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Kombinatorik
Universität Kassel
Wintersemester 2008/2009
Prof. Dr. Werner Bley
Arithmetik als Prozess
Referenten: Nicole Glanz, Katja Wilhelm
Datum: 12.01.2009
Gliederung
1. Kombinatorik – Definition, kombinatorische Werkzeuge, Situationstypen,
Zählprinzipien2. Warm-up – Speiseplanaufgabe3. Produktregel4. Additionsregel5. Variation mit Widerholung6. Variation ohne Wiederholung7. Permutation ohne Wiederholung
Gliederung
8. Binomialkoeffizienten8.1 Allgemein8.2 Berechnung8.3 0-1-Folgen8.4 Pascal-Dreieck8.5 Binomischer Leitsatz9. Kombination ohne Wiederholung10. Permutation mit Wiederholung11. Kombination mit Wiederholung
1. Kombinatorik
- Definition:
„Zweig der Mathematik, in dem man sich mit Fragestellungen über endliche Mengen beschäftigt beispielsweise mit der Abzählung der verschiedenen Möglichkeiten der Auswahl und Anordnung von Elementen einer endlichen Menge.“
- Kombinatorische Werkzeuge: Baumdiagramm
0-1-Folgen
Gitterdiagramm
1. Kombinatorik
- Kombinatorische Zählprinzipien: Produktregel
Additionsregel
- Situationstypen der Kombinatorik:
Variation: Reihenfolge ist relevant (Bsp. Würfelaufgabe: relevant, ob man zuerst die 1 und dann die 5 oder erst die 5 und dann die 1 würfelt)
Kombination: Reihenfolge ist nicht relevant (Reihenfolge der Würfelergebnisse ist nicht relevant)
2. Warm-up-Aufgabe:
Speiseplanaufgabe Schaut Euch den Speiseplan eines Restaurants an.
Ist das eine Kombination oder eine Variation? Begründet Eure Entscheidung!
3. Produktregel
Allgemeine Formulierung:
Durchläuft man einen k-stufigen Entscheidungsprozess, in dem man auf der 1. Stufe n1, auf der 2. Stufe n2, und auf der dritten Stufe n3 Möglichkeiten und schließlichauf der k-ten Stufe nk Möglichkeiten hat, so ergeben sich n1 · n2 · n3… ·nkMöglichkeiten, den gesamten Entscheidungsprozess zu durchlaufen.
Speisekartenaufgabe: 3-stufiger Entscheidungsprozess 1. Stufe: Vorspeise 2 Möglichkeiten (Fruchtkaltschlale, Minestrone)2. Stufe: Hauptspeise 3 Möglichkeiten3. Stufe: Nachtisch 3 Möglichkeiten
Insgesamt ergeben sich: 2*3*3 Möglichkeiten, den gesamten Entscheidungsprozess zudurchlaufen.
4. Additionsregel
- „Die Additionsregel besagt, dass man die Anzahl sämtlicher abzuzählender Möglichkeiten bestimmen kann, indem man diese systematisch in leichter überschaubare Gruppen einteilt und dann die getrennt bestimmten Anzahlen addiert.“
5. Variation mit Wiederholung
- Reihenfolge ist relevant- ein Objekt darf mehrfach vorkommen
- Beispiel: Ziffernkärtchen 1,2,3,4 Aus vier Kärtchen, auf denen die Ziffern von 1 bis 4 stehen ,die auch mehrfach verwendet werden dürfen, sollen dreistellige Zahlen gebildet werden (121, 112, 344… ). Wie viele verschiedene Zahlen gibt es?
- Auf jeder der 3 Stufen ergeben sich 4 EntscheidungsmöglichkeitenInsgesamt findet man 4*4*4= mögliche Zahlen
- Auf der 1./2./3 Stufe habe ich jeweils 4 Möglichkeiten
6443
5. Variation mit Wiederholung
- Wie viele der 64 Zahlen sind gerade?
- Die Lösung kann man mindestens auf zwei verschiedene Arten erhalten:
Beide Baumdiagramme führen zur Anzahl 32.
Abb.1:Die Hunderterstelle als erste und die Einerstelle als letzte Entscheidungsstufe
Abb.2:Die Einerstelle als erste und die Hunderterstelle als letzte Entscheidungsstufe
5. Variation mit Wiederholung
- Ein zweites Beispiel: Gesucht ist die Anzahl aller Teilmengen der Menge (a,b,c).- Die Erzeugung jeder einzelnen Teilmenge als eine Art dreistufiger Entscheidungs-
prozess vorstellbar:
- 1. Stufe: Gehört das Element a zur Teilmenge? 2 Stufe: Gehört b zur Teilmenge?3. Stufe: Ist c Element der Teilmenge?
- Wir erhalten: drei 1-elementige Mengen (a), (b), (c), drei 2-elementige Mengen (a,b), (a,c), (b,c), eine 3-elementige Menge (a,b,c)und eine leere Menge ( ).
5. Variation mit Wiederholung
- auf jeder Stufe bestehen 2 Wahlmöglichkeiten: entweder das Element gehört dazu oder nicht (Ja oder Nein)
- bei einer 3-elementigen Menge (a,b,c) ergeben sich Möglichkeiten, verschiedene Teilmengen zu bilden
- bei einer k-elementigen Menge existieren Möglichkeiten
32
k2
5. Variation mit Wiederholung
0-1-Folgen
- die Entscheidung auf jeder Stufe können wir nicht nur durch Ja oder Nein
kodieren, sondern auch durch 0 oder 1 1= Das Element gehört zur Teilmenge (Ja)
0= Das Element gehört nicht zur Teilmenge (Nein)
- Teilmenge (a,b,c): 111; ( ): 000 (a,c): 101
- jeder 0-1-Folge lässt sich eindeutig einer Teilmenge zuordnen
- für jede Teilmenge existiert genau eine 0-1 Folge als Codierung
5. Variation mit Wiederholung
Aufgabe:
- Wir haben eine 5-elementige Teilmenge (a,b,c,d,e). Wie lauten die Codierungen für folgende Teilmengen:
Beispiel: (a,b,e): 11001
(a,d,e):(e):
Welche Teilmengen verbergen sich hinter folgenden Codierungen?Beispiel: 10001: (a,e)
01010:10101:
5. Variation mit Wiederholung
Allgemeine Formulierung:
- Es handelt sich um einen k-stufigen Entscheidungsprozess.Auf jeder der k Entscheidungsstufen gibt es n Entscheidungsmöglichkeiten, insgesamt also: n * n * n ... * n = Möglichkeiten.
Beispiel 1:Regine möchte mit ihrer EC-Karte am Geldautomaten 30 Euro abheben. Beim Eingeben ihrervierstelligen PIN überlegt sie sich, wie viele verschiedene PIN`s es wohl geben mag! Wie viele sind es?
kn
kn 410
Ergebnis: n=10 (mögliche Zahlen 0-9)
k= 4
= =10000 mögliche PIN`s
5. Variation mit Wiederholung
Aufgabe: Herr Vergissmeinnicht vergisst immer schnell die vierstellige Geheimzahl seiner Scheckkarte (er beantragt dann immer eine
neue), aber er hat sich jedes Mal bestimmte Einzelheiten gemerkt. Ermittelt die Anzahl der Versuche, die er maximal benötigen würde, um an sein Geld zu kommen!
a) Er weiß, dass seine Geheimzahl aus den Ziffern 1,3,5,7 besteht.
b) Er weiß, dass alle Ziffern gerade sind und keine 0 dabei ist.
5. Variation mit Wiederholung
Lösung:Zu a)
44
n= 4 (mögliche Zahlen 1,3,5,7)k= 4 (4-stelliger PIN)
Er braucht maximal 256 Versuche, um an das Geld zu kommen.
kn
Zu b)n= 4 (mögliche Zahlen: 2,4,6,8)k= 4
=
Er braucht maximal 256 Versuche, um an das Geld zu kommen
kn 44
Variation ohne Wiederholung
- Definition: Die Auswahl der k-stelligen Sequenzen der Grundgesamtheit
, in denen das Element genau einmal vorkommt und die Reihenfolge relevant ist, heißt Variation ohne Wiederholung von der Länge k .
- Reihenfolge von Bedeutung
- ein Objekt darf nicht mehrfach auftreten
- Beispiel: Zahlenkarten
Aus vier Kärtchen, auf denen die Ziffern von 1 bis 4 stehen, sollen dreistellige Zahlen gebildet werden, z.B. 123, 412 oder 314.
Wie viele verschiedene Zahlen gibt es?
nAA ,...1 jA
Variationen ohne Wiederholung
Lösungsansatz: - 1. Stufe Wahl zwischen 4 Ziffern, - 2. Stufe Wahl zwischen 3 Ziffern, - 3. Stufe Wahl zwischen 2 Ziffern 4*3*2 = 24, insgesamt ergeben sich 24 verschiedene Zahlenkombinationen (Produktregel)
Variationen ohne Wiederholung
- Baumdiagramm:
Möglichkeiten
2446
Variationen ohne Wiederholung
- allgemeine Formel: - es gibt k Plätze, die von n Objekten besetzt werden- jedes Objekt kann höchstens einen Platz einnehmen- es gilt: - analog zum Beispiel: k=3; n=4 24 Möglichkeiten
)!(
!
kn
nn k
nk
241
4321
)!34(
!44 3
Variation ohne Wiederholung
- Beispiel 2:Bei einem Wettlauf treten 5 Kinder gegeneinander an: Leonie,
Patricia, Franziska, Anna und Sabrina. Wie viele
Möglichkeiten existieren, die ersten drei Plätze zu vergeben?
- allgemeine Formel: )!(
!
kn
nn k
Variation ohne Wiederholung
- Ergebnis Beispiel 2:
Es gibt genau 60 verschiedene Möglichkeiten.
)!(
!
kn
nn k
6012
12345
)!35(
!55 3
Permutation ohne Wiederholung
- Name aus dem lat. permutare (vertauschen)
- jede Anordnung kann sich durch Vertauschen aus jeder anderen Anordnung erzeugen lassen
- Beispiel: Wettkampf der 5 Kinder
Die 5 Kinder sollen nun jeder einen Platz von 1-5 bekommen. Wie viele Möglichkeiten gibt es?
es gibt genau so viele Plätze wie Personen oder allgemeiner, es gibt genau so viele Stufen im Entscheidungsprozess wie Objekte
Permutation ohne Wiederholung
- wir rechnen:
- typisch ist, dass die Faktoren bis zur 1 schreiten- da die Form
häufiger vorkommt schreibt man vereinfacht:
n! (Beispiel: 5!)
12012345
12...)2()1( nnn
BinomialkoeffizientenAllgemein
- ein wichtiges Werkzeug der Kombinatorik
- besondere Schreibweise bzw. eigenes Symbol:
bezeichnet die Anzahl aller k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Mengen
- Beispiel: Lotto „6 aus 49“
Schreibweise:
(bezeichnet die Anzahl der 6-elementigen Teilmenge einer aus 49 Elementen bestehenden Menge)
k
n
6
49
BinomialkoeffizientenBerechnung
Formel:
- Beispiel: n=6, k=3
!
)1(...)2()1(
)!(!
!
k
knnnn
knk
n
k
n
203
6
123
456
)123()123(
123456
3
6
!3
)136()16(6
)!36(!3
!6
3
6
Beweis - Binomialkoeffizient
)!(!
1)...1)()(1)...(1(
knk
knknknnn
1)...1(
)1(...)2()1(
kk
knnnn
k
n Mit (n-k)! erweitern (n-k)!= (n-k) (n-k-1)…1
)!(!
!
knk
n
(oder k!)
Im Zähler durchlaufen die Faktoren die Werte n bis 1, also steht dort gerade n!= n (n-1)…1
BinomialkoeffizientenBerechnung
- Regeln für die schnelle Berechnung von
Binomialkoeffizienten:
Binomialkoeffizienten0-1-Folgen
0-1-Folgen:- es gilt, dass es 0-1-Folgen der Länge n mit genau k
Einsen existieren - Beispiel: 5-elementige Menge: {1,2,3,4,5} deren 3-elementige Teilmenge:{1,3,4}, {1,4,5}, {2,3,4},
{3,4,5}
entsprechenden 0-1-Folgen: 10110, 10011, 01110, 00111 gibt genauso viele 0-1-Folgen der Länge 5 mit genau drei
Einsen wie 3-elementige Teilmengen einer Menge mit 5 Elementen:
k
n
3
5
BinomialkoeffizientenPascal-Dreieck
Das Pascal-Dreieck:- das pascalsche Dreieck ist eine geometrische Darstellung der Binomialkoeffizienten - die Koeffizienten entstehen durch Addition
darüberliegender Koeffizienten. - n steht für Anzahl der Elemente der
Ausgangsmenge- k steht für Anzahl der Elemente der Teilmenge
Binomialkoeffizienten Pascal-Dreieck
k
Binomialkoeffizienten Pascal-Dreieck
- Summe der Einträge einer Zeile wird als Zeilensumme bezeichnet
- die Zeilensumme der ersten Zeile ist 2, daher ist die Zeilensumme der n-ten Zeile
- Beispiel: Tabellenzeile Nummer 5 dort sind alle Teilmengen einer 5-elementigen Menge abgezählt alle Zahlen zusammen (1,5,10,10,5,1) ergeben die Anzahl aller
Teilmengen einer 5-elementigen Menge: (=32)
- an dieser Stelle kommt die Additionsregel zu Einsatz
n2
52
Binomialkoeffizienten Pascal-Dreieck
- dies entspricht dem Gesetz der Binomialkoeffizienten:
- Beispiel: Zeile 5 n=5,
322
5
5
4
5
3
5
2
5
1
5
0
5 5
32215101051 5
Binomialkoeffizienten Pascal-Dreieck
k
Binomialkoeffizienten Pascal-Dreieck
- die n-te Zeile dieses Zahlenschemas enthält genau die Koeffizienten, die beim Ausmultiplizieren von (a + b)n auftreten, wobei mit n = 0 zu zählen begonnen wird:
Die nullte Zeile entspricht der Identität (a + b)0 = 1 Die erste Zeile entspricht der Identität (a + b)1 = a + b Die zweite Zeile entspricht der Identität
(a + b)2 = a2 + 2 ab + b²
Die dritte Zeile entspricht der Identität (a + b)3 = a3 + 3 a2 b + 3 a b2 + b3
Binomialkoeffizienten Pascal-Dreieck
Die nullte Zeile entspricht der Identität (a + b)0 = 1Die erste Zeile entspricht der Identität (a + b)1 = 1 a + 1 bDie zweite Zeile entspricht der Identität (a + b)2 = 1 a2 + 2 a b + 1 b2
Die dritte Zeile entspricht der Identität (a + b)3 = 1 a3 + 3 a2 b + 3 a b2 + 1 b3 usw.- die fettgedruckten Zahlen sind die Binomialkoeffizienten- diese sind genau die Zahlen des Pascal-Dreiecks
BinomialkoeffizientBinomischer Leitsatz
- der Name „Binomialkoeffizienten“ leitet sich davon ab, dass die Zahlen im binomischen Lehrsatz auftreten:
Herleitung zu der Formel durch ausmultiplizieren der Terme:
(a + b)1=1a+1b=
(a + b)2=1a2+2ab+1b2=
(a + b)3=1a3+3a2b+3ab2+1b3=
nnnnnnn bn
ban
ban
ban
nba
n
na
n
nba
012......
2111222211
1111
11
1
1
1baa
2221122
22
2
12
2
2
2babaa
32231133
33
3
23
3
13
3
3
3bbabaa
Kombination ohne Wiederholung
- Definition: Die Auswahl der k-stelligen Sequenz der Grundgesamtheit , in denen das Element genau einmal vorkommt, heißt
Kombination ohne Wiederholung von der Länge k.- Reihenfolge nicht von Bedeutung - Wenn aus n Objekten k ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der
Reihenfolge ausgewählt werden sollen, so gibt es jeweils die Klasse der k ausgewählten Objekte und die Klasse der (n-k) nicht ausgewählten Objekte
- dabei sind k und n-k in der Formel austauschbar, da man die n Objekte in zwei Teilmengen teilt
- es gilt: !
)1)...(2)(1(
)!(!
!
k
knnnn
knk
n
kn
n
k
n
nAA ,...1 jA
Kombination ohne Wiederholung
- Beispiel: Lotto „6 aus 49“
Wenn aus 49 Objekten nun 6 ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge ausgewählt werden sollen, so gibt es:
Möglichkeiten816.983.13)!649(!6
!49
649
49
6
49
Kombination ohne Wiederholung
- Beispiel 2:Herr Bauer hat seinen vierstelligen Zahlencode vergessen. Er
weiß noch, dass es sich bei seinem Code um vier verschiedene
Ziffern gehandelt hat. Die 0 war nicht dabei.
Wie viele Kombinationsmöglichkeiten müsste Herr Bauer
höchstens ausprobieren?
Berechnungsformel:
!
)1(...)2()1(
)!(!
!
k
knnnn
knk
n
k
n
Kombination ohne Wiederholung
- Lösung Beispiel 2: n=9, k=4
Herr Bauer müsste höchstens 630
Kombinationsmöglichkeiten ausprobieren.
6301234
56789
4
9
Permutation mit Wiederholung
Holger möchte für die Party eine Lichterkette aufhängen. Er hat 5 rote Lampen, 4 grüne
Lampen und 3 gelbe Lampen. Wie viele verschiedene Lichterketten sind möglich?
Lösungsansatz: Binomialkoeffizient und Produktregel
Lösung: 1.Schritt: Entscheiden, auf welche 5 von den 12 Plätzen die roten aufgehängt werden: Möglichkeiten
2. Schritt: Festlegen, auf welche 4 der verbleibenden 7 Plätze die grünen Lampen gehängt werden: Möglichkeiten
3. Schritt: Die verbleibenden 3 Plätze auf die gelben Lampen verteilen:
Produktregel: x x Möglichkeiten
4
7
3
3
5
12
5
12
4
7
3
3
5
12
4
7
x Möglichkeiten
Permutation mit Wiederholung
5
12
4
7
)!(!
!
knk
n
k
n
x = 27720!5!4!3
!12
!3!4
!7
!7!5
!12
Binomialkoeffizient
792)!512(!5
!12
5
12
35)!47(!4
!7
4
7
Es gibt 27720 Möglichkeiten die Lichterketten aufzuhängen.
Permutation mit Wiederholung
Allgemeine Formel:
Hat man n Objekte sowie s verschiedene Sorten von Objekten mit den
Vielfachheiten k1, k2, k3, … , dann können diese auf
.!*!......3!*2!*1
!
kskkk
nArten angeordnet werden.
Permutation mit Wiederholung
Beispielaufgabe: Wie viele unterschiedliche Möglichkeiten gibt es, alle Buchstaben des Wortes „ANAGRAMM“ in einer unterschiedlichen Reihenfolge anzuordnen?
Lösung: n= Objektek= Sorten von Objekten!*!......3!*2!*1
!
kskkk
n
336012
40320
!2!*3
!8
!1!*2!*1!*1!*3
!8
n = 8 (Anzahl aller Buchstaben)k1= A = 3k2= G = 1k3= N = 1k4= M = 2k5= R = 1 Es gibt 3360 Möglichkeiten.
Kombination mit Wiederholung
Ein Händler hat 5 verschiedene Sorten Äpfel. Er verkauft Tüten beliebiger
Zusammensetzungen mit jeweils 10 Äpfeln. Wie viele verschiedene
Zusammensetzungen sind denkbar?
Bildliche Darstellung:
Auf die 5 Schachteln werden 10 Äpfel verteilt.
Kombination mit Wiederholung
Summendarstellung: 1+3+0+2+4
Summendarstellung: 0+3+3+3+1
Jeder Apfel wird durch eine 0 und jede Trennwand durch eine 1 ersetzt.
0-1-Folge
01000110010000
10001000100010
Kombination mit Wiederholung
- Wenn man umgekehrt von einer 0-1-Folge ausgeht, kann man die
entsprechende Sortenzusammenstellung rekonstruieren
- Es gibt genauso viele Sortenzusammenstellungen wie 0-1-Folgen aus 4
Einsen und 10 Nullen, nämlich =
4
14
10
14
Ergebnis: 1001)!414(!4
!14
4
14
1001)!1014(!10
!14
10
14
Binomialkoeffizient:
)!(!
!
knk
n
k
n
Kombination mit Wiederholung
Antwort: Es sind 1001 verschiedene Zusammensetzungen möglich, wenn ich 5 verschiedene Sorten Äpfel habe und Tüten beliebiger Zusammenstellung mit jeweils 10 Äpfeln verkaufe.
Darstellung im Gitternetz:
Sorte 1: 1 ApfelSorte 2: 3 ÄpfelSorte 3: keinen ApfelSorte 4: 2 ÄpfelSorte 5: 4 Äpfel
0-1-Folge: 01000110010000
Kombination mit Wiederholung
- Der Gitterweg entspricht der 0-1-Folge 01000110010000- 14 Wegstücke, von denen 4 ausgewählt werden, die nach rechts gehen und 10, die nach oben gehen
Kombination mit Wiederholung
Weiteres Beispiel: Du sollst 3 Zigarettenpäckchen aus einem Zigarettenautomaten mit 15 verschiedenen Zigarettensorten holen. Wie viele unterschiedliche
Zusammensetzungen von unterschiedlichen 3 Zigaretten-
sorten gibt es?
Bildliche Darstellung
3 Zigarettenpäckchen auf 15 Schachteln verteilen
0-1-Folge:10111110111111011
Kombination mit Wiederholung
3
17
14
17
Es gibt 14 Einsen und 3 Nullen:
0-1-Folge:10111110111111011
680)!317(!3
!17
3
17
=
)!(!
!
knk
n
k
n
Binomialkoeffiezient:
680)!1417(!14
!17
14
17
Kombination mit Wiederholung
Antwort: Wenn man 3 Zigarettenpäckchen aus einem Zigarettenautomaten mit 15 verschiedenen Zigarettensorten holen soll, dann gibt es 680 mögliche unterschiedliche Zusammensetzungen von unterschiedlichen 3 Zigarettensorten.
Allgemeine Formel:
680!3)!14(
)!17(
!3)!115(
)!1315(
!)!1(
)!1(
kn
kn
Zusammenfassung Kombinatorik
Auswahl von k Elementen aus n Elementen
mit Reihenfolge bzw. mit Berücksichtigung der Anordnung
ohne Reihenfolge bzw. ohne Berücksichtigung der Anordnung
Variationen Kombinationen
mit Wiederholung ohne Wiederholung mit Wiederholung ohne Wiederholung
nk
ZusammenfassungKombinatorik
- Abschlussaufgabe:Wir möchten 2 Elemente (z.B. {1,3};{2,3}...) aus 4Elementen {1,2,3,4} auswählen. Wie vieleMöglichkeiten gibt es? Bestimme die Möglichkeiten für alle viel Fälle:
a) Variation mit Wiederholungb) Variation ohne Wiederholungc) Kombination mit Wiederholung
d) Kombination ohne Wiederholung
ZusammenfassungKombinatorik
Auswahl von 2 aus 4 möglichen Elementen
mit Reihenfolge bzw. mit Berücksichtigung der Anordnungohne Reihenfolge bzw. ohne Berücksichtigung
der Anordnung
Variationen Kombinationen
mit Wiederholungohne
Wiederholungmit Wiederholung ohne
Wiederholung
11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44
12, 13, 14, 21, 23, 24, 31, 32, 34, 41, 42, 43
11, 12, 13, 14, 22, 23, 24, 33, 34, 44
12, 13, 14, 23, 24, 34
16 Möglichkeiten 12 Möglichkeiten 10 Möglichkeiten6
Möglichkeiten
Hier gilt 21=12, da die Reihenfolge keine
Rolle spielt
ENDE
Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit!