Kuliah 2 Aljabar MAtrik4.ppt

8/19/2019 Kuliah 2 Aljabar MAtrik4.ppt

1/52

PENGANTAR MATRIKS

1


2/52

MATERI

• Kesamaan matriks• Penjumlahan matriks• Perkalian matriks dengan skalar • Perkalian dua matriks• Matriks inverse

2


3/52

MATRIKS

• Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang terdiri atas baris-baris

dan kolom-kolom

• Masing-masing bilangan dalam matriks disebut entri atau elemen

!rdo "ukuran# matriks adalah $umlah baris kali $umlah kolom

a11 a12…….a1j ……a1n

a21 a22 ……a2j…….a2n : : : :ai1 ai2 ……aij…….. ain: : : :am1 am2……amj……. amn

A = baris

kolomNotasi%Matriks% A & 'ai$(

Elemen% "A#i$ & ai$

!rdo A% m ) n3


4/52

MATRIKS PERSEGI

Matriks *ersegi "bu$ur sangkar# adalah matriks yang $umlah baris

dan $umlah kolom sama

1 2 4

2 2 2

3 3 3

Tra+e"A# & , . /

Tra+e dari matriks adalah $umlahan elemen-elemen diagonal utama

diagonal utama

4


5/52

Matriks Segitiga

• Matriks persegi ang semuaentri di ba!ah diagonalutamana nol disebut matrikssegitiga atas.

• Matriks persegi ang semuaentri di atas diagonalutamana nol disebut matrikssegitiga bawah.

=

44

3433

242322

14131211

000

00

0

a

aa

aaa

aaaa

A

=

44434241

333231

2221

11

0

00

000

aaaa

aaa

aa

a

A

5


6/52

MATRIKS NOL DAN IDENTITAS

matriks nol adalah matriks ang semua elemenna nol

0 000 0

0 0

1 0

0 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

I 2

I 3

I 4

matriks identitas adalah matriks persegi ang elemen diagonal utamana 1dan elemen lainna "

6


7/52

KESAMAAN DUA MATRIKS

• #ua matriks sama jika ukuran sama dan setiap entri ang bersesuaian sama.

1 2 4

2 1 3$ %

1 2 4

2 1 3& %

1 2 22 1 3

' % 2 1 22 1 3

# %

1 2 4

2 2 2( %

x 2 4

2 2 2) %

2 2 2

4 * +

, " -

% / %

0 0 0

0 0 0

0 0 0

$ % &

' #

( % ) jika % 1

% /2 2 2

4 * +

, " -

7


8/52

PENJUMLAHAN DUA MATRIKS

* + 1

- 2 3

' % 2* 3" *

3* 1" 1*

# %

' # %0 0 0

0 0 0

1 4 , 3 - " * , 13

K % - 3 12 4 * , 4 3

5 %

K 5 %0 0 00 0 0

0 0 0

# ' %

5 K %

8


9/52

• 'ontoh

1" 221 1

$ % 2 +- *

& %

1"2 22+

1- 1*

$ & %12 26

6 4

%

6 1+

+ +%$ & % 1"2 22+

1- 1*

dua matriks da*at di$umlahkan0 $ik ordo dua matriks

tersebut sama

A & 'ai$( dan 1 & 'bi$( berukuran sama0

A 1 dide2inisikan% "A 1#i$ & "A#i$ "1#i$ & ai$ bi$

9


10/52

PENJUMLAHAN DUA MATRIKS

• Quiz:

1. C + D =…

2. C + E = …

3. A + B = …

3 6 "

4 - 2

1 6 4

' % # %3 - 2

* 2 +

1 6 4( %

2 - 2

* 2 +

" " "

" " "$ %

" " "

" " "& %

+ 1 2

, , 6

2 1+ 6

' # %

10


11/52

PERKALIAN SKALAR DENGAN MATRIKS

• 3ontoh%

* + 1

- 2 3$ % *$ % 4)4 4)5 4),

4)6 4). 4)/

.4 /7 4

/4 ,7 ,4%

2*" 3"" *"

3*" 1"" 1*"/ %/ % *"$

'atatan: Pada himpunan Mmn7 perkalian matriks dengan skalar bersi8attertutup 9menghasilkan matriks dengan ordo ang sama

8iberikan matriks A & 'ai$( dan skalar +0 *erkalianskalar +A mem*unyai entri-entri sebagai berikut%

"+A#i$ & +"A#i$ & +ai$

$pa hubungan / dengan $0

11


12/52

HASIL KALI SKALAR DENGAN MATRIKS

• K 3 3

1 4 , 3 - " * , 13

K %

* 2" 4*1* 3* "

2* 4* +**K %

4 1+ 3+ 12 26 "

2" 3+ *2

4K %

12


13/52

PERKALIAN MATRIKS

2 3 4 *

6 - , 4

1 * - 6

$ %

1 2

- +

4 ,

11 3

& %

$ & %2.1 3.-4.4*.11 3*

4, 3*

,4 **

94 3*

4, 3*

,4 **

%

13


14/52

Perkalian matriks (lanjutan)8e2inisi%

9ika A & 'ai$( berukuran m ) r 0 dan 1 & 'b i$( berukuran r ) n0 maka matriks

hasil kali A dan 10 yaitu 3 & A1 mem*unyai elemen-elemen yang

dide2inisikan sebagai berikut%r

; aik bkj % ai1 b1j ai2 b2j………air brjk % 1

9'ij % 9$&ij %

2 3 4 *

6 - , 4

1 * - 6

$ %

1 2

- +

4 ,

& %


15/52

Perkalian matriks (lanjutan)

2 3 4 *

6 - , 4

1 * - 6

$ %

1 2

- +

4 ,

11 3

& %

$ & %2.1 3.-4.4*.11 3*

4, 3*

,4 **

94 3*

4, 3*

,4 **

%

&$ tidak dide8inisikan

15


16/52

PERPANGKATAN MATRIKS

'ontoh:

2 31 2

$ %

$2 % 2 31 2

2 31 2

$3 % $ $2 % 2 31 2

2 31 2

2 31 2

$" % >

$n %

n 8aktor

$nm % $n $m

{$ $ $ …$

16


17/52

Penyajian Sistem Persamaan Linear(SPL) dalam persamaan matriks

• =P5 dalam bentuk:

• dapat disajikan dalam bentuk persamaan matriks:

a111 a122 a133 ….. ..a1nn % b1

a211 a222 a233 …….a2nn % b2:

am11 am22 am33 ……amnn % bm

a11 a12……...a1na21 a22 ……..a2n : : :

am1 am2…… amn

12:

n

%

b1 b2

:

bn A: matriks koefisien

Ax = b

x b

17


18/52

Contoh: Penyajian SPL denganpersamaan matriks

x1 2 x2 x3 % + x2 x3 % 1

4 x1 2 x2 x3 % 4

=P5

1 2 1

" 1 1

4 2 1

x1

x2

x3

%

+

1

4

1. x1 2. x2 1. x3

". x1 1. x2 1. x3

4. x1 2. x2 1. x3

%

+

1

4

18


19/52

Perkalian dengan matriks identitas

1 0 0

0 1 0

0 0 1

A= 1 2 3

7 5 6

-9 3 -7

A.I =

1 2 3

7 5 6

-9 3 -7

=

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I.A =

=

1 2 3

7 5 6

-9 3 -7

1 2 3

7 5 6

-9 3 -7

1 2 3

7 5 6

-9 3 -7

19


20/52

Perkalian dengan matriks identitas

1 4 , 3 - " * , 13

1 4 , 3 - " * , 13

$& = $ dan &$ % $7 maka & % >

9> matriks identitas

1 " "" 1 " " " 1

1 " "" 1 " " " 1

%

%

1 4 , 3 - " * , 13

1 4 , 3 - " * , 13

$ $>> $% %

20


21/52


22/52


23/52

Invers Matriks

• (:

'arilah invers dari

Penelesaian:

9&agaimana jika matriksna tidak 22000

−

−=

31

52 A

=

=

−−−

=−

21

53

21

53

1

1

21

53

)1)(5()3(2

11 A

23


24/52

d b

ab@d ab@d@ a

ab@d ab@d ÷

Inverse matriks 2x2

4 2

2 2

? ?

? 1

1 "

" 1

d b@ a

1ad b@

Aika ad Bb@ % " maka $ #$K mempunai inverse.

%

$ >$1

a b@ d

$1 1 "" 1

%

$1 % %

24


25/52

Invers Matriks

• (:

'arilah invers dari

Penelesaian:

9&agaimana jika matriksna tidak 22000

−

−=

31

52 A

=

=

−−−

=−

21

53

21

53

1

1

21

53

)1)(5()3(2

11 A

25


26/52

Contoh Inverse matriks 2x2

3 2

4 1

$ %

>%

1 23.14.2 3.14.2

343.14.2 3.14.2

÷ %$

1

1 2* *

34* *

−

÷−

26


27/52

Invers Matriks Diagonal

• Aika diketahui matriks diagonal

maka inversna adalah

=

nd

d

d

D

...00

...

0...0

0...0

2

1

=−

nd

d

d

D

1...00

0...1

0

0...01

2

1

1

27


28/52

Transpose

#e8inisi:


29/52

Matriks Simetri

Matriks $ disebut simetris jika dan hana jika $ % $<

4 2

2 3

$ % 4 2

2 3

$C % $ simetri

1 2 3 42 * - "

3 - 6 24 " 2 ,

$ % % $<

29


30/52

Matriks ortogonal

Matriks $ orthogonal jika dan hana jika $


31/52

Sifat-sifat transpose matriks

$ $< 9$


32/52


2. 9$&< % $< &<

$&

9$&<

<

&<

&

<

$

<

$<%%

32


33/52


3. 9k$


34/52


4. 9$&


35/52

Sifat-sifat

1. >nverse dari matriks jika ada adalah tunggal:

Aika & % $1 dan ' % $17 maka & % '

4 22 2

$ %

? ?

? 1$1

4 2

2 2

1 "

" 1

2. 9$11 % $

0

9$11

% ? ?

? 1

$1 %

$

35


36/52

Sifat-sifat (lanjutan)

3. Aika $ mempunai inverse maka $n mempunai inverse dan

9$n41 % 9$41n7 n % "7 17 27 37…

4 2

2 2

$ %

4 2

2 2$3 % 4 2

2 2

4 2

2 2

? ?

? 1

$1 %

%1"4 +4

+4 4"

9$31 % ".+2* 1

1 1.+2*

9$13 % ".+2* 1

1 1.+2*

? ?

? 1

? ?

? 1

? ?

? 1%

sama

36


37/52


38/52

38


39/52

Determinan Matriks 2x2 (1)

• Aika $ adalah matriks persegi7 determinan matriks $ 9notasi: det9$ adalah

jumlah semua hasil kali dasar bertanda dari $.• Aika diketahui matriks berukuran 227

maka determinan matriks $

adalah: det 9$ % H$H % adb@

=

d c

ba A

39


40/52


• (:

Aika diketahui matriks

maka H P H % 92* B 934 % 2

9&agaimana kalau matriksna tidak berukuran 22000

=

54

32P

40


41/52


• Intuk matriks berukuran 337 maka determinan matriks dapat di@ari dengan

aturan =arrus.

41


42/52


• (:

)2)(4(1)1)(4(2)3)(5(3)2)(4(3)3)(4(2)1)(5(1

23

54

21

123

454

321

−−−++=

42


43/52

Determinan Matriks nxn (1)

• Intuk matriks nn7 digunakan ekspansi ko8aktor.

43


44/52


• Ko8aktor dan minor hana berbeda tanda @ ij % ± Mij.

• Intuk membedakan apakah ko8ator pada ij bernilai atau 7 bisa dilihat padagambar ini7 atau dengan perhitungan @ij % 91ij Mij.

44


45/52


• #eterminan matriks dengan ekspansi ko8aktor pada baris pertama

45


46/52


• (:

46


47/52

Adjoint Matriks (1)

• Aika diketahui matriks 33

• Ko8aktor dari matriks tersebut adalah:

@11%, @12%6 @13%2

@21%3 @22%1 @23%4

@31%+ @32%12 @33%3

• Matriks ko8aktor ang terbentuk

−

−

122

410

213

−−−−

−

3126

413

289

47


48/52

Adjoint Matriks (2)

• $djoint matriks didapat dari transpose matriks ko8aktor7didapat:

−−− −−=

−−−− −

342

1218

639

3126

413

289 T

48


49/52

Invers Matriks nxn (1)

• Jumus:

dengan det9$≠"• (: 'ari invers dari

−

−=

122

410

213

A

49


50/52

Invers Matriks nxn (2)

Penelesaian:• det9$%3919191949229"9229192929493

19"91

%3-"424" %1+• $djoint $ %

• Maka $41 %

−−−−−

342

1218

639

−−−−−

=

−−−−−

16/34/18/1

4/316/12/1

8/316/316/9

342

1218

639

16

1

50


51/52

TUGAS

Tentukan hasil kalinya $ika terde2inisi

• $ & % 00

• $' % 00• % 00

• '# % 00• #& % 00

2 3 4 * 4 - , " 2 3 * +

$ %1 2

, " 6 " * +

& %

- 11 43 * +

' % 1 6 , * + 2 * + , " " 4 - 6 ,

# %

51


52/52

TUGAS

1. Kapan matriks #$K mempunai inverse0a b

c d

2.

Date post:	07-Aug-2018
Category:	Documents
Upload:	nazirussalim
View:	224 times
Download:	0 times

Kuliah 2 Aljabar MAtrik4.ppt

Documents