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)()()()()()(

t e Dt  xC t  yt e Bt  x At  x

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k e Dk  xC k  y

k e H k  xGk  x

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i

!

!

 

LABORATORIO N° 1

DISCRETIZACION Y SIMULACION DEL MODELO DE UN SISTEMA DECONTROL DE TEMPERATURA

OBJETIVOS:

a)  Obtener  el modelo matemático en  tiempo continuo y discreto de  un  sistema de 

temperatura.

b)  Simular la respuesta del sistema ante una entrada escalón unitario usando Matlab, tanto en 

tiempo continuo como en tiempo discreto, que permita su comparación y la verificación de 

un adecuado proceso de discretización.

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA:

La figura 1 representa un horno eléctrico, y lo que se desea es controlar la temperatura en el horno

a un nivel de referencia. El nivel de temperatura se sensa por medio de un sensor de temperatura, 

cuyos terminales se tienen disponibles. La señal de entrada del sistema en lazo abierto es u(t), y la

salida disponible  es v (t). Rt y Ct  son  la resistencia térmica y la capacitancia térmica del horno, 

respectivamente. )(t X  es la temperatura en el interior del horno, y )(t J es el calor entregado por 

la resistencia eléctrica. Los parámetros del sistema y ecuaciones son: 

PROCEDIMIENTO DE LABORATORIO: 

1.  Determine  las ecuaciones de estado y de  salida del  sistema horno eléctrico, que debe de 

tener la siguiente forma: 

Considerando los resultados del paso 1, determine el correspondiente sistema discreto en 

la forma: 

para lo cual considere un adecuado período de muestreo.

)(25.0)(

)(44)(

)(1

)(1

)(

:

/27633;/0054.0

:

t t v

t ut 

t C 

t C  R

t 

 Ecuaciones

 K W C W  K  R

 Parámetros

t t t 

t t 

X

J

JXX

!

!

!

!!

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2.  Determine si el sistema discretizado es totalmente controlable y observable.

3.  Encuentre  la función de  transferencia pulso del  sistema discretizado,  considerando como

v(t) como salida y u(t) como entrada.

4.  Considerando las ecuaciones de estado y de salida obtenidas en (2), simule la respuesta del 

sistema frente a una entrada escalón unitario(u(t

) = 1). Haga lo mismo para el modelo del 

sistema en  tiempo continuo. Finalmente,  en  una misma gráfica represente  las dos 

respuestas (tiempo continuo vs. tiempo discreto).

ANÁLISIS DEL LABORATORIO

1.  Ecuaciones de estado y de salida del sistema horno eléctrico:

)(25.0)(

)(44)(

)(1

)(1

)(

:

/27633;/0054.0:

t t v

t ut 

t C 

t C  R

t 

 Ecuaciones

 K W C W  K  R Parámetros

t t t 

t t 

X

J

JXX

!

!

!

!!

 

De los datos propuestos para el sistema de control hallamos las ecuaciones respectivas: 

Hallando la Ecuación de Estado

( ) ( ) ( )1 44

.t  t t 

t t t 

u  R C C  

X X! $

 

? A 3( ) ( )( )

1.59 10t  t t x uX X « »« » ! - ½ - ½

$

 

v(t 

 

u(t 

 

Sistema deInterface dePotencia

220

VAC

HORNO

)(t X

)(t J

Figura 1: Sistema Horno Eléctrico.

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Hallando la Ecuación de Salida

? A ? A ( ) ( )( ) ( )0.25 0.25t t t t 

v vX X! !  

De las ecuaciones anteriormente halladas, obtenemos los valores de  A, B, C y D.

? A

? A

3

3

6.7 10 ;

1.59 10 ;

0.25 ;

0 ;

 A x

 B x

C 

 D

« »! - ½

« »!- ½

!

! 

2.  Con los valores obtenidos en el punto anterior, determinamos el correspondiente sistema

discreto en la forma:

( )

1

( ) ( )( )

1 44

.

k 

k 

k k 

t t t 

uT R C C  

X

X

X

!  

( 1) ( ) ( )( )

441

.k k k 

t t t 

T u

  R C C  X X

« »¨ ¸p ! ¬ ¼© ¹

¬ ¼ª º - ½ 

? A ( ) ( )0.25k  k 

v X! 

Con éstos obtenemos los valores para las matrices G, H , Cd , Dd  como se muestra a continuación y

de acuerdo a lo visto teóricamente.

1.t t 

T G

 R C 

« »! ¬ ¼

- ½  ( )

( )

44.k 

t 

T  H u

C 

« »! ¬ ¼

¬ ¼- ½ 

? A0.25d C  !   ? A0d  D !  

A partir de éstos valores encontramos las ecuaciones de estado discreto y de salida discreto.

? A 5( 1) ( )( )

0.999 1.592 10k k k x uX X

« »« »! - ½ - ½

Ec. De Estado Discreto

? A( )

0.25k  k 

v X« »! - ½ Ec. De Salida Discreto

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3.  Determinamos si el sistema discretizado es totalmente controlable y observable.

¿El sistema discretizado es totalmente controlable?

Con los valores obtenidos del sistema discretizado comprobamos si es totalmente controlable de 

la siguiente forma: 

? A5 5

 

1.592 10 1.591 10

( ) 2

 M  H GH 

 M  x x

 Rango M 

!

« »!- ½

!  

es completamente controlable@  

¿El sistema discretizado es totalmente observable?

Al  igual que  lo anterior, también comprobamos si el sistema es totalmente observable, como a

continuación se muestra: 

.

0.25

0.2498

( ) 2

d 

d 

C  N 

C G

 N 

  Rango N 

« »! ¬ ¼

- ½

« »! ¬ ¼

- ½

! 

es completamente obsevable@  

4.  Encontramos la función de transferencia pulso del sistema discretizado, considerando comov(t) como salida y u(t) como entrada, de la siguiente manera:

De la teoría tenemos que la función transferencia pulso está dada por la relación entre la salida

y entrada del sistema, entonces se tiene que: 

? A? A

1

1 3

2

.( ) .

0.25 0.999 . 1.532 10

0.383 10

0.999

 zd d 

 z

 z

 z

 z

 z

Y C ZI G H D

U 

Y  z x

U 

Y  x

U  z

!

« »! - ½

@ !

 

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5.  Considerando las ecuaciones de estado y de salida obtenidas en (2), simulamos la respuestadel sistema frente a una entrada escalón unitario (u(t) = 1). De la misma manera para elmodelo del sistema en tiempo continuo. Finalmente, en una misma gráfica representamos lasdos respuestas (tiempo continuo vs. tiempo discreto).

El código a ingresar en MATLAB es el siguiente: 

Rt = 0.0054;

Ct = 27633;

T = 0.01; % tomamos T = 0.01.

%Matrices que se van a usar en el proceso.

A = [-1/(Rt*Ct)] ; B = [44/Ct] ; C = [0.25] ; D = [0];

%Discretización 

[G, H, Cd, Dd] = c2dm (A, B, C, D, T,  zoh);

G = 0.999932984;

H = 1.592299*0.001; 

Cd = 0.25;

Dd = 0;

step (A, B, C, D) ; % Nos da gráfica del sistema en tiempo continuo.

dstep (G, H, Cd, Dd); % Nos da gráfica del sistema en tiempo discreto.

Gráfica del Sistema en el T iempo Continuo

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Gráfica del Sistema en el T iempo Discr eto

En  los  gráficos vemos que hay mucha diferencia entre ambos, pero también  los dos  son 

cuantitativos y la diferencia es que los discretos son números enteros (por ejemplo cuando

se habla de personas u objetos que no pueden ser divididos).

Los continuos pueden ser en enteros o fracciones y pueden cambiar (por ejemplo el peso y

la estatura de una persona, la gasolina utilizada en cierto trayecto).

Un  sistema discreto es aquel  sistema que  toma muestras o pulsos  en  un  tiempo

predeterminado. Algo semejante hace un sistema discreto, cada determinado tiempo toma

una muestra de alguna señal.

Un sistema continuo como su nombre  lo dice no tiene  lapsos de  tiempo inactivos como el 

sistema discreto.