54
Komplexe Analysis SS 2015 Harald Woracek
Komplexe Analysis
SS 2015
Harald Woracek
Inhaltsv
erzeichnis
1Einleitung
11.1
Kom
plexeZah
lenundFunktion
en.................
11.2
Kurvenintegrale............................
81.3
Top
olog
ieder
Ebene
.........................
10
2DerAnalytizitatsbegriff
17
2.1
Aquivalente
Bedingu
ngenfurAnalytizitat
.............
172.2
GlobaleVersion
endes
Cau
chy’schen
Integralsatzes
........
242.3
Analytizitatvs.
Differenzierbarkeit
imreellen
...........
30
3Eigenschaften
analytischerFunktionen
33
3.1
Identitatssatz,Log
arithmen
.....................
333.2
Der
Satzvom
loga
rithmischen
Residuum
..............
373.3
Das
Max
imumprinzip
........................
403.4
IsolierteSingu
laritaten
........................
443.5
Die
Lau
rententw
icklung
.......................
46
4LokalgleichmaßigeKonverg
enz
49
4.1
Der
metrischeRau
mC(G
,X)....................
494.2
Analytischeundmerom
orpheFunktion
en.............
534.3
Kom
pak
theit
.............................
584.4
VorgegebeneNullstellenundHau
ptteile
..............
644.5
Der
Rieman
nscheAbbildungssatz
..................
714.6
Der
Fundam
entalNormalityTest..................
72
5RiemannscheFlach
en
77
5.1
Rieman
nscheFlachen
undan
alytischeFunktion
en........
775.2
EinigeSatze
uber
analytischeFunktion
en.............
815.3
Die
Rieman
nscheFlacheder
Umkehrfunktion
...........
82
6AnalytischeFortsetzung
87
6.1
AnalytischeFortsetzunginnerhalbvonC
..............
876.2
Uberlagerungen
............................
896.3
Funktion
skeime,
Fortsetzunglangs
Wegen
.............
936.4
Max
imalean
alytischeFortsetzung
.................
96
Litera
turv
erzeichnis
99
Index
101
i
iiIN
HALTSVERZEIC
HNIS
Kapitel1
Einleitung
DiesesKap
itel
dientzurW
iederholungeiniger
Begriffe.
Dah
erwerden
wirman
-cheAussag
ennichtbew
eisenoder
nuran
schau
lich
motivieren.
1.1
KomplexeZahlen
undFunktionen
1.1.1
DerKorp
erC
1.1.1
Definition.Setze
C:=
R×
Runddefiniere
fur(x,y),
(u,v)∈C
(x,y)+
(u,v):=
(x+
u,y
+v),
(x,y)·(u,v):=
(xu−
yv,x
v+
yu),
(x,y):=
(x,−
y),
d� (x
,y),(u,v)�
:=�
(x−
u)2
+(y
−v)2,
Weiters
setzen
wir
0:=
(0,0),
1:=
(1,0),
i:=
(0,1).
Die
Men
geC
heißt
der
Korper
der
komplexenZahlen.
�
1.1.2
Satz.Esgilt:
(i)DasTupel�C
,+,·,
0,1�
isteinalgebraisch
abgeschlossen
erKorper.
(ii)
Die
reellenZahlenR
sind,verm
oge
der
Einbettungx�→
(x,0),
einUn-
terkorper
vonC.FasstmanC
als
R-V
ektorraum
auf,so
giltdim
RC
=2.
(iii)DasPaar�C
,d�i
steinvollstandiger
metrischer
Raum.
(iv)Die
Operationen
+:C×
C→
C,·
:C×
C→
C,
−:
�C×
C→
C(z,w
)�→
z−
w·−
1:
�C\{
0}→
C\{
0}z
�→z−1
sindstetig.
(v)Die
komplexeKon
juga
tion
(x,y)�→
(x,y)isteinstetiger
Korperautomor-
phismusvonC
der
Rpunktweise
festlaßt.
1
2KAPIT
EL1.
EIN
LEIT
UNG
1.1.3
Bem
erkung.
Offenbar
ist{1
,i}eineBasis
vonC
alsR-V
ektorrau
m.Es
laßt
sich
also
jedeko
mplexeZah
lzin
eindeu
tigerWeise
als
z=
x·1
+y·i
=x+
iy
mitgewissenx,y
∈Ran
schreiben.Man
bezeichnet
xalsden
Realteilvo
nz,und
yalsden
Imaginarteilvo
nz,undschreibtx=
Rez,y
=Im
z.Weiters
spricht
man
vonzalsder
zuzkonjugiertkomplexenZahl.Schliesslichsetzen
wir
|z|:=
d(z,0)=�
(Rez)2
+(Im
z)2
=√z·z
,
undbezeichnen
|z|a
lsden
Betragder
komplexen
Zah
lz.
�Veran
schau
lichtman
Calsdie
Ebene
R×
R,so
sprichtman
von
der
Gauß’schen
Zahleneben
e:
• • zzIm
z
Rez
|z|
Die
algebraischeOperationder
Additionerhaltman
indiesem
Bildwie
folgt:
•
•
•
z
z+
w
w
1.1.2
Differenzierb
ark
eit
1.1.4
Definition.Sei
G⊆
Coff
en,f
:G
→C,undw
∈G.Dan
nheißt
fdifferen
zierbarander
Stellew,wennder
Lim
es
lim
z→
w
f(z)−
f(w
)
z−
w
inC
existiert1.
Istfdifferenzierbar
ander
Stellew,so
bezeichnet
man
den
Wertdes
obigen
Lim
esmit
f′ (w)undsprichtvonder
Ableitungvo
nfan
der
Stellew.
�W
iefurFunktion
eneiner
reellenVeran
derlichen
zeigtman
dassf:G
→C
aneiner
Stellew
genau
dan
ndifferenzierbar
ist,
wennes
eineZah
lα∈C
und
einestetigeFunktion
ρ:G
→C
mit
g(w
)=
0gibt,
sodass
f(z)=
f(w
)+
α(z
−w)+
ρ(z)(z−w),
z∈G.
1Bea
chte
hierb
ei,dass
zinnerhalb
vonG
irgen
dwie
geg
enw
streben
darf,undnichtetwa
angew
isse
Geraden
oder
Kurven
geb
unden
ist.
1.1.
KOMPLEXE
ZAHLEN
UND
FUNKTIO
NEN
3
Indiesem
Fallistα=
f′ (w).
Offenbar
isteinean
der
Stellew
differenzierbare
Funktion
auch
ander
Stellew
stetig.
Esgelten
die
folgenden
Rechenregeln.
1.1.5
Pro
position.Sei
G⊆
Coffen
,f,g
:G
→C,undw
∈G.Weiters
sei
G⊆
Coffen
mit
f(w
)∈
G,undh
:G
→C.Sei
vorausgesetzt,dass
fund
gbeidedifferen
zierbarander
Stellew
sind,unddass
hdifferen
zierbarander
Stellef(w
)ist.Danngilt:
(i)Die
Funktionen
f+
gundf·g
sindander
Stellew
differen
zierbar,
und
(f+
g)′(w
)=
f′ (w)+
g′ (w),
(f·g
)′(w
)=
f′ (w)g(w
)+
f(w
)g′ (w).
(ii)
Istg(w
)�=
0,so
istdie
Funktion
f gaufeiner
Umgebungvonw
wohldefi
-niert,ander
Stellew
differen
zierbar,
und
� f g
� ′(w
)=
f′ (w)g(w
)−
f(w
)g′ (w)
g(w
)2.
(iii)Die
Funktionh◦f
istander
Stellew
differen
zierbar,
und
(h◦f
)′(w
)=
h′� f
(w)�
·f′ (w).
1.1.3
Potenzreihen
EineReiheder
Gestaltf(z)=�
∞ n=0an(z
−z 0)n
mitan∈C,n∈N
0,heißt
eine
Potenzreihemit
Anschlußstelle
z 0.
1.1.6
Pro
position.Sei
f(z)=�
∞ n=0an(z
−z 0)n
einePotenzreihe.
(i)Esexistierteineeindeutige
ZahlR
∈[0,∞
],sodass
diese
Reihefurjedes
z∈
UR(z
0)konvergiert
2,undfurjedes
z∈
C\UR(w
)divergiert.
Diese
ZahlR
heißtder
Kon
vergenzrad
iusder
Potenzreihef(z).
(ii)
Die
Reihef(z)istaufjeder
kompakten
Teilm
enge
der
Kreisscheibe
UR(z
0)
absolutundgleichmaßig
konvergen
t,undstelltdaher
aufUR(z
0)eineste-
tige
Funktiondar.
Mansagt,dass
einePotenzreiheaufihrem
Konvergen
z-kreislokalgleichmaßig
konvergiert.
(iii)Der
Konvergen
zradiusder
Potenzreihef(z)laßtsich
ausden
Koeffizien
ten
anberechnen
durchdie
Form
el
R=
1
lim
supn→
∞n�|a
n|.
Esisteineinteressan
teBeobachtung,
dassdie
voneiner
Potenzreihedarge-
stellteFunktion
differenzierbar
ist.
1.1.7
Pro
position.Sei
f(z)=�
∞ n=0an(z
−z 0)n
einePotenzreihemit
Kon-
vergen
zradiusR
>0.
Dannistfanjeder
StellevonUR(z
0)differen
zierbar,
und
esgilt
f′ (z)=
∞ � n=1
ann(z
−z 0)n
−1.
2W
irbezeich
nen
stetsmit
Ur(w
)die
offen
eKreisscheibemit
Mittelpunktw
undRadiusr,
d.h.Ur(w
):=
{z∈
C:|z
−w|<
r}.
Form
alsetztmannoch
U∞(w
):=
C.
4KAPIT
EL1.
EIN
LEIT
UNG
Bew
eis.
Wegen
der
inProposition
1.1.6,
(iii),
angegebenen
Formel
furden
Kon
vergenzrad
iuseiner
Potenzreihe,istder
Kon
vergenzrad
iusder
Reiheg(z):=
�∞ n=1ann(z
−z 0)n
−1eb
enfallsgleich
R.
Sei
w∈UR(z
0).
Dan
ngilt,furz∈UR(z
0),
z�=
w,
f(z)−
f(w
)
z−
w−
g(w
)=
∞ � n=1
an
� (z−
z 0)n
−(w
−z 0)n
z−
w−
n(z
−w)n
−1� ,
und (z
−z 0)n
−(w
−z 0)n
z−
w−
n(z
−w)n
−1=
=
�0
,n=
1
(z−
w)�
n−1
k=1k(w
−z 0)k
−1(z
−z 0)n
−k−1,
n≥
2.
Sei
r:=
max
{|z−
z 0|,|w−
z 0|},dan
ngilt
� � �f(z)−
f(w
)
z−
w−
g(w
)� � �≤|z
−w|
∞ � n=2
|an|(n
−1)
2rn
−2.
Dar<
Rist,
istdie
Reiheau
fder
rechtenSeite
konvergent.
Esfolgt
lim
z→
w
� f(z)−
f(w
)
z−
w−
g(w
)�=
0.
❑
1.1.8
Koro
llar.
Sei
f(z)=�
∞ n=0an(z
−z 0)n
einePotenzreihemit
Konver-
genzradiusR
>0.
Dannistfin
UR(z
0)beliebig
oftdifferen
zierbar,
undes
gilt
f(k
)(z)=
∞ � n=k
ann(n
−1)
·...·(n−
k+
1)(z
−z 0)n
−k,
k∈N
0.
Insbesondereist
an=
f(n
)(z
0)
n!
,n∈N
0.
(1.1.1)
Wir
sehen
dass
die
Taylorreihevonfgleich�
∞ n=0an(z
−z 0)n
ist,insbesondere
wirdfdurchseineTaylorreihedargestellt.
Bew
eis.
Die
ersteBehau
ptungfolgtmittelsvo
llstan
diger
Induktion
,die
Formel
(1.1.1)dan
ndurcheinsetzen
vonz=
z 0.
❑
1.1.4
Die
Exponentialfunktion
Zitat
This
isthemost
importantfunctionin
mathem
atics.It
isdefi
ned,
foreverycomplexz,by
theform
ula
exp(z):=
∞ � n=0
zn n!.
(1.1.2)
1.1.
KOMPLEXE
ZAHLEN
UND
FUNKTIO
NEN
5
Um
diese
Definitionzu
rechtfertigenbeachte
man
,daß
die
Reihe(1.1.2)Kon
-vergenzrad
ius∞
hat.AufGrund
der
absoluten
Kon
vergenzistdie
folgende
Umform
unggerechtfertigt:
∞ � k=0
ak k!
∞ � m=0
bm m!=
∞ � n=0
1 n!
n � k=0
n!
k!(n−
k)!akbn
−k=
∞ � n=0
(a+
b)n
n!
.
Esgilt
also
das
Additionstheorem
exp(a)·exp(b)=
exp(a
+b).
Wir
definiereneineZah
ledurch
e:=
exp(1).
Diese
Zah
lheißt
EulerscheZahl.
1.1.9
Bem
erkung.
Esistexp(0)=
1.Wegen
dem
Additionstheorem
gilt
exp(x)=
ex,
x∈Z.
�
1.1.10Satz.Esgilt:
(i)Furjedes
zgiltexp(z)�=
0.
(ii)
Esist
exp′ (z)=
lim
h→
0
exp(z
+h)−
exp(z)
h=
exp(z).
Beachte
nochmals,daßin
diesem
Lim
esh∈C
(!)gegenNullstrebt.
(iii)Die
Funktionexp(z)eingeschrankt
aufdie
reelle
Achse
isteinemonotone
positive
Funktion.Esgilt
lim
x→
+∞exp(x)=
+∞
,lim
x→
−∞exp(x)=
0.
(iv)Esexistiertgenaueinepositive
reelle
Zahl,wir
bezeichnen
siemitπ,sodaß
exp(iπ)+
1=
0
gilt,undsodaßexp(z)=
1istgenaudannwen
nz∈2π
i·Z
.
(v)exp:C
→C
isteineperiodischeFunktionmitPeriode2π
i,d.h.
exp(z
+2π
i)=
exp(z),
z∈C.
(vi)
Die
Abbildungt�→
exp(it)
bildet
die
reelle
Achse
surjektivaufdie
Ein-
heitskreislinie
ab.
(vii)Istw
∈C\{
0},so
existiertz∈C
mitw
=exp(z).
❑
6KAPIT
EL1.
EIN
LEIT
UNG
Wir
werden
imfolgenden
anstelle
von
exp(z)au
choftdie
abkurzen
de
Schreibweise
(!)exp(z)=:ez
verw
enden
.
Ausder
Expon
entialfunktion
erhaltman
auch
die
Cosinus-
bzw
.Sinusfunk-
tion.Diese
sind,in
gewissen
Sinne,
”Real-“
und
”Imag
inarteil“
von
exp(iz).
Definiere
cosz:=
exp(iz)+
exp(−
iz)
2=
∞ � n=0
(−1)
nz2n
(2n)!
sinz:=
exp(iz)−
exp(−
iz)
2i=
∞ � n=0
(−1)
nz2n+1
(2n+
1)!
Beachte,dassgilt
cosz+
isinz=
exp(iz).
1.1.5
Polark
oord
inaten
Betrachte
die
Abbildung
Φ:
�[0,∞
)×
R→
C(r,ϕ
)�→
rcosϕ+
irsinϕ=
reiϕ
Diese
istsurjektiv.IstIirgendein
halboff
enes
Intervallder
Lan
ge2π
,so
ist
Φ| (0
,∞)×
IeineBijektion
von(0,∞
)×Iau
fC\{
0}.Man
sprichtvonder
Darstel-
lungder
komplexen
Zah
leneb
enedurchPolarkoordinatenmit
einem
Argument
inI. Istz∈C\{
0}und(r,ϕ
)∈Φ
−1({z}),so
gilt
r=
|z|.Man
bezeichnet
ϕals
Argumen
tder
komplexen
Zah
lzundschreibtϕ=
argz.Diese
Schreibweise
ist
eigentlichirrefuhrend,dennder
Wertvo
nϕistdurchznurbis
aufga
nzzah
lige
Vielfachevon2π
bestimmt,
”arg“istalso
keine(!)Funktion
.
Die
algebraischeOperationder
Multiplikation
laßt
sich
inPolarkoordinaten
wie
folgtinterpretieren.
•
•z·w
z
w •|z
|·|w
|
|w|
|z|
φ+
ψψ
φ
•
•|z|=
1
z
1 z
1 |z|
φ|z
|
−φ
1.1.6
Die
RiemannscheZahlenkugel
Betrachte
die
Einheitssphareim
R3:
S2:=
� (X,Y
,Z)∈R
3:X
2+
Y2+
Z2=
1�,
unddefiniere
eineAbbildungι:C
→S2
wie
folgt:
1.1.
KOMPLEXE
ZAHLEN
UND
FUNKTIO
NEN
7
Z
X
Y
z
ι(z)
•
•
•
N
D.h.man
betrachte
die
komplexeZah
lzalsPunktin
der
(X,Y
)-Ebene,
und
schneidedie
Gerad
edurchdie
Punkte
N=
(0,0,1)undzmit
S2\{
N}.
Dan
nerhaltman
genau
einen
Punktunddieserseiι(z).In
Formelnschreibtsich
ιals
(x:=
Rez,y:=
Imz)
X=
2x
1+
x2+
y2,
Y=
2y
1+
x2+
y2,
Z=
x2+
y2−
1
x2+
y2+
1.
Die
AbbildungιisteineBijektion
vonC
aufS2
\{N}.
Ihre
Inverseσ=
ι−1:
S2\{
N}→
Cheißt
stereographischeProjektion.
Sei
dR3
:R
3×
R3→
[0,∞
)die
euklidischeMetrikam
R3,d.h.
dR3� (X
1,Y
1,Z
1),(X
2,Y
2,Z
2)�
:=�
(X2−
X1)2
+(Y
2−
Y1)2
+(Z
2−
Z1)2
Dan
nist�S
2,d
R3�e
inkompak
termetrischer
Rau
m.
Die
AbbildungιisteinHom
oomorphismusvon�C
,d�au
f�S
2\{
N},dR3�.
Achtung:
ιistsoga
rgleichmaß
igstetig,nicht(!)jedoch
σ.Defi
niert
man
χ(z,w
):=
dR3� ι(
z),ι(w)�,
z,w
∈C,
soerhaltman
also
eineMetrikau
fC
die
die
gleicheTop
olog
ieerzeugt
wie
d,
aber
nichtzu
daq
uivalentist.
Man
bezeichnet
χalschordale
Metrik
aufC.
Explizitistχgegeben
als χ(z,w
)=
2|z−
w|
�1+
|z|2�
1+
|w|2
.
Wirwerden
oftC
verm
ogeιalsTeilm
enge
vonS2
betrachten.Um
bequem
lich-
keitshalber
die
Einbettungιnotationellzu
unterdrucken,definierenwir
C∞
:=C∪{∞
},
wob
ei”∞
“einform
ales
Elementist,
das
nichtzu
Cgehort.
Setzt
man
nunχ
fort
aufC
∞durch
χ(z,∞
):=
dR3(ι(z),N),
χ(∞
,∞):=
0,
8KAPIT
EL1.
EIN
LEIT
UNG
soistdie
Abbildungλ:C
∞→
S2
λ(z):=
�ι(z),
z∈C
N,
z=
∞
eineIsom
etrievo
n�C
∞,χ
�auf�S
2,d
R3�.
1.2
Kurv
enintegra
le
Sei
[a,b]⊆
R.Eine
Partition
des
Intervalls
[a,b]isteine
endliche
Menge
{t0,...,t
n}⊆
[a,b]mit
a=
t 0<
t 1<
...<
t n=
b.Die
Menge
allerParti-
tion
envo
n[a,b]bezeichnen
wir
mit
P.
1.2.1
Definition.Sei
γ:[a,b]→
CeinestetigeFunktion
.Dan
nheißt
V(γ):=
sup
{t0,...,t
n}∈
P
n � i=1
|γ(t
i)−
γ(t
i−1)|∈[0,∞
]
die
Totalvariationvonγ.IstV(γ)<
∞,so
heißt
γvo
nbeschrankter
Variation. �
Man
bezeichnet
oftau
chV(γ)als”L
ange
vonγ“undnenntγrektifizierbar
wennV(γ)<
∞.Diesmotiviert
sich
darau
s,dassV(γ)off
enbar
das
Supremum
der
Lan
genallerder
Kurveγeingeschrieb
enen
Polygo
nzuge
ist.
IstP
={t
0,...,t
n}einePartition
von[a,b],so
bezeichneν(P
)die
Zah
l
ν(P
):=
max
|t i−
t i−1|.
Man
nenntν(P
)au
chdie
Feinheitder
PartitionP.
Seien
nunf,g
:[a,b]→
CundP
={t
0,...,t
n}∈
Pgegeben.Weiters
sei
Z=
{u1,...,u
n}⊆
[a,b]mit
ui∈[ti−
1,t
i],man
sprichtau
chvoneiner
Menge
vonZwischenstellen.Die
RiemannscheZwischen
summeist
S(f,g,P
,Z):=
n � i=1
f(u
i)� g(t
i)−
g(t
i−1)�
.
1.2.2
Satz.Seien
f,g
:[a,b]→
C,fstetig,gvonbeschrankter
Variation.Dann
existiertder
Lim
es
lim
P∈P
ν(P
)→0
S(f,g,P
,Z)=:
bˆ
a
fdg
gleichmaßig
bezuglichder
Zwischen
stellenZ.Explizitheißtdas
∃A∈C
∀ǫ>
0∃δ
>0∀P
∈P
∀ZZwischen
stellenfurP
:
ν(P
)<
δ=⇒
|S(f,g,P
,Z)−
A|<
ǫ.
Manbezeichnet´
b afdgals
dasRieman
n-Stieltjes
Integral
vonfnachg.
1.2.3
Bem
erkung.
Die
Menge
Pisteinegerichtete
Menge
mitder
mengentheo-
retischen
Inklusion
.Esexistiertder
Lim
eslim
ν(P
)→0S(f,g,P
,Z)genau
dan
nwenn
der
Lim
eslim
P∈(
P,⊆
)S(f,g,P
,Z)existiertund
indiesem
Fallsind
die
beiden
gleich.
�
1.2.
KURVENIN
TEGRALE
9
WirstelleneinigeEigenschaftenvonIntegralen
zusammen.Dab
eisetzen
wir
voraus,
dassalle
auftretenden
Ausdruckeexistieren:
(i)
b a
fdg=
c a
fdg+
b c
fdg
(ii)
b a
(f+
h)dg=
b a
fdg+
b a
hdg,
b a
(λf)dg=
λb a
fdg.
(iii)� � �b a
fdg� � �≤
�f� ∞
V(g),
wob
ei�f
� ∞:=
supx∈[
a,b]|f(x)|.
(iv)Istf n
→fgleichmaß
igau
f[a,b],so
folgt
b a
f ndg→
b a
fdg.
(v)Istgstuckweise
stetig
differenzierbar,so
istgvo
nbeschrankterVariation
undes
gilt
b a
fdg=
b a
f(t)g
′ (t)dt.
1.2.4
Definition.Sei
G⊆
Coff
en.EinestetigeAbbildungγ:[0,1]→
Gheißt
einWeg
inG.Erheißt
rektifizierbar,wennV(γ)<
∞ist.
Weiters
heißt
der
Weg
γgeschlossen
,wennγ(0)=
γ(1)ist.
Istγeinrektifizierbarer
Weg
inG
undistf:G
→C
stetig,so
heißt
ˆ
γ
f(ζ)dζ:=
1ˆ
0
(f◦γ
)dγ
das
Kurven
integralvonflangs
γ.
�1.2.5
Beispiel.
Sei
γ(t):=
e2πit,t
∈[0,1],also
γ([0,1])die
Einheitskreislinie,
die
vonγ(t)einmal
inpositiver
Richtungdurchlaufenwird.Sei
f(z):=
znmit
n∈Z.
Dan
nist
ˆ
γ
zndz=
1ˆ
0
e2πin
t2π
ie2πitdt=
2πi
1ˆ
0
e2πi(n+1)tdt=
=
2π
ie2πi(n+
1)t
2πi(n+1)
� � �1 0,
n�=
−1
2πi
,n=
−1
=
�0
,n�=
−1
2πi,
n=
−1
�1.2.6
Bem
erkung.
Wir
treff
enzw
einotationelle
Vereinbarungen.
(i)Istγ
ein
geschlossener
rektifizierbarer
Weg
der
ein
gewissesGebietD
beran
det,so
verw
endet
man
auch
das
Symbolfl
∂D
anstelle
von´
γ.W
ir
gehen
nichtnah
erau
fdie
(außerstkomplexe)
Frage
einwas
eseigentlich
bedeutetdassγdas
GebietD
beran
det,bzw
.dassD
innerhalbvo
nγliegt.
Wir
verw
enden
das
Symbolfl
∂D
nurfurKreisscheiben
oder
Dreiecke,
wo
esin
offensichtlicher
Weise
zuinterpretieren
ist.
Zum
BeispielwarefurD
:={z
∈C
:|z|<
1},alsofl
∂Df(ζ)dζ
=´
γf(ζ)dζmit
dem
Weg
γ(t):=
e2πit,t∈[0,1].
10KAPIT
EL1.
EIN
LEIT
UNG
(ii)
Sinda,b
∈C,so
schreiben
wir´
[a,b]f(ζ)dζfurdas
Integral
vonflangs
der
Strecke
vonanachb,also
fur´
γf(ζ)dζmitdem
Weg
γ(t):=
(1−t)a+tb,
t∈[0,1].
�1.2.7
Bem
erkung.
Sei
f:[a,b]→
Cstetig,g:[a,b]→
Cvo
nbeschrankter
Variation
undǫ>
0gegeben.Dan
nexistierteineFunktion
g:[a,b]→
Cmit
den
folgenden
Eigenschaften:
(i)giststetig
differenzierbar;
(ii)
�g−
g� ∞
<ǫ;
(iii)
� � �bˆ
a
fdg−
bˆ
a
fdg� � �<
ǫ.
Tatsachlich
wah
leman
einehinreichendfeinePartition
{t0,...,t
n}undwah
lefurgden
entsprechenden
Polygo
nzugdurchdie
Punkte
g(t
i),i
=0,...,n,mit
”geglatteten
Ecken“.
WirbegnugenunsmitdieserAnschau
ung;
explizite
Formelnkannman
zum
Beispielgenau
sofinden
wie
man
C∞-Zerlegu
ngender
Einsko
nstruiert.
�W
irerinnernnoch
anden
Begriffder
Stammfunktion
,undseineBedeutung
zurBerechnungvonKurvenintegralen
.
1.2.8
Definition.Sei
G⊆
Coff
en,undf,F
:G
→C.IstF
anjeder
Stelle
differenzierbar
undgilt
F′ (z)=
f(z),
z∈
G,so
heißt
FeineStammfunktion
vonfau
fG.
�1.2.9
Satz.Sei
f:G
→C
stetig
undγ:[0,1]→
GeinrektifizierbarerWeg
inG.IstF
:G
→C
eineStammfunktionvonf,so
gilt
ˆ
γ
f(ζ)dζ=
F(γ(1))
−F(γ(0)).
1.3
Topologie
derEbene
1.3.1
Zusammenhang
1.3.1
Definition.Sei
(X,T
)eintopolog
ischer
Rau
m,undseiG
⊆X.
(i)G
heißt
zusammen
hangendwenngilt:SindA,B
⊆G
bezuglichder
Spur-
topolog
ieoff
en,undistA∩B
=∅undA∪B
=G,so
folgtdassentw
eder
A=
Goder
B=
Gist.
(ii)
Wieder
nennen
wir
einestetigeAbbildungγ:[0,1]→
Geinen
Weg
inG.
Ebenso
nennen
wir
wieder
den
Weg
γgeschlossen
,wennγ(0)=
γ(1)ist.
(iii)G
heißt
bogenweise
zusammen
hangend,wennes
furje
zwei
Punkte
z,w
∈G
einen
Weg
γin
Ggibt,
mit
z=
γ(0)undw
=γ(1).
(iv)(X
,T)heißt
lokalbogenweise
zusammen
hangend,wenndie
Top
olog
ieT
eineBasis
ausbog
enweise
zusammenhan
genden
Mengenbesitzt.
1.3.
TOPOLOGIE
DER
EBENE
11 �
Esistnaturlichvolligirrelevant,dasswiralsDefinitionsbereich
eines
Weges
das
Interval
[0,1]verw
enden
.Man
kanngenau
soirgendwelcheIntervalle
[α,β
]mit
α<
βzulassen.TrivialesBeispielfureinen
Weg
wareeinko
nstan
terWeg
der
ineinem
Punktx0vo
nG
sitzenbleibt,
d.h.die
stetigeFunktion
γ(t):=
x0,
t∈[0,1].
1.3.2
Lemma.Sei
(X,T
)eintopologischer
Raum,undG
⊆X.IstG
bogenwei-
sezusammen
hangend,so
istG
auch
zusammen
hangend.IstX
lokalbogenweise
zusammen
hangendundG
offen
,so
giltauch
die
Umkehrung.
Bew
eis.
Furdie
ersteBehau
ptungseiindirektan
genom
men
dassG
=A
∪B
mit
A,B
⊆G
offen,disjunktundnichtleer.
Wah
lex∈
A,y
∈B,undeinen
Weg
γin
Gmit
γ(0)=
x,γ
(1)=
y.Dan
nsindγ−1(A
),γ−1(B
)⊆
[0,1]off
en,
disjunkt,
nichtleer,
und
uberdecken
[0,1].
Ein
Widerspruch,dadas
Intervall
[0,1]zusammenhan
gendist.
Furdie
Umkehrungseieinezusammen
han
gendTeilm
enge
Ggegeben.Ist
G=
∅,so
istG
trivialerw
eise
bog
enweise
zusammenhan
gend.Sei
also
G�=
∅.W
ahle
z 0∈G,undbetrachte
die
Menge
M:=
� z∈G
:∃W
egγin
Gmitγ(0)=
z 0,γ
(1)=
z� .
Wir
zeigen
zunachst
die
folgendeAussag
e:Jed
eoff
eneundbog
enweise
zusam-
menhan
gendeMenge
die
mit
MnichtleerenSchnitthat
unddie
inG
liegt,
ist
bereits
ganzin
Menthalten.Dazu
seiU
⊆G
offen
und
bog
enweise
zusam-
menhan
gendundz∈
M∩U
gegeben.W
ahle
einen
Weg
γin
Gder
z 0mit
zverbindet.Furw
∈U
wah
leeinen
Weg
γin
Uder
zmitw
verbindet.Der
Weg
den
man
erhalt,
wennman
zuerst
γunddan
achγentlan
glau
ft,verlau
ftdan
nga
nzin
Gundverbindet
z 0mit
w.Alsohab
enwir
w∈M
.Sei
nunz∈M
.DaG
offen
undX
lokalbog
enweise
zusammen
han
gendist,
existierteineoff
eneundbog
enweise
zusammen
han
gendeMenge
Umitz∈U
⊆G.Nachdem
eben
gezeigten,folgtU
⊆M
.W
irschliessen,dassM
offen
ist.Sei
z∈
G\M
,undwah
lewieder
Uoff
enundbog
enweise
zusammenhan
gendmit
z∈U
⊆G.Nachdem
oben
gezeigten,folgtU
∩M
=∅,
also
U⊆
G\M
.W
irschliessen,dassau
chG\M
offen
ist.DaG
zusammenhan
gendist,undM
�=∅,
folgtdassG
\M=
∅.❑
1.3.3
Definition.Sei
G⊆
C.
(i)G
heißt
einGebiet,
wennG
offen
undzusammen
han
gendist.
(ii)
Gheißt
sternform
ig,wennes
einen
Punktz 0
∈G
gibtsodassfurjedes
z∈
Gdiegesamte
Verbindungsstrecke[z,z
0]=
{(1−t)z+tz
0:t∈[0,1]}
liegt.
Einen
PunktmitdieserEigenschaftnenntman
auch
Sternmittelpunkt
von
G.
(iii)G
heißt
konvex
wenn
mit
jezw
eiPunkte
z,w
ausG
auch
die
gesamte
Verbindungsstrecke[z,w
]in
Gliegt.
�
1.3.4
Bem
erkung.
12KAPIT
EL1.
EIN
LEIT
UNG
(i)Einesternform
igeTeilm
enge
GvonC
istbog
enweise
zusammenhan
gend.
Dennseiz 0
einSternmittelpunktvo
nG.Dan
nistfurjedes
z∈G
istdie
Strecke
γ(t):=
(1−
t)z+
tz0,t∈
[0,1],
ein
Weg
inG
der
zmit
dem
Sternmittelpunktz 0
verbindet.Sindnunz,w
∈G,so
erhaltman
einen
Weg
inG
der
zmit
wverbindet
indem
man
zuerst
die
Strecke
von[z,z
0]
unddan
ndie
Strecke
[z0,w
]durchlauft.
(ii)
Jedenichtleere
konvexeTeilm
enge
vonC
iststernform
ig.Den
nman
kann
jeden
beliebigen
Punktau
sG
alsSternmittelpunktverw
enden
.
(iii)Der
Rau
mC,unddam
itjedeoff
eneTeilm
enge
vonC
mit
der
Spurtop
o-logie,
istlokalbog
enweise
zusammen
han
gend.Den
nKreisscheiben
bilden
eineUmgebungsbasis
undsindkonvex.
(iv)Jedes
Gebietistbog
enweise
zusammenhan
gend.
�
1.3.5
Lemma.Sei
Gein
Gebiet,
undseien
z 0,z
1∈
G.Dann
existiertein
rektifizierbarerWeg
γ:[0,1]→
Gmitγ(0)=
z 0,γ
(1)=
z 1.
Bew
eis.
DaG
bog
enweise
zusammen
han
gendist,existierteinWeg
γ:[0,1]→
Gmitγ(0)=
z 0undγ(1)=
z 1.Setze
r:=
d(γ([0,1]),C\G
).Daγ([0,1])ko
mpak
tist,istr>
0.Weiters
existieren
,wieder
daγ([0,1])ko
mpak
tist,t 1,...,t
n∈[0,1]
sodass
z 0=
γ(0)∈Ur(γ(t
1)),
Ur(γ(t
k))
∩Ur(γ(t
k+1))
�=∅,
k=
1,...,n−
1,
z 1=
γ(1)∈Ur(γ(t
n)).
Wah
lew
k∈Ur(γ(t
k))
∩Ur(γ(t
k+1)),dan
nliegtder
Polygo
nzug
γ:=
z 0w
1γ(t
2)w
2γ(t
3)w
3···γ
(tn−1)w
n−1z 1
ganzin
G.
❑
1.3.2
Homoto
pie
1.3.6
Definition.Sei
(X,T
)eintopolog
ischer
Rau
m,undseiG
⊆X.
(i)Seien
γ0,γ
1Wegein
G.Dan
nheißenγ0undγ1homotopin
G,wennes
einestetigeAbbildungH
:[0,1]×
[0,1]→
Ggibtmit
H(t,0)=
γ0(t),
t∈[0,1]
und
H(t,1)=
γ1(t),
t∈[0,1].
Man
bezeichnet
indiesem
FalleineAbbildungH
mit
den
geforderten
EigenschaftenalseineHomotopie
inG
zwischen
γ0undγ1in
G.Man
chmal
sprichtman
vonden
Wegen
γs(t):=
H(t,s),s∈(0,1),alsZwischen
wege.
(ii)
Seien
γ0,γ
1Wegein
Gdie
den
gleichen
Anfangspunktsowie
den
gleichen
Endpunkthab
en,d.h.mit
γ0(0)=
γ1(0)
und
γ0(1)=
γ1(1).
1.3.
TOPOLOGIE
DER
EBENE
13
Dan
nheißenγ0undγ1FEP-homotopin
G(F
ixed
-EndPoint–hom
otop
ic),
wennes
eineHom
otop
ieH
inG
zwischen
γ0undγ1in
Ggibtsodassau
challe
Zwischenwegeden
entsprechenden
Anfangs-bzw
.Endpunkthab
en,
d.h.sodass
H(0,s)=
γ0(0),
H(1,s)=
γ0(1),
s∈[0,1].
Man
sprichtvo
neiner
solchen
Hom
otop
ieH
dan
nalsFEP-H
omotopie.
(iii)Zwei
geschlossen
eWegeγ0,γ
1in
Gheißenloop-homotopin
G,wennes
eineHom
otop
ieH
inG
zwischen
γ0undγ1in
Ggibtsodassau
challe
Zwischenwegegeschlossen
sind,d.h.sodass
H(0,s)=
H(1,s),
s∈[0,1].
Man
sprichtvo
neiner
solchen
Hom
otop
ieH
dan
nalsloop-H
omotopie.
(iv)Ein
geschlossen
erWeg
heißt
nullhomotopin
G,wenner
loop
-hom
otop
inG
zueinem
konstan
tenWeg
ist.
(v)EineTeilm
enge
G⊆
Xheißt
einfach
zusammen
hangend,wennG
zusam-
menhan
gendist,
undjeder
geschlossen
eWeg
inG
nullhom
otop
inG
ist. �
Man
kannleichtzeigen,dasseingeschlossen
erWeg
genau
dan
nnullhom
otop
ist,
wenner
soga
rFEP-hom
otop
zueinem
konstan
tenWeg
ist.
1.3.7
Beispiel.
Sei
G⊆
Csternform
ig.Dan
nistG
einfach
zusammen
han
gend.
Dennzunachst
istG,wie
inBem
erkung1.3.4gesagt,zusammen
han
gend.Sei
nun
γein
geschlossen
erWeg
inG.W
ahle
einen
Sternmittelpunktz 0
von
G,
dan
nistdie
Abbildung
H:
�[0,1]×
[0,1]
→G
(t,s)
�→(1
−s)γ(t)+sz
0
eineloop
-Hom
otop
iein
Gvo
nγzu
dem
konstan
tenWeg
mitBildpunktz 0.
�
1.3.3
Umlaufzahlund
Homologie
1.3.8
Definition.Sei
γeinrektifizierbarer
geschlossener
Weg
inC.Weiters
sei
w∈C\γ
([0,1]).
Dan
nheißt n
(γ,w
):=
1 2πi
ˆ
γ
dζ
ζ−
w
die
Umlaufzahlvonγum
w.
�1.3.9
Satz.Sei
γeinrektifizierbarergeschlossen
erWeg
inC.Danngilt:
(i)Furjedes
w∈C\γ
([0,1]),
istn(γ,w
)eineganze
Zahl.
(ii)
Die
Funktion
n(γ,.):
�C\γ
([0,1])
→Z
w�→
n(γ,w
)
iststetig.
14KAPIT
EL1.
EIN
LEIT
UNG
(iii)Die
Funktion
n(γ,.)istaufjeder
Zusammen
hangskomponen
tevon
C\
γ([0,1])konstant.
(iv)Aufder
unbeschrankten
Zusammen
hangskomponen
tevonC\γ
([0,1])hat
n(γ,.)den
Wert0.
Bew
eis.
Sei
w∈C\γ
([0,1])gegeben.
Wir
betrachten
zuerst
den
Fall,
dassγ
stetig
differenzierbar
ist.
Sei
g:
[0,1]→
Cdie
Funktion
g(t):=
tˆ
0
γ′ (s)
γ(s)−
wds.
Dan
nistgstetig
differenzierbar
undes
gilt
g(0)=
0,g(1)=´ γ
dζ
ζ−w,g′ (t)
=
γ′ (t)
γ(t)−
w.Esfolgt
d dt� e−
g(t)(γ(t)−
w)�
=−g′ (t)e−
g(t)(γ(t)−
w)+
e−g(t)γ′ (t)
=
=e−
g(t)� −
γ′ (t)
γ(t)−
w(γ(t)−
w)+
γ′ (t)� =
0,
unddah
erdasse−
g(t)(γ(t)−
w)ko
nstan
tfurt∈
[0,1]ist.
Wegen
γ(0)=
γ(1)
folgt
1=
e−g(0
)=
e−g(1
)=
exp�−ˆ
γ
dζ
ζ−
w
� .
Alsoist´ γ
dζ
ζ−w∈2π
i·Z
.
Sei
nun
γirgendein
rektifizierbarer
geschlossen
erWeg.Nach
Bem
erkung
1.2.7existierteineFolge
γnvo
ngeschlossenen
stetig
differenzierbaren
Wegen
mit
w�∈γn,n
∈N,und
lim
n→
∞
ˆ γn
dζ
ζ−
w=
ˆ
γ
dζ
ζ−
w.
Esfolgtdass´ γ
dζ
ζ−w∈2π
i·Z
.
Wir
zeigen
dassn(γ,.):C\γ
([0,1])→
Zstetig
ist.
Sei
w0∈
C\γ
([0,1]),
undsetzer:=
d(γ([0,1]),w
0).
Sei
0<
δ<
r 2,dan
ngilt
fur|w
−w
0|<
δ
2π� � n(γ,w
)−
n(γ,w
0)� �=� � �ˆ γ
�1
ζ−
w−
1
ζ−w
0
� dζ� � �=
=� � �ˆ γ
w−
w0
(ζ−
w)(ζ−
w0)dζ� � �≤
sup
t∈[0,1]
� � �w−
w0
(γ(t)−
w)(γ(t)−
w0)
� � �·V(γ)≤
≤δ2 r2V(γ).
Istnun
GeineKom
pon
ente
von
C\γ([0,1]),
soist{n
(γ,w
):w
∈G}eine
zusammen
han
gendeTeilm
enge
von
2πi·Z
und
bestehtdah
erau
snureinem
Punkt,
d.h.n(γ,.)istko
nstan
tau
fG.
1.3.
TOPOLOGIE
DER
EBENE
15
IstG
die
unbeschrankte
Kom
pon
ente
vonC\γ
([0,1]),
soexistiertR
>0
sodaß
{z∈
C:|z|>
R}⊆
G.Sei
|w|>
R,dan
nistd(γ([0,1]),w)>
|w|−
R,
undwir
erhalten
2π|n(γ,w
)|=� � �ˆ γ
dζ
ζ−
w
� � �≤sup
t∈[0,1]
� � �1
γ(t)−
w
� � �·V(γ)≤
≤1
|w|−
RV(γ).
Fur|w
|→∞
folgtn(γ,w
)→
0und,dan(γ,w
)ko
nstan
tau
fG
ist,n(γ,w
)=
0furalle
w∈G.
❑
1.3.10Definition.Sei
G⊆
Coff
en.
(i)Seien
γ1,...,γ
ngeschlossenerektifizierbareWegein
G.Dan
nsagenwir
γ1,...,γ
nsind(gem
einsam)nullhomologin
G,wenn
n � j=1
n(γ
j,w
)=
0,w
∈C\G
.
(ii)
Gheißt
homologeinfach
zusammen
hangend,wennG
zusammen
han
gend
istundjeder
geschlossen
erektifizierbareWeg
inG
nullhom
olog
inG
ist. �
16KAPIT
EL1.
EIN
LEIT
UNG
Kapitel2
DerAnalytizitatsbegriff
2.1
Aquivalente
Bedingungen
furAnalytizitat
Nunko
mmen
wirzurdem
furdiese
Vorlesungzentralen
Begriffder
Analytizitat.
2.1.1
Definition.Sei
G⊆
Coff
en,f
:G
→C.Istf
anjeder
Stellevo
nG
differenzierbar,so
heißt
fanalytischin
G.W
irbezeichnen
die
Menge
allerin
Gan
alytischen
Funktion
alsH(G
).�
AnStelleder
Bezeichnung”analytisch“
wirdin
der
Literaturoftau
chholo-
morphoder
regularverw
endet.
2.1.2
Bem
erkung.
Sei
G⊆
Coff
en.
(i)Die
Men
geH(G
)ist,
mit
den
punktw
eise
erklarten
algebraischen
Opera-
tion
en,eineko
mmutativeC–A
lgebra.Sie
besitzt
einEinselement,nam
lich
die
konstan
teFunktion
1.Die
EinheitengruppeH(G
)∗:=
{f∈
H(G
):
∃g∈H(G
):fg=
1}istgegeben
als
H(G
)∗=� f
∈H(G
):f(w
)nullstellenfrei� .
(ii)
Analytizitatist(naturgem
aß)einelokale
Eigenschaft,d.h.:EineFunktion
f:G
→C
istgenau
dan
nin
Gan
alytisch,wennjeder
Punktw
∈G
eine
offeneUmgebungUwbesitzt,sodassf| U
win
Uwan
alytischist.
(iii)EinePotenzreihemit
positivem
Kon
vergenzrad
iusistin
ihrem
Kon
ver-
genzkreis
analytisch.Insbeson
dereistjedePolynom
funktion
inga
nzC
analytisch.
�Esisteine–u
mnichtzu
sagendie(!)–
Grundlage
der
Funktion
entheorie,dass
sich
AnalytizitatdurchBedingu
ngenvo
nverschieden
stem
Typcharak
terisieren
lasst.
2.1.3
Satz.Sei
G⊆
Coffen
,undf:G
→C.Dannsindaquivalent:
(CIF
1)
Furjeden
Punkt
w∈
Ggibt
eseinen
Radiusr>
0,sodass
die
abgeschlossen
eKreisscheibe
Ur(w
)ganzin
Gliegtundf
sich
in
17
18KAPIT
EL2.
DER
ANALYTIZIT
ATSBEGRIF
F
dem
Inneren
dieserKreisscheibe
darstellen
lasstals
f(z)=
1 2πi
ffi
∂U
r(w
)
f(ζ)
ζ−
zdζ,
z∈Ur(w
).
(2.1.1)
(PR1)
Furjeden
Punkt
w∈G
gibt
eseinePotenzreihe�
∞ n=0an(z
−w)n
mit
Konvergen
zradiusR
>0,
undeinen
Radiusr∈
(0,R
],sodass
die
Kreisscheibe
Ur(w
)ganzin
Gliegtundfsich
aufdieserKreis-
scheibe
darstellen
lasstals
f(z)=
∞ � n=0
an(z
−w)n,
z∈Ur(w
).
(DIF
F1)D
ieFunktionfistanalytischin
G.
(CIS
1)
Die
Funktionf
iststetig
inG.Furjedeoffen
eundkonvexe
Teil-
men
geG
vonG,undjeden
geschlossen
enrektifizierbarenWeg
γin
Ggilt
ˆ
γ
f(ζ)dζ=
0.
(SF1)
Furjedeoffen
eundkonvexe
Teilm
enge
GvonG
besitztdie
Funktion
f| G
eineStammfunktion.
Die
Bedingu
ng(C
IF1)
heißt
die
lokale
Cauchy’scheIntegralform
el,die
Be-
dingu
ng(C
IS1)
der
lokale
Cauchy’scheIntegralsatz.
Zu
den
Bedingu
ngen
der
inSatz2.1.3an
gegebenen
Aquivalenzliste
kann
man
noch
einigeVerscharfungenbzw
.Abschwachungenhinzufugen,welchesich
imLau
fedes
Bew
eisesau
tomatisch
ergeben:
(CIF
2)
Furjeden
Punktw
∈G
undjeden
Rad
iusr>
0,sodassdie
abge-
schlossen
eKreisscheibeUr(w
)ga
nzin
Gliegt,
giltdie
Darstellung
(2.1.1).
(PR2)
DieFunktion
fistin
Gbeliebig
oftdifferenzierbar.Furjeden
Punkt
w∈G
konvergiert
die
Taylorreihe
∞ � n=0
f(n
)(w
)
n!
(z−
w)n
vonfmindestensin
der
groß
tenKreisscheibedie
ganzin
Gliegt,
undstellt
dortdie
Funktion
fdar.
(DIF
F2)D
ieFunktion
fistin
Gbeliebig
oftdifferenzierbar.
(CIS
0)
Die
Funktion
fiststetig
inG.Furjedes
abgeschlossen
eDreieck
Δmit
Δ⊆
Gist
ffi
∂Δ
f(ζ)dζ=
0.
(SF0)
Furjeden
Punktw
∈G
gibtes
eineoff
eneUmgebungU
⊆G
von
w,sodassf| U
eineStammfunktion
hat.
2.1.
AQUIV
ALENTE
BEDIN
GUNGEN
FUR
ANALYTIZIT
AT
19
Mit
essentiellenVerscharfungender
lokalenCau
chy’schen
Integralform
elbzw
.des
lokalenCau
chy’schen
Integralsatzes
werden
wir
unsim
nachsten
Abschnitt
befassen.Die
Implikation
”(CIS0)⇒
(DIF
F1)“heißt
auch
der
Satz
vonMorera.
Der
RestdiesesAbschnittesistdem
Bew
eisvo
nSatz2.1.3gewidmet.W
irfuhrenihnin
mehrerenSchritten.Dab
eizeigen
wirdie
folgenden
Implikation
en(die
punktiertgezeichneten
sindtrivialbzw
.bereits
bekan
nt):
(CIF
2)
��
1′��(P
R2)
��
(DIF
F2)
��(C
IF1)
1�� (PR1)
∗�� (DIF
F1)
2
��❘❘❘❘❘❘ ����
4
����(C
IS1)
��
(SF1) ��
∗∗��
(CIS0)
3�� ♠ ♠ ♠ ♠ ♠ ♠ ♠(S
F0)
5
��
��......
allenach
untengeh
enden
punktiertenIm
plikationen
sindtrivial.
*......
Korollar1.1.8.
**
......
Satz
1.2.9.
1,1’......
Lem
ma2.1.4,bzw
.Lem
ma2.1.4
gem
einsam
mit
(1.1.1).
2......
Lem
ma2.1.5.
3......
Lem
ma2.1.6.
4......
Lem
ma2.1.8.
5......
Korollar2.1.9.
2.1.4
Lemma.Sei
w∈
Gundr>
0derart
dass
Ur(w
)⊆
Gundsodass
die
Form
el(2.1.1)gilt.Danngilt
f(z)=
∞ � n=0
an(z
−w)n,
z∈Ur(w
),
mit
an:=
1 2πi
ffi
∂U
r(w
)
f(ζ)
(ζ−
w)n
+1dζ.
(2.1.2)
Insbesondereistder
Konvergen
zradiusdieserPotenzreihegroßer
oder
gleich
r.
Bew
eis.
Sei
z∈Ur(w
)festgehalten,dan
ngilt
1
ζ−
z=
1
(ζ−
w)+
(w−
z)=
1
ζ−
w·
1
1−
z−w
ζ−w
.
Esist|z
−w
ζ−w|=
|z−w|
r,ζ∈∂Ur(w
),also
istdie
geom
etrischeReihe
∞ � n=0
� z−
w
ζ−
w
� n=
1
1−
(z−w
ζ−w)
konvergent,
undzw
argleichmaß
igfurζ∈∂Ur(w
).Esfolgt
f(z)=
1 2πi
ffi
∂U
r(w
)
f(ζ)
ζ−
zdζ=
∞ � n=0
1 2πi
ffi
∂U
r(w
)
f(ζ)
(ζ−
w)n
+1dζ·(z−
w)n
.
❑
20KAPIT
EL2.
DER
ANALYTIZIT
ATSBEGRIF
F
2.1.5
Lemma(von
Gou
rsat).
Sei
fanalytischin
G.Danngilt(C
IS0).
Bew
eis.
Die
Stetigk
eitvonffolgttrivialerw
eise
dafsoga
rdifferenzierbar
ist.
Seien
T=
(a,b,c)dreiverschieden
eko
mplexeZah
len.Setze
furt∈[0,1]
γ1(t):=
(1−
t)a+
tb,γ2(t):=
(1−
t)b+
tc,γ3(t):=
(1−
t)c+
ta.
ab
c
••
•
γ1
γ2
γ3
undseil(T):=
|b−a|+
|c−b|+|a
−c|,
Δ(T
):=
co{a
,b,c},
d(T
):=
max
{|b−
a|,|c−
b|,|a
−c|}
.Dan
ngilt
l(T)=
3 � i=1
V(γ
i),
d(T
)=
sup{|w−
z|:
w,z
∈Δ(T
)}.
Die
ersteBeziehungistklar.
Um
die
zweite
einzusehen,seiz=
λa+
µb+
νc,
wob
eiλ,µ
,ν∈[0,1],λ+
µ+
ν=
1,undseiw
∈Δ(T
).Dan
ngilt
w−
z=
λ(w
−a)+
µ(w
−b)
+ν(w
−c),
also
|w−z|≤
max
{|w−a|,|w−b|,
|w−c|}
.Wendet
man
diese
Ungleichungan
mit
wan
stelle
vonzunda(oder
b,c)
anstelle
vonw,so
folgt
|a−
w|≤
max
{0,|a
−b|,
|a−
c|},
|b−
w|≤
max
{|b−
a|,0
,|b−
c|},
|c−
w|≤
max
{|c−
a|,|c−b|,
0}.
Insgesam
talso
|w−
z|≤
d(T
).Die
umgekehrteUngleichungistklar.
IstT
=(a,b,c)gegeben,so
definierenwir
die
Vierteilungenvo
nT
als
T1:=
� a,a+b
2,c+a
2
� ,T2:=
� a+b
2,b,b+c
2
�
T3:=
� b+c
2,c,c+a
2
� ,T4:=
� c+a
2,a+b
2,b+c
2
�
T1
T4
T2
T3
T
c+a
2
b
c
a
b+c
2
a+b
2
•
•
••
••
2.1.
AQUIV
ALENTE
BEDIN
GUNGEN
FUR
ANALYTIZIT
AT
21
Offenbar
gilt
l(Tj)=
1 2l(T)undd(T
j)=
1 2d(T
).Sinda,b,c
sodaß
Δ(T
)⊆
G,so
gilt
auch
Δ(T
j)⊆
G,j
=1,...,4.
Setze
I(T
,f):=
3 � i=1
ˆ γi
f(ζ)dζ,
dan
ngilt
offenbar
I(T
,f)=�
4 k=1I(T
k,f
).Istk0∈
{1,...,4}eineZah
lmit
|I(T
k0,f
)|=
max
{|I(T
k,f
)|:k=
1,...,4}
,so
folgtalso
|I(T
,f)|≤
4|I(T
k0,f
)|.
WirdefinierennuninduktiveineFolge
(T(n
)) n
∈N0sodassT
(0)=
TundT
(n+1)=
[T(n
)] k
nwob
eikn∈{1
,...,4}so
istdass|I([T
(n)] k
n,f
)|=
max
{|I([T
(n)] k,f
)|:
k=
1,...,4}
.Dan
ngilt
l(T
(n))=
1 2nl(T),
d(T
(n))=
1 2nd(T
),|I(T
,f)|≤
4n|I(T
(n),f
)|.
DieMengenΔ(T
(n))sindeineab
steigendeFolge
nichtleererkompak
terMengen,
also
existiertw
∈�
n≥0Δ(T
(n)).
Wirverw
enden
nundassfan
der
Stellew
differenzierbar
ist:Sei
ρ:G
→C
stetig,ρ(w
)=
0,sodassf(z)=
f(w
)+
f′ (w)(z−
w)+
ρ(z)(z−
w).
Dadas
Polynom
f(w
)+
f′ (w)(z−
w)au
fG
eineStammfunktion
hat,gilt
I(T
(n),f
)=
I� T
(n),f
(w)+
f′ (w)(z−
w)�
���
�=0
+I� T
(n),ρ(z)(z−
w)�
=
=I� T
(n),ρ(z)(z−w)�
.
Esfolgt |I
(T,f
)|≤
4n|I(T
(n),f
)|≤
4nl(T
(n))
max
z∈Δ
(T(n))|ρ(z)|·d
(T(n
))=
=l(T)d(T
)max
z∈Δ
(T(n))|ρ(z)|.
Wegen
d(T
(n))→
0und
der
Stetigk
eitvo
nρ,sowie
ρ(w
)=
0,folgtdass
max
z∈Δ
(T(n))|ρ(z)|→
0.Alsoerhaltenwir
I(T
,f)=
0.❑
2.1.6
Lemma.Esgilt”(C
IS0)⇒
(SF1)“.
Bew
eis.
Seieineoff
eneundkonvexeTeilm
enge
Gvo
nG
gegeben.W
ahlez 0
∈G,
undsetze
Fz0(z):=
ˆ
[z0,z]
f(ζ)dζ,
z∈G,
Dab
eiverstehen
unter[z
0,z]den
Weg
γ(t):=
tz+
(1−
t)z 0,t∈
[0,1],
also
die
Verbindungsstreckevo
nz 0
zuz.Aufgrundder
Kon
vexitat
vonG
istFz0
woh
ldefiniert.
Wegen
(CIS0)
gilt
Fz0(z)−
Fz0(w
)=
ˆ
[z0,z]
f(ζ)dζ−ˆ
[z0,w
]
f(ζ)dζ=
ˆ
[w,z]
f(ζ)dζ,
22KAPIT
EL2.
DER
ANALYTIZIT
ATSBEGRIF
F
undwir
erhalten F
z0(z)=
Fz0(w
)+
f(w
)(z−
w)+
ρ(z)(z−
w),
mit
ρ(z):=
1z−w
´
[w,z](f
(ζ)−
f(w
))dζ,
z�=
w
0,
z=
w
Wegen
V([w,z])=
|z−
w|,gilt
|ρ(z)|≤
max
ζ∈[
w,z]|f(ζ)−
f(w
)|.
Dafbei
wstetig
ist,folgtlim
z→
w|ρ(z)|=
0.AlsoistFz0bei
wdifferenzierbar
undF
′ z0(w
)=
f(w
).❑
2.1.7
Lemma.Sei
w∈
G,undg:G
→C
stetig.Erfulltgin
G\{w
}die
Bedingung(C
IS0),dannerfulltgsogarin
ganzG
die
Bedingung(C
IS0).
Bew
eis.
Sei
T=
(a,b,c)mitΔ(T
)⊆
Ggegeben.W
irunterscheiden
dreiFalle.
Fall1;w
�∈Δ(T
):Dan
nistΔ(T
)⊆
G\{
w},
unddah
ergiltnachVorraussetzu
ng
fl
∂Δ(T
)f(ζ)dζ=
0.
Fall
2;w
∈Δ(T
)\∂Δ(T
):Furs∈
(0,1]setzehs(ζ):=
s(ζ−
w)+
w,und
betrachte
die
DreieckeΔ(T
s)mit
Ts:=
(hs(a),hs(b),hs(c)).Dan
ngilt
stets
Δ(T
s)⊆
Δ(T
)undw
∈Δ(T
s)\∂
Δ(T
s).
• w
c •
a•
b•
hs(c
)•
hs(b
)
•
hs(a
)•
Dagin
G\{
w}der
Bedingu
ng(C
IS0)
genugt,gilt
ˆ
[a,b]g(ζ)dζ+
ˆ
[b,h
s(b)]g(ζ)dζ+
ˆ
[hs(b),a]
g(ζ)dζ=
0
ˆ
[a,h
s(b)]g(ζ)dζ+
ˆ
[hs(b),hs(a
)]
g(ζ)dζ+
ˆ
[hs(a
),a]
g(ζ)dζ=
0
ˆ
[b,c]g(ζ)dζ+
ˆ
[c,h
s(c)]g(ζ)dζ+
ˆ
[hs(c),b]
g(ζ)dζ=
0
ˆ
[b,h
s(c)]g(ζ)dζ+
ˆ
[hs(c),hs(b)]
g(ζ)dζ+
ˆ
[hs(b),b]
g(ζ)dζ=
0
ˆ
[c,a]g(ζ)dζ+
ˆ
[a,h
s(a
)]g(ζ)dζ+
ˆ
[hs(a
),c]
g(ζ)dζ=
0
ˆ
[c,h
s(a
)]g(ζ)dζ+
ˆ
[hs(a
),hs(c)]
g(ζ)dζ+
ˆ
[hs(c),c]
g(ζ)dζ=
0
Summiert
man
diese
Gleichungenau
f,folgt
ffi
∂Δ(T
)
g(ζ)dζ=
ffi
∂Δ(T
s)
g(ζ)dζ.
2.1.
AQUIV
ALENTE
BEDIN
GUNGEN
FUR
ANALYTIZIT
AT
23
Offenbar
istl(Ts)=
s·l(T
)undd(T
t)=
s·d
(T).
Esfolgt
� � �ffi
∂Δ(T
s)
g(ζ)dζ� � �≤
l(Ts)
max
ζ∈∂
Δ(T
s)|g(ζ)|≤
s·l(T
)max
ζ∈Δ
(T)|g(ζ)|.
Lasst
man
nunsgegen0streben,so
folgtfl
∂Δ(T
)g(ζ)dζ=
0.
Fall3;w
∈∂Δ:W
irverw
enden
die
gleicheArgumentation
mitgeeign
eten
Drei-
ecksw
egen.In
den
folgenden
beiden
Skizzen
zeigen
wir
den
Fall”w
∈(a,b)“
bzw
.”w
=a“
,die
anderen
Falle
sindsymmetrisch.
c •
a•
b•
w•
hs(c)
•
hs(a)
•
hs(b)
•
c •
w=
a•
b•
hs(c) •
hs(b)
•
Wieder
zeigtdas
gleicheArgument,
dassfl
∂Δ(T
)g(ζ)dζ=
0.❑
2.1.8
Lemma.Sei
fanalytischin
G.Istw
∈G
undr>
0sodass
Ur(w
)⊆
G,
sogilt
(2.1.1).
Bew
eis.
Wah
ler′
>rsodassUr′ (w)⊆
Gundbetrachte,furfestes
z∈Ur(w
),die
Funktion
g(ζ):=
�f(ζ
)−f(z
)ζ−z
,ζ∈Ur′ (w)\{
z}
f′ (z)
,ζ=
z
Dan
nistgan
jeder
Stelleζ∈
Ur′ (w)\{z
}differenzierbar
undan
der
Stelle
zstetig.Wegen
der
bereits
bew
iesenen
Implikation
”(DIF
F1)⇒
(CIS0)“kon
nen
wir
Lem
ma2.1.7an
wenden
.Esfolgt,
dassgau
fga
nzUr′ (w)der
Bedingu
ng
(CIS0)
genugt.
Nachder
bereits
bew
iesenen
Implikation
”(CIS0)⇒
(CIS1)“gilt
ffi
∂U
r(w
)
g(ζ)dζ=
0.
Alsoist 0=
ffi
∂U
r(w
)
f(ζ)−
f(z)
ζ−
zdζ=
ffi
∂U
r(w
)
f(ζ)
ζ−
zdζ−
f(z)
ffi
∂U
r(w
)
dζ
ζ−
z=
=
ffi
∂U
r(w
)
f(ζ)
ζ−
zdζ−
f(z)2π
i·n
(∂Ur(w
),z)
���
�=1
.
❑
2.1.9
Koro
llar.
Die
Funktionferfulle(SF0).Dannistsieanalytischin
G.
Bew
eis.
Sei
w∈
G,undwah
leeineoff
eneUmgebungU
⊆G
vonw,sodass
f| U
eineStammfunktion
Fhat.Nungilt
aufU,nachDefinition,F
′=
f.Al-
soistF
analytisch
inU
unddam
itnachder
bereits
bew
iesenen
Implikation
”(DIF
F1)⇒
(DIF
F2)“soga
rbeliebig
oftdifferenzierbar.W
irerhalten,dassf| U
ebenfallsdifferenzierbar
ist.
❑
24KAPIT
EL2.
DER
ANALYTIZIT
ATSBEGRIF
F
2.2
Globale
Versionen
des
Cauch
y’sch
en
Inte-
gra
lsatzes
Die
Formel
des
folgenden
Satzesfur”l
=0“
nenntman
man
chmal
auch
die
globale
Cauchy’scheIntegralform
el.
2.2.1
Satz
(Cauchy’scheIntegralform
el,Homologieversion).
Sei
G⊆
Coffen
undfanalytischin
G.Danngilt:
(CIF
3)
Seien
γ1,...,γ
ngeschlossen
erektifizierbare
Wege
inG,γk
:[α
k,β
k]→
G,die
gemeinsam
nullhomologin
Gsind.Dannistfur
jedes
z∈G
\�n k=1γk([αk,β
k])
undl∈N∪{0
}
f(l)(z)
n � k=1
n(γ
k,z)=
l! 2πi
n � k=1
ˆ γk
f(ζ)
(ζ−
z)l+1dζ.
Zum
Bew
eisbenutzen
wir
das
folgendeLem
ma.
2.2.2
Lemma.Sei
G⊆
Coffen
,γ:[α,β
]→
GeinrektifizierbarerWeg
inC,
undφ:G
×γ([α,β
])→
Cstetig.Weiters
seifurjedes
festeζ∈
γ([α,β
])die
Funktionz�→
φ(z,ζ)analytischin
G.Dannistdie
Funktion
f(z):=
ˆ
γ
φ(z,ζ)dζ,
z∈G,
analytischin
Gundes
gilt
f′ (z)=
ˆ
γ
∂ ∂zφ(z,ζ)dζ.
Bew
eis.
Sei
z 0∈
Gund
wah
ler
>0
sodass
Ur(z
0)
⊆G.Dan
nist
φ| U
r(z
0)×
γ([α,β
])gleichmaß
igstetig
und
dah
ergilt
furjedeFolge
(zn) n
∈Nmit
z n→
z 0lim
n→
∞sup
ζ∈γ
([0,1])
|φ(z
n,ζ)−
φ(z
0,ζ)|=
0.
Esfolgtlim
n→
∞f(z
n)=
f(z
0),
d.h.fiststetig.
Sei
T=
(a,b,c)sodassΔ(T
)⊆
G.Wegen
der
Stetigk
eitdes
Integran
den
darfman
die
Integrationsreihenfolgevertau
schen,underhalt
ffi
∂Δ(T
)
f(z)dz=
ffi
∂Δ(T
)
�ˆ
γ
φ(z,ζ)dζ� d
z=
ˆ
γ
�ffi
∂Δ(T
)
φ(z,ζ)dz�
���
�=0
dζ=
0.
Wegen
”(CIS0)⇒
(DIF
F1)“istfan
alytischin
G.Weiters
ist,
furr>
0hinrei-
chendklein,wegen
(1.1.1)und(2.1.2)
f′ (z)=
1 2πi
ffi
∂U
r(z
)
f(α
)
(α−
z)2
dα=
1 2πi
ffi
∂U
r(z
)
�ˆ
γ
φ(α
,ζ)
(α−
z)2
dζ� d
α=
2.2.
GLOBALEVERSIO
NENDESCAUCHY’SCHENIN
TEGRALSATZES25
=
ˆ
γ
�1 2πi
ffi
∂U
r(z
)
φ(α
,ζ)
(α−z)2
dα� d
ζ=
ˆ
γ
∂ ∂zφ(z,ζ)dζ.
❑Bew
eis(vonSatz
2.2.1).
Der
wesentlicheTeilistdiebehau
ptete
Formelfurl=
0zu
zeigen.Der
Falll≥
1folgtdan
nsofort
mittelsInduktion
unterZuhilfenah
me
vonLem
ma2.2.2undder
Tatsachedassn(γ
k,z)lokalko
nstan
tist.
Schritt
1;Der
Differen
zenquotien
tφ:Betrachte
die
Funktion
φ:G
×G
→C
φ(z,w
):=
�f(z
)−f(w
)z−w
,z�=
w
f′ (z)
,z=
w
Wir
zeigen,dassφstetig
ist.
Ineinem
Punkt(z
0,w
0)mit
z 0�=
w0istdas
klar.
Sei
z 0∈
G,undwah
ler>
0sodassUr(z
0)⊆
Gundsodass
|f′ (z)−
f′ (z 0)|<
ǫ,z∈Ur(z
0).
Dan
nistfurz∈Ur(z
0)also
|φ(z,z)−
φ(z
0,z
0)|<
ǫ.Furz,w
∈Ur(z
0),
z�=
w,
setzeγ(t):=
(1−
t)w+
tz,t∈[0,1],dan
ngilt
f(z)−
f(w
)=
f(γ(1))
−f(γ(0))
=
ˆ
γ
f′ (ζ)dζ=
=
1ˆ
0
f′ (γ(t))γ′ (t)dt=
(z−
w)
1ˆ
0
f′ (γ(t))dt.
Alsofolgt
φ(z,w
)−
φ(z
0,z
0)=
1ˆ
0
� f′ (γ(t))
−f′ (z 0)�dt,
unddah
er|φ(z,w
)−
φ(z
0,z
0)|<
ǫ.
Schritt
2;Konstruktioneiner
inganzC
analytischen
Funktion:Istw
∈G
fest-
gehalten,so
istnachLem
ma2.1.7die
Funktion
z�→
φ(z,w
)an
alytischin
G.
NachLem
ma2.2.2istdie
Funktion
g 1(z):=
n � k=1
ˆ γk
φ(z,ζ)dζ,
z∈G,
analytischin
G.
Betrachte
die
Funktion
g 2(z):=
n � k=1
ˆ γk
f(ζ)
ζ−
zdζ,
z∈C\
n � k=1
γk([αk,β
k]).
Da
f(ζ
)ζ−zoff
enbar
fur(z,ζ)∈(C
\�n k=1γk([αk,β
k]))×
�n k=1γk([αk,β
k])stetig
ist
undeb
enso
furjedes
festeζan
alytischin
z,istg 2
nachLem
ma2.2.2an
alytisch
inC\�
n k=1γk([αk,β
k]).
26KAPIT
EL2.
DER
ANALYTIZIT
ATSBEGRIF
F
Sei
H:=
{z∈
C\�
n k=1γk([αk,β
k])
:�
n k=1n(γ
k,z)=
0}.NachSatz1.3.9
istH
offen
undenthaltdas
Außere
der
KreisscheibeUR(0),
R:=
max
{|γk(t)|:
t∈[α
k,β
k],k=
1,...,n}.
Dadie
Wegeγ1,...,γ
ngemeinsam
nullhom
olog
inG
sind,istweiters
G∪H
=C.
Istz∈G
∩H,so
gilt
g 1(z)=
n � k=1
ˆ γk
f(z)−
f(ζ)
z−
ζdζ=
n � k=1
ˆ γk
1
z−
ζdζ−
n � k=1
ˆ γk
f(ζ)
z−
ζdζ=
=−f(z)·2πi
n � k=1
n(γ
k,z)
���
�=0
−n � k=1
ˆ γk
f(ζ)
z−
ζdζ=
g 2(z).
Alsoistdurch
g(z):=
�g 1(z),
z∈G
g 2(z),
z∈H
eineFunktion
aufG∪H
=C
woh
ldefiniert.DaG
undH
offen
sindundg 1
und
g 2beidean
alytisch,istgin
Can
alytisch.
Schritt
3;Abschatzung
von
g:Da
lim
|z|→
∞1
|ζ−z|=
0gleichmaß
igfurζ
∈�
n k=1γk([0,1])gilt,folgt
lim
z→
∞g 2(z)=
0.
NunenthaltH
das
gesamte
Außere
einer
Kreisscheibe,
undwir
schliessendass
lim
z→
∞g(z)=
lim
z→
∞g 2(z)=
0.
Sei
w∈C
festgehalten,dan
nistnach(C
IF2)
furjedes
R>
|w|
|g(w
)|=� � �1 2πi
ffi
∂U
R(0
)
g(ζ)
ζ−
wdζ� � �≤
1 2π
R
R−
|w|m
ax
|ζ|=
R|g(ζ)|.
Lasst
man
indieserBeziehungR
gegen∞
streben,so
folgtg(w
)=
0.Daw
beliebig
war,istalso
die
Funktion
gidentischgleich
Null.
Furz∈G
\�n k=1γk([αk,β
k])
gilt
dam
it
0=
n � k=1
ˆ γk
f(z)−
f(ζ)
z−
ζdζ=
−f(z)2πi
n � k=1
n(γ
k,z)−
n � k=1
ˆ γk
f(ζ)
z−
ζdζ,
d.h.
f(z)
n � k=1
n(γ
k,z)=
1 2πi
n � k=1
ˆ γk
f(ζ)
ζ−
zdζ.
❑
2.2.3
Koro
llar(C
auchy’scher
Integralsatz,Homologieversion).
Sei
G⊆
Cof-
fenundfanalytischin
G.Danngilt:
2.2.
GLOBALEVERSIO
NENDESCAUCHY’SCHENIN
TEGRALSATZES27
(CIS
2)
Seien
γ1,...,γ
ngeschlossen
erektifizierbare
Wege
inG,γk
:[α
k,β
k]→
G,die
gemeinsam
nullhomologin
Gsind.Dannist
n � k=1
ˆ γk
f(ζ)dζ=
0.
Bew
eis.
Wah
lez 0
∈G\�
n k=1γk([αk,β
k]),undwendedie
Cau
chy’scheIntegral-
form
elan
aufdie
Funktion
g(z):=
(z−
z 0)f(z).
Esfolgt
0=
g(z
0)
n � k=1
n(γ
k,z
0)=
1 2πi
n � k=1
ˆ γk
f(ζ)dζ.
❑
2.2.4
Koro
llar.
Sei
G⊆
Coffen
undfanalytischin
G.Danngilt:
(SF2)
Furjedeoffen
eundhomologeinfach
zusammen
hangendeTeilm
enge
GvonG
besitztdie
Funktionf| G
eineStammfunktion.
Bew
eis.
Wah
lez 0
∈G,sowie
zujedem
Punktz∈G
einerektifizierbaren
Weg
γzder
z 0mit
zverbindet.Setze
Fz0(z):=
ˆ
γz
f(ζ)dζ,
z∈G.
Genau
sowie
inLem
ma2.1.6zeigtman
,dassFz0eineStammfunktion
vonf| G
ist.
❑
2.2.5
Satz
(Cauchy’scher
Integralsatz,Homotopieversionen
).Sei
G⊆
Coffen
undfanalytischin
G.Danngelten
:
(CIS
3)
Sei
H:[0,1]×
[0,1]→
GeineHomotopie,undsetzefurt∈[0,1]
γ1(t):=
H(t,0),
γ2(t):=
H(1,t),
γ3(t):=
H(0,t),
γ4(t):=
H(t,1).
• •
••
γ1
γ2
γ4
γ3
••• •
01
1
H
Danngilt ˆ γ
1
f(ζ)dζ+
ˆ γ2
f(ζ)dζ=
ˆ γ3
f(ζ)dζ+
ˆ γ4
f(ζ)dζ.
(CIS
3’)
Seien
γund
γrektifizierbare
geschlossen
eWege
inG
die
loop-
homotopin
Gsind.Danngilt
ˆ
γ
f(ζ)dζ=
ˆ
γ
f(ζ)dζ.
28KAPIT
EL2.
DER
ANALYTIZIT
ATSBEGRIF
F
(CIS
3”)Seien
γundγrektifizierbare
Wegein
G,die
den
gleichen
Anfangs-
punkt
habenundauch
den
gleichen
Endpunkt.SindγundγFEP-
homotopin
G,so
giltˆ
γ
f(ζ)dζ=
ˆ
γ
f(ζ)dζ.
Bew
eis.
IstG
=C,so
erfulltfnach(C
IS1)
die
gewunschtenBedingu
ngen.Sei
also
G�=
Cundsetzem
:=d(C
\G,H
([0,1]
×[0,1])).
DaH([0,1]
×[0,1])⊆
Gundko
mpak
tist,
istm
>0.
Wah
len∈N
sogroß
,dass
|H(s,t)−
H(u,v)|<
m,|s−u|2+
|t−
v|2
≤2 n2.
Setze
z jk:=
H�j n,k n
� ,j,k=
0,...,n.
Esgilt
stets
H��
j n,j+
1
n
� � k n
,k+
1
n
��⊆
Um(z
jk)⊆
G.
NachLem
ma2.1.6istdie
Funktion
g jk(z):=
ˆ
[zjk,z]
f(ζ)dζ,
z∈Um(z
jk)
eineStammfunktion
vonf| U
m(z
jk).Setze
Ajk:=
� g jk(z
j+1,k)−
g jk(z
jk)�
+� g j
k(z
j+1,k+1)−
g jk(z
j+1,k)� +
+� g j
k(z
j,k+1)−
g jk(z
j+1,k+1)�
+� g j
k(z
jk)−g j
k(z
j,k+1)� ,
dan
nistA
jk=
0furalle
j,k,also
auch�
n−1
j,k=0A
jk=
0.Sei
z 0∈Um(z
jk)∩Um(z
j+1,k),dan
ngiltfurz∈Um(z
jk)∩Um(z
j+1,k)dass
g jk(z)−ˆ
[z0,z]
f(ζ)dζ=
const,g j
+1,k(z)−ˆ
[z0,z]
f(ζ)dζ=
const.
Alsoistau
chg j
k(z)−
g j+1,k(z)konstan
tau
fUm(z
jk)∩
Um(z
j+1,k).Genau
sofolgt
dassg j
k(z)−
g j,k+1(z)ko
nstan
tau
fUm(z
jk)∩Um(z
j,k+1)ist.
Dam
iterhalten
wir� g j
k(z
j+1,k+1)−
g jk(z
j+1,k)�
+� g j
+1,k(z
j+1,k)−
g j+1,k(z
j+1,k+1)�
=0,
� g jk(z
j,k+1)−
g jk(z
j+1,k+1)�
+� g j
,k+1(z
j+1,k+1)−
g j,k+1(z
j,k+1)�
=0.
Wir
erhalten
0=
n−1
� j,k=0
Ajk=
n−1
� j=0
� g j0(z
j+1,0)−
g j0(z
j0)� +
n−1
� k=0
� g n−1,k(z
n,k+1)−
g n−1,k(z
nk)� +
2.2.
GLOBALEVERSIO
NENDESCAUCHY’SCHENIN
TEGRALSATZES29
+
n−1
� j=0
� g j,n
−1(z
jn)−g j
,n−1(z
j+1,n)�
+
n−1
� k=0
� g 0k(z
0k)−
g 0k(z
0,k+1)�
Unterder
Vorau
ssetzungvon(C
IS3),dassγ1,...,γ
4rektifizierbar
sind,istdie
rechte
Seite
gleichˆ γ1
f(ζ)dζ+
ˆ γ2
f(ζ)dζ−ˆ γ4
f(ζ)dζ−ˆ γ3
f(ζ)dζ,
undwir
sehen
,dassdie
in(C
IS3)
verlan
gteGleichheitgilt.
Unterder
Vorau
ssetzung
von
(CIS3’),
dassγ1,γ
4rektifizierbar
sind
und
H(0,t)=
H(1,t),
t∈[0,1],folgtdassz 0
k=
z nk,k
=0,...,n,undwegen
g n−1,k(z)−
g 0k(z)=
const,
z∈Um(z
0k)∩Um(z
n−1,k),
dass
� g n−1,k(z
n,k+1)−
g n−1,k(z
nk)�
+� g 0
k(z
0k)−
g 0k(z
0,k+1)�
=0.
Alsoschreibtsich
die
rechte
Seite
weiterals
n � j=0
� g j0(z
j+1,0)−
g j0(z
j0)�
+
n � j=0
� g j,n
−1(z
jn)−
g j,n
−1(z
j+1,n)�
=
=
ˆ γ1
f(ζ)dζ−ˆ γ4
f(ζ)dζ,
undwir
sehen
,dassdie
in(C
IS3’)verlan
gteGleichheitgilt.
Die
Gultigkeitvon(C
IS3”
)folgtschließlich
sofort
aus(C
IS3)
mit
γ=
γ1,
γ=
γ4,undγ2,γ
3ko
nstan
teWege(A
nfangspunktbzw
.Endpunkt).
❑
2.2.6
Koro
llar.
Sei
G⊆
Coffen
.
(i)Jeder
rektifizierbare
geschlossen
eWeg
inG
der
inG
nullhomotopist,
ist
auch
nullhomolog.
(ii)
IstG
einfach
zusammen
hangend,so
istG
auch
homologeinfach
zusam-
men
hangend.
Bew
eis.
Istw
∈C
\G,so
istdie
Funktion
f(z):=
1z−w
analytisch
inG.
Nachder
Hom
otop
ieversiondes
Cau
chy’schen
Integralsatzes,istdah
erfurjeden
geschlossenen
rektifizierbaren
Weg
γin
Gsicher
n(γ,w
)=
0.Das
zeigt(i).Die
Behau
ptung(ii)
folgtsofort
aus(i).
❑2.2.7
Bem
erkung.
DakonvexeMengen,insbeson
dereKreisscheiben
undDrei-
ecke,einfach
zusammenhan
gendsind,im
pliziertjededer
indiesem
Abschnitt
genan
ntenEigenschaftenAnalytizitat:
(CIF
3)=⇒
(CIF
2)
(SF2)
=⇒
(SF1)
(CIS2)
∨(C
IS3)
∨(C
IS3′ )∨(C
IS3′′ )
=⇒
(CIS0)
�
30KAPIT
EL2.
DER
ANALYTIZIT
ATSBEGRIF
F
2.3
Analytizitatvs.
Differenzierb
ark
eit
imreel-
len
Sei
G⊆
Coff
enundf:G
→C.Dan
nkannman
naturlichfau
chau
ffassenals
Funktion
zweier
reellerVariablenmit
Wertenin
R2:Schreibedazu
x:=
Rez,y:=
Imz,
u(x,y):=
Ref(x
+iy),
v(x,y)=
Imf(x
+iy),
dan
nistalso
f(z)=
u(x,y)+
iv(x,y).
Die
Tatsache,
dassdie
Funktion
fan
einer
Stellew
∈G
(kom
plex)differen-
zierbar
ist,
laßt
sich
nunmittels
des
Begriffsdes
totalenDifferentialsau
sder
reellenAnalysisbeschreiben.
2.3.1
Pro
position.Sei
G⊆
Coffen
,w
=a+
ib∈G,undf:G
→C.Dann
sindaquivalent:
(i)fistander
Stellew
(komplex)
differen
zierbar.
(ii)
Die
Abbildung
� x y
��→� R
ef(x
+iy)
Imf(x
+iy)�
(2.3.1)
istander
Stelle(a,b)im
Sinneder
reellenAnalysisdifferen
zierbarund
dasDifferen
tialdf(a,b)isteinskalaresVielfaches
einer
Rotation,d.h.die
Matrixdarstellungvondf(a,b)bezuglichder
kanonischen
Basisistvonder
Gestalt
df(a,b)=
λ
� cosµ
−sinµ
sinµ
cosµ
�
mitgewissenλ,µ
∈R,λ≥
0.
Indiesem
Fallistλ2=
det
df(a,b)=
|f′ (w)|2
undµ=
argf′ (w),
d.h.df(a,b)
entsprichtder
linearenAbbildung”Multiplizieren
mitf′ (w)“
df(a,b)� α β
�=
� Re� f
′ (w)(α+
iβ)�
Im� f
′ (w)(α+
iβ)��.
Bew
eis.
Sei
zuerst
vorausgesetzt,dass(ii)
gilt.Dan
nhab
enwir
� u(x,y)
v(x,y)�
=
� u(a,b)
v(a,b)�
+df(a,b)� x
−a
y−
b
�+
ρ(x,y),
(2.3.2)
wob
ei(d(.,.)bezeichnet
die
euklidischeMetrikam
R2)
lim
(x,y)→
(a,b)
ρ(x,y)
d((x,y),(a,b))
=0.
Nunist df(a,b)� x
−a
y−
b
�=
λ
� cosµ
−sinµ
sinµ
cosµ
�� x
−a
y−
b
�=
=
� Re� (λ
cosµ+
iλsinµ)·((x
−a)+
i(y−
b))�
Im� (λ
cosµ+
iλsinµ)·((x
−a)+
i(y−
b))��
2.3.
ANALYTIZIT
AT
VS.DIF
FERENZIE
RBARKEIT
IMREELLEN
31
also
erhaltenwir
aus(2.3.2)
f(z)=
f(w
)+
(λcosµ+
iλsinµ)·(z−
w)+
ρ(R
ez,Im
z).
(2.3.3)
Esfolgt,
dassfan
der
Stellew
differenzierbar
ist,
unddassf′ (w)=
λei
µ.
Istumgekehrt
fdifferenzierbar,undschreibtman
f′ (w)=
λei
µ,so
erhalt
man
die
Beziehung(2.3.3)miteinem
geeign
eten
Restterm
ρ.Teiltman
diese
inReal-undIm
aginarteilau
f,so
folgtdass(2.3.1)differenzierbar
istunddassdas
Differential
die
gewunschte
Gestalt
hat.
❑
2.3.2
Koro
llar.
Sei
G⊆
Coffen
undf:G
→C.Setze
u(x,y):=
Ref(x
+iy)
undv(x,y)=
Imf(x
+iy).
Dannistfgenaudannanalytischin
G,wen
nuund
vim
Sinneder
reellenAnalysisstetig
differen
zierbarsind,und
ux(x,y)=
v y(x,y),
uy(x,y)=
−v x(x,y),
(x,y)mitx+
iy∈G,
(2.3.4)
erfullen
.
Bew
eis.
Sei
vorausgesetzt,dassfan
alytischist.
Dadie
Funktion
fdan
nlokal
um
jeden
Punktin
einePotenzreiheentw
ickelbar
ist,sinduundvsicher
beliebig
oftdifferenzierbar.NachPunkt(ii)
der
obigen
Propositionist
ux(x,y)=
|f′ (x+
iy)|2
cosargf′ (x+
iy)=
v y(x,y),
uy(x,y)=
−|f
′ (x+
iy)|2
sinargf′ (x+
iy)=
−v x(x,y).
Sindumgekehrt
uundvstetig
differenzierbar
undgelten
die
Differentialglei-
chungen(2.3.4),
soistdie
Abbildung(2.3.1)sicher
differenzierbar
undihrDif-
ferential
hat
die
gewunschte
Form
df(x,y)=
� ux(x,y)
uy(x,y)
v x(x,y)
v y(x,y)�
❑Die
Beziehungen(2.3.4)nenntman
auch
die
Cauchy-Riemann’schen
Diffe-
rentialgleichungen.
2.3.3
Bem
erkung.
(i)Fasst
man
einean
alytischeFunktion
alsAbbildungder
Ebenein
sich
auf,
soistsiewinkeltreu.
(ii)
Den
obigen
Zusammenhan
gzw
ischen
Analytizitatund
reellerDifferen-
zierbarkeit
kon
nte
man
auch
verw
enden
um
gewisse
Satze
der
komplexen
Analysisherzu
leiten
.Zum
Beispielerhaltman
ausden
Green’schen
For-
melnVariantendes
Cau
chy’schen
Integralsatzes.
NachteildieserMethodeist,
dassman
den
riesigen
Apparat
der
mehrdi-
mension
alen
reellenAnalysisbenutzen
musste,wog
egen
dieSatze
der
kom-
plexen
Analysissich
jaeigentlichhochst
elegan
tundunmittelbar
bew
eisen
lassen
.Vorteilhingegenware,
dasssich
man
cheResultateau
fFunktion
enim
Rnoder
Cnverallgemeinernlassen
.
32KAPIT
EL2.
DER
ANALYTIZIT
ATSBEGRIF
F
(iii)W
iewirim
Bew
eisvo
nKorollar2.3.2bem
erkthab
en,sinddie
Funktion
enu
und
vbeliebig
oftdifferenzierbar.Alsoerhaltman
ausden
Cau
chy-
Rieman
n’schen
Differentialgleichungen
unddem
SatzvonSchwarzuber
die
gemischtenpartiellenAbleitungen
uxx=
(ux) x
=(v
y) x
=v y
x=
v xy=
(vx) y
=(−
uy) y
=−uyy,
undgenau
sov x
x=
−v y
y.W
irsehen
,dassuundvharmon
isch
sind.
Viele
Satze
der
komplexen
Analysisgehoren
eigentlichin
den
Kon
textder
harmon
ischen
Funktion
en.Zum
Beispieldas
Max
imumprinzipSatz3.3.1,
(i).
Wir
gehen
darau
fab
ernichtnah
erein.
�
Kapitel3
Eigenschaften
analytischer
Funktionen
3.1
Identitatssatz,Logarith
men
Wirbeginnen
miteiner
ersten
Folgerungau
sder
allgem
einen
Cau
chy’schen
In-
tegralform
el,den
sogenan
ntenCauchy’schen
AbschatzungenfurdieAbleitungen
einer
analytischen
Funktion
.
3.1.1
Koro
llar.
Sei
G⊆
Coffen
,f∈H(G
)undseiUr(w
)⊆
G.Danngilt
� � f(k
)(w
)� �≤
k!
rkmax
ζ∈∂
Ur(w
)|f(ζ)|,
k∈N
0.
Bew
eis.
Nachder
Cau
chy’schen
Integralform
elgilt
� � f(k
)(w
)� �=� � �k
!
2πi
ffi
∂U
r(w
)
f(ζ)
(ζ−
w)k
+1dζ� � �≤
k!
2π·2
πr·m
axζ∈∂
Ur(w
)|f(ζ)|
rk+1
=
=k!
rkmax
ζ∈∂
Ur(w
)|f(ζ)|.
❑
3.1.2
Koro
llar.
Sei
f∈H(C
)undseiρ≥
0.Gibtes
eineKonstante
C>
0,undeineFolge(R
n) n
∈N,R
n>
0,vonRadienmitR
n→
∞,sodass
|f(z)|≤
C|z|ρ ,
|z|=
Rn,n∈N,
soistfeinPolynom
vom
Gradhochsten
s[ρ].
Bew
eis.
Die
Taylorreihe�
∞ k=0
f(k)(0
)k!
zkko
nvergiert
inga
nzC
undstellt
die
Funktion
fdar.Nungilt
furjedes
n∈N
|f(k
)(0)|≤
k!
Rk n
·CR
ρ n=
Ck!R
ρ−k
n.
Alsofolgt,
mit
n→
∞,dassfurk>
ρstetsf(k
)(0)=
0.❑
Der
folgendeSpezialfallvo
nKorollar3.1.2istsehroftgu
teinsetzbar:
33
34KAPIT
EL3.
EIG
ENSCHAFTEN
ANALYTISCHER
FUNKTIO
NEN
3.1.3
Koro
llar(Satz
vonLiouville).
Sei
f∈H(C
)undseisupz∈C
|f(z)|<
∞.
Dannistfkonstant.
Bew
eis.
WendeKorollar3.1.2an
mit
ρ=
0undeiner
beliebigen
Folge
von
Rad
ien.
❑W
irkommen
zueinem
Resultat,welches
beson
dersdeutlich
aufzeigt,wie
starkdie
Eigenschaftan
alytischzu
sein
ist.
3.1.4
Satz
(Iden
titatssatz).
Sei
GeinGebiet,
undseienf,g
∈H(G
).Dann
sindaquivalent:
(i)f=
g.
(ii)
EsexistierteinPunkt
w∈G
mitf(k
)(w
)=
g(k
)(w
),k∈N
0.
(iii)Die
Men
ge{z
∈G
:f(z)=
g(z)}
hateinen
Haufungspunkt
inG.
Bew
eis.
Esgenugt
den
Spezialfallg=
0zu
betrachten,denndie
allgem
eine
Aussag
efolgtau
sdiesem
durchBetrachtungvonf−
g.Sei
also
imfolgenden
stetsg=
0vo
rausgesetzt.W
irzeigen
(i)⇒
(iii)⇒
(ii)
⇒(i).
Die
Implikation
(i)⇒
(iii)isttrivial.Esgelte(iii).Sei
w∈G
einHau
fungs-
punktvon{z
∈G
:f(z)=
0}.Angenom
men
esexistierteineZah
ln∈N
0mit
f(w
)=
...=
f(n
−1)(w
)=
0,f(n
)(w
)�=
0.Dan
ngilt
also
f(z)=
∞ � k=n
f(k
)(w
)
k!
(z−
w)k
=(z
−w)n
∞ � k=0
f(k
+n)(w
)
(k+
n)!
(z−w)k
furalle
zin
einer
UmgebungU
vonw.Die
Funktion
g(z):=
∞ � k=0
f(k
+n)(w
)
(k+
n)!
(z−
w)k
iststetig
inU,denndie
Kon
vergenzrad
iender
Potenzreihen
furfundgsind
gleich.Esgilt
g(w
)=
1 n!f
(n)(w
)�=
0,also
existierteineUmgebungV
vonw
sodassg(z)�=
0,z∈
V.Alsohat
fin
Vhochsten
seineNullstelle,nam
lich
w.
Ein
Widerspruch,daw
Hau
fungspunktvo
nder
Men
geder
Nullstellenvo
nfist.
Esfolgtf(k
)(w
)=
0furalle
k∈N
0.
Sei
nun(ii)
vorausgesetzt.Betrachte
die
Menge
M:=
� w∈G
:f(k
)(w
)=
0,k∈N
0
� .
Dajededer
Funktion
enf(k
),k∈
N0,stetig
ist,
istM
inG
abgeschlossen.Sei
w∈M
,dan
ngilt
aufeiner
gewissenUmgebungU
vonw
f(z)=
∞ � k=0
f(k
)(w
)
k!
(z−
w)k
=0,
z∈U.
AlsoistU
⊆M
.DaM
�=∅istundG
zusammenhan
gtfolgtM
=G.
❑Sei
G⊆
Coff
enundf∈H(G
).Weiters
seiw
∈C.Ein
Punktz∈G
heißt
einew-Stellevonf,wennf(z)=
wgilt.
3.1.
IDENTIT
ATSSATZ,LOGARIT
HMEN
35
3.1.5
Koro
llar.
Sei
Gein
Gebiet,
f∈
H(G
)nichtkonstant,
und
w∈
C.
Dannhatdie
Men
geder
w-Stellen
vonfkeinen
Haufungspunkt
inG.Istaeine
w-Stelle,
soexistiertl∈N
mit
f(a)=
w,f
′ (a)=
...=
f(l−1)(a)=
0,f(l)(a)�=
0.
Die
Funktion
h(z):=
�f(z
)−w
(z−a)l
,z∈G
\{a}
f(l)(a
)l!
,z=
a
istanalytischin
G.Die
Zahllheißtdie
Vielfachheitder
w-Stellea.
Bew
eis.
DieTatsachedassf−1({w})
keinen
Hau
fungspunktin
Ghat,sowiedass
esfurjedew-StelleeineZah
llmitder
behau
ptetenEigenschaftgibt,folgtwenn
man
den
Identitatssatz
mit
der
konstan
tenFunktion
g(z)=
wan
wendet.Be-
trachte
nundieFunktion
h.Diese
iststetig
inG
und,wegen
der
Quotientenregel,
analytischin
G\{
a}.
NachLem
ma2.1.7,
isthdah
erin
ganzG
analytisch.
❑Der
Identitatssatz
istoftpraktisch,denner
erlaubtes
ausdem
rellen
be-
kannte
Funktion
algleichungenzw
ischen
analytischen
Funktion
eninskomplexe
zuubertrag
en.Betrachte
zum
Beispieldie
Funktion
ensinz,cos
z∈H(C
).W
irwissen,dassfurfestes
w∈R
undreelle
Werte
vonzdie
Fuktion
algleichung
sin(z
+w)=
sinzcosw+
coszsinw
gilt.Dadie
linkeunddie
rechte
Seite
analytischsindfolgtdassdiese
Beziehung
furallez∈Cgilt.Betrachtetman
nundiebeiden
Seitender
Gleichungfurfestes
zalsFunktion
envonw,so
folgtgenau
so,dassdie
Gleichungfuralle
z,w
∈C
richtigist.
Eineweitere
Tatsache,
die
man
naturlichau
chvielelem
entarerzeigen
kann,
die
nun
aber
ganzoh
neweiteren
Aufwan
dfolgt,
istdie
Eindeu
tigk
eitvo
nStammfunktion
en.
3.1.6
Koro
llar.
Sei
GeinGebiet,f:G
→C,undseienF1,F
2Stammfunktio-
nen
vonf.DannistF1−
F2konstant.
Bew
eis.
Um
dieszu
sehen
,seiw
∈G
gewah
lt,undc:=
F1(w
)−
F2(w
).Da
F1,F
2differenzierbar
unddah
eran
alytischsind,istdie
Taylorreihevo
nF1−F2
um
win
einer
ganzenKreisscheibeum
wko
nvergent.Nungilt(F
1−F2)(
k)=
0,k≥
1,also
istF1(z)−
F2(z)=
cfuralle
zin
dieserKreisscheibe.
❑Einewichtige
Kon
sequenzder
Existenzvo
nStammfunktion
enan
alytischer
Funktion
enistdie
Existenzvo
nLog
arithmen
undallgem
einen
Potenzen.
3.1.7
Koro
llar.
Sei
G⊆
Coffen
undhomologeinfach
zusammen
hangend,und
seif∈
H(G
)∗.DannexistierteineFunktiong∈
H(G
)mit
f=
exp(g).
Die
Men
gealler
Funktionen
h∈
H(G
)mit
f=
exp(h)istgegebenals
{g+
2πik
:k∈Z}
.
Bew
eis.
Wegen
f∈
H(G
)∗ist
f′ f∈
H(G
).DaG
hom
olog
einfach
zusam-
menhan
gend
ist,
existiertg
∈H(G
)mit
g′=
f′ f.Betrachte
die
Funktion
f:=
exp(g),
dan
nistf∈H(G
)∗.Esgilt
f′ (z)=
exp(g(z))
·g′ (z)=
f(z)f′ (z)
f(z),
36KAPIT
EL3.
EIG
ENSCHAFTEN
ANALYTISCHER
FUNKTIO
NEN
also
ist
� f f
� ′(z)f′ (z)f(z)−
f(z)f
′ (z)
f(z)2
=0.
Esfolgtf(z)=
cf(z)fureinegewisse
Kon
stan
tec∈C\{
0}.Die
Funktion
gist
nurbis
aufeinead
ditiveKon
stan
tedurchg′=
f′ ffestgelegt,also
kon
nen
wir
g
sowah
len,daß
f(z)=
f(z).
Die
letzte
Behau
ptungfolgtdaexp(w
)=
1genau
dan
n,wennw
=2π
ikmit
k∈Z.
❑Man
nennteineFunktion
hmit
exp(h)=
fau
cheinen
Logarithmusvon
f.Sei
G⊆
Coff
en,hom
olog
einfach
zusammen
han
gend,undsei0�∈
G.Dan
nistid
G∈
H(G
)∗.EineFunktion
g∈
H(G
)mit
z=
exp(g(z)),z∈
G,nennt
man
einen
Zweigdes
Logarithmusau
fG,undschreibtau
chg(z)=:logz.Man
beachte,dassdiese
Schreibweise
eigentlichirrefuhrendist,
denngistja
nicht
eindeu
tigfestgelegt.Erstwennman
sich
aneiner
Stellez 0
∈G
aufeinen
Wert
g(z
0)=
w0mit
exp(w
0)=
z 0festlegt,istgeindeu
tigau
fga
nzG
bestimmt.
Sei
nungeinZweigdes
Log
arithmusau
fG,undschreibez∈G
alsz=
reiϑ
mit
r>
0,ϑ∈R.Dan
ngilt
reiϑ
=exp� R
eg(z)+
iIm
g(z)�
=exp� R
eg(z)�
·exp� iIm
g(z)�
,
unddah
erReg(z)=
lnrundIm
g(z)=
ϑ+
2πkmit
einem
k∈Z.
3.1.8
Bem
erkung.
Sei
G⊆
Coff
en,hom
olog
einfach
zusammen
han
gend,und
sei0�∈G.Weiters
seic∈C,undlogzeinZweigdes
Log
arithmusau
fG.Dan
nbezeichnet
man
zc:=
exp(clogz),
z∈G,
und
sprichtvon
einem
Zweigder
Potenz
zc.Auch
diese
Bezeichnungistir-
refuhrend,dazcerst
dan
neindeu
tigfestgelegt
istwenn
man
einen
gewissen
Zweigdes
Log
arithmusau
sgew
ahlt
hat.
Schreibewieder
z=
reiϑ,dan
nist,
fureingewissesk∈Z,
zc=
exp� c(
lnr+
iϑ+
2πik)�
=
exp� R
ec·lnr−
Imc·(ϑ+2π
k)�
·exp� i(
Rec·(ϑ+
2πk)+
Imc·lnr)� .
(3.1.1)
Zum
Beispielkon
nte
das
Symbol
1ialso
die
Werte
exp(−
2πk)furirgendein
k∈Zbedeuten.Auch
die,durchdie
Schreibweise
zcsugg
erierten
Rechenregeln
wie
zum
Beispielzc·w
c=
(z·w
)csindim
allgem
einen
falsch.
Interessan
tsindjedoch
die
folgendeFeststellungen,die
man
unmittelbar
aus
der
Formel
(3.1.1)erhalt:
(i)Istc∈Z,
soistder
Wertvonzceindeu
tigbestimmt,
undzw
argilt
zc=
z·...·z
���
�c-m
al
,c∈N
1,c=
0
[z·...·z
���
�−c-m
al
]−1,
c∈−N
3.2.
DER
SATZVOM
LOGARIT
HMISCHEN
RESID
UUM
37
(ii)
Istn∈N
undc:=
1 n,so
besitzt
zcgenau
nmog
licheWerte.Istw
0einer
vondiesen,so
erhaltman
alle
mog
lichen
Werte
als
wk=
w0ei
2πk
n,k=
0,...,n−
1.
Diese
Werte
sindgenau
jeneko
mplexen
Zah
lenw
mitw
n=
z.Dieszeigt,
dassdie
hierdefinierte”F
unktion“
z1 n
doch
irgendwas
mit
der
”n-ten
Wurzel“zu
tunhat.
�W
irwollennoch
explizitfesthalten:
3.1.9
Bem
erkung.
Sei
G⊆
Coff
enundhom
olog
einfach
zusammen
han
gend,sei
f∈H(G
)∗undn∈N.Dan
nexistiertg∈H(G
)mit
gn=
f.
�
3.2
DerSatz
vom
logarith
misch
en
Residuum
3.2.1
Satz
(vom
logarithmischen
Residuum).
Sei
G⊆
Coffen
und
g∈
H(G
)∗.Weiters
seien
a1,...,a
n,b
1,...,b
mpaarw
eise
verschieden
ePunktein
G,α1,...,α
n,β
1,...,β
m∈
N,undγeingeschlossen
errektifizierbarerWeg
inG
der
inG
nullhomologistundso
dass
keiner
der
Punkteai,b j
inγ([0,1])liegt.
Betrachte
die
Funktion
f(z):=
n � i=1
(z−
ai)
αi
m � j=1
(z−
b j)−
βjg(z).
Dannistf∈H(G
\{a1,...,a
n,b
1,...,b
m})
∗undes
gilt
1 2πi
ˆ
γ
f′ (ζ)
f(ζ)dζ=
n � i=1
αin(γ,a
i)−
m � j=1
βjn(γ,b
j).
Bew
eis.
Wir
differenzieren
fnachder
Produktregel:
f′ (z)=
n � k=1
�n � i=1
i�=k
(z−
ai)
αi·α
k(z
−ak)α
k−1�
m � j=1
(z−
b j)−
βjg(z)+
+
n � i=1
(z−
ai)
αi
m � l=1
�m � j=1
j�=l(z
−b j)−
βj(−
βl)(z
−b l)−
βl−1� g
(z)+
+
n � i=1
(z−
ai)
αi
m � j=1
(z−b j)−
βjg′ (z)
Esfolgt
f′ (z)
f(z)=
n � k=1
αk
z−
ak−
m � l=1
βl
z−
b l+
g′ (z)
g(z).
Da
g′ g∈H(G
)istundγin
Gnullhom
olog
,folgtwegen
dem
Cau
chy’schen
Inte-
gralsatz
das´
γg′ (ζ)
g(ζ
)dζ=
0.Die
behau
ptete
Formel
folgtnunau
sder
Definition
der
Umlaufzah
l.❑
DieserSatzhat
einigewichtige
Kon
sequenzen.
38KAPIT
EL3.
EIG
ENSCHAFTEN
ANALYTISCHER
FUNKTIO
NEN
3.2.2
Koro
llar.
Sei
GeinGebiet,
f∈
H(G
),undw
∈C.Weiters
seiγein
geschlossen
errektifizierbarerWeg
inG
der
nullhomologin
Gist,
undsodass
keinew-Stellevon
faufγ
liegt.
Seien
a1,a
2,...
die
(endlich
oder
abzahlbar
vielen
)w-Stellen
vonfin
Gmit
entsprechen
den
Vielfachheitenαk∈N.Dann
gilt
1 2πi
ˆ
γ
f′ (ζ)
f(ζ)−
wdζ=� k
αkn(γ,a
k)
Bew
eis.
Seizunachst
angenom
men,dassfnunendlich
viele
w-Stellen
inG
hat,
undseiendiese
a1,...,a
nmit
Vielfachheitenα1,...,α
n.Dan
nist
f(z)−
w=
n � i=1
(z−
ai)
αig(z)
mitg(z)∈H(G
)∗.Die
behau
ptete
Formel
folgtnununmittelbar
ausSatz3.2.1.
Um
den
allgem
einen
Fallzu
behan
delnko
nstruierenwireinekleinereMenge
G⊆
Gau
fwelches
wir
den
eben
gezeigtenSpezialfallan
wenden
kon
nen.Dazu
seiR
:=max
t∈[0,1]|γ(t)|
undδ:=
d(∂G,γ
([0,1])).Betrachte
die
Menge
G:=
� z∈G
:d(z,∂
G)>
δ 2
�∩U2R(0).
Dan
nistG
⊆G
offen,G
⊆G
kompak
t,undγ([0,1])⊆
G.Dafnichtko
nstan
tist,kannG
nachdem
Identitatssatz
nurendlich
viele
w-Stellen
vonfenthalten.
Seinunz�∈G
gegeben.Ist|z|≥
2R,so
liegtzin
der
unbeschranktenKom
pon
en-
tevonC\γ
([0,1])unddah
eristn(z,γ
)=
0.Ist|z|<
2R,so
muss
d(∂G,z)≤
δ 2gelten.W
ahle
w∈∂G
mit
|z−
w|=
d(∂G,z),
undseiW
die
Kom
pon
ente
von
C\γ
([0,1])welchew
enthalt.Wegen
Uδ 2(w
)∩G
=∅,
istU
δ 2(w
)⊆
W.Dah
erist
n(z,γ
)=
n(w
,γ).Daγin
Gnullhom
olog
ist,istn(w
,γ)=
0.W
irsehen
dassγ
auch
inG
nullhom
olog
ist.
❑Istγzum
BeispieleinKreis,γ(t):=
z 0+re
2πit,so
giltn(γ,z)=
0oder
=1
jenachdem
obzau
sserhalboder
innerhalbvo
nγliegt.
Dan
nzahlt
das
Integral
inKorollar3.2.2also
geradedie
Anzahlder
w-Stellen
vonf
innerhalbvo
nγ
(inklusiveVielfachheiten).
3.2.3
Satz.Sei
G⊆
Coffen
,f
∈H(G
),a
∈G,w
0:=
f(a).
Sei
fnicht
konstantin
einer
Umgebungvonaundbezeichneα
∈N
die
Vielfachheitvon
aals
w0-Stellevon
f.Dann
existieren
Umgebungen
Uvon
w0undV
von
a,
sodass
furjedes
w∈U
die
Funktionfgenauα
einfachew-Stellen
inV
hat.
Bew
eis.
Seiγeingeschlossen
errektifizierbarer
Weg
inG.Betrachte
dieFunktion
N(w
):=
1 2πi
ˆ
γ
f′ (ζ)
f(ζ)−
wdζ,
w∈C\f
(γ([0,1])).
Diese
istwoh
ldefiniert,da,
wegen
w�∈
f(γ([0,1])),der
Integran
deinestetige
Funktion
vonζ∈γ([0,1])ist.
Wir
zeigen
dass
N(w
)stetig
ist:
Sei
wfestgehalten
und
setze
r:=
d(w
,f(γ([0,1]))),dan
nistr>
0.Fur|z−w|<
r 2gilt|f(ζ)−
z|>
r 2,ζ
∈γ([0,1]),
undwir
erhalten
|N(z)−
N(w
)|=
1 2π
� � �ˆ γ
f′ (ζ)�
1
f(ζ)−
z−
1
f(ζ)−
w
� dζ� � �=
3.2.
DER
SATZVOM
LOGARIT
HMISCHEN
RESID
UUM
39
=1 2π
� � �ˆ γ
f′ (ζ)(z−
w)
(f(ζ)−
z)(f(ζ)−
w)dζ� � �≤
1 2π
max
ζ∈γ
([0,1])|f
′ (ζ)|
r 2·r
|z−
w|·
V(γ).
Seien
nunf,a,w
0,α
wieim
Satzan
gegeben.Dadiew
0-Stellen
vonfwieau
chdie
Nullstellenvonf′isoliert
inG
liegen,existiertr>
0sodassUr(a)⊆
G,f
(z)�=
w0undf′ (z)�=
0furz∈Ur(a)\{
a}.
Betrachte
den
Weg
γ(t):=
a+
r 2e2
πit,
t∈[0,1].
Dan
nistγeingeschlossener
rektifizierbarer
nullhom
otop
erWeg
inG
undes
gilt
n(γ,z)=
�1,
|z−
a|<
r 2
0,
|z−
a|>
r 2
Sei
ǫ:=
1 2d(w
0,f
(γ([0,1]))),
wegen
unsererWah
lvonristǫ>
0.Weiters
ist
Uǫ(w
0)∩f(γ([0,1]))
=∅,
also
istdie
Funktion
N(w
)au
fUǫ(w
0)definiert
und
stetig.Sie
hat
wegen
Korollar3.2.2Werte
inZ
undmußdah
erau
fder
zusam-
menhan
genden
Menge
Uǫ(w
0)ko
nstan
tsein.NungiltN(w
0)=
α,also
folgtdas
ffurjedes
w∈
Uǫ(w
0)genau
αviele
w-Stellen
inU
r 2(a)besitzt
wob
eidiese
entsprechendihrerVielfachheitoftgezahlt
werden
.Wegen
unsererWah
lvo
nr
hat
fin
Ur 2(a)\{
a}nureinfachew-Stellen.Die
Behau
ptungdes
Satzesfolgt
mit
den
UmgebungenU
:=Uǫ(w
0)undV
:=U
r 2(a).
❑
3.2.4
Koro
llar.
Esgilt
(i)Satzvo
nder
Gebietsttreue:
Sei
GeinGebietundf∈
H(G
)nichtkon-
stant.Dannistf(G
)eben
fallseinGebiet.
(ii)
Satzvo
nder
inversen
Funktion
:Sei
G⊆
Coffen
,f∈
H(G
),undseif
injektiv.Dannistf−1:f(G
)→
Ganalytisch.Esgiltstets(f
−1)′(f(z))
=1
f′ (z),z∈G.
Bew
eis.
Um
(i)zu
sehen
,seiw
0∈f(G
).W
ahle
a∈G
mitf(a)=
w0undseiU
die
Umgebungau
sSatz3.2.3.
Dan
ngiltU
⊆f(G
).W
irzeigen
(ii):Zunachst
ist
stetsf′ (z)�=
0,dennwaref′ (a)=
0,so
existieren
nachSatz3.2.3furalle
wau
seiner
gewissenUmgebungvonw
0:=
f(a)mindestenszw
eieinfachew-Stellen
.Ein
Widerspruch,dennfistinjektiv.Weiters
istf(G
)off
enundf−1stetig,da,
nach(i)an
gewan
dtau
ffeingeschranktau
fbeliebigeoff
eneTeilm
engenvo
nG,
foff
eneMengenau
foff
eneMengenab
bildet.
Istw,w
∈f(G
),w
=f(z),
w=
f(z),
sogilt
(f−1)(w)−
(f−1)(w)
w−
w=
z−
z
f(z)−
f(z)=� f
(z)−
f(z)
z−
z
� −1
.
Lasst
man
hierw
→w
streben,so
folgtwegen
der
Stetigkeitvon
f−1dass
z→
z,unddah
er(f
−1)′(w
)=
[f′ (z)]−1.
❑Der
Satzvo
nder
Gebietstreuewirdoftau
chalsSatz
vonder
offen
enAbbil-
dungbezeichnet.
3.2.5
Bem
erkung.
Sei
f∈
H(G
).W
iewir
gesehen
hab
enim
pliziertdie
Eigen-
schaft”f
injektiv“
,dassf′ (z)�=
0,z
∈G.Im
Gegensatz
zurSituation
bei
reellwertigenFunktion
eneiner
reellenVeran
derlichen
gilt
hierdie
Umkehrung
40KAPIT
EL3.
EIG
ENSCHAFTEN
ANALYTISCHER
FUNKTIO
NEN
nicht.
Einelokale
Version
istjedoch
richtig:
Sei
z 0∈
Gund
seif′ (z 0)�=
0,dan
nexistierteineoff
eneUmgebungW
⊆G
vonz 0
sodassf| W
injektivist.
Um
dieszu
sehen
wah
leU,V
wie
imSatz3.2.3mit
w0:=
f(z
0)und
setze
W:=
V∩f−1(U
).�
3.2.6
Satz
(vonRouche).
Sei
G⊆
Coffen
,undseienf,g
∈H(G
).Sei
wei-
ters
γein
geschlossen
errektifizierbarerWeg
inG,der
inG
nullhomologist.
Bezeichnemita1,a
2,...
bzw.b 1,b
2,...
die
(endlichen
oder
unen
dlichen
)Folgen
der
Nullstellenvonf
bzw.gin
G,mit
entsprechen
den
Vielfachheitenαkbzw.
βk.Gilt
|f(z)+
g(z)|<
|f(z)|+
|g(z)|,
z∈γ([0,1]),
sofolgt
� k
αkn(γ,a
k)=� k
βkn(γ,b
k).
Bew
eis.
Sei
G:=
� z∈G
:|f(z)+
g(z)|<
|f(z)|+|g(z)|,
f(z)�=
0,g(z)�=
0�,
dan
nistG
offen
undγeingeschlossen
errektifizierbarer
Weg
inG.DieFunktion
h(z):=
f(z
)g(z
)istan
alytischin
G,undes
gilt
|h(z)+
1|<
|h(z)|+
1,z∈G.
Dah
erkannh(z)furz∈
Gkeinenichtnegativereelle
Zah
lsein,d.h.h(G
)⊆
C\[
0,∞
).SeinunlogzeinZweigdes
Log
arithmusder
inC\[0,∞
)an
alytischist.Dan
nistH(z):=
log(h(z))
∈H(G
),undes
gilt
H′ (z)=
h′ (z)
h(z)=� f
(z)
g(z)
� ′g(z)
f(z)=
f′ (z)
f(z)−
g′ (z)
g(z).
Die
Funktion
f′ f−
g′ g∈H(G
)hat
also
eineStammfunktion
,z.B.nam
lich
H.Es
folgtdass � k
αkn(γ,a
k)−� k
βkn(γ,b
k)=
ˆ
γ
� f′ (ζ)
f(ζ)−
g′ (ζ)
g(ζ)
� dζ=
0.
❑
3.3
DasM
axim
umprinzip
3.3.1
Satz
(Maximumprinzip).
Sei
G⊆
Coffen
undf∈H(G
).Esgilt:
(i)Sei
zusatzlich
Gzusammen
hangend.Existiert
ein
Punkt
a∈
Gmit
|f(a)|
≥|f(z)|,
z∈
G,so
istf
konstant.
Die
gleicheSchlußfolgerung
gilt
wen
nman
anstelle
von|f(a)|
≥|f(z)|,
z∈
G,en
tweder
Ref(a)≥
Ref(z),
z∈G,oder
Imf(a)≥
Imf(z),
z∈G,voraussetzt.
(ii)
Sei
Gbeschrankt
undhabe
feinestetigeFortsetzungfaufG.Danngilt
sup
z∈G
|f(z)|=
max
ζ∈∂
G|f(ζ)|.
3.3.
DASMAXIM
UMPRIN
ZIP
41
(iii)Sei
Gzusammen
hangend,undbezeichnemit∂∞G
den
RandvonG
inC
∞,
d.h.
∂∞G
:=
�∂G
,G
beschrankt
∂G
∪{∞
},G
unbeschrankt
Ist
M:=
sup
a∈∂
∞Glim
sup
z→
a,
z∈G
|f(z)|<
∞,
sofolgt|f(z)|≤
M,z∈G.
Bew
eis.
Um
(i)zu
zeigen
seian
genom
men
fistnichtkonstan
tundseia∈G.
Wegen
dem
Satzvonder
offenen
Abbildungenthaltf(G
)einega
nze
Umgebung
vonf(a),
also
sicher
auch
Punkte
mit
groß
erem
Betrag(bzw
.groß
erem
Real-
oder
Imag
inarteil).
Wir
kommen
zu(ii).Daf
stetig
istund
Gko
mpak
tgibtes
eineStelle
a∈
Gmit
|f(a)|
=max
z∈ G
|f(z)|.
Angenom
men
a∈
G,dan
nistwegen
(i)
die
Funktion
fau
fder
Zusammenhan
gskompon
ente
Gvo
nG
welcheaenthalt
konstan
t.Nunist∂G
⊆∂G
daC
lokalzusammenhan
gendist,undwirschließen
dasses
einen
Punktain
∂G
gibtmit
|f(a)|
=|f(a)|.
Esfolgtdas
|f|s
ein
Max
imum
sicher
auch
amRan
dan
nim
mt,
also
sup
z∈G
|f(z)|≤
max
ζ∈∂
G|f(ζ)|.
Die
umgekehrteUngleichunggilt
wegen
der
Stetigkeitvo
nf.
Schließlich
kommen
wir
zum
Bew
eisvo
n(iii).
Sei
δ>
0festgehaltenund
betrachte
die
Menge
H:=
� z∈G
:|f(z)|>
M+
δ�,
undseian
genom
men
das
H�=
∅.Da|f|s
tetigist,
istH
offen.Ist∞
�∈∂∞G,so
istG
unddam
itau
chH
beschrankt.Ist∞
∈∂∞G,so
existiertR
>0mit|f(z)|<
M+δ,
z∈G\U
R(0),
also
istau
chin
diesem
FallH
beschrankt.
Die
Menge
Histdah
erkompak
t,undklarerw
eise
gilt
H⊆
G=
G∪∂G.Sei
a∈
∂G,dan
nexistiertǫ>
0mit
|f(z)|<
M+
δ,z∈G
∩Uǫ(a),
also
ista�∈H.W
irschließen
dassH
⊆G.Die
Funktion
f| H
istan
alytischundhat
f| H
alsstetigeFortsetzung,
also
folgtnach
(ii)
das
sup
z∈H
|f(z)|=
max
ζ∈∂
H|f(ζ)|.
Istζ∈
∂H,so
folgtζ�∈
HdaH
offen
ist,
unddah
er|f(ζ)|
≤M
+δ.
Ein
Widerspruch,dennwegen
der
Defi
nitionvo
nH
undder
Annah
meH
�=∅ist
supz∈H
|f(z)|>
M+
δ.❑
Das
Max
imumprinzipisteinSatzder
eigentlichin
den
Kon
textder
harmon
i-schen
bzw
.subharmon
ischen
Funktion
engehort.
Darau
fwerden
wir
aber
nicht
eingehen
.Die
folgendeVerallgem
einerungdes
Max
imumprinzipsspielt
ofteinewich-
tige
Rolle.Dab
eiwirddie
Vorau
ssetzungan
die
Beschranktheitam
Ran
dab
ge-
schwacht.
3.3.2
Satz
(PrinzipvonPhragm
en-Lindelof).
Sei
G⊆
Coffen
undhomolog
einfach
zusammen
hangend,seif∈H(G
),undM
≥0.
Esexistiereϕ∈H(G
)∗
mitsupz∈G
|ϕ(z)|<
∞,undMen
genA,B
mit∂∞G
=A∪B,sodass
42KAPIT
EL3.
EIG
ENSCHAFTEN
ANALYTISCHER
FUNKTIO
NEN
(i)lim
sup
z→
az∈G
|f(z)|≤
M,a∈A;
(ii)
lim
sup
z→
bz∈G
|f(z)|·|ϕ(z)|η
≤M
,b∈B,η>
0.
Dannfolgt|f(z)|≤
M,z∈G.
Bew
eis.
Setze
K:=
supz∈G
|ϕ(z)|.
DaG
hom
olog
einfach
zusammen
han
gend
istexistiertψ∈H(G
)mit
ϕ=
exp(ψ
).Setze
g(z):=
exp(ηψ(z)),z∈G,dan
nistg∈H(G
)undes
gilt
|g(z)|=
exp(η
Reψ(z))
=[exp(R
eψ(z))]η
=|ϕ(z)|η
.Betrachte
die
Funktion
F(t):=
f(z)g(z)K
−η
∈H(G
).Esgilt
|F(z)|
=|f(z)|·|ϕ(z)|η
K−η≤
|f(z)|,
also
folgtwegen
(i)
lim
sup
z→
a,
z∈G
|F(z)|≤
M,
a∈A,
undwegen
(ii)
lim
sup
z→
b,
z∈G
|F(z)|≤
M·K
−η,
b∈B.
AusSatz3.3.1,
(iii),erhaltenwir|F
(z)|≤
max
{M,M
K−η},
z∈G,unddah
er
|f(z)|≤
|ϕ(z)|−
ηmax
{MK
η,M
},z∈G.
Furη→
0erhaltman
die
gewunschte
Aussag
e.❑
3.3.3
Koro
llar.
Sei
a≥
1 2undfanalytischin
dem
Winkelraum
G:=
� z∈C
:|arg
z|<
π 2a
� ,
undseiM
≥0.
ExistierenKonstantenC
>0undb∈(0,a),
sodass
(i)lim
sup
z→
az∈G
|f(z)|≤
M,a∈∂G;
(ii)
|f(z)|≤
Cexp(|z
|b ),z∈G,|z|h
inreichen
dgroß;
sofolgt|f(z)|≤
M,z∈G.
Bew
eis.
Sei
c∈
(b,a)festgehalten.Weiters
seilogz∈
H(G
)jener
Zweigdes
Log
arithmusder
Funktion
z∈H(G
)∗mit
log1=
0.Setze
ϕ(z):=
exp� −
exp(clogz)�
=exp(−
zc),
z∈G.
Schreibtman
z∈G
alsz=
reiϑ
mitr>
0,|ϑ|<
π 2a,so
hat
man
logz=
lnr+iϑ
unddah
er
|ϕ(z)|=
exp(−
Reexp(cln
r+
icϑ))
=exp(−
rccoscϑ
).
Wegen
0<
c<
aistinf |ϑ|<
π 2acoscϑ
=:ρ>
0.Insbeson
dereiststetscoscϑ
≥0
unddah
er|ϕ(z)|≤
1.Klarerw
eise
istϕ∈H(G
)∗.
Sei
nunη>
0gegeben,dan
ngilt
fur|z|h
inreichendgroß
|f(z)|·|ϕ(z)|η
≤Cexp(r
b)·exp(−
rccoscϑ
)η=
3.3.
DASMAXIM
UMPRIN
ZIP
43
=Cexp� rc
(rb−c−
ηcoscϑ
)�≤
Cexp� rc
(rb−c−
ηρ)�,
z=
reiϑ
∈G.
Wegen
b<
cgilt
rb−c→
0furr→
∞,unddah
er
lim
sup
z→
∞z∈G
|f(z)|·|ϕ(z)|η
=0.
Mitder
Zerlegu
ng∂∞G
=A∪B,A
:=∂G,B
:={∞
},sindalso
die
Vorau
sset-
zungenvonSatz3.3.2erfullt,
undwir
schließen
daß
|f(z)|≤
M,z∈G.
❑AlseineAnwendungdes
Max
imumprinzipsbestimmen
wirdieAutomorphis-
mengruppedes
Einheitskreises.SeiG
⊆Coff
en.Einein
Gan
alytischeFunktion
fheißt
einAutomorphismusvo
nG,wennfdie
Menge
Gbijektivau
fsich
selbst
abbildet.Die
Menge
allerAutomorphismen
vonG
bezeichnet
man
alsAut(G).
Offenbar
bildet
siemitder
Operationder
Hintereinan
derau
sfuhrungeineHalb-
gruppe.
Wegen
dem
Satzvonder
inversen
Funktion
ist�A
ut(G),◦�
tatsachlich
eineGruppe.
EineCharak
terisierungvonAut(D),wob
eiD
die
offeneEinheitskreisscheibe
bezeichnet,erhaltman
ausder
folgenden,au
chan
derwertigsehrnutzlichen,
Aussag
e.
3.3.4
Koro
llar(Lem
mavonSchwarz).
Sei
f∈
H(D
),undgelte|f(z)|
≤1,
z∈
D,undf(0)=
0.Dannfolgt|f(z)|
≤|z|,z∈
D,und|f
′ (0)|≤
1.Giltfur
einz∈D\{
0}das|f(z)|=
|z|,oder
gilt|f
′ (0)|=
1,so
existiertc∈C,|c|
=1,
sodass
f(z)=
cz,z∈D.
Bew
eis.
Wegen
f(0)=
0istdie
Funktion
g(z):=
�f(z
)z
,z�=
0
f′ (0)
,z=
0
analytischin
D,vgl.Korollar3.1.5.
Nachdem
Max
imumprinzipgilt
furjedes
r∈(0,1)
|g(z)|≤
max
|ζ|=
r
|f(ζ)|
|ζ|
≤1 r,
|z|≤
r.
Lasst
man
rր
1streben,so
folgt|g(z)|
≤1,
z∈
D.Alsofolgt|f(z)|
≤|z|,
z∈D,und|f
′ (0)|≤
1.Giltfureinz∈D
das
|f(z)|=
|z|o
der
gilt
|f′ (0)|=
1,so
nim
mt|g(z)|sein
Max
imum
ineinem
inneren
Punktvo
nD
an,unddah
erist
gko
nstan
t.❑
3.3.5
Koro
llar.
Fura∈D
bezeichne
b a(z):=
z−
a
1−az,
z∈D.
Danngilt
Aut(D)=� cb
a:a∈D,|c
|=1�
.
Bew
eis.
Wir
zeigen,dassfurjedes
a∈D
undz∈D
gilt
|b a(z)|<
1:Esist
|b a(z)|2
=|z
−a|2
|1−
az|2
=(z
−a)(z−a)
(1−
az)(1−
az)=
|z|2+
|a|2−az−az
1+
|a|2 |
z|2−
az−az,
also
ist|b a
(z)|<
1genau
dan
n,wenn
|z|2+
|a|2−
az−az<
1+
|a|2 |
z|2−
az−az.
44KAPIT
EL3.
EIG
ENSCHAFTEN
ANALYTISCHER
FUNKTIO
NEN
oder
wenn0<
1+|a|2 |
z|2−|a|2−|z|2
=(1
−|a|2 )
(1−|z|2 )
.Diese
Ungleichung
istrichtigfura,z
∈D.
Wir
berechnen
fura,z
∈D
(ba◦b
−a)(z)=
z+a
1+az−
a
1−a
z+a
1+az
=z+
a−
a−
aaz
1+az−
az−
aa=
z,
also
istb a
∈Aut(D)und(b
a)−
1=
b −a.W
irsehen
,dassin
der
behau
pteten
Gleichheitdie
Inklusion
”⊇“gilt.
Sei
f∈Aut(D)gegeben.Dan
nexistierta∈D
mit
f(a)=
0.Betrachte
die
Funktion
g:=
f◦b
−a,dan
nistg∈Aut(D)undes
giltg(0)=
0.Sei
h∈Aut(D)
das
Inversevo
ng,sodassalso
g(h(z))
=z,z∈D.Esisth(0)=
0,und
1=
g′ (h(z))h′ (z),
z∈D.
Speziellfurz=
0hab
enwir1=
g′ (0)h′ (0).Nachdem
Lem
mavo
nSchwarzgilt
|g′ (0)|,|h′ (0)|≤
1.Wegen
1=
|g′ (0)|·
|h′ (0)|m
ußin
beiden
Ungleichungendie
Gleichheitgelten.Nachdem
Lem
mavonSchwarzexistiertc∈
C,|c|
=1,
mit
g(z)=
cz,z∈D.Esfolgtf(z)=
cba(z),
z∈D.
❑Die
Funktion
enb a
heißenau
chBlaschke-Faktorenfurden
Einheitskreis.
3.4
IsolierteSingularitaten
3.4.1
Definition.Sei
G⊆
Coff
enundw
∈G.Istf∈H(G
\{w}),so
sagen
wir
fhat
eineisolierte
Singularitatander
Stellew.
�Die
Funktion
fhab
ean
der
Stellew
eineisolierteSingu
laritat.
Dan
ndefi-
nierenwir
eineZah
lN
∈N
0∪{+
∞}als
N:=
inf� n
∈N
0:lim
z→
w(z
−w)n
+1f(z)=
0�.
(3.4.1)
3.4.2
Definition.Die
isolierteSingu
laritatw
heißt
(i)hebbar,wennN
=0.
(ii)
Polstelleder
VielfachheitN,wenn0<
N<
+∞
.
(iii)wesen
tlicheSingularitat,
wennN
=+∞
.
�Die
folgendeAussag
ezeigt,
dasstatsachlich
jegroß
erN
istdie
Singu
laritat
umso
gewichtigerist.
3.4.3
Satz.Die
Funktion
fhabe
an
der
Stellew
eineisolierte
Singularitat.
Dannistw
(i)hebbargenaudann,wen
nes
eineFunktiong∈H(G
)gibt
mitg| G
\{w}=
f.
(ii)
einePolstelleder
VielfachheitN
genaudann,wen
nes
g∈H(G
)gibt
mit
g(w
)�=
0und
f(z)=
g(z)
(z−
w)N
,z∈G
\{w}.
3.4.
ISOLIE
RTE
SIN
GULARIT
ATEN
45
(iii)einewesen
tlicheSingularitatgenaudann,wen
nfurjedeUmgebungU
von
win
GdasBildf(U
)dichtin
Cist.
Bew
eis.
Sei
Ndefiniert
wie
in(3.4.1),
undseivorausgesetzt
dassN
<+∞
.Betrachte
die
Funktion
h(z):=
�(z
−w)N
+1f(z),
z∈G
\{w}
0,
z=
w
Dan
nisthstetig
aufG
undan
alytischin
G\{
w}.
NachLem
ma2.1.7folgtdass
h∈H(G
).Weiters
isth(w
)=
0,also
ist
g(z):=
h(z)
z−
w∈H(G
),
undoff
enbar
gilt
f(z)=
g(z
)(z
−w)N
,z∈G
\{w}.
IstN
=0,
soistgeinean
alytischeFortsetzungvo
nf
aufG,d.h.es
gilt
”(i),⇒
“.Um
”(ii),⇒“zu
zeigen,seian
genom
men
dassN
≥1.
Wareg(w
)=
0,so
warelim
z→
w(z−w)N
f(z)=
lim
z→
wg(z)=
0,einW
iderspruch
zurDefi
nition
vonN.Die
Implikation
en”(i),⇐
“,sowie
”(ii),⇐“,sindklar.
Esgilt,im
Falle
N=
0,dass ∃
lim
z→
wf(z)∈C,
undim
Falle
N≥
1,dass
lim
z→
w|f(z)|=
∞.
Esgibtalso
eineUmgebungU
vonw,sodass
|f(z)|�≤
|lim
z→
wf(z)|+
1,
N=
0
≥1
,N
≥1
Insbeson
dereistf(U
)nichtdichtin
C,undwir
hab
en”(iii),⇐
“gezeigt.
Sei
nunan
genom
men,dassfureinegewisse
KugelUr(w
)das
Bildf(U
r(w
))nichtdichtin
Cist.
Wah
leeineKugelUr0(w
0)⊆
C\f
(Ur(w
)),undbetrachte
die
Funktion
h(z):=
1
f(z)−
w0,
z∈Ur(w
)\{
w}
Dan
nisth∈H(U
r(w
)\{
w})
∗ ,undes
gilt
|h(z)|≤
1 r0,z∈Ur(w
)\{
w}.
Nach
der
bereits
bew
iesenen
Aussag
e(i),existierth∈H(U
r(w
))mith| U
r(w
)\{w
}=
h.
Esfolgt
f(z)=
w0+
1
h(z)=
w0h(z)+
1
h(z)
,z∈Ur(w
)\{
w}.
DahnichtidentischNullist,
existiertn
∈N
0mit
h(z)=
(z−
w)nh(z),
h∈
H(U
r(w
)),h(w
)�=
0.W
irerhalten
lim
z→
w(z
−w)n
+1f(z)=
lim
z→
w
� (z−
w)w
0h(z)+
1
h(z)
� =0,
also
istN
<∞
.❑
Die
Implikation
”(i),⇒
“heißt
auch
der
Riemann’scheHebbarkeitssatz,die
Implikation
”(iii),⇒
“der
Satz
vonCasorati-W
eierstraß.
46KAPIT
EL3.
EIG
ENSCHAFTEN
ANALYTISCHER
FUNKTIO
NEN
3.4.4
Bem
erkung.
IstG
⊆Coff
enundenthaltG
das
Kom
plementeines
gewissen
Kreises
UR(0),
d.h.istG
∪{∞
}⊆
C∞
eineoff
eneUmgebungvo
n∞
,undist
f∈
H(G
),so
sagt
man
fhat
eineisolierte
Singularitatbei∞
.Diese
heißt
hebbar,Pol
der
OrdnungN,bzw
.wesentlich,je
nachdem
obdie
Zah
l
N:=
inf� n
∈N
:lim
z→
∞f(z)
zn+1=
0�
gleich
0,endlich
undpositiv,oder
gleich
∞ist.
Betrachtetman
die
Funktion
g(z):=
f(1 z),so
istg∈H(U
1 R(0))
\{0}
.Weiters
gilt
lim
z→
0zn+1g(z)=
lim
w→
∞(1 w)n
+1g(1 w)=
lim
w→
∞f(w
)
wn+1,
also
stim
mtdie
geradefurfdefinierteZah
lN
mitder
furgdefinierten
Zah
lN
aus(3.4.1)uberein.
Insbeson
dereubertrag
tsich
der
Satzvo
nCasorati-Weierstraß:
Sei
fan
aly-
tischau
ßerhalbeines
gewissenKreises
UR(0)undhab
efbei
∞einewesentliche
Singu
laritat,
dan
nistf(C
\ UR(0))
dichtin
C.
�W
irwollenan
merken,dasswir
nurdeswegen
den
Begriffder
isolierten
Sin-
gularitatbei
∞gesondertdefinierenmussen
,weilwir
noch
nichterklart
hab
enwas
einean
alytischeAbbildungvo
nG
⊆C
∞→
C∞
ist.
3.4.5
Koro
llar.
Esgilt
� az+
b:a∈C\{
0},b
∈C�=
AutC
=� f
∈H(C
):finjektiv� .
Bew
eis.
Die
Inklusion
en”⊆
“sindtrivial.Sei
f∈
H(C
)injektiv.Die
Menge
f(D
)istoff
enund
esgilt
f(D
)∩f( D
c)=
∅.Nach
dem
Satzvo
nCasorati-
Weierstraßist∞
keinewesentlicheSingu
laritatvonf.Alsogibtes
einn∈N
0
mitlim
z→
∞1 znf(z)=
0.Wegen
Korollar3.1.2istfeinPolynom
.Dafinjektiv
ist,
kannfnurGrad1hab
en.
❑
3.5
Die
Laurententw
icklung
Hat
die
Funktion
fan
der
Stellew
eineisolierteSingu
laritat,
sogestattetsie
lokalum
weineEntw
icklungin
eineReihe,
ahnlich
wie
einebei
wan
alytische
Funktion
eineEntw
icklungin
einePotenzreihegestattet.
3.5.1
Satz.Sei
G⊆
Coffen
,w
∈G,undseif∈H(G
\{w}).Dannexistiert
eineFolge(a
n) n
∈Z,sodass
die
Reihe
LR(f,z):=
� n∈Z
an(z
−w)n
aufder
großtenpunktierten
Kreisscheibe
UR(w
)\{
w}die
ganzin
Gliegtlokal
gleichmaßig
konvergiert
undsodass
f(z)=
LR(f,z),z∈UR(w
)\{w
}.Die
Folge
(an) n
∈Zistdurchfeindeutigbestim
mt,undes
gilt
an=
1 2πi
ffi
∂U
r(w
)
f(ζ)
(ζ−
w)n
+1dζ,
n∈Z,
0<
r<
R.
Die
ReiheLR(f,z)heißtdie
Lau
rent-Reihevo
nfum
die
Stellew.
3.5.
DIE
LAURENTENTW
ICKLUNG
47
Bew
eis.
Sei
0<
r′<
r<
R.W
irbetrachtendie
Funktion
Fr′ ,r(z):=
1 2πi
ffi
∂U
r(w
)
f(ζ)
ζ−
zdζ−
1 2πi
ffi
∂U
r′(w)
f(ζ)
ζ−
zdζ.
Nachder
Hom
olog
ieversionder
Cau
chy’schen
Integralform
elgilt
Fr′ ,r(z)=
�0
,|z
−w|<
r′oder
|z−
w|>
r
f(z),
r′<
|z−
w|<
r(3.5.1)
Setze
f 1,r(z):=
1 2πi
ffi
∂U
r(w
)
f(ζ)
ζ−
zdζ,
z∈Ur(w
),
f 2,r(z):=
1 2πi
ffi
∂U
r(w
)
f(ζ)
ζ−
zdζ,
z∈C\U
r(w
).
Wegen
Lem
ma2.2.2istf 1
,r∈H(U
r(w
))undf 2
,r∈H(C
\Ur(w
))).
Sei
z∈C,dan
ngilt
wegen
der
ersten
Zeile
in(3.5.1),
f 1,r(z)=
f 1,r
′ (z),
|z−
w|<
r′<
r<
R,
f 2,r(z)=
f 2,r
′ (z),
0<
r′<
r<
|z−
w|.
Alsosinddurch
f 1(z):=
lim
rր
Rf 1
,r(z),
z∈UR(w
)f 2(z):=
lim
rց
0f 2
,r(z),
z∈C\{
w},
Funktion
enf 1
∈H(U
R(w
))und
f 2∈
H(C
\{w
})woh
ldefiniert.Wegen
der
zweitenZeile
in(3.5.1)gilt
f(z)=
f 1(z)−
f 2(z),
z∈UR(w
)\{
w}.
Sei
f 1(z)=�
∞ n=0c n(z
−w)n
die
Taylorreihevo
nf 1
um
w.Diese
konvergiert
zumindestin
UR(w
).Die
Funktion
f 2erfulltoff
enbar
lim
z→
∞f 2(z)=
0,also
hat
die
Funktion
f 2(w
+1 z)∈
H(C
\{0
})an
der
Stelle0einehebbareSingu
laritatunddah
erexistiertg
∈H(C
)mit
g(z)=
f 2(w
+1 z),
z∈
C\{0
}.Weiters
istg(0)=
lim
z→
∞f(w
+1 z)=
0.Sei
g(z)=�
∞ n=1b nzndie
Taylorreihevo
ngum
0.Diese
konvergiert
aufga
nzC.
Setze
nun
an:=
�c n
,n∈N
0
−b −
n,
n∈Z\N
0
dan
ngilt,wennman
die
Reihen
furf 1
undf 2
addiert,
f(z)=� n∈Z
an(z
−w)n,
z∈UR(w
)\{
w},
unddiese
Reihekonvergiert
lokalgleichmaß
igin
UR(w
)\{
w}.
48KAPIT
EL3.
EIG
ENSCHAFTEN
ANALYTISCHER
FUNKTIO
NEN
Seinun�
n∈Z
αn(z−w)n
irgendeineReihedieau
feiner
Kreislinie|z−w|=
rgleichmaß
igkonvergiert
undseih(z)die
dortdargestellteFunktion
.Dan
ngilt
wegen
Beispiel1.2.5
ffi
|ζ−w|=
r
h(ζ)
(ζ−
w)n
+1dζ=
ffi
|ζ−w|=
r
� k∈Z
αk(ζ
−w)k
−n−1dζ=
=� k∈Z
αk
ffi
|ζ−w|=
r
(ζ−
w)k
−n−1dζ=
2πiα
n.
❑
3.5.2
Definition.Die
Funktion
fhab
ean
der
Stellew
eineisolierteSingu
la-
ritat.
Sei
f(z)=�
n∈Z
an(z
−w)n
die
Lau
rent-Reihevonfum
w.Dan
nheißt
der
Koeffi
zienta−1das
Residuum
vonfander
Stellew,undwir
schreiben
a−1=:Res(f,w
).
�3.5.3
Satz
(Residuen
satz).
Sei
G⊆
Coffen
,seienw
1,...,w
n∈
G,f
:G
\{w
1,...,w
n}→
Canalytisch,undγeingeschlossen
errektifizierbarerWeg
inG
\{w
1,...,w
n}der
inG
nullhomologist.Danngilt
1 2πi
ˆ
γ
f(ζ)dζ=
n � k=1
n(γ,w
k)Res(f,w
k).
Bew
eis.
Setze
mk:=
n(γ,w
k),
wah
ler k
>0sodassdie
Kreisscheiben
Uri(w
i)paa
rweise
disjunktsindundga
nzin
Gliegen,undsetze
γk(t):=
wk+
r ke−
2πim
kt,
t∈[0,1].
Dan
nist
n(γ
k,w
j)=
�0
,k�=
j
−m
k,
k=
j,
unddah
er
n(γ,w
j)+
n � k=1
n(γ
k,w
j)=
0,j=
1,...,n.
Istw
�∈G
sogilt
n(γ,w
)=
n(γ
1,w
)=
...=
n(γ
n,w
)=
0.Esfolgt,
daf
analytischin
G\{
w1,...,w
n}ist,
dass
ˆ
γ
f(ζ)dζ+
n � k=1
ˆ γk
f(ζ)dζ=
0.
Nungiltˆ γk
f(ζ)dζ=
ˆ γk
� n∈Z
an(ζ
−w
k)n
dζ=
� n<−1
an
ˆ γk
(ζ−
wk)n
dζ+
+Res(f,w
k)
ˆ γk
dζ
ζ−
wk+� n≥0
an
ˆ γk
(ζ−
wk)n
dζ=
−2π
imkRes(f,w
k).
❑
Kapitel4
Lokalgleichmaßige
Konverg
enz
4.1
Dermetrisch
eRaum
C(G
,X)
Wir
kennen
ausder
Analysiszw
eiKon
vergenzb
egriffefurFolgenvo
nFunktio-
nen,diepunktw
eise-bzw
.diegleichmaß
igeKon
vergenz.Im
Kon
textan
alytischer
Funktion
enistersterer
zuschwachundzw
eitererzu
stark.Man
kanneineFolge
f n∈
H(C
)ko
nstruieren,die
aufC
punktw
eise
gegendie,nichteinmal
stetige,
Funktion
f(z):=
�1,
z=
0
0,
z�=
0
konvergiert.Andererseitswirdman
voneinem
dem
Kon
textan
alytischer
Funk-
tion
enan
gepaß
tenKon
vergenzb
egriffzumindesterwarten,dassdie
Partialsum-
men
einer
Potenzreihe,
dem
Prototypan
alytischer
Funktion
en,gegendie
Funk-
tion
konvergieren.Nunko
nvergiert
aber
zum
Beispielf n
=�
n k=0
zk k!au
fjeder
kompak
tenMenge
gleichmaß
ig,ab
ernichtgleichmaß
igau
fga
nzC,gegenexp(z).
Wir
studierenzunachst
lokalgleichmaß
igeKon
vergenzau
fdem
Rau
maller
stetigen
Funktion
en.
4.1.1
Definition.Sei
G⊆
Coff
en,undsei�X
,d�e
invollstan
diger
metrischer
Rau
m.
(i)W
irbezeichnen
mit
C(G
,X)die
Menge
allerstetigen
Funktion
envo
nG
nachX.
(ii)
EineFolge
(fn) n
∈Nvo
nFunktion
enau
sC(G
,X),
heißt
lokalgleichmaßig
konvergen
tgegenf∈C(G
,X),wenngilt:Furjeden
Punktw
∈G
existiert
eineUmgebungUw⊆
Gvonw,sodass(f
n| U
w) n
∈Ngleichmaß
iggegenf| U
w
konvergiert.
�
Man
sprichtman
chmal
auch
vonkompakter
Konvergen
zoder
norm
alerKon-
vergen
z.DieBezeichnung”kom
pak
teKon
vergenz“
istau
sder
folgenden
Aussag
emotiviert.
49
50KAPIT
EL4.
LOKALGLEIC
HMASSIG
EKONVERGENZ
4.1.2
Lemma.Seien
f n,f
∈C(G
,X),n∈N.Dannkonvergiert
(fn) n
∈Ngenau
dannlokalgleichmaßig
gegenf,wen
ngilt:FurjedekompakteMen
geK
⊆G
konvergiert
(fn| K
) n∈N
gleichmaßig
gegenf| K
.
Bew
eis.
Jeder
PunktvonG
besitzt
einekompak
teUmgebungU
die
ganzin
Gliegt.Alsofolgtau
sder
Bedingu
ngdes
Lem
mas,dassf n
→flokalgleichmaß
ig.
Sei
umgekehrt
vorausgesetzt,dassf n
→f
lokalgleichmaß
ig,undseieine
kompak
teTeilm
enge
Kvon
Ggegeben.Zu
jedem
Punktw
∈K
wah
leeine
UmgebungUw
sodassf n
| Uw→
f| U
wgleichmaß
ig.Sei
Vw
offen,w
∈Vw⊆
Uw,
dan
ngilt�
w∈K
Vw⊇
K.Alsoexistieren
endlich
viele
Punkte
w1,...,w
n∈
Kmit
Vw
1∪...∪Vw
n⊇
K.Esfolgtdassf n
| K→
f| K
gleichmaß
ig.
❑Im
Sinneeiner
”guten“
Kon
vergen
ztheorieistes
interessan
tfestzu
stellen,
dasslokalgleichmaß
igeKon
vergenzvo
neiner
Metrikinduziertwird.Um
dies
zusehen
benutzen
wir
die
folgendeAussag
e.
4.1.3
Lemma.Sei
G⊆
Coffen
.DannexistierteineFolge(K
n) n
∈Nvonkom-
pakten
Teilm
engenvonG
mit
(i)�
n∈N
Kn=
G.
(ii)
Kn⊆
IntK
n+1,n
∈N,wobeiIntK
n+1die
Men
gealler
inneren
Punkte
vonK
n+1bezeichnet.
Bew
eis.
Setze
Kn:=
� z∈G
:d(z,C
\G)≥
1 n
�∩Un(0).
Dan
nistK
nbeschranktund,alsDurchschnittab
geschlossener
Mengen,au
chab
geschlossen
,unddam
itkompak
t.Istw
∈G
gegeben,so
istd(w
,C\G
)>
0,also
existiertn∈N
mit
w∈K
n.Schließlich
ist
Kn⊆� z
∈G
:d(z,C
\G)>
1
n+
1
�∩Un+1(0)⊆
Kn+1,
unddie
Menge
inder
Mitte
dieserUngleichungskette
istoff
en.AlsofolgtK
n⊆
IntK
n+1.
❑Sei
eineFolge
(Kn) n
∈Nmitden
beiden
Eigenschaftenau
sLem
ma4.1.3fest-
gehalten.Dan
nistdurch
ρ(f,g):=
∞ � n=1
1 2nd∞(f| K
n,g| K
n)
1+
d∞(f| K
n,g| K
n),
f,g
∈C(G
,X),
wob
eid∞(f| K
,g| K
):=
supz∈K
d(f(z),g(z)),eineMetrikau
fC(G
,X)definiert
1.
Um
den
metrischen
Rau
m�C
(G,X
),ρ�n
aher
zuuntersuchen
benutzen
wir
das
folgenden
Lem
ma.
4.1.4
Lemma.Esgilt
(i)
∀ǫ>
0∃δ
>0,K
⊆G
kompakt
∀f,g
∈C(G
,X):
d∞(f| K
,g| K
)<
δ=⇒
ρ(f,g)<
ǫ.
1Die
Metrikρhangtnatu
rlichvonder
Wahlder
Folge(K
n) n
∈Nab.
4.1.
DER
METRISCHE
RAUM
C(G
,X)
51
(ii)
∀δ>
0,K
⊆G
kompakt
∃ǫ>
0∀f
,g∈C(G
,X):
ρ(f,g)<
ǫ=⇒
d∞(f| K
,g| K
)<
δ.
Bew
eis.
Sei
ǫ>
0gegeben.W
ahle
N∈
Nmit�
∞ n=N
+1
1 2n
<ǫ 2,undwah
leδ>
0sodass
x1+x
<ǫ 2wenn
x∈
[0,δ).
Setze
K:=
KN.Seien
f,g
sodass
d∞(f| K
,g| K
)<
δ,dan
nistd∞(f| K
n,g| K
n)<
δ,n=
1,...,N,unddah
er
ρ(f,g)=
∞ � n=1
1 2nd∞(f| K
n,g| K
n)
1+
d∞(f| K
n,g| K
n)<
N � n=1
1 2nǫ 2+
∞ �
n=N
+1
1 2n<
ǫ.
Seien
umgekehrt
δundK
gegeben.Wegen
K⊆
G=�
n∈N
Kn=�
n∈N
IntK
n
existiertN
∈N
sodassK
⊆K
N.W
ahle
ǫ>
0sodass0<
s1−s<
δwenn
s∈[0,2
Nǫ).Dan
nfolgtt<
δwenn
t1+t<
2Nǫ.
Seien
f,g
mit
ρ(f,g)<
ǫ,dan
nist
d∞(f| K
N,g| K
N)
1+
d∞(f| K
N,g| K
N)<
2Nǫ,
undwir
erhalten
d∞(f| K
,g| K
)≤
d∞(f| K
N,g| K
N)<
δ.
❑
4.1.5
Satz.Sei
G⊆
Coffen
,und(K
n) n
∈NeineFolgevonkompakten
Teilm
en-
genvonG
mitden
Eigen
schaften
ausLem
ma4.1.3.Danngilt:
(i)EineFolge(f
n) n
∈N,f n
∈C(G
,X),konvergiert
bzgl.ρgegeneineFunktion
f∈C(G
,X)genaudann,wen
nsielokalgleichmaßig
gegenfkonvergiert.
(ii)
EineFolge(f
n) n
∈N,f n
∈C(G
,X),
istCauchy-Folgebzgl.ρgenaudann,
wen
nfurjedekompakteTeilm
enge
Kvon
Gdie
Folge(f
n| K
) n∈N
eine
Cauchy-Folgebzgl.d∞
ist.
(iii)FurjedekompakteMen
geK
⊆G
istdie
Einschrankungsabbildung
ι K:
��C
(G,X
),ρ�
→�C
(K,X
),d∞�
f�→
f| K
stetig.
(iv)EineMen
geW
⊆C(G
,X)istoffen
in�C
(G,X
),ρ�g
enaudann,wen
nes
furjedes
f∈W
einδ>
0undK
⊆G
kompakt
gibt
sodass
� g∈C(G
,X):d∞(f| K
,g| K
)<
δ�⊆
W.
(v)Der
metrischeRaum
�C(G
,X),ρ�i
stvollstandig.
Bew
eis.
Furden
Bew
eisvo
n(i)und(ii),seieineFolge
(fn) n
∈Nvo
nFunktion
enau
sC(G
,X)undf∈C(G
,X)gegeben.
Isteineko
mpak
teTeilm
enge
Kvo
nG,undδ>
0gegeben,wah
leǫ>
0wie
inLem
ma4.1.4,
(ii).Ist(f
n) n
∈Nko
nvergentbzgl.ρgegendie
Funktion
f,so
existiertN
∈N
mit
ρ(f
n,f
)<
ǫ,n≥
N.Darau
sfolgt
d∞(f
n| K
,f| K
)<
δ,n≥
N,
52KAPIT
EL4.
LOKALGLEIC
HMASSIG
EKONVERGENZ
undwir
sehen
dassf n
| Kgleichmaß
iggegenf| K
konvergiert.Ist(f
n) n
∈Neine
Cau
chy-Folge
bzgl.ρ,so
existiertN
∈N
mit
ρ(f
n,f
m)<
ǫ,n,m
≥N.Darau
sfolgt
d∞(f
n| K
,fm| K
)<
δ,n,m
≥N
,
undwir
sehen
dass(f
n| K
) n∈N
eineCau
chy-Folge
bzgl.d∞
ist.
Umgekehrt,seiǫ>
0gegeben,undwah
leδ>
0undK
⊆G
kompak
twie
inLem
ma4.1.4,
(i).
Ist(f
n| K
) n∈N
konvergentbzgl.d∞
gegen
f| K
,so
existiert
N∈N
mit
d∞(f
n,f
)<
δ,n≥
N.Darau
sfolgt
ρ(f
n,f
)<
ǫ,n≥
N,
undwir
sehen
dassf n
bzgl.ρgegenfko
nvergiert.Ist(f
n| K
) n∈N
eineCau
chy-
Folge
bzgl.d∞,so
existiertN
∈N
mit
d∞(f
n| K
,fm| K
)<
δ,n,m
≥N.Darau
sfolgt
ρ(f
n,f
m)<
ǫ,n,m
≥N
,
undwir
sehen
dass(f
n) n
∈NeineCau
chy-Folge
bzgl.ρist.
Die
Eigenschaft(iii)folgtnununmittelbar:Sei
K⊆
Gkompak
t.Istf n
→f
bzgl.
ρ,so
folgtf n
| K→
f| K
bzgl.
d∞.Das
bedeutetgerade,
dassdie
Ein-
schrankungsab
bildungstetig
ist.
Furden
Bew
eisvon(iv)seiW
⊆C(G
,X)undf∈W
gegeben.IstW
offen
bzgl.ρ,so
existiertǫ>
0mit
{g∈C(G
,X):ρ(f,g)<
ǫ}⊆
W.Wegen
Lem
ma
4.1.4,
(i),
folgtdie
Existenzvo
nδundK
mit
{g∈C(G
,X):d∞(f| K
,g| K
)<
δ}⊆
W.Umkehrt,seienδundK
gegeben
mit
{g∈C(G
,X):d∞(f| K
,g| K
)<
δ}⊆
W.W
ahltman
ǫwiein
Lem
ma4.1.4,
(ii),so
folgt{g
∈C(G
,X):ρ(f,g)<
ǫ}⊆
W.
Wir
kommen
zum
Bew
eisder
Vollstandigkeit
von�C
(G,X
),ρ�.
Sei
(fn) n
∈NeineCau
chy-Folge
bzgl.ρ.Dan
nistfurjedekompak
teTeilm
enge
Kvo
nG,die
Folge
(fn| K
) n∈N
eineCau
chy-Folge
bzgl.d∞.Dah
erexistiertfK
∈C(K
,X)mit
f n| K
−→fK
bzgl.d∞
.
Insbeson
deresehen
wir,dassfurjedes
x∈K
die
Folge
(fn(x))
n∈N
inX
konver-
giert.Dajeder
Punktx∈G
inirgendeiner
kompak
tenTeilm
enge
liegt,konver-
giertalso
(fn) n
∈Npunktw
eise.Setze
f(x):=
lim
n→
∞f n
(x),
x∈G.
Dagleichmaß
igeKon
vergenzsicher
punktw
eise
Kon
vergenzim
pliziert,schliessen
wir,dassfurjedeko
mpak
teTeilm
enge
K⊆
Ggilt
f| K
=fK.Sei
w∈
Ggegeben,undwah
leeineko
mpak
teUmgebungUw
vonw
die
ganzin
Gliegt.
Dan
ngilt
f n| U
w→
f| U
wgleichmaß
ig,undwir
schliessendassfstetig
istund
f nlokalgleichmaß
iggegenfkonvergiert.
❑
4.1.6
Bem
erkung.
Der
obigeSatzzeigtinsbeson
deredas
die
Eigenschaften
”(f n
) n∈N
istkonvergentgegenf“,”(f n
) n∈N
istCau
chy-Folge“,”W
istoff
en“,
”Wistab
geschlossen“,”W
istko
mpak
t“,nichtvonder
Wah
lder
Folge
(Kn) n
∈Nin
der
Kon
struktion
vonρab
han
gen.
�
4.2.
ANALYTISCHE
UND
MEROMORPHE
FUNKTIO
NEN
53
4.2
Analytischeund
mero
morp
heFunktionen
4.2.1
DerRaum
H(G
)
SeiG
⊆Coff
en.Dan
nistH(G
)⊆
C(G
,C).WennwirvonKon
vergen
zin
H(G
),off
enen
Mengen
inH(G
),etc.
sprechen,so
meinen
wir,wenn
nichts
anderes
explizitgesagt
wird,im
mer
bzgl.einer
vonC(G
,C)induziertenMetrikρ.
4.2.1
Satz.Sei
G⊆
Coffen
.
(i)H(G
)istein
abgeschlossen
erTeilraum
von
C(G
,C).
Insbesondere
ist
H(G
)vollstandig.
(ii)
Istf n
→fin
H(G
),so
folgtf(k
)n
→f(k
)in
H(G
)furjedes
k∈N.
Bew
eis.
Sei
f n∈C(G
,C)undf n
→f∈C(G
,C).
Dan
ngilt
furjeden
rektifi-
zierbaren
Weg
γin
Gdassf n
| γ→
f| γ
gleichmaß
ig.Dah
erfolgt
lim
n→
∞
ˆ
γ
f n(ζ)dζ=
ˆ
γ
f(ζ)dζ.
Furden
Bew
eisvon(i)seiennunf n
∈H(G
),n∈N,gegeben.IstΔ
:=Δ(a,b,c)
einDreieck
welches
ganzin
Gliegtso
folgtalso
ffi ∂Δ
f(ζ)dζ=
lim
n→
∞
ffi ∂Δ
f n(ζ)dζ=
0,
undwir
schliessendassf∈H(G
).Sei
w0∈
Gundwah
ler>
0sodassUr(w
0)⊆
G.Istf n
→fin
C(G
,C),
sofolgtdas
f n| ∂U
r(w
0)→
f| ∂U
r(w
0)gleichmaß
ig,unddah
erau
chdassfurjedes
festew
∈Ur(w
0)
f n(ζ)
(ζ−
w)k
+1
� � � ∂U
r(w
0)−→
f(ζ)
(ζ−
w)k
+1
� � � ∂U
r(w
0)
gleichmaß
ig.Diese
(gleichmaß
ige)
Kon
vergen
zistsoga
rgleichmaß
igfurw
∈U
r 2(w
0).
Alsoist
lim
n→
∞
ffi
∂U
r(w
0)
f n(ζ)
(ζ−
w)k
+1dζ=
ffi
∂U
r(w
0)
f(ζ)
(ζ−
w)k
+1dζ,
gleichmaß
igfurw
∈U
r 2(w
0).
Furden
Bew
eisvon(i)seiennunf n
∈H(G
),n∈N,mit
f n→
fin
H(G
)gegeben.Dan
nhat
man
wegen
der
allgem
einen
Cau
chy’schen
Integralform
elalso
lim
n→
∞f(k
)n
(w)=
f(k
)n
(w)gleichmaß
igin
Ur 2(w
0).
❑Oftistes
praktischzu
verw
enden
,dasssich
aufgrundder
Cau
chy’schen
Inte-
gralform
eldie
Kon
vergenzan
alytischer
Funktion
ennachinnen
fortsetzen
laßt.
4.2.2
Lemma.Sei
f n∈H(G
),n∈N,gegeben.Weiters
seiw
∈G
undr>
0,sodass
Ur(w
)⊆
G.Istdie
Folge(f
n| ∂U
r(w
)) n
∈Nauf∂Ur(w
)gleichmaßig
kon-
vergen
t,so
ist(f
n| U
r(w
)) n
∈Nin
H(U
r(w
))konvergen
t.
54KAPIT
EL4.
LOKALGLEIC
HMASSIG
EKONVERGENZ
Bew
eis.
Wegen
dem
Max
imumprinzipgilt
sup
z∈U
r(w
)
|f n(z)−f m
(z)|=
max
ζ∈∂
Ur(w
)|f n
(ζ)−
f m(ζ)|.
Alsoist(f
n| U
r(w
)) n
∈NeineCau
chy-Folge
inH(U
r(w
)).
❑
4.2.3
Koro
llar.
Sei
G⊆
Coffen
,undseiM
eineabgeschlossen
eTeilm
enge
von
Gdie
keinen
Haufungspunkt
inG
hat.Istf n
∈H(G
)undgiltf n
| G\M
→f| G
\Min
H(G
\M),
sohatfeineFortsetzungf∈H(G
)undes
giltf n
→f.
Bew
eis.
Zujedem
Punktw
∈M
existiertr>
0sodassUr(w
)\{w
}⊆
G\M
.❑
Sei
Gein
Gebietund
seig:G
→C
analytisch
und
nichtko
nstan
t.Fur
w∈
CundD
⊆G
kompak
t,bezeichnen
wir
mit
N(w
,g,D
)∈
N0die
Anzahl
der
w-Stellen
vongin
Dgezahlt
gemaß
ihrerVielfachheit.
4.2.4
Satz
(vonHurw
itz).
Sei
GeinGebiet,
seienf n
,f∈H(G
)mit
f n→
f,
undseivorausgesetzt
dass
fnichtkonstantist.
Weiters
seiw
∈C.Istr>
0undz 0
∈G
sodass
D:=
Ur(z
0)⊆
Gundsodass
auf∂Ur(z
0)keinew-Stellevon
fliegt,so
existiertN
∈N
mit
N(w
,fn,D
)=
N(w
,f,D
),n≥
N.
Bew
eis.
Sei
γ(t):=
z 0+
re2πit,t∈[0,1].Dan
ngilt
nachKorollar3.2.2
N(w
,f,D
)=
1 2πi
ˆ
γ
f′ (ζ)
f(ζ)−
wdζ.
Daf n
→fgleichmaß
igau
f∂Ur(z
0),
hat,furhinreichendgroße
Indizes
nau
chdie
Funktion
f nkeinew-Stellen
auf∂Ur(z
0),
unddah
ergilt
genau
so
N(w
,fn,D
)=
1 2πi
ˆ
γ
f′ n(ζ)
f n(ζ)−
wdζ.
Wegen
f n→
ffolgtau
chf′ n
→f′also
N(w
,fn,D
)→
N(w
,f,D
).Da
N(w
,fn,D
)nurga
nzzah
lige
Werte
annehmen
kann,folgtdie
Behau
ptung.
❑
4.2.5
Koro
llar.
Sei
GeinGebiet,
seienf n
,f∈
H(G
)mit
f n→
f,undsei
vorausgesetzt
dass
fnichtkonstantist.Danngilt:
(i)IstA
⊆C
festgehalten
undgilt
f n(G
)⊆
A,n
∈N,so
folgtdass
auch
f(G
)⊆
A.
(ii)
IstjedeFunktionf n
,n∈N,injektiv,so
istauch
finjektiv.
Bew
eis.
Um
(i)zu
sehen
,seiw
�∈A
gegeben.Nachdem
Satzvo
nHurw
itzgilt
furjedega
nzin
GliegendeKreisscheibeD
dass,
furhinreichendgroß
eIndizes
n,
N(w
,f,D
)=
N(w
,fn,D
)=
0.
Fur(ii)
seian
genom
men
dassfistnichtinjektivist.
Dan
ngibtes
z 1,z
2∈G,
z 1�=
z 2,mitf(z
1)=
f(z
2)=:w.W
ahle
disjunkte
abgeschlossen
eKreisscheiben
D1,D
2um
z 1bzw
.z 2.Dan
ngilt,furhinreichendgroß
eIndizes
n,
N(w
,fn,D
1)=
N(w
,f,D
1)>
0,N(w
,fn,D
2)=
N(w
,f,D
2)>
0.
Alsoistf n
,furgroß
eWerte
vonn,nichtinjektiv,einW
iderspruch.
❑
4.2.
ANALYTISCHE
UND
MEROMORPHE
FUNKTIO
NEN
55
4.2.2
DerRaum
M(G
)
4.2.6
Definition.Sei
G⊆
Coff
en.EineFunktion
fheißt
meromorphin
G,
wennsiein
Gmit
Ausnah
meisolierter
Singu
laritaten,die
alle
Polesind,an
a-lytischist.
Die
Menge
allerin
Gmerom
orphen
Funktion
enbezeichnen
wir
mit
M(G
).�
4.2.7
Definition.Sei
G⊆
Coff
en.W
irbezeichnen
mit
D Gdie
Menge
aller
Abbildungenϑ:G
→Z
mit
der
Eigenschaftdass
suppϑ:=
{z∈G
:ϑ(z)�=
0}
keinen
Hau
fungspunktin
Ghat.Man
sprichtvoneiner
Abbildungϑ∈D G
auch
alseinem
Divisorin
G.
Furϑ1,ϑ
2∈D G
sindSummeundProduktpunktw
eise
definiert
2,d.h.
(ϑ1+ϑ2)(z):=
ϑ1(z)+
ϑ2(z),
(ϑ1·ϑ
2)(z):=
ϑ1(z)·ϑ
2(z).
Weiters
schreiben
wir
ϑ1≤
ϑ2,wennϑ1(z)≤
ϑ2(z),
z∈G.
�Mit
einer
merom
orphen
Funktion
istwie
folgtein
Divisor
assoziiert,ihr
Nullstellendivisor:Seif∈M
(G)\{0
}.Furw
∈G
seif(z)=�
∞ n=−∞
an(z−w)n
die
Lau
rent-Entw
icklungvo
nfmit
Anschlußstellew.Setze
ϑf(w
):=
min{n
∈Z:an�=
0}.
4.2.8
Bem
erkung.
Sei
f∈M
(G).Nachdem
Rieman
n’schen
Hebbarkeitssatz
ist
fgenau
dan
nan
alytischan
einer
Stellew,wennϑf(w
)≥
0.W
irsehen
,dass
H(G
)=� f
∈M
(G):ϑf≥
0�.
�Man
kanneineFunktion
f∈M
(G)zu
einer
Funktion
f:G
→C
∞fortset-
zen,nam
lich
durch
f(z):=
�f(z),
ϑf(z)≥
0
∞,
ϑf(z)<
0(4.2.1)
Wennnichts
anderes
explizitgesagt
wird,seiC
∞im
folgenden
immer
mit
der
chordalen
Metrikχverseh
en.
4.2.9
Lemma.Iden
tifiziertmanM
(G)wie
obenmit
einer
Men
gevonFunk-
tionen
vonG
nach
C∞,so
giltM
(G)⊆
C(G
,C∞).
Bew
eis.
Sei
f∈
M(G
)undw
∈G.Istfan
der
Stellew
analytisch,so
folgt
lim
z→
wf(z)=
f(w
)bezuglichder
euklidischen
Metrikvo
nC.Dah
ergilt
auch
lim
z→
wf(z)=
f(w
)bezuglichder
chordalen
Metrik,d.h.lim
z→
wf(z)=
f(w
)in
�C∞,χ
�.Sei
nunw
einPol
vonfundschreibe
f(z)=
(z−
w)ϑ
f(w
)f 1(z),
sodassf 1
analytischundf 1(w
)�=
0ist.
Dan
ngilt
also
lim
z→
w|f(z)|=
∞,
2Bea
chte
hier,
dass
die
Vereinigungzw
eier
diskreterMen
gen
wieder
diskretist.
56KAPIT
EL4.
LOKALGLEIC
HMASSIG
EKONVERGENZ
d.h.lim
z→
wf(z)=
∞in
C∞.
❑Wennwirvo
nKon
vergenzin
M(G
),off
enen
Mengenin
M(G
),etc.sprechen,
someinen
wir,wennnichts
anderes
explizitgesagt
wird,im
mer
bzgl.einer
von
C(G
,C∞)induziertenMetrik.
4.2.10Bem
erkung.
Seif∈H(G
\{w}),undhab
efan
der
Stellew
einewesent-
licheSingu
laritat.Dan
nistf∈C(G
\{w},C
∞),besitzt
aber
keineFortsetzung
g∈C(G
,C∞).Diesfolgt,danachdem
Satzvo
nCasorati-Weierstraßder
Grenz-
wertlim
z→
wf(z)nichtexistieren
kann.
�
4.2.11Lemma.Die
Men
geM
(G)ist,
mit
den
punktweise
erklarten
algebrai-
schen
Operationen
,eineC-A
lgebra.Sie
umfasstdie
Algebra
H(G
).Esgilt
ϑf+g(w
)≥
min{ϑ
f(w
),ϑg(w
)},
ϑfg(w
)=
ϑf(w
)+
ϑg(w
).
IstG
einGebiet,so
istM
(G)sogareinKorper,undes
gilt
ϑ1 f(w
)=
−ϑf(w
),f∈M
(G)\{
0}.
Bew
eis.
Seien
f,g
∈M
(G).
Dan
nistdie
Menge
der
gemeinsamen
Analyti-
zitatspunkte
vonf
undg,alsVereinigungzw
eier
diskreterMengen,eb
enfalls
diskret.
Die
Funktion
enf+
gund
f·g
sind
sicher
analytisch
anjeder
Stellewo
beide,
fundg,an
alytischsind.Sie
sindalso
analytischin
Gmit
(mog
licher)
Ausnah
meisolierter
Singu
laritaten.Sei
nunw
∈G,undseien
f(z)=
∞ �
n=ϑf(w
)
an(z
−w)n,
g(z)=
∞ �
n=ϑg(w
)
b n(z
−w)n
,
dieentsprechenden
Lau
rent-(bzw
.Potenzreihen
-)entw
icklungen.Setze
an:=
0,n<
ϑf(w
)undb n
:=0,
n<
ϑg(w
).Dan
ngilt
f(z)+
g(z)=
∞ �
n=min{ϑ
f(w
),ϑg(w
)}(a
n+
b n)(z−
w)n
.
Also
hat
f+
gkeinewesentlicheSingu
laritatan
der
Stellew,und
esgilt
ϑf+g(w
)≥
min{ϑ
f(w
),ϑg(w
)}.Weiters
hab
enwir
(fg)(z)=
(z−w)ϑ
f(w
)+ϑg(w
)·
∞ �
n=ϑf(w
)
an(z−w)n
−ϑf(w
)·
∞ �
n=ϑg(w
)
b n(z−w)n
−ϑg(w
).
Dah
erhat
fgkeinewesentlicheSingu
laritatan
der
Stellew,undes
giltϑfg(w
)=
ϑf(w
)+
ϑg(w
).Sei
nunzusatzlich
vorausgesetzt
dassG
einGebietist,
undseif∈M
(G)\
{0}.
Dan
nhat
die
Menge
der
Nullstellenvonfkeinen
Hau
fungspunktin
G.Ist
w∈G
weder
Null-noch
Polstelle
vonf,so
ist
1 fan
alytischan
der
Stellew.W
irsehen
bereits,dassfin
GnurisolierteSingu
laritatenhat.Sei
w∈G,undsei
f(z)=
∞ �
n=ϑf(w
)
an(z
−w)n
,
4.2.
ANALYTISCHE
UND
MEROMORPHE
FUNKTIO
NEN
57
die
entsprechendeLau
rent-
(bzw
.Potenzreihen-)
entw
icklung.
Dan
ngilt
� 1 f
� (z)=
(z−
w)−
ϑf(w
)�
∞ �
n=ϑf(w
)
an(z
−w)n
−ϑf(w
)� −
1
,
unddah
erhat
1 fan
der
Stellew
keinewesentlicheSingu
laritat.W
irsehen
wei-
ters,dassϑ
1 f(w
)=
−ϑf(w
).❑
IstG
kein
Gebiet,
sobesitzt
H(G
)nichttriviale
Nullteiler:Sei
G=
G1∪
G2mit
G1,G
2off
en,disjunktundnichtleer.
Dan
ngilt
furdie
entsprechenden
Indikatorfunktion
enχG
1·χ
G2=
0.
4.2.12
Koro
llar.
Sei
Gein
Gebietundf,g
∈M
(G).
Dann
ist
f g∈
H(G
)genaudann,wen
nϑf≥
ϑg.
Bew
eis.
DaM
(G)einKorper
ist,
ist
f g∈M
(G).
Weiters
hab
enwir
ϑf g=
ϑf−
ϑg,
also
ϑf g≥
0genau
dan
n,wennϑf≥
ϑg.
❑
4.2.13Bem
erkung.
Der
Satzvo
nHurw
itzim
pliziertsofort
diefolgendeAussag
e:Seien
f n∈H(G
),n∈N,f∈H(G
)nichtko
nstan
t,undseilim
n→
∞f n
=fin
H(G
).Dan
nexistiertfurjedes
w∈
GeinIndex
Nw
sodassϑfn(w
)=
ϑf(w
),n≥
Nw.
Mit
der
gleichen
Bew
eisidee
(Satzvo
mLog
arithmischen
Residuum)kann
man
auch
Polstellenzahlen,underhaltdie
folgendeAussag
e:Seien
f n∈M
(G),
n∈
N,f
∈M
(G)nichtkonstan
t,und
seilim
n→
∞f n
=f
inM
(G).
Dan
nexistiertfurjedes
w∈G
einIndex
Nwsodassϑfn(w
)=
ϑf(w
),n≥
Nw.
�4.2.14Satz.Sei
GeinGebiet.Danngilt
M(G
)=
M(G
)∪{∞
},H(G
)=
H(G
)∪{∞
}.
wobeidie
Abschlussein
C(G
,C∞)zu
verstehen
sindund”∞“
die
konstante
Funktionmitdem
Wert∞
bezeichnet.
Bew
eis.
Sei
f n∈
M(G
),n
∈N,und
seif n
→f
inC(G
,C∞).
Sei
w∈
Gmit
f(w
)�=
∞.Dan
nexistiertr
>0
sodassUr(w
)⊆
Gund
χ(f(z),f(w
))≤
1 3χ(∞
,f(w
)),z
∈Ur(w
).Weiters
existiertN
∈N
mit
χ(f
n(z),f(z))
≤1 3χ(∞
,f(w
)),n
≥N,z
∈Ur(w
).Insgesam
terhaltman
χ(f
n(z),f(w
))≤
2 3χ(∞
,f(w
)),n≥
N,z∈
Ur(w
),unddah
erχ(f
n(z),∞
)≥
1 3χ(∞
,f(w
))>
0.Innerhalb
jedes
festen
Kreises
sind
die
Metriken
χund
daq
uivalent,
also
folgtdassf n
| Ur(w
)→
f| U
r(w
)gleichmaß
igbezuglichd.Alsoist
fan
alytischin
Ur(w
).Sei
nunw
∈G
sodassf(w
)=
∞.Dastetsgilt
χ(1 z1,
1 z2)=
χ(z
1,z
2)wob
ei1 ∞
:=0,
1 0:=
∞,istdie
Funktion
1 f∈
C(G
,C∞)und
esgilt
1 fn
→1 f
in
C(G
,C∞).Nachdem
vorigenBew
eisschritt
ist
1 fau
feiner
gewissenUmgebung
Ur(w
)an
alytisch.Dah
eristentw
eder
f∈M
(Ur(w
))oder
f(z)=
∞,z∈Ur(w
).Betrachte
die
Menge
A:=
{w∈G
:f(w
)=
∞}.
Hat
siekeinen
Hau
fungs-
punktin
G,so
folgtmit
Bem
erkung4.2.10
dassf
∈M
(G).
Istw
∈G
ein
Hau
fungspunktvonA,dan
nist,
daf
stetig
ist,
f(w
)=
∞.Daes
eineFolge
58KAPIT
EL4.
LOKALGLEIC
HMASSIG
EKONVERGENZ
wn→
w,w
n�=
w,gibtmit
f(w
n)=
∞,kannnichtf∈
M(U
r(w
))sein.Also
folgtnachdem
letztenAbsatz
f(z)=
∞,z∈Ur(w
).Sei
nunan
genom
men
dasstatsachlich
Aeinen
Hau
fungspunktw
0∈G
hat.
Istz∈
G,so
wah
leeinen
Weg
γ:[0,1]→
Gmit
γ(0)=
w0,γ(1)=
z.Sei
t 0:=
max
{t∈[0,1]:f(γ(u))
=∞
,0≤
u≤
t}.Istγ(t
0)=
w0,so
istγ(t
0)ein
Hau
fungspunktvo
nA.Istγ(t
0)�=
w0,so
isteb
enfallsγ(t
0)einHau
fungspunkt
vonA,dennγ([0,t 0])⊆
Aundistzusammen
han
gend.W
aret 0
<1,
sokon
nten
wir
nachdem
vorigenAbsatz
einǫ>
0finden
,sodassf(γ(t
0+
s))=
∞,0<
s<
ǫ,einW
iderspruch.Alsoistt 0
=1,
d.h.f(z)=
∞.W
irsehen
das
f=
∞.
Wirhab
engezeigtdassM
(G)⊆
M(G
)∪{∞
}.Sei
f n∈H(G
),f n
→f,mit
f�=
∞.Dan
nistf∈M
(G).Seiw
∈G
undwah
ler>
0sodassfau
fUr(w
)\{w
}an
alytischist.
Sei
0<
r′<
r,dan
nistf n
→f
gleichmaß
igau
f∂Ur′ (w)und
dah
eristsup
n∈N
z∈∂
Ur′(w)|f n
(z)|=:M
<∞
.Nachdem
Max
imumprinzipistau
ch
sup
n∈N
z∈U
r′(w)|f n
(z)|=
Munddah
erau
chsupz∈U
r′(w)|f(z)|≤
M.Alsoistfau
f
Ur′ (w)an
alytisch.Esfolgtf∈H(G
).D.h.wir
hab
enH(G
)⊆
H(G
)∪{∞
}.Das
die
konstan
teFunktion
∞tatsachlich
zuH(G
)gehortsiehtman
,da
zum
Beispiellim
n→
∞n=
∞in
C(G
,C∞).
❑
4.3
Kompakth
eit
4.3.1
DerSatz
von
Arzela-A
scoli
ImKon
textder
Funktion
entheoriehat
essich
eingeburgertdas
folgendeSyn-
onym
furrelativko
mpak
teFunktion
enfamilienzu
verw
enden
.
4.3.1
Definition.SeiF
⊆C(G
,X).Dan
nheißt
Feinenorm
ale
Familie,wenn
Fin
C(G
,X)kompak
tist.
�DaC(G
,X)ein
vollstan
diger
metrischer
Rau
mist,
sind
fureineFam
ilie
F⊆
C(G
,X)aq
uivalent:
(i)F
istnormal.
(ii)
Fisttotalbeschrankt,d.h.zu
jedem
ǫ>
0existieren
endlich
viele
Kugeln
mit
Rad
iusǫdie
Fuberdecken.
(iii)JedeFolge
(fn) n
∈Nau
sFunktion
enf n
∈F
hat
eineko
nvergente
Teilfolge.
4.3.2
Bem
erkung.
EineFam
ilie
F⊆
C(G
,X)istnormal
genau
dan
n,wennes
furjedes
δ>
0undK
⊆G
kompak
t,endlich
viele
Elemente
f 1,...,f
n∈F
gibt
sodass
F⊆
n � k=1
� f∈C(G
,X):d∞(f| K
,fk| K
)<
δ�.
Denn:totale
Beschranktheitin
der
Metrikρvo
nC(G
,X)bedeu
tet,
dasses
zujedem
ǫ>
0endlich
viele
f 1,...,f
n∈F
gibtmit
F⊆
n � k=1
� f∈C(G
,X):ρ(f,f
k)<
ǫ�.
Wegen
Lem
ma4.1.4istdas
gleichbedeutendmitder
genan
ntenBedingu
ng.
�
4.3.
KOMPAKTHEIT
59
EineFam
ilie
Fheißt
gleichgradig
stetig
an
der
Stellew,wenngilt
(dbe-
zeichnet
die
Metrikvo
nX)
∀ǫ>
0∃δ
>0∀f
∈F,z
∈G
:|z
−w|<
δ⇒
d� f
(z),f(w
)�<
ǫ.
Sei
E⊆
G,dan
nheißt
Fgleichgradig
stetig
aufE,wenngilt
∀ǫ>
0∃δ
>0∀f
∈F,z,w
∈E
:|z
−w|<
δ⇒
d� f
(z),f(w
)�<
ǫ.
Genau
sowieman
zeigt,dasseinestetigeFunktion
aufjeder
kompak
tenTeilm
en-
geihresDefinitionsbereiches
gleichmaß
igstetig
ist,
siehtman
dasseineFam
ilie
F⊆
C(G
,X)die
injedem
PunktvonG
gleichgrad
igstetig
istau
chau
fjeder
kompak
tenTeilm
enge
vonG
gleichgrad
igstetig
ist.
Wir
zeigen
nuneinean
unsere
Situationan
gepassteVersion
des
Satzesvon
Arzela-Ascoli.
4.3.3
Satz
(vonArzela-A
scoli).
Sei
G⊆
Coffen
,�X
,d�e
invollstandiger
me-
trischer
Raum,undseiF
⊆C(G
,X).
DannistF
norm
algenaudann,wen
ndie
folgen
den
beiden
Bedingungenerfulltsind:
(i)Furjedes
z∈G
ist{f
(z):f∈F}in
Xrelativkompakt.
(ii)
Fistanjeder
Stellez∈G
gleichgradig
stetig.
Bew
eis.
Wirsetzen
voraus,dass(i)und(ii)gilt.Sei{x
1,x
2,...}e
ineab
zahlbare
dichte
Teilm
enge
vonG,zum
Beispielalle
Punkte
ausG
mit
ration
alen
Real-
undIm
aginarteil.Furz∈
GsetzeX(z):=
{f(z):f∈F},
dan
nistX(z)ein
kompak
termetrischer
Rau
m.Dah
eristau
ch
Y:=
∞ � l=1
X(x
l)
ein
kompak
ter
metrischer
Rau
m,
denn
zum
Beispiel
induziert
ja
dY((al)l∈
N,(b l) l∈N
):=
�∞ l=
11 2l
d(a
l,b
l)
1+d(a
l,b
l)
die
Produkttop
olog
ieund
diese
istnachdem
Satzvo
nTychon
offko
mpak
t.Sei
nun(f
n) n
∈NeineFolge
inF.Dan
nist((f n
(xl)) l∈N
) n∈N
eineFolge
inY
und
hat
dah
ereinekonvergente
Teilfolge
((f n
k(x
l)) l∈N
) k∈N
.Die
Teilfolge
(fnk) k
∈Nvo
n(f
n) n
∈Nhat
also
dieEigenschaftan
jeder
Stellexlzu
konvergieren.
Sei
nunK
⊆G
kompak
tundǫ>
0gegeben.W
ahle
eineMenge
KN
ausder
Definitionvo
nρmit
K⊆
IntK
N.DaK
Nko
mpak
tist,
istdie
Folge
(fnk) k
∈Nau
fK
Nunddam
itau
chau
fIntK
Ngleichgrad
igstetig.W
ahle
δ>
0sodass
∀z,w
∈IntK
N,k
∈N,|z
−w|<
δ:
d� f n
k(z),f n
k(w
)�<
ǫ.
DaIntK
Noff
enistund
{xl:l∈
N}dichtin
G,existiertzu
jedem
y∈
KeineKugelUδ(x
l(y))mit
xl(y)∈IntK
N,y∈Uδ(x
l(y)).
Alsokon
nen
wir
endlich
viele
Kugeln
Uδ(x
l j),
j=
1,...,n,wah
lenmit
xl j∈IntK
Ndie
Kuberdecken.
Wah
leM
∈N
sodass
∀k,i
≥M
,j=
1,...,n:
d� f n
k(x
l j),f n
j(x
l i)�
<ǫ.
Sei
nunx∈K.W
ahle
jsodassx∈Uδ(x
l j),
dan
ngilt
furk,i
≥M
d� f n
k(x),f n
i(x)�
≤d� f n
k(x),f n
k(x
l j)�
+d� f n
k(x
l j),f n
i(x
l j)�+
60KAPIT
EL4.
LOKALGLEIC
HMASSIG
EKONVERGENZ
+d� f n
i(x
l j),f n
i(x)�
<3ǫ
.
Alsoistdie
Folge
(fnk| K
) k∈N
gleichmaß
igeCau
chy-Folge.NachSatz4.1.5ist
(fnk) k
∈Nin
C(G
,X)ko
nvergent.
Wir
hab
engezeigt,
dassF
normal
ist.
Sei
nun
umgekehrt
Fnormal.Da
furjedes
festew
∈G
die
Abbildung
f�→
f(w
)au
fC(G
,X)stetig
ist,
ist{f
(w):f
∈F}ko
mpak
t.Dam
itfolgt
(i).
Sei
w∈
Gundǫ>
0gegeben.W
ahle
einekompak
teUmgebungK
von
wund,entsprechendBem
erkung4.3.2endlich
viele
Funktion
enf 1,...,f
nmit
F⊆�
n k=1{f
∈C(G
,X):d∞(f| K
,fk| K
)<
ǫ}.W
ahle
δ>
0sodassUδ(w
)⊆
K,
und
∀z∈Uδ(w
),k=
1...,n:
d� f k
(z),f k(w
)�<
ǫ.
Istf∈F
sowah
lekmit
d∞(f| K
,fk| K
)<
ǫ.Furz∈Uδ(w
)gilt
dan
n
d� f
(z),f(w
)�≤
d� f
(z),f k(z)�
+d� f k
(z),f k(w
)�+
+d� f k
(w),f(w
)�<
3ǫ.
Alsogilt
(ii).
❑
4.3.4
Koro
llar.
Norm
alitatisteinelokale
Eigen
schaft,d.h.:EineFamilie
F⊆
C(G
,X)istgenaudannnorm
al,wen
njeder
Punkt
w∈G
eineoffen
eUmgebung
Uw
besitzt,sodass
F| U
w:=
� f| U
w:f∈F�
inC(U
w,X
)norm
alist.
Bew
eis.
Die
beiden
Bedingu
ngen(i)und(ii)
imSatzvonArzela-Ascolisind
lokale
Bedingu
ngen.
❑
4.3.2
Norm
alitatin
H(G
)
4.3.5
Definition.EineFam
ilie
F⊆
CG
heißt
lokalbeschrankt,wenn
eszu
jedem
Punktw
∈G
eineoff
eneUmgebungUwvo
nw
inG
gibt,
sodass
sup� |f
(z)|:f∈F,z
∈Uw
�<
∞.
�Das
ublicheKom
pak
theitsargu
mentzeigt,dasseineFam
iliegenau
dan
nlokal
beschranktist,
wennfurjedeko
mpak
teMenge
K⊆
Ggilt
sup{|f(z)|
:f
∈F,z
∈K}<
∞.
4.3.6
Satz
(von
Montel).Sei
F⊆
H(G
).Dann
istF
genau
dann
norm
al
(bezuglichder
TopologievonC(G
,C)),wen
nF
lokalbeschrankt
ist.
Bew
eis.
Sei
Fnormal,undseiK
⊆G
kompak
t.Dadie
Einschrankungsab
-bildungstetig
ist,
ist{f
| K:f∈
F}kompak
t,unddah
erau
chbeschrankt,
in�C
(K,C
),d∞�.
Sei
umgekehrt
Flokalbeschrankt.Dan
nistF
auch
punktw
eise
beschrankt,
d.h.die
Vorau
ssetzung(i)im
Satzvo
nArzela-Ascoliisterfullt.
Sei
w∈G
und
wah
ler>
0sodassUr(w
)⊆
G.Furz,z
′∈U
r 2(w
)gilt
dan
nwegen
1
ζ−
z−
1
ζ−
z′=
z−
z′
(ζ−
z)(ζ−
z′ )
4.3.
KOMPAKTHEIT
61
dass
|f(z)−
f(z
′ )|=
1 2π
� � �ffi
∂U
r(w
)
f(ζ)
ζ−
zdζ−ffi
∂U
r(w
)
f(ζ)
ζ−
z′dζ� � �=
=1 2π
� � �ffi
∂U
r(w
)
f(ζ)(z−
z′ )
(ζ−
z)(ζ−
z′ )dζ� � �≤
1 2π·2
πr·
max
ζ∈∂
Ur(w
)|f(ζ)|·|z−
z′ |·
1
(r 2)2
=
=4 r
max
ζ∈∂
Ur(w
)|f(ζ)|·|z−
z′ |.
IstM
:=sup{|f(ζ)|
:ζ
∈∂Ur(w
),f
∈F},
sofolgtalso
|f(z)−
f(z
′ )|≤
4M r|z
−z′ |,
f∈F,z,z
′∈U
r 2(w
).W
irsehen
,dassau
chdie
Vorau
ssetzung(ii)
erfulltist.
AlsoistF
normal.
❑
4.3.7
Koro
llar.
Sei
F⊆
H(G
)norm
al.Dannistauch
die
Familie
F′:=
� f′:f∈F�
norm
al.
Bew
eis.
Sei
w∈G
gegeben.W
ahle
r>
0sodassUr(w
)⊆
G.Dan
nist
� f| ∂U
r(w
):f∈F�
gleichmaß
igbeschrankt.Nachder
allgem
einen
Cau
chy’schen
Integralform
el,ist
dam
it� f
′ (z):f∈F�
aufder
Menge
Ur 2(w
)gleichmaß
igbeschrankt.
❑
4.3.8
Koro
llar(Satz
vonVitali).
Sei
GeinGebiet,undsei(f
n) n
∈NeineFolge
inH(G
)sodass
{fn:n∈N}lokalbeschrankt
ist.Dannsindaquivalent:
(i)(f
n) n
∈Nistkonvergen
t.
(ii)
EsexistierteinPunkt
c∈G
sodass
furjedes
k∈N
die
Folge(f
(k)
n(c))
n∈N
konvergiert.
(iii)Die
Men
geA
:={w
∈G
:∃lim
n→
∞f n
(w)}
hateinen
Haufungspunkt
inG.
Bew
eis.
Klarerw
eise
impliziert(i)sowoh
l(ii)
alsau
ch(iii).
Sei
nun(ii)
oder
(iii)vorausgesetzt.Sei
(fnk) k
∈NeineTeilfolge
von(f
n) n
∈N.Dan
nexistiertnach
dem
Satzvo
nMon
teleinegegeneineFunktion
f∈H(G
)konvergente
Teilfolge
(fnkj) j
∈Nvo
n(f
nk) k
∈N.Nungilt,im
Falle
von(ii),
f(l)(c)=
lim
j→
∞f(l)
nkj(c)=
lim
n→
∞f(l)
n(c),
bzw
.,im
Falle
von(iii),
f(w
)=
lim
j→
∞f n
kj(w
)=
lim
n→
∞f n
(w),
w∈A.
Nachdem
Identitatssatz
istalso
ffurjedeTeilfolge
(fnk) k
∈Ndie
gleicheFunk-
tion
.Alsogilt
f n→
f.
❑
62KAPIT
EL4.
LOKALGLEIC
HMASSIG
EKONVERGENZ
4.3.9
Koro
llar(Satz
von
Osgood).
Sei
f n∈
H(G
)undseif n
→f
punkt-
weise
inG.Dann
existiertG
⊆G
offen
unddichtsodass
f n| G
→f| G
lokal
gleichmaßig.InsbesondereistfaufG
analytisch.
Bew
eis.
Betrachte
die
Mengen
TN
:� z
∈G
:sup
n∈N
|f n(z)|≤
N� ,
N∈N,
undsetze
G:=
� N∈N
Int G
TN.
Klarerw
eise
istG
eineoff
eneTeilm
enge
vonG.Jeder
PunktvonG
hat
eine
Umgebungdie
ganzin
einem
TN
liegt,
also
ist{f
n| G
:n
∈N}au
fG
lokal
beschrankt.
Nachdem
SatzvonVitaliist(f
n| G) n
∈Nko
nvergentin
H(G
).
Wirmussen
zeigen,dassG
dichtin
Gist.Dazuseieineoff
eneundnichtleere
Teilm
enge
UvonG
gegeben.DajedeFunktion
f nstetig
ist,istjedeMenge
TN
abgeschlossen
inder
Spurtop
olog
ievo
nG.Da(f
n) n
∈Npunktw
eise
konvergiert,
insbeson
derealso
punktw
eise
beschranktist,
gilt
� N∈N
TN
=G.
Darau
serhaltenwir,dassdie
Men
genTN∩U,N
∈N,alle
bzgl.der
Spurtop
o-logievonU
abgeschlossen
sind,unddass�
N∈N
(TN∩U)=
Ugilt.
Nachdem
SatzvonBaire
3existiertN
0∈
N,sodassdasInnere(bzgl.der
Spurtop
olog
ievonU)vo
nTN
0∩U
nichtleerist.DaU
eineoff
eneTeilm
enge
von
Gist,istjedebzgl.der
Spurtop
olog
ievo
nU
offeneTeilm
enge
vonU
auch
bzgl.
der
Top
olog
ievo
nG
offen.Insbeson
dereist(Int G
TN
0)∩U
�=∅.
Wirschliessen,
dassG
dichtin
Gist.
❑
4.3.3
Norm
alitatin
M(G
)
Wir
wollennunnormaleFam
ilienin
M(G
)studieren.Dazubenotigtman
den
Begriffder
spharischen
Ableitung:Istf
∈M
(G),
sodefinierenwir
f♯:G
→[0,∞
)als
f♯(z):=
2|f
′ (z)|
1+|f
(z)|
2,
ϑf(z)≥
02
|Res(f,z)|,
ϑf(z)=
−1
0,
ϑf(z)<
−1
4.3.10Lemma.Sei
f∈M
(G).
Dannistf♯∈C(G
,R),
undes
gilt(1 f)♯
=f♯.
Istf n
→fin
M(G
),so
folgtdasauch
f♯ n→
f♯lokalgleichmaßig.
Bew
eis.
DieTatsachedassf♯stetig
ist,erhaltman
ausder
folgenden
Rechnung:
Schreibe
f(ζ)=
am
(ζ−
z)m
+...+
a1
ζ−
z+
f 1(ζ)
mit
m∈N,am
�=0,
f 1an
alytischbei
z.Man
berechnet
2|f′ (ζ)|
1+
|f(ζ)|2
=2� �
mam
(ζ−z)m
+1+
...+
a1
(ζ−z)2
−f′ 1(ζ)� �
1+� �
am
(ζ−z)m
+...+
a1
ζ−z+
f 1(ζ)� �2
=
3W
irverwen
den
hierdie
Variante
furlokalkompakte
Raume!
4.3.
KOMPAKTHEIT
63
=2|ζ−
z|m
−1� � m
am+
...+
a1(ζ
−z)m
−1−
f′ 1(ζ)(ζ−
z)m
+1� �
|ζ−
z|2m
+� � a
m+
...+
a1(ζ
−z)m
−1+f 1(ζ)(ζ−
z)m� �2
,
also
ist
lim
ζ→
z
2|f′ (ζ)|
1+
|f(ζ)|2
=
�0
,m
≥2
2|a
m|,
m=
1
Wir
zeigen
f♯(z)=
(1 f)♯(z):
ImFallf(z)�=
0,∞
berechnet
man
� 1 f
� ♯=
2� �f′ (z)
f(z
)2
� �
1+� �
1f(z
)
� �2=
2|f′ (z)|
|f(z)|2
+1=
f♯(z).
Istϑf(z)≥
2,so
istϑ
1 f(z)≤
−2unddah
erf♯(z)=
0=
(1 f)♯(z).
Istϑf(z)=
1,
f(ζ)=
a1(ζ
−z)+a2(ζ
−z)2
+...,dan
nist
1
f(ζ)=
1
a1(ζ
−z)+
∞ � n=0
b n(ζ
−z)n
,
also
gilt
f♯(z)=
2|a1|=
(1 f)♯(z).
Sei
schließlich
f n→
fin
M(G
).Istf(w
)�=
∞,so
sindau
feiner
gewissen
Umgebungund
furhinreichend
groß
esn
alle
f nan
alytisch
und
konvergieren
gleichmaß
iggegen
f.Dan
nfolgtdassau
chf′ n→
f′gleichmaß
ig,und
dah
erf♯ n→
f♯gleichmaß
ig.Istf(w
)=
∞,so
wenden
wirdiesesArgumentmit
1 fn→
1 fan
.❑
Die
spharischeAbleitungsollte
man
eigentlichin
einem
mehrgeom
etrischen
Kon
textbetrachten,wir
gehen
darau
fab
ernichtein.
4.3.11Lemma.Sei
f∈M
(G),
Ur(w
)⊆
Gundz 1,z
2∈Ur(w
).Danngilt
χ(f(z
1),f(z
2))
≤2
max
z∈ U
r(w
)f♯(w
)·|z 1
−z 2|
Bew
eis.
Sei
zunachst
angenom
men
dassf(z
1),f(z
2)�=
∞.Die
Verbindungs-
strecke[z
1,z
2]liegtga
nzin
Ur(w
).Daes
inUr(w
)nurendlich
vielePolstellenvo
nfgibt,kon
nen
wireinen
Polygo
nzugγwah
len,der
ganzin
Ur(w
)verlau
ft,der
z 1undz 2
verbindet,au
fdem
keinePolstellenliegen
unddessenLan
ge≤
2|z 1
−z 2|
ist.Sei
ǫ>
0gegeben.Dafundf′au
fγgleichmaß
igstetig
sind,kon
nen
wir
γso
inStrecken[w
0,w
1],...,[w
n−1,w
n]zerlegen,dassfuralle
k=
1,...,ngilt
� � �1+
|f(w
k)|2
�1+
|f(w
k)|2�
1+
|f(w
k−1)|2
−1� � �<
ǫ,
� � �f(w
k)−f(w
k−1)
wk−w
k−1
−f′ (w
k−1)� � �=
� � �1
wk−
wk−1
ˆ
[wk−
1,w
k]� f
′ (ζ)−
f′ (w
k−1)�
dζ� � �<
ǫ.
Setze
βk:=
�1+|f(w
k)|2�
1+
|f(w
k−1)|2
.Esgilt
χ(f(z
1),f(z
2))
≤n � k=1
χ(f(w
k),f(w
k−1))
=
n � k=1
2 βk|f(w
k)−
f(w
k−1)|≤
64KAPIT
EL4.
LOKALGLEIC
HMASSIG
EKONVERGENZ
≤n � k=1
2 βk
� � �f(w
k)−
f(w
k−1)
wk−
wk−1
−f′ (w
k−1)� � �·|
wk−w
k−1|+
n � k=1
2 βk|f
′ (w
k−1)|·|w
k−w
k−1|
≤2ǫ
n � k=1
|wk−
wk−1|
βk
+max
z∈U
r(w
)f♯(z)
n � k=1
� 1+
|f(w
k−1)|2
βk
� |wk−
wk−1|≤
≤4ǫ|z 1
−z 2|+
max
z∈U
r(w
)f♯(z)·(ǫ+
1)2|z 1
−z 2|.
Daǫ>
0beliebig
war,folgtdie
Behau
ptung.
DabeideSeitender
Ungleichungstetig
vonz 1
undz 2
abhan
gen,giltsieau
chfallseiner
(oder
beide)
der
Punkte
z 1,z
2Polstellenvonfsind.
❑
4.3.12
Satz
(von
Marty).
Sei
F⊆
M(G
).Dann
istF
genaudann
norm
al
(bezuglichder
TopologievonC(G
,C∞)),wen
ndie
Familie
{f♯:f∈
F}lokal
beschrankt
ist.
Bew
eis.
Sei
angenom
men
das
{f♯:f∈F}lokalbeschranktist.Wegen
Lem
ma
4.3.11
istF
anjeder
Stellevo
nw
∈G
gleichgrad
igstetig.DaC
∞ko
mpak
tist,
istfurjedes
w∈G
die
Menge
{f(w
):f∈F}relativkompak
t.Nachdem
Satz
vonArzela-AscoliistF
normal
inC(G
,C∞).
Istumgekehrt
die
Menge
{f♯:f∈
F}nichtlokalbeschrankt,
soexistiert
einekompak
teMenge
K⊆
GundeineFolge
f n∈F
mit
max
z∈K
f♯ n(z)→
∞.
Dah
erkann(f
n) n
∈Nkeinekonvergente
Teilfolge
hab
en.
❑
4.3.13Koro
llar.
Sei
F⊆
H(G
).DannistF
genaudannnorm
alin
C(G
,C),
wen
nF
norm
alin
C(G
,C∞)istundes
einen
Punkt
z 0∈G
gibt
sodass
{f(z
0):
f∈F}beschrankt
ist.
Bew
eis.
Sei
zuerst
angenom
men,dassF
inC(G
,C)normal
ist.Nachdem
Satz
vonMon
telistdan
nF
lokalgleichmaß
igbeschrankt.InsbesondereistF
aneiner
(sog
aran
jeder)Stellez 0
vonG
beschrankt.
DaF
⊆H(G
),ist
f♯(z)=
2|f′ (z)|
1+
|f(z)|2
,f∈F.
Wegen
Korollar4.3.7und
dem
Satzvo
nMarty
istdah
erF
auch
normal
inC(G
,C∞).
Umgekehrt
seiF
normal
inC(G
,C∞).
Sei
(fn) n
∈NeineFolge
inF,dan
nexistierteineTeilfolge
(fnk) k
∈Nwelchein
C(G
,C∞)gegeneineFunktion
fkon-
vergiert.NachSatz4.2.14
istf∈H(G
)∪{∞
}.Dadie
Fam
ilie
Fan
einer
Stelle
beschranktist,kanndie
Grenzfunktion
aber
nichtidentischgleich
∞sein.Also
istf∈H(G
).❑
4.4
Vorg
egebeneNullstellen
und
Hauptteile
4.4.1
DerSatz
von
Weierstraß
Das
Zielin
diesem
Abschnittistes
den
folgenden
Satzzu
bew
eisen.
4.4.1
Satz
(Produktsatz
vonWeierstraß).
Sei
G⊆
Coffen
undϑ∈D G
,ϑ≥
0.Dannexistiertf∈H(G
)mitϑ=
ϑf.
4.4.
VORGEGEBENE
NULLSTELLEN
UND
HAUPTTEILE
65
Da
suppϑ
keinen
Hau
fungspunktin
Ghat,kann
diese
Menge
nurau
shochsten
sab
zahlbar
vielenElementenbestehen,vgl.Lem
ma4.1.3.
Wirkon
nen
also
eine(endlicheoder
unen
dliche)
Folge
a1,a
2,a
3,...
bilden
sodasssuppϑ=
{an}undsodassjeder
Punktz∈
suppϑ
inder
Folge
der
angenau
ϑ(z)-mal
vorkom
mt.
Istdie
Folge
der
anendlich,a1,...,a
N,d.h.suchen
wir
eineFunktion
f∈
H(G
)dienurendlich
vieleNullstellenhat,so
istdas
Problem
trivial.Den
ndan
nkon
nen
wir
furfdas
Polynom
f(z):=
n � k=1
(z−
an)
wah
len.W
irwollen
also
imfolgenden
stetsan
nehmen
dassdie
Folge
der
an
unendlich
ist.
Weiters
kon
nen
wir
stetsvo
raussetzendassϑ(0)=
0ist,
denn
hab
enwir
fmit
ϑf(z)=
ϑ(z),
z�=
0,und
ϑf(0)=
0gefunden
,so
leistet
zϑ(0
)f(z)das
Gew
unschte.
Man
kon
nte
versuchen
das
Produkt�
∞ k=1(z−ak)zu
betrachten.Dieseswird
jedoch
imallgem
einen
nichtko
nvergentsein.Die
Idee
istes
nundie
Kon
ver-
genzzu
erzw
ingen,indem
man
konvergenzerzeu
gendeFak
torendazugibt.Setze
E0(z):=
(1−
z)und
Ep(z):=
(1−
z)exp� z
+z2 2+
...+
zp p
� ,p∈N.
Die
Funktion
enE
pheißenau
chWeierstraßscheElemen
tarfaktoren.
4.4.2
Lemma.Sei
|z|≤
1undp∈N
0.Danngilt
|1−
Ep(z)|≤
|z|p+
1.
Bew
eis.
Furp=
0istnichts
zuzeigen,seialso
p≥
1.Esgilt
Ep(0)=
1und
man
berechnet
E′ p(z)=
(−1)
exp(z
+...+
zp p)+(1
−z)exp(z
+...+
zp p)(1+z+...+
zp−1)=
=exp(z
+...+
zp p)� −
1+
1−
zp� =
−zpexp(z
+...+
zp p).
Alsohat
E′ p(z)eineNullstelle
der
Ordnungpbei
z=
0,unddah
er1−
Ep(z)
eineNullstelle
der
Ordnungp+
1.W
ieman
,durcheinsetzen
indie
Expon
en-
tialreihe,
siehtistin
der
Potenzreihenentw
icklungvonexp(z
+...+
zp p)um
0jeder
Koeffi
zientnichtnegativ.Alsoistau
chin
ϕ(z):=
1−
Ep(z)
zp+1
=
∞ � n=0
anzn
stetsan≥
0.Esfolgt,
dassfur|z|≤
1gilt
|ϕ(z)|≤
ϕ(|z
|)≤
ϕ(1)=
1.
❑
66KAPIT
EL4.
LOKALGLEIC
HMASSIG
EKONVERGENZ
Wir
wollenan
die
folgendeelem
entare
Aussag
euber
Kon
vergenzvo
nPro-
duktenerinnern:Seien
f nstetigeko
mplexwertige
Funktion
en,undseidie
Reihe
�∞ n=1f n
absolutundgleichmassigko
nvergent.
Dan
nistfurhinreichendgroß
esN
auch
dieReihe�
∞ n=Nlog(1+f n
)ab
solutundgleichmaß
igkonvergent.Weiters
istdas
Produkt�
∞ n=1(1
+f n
)gleichmaß
igko
nvergent.
Bew
eis(vonSatz
4.4.1,G
=C).
Dadie
Folge
(an) n
∈Nkeinen
Hau
fungspunkt
inG
=C
hat,gilt
|an|→
∞.W
ahle
nuneineFolge
(pn) n
∈Nsodassfurjedes
r>
0∞ � n=1
�r |an|� p
n+1
<∞
.
EinesolcheFolge
existiert,zum
Beispielkannman
pn=
nwah
len:Dennwegen
|an|→
∞gilt
abeinem
gewissenIndex
Nsicher
r |an|≤
1 2unddam
it
∞ � n=N
�r |an|� n
+1
≤∞ � n=N
1
2n+1<
∞.
Wegen
Lem
ma4.4.2istfurjedes
zmit
|z|≤
r,undnso
großdaß
|an|≥
r,
� � �1−
Epn(z an)� � �≤
� � �z an
� � �pn+1
≤�
r |an|� p
n+1
,
undwir
sehen
,dassdie
Reihe
∞ � n=1
� � �1−
Epn
�z an
�� � �
aufder
ScheibeUr(0)gleichmaß
igkonvergiert.Dam
itfolgt,dassau
chdas
Pro-
dukt
f(z):=
∞ � n=1
Epn
�z an
�(4.4.1)
fur|z|≤
rgleichmaß
igko
nvergiert.Dar>
0beliebig
war,istf∈H(C
).Weiters
istf(z)=
0genau
dan
nwennfureinn∈N
giltdas
Epn(
z an)=
0ist,d.h.wenn
z∈{a
n:n∈N}.
DajedeZah
lw
∈suppϑgenau
ϑ(w
)-mal
inder
Folge
(an) n
∈Nvo
rkom
mtundE
pn(
z an)bei
aneineeinfacheNullstelle
hat,hat
fan
der
Stelle
wtatsachlich
eineNullstelle
der
Ordnungϑ(w
),vgl.Bem
erkung4.2.13
.❑
Ein
Produktder
Gestalt
(4.4.1)heißt
auch
einkanonisches
Produkt
zuϑ.
Bew
eis(von
Satz
4.4.1,G
�=C).
Wir
unterteilen
suppϑ
inzw
eiKlassen
.Nam
lich
jenePunkte
die
sich
gegen
den
endlichen
Ran
dvo
nG
hau
fen,und
jenedie
diesnichttununddah
ergegen∞
streben
mussen
.Dazusetze
KN
:=� z
∈G
:d(z,C
\G)≥
1 N,N
≤|z|≤
N+
1�.
dan
nistjedes
KN,unddam
itau
chjedeendlicheVereinigung�
h N=1K
Neine
kompak
teTeilm
enge
vonG.Setze
A:=
suppϑ∩
∞ � N=1
KN,B
:=(suppϑ)\A
.
4.4.
VORGEGEBENE
NULLSTELLEN
UND
HAUPTTEILE
67
Wir
zeigen,dassA
keinen
endlichen
Hau
fungspunkthat:Angenom
men
w∈C
istHau
fungspunktvonA,dan
nexistieren
unen
dlich
viele
Punkte
inA∩U1(w
).
Sei
h∈N,h≥
|w|+
1.Die
Menge�
h N=1K
Nkannnurendlich
viele
Punkte
aus
Aenthalten,also
existiertz∈A∩U
1(w
)mitz∈�
∞ N=h+2K
N.Ein
Widerspruch,
denneinerseitsist|z|<
|w|+
1,an
dererseits|z|≥
|w|+
2.SchreibeB
wieder
alsFolge
b 1,b
2,...
anwob
eijedes
w∈
Bgenau
ϑ(w
)-mal
vorkom
mt.
Wir
zeigen,dassfallsdiese
Folge
uberhau
ptunendlich
ist,
lim
n→
∞d(b
n,C
\G)=
0.Angenom
men
esexistierte
eineTeilfolge
b nk
mit
d(b
nk,C
\G)≥
ǫ>
0.Sei
N∈N
mit
1 N<
ǫ.Die
Menge
M:=
{z∈G
:d(z,C
\G)≥
ǫ,|z|≤
N}
isteinekompak
teTeilm
enge
von
G,kann
also
nurendlich
viele
Punkte
der
Menge
{bnk:k
∈N}enthalten.Dajeder
festePunktin
der
Folge
(bn)nur
endlich
oftvo
rkom
mt,
kann
Mau
chnurendlich
viele
der
Folgenglieder
b nk
enthalten.Nungilt G\M
⊆{z
∈G
:d(z,C
\G)<
ǫ}∪
∞ �
n=N
Kn.
Dadie
ersteMenge
aufder
rechtenSeite
keinePunkte
b nkenthalt,mussen
alle
b nkin�
∞ n=NK
n,unddam
itin
Aliegen,einW
iderspruch.
Betrachte
die
Divisoren
ϑAundϑB
die
definiert
sindals
ϑA(z):=
�ϑ(z),
z∈A
0,
z∈C\A
ϑB(z):=
�ϑ(z),
z∈B
0,
z∈G
\BDan
nistϑA∈D C
,ϑB∈D G
undϑB
hat
die
Eigenschaftdas
lim
n→
∞d(b
n,C
\G)=
0,wenn
esuberhau
ptunendlich
viele
Punkte
insuppϑB
gibt.
Wah
le,
nach
dem
bereits
bew
iesenen
Teil”G
=C“
des
SatzeseineFunktion
f A∈
H(C
)⊆
H(G
)mit
ϑfA=
ϑA.IstsuppϑB
endlich,so
wah
leeinPolynom
f B∈
H(C
)⊆
H(G
)mit
ϑfB
=ϑB.IstsuppϑB
unendlich,wah
lec n
∈C
\G
mit
|b n−
c n|≤
2d(b
n,C
\G),
undsetze
f B(z):=
∞ � n=1
En
� bn−
c nz−
c n
� .
Wir
zeigen,dassf B
∈H(G
).Sei
K⊆
Gko
mpak
t,dan
ngilt
� � �bn−
c nz−
c n
� � �≤|b n
−c n|
1
d(K
,C\G
)≤
2
d(K
,C\G
)d(b
n,C
\G)→
0.
Alsogilt,furhinreichendgroß
eIndizes
n,dass|b n
−cn
z−cn|≤
1 2,z∈K.Wegen
� � �1−
En
� bn−
c nz−
c n
�� � �≤� � �b
n−
c nz−
c n
� � �n+1
≤� 1 2
� n+1
,z∈K
,
istdas
obigeProduktau
fK
gleichmaß
igko
nvergent.
Offenbar
gilt
ϑfB=
ϑB.
Setzt
man
f:=
f A·f
B,so
folgtϑf=
ϑA+
ϑB=
ϑ.
❑W
irwollennoch
einegebrauchlicheVariante
des
ProduktsatzesvonWeier-
straßfurG
=C
form
ulieren.
68KAPIT
EL4.
LOKALGLEIC
HMASSIG
EKONVERGENZ
4.4.3
Koro
llar.
Sei
f∈
H(C
)undsei(a
n)die
(endlicheoder
unen
dliche)
Folgeder
Nullstellenvonf,wobeijedeNullstelle
gemaßihrerVielfachheitoft
vorkommt.Sei
pn∈N
0eineFolgesodass
furjedes
r>
0
� n
�r |an|� p
n+1
<∞
.
Dannexistiertg∈H(C
)sodaß
f(z)=
zϑf(0
)exp(g(z))
·�
n
(1−
z an)exp�z an+
...+
1 pn
�z an
� pn� ,
wobeidas
Produkt
(falls
esuberhaupt
ein
unen
dliches
Produkt
ist)
lokal
gleichmaßig
inC
konvergiert.
Bew
eis.
Sei
f 1:=
�n(1
−z an)exp�
z an+...+
1 pn
�z an
� pn� .
Nachdem
Bew
eisvo
n
Satz4.4.1istdiesesProduktlokalgleichmaß
igko
nvergentau
fC,d.h.f 1
∈H(C
),
undes
giltϑf1| C
\{0}=
ϑf| C
\{0}.
Alsoist
f(z
)
zϑf(0)f1(z
)∈H(C
)∗undlaßt
sich
dah
er
inder
Form
exp(g)schreiben.
❑Weiters
erhaltenwir
eineAussag
euber
die
StrukturvonM
(G).
4.4.4
Koro
llar.
Sei
GeineGebiet.
DannistM
(G)istder
Quotien
tenkorper
vonH(G
).
Bew
eis.
Nach
Lem
ma
4.2.11
istM
(G)ein
Korper
der
H(G
)umfasst.
Sei
f∈
M(G
)\{
0},undsetzeϑ(z):=
−min{ϑ
f(z),0}
.Dan
nexistiertnachdem
ProduktsatzvonWeierstraßeineFunktion
g∈H(G
)mitϑg=
ϑ.Betrachte
nun
h:=
fg.Dan
nisth∈M
(G),
undes
gilt
ϑh=
ϑf+
ϑ=
max
{ϑf,0}≥
0.
Alsoisth∈H(G
).❑
4.4.2
DerSatz
von
Mittag-L
effler
Betrachte
eine
analytische
Funktion
fau
fG
\{w
},und
seidie
Lau
rent-
Entw
icklungvonfum
w
f(z)=� n∈Z
an(z
−w)n
.
Wie
wir
inSatz3.5.1gesehen
hab
enko
nvergiert
die
Reihe�
n<0an(z
−w)n
lokalgleichmaß
igau
fC\{
w}.
Man
nenntdiese
Reiheden
Hauptteilvonfan
der
Stellew.
4.4.5
Definition.Sei
w∈C.EineReiheder
Gestalt�
n<0an(z
−w)n,welche
inC\{
w}lokalgleichmaß
igko
nvergiert,heißt
einHauptteilin
w.Sei
G⊆
Coff
enund
(a1,g
1),(a
2,g
2),...eine(endlicheoder
unendliche)
Folge
von
Paa
-renwob
eia1,a
2,...
paa
rweise
verschieden
ePunkte
vonG
sinddie
inG
kei-
nen
Hau
fungspunkthab
enundwob
eig n
einHau
ptteilin
anist.
Dan
nheißt
(a1,g
1),(a
2,g
2),...eineHauptteilverteilungin
G.
�
4.4.
VORGEGEBENE
NULLSTELLEN
UND
HAUPTTEILE
69
IstfeineFunktion
dieau
fder
offenen
Menge
GmitAusnah
mevonisolierten
Singu
laritaten
analytisch
ist,
sobestimmtsienach
dem
oben
Gesag
ten
eine
Hau
ptteilverteilung.
4.4.6
Satz
(vonMittag-Leffl
er).
Sei
G⊆
Coffen
undsei(a
1,g
1),(a
2,g
2),...
eine
Hauptteilverteilung
inG.Dann
existierteine
Funktion
f∈
H(G
\{a
1,a
2,...})
die
furjedes
nander
Stelleanden
Hauptteilg n
hat.
Bestehtdie
gegebene
Hau
ptteilverteilung
ausnurendlich
vielen
Paa
ren
(a1,g
1),...,(a
N,g
N),
soistdie
Aussag
eklar,
denndan
nleistetdie
Funktion
f(z):=
N � n=1
g n(z)
das
Gew
unschte.Hat
man
unendlich
viele
Paa
re(a
n,g
n),
somuß
die
Rei-
he�
∞ n=1g n
(z)nichtko
nvergieren.Man
erzw
ingt
ihre
Kon
vergenzindem
man
geeign
etean
alytischekonvergenzerzeu
gendeSumman
den
dazugibt.
Naturlich
muss
man
sich
uberzeugen,dassim
mer
noch
die
gewunschte
Hau
ptteile
her-
auskom
men.
4.4.7
Lemma.Sei
(a1,g
1),(a
2,g
2),...eineHauptteilverteilungin
G,seien
hn∈H(G
),undseidie
Reihe
f(z):=
∞ � n=1
� g n(z)−
hn(z)�
aufG
\{an:n∈
N}lokalgleichmaßig
konvergen
t.Dannistf∈
H(G
\{an:
n∈N})
undder
Hauptteilvonfander
Stelleanistgleich
g n.
Bew
eis.
Daalle
Summan
den
inG\{
an:n∈N}an
alytischsindunddie
Reihe
lokalgleichmaß
igko
nvergiert,istf∈
H(G
\{an:n∈
N}).Sei
n0∈
N,dan
nistdie
Reihe�
∞ n=1,
n�=n0
(gn(z)−
hn(z))
eineFolge
vonFunktion
enan
alytischau
f
G\{
an:n∈N,n
�=n0}die
inG
\{an:n∈N}lokalgleichmaß
igkonvergiert.
Dah
erkonvergiert
siesoga
rau
fG
\{an:n∈N,n
�=n0}lokalgleichmaß
igund
stellt
dah
ereinedortan
alytischeFunktion
dar,vgl.Korollar4.2.3.
Alsoist
f(z)=
g n0(z)+�−
hn0(z)+
∞ � n=1,
n�=n0
� g n(z)−
hn(z)�� ,
unddah
eristder
Hau
ptteilvo
nfin
an0gleich
g n0.
❑Bew
eis(vonSatz
4.4.6,G
=C).
Sollte0∈
{an:n
∈N}sein,so
seioB
dA
a1=
0.Dan
nistalso
furn≥
2stets0∈C\{
an}undwegen
g n∈H(C
\{an})
konvergiert
die
Taylorreihevo
ng n
mit
Anschlusstelle0im
Kreis
U|a
n|(0)
lokal
gleichmaß
iggegeng n
.Esgibtalso
einPolynom
hn,zum
BeispieleinTaylorpo-
lynom
hinreichendgroß
enGrades,sodass
|g n(z)−
hn(z)|≤
1 2n,z∈U
|an|
2(0).
Sei
K⊆
Cko
mpak
t.Wegen
an→
∞existiertN
∈N
sodassK
⊆U
|an|
2,n≥
N.
Dan
nistdie
Reihe�
n≥N(g
n−hn)au
fK
gleichmaß
igko
nvergent.W
irkon
nen
also
Lem
ma4.4.7mit
den
Polynom
enhn,n≥
1,undh0:=
0an
wenden
.❑
70KAPIT
EL4.
LOKALGLEIC
HMASSIG
EKONVERGENZ
Bew
eis(vonSatz
4.4.6,G
�=C).
Wir
zerlegen
die
Menge
{an:n
∈N}wie
imBew
eisdes
Produktsatzesvo
nWeierstraß
ineineTeilfolge
(an′ k)die
keinen
endlichen
Hau
fungspunkthat
undeineTeilfolge
(an′′ j)die,fallssieunendlich
ist,
lim
n→
∞d(a
n′′ k,C
\G)=
0erfullt.
Nachdem
ersten
Bew
eisteilgibtes
eineau
fC\{
an′ 1,a
n′ 2,...}an
alytischeFunktion
f 1(z)die
anden
Stellen
an′ kdie
Hau
pt-
teileg n
′ khat.W
irmussen
also
noch
eineFunktion
f 2∈
H(G
\{an′′ 1,a
n′′ 2,...})
konstruieren
die
anden
Stellen
an′′ k
die
Hau
ptteile
g n′′ k
hat.Istan′′ 1,a
n′′ 2,...
endlich
soistf 2(z)=�
g n′′ k(z)einesolche.
Sei
uns
also
eine
Hau
ptteilverteilung
(an,g
n),
n∈
N,gegeben
mit
lim
n→
∞d(a
n,C
\G)=
0.W
ahle
c n∈
∂G
mit
d(a
n,C
\G)=
|an−
c n|.Die
Funktion
g nistan
alytischin
C\U
|an−cn|(c n)underfulltlim
z→
∞g n
(z)=
0.Sie
laßt
sich
darstellenals�
k>0b k(z
−c n)−
k,dennG
n(z):=
g n(c
n+
1 z)istan
aly-
tischin
U1
|an−
cn|(0),
Gn(0)=
0,undlaßt
sich
dah
eralsPotenzreihe�
∞ k=1b kzk
darstellen.Diese
Reiheistau
fU
1|a
n−
cn|(0)lokalgleichmaß
igkonvergent,
dah
er
konvergiert�
k>0b k(z
−c n)−
kgleichmaß
igau
fC\U
2|a
n−cn|(c n).
Sei
hneinePartialsummedieserReihemit
|g n(z)−
hn(z)|≤
1 2n,z∈C\U
2|a
n−cn|(c n).
Dan
nisthn∈
H(G
).Sei
K⊆
Gko
mpak
t,dan
nexistiertN
∈N
sodassK
⊆C\ U
2|a
n−cn|(c n),n≥
N.Alsoko
nvergiert
� n≥N
� g n(z)−
hn(z)�
gleichmaß
igau
fK.W
irkon
nen
nunwieder
Lem
ma4.4.7an
wenden.
❑
4.4.8
Koro
llar.
Sei
G⊆
Coffen
,undsei(a
1,g
1),(a
2,g
2),...eine(endliche
oder
unen
dliche)
FolgevonPaarensodass
a1,a
2,...
paarw
eise
verschieden
sind
undkeinen
Haufungspunkt
inG
haben,undsodaß
g n(z)=
mn
�
k=−∞b k(z
−an)k
wobeim
n∈Z
unddie
ReiheaufC\{
an}lokalgleichmaßig
konvergiert.Dann
existierteineFunktionf∈
H(G
\{a1,a
2,...})
deren
Laurent-Entwicklungan
der
Stelleandie
Gestalt f(z)=
g n(z)+
�
k>m
n
βk(z
−an)k
hat.
Bew
eis.
Sei
F(z)∈H(G
)sodass
ϑF(z)=
�m
n+
1,
z=
an,m
n≥
0
0,
sonst
Sei
g nder
Hau
ptteilder
Lau
rentreihevo
ngn Fan
der
Stellean.Sei
weiters
f 1∈
H(G
\{a1,a
2,...})
sodassder
Hau
ptteilvo
nfan
angleich
g nist.
Dan
nhat
die
Funktion
f(z):=
f 1(z)·F
(z)die
gewunschte
Eigenschaft.
❑
4.5.
DER
RIE
MANNSCHE
ABBILDUNGSSATZ
71
4.5
DerRiemannscheAbbildungssatz
4.5.1
Satz
(Riemann’scher
Abbildungssatz).
Sei
GeinGebiet,G
�=∅,C.Wei-
ters
habe
Gdie
Eigen
schaft,dass
jedeFunktionf∈H(G
)∗eineQuadratwurzel
besitzt,
d.h.dass
eineFunktiong∈
H(G
)existiertmit
g2=
f.Dannexistiert
eineanalytischeFunktiondie
Gbijektiv
aufden
EinheitskreisD
abbildet.
Bew
eis.
Sei
a∈G
fest
gewah
lt.W
irbetrachtendie
Fam
ilie
FallerFunktion
enf∈H(G
)die
Ginjektivin
den
Einheitskreis
abbilden
undf(a)=
0erfullen.
Schritt
1,F
�=∅:
Wah
leb∈
C\G,dan
nistz−
b∈
H(G
)∗.Alsoexistiert
h∈
H(G
)mit
h(z)2
=z−
b.Dan
nisthinjektiv,liegtin
H(G
)∗,undhat
die
Eigenschaftdassh(G
)∩(−
h(G
))=
∅.Dennistζ=
h(z)=
−h(w
),so
folgtz=
ζ2+b=
w,also
h(z)=
0unddam
itz=
b,einW
iderspruch.W
ahle
w∈−h(G
),dan
nexistiertr>
0sodassUr(w
)⊆
−h(G
)unddah
erUr(w
)∩h(G
)=
∅.Die
Funktion
α(z):=
1z−wistalso
inH(h(G
)),istinjektiv,und|α(z)|≤
1 r,z
∈h(G
).Alsobildet
die
Funktion
rα◦h
das
GebietG
injektivnachD
ab.Sei
furd∈D
g d(z):=
d−
z
1−dz∈Aut(D),
vgl.Korollar3.3.5.
Dan
nist
gr
h(a)−
w◦r
α◦h
∈F.
Schritt
2,∃g
∈F
:|g
′ (a)|
=max
f∈F
|f′ (a)|:
Da|f(z)|
<1furalle
f∈
F,
z∈D,istF
einenormaleFam
ilieund,nachden
Cau
chyschen
Abschatzungenist
supf∈F
|f′ (a)|<
∞.DaF
�=∅undau
sinjektivenFunktion
enbestehtistau
chsupf∈F
|f′ (a)|>
0.Seig n
∈F
eineFolge
mitg′ n(a)→
supf∈F
|f′ (a)|,
undwah
le
eineko
nvergente
Teilfolge,g n
→g.Dan
nistg∈H(G
),g(G
)⊆
D,g(a)=
0und
g′ (a)=
supf∈F
|f′ (a)|.
Alsoistgnichtko
nstan
t,nachdem
Max
imumprinzip
hab
enwir
g(G
)⊆
D,und
nach
Korollar4.2.5istginjektiv.W
irsehen
daß
g∈F.
Schritt
3,g(G
)=
D:Dazuseizunachst
b∈D,b�=
0,beliebig.W
ahle
c∈D
mit
c2=
b,undbetrachte
L:=
g b◦(
g2 c)=
g b◦Q
◦gc.
wob
eiQ(z):=
z2.Dan
nistL
∈H(D
)undes
gilt
L(0)=
g b(c
2)=
0.Weiters
istL(c)=
g b(0)=
b�=
0,also
istL
nichtko
nstan
t.Wegen
L(D
)⊆
Dfolgtnach
dem
Lem
mavonSchwarzdass|L
′ (0)|<
1.Sei
nunan
genom
men
b∈D\g
(G).
Dan
nistb�=
0,undg b
◦g∈H(G
)∗.Sei
h∈H(G
)mith2=
g b◦g
undh(a)=
c,undsetzeϕ:=
g c◦h
.Dan
ngiltϕ∈F:Da
gundg b
injektivsind,istau
chhinjektiv.Esgilt|h(z)|2
=|g b
◦g(z)|<
1,z∈G,
unddah
erau
chh(G
)⊆
D.Schließlich
isth(a)=
c.Nunist,
wie
eineRechnung
zeigt,
stetsg d
◦gd=
id,undwir
erhalten
L◦ϕ
=g b
◦Q◦g
c◦g
c◦h
=g b
◦Q◦h
=g b
◦gb◦g
=g.
Esfolgt
g′ (a)=
L′ (ϕ(a))
·ϕ′ (a)=
L′ (0)
·ϕ′ (a),
72KAPIT
EL4.
LOKALGLEIC
HMASSIG
EKONVERGENZ
unddah
er|g
′ (a)|
<|ϕ
′ (a)|.
Ein
Widerspruch
zurMax
imalitatseigenschaftvo
ng.
❑W
irerhaltenalserstes
KorollareineAussag
edie
topolog
ischeundan
aly-
tischeEigenschaftenvo
nGebietenin
Csowie
algebraischen
Eigenschaftenvo
nH(G
)verbindet.
4.5.2
Koro
llar.
Sei
GeinGebiet,G
�=∅.
Dannsindaquivalent:
(i)G
=C
oder
Gistanalytischundbijektiv
aufD
abbildbar.
(ii)
Gisteinfach
zusammen
hangend.
(iii)G
isthomologeinfach
zusammen
hangend.
(iv)JedeFunktionf∈H(G
)∗besitzteinen
Logarithmus.
(v)JedeFunktionf∈H(G
)∗besitzteineQuadratwurzel.
Bew
eis.
Die
Implikation
(i)⇒
(ii)
gilt,daeinean
alytischeundinjektive
Ab-
bildungnachdem
Satzuber
die
InverseFunktion
einHom
oomorphismusist.
(ii)
⇒(iii)istKorollar2.2.6,
(ii),(iii)⇒
(iv)istKorollar3.1.7,
(iv)⇒
(v)ist
Bem
erkung3.1.9.
Schließlich
ist(v)⇒
(i)der
Rieman
nscheAbbildungssatz.
❑W
irwollen
anmerken,dassdie
beiden
Mog
lichkeiten
in(i)einan
der
aus-
schließen
.Dennistf∈H(C
)undf(C
)⊆
D,so
istnachdem
SatzvonLiouville
fkonstan
t.
Alszw
eitesKorollarerhaltenwirdie
Strukturvo
nAutG
fureinfach
zusam-
menhan
gendeGebiete.
4.5.3
Koro
llar.
Sei
G⊆
Ceinfach
zusammen
hangend.Danngilt
AutG
∼ =AutD.
Bew
eis.
Sei
f:G
→D
analytischundbijektiv.Dan
nistdie
Abbildungh�→
f−1◦h
◦feinIsom
orphismusvo
nAutD
aufAutG.
❑
4.6
DerFundamentalNorm
ality
Test
4.6.1
Satz
(Fundamen
talNorm
ality
Test).Sei
GeinGebiet,a,b,c,∈
C∞
drei
verschieden
eWerte.Die
Familie
Faller
Funktionen
f∈
M(G
)die
die
Werte
a,b,c
nichtannehmen
istnorm
al.
Bevor
wirdiesenSatzbew
eisen,wollenwirunsuberlegen,dasser
tatsachlich
wesentlichstarkeristalsder
Satzvo
nMon
tel.
4.6.2
Koro
llar.
Sei
GeinGebiet,
z 0∈G,C
>0,
unda,b
∈C,a�=
b.Dann
istdie
Familie
F:=
� f∈H(G
):fnim
mtdie
Werte
a,b
nichtan,|f(z
0)|≤
C�
norm
alin
C(G
,C).
4.6.
DER
FUNDAMENTALNORMALIT
YTEST
73
Bew
eis.
EsistF
⊆M
(G),
unddie
Funktion
enau
sF
nehmen
die
Werte
a,b
und∞
nichtan
.Dah
eristF
normal
inC(G
,C∞).Nachdem
Fan
der
Stellez 0
beschranktist,
folgtdarau
sNormalitat
inC(G
,C).
❑SeinunF
⊆H(G
)lokalgleichmaß
igbeschrankt.Zuw
∈G
wah
leeineKreis-
scheibeUr(w
)mit
Ur(w
)⊆
G.Dan
nistdie
Fam
ilie
F w:=
{f| U
r(w
)|:
f∈F}
beschrankt.
Die
Funktion
endieserFam
ilie
nehmen
dah
erkeinen
Wertau
sser-
halbeiner
gewissenKreisscheibean
(insbeson
derelassen
siedreiverschieden
eWerte
aus).Nachdem
Fundam
entalNormalityTestistalso
F wnormal.W
irsollten
explizitbem
erken,dassdas
eben
durchgefuhrteArgumentkein
neuer
Bew
eisdes
SatzesvonMon
telist,
dawir
imnunfolgenden
Bew
eisdes
Funda-
mentalNormalityTests
diesenverw
enden
.Eszeigtab
erdeutlichau
fum
wieviel
starkerder
FNT
imVergleich
zuMon
telist.
Zum
Bew
eisdes
FNT
verw
enden
wir
das
folgendeLem
ma.
4.6.3
Lemma
(Lem
mavon
Zalcman).
Sei
F⊆
M(G
)nichtnorm
al.
Dann
existierteineFolge(z
n) n
∈N,z n
∈G,mit
z n→
z∈
G,eineFolge(r
n) n
∈N,
r n>
0mitr n
→0,
sowie
eineFolgef n
∈F,sodass
die
Funktionen
g n(ζ):=
f n(z
n+
r nζ)
gegeneinenichtkonstante
Funktiong∈M
(C)konvergierenfurdie
g♯(0)=
1,g♯(z)≤
1,z∈C,
gilt. IstdabeiF
⊆H(G
),so
istg∈H(C
).
Bew
eis.
DaF
nichtnormal
ist,
gibtes
nach
dem
Satzvo
nMarty
K⊆
Gko
mpak
t,w
n∈K
undf n
∈F
mit
f♯ n(w
n)→
∞.
Wir
nehmen
ohneBeschrankungder
Allgemeinheitan
,dassw
n→
0∈
GundU1(0)⊆
G.Das
kannim
mer
durcheineTranslationbzw
.Streckungerreicht
werden
.Setze
Rn:=
max
|z|≤
1f♯ n(z)(1−
|z|).
Wegen
wn→
0undf♯ n(w
n)→
∞gilt
auch
Rn→
∞.Sei
z n,|z n
|≤1,
sodass
Rn=
f♯ n(z
n)(1−
|z n|).
Daf♯ n(z
n)≥
Rnfolgtdas
auch
f♯ n(z
n)→
∞.Setze
r n:=
1
f♯ n(z
n).
Dar nR
n=
1−
|z n|,istUrnR
n(z
n)⊆
U1(0)⊆
G.
Betrachte
die
Funktion
en
g n(ζ):=
f n(z
n+
r nζ),
|ζ|<
Rn.
Esgilt
g♯ n(ζ)=
r nf♯ n(z
n+
r nζ).
Sei
nunR
>0festgehalten.W
ahle
NR
∈N
sodaß
Rn>
R+
1,n≥
NR,
dan
nistg n
furn
≥N
Rstetsau
fUR(0)definiert
undmerom
orph.Nachder
DefinitionvonR
ngilt
f♯ n(z
n+
r nζ)(1−|z n
+r nζ|)≤
Rn,undwir
erhalten
g♯ n(ζ)≤
r nR
n
1−
|z n+
r nζ|≤
r nR
n
1−
|z n|−
r nR
=r nR
n
r nR
n−
r nR
=
=1
1−
R Rn
≤1
1−
RR+1
,|ζ|<
R,n
≥N
R.
(4.6.1)
74KAPIT
EL4.
LOKALGLEIC
HMASSIG
EKONVERGENZ
Nach
dem
Satz
von
Marty
ist{g
n:n
≥N
R}
eine
normale
Fam
ilie
inC(U
R(0),C
∞).
Wirko
nstruiereninduktivFolgen(n(l,k))
k∈N
,l∈N.Sei
n(1,k)derartdass
N1≤
n(1,1),
n(1,k)<
n(1,k
+1),undsodassdie
Folge
(gn(1
,k)) k
∈Nau
fU1(0)
konvergiert.Sei
nunfureinl≥
1die
Folge
(n(l,k))
k∈N
schon
konstruiert.Dan
nwah
leeineTeilfolge
(n(l+
1,k))
k∈N
von(n(l,k))
k∈N
sodassN
l+1≤
n(l+
1,1),
n(l+
1,k)<
n(l+
1,k+
1),undsodass(g
n(l+1,k)) k
∈Nau
fUl+
1(0)konvergiert.
Betrachte
nundie
Diago
nalfolge(g
n(k
,k)) k
∈N.Da(n(k,k))
k≥leineTeilfolge
von(n(l,k))
k∈N
ist,
istsieau
fjedem
Kreis
Ul(0)
abdem
Index
ldefiniert
und
konvergent.
AlsoisteineFunktion
g∈M
(C)∪{∞
}durch
g(ζ):=
lim
l→∞g n
(k,k)(ζ)
woh
ldefiniert,undes
gilt
g(ζ)=
lim
k→
∞g n
(l,k)(ζ),
|ζ|<
l.Istζ∈C
fest,so
gilt,wegen
(4.6.1)mit
R=
l,furalle
l>
|ζ|,k∈N,
(gn(l,k))♯(ζ)≤� 1
−l
Rn(l,k)
� −1,
undwirerhalteng♯(ζ)≤
1.Dag♯ n(0)=
r nf♯ n(z
n)=
1,n∈N,folgtdas
g♯(0)=
1.Insbeson
dereistgnichtko
nstan
t.Dam
ithab
enwir
auch
g�=
∞.
IstF
⊆H(G
),so
sind
alle
Funktion
eng n
soga
ran
alytisch.DaH(G
)in
M(G
)ab
geschlossen
ist,
istau
chdie
Grenzfunktion
analytisch.
❑Bew
eis(vonSatz
4.6.1).
Dawegen
des
Satzesvo
nMarty,eineFam
ilie
normal
istgenau
dan
nwennjeder
PunkteineUmgebungU
besitzt
sodassdie
Fam
ilie
{f| U
:f∈F}n
ormal
ist,bzw
.genau
dan
nwenndieFam
ilie{f
(αz+β):f∈F}
wob
eiα,β
∈C,α�=
0,normal
ist,kon
nen
wirvoraussetzendassG
=U1(0)=
D.
DajedeMob
iustransformationλ(z)=
αz+β
γz+δeinHom
omorphismusvonC
∞au
f
sich
ist,istF
genau
dan
nnormal
wenn{λ
◦f:f∈F}n
ormal
ist.Dah
erkon
nen
wir
voraussetzendassa=
0,b=
1,c=
∞.W
irbetrachtenalso
die
Fam
ilie
Fallerau
fD
analytischen
undnullstellenfreien
Funktion
endie
den
Wert1nicht
annehmen
.Sei
k∈
NundF k
die
Fam
ilie
aller2k-ten
Wurzelnvo
nFunktion
enau
sF.
KeineFunktion
ausF k
kanneine2k-teEinheitswurzel
alsWertan
nehmen
,da
jakeineFunktion
ausF
den
Wert1an
nim
mt.W
irzeigen,dassNormalitat
von
F kNormalitat
vonF
impliziert.
Sei
(fn) n
∈NeineFolge
inF,undwah
le2k-te
WurzelnFnvo
nf n
.Dan
nistFn∈F k
,unddah
erexistierteinein
M(D
)kon-
vergente
Teilfolge,sagenwirFnl→
F.Daalle
Fnlan
alytischsind,istentw
eder
Fan
alytischoder
F=
∞.Im
ersten
Fallfolgt,damultiplizieren
inH(D
)stetig
ist,
dassau
chf n
l→
F2k
.Im
zweitenFallfolgtwegen
|f nl(z)|
=|F
nl|2k
,dass
auch
f nl→
∞.
Sei
nunindirektan
genom
men
Fistnichtnormal.Dan
nistfurjedes
k∈N
auch
F knichtnormal.Sei
g kdie
Grenzfunktion
ausdem
Lem
mavonZalcm
anan
gewendet
mitder
Fam
ilie
F k.Dan
nistg k
∈H(C
),nichtkon
stan
t,undes
gilt
g♯ k(ζ)≤
1,g♯ k(0)=
1.Dag k
Grenzw
ertvo
nEinschrankungen
vonFunktion
enau
sF k
ist,
kannnachdem
Satzvo
nHurw
itzg k
keine2k-teEinheitswurzel
als
Wertan
nehmen
.Nachdem
Satzvo
nMarty
istdie
Fam
ilie
{gk:k∈N}normal
inC(C
,C∞).
Sei
geinGrenzw
ertvoneiner
Teilfolge
von(g
k) k
∈N.Dan
nistg∈H(C
)∪{∞
},undg♯(0)=
1.Insbeson
dereistalso
gnichtko
nstan
t,unddah
erg∈
H(C
).
4.6.
DER
FUNDAMENTALNORMALIT
YTEST
75
Sei
k0∈
N,dan
nnim
mtg k
furk≥
k0keine2k
0-teEinheitswurzel
alsWert
an.Nachdem
SatzvonHurw
itzhat
auch
gdiese
Eigenschaft.
Dak0beliebig
war
nim
mtgkeine2j-teEinheitswurzel,j∈
N,alsWertan
.Nachdem
Satz
von
der
offenen
Abbildungnim
mtg
dah
erkeinen
Wertw
mit
|w|=
1an
.Da
g(C
)⊆
C∞
zusammen
han
gend
ist,
folgtdassentw
eder
g(C
)⊆
Doder
g(C
)⊆
C∞
\D.Nachdem
Satzvo
nLiouville
angewendet
aufgbzw
.1 gistg
konstan
t.Ein
Widerspruch.
❑W
irerhalteneineVerscharfungdes
Satzesvo
nVitali.
4.6.4
Koro
llar(Satz
vonCaratheodory-Landau).
Sei
GeinGebiet,
a,b
∈C
mit
a�=
b,undsei(f
n) n
∈NeineFolgein
H(G
)sodass
a,b
�∈f n
(G),
n∈
N.
Dannsindaquivalent:
(i)(f
n) n
∈Nistkonvergen
t.
(ii)
EsexistierteinPunkt
c∈G
sodass
furjedes
k∈N
die
Folge(f
(k)
n(c))
n∈N
konvergiert.
(iii)Die
Men
geA
:={w
∈G
:∃lim
n→
∞f n
(w)}
hateinen
Haufungspunkt
inG.
Bew
eis.
Verwendeim
Bew
eisdes
SatzesvonVitalian
stelle
vonMon
telden
FNT
inder
Form
vonKorollar4.6.2.
❑
4.6.5
Satz
(vonPicard).
Sei
fmeromorphaufeiner
punktierten
Scheibe
W:=
Uδ(z
0)\{z
0}.
Wen
nfdreiverschieden
eWerte
a,b,c
∈C
∞nichtannim
mt,dann
besitztfeineFortsetzungzu
einer
meromorphen
FunktionaufUδ(z
0).
Bew
eis.
OhneBeschrankungder
Allgemeinheitseiz 0
=0unda=
0,b=
1,c=
∞.Sei
0<
r n<
1,r n
>r n
+1,r n
→0,
und
setzeg n
(z):=
f(r
nz),
z∈
W.Dan
nistg n
analytischundnim
mtdie
Werte
0,1nichtan
.Nachdem
Fundam
entalNormalityTestexistierteineTeilfolge
g nkdie
lokalgleichmaß
igin
C(W
,C∞)gegeneineFunktion
g∈H(W
)∪{∞
}ko
nvergiert.
Sei
zunachst
angenom
men
dassg∈H(W
).W
ahle
ρ∈(0,δ)fest
undsetze
M:=
max
|z|=
ρ|g(z)|+
1.Dan
ngibtes
N∈
Nsodass|g n
k(z)|
≤M
,k≥
N,
|z|=
ρ.Alsoist
|f(z)|≤
M,
|z|=
r nkρ,
k≥
N.
Nachdem
Max
imumprinzipfolgtdass
|f(z)|≤
M,
r nk+1ρ≤
|z|≤
r nkρ,
k≥
N.
Dar n
k→
0folgt|f(z)|
≤M
,0
<|z|≤
r nNρ.Nach
dem
Rieman
n’schen
Hebbarkeitssatz
besitzt
feinean
alytischeFortsetzungau
fUδ(0).
Sei
g=
∞.Dan
nistfurnhinreichendgroß
|g nk(z)|≥
1,|z|=
ρ,unddah
er|
1f(z
)|≤
1,|z|=
r nkρ.Dafnullstellenfrei
ist,
ist
1 fan
alytischin
Wundwir
folgerngenau
sowieob
endass
1 feinean
alytischeFortsetzungau
fUδ(0)hat.
❑
4.6.6
Koro
llar(K
leiner
Satz
vonPicard).
Einenichtkonstante
Funktiondie
inganzC
analytischistnim
mtjeden
Wertmithochsten
seiner
Ausnahmean.
Bew
eis.
Daf
∈H(C
)ist,
nim
mtf
aufgefasst
alsFunktion
f:C
→C
∞den
Wert∞
sowieso
nichtan
.W
urdees
zusatzlich
zwei
Werte
a,b
∈C
geben
76KAPIT
EL4.
LOKALGLEIC
HMASSIG
EKONVERGENZ
die
nichtan
genom
men
werden,so
wurdedie
Funktion
f(1 z)∈H(C
\{0}
)eine
merom
orpheFortsetzungnach0hab
en.Sei
f(1 z)=�
k≥makzkdie
Lau
rent-
Entw
icklungvonf(1 z)um
0,dan
ngilt
also
f(z)=� k≥m
akz−k,
|z|>
0.
Dafan
alytischbei
0istfolgtak=
0,k≥
1,unddam
itistfeinPolynom
.Ein
Polynom
nim
mtab
erjeden
Wertan
.❑
4.6.7
Koro
llar(Satz
vonSchottky
).Furr,R
>0bezeichne
S(r,R
):=
� f∈H(U
R(0))
:0,1�∈f(U
R(0)),|f(0)|≤
r�.
Danngibt
esjedem
r>
0undρ∈(0,1)eineKonstante
L(r,ρ)>
0sodass
|f(z)|≤
L(r,ρ),
|z|≤
ρR,f∈S(r,R
).
Bew
eis.
NachKorollar4.6.2istS(r,1)normal
inC(D
,C),
undnachMon
tel
dah
erlokalbeschrankt.
Alsoistfurjedes
r>
0undρ∈(0,1)
L(r,ρ):=
sup� |f
(z)|:f∈S(r,1),
|z|≤
ρ�<
∞.
Sei
nunf∈S(r,R
),dan
nistg(z):=
f(R
z)∈S(r,1).
Dah
ergilt
|f(z)|=
|g(z R)|≤
L(r,ρ),
|z|≤
ρR.
❑
4.6.8
Koro
llar(Satz
von
Landau).
Seien
a0∈
Cunda1∈
C\{0
}.Dann
existierteineKonstante
M(a
0,a
1)>
0,sodass
jedeFunktion
fdie
aufeiner
Kreisscheibe
UR(0)mitR
>M
(a0,a
1)analytischistundf(0)=
a0,f′ (0)
=a1,
erfullt,die
Werte
0und1annehmen
muss.
Bew
eis.
Sei
f∈H(U
R(0))
mit
f′ (0)
�=0und0,1�∈f(U
R(0)).Dan
ngilt
|f′ (0)|=
� � �1 2πi
ffi
∂U
R 2(0
)
f(ζ)
ζ2
dζ� � �≤
1 2π·2
πR 2
·L(|f
(0)|,
1 2)
(R 2)2
=2L
(|f(0)|,
1 2)
R
unddah
er
R≤
2L(|f
(0)|,
1 2)
|f′ (0)|
.
Die
Behau
ptungfolgtnunmit
M(a
0,a
1):=
2L(|a0|,
1 2)
|a1|
.❑
Kapitel5
RiemannscheFlach
en
5.1
RiemannscheFlach
enundanalytischeFunk-
tionen
Wirwerden
auf2-dim
ension
alen
topolog
ischen
Man
nigfaltigkeiten
einean
alyti-
scheStrukturdefinieren.
5.1.1
Definition.
(i)Sei
XeinHau
sdorffscher
topolog
ischer
Rau
m.Ein
Paa
r(U
,φ)heißt
eine
Karte,wenn
U⊆
Xoff
en,φ(U
)⊆
Coff
en,und
φ:U
→φ(U
)ein
Hom
oomorphismusist.
(ii)
ZweiKarten(U
1,φ
−)und(U
2,φ
2)eines
Hau
sdorff-R
aumes
Xheißenana-
lytischvertraglich,wennU1∩U2=
∅oder
die
Abbildung
φ2◦φ
−1
1| φ 1
(U1∩U
2):φ1(U
1∩U2)→
φ2(U
1∩U2)
analytischist.Daφ2◦φ
−1
1bijektivist,istin
diesem
Fallau
chdie
Inverse
φ1◦φ
−1
2an
alytisch.
(iii)EineFam
ilie
A=
{(Uα,φ
α):α∈
A}vo
nKartenheißt
einAtlasau
fX,
wenn�
α∈A
Uα=
Xistundje
zwei
Kartenau
sA
analytischvertraglich
sind.
�
5.1.2
Definition.EineRiemannscheFlacheisteinPaa
r(X
,A)wob
eiX
ein
Hau
sdorffscher
topolog
ischer
Rau
mistundA
einAtlas
aufX.
�
5.1.3
Beispiel.
Sei
Xeineoff
eneTeilm
enge
vonC
verseh
enmitder
Spurtop
olo-
gie.
Dan
nistA
:={(X,id)},wob
eiid
alsAbbildungvonX
nachC
betrachtet
wird,einAtlas
aufX.
�5.1.4
Beispiel.
Sei
C∞
=C∪{∞
},verm
ogeder
stereograp
hischen
Projektion
also
die
Rieman
nscheZah
lenkugel.W
irdefinieren(C
∗:=
C\{
0})
U1:=
C,φ1:=
id
77
78KAPIT
EL5.
RIE
MANNSCHE
FLACHEN
U2:=
C∗∪{∞
},φ2(z):=
�1 z,
z∈C
∗
0,
z=
∞(5.1.1)
Dan
nistφ1(U
1∩U2)=
φ2(U
1∩U2)=
C∗und
(φ2◦φ
−1
1)(z)=
1 z,z∈C
∗.
Wir
sehen
,dassA:=
{(U1,φ
1),(U
2,φ
2)}
einAtlas
aufC
∞ist.
�5.1.5
Beispiel.
Seien
w1,w
2∈C
linearunab
han
giguber
R,undbezeichneL:=
Zw1+
Zw2.Die
Fak
torm
enge
C/L
heißt
der
komplexe
Torus.
Bezeichnemit
π:C
→C/L
die
kanon
ischeProjektion
.W
irverseh
enC/L
mit
der
finalen
Top
olog
iebezuglichπ,d.h.eineMenge
W⊆
C/L
istoff
engenau
dan
n,wennπ−1(W
)⊆
Coff
enist.
IstV
⊆C,so
istπ−1(π(V
))=�
w∈L
(w+
V).
Wir
sehen
,dassoff
eneTeil-
mengenvo
nC
unterπau
foff
eneTeilm
engenvonC/L
abgebildet
werden
.Die
Projektion
πistalso
nichtnurstetig,sondernau
choff
en.
Bezeichnemit
Adie
Menge
alleroff
enen
Teilm
engenvon
Cdie
mit
jeder
Aquivalenzklassemodulo
Lhochsten
seinen
Punktgemeinsam
hab
en.Esgibt
viele
Mengenmit
dieserEigenschaft,
zum
BeispieljedeKugelmit
hinreichend
kleinem
Rad
ius.
Furjedes
V∈A
istπ(V
)off
enundπ| V
einebijektive
stetige
undoff
eneAbbildungvonV
aufπ(V
),also
einHom
oomorphismus.
Wir
definierennun
A:=
� (π(V
),(π| V)−
1):V
∈A}.
Offenbar
ist�
V∈A
π(V
)=
C/L
.Seien
V1,V
2∈A,undbetrachte
die
Abbildung
ψ:=
(π| V 2
)−1◦(
π| V 1
):V1∩� (π
| V 1)−
1π| V 2
(V2)�
→� (π
| V 2)−
1π| V 1
(V1)�
∩V2.
Dan
ngilt
stetsψ(z)≡
zmodL.DaL
diskretistundψ
stetig,folgtdassψ
aufjeder
Kom
pon
ente
konstan
tist,
unddah
eran
alytisch.AlsoistA
einAtlas. �
Rieman
nscheFlachen
hab
eneinewichtige
Zusammenhan
gseigenschaft.
5.1.6
Lemma.Sei
(X,A
)eineRiemannscheFlache.
DannistX
lokalbogen-
weise
zusammen
hangend.JedeZusammen
hangskomponen
tevonX
istoffen
und
bogenweise
zusammen
hangend.
Bew
eis.
Dajeder
PunkteineUmgebungbesitzt
die
hom
oomorphzu
einer
offe-
nen
Teilm
enge
vonC
ist,istX
lokalbog
enweise
zusammenhan
gend.Die
zweite
Behau
ptungfolgtmit
Lem
ma1.3.2.
❑Mit
Rieman
nschen
Flachen
kon
nen
diverse
Kon
struktion
enau
sgefuhrt
wer-
den.W
irerwah
nen
andieserStellenurdie
beiden
folgenden
.
5.1.
RIE
MANNSCHE
FLACHEN
UND
ANALYTISCHE
FUNKTIO
NEN
79
5.1.7
Lemma.Sei
(X,A
)eineRiemannscheFlache,
undseiY
⊆X
offen
.VersiehtmanY
mitder
SpurtopologievonX
unddefi
nertman
B:=
� (U∩Y,φ
| U∩Y
):(U
,φ)KartevonX�
soist(Y
,B)eineRiemannscheFlache.
Bew
eis.
Klar.
❑SindX,Y
topolog
ischeRau
meundp:Y
→X.Dan
nheißt
peinlokaler
Homoomorphismus,
wennjeder
Punkty∈Y
eineoff
eneUmgebungV
besitzt,
sodassp(V
)⊆
Xoff
enist,
undp| V
:V
→p(V
)einHom
oomorphismusist.
5.1.8
Lemma.Sei
XeineRiemannscheFlache,
YeinHausdorff
-Raum,und
p:Y
→X
einlokalerHomoomorphismus.
DannkannY
zueiner
Riemann-
schen
Flachegemachtwerden
,undzw
arderart
dass
panalytischist.
Bew
eis.
Sei
(U,φ
)eineKarte
von
Xund
x∈
U.W
ahle
V⊆
Yoff
en,mit
x∈p(V
)⊆
U,sodassp| V
einHom
oomorphismusvo
nV
aufp(V
)ist.
Dan
nist
(V,φ
◦p| V)eineKarte
aufY.Hat
man
zwei
indieserWeise
erhalteneKarten
(V1,φ
1◦p
| V 1),
(V2,φ
2◦p
| V 2),
mit
V1∩V2�=
∅,so
gilt
� φ2◦p
| V 2� ◦�
φ1◦p
| V 1� −
1=
φ2◦φ
−1
1,
unddiese
Abbildungistan
alytisch.
EsistfurjedeKarte
(U,φ
)vo
nX
die
Abbildungφ◦p
eineKarte
vonY,
unddah
eristp∈Hol(Y
,X).
❑
5.1.9
Definition.Seien
(X1,A
1),(X
2,A
2)Rieman
nscheFlachen
undf:X
1→
X2.Dan
nheißt
fanalytisch,wennfstetig
istundfurje
zweiKarten(U
1,φ
1)∈
A1,(U
2,φ
2)∈A
2mit
U1∩f−1(U
2)�=
∅die
Abbildung
φ2◦f
◦φ−1
1:φ1(U
1∩f−1(U
2))
→C
analytisch
ist.
Die
Menge
alleran
alytischen
Abbildungen
von
(X1,A
1)nach
(X2,A
2)bezeichnen
wir
mit
Hol((X
1,A
1),(X
2,A
2)).
�
Wir
werden
imfolgenden
oftvoneiner
Rieman
nschen
FlacheX
sprechen
und
dab
eiden
Atlas
von
Xnichtexplizitan
fuhren.Man
beachte,dassdies
nurdazudientdie
Notationab
zukurzen
,tatsachlich
han
genalle
eingefuhrten
Begriffevo
ndem
gegebenen
Atlas
ab.
5.1.10Lemma.Seien
X1,X
2RiemannscheFlachen
undf:X
1→
X2.Dann
istf∈Hol(X
1,X
2)genaudann,wen
ngilt:Furjeden
Punkt
x∈X
1existieren
Karten
(U1,φ
1),(U
2,φ
2)vonX
1bzw.X
2undeineoffen
enUmgebungU
⊆X
1
vonx,sodaßU
⊆U1,f(U
)⊆
U2,undφ2◦f
◦φ−1
1| φ 1
(U)analytischist.
Bew
eis.
Sei
vorausgesetzt,dassfder
Bedingu
ngdes
Lem
mas
genugt.Sei
x∈
X1undwah
le(U
1,φ
1),(U
2,φ
2),U
wie
angegeben.Dan
nistφ2◦f
◦φ−1
1| φ 1
(U)
analytischunddah
erstetig.Daφ2undφ−1
1Hom
oomorphismen
sindundφ1(U
)off
en,folgtdassfan
der
Stellexstetig
ist.
Seien
nun(V
1,ψ
1),(V
2,ψ
2)Kartenvo
nX
1bzw
.X
2mit
V1∩f−1(V
2)�=
∅.Wegen
der
Stetigk
eitvo
nffolgtdassV1∩f−1(V
2)off
enist.
Sei
z∈
ψ1(V
1∩
80KAPIT
EL5.
RIE
MANNSCHE
FLACHEN
f−1(V
2)),und
wah
le(U
1,φ
1),(U
2,φ
2),U
wie
angegeben
furden
Punktx
:=ψ−1
1(z).
Dan
nist
ψ2◦f
◦ψ−1
1=
(ψ2◦φ
−1
2)◦(
φ2◦f
◦φ−1
1)◦(
φ1◦ψ
−1
1)
wob
eiau
feinen
geeign
eten
Definitionsbereich
eingeschranktwird:Setze
D:=
ψ1(U
∩V1∩f−1(V
2)),dan
nistD
offen,nichtleer,undalle
Zusammensetzungen
sindwoh
ldefiniert
Dφ1◦ψ
−1
1→
ψ1(U
∩V1∩f−1(V
2))
φ2◦f
◦φ−
11
→φ2(U
2∩V2)ψ
2◦φ
−1
2→
C
AlsZusammensetzungan
alytischer
Funktion
enistalso
ψ2◦f
◦ψ−1
1| D
analytisch.
Istumgekehrt
f∈
Hol(X
1,X
2),
und
x∈
X1gegeben,so
wah
leKarten
(U1,φ
1),
(U2,φ
2)vonX
1bzw
.X
2mit
x∈
U1undf(x)∈
U2,undsetzeU
:=U1∩f−1(U
2).
Daf
stetig
ist,
istU
eineoff
eneUmgebungvo
nx,unddaf
analytischist,
istdie
Funktion
φ2◦f
◦φ−1
1| φ 1
(U)an
alytisch.
❑
5.1.11Beispiel.
Sei
X⊆
Coff
enundf:X
→C.Dan
nistf∈
H(X
),genau
dan
nwennf∈Hol(X
,C).Das
isttrivial,denndie
einzigenKartenvo
nX
bzw
.C
sindid
:X
→C
bzw
.id
:C
→C.
�5.1.12Beispiel.
Sei
X⊆
Coff
en.Die
Menge
allerkomplexwertigenFunktio-
nen
fdie
aufeiner
Teilm
enge
dom
fvo
nX
definiert
sindstehtin
bijektiver
BeziehungzurMenge
allerFunktion
enf
:X
→C
∞,undzw
arverm
ogeder
Identifikation
f→
fmit
f:z�→�f(z),
z∈dom
f
∞,
z�∈dom
f
Dan
nistf∈M
(X),
genau
dan
nwennf∈Hol(X
,C∞).
�Bew
eis.
Sei
zuerst
f∈
M(X
),undbezeichnemit
Ddie
Menge
der
Singu
la-
ritatenvo
nf.Furz∈X
\Dwah
le
(U1,φ
1):=
(X,id),
(U2,φ
2):=
(C,id),
U:=
Ur(z),
wob
eir>
0so
klein
ist,dassUr(z)⊆
X\D
.EsistUr(z)=
id−1(U
r(z))
offen
inder
Rieman
nschen
FlacheX.Weiters
istU
⊆U1,f(U
)⊆
U2,undφ2◦f
◦φ−1
1=
fan
alytisch.Sei
nunz∈D.W
ahle
(U1,φ
1):=
(X,id),(U
2,φ
2)die
Karte
(5.1.1),
undU
:=Ur(z)wob
eir>
0so
klein
ist,
dassU
\{z}⊆
X\D
undf(x)�=
0,x∈Ur(z).
EinesolcheWah
lvonristmog
lich
dalim
x→
z|f(x)|=
∞.Dan
nist
� φ2◦f
◦φ−1
1
� (x)=
�1
f(x
),
x∈U
\{z}
0,
x=
z
unddiese
Funktion
istnachdem
Rieman
nschen
Hebbarkeitssatzan
alytisch.W
irsehen
,dassf∈Hol(X
,C∞).
Umgekehrt
seifso,dassf∈Hol(X
,C∞).Sei
z∈X
gegeben.Istf(z)�=
∞,
sowah
leeineoff
eneUmgebungU
vonzmit
f(x)�=
∞,x∈
U.Dan
ngilt
fur
die
Karten(U
1,φ
1):=
(X,id),
(U2,φ
2):=
(C,id)dassU
⊆U1∩f−1(U
2)und
f=
φ2◦f
◦φ−1
1an
alytisch.Istf(z)=
∞,so
wah
leeineoff
eneUmgebungU
5.2.
EIN
IGE
SATZE
UBER
ANALYTISCHE
FUNKTIO
NEN
81
vonzmit
f(x)�=
0,x∈
U.Dan
ngilt
furdie
Karten(U
1,φ
1):=
(X,id)und
(U2,φ
2)au
s(5.1.1),
dassU
⊆U1∩f−1(U
2).
Weiters
istfurx∈U
� φ2◦f
◦φ−1
1
� (x)=
�1
f(x
),
f(x)�=
∞0
,f(x)=
∞.
Diese
Funktion
ist,wieder
nachdem
Rieman
nschen
Hebbarkeitssatz,an
alytisch.
Alsoistf:X
\f−1(∞
)→
Cmerom
orph.
❑
5.1.13Beispiel.Seien
w1,w
2∈Cuber
Rlinearunab
han
gigundL:=
Zw1+Zw
2.
Dan
nstehtdie
Menge
allerFunktion
enf:C/L
→C
∞in
bijektiverBeziehung
mit
der
Menge
allerL-periodischen
Funktion
en
K(L
):=
� F∈M
(C):F(z
+w)=
F(z),z∈C,w
∈L� ,
nam
lich
verm
ogeder
Beziehungf�→
f◦π
:Esistf◦π
∈K(L
),genau
dan
nwennf∈Hol(C
/L,C
∞).
Um
dieseinzusehen
genugt
eszu
bem
erken,dassnachBeispiel5.1.12
fur
eineKarte
(U,φ
)vo
nC/L
die
Funktion
f◦φ−1zu
Hol(U
,C∞)gehort,
genau
dan
nwennf| φ−
1(U
)merom
orphist.
�
5.2
EinigeSatzeuberanalytischeFunktionen
Viele
Aussag
euber
analytischeFunktion
enlassen
sich
unmittelbar
aufan
alyti-
scheFunktion
enzw
ischen
Rieman
nschen
Flachen
ubertrag
en.Dennim
lokalen
isteineAbbildungin
Hol(X
,Y)ja
geradeeinean
alytischeFunktion
zwischen
gewissenTeilm
engenvo
nC.
5.2.1
Pro
position.Seien
X,Y
,ZRiemannscheFlachen
.Danngilt:
(i)Hol(X
,C)isteineC-A
lgebra.
(ii)
Sindf∈Hol(X
,Y),
g∈Hol(Y
,Z),
soistg◦f
∈Hol(X
,Z).
(iii)Der
Identitatssatz:Sei
Xzusammen
hangend.Sindf,g
∈Hol(X
,Y)und
hatdie
Men
ge{x
∈X
:f(x)=
g(x)}
eineHaufungspunkt,so
folgtf=
g.
(iv)Der
Satzvonder
offenen
Abbildung:
Sei
f∈
Hol(X
,Y)nichtkonstant.
Dannistfoffen
.
(v)DasMax
imumprinzip:Istf∈
Hol(X
,C)nichtkonstant,
sobesitzt|f|:
X→
[0,∞
)kein
Maximum.
(vi)
Istf∈Hol(X
,Y)injektiv,so
istf−1∈Hol(f(X
),X).
Bew
eis.
Die
Aussag
en(i)und(ii)
sindklar.
Wir
kommen
zum
Bew
eisdes
Identitatssatzes.Betrachte
die
Menge
M:=
{x∈
X:f(x)=
g(x)}.Dan
nistklarerw
eise
Mab
geschlossen
.Sei
x0ein
Hau
fungspunktvon
M.Zu
x1∈
Xexistiertnach
Lem
ma5.1.6einestetige
Kurveγ:[0,1]→
Xmit
γ(0)=
x0undγ(1)=
x1.
Istx∈X,so
existiertenKarten(U
x,φ
1)und(V
x,ψ
x)vo
nX
bzw
.Y
mitx∈
Uxundf(x)∈Vx.BezeichnedieZusammenhan
gsko
mpon
ente
vonUx∩f
−1(V
x)
82KAPIT
EL5.
RIE
MANNSCHE
FLACHEN
welchen
den
PunktxenthaltmitUx.Esgiltγ([0,1])⊆�
t∈[0,1]Uγ(t).Daγ([0,1])
kompak
tist,
kon
nen
wir
endlich
viele
Werte
t 1,...,t
nfinden
,sodaß
γ([0,1])⊆
U1∪...∪Un,
wob
eiUj:=
Uγ(t
j).OhneBeschrankungder
Allgemeinheitkon
nen
wir
dab
eian
nehmen
,dasst 1
=0ist.
BezeichneentsprechendVj:=
Vγ(t
j),φj:=
φγ(t
j)
undψj:=
ψγ(t
j).
Die
Menge
{z∈φ1(U
1):ψ1◦f
◦φ−1
1=
ψ1◦g
◦φ−1
1}hat
inφ1(U
1)einen
Hau
fungspunkt,nam
lich
φ1(x
0).Nachdem
Identitatssatz
der
Funktion
entheorie
folgtdassf| U
1=
g| U
1.Istγ([0,1])⊆
U1,so
folgtinsbeson
deredassf(x
1)=
g(x
1)undwirsindfertig.Istγ([0,1])�
U1,so
existierteinIndex
k∈{2
,...,n
}mit
Uk∩U1�=
∅,dennan
dernfallshattenwir
die
zusammen
han
gendeMenge
γ([0,1])in
die
zwei
nichtleeren
offenen
Mengen
γ([0,1])∩U1und
γ([0,1])∩
(U2∪...∪Un)zerlegt.
OhneBeschrankungder
Allgemeinheitseik=
2.Die
Menge
{z∈
φ2(U
2):ψ2◦f◦φ−1
2=
ψ2◦g◦φ−1
2}enthalteinenichtleere
offeneMenge,nam
lich
φ2(U
1∩U2).
Esfolgtdassf| U
2=
g| U
2,insgesam
talso
f| U
1∪U
2=
g| U
1∪U
2.Verfahrt
man
nachdem
selben
Schem
aweiter,so
erhaltman
inhochsten
snSchritten
dassf(x
1)=
g(x
1).
Um
(iv)einzu
sehen
,genugt
eszu
bem
erken,dassfurje
zweiKartendas
Bild
der
analytischen
Funktion
ψ◦f
◦φ−1off
enist,unddas
ψeinHom
oomorphismus
ist.
Das
Max
imumprinzip
istnun
klar.
Um
(vi)
zusehen
,bem
erkeman
dass
f(X
)off
enist,dah
ereineRieman
nscheFlache,
unddassfurje
zwei
Kartendie
Funktion
ψ◦f
◦φ−1an
alytischundinjektivist.
Dam
itistau
chφ◦f
−1◦ψ
−1
analytisch.
❑Ein
Phan
omen
das
inder
klassischen
Funktion
entheorienichtau
ftritt,istdie
Mog
lichkeit,
dassder
Definitionsbereich
einer
analytischen
Funktion
kompak
tist.
ImRah
men
der
Rieman
nschen
Flachen
istdiesjedoch
sehrwoh
lmog
lich,
wie
wir
anden
Beispielen
von
C∞
bzw
.C/L
sehen
,und
isttatsachlich
ein
sehrinteressan
terFall.Die
folgendeAussag
eisteinfach,wirwollensietrotzd
emexplizitherau
sstellen,dasiesich
mit
diesem
Fallbeschaftigt.
5.2.2
Pro
position.Sei
XeinekompakteRiemannscheFlache.
Danngilt:
(i)Sei
Yeinezusammen
hangendeRiemannscheFlache.
Istf
∈Hol(X
,Y)
nichtkonstant,so
istfsurjektivundY
kompakt.
(ii)
EsistHol(X
,C)=
C.
Bew
eis.
Zu(i):die
Men
gef(X
)istoff
enundkompak
t,dah
ergleich
Y.Zu(ii):
Cistnichtkompak
t.❑
5.3
Die
RiemannscheFlach
ederUmkehrfunkti-
on
Sei
X⊆
Coff
enundf∈H(X
).Setze
Y:=
f(X
),
Γ(f):=
grap
hf=� (x
,f(x))
:x∈X� ,
5.3.
DIE
RIE
MANNSCHE
FLACHE
DER
UMKEHRFUNKTIO
N83
undbezeichnemit
π1:Γ(f)→
Xbzw
.π2:Γ(f)→
Ydie
Projektion
enau
fdie
jeweiligenKom
pon
enten
Γ(f)
π2
��❈❈❈❈❈❈❈❈π1
�� ④④④④④④④④
Xf
�� Y
DafeineFunktion
ist,istπ1bijektiv.W
irkon
nen
also
aufΓ(f)eineTop
olog
iedefinierendurchdie
Vorga
bedassπ1einHom
oomorphismuswird.
Furz∈X
undr>
0derartdassf| U
r(z
)injektivist,
definierenwir
Uz,r:=
π−1
1(U
r(z)),φz,r:=
π2| U
z,r.
Weiters
sei
A(f):=� (U
z,r,φ
z,r):f| U
r(z
)injektiv� .
5.3.1
Pro
position.Sei
X⊆
Coffen
,f∈
H(X
),undseivorausgesetzt
dass
f′ (z)�=
0,z
∈X.Dann
ist(Γ
(f),A(f))
eineRiemannscheFlache.
Esgilt
π1∈Hol(Γ
(f),X),
π−1
1∈Hol(X
,Γ(f)),undπ2∈Hol(Γ
(f),Y).
Bew
eis.
Zunachst
istπ1nachDefi
nitioneinHom
oomorphismusvo
nΓ(f)und
X,unddah
eristΓ(f)Hau
sdorffundUz,roff
en.Esgiltφz,r=
(f| U
r(z
))◦π
1| U
z,r
undφz,r(U
z,r)=
f(U
r(z)).Nunistf| U
r(z
)an
alytischundinjektiv,also
istau
ch(f| U
r(z
))−
1:f(U
r(z))
→Ur(z)an
alytisch.Esfolgtdassφz,r(U
z,r)off
enistund
φz,r
einHom
oomorphismus.
Esistalso
jedes
Paa
r(U
z,r,φ
z,r)eineKarte.
Sei
z∈X
gegeben.Daf′ (z)�=
0ist,
gilt
furjedes
hinreichendkleiner>
0dassf| U
r(z
)injektivist.
Esgibtalso
Kartendie
den
Punktzenthalten.
Seien
(Uz,r,φ
z,r)und(U
w,s,φ
w,s)gegeben,undseian
genom
men,dassUz,r∩
Uw,s�=
∅.Nunist
(φz,r◦φ
−1
w,s)| φ
w,s(U
z,r∩U
w,s)=
π2◦(
π2| φ w
,s(U
z,r∩U
w,s))−
1=
idπ2(U
z,r∩U
w,s).
Insbeson
dereist(φ
z,r◦φ
−1
w,s)| φ
w,s(U
z,r∩U
w,s)an
alytisch.
Die
Abbildungπ2:Γ(f)→
Yisttrivialerw
eise
analytisch,dennsieistja
lokalgenau
eineKarte.Die
Abbildungπ1:Γ(f)→
Xistan
alytisch,daπ1| U
r,z◦
φ−1
z,r=
(f| U
r(z
))−
1.NachProposition5.2.1,
(vi),istau
chπ−1
1an
alytisch.
❑
5.3.2
Bem
erkung.
Man
bezeichnet
(Γ(f),A(f))
auch
als
die
Riemannsche
Flacheder
Umkehrfunktionvonf.
Um
diese
Nam
ensgebungzu
motivieren,betrachte
eine(nichtkon
stan
te)an
a-lytischeFunktion
f:X
→f(X
),X,f
(X)⊆
C.Istfinjektiv,so
wissenwirdass
die
Umkehrfunktion
f−1:f(X
)→
Xeb
enfallsan
alytischist.Istfnichtinjek-
tiv,d.h.gibtes
Punkte
w∈
f(X
)mit
mehrerenUrbildernz i,i∈
I,so
blaht
man
den
Bildbereich
kunstlich
auf,
d.h.machtman
ausdem
einen
Punktw
viele
Punkte
(zi,w),i∈I.Dam
iterzw
ingt
man
,dassfbijektivwird.Naturlich
istder
Bildbereich
nunmehreinan
derer.
Mathem
atischer
form
uliert,
wir
hab
eneineRieman
nscheFlache(nam
lich
Γ(f)),einean
alytischeAbbildungπ2:Γ(f)→
f(X
),undeinebijektive
und
analytischeAbbildungF
:X
→Γ(f)(nam
lich
F:=
π−1
1),
die
genau
wie
f
84KAPIT
EL5.
RIE
MANNSCHE
FLACHEN
agiert
indem
Sinnedass
Γ(f) π2
��X
f��
F
�� f(X
)
�W
irwollendiese
Kon
struktion
furden
Fallvo
nf(z)=
ezbzw
.f(z)=
zn,
n∈
N,au
chnoch
andersinterpretieren
.Beschaftigen
wir
unszunachst
mit
f(z)=
ez:Betrachte
Y:=
Z×
C∗ .
Wir
versehen
jetztY
aber
nichtmit
der
Produkttop
olog
ie,sondernmit
einer
anderen
Top
olog
ie.Fur(k,z)∈
Z×
C∗
und0<
r<
|z|d
efiniere
Ur(k,z):=
�{k
}×Ur(z)
,z�∈(−
∞,0)
� {k}×
(Ur(z)∩C
+)�
∪� {k
+1}
×(U
r(z)∩C
−)�,
z∈(−
∞,0)
Dan
nbilden
die
V(k,z):=
{Ur(k,z):0<
r<
|z|}
Umgebungsbasen
einer
Top
olog
ieau
fZ×
C∗ .
Bezeichnet
π2die
Projektion
π2:Z×
C∗→
C∗ ,
soist
π2einlokalerHom
oomorphismus.Tatsachlich
bildet
π2die
UmgebungUr(k,z)
bijektivundbistetigau
fUr(z)ab
.Weiters
kon
nen
wireinen
Atlas
definierenals
A:=
� (Ur(k,z),π2| U
r(k
,z)):(k,z)∈Z×
C∗ ,0<
r<
|z|�
.
Beachte
hier,
dassdie
Kartenwechselim
mer
die
Identitatsind,also
sicher
ana-
lytisch.W
irhab
ensomit
Yzu
einer
Rieman
nschen
Flachegemacht.
Sei
nunΦ
:Γ(e
z)→
Ydie
Abbildung
Φ� (z
,ez)�
:=��
Imz
2π
� ,ez� .
Dan
nistΦ
bijektiv,undwir
hab
endas
folgendeDiagram
m:
Γ(e
z)
π2
��
�� Z
×C
∗
π2
��C
∗id
�� C∗
5.3.
DIE
RIE
MANNSCHE
FLACHE
DER
UMKEHRFUNKTIO
N85
Esfolgt,
dassΦ
einebianalytischeAbbildungvo
nΓ(e
z)au
fY
ist.
ImFallf(z)=
zngehtman
ganzgenau
sovo
r,nurdassman
anstelle
von
Z×
C∗die
Menge
Z:=
Z n×
C∗verw
endet.Die
Definitionen
vonTop
olog
ieundAtlas
sinddan
ndie
gleichen.Der
Isom
orphismuszw
ischen
Γ(z
n)undZ
ist
gegeben
durch
Ψ� (z
,zn)�
:=��
nargz
2π
� ,zn� ,
wob
eiwir
hierargz∈[0,2π)wah
len.
ImFall”n
=2“
kannman
sich
die
Rieman
nscheFlacheder
Umkehrfunk-
tion
vonznim
R3nuralsFlachemit
einer
scheinbaren
Selbstuberschneidung
veranschau
lichen.
5.3.3
Bem
erkung.
Man
kannzeigen
dass,
zumindestenslokalum
jeden
Punkt,
die
Rieman
nsche
Flache
der
Umkehrfunktion
einer
beliebigen
analytischen
Funktion
stetsdie
inden
obigen
Beispielenbeschrieb
eneGestalt
hat.
�
86KAPIT
EL5.
RIE
MANNSCHE
FLACHEN
Kapitel6
AnalytischeFortsetzung
6.1
AnalytischeFortsetzunginnerh
alb
von
CSei
G⊆
Coff
en,undf∈H(G
).In
diesem
Kap
itel
wollenwir
die
Frage
unter-
suchen,ob
man
fzu
einer
analytischen
Funktion
aufeinem
groß
eren
Bereich
fortsetzen
kann.
Zunachst
betrachtenwir
Fortsetzungau
fBereicheG
⊆C
mit
G�
G.Fur
eineFunktion
fkannFortsetzungmog
lich
sein.
6.1.1
Beispiel.
Betrachte
die
Funktion
fdie
durchdie
Potenzreihe
f(z):=
∞ � n=0
zn
(6.1.1)
definiert
ist.
Der
Kon
vergenzrad
iusdieserReiheistgleich
1,also
istfau
fdem
offenen
Einheitskreis
Ddefiniert.
Die
Summeder
Reihe(6.1.1)kannman
explizitau
srechnen
(geometrische
Reihe),nam
lich
gilt
f(z)=
1
1−
z,
z∈D.
Definiert
man
eineFunktion
Fau
fdem
GebietC\{
1}alsF(z):=
11−z,so
ist
Fan
alytischundes
gilt
F| D
=f.W
irhab
enalso
eineFortsetzungvo
nfau
fden
groß
eren
Bereich
C\{
1}gefunden
.�
Eskannab
erau
chpassieren,dasssich
eineFunktion
nichtweiterfortsetzen
lasst.
6.1.2
Beispiel.
Betrachte
die
Funktion
fdie
durchdie
Potenzreihe
f(z):=
∞ � n=0
zn!
definiert
ist.
Der
Kon
vergen
zrad
iusdieserReiheistgleich
1,also
istfwieder
aufD
definiert.
Angenom
men
esexistierteinGebietG
⊆C,D
�G,undF
∈H(G
)mit
F| D
=f.DaG
zusammen
han
gendistundD
echtumfasst,ist∂D∩G
nichtleer.
87
88KAPIT
EL6.
ANALYTISCHE
FORTSETZUNG
DaG
offen
ist,
unddie
Menge
allerEinheitswurzelndichtin
∂D
ist,
existiert
eineEinheitswurzel
ζ∈G
∩∂D.Esgilt
lim
rր
1f(rζ)=
lim
rր
1F(rζ)=
F(ζ).
Wah
lem
∈N
mit
ζm
=1,
dan
nist
(rζ)n
!=
rn! ,
n≥
m,
unddam
it
f(rζ)=
m−1
� n=0
(rζ)n
+
∞ � n=m
rn!.
Gehtman
zum
Lim
esrր
1uber,so
folgtmit
dem
Satzvonder
mon
oton
enKon
vergenzdass
lim
rր
1|f(rζ)|=
∞,
einW
iderspruch.
Indiesem
Beispielistder
Einheitskreisalso
ingewissem
Sinneeinenaturliche
Grenze
der
Funktion
f.
�Man
chmal
stoß
tman
jedoch
aufGrenzen,die
eigentlichnichtdas
naturliche
Endedes
Definitionsbereiches
der
Funktion
markieren.
6.1.3
Beispiel.
Betrachte
G:=
C\(−
∞,1],
dan
nist
Geinfach
zusam-
menhan
gend.Die
Funktion
1−
zistin
Gan
alytisch
und
nullstellenfrei,al-
sohat
sie
einen
Log
arithmusin
G:W
ahle
eine
Funktion
f∈
H(G
)mit
1−
z=
exp(f(z)),z∈G.
Angenom
men
esexistierteinGeb
ietG
⊆C,G
�G,undF
∈H(G
)mit
F| G
=f.Dan
nistG∩(−
∞,1]�=
∅.Der
Punkt1kannnichtzu
Ggehoren,denn
lim
z→
1z∈G
|f′ (z)|=
lim
z→
1z∈G
� � �1
1−
z
� � �=∞
.
AlsoistG
∩(−
∞,1)�=
∅,undwir
kon
nen
eineKreislinie
∂Ur(1)mit
r>
0,finden
,die
ganzin
Gverlau
ft.
Nungilt
F′ (z)=
f′ (z)=
11−zfuralle
z∈
G,undnachdem
Identitatssatz
(beachte
dassG
sicher
zusammenhan
gend
ist)
gilt
dah
erF
′ (z)=
11−zsoga
r
furalle
z∈
G.Dah
erF
isteineStammfunktion
der
Funktion
11−z
aufG.
Insbeson
derefolgt
ffi
∂U
r(1
)
1
1−
ζdζ=
0.
Ein
Widerspruch,dennwir
wissendassdiese
Integral
den
Wert−2π
ihat.
Betrachte
nundie
Funktion
g(z):=
−�
∞ n=1
zn n.Der
Kon
vergenzrad
iusdie-
serPotenzreiheistgleich
1,also
istg∈H(D
).Esgilt
f′ (z)=
−∞ � n=1
zn−1=
−1
1−
z=
g′ (z),
z∈G
∩D.
DaD∩C
+bzw
.D∩C
−zusammen
han
gendeTeilm
engenvonG
∩D
sind,folgt
f(z)=
g(z)+
C+,z∈D∩C
+,
f(z)=
g(z)+
C−,z∈D∩C
−,
6.2.
UBERLAGERUNGEN
89
mitgewissenKon
stan
tenC
+,C
−∈C.Beachte
dass,wegen
dem
oben
gezeigten,
sicher
C+�=
C−
ist.
Wirkon
ntenalso,wennwirdieWerte
vonfin
der
unterenHalbeb
eneeinfach
einmal
ignorieren,sehrwoh
lvonder
oberen
Halbeb
enekommenddieFunktion
fau
fD∩ C
−an
alytischfortsetzen,nam
lich
durchdieDefinitionF(z):=
g(z)+
C+.
Das
gleichegilt
naturlichau
chfurdie
untere
Halbeb
ene.
Das
Interval
(−∞
,1)
istalso
ingewissem
SinnekeinenaturlicheGrenze
furdie
Funktion
f.
•
γ+
γ−
f◦γ+
f◦γ−
f
•f
g+
C+
g+
C−
�DiesesBeispiellegt
esnah
edassder
naturlicheDefinitionsbereich
der
be-
trachtetenFunktion
fnichteineTeilm
enge
vonC
ist,
sonderneinegewissen
Rieman
nscheFlache.
Unddiesisttatsachlich
so,dennfisteinZweigder
Um-
kehrfunktion
vonh(z):=
1−
expz.
6.2
Uberlageru
ngen
6.2.1
Definition.Seien
X,Y
,Ztopolog
ischeRau
me,
undseienπ
:Y
→X
undf:Z
→X
stetig.EinestetigeAbbildungF
:Z
→Y
heißt
einliftingvo
nf,wennπ◦F
=f,d.h.also
Y
π ��Z
f��
F
�� ⑦⑦
⑦⑦
X
�
90KAPIT
EL6.
ANALYTISCHE
FORTSETZUNG
Hat
man
X,Y
,Zundfgegeben,so
mußes
nichtnotwendig
einliftinggeben.
Existierteinlifting,
somußdiesesnichteindeu
tigsein.EineEindeu
tigk
eitsau
s-sage
kannman
unterrelativallgem
einen
Vorau
ssetzungenerhalten.Die
Frage
nachder
Existenzistunan
genehmer.
6.2.2
Pro
position.Seien
X,Y
Hausdorff
,π:Y
→X
einlokalerHomoomor-
phismus,
Zzusammen
hangendundf
:Z
→X
stetig.Sei
z 0∈
Zundseien
F1,F
2liftings
vonfmitF1(z
0)=
F2(z
0).
DannistF1=
F2.
Bew
eis.
Sei
A:=
{z∈Z
:F1(z)=
F2(z)}.Diese
Menge
istab
geschlossen
und
nichtleer.Sei
z∈A
undsetzey:=
F1(z)=
F2(z).W
ahle
eineoff
eneUmgebung
Vvo
nysodassπ| V
einHom
oomorphismusvonV
aufdie
offeneMenge
U:=
π(V
)ist.
DaF1,F
2stetig
sind,gibtes
eineoff
eneUmgebungW
von
zmit
F1(W
),F2(W
)⊆
U.Nunistπ◦F
j=
f,also
Fj| W
=(π| V)−
1◦f
| W,j=
1,2.
Wirsehen
dassW
⊆A.AlsoistA
auch
offen,unddaZ
zusammenhan
gt,folgt
A=
Z.
❑Esisteinewichtige
Tatsache,
dassdas
liftingeiner
Hom
otop
iein
X,fallses
existiert,
eineHom
otop
iein
Yist.
6.2.3
Satz
(Mon
odromiesatz).
Seien
XundY
Hausdorff
-Raumeundπ:Y
→X
einlokalerHomoomorphismus.Seien
γ0,γ
1Wegein
Xmitgleichem
Anfangs-
undEndpunkt
abzw.bdie
FEP-homotopin
Xsind,undseiH
:[0,1]×
[0,1]→
XeineFEP-H
omotopie
zwischen
γ0undγ1.Sei
c∈
Ymit
π(c)=
a,undsei
angenommen
,dass
jeder
Weg
γs(.):=
H(.,s),
s∈[0,1],einliftingΓs:[0,1]→
YmitΓs(0)=
cbesitzt.DannhabenΓ0undΓ1den
gleichen
Endpunkt
undsind
FEP-homotop.
Bew
eis.
Sei
K:[0,1]×
[0,1]→
Ydefiniert
alsK(t,s):=
Γs(t).
Wegen
der
Eindeu
tigk
eitdes
liftings
ΓsistK
woh
ldefiniert.
Imersten
Schritt
zeigen
wir,dass,
furein
gewissesǫ>
0,die
Abbildung
Kstetig
auf[0,ǫ]×
[0,1]ist.
Dazuwah
leoff
eneUmgebungenU
vonaundV
von
c,sodassπ| V
ein
Hom
oomorphismusvo
nV
aufU
ist.
Esgilt
H({0}
×[0,1])
={c}⊆
U.DaH
stetig
istund[0,1]ko
mpak
t,existiertǫ>
0sodass
H([0,ǫ]
×[0,1])
⊆U.Betrachte
die
AbbildungK
:=(π| V)−
1◦H| [0
,ǫ]×
[0,1].
Diese
iststetig.Nun
istfurjedes
s∈
[0,1]die
Abbildungt�→
K(t,s)ein
liftingvo
nγs| [0
,ǫ]mit
Anfangspunktc.
Wegen
der
Eindeu
tigk
eitdes
liftings
folgtK(t,s)=
Γs(t),
t∈[0,ǫ],s∈[0,1].AlsoistK
stetig
auf[0,ǫ]×
[0,1].
Imzw
eiten
Schritt
zeigen
wir,dassK
uberallstetig
ist.
Angenom
men
esexistierteinPunkt(t,σ
)woK
nichtstetig
ist.
Sei
τ:=
inf� t
∈[0,1]:K
nichtstetig
an(t,σ
)�.
Nach
dem
ersten
Schritt
gilt
τ≥
ǫ>
0.Sei
Veineoff
eneUmgebungvo
nK(τ,σ
)undU
eineoff
eneUmgebungvonπ(K
(τ,σ
))=
γσ(τ),
sodassπ| V
ein
Hom
oomorphismusvo
nV
aufU
ist.W
ahle
δ>
0,sodassH(I
δ(τ)×I δ(σ))
⊆U,
wob
eiI β(u):=
[0,1]∩(u
−β,u
+β).
Die
KurveΓ
:=(π| V)−
1◦γσ| I δ
(τ)ist
einliftingvonγσmit
Γ(τ)=
K(τ,σ
)=
Γσ(τ).
AlsoistΓ(t)=
Γσ(t)furalle
t∈I δ(τ).
Insbeson
dereistK(t,σ
)∈V,t∈I δ(τ).
Wah
let 1
∈I δ(τ),
t 1<
τ,dan
nistK
ander
Stelle(t
1,σ
)stetig,unddah
ergibtes
α>
0sodassK(t
1,I
α(σ))
⊆V.Daπ(K
(t,s))
=H(t,s)unddaπ| V
bijektivist,
folgtdass
Γs(t
1)=
K(t
1,s)=
(π| V)−
1(H
(t1,s)),
s∈I α
(σ).
6.2.
UBERLAGERUNGEN
91
Alsoist,
wegen
der
Eindeu
tigk
eitdes
liftings,Γs(t)=
(π| V)−
1(H
(t1,s)),t∈
I δ(σ).
Wir
sehen
,dassK(t,s)=
(π| V)−
1(H
(t,s)),t∈I δ(τ),
s∈I α
(σ).
Insbe-
sondereistK
stetig
anjeder
Stelle(t,σ
),t∈I δ(τ),
einW
iderspruch.
Wir
hab
enjetztgezeigt,
dassΓ0und
Γ1hom
otop
sind.Daπ
ein
lokaler
Hom
oomorphismusist,
istdie
Menge
π−1({b})diskret.
NunistK({1}
×[0,1])
einezusammenhan
gendeTeilm
enge
vonπ−1({b}),
unddah
ereinpunktig.
D.h.
alle
WegeΓshab
enden
selben
Endpunkt.
❑W
irkommen
zurFrage
nachder
Existenzvo
nliftings.Im
allgem
einen
ist
die
Situationdab
eiuberhau
ptnichtklar.Aber
man
kanndoch
eineKlassevon
”guten“
Abbildungenπan
geben,furdie
oftliftings
existieren.
6.2.4
Definition.Sei
Xeintopolog
ischer
Rau
m.IstY
einweiterertopolog
i-scher
Rau
mundπ:Y
→X,dan
nheißt
πeineUberlagerungsabbildung,wennπ
surjektivistundgilt:Jeder
Punktx∈X
hat
eineoff
eneUmgebungU,sodass
sich
π−1(U
)alsdisjunkte
Vereinigungπ−1(U
)=�
k∈IVimit
offenen
Mengen
Vischreiben
laßt
und
zwar
derartdassπ| V k
:Vk
→U
furjedes
k∈
Iein
Hom
oomorphismusist.
Indiesem
Fallheißt
das
Paa
r(Y
,π)eineUberlagerungvonX.Eineoff
ene
UmgebungU
mit
der
genan
ntenEigenschaftheißt
trivialisieren
d.
�
6.2.5
Beispiel.
(i)Sei
X:=
C.Betrachte
Y:=
Z×
Cversehen
mit
der
Produkttop
olog
ieundseiπdie
Projektion
aufdie
zweite
Kom
pon
ente,π(n,z):=
z.Dan
nist(Y
,π)eineUberlagerungvonX,dennzu
gegebenem
Punktzwah
leU
=C
undVk:=
{k}×
C,k∈Z.
π
C
Z×
C
(ii)
Sei
X:=
C∗ ,
Y:=
C,π(z):=
ez.Furx∈X,sei
U:=
� w∈C
∗:argw
∈(arg
x−
π 2,arg
z+
π 2)�
Vk:=
� z∈C
:Im
z∈(arg
x−
π 2,arg
x+
π 2)+
2kπi�,
k∈Z,
wob
eiwir
argxin
(−π,π
]wah
len.
92KAPIT
EL6.
ANALYTISCHE
FORTSETZUNG
π
C
C∗
•x
•
•
•z−
1
z0
z1
(iii)Sei
X:=
C∗ ,
Y:=
C∗ ,
undπ(z):=
znwob
ein∈N.Furx∈X,sei
U:=
� w∈C
∗:argw
∈(arg
x−
π 2,arg
z+
π 2)�
,
Vk:=
� z∈C
:argz∈(argx−
π 2
n,argx+
π 2
n)+
2kπi
n
� ,k=
0,...,n−1.
π
C∗
C∗
�In
einem
ersten
Schritt
zeigen
wir,dassfurUberlagerungsabbildungenWege
stetseinliftingbesitzen.
6.2.6
Lemma.Sei
π:Y
→X
eineUberlagerungsabbildung.
IstγeinWeg
inX
undy 0
∈π−1(γ(0)),so
existierteinliftingΓvonγmitΓ(0)=
y 0.
Bew
eis.
Sei
γ:[0,1]→
XeinWeg,γ(0)=:x0.Da[0,1]ko
mpak
tist,existieren
t 0,...,t
nmit0=
t 0<
t 1<
...<
t n=
1undtrivialisierendeMengenU1,...,U
n
mit
γ([t k
−1,t
k])⊆
Uk,k=
1,...,n.
Wirzeigen
induktivdassγ| [0
,tk]einliftingmitAnfangspunkty 0
besitzt.Fur
k=
0istdas
trivial.
Sei
angenom
men
Γk−1istein
liftingvo
nγ| [0
,tk−
1]mit
Anfangspunkty 0.Schreibeπ−1(U
k)=�
i∈IkVk,i,dan
ngilt
Γk−1(t
k−1)∈
Vk,i
0
fureingewissesi 0
∈I k.Definiere
Γkals
Γk(t):=
�Γk−1(t)
,t∈[0,t
k−1]
(π| V k
,i0)−
1◦γ
(t),
t∈[tk−1,t
k]
Dan
nistΓkeinliftingvo
nγ| [0
,tk]mit
Anfangspunkty 0.
❑Diese
Aussag
ekannnunau
feinegroß
ereKlassevo
nstetigen
Abbildungen
alsWegeau
sgedeh
ntwerden
.
6.3.
FUNKTIO
NSKEIM
E,FORTSETZUNG
LANGSW
EGEN
93
6.2.7
Pro
position.Sei
π:Y
→X
eineUberlagerunsabbildung.
Sei
weiters
Zeinfach
zusammen
hangendundlokalbogenweise
zusammen
hangend.Istf
:Z
→X
stetig,undz 0
∈Z,y 0
∈Y,sodass
f(z
0)=
π(y
0),
dannexistiertein
liftingF
:Z
→Y
vonfmitF(z
0)=
y 0.
Bew
eis.
Sei
z∈Z,wah
leeinen
Weg
γmit
Anfangspunktz 0
undEndpunktz,
undsetzeα
:=f◦γ
.Dan
nistα
einWeg
inX
mit
Anfangspunktf(z
0).
Sei
Γ:[0,1]→
Ydas
liftingvo
nαmit
Γ(0)=
y 0,unddefiniere
F(z):=
Γ(1).
Alserstes
mussen
wirzeigen,dassF
woh
ldefi
niert
ist.Seidazuγ′ ein
anderer
Weg
der
z 0mit
zverbindet,und
seiα′und
Γ′wie
oben
konstruiert.DaZ
einfach
zusammenhan
gendist,sindγundγ′FEP(!)-hom
otop
.IstH
eineFEP-
Hom
otop
iezw
ischen
γundγ′ ,so
istf◦H
eineFEP-H
omotop
iezw
ischen
αund
α′ .Nachdem
Mon
odromiesatz
gilt
Γ′ (1)
=Γ(1).
Die
Tatsachedassπ◦F
=fistklarau
sder
Defi
nition.W
irmussen
noch
zeigen,dassF
stetig
ist.
Sei
dazuz∈
Zgegeben.Seien
UundV
offeneUm-
gebungenvonπ(F
(z))
=f(z)bzw
.F(z),
sodassπ| V
einHom
oomorphismus
vonV
aufU
ist.
DaZ
lokalbog
enweise
zusammen
han
gendist,
existierteine
bog
enweise
zusammen
han
gendeUmgebungW
vonzmitf(W
)⊆
U.Seien
γ,α,
Γwie
inder
DefinitionvonF(z),z′∈W
,undseiγ′einWeg
inW
der
zmitz′
verbindet,α′:=
f◦γ
′ .Dan
ngiltstetsα′ ([0,1])∈U,also
istΓ′:=
(π| V)−
1◦α
′
einliftingvonα′mit
Γ′ (0)
=F(z)=
Γ(1).
Inder
Defi
nitionvo
nF(z
′ )ver-
wenden
wirnunden
Weg
γ′ ·γder
entstehtwennman
zuerst
γdurchlauft
und
dan
achnoch
γ′ .Dieserverbindet
z 0mit
z′ ,undsein
liftingistΓ′ ·
Γ.Esfolgt
F(z
′ )=
Γ′ (1)
∈V.Alsohab
enwir
F(W
)⊆
V.
❑
6.2.8
Bem
erkung.
EineAnwendungdiesesSatzesliefertdie
ExistenzvonLo-
garithmen
stetiger
Funktion
en:Sei
X⊆
Ceinfach
zusammenhan
gend,undsei
f:X
→C
stetig
undnullstellenfrei.Dan
nexistierteineFunktion
F:X
→C
sodassf(z)=
eF(z
),z∈X.Um
dieszu
sehen
,betrachte
die
Uberlagerungsab
-bildungπ(y):=
ey,undwah
lefurF
einliftingvonf.
�
6.3
Funktionsk
eim
e,FortsetzunglangsW
egen
Sei
XeineRieman
nscheFlache,
und
seix
∈X.Aufder
Menge
allerPaa
re(U
,f)woU
eineoff
eneUmgebungvonxistundf∈Hol(U
,C),
definierenwir
eineRelation∼
xwie
folgt:
(U1,f
1)∼
x(U
2,f
2)
:⇐⇒
∃Voff
en,x∈V
⊆U1∩U2:f 1| V
=f 2| V
Diese
Relation
istklarerw
eise
eineAquivalenzrelation.EineAquivalenzklasse
[(U,f
)]∼
xheißt
einFunktionskeim
ander
Stellex.Die
Menge
allerFunktion
s-keim
ean
der
Stellexbezeichnen
wir
mit
Ox,weiters
sei
O(X
):=
�x∈X
Ox.
Oheißt
das
Bundel
der
FunktionskeimeaufX.W
irkon
nen
innaturlicher
Weise
eineAbbildungπX
:O(X
)→
Xdefinieren,undzw
arwie
folgt:
Sei
y∈O(X
),dan
nexistiertgenau
einx∈X
mity∈O
x.Setze
πX(y):=
x.Diese
Abbildung
heißt
auch
die
BundelprojektionvonO(X
).
94KAPIT
EL6.
ANALYTISCHE
FORTSETZUNG
Wirwollennunau
fO(X
)dieStruktureiner
Rieman
nschen
Flachedefinieren.
FurU
⊆X
offen
undf∈Hol(U
,C)setze
N(U
,f):=
� [(U,f
)]∼
b:b∈U� .
Die
Menge
allersolcher
MengenN(U
,f)bildet
die
Basiseiner
Top
olog
ieT O
(X).
Um
dieszu
sehen
seien
N(U
1,f
1)und
N(U
2,f
2)gegeben
mit
N(U
1,f
1)∩
N(U
2,f
2)�=
∅.W
ahle
y∈
N(U
1,f
1)∩N(U
2,f
2),
y=
[(V,g)]∼
x.Dan
ngilt
x∈
U1∩U2und(U
1,f
1)∼
x(V
,g),
(U2,f
2)∼
x(V
,g).
Esexistiertalso
eine
offeneUmgebungV0vo
nxmit
V0⊆
V∩U1∩U2undg| V 0
=f 1| V 0
=f 2| V 0
.Dah
erist
N(V
0,g| V 0
)⊆
N(U
1,f
1)∩N(U
2,f
2).
6.3.1
Lemma.Die
oben
aufO(X
)defi
nierte
TopologieistHausdorff
.Die
BundelprojektionπX
:O(X
)→
XisteinlokalerHomoomorphismus.
Bew
eis.
Seien
y 1∈
Ox1⊆
O(X
),y 2
∈O
x2⊆
O(X
),zw
eiverschieden
eFunk-
tion
skeime.
Istx1�=
x2,so
kon
nen
wir,daX
Hau
sdorff
ist,
Representanten
y 1=
[(U1,f
1)]∼
x1undy 2
=[(U2,f
2)]∼
x2wah
lenmit
U1∩U2=
∅.Dan
ngilt
offenbar
N(U
1,f
1)∩N(U
2,f
2)=
∅.Betrachte
nunden
Fall,dassx1=
x2=:x.
Sei
Ueineoff
eneundzusammen
han
gendeUmgebungvo
nx.Angenom
men
esistN(U
,f1| U)∩
N(U
,f2| U)�=
∅,dan
nwah
lez
∈N(U
,f1| U)∩
N(U
,f2| U),
z=
[(V,h
)]∼
a.Dan
nist(U
,f1| U)∼
a(V
,h)und(U
,f2| U)∼
a(V
,h),
also
auch
(U,f
1| U)∼
a(U
,f2| U),
d.h.f 1
undf 2
stim
men
aufeiner
gewissenoff
enen
Um-
gebungvo
nauberein.Nachdem
Identitatssatz
giltdah
erf 1| U
=f 2| U.Esfolgt
dassau
ch(U
,f1| U)∼
x(U
,f2| U)und
dam
it(U
1,f
1)∼
x(U
2,f
2),
ein
Wider-
spruch.
FurjedeMen
geN(U
,f)istπX| N
(U,f
)eineBijektion
vonN(U
,f)au
fdie
inX
offeneMenge
U.Die
Spurtop
olog
ieau
fN(U
,f)istgegeben
durchdie
Umge-
bungenN(V
,f)mitV
⊆U
offen.Dah
eristπX| N
(U,f
| V)einlokalerHom
oomor-
phismus.
❑Vermog
eLem
ma5.1.8wirdnunO(X
)zu
einer
Rieman
nschen
Flache.
Ein
Atlas
vonO(X
)istgegeben
durch{π
X| N
(U,f
)}.
Wir
erhalteninsbeson
dereau
sLem
ma5.1.8:
6.3.2
Koro
llar.
EsistπX
∈Hol(O
(X),X).
IstU
⊆X
offen
,und
f∈
Hol(U
,C),
soistπX| N
(U,f
):N(U
,f)→
Uanalytisch
und
bijektiv.Weiters
ist(π
X| N
(U,f
))−
1∈Hol(U
,N(U
,f)).
❑
Wir
kon
nen
auch
innaturlicher
Weise
eineAbbildungαX
:O(X
)→
Cdefinieren:Isty
∈O(X
),so
wah
leeinen
Representanten
(U,f
),d.h.y
=[(U,f
)]∼
πX
(y),und
setze
αX(y)
:=f(π
X(y)).Beachte
hier,
dassder
Wert
f(π
X(y))
nichtvo
nder
Wah
ldes
Representantenab
han
gt.
6.3.3
Lemma.Sei
U⊆
Xoffen
,f∈
Hol(U
,C).
Danngilt
αX| N
(U,f
)=
f◦
πX| N
(U,f
).EsistαX
∈Hol(O
(X),C).
Bew
eis.
Sei
y∈N(U
,f),
dan
nisty=
[(U,f
)]∼
πX
(y).Nachder
Definitionvo
n
αX
hab
enwir
αX(y)=
f(π
X(y)).
Esfolgtdas
αX◦(
πX| N
(U,f
))−
1=
fist,unddam
itan
alytisch.Dader
Atlas
von
O(X
)geradedurch
die
πX| N
(U,f
)gegeben
ist,
folgtdassαX
analytisch
ist.
❑
6.3.
FUNKTIO
NSKEIM
E,FORTSETZUNG
LANGSW
EGEN
95
6.3.4
Definition.Sei
y∈O(X
),a:=
πX(y),undseiγ:[0,1]→
XeinWeg
inX
mit
γ(0)=
a.Weiters
seiΓeinliftingvo
nγmit
Γ(0)=
y.Dan
nheißt
Γ(1)
die
analytischeFortsetzungvonylangs
γ.
�
DieBundelprojektion
πXistkeineUberlagerungsab
bildung.
Einean
alytische
Fortsetzunglangs
eines
Weges
muss
nichtexistieren.Wennsieexistiertistsie,
daO(X
)undX
Hau
sdorffsind,jedoch
eindeu
tig.
6.3.5
Bem
erkung.
Wir
wollen
unsuberlegen,warum
wir
indieserDefinition
von”analytischer
Fortsetzunglangs
γ“sprechen.Sei
also
y∈
Oa,γeinWeg
mit
Anfangspunkta,undΓ
einliftingvo
nγ
mit
Γ(0)=
y.SchreibeΓ(t)=
[(Ut,f
t)]∼
γ(t).Istt∈[0,1],so
existiertǫ>
0sodassΓ(s)∈N(U
t,f
t),
s∈I ǫ(t).
Alsoist[(Us,f
s)]∼
γ(s)=
[(Ut,f
t)]∼
γ(s),d.h.es
existierteineUmgebungV
von
γ(s)mit
f s| V
=f t| V.
X
a
γ
Ut1
Ut2
Ut3
�Wegen
seiner
trad
itionellenBedeutungwollenwir
den
Mon
odromiesatz
fur
den
Fall”O
(X)“
explizitform
ulieren
.
6.3.6
Koro
llar(M
onodromiesatz
furan
alytischeFunktion
en).
Sei
XeineRie-
mannscheFlache,
γ0,γ
1FEP-homotope
Wege,
undseiy∈O
γ(0
)einFunktion-
keim
.Sei
HeineFEP-H
omotopie
zwischen
γ0undγ1,undseivorausgesetzt,
dass
yfurjedes
s∈
[0,1]eineanalytischeFortsetzungΓslangs
jedes
Weges
γs(.):=
H(.,s).
Dannstim
men
die
analytischen
Fortsetzungenvonylangs
γ0
undlangs
γ1uberein.
❑
Man
erhaltnun,dass,
unterbestimmtenVorau
ssetzungen,Funktion
skeime
zuglob
aldefinierten
analytischen
Funktion
enfortsetzen
werden
kon
nen.
6.3.7
Koro
llar.
Sei
Xeineeinfach
zusammen
hangendeRiemannscheFlache,
a∈X,undy∈O
a.Sei
vorausgesetzt,dass
yeineanalytischeFortsetzunglangs
jedes
Weges
mit
Anfangspunkt
abesitzt.
DannexistiertF
∈Hol(X
,C),
sodass
(X,F
)∼
ay.
Bew
eis.
Sei
x∈X
gegeben.Fureinen
Weg
γxder
amit
xverbindet,existiert
ein
liftingΓxmit
Γx(0)=
y.Definiere
nun
F(x):=
αX(Γ
x(1)).Nach
dem
Mon
odromiesatz
istder
WertαX(Γ
x(1))
nichtvonder
Wah
lvo
nγxab
han
gig,
esistalso
eineFunktion
F:X
→C
woh
ldefiniert.
Sei
(U,f
)einRepresentantvonΓx(1)mitU
bog
enweise
zusammen
han
gend.
Fury
∈U
wah
leeinen
Weg
γx,y
der
ganzin
Uverlau
ftund
der
xmit
yverbindet.Das
liftingΓx,yvo
nγx,ymitΓx,y(0)=
Γx(1)istgegeben
alsΓx,y(t):=
[(U,f
)]∼
γx,y
(t).Verwendet
man
den
Weg
γx,y
·γxum
F(y)zu
berechnen
,so
siehtman
dassF(y)=
f(y).
Wir
hab
enalso
F| U
=f| U
und
esfolgtF
∈Hol(X
,C).
❑
96KAPIT
EL6.
ANALYTISCHE
FORTSETZUNG
6.4
Maxim
ale
analytischeFortsetzung
6.4.1
Definition.Seien
XundY
Rieman
nscheFlachen.EineAbbildungp:
Y→
Xheißt
lokalbianalytisch,wennjeder
Punkty∈Y
eineoff
eneUmgebung
Vbesitzt,sodassp(V
)⊆
Xoff
enist,
p| V
bijektiv,und
p| V
∈Hol(V
,p(V
)).
Dan
nistau
ch(p| V)−
1∈Hol(p(V
),V).
�W
irbem
erken,dasseinelokalbianalytischeAbbildunginsbeson
derean
aly-
tischist.
Weiters
induzierteinelokalbianalytischeAbbildungfurjedes
y∈
YeineAbbildungzw
ischen
Op(y
)undO
y,nam
lich
p∗:
�O
p(y
)→
Oy
[(U,f
)]∼
p(y)
�→[((p| V)−
1(U
∩p(V
)),f
◦p)]∼
y
wob
eiV
eineoff
eneUmgebungvo
nyistsodassp(V
)off
enundp| V
bianalytisch
ist.
Man
siehtleichtein,dassp∗bijektivist,
die
Abbildung
p∗:
�O
y→
Op(y
)
(V,f
)�→
(p(V
),f◦(
p| V)−
1)
woV
⊆V
undV
wie
oben
sind,istnam
lich
eineInverse.
Dadas
BundelO(Y
)diedisjunkte
Vereinigungder
Oyist,kon
nen
dieAbbil-
dungenp∗:O
y→
Op(y
)der
einzelnen
Fasernzu
einer
AbbildungO(Y
)→
O(X
)zusammen
gefasstwerden
1.W
irbezeichnen
diese
wieder
mit
p∗.
Man
hat
dan
ndie
Diagram
me O(Y
)p∗��
πY
��
O(X
)
πX
��Y
p�� X
O(Y
)p∗
��
αY
��❉❉❉❉❉❉❉❉O(X
)
αX
�� ③③③③③③③③
C
6.4.2
Lemma.Seien
X,Y
RiemannscheFlachen
undp:Y
→X
lokalbiana-
lytisch.Dannistp∗∈Hol(O
(Y),O(X
)).
Bew
eis.
Aufden
Men
genN(U
,f)sindKartendurchdie
jeweilige
Bundelpro-
jektion
gegeben.Das
linkeder
beiden
obigen
Diagram
me,unddieTatsachedass
pan
alytischist,
zeigtdie
Behau
ptung.
❑W
irwollennununtersuchen
wie
weitsich
eingegebener
Funktion
skeim
fort-
setzen
laßt.
6.4.3
Definition.Sei
XeineRieman
nscheFlache,
a∈X,undf a
∈O
a.
(i)EineanalytischeFortsetzungvonf a
isteinTupel(Y
,p,F
,b)bestehendau
seiner
zusammen
han
genden
Rieman
nschen
FlacheY,einer
lokalbianaly-
tischen
Abbildungp:Y
→X,einer
Funktion
F∈Hol(Y
,C),
undeinem
Punktb∈Y,sodass
p(b)=
aund
p∗� [(
Y,F
)]∼
b
� =f a
.
(ii)
Einean
alytischeFortsetzu
ng(Y
,p,F
,b)vo
nf a
heißt
maximal,
wennsie
die
folgendeuniverselleEigenschafthat:Furjedean
alytischeFortsetzung
(Z,q,G
,c)vonf a
existiertΦ
∈Hol(Z
,Y)sodassΦ(c)=
bundF◦Φ
=G.
1Furp∗istdiesesim
allgem
einen
nichtmoglich
,dapnichtinjektivzu
sein
brauch
t.
6.4.
MAXIM
ALE
ANALYTISCHE
FORTSETZUNG
97
(iii)Zwei
analytischeFortsetzungen(Y
,p,F
,b)und(Z
,q,G
,c)heißenbiana-
lytisch
aquivalent,
wenn
eseine
analytische
und
bijektive
Abbildung
Φ:Z
→Y
gibtmit
Φ(c)=
bundF
◦Φ=
G.
�Die
universelleEigenschafteiner
max
imalen
analytischen
Fortsetzunglasst
sich
auch
durchdas
folgendeDiagram
mau
sdrucken:
C
ZΦ
��❴❴
❴❴
❴❴
❴G
�� ⑦ ⑦ ⑦ ⑦ ⑦ ⑦ ⑦ ⑦
q��❅❅❅❅❅❅❅
Y
F
��❅ ❅❅ ❅❅ ❅❅ ❅ p
�� ⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦
X
Die
untere
HalftediesesDiagram
msiststarkeralsdie
inder
Defi
nitiongefor-
derte
EigenschaftΦ(c)=
b,folgtab
erwegen
der
Eindeu
tigk
eitdes
liftings
denn
X,Y
sindHau
sdorff,Z
istzusammen
han
gend,undpeinlokalerHom
oomor-
phismus.
6.4.4
Satz.Sei
XeineRiemannscheFlache,
a∈
X,und
f a∈
Oa.Dann
existierteinemaximale
analytischeFortsetzungvonf a.Diese
ist,bisaufbiana-
lytischeAquivalenz,
eindeutig.
Mansprichtauch
vonder
Rieman
nschen
Flache
des
Funktion
skeimsf a.
Bew
eis.
Wir
zeigen
alserstes
die
Existenzeiner
max
imalen
analytischen
Fort-
setzung.
Dazu
bezeicheY
die
Zusammenhan
gsko
mpon
ente
von
O(X
)welche
den
Punktf a
enthalt.
Dan
nistY,alsoff
eneTeilm
enge
der
Rieman
nschen
FlacheO(X
),selbst
auch
eineRieman
nscheFlache.
Klarerw
eise
istY
zusam-
menhan
gend.W
irbetrachtendas
Tupel(Y
,πX| Y,α
X| Y,f
a).NachKorollar6.3.2
istπX| Y
lokalbianalytisch,und
nach
Lem
ma
6.3.3
istαX| Y
∈Hol(Y
,C).
Offenbar
istf a
∈Y
und
πX(f
a)
=a.Um
π∗ X(f
a)zu
berechnen,schrei-
bef a
=[(U,f
)]∼
amit
Uzusammenhan
gend.Dan
nistN(U
,f)⊆
Y,und
nachLem
ma6.3.3gilt
f◦πX| N
(U,f
)=
αX| N
(U,f
).Alsoistπ∗ X([(U
,f)]∼
a)=
[(N(U
,f),αX)]∼
fa.W
irsehen
,dass(Y
,πX| Y,α
X| Y,f
a)einean
alytischeFort-
setzungvo
nf a
ist.
Sei(Z
,q,G
,c)einean
derean
alytischeFortsetzungvonf a.Definiere
Φ:=
q ∗◦
(πZ| N
(Z,G
))−
1,dan
nistΦ
∈Hol(Z
,O(X
)).Esgilt
f a=
q ∗([(Z
,G)]∼
c)=
Φ(c),
also
istf a
∈Φ(Z
).DaΦ
stetig
ist,
istΦ(Z
)zusammen
han
gend.Esfolgtdass
Φ(Z
)⊆
Y.W
irhab
ennundas
folgendeDiagram
m:
C
Z
q��
(πZ| N
(Z,G
))−
1 ��
G
��
N(Z
,G)
q∗
��
αZ
��
πZ
��Y
πX
��♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥
αX
��❉ ❉❉ ❉❉ ❉❉ ❉❉ ❉❉ ❉❉ ❉❉ ❉❉ ❉
X
98KAPIT
EL6.
ANALYTISCHE
FORTSETZUNG
Wirko
mmen
zum
Bew
eisder
Eindeu
tigk
eitsau
ssag
e.Seien
dazu(Y
,p,F
,b)und
(Z,q,G
,c)zw
eimax
imalean
alytischeFortsetzungen.Dan
nhab
enwiralso
Φ∈
Hol(Z
,Y)undΨ
∈Hol(Y
,Z)mit
C
ZΦ
��
G
�� ⑦ ⑦ ⑦ ⑦ ⑦ ⑦ ⑦ ⑦
q��❅❅❅❅❅❅❅
YΨ
��
F
��❅ ❅❅ ❅❅ ❅❅ ❅ p
�� ⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦
X
EssindΨ
◦Φundid
Zliftings
der
Abbildungq:Z
→X
Z
q ��Z
q��
Ψ◦Φ
��
idZ
�� ⑦ ⑦ ⑦ ⑦ ⑦ ⑦ ⑦ ⑦X
undes
giltΨ◦Φ
(c)=
c.DaX
undZ
Hau
sdorffsindundZ
zusammen
han
gend,
folgtdassΨ
◦Φ=
idZ.Genau
soerhaltman
Φ◦Ψ
=id
Y,also
istΦ
bijektiv.
Klarerw
eise
istΦ(c)=
bundF
◦Φ=
G.
❑6.4.5
Bem
erkung.
Aufeiner
Rieman
nschen
Flachesind
die
Zusammenhan
gs-
kompon
enten
bog
enweise
zusammenhan
gend.Die
max
imalean
alytischeFort-
setzungeines
Funktion
skeimes
f a,istalso
gleich
der
Menge
allerFunktion
skei-
medie
man
vonf a
mittelsan
alytischer
Fortsetzunglangs
Wegen
erhaltenkann. �
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C(G
,X),
49H(G
) alsmetrischer
Rau
m,53
M(G
),55
alsmetrischer
Rau
m,56
Aut(G),
43Hol(X
1,X
2),79
D,43
C,1
C∞,7
S2,6
w-Stelle,
34Uberlagerung,
91Uberlagerungsab
bildung,
91π,5
Ableitung,
2Rechenregeln,3
analytisch,17
,79
analytischvertraglich,77
analytischeFortsetzung,
96bianalytischaq
uivalente,97
langs
eines
Weges,95
max
imale,
96Argument,
6Atlas,77
Automorphismengruppe
vonC,46
vonD,43
voneinf.zu
sammenh.,72
Automorphismus,
43
Bundel
der
Funktion
skeime,
93Bundelprojektion
,93
beschrankte
Variation
,8
Betrag,
2Blaschke
-Fak
tor,
44
Cau
chy’scheAbschatzung,
33Cau
chy’scheIntegralform
el
glob
ale,
24Hom
olog
ieversion,24
lokale,18
Cau
chy’scher
Integralsatz
Hom
olog
ieversion,26
Hom
otop
ieversionen,27
lokaler,
18Cau
chy-R
ieman
n’schen
Differential-
gleichungen,31
chordaleMetrik,7
Cosinus,
6
differenzierbar
(kom
plex),
2Divisor,55
Nullstellen-,55
einfach
zusammenhan
gend,13
hom
olog
,15
EulerscheZah
l,5
Expon
entialfunktion
,4
Additionstheorem,5
Fundam
entalNormalityTest,
72Funktion
skeim,93
Bundel,93
Gau
ß’scheZah
leneb
ene,
2Gebiet,
11gleichgrad
igstetig
aneiner
Stelle,
59au
feiner
Menge,59
Hau
ptteil
inw,68
vonfin
w,68
Hau
ptteilverteilung,
68holom
orph,17
hom
olog
einfach
zusammenhan
gend,
15hom
otop
,12
FEP-,13
loop
-,13
101
102
INDEX
null-,13
Hom
otop
ie,12
FEP-,13
loop
-,13
Identitatssatz
Rieman
nscheFlache,
81Im
aginarteil,2
isolierteSingu
laritat,
44bei
∞,46
hebbar,44
Pol,44
wesentliche,
44
kanon
isches
Produkt,
66Karte,77
kompak
teKon
vergenz,
49ko
mplexeTorus,
78ko
mplexeZah
len,1
Arument,
6Betrag,
2ko
njugierte,2
Kon
juga
tion
,1
Kon
vergenzrad
ius,
3ko
nvex,11
Kurvenintegral,9
Lau
rent-Reihe,
46Lem
mavo
nSchwarz,
43lifting,
89Log
arithmus
vonf,36
Zweig,
36lokalbeschrankte
Fam
ilie,60
lokalbianalytisch,96
lokalgleichmaß
igKon
vergenz,
49lokalerHom
oomorphismus,
79
Max
imumprinzip,40
Rieman
nscheFlache,
81merom
orph,55
Mon
odromiesatz,90
analytischeFunktion
en,95
normaleFam
ilie,58
normaleKon
vergenz,
49nullhom
olog
,15
nullhom
otop
,13
Partition
,8
Feinheit,
8
Pi,5
Polarkoordinaten
,6
Potenz,
36Potenzreihe,
3Anschlußstelle,
3Kon
vergenzrad
ius,
3
Realteil,2
regu
lar,
17rektifizierbar,8
Residuum,48
Rieman
n-Stieltjes
Integral,8
Rieman
nscheFlache,
77eines
Funktion
skeims,
97Umkehrfunktion,83
Rieman
nscheZwischensumme,
8
SatzArzela-Ascoli,59
Caratheodory-Lan
dau
,75
Casorati-Weierstraß,
45Fundam
entalNormalityTest,
72Gebietstreue,
39Hurw
itz,
54Identitatssatz,34
inverseFunktion
,39
kleiner
Picard,75
Lan
dau
,76
Lem
mavo
nZalcm
an,73
Liouville,34
Marty,64
Mittag-Leffl
er,69
Mon
tel,60
Morera,
19off
eneAbbildung,
39Rieman
nscheFlache,
81Osgood,62
Phragm
en-Lindelof,41
Picard,75
ProduktsatzvonWeierstraß,
64Residuensatz,48
Rieman
n’scher
Abbildungssatz,
71Rieman
n’scher
Hebbarkeitssatz,
45Schottky,
76vo
mloga
rithmischen
Residuum,
37vo
nRou
che,
40vo
nVitali,61
INDEX
103
Sinus,
6spharischeAbleitung,
62Stammfunktion
,10
stereograp
hischeProjektion
,7
sternform
ig,11
Sternmittelpunkt,
11
Totalvariation,8
trivialisierend,91
Umlaufzah
l,13
Vielfachheit,
35
Weg,9
geschlossener,9,
10in
topolog
ischem
Rau
m,10
rektifizierbarer,9
Weierstraßscher
Elementarfak
tor,
65
zusammen
han
gend,10
bog
enweise,10
einfach,13
lokalbog
enweise,10
Zweig der
Potenz,
36des
Log
arithmus,
36Zwischenwege,
12
![Report of Mechanical Model - VGTUdspace.vgtu.lt/bitstream/1/3656/3/Annex B.pdf · 2018. 7. 16. · b1314 0[N] b1315 0[N] b1316 0[N] b1317 0[N] b1318 0[N] 7 Name Expression Description](https://static.documents.pub/doc/80x56/60a60787ba74840c8341baa4/report-of-mechanical-model-bpdf-2018-7-16-b1314-0n-b1315-0n-b1316.jpg)