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Jose Ávila

Maracaibo, Diciembre del 2013

LagrangeBiografía

Joseph Louis Lagrange, bautizado como GiuseppeLodovico Lagrangia, también llamado Giuseppe LuigiLagrangia o Lagrange (25 de enero de 1736 en Turín - 10 deabril de 1813 en París) fue un matemático, físico yastrónomo italiano que después vivió en Rusia y Francia.Lagrange trabajó para Federico II de Prusia, enBerlín, durante veinte años. Lagrange demostró el teoremadel valor medio, desarrolló la mecánica Lagrangiana y tuvouna importante contribución en astronomía.

LagrangeDefinición

En los problemas de optimización, losmultiplicadores de Lagrange, nombrados así en honora Joseph Louis Lagrange, son un método para trabajarcon funciones de varias variables que nos interesamaximizar o minimizar, y está sujeta a ciertasrestricciones. Este método reduce el problemarestringido en n variables en uno sin restricciones de n+ 1 variables cuyas ecuaciones pueden ser resueltas.

LagrangeDefinición

Este método introduce una nueva variable escalardesconocida, el multiplicador de Lagrange, para cadarestricción y forma una combinación linealinvolucrando los multiplicadores como coeficientes.Su demostración involucra derivadas parciales, o bienusando diferenciales totales, o sus parientescercanos, la regla de la cadena. El fin es, usandoalguna función implícita, encontrar las condicionespara que la derivada con respecto a las variablesindependientes de una función sea igual a cero.

LagrangeCampo de aplicación

Economía:

La optimización reprimida desempeña un papel central enla economía. Por ejemplo, el problema selecto para unconsumidor se representa como uno de maximizar unafunción de utilidad sujeta a una coacción de presupuesto .El multiplicador Lagrange tiene una interpretacióneconómica como el precio de la oposición asociado con lacoacción, en este ejemplo la utilidad marginal de ingresos .Otros ejemplos incluyen la maximización de la gananciapara una firma, junto con varias aplicaciones macro-económicas.

LagrangeCampo de aplicación

Teoría de control :

En la teoría de control óptimo , los multiplicadores deLagrange se interpretan como constates variables, ylos multiplicadores de Lagrange se formulan de nuevocomo la minimización del hamiltoniano , en elprincipio mínimo de Pontryagin.

LagrangeObjetivos:

Visualizar algunas superficies cuádricas y curvas denivel para distintos valores de la variable z.

Identificar, a través de los simuladores, los puntos(x,y) sobre la curva correspondiente a la funciónrestricción donde la función principal tiene extremos.

Interpretar gráficamente los resultados obtenidosempleando el método de multiplicadores de Lagrange.

Lagrange Objetivos:

Aproximar las soluciones del problema a partir de laobservación en el simulador, de las curvas de nivel dela función principal y la curva correspondiente a lafunción condicionante.

Adquirir habilidad en la resolución de problemas deoptimización en un ambiente computacional.

LagrangeDemostración

El conocimiento del significado de la derivada de una función en un punto, y de la ecuación punto-pendiente de una recta, permiten deducir que la ecuación de la recta tangente en un punto de la curva es:

Donde los pares de puntos (a,f(a)) y (b,f(b)) son una pareja cualquiera de puntos de la curva. Vamos a demostrar que, una vez conocida una pareja de puntos de una curva continua y derivable, existe un punto c contenido en el intervalo (a, b) tal que la pendiente en dicho punto es paralela a la recta que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)).

lagrangeDemostración

Definimos una función:

Puesto que f es continua en [a, b] y diferenciable en (a, b), lo mismo se puede decir de g. Además g satisface las condiciones del Teorema de Rolle ya que:

Por el Teorema de Rolle, como g es derivable en (a, b) y g(a) = g(b), existe un c perteneciente (a, b) tal que g'(c) = 0, y por tanto:

y asi

Método Kuhn TuckerBiografía

Albert William Tucker (28 de noviembre de 1905 – 25 de

enero de 1995) fue un matemático estadounidense nacido en Canadáque realizó importantes contribuciones a la Topología, Teoría dejuegos y a la Programación no lineal.

Metodo Kuhn TuckerDefinición

En programación matemática, las condicionesde Karush-Kuhn-Tucker (también conocidas comolas condiciones KKT o Kuhn-Tucker) soncondiciones necesarias y suficientes para que lasolución de un problema de programaciónmatemática séa óptima. Es una generalización delmétodo de los Multiplicadores de Lagrange.

Metodo Kuhn TuckerImportancia

La importancia de este teorema radica en que nos diceque podemos asociar una función de utilidad a unaspreferencias, esto nos abre la puerta de la potenteherramienta del análisis matemático al estudio delcomportamiento del consumidor.

Metodo Kuhn TuckerCampo de aplicación

Básicamente el procedimiento consiste en resolver elproblema no lineal como uno sin restricciones, luego sila solución óptima de dicho problema no cumple latotalidad o parte de las restricciones del problema seactivan dichas restricciones (en conjunto y/osecuencialmente) y se resuelve nuevamente. Esto serepite hasta llegar a un conjunto de restriccionesactivas cuya solución también satisface lasrestricciones omitidas.

Método Kuhn TuckerCampo de aplicación

Notar que si se han activado la totalidad derestricciones sin encontrar una soluciónfactible, entonces el problema es infectable. Estacaracterística particular de los modelos no linealespermite abordar problemas donde existen economías ode economías de escala o en general donde lossupuestos asociados a la proporcionalidad no secumplen.

Método Kuhn TuckerProblema general de optimización

Consideremos el siguiente problema general:

donde es la función objetivo a minimizar, son lasrestricciones de desigualdad y son las restricciones deigualdad, con y el número de restricciones de desigualdad eigualdad, respectivamente.