Lectures on finite groups (Serre)

7/24/2019 Lectures on finite groups (Serre)

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Groupes finis

Jean-Pierre Serre


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Cours lcole Normale Suprieure de Jeunes Filles, /

rdig par Martine Buhler et Catherine Goldstein(Montrouge, )

rvis et transcrit en L ATEX par

Nicolas Billerey

, Olivier Dodane

et Emmanuel Rey

(Strasbourg Paris, )


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Table des matires

1 Prliminaires 5

1.1 Actions de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Sous-groupes normaux ; sous-groupes caractristiques ; groupes simples . . 61.3 Filtrations et thorme de Jordan-Hlder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Thormes de Sylow 10

2.1 Dnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2 Existence des p-Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2.1 Premire dmonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.2 Seconde dmonstration (Miller-Wielandt) . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3 Proprits des p-Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.4 Fusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 Groupes rsolubles et groupes nilpotents 17

3.1 Groupes rsolubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2 Suite centrale descendante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3 Groupes nilpotents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.4 Groupes nilpotents nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.5 Cas des groupes abliens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.6 Sous-groupe de Frattini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4 Cohomologie et extensions 29

4.1 Dnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.2 Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.3 Groupes nis : un critre de nullit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.4 Extensions de groupes dordres premiers entre eux . . . . . . . . . . . . . 36

4.5 Relvements dhomomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3


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Table des matires 4

5 Groupes rsolubles et sous-groupes de Hall 40

5.1 -sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.2 Prliminaires : sous-groupes permutables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.3 Systmes permutables de sous-groupes de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.4 Dmonstration du th. 5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.5 Un critre de rsolubilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.6 Dmonstration du th. 5.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

6 Groupes de Frobenius 45

6.1 Runion des conjugus dun sous-groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6.2 Groupes de Frobenius : dnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6.3 Structure de N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486.4 Structure de H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

7 Transfert 52

7.1 Dnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

7.2 Calcul du transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

7.3 Exemples dutilisation du transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

7.3.1 Premier exemple (Gauss) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

7.3.2 Second exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

7.4 Transfert dans un sous-groupe de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

7.5 Application : groupes simples dordre impair infrieur 2000 . . . . . . . 57

7.6 Application : groupes simples non abliens dordre infrieur 200 . . . . . 57

A Thorie des caractres 60

A.1 Reprsentations et caractres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

A.2 Relations dorthogonalit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

A.3 Caractres et fonctions centrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

A.4 Exemples de caractres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65A.5 Proprits dintgralit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

A.6 Application : thorme de Burnside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

A.7 Dmonstration du thorme de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Bibliographie 73

Index 74


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Chapitre 1

Prliminaires

Ce chapitre est essentiellement constitu de rappels sur la thorie gnrale des groupes.La lettre G dsigne un groupe.

1.1 Actions de groupes

Dnition 1.1 On dit que le groupe G opre gauche sur un ensemble X si lon sest donn une application

G X X (g, x) g.xvriant les conditions :(1) g.(g .x) = ( gg ).x pour tout xX et tout couple (g, g )G G.

(2) 1.x = x pour tout xX , o 1 est llment neutre de G.

Remarque. La donne dune action gauche de G sur X quivaut la donne dunhomomorphisme de G dans le groupe S X des permutations de X dni pour toutg G et tout xX par (g)(x) = g.x.On aurait une dnition analogue pour les oprations droite.

Le groupe G dcoupe alors X en orbites : deux lments x et y de X sont dans la mmeorbite si et seulement sil existe g G tel que x = g.y. Lensemble des orbites est lequotient de X par G et est not G\X dans le cas dune action gauche (et X/G dansle cas dune action droite).Dnition 1.2 On dit que G agit transitivement sur X si G\X est rduit un lment.En particulier, le groupe G agit transitivement sur chaque orbite.

Dnition 1.3 Soit xX ; on appelle stabilisateur de x (ou xateur de x) et on note

H x le sous-groupe de G form des lments g G qui xent x (i.e. tels que g.x = x).5


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1.2. Sous-groupes normaux ; sous-groupes caractristiques; groupes simples 6

Remarque. Si G opre transitivement sur X et si xX , on a une bijection de G/H x surX donne par gH x g.x , o G/H x est lensemble des classes gauche de G modulo H x .Si x X , il existe g G tel que x = g.x. Alors H x = gH xg 1. Donc changer de pointde base revient remplacer le stabilisateur de x par un de ses conjugus. Inversement,si H est un sous-groupe de G, alors G agit transitivement sur G/H et H stabilise laclasse de 1. Ainsi la donne de X sur lequel G opre transitivement revient celle dunsous-groupe de G, dtermin conjugaison prs.

Exemple. Soit X une droite affine dnie sur un corps K et soit G le groupe des similitudes

G = {x ax + b, aK , bK }.Le groupe G opre transitivement sur X . Si x X , le stabilisateur de x est le groupedes homothties centres en x.Application. Soit G un groupe ni , dont on note |G| lordre. Soit X un ensemble o Gopre. On a X = iI Gx i o les Gx i sont les orbites (2 2 disjointes) sous laction deG, les xi formant un systme de reprsentants des lments de G\X . On a vu que Gx i esten bijection avec G/H x i , donc |Gx i | = |G|.|H x i | 1. On en dduit |X | = iI |G|.|H x i | 1puis |X |.|G| 1 = iI |H x i | 1.Cas particulier. Le groupe G opre sur lui-mme par automorphismes intrieurs; on aune application :

G S Gx intxo intx (y) = xyx 1 = xy. Les orbites sont les classes de conjugaison. Le stabilisateur

dun lment x de G est lensemble des lments de G qui commutent x (on lappellecentralisateur de x et on le note C G (x)). On a 1 = iI |C G (x i )| 1 o (x i )iI est unsystme de reprsentants des classes de conjugaison. Pour xi = 1 , on a C G (x i ) = G etdonc sup iI |C G (x i )| = |G|.Exercice.(i) Si h est un entier 1, montrer quil ny a quun nombre ni de dcompositions1 =

hi=1

1n i avec ni Z , ni 1. [Par exemple, si h = 3 , les seuls ni possibles sont(3, 3, 3), (2, 4, 4) et (2, 3, 6).]

(ii ) En dduire que, si un groupe ni G a un nombre de classes de conjugaison gal h, lordre de G est major par une constante N (h) ne dpendant que de h. (On peutprendre N (h) de la forme c1c2

h, o c1, c2 sont des constantes > 0. Jignore si lon peut

faire beaucoup mieux.)

1.2 Sous-groupes normaux ; sous-groupes caractristiques ;groupes simples

Dnition 1.4 On dit quun sous-groupe H de G est normal (ou invariant ) si pour tout xG et tout hH , on a xhx

1H .


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1.3. Filtrations et thorme de Jordan-Hlder 7

Cela revient dire que le sous-groupe H est stable par tout automorphisme intrieur.Une telle situation se dcrit par une suite exacte :

{1} H G G/H {1}.Remarque. Si H est un sous-groupe de G, il existe un plus grand sous-groupe de G danslequel H est normal, savoir lensemble des g G tels que gHg 1 = H . On lappelle lenormalisateur de H dans G, et on le note N G (H ). On dit quune partie de G normalise H si elle est contenue dans N G (H ).

Dnition 1.5 On dit quun sous-groupe H de G est caractristique sil est stable par tout automorphisme de G.

Un tel sous-groupe est normal.

Exemple. Le centre de G (ensemble des lments qui commutent tous les lments deG) est un sous-groupe caractristique. Il en est de mme du groupe driv de G, ainsides sous-groupes D n G, C i G et (G) dnis au chap. 3.

Dnition 1.6 On dit quun groupe G est simple lorsquil a exactement deux sous-groupes normaux : {1} et G.Exemples.(1) Les seuls groupes abliens simples sont les groupes cycliques dordre premier, cest--dire les groupes Z /p Z avec p premier.(2) Le groupe altern An est simple si n 5.(3) Le groupe PSL n (F q) est simple pour n 2 sauf dans le cas n = 2 et q = 2 ou 3.

1.3 Filtrations et thorme de Jordan-Hlder

Dnition 1.7 Une ltration du groupe G est une suite nie (Gi)0 i n de sous-groupes telle que

G0 = {1}G1 Gi Gn = Gavec Gi normal dans Gi+1 , pour 0 i n 1.On appelle gradu de G (associ la ltration (Gi )0 i n ) et on note gr(G) la suite des gri (G) = Gi /G i 1, pour 1 i n .

Dnition 1.8 Une ltration (Gi )0 i n de G est dite de Jordan-Hlder si G i /G i 1 est simple pour tout 1 i n.

Proposition 1.1 Si G est ni, G possde une suite de Jordan-Hlder.


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Si G = {1}, on a la suite de Jordan-Hlder triviale ( n = 0 ). Si G est simple, on prendn = 1 . Si G nest pas simple, on raisonne par rcurrence sur lordre de G. Soit N G, N normal dans G dordre maximal. Alors G/N est simple, car sinon il existerait M normaldans G contenant strictement N et distinct de G. Comme |N | < |G|, on peut appliquerlhypothse de rcurrence et si (N i )0 i n est une suite de Jordan-Hlder pour N , alors(N 0, , N n 1, N , G ) en est une pour G.

Remarque. Si G est inni, il peut ne pas possder de suite de Jordan-Hlder : cest parexemple le cas de Z .

Thorme 1.2 (Jordan-Hlder) Soit G un groupe ni et soit (Gi )0 i n une suite de Jordan-Hlder de G. Le gradu de G, permutation prs des indices, ne dpend pas de la suite choisie.

Il suffit de montrer que si S est un groupe simple x et si n (G, (Gi), S ) est le nombrede j tels que G j /G j 1 est isomorphe S , alors n (G, (Gi), S ) ne dpend pas de la suite(Gi).

On commence par une remarque : si H est un sous-groupe de G, une ltration (Gi ) surG induit une ltration (H i ) sur H dnie par H i = Gi H . De mme, si N est normal,on a une ltration sur G/N dnie par (G/N ) i = Gi / (Gi N ). La suite exacte

{1} N G G/N {1}se conserve par ltration :

{1} N i /N i 1 Gi /G i 1 (G/N )i / (G/N )i 1 {1}do nalement la suite exacte

{1} gri (N ) gri (G) gri (G/N ) {1}.

Si la ltration initiale est de Jordan-Hlder, gri(G) est simple pour tout i , donc gri (N )est isomorphe {1} ou gri(G). Par rindexation, on peut donc obtenir une ltrationde Jordan-Hlder sur N et de mme sur G/N .Cette remarque permet de dmontrer le thorme; on a en effet deux possibilits : soit

gri (N ) = {1} et gri(G/N ) = gr i (G), soit gri (N ) = gr i (G) et gri (G/N ) = {1}. Onen dduit une partition de I = {0, . . . , n } en deux parties : I 1 = {i, gri (N ) = {1}} etI 2 = {i, gr i(N ) = gr i (G)}.On raisonne alors par rcurrence sur lordre de G. Si G = {1}, il ny a pas de problme.Sinon, on peut toujours supposer que G nest pas simple. Soit alors N un sous-groupenormal tel que |N | < |G| et |G/N | < |G|. Lhypothse de rcurrence sapplique N etG/N : n N, (N i) iI 2 , S et n G/N, ((G/N )i) iI 1 , S sont indpendants de la ltration.Or

n G, (Gi )iI , S = n N, (N i) iI 2 , S + n G/N, ((G/N )i )iI 1 , S ,

donc n G, (Gi) iI , S est indpendant de la ltration choisie.


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Application. On retrouve ainsi lunicit de la dcomposition dun entier en produit defacteurs premiers. En effet, si n = ph11 ph kk , on a pour Z /n Z la ltration de Jordan-Hlder suivante :

Z /n Z p1Z /n Z p21Z /n Z ph11 Z /n Z

Donc Z /p iZ apparat h i fois dans le gradu, do lunicit.

Exemples.(1) Filtration de S 3 : A3 est normal dans S 3 et A3 est cyclique dordre 3. Do la ltration

{1}A3 S 3.(2) Filtration de

S 4 :

A4 est normal dans

S 4 avec (

S 4 :

A4) = 2 . Dans

A4, il existe un

sous-groupe normal D de type (2, 2) : D = {1, 1, 2, 3} avec1 = ( a, b)(c, d),2 = ( a, c)(b, d),3 = ( a, d )(b, c).

On a donc la ltration

{1} {1, i}D A4 S 4.Lordre des quotients successifs est 2, 2, 3, 2. Le choix de i tant arbitraire, il ny a pasunicit de la ltration.

(3) Filtration de S n pour n 5 : le groupe An tant simple, on a la ltration

{1}An S n .


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Chapitre 2

Thormes de Sylow

Soit p un nombre premier et soit G un groupe ni.

2.1 Dnitions

Dnition 2.1 On dit que G est un p-groupe si lordre de G est une puissance de p. Si G est dordre pn m avec m premier p, on dit quun sous-groupe H de G est un p-Sylowde G si H est dordre pn .

Remarques.(1) Soit S un sous-groupe de G ; S est un p-Sylow de G si et seulement si S est un p-groupe et (G : S ) est premier p.

(2) Tout conjugu dun p-Sylow de G est un p-Sylow de G.

Exemple. Soit K un corps ni de caractristique p q = pf lments. Soit G = GL n (K )le groupe des matrices inversibles n n coefficients dans K . Ce groupe est isomorphe GL (V ) o V est un espace vectoriel sur K de dimension n. On remarque que lordrede G est le nombre de bases dun espace vectoriel de dimension n sur K , soit :

|G| = ( q n 1)(q n q ) (q n q n 1) = q n (n 1)/ 2n

i=1

(q i 1) = pfn (n 1)/ 2m,

o m = ni=1 (q i 1) est premier q , donc p.Considrons dautre part le groupe P constitu des matrices triangulaires suprieures

coefficients diagonaux gaux 1. Cest un sous-groupe de G dordre |P | = q n (n 1)/ 2 = pfn (n 1)/ 2. Donc P est un p-Sylow de G.

2.2 Existence des p-Sylow

Le but de cette section est de dmontrer le premier thorme de Sylow :

Thorme 2.1 Tout groupe ni possde au moins un p-Sylow.

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2.2. Existence des p-Sylow 11

2.2.1 Premire dmonstration

Elle repose sur la proposition suivante :

Proposition 2.2 Soit H un sous-groupe de G et soit S un p-Sylow de G. Alors il existe g G tel que H gSg 1 soit un p-Sylow de H .Soit X lensemble des classes gauche de G modulo S . Le groupe G (resp. H ) agit surX par translations. Les stabilisateurs des points de X sous G (resp. sous H ) sont lesconjugus de S (resp. les H gSg 1). Or |X | 0 (mod p) car S est un p-Sylow de G.Lune des orbites O de X sous laction de H a un nombre dlments premier p (sinon|X | serait divisible par p) ; soit xO et soit H x le stabilisateur de x dans H . Le groupeH x est un p-groupe, de la forme H gSg 1 (pour un certain g) et (H : H x ) = |O| estpremier p. Donc H x est un p-Sylow de H de la forme H

gSg 1.

Corollaire 2.3 Si G a des p-Sylow et si H est un sous-groupe de G, alors H a aussi des p-Sylow.

Application. [Une premire preuve du th. 2.1] Soit G un groupe ni dordre n. On peutplonger G dans le groupe symtrique S n . Dautre part, S n se plonge dans GL n (K ) (oK est un corps ni de caractristique p) : si S n et si (ei)1 i n est une base de K n ,on associe la transformation linaire f dnie par f (ei ) = e(i) . Donc G se plongedans GL n (K ). Daprs lexemple du 2.1, GL n (K ) possde un p-Sylow. Le corollaireci-dessus permet de conclure.

2.2.2 Seconde dmonstration (Miller-Wielandt)

On suppose que |G| = pn m avec m premier p. On note X lensemble des parties de G pn lments et s le nombre de p-Sylow de G.Lemme 2.4 |X | sm (mod p).Le groupe G opre sur X par translations gauche. Soit X = i X i la dcomposition deX en orbites sous laction de G. Si Ai X i , on a X = i GA i . On note Gi le stabilisateurde A i . On rappelle que |GA i| = |G|/ |Gi |.Remarque : |Gi |

p

n

. Soit en effet x Ai . Si g Gi , alors gx appartient Ai , doncpeut prendre pn valeurs. On a donc au plus pn choix pour g. On distingue donc deuxcas :

Si |Gi | < p n , alors |GA i | est divisible par p. Si |Gi | = pn , alors G i est un p-Sylow de G.Rciproquement soit P un p-Sylow de G ; P g X pour tout g G et le stabilisateurde P g est P . De mme, si P stabilise une partie A de X , alors P AA donc pour touta A, on a P a A donc A = P a . (les deux ensembles ont mmes cardinaux). DoncP stabilise exactement son orbite sous laction de G (et le cardinal de cette orbite est|G/P | = m). Finalement

|X

|=

i / |G i |


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2.3. Proprits des p-Sylow 12

soit

|X | 0 + sm (mod p)do le rsultat.

Ce lemme nous donne le th. 2.1. En effet, daprs ce lemme, la classe de s modulo p nedpend que de lordre de G. Or G = Z / |G|Z a un unique p-Sylow (qui est isomorphe Z /p n Z ). Donc s 1 (mod p) ; en particulier, s est non nul.

Remarque. On a dmontr en fait que le nombre de p-Sylow dun groupe G est congru 1 modulo p. On retrouvera cette proprit ultrieurement.

Corollaire 2.5 (Cauchy) Si p divise lordre de G, alors G contient un lment dordre p.

En effet, soit S un p-Sylow de G (il en existe daprs le th. 2.1) ; S nest pas rduit {1}car p divise lordre de G. Soit x S distinct de {1}. Lordre de x est une puissance de p, soit pm (m 1). Alors x pm 1 est dordre p.

2.3 Proprits des p-Sylow

Thorme 2.6 (Second thorme de Sylow)

(1) Tout p-sous-groupe de G est contenu dans un p-Sylow de G.(2) Les p-Sylow de G sont conjugus.

(3) Le nombre des p-Sylow est congru 1 modulo p.

Lemme 2.7 Soit X un ensemble ni sur lequel opre un p-groupe P et soit X P len-semble des lments de X xs par P . Alors |X | |X P | (mod p).Les orbites un lment de X sous laction de P sont celles constitues dun point deX P . Lensemble X X P est donc runion dorbites non triviales, de cardinal divisiblepar p.

On peut alors dmontrer les points (1) et (2) du th. 2.6 : soit S un p-Sylow de G et soit P

un p-sous-groupe de G. On applique le lemme 2.7 lensemble X des classes gauche deG modulo S : |X | 0 (mod p) donc |X P | 0 (mod p). En particulier, il existe x X x par P . Le stabilisateur de x contient donc P et est un conjugu de S . Donc P estcontenu dans un conjugu de S (cest--dire dans un p-Sylow de G).Pour le point (2), on applique (1) P = S o S est un p-Sylow de G. Il existe g Gtel que S gSg 1, donc S = gSg 1.

Pour le point (3) , on donne une nouvelle dmonstration base sur le lemme suivant :

Lemme 2.8 Soient S et S deux p-Sylow de G. Si S normalise S , alors S = S .


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2.3. Proprits des p-Sylow 13

Soit H le sous-groupe de G engendr par S et S . Le groupe H normalise S qui est un p-Sylow de H . Donc S est le seul p-Sylow de H (les p-Sylow de H sont conjugus) ; orS est un p-Sylow de H donc S = S .

Montrons le point (3). Si X est lensemble des p-Sylow de G, alors S opre sur X parconjugaison et daprs le lemme 2.8, S est le seul lment de X x par S . On rappliquele lemme 2.7 (avec P = S ) : |X | 1 (mod p).

Corollaire 2.9 Si S est un p-Sylow de G, alors G : N G (S ) 1 (mod p).Lapplication f de G/N G (S ) dans lensemble des p-Sylow de G, dnie par f (g) = gSg 1

(o g est un reprsentant quelconque de g) est bijective.

On a vu que pour tout sous-groupe H de G, il existe un p-Sylow de G dont lintersectionavec H est un p-Sylow de H . Ce nest pas vrai pour tout p-Sylow de G. Mais si H estnormal, on a :

Proposition 2.10 Soit H un sous-groupe normal de G et soit S un p-Sylow de G. Alors (1) S H est un p-Sylow de H .(2) Limage de S dans G/H est un p-Sylow de G/H (et on les obtient tous ainsi).(3) ( Frattini ) Si Q est un p-Sylow de H , alors H.N G (Q) = G.

(1) Evident.

(2) Limage de S dans G/H est isomorphe S/ (H S ). Si pa (resp. pb) est la puissancede p maximale divisant lordre de H (resp. de G/H ), pa+ b est la puissance maximalede p divisant lordre de G. Par suite, S a pa+ b lments. De plus, H S a au plus palments donc S/ (H S ) au moins pb et donc exactement pb. Il sensuit que S/ (H S )est un p-Sylow de G/H . Dautre part, on obtient tous les p-Sylow par conjugaison, do(2) .

(3) Soit g G. On a gQg 1 gHg 1 = H (H est normal). Or gQg 1 est un p-Sylowde H , donc il existe h H tel que gQg 1 = hQh 1, donc h 1g N G (Q) et doncg H.N G (Q). Ainsi GH.N G (Q), donc H.N G (Q) = G.

Corollaire 2.11 Soit S un p-Sylow de G et soit H un sous-groupe de G contenant N G (S ). Alors N G (H ) = H .

Le groupe H est normal dans N G (H ) et contient S qui est donc un p-Sylow de H . Onapplique le point (3) de la proposition ci-dessus : H.N G (S ) = N G (H ). Donc N G (H )H do le rsultat.

En particulier, si S est un p-Sylow de G, on a N G N G (S ) = N G (S ).


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2.4. Fusion 14

2.4 Fusion

Soit S un p-Sylow de G. On note N le normalisateur de S dans G. On se pose le problmede savoir si deux lments de S conjugus dans G sont conjugus dans N . On a la :

Proposition 2.12 (Burnside) Soient X et Y deux parties du centre de S , conjugues dans G et soit g G tel que gXg 1 = Y . Alors il existe n N tel que nxn 1 = gxg 1pour tout xX . En particulier, nXn 1 = Y .On veut trouver n N tel que nxn 1 = gxg 1 pour tout x X i.e. g 1nxn 1g = xpour tout x X . Donc on cherche n N tel que g 1n A = C G (X ) (le centralisateurde X ). Or X est contenu dans le centre de S donc A contient S . De mme, Y = gX g 1donc g 1Sg est contenu dans A. Les groupes S et g 1Sg sont des p-Sylow de A (ilsuffit de regarder leurs ordres) donc sont conjugus dans A : il existe a

A tel que

ag 1Sga 1 = S . Donc n = ga 1 appartient N et g 1n appartient A.

Corollaire 2.13 Soient x et y deux lments du centre de S . Sils sont conjugus dans G, ils sont conjugus dans N .

Remarque. Lhypothse x et y appartiennent au centre de S ne peut tre supprime :si lon prend G = GL 3(Z /p Z ) et

S =1 0 1 0 0 1

alors

N = 0 0 0 et les lments

x =1 1 00 1 00 0 1

et y =1 0 00 1 10 0 1

sont conjugus dans G et ne le sont pas dans N .

Disons que deux lments x, y de S sont localement conjugus sil existe un sous-groupeU de S les contenant tel que x et y soient conjugus dans N G (U ).

Thorme 2.14 (Alperin) La relation dquivalence sur S engendre par la relation x et y sont localement conjugus est la relation x et y sont conjugus dans G .

En dautres termes :


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2.4. Fusion 15

Thorme 2.15 Si x, y S sont conjugus dans G, il existe une suite a0, . . . , a n dl-ments de S telle que :(1) a0 = x et an = y.(2) ai est localement conjugu de ai+1 pour 0 i n 1.

Cela rsulte du thorme plus prcis suivant :

Thorme 2.16 Soit A une partie de S et soit g G tel que AgS . Il existe alors un entier n 1, des sous-groupes U 1, . . . , U n de S et des lments g1, . . . , gn de G avec :(1) g = g1 gn .(2) gi N G (U i) pour 1 i n.(3) Ag1 gi 1 U i pour 1 i n .

(Dans cet nonc, Ag dsigne g 1Ag.)Remarque. Pour i = 1 , (3) signie que A U 1. Noter que lon a Ag1 gi U i pour1 i n, comme on le voit en combinant (2) et (3) . On a en particulier AgU n .Le thorme ci-dessus est un corollaire de celui-ci (prendre A rduit un lment).

Dmonstration. Soit T le sous-groupe de S engendr par A. On raisonne par rcurrencesur lindice (S : T ) de T dans S . Si cet indice est 1, on a T = S , do S g = S etg N G (S ). On prend alors n = 1 , g1 = g et U 1 = S .Supposons donc (S : T ) > 1, i.e. T

= S . Le groupe T 1 = N S (T ) est alors distinct de

T . Cest un p-sous-groupe de N G (T ). Choisissons un p-Sylow de N G (T ) contenant T 1.Daprs le th. 2.6, il existe u G tel que u S . Posons dautre part V = T g ; on aV S par hypothse. Le groupe g est un p-Sylow de N G (V ) = N G (T )

g .Comme N S (V ) est un p-sous-groupe de N G (V ), il existe w N G (V ) tel que N S (V )

w g . Posons v = u 1gw 1. On a g = uvw.

On va maintenant dcomposer u et v :(i) On a T u

u S . Comme lindice de T 1 dans S est strictement infrieur celuide T , lhypothse de rcurrence montre quil existe des sous-groupes U 1, . . . , U m de S et

des lments u1 N G (U 1), . . . , u m N G (U m ) avec u = u1 um et T u 1 u i 11 U i pour1 i m.

(ii) Posons T 2 = N S (V ) et T 3 = T v 1

2 = T wg

1 u

2 . Comme T w

2 est contenu dans g , on a

T 3 gg 1 u = u . Le groupe T 3 est contenu dans S , et T v3 = T 2 aussi. Comme lindice de

T 3 est strictement infrieur celui de T , on en dduit comme ci-dessus lexistence de sous-groupes V 1, . . . , V r de S et dlments v j N G (V j ), avec v = v1 vr et T

v1 vj 13 V jpour 1 j r .

Il reste vrier que les sous-groupes U 1, . . . , U m , V 1, . . . , V r , V de S et la dcompositiong = u1 um v1 vr w de g satisfont aux conditions du thorme.On a

u i N G (U i), v j N G (V j ), w N G (V )par construction, ainsi que T u1 u i 1 U i (1

i m) puisque T est contenu dans T 1.Il reste voir que

T u1 u m v1 vj 1 V j


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2.4. Fusion 16

pour 1 j r .Or T u1 u m = T u est contenu dans T 3 = T wg

1 u2 ; en effet, V = T g est normalis par

w 1 ; on a donc T gw 1

= V

N S (V ) = T 2, do T

T wg

1

2 et T u

T wg 1 u

2 .On dduit de l que

T u1 u m v1 vj 1 = T uv 1 vj 1 T v1 vj 13 V j ,

ce qui achve la dmonstration.


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Chapitre 3

Groupes rsolubles et groupesnilpotents

3.1 Groupes rsolubles

Soit G un groupe et soient x, y deux lments de G. Llment x 1y 1xy est appel lecommutateur de x et y. On le note (x, y ). On a

xy = yx(x, y ).

Si A et B sont deux sous-groupes de G, on note (A, B ) le groupe engendr par les

commutateurs (x, y) avec x A et y B. Le groupe (G, G ) est appel le groupe des commutateurs de G ou encore le groupe driv de G et est not D(G). Cest un sous-groupe caractristique de G. De sa dnition rsulte aussitt la :

Proposition 3.1 Soit H un sous-groupe de G. Les proprits suivantes sont quiva-lentes :

(1) H contient D(G).(2) H est normal et G/H est ablien.

Ainsi G/D (G) est le plus grand quotient ablien de G. On le note parfois Gab .

On peut itrer le procd et dnir la suite des sous-groupes drivs de G :D 0G = G,D n G = ( D n 1G, D n 1G) pour n 1.

On a GD1GD

2G .Dnition 3.1 Un groupe G est dit rsoluble sil existe un entier n 0 tel que D n G =

{1}. On appelle alors classe de rsolubilit de G et on note cl(G) le plus petit entier npositif pour lequel D n G = {1}.

Ainsi, cl(G) = 0 quivaut G = {1} et cl(G) 1 quivaut dire que G est ablien.17


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3.1. Groupes rsolubles 18

Proposition 3.2 Soit G un groupe et soit n un entier 1. Les proprits suivantes sont quivalentes :

(1) G est rsoluble de classe n,(2) Il existe une suite G = G0 G1 Gn = {1} de sous-groupes normaux de Gtels que Gi /G i+1 soit ablien pour 0 i n 1,

(2) Il existe une suite G = G0 G1 Gn = {1} de sous-groupes de G tels que Gi soit normal dans Gi 1 et que Gi 1/G i soit ablien, pour 1 i n ,(3) Il existe un sous-groupe ablien A normal dans G tel que G/A soit rsoluble de

classe n 1.(1) (2) Posons Gi = D i G pour tout i 0. Puisque D(G) est stable par tout auto-morphisme (mme non intrieur !) de G, D i G est normal dans G pour tout i. La suite(Gi)i 0 ainsi dnie vrie donc (2).

(2)(2 ) est trivial.

(2 )(1) Par rcurrence sur k on voit que DkGGk pour tout k, do D

n G = {1}.(1)(3) On prend A = D

n 1G.

(3)(1) Daprs limplication (1)(2) , applique G/A et n 1, il existe une suiteA0 = GA1 An 1 = A

de sous-groupes normaux de G telle que la suite des quotients

G/A

A1/A

An 1/A =

{1

}vrie la condition (2) . Alors la suiteGA1 An 1 {1}

vrie la condition (2) et limplication (2) (1) applique G et n permet deconclure.

Remarque. Tout sous-groupe (et tout groupe quotient) dun groupe rsoluble de classe nest rsoluble de classe n.

Proposition 3.3 Soit G un groupe ni et soit G = G0 G1 Gn = {1} une suite de Jordan-Hlder de G. Pour que G soit rsoluble, il faut et il suffit que Gi /G i+1soit cyclique dordre premier pour 0 i n 1.Remarquons dabord que si un groupe est simple et rsoluble, alors son groupe driv,tant normal, est rduit {1}; le groupe est donc ablien et, tant simple, est cycliquedordre premier. La proposition en rsulte.

Exemples.(1) Les groupes S n sont rsolubles si et seulement si n 4.(2) Un groupe simple non ablien nest pas rsoluble.


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3.1. Groupes rsolubles 19

(3) Soit V un espace vectoriel de dimension n sur un corps commutatif K et soit

V = V 0 V 1 V n = 0un drapeau complet (i.e. une suite dcroissante de sous-espaces vectoriels de V tels quecodim( V i ) = i). On pose

G = {sGL (V ) | sV i = V i , 0 i n}(si on choisit dans V une base adapte au drapeau, G peut tre identi au groupe desmatrices triangulaires suprieures).On dnit alors une suite de sous-groupes (B i )0 i n de G par

B i = {sG | (s 1)V j V i+ j , 0 j n i}.En particulier, B0 = G.On va dmontrer que (B j , B k )B j + k pour 0 j

n et 0 k n avec 0 j + k n.

Soient en effet sB j , tB

k et xV i . Il existe vi+ k V i+ k tel quetx = x + vi+ k ,

puisstx = sx + svi+ k = x + wi+ j + vi+ k + ti+ j + k

(avec wi+ j V i+ j et t i+ j + k V i+ j + k ). De mmetsx = t(x + wi+ j ) = x + vi+ k + wi+ j + ti+ j + k

(avec t i+ j + k V i+ j + k ). Doncstx tsx (mod V i+ j + k )

ou encore s 1t 1stx x (mod V i+ j + k )do le rsultat. En particulier :

(B0, B i )B i pour 0 i n , donc les B i sont normaux dans B0 = G. (B i , B i ) = D(B i ) B2i Bi+1 pour 1 i n, donc les quotients Bi /B i+1 sontabliens pour 1 i n 1. Enn, B0/B 1 = G/B 1 sidentie au groupe des matrices diagonales (ablien car K estcommutatif). Donc la suite B0 = GB1 Bn = {1} vrie la condition (2) et Gest rsoluble.(4) On verra ultrieurement (th. 5.4) que tout groupe dordre pa q b (o p et q sontpremiers) est rsoluble.(5) Mentionnons aussi le (trs difficile) thorme de Feit-Thompson 1 : tout groupe dordreimpair est rsoluble (ou encore : lordre dun groupe simple non ablien est pair).(6) Les groupes rsolubles interviennent en thorie des corps. Soit K un corps de caract-ristique 0 et soit K une clture algbrique de K . On note K rad le plus petit sous-corps deK contenant K tel que pour tout xK rad et tout entier n 1, on ait x

1/nK rad . Ondmontre quune extension galoisienne nie de K est contenue dans K rad si et seulement

si son groupe de Galois est rsoluble (i.e. une quation est rsoluble par radicaux si etseulement si son groupe de Galois est rsoluble. Cest de l que provient la terminologie rsoluble ).

1 Rfrence : W. Feit et J.G. Thompson, Solvability of groups of odd order , Pacic J. Math. 13 ( ),775 1029.


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3.2. Suite centrale descendante 20

3.2 Suite centrale descendante

Soit G un groupe. On appelle suite centrale descendante de G la suite (C n G)n 1 desous-groupes de G dnie par rcurrence par :

C 1G = G,C n +1 G = ( G, C n G) pour n 1.

Pour tout n 1, C n G est un sous-groupe caractristique de G.

Proposition 3.4 On a (C i G, C j G)C i+ j G pour tout i 1 et tout j 1.

On raisonne par rcurrence sur i, la proposition tant claire pour i = 1 et tout j 1. Soit j 1 ; on a (C i+1 G, C j G) = (G, C iG), C j G . Or (C iG, C j G), G

(C i+ j G, G ) (parhypothse de rcurrence), donc (C iG, C j G), G C

i+ j +1 G. De mme (C j G, G ), C iGest contenu dans C i+ j +1 G. Le lemme suivant permet de conclure.

Lemme 3.5 Si X , Y et Z sont des sous-groupes normaux de G et si H est un sous-groupe de G contenant (Y, Z ), X et (Z, X ), Y , alors H contient (X, Y ), Z .

On utilise lidentit de Hall :

xy , (y, z ) yz , (z, x ) zx , (x, y ) = 1 ,

(o xy = y 1xy) qui sobtient en dveloppant les quarante-deux termes du membre degauche. (cf. Bourbaki, A.I, 6).

Remarque. Lidentit de Hall est lanalogue pour les groupes de lidentit de Jacobi :

x, [y, z ] + y, [z, x ] + z, [x, y] = 0

pour les algbres de Lie. On peut lutiliser pour associer tout groupe G muni duneltration (Gi ) satisfaisant (Gi , G j )Gi+ j une algbre de Lie gr(G), savoir

gr (G) =i

Gi /G i+1 .

Si Gi /G i+1 et G j /G j +1 , le crochet[, ]Gi+ j /G i+ j +1

est par dnition limage du commutateur (x, y ) o x (resp. y) est un reprsentant dansGi (resp. G j ) de (resp. ). Ceci sapplique notamment au cas o Gi = C iG (cf. aussiBourbaki, Lie II, 4, n o 4).


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3.3. Groupes nilpotents 21

3.3 Groupes nilpotents

Dnition 3.2 Un groupe G est dit nilpotent sil existe un entier n positif tel que C n +1 G = {1}. La classe de nilpotence de G est alors le plus petit tel entier n.En particulier : Le groupe G est ablien si et seulement sil est nilpotent de classe 1. Un produit ni de groupes nilpotents est nilpotent et la classe de nilpotence du produit

est la borne suprieure des classes des groupes. Un sous-groupe (resp. un groupe quotient) dun groupe nilpotent est nilpotent.

Proposition 3.6 Tout groupe nilpotent est rsoluble.

En effet, pour tout n 0, on a D n G

C 2n

G.

La rciproque est fausse : le groupe S 3 est rsoluble de classe 2. Regardons la suitecentrale descendante de S 3 ; on a C 1S 3 = S 3, C 2S 3 = C3 (groupe cyclique dordre 3)puis C 3S 3 = C3, etc. La suite est stationnaire et natteint pas {1}. Donc S 3 nest pasnilpotent.On peut former des groupes nilpotents de la faon suivante :

Proposition 3.7 Un groupe G est nilpotent de classe n + 1 si et seulement sil est extension centrale dun groupe nilpotent de classe n (i.e. sil existe une suite exacte

{1} A G {1} o A est contenu dans le centre de G).Si G est nilpotent de classe n + 1 , alors C n +2 G = {1} donc C n +1 G est dans le centre deG. Posons = G/C n+1 G ; on a C n +1 = {1} donc est nilpotent de classe n.Rciproquement, si une telle suite exacte existe et si C n +1 = {1}, alors C n +1 G A,donc C n +1 G est contenu dans le centre de G, et C n +2 G = {1}. Corollaire 3.8 Soit G un groupe nilpotent et soit H un sous-groupe de G distinct de G.Alors N G (H ) est distinct de H .

On raisonne par rcurrence sur la classe de nilpotence n de G. Si n = 1 , on a N G (H ) = G

(car G est ablien) donc N G (H ) = H .Si n 2, choisissons un sous-groupe central A de G tel que G/A soit nilpotent de classe

n 1. Alors N G (H ) contient A. Si H ne contient pas A alors N G (H ) = H . Si H contient A, alors H/A est un sous-groupe propre de G/A et lhypothse de rcurrencemontre que H/A = N G/A (H/A ). Comme N G (H )/A = N G/A (H/A ), on en dduit queN G (H ) est distinct de H . Une autre caractrisation des groupes nilpotents est donne par la

Proposition 3.9 Un groupe G est nilpotent si et seulement sil existe une ltration (Gi)1 i n +1 telle que G1 = G

G2

Gn +1 =

{1

} avec (G, G i)

G i+1 pour tout

1 i n.


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3.3. Groupes nilpotents 22

Remarque. Une condition plus forte serait (Gi , G j )Gi+ j .

Dmonstration. Si une telle ltration existe, alors C kG

Gk pour tout k 1, donc G

est nilpotent. Rciproquement, si G est nilpotent, on prend Gk = C kG.

Exemple. Soit V un espace vectoriel de dimension nie n sur un corps K et soit

V = V 0 V 1 V n = 0un drapeau complet de V . Reprenons lexemple du 3.1 et posons

B j = {g GL (V ) | (g 1)V i V i+ j , i 0}.Alors B1 est nilpotent ; en effet (B i)i 1 est une ltration telle que B1 B2 Bn = {1} et (B i , B j )B i+ j comme on la vu plus haut.En application, on a le :

Thorme 3.10 (Kolchin) Soit V un espace vectoriel de dimension nie sur un corps commutatif K et soit G un sous-groupe de GL (V ). On suppose que tout lment g de Gadmet 1 comme unique valeur propre (i.e. g 1 est nilpotent). Alors il existe un drapeau complet de V tel que G soit contenu dans le groupe B1 correspondant (cf. ci-dessus). En particulier, G est nilpotent.

On raisonne par rcurrence sur la dimension n de V , le cas n = 0 tant trivial. Supposons

donc n 1 et montrons quil existe x V non nul tel que gx = x pour tout g G. Leproblme tant linaire, on peut tendre les scalaires et supposer K algbriquement clos.Soit AG le sous-espace vectoriel de End( V ) engendr par G. Cest une sous-algbre deEnd( V ). Distinguons deux cas :

V est un AG -module rductible, i.e. il existe V V , stable par G, distinct de 0 et deV . Lhypothse de rcurrence sapplique V et fournit un x non nul dans V tel quegx = x pour tout g G.Si V est irrductible, on a AG = End( V ) daprs un thorme de Burnside (cf. Bourbaki,A. VIII, 4, no 3). Or si a, a AG , on a nTr( aa ) = Tr( a)Tr( a ). En effet, cest clair sia, a G car alors Tr( aa ) = Tr( a) = Tr( a ) = n et cest donc vrai dans AG par linarit.Si n > 1, les lments a et a de matrices respectives

1 00 0 et

0 00 1

sont dans End( V ) donc dans AG . Or Tr( a) = Tr( a ) = 1 et Tr( aa ) = 0 , donc dim (V ) = 1et tout x non nul de V convient.Une fois lexistence de x prouve, on note V n 1 la droite engendre par x. Lhypothse dercurrence, applique V /V n 1 fournit un drapeau complet pour V /V n 1, stable par G,do aussitt un drapeau complet pour V , stable par G et il est clair que G est contenudans le sous-groupe B1 correspondant.


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3.4. Groupes nilpotents nis 23

3.4 Groupes nilpotents nis

Soit p un nombre premier.

Proposition 3.11 Tout p-groupe est nilpotent.

On va en donner deux dmonstrations.

Soit P un p-groupe; alors P peut se plonger dans GL n (Z /p Z ) pour un entier n suffi-samment grand. Donc P est contenu dans un p-Sylow de GL n (Z /p Z ), qui est conjugu,comme on la dj vu, lensemble B1 des matrices triangulaires suprieures lmentsdiagonaux gaux 1. Daprs lexemple du 3.3, B1 est nilpotent, donc aussi P .

On peut supposer P = {1}. Faisons oprer P sur lui-mme par automorphismes int-rieurs ; lensemble des points xes est le centre C (P ) de P . Comme P est un p-groupe,on a daprs le lemme 2.7

|P | |C (P )| (mod p),donc C (P ) = {1}. Ainsi P/C (P ) est dordre strictement infrieur celui de P . Unercurrence permet de conclure.

Corollaire 3.12 Soit G un groupe dordre pn (avec p premier et n 1). Alors :(1) Tout sous-groupe de G dordre pn 1 est normal.(2) Si H est un sous-groupe de G, il existe une suite de sous-groupes (H i )1 i m telle

que H = H 1 H 2 H m = G avec (H i : H i 1) = p pour 2 i m.(3) Tout sous-groupe de G distinct de G est contenu dans un sous-groupe dordre pn 1.

(1) Soit H un sous-groupe de G dordre pn 1. Alors H est distinct de N G (H ) car G estnilpotent. Donc lordre de N G (H ) est pn et H est normal dans G.

(2) On raisonne par rcurrence sur lordre de G. Soit donc H un sous-groupe de G, quonpeut supposer distinct de G. Soit H un sous-groupe de G, distinct de G, contenant H ,dordre maximal. Alors H est distinct de N G (H ), donc N G (H ) = G et H est normaldans G. En particulier, G/H est un p-sous-groupe dordre pk pour un certain entierk 1. Si k > 1, il existe un sous-groupe de G/H , distinct de {1} et de G/H , doncun sous-groupe de G, distinct de G contenant H strictement, ce qui est absurde. Donck = 1 et (G : H ) = p. Lhypothse de rcurrence applique H donne le rsultat.

(3) dcoule immdiatement de (2).

Corollaire 3.13 Tout produit ni de p-groupes est nilpotent.

On va dmontrer une rciproque.

Thorme 3.14 Soit G un groupe ni. Les assertions suivantes sont quivalentes :(1) G est nilpotent.(2) G est produit de p-groupes.

(3) Pour tout p premier, G a un unique p-Sylow.


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3.5. Cas des groupes abliens 24

(4) Soient p et p deux nombres premiers distincts et soit S p (resp. S p ) un p-Sylow de G (resp. un p -Sylow) ; alors S p et S p se centralisent mutuellement (i.e. tout lment de S p commute tout lment de S p ).

(5) Deux lments de G dordres premiers entre eux commutent.

(2)(1) Cest le cor. 3.13 ci-dessus.

(1) (3) Soit S un p-Sylow de G et soit N son normalisateur. Alors N est son proprenormalisateur (cf. cor. 2.11). Puisque nous supposons G nilpotent, cela entrane N = G,cf. cor. 3.8, donc S est normal. Les p-Sylow de G tant conjugus, G a un unique p-Sylow.

(3) (4) Pour tout nombre premier p, soit S p lunique p-Sylow de G : il est normaldans G. Si p et p sont deux premiers distincts, S p S p est rduit {1} car cest lafois un p-groupe et un p -groupe. Or si xS p et y S p , on a x 1y 1xy S p S p , dox 1y 1xy = 1 . Donc S p et S p se centralisent mutuellement.(4) (2) Pour tout p premier, choisissons un p-Sylow de G quon note S p. Le groupeengendr par les S p ( p dcrivant lensemble des nombres premiers) est G tout entier (carson ordre est divisible par celui de G). Dnissons alors une application

: pS p G

(s p) p p s p.Par hypothse, est un homomorphisme, car les S p se centralisent mutuellement. Dautrepart, est surjective, car G est engendr par les S p. Enn G et p S p ont mme cardinal,donc est un isomorphisme, ce qui dmontre (2) .

(2)(5) Supposons que G soit un produit de p-groupes G p. Soient x et y deux lments

de G dordres premiers entre eux. Alors x = ( x p) p et y = ( y p) p et pour tout p on a x p = 1ou y p = 1 . En effet, on a x p = 1 si et seulement si p ne divise pas lordre de x. Doncx 1y 1xy = ( x 1 p y 1 p x py p) p = (1) , donc xy = yx.

(5)(4) Cest vident.

En rsum, nous avons montr les implications suivantes :

(1)

(2) (5)

(3) (4)

Le thorme en rsulte.

3.5 Cas des groupes abliens

Tout groupe ablien est nilpotent ; daprs le 3.4, tout groupe ablien est produit de p-groupes abliens. On peut alors poursuivre la dcomposition grce au

Thorme 3.15 Tout p-groupe ablien est produit de groupes cycliques.


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3.5. Cas des groupes abliens 25

Remarque. Si G est un p-groupe ablien ni, il existe un entier n tel que pn x = 0 pourtout xG, et lon peut considrer G comme un module sur Z /p

n Z (pour n assez grand).Il suffit donc de dmontrer le thorme suivant :

Thorme 3.16 Tout module (non ncessairement ni) sur Z /p n Z est somme directe de modules monognes (isomorphes Z /p i Z pour i n).

Soit G un module sur Z /p n Z et soit V le module quotient G/pG : cest un espace vectorielsur Z /p Z . Notons Gi lensemble {x G | pi x = 0}. Les Gi dnissent une ltration deG :

G0 = 0G1 Gn = G.Soit V i limage de G i dans V , alors

V 0 = 0

V 1

V n = V.

On peut choisir une base S de V adapte cette dcomposition (i.e. S i = S V i est unebase de V i ).Si sS , on note i(s) le plus petit i pour lequel sS i et on choisit un reprsentant s des dans Gi(s ) . On a pi(s ) s = 0 . Soit G = sS Z /p

i(s )Z ; on dnit un homomorphisme de G dans G de la faon suivante : si (n s )sS G , on pose (n s ) = sS ns s . Onva montrer que est un isomorphisme. est surjectif : il suffit de prouver que le sous-groupe H de G engendr par les s estG tout entier. Or lapplication projection de H dans V est surjective (par dnition, ssenvoie sur s qui parcourt une base de V ). Donc H + pG = G ou encore G = pG + H .En itrant,

G = p( pG + H ) = p2G + H = = pn G + H = H. est injectif : soit (n s ) G tel que sS ns s = 0 dans G. Montrons que ns estdivisible par pi pour tout i (donc ns = 0 ). En effet, montrons par rcurrence sur i quen s pi Z /p i(s) Z . Pour i = 0 , il ny a rien dmontrer. Si cest vrai jusqu lordre k,on a ns pk Z /p i(s ) Z . En particulier ns = 0 si i(s) k. On regarde donc les s pourlesquels i(s) k + 1 . Par hypothse,

i(s ) k+1

n s s = 0 .

Posons n s = pkm s avec m s

Z /p i(s ) Z ; on a

pk i(s ) k+1m s s = 0 ,cest--dire

i(s ) k+1

m s s Gk ,

do, par projection,

i(s) k+1

m s s V k .

Vu le choix de S , on en dduit que m s

0 (mod p). Donc pk+1 divise ns et on en dduit

que n s appartient pk+1 Z /p i(s )Z .


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3.6. Sous-groupe de Frattini 26

Exercice. Si G est un module sur Z /p n Z , tout sous-module de G isomorphe Z /p n Z estfacteur direct.

Application des 2-groupes : constructions par rgle et compas. Soit K un corps de carac-tristique quelconque et soit L une extension galoisienne de K dont le groupe de GaloisG est un 2-groupe. Daprs le cor. 3.12, il existe G normal dans G, dindice 2, donc uncorps intermdiaire L , x par G , qui est une extension quadratique de K . Si on itre,L/K apparat comme une tour dextensions quadratiques.Rciproquement, si L/K est une telle tour, lextension galoisienne engendre a pourgroupe de Galois un 2-groupe. On a ainsi une caractrisation des extensions galoisiennesdont le groupe est un 2-groupe. Si la caractristique de K est distincte de 2, une extensionquadratique est de la forme K a K [X ]/ (X 2 a) o a K K 2. (Si carK = 2on remplace X 2 a par X 2 + X + a).Ceci rejoint le problme des nombres constructibles par rgle et compas : ce sont lesnombres (algbriques sur Q ) contenus dans une extension galoisienne de Q dont le groupede Galois est un 2-groupe.

Exemple. (Impossibilit de la duplication du cube) Le nombre 3 2 nest pas constructiblepar rgle et compas, car X 3 2 est irrductible, et son degr nest pas une puissance de2.

3.6 Sous-groupe de Frattini

Soit G un groupe ni. On appelle sous-groupe de Frattini de G et on note (G) linter-section des sous-groupes maximaux 2 de G. Cest un sous-groupe caractristique de G.

Un problme intressant est de savoir quelles conditions une partie S de G engendrele groupe G. On a la proposition suivante :

Proposition 3.17 Soit S une partie de G et soit H le sous-groupe engendr par S . On a H = G si et seulement si H.(G) = G, i.e. si S engendre G/ (G).

En effet, si H.(G) = G et H = G, il existe H maximal contenant H et distinct de G ;(G) est aussi contenu dans H par dnition : G = H. (G) est donc contenu dans H ,ce qui est absurde.

Thorme 3.18 Le groupe (G) est nilpotent.

On va utiliser la caractrisation (3) du th. 3.14. Soit S un p-Sylow de (G) (pour un p premier quelconque). On a vu dans ltude des groupes de Sylow (prop. 2.10) queG = ( G).N G (S ). Daprs la proposition ci-dessus, on a N G (S ) = G, donc S est normaldans G, donc dans (G), donc est lunique p-Sylow de (G) qui est alors nilpotent.

Dans le cas o G est un p-groupe, on a une caractrisation simple de (G) :2 Un sous-groupe H de G est dit maximal sil est distinct de G et maximal pour cette proprit ; on

dit alors que laction de G sur G/H est primitive .


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Thorme 3.19 Si G est un p-groupe, (G) est le sous-groupe engendr par les com-mutateurs et les puissances p-imes de G, i.e. (G) = ( G, G ).G p.

Si G est dordre pn , ses sous-groupes H maximaux sont dordre pn 1, donc sont normaux,donc sont des noyaux dhomomorphismes surjectifs de G dans G/H Z /p Z (et rci-proquement un tel homomorphisme dnit un sous-groupe maximal de G). Donc (G)est lintersection des noyaux dhomomorphismes surjectifs de G dans Z /p Z . Or un telhomomorphisme est trivial sur (G, G ) et G p. Donc (G, G ).G p(G).Rciproquement V = G/ (G, G ).G p est un espace vectoriel sur Z /p Z , dans lequel 0 estintersection dhyperplans. Or un hyperplan est le noyau dun homomorphisme de V dansZ /p Z . Le groupe (G, G ).G p contient donc (G). Finalement (G) = ( G, G ).G p.

Application. G/ (G) est donc le plus grand quotient de G qui soit ablien lmentaire(i.e. produit de groupes cycliques dordre p).

Corollaire 3.20 Une partie S de G engendre G si et seulement si son image dans G/ (G, G ).G p engendre ce groupe.

En effet, on a alors S .(G) = G donc S = G.

Ainsi le cardinal minimum dune partie S gnratrice de G est dim F p G/ (G) (dansle cas o G est un p-groupe).

Caractrisations par les sous-groupes deux gnrateurs. On peut dans la mme veinetudier si les proprits de certains sous-groupes de G permettent de dmontrer desproprits analogues pour le groupe tout entier.

Proposition 3.21 Soit G un groupe (resp. un groupe ni). Supposons que tout sous-groupe de G engendr par deux lments soit commutatif (resp. nilpotent). Alors G est commutatif (resp. nilpotent).

Soient x, y G. Le groupe x, y est commutatif, donc xy = yx. Pour les groupesnilpotents nis, on utilise la caractrisation (5) du th. 3.14.

On peut se demander si un thorme analogue est vrai pour les groupes rsolubles. Onva dabord dnir la notion de groupe simple minimal . Soit G un groupe ni simple nonablien. On dit que G est minimal si tout sous-groupe de G distinct de G est rsoluble.

Lemme 3.22 Si G nest pas rsoluble, il existe un sous-groupe H de G et un sous-groupe normal K de H , tels que H/K soit simple minimal.

Exemple. G = A6 est simple (non minimal) ; on peut prendre H = A5 et K = {1}.Dmonstration. Soit H un sous-groupe non rsoluble minimal de G et soit K un sous-groupe normal de H , distinct de H , et maximal. Le groupe K est rsoluble (car stricte-ment contenu dans H ). Le quotient H/K est simple (car K est maximal) et non ablien


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(sinon H serait rsoluble) ; il est de plus minimal (tout sous-groupe sobtient comme quo-tient par K dun sous-groupe H contenant K et contenu dans H , donc est rsoluble).

On a alors une rponse partielle notre question :

Proposition 3.23 Les deux assertions suivantes sont quivalentes :(1) Tout groupe simple minimal peut tre engendr par deux lments.(2) Tout groupe tel que ses sous-groupes engendrs par deux lments soient rsolubles

est rsoluble.

Supposons (2). Soit G simple minimal; si x, y = G pour tout couple (x, y)GG, alorsx, y est rsoluble comme sous-groupe de G strict et daprs (2), G est aussi rsoluble,ce qui est impossible.

Supposons (1). Si G nest pas rsoluble, il existe H et K comme dans le lemme 3.22.Le groupe H/K est simple minimal donc engendr par deux lments x et y. Soit H le sous-groupe de H engendr par x et y (reprsentants respectifs de x et y). Cest ungroupe rsoluble par hypothse ; or H/K est limage par projection de H donc est aussirsoluble, ce qui est absurde.

On est donc ramen au problme suivant : trouver la liste de tous les groupes simplesminimaux et chercher sils sont engendrs par deux lments. Ce problme a t rsolupar Thompson, qui a montr 3 que tout groupe simple minimal est isomorphe lun dessuivants (que lon peut engendrer par deux lments) :

PSL 2(F p), p 5, p 1 (mod 5) , PSL 2(F 2p ), p premier 3, PSL 2(F 3p ), p premier 3, PSL 3(F 3), groupes de Suzuki Sz(2 p), p premier 3.

Signalons un problme : est-il vrai quun groupe simple non ablien qui est minimal ausens naf (i.e. qui ne contient pas de sous-groupe propre non ablien qui soit simple) estminimal au sens dni plus haut? 4

3 Rfrences : J.G. Thompson, Non solvable nite groups all of whose local subgroups are solvable, I,II, . . . , VI , Bull. A.M.S. 74 ( ), 383 437 ; Pac. J. Math. 33 ( ), 451 536 ; . . . ; Pac. J. Math.51 ( ), 573 630.

Il existe une dmonstration indpendante du thorme de classication de Thompson : P. Flavell,Finite groups in which two elements generate a solvable group , Invent. math. 121 ( ), 279 285.

4 Rponse : oui, daprs la classication des groupes simples.


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Chapitre 4

Cohomologie et extensions

4.1 Dnitions

Soient G un groupe (not multiplicativement) et A un G-module (autrement dit ungroupe ablien not additivement sur lequel G opre par automorphismes). On note sale transform de llment aA par llment sG. On a

(st )a = s(ta ),1a = a,

s(a1 + a2) = sa 1 + sa 2,

si s, t

G et a, a 1, a 2

A.

Des exemples dune telle situation sont donns par :(1) Action triviale dun groupe G sur un groupe ablien A : sa = a pour sG et aA.

(2) Si L est une extension galoisienne du corps K , de groupe de Galois G, alors G oprepar automorphismes sur L muni de laddition ou Lmuni de la multiplication.

Dnition 4.1 Soit n un entier positif ou nul. On appelle n-cochane , ou cochane dedegr n sur G valeurs dans A toute fonction de n variables de G valeurs dans A :

f : G G G A(s1, s2, . . . , s n ) f (s1, s2, . . . , s n ).Lensemble des cochanes, muni de laddition induite par celle de A, forme un groupeablien not C n (G, A).

Exemples.n = 0 : par convention, une fonction de 0 variable valeurs dans A est un lment de A.Do C 0(G, A) = A. On note f a llment de C 0(G, A) correspondant llment aA.

n = 1 : C 1(G, A) = {f : G A}.n = 2 : C 2(G, A) = {f : G G A}.

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4.1. Dnitions 30

Dnition 4.2 Si f C n (G, A), on appelle cobord de f et on note df llment de C n +1 (G, A) dni par la formule :

df (s1, . . . , s n , sn +1 ) = s1f (s2, . . . , s n +1 ) +n

i=1

(1)if (s1, . . . , s i 1, s i s i+1 , . . . )+ ( 1)n +1 f (s1, . . . , s n ).

Regardons ce quest d pour les petites valeurs de n .

d : C 0(G, A) C 1(G, A). Soit a A ; on cherche df a . On a df a (s) = sa a. Noterque df a = 0 si et seulement si a est x par G. d : C 1(G, A) C 2(G, A). Soit f une 1-cochane ; on a

df (s, t ) = sf (t) f (st ) + f (s).

d : C 2(G, A) C 3(G, A). Soit f une 2-cochane ; on adf (u,v,w ) = uf (v, w) f (uv,w ) + f (u,vw) f (u, v).

Thorme 4.1 (Formule fondamentale) On a d d = 0 . Autrement dit, le compos C n (G, A) d C n +1 (G, A) d C n +2 (G, A)

est nul.

Nous allons faire la vrication seulement dans les cas n = 0 et n = 1 , laissant en exercicela vrication gnrale.Soit aA. On a df a (s) = sa a do

d d (f a )(s, t ) = sdf a (t) df a (st ) + df a (s)= s(ta a) (sta a) + ( sa a)= 0 .

Regardons maintenant f C 1(G, A) :d d (f )(u,v,w ) = u df (v, w) df (uv,w ) + df (u,vw) df (u, v)

= u vf (w) f (vw) + f (v) uvf (w) f (uvw) + f (uv)+ uf (vw) f (uvw) + f (u) uf (v) f (uv) + f (u)= 0 .

Dnition 4.3 Une n-cochane f est dite un n-cocycle si df = 0 . Elle est dite un n-cobord sil existe une (n 1)-cochane g telle que f = dg.Daprs le th. 4.1, tout n-cobord est un n-cocycle. On note Z n (G, A) le groupe des n-cocycles et B n (G, A) le groupe des n -cobords.On note H n (G, A) le groupe quotient Z n (G, A)/B n (G, A) et on lappelle le n-ime groupe de cohomologie de G valeurs dans A.


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4.2. Extensions 31

Exemples.(1) Pour n = 0 , on convient que B0 = {0}. En notant AG le groupe des lments de Axs par G, on a vu que

df a = 0aAG ,

et donc H 0(G, A) = AG .

(2) Pour n = 1 , un lment de Z 1(G, A) est une application f de G dans A telle quedf (s, t ) = 0 pour tous s, tG, ce qui donne

f (st ) = sf (t) + f (s).

On dit que f est un homomorphisme crois . Si laction de G sur A est triviale, on asf (t) = f (t) et f est un homomorphisme de G dans A ; comme B1(G, A) = {0}, on aalors

H 1(G, A) = Hom( G, A),

o Hom(G, A) est le groupe des homomorphismes de groupes de G dans A.

(3) Pour n = 2 , une 2-cochane f est un 2-cocycle si

uf (v, w) f (uv,w ) + f (u,vw) f (u, v) = 0pour tous u, v,w G. Une telle cochane sappelle aussi un systme de facteurs .

4.2 Extensions

Dnition 4.4 Soient A et G deux groupes. On dit que E est une extension de G par A si lon a une suite exacte

{1} A E G {1}avec A normal dans E .

Remarque. Dans ce , on suppose A commutatif.

Toute extension E de G par A dnit une action de G sur A de la manire suivante :remarquons dabord que E agit sur A par automorphismes intrieurs (puisque A estnormal dans E ) ; on a un homomorphisme

E Aut( A)e Int( e) |A ,qui passe au quotient G : en effet, si sG, on choisit eE qui relve s ; alors Int( e) nedpend pas du choix du relvement de s ; changer e en e au dessus de s revient en effet le multiplier par un lment a de A, or a agit trivialement sur A par automorphismesintrieurs puisque A est ablien. Donc G agit sur A :

E

Aut( A)

G


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4.2. Extensions 32

On va donc considrer A comme un G-module ; les lois de groupe tant crites multipli-cativement, la loi daction de G sur A sera crite sa pour aA et sG. On va associer toute extension de G par A une classe de cohomologie de H 2(G, A) qui dtermine cette

extension isomorphisme prs. Et lon verra que tout lment de H 2(G, A) peut treobtenu ainsi, cf. th. 4.3.

Soit E une extension de G par A ; on a une surjection de E sur G.

Dnition 4.5 Une section h de est une application de G dans E telle que h = Id G .E

G

h

Au-dessus de sG, on choisit un point dans la bre 1(s). Tout lment eE scritalors de manire unique ah (x), avec aA et xG (en fait x = (e)).

Cherchons mettre sous la forme ch(z) llment ah (x)bh(y). On a

ah (x)bh(y) = ah (x)bh(x) 1h(x)h(y).

Laction de x G sur A est donne par laction de lautomorphisme intrieur dunlment de E au-dessus de x, par exemple h(x). Donc h(x)bh(x) 1 = xb (qui est dansA, puisque A est normal). Posons

h(x)h(y) = f h (x, y )h(xy).

On a f h (x, y ) A puisque h(x)h(y) et h(xy) ont mme image dans G par . On analement obtenu :ah (x)bh(y) = a x bf h (x, y)h(xy)

avec a x bf h (x, y)A.

Nous allons maintenant voir comment f h varie avec h. Soient donc h et h deux sectionsde (h, h : G E ). Alors h(s) et h (s) diffrent par un lment de A. Posons h (s) =l(s)h(s) ; lapplication l est une 1-cochane de G valeurs dans A. Calculons f h laidede l et de f h . On a

h (s)h (t) = f h (s, t )h (st ) = f h (s, t )l(st )h(st ),

mais

h (s)h (t) = l(s)h(s)l(t)h(t)= l(s)h(s)l(t)h(s) 1h(s)h(t)= l(s) s l(t)f h (s, t )h(st ),

do lon tire

f h (s, t ) = l(s) s l(t)f h (s, t )l(st ) 1

= f h (s, t ) s l(t)l(s)l(st ) 1,


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4.2. Extensions 33

car A est commutatif. Or, en notation multiplicative, on a

dl(s, t ) = sl(t)l(s)l(st ) 1.

Dof h = f h dl.

Donc, quand h varie, f h ne change que par multiplication par un cobord. On peut doncassocier E la classe de cohomologie de f h dans H 2(G, A) ; appelons e cette classe.Quand trouve-t-on e = 0 ? Cela signie (en notation multiplicative) quil existe unesection h telle que f h (s, t ) = 1 pour tous s, t G, i.e. que h est un homomorphisme.

Dnition 4.6 Une extension E de G par A est dite triviale sil existe un homomor-phisme h : G E telle que h = Id G (ou, de faon quivalente, si e = 0 ).Examinons une telle extension : tout lment de E scrit ah (s) de manire unique etah (s)bh(t) = a s bh(st ). Donc on connat E ds quon connat A, G et laction de G surA. Le groupe E est isomorphe au groupe des couples (a, s ) avec a A et s G, munide la loi

(a, s )(b, t) = ( a s b,st ).

On appelle un tel E un produit semi-direct de G par A. On vient de voir : la classe nullede H 2(G, A) correspond lextension triviale de G par A, qui est le produit semi-directde G par A dni par laction de G sur A.

Thorme 4.2 Lapplication f h est un 2-cocycle de G valeurs dans A.

Il faut vrier que f h appartient au noyau de d, lhomomorphisme de cobord. Lcritureest ici multiplicative ; il faut donc voir que

df h (u,v,w ) = 1

pour tous u, v,w G ; or df h scritdf h (u,v,w ) = uf h (v, w)f h (u,vw)f h (uv,w ) 1f h (u, v) 1.

Nous allons crire h(u)h(v)h(w) sous la forme ah(uvw) avec a

A de deux manires

diffrentes en utilisant lassociativit de la loi de groupe dans E .On a

h(u)h(v) h(w) = f h (u, v)f h (uv,w )h(uvw)

eth(u) h(v)h(w) = uf h (v, w)f h (u,vw)h(uvw)

douf h (v, w)f h (u,vw) = f h (u, v)f h (uv,w )

ce qui est biendf h (u,v,w ) = 1 .

Nous allons enn voir :


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4.2. Extensions 34

Thorme 4.3 Toute classe de cohomologie de H 2(G, A) correspond une extension de G par A.

On va reconstruire la situation prcdente : soit f Z 2(G, A). Dnissons E ensemblis-tement par E = A G. On dnit la loi de E par(a, s )(b, t) = a s bf (s, t ), st .

Tout dabord E est un groupe :

La loi est associative : le calcul fait ci-dessus pour voir que f h est un 2-cocycle partirde lassociativit de la loi de E se reprend lenvers. Si = f (1, 1) 1, alors llment (, 1) est lment neutre. En effet,

(a, s )(, 1) = a sf (s, 1), s

or f est un 2-cocycle donc df = 1 etdf (s, 1, 1) = sf (1, 1)f (s, 1) 1f (s, 1)f (s, 1)

donc1 = df (s, 1, 1) = s 1f (s, 1) 1

et (, 1) est bien lment neutre.

On fait de mme le calcul de linverse.On a un homomorphisme surjectif vident de E dans G : E G(a, s )

s

et lapplicationA E a (a, 1)

est un homorphisme (car A est ablien) videmment injectif.

Finalement on a bien :

{1} A E G {1}.

Interprtation de H 1(G, A) en termes dextensions. Soit E une extension triviale de Gpar A. Choisissons une section h : G E qui soit un homomorphisme (ce qui identie E au produit semi-direct G.A). Soit h une autre section ; on peut crire h de faon uniquecomme h = l.h , o l est une 1-cochane G A. On a f h = f h .dl = dl puisque f h = 1 .Pour que h soit un homomorphisme, il faut et il suffit que f h = 1 , i.e. que dl = 1 ,autrement dit que l soit un 1-cocycle.

Dautre part, si on conjugue h par un lment a de A, on obtient une section qui est unhomomorphisme. Soit h cette section. A quoi cela correspond-il en termes de l ? On a

h (x) = ah (x)a 1 = l(x)h(x)

avec l(x) = axa 1. Donc l = df a (o f a est llment de C 0(G, A) correspondant a).Donc l doit tre un cobord. Do :


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4.3. Groupes nis : un critre de nullit 35

Thorme 4.4 Les classes de conjugaison (par les lments de A, ou de G) des sections de E qui sont des homomorphismes correspondent bijectivement aux lments du groupe de cohomologie H 1(G, A).

[Noter que cette correspondance dpend du choix de h. Une faon plus intrinsque desexprimer consiste dire que lensemble des classes de sections-homomorphismes est unespace principal homogne ( torseur ) sous laction de H 1(G, A).]

Corollaire 4.5 Pour que les sections de qui sont des homomorphismes soient conju-gues, il faut et il suffit que H 1(G, A) = {0}.

4.3 Groupes nis : un critre de nullit

Soit G un groupe m lments et soit A un G-module.

Thorme 4.6 Soient n 1 et xH n (G, A). On a mx = 0 .

Soit f Z n (G, A) un n-cocycle reprsentant x. Il faut construire F C n 1(G, A) telque dF = mf .Prenons F 1(s1, . . . , s n 1) = sG f (s1, . . . , s n 1, s ). Comme f Z n (G, A), on a df = 0 .Or

df (s1, . . . , s n +1 ) = s1f (s2, . . . , s n +1 ) f (s1s2, s3, . . . , s n +1 ) + + ( 1)n f (s1, . . . , s n sn +1 ) + ( 1)n +1 f (s1, . . . , s n )= 0 .

Donc

sn +1 G

df (s1, . . . , s n +1 ) = s1F 1(s2, . . . , s n ) F 1(s1s2, . . . , s n ) + + ( 1)n F 1(s1, . . . , s n 1) + ( 1)n +1 mf (s1, . . . , s n ).

On a utilis le fait que si sn +1 parcourt G, sn sn +1 aussi (sn tant x). On a ainsi obtenu

(

1)n mf (s1, . . . , s n ) = dF 1(s1, . . . , s n ).

On pose donc F = ( 1)n F 1 qui vrie dF = mf , do le rsultat. Corollaire 4.7 Si lapplication a ma est un automorphisme de A ( m tant lordre de G) alors H n (G, A) = {0} pour tout n 1.En effet, x mx est alors un automorphisme de C n (G, A) qui commute d. Donccest un automorphisme de H n (G, A) par passage au quotient. Or cest dans ce caslapplication nulle do H n (G, A) = {0}. Corollaire 4.8 Si G et A sont nis dordres premiers entre eux alors H n (G, A) =

{0

}pour tout n 1.


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4.4. Extensions de groupes dordres premiers entre eux 36

En effet a ma est alors un automorphisme de A.

Corollaire 4.9 Si G et A sont nis dordres premiers entre eux alors :(1) Toute extension E de G par A est triviale.(2) Deux homomorphismes sections de G E sont conjugus par un lment de A.

On a H n (G, A) = {0} si n 1. Le cas n = 2 donne (1) et le cas n = 1 donne (2) daprsltude faite en 4.2.

4.4 Extensions de groupes dordres premiers entre eux

Nous allons tendre certains rsultats sur les extensions dun groupe G par un groupe A

commutatif au cas o A est rsoluble ou mme quelconque.

Thorme 4.10 (Zassenhaus) Soient A et G deux groupes nis dordres premiers entre eux et considrons une extension {1} A E G {1}. Alors :

(1) Il existe un sous-groupe de E ( supplmentaire de A) qui se projette isomorphique-ment sur G ( E est produit semi-direct).

(2) Si A ou G est rsoluble, deux tels sous-groupes sont conjugus par un lment de A (ou de E , cela revient au mme).

On raisonne par rcurrence sur

|E

|; on peut supposer A et G distincts de

{1

}.

Premier cas : A est rsoluble. On dmontre dabord le

Lemme 4.11 Soit X un groupe rsoluble non rduit {1}. Il existe un nombre premier p et un p-sous-groupe Y de X distinct de {1} tel que Y soit ablien lmentaire et caractristique.On rappelle quun p-groupe ablien est dit lmentaire si ses lments distincts de 1 sontdordre p et quun sous-groupe dun groupe X est caractristique sil est stable par toutautomorphisme de X .

Dmonstration du lemme. Soient D i(X ) les drivs successifs de X . Comme X estrsoluble, il existe i tel que D i (X ) est distinct de {1} et D i+1 (X ) est rduit {1}. AlorsD i (X ) est un sous-groupe de X ablien et diffrent de {1}. De plus, il est caractristique.Soit alors p divisant lordre de D i (X ) et soit Y le groupe des lments de D i (X ) dordredivisant p. Alors Y est ablien, diffrent de {1}, caractristique (un automorphisme deX transforme un lment dordre p en un autre de mme ordre) et est un p-groupelmentaire.

Retour la dmonstration du thorme. Appliquons le lemme avec X = A et Y = Aet remarquons que A est normal dans E : un automorphisme intrieur de E restreint A est un automorphisme de A (car A est normal dans E ) et laisse donc A , qui estcaractristique, invariant.


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4.4. Extensions de groupes dordres premiers entre eux 37

Si A = A , alors A est ablien et le thorme est connu. Sinon, comme A est normaldans E , on peut passer au quotient par A et on obtient la suite exacte

{1} A/A E/A G {1}.La situation se dcrit par le diagramme suivant :

E

E/A

G

E/A

Comme E/A est de cardinal strictement infrieur celui de E , lhypothse de rcurrenceentrane que G se relve en un sous-groupe G de E/A . Soit E limage rciproque de Gpar la projection E E/A . Alors on a la suite exacte

{1} A E G {1}.Or A est ablien. Daprs le 4.3, on peut donc relever G en un sous-groupe de E . Onobtient ainsi un relvement de G dans E .

Montrons que deux tels relvements G et G sont conjugus par un lment de A. On a

E = A.G et E = A.G .

Lhypothse de rcurrence, applique E/A , montre quil existe a A tel que aG a 1et G aient mme image dans E/A . Quitte remplacer G par aG a 1, on peut doncsupposer que A .G = A .G . La conjugaison par un lment de A de G et G rsultealors du cas ablien (cf. 4.3), appliqu A .G = A .G .

Deuxime cas : assertion (1) dans le cas gnral. Soit p premier divisant lordre de A etsoit S un p-Sylow de A (cf. 2.2). Soit E le normalisateur dans E de S . Daprs le 2.3, on a E = A.E . Soit A = E A ; A est normal dans E et lon a la suite exacte

{1} A E G {1}.Distinguons deux cas : Si |E | < |E |, lhypothse de rcurrence permet de relever G dans E , donc dans E . Si |E | = |E | alors S est normal dans E donc aussi dans A. On passe au quotient :

{1} A/S E/S G {1}avec E /S de cardinal strictement infrieur celui de E . Par lhypothse de rcurrence,G se relve en G1 de E/S . Soit E 1 limage rciproque de G1 par la projection E E/S .On a la suite exacte

{1} S E 1 G {1}.Or S est un p-groupe donc est rsoluble et lon est ramen au premier cas.


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4.5. Relvements dhomomorphismes 38

Troisime cas : assertion (2) lorsque G est rsoluble. Soient G et G deux relvementsde G dans E . On a

E = A.G et E = A.G .

Soient p un nombre premier et I un sous-groupe ablien normal diffrent de {1} de G(cf. lemme 4.11) et soit I son image rciproque dans E par la projection E G. SoientI = I G et I = I G . On aA.I = A.I (= I ).

Les groupes I et I sont des p-Sylow de I ; il existe donc x I tel que I = xI x 1 ; sion crit x sous la forme ay avec a A et y I , on a I = aI a 1. Quitte remplacerI par aI a 1, on peut donc supposer I = I .Soit N le normalisateur de I = I dans E . On a G N et G N . Si N est distinctde E , lhypothse de rcurrence applique N montre que G et G sont conjugus.Si N = E , autrement dit si I est normal dans E , lhypothse de rcurrence applique E/I montre quil existe a A tel que I .aG a 1 = I .G . Puisque I est normal etcontenu la fois dans G et G , cela entrane

aG a 1 = G ,

do le rsultat.

Remarque. Lhypothse A ou G est rsoluble faite dans (2) est automatiquementsatisfaite daprs le thorme de Feit-Thompson (cf. 3.1) disant que tout groupe dordreimpair est rsoluble.

4.5 Relvements dhomomorphismes

Soient {1} A E

{1}une suite exacte , G un groupe et un homomorphismede G dans . Peut-on relever en un homomorphisme de G dans E ?

{1} A E

{1}

G

La question quivaut celle du relvement de G dans une extension E de G par Aassocie , dnie de la faon suivante :

E = {(g, e)G E | (g) = (e)}muni de la loi de groupe habituelle pour le produit cartsien. Alors A se plonge dans E par a (1, a ) et E se projette sur G par (g, e) g.

E

E

G


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4.5. Relvements dhomomorphismes 39

On a la suite exacte

{1} A E G {1}.(on dit parfois que E est limage rciproque ( pull-back ) de lextension E par lho-momorphisme ).

Voyons lquivalence des deux problmes. Soit un relvement de . Alors lensembleG = {(g, (g)) , g G} est un sous-groupe de E qui est un relvement de G.Soit maintenant G un relvement de G. Alors G est form de couples (g, e) avec g Get e E , chaque g G apparaissant dans un et un seul couple. Alors dni par(g) = e est un homomorphisme qui relve .De plus, deux relvements et sont conjugus par a A si et seulement si G etG sont conjugus par (1, a )E . Le 4.4 donne alors le

Thorme 4.12 Soit {1} A E {1} une suite exacte et soit un homo-morphisme dun groupe G dans le groupe . Supposons G et A nis dordres premiers entre eux. Alors :

(1) Il existe un homomorphisme de G dans E qui relve .(2) Si G ou A est rsoluble, deux tels homomorphismes sont conjugus par un lment

de A.

Application. On se donne un homomorphisme : G GL n (Z /p Z ) o p ne divise paslordre de G. On va voir qu on peut relever en : G GL n (Z /p Z ) pour tout 1.Commenons par relever en 2. On a la suite exacte

{1} A GL n (Z /p 2Z ) GL n (Z /p Z ) {1}o A est form des matrices de la forme 1 + pX avec X matrice n n modulo p et olapplication de GL n (Z /p 2Z ) dans GL n (Z /p Z ) est la rduction modulo p. Le groupe Aest alors isomorphe M n (Z /p Z ) qui est un p-groupe ablien. On peut donc appliquerle thorme prcdent et relever en 2 de manire essentiellement unique.Le mme argument permet de relever en +1 . On a la suite exacte

{1} A GL n (Z /p +1 Z ) GL n (Z /p Z ) {1}

G

+1

.

On peut passer la limite projective : comme lim

(Z /p Z ) = Z p, on obtient une repr-sentation

: G GL n (Z p)

GL n (Q p) .

Or Q p est de caractristique 0 : ainsi, partir dune reprsentation en caractristique p,on en obtient une en caractrisque 0.


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Chapitre 5

Groupes rsolubles et sous-groupesde Hall

Nous allons essayer de gnraliser les thormes de Sylow. Le problme tait alors lesuivant : soit G un groupe dordre p p ( p) (o p est premier), existe-t-il, pour toutnombre premier p, un sous-groupe de G dordre p ( p) ?On peut se demander si, plus gnralement, pour tout n divisant lordre de G, on peuttrouver un sous-groupe de G dordre n. Cest vrai si G est nilpotent, mais faux sanshypothse sur G ; mme G rsoluble est insuffisant : le groupe A4, dordre 12 estrsoluble et na pas de sous-groupe dordre 6. On va donc faire des hypothses plusrestrictives sur n .

5.1 -sous-groupes

Soit un ensemble de nombres premiers et soit son complmentaire. Si n N , oncrit n = nn , avec n (resp. n ) divisible uniquement par des lments de (resp. ). Un groupe G est appel un -groupe si tous les facteurs premiers de lordre de Gappartiennent .Le problme consiste en la recherche des -sous-groupes dun groupe donn et de ses-sous-groupes maximaux tels quils sont dnis ci-dessous.

Dnition 5.1 Soit G un groupe et soit un ensemble de nombres premiers. On appelle -Sylow ou -sous-groupe de Hall de G un sous-groupe H tel que |H | = |G| .Remarque. Si = { p}, un -Sylow de G est un p-Sylow de G.Thorme 5.1 (P. Hall) Soient G un groupe rsoluble et un ensemble de nombres premiers. Alors :

(1) G possde des -Sylow.(2) Soient S un -Sylow de G et H un -sous-groupe de G. Alors H est contenu

dans un conjugu de S .

La dmonstration de ce thorme sera donne au 5.4.

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5.2. Prliminaires : sous-groupes permutables 41

Corollaire 5.2 Deux -Sylow dun groupe rsoluble sont conjugus.

Lhypothse rsoluble est essentielle :

Thorme 5.3 Si pour tout ensemble de nombres premiers, G possde un -Sylow,alors G est rsoluble.

La dmonstration sera donne au 5.6.

Thorme 5.4 (Burnside) Soient p et q deux nombres premiers. Tout groupe dordre pa q b ( a, bN ) est rsoluble.

En effet, la question de lexistence de -Sylow ne se pose vraiment que si =

{ p

} ou

{q } ou { p, q }. Les thormes de Sylow (cf. 2.2) rpondent dans les deux premiers caset G lui-mme convient dans le troisime. Le th. 5.3 assure alors que G est rsoluble.

En fait le thorme de Burnside sera dmontr en annexe (cf. th. A.21) par la thoriedes caractres et il sera utilis dans la dmonstration du th. 5.3.

5.2 Prliminaires : sous-groupes permutables

Nous allons dmontrer quelques lemmes sur les produits de sous-groupes.Soient A et B deux sous-groupes dun groupe G. Notons A.B lensemble des produitsab, o aA et bB .

Lemme 5.5 Il y a quivalence entre :(1) A.B = B.A.(2) A.B est un sous-groupe de G.

(1)(2) car si A.B = B.A, on a A.B.A.B A.A.B.B A.B et (A.B ) 1B.A = A.Bet A.B est un sous-groupe de G.(2)(1) Si A.B est un sous-groupe de G, on a A.B = ( A.B )

1 = B.A.

On dit que deux groupes A et B sont permutables si A.B = B.A.

Lemme 5.6 Soient A1, . . . , A n des sous-groupes de G deux deux permutables. Alors A1 . . . An est un sous-groupe de G.

La dmonstration se fait par rcurrence sur n. Le lemme 5.5 donne le cas n = 2 .Daprs lhypothse de rcurrence, A1 . . . An 1 est un groupe. Il est permutable avec Ancar A1 . . . An 1.An = A1 . . . An .An 1, do aprs (n 1) oprations A1 . . . An 1.An =An .A1 . . . An 1. Daprs le lemme 5.5, A1 . . . An est un sous-groupe de G.


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5.3. Systmes permutables de sous-groupes de Sylow 42

Lemme 5.7 Il y a quivalence entre :(1) A.B = G.

(1) B.A = G.(2) G opre transitivement sur G/A G/B .

De plus, si G est ni, ces proprits sont quivalentes chacune des suivantes :(3) (G : A B ) = ( G : A).(G : B ).

(3) (G : A B ) (G : A).(G : B ).En effet :(1) (1 ) car si A.B = G, A.B est un sous-groupe et daprs le lemme 5.5, on aA.B = B.A, donc B.A = G.(1)(2) Il sagit de prouver que pour tous g1, g2 G, il existe g G tel que g g1A etg g2B . Or par hypothse, il existe aA et bB tels que g

11 g2 = ab, do g1a = g2b

1

et llment g = g1a = g2b 1 convient.

(2) (1) Le groupe G opre transitivement sur G/A G/B . Prenons donc, pour toutg1 G, un lment g G tel que g 1.A et g g1.B . Cela entraine g1 A.B , i.e.A.B = G.

Soit maintenant G un groupe ni. Montrons (2)(3) . Soit 1 limage de llment unit

de G dans G/A (resp. G/B ). Le stablisateur de (1, 1) par laction de G sur G/A G/Best A B . Le nombre n dlments de lorbite de (1, 1) est donc lindice (G : A B ) deA B dans G. OrG opre transitivement sur G/A G/B n = |G/A | |G/B |

n = ( G : A)(G : B ) (G : A B ) = ( G : A)(G : B),

ce qui est bien lquivalence entre (2) et (3) .

(3 )(3) car (G : A B ) est le cardinal de lorbite de (1, 1), cardinal major par celuide G/A G/B , qui est (G : A)(G : B ). Lemme 5.8 Les proprits du lemme 5.7 sont vraies si les indices de A et B dans Gsont premiers entre eux.

En effet, (G : A

B ) est divisible par (G : A) et (G : B ) donc par leur produit, ce qui

prouve (3 ) du lemme prcdent.

5.3 Systmes permutables de sous-groupes de Sylow

Soit G un groupe. Pour tout nombre premier p, choisissons un p-Sylow H p de G. Nousdirons que le systme {H p} est permutable si les H p sont deux deux permutablesau sens du 5.2. Dans ce cas, si est un ensemble de nombres premiers, le groupeH = p H p est un -sous-groupe de G.

Thorme 5.9 Si G est rsoluble, G possde un systme permutable de sous-groupes de Sylow.


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5.4. Dmonstration du th. 5.1 43

La dmonstration se fait par rcurrence sur lordre de G. On suppose G = {1}; daprsle lemme 4.11, il existe alors un nombre premier p0 et un p0-sous-groupe normal A de Gdistinct de {1}. Daprs lhypothse de rcurrence, le groupe G/A possde un systmepermutable {H p}de p-Sylow. Soit H = p= p0 H p ; cest un sous-groupe de G/A dordre p= p0 |H p|. Soit G son image rciproque dans G, on a une suite exacte :

{1} A G H {1}.Comme A et H sont dordres premiers entre eux, il existe un sous-groupe H de G quirelve H (cf. 4.4). Si p = p0, posons H p le sous-groupe de H qui relve H p ; les H p sontdes p-Sylow de G deux deux permutables. Pour p = p0, dnissons H p comme limagerciproque de H p0 dans G. Cest un p0-Sylow de G qui permute aux H p ( p = p0). Lesystme {H p} rpond donc la question.

5.4 Dmonstration du th. 5.1

Lassertion (1) sur lexistence de -Sylow rsulte du th. 5.9 et du lemme 5.6.

Prouvons lassertion (2) par rcurrence sur lordre de G. Prenons comme au 5.3 un p0-sous-groupe normal A de G distinct de {1}. Soient H et S les images respectivesde H et S dans G = G/A . Daprs lhypothse de rcurrence H est contenu dans unconjugu de S . Quitte remplacer H par un de ses conjugus, on peut donc supposerH S . Il faut maintenant examiner deux cas :

p0 . Alors A S car S contient un p0-Sylow S 0 de G et comme A est normal,A

S 0 (cf. les thormes de Sylow). Linclusion H

S

donne alors H

S .

p0 / . Alors les ordres de A et S sont premiers entre eux et on a A H = {1},et A S = {1}. Les projections H H et S S sont des isomorphismes. SoitH le sous-groupe de S qui se projette sur H ; dans A.H les groupes H et H sont desrelvements de H ; ils sont donc conjugus (voir le 4.4, th. 4.10). 5.5 Un critre de rsolubilit

Thorme 5.10 (Wielandt) Soit G un groupe ni et soient H 1, H 2, H 3 trois sous-groupes de G. Si les H i sont rsolubles et si leurs indices sont premiers entre eux deux deux, alors G est rsoluble.

La dmonstration se fait par rcurrence sur lordre de G. Remarquons tout dabord queG = H 1.H 2. En effet, les indices (G : H 1) et (G : H 2) sont premiers entre eux, donccomme chacun deux divise (G : H 1 H 2), on a (G : H 1 H 2) (G : H 1)(G : H 2) etdaprs le lemme 5.7, on a G = H 1.H 2.On peut supposer que H 1 = {1}. Daprs le lemme 4.11, il existe un nombre premier pet un p-sous-groupe normal A de H 1 diffrent de {1}. On peut supposer que p ne divisepas (G : H 2). Alors H 2 contient un p-Sylow de G , donc un conjugu de A. CommeG = H 1.H 2, tout conjugu de A est de la forme h 12 h

11 Ah1h2 avec h i H i (i = 1 , 2) etcomme A est normal dans H 1, et quun de ses conjugus est contenu dans H 2, tous ses

conjugus sont dans H 2.


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5.6. Dmonstration du th. 5.3 44

Soit A le sous-groupe de G engendr par les conjugus de A. Alors A est normal dansG et contenu dans H 2, donc A est rsoluble. Soit H i limage de H i dans G = G/

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Lectures on finite groups (Serre)

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