Les bifurcations de l’application logistique

Seigneur Agathe sous la direction de Rechtman Ana

Septembre 2012

1

Table des matieres

Introduction 3

1 Historique de l’application logistique 4

2 Conjugaison topologique 62.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Points fixes et orbites periodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3 Conjugaison topologique de ga et fc . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Bifurcations 103.1 Definition et proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2 Bifurcations et points fixes de fc . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.3 Bifurcations et points fixes de ga . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4 Classification des bifurcations 244.1 Bifurcation selle-nœud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.2 Bifurcation par doublement de la periode . . . . . . . . . . . . . 254.3 Diagramme de bifurcation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5 Le point et la constante de Feigenbaum 295.1 Points fixes super attractifs et point de Feigenbaum . . . . . . . 295.2 La constante de Feigenbaum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.3 Calcul de la constante de Feigenbaum . . . . . . . . . . . . . . . 34

6 Au-dela du point de Feigenbaum 376.1 Adresses du diagramme de bifurcation et comportement de gs∞ . 376.2 Le diagramme de bifurcation au point de Feigenbaum . . . . . . 446.3 L’auto-similarite du diagramme de bifurcation . . . . . . . . . . . 45

Bibliographie 49

2

Introduction

L’application logistique est l’application ga qui a x associe ax(1 − x) aveca ∈ [0, 4]. Elle est definie sur l’intervalle [0, 1] et prend ses valeurs dans [0, 1].L’ensemble de depart et l’ensemble d’arrivee sont identiques, l’application lo-gistique peut donc etre iteree, c’est-a-dire etre appliquee plusieurs fois de suite.Cela permet de definir par recurrence la suite (un)N definie par u0 ∈ [0, 1] etun+1 = ga(un). Cette suite permet entre autres de prevoir l’evolution des popula-tions. Nous developperons, dans une premiere partie, l’utilisation de l’applicationlogistique ainsi que son historique.

Cette application est un systeme dynamique dont la particularite est dedependre d’un parametre a. C’est donc tout naturellement que nous etudions gaen fonction de a. Afin de simplifier cette etude, il nous semble utile d’introduireune fonction equivalente a ga, ce qui nous amenera a aborder, dans une deuxiemepartie, la notion de conjugaison topologique.

Nous remarquons ensuite que pour des valeurs de a particulieres , l’applicationlogistique change de dynamique. La recherche de ces valeurs appelees bifurcationsconstituera la troisieme partie de notre travail. Leur classification et la definitiondu diagramme de bifurcations seront l’objet de la reflexion suivante.

L’etude de ce diagramme dans la cinquieme section, nous fera decouvrir alorsdeux nouveaux objets mathematiques : le point et la constante de Feigenbaum.

Enfin, nous terminerons sur l’etude du diagramme de bifurcation au point deFeigenbaum ainsi que sur l’auto-similarite de ce diagramme.

Avant toutes choses, afin d’eviter toute ambiguıte dans la notation, il estnecessaire de preciser que fn represente la n-ieme iteree d’une application f .

3

1 Historique de l’application logistique

L’application logistique ga = ax(1−x) a pour principal interet la modelisationde l’evolution des populations. Elle a ete proposee en 1838 par Pierre FrancoisVerhulst, mathematicien belge (1804-1849), afin de modeliser de maniere nonexponentielle l’evolution des populations. Ce nouveau modele vient en reaction aumodele de Thomas Malthus (economiste britannique 1766-1834) qui prevoit unecroissance exponentielle de la population. En effet, pour Malthus, chaque annee,la population augmente dans un rapport fixe : un+1 = run ou un represente lapopulation de l’annee n et r le taux de croissance de la population. La fonctionassociee a cette suite est : f(x) = rx. Ce modele exponentiel prevoit doncune evolution infinie de la population et par consequent, correspond mal a larealite. Effectivement, aucun frein a l’evolution (penurie de nourriture, maladie)n’est pris en compte. La correction du modele de Malthus s’impose alors enprenant en compte ces freins. C’est ainsi que le modele de Verhulst se base sur lanourriture disponible. Cela introduit une population maximum P qui est atteintelorsque toute la nourriture est epuisee. Si une annee, la population est egalea P , l’annee suivante la population est nulle. Cette situation se modelise par :un+1 = run(P − un) ou la fonction associee est g(x) = rx(P − x). Le facteur rxrepresente l’augmentation de la population tandis que (P − x) correspond a sadiminution due a des facteurs exterieurs. Cette derniere expression peut etresimplifiee. Elle s’ecrit alors g(x) = rxP (1− x

P ). En posant y = xP , on obtient :

g(y) = ryP 2(1− y) = ay(1− y),

avec a = rP 2. La population doit etre ainsi assimilee a un nombre comprisentre 0 et 1, ou 0 correspond a son extinction et 1 a son maximum. De plus, lapopulation maximale est egale a g( 1

2 ) = a4 . Ainis, 0 ≤ a

4 ≤ 1, soit 0 ≤ a ≤ 4.L’application g definie par

g(y) = ay(1− y) a ∈ [0, 4]

est l’application logistique qui prend ses valeurs dans l’intervalle [0, 1] et qui esta valeur dans [0, 1].

Apres sa decouverte par Pierre Francois Verhulst, l’application logistique aete oubliee jusqu’au debut du XX-ieme siecle. Des mathematiciens biologistes,dans les annees 1920, travaillent sur l’evolution de differentes populations ani-males et constatent que les populations evoluent differemment d’une espece al’autre : certaines se stabilisent tandis que d’autres suivent des cycles regulierset enfin d’autres fluctuent de maniere aleatoire. De quoi depend cette evolution ?L’application logistique reapparait alors pour tenter de repondre a cette question.Toujours dans le meme but, dans les annees 1970, James Yorke (mathematicienamericain) et Robert May (physicien australien), tous deux ecologistes, vonttrouver la reponse. Pour eux, l’evolution de chaque population animale se calculea l’aide de l’application logistique g(y) = ay(1− y) et depend de la valeur de a.En effet, pour certaines valeurs de a, le comportement de l’application change de

4

maniere significative. Plus tard, ces parametres sont appeles bifurcations. Pourplus de clarte, May compile ses resultats dans un graphique, c’est le debut dudiagramme de bifurcation. Il remarque que jusqu’a un certain point, la populationconverge vers une valeur, puis deux, puis quatre, etc. Au dela de ce point, cecomportement previsible s’arrete, c’est le chaos.

Par ailleurs, a la meme periode, Mitchell Feigenbaum, physicien, s’interesse ason tour a l’application logistique dans le cadre de recherche sur la turbulence.Dans un premier temps, il fait les memes constatations que Robert May : ilexiste des valeurs de a pour lesquelles le comportement de l’application logistiquechange. Puis durant l’ete 1975, il assiste a une conference sur la transition entrela periodicite et le chaos qui le pousse a etudier l’application logistique sous unangle different. Il admet les bifurcations et il se concentre sur la distance entredeux bifurcations successives. Il remarque alors que le rapport de deux distancessuccessives converge. Il reprend son etude sur d’autres applications dependantd’un parametre et constate que le rapport entre deux periodes converge toujoursvers le meme nombre. C’est la decouverte de la constante de Feigenbaum.

Finalement, dans les annees 1980, la theorie du chaos et la constante de Feigen-baum se retrouvent dans des systemes physiques notamment en hydrodynamique,en electronique, en acoustique.

5

2 Conjugaison topologique

Afin d’analyser l’application logistique ga, il nous semble utile d’introduireune fonction dont l’etude est plus simple. Dans ce but, avant toute chose, il estnecessaire de definir la notion de conjugaison topologique.

2.1 Definition

Definition 2.1 Soient X et Y deux espaces topologiques et soient f : X → Xet g : Y → Y deux applications continues. Les applications f et g sont topo-logiquement conjuguees s’il existe un homeomorphisme Φ : Y → X tel quef ◦ Φ = Φ ◦ g

L’homeomorphisme Φ peut etre assimile a un changement de variables. Lesapplications f et g jouent les roles de deux matrices semblables A et B. Toutcomme dans le cas des matrices, les applications f et g ont les memes proprietesdynamiques, enoncees par la suite.

Deux applications topologiquement conjuguees ont donc le meme compor-tement. Elles ont, entres autres, le meme nombre de points fixes et d’orbitesperiodiques.

2.2 Points fixes et orbites periodiques

Definition 2.2 Un point fixe d’une application f est un point invariant par f ,c’est-a-dire un point p tel que f(p) = p.

L’ensemble des points fixes est compose, entre autres, de points fixes attractifset de points fixes repulsifs.

Definition 2.3 Un point fixe attractif (ou stable) de f est un point fixe p de ftel qu’il existe un voisinage de p tel que pour tout u0 dans ce voisinage la suite(un)N, definie par u0 et un+1 = f(un), converge vers p.

Proposition 2.4 Soient I un intervalle et f : I → I une application de classeC1 admettant un point fixe p. Si |f ′(p)| < 1, alors p est attractif.

Demonstration. Par hypothese, nous avons :

|f′(p)| = lim

u0→p|f(p)− f(u0)

p− u0| < 1.

Pour u0 suffisamment proche de p, on a |f(p)− f(u0)| < |p− u0|.Comme p est fixe, nous obtenons |p− f(u0)| < |p− u0|.Pour un u0 proche de p, f(u0) est encore plus proche de p. En repetant cetargument, f2(u0) sera encore plus proche de p, etc. Ainsi, la suite (un)N, definiepar u0 et un+1 = f(un), converge vers p. Le point p est donc attractif.

�Au contraire, un point fixe peut etre repulsif.

6

Definition 2.5 Un point fixe p de f est repulsif (ou instable) si :

∀x0 ∃ε tel que si |p− x0| < ε alors |p− f(x0)| >> 0 .

Proposition 2.6 Soit f : I → I une application C1 admettant un point fixe p.Si |f ′(p)| > 1, alors p est repulsif.

La demonstration de cette propriete est une adaptation evidente de celle de laproposition 2.4.

Remarque 2.7 Si |f ′ | = 1, nous ne pouvons pas conclure quant a la nature dupoint fixe. De plus, un point fixe ni attractif, ni repulsif est dit neutre.

Pour resumer, un point fixe p est attractif si la suite (fn(x))N , x dans unvoisinage de p, converge vers p tandis qu’il est repulsif si cette suite s’en eloigne.Cependant, on remarque que la suite (fn(x))N ne converge pas necessairementvers un seul point mais peut osciller entre deux ou plusieurs valeurs. On parlealors d’orbites periodiques.

Definition 2.8 Lorsque la suite (fn(x))N oscille entre n valeurs, on dit quef a une orbite periodique de periode n. Cela signifie que la suite de pointsu0, u1, ..., un−1, definie par tous les ui sont differents et f(ui) = ui+1 pouri ∈ 0, ..., n− 1 avec les indices pris modulo n, verifie fn(ui) = ui,∀i.

Ainsi, les n elements d’une orbite de periode n correspondent aux pointsfixes ”propres” de fn, c’est-a-dire les points fixes qui ne sont fixes que pour fn.Comme les points fixes peuvent etre attractifs ou repulsifs, une orbite periodiqueest soit attractive soit repulsive. Si ui, i = 0, 1, ..., n sont les n points fixes defn et si |(fn)′(ui)| < 1,∀i, alors f a une orbite periodique attractive de perioden. En revanche, si |(fn)′(ui)| > 1, ∀i, l’orbite periodique est repulsive. Nous nepouvons pas conclure si |(fn)′(ui)| = 1, ∀i.

2.3 Conjugaison topologique de ga et fc

Nous introduisons desormais l’application fc definie par

fc :[−a

2,a

2

]→

[−a

2,a

2

]x 7→ x2 + c,

avec c ∈ R qui est topologiquement conjuguee a l’application ga definie par

ga : [0, 1] → [0, 1]

x 7→ ax(1− x),

avec a ∈ [0, 4]. Cette nouvelle application va ainsi nous permettre une etude plussimple par la suite.

7

Proposition 2.9 Considerons pour un c ∈ R donne, l’application fc definiepar :

fc :[−a

2,a

2

]→

[−a

2,a

2

]x 7→ x2 + c

Les applications ga et fc sont topologiquement conjuguees par l’homeomorphismeΦ defini par :

Φ : [0, 1] →[−a

2,a

2

]x 7→ a

2(1− 2x).

Les parametres a et c sont lies par : c = a2 (1− a

2 ).

Demonstration. Soit Φ : [0, 1]→ I ou I est un intervalle.D’apres la definition de conjugaison topologique, et comme ga et fc sont conti-nues, nous cherchons Φ : [0, 1]→ I tel que fc ◦ Φ = Φ ◦ ga.Posons Φ(x) = a

2 (1− 2x).

fc ◦ Φ(x) = fc

(a2

(1− 2x))

=(a

2(1− 2x)

)2+ c

=a2

4

(1− 4x+ 4x2

)+ c

=a2

4− a2x+ a2x2 + c;

Φ ◦ ga(x) = Φ (ax(1− x))

=a

2(1− 2ax(1− x))

=a

2− a2x+ a2x2;

D’ou

a2

4− a2x+ a2x2 + c =

a

2− a2x+ a2x2

c =a

2− a2

4

c =a

2

(1− a

2

).

Ainsi, pour c = a2 (1 − a

2 ), l’homeomorphisme Φ defini de [0, 1] dans I par

8

x 7→ a2 (1− 2x) conjugue les applications fc et ga.

De plus, I = Φ([0, 1]). Comme Φ(0) = a2 et Φ(1) = −a2 , nous obtenons

I = [−a2 ,a2 ].

�

Remarque 2.10 L’application Φ est non seulement un homeomorphisme maisc’est aussi un diffeomorphisme.

Les comportements de ga et fc sont ainsi identiques ce que nous decrivonsdans les propositions suivantes.

Proposition 2.11 Si x est un point fixe de ga, alors Φ(x) est un point fixede fc.

Demonstration. Comme fc et ga sont topologiquement conjuguees nous avons

fc ◦ Φ(x) = Φ ◦ ga(x).

Comme x est fixe pour ga, nous obtenons :

fc ◦ Φ(x) = Φ(x).

Ainsi, Φ(x) est fixe pour fc.�

Proposition 2.12 Les points fixes de ga et fc sont de meme nature.

Demonstration. Soit x un point fixe de ga. D’apres la proposition precedente,Φ(x) est un point fixe de fc. Nous avons

fc ◦ Φ(x) = Φ ◦ ga(x).

Comme nous l’avons remarque precedemment, Φ est un diffeomorphisme ce quinous permet d’obtenir :

Φ′(x).f ′c(Φ(x)) = g′a(x).Φ′(ga(x)).

Comme x est fixe pour ga nous obtenons :

Φ′(x).f ′c(Φ(x)) = g′a(x).Φ′(x)

f ′c(Φ(x)) = g′a(x).

Les propositions 2.4 et 2.6 permettent de conclure que Φ(x) et x sont de memenature.

�Ces deux propositions se generalisent evidemment et facilement. Deux appli-

cations topologiquement conjuguees ont le meme nombre de points fixes et cespoints fixes sont de meme nature.

9

3 Bifurcations

Desormais, nous ne considerons plus ga et fc comme de simples applicationsmais comme des familles d’applications dependant d’un parametre. Les variationsde ce dernier vont entraıner une modification significative de la dynamique desapplications, ce qui donne naissance a des bifurcations. Ici, nous nous interessonsaux parametres a ∈ [0, 4] et c ∈ [−2, 14 ].

3.1 Definition et proprietes

Definition 3.1 Une famille d’applications Fc : X → X dependant d’un pa-rametre c admet une bifurcation en c0 si pour tout ε > 0, il existe c appartenanta (c0 − ε, c0 + ε) tel que Fc et Fc0 ne sont pas topologiquement conjuguees.

En d’autres termes, une bifurcation apparait lorsqu’une legere modification de lavaleur du parametre entraıne un changement du comportement de l’application.

Proposition 3.2 Soient X un espace topologique et Fc : X → X une familled’application dependant d’un parametre.L’ensemble B des valeurs des bifurcations de Fc est un ferme.

Demonstration. Afin de montrer que B est un ferme, montrons que soncomplementaire est un ouvert.BC= { ensemble des valeurs c pour lesquelles Fc n’ a pas de bifurcations }Soit c ∈ BC , d’apres la definition d’une bifurcation, il existe un voisinage ouvertV de c ou Fc n’a pas de bifurcations. Pour tout c de BC , V est donc contenudans BC . Ainsi, BC est un ouvert.

�Deux applications topologiquement conjuguees ont, comme deja evoque dans

la partie precedente, le meme nombre de points fixes et d’orbites periodiques. Deplus, la nature de ces points et de ces orbites est identique. Ainsi, la naissance etle changement de nature d’un point fixe ou d’une orbite periodique engendrentune bifurcation.

Etudions maintenant le critere d’apparition d’une bifurcation pour l’appli-cation fc definie precedemment. Ce critere se generalise a d’autres famillesd’applications dependant d’un parametre, mais nous nous contentons de ledemontrer pour fc.

Proposition 3.3 L’application fc a une bifurcation en c0 si et seulement si ilexiste un point fixe p de fc0 tel que f ′c0(p) = ±1.

Afin de demontrer cette proposition, nous avons besoin d’introduire la norme C1

sur l’espace des fonctions continues et differentiables.Soient I un intervalle ferme et f : I → I une fonction continue. Comme f estbornee, la norme infinie est une norme naturelle :

||f ||L∞(I) := sup{|f(x)|, x ∈ I} .

10

Supposons desormais que f est egalement differentiable. La norme infinie n’estplus adaptee. En effet, une serie de fonctions continues et differentiables peut, aveccette norme, converger vers une fonction non differentiable. Nous introduisonsainsi la norme C1 :

||f ||C1(I) := ||f ||L∞(I) + ||f′||L∞(I) .

Nous pouvons maintenant demontrer la proposition 3.3.

Demonstration. Si fc a une bifurcation en c0, alors il existe un point fixe pde fc0 tel que f

′

c0(p) = ±1.Nous allons montrer cette implication par contraposee : Si tout point fixe p defc0 est tel que f

′

c0(p) 6= ±1 ; alors c0 n’est pas une bifurcation.

Soit p tel que fc0(p) = p et f′

c0(p) 6= ±1.Soit c proche de c0, c ∈ [c0 − ε, c0 + ε] pour ε > 0.Nous calculons dans un premier temps, la norme C1 de l’application fc0 − fc.

fc0(x)− fc(x) = x2 + c0 − x2 − c = c0 − c

f′

c0(x)− f′

c(x) = 2x− 2x = 0

On a donc :

||fc0 − fc||C1(I) = ||fc0 − fc||L∞(I) + ||f′

c0 − f′

c||L∞(I) = |c0 − c|.

Or, c est proche de c0. Donc ||fc0 − fc||C1 < ε. Les applications fc0 et fc sont C1

proches. Cela signifie que non seulement fc0 et fc sont proches, mais que leursderivees le sont egalement.Comme fc0 et fc sont C1 proches et que f ′c0 6= ±1 est une condition ouverte, ilexiste q proche de p tel que f ′c(q) et f ′c0(p) soient proches. Les applications f ′c etf ′c0ont donc le meme comportement pour les points fixes : f ′c(q) 6= ±1. Il reste amontrer que fc et fc0 ont le meme comportement, c’est-a-dire que fc(q) = q.Comme q est proche de p, montrer qu’il existe q tel que fc(q) = q revient amontrer qu’il existe x suffisamment petit tel que fc(p − x) = p − x. Or, nousavons :

fc0(p)− fc(p− x) = p2 + c0 − (p− x)2 − c= p2 + c0 − p2 + 2px− x2 − c= c0 + 2px− x2 − c.

Nous cherchons x tel que fc0(p)− fc(p− x) = p− (p− x) = x. Nous obtenonsalors l’equation suivante :

c0 + 2px− x2 − c = x

−x2 + (2p− 1)x+ c0 − c = 0.

∆ = (2p− 1)2 + 4(c0 − c)

11

Comme c0 est proche de c, ∆ est positif. Ainsi, les solutions sont

x =(1− 2p)±

√(2p− 1)2 + 4(c0 − c)−2

=2p− 1±

√4p2 − 4p+ 1 + 4c0 − 4c

2.

Or, c est proche de c0 , donc 4c est proche de 4c0 et 4c0 − 4c est proche de 0.

Nous obtenons x ≈ 2p−1±√

(2p−1)22 , x = 0 ou x = 2p− 1.

En considerant x = 0, nous avons trouve un x suffisamment petit tel quefc0(p)− fc(p− x) = x ; soit fc(p− x) = p− x.Nous avons ainsi demontre que pour tout point fixe p de fc0 tel que f ′c0(p) 6= ±1,et pour tout c dans (c0 − ε, c0 + ε) , fc a le meme comportement vis a vis despoints fixes que fc0 . Les applications fc et fc0 sont topologiquement conjuguees,c0 n’est donc pas une bifurcation.

Il nous reste a demontrer l’implication inverse de la proposition 3.3 : s’ilexiste un point fixe p de fc0 tel que f ′c0(p) = ±1, alors c0 est une bifurcation.Soit p tel que fc0(p) = p et f ′c0(p) = ±1.Soit c ∈ [c0 − ε, c0 + ε]. Comme deja montre precedemment, fc et fc0 sont C1

proches. Il existe donc q tel que fc(q) = q. De meme, f ′c et f ′c0 sont proches. Mais,comme f ′c0 = ±1 est une condition fermee, f ′c0(q) sera proche de 1 ou de −1 maisne sera pas egale a ces deux valeurs (En effet, f ′c(p) = 2p = ±1 et f ′c(q) = 2q, qn’etant pas egal a p (q = p− x, x 6= 0), f ′c(q) 6= ±1). Ces deux applications ontdonc des comportements differents, elles ne sont pas topologiquement conjuguees.L’application fc admet donc une bifurcation en c0.

�Nous pouvons desormais nous interesser aux differentes bifurcations de fc.

3.2 Bifurcations et points fixes de fc

Proposition 3.4 L’application fc admet une premiere bifurcation en 14 et une

deuxieme en − 34 .

Demonstration. Nous allons tout d’abord chercher les points fixes de fc.

fc(x) = x2 + c = x

x2 − x+ c = 0

∆ = 1− 4c

Si c > 14 , il n’y a pas de solutions, donc pas de points fixes.

Si c = 14 , il y a une solution, donc un point fixe : p = 1

2 .

Si c < 14 , il y a deux solutions, donc deux points fixes :

p1 =1−√

1− 4c

2

12

et

p2 =1 +√

1− 4c

2.

Ainsi, pour c ∈ ( 14 − ε,14 + ε), f 1

4et fc n’ont pas le meme nombre de points fixes.

Elles ne sont pas topologiquement conjuguees. Il y a donc une bifurcation en 14 .

Regardons la stabilite des points fixes pour c < 14 .

f′

c(x) = 2x

|f′

c(p2)| = |1 +√

1− 4c| > 1

Le point fixe p2 est repulsif pour toutes les valeurs de c < 14 .

Par ailleurs, p1 est un point fixe attractif si :

|f′

c(p1)| = |1−√

1− 4c| < 1

−1 < 1−√

1− 4c < 1

−2 < −√

1− 4c < 0

4 > 1− 4c > 0

3 > −4c > −1

−3

4< c <

1

4

Le point fixe p1 est alors attractif pour − 34 < c < 1

4 , il est repulsif pour c < − 34 .

Le point fixe p1 change de nature en − 34 , il y a donc une bifurcation en c = − 3

4 .Ceci est d’autant plus verifie par le critere precedent. En effet, f ′− 3

4

(p1) = −1.

�

Decrivons maintenant le comportement pour − 34 < c < 1

4 de la suite (un)Ndefinie par un+1 = fc(un) et u0 ∈ R.

Proposition 3.5 [Dynamique de fc pour − 34 < c < 1

4 ]

1. Les points p1 et p2 sont fixes.

2. Le point −p2 est envoye sur p2.Considerons maintenant la suite (un)N definie par un+1 = fc(un) et u0 ∈ R,et l’intervalle I = [−p2, p2].

3. Si u0 n’appartient pas a I, la suite (un)N diverge.

4. Si u0 est a l’interieur de I, la suite (un)N converge vers p1.

13

Illustrons cette propriete par un exemple. Nous considerons l’application fcpour c = − 1

4 . Ainsi, p1 = 1−√2

2 ≈ −0, 2 et p2 = 1+√2

2 ≈ 1, 2.

Figure 1 – Points fixes de l’application f− 14

14

Figure 2 – Divergence de la suite (un)N, un+1 = f− 14(un) et u0 = 1, 3

Figure 3 – Convergence de la suite (un)N, un+1 = f− 14(un) et u0 = 0, 4

15

Sur ces trois figures, est representee l’application fc pour c = − 14 . Les points

fixes de cette application correspondent aux points d’intersection de la bissectricey = x avec le graphe de fc. La suite (un)N, precedemment definie, est construitepar recurrence a l’aide de la bissectrice y = x.

La figure 1 illustre bien les points 1 et 2 de la proposition, la figure 2 le point3 et la figure 3 le point 4.

Demonstration. 1. D’apres la demonstration de la proposition, 3.4, nousavons :

fc(p2) = p2,

fc(p1) = p1.

2.fc(−p2) = (−p2)2 + c = p22 + c = fc(p2) = p2

3. Nous voulons montrer que si |x| > p2, fnc (x)→∞.Si

x < −p2Sur ]−∞, 0], fc est decroissante, d’ou

fc(x) > fc(−p2)

fc(x) > p2.

Il suffit donc de regarder le cas x > p2.

fnc (x)→∞ ⇔ fc(x)− p2 > x− p2

⇔ fc(x)− p2x− p2

> 1

⇔ x2 − p22x− p2

> 1

⇔ x+ p2 > 1

Or, on a : x > p2 > 1. Donc x+ p2 > 1. Des que |x| > p2, fnc (x)→∞.

4. Nous voulons montrer que si x ∈ (−p2, p2), alors fnc (x)→ p1. Ceci est prouvedes lors que |fc(x)− p1| < |x− p1| et que fc(x) ∈ (−p2, p2). Or, nous avons :

|fc(x)− p1| < |x− p1|∣∣∣fc(x)− p1x− p1

∣∣∣ < 1∣∣∣x2 − p21x− p1

∣∣∣ < 1

|x+ p1| < 1

16

−1 < x+ p1 < 1 .

L’inegalite de gauche donne :

p3 =−3 +

√1− 4c

2= −1− p1 < x ,

et celle de droite donne :x < 1− p1 = p2 .

Remarquons tout d’abord, que p3 est negatif pour − 34 < c < 1

4 . En effet,

−3

4< c

3 > −4c

4 > 1− 4c

2 >√

1− 4c

−1 > −3 +√

1− 4c

0 > −1

2>−3 +

√1− 4c

2= p3.

Il faut ensuite distinguer deux cas.Le premier est pour c ≤ 0. Ainsi, −p2 ≤ p3.Soit x ∈ (−p2, p3] :

−p2 < x ≤ p3Comme l’application fc est decroissante sur ]−∞, 0], nous obtenons :

p22 + c > x2 + c ≥ p23 + c.

De plus, p2 est un point fixe de fc et p23 + c ≥ p3. D’ou,

p3 ≤ fc(x) < p2 , fc(x) ∈ [p3, p2).

En reiterant cet argument, pour les iterations de f suivantes, nous obtenons quefnc (x) = fn−1c (fc(x)) converge vers p1 pour x ∈ (−p2, p2).Considerons le deuxieme cas : c > 0, donc p3 < −p2.Si x ∈ (p3,−p2], alors

p23 + c ≥ x2 + c > p2,

donc,fc(x) > p2.

Comme demontre dans le point 3, fnc (x) diverge. Le cas x ∈ [p3,−p2) pour c > 0est donc a exclure.En revanche, si x ∈ (−p2, p2), alors fnc (x) converge vers p1

�

Proposition 3.6 L’application fc a une troisieme bifurcation en − 54 .

17

Demonstration. Le point fixe p1 change de stabilite en − 34 . Or, le changement

de stabilite d’un point fixe donne naissance a une orbite periodique. Nous nousinteressons donc aux points fixes de f2c pour c < − 3

4 .

f2c (x) = (x2 + c)2 + c

(x2 + c)2 + c = x

x4 + 2cx2 − x+ c2 + c = 0 (1)

Or, p1 et p2 sont solutions car ils sont fixes pour fc et donc aussi pour f2c .De plus, nous avons :

(x− p1)(x− p2) = x2 − x+ c .

Nous pouvons ainsi factoriser l’expression 1 :

x4 + 2cx2 − x+ c2 + c = (x2 − x+ c)(x2 + x+ c+ 1) .

Chercher les points fixes de f2c revient a resoudre x2 + x+ c+ 1 = 0.Le discriminant de cette equation est :

∆ = −3− 4c .

Pour c < − 34 , il y a donc deux solutions :

q1 =−1−

√−3− 4c

2

et

q2 =−1 +

√−3− 4c

2.

Les points q1 et q2 sont fixes pour f2c . L’application fc a une orbite periodiquede periode 2 pour c < − 3

4 .Afin de chercher la troisieme bifurcation de fc, nous allons utiliser le critere dela proposition 3.3.

(f2c )′(q1) = f

′

c(q1)f′

c(fc(q1))

(fc)(q1) =

(−1−

√−3− 4c

2

)2

+ c

=1 + 2

√−3− 4c− 3− 4c

4+ c

=−2 + 2

√−3− 4c

4

=−1 +

√−3− 4c

2= q2.

18

D’ou,

(f2c )′(q1) = f

′

c(q1)f′

c(q2)

= (−1−√−3− 4c)(−1 +

√−3− 4c)

= 4 + 4c.

De meme, (f2c )′(q2) = 4 + 4c. Ainsi, nous avons :

(f2c )′(q1) = (f2c )

′(q2) = 4 + 4c.

Or, d’apres la proposition 3.3, c est un bifurcation si et seulement si 4 + 4c = −1,soit c = − 5

4 . Il y a donc une bifurcation en − 54 .

�

Comme pour les bifurcations precedentes, nous decrivons dans la propositionsuivante, que nous ne demontrons pas, la dynamique de fc pour − 5

4 < c < − 34 .

Proposition 3.7 [Dynamique de fc pour − 54 < c < − 3

4 ]

1. Les points p1 et p2 sont fixes.

2. Le point −p2 est envoye sur p2, q1 sur q2 et q2 sur q1. L’application fc aune orbite periodique de periode 2.Considerons maintenant la suite (un)N definie par un+1 = fc(un) et u0 ∈ R,et l’intervalle I = [−p2, p2].

3. Si u0 est a l’interieur de I, (un)N tend vers l’orbite periodique de periode 2.

4. Si u0 n’appartient pas a I, (un)N diverge.

Les figures ci-apres illustrent les points 3 et 4 de cette proposition et

representent l’application fc pour c = −1. Ainsi, p1 = 1−√5

2 ≈ −0, 6, p2 =1+√5

2 ≈ 1, 6, q1 = −1 et q2 = 0.

19

Figure 4 – Convergence vers une orbite de periode 2 de la suite (un)N, un+1 =f− 5

2(un) et u0 = 0, 6

Figure 5 – Divergence de la suite (un)N, un+1 = f− 52(un) et u0 = −1, 7

La figure 4 montre que la suite (un)N oscille entre q1 et q2 pour u0 = 0, 6 dans Itandis que la figure 5 montre que (un)N diverge pour u0 = −1, 7 a l’exterieur de I.

Nous connaissons desormais les premieres bifurcations de fc. Comme fc etga sont topologiquement conjuguees, nous pouvons facilement en deduire lesbifurcations de l’application logistique.

20

3.3 Bifurcations et points fixes de ga

Les applications ga et fc etant conjuguees par le diffeomorphisme Φ definidans la partie precedente, nous retrouvons les bifurcations de ga grace a cellesde fc et a la relation c = a

2 (1− a2 ).

L’application fc a une premiere bifurcation en 14 , cherchons alors la premiere

bifurcation de ga.

c =1

4

a

2

(1− a

2

)=

1

4

1− 2a+ a2 = 0

(a− 1)2 = 0

a = 1

La premiere bifurcation de ga est donc 1.

De meme, on obtient :

Bifurcations fc ga

Premiere 14 1

Deuxieme − 34 3

Troisieme − 54 3,44

De plus, les comportements de ga et fc sont identiques. Pour − 34 < c < 1

4 ,les iterees de l’application fc commencant dans l’intervalle [−p2, p2] convergentvers p1. Or, [−p2, p2] = [−a2 ,

a2 ] et fc et ga sont topologiquement conjuguees sur

[−a2 ,a2 ]. Donc, pour 1 < a < 3, les iterees de ga convergent vers un point fixe.

De meme, pour − 54 < c < − 3

4 et donc pour 3 < a < 3, 44, les iterees de ga sontproches d’une orbite de periode 2.

Notons que 0 et pa = a−1a sont les points fixes de ga. A la difference de fc,

ga a toujours un point fixe, c’est 0.

Regardons graphiquement le comportement de ga. Tout d’abord, pour a =1, 5 ; c’est-a-dire 1 < a < 3, la suite (gna (x)), x dans le voisinage de 0,1, convergevers le point fixe.

21

Figure 6 – Convergence de la suite (un)N, un+1 = g1,5(un) et u0 = 0, 1

Puis, pour a = 3, 2, c’est-a-dire 3 < a < 3, 44, la suite (gna (x)), x dansle voisinage de 0,1, oscille entre deux valeurs, ga a une orbite periodique deperiode 2.

Figure 7 – Convergence vers une orbite de periode 2 de la suite (un)N, un+1 =g3,2(un) et u0 = 0, 1

22

Il existe cependant une legere difference pour ga. En effet, il y a deux manieresde converger vers le point fixe. Placons nous dans le cas 1 < a < 3. Tout d’abord,les points fixes sont 0 (repulsif) et pa = a−1

a (attractif). On distingue alors deuxcomportements. Si la bissectrice y = x coupe la parabole ga avant son sommet,les iterations convergent en escalier vers pa(voir figure 8). En revanche, si ellecoupe la parabole apres son sommet, les iterations convergent en spirale vers pa(voir figure 9).

Figure 8 – Convergence en escalier

Figure 9 – Convergence en spirale

23

4 Classification des bifurcations

Les applications ga et fc possedent plusieurs bifurcations, mais elles ne sontpas toutes de meme nature. On en distingue deux types, les bifurcations selle-nœud qui donnent naissance a des points fixes et les bifurcations par doublementde la periode qui font apparaitre des orbites periodiques.

4.1 Bifurcation selle-nœud

Definition 4.1 Une application Fc dependant d’un parametre c admet unebifurcation selle-nœud (ou bifurcation tangente) en c0 s’il existe un intervalleouvert I ⊂ R tel que pour tout ε > 0 :

1. l’application Fc0−ε n’a pas de points fixes dans I.

2. l’application Fc0 a un seul point fixe dans I.

3. l’application Fc0+ε a deux points fixes dans I, l’un est attractif tandis quel’autre est repulsif.

Remarque 4.2 – Intervertir c0 − ε et c0 + ε ne modifie pas la definition.– Une bifurcation selle-nœud est une bifurcation locale puisqu’elle est definie

uniquement sur un petit intervalle I.– Pour c = c0 le graphe de Fc0 est tangent a la bissectrice y = x, d’ou son

appellation bifurcation tangente.

Une bifurcation selle-nœud est representee par la figure suivante qui montrebien la creation des points fixes.

Figure 10 – Bifurcation selle-nœud de Fc

Proposition 4.3 L’application Fc admet une bifurcation selle-nœud en c0 si etseulement si il existe un point fixe p de Fc0 tel que F ′c0(p) = 1.

Demonstration. L’application Fc admet une bifurcation selle-nœud en c0 siet seulement si Fc0−ε n’a pas de point fixe, Fc0 a un unique point fixe et Fc0+εa deux points fixes. Ceci est illustre par la figure 10 qui justifie bien qu’en c0,l’application Fc a un unique point fixe p tel que F ′c0(p) = 1.

�Une question evidente se pose alors : quelles sont les bifurcations selle-noeud

de fc et ga ?

24

Proposition 4.4 L’application fc (respectivement ga) a une bifurcation selle-noeud en 1

4 (respectivement en 1). C’est l’unique bifurcation de ce type.

Demonstration. On a :f ′c(x) = 2x .

Doncf ′1

4(x) = 2x .

De plus, pour c = 14 , le point fixe est 1

2 . D’ou, f ′14

( 12 ) = 1.

D’apres la proposition 4.3, 14 est une bifurcation selle-nœud.

En fait, nous avons deja demontre cette propriete dans la demonstration dela propriete 3.4. En effet, f 1

4−εn’ a pas de points fixes, f 1

4a un point fixe et

f 14+ε

a deux points fixes.

Montrons que cette bifurcation est l’unique bifurcation selle-nœud.Soit x un point fixe de fc. L’application fc a une bifurcation selle-nœud enc0 si f ′c0(x) = 1. D’ou x = 1

2 . Le point 12 est donc fixe pour fc0 , c’est-a-dire :(

12

)2+ c0 = 1

2 . Cette equation admet une unique solution c0 = 14 . Il y a donc

une unique bifurcation selle-nœud en 14 .

�

4.2 Bifurcation par doublement de la periode

Definition 4.5 Une application Fc dependant d’un parametre c admet unebifurcation par doublement de la periode en c1 s’il existe un intervalle ouvertI ⊂ R contenant exactement un point fixe pc de Fc (c ∈ (c1 − ε, c1 + ε)) et telque :

1. le point fixe pc1−ε est attractif et Fc1−ε n’a pas d’autres points fixes dans I.

2. le point fixe pc1 est neutre et Fc1 n’a pas d’autres points fixes dans I.

3. le point fixe pc1+ε est repulsif et Fc1+ε a une orbite periodique attractive deperiode 2 dans I.

Remarque 4.6 – Intervertir c1 − ε et c1 + ε ne modifie pas la definition.– La definition reste valable pour un point fixe repulsif qui devient attractif

en creant une orbite periodique repulsive de periode 2.– Lorsque l’application Fc a une bifurcation par doublement de la periode enc1, on dit que F 2

c a une bifurcation fourche en c1.

Plus generalement, on dit que Fc a une bifurcation par doublement de laperiode en c1, si sa n-ieme iteree Fnc verifie les criteres de la definition 4.5.En d’autres termes, si une orbite de longueur n change de stabilite en c1 et creeune orbite de longueur 2n de stabilite initiale, alors c1 est une bifurcation pardoublement de la periode.

25

Proposition 4.7 L’application Fc admet une bifurcation par doublement de laperiode en c1 si et seulement si il existe un point fixe p de Fc1 tel que F ′c1(p) = −1.

Figure 11 – Bifurcation par doublement de la periode de Fc

Figure 12 – Bifurcation fourche de F 2c

La figure 11 represente une bifurcation par doublement de la periode. Nousconstatons que le point fixe devient instable lorsque la derivee de Fc en ce pointpasse la valeur −1. Les changements de la dynamique de F 2

c lors de la bifurcationsont presentes dans la figure 12. Le point fixe de F 2

c devient repulsif en creantdeux nouveaux points fixes attractifs.

Qu’en est-il des bifurcations de l’application logistique et de fc ?

Proposition 4.8 L’application fc (respectivement ga) a une bifurcation pardoublement de la periode en − 3

4 (respectivement en 3).

Demonstration. Nous avons :

f ′− 34(x) = 2x.

L’intervalle que nous considerons ici est I = (−p2, p2). Pour c = − 34 , I = (− 3

2 ,32 )

et le seul point fixe dans I est p1 =1−√

1−4(−34 )

2 = − 12 . De plus, f ′− 3

4

(− 12 ) = −1.

D’apres la proposition 4.7, − 34 est une bifurcation par doublement de la periode.

26

En fait, nous avons deja demontre cette propriete dans la demonstration dela propriete 3.6. En effet, f− 3

4−εa un point fixe attractif dans I = (−p2, p2), qui

devient repulsif en engendrant une orbite attractive de periode 2.�

Proposition 4.9 L’application f2c (respectivement g2a) a une bifurcation pardoublement de la periode en − 5

4 (respectivement en 3, 44). Par generalisation,c’est une bifurcation par doublement de la periode de fc (respectivement de ga).

Demonstration. Les points q1 et q2 sont fixes pour f2c . Pour c = − 54 , nous

avons q1 = −1−√2

2 et q2 = −1+√2

2 . De plus :

f ′2− 54(q1) = f ′− 5

4(q1)f ′− 5

4(f− 5

4(q1))

= f ′− 54(q1)f ′− 5

4(q2)

=(−1−

√2)(−1 +

√2)

= −1.

De meme, f ′2− 54

(q2) = −1.

Donc,− 54 est une bifurcation par doublement de la periode de f2c .

�

Cette demonstration montre de plus, que les points q1 et q2 ”subissent” lameme bifurcation. Ainsi, lorsque q1 change de stabilite, il donne naissance adeux points fixes de f4c . Le point q2 se comporte exactement de la meme facon,creant lui aussi deux points fixes de f4c . Il y a creation de 4 points fixes pour f4cet par consequent d’une orbite periodique de periode 4 pour fc.

Afin de visualiser rapidement les differentes bifurcations de l’applicationlogistique et d’etudier leur dynamique, il est necessaire d’introduire la notion dediagramme de bifurcation.

4.3 Diagramme de bifurcation

Le diagramme de bifurcation rend compte du comportement de l’applicationlogistique (ou de fc ou de toutes autres applications dependant d’un parametre)en fonction du parametre a.Sur ce diagramme, en abscisses, sont representees les differentes valeurs duparametre a et en ordonnees celles de ga. Nous construisons le diagramme enreperant pour chaque valeur de a le ou les points de convergence de la suite(un)N definie par u0 ∈ [0, 1] et un+1 = ga(un). Nous obtenons :

27

Figure 13 – Diagramme de bifurcation de l’application logistique

Nous retrouvons, bien evidemment, le comportement de l’application logis-tique decrite dans les parties precedentes.Pour 1 < a < 3, il n’y a qu’une seule branche. La suite (un)N precedemmentdefinie converge vers le point fixe.Pour 3 < a < 3, 44, il y a deux branches. Ceci correspond au comportementperiodique, l’application ga a une orbite periodique de periode 2.Quand il y a 4 branches, il y a une orbite periodique de periode 4 . Puis, pour 8branches, c’est une orbite periodique de periode 8, etc. Cette partie du diagrammeest appelee cascade ou arbre de doublement de la periode.

Des lors, interessons nous a la dynamique du diagramme de bifurcation. Dansune premiere partie, nous decouvrons deux objets remarquables : le point etla constante de Feigenbaum. Puis, dans une seconde partie, nous etudions lediagramme de bifurcation au point de Feigenbaum avant d’aborder son auto-similarite.

28

5 Le point et la constante de Feigenbaum

Les bifurcations jouent un role important dans le diagramme de bifurcationpuisqu’elles indiquent un changement de comportement. Nous definissons alors lasuite (an)N∗ , suite des bifurcations par doublement de la periode de l’applicationlogistique. Les premiers termes de cette suite sont a1 = 3 et a2 = 3, 44.Une deuxieme suite de parametre est egalement fondamentale dans l’etude dudiagramme. Pour la definir, nous avons besoin d’introduire les points fixes superattractifs.

5.1 Points fixes super attractifs et point de Feigenbaum

Definition 5.1 Un point fixe p d’une application f est attractif si |f ′(p)| < 1.De plus, si f ′(p) = 0, le point p est super attractif.

Proposition 5.2 Dans le cas de l’application logistique, lorsque la bissectricey = x coupe la parabole exactement en son sommet, le point fixe est superattractif.

Demonstration. Comme la bissectrice y = x coupe la parabole en son sommet,il y a un unique point fixe p qui est le sommet de la parabole. Donc g′a(p) = 0.Le point p est un point fixe super attractif.

�

Proposition 5.3 Pour a = 2, l’application ga a un point fixe super attractif.

Demonstration. Commencons par chercher le sommet de la parabole ga = ax(1− x).Nous avons : g′a(x) = a(1 − 2x). Cette derivee est positive pour x < 1

2 . Nousobtenons donc le tableau de variation suivant.

x

g′a(x)

ga(x)

0 12 1

+ 0 −

00

14a14a

00

Le sommet de la parabole est donc ga( 12 ) = 1

4a.De plus, comme nous cherchons un point fixe super attractif, la bissectrice y = xcoupe la parabole en son sommet. Le sommet est donc un point fixe. D’ouga( 1

2 ) = 14a = 1

2 . Finalement, nous obtenons a = 2.�

29

Figure 14 – Point fixe super attractif de l’application logistique

Justifions maintenant le terme super attractif pour un point fixe de l’applica-tion ga.Pour rappel, nous avons : ga = ax(1− x) et pa = a−1

a son point fixe.Nous commencons l’iteration de ga par un point proche de pa : x0 = a−1

a + εavec ε > 0.Notons xi = gia(x0). Nous obtenons :

x1 = ga(x0)

= ax0(1− x0)

= a

(a− 1 + aε

a

)(1− a− 1 + aε

a

)=

a− 1

a− aε+ 2ε− aε2

= pa − aε+ 2ε− aε2

= x0 + ε− aε− aε2.

De plus, |ε− aε− aε2| < ε ce qui montre bien que pa est attractif. En effet, x1est proche de x0 (donc de pa), et en reiterant cet argument, x2 est proche de x1,donc de x0 et de pa.

30

Regardons ce qui se passe pour le cas super attractif, c’est-a-dire pour a = 2.Ici, pa = 1

2 et x0 = 12 + ε. Nous avons donc :

x1 = ga(x0)

=1

2− 2ε+ 2ε− 2ε2

=1

2− 2ε2.

Contrairement au cas precedent, il ne reste qu’un terme quadratique en ε. Ainsi,x1 se rapproche plus rapidement de 1

2 . En effet, les termes en ε et les constantesqui attenuent l’effet du terme en ε2 ne sont plus presents.

Comme nous nous interessons aux iterees de ga, il semble evident de s’interesseraux points fixes super attractifs de g2a, puis a ceux de g4a, etc.

Nous construisons ainsi une nouvelle suite de parametres : la suite (sn)N∗

definie de telle sorte que pour a = sn, l’application g2n−1

a a un point fixe superattractif. Les termes de cette suite sont appeles parametres super attractifs etses premiers termes sont s1 = 2 et s2 = 1 +

√5.

Proposition 5.4 Il y a toujours un parametre super attractif entre deux bifur-cations successives.

Demonstration. Regardons ce qui se passe pour les premieres bifurcations.La premiere bifurcation a0 = 1 est une bifurcation selle-nœud. Si p0 est le pointfixe de ga0 (p0 = 0), alors g′a0(p0) = 1. Puis, il y a creation de deux points fixesp1(a) et p2(a) (p1(a) = a−1

a et p2(a) = 0) tel que

|g′a0+ε(p2(a0 + ε))| = a0 + ε > 1

et

|g′a0+ε(p1(a0 + ε))| = 1

a0 + ε< 1.

De plus, |g′a0+ε(p1(a0 + ε))| > 0.

La deuxieme bifurcation a1 apparait lorsque g′a1(p1(a1)) = −1. Commeg′a0(p1(a0)) > 0 et g′a1(p1(a1)) = −1, il existe s1 tel que a0 < s1 < a1 etg′s1(p1(s1)) = 0. Le point s1 est donc un parametre super attractif.

Cette nouvelle bifurcation donne naissance a deux points fixes q1(a) et q2(a)de g2a avec 0 < |(g2a1+ε)

′(qi(a1 + ε))| < 1, (i = 1, 2).La troisieme bifurcation apparait lorsque 0 < |(g2a1+ε)

′(qi(a1 + ε))| = −1, i = 1, 2.Il existe donc un parametre super attractif s2 tel que a1 < s2 < a2 .

Ce raisonnement se generalise a toutes les bifurcations. Juste apres unebifurcation, les points fixes ou les points de l’orbite periodique qui ont ete crees,ont une derivee inferieure a 1 et positive. La bifurcation suivante apparait lorsque

31

ces points ont une derivee egale a −1. Le changement de signe prouve que cesderivees passent par 0 avant la nouvelle bifurcation, il y a donc un parametresuper attractif. Ceci est illustre par les figures 10 et 12 de la partie precedente.

�

Proposition 5.5 Si la suite (sn)N∗ converge vers une certaine valeur, la suite(an)N∗ converge vers cette meme valeur.

Demonstration. Nous connaissons les premiers termes des deux suites : a1 = 3et s1 = 2. Ainsi, s1 < a1. De plus, d’apres la proposition 5.4 nous avons :

s1 < a1 < s2 < a2 < s3 < a3 < ...

Nous avons donc :∀n ∈ N∗ sn < an < sn+1.

Si la suite (sn)N∗ converge vers l, d’apres le theoreme des gendarmes, la suite(an)N∗ converge aussi vers l.

�Nous avons desormais a notre disposition les suites (an)N∗ et (sn)N∗ . Elles

convergent toutes les deux vers le meme point appele point de Feigenbaum et notes∞. Ce point marque un changement radical dans la dynamique de l’applicationlogistique ga. Pour des valeurs de a superieures a s∞, nous ne pouvons plusprevoir le comportement de l’application logistique ga . Ce dernier ne repondplus au principe de doublement de la periode comme c’est le cas pour les valeursde a inferieures a s∞.

Figure 15 – Diagramme de bifurcation et point de Feigenbaum

Dorenavant, nous nous interessons au diagramme de bifurcations pour desvaleurs de a inferieures a s∞ et plus particulierement, au comportement des

32

distances entre deux bifurcations successives. De cette etude va emerger uneconstante remarquable, la constante de Feigenbaum.

5.2 La constante de Feigenbaum

Notons dk = ak+1 − ak, k = 1, 2, 3..., la distance entre deux bifurcationssuccessives (voir figure 16).

Figure 16 – Distance entre deux bifurcations successives

Nous constatons, graphiquement, que cette distance diminue de plus en plusrapidement.

Supposons, tout d’abord, que cette decroissance est geometrique et posons :

dkdk+1

= δ .

Proposition 5.6 Dans ce cas, la suite (ak)N∗ est une suite convergente.

Demonstration. Montrons par recurrence que

ak = a1 + d1

(1 +

1

δ+ ...+

1

δk−2

)(2)

Pour k = 2, nous avons bien a2 = a1 + d1.Supposons que la propriete 2 est vrai au rang k. Montrons alors qu’elle est encoreverifiee au rang k + 1. Nous avons

ak+1 = dk + ak.

Par hypothese de recurrence, nous obtenons :

ak+1 = a1 + d1

(1 +

1

δ+ ...+

1

δk−2

)+ dk

Or, dk+1 = dkδ . La suite (dk)N∗ est geometrique de raison 1

δ . D’ou dk = d1( 1δ )k−1.Finalement, nous obtenons :

ak = a1 + d1

(1 +

1

δ+ ...+

1

δk−2

)+ d1

(1

δ

)k−1;

33

ak = a1 + d1

(1 +

1

δ+ ...+

1

δk−1

).

Par recurrence, nous avons montre la propriete 2.

De plus, comme 1δ < 1, nous obtenons :

limk→∞

ak = a1 + d1

(1

1− 1δ

)= a1 + d1

(δ

δ − 1

)La suite (ak)N∗ est bien convergente.

�

Cependant, les valeurs experimentales montrent que la suite (dk) n’est pasexactement geometrique. Effectivement, les premiers termes verifient :

d1d2

= 4, 7514 ;

d2d3

= 4, 6562 ;

d3d4

= 4, 6682 ;

d4d5

= 4, 6687 .

La suite (dk) est dite approximativement geometrique. Le ratio dkdk+1

va dependre

de k, on note δk sa valeur. Cette derniere converge.

limk→∞

δk = 4, 6692016091029

C’est la constante de Feigenbaum, notee δ.

La constante de Feigenbaum est dite universelle car elle est valable pour denombreuses applications dependant d’un parametre, par exemple ga(x) = ax2 sinπx.

5.3 Calcul de la constante de Feigenbaum

Nous presentons ici, une methode basee sur la suite (sn)N∗ , precedemmentdefinie.

Pour rappel, nous avons :

δ = limn→∞

δn = limn→∞

dndn+1

= limn→∞

an+1 − anan+2 − an+1

.

34

La constante de Feigenbaum s’exprime egalement en fonction des termes dela suite (sn)N∗ . En effet, nous avons :

δ = limn→∞

sn − sn−1sn−1 − sn−2

. (3)

Grace a cette formule et a la methode de Newton, nous sommes en mesurede calculer la constante de Feigenbaum. Une rapide presentation de la methodede Newton s’impose.

Methode de Newton

Le but de la methode de Newton est de trouver le zero d’une fonction.Dans un premier temps, nous choisissons une valeur proche du zero de lafonction. Puis, nous approximons la courbe en ce point par sa droite tangente.Nous cherchons le zero de la tangente, et nous appliquons a nouveau le procede.Notons x0 le point proche du zero de la fonction f . L’equation de la droitetangente en ce point est :

y = f ′(x0)(x− x0) + f(x0).

Soit x1, le zero de la droite tangente. Ce point verifie :

f ′(x0)(x1 − x0) + f(x0) = 0.

D’ou, x1 = x0 − f(x0)f ′(x0)

.

Par recurrence, nous construisons la suite xk+1 = xk − f(xk)f ′(xk)

. La limite de cette

suite est le zero de la fonction f .

Explicitons ensuite le calcul de δ.

Calcul de δ

Nous connaissons les premiers termes de la suite (sn)N∗ . Afin de pouvoirutiliser la formule 3, nous avons besoin des termes suivants.Or, ceux ci verifient g2

n−1

sn ( 12 ) = 12 (caracterisation de l’existence d’un point fixe

super attractif). Chaque sn est donc solution de l’equation suivante en a :

g2n−1

a

(1

2

)=

1

2.

Il faut cependant faire attention. En effet, les termes s1, s2, .., sn−1 verifient cetteequation. Or, nous ne voulons que la solution propre a cette equation. C’est pour-quoi, nous utilisons la methode de Newton avec la fonction f(a) = g2

n−1

a ( 12 )− 12 .

Nous construisons ainsi la suite (bk)N telle que bk+1 = bk − f(bk)f ′(bk)

et nous cher-

chons sa limite. Nous avons ainsi calcule sn. Nous calculons les termes suivants

35

par cette meme methode, et nous appliquons la formule 3 afin d’obtenir δ.

Deux points restent a eclaircir dans ce procede : le calcul de f ′(bk) et le choixde la valeur initiale pour initialiser la methode de Newton.

Calcul de f ′(bk)

Nous savons que f(a) = g2n−1

a ( 12 ) − 1

2 . Definissons la suite (xn)N∗ tel quex0 = 1

2 et ga(xk) = xk+1. Posons N = 2n−1. Alors f(a) = xN − 12 . De plus,

comme xN depend de a, nous obtenons f ′(a) = x′N .Or, nous avons :

x′0 = 0

etxk+1 = axk(1− xk).

Ainsi,x′k+1 = xk(1− xk) + ax′k(1− xk)− axkx′k ,

x′k+1 = xk(1− xk) + ax′k(1− 2xk) .

f(a) et f ′(a) se calculent donc grace aux iterations suivantes :

pour k = 0, 1, ..., N − 1,

xk+1 = axk(1− xk) ; x0 =1

2

x′k+1 = xk(1− xk) + ax′k(1− 2xk) ; x′0 = 0

Initialisation de la methode de Newton

Nous connaissons les termes de la suite (sn)N∗ jusqu’au rang n, ce qui nouspermet de calculer :

δn =sn−1 − sn−2sn − sn−1

.

D’ou,

sn = sn−1 +sn−1 − sn−2

δn,

et

sn+1 = sn +sn − sn−1δn+1

.

Nous cherchons seulement une approximation de sn+1, nous considerons donc

sn+1 ≈ b0 = sn +sn − sn−1

δn.

Cette valeur permet d’initialiser la methode de Newton.

36

6 Au-dela du point de Feigenbaum

Dans un premier temps, nous etudions le diagramme de bifurcation au points∞ de Feigenbam, c’est-a-dire que nous nous interessons aux points du dia-gramme ayant pour abscisse s∞. Ces points sont representes en rouge sur lafigure 17.

Figure 17 – Diagramme de bifurcation au point de Feigenbaum

Puis, dans un deuxieme temps, nous nous interessons a l’auto-similarite dudiagramme de bifurcation. Avant toute chose, la notion d’adresses du diagrammede bifurcation est indispensable pour la suite de l’etude.

6.1 Adresses du diagramme de bifurcation et comporte-ment de gs∞

Chaque branche du diagramme de bifurcation est reperee par une suite delettres (appelee adresse) selon la regle suivante. Nous attribuons la lettre L (pourlow) a la branche la plus basse, et la lettre H (pour high) a la plus haute. Achaque division, nous ajoutons a l’adresse de la branche divisee la nouvelle lettre.

37

Figure 18 – Adresses du diagramme de bifurcation

Les premieres branches du diagramme de bifurcation sont reperees par lesadresses H et L puis par HH, HL, LH, et LL comme indique sur la figure 18.

Chaque adresse correspond en realite a un element d’une orbite de ga. Nousallons ainsi decrire la dynamique de l’application logistique en terme d’adresses.

Proposition 6.1 Pour 3 < a < 3, 44, il y a oscillation entre les lettres H et L.On note : H → L→ H.

Demonstration. Ceci est evident. Pour 3 < a < 3, 44, l’application ga a uneorbite de periode 2 dont les elements sont representes par H et L.

Figure 19 – Orbite periodique de periode 2 et adresses

38

�

Nous representons cette oscillation par le diagramme suivant :

Figure 20 – Diagramme d’une orbite de periode 2

Proposition 6.2 Pour a compris entre 3,44 et 3,54 la bifurcation suivante,nous avons l’oscillation : HH → LL→ HL→ LH → HH.

Demonstration. L’orbite de periode 4 naıt de l’orbite de periode 2. Ainsi, uneadresse commencant par H doit etre envoyee sur une adresse commencant par L.HH peut donc etre envoye sur LL ou LH. Si l’on montre queHH est necessairementenvoye sur LL, nous avons demontre la proposition.Fixons a tel que 3, 44 < a < 3, 54, considerons les points du diagramme ayantpour abscisse a et appelons p1, le point de l’orbite periodique correspondant ala branche d’adresse HH, p2 celui correspondant a la branche d’adresse LL, p3celui correspondant a la branche d’adresse HL, et enfin p4 celui correspondant ala branche d’adresse LH. Pour plus de clarte, ces points sont representes sur lafigure suivante.

39

Figure 21 – Points p1, p2, p3, p4

Figure 22 – Orbite periodique de periode 4 et adresses

L’application ga est symetrique par rapport a la droite x = 12 .

De plus, p1 est la plus grande valeur de l’orbite, g−1a (p1) est donc la plus prochevaleur de 1

2 . D’ou : ∣∣∣∣12 − g−1a (pi)

∣∣∣∣ > ∣∣∣∣12 − g−1a (p1)

∣∣∣∣ ;∀i 6= 1

40

De meme, p2 est la plus petite valeur de l’orbite, g−1a (p2) est donc la valeur laplus eloignee de 1

2 . D’ou :∣∣∣∣12 − g−1a (pi)

∣∣∣∣ < ∣∣∣∣12 − g−1a (p2)

∣∣∣∣ ;∀i 6= 2 (4)

Supposons que ga(p1) 6= p2, soit g−1a (p2) 6= p1. Ainsi, ga(p1) = p4, g−1a (p4) = p1et g−1a (p2) = p3Appliquons l’inegalite 4 a i = 4 :∣∣∣∣12 − g−1a (p4)

∣∣∣∣ < ∣∣∣∣12 − g−1a (p2)

∣∣∣∣∣∣∣∣12 − p1∣∣∣∣ < ∣∣∣∣12 − p3

∣∣∣∣Or, p3 >

12 et p1 >

12 .

p1 −1

2< p3 −

1

2p1 < p3

Ceci est une contradiction puisque p1 > p3. Ainsi, ga(p1) = p2, ce qui signifieque HH est envoye sur LL. La demonstration est ainsi terminee.

�

Cette orbite periodique de periode 4 est representee par :

Figure 23 – Diagramme d’une orbite de periode 4

41

Pour 8 lettres, donc une orbite periodique de periode 8, nous avons :

Figure 24 – Diagramme d’une orbite de periode 8

Ces orbites periodiques semblent suivre une meme regle. Nous allons generalisercette derniere a un nombre infini de lettres. Ainsi, pour une adresse donnee nouspouvons determiner l’orbite a laquelle elle appartient.

Soit Ak = {l’ensemble des adresses composees de k lettres}.Soit A∞ = {l’ensemble des adresses composees d’une infinite de lettres}.La dynamique des orbites periodiques est decrite par une transformationf : Ak → Ak. Par exemple, pour l’orbite de periode 4, nous avons :

f2(HH) = LL, f2(LL) = HL, f2(HL) = LH, f2(LH) = HH .

Par generalisation, nous construisons f∞ qui permet de decrire le comportementau point s∞ de Feigenbaum.

Regardons la representation de l’orbite de periode 2, celle de periode 4 etcelle de periode 8.

42

Figure 25 – Diagramme d’une orbite de periode 2

Figure 26 – Diagramme d’une orbite de periode 4

Figure 27 – Diagramme d’une orbite de periode 8

Dans la suite, les lettresXi, i ∈ N, representent indifferemment les lettres H et L.

43

Dans le carre des adresses commencant par H, une diagonale apparait. Ainsi,les adresses commencant par H verifient :

f∞(HX2X3...) = LXt2X

t3...

avec Xt le complementaire de X, c’est-a-dire Ht = L et Lt = H.Puis, nous observons la formation d’une diagonale dans le carre des adressescommencant par LL. Les adresses commencant par LL verifient donc :

f∞(LLX3X4...) = HLX3X4...

Finalement, nous remarquons que le carre des adresses commencant par LH estune reduction du ”grand carre”. Les adresses commencant par LH verifient :

f∞(LHX3X4...) = HHf∞(X3X4...)

Nous allons maintenant montrer qu’au point de Feigenbaum, le diagrammede bifurcation est un ensemble de Cantor.

6.2 Le diagramme de bifurcation au point de Feigenbaum

Commencons par une rapide construction de l’ensemble de Cantor.

Premierement, nous otons l’intervalle]13 ,

23

[a l’intervalle [0, 1]. Nous conser-

vons les intervalles [0, 13 ] et [ 23 , 1]. Puis, nous divisons ces nouveaux intervallesen 3, et nous supprimons le tiers du milieu. Ce procede repete plusieurs foisfournit une suite d’intervalles fermes. Apres la nieme etape, il y a 2n intervallesde longueur 1

3n . L’ensemble de Cantor est l’ensemble des points obtenus lorsquele procede ci dessus est repete une infinite de fois.

De plus, nous pouvons voir, l’ensemble de Cantor comme l’ensemble despoints de l’intervalle [0, 1] dont l’ecriture triadique (en base 3) ne contient pas lechiffre 1. L’ensemble de Cantor correspond donc a l’ensemble C = {0, 2}N.

L’ensemble des points du diagramme de bifurcation dont l’abscisse est s∞est un ensemble de Cantor.

En effet, considerons que chaque doublement de branches correspond enfait a un triplement auquel nous avons supprime la branche mediane. Au points∞, le diagramme de bifurcation est constitue des points obtenus si le procedeprecedent est applique une infinite de fois. Cette construction est semblable acelle de l’ensemble de Cantor.

Une autre maniere de montrer cela est de considerer l’ensemble de Cantorcomme l’ensemble C = {0, 2}N. Notons K l’ensemble des points du diagrammede bifurcation au point s∞. Nous avons une bijection de K vers C qui a L associe0 et a H associe 2. Donc K est un ensemble de Cantor.

44

6.3 L’auto-similarite du diagramme de bifurcation

Dans cette partie, nous etudions rapidement le diagramme de bifurcationpour toutes les valeurs de a. Plus particulierement, nous nous interessons a sonauto-similarite a l’infini, qui en fait une fractale.

Une fractale est un objet auto-similaire, c’est-a-dire semblable a lui meme.De plus, cette auto-similarite est presente a l’infini.

Une fractale peut etre egalement definie comme un objet dont les partiesont la meme structure que le tout mais a des echelles differentes. Ainsi, si nousagrandissons une partie d’une fractale, nous obtenons une copie quasi identiquede l’original.

Afin de bien saisir la notion d’auto-similarite, prenons des exemples. Les plussignificatifs sont presents dans notre vie quotidienne, et plus precisement dans lanature, comme l’arbre. C’est un objet complexe qui semble assez complique dedecrire avec des objets geometriques. Mais, si nous analysons sa structure deplus pres, nous constatons que c’est la meme a toutes les echelles. Effectivement,le tronc se divise en plusieurs branches. Ces dernieres deviennent a leur tour ”destroncs” qui se separent en plusieurs branches qui vont elles aussi se diviser..A ladifference d’une fractale, l’auto-similarite de l’arbre ”s’arrete” lorsque les feuillesapparaissent, il n’est donc pas auto-similaire a l’infini.

Le diagramme de bifurcation presente une auto-similarite semblable a cellede l’arbre. La premiere branche se divise en deux, puis chaque nouvelle branchese separe aussi en deux.

L’auto-similarite du diagramme de bifurcation se retrouve evidemment dansla suite des iterees de ga. En effet, le graphe de ga est semblable a des portionsde graphes de g2a,g

4a,...Cela se comprend assez facilement des les premieres bi-

furcations de l’application logistique. Pour 1 < a < 3, il y a un unique pointfixe pa attractif. Il devient repulsif pour a = 3 et une orbite de periode 2 estcreee. L’application g2a a desormais deux points fixes. Ces derniers vont devenirinstables et donner naissance a une nouvelle orbite. Ces points fixes subissentdonc le meme changement que pa, ce qui temoigne bien de l’auto-similarite.

Graphiquement, ce phenomene se retrouve parfaitement. Si nous choisissonsune portion du graphe de g2a semblable a celui de ga, nous l’agrandissons jusqu’aobtenir la taille du graphe initial, et nous retournons l’image obtenue, alors nousretrouvons le graphe de ga. Si nous faisons de meme avec le graphe de g4a, nousobtenons egalement le graphe de ga.

Expliquons cette auto-similarite sur un exemple. Considerons les applicationsga, g2a et g4a respectivement pour a = s1, a = s2 et a = s3 (les si,i = 1, 2, 3, etantles premiers termes de la suite (sn)N∗ precedemment definie). La figure suivanterepresente les graphes de ces trois applications.

45

Figure 28 – Graphes des applications gs1 , g2s2 et g4s3

Nous choisissons une portion du graphe de g2a (notee Q1(a) sur la figure 28)et une de g4a (notee Q2(a) sur la figure 28). Puis, nous agrandissons ces deuxportions, nous les retournons si necessaire et nous obtenons le resultat suivant.

Figure 29 – Agrandissements de Q1(a) et Q2(a)

Nous retrouvons dans les deux cas le graphe de l’application logistique ga.Choisir une portion de graphe centree sur un point fixe revient a choisir

une portion du diagramme de bifurcation. Nous choisissons une portion dudiagramme de bifurcation.

46

Figure 30 – Choix d’une portion du diagramme de bifurcation

Nous agrandissons et retournons cette portion et nous obtenons une co-pie quasi-identique du diagramme de bifurcation (voir figure 31). Ce premieragrandissement correspond a l’agrandissement de Q1(a) precedemment defini.

Figure 31 – Premier agrandissement

Nous repetons cette manipulation sur la copie obtenue. Ceci correspond al’agrandissement de Q2(a) precedemment defini, et nous obtenons encore unefois une copie du diagramme de bifurcation, comme le montre la figure suivante.

47

Figure 32 – Deuxieme agrandissement

Nous pouvons repeter ces agrandissement une infinite de fois, nous obtiendronstoujours une copie du diagramme de bifurcation.

48

Bibliographie

1. Lectures on Fractal Geometry and Dynamical Systems de Yakov Pesin etVaughn Climenhaga. American Mathematical Society Mathematics Advan-ced Study Semesters. textbfLecture 1, Lecture 2, Lecture 25.

2. Fractals for the classroom Part two Complex systems and Mandelbrot setde Peitgen, Jurgens, Saupe. Springler-Verlag. Chapters 11.1, 11.2, 11.3.

3. La theorie du chaos de James Gleick. Champs Sciences. Les hauts et lesbas de la vie p.91.

49