L3: cours Graphes I6S3 Partie II: coloration de graphe
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Olivier Togni, LE2I(038039)3887
Modifie le 12 mars 2008
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Plan
1. Motivation et applications
2. Definitions et proprietes
3. Graphes planaires
4. Graphes parfaits
5. Elements avances
6. Aspects algorithmiques
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Ressources bibliographiques
I Reinhard Diestel, Graph Theory, Springer-Verlag, 2005. Chap.
5 : colouring, PP. 111-138. Edition electronique :
www.math.uni-hamburg.de/home/diestel/books/graph.theory/GraphTheoryIII.pdf.
I Claude Berge, Graphes et hypergraphes, Dunod, 2eme edition(1973), Chap. 15 : Nombre chromatique, pp. 314-346, Chap. 16 :
Graphes parfaits, pp. 347-370, Chap. 12 : Indice chromatique, pp.
236-259.
I http ://mathworld.wolfram.com/topics/GraphTheory.html
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Motivation et applications
Pourquoi la coloration de graphe
1. Probleme central en theorie des graphes :I probleme de coloration de cartes en au plus 4 couleurs (De
Morgan, 1852)I conjecture des graphes parfaits (Berge, 1963)
2. Nombreux champs d’application, notamment pour les STIC :I optimisation avec contraintes : ordonnancement, planningI systemes : allocation de registres, ordonnancement de tachesI reseaux : allocation de ressourcesI cryptographie, securite, tatouageI tests de circuits VLSII reconnaissance de motifsI analyse des donnees biologiques et archeologiques
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Motivation et applications
De l’allocation de registres...
for (i=0;i<ng;i++){tab[i]=tabg[i];}tab[ng]=pivot;for (j=0;j<nd;j++){tab[j+ng+1]=tabd[j];}
nd
i
pivot j
ng
⇒ pas de conflit avec 3registres
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Motivation et applications
aux Reseaux tout-optiques...
A
B
C
D
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Motivation et applications
en passant par le Sudoku
Le sudoku est un cas particulierde carre latinCompleter la grille de sudokuest equivalent a completer lacoloration d’un graphe de 81sommets precolore
Nombre de grilles 9× 9 ayant une unique solution :6, 670, 903, 752, 021, 072, 936, 960
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Definitions et proprietes
Coloration de graphes
Definition
Une k-coloration d’un graphe non oriente G = (V ,E ) est uneapplication f : V → C , ou C est un ensemble de k couleurs (quel’on peut prendre egal a {1, 2, . . . k}) telle que pour toute aretexy ∈ E , on ait f (x) 6= f (y) (condition de proprete).
Un graphe qui admet une k-coloration est dit k-coloriable.
Remarque : une k-coloration est une partition de V (G ) en kensembles independants (stables).
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Definitions et proprietes
Nombre chromatique
Definition
Le nombre chromatique χ(G ) d’un graphe G est le plus petitentier k tel que G soit k-coloriable.Si χ(G ) = k, G est dit k-chromatique.
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Definitions et proprietes
Resultats de base
Propriete
Pour tout graphe G, χ(G ) ≥ ω(G ),ou ω(G ) est la taille maximum d’une clique de G.
Propriete
Pour tout graphe G d’ordre n, χ(G ) ≥ nα(G) ,
ou α(G ) est le nombre de stabilite de G (taille maximum d’unensemble de sommets independants).
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Definitions et proprietes
Algorithme de coloration glouton
1. Definir un ordre quelconque x1, x2, . . . , xn des sommets de G
2. Pour i de 1 a n, faire colorier xi avec la plus petite couleurnon utilisee par un de ses voisins deja colorie.
Cet algorithme colorie tout graphe G en au plus ∆(G ) + 1couleurs, ou ∆(G ) est le degre maximum des sommets de G .
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Definitions et proprietes
Encadrement du nombre chromatique
Propriete
Pour tout graphe G d’ordre n,
max
{ω(G ),
n
α(G )
}≤ χ(G ) ≤ ∆(G ) + 1.
ω = 4, α = 3,∆ = 5
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Definitions et proprietes
Theoreme de Brooks
Theoreme
Pour tout graphe G, χ(G ) = ∆(G ) + 1 si et seulement si G est uncycle impair ou un graphe complet (autrement, χ(G ) ≤ ∆(G )).
Theoreme
χ(G ) = 2 si et seulement si G ne contient pas de cycle impair (Gest biparti).
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Definitions et proprietes
Nombre chromatique et cliques
Theoreme (Zykov, 1949)
Pour tout k, il existe des graphes k-chromatiques sans triangle.
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Graphes planaires
Graphes planaires
Definition
Un graphe est planaire s’il peut etre dessine sur le plan (ou lasphere) de sorte qu’aucune arete n’en coupe une autre. Une faceest une region connexe du plan delimitee par des aretes (la face“exterieure” est infinie sur le plan, les faces sont toutes finies sur lasphere).
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Graphes planaires
Caracterisation des graphes planaires
Definition
Une substitution d’un graphe H est un graphe H ′ obtenu enplacant sur chaque arete de H, 0, 1 ou plusieurs sommets de degre2.
Theoreme (Kuratowski, 1930)
Un graphe G est planaire si et seulement si il ne contient pas desubdivision de K5 ou de K3,3.
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Graphes planaires
Coloration des graphes planaires
Theoreme (Appel & Haken, 1976)
Tout graphe planaire est 4-coloriable.
Idees de la preuve :
I il existe un ensemble de 1482 configurations inevitables, c’esta dire que tout graphe planaire triangule contientnecessairement l’une de ces configurations commesous-graphe.
I ces configurations sont reductibles, c’est a dire qu’une4-coloration d’un graphe planaire contenant l’une de sesconfigurations peut toujours etre obtenue a partir d’une4-coloration d’un graphe planaire plus petit.
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Graphes planaires
Coloration des graphes planaires
Theoreme (Grotzsch, 1959)
Tout graphe planaire sans triangle est 3-coloriable.
Theoreme (Askionov, 1974)
Tout graphe planaire avec au plus trois triangles est 3-coloriable.
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Graphes planaires
Graphes de genre g
Definition
Une surface orientable de genre g est homeomorphe a une spherepossedant g “trous”. Le genre d’un graphe est alors le genreminimum d’une surface sur laquelle G est representable (sanscroisement d’aretes). Une surface orientable de genre 1 est un tore.
Theoreme (Heawood, 1890, Ringel & Young, 1968)
Tout graphe de genre g peut etre colorie en utilisant b7+√
1+48g2 c
couleurs (ce nombre est appele nombre de Heawood).
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Graphes parfaits
Graphes parfaits
Definition
Un graphe G est parfait si pour tout sous-graphe induit H de G ona χ(H) = ω(H).
Theoreme (Lovasz, 1972)
Un graphe G est parfait si et seulement si le complementaire de Gest parfait.
Theoreme (Chudnovsky, Robertson, Seymour et Thomas,2002)
Un graphe G est parfait si et seulement si ni lui ni soncomplementaire ne contiennent de cycle impair induit de longueurau moins cinq.
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Graphes parfaits
Exemples de graphes parfaits
I graphes bipartis
I graphes d’intervalles
I graphes de comparabilite
I graphes triangules
I ...
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