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1/8

S t e e l S t r u c t u r e s 9 ( 2 0 0 9 ) 1 1 5 - 1 2 2

w w w . i j o s s . o r g

S t i f f n e s s R e q u i r e m e n t f o r F l a t - B a r L o n g i t u d i n a l S t i f f e n e r o f

B o x - G i r d e r C o m p r e s s i o n F l a n g e s

D o D a i T h a n g

1 ,

* , M i n - S e K o o

2

, A s i f H a m e e d

1

, a n d Y o u n g - D o J e o n g

1

1

P h . D . s t u d e n t , D e p a r t m e n t o f C i v i l E n g i n e e r i n g , I n h a U n i v e r s i t y , 2 5 3 Y o u n g h u y n - d o n g , N a m g u , I n c h e o n , 4 0 2 - 7 5 1 , K o r e a

2

P r o f e s s o r , D e p a r t m e n t o f C i v i l E n g i n e e r i n g , I n h a U n i v e r s i t y , 2 5 3 Y o u n g h u y n - d o n g , N a m g u , I n c h e o n , 4 0 2 - 7 5 1 , K o r e a

A b s t r a c t

I n t h i s p a p e r , t h e m o m e n t o f i n e r t i a r e q u i r e m e n t o f f l a t - b a r l o n g i t u d i n a l s t i f f e n e r o f b o t t o m f l a n g e i n s t e e l b o x g i r d e r i s

i n v e s t i g a t e d t h r o u g h f i n i t e e l e m e n t m o d e l i n g . T h e r e q u i r e d m i n i m u m s t i f f n e s s f o r l o n g i t u d i n a l s t i f f e n e r s o f b o x g i r d e r f l a n g e

i s g i v e n i n t h e A A S H T O L R F D B r i d g e D e s i g n S p e c i f i c a t i o n a n d i s m o d i f i e d b y Y o o . H o w e v e r , t h i s r e q u i r e m e n t i s a d o p t e d

f o r T - s h a p e s t i f f e n e r s . H e r e , t h e e f f e c t o f i m p o r t a n t p a r a m e t e r s o n t h e m i n i m u m r e q u i r e d m o m e n t o f i n e r t i a o f f l a t - b a r s t i f f e n e r

i s n u m e r i c a l l y i n v e s t i g a t e d b y e x a m i n i n g t h e a n t i - s y m m e t r i c m o d e o f b u c k l i n g . T h i s s t u d y p r e s e n t s t h e r e s u l t s t h a t a r e b a s e d

o n 3 D f i n i t e - e l e m e n t a n a l y s i s o f f o u r h u n d r e d h y p o t h e t i c a l c o m p r e s s i o n f l a n g e m o d e l s s t i f f e n e d b y v a r y i n g n u m b e r s o f f l a t -

b a r l o n g i t u d i n a l s t i f f e n e r s w i t h r e a l i s t i c d i m e n s i o n s s u c h a s t h e h e i g h t o f s t i f f e n e r , t h e t h i c k n e s s o f t h e c o m p r e s s i o n f l a n g e , t h e

n u m b e r o f l o n g i t u d i n a l s t i f f e n e r s a n d t h e a s p e c t r a t i o o f p l a t e p a n e l . A n e w p r o p o s e d e q u a t i o n f o r r e q u i r e d m i n i m u m s t i f f n e s s

o f t h e f l a t - b a r l o n g i t u d i n a l s t i f f e n e r s i s d e r i v e d f r o m n o n l i n e a r r e g r e s s i o n a n a l y s e s . B e s i d e t h a t t h e s t u d y h a s t a k e n i n t o a c c o u n t

t h e e f f e c t o f b o u n d a r y c o n d i t i o n s a n d t h e e f f e c t o f i n e l a s t i c t r a n s i t i o n o n t h e c r i t i c a l b u c k l i n g s t r e s s o f c o m p r e s s i o n f l a n g e .

T h r o u g h t h e e v a l u a t i o n o f a d e s i g n e x a m p l e , t h e v a l i d i t y a n d r e l i a b i l i t y o f t h e n e w p r o p o s e d e q u a t i o n i s d e m o n s t r a t e d .

K e y w o r d s : b e n d - b u c k l i n g , s t e e l b o x g i r d e r , c o m p r e s s i o n f l a n g e , f l a t - b a r l o n g i t u d i n a l s t i f f e n e r s , s t i f f n e s s r e q u i r e m e n t

1 . I n t r o d u c t i o n

S t e e l b o x g i r d e r s h a v e a p r o v e n h i g h s t r u c t u r a l

e f f i c i e n c y b e c a u s e o f t h e i r l a r g e b e n d i n g a n d t o r s i o n a l

s t i f f n e s s a s w e l l a s r a p i d e r e c t i o n a n d t h e r e f o r e a r e u s e d

i n a w i d e v a r i e t y o f s t r u c t u r a l a p p l i c a t i o n s . F o r b o t t o m

f l a n g e , t h e b u c k l i n g b e h a v i o r d u e t o c o m p r e s s i o n s t r e n g t h

d u r i n g f a b r i c a t i o n a n d e r e c t i o n c a n b e a p r o b l e m . M a n y

r e s e a r c h e s i n t h e f i e l d h a v e b e e n d o n e i n E u r o p e ( U K ,

G e r m a n y , e t c . ) , J a p a n , e t c . a f t e r a s e r i e s o f t r a g i c c o l l a p s e s

o f t h e f o u r b i g b o x g i r d e r b r i d g e s t h a t o c c u r r e d d u r i n g t h e

e r e c t i o n o f F o u r t h D a n u b e B r i d g e i n A u s t r i a i n 1 9 6 9 ,

M i l f o r d H a v e n B r i d g e i n W a l e s i n 1 9 7 0 , W e s t G a t e B r i d g e

i n A u s t r a l i a i n 1 9 7 0 a n d K o b l e n z B r i d g e i n G e r m a n y i n

1 9 7 1 . H i g h l y t h e o r e t i c a l a n d e x t r e m e l y c o m p l e x a n a l y t i c a l

r e s e a r c h r e s u l t s o n c o m p r e s s i o n f l a n g e s s t i f f e n e d b y o n e

o r t w o s t i f f e n e r s w e r e p r e s e n t e d b y B l e i c h ( 1 9 5 2 ) a n d

T i m o s h e n k o a n d G e r e ( 1 9 6 1 ) . T h e r e q u i r e d m i n i m u m

s t i f f n e s s f o r l o n g i t u d i n a l s t i f f e n e r s I

0

i s s t i p u l a t e d i n t h e

A A S H T O L R F D b r i d g e d e s i g n s p e c i f i c a t i o n s ( 2 0 0 8 ) b y :

I

0

= w t

f

3

( 1 )

w h e r e , = 0 . 1 2 5 k

3

f o r a v a l u e o f n = 1 a n d = 0 . 0 7 k

3

n

4

f o r

n > 1 , w h e r e n i s n u m b e r o f l o n g i t u d i n a l s t i f f e n e r s a n d k i s

b u c k l i n g c o e f f i c i e n t , w h i c h s h a l l n o t e x c e e d 4 ; t i s

t h i c k n e s s o f t h e f l a n g e a n d w i s w i d t h o f t h e f l a n g e

b e t w e e n l o n g i t u d i n a l s t i f f e n e r s o r d i s t a n c e f r o m w e b t o

t h e n e a r e s t l o n g i t u d i n a l s t i f f e n e r . T h e e q u a t i o n g i v e s a

r e a s o n a b l e r e q u i r e d v a l u e f o r I

0

, w h e n n i s l e s s t h a n o r

e q u a l t o 2 . N e v e r t h e l e s s , i t r e q u i r e s u n r e a s o n a b l y l a r g e

v a l u e s f o r I

0

w h e n t h e n u m b e r o f l o n g i t u d i n a l s t i f f e n e r s

b e c o m e s l a r g e . I n v i e w o f a r e c e n t s t u d y b y Y o o ( 2 0 0 1 ) ,

n o n l i n e a r r e g r e s s i o n a n a l y s i s y i e l d e d f o r t h e l i m i t i n g

v a l u e o f t h e m o m e n t o f i n e r t i a I

0

t h a t i s r e q u i r e d t o e n s u r e

a n a n t i - s y m m e t r i c m o d e s h a p e w i t h t h e c o e f f i c i e n t o f

c o r r e l a t i o n R o v e r 0 . 9 5 i s :

( 2 )

w h e r e , = a / w i s a s p e c t r a t i o , a i s t h e p l a t e l e n g t h .

H o w e v e r , t h e r e a p p e a r s t o b e a n o p p o r t u n i t y t o i m p r o v e

t h i s e q u a t i o n f o r o t h e r t y p e s o f s t i f f e n e r s . I n g e n e r a l , a T -

s h a p e p l a t e h a s h i g h e r m o m e n t o f i n e r t i a t h a n a

r e c t a n g u l a r b a r f o r e x a c t l y t h e s a m e a r e a . N e v e r t h e l e s s i n

p r a c t i c e , t h e f l a t - b a r p l a t e i s u s e d a s t h e l o n g i t u d i n a l

s t i f f e n e r s i n s t e e l b o x g i r d e r b r i d g e d u e t o i t s c o n v e n i e n c e

i n t h e f a b r i c a t i o n , t h e w e l d i n g c o n s t r u c t i o n a n d t h e

m a i n t e n a n c e . M o r e o v e r , T - s h a p e p l a t i s n o r m a l l y s t e e l

I

0

0 . 3

2

n= w t

f

3

N o t e . - D i s c u s s i o n o p e n u n t i l N o v e m b e r 1 , 2 0 0 9 . T h i s m a n u s c r i p t f o r

t h i s p a p e r w a s s u b m i t t e d f o r r e v i e w a n d p o s s i b l e p u b l i c a t i o n o n

O c t o b e r 1 0 , 2 0 0 8 ; a p p r o v e d o n A p r i l 2 9 , 2 0 0 9

* C o r r e s p o n d i n g a u t h o r

T e l : + 8 2 - 3 2 - 8 7 3 - 5 3 3 2 ; F a x : + 8 2 - 3 2 - 8 6 3 - 2 5 1 5

E - m a i l : d o d a i t h a n g 2 0 0 3 @ y a h o o . c o m

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1 1 6 D o D a i T h a n g e t a l .

p r o f i l e s w h i l e f l a t - b a r i s j u s t p l a t e , t h u s t h e s e l e c t i o n o f

t h e s t i f f e n e r s a t i s f y i n g t h e s t i f f n e s s r e q u i r e m e n t i n t h e

c a s e o f f l a t - b a r i s e a s i e r . N o w , t h e f l a t - b a r s t i f f e n e r s a r e

u s e d r e m a r k a b l e i n s t e e l b o x g i r d e r b r i d g e i n K o r e a a n d

o t h e r s c o u n t r i e s ( A l i n i a 2 0 0 5 , K u l i c k i 2 0 0 5 , a n d

M a n c e c o r e a w e b s i t e , 2 0 0 7 ) . I n t h i s s t u d y , t h e m o m e n t o f

i n e r t i a r e q u i r e m e n t o f f l a t - b a r l o n g i t u d i n a l s t i f f e n e r o f

c o m p r e s s i o n b o t t o m f l a n g e i s i n v e s t i g a t e d t h r o u g h e l a s t i c

b u c k l i n g a n a l y s i s b y u s i n g f i n i t e e l e m e n t m o d e l i n g .

A f t e r w a r d , t h e n o n l i n e a r r e g r e s s i o n a n a l y s i s f r o m t h e

F E M r e s u l t s i s c a r r i e d o u t t o f i n d o u t t h e r e q u i r e d

e q u a t i o n . T h e e f f e c t o f c o n t i n u o u s b o u n d a r y c o n d i t i o n s

a n d i n e l a s t i c t r a n s i t i o n a r e a l s o i n v e s t i g a t e d .

2 . T h e R e q u i r e d M o m e n t o f I n e r t i a f o r

A n t i - s y m m e t r i c B u c k l i n g M o d e S h a p e

T h e l o n g i t u d i n a l c o m p r e s s i o n - f l a n g e s t i f f e n e r s o n b o x

f l a n g e s s h a l l b e e q u a l l y s p a c e d a c r o s s t h e f l a n g e w i d t h

a n d t h e i r s p e c i f i e d m i n i m u m y i e l d s t r e n g t h s h a l l n o t b e

l e s s t h a n t h e s p e c i f i e d m i n i m u m y i e l d s t r e n g t h o f t h e b o x

f l a n g e t o w h i c h t h e y a r e a t t a c h e d ( A A S H T O A r t i c l e

6 . 1 1 . 1 1 . 2 ) . A t y p i c a l b o t t o m c o m p r e s s i o n f l a n g e w i t h

f l a t - b a r l o n g i t u d i n a l s t i f f e n e r s p l a c e d a t a s p a c i n g o f w i s

s h o w n i n F i g . 1 . T h e s t i f f e n e d b o t t o m f l a n g e p a n e l

b e t w e e n t w o a d j a c e n t t r a n s v e r s e s t i f f e n e r s ( t h e b o t t o m

c h o r d o f a n i n t e r n a l c r o s s f r a m e a c t s a s t r a n s v e r s e

s t i f f e n e r ) i s a s s u m e d t o b e s u b j e c t e d t o a u n i f o r m

c o m p r e s s i v e s t r e s s . T h e t h e o r e t i c a l e l a s t i c b u c k l i n g s t r e s s

f o r a r e c t a n g u l a r p l a t e u n d e r u n i f o r m c o m p r e s s i o n i s

e x p r e s s e d a s

( 3 )

w h e r e , E i s t h e m o d u l u s o f e l a s t i c i t y , i s P o i s s o n s r a t i o ;

t

f

i s t h e t h i c k n e s s o f p l a t e ( b o t t o m f l a n g e ) a n d k i s e l a s t i c

p l a t e b u c k l i n g c o e f f i c i e n t d e p e n d i n g o n t h e e d g e s u p p o r t

c o n d i t i o n s a n d t h e r a t i o o f l e n g t h t o w i d t h o f t h e p l a t e .

T h e t h e o r e t i c a l m i n i m u m v a l u e o f k i s 4 . 0 0 f o r a s q u a r e

p l a t e p a n e l s i m p l y s u p p o r t e d a l o n g t h e t w o e d g e p a r a l l e l

t o t h e l i n e o f f o r c e a n d 6 . 9 7 f o r a s q u a r e p l a t e p a n e l

c l a m p e d a l o n g t h e t w o p a r a l l e l t o t h e l i n e o f f o r c e

( S a l m o n a n d J o h n s o n , 1 9 9 6 ) . A l t h o u g h t h e d e g r e e o f

f i x i t y p r o v i d e d b y t h e w e b o n t h e b o t t o m f l a n g e v a r i e s

d e p e n d i n g u p o n t h e w e b s t i f f n e s s , i t i s g e n e r a l l y a c c e p t e d

t h a t t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n a l o n g t h e s e t w o e d g e s o f a

b o x - g i r d e r b o t t o m f l a n g e c o n n e c t e d t o e i t h e r v e r t i c a l o r

i n c l i n e d w e b s i s c l o s e r t o a s i m p l y s u p p o r t e d e d g e , i . e .

t h e t h e o r e t i c a l m i n i m u m v a l u e o f k i s 4 ( Y o o , 2 0 0 1 ) .

B e c a u s e o f t h e s y m m e t r y o f t h e s t i f f e n e d p l a t e s y s t e m ,

t h e d i s p l a c e m e n t o f t h e b u c k l e d s y s t e m w i l l b e o n e o f t h e

f o l l o w i n g t w o t y p e s : s y m m e t r i c c o n f i g u r a t i o n w i t h d e f l e c t e d

s t i f f e n e r a n d a n t i - s y m m e t r i c c o n f i g u r a t i o n w h e r e t h e a x i s

o f s t i f f e n e r r e m a i n s s t r a i g h t . T h e b u c k l i n g m o d e s h a p e s

o f c o m p r e s s i o n f l a n g e a r e s h o w n i n F i g s . 2 ( b ) a n d 2 ( c ) .

T h e b u c k l i n g i n t h e l a t t e r c a s e h a s a n o d a l l i n e c o i n c i d i n g

w i t h t h e a x i s o f t h e s t i f f e n e r s a n d e a c h s t r i p o f t h e p l a t e

b e h a v e s a s s e p a r a t e p l a t e o f l e n g t h a = w a n d w i d t h w

w i t h s i m p l y s u p p o r t e d a t a l l f o u r e d g e s . N o b e n d i n g

m o m e n t i s c a r r i e d o v e r f r o m o n e s t r i p o f t h e p l a t e t o t h e

o t h e r s t r i p b e c a u s e t h e d e f l e c t i o n s u r f a c e h a s a l i n e o f

i n f l e c t i o n a t t h e n o d a l l i n e . I n t h i s c a s e t h e b u c k l i n g l o a d

F

c r

k

2

E

1 2 1

( )

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

t

f

w

- - --

2

=

F i g u r e 1 . C r o s s s e c t i o n i n n e g a t i v e m o m e n t a r e a ( f r o m C l i n t o n e t a l . , 1 9 8 6 ) .

F i g u r e 2 . B u c k l i n g m o d e s h a p e s o f c o m p r e s s i o n f l a n g e i n t h e c a s e = 3 , n = 2 . ( a ) L o a d i n g a n d b o u n d a r y c o n d i t i o n , ( b )

S y m m e t r i c b u c k l i n g m o d e s h a p e , ( c ) A n t i - s y m m e t r i c b u c k l i n g m o d e s h a p e .

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S t i f f n e s s R e q u i r e m e n t f o r F l a t - B a r L o n g i t u d i n a l S t i f f e n e r o f B o x - G i r d e r C o m p r e s s i o n F l a n g e s 1 1 7

o f t h e s t i f f e n e d p l a t e s y s t e m r e a c h e s i t s m a x i m u m v a l u e .

F o r v a l u e s I b e l o w I

0

, t h e s y m m e t r i c d i s p l a c e m e n t f o r m

w h e r e i n t h e s t i f f e n e r d e f l e c t s w i t h t h e p l a t e w i l l o c c u r . A t

t h e v a l u e I

0

, b o t h t h e c o n f i g u r a t i o n s a r e e q u a l l y p o s s i b l e .

T h e a n t i - s y m m e t r i c d i s p l a c e m e n t f o r m w i l l o c c u r w h e n

t h e m o m e n t o f i n e r t i a o f t h e s t i f f e n e r s I i s l a r g e r t h a n a

m i n i m u m r e q u i r e d v a l u e I

0

. I t i s i m p o r t a n t t o n o t e t h a t t h e

c r i t i c a l s t r e s s F

c r

f o r a n t i - s y m m e t r i c b u c k l i n g d o e s n o t

d e p e n d o n I v a l u e . A n y i n c r e a s e o f I h i g h e r t h a n t h e v a l u e

I

0

d o e s n o t i n c r e a s e t h e b u c k l i n g s t r e n g t h o f s t i f f e n e d

p l a t e , t h e c r i t i c a l s t r e s s i s g i v e n b y E q . ( 3 ) ( B l e i c h , 1 9 5 2 ) .

F i g u r e 3 s h o w s t h e m o d e o f b u c k l i n g o f t h r e e s t i f f e n e r s

s u b d i v i d i n g t h e p l a t e i n t o f o u r e q u a l p a n e l s . W h e n I o f

s t i f f e n e r i s i n c r e a s e d , t h e n u m b e r o f h a l f - w a v e s o f m o d e

b u c k l i n g w i l l g r a d u a l l y c h a n g e f r o m 1 ( s y m m e t r i c m o d e

s h a p e ) t o 4 ( a n t i - s y m m e t r i c m o d e s h a p e ) , t h a t i s e q u a l t o

n u m b e r o f s t i f f e n e r p l u s 1 . M o r e o v e r , t h e c r i t i c a l b u c k l i n g

l o a d c h a n g e s r a p i d l y i n t h e u p p e r t h r e e c a s e s a n d

c o n v e r g e t o t h e c r i t i c a l b u c k l i n g l o a d i n t h e f o u r t h c a s e .

3 . N o n l i n e a r F i n i t e E l e m e n t A n a l y s i s

T h e s t i f f e n e d p l a t e u n d e r u n i f o r m c o m p r e s s i o n a l o n g

t w o e d g e s a n d s i m p l y s u p p o r t e d a l o n g t h e t w o e d g e s

p a r a l l e l t o t h e l o a d w a s m o d e l e d a n d a n a l y z e d b y u s i n g

t h e c o m m e r c i a l f i n i t e e l e m e n t c o d e A N S Y S a s s h o w n i n

F i g . 2 ( a ) . A t o t a l o f f o u r h u n d r e d p l a t e m o d e l s a r e

i n v e s t i g a t e d . S H E L L 6 3 e l e m e n t s ( E l a s t i c S h e l l ) a r e u s e d

f o r m o d e l i n g b o t h f l a n g e p l a t e a n d f l a t - b a r l o n g i t u d i n a l

s t i f f e n e r s . T h e s t i f f e n e d p l a t e u s e d i s s i m p l y s u p p o r t e d

a l o n g t h e t w o e d g e s p a r a l l e l t o t h e l i n e o f f o r c e . T h e

m o d e l s u s e d r e a l i s t i c d i m e n s i o n s s u c h a s t h e t h i c k n e s s o f

t h e c o m p r e s s i o n f l a n g e t

f

i s v a r i e d f r o m 0 . 7 5 t o 1 . 5 0 i n .

( 1 9 . 1 t o 3 8 . 1 m m ) , t h e n u m b e r s o f l o n g i t u d i n a l s t i f f e n e r s

n a r e v a r i e d f r o m 1 t o 5 , a n d t h e a s p e c t r a t i o o f t h e p l a t e

p a n e l i s v a r i e d f r o m 1 t o 5 . T h e r e q u i r e d o f m o m e n t o f

i n e r t i a o f t h e l o n g i t u d i n a l s t i f f e n e r s I

0

i s o b t a i n e d b y

u s i n g t h e u n i t v a l u e o f s t i f f e n e r t h i c k n e s s a n d s e e k i n g t h e

t h r e s h o l d h e i g h t o f t h e s t i f f e n e r s . T h a t i s , f o r t h e c r o s s

s e c t i o n o f s t i f f e n e r s i n e a c h m o d e l , a u n i t v a l u e 1 . 0 0 i n .

( 2 5 . 4 m m ) i s f i x e d f o r t h e t h i c k n e s s , w h i l e t h e v a l u e o f

h e i g h t i s v a r i e d f r o m s m a l l r e a s o n a b l e v a l u e t o t h e s t o p

v a l u e f o r t h e l o o p w i t h i n c r e a s i n g s t e p o f 0 . 1 i n . ( 2 . 5

m m ) . F o r t h e f i r s t a n t i - s y m m e t r i c m o d e s h a p e , t h e

c o n d i t i o n o f e x i s t i n g d o - l o o p i s n e a r l y z e r o r e s u l t i n g i n

t h e d i s p l a c e m e n t v a l u e s a t t h e p o i n t s a l o n g t h e e d g e o f

t h e l o n g i t u d i n a l s t i f f e n e r s a n d a t e q u a l s p a c i n g o f w i n t h e

t r a n s v e r s e d i r e c t i o n . T h e c r i t i c a l l o a d v a l u e b y e i g e n v a l u e

b u c k l i n g a n a l y s i s i s o b t a i n e d a t t h e s e c o n d m o d e o f

b u c k l i n g b e c a u s e i n t h e f i r s t m o d e i t g i v e s d u m m y v a l u e ,

n e a r l y z e r o a n d c a n b e i g n o r e . N o t e t h a t t h e e i g e n v a l u e

d o e s n o t c h a n g e m u c h f o r a g r e a t e r v a l u e o f I

0

a s l o n g a s

i t p r o d u c e s a n a n t i - s y m m e t r i c m o d e .

4 . R e s u l t a n d R e g r e s s i o n A n a l y s i s

T h e F E M r e s u l t s i n d i c a t e t h a t f o r n = 1 , t h e m i n i m u m

r e q u i r e d s t i f f n e s s i s r e m a r k a b l y l o w e r w i t h o t h e r c a s e s

( f o r n = 2 t o 5 ) . T h i s i s n o t a s u r p r i s e a n d i s b e c a u s e o f t h e

i n n e r s t r i p s e f f e c t t o t h e c r i t i c a l b u c k l i n g l o a d . S o , t h e

r e g r e s s i o n e q u a t i o n f o r m u l a i n t h e c a s e o f n = 1 i s

d i f f e r e n t t h a n f o r t h e c a s e n = 2 t o 5 . T h e r e s u l t s a l s o

i n d i c a t e t h a t I

0

a n d w t

3

h a v e l i n e a r r e l a t i o n s h i p a n d c a n b e

e x p r e s s e d b y t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n :

I

0

= w t

3

( 4 )

w h e r e , i s t a n g e n t o f v a r i a t i o n a n d c a n b e d e t e r m i n e d b y

r e g r e s s i o n a n a l y s i s . A s t h e l o n g i t u d i n a l s t i f f e n e r i s

e s s e n t i a l l y a c o m p r e s s i o n m e m b e r , t h e r e q u i r e d m o m e n t

o f i n e r t i a i s p r o p o r t i o n a l t o t h e s q u a r e o f t h e e f f e c t i v e

l e n g t h . T h u s t h e r e g r e s s i o n f o r m u l a o f m u s t b e

p r o p o r t i o n a l t o t h e s q u a r e o f t h e a s p e c t r a t i o .

F o r t h e c a s e n = 1 , t h e v a r i a t i o n o f I

0

a n d w t

3

i s s h o w n

i n F i g . 4 a n d t h e v a l u e d e p e n d s o n l y o n t h e a s p e c t r a t i o

a s s h o w n i n F i g . 5 . T h e f o r m u l a o f p o l y n o m i a l s e c o n d

o r d e r t r e n d l i n e i s l i k e l y = 0 . 1 0

2

+ 0 . 5 7 a n d E q . ( 4 ) c a n

b e s i m p l i f i e d a s :

I

0

= ( 0 . 1 0

2

+ 0 . 5 7 ) w t

3

( 5 )

T h e c o r r e l a t i o n c o e f f i c i e n t f r o m t h e r e g r e s s i o n a n a l y s i s

f o r E q . ( 5 ) i s f o u n d t o b e 0 . 9 9 .

F o r a v a l u e o f n = 2 t o 5 , t h e v a r i a t i o n o f m o m e n t o f

i n e r t i a I

0

w i t h w t

3

i s s h o w n i n F i g s . 6 ( a ) t o 6 ( e ) . T h e

f o r m u l a o f l i n e a r t r e n d l i n e w i t h z e r o i n t e r c e p t v a l u e i s

l i k e l y E q . ( 4 ) , a n d d e p e n d s n o t o n l y o n a s p e c t r a t i o

b u t a l s o o n t h e n u m b e r o f s t i f f e n e r s n . R e l a t i o n s h i p

b e t w e e n t a n g e n t v a l u e s w i t h t h e a s p e c t r a t i o i s

p o l y n o m i a l s e c o n d o r d e r t r e n d l i n e a s s h o w n i n F i g . 6 ( f ) .

A n i n t e r p o l a t i o n o f v a l u e c a n b e e x p r e s s a s =

( n + 2 1 )

2

/ 6 0 + 0 . 1 2 , s u b s t i t u t i n g i n t o E q . ( 4 ) y i e l d s :

F i g u r e 3 . V a r i o u s m o d e s o f b u c k l i n g . I n t h e u p p e r t h r e e c a s e s I

7/28/2019 KSSC_3_2009_9_2_115(C)

4/8

1 1 8 D o D a i T h a n g e t a l .

I

0

= w t

3

( 6 )

S o m e t y p i c a l r e s u l t s o f F E M a n a l y s i s h a v e b e e n s h o w n

i n T a b l e 1 . T h e r a t i o o f I

0

o b t a i n e d i n t h e c a s e f l a t - b a r

s t i f f e n e r o f p r o p o s e d e q u a t i o n s ( 5 ) a n d ( 6 ) a n d i n t h e c a s e

T - s h a p e d s t i f f e n e r o f E q . ( 2 ) i s f r o m 0 . 6 7 t o 1 . 8 3 . I t

n 2 1+

6 0

- - - - - - - - - - - - -

2

0 . 1 2 +

F i g u r e 4 . V a r i a t i o n o f m o m e n t o f i n e r t i a I

0

a n d w t

3

v a l u e

i n t h e c a s e n = 1 .

F i g u r e 5 . L i n e a r t r e n d l i n e o f t a n g e n t o f t h e r e l a t i o n s h i p

b e t w e e n i n e r t i a I

0

a n d w t

3

.

F i g u r e 6 . ( a ) - ( e ) V a r i a t i o n o f m o m e n t o f i n e r t i a I

0

a n d w t

3

v a l u e f o r t h e c a s e n = 2 t o 5 : ( a ) = 1 ; ( b ) = 2 ; ( c ) = 3 ; ( d )

= 4 ; ( e ) = 5 . ( f ) T a n g e n t ( r e l a t i o n s h i p b e t w e e n i n e r t i a I

0

a n d w t

3

) f o r t h e c a s e n = 2 a n d n = 5 .

N o t e : t h e u n i t o f I

0

a n d w t

3

a r e i n .

4

( 1 i n . = 2 5 . 4 m m ) .

7/28/2019 KSSC_3_2009_9_2_115(C)

5/8

S t i f f n e s s R e q u i r e m e n t f o r F l a t - B a r L o n g i t u d i n a l S t i f f e n e r o f B o x - G i r d e r C o m p r e s s i o n F l a n g e s 1 1 9

d e c r e a s e s w h e n a n d n i n c r e a s e . T h e d i f f e r e n c e s o f I

0

o b t a i n e d f r o m E q s . ( 5 ) a n d ( 6 ) a n d f r o m F E M r e s u l t i s

a b o u t

6 %

, s o t h e p r o p o s e d e q u a t i o n s a r e a c c e p t a b l e .

W h i l e t h e v a l u e o f c r i t i c a l s t r e s s b y F E M r e s u l t n e a r l y

w i t h t h e s a m e v a l u e f r o m t h e o r y i n E q . ( 3 ) . T h i s v a l u e

d e p e n d s o n w a n d t

f

b u t i t d o e s n o t d e p e n d o n a n d n .

T h a t i s F

c r

n o t d e p e n d o n I a n d i f I g r e a t e r t h a n I

s

, t h e F

c r

i s i n c r e a s e d b u t w i t h n e g l i g i b l e v a l u e . N o t e t h a t , t h e

m o m e n t o f i n e r t i a I

s

o f e a c h s t i f f e n e r i s a b o u t a n a x i s

p a r a l l e l t o t h e f l a n g e t a k e n f r o m t h e b a s e o f t h e s t i f f e n e r

a n d t h e r e f o r e i t e q u a l s t o I

s

= t

s

h

s

3

/ 3 .

5 . V a l i d a t i o n

5 . 1 . C h e c k o u t o d d a s p e c t r a t i o

F i n i t e e l e m e n t a n a l y s i s a n d n o n l i n e a r r e g r e s s i o n

e q u a t i o n a r e e x e c u t e d f o r t h e c a s e o f e v e n a s p e c t r a t i o .

T o e s t i m a t e w i t h t h e o d d a s p e c t r a t i o , a n u m b e r o f t h e

m o d e l s w i t h o d d a s p e c t r a t i o a r e c h e c k e d a n d t h e r e s u l t i s

l i s t e d i n T a b l e 2 . T h e m i n i m u m r e q u i r e d s t i f f n e s s v a l u e I

0

o f E q . ( 6 ) a n d F E M a n a l y s i s r e s u l t a r e n e a r l y t h e s a m e

a n d a l s o t h e c r i t i c a l b u c k l i n g f o r c e n e a r l y e q u a l t o t h e

c r i t i c a l e l a s t i c f o r c e . N o t e t h a t t h e m o d e s h a p e n u m b e r o f

b u c k l i n g p a n e l s i n l o n g i t u d i n a l d i r e c t i o n i s a l w a y s e q u a l

w i t h e v e n a s p e c t r a t i o , b u t f o r o d d a s p e c t r a t i o c a s e , i t i s

3 f o r f r o m 3 . 0 t o 3 . 4 a n d 4 f o r f r o m 3 . 5 t o 4 . 0 .

5 . 2 . E f f e c t o f b o u n d a r y c o n d i t i o n

T h e p r o p o s e d e q u a t i o n d e p e n d s o n h y p o t h e s i s o f

s i m p l e s u p p o r t e d b o u n d a r y c o n d i t i o n w i t h t h e v a l u e o f

b u c k l i n g c o e f f i c i e n t o f 4 . I n n e g a t i v e m o m e n t a r e a , t h e

b o t t o m c o m p r e s s i o n f l a n g e i s c o n t i n u o u s o n t h e b o t h

s i d e s o f t h e p l a t e m o d e l a s s h o w n i n F i g . 7 . T o e v a l u a t e

t h e p o s s i b l e d i f f e r e n c e s b e t w e e n t h e s i m p l y s u p p o r t e d

b o u n d a r y c o n d i t i o n a n d t h e r e a l i s t i c b o u n d a r y c o n d i t i o n ,

a s e l e c t e d n u m b e r o f p l a t e m o d e l s w i t h a c o n t i n u o u s

b o u n d a r y a r e a n a l y z e d . T h e c o m p r e s s i v e f o r c e i n t h e

n e g a t i v e m o m e n t r e g i o n o f t h e b o x - g i r d e r b o t t o m f l a n g e

i s c o m p u t e d f r o m t h e i n t e r i o r p i e r t o t h e i n f l e c t i o n p o i n t s

o n b o t h s i d e s . A t t h e i n t e r i o r p i e r , s o l i d d i a p h r a g m i s

n o r m a l l y u s e d , w h i l e a t t h e o t h e r e n d o f t h e c o m p r e s s i o n

f l a n g e p a n e l , a t r a n s v e r s e s t i f f e n e r i s l i k e l y t o b e p l a c e d .

D i f f e r e n t f r o m t h e h y p o t h e s i s p l a t e m o d e l , i n t h i s m o d e l ,

t h e t r a n s l a t i o n d e g r e e o f f r e e d o m i n t h e o u t - o f - p l a n e

d i r e c t i o n w a s n o t r e s t r a i n e d a l o n g t h e l o a d p o i n t s . T h e

l o a d w a s a p p l i e d a t t h e p o i n t o f t h e i n t e r i o r p i e r a n d t h e

p o i n t o f c o n t r a f l e x u r e . R e s u l t i n T a b l e 3 i n d i c a t e s t h a t , t h e

c r i t i c a l s t r e s s e s w i t h c o n t i n u o u s b o u n d a r i e s a r e h i g h e r

t h a n t h e t h e o r e t i c a l c r i t i c a l s t r e s s e s c o m p u t e d f r o m E q .

T a b l e 1 . M o m e n t o f i n e r t i a o f l o n g i t u d i n a l s t i f f e n e r

n

t

f

( i n . )

w

( i n . )

I ( i n .

4

) F

c r

( k s i )

Y o o

E q . ( 2 )

F E M

P r o p o s e d

E q s . ( 5 ) & ( 6 )

R a t i o

I

F E M

/ I

Y o o

% I

F E M / P r o p o s e d

T h e o r y

E q . ( 3 )

F E M

1 1 1 8 0 2 4 4 2 4 4 1 . 8 3 4 . 1 7 1 6 . 4 1 6 . 4 5

2 1 1 8 0 9 6 1 3 0 1 2 8 1 . 3 3 - 1 . 5 4 1 6 . 4 1 6 . 5 0

5 1 1 8 0 6 0 0 4 3 2 4 2 8 0 . 7 1 - 0 . 0 9 1 6 . 4 1 6 . 7 4

1 2 1 8 0 3 4 3 9 4 0 1 . 1 6 2 . 6 1 1 6 . 4 1 6 . 4 5

3 2 1 8 0 3 0 5 3 0 4 3 0 5 1 . 0 0 0 . 1 9 1 6 . 4 1 6 . 7 5

4 2 1 8 0 5 4 3 5 2 0 5 2 9 0 . 9 6 1 . 6 6 1 6 . 4 1 7 . 1 9

1 3 1 8 0 4 2 3 9 4 2 0 . 9 4 5 . 7 3 1 6 . 4 1 6 . 5 7

2 3 1 8 0 1 6 6 1 4 1 1 4 7 0 . 8 5 4 . 4 7 1 6 . 4 1 6 . 7 7

4 3 1 8 0 6 6 5 5 6 2 5 5 0 0 . 8 4 - 2 . 0 6 1 6 . 4 1 7 . 3 4

1 4 1 8 0 4 8 4 4 4 3 0 . 9 2 - 2 . 9 9 1 6 . 4 1 6 . 4 6

3 4 1 8 0 4 3 2 3 3 3 3 2 9 0 . 7 7 - 1 . 3 8 1 6 . 4 1 6 . 9 8

5 4 1 8 0 1 2 0 0 8 9 5 8 8 1 0 . 7 5 - 1 . 5 7 1 6 . 4 1 7 . 5 2

1 5 1 8 0 5 4 4 7 4 4 0 . 8 7 - 5 . 8 8 1 6 . 4 1 6 . 4 7

2 5 1 8 0 2 1 5 1 5 2 1 5 8 0 . 7 1 3 . 6 0 1 6 . 4 1 6 . 8 3

4 5 1 8 0 8 5 9 5 7 6 5 9 3 0 . 6 7 2 . 8 8 1 6 . 4 1 7 . 4 7

N o t e : 1 i n . = 2 5 . 4 m m ; 1 k s i = 6 . 8 9 5 M N / m

2

T a b l e 2 . C h e c k o d d a s p e c t r a t i o i n t h e c a s e n = 2 ; t

f

= 1 . 0

i n . ; w = 1 0 0 i n . ; = 1 0 . 4 8 k s i

= a / w

I ( i n .

4

)

( k s i )

N o . m o d e s h a p e o f

b u c k l i n g p a n e l

E q . ( 6 ) F E M

3 . 0 3 8 5 . 9 3 9 7 . 0 1 0 . 7 8 8 3

3 . 1 4 1 9 . 9 4 3 1 . 7 1 0 . 7 7 8 3

3 . 2 4 4 3 . 7 4 5 5 . 9 1 0 . 8 8 1 3

3 . 3 4 6 8 . 3 4 8 1 . 0 1 0 . 9 1 6 3

3 . 4 4 9 3 . 8 4 9 3 . 8 1 1 . 0 4 1 3

3 . 5 5 2 0 . 3 5 2 0 . 3 1 0 . 9 8 5 4

3 . 6 5 4 7 . 7 5 4 7 . 7 1 0 . 9 6 5 4

3 . 7 5 9 0 . 5 5 7 6 . 0 1 0 . 9 2 8 4

3 . 8 6 2 0 . 3 6 2 0 . 3 1 0 . 8 9 3 4

3 . 9 6 5 1 . 0 6 3 5 . 5 1 0 . 8 7 3 4

4 . 0 6 8 2 . 8 6 8 5 . 0 1 0 . 8 9 8 4

N o t e : 1 i n . = 2 5 . 4 m m ; 1 k s i = 6 . 8 9 5 M N / m

2

F

c r

t h e o r y

F

c r

F E M

7/28/2019 KSSC_3_2009_9_2_115(C)

6/8

1 2 0 D o D a i T h a n g e t a l .

( 3 ) . T h e r e a s o n i s t h a t t h e p l a t e c a n n o t r o t a t e f r e e l y w i t h

r e s p e c t t o a n a x i s p e r p e n d i c u l a r t o t h e l i n e o f f o r c e i n t h i s

m o d e l a s o p p o s e d t o t h e s i m p l y s u p p o r t e d p l a t e p a n e l s .

5 . 3 . E f f e c t o f i n e l a s t i c t r a n s i t i o n

S e v e r a l c a s e s o f w i d t h - t o - t h i c k n e s s r a t i o s a r e s e l e c t e d

t o v e r i f y t h e c o n s i s t e n c y o f t h e p r o p o s e d e q u a t i o n ( 5 ) a n d

( 6 ) . T h e c r i t i c a l s t r e s s e s i n t h e e l a s t i c b u c k l i n g r a n g e a n d

i n t h e i n e l a s t i c b u c k l i n g r a n g e a r e d e t e r m i n e d f r o m t h e

i n c r e m e n t a l n o n l i n e a r a n a l y s i s c o n s i d e r i n g b o t h t h e

m a t e r i a l a n d t h e g e o m e t r i c n o n l i n e a r i t y . T h e m a t e r i a l

n o n l i n e a r a n a l y s i s i s b a s e d o n a b i l i n e a r s t r e s s - s t r a i n

c u r v e ( l i n e a r l y e l a s t i c a n d p e r f e c t l y p l a s t i c ) a n d t h e V o n

M i s e s y i e l d c r i t e r i o n . I n t h e i n e l a s t i c b u c k l i n g r a n g e , t h e

i n i t i a l i m p e r f e c t i o n c o n d i t i o n i s m o d e l e d b y g i v i n g w / 1 0 0

a s s t i p u l a t e d b y B r i d g e W e l d i n g C o d e ( 2 0 0 8 ) a n d t h e

e l e m e n t S H E L L 4 3 ( 4 - N o d e P l a s t i c L a r g e S t r a i n S h e l l ) i s

u s e d t o c o n s i d e r t h e p l a s t i c c a p a b i l i t y a n d o u t - o f - p l a n e

d i s p l a c e m e n t . H o w e v e r , i n t h e i n e l a s t i c b u c k l i n g r a n g e ,

t h e i n e l a s t i c t r a n s i t i o n c u r v e o f A A S H T O a p p e a r s t o b e

r a t h e r u n c o n s e r v a t i v e i n t h a t i t c o r r e l a t e s r a t h e r w e l l w i t h

t h e a n a l y s i s r e s u l t s f o r s t r a i g h t p l a t e p a n e l s ( Y o o , 2 0 0 1 ) .

T h e p a r a b o l i c c u r v e r e p r e s e n t e d t h e i n e l a s t i c t r a n s i t i o n o f

t h e b e h a v i o r o f c o m p r e s s i o n e l e m e n t s i n c l u d i n g t h e

e f f e c t s o f r e s i d u a l s t r e s s a n d a n i n i t i a l i m p e r f e c t i o n i s

d e r i v e d f o r t h e c e n t r a l l y l o a d e d c o l u m n s o f t h e S t r u c t u r a l

S t a b i l i t y R e s e a r c h C o u n c i l ( S S R C ) ( G a l a m b o s , 1 9 9 8 ) i n

F i g . 8 . T h e r e s u l t o f b u c k l i n g i s l i s t e d i n T a b l e 4 a n d t h e

v a r i a t i o n o f c r i t i c a l s t r e s s F

c r

w i t h r e s p e c t t o r a t i o w / t

f

i s

s h o w n i n F i g . 8 . F r o m t h e r e s u l t , t h e r e q u i r e d m o m e n t o f

i n e r t i a f o r f l a t - b a r l o n g i t u d i n a l s t i f f e n e r i s v a l i d f o r b o t h

e l a s t i c a n d i n e l a s t i c b u c k l i n g r a n g e .

6 . A D e s i g n E x a m p l e

I n o r d e r t o v e r i f y t h e p r o p o s e d e q u a t i o n i n t h i s s t u d y ,

a n e x a m p l e d e s i g n p r o b l e m i s s o l v e d . T h e p r o b l e m i s

s e l e c t e d f r o m C l i n t o n e t a l . ( 1 9 8 6 ) a n d w a s r e d e s i g n e d

l o n g i t u d i n a l T - s h a p e d s t i f f e n e r s b y Y o o ( 2 0 0 1 ) . F i g u r e 9

F i g u r e 7 . B u c k l i n g m o d e s h a p e o f c o m p r e s s i o n f l a n g e

w i t h c o n t i n u o u s b o u n d a r y i n t h e c a s e = 3 ; n = 2 .

T a b l e 3 . C r i t i c a l s t r e s s F

c r

w i t h c o n t i n u o u s b o u n d a r y c o n d i t i o n

n

t

f

( i n . )

w

( i n . )

I ( i n .

4

) F

c r

( k s i )

P r o p o s e d

E q s . ( 5 ) & ( 6 )

F E M

T h e o r y

E q . ( 3 )

F E M D i f f . ( % )

3 1 1 . 2 5 1 2 0 6 1 1 . 7 6 0 6 . 8 1 1 . 3 7 1 1 . 8 5 4 . 2 2

5 2 1 . 5 0 8 0 2 7 4 9 . 5 2 7 4 7 3 6 . 8 6 3 9 . 1 7 5 . 9 1

2 3 1 . 0 0 1 0 0 1 8 4 . 0 1 5 8 . 2 1 0 . 4 8 1 1 . 3 2 7 . 3 8

3 4 0 . 7 5 6 0 1 0 4 . 0 1 0 4 . 8 1 6 . 3 8 1 7 . 9 3 8 . 6 5

2 5 1 . 0 0 6 0 1 1 8 . 4 1 0 4 . 8 2 9 . 1 2 3 2 . 7 1 1 0 . 9 7

N o t e : 1 i n . = 2 5 . 4 m m ; 1 k s i = 6 . 8 9 5 M N / m

2

T a b l e 4 . C r i t i c a l s t r e s s F

c r

w i t h c o n s i d e r a t i o n o f b i l i n e a r s t r e s s - s t r a i n a n d i n i t i a l i m p e r f e c t i o n

n

t

f

( i n . )

w

( i n . )

w / t

f

I ( i n .

4

) F

c r

( k s i )

P r o p o s e d

E q s . ( 5 ) & ( 6 )

F E M

T h e o r y

E q . ( 3 )

S S R C F E M

3 3 1 . 2 5 7 5 6 0 . 0 5 8 0 . 1 5 7 8 . 2 2 9 . 1 2 2 7 . 9 7 3 0 . 8 2

4 4 1 . 0 0 5 0 5 0 . 0 3 5 7 . 3 3 6 0 . 0 4 1 . 9 4 3 4 . 8 2 3 6 . 3 9

3 2 0 . 7 0 2 5 3 5 . 7 3 2 . 7 3 2 . 1 5 0 . 0 0 4 2 . 7 7 4 5 . 4 5

1 5 1 . 2 0 3 5 2 9 . 2 3 3 . 5 3 1 . 9 5 0 . 0 0 4 5 . 2 5 4 6 . 6 3

2 4 1 . 0 0 1 5 1 5 . 0 2 8 . 6 3 0 . 2 5 0 . 0 0 4 8 . 8 6 4 9 . 7 9

N o t e : 1 i n . = 2 5 . 4 m m ; 1 k s i = 6 . 8 9 5 M N / m

2

F i g u r e 8 . C r i t i c a l s t r e s s f o r i n e l a s t i c b u c k l i n g b e h a v i o r .

7/28/2019 KSSC_3_2009_9_2_115(C)

7/8

S t i f f n e s s R e q u i r e m e n t f o r F l a t - B a r L o n g i t u d i n a l S t i f f e n e r o f B o x - G i r d e r C o m p r e s s i o n F l a n g e s 1 2 1

s h o w s t h e l o n g i t u d i n a l s t i f f e n e r a r r a n g e m e n t f o r t h e

s u g g e s t e d p r o c e d u r e f r o m t h i s s t u d y . T h e t o t a l n u m b e r s

o f l o n g i t u d i n a l s t i f f e n e r s a r e t h e s a m e , i . e . f o u r b u t t h e r e

i s a c h a n g e f r o m T - s h a p e t o f l a t - b a r l o n g i t u d i n a l s t i f f e n e r .

I n t h i s e x a m p l e , t h e h e i g h t o f r e q u i r e d s t i f f e n e r i s

c a l c u l a t e d a n d c h e c k e d a b o u t l o c a l s t a b i l i t y o f f l a t - b a r

s t i f f e n e r . T h e d e s i g n e x a m p l e h a s b e e n s u m m a r i z e d i n

T a b l e 5 .

I f t h e t r a n s v e r s e s t i f f e n e r s p a c i n g i s a s s u m e d b y 1 0 f t

( 3 , 0 4 8 m m ) a t t h e m a x i m u m n e g a t i v e m o m e n t r e g i o n ,

w h i c h g i v e s = 1 0 / 4 = 2 . 5 . F o r n = 2 , w = 4 8 i n . ( 1 , 2 2 0 m m ) ,

a n d t

f

= 1 . 2 5 i n . ( 3 1 . 8 m m ) , I

0

i s c a l c u l a t e d f r o m E q . ( 6 ) t o

b e 2 5 3 i n .

4

( 1 0 5 . 3 1 0

6

m m

4

) . W i t h t h e t h i c k n e s s t

s

= 1 i n .

( 2 5 . 4 m m ) , t h e r e q u i r e d h e i g h t o f s t i f f e n e r i s

= 9 . 1 2 i n . ( 2 3 1 . 6 m m ) . S e l e c t e d h e i g h t o f s t i f f e n e r h

s

i s

9 . 3 i n . = 2 3 6 . 2 m m ( I = 2 6 8 i n .

4

= 1 1 1 . 5 5 1 0

6

m m

4

) a n d t h e

l o c a l s t a b i l i t y o f s t i f f e n e r i s t o b e c h e c k e d . I n T a b l e 5 , t h e

e l a s t i c b u c k l i n g s t r e s s o f b o t t o m f l a n g e p l a t e ( 7 1 . 1 k s i =

4 9 0 . 2 M N / m

2

) .

I f t h e t r a n s v e r s e s t i f f e n e r s p a c i n g i s a s s u m e d b y 2 0 f t

( 6 , 0 9 6 m m ) a t t h e m a x i m u m n e g a t i v e m o m e n t r e g i o n ,

w h i c h g i v e s = 2 0 / 4 = 5 . F o r s a m e v a l u e s o f n , w , a n d t

f

,

I

0

i s c o m p u t e d 8 9 5 i n .

4

( 3 7 2 . 5 1 0

6

m m

4

) . I f w i t h t h e

t h i c k n e s s t

s

= 1 . 0 0 i n . ( 2 5 . 4 m m ) , t h e r e q u i r e d s t i f f e n e r

h e i g h t i s 1 3 . 9 1 i n . ( 3 5 3 . 3 m m ) . T h e s t i f f e n e r h e i g h t i s

c h o s e n 1 4 . 0 i n = 3 5 5 . 6 m m ( I = 9 1 5 i n

4

= 3 8 0 . 8 5 1 0

6

m m

4

) .

F o r t h i c k n e s s t

s

= 1 . 2 5 i n . ( 3 1 . 7 5 m m ) , r e q u i r e d h

s

= 1 3 i n .

( 3 3 0 . 2 m m ) .

7 . C o n c l u s i o n

I n t h e A A S H T O L R F D B r i d g e D e s i g n S p e c i f i c a t i o n

( 1 9 9 4 ) , t h e r e q u i r e d m i n i m u m s t i f f n e s s f o r l o n g i t u d i n a l

s t i f f e n e r s o f b o x g i r d e r f l a n g e i s g i v e n , b u t t h e e q u a t i o n

r e q u i r e s u n r e a s o n a b l y t h e l a r g e v a l u e s f o r I

0

w h e n t h e

n u m b e r o f l o n g i t u d i n a l s t i f f e n e r s b e c o m e s l a r g e . A n d

a f t e r t h a t i t w a s m o d i f i e d b y Y o o ( 2 0 0 1 ) . H o w e v e r , t h i s

r e q u i r e m e n t w a s a d o p t e d f o r T - s h a p e s t i f f e n e r s . T h i s

s t u d y h a s i n v e s t i g a t e d t h e m i n i m u m r e q u i r e d s t i f f n e s s o f

f l a t - b a r l o n g i t u d i n a l s t i f f e n e r f o r t h e b o t t o m f l a n g e o f

s t e e l b o x g i r d e r . T h e r e g r e s s i o n e q u a t i o n E q . ( 5 ) f o r t h e

c a s e n e q u a l 1 a n d E q . ( 6 ) f o r t h e c a s e n f r o m 2 t o 5 h a v e

b e e n f o r m u l a t e d b a s e d o n t h e r e s u l t o f a n a l y s i s o f t h e

a n t i - s y m m e t r i c m o d e o f b u c k l i n g s t r e s s i n e l a s t i c

b u c k l i n g . I n a d d i t i o n , t h e s t u d y h a s t a k e n i n t o a c c o u n t t h e

e f f e c t o f b o u n d a r y c o n d i t i o n s a n d e f f e c t o f i n e l a s t i c

t r a n s i t i o n o n t h e c r i t i c a l b u c k l i n g s t r e s s o f c o m p r e s s i o n

f l a n g e . T h r o u g h t h e e v a l u a t i o n o f a d e s i g n e x a m p l e , t h e

v a l i d i t y a n d r e l i a b i l i t y o f t h e p r o p o s e d n e w e q u a t i o n i s

d e m o n s t r a t e d .

R e f e r e n c e s

A m e r i c a n A s s o c i a t i o n o f S t a t e H i g h w a y T r a n s p o r t a t i o n

O f f i c i a l s , ( 2 0 0 8 ) . A A S H T O L R F D B r i d g e D e s i g n

S p e c i f i c a t i o n s , C u s t o m a r y , U . S . U n i t s , F o u r t h e d i t i o n ,

2 0 0 8 I n t e r i m R e v i s i o n s . W a s h i n g t o n D C .

A l i n i a , M . M . ( 2 0 0 5 ) . A s t u d y i n t o o p t i m i z a t i o n o f

s t i f f e n e r s i n p l a t e s s u b j e c t e d t o s h e a r l o a d i n g . T h i n -

W a l l e d S t r u c t u r e s , 4 3 ( 5 ) , p p . 8 4 5 - 8 6 0 .

A N S Y S ( 2 0 0 4 ) . A N S Y S R e l e a s e 9 . 0 D o c u m e n t a t i o n .

S A S I P , I n c .

B l e i c h , F . ( 1 9 5 2 ) . B u c k l i n g s t r e n g t h o f m e t a l s t r u c t u r e s ,

M c G r a w - H i l l B o o k C o . , I n c . , N e w Y o r k , N . Y . , U S A .

B r i d g e W e l d i n g C o d e ( 2 0 0 8 ) . A A S H T O / A W S D 1 . 5 - 2 0 0 8 , A

J o i n t P u b l i c a t i o n o f A m e r i c a n A s s o c i a t i o n o f S t a t e

H i g h w a y a n d T r a n s p o r t a t i o n O f f i c i a l s , I n c . W a s h i n g t o n ,

D . C . a n d A m e r i c a n W e l d i n g S o c i e t y , M i a m i , F . L . , U S A .

C a r l s e n , C . A . ( 1 9 8 0 ) . A p a r a m e t r i c s t u d y o f c o l l a p s e o f

s t i f f e n e d p l a t e s i n c o m p r e s s i o n . T h e S t r u c t u r a l E n g i n e e r ,

5 8 B ( 2 ) , p p . 3 3 - 4 0 .

C l i n t o n , H . , J o e h n k , G . , a n d P e t z o l d , E . , ( 1 9 8 6 ) . D e s i g n

e x a m p l e s o r s t e e l b o x g i r d e r s . R e p . N o . F H W A - T S - 8 6 -

2 0 9 , F e d e r a l H i g h w a y A d m i n i s t r a t i o n , W a s h i n g t o n , D . C .

G a l a m b o s , T . V . ( 1 9 9 8 ) . S t r u c t u r a l s t a b i l i t y r e s e a r c h c o u n c i l

g u i d e t o s t a b i l i t y d e s i g n c r i t e r i a f o r m e t a l s t r u c t u r e s -

F i f t h e d i t i o n , J o h n W i l e y & S o n s , I n c . , N e w Y o r k .

G r o n d i n , G . Y . , C h e n , Q . , E l w i , A . E . , a n d C h e n g , J . J . R .

( 1 9 9 8 ) . S t i f f e n e d s t e e l p l a t e s u n d e r c o m p r e s s i o n a n d

b e n d i n g . J o u r n a l o f C o n s t r u c t i o n a l S t e e l R e s e a r c h ,

4 5 ( 2 ) , p p . 1 2 5 - 1 4 8 .

G r o n d i n , G . Y . , E l w i , A . E . , a n d C h e n g , J . J . R . ( 1 9 9 9 ) .

B u c k l i n g o f s t i f f e n e d s t e e l p l a t e s - a p a r a m e t r i c s t u d y .

J o u r n a l o f C o n s t r u c t i o n a l S t e e l R e s e a r c h , 5 0 ( 2 ) , p p . 1 5 1 -

1 7 5 .

F a u l k n e r , D . A . ( 1 9 7 5 ) . R e v i e w o f e f f e c t i v e p l a t i n g f o r u s e

i n t h e a n a l y s i s o f s t i f f e n e d p l a t i n g i n b e n d i n g a n d

c o m p r e s s i o n . J o u r n a l o f S h i p R e s e a r c h , 9 ( 1 ) , p p . 1 - 1 7 .

K u l i c k i J . M . , W a s s e f W . G . , S m i t h C . , a n d J o h n s K . ( 2 0 0 5 ) .

A A S H T O - L R F D d e s i g n e x a m p l e h o r i z o n t a l l y c u r v e d

s t e e l b o x g i r d e r b r i d g e . P r o j e c t N o . N C H R P 1 2 - 5 2 ,

N a t i o n a l C o o p e r a t i v e H i g h w a y R e s e a r c h P r o g r a m ,

P e n n s y l v a n i a , U S A .

M a n c e c o r e a w e b s i t e ( 2 0 0 7 ) . T h e m e t h o d o f i m p r o v i n g

s t i f f n e s s a t t h e i n n e r s u p p o r t i n t h e s t e e l b o x g i r d e r .

v i e w e d : J u l y 1 0 , 2 0 0 7 , O n - l i n e v e r s i o n a t h t t p : / /

m a n s e c o r e a . c o m / e n g l i s h / 0 0 - m a n s e 2 . h t m l .

h

s

3 I

s

t

s

3

=

F i g u r e 9 . F l a t - b a r l o n g i t u d i n a l s t i f f e n e r d e s i g n f o r

c o m p r e s s i o n b o t t o m f l a n g e .

T a b l e 5 . S u m m a r y t h e d e s i g n e x a m p l e

T r a n s v e r s e

s t i f f e n e r s p a c i n g

( f t )

I

0

E q . ( 6 )

( i n .

4

)

C h o i c e s t i f f e n e r

F

c r

E q . ( 3 )

( k s i )

t

s

( i n . )

h

s

( i n . )

I

s

( i n .

4

)

1 0 2 . 5 2 5 3 1 . 0 0 9 . 3 2 6 8 7 1 . 1

2 0 5 8 9 5

1 . 0 0 1 4 . 0 9 1 5 7 1 . 1

1 . 2 5 1 3 . 0 9 1 5 7 1 . 1

N o t e : 1 i n . = 2 5 . 4 m m ; 1 k s i = 6 . 8 9 5 M N / m

2

7/28/2019 KSSC_3_2009_9_2_115(C)

8/8

1 2 2 D o D a i T h a n g e t a l .

M i t t e l s t e d t , C . ( 2 0 0 8 ) . E x p l i c i t a n a l y s i s a n d d e s i g n

e q u a t i o n s f o r b u c k l i n g l o a d s a n d m i n i m u m s t i f f e n e r

r e q u i r e m e n t s o f o r t h o t r o p i c a n d i s o t r o p i c p l a t e s u n d e r

c o m p r e s s i v e l o a d b r a c e d b y l o n g i t u d i n a l s t i f f e n e r s .

T h i n - W a l l e d S t r u c t u r e s , 4 6 ( 1 2 ) , p p . 1 4 0 9 - 1 4 2 9 .

S a l m o n , C . G . a n d J o h n s o n , J . E . ( 1 9 9 6 ) . S t e e l s t r u c t u r e s -

D e s i g n a n d b e h a v i o r - E m p h a s i z i n g l o a d a n d r e s i s t a n c e

f a c t o r d e s i g n - F o u r t h e d i t i o n , H a r p e r C o l l i n s , N e w Y o r k ,

N Y .

S h a r p , M . L . ( 1 9 6 6 ) . L o n g i t u d i n a l s t i f f e n e r s f o r c o m p r e s s i o n

m e m b e r s . A S C E J . S t r u c t . D i v . , 9 2 ( S T 5 ) , p p . 1 8 7 - 2 1 2 .

S h e i k h , I . A . , G r o n d i n , G . Y . , a n d E l w i , A . E . ( 2 0 0 2 ) .

S t i f f e n e d s t e e l p l a t e s u n d e r u n i a x i a l c o m p r e s s i o n .

J o u r n a l o f C o n s t r u c t i o n a l S t e e l R e s e a r c h , 5 8 ( 5 - 8 ) , p p .

1 0 6 1 - 1 0 8 0 .

T i m o s h e n k o , S . P . a n d G e r e , J . M . ( 1 9 6 1 ) . T h e o r y o f e l a s t i c

s t a b i l i t y - S e c o n d e d i t i o n , M c G r a w - H i l l B o o k C o . , I n c . ,

N e w Y o r k , N . Y . , U S A .

Y o o , C . H . ( 2 0 0 1 ) . D e s i g n o f l o n g i t u d i n a l s t i f f e n e r s o n b o x

g i r d e r f l a n g e s . I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f S t e e l S t r u c t u r e s ,

1 ( 1 ) , p p . 1 5 - 2 3 .

Y o o , C . H . , C h o i , B . H . , a n d F o r d , E . M . ( 2 0 0 1 ) . S t i f f n e s s

R e q u i r e m e n t s f o r L o n g i t u d i n a l l y S t i f f e n e d B o x - g i r d e r

F l a n g e s . J o u r n a l o f S t r u c t u r a l E n g i n e e r i n g , 1 2 7 ( 6 ) , p p .

7 0 6 - 7 1 1 .