La teoría de muestreo Referencias: Baher, H. 1991, “Analog & Digital Signal Processing” (John Wiley & Sons: New York, USA) Walker, G. 1987, "Astronomical Observations: An optical perspective" (Cambridge University Press: Cambridge, U.K.) Es un tema indispensable en cualquier libro sobre el procesamiento de señales. 26 April 2021 1 Michael Richer Las señales y su detección • Las señales detectadas en astronomía son usualmente continuas. Por ejemplo: – Una imagen tiene estructura a todas las escalas espaciales. – Los espectros tienen luz en todas las longitudes de onda. – La variación temporal normalmente no es discontinua. • Por otra parte, el proceso de detección de estas señales normalmente tiene una resolución finita: – Los detectores tienen pixeles cuyos tamaños son fijos e iguales, lo cual afecta la resolución espacial de imágenes o la resolución espectral de espectros. Los pixeles tiene bordes. – La debilidad de las señales impide el uso de tiempos de integración muy cortos. Como resultado, las variaciones puede parecer más bruscos de lo que son. – Cualquier “instrumento” tiene una resolución finita, que es lo que produce la PSF para ese aparato. La PSF es la respuesta del aparato a una fuente puntual, en espacio o tiempo. • Es importante entender como la resolución finita de las observaciones afecta a la interpretación de las observaciones. • Es importante considerar esto cuando planeamos las observaciones y en el estudio de factibilidad.
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La teoría de muestreoReferencias:Baher, H. 1991, “Analog & Digital SignalProcessing” (John Wiley & Sons: New York, USA)Walker, G. 1987, "Astronomical Observations: Anoptical perspective" (Cambridge University Press: Cambridge, U.K.)
Es un tema indispensable en cualquier libro sobre el procesamiento de señales.
26 April 2021 1Michael Richer
Las señales y su detección
26 April 2021 2Michael Richer
• Las señales detectadas en astronomía son usualmente continuas. Por ejemplo:– Una imagen tiene estructura a todas las escalas espaciales.– Los espectros tienen luz en todas las longitudes de onda.– La variación temporal normalmente no es discontinua.
• Por otra parte, el proceso de detección de estas señales normalmente tiene una resolución finita:– Los detectores tienen pixeles cuyos tamaños son fijos e iguales, lo cual afecta la
resolución espacial de imágenes o la resolución espectral de espectros. Los pixeles tiene bordes.
– La debilidad de las señales impide el uso de tiempos de integración muy cortos. Como resultado, las variaciones puede parecer más bruscos de lo que son.
– Cualquier “instrumento” tiene una resolución finita, que es lo que produce la PSF para ese aparato. La PSF es la respuesta del aparato a una fuente puntual, en espacio o tiempo.
• Es importante entender como la resolución finita de las observaciones afecta a la interpretación de las observaciones.
• Es importante considerar esto cuando planeamos las observaciones y en el estudio de factibilidad.
Viendo el muestreo de las señales
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pixeles del detector
Lo que llega al detector…
Lo que observamos: Lo que sucede dentro del pixel se queda dentro del pixel (los detalles se pierden)…
• La imagen original es del telescopio Hubble, así que la información “original” también es limitada.
• Aquí, se trata de una imagen (pixeles), pero lo mismo sucede en espectros (pixeles) o secuencias temporales (tiempo de exposición).
Muestreo: PSFs
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GMOS
@ Gemini
UVES
@ VLT
MES-SPM
@ SPM
CFHT, observado
Keck, teórico
• Se presentan ejemplos de la PSF en distintos telescopios e instrumentos.
• Estas son las formas que tienen fuentes puntuales en estos instrumentos.
• El nivel de detalle depende del tamaño de los pixeles del detector.
Desde la Tierra vs. Hubble• Los tres cuadros tienen la misma extensión espacial. La mejor resolución del
Hubble es evidente, aun antes de arreglar su óptica. • Antes de su corrección, Hubble sufría de aberración esférica. (Revisar apuntes
sobre calidad de imagen.)
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Spitzer vs. Herschel
• x
26 April 2021 Michael Richer 6http://sci.esa.int/science-e-media/img/11/SP_S160_H160.jpg
telescopio de 85 cm:⁄" # = 39”
telescopio de 3.5 m:⁄" # = 9.4”
La estructura en un espectro
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MES-SPM
posi
ción
de
la re
ndija
objeto
lámpara
2.3 pixeles
PSF: el perfil instrumental
Esta estructura es real.
HST
Ejemplo: señal sencillo
26 April 2021 8Michael Richer
• Con los datos disponibles (círculos), se encuentra una señal periódica. ¿Cuál es la correcta?
• Las frecuencias de las tres señales son iguales, pero difieren en su amplitud y fase. Se requiere un muestreo a mayor frecuencia para discernir estos detalles.
• Los datos disponibles NO son compatibles con una variación más lenta (curva gris, abajo).
• Los datos son compatibles con señales que varían más rápidamente: Una señal con el triple de la frecuencia intersecta los mismos puntos en esta gráfica.
• En una secuencia temporal, la PSF esel tiempo de integración. Desconocemos la variación sobre tiempos menores.
Detectar ⇒ Muestrear ≈ Promediar• La detección de una señal implica
muestrearla.• Este proceso usualmente
promediará la señal en las dimensiones – espaciales (p.ej., en una imagen), – espectrales (en un espectro) o – temporal (en una serie de imágenes o
espectros, tiempo de exposición).• El proceso de muestreo limitará la
información que se puede deducir o extraer de la señal original.– Sobre la escala de la PSF (espacio,
espectro, o tiempo) en que se promedia la señal, ninguna información está disponible.
26 April 2021 Michael Richer 9+
prom
edio
2
x2
pixe
les
No es evidente que son 9 estrellas.
Regla general
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• Estrictamente, la señal observada es el resultado de una convolución de la señal de la fuente con el PSF del instrumento.
• En general: – para detectar una variación de una frecuencia w, – es necesario muestrear la señal con una frecuencia de dos veces esta
frecuencia, 2w.• La frecuencia w puede ser una frecuencia espacial, espectral o
temporal.• Por ejemplo,
– si queremos muestrear correctamente un seeing de 1" de arco, los pixeles deben tener un tamaño de 0.5" (o menos).
– si queremos detectar variaciones de una estrella con un periodo de 60 segundos, se deben tomar exposiciones de 30 segundos (o menos).
– si queremos estudiar la estructura de la línea, la resolución espectral debe ser menos de la mitad del ancho de la línea.
• Cualquier dimensión es susceptible al muestreo (espacio, espectro, tiempo).
Muestreo ideal• El muestreo al doble de la frecuencia de interés (frecuencia espacial,
espectral o temporal) se conoce como muestreo Nyquist o muestreo crítico.
• Para una imagen o espectro, si el muestreo es mayor a esto (mayor frecuencia), se dice que la señal está “sobre-muestreada”. (Hay más pixeles o son más pequeños que lo necesario.)
• De lo contrario, se dice que la señal está “sub-muestreada”.• Normalmente, la variación más rápida que se puede detectar es dos
veces el elemento de resolución (espacial, espectral o temporal).• El tamaño del elemento de resolución es impuesto por el perfil
instrumental (o la atmósfera).• Estas restricciones aplican para cualquier tipo de señal, p.ej., la
estructura de una imagen, la forma de una línea espectral o la variación temporal de la luz de un objeto.
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Para internalizar esto
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• Consideramos un ejemplo sencillo:
Con estos datos, vemos que la fuente cambió de brillo.
¿?
¿?
¿?
¿Luego?
Con estos datos, vemos que la fuente varía, posiblemente periódicamente.
Muestreo ideal• Notar: No hay nada mágico del muestreo Nyquist o del muestreo 2w,
aunque sí implica limitaciones a los datos.• Normalmente, el muestreo resulta de alguna limitación del proceso de
observación:– En imágenes, puede deberse a la calidad de imagen o al tamaño de los pixeles.– En espectros, usualmente se debe al perfil instrumental o al tamaño de los
pixeles (y la calidad de imagen).– En secuencias temporales, el cociente S/R y el brillo del objeto pueden
imponer límites inferiores al tiempo de exposición.– (En el pasado, el almacenamiento de datos era una limitante, pero ya
usualmente no.)• En todo caso, no sabremos nada concreto sobre señales con “frecuencias”
mayores a w si muestreamos a una “frecuencia” de 2w. • Es decir, aun basando w sobre algún criterio científico, no necesariamente
sabemos cual información será excluido. ¡Nuestra falta de conocimiento es también una limitante!
• Es útil preguntarnos (siempre) qué ganaríamos con mayor resolución.26 April 2021 Michael Richer 14
Muestreo y el PSF• La unidad de resolución en cualquier conjunto de datos es la PSF.
– Si el muestreo es temporal, la escala temporal de interés es la PSF. • Nunca hay información sobre la estructura a escala menor que la
PSF.– No importa si la PSF se debe a la atmósfera el telescopio, instrumento
o detector.(Generalmente, uno de estos factores dominará.)
• Lo que debemos muestrear con la frecuencia Nyquist es la PSF. – Así, la PSF es la limitante sobre nuestro conocimiento.
• Lo anterior no considera la combinación de conjuntos de datos, lo cual puede frecuentemente ayudar a mejorar el conocimiento a escalas cercanas a la de la PSF.
• Cuando consideramos “2 pixeles” a continuación, estas dos pixeles constituyen el muestreo Nyquist.
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Muestreo: ¿Qué queremos hacer?• Queremos
– detectar la fuente (está o no está; hay algo o no hay nada): muestreo de “1 pixel” es suficiente
– distinguir entre fuentes puntuales y resueltas: muestreo de al menos 2 pixeles es necesario
– distinguir estructura en fuentes: muestreo > 3 pixeles
– “muestreo” indica la escala de la imagen, el rasgo espectral o la variación temporal a estudiar.
• Notar que la escala de 2 pixeles define la escala para la cual fuentes son puntuales: No se podrá distinguir la estructura en una fuente si esta estructura es más pequeña que 2 pixeles.
• Notar que la “estructura” puede referirse a la estructura espacial, espectral o temporal de la fuente.
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Michael Richer26 April 2021
Muestreo en imagen directa
izq.: Berry, R., & Burnell, J. 2005, "The Handbook of Astronomical Image Processing (Willmann-Bell Inc.: Richmond, U.S.A.)arriba: Howell, S. B. 2000, "Handbook of CCD Astronomy" (Cambridge University Press: Cambridge, U.K.)
17
3 escalas de placa3
tam
años
de
pixe
l• Es evidente que la información
disponible en estas imágenes depende de la resolución espacial.
• Se puede determinar mucho más fácilmente la posición y estructura de los objetos cuando el muestreo espacial es mejor.
PSFs en espectroscopia
• La lámpara de calibración indica la resolución espectral (la PSF) del instrumento.
• El espectro de baja resolución (izquierda; MOS @ CFHT) no provee información
sobre la forma de la línea de emisión, sino solamente su flujo total.
• El espectro de alta resolución (derecha; MES-SPM @ SPM) permite ver claramente
que la línea de emisión tiene una forma distinta al perfil instrumental.
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perfiles similares
línea no resuelta espectralmente
La estructura es definido por la PSF.
PSF
perfiles distintos
línea resuelta espectralmente
líneas no resueltasPSF PSF
Muestreo: ejemplos
• Para detectar la presencia de una fuente:– Supongamos una fuente que emite una línea de emisión cuya
intensidad es 10 veces el nivel del cielo.– Supongamos una fuente puntual y que el “continuo” es el cielo.– Que tan fácil será detectar esta fuente dependerá del muestreo:
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Área de la fuente Contraste fuente/cielo flujo total/fuente0.05 pixel 0.5 3
0.1 pixel 1 (flujo cielo = flujo fuente) 2
0.2 pixel 2 1.5
0.5 pixel 5 1.2
1 pixel 10 1.1
2 pixeles 5 1.2
detección más fácil
detección más difícil
¿Debemos siempre buscar aumentar el muestreo?
• Primero, ver si es factible: Evaluar en impacto en la astrofísica, el cociente S/R, tiempo y análisis requeridos.
• ¿Aumentar el muestreo aportará algo?– ¿Lo necesitamos? ¿Tiene beneficio para la astrofísica?– ¿Cuesta algo? (tiempo, S/R, análisis, etc.)
• En el caso de – imagen directa: Casi siempre vale la pena para objetos puntuales,
porque permite detectar objetos más débiles, aunque dificultará la medición del brillo del cielo.
– espectroscopia: Aumentar el muestreo es benéfico mientras no se resuelve la estructura de la línea de interés (en emisión o absorción), pero dificulta cubrir un gran intervalo espectral y disminuye la S/R en el continuo.
– variación temporal: Normalmente vale la pena si los fotones lo permite, aunque nuevamente hará más difícil medir el brillo del cielo.
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¿Esquivando los límites del muestreo?:
Deconvolución y modelado
• El proceso de deconvolución (inversión matemática) trata de recuperar
información “borrado” por la PSF del instrumento.
– Tuvo su auge con la aberración esférica del telescopio espacial Hubble.
• Puede ser un ejercicio útil cuando
– Se conoce extremadamente bien la forma de la PSF y cualquier variación que
tiene dentro del campo.
– El cociente S/R de la observación es alto.
• Aun así, los resultados no son muy confiables ya que es susceptible a
perturbaciones pequeñas debido al ruido (fluctuaciones aleatorias).
• Una mejor opción es el modelado del proceso de observación:
– Hacer la convolución de la PSF con un modelo de los datos.
– Comparar el resultado con la observación.
– Iterar hasta que el resultado este acorde dentro de las incertidumbres.
– Aun así, es probable que el modelo esté incompleto, pero pueda que tenga
menos artefactos que una deconvolución. Luego, es otra cosa decidir cuán
