1

Prof.dr.sc. Elza JurunEkonomski fakultet Split

POSLOVNA STATISTIKA - stručni studij

2

ISPITIVANJE ODNOSA MEĐU POJAVAMA

3

Dijagram rasipanja

Poslovna i makroekonomska analiza često, uz promatranje kretanja jedne ekonomske pojave, imaju potrebu istražiti ovisnosti dviju ili više pojava, odnosno numeričkih nizova, zajedno.

Prvi korak: Dijagram rasipanja u pravokutnom koordinatnom sustavu točkama

prikazuje parove vrijednosti dviju promatranih numeričkih varijabli. ),( ii yx

yi

xi

(a) pozitivna funckionalnaveza

yi

xi

(b) pozitivna statističkaveza

4

(a) negativna funckionalnaveza

yi

xi

yi

xi

(b) negativna statističkaveza

5

(a) pozitivna funckionalnakrivolinijska veza

yi

xi

yi

xi

(b) pozitivna statističkakrivolinijska veza

Veza između promatranih varijabli ne mora uvijek odgovarati jednadžbi pravca.

(a) nema veze među pojavama

yi

xi

6

Primjer Dijagram rasipanja vrijednosti proizvodnje u tekućim cijenama (u 000 kn) i broj zaposlenih (u tis.) na nekom

području za nekoliko vremenskih razdoblja

100

120

140

160

180

200

220

240

260

280

300

320

100 110 120 130 140 150 160

Broj zaposlenih (u 000) xi

Vri

jed

no

st

pro

izv

od

nje

(u

00

0 k

n)

yi

Izvor: Podaci su simulirani Raspored točaka dijagrama rasipanja upućuje na pozitivnu statističku vezu između vrijednosti

proizvodnje i broja zaposlenih. Između točaka može se zamisliti linija pravca, ali sve točke ne leže na toj liniji već postoje pozitivna i/ili negativna odstupanja. Dakle, u ovom slučaju, porast broja zaposlenih na promatranom području prati porast vrijednosti proizvodnje.

7

Koeficijent linearne korelacije

Pod pojmom korelacija podrazumijeva se međuzavisnost ili povezanost slučajnih varijabli.

Po smjeru korelacija može biti:

pozitivna i    

negativna.

Pozitivna korelacija je prisutna kada rast vrijednosti jedne varijable prati rast vrijednosti druge promatrane varijable, odnosno kada pad jedne prati pad vrijednosti druge varijable.

 Negativna korelacija prisutna je kada rast jedne varijable prati pad druge

varijable i obratno.

8

Pearsonov koeficijent linearne korelacije (r) -najpoznatija mjera linearne korelacije između slučajnih varijabli:

ili ,

,

)()(

)()(

1 1

22

1

n

i

n

iii

n

iii

YYXX

YYXXr

yx

n

iii

n

YXnYXr

1

gdje su i jednostavne standardne devijacije promatranih varijabli: yx

21

2

Xn

xn

ii

x

21

2

Yn

yn

ii

y

i

9

Kreće se u intervalu:

;

11 r

Ako je:

1r 1r; funkcionalna negativna/pozitivna korelacija,

; jaka negativna/pozitivna korelacija, 8,01 r 18,0 r

5,08,0 r 8,05,0 r srednje jaka negativna/pozitivna korelacija,

; slaba negativna/pozitivna korelacija, 05,0 r 5,00 r

nema korelacije. 0r

10

Primjer

Iz osnovnog skupa od 1744 industrijskih poduzeća u Splitsko-dalmatinskoj županiji nakon odbacivanja podataka o poduzećima s 0 zaposlenih i negativnim poslovanjem, te "outliersa" po različitim financijskim pokazateljima, u analizi je ostao uzorak veličine 316 poduzeća.

Zadatak je izračunati linearnu korelaciju između odabranih varijabli za poduzeća u uzorku:

broja zaposlenih, ukupnog prihoda, neto dobiti i vlastitog kapitala.

11

Correlations

  Broj zaposlenih

Ukupni prihodi

Neto dobit Vlastiti kapital

Broj zaposlenih

Pear. Corr. 1 .954** .868** .302**

Sig. . .000 .000 .000

N 316 316 316 316

Ukupni prihodi

Pear. Corr. .954** 1 .959** .311**

Sig. .000 . .000 .000

N 316 316 316 316

Neto dobit Pear. Corr. .868** .959** 1 .146**

Sig. .000 .000 . .009

N 316 316 316 316

Vlastiti kapital

Pear. Corr. .302** .311** .146** 1

Sig. .000 .000 .009 .

N 316 316 316 316

** Correlation is significant at the 0.01 level (1%).

12

Korelacija ranga

Ako se želi istražiti međuovisnost pojava koje su izražene modalitetima redosljednog obilježja, odnosno ako su im modaliteti pridruženi na temelju ordinalne skale računa se korelacija ranga.

Spearmanov koeficijent korelacjie ranga (rS):

NN

dr

N

ii

S

31

261

gdje je:

N - odgovarajuća vrijednost iz tablica normalne distribucije,

)()( iii yrxrd - razlika rangova vrijednosti varijabli X i Y.

13

Korelacija ranga

Spearmanov koeficijent korelacije ranga može poprimiti vrijednosti u intervalu:

11 Sr

Kada ovaj koeficijent poprimi vrijednosti -1 i 1, riječ je o potpunoj korelaciji ranga među varijablama.

Vrijednost ovog koeficijenta 0 znači da nema nikakve korelacije ranga među pojavama.

11 sr Najćešće se vrijednost Spearmanovog koeficijenta kreće u rasponu

14

Primjer

Zadani su podaci za 12 studenata fakulteta "E" o bodovima na testu iz predmeta: Matematika i Ekonometrija.

Zadatak je izračunati Spearmanov koeficijent korelacije ranga uspjeha na testovima.

15

Tablica: Bodovi na testu iz Matematike i Ekonometrije odabranih studenata fakulteta "E"

2id

StudentiBodovi na testu iz Matematike

(xi)

Bodovi na testu iz Ekonometrije

(yi)

Rangr(xi)

Rangr(yi)

Razlika rangova

di

A 50* 45* 6,5 5 1,5 2,25

B 64 70 9 11 -2 4C 43 45* 5 5 0 0D 80 75 12 12 0 0E 21 38 2 2 0 0F 57 60 8 8 0 0G 50* 45* 6,5 5 1,5 2,25

H 37 50 4 7 -3 9I 10 25 1 1 0 0J 75 68 11 10 1 1K 65 63 10 9 1 1L 35 40 3 3 0 0

Ukupno: - - -   0 19,5

Izvor: Podaci su simulirani

16

931818,01212

5,1961

61

331

2

NN

dr

N

ii

S

Spearmanov koeficijent korelacije ranga je pozitivan i iznosi 0.93. Može se zaključiti da u ovom primjeru između uspjeha na testu iz Matematike i Ekonometrije postoji visoka korelacija ranga. Odnosno, ako je student postigao dobar rezultat na testu iz Matematike, može se očekivati da će postići dobar rezultat i na testu iz Ekonometrije i obratno.

17

Kendallov koeficijent korelacije ranga (W)

mjeri stupanj korelacije skupine od varijabli ranga.

pretpostavlja se da su vrijednosti svih varijabli ranga izražene s prvih N prirodnih brojeva.

ako su varijable originalno dane u numeričkom obliku, potrebno ih je transformirati u varijable ranga.

3k

18

)1(12

1

)(

2

1

2

NN

RRW

N

ii

gdje je:

- aritmetička sredina rangova (rki) po svim varijablama k, za svako

opažanje i. K

rR

K

kki

i

1

NK

rR

N

i

K

kki

1 1 - aritmetička sredina svih rangova (rki) za sve varijable k i sva

opažanja i.

19

Ovaj koeficijent se kreće u intervalu:

W=1, znači potpuno neslaganje rangova promatranih K varijabli.

W=0, znači potpunu podudarnost rangova promatranih K varijabli.

10 W

20

Primjer

Zadani su rangovi za 19 različitih regija prema 3 regionalna ekonomska pokazatelja:

  r1 - društveni proizvod po stanovniku,

r2 - broj ind. poduzeća s pozitivnim poslovanjem,

r3 - broj stanovnika s VSS na 1000 stanovnika.

Zadatak je izračunati Kendallov koeficijent korelacije ranga između ovih varijabli.

21

Tablica: Rangovi za 19 različitih regija prema 3 regionalna ekonomska pokazatelja

Izvor: Podaci su simulirani

 Regija           

A 2 3 2 7 2,3333 58,7778B 4 4 3 11 3,6667 40,1111C 1 2 1 4 1,3333 75,1111D 7 7 6 20 6,6667 11,1111E 3 1 4 8 2,6667 53,7778F 5 6 7 18 6,0000 16,0000G 6 5 5 16 5,3333 21,7778H 9 10 9 28 9,3333 0,4444I 11 11 10 32 10,6667 0,4444J 8 9 8 25 8,3333 2,7778K 14 14 13 41 13,6667 13,444L 10 8 11 29 9,6667 0,1111M 12 13 14 39 13,000 9,0000N 13 12 12 37 12,3333 5,4444O 16 17 16 49 16,3333 40,1111P 18 18 17 53 17,6667 58,7778R 15 16 15 46 15,3333 28,4444S 19 19 19 57 19,0000 81,0000T 17 15 18 50 16,6667 44,4444

190 190 190 - - 561,1111

ir1 ir2 ir3

K

kkir

1 iR 2)( RRi

22

9844,0)119(19

12

11111,561

)1(12

1

)(

22

1

2

NN

RRW

N

ii

Kendallov koeficijent korelacije ranga (W=0,9844) pokazuje da postoji visoki stupanj podudarnosti rangova u 19 odabranih regija prema ova 3 ekonomska pokazatelja.

Regije s visokim društvenim proizvodom po stanovniku imaju veći broj industrijskih poduzeća s pozitivnim poslovanjem, kao i veći udio visoko obrazovanih stanovnika (s VSS).

10193

570

193

1901901901 1

NK

rR

N

i

K

kki