Leccion 2. Matrices especiales´ · 2020-04-14 · Leccion´ 2. Matrices especiales. Matrices...

Leccion 2. Matrices especiales

Cuerpo Academico de Algebra Lineal

Universidad Autonoma de Yucatan

Merida, Yucatan, Mexico

Matrices cuadradas Otras matrices especiales Ejercicios

GUIA

Matriz cuadrada.

Diagonal de una matriz.

Traza de una matriz.

Matriz columna y matriz fila.

Matrices identicas (iguales).

Matriz nula.

Matriz identidad.

Matriz triangular superior.

Matriz triangular inferior.

Matriz diagonal.

Matriz transpuesta.

Matriz simetrica.

Matriz antisimetrica.

Cuerpo Academico de Algebra Lineal Universidad Autonoma de Yucatan



Indice

1 Matrices cuadradas

2 Otras matrices especiales

3 Ejercicios




Matriz cuadrada

Matriz cuadradaSi A es una matriz que tiene el mismo numero de filas y decolumnas, es decir cuando m = n, entonces A se denomina matrizcuadrada de orden n.




Ejemplo[1 23 4

]es una matriz cuadrada de orden 21 4 5

2 1 46 5 7

es una matriz cuadrada de orden 3

[1 0 00 1 0

]no es una matriz cuadrada.




ObservacionEn una matriz cuadrada A de n× n, la diagonal principal de A esla lınea formada por los elementos a11, a22, . . . , ann.

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

......

an1 an2 · · · ann




TrazaSi A es una matriz cuadrada, entonces la traza de la matriz A,denotada por tr(A), se define como la suma de los elementos de ladiagonal principal de A.

ObservacionLa traza de A no esta definida si A no es una matriz cuadrada.




TrazaSi A es una matriz cuadrada, entonces la traza de la matriz A,denotada por tr(A), se define como la suma de los elementos de ladiagonal principal de A.

ObservacionLa traza de A no esta definida si A no es una matriz cuadrada.




Ejemplo

Sea A =

−1 2 7 03 5 −8 41 2 7 −34 −2 1 0

. Calcula la traza de A.

Solucion.tr(A) = (−1) + 5 + 7 + 0 = 11.




Ejemplo

Sea A =

−1 2 7 03 5 −8 41 2 7 −34 −2 1 0

. Calcula la traza de A.

Solucion.tr(A) = (−1) + 5 + 7 + 0 = 11.




Indice



3 Ejercicios




Matrices especiales

Matriz columnaUna matriz que solo tiene una columna, recibe el nombre dematriz columna.

Matriz renglon

Una matriz que solo tiene una fila, recibe el nombre de matriz filao matriz renglon.




Ejemplos

La matriz [1 7 12 3

]es una matriz renglon de orden 1× 4; mientras que

1−215916

es una matriz columna de orden 5× 1.




Matrices identicas

Dos matrices A =(aij)

y B =(bij)

son iguales si y solo si,

(I) son del mismo tamano.

(II) aij = bij para cada i y cada j. Es decir, las componentescorrespondientes son iguales.




Ejercicios

Determina si las siguientes matrices son iguales.

1

[4 1 52 −3 0

]y

[1 + 3 1 2 + 31 + 1 1− 4 6− 6

]

2

[1 2 −20 5 100

]y

1 02 5−2 100

3

[1 −21 3

]y

[0 −21 3

]4

[1 + 2ii

2

0 −i

]y

[2− i 2

01i

]




Otras matrices especiales

Matriz nulaUna matriz de orden m× n con todos los elementos iguales a cerose denomina matriz nula o matriz cero de m× n y se denota por0m×n.

Ejemplos

1

[0 00 0

]2[0]

3

0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0




Otras matrices especiales

Matriz nulaUna matriz de orden m× n con todos los elementos iguales a cerose denomina matriz nula o matriz cero de m× n y se denota por0m×n.

Ejemplos

1

[0 00 0

]2[0]

3

0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0




Otra mas

Matriz identidadSea A una matriz cuadrada de orden n. Se dice que A es la matrizidentidad de orden n, denotada por In, si los elementos de sudiagonal principal son todos iguales a 1 y todos los demaselementos de la matriz son 0.




Ejemplos

1 I2 =

[1 00 1

]

2 I3 =

1 0 00 1 00 0 1

3 I4 =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1




Matriz triangular superior

Sea A =(aij)

n×n una matriz cuadrada de orden n. Se dice que Aes una matriz triangular superior si todas las componentes queestan debajo de su diagonal principal son cero, es decir, si aij = 0para i > j con i, j = 1, 2, . . . , n.




Ejemplos

1

[1 30 −1

]

2

1 4 50 0 −40 0 7

3

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1




Matriz triangular inferior

Sea A =(aij)

n×n una matriz cuadrada de orden n. Se dice que Aes una matriz triangular inferior si todas las componentes que seencuentran arriba de su diagonal principal son cero, es decir, siaij = 0 para i < j con i, j = 1, 2, . . . , n.




1

[1 02 1

]

2

1 0 02 1 06 5 −7

3

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1




Matriz diagonal

Si en una matriz cuadrada A =(aij)

de orden n todos loselementos que estan fuera de su diagonal principal son cero, se diceque A es una matriz diagonal. Esto es, aij = 0, si i 6= j, coni, j = 1, 2, . . . , n.




Ejemplos

1

1 0 00 1 00 0 7

2

1 0 00 0 00 0 0

3

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1




Matriz transpuesta

La matriz transpuesta de una matriz A de m× n es una matrizde orden n×m, denotada por AT, que se obtiene intercambiandolos renglones y las columnas de A; es decir, la primera columna deAT es el primer renglon de A, la segunda columna de AT es elsegundo renglon de A, y ası sucesivamente. Esto es, si A es lamatriz de m× n dada por

A =

a11 a12 a13 · · · a1na21 a22 a23 · · · a2na31 a32 a33 · · · a3n...

......

...am1 am2 am3 · · · amn

la transpuesta, es la siguiente matriz de n×m




Matriz

A =

a11 a12 a13 · · · a1na21 a22 a23 · · · a2na31 a32 a33 · · · a3n...

......

...am1 am2 am3 · · · amn

Matriz transpuesta

AT =

a11 a21 a31 · · · am1a12 a22 a32 · · · am2a13 a23 a33 · · · am3...

......

...a1n a2n a3n · · · amn




Ejemplo

Encuentra la matriz transpuesta de cada matriz

1 A =

[28

]2 B =

1 2 34 5 67 8 9

3 C =

1 2 02 1 00 0 1

4 D =

0 12 41 −1

Solucion.

1 AT =[2 8

]2 BT =

1 4 72 5 83 6 9

3 CT =

1 2 02 1 00 0 1

4 DT =

[0 2 11 4 −1

]




Ejemplo


1 A =

[28

]2 B =

1 2 34 5 67 8 9

3 C =

1 2 02 1 00 0 1

4 D =

0 12 41 −1

Solucion.

1 AT =[2 8

]

2 BT =

1 4 72 5 83 6 9

3 CT =

1 2 02 1 00 0 1

4 DT =

[0 2 11 4 −1

]




Ejemplo


1 A =

[28

]2 B =

1 2 34 5 67 8 9

3 C =

1 2 02 1 00 0 1

4 D =

0 12 41 −1

Solucion.

1 AT =[2 8

]2 BT =

1 4 72 5 83 6 9

3 CT =

1 2 02 1 00 0 1

4 DT =

[0 2 11 4 −1

]




Ejemplo


1 A =

[28

]2 B =

1 2 34 5 67 8 9

3 C =

1 2 02 1 00 0 1

4 D =

0 12 41 −1

Solucion.

1 AT =[2 8

]2 BT =

1 4 72 5 83 6 9

3 CT =

1 2 02 1 00 0 1

4 DT =

[0 2 11 4 −1

]




Ejemplo


1 A =

[28

]2 B =

1 2 34 5 67 8 9

3 C =

1 2 02 1 00 0 1

4 D =

0 12 41 −1

Solucion.

1 AT =[2 8

]2 BT =

1 4 72 5 83 6 9

3 CT =

1 2 02 1 00 0 1

4 DT =

[0 2 11 4 −1

]Cuerpo Academico de Algebra Lineal Universidad Autonoma de Yucatan



Matriz simetrica

Una matriz cuadrada A de orden n se llama simetrica si AT = A.

Ejemplo

La matriz

A =

1 2 32 0 53 5 6

es una matriz simetrica, porque AT = A.




Matriz simetrica

Una matriz cuadrada A de orden n se llama simetrica si AT = A.

Ejemplo

La matriz

A =

1 2 32 0 53 5 6

es una matriz simetrica, porque AT = A.




Matriz antisimetricaUna matriz cuadrada A de orden n se llama antisimetrica si secumple que aij = −aji, ∀ i, j = 1, 2, . . . , n.

Ejemplo

Sea A una matriz de 3× 3.

A =

0 −2 32 0 5−3 −5 0

¿Es A una matriz antisimetrica?




Matriz antisimetricaUna matriz cuadrada A de orden n se llama antisimetrica si secumple que aij = −aji, ∀ i, j = 1, 2, . . . , n.

Ejemplo

Sea A una matriz de 3× 3.

A =

0 −2 32 0 5−3 −5 0

¿Es A una matriz antisimetrica?




Indice



3 Ejercicios




Ejercicios II.1

Sean A =

2 1 −4 −30 −1 0 −1−1 2 −2 1

y B =

−1 0 22 2 03 0 −2

.

1 Escribe la matriz C = (cij)3×3 tal que cij = bji.

2 Escribe la matriz D = (dij)4×3 tal que dij = aji.

3 Escribe la matriz E = (eij)3×3 tal que eij = bij si i ≥ j, yeij = 0 si i < j.




Ejercicios II.2

Considera las siguientes matrices.

(a) A =

[1 −6 2−4 2 1

]

(b) B =

1 2 34 5 67 8 9

(c) C =

1 12 23 3

(d) D =

[1 02 3

](e) F =

[6 2

]

(f) E =

1 2 3 40 1 6 00 0 2 00 0 6 1

(g) G =

561

(h) H =

1 6 20 0 00 0 0

(i) K =

[0 00 0

]Cuerpo Academico de Algebra Lineal Universidad Autonoma de Yucatan



1 Establecer el orden de cada matriz.

2 ¿Cuales son matrices cuadradas?

3 ¿Cuales son matrices triangulares superiores?

4 ¿Cuales son matrices triangulares inferiores?

5 ¿Cuales son matrices renglones?

6 ¿Cuales son matrices columnas?

7 Halla la transpuesta de cada matriz.

8 Calcula la traza de cada matriz cuadrada.



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