” Año de la Promoción de la Industria Responsable y Compromiso

Climático

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO

FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICA

INTRODUCCIÓN A LA CRISTALOGRAFÍA

“LABORATORIO 5.” ALUMNOS: JOSE LUIS LEON 100214C JOSE MIGUEL HUEZA GONZALES 062124F RICARDO GARCIA ARANA MARCO ANTONIO ALPACA CHAMBA

PROFESOR: Lic. QUIÑONES MONTEVERDE, CARLOS

Ciudad universitaria, 10 de Junio del 2014

ÍNDICES DE LOS PLANOS Y LAS DIRECCIONES OBJETIVOS DE APRENDIZAJE. 1. Conocer y aprender cómo Realizar cálculos en una celda cristalográfica unidad mediante el programa carine crystalography 3.0. de índices de planos y direcciones.

2. Haciendo uso del programa carine crystalography 3.0 determinaremos los índices de los ejes de zona de planos del ClNa.

3. Haciendo uso del procedimiento esquematizado de la ecuación 4. Determinaremos los índices de zonas y compararemos dichos resultados con los obtenidos con el programa carine crystalography 3.0. TEORÍA. LA LEY DE ZONAS DE WEISS. Esta ley expresa la condición matemática para que un vector [uvw] se encuentre en un plano (hkl). Esta condición se puede determinar a través de consideraciones vectoriales elementales. Considere el plano (hkl) en la figura 1, con la normal al plano.

Figura 1 Un vector en general, r, situado en (hkl) se puede expresar como una combinación lineal de dos vectores cualesquiera que están en el plano, tales como y . Esto es:

(1), para un λ y μ conveniente. De aquí, expresando y en términos de a, b y c, se sigue que:

(2).

Si reexpresamos esto como -un vector general [uvw] que está en (hkl) - se sigue que:

(3), y así:

(4), que es la condición para que un vector [uvw] se encuentre en el plano (hkl): la ley de zonas de Weiss. Es evidente a partir de esta deducción que es válida para orientaciones arbitrarias de los ejes x, y, z con uno respecto al otro. Con frecuencia, un número importante de planos de la red cristalina se encuentran todos en la misma zona; es decir, que se cortan entre sí en líneas paralelas. Por ejemplo, en la Figura 2 los planos (100), y (110) son todos paralelos a la dirección [001]. Se diría que ellos se encuentran en la zona [001], ya que [001] es una dirección común que está en todos ellos. Las normales de todos estos planos son perpendiculares a [001]. Esto no es un accidente - las normales se ven obligados a ser perpendicular a [001] por la ley de zonas de Weiss.

Figura 2 Consideremos el plano (hkl) mostrado en la Figura 1. El vector normal a este plano, n, debe ser paralelo al producto vectorial . De aquí:

(5), y así después de alguna manipulación matemática sencilla, y haciendo uso de las identidades

y , es evidente que n es paralelo al vector .

Esto es:

(6), con una constante de proporcionalidad, Ԑ. Los vectores y en la ecuación 6 se denominan vectores recíprocos de la red, definidos a

través de las ecuaciones:

(7). Si la normal al conjunto de planos (hkl) es tomada simplemente como el vector

(8), la magnitud de n es inversamente proporcional a la separación de los planos hkl; es decir, que es inversamente proporcional a la distancia

de la figura 1, independientemente de las orientaciones de los ejes x, y ,z con uno respecto al otro. Además, es evidente que el producto escalar de una normal n a un conjunto de planos, con un vector r = [uvw] que se encuentra en uno de estos planos debe ser cero. Es decir, r.n=0. Escribiendo este producto escalar de forma explícita, se obtiene el resultado:

, que es la ley de zonas de Weiss. Esto demuestra que la ley de zonas de Weiss es un producto escalar entre dos vectores, uno de los cuales se encuentra en un conjunto de planos y el otro del cual es la normal del conjunto de planos. Dado los índices de dos planos cualesquiera, es decir (h1k1l1) y (h2k2l2), el índice de la zona [uvw] en la cual están, se encuentra resolviendo las ecuaciones simultáneas:

(9).

(10). Debido a que es sólo el cocientes u: v: w lo que son de interés, estas ecuaciones pueden resolverse para dar:

(11). Hay otros métodos que producen el mismo resultado. Por ejemplo, podríamos escribir las direcciones en la forma:

. Eliminamos la primera y la última columna y evaluamos los determinantes 2 x 2 a partir de (i) la segunda y tercera columnas, (ii) la tercera y cuarta columnas y (iii) la cuarta y quinta columnas:

(12).

Por lo tanto, nos encontramos con

. Un tercer método es al evaluar el determinante

(13), para determinar [uvw]. El resultado es

. Así, por ejemplo, suponiendo

, tendríamos:

, y así . Asimismo, dado dos direcciones [u1v1w1] y [u2v2w2], podemos obtener el plano (hkl) que contiene a estas dos direcciones al resolver las ecuaciones simultáneas:

(14),

(15). Usando un método similar al utilizado para producir la Ecuación 12, nos acercamos hasta los tres determinantes de 2 X 2 como sigue:

(16), para encontrar que . El método equivalente a la ecuación 1.15 es

evaluar el determinante:

(17). También es evidente que a partir de las ecuaciones 9 y 10, las condiciones para que dos planos (h1k1l1) y (h2k2l2) se encuentran en la misma zona [uvw], es que al multiplicar la ecuación 9 por un número m y la ecuación 10 por un número n y los sumamos, obtenemos:

(18). Por lo tanto, el plano

también se encuentra en [uvw]. En otras palabras, los índices formados al tomar combinaciones lineales de los índices de dos planos en una zona determinada proporcionan los índices de un plano adicional en esa misma zona. En general m y n pueden ser positivos o negativos. Sin embargo, si m y n son ambos positivos, entonces la normal al plano en cuestión debe estar entre las normales de (h1k1l1) y (h2k2l2).

PROCEDIMIENTO.- 1. Cargar el programa CaRIne Crystalloghraphy 3.0 y usando el comando Open cell del menú File, abrir el archivo de la celda del ClNa.

2. Ubicando el puntero en el menú Calcul. y haciendo click con el botón izquierdo del mouse, desplegar los comandos que ofrece el software, como se observa en la ventana de la Figura y elegir la acción que desea realizar a continuación.

3. Para determinar los índices del eje de zona de dos planos, hacer click izquierdo en Zone axis of 2 planes para hacer aparecer el cuadro de diálogo Zone Axis of 2 Planes que se muestra en la Figura.

4. Escribir, en los espacios designados como Plane, los índices de dos planos y hacer click en el comando Compute para que el programa muestre, en el espacio designado como Zone axis, los índices del eje de zona de los planos. Hacer click en OK para salir.

5. Para determinar los índices del plano que contiene a dos rectas, hacer click izquierdo en Plane // to 2 directions para hacer aparecer el cuadro de diálogo Plane // 2 directions que se muestra en la Figura

6. Escribir, en los espacios designados como Direction, los índices de las dos direcciones y hacer click en el comando Compute para que el programa muestre, en el espacio designado como Plane (hkl), los índices del plano que contiene a las dos direcciones. Hacer click en OK para salir.

CUESTIONARIO: 1. Haciendo uso del Programa informático CaRIne Crystallography 3.0,

determinar los índices [uvw] de los ejes de zona que le corresponden a los

planos: (a) (100) y (110), (b) (320) y (110) (c) y del ClNa. Parte a.

Parte b.

Parte c.

2. Haciendo uso del procedimiento esquematizado en la ecuación 5.2, determinar

los índices [uvw] del eje de la zona a la que pertenecen los planos (100) y (110). Comparar su resultado con el obtenido en la pregunta 1.

1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0

u 0 v 0 w 1

Podemos observar que el resultado es el mismo obtenido con el programa CaRIne Crystallography 3.0 3. Determinar el rasgo característico de los índices de los planos de las zonas [111] y [001]. Un plano de índices (hkl) que pertenece a una zona de indices [uvw] satisface la ecuación: hu kv lw =0. Zona [111] Sustituyendo valores de u, v y w: h (1)+ k (1)+ l (1) 0 Obtenemos: h+ k+ l = 0 Luego, todos los planos cuya suma de índices es igual a cero, pertenecen a la zona [111]. Zona [001] Sustituyendo valores de u, v y w: h (0)+ k (0)+l (1) 0. Obtenemos: l=0 Luego, todos los planos con el tercer índice igual a cero, pertenecen a la zona [001]

4. Demostrar que los planos (110), (121) y (312) pertenecen a la zona [111]. De estos resultados podemos observar que se cumple que los planos pertenecen a la

misma dirección, ya que son planos paralelos lo cual permiten que compartan la misma dirección.

1 -1 0 1 -1 0

0 -2 1 0 -2 1 [-1 -1 -1]

1 -2 1 1 -2 1

-3 1 2 -3 1 2 [-5 -5 -5]

1 -1 0 1 -1 0

-3 1 2 -3 1 2 [-2 -2 -2]

5. ¿todos los siguientes planos pertenecen a la misma zona: (-110), (-311), (-1,-3,2)? si es así, ¿Cuál es el eje de zona? Dar los índices de cualquier otro

plano que pertenezca a esta zona.

de lo anterior podemos comprobar que pertenecen a la misma zona

pertenecen a la misma zona.

6. Haciendo uso del programa informático Carine Crystallography 3.0, determinar los índices (khl) del plano que contiene a las líneas de direcciones [100] y [110] del ClNa.

El índice de los planos para las direcciones [100] y [110] del ClNa es : (001)

-1 1 0 -1 1 0

-3 1 1 -3 1 1 [1 1 2]

-1 1 0 -1 1 0

-1 1 2 -3 1 2 2 x [1 1 2]

-3 1 1 -3 1 1

-1 1 2 -3 1 2 5 x [1 1 2]

7. Haciendo uso del procedimiento esquematizado en la ecuación (3) determinar

los índices del plano al que pertenecen las direcciones [100] y [110]. Comparar su resultado con el obtenido en la pregunta 3.

De la ecuación (3) tenemos:

Reemplazando los datos en la ecuación anterior tenemos lo siguiente:

operando resulta:

(0x0 - 0x1 0x1 – 1x0 1x1 – 0x1)

( 0 0 1 )

8. En los sistemas cúbicos la dirección [h k l] es siempre perpendicular al plano

(hkl) que tiene los mismos índices; esto es, por ejemplo la dirección [100] es perpendicular al plano (100). ¿Esta regla es, en general, cierta en otros sistemas cristalino? justificar su respuesta.

Una importante relación sólo para los cristales cúbicos es que los índices de una dirección [h k l] es siempre perpendicular a un plano (h k l) que tiene los mismos índices. Es decir, la dirección de los planos corresponde al vector normal a la superficie del plano. • Por ejemplo, la dirección [100] es perpendicular al plano cristalino (100).

Sistema cubico

u v w u v w

u v w u v w [h k l]

1 0 0 1 0 0

1 1 0 1 1 0 [0 0 1]

• tenemos otro ejemplo para un sistema cubico caso la dirección [001] es perpendicular al plano cristalino (001).

Pero en general en sistemas cristalinos no ortogonales esto no sucede.

CONCLUSIONES:

• Se pudo corroborar los datos obtenidos por el programa CaRIne Crystalloghraphy 3.0,y los cálculos obtenidos mediante la parte teórica.

• Podemos concluir que la suma de los índices de dos planos de una zona generan los índices de un nuevo plano de la zona, cuyo eje es la dirección de la recta a la cual los dos planos se cortan. En la cual se verifica teóricamente y mediante el programa CaRIne Crystalloghraphy 3.0.

• Pudimos comprobar que la suma de los índices del plano pertenecen a una misma zona.

• Es interesante la forma de designar direcciones o planos dentro de un cristal, porque muchas de las propiedades de los materiales cristalinos dependen del plano o dirección que se considere. Por ello, resulta especialmente importante encontrar una forma cómoda y rápida de identificar las direcciones y planos cristalográficos.

• También obtuvimos las direcciones y los índices del plano de forma analítica usando la ecuación (2) y (3),lo cual usando el programa Carine Crystallography 3.0 y haciéndolo de forma analítica nos da el mismo resultado.

• Finalmente podemos decir; que el programa Carine Crystallography 3.0 nos facilita la obtención de la dirección y los índices del plano cristalino de manera más rápida.

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS: - AUTOR: Lic. CARLOS A. QUIÑONES MONTEVERDE. * Vectores y matrices. - AUTOR: Dr. ESPINOZA RAMOS. * Principios de cristalografía. - AUTOR: FLINT. - http://www.uh.edu/~chembi/Miller%20Zones_notes.pdf