+ All Categories
Home > Documents > [Lecture Notes in Computer Science] Financial Cryptography Volume 1962 || Efficient Trace and Revoke...

[Lecture Notes in Computer Science] Financial Cryptography Volume 1962 || Efficient Trace and Revoke...

Date post: 10-Dec-2016
Category:
Upload: yair
View: 216 times
Download: 3 times
Share this document with a friend
20
Y. Frankel (Ed.): FC 2000, LNCS 1962, pp. 1–20, 2001. c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2001
Transcript

������ ���� � ��� �� �������

���� ����� ��� ����� ��

����� ������ �� ���� ��� ���� �� ������ ����� ���� ��� �� �� ����

������� ����� �������������������� ������������������

��������� ! "��� � �� ��� "� ���#�� �� ������� �� ���� � �� $%� �� �� ���� � &� �� � � ���� $�� �� '�( ���� ��� ��� ���) �" ��� ������� )�#� '*( ���� &� �� ��� ���)�� )�#� �� ������� �� ���%"�� ���#�� �� ��� �� ��� '+( ���)� ����� )�#� �� �� ���� ��� ��� ���#����� �����

�� ���� $# ��� "� �" �� �� ��� ������ �� ������ $���� �� �������� �"� �� ��� ����� � �� � ��� �� ��� � ���� �"� ��� ���� � ����� � �� �� ,�� ��������� �� �� � ������ � ��� �� ��� ���� ������ ��� �� ������� & �� ��� ���� ����� ��� �� ���� ���& ��& �����$ �� ��� ������ �� ������ & �� �� �� ��� �" ��� ���� ������������������ ��� ��� ���# ��& �� ������� ������� ��� ���� '�( -�����.� ������� )�# ����� �� ���� ���� � �� ������ �� �� ���� �� '��"� ��� ��.� ��� � ��� ��$�( ��� ������� ��� &��� $� ������� ��� ������ ��� )�#�� '*( �� ���"�� ���#�� �� ��� �� � ������� ��� ���� �#�� ��� ���� ���� $��� )�#� �� ������� ��� ��� ��� ��� '+( � ����� $�� �� ���)� ��� )�#� �� ���� ���� /� ��� ���� �� �� � � ������� �� $� �$�� �� �� �� & ���� �$� ��# � ����� �" ��� ���� � �� ������ ���

�� ���� 0�� ������ �� $���)� �� �" $������� ���#�� �� ��� �"�� ��� ���� ���������� ���# "�� ������ ���

� ����������

������� ���� � � �� ���� ����� ������ �� ������� ������� ��� � �� �������� �� ������� � � ��������� ������� ��� ������ � ��� � � � ����� ��������� �� � �� ������ ��� ��� �� ��� ������ ��� ��� ����� ���� �� �� �� ������� ��� �� �������� �� �� ������� ������� ��� ������ � �� ������� �� ������� �� ��������� �� ���� ��� � �� �� !� � �"� � ������ ������� ���� ��� ������� � ��� �� ������ ������ � ��� #�� ���� � �� � ��� ��� ���� �� ������ ������ �� ��� �� �� ������� ��� �� � �� ����� $%& ����� � � ��� ��� ���� �������� � �� ���� �� ��� ����� �� ������

� 1�� �� �� � &�) &�� ���� &� �� � � � �" ������� 0� ��� �# ��� �2� �������������� ������ 1���# ������� $# �!� � "��� ��� � ����� $# !3� ������1� ������� /+���*%44%�%�5+��

�� ������� ������� $# �� -��)�� /����&�� ��

Y. Frankel (Ed.): FC 2000, LNCS 1962, pp. 1–20, 2001.c© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2001

2 Moni Naor and Benny Pinkas

�������� �� �� ��� ������ ���� ���� � �� � ����� ��� �� �������������� ������� �� ����� ������� ��� ����� ������ ������������ �� �� �������� ������ ����� ��� ���� ���� ��� ���������� ��� ������� ���� � �����

������ ��� ������� ������� ����� ��� �������� ��� ������ ����� ���� ���������� ������ ������� � ����� �� ���� � ��������� �� ����� ����������� ��� ������� ������ ���������� �� ��� � � ���� ���� ������������ �� ��������������

���� ��������� ���� ��� ������� ������ �� ����� ������ �� ���� ����

����� �� ������ ��� �� �� ���� ������� � ������������� ����� ������������ � ��� ������ ������ � ���� � ����� �������� ������� ���� ���� ���� ��������� ��� ���� ����� �� �� ������� �� ������� � ������������ ���������� ��� ��������� � ��� ������ � ����� !"!�� ��� ������ �������� �� ��� �������� ��� �� �� � ��� ������� � ��� ����� #���� ��� ��� ���� ������� ����� ���� ��� ����� ��� ������� ��� ������ ����� ����� ������� ����������� ��� ����� ����� �� ������ �� ������� �������� �� � �� ���� �� ������ � � !"! ������� � ����� ��� ������� �������� �� ��������� !"!� ������� ���� ���� ���� �������� ��� ���� �������� ���� ��� ����� ��� �������� ������������ � ����� ������ $ � ������������ ��� ������� �� �� ���� � � ��������� ������� �� ���� �������� � ��������� ���� ����� ��� ������� ����� ��� �����

�� � ���� ������� ������ ��� ������� ������ ���� �������� ��� ������� ��� ��� ��� ��������� ������� ���� ��� ����� � ��� �������� ����� ��� ����� � ���� ��� ���� ���� ��������� ��� ������ �������� �� ����� � !"!� ��� ������ �������� ���� %����� ������� �� ��� ����� ���� ����� ���� ���� ����� ����� ����� ��� ���������� ������� ���������� ����� ����� � ���� ��� ���� ��� ������� �� ������ ����� ��� ������� � ������� � �� � � ����� ��� � ������� � � ����� ������ � �� � ���������� ����� ������ ������ ������� � �� � � ������ ������ &�� ������� ��� ������ ��� ����� �������� ��� ����� ��������� ������� �� �������� ���� �� ���� ���� $ ���������� ��� � ����� ���� ����� ������� � ��� ����

�� ��� � ������ �� ��� ������ ��� ����� �� ����� ��� ��������� ���������� ������� ��� �� ����� � ��

'� ������ � ���� �������� ��� � ������ �� ��� ������� ��������$� ������ ������ �� � � ����� � ��� ���� ���� ���� ��� ������� �����(������ ��� ������� ���� ������ ��� �� � ��� ����� ���� � �� ������� $���������� ��� � ����� ����� �� ������ ������ � � �� ��� ���������������� �� )��� �� #���� ������ � ����� ��� ������ �� ����� � ����� �� �� � � �������� ������ ��� ���� ������� �� ��� �������� ����������

�������� � ��� ����� �������� � ������ ��� ��� �������� � ��� ����� ��� ����� �����*��� � ����� ��� ������ ��������� �������� � ��� ������ ��������� �� ������ �� � � �� �������� ����� ��� ����� ����� � ��� � � ����� ����� ��� ���������� ��� ���������

������ ������ �� ��� ������ ��� ���������� � � ��� �������� ������� ����������� ���� �������� �� � �� ���� ����������� ��� ������ �!���� ����

�� "#� � ���$��� ��%��� ��� �� � &�'$���( �!��� ���� �� )*)�

Efficient Trace and Revoke Schemes 3

����� � ����� ���� ����� � ��� �� ��� ��� �� ������� �� �� ���� � ������ ������ ������������ �� ����� �� � ��� ���� ������� ��� ��� ��� �� ��� ����� ���� �!��������"#

������� ��� �� �� ������ $��� ���� ����� �� �� ������ �� ������ � � ������ ��#�# �� ����� � �������" �� ���� ���% �� �������� ��� ���% �� �� &�� ���� ���� ������ ���� ���� ��%��� �� %���# '���� ��� ��� � � �! ����������� ��� ��� ������� ��%���� ��" ��� � ��� ������ �����( ��� � ��� ��%����� %���# )#�# ����� � ������ ��! *�� ��� ���� �+ ���� �� %���� �� ����� � �������#���" ,���� ����� ��� �������� ����� ������� %��� �� ������( � ���% �� ������ ���� �� �����#

'�� ��� ����� ���� �������� �� �������� �� ������ �� � ���� � ������� %����� � ������� ��� ��������� ���������� ������� �� ��-���( ��� �!��� �������.� ����� ��� �����# '��� ������� %�� �� ��/����� ��� ��� �� ������� ����� ������# )� �� ��������� �� ����� ���� ����� ���� �� ��� ���� �� ��� ����� � ������� ��� ��������� %��� �� �������( ��� �� �� � ��� ����� ���� ���� ������� �� ���� ����� %��� �� ����� ������� ��� ���������#

��� ����� ���� � ���� � ����� ��� ����� ��" '��� ������� �� � ������ � ��#�# � ���� ������ ��� %�� �� � ������"( � ���% � � ������ �� ����� �������� ����� ���� � ����# ��" '��� �%� �� ������ ��� ������� �� ������ �����.%���# '��� ��� �� ���� �������� ��� � ��� �� ��� ��������� � ���� ����*��� ���� � ��� � �� ��� ���� ����� � ����" ��� �� ����� ��� �� ��� ������������� ��� ���� � �������� �� � %���( ����� � �� � �������� ��� � �0� �� ��� ���!��� �� ��� � ���# 1���� � ��� ����� ���� � ��� ���� �� ��� ��������� ��� ��� �������� �( ���� �������� ��� �Æ ��� � �� ��� � ����#

$� ��� ���� �� �� ���� 2 � ���� ��� � ����� ��� ����� ����( ������� ��� ���( ��� ���� ���� �����# '�� ��������� �� ����� ���������� �� ��� ����� ������%��� ����� ��� � ��� ����� �� �� ������# �� ���� 2#� ��� ����� ��� �� ��� ��� ��� ��� ���� � �� �� �� ��( �� � ���� ��� ����� ��� ���� � �������%�� ���� � ������� ����� ��������� ����������" �� ����� ��� ����� %�� ��� ������� �� ��� ��� �����# '��� �� � ���� ������ �� ����� �������� ��� � �� � ������� ���� ��� � ������� ����� �� �� ��� �!�� ��� ���� ����� �� ����%�� �� ������� �����#

)� ��������( �� ��� ���� ��� �� ����� ���� ����� ���� ���������� ��� ��� � ����( �� � �� ����� �� �3(�2�#

��� �������� ��� ������

�� ����� � $� ������� ��� ������� � ������# '���� �� � ����� �� � ��������� ����� ��� ��� %�� ��#�#( ��� %�� ���� ��� � ��� ������ �� �� ������"# ������ ������� �� �� ���������� ��� �������� ��� �� ������� ���������� ������� �����# �'�� �� ���� ���� ��� %�� ���� �� � �� ��� �����( ��� ������� ��� �� ���� ��� ��� � ������� �����( ��� ����� ������ ��� ������� �� ���� �� ��� � ����"# '�� �� �������� %��� ��� ��� ���� ����� � ����� �� ������������� �����( ��� ����� �� � ���� � ������� %��# �� � ������ ������ �������� �� �� �� � ����� �� �������� ��� ��������� �� �� ���� ��� ������

4 Moni Naor and Benny Pinkas

��� �������� � �� ��� ���� �� ��������� �� ��� �� ��� ����� ��� ���� ���� � � � � �� � ������� ���� ����������� ���� �� ��������� ������ �� ����

�������� ��� �� ��������� �������� � ��� � ��� �� �������� � �� ������� ��� ��� �� ������������� � ���� � ��� � � � ��������� ������ � �������� � ��� � ������� ������� ������ ����� ��� ����� � � ������ ������������� �� ����������� ������� � ��� � �� ��� ����� �� ���� �������� � ����� �� ��� �� � � � ���� � ������ � �� � ��� ���� � ������� � �� ���� �� ������� ��� ������� � �� ����� � �� ����� �� ������ ��� ���

��� ����� ��� ��� �� �� ���� � ��� �������� ����� � � � � ����� �������� ��� ������ ��� ��� ���� �������� ������� �� ������� � ��� � �� � ������� ��� ��������� �� ��� ��������!���� ��� � ���� � �� ������� � ���� � ��� ���� �� ��� �������� ��� � ��� �� ������� � �� ������ �� �� ������ ������"��� ���� � �� ��� ������ ��� ��������� ��� �� � ��� ���� ��� �������� �� ���� ���� ���� � ������� � ��� ��� ������ � �� �� �� ���� ����� ���� � ������ ��� ��������� ���� ��� ����

��� ������� #� ��� ��� ����� ���� � �������� ����� ���� ��� �� � ��� ����� ��� ��� � �� � � � �� � ���� � � � ���������� ��� ������� � ��� ����� � ��� ������� ���� � �� �� � ��� � �� ���� ������� � �������� ��������� �� � $��� ������ ��� $��� �!� � ��%������� ��� �������� �� ��� � ������� �� ��� ��� ������� � ��� ��������� � � �� ��� �� ��� � �� ������ ��� � ��

� ������� � � � ���� ������ �� ��� � ��� ��������� �������� ����� ������ �� � �� �� �� �������� � �� � � � �� �

� ������� � ���� ������ ��� ��� � ��� �� � �� � ������ ���� ���&����� � �� � � � �� �� ���� ��������� ���� ��� �� �� � � �������������� � ������ ' ��� (��� ���� (��&)������ � ������ *+,� -������ ��� ����� ��� �������� �� ��� ��� ��� � �� ������� ������������

� ��� ��������� �������� #� ��� ��� � ����� � � ����� �� ���� �����&���.��� ������ � ���� ����� � ��� (��� ���� (��&)������ � ���������� � ����� �� � ����� �������� ���� � � � ���&����� ������� �

�� �������� � ��� ��� ����� ��������� ��� � ��������

� / � ��� ��� �� ��� ����� �������� ����� � ���� ������ ������ �Æ&������ �� ��� ���� ������� � ��� �������� � 0� � � ����� � � ��� �� �

� 1 ��� ��� ��� ���������� ����� �� ������� ��� ���������� � 2��� ����������$��� ����� � ����� ��� ���� ��� � ������� � ��� ��� ��� ���������� ������ ��� �� ��� ���� ����� � �� ���� � ������� � ���������� ��������� �� � ��� ��� ��� ���� ������ �� ����� ����������

� 3������� �������� ��� ����������� ������� ����� �

��� � � ������ ���� � ���� � �� ����� � ��� ��������� � ��� ������������ & ��������� ������ ������� ��� ��� �����������

Efficient Trace and Revoke Schemes 5

��� ������ ��

���������� ��������� ����� � ������� ��� �� �� ����� ����� ���������� ������� � � ��� ����� �� ��������� ������� ����� �� �� ������ ���������� ��� ������ ���� ������ ������� �� �������� �������� �!���� �������! ������ �� ������ ������ �� ����� ���� �� ������� "��� ������ � �������� ������� �� ������ ��������� ������� �� ������ �� ������ ������� ����� �� �������� � ��� � �� ��� �������� #����� ���������������� �� �������� ���������� ���� ����� �� �������� ������� ���� ������ �� ����� � ��� � ���� �� ����� �� ����� $� ������� ����%� �� ������� &�� �� �� ��� ����� ������ ������ �� ��������� �� � �� �� ����������� ������� �� ���������� � � ���� � �� ���������� ���� ������ �� ������� ������� ��� ����� �� ���� � &��! �� ������ �� ������&�� ����� �� ��� �� ���������� �� �� �������� ��������

��� ����� �� �� !��& �� '��� � � ��(� �� ������ � ���� �� ��� ������������ ������ �)����� *���� ����� ����� ������ ������� �������� ���� � � ����� ������ ���� ������� �� �� �� ����&�� ������ ��� �������� ���� �� ���������� ��� �� ��� ��� ����������� !���� �� �������������� �� �� ����� ��� ����� � !��� � ������

��� ��� ���� �������� ������ �� �*+ *(� ���� ���� ��������� !��������&�� �� &�� �� ������ ���� �� ����� �� &��� �� �� ���� ����� �� �������� ���� ��������� �� �� ���� �������� � ������ �� ������ �� ��������� �� ����� �� �� ������ ���� �� ������� �� ������ ������ ,�� ���� ��� &��� &�� �� ����� ���� �� �� �������� �� ��� ���� ��-����� ������������ �� ����� * ���� ��� ����� �� ��� ������ �� ������� � ���� �� �������� ��!�� ����� �� �.� ��������� � ���� ������� �� ����� �� ���������� / �0�� ������� �� �������� ������� �� ��� ��� �� � ��� ��-����� ����� ������� �� ������� �� �������� �������� ������� �� ����� � ����� � ���� �� ����� &��� $� ������� ���� !���� ��0���� �� ����� �������� �1��� ��� !���� ��� ������� �� �� �������� ������� � !��� ����� �� ������� $� ��� ���� ������ �� ���� ��� �� ������� ���������� ����� ���� ��� � ����&� � ����� ������� ������� ������ �������� ��� �����&��� �� ��� �� �� ��������� ������� � !���� '�� ��%� ��� �� ����� ��������� ��������� &����

������� �� ���� ����������� ��� ��� �� ��� ��� ���� � �� � ��� �������� �� &��� �� ������ ��������� �������� ����� ����� ������� ����������������� &��� � ����� �� !� !���� ������� � ���� ��������������� !���� �� ��������� ����� �� &��� �� ��� � ����� ������� ������ �������� �� ��� ��� �� ���� ��� ������� �� �+ *2� �� ���� �� ������������ ����������� ����������� �� ������ ����� !�� ���� ���������� ��������� 3���& ��4 �����5 ���� ����� !��� ���� �� �� !� � �4���� ������� ������ �� �� ���� ��������� ������ �� � �� ���� ���� �������� ��4���� �� ����� �� �� ������ � ��6���� �������4��

� �� �� ����� � ������ ���� ����������

6 Moni Naor and Benny Pinkas

��� ������ �� ���� � ������ �� ��� �� ����� ��� �� ����� � � ������ ��������� ��������� ���������� ������������ �� ��� � ������������������ �������� �� � �!������� ��"� � ������� ����# $� ���� ��� � ��������!��%������ ���� ���� ��������� �� &����� ��# $ �������� �� �������� ������ ��"���"���� � ��� ���� ���� �" ����" �� ���"�� �������� �� ��� �����# '���� ���� �� ��� ����� �� ��� ��� ��� �������� ������ ������ �������� ������# (������� �� � ���������� ������ �������� ����� � ���"������� ��� ���������� �)*�# ��� ���������� ������ ������ +�� ���+ �� �� ������� � ���# ��� ,�+� ��� ����� �� ���� ������ +�� ���� �������� �� ������ �� ����� ��� �������� �" ����� ��"� �� ��� �� ��� �� ��� �������� ���� �������� � ������������������� �� ����� ��"�� +���� �� ��� � �� � ����"���� ��"#

��� ���� �� ���� � ������� +�� ��������� �" �+���� -�������� �� .��� �)/�+�� ���� �������� � ������ ������ +��� ���� �������"# ��� ������ ������ �������" ����� 0 ��� ������������ � ������ ���� ��� ������ �� ������ �������� ��" � �� �� � ������ ����� �� ������� �!���������� �� ���� ������� � ��� ����� ��1� �� � ��� ��1� �� ��� ��������� ������ +���� ��� �"������ ������#

��� ������� +� �� ���� � ���� ����� �� �� ��� �� � ��������� �� �������� ������ �)/� �� ���������" ������ ���#

2����������� ������ ����������� ��� ������� ��������� � �/3�)3� ��������� � ����� ��� �� �������� ��"�� �� ����� ���� ����4� ������� ��" �� �� ������� �� ��� ��� �� ��"��# $ ����������� ��� +��� �� �)3� ��������� ��� ����������� ���� ������ +��� �� ������ ��������# ��� ����� ������� �+� ������� ������������ ������ �� �� ������ �������5 ����� �� ������ ������������ ���" ������ ������� �� ����� ������ ������������ �� �" �� ������ ������#

� �������� ���� ��

����� ����� �� '� ���� ��� +��� � ������� ������ �� ���� �/6�# ( ���������� ������ ������ ������ �� ���� � ������ ��� � ������ ���� ���� � ��) �� ������������ �" ��������� ����� ��� ������ ��� �" � ������ ���� �� ���� �� ��#$ �������� +� ����� ����" �" ������ ������ ������ +���� ������� � ��������������� ��+� ��� +� ��� &�����4� ���"����� ����� ������ ������ ������ �/6�+���� �������� �� �����+�# -�� � �� � %���� �� ��� � � � �� ��� ������ �� �������������# $ ����� �� ���������� ��� ������� � ����� ���"����� �� ������� � ) �� �������� � �� � ���7��� �� ��� �������� � �8� 9 �# ��� ��� ����� ����%�� �� � ���# :� � �" � ������ �� �� ���" �� ���������� ��� ���"����� ���� ��� � 9 � �8� ����� ��;����� ��� ���� �� �������������� ���� �� �� ������������������� ���� -������4� ����������� ��������# $� �� �����������+��� �� ����" ���� �" � � ) ������ �� �� �������� �" ��������� ����� ��� ������#

� ��� �������� ���� ������ �� ��������� ���������� ��� ������� ���� ������� �� �������� ��������

Efficient Trace and Revoke Schemes 7

��� � ����� �� ������ ����� ����

��� ������� ���� � �� �� ���� ��� � ������ ������� �� � � ����� ���� ��� ������� �������� �� ����� �� �������� ����� � �������� �� ��� � ������������� �� �������� � ������ ��� � ���� ��� � ����� � ���� ��������� ����� � �� ���� �� ����� ���� �� �� �� ��� �� � ��� �� ������ �� ����� ��������� ���� ���� �� ���������� ���������� �� �� ����� ���� ���� ��� ��� �!��� �� ������� �������� �� ��� ���� ��� ���������� �� ��� �� ��������������� �� ��� �����

��� � ��� ����� ��� ���� � �������� ���� � "��� � ���� ���� � ���� ��� �� � � �� �� ���� �� � �������� ��� �� � �� ����� ��������������� � ���� ��� � ����� #��� ���� � �������� � �����"�� �� � � �

�������������� ��� �� ������� � ���� ����� ��� � �� ����� � ���� � � ���������� ��� �� �� ���� ��� ��$��!���!��!� ������ ������� %� ���� ��� ������ ���� �� �� ���� ����� ��� ��������� �� �� � & � �'�� %� �������� ���� ���� � ������ ������� ������ ���� � ������� ��� � & ��� � ������

�������� ��� ���� ��������� ����� ��� ��������� �� � ����� ��� � � � ���

����� ���� ������ �� �������� ��� �� ���������� ��� ��������� �� ��� ����������� �� ����� �����(

���� � ������ � � � ���� � ����

��

#��� ����� ���� � �� �� ��� ��� �� ��� ������� ��� � ���� ����� � ����� ����� ����� �$ � ������ ���������� � �� �� ���� ��� ��� � & � �'�� ��� ������ � �� ��� �� ���� ��� ���� ����� �� ������� ������ �� ��� �!�������������

%� ��� �� �������� � ���� � �� ������ � ������ �� ��� �� � � ����� �������� �� ����� �� �� ������ ��� ��������� �� ���� ��� ������ �� ����� �� ������� ��������� �� �� ������ �� � � �� �������� ����� �� �� � ��� ��� ������� ���� �� ����� �����

������ �� �� ��� ���� ����� � ������ ��� ��� � ������ ����� ��� ��

���� ��� �� ������ ���� ��� ��� ����

����� ��� �������� ������� � �������� ��� ��� �������� �� ��� ��)� ����������� ���� �� �

*��� ���� ��� �� �� ��� �� ����� �� ��� ���� ��� �� ���� +�� ������� ����� ��� �������,���� ���� �������� �� ������� ����� ����� %� �� �������� ��� � ������� �� ���� ��� ��� ���������� ����� �� � �

������ ��� ��������� �������� ��� ������ ��� ���� ���� ���� ��� �� ������ +��� � ���� ��� �� �� � � ���� �� ��� �� � ���� �� ��� ���� ���� ��� ���� �������� ��� �� ������� ���� ������� �� ��� �� �� �������� ��� ��������� ����� �� �� ���� ������ �� ������� ������ ��� �� ������� ��������� ������������ �� ��� ����� �� �� ��"�� � � � ��� ������ �� � � ������� � ���������� ����� �� ���� �����$ �����

8 Moni Naor and Benny Pinkas

�������� � ��� ����� �������� ��� �������� � �� ��� ����� ��� �� ���� �������� � ���������� � �� ��� ������� � � � �� �������� ��� ���� �������������� ����� ���� �� ����� ������������ ����� ������ ������������ ���� �������� ������� �� �� ������� �� �� ��� �!� ��� ���������������� ������ ����� � ����� � � � � � ���� �� � �"� #

��

����� �����

������ �����

��� �� ����� � � �� ��$� �� �� ���� ��� ��������� �� ������� ��� ������ ��������� �� ������������ ������ ���� ������ ���� ��������� �������� � ���� �� � ��� ��� �� ����� � ������ � �"� � ����������������� ����� �� ����������� ������� �� ���� �������� �� ���� � %� �%� &���� � ����� ������ ��������� ���� '��� � � (" ���� �������� �� ��� � ���������� ���������� ���� '��� � ��)� �� ���� �� ����� ��������� � ���� ����� " � �� ��� ����� ���� ��� ��������� �� ��� ����� ��� �������� ������������ ���� �� ������ '���� �� �� ����������

��������� ���� ��� &� ����� ������� �� �� ������ �� ���� � ������������� ������ �� � � ����� �� �� ���� ����� �� ��� � �� ���� � ���������� � ������ ���� ������ ���� �� �� ������ &� ���� ���� �� �������������� �� �� ���� �������� � ���� ����� ������ �������� � �� � ������� �� �� ������ ���� ����� ���� ���� �������� &� �������� ������ ������ �� ������� ��� ���� ��!� ����������� �� ���� �������� ��������� ��� � �� ���� �� �������� � �� ���� ����� �� �� ��� ����������� * �� �� ��������� �� �� ����� ���� �������� ������� � �������� � ����� �� ������ � �� ������� �� ������ ����� ����� � ���������� � � ����� �� �� ���� �����

������������� &� �� ������)��� ���� �� �� ������� � �������� ���������� � � � � ��� ���� � ������ �� �� �� ���� � ������ � ������ �� ��������� �� ���� ��������� �� � ������ �� +�� ���� � �� ����� ����� ������ � �� �������� ����� � �� ����� ��� � ����� �, !� � �� ��� ��� � � � � ��� ����

��� ������� �� ���� ��� �� �� ����� -����� �� �� ���� � ������ ���$� ���� � ������ �� ������� ��� ���� ������ �� �������� � � ! ������������ ��� ������� �� ��� �����

���� ���������� -������ � �� '�� ���� � �� ������� �� ��� ��� �� �������� � �� � � � ����� �� �� ���� ����� ��� ������ �� � ������ ���"� ������� �� ��� ����� ���� ��� ������� � ��� �������� �� .�� ��!�� ��� ������������� �� �� ���������

����������� * �� �������� ���� ��� �� �� �� ������ �� ����� � ��������� ��� ���� �� �� �������� � �� � � ������ & ������� �� ������ �� ���� ���������� � ���� ����� � ��� ����� ������� � � � � ������� ���������� �� �� ����� ������ �� �� ����� �������� �� �� �� ���� �� ������ ����� �� ������ �� ���� �������� * �� ��� ������ ����� ������������ % � � � �� �� ���� � � ! ������� ������ ��� �� ������� � ����� ������

Efficient Trace and Revoke Schemes 9

���� ������ ��� ����� �� ��� ��������� �� �� ��� �� ��� ���������� ����������� ���������� �� � �

�� � � � � � �

���� �� ������ �� � � � � � � � ��� �������� �� ����

���� ��� �� �� ������ � �� ��� ���������� ������ �� �� ���� �� ������ � �������� �� ���� � ��� ��������� � �

��� ����� �� ��� ���� � �

���� ����� ����� �� ���

��� ��� ����� � ���� ����� ��� �������� ��� �� ���� ������ ������� ���� �������� �� ���� ������ �� � �

��� ��� ����� ��� ��� �������� ����� ��������������

��� ���� ���������� ���������� �� �� �������� ����� ��� ���������� ���� ������ ������ ��� ��� ������ �� � �

���� ������ �� ��� �� �� ���� ��� ����������

����� ���� �� �� �������� �� ��� ��� �� ��� ���������� ���� ��� ������ �������� �� ��� ����� �� ��� ������ ��� !��� ��������� ��� �� �� ���� �� ��������������� � �� � ������ ���� ���������� �� ������� ���������� ��� ������ ����������� ����� �"� ��� ����� ����� � ����� ��� ������� ���� ���� �� �� ������ ��� ����� ���� ��� �# �� ���� � ��� ���������� ����� ������ � ��������

���������� �������� � ��� !��� ��������� ���� � ������ ��������� ��� �������������� ����� �� �� ���� �� ������� ����� $����� ���������� �� ����� ������� ��� ���������� �� ����� ������� � �� ����� �� %� ��� ��� �� �������������� � ��������� �� ����� �� �� � �� ��� ������ ���� �������� �� ���������� ������ &����� ��� � ��������� �� � �� %� ��� ��������� ������ ����� �������� ��� � ����� '�� ���� �������� � �� ��� ������ �� ������ ���� ��� ����� ������ ��� ���� ���� ���������� ��� ���� �� ����� ��� �� ������� �� � ���� ��������� ���� ����� �� �������� ������ ������ ��� ����������� ��� ��������� ��� �������������� �� �� ���� � ���� �� ���� ���� ����� (�����)� ����� ��������� �������� ����������� �������� �� ���� �����

�������� ��� ����� �� �� ���� �� ������ ��� ���� �� �� ��������� ������ �������� �� ��� �� �� ���� � �� ���� ������ ������ ����� ����������

������� '�� ���� ��� � � ����� ��� �� ����� �� ���� ������� ��� ��������� ��� �� ��� ����������� %� ��������� �� ���� ��� ����� ������ ���� ������������ �� ���������� ������ ��� ����� ��� � � ����� ��� �� ����� ��� ������ ����� �����������

��� ������ ����������� �������� �� ��������� �� ���� �� ����� ���������� �� ������� �������� �� � ��������� �� � ����� ���� �� ����� ��� ����� ������� �������� �� � ��������� �� �� � � ����� �� ������� '�� �������������� �������� ��� �� ������ � ����� ����� �� ��� �� ��� ����� �� ��� ��� � ������������ �� ���� �� ������ ���� ����� ������� �� �� ���� ���� ��� ������� �������

��� � ������ � � �� ���� ����

��� ���� ��������� ����� ����� �� ��� ��� � ����� ���������� ��� ��� ��� ��������� ���� ���������� ���������� ���� � ��������� ������� �� �� ��� ��������������� *� ��� ������ � ����� �� ���� ��� ���� ��� � ����� ��� ������ ��� ��� � ��������� ��������� ������ �� ����������� �� ��� �� �� ���� �

������� ����� ������ ������� �� �� ��� ���� ���� ������ ��� �������

10 Moni Naor and Benny Pinkas

��� �������� ���� ���� �������� ��� �������� ���� ������������ ��� � �� ���� ������ ������������ ��� �� ����� �� ������������� ������������ ���������� ���� ���� ����� �������� �������� ����������� ��� ���� ���� ��� ������� �������� � !" ��� #� $�� �������������� � %!" ����������� ������� �&'!" ���������� �� ������������������ ���� ����� ��������(� ����� �)!" � �����

��� �� �������� �� ���� ������ ����� � � ������� �� *������������" �� ����� ��� � ����� �������� � ���������� ������ ��� ��������������� ���� ��� ���� � ���� ��� ���" ����� �� �� � �� ������ ����� �� � ���!� +� ����� ��� ����� �� �&"&'! ��� ������� ���������� �� ��� ���������

��� ������ ��� ������ ������� ���� ����� �� �� ����� ������ ,��� ������������" �� � �� �������� �� ����� � � ��� " ����� �� ����� � �� � �*�� � �� ������� �� ��" ���� ��� ��� �������� ���� ���� ������������� ��� �� � �� ��� ������ ������ ��� -��� ��������� �� .���� � '!�� ��������� /����0� ������ ����� � ��� �(������

�������������� ���� ������� �� ��������� ���" ��� �� ������ ���������� ��� ��������� ���� �������� �� ������ � ���� ��� �� ���� �� ���� � ��� ������ ����� ������ ��� � 1 ���� ����� ������ �� �� �������������-�� �������� ���� ���

��� ����� ��� �� ���� ��� ��������� �� � ����� ��� � � � � � ������ ������ ��

�������� �� ��� ������� ���� � � �� � ���� ��� ��� �� �� ��� �� ������ ����� �� ���� �� ��� ������� ������ ��� �� �������� ��� ��������������2

��� ���� � ��� ��� ��� � � � � ���� � �

�� ��� ��

#�� ��������� ���� � � ������� ����� ��� � ������ �� ���� ������������ �����" �� ��������� ��� ��� ��� ���� ���� �� ��� � �������2 3����*����0� ���������� ������ ��� �������� �� ������ � ���� ��� � 4 ����� � ����� ��� � � � � �"

�5� 1 ������ ����

����� ��� ��0� �� *���� �������� ����� ����� � ��� ��0�" ���� �� 1�� ���

� �� �

� ���������

��� ��� 1 ���������� � �� 1 �

�������� � ��

� ����� �4 ���� ���� ��� ���� ����� �������� ��� ����

������� �� ��� ����� � ���� �� �� ���� ��� ���� ������ �� �� �� � ����� ��

�� � ���� ������ ��� �� �� ��� ������� ��������� �� �� ���� � ������� ������

Efficient Trace and Revoke Schemes 11

����� ����� ��� ����� � ��� � ��� ������ �� ���������� ������� ���� ��� ��� �� ������� �� ���� � ��� ������ ��� ��� ��� �� � � ��

���� ���� ��� ����� ���� ��������� � � � � � ����� � � �� � ���� � ��� �� ��� ��� �� � �������� � � ��������� �� ����� ������� ���������� � � ��� � ����� � !��" �� ��� �� ��� ���� ����� � # ���� ������� �� ������ ���� � ���� ����� ���� ���� �� ������ ���� �� ����� ���� ��$# � � � ������� ��� ����� %� ��� ����� � � ����� ��� �� �� ���� ���� ����� ��� ��� � �� �� ��� ������

&� �� ����� � ��������� � ���� �� �� �� ���� ��� ��� ������� � �� ���� � ��� ��� ��# � � � ����� ����� � ������ ��� �� �� ���� � �� ������ ��� �� �� !��� � � �� �� � !'" � � � � � �"� %� �� ����� � �� ������ ��� � � !��"� � � ���� �� �� ��� %� ��� �� ����� �� ��� ��$ � � ���� �������� ���� � ���� ����� ����� �� ��� ��� �� ���� ��� ���� !��� " �� ��# � � ��������� ��� � ��� ���� �� ������� �$ ���� ��������� � ����� � ��� ���������� � ��� ��� � ��$ ��������� �� ����� � ��� ��������� �������

��� ����� � ��� ��� �� �� ������ �� ��� � ���# � � �� ��� ��� �� �������� ��� �� ����� ��� ����� ����� � �� � �� ����� ��� � ������(���� �������� �� �� ��� �� ������ ���������� �� ��� ����� �� ������ ��� ��� ������ ��� � ��� � ���� ���������� �� �������� � �� ��� ���# � � �� ��� �� ����� ��� �� � ��� �)��������� �� ���� ���� ��� ������ �� ����� � �� �

� � ���� � ������ ���� ��������

������� ��� ����� ��� ���� ���� ��� ���� � *�� � �� ��� ����� � �� ��� % ����� �� ������� ��� �� ��� � ��� ����� ������� � �)�� � ������ + ��� ������ �� �� ������� ��� ���� � �� � ������ ��� �������� �)�� � ������ !,�� -������ �.�/�� � 0112"� ��� ��������� ����� � �� �� ��� �!�"� 3�������4�����# �� �� ��� � 5 � ����� � � ��

# � � � ����� � � ��� !��� � �� ��� ������� ������ ��� ���

�� ��� �)�����# �� � ����� �� �� ���� � �/' � ����

� � �'1.�"

� ��� ��� ����� �� � ��� ��� ��������� � ������� ���� �� ��������� #�� �� �� � ��� ��� ��������� # � �� � � � ���� ��� � ������� ��� ���� ������ ��� � ����� �� ���� � ��� ���� ����� �� � ��� 6��� ���� ����� ������ � ������� ��� ��� �� �� ������ �� ������ ��� ���� ������� �� ��� ���� ������ �� ��7���� ��� �� �� ���� � �� ��� �� ���� ���# � � ���� ������� ���#��� �� ��7���� � �� � �� ��� �� � � ����� ���� ��� ��� �� �� ����� ������ ��� ������ � ������ ��������� ����� ���� ��� �� � ��

��� ����� � ����������� ��� �� ���� � ����� ���� ��� ��������� � ���7�����# �� �� ����� ��� � ����� �� ����� �������� ��� ���������� �� ������� ���� ������ �� �������� -� ���� ��� �)����� � �� ��� ���� ���� � ��� � ������ ����� �� ��� ������ ��� �� ������� ��� �� �� 7������ ������ ���������� �� ��� ��� ��� � ��� ����� � � ����� � ������� ���� �� � ��������� �� �� %� � ��� ����� �� ������ ����� �� ���� ��� � ����� � ��� ������#� � �������� ��� ������� �� ��� ����� ��� � ��� ������ ��� ����� ���

12 Moni Naor and Benny Pinkas

��� ������� ������ �� �� ������ ���� �� ���� ����� �� �� �� ����� �� ������� ���� �� ��� ���� ��� �� ������ ���� ���� �� �� ��� ��� �� ���� ������������� �� �������

������ ��� ���� �� ���������� �� �� ���� ��� ������ �� ��� �� �������������� ����� �� ������� �� ������� �� �� ���� �� ���� ����� ���� �� ���� ������� �� ��� ���� �� ���������� ��� ���� �� ���� �� �� ����� ��� �������������� �� ���� ������� ���� �� ������� ����������� �� ���� �� ������� ������ ������� ������ ��� ���� �� � ���� �� � ����� ��� � � � � �� ��� ��� ���� �� ������������� �� �������� ���� ����� �� ��� ���� ������ �� ����� ��������������� ��� � ��� ���� ������ �� ����� � ������ ������ �� � �� ���� � ��������� ���� �� ��� � ���� �� ���������� � ����� ��� �� ���� ����� ������������ ��� ��� �� ���� �� ������ �� ������ ������ �� �� � ���� ��������� �� �� � ���� ������ �� ����� ���� �� ���� �� ������ �������� ���������������� ����������� ��� ���

� ������� ��� ��� �� ������ �� � �� ����

����������� �� ��� ��

!� ������� ��� ���� �� ������ ����������� ��� � � ���� ���������� ���

������ ������������ �� "��� ���������� �� ��� ���� �� ������� �� �������������� ������ ���� �� ������� ���������� �� #$%& ��� �� ����� ��� ������������ #'&� �� ����� ���������� �� ��� � ������ �� ������� ��� ���� ������� ������(������ ��������� � ������� ����� �� ���� ���������� �� ��� �� ����� ���������� � �� ������� �� �� ���� �� ������ ���� �� �� �� ������ ������� ��� ���� ��� �� ��� �� ������� � ����������� �� ���� ������ �� ����� ��� �������� ��� ������� �� ��� ��� ���� � �� ������ ���� �� ����� �� ������� ������������ ��� ������ �� �� ������ ������� ����� ��� ���� �� �� ���������� �� ������ �� ������� � �������������

�� ����� �� ��� ���� ���������� �� )* ����� ���������� �� �� ����+� ���(����� ��� ���� ��� ��� ������������ ��� � ����� �� ����+� ����� ��� ��������,�� ����� ����� �� ������� �� ��� ��� ����������� �� ������ ��� �� ������(��� ��� �� ������� �� ��� ����� ������� ��� ������ �� ������� �������� ������������������� �� �� �� ������� ��������� �� ��� �� �����+ ���� ���� ���� ������������ �� �� ��� �� ���������� �� ���� ��� ���������� ��� ���� � ��� �������� ���� ������� ������

���� ��� �� ������ � ��� ��� ����� ��� ������������ �� ����+� ������� ������������ �� �� �� �� �������� ���- �� �������� ��� �� ������ �� ��������� � ����������� ���������� �� ���� ������ ����� �� ��� ���� �� ��.���������� ��� ����������� ������������ ��� ������ �������� �� � �� �������������� ������������� �� �� ����� ��� ������� �� �� ��� ������������ ����� ��� � ��� ���� �� � ����� �� �������� �� ����� ��� �� �������������� �� ������� ��� �� ����������� � ����� ��� ��� ���� ���� ��������� �� �� ������ �� ����� �� �� ������� �� ���� ����� �� �� ��� ��� ��� ����� �� ��� ������ �� ����� �� ����� ��� ������

��������� ���� �� ��� �� �� ���� ��� �����

Efficient Trace and Revoke Schemes 13

��� ������� ���� � ���� � ������� ��� ��� � �� � ��� ����� � �� ����� �� ������ �� ���� �� ��� ��� ��� ��� � � �������� ��� ����� ���� ����������� ��� ��� �� �� � ��� �� �� ���� � ��� ������� �� ���� � � ��� � ��������� � � ��������� ��� �� ���� ��� � � ���� ��� ��� �� ���� �������� � ������ � ��� ��� � ���� ������� ��� ������ � ������ � �� ����������� � ��� �� � ����� � ��� � �� �� ������ ��� ��� ���� ��� ���� � ������ � ��� � ������� ��� � � � � ��� � � � �� ����� � � ������� � ��� ���� � ��� � ���� �� �� � ��� � � � � � ����

��� ��� ��� ���� ����� ����� �� �� � ������� ��� �����

����� ��� ����� �� ������ � �� ������� ����� ��� ������� � ��������!��� � ����� � � ��� � ��������� ������ � ����� �� ������� �� �"����� ���� �� � ����� ������� ��� � � ��� � ��������� ��� ��� ���� � ��� ��������� ��������� � ������ � ������ ��������� #� ���� � ������ � ���� �� ����� � ������� ��� ��� ��� � � ����� � ���� ����� � � � �� � � �� ������ � ����� ��� $�� ��� ��� � ������ �� � ��� ���� #�� ��� ��� �� � �� ������ �������� ���� ���� � � ����� ������

��� � ����� �� �� ����� �����

# ������� ���� ��� � � ������� ��� ������ ������� �� ���� � � � ��������� ���� � %��� � &�& � � ���� ��� ���� ������ �� �'��� � �� ��������� ���� �� ( ������ ��� �� ���� � ���� ��� ��� ��� � ������ ������� �� ���� ������ ���� ������� ��� ������� �� ���� � � ��� ��� ��� ���� � �����) ��� *������ ��� ��� � ���� ���� � � ��� ���� +��,� ���� ���� +��, ���������� ������� � � ��� ������� �� ���� � � ��� ����� ��� ��� ��� �� �������� ��� � ������� ���� � ���� �� ��� � � � ��� �� ���� �� ��� ��������� ���� � � ��� ��� ��� ������ �� � � ������� ��� ������� $��� ��� � ��)��$��� � � ��� ��� ���������

��� ����� ��� ������ ������� �� � �� ���

� ������ ��� � ��� ����� ����������� � � ��� ��� +�, -�

��� ����

� ��� � ���� ����� ���� ��� ������� �� ���� � ��� *� ������� � ��� ����� � ��� +��� +��,,� ���� +��, - ��� +����� ) ��� � ��$��� ��� �,�

� ���� ���� ��� ����� ���� ���� ��� �� ����� � ������� ��� ���� ��� ��� � ���� � ����� �� ��� ���� ��� ��� ��� � �� ��� ���� ��� �� �� ��)����� � ��� ������ ������� ���� � ����� �� ��� � ���� + � ��� ���,� ��� ����� ������ +��,� ���� ��� ����� ����� ��� ����

� ����� ����� *� � � ����� � ��� �� �� � � ����� ��� � � � � ��� ��� �� ����������� � �� ���� ��� ������ � �� ������� ���� + � ��� ���,� � �� ������� ���� ���� +��� � �

�� �����,� ��� ��� ���� ��� ���� � ��� ��� ��� ������

��������� ��� ������ ����� *� ���� � ������� ��� ���� ��� ��� � ���� �� ����� �� ��� � ��� ��� �'��� � +��, - ��� ��� ��� �� � �� ������� ��� ����� ���� � .�������� � � � ��� ��� ���� �� � $��� $���� /01� ����� ���� ����� ������� �� ����� ��� ��� ���� ��� ���� ��'��� ��$�� ��

14 Moni Naor and Benny Pinkas

� ����� �� � ����� �� ��� ����� ��� � ��� ��� ����� ��� � � �� ����� � ������ � ��� ������ �������� �� � � � � � �� � �� ��� ������ ��������� �� ��������� ��� �� ������� �� ��������� �� ����� � �� � �� ����� �� �� �� ���� � ��� ��������

� ����� �� ������� �� ������� �� ���� �� � �� ��� � � �� ���� �� ���� �� ������� �� � � �� ��� � ��������� � ��� �� ��� ��� ��� �� �� ���� �� ��� ��� ����

����� �� � ��� �� �� � �� �� �� ���� �� ���� ��� � ��� � �� ���� � !��"� # ������ � ����� ������� � ������ $�� ����� �� �� ����������� ��� % �� ��������� �� �� � ��� � �� ������� �� �� � � ���� ���� ������ �� ��� ���� � &�� ��� �� ���� �� ��� �� �������� � � ��� ��������� ���� !���� �� ���� � ���$' �� � ��� ����"� ������ �� �� ���� �� ������� �� ���������� �������� �� ����� ��� � ��� ��� ���

��������

������� � �������� ��� ������� � �� ��� ��� �� �� � �� ������ �(��� )�)�

���������� ��� ������ ��� �� � �� ��� �� ������*

� �������� � �� � ������ ��� �� �� � ������ �� �� ��� ��� �� ����������� � � ���� � ��� �� � ��� ��� ������

� ���� ��������� +� ����� ��� ��� � ��� ���� �� ���� � ���� � ����� ��� ��� � ��� ������� �� ���� ���

� ������� &� ����� ������� ������ ����� ��� � ������ ���� �� ���� � �� � ����� ��� �� � $���� � ���� �������� ,��� �� ����� ������ ������� !�� ������� �� ���� " �� �� �'� ��� !���� �� ����� ���� �)"�

������ ��� � ����� �� �� ���� �� ��� � ���� �������� �� � ��� � � !-� ��� �

�� � � � � ���" �� �� �� �� ��� �� ��� ��� � ! �� �� � � � �"� �� � ���

$���� � �� � �� ���� � � &� ���� ��� ��� �� ��� ����� � � �� �� ������ ����� ��� �� �� ������ ���� � ����� � ���� �� ������� . ������ � ���� ���� ��� � � � ��� � �� � � �� � !��� ��� � � � ��" ����� �� � ������ ����� � �� ��� �� ���� � �� � ������ � � �� ������ � ���� ����� �� ��� � � �� �� /������ ��� ���� � ��� � ��� �� ��� ������ ���� ��� � �� ��� � ��� ��� ������� !������� ��� ������� ���� ���� ���"� # ������ ��� ������ �� �� �� ������ �� �� ������ �� ��� ��

� ���� ������� �� �� ���� �� ������� �� � ���� � � ��� ���� � ������ � �������������� ���� �� � ����� ����

� ��� � ������ ������ � � �� ����� �� ��� � ��� ����� ��� ��� �� ��� ���� ���� ��

���� ��

����� �� ����

�� � ����

�� � ��� ���� � ��� � � ���� �� �

���� ��� ����� ����� � ���� ��� ���� ����! � ���� ���� ��� �� � �� ��"��� #� ���� � �� � � � ���

Efficient Trace and Revoke Schemes 15

���� ���� �� ������ ���� � ���� ������������� �� �� � ����� � ��� ������� ������ ���� �� � ��� �� �������� ���� ���� �� ��� ����� ����� �� ��������� ������������ �� � ��� ��� ��� ��

����� �� �������� � ������ � � ������� � � ���� �� ��� � �� ������� �� ��� �� ��� �� ������� ���� �� ������ � � �� ��� ����� ������� ��� ���� �� � � ��� � � � �� ����� ���������� �� � � ������ �� � ��� � � ������������ �� ������

�������� �� ������� ���� ��� � ������� �� � �� ��������� ������� �� ��� � ��� �� ���� ��� ���� ���� ����� ���� ���� �� ��� ������� ��� ����� ����������� ������� �� �� ������ �� ���� � �� ����� ������� �� � !� �� ��� ��������

"� ��� ������ ��� � �������� ����������� ����� ���� ���� � ����� ���������������� ��� � ��������� ������ �� ����� ��� ��� ���� ������ � ��� ��������� ���� �� ������ ��� �������

#� $���� � �������� ��� ��� �� � ����� ������ �� �� ������ � �� �%���� ��������� �� ���� ���� ���� ��� ���� �� ��� �� ��� ����

&� � � ������% ���'������ ���� �� �� ���� � ����� ��������� ������ ���� �� ��������� ������ � �� (��)����� ��� ���� ������� *+��, � *-��, .���������� ��� ��% ��� �� � ���������� �� � ����� ��� �� ���� ��� ������ �� ������� ���� � ����/

� &� � �� � ���� *-�, ����� &� � � � ���� *+��, ����

-��� ���� �� � � � ���� ��� ���� ���� ��� ������� ��������

����� �� � ��� ��! ���"������� #��� ����$��! ����� �� ����� ������$���� �����% �� ���� ������ � �� � ���� � �����% �� �� �������� �� ������� ����$��! ���"������ ���� ��� � � �������

��� ������ ��� ���'������ � ����� ������� � �� ������ � � ��������� ���� ��� ���� �� � � ��� ��� ���� ���� ����� &� ����� � ��������� ���������� � �� ���� ��� ��� ��� �� � �(0)� ��� �%������ ������ ��� ����� �������� �� � �� ������� &� �� ������� ����� �� ���� ��� ����������� � �(0)� ���� �������� �� ��� ���� (�%���� ���� �� ��� � ������ ���) ���� � ���� ��� �������� �� � � �� ��� ���� ����� �� ��� � � � � ���� ��� ��% ������� ����� � ������� ���� ������ ��� ���� �� ���� ���� ���� ���������

����� �� ������� ���� ����� �� � � ��� �� ����� ������ #��� ��������������� �� � ���� ��# ����% �� �� �������� �� �������� � � ���� � � � ���$&��� �������� �� � � �����������

��� ������ ��� ����� ��� �� �� �������� � ��� �� ����/ ���� � ��������� �� ��� ���� ����������� �� �� ���� ��# ������ ��� �� ��� ��� �� � ����'�� ���� ���� ������������ ���� �� ��� ������� ��� �� �� � ���� ����� ����� �� � ($���� �1��) 2����.� ���� ���� ��� �� ������� � ($���� �1��)2����.� ���� ���� �� ���� �� (.�� 3����� "0�4 �� �#"!)� ����� �� ��� �� ���� ���� ������ �����

16 Moni Naor and Benny Pinkas

���� ���������� ���� �������� ������� ��� �� ���� ���� ����������� ������ ������ �� ��� ���� ���������� �� ���� ���� ����� �� ����� ��������������� ���������� ���� ��� �� ��� ������ ���� �� ��� ���� ��� ���� �� ����� ��������� �� ��� ������ ���� �� ������ ������ �������� �� ��� �������� ��� �� ����� ���� ���� ���� � ����� ���� �� ������ ���� ��� �������� �� ������� ��� ����� ���� ����� ��� ��������� ���������� �� ��� ����� �������� ����� ���� �� ��� ������ � ���� �� ��� ����� ������� �� ���� ��������������� �� �� ��� ���� ��� �� ��� ������������� ������� ����� � �� !�"#$� %��� ���� �� ��� ���� ���� �� ������ �� ��� �� ��&��� �� ������� ����� �������� �� ��� ���� �� �� �� ��� ������ ���

��

��

� �� �� ��� ������ ��� ��� �� � ����� ��� �������

%� �������� ���� ���� �� ��� ���� ���������� �������� ������ ��� ���� ��������� ���� �� �� ���� ��� ���� ��� ����� ����� ����� �� ���� '��� ���� ����(� ��� ��� � ��� ��������� �� �� ����� ��� �� ������ ��������� �� ���� ��� ���� ��� �� �� ��� ���� �� ���� ��� ����� �� ��� ����� ������� ��� ��� '��� �� �������� �� ������ ���� � �����(�

���� ���� ���� ������� ��� ��� ��� ������� ��� ��� � ��� ���� ����� ��� ���� ������� � ���� ��� �� �� ���� � ��� ������ ����� ��� �������� ��� � ���� %� ���� ���� �������� ��� �� ����� �� �� ��� ��� ������� ��� �� ���� � �� ������ ��� ������ ��� �� ����� ������� ���������� ��������� ���� ��� ���� �� ����� ����������� ����� �� ������ ��� ���������� ������ �������� ���� ���� ��� � ���� ����� �� ��� ���� ���� �� �������� ������ ��� ���� ������ ��������� �����������

���� � ��� ������� �� � ����� �� ��� ����� � �� ���� �� ����� �� ��� �� ���� � ������� �� ��� ���� '���� �� ��� ������ �� ��� ���� �������(� ����� ��������� ��� ��������� ���� ����������� �� ����� �� �������%� �� ���� �� ��� ��� ��� � ��� ����� �� #$�

�� ����� ���� ��� ���� ����� ��� �� �������� ��� ���� � �� )����� #�*�%� �������� ���� ��� ��� ���� �� ���� � � � � �� ���� '������� ��� �� �� �� �� ������� +� �$(� ��� ��� � ���� � ������ � �� ������� ����� � ��������� ��� ���� ����

���� ��� ��� ��� ��� ���� � � � � ��� ����

�� ���� �� �� ���� � �� ���� '��(� ���� �� ���� �� �� ����� ���� ��� ������� ������� �� ��� ���� ���� �� ���� �� ��� ,,� ���� �����

�� ������ ��� ���� �� � �� � ����� ��� � � � � ��� ��� �� ������ ����� ��

�� �������� ��� ���� ���-

����� ���� ��� � �

��� ���� �� � � � � ��� � �

��� ���� ��

��� ���� ���� �� ���� ���� �� �������� � �������

Efficient Trace and Revoke Schemes 17

��� � ���� ����� �� ���� � �� � ����� �������

�� ��� ������ ���� � � �� �� ���� ��� ������ ��������� �� ������� �� ������ �������� � ���� �� ��� �� �� ����������� ��� ��������� ��������� �� ��� ���� ����� �� ������ ���� �������� � �� ���� � ����� ��� ����!� � ���� �� ������ �� ������ ������� ����� ����� �� �����"����� ����� ���� �� ����������� ������� ����� ������� ����� ��� �� ����� ���������� ����� ���� �� ����� ���� �������� ����� ���� #����� �� � ��� �� ���� ���� � �� $����� %�&� �� � �'������� ������ �� ������ ���� �������� ���� ������ ���������

�������������� #�� ������(��� ������� �� �� ����� �� �� ��������� �����

� #�� �� ������� ���� ������ �� � �� ������ �� �� ��� � � ! � ���� ��� � �� ���� ��� �� ���������

� #�� �� ������� ���� ��� �� �� ������ �� ������� ����� �! ) ����!��� ����� �� �� ����������� ��� ����� ����� �� ��

� �������� ������ ����� * ���� ����� ��� � ��� �� ���� ��������� �� �� ��� ��� �������� ����� ��� �� #�� �� ������� ���� ������ ��� �

�� �� �� ����

� *� ������� ��� � �� ) ����� ��! ) ����!� ���� � ���!�� *� ��������� �� � ���!� ����

�� � ���!! ) ����

�!� � ���!�

� #�� �� ����� �� ����� ���� ��

�� ����

�� � ���!!� � �� ���� ���� � ����

�� �� ������� �� �� � ���!!� #���� ����� ������ ��� � �� "� �����������

��������� #� �� ��� ����� �� � �� �� �� ������� �� ������

��� ���� � � ����!!� � ����� � ����

!!�

+�� ���� ��� ���� �� ��� � � �� ��� �� ) ����� ��! ) ����!���� ��� ������ � ���!� #�� ���� ��� ����� �,& ����� �� � �� �� �� ��� � � !�

* ������� �� �� �� ������� ����� ���� �� ��� �� ����� ��� ��� ����� ���� ����� ��� ��� ���� �� �, & ����� �� � � #�� ������ �� �� ������������ �� ������� �� �� ��� �� ��'���� ���� ����� �� ��� ����� ������� �� ������� ���� ��� �� ��������� �� ��� ���� ����� � �� ���������� ��� �� �� � ������ �� ������� ����� ��� ������ �� �� ��� �� ������ ���� ������������� ��� #�� �� � � �� ��� ���� � ����� � ����� ����!�� � �� �� ������� �� *�� �� ����������� ���� �� � � ����� � � ��� �������� � ����� ����! ��� �������� ��! ��� �� � � �� ���� �������

� � ����������� ���� ��� �� ��� � ���� �� ��� ��������� ��� ������� ��� �� ���������� ��� ������ ��� �� ����� ����� � �� ���� ����� �������� ����� ���� ��� !"# �� ������ ��$�� ��� �� ����� ���� �� ����%�&� ����� ����������� � ����������� ���� ����

�� ���� �� ��� �� ���� �� � �

18 Moni Naor and Benny Pinkas

�� �� �� ������ � �������� ���� ����� ������ �� ������� �� ���� � �� �������������� ������ ����������� �� �� ��� ������� ������� �� ���� ��������� ���������� ���� ������� ��������� � ������� � ���������� � � � ���� �� � � �� ����� ���� ���� ������ ��������� ����� �� ���������

� � ������� ��� ���� � ���� � ������ ���� ������� �������

��� ����� ������� !���� �� ����� �� "#�$%&' �� ����� �� ������������ ������������� ���� ���� �� ����� �������� ������������ (� ����� ���������������� �� � �� � ��� � ����������� ����� ����� )��� ����� ������� ��� �� � ������� ��� ����� ����� *�� ������� ������ ����� �� �� � ��� ����� ������ �������� ������� ��� ������� ���������� +� ��� ���� ����� ��� ����� � ��� �������� ���� !����� ������� � ����� ����' � � ��������� � ����� ���� !������'������ �� ����� ��� � ��� ���� �� ���� ����������,��������� ������� ��� �� �������� ���� ����� ������� �� � ������ ���-

. ��������� ������ �� ���������� � ���� ����� ��� !��� ����� ��� ����������� ��� ��� ��� �� ��� ��������� ������� ��� ��� ��� ������ �� ������� ����� ������� ���� ������� ��� ����� ���'� +��� � ��� �� ����� �� ��� ������ ��� ����� ���� ���� �� �������� �� ��� � �� ������� ��� �������� ������� ���� ��� ���������� ��������� �������� *��� ����� ���� �������� ��������� ������ ������� !� ��������� �� ����� �� �������� �� ���������� ����� ���� ���������� ���� �� ��� ������� ��� ����� ��� � �� ���� ������'� *�� ���� � ������� � ���� �������� ������ �� ��� �������������� � ������� � ������� � ��� ����� ������ �� ��� ���� � ������� � ��� ���������������� *�� ������� � ������ � ����� �� ��� ������� � � ��������� ����� ��������� ������� ���������� �� ��� ����� � ����� ���� �� ��� ����������� (� �� �������� �� ��� �� ��������� ������� �� ���� �������� ����� �������� �� �������������� ��� ����������� ������� �� ����

������������

�� ����� ,������ (��� ���//� � �������� ���� ���������� ��� ������ ������� �� �������� ��� ,���� ,��� ��� 0�� ����� � ������ �������

���������

�� �� ����� � ��� ����� ��� �� ��� ����� � ����� ��� �� �����������

������ ���� ����� ��������� ���� �� ���������� � � ���������� ������ �!" ���� #�� �$�% ���� ��� &&&�&'$�

(� )� *�� + ��� ������� ����������� ������ �� ,��� ���� �- �+ �+��� ����!���+��� ��. � �+ ��� ����� ��� #�� "��� �'(& ������ �!" ���� ��� '/�%&���/�

&� )� *�� + ��� �� 0������� �� ������ ����� �� ������ ������ ������ ���� ������������ � ������ ��� �������!" ���� #�� �%%% 1����2 &&/�&3&�

Efficient Trace and Revoke Schemes 19

�� �� ����� � �� �� � ������������� ������������ ��� ������� ���� ����������� �� ���������� � ������ ��� !���"� ��#��$��

�� %� ������� �� &��� &� '�(��� �� )��������� )� *�� � �� ���(�� ���������

������� � �������� ��� �� ����� �������������� '� ����� '*+,�,) ����-��� #� ��� ./01.!$� *� 2��(� *2� )��� !����

$� %� ������� 3� )�(�� � 4� *����5� ����� ������������������� �������

��� ��������� ����������� ����� ������ �� ���������� � 67������� ���� �������1-���� 8*�� !��# !���"� �����.��

.� �� ����� �� +�� � )� *��� ������� ��������� ����� ������ �� ���������� ������� ���� �������1-���� 8*�� 09� !���"� #�.�#./�

0� %� ��5�� � -� ���7�� � ��������� ������ �� ����������� ��� ���� ����

������� ������ �!��� ���!���� �������� ����� ������ �� ���������� � ��������0� �������1-���� 8*�� !�$# !��0"� !9�#��

�� :� ������ � ������ � ����� ��� � ����� �� ���� ������� ��������1-����� !��$�

!/� '� ��;� �� 4����� 3� 8������� � 3� ��5���� � ���" #����� $�������

��� ���������� '�<��5���� :���� =��(����� �5>����� ?4� ��������1-����8*�� !!.�� !��$"� !0��#/$�

!!� ��� =� � :���5� )� 6�� *� ���������� �� ������������ %��� �����& ��

%���������� �!���� *��� !�.$� $��1$���!#� �� � ��(� �� 8�������� � )� *��� ������� ������ ������������ '��������

�� ������� %����������� #0�� ��5����75 �� ��� 3����� �< ��5�7����� !��$"��0����0�

!9� 3� 6�&5�� � ������ �� ����������� ��� � �������� ��!� ���� �� ������

�������!��� ����� ������ �� ���������� � ������ �0�� �������1-���� 8*�� !�$ !�0�"� !/�!0�

!�� �� +��5�� � ��������� ��!� ��� ������������ ��(��� ���� �!������ �����#0�� '666 ��5�� �� +�7������ �< ��5�7��� �������� !�0.� ��� �#.��9.�

!�� �� +�� � )� *��� )�������� ����������� ������ �� ���������� � �%2�3,��9� ��������1-���� 8*�� ���� ..9� !���� ��� �0/���!� !����

!$� 6� &<��� �� ���� � 2� 8� 2��� ����� ��!��� ��� ���������� �����������

��� ��������� ���������� ����� ������ �� ���������� � ������ ���� �������1-���� 8*�� !$$$ !���"� 9.#�90.�

!.� ,� &�������� �� &�� ���� � �� )����� *�+ �� ��������� ������ ���������� ,&�� �! ���&� ���� 99� !�0$� ��� .�#10/.�

!0� %� 475�� �� %@����� � �� ���� ������ ������������� ��� ������������

������� +��!��� ������������� ������������ ��� �� ���������� � ������ �����������1-���� 8*�� !$$$� ��� $/��$#9� !����

!�� 4� 47��� � 2� ���5��� -������ ������� ������� ��� ��������� ��!������ �� ���������� � 67������� ��0� �������1-���� 8*�� !�/9 !��0"� !���!�.�

#/� )� 87>�� �������� ����� � ����� ����� ��������� ?��������� ������!��$�

#!� +� �� )�=����5� � *� �� �� ������ ��� ������ �� ��������������

������ *���� :����� �5����5� !�..�##� ��<�� �� )���A��� �7� �� �� ,������� � ����� �� -������� � ����� ��

������� �������� ���� �%� ������ !��$�#9� )� *�� � �� ���(�� �!��!��� ������� �������� ����� ������ �� ����������

� ������ ��0� �������1-���� 8*�� !�$# !��0"� �/#��!.�#�� )� *�� � ,� %������� .������!����� ������������� �� ���� ������

������ ���������� ����� 90�� '666 ��5�� �� +�7������ �< ��5�7��� ��������!��.� ��� ��0��$.�

20 Moni Naor and Benny Pinkas

��� �� ����� � � � ���� � ������ ����� ���� � �� ��� � � ��� ����� ��������

��� �� �� ���� � ��� �� �� ��������� ���������� � ����������� �� �����

�� ��� ������� � ��������� ������ �!�" #� � ������ "���� � �� ��� �� ���$�

%�����

��� ��"� ������ &�#� ���� ��� ��'� �(��� ��� ������ ��� �� ������ ������

� �������������� !������ ��)*��� + ' ������ ����� #*��� ����� �,���-��.

������������������ ������

�$� '�/� �(� "� 0 *�� ��� �� 1��� ������ ����� ����������� ���� ���

������ 2 �� + �'" �(� �� 3�$� ��4�� �5%� ���� *,�� '������ 44� �$����


Recommended