Lecture_solid_mechanics_FEM

7/28/2019 Lecture_solid_mechanics_FEM

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A E - 3 0 8 F i n i t e E l e m e n t M e t h o d

P r o b l e m s o n S o l i d M e c h a n i c s

S h a s h a n k A g r a w a l

A m r i t a V i s h w a V i d y a p e e t h a m , E t t i m a d a i , C o i m b a t o r e ( T N )

J a n u a r y 2 7 , 2 0 1 1
http://find/


2/14

A p p l i c a t i o n s o f F E M

W e w i l l b e d e a l i n g w i t h m a i n l y f o l l o w i n g a p p l i c a t i o n s o f F E M

S r u c t u r a l a p p l i c a t i o n s

F l u i d m e c h a n i c s a p p l i c a t i o n s

A p p l i c a t i o n s o n h e a t t r a n s f e r p r o b l e m s
http://find/


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S t r u c t u r a l A p p l i c a t i o n s o f F E M

T y p e s o f s t r u c t u r a l p r o b l e m s

S t a t i c s p r o b l e m s

D y n a m i c s p r o b l e m s

S t r e n g t h o f m a t e r i a l p r o b l e m s o r s o l i d m e c h a n i c s p r o b l e m s .

S t a t i c s a n d d y n a m i c s p r o b l e m s c o n s i d e r t h e e e c t o f e x t e r n a l

f o r c e s o n l y

S t r e n g t h o f m a t e r i a l p r o b l e m s c o n s i d e r e e c t o f i n t e r n a l

s t r e s s e s .

A l l o f t h e s e t y p e s o f p r o b l e m s a r e g o v e r n e d b y a p p l y i n g

N e w t o n s s e c o n d l a w a n d c a n b e s o l v e d u s i n g F E M

I n t h i s p a r t , w e w i l l b e d e a l i n g w i t h s o l i d m e c h a n i c s p r o b l e m s

M e t h o d o f s o l v i n g

D i e r e n t i a l e q u a t i o n a p p r o a c h ( R D X m e t h o d )

R a y l e i g h - R i t z m e t h o d , u s i n g P S T P
http://find/


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S o l i d M e c h a n i c s p r o b l e m s

N a t u r e o f t h e p r o b l e m s

L o a d a p p l i e d t o a n e l a s t i c o r d e f o r m a b l e m a t e r i a l

t o d e t e r m i n e t h e s t r e s s e s , s t r a i n s a n d d e e c t i o n s o f d i e r e n t

p o i n t s i n s i d e t h e b o d y

G e o m e t r i c a l c o n s t r a i n t s s h o u l d b e s a t i s e d

B o u n d a r y c o n d i t i o n s s h o u l d b e s a t i s e d

T h e n a l s o l u t i o n h a s t o b e a c o n t i n u o u s s o l u t i o n

I f d e e c t i o n s a r e e l d v a r i a b l e t h e n

s t r a i n s a r e o b t a i n e d b y t a k i n g t h e d e r i v a t i v e

i . e . h i g h a c c u r a c y w . r . t . r s t a n d s e c o n d ( b e n d i n g m o m e n t )

d e r i v a t i v e s i s n e e d e d

a l s o t h i r d d e r i v a t i v e ( s h e a r f o r c e ) i f n e e d e d
http://find/


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F o r m u l a t i o n o f t h e p r o b l e m

V a r i a b l e s i n v o l v e d

t h r e e d i s p l a c e m e n t s ( u ( x , y , z ) , v ( x , y , z ) , w ( x , y , z ) )

s i x s t r a i n s ( t h r e e n o r m a l s t r a i n s ,

x

, y

, z

) a n d t h r e e s h e a r

s t r a i n s (

x y

,

y z

,

z x

)

s i x s t r e s s e s (

x

,

y

,

z

,

x y

,

y z

,

z x

)

C o n s t a n t s

E , G , . . . . . f o r i s o t r o p i c m a t e r i a l

a l l t h e s t i n e s o r c o m p l i a n c e m a t r i x c o e c i e n t s i f t h e m a t e r i a l

i s n o t i s o t r o p i c

d e n s i t y ,

i f i t i s a d y n a m i c s p r o b l e m o r b o d y f o r c e s a r e

i n v o l v e d
http://find/


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F o r m u l a t i o n o f t h e p r o b l e m

F o r c e s

B o d y f o r c e s , s u r f a c e f o r c e s , c o n c e n t r a t e d f o r c e s

E x t e r n a l l y a p p l i e d m o m e n t s , m o m e n t s d u e t o a b o v e f o r c e s

E q u a t i o n s

a l l t h e e q u a t i o n s a r e o b t a i n e d b y a p p l y i n g N e w t o n ' s s e c o n d

l a w o f m o t i o n

E q u a t i o n s f o r e x t e r n a l e q u i l i b r i u m o f t h e s y s t e m

E q u a t i o n s f o r i n t e r n a l e q u i l i b r i u m o f t h e s y s t e m

B o u n d a r y c o n d i t i o n s

S t r e s s - s t r a i n r e l a t i o n s h i p s ( H o o k e ' s L a w )

C o m p a t i b i l i t y e q u a t i o n s

S o l u t i o n s s h o u l d s a t i s f y a l l t h e a b o v e e q u a t i o n s
http://find/http://goback/


7/14

G o v e r n i n g E q u a t i o n s

P l a n e s t r e s s p r o b l e m

P l a n e s t r a i n p r o b l e m

M o h r ' s c i r c l e

P r i n c i p a l s t r e s s e s a n d p r i n c i p a l s t r a i n s

E q u a t i o n s o f e q u i l i b r i u m ( f o r t w o d i m e n s i o n a l p r o b l e m s )

t h e s e e q u a t i o n s a r e t o b e s a t i s e d t h r o u g h o u t t h e v o l u m e o f

t h e m a t e r i a l

X a n d Y d e n o t e t h e b o d y f o r c e s a c t i n g p e r u n i t v o l u m e

x

x +

x y

y +X

=0

y

y

+

x y

x

+ Y = 0
http://goforward/http://find/


8/14


B o u n d a r y C o n d i t i o n s

X a n d

Y a r e t h e c o m p o n e n t s o f t h e s u r f a c e f o r c e s a c t i n g o n

t h e s u r f a c e o f t h e b o d y i . e . a t t h e b o u n d a r y , t h e n

X

=l

x +m

x y

Y = m

y

+ l x y

l a n d m d e n o t e t h e d i r e c i o n c o s i n e s o f t h e n o r m a l N a t t h e

b o u n d a r y .


9/14


C o m p a t i b i l i t y e q u a t i o n s

A b o v e s e t o f e q u a t i o n s a r e n o t s u c i e n t f o r t h e d e t e r m i n a t i o n

o f t h e s t r e s s e s

i t s a s t a t i c a l l y i n d e t e r m i n a t e p r o b l e m

t o o b t a i n t h e s o l u t i o n , e l a s t i c d e f o r m a t i o n o f t h e b o d y h a s t o

b e c o n s i d e r e d .

x

=

u

x

y

=

v

y

x y

=u

y

+v

x

u a n d v c a n n o t b e t a k e n a r b i t r a r i l y a n d

t h e r e e x i s t s a d e n i t e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n s t r a i n c o m p o n e n t s

a s w e l l

2 x

y

2

+2

y

x

2

=2

x y

x

y

a b o v e e q u a t i o n i s t h e c o n d i t i o n o f c o m p a t i b i l i t y .


10/14

C o m p a t i b i l i t y e q u a t i o n s : p l a n e s t r e s s c a s e

C o n s i d e r i n g t h e c a s e o f p l a n e s t r e s s d i s t r i b u t i o n , w e h a v e

x

=1

E

(x

y

)

y

=1

E

(y

x

)

x y

=1

G

x y

=2 ( 1 + )

E

x y
http://find/


11/14

C o m p a t i b i l i t y e q u a t i o n s : p l a n e s t r e s s c a s e

s u b s t i t u t i n g a b o v e s t r e s s - s t r a i n r e l a t i o n s f o r p l a n e s t r e s s c a s e ,

w e g e t f o l l o w i n g

2

y2

(x

y

) +2

x2

(y

x

) = 2 (1 + )2

x y

x y

C o m b i n i n g t h e s e c o m p a t i b i l i t y e q u a t i o n s w i t h e q u i l i b r i u m

e q u a t i o n s g i v e s u s :

(2

x 2 +2

y 2 )(x + y ) =

(

1

+ )(

X

x +

Y

y )
http://find/


12/14

C o m p a t i b i l i t y e q u a t i o n s : p l a n e s t r a i n c a s e

C o n s i d e r i n g t h e c a s e o f p l a n e s t r a i n

z

= (x

+ y

)

F r o m H o o k e ' s l a w ,

x

=1

E

[(1 2 )

x

(1

+ )y

]

y

=

1

E

[(1

2

)y

(

1

+ )x

]

x y

=2

(1

+ )

E

x y

S u b s t i t u t i n g t h e s e r e l a t i o n s f o r p l a n e s t r a i n c a s e i n t h e

c o m p a t i b i l i t y e q u a t i o n s ,

A n d c o m b i n i n g e q u a t i o n s o f e q u i l i b r i u m a s b e f o r e , w e g e t

f o l l o w i n g :

(2

x

2

+2

y

2

)(x

+ y

) = 1

(1

)

(

X

x

+

Y

y

)


13/14

O v e r a l l s e t o f e q u a t i o n s

F o r a t w o d i m e n s i o n a l p r o b l e m , t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n s n e e d

t o b e s o l v e d :

I f b o d y f o r c e s a r e c o n s t a n t a n d

w e i g h t o f t h e b o d y i s t h e o n l y b o d y f o r c e a c t i n g

x

x +

x y

y =0

y

y

+

x y

x

+ g

=0

( 2

x

2

+ 2

y

2

)(x

+ y

) = 0

T o t h e s e e q u a t i o n s , b o u n d a r y c o n d i t i o n s h a v e t o b e a d d e d .
http://find/


14/14

S t r e s s f u n c t i o n

T h e s e e q u a t i o n s a r e u s u a l l y s o l v e d b y i n t r o d u c i n g a s t r e s s

f u n c t i o n a s f o l l o w s :

x

=2

y

2

g y

y

=2

x 2 g y

x y

= 2

x y

h e n c e , f o r a n y

(x,

y)

, b o t h o f t h e e q u i l i b r i u m c o n d i t i o n s a r e

s a t i s e d

s u b s t i t u t i n g t h e s e r e l a t i o n s i n t o t h e c o m p a t i b i l i t y e q u a t i o n s ,

g i v e s u s t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n

4

x

4

+2

4

x

2 y

2

+4

y

4

=0

H e n c e w h e n b o d y f o r c e i s t h e o n l y f o r c e a c t i n g , s o l u t i o n o f

a b o v e e q u a t i o n w i l l g i v e a l l t h e s t r e s s e s , s t r a i n s a n d d e e c t i o n s

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