6.2 Volume Disk Washer methods part 1 Blank.notebook

1

April 04, 2017

6.2 Volume: The Disk and Washer Methods

Lets examine the volume of a solid that is generated when the region under the line             from          to         is rotated about the x­axis.

x

y

A) Determine the volume of the cone created above using integration.

6.2 Volume Disk Washer methods part 1 Blank.notebook

2

April 04, 2017

B) Verify your results using geometric formula for volume of a cone. 

Note: Because the function that was rotated about the x­axis was linear, the resulting shape was a cone.  There are many shapes used in world today that do not have geometric formulas. (Anything with curves)  For these types of shapes "Integration" enables us to determine their volumes.

Example 1: Determine the volume of the solid that is generated when the region under           from     to      is rotated about the x­axis.  Include a detailed sketch of the region.

­1 0 1 2 3 4 5 6

­50

­40

­30

­20

­10

10

20

30

40

50

x

y

6.2 Volume Disk Washer methods part 1 Blank.notebook

3

April 04, 2017

Case 1: Horizontal Axis of Revolution

Volumes Of Revolutions: Disk Method

Note:         is the function that represents the radius of the object.  This may or may not be the same as the y­value of the function depending on the location of horizontal axis of revolution. (May NOT be the x­axis)

x

y

Caution: [a,b] are horizontal endpoints. (x­values)

Example 2: Find the volume of the solid formed by revolving the region bounded by the graphs                    and              about the line        .

­6 ­5 ­4 ­3 ­2 ­1 0 1 2 3 4 5 6

­2

­1

1

2

3

4

5

6

x

y

6.2 Volume Disk Washer methods part 1 Blank.notebook

4

April 04, 2017

Case 2: Vertical Axis of Revolution

Note:         is the function that represents the radius of the object.  This may or may not be the same as the x­value of the function depending on the location of vertical axis of revolution. (May NOT be the y­axis)

x

y

Caution: [c,d] are vertical endpoints. (y­values)

­6 ­5 ­4 ­3 ­2 ­1 0 1 2 3 4 5 6

­2

­1

1

2

3

4

5

6

x

y

Example 3: Determine the volume of the solid that is generated when the region under              from           to           is rotated about the y­axis.  Include a detailed sketch of the region.