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laboratorio nº1 fisica II RAFAELO

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  • 8/13/2019 laboratorio n1 fisica II RAFAELO

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    28 de febrero de 2011 INFORME DE LABORATORIO N1 / MDULO DE RIGIDEZ DE UN MATERIAL.

    UNASAM / FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL 1

    SIGLO: NIVELACIN

    REA: FSICA II

    DOCENTE:MAG. OPTACIANO L. VSQUEZGARCA

    TEMA: INFORME DE LABORATORIO N 1

    EDUCANDO: RAFAEL ARAUCANO GERARDO

    CDIGO: 092.0904.329

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    28 de febrero de 2011 INFORME DE LABORATORIO N1 / MDULO DE RIGIDEZ DE UN MATERIAL.

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    INTRODUCCIN:

    En esta nueva practica de laboratorio titulada modulo de rigidez de

    un material, se va determinar en forma experimental la constante elstica y

    el mdulo de rigidez de un resorte helicoidal.

    Cuando un cuerpo en nuestro caso un resorte, es sometido a fuerzas

    externas o fuerzas axiales, sufren esfuerzos de comprensin o de tencin

    que provoca su deformacin (deformacin bastante pequea), donde la

    deformacin es proporcional al esfuerzo; esta relacin se conoce como Ley

    de Hooke, en nuestro experimento haremos que se cumpla esta ley,

    trabajando en el rango elstico donde los materiales retornan a su forma

    original cuando les suspenden las cargas aplicadas. Y no nos pasaremos de

    este rango pues al pasarnos el cuerpo sufrir una pequea deformacin y no

    regresara a su estado original.

    Y a la relacin entre el esfuerzo y la deformacin se le denominada Mdulo

    De Rigidez, y en esta prctica nos dedicaremos a ensearles el clculo y a

    calcularlo mediante el mtodo dinmico, esperemos que se pueda entender

    las explicaciones; sin ms que decir pasaremos al desarrollo de esta practica.

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    TITULO:

    PRACTICA DE LABORATORIO N 1

    MODULO DE RIGIDEZ DE UN MATERIAL

    1. OBJETIVOS:

    - Determinar la constante elstica de un resorte por el mtodo dinmico.

    - Calcular el mdulo de rigidez del hilo de un resorte helicoidal.

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    2. MATERIALES A UTI LI ZAR:

    Un resorte helicoidal Un soporte universal con dos varillas de hierro y una nuez Una regla graduada en milmetros Un vernier cuya sensibilidad es 0.01 mm. Un micrmetro cuya sensibilidad es 0,01mm. Pesas ranuradas y porta pesas. Una balanza Un cronometro Un nivel de burbuja

    3. MARCO TERICO Y CONCEPTUAL :

    3.1. VIBRACIONES LIBRES DE PARTCULAS:

    Un mtodo para calcular la constante elstica (k) de un resorte es el mtodo dinmico el

    que comprende un movimiento armnico simple. Para mostrar esto, consideremos un

    cuerpo de masa msuspendido de un resorte tal como se muestra en la fig.1.

    Fig.1 Instalacin del equipo para hallar la constante elstica kde un resorte.

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    Si se desplaza al cuerpo una distancia ym a partir de la posicin de equilibrio esttico y

    luego se suelta sin velocidad inicial, el cuerpo se mover hacia arriba y hacia abajo

    realizando un M.A.S. de amplitud ym .

    Para determinar el periodo de oscilacin del cuerpo m, se aplica la segunda ley de newtonen una posicin arbitraria yesto es:

    y ...(1)

    Por otro lado cuando el cuerpo est en la posicin de equilibrio esttico, la segunda ley de

    newton, se escribe:

    (2)

    Reemplazando la ec. (2) en (1), resulta:

    (3)

    Haciendo , la ecuacin (3), puede escribirse en la forma siguiente:

    ...(4)

    La ecuacin (4) constituye la ecuacin diferencial que describe el movimiento armnico

    simple y su solucin tiene la forma:

    ...(5)

    Donde:, es la amplitud del M.A.S., es la frecuencia angular., el angulo de desfasaje.El periodo de oscilacin de la partcula es:

    (6)

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    Si se considera la masa efectiva del resorte (mrf), la ecuacin se escribe de la forma:

    (7)

    Si se taza una graficat2 vs mla existencia (mrf), es el motivo por el cual la curva no pasa

    por el origen. La ec. (7) establece un medio como hallar el valor de la constante elstica

    de un resorte por el medio dinmico.

    LEY DE HOOK

    Esta ley establece que si se aplica una carga axial a un aun cuerpo, el esfuerzo es

    directamente proporcional a la deformacin unitaria, siendo la constante de

    proporcionalidad el MODULO ELASTICO o DE RIGIDES, siempre y cuando no sesobrepase el lmite de proporcionalidad, esto es:

    (8)

    Donde: es el esfuerzo normal, E es el modulo de elasticidad y es la deformacinunitaria.

    Si la carga aplicada al cuerpo es tangencial, esta producir deformaciones angulares, en

    estas condiciones la ley de Hook establece:

    ...(9)

    Donde: es el esfuerzo cortante, G es el modulo de rigidez y la deformacin unitariapor cizalla.

    TORSION

    Llmese torsin a la deformacin que experimenta un barra fija por uno de sus extremos

    y el otro sometido a un par de fuerzas (M = F.d), aplicado a un plano perpendicular al eje.

    Como se muestra en la fig. 2. La aplicacin de la carga de torsin produce en la barra:

    - Un desplazamiento angular de la seccin en un extremo respecto del otro.- Origina esfuerzos cortantes en cualquier seccin de la barra.

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    Fig.2. cilindro sometido a un momento externo

    Para deducir la ecuacin de torsin deben establecer las siguientes hiptesis.

    Hiptesis I:las secciones del rbol perpendiculares al eje longitudinal se conservan como

    superficies planas despus de la torsin del rbol.

    Hiptesis II:todos los dimetros de la seccin transversal se conservan como lneas rectas

    diametrales despus de la torsin del rbol.

    MOMENTO TORSOR

    En la figura 3. Se observa una barra sometido a un momento torsor M ex aplicado a

    un extremo de la barra. Una generatriz cualquiera, tal como AB en la superficie del

    cilindro, inicialmente paralela al eje y recta, se tuerce formando una hlice AC al tiempo

    que la seccin en B gira un ngulo , con respecto a la seccin en A.

    Fig.3. momento torsor aplicada a un rbol

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    El momento torsor viene expresado por la relacin:

    Donde: Ip, es el momento de inercia polar de la seccin transversal circular con respecto aun eje que pasa por su centro, es el ngulo de giro, L la longitud de la barra y G el

    mdulo de rigidez.

    RESORTES HELICOIDALES:

    La fig.4a, representa un resorte helicoidal de espiras cerradas estiradas bajo la accin de

    una fuerza axial P.el resorte est formado por un alambre de radio r, enrollada en formade hlice de radio R, la pendiente de esta hlice es pequea de tal manera que podemos

    considerar con bastante aproximacin que cada espira est situada en un plano

    perpendicular al eje del resorte.

    Para determinar los esfuerzos producidos por la fuerza P, se hace un corte al resorte por

    una posicin m-m, y se determina las fuerzas resistentes necesarias para el equilibrio de

    una de las porciones separadas por esta seccin. Despus de analizar la distribucin de

    esfuerzos. La fig. 4b muestra el diagrama de cuerpo libre de la parte superior del resorte,

    para que el resorte este en equilibrio, en la seccin m-m, deber actuar una fuerza decorte Pr y un momento MT=PR.

    El esfuerzo con cortante mximo se produce en la parte interna del resorte y viene

    expresado por:

    (11)En los resortes en los que el valor de r es bastante pequeo comparado con el valor R, la

    razn r / 2R = 0, Entonces:

    (12)

    pt IL

    GM

    (10)

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    Fig.4 a. Resorte helicoidal sometido a carga axial fig.4 b .D.C.L. de la seccin m-m

    ELONGACIN DE UN RESORTE

    La elongacin del resorte de

    espiras cerradas segn su eje

    puede determinarse con suficiente

    precisin, empleando la teora de

    la torsin. La fig.6, representa unelemento infinitamente pequeo

    del alambre del resorte aislado

    como un cuerpo libre de longitud

    dL.

    (13)Donde R es el radio del resorte,

    representado por OS en la figura y

    es el ngulo central en S de dL.

    Bajo la accin del momento de

    torsin, Mv, el radio Oa de la

    seccin transversal del alambr

    girara hasta ocupar Ob. El punto de

    la aplicacin de la fuerza O (punto

    C) descender verticalmente la

    distancia Ce. Fig.6. deformacin de un resorte helicoidal

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    (14)Como el angulo es pequea el arco cd puede considerarse como una rectaperpendicular a OC, con lo que la ec. (14) se escribe.

    (15)

    De la grafica se observa que: y , con lo que la ec. (15)se escribe:

    (16)

    Donde es el ngulo de torsin correspondiente al elemento dL.Teniendo en cuenta la ec. (10), est ngulo en funcin del momento torsor se escribe:

    Reemplazando la ec. (17) en (16), resulta:

    (18)

    La distancia vertical , es la aporta del elemento de longitud dL aldesplazamiento vertical, la elongacin total se obtiene integrando la ec. (18).

    (19)

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    (20)

    Teniendo en cuenta que la longitud total del alambre es:

    (21)Donde Nes el nmero de espiras del resorte, la ec. (20), puede escribirse:

    () (22)

    Si el alambre es de seccin circular de radio r, el momento polar de inercia es ,entonces la elongacin se escribe:

    La ecuacin 23 nos permite determinar experimentalmente el modulo de rigidez de un

    resorte siempre que se conozca: N = numero de espiras, K=constante del resorte, R=radio

    del resorte y r=radio del alambre.

    ...(23)

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    4. METODOLOGA, ANOTACIN DE DATOS Y ESQUEM AS:

    PARA DETERMINAR LA CONSTANTE ELSTICA DEL RESORTE:

    a. Se armo el equipo tal como se muestra en la figura 1, suspendiendo el resorte delsoporte horizontal.

    b. Se midi la longitud (L0) del resorte sin deformar.

    c. Se coloco el peso P1 en el extremo libre del resorte y se llevo lentamente hasta laposicin de equilibrio esttico.

    d. Se llevo el sistema resorte-pesa de la posicin de equilibrio h1 a la posicin h2produciendo as un estiramiento h entre 2 a 3 cm.

    e. Se solt y se dejo oscilar el sistema.

    f. Despus se midi con el cronmetro la duracin de unas 10 oscilaciones. Se anotaronlos datos en la tabla I.

    g. Se calculo el perodo de oscilacin.

    h. Se repiti todos los pasos de a hasta g para las dems pesas y se anotaron losvalores en la tabla I

    Tabla I: datos y clculos para halla k

    N Masa

    (gr.)

    Tiempo (s) Tiempo

    Promedio ( t )

    Periodo ( T )

    (s)

    T2

    (s2)1 2 3 4 5

    1 105 3.40 3.57 3.30 3.30 3.37 3.388 0.6776 0.459

    2 145 4.50 4.51 4.59 4.60 4.60 4.56 0.912 0.831

    3 185 5.18 5.1 5.07 5.11 5.15 5.112 0.1022 0.010

    4 225 5.6 5.46 5.48 5.6 5.55 5.538 0.1107 0.012

    5 265 6.10 6.12 6.10 6.02 5.96 6.06 0.1212 0.014

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    PARA CALCULAR EL MDULO DE RIGIDEZ DEL RESORTE.

    a. Con el Vernier y/o cronmetro se midi 12 veces el dimetro del resorte.se anotaronlos valores en la tabla II

    b. Con el Vernier y/o cronmetro se midi 12 veces el dimetro del hilo del resorte endiferentes posiciones. Se anotaron los valores en la tabla II

    c. Se contaron el nmero de espiras que posee el resorte. Se anotaron los valor en latabla II

    Tabla II. Datos y clculos para hallar G

    D(cm) 2,56 2.35 2.55 2.56 2.55 2.55 2.57 2.56 2.54 2.55 2.55 2.56

    d(mm) 1.2 1.2 1.2 1.2 1.2 1.2 1.2 1.2 1.2 1.2 1.2 1.2

    N 53 53 53 53 53 53 53 53 53 53 53 53

    5. CUESTIONARIO

    5.1. Con los datos de la tabla I y la ecuacin (7), trazar una grafica colocando los

    cuadrados de los periodos de oscilacin () en el eje de las ordenadas y la masa (mi) enel eje de las abscisas, y a partir de ella determinar el valor de la constante elstica del

    resorte (k), as como la masa efectiva del mismo.

    a) Para el trazado de la grfica T2

    vs m:

    N Masa

    (gr.)

    Tiempo (s) Tiempo

    Promedio ( t )

    Periodo ( T )

    (s)

    T2

    (s2)1 2 3 4 5

    1 105 3.40 3.57 3.30 3.30 3.37 3.388 0.6776 0.459

    2 145 4.50 4.51 4.59 4.60 4.60 4.56 0.912 0.831

    3 185 5.18 5.1 5.07 5.11 5.15 5.112 1.022 1.044

    4 225 5.6 5.46 5.48 5.6 5.55 5.538 1.107 1.225

    5 265 6.10 6.12 6.10 6.02 5.96 6.06 1.212 1.468

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    0.4590

    0.8310

    1.0440

    1.2250

    1.4680y = 0.006x - 0.1102

    R = 0.9816

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    1.4

    1.6

    0 50 100 150 200 250 300

    T2

    (S2)

    Masa en (gr)

    GRAFICA masa T2

    Series1

    Linear (Series1)

    Linear (Series1)

    Llevamos los datos de masa y T2

    una hoja de Excel para obtener la recta y la ecuacin de

    dicha recta, se obtuvo lo siguiente:

    Se obtiene la recta de color azul, la cual presenta la ecuacin de la forma y=a + bx que con

    sus valores exactos es la siguiente:

    y = - 0.110 + 0.006x

    Donde: a=- 0.110, b= 0.006

    Datos finales con ajuste de curvas:

    n 1 2 3 4 5

    X :Masa (gr.) 105 145 185 225 265

    Y: T2(s

    2) 0.52 0.76 1 1.24 1.48

    b) Para determinar la constante elstica del resorte (K):

    Hacemos uso de la siguiente frmula:

    B = 42

    K

    K = 42 = 4 (3.1416)2 = 6579.7 gr. 1Kg. m

    B 0.006(s2/gr.) s

    2 1000 gr. m

    K = 6.5797 N

    m

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    Luego hallamos la variacin de B:

    = (y yi)2

    n

    (n-2) n x2(x)2

    = (0.59268) ( 5 )

    (5-2) 5 (187125)(855625)

    = 0.003513 = B

    K = - 42 B = -4 (3.1416)2 (0.003513) gr 1Kg m

    B2

    (0.006)2

    s2 1000 gr. m

    K = 3.852453 N/m

    Error = K = 3.852453 = 0.5855

    K 6.5797

    Error% = 5.855 %

    c) para determinar la masa efectiva del resorte:

    a = 42mef mef= aK

    K 42

    mef= (0.110) (6.5797) (s2) (N/m)

    4 (3.1416)2

    mef= 0.0183331 s2Kg m 1 1000 gr.

    s2m 1Kg.

    mef= 18.3331gr.

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    5.2. Con los datos de la tabla II y el valor de k obtenido hallar el modulo de rigidez del

    resorte (G) utilizando la ecuacin (23), con su respectivo error absoluto y porcentual.

    D(cm) 2,56 2.35 2.55 2.56 2.55 2.55 2.57 2.56 2.54 2.55 2.55 2.56

    d(mm) 1.2 1.2 1.2 1.2 1.2 1.2 1.2 1.2 1.2 1.2 1.2 1.2

    N 53 53 53 53 53 53 53 53 53 53 53 53

    Para hallar el mdulo de rigidez del resorte (G):

    Usamos la ec. (23):

    G = 4NKR3 Donde: R : radio del dimetro del resorte.

    r4 r : radio del dimetro del hilo del resorte.N : nmero de espiras que posee el resorte.

    Hallamos el promedio de ambos dimetros:

    D = Di = 30.45= 2.53cm. R = 1.268 cm. = 12.68mm.

    n 12

    d = di = 14.39 = 1.2mm. r = 0.6mm.

    n 12

    K = 6.5797 N/m

    Reemplazando valores:

    G = 4(53) (6.5797) (12.68)3 N mm

    3 1000mm

    (0.6)4

    m mm4 m

    G = 21.942 x 109 N

    m2

    G = 21.942 Gpas.

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    Luego hallamos la variacin del mdulo de rigidez (G); est dada por:

    G = G K + G R + G r

    K R r

    G = 4NR3 K + 12NKR2 R + -16NKR3 r

    r4

    r4 r

    5

    Donde:

    R = Rmax Rmin = 0.054 mm. r = rmax rmin = 0.000 mm.

    2 2

    K = 3.852453 N/m N = 53 espiras

    Con estos datos:

    G = G1+ G2 + G3

    G1 = 4 (53) (12.68mm)3 (3.852453 N/m) 1000 mm

    (0.6 mm)4 m

    G1 = 12.8535 Gpas.

    G2 = 12 (53) (6.5797 N/m) (12.68mm)2 (0.054 mm) 1000 mm

    (0.6 mm)4 m

    G2 = 0.00280 Gpas.

    G3 = -16 (53) (6.5797 N/m) (12.68mm)3 (0.000 mm) 1000 mm

    (0.6mm)5 m

    G3 = 0 pas.

    G = G1+ G2 + G3

    G = 12.8535 + 0.00280 + 0.00

    G = 12.8563 Gpas.

    Error = G = 0.585

    G

    Error % = 58.5 %

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    5.3. Qu importancia tiene el determinar el mdulo de rigidez de algunos materiales?Es importante porque con ella podemos calcular el esfuerzo cortante para diferentes

    deformaciones angulares que pudiera experimentar un resorte sometido a una carga

    tangencial.

    5.4. Cules son las posibles fuentes de error en la experiencia? Que el resorte no haya sido bien atado al soporte. Para hacer que oscile el resorte, se le estiro ms de su deformacin esttica. Factor humano en la medicin de los tiempos. No hayan sido oscilacin netamente vertical.

    7. RECOMENDACIONES

    Cuidar que el estiramiento no supere el lmite elstico del resorte. Conviene computar el tiempo a partir de una posicin que no sea un extremo de

    la trayectoria de la masa m.

    8. BI BL IOGRAFA

    GOLDEMBERG, J. Fsica General y Experimental, Vol IIEdit. Interamericana S.A. Mxico 1972.

    SINGER, F. Resistencia de materiales,Edit. Harla S.A. Mxico 1999.

    BEER JONSTHON Mecanica de materiasles.Edit. Mc Graw Hill. Colombia 1993.

    TIPLER, P. FISICA Vol IEdit. Reverte. Espaa 1994.

  • 8/13/2019 laboratorio n1 fisica II RAFAELO

    19/19

    28 de febrero de 2011 INFORME DE LABORATORIO N1 / MDULO DE RIGIDEZ DE UN MATERIAL.

    UNASAM / FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL 19

    9. CONCLUSIONES

    1.

    Se determino la constante elstica de un resorte utilizando el mtodo dinmico.

    2. Tambin se determino el modulo de rigidez de un cuerpo (resorte en nuestroexperimento).

    3. En la grafica hecha por el Excel vemos que la recta no pasa por el origen, eso se da por

    la existencia de (mrf) masa efectiva del resorte.

    4. El modulo de rigidez es necesario permite predecir el mximo valor de tensin o

    comprensin que se le puede dar a un material determinado.

    5. la experimentacin se realizo bajo el RANGOELASTICO, por ese motivo se cumpli la

    ley de HOOKE,aunque teniendo sus errores en la experimentacin.

    6. Cuando un cuerpo (resorte en nuestro caso), est sujeto tanto a fuerzas internas como

    externas tiene un alargamiento o deformacin, en estas condiciones se cumple la ley de

    Hooke.


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