Sobre la formula de stirlingPgina 1 POR: GUILLERMO ENRIQUE PALENCIA MENDOZA UnanocheescuchandounodeesossolosfrenticosdeCharlieParker sumergidoenelxtasisdesusaxofnbartono.Meindaguesobreelingenio humano y sobre el poder del ingenio sobre las elaboraciones tericas. Y sobre todolapiedra filosofalqueconstituyelacreacinhumanacomo universalyla creacin matemtica como singular. Ycuandohablamosdecreacinentrminosgeneralnostropezamoscon piezas maravillosas sea en las artes o en la ciencia y la existencia experimenta alcontemplarlaciertovacoenelegoseguramente,aunqueyolellamaraa esasensacinindefinibledeasombroperpetuosinoperplejidadentonces pavorsobre su sustancia y el indicio eidtico de quealgo bello coexiste en su tejido sea cual fuere, y sin duda eso bello va mas all del estereotipo. Entonces nospreguntamoscomoestaspiezasmaravillosasnosatraviesaesos sentimientos tan confusos?. CuandotropecconlaCarminaBuranadeCarlOrffyluegoconsu continuacinCatulliCarminayTrionfoDiAfroditenosoloestabaantealgo majestuosoybellosinoaterrador.AsmesucediconlaQuintaSinfonade Beethovenyhayalgocuriosocuandoestabanioporprimeravezmisodos haban escuchado la Obertura de As Habl Zaratustra del compositor Richard Strausstambinsentesasensacindevrtigoalodesconocidoysal corriendo a esconderme debajo de la cama y taparme los odos, situacin por supuesto aprovechada por mis tos para motivo de sus burlas. Desde entonces saba que algo aterrador y vertiginoso esconda esas notas musicales que me horrorizaba.Despusdemuchosaosdeindagarmevolvaenfrentaraesa gran pieza clsica y donde nio solo vea terror, de adulto solo vea belleza. En matemticas siempre me ha sucedido exactamente lo mismo desde ser un estudiantequeodiabaestamateriahastaahoraencontrndolecadadamas encanto,ascomounagigantescacajadepandoraqueescondemuchos secretos.Algunosdeellossonresultadodeunaacumulacinhistricaque estrellaenunaccidentemsalldelassedimentacionesenlosbordesdel conocimiento.Siempreestosdestelloslollamamosgenialidad,iluminacin, ingenio, yo lo llamara indagacin producto de una necesidad en el centro del hecho,ydesdeelhechomismolaverdadmatemticasehacehermosay elegante sino miren esta formula ) 1 . p ( senx . i x cos eix+ = Sobre la formula de stirlingPgina 2 No solo muestra los alcances, los destellos dela genialidad de Leonard Euler, sinoquesintetizadeformahistricaysinquererlolaunindedosfunciones transcendentalesdemuchoestudiocomoson(lasfuncionesexponencialesy las funciones trigonomtricas) y he all la pregunta originaria Cmo es posible encontrar una relacin entre las funciones exponenciales y las trigonomtricas? Ahora en el sentidoprctico si hacemos (p.2) . x t = conseguimos una de quevinculaacuatrodelosimportantesnmerosmagistralesdelahistoria:e, pi, i (unidad imaginaria) y 1, quedando as:algunas formulas traenconsigounaversatilidadmasalldesussimplesyaparentesalcances tericos,asporejemploquienfueraasospecharquelaformuladelteorema del binomio: ampliada para n distintos de los enteros, fuera el germen de un campo fascinante: el desarrollo de las series de potenciasymasaunlaseriedeTayloryMcClaurin,ampliartantosus posibilidadeshastaquedarp.4enlasiguiente formula, muestralo majestuoso que representa el pensar matemtico: Para { } e Q , Z wasalgunasfuncionestranscendentalessonseriesde potencias para algunos valores de w. ahora cuando me tropec con la formula del matemtico escocs James Stirling:

Me sobrevino de un modo diferente esa sensancion como si estuviera de nio escuchandolaOberturadeAsHabloZaratustradeStraussymedijeesta formula no deja de ser bella pero es profundamente imposible y aterradora en elprimeromomentoquetuvecontactoconella.Laprimerapreguntafue Cmoesposible?Cmosehalogrado?Yesentoncescuandocomprend quealigualqueenmuchasotrasobrasdearteininteligibledelWasily Kandinsky, de Willian Turner o las mismas piezas sonoras de Charlie Parker, la bellezaestabaallmostrandonossusdesafosygenialidadalosqueapenas nos asomabamos a contemplarlas, extraa y horrorosa a los neofitos. Sin duda lacreacionmatematicasdelaqueyasesospechaenestaformulame recuerda las palabras del celebre matematico Henri Poincar: Qu es realmente la creacin matemtica?. No consiste en organizar nuevascombinacionesdeentidadesmatemticasyaconocidas.Estoesalgoque cualquierapuedehacer,sibientalescombinacionessoninnumerablesyla Sobre la formula de stirlingPgina 3 mayorpartedeellascareceporcompletodeinters.Crearconsiste precisamente en no hacer combinaciones intiles y s, en cambio, aquellas que son tiles, que son muy pocas. La invencin es discernimiento, eleccin. Y sigue: Sabemos que esta sensacin, esta intuicin del orden matemtico, la que nos hace adivinar armonas y relaciones ocultas, no puede ser poseda por todo el mundo. Hay quienes no tendrn esta delicada sensacin, tan difcil de definir, o cuyamemoriaocapacidaddeatencinnosuperarnloordinario,loqueles incapacitar por completo para comprender las matemticas superiores. Tal es el caso de la mayora. No faltar otros que, aunque poseyendo la sensacin en gradomnimo,estarndotadosdeunamemoriainusualydeunagran capacidad de atencin. Estos se aprendern de memoria los detalles, uno tras otro;podrnentenderlasmatemticas,yhastaaplicarlas,peronopodrn crear.Yhayquienes,enfin,poseernenmayoromenorgradolaintuicin especialalaquemeestoyrefiriendo;stos,nosoloentendernlas matemticas,aunquesumemorianotenganadadeextraordinario,sinoque podrncrearlas,esforzndoseporinventar,empeoenelquetendrnmso menosxito segn est de desarrollada su intuicin.1 Loquepoincarrefiereaquloencontramosnaufraganteenesteincreible desarrollo. Hay que tener una intuicion muy fina y reposada, y una paciencia de encontrarrelacionesocultasenmediodelcaosdelainformacionydela naturalezaparalograasociarideasqueantesnosparecaabsurda.Nos tropezamos ante una formula aterradora producto de una creacion y creatividad sublimeenlosbordesdelosdesarrollosasintoticos.Enestecampodelas matematicas donde el infinito como una caja de pandora, como el sombrero del conejoenlaobra de aliciaenelpaisdelasmaravillassolodsorpresasque unonoesperaenenelmasacmatematico.Cuandounoentraatrabajarel infinitosealamiradacualfuerelascosascambianirremediablementeyla aritmetica convencional se comporta de otra manera. Ahoraesimportanteindicarqueeste desarrolloasintoticoporprimeravezfue publicadoenlaobraMethodusDifferentialistrabajoquenosoloestudiaba seriesinfinitas,interpolacionsinoquehacaunaportesobreelestudiodela curvatura.Sinembargoenestaprimerapublicacionestabaas donde por supuesto haca falta el valor de c(n) me algunos aos mas tarde descubri el mismo matematico comot 2Ahora miremos algo esta extraa aproximacion puede verse como:

1 parte primera de la conferencia dictada 1903, en la Sociedad Psicolgica de Pars, y cuyas ideas tienen todava un cierto impacto en nuestra sociedad, cuando estamos a la entrada del tercer milenio. Tomada de la pagina http://casanchi.comSobre la formula de stirlingPgina 4 AhoradesdeExcelrealizamoscuantoseasemejanestadosexpresionessi realmente tiende a 1 cuando n tiende al infinito

Calculando los errores presente Al estimar el error clasico determinamos como disminuye considerablemente su distanciayhaceadhocprocesoidentico,miremossusgraficas,ambas coincidenSobre la formula de stirlingPgina 5 Volviendo a lo fundamental esta formula que en su momento me produjo cierta crisis en cuanto a lo que s, en cuanto a mis herramientas teoricas deban ser superadasyenmitrayectocotidianoyporesomepropuseencontrarlos mediosparallegaraellaatravesdeunademostraciondeductiva.Asque empecatrabajarsobreunhechofundamental,masomenospordecirlode esta manera: tenemosdossucesionesasintoticamentesemenjantes.Queremossabersi esasdossucesionesconvergenyparaellodebemosencontrarunvalorque logracrearsucotasuperior,sinembargoaesasdossucesionesque representanalamismaequivalencianosdunacotadistintaentonces escojemos su menor cotaesta idea en terminos matematicos se expresa: Determinamosquelasucesionessederivandelaanteriorexpresinde equivalencia de la formula de Stirling

Sabemos que b(n) es mas fcil de encontrarle su cota superior que a(n) puesto que como tiene exp(-n) esto permite decrecer mas rpido que el crecimiento de raz(2*pi*n)porestaraznbuscamoslacotasuperiordea(n)yparaello encontramos 6 herramientas matemticas fundamentales para lograr esto que se enuncia a continuacin: 0500010000150002000025000300003500040000450000 2 4 6 8 10fact(n)strilingSobre la formula de stirlingPgina 6 P.P.1: CRITERIO DE LA RAIZ P.P.2: el nmero de Euler expresado como lmite: P.P.3:CRITERIODESTOLZ:si = nnnalimbya(n)escrecienteyb(n) creciente entonces tenemos que: P.P.4: si P.P.5: P.P.6: 11=/ nLnA LnAn Ahora procedemos a encontrar la cota con estas herramientas y para ello sobre lasucesinaplicamoselcriteriodelaraz,entoncesprocedemosasconlos siguientes pasos: = =nnn nn n nn! n!lima lim limn n Aplicamoselcriteriode la raz =nnnn!M limn Existencia de un limite o cota superior=nnnn!LnM Ln limn Aplicamos P.P.5 Aplicamos P.P.6 ( )( )1111= n nnn ! n!Ln LnnnLnM limn ( n ) Aplicamos elCriterio de Stolz P.P.3 11< > nn nnn nnsea x una sucesion de numeros realies no negativos entonces:a) silim x x convergeb) silim x x diverge Sobre la formula de stirlingPgina 7 ( )( )1111=n nnn ! n!Ln /nnLnM lim Propiedad de logaritmos( ) ( )( )11 111 =n nnn. n ! n !Ln /nnLnM lim Definicin de factorial( ) 1 = n! n. n ! ( )11=nnnn. nLnM limLnn Anulamostodolo semejanteyaplicamos la divisin de fracciones( )111=nnnnLnM limLnn Propiedaddepotencia defracciones 11=n nnn n 111 11 | | | | |= = | |\ . |\ . nnn nnLnM limLn limLnnnn Propiedadesbsicasde potencia de fracciones1 11 11 1 111 1 | | | | ||= = || ++||\ . \ . n nn nLnM limLn limLnnn n Propiedadesde fracciones11 1111= =| |+ | \ .nnLnM limLn Lnen P.P.2 y P.P.4 (a) 1= Me Aplicamos P.P.5 Tenemos que aplicando el criterio de la raz M