Laboratorio de finitos 1

“AÑO DE LA PROMOCION DE LA INDUSTRIA RESPONBLE Y COMPROMISO CLIMATICO”

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA

FACULTAD INGENIERIA MECÁNICA

1era Práctica Calificada

CURSO: CÁLCULO POR ELEMENTOS FINITOS

PROFESOR: CUEVA PACHECO Ronald

ALUMNO: RAMOS CUIPA JORGE LUIS

CÓDIGO: 20127023H SECCIÓN: “D”

LIMA - PERU

Septiembre – 2014

CÁLCULO POR ELEMENTOS FINITOS Tracción Simple

Página 2

Índice

Enunciado del Problema............................................................................. 3

Solución...................................................................................................... 4

Grados de Libertad Nodales....................................................................... 5

Vector Carga............................................................................................... 6

Matriz de Rigidez........................................................................................ 7

Ecuación de Rigidez y Condición de Contorno........................................... 8

Esfuerzos y Resultados.............................................................................. 9

Diagrama de Flujo....................................................................................... 10

Uso de Matlab............................................................................................. 11

Conclusiones……………………………………………………………………. 14


Página 3

PRIMERA PRÁCTICA CALIFICADA

(TRACCION SIMPLE)

ENUNCIADO DEL PROBLEMA

Dado la siguiente poste de luz de concreto de forma trapezoidal, cuyo espesor es

constante, t=150mm, calcular los esfuerzos en cada elemento finito y la reacción en el

apoyo. Utilizar tres elementos finitos.

Considerar:

PA = 30 KN

t (espesor) = 150 mm

E = 5.0x105 N/mm2

Y = 8.0gr-f/cm3 = 78,45x10-6 N/mm3


Página 4

SOLUCIÓN:

1. MODELADO DEL CUERPO REAL

Se consideraran tres elementos finitos. Para facilitar los cálculos los elementos finitos

tendrán longitud de 1000, 500 y 500mm.

Y los espesores lo calculamos tomando el punto medio de cada elemento finito:

mmb

mmb

mmb

1502

300

4502

300600

9002

6001200

3

2

1

Entonces, el modelado del cuerpo sería el siguiente:


Página 5

Y las áreas se calculan de la siguiente relación:

txbA 11

Cuadro de conectividad:

e

NODOS GDL le

(mm)

Ae

(mm2) (1) (2) 1 2

1 1 2 1 2 1000

135000

2 2 3 2 3 500 67500

3 3 4 3 4 500 22500

2. GRADOS DE LIBERTAD NODALES (Vector Desplazamiento)

A través del grafico se muestran los grados de libertad nodales globales:


Página 6

Luego el vector de desplazamiento será:

mm

Q

Q

QQ

4

3

2

0

Donde Q1= 0 pues la placa esta empotrada y los demás desplazamientos son incógnitas

que tendrán que ser calculadas.

3. VECTOR CARGA

Analizando las fuerzas en cada elemento finito:

N

AxlyF

NAxly

F

NAxly

F

NPAxly

F

NRRAxly

F

A

28125.4412

84375.13232

84375.13232

375.352952

375.52952

33

3

22

3

22

2

11

2

1111

1


Página 7

N

AxlyF 28125.441

2

33

4

Ahora analizamos las fuerzas para todo el cuerpo:

NFF

NFFF

NFFF

NRFF

28125.441

875.1765

918.3661

375.5295

3

44

3

3

2

33

2

2

1

22

1

1

11

Entonces, el vector carga se expresaría de la siguiente manera

N

R

F

F

F

F

F

28125.441

875.1765

918.3661

1375.5295

4

3

2

1

1

4. MATRIZ DE RIGIDEZ

A continuación pasamos a calcular la matriz de Rigidez Global, que está determinada

por la siguiente ecuación:

0000

0000

0011

0011

1l

AEK

i

0000

0110

0110

0000

2l

AE

1100

1100

0000

0000

3l

AE

Reemplazando para los valores calculados y utilizando la tabla de conectividad

obtenemos:


Página 8

0000

0000

0011

0011

1000

105135000

1

5xxK

i

0000

0110

0110

0000

500

10567500

2

5xx

1100

1100

0000

0000

500

10522500

3

5xx

Finalmente:

mm

NxK

i

22522500

2259006750

06751350675

00675675

105

5. ECUACIONES DE RIGIDEZ Y CONDICIONES DE CONTORNO

La ecuación de rigidez está determinada por la siguiente ecuación:

QKF

ii

Lo que con nuestros valores calculados tenemos:

28125.441

875.1765

918.3661

1375.5295 R

4

3

25

0

22522500

2259006750

06751350675

00675675

10

Q

Q

Qx

Para obtener los desplazamientos tomamos la siguiente submatriz:

28125.441

875.1765

918.3661

4

3

2

5

2252250

225900675

06751350

10

Q

Q

Q

x

Resolviendo este sistema de ecuaciones obtenemos:


Página 9

mmxQ

mmxQ

mmxQ

5

4

5

3

5

2

1075.62

1079.60

1052.57

Y para obtener la reacción en el empotramiento tómanos la siguiente submatriz:

4

3

25

0

00675675101375.5295

Q

Q

QxR

Resolviendo obtenemos:

NR 375.441211

6. ESFUERZOS

Para calcular los valores de los esfuerzos por elemento, aplicamos la siguiente ecuación:

111

i

i

e

e

Q

Q

l

E

Y obtenemos lo siguiente:

21

5

1

5

1 2876.01052.57

011

600

105

mm

Nx

x

22

5

2

5

2 0327.01079.60

52.5711

400

105

mm

Nx

x

23

5

3

5

31 0196.01075.62

79.6011

200

105

mm

Nx

x

7. RESULTADOS

Finalmente, los resultados son mostrados en la siguiente tabla:

NR 375.441211

21 2876.0mm

N

22 0.0327mm

N


Página 10

23 1960.0mm

N

8. DIAGRAMA DE FLUJO

INICIO

INGRESO DE DATOS

CONSTANTES : E, f, t

VECTORES : L, A, P

CALCULO DE VECTORES

F=

2

22

22

2

3

23

12

1

1

AL

ALAL

PALAL

RAL

A ; K=

3

3

3

3

3

3

2

2

3

3

2

2

2

2

1

1

2

2

1

1

1

1

1

1

00

0

0

00

L

EA

L

EAL

EA

L

EA

L

EA

L

EAL

EA

L

EA

L

EA

L

EAL

EA

L

EA

TRAFORMACION DE ECUACION MATRICIAL

2

22

22

2

3

23

12

1

AL

ALAL

PALAL

AL

A =

3

3

3

3

3

3

2

2

3

3

2

2

2

2

1

1

2

2

1

1

00

0

00

001

L

EA

L

EAL

EA

L

EA

L

EA

L

EAL

EA

L

EA

L

EAL

EA

4

3

2

1

Q

Q

Q

R


Página 11

IMPRESIÓN DE RESULTADOS

3214321 ,,,,,, EEEQQQR

FIN

9. USO DEL PROGRAMA DE MATLAB

SCRIPT

clc clear all R1=sym('R1'); %datos de entrada b0=1000 %input('Ingrese base superior(mm):') bn=0 %input('Ingrese base inferior(mm):') t=150 %input('Ingrese espesor(mm):') h=1200 %input('Ingrese altura(mm):') n=3 %input('Ingrese numero de elementos finitos:') E=300000 %input('Ingrese modulo de elasticidad(N/mm2):') y=0.00007845 %input('Ingrese densidad(N/mm3):') Pa=50000 %input('Ingrese carga(N):')

%calculo de bases y áreas de elementos le=zeros(n,1); ho=zeros(n,1); bo=zeros(n,1); b=zeros(n,1); a=zeros(n,1);

Fe=zeros(n+1,1);

bo(1)=b0; ho(1)=h; for i=1:n if n>i le(i)=input('Ingrese longitud del elemento finito(mm):'); b(i)=(bo(i)+bn+(bo(i)-bn)*(ho(i)-le(i))/ho(i))/2; a(i)=b(i)*t; ho(i+1)=ho(i)-le(i); bo(i+1)=2*b(i)-bo(i); else le(i)=ho(i); b(i)=(bn+bo(i))/2; a(i)=b(i)*t; end

end disp('Bases(mm):') disp(b') disp('Longitudes(mm):') disp(le')

disp('Areas(mm^2):') disp(a')

%calculo de las fuerzas for i=1:n Fe(i)=y*a(i)*le(i)/2; end


Página 12

for i=1:n+1 if i==1 F(i)=Fe(i); elseif i==n+1 F(i)=Fe(i-1); else F(i)=Fe(i-1)+Fe(i); end end F(2)=F(2)+Pa; disp('El vector de fuerzas(N):') disp(F')

%calculo de la matriz rigidez k=zeros(n+1); for i=1:n x=zeros(n+1); x(i,i)=1;x(i+1,i)=-1;x(i,i+1)=-1;x(i+1,i+1)=1; k=k+(a(i)*E/(le(i)))*x; end disp('La matriz de rigidez es(N/mm):') disp(k)

%calculo de desplazamientos inv(k(2:n+1,2:n+1)); ((F(2:n+1))'); Q=inv(k(2:n+1,2:n+1))*((F(2:n+1))'); Q=[0;Q]; disp('Los desplazamientos de los nodos son(mm):') disp(Q)

%calculo de la reaccion k(1,:)*Q; R1=k(1,:)*Q-F(1); disp('La reaccion en el extremo es:') disp(R1)

%calculo de esfuerzos for i=1:n e(i)=(E/(le(i)))*[-1 1]*[Q(i); Q(i+1)];

end disp('Los valores de los esfuerzos son(N/mm^2):') disp(e');


Página 13

VISTA EN EL COMMAND WINDOW DE MATLAB


Página 14


Página 15

CONCLUSIONES

Podemos apreciar, al utilizar más nodos, que las respuestas no varían enormemente,

solo aumentan la precisión con la cual se presentan.

Se recomienda utilizar un número moderado de nodos, ya que las operaciones con

matrices se vuelven demasiado engorrosas al ser de orden nxn donde n es el número

de nodos.

Se puede apreciar que las deformaciones son realmente pequeñas (décimas de

micras), además todas son hacia abajo que es el sentido positivo asumido como

referencia.

En el ejemplo no desarrollamos todo estrictamente en el SI, nos referimos

específicamente al uso de los metros, debido a las magnitudes de las elongaciones

y esfuerzos; es por ello que se utilizó en el desarrollo milímetros en vez de metros.

Los esfuerzos son positivos, lo que indica esfuerzos de compresión para nuestro

sistema de referencia.

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