovu se holonomni3 ili konacni ili integrabilni, a mogu se analiticki izrazitialgebarskim (ne diferencijalnim) jednadzbama oblika

fm(ηj; t) = 0, m = 1, 2, · · · ,Mh,

za j = 1, 2, · · · , N . S Mh ≤ M je oznacen broj holonomnih veza. Neslobodni sustav cije jegibanje odredeno samo holonomnim vezama (Mh = M), zove se holonomni sustav. Buduci dasada imamo 3N koordinata i Mh veza medu njima, zakljucujemo da je samo

S = 3N −Mh

od njih medusobno nezavisno (a preostale se koordinate mogu dobiti iz jednadzba uvjeta nagibanje). U skladu s definicijom pojma stupnja slobode, kazemo da ovakav sustav ima 3N−Mh

stupnjeva slobode.

Primjer: 14.4 Uzmimo jednostavni primjer sustava dvije cestice (N = 2) koje se mogu gibatisamo u ravnini (x, y), a medusobno su povezane krutim stapom (slika 14.1.A). Dvijeslobodne cestice imaju sest stupnjeva slobode 3N = 3 ·2 = 6. Ogranicenje na gibanjeu ravnini mozemo izraziti uvjetima

z1 = 0, z2 = 0.3øλøζ = cijeli, potpuni; νøµøζ = zakon


Kada ne bi bile povezane stapom, njihov polozaj u ravnini bi bio odreden s cetirikoordinate, po dvije za svaku cesticu (npr. njihove x i y koordinate), no zbog stapaduljine d, njihove su koordinate povezane jos i relacijom

(x1 − x2)2 + (y1 − y2)

2 = d 2, (14.2)

tako da ukupno imamo tri holonomna uvjeta na gibanje Mh = 3, pa je broj stupnjevaslobode S = 3N −Mh = 6− 3 = 3. Primjetimo da sve tri gornje veze ne ovise ni ovremenu ni o brzinama cestica.

Slika 14.1: Ilustracija holonomno skleronomnih (A) i holonomno reonomnih (B) uvjeta na gibanje.

Pretpostavimo da smo rijesili Mh jednadzba (14.2) i da smo dobili Mh koordinata η1, η2, · · · ηMh

izrazenih preko preostalih S = 3N −Mh koordinata

η1 = η1(ηMh+1, ηMh+2, · · · , η3N ; t),

η2 = η2(ηMh+1, ηMh+2, · · · , η3N ; t),...

ηMh= ηMh

(ηMh+1, ηMh+2, · · · , η3N ; t).

Uvedimo sada umjesto S nezavisnih koordinata ηMh+1, ηMh+2, · · · , η3N , nove nezavisne koordi-nate q1, q2, · · · , qS pomocu relacija

ηMh+1 = ηMh+1(q1, q2, · · · , qS; t),ηMh+2 = ηMh+2(q1, q2, · · · , qS; t),

...

η3N = η3N(q1, q2, · · · , qS; t).Ove nove koordinate qs za s = 1, 2, · · · , S cemo zvati poopcene koordinate. Njih imaonoliko koliko ima i stupnjeva slobode. Pomocu poopcenih koordinata je moguce napisati

ηj = ηj(q1, q2, · · · , qS; t),

14.3. NEHOLONOMNI SUSTAVI 389

za sve j = 1, 2, · · · , 3N .Ukoliko jednadzbe uvjeta (14.2) ne sadrze eksplicitno vrijeme, one se zovu skleronomne.4

Ako jednadzbe sadrze vrijeme, zovu se reonomne.5.

Primjer: 14.5 Kao jednostavan primjer skleronomnog uvjeta na gibanje, moze se promatrativec spomenuti sustav dvije cestice povezane krutim stapom u ravnini (x, y) (sli-ka 14.1.A). Uvjet na gibanje je uvjet da je udaljenost medu cesticama nepromje-njiva i jednaka duljini stapa d, relacija (14.2). To je skleronoman uvjet, jer seu gornjoj jednadzbi vrijeme ne pojavljuje eksplicitno, nego samo implicitno, krozxj = xj(t), yj = yj(t). Reonoman uvjet se dobije ako se kruti stap iz prethodnogprimjera zamjeni oprugom, kao na slici 14.1.B (pri cemu pretpostavljamo samo ti-tranje u smjeru osi opruge, a ne i u smjerovima okomitim na tu os). U tom slucajujednadzba uvjeta glasi

(x1 − x2)2 + (y1 − y2)

2 = [d+ ∆ · sinωt] 2 .

U ovoj se jednadzbi vrijeme pojavljuje implicitno kroz xj(t), yj(t) i eksplicitno usinusnom clanu.

14.3 Neholonomni sustavi

Pogledajmo sada uvjete na gibanje, koji osim o polozajima ovise i o brzinama cestica i koji seanaliticki mogu prikazati diferencijalnim jednadzbama oblika

fm(ηj; η j; t) = 0, (14.3)

za j = 1, 2, · · · , N i m = 1, 2, · · · ,M2. Moze se dogoditi da je neku od M2 gornjih jednadzbamoguce napisati kao vremensku derivaciju neke funkcije Φ koja ovisi samo o polozajima cesticasustava i vremenu

dΦ(ηj; t)

d t= 0.

Tada veza

Φ(ηj; t) = C = const.

zamjenjuje odgovarajucu vezu s brzinama iz (14.3). Ovakve se veze nazivaju poluholonomneveze. Odabirom odgovarajucih vrijednosti za konstante C, ove veze postaju holonomne.Ako se veze (14.3) ne mogu napisati u obliku vremenskih derivacija nekih drugih funkcijakoordinata i vremena, onda se one zovu neholonomne ili diferencijalne ili neintegrabilne, asustav se zove neholonomni sustav. U opcem slucaju, brzine se u (14.3) mogu pojavljivati naproizvoljan nacin. No, u vecini slucajeva od interesa (ali ne i iskljucivo), one se pojavljujulinearno, tako da se veze (14.3) mogu napisati u obliku

N∑j=1

Ajm η j +Bm = 0 , m = 1, 2, · · · ,Mnh, (14.4)

Ajm = Ajm(ηj; t) , Bm = Bm(ηj; t).

4σκληρøζ = suh, cvrst, krut, nepromjenjiv ; νøµøζ = zakon5ρηω = teci, mijenjati se; νøµøζ = zakon


Poluholonomne veze smo pribrojili holonomnim vezama, i sve skupa ih ima Mh. S Mnh smooznacili broj neholonomnih veza, tako da je ukupan broj stupnjeva slobode S = 3N−Mh−Mnh.Ogranicimo li se samo na linearne diferencijalne veze (tj. uvjete na gibanja), opcenito zaholonomne i neholonomne veze, mozemo pisati

algebarske jednadzbe fm(ηj; t) = 0, m = 1, 2, · · · ,Mh, (14.5)

diferencijalne jednadzbeN∑j=1

Ajm η j +Bm = 0, m = 1, 2, · · · ,Mnh.

Po svom karakteru, uvjeti na gibanje mogu se jos podijeliti i na zadrzavajuce i nezadrzavajuce.Gornje jednadzbe su primjeri zadrzavajucih veza, dok bi nezadrzavajuce veze dobili tako sto bise u gornjim jednadzbama znakovi = zamjenili sa ≥, cime se polozaji (za holonomne sustave)ili polozaji i brzine (za neholonomne sustave), dijele u dva podrucja: jedno koje je dostupnocesticama sustava i drugo koje im je nedostupno.

U odnosu na ovisnost o vremenu, i neholonomni uvjeti se dijele na skleronomne i reonomne.

Primjer: 14.6 Kao primjer neholonomne veze, navodimo kuglu koja se, bez klizanja, kotrljapo ravnoj plohi. Koordinatni sustav cemo postaviti tako da se kugla kotrlja u ravnini(x, y) (slika 14.2).

R: Zbog uvjeta da se kugla kotrlja bez klizanja, tocka dodira kugle s podlo-

Slika 14.2: Uz primjer neholonomne veze.

gom, P , trenutno miruje, tj. ona je trenutno srediste vrtnje (vidi odjeljak 12.8).Povezimo s kuglom koordinatni sustav (e1, e2, e3) sa ishodistem u sredistu kugle O ′

(sustav glavnih osi kugle). Polozaj ovog koordinatnog sustava u odnosu na sustav(x, y, z) odredujemo koordinatama sredista kugle xO ′ , yO ′ i zO ′ i trima Eulerovimkutovima Φ,Θ i Ψ. Iz odjeljka o prostornom gibanju krutog tijela znamo da suprojekcije kutne brzine kugle na nepomicni koordinatni sustav (x , y , z ), dane sa

14.4. LAGRANGEOVE JEDNADZBE 391

(13.23)

ωx = Θ cos Φ + Ψ sin Φ sin Θ,

ωy = Θ sin Φ− Ψ cos Φ sin Θ,

ωz = Φ + Ψ cos Θ.

Iz odjeljka 8.1 znamo da se brzina proizvoljne nepomicne tocke P neinercijskogkoordinatnog sustva moze napisati kao (8.5)

~vP = ~vO ′ + ~ω × −−→O ′ P .

U tocki dodira kugle s podlogom je ~vP = 0, a−−→O ′ P = (0, 0,−R), gdje je R polumjer

kugle. Uvrstavanje u gornju jednadzbu, vodi na

~vP = 0 = x O ′ x + y O ′ y + z O ′ z +

∣∣∣∣∣∣

x y zωx ωy ωz0 0 −R

∣∣∣∣∣∣,


d xO ′

d t−R

(Θ sin Φ− Ψ cos Φ sin Θ

)= 0,

d yO ′

d t+R

(Θ cos Φ + Ψ sin Φ sin Θ

)= 0,

d zO ′

d t= 0.

Prve dvije jednadzbe su neholonomne, a iz trece jednadzbe slijedi

zO ′ = const = R,

pa je to holonomna jednadzba. Na temelju ovog razmatranja, zakljucujemo da jekugla koja se kotrlja po ravnoj plohi, neholonoman sustav sa tri uvjeta na gibanje(dva neholonomna i jedan poluholonoman koji smo uspjeli napisati kao holonoman).

14.4 Lagrangeove jednadzbe

Osnovna ideja koja lezi u osnovi cijelog racuna koji se izlaze u ovom odjeljku jeste u tome dase, polazeci od Newtonovih jednadzba gibanja svih N cestica sustava, dode do jednadzbagibanja za S stupnjeva slobode tog istog sustava.

N cestica −→ S stupnjeva slobode

Neka je zadan sustav od N cestica. Cestice nisu slobodne nego su podvrgnute uvjetima. PostojiMh jednadzba kojima su izrazeni holonomni i Mnh jednadzba kojima su izrazeni neholonomniuvjeti. Zato je broj stupnjeva slobode sustava jednak S = 3N−Mh−Mnh (ako umjesto sustavaod N cestica imamo kruto tijelo, onda umjesto 3N dolazi broj stupnjeva slobode slobodnogkrutog tijela, a to je 6). Pretpostavimo da su holonomni uvjeti rijeseni i da smo Mh zavisnihpoopcenih koordinata izrazili preko preostalih 3N−Mh. Ove preostale poopcene koordinate josnisu sve medusobno neovisne, nego su povezane s Mnh neholonomnih jednadzba. Ove jednadzbe


ne znamo rijesiti i zato nastavljamo raditi s 3N −Mh poopcenih koordinata imajuci na umuda one nisu sve medusobno nezavisne

~rj = ~rj(qs; t), j = 1, 2, · · · , 3N, s = 1, 2, · · · , 3N −Mh.

Iznimka je situacija kada nema neholonomnih uvjeta, Mnh = 0. Tada je broj stupnjeva slobodeS = 3N −Mh, i svih S poopcenih koordinata je medusobno neovisno.Nazovimo poopcenim brzinama qs, vremenske derivacije poopcenih koordinata.Uvedimo varijaciju vektora polozaja (virtualni ili zamisljeni pomak) δ ~rj, kao trenutni pomak(uz t = const., tj. δ t ≡ 0) u skladu s uvjetima na gibanje

δ ~rj =

3N−Mh∑s=1

∂~rj∂qs

δ qs.

Zamisljeni (virtualni) rad je

δW =N∑j=1

~Fj δ ~rj =N∑j=1

~Fj

3N−Mh∑s=1

∂~rj∂qs

δ qs.

Taj se rad moze napisati kao umnozak poopcenih sila i diferencijala poopcenih koordinata, takosto se definira poopcena sila, Φs, pridruzena (koja djeluje na) poopcenoj koordinati qs kao

Φs =N∑j=1

~Fj∂ ~rj∂qs

,

tako da se ukupan rad vanjskih sila nad sustavom moze napisati u obliku analognom sa δW =∑Nj=1

~Fj δ~rj, kao

δW =

3N−Mh∑s=1

Φs δqs, (14.6)

gdje se umjesto sila i koordinata svih cestica sustava, pojavljuju poopcene sile i poopcenekoodinate. Primjetimo da je poopcena sila skalar, tj. po svom algebarskom karakteru odgovarajednoj od komponenata sile kao vektora.Sada zelimo uspostaviti vezu izmedu poopcene sile i kineticke energije. Do ove cemo veze dociu nekoliko koraka. u tim koracima cemo poopcene koordinate qs(t) i poopcene brzine qs(t),tretirati kao dva skupa medusobno neovisnih varijabli.(1) izvedimo takozvano ponistenje tockica:

~rj = ~rj(q1(t), q2(t), · · · , q3N−Mh(t); t)

/d

d t

~rj =∂ ~rj∂ q1

q1 +∂ ~rj∂ q2

q2 + · · ·+ ∂ ~rj∂ q3N−Mh

q3N−Mh+∂ ~rj∂ t

/∂

∂ qs

∂ ~rj∂ qs

=∂ ~rj∂ qs

. (14.7)


(2) Pokazimo da potpuna vremenska derivacija i parcijalna derivacija po poopcenoj koordinatikomutiraju, kada djeluju na ~rj

(∂

∂ qs

d

d t

)~rj =

(d

d t

∂

∂ qs

)~rj. (14.8)

Iz prethodne tocke (1), imamo

d~rjd t

=∂ ~rj∂ q1

q1 +∂ ~rj∂ q2

q2 + · · ·+ ∂ ~rj∂ q3N−Mh

q3N−Mh+∂ ~rj∂ t

/∂

∂ qs∂

∂ qs

(d~rjd t

)=

∂ 2 ~rj∂ q1 ∂ qs

q1 + · · ·+ ∂ 2 ~rj∂ q3N−Mh

∂ qsq3N−Mh

+∂ 2 ~rj∂ t ∂ qs

. (14.9)

Primjetimo sada da iz relacije ~rj = ~rj(q1, q2, · · · , q3N−Mh; t) slijedi da je i derivacija

∂ ~rj∂ qs

takoder nekakva funkcija od tih istih q1, q2, · · · , q3N−Mhi vremena. Zbog toga je

d

d t

(∂ ~rj∂ qs

)=

∂

∂ q1

(∂ ~rj∂ qs

)q1 +

∂

∂ q2

(∂ ~rj∂ qs

)q2 + · · ·+ ∂

∂ q3N−Mh

(∂ ~rj∂ qs

)q3N−Mh

+∂

∂ t

(∂ ~rj∂ qs

)

=∂ 2 ~rj∂ q1 ∂ qs

q1 + · · ·+ ∂ 2 ~rj∂ q3N−Mh

∂ qsq3N−Mh

+∂ 2 ~rj∂ t ∂ qs

. (14.10)

Usporedbom (14.9) i (14.10) se vidi da vrijedi relacija (14.8).

(3) Napisimo ponovo izraz za zamisljeni rad δW =∑N

j=1~Fj δ~rj, ali cemo sada za silu na j-tu

cesticu uvrstiti drugi Newtonov aksiom mj~rj = ~Fj

δW =N∑j=1

~Fj δ~rj =N∑j=1

mj~rj δ~rj =N∑j=1

3N−Mh∑s=1

mj ~rj∂~rj∂ qs︸︷︷︸

δqs.

Oznaceni dio desne strane gornjeg izraza, mozemo nadalje transformirati na slijedeci nacin:

d

d t

(~rj∂ ~rj∂ qs

)= ~rj

∂ ~rj∂ qs

+ ~rjd

d t

(∂ ~rj∂ qs

)

⇒ ~rj∂ ~rj∂ qs

=d

d t

(~rj∂ ~rj∂ qs

)− ~rj d

d t

(∂ ~rj∂ qs

).

Na drugi clan desne strane mozemo primjeniti, u tocki (2) pokazanu, komutativnost vremenskei derivacije po qs, pa dobivamo

~rj∂ ~rj∂ qs

=d

d t

(~rj∂ ~rj∂ qs

)− ~rj ∂ ~rj

∂ qs,

sto, uvrsteno u izraz za zamisljeni rad, daje

δW =N∑j=1

3N−Mh∑s=1

[d

d t

(mj~rj

∂ ~rj∂ qs

)−mj~rj

∂ ~rj∂ qs

]δqs, (14.11)


gdje smo uzeli u obzir da sve vrijeme radimo u nerelativistickoj granici, kada su brzine tolikomale (u usporedbi s brzinom svjetlosti u vakuumu), da mase cestica sustava mozemo smatratikonstantnim.(4) Toliko o silama, pogledajmo sada kineticku energiju:

Ek =1

2

N∑j=1

mj ~r2j ,

/∂

∂ qs

∂ Ek∂ qs

=N∑j=1

mj ~rj∂ ~rj∂ qs

,

Ek =1

2

N∑j=1

mj ~r2j ,

/∂

∂ qs

∂ Ek∂ qs

=N∑j=1

mj ~rj∂ ~rj∂ qs

= (14.7) =N∑j=1

mj ~rj∂ ~rj∂ qs

. (14.12)

Ako sada izraze dobivene u (14.12) uvrstimo u (14.11), dobit cemo zamisljeni rad izrazen prekokineticke energije sustava

δW =

3N−Mh∑s=1

[d

d t

(∂ Ek∂ qs

)− ∂ Ek

∂ qs

]δqs.

No, ovaj isti zamisljeni rad vec imamo napisan preko poopcenih sila u relaciji (14.6). Izjed-nacavanjem ta dva izraza, dolazi se do

3N−Mh∑s=1

[d

d t

(∂ Ek∂ qs

)− ∂ Ek

∂ qs− Φs

]δqs = 0. (14.13)

Gornja jednadzba vrijedi i za holonimne i za neholonomne sustave. Za holonomnesustave, sve su gornje varijacije δqs medusobno nezavisne, dok za neholonomne sustave nisu svevarijacije δqs medusobno nezavisne.

holonomni sustavi:Ogranicimo se na holonomne sustave, tj. neka nema neholonomnih uvjeta na gibanje, Mnh = 0.U tom slucaju je broj nezavisnih stupnjeva slobode jednak S = 3N −Mh i sve varijacije δqsiz (14.13) su medusobno nezavisne. Cim su nezavisne znaci da se mogu varirati neovisno jednao drugoj. Tako se moze npr. uzeti da je samo δq1 6= 0, a sve ostale su jednake nuli. U tom jeslucaju uglata zagrada s indeksom s = 1 jednaka nuli. Zatim se moze uzeti da je samo δq2 6= 0, idoci do zakljucka da uglata zagrada s indeksom s = 2 iscezava i tako redom za ostale kordinate.Konacni je zakljucak da svih S = 3N −Mh uglatih zagrada iz (14.13) mora iscezavati, tj. daje

d

d t

(∂ Ek∂ qs

)− ∂ Ek

∂ qs= Φs, (14.14)


za s = 1, 2, · · · , S. Jednadzba ima onoliko koliko i stupnjeva slobode, S. To su Lagrangeovejednadzbe gibanja za holonomni sustav cestica. One vrijede i za skleronomne i reonomnesustave, kao i za konzervativne i nekonzervativne sile. Velicina

ps =∂ Ek∂ qs

(14.15)

se zove poopcena kolicina gibanja konjugirana poopcenoj koordinati qs.Ako su vanjske sile koje djeluju na sustav konzervativne, tada se one mogu izraziti preko

potencijalne energije Ep, tako da vrijedi ~Fj = −−→∇jEp (ovdje smo s−→∇j oznacili operator nabla

koji djeluje na koordinate j-te cestice). U tom je slucaju poopcena sila jednaka

Φs =N∑j=1

~Fj∂~rj∂qs

= −N∑j=1

(x∂ Ep∂ xj

+ y∂ Ep∂ yj

+ z∂ Ep∂ zj

)∂(x xj + y yj + z zj)

∂qs

= −N∑j=1

(∂ Ep∂ xj

∂xj∂qs

+∂ Ep∂ yj

∂yj∂qs

+∂ Ep∂ zj

∂zj∂qs

)= −∂ Ep

∂ qs

Uvrstavanjem ovog izraza za poopcenu silu u Lagrangeove jednadzbe, dobivamo

d

d t

(∂ Ek∂ qs

)− ∂ Ek

∂ qs= −∂ Ep

∂ qsd

d t

(∂ Ek∂ qs

)− ∂

∂ qs(Ek − Ep) = 0.

Ukoliko potencijalna energija ne ovisi o poopcenim brzinama qs, a sto je najcesce slucaj (npr.za elasticnu je silu Ep = k x 2/2, za gravitacijsku silu je Ep = K/r itd.6), prakticno je uvestiLagrangeovu funkciju ili lagranzijan, L, izrazom

L = Ek − Ep.

U terminima lagranzijana, Lagrangeove jednadzbe gibanja mozemo napisati kao

d

d t

(∂ L

∂ qs

)− ∂ L

∂ qs= 0, (14.16)

za s = 1, 2, · · · , S. Ove jednadzbe vrijede za holonomne kozervativne sustave (pri cemuuvjeti na gibanje mogu biti i skleronomni i reonomni). Za konzervativni sustav se poopcenakolicina gibanja, ps, konjugirana s-toj poopcenoj koordinati, definira izrazom

ps =∂ L

∂ qs. (14.17)

Ako na sustav djeluju i konzervativne i nekonzervativne sile (kao npr. trenje), Lagrangeovejednadzbe gibanja se mogu napisati u obliku

d

d t

(∂ L

∂ qs

)− ∂ L

∂ qs= Φnk

s ,

6No, o jednoj vaznoj iznimci ce biti vise rijeci u odjeljku 14.6


gdje smo s Φnks oznacili nekozervativnu poopcenu silu, dok su konzervativne sile izrazene kroz

potencijalnu energiju koja se nalazi u lagranzijanu L.

Primjer: 14.7 Cestica mase m se giba u polju konzervativna sile opisane potencijalnom ener-gijom Ep(x, y, z). Nema uvjeta na gibanje. Napisite Lagrangeove jednadzbe gibanja.

R: Buduci da nema uvjeta na gibanje, cestica ima tri stupnja slobode S = 3, a zatri poopcene koordinate mogu se jednostavno uzeti pravokutne koordinate cestice

q1 = x, q2 = y, q3 = z.

Lagrangeova funkcija je

L = Ek − Ep =1

2m v 2 − Ep =

m

2(x 2 + y 2 + z 2)− Ep(x, y, z).

Derivacije L po x i x (i slicno za y i z) daju

∂ L

∂ x= m x ,

∂ L

∂ x= −∂ Ep

∂ x.

Uvrstavanjem gornjih derivacija u Lagrangeove jednadzbe (14.16 ), dobiva se

m x = −∂ Ep∂ x

, m y = −∂ Ep∂ y

, m z = −∂ Ep∂ z

.

Prepoznamo li −∂ Ep/∂ x kao x komponentu sile, Fx (i slicno za ostale parcijalnederivacije), vidimo da su gornje Lagrangeove jednadzbe slobodne cestice zapravoNewtonove jednadzbe gibanja

m x = Fx, m y = Fy, m z = Fz.

Neholonomni sustavi:Pretpostavimo sada da osim Mh holonomnih, postoji jos i Mnh neholonomnih uvjeta na gibanjei vratimo se jednadzbi (14.13). Prisjetimo se da, zbog postojanja Mnh neholonomnih uvjeta nagibanje, sada nisu sve varijacije δqs medusobno neovisne.Ako se u neholonomnim uvjetima (14.5), koordinate ηj zamjene poopcenim koordinatama qs,dobiva se

3N−Mh∑s=1

As,m qs +Bm = 0, m = 1, 2, · · · ,Mnh (14.18)

gdje su As,m = As,m(qs; t) i Bm = Bm(qs; t). Pomnoze li se gornje jednadzbe s dt

3N−Mh∑s=1

As,m dqs +Bm dt = 0, m = 1, 2, · · · ,Mnh

i prijede li se sa pravih pomaka dqs, dt na zamisljene δqs, δt (za koje je δt = 0), gornje jednadzbepostaju

3N−Mh∑s=1

As,m δqs = 0, m = 1, 2, · · · ,Mnh.


Svaku od Mnh gornjih jednadzba pomnozimo proizvoljnom konstantom λm, koja se nazivaLagrangeov mnozitelj (multiplikator), i zatim zbrojimo sve jednadzbe uvjeta

3N−Mh∑s=1

(λ1As,1 + λ2As,2 + · · ·+ λMnhAs,Mnh

) δqs = 0.

Oduzme li se ova jednadzba od jednadzbe (14.13), dobiva se

3N−Mh∑s=1

[d

d t

(∂ Ek∂ qs

)− ∂ Ek

∂ qs− Φs − λ1As,1 − λ2As,2 − · · · − λMnh

As,Mnh

]δ qs = 0. (14.19)

U gornjoj jednadzbi nije svih 3N −Mh varijacija δ qs medusobno nezavisno. Zbog postojanjaMnh neholonomnih uvjeta, nezavisno je S = 3N−Mh−Mnh varijacija poopcenih koordinata qs.Neka su prvih Mnh poopcenih koordinata zavisne od preostalih S = 3N −Mh−Mnh nezavisnih

q1, q2, · · · , qMnh︸︷︷︸zavisno

, qMnh+1, qMnh+2, · · · , q3N−Mh︸︷︷︸nezavisno

.

Sve do sada, na Lagrangeove mnozitelje nisu bili postavljeni nikakvi uvjeti - njihove su vrijed-nosti potpuno proizvoljne. Ako se sada odaberu Lagrangeovi mnozitelji λm na takav nacin daiscezava prvih Mnh uglatih zagrada iz (14.19) koje mnoze zavisne δqs,

[d

d t

(∂ Ek∂ qs

)− ∂ Ek

∂ qs− Φs − λ1As,1 − λ2As,2 − · · · − λMnh

As,Mnh

]

s=1,··· ,Mnh

= 0,

preostaje jos S uglatih zagrada, povezanih jednadzbom

3N−Mh∑s=Mnh+1

[d

d t

(∂ Ek∂ qs

)− ∂ Ek

∂ qs− Φs − λ1As,1 − λ2As,2 − · · · − λMnh

As,Mnh

]δ qs = 0.

No, u gornjoj su jednadzbi sada sve poopcene koordinate qs medusobno nezavisne, pa istomargumentacijom kao u izvodu (14.14) zakljucujemo da svaka od gornjih uglatih zagrada moraiscezavati. Tako smo dosli do zakljucka da svih 3N −Mh okruglih zagrada iz (14.19) moraiscezavati: njih Mnh zbog izbora Lagrangeovih mnozitelja, a preostalih S = 3N −Mh −Mnh

zbog nezavisnosti poopcenih koordinata. Lagrangeove jednadzbe neholonomnog sustava moguse zapisati u obliku sustava diferencijalnih jednadzba

d

d t

(∂ Ek∂ qs

)− ∂ Ek

∂ qs= Φs + λ1As,1 + λ2As,2 + · · ·+ λMnh

As,Mnh, s = 1, · · · , 3N −Mh,

3N−Mh∑s=1

As,mqs +Bm = 0, m = 1, 2, · · · ,Mnh.

Gornji se sustav sastoji od (3N −Mh) +Mnh jednazba i isto toliko nepoznanica:

q1, q2, · · · , q3N−Mh, λ1, λ2, · · · , λMnh

.

Ukoliko su vanjske sile koje djeluju na sustav konzervativne, moze se uvesti potencijalna ener-gija, izrazom Φs = −∂Ep/∂qs. Ako potencijalna energija ne ovisi o poopcenim brzinama qs,


Lagrangeove jednadzbe se mogu napisati preko lagranzijana L = Ek − Ep (o jednoj vaznojiznimci, kada potencijalna energija ovisi o brzini, bit ce vise rijeci u odjeljku 14.6),

d

d t

(∂ L

∂ qs

)− ∂ L

∂ qs= λ1As,1 + λ2As,2 + · · ·+ λMnh

As,Mnh, s = 1, · · · , 3N −Mh,

3N−Mh∑s=1

As,mqs +Bm = 0, m = 1, 2, · · · ,Mnh.

(14.20)Ako to zelimo, gornjim se postupkom mogu rjesavati i holonomni sustavi, tako sto ce se

holonomne uvjete

fm(qs; t) = 0, m = 1, 2, · · · ,Mh

derivirati po vremenu i napisati ih u obliku (14.20)

3N∑s=1

∂ fm∂ qs

qs +∂ fm∂ t

= 0, m = 1, 2, · · · ,Mh,

tj. nije potrebno rjesavati jednadzbe uvjeta (iako su mozda i rjesive), vec ih se moze tretiratipomocu Lagrangeovih mnozitelja.Fizicko znacenje Lagrangeovih mnozitelja vidimo iz relacije (14.20) na cijoj desnoj strani di-menzijski mora biti nekakva sila, tj. izrazi oblika λmAs,m predstavljaju popcene sile koje potjecuod uvjeta na gibanje.

Primjer: 14.8 Pod djelovanjem gravitacijske sile, cestica mase m se giba po unutarnjoj plohiparaboloida x 2 + y 2 = a0 z (za konstantni a0), prikazanog na slici 14.3. Zane-marivsi trenje, izvedite Lagrangeove jednadzbe gibanja cestice, tretirajuci uvjet nagibanje kao: (a) holonoman, (b) neholonoman.

R: Zadatak cemo rijesiti u cilindricnom koordinatnom sustavu, gdje su tri po-opcene koordinate upravo cilindricne koordinate

q1 = ρ =√x 2 + y 2, q2 = ϕ = arctan

y

x, q3 = z.

No, zbog postojanja uvjeta na gibanje po povrsini paraboloida, ove tri koordinatenisu medusobno neovisne, vec su povezane jednadzbom uvjeta

x 2 + y 2 = a0 z ⇐⇒ ρ 2 = a0 z.

To znaci da je broj stupnjeva slobode S = 3 − 1 = 2. Gornji uvjet je holonoman(Mh = 1,Mnh = 0) jer ga znamo rijesiti, tj. jednu od koordinata lako mozemonapisti kao eksplicitnu funkciju ostalih koordinata

z =1

a0

ρ 2


Slika 14.3: Uz gibanje cestice po unutrasnjosti paraboloida.

i time ostajemo s dvije nezavisne poopcene koordinate: q1 = ρ i q2 = ϕ. Izracunajmosada kineticku i potencijalnu energiju, i pomocu njih konstruirajmo Lagrangeovufunkciju:

Ek =m v 2

2=m

2(x 2 + y 2 + z 2), Ep = m g z

Prijelazom iz pravokutnih u cilindricne koordinate

x = ρ cosϕ, x = ρ cosϕ− ρ ϕ sinϕ

y = ρ sinϕ, y = ρ sinϕ+ ρ ϕ cosϕ

z =1

a0

ρ 2, z =2

a0

ρ ρ ,

dobije se Lagrangeova funkcija L = Ek − Ep u obliku

L(ρ, ϕ, ρ , ϕ ) =m

2

(ρ 2 + ρ 2 ϕ 2 +

4

a 20

ρ 2 ρ 2

)− m g

a0

ρ 2.

Sada mozemo postaviti obje Lagrangeove jednadzbe (14.16)

d

d t

(∂ L

∂ qs

)− ∂ L

∂ qs= 0,

tako sto cemo redom izracunati derivacije koje se u njima pojavljuju

∂ L

∂ ρ=

m

2

(2ρ +

4

a 20

ρ 2 2 ρ

),

∂ L

∂ ρ=

m

2

(2ρ ϕ 2 +

4

a 20

2 ρ ρ 2

)− m g

a0

2 ρ,

∂ L

∂ ϕ=

m

2ρ 2 2 ϕ ,

∂ L

∂ ϕ= 0


i uvrstiti ih u Lagrangeove jednadzbe

ρ

(1 +

4

a 20

ρ 2

)+

4

a 20

ρ ρ 2 + ρ

(2 g

a0

− ϕ 2

)= 0, ρ 2 ϕ = const.

To je sustav dvije jednadzbe za dvije nepoznate funkcije ρ = ρ(t) i ϕ = ϕ(t). Izdruge jednadzbe mozemo ϕ izraziti preko ρ i uvrstiti u prvu. Tako konacno dobijemonelinearnu diferencijalnu jednadzbu drugog reda u kojoj se pojavljuje samo jednanepoznata funkcija ρ = ρ(t)

ρ

(1 +

4

a 20

ρ 2

)+

4

a 20

ρ ρ 2 + ρ

(2 g

a0

− const. 2

ρ4

)= 0.

Isti zadatak mozemo rijesiti i tretirajuci uvjet na gibanje ρ 2 − a0 z = 0 kao ne-holonoman (pretvaramo se da ga ne znamo rijesiti). Sada imamo tri poopcenekoordinate: q1 = ρ, q2 = ϕ i q3 = z i jedan neholonomni uvjet (Mh = 0,Mnh = 1),pa postupamo na slijedeci nacin: najprije variramo uvjet i nalazimo konstante A iz(14.18)

ρ 2 − a0 z = 0 / δ

2 ρ δρ− a0 δz ≡ A1 δρ+ A2 δϕ+ A3 δz

⇒ A1 = 2 ρ, A2 = 0, A3 = −a0.

Lagrangeova jednadzba za ovaj neholonomni konzervativni sustav glasi

d

d t

(∂ L

∂ qs

)− ∂ L

∂ qs= λ1 As, s = 1, 2, 3.

Lagrangeova funkcija je sada jednaka

Ek − Ep = L(ρ, ϕ, z, ρ , ϕ , z ) =m

2(ρ 2 + ρ 2 ϕ 2 + z 2)−m g z.

Nakon izracuna odgovarajucih parcijalnih derivacija Lagrangeove funkcije i njihovoguvrstenja u Lagrangeove jednadzbe, dobije se slijedeci sustav cetiri jednadzbe (trijednadzbe gibanja plus jedna jednadzba uvjeta) za cetiri nepoznanice (ρ, ϕ, z i λ1)

m ρ −m ρ ϕ 2 = λ1 2 ρ,

md

d t(ρ 2 ϕ ) = 0,

m z +m g = −λ1 a0,

2 ρ ρ − a0 z = 0.

Eliminacijom nepoznanica ϕ, z i λ1, opet dolazimo do iste jednadzbe za ρ

ρ

(1 +

4

a 20

ρ 2

)+

4

a 20

ρ ρ 2 + ρ

(2 g

a0

− const. 2

ρ4

)= 0

koju smo dobili rjesavajuci ovaj sustav kao holonoman.

14.5. LAGRANGEOVE JEDNADZBE ZA IMPULSNU SILU 401

14.5 Lagrangeove jednadzbe za impulsnu silu

Neka u kratkom vremenskom intervalu τ , na j-tu cesticu sustava djeluje vanjska sila ~Fj(t).Interval djelovanja sile je iscezavajuce kratak, ali je sila dovoljno velika (kratki impuls jake sile)da je donji integral konacan.

limτ→0

∫ τ

0

~Fj(t) dt = ~Ij.

Sila koja zadovoljava ovaj uvjet, naziva se impulsna sila, a ~Ij se zove impuls. Iz (14.14) znamoda za holonomni sustav vrijedi

d

d t

(∂ Ek∂ qs

)− ∂ Ek

∂ qs= Φs =

N∑j=1

~Fj∂ ~rj∂ qs

.

Prointegrirajmo cijelu gornju jednadzbu po vremenu od 0 do τ

∫ τ

0

dtd

d t

(∂ Ek∂ qs

)−

∫ τ

0

dt∂ Ek∂ qs

=N∑j=1

∫ τ

0

dt ~Fj∂ ~rj∂ qs

(∂ Ek∂ qs

)

τ

−(∂ Ek∂ qs

)

0

−∫ τ

0

dt∂ Ek∂ qs

=N∑j=1

∫ τ

0

dt ~Fj∂ ~rj∂ qs

/limτ→0

(∂ Ek∂ qs

)

2

−(∂ Ek∂ qs

)

1

− 0 =N∑j=1

~Ij ∂ ~rj∂ qs

,

gdje su indeksom 1 oznacene velicine prije, a indeksom 2 poslije djelovanja sile. Uvede li sepoopceni impuls

~Fs =N∑j=1

~Ij ∂ ~rj∂ qs

,

i sjetimo li se definicije poopcene kolicine gibanja, (14.15), ps = ∂Ek/∂qs, prethodna jednadzbapokazuje da je promjena poopcene kolicine gibanja jednaka poopcenom impulsu

ps,2 − ps,1 = ~Fs,sto je pak poopcenje izraza (10.30).

14.6 Lagrangeova funkcija naelektrizirane cestice u elektromagnet-skom polju

U izvodu jednadzba (14.16) i (14.20) je pretpostavljeno da potencijalna energija ne ovisi o brzini.U velikom broju primjera, to je tocno, ali postoji jedan vazan izuzetak, a to je nalektriziranacestica koja se giba u elektromagnetskom polju. Neka je elektricni naboj cestice Q, a brzina ~r.Elektromagnetsko polje neka je opisano vektorima elektricnog polja ~E i indukcije magnetskogpolja ~B . Na naelektriziranu cesticu koja se giba, djeluje Lorentzova sila

~FL = Q ( ~E + ~r × ~B ).


Posebnost Lorentzove sile je u tome sto ona ovisi o brzini cestice, sto ce u konacnici datipotencijalnu energiju koja ovisi o brzini. Kao sto je poznato, polja ~E i ~B se moguizraziti preko dva potencijala: skalarnog V (~r, t) i vektorskog ~A (~r, t),

V (~r, t) =1

4πε0

∫ρQ(~r ′, t ′ )|~r − ~r ′| d

3r ′ ,

~A (~r, t) =µ0

4π

∫ ~j Q(~r ′, t ′ )|~r − ~r ′| d3r ′ ,

kao

~E = −−→∇V − ∂ ~A

∂t, ~B =

−→∇ × ~A .

~FL = Q

(−−→∇V − ∂ ~A

∂t+ ~r × (

−→∇ × ~A )

).

U gornjim izrazima su ρQ i ~j Q redom, gustoce naboja i struje, a t ′ = t − |~r − ~r ′|/c je re-tardirano vrijeme, tj. vrijeme potrebno elektromagnetskom valu da, gibajuci se brzinom c,prijede put |~r − ~r ′|. Zadatak je

izracunati Lagrangeovu funkciju naelektriziranecestice koja se giba u elektromagnetskom polju.

Uocimo da nema uvjeta na gibanje, pa sustav, koji se sastoji od samo jedne cestice, imaS = 3 stupnja slobode, a za poopcene koordinate se mogu uzeti pravokutne koordinate cestice,tako da vrijedi

~r = x x + y y + z z ,

q1 = x, q2 = y, q3 = z,

q1 = x , q2 = y , q3 = z ,

∂~r

∂qs⇒ ∂~r

∂x= x ,

∂~r

∂y= y ,

∂~r

∂z= z .

Poopcene sile su upravo komponente Lorentzove sile (za sustav od jedne cestice je i N = 1,indeks s stupnja slobode je s = x, y, z)

Φs =N∑j=1

~Fj∂~rj∂qs

⇒ Φs=x = Fx, Φs=y = Fy, Φs=z = Fz.

Izracunajmo npr. x komponentu Lorentzove sile, izrazenu preko potencijala

FL,x = Q

−∂V∂x

− ∂Ax∂t

+[~r × (

−→∇ × ~A )]x

.

14.6. LAGRANGEOVA FUNKCIJA NAELEKTRIZIRANE CESTICE U ELEKTROMAGNETSKOM POLJU 403

Izracunajmo x komponentu vektorskog umnoska[~r × (

−→∇ × ~A )]x

= y (−→∇ × ~A )z − z (

−→∇ × ~A )y

= y

(∂Ay∂x

− ∂Ax∂y

)− z

(∂Ax∂z

− ∂Az∂x

)

= y∂Ay∂x

− y∂Ax∂y

− z∂Ax∂z

+ z∂Az∂x

± x∂Ax∂x

= −(∂Ax∂x

x +∂Ax∂y

y +∂Ax∂z

z

)+

(x∂Ax∂x

+ y∂Ay∂x

+ z∂Az∂x

)

Prisjetimo li se da su ~r i ~r medusobno neovisne varijable, tada u drugom clanu desne strane gor-njeg izraza prepozanjemo ∂x(~r ~A ). Prvi clan desne strane, povezujemo s ukupnom vremenskompromjenom Ax(x, y, z; t)

dAxd t

=∂Ax∂x

x +∂Ax∂y

y +∂Ax∂z

z +∂Ax∂t

,

sto sve zajedno daje

[~r × (

−→∇ × ~A )]x

=

(∂Ax∂t

− dAxd t

)+

∂

∂x(~r ~A ).

Sada se mozemo vratiti izrazu za x komponentu sile

FL,x = Q

[−∂V∂x

−¡

¡¡∂Ax

∂t+

¡¡

¡∂Ax∂t

− dAxd t

+∂

∂x(~r ~A )

]= Q

[∂

∂x(~r ~A − V )− dAx

d t

].

Primjetimo da skalarni i vektorski potencijali ovise samo o prostornim koordinatama i vremenuV = V (~r; t), ~A = ~A (~r; t), ali ne i o brzinama, pa je zato

Ax =∂

∂x(x Ax + y Ay + z Az − V ) =

∂

∂x(~r ~A − V ).

pomocu gornjeg izraza je i

dAxd t

=d

d t

∂

∂x(~r ~A − V ).

Sada se izraz za FL,x moze napisati kao

FL,x = Q

[∂

∂x(~r ~A − V )− d

dt

∂

∂x(~r ~A − V )

].

Nazove li se potencijalnom energijom slijedeci izraz

Ep(~r, ~r, t) = Q[V (~r, t)− ~r · ~A (~r, t)

], (14.21)

dobili smo potencijalnu energiju, koja osim o polozaju, ovisi i o brzini cestice. Za x kompo-nentu Lorentzove sile se dobiva

FL,x = −∂ Ep∂x

+d

dt

(∂ Ep∂x

)


i slicno za ostale dvije komponente sile

FL,y = −∂ Ep∂y

+d

dt

(∂ Ep∂y

),

FL,z = −∂ Ep∂z

+d

dt

(∂ Ep∂z

).

Kada potencijalna energija ne bi ovisila o brzini, drugi clan desne strane gornjih izraza bi bio

jednak nuli, i dobila bi se uobicajena veza sile i potencijalne energije, ~FL = −−→∇Ep. NapisimoLagrangeovu jednadzbu (14.14) za koordinatu x

d

dt

(∂Ek∂x

)− ∂Ek

∂x= FL,x = −∂ Ep

∂x+d

dt

(∂ Ep∂x

),

d

dt

[∂(Ek − Ep)

∂x

]− ∂(Ek − Ep)

∂x= 0,

d

dt

(∂L

∂x

)− ∂L

∂x= 0 (14.22)

(i analogno za y i z koordinate). U gornjoj je jednadzbi s L = Ek −Ep, oznacena Lagrangeova

funkcija (lagranzijan) cestice naboja Q koja se brzinom ~r giba u prostorno i vremenski promje-

njivom elektromagnetskom polju, opisanom skalarnim V (~r, t) i vektorskim ~A (~r, t) potencijalima

L =m~r 2

2−Q(V − ~r ~A ).

Lako je provjeriti da se uvrstavanjem gornjeg lagranzijana u jednadzbu (14.22), dobije x kom-

ponenta Newtonove jednadzbe gibanja m~r = ~FL.

Gauge preobrazbaPoznato je da su elektricno i magnetsko polje invarijantni na tzv. gauge (bazdarne, kalibra-cijske) preobrazbe potencijala

V → V − ∂Ψ

∂t, ~A → ~A +

−→∇Ψ.

za proizvoljno polje (funkciju) Ψ(~r, t). Zadatak je vidjeti

sto se dogada s lagranzijanom uslijed gauge preobrazbe:

V − ~r ~A → V − ∂Ψ

∂t− ~r

(~A +

−→∇Ψ)

= (V − ~r ~A )−(∂Ψ

∂t+ ~r

−→∇Ψ

).

14.7. HAMILTONOVO NACELO 405

Primjetimo sada da je

d Ψ(~r, t)

d t=∂ Ψ(~r, t)

∂ xx +

∂ Ψ(~r, t)

∂ yy +

∂ Ψ(~r, t)

∂ zz +

∂ Ψ(~r, t)

∂ t= ~r(

−→∇Ψ) +∂ Ψ(~r, t)

∂ t.

Iz gornjeg izraza zakljucujemo da gauge preobrazba mijenja lagranzijan tako sto mu pribrojipotpunu vremensku derivaciju gauge funkcije Ψ, pomnozenu s nabojem Q

L→ L+Qd Ψ(~r, t)

d t.

14.7 Hamiltonovo nacelo

Pokazimo sada vezu koja postoji izmedu Lagrangeovih jednadzba i jednog dijela matematikekoji se zove varijacijski racun. Ova veza ce nam ukazati na jedan drukciji nacin na koji semoze gledati na izvod i smisao Lagrangeovih jednadzba gibanja.Osnovni i najjednostavniji problem varijacijskog racuna, jeste odgovoriti na slijedece pitanje:

kako naci funkciju y = Y (x)

koja povezuje tocke x = a i x = b (slika 14.4), a ima svojstvo da je integral

Slika 14.4: Uz varijacijski racun.

I =

∫ b

a

F (y, y ′;x) dx (14.23)

ekstreman, tj. maksimalan ili minimalan.S y ′ je oznacena derivacija dy/dx, a F oznacava neku funkciju od y, y ′ i x. Sama funkcija y setada zove ekstrem. Ako je y = Y (x) funkcija koja cini gornji integral ekstremnim, neka je tada

y = Y (x) + δY (x) ≡ Y (x) + ε η(x)


njoj bliska (varirana) krivulja (slika 14.4), sa svojstvom da je η(x = a) = η(x = b) = 0, aε = const. u x. Vrijednost integrala I za ovu blisku krivulju je

I(ε) =

∫ b

a

F[Y (x) + ε η(x), Y ′(x) + ε η′(x);x

]dx, (14.24)

gdje su, opet, crticom oznacene derivacije po x. Uvjet da za ε = 0, ovaj integral poprimaekstremalnu vrijednost, pisemo kao zahtjev da je

d I

d ε

∣∣∣∣ε=0

= 0.

Pomocu izraza (14.24) mozemo izracunati gornju derivaciju

d I

d ε=

∫ b

a

(∂ F

∂ y

∂ y

∂ ε+∂ F

∂ y ′∂ y ′

∂ ε

)dx =

∫ b

a

(∂ F

∂ yη +

∂ F

∂ y ′η′

)dx

=

∫ b

a

∂ F

∂ yη dx+

∫ b

a

∂ F

∂ y ′d η

d xdx.

Drugi clan desne strane se moze parcijalno integrirati koristeci

d

d x

(∂ F

∂ y ′η

)= η

d

d x

(∂ F

∂ y ′

)+

∂ F

∂ y ′d η

d x.

Tako se dolazi do

d I

d ε=

∫ b

a

η∂ F

∂ ydx+

∫ b

a

[−η d

d x

(∂ F

∂ y ′

)+

d

d x

(ηd F

d y ′

)]dx

=

∫ b

a

η

[∂ F

∂ y− d

d x

(∂ F

∂ y ′

)]dx+

(η∂ F

∂ y ′

)b

a

.

No, sjetimo se da je η(x = a) = η(x = b) = 0, pa je posljednji clan desne strane gornjeg izrazajednak nuli. Preostaje

0 =d I

d ε

∣∣∣∣ε=0

=

∫ b

a

η

[∂ F

∂ y− d

d x

(∂ F

∂ y ′

)]

ε=0

dx.

Funkcija η(x) u gornjem integralu je potpuno proizvoljna, pa ju mozemo odabrati tako da nacijelom intervalu a ≤ x ≤ b ima isti predznak kao i uglata zagrada. U tom slucaju,gornja jednakost moze biti zadovoljena samo ako je uglata zagrada jednaka nuli

d

d x

(∂ F

∂ y ′

)− ∂ F

∂ y= 0. (14.25)

Ova se jednadzba naziva Euler - Lagrangeova jednadzba. Opisani se postupak je lakopoopciti i na funkciju vise varijabli

F (y1, y2, · · · , yS, y ′1, y ′2, · · · , y ′S;x), ys = Ys(x) + εs ηs(x), s = 1, 2, · · · , Si vodi do S Euler - Lagrangeovih jednadzba

d

d x

(∂ F

∂ y ′s

)− ∂ F

∂ ys= 0, s = 1, 2, · · · , S.

Primjetimo da ako nezavisnu varijablu x shvatimo kao vrijeme t, funkciju F shvatimo kaoLagrangevu funkciju L, a ys i y ′s kao poopcene koordinate qs i poopcene brzine qs, tada sugornje jednadzbe upravo Lagrangeove jednadzbe (14.16).

14.7. HAMILTONOVO NACELO 407

14.7.1 Primjene Euler - Lagrangeove jednadzbe

Evo i nekoliko primjera primjene Euler - Lagrangeove jednadzbe.

(1) Zadatak je naci krivulju koja spaja tocke A i B u ravnini (x, y), sa svojstvom da je duljinakrivulje najmanja (slika 14.5.A). Iz iskustva svi znamo da je to pravac, a sada cemo pokazatikako se to moze i izracunati. Podijelimo cijelu krivulju na male elemente oznacene s ds. Duljinu

Slika 14.5: Uz primjene varijacijskog racuna.

krivulje dobivamo tako da zbrojimo sve te male elmente. Kada broj tih malih elementata tezi kbeskonacnosti, njihov zbroj prelazi u integral, pa za duljinu I, cijele krivulje, mozemo napisati

I =

∫ B

A

ds.

Za mali ds vrijedi Pitagorin poucak ds =√

(dx) 2 + (dy) 2, pa gornji integral postaje

I =

∫ B

A

√(dx) 2 + (dy) 2 =

∫ xB

xA

dx

√1 +

(dy

dx

) 2

.

Uvjet da udaljenost izmedu A i B bude najkraca sada postaje uvjet da integral I bude mini-malan. No, to je upravo problem (14.23) sa funkcijom

F (y, y ′;x) =√

1 + y ′ 2 = F (y ′).

Da bi I bio ekstreman (u ovom slucaju iz geometrije znamo da se radi o minimumu), F morazadovoljavati jednadzbu (14.25). Lako je vidjeti da je

∂ F

∂ y= 0,

∂ F

∂ y ′=

y ′√1 + y ′ 2

,

pa Euler - Lagrangeova jednadzba glasi

d

dx

(y ′√

1 + y ′ 2

)= 0 ⇒ y ′√

1 + y ′ 2= const.


Rjesavanjem gornje jednadzbe po y ′, dolazi se do

d y

d x= a,

gdje je a nekakva konstanta. Rjesenje gornje jednadzbe je ocito linearna funkcija y = ax + b,tj. pravac, kao sto smo od pocetka i znali da treba biti. Nepoznate konstante a i b se odredujuiz uvjeta da pravac prolazi tockama A = (xA, yA) i B = (xB, yB).

(2) Slijedeci problem koji cemo izloziti je problem brahistokrone koji je prvi rijesio JohannBernoulli, 1697. godine. Sama rijec potjece od grckih rijeci brahistos sto znaci najkraci ichronos sto znaci vrijeme. Problem je slijedeci: cestica pocinje padati iz tocke A sa slike 14.5.Bu konstantnom gravitacijskom polju (bez trenja); pitanje je kako treba izgledati njezina putanja,pa da stigne u tocku B u najkracem mogucem vremenu? Takva putanja, koja minimiziravrijeme (a ne put, kao u prethodnom primjeru), se zove brahistokrona.Postupak je uobicajen: putanja se podjeli na male dijelove duljine ds; vrijeme potrebno zaprolazak tim dijelom putanje je dt = ds/v; vrijeme potrebno za prolazak cijelom putanjomje zbroj vremena za svaki mali dio; u granici kada ds postaje iscezavajuce malen, ovaj zbrojprelazi u integral koji cemo oznaciti s I

I =

∫ tB

tA

dt =

∫ tB

tA

ds

v.

Kao i u prethodnom primjeru, ds =√

(dx) 2 + (dy) 2. Buduci da nema trenja, brzina se mozeodrediti iz zakona o sacuvanju energije. Neka je potencijalna energija jednaka nuli kada je y = 0i neka u tA cestica miruje, tada je ukupna mehanicka energija u tocki A jednaka nuli. Zbogsacuvanja energije, ona ce biti jednaka nuli i u svakoj drugoj tocki putanje u kojoj je brzina v,a vrijednost ordinate y

EA = E = 0 =mv 2

2−mgy ⇒ v =

√2gy.

Uvrstavaje brzine u izraz za I daje

I =

∫ xB

xA

dx

√1 + y ′ 2√

2gy.

Iz gornjeg izraza ocitavamo funkciju F iz (14.23)

F (y, y ′) =1√2g

√1 + y ′ 2

y. (14.26)

Prije nego sto nastavimo s rjesavanjem ovoga, izvedimo jedan postupak koji se zove nalazenjeprvog integrala Euler - Lagrangeove jednadzbe. Primjetimo da F ne ovisi eksplicitno o x,nego sva ovisnost o x dolazi kroz y = y(x) i y ′ = y ′(x). To nam omogucava da y ′ shvatimo kaofunkciju od y(x)

y ′ = y ′[y(x)

], F = F

[y(x), y ′(y(x))

].

Ova zamjena varijable, ima za posljedicu da se derivacija po x shvaca kao derivacija slozenefunkcije

d

d x=

d

d y

d y

d x.

14.8. FUNKCIJA DJELOVANJA 409

Primjenimo ovo na Euler - Lagrangeovu jednadzbu

d

d x

(∂ F

∂ y ′

)− ∂ F

∂ y= 0,

y ′d

d y

(∂ F

∂ y ′

)− ∂ F

∂ y= 0,

d

d y

(y ′

∂ F

∂ y ′

)− d y ′

d y

∂ F

∂ y ′− ∂ F

∂ y= 0.

No, posljednja dva clana lijeve strane nisu nista drugo do

d

d yF (y, y ′(y)) =

∂ F

∂ y+∂ F

∂ y ′d y ′

d y,

tako da cijela Euler - Lagrangeova jednadzba postaje

d

d y

(y ′

∂ F

∂ y ′− F

)= 0 ⇒ y ′

∂ F

∂ y ′− F = const. (14.27)

Gornji izraz se zove prvi integral Euler - Lagrangeove jednadzbe. U problemu brahistokrone,F je zadano sa (14.26), sto uvrsteno u gornju jednadzbu, nakon kraceg racuna, vodi na

d y

d x=

√c1 − y

y,

∫dy

√y

c1 − y=

∫dx = x− c2, cj = const.

Integral na lijevoj strani se rjesava uvodenjem nove varijable y = c1 sin 2(u/2)

x = c2 + c1

∫du sin 2(u/2) = c2 +

c12

(u− sinu).

Time su dobivene parametarske jednadzbe trazene krivulje

x = c2 +c12

(u− sinu),

y =c12

(1− cosu),

koje prepoznajemo kao jednazbu cikloide7. Dakle, brahistokrona je cikloida.

14.8 Funkcija djelovanja

Ocita slicnost Euler - Lagrangeove jednadzbe (14.25) i Lagrangeove jednadzba (14.16) za ho-lonomne konzervativne sustave, navela je Hamiltona na razmatranje slijedeceg integrala koji jenazvao djelovanjem (action) ili principalnom funkcijom

S =

∫ t2

t1

L(q1, q2, · · · , qS, q1, q2, · · · , qS; t) dt,7Kako izgleda cikloida: uocimo jednu tocku na kruznici koja se, bez klizanja, kotrlja po vodoravnoj podlozi - uocena tocka

opisuje cikloidu.


gdje je L = Ek − Ep Lagrangeova funkcija. Po dimenzijama, funkcija djelovanja predstavljaumnozak energije i vremena. Istim postupkom kao gore, uz promjenu oznaka

F → L, x → t, ys → qs, y ′s → qs,

i zahtjev da je djelovanje ekstremalno

d Sd εs

∣∣∣∣εs=0

= 0,

od Euler - Lagrangeovih, dolazimo do Lagrangeovih jednadzba u obliku (14.16)

d

d t

(∂ L

∂ qs

)− ∂ L

∂ qs= 0, s = 1, 2, · · · , S.

Izvedimo Taylorov razvoj funkcije djelovanja u okolici tocke εs = 0

S (εs) = S (0) +S∑s=1

εsd Sd εs

∣∣∣∣εs=0

+1

2

S∑s=1

S∑

s′=1

εs εs′d 2 Sd εs d εs′

∣∣∣∣0

+O(ε3).

Nazovemo li varijacijom djelovanja δS razliku djelovanja na pravoj (koja cini S ekstremalnom)i variranoj putanji

δS = S (εs)− S (0),

tada, s tocnoscu od O(ε 2), mozemo reci da se mehanicki sustav giba tako da je varija-cija njegove funkcije djelovanja jednaka nuli

δS = 0. (14.28)

Buduci da je na pravoj putanji mehanickog sustava, ekstrem funkcije djelovanja najcesceminimalan, gornji se izraz zove Hamiltonovo nacelo najmanjeg djelovanja.Primjetimo da smo polazeci od zahtjeva da je integral jedne funkcije ekstreman, dosli do izrazakoji je ekvivalentan Newtonovim jednadzbama gibanja. Ili, drukcije receno: gibanja u prirodise odvijaju tako da cine ekstremnim integral Lagrangeove funkcije.

Poopcenje gornjeg postupka na neholonomne sustave se moze naci u drugom poglavlju Gold-steinove knjige [14].

Poglavlje 15

Hamiltonove jednadzbe gibanja

Ako ne znas kuda ides, lako se moze dogoditi da stignes negdje drugdje.

Alica u zemlji cudesa, Lewis Carrol

Lagrangeova funkcija uvedena u prethodnom poglavlju, je funkcija poopcenih koordinata qsi poopcenih brzina qs. Takoder, pomocu Lagrangeove funkcije, uveden je pojam poopcenekolicine gibanja

ps =∂L

∂qs.

Odabir poopcenih koordinata i poopcenih brzina kao nezavisnih varijabli je, naravno, moguc, alinije i jedini moguci izbor. U ovom ce se poglavlju definirati jedna nova funkcija: Hamiltonovafunkcija ili hamiltonijan, koja ce biti funkcija poopcenih koordinata i poopcenih kolicina gibanja.

(qs, qs) −→ (qs, ps)

I dok su Lagrangeove jednadzbe gibanja dane u obliku diferencijalnih jednadzba drugog reda,jednadzbe gibanja izrazene preko Hamiltonove funkcije ce biti diferencijalne jednadzbe prvogreda (ali ce ih zato biti dvostruko vise).Promatrat ce se sustav od N cestica cije je gibanje ograniceno s Mh holonomnih uvjeta. Ovisu uvjeti rijeseni, zavisne poopcene koordinate su izrazene preko nezavisnih i formirana jeLagrangeova funkcija od S = 3N −Mh nezavisnih poopcenih koordinata i brzina: L(qs, qs; t),za s = 1, 2, · · · , S. Ova funkcija predstavlja ishodiste u daljim racunima ovog poglavlja.Neholonomni sustavi se nece tretirati u ovom poglavlju, a zainteresirani citatelj se upucuje nastudiranje prvog poglavlja Diracove knjige Lectures on Quantum Mechanics, [11].

15.1 Hamiltonove jednadzbe

Neka je zadan sustav sa S stupnjeva slobode, opisan Lagrangeovom funkcijom L(qs, qs; t). Ha-miltonova je ideja bila, pronaci funkciju u kojoj ce se kao varijable, umjesto poopcenih brzinapojavljivati poopcene kolicine gibanja. Zapocnimo racun tako sto cemo izracunati diferencijal

411

412 POGLAVLJE 15. HAMILTONOVE JEDNADZBE

Lagrange-ove funkcije L(qs, qs; t)

dL(qs, qs; t) =S∑s=1

(∂L

∂qsdqs +

∂L

∂qsdqs

)+∂L

∂ tdt.

U skladu s definicijom poopcene kolicine gibanja (14.17) i Lagrangeovom jednadzbom (14.16)

ps =∂ L

∂ qs,

d

d t

(∂ L

∂ qs

)− ∂ L

∂ qs= 0 ⇒ ∂ L

∂ qs=d psd t

= ps,

diferencijal Lagrangeove funkcije postaje

dL(qs, qs; t) =S∑s=1

(psdqs + psdqs

)+∂L

∂ tdt.

U gornjoj jednadzbi se diferencijal poopcene brzine, moze izraziti kao

psdqs = d(psqs)− dps qs,

sto vodi na

dL =S∑s=1

[psdqs + d(psqs)− dps qs

]+∂L

∂ tdt

d

(S∑s=1

psqs − L

)=

S∑s=1

(−ps dqs + qs dps)− ∂L

∂ tdt (15.1)

Funkcija na lijevoj strani gornje jednadzbe se zove Hamiltonova funkcija ili hamiltonijan

H =S∑s=1

psqs − L(qs, qs; t),

a iz desne strane (15.1) se vidi da je hamiltonijan funkcija poopcenih koordinata, poopcenihkolicina gibanja i vremena

H = H(qs, ps; t),

a ne poopcenih koordinata, poopcenih brzina i vremena, kao sto je to lagranzijan. Buduci daje opcenito diferencijal funkcije poopcenih koordinata, poopcenih kolicina gibanja i vremena,jednak

dH =S∑s=1

(∂H

∂qsdqs +

∂H

∂psdps

)+∂H

∂ tdt,

usporedbom gornjeg izraza sa (15.1), dolazi se do Hamiltonovih kanonskih jednadzbagibanja

ps = −∂H∂qs

, qs =∂H

∂ps,

∂H

∂t= −∂L

∂t, (15.2)

15.1. HAMILTONOVE JEDNADZBE 413

za sve s = 1, 2, · · · , S. Primjetimo simetriju (do na predznak) jednadzba na zamjenu qs ips. Kao sto vidimo, Hamiltonove su jednadzbe prvog reda, ali ih ima dvostruko vise negoLagrangeovih.

Fizicko znacenjePogledajmo sada koje je fizicko znacenje Hamiltonove funkcije? Neka je sustav konzervativan(tako da je L = Ek − Ep) i neka lagranzijan (pa time i hamiltonijan) ne ovisi eksplicitno ovremenu. Pokazimo da je u tom slucaju kineticka energija kvadratna funkcija poopcenih brzina.Krenimo od kineticke energije sustava N cestica, napisane u pravokutnim koordinatama

Ek =1

2

N∑j=1

mj~r2j =

1

2

N∑j=1

mj(x2j + y 2

j + z 2j)

i prevedimo ju u poopcene koordinate. Za koordinete xj reonomnog sustava, vrijedi

xj = xj(q1, q2, · · · , qS; t)

x j =S∑s=1

∂ xj∂ qs

qs +∂ xj∂ t

x 2j =

(S∑s=1

∂ xj∂ qs

qs +∂ xj∂ t

)(S∑p=1

∂ xj∂ qp

qp +∂ xj∂ t

)

=S∑s=1

S∑p=1

∂ xj∂ qs

∂ xj∂ qp

qsqp + 2∂ xj∂ t

S∑s=1

∂ xj∂ qs

qs +

(∂ xj∂ t

)2

.

Slican racun za yj i zj daje

y 2j =

S∑s=1

S∑p=1

∂ yj∂ qs

∂ yj∂ qp

qsqp + 2∂ yj∂ t

S∑s=1

∂ yj∂ qs

qs +

(∂ yj∂ t

)2

,

z 2j =

S∑s=1

S∑p=1

∂ zj∂ qs

∂ zj∂ qp

qsqp + 2∂ zj∂ t

S∑s=1

∂ zj∂ qs

qs +

(∂ zj∂ t

)2

.

Uvedu li se pokrate

as,p =1

2

N∑j=1

mj

(∂ xj∂ qs

∂ xj∂ qp

+∂ yj∂ qs

∂ yj∂ qp

+∂ zj∂ qs

∂ zj∂ qp

)= ap,s,

as =N∑j=1

mj

(∂ xj∂ t

∂ xj∂ qs

+∂ yj∂ t

∂ yj∂ qs

+∂ zj∂ t

∂ zj∂ qs

),

b =1

2

N∑j=1

mj

[(∂ xj∂ t

)2

+

(∂ yj∂ t

)2

+

(∂ zj∂ t

)2],

kineticka je energija jednaka

Ek =S∑s=1

S∑p=1

as,p qsqp +S∑s=1

as qs + b.


Vidimo da ako je sustav skleronoman (tj. vrijeme se ne pojavljuje eksplicitno)

b ≡ 0, as ≡ 0

i kineticka energija postaje kvadratna funkcija u poopcenim brzinama. U tom slucaju se mozedalje pisati

Ek =S∑s=1

S∑p=1

as,pqsqp

/∂

∂ql

∂Ek∂ql

=S∑p=1

al,pqp +S∑s=1

as,lqs

/S∑

l=1

ql

S∑

l=1

∂Ek∂ql

ql =S∑

l=1

S∑p=1

al,p ql qp +S∑s=1

S∑

k=1

as,l qs ql = 2Ek

Ogranicimo li se na konzervativne sustave kod kojih potencijalna energija ne ovisi o poopcenimbrzinama, a u skladu s gornjim izrazom, za poopcenu kolicinu gibanja dobivamo

ps =∂ L

∂ qs=∂ Ek∂ qs

⇒S∑s=1

∂Ek∂qs

qs =S∑s=1

ps qs = 2Ek

Uvrstimo to u izraz za Hamiltonovu funkciju i dobit cemo

H =S∑s=1

psqs − L = 2Ek − (Ek − Ep) = Ek + Ep,

tj.

H = Ek + Ep. (15.3)

Hamiltonova je funkcija zbroj kineticke i potencijalne energije cijelog sus-tava. To je i jednostavan nacin da se napise hamiltonijan sustava.

Konstante gibanjaPokazimo da je H(qs, ps) konstanta gibanja, tj. da se ne mijenja s vremenom. Ako je nestokonstantno u vremenu, tada je njegova potpuna vremenska derivacija jednaka nuli

dH

dt=

S∑s=1

(∂H

∂qsqs +

∂H

∂psps

)= (15.2) =

S∑s=1

(−psqs + qsps) = 0,

H(qs, ps) = E = const. (15.4)

CiklicnostAko hamiltonijan ne ovisi o nekoj od poopcenih koordinata, npr. o koordinati qk, tada je

pk = −∂H∂qk

= 0 ⇒ pk = const.

15.1. HAMILTONOVE JEDNADZBE 415

pridruzena poopcena kolicina gibanja konstantna u vremenu. Svrha uvodenja hamiltonijanai jeste u tome da se u izrazu za H neke koordinate ne pojavljuju, sto odmah pojednostav-ljuje rjesavanje jednadzba gibanja. Poopcene koordinate koje se ne pojavljuju eksplicitno uhamiltonijanu, zovu se ciklicne koordinate.

Primjer: 15.1 Koristeci polarni koordinatni sustav, napisite hamiltonijan jedne cestice koja segiba u polju sile opisane potencijalnom energijom Ep(ρ, ϕ). Napisite i Hamiltonovejednadzbe gibanja.

R: Cestica koja se slobodno giba u ravnini ima dva stupnja slobode, a za dvijepoopcene koordinate uzimaju se

q1 = ρ, q2 = ϕ.

Za S = 2 stupnja slobode ce biti 2S = 4 Hamiltonove jednadzbe gibanja. Iz veze spolarnih i pravokutnih koordinata,

x = ρ cosϕ, y = ρ sinϕ,

lako se dolazi do izraza za kineticku energiju u polarnom sustavu

Ek =m v2

2=m

2(x 2 + y 2) =

m

2(ρ 2 + ρ2ϕ 2).

Poopcene kolicine gibanja su definirane kao

ps =∂Ek∂qs

, s = 1, 2,

sto u ovom primjeru daje

p1 ≡ pρ =∂Ek∂ρ

= mρ , p2 ≡ pϕ =∂Ek∂ϕ

= mρ2ϕ .

Hamiltonova funkcija ovisi o poopcenim koordinatama i kolicinama gibanja H =H(ρ, ϕ, pρ, pϕ)

H = Ek + Ep =m

2

(p2ρ

m2+ ρ2

p2ϕ

m2ρ4

)+ Ep(ρ, ϕ) =

1

2m

(p2ρ +

p2ϕ

ρ2

)+ Ep(ρ, ϕ).

Vidi se da kineticka energija ovisi o varijabli ρ, ali ne ovisi o varijabli ϕ, pa ako je(kao npr. kod centralnih sila) Ep = Ep(ρ), dakle neovisno o kutu ϕ, tada je i cijelihamiltonijan neovisan o ϕ

pϕ = −∂H∂ϕ

= 0 ⇒ pϕ = mρ2ϕ = const.,

tj. ϕ je ciklicna koordinata. Ovu smo velicinu, moment kolicine gibanja L ≡ pϕ,upoznali u poglavlju o centralnim silama, gdje smo na nesto drukciji nacin dokazali


njezinu nepromjenjivost u vremenu. To je ujedno i prva od cetiri Hamiltonovejednadzbe. Preostale tri su

pρ = −∂H∂ρ

=p2ϕ

mρ3− ∂ Ep

∂ ρ,

ρ =∂H

∂pρ=pρm,

ϕ =∂H

∂pϕ=

pϕmρ2

.

15.2 Poissonove zagrade

DefinicijaPoissonova zagrada dvije funkcije poopcenih koordinata i poopcenih kolicina gibanja, F (qs, ps)i G(qs, ps), se definira kao

F,G =S∑s=1

(∂ F

∂ qs

∂ G

∂ ps− ∂ G

∂ qs

∂ F

∂ ps

)(15.5)

(S je broj stupnjeva slobode).

SvojstvaIzravnim uvrstavanjem u gornju definicijsku formulu, pokazuju se slijedeca svojstva:

(0) F, c = 0, c = const.,

(1) F, F = 0,

(2) F,G = −G,F,

(3) F1 + F2, G = F1, G+ F2, G,

(4) F, qk = − ∂ F∂ pk

,

(5) F, pk =∂ F

∂ qk,

(6) F1 F2, G = F1, GF2 + F1 F2, G,

(7) F, G,P+ G, P, F+ P, F,G = 0.

Posljednja od gornjih relacija je poznata kao Jacobijev identitet.

15.2. POISSONOVE ZAGRADE 417

veza s Hamiltonovim jednadzbamaPogledajmo cemu su jednake Poissonove zagrade poopcene koordinate i poopcene kolicine gi-banja s Hamiltonovom funkcijom:

qs, H =S∑

s ′=1

(∂ qs∂ qs ′

∂ H

∂ ps ′− ∂ H

∂ qs ′

∂ qs∂ ps ′

)

=S∑

s ′=1

(δs,s ′

∂ H

∂ ps ′− ∂ H

∂ qs ′· 0

)

=∂ H

∂ ps= (15.2) = qs, (15.6)

ps, H =S∑

s ′=1

(∂ ps∂ qs ′

∂ H

∂ ps ′− ∂ H

∂ qs ′

∂ ps∂ ps ′

)

=S∑

s ′=1

(0 · ∂ H

∂ ps ′− ∂ H

∂ qs ′δs,s ′

)

= −∂ H∂ qs

= (15.2) = ps, (15.7)

gdje smo uvrstili relacije

∂ qs∂ qs ′

= δs,s ′ ,∂ ps∂ ps ′

= δs,s ′ ,∂ qs∂ ps ′

= 0,∂ ps∂ qs ′

= 0. (15.8)

Pomocu Poissonovih zagrada (15.6) i (15.7), zakljucujemo da se Hamiltonove kanonske jed-nadzbe gibanja (15.2), mogu napisati u potpuno simetricnom obliku

qs = qs, H, ps = ps, H. (15.9)

Koristeci (15.8), lako je izracunati Poissonove zagrade izmedu samih poopcenih koordinata ipoopcenih kolicina gibanja: one su razlicite od nule samo kada se racunaju izmedu poopcenekoordinate i njoj pridruzene (koje se odnose na isti stupanj slobode) poopcene kolicine gibanja

qk, ql =S∑s=1

(∂ qk∂ qs

∂ ql∂ ps

− ∂ ql∂ qs

∂ qk∂ ps

)=

S∑s=1

(0− 0

)= 0,

pk, pl =S∑s=1

(∂ pk∂ qs

∂ pl∂ ps

− ∂ pl∂ qs

∂ pk∂ ps

)=

S∑s=1

(0− 0

)= 0, (15.10)

qk, pl =S∑s=1

(∂ qk∂ qs

∂ pl∂ ps

− ∂ pl∂ qs

∂ qk∂ ps

)=

S∑s=1

(δk,s δs,l − 0

)= δk,l.

Pokazimo jos i kako se ukupna vremenska promjena proizvoljne funkcije

f[qs(t), ps(t); t

],

moze napisati preko Poissonove zagrade (u izvodu ponovo koristimo Hamiltonove kanonske


jednadzbe (15.2)):

d f

d t=

S∑s=1

(∂ f

∂ qsqs +

∂ f

∂ psps

)+∂ f

∂ t

=S∑s=1

(∂ f

∂ qs

∂ H

∂ ps− ∂ H

∂ qs

∂ f

∂ ps

)+∂ f

∂ t

= f,H+∂ f

∂ t.

Ukoliko funkcija f ne ovisi eksplicitno o vremenu, tada je

d f

d t= f,H. (15.11)

Ako je Poissonova zagrada funkcije i hamiltonijana jednaka nuli, tada je f konstanta giba-nja. Posebno, ako je f ≡ H, zakljucujemo, kao i ranije u (15.4), da je H konstanta gibanja.

15.3 Kanonska preobrazba

Kako bi se dobio sto veci broj ciklicnih poopcenih koordinata, ponekad je zgodno prijeci savarijabli qs i ps (stare varijable) na nove poopcene varijable Qs, Ps za s = 1, 2, · · · , S. Vezestarih i novih varijabli su oblika

qs = qs(Qs ′ , Ps ′), ps = ps(Qs ′ , Ps ′). (15.12)

Hamiltonovu funkciju izrazenu u novim varijablama cemo oznaciti s H

H(Qs, Ps) = H(qs, ps).

Ovakvu preobrazbu nazivamo kanonskom, ako i u novim varijablama vrijede Hamilto-nove kanonske jednadzbe gibanja (15.2)

Ps = − ∂H

∂Qs

, Qs =∂H

∂Ps

Zadatak je

pronaci uvjete koja mora zadovoljavati preobrazba (15.12) da bi bilakanonska.

Krenimo od Poissonovih zagrada funkcija F (qs, ps) i G(qs, ps), napisanih u novim varijablama

F,GQ,P =S∑s=1

(∂ F

∂ Qs

∂ G

∂ Ps− ∂ G

∂ Qs

∂ F

∂ Ps

).

15.3. KANONSKA PREOBRAZBA 419

No, F i G su funkcije starih koordinata qs i ps, pa je

∂ F

∂ Qs

=S∑

s ′=1

(∂ F

∂ qs ′

∂ qs ′

∂ Qs

+∂ F

∂ ps ′

∂ ps ′

∂ Qs

),

∂ G

∂ Qs

=S∑

s ′=1

(∂ G

∂ qs ′

∂ qs ′

∂ Qs

+∂ G

∂ ps ′

∂ ps ′

∂ Qs

),

∂ F

∂ Ps=

S∑

s ′=1

(∂ F

∂ qs ′

∂ qs ′

∂ Ps+

∂ F

∂ ps ′

∂ ps ′

∂ Ps

),

∂ G

∂ Ps=

S∑

s ′=1

(∂ G

∂ qs ′

∂ qs ′

∂ Ps+

∂ G

∂ ps ′

∂ ps ′

∂ Ps

).

Nakon uvrstavanja gornjih izraza u F,GQ,P i kraceg sredivanja, dobije se

F,GQ,P =S∑

s ′=1

S∑

s ′′=1

[∂ F

∂ qs ′

∂ G

∂ qs ′′qs ′ , qs ′′Q,P +

∂ F

∂ qs ′

∂ G

∂ ps ′′qs ′ , ps ′′Q,P

+∂ F

∂ ps ′

∂ G

∂ qs ′′ps ′ , qs ′′Q,P +

∂ F

∂ ps ′

∂ G

∂ ps ′′ps ′ , ps ′′Q,P

].

Ukoliko su zadovoljene slijedece relacije:

qs, qs ′Q,P = 0, ps, ps ′Q,P = 0, qs, ps ′Q,P = δs,s ′ , (15.13)

tada su Poissonove zagrade funkcija F i G iste i u starim i u novim varijablama

F,Gq,p = F,GQ,P . (15.14)

Izracunajmo sada vremensku promjenu qs. Buduci da je qs = qs(Qs ′ , Ps ′) (bez eksplicitneovisnosti o vremenu), to je vremenska promjena qs dana s

d qsd t

=S∑

s ′=1

(∂ qs∂ Qs ′

Qs ′ +∂ qs∂ Qs ′

Ps ′

). (15.15)

S druge strane, tu istu vremensku promjenu mozemo, kao u (15.11), napisati i preko Poissonovihzagrada u starim koordinatama

d qsd t

= qs, H(qs ′ , ps ′)q,p.

Zbog relacije (15.14), je

qs, H(qs ′ , ps ′)q,p = qs, H(Qs ′ , Ps ′)Q,P ,pa je

d qsd t

= qs, H(Qs ′ , Ps ′)Q,P =S∑

s ′=1

(∂ qs∂ Qs ′

∂ H

∂ Ps ′− ∂ H

∂ Qs ′

∂ qs∂ Ps ′

).

Usporedbom gornje relacije s (15.15), dolazi se do zakljucka da je

Qs =∂ H

∂ Ps= Qs, H, Ps = − ∂ H

∂ Qs

= Ps, H. (15.16)


tj. ukoliko su zadovoljene relacije (15.13), transformacija (15.12) je kanonska, zato jer i novevarijable zadovoljavaju kanonske jednadzbe gibanja (15.16). Do istog se zakljucka dolazi iracunom vremenske promjene ps

d psd t

=S∑

s ′=1

(∂ ps∂ Qs ′

Qs ′ +∂ ps∂ Qs ′

Ps ′

)

= ps, H(q, p)q,p = ps, H(Qs ′ , Ps ′)Q,P =S∑

s ′=1

(∂ ps∂ Qs ′

∂ H

∂ Ps ′− ∂ H

∂ Qs ′

∂ ps∂ Ps ′

)

⇒ Qs =∂ H

∂ Ps= Qs, H, Ps = − ∂ H

∂ Qs

= Ps, H.

Zakljucujemo da su relacije (15.13) uvjet na preobrazbu (15.12), da bi ona bila kanonska.

Primjer: 15.2 Provjerite je li preobrazba

q = ln(1 +√Q sinP ), p = −2(1 +

√Q sinP )

√Q cosP,

kanonska.

R: Broj stupnjeva slobode je S = 1. Prve dvije Poissonove zagrade iz (15.13)su ocito zadovoljene, pa preostaje izracunati trecu

q, pQ,P =∂ q

∂ Q

∂ p

∂ P− ∂ p

∂ Q

∂ q

∂ P∂ q

∂ Q=

sinP

2√Q(1 +

√Q sinP )

,

∂ q

∂ P=

√Q cosP

1 +√Q sinP

,

∂ p

∂ Q= − sinP cosP − (1 +

√Q sinP ) cosP√

Q,

∂ p

∂ P= −2Q cos2 P + 2(1 +

√Q sinP )

√Q sinP.

Izravno uvrstavanje gornjih parcijalnih derivacija u izraz za Poissonovu zagradu,daje q, pQ,P = 1, cime je pokazano da je preobrazba kanonska.

15.4 Liouvilleov teorem

Neka je zadan konzervativni sustav cestica sa S stupnjeva slobode. Svako mehanicko stanjesustava je jednoznacno odredeno zadavanjem vrijednosti svih polozaja qs i svih kolicina gibanjaps cestica sustava, za s = 1, 2, · · · , S. Uvede li se pojam faznog prostora ili (q, p) prostorakao 2S-dimenzijskog prostora cije su koordinate qs i ps, tada se svako mehanicko stanje sustavamoze predociti jednom tockom u faznom prostoru. Takva se tocka

(q1, q2, · · · , qS, p1, p2, · · · , pS)

15.4. LIOUVILLEOV TEOREM 421

naziva reprezentativna tocka. Vrijedi i obrat: svakoj reprezentativnoj tocki faznog pros-tora, odgovara jedno mehanicko stanje sustava. Gibanju sustava u realnom trodimenzijskomprostoru, odgovara gibanje reprezentativne tocke u 2S-dimenzijskom faznom protoru. Gibanjase odvijaju u skladu s Hamiltonovim jednadzbama gibanja

ps = −∂H∂qs

, qs =∂H

∂ps,

a putanja reprezentativne tocke se zove fazna putanja ili fazna trajektorija.Promatrajmo vrlo velik broj N >> 1 konzervativnih mehanickih sustava, koji su svi opisaniistim hamiltonijanom H, ali koji imaju razlicite pocetne uvjete. Buduci da su sustavi popretpostavci konzervativni, H je konstanta gibanja jednaka ukupnoj mehanickoj energiji sustava

H(q1, q2, · · · , qS, p1, p2, · · · , pS) = E = const.

Gornja jednadzba predstavlja jednadzbu (2S − 1)-dimenzijske hiperplohe u 2S-dimenzijskomfaznom prostoru1. Pretpostavimo da energije svih N sustava leze izmedu neke dvije konstantnevrijednosti koje cemo oznaciti s E i E ′. Tada ce i fazne putanje svih sustava lezati u dijelufaznog prostora omedenog s dvije hiperplohe cije jednadzbe glase H = E i H = E ′ (slika 15.1).Buduci da razliciti sustavi imaju i razlicite pocetne uvjete, oni ce se i gibati po razlicitim puta-

Slika 15.1: Shematski prikaz faznih putanja u faznom prostoru.

njama u faznom prostoru. Zamislimo da su u pocetnom trenutku t = 0, reprezentativne tockesvih N sustava sadrzane u dijelu faznog prostora oznacenom s R1. Kako vrijeme prolazi, repre-zentativne tocke se gibaju dijelom faznog prostra ogranicenog hiperplohama H = E i H = E ′ inakon vremena t sve ce se one naci u dijelu faznog prostora oznacenom s R2. Npr. reprezenta-tivna tocka nekog odredenog sustava se premjestila iz tocke A u tocku B. Prema samom izborupodrucja R1 i R2, jasno je da oba sadrze isti broj, N , reprezentativnih tocaka. Uvedimo sadajedan nov pojam: gustoca reprezentativnih tocaka. Gustoca reprezentativnih tocaka

1Slicno kao sto npr.

x2 + y2 + z2 = R2 = const.

, predstavlja jednadzbu 2D plohe - tocnije: sfere - u 3D prostoru.


se definira poput gustoca s kojima smo se vec susretali 2: kao omjer kolicine mase, naboja ilicega slicnog i prostora u kojemu se ta masa ili naboj nalaze. Promatrajmo, u trenutku t, tockufaznog prostora definirani s 2S poopcenih koordinata (q1, · · · , qS, p1, · · · , pS) . Promjena svakeod koordinata za infinitezimalni iznos dqs

q1 → q1 + dq1, · · · qS → qS + dqS, p1 → p1 + dp1, · · · pS → pS + dpS,

definira diferencijal volumena u faznom prostoru koji cemo oznaciti s

dΓ = dq1 dq2 · · · dqS dp1 dp2 · · · dpS.Ako se u trenutku t unutar dΓ nalazi dN reprezentativnih tocaka, tada se gustoca reprezenta-tivnih tocaka definira slicno kao i obicna masena gustoca

ρ =dN

dΓ. (15.17)

Primjetimo da je gornja gustoca funkcija svih poopcenih koordinata, svih poopcenih kolicinagibanja i vremena

ρ = ρ(q1, · · · , qS, p1, · · · , pS; t),kao i da osim eksplicitne ovisnosti o vremenu, ρ ovisi o vremenu i kroz qs = qs(t) i ps = ps(t).Vratimo se sada opet podrucjima R1 i R2 koja, po definiciji, sadrze isti broj reprezentativnihtocaka.

Liouville-ov teoremtvrdi da su i sami 2S-dimenzijski volumeni R1 i R2 istog iznosa, ili, drukcije receno, gustocareprezentativnih tocaka je konstantna u vremenu. Ako je nesto konstantno, ondase to ne mijenja u vremenu, pa mora biti

d ρ

d t= 0. (15.18)

Prisjetimo li se da ρ moze ovisiti o vremenu eksplicitno, ali i implicitno kroz qs = qs(t) ips = ps(t), tada gornji izraz glasi

d ρ

d t≡ ∂ρ

∂t+

S∑s=1

(∂ρ

∂qsqs +

∂ρ

∂psps

)= 0.

Nakon sto dokazemo gornju tvrdnju, o reprezentativnim tockama mozemo razmisljati kao ocesticama nestlacivog (zato jer mu je gustoca konstantna) fluida, koje se u skladu s Hamilto-novim jednadzbama gibaju kroz fazni prostor3. Dokazimo sada Liouville-ov teorem.Svaka se reprezentativna tocka giba u skladu s Hamiltonovim jednadzbama gibanja. Kao rezul-tat tog gibanja, mijenja se i gustoca reprezentativnih tocaka. Zanima nas vremenska promjenagustoce reprezentativnih tocaka u okolici dane tocke faznog prostora. U kratkom vremenskom

2Sjetimo se npr. definicije gustoce mase

ρm(~r) =dm

dV,

gdje je dm kolicina mase sadrzana u infinitezimalnom volumenu dV u okolici tocke ~r.3Bas kao sto se i cestice pravog nestlacivog fluida gibaju u pravom prostoru.

15.4. LIOUVILLEOV TEOREM 423

Slika 15.2: Uz dokaz Liouvilleovog teorema: promjena faznog volumena za danu promjenu varijable qs.

intervalu dt, broj cestica unutar faznog volumena dΓ ce se, prema definiciji (15.17), promjenitiza mali iznos

dN(t+ dt) = ρ(t+ dt) dΓ , dN(t) = ρ(t) dΓ,

dN(t+ dt)− dN(t) = [ρ(t+ dt)− ρ(t)] dq1 dq2 · · · dqS dp1 dp2 · · · dpS

=

(∂ρ

∂tdt

)dq1 dq2 · · · dqS dp1 dp2 · · · dpS. (15.19)

Ova promjena dolazi od reprezentativnih tocaka koje ulaze i izlaze iz malog volumena uokolici dane tocke faznog prostora u vremenskom intervalu dt. Prije nego izracunamo brojcestica koje ulaze i izlaze iz malog faznog volumena, prisjetimo se da sada sve funkcije shvacamokao funkcije od qs i ps. Tako je npr. i brzina

qs = qs(q1, · · · , qS, p1, · · · , pS).Radi jednostavnosti, zapocet cemo racun tako sto cemo promatrati promjenu broja cestica u faz-nom volumenu uslijed njihova protoka kroz samo jednu plohu i to onu definiranu jednadzbomqs = const. Sve ostale koordinate (njih 2S − 1) cemo, za sada, izostaviti.ulaz:Broj reprezentativnih tocaka koje ulaze u promatrani volumen (zasjenjeno) kroz plohu qs =const., je jednak broju reprezentativnih tocaka sadrzanih unutar povrsine koja je jednaka

dps · dt qs(qs, ps)i oznacene je s ulaz na slici 15.2. Svi ostali diferencijali koordinata se ne mjenjaju, pa je ukupnapromjena faznog volumena jednaka

dq1 · · · qs(qs,ps) dt · · · dqS dp1 · · · dps · · · dpS.Pomnozi li se ovaj fazni volumen s gustocom u okolici promatrane tocke faznog prostora, dobitce se broj reprezentativnih tocaka koje su u vremenskom intervalu dt usle u promatrani element


faznog volumena (radi preglednije notacije, kao argumente funkcija necemo navoditi svih 2Skoordinata plus vrijeme, nego samo koordinate od interesa u danom postupku)

dNulaz,qs = ρ(qs) dq1 · · · qs(qs) dt · · · dqS dp1 · · · dps · · · dpS.

izlaz:Racun broja izlaznih reprezentativnih tocaka radimo na isti nacin kao i za ulazne, s tom razlikomsto sada, umjesto u okolici tocke qs, sve velicine racunamo u okolici tocke qs + dqs. Brojreprezentativnih tocaka koje izlaze iz promatranog volumena (zasjenjeno) kroz plohu qs+dqs =const., je jednak broju reprezentativnih tocaka sadrzanih unutar povrsine oznacene s izlaz naslici 15.2, a koja je jednaka

dps · dt qs(qs + dqs).

Ponovo, sve ostale diferencijale koordinata drzimo nepromjenjenim, pa je ukupna promjenafaznog volumena jednaka

dq1 · · · qs(qs + dqs) dt · · · dqS dp1 · · · dps · · · dpS.Pomnozi li se ovaj fazni volumen s gustocom u okolici tocke qs + dqs, dobit ce se broj repre-zentativnih tocaka koje su u vremenskom intervalu dt izasle iz promatranog elementa faznogvolumena

dNizlaz,qs+dqs = ρ(qs + dqs) dq1 · · · qs(qs + dqs) dt · · · dqSdp1 · · · dps · · · dpS.Sada je potrebno gornju gustocu i brzinu razviti u Taylorov red u okolici tocke qs po malojvelicini dqs i zadrzati se na vodecem (linearnom) clanu razvoja:

ρ(qs + dqs) = ρ(qs) + dqs∂ ρ(qs)

∂ qs+O

[(dqs)

2]

qs(qs + dqs) = qs(qs) + dqs∂ qs(qs)

∂ qs+O

[(dqs)

2].

Kada gornje razvoje uvrstimo u izraz za dNizlaz,qs+dqs , medusobno pomnozimo i zadrzimo se naclanovima linearnim u dqs, dobit cemo

dNizlaz,qs+dqs = ρ(qs) dq1 · · · qs(qs) dt · · · dqS dp1 · · · dps · · · dpS+ ρ(qs) dq1 · · · dqs∂qs(qs)

∂qs

dt · · · dqSdp1 · · · dps · · · dpS

+ dqs∂ρ(qs)

∂qs

dq1 · · · qs(qs)dt · · · dqSdp1 · · · dps · · · dpS

+ O[(dqs)

2]

Promjena broja reprezentativnih tocaka u promatranom faznom volumenu je jednaka razlicibroja reprezentativnih tocaka koje su usle i koje su izasle iz promatranog faznog volumena

dNulaz,qs − dNizlaz,qs+dqs = −(∂qs∂qs

ρ+ qs∂ρ

∂qs

)dq1 · · · dqs · · · dqS dp1 · · · dps · · · dpS dt

= −∂ (qsρ)

∂qsdq1 · · · dqs · · · dqSdp1 · · · dps · · · dpS dt

= −∂ (qsρ)

∂qsdΓ dt.

15.5. PRIJELAZ NA KVANTNU MEHANIKU 425

Ovo je doprinos promjeni broja reprezentativnih tocaka u volumenu dq1 · · · dpS uslijed ulaskareprezentativnih tocaka kroz plohu qs = const i izlaska kroz plohu qs + dqs = const. Potpunoistim postupkom se dolazi do odgovarajucih izraza za promjenu broja reprezentativnih tocakauslijed njihovog prolaska kroz sve ostale plohe qs = const., a isto tako i plohe ps = const. (ufaznom prostoru su qs i ps potpuno ravnopravne koordinate). Zbroj po s = 1, 2, · · · , S svih ovihpromjena broja reprezentativnih tocaka, daje ukupnu promjenu broja reprezentativnih tocakaunutar faznog volumena dΓ ≡ dq1 · · · dpS u vremenu dt

dN(t+ dt)− dN(t) = −S∑s=1

[∂

∂qs(qsρ) +

∂

∂ps(psρ)

]dΓ dt

No, prema (15.19), gornji je izraz jednak (∂ρ/∂t) dΓ dt, pa njihovim izjednacavanjem, dobivamo

∂ρ

∂t= −

S∑s=1

[∂

∂qs(qsρ) +

∂

∂ps(psρ)

]= −

S∑s=1

(∂ρ

∂qsqs +

∂qs∂qs

ρ+∂ρ

∂psps +

∂ps∂ps

ρ

).

Uvrstavanjem Hamiltonovih kanonskih jednadzba gibanja (15.2), u drugi i cetvrti clan desnestrane gornjeg izraza, dobiva se

∂ρ

∂t= −

S∑s=1

[∂ρ

∂qsqs +

∂2H

∂qs ∂psρ+

∂ρ

∂psps − ∂2H

∂qs ∂psρ

],

∂ρ

∂t+

S∑s=1

(∂ρ

∂qsqs +

∂ρ

∂psps

)= 0.

No, lijeva strana gornje jednakosti nije nista drugo do potpuna vremenska derivacija gustocereprezentativnh tocaka, tj.

d ρ

d t= 0,

cime je dokazano da je ona vremenska konstanta.

15.5 Prijelaz na kvantnu mehaniku

Formalizam Poissonovih zagrada omogucava prijelaz sa klasicne na kvantnu mehaniku.Umjesto komutativnih klasicnih velicina (opcenito kompleksnih funkcija) F,G, · · · za koje vri-jedi komutativnost

F G = G F,

uvode se opcenito nekomutativne kvantne velicine (operatori) F ,G , · · · , tako da je njihovkomutator povezan s Poissonovim zagradama analognih klasicnih velicina F,G, · · · na slije-deci nacin

[F ,G ]− ≡ F G −G F = ı ~ F,G.gdje je ı je imaginarna jedinica, ı2 = −1, a velicina oznacena s ~ je Planckova konstanta h =6.62 . . . ·10−34 J s podijeljena s 2 π. Primjetimo da Planckova konstanta ima dimenziju funkcije


djelovanja S : energija puta vrijeme. U skladu s relacijama (15.10), za kvantne operatorekoordinate i kolicine gibanja, se moze napisati

[q k,q l]− = 0, [p k,p l]− = 0, [q k,p l]− = ı ~ δk,l. (15.20)

Napisano u pravokutnom koordinatnom sustavu, razliciti od nule su samo komutatori izmedukoordinata i kolicina gibanja koji se odnose na istu cesticu (tj. isti stupanj slobode)

[x k,p x,l]− = ı ~ δk,l, [y k,p y,l]− = ı ~ δk,l, [z k,p z,l]− = ı ~ δk,l, (15.21)

a svi ostali komutatori su jednaki nuli

[x k,x l]− = 0, [x k,y l]− = 0, [x k, z l]− = 0,

[y k,y l]− = 0, [y k, z l]− = 0,

[z k, z l]− = 0,

[p x,k,p x,l]− = 0, [p x,k,p y,l]− = 0, [p x,k,p z,l]− = 0,

[p y,k,p y,l]− = 0, [p y,k,p z,l]− = 0,

[p z,k,p z,l]− = 0,

[x k,p y,l]− = 0, [x k,p z,l]− = 0,

[y k,p x,l]− = 0, [y k,p z,l]− = 0,

[z k,p x,l]− = 0, [z k,p y,l]− = 0.

~r - reprezentacijaLako je uvjeriti se da ce svi gornji komutatori biti zadovoljeni, ako se za operator koordinateodabere obicno mnozenje s istoimenom koordinatom, a za operator kolicine gibanja operatorderiviranja po istoimenoj koordinati pomnozen s −ı ~

x k = xk, y k = yk, z k = zk,

(15.22)

p x,k = −ı ~ ∂

∂ xk, p y,k = −ı ~ ∂

∂ yk, p z,k = −ı ~ ∂

∂ zk.

Ovakav odabir se naziva ~r ili koordinatna reprezentacija. Da bi se provjerile komutacijskerelacije (15.21), kao i one iza njih, djelujmo komutatorima na proizvoljnu derivabilnu funkcijukoordinata i kolicina gibanja f(x1, · · · , px,1, · · · ). Tako se npr. za komutator koordinate i njojpridruzene (konjugirane) kolicine gibanja dobije

[x k,p x,l]− f =

(−xk ı ~ ∂

∂ xl+ ı ~

∂

∂ xlxk

)f = −xk ı ~ ∂ f

∂ xl+ ı ~

∂ (xk f)

∂ xl

=©©©©©©©−xk ı ~ ∂ f

∂ xl+ ı ~

∂ xk∂ xl︸︷︷︸δk,l

f +©©©©©©ı ~ xk

∂ f

∂ xl

= ı ~ δk,l f,


ili, ako se ukloni (pomocna) funkcija f , preostaje operatorska jednakost

[x k,p x,l]− = ı ~ δk,l.

Na slican nacin se pokazuje da su svi ostali komutatori jednaki nuli; npr.

[x k,x l]− f = (xk xl − xl xk) f = 0,

[x k,y l]− f = (xk yl − yl xk) f = 0,

[p x,k,p x,l]− f =

[(−ı ~ ∂

∂ xk

)(−ı ~ ∂

∂ xl

)−

(−ı ~ ∂

∂ xl

)(−ı ~ ∂

∂ xk

)]f

=

(−~2 ∂2

∂ xk xl+ ~2 ∂2

∂ xl xk

)f = 0.

[p x,k,p y,l]− f =

[(−ı ~ ∂

∂ xk

)(−ı ~ ∂

∂ yl

)−

(−ı ~ ∂

∂ yl

)(−ı ~ ∂

∂ xk

)]f

=

(−~2 ∂2

∂ xk yl+ ~2 ∂2

∂ yl xk

)f = 0.

~p - reprezentacijaOsim gornjega, moguc je i drugi izbor operatora za koordiantu i kolicinu gibanja. Komutatori(15.21) (i oni iza njih) ce biti zadovoljeni i slijedecim odabirom4

x k = ı ~∂

∂ px,k, y k = ı ~

∂

∂ py,k, z k = ı ~

∂

∂ pz,k,

(15.23)

p x,k = px,k, p y,k = py,k, p z,k = pz,k.

Ovakav odabir se naziva ~p ili impulsna reprezentacija. Da bi se provjerile komutacijskerelacije (15.21), kao i one iza njih, djelujmo komutatorima na proizvoljnu derivabilnu funkcijukoordinata i kolicina gibanja f(x1, · · · , px,1, · · · ). Tako se npr. za komutator koordinate i njojpridruzene (konjugirane) kolicine gibanja dobije

[x k,p x,l]− f =

(ı ~

∂

∂ px,kpx,l − px,l ı ~

∂

∂ px,k

)f =

[ı ~

∂ (px,l f)

∂ px,k− px,l ı ~

∂ f

∂ px,k

]

= ı ~∂ px,l∂ px,k︸︷︷︸δk,l

f +©©©©©©©ı ~ px,l

∂ f

∂ px,k−

©©©©©©©px,l ı ~

∂ f

∂ px,k

= ı ~ δk,l f,

ili, ako se ukloni (pomocna) funkcija f , preostaje operatorska jednakost

[x k,p x,l]− = ı ~ δk,l.4Vidjeti npr. [12], poglavlje o integralnim preobrazbama.


Na slican nacin se racunaju i svi ostali komutatori.

Heisenbergove relacijeU kvantnoj se mehanici pokazuje da su komutacijske relacije (15.21) ekvivalentne Heisen-bergovom nacelu neodredenosti, prema kojemu se ne mogu proizvoljno tocno odreditiistodobno koordinata polozaja i njoj konjugirana kolicina gibanja, nego uvijek moraju bitizadovoljene slijedece nejednakosti

∆xk ∆ px,k ≥ 1

2~, ∆yk ∆ py,k ≥ 1

2~, ∆zk ∆ pz,k ≥ 1

2~,

gdje ∆ oznacava neodredenost dane funkcije. Buduci da je ~ numericki jako malena velicina,ove relacije postaju vazne tek na mikroskopskoj skali.

Rjesavanje kvantno-mehanickih problema:Schrodingerova jednadzba u ~r-reprezentacijiKada se klasicne velicine zele prevesti u kvantne, koristeci zamjene (15.22), potrebno je voditiracuna o njihovoj (ne)komutativnosti. Tako je npr. u klasicnoj slici x px = px x, dok u kvantnojslici to nije istina. Zbog toga je, prije prijelaza u kvantni oblik, potrebno na zgodan nacinsimetrizirati odgovarajuce izraze, na takav nacin da budu invarijantni na redoslijed clanovakoji se u njima pojavljuju. U navedenom primjeru treba napisati

x px =1

2(x px + px x),

i slicno u ostalim slucajevima.Ako se u jednadzbu sacuvanja energije, (15.4),

H(x1, · · · , px,1, · · · ) = E,

uvrste kvantni izrazi za koordinate i kolicine gibanja, hamiltonijan postaje diferencijalni ope-rator. Taj diferencijalni operator mora djelovati na neku funkciju, a ta se funkcija zove valnafunkcija,

Ψ(x1, · · · , zN).

Prema gornjoj jednadzbi sacuvanja energije, rezultat tog djelovanja je ta ista valna funkcijapomnozena konstantom E

H

(x1, · · · ,−ı~ ∂

∂ x1

, · · ·)

Ψ = EΨ.

Ova jednadzba ima oblik diferencijalne jednadzbe svojstvenih vrijednosti (vidjeti npr. [12],citirati poglavlje).

Schrodingerova jednadzba za gibanje jedne cestice mase m u polju sile opisane potencijalnomenergijom Ep se dobije tako da se u klasicni izraz za Hamiltonovu funkciju

H = Ek + Ep =~p 2

2m+ Ep(~r),


uvrste kvantni izrazi za koordinatu i kolicinu gibanja (15.22), sto vodi na Schrodingerovu dife-rencijalnu jednadzbu

[− ~

2

2m

(∂2

∂ x2+

∂2

∂ y2+

∂2

∂ z2

)+ Ep(x, y, z)

]Ψ(x, y, z) = EΨ(x, y, z).

Ovisno o vrijednosti potencijalne energije, jednadzba moze opisivati trodimenzijski kvantniharmonijski oscilator s

Ep = Kr2

2,

ili, ako se za Ep uvrsti elektrostatska potencijalna energija

Ep =K

r,

dobije se Schrodingerova jednadzba vodikovog atoma.Nepoznanice u gornjoj jednadzbi su energija E i valna funkcija Ψ. Ova se jednadzba mozeshvatiti i kao jednadzba svojstvenih vrijednosti u kojoj operator (matrica) H djeluje na valnufunkciju |Ψ〉 (svojstveni vektor) i kao rezultat daje neki broj (svojstvenu vrijednost, energijuE) pomnozen tom istom valnom funkcijom (tj. tim istim svojstvenim vektorom)

H |Ψ〉 = E |Ψ〉.Fizicko znacenjePokazalo se da sama valna funkcija Ψ nema fizickog znacenja. Tek njezin kvadrat apsolutnevrijednosti |Ψ(x, y, z)|2, se interpretira kao gustoca vjerojatnosti nalazenja cestice u malomvolumenu dx dy dz oko tocke (x, y, z). Sam diferencijal vjerojatnosti je tada dan sa

dP = |Ψ(x, y, z)|2 dx dy dz,

= |Ψ(ρ, ϕ, z)|2 ρ dρ dϕ dz,

= |Ψ(r, θ, ϕ)|2 r2 sin θ dr dθ dϕ,

ovisno o tome koji se koordinatni sustav koristi. Buduci da se cestica mora nalaziti negdje uprostoru, to je vjerojatnost nalazenja cestice u bilo kojoj tocki prostora jednaka jedinici. Ovase cinjenica matematicki zapisuje kao

∫|Ψ(x, y, z)|2 dx dy dz = 1,

∫|Ψ(ρ, ϕ, z)|2 ρ dρ dϕ dz = 1,

∫|Ψ(r, θ, ϕ)|2 r2 sin θ dr dθ dϕ = 1.

i naziva se normiranje valne funkcije.


Dodatak A

Diracova δ-funkcija

Diracova funkcija δ(x− x0) se moze zamisliti kao granicna vrijednost Gaussove funkcije raspo-djele

δ(x− x0, σ) =1

2 π σ2exp

[− (x− x0)

2

2 σ2

],

kada sirina gausijana iscezava, σ → 0, ali njegova visina neograniceno raste, tako da je integralnepromjenjen

δ(x− x0) = limσ → 0

δ(x− x0, σ),

∫ x2

x1

δ(x− x0) dx = 1, x0 ∈ [x1, x2].

Drugim rjecima, δ(x− x0) = 0 u svim tockama u kojima je argument razlicit od nule, a njezinje integral jednak jedinici, ako podrucje integracije obuhvaca tocku x0

δ(x− x0) = 0, x 6= x0,∫ x2

x1

δ(x− x0)dx = 1, x1 ≤ x0 ≤ x2,

∫ x2

x1

δ(x− x0)dx = 0, x < x1 ili x > x2.

Svojstva: promatramo ucinke δ funkcije na kontinuiranu derivabilnu funkciju f(x). Granice uintegralima moraju biti takve da je tocka u kojoj se ponistava argument δ funkcije unutar grani-ca integracije. U suprotnom je integral jednak nuli. Kako bismo se osigurali da δ funkcija uvijekima nulu unutar granica integracije, uzet cemo da se inetgrira po cijelom pravcu od −∞ do +∞.

(1) Buduci da je δ(x− x0) jednaka nuli svuda izvan x = x0, a razlicita od nule samo u uskomintervalu oko x0, u tom uskom intervalu je f(x) priblizno konstantna i jednaka f(x0)

∫ +∞

−∞f(x) δ(x− x0) dx ≈ f(x0)

∫ +∞

−∞δ(x− x0) dx = f(x0)

(2) Pogledajmo sada δ funkciju s nesto slozenijim argumentom. Zapocnimo s najjednostavnijim

431

432 DODATAK A. DELTA FUNKCIJA

slucajem kada je argument linearna funkcija∫ +∞

−∞f(x) δ(c x− x0) dx, x0, c = const. 6= 0.

Neka je c > 0 i uvedimo novu varijablu c x− x0 = y. Koristeci rezultat iz tocke (1), dobiva se∫ +∞

−∞f(x) δ(c x− x0) dx =

1

c

∫ +∞

−∞f

(y + x0

c

)δ(y) dy =

1

cf

(x0

c

).

Ako je c < 0, opet uvodimo novu varijablu c x− x0 = y. Sada je∫ +∞

−∞f(x) δ(c x− x0) dx =

1

c

∫ −∞

+∞f

(y + x0

c

)δ(y) dy

= − 1

c

∫ +∞

−∞f

(y + x0

c

)δ(y) dy = − 1

cf

(x0

c

)=

1

|c|f(x0

c

).

Buduci da se δ funkcija u umnoscima s drugim funkcijama pojavljuje u integralima, dva gornjareda se mogu sazeti u

δ(c x− x0) =1

|c| δ(x− x0/c).

Ako odaberemo c = −1 i x0 = 0, gornja relacija nam kaze da je δ funkcija parna

δ(x) = δ(−x).

(3) Pogledajmo sada slucaj kada je argument δ funkcije, kvadratna funkcija∫ ∞

−∞f(x) δ(x2 − a2) dx, a = const. 6= 0.

Buduci da se u gornjem izrazu a pojavljuje samo kroz a2, bez gubitka opcenitosti, mozemoodabrati da je a > 0∫ ∞

−∞f(x) δ[(x− a)(x+ a)] dx =

∫ 0

−∞f(x) δ[(x− a)(x+ a)] dx+

∫ ∞

0

f(x) δ[(x− a)(x+ a)] dx.

U prvom integralu desne strane, argument δ funkcije iscezava samo u x = −a, pa stoga mozemopisati∫ 0

−∞f(x) δ[(x− a)(x+ a)] dx ≈

∫ 0

−∞f(x) δ[(−2a)(x+ a)] dx =

∫ 0

−∞f(x) δ[−2ax− 2a2)] dx.

Na gornji izraz primjenimo rezultat iz tocke (2), uz c ≡ −2a i x0 ≡ 2a2, sto vodi na∫ 0

−∞f(x) δ[(x− a)(x+ a)] dx =

1

| − 2a| f(

2a2

−2a

)=

1

|2a| f (−a) .

Slicnim se postupkom dobije i∫ ∞

0

f(x) δ[(x− a)(x+ a)] dx =1

|2a| f(

2a2

2a

)=

1

|2a| f (a) ,

433

pa tako konacnomozemo napisati da je∫ ∞

−∞f(x) δ(x2 − a2) dx =

f(a) + f(−a)|2a| .

Na isti rezultat vodi i jednakost

δ(x2 − a2) =δ(x− a) + δ(x+ a)

|2a| .

Primjetimo da gornji izvod vrijedi samo za a 6= 0.

(4) Neka je sada argument δ funkcije nekakva opca funkcija g(x) koja ima N izoliranih nul-tocaka

g(xn) = 0, n = 1, 2, · · · , N.Nas je zadatak izracunati

∫ ∞

−∞f(x) δ[g(x)] dx.

U okolini svake nul-tocker g(x), vrijedi Taylorov razvoj oblika

g(x) = (x− xn)∂ g

∂ x

∣∣∣∣xn

+O[(x− xn)2].

Stoga je i

δ[g(x)] ≈ δ[(x− xn) g′(xn)],

gdje smo s g ′(xn) oznacili derivaciju g u tocki x = xn. No, gornja δ funkcija je time postala δfunkcija s linearnim argumentom, koju smo rijesili u tocki (2): c ≡ g ′(xn) i x0 ≡ xn g

′(xn).

∫ ∞

−∞f(x) δ[g(x)] dx =

N∑n=1

∫ xn+∆

xn−∆

f(x) δ[g ′(xn) x− xn g′(xn)] dx

=N∑n=1

1

|g ′(xn)| f(xn g

′(xn)g ′(xn)

)=

N∑n=1

1

|g ′(xn)| f(xn).

S ∆ je oznacena proizvoljna pozitivna konstanta koja samo osigurava da podrucje integracijesadrzi nulu δ funkcije. Isti rezultat kao gore, se dobije i iz jednakosti

δ[g(x)] =N∑n=1

δ(x− xn)

|g ′(xn)| .

(5) Pogledajmo sada integrale koji sadrze derivaciju δ funkcije. Zadatak je izracunati∫ ∞

−∞f(x)

d δ(x− x0)

d xdx.


Buduci da smo pretpostavili da je f(x) derivabilna, mozemo provesti parcijalnu itegraciju

f(x)d δ(x− x0)

d x=

d

d x[f(x) δ(x− x0)]− d f(x)

d xδ(x− x0),

sto izravno vodi na∫ ∞

−∞f(x)

d δ(x− x0)

d xdx =

∫ ∞

−∞

d

d x[f(x) δ(x− x0)] dx−

∫ ∞

−∞

d f(x)

d xδ(x− x0) dx

= [f(x) δ(x− x0)]+∞−∞ −

d f(x)

d x

∣∣∣∣x0

.

No, δ(x − x0) = 0 kada je x = ± ∞ 6= x0, pa prvi clan desne strane gornjeg izraza iscezava ipreostaje

∫ ∞

−∞f(x)

d δ(x− x0)

d xdx = − d f(x)

d x

∣∣∣∣x0

.

Na isti nacin kao gore (parcijalnim integriranjem), moze se racunati drug, treca i opcenito n-taderivacija δ funkcije, s rezultatom

∫ ∞

−∞f(x)

dn δ(x− x0)

d xndx = (−)n

dn f(x)

d xn

∣∣∣∣x0

,

za n puta derivabilnu funkciju f(x).

(6) Do sada smo promatrali δ funkciju jednog argumenta. Sto ako δ funkcija ovisi o vise argu-menata? Npr. δ(~r − ~r0) je funkcija tri varijable, jer ~r opisuje polozaj tocke u trodimenzijskomprostoru. Integral

∫

V

δ(~r − ~r0) d3r

je jednak jedinici ako se tocka ~r0 nalazi u volumenu V , a jednak je nuli, ako je ~r0 izvan togvolumena. Pretpostavimo nadalje da volumen V obuhvaca sav prostor, tako da je tocka ~r0uvijek sadrzana u njemu.

U pravokutnom koordinatnom sustavu je d3 r = dx dy dz, pa iz∫ +∞

−inftydx

∫ +∞

−∞dy

∫ +∞

−∞dz δ(~r − ~r0) = 1,

zakljucujemo da je

δ(~r − ~r0) = δ(x− x0) δ(y − y0) δ(z − z0) .

Na slican nacin, u sfernom koordinatnom sustavu je∫ +∞

0

r2 dr

∫ π

0

sin θ dθ

∫ 2π

0

dϕ δ(~r − ~r0) = 1,

435

iz cega zakljucujemo da je

δ(~r − ~r0) =δ(r − r0)

r20

δ(θ − θ0)

sin θ0

δ(ϕ− ϕ0).

U cilindricnom koordinatnom sustavu je

∫ +∞

0

ρ dρ

∫ 2π

0

dϕ

∫ +∞

−∞dz δ(~r − ~r0) = 1,

iz cega slijedi

δ(~r − ~r0) =δ(ρ− ρ0)

ρ0

δ(ϕ− ϕ0) δ(z − z0) .


Dodatak B

Presjeci stosca: kruznica, elipsa,parabola i hiperbola

U ovom cemo dodatku izvesti jednadzbe krivulja koje se dobiju kao rezultat presjeka stosca iravnine pod razlicitim kutovima, pa se stoga i zovu presjeci stosca. Ove krivulje cine jednuposebnu familiju rjesenja opce algebarske jednadzbe drugog reda u varijablama x i y

Ax2 +Bxy + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0 (B.1)

(uz uvjet da je bar jedan od koeficijenata A,B ili C razlicit od nule) i bila su poznata jos isterogrckim matematicarima oko 300. godine p.n.e. ( Apolonije iz Aleksandrije ). Ove cemokrivulje koristiti najvise u poglavlju 7 (o gravitaciji), pa cemo zato, osim u pravokutnom, navestii njihove oblike u polarnom koordinatnom sustavu.

Neka je pravac AB (koji cemo zvati direktrisa) za D udaljen od ishodista (ili fokusa) O, kaona slici B.1. U polarnom koordinatnom sustavu je polozaj tocke P odreden koordinatama ρ iϕ. Udaljenost tocke P od pravca AB cemo oznaciti s d. Zelimo odrediti jednadzbu krivuljepo kojoj se giba tocka P uz uvjet da je omjer udaljenosti P do fokusa i P do direktrise ABjednak jednoj bezdimenzijskoj konstanti koju cemo zvati ekscentricitet i oznaciti s ε

ρ

d= ε = const. (B.2)

U tocki Q trazene krivulje je ρ = p i d = D, pa je zato i ε = p/D (primjetimo da u ovomodjeljku p ne oznacava kolicinu gibanja cestice, nego je parametar koji ima dimenziju duljine,a kojim cemo definirati krivulju u ravnini). Iz trigonometrije se dobije

D = d+ ρ cosϕ.

Uvrstivsi za D = p/ε, a za d = ρ/ε, dolazi se do trazene jednadzbe krivulje u polarnomkoordinatnom sustavu, ρ = ρ(ϕ), u obliku

ρ(ϕ) =p

1 + ε cosϕ. (B.3)

Ova jednadzba opisuje familiju krivulje koje se zovu presjeci stosca. Pokazat cemo da,ovisno o iznosu ekscentriciteta ε, gornja jednadzba opisuje:

437

438 DODATAK B. PRESJECI STOSCA

Slika B.1: Uz izvod jednadzbe krivulja presjeka stosca.

ε → 0 kruznicu,

0 < ε < 1 elipsu,

ε = 1 parabolu,

ε > 1 hiperbolu.

Kruznica: ε→ 0 .Kruznica se definira kao ravninska krivulja kojoj je udaljenosti svake njezine tocke od zadanefiksne tocke, konstantna. U jednadzbi (B.3) to znaci da ρ ne ovisi o kutu ϕ, tj. ε → 0 iρ = p = const za sve kutove. Buduci da ε → 0, da bi ρ = ε d = p bio konstantan, premajednadzbi (B.2), mora d → ∞, tj. direktrisa kruznice je beskonacno udaljena od njezinogsredista.U pravokutnom koordinatnom sustavu, zahtjev da je svaka tocka (x, y) kruznice jednako uda-ljena od jedne fiksne tocke (sredista) (x0, y0), pisemo pomocu Pitagorinog poucka

√(x− x0)2 + (y − y0)2 = p,

gdje smo s p oznacili polumjer kruznice. Kvadriranjem i raspisom gornje jednadzbe, dobivamojednadzbu tipa (B.1)

x2 + y2 − 2xx0 − 2yy0 + x20 + y2

0 − p2 = 0.

Prijelazom u polarne koordinate: x = ρ cosϕ i y = ρ sinϕ, dobivamo jednadzbu kruznicepolumjera p, sa sredistem u ishodistu, u jednostavnom obliku ρ = p, sto je upravo izraz odkojega smo i krenuli.Kruznica se dobije presjecanjem stosca ravninom paralelnom s bazom stosca.

Elipsa: 0 < ε < 1 .

439

Elipsa se definira kao ravninska krivulja kojoj je zbroj udaljenosti svake njezine tocke od dvijefiksne tocke (fokusa O i O ′ , slika B.2) konstantan i jednak 2a. Izvedimo jednadzbu elipse kaoposeban slucaj jednadzbe presjeka stosca (B.3). Prema definiciji elipse je

ρ+ PO ′ = 2a ⇒ (ϕ = π/2) ⇒ p+QO ′ = 2a.

Na oznaceni pravokutni trokut (slika B.2) primjenimo Pitagorin1 poucak i dobijemo

p2 + 4c2 = (QO ′ )2 = (2a− p)2 ⇒ p = a− c2

a. (B.4)

Za kutove ϕ = 0 i ϕ = π, sa slike B.2 i iz jednadzbe (B.3), slijedi

ϕ = 0 ⇒ ρ = OV ⇒ OV =p

1 + ε,

ϕ = π ⇒ ρ = OU ⇒ OU =p

1− ε.

Sa slike B.2 je OV +OU = 2a, dok je prema gornjim jednadzbama

Slika B.2: Uz izvod jednadzbe elipse: C je srediste elipse; CV = CU = a je duljina velike poluosi; CW = CS = bje duljina male poluosi; CO = CO ′ = c je udaljenost od sredista elipse do fokusa.

2a = OV +OU =p

1 + ε+

p

1− ε⇒ p = a(1− ε2). (B.5)

Uvrstimo li to u opci jednadzbu presjeka stosca, (B.3), dobivamo za jednadzbu elipse

ρ =a(1− ε2)

1 + ε cosϕ. (B.6)

Pokazimo da je ekscentricitet manji od jedinice. Sa slike B.2 je, prema Pitagorinom poucku,(OW )2 = b2 + c2. Duljinu c mozemo dobiti izjednacavanjem (B.4) i (B.5)

c = aε.1Mozda nije suvisno spomenuti da Pitagora nije prvi covjek koji je uocio vezu izmedu kvadrata hipotenuze i zbroja kvadrata

kateta (ta je veza bila poznata vec dugi vremena prije Pitagore), ali je on prvi koji je tu vezu dokazao.


Za elipsu je zbroj udaljenost svake njezine tocke od oba fokusa jednak 2a. Tocka W je jednakoudaljena od oba fokusa, pa je zato

OW +O ′W = 2a, OW = O ′W, ⇒ O ′W = OW = a.

Gore dobivene vrijednosti za c i OW mozemo uvrstiti u

(OW )2 = b2 + c2 ⇒ a2 = b2 + a2ε2 ⇒ ε =

√a2 − b2

a< 1.

Za one koji se bolje snalaze u pravokutnom koordinatnom sustavu, prevedimo jednadzbu (B.6)

u pravokutne koordinate (x, y) ravnine. Umjesto ρ pisemo√x2 + y2, a umjesto cosϕ =

x/√x2 + y2. Nakon kraceg sredivanja, se dobije

(x+ εa

a

)2

+

(y

a√

1− ε2

)2

= 1.

Prisjetimo li se da je c = aε, a iz jednadzbe za ekscentricitet slijedi da je manja poluos b =a√

1− ε2, vidimo da gornja jednadzba prikazuje elipsu sa sredistem u tocki (−c, 0) i poluosimaa i b

(x− (−c)

a

)2

+(yb

)2

= 1.

U posebnom slucaju kada je a = b, elipsa degenerira u kruznicu (c = ε = 0).Elipsa se dobije presjecanjem stosca ravninom koja nije paralelnom niti s bazom niti s izvodni-com stosca.

Parabola: ε = 1 .Parabola se definira kao skup tocaka u ravnini kojima je udaljenost do fiksne tocke (fokusa)jednaka udaljenosti do fiksnog pravca (direktrise), slika B.3. U nasim oznakama to znaci daje ρ = d, tj. prema (B.2) je ε = 1. S obzirom da vec imamo izvedenu jednadzbu elipse,do jednadzbe parabole mozemo doci granicnim prijelazom elipse kojoj velika poluos divergiraa → ∞ (sto je ekvivalentno zahtjevu ε = 1, jer za veliki a, iz

√a2 − b2 = aε, slijedi ε = 1) uz

uvjet da je, prema (B.5),

p = a(1− ε2) = const.

Tada jednadzba parabole (u polarnim koordinatma) glasi

ρ =p

1 + cosϕ. (B.7)

Prijelazom iz polarnih u pravokutne koordinate, kao kod elipse, dobivamo gornju jednadzbu uobliku

y2 = p2 − 2px.

Parabola se dobije presjecanjem stosca ravninom paralelnom s izvodnicom stosca. .....

Hiperbola: ε > 1 .

441

Slika B.3: Uz izvod jednadzbe parabole.

Hiperbola se definira kao skup tocaka u ravnini sa svojstvom da je razlika udaljenosti svaketocke krivulje, P , od dvije fiksne tocke (fokusa, O,O′) konstantna (slika B.4)

PO′ − PO = 2a.

Spustimo li se hiperbolom iz tocke P u tocku Q, gornja jednadzba postaje

QO′ − p = 2a.

pomocu gornje relacije i trokuta 4(O,O′, Q), dolazimo do izraza za p u obliku

(2c)2 + p2 = QO′2

= (2a+ p)2,

p =c2

a− a. (B.8)

Stavimo li u jednadzbu (B.3) za kut ϕ = 0, dobivamo

ρ = OV = OC − CV = c− a,

pri cemu je i d = V E. Sada iz definicije ekscentriciteta slijedi

ε =ρ

d=c− a

V E⇒ V E =

c− a

ε.

S druge strane, za kut ϕ = 2 π u jednadzbi (B.3), dobivamo

d = OE = OV + V E = c− a+ V E,

uz ρ = p. Ponovo iz ekscentriciteta dobivamo

ε =ρ

d=

p

c− a+ V E⇒ V E =

p

ε− c+ a.

Izjednacavanjem gornja dva izraza za V E, dobivamo

ε =c

a> 1


jer je c > a. Iz gornjeg izraza mozemo c uvrstiti u (B.8) i dobiti

p = a(ε2 − 1),

sto konacno vodi na jednadzbu hiperbole

ρ(ϕ) =a(ε2 − 1)

1 + ε cosϕ.

Nadalje se lako pokazuje da je mala poluos b = a√ε2 − 1, a polozaj direktrise je xD = a(ε2−1)/ε.

Prijelazom iz polarnih u pravokutne koordinate, kao kod elipse, dobivamo gornju jednadzbu u

Slika B.4: Uz izvod jednadzbe hiperbole.

obliku

(x− ε a)2

a2− y2

a2 (ε2 − 1)= 1.

Jedna grana hiperbole se dobije presjecanjem stosca ravninom okomitom na bazu stosca.

Dodatak C

Elementi Fourierove analize

Osnovni problem koji se tretira u ovom dodatku jeste slijedeci: periodicku funkciju f(x) =f(x+ 2π) treba aproksimirati trigonometrijskim polinomom N -tog reda oblika

PN(x) =1

2A0 + A1 cosx+ A2 cos 2x+ · · ·+ AN cosNx (C.1)

+ B1 sinx+B2 sin 2x+ · · ·+BN sinNx, (C.2)

uz uvjet da zbroj kvadrata odstupanja prave vrijednosti funkcije od njezine polinomne aproksi-macije, [f(x)−Pn(x)]2, bude sto manji1. Buduci da je f(x) zadana na kontinuiranom intervalu(0, 2π), ovaj ce zbroj zapravo biti integral

IN =

∫ 2π

0

[f(x)− Pn(x)]2 dx = min. (C.3)

Da (C.1) zaista prikazuje polinom N tog reda u sin x i cos x, mozemo se uvjeriti tako sto cemose sjetiti da se svaki sinnx i cosnx mogu napisati kao polinom n-tog reda od sinnx i cosnx.Tako je npr.

sin 2x = 2 sin x cosx, cos 2x = cos2 x− sin2 x.

Kako iz uvjeta (C.1) odrediti koeficijente polinoma? Uvrstimo u

IN =

∫ 2π

0

f 2(x) dx− 2

∫ 2π

0

f(x)PN(x)dx+

∫ 2π

0

P 2N(x) dx

polinom PN . Za srednji clan se dobije∫ 2π

0

f(x)PN(x)dx =1

2A0

∫ 2π

0

f(x)dx + A1

∫ 2π

0

f(x) cos xdx+ · · ·+ AN

∫ 2π

0

f(x) cosNxdx

+ B1

∫ 2π

0

f(x) sin xdx+ · · ·+BN

∫ 2π

0

f(x) sinNxdx.

Uvedimo sada konstante koje cemo zvati Fourierove konstante ili Fourierovi koeficijentifunkcije f(x)

a0 =1

π

∫ 2π

0

f(x) dx, an =1

π

∫ 2π

0

f(x) cosnx dx, bn =1

π

∫ 2π

0

f(x) sinnx dx,

(C.4)

1Ideja o najmanjem kvadratnom odstupanju kao mjeri tocnosti aproksimacije, Potjece od njemackog astronoma i matematicaraF. Bessela, Minden 1784 - Konigsberg 1846.

443

444 DODATAK C. FOURIEROVI REDOVI

za sve n = 1, 2, · · · , N . Pomocu Fourierovih koeficijenata mozemo napisati∫ 2π

0

f(x)PN(x)dx = π

(1

2A0a0 + A1a1 + · · ·+ ANaN +B1b1 + · · ·+BNbN

).

Pogledajmo sada clan s kvadratom polinoma PN . Opcenito je

(c0 + c1 + c2 + · · ·+ cN)2 = c20 + c21 + · · ·+ c2N+ 2c0(c1 + c2 + · · ·+ cN)

+ 2c1(c2 + c3 + · · ·+ cN)...

+ 2cN−1cN .

Identifikacijom c0 = A0 i cn = An cosnx+Bn sinnx, slijedi

P 2N(x) =

1

4A2

0 +N∑n=1

A2n cos2 nx+ 2

N∑n=1

An cosnxBn sinnx+N∑n=1

B2n sin2 nx

+ 21

2A0

N∑n=1

(An cosnx+Bn sinnx)

+ 2(A1 cosx+B1 sinx)N∑n=2

(An cosnx+Bn sinnx)

+ 2(A2 cos 2x+B2 sin 2x)N∑n=3

(An cosnx+Bn sinnx)

...

+ 2[AN−1 cos(N − 1)x+BN−1 sin(N − 1)x] [AN cosNx+BN sinN)x].

Pri integraciji P 2N , pojavit ce se integrali oblika (za prirodne brojeve p 6= k)

0 =

∫ 2π

0

sin px dx =

∫ 2π

0

cos px dx,

0 =

∫ 2π

0

sin px cos kx dx =

∫ 2π

0

sin px sin kx dx =

∫ 2π

0

cos px cos kx dx

π =

∫ 2π

0

sin2 px dx =

∫ 2π

0

cos2 px dx,

pa ce u integralu od P 2N preostati

∫ 2π

0

P 2N(x) dx = π

(1

2A2

0 + A21 + · · ·+ A2

N +B21 + · · ·+B2

N

).

Sve zajedno, za IN smo dobili

IN =

∫ 2π

0

f 2(x) dx − 2π

(1

2A0a0 + A1a1 + · · ·+ ANaN +B1b1 + · · ·+BNbN

)

+ π

(1

2A2

0 + A21 + · · ·+ A2

N +B21 + · · ·+B2

N

).

445

Izracunajmo sada integral IN ako umjesto koeficijenata polinoma An, Bn uvrstimo Fourierovekoeficijente an, bn. Oznacimo taj novi integral s IN . Prema gornjem izrazu, slijedi

IN =

∫ 2π

0

f 2(x) dx − 2π

(1

2a0a0 + a1a1 + · · ·+ aNaN + b1b1 + · · ·+ bNbN

)

+ π

(1

2a2

0 + a21 + · · ·+ a2

N + b21 + · · ·+ b2N

)

=

∫ 2π

0

f 2(x) dx − π

[1

2a2

0 +N∑n=1

(a2n + b2n)

].

Izracunajmo razliku IN − IN

IN − IN =

∫ 2π

0

f 2(x) dx− 2π

[1

2A0a0 +

N∑n=1

(Anan +Bnbn)

]+ π

[1

2A2

0 +N∑n=1

(A2n +B2

n)

]

−∫ 2π

0

f 2(x) dx+ π

[1

2a2

0 +N∑n=1

(a2n + b2n)

]

= π

[1

2(−2A0a0 + A2

0 + a20) +

N∑n=1

(−2Anan − 2Bnbn + A2n +B2

n + a2n + b2n)

]

= π

[1

2(A0 − a0)

2 +N∑n=1

[(An − an)2 + (Bn − bn)

2]

].

Buduci da se na desnoj strani nalazi zbroj kvadrata realnih velicina, to ce uvijek biti IN ≥ IN .Dakle, najmanju vrijednost kvadratnog odstupanja (C.3) dobijemo ako za koeficijente polinomauvrstimo upravo Fourierove koeficijente (C.4).

446 DODATAK C. FOURIEROVI REDOVI

Dodatak D

Vucedolski kalendar

http://www.vjesnik.hr/html/2001/04/01/Clanak.asp?r=kul&c=1

Najstariji europski kalendar otkrio sam sasvim slucajno! Dr. Aleksandar Durman: Najstarijiindoeuropski kalendar otkrio sam na loncu iz Vinkovaca na koji isprva nisam obracao paznju.Moja teza jest da je u seobenom valu u kojem je naseljen Vucedol, naseljena i Troja cime suse otvorila vrata broncanog doba! Takoder mislim da je Krist u narodnoj tradiciji preuzeo ukasnijim vremenima Orionovu simboliku. Izlozba ÀVucedolski Orion¿ ce vjerojatno gostovati iu Parizu, Ottawi, Pragu, Ankari i Ljubljani!Televizijske kamere BBC-a i CNN-a, po svemu sudeci, imaju izvanredan razlog dolaska u Za-greb! I Hrvati imaju svog Arthura Clarkea! Kapitalna su, naime, istrazivanja dr. AleksandraDurmana koji na izlozbi ÀVucedolski Orion¿ u Arheoloskom muzeju predstavlja svoja sjajnaotkrica vezana uz vucedolsku kulturu. Ne samo da je na jednom loncu iz Vinkovaca dr. Dur-man Àdesifrirao¿ simboliku najstarijeg indoeuropskog kalendara, s prikazom zvijezda nocnogneba(!), vec je iznio pregrst novih teza o vucedolskoj kulturi sto se 3000. godine prije Kristarazvijala na desnoj obali Podunavlja, istodobno sa civlizacijama Starog Egipta, Sumerskomkuturom i Trojom I.Procelnik Odsjeka za arheologiju zagrebackog Filozofskog fakulteta dr. Aleksandar Durmanznanstvenik je impresivne karijere. Vodio je pedesetak arheoloskih iskopavanja diljem Hrvatskevezanih uz prapovijesne i anticke lokalitete. Kao predavac je gostovao na prestiznim svjet-skim sveucilistima u Heidelbergu, Nottinghamu, Tubingenu, Cornell University, Wake Forrestsveucilistu kao i nekoliko manjih univerziteta drzave New York. Sjajnu izlozbu, koju vec danasmozemo uvrstiti u kulturni dogadaj godine i jedan od najvaznijih izlozbenih projekata Hrvatskeu svijetu (pregovara za se gostovanja izlozbe u Parizu, Pragu, Ljubljani, Ottawi i Ankari), uzdr. Durmana, osmislila je ekipa vrhunskih strucnjaka: Zeljko Kovacic (postav), Ivan Antonovic(vizualni identitet), Stanko Juzbasic (glazbena podloga sto prati kretanje zvijezda(!), Jacqueli-ne Balen i Mirela Dalic (strucne suradnice), te Rujana Kren (skulpture nadahnute vucedolskomkulturom).U kakvom je stanju lokalitet Vucedol?– Imali smo Àsrece¿ da je sest stotina nalaza iz jednog podruma u Vukovaru odneseno u NoviSad, a ne unisteno. Vec smo dobili neke informacije da su tamosnji strucnjaci voljni vratitimaterijal. Sam lokalitet u dobrom je stanju, stovise, u tijeku je realizacija ideje da se Vucedolpretvori u europski arheoloski park!Vucedol, smjesten cetiri kilometra od Vukovara, na karakteristicnom je podrucju, kakvom?– Vucedolska kultura se rasprostirala na lesnom grebenu od Erduta uz Dunav pa sve do Fruskegore. Kako je Dunav svoju desnu obalu nagrizao i podlokavao, stvorio se vertikalan Àzid¿ visok

447

448 DODATAK D. VUCEDOLSKI KALENDAR

25 metara jos u davnim geoloskim vremenima ledenog doba. Taj prirodni Àplato¿ se od Nustrapocinje dizati prema Vukovaru tako da se negdje od 86. metara popne na cak 115. metaranadmorske visine. Tlo, tzv. les, na tom je podrucju vrlo porozno, sto znaci da njemu gotovonema raslinja, cineci ga nekom vrstom stepe sto je i pogodovalo istocnim narodima koji su doslina taj prostor (takoder sa stepa) oko 3000. godine prije Krista na prvim europskim kolima!Vucedolska metalurgija najrazvijenija u Europi

Tko su bili Vucedolci?– Vucedolci su bili prvi indoeuropski narod koji je na ove prostore dosao u velikom globalnomvalu nakon badenske kulture. Kao i drugi orijentalni narodi, stabiliziraju se na ovom prostoru,gdje ih je zaustavila konfiguracija terena. Isprva stocari, u kasnijim se fazama bave rudarstvom imetalurgijom bakra, a njihova ce keramika postati slavna diljem Europe. Vrlo je vazno istaknutida im je na nasem prostoru trebalo cak 200 godina da od Vucedola dodu do drugog velikognaselja Vinkovci, gdje su stigli u zonu velikih suma. Tamo im kola nisu funkcionirala, stokaim se nije mogla napasati, te su morali promijeniti ekonomiju, zbog cega su postali lovci i topoglavito na jelene!

Kakva je to bila zajednica?– Bila je to dobro organizirana zajednica, u kojoj, doduse, ne mozemo govoriti o rodovskomuslojavanju u njenoj ranoj (3000.-2800. g. pr. Kr.) i klasicnoj fazi (2800.-2600. pr. Kr.),vec tek u kasnoj (2600.-2400. pr.Kr.) kada imamo i neku vrstu prvih vladara knezova stopotvrduju dva knezevska groba od kojih je jedan doista znacajan otkriven u Tivatskom polju.U njemu je bio pokojnik sa zlatnom sjekirom, bodezom, privjescima u kosi i po svemu sudeciprvom europskom krunom!

Rijec je o kulturi paralelnoj s velikim civilizacijama?– Da. Od 3000. godine pr. Kr. pocinje period starog carstva u Egiptu. Od 2470. do 2400.godine pr. Kr. grade se piramide, dakle, na samom kraju vucedolske kulture. S druge strane,u isto vrijeme u Mezopotamiji nastaje fascinantna kultura Sumerana (3000. do 2400. pr. Kr.),gdje takoder nastaju prvi vladarski grobovi sa svom poznatom pompom koja se moze mjeriti sTutankamonovim bogatstvima. Osim toga, vucedolska se kultura razvija paralelno i s TrojomI. i pocetnom fazom Troje II. Mozemo cak govoriti i o tome da postoji veza Vucedola i Troje!Vucedolska predodzba svijeta i svemira – na terinama

Kako to mislite?– Moja teza jest da je u seobenom valu u kojem je naseljen Vucedol, naseljena i Troja! Za-kljucio sam to na osnovu keramickih analogija, odnosno, na osnovu slicne metalurgije, naime,tehnologija vezana uz metalurgiju u Troji je vrlo slicna vucedolskoj. Cak mislim da je s nasegtla krenula ideja kositrene rudace koja u dodatku bakra otvara vrata broncanog doba! Stovise,Vucedolska metalurgija upravo i jest jedan od razloga sirenja kulture u kasnoj fazi prema sje-veru Europe (iza 2600. godine pr. Kr.), do Praga, ali i prema jugu. Zauzela je vucedolskakultura sva podrucja bogata bakrom, jer je vucedolska metalurgija dosegnula takav stupanjumijeca koji je nadilazio sva iskustva koja su u Europi tada postojala.

Izlozba predstavlja vucedolsku predozbu svijeta na posudama. O cemu je rijec?– Vucedolci su kao i svi stari narodi imali specifican odnos prema smrti koju nisu mogli defini-rati. Iznad glave su im se rasprostirale zvijezde, Sunce, Mjesec i planeti, sto je moglo izgledatikao slika vjecnosti. Medutim, gledajuci u nebo, Vucedolci su kao i svi stari narodi uocili nizpromjena. Pojava svakodnevnog izlaska i zalaska sunca opjevana je u svim civilizacijama kaonajvazji trenutak dana. Cjelokupna vucedolska predozba svijeta i svemira (nastala promatra-njem neba) iskazana je na njihovim posudama, prije svega terinama. Predodzba izlazeceg suncana terinama je prikazana tocno na polovini, prijelomu posude ciji donji dio sugerira dubinu oce-ana i mraka, a gornja polovina izlazi iznad obzora. Sunce, dakle, nije dano u svojoj cijelosti

449

vec kao kanon stoji na tom prijelomu. Vazno je reci da segment ispod bikonicnog prijelomavucedolskih posuda nikada nije uresen, buduci da je to dio ispod naseg obzora, dakle, svijet ta-me i smrti, a preko nekih drugih posuda mozemo shvatiti da je to svijet voda u koji povremenotonu Sunce i zvijezda. I Biblija, uostalom, spominje boravak sunca u mraku, a Homer i Hesiodspominju Àpobjedu sunca nad smrcu¿. Jos jedan znak cesto stoji na istom mjestu kao sunce –pet zvijezdica slozenih u romb od kojih su tri horizontalno smjestene ravno na tom prijelomu.Tih pet zvijezda simboliziraju veliko zimsko zvijezde Orion koji je u vucedolsko vrijeme dakleoko 2800. g. pr. Kr. zalazio za obzor 21. ozujka, tocno na dan proljetne ravnodnevnice. To jeujedno i pocetak vucedolske godine i pocetak novog ciklusa radanja.

Na jednom loncu nasli ste i najraniji indoeuropski kalendar, sto je doista fantasticno!– U Vinkovcima smo 1978. u jednom podrumu, gdje se u drevnim vremenima nalazila jamaljevaca bakra (na mjestu temelja buduceg hotela ÀSlavonija¿), otkopali cijele posude, kolekcijuod 5 dvodjelnih kalupa za lijevanje bakrenih sjekira s posudom u kojoj se topio bakar. Jamaje do trenutka zatrpavanja sluzila kao podrum vezan uz kucu, a potom i kao odlagaliste zaotpad. Uz kalupe na dnu jame nadene su tri posebno ukrasene posude. Dvije posude svojimukrasima nisu pripadale vremenski kasnoj vec klasicnoj fazi vucedolske kulture. Dok je jednaposuda bila amforica iz kasne faze kulture, druga je bila tzv. Àkadionica¿ u cijem su se donjemdijelu nalazile tri kamene kuglice, sto znaci da je posuda sluzila kao zvecka u klasicnoj fazivucedolske kulture. Treci i najvazniji nalaz (takoder iz klasicnog doba), na kojeg isprva nisamobracao posebnu paznju, bio je osteceni lonac za kojeg se u vucedolskoj kulturi moze nacimalo analogija. Upravo na njemu sam otkrio oslikani najraniji cjeloviti europski (indoeuropski)kalendar. Kalendar je, valja reci, istovremeni sumerskom i egipatskom i nije njihova kopija jerje uspostavljen na daleko sjevernijoj 45. paraleli!

Mozete li ukratko pojasniti simboliku?– Lonac se sastoji od 4 pojasa od kojih na gornja tri nedostaje nekoliko polja. Svaki pojasima vise kvadrata od kojih su gornja tri polja dosta ostecena. Medutim donji pojas broji 12kvadrata od kojih je svaki drugi prazan. U Àpunim¿ kvadratima su simboli zvijezda koje sepojavljuje u tom dijelu godine. U prvoj zoni prikaz je proljeca. To je jedina zona na loncuu kojoj se javlja Sunce. Redom se javljaju (s praznim kvadratima izmedu) – Sunce, Orion,opet Sunce, a ostalo je odlomljeno. U drugom, nizem i najsirem pojasu prikazano je ljetokoje ima tek dva dominantna zvijezda – sto znaci da opet naizmjenicno idu Plejade, Labud,Kasiopeja, Plejade. Posebno je zanimljivo zvijezde Kasiopeje u obliku slova W koje tada nijebilo cirkumpolarno, a na ljetnu je dugodnevnicu izlazilo sa zalaskom sunca u 20 sati. Labud(prikazan poput kriza sv. Andrije) je visoko nad istocnim obzorjem, a treci znak Plejada svise koncentricnih krugova prikazan je poput Marsa. Treci pojas nosi Plejade, Blizance, Pegazi Ribe te opet Plejade. Zvijezda Pegaza i Riba najcesce su prikazivani kao dva dijagonalnopreklopljena kvadrata, ali se javljaju u jos barem dvije likovne varijante. Najzanimljiviji jecetvrti, ocuvani pojas sa zimskim nebom u 12 kvadrata sto nosi Kasiopeju, Pegaz/Ribe, Orion,Plejade, Pegaz i Blizance. Kalendar, u stvari prepoznaje 4 godisnja doba i 12 polja (tjedana?)u svakom pojasu. Istoznacna Orionova i smrt Kristova

Zasto su dominanta zvijezda u vucedolskoj kulturi?– Vidite, u stepi bez istaknutih prirodnih Àkontura¿, bilo je vrlo tesko pratiti visinu sunca. Zatomegaliticke civilizacije grade kamene blokove da bi pratile kretanje sunca. U prostorima gdje jeravno obzorje stari su narodi pratili dva tipa zvijezda – ona koja se krecu ravno iznad nasih glava(Veliki medvjed i Velika kola) i tzv. umiruca zvijezda koja je pratila vucedolska kultura. Rijecje o zvijezdima koja se javljaju nisko na obzoru i povremeno se tijekom godine gube s obzora.Vrlo je bitan upravo Orion kojega nema osam mjeseci, a vraca se pocetkom zime. S drugestrane, baveci se kalendarom, naisao sam na problem precesije. Zbog Àrazlokane¿ zemaljske

450 DODATAK D. VUCEDOLSKI KALENDAR

osi, naime, stvara se imaginarna kruznica na nebu koja se zatvara svakih 26.000 godina, stoznaci da je danasnja Sjevernjaca Vucedolcima prije pet tisuca godina bila nevazna zvijezda, asjevernjaca im je bio Thuban u zvijezdu Zmaja. To jasno vidimo i na egipatskim piramidama.To znaci da je Orion bio najvaznije zvijezde u kozmogoniji Vucedolaca?– Moja ideja jest da je Krist u narodnoj tradiciji preuzeo u kasnijim vremenima Orionovusimboliku. Kako je Orion tonuo za obzor na sam dan proljetne ravnodnevnice, biljezio jekraj zime, to jest njezinu smrt. Vezujem to dakle uz hrvatsku tradiciju. Na granici izmeduDalmacije i Hercegovine panj se na Badnjak ukrasavao s pet zvijezdica na isti nacin kakoVucedolac prikazuje Orion. Pojava Oriona na nebu pokriva vrijeme od pocetka zime do krajaproljeca u koji period mozemo svrstati i dva najvaznija datuma vezana uz Krista – njegovorodenje i smrt. Orionova smrt oznacava dominaciju sunca, kao sto i Kristova smrt i UskrsnuceBoga – covjeka uzdize u Boga! I staronjemacka tradicija spominje tri zvijezde iz Orionovapojasa kao tri maga.!Kako povezujete cinjenicu da je kalendar bio u jami ljevaca bakra?– Gledajte, Vucedolci su vjerovali da je metalurg onaj koji moze nasilno iz utrobe zemlje izvucirudacu i posebnim procesima pretvoriti taj metal u uporabni predmet. To znaci da su Vucedolcivjerovali da je metalurg onaj koji moze zaustaviti ili ubrzati vrijeme, odnosno skratiti proceserasta metala u zemljinoj utrobi, do njegovog konacnog oblika – zlata. Danas ne bi trebalo cuditizasto je kalendar naden u jami ljevaca bakra. Kalendar je u biti bio samo banalna kontrolavremena koju je metalurg i tako vec imao! Svojom funkcijom Àoperatera vjecnoscu¿, metalurgje, u stvari, bio saman, a kao sto je poznato samanska tehnika se sastojala od Àodlaska¿ u svijetmrtvih i povratka u svijet zivih, tj. od donosenja poruka s onoga svijeta. Otkrice kalendarana neki nam je nacin zatvorilo cijelu pricu o vucedolskoj religiji i vjeri. Kalendar je u bititehnikalija koja je trebala opisati nebeska zbivanja vezana uz pojavu i nestanak zvijezda, ali jeistovremeno mogla i prepoznavati neke od planeta koje putuju kroz ta zvijezda (ne zaboravimoda rijec planet dolazi od grcke rijeci lutalica).Posebno su intrigantni nalazi ljudskih zrtava na Vucedolu. Kakvi?– Da. Grob s osam pokojnika otkopan 1985. godine iz rane faze vucedolske kulture u kojemse nalazio muskarac i sedam zena od kojih su sest imale udubljenja na glavi nastala kapljomusijanog metala – jako je vazan. Jedna zena i muskarac, zanimljivo, imali su samo jednu kapljuizazvanu metalom na lubanji i sahranjeni su tako da gledaju u nebo, dok su sve ostale zeneimale po dva udubljenja na glavi i bile su sahranjene s licem prema zemlji. Svi su kosturi bilizatrpani s debelim slojem drvenog ugljena, sto upucuje na ritualnu zrtvu. Uz brojne posudenadene u tom grobu isticala se terina koja nam je pojasnila situaciju u grobu. Ukras na terinipredocava muskarca simbolom Marsa, zenu simbolom Venere, a ostale zene veze u zvijezdePlejade. Uz njih je cetiri puta prikazano zvijezde Oriona, sa sedam sunaca na obzoru. Svrhatog zrtvovanja bila je da se s metalom provede inicijacija, odnosno, da se ti ljudi obiljeze kaozastupnici nebeskih tijela, a moguce je da se dogodilo i to da su Mars i Venera prosli u vrlokratko vrijeme kroz zvijezde Plejada i da je zbog toga pala ljudska zrtva!

Bibliografija

[1] Aganovic I., Veselic K., Uvod u analiticku mehaniku, (Matematicki odjel Prirodoslovno-matematickog fakulteta, Zagreb, 1990)

[2] Aganovic I., Veselic K., Kraljevic H., Zadaci iz teorijske mehanike, (Liber, Zagreb,1970.)

[3] Arfken G. B., Weber H. J., Mathematical Methods for Physicists, (Academic Press,San Diego (etc.), 1995.)

[4] Arnold V. I., Mathematical Methods of Classical Mechanics, (Springer-Verlag, New York,1978)

[5] Bilimovic A., Racionalna mehanika 1, (Naucna knjiga, Beograd, 1950.)



[8] Bilimovic A., Dinamika cvrstog tela, (SANU, Beograd, 1955.)

[9] Blanusa D., Visa matematika II/ 2, (Tehnicka knjiga, Zagreb, 1974.)

[10] Bronstejn I. N., Semendjajev K. A., Matematicki prirucnik za inzenjere i studente,(Tehnicka knjiga, Zagreb, 1975.)

[11] Dirac P. A. M., Lectures on Quantum Mechanics, (Belfer Graduate School of Science,New York, 1964)

[12] Glumac Z., Matematicke metode fizike - uvod, (http://www.fizika.unios.hr/ zglu-mac/ummf.pdf)

[13] Glumac Z., Vjerojatnost i statistika - uvod, (http://www.fizika.unios.hr/ zglu-mac/uvs.pdf)

[14] Goldstein H., Classical Mechanics, (Addison-Wesley, 1980.)

[15] Grechko L. G., Sugakov V. I., Tomasevich O. F., Fedorchenko A. M., Pro-blems in Theoretical Physics, (Mir Publishers, Moscow, 1977.)

[16] Ivanovic D. M., Vektorska analiza, (Naucna knjiga, Beograd, 1960.)

[17] Jankovic Z., Teorijska mehanika, (Liber, Zagreb, 1982)

[18] Kittel C, Knight W. D., Ruderman M. A., Mehanika, (Tehnicka knjiga, Zagreb,1982.)

451

452 BIBLIOGRAFIJA

[19] Kotkin G. L., Serbo V. G., Zbirka zadataka iz klasiqne mehanike, (Nauka, Moskva, 1977.)

[20] Krpic D., Savic I., Klasicna fizicka mehanika, (Naucna knjiga, Beograd, 1979.)

[21] Landau L. D., Lifsic E. M., Mehanika, (Gradevinska knjiga, Beograd, 1961.)

[22] Markovic Z., Uvod u visu analizu 1, (Nakladni zavod Hrvatske, Zagreb, 1950.)

[23] Markovic Z., Uvod u visu analizu 2, (Skolska knjiga, Zagreb, 1952.)

[24] Morse P. M., Feshbach H., Methods of Theoretical Physics 1, (McGraw-Hill, NewYork, 1953.)

[25] Morse P. M., Feshbach H., Methods of Theoretical Physics 2, (McGraw-Hill, NewYork, 1953.)

[26] Purcell E. M., Elektricitet i magnetizam, (Tehnicka knjiga, Zagreb, 1988.)

[27] Rojansky V., Uvod u kvantnu mehaniku, (Naucna knjiga, Beograd, 1963.)

[28] Snieder R., A Guided Tour of Mathematical Physics,(http://samizdat.mines.edu/snieder, 2004.)

[29] Spiegel M., Theory and Problems of Theoretical Mechanics with an Introduction to La-grange’s Equations and Hamiltonian Theory, (McGraw-Hill, New York, 1968.)

[30] Spiegel M. R., Vector Analysis and an Introduction to Tensor Analysis, (McGraw-Hill,New York, 1959.)

[31] Supek I., Teorijska fizika i struktura materije 1, (Skolska knjiga, Zagreb , 1974)

[32] Supek I., Teorijska fizika i struktura materije 2, (Skolska knjiga, Zagreb , 1977.)

[33] Targ S. M., Teorijska mehanika, (Gradevinska knjiga, Beograd , 1990.)

[34] Wells D. A., Theory and problems of Lagrangian Dynamics, (McGraw-Hill, New York,1967.)

[35] Yavorsky B., Detlaf A., Handbook of Physics, (Mir Publisher, Moscow, 1975.)

Kazalo pojmova

Bessel, Friedrich Wilhelm, (1784 - 1846), 413Newton, Sir Isaac, (1642 - 1727), 147

Adams, John Couch, (1819 - 1892), 146Apolonije, (III st. p. n. e.), 407Aristarh, (oko 280. p.n.e.), 145Aristotel, (oko 384. p.n.e.), 145

Bernoulli, Daniel, (1700 - 1782) , 279Bessel, Friedrich Wilhelm, (1784 - 1846) ,

303Binet, Jacques Philippe Marie, (1786 - 1856)

, 183, 191Brache, Tycho, (1546 - 1630), 146, 190Bruno, Giordano, (1548 - 1600), 146

Cavendish, sir Henry, (1731 - 1810), 147Compton, Arthur Holly, (1892 - 1962), 2Coriolis, Gaspard de, (1792 - 1843) , 207,

216Coulomb, Charles Augustin de, (1736 - 1806),

154

D’Alembert, Jean, (1717 - 1783), 255, 283De Broglie, prince Louis-Victor Pierre Raymond,

(1892 - 1958), 2Demokrit, (460 - 370 p. n. e.), 2Dirac, Paul Adrien Maurice, (1902 - 1984),

164

Einstein, Albert, (1879 - 1955), 1, 75Eratosten, (oko 200. p.n.e.), 145Euklid, (oko 300 p.n.e.), 71Euler, Leonhard, (1707 - 1783), 339, 344

Foucault, Jean Bernard Leon, (1819 - 1868), 217

Fourier, Jean Baptiste Joseph de, (1768 -1830), 286

Frenet, Jean Frederic, (1816 - 1900), 68

Galilei, Galileo, (1564 - 1642), 146

Gauss, Carl Friedrich, (1777 - 1855), 24, 28,165

Hamilton, William Rowan, (1805 - 1865),359, 383, 385

Helmohltz, Hermann Ludwig Ferdinand von,(1821 - 1894), 162

Jacobi, Carl Gustav Jakob, (1804 - 1851),231

Kepler, Jochan, (1571 - 1630), 146, 190Kopernik, Nikola, (1473 - 1543), 146

Lagrange, Joseph Louis comte de, (1736 -1813) , 252, 359, 368, 385

Laplace, Pierre Simon marquis de, (1749 -1827) , 35, 147

Le Verrier, Urbain, (1811 - 1877), 146Liouville, Joseph, (1809 - 1882), 396Lissajous, Jules, (1822 - 1880), 137Lobacevskij, Nikolaj Ivanovic, (1792 - 1856),

2Lorentz, Hendrick Antoon, (1853 - 1928),

105, 134

Maxwell, James Clerck, (1831 - 1879), 163,165

Newton, sir Isaac, (1642 - 1727), 71, 146

Planck, Max Karl Ernst Ludwig, (1858 -1947), 2

Poisson, Simeon Denis, (1781 - 1840), 389Ptolomej, (oko 150. p.n.e.), 145

Riemann, Georg Friedrich Bernhard, (1826- 1866), 2

Schrodinger, Ervin, (1887 - 1961), 392Serret, Joseph Alfred, (1819 - 1885), 68Spinoza, Baruch de, (1632 - 1677), 71

453

454 KAZALO POJMOVA

Steiner, Jakob, (1796 - 1863), 312Stokes, Georg Gabriel, (1819 - 1903), 30Stokes, George Gabriel, (1819 - 1903), 122

Date post:	24-Dec-2015
Category:	Documents
Upload:	mgrubisic
View:	129 times
Download:	20 times

Klasična mehanike

Documents