8/13/2019 Knight_LES of Compressible Flows

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L A R G E E D D Y S I M U L A T I O N

O F C O M P R E S S I B L E F L O W S

U S I N G U N S T R U C T U R E D G R I D S

D o y l e K n i g h t

y

, G a n g Z h o u

z

, N o r a O k o n g ' o

x

a n d V i j a y S h u k l a

z

D e p a r t m e n t o f M e c h a n i c a l a n d A e r o s p a c e E n g i n e e r i n g

R u t g e r s U n i v e r s i t y - T h e S t a t e U n i v e r s i t y o f N e w J e r s e y

P O B o x 9 0 9 P i s c a t a w a y N J 0 8 8 5 5 - 0 9 0 9

A b s t r a c t

A n a l g o r i t h m f o r c o m p r e s s i b l e L a r g e E d d y S i m u l a t i o n ( L E S ) u s i n g u n s t r u c t u r e d t e t r a h e d r a l g r i d s i s

p r e s e n t e d . T h e s u b g r i d s c a l e s t r e s s e s a r e r e p r e s e n t e d b y t w o a p p r o a c h e s : t h e M o n o t o n e I n t e g r a t e d L a r g e

E d d y S i m u l a t i o n ( M I L E S ) t e c h n i q u e o f B o r i s , O r a n a n d G r i n s t e i n , w h e r e b y t h e e n e r g y t r a n s f e r f r o m t h e

r e s o l v e d s c a l e s t o t h e s u b g r i d s c a l e s i s m o d e l e d u s i n g t h e i n h e r e n t d i s s i p a t i o n o f t h e n u m e r i c a l a l g o r i t h m ,

a n d a h y b r i d t e c h n i q u e c o m b i n i n g M I L E S w i t h a S m a g o r i n s k y e d d y v i s c o s i t y m o d e l f o r t h e s u b g r i d s c a l e

s t r e s s e s . T h e a l g o r i t h m i s e c i e n t l y p a r a l l e l i z e d u s i n g M P I . R e s u l t s a r e p r e s e n t e d f o r t h e s i m u l a t i o n

o f t h e d e c a y o f i n c o m p r e s s i b l e i s o t r o p i c t u r b u l e n c e . G o o d a g r e e m e n t i s o b t a i n e d w i t h t h e e x p e r i m e n t a l

d a t a o f C o m t e - B e l l o t a n d C o r r s i n f o r t h e d e c a y o f t u r b u l e n c e e n e r g y , a n d r e a s o n a b l e a g r e e m e n t w i t h t h e

t e m p o r a l e v o l u t i o n o f t h e e n e r g y s p e c t r u m .

1 I n t r o d u c t i o n

C u r r e n t R e y n o l d s - a v e r a g e d N a v i e r - S t o k e s ( R A N S ) s i m u l a t i o n m e t h o d o l o g y f o r h i g h s p e e d t u r b u l e n t o w s

l a c k s i m p o r t a n t c a p a b i l i t i e s i n s e v e r a l a r e a s a s d o c u m e n t e d i n t w o r e c e n t e x t e n s i v e r e v i e w s 1 , 2 ] . S p e c i c a l l y ,

R A N S m e t h o d s h a v e n o t d e m o n s t r a t e d t h e c a p a b i l i t y f o r a c c u r a t e p r e d i c t i o n o f m e a n s u r f a c e h e a t t r a n s f e r i n

s h o c k w a v e - t u r b u l e n t b o u n d a r y l a y e r i n t e r a c t i o n s , n o r d o R A N S m e t h o d s p r o v i d e p r e d i c t i o n s o f r m s s u r f a c e

h e a t t r a n s f e r a n d p r e s s u r e i n t h e s e o w s .

L a r g e E d d y S i m u l a t i o n ( L E S ) i s a n a l t e r n a t i v e t o R A N S w h i c h m a y b e c a p a b l e o f i m p r o v e d p r e d i c t i o n

o f t h e q u a n t i t i e s d e s c r i b e d a b o v e . L E S h a s b e e n d e m o n s t r a t e d t o b e b o t h a u s e f u l r e s e a r c h t o o l f o r u n d e r -

s t a n d i n g t h e p h y s i c s o f t u r b u l e n c e , a n d a l s o a n a c c u r a t e p r e d i c t i v e m e t h o d f o r o w s o f e n g i n e e r i n g i n t e r e s t .

T h e r e a r e t w o d i e r e n t a p p r o a c h e s t o m o d e l i n g o f t h e s u b g r i d s t r e s s e s a n d h e a t u x . I n t h e r s t a p p r o a c h , a

s p e c i c m o d e l o f t h e s u b g r i d - s c a l e s t r e s s e s ( a n d h e a t u x ) i s p r o p o s e d ( s e e , f o r e x a m p l e , G a l p e r i n a n d O r s z a g

3 ] , M a s o n 4 ] , L e s i e u r a n d M e t a i s 5 ] a n d M o i n 6 ] ) . I n t h e s e c o n d a p p r o a c h , t h e i n h e r e n t d i s s i p a t i o n o f

t h e n u m e r i c a l m e t h o d i s r e l i e d u p o n t o p r o v i d e t h e c o r r e c t e n e r g y t r a n s f e r b e t w e e n t h e r e s o l v e d a n d s u b g r i d

s c a l e s . T h e M o n o t o n e I n t e g r a t e d L a r g e E d d y S i m u l a t i o n ( M I L E S ) m e t h o d o f B o r i s , O r a n a n d G r i n s t e i n

7 , 8 , 9 ] i s a n e x a m p l e o f t h i s a p p r o a c h . A l t h o u g h m o s t r e s e a r c h h a s f o c u s e d o n i n c o m p r e s s i b l e t u r b u l e n t

o w s , t h e r e h a s r e c e n t l y e m e r g e d a g r o w i n g i n t e r e s t i n a p p l i c a t i o n s o f L E S t o c o m p r e s s i b l e t u r b u l e n t o w s .

E x a m p l e s i n c l u d e Y o s h i z a w a 1 0 ] , S p e z i a l e e t a l 1 1 ] , M o i n e t a l 1 2 ] , E r l e b a c h e r e t a l 1 3 ] , Z a n g e t a l 1 4 ] ,

E l - H a d y e t a l 1 5 ] , J a n s e n 1 6 ] , S p y r o p o u l o s a n d B l a i s d e l l 1 7 ] , a n d H a w o r t h a n d J a n s e n 1 8 ] . N e a r l y a l l

c o m p r e s s i b l e L E S h a s e m p l o y e d s p e c t r a l m e t h o d s o r s t r u c t u r e d g r i d s , w i t h t h e e x c e p t i o n o f J a n s e n 1 6 ] a n d

H a w o r t h 1 8 ] .

y P r o f e s s o r , A s s o c i a t e F e l l o w A I A A . z R e s e a r c h A s s o c i a t e , M e m b e r A I A A . x G r a d u a t e R e s e a r c h A s s i s t a n t , M e m b e r A I A A .

1

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T h e c o m p l e x i t y o f t h e g e o m e t r i e s o f h i g h s p e e d v e h i c l e s i s a l s o a c h a l l e n g e f o r L E S . U n s t r u c t u r e d g r i d s

h a v e t w o a d v a n t a g e s o v e r t h e m o r e c o m m o n l y u s e d s t r u c t u r e d g r i d s . F i r s t , a l g o r i t h m s h a v e b e e n d e v e l o p e d t o

f a c i l i t a t e a u t o m a t i c g e n e r a t i o n o f u n s t r u c t u r e d g r i d s f o r c o m p l e x g e o m e t r i e s ( s e e , f o r e x a m p l e , t h e d i s c u s s i o n

i n B a r t h 1 9 , 2 0 ] ) . T h e s e g r i d g e n e r a t i o n m e t h o d s c a n b e s u b s t a n t i a l l y m o r e e c i e n t ( i n t e r m s o f u s e r t i m e )

t h a n s o m e o f t h e m u l t i - b l o c k s t r u c t u r e d g r i d g e n e r a t i o n m e t h o d s u s e d . S e c o n d , l o c a l m e s h r e n e m e n t , e i t h e r

a d a p t i v e o r x e d , c a n b e e n p e r f o r m e d m u c h m o r e r e a d i l y f o r u n s t r u c t u r e d g r i d s .

T h i s p a p e r d e s c r i b e s t h e i n i t i a l r e s u l t s o f a r e s e a r c h p r o g r a m t o d e v e l o p a L a r g e E d d y S i m u l a t i o n a l g o -

r i t h m f o r c o m p r e s s i b l e t u r b u l e n t o w s u s i n g u n s t r u c t u r e d g r i d s . T w o m e t h o d s f o r s i m u l a t i o n o f t h e s u b g r i d

s c a l e s t r e s s e s a r e e x a m i n e d . T h e r s t m e t h o d i s t h e M o n o t o n e I n t e g r a t e d L a r g e E d d y S i m u l a t i o n ( M I L E S )

t e c h n i q u e . T h e s e c o n d m e t h o d i s a h y b r i d t e c h n i q u e c o m b i n i n g M I L E S w i t h a S m a g o r i n s k y e d d y v i s c o s i t y

m o d e l f o r t h e s u b g r i d s c a l e s t r e s s e s . S i m u l a t i o n o f t h e d e c a y o f i s o t r o p i c i n c o m p r e s s i b l e t u r b u l e n c e s h o w s

g o o d a g r e e m e n t w i t h t h e e x p e r i m e n t a l d a t a o f C o m t e - B e l l o t a n d C o r r s i n f o r t h e d e c a y o f t u r b u l e n c e e n e r g y ,

a n d r e a s o n a b l e a g r e e m e n t w i t h t h e t e m p o r a l e v o l u t i o n o f t h e e n e r g y s p e c t r u m . A p a r a l l e l v e r s i o n o f t h e

a l g o r i t h m h a s b e e n d e v e l o p e d a n d a c h i e v e s e x c e l l e n t p e r f o r m a n c e .

2 G o v e r n i n g E q u a t i o n s

F o r a n a r b i t r a r y f u n c t i o n F ( x

i

t ) , t h e l t e r e d v a r i a b l e F ( x

i

t ) i s d e n e d a s

F ( x

i

t ) =

Z

D

G ( x

i

?

i

) F (

i

t ) d

i

( 1 )

w h e r e G i s t h e l t e r f u n c t i o n , a n d i s a m e a s u r e o f t h e l t e r w i d t h a n d i s r e l a t e d t o t h e c o m p u t a t i o n a l

m e s h s i z e 2 1 ] . F o r c o m p r e s s i b l e o w s , i t i s e x p e d i e n t t o d e n e t h e F a v r e - l t e r e d v a r i a b l e

e

F ( x

i

t ) a s

e

F ( x

i

t ) =

F

( 2 )

T h e l t e r e d c o m p r e s s i b l e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s a r e

@

@ t

+

@ ~u

i

@ x

i

= 0 ( 3 )

@ ~u

i

@ t

+

@ ~u

i

~u

j

@ x

j

= ?

@ p

@ x

i

+

@ T

i j

@ x

j

( 4 )

@ ~e

@ t

+

@

@ x

j

( ~e + p ) ~u

j

=

@ H

j

@ x

j

( 5 )

p = R

~

T ( 6 )

w h e r e x

i

r e p r e s e n t s t h e C a r t e s i a n c o o r d i n a t e s ( i = 1 2 3 ) , i s t h e m e a n d e n s i t y , ~u

i

a r e t h e C a r t e s i a n

c o m p o n e n t s o f t h e l t e r e d v e l o c i t y , p i s m e a n p r e s s u r e , T

i j

i s t h e t o t a l s t r e s s , H

j

i s t h e e n e r g y u x d u e t o

h e a t t r a n s f e r a n d w o r k d o n e b y t h e t o t a l s t r e s s , a n d ~e = c

v

~

T +

1

2

~u

i

~u

i

+ k i s t h e l t e r e d t o t a l e n e r g y p e r

u n i t v o l u m e w h e r e k =

1

2

(

gu

i

u

i

? ~u

i

~u

i

) i s t h e s u b g r i d s c a l e t u r b u l e n c e k i n e t i c e n e r g y p e r u n i t v o l u m e . T h e

t o t a l s t r e s s i s

T

i j

=

i j

+

i j

( 7 )

w h e r e

i j

i s t h e s u b g r i d s c a l e s t r e s s t e n s o r

i j

= ? ( gu

i

u

j

? ~u

i

~u

j

) ( 8 )

a n d h e n c e

i i

= ? 2 k . T h e m o l e c u l a r v i s c o u s s t r e s s t e n s o r

i j

i s a p p r o x i m a t e d 1 2 ] b y

i j

= (

~

T )

?

2

3

@ ~u

k

@ x

k

i j

+

@ ~u

i

@ x

j

+

@ ~u

j

@ x

i

( 9 )

2

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w h e r e (

~

T ) i s t h e m o l e c u l a r v i s c o s i t y b a s e d o n t h e F a v r e - l t e r e d s t a t i c t e m p e r a t u r e

~

T . T h e t o t a l h e a t

t r a n s f e r i s

Q

j

= Q

j

+ q

j

( 1 0 )

w h e r e Q

j

i s t h e s u b g r i d s c a l e h e a t u x

Q

j

= ? c

p

g

u

j

T ? ~u

j

~

T

( 1 1 )

a n d q

j

i s t h e m o l e c u l a r h e a t u x

q

j

= (

~

T )

@

~

T

@ x

j

( 1 2 )

w h e r e (

~

T ) t h e m o l e c u l a r t h e r m a l c o n d u c t i v i t y . T h e e n e r g y u x 2 2 ] H

j

i s

H

j

= Q

j

+ T

i j

~u

i

( 1 3 )

T h e c l o s u r e o f t h e s y s t e m o f e q u a t i o n s ( 3 ) t o ( 6 ) r e q u i r e s a m o d e l f o r t h e s u b g r i d s c a l e s t r e s s

i j

a n d

h e a t u x Q

j

, a n d t h e s p e c i c a t i o n o f a p p r o p r i a t e i n i t i a l a n d b o u n d a r y c o n d i t i o n s f o r t h e o w v a r i a b l e s .

T h e r e a r e t w o o p p o s i t e v i e w s r e g a r d i n g t h e s u b g r i d s c a l e m o d e l . I n t h e r s t v i e w , t h e p h y s i c a l m o d e l ( e . g .

S m a g o r i n s k y e d d y v i s c o s i t y ) f o r t h e s u b g r i d s c a l e s t r e s s

i j

i s h e l d w h o l e l y r e s p o n s i b l e f o r t h e e n t i r e e n e r g y

t r a n s f e r f r o m r e s o l v e d t o s u b g r i d ( u n r e s o l v e d ) s c a l e s . T h i s r e q u i r e s a h i g h o r d e r a c c u r a t e n u m e r i c a l a l g o r i t h m

w h i c h m i n i m i z e s n u m e r i c a l d i s s i p a t i o n . I n t h e s e c o n d v i e w ( e . g . , M I L E S ) , t h e n u m e r i c a l a l g o r i t h m i s h e l d

w h o l e l y r e s p o n s i b l e f o r t h e e n t i r e e n e r g y t r a n s f e r b e t w e e n r e s o l v e d a n d s u b g r i d s c a l e s , a n d n o e x p l i c i t s u b g r i d

s c a l e m o d e l i s e m p l o y e d ( i . e .

i j

= 0 a n d Q

j

= 0 ) . T h e r e i s , o f c o u r s e , a n i n t e r m e d i a t e v i e w w h i c h a l l o w s

f o r b o t h a s u b g r i d m o d e l a n d n u m e r i c a l d i s s i p a t i o n ( a h y b r i d S G S m o d e l ) , w i t h t h e s u b g r i d s c a l e m o d e l

c o e c i e n t s d y n a m i c a l l y a d j u s t e d t o p r o v i d e t h e a d d i t i o n a l d i s s i p a t i o n ( a b o v e a n d b e y o n d t h e d i s s i p a t i o n

p r o v i d e d b y t h e n u m e r i c a l a l g o r i t h m ) n e e d e d f o r a c h i e v i n g t h e p r o p e r e n e r g y t r a n s f e r b e t w e e n t h e r e s o l v e d

a n d u n r e s o l v e d s c a l e s

1

O u r f o c u s i s t h e h y b r i d S G S a p p r o a c h . F o r u n s t r u c t u r e d g r i d L E S u s i n g a n i t e v o l u m e m e t h o d o l o g y

2

t h e s p a t i a l a c c u r a c y i s e e c t i v e l y r e s t r i c t e d t o s e c o n d - o r t h i r d - o r d e r f o r r e a s o n s o f c o m p u t a t i o n a l e c i e n c y .

T h u s , n u m e r i c a l d i s s i p a t i o n i s i n e v i t a b l e , a n d m a y i n s o m e c i r c u m s t a n c e s b e c o m p a r a b l e t o t h e d i s s i p a t i o n

a o r d e d b y t h e s u b g r i d s c a l e m o d e l . O u r c h a l l e n g e i s t o d e t e r m i n e t h e b e s t n u m e r i c a l a l g o r i t h m , i . e . , t h e

a l g o r i t h m w h i c h m a i n t a i n s t h e g r e a t e s t d e l i t y o f t h e l a r g e s c a l e e d d y m o t i o n a n d i t s e n e r g y t r a n s f e r t o

t h e s u b g r i d s c a l e s , a n d t o c o m p l e m e n t t h e n u m e r i c a l d i s s i p a t i o n w i t h a n a p p r o p r i a t e s u b g r i d s c a l e m o d e l t o

a c h i e v e o v e r a l l t h e c o r r e c t d y n a m i c s , w i t h t h e g o a l o f a c c u r a t e s i m u l a t i o n o f c o m p r e s s i b l e t u r b u l e n t o w s .

W e t h e r e f o r e i n v e s t i g a t e t w o d i e r e n t m o d e l s . F i r s t , w e e v a l u a t e t h e M I L E S a p p r o a c h w h e r e i n n o e x p l i c i t

s u b g r i d s c a l e m o d e l i s u s e d (

i j

= 0 a n d Q

j

= 0 ) . T h i s a p p r o a c h , d e s c r i b e d b y B o r i s e t a l 7 ] a n d O r a n

a n d B o r i s 8 ] , r e l i e s e n t i r e l y o n t h e i n h e r e n t d i s s i p a t i o n o f t h e n u m e r i c a l a l g o r i t h m t o a c c o u n t f o r t h e e n e r g y

t r a n s f e r f r o m t h e r e s o l v e d t o t h e s u b g r i d s c a l e s . T h e s p e c i c d e t a i l s o f t h e n u m e r i c a l a l g o r i t h m s i g n i c a n t l y

a e c t t h e t u r b u l e n t e n e r g y t r a n s f e r , i n p a r t i c u l a r t h e f u n c t i o n r e c o n s t r u c t i o n m e t h o d . W e i n v e s t i g a t e t w o

d i e r e n t r e c o n s t r u c t i o n m e t h o d s i n t h i s p a p e r t o d e t e r m i n e t h e i r e e c t . S e c o n d , w e e v a l u a t e t h e h y b r i d

a p p r o a c h w h e r e i n a s p e c i c s u b g r i d s c a l e m o d e l i s e m p l o y e d , t o g e t h e r w i t h t h e i n h e r e n t d i s s i p a t i o n o f t h e

n u m e r i c a l m e t h o d . I n o u r a p p r o a c h , w e s e l e c t t h e c o m p r e s s i b l e e x t e n s i o n o f t h e S m a g o r i n s k y s u b g r i d - s c a l e

s t r e s s m o d e l 1 3 , 2 3 ] a s t h e r s t a p p l i c a t i o n d u e t o i t s s i m p l i c i t y a n d g e n e r a l l y s a t i s f a c t o r y p e r f o r m a n c e i n

p r e v i o u s s i m u l a t i o n s o f c o m p r e s s i b l e t u r b u l e n c e

3

. T h e m o d e l i s

i j

= 2 C

R

2

q

~

S

k

~

S

k

~

S

i j

?

1

3

~

S

k k

i j

?

2

3

k

i j

( 1 4 )

1

I a m i n d e b t e d t o P r o f . U g o P i o m e l l i f o r t h i s p o i n t .

2

O u r f o c u s o n n i t e v o l u m e m e t h o d s i s d r i v e n b y t h e n e e d t o s i m u l a t e o w s w i t h s t r o n g s h o c k w a v e s . S u c h o w s r e q u i r e

t h e u s e o f a R i e m a n n s o l v e r t o m i n i m i z e n u m e r i c a l o s c i l l a t i o n s .

3

T h e r e s u l t s p r e s e n t e d h e r e i n e m p l o y e d a x e d S m a g o r i n s k y c o n s t a n t . F u t u r e w o r k w i l l i n c o r p o r a t e a d y n a m i c s u b g r i d s c a l e

m o d e l .

3

8/13/2019 Knight_LES of Compressible Flows

4/10

Y o s h i z a w a ' s 1 0 ] m o d e l i s u s e d f o r k . T h e r a t e - o f - s t r a i n t e n s o r i s d e n e d

~

S

i j

=

1

2

@ ~u

i

@ x

j

+

@ ~u

j

@ x

i

( 1 5 )

T w o d i e r e n t m o d e l s f o r t h e l t e r w i d t h a r e e x a m i n e d : =

?

V

n

1 = 3

a n d =

3

4

( V

n

)

1 = 3

w h e r e V

n

i s t h e

a v e r a g e v o l u m e o f a l l c e l l s w h i c h s h a r e t h e n o d e n , a n d V

n

i s t h e s u m o f t h e v o l u m e o f a l l c e l l s w h i c h s h a r e

t h e n o d e n . F o r c o m p r e s s i b l e i s o t r o p i c t u r b u l e n t o w , E r l e b a c h e r e t a l 1 3 ] f o u n d t h a t C

R

= 0 0 1 2 g i v e s a

h i g h c o r r e l a t i o n b e t w e e n t h e e x a c t a n d m o d e l e d s t r e s s e s u s i n g v a r i o u s m e a s u r e s o f c o m p a r i s o n .

T h e e d d y v i s c o s i t y m o d e l f o r s u b g r i d - s c a l e h e a t u x Q

j

i s

Q

j

= c

p

C

R

P r

t

2

q

~

S

k

~

S

k

@

~

T

@ x

j

( 1 6 )

w h e r e t h e P r a n d t l n u m b e r P r

t

i s c h o s e n o f a r a n g e 0 . 3 t o 0 . 5 1 3 ] . I n o u r m o d e l , w e u s e P r

t

= 0 4

3 N u m e r i c a l M e t h o d

T w o d i e r e n t s e c o n d - o r d e r a c c u r a t e a l g o r i t h m s a r e e m p l o y e d f o r d e t e r m i n i n g t h e i n v i s c i d u x e s . T h e r s t

i s G o d u n o v ' s S e c o n d M e t h o d 2 4 ] w h i c h i s b a s e d o n t h e e x a c t s o l u t i o n o f t h e R i e m a n n p r o b l e m a t e a c h f a c e .

T h e i m p l e m e n t a t i o n i s d e s c r i b e d i n K n i g h t e t a l 2 2 ] . T h e s e c o n d i s R o e ' s m e t h o d 2 5 ] , w h o s e i m p l e m e n -

t a t i o n f o r 2 - D u n s t r u c t u r e d g r i d s i s d e s c r i b e d i n K n i g h t 2 6 ] . T h e e x t e n s i o n t o 3 - D u n s t r u c t u r e d g r i d s i s

s t r a i g h t f o r w a r d . T w o d i e r e n t m e t h o d s o f f u n c t i o n a l r e c o n s t r u c t i o n o f t h e o w v a r i a b l e s t o t h e c e l l f a c e s

a r e e m p l o y e d . T h e r s t r e c o n s t r u c t i o n m e t h o d i s t h e s e c o n d - o r d e r l e a s t - s q u a r e s m e t h o d o f O l l i v i e r - G o o c h

2 7 ] w h e r e i n a T a y l o r s e r i e s e x p a n s i o n i s d e v e l o p e d w i t h i n e a c h c e l l . T h e c o e c i e n t s a r e d e t e r m i n e d b y m i n -

i m i z i n g t h e e r r o r a s s o c i a t e d w i t h t h e a p p r o x i m a t i o n t o t h e c e l l - a v e r a g e d v a l u e s o b t a i n e d f r o m t h e e x p a n s i o n

a p p l i e d t o a d j a c e n t c e l l s . D e t a i l s a r e p r e s e n t e d i n 2 7 , 2 8 ] . T h e s e c o n d r e c o n s t r u c t i o n m e t h o d i s d u e t o

F r i n k 2 9 ] w h e r e i n t h e n o d a l v a l u e s o f t h e o w v a r i a b l e s a r e c o m p u t e d u s i n g a s e c o n d o r d e r i n t e r p o l a t i o n ,

a n d t h e f a c e v a l u e s t h e n o b t a i n e d f r o m t h e n o d e s . T h e u x e s d u e t o t h e s u b g r i d s c a l e s t r e s s e s a n d h e a t u x

a r e c o m p u t e d b y a s e c o n d - o r d e r a c c u r a t e a l g o r i t h m u s i n g a n a v e r a g e o f t h e v a l u e s a t t h e c e l l n o d e s w h i c h

a r e o b t a i n e d f r o m a d i s c r e t e v e r s i o n o f G a u s s ' T h e o r e m 2 9 ] u s i n g t h e v o l u m e d e n e d b y t h e c o l l e c t i o n o f

t e t r a h e d r a w h i c h s h a r e t h e n o d e . T h e t e m p o r a l i n t e g r a t i o n i s p e r f o r m e d u s i n g a s e c o n d - o r d e r o r f o u r t h - o r d e r

a c c u r a t e R u n g e - K u t t a m e t h o d 3 0 ] .

4 D e t a i l s o f C o m p u t a t i o n s

A s e r i e s o f s i m u l a t i o n s o f t h e d e c a y o f i n c o m p r e s s i b l e i s o t r o p i c t u r b u l e n c e w e r e p e r f o r m e d f o r t h e e x p e r i m e n t a l

c o n d i t i o n s o f C o m t e - B e l l o t a n d C o r r s i n ( C B C ) 3 1 ] . T h e d e c a y i n g t u r b u l e n c e w a s s i m u l a t e d b y c o n s i d e r i n g

t h e u i d t o b e i n s i d e a c u b e w i t h p e r i o d i c b o u n d a r y c o n d i t i o n s o n a l l s u r f a c e s . T h e e x p e r i m e n t a l d a t a i n c l u d e s

t u r b u l e n c e e n e r g y a n d s p e c t r a a t t h r e e l o c a t i o n s d o w n s t r e a m o f t h e t u r b u l e n c e g e n e r a t i n g g r i d . U s i n g t h e

m e a n o w s p e e d o f t h e e x p e r i m e n t , t h e s e d a t a c a n b e t r a n f o r m e d 3 1 ] t o t h r e e d i e r e n t d i m e n s i o n l e s s

t i m e s U

0

t

C B C

= M = 4 2 , 9 8 , a n d 1 7 1 . T h e d a t a a t t h e i n i t i a l t i m e i s u s e d t o i n i t i a l i z e t h e s i m u l a t i o n i n t h e

c o n v e n t i o n a l m a n n e r 1 3 , 3 2 ] . T h e s i m u l a t i o n s a r e c o m p a r e d t o t h e e x p e r i m e n t a l d a t a a t t h e t w o l a t e r t i m e s .

T h e d i m e n s i o n l e s s t i m e t i n t h e s i m u l a t i o n i s r e l a t e d t o U

0

t

C B C

= M b y a f a c t o r o f 1 . 8 8 d u e t o t h e c h o i c e o f

n o n - d i m e n s i o n a l i z a t i o n .

T h e c o m p u t a t i o n a l d o m a i n i s c o m p r i s e d o f 1 6 3 , 8 4 0 t e t r a h e d r a w h i c h c o n s t i t u t e t h e c o n t r o l v o l u m e s f o r

s o l u t i o n o f t h e g o v e r n i n g e q u a t i o n s . T h e t e t r a h e d r a a r e d e t e r m i n e d a s f o l l o w s . T h e c u b e i s d i v i d e d i n t o

h e x a h e d r a u s i n g a m e s h o f 3 3 3 3 3 3 n o d e s . T h e n o d e s a r e u n i f o r m l y s p a c e d . E a c h h e x a h e d r a , f o r m e d

b y e i g h t n o d e s , i s f u r t h e r s u b d i v i d e d i n t o v e t e t r a h e d r a . T h e t e t r a h e d r a t h e r e f o r e c o n s t i t u t e a r e g u l a r

u n s t r u c t u r e d g r i d . I n o r d e r t o a s c e r t a i n t h e s e n s i t i v i t y o f t h e s i m u l a t i o n t o t h e g e o m e t r i c r e g u l a r i t y o f t h e

u n s t r u c t u r e d g r i d , a s i m u l a t i o n w a s a l s o p e r f o r m e d f o r w h i c h t h e i n t e r i o r n o d e s w e r e r a n d o m l y p e r t u r b e d ,

t h e r e b y c r e a t i n g a r a n d o m u n s t r u c t u r e d g r i d . F u r t h e r d e t a i l s a r e p r e s e n t e d i n 2 2 ] .

4

8/13/2019 Knight_LES of Compressible Flows

5/10

5 R e s u l t s

N i n e d i e r e n t s i m u l a t i o n s ( T a b l e 1 ) w e r e c o n d u c t e d t o e v a l u a t e t h e S G S m o d e l s , t h e e e c t s o f t h e r e c o n -

s t r u c t i o n m e t h o d , t h e t y p e o f R i e m a n n s o l v e r s , t h e e e c t o f r e g u l a r v s r a n d o m g r i d s a n d t h e c o n v e r g e n c e

p a r a m e t e r u s e d i n G o d u n o v ' s m e t h o d .

T a b l e 1 : S u m m a r y o f C a s e s

T e s t S G S R e c o n s t r u c t i o n G r i d I n t e r v a l s o f R i e m a n n T o l e r

C a s e M o d e l M e t h o d T y p e F o u r i e r M o d e s ( N

k

) S o l v e r

1 M I L E S L S 2 n d R e g 2 6 G o d u n o v 1 0

1 0

2 M I L E S F 2 n d R e g 2 6 G o d u n o v 1 0

1 0

3 M I L E S F 2 n d R e g 2 6 R o e

4 M I L E S F i r s t R e g 2 6 G o d u n o v 1 0

1 0

5 M I L E S F 2 n d R a n 2 6 G o d u n o v 1 0

1 0

6 M I L E S F 2 n d R e g 2 6 G o d u n o v 1 0

1 2

7 M I L E S F 2 n d R e g 5 2 G o d u n o v 1 0

1 0

8 C

R

= 0 0 1 2 F 2 n d R e g 2 6 G o d u n o v 1 0

1 0

= ( V

n

)

1 = 3

9 C

R

= 0 0 1 2 F 2 n d R e g 2 6 G o d u n o v 1 0

1 0

=

3

4

( V

n

)

1 = 3

L E G E N D

M I L E S M o n o t o n e I n t e g r a t e d L a r g e E d d y S i m u l a t i o n

L S 2 n d S e c o n d o r d e r l e a s t - s q u a r e s r e c o n s t r u c t i o n m e t h o d

F 2 n d S e c o n d o r d e r F r i n k ' s r e c o n s t r u c t i o n m e t h o d

F i r s t F i r s t o r d e r r e c o n s t r u c t i o n m e t h o d

R e g R e g u l a r g r i d o f t e t r a h e d r a

R a n G r i d o b t a i n e d b y r a n d o m p e r t u r b i n g t h e n o d e s o f t h e r e g u l a r g r i d

I n t e r v a l s . . . N u m b e r o f F o u r i e r i n t e r v a l s u s e d f o r i n i t i a l e n e r g y s p e c t r u m

T o l e r T o l e r a n c e e m p l o y e d i n i t e r a t i o n s o l u t i o n f o r p

I n F i g . 1 , t h e d e c a y o f t h e r e s o l v e d t u r b u l e n c e k i n e t i c e n e r g y i s c o m p a r e d w i t h t h e l t e r e d e x p e r i m e n t a l

d a t a ( d e t a i l s o f t h e n o n - d i m e n s i o n a l i z a t i o n a r e p r e s e n t e d i n 2 2 ] ) . T h e M I L E S m e t h o d u s i n g e i t h e r t h e l e a s t -

s q u a r e s r e c o n s t r u c t i o n m e t h o d ( C a s e 1 ) o r t h e r e c o n s t r u c t i o n m e t h o d o f F r i n k ( C a s e 2 ) a c c u r a t e l y p r e d i c t s

t h e d e c a y o f i s o t r o p i c t u r b u l e n c e . T h i s i m p l i e s t h a t t h e i n h e r e n t n u m e r i c a l d i s s i p a t i o n i n t h e n u m e r i c a l

a l g o r i t h m ( d u e t o t h e n i t e o r d e r a c c u r a c y o f t h e r e c o n s t r u c t i o n a n d u x q u a d r a t u r e ) p r o v i d e s a r e a s o n a b l e

m o d e l o f t u r b u l e n t e n e r g y d i s s i p a t i o n . T h e l e a s t - s q u a r e s m e t h o d h a s l o w e r i n h e r e n t n u m e r i c a l d i s s i p a t i o n

t h a n F r i n k ' s m e t h o d , a n d t h u s C a s e 1 s h o w s a s o m e w h a t l o w e r d e c a y r a t e t h a n C a s e 2 . A n S G S m o d e l m a y

b e n e e d e d t o c o m p e n s a t e t h e r e d u c e d i n h e r e n t n u m e r i c a l d i s s i p a t i o n i n o r d e r t o a c h i e v e t h e b e s t a g r e e m e n t

w i t h e x p e r i m e n t . T h e c o m p u t a t i o n s e m p l o y i n g t h e h y b r i d m o d e l s ( M I L E S p l u s S m a g o r i n s k y m o d e l ) , s h o w n

i n C a s e s 8 a n d 9 , e x h i b i t o n l y a s m a l l d i e r e n c e c o m p a r e d t o t h e M I L E S s i m u l a t i o n s ( C a s e s 1 a n d 2 ) , s i n c e

t h e d i s s i p a t i o n o f t u r b u l e n c e e n e r g y i s a l m o s t e n t i r e l y a c o n s e q u e n c e o f t h e n u m e r i c a l a l g o r i t h m ( M I L E S ) .

T h e c o m p u t e d d e c a y o f r e s o l v e d t u r b u l e n c e e n e r g y i s i n s e n s i t i v e t o t h e s e l e c t i o n o f G o d u n o v ' s o r R o e ' s

m e t h o d f o r t h e i n v i s c i d u x ( C a s e s 2 a n d 3 ) , t h e c h o i c e o f a r a n d o m i n t e r n a l g r i d v s a r e g u l a r i n t e r n a l g r i d o f

n o d e s ( C a s e s 2 a n d 5 ) a n d t h e c h o i c e o f c o n v e r g e n c e p a r a m e t e r i n G o d u n o v ' s m e t h o d ( C a s e s 2 a n d 6 ) . T h e s e

r e s u l t s e m p h a s i z e t h e r o b u s t n e s s o f t h e L E S a l g o r i t h m . T h e c o m p u t e d d e c a y s h o w s o n l y a s l i g h t d i e r e n c e

b e t w e e n N

k

= 2 6 ( C a s e 2 ) a n d N

k

= 5 2 ( C a s e 8 ) . T h e c o m p u t e d d e c a y u s i n g t h e r s t o r d e r r e c o n s t r u c t i o n

( C a s e 4 ) i s i n p o o r a g r e e m e n t w i t h e x p e r i m e n t a s a n t i c i p a t e d .

I n F i g s . 2 a n d 3 , t h e l t e r e d e n e r g y s p e c t r a a r e s h o w n a t U

0

t

C B C

= M = 9 8 a n d 1 7 1 , r e s p e c t i v e l y , f o r

C a s e s 1 a n d 2 . T h e l e a s t - s q u a r e s r e c o n s t r u c t i o n ( C a s e 1 ) i s m o r e a c c u r a t e t h a n F r i n k ' s m e t h o d ( C a s e 2 ) .

S i n c e t h e C P U t i m e f o r t h e t w o m e t h o d s i s e s s e n t i a l l y i d e n t i c a l , t h e l e a s t - s q u a r e s r e c o n s t r u c t i o n i s p r e f e r a b l e .

A \ p i l e - u p " o f e n e r g y a t l o w e r w a v e n u m b e r s i s n o t e d . T h i s w a s a l s o o b s e r v e d b y H a w o r t h a n d J a n s e n 1 8 ]

w h o e m p l o y e d a s i m i l a r g r i d r e s o l u t i o n .

5

8/13/2019 Knight_LES of Compressible Flows

6/10

0 50 100 150 200 250 300 3500.0E0

1.0E-5

2.0E-5

3.0E-5

4.0E-5

5.0E-5

6.0E-5

Physical time

FilteredTurbulenceKineticEnergy

Case 2 (no SGS model)

Case 3 (Roe)

Case 4 (1st order)

Case 5 (random perturb)

Case 6 (10-12in Godunov)

Case 7 (52 shells)

Case 8 (SGS Model 1)

Case 9 (SGS Model 2)

0 50 100 150 200 250 300 3500.0E0

1.0E-5

2.0E-5

3.0E-5

4.0E-5

5.0E-5

6.0E-5

Physical time

FilteredTurbulenceKineticEnergy

CBC (Filtered)

case 1 (LS, 2nd order, 8 cells)

F i g u r e 1 : D e c a y o f l t e r e d t u r b u l e n c e k i n e t i c e n e r g y

100

101

0

100

200

300

k cm-1

E(k)cm

3sec-2

a)

Uot/M = 98 (CBC)

Uot/M = 98, Frinks (2nd order)

Uot/M = 98, LS (2nd + 8 cells)

F i g u r e 2 : T u r b u l e n c e s p e c t r u m a t U

0

t

C B C

= M = 9 8

100

101

0

100

200

300

k cm-1

E(k)cm

3sec-2

b)

Uot/M = 171 (CBC)

Uot/M = 171, Frinks(2nd order)

Uot/M = 171, LS (2nd + 8 cells)

F i g u r e 3 : T u r b u l e n c e s p e c t r u m a t U

0

t

C B C

= M = 1 7 1

6

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7/10

6 P a r a l l e l C o d e

T h e c o m p u t a t i o n a l d o m a i n i s d e c o m p o s e d i n t o n p s u b d o m a i n s . T h e s u b - d o m a i n b o u n d a r i e s c o i n c i d e w i t h

c e l l f a c e s , a n d t h u s e a c h c e l l b e l o n g s t o a u n i q u e s u b d o m a i n . T h e d o m a i n d e c o m p o s i t i o n i s o n e - d i m e n s i o n a l

f o r s i m p l i c i t y , i . e . , e a c h p r o c e s s o r c o m m u n i c a t e s w i t h t w o o t h e r p r o c e s s o r s ( ' l e f t ' a n d ' r i g h t ' ) . A n e x a m p l e

i s s h o w n i n F i g . 4 .

X

Y

Z

F i g u r e 4 : E x a m p l e o f d o m a i n d e c o m p o s i t i o n

T h e p a r a l l e l c o d e i s w r i t t e n u s i n g M P I . T o s i m p l i f y t h e L E S c o d e , a l l g r i d c o n n e c t i v i t y i n f o r m a t i o n i s

e s t a b l i s h e d i n t h e g r i d g e n e r a t i o n c o d e . O n e a c h p r o c e s s o r , t h e o w s o l v e r d o e s t h e s a m e w o r k u n l e s s p e r -

f o r m i n g c o m m u n i c a t i o n b y a s s o c i a t e d s e n d i n g o r r e c e i v i n g d a t a . T w o d i e r e n t t y p e s o f d a t a t r a n s f e r b e t w e e n

s u b d o m a i n s h a v e b e e n i n v e s t i g a t e d . I n t h e r s t m e t h o d ( M 1 ) , t w o l a y e r s

4

o f c e l l s a r e e x c h a n g e d b e t w e e n

a d j a c e n t s u b d o m a i n s . T h i s m i n i m i z e s t h e n u m b e r o f c o m m u n i c a t i o n s c a l l s b e t w e e n t h e t w o p r o c e s s o r s ( o n l y

o n e p a i r o f s e n d / r e c e i v e c a l l s i s n e e d e d ) , b u t r e q u i r e s a ( r e d u n d a n t ) c o m p u t a t i o n o f t h e n o d e v a l u e s i n t h e

o v e r l a p p i n g r e g i o n s u b s e q u e n t t o t h e d a t a t r a n s f e r . I n t h e s e c o n d m e t h o d ( M 2 ) , o n e l a y e r o f c e l l s a n d t w o

l a y e r s o f n o d e s a r e e x c h a n g e d . T h i s e l i m i n a t e s t h e r e d u n d a n t c o m p u t a t i o n o f t h e n o d e v a l u e s i n t h e o v e r l a p

r e g i o n , b u t r e q u i r e s t w o p a i r s o f c o m m u n i c a t i o n s c a l l s . I n e i t h e r m e t h o d , t h e d a t a s t r u c t u r e i s s e n t / r e c e i v e d

u s i n g M P I - B Y T E . N u m e r i c a l e x p e r i m e n t s s h o w t h a t t h e c o m m u n i c a t i o n t i m e f o r t h e s e c o n d m e t h o d i s 2 5 %

l e s s t h a n t h e r s t m e t h o d d u e t o t h e s m a l l e r a m o u n t o f d a t a n e c e s s a r y t o b e t r a n s f e r r e d .

0 50 100 150 200 250 300 3500.0E0

1.0E-5

2.0E-5

3.0E-5

4.0E-5

5.0E-5

6.0E-5

F

ilteredTurbulenceKineticEnergy

Time

KEC Case 31 (no SGS model)

KEC MPI (Case 31)

KEC CBC (Filtered)

F i g u r e 5 : D e c a y o f l t e r e d t u r b u l e n c e k i n e t i c e n e r g y u s i n g p a r a l l e l c o d e

4

F o r s u b d o m a i n n , t h e r s t c e l l l a y e r i n s u b d o m a i n n + 1 c o n s i s t s o f a l l c e l l s w h i c h s h a r e o n e o r m o r e n o d e s o n t h e i n t e r f a c e

b e t w e e n t h e s u b d o m a i n s . T h e d e n i t i o n i s e x t e n d e d r e c u r s i v e l y t o d e n e t h e s e c o n d l a y e r .

7

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8/10

100

101

0

50

100

150

200

K cm-1

E(k)cm

3s

ec-2

E (k) Uot/M = 171 (CBC)

E (k) Uot/M = 171 (Computed)

E (k) Uot/M = 171 (MPI)

F i g u r e 6 : T u r b u l e n c e s p e c t r u m a t U

0

t

C B C

= M = 1 7 1 u s i n g p a r a l l e l c o d e

T h e r e s u l t s u s i n g t h e M P I c o d e a r e i d e n t i c a l t o t h e s i n g l e p r o c e s s o r c o d e ( S e c t i o n 5 ) a s e x p e c t e d . F i g . 5

s h o w s t h e c o m p a r i s o n o f s i m u l a t i o n s o f d e c a y o f i s o t r o p i c t u r b u l e n t k i n e t i c e n e r g y , a n d F i g . 6 s h o w s t h e

s p e c t r a a t U

0

t

C B C

= M = 1 7 1 . T h e c o m p u t a t i o n s u s e d F r i n k ' s m e t h o d f o r r e c o n s t r u c t i o n ( C a s e 2 o f T a b l e 1 ) .

T h e p a r a l l e l c o d e a c h i e v e s a p a r a l l e l e c i e n c y o f 9 8 . 7 % o n a f o u r p r o c e s s o r S G I R 1 0 0 0 0 f o r b o t h m e t h o d s

M 1 a n d M 2 .

7 C o n c l u d i n g R e m a r k s

A n u n s t r u c t u r e d g r i d L E S a l g o r i t h m f o r c o m p r e s s i b l e t u r b u l e n t o w h a s b e e n d e v e l o p e d . A s e r i e s o f s i m -

u l a t i o n s w e r e p e r f o r m e d f o r t h e e x p e r i m e n t o f C o m t e - B e l l o t a n d C o r r s i n o f t h e d e c a y o f i n c o m p r e s s i b l e

i s o t r o p i c t u r b u l e n c e . T h e s i m u l a t i o n s e x a m i n e d t h e e e c t o f d i e r e n t s u b g r i d - s c a l e m o d e l s ( M I L E S a n d

h y b r i d M I L E S / S m a g o r i n s k y ) , r e c o n s t r u c t i o n m e t h o d s ( l e a s t - s q u a r e s a n d F r i n k ' s ) , t y p e o f R i e m a n n s o l v e r

( G o d u n o v a n d R o e ) , n a t u r e o f t h e g r i d ( r e g u l a r a n d r a n d o m ) a n d c o n v e r g e n c e t o l e r a n c e i n G o d u n o v ' s

m e t h o d . T h e M I L E S m o d e l a c c u r a t e l y p r e d i c t s t h e d e c a y o f t u r b u l e n c e k i n e t i c e n e r g y u s i n g s e c o n d - o r d e r

a c c u r a t e f u n c t i o n r e c o n s t r u c t i o n . T h e r e s u l t s a r e i n s e n s i t i v e t o t h e t y p e o f R i e m a n n s o l v e r , c o n v e r g e n c e p a -

r a m e t e r i n G o d u n o v ' s m e t h o d , a n d n a t u r e o f t h e g r i d . T h e l e a s t - s q u a r e s m e t h o d m o r e a c c u r a t e l y p r e d i c t e d

t h e e v o l u t i o n o f t h e t u r b u l e n c e s p e c t r u m . T h e h y b r i d ( M I L E S p l u s S m a g o r i n s k y ) m o d e l s h o w e d a s m a l l

i m p r o v e m e n t i n t h e p r e d i c t i o n o f t h e r a t e o f d e c a y o f t u r b u l e n c e k i n e t i c e n e r g y .

A p a r a l l e l v e r s i o n o f t h e L E S c o d e w a s d e v e l o p e d u s i n g M P I . T h e r e s u l t s f o r t h e d e c a y o f i s o t r o p i c

t u r b u l e n c e a r e i d e n t i c a l t o t h e s i n g l e p r o c e s s o r v e r s i o n o f t h e c o d e a s e x p e c t e d . T h e p a r a l l e l e c i e n c y o f t h e

c o d e i s 9 8 . 7 % o n a f o u r p r o c e s s o r S G I R 1 0 0 0 0 .

A c k n o w l e d g m e n t s

T h i s r e s e a r c h i s s p o n s o r e d b y t h e A i r F o r c e O c e o f S c i e n t i c R e s e a r c h u n d e r G r a n t A F O S R G r a n t F 4 9 6 2 0 -

9 6 - 1 - 0 3 8 9 , m o n i t o r e d b y D r . L e n S a k e l l .

8

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R e f e r e n c e s

1 ] D . K n i g h t a n d G . D e g r e z , \ S h o c k W a v e B o u n d a r y L a y e r I n t e r a c t i o n s i n H i g h M a c h N u m b e r F l o w s { A

C r i t i c a l S u r v e y o f C u r r e n t C F D P r e d i c t i o n C a p a b i l i t i e s , " i n A G A R D A R - 3 1 9 , V o l u m e 2 ( t o a p p e a r )

1 9 9 7 .

2 ] D . K n i g h t , \ N u m e r i c a l S i m u l a t i o n o f C o m p r e s s i b l e T u r b u l e n t F l o w s U s i n g t h e R e y n o l d s - A v e r a g e d

N a v i e r - S t o k e s E q u a t i o n s , " i n A G A R D F D P / V K I S p e c i a l C o u r s e o n T u r b u l e n c e i n C o m p r e s s i b l e F l o w s

A G A R D R e p o r t R - 8 1 9 , 1 9 9 7 .

3 ] B . G a l p e r i n a n d S . O r s z a g , e d s . , L a r g e E d d y S i m u l a t i o n o f C o m p l e x E n g i n e e r i n g a n d G e o p h y s i c a l F l o w s

C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s , 1 9 9 3 .

4 ] P . M a s o n , \ L a r g e E d d y S i m u l a t i o n : A C r i t i c a l R e v i e w o f t h e T e c h n i q u e , " Q u a r t e r l y J o u r n a l o f t h e

R o y a l M e t e o r o l o g i c a l S o c i e t y , v o l . 1 2 0 , p p . 1 { 2 6 , 1 9 9 4 .

5 ] M . L e s i e u r a n d O . M e t a i s , \ N e w T r e n d s i n L a r g e - E d d y S i m u l a t i o n s o f T u r b u l e n c e , " i n A n n u a l R e v i e w

o f F l u i d M e c h a n i c s , v o l . 2 8 , p p . 4 5 { 8 2 , A n n u a l R e v i e w s , I n c . , 1 9 9 6 .

6 ] P . M o i n , \ P r o g r e s s i n L a r g e E d d y S i m u l a t i o n o f T u r b u l e n t F l o w s . " A I A A P a p e r 9 7 - 0 7 4 9 , J a n u a r y 1 9 9 7 .

7 ] J . B o r i s , F . G r i n s t e i n , E . O r a n , a n d R . K o l b e , \ N e w I n s i g h t s i n t o L a r g e E d d y S i m u l a t i o n , " F l u i d

D y n a m i c s R e s e a r c h , v o l . 1 0 , p p . 1 9 9 { 2 2 8 , 1 9 9 2 .

8 ] E . O r a n a n d J . B o r i s , \ C o m p u t i n g T u r b u l e n t S h e a r F l o w s - A C o n v e n i e n t C o n s p i r a c y , " C o m p u t e r s i n

P h y s i c s , v o l . 7 , p p . 5 2 3 { 5 3 3 , S e p t e m b e r / O c t o b e r 1 9 9 3 .

9 ] F . G r i n s t e i n , \ D y n a m i c s o f C o h e r e n t S t r u c t u r e s a n d T r a n s i t i o n t o T u r b u l e n c e i n F r e e S q u a r e J e t s . "

A I A A P a p e r 9 6 - 0 7 8 1 , 1 9 9 6 .

1 0 ] A . Y o s h i z a w a , \ S t a t i s t i c a l T h e o r y f o r C o m p r e s s i b l e T u r b u l e n t S h e a r F l o w s , w i t h t h e A p p l i c a t i o n t o

S u b g r i d M o d e l i n g , " P h y s i c s o f F l u i d s , v o l . 2 9 , p p . 2 1 5 2 { 2 1 6 4 , 1 9 8 6 .

1 1 ] C . G . S p e z i a l e , G . E r l e b a c h e r , A . Z a n g , a n d M . Y . H u s s a i n i , \ T h e S u b g r i d M o d e l i n g o f C o m p r e s s i b l e

T u r b u l e n c e , " P h y s i c s o f F l u i d s , v o l . 3 1 ( 4 ) , p p . 9 4 0 { 9 4 3 , 1 9 8 8 .

1 2 ] P . M o i n , K . S q u i r e s , W . C a b o t , a n d S . L e e , \ A D y n a m i c S u b g r i d - s c a l e M o d e l f o r C o m p r e s s i b l e T u r b u -

l e n c e a n d S c a l a r T r a n s p o r t , " P h y s i c s o f F l u i d s A , v o l . 1 1 , p p . 2 7 4 6 { 2 7 5 7 , N o v e m b e r 1 9 9 1 .

1 3 ] G . E r l e b a c h e r , M . H u s s a i n i , C . S p e z i a l e , a n d T . Z a n g , \ T o w a r d t h e L a r g e - e d d y S i m u l a t i o n o f C o m -

p r e s s i b l e T u r b u l e n t F l o w s , " J o u r n a l o f F l u i d M e c h a n i c s , v o l . 2 3 8 , p p . 1 5 5 { 1 8 5 , 1 9 9 2 .

1 4 ] T . A . Z a n g , R . B . D a h l b u r g , a n d P . D a h l b u r g , \ D i r e c t a n d L a r g e E d d y S i m u a l t i o n s o f T h r e e - D i m e n s i o n a l

C o m p r e s s i b l e N a v i e r - S t o k e s T u r b u l e n c e , " P h y s i c s o f F l u i d s A , v o l . 4 ( 1 ) , p p . 1 2 7 { 1 4 0 , 1 9 9 2 .

1 5 ] N . E l - H a d y , T . Z a n g , a n d U . P i o m e l l i , \ A p p l i c a t i o n s o f t h e D y n a m i c S u b g r i d - S c a l e M o d e l t o A x i s y m -

m e t r i c T r a n s i t i o n a l B o u n d a r y L a y e r a t H i g h S p e e d , " P h y s i c s o f F l u i d s , v o l . 6 , p p . 1 2 9 9 { 1 3 0 9 , 1 9 9 4 .

1 6 ] K . J a n s e n , \ U n s t r u c t u r e d G r i d L a r g e E d d y S i m u l a t i o n o f F l o w O v e r a n A i r f o i l , " t e c h . r e p . , C e n t e r f o r

T u r b u l e n c e R e s e a r c h , 1 9 9 4 .

1 7 ] E . S p y r o p o u l o s a n d G . B l a i s d e l l , \ E v a l u a t i o n o f t h e D y n a m i c M o d e l f o r S i m u l a t i o n s o f C o m p r e s s i b l e

D e c a y i n g I s o t r o p i c T u r b u l e n c e , " A I A A J o u r n a l , v o l . 3 4 , p p . 9 9 0 { 9 9 8 , M a y 1 9 9 6 .

1 8 ] D . H a w o r t h a n d K . J a n s e n , \ L a r g e E d d y S i m u l a t i o n o n U n s t r u c t u r e d D e f o r m i n g M e s h e s : T o w a r d s

R e c i p r o c a t i n g I C E n g i n e s . " C e n t e r f o r T u r b u l e n c e R e s e a r c h , 1 9 9 6 .

1 9 ] T . B a r t h , \ O n U n s t r u c t u r e d G r i d s a n d S o l v e r s , " i n C o m p u t a t i o n a l F l u i d D y n a m i c s , L e c t u r e N o t e s

1 9 9 0 - 0 3 , v o n K a r m a n I n s t i t u t e f o r F l u i d D y n a m i c s , M a r c h , 5 - 9 1 9 9 0 .

9

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10/10

2 0 ] T . B a r t h , \ A s p e c t s o f U n s t r u c t u r e d G r i d s a n d F i n i t e - V o l u m e S o l v e r s f o r t h e E u l e r a n d N a v i e r - S t o k e s

E q u a t i o n s , " i n A G A R D S p e c i a l C o u r s e o n U n s t r u c t u r e d G r i d M e t h o d s f o r A d v e c t i o n D o m i n a t e d F l o w s

A d v i s o r y G r o u p f o r A e r o s p a c e R e s e a r c h a n d D e v e l o p m e n t , M a y 1 9 9 2 . A G A R D R e p o r t 7 8 7 .

2 1 ] P . M o i n a n d J . J i m e n e z , \ L a r g e E d d y S i m u l a t i o n o f C o m p l e x T u r b u l e n t F l o w s . " A I A A P a p e r 9 3 - 3 0 9 9 ,

J u l y 1 9 9 3 .

2 2 ] D . K n i g h t , G . Z h o u , N . O k o n g ' o , a n d V . S h u k l a , \ C o m p r e s s i b l e L a r g e E d d y S i m u l a t i o n U s i n g U n s t r u c -

t u r e d G r i d s . " s u b m i t t e d t o A I A A 3 6 t h A e r o s p a c e S c i e n c e s M e e t i n g , 1 9 9 8 .

2 3 ] A . A n s a r i a n d W . Z . S t r a n g , \ L a r g e - E d d y S i m u l a t i o n o f T u r b u l e n t M i x i n g L a y e r s . " A I A A P a p e r N o .

9 6 - 0 6 8 4 , 1 9 9 6 .

2 4 ] S . K . G o d u n o v , \ N u m e r i c a l S i m u l a t i o n o f M u l t i d i m e n s i o n a l P r o b l e m s i n G a s d y n a m i c s . " N a u k a ,

M o s c o w , 1 9 7 6 .

2 5 ] P . R o e , \ A p p r o x i m a t e R i e m a n n S o l v e r s , P a r a m e t e r V e c t o r s , a n d D i f f e r e n c e S c h e m e s , " J o u r n a l o f C o m -

p u t a t i o n a l P h y s i c s , v o l . 4 3 , p p . 3 5 7 { 3 7 2 , 1 9 8 1 .

2 6 ] D . K n i g h t , \ A F u l l y I m p l i c i t N a v i e r - S t o k e s A l g o r i t h m U s i n g a n U n s t r u c t u r e d G r i d a n d F l u x D i e r e n c e

S p l i t t i n g , " A p p l i e d N u m e r i c a l M a t h e m a t i c s , v o l . 1 6 , p p . 1 0 1 { 1 2 8 , 1 9 9 4 .

2 7 ] C . F . O l l i v i e r - G o o c h , \ H i g h O r d e r E N O S c h e m e s f o r U n s t r u c t u r e d M e s h e s B a s e d o n L e a s t S q u a r e s

R e c o n s t r u c t i o n . " A I A A P a p e r N o . 9 7 - 0 5 4 0 , 1 9 9 7 .

2 8 ] N . O k o n g ' o a n d D . K n i g h t , \ A c c u r a t e U n s t e a d y S i m u l a t i o n u s i n g U n s t r u c t u r e d G r i d s . " T o b e s u b m i t t e d

t o t h e A I A A 3 6 t h A e r o s p a c e S c i e n c e s M e e t i n g , 1 9 9 8 .

2 9 ] N . T . F r i n k , \ R e c e n t P r o g r e s s T o w a r d a T h r e e D i m e n s i o n a l U n s t r u c t u r e d N a v i e r - S t o k e s F l o w S o l v e r . "

A I A A P a p e r N o . 9 4 - 0 0 6 1 , 1 9 9 4 .

3 0 ] W . H . P r e s s , S . A . T e u k o l s k y , W . T . V e t t e r l i n g , a n d B . P . F l a n n e r y , N u m e r i c a l R e c i p e s i n C : t h e A r t

o f S c i e n t i c C o m p u t i n g . N e w Y o r k : C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s , 2 n d e d . , 1 9 9 2 .

3 1 ] G . C o m t e - B e l l o t a n d S . C o r r s i n , \ S i m p l e E u l e r i a n T i m e C o r r e l a t i o n o f F u l l - a n d N a r r o w - B a n d V e l o c i t y

S i g n a l s i n G r i d - G e n e r a t e d , I s o t r o p i c T u r b u l e n c e , " J o u r n a l o f F l u i d M e c h a n i c s , v o l . 4 8 , p p . 2 7 3 { 3 3 7 ,

1 9 7 1 .

3 2 ] E . S p y r o p o u l o s a n d G . B l a i s d e l l , \ E v a l u a t i o n o f t h e D y n a m i c S u b g r i d - S c a l e M o d e l f o r L a r g e E d d y

S i m u l a t i o n s o f C o m p r e s s i b l e T u r b u l e n t F l o w s . " A I A A P a p e r 9 5 - 0 3 5 5 , 1 9 9 5 .

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