BU CS 332 – Theory of Computation

Lecture 16:• Mapping Reducibility Reading:

Sipser Ch 5.3

Mark BunMarch 25, 2020

Problems in language theory

3/30/2020 CS332 ‐ Theory of Computation 2

𝐃𝐅𝐀decidable

𝐂𝐅𝐆decidable

𝐃𝐅𝐀decidable

𝐂𝐅𝐆decidable

𝐃𝐅𝐀decidable

𝐓𝐌undecidable

𝐓𝐌undecidable

𝐓𝐌?

𝐂𝐅𝐆?

Reductions

A reduction from problem  to problem  is an algorithm for problem  which uses an algorithm for problem  as a subroutine

If such a reduction exists, we say “ reduces to  ”

3/30/2020 CS332 ‐ Theory of Computation 3

Reminder: Using reductions to prove undecidability

If  reduces to  and  is undecidable, then  is also undecidable

Proof template:1. Suppose to the contrary that  is decidable2. Using  as a subroutine, construct an algorithm 

deciding 3. But  is undecidable. Contradiction!

3/30/2020 CS332 ‐ Theory of Computation 4

Equality Testing for TMs

Theorem:  is undecidableProof: Suppose for contradiction that there exists a decider for . We construct a decider for  as follows:On input  :1. Construct TMs ,  as follows:

2. Run  on input 3. If  accepts, accept. Otherwise, reject.

This is a reduction from  to 3/30/2020 CS332 ‐ Theory of Computation 5

Equality Testing for TMs

Theorem:  is undecidableProof: Suppose for contradiction that there exists a decider for . We construct a decider for  as follows:On input  :1. Construct TMs ,  as follows:

= =

2. Run  on input 3. If  accepts, accept. Otherwise, reject.

This is a reduction from  to 3/30/2020 CS332 ‐ Theory of Computation 6

Problems in language theory

3/30/2020 CS332 ‐ Theory of Computation 7

𝐃𝐅𝐀decidable

𝐂𝐅𝐆decidable

𝐃𝐅𝐀decidable

𝐂𝐅𝐆decidable

𝐃𝐅𝐀decidable

𝐓𝐌undecidable

𝐓𝐌undecidable

𝐓𝐌undecidable

𝐂𝐅𝐆?

Context‐free language testing for TMs

Theorem:  is undecidableProof: Suppose for contradiction that there exists a decider for  . We construct a decider for  as follows:On input  :1. Construct a TM  as follows:

2. Run  on input 3. If  accepts, accept. Otherwise, reject

This is a reduction from  to 3/30/2020 CS332 ‐ Theory of Computation 8

Context‐free language testing for TMs

Theorem:  is undecidableProof: Suppose for contradiction that there exists a decider for  . We construct a decider for  as follows:On input  :1. Construct a TM  as follows:

= “On input  ,1. If  accept2. Run TM  on input 3. If  accepts, accept.”

2. Run  on input 3. If  accepts, accept. Otherwise, reject

This is a reduction from  to 3/30/2020 CS332 ‐ Theory of Computation 9

Mapping Reductions

3/30/2020 CS332 ‐ Theory of Computation 10

What’s wrong with the following “proof”?Bogus “Theorem”:  is not Turing‐recognizableBogus “Proof”: Suppose for contradiction that there exists arecognizer  for  . We construct a recognizer for  :

On input  :1. Run  on input 2. If  accepts, reject. Otherwise, accept.

This sure looks like a reduction from  to 3/30/2020 CS332 ‐ Theory of Computation 11

🚩🚩Warning🚩🚩

Mapping Reductions: Motivation

1. How do we formalize the notion of a reduction?2. How do we use reductions to show that languages are 

unrecognizable?3. How do we protect ourselves from accidentally 

“proving” bogus theorems about recognizability?

3/30/2020 CS332 ‐ Theory of Computation 12

Computable FunctionsDefinition:A function  ∗ ∗ is computable if there is a TM which, given as input any  ∗, halts with only  on its tape.

Example 1: 

Example 2:  =  where  is a TM,  is a string, and  is a TM that ignores its input and simulates running  on 

3/30/2020 CS332 ‐ Theory of Computation 13

Mapping ReductionsDefinition:Language  is mapping reducible to language  , written

if there is a computable function  ∗ ∗ such that for all strings  ∗, we have 

3/30/2020 CS332 ‐ Theory of Computation 14

DecidabilityTheorem: If  and  is decidable, then  is also decidable

Proof: Let  be a decider for  and let  ∗ ∗ be a mapping reduction from  to  . Construct a decider for as follows:

On input  :1. Compute 2. Run  on input 3. If  accepts, accept. Otherwise, reject.

3/30/2020 CS332 ‐ Theory of Computation 15

Undecidability

Theorem: If  and  is decidable, then  is also decidable

Corollary: If  and is undecidable, then is also undecidable

3/30/2020 CS332 ‐ Theory of Computation 16

Old Proof: Equality Testing for TMs

Theorem:  is undecidableProof: Suppose for contradiction that there exists a decider for . We construct a decider for  as follows:On input  :1. Construct TMs ,  as follows:

= “On input 𝑥, =  “On input 𝑥,1. Ignore 𝑥 1. Ignore 𝑥 and accept”2. Run 𝑀 on input 𝑤3. If 𝑀 accepts, accept. 

Otherwise, reject.”2. Run  on input 3. If  accepts, accept. Otherwise, reject.

This is a reduction from  to 3/30/2020 CS332 ‐ Theory of Computation 17

New Proof: Equality Testing for TMs

Theorem:  hence  is undecidableProof: The following TM computes the reduction:

On input  :1. Construct TMs ,  as follows:

= “On input 𝑥, =  “On input 𝑥,1. Ignore 𝑥 1. Ignore 𝑥 and accept”2. Run 𝑀 on input 𝑤3. If 𝑀 accepts, accept. 

Otherwise, reject.”2. Output

3/30/2020 CS332 ‐ Theory of Computation 18

Mapping Reductions: Recognizability

3/30/2020 CS332 ‐ Theory of Computation 19

Theorem: If  and  is recognizable, then  is also recognizable

Proof: Let  be a recognizer for  and let  ∗ ∗ be a mapping reduction from  to  . Construct a recognizerfor  as follows:

On input  :1. Compute 2. Run  on input 3. If  accepts, accept. Otherwise, reject.

Unrecognizability

Theorem: If  and  is recognizable, then  is also recognizable

Corollary: If  and is unrecognizable, then is also unrecognizable

Corollary: If  , then is unrecognizable

3/30/2020 CS332 ‐ Theory of Computation 20

Recognizability and 

3/30/2020 CS332 ‐ Theory of Computation 21

Consequences of 

1. Since  is undecidable,  is also undecidable

2. implies Since  is unrecognizable,  is unrecognizable

3/30/2020 CS332 ‐ Theory of Computation 22

itself is also unrecognizable

3/30/2020 CS332 ‐ Theory of Computation 23

Theorem: 𝐴 hence  is unrecognizableProof: The following TM computes the reduction:

On input  :1. Construct TMs ,  as follows:

= “On input 𝑥, =  “On input 𝑥,1. Ignore 𝑥 1. Ignore 𝑥 and accept”2. Run 𝑀 on input 𝑤3. If 𝑀 accepts, accept. 

Otherwise, reject.”2. Output

More on Reductions and Undecidability

3/30/2020 CS332 ‐ Theory of Computation 24

Problems in language theory

3/30/2020 CS332 ‐ Theory of Computation 25

𝐃𝐅𝐀decidable

𝐂𝐅𝐆decidable

𝐃𝐅𝐀decidable

𝐂𝐅𝐆decidable

𝐃𝐅𝐀decidable

𝐓𝐌undecidable

𝐓𝐌undecidable

𝐓𝐌undecidable

𝐂𝐅𝐆?

is undecidable

∗

Theorem:  hence  is undecidableProof idea: “Computation history method”On input  :1. Construct a CFG  such that:

∗ does not accept 

2. Output3/30/2020 CS332 ‐ Theory of Computation 26

Problems in language theory

3/30/2020 CS332 ‐ Theory of Computation 27

𝐃𝐅𝐀decidable

𝐂𝐅𝐆decidable

𝐃𝐅𝐀decidable

𝐂𝐅𝐆decidable

𝐃𝐅𝐀decidable

𝐓𝐌undecidable

𝐓𝐌undecidable

𝐓𝐌undecidable

𝐂𝐅𝐆undecidable

Undecidable problems outside language theoryPost Correspondence Problem (PCP):

3/30/2020 CS332 ‐ Theory of Computation 28

Domino: . Top and bottom are strings.Input: Collection of dominos.

Match: List of some of the input dominos (repetitions allowed) where top = bottom

Problem: Does a match exist?  This is undecidable