LABORATORIO
Objetivo: Crear y trabajar con sistemas digitales dentro del MATLAB y en su presentacin de resultados.
POLOS (P) Y CEROS (Z):
Sea la funcin de transferencia en el dominio de z:
Que acomodando es:
En MATLAB podemos hallar los polos:
>> den = [1 -0.25 -0.375];
>> roots(den)
ans=
ans =
0.7500
-0.5000
Al factorizar en fracciones parciales:
Trazamos polos y ceros:
>> z = [0]
z =
0
>> p=[0.75; -0.5]
p =
0.7500
-0.5000
>> figure, zplane(z,p)
Grfica
Aplicando la transformada inversa:
Ahora encontraremos la respuesta al impulso o transformada Z inversa de polinomio
basado en el mtodo de expansin de la serie mediante la funcin impz:
Coeficientes numerador y denominador de vectores fila:
>> num = [0 1 0]
num =
0 1 0
>> den = [1 -0.25 -0.375]
den =
1.0000 -0.2500 -0.3750
>> h = impz(num,den,10)
h =
0
1.0000
0.2500
0.4375
0.2031
0.2148
0.1299
0.1130
0.0770
0.0616
Nosotros tambin podemos usar MATLAB para hallar las fracciones parciales en base
a los coeficientes (residuos), los polos y trminos directos.
Donde, al expresarlo en fracciones parciales:
As que podemos armas estas fracciones parciales, con R: residuo, p = polo:
>> num = [0 1]
num =
0 1
>> den = [1 -0.25 -0.375]
den =
1.0000 -0.2500 -0.3750
>> [R,P,K] = residuez(num,den) R =
0.8000
-0.8000
P =
0.7500
-0.5000
K =
[]
En base a esto, podemos armas las fracciones parciales:
Ya en este paso, es fcil aplicar la transformada inversa y hallar x(n). Por ltimo, vamos a trazar la respuesta en frecuencia de un polinomio en particular usando freqz.
>> num = [0 1 0]
num =
0 1 0
>> den = [1 -0.25 -0.375]
den =
1.0000 -0.2500 -0.3750
>> figure, freqz(num, den, 512)
Obteniendo las grficas:
Hay que observar que hemos elegido como nmero a 512, como el nmero de puntos
a utilizar en la trama que va de 0 a pi. La funcin a usar es:
>> freqz(num,den,N)
Tambin podemos optar por:
>> [H,f] = freqz(num, den, N, Fs)
>> plot(f, abs(H))
Donde Fs es la frecuencia e muestreo. Se calculan valores entre 0 y Fs=n. Los datos de respuesta frente a frecuencia se almacenan en H.
>> num = [0 1 0]
num =
0 1 0
>> den = [1 -0.25 -0.375]
den =
1.0000 -0.2500 -0.3750
>> [H,f] = freqz(num,den,512,8000)
H = 2.6667
2.6654 - 0.0600i
2.6616 - 0.1198i
2.6553 - 0.1793i
2.6466 - 0.2383i
3.9531
3.9609
3.9688
3.9766
3.9844
3.9922
>> plot(f,abs(H))
Grfica:
HOMEWORK
1. Encontrar el parcial z-transformada inversa de la H(z) a travs de la
expansin de fraccin parcial de Matlab.
ROC: |z| >
2. Dibujar la trama de Polo-cero de X(z)
3. Dibujar la trama magnitud y fase de X(ejw)
Solucin.
1. Usamos la expansin de fraccin parcial de MATLAB para nuestra expresin:
>> num = [4 -7/4 1/4]
>> den = [1 -3/4 1/8]
>> [R,P,K] = residuez(num,den)
R =
3
-1
P =
0.5000
0.2500
K =
2
Con R, P, K podemos armar las fracciones parciales.
Recordemos que:
Que tambin es: Luego, tenemos:
( ) . .
Ahora podemos hallar la transformada inversa:
( ) ( . ) ( . ) ( ) ( )
2. Ahora trazamos la trama Polo-Cero de X(z):
Usaremos el siguiente algoritmo de MATLAB:
>> num = [4 -7/4 1/4]
>> den = [1 -3/4 1/8]
>> figure, zplane(num,den)
Grfica de polos-ceros
3. Por ltimo dibujamos la trama de magnitud y fase de X(z) o X(e^(jw)) Usamos el freqz(num,den,N):
>> num = [4 -7/4 1/4]
>> den = [1 -3/4 1/8]
>> figure, freqz(num, den, 512)
Fin de Laboratorio