8/16/2019 KULIAH Teori Antrian2

http://slidepdf.com/reader/full/kuliah-teori-antrian2 1/17

Teori Antrian

8/16/2019 KULIAH Teori Antrian2

http://slidepdf.com/reader/full/kuliah-teori-antrian2 2/17

Model Sistem Antrian

Server 1

Server 2

Server cτ  : jarak antarkedatangan

λ  : rate rata-ratakedatangan

q : lamadalam antrian

w : total waktusejak mengantri

hingga selesaidilayani

s : waktulayanan

c : jumlahserver

Nq : jumlah

pengantri(steady

state)

N : jumlah yangdalam sistem (steady

state)

Ns : jumlah

yang sedangdilayani

(steady state)

8/16/2019 KULIAH Teori Antrian2

http://slidepdf.com/reader/full/kuliah-teori-antrian2 3/17

Spesikasi Sistem

Antrian !erdapat c server dalam sistem antrian

"ustomer #erdatangan rata-rata (arrival rate)

λ  per satuan waktu$ dan jarak antarkedatangannya (interarrival rate) adalah τ 

Server melayani customer rata-rata (servicerate) dalam waktu  µ  per customer per server

8/16/2019 KULIAH Teori Antrian2

http://slidepdf.com/reader/full/kuliah-teori-antrian2 4/17

%ro#a#ilitasPn(t ) pro#a#ilitas terdapat n customer dalam

sistem antrian pada saat t 

Pn

 pro#a#ilitas steady state terdapat n customer

8/16/2019 KULIAH Teori Antrian2

http://slidepdf.com/reader/full/kuliah-teori-antrian2 5/17

&tilisasi Serverutilisasi server  ρ  ' λ c µ  

8/16/2019 KULIAH Teori Antrian2

http://slidepdf.com/reader/full/kuliah-teori-antrian2 6/17

Sum#er%opulasiisa nite$ #isa innite

*nnite le#ih mudah dimodelkan secaramatematis karena jumlah customer dalam

sistem antrian akan mempengaruhi arrival rate

8/16/2019 KULIAH Teori Antrian2

http://slidepdf.com/reader/full/kuliah-teori-antrian2 7/17

%ola +edatangan (Arrival %attern)Selain arrival rate$ juga penting adalah

#agaiman pola #agaimana kedatangancustomer ,ika jarak antara kedatangan yang tetap maka

sistem layanan dapat mem#erikan layananle#ih #aik daripada kedatangan #ersiatmengelompok (mem#entuk cluster)

 ,ika antar kedatangan adalah eksponensialmaka pola kedatangan ts# dise#ut %rosespolakedatangan %oisson (atau random) yangmem#awa siat Markov

8/16/2019 KULIAH Teori Antrian2

http://slidepdf.com/reader/full/kuliah-teori-antrian2 8/17

.istri#usi /aktu 0ayanan/alaupun asilitas layanan memiliki c server

namun secara keseluruhan #iasanya dimodelkandengan satu ungsi distri#usi waktu layanan

Misalnya setiap server memiliki waktu layananeksponensial dengan rate  µ $ maka se#agaisuatu kesatuan layanan memiliki rate c µ 

Model-model distri#usi waktu layanan

ksponensial$ rlang-k $ konstan$hypereksponensial

8/16/2019 KULIAH Teori Antrian2

http://slidepdf.com/reader/full/kuliah-teori-antrian2 9/17

.istri#usi /aktu 0ayananksponensial%aling umum digunakan untuk memodelkan

keacakan waktu pelayanan

/aktu layanan eksponensial dise#ut layananacak dengan rate  µ  memiliki distri#usi W s(t )

Average service rate  µ  ' 1E3s4

t 

 s  et  s P t W   µ −

−=≤=   1][)(

8/16/2019 KULIAH Teori Antrian2

http://slidepdf.com/reader/full/kuliah-teori-antrian2 10/17

.istri#usi /aktu 0ayanan

5ypereksponensial&mumnya untuk mendeskripsikan distri#usi waktu

layanan degan variansi yang sangat #esar relatiterhadap harga mean (σ 2 66  µ )

8/16/2019 KULIAH Teori Antrian2

http://slidepdf.com/reader/full/kuliah-teori-antrian2 11/17

+apasitas Sistem

Maksimum.alam sejumlah sistem kapasitas antrian

#erhingga + 

.alam kasus-kasus lainya #isa tak #erhingga

0oss system: memiliki kapasitas 7

Misalnya sistem dial telepon

8/16/2019 KULIAH Teori Antrian2

http://slidepdf.com/reader/full/kuliah-teori-antrian2 12/17

 ,umlah ServerSingle-server system

Multi-server system

Infnite-server system

Setiap customer yang datang$ langsungmendapatkan pelayanan

8/16/2019 KULIAH Teori Antrian2

http://slidepdf.com/reader/full/kuliah-teori-antrian2 13/17

.isiplin

Antrianpelayanan8"8S

0"8S

9SS (random-selection service) atau S*9 (servicein random order)

%9* (%riority service)

8/16/2019 KULIAH Teori Antrian2

http://slidepdf.com/reader/full/kuliah-teori-antrian2 14/17

;otasi +endalSuatu sistem didenisikan dalam #entuk notasi

AcK m Z  A interarrival time distri#ution

distri#usi waktu layanan c jumlah server

+ kapasitas antrian

m jumlah source

< disiplin antrian

8/16/2019 KULIAH Teori Antrian2

http://slidepdf.com/reader/full/kuliah-teori-antrian2 15/17

=arian untuk A atau >*: general independent interarrival time

>: general service time distri#ution

5k: k-stage hypere?ponential

k: erlang-k 

M: e?ponential

.: deterministik

8/16/2019 KULIAH Teori Antrian2

http://slidepdf.com/reader/full/kuliah-teori-antrian2 16/17

&kuran-ukuran %erormance

Antrian&ntuk

E3s4 '1 µ  waktu layanan rata-rata per server

E3τ 4 '1λ  waktu antar kedatangan rata-rata

Trac Intensity   u ' E3s4E3τ 4 ' λ E3s4 'λ/µ 

Server utiliati!n    ρ  'uc " λ/µ c

8/16/2019 KULIAH Teori Antrian2

http://slidepdf.com/reader/full/kuliah-teori-antrian2 17/17

"ontohSistem antrian dengan E3s4 '1 µ  ' 17s dan 3τ 4

'1λ  ' 27s &tilisasi (server ts# si#uk) ρ  ' u " λ/µ c ' 1727 ' @7

&ntuk server dengan E3S4 '1@s (le#ih lam#at)$menghasilkan utilisasi ρ  ' u " λ/µ  ' 1@27 ' B@

&ntuk server dengan E3S4 'C7s (jauh le#ihlam#at)$ menghasilkan utilisasi

 ρ  ' u " λ/µ  ' C727 ' 1@7$memerlukan penam#ahan server sehinggadengan c ' 2 maka ρ  'uc " #$%