iÁlgebra Geométrica e Electromagnetismo
“Whenever we define something by use of local coordinates, if we wish the definition to have
intrinsic significance we must check that is has the same meaning in all coordinate systems.”
Theodore Frankel, The Geometry of Physics: An Introduction, Cambridge University Press,
Cambridge, 2nd ed., 2004, p. 24
“The principle that the product of two vectors ought to describe their relative direction presided
over the definition of the inner product. But the inner product falls short of a complete
fulfillment of that principle, because it fails to express the fundamental geometric fact that two
non-parallel lines determine a plane, or, better, that two non-collinear directed segments
determine a parallelogram. The possibility of giving this important feature of geometry a direct
algebraic expression becomes apparent when the parallelogram is regarded as a kind of
«geometric product» of its sides. But to make this possibility a reality, the notion of number
must again be generalized.”
David Hestenes, New Foundations for Classical Mechanics, Kluwer Academic Publishers,
Dordrecht, 2nd ed., 1999, p. 21
“Adding together a scalar and a bivector doesn’t seem right at first – they are different types of
quantities. But it is exactly what you want an addition to do! The result of adding a scalar to a
bivector is an object that has both scalar and bivector parts, in exactly the same way that
addition of real and imaginary numbers yields an object with both real and imaginary parts. We
call this latter object a ‘complex number’ and, in the same way, we shall refer to a (scalar +
bivector) as a ‘multivector’, accepting throughout that we are combining objects of different
types.”
Stephen Gull, Anthony Lasenby and Chris Doran, “Imaginary Numbers are not Real – The
Geometric Algebra of Spacetime,” Foundations of Physics, Vol. 9, No. 9, pp. 1175-1201,
September 1993.
Carlos R. Paiva ii
“Geometric algebra provides us with an invertible product for vectors.”
Chris Doran and Anthony Lasenby, Geometric Algebra for Physicists, Cambridge University
Press, Cambridge, 2003, p. 167
“To the few mathematicians familiar with the term, «Clifford Algebra» refers to a minor
mathematical subspecialty concerned with quadratic forms, just one more algebra among many
other algebras. We should not bow to such a myopic view of our discipline. I invite you, instead,
to join me in proclaiming that Geometric Algebra is no less than a universal mathematical
language for precisely expressing and reasoning with geometric concepts. «Clifford Algebra»
may be a suitable term for the grammar of this language, but there is far more to the language
than the grammar, and this has been largely overlooked by the strictly formal approach to
Clifford Algebra.”
David Hestenes, “Differential Forms in Geometric Calculus,” in F. Brackx, R. Delanghe and H.
Serras, Eds., Clifford Algebras and their Applications in Mathematical Physics, Kluwer
Academic Publishers, Dordrecht, pp. 269-285, 1993
iiiÁlgebra Geométrica e Electromagnetismo
ÍNDICE
Bibliografia 6
Capítulo 1
Introdução 10
Capítulo 2
Álgebra geométrica do plano ?
2.1 Corpo ?
2.2 Espaço linear
2.3 Funções lineares
2.4 Álgebra e estruturas quadráticas
2.5 Álgebra geométrica do plano
2.6 Produto exterior
2.7 Números complexos e álgebra geométrica
2.8 Reflexões e rotações
Capítulo 3
Álgebra geométrica do espaço
3.1 Vectores e bivectores
3.2 Trivectores
3.3 Produto exterior e produto externo
3.4 Dual de Hodge
3.5 Álgebra exterior de Grassmann
3.6 Álgebra geométrica de Clifford
3.7 Produto geométrico
3.8 Involuções
3.9 Contracção à esquerda e contracção à direita
3.10 Reflexões
3.11 Rotações
3.12 Funções lineares, valores próprios e vectores próprios
3.13 Funções lineares de multivectores
Carlos R. Paiva iv
3.14 Determinante de uma função linear
3.15 Adjunta de uma função linear
3.16 Funções simétricas e anti-simétricas
3.17 Inversa de uma função linear
3.18 Funções lineares e matrizes
3.19 Os quaterniões de Hamilton
Capítulo 4
Electromagnetismo na álgebra geométrica do espaço
4.1 Equações de Maxwell
4.2 Isotropia, anisotropia e bianisotropia
4.3 Classificação dos meios bianisotrópicos
4.4 Cristais biaxiais e uniaxiais: relações constitutivas
4.5 Interpretação física da anisotropia: cristais biaxiais e uniaxiais
4.6 Magnetoplasma: relações constitutivas
4.7 Meios bianisotrópicos: propagação de ondas electromagnéticas
4.8 Cristais biaxiais e uniaxiais: ondas características
4.9 Magnetoplasma: ondas características
4.10 Rotação de Faraday
4.11 Actividade óptica em meios quirais
4.12 Dispersão espacial
4.13 É possível a existência de meios de Tellegen?
4.14 A equação de Maxwell na álgebra geométrica do espaço
4.15 O paravector potencial do campo electromagnético
Capítulo 5
Álgebra geométrica do espaço-tempo de Minkowski
5.1 Espaços quadráticos e métrica
5.2 Definição geral de álgebra geométrica do espaço-tempo
5.3 Transformação de Lorentz
5.4 Movimento hiperbólico
5.5 Mecânica relativista
5.6 Dualismo onda-corpúsculo
5.7 Diagramas de Lorentz e de Minkowski
vÁlgebra Geométrica e Electromagnetismo
5.8 Grupo de Lorentz
Carlos R. Paiva vi
Bibliografia principal (álgebra geométrica)
P. Lounesto, Clifford Algebras and Spinors (Cambridge, UK: Cambridge University
Press, 2nd ed., 2002)
C. Doran and A. Lasenby, Geometric Algebra for Physicists (Cambridge, UK: Cambridge
University Press, 2003)
Artigos (álgebra geométrica)
S. Gull, A. Lasenby and C. Doran, “Imaginary Numbers are not Real – The Geometric
Algebra of Spacetime,” Foundations of Physics, Vol. 9, No. 9, pp. 1175-1201, September
1993
J. Lasenby, A. N. Lasenby and C. J. L. Doran, “A Unified Mathematical Language for
Physics and Engineering in the 21st Century,” Philosophical Transactions of the Royal
Society of London, Series A, Vol. 358, No. 1765, pp. 21-39, January 2000
D. Hestenes, “Oersted Medal Lecture 2002: Reforming the Mathematical Language of
Physics,” American Journal of Physics, Vol. 71, Issue 2, pp. 104-121, February 2003
D. Hestenes, “Spacetime Physics with Geometric Algebra,” American Journal of Physics,
Vol. 71, Issue 7, pp. 691-714, June 2003
P. Puska, “Covariant Isotropic Constitutive Relations in Clifford’s Geometric Algebra,”
Progress In Electromagnetics Research: PIER 32 – Geometric Methods in
Computational Electromagnetics, pp. 413-428, F. L. Teixeira and J. A. Kong, Eds., EMW
Publishing, Cambridge, MA, 2001
C. R. Paiva and M. A. Ribeiro, “Doppler Shift from a Composition of Boosts with
Thomas Rotation: A Spacetime Algebra Approach,” Journal of Electromagnetic Waves
and Applications, Vol. 20, No. 7, pp. 941-953, 2006
Bibliografia suplementar (álgebras de Clifford e aplicações)
D. Hestenes, New Foundations for Classical Mechanics (Dordrecht, The Netherlands:
Kluwer Academic Publishers, 2nd ed., 1999)
D. Hestenes and G. Sobczyk, Clifford Algebra to Geometric Calculus: A Unified
Language for Mathematics and Physics (Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1984)
W. E. Baylis, Ed., Clifford (Geometric) Algebras With Applications in Physics,
Mathematics, and Engineering (Boston: Birkhäuser, 1996)
viiÁlgebra Geométrica e Electromagnetismo
R. Abłamowicz and G. Sobczyk, Eds., Lectures on Clifford (Geometric) Algebras and
Applications (Boston: Birkhäuser, 2004)
I. R. Porteous, Clifford Algebras and the Classical Groups (Cambridge: Cambridge
University Press, 1995)
W. E. Baylis, Electrodynamics: A Modern Geometric Approach (Boston: Birkhäuser,
2002)
B. Jancewicz, Multivectors and Clifford Algebra in Electrodynamics (Singapore: World
Scientific, 1988)
C. Chevalley, The Algebraic Theory of Spinors and Clifford Algebras (Berlin: Springer-
Verlag, 1997)
J. Snygg, Clifford Algebra: A Computational Tool for Physicists (New York: Oxford
University Press, 1997)
Bibliografia sobre quaterniões
J. H. Conway and D. A. Smith, On Quaternions and Octonions – Their Geometry,
Arithmetic, and Symmetry (Wellesley, MA: A. K. Peters, Ltd., 2003)
S. L. Altmann, Rotations, Quaternions, and Double Groups (New York: Dover, 2005)
J. B. Kuipers, Quaternions and Rotation Sequences: A Primer with Applications to Orbits,
Aerospace, and Virtual Reality (Princeton: Princeton University Press, 1999)
A. J. Hanson, Visualizing Quaternions (San Francisco, CA: Morgan Kaufmann – Elsevier,
2006)
Bibliografia sobre teoria electromagnética
A. B. Henriques e J. C. Romão, Electromagnetismo (Lisboa: IST Press, 2006)
R. P. Feynman, R. B. Leighton, and M. Sands, The Feynman Lectures on Physics – Vol.
II: Mainly Electromagnetism and Matter (Reading, Massachusetts: Addison-Wesley,
1966)
P. Lorrain, D. Corson, e F. Lorrain, Campos e Ondas Electromagnéticas (Lisboa:
Fundação Calouste Gulbenkian, 2000)
J. A. Kong, Electromagnetic Wave Theory (Cambridge, Massachusetts: EMW Publishing,
2005)
H. J. W. Müller-Kirsten, Electrodynamics: An Introduction Including Quantum Effects
(New Jersey: World Scientific, 2004)
J. D. Jackson, Classical Electrodynamics (New York: Wiley, 3rd ed., 1999)
C. A. Brau, Modern Problems in Classical Electrodynamics (Oxford: Oxford University
Press, 2004)
Carlos R. Paiva viii
C. H. Papas, Theory of Electromagnetic Wave Propagation (New York: Dover, 1988)
L. D. Landau and E. M. Lifshitz, The Classical Theory of Fields (Oxford: Butterworth-
Heinmann, 4th Revised English Ed., 2002)
E. G. Post, Formal Structure of Electromagnetics (Mineola, NY: Dover, 1997)
J. C. Maxwell, A Treatise on Electricity and Magnetism – Vols. 1 and 2 (New York:
Dover, 1954)
E. J. Rothwell and M. J. Cloud, Electromagnetics (Boca Raton, FL: CRC Press, 2001)
H. F. Harmuth, T. W. Barrett, and B. Meffert, Modified Maxwell Equations in Quantum
Electrodynamics (New Jersey: World Scientific, 2001)
H. C. Chen, Theory of Electromagnetic Waves: A Coordinate-Free Approach (New York:
McGraw-Hill, 1985)
I. V. Lindell, Methods for Electromagnetic Field Analysis (New York: IEEE Press, 1992)
Bibliografia sobre electromagnetismo dos meios complexos
D. K. Kalluri, Electromagnetics of Complex Media: Frequency Shifting by a Transient
Magnetoplasma Medium (Boca Raton, FL: CRC Press, 1999)
J. T. Mendonça, Theory of Photon Acceleration (Bristol, UK: Institute of Physics
Publishing, 2001)
D. H. Werner and R. Mittra, Eds., Frontiers in Electromagnetics (New York: IEEE Press,
2000)
O. N. Singh and A. Lakhtakia, Eds., Electromagnetic Fields in Unconventional Materials
and Structures (New York: Wiley, 2000)
A. Serdyukov, I. Semchenko, S. Tretyakov, and A. Sihvola, Electromagnetics of Bi-
Anisotropic Materials: Theory and Applications (Amsterdam: Gordon and Breach
Science Publishers, 2001)
A. A. Barybin and V. A. Dmitriev, Modern Electrodynamics and Coupled-Mode Theory:
Application to Guided-Wave Optics (Princeton, NJ: Rinton Press, 2002)
S. Zouhdi, A. Sihvola, and M. Arsalane, Eds., Advances in Electromagnetics of Complex
Media and Metamaterials (Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2002)
W. S. Weiglhofer and A. Lakhtakia, Eds., Introduction to Complex Mediums for Optics
and Electromagnetics (Bellingham, Washington: SPIE Press, 2003)
K. Sakoda, Optical Properties of Photonic Crystals (Berlin: Springer, 2nd ed., 2005)
G. V. Eleftheriades and K. G. Balmain, Eds., Negative-Refraction Metamaterials:
Fundamental Principles and Applications (Hoboken, NJ: Wiley, 2005)
N. Engheta and R. W. Ziolkowski, Eds., Metamaterials: Physics and Engineering
Explorations (Piscataway, New Jersey: IEEE Press/Wiley, 2006)
ixÁlgebra Geométrica e Electromagnetismo
Bibliografia sobre electromagnetismo e formas diferenciais
F. W. Hehl and Yu. N. Obukhov, Foundations of Classical Electrodynamics: Charge,
Flux, and Metric (Boston: Birkhäuser, 2003)
I. V. Lindell, Differential Forms in Electromagnetics (Piscataway, NJ: IEEE Press, 2004)
P. W. Gross and P. R. Kotiuga, Electromagnetic Theory and Computation: A Topological
Approach (Cambridge: Cambridge University Press, 2004)
D. Baldomir and P. Hammond, Geometry of Electromagnetic Systems (Oxford: Oxford
University Press, 1996)
P. Russer, Electromagnetics, Microwave Circuit and Antenna Design for
Communications Engineering (Norwood, MA: Artech House, 2nd ed., 2006)
Bibliografia sobre história da ciência
M. J. Crowe, A History of Vector Analysis: The Evolution of the Idea of a Vectorial
System (New York: Dover, 1994)
O. Darrigol, Electrodynamics from Ampère to Einstein (Oxford: Oxford University Press,
2003)
R. Torretti, Relativity and Geometry (New York: Dover, 1996)
Bibliografia sobre teoria da relatividade
H. A. Lorentz, A. Einstein, H. Minkowski, and H. Weyl, The Principle of Relativity (New
York: Dover, 1952)
G. F. R. Ellis and R. M. Williams, Flat and Curved Space-Times (Oxford: Oxford
University Press, 2nd ed., 2000)
J. B. Hartle, Gravity: An Introduction to Einstein’s General Relativity (San Francisco:
Addison Wesley, 2003)
C. W. Misner, K. S. Thorne, and J. A. Wheeler, Gravitation (San Francisco: Freeman,
1973)
P. M. Schwarz and J. H. Schwarz, Special Relativity: From Einstein to Strings
(Cambridge: Cambridge University Press, 2004)
C. Semay et B. Silvestre-Brac, Relativité Restreintre: Bases et Applications (Paris: Dunod,
2005)
J. Hladik et M. Chrysos, Introduction à la Relativité Restreinte (Paris: Dunod, 2001)
S. M. Carroll, Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity (San
Francisco: Addison Wesley, 2004)
R. M. Wald, General Relativity (Chicago: The University of Chicago Press, 1984)
Carlos R. Paiva x
S. W. Hawking and G. F. R. Ellis, The Large Scale Structure of Space-Time (Cambridge,
UK: Cambridge University Press, 1999)
S. Weinberg, Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General
Theory of Relativity (New York: Wiley, 1972)
N. M. J. Woodhouse, Special Relativity (London: Springer-Verlag, 2003)
J. W. Schutz, Independent Axioms for Minkowski Space-Time (Essex, England: Addison
Wesley Longman Limited, 1997)
M. P. Hobson, G. Efstathiou, and A. N. Lasenby, General Relativity: An Introduction for
Physicists (Cambridge: Cambridge University Press, 2006)
R. d’Inverno, Introducing Einstein’s Relativity (Oxford: Clarendon Press, 1999)
W. Rindler, Relativity: Special, General and Cosmological (Oxford: Oxford University
Press, 2001)
B. F. Schutz, A First Course in General Relativity (Cambridge: Cambridge University
Press, 1985)
J. A. Wheeler, A Journey into Gravity and Spacetime (New York: Scientific American
Library, 1999)
E. F. Taylor and J. A. Wheeler, Exploring Black Holes: Introduction to General
Relativity (San Francisco: Addison Wesley Longman, 2000)
A. Ashtekar, Ed., 100 Years of Relativity – Space-Time Structure: Einstein and Beyond,
World Scientific, Singapore, 2005.
A. Einstein, The Meaning of Relativity (London: Chapman and Hall, 1980)
J. C. Boudenot, Électromagnétisme et Gravitation Relativistes (Paris: Ellipses, 1989)
P. O’Donnell, Introduction to 2-Spinors in General Relativity (New Jersey: World
Scientific, 2003)
R. Penrose and W. Rindler, Spinors and Space-Time – Vol. 1: Two-Spinor Calculus and
Relativistic Fields (Cambridge: Cambridge University Press, 1984)
R. Penrose and W. Rindler, Spinors and Space-Time – Vol. 2: Spinor and Twistor
Methods in Space-Time Geometry (Cambridge: Cambridge University Press, 1984)
J. Stewart, Advanced General Relativity (Cambridge, UK: Cambridge University Press,
2003)
F. de Felice and C. J. S. Clarke, Relativity on Curved Manifolds (Cambridge: Cambridge
University Press, 1995)
xiÁlgebra Geométrica e Electromagnetismo
Artigos sobre a transformação de Lorentz
A. R. Lee and T. M. Kalotas, “Lorentz transformations from the first postulate,”
American Journal of Physics,” Vol. 43, No. 5, pp. 434-437, May 1975
J.-M. Lévy-Leblond, “One more derivation of the Lorentz transformation,” American
Journal of Physics, Vol. 44, No. 3, pp. 271-277, March 1976
N. D. Mermin, “Relativity without light,” American Journal of Physics, Vol. 52, No. 2,
pp. 119-124, February 1984
C. R. Paiva, “Passive Lorentz transformations with spacetime algebra,”
http://arxiv.org/ftp/physics/papers/0508/0508225.pdf
C. R. Paiva and M. A. Ribeiro, “Generalized relativistic velocity addition with spacetime
algebra,” http://arxiv.org/ftp/physics/papers/0511/0511247.pdf
“(...) I am skeptical of claims that [courses with names like «Conceptual Physics»] are
successful in teaching physics concepts without mathematics.”
David Hestenes, “Oersted Medal Lecture 2002: Reforming the Mathematical Language of
Physics,” American Journal of Physics, Vol. 71, Issue 2, pp. 104-121, February 2003
1Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
Estes apontamentos destinam-se a abordar, ao nível do segundo ciclo do ensino
universitário, a relação entre a álgebra geométrica e o electromagnetismo.
A parte da matéria aqui incluída cuja natureza é mais introdutória foi escrita tendo por
objectivo servir de texto de apoio à disciplina de Fotónica leccionada no âmbito do
MEEC do DEEC do IST (ver lista de acrónimos no fim). A restante parte destina-se à
disciplina de Fundamentos de Electrodinâmica Clássica do PDEEC do DEEC do IST.
Dado que a álgebra geométrica constitui uma abordagem matemática nova para os
alunos (e até, provavelmente, para muitos professores e investigadores da área do
electromagnetismo), uma parte considerável do que aqui se inclui tem uma natureza
essencialmente introdutória. Assim, parte-se do princípio que o leitor destes
apontamentos desconhece totalmente o que é a álgebra geométrica. A atitude tomada
em relação ao electromagnetismo é, porém, radicalmente diferente: parte-se do princípio
que o leitor conhece o essencial da teoria electromagnética – pelo menos ao nível do
que é ensinado no primeiro ciclo do ensino universitário (não só nas disciplinas de
Física, mas também nas disciplinas que tratam da Electrotecnia Teórica e da
Propagação e Radiação de Ondas Electromagnéticas). Se bem que estes apontamentos
se destinem, em primeiro lugar, a alunos da área científica de Telecomunicações, eles
também podem ser usados como introdução à algebra geométrica por outros alunos do
Carlos R. Paiva 2
segundo ciclo universitário – desde que se omitam as partes centradas na teoria
electromagnética e, em particular, os aspectos relacionados com o electromagnetismo
dos meios materiais (relações constitutivas e ondas características).
Assim, antes de mais, devem colocar-se duas questões essenciais:
O que é a álgebra geométrica?
Qual é a importância da álgebra geométrica no ensino do electromagnetismo?
O que a seguir se escreve a este respeito pretende responder a estas duas importantes
questões. Mas também pretende, por outro lado, motivar o interesse do leitor.
É prática corrente no ensino típico do primeiro ciclo dos estudos universitários
enquadrar o electromagnetismo na abordagem matemática clássica da álgebra e análise
vectorial de Gibbs (1839-1903). Mais concretamente: os vectores são objectos que
pertencem a uma álgebra de Lie (1842-1899), radicada no espaço linear tridimensional 3 e centrada em dois produtos entre vectores – o produto interno (ou escalar) e o
produto externo (ou vectorial). A ligação entre o electromagnetismo e a teoria da
relatividade é abordada (quando tal ligação é analisada, o que nem sempre acontece)
sem sair do contexto da álgebra tridimensional de Gibbs. Quanto muito, recorre-se à
análise “diádica” ou ao cálculo tensorial, mas então tendo de deixar a linguagem dos
vectores e passar a introduzir o conceito novo de tensor. E, no entanto, este corte
pedagógico entre o electromagnetismo do espaço 3 e o electromagnetismo do espaço-
tempo de Minkowski (1864-1909) no contexto da relatividade restrita de Einstein
(1879-1955) não é, verdadeiramente, necessário. A razão porque tal acontece é,
essencialmente, histórica: deve-se à própria génese da álgebra vectorial de Gibbs que
cortou, indevidamente, com as suas raízes ao alienar não só os quaterniões de Hamilton
(1805-1865) mas também a álgebra exterior de Grassmann (1809-1877). Acrescente-se:
alienou, essencialmente, a nova síntese proposta por Clifford (1845-1879) que
introduziu o produto geométrico entre vectores. Provavelmente, se esta nova abordagem
proposta por Clifford tivesse tido a repercussão que os trabalhos de Gibbs tiveram,
talvez a história da matemática, da física e da engenharia (e do divócio entre elas)
tivesse sido muito diferente, i.e., mais esclarecedora e fecunda em todos os sentidos. E,
no entanto, este desvio introduzido por Gibbs foi feito, curiosa e ironicamente, em nome
da clareza física – nomeadamente, da divulgação da teoria electromagnética de Maxwell
3Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
(1831-1879), acção essa muito reforçada pelo trabalho isolado mas persistente de
Heaviside (1850-1925).
Mas voltemos à questão essencial: o que distingue a álgebra tradicional (de Gibbs) da
álgebra de Clifford ou, seguindo o próprio Clifford, da álgebra geométrica?
Para efeitos da discussão que se segue, consideremos o espaço linear 3 , definido sobre
o corpo , com uma base 1 2 3, ,e e e . Para dois vectores desse espaço, digamos
31 1 2 2 3 3a a a= + + ∈a e e e e 3
1 1 2 2 3 3b b b= + + ∈b e e e , definem-se os habituais produto
interno ( ), ⋅ ∈a b a b e produto externo ( ) 3, × ∈a b a b :
( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )
1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3
1 2 2 1 1 2 1 3 3 1 1 3 2 3 3 2 2 3
a b a b a ba b a b a b a b a b a b
⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅+ + ⋅ + + ⋅ + + ⋅
a b e e e e e ee e e e e e
( )( ) ( )( ) ( )( )1 2 2 1 1 2 1 3 3 1 1 3 2 3 3 2 2 3a b a b a b a b a b a b× = − × + − × + − ×a b e e e e e e .
Por enquanto, não se introduziu qualquer métrica, i.e., apenas se considerou que o
produto interno é simétrico e que o produto externo é anti-simétrico. Introduzamos,
agora, uma métrica (neste caso, afirmando que a base é ortonormada)
1,0,i j i j
i ji j
δ=⎧
⋅ = = ⎨ ≠⎩e e
e ainda uma orientação
1 2 3
2 3 1
3 1 2
× =⎧⎪ × =⎨⎪ × =⎩
e e ee e ee e e
Nestas condições, vem simplesmente
2e
1e
3e
Carlos R. Paiva 4
1 1 2 2 3 3a b a b a b⋅ = + + ∈a b
( ) ( ) ( ) 32 3 3 2 1 3 1 1 3 2 1 2 2 1 3a b a b a b a b a b a b× = − + − + − ∈a b e e e
ou, usando o “determinante” formal,
( ) ( ) ( )1 2 3
1 2 3 2 3 3 2 1 3 1 1 3 2 1 2 2 1 3
1 2 3
a a a a b a b a b a b a b a bb b b
× = = − + − + −e e e
a b e e e .
O espaço linear 3 dotado do produto externo consitui uma álgebra de Lie: o produto
externo não é abeliano (ou comutativo), não é associativo, não tem elemento neutro e
obedece à identidade de Jacobi.
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
anti-simetriaálgebra de Lie distributividade
identidade de Jacobi 0α β α β
× = − ×→ × + = × + ×
× × + × × + × × =
a b b aa b c a b a ca b c b c a c a b
A distributividade no primeiro argumento resulta da anti-simetria ( ),α β ∈ :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )α β α β α β α β+ × = − × + = − × − × = × + ×a b c c a b c a c b a c b c .
Usando a conhecida propriedade ( ) ( ) ( )× × = ⋅ − ⋅a b c a c b a b c , é fácil verificar quer a
não associatividade (no caso geral)
( ) ( ) ( )× × − × × = × ×a b c a b c b c a
quer a identidade de Jacobi
5Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 0
× × = ⋅ − ⋅⎧⎪
× × = ⋅ − ⋅ ⇒ × × + × × + × × =⎨⎪ × × = ⋅ − ⋅⎩
a b c a c b a b c
b c a a b c b c a a b c b c a c a b
c a b b c a a c b
.
A identidade de Jacobi é, de certa forma, a propriedade que substitui a associatividade
numa álgebra de Lie. Usando os símbolos de permutação i j kε de Levi-Civita (1873-
1941), é possível verificar quais são as constantes de estrutura ki jC desta álgebra de Lie:
0, se algum par de índices , , for igual1, se for uma permutação par de 123
1, se for uma permutação ímpar de 123
k ki j i j k i j i j k
i j kC C i jk
i jkε
⎧⎪× = → = = ⎨⎪ −⎩
e e e
O produto externo tem, numa reflexão especular, um comportamento peculiar
relacionado com o facto de um triedro orientado ser um objecto quiral: numa reflexão
face a um espelho, um objecto quiral não coincide com a sua imagem. Com efeito, um
triedro dextrorso (ou direito) tem, como imagem num espelho, um triedro sinistrorso
(ou esquerdo). Na figura anexa o triedro ( ), ,′ ′ ′a b c é a imagem especular do triedro
( ), ,a b c ; porém, enquanto que = ×c a b , tem-se ′ ′ ′= − ×c a b .
1X
2X
a ′a
= ×c a b
b′b
′ ′ ′= − ×c a b
c
′c
Carlos R. Paiva 6
Devido a este tipo de comportamento assimétrico do produto externo, há autores que
falam de “vectores polares” ou “verdadeiros” vectores e de “vectores axiais” ou
“pseudovectores”. Na realidade, tal distinção só é necessária devido à assimetria do
produto externo em reflexões. Ao eliminar o produto externo, tal ambiguidade
desaparece.
Mas o produto externo padece de uma dificuldade mais grave: só existe, como tal, em
três dimensões. Em duas dimensões não é possível sair do plano para introduzir um
vector perpendicular ao plano; em quatro dimensões a direccção ortogonal ao plano não
está univocamente determinada. E, no entanto, a electrodinâmica relativista tem de ser
entendida no espaço-tempo quadridimensional (seja no quadro da relatividade restrita,
seja no quadro da relatividade geral).
Todas estas dificuldades podem ser superadas se, em vez da álgebra de Lie associada ao
produto externo, se adoptar uma nova álgebra – a álgebra geométrica proposta por
Clifford. Não só a álgebra geométrica pode ser definida num espaço com uma dimensão
qualquer, como a distinção entre “vectores polares” e “vectores axiais” em 3 se torna
supérflua. Além disso, enquanto que a álgebra de Gibbs é uma álgebra de Lie não
associativa, a álgebra geométrica é associativa. Vamos explicar, de seguida, a
importância prática de ter uma álgebra de vectores que seja associativa.
Consideremos, para fixar ideias, que estamos a trabalhar em 3 . Define-se um produto
geométrico entre dois vectores 1 1 2 2 3 3a a a= + +a e e e e 1 1 2 2 3 3b b b= + +b e e e de 3 da
seguinte forma: ( ) 3, C∈a b ab é um produto que obedece a três axiomas (a , b e c
são vectores de 3 )
( ) ( )( ) ( )
220
associatividadeaxiomas da
distributividade ,álgebra geométrica
contracção .+→ + = + + = +
= = ⋅ = ∈
a bc = ab c
a b c ab ac a b c ac bc
a aa a a a
7Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
Nota: Por enquanto, é preferível não definir ainda o espaço 3C cuja designação quer
simplesmente dizer que se trata da álgebra (geométrica) de Clifford no espaço
tridimensional, i.e., definida no interior do espaço linear 3 .
Tal como no caso do produto externo, o produto geométrico não é – no caso geral – um
produto abeliano (ou comutativo): ≠ab ba . Vejamos, agora, que consequências é que
se inferem destes axiomas.
Comecemos por calcular o número real correspondente ao quadrado de +a b :
( ) ( )( )( )
2 2 2
2 2 2 .
+ = + + = + + + ∈
∴ + = + − − ∈
a b a b a b a b ab ba
ab ba a b a b
Em seguida, notemos que:
( ) ( )1 12 2
parte par parte ímpar
= + + −ab ab ba ab ba .
O caso particular em que =a b conduz, de acordo com o axioma da contracção, a
22 = = ⋅ =a aa a a a .
Introduz-se então o produto interno, que é simétrico, através da definição:
( )12
⋅ = + ∈a b ab ba .
Escreve-se, então,
Carlos R. Paiva 8
( ) ( )
( ) ( )2
3
1 12 21 12 2
⋅ = + = + = ⋅ ∈
∧ = − = − − = − ∧ ∈
a b ab ba ba ab b a
a b ab ba ba ab b a ∧
onde se introduziu o produto exterior, que é anti-simétrico, através da definição
( )2
312
∧ = − ∈a b ab ba ∧ .
Qual a natureza do produto exterior? Vejamos. Tem-se sucessivamente
= ⋅ + ∧ → ∧ = − ⋅= ⋅ − ∧ → ∧ = ⋅ −
ab a b a b a b ab a bba a b a b a b a b ba
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( )( )( )
( )
( )
2
2
22 2
2 2 2
2
.
∧ = − ⋅ ⋅ −
= ⋅ − − ⋅ + ⋅
= ⋅ + − − ⋅
⋅
= ⋅ −
a b ab a b a b ba
a b ab abba a b a b ba
a b ab ba a b a b
a b
a b a b
Como ( )cos θ⋅ =a b a b , infere-se que
θ
a
b
a
( )cos θb
( )sin θb ∧a b
9Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 22 2 2cos sin 0θ θ∧ = − = − ≤a b a b a b a b .
Como ( )2 0∧ ≤a b , é óbvio que ∧a b não é nem um escalar nem um vector – é aquilo
que designaremos por um bivector. Além disso, ( )sin θ∧ =a b a b dá a área do
paralelogramo da figura anterior. Podemos, portanto, interpretar o produto exterior
como uma área orientada: o sentido de ∧a b é o representado na figura; o sentido de
∧b a é o diametralmente oposto. O produto exterior substitui, na álgebra geométrica, o
produto externo da álgebra tradicional. Note-se, ainda, que este produto é associativo –
tal como o produto geométrico – ao contrário do produto externo. Além disso, não é
necessária a métrica para definir o produto exterior, embora ela seja indispensável na
definição do produto externo.
Conclusão:
00
→ ∧ = → = ⋅ = ⋅ =⊥ → ⋅ = → = ∧ = − ∧ = −
a b a b ab a b b a baa b a b ab a b b a ba
Vejamos, agora, uma importante consequência da associatividade do produto
geométrico: a possibilidade de calcular o vector inverso de um dado vector. Seja
3u C= = ⋅ + ∧ ∈ab a b a b . Então
( ) ( )
( ) ( )
2 11 2
1 2 2 1
u u
u u
−−
− −
= = = → ==⇒
= = = = → =
b ab b a bb ab a bb b ba a a a a ab aa b a b b a
Falta, porém, esclarecer uma questão importante: qual é exactamente a natureza de
3u C= = ⋅ + ∧ ∈ab a b a b ? Sendo 1 1 2 2 3 3a a a= + +a e e e e 1 1 2 2 3 3b b b= + +b e e e ,
verifica-se que
Carlos R. Paiva 10
( )( ) ( )( ) ( )( )1 2 2 1 1 2 1 3 3 1 1 3 2 3 3 2 2 3
2 3 3 1 1 2 23
1 2 3
1 2 3
a b a b a b a b a b a b
a a ab b b
∧ = − ∧ + − ∧ + − ∧
∧ ∧ ∧∴ ∧ = ∈
a b e e e e e e
e e e e e ea b ∧
em que ∧a b pertence ao subespaço dos bivectores, i.e., 2
3∧ ∈a b ∧ .
23
3
02
32
produto geométrico multivector
produto interno escalar
produto exterior bivector
C= ⋅ + ∧ ∈ ⊕ ⊂ →
⋅ = ∈ →
∧ = ∈ →
ab a b a b
a b ab
a b ab
∧
∧
A soma 0 2
= +ab ab ab deve ser entendida como uma soma graduada. Nela
aparecem objectos que, embora pertencendo todos a 3C , têm diferentes graus: a
operação r
u consiste em projectar o elemento 3u C∈ nos seus diferentes graus – o
grau 0 corresponde ao subespaço dos escalares e o grau 2 corresponde ao subespaço dos
bivectores. O grau 1 corresponde aos subespaço dos vectores, enquanto que o grau 3
corresponde ao subespaço dos trivectores (ou pseudoescalares). Ao elemento genérico
3u C∈ dá-se o nome de multivector.
2 3
3 3 33C = ⊕ ⊕ ⊕∧ ∧
De facto, um trivector resulta de ( )β ∈
( ) ( ) ( )
( )
1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3
a a a b b b c c c
a a ab b bc c c
∧ ∧ = + + ∧ + + ∧ + +
= ∧ ∧
a b c e e e e e e e e e
e e e
11Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
( ) ( ) ( ) ( )
( )
1 2 3 3 2 2 3 1 1 1 3 1 2 2 1 1 2 3
33
1 2 3 .
a b c b c a b c b c a b c b c
β
∧ ∧ = − + − + − ∧ ∧⎡ ⎤⎣ ⎦
= ∧ ∧ ∈
a b c e e e
e e e ∧
( )3
31 2 3trivector β→ ∧ ∧ = ∧ ∧ ∈a b c e e e ∧
Mas, obviamente, que
( ) ( ) ( )1 2 3 1 1 2 3 2 1 2 3 3 0∧ ∧ ∧ = ∧ ∧ ∧ = ∧ ∧ ∧ =e e e e e e e e e e e e .
Infere-se, portanto, que a álgebra geométrica 3C é gerada por uma base
31 2 3
3 23
1 2 1 3 2 33
31 2 3
escalares 1
vectores , ,base de
bivectores , ,
trivectores
C
→
→→
→
→
e e e
e e e e e e
e e e
∧
∧
de modo que
( ) 33dim 2 8C = = .
Qual é a razão pela qual aos trivectores também se chama pseudoescalares? Vejamos.
Calculemos o quadrado do trivector de base 1 2 3e e e :
( ) ( )( ) ( )( )2 2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 2 1 1 2 3 1= = − = − = −e e e e e e e e e e e e e e e e e e .
Isto significa que entre o trivector de base 1 2 3e e e e o número imaginário 1i = − existe
uma certa analogia (embora, na verdade, se tenha o contrário: os números complexos é
que são, efectivamente, um subespaço da álgebra 3C , como adiante se verá). No caso
Carlos R. Paiva 12
geral, em que 1 1 2 2 3 3a a a= + +a e e e , 1 1 2 2 3 3b b b= + +b e e e e 1 1 2 2 3 3c c c= + +c e e e , vem
então
( )( )
33
1 2 3
2 2 0.
β
β
∧ ∧ = ∧ ∧ ∈
∴ ∧ ∧ = − ≤
a b c e e e
a b c
∧
Uma das grandes vantagens da álgebra geométrica é que, ao contrário da álgebra
vectorial de Gibbs, não se limita ao espaço linear 3 . Este aspecto da álgebra
geométrica é muito importante para a física em geral e, em particular, para o
electromagnetismo. Com efeito, a verdadeira natureza do electromagnetismo só se
revela totalmente quando este é estudado no âmbito do espaço-tempo
quadridimensional, nomeadamente no espaço-tempo de Minkowski da teoria da
relatividade restrita.
É a álgebra geométrica do espaço-tempo de Minkowski, que se designará – como
adiante se verá – por 1,3C , que permite tratar a física relativista (e, em particular, o
electromagnetismo relativista) de uma forma que não é mais do que uma mera
generalização da álgebra geométrica 3C . Deixa, portanto, de haver aqui qualquer corte
pedagógico com a análise vectorial do espaço tridimensional: o conceito de vector-4,
frequentemente usado em relatividade restrita, deixa de fazer sentido. Com efeito,
quando se fala em vector-4, fala-se em algo que não está claro: como se manipulam
estes objectos, e.g., como se multiplicam? A resposta a esta pergunta só é possível se
um vector fizer parte integrante de uma álgebra que permite multiplicar vectores – como
é o caso da álgebra geométrica 1,3C . É aqui que todo o potencial da álgebra geométrica
se liberta e se revela uma poderosa arma para a física em geral e para o
electromagnetismo em particular.
13Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
2.1 Corpo Os números , , ,a b c … são elementos de um conjunto designado por corpo. Num corpo
F os números podem ser adicionados e multiplicados. Sejam , ,a b c∈F .
• Axiomas da adição:
( ) ( )
comutatitivadeassociatividade
0 elemento neutro 0( ) 0 oposto
a b b aa b c a b c
a aa a a
+ = ++ + = + ++ =+ − = −
• Axiomas da multiplicação:
( )( )
( ) ( )
distributividade
associatividade
a b c ac bc
a b c ab ac
ab c a bc
+ = +⎧⎪⎨
+ = +⎪⎩
=
Carlos R. Paiva 14
1 1
1 elemento neutro 11 inverso de 0
comutatividade
a aa a a aab ba
− −
== ≠
=
Os conjuntos e não são corpos. Já os conjuntos , e são corpos.
2.2 Espaço linear Comecemos por recordar aqui a definição de espaço linear (ou vectorial) V definido
sobre o corpo dos números reais. Aos elementos do espaço linear V dá-se o nome
de vectores. Num espaço linear os vectores podem ser somados mas não se define um
produto entre vectores. É apenas possível multiplicar vectores por números (reais, neste
caso). Designam-se os números reais por escalares neste contexto.
( )( )
, para ,, para , ,
V VV Vλ λ
+ ∈ ∈∈ ∈ ∈
a b a b a ba b a a b
• Axiomas da soma entre vectores ( , , V∈a b c ):
( ) ( )
comutatitivadeassociatividade
0 vector nulo 0( ) 0 vector oposto
+ = ++ + = + ++ =+ − = −
a b b aa b c a b c
a aa a a
• Axiomas da multiplicação por escalares ( ,λ µ∈ , , V∈a b ):
( )( )
( ) ( )
distributividade
associatividade
1 elemento neutro
λ λ λ
λ µ λ µ
λ µ λ µ
+ = +⎧⎪⎨
+ = +⎪⎩
=
=
a b a b
a a a
a a
a a
15Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
Estes dois conjuntos de axiomas estabelecem uma estrutura linear em V . Exemplo de
espaço linear: 3 é um espaço linear definido sobre o corpo .
( ) 3 , , | , ,x y z x y z= × × = ∈
2.3 Funções lineares Um subconjunto U de um espaço linear V diz-se um subespaço linear de V desde que
seja fechado em relação às duas operações previamente definidas.
para ,para ,
U UU Uλ λ
+ ∈ ∈∈ ∈ ∈
a b a ba a
Por exemplo, 2 é um subespaço de 3 .
Uma aplicação L :U V→ entre dois espaços lineares U e V diz-se uma função linear
desde que (λ ∈ e , U∈a b )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )L L L , L Lλ λ+ = + =a b a b a a .
• Uma função linear V V→ diz-se uma transfomação linear ou um endomorfismo.
• Uma função linear U V→ invertível diz-se um isomorfismo linear e escreve-se
então U V .
Um vector V∈b diz-se uma combinação linear dos vectores 1 2, , , k V∈a a a… se for
possível escrever
1 1 2 2 1 2, , , ,k k kλ λ λ λ λ λ= + + + ∈b a a a … .
Um conjunto de vectores 1 2, , , ka a a… diz-se linearmente independente se nenhum
deles puder ser escrito como combinação linear dos restantes. Ou seja,
Carlos R. Paiva 16
1 1 2 2 1 20 0k k kλ λ λ λ λ λ+ + + = ⇒ = = = =a a a .
Numa combinação linear 1 1 2 2 k kλ λ λ= + + +b a a a em que o conjunto 1 2, , , ka a a…
é linearmente independente, os números 1 2, , , kλ λ λ… são únicos e designam-se por
coordenadas do vector b . As combinações lineares de 1 2, , , k V⊂a a a… formam um
subespaço de V conhecido por subespaço gerado por 1 2, , , ka a a… . Um conjunto
linearmente independente 1 2, , , k V⊂a a a… que gera V diz-se uma base de V . Todas
as bases de V têm o mesmo número de elementos que se designa por dimensão de V .
2.4 Álgebra e estruturas quadráticas
Uma função B :U U V× → diz-se bilinear ( ) ( ), B , V= ∈a b a b a b desde que seja
uma função linear em relação aos dois argumentos, i.e., desde que
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
1 1 2 2 1 1 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
B , B , B ,
B , B , B ,
λ λ λ λ
µ µ µ µ
+ = +⎧⎪⎨
+ = +⎪⎩
a a b a b a b
a b b a b a b
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 1 2 2
1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2
λ λ µ µ
λ µ λ µ λ µ λ µ
∴ + +
= + + +
a a b b
a b a b a b a b
Definição: Uma álgebra definida sobre um corpo F é um espaço linear A sobre o corpo
F onde foi introduzida uma função bilinear ( ) ( )B : : , B ,A A A a b× → =a b a b .
Os conceitos de distância e de ângulo são estranhos ao conceito de espaço linear. Não
tem qualquer significado dizer que duas linhas no espaço linear 2 são ortogonais ou
que os vectores 21 2, ∈e e são unitários. A estrutura linear permite comparar
comprimentos de vectores paralelos, não permite comparar comprimentos de vectores
não paralelos.
17Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
A estrutura quadrática num espaço linear n implica a existência de uma álgebra que
permite o cálculo com objectos geométricos. A estrutura quadrática está associada ao
conceito de métrica que resulta da definição de um produto interno.
Define-se o produto interno ( ), ⋅a b a b no espaço linear V , com , V∈a b e ⋅ ∈a b ,
tal que
( )( ) ( )
linear no primeiro factor
simétrico
0 para 0 definido positivo
λ λ
+ ⋅ = ⋅ + ⋅⎧⎪⎨
⋅ = ⋅⎪⎩
⋅ = ⋅
⋅ > ≠
a b c a c b c
a b a b
a b b a
a a a
Consideremos, como exemplo, o espaço 3 com uma base 31 2 3, , ∈e e e onde se
define o produto interno habitual entre os vectores 1 1 2 2 3 3a a a= + +a e e e e
1 1 2 2 3 3b b b= + +b e e e
1 1 2 2 3 3 em coordenadascos geometricamente
a b a b a bθ
⋅ = + +⋅ =
a ba b a b
em que θ , com 0 180θ≤ ≤ , é o ângulo entre a e b . Da definição em coordenadas,
vem
2 2 21 2 3 , cosa a a θ ⋅
= ⋅ = + + =a ba a aa b
.
2.5 Produto geométrico no plano: bivectores
Consideremos no espaço linear 2 uma base ortonormada 1 2,e e , i.e., tal que
1,0,i j ij
i ji j
δ=⎧
⋅ = = ⎨ ≠⎩e e
Carlos R. Paiva 18
onde se considerou o delta de Kronecker. O comprimento de um vector 2∈r , tal que
1 2x y= +r e e , é dado por 2 2x y= +r .
Vamos então introduzir um produto que satisfaz o seguinte requisito: o produto de r
por si próprio, que designaremos por 2 =r r r , deve ser igual ao quadrado do seu
comprimento, i.e.,
22 =r r .
Em termos de coordenadas isto significa que deverá ter-se então
( ) 222 2 21 2x y x y= + = + =r e e r .
Se não se considerar que o produto em causa é comutativo, apenas distributivo, verifica-
se que deverá ser
( ) ( )22 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 2 1x y x y x y x y= + = + + + = +r e e e e e e e e .
Assim, infere-se que os vectores 1 2,e e além de serem ortogonais devem obedecer a
2 21 2
1 2 2 1
1= == −
e ee e e e
Por outro lado, se se considerar o produto associativo, vem ainda
( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1= = = − = − = −e e e e e e e e e e e e e e e e .
Como o quadrado de 1 2e e é negativo, não pode ser nem um vector nem um escalar.
Será designado por bivector: trata-se, por definição, de uma área orientada no plano
19Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
correspondente ao quadrado de lados 1e e 2e e que iremos escrever na forma abreviada
12 1 2=e e e . Será portanto 21 12= −e e , com 21 2 1=e e e .
Definição: O produto geométrico (ou produto de Clifford) de dois vectores é, em geral,
a soma (graduada) de um escalar com um bivector, uma vez que
( ) 12
1 1 2 2 1 2 2 1
,,a b a b a b a bα β
α β= +
= + = −
a b ab e
com 1 1 2 2a a= +a e e e 1 1 2 2b b= +b e e .
2.6 Álgebra geométrica do plano Podemos agora definir a nossa primeira álgebra geométrica: a álgebra geométrica (de
Clifford) do plano, que designaremos por 2C . O produto geométrico atrás definido é o
correspondente produto bilinear 2 2 2C C C× → que estrutura a álgebra. A base desta
álgebra é constituída pelos quatro ( )22 4= elementos
12 1 2=e e e
X
Y
2e
1e
Carlos R. Paiva 20
1 2
12
1 escalar, vectores
bivectore ee
de forma que um elemento genérico, dito multivector 2u C∈ , é dado em geral por
0 1 1 2 2 12 12 2 0 1 2 12, , , ,u u u u u C u u u u= + + + ∈ ∈e e e .
Trata-se de uma álgebra graduada de dimensão ( )2dim 4C = , com
2
20 1 20
0 1 1 2 2 12 120 1 2, ,
rr
u u u u u C
u u u u u u u=
= = + + ∈
= = + =
∑e e e
em que r
u representa a projecção do multivector u no gau r . Sublinhe-se que se trata
de uma álgebra definida sobre o corpo (i.e., trata-se de uma álgebra real) e que
obedece à tabela multiplicativa:
1e 2e 12e
1e 1 12e 2e
2e 12−e 1 1−e
12e 2−e 1e 1−
2.7 Produto exterior
Assim, sendo 1 1 2 2a a= +a e e e 1 1 2 2b b= +b e e , o respectivo produto geométrico ab é
dado por
0 2,
= ⋅ + ∧
⋅ = ∧ =
ab a b a ba b ab a b ab
21Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
( )1 1 2 2
12 1 2 2 1 12
a b a ba b a b
αβ
⋅ = = +
∧ = = −
a ba b e e
onde se introduziu um novo tipo de produto entre vectores – o produto exterior:
( ) ( )1 2 2 1 12, a b a b∧ = −a b a b e .
O bivector 12e é o oposto de 21e (i.e., tem-se 12 21= −e e ). Infere-se, portanto, que o
produto exterior é – ao contrário do produto interno – anti-simétrico: ∧ = − ∧a b b a .
Logo
( )
( )
1212
⎧ ⋅ = +⎪= ⋅ + ∧⎧ ⎪⇒⎨ ⎨= ⋅ − ∧⎩ ⎪ ∧ = −⎪⎩
a b ab baab a b a bba a b a b a b ab ba
donde se infere que
00
= ⇔ ⇔ ∧ = ⇔ = ⋅= − ⇔ ⊥ ⇔ ⋅ = ⇔ = ∧
ab ba a b a b ab a bab ba a b a b ab a b
12 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 21∴ = = ⋅ + ∧ = ∧ = − ∧ = − = −e e e e e e e e e e e e e e .
Facilmente se verifica que a área A do paralelogramo da figura anexa da página
seguinte é precisamente dada por 1 2 2 1A a b a b= − , i.e., tem-se A = ∧a b . Obviamente
que 0A = quando a b . Com efeito, ( )2 0 0∧ = − ∧ ⇒ ∧ = ⇒ ∧ =a a a a a a a a .
( )( )1 1 2 2 1 2 1 2 2 1
1 2 2 1
2A a b a b a a b b a b
A a b a b
= + + − − −
∴ = −
Carlos R. Paiva 22
2.8 Números complexos e álgebra geométrica
Existe uma relação íntima entre a álgebra geométrica 2C e o conjunto dos números
complexos – não enquanto corpo, mas enquanto uma álgebra sobre . Para construir
a partir de 2 , i.e., de forma a poder identificar ( ),z x i y x y= + = em que z∈ e
,x y∈ , basta definir as seguintes duas operações
( ) ( ) ( )( )( ) ( )
1 1 2 2 1 2 1 2
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1
, , ,
, , ,
x y x y x x y y
x y x y x x y y x y x y
+ = + +
= − +
A título de exemplo, note-se que ( )0,1i = e que ( ) ( )22 0,1 1,0 1i = = − = − .
A álgebra 2C é a soma directa
2
2 22C = ⊕ ⊗∧
no sentido em que, se 0 1 1 2 2 12 12 2u u u u u C= + + + ∈e e e , então
X
Y
1a
1a
1b
2a
2a
2b
2b
1b
a
b 1 2 2 1A a b a b= −
23Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
2
2 20 0
0 0
1 1 2 2 1
12 12 2
, , ,escalar
vector
bivector
u u uu u
u u u
u u
= + + ∈ ∈ ∈
= →
= + = →
= = →
a B a B
a e e
B e
∧
É ainda possível escrever
2
22
2 2 22
2
parte par
parte ímpar
CC C C
C
++ −
−
⎧ = ⊕⎪= ⊕ → ⎨⎪ =⎩
∧
Note-se que a parte par não é apenas um subespaço: é também uma subálgebra. Dado
que 212 1= −e , existe um isomorfismo 2C + em que
( )
( )
12 2
22
12 12
número complexonúmero real
bivector
z x y Cx z
y z
+= + ∈ →
=ℜ ∈ →
= ℑ ∈ →
e
e e ∧
Definem-se, ainda, as seguintes operações em 2C : para 20 1 2u u u u C= + + ∈ ,
tem-se
0 1 2
0 1 2
0 1 2
ˆinvolução de graureversãoconjugação de Clifford
u u u uu u u uu u u u
= − += + −= − −
A norma de u é
2 2 2
0 0 1 2u u u u u u= = + −
que se reduz à norma do complexo 12z x y= + e : 2 212z x y z x y= − = +e .
Carlos R. Paiva 24
“The geometric view of complex numbers is connected with the structure of as a real
algebra , and not so much as a field.”
Pertti Lounesto, Clifford Algebras and Spinors, Cambridge University Press, Cambridge, 2nd
ed., 2001, p. 22
Note-se, agora, que:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 1
0 0 0exp , cos 1 , sin 1
! 2 ! 2 1 !
k k kk k
k k kk k kζ ζ ζζ ζ ζ
+∞ ∞ ∞
= = =
= = − = −+∑ ∑ ∑
( ) ( ) ( )2 2 2 1 212 12 12 12 12 121 , 1
k k kk k k+= = − = = −e e e e e e
( ) ( ) ( )( )
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 112 12 12
120 0 0
2 2 1
120 0
exp! 2 ! 2 1 !
1 12 ! 2 1 !
k k k
k k k
k kk k
k k
k k k
k k
θ θ θθ
θ θ
+∞ ∞ ∞
= = =
+∞ ∞
= =
= = ++
= − + −+
∑ ∑ ∑
∑ ∑
e e ee
e
( ) ( ) ( )12 12exp cos sinθ θ θ∴ = +e e .
1 2x y= +r e e
1e
2e
X
Y
22Plano dos vectores: C −=
z x i y= +
1 ℜ
ℑ
12 i=e
2Plano complexo: C +=
25Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
Obtém-se, deste modo, uma generalização da fórmula de Euler.
( )12 12expz x y r θ= + =e e
( ) ( ) ( )( ) ( )
2 12 12fórmula de Euler em exp cos sin
cos , sin
C r r r
x r y r
θ θ θ
θ θ
→ = +
∴ = =
e e
Existe, porém, uma diferença assinalável entre o escalar 1i = − e o bivector 12e ,
apesar de se ter 212 1= −e : para um vector 1 2x y= +r e e , enquanto que i i=r r é
12 12= −r e e r . Com efeito
( ) ( )12 1 2 12 1 12 2 12 12 12 1 2 12 1 12 2
1 12 1 1 2 1 2 1 12 1 2 12 2 1 2 1 2 2 12 2
12 12
,,
x y x y x y x y= + = + = + = +
= = − = − = = − = −
∴ = −
r e e e e e e e e e r e e e e e e ee e e e e e e e e e e e e e e e e e e e
r e e r
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
12 1 2 12 2 1
12 1 2 2 1
2 2 2 212 1 2 2 1 12 21 12
0
x y x y
x y x y
x y x y x y x y
= + = −
∴ ⋅ = + ⋅ − =
∴ ∧ = + ∧ − = − = +
r e e e e e e
r r e e e e e
r r e e e e e e e e
.
r
12re
12 12= −e r r e
Carlos R. Paiva 26
2.9 Reflexões e rotações
A estrutura algébrica de 2C permite tratar facilmente as reflexões e as rotações no
plano 2 . Comecemos por analisar a reflexão ′r do vector r em relação ao vector a .
Facilmente se verifica (ver figura anexa) que se tem
1−′ =r ar a
( )
( ) ( )
1 12
1 1
1,− −
− −⊥
⎧ = ⋅ =⎪⎨⎪ = − = − ⋅ = ∧⎩
r r a a a aa
r r r r a r a a r a a
( ) ( )1 1 1− − −⊥′∴ = − = ⋅ − ∧ = ⋅ + ∧ =r r r r a r a a a r a r a ar a
Nota importante: Uma rotação pode ser considerada como a composição de duas
reflexões (ver figura acima): o vector OP′′ ′′=r é a rotação de OP=r , com
( )cos 2 2α β′′ ′′⋅ = +r r r r .
a
b
O
P
P′
P′′
( ) ( ) ( )
1 1
11 1
− −
−− −
′ ′′ ′= =
′′∴ = =
r r ar a r br b
r b ar a b ba r ba
r
′′r
′r
r
′r
ar
⊥r
27Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
Note-se que ( )cos 2α′ ′⋅ =r r r r e ( )cos 2β′ ′′ ′ ′′⋅ =r r r r , com OP′ ′=r . Conclusão:
a composição de duas reflexões, primeiro em relação ao vector a e em seguida em
relação ao vector b , equivale a uma rotação de um ângulo que é o dobro do ângulo
entre os vectores a e b . Com efeito, verifica-se facilmente que ( )cos 2θ⋅ =a b a b e
( )cos θ′′ ′′⋅ =r r r r , com 2 2θ α β= + .
( )( ) ( )
1 1
11 1 1 1 1 1
,
1
− −
−− − − − − −
= ⇒ = =
∴ = ⇒ = ⇒ =
u ba a b u b ua
u ua b u ua b ba a b
No caso particular em que 2 2 1= =a b , tem-se 1− =a a e 1− =b b , ( ) 1 1 1− − −= =ba a b ab :
( )
12
2 2
12 121
1
12 121
2 2
12 12
cos , sin2 2
1 exp cos sin2 2 2
exp cos sin2 2 2
1
R
R
R R
R R
θ θ
θ θ θ
θ θ θ
−
−
−
⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ = ∧ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎪= = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = − = − ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= ⎪⇒ ⎨ ⎬⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎪= = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪=
⎪= = = ⎪⎪= − ⇒ = ⎭
a b a b e
a b ba e ea ab b ab e e
ba abbaab a b
r e e r r r
( )
2
212exp
R R RR θ
⎪⎪⎪
′′⎪⎪ ′′⇒ = =⎪ = −⎪⎪⎪⎪⎩
r r
r r re
Carlos R. Paiva 28
“The Clifford algebra 2C is a 4-dimensional algebra over the reals . It is isomorphic, as an
associative algebra, to the matrix algebra of real 2 2× matrices ( )Mat 2, , (…). However, in
the Clifford algebra 2C there is more structure than in the matrix algebra ( )Mat 2, . In the
Clifford algebra 2C we have singled out by definition a privileged subspace, namely the
subspace of vectors or 1-vectors 22C⊂ . No similar privileged subspace is incorporated in
the definition of the matrix algebra ( )Mat 2, .”
Pertti Lounesto, Clifford Algebras and Spinors, Cambridge University Press, Cambridge, 2nd
ed., 2001, p. 14
29Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
3.1 Vectores e bivectores
Consideremos agora o espaço linear tridimensional 3 . Nele existem vectores e
bivectores.
Vector → segmento de recta orientado
• magnitude (comprimento de PQ )
• direccção
atitude (linha PQ )
orientação (sentido de P para Q )
Bivector → segmento planar orientado
• magnitude (área de OPQR )
• direcção
atitude (plano OPQ )
orientação (sentido de rotação)
P
Q
O P
R Q
Carlos R. Paiva 30
Designaremos os vectores por letras minúsculas a negrito e os bivectores por letras
maiúsculas a negrito. Dois bivectores são iguais se tiverem a mesma magnitude e a
mesma direcção:
e= ⇔ = ↑↑A B A B A B
Isto significa que a forma é irrelevante: o mesmo bivector pode ser representado quer
por um rectângulo quer por um círculo – desde que tenham a mesma área e a mesma
direcção (i.e., desde que se encontrem no mesmo plano e tenham o mesmo sentido de
rotação).
Um bivector pode ser expresso através do produto exterior de dois vectores: = ∧A a b .
O produto exterior é anti-simétrico: ∧ = − ∧a b b a . Em particular: 0∧ =a a .
Os bivectores podem ser adicionados e multiplicados por escalares: constituem,
portanto, um espaço linear designado por 2
3∧ . Seja 1 2 3, ,e e e uma base ortonormada
de 3 . Então, uma base para o espaço linear dos bivectores é constituída por
1 2 1 3 2 3, ,∧ ∧ ∧e e e e e e .
Um bivector pode ser decomposto nas suas componentes de base:
12 1 2 13 1 3 23 2 3B B B= ∧ + ∧ + ∧B e e e e e e .
A A −A
a
b= ∧A a b b − = ∧A b a
a
31Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
Definindo um produto bilinear simétrico em 2
3∧ tal que
1 1 1 21 2 1 2
2 1 2 2
,⋅ ⋅
∧ ∧ =⋅ ⋅
x y x yx x y y
x y x y
vem, com ( ),θ = a b ,
( ) ( )
( )
2 2 2 2 2 22 2, cos
sin
θ
θ
⋅ ⋅∧ ∧ = = − ⋅ = −
⋅ ⋅
∴ ∧ =
a a a ba b a b a b a b a b a b
b a b b
a b a b
2 2 212 1 2 13 1 3 23 2 3 12 13 23B B B B B B= ∧ + ∧ + ∧ ⇒ = + +B e e e e e e B .
3.2 Trivectores O produto exterior de três vectores é um trivector.
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3
a a ab b bc c c
= ∧ ∧ = ∧ ∧V a b c e e e
1e
2e
3e
2 3e e∧
1 2e e∧
Carlos R. Paiva 32
1 1 2 2 3 3 1 2 3
1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3
1 2 31 1 2 2 3 3
1 2 3
a a a a a ab b b b b b
c c cc c c
β
= + +⎧⎪ = + + ⇒ = ∧ ∧ = ∧ ∧⎨⎪ = + +⎩
∴ = ∧ ∧
a e e eb e e e V a b c e e ec e e e
V e e e
O trivector V representa, deste modo, um volume orientado; o correspondente volume
é o do paralelepípedo de arestas a , b e c . O espaço linear dos trivectores tem
dimensão um
3
3dim 1⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠∧
e a sua base é o trivector
1 2 3∧ ∧e e e .
Dado que o produto exterior é associativo e anti-simétrico, tem-se para 3, , ∈a b c
( ) ( )∧ ∧ = ∧ ∧
∧ ∧ = ∧ ∧ = ∧ ∧ = − ∧ ∧ = − ∧ ∧ = − ∧ ∧
a b c a b ca b c b c a c a b c b a a c b b a c
Define-se um produto bilinear simétrico em 3
3∧ tal que
1 1 1 2 1 3
1 2 3 1 2 3 2 1 2 2 2 3
3 1 3 2 3 3
,⋅ ⋅ ⋅
∧ ∧ ∧ ∧ = ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅
x y x y x yx x x y y y x y x y x y
x y x y x y.
Assim, vem
, ,⋅ ⋅ ⋅
= ∧ ∧ ∧ ∧ = ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅
a a a b a cV V a b c a b c b a b b b c
c a c b c c.
33Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
Infere-se, então, que
123
, 0,
, 0β β
β ββ β
≥⎧= = = = ⎨− <⎩
V e V V .
3.3 Produto exterior e produto externo
Não se deve confundir o produto externo com o produto exterior. Para 3, ∈a b
3
23
vector
bivector
= × ∈ →
= ∧ ∈ →
c a b
B a b ∧
( ) ( ) ( )
2 3 3 1 1 2
1 2 3
1 2 3
2 3 3 2 2 3 3 1 1 3 3 1 1 2 2 1 1 2
a a ab b b
a b a b a b a b a b a b
∧ ∧ ∧∧ =
= − ∧ + − ∧ + − ∧
e e e e e ea b
e e e e e e
( ) ( ) ( )1 2 3
1 2 3 2 3 3 2 1 3 1 1 3 2 1 2 2 1 3
1 2 3
a a a a b a b a b a b a b a bb b b
× = = − + − + −e e e
a b e e e
Tem-se, contudo, ( )sin θ∧ = × =a b a b a b em que ( ),θ = a b .
= ×c a b
b
a
= ∧B a b
Carlos R. Paiva 34
Comentário: Na definição do vector = ×c a b é necessária uma métrica para determinar
a direcção perpendicular ao bivector = ∧B a b . O bivector = ∧B a b , porém, é
independente de qualquer métrica.
3.4 Dual de Hodge Dois espaços de dimensão finita que tenham a mesma dimensão são isomórficos. Por
isso
( )2 2
3 3 3 3dim dim 3⎛ ⎞= = ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠∧ ∧
o espaço linear dos vectores é isomórfico ao espaço dos bivectores. Podemos especificar
esse isomorfismo através do dual de Hodge em que
( ) ( )2
3 3 31 2 3, ,∈ = ∈ ∧ = ⋅ ∧ ∧ ∀ ∈a A a b a b a e e e b∧
1 1 2 2 3 3 1 2 3 2 3 1 3 1 2a a a a a a= + + = = ∧ + ∧ + ∧a e e e A a e e e e e e
uma vez que
1 2 3 2 3 1 3 1 2, ,= ∧ = ∧ = ∧e e e e e e e e e .
Analogamente, em sentido inverso, é possível estabelecer
( )2 2
3 3 31 2 3, , ,∈ = ∈ ∧ = ∧ ∧ ∀ ∈A a A B A B A e e e B∧ ∧
12 1 2 13 1 3 23 2 3 23 1 13 2 12 3A A A A A A= ∧ + ∧ + ∧ = = − +A e e e e e e a A e e e
a
=A a
35Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
( ) ( ) ( )1 2 3 1 3 2 2 3 1, ,∧ = ∧ = − ∧ =e e e e e e e e e
Facilmente se verifica que
( )( )
∧ = ×⎧⎪⎨
× = ∧⎪⎩
a b a b
a b a b
3.5 Álgebra exterior de Grassmann A álgebra exterior (do espaço euclidiano tridimensional) de Grassmann (1844) designa-
se por 3∧ e é a soma directa
2 33 3 3 3= ⊕ ⊕ ⊕∧ ∧ ∧
subespaço base
escalares→ 1 3 vectores→ 1 2 3, ,e e e
23 bivectores→∧ 1 2 1 3 2 3, ,∧ ∧ ∧e e e e e e
33 trivectores→∧ 1 2 3∧ ∧e e e
( )( )
2 2
3 3
1dim 2 41 1
1 2 1 dim 2 81 3 3 1
⎧ = =⎪⇒ ⎨= =⎪⎩
∧∧
Para uma base 1 2 3, ,e e e de 3 tem-se
,
0i j j i
i i
i j∧ = − ∧ ≠
∧ =
e e e e
e e
Podemos fazer: 0
3=∧ , 1
3 3=∧ . Assim
Carlos R. Paiva 36
3
3 3
0
i
i==⊕∧ ∧
3 3 3,j i ji +
∈ ∈ ⇒ ∧ =a b a b∧ ∧ ∧
3.6 Álgebra geométrica de Clifford A álgebra geométrica (do espaço euclidiano tridimensional) de Clifford (1882) designa-
se por 3C e é – tal como a álgebra exterior – a soma directa
2 33 3 3
3C = ⊕ ⊕ ⊕∧ ∧ .
Porém, enquanto a álgebra exterior se baseia no produto exterior, a álgebra geométrica
baseia-se no produto geométrico. Sejam 3, ∈a b . Então
( )( )
,
,
∧a b a b
a b ab →→
produto exteriorproduto geométrico
Para motivar a definição de produto geométrico de dois vectores comecemos por
considerar um vector 31 2 3x y z= + + ∈r e e e . Adimitamos, então, que se define um
produto de vectores tal que
22 2 2 2 0x y z= = = + + ≥r r r r
admitindo que a base 1 2 3, ,e e e é ortonormada, i.e.,
1,0,i j i j
i ji j
δ=⎧
⋅ = = ⎨ ≠⎩e e
Admitamos, ainda, que não incluimos a propriedade de comutatividade para este novo
produto entre vectores.
37Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
( )( )( ) ( ) ( )
21 2 3 1 2 3
2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 2 1 1 3 3 1 2 3 3 2
22 2 2
x y z x y z
x y z x y xz yz
x y z
= = + + + +
= + + + + + + + +
= + + =
r r r e e e e e e
e e e e e e e e e e e e e e e
r
Devemos então considear que
2
,
1i j j i
i i i
i j= − ≠
= =
e e e e
e e e
3C 3∧
1 1
1 2 3, ,e e e 1 2 3, ,e e e
12 1 2 13 1 3 23 2 3, ,= = =e e e e e e e e e 1 2 1 3 2 3, ,∧ ∧ ∧e e e e e e
123 1 2 3=e e e e 1 2 3∧ ∧e e e
Consideremos, agora, dois vectores quaisquer 31 1 2 2 3 3a a a= + + ∈a e e e e
31 1 2 2 3 3b b b= + + ∈b e e e . De acordo com as regras estabelecidas, vem então
( )( )( ) ( ) ( ) ( )
1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3 1 2 2 1 12 1 3 3 1 13 2 3 3 2 23
12 12 13 13 23 23
12 12 13 13 23 23
.,
a a a b b b
a b a b a b a b a b a b a b a b a bα β β βα β β β
= + + + +
= + + + − + − + −
= + + +∴ = + = + +
ab e e e e e e
e e ee e e
ab B B e e e
Note-se que
2
,
1i j
i j i j i j i j i j i ji
i jδ
∧ ≠⎧⎪= = ⋅ + ∧ = + ∧ = ⎨=⎪⎩
e ee e e e e e e e e
e
sendo, em geral,
Carlos R. Paiva 38
12 12 13 13 23 23,α β β β= ⋅ = ∧ = + +
∴ = ⋅ + ∧
a b B a b e e e
ab a b a b
O elemento 3u C= ∈ab não é um escalar nem é um bivector: é a soma graduada de
um escalar com um bivector – é aquilo que designaremos por um multivector.
3.7 Produto geométrico O produto geométrico de dois vectores dá um multivector, enquanto que o produto
exterior de dois vectores dá um bivector. Em geral, um elemeno qualquer 3u C∈ é
designado por multivector.
( )
( )3
12,12
⎧ ⋅ = +⎪= ⋅ + ∧⎧ ⎪∈ ⇒ ⇒⎨ ⎨= ⋅ − ∧⎩ ⎪ ∧ = −⎪⎩
a b ab baab a b a ba b
ba a b a b a b ab ba
00
= ⇔ ⇔ ∧ = ⇔ = ⋅= − ⇔ ⊥ ⇔ ⋅ = ⇔ = ∧
ab ba a b a b ab a bab ba a b a b ab a b
3 1 3 12
1,− − ⎛ ⎞∈ ∈ = ⎜ ⎟⎝ ⎠
a a a aa
( )( )
2 2 2 2
cos
sin
mais operações
θ
θ
⋅ =
∧ =
∴ ⋅ + ∧ =
∧ ≤
= →
a b a b
a b a b
a b a b a b
a b a b
ab a b
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 cos
sin 0
θ
θ
∧ = − ⋅ ⋅ − = ⋅ + − ⋅ −
= ⋅ − ⋅ − = ⋅ − = −
∴ ∧ = ⋅ − = − ≤
a b ab a b a b ba a b ab ba a b abba
a b a b a b a b a b a b a b
a b a b a b a b
a
a
b
θ
( )cos θb
( )sin θb
39Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
( ) ( )( ) ( )( )1 2 3 1 3 2 3 1 2 3 2 1
22 2 2 2123 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 2 1 1 2 3
2123 1
= − = = −
= = = − = −
∴ = −
e e e e e e e e e e e e
e e e e e e e e e e e e e e e e e e e
e
2 2 21 2 3
2 2 212 13 232123
1
1
1
= = =
= = = −
= −
e e e
e e e
e
( ) ( )( ) ( )
1 123 23 12 123 3123
2 123 31 31 123 2123
3 123 12 23 123 1
= = −⎧ ⎧ ∧ = × = ×⎪ ⎪= = − ⇒⎨ ⎨× = ∧ = − ∧⎪ ⎪= = −⎩ ⎩
e e e e e ea b a b a b e
e e e e e ea b a b a b e
e e e e e e
2
3 3123 123
23 3
123 123
⎧ ∈ ⇒ = = ∈⎪⎨⎪ ∈ ⇒ = = ∈⎩
a A ae e a
A a Ae e A
∧
∧
( ) ( )3 33dim dim 2 8C = = =∧
30 1 2 3
3123 123
03
12
31232
33
1233
soma graduada
, , , ,escalar
vector
bivector
trivector ou pseudoescalar
u u u u u C
uu
u
u
u
α β α βα
β
= + + + ∈ →
= + + + ∈ ∈
= ∈ →
= ∈ →
= = ∈ →
= = ∈ →
a be e a b
a
B be
V e
∧
∧
2 2 2 2 21233
0u β β= = = − ≤V e
3.8 Involuções Consideremos um multivector genérico
30 1 2 3u u u u u Cα= + + + = + + + ∈u B V .
Carlos R. Paiva 40
Definem-se três involuções em 3C :
0 1 2 3
0 1 2 3
0 1 2 3
ˆinvolução de graureversãoconjugação de Clifford
u u u u uu u u u uu u u u u
= − + −= + − −= − − +
3, u u∈ → = ⇒ =a b ab b a
Usando a reversão é possível introduzir a norma de qualquer multivector tal que
2
0
0 1 1 2 2 3 3 12 12 13 13 23 23 123 123
2 2 2 2 2 2 2 2 20 1 2 3 12 13 23 123
3, 2 .
u u u
u u u u u u u u u
u u u u u u u u u
u v C u v u v
=
= + + + + + + +
∴ = + + + + + + +
∈ ⇒ ≤
e e e e e e e
Usando a conjugação (de Clifford) é possível introduzir o inverso de qualquer
multivector tal que, se 3u C∈ e 0u u ≠ ,
1 uu u u u uu u
−= ⇒ = .
3.9 Contracção à esquerda e contracção à direita
Para 3∈a e 2
3∈B ∧ , define-se o trivector (basta fazer = ∧B b c e ter em
consideração a associatividade do produto exterior)
= ∧ = ∧V a B B a .
Trata-se aqui de uma operação que eleva o grau. Pelo contrário, define-se uma
contracção à esquerda que diminui o grau: se 3,u v C∈ , faz-se
41Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
( ) 1123 123u v u v −= ∧⎡ ⎤⎣ ⎦e e .
Analogamente, para a contracção à direita, vem
( )1123 123u v u v−= ∧⎡ ⎤⎣ ⎦e e .
No caso particular de 3∈a e 2
3∈B ∧ , tem-se = −a B B a .
( ) ( )1 1,− −⊥= = ∧a a B B a a B B
12, −
⊥= + =BaB a B a B BB
( )
( )
1212
⎧ = −⎪= + ∧⎧ ⎪⇒⎨ ⎨= − + ∧⎩ ⎪ ∧ = +⎪⎩
a B aB BaaB a B a BBa a B a B a B aB Ba
3
3, u C u u u∈ ∈ → = + ∧a a a a .
a ⊥a
a
= =b a B a B
12
− =a
aa
1 1− −= = ∧B a b a b
( )( )
1
1
−
−⊥
=
= ∧
a a B B
a a B B
Carlos R. Paiva 42
Quando 3r
u∈∧ , tem-se
( )
( )
13
13
1 121 12
rr
rr
u u u
u u u
−
+
⎧ ⎡ ⎤= − − ∈⎪ ⎣ ⎦⎪⎨⎪ ⎡ ⎤∧ = + − ∈⎣ ⎦⎪⎩
a a a
a a a
∧
∧
3.10 Reflexões Comecemos por considerar a reflexão ′r do vector r em relação ao vector a (figura
anexa).
( )( )
1
1
⊥
−
−⊥ ⊥
= ⋅ + ∧ = +⎧⎪⎪ = ⋅ → = ⋅⎨⎪
= ∧ → = ∧⎪⎩
ab a b a b a b a b
a b a b a a b b
a b a b a a b b
( ) ( ) ( )( )
1 1 1
1 1
,⊥ ⊥
− − −⊥
− −
′= + = −
= ⋅ = − = − ⋅ = ∧
′ ′∴ = ⋅ + ∧ ⇒ =
r r r r r r
r r a a r r r r a r a a r a a
r a r a r a r ar a
a
r1−′ =r ar a
1−′′ = −r ar a
123=A ae
43Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
Por sua vez, a reflexão do mesmo vector r mas agora em relação ao plano caracterizado
pelo bivector 123=A ae (dual do vector a ) permite obter um novo vector ′′r .
1−⊥′′ ′ ′′= − = − ∴ = −r r r r r ar a
2vector unitário, 1 ,′ ′′→ = ⇒ = = −a a r ar a r ar a
3.11 Rotações
Consideremos, agora, a rotação ′a do vector a em torno do eixo 123= −u Be e
determinada pelo bivector unitário B , i.e, com 2 1= −B : ′a a .
( ) ( )( ) ( )
11
2 1
−−
−⊥
⎧ = = −⎪= = − ⇒ ⎨= ∧ = − ∧⎪⎩
a a B B a B BBB BB a a B B a B B
( )
2 2
2
1, cos , sin2 2
cos sin2 2
exp , exp exp 12 2
R
R R R RR
θ θ
θ θ
θ θθ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = ⋅ = ∧ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = ⋅ + ∧ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − ⇒ = = ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
m n m n m n B
nm n m n m B
B B mn B
B
a ′a
θa
′a
123= −u Be
Carlos R. Paiva 44
rotor : exp2
R RR R
R Rθ ⊥ ⊥⊥ ⊥ == ⎧⎧ ⎪⎛ ⎞= = = − → ⇒⎨ ⎨⎜ ⎟ = − =⎝ ⎠ ⎪⎩ ⎩
a aa B Banm B
a B Ba a a
22 R
R
R R R R R R
⊥ ⊥
⊥ ⊥⊥
′ ′ ′= + = +
′ =⎧⎪ ′⇒ = +⎨ ′ =⎪⎩
′ ′∴ = + ⇒ =
a a a a a a
a aa a a
a a
a a a a a
3.12 Funções lineares, valores próprios e vectores próprios
Uma aplicação L :U V→ entre dois espaços lineares 3,U V ⊂ diz-se uma função
linear desde que (λ∈ e , U∈a b )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )L L L , L Lλ λ+ = + =a b a b a a .
Quando se verifica que
( )L λ=a a
diz-se que λ∈ é um valor próprio de L e que 3∈a é um vector próprio de L .
Supondo que os valores próprios 1 2 3, ,λ λ λ ∈ de L são todos distintos, com
1 2 3λ λ λ< < , os correspondentes vectores próprios 31 2 3, , ∈e e e constituem um base de
3 . Tem-se, portanto,
( )1, 2,3 L i ii λ= → =e e .
Os vectores próprios (todos distintos) formam uma base ortonormada de 3 :
1,0,i i i j
i ji j
δ=⎧
⋅ = = ⎨ ≠⎩e e
Nestas condições é possível decompor qualquer função linear na forma
45Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3
1 1 1 2 2 2 3 3 3
L L L L
L Li i i
a a a a a a
a a aλ λ λ λ
= + + ⇒ = + +
∴ = ⇒ = + +
a e e e a e e e
e e a e e e
( )
1 3
21 1
1 2 3 22
3 3
2 22 1 1 3 2 3
3 22 13 1 2 2
1 3
sin , cos2 2
20
2
2 , 2
1 02 2 2
φ φγ γ
λ α β γλ λ λ λ α
λ α β γ
λ λ β γ λ λ β γ
λ λλ λβ λ λγ γ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎧ = −⎪< < < ⇒ =⎨⎪ = +⎩
∴
− = − =
−−= − = = >
( )
( )
( )
( )
11
1 1 3 32 22 123
1 1 3 3
33
2 2 3 2 13 1
3 1
12
11
22cos
γγ γγ γ
γλ λ λφ γ γ
λ λ
⎧ = −⎪⎪= +⎧ ⎪= = → ⇒ = × = ∧⎨ ⎨= − +⎩ ⎪⎪ = +⎪⎩− +
⋅ = = − =−
e m nm e e
m n e n m m n en e e
e m n
m n
( ) ( )
( ) ( )
3 22 11 3
3 1 3 1
1 2 3
1 cos 1 cos,
2 2
1 , , 1
φ φ λ λλ λγ γλ λ λ λ
λ α β λ α λ α β
− + −−= = = =
− −
∴
= − − ⋅ = = + + ⋅m n m n
⊗
2X
3X
1X
2φ 2φ
3γ
1γ1γ−
1e
3e
mn
Carlos R. Paiva 46
( )
( )
11 1 3 3 1
1 1 2 2 3 31 1 3 3
33
2
2
aa a
a a aa a
a
γ γ γγ γ
γ
⎧ − ⋅=⎪⋅ = +⎧ ⎪= + + ⇒ ⇒⎨ ⎨⋅ = − + + ⋅⎩ ⎪ =⎪⎩
m n am a
a e e en a m n a
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 2 2 2 3 3 3 2 1 2 1 1 3 2 3 3
3 21 22 2 2
1 3
L
L4 4
1L2
a a a a aλ λ λ λ λ λ λ λλ λλ λλ
γ γ
α β
= + + = + − + −
−−= + − ⋅ − + + ⋅ +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∴ = + + ⋅ + − − ⋅ −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
a e e e a e e
a a m n a m n m n a m n
a a m n a m n m n a m n
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )2 3 1
função biaxial L
1L2
α β
λ λ λ
− ⋅ − = ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦+ ⋅ + = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦
∴
→ = + ⋅ + ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦
= + − ⋅ + ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦
m n a m n m a m m a n n a m n a n
m n a m n m a m m a n n a m n a n
a a m a n n a m
a a m a n n a m
No caso particular em que 0φ = , vem 3= =m n e , 1 0γ = e 3 1γ = . Mas então
( ) ( )( )
1 2 3, 2
função uniaxial M
λ λ α λ λ α β λ
λ λ λ
⊥
⊥ ⊥
= = = = + =
∴
→ = + − ⋅a a m a m
3.13 Funções lineares de multivectores Uma das aplicações mais interessantes da álgebra geométrica é a que se relaciona com
as funções lineares de multivectores. Este tipo de aplicações permite dispensar a
utilização extensiva de matrizes, que dependem de cartas de coordenadas concretas, na
manipulação das funcões lineares. Antes, porém, vamos listar algumas propriedades das
operações em 3C que serão úteis neste contexto. Sejam 3, , , ∈a b c d .
47Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2 2
33
3
123 123
33
123 123
23
123 123 123
∧ = ⋅ − ∈
∧ ∧ = ∧ ∧ ∈
∧ = ⋅ − ⋅ ∈
⋅ ∧ = ∧ ∧ ∈⎡ ⎤⎣ ⎦
∧ = ⋅ ∈
∧ ∧ = ⋅ − ⋅ ∈⎡ ⎤⎣ ⎦
a b a b a b
a b c a b c
a b c a b c a c b
a b c e a b c e
a be a b e
a b c e a b ce a c be
∧
∧
∧
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
33 3
3
3
3
33
22 3
12
12
C
C
∧ = ∧ + ∧ ∧ ∈ ⊕ ⊂
∧ = ∧ + ∧ ∧ = − ∧ + ∧ ∧ ∈
∧ = ∧ − ∧ ∈⎡ ⎤⎣ ⎦
∧ ∧ = ∧ + ∧ ∈⎡ ⎤⎣ ⎦
∧ ∧ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ∈
⎡ ⎤∧ ∧ ∧ = ∧ ∧ ∈⎣ ⎦
a b c a b c a b c
b c a b c a b c a a b c a b c
a b c a b c b c a
a b c a b c b c a
a b c d a d b c a c b d
a b c d a b a b c d
∧
∧
∧
Já se definiu, anteriormente, uma função linear de vectores em 3C . Vamos, agora,
generalizar o conceito introduzindo uma função linear de multivectores. Comecemos
pelos bivectores. Com 3, ∈u v , vem por definição:
( ) ( ) ( )L L L∧ = ∧u v u v
Para concretizar, consideremos um exemplo.
( ) ( ) ( )
3 2 2, , , , , , 1
L
α β
α β
∈ ∈ = =
= + ⋅ + ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦
u v m n m n
u u m u n n u m
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
221
22 2
L
L
L
α β α β
α αβ
αβ β
α αβ αβ β
∧ = + ⋅ + ⋅ ∧ + ⋅ + ⋅⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤∧ = ∧ − ∧ ∧⎣ ⎦
⎡ ⎤− ∧ ∧ + ∧ ∧⎣ ⎦
∴
= ∧ → = − ∧ − ∧ + ∧
u v u m u n n u m v m v n n v m
u v u v m u v n
n u v c m n u v
B u v B B m B n n B m m n B
Carlos R. Paiva 48
Analogamente define-se uma função linear de um trivector. Sejam 3, , ∈u v w . Então:
( ) ( ) ( ) ( )L L L L∧ ∧ = ∧ ∧u v w u v w
Consideremos, ainda, o mesmo exemplo tratado anteriormente. Obtém-se:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
L
L
α α β β
α α β β
⎡ ⎤∧ ∧ = + ⋅ − ∧ ∧⎣ ⎦
⎡ ⎤∴ = ∧ ∧ ⇒ = + ⋅ −⎣ ⎦
u v w m n u v w
V u v w V m n V
3.14 Determinante de uma função linear A álgebra geométrica permite, também, uma manipulação fácil dos determinantes. Para
isso introduz-se um novo conceito: o determinante de uma função linear. Faz-se na
álgebra linear 3C , por definição,
( ) ( )3
3 3, , , L det L∈ = ∧ ∧ ∈ → =u v w V u v w V V∧ .
Continuando a considerar o mesmo exemplo que tem vindo a ser tratado, tem-se então:
( ) ( ) ( ) ( )2 22 2L det Lα α β β α α β β⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + ⋅ − ⇒ = + ⋅ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦V m n V m n .
1e
2e
3e
L ( )1L e
( )3L e
( ) ( )123 123L det L=e e
( )2L e
49Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
Este resultado poderia ter sido obtido de outra forma. Como o determinante é o produto
dos três valores próprios da função, viria:
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
2 21 3
1
2 1 2 3 2
3 2 2
1det L
1det L
λ λ α β βλ α βλ α λ λ λ λλ α β
α α β β
⎧ Λ = = + ⋅ −⎪= − − ⋅⎧ ⎪⎪ ⎪= ⇒ = = Λ⎨ ⎨⎪ ⎪= + + ⋅⎩ ⎪ ⎡ ⎤∴ = + ⋅ −⎪ ⎣ ⎦⎩
m nm n
m nm n
A definição de determinante permite deduzir, de forma muito económica, resultados
importantes. Vejamos o caso de uma função composta 2 1L L L= .
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
32 1 2 1
33
2 1 2 1
1 2 1 2
2 1 1 2
, L L L L L
, det L L L L L L
det L L det L det L
det L L det L det L
a∈ = = ⎡ ⎤⎣ ⎦
∈ = = = ⎡ ⎤⎣ ⎦= =
∴ =
a a a
V V V V V
V V
∧
3.15 Adjunta de uma função linear Todas as operações usuais da álgebra linear podem ser efectuadas através da álgebra
geométrica sem recorrer a componentes, i.e., de forma abstracta. Vejamos, agora, como
determinar a função adjunta F de uma dada função linear F : sendo F :U V→ , a sua
adjunta é a aplicação F :V U→ tal que
( ) ( )F F , ,U V⋅ = ⋅ ∀ ∈ ∀ ∈a b a b a b .
Esta definição é extensível a bivectores e trivectores. Consideremos o seguinte caso:
( ) ( ) ( )F α= + ⋅ + ⋅a a u a m v a n .
Carlos R. Paiva 50
Para esta função, vem sucessivamente
( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
F
F F
F F
α
α
α
⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅
∴ = + ⋅ + ⋅ ≠
a b a b u a m b v a n b
a b a b m b u n b v a b
a a m a u n a v a
Podemos facilmente demonstrar que o determinante de uma função é o mesmo que o da
sua adjunta:
( ) ( ) ( ) ( )3
3 1 1, det L L L det L− −∈ = = =V V V V V∧ .
Pode ainda demonstrar-se que
( ) ( )2 3
3 3, , L L L⎡ ⎤∈ ∈ = ⎣ ⎦B V V B V B∧ ∧ .
3.16 Funções simétricas e anti-simétricas Uma função linear F é simétrica quando é igual à sua adjunta e anti-simétrica quando a
sua adjunta for igual a F− . A função biaxial é simétrica:
( ) ( ) ( ) ( )função biaxial L L simétricaα β→ = + ⋅ + ⋅ = ←⎡ ⎤⎣ ⎦a a m a n n a m a .
Um endomorfismo F :U U→ (i.e., uma transformação linear) qualquer pode ser
sempre decomposto(a) na soma de uma função simétrica L com uma função anti-
simétrica M :
51Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )F
L LL M L M
MF
⋅ = ⋅⎧⎪ ⇒ + ⋅ = ⋅ −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎨ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⋅ = − ⋅⎪⎩
ba b a b
a a b a b ba b a M b
a
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1L F F simétricaF L M 2F L M 1M F F anti-simétrica
2
⎡ ⎤= + ←⎣ ⎦= +∴ ⇔
= −⎡ ⎤= − ←⎣ ⎦
a a aa a aa a a a a a
Consideremos um caso concreto para ilustrar esta situação.
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
F
F
1 1L2 2
1 1M2 2
α
α
α
= + ⋅ + ⋅
↓
= + ⋅ + ⋅
↓
= + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
a a u a m v a n
a a m a u n a v
a a a u m a m u a v n a n v
a a u m a m u a v n a n v
Note-se, ainda, que se pode escrever
( ) ( ) ( )
( )
( )
3
23
1M2
M12
⎡ ⎤= ∧ + ∧⎣ ⎦
∴
= ∈
= ∧ + ∧ ∈
a a u m a v n
a a M
M u m v n ∧
Em geral, se uma dada função linear F é anti-simétria, tem-se ( ) ( )F F= −a a . Logo
( ) ( ) ( ) ( )F F F F 0⋅ = ⋅ = − ⋅ ⇒ ⋅ =a a a a a a a a .
A forma mais natural de estudar uma função anti-simétrica é através do bivector
Carlos R. Paiva 52
( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 31 1F F F F convenção da soma2 2 i i= ∧ + ∧ + ∧ = ∧ ←⎡ ⎤⎣ ⎦F e e e e e e e e .
Com efeito, vem sucessivamente
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
2 F
F F
F F
2 F
i i
i i i i
i i i i
= ∧⎡ ⎤⎣ ⎦= ⋅ − ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦= ⋅ + ⋅⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦=
a F a e e
a e e a e e
a e e a e e
a
de modo que a acção da função anti-simétrica se reduz à contracção com o bivector
característico:
( )F é anti-simétrica F→ =a a F .
No exemplo tratado anteriormente, ( )( )1 2= ∧ + ∧M u m v n é o bivector característico
da função anti-simétrica ( ) ( ) ( ) ( )M 1 2 ⎡ ⎤= ∧ + ∧⎣ ⎦a a u m a v n .
Demonstremos, agora, a seguinte propriedade: os vectores próprios correspondentes a
valores próprios distintos de uma função linear simétrica são ortogonais.
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( )( )
F , F
F0
F
0
i i i j j j
i j j i j
i j i j
i j i i j
i j i j
λ λ
λλ λ
λ
λ λ
= =
⎧ ⋅ = ⋅⎪ ⇒ − ⋅ =⎨⋅ = ⋅⎪⎩
∴
≠ ⇒ ⋅ =
e e e e
e e e ee e
e e e e
e e
No caso dos valores próprios poderem ser complexos, virá:
53Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )F F 0
0
λ λ λ λ
λ λ
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗
⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ ⇒ − ⋅ =
∴ ⋅ ≠ ⇒ = ∈
e e e e e e e e e e
e e
3.17 Inversa de uma função linear
Define-se a inversa 1L− de uma função linear não nula L como sendo a função tal que
( )( ) ( )( )1 1L L L L ,− −= = ∀a a a a .
Mas então, introduzindo um bivector B e um trivector V tais que 1−=B V a , vem
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1
1 1
det L det L L L L L L
1L Ldet L
− −
− −
⎡ ⎤⎡ ⎤= → = = = =⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∴ =
B V a a V B V B V B V V a
a V V a
Notando que, em geral, se tem 123β=V e com β ∈ , é ainda possível definir uma
função auxiliar †L tal que
( ) ( ) ( )† 1L det L L−=a a
e que representa uma função escalonada da inversa.
( ) ( )1 †123123 123 123 1232
123
L L− = = − ⇒ = −ee e a e aee
Consideremos novamente o caso em que
( ) ( ) ( )função biaxial L α β→ = + ⋅ + ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦a a m a n n a m .
Para esta função linear vem
Carlos R. Paiva 54
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
† 2
2 21 2 3
L 2
det L
α α β β β β
α α β β α λ λ λ
= + ⋅ − ⋅ − ⋅ + ∧ ∧ ∧⎡ ⎤⎣ ⎦⎡ ⎤= + ⋅ − = Λ =⎣ ⎦
a m n a m a n n a m m n m n a
m n
( ) ( ) ( )
31 11
2 1 1 3 3
1 1 3 313 3 3
2
3
1
02 1
0 0
03 1
sinsin 22
cos cos2 2
tan tan2 2
1
L1 1 12
λ θφ τ γγ λ τ ττ τφ λ θγ τ γ
λ
λθ φλ
αλ
α ββ
λ λ
−
⎧ ⎛ ⎞⎧ ⎛ ⎞ = == ⎪ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎪ ′ = +⎝ ⎠ ⎧⎪ ⎝ ⎠ ⎪→ →⎨ ⎨ ⎨ ′ = − +⎛ ⎞ ⎩⎛ ⎞⎪ ⎪= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎝ ⎠⎩
⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎧ =⎪⎪ ′ ′ ′ ′→ = + ⋅ + ⋅⎡ ⎤⎨ ⎣⎛ ⎞⎪ = −⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩
m e en e e
a a m a n n a m ⎦
3 1
2 2
3 1
2 2
3 1
3 1
12
12
1 0 velocidade da transformação
uboost
uu
u
λ λγλ λ γ γ
γ γλ λγλ λ
λ λλ λ
⎧ ⎛ ⎞= +⎪ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ′ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎪ ⎝ ⎠ → = ←⎨ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟′ −⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎪ = −⎜ ⎟⎪ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎩
−∴ > = > ←
+
m mn n
( )( )
( )2
3
1
cosh1 tanhsinh1
1 1 1ln ln rapidez da transformação2 1 4
uuu
uu
γ ξγ ξ
γ ξ
λξλ
=⎧⎪= → → =⎨=− ⎪⎩
⎛ ⎞+⎛ ⎞∴ = = ←⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( ) ( )3
1
1 exp 2 tan exp 2 tan1 2 2
uu
λ θ φξ ξλ
+ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Na figura anexa da página seguinte representa-se graficamente esta transformação de
Lorentz (ou, mais precisamente, este boost).
55Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
3.18 Funções lineares e matrizes É sempre possível reduzir o formalismo abstracto da álgebra geométrica ao formalismo
concreto da álgebra matricial. Consideremos, novamente, uma função linear L e uma
base ortonormada 1 2 3, ,e e e de 3 . À função linear L corresponde, com efeito, uma
matriz L de 3 3× cujos elementos Li j são obtidos através da regra
( ) ( )L L , L Li j i j i j= = ⋅e eL .
Consideremos, novamente, como exemplo a função linear
( ) ( ) ( )função biaxial L α β→ = + ⋅ + ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦a a m a n n a m .
Na base 1 2 3, ,e e e , em que 1 1 3 3γ γ= +m e e e 1 1 3 3γ γ= − +n e e , a matriz que representa
a função linear tem a forma diagonal cujos elementos diagonais são os valores próprios:
( ) ( )1
2 1 2 3
3
0 00 0 det L det0 0
λλ λ λ λ
λ
⎛ ⎞⎜ ⎟= ⇒ = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
L L .
De facto, trata-se do referencial dos eixos principais correspondentes aos três vectores
próprios. A forma quadrática associada a esta matrix é
⊗
2X
3X
1X
3γ
1γ1γ−
′m′n
mn
1τ1τ−
3τφ
θ
( )cos φ⋅ =m n ( )cos θ′ ′⋅ =m n
Carlos R. Paiva 56
( ) ( ) 2 2 21 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3Lx x x Q x x xλ λ λ= + + → = ⋅ = + +r e e e r r r .
A quádrica 1Q = será o elipsóide triaxial
22 2
31 2
1 2 3
11,2,3 1ii
xx xi aa a aλ
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= → = → + + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠.
Define-se o traço da matriz como a soma dos seus elementos diagonais. O traço de uma
função linear é a soma dos seus valores próprios.
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 2 2
1 1 1 1 1 1
1 2 2
tr
tr L L L L L convenção da soma
tr tr L
i i
λ λ λ
λ λ λ
= + +
= ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ ←
∴ = = + +
e e e e e e e e
L
L
A matriz adjunta de L é dada por
( ) ( )2 3
1 3 1 2 1 3 2 3
1 2
0 0adj 0 0 tr adj
0 0
λ λλ λ λ λ λ λ λ λ
λ λ
⎛ ⎞⎜ ⎟= ⇒ = + +⎡ ⎤⎣ ⎦⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
L L .
( ) ( ) ( )†123 123tr adj tr L tr L⎡ ⎤= = −⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦e aeL .
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )2† 2 2
L
tr L 3 2
tr L 3 4
α β
α β
α αβ β
= + ⋅ + ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦= + ⋅
= + ⋅ + ∧
a a m a n n a m
m n
m n m n
A equação característica que permite determinar os valores próprios de L será:
57Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
( )( )( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 2 3
3 21 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3
3 2
3 2 †
0
0
tr tr adj det 0
tr L tr L det L 0
λ λ λ λ λ λ
λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ
λ λ λ
λ λ λ
− − − =
− + + + + + − =
∴
− + − =⎡ ⎤⎣ ⎦
− + − =
L L L
Vejamos, agora, um outro exemplo. Consideremos a função linear
( ) ( )( ) ( )função uniaxial M Mi jλ λ λ⊥ ⊥→ = + − ⋅ =a a m a m M .
( ) ( )( ) ( )( )
1
1 1 2 2 3 3 2
3
sin cos
sin sin
cos
m
m m m m
m
= Θ Φ⎧⎪
= + + → = Θ Φ⎨⎪ = Θ⎩
m e e e
mΘ
Φ
2X
3X
1X
1e 2e
3e
Carlos R. Paiva 58
11 12 13
21 22 23
31 32 33
M M MM M MM M M
⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
M
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
2 211
2 222
2 233
212 21
13 31
23 32
M sin cos
M sin sin
M sin cos
M M sin sin cos
M M sin cos cos
M M sin cos sin
λ λ λ
λ λ λ
λ λ
λ λ
λ λ
λ λ
⊥ ⊥
⊥ ⊥
⊥
⊥
⊥
⊥
⎧ = + − Θ Φ⎪⎪ = + − Θ Φ⎪⎪ = Θ + Θ⎪⎨
= = − Θ Φ Φ⎪⎪
= = − Θ Θ Φ⎪⎪
= = − Θ Θ Φ⎪⎩
A forma quadrática associada a esta matriz é
( ) ( ) 2 2 211 1 22 2 33 3 12 1 2 13 1 3 23 2 3M M M M 2 M 2 M 2 MQ x x x x x x x x x= ⋅ = + + + + +r r r .
Neste caso, como se pode verificar, tem-se
( ) ( ) 2função uniaxial det M det λ λ⊥→ = =M .
A matriz M é simétrica porque a função linear M é simétrica. No referencial ( ), ,x y z
dos eixos principais, a matriz que representa a função linear M é (com o eixo c
alinhado com Z )
0 00 00 0
λλ
λ
⊥
⊥
⎛ ⎞⎜ ⎟
= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
′M .
A forma quadrática ( ) ( ) ( )2 2 2M 1Q x y zλ λ⊥= ⋅ = + + =r r r representa um elipsóide de
revolução:
59Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
2 2 2
1
11
a bx y za b cc
λ
λ
⊥
⎧ = =⎪⎪ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞→ + + =⎨ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ =⎪⎩
.
O mesmo elisóide de revolução corresponde à quádrica
2 2 2
11 1 22 2 33 3 12 1 2 13 1 3 23 2 3M M M 2M 2M 2M 1x x x x x x x x x+ + + + + =
dado que se trata da mesma forma quadrática, mas agora vista num referencial
( )1 2 3, ,x x x que não é o referencial dos eixos principais – trata-se, antes, de um
referencial que sofreu uma rotação em relação ao referencial principal ( ), ,x y z .
As duas figuras seguintes representam este elipsóide de revolução para dois casos
distintos.
2 2 22 0.5
14 0.25
a b x y zc a b c
λλ⊥ = = = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞→ → + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Carlos R. Paiva 60
2 2 24 0.25
12 0.5
a b x y zc a b c
λλ⊥ = = = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞→ → + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3.19 Os quaterniões de Hamilton Sir William Rowan Hamilton (1805-1865) inventou os quaterniões em 1843. Os
quaterniões são números hipercomplexos da forma
( ) dim 4 1, , , baseq w ix j y zk i j k= + + + ∈ → = ← ←H H
em que , , ,w x y z∈ e as unidades imaginárias generalizadas i , j , k satisfazem as
relações
2 2 2 1
, ,i j ki j ji k jk k j i ki ik j
⎧ = = = −⎨
= − = = − = = − =⎩
A multiplicação é, por definição, não comutativa – embora seja associativa: H é um
anel de divisão mas não é um corpo (um corpo é um anel de divisão abeliano ou
comutativo). As regras de multiplicação anteriores podem ser sintetizadas na forma
2 2 2 1i j k i jk= = = = − .
61Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
Definição:
quaternião conjugadoq w ix j y zk q w ix j y zk= + + + ∈ = − − − ∈ ←H H
( ) ( )2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
12 2 2 2 2
22
2
1
2 0
q w x y z w ix j y k z
q qq w x y zq w ix j y k zq
w ix j y k z w x y zq
q wq q
−
= − − − + + +
= = + + +
− − −= = =
+ + + + + +
∴ − + =
Define-se a parte real ( )Re q w= ∈ e a parte pura ( ) 3Pu q ix j y k z= + + ∈ .
( ) ( ) 30 0notação , Re , Puq q q q q→ = + ∈ = = ∴ = ⊕q qH H
00 0 0 0
0
a aa b a b a b
b b= + ∈⎧
⇒ = − ⋅ + + + ×⎨ = + ∈⎩
aa b b a a b
bHH
( ) ( ) ( )
( )
1 2 30 0
1 2 3
1 1 2 2 3 3
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
0 quaterniões puros
Pu produto externo de Gibbs
a a aa b
b b b
a b a b a ba b a b a b a b a b a b
= + + ⎫⎧ ⎪= = ⇒ ←⎨ ⎬= + + ⎪⎩ ⎭⋅ = + +⎧⎪
⎨ × = − + − + −⎪⎩∴
= − ⋅ + × ⇒ × = ←
a i j kb i j k
a ba b i j k
ab a b a b a b ab
Uma característica importante do produto externo (introduzido por Gibbs em 1901), que
é anti-simétrico (não é comutativo) pois × = − ×a b b a , é que se trata de um produto não
associativo. O produto geométrico é associativo. Note-se que a álgebra das matrizes,
apesar de não ser comutativa (em geral) é, contudo, associativa.
Carlos R. Paiva 62
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) não é associativo
× × = ⋅ − ⋅
× × = − × × = ⋅ − ⋅
∴ × × ≠ × × ←
a b c a c b a b c
a b c c a b c a b c b a
a b c a b c
1 1 2 2 3 333 123 1
1 1 2 2 3 3
,a a a
Cb b b
= + +⎧∈ ⊂ → ⇒ × = −⎨ = + +⎩
a e e ea b a b abe
b e e e
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )identidade de Jacobi 0
× × = ⋅ − ⋅⎧⎪ × × = ⋅ − ⋅⎨⎪ × × = ⋅ − ⋅⎩
∴ → × × + × × + × × =
a b c a c b a b cb c a b a c b c ac a b c b a c a b
a b c b c a c a b
Comentário: O espaço linear 3 dotado do produto externo entre vectores constitui o
que tecnicamente se designa por uma álgebra de Lie: o produto externo não é
comutativo nem associativo e observa a identidade de Jacobi. Note-se, ainda, que o
produto externo não possui elemento neutro.
A álgebra geométrica do espaço, 3C , compreende dois subespaços importantes: (i) o
subespaço par 3C + , cujos elementos resultam do produto geométrico de um número par
de vectores; (ii) o suespaço ímpar 3C − , cujos elementos resultam do produto
geométrico de um número ímpar de vectores.
3 3 3C C C+ −= ⊕
Chama-se o centro da álgebra e representa-se por ( )3Cen C , o subespaço constituído
pelos elementos de 3C que comutam com quaisquer elementos de 3C .
63Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
( )
33
3 1232
33 23 31 12
33 3
3 1 2 3 123
centro da álgebra Cen | ,
subespaço par | , , ,
subespaço ímpar | , , ,
C x y x y
C w x y z w x y z
C x y z w x y z w
+
−
→ = ⊕ = + ∈
→ = ⊕ = + + + ∈
→ = ⊕ = + + + ∈
e
e e e
e e e e
∧
∧
∧
Quer o centro da álgebra quer o seu subespaço par constituem, também, subálgebras.
Como é fácil de verificar o subespaço ímpar não constitui uma álgebra: por exemplo, o
produto geométrico de dois vectores dá, no caso geral, um multivector que contém um
escalar e um bivector e que pertencem à subálgebra par. O corpo (dos complexos) e
o anel de divisão H (dos quaterniões) são isomórficos a subálgebras específicas de 3C :
( )3Cen C e 3Cl+H .
H 3C +
1 1
i 23−e
j 31−e
k 12−e
( )3
33
23
3
Cen C
C +
= ⊕
= ⊕H
∧
∧
( ) ( ) ( ) ( ) ( )3dim 2, dim 4, dim dim dim 8C= = = =H H .
A algebra geométrica do espaço 3C é gerada, enquanto álgebra definida sobre o corpo
, pelas álgebras (também reais) e H .
3C⊕H
Carlos R. Paiva 64
“Crossbreeding of mathematical systems is common, but the results are not always salutary. For
example, more than a century ago P. G. Tait opined that the vector calculus of Gibbs is a
«hermaphrodite monster» born of Hamilton’s quaternions and Grassmann’s algebra of
extension. Sometimes, however, the offspring of crossbreeding is superior to both parents in
versatility and adaptability. So it is with Clifford algebra, born of the same parents as vector
calculus.”
David Hestenes, “Mathematical Viruses,” in A. Micali, R. Boudet and J. Helmstetter, Eds.,
Clifford Algebras and their Applications in Mathematical Physics, Kluwer Academic Publishers,
Dordrecht, pp. 3-16, 1992.
Exercícios
1. Verifique que, em 3 , a área A do triângulo cujos vértices são os pontos
( )1, 4, 6− − , ( )5, 4, 2− − e ( )0,0,0 é 18A = .
2. Verifique que o volume V do paralelepípedo cujas arestas correspondem aos
vectores 1 2 32 3 4= − +a e e e , 1 2 32= + −b e e e e 1 2 33 2= − +c e e e é 7V = .
3. Mostre que, sendo 2
312 233= + ∈B e e ∧ , se tem ( )
21 3
12 233 10− = − + ∈B e e ∧ .
4. Considere 31 2 32 3 7= + + ∈a e e e e
23
12 13 234 5= + − ∈B e e e ∧ . Mostre que
33
12311∧ = ∈a B e ∧ e 31 2 347 15 7= − + + ∈a B e e e .
5. Considere 31 2 33 4 7= + + ∈a e e e e
23
12 137= + ∈B e e ∧ . Mostre que, em
relação ao bivector B , as componentes paralela e perpendicular do vector
considerado são 31 2 33 4.9 0.7= + + ∈a e e e e 3
2 30.9 6.3⊥ = − + ∈a e e .
6. Notando que, se 3, ∈a b , ( ) ( ) 2× × = ⋅ −a a b a b a a b , mostre que – desde que os
vectores a e b não sejam paralelos – se tem:
65Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
( )( )× × ∧⋅ =
∧
a a b ba b
a b.
7. Mostre que, para 3, , ∈a b c , se tem ( )( )1 2∧ ∧ = −a b c abc cba . Mostre, ainda,
que ( )( )1 6∧ ∧ = + + − − −a b c abc bca cab acb bac cba .
8. Para 3, ∈a b , mostre que ( ) ( )2 2 2123 1232+ = − + ⋅a be a b a b e .
9. Considere, em 3C , os paravectores (paravector é a soma de um escalar com um
vector) ( )11 12
p = + e e ( )11 12
q = − e . Verifique que estes paravectores são
idempotentes: 2p p= e 2q q= . Mostre, ainda, que ambos os paravectores são
divisores de zero: 0p q = , com 0p ≠ e 0q ≠ . Mostre, por fim, que se tem
( )223 1p q± =e e , ou seja, que em 3C existe a raiz quadrada de um vector:
1 23 3p q C= ± ∈e e .
10. Mostre que o multivector ( ) ( )12 3cos sinu Cθ θ= + ∈e admite quatro raízes
quadradas: 1 12cos sin2 2
v θ θ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
e , 2 1v v= − , 3 3 1v = e v e 4 3 2v v= e . Note que
3 12 3 12=e e e e .
11. Sejam 31 1 2 2 3 3a a a= + + ∈a e e e e 3
1 2 3x y z= + + ∈r e e e . Verifique, então,
que:
3 2
3 1
2 1
00
0
a a xA a a y
a a z
−⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= − = ×⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠
r a r .
Verifique, ainda, que:
( ) ( )
2 22 3 1 2 1 3
2 2 2 21 2 1 3 2 3
2 21 3 2 3 1 2
a a a a a a xA a a a a a a y
a a a a a a z
⎛ ⎞− − ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= − − = × × = ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎜ ⎟⎜ ⎟− − ⎝ ⎠⎝ ⎠
r a a r a r a a r .
12. No contexto do exercício anterior, mostre que 23 0A A+ =a . Note que os
valores próprios λ da matriz A satisfazem a equação característica 3 2 0λ α λ+ = ,
em que 2 2 21 2 3a a aα = = + +a , e aplique então o teorema de Cayley-Hamilton.
13. Ainda no contexto dos dois problemas anteriores, mostre que:
Carlos R. Paiva 66
( ) ( ) ( )2
2exp sin 1 cosA AA I α αα α
= + + −⎡ ⎤⎣ ⎦ .
Recorde que: ( ) ( ) ( )2 2 1
0 0 0exp
! 2 ! 2 1 !
k k k
k k k
A A AAk k k
+∞ ∞ ∞
= = =
= = ++∑ ∑ ∑ . Mostre, também, que o
vector ( )exp A′ =r r é tal que
( ) ( ) ( ) ( )2
sin 1 coscos
α αα
α α−
′ = + × + ⋅r r a r a r a .
Note que ( )2 2A = ⋅ −r a r a a r .
14.
67Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
4.1 Equações de Maxwell Comecemos por escrever as equações de Maxwell na linguagem vectorial comum no
espaço linear 3 usando o produto externo de vectores (Gibbs). Consideremos
coordenadas cartesianas rectangulares numa base ortonormada.
1 2 3 1 2 3, ,x y z∂ ∂ ∂
→ ∇ = + +∂ ∂ ∂
e e e e e e
Seja 31 1 2 2 3 3a a a= + + ∈a e e e um campo vectorial, i.e, em que ( )1 1 , ,a a x y z= ,
( )2 2 , ,a a x y z= e ( )3 3 , ,a a x y z= . Listam-se, a seguir, algumas identidades de uso
corrente envolvendo o operador nabla.
( )( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
123
123 123
123 123
123
123 123 123 123 123 .
∇∧ = ∇×
∇× = − ∇∧ = −∇
∇∧ = ∇⋅
∇ = ∇⋅ +∇ ∧ = ∇⋅ + ∇×
∇ = ∇ +∇∧ = ∇ = ∇⋅ −∇×
a a e
a a e ae
ae a e
a a a a a e
ae ae ae a e a e a
Carlos R. Paiva 68
Sejam ( ) ( ), , , , ,x y z x y zΦ Ψ ∈ campos escalares e ( ) ( ) 3, , , , ,x y z x y z ∈a b campos
vectoriais.
( )( )( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
123
2
2
123
12
00
0
0
∇∧∇∧ =
∇∧ ∇Φ =
∇× ∇Φ =
∇⋅ ∇× =
∧ ∇∧ = ⋅ ∇×⎡ ⎤⎣ ⎦∇ ∧ = − × ∇×
∇× ∇× = ∇ ∇⋅ −∇
∇ ∇∧ = −∇× ∇× = ∇ −∇ ∇⋅
∇ ΦΨ = Φ ∇Ψ +Ψ ∇Φ
∇⋅ Φ = ⋅ ∇Φ +Φ ∇⋅
∇∧ Φ = ∇Φ × +Φ ∇∧
∇× Φ = ∇Φ × +Φ ∇×
∇⋅ × = ⋅ ∇× − ⋅ ∇× = ∧ ∇∧ − ∧ ∇∧⎡ ⎤⎣ ⎦∇ ∧ ∧ = ∇⋅ ×⎡ ⎤⎣ ⎦
a
a
a b a b e
a b a b
a a a
a a a a
a a a
a a a
a a a
a b b a a b a b b a e
a b a b e ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 = ∧ ∇∧ − ∧ ∇∧
∇ ⋅ = ⋅∇ + ⋅∇ − ∇∧ − ∇∧
∇ ⋅ = × ∇× + × ∇× + ⋅∇ + ⋅∇
∇× × = ∇⋅ − ∇ ⋅ + ⋅∇ − ⋅∇
∇ ∧ = −∇× × = ∇⋅ − ∇ ⋅ + ⋅∇ − ⋅∇
b a a b
a b a b b a a b b a
a b a b b a a b b a
a b b a a b b a a b
a b a b a b b a a b b a
Escrevem-se, agora, as equações de Maxwell na sua forma tradicional (3D).
EQUAÇÕES DE MAXWELL:
equação de Maxwell-Faradayconservação do fluxo magnético
0 inexistência de cargas magnéticas
equação de Maxwell-Ampèreconservação da carga eléctrica
t
t
∂⎧∇× = − →⎪ ∂→ ⎨⎪∇⋅ = →⎩
∂∇× = + →
∂→
BE
B
DH j
lei de Gaussρ
⎧⎪⎨⎪∇⋅ = →⎩ D
Vectores: 3, , , , ∈E B D H j ; formas-1: ,E H ; formas-2: , , , ,F G B D j ; formas-3: ,J ρ .
69Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
campo eléctricoforma-2
campo magnético
excitação eléctricaforma-2
excitação magnética
forma-3 densidade de corrente
F F E dt B
G G H dt D
J J j dt ρ
⎧= ∧ + → ⎨
⎩⎧
= − ∧ + → ⎨⎩
= − ∧ + →
EB
DH
j
A força de Lorentz sobre uma carga (eléctrica) pontual q animada de velocidade v é
dada por:
( )q= + ×f E v B .
Para escrever as equações de Maxwell em 3C há que fazer desaparecer o produto
externo substituindo-o pelo produto exterior.
1 2 3 23 31 122
3 3
x y z x y z
x y z x y zE E E E E E
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∇× = ∈ ∇∧ = ∈
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
e e e e e e
E E ∧
( )( )
123
123
∇∧ = ∇×⎧⎪⎨∇× = − ∇∧⎪⎩
E E e
E E e
Isto implica a necessidade de substituir o vector campo magnético pelo seu dual, i.e.,
pelo bivector campo magnético na equação de Maxwell-Faraday. O mesmo se aplica à
equação de Maxwell-Ampère.
2
3 3123
23 3
23 3
1232
3 3123
∈ = ∈
∇× ∈ ∇∧ ∈
∈ = ∈
∈ = ∈
B Be
H H
D De
j je
B
D
J
∧
∧
∧
∧
Carlos R. Paiva 70
3
33
123
EQUAÇÕES magnetodinâmica em : 0DE 0
MAXWELLEM
electrodinâmica em :
tC d F
tC d G JCρ
⎧ ∂ ⎫⎧∇∧ = −⎪ ⎪⎪ ∂ ← ∧ =⎨ ⎬⎪⎪ ⎪⎪ ∇∧ =⎩ ⎭⎪→ ⎨
∂ ⎫⎧⎪ ∇∧ = +⎪ ⎪⎪ ∂ ← ∧ =⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪∇∧ =⎪ ⎩ ⎭⎩
E
H
e
B
B
DJ
D
Nota importante: 3
3∇∧ ∈∧B e 3
3∇∧ ∈∧D são trivectores (ou pseudoescalares).
A força de Lorentz terá agora de ser reescrita, também, em 3C .
( ) 33força de Lorentz em C q→ = + ∈f E v B
As relações constitutivas do vácuo são, quer no domínio do tempo quer no domínio da
frequência,
0 1233
0 123
vácuo em Cεµ
=⎧→ ⎨ =⎩
EeH e
D
B
Consideremos campos com uma variação temporal da forma ( )exp i tω− . Assim, no
domínio da frequência, as equações de Maxwell escrevem-se
3
3123
magnetodinâmica em :0
electrodinâmica em :
iC
iC
ω
ωρ
∇∧ =⎧⎨∇∧ =⎩∇∧ = −⎧⎨∇∧ =⎩
E
He
B
B
J D
D
71Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
4.2 Isotropia, anisotropia e bianisotropia Num meio linear, as relações constitutivas podem ser escritas, no domínio da frequência,
como segue:
( ) ( )
( ) ( )123 0 0 0
123 0 0 0
meio bianisotrópicoε ξ
µ ζ
ε ε µ
µ ε µ
⎧ ⎡ ⎤= ϑ + ϑ⎪ ⎣ ⎦→ ⎨⎡ ⎤= ϑ + ϑ⎪ ⎣ ⎦⎩
e E H
e H E
D
B
Um meio com estas relações constitutivas diz-se bianisotrópico. Está-se a admitir que
( )εϑ E , ( )ξϑ H , ( )µϑ H e ( )ζϑ E são funções lineares.
No caso particular em que as funções lineares obedecem às relações
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
,meio biisotrópico
,ε ξ
µ ζ
ε ω ξ ω
µ ω ζ ω
ϑ = ϑ =⎧⎪→ ⎨ϑ = ϑ =⎪⎩
E E E E
H H E E
o meio diz-se biisotrópico e pode escrever-se, sem perda de generalidade,
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
meio biisotrópicoi
i
ξ ω κ ω χ ω
ζ ω κ ω χ ω
= + ∈→
= − ∈
onde o parâmetro κ ∈ caracteriza a não reciprocidade da biisotropia e o parâmetro
χ ∈ carateriza a quiralidade isotrópica. Existe alguma controvérsia na literatura sobre
a possibilidade de existência de meios biisotrópicos não recíprocos: alguns
investigadores afirmam que só os meios com anisotropia (ou bianisotropia) é que
podem ser não recíprocos. O caso paradigmático de um meio biisotrópico não recíproco
e aquiral corresponde a ter-se 0χ = e é conhecido na literatura por meio de Tellegen.
Carlos R. Paiva 72
( ) ( )
( ) ( )123 0 0 0
123 0 0 0
meio de Tellegenε ε ω ε µ κ ω
µ µ ω ε µ κ ω
⎧ ⎡ ⎤= +⎪ ⎣ ⎦→ ⎨⎡ ⎤= +⎪ ⎣ ⎦⎩
e E H
e H E
D
B
Não foi fabricado, até à data, qualquer exemplar de um meio de Tellegen. Um meio
biisotrópico recíproco (i.e., com 0κ = ) diz-se quiral isotrópico ou, mais simplesmente,
um meio quiral (ou opticamente activo):
( ) ( )
( ) ( )123 0 0 0
123 0 0 0
meio quirali
i
ε ε ω ε µ χ ω
µ µ ω ε µ χ ω
⎧ ⎡ ⎤= +⎪ ⎣ ⎦→ ⎨⎡ ⎤= −⎪ ⎣ ⎦⎩
e E H
e H E
D
B
Num meio simplesmente anisotrópico (com anisotropia eléctrica e/ou magnética), vem
mais simplesmente ( ) ( ) 0ξ ζϑ = ϑ =H E , pelo que:
( )( )
0 123
0 123
meio anisotrópico ε
µ
ε
µ
⎧ = ϑ⎪→ ⎨= ϑ⎪⎩
e E
e H
D
B
Um meio simplesmente isotrópico é o caso particular de um meio anisotrópico em que:
( ) ( )( ) ( )
meio isotrópico ε
µ
ε ω
µ ω
⎧ ϑ =⎪→ ⎨ϑ =⎪⎩
E E
H H
O caso de um plasma isotrópico frio sem colisões é um meio simplesmente negativo
(SNG) com
( )
( )
2
1 0plasma isotrópico sem colisões
1
pωε ω
ω
µ ω
⎧ ⎛ ⎞= − <⎪ ⎜ ⎟→ ⎨ ⎝ ⎠
⎪ =⎩
73Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
desde que operado para frequências pω ω< . É o caso, e.g., de um metal em fotónica
desde que se desprezem as perdas. Recentemente uma quantidade significativa de
investigadores tem-se interessado pelo estudo dos meios atificiais conhecidos na
literatura por metamateriais duplamente negativos (DNG), em que
( )( )
0metamaterial DNG
0
ε ω
µ ω
<⎧⎪→ ⎨<⎪⎩
num intervalo (em geral muito estreito) de frequências.
4.3 Classificação dos meios bianisotrópicos Voltemos a repetir aqui, para comodidade, as relações constitutivas de um meio
bianisotrópico.
( ) ( )
( ) ( )123 0 0 0
123 0 0 0
meio bianisotrópicoε ξ
µ ζ
ε ε µ
µ ε µ
⎧ ⎡ ⎤= ϑ + ϑ⎪ ⎣ ⎦→ ⎨⎡ ⎤= ϑ + ϑ⎪ ⎣ ⎦⎩
e E H
e H E
D
B
função (permissividade) dieléctricafunção (permeabilidade) magnéticafunções magnetoeléctricas ,
ε
µ
ξ ζ
→ ϑ→ ϑ→ ϑ ϑ
Um meio é recíproco se, de acordo com o teorema da reciprocidade, se verificar:
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
meios bianisotrópicos recíprocosε ε
µ µ
ζ ξ
ϑ = ϑ→ ϑ = ϑ
ϑ = −ϑ
a aa aa a
.
Assim, sem perda de generalidade, é possível definir:
Carlos R. Paiva 74
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
123 0 0 0
123 0 0 0
iii i
ε κ χξ κ χ
ζ κ χ µ κ χ
ε ε µ
µ ε µ
⎧ ⎡ ⎤= ϑ + ϑ + ϑϑ = ϑ + ϑ ⎣ ⎦⎪→ ⎨ϑ = ϑ − ϑ ⎡ ⎤= ϑ + ϑ − ϑ⎪ ⎣ ⎦⎩
e E H H
e H E E
D
B
função que caracteriza a não reciprocidade do meiofunção que caracteriza a quiralidade do meio
κ
χ
ϑ →ϑ →
( )( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
M
M
N M M
M N J
J M M
J 123 1 1 2 2
01 2 0 J 0 123
1 2
MEIOS BIANISOTRÓPICOS RECÍPROCOS
1 tr3
tr 0
1212ˆ ˆ
ˆˆ ˆ ˆ ˆ
i
i
χ
χ
χ
χ
= ϑ
ϑ =
ϑ = +ϑ
⎧ ⎡ ⎤ϑ = ϑ +ϑ⎣ ⎦⎪⎪ϑ = ϑ +ϑ → ⎨⎪ ⎡ ⎤ϑ = ϑ −ϑ⎣ ⎦⎪⎩
ϑ = ∧ → = Ω + Ω
⎧ = Ω⎪= = → → ϑ = Ω ∧⎨Ω = Ω + Ω⎪⎩
a a a
a a aa a a
a a a
a b a e b b b
b bb b b a b a e
( )
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
P
P
Q P P
P Q S
S P P
MEIOS BIANISOTRÓPICOS NÃO RECÍPROCOS
1 tr3
tr 0
1212
κ
κ
κ
κ
= ϑ
ϑ =
ϑ = +ϑ
⎧ ⎡ ⎤ϑ = ϑ +ϑ⎣ ⎦⎪⎪ϑ = ϑ +ϑ → ⎨⎪ ⎡ ⎤ϑ = ϑ −ϑ⎣ ⎦⎪⎩
a a a
a a aa a a
a a a
N Q
J S
funções simétricas ,
funções anti-simétricas ,
→ ϑ ϑ
→ ϑ ϑ
75Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
N J
N J
N J
N J
N J
MEIOS BIANISOTRÓPICOS RECÍPROCOS
0 0 0 meio quiral isotrópico (meio de Pasteur)0 0 0 meio quiral anisotrópico0 0 0 meio pseudoquiral0 0 0 meio ómega0 0 0 meio ómega quir
χχχχχ
≠ ϑ = ϑ = →≠ ϑ ≠ ϑ = →= ϑ ≠ ϑ = →= ϑ = ϑ ≠ →≠ ϑ = ϑ ≠ →
N J
N J
al0 0 0 meio ómega pseudoquiral0 0 0 meio bianisotrópico recíproco geral
χχ= ϑ ≠ ϑ ≠ →≠ ϑ ≠ ϑ ≠ →
Q S
Q S
Q S
Q S
Q S
MEIOS BIANISOTRÓPICOS NÃO RECÍPROCOS
0 0 0 meio de Tellegen0 0 0 meio de Tellegen anisotrópico0 0 0 meio pseudo-Tellegen0 0 0 meio em movimento0 0 0 meio de Tellegen em
κκκκκ
≠ ϑ = ϑ = →≠ ϑ ≠ ϑ = →= ϑ ≠ ϑ = →= ϑ = ϑ ≠ →≠ ϑ = ϑ ≠ →
Q S
Q S
movimento0 0 0 meio pseudo-Tellegen em movimento0 0 0 meio bianisotrópico não recíproco (aquiral) geral
κκ= ϑ ≠ ϑ ≠ →≠ ϑ ≠ ϑ ≠ →
4.4 Cristais biaxiais e uniaxiais: relações constitutivas Um meio anisotrópico não magnético, sem perdas e recíproco é um cristal biaxial.
Assim, de acordo com a discussão das páginas 32-34, a função dieléctrica ( )εϑ E
deverá ter três valores próprios 1 1 0λ ε= > , 2 2 0λ ε= > e 3 3 0λ ε= > . Admitindo então
que se tem ε ε ε3 2 1> > e fazendo 1=m d e 2=n d , virá
( )
( ) ( ) ( ) ( )
0 123
0 123
2 3 1 1 2 2 1
cristal biaxial
função dieléctrica 1de um cristal biaxial 2
ε
ε
εµ
ε ε ε
= ϑ⎧⎪→ ⎨=⎪⎩
→ ϑ = + − ⋅ + ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦
e Ee H
E E d E d d E d
D
B
Do ponto de vista tradicional, é habitual introduzir – em vez da álgebra geométrica 3C
– uma álgebra tensorial baseada no produto tensorial (ou diádico)
Carlos R. Paiva 76
( )2
3 3, , ,∈ ⊗ ∈⊗a b a b a b
( )1 1 1 1 2 1 3
1 1 2 2 3 32 1 2 3 2 1 2 2 2 3
1 1 2 2 3 33 3 1 3 2 3 3
a a b a b a ba a a
a b b b a b a b a bb b b
a a b a b a b
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎧ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⊗ = =⎨ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= + +⎩ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
a e e ea b
b e e e
( )
( )
( ) ( )
1 1 2 2 3 3
23
3
1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 3 3 1
1 3 1 3 3 1 2 1 1 2 2 3 3 2
3 1 1 3 3 2 2 32 3 2 3 3 2
tr
alt
tr alt
00
0
a b a b a b
C
a b a b a b a ba b a b a b a ba b a b a b a b
⎧ ⋅ = ⊗ = + + ∈⎪⎨
∧ = ⊗ = ⊗ − ⊗ ∈⎪⎩∴
= ⊗ + ⊗ ∈
∧ = ⊗ − ⊗ − −⎧ ⎛⎪ ⎜∧ = ⊗ − ⊗ ⇒ ⊗ − ⊗ = − −⎨ ⎜⎪ − −∧ = ⊗ − ⊗ ⎝⎩
a b a b
a b a b a b b a
ab a b a b
e e e e e ee e e e e e a b b ae e e e e e
∧
( ) ( ) ( )1 2 2 1 1 2 1 3 3 1 1 3 2 3 3 2 2 3a b a b a b a b a b a b
⎞⎟⎟
⎜ ⎟⎠
∴
∧ = − ∧ + − ∧ + − ∧a b e e e e e e
Nota: Como se usa uma base ortonormada não é necessária a distinção entre vectores e
formas ou, na linguagem mais antiquada, entre componentes covariantes e
contravariantes dos vectores; só se consideram, portanto, tensores cartesianos.
Na linguagem tensorial, é costume introduzir-se o chamado tensor dieléctrico ε tal que
( )( ) ( )( )( ) ( )
( ) ( )1 2 2 1 3
2 1 1 2ε
⊗ = ⋅⎧⎪ ⇒ = ϑ ∈⎨⊗ = ⋅⎪⎩
d d E d E dε E E
d d E d E d
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
32 3 1 1 2 2 1
23
2 3 1 2 1 1 2
ÁLGEBRA GEOMÉTRICA:1 função dieléctrica2
ÁLGEBRA TENSORIAL:1 tensor dieléctrico2
ε ε ε ε
ε ε ε
ϑ = + − ⋅ + ⋅ ∈ →⎡ ⎤⎣ ⎦
= + − ⊗ + ⊗ ∈ →⊗
E E d E d d E d
ε I d d d d
•
•
77Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
Note-se que, num cristal biaxial, existe uma distinção clara entre os eixos dieléctricos
principais e os eixos ( )1 2,d d que definem a função dieléctrica.
1 2 3
1 2
, , eixos dieléctricos principais, eixos que definem a função dieléctrica
→→
e e ed d
3 22 11 1 3
3 1 3 1
3 22 12 1 3
3 1 3 1
0
ε εε εε ε ε ε
ε ε εε εε ε
ε ε ε ε
3 2 1
⎧ −−= +⎪ − −⎪> > > → ⎨
−−⎪ = − +⎪ − −⎩
d e e
d e e
⊗
2X
3X
1X
2φ 2φ
3γ
1γ1γ−
1e
3e
1d2d
Carlos R. Paiva 78
( )
( ) ( )
3 2 11 2
3 1
32
1 2
2cos
2 11, 1 cos
1
ε ε εφε ε
ζ κεεζ κ φε ε κ ζ
− +⋅ = =
−
− += > = > ⇒ =
−
d d
Na figura anexa (da página anterior) representa-se o ângulo φ em função de ζ para
vários valores do parâmetro κ .
Quando 0φ = vem 1 2 3= = =d d c e e o cristal biaxial reduz-se a um cristal uniaxial, i.e.,
a um cristal com um único eixo óptico. Neste caso é 1 2ε ε ε⊥= = e 3ε ε= .
( ) ( )( )cristal uniaxial ε ε ε ε⊥ ⊥→ ϑ = + − ⋅E E c E c
Quando ε ε⊥> o cristal uniaxial é positivo; quando ε ε⊥> o cristal é negativo.
Finalmente, quando ε ε ε⊥= = , o cristal degenera num meio simplesmente isotrópico,
i.e, num cristal do sistema cúbico.
( )cristal isotrópico (sistema cúbico) ε ε→ ϑ =E E
4.5 Interpretação física da anisotropia: cristais biaxiais e uniaxiais Vejamos qual o significado físico da anisotropia no caso dos cristais biaxiais. Para o
efeito introduz-se a permissividade dieléctrica (relativa) do cristal segundo uma dada
direcção s (vector unitário) do espaço e que se representa por ( )ε s . Comecemos por
notar que, no referencial 1 2 3, ,e e e dos eixos dieléctricos principais, o vector ( )εϑ E
tem uma escrita simples:
79Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3
1 2 31 1 1 2 2 2 3 3 3
eixos dieléctricos principais: , ,E E E E
E E Eε ε ε ε= + + =⎧⎪→ ⎨ ϑ = + +⎪⎩
E e e e se e e
E e e e
( ) ( )( ) ( )
2 1permissividade dieléctrica segundo E
Eε
ε ε
ε⎧ =⎪
= → = ⋅ϑ ←⎨⎪ϑ = ϑ⎩
sE s s s s s
E s
( ) ( )( ) ( )( )
1 1 2 2 3 3
2 2 2 21 2 3
1
2
3
1
sin cos
sin sin
cos
s s s
s s s
s
s
s
= + +
= + + =
= Θ Φ⎧⎪
= Θ Φ⎨⎪ = Θ⎩
s e e e
s
1 1 1 3 3
2 1 1 3 3
γ γγ γ
= +⎧⎨ = − +⎩
d e ed e e
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 22 11 1 1 3 3
3 1 3 1
3 22 12 1 1 3 3
3 1 3 1
sin cos cos
sin cos cos
s s
s s
ε εε εγ γε ε ε ε
ε εε εγ γε ε ε ε
⎧ −−⋅ = + = Θ Φ + Θ⎪ − −⎪
⎨−−⎪ ⋅ = − + = − Θ Φ + Θ⎪ − −⎩
d s
d s
( ) ( )( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 3 1 1 2
2 1
3 2
2 2 2
2
, 1cristal biaxial , 1 1 cos 1 sin cos
ε ε ε ε
ε ζ εε κ ε
εκ
ε ζ
∴ = + − ⋅ ⋅
=⎧⎨ =⎩
Θ Φ ⎛ ⎞→ Θ Φ = = + − Θ − − Θ Φ⎜ ⎟
⎝ ⎠
s c s c s
Σ
Na figura anexa (da página seguinte) representa-se, para 90Θ = e considerando 2κ =
e 5ζ = , ( ),Θ ΦΣ num diagrama polar em função do ângulo Φ .
sΘ
Φ
2X
3X
1X
1e 2e
3e
Carlos R. Paiva 80
Na figura seguinte representa-se, para 0Φ = e considerando novamente 2κ = e 5ζ = ,
( ),Θ ΦΣ num diagrama polar em função do ângulo Θ .
( ) ( ) ( ) ( )2cristal uniaxial 1 1 cosε ε
κ κε ε⊥ ⊥
Θ→ = → Σ Θ = = + − Θ
81Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
Na figura anexa representa-se graficamente, para um cristal uniaxial, o quociente
ε ε⊥Σ = em função do ângulo Θ para vários valores do contraste κ .
Outro aspecto físico importante que caracteriza a anisotropia é a possibilidade de existir
um ângulo δ entre os vectores E e ( )εϑ E . Este ângulo é interpretado, no
electromagnetismo baseado na geometria euclidiana de Gibbs, como o ângulo existente
entre E e ( )0 εε= ϑD E . Recorde-se, aqui, que 123 123= =De e DD .
( )1 1 2 2 3 3
1, 2,3 i i
E E s s s
i E E s
= = + +
∴ = → =
E s e e e
( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3
1 1 1 2 2 2 3 3 3
E E EE E Eε ε ε ε
= + +⎧⎪⎨ ϑ = + +⎪⎩
E e e eE e e e
( )( ) ( )( ), ,ε εδ = ϑ = ϑE E s s
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 cosE E Eε ε εε δ⋅ϑ = ⋅ϑ = = ϑ⎡ ⎤⎣ ⎦E E s s s s
δ
E=E s
( )εϑ s
( )ε s
Carlos R. Paiva 82
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
0 0 123
0
E E
D Eε εε ε
ε ε
= ϑ = ϑ
= ⋅ =
D s s e
s D s
D
( ) ( ) ( )cosεε δ= ϑs s
( )2 2 2
2 1 1 2 32 2 2 2 2 2
3 2 1 2 3
cristal biaxial cos s s ss s s
ε ζ ε ζ κζδε κ ε ζ κ ζ
= + +→ → =
= + +
Na figura anexa representa-se ( ),δ Θ Φ para duas situações distintas: para 90Θ = e
para 0Φ = . Considera-se sempre 2κ = e 5ζ = . Em ambos os casos o ângulo delta
passa por um valor máximo.
eixo dieléctrico principal 0δ→ =
Nota importante: Num cristal biaxial os eixos ópticos não coincidem com qualquer dos
eixos dieléctricos principais; num cristal uniaxial o eixo óptico coincide com um dos
eixos dieléctricos principais. Num meio isotrópico é sempre 0δ = , qualquer que seja a
direcção 3∈s considerada.
83Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
No caso uniaxial, em que 1 2ε ε ε⊥= = e 3ε ε= , obtém-se:
( ) ( ) ( )( ) ( )
2 2
2 2 2
sin coscristal uniaxial cos
sin cos
ε κκ δ
ε κ⊥
Θ + Θ→ = → =
Θ + Θ.
Na figura anexa representa-se graficamente o ângulo δ em função de Θ para vários
valores do quociente κ . Cada uma dessas curvas passa por um valor máximo. O valor
máximo do ângulo δ , maxδ , ocorre para um valor ( )1max tan κ−Θ = , tendo-se
1max
2cos
1κ
δκ
−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠.
4.6 Magnetoplasma: relações constitutivas Um exemplo importante de um meio anisotrópico é um plasma imerso num campo
magnético 0 0 0 123B= b eB a que corresponde um vector dual 0 0 123 0 0B= − =B e bB e
onde 20 1=b . A este tipo de plasma é costume chamar-se um magnetoplasma: é o caso
da ionosfera em que o campo magnético exterior 0B é o campo magnético da Terra. Em
Carlos R. Paiva 84
tudo o que se segue admite-se que este campo magnético exterior (aplicado) é constante
e uniforme. Num magnetoplasma definem-se as seguintes frequências
20 0
0 0
0 0
0
frequência do plasma:
girofrequência:
p p
g g
q Nm
q Bm
ω ωε
ω ω
→ =
→ =
em que 0 0q > é o módulo da carga do electrão e 0m a sua massa. Designa-se por 0N a
densidade volúmica de electrões livres do plasma. Quando se tem em consideração a
existência de perdas, devidas às colisões entre electrões, define-se ainda a
frequência de colisões: cω .
Para facilidade de escrita das relações constitutivas definem-se, também, as seguintes
grandezas adimensionais complexas (reais apenas no caso em que 0cω = ):
( )
22
2
11
1
1
p
gpp
p gcx
ggg
c p
XY
XX Yi
YY
i X
εω
ω ω ωε
ωω ω ε
⊥
⎧= −⎪ −⎧ ⎪=⎪ ⎪+⎪ ⎪→ = −⎨ ⎨ −⎪ ⎪=⎪ ⎪+ = −⎩ ⎪
⎪⎩
Nestas condições as relações constitutivas de um magnetoplasma assumem a forma
(com 0b um vector real unitário, i.e., com 20 1=b ):
( )
( ) ( )( ) ( )
0 123
0 123
0 0 0 123
magnetoplasma
função dieléctricado magnetoplasma xi
ε
ε
εµ
ε ε ε ε⊥ ⊥
= ϑ⎧⎪→ ⎨=⎪⎩
→ ϑ = + − ⋅ − ∧
e Ee H
E E b E b b E e
D
B
85Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
Existem dois casos-limites de interesse:
0
0
0 0, 1 plasma isotrópio0, 1, 1 plasma uniaxial
x p
x p
B XB X
ε ε εε ε ε
⊥
⊥
= ⇒ = = = − ←→∞ ⇒ = = = − ←
∴
( )( ) ( )( )
0
0 0 0
0 plasma isotrópio
1 plasma uniaxial
B
Bε
ε
ε
ε⊥= ⇒ ϑ = ←
→∞ ⇒ ϑ = + − ⋅ ←
E E
E E b E b
Notando que se tem ( ) ( )0 123 0 123∧ ⋅ = − ∧ ⋅⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦b a e b b b e a , infere-se que:
( ) ( )( ) ( )0 0 0 123xiε ε ε ε ε⊥ ⊥ϑ = + − ⋅ + ∧E E b E b b E e .
Obtém-se, então, a chamada relação de Onsager-Casimir:
( ) ( )0 0relação de Onsager-Casimir ; ;ε ε→ ϑ − = ϑE b E b
No caso de se desprezarem as perdas ( )0cω = , é , , xε ε ε⊥ ∈ . Atendendo a que
( ) ( )ε ω ε ω− = , ( ) ( )ε ω ε ω⊥ ⊥− = e ( ) ( )x xε ω ε ω− = − , infere-se que:
( ) ( )( ) ( )
Re ; Re ;
Im ; Im ;ε ε
ε ε
ω ω
ω ω
ϑ − = ϑ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ϑ − = − ϑ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
E E
E E
Vamos agora calcular os valores próprios da função dieléctrica do magnetoplasma.
Estes valores próprios ε são tais que ( )ε εϑ =a a , ou seja,
Carlos R. Paiva 86
( ) ( ) ( )( ) ( )0 0 0 123F 0xiε ε ε ε ε⊥ ⊥= − + − ⋅ − ∧ =a a b a b b a e
o que implica ter-se
( )equação característica det F 0→ = .
Em geral, tem-se:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )
123
3 2 2123
F
det F
α
α α α
= + ⋅ + ∧
= + ⋅ + + ⋅ ∧ + ⋅ ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦
a a u a v w a e
u v w w u v e u w v w
Fazendo então α ε ε⊥= − , ( ) 0ε ε⊥= −u b , 0=v b e 0xiε= −w b , obtém-se
sucessivamente:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )( )
3 2 2 2
2 2
det F
0
x x
x
x x
ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε
ε ε ε ε ε
ε ε ε ε ε ε ε ε
⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥
⊥
⊥ ⊥ ⊥
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + − − − − + −⎣ ⎦⎣ ⎦⎡ ⎤= − − −⎣ ⎦
= + − − − − =
∴
( ) ( )1
2 22 1 2 3
3
valores própriosda função dieléctrica detdo magnetoplasma
x
x xε
ε ε εε ε ε ε ε ε ε ε εε ε
⊥
⊥ ⊥
⎧ = +⎪→ = − ⇒ ϑ = = −⎨⎪ =⎩
.
( )
( )
( )
1 1 1 2
2 2 1 2
0 3 3 3 3
1vectores próprios
2da
1função dieléctrica2do magnetoplasma
i j i j
i
i
ε
ε δ
ε
∗
⎫⎧→ = + ⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪→ → = − ← ⋅ =⎨ ⎬
⎪ ⎪⎪ ⎪
= ⎪ ⎪→ =⎪ ⎪⎩ ⎭
v e e
v e e v v
b e v e
.
87Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
Tal como no caso dos cristais uniaxiais e biaxiais, é possível introduzir uma
permissividade dieléctrica (relativa) do magnetoplasma segundo uma dada direcção s .
( ) ( )2 1 permissividade dieléctrica segundo εε= → = ⋅ϑ ←s s s s s
Como neste caso ( ) ( )0 123 0 123 0⋅ ∧ = ∧ ∧ =⎡ ⎤⎣ ⎦s b s e s b s e , obtém-se uma valor ( )ε ∈s
que não depende de xε :
( ) ( )( )20
permissividade dieléctricado magnetoplasma segundo
ε ε ε ε⊥ ⊥→ = + − ⋅s b ss
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
02 2
cos1, cos sinε ω ε ωε
κ ωκε⊥
⋅ = Θ⎧⎡ ⎤⎪∴ ⇒ Θ = Θ + Θ⎨ ⎢ ⎥
= ⎣ ⎦⎪⎩
s b.
A título de exemplo considere-se que o vector unitário 0b está alinhado com o eixo 3X .
Neste caso a matriz associada à função linear ( )εϑ E é dada por
( ) ( )00
0 0
x
i j i j i j x
iiε
ε εε ε ε ε
ε
⊥
⊥
⎛ ⎞−⎜ ⎟= → = ⋅ϑ → = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
ε e e ε .
Comentário: Só as matrizes simétricas são diagonalizáveis: a matriz ε do
magnetoplasma não pode ser, portanto, reduzida à forma diagonal.
Carlos R. Paiva 88
Nota: Se 3, , ∈a b c , vem sucessivamente:
( ) ( )123 123⋅ ∧ = ∧ ∧⎡ ⎤⎣ ⎦a b c e a b c e
1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3
i j i j
a a ab b bc c c
δ= + +⎧
⎪⋅ = → = + +⎨⎪ = + +⎩
a e e ee e b e e e
c e e e
( )1 2 3
1 2 3 123 123
1 2 3
a a ab b bc c c
β β β= ⇒ = ∧ ∧ = ⇒ ⋅ ∧ = −⎡ ⎤⎣ ⎦V a b c e a b c e
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 123β∴ ⋅ × = ⋅ × = ⋅ × = ⇒ ⋅ × = − ⋅ ∧⎡ ⎤⎣ ⎦a b c b c a c a b a b c a b c e .
4.7 Meios bianisotrópicos: propagação de ondas electromagnéticas Vai-se, agora, analisar a propagação de ondas electromagnéticas em meios
bianisotrópicos ilimitados sem fontes do campo, i.e., com 0ρ = e 0=J . Então, para
ondas monocromátias da forma ( )exp i tω⋅ −⎡ ⎤⎣ ⎦k r , tem-se
vector de onda no meio → k
,
00 00
i it
t
t
ω
ωω
∂− ∇
∂
∂∇∧ = −
∂ ∧ =∂ ∧ = −
∇∧ =∴∂ ∧ =
∇∧ = ∧ =∇∧ =
k
Ek Ek HHkk
B
B
D D
D
D B
B
No caso dos meios bianisotrópicos, tem-se então (admitindo que todas as funções
lineares admitem inversa):
89Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
0 0 0
00
0 0
constante de propagação no vácuo
1impedância do vácuo
kc
ZY
ωω ε µ
µε
→ = =
→ = =
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
123 0 0 0 123 0 0
123 0 0123 0 0 0
k
k
ε ξ µ ζ
ε ξµ ζ
ε ε µ ω µ
ωεµ ε µ
⎧ ⎡ ⎤= ϑ + ϑ ∧ = − ϑ − ϑ⎧⎪ ⎣ ⎦ ⎪⇒⎨ ⎨∧ = ϑ + ϑ⎡ ⎤= ϑ + ϑ ⎪⎪ ⎩⎣ ⎦⎩
e E H k E e H E
k H e E He H E
D
B
( ) ( )( ) ( )
( )
( )
1
123 0 0
1123 0
0
1
vectores auxiliares1
HE
HE
k
k
εζ
ξµ
ω ε
ω µ
−
−
= ϑ= ∧ + ϑ⎧⎪→ →⎨ = ∧ − ϑ⎪⎩ = − ϑ
E AA k E e E
A k H e H H A
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
20 123 0
20 123 0
equações de onda 0para
0meios bianisotrópicos
E E
H H
k k
k k
ε µ ξ µ
µ ε ζ ε
−1 −1
−1 −1
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ϑ + ∧ϑ − ϑ ϑ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦→⎡ ⎤ ⎡ ⎤ϑ + ∧ϑ + ϑ ϑ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦
E k A e A
H k A e A
As duas equações de onda são equivalentes: qualquer das duas equações serve para
determinar as ondas características do meio bianisotrópico.
4.8 Cristais biaxiais e uniaxiais: ondas características Vamos agora determinar as ondas características que se propagam num cristal biaxial.
Como o cristal é não magnétio, tem-se ( )µϑ =H H . Recorde-se, aqui, que:
( )( ) ( ) ( )1 2 2 1
3 1
função1 dieléctrica2
ε
α εα β
β ε ε
2=⎧⎪ → ϑ = + ⋅ + ⋅ ←⎡ ⎤⎨ ⎣ ⎦= −⎪⎩
a a d a d d a d
( ) ( ) ( )0
0 0 1 2 2 1
03 1
funçãoimpermissividade
1 1 1dieléctrica
2
ε
αε
α ββ
ε ε
2 −1
1⎧ =⎪⎪ → ϑ = + ⋅ + ⋅ ←⎡ ⎤⎨ ⎣ ⎦⎛ ⎞⎪ = −⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩
a a c a c c a c
Carlos R. Paiva 90
( )( )( )( )
( )
2 1 3 31 1
3 1 2 2 1 1 1 3 3
2 1 1 3 33 2 1 13 3
3 1 2 2
3 21 2
2 1
2 1, cos1
ε ε ε ετ γε ε ε ε τ τ
τ τε ε ε ετ γε ε ε ε
ε ε κ κ ζκ ζ θε ε κ ζ
⎧ −= =⎪
− = +⎪ ⎧→⎨ ⎨ = − +⎩−⎪
= =⎪ −⎩
− −= = → ⋅ = =
−
c e ec e e
c c
Nestas condições, vem sucessivamente:
( )
( )123
2 10 123equação de onda num cristal biaxial 0
H
Hk ε−
= ∧ = − ×
⎡ ⎤→ + ∧ϑ =⎣ ⎦
A k H e k H
H k A e
( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
2123 123 123
1 123 12
2 123 2
1 2 2 2123 0 0 0
ˆ ˆˆ ˆ, 1
ˆ ˆ
Hε α α β−
∧ ∧ = − ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦
= − ∧ = ×= = →
= − ∧ = ×
⎡ ⎤∴ ∧ϑ = ⋅ − − ⋅ + ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦
k k H e k H e k H k e
u k c e k ck k k k
v k c e k c
k A e k H k k H k u H v v H u
( ) ( ) ( )2 2 20 0 0Fkλ α λ β= − → = − ⋅ + ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦k H H k u H v v H u
( ) ( ) ( )0função de onda de um meio biaxial W F 0α→ = + ⋅ =H H k H k
( ) ( ) ( )0det W det F Fα= + ∧ ⋅V V k V k
( ) ( )
( ) ( )
22 2 2 2 20 0
2 20 0
det F ,
equação característica det W 0 0k
λ λ β β
λ α
= Λ Λ = − ⋅ −
∴
→ = + Λ = Λ = ⇒ Λ =
k u v k u v
k
( )( )2 2 2 2 2 2 2 20 0 0 0
1 1 2 2
0
ˆ ˆ ˆ ˆ, , ,a a b b a a b b
λ β β λ β βΛ = − ⋅ + − ⋅ − =
= × = × = × = ×
k u v k u v k u v k u v
u k c u k c v k c v k c
91Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
( )( )
22 20
0 02 2
22 20
0 02 2
1onda ondas características
do cristal biaxial 1onda b
a a a aa a
b b b bb b
kan
kn
α β
α β
→ = = + ⋅ −
→→ = = + ⋅ +
u v u vk
u v u vk
( )
( )( )( )
( )( ) ( )
( ) ( )
1 2
1 21 1
1 1 2 2
2 21 2
3
,cosˆ ,
ˆ ˆcos , cosˆ , sin , sin,
θθ
δδ δ
δ δ δδ
=⋅ =⎧
= ⎪⎪→ ⋅ = ⋅ =⎨= ⎪ = =⎪⎩=
c cc c
k ck c k c
k c u vu v
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
3 1 2 3
1 2 1 2 1 2 1 2
1 23
1 2
cos sin sin cosˆ ˆ ˆ ˆ cos cos cos
cos cos coscos
sin sin
δ δ δ δ
θ δ δ
θ δ δδ
δ δ
⎧ ⋅ = =⎪⎨
⋅ = × ⋅ × = ⋅ − ⋅ ⋅ = −⎪⎩
−∴ =
u v u v
u v k c k c c c k c k c
( ) ( )
( ) ( )
2 30 0 1 22
2 30 0 1 22
ONDAS CARACTERÍSTICAS DO CRISTAL BIAXIAL
1onda do cristal biaxial 2 sin sin sin2
1onda do cristal biaxial 2 sin sin cos2
a
b
an
bn
δα β δ δ
δα β δ δ
⎛ ⎞→ = − ⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞→ = + ⎜ ⎟⎝ ⎠
Nota importante: É fundamental fazer a distinção entre ( )1 2,φ = d d e ( )1 2,θ = c c ,
não só porque θ φ≠ no caso biaxial (o caso uniaxial corresponde a 0θ φ= = ) mas
também porque as direcções ( )1 2,c c é que correspondem aos eixos ópticos do cristal
biaxial. As direcções ( )1 2,d d , embora sendo os dois eixos que definem εϑ , não
coincidem com os eixos ópticos do cristal ( )1 2,c c e que definem ε−1ϑ .
Carlos R. Paiva 92
( ) ( ) ( ) ( )3 1 2ˆem coordenadas esféricas cos sin cos sin→ = Θ + Θ Φ + Φ⎡ ⎤⎣ ⎦k e e e
( )( )( )( )
2 1 3 21 1
3 1 21 1 1 3 3 1
2 1 1 3 3 33 2 13 3
23 1 2
1
3
0
sin2
1cos2
sin2
tan tan2 2
cos2
ε ε ε
ε ε εθ ετ κ γ ζε ε ετ τ ετ τ εε ε εθ κτ γ εε ε εζ
φγθ φκ ζ
φγ
3 2 1> > >
⎧ −⎛ ⎞ ⎧= = =⎪ =⎜ ⎟ ⎪−⎝ ⎠= + ⎪⎧ ⎪→ ←⎨ ⎨ ⎨= − +⎩ −⎪ ⎪⎛ ⎞ == = =⎜ ⎟⎪ ⎪⎩−⎝ ⎠⎩⎧ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎪⎪ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞→ =⎨ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞⎪ = ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩
c e ec e e
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
2 21 2 3 1
1 1
2 2
1 23
1 2
2 1cos1
ˆcos cos cos sin sin cos2 2
ˆcos cos cos sin sin cos2 2
cos cos coscos
sin sin
κ κ ζθ τ τκ ζ
θ θδ
θ θδ
θ δ δδ
δ δ
− −⋅ = = − =
−
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ = Θ + Θ Φ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ = Θ − Θ Φ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
−=
c c
k c
k c
Quando 1 2 2δ δ θ= = vem ( )3cos 1δ = − e, portanto, 3 180δ = tal como se ilustra na
figura seguinte.
⊗
2X
3X
1X
2δ 1δ
3ˆ =k e
1c2c
1 2 32θδ δ δ π= = ⇒ =
93Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
Por outro lado, quando ( )1 2δ π θ= − e ( )2 2δ π θ= + , vem ( )3cos 1δ = e, portanto,
3 0δ = tal como se ilustra na figura seguinte.
Nas figuras anexas representam-se, para vários valores do ângulo Φ , os quocientes
2a anη ε= e 2b bnη ε= das duas ondas características de um cristal biaxial em
função do ângulo Θ . Considera-se, sempre, que 2 1 1.5ζ ε ε= = e que 3 2 2κ ε ε= =
( )90θ = .
⊗
2X
3X
1X
2δ
1δ
1ˆ =k e
1c2c
1 2 3, 02 2
π θ π θδ δ δ− += = ⇒ =
Carlos R. Paiva 94
95Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
Na figura seguinte representam-se, num diagrama polar para 0Φ = , os quocientes
2a anη ε= e 2b bnη ε= correspondentes às duas ondas características ( a e b ) de
um cristal biaxial em função do ângulo Θ . Considera-se, novamente, que
2 1 1.5ζ ε ε= = e 3 2 2κ ε ε= = ( )90θ = . Neste corte ( )0Φ = são visíveis os dois
eixos ópticos 1c e 2c do cristal biaxial.
Carlos R. Paiva 96
A figura anexa é uma representação 3D das duas ondas características nas mesmas
condições dos gráficos anteriores: 2 1 1.5ζ ε ε= = , 3 2 2κ ε ε= = . Neste caso as
superfícies correspondem a 2a anη ε= e 2b bnη ε= .
Vamos agora analisar o caso-limite do cristal uniaxial. Neste caso existe apenas um eixo
óptico dirigido ao longo do eixo 3X .
( ) ( ) ( )
1 2 3
1 2 3
1 2
1 2 3
CASO UNIAXIAL: 0
,
sin sin cos
, 0
φ θ
ε ε ε ε ε
δ δ δ
⊥
= =
= = =
= = =
= = Θ Φ + Φ⎡ ⎤⎣ ⎦= = Θ =
c c e c
u v e e
97Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
22
20 0
22
2 20 0 0
ONDAS CARACTERÍSTICAS DO CRISTAL UNIAXIAL
1onda ordinária
1onda extraordinária2
oo
ee
b
nk
nk
εα
α β
⊥→ = = =
→ = =+
k
ku
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
22 2
2
2
ONDA EXTRAORDINÁRIA
cos sin
1 1 cos
e
e
n
n
ε ε ε εε ε ε
ε κκε ε κ
⊥ ⊥
⊥
⊥ ⊥
Θ = =Θ + Θ Θ
Θ= → Ξ Θ = =
+ − Θ
Na primeira figura anexa representa-se Ξ em função de Θ para vários valores de κ .
Carlos R. Paiva 98
Na figura seguinte representa-se Ξ em função de κ para vários valores de Θ .
Conceito de eixo óptico: É agora possível entender a natureza física do conceito de eixo
óptico. Quando k é paralelo a 1c é 1ˆ 0= × =u k c ; quando k é paralelo a 2c é
2ˆ 0= × =v k c . Logo, em ambos os casos, é 0 21a bn n α ε= = = (cristais biaxiais) ou
01o en n α ε⊥= = = (cristais uniaxiais).
2 2 20
1 2 2
1 2
direccções em que as duas ondas característicasEIXOS ÓPTICOS
têm o mesmo valor de
cristais biaxiais dois eixos ópticos: ,
cristais uniaxiais um eixo óptico: a b
o e
n k
n n
n n
ε
ε⊥
⎡→ ⎢ =⎣
→ → = =
→ = = → = =
k
c c
c c c
Nas duas figuras anexas representam-se as duas superfícies do vector k (para a onda
ordinária e para a onda extraordinária) nos casos: (i) de um cristal uniaxial positivo
( )ε ε⊥> ; (ii) de um cristal uniaxial negativo ( )ε ε⊥< .
99Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
4.9 Magnetoplasma: ondas características Nesta secção vamos determinar as ondas características que se propagam num
magnetoplasma, i.e., num plasma imerso num campo magnético aplicado (exterior)
constante e uniforme. Como o meio é não magnétio, tem-se (tal como nos cristais não
magnéticos) ( )µϑ =a a . Recorde-se, aqui, que:
3X
1X
c ok
ek
0kε 0kε⊥
ε ε⊥<
onda ordinária
onda extraordinária
3X
1X
cek
ok
0kε0kε⊥
ε ε⊥> onda
ordinária
onda extraordinária
Carlos R. Paiva 100
( )
( ) ( )( ) ( )
0 123
0 123
0 0 0 123
magnetoplasma
função dieléctricado magnetoplasma xi
ε
ε
εµ
ε ε ε ε⊥ ⊥
= ϑ⎧⎪→ ⎨=⎪⎩
→ ϑ = + − ⋅ − ∧
e Ee H
E E b E b b E e
D
B
Neste caso é ( ) 123E = ∧A k E e , pelo que
( ) ( ) 2123E∧ = ⋅ −k A e k E k k E .
A equação das ondas características é agora
( ) ( ) ( )( ) ( )
( )2 20
W F 0det W 0
F k ε
= + ⋅ =⎧⎪ → =⎨= ϑ −⎪⎩
E E k E k
E E k E
obtendo-se, com ( ) ( ) ( )† 1detε ε ε−ϑ = ϑ ϑa a ,
( )( ) ( )
( )
† † 4 2
0
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆtr 0
det
A
B A n B n C nk
C
ε
ε ε
ε
⎧ = ⋅ϑ⎪⎪ ⎡ ⎤= ⋅ ϑ − ϑ → + + = ← = =⎨ ⎣ ⎦⎪
= ϑ⎪⎩
k kkk k k n k .
Atendendo à forma específica da função dieléctrica do magnetoplasma, tem-se:
( ) ( )( )( )( )
2 2
0 0
2
0
2 2
ˆ ˆ
ˆ 2
x
A
B
C
ε ε
ε ε ε ε
ε ε ε
⊥
⊥ ⊥
⊥
⎧ = ⋅ − ∧⎪⎪
= − − ∧ −⎨⎪
= −⎪⎩
k b k b
k b
ou, introduzindo ( )0ˆ ,θ = k b pelo que ( ) ( )
2 20
ˆ cos θ⋅ =k b e ( ) ( )2 2
0ˆ sin θ∧ = −k b ,
101Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
( ) ( )( ) ( )( )
2 2
2
2 2
cos sin
sin 2
x
A
B
C
ε θ ε θ
ε ε θ ε ε
ε ε ε
⊥
⊥ ⊥
⊥
⎧ = +⎪⎪ = − −⎨⎪
= −⎪⎩
Doravante apenas se vai considerar o caso do magnetoplasma sem perdas, i.e., em que a
frequência de colisões é desprezável ( )0cω = :
( )( )( )
22
2 222
22 2
11
11 1
1
p
gp
pp g p g
x xgg g
gp
XY
X X Y X YY YY
X
εωω ε ε ε ε εωω ε
⊥
⊥ ⊥
⎧= −⎪ −⎧ ⎪
=⎪ ⎪⎪ ⎪→ = − → = − − =⎨ ⎨ − −⎪ ⎪=⎪ ⎪⎩ = −⎪⎪⎩
.
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
cos sin
2 cos 2 sin
cos sin
x
x x
A
B
C
ε θ ε θ
ε ε θ ε ε ε ε θ
ε ε ε θ ε ε ε θ
⊥
⊥ ⊥ ⊥
⊥ ⊥
⎧ = +⎪⎪ = − + − −⎨⎪
= − + −⎪⎩
( ) ( )( )( )( )
2 22
2 2 2 2
ondas característicastan
num magnetoplasmax x
x
n n
n n
ε ε ε ε εθ
ε ε ε ε⊥ ⊥
⊥ ⊥ ⊥
− + − −→ = −
− − +.
Existe uma forma equivalente de apresentar esta última equação. Basta atender a que, se
se fizer 2 1n x= − , vem
( ) ( )( )
( )
24 2
2
2
0 1 1 0
224
2 2
21 1
2
A n B n C A x B x C
A B CA BB AC x
A A B
A B Cn x
A B
+ + = → − + − + =
+ ++ ∆∆ = − → = =
+ ± ∆
+ +∴ = − = −
+ ± ∆
∓
Note-se que, no caso do magnetoplasma, se tem
Carlos R. Paiva 102
( ) ( ) ( )22 2 4 2 2 2sin 4 cosx xε ε ε ε θ ε ε θ⊥ ⊥∆ = − − + .
Obtém-se, deste modo, a equação conhecida na literatura por equação de Appleton-
Hartree:
( )( )
( )( )
( )
2
2 2 4 42 2
2
equação de1
Appleton-Hartree sin sin1 cos
2 1 4 1
p
g gg
p p
Xn
Y YY
X X
θ θθ
→ = −
− ± +− −
.
Dois casos-limites importantes podem ser considerados: (i) propagação longitudinal,
quando 0θ = ; (ii) propagação transversal, quando 2θ π= .
( )
( ) ( )
22
2
22 2
Magnetoplasma (sem perdas): ONDAS CARACTERÍSTICAS
0 propagação longitudinal 1 11
propagação transversal 12
12 1 2 1
p p
g g
p
g g
p p
Xn
Y
Xn
Y YX X
ωθ
ω ω ω
πθ
= → → = − = −± ±
= → → = −− ±
− −
Assim, no caso da propagação transversal, as duas ondas características recebem – tal
como nos cristais uniaxiais – o nome de onda ordinária e onda extraordinária: a onda
ordinária não depende do campo aplicado; a onda extraordinária depende do campo
aplicado através de gY . Vem então:
( ) ( )( )
22
2 2 22
2 2 2 2 2
PROPAGAÇÃO TRANSVERSAL: 2
onda ordinária 1 1
1onda extraordinária 1 1
1
po p
p pp pe
p g p g
n X
X Xn
X Y
πθ
ωω
ω ω ω
ω ω ω ω
=
⎛ ⎞+ → → = − = − ⎜ ⎟
⎝ ⎠
−−− → → = − = −
− − − −
103Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
Nas duas figuras que se seguem representam-se as duas soluções da equação de
Appleton-Hartree em função do ângulo θ . Na primeira figura considera-se 4pX = e
8gY = ; na segunda figura considera-se 8pX = e 4gY = .
Carlos R. Paiva 104
Na próxima figura anexa representa-se, para o caso da propagação longitudinal, 2n+ e 2n−
em função da frequência normalizada pω ωΩ = . Considera-se que 2g pω ω= (i.e.,
2gΩ = ).
Note-se que, nesta última figura, 2 0n+ = para ( )2
1 1 2 2g gΩ = + Ω −Ω e que, por sua
vez, 2 0n− = para ( )2
2 1 2 2g gΩ = + Ω +Ω : a onda n+ propaga-se para 1Ω > Ω e é
evanescente para 1Ω < Ω ; a onda n− propaga-se para 0 g< Ω < Ω e para 2Ω > Ω , sendo
evanescente para 2gΩ < Ω < Ω . Para gΩ < Ω o valor mínimo de 2n− é atingido para
2gΩ = Ω e vale 2 21 4 gn− = + Ω . Existe uma ressonância da onda n+ para gΩ = Ω : para
esta frequência esta onda tem uma velocidade de fase nula.
Na figura seguinte representa-se, para o caso da propagação transversal, 2on e 2
en em
função da frequência normalizada pω ωΩ = . Considera-se, novamente, 2gΩ = .
105Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
A onda ordinária propaga-se para 1Ω > . A onda extraordinária tem uma ressonância em
20 1 gΩ = +Ω e propaga-se em dois intervalos: para 1 0Ω < Ω < Ω e para 2Ω > Ω ,
tendo-se
( ) ( )1 2 1 2
2 21 21 4 , 1 4
2 2g g
g g g g
Ω Ω⎡ ⎤ ⎡ ⎤Ω = + Ω − +Ω Ω = + Ω + +Ω⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦.
4.10 Rotação de Faraday Na propagação longitudinal num magnetoplasma é possível observar um efeito não
recíproco conhecido por rotação de Faraday. Nesta secção vamos analisar este efeito.
Tal como se viu na secção anterior, as duas ondas características são, neste caso, dadas
por:
( )
( )
2 2
2 2
11propagação longitudinal
num magnetoplasma 11
Rg p
gL g
g p
n n
n n
ωω
ωω
−
+
⎫⎧ ⎧= = − Ω =⎪⎪ ⎪Ω Ω−Ω⎪ ⎪ ⎪→ ←⎨ ⎬ ⎨⎪ ⎪ ⎪= = − Ω =⎪ ⎪ ⎪Ω Ω+Ω ⎩⎩ ⎭
Carlos R. Paiva 106
As duas ondas características têm, neste caso, polarizações circulares ortogonais: a onda
0ˆ
R Rn k=k k , com Rn n−= , tem polarização circular direita; a onda 0ˆ
L Ln k=k k , com
Ln n+= , tem polarização circular esquerda. Uma onda com polarização linear pode ser
decomposta na soma de duas ondas com polarizações circulares ortogonais com a
mesma amplitude. Na propagação longitiudinal num magnetoplasma, porém, estas duas
ondas características têm diferentes velocidades de fase. Diz-se, por isso, que o meio se
comporta como tendo birrefringência circular. Consequentemente, como se demonstra a
seguir, verifica-se uma rotação da direcção da propagação linear ao longo da
propagação.
birrefringência circularda propagação longitudinal
num magnetoplasma
Rp
R
Lp
L
cvncvn
⎧ =⎪⎪→ ⎨⎪ =⎪⎩
( ) ( ) ( )
( ) ( )123
polarização linear , , ,
ˆ ˆ ˆ ˆ0, , ,
0 0, exp
R Lt t t
t i tω
→ = +
⋅ = = ∧ = = − = − =
= → = = −
E r E r E r
k a B k a k a ak b Be a b
r E r a
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1, exp polarização circular direita21, exp polarização circular esquerda2
R R
R L
t i i t
t i i t
ω
ω
⎧ = + ⋅ − ←⎡ ⎤⎣ ⎦⎪⎪⎨⎪ = − ⋅ − ←⎡ ⎤⎣ ⎦⎪⎩
E r a b k r
E r a b k r
ˆ= ∧B k a
k
a
123= −b Be
107Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
( ) ( )
( ) ( )
123
123
1ˆ ˆ ˆˆPCD2
1ˆ ˆ ˆˆPCE2
R R
L L
i i
i i
→ = + → = − ∧
→ = − → = ∧
R a b E k E e
L a b E k E e
( ) ( )( ) ( )
( )( )
00
0 0
ˆ ˆ2
ˆˆ2
R L R R
L LR L
kn n n k
k n kn n
⎧Φ = + ⋅ ⎧ Φ +Ψ = ⋅ = ⋅⎪⎪ ⎪⇒⎨ ⎨Φ −Ψ = ⋅ = ⋅⎪ ⎪Ψ = − ⋅ ⎩⎪⎩
k r k r k r
k r k rk r
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1, exp21, exp2
R
L
t i i t
t i i t
ω
ω
⎧ = + Φ +Ψ −⎡ ⎤⎣ ⎦⎪⎪⎨⎪ = − Φ −Ψ −⎡ ⎤⎣ ⎦⎪⎩
E r a b
E r a b
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
0
, exp
cos sin
t i tω= Φ −⎡ ⎤⎣ ⎦
= Ψ − Ψ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
E r E r r
E r a r b r
( ) 0
2ˆ
L Rkn nΓ = −
⇒ Ψ = −Γ= ⋅k r
Γ
Ψ
( )0 , tE r
b
ak
Carlos R. Paiva 108
Na figura anexa representa-se 02 L Rk n nγ λ π= Γ = Γ = − em função da frequência
normalizada pω ωΩ = no intervalo 1 gΩ < Ω < Ω . Considera-se 2g g pω ωΩ = = .
( ) ( )0
2 1 11 1L Rg g
n nk
γ Γ= = − = − − −
Ω Ω+Ω Ω Ω−Ω.
Como se verifica através da última figura, 0Γ < pelo que 0Ψ > . Assim, como o
campo exterior 0 0 0B=B b é paralelo a k (propagação longitudinal), a rotação de
Faraday efectua-se no sentido retrógrado (i.e., horário) para quem vê a onda a
aproximar-se. Porém, se esta onda sofrer uma reflexão e começar a propagar-se no
sentido contrário a 0b , a rotação passa agora a efectuar-se no sentido directo (i.e., anti-
horário) para um observador que, de novo, veja a onda a aproximar-se. Isto significa
que, num percurso de ida e volta, a rotação total observada será de 2Ψ , sendo Ψ a
rotação observada em cada percurso (de ida ou de volta). Esta duplicação do ângulo de
rotação é uma consequência directa da não reciprocidade do efeito de Faraday num
magnetoplasma.
109Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
Comentário: Na verdade, as ondas com polarização circular direita (PCD) e polarização
circular esquerda (PCE) têm um andamento da forma (com 0 ˆE=a a e 2ˆ 1=a )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0
0
1ˆ ˆ ˆˆPCD , Re exp2 2
1ˆ ˆ ˆˆPCE , Re exp2 2
R R
L L
Ei t i t
Ei t i t
ω
ω
⎧ ⎫⎪ ⎪→ = + → = ⋅ −⎡ ⎤⎨ ⎬⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭⎧ ⎫⎪ ⎪→ = − → = ⋅ −⎡ ⎤⎨ ⎬⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭
R a b E r R k r
L a b E r L k r
em que ( ) 123 123ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ= − ∧ = − = ×b k a e Be k a e 2 2ˆ ˆ 1= − = −B b . Mas
( )123 123 123
123
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ
∧ = = − = − = −
∴ ∧ =
k b k b k Be k k ae ae
k b e a
( )( )
123
123
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
i
i
= − ∧
= ∧
R k R e
L k R e
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
0
0
ˆˆPCD , cos sin cos2
ˆˆPCE , cos sin cos2 L
R R
L
Et t t t
Et t t t
ω ω ω
ω ω ω
⎡ ⎤→ = + ⋅ −⎣ ⎦
⎡ ⎤→ = − ⋅ −⎣ ⎦
E r a b k r
E r a b k r.
a
b
k
PCE
a
b
k
PCD
Carlos R. Paiva 110
4.11 Actividade óptica em meios quirais Comecemos por repetir aqui as relações constitutivas de um meio quiral (isotrópico) no
domínio da frequência. Admite-se, em tudo o que se segue, que o meio não tem perdas,
i.e., que 0ε > , 0µ > e 2 0χ > .
( )( )
123 0 0 0
123 0 0 0
meio quirali
i
ε ε ε µ χ
µ µ ε µ χ
⎧ = +⎪→ ⎨= −⎪⎩
e E H
e H E
D
B
Neste caso tem-se: ( )ε εϑ =a a ; ( )µ µϑ =a a ; ( ) ( ) iξ ζ χϑ = −ϑ =a a a . Note-se que
( ) ( )1µ µ−1ϑ =a a . Vem ainda
( ) ( ) ( )1123 0 123 0
1 1E E Ei k i kµ
χχµ µ µ
−= ∧ − ⇒ ϑ = = ∧ −A k E e E A A k E e E .
A equação geral de propagação num meio bianisotrópico
( ) ( ) ( )20 123 0 0E Ek kε µ ξ µ
−1 −1⎡ ⎤ ⎡ ⎤ϑ + ∧ϑ − ϑ ϑ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦E k A e A
reduz-se, deste modo, à forma
( ) ( )W 0 det W 0= → =E
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2 20
123
0
23 2 2 2
W2
det W 0
k
i k
λ ε µ χλ
χ
λ λ λ
⎧ = − −⎪ → = + ⋅ − ∧⎨=⎪⎩
∴ = + + + ⋅ =
kE E k E k u E e
u k
k u k u
( )( )2 2 2 2 20
2 2 2 2 20
4 0
4 0
k
k
λ λ χ
λ λ χ
+ − =
∴ ≠ − ⇒ − =
k k
k k
111Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
Em conclusão: Desde que 2ε µ χ≠ , as duas ondas características observam a equação
( ) ( )( )
24 2 2 2 2 40 0
22 2
0
0
2 0.
ondas características de um meio quiral
k k
k
nk
ε µ χ ε µ χ
ε µ χ
ε µ χ±±
− + + − =
∴ = ±
→ = = ±
k k
k
k
Vai-se agora mostrar que a onda n+ tem PCD e que a onda n− tem PCE. Mas, antes,
vai-se provar que as ondas características são ondas TEM.
( ) ( )3
3 3123 123, ∈ → ∧ = ⋅ ∈a b a be a b e ∧
123
123
0 0
0 0
⎧ = → ∧ = ⇔ ⋅ =⎪⎨
= → ∧ = ⇔ ⋅ =⎪⎩
De k k D
Be k k B
D D
B B
0 0 0 0 0 0
0 0 00 0 0
00
0
i i
ii
ε ε ε µ χ ε ε ε µ χ
ε µ χ µ µµ µ ε µ χ
⎧ ⎛ ⎞∧ = ⋅ + ⋅ = ⋅⎛ ⎞⎪ ⎜ ⎟⇒ =⎨ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⋅−∧ = ⋅ − ⋅ = ⎝ ⎠⎪ ⎝ ⎠⎩
k k E k H k Ek Hk k H k E
D
B
2 0 ondas TEMε µ χ∴ ≠ ⇒ ⋅ = ⋅ = ←k E k H
( ) ( )
( ) ( )123
2 2 2 20 0 0 123
0 W 0
ˆ2 0k n k i n k
λ
ε µ χ χ± ± ± ±
⋅ = ⇒ = − ∧ =
⎡ ⎤∴ − − − ∧ =⎣ ⎦
k E E E u E e
E k E e
( )
( )
2 2 2 20 0 0
123
2
PCD0
PCE
k n k n k
i
λ ε µ χ χ± ± ±
± ±
= − − =
⎧ + →⎪∴ ± ∧ = ⇒ ⎨− →⎪⎩
E k E e
∓
Assim, tal como se viu no caso da rotação de Faraday associada à propagação
longitudinal num magnetoplasma, existe também uma rotação da polarização linear
devida à birrefringência circular dos meios quirais que é designada na literatura por
Carlos R. Paiva 112
actividade óptica. Porém, existe uma diferença essencial: enquanto a rotação de Faraday
é um efeito não recíproco (associado à não reciprocidade da anisotropia do
magnetoplasma), a actividade óptica é um efeito recíproco (associado à reciprocidade da
isotropia quiral). Isto significa que, se se verificar uma rotação da direcção de
polarização linear de um ângulo Ψ ao longo de uma certa distância, a rotação total será
nula se essa onda for reflectida e percorrer a mesma distância mas agora no sentido
diametralmente oposto (e não 2Ψ , como na rotação de Faraday).
4.12 Dispersão espacial Uma forma alternativa de descrever os meios bianisotrópicos é através da dispersão
espacial. Vejamos como.
( ) ( )
( ) ( )123 0 0 0
123 0 0 0
meio bianisotrópicoε ξ
µ ζ
ε ε µ
µ ε µ
⎧ ⎡ ⎤= ϑ + ϑ⎪ ⎣ ⎦→ ⎨⎡ ⎤= ϑ + ϑ⎪ ⎣ ⎦⎩
e E H
e H E
D
B
ωω
∧ =⎧⎨ ∧ = −⎩
k Ek H
B
D
( ) ( )( ) ( )
( )
( )
1
123 0 0
1123 0
0
1
vectores auxiliares1
HE
HE
k
k
εζ
ξµ
ω ε
ω µ
−
−
= ϑ= ∧ + ϑ⎧⎪→ →⎨ = ∧ − ϑ⎪⎩ = − ϑ
E AA k E e E
A k H e H H A
( ) ( )
( ) ( )
00 123 123
00 123 123
meio comdispersãoespacial
E
H
Y
Z
ε ξ µ
µ ζ ε
εω
µω
−1
−1
⎧ ⎡ ⎤= ϑ − ϑ ϑ⎣ ⎦⎪⎪→ ⎨⎪ ⎡ ⎤= ϑ + ϑ ϑ⎣ ⎦⎪⎩
E e A e
H e A e
D
B
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
00 123 0 123 123 123
00 123 0 123 123 123
Y
Z
ε ξ µ ζ ξ µ
µ ζ ε ξ ζ ε
ε εω
µ µω
−1 −1
−1 −1
⎧ ⎡ ⎤= ϑ − ϑ ϑ ϑ − ϑ ϑ ∧⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦⎪⎪∴ ⎨⎪ ⎡ ⎤= ϑ − ϑ ϑ ϑ + ϑ ϑ ∧⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦⎪⎩
E e E e k E e e
H e H e k H e e
D
B
Um meio cujas relações constitutivas dependem do vector de onda k é, com efeito, um
meio com dispersão espacial: no domínio de Fourier, o aparecimento dos termos com k
corresponde à existência de derivadas espaciais uma vez que i∇ k . Deve referir-se
que, ao descrever um meio através da dispersão espacial e não através das relações
113Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
constitutivas bianisotrópicas, as condições fronteira são diferentes das habituais na
teoria electromagnética – tal como o vector de Poynting também será diferente. Não se
recomenda, portanto, a utilização da formulação com dispersão espacial na resolução de
problemas de electromagnetismo.
Vamos analisar a dispersão espacial no caso particular de um meio quiral isotrópico.
( ) ( )
( ) ( )
20 0123
20 0123
meio quiralexibindo explicitamente
dispersão espacial
Yi
Zi
ε ε µ χ χµ ωµµ ε µ χ χε ωε
⎧ = − + ∧⎪⎪→ ⎨⎪ = − + ∧⎪⎩
Ee k E
H e k H
D
B
4.13 É possível a existência de meios de Tellegen? Vamos agora analisar a questão da não reciprocidade em meios isotrópicos. Mais
precisamente: a possibilidade de existirem meios de Tellegen. Antes, porém, discute-se
um problema também importante: o vector excitação magnética H e o bivector
excitação eléctrica D são únicos?
3
3123
magnetodinâmica em :0
electrodinâmica em :
iC
iC
ω
ωρ
∇∧ =⎧⎨∇∧ =⎩∇∧ = −⎧⎨∇∧ =⎩
E
He
B
B
J D
D
Vai-se então começar por mostrar que é possível introduzir um vector ( ),ωQ r que
permite redefinir as equações de Maxwell conservando, porém, a sua forma.
iω
ρ ρ ρ
′→ =′→′→ = −′→ = +∇∧′→ =′→ =
E E E
H H H QQ
B B =B
D D D
J J J
Carlos R. Paiva 114
Notando que o grupo da magnetodinâmica fica invariante ( ),′ ′= =E E B B , apenas
temos de analisar o que se passa com o grupo da electrodinâmica.
( )( )
( )
ii i
ii
i i
ωω ωωω
ω ω
′∇∧ = ∇∧ −= − − ∇∧= − +∇∧
′ ′= −
′ ′ ′∴ ∇∧ = − ∇∧ = −
H H QQ
Q
H H
J D
J D
J D
J D J D
Além disso, uma vez que 0∇∧∇∧ =Q , tem-se:
( )
123
123
123 123
ρρ
ρ ρ
′∇ ∧ = ∇∧ +∇∧= ∇∧
′
′ ′∴ ∇∧ ∇∧
Q
= e= e
= e = e
D D
D
D D
Fica, assim, demonstrado que as equações de Maxwell permanecem invariantes sob a
transformação considerada. Deve acrescentar-se, contudo, uma facto importante: as
condições fronteira não são as mesmas em ambos os casos.
Vai-se, agora, aplicar o resultado anterior ao problema central desta secção: é possível a
existência física de meios de Tellegen?
( )( )
0 0 0 123
0 0 0 123
meio de Tellegenε ε ε µ κ
µ µ ε µ κ
⎧ = +⎪→ ⎨= +⎪⎩
E H e
H E e
D
B
Para responder à nossa questão, comecemos por reescrever as relações constitutivas
numa forma alternativa.
115Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
( )
( )
2
0 123
1230
0
meio de Tellegen1
PP
P
PY
ε µ κεε ε ψµ
µ µψ
κ µ µψµ
⎧ −=⎪ = +⎧⎪⎪ ⎪= → ←⎨ ⎨ = − −⎪ ⎪
⎩⎪ =⎪⎩
Ee
H e E
D B
B
Supõe-se, no que se segue, que se trata de um meio homogéneo, i.e., que ψ não
depende do ponto considerado. Façamos então, por definição,
iψω
=Q E .
O campo Q é, portanto, uma versão escalonada do campo eléctrico E . Consideremos,
agora, a transformação deduzida no início desta secção. Vem sucessivamente:
( )
( )
0 123
0 123
P
P
i
ii
ψω
ψε ε ψω ω
ε ε
′ = + ∇∧
= + + ∇∧⎡ ⎤⎣ ⎦
′=
E
Ee E
E e
D D
BB
( )
( )
1230
1230
1
1P
P
ψ
ψ ψµ µ
µ µ
′ = +
⎡ ⎤= − − +⎢ ⎥⎣ ⎦
′= −
H H E
e E E
e
B
B
( )( )
0 123
0 123
meio de Tellegenreduzido a um meioisotrópico comum
P
P
ε ε
µ µ
′ ′=⎧⎪→ ⎨′ ′=⎪⎩
E e
H e
D
B
Carlos R. Paiva 116
Nota importante: Para um meio de Tellegen ilimitado e homogéneo é sempre possível
fazer desaparecer as suas características não recíprocas através da transformação
considerada.
Significa esta conclusão que, do ponto de vista físico, a não reciprocidade do meio de
Tellegen nunca se manifesta? Para responder a esta questão consideremos, a título de
exemplo, uma esfera de Tellegen imersa no vácuo. A transformação considerada
iψω
=Q E
só é legítima se ψ for constante, i.e., se não depender da posição: a tansformação
considerada só é matematicamente válida nestas circunstâncias.
( ) ( ) ( )0
0
i i iψψ ψ ψ ψω ω ω
ψ ψ
∇ = ⇒ ∇∧ = ∇∧ = ∇ ∧ + ∇∧ = ∇∧⎡ ⎤⎣ ⎦
∴ ∇ = ⇒ ∇∧ = −
Q E a E E
Q B
Mas então, ao aplicar a transformação à esfera de Tellegen tansforma-se a esfera num
meio isotrópico recíproco; o vácuo, porém, transforma-se num meio de Tellegen.
( )0 123
0 123
1230 1230
vácuo 1ε ψ
εψµ
µ
′ ′ ′= −⎧=⎧ ⎪
⎨ ⎨ ′ ′ ′= − +=⎩ ⎪⎩
E eEe
H e EH e
D BD
BB
Conclusão: A não reciprocidade não se manifesta fisicamente num meio de Tellegen
ilimitado e homogéneo (i.e., se todo o universo se reduzisse a um meio deste tipo). Não
obstante, ela manifesta-se em qualquer situação real: é possível demonstrar que o efeito
da não reciprocidade se evidencia, e.g., no coeficiente de reflexão medido na fronteira
que separa um meio de Tellegen do vácuo. Ou seja: os meios de Tellegen, se forem
construídos, manifestam fisicamente a sua não reciprocidade já que é possível detectar
experimentalmente esse efeito.
117Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
4.14 A equação de Maxwell na álgebra geométrica do espaço Vamos agora mostrar como as quatro equações de Maxwell se reduzem a uma única
equação de Maxwell em 3C . Recordemos que, num referencial 1 2 3, ,e e e , se tem
3 1 2 31 2 3
u u uu C ux x x∂ ∂ ∂
∈ → ∇ = + +∂ ∂ ∂
e e e .
3 30
31
31
1,
2,
1,
r
r
rr
r
r u u u
r u u u
r u u u
−
+
= ∇ ⋅ = ∇ ← ∈ =
≥ ∇ = ∇ ← ∈
≥ ∇∧ = ∇ ← ∈
∧
∧
∧
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
23 3
3
3
33
123
3
33 3
3
3
3 3
,
: :
C
C
C
C C
+
−
−
+ −
∈ = ⋅ + ∧ ∈ = ⊕
⎧∇ ∧ = −∇× × = ∇⋅ − ∇ ⋅ + ⋅∇ − ⋅∇ ∈⎪⎨∇∧ ∧ = ∇⋅ × = ∧ ∇∧ − ∧ ∇∧ ∈⎡ ⎤⎪ ⎣ ⎦⎩
⎧ ∇ ⋅ = ⋅∇ + ⋅∇ − ∇∧ − ∇∧ ∈⎪⎨⎪∇ ∧ = ∇ ∧ +∇∧ ∧ ∈ = ⊕⎩
∴ ∇ =∇ ⋅ +∇ ∧ ∈
∇ →
a b ab a b a b
a b a b a b b a a b b a
a b a b e b a a b
a b a b b a a b b a
a b a b a b
ab a b a b
a
∧
∧
∧
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )2
∇
∇ = ⋅∇ − ∇∧ − ∇∧ + ∇⋅ − ∇ ⋅
+ ∧ ∇∧ − ∧ ∇∧
b ab
ab a b a b b a a b b a
b a a b
0
0
magnetodinâmicaequações
0de
Maxwellelectrodinâmica
polarização relações constitutivasdos
1 magnetização meios materiais
t
tρ
ε
µ
⎧ ∂⎧∇× = −⎪⎪ ∂→ ⎨⎪⎪⎪ ∇ ⋅ =⎪ ⎩→ ⎨
∂⎧⎪ ∇× = +⎪⎪ ∂→ ⎨⎪ ⎪∇ ⋅ =⎪ ⎩⎩⎧ = + ←⎪⎪→ ⎨⎪ = − ←⎪⎩
BE
B
DH j
D
D E P P
H B M M
Carlos R. Paiva 118
Então, introduzindo quer a densidade volúmica de carga (eléctrica) total quer a
densidade de corrente (eléctrica) total J , tais que
p
m
p
tt
ρ ρ⎧⎪ = −∇⋅ = −∇ ⋅⎪⎪ = ∇× → ∂⎨ = +∇× +⎪ ∂∂⎪ =
∂⎪⎩
P Pj M PJ j M
Pj
é agora possível escrever as equações de Maxwell, no caso geral, estritamente em
função do campo eléctrico E e do campo magnético B . As equações de Maxwell
escritas exclusivamene em termos de E e B são conhecidas na literatura por equações
de Maxwell-Boffi. Por essa razão há autores que designam os campos ( ),E B por
campos principais e os campos de excitação material ( ),D H por campos secundários
ou induzidos (nos materiais).
0 0
1velocidade da luz no vácuo cε µ
→ =
Comentário: A relação 0 01c ε µ= , introduzida por Maxwell, é muito mais de que
uma mera definição: trata-se de uma das primeiras manifestações da unificação em
física. Com efeito, ao escrever esta relação, Maxwell dava um salto teórico
fundamental.
Inscrevia a óptica como um ramo do electromagnetismo.
Integrava, numa só equação, as constantes 0ε (permissividade eléctrica do vácuo),
0µ (permeabilidade magnética do vácuo) e c (velocidade da radiação
electromagnética no vácuo) que constituiam três realidades físicas aparentemente
desconexas: a electricidade, o magnetismo e a luz (ou, mais geralmente, a
radiação electromagética) que, doravante, iriam constituir uma única teoria física
– a electrodinâmica clássica.
119Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
0 2
0
EQUAÇÕES DE MAXWELL-BOFFI
grupo da magnetodinâmica0
1
grupo da electrodinâmica
t
c tµ
ε
∂⎧∇× = −⎪ ∂→ ⎨⎪∇ ⋅ =⎩
∂⎧∇× = +⎪ ∂⎪→ ⎨⎪∇ ⋅ =⎪⎩
BE
B
EB J
E
Nota histórica: Esta forma de escrever as equações de Maxwell deve-se a L. Boffi que
as formalizou para o caso dos meios em movimento.
L. Boffi, Electrodynamics of Moving Media, ScD Thesis, Massachusetts Institute
of Technology, Cambridge, 1957.
Por uma questão de homogeneização das unidades SI reescrevem-se estas equações
como segue
0
0
1
1 1
1 1 0
0.
Zc
c t c
c c t
µ
⎛ ⎞∇ ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠
∂ ⎛ ⎞∇× − =⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠∂⎛ ⎞∇× + =⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠
∇ ⋅ =
E
B E J
BE
B
Usam-se, agora, as seguintes identidades em 3C
( )( )
( ) ( )
123
123
123 123
vectorbivectortrivector .
→ ∇× = −∇→ ∇∧ = ∇×→ ∇⋅ = ∇∧
B BeE E eB e Be
Carlos R. Paiva 120
Com base nestas identidades é possível escrever as equações de Maxwell como segue:
os números que aparecem no lado esquerdo de cada equação referem-se à dimensão do
grau em 3C .
( )
( )
( )
0
123 0
123
123
10
1 11
1 12 0
3 0.
Zc
c t c
c c t
µ
⎛ ⎞∇ ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠
∂ ⎛ ⎞ +∇ = −⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠∂⎛ ⎞∇ ∧ + =⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠
∇ ∧ =
E
E Be J
E Be
Be
Adicionando estas equações (soma graduada) vem então:
( ) ( ) ( )
( )
123 123 123
123 123
123 123 0
1 1 1
1 1
1 1 1 1
c c c
c c
Zc t c c c
⎧ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∇ = ∇ ⋅ +∇∧⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪⎪ ∇ = ∇ +∇∧⎨⎪
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ∇ + = ∇ +∇⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∴ + +∇ + = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
E E E
Be Be Be
E Be E Be
E Be E Be J
123 03
equação de Maxwell 1 1 1em
ZC c t c c
⎛ ⎞∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞→ +∇ + = −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠E Be J .
A equação de Maxwell descreve como as fontes do campo (no lado direito da equação)
criam um campo electromagnético (no lado esquerdo da equação).
3
23 3
123
3
1fontes do campo (paravector)
1campo electromagnético
1operador diferencial (paravector)
c
c
c t
→ − ∈ ⊕
→ + ∈ ⊕
∂→ +∇∈ ⊕
∂
J
E Be ∧
121Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
Nota: Designa-se por paravector a soma de um escalar com um vector.
4.15 O paravector potencial do campo electromagnético Como é sabido, quer o campo eléctrico E quer o campo magnético B podem ser
determinados a partir de um potencial escalar Φ e de um potencial vector A . Na
álgebra geométrica 3C exite um paravector que desempenha o mesmo papel.
( )123 123
123
0∇⋅ = ⇒ =∇× ⇒ = = ∇×
∴ =∇∧
B B A Be A e
Be A
B
0t t t
t
⎛ ⎞∂ ∂ ∂∇× + = ∇× + = ⇒ + = −∇Φ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
∂∴ = −∇Φ−
∂
B A AE E E
AE
( ) ( )
( )
2
2
0 02 2 2 2
22
0 2 2 2
1 1 1
1 1
c t t c t c t
c t c t
µ µ
µ
⎧∇× = ∇× ∇× = ∇ ∇⋅ −∇⎪⎨ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂Φ ∂∇× = + −∇Φ − = − ∇ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩
⎛ ⎞∂Φ ∂∴ ∇ ∇⋅ −∇ = − ∇ −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
B A A A
A AB J J
AA A J
2
22
02 2
22
2 20
1condição de Lorenz 0
1equação do potencial vector
1equação do potencial escalar
c t
c t
c t
µ
ε
∂Φ→ ∇⋅ + =
∂
∂→ ∇ − = −
∂
∂ Φ→ ∇ Φ− = −
∂
A
AA J
Nota: Estas equações diferenciais para Φ e A partem das equações de Maxwell-Boffi e
não das habituais equações de Maxwell. Por isso as fontes do campo que nelas
aparecem no lado direito são as fontes totais – não as referentes às cargas livres.
Carlos R. Paiva 122
Nota histórica: Muitas vezes designa-se, erradamente, a condição de Lorenz por
«condição de Lorentz». Trata-se de um erro histórico. Esta condição foi descoberta pelo
físico dinamarquês Ludwig Lorenz em 1867 e não pelo físico holandês H. A. Lorentz
que descobriu a covariância das equações de Maxwell em 1903 (através das célebres
transformações de Lorentz).
À semelhança do que se fez para chegar à equação de Maxwell em 3C , consideram-se,
agora, as seguintes equações:
2
123
10 0
1 1 11
2 .
c t
c t c c
∂Φ∇⋅ + =
∂∂
− − ∇Φ =∂
∇∧ =
A
A E
A Be
Então, adicionando estas três equações, obtém-se a equação para o paravector potencial
do campo electromagnético.
123
equação do paravector1 1 1potencial do campo
electromagnéticoc t c c
⎛ ⎞∂ ⎛ ⎞→ −∇ Φ − = +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠⎝ ⎠A E Be
3
23 3
123
3
1paravector potencial do campo electromagnético
1campo electromagnético
1operador diferencial (paravector)
c
c
c t
→ Φ− ∈ ⊕
→ + ∈ ⊕
∂→ −∇∈ ⊕
∂
A
E Be ∧
123Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
“It is now clear why the [cross] product only exists in three dimensions – this is the only space
for which the dual of a bivector is a vector. We will have little further use for the cross product
and will rarely employ it from now on. This means we can also do away with the awkward
distinction between polar and axial vectors.”
Chris Doran and Anthony Lasenby, Geometric Algebra for Physicists, Cambridge University
Press, Cambridge, 2003, p. 37
125Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
5.1 Espaços quadráticos e métrica Seja V um espaço linear definido sobre o corpo F . Uma aplicação :Q V → F diz-se
uma forma quadrática desde que, qualquer que seja λ∈F e V∈x ,
( ) ( )2Q Qλ λ=x x
e ainda desde que, simultaneamente, a aplicação
( ) ( ) ( ) ( ): ,V V Q Q Q× → + − −x y x y x yF
seja bilinear (i.e., linear em ambos os argumentos). Quando a característica é diferente
de 2, a forma quadrática pode ser obtida a partir da forma bilinear simétrica†
( ) ( ) ( ) ( )1,2
B Q Q Q= + − −⎡ ⎤⎣ ⎦x y x y x y
† P. Lounesto, Clifford Algebras and Spinors (Cambridge: Cambridge University Press, 2nd ed., 2001), p. 195.
Carlos R. Paiva 126
uma vez que, neste caso, se tem simplesmente
( ) ( ),Q B=x x x .
Com efeito
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1, 2 2 4 22 2
B Q Q Q Q Q= − = − =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦x x x x x x x .
Nos anéis habituais (i.e., Z , Q , e H ) a característica é 0‡ pelo que, se estivermos a
trabalhar no corpo , este problema não se coloca.
Definição: Um espaço linear V onde se introduziu uma forma quadrática Q diz-se um
espaço quadrático e representa-se pelo par ordenado ( ),V Q .
Consideremos um espaço linear V onde foi definida uma forma bilinear simétrica
( ),B x y . Dois vectores , V∈x y tais que ( ), 0B =x y dizem-se ortogonais. Se um
espaço quadrático é a soma directa de dois subespaços, ( ) ( )1 1 2 2, ,V Q V Q⊕ , de tal modo
que ( )1 2, 0B =x x quaisquer que sejam 1 1V∈x e 2 2V∈x , então diz-se que esse espaço
quadrático é a soma ortogonal desses dois subespaços e escreve-se 1 2V V⊥ ou 1 2Q Q⊥ .
Uma forma quadrática observa a seguinte propriedade geral:
( ) ( ) ( ) ( )lei do paralelogramo 2 2Q Q Q Q→ + + − = −x y x y x y .
De facto, vem sucessivamente
‡ R. L. Fernandes e M. Ricou, Introdução à Álgebra (Lisboa: IST Press, 2004), p. 94.
127Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 ,
2 , 2 ,
2 2 .
Q B Q Q
Q B Q Q B Q Q
Q Q Q Q
+ = + +
− = − + + − = − + +
∴ + + − = +
x y x y x y
x y x y x y x y x y
x y x y x y
Um exemplo de importância histórica é o espaço linear 2V = definido sobre o corpo
e dotado da forma quadrática ( )Q u v=x onde ( ),u v=x . Neste caso basta fazer a
mudança de variáveis 1 2u x x= + e 1 2v x x= − para concluir que
( ) ( )( ) ( )( )( )
1 2 1 2
2 21 2 1 2 1 2
1 1 2 2
, ,
plano hiperbólico
,
u v x x x x
Q u v x x x x x x
B x y x y
= = + −
→ = = + − = −
= −
x
x
x y
Este exemplo é conhecido na literatura por plano hiperbólico. Trata-se de um espaço
quadrático que é designado por 1,1 e onde a um vector diferente de zero pode
corresponder ( ) 0Q =x : basta considerar 1 2x x= ± ou, alternativamente, 0u = ou 0v = .
Definições: Um vector V∈x , com 0≠x , diz-se um vector nulo ou isotrópico se
( ) 0Q =x . Uma forma quadrática diz-se anisotrópica quando ( ) 0Q =x implicar 0=x ;
diz-se isotrópica se existir um vector 0≠x ao qual corresponda ( ) 0Q =x . Uma forma
bilinear é não degenerada se ( ), 0B =x y para todo o V∈y implicar 0=x . Uma forma
quadrática anisotrópica é sempre não degenerada.
Note-se, portanto, que o plano hiperbólico é um espaço quadrático isotrópico (ou
indefinido).
Carlos R. Paiva 128
Definição: Dois espaços quadráticos ( )1 1,V Q e ( )2 2,V Q dizem-se isométricos desde que
exista um isomorfismo linear 1 2L :V V→ tal que ( ) ( )2 1LQ Q=x x ou, de forma
equivalente, se ( ) ( )2 1L , L ,B B=x y x y quaisquer que sejam , V∈x y .
A matriz ( ),i jB e e é diagonalizável uma vez que é simétrica. Isto significa que qualquer
forma quadrática é isométrica à forma diagonal.
( ) ( )( )
1 2
2 2 21 2 1 1 2 2
1 2
, diag , ,
, ,
notação : , ,
i j n
n n n
n
B d d d
d d d Q d x d x d x
d d d
=
∈ → = + + +
e e
x
…
…
…
F
O plano hiperbólico 1,1 tem uma forma quadrática 1, 1− :
( ) ( )2 21 1 2 2 1 2
1 0,
0 1i jQ x x x x B ⎛ ⎞= + = − → = ⎜ ⎟−⎝ ⎠
x e e e e .
No caso do espaço linear nV = existem apenas duas formas quadráticas anisotrópicas:
a forma quadrática definida positiva 1,1, ,1… e a forma quadrática definida negativa
1, 1, , 1− − −… . Uma forma quadrática não degenerada em n é isométrica a
( ), 2 2 2 21 1
,
,
notação : 1 1assinatura de :
p qp p p q
p q
Q x x x x p q n
p qp q
+ +→ = + + − − − + =
⊥ −−
x
e designa-se por ,p q . A forma quadrática definida positiva corresponde a 1n
enquanto que a forma quadrática definida negativa corresponde a 1n − .
Definição: Ao espaço quadrático 1n definido no espaço linear n (que também se
representa por ,0n ) dá-se o nome de espaço euclidiano n .
129Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
Para fixar ideias consideremos o espaço linear 4 3V = = × que designaremos por
espaço-tempo:
( ) 4 30 1 2 3 0 1 2 3, , , | , , ,x c t x x x y x z x x x x= × = = = = = ∈ .
Neste caso a forma quadrática de interesse é uma aplicação 4:Q → . Do ponto de
vista físico, como adiante se verá, as formas quadráticas definidas 4 1 e 4 1− são
incompatíveis com a teoria da relatividade. As únicas formas quadráticas compatíveis
com o espaço-tempo de Minkowski são:
1,3
3,1
espaços quadráticos compatíveis 1 1 3 1com a relatividade restrita 3 1 1 1
→ ⊥ −→
→ ⊥ −
Nestes apontamentos adopta-se o espaço quadrático 1,3 , com uma assinatura negativa
2p q− = − , para representar o espaço-tempo de Minkowski.
( )1,3 2 2 2 3 40 1 2 3 0 0 1 1 2 2 3 3
espaço-tempode ,
MinkowskiQ x x x x x x x x→ → = − − − = + + + ∈x x e e e e
A forma ( )Q x do espaço quadrático ( ),V Q estabelece a métrica do espaço linear V . A
matriz ( ),i jBη = e e da métrica do espaço quadrático 1,3 é então dada por:
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1
η
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟=⎜ ⎟−⎜ ⎟
−⎝ ⎠
.
Carlos R. Paiva 130
Com efeito, no espaço linear 4 define-se um produto interno entre dois vectores
quaisquer 4, ∈x y através da forma bilinear simétrica ( ),B x y , tal como se indica a
seguir.
( ) ( )( )
( )
( )
2 2 2 240 1 2 30 0 1 1 2 2 3 3
40 0 1 1 2 2 3 30 0 1 1 2 2 3 3
4
4 2
,
,
produto interno em : ,
norma em :
Q B x x x xx x x xB x y x y x y x yy y y y
B
Q
⎧ = = − − − ∈⎧ = + + + ∈⎪ ⎪→⎨ ⎨= − − − ∈= + + + ∈⎪ ⎪⎩ ⎩
⋅ =
= ⋅ =
x x xx e e e ex yy e e e e
x y x y
x x x x
5.2 Definição geral de álgebra geométrica do espaço-tempo Nesta secção vai-se definir, de forma independente de qualquer base, a álgebra
geométrica do espaço-tempo de Minkowski que designaremos por 1,3C . Comecemos,
então, por considerar o espaço linear quadridimensional 4 . Sobre este espaço linear
define-se a álgebra exterior de Grassmann correspondente.
( )
4 4
2 3 44 4 4 4 4
4 4
espaço linear: álgebra exterior:
dim 2 16
→
= ⊕ ⊕ ⊕ ⊕
∴ = =
ÁLGEBRA EXTERIOR∧
∧ ∧ ∧ ∧∧
.
40 1 2 3 4
grau :r
rr u u u u u u u∈ → = + + + +
SOMA GRADUADA
∧
0 1 2 3 44
0 1 2 3 4
0 1 2 3 4
ˆinvolução de grau:involuções em reversão:
conjugação de Clifford:
u u u u u uu u u u u uu u u u u u
= − + − +→ = + − − +
= − − + +
INVOLUÇÕES
∧
131Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
0123 0123
0123 0123
decomposição de um multivector em partes par e ímpar
ˆ ˆmultivector par
ˆ ˆmultivector ímpar
u u u
u u u u
u u u u
α β α β
+ −
+ + + +
− − − −
→ = +
→ = + + → = + + → =
→ = + → = − − → = −
MULTIVECTORES PARES E ÍMPARES
B e B e
a be a be
Nota: Enquanto que a involução de grau é um automorfismo, quer a reversão quer a
conjugação de Clifford são anti-automorfismos.
ˆ ˆautomorfismo
anti-automorfismo
anti-automorfismo
u v u v
u v v u
u v v u
=
=
=
Introduz-se, de seguida, a forma quadrática
( )4 2 2 2 20 1 2 3Q x x x x∈ → = − − −x x
associada à forma bilinear simétrica
( ) ( ) ( ) ( )1,2
B Q Q Q⋅ = = + − −⎡ ⎤⎣ ⎦x y x y x y x y .
Fica, assim, introduzido o espaço quadrático 1,3 .
Nota importante: Os vectores em 1,3 podem, portanto, ter um quadrado ( )2 Q=x x
positivo (vectores hiperbólicos ou do tipo tempo), negativo (vectores elípticos ou do
tipo espaço) ou nulo (vectores parabólicos ou do tipo luz).
( )( )( )
2 2 2 2 20 1 2 3
2 2 2 2 20 1 2 3
2 2 2 2 20 1 2 3
vector hiperbólico (tipo tempo) 0vector elíptico (tipo espaço) 0vector parabólico (tipo luz) 0
Q x x x xQ x x x xQ x x x x
= > → > + += < → < + += = → = + +
x xx xx x
Define-se, então, a operação de contracção (à esquerda)
Carlos R. Paiva 132
( ) 1,3,u v u v∈∧
que obedece às seguintes propriedades
( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
ˆ
a
b u v u v u v
c u v w u v w
= ⋅
∧ = ∧ + ∧
∧ =
x y x y
x x x
para 1,3, ∈x y e 1,3, ,u v w∈∧ . Introduz-se, finalmente, o produto geométrico de
1,3∈x com 1,3u∈∧ :
produto geométrico: u u u= + ∧x x x .
Este produto geométrico é então generalizado a todos os elementos da álgebra exterior
usando a linearidade e a associatividade.
Vamos, agora, introduzir uma base no espaço 4 de modo a tornar a definição anterior
mais concreta. Os índices gregos são , 0,1,2,3µ ν = ; os índices latinos são , 1,2,3i j = .
40 1 2 3base de , , ,→ e e e e
20212223
1 0 0 0 10 1 0 0 1
matriz da métrica0 0 1 0 10 0 0 1 1
η
= +⎛ ⎞⎜ ⎟− = −⎜ ⎟→ = ←⎜ ⎟− = −⎜ ⎟
− = −⎝ ⎠
eeee
produto interno µ ν µνη→ ⋅ =e e
133Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
( )20 0
produto geométrico 2
, 1, 2,3 1, 0,
2i i j i ji j
µ ν µ ν µ νµ ν ν µ µ ν
ν µ µ ν µ ν
µ ν ν µ µν
δ
η
= ⋅ + ∧⎧⎪→ ⇒ + = ⋅⎨ = ⋅ − ∧⎪⎩= → = ⋅ = ⋅ = −
∴ + =
e e e e e ee e e e e e
e e e e e e
e e e e e
e e e e
1,3
0 1 2 3
01 02 03 12 13 23
012 013 023 123
0123
base de
escalares 1vectores , , ,bivectores , , , , ,trivectores , , ,quadrivectores
C
e e e ee e e e e ee e e ee
( ) 41,3
11 1
1 2 1 dim 2 161 3 3 1
1 4 6 4 1
C→ = = .
Nota: Definem-se, como de costume, 01 0 1 012 0 1 2 0123 0 1 2 3, , , ,= = =e e e e e e e e e e e e… … .
1,3 0 1 2 3 4vector bivector quadrivectorescalar trivector
multivector da álgebra: u C u u u u u u∈ → = + + + +
0123 0123 1,3
24 4
40 0 1 1 2 2 3 3
0
40 0 1 1 2 2 3 31
24
01 01 02 02 03 03 12 12 13 13 23 232
0123 0 123 1 023 23
, ,
escalar
vector
bivector
u C
b b b b
u
u a a a a
u B B B B B B
u b b b
α β
α β
α
= + + + + ∈
∈ ∈ ∈
= + + + ∈
= ∈
= = + + + ∈
= = + + + + + ∈
= = + −
a B be e
a b Bb e e e e
a e e e e
B e e e e e e
be e e e
∧
∧3
4013 3 012
44
01234
trivector
pseudoescalar
b
u β
+ ∈
= ∈
e
e
∧
∧
Carlos R. Paiva 134
( )( )( )
0123 0 1 2 3 3 2 1 0 0 1 2 3 0123
2 2 2 2 20123 0123 0123 0123 0123 0 1 2 3 3 2 1 0 3 2 1 0 1
= = = =
∴ = = = = = −
e e e e e e e e e e e e e e
e e e e e e e e e e e e e e e e e
∼
( ) ( )
0123 0123
0123 0123
0123 0123
0123 0123 0123 0123
β β=== −= − = −
e eBe e Bbe e b
be e e be b
( )
0123 0123 1,3 0123 0123 1,3
1,3,
u C u C
u v C u v v u
α β α β= + + + + ∈ = + − − + ∈→→∈ =
REVERSÃO
a B be e a B be e
∼
( ) ( )
( )
( )
( )
24
2 2
1,3
multivector homogéneo de grau
bivector1 122 2
12
12
1, comutador de dois multivectores2
k k k
k k k k k
k k k kk k
k k k k
k
k u u
k u u u u u
u u u u
u u u
u v C u v u v vu
u
− +
→ =
→ ∈
≥ → = + + −
+ = +
− =
∈ → → × = −
× =
MULTIVECTORES HOMOGÉNEOS
B
B B B B B
B B B B
B B B
B
∧
2 2
2
2
2
contracçãoproduto exterior
2
k k
k k k kk k k
k k k
k k k
k k k k
u
k u u u u
u uu u
k u u u u
− +
−
+
≥ → = + +
=∧ =
≥ → = + × + ∧
B
B B B B
B BB B
B B B B
135Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
( )
24
1 2
1 2 1 2 1 2 1 20 2 4
1 2 1 20
24
1 2 1 2 1 2 2 12
44
1 2 1 24
bivectores ,
produto geométrico de dois bivectores
12
→ ∈
→ = + +
= ∈
= × = − ∈
= ∧ ∈
PRODUTO GEOMÉTRICO DE BIVECTORES
B B
B B B B B B B B
B B B B
B B B B B B B B
B B B B
∧
∧
∧
( )
( )( )
( )( )
22 2 21 2 1 0 1 0 1 2 1 1 0 1 0
21 1 0 1 0 4
1 2 1 0 2 0 1 22 2 0 2 0
41 1 0 1 0 4
1 2 1 0 2 3 01232 2 3 2 2
Exemplos
1º exemplo: 1
2º exemplo:
3º exemplo:
= = = ∧ → = = = − = ∈
= = ∧⎧→ = = − ∈⎨ = = ∧⎩
= = ∧⎧→ = = − ∈⎨ = = ∧⎩
B B e e e e B B B e e e e
B e e e eB B e e e e e e
B e e e e
B e e e eB B e e e e e
B e e e e
∧
∧
( )
( )
41 2 3 4
1 2
1 2 3
1 2 3 4
1 2 1 2 2 1
1 2 3 1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 3 2 2 1 3 3 2 1
1 2 3 4 1 2 3 4 1 4 2 3 1
, , ,lâmina de grau 2lâmina de grau 3lâmina de grau 4
12!
13!
14!
∈
∧∧ ∧∧ ∧ ∧
∧ = −
∧ ∧ = + + − − −
∧ ∧ ∧ = + +
LÂMINASa a a a
a aa a aa a a a
a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a(
)
3 4 2 1 2 4 3 1 4 3 2 1 3 2 4
2 1 4 3 2 4 3 1 2 3 1 4 2 1 3 4 2 4 1 3 2 3 4 1
3 1 2 4 3 2 4 1 3 4 1 2 3 2 1 4 3 4 2 1 3 1 4 2
4 1 3 2 4 3 2 1 4 2 1 3 4 1 2 3 4 3 1 2 4 2 3 1
− − −
+ + + − − +
+ + + − − +
+ + + − − −
a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
Carlos R. Paiva 136
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
41 2 3
1 2 1 2 1 2
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 2 1 2 2 1
1 2 3 1 2 3 2 1 3 3 1 2
, , , ∈
∧ = ∧ + ∧ ∧
∧ ∧ = ∧ ∧ + ∧ ∧ ∧
∧ = ⋅ − ⋅
∧ ∧ = ⋅ ∧ − ⋅ ∧ + ⋅ ∧
CONTRACÇÃO
a a a aa a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a
Nota importante: Todos os bivectores de 3C são simples uma vez que representam,
sempre, um plano. Em 1,3C existem bivectores que não são simples, i.e., que não
representam um plano: por exemplo, o bivector 2
401 23 1,3C= + ∈ ⊂B e e ∧ não
representa um plano dado que 201232= ∉B e ( 2B é um quadrivector ou
pseudoescalar).
Por outras palavras: nem todos os multivectores homogéneos são lâminas. Exemplo: o
bivector ( ) ( )0 1 2 3α β= ∧ + ∧B e e e e é homogéneo, porque 2
=B B , mas não é uma
lâmina – é a soma de duas lâminas distintas. Isto acontece porque o bivector em causa
não é um bivector simples.
( ) ( )0 1 2 3
2 2 24
02 2 2 4
0 4 201234
Exemplo: um bivector que não é uma lâmina
bivector (multivector homogéneo de grau 2)
2
α β
α β
αβ
→ = ∧ + ∧
= −= + ∈ ⊕ →
=
B e e e e
BB B B
B e∧
( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )
2
24
2 2 2
, bivector simples
.
∧ = − ⋅ ⋅ −
∈ → = ⋅ − − ⋅ + ⋅ ←
= ⋅ − ∈
a b ab a b a b ba
a b a b ab abba a b a b ba
a b a b
137Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
Nota importante: Em 1,3C nem todos os bivectores simples têm, como no caso de 3C ,
um quadrado negativo. Se 4, ∈a b e 0⋅ =a b , tem-se ( )2 2 2∧ = −a b a b . Mas então,
existem duas possibilidades:
( )22 2 201 0 1 0 1 1= ∧ = − =e e e e e
( )22 2 212 1 2 1 2 1= ∧ = − = −e e e e e .
Ou seja: em 1,3C os bivectores simples podem ter um quadrado positivo (bivectores
hiperbólicos ou do tipo tempo) ou negativo (bivectores elípticos ou do tipo espaço).
( )( )
2 22 2 20 10 1 0 1
2 2 20 1 1 0 0 1 1 00 1
1 0
Exemplo: bivector hiperbólico
2020
2 1
ˆbivector hiperbólico (ou do tipo tempo) 2
ˆ4
+ −+ +
− + −−
+ − + − + −
+ −
⎧⎧ ⋅ = − == + = + =⎧ ⎪ ⎪→ →⎨ ⎨ ⎨= − ∧ = − = ∧= + =⎪ ⎪⎩ ⎩ ⎩∴ = ⋅ + ∧ = + ∧
→ ∧ =
n n e en e e n e en e e n n e e e e e en e e
n n n n n n e e
n n B
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 22 2 2 2ˆ4 1
1 1ˆ ˆ2 2
0 2
1 1ˆ ˆ2 2
2 0ˆ
+ − + − + −
+ + + + − + + − + − + +
− − − + − − + − − − + −
± ±
= ∧ = ⋅ − = ⇒ =
⎡ ⎤⎢ ⎥= − = − ∧ = − ⋅ − ⋅ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤⎢ ⎥= − = − ∧ = − ⋅ − ⋅ = −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
= ±
B n n n n n n B
B n n B n n n n n n n n n n
B n n B n n n n n n n n n n
B n n
1e
0e ˆ+ +=n B nˆ
− −=n n B
1ˆ2 + −= ∧B n n
Carlos R. Paiva 138
( )( )( ) ( )( )
( )
21 0 1 0
22 0 0123 1 3 1 3
1 0 1 3 0 3 1 3 1 0 3 0
24
22 2 2 2 2
Exemplo: bivector parabólico
ˆ ˆbivector hiperbólico 1ˆ ˆbivector elíptico 1
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ,
ˆˆ
ˆ ˆˆ ˆ ˆ1 1
ζ θ
ζ θ ζ θ ζθ
= = ∧ =
= = = ∧ = −
= = = = = −
= + ∈
= + = + +−
B e e e e B
C e e e e e e e C
BC e e e e e e CB e e e e e e BC
F B C
F B C B C B
∧
( )
( )
2 2
2
ˆ ˆ ˆ
0ˆˆbivector parabólico (ou do tipo luz) 0
ζ θ
ζ θ α α
+ = − ∈
→ = = → = + → =
C CB
F B C F
( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )
20 10 0 1 0 0 1 1
21 10 1 1 0 1 0 0
2 2 1210 10 10
0 0
10 10
0 0 10 0 0
11 1 10 1
bivector1 exp
hiperbólico 2 ! 2 1 !
exp cosh sinh
exp coexp
k k
k kk k
boost
ζ ζζ
ζ ζ ζ
ζ
ζ
+∞ ∞
= =
⎧ = ∧ = − = −⎪⎨
= ∧ = = −⎪⎩
→ = → = ++
∴ = + ←
= ⎛ ⎞→ =⎜ ⎟= ⎝ ⎠
∑ ∑
BOOSTS
e e e e e e e e
e e e e e e e e
e e e
e e
e f e e ffe f e e
( ) ( )( ) ( )
0
1
sh sinhsinh cosh
ζ ζζ ζ
⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
ee
( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )
21 12 1 1 2 1 2 2
22 12 2 1 2 2 1 1
2 2 1212 12 12
0 0
12 12
1 1 12 1 1
22 2 12 2
bivector1 exp 1 1
elíptico 2 ! 2 1 !
exp cos sin rotação
exp
exp
k kk k
k kk kθ θθ
θ θ θ
θ
θ
+∞ ∞
= =
⎧ = ∧ = = −⎪⎨
= ∧ = − =⎪⎩
→ = − → = − + −+
∴ = + ←
= ⎛ ⎞→ ⎜= ⎝
∑ ∑
ROTAÇÕES
e e e e e e e e
e e e e e e e e
e e e
e e
e f e e ffe f e e
( ) ( )( ) ( )
1
2
cos sinsin cos
θ θθ θ
⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟−⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
ee
Consideramos, de seguida, a decomposição invariante de um rotor R numa rotação e
num boost.
139Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
224
0123 2
20123 0123
42 2 2 4
0123
ˆ 1ˆ ˆˆ ˆ,ˆ 1
ˆ ˆˆ ˆ ˆ
ˆˆ 2
bivector
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆexp exp exp2 2 2
R
ζ θ ζ θ ζθ
ζ θ
⎧ =⎪∈ → = → ⎨= −⎪⎩
= = =
= + → = − + ∈ ⊕
→ = −
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= → = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
DECOMPOSIÇÃO INVARIANTE DE UM ROTOR
BB C C Be
C
BC CB B e e
F B C F e
F F
FBC CB B C
∧
∧
24
24
ˆ ˆexp exp rotor2 2
rotor reverso exp 12
ˆ ˆexp cosh sinh2 2 2
ˆ ˆrotação exp cos sin2 2 2
decomposição invariante
R RR
boost b
r
θ ζ
ζ ζ ζ
θ θ θ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ →⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞→ = − → =⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = + ∈ ⊕⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = + ∈ ⊕⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
C B
F
B B
C C
∧
∧
do rotor R R b r r b→ = =
5.3 Transformação de Lorentz Nesta secção vai-se deduzir a transformação de Lorentz (mais precisamente, um boost)
na sua interpretação passiva. Usa-se o primeiro postulado de Einstein (o princípio da
relatividade) mas prescinde-se do seu segundo postulado (sobre a velocidade da luz).
No entanto, à partida, os vectores de 4 tanto podem pertencer ao espaço quadrático 4,0 como ao espaço quadrático 1,3 . Considera-se que, do ponto de vista físico, a
distinção entre 4,0 e 0,4 ou entre 1,3 e 3,1 é irrelevante. Ou seja: trabalha-se numa
álgebra geométrica que, à partida, tanto pode ser a álgebra 4C (do espaço euclidiano
4 ) como a álgebra 1,3C (que designaremos por álgebra do espaço-tempo de
Minkowski, com assinatura 1 3 2− = − ).
Princípio da relatividade (restrita): As leis da física são as mesmas (i.e., têm a mesma
forma) em todos os referenciais (de inércia).
A definição de referencial de inércia como classe de equivalêcia de todos os sistemas de
coordenadas não acelerados, torna impossível a detecção de um movimento absoluto,
Carlos R. Paiva 140
i.e., torna impossível a existência de um referencial de inércia privilegeado: todos os
referenciais de inércia são equivalentes no que respeita à descrição das leis da física.
Designaremos a base dos vectores em 4 (enquanto espaço linear) por 0 1 2 3, , ,e e e e .
No entanto, se se estiver no espaço quadrático 4,0 , deverá ter-se
4,0 1,, 0,1, 2,3
0,µ ν µν µν
µ νµ ν δ δ
µ ν=⎧
→ = → ⋅ = → = ⎨ ≠⎩e e
enquanto que, se se estiver no espaço quadrático 1,3 , será
20
1,30
0
1, 0,1, 2,3
0, 1,2,3 i
i i j
i j µ ν µν
µ νη
δ
==
→ → ⋅ = → ⋅ ==
⋅ = −
ee e e e
e e.
Um vector a do espaço linear 4 será designado por acontecimento e é descrito, num
referencial de inércia 1S (por referencial de inércia deve entender-se um referencial não
acelerado) como segue:
( ) 41 0 1 2 3em S t x y zκ→ = + + + ∈a e e e e .
A constante κ que aparece a multiplicar o tempo medido em 1S destina-se, apenas, a
transformar as medidas de tempo em medidas de espaço. Admite-se, no entanto, que é
uma constante universal, i.e., que pode ser usada com o mesmo valor numérico em
todos os referenciais de inércia. Assim, se se considerar um novo referencial de inércia
2S com uma nova base 0 1 2 3, , ,f f f f para o espaço linear 4 , o mesmo acontecimento
anteriormente descrito em 1S será agora descrito em 2S como segue:
( ) 42 0 1 2 3em S t x y zκ→ = + + + ∈a f f f f .
141Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
Consideremos, agora, um ponto fixo B do referencial 2S que designaremos por vector
31 2 3B B B Bx y z= + + ∈p f f f . Ao longo do tempo este ponto fixo B é descrito pelo
acontecimento ( ) ( ) 0B Bt tκ= +a f p . Admitiremos, ainda, que o referencial 2S se
desloca em relação a 1S em movimento relativo com uma velocidade (relativa)
constante (i.e., independente do tempo). A velocidade própria do ponto fixo B será
definida, então, como sendo
2 22 0 2
Bdd t
κ κ= = → =au f u .
Esta mesma velocidade própria, do ponto de vista de um observador em repouso no
referencial 1S , será
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
0 1 2 3 0
2 0 , ,
B B B B B
B B B
t t x t y t z t t td d ddt dtd t dt d t d t dt
κ κ
γ κ γ
= + + + = +
= = = + = =
a e e e e e pa a pu e v v
.
Notemos que, tanto na álgebra 4C como na álgebra 1,3C , se tem 20 1=e . Nestas
condições, é ainda possível escrever
( )( )2 0 0 0ˆ ˆ1 , ,κ γ β κ β β κκ
= = + = =v
u f ve e v v .
Notemos, ainda, que
2
42
1,3
ˆ 1ˆ 1
CC
→ =→ = −
vv
.
Consideremos, agora, um ponto fixo A do referencial 1S que designaremos por vector
31 2 3A A A Ax y z= + + ∈p e e e . Ao longo do tempo este ponto fixo A é descrito pelo
acontecimento ( ) ( ) 0A At tκ= +a e p . A velocidade própria do ponto fixo A será então
Carlos R. Paiva 142
2 21 0 1
Addt
κ κ= = → =au e u .
Consequentemente, pelo que se viu atrás, virá
( )( )
( )
2 0 0 1
22 1 1
20
ˆ1
ˆ1b
b
κ γ β
γγ β
= = +
= = +∴
= +
u f ve u
u u u vve
onde 2
2 4b ∈ ⊕∧ é um multivector (não homogéneo) da álgebra 4C ou da álgebra
1,3C . Podemos, até, introduzir um bivector simples B tal que
( ) ( )2 20 0 0 0
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ 1 1b bγ β γ β= = ∧ = − ∧ = − → = + → = −B ve v e v e ve B B .
Nota: Como sempre, na notação adoptada para as involuções, b representa o reverso do
multivector b uma vez que o reverso de B é ˆ−B .
Notemos, porém, que
( ) ( )2
2 2 42 2 2 20 0 0 2
1,3
ˆ 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ 1
C
C
→ = −= = ∧ = − = − ⇒
→ =
BB v e v e v e v
B.
Vejamos qual é o significado físico deste bivector simples: trata-se, muito simplesmente,
do bivector unitário que caracteriza a velocidade relativa dos dois referenciais de inércia.
Esta constatação, resultante do princípio da relatividade, implica uma consequência
importante: 0 0ˆ ˆ ˆ= =B v e w f .
143Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
0 1 2 3 0
1 0 , ,
A A A A A
A A A
t t x t y t z t t td d dd t d t dtdt d t dt dt d t d t
κ κ
γ κ γ
= + + + = +
= = = + = = =
a f f f f f pa a pu f w w
( )( )1 0 0 0ˆ ˆ1 , ,κ γ β κ β β κκ
= = − = = −w
u e w f f w w
0 0 0 0ˆˆ ˆ ˆ ˆ∧ = ∧ → = =v e w f B v e w f
( )
( )
21 0 2 2
2 21 2 2
2 2
ˆ1
ˆ1
b
b b
b b
κ γ β
γ β
−
−
= = − =
= =∴
= = −
u e B u u
u u u
B
1 1
2 2
11ˆ1
bb b b γβ
− −= = ⇒ =− B
.
A escolha do sinal positivo, ao extrair a raiz quadrada em γ , tem a ver com o seguinte:
quando 0β = , deverá necessariamente ter-se 1γ = (transformação identidade) e não
1γ = − .
Para calcular o multivector b a partir do multivector 2b basta ter em consideração que
( )
( )( )
( ) ( )
( )
0 20
0 2
22
0
2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 , 1
112
ˆ1ˆ1ˆ1
ˆ1 2 1
ˆ1 .2 1
b b bb b b bb
b b b
bb b b b bb
b b
b
γ γ βγ βγ γ β
γ γ β γ
γ γ βγ
= +⇒ + = =
= −
+∴ + = + ⇒ =
+ += + ⇒ =
+ −
+ − = +
+ +∴ =
+
BBB
B
B
Carlos R. Paiva 144
Porém, apesar de se saber que 2ˆ 1=B , nada se sabe ainda sobre o sinal de 2B . Outro
tipo de raciocínio físico tem de ser tido em consideração. A figura anexa pretende
sintetizar o conjunto de conhecimentos que foram obtidos até ao momento sobre a
transformação de Lorentz (ou boost) entre os dois referenciais de inércia 1S e 2S em
movimento relativo. Define-se, ainda, ˆβ=B B de modo que
2 2
42 2
1,3
00
CC
ββ
→ = − <→ = >
BB
.
Consideremos, agora, a composição de boosts colineares tal como se indica na figura
seguinte.
( )
1
1 0
2 1
0
ˆˆ ˆ
S
κ
γ
β κ
=
= +
=
=
u e
u u v
v v
B ve
( )
2
2 0
1 2
0
ˆˆ ˆ
S
κ
γ
β κ
=
= +
= −
=
u f
u u w
w w
B w f
b
b
0
1 0ˆ ˆ
Sκ=
=
u e
B v e
1
1 0
2 0ˆ ˆ
Sκ=
=
u f
B v f
2
2 0
0ˆ ˆ
Sκ=
=
u g
B w g
1b 2b
b
145Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
O referencial S tem uma velocidade própria u , o referencial 1S uma velocidade
própria 1u e o referencial 2S uma velocidade própria 2u . Do ponto de vista de um
observador (em repouso) em S o referencial 1S afasta-se com uma velocidade relativa
1 1 1ˆβ κ=v v enquanto que, do ponto de vista de um observador em 1S , o referencial 2S
se afasta com uma velocidade relativa 2 2 2ˆβ κ=v v . Um observador em S vê, também,
o referencial 2S a afastar-se com uma velocidade relativa ˆβ κ=v v . Como se supõe
que 1 2ˆ ˆ=v v , tem-se
1 0 2 0 0 0ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ= = = =B v e v f v e w g .
Nestas circunstâncias, pode-se escrever
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
21 1 1 1 1 0 1 1
22 2 1 2 1 2 2 0 2 2 2 1
22 0
ˆ
ˆ
ˆ
b
b b b b
b
γ γ κ β κ
γ γ κ β κ
γ γ κ β κ
= = + = +
= = + = + ⇒ =
= = + = +
u u u v e v
u u u v f v
u u u v e v
em que
( )( )
( )( ) ( )( )
( )( )
1 1 1
2 2 2 2 1 2 1
21 2 1 2
1 2 1 2
ˆ1
ˆ ˆ ˆ ˆ1 1 1 1
ˆ1
ˆ1
b
b
b
γ β
γ β γ β γ γ β β
γ β
γ γ γ β β
γ β γ γ β β
= +
= + ⇒ + = + +
= +
⎧ = +⎪∴ ⎨= +⎪⎩
B
B B B B
B
B
donde se tira que
1 22
1 2ˆ1
β βββ β+
=+ B
.
Carlos R. Paiva 146
Consideremos, então, o caso particular em que 1 2β β= . Neste caso, vem:
14 2
112 2
111,3 2
1
212
ˆ 211
C
C
βββββββ ββ
→ =−
= →+ → =
+B
Na figura seguinte representa-se graficamente β em função de 1β para este caso (i.e.,
para 1 2β β= ) quer em 4C quer em 1,3C .
Verifica-se que o caso em que 2ˆ 1= −B (bivector elíptico) corresponde a situações
fisicamente inaceitáveis: para 1 1β > obtém-se 0β < , i.e., a composição de duas
velocidades numa dada direcção daria uma velocidade na direcção diametralmente
oposta. Já o caso em que 2ˆ 1= −B (bivector hiperbólico) corresponde a situações
fisicamente correctas. Isto significa que é a álgebra geométrica 1,3C que deverá
representar fisicamente o espaço-tempo de Minkowski da relatividade restrita – não a
álgebra geométrica 4C .
147Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
Conclusão: A álgebra geométrica do espaço-tempo de Minkowski (i.e., da relatividade
restrita) é a 1,3C . Nesta álgebra tem-se µ ν µνη⋅ =e e , com 20 1=e e 2 2 2
1 2 3 1= = = −e e e .
Portanto: 2 2ˆˆ 1= − = −v B .
2 1 2 1 2
1 21 22
2
2
ˆ 11 1
1ˆ 11
v vv v vc
β βββ β
γβ
+ += → = → =
+ +
= − → =−
B
v
22 2 2 2 12
ˆˆv v cv
β −= → = − = − = − → = = −v vv v v v vv
Mas então, não é possível ter-se 1β > . Com efeito, tal conduziria a valores complexos
para o parâmetro γ . Ou seja: em todas as circunstâncias, as velocidades relativas devem
ser inferiores ao limite universal κ . Do ponto de vista experimental e, atendendo às
equações de Maxwell, aceita-se actualmente que o valor numérico deste limite κ seja a
velocidade da radiação electromagnética no vácuo:
0 0
1 299 792 458 m/scκε µ
= = = .
Como 2ˆ 1= −B (bivector hiperbólico), tem-se
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
( ) ( )
2
1
ˆ ˆ ˆ1 exp cosh sinh
ˆ ˆexp cosh sinh2 2 2
cosh 1 1tanh tanh ln2 1sinh
b
b
γ β ζ ζ ζ
ζ ζ ζ
γ ζ ββ ζ ζ ββγ β ζ
−
= + = = +
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=⎧ ⎛ ⎞+⎪∴ ⇒ = ⇒ = =⎨ ⎜ ⎟−= ⎝ ⎠⎪⎩
B B B
B B
e, daqui, é possível inferir-se a forma de uma transformação de Lorentz (ou, mais
precisamente, de um boost).
Carlos R. Paiva 148
( ) ( )
( )
21 2 12 2
1 0 1 2 20 0 0 0 0 2 122 2
2 0 2 2
0 0
22 2 20 0
2 2
2 2 21 2 3
2 2 21 2 3
1 ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ 1 exp1
ˆ ˆ 1 ˆ1 ˆexp1 22 11
bc c
b bc cc
b
b
b
γ β ζ
γ γ β ζγ
== =
→ → = → = = − == =
=
= =
= + == = =
= = − → + + ⎛ ⎞= = ⎜ ⎟= = = − ⎝ ⎠+= = = −
u u uu e u
e f e f e u u w vu f u
v w v
B ve w f
B BB e f
v w B Be e e
f f f
0 0 0 0
0 0
0 00
0
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ
b b
b b
b b
b b
= − = =
= − = =→
== − =
== − =
Be e B v e e
Bf f B w v v
f fB v v B e
w wB w w B f
0 0 0 0ˆ ˆexp exp
2 2
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆexp exp2 2
b bboost
b b
ζ ζ
ζ ζ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠→⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
e f e B e B
v w v B v B.
Um vector 41,3C∈ ⊂a pode ser decomposto em componentes paralela e
perpendicular a B .
( ) ( )( )( )
2
0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1
ˆ ˆˆ ˆ
ˆ ˆ
⊥
⊥
= → = = + ∧ = +
⎧ =⎪= ∧ → ⎨= ∧⎪⎩
B a aB B a B B a B B a a
a a B BB v e
a a B B
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
0 0 0 0
0 0 0
00
ˆ ˆ ˆ ˆ,ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆˆ
rr c t
c t⊥
∧ = − ∧ = −
= ∧ = ⋅ − ⋅
⋅ = −⎧= + → = + → ⎨
⋅ =⎩
e v e v v v e e
a B a v e a v e a e v
a vr v r a e r
a e
149Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
( ) 0 ˆc t r
⊥ ⊥
⎧ = +⎪∴ ⎨=⎪⎩
a e va r
Consideremos, então, uma transformação passiva 1 2S S→ em que o mesmo vector
41,3C∈ ⊂a é decomposto em diferentes componentes nestes dois referenciais em
movimento uniforme relativo.
O vector ⊥ ⊥=a r é ortogonal não só a v mas também a 0e , uma vez que ˆ 0⊥ =a B .
Logo, o vector ⊥a comuta com B : ˆ ˆ ˆ⊥ ⊥= = ∧a B Ba a B . Já o vector a anti-comuta com
B : ˆ ˆ ˆ= − =a B Ba a B .
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆr c t⊥= + = ∧ = ⋅ − ⋅ = − −a B a a B a v e a v e a e v e v .
Num boost, como b b⊥ ⊥=r r , infere-se que
.
b b bb⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥
⊥ ⊥
= = = = =
∴ =
a r a r r r r
a a
Assim, numa transformação passiva de Lorentz, virá sucessivamente
( )
1
1 0
0
ˆ
ˆ
Scc
c t r
β
⊥
=== +
= +
u ev v
a a aa e v
( )
2
2 0
0
ˆ
ˆ
Sc
c
c t r
β
⊥
== −= +
= +
u fw wa a a
a f w
b
b
Carlos R. Paiva 150
( )( )
1 0
2 0
ˆ
ˆ
S c t r
S c t r
⊥
⊥
→ = + +
→ = + +
a e v r
a f w r
( ) ( )( ) ( )2 20 0
0
ˆ ˆ
ˆ
c t r c t b r b+ = +e v e v
wf
( ) ( )
( ) ( )
20 0 0 0
20
ˆ ˆ1
ˆˆ ˆ ˆ ˆ1
b
b
γ β γ β
γ β γ β
⎧ = = + = +⎪⎨
= = + = +⎪⎩
f e B e e v
w v B v v e
( ) ( )( ) ( )
( )( )
0 0 0ˆ ˆ ˆ
00
0 0 1
c t r c t r
c t c tc t c t rr r
r r c t r r
γ γ β γ γ β
γ γ βγ βγ β γ
γ β⊥ ⊥
+ = + + +
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎧ = +⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∴ → =⎨ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎡ ⎤= +⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎣ ⎦⎩ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
e v e v v e
Em termos da rapidez ζ esta transformação escreve-se
( ) ( )( ) ( )
cosh sinh 0sinh cosh 0
0 0 1
c t c tr rr r
ζ ζζ ζ
⊥ ⊥
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
e a sua inversa
( ) ( )( ) ( )
cosh sinh 0sinh cosh 0
0 0 1
c t c tr rr r
ζ ζζ ζ
⊥ ⊥
−⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
.
Na transformação (passiva) de Lorentz 1 2S S→ o vector a permanece um invariante; a
sua componente ( )ˆ ˆ=a a B B , porém, é um covariante. Da mesma forma, o quadrado
do vector 2 ∈a dá um número real (positivo, negativo ou nulo) que é, também, um
invariante.
151Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
( ) ( )
( )( ) ( )( )( ) ( )( )
40 0
204
0 00
2 2 2 2 20 0 0
222 20 0 0
2 22 2 2 2 2
22 2 2
1
0
invariante
c t c t
c tc t
c t c t c t
c t c t
c t
= + = + ∈
= +⎧= = ∧ ∈ → ⎨ = −⎩
= → = = + − = − ∈
= = − = − = ≥
= − = −
→ = −
a e r f r
ae RR r e r e
e a R
e a ae e a R R R
R r e r e e r r r
a r r
a r
∧
22 2 2
22 2 2
22 2 2
é um vector do tipo luz 0
é um vector do tipo tempo 0
é um vector do tipo espaço 0
c t
c t
c t
→ = ⇒ =
→ > ⇒ >
→ < ⇒ <
a r a
a r a
a r a
Um vector a , no caso geral, não tem que descrever a linha de universo de uma partícula
no espaço-tempo de Minkowski. Em geral a trajectória no espaço-tempo correspondente
a ( )λa , em que λ é um parâmetro qualquer, tem um vector tangente associado:
( ) ( ) ( ) vector tangentedd
λ λ λλ
′= = →aa u a .
Assim como 2 = ⋅a a a é um invariante, que não depende do referencial escolhido para o
descrever, também a quantidade
2
1
1 2
invarianted d dd d
λ
λτ λ
λ λ⎛ ⎞
∆ = ⋅ →⎜ ⎟⎝ ⎠
∫a a
é um valor invariante que não depende do parâmetro λ particular usado para descrever
a trajectória ( )λa . Existe um significado especial que pode ser atribuído ao invariante
τ∆ : quando se escolhe ( ) ( ) 0t c t=a e , o parâmetro tλ = descreve o tempo próprio de
um observador em repouso no referencial 0e .
Carlos R. Paiva 152
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )
0
2 22 2 2 2
2 2 2
2
10, 0, 1 .
1
d dt t c tdt d
tt t t c
c c tc
τ τ γτ
β γ τ
= → = = = +⎡ ⎤⎣ ⎦
< = = − > = > → =
+
r av u a e v
v vv u
v
Ou seja: τ é o parâmetro especial, que se designa por tempo próprio, tal que ( )2 2cτ =u .
O vector u caracteriza o referencial próprio instantâneo de uma partícula com massa,
i.e., a respectiva trajectória é caracterizada por um vector tangente u que é do tipo
tempo (um vector tangente sempre hiperbólico) e que se designa por velocidade própria
dessa partícula.
5.4 Movimento hiperbólico Uma partícula com massa (não nula) descreve no espaço-tempo uma linha de universo
( )τa , sendo τ o respectivo tempo próprio e onde o vector tangente ( ) ( )τ τ=u a , tal
que ( )2 2cτ =u , representa a sua velocidade própria. Note-se, porém, que o referencial
próprio caracterizado por ( ) ( )τ τ=u a não tem necessariamente que ser um referencial
de inércia. Por outras palavras: é possível estudar o movimento acelerado no contexto
da relatividade restrita.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( ) ( )
3 2 4 20
3 2
40
2
2
23 2 2
2
2
2
, 0, , 0
velocidade relativa , 0
velocidade própria
1
1
aceleração relativa , 0
t t t c t t tdt tdt
dt t t c td
dt td t
cd dt tdt dt
d dt td d
γτ
γ γτ
α
τ τ
∈ < = + ∈ >
→ = ∈ <
= = = + ∈ →⎡ ⎤⎣ ⎦
= → =
+
→ = = ∈ = − <
= = = ∈
r r a e r arv v
au a e v
v
v rg g
u au a 4 aceleração própria→
Note-se, desde já, que a velocidade própria é sempre ortogonal à aceleração própria:
153Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
( ) ( )2 2 2 0
0 .
dcdτ
= ⋅ = ⇒ ⋅ = ⋅ =
∴ ⋅ =
u u u u u u u
u u
Note-se, ainda, que se tem:
( ) ( ) ( ) ( )2aceleração própria dt t t tdtγγ→ = +u g u .
A combinação das duas relações anteriores permite então concluir que
( ) ( ) ( )2
2
c dt tt dt
γγ
⋅ = −u g .
No contexto da álgebra geométrica 1,3C podemos, portanto, introduzir o bivector
aceleração:
2
4
2 3
bivector aceleração
.γ γ
→ = = ⋅ + ∧ = ∧ ∈
∴ = ∧ = ∧ = ∧
Y uu u u u u u u
Y u u g u g v
∧
Nota importante: Em mecânica relativista designa-se por movimento hiperbólico o
processo cinemático em que a aceleração própria u é um vector constante, tendo-se
1γ = e 0c=u f no respectivo referencial próprio 0S , tal como 0⋅ =u g e =u g . Porém,
em qualquer referencial, 2 2α= −u onde α é o valor constante que representa a
aceleração própria: α=u .
Para entender melhor o que é o movimento hiperbólico vai-se considerar que é sempre
( ) ( ) 1t x t=r e (num dado referencial S ) para simplificar a análise.
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 0
1 0 1
referencial próprio :referencial :
S cS t x t t c t x t
τ τ== → = +
a fr e a e e
Carlos R. Paiva 154
( )0 0 1 1 0 1
0 10 0 1 1 0 1
,
,
d d xu u c t u ud ddu duu u u ud d
τ τ
τ τ
= + → = =
= + → = =
u e e
u e e
2 2 2 2
0 12 2 2 2
0 1
0 0 1 1 0
u u cu u
u u u uα
= − == − = −⋅ = − =
uuu u
( )
( )
( )
2 22 2 2 2 20 0 0
1 0 0 12 21 1 1
0
1
2 2 2
1 0 20 1
20
1 0 1 2
2 2 2
2 2
2 2
2 2
1 1 1
cosh
sinh
u u uu u u u cu u u
u cu
d x c c d t c dtu uu u xd dc dudt d x d xu u u t
c d c d d
d x cx xd c cd t ct td c c
α
α
ατ α α τ α τ
ατ α α τ α τ
α ατ ττ α
α ατ ττ α
= ⇒ = − − = − = −
∴ =
= = == =⇒ ⇒
= = = = =
⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠∴ ⇒
⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠
u
( ) ( )2
1 2
2
sinh ln 1 ln 1
ln 1
c t tx x xc c
c t t t tTT T T T
α ατα
τα
−⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= + + → = + +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤− ⎛ ⎞⎢ ⎥= → = + + −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
( )
( )
( )
( )( )
2
22 2
cosh0
sinh0 0
cc x Xx X Xx c t X
X cttc X
ττα
ττ
⎛ ⎞== = ⎜ ⎟⎝ ⎠→ → − =⎛ ⎞== ⎜ ⎟⎝ ⎠
.
155Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
Na figura seguinte representa-se ( )t Tτ − em função do quociente t T (com T c α= ).
Através desta figura observa-se a dilatação do tempo: o tempo próprio é sempre inferior
ao tempo medido noutro referencial qualquer.
Na figura anexa representam-se as hipérboles descritas (linhas de universo) no plano de
Minkowski ( ),x c t , através do movimento hiperbólico, considerando diferentes valores
do parâmetro 2X c α= e para 0.2 nsτ ≤ .
Carlos R. Paiva 156
Note-se ainda que, no referencial S , se tem
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )
1
2 23
12 2
tanh, tanh
, sech cosh
c tcd x d x d x d cv cX xdt dt dt d X
d x d x dv d c xcgdt dt dt d X X X
τττ τ β ττ τττ
τ τ τττ τ α γ ττ
⎧ ⎛ ⎞⎛ ⎞ = == = = = ⎪ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎪→ ⎨⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪= = = = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩
v e
g e
A figura seguinte representa graficamente v cβ = e a aceleração relativa normalizada
g α em função do argumento adimensional c Xτ .
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
222 2
22
2
2
3 22
1
1
1
1
1
c tx c t X x t XX
c tx tc
t tv t tct
c
g tt
c
αα
α αγα
α αα
⎛ ⎞− = → = + ⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞∴ = + ⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞= → = + ⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞+ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
= ≤⎡ ⎤⎛ ⎞+⎢ ⎥⎜ ⎟
⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
157Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
Nota: Quando 1t cα , é razoável a aproximação
( )
( )
2 22 2
20
11 12
1cinemática newtoniana2
c t c tx tc c
x t x t
α αα α
α
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ≈ + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
→ = +
que recupera o limite, bem conhecido, da mecânica clássica não relativista.
5.5 Mecânica relativista A teoria da relatividade restrita é a solução para a relação contraditória entre a mecânica
newtoniana e o electromagnetismo. Para a superação dessa contradição a teoria da
relatividade restrita teve de reformular a mecânica newtoniana. Dessa reformulação
nasce a mecânica relativista. Na base da mecânica relativista está a distinção entre
grandezas próprias e grandezas relativas. Do ponto de vista da cinemática esse tipo de
distinção surge no caso da velocidade: há que fazer, com toda a clareza, a separação
entre o conceito de velocidade própria de uma partícula e o conceito de velocidade
relativa. Na dinâmica relativista começa-se por dintinguir entre momento linear próprio
e momento linear relativo de uma partícula de massa (própria) m . Deste ponto de vista
a designação “teoria da relatividade” é, de certa forma, uma designação infeliz: na teoria
da relatividade, ao contrário de se dizer que “tudo é relativo”, faz-se a cuidadosa
distinção entre o que é relativo e o que é próprio (é preferível dizer “próprio” em vez de
“absoluto”).
Seja então ( )0 0c cγ= = +u f e v a velocidade própria de uma patícula de massa m .
Define-se o momento linear próprio q da partícula como sendo m=q u .
( ) ( ) 40 0
3 2 2 2 2 2 2 2
momento linear própriomomento linear relativo 0
m m c mcm m m v
γ γγ γ γ
→ = = + = + ∈→ = ∈ → = = − <
q u e v e pp v p v
Define-se, ainda, a energia total da partícula como sendo 2mcγ=E em que 20 mc=E é
a sua energia própria (ou intrínseca).
Carlos R. Paiva 158
( )( )
02
0
0
22 2 2 2 2 0
0
0 0
0
222 2 0
0 0
2
energia totalenergia própria
bivector momento linear (relativo)
mc
c
c m cc
c
c
c c c c
γ→ =→ =
∴ = +
⎛ ⎞= ⇒ = = ⎜ ⎟⎝ ⎠
⎧ = +⎪⎪→ = = ∧ → ⎨⎪ = −⎪⎩
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = + − = − =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=
q e p
u q
qe PP pe p e
e q P
q qe e q P P P
P
E E
E
E
E
E
E
EE E E
( )22 2 2 2 2 20p m v c pγ− = = ∴ = +p E E
A diferença entre a energia total 2mcγ=E e a energia própria 20 mc=E constitui a
energia cinética da partícula T .
( )( )
( )
( )
20
2 2 4 6
21
4 62
2 4
2
energia cinética 1
1 1 1 1 1 3 151 1! 2 2 8 481
1 3 152 8 48
1mecânica newtoniana 2
n
n
T mc
nn
v vT v mv m mc c
c T mv
γ
γ β β β βπβ
∞
=
→ = − = −
⎛ ⎞− = − = Γ + = + + +⎜ ⎟⎝ ⎠−
= + + +
→∞ → =
∑
E E
ϕ
ϑ
0E
c p
T
0E
E ( )
( ) 2
sin1sin 1
ϑ β
ϕ βγ
=⎧⎪⎨
= = −⎪⎩
159Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
Para uma partícula de massa nula (como o fotão) é 0m = , 0 0=E e c p=E . Em geral a
velocidade relativa de uma partícula é dada por 2v c p= E , de modo que a velocidade
de uma partícula de massa nula é a velocidade limite do universo, i.e., v c= .
( )
0 0
2 2 2 2 2 2
2
2 222 2
0
bivector velocidade relativa
,,
0
v pv p
m d dd dmc
d d c c pc vd d
m c p v c
γ
γ
→ = = ∧
= − = = − =
= = = =
=⎧→ = → = −⎨
=⎩
⎡ ⎤⎡ ⎤ = + → = ∴ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= ⇒ = ⇒ =
V ve v e
V v P pV v P p
P VV v
P p
P V PP P
E E
E
E EE E
E
Nota importante: A equação
22
2 2 2 20 m cc c
⎛ ⎞⎛ ⎞= − = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
q P EE
introduz uma subvariedade invariante de dimensão 3D = na variedade de dimensão
4d = que é o espaço de Minkowski. Nesta subvariedade as coordenadas são
( ), , ,x y zc p p pE . Cada uma destas subvariedades constitui um hiperbolóide
caracterizado pelo valor da massa m . Por essa razão a geometria do espaço-tempo de
Minkowski é uma geometria hiperbólica. No limite fotónico, em que 0m → , o
hiperbolóide degenera num cone – o chamado cone de luz – com o seu vértice na
origem. Só na física quântica é que o ramo negativo do hiperbolóide
( )220 c p= − +E E
adquire uma interpretação física.
Carlos R. Paiva 160
Consideremos, então, o produto geométrico do momento linear próprio q de uma
partícula com o acontecimento (ou ponto no espaço-tempo) a que se designa por
momento angular próprio da partícula.
( )( )
( ) ( )( )
( )
( )
1,3
00 0
0
0 0
0 20 0 0
0
momento angular próprio C
c c tcc t
t c tc
t c tc
c tc
→ = ∈
⎧ = +⎪ ⎛ ⎞→ = + +⎡ ⎤⎨ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠⎪ = +⎩
= + + +
= ∧⎧→ = = − = −⎨ = ∧⎩
= − + −
⎛ ⎞∴ = = + −⎜ ⎟⎝ ⎠
qa
q e pe p e r
a e r
e r pe pr
R r epr pr e pe r e P R
P p e
R P P R
qa P R
EE
EE
EE
E
( )
( )
0 2
0 2 4
0 00 0
24
0 02 2
0 0 04 4
0
24
02
momento angular próprio
12
0
escalar
bivector
c
t
c tc
→ = +
= + +
⎧= = = − ⋅ ∈⎪
⎪⎪ = × = − = = ∧ ∈⎨⎪⎪ = ∧ = = ∧ ∧ − =⎪⎩⎧ = + ⋅ ∈ →⎪⎪∴ ⎨⎪ = − − ∧ = ∧ − ∧ ∈ →⎪⎩
P R P R P R P R
P R P R pe r e p r
P R P R P R R P pe r e r p
P R P R pe r e p e r R
p r
P R r p m e r p
∧
∧
E
E
E
( )
( )( ) ( )0 0 02
vector elíptico (tipo espaço) c tc
c tc
→ = −
∴ = ∧ − ∧ − ∧ = ∧ − ∧
m p r
p e r e r p m e r p
E
E
161Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
A célebre equação de Einstein 2mcγ=E requer uma explicação física. Esta equação
exprime matematicamente a inércia da energia – algo que os habitantes de Hiroshima e
Nagasaki experimentaram de forma trágica.
Do ponto de vista físico há que fazer uma distinção importante: escrever que a energia
de repouso é 20 mc=E é, na realidade, trivial; já escrever a expressão da energia
cinética de uma partícula não é trivial. Introduzindo um coeficiente de inércia
( ) ( )I v v mγ= , a definição de energia cinética tem de ser ( ) ( ) 2 2T v I v c m c= − de
modo a que, no limite newtoniano c →∞ , seja possível recuperar a fórmula conhecida
da mecânica não relativista ( ) 2 2T v m v= . Com esta definição, o momento linear
próprio de uma partícula de massa m é 0 0m q= = +q u e p em que ( )20q c m c T v= + e
( ) ( )v v mγ=p v . Então, a conservação do momento linear implica a conservação não só
de p mas também de 0q c . Sejamos mais específicos: se numa colisão (elástica ou
inelástica) estão envolvidas várias partículas, consideram-se duas situações A e B .
situação antes da colisãosituação depois da colisão
AB
→→
A conservação de momento linear A B=q q implica que as suas componentes 0q e p
também se conservem, separadamente, no processo da colisão. Note-se que, no caso
geral, é possível que o número AN de partículas envolvidas na situação A seja
diferente do número BN de partículas envolvidas na situação B ou, até, que a massa im
seja diferente nessas duas situações.
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
01 1
01 1
conservação do momento linear
A A
B B
N NA A A A A
A A A A A i i i i ii i i i i i
N NB B B BB B B B Bi i i i
B i i i i ii i
A B
I v c I vI v v m
I v v m I v c I v
γ
γ
= =
= =
⎧ ⎡ ⎤= +⎪ ⎢ ⎥⎧ =⎪ ⎪ ⎣ ⎦→⎨ ⎨⎡ ⎤=⎪ ⎪ = +⎩ ⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎩
→ =
∑ ∑
∑ ∑
q e v
q e v
q q
Carlos R. Paiva 162
( ) ( )
( ) ( )
1 1 2 2
1 1
2
,
,
inércia da energia
A A
B B
N NA A
A i A ii i
A A B BN NB B
B i B ii i
A B
B A
m m T Tm c T m c T
m m T T
m m m TmT T T c
= =
= =
= =→ + = +
= =
∆ = −⎧ ∆∴ → ∆ = →⎨ ∆ = −⎩
∑ ∑
∑ ∑
Conclusão: É errado afirmar, do ponto de vista físico, que a inércia da energia é
traduzida pela equação 20 mc=E . O que a inércia da energia afirma é que
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 201I v c v mc mc v mc Tγ γ= = = + − = +⎡ ⎤⎣ ⎦E E .
A energia própria (em repouso) é apenas uma forma de energia potencial em que
( )0 0v= =E E . A célebre fórmula de Einstein sobre a inércia da energia é pois
( ) 2I v c=E e não 20 mc=E . Antigamente escrevia-se (como o próprio Einstein)
( )2
2
expressão (arcaica e a evitar) da massa (variável)1
vmm v m
vc
γ→ = =
−
em que vm seria a massa da partícula em movimento (diferente, portanto, da sua massa
em repouso 0m m= ). Para evitar introduzir este conceito equívoco de “massa em
movimento” é que se define o coeficiente de inércia ( ) ( )I v v mγ= . O conceito arcaico
de “massa em movimento” não faz sentido: só existe uma massa m , que é um
invariante uma vez que não depende do estado de repouso ou de movimento da
partícula. O invariante m é sempre medido no referencial próprio da partícula, i.e., no
referencial (instantâneo) onde a partícula se encontra (sempre) em repouso. Mas
efectivamente grave (i.e., erro crasso) é a introdução de uma “massa transversal” e de
uma “massa longitudinal” – conceitos totalmente vazios de qualquer conteúdo físico e
apenas usados, actualmente, por autores que nada entendem de mecânica relativista.
163Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
22
2 20 0 0
coeficiente de inércia ,
energia cinética 1 ,
I v v m I v I v cc
T v T I v c mc
γ
γ
= = = → =
= − → = − =⎡ ⎤⎣ ⎦
p vEE
E E E
( )( )
2 20 0
2 2 2
2 20
2 2 20 0
velocidade própria (em )ˆvelocidade relativa (em )
velocidade própria (em )momento linear próprio (em )momento linear próprio (em )
S c cS v v cS v c c
S m mc m cS m I
γ
= → == → = − ≤= + → == = → == =
u f uv v vu e v uq u f qq u ( )( ) 2 2 2
0v c m c+ → =e v q
Consideremos, a título de exemplo, uma colisão inelástica de duas partículas de massa
m que, no referencial S onde o momento linear total é nulo, têm velocidades iguais a
w embora com sentidos diametralmente opostos. Após a colisão as duas partículas
iguais fundem-se numa única partícula de massa M que, no referencial S , se encontra
em repouso. Num outro referencial S que se desloca, em relação a S , com velocidade
relativa w a partícula resultante de massa M tem, tal como se indica na figura anexa,
uma velocidade w .
Existem dois princípios de conservação a aplicar: (i) a conservação do momento linear;
(ii) a conservação da energia total. Partimos do princípio que o momento linear é o
produto do coeficiente de inércia pela velocidade enquanto que a energia total é
S
S
m m
m m
M
M
w
v w
w
Carlos R. Paiva 164
proporcional ao coeficiente de inércia. Mas desconhecemos, à partida, a expressão do
coeficiente de inércia: apenas sabemos que depende da velocidade da partícula. A
aplicação dos dois princípios de conservação permitirá determinar, então, a expressão
do coeficiente de inércia.
( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )
conservação do momento linear em : 0conservação da energia total em : 2
conservação do momento linear em :conservação da energia total em :
m m
m
m M
m M
S I v I vS I w M
S I v v I w wS I v m I w
− ==
=+ =
w w
Dividindo as duas equações de conservação em S , obtém-se
( )( )
( )m m
m
I v v I v wwI v m m v w
= ⇒ =+ −
.
Mas, pela composição de velocidades, vem
2
2 22
2
2 2
2
2 2 01
1 1 .
w cv w w cw vc
c vwv c
= → − + =+
⎛ ⎞∴ = ± −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
No limite das pequenas velocidades, virá então ( )v c
2 2
2
2
11 12
122
12
c vwv c
cw vv
w v
⎡ ⎤⎛ ⎞≈ ± −⎢ ⎥⎜ ⎟
⎝ ⎠⎣ ⎦
+ → ≈ −
− → ≈
165Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
o que mostra que se deve considerar a solução associada ao sinal − : basta pensar no
limite newtoniano desta experiência conceptual em que este limite deve resultar no caso
em que se faz 0v c → , i.e., 2w v= . Assim
2 2 2 2 2
2 2
2 2 2
2 2
1 1 1
1 1 1 .
c v c c vw v w vv c v v c
c v vv wv c c
⎛ ⎞= − − → − = − + −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎛ ⎞
∴ − = − − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
Mas então
( )
( ) ( )
2 2
2
22 2 2
22 2
1 11
11 1 1
.
m
m
c vv cI v w
m v w vc v vcv c c
I v v mγ
⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠= = =− ⎛ ⎞
−− − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
∴ =
A equação obtida confirma a expressão geral do coeficiente de inércia. Por outro lado,
se se tiver em consideração a equação de conservação da energia total em S , obtém-se
ainda
( ) ( ) ( ) 22
22
2 2211
m Mm mM I w I w w M
wwcc
γ= = → = =−−
.
Vamos, agora, analisar o problema da absorção e emissão de fotões por uma partícula
de massa inicial 1M e massa final 2M . Comecemos pela absorção: uma partícula em
repouso, de massa 1M , absorve um fotão incidente de energia Q . Depois da absorção a
massa da partícula será 2 1M M> e encontra-se animada de velocidade v .
Carlos R. Paiva 166
2 21 2
2
conservação da energia
conservação do momento
M c Q M c
Qp M vc
→ = + =
→ = =
E
2 1 2
2 22 1
QM Mc
v Q Qc M c M c Q
β
⎧ = +⎪⎪⎨⎪ = = =
+⎪⎩
Vejamos, então, o caso da emissão: uma partícula de massa 1M emite um fotão de
energia Q . A nova massa da partícula, em consequência da emissão, será 2 1M M< .
Simultaneamente, a partícula adquire uma velocidade v de recuo – tal como se indica
na figura seguinte.
( )
21 1 2
2 2
conservação da energia
conservação do momento 0
M c Q
Q Qv M v pc c
γ
→ = = +
→ = − = −
E E
2
2 1
2
M c Qc p Q
⎧ = −⎨
=⎩
E
1M 2M
Q v
1M 2MQ v
167Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2 222 2 2 2 2 22 2 2 1 1 1
2 12 1 2
22
2 22 2 2 2 22 1 1
2
2
2
M c c p M c Q Q M c M Q c
M QM Mc
Q Qv M v v vc M c
v Q Qc M c Q M c M Q c Q
γ γ
β β
= − = − − = −
∴ = −
= ⇒ =
∴ = = ⇒ =+ − +
E
Note-se que, definindo a energia ( ) 20 1 2Q M M c= − , tem-se
( ) ( )( ) ( ) ( )
2 22 2 22 1 1
2 2 22 2 2 2 22 1 0 2 0 1 0
00 2
1
2
2
12
M c M c M Q c
M c M c Q M c Q M Q c
QQ QM c
= −
= − = + −
⎛ ⎞∴ = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
onde 0Q seria a energia do fotão se a partícula não sofresse um recuo.
Na mecânica relativista o conceito de força tem, obviamente, de ser revisto. É possível
introduzir uma força própria através do momento linear próprio e do tempo próprio.
( )força própria d m m mdτ
→ = = +q u u u
Recordemos, porém, que 0⋅ =u u e 2 2c=u . Assim
2 2invariante d mmc cdτ
→ ⋅ = =q u .
Define-se uma força pura como aquela que não altera a massa própria de uma partícula.
Carlos R. Paiva 168
força pura 0 0d mdτ
→ = → ⋅ =q u .
0 0 0
0
0
1 1referencial
1
potência
força relativa (ou ordinária)
força própria
d d d dt d dtSc c d d c dt d dt d
dt d dd c dt dt
ddt
ddt
c
τ τ τ τ
γ γτ
γ
→ = + → = + = +
⎛ ⎞= → = +⎜ ⎟
⎝ ⎠
→ =
=
⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠
p pq e p q e e
pq e
pf
q e f
E E E
E
EP
P
( )( )0
2
velocidade própria
força pura 0
cγ
γ
= +
⋅ = + ⋅ = ⇒ = − ⋅
u e v
q u f v f vP P
Podemos, ainda, introduzir um bivector força = ∧K q u no caso de uma força pura.
( )
( )
( )( )3 3
força pura
bivector aceleraçãobivector força
bivector forçaem função da
aceleração relativa
0movimento hiperbólico 0
0
m m
m m
mγ γ
→ = = ∧ = → =
→ = = ∧→ = = ∧
→ = ∧ → = ∧
=⎧→ ∧ = → ⎨ =⎩
K qu q u uu K Y
Y uu u uK Y u u
Y g v K g vg
Yg v
K
169Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
5.6 Dualismo onda-corpúsculo Viu-se anteriormente que, para uma partícula em movimento no referencial S , a
velocidade relativa é dada por
( )( )
22
velocidade relativa de uma partículav mccv m
γ
γ
⎧ =⎪→ = ← ⎨=⎪⎩
v pp v
E
E.
Admitindo que a radiação electromagnética é constituída por partículas elementares
denominadas fotões, a velocidade destas partículas será, em qualquer refrencial, dada
por v c= . Infere-se daqui que, para um fotão, c p=E .
energia de um fotão c p→ =E
O efeito fotoeléctrico, descoberto por Heinrich Hertz (1857-1894) em 1887, foi
interpretado por Albert Einstein em 1905. De acordo com esta interpretação, a energia
cinética dos electrões que são separados do metal através da radiação incidente e que
provocam, desta forma, uma corrente eléctrica é dada (classicamente) por 2 2T mv h f W= = − , onde a energia W não depende da frequência e é uma
característica do metal. Nesta expressão h é a constante de Planck e f a frequência da
radiação incidente. O efeito fotoeléctrico explica-se, de acordo com a interpretação de
Einstein, pelo facto da radiação incidente ser constituída por partículas – os fotões – em
que h f=E é a energia de um fotão ou quantum da radiação incidente que transporta
um momento linear p c=E , i.e., tem-se h f c p= =E , ou seja,
momento linear relativo do fotão h f hpc λ
→ = = .
Como o comprimento de onda da radiação electromagnética é c fλ = , infere-se ainda
que p h λ= . Sendo 2h π= a constante reduzida de Planck e 2 fω π= a frequência
angular, tem-se ainda ω=E e p k= , onde 2k π λ= é a constante de propagação
da radiação incidente. Para que o efeito fotoeléctrico tenha lugar é necessário, portanto,
que a frequência da radiação incidente seja superior a um limiar mínimo:
Carlos R. Paiva 170
minWf fh
≥ = .
Este limiar é, precisamente, o valor da energia de um fotão. A radiação
electromagnética não varia continuamente uma vez que se encontra discretizada em
quanta (os fotões): a sua variação é, consequentemente, discreta. A interpretação do
efeito fotoeléctrico de Einstein foi verificada experimentalmente por Robert Millikan
(1868-1953) no período 1912-1915.
( ) 34constante reduzida de Planck 1.05457266 63 10 Js2hπ
−→ = = ×
( )
2 2 20
2
20
momento liner própriodo fotão
fotão
2ˆvector de onda relativo
ˆ 1
vector de onda próprio ˆ 0 vector do tipo luzdo fotão
c
h fh
kck
c
ω
λω π
λ
ω
→ = + → = → =
= =⎧⎪→ ⎨
= =⎪⎩⎧ = =⎪→ = ← ⎨⎪ = −⎩
→ = + → = ←
q e p q l q l
p k
k kk
l e k l
E
E
O efeito Doppler é uma consequência do movimento relativo entre emissor e receptor.
Vejamos, agora, o efeito Doppler no contexto da radiação electromagnética e no âmbito
da teoria da relatividade restrita. Consideremos um emissor no referencial 1S (com
velocidade própria 1 0c=u e ) onde são emitidos fotões cujo vector de onda próprio é
( )11 0 1 1 1 1 0
ˆS ccω ω→ = + → = ⋅ ← =l e k l u u e .
171Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
No referencial 2S (com velocidade própria 2 0c=u f ) estes fotões são recebidos, tendo-
se agora
( )22 0 2 2 2 2 0
ˆS ccω ω→ = + → = ⋅ ← =l f k l u u f .
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
21 1 1 1 1 11 1 1 1
22 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 21 2
1 1 2 21 21 2
ˆ ˆcos sin expˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ cos sin exp
ˆ ˆˆ ˆcos sin cos sin,ˆ ˆsin cos sin cosˆ ˆ
r
r
θ θ θ
θ θ θ
θ θ θ θθ θ θ θ
⎧ = + =⎧ = =⎪ ⎪→⎨ ⎨= = = + =⎪ ⎪⎩ ⎩
⎛ ⎞ ⎛− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝
C CC s k t v
C s k t w C C
v wk kt ts s
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
1 1 2 21 2
1 1 2 21 21 2
ˆ ˆˆ ˆcos sin cos sin,ˆ ˆsin cos sin cosˆ ˆ
θ θ θ θθ θ θ θ
⎞⎟⎟⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
v wk kt ts s
( ) ( )
( )( )( )( )
( )( )( )( )
0 0 0 0
0 00 02
0 02 1 0 1 2 02
2 1 0 1 2 0
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ1 expˆ ˆ ˆ ˆ
b
b
γ β γ β
γ β γ β
γ β γ βγ β ζ
γ β γ β
= + = −⎧ ⎧⎪ ⎪= =
= + = −⎪ ⎪= = − → ↔⎨ ⎨
= + = −⎪ ⎪= + = ⎪ ⎪= + = −⎩ ⎩
f e v e f wB ve wf w v e v w f
f e w vt t e t t f
B Bs s e s s f
1
1 0
1 1 0
1 1
ˆ ˆ
Sc
ω
=
== ⋅
u e
B k el u
2
2 0
0
2 2
ˆ ˆ
Sc
ω
=
== ⋅
u f
B wfl u
( )
1
1 0
0
1 1
ˆ ˆcos
Sc
θ
=
=⋅ = −
u e
B vev k
r b
1s
1k
1t
v
1θ
1θ
2s
2k
2t
w
2θ
2θ
Carlos R. Paiva 172
O movimento relativo entre 1S e 2S é descrito pelo bivector 0 0ˆ ˆ ˆ= =B ve wf . A
velocidade ordinária ˆv=v v (com 2ˆ 1= −v ) faz um ângulo 1θ com o vector de onda
relativo ( )1 1 1ˆcω=k k (com 2
1ˆ 1= −k ). Da mesma forma, a velocidade ordinária
ˆw= −w w (com 2ˆ 1= −w ) faz um angulo 2θ com o vector de onda relativo
( )2 2 2ˆcω=k k (com 2
2ˆ 1= −k ). A transformação 1 2
ˆ ˆk k compreende uma rotação 1r e
um boost b .
2 21 1 1 1 1
2 20 0 0 0 0 0 0
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ1
1
r
b
= − → = − ← = −
= → = ← =
k vk v vk k
e f e f f e e
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
2 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 20 0 0 0 0 0
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ1 cos sin exp
ˆ ˆ ˆ1 cosh sinh exp
r
b
θ θ θ
ζ ζ ζ
= − → = − = − ⋅ − ∧ = + =
= + → = = ⋅ + ∧ = + =
C v k v k v k C C
B f e f e f e B B
1 1 1 0 0ˆˆ ˆ ˆ, ,r r b b b b= = =v k f e w v
( )
( )
21 1 1
1 11 0 1
20 0
0 0 0
ˆˆ1 1ˆexp2 2 ˆˆ2 1
11ˆexp2 2 2 1
rrr
bbb
θ
ζ
+ −⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎝ ⎠ − ⋅
++⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎝ ⎠ + ⋅
vkCv k
f eBf e
( ) ( ) ( )( )
( )
( )
12 2 0 1 0 2 1 1
2 1 1
122
1
21
2 1
ˆ ˆ ˆ1
1 cos
1 cosefeito Doppler
1
1desvio Doppler 1 1
1 cos
cc
z z
ωω γ ω γ β ω
ω γ β θ ω
β θωω β
βωω β θ
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ = + ⋅ + → = + ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦∴ = −⎡ ⎤⎣ ⎦
−→ =
−
−→ = − → = −
−
l u e k e v k v
173Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
21
1
21 2
1
21
1
1efeito Doppler longitudinal (aproximação) 01
1efeito Doppler transversal2 1
1efeito Doppler longitudinal (afastamento)1
ω βθω β
ωπθω β
ω βθ πω β
−→ = → =
+
→ = → =−
+→ = → =
−
Nota importante: O efeito Doppler transversal é uma consequência indirecta da
dilatação do tempo.
Na figura anexa representa-se o desvio Doppler 1 2 1z ω ω= − em função do ângulo 1θ
para diferentes valores de β .
A aberração tem a ver com o facto de se ter 2 1θ θ≠ enquanto que o efeito Doppler tem a
ver com o facto de se ter 2 1ω ω≠ .
( )( )
1 1
2 2
ˆˆ cosaberração
ˆˆ cos
θ
θ
⋅ = −→
⋅ = −
v k
w k
Carlos R. Paiva 174
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( )
1 20 1 0 2 1 1 2 0 2
0
2 2 2
1 1 2 2
1 2 12
1
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆˆ ˆˆ ˆ cos
cos cos
cos 1aberração cos tan tan1 cos 2 1 2
c cω ω ω ω
γ β
γ γ θ
ω θ ω γ β γ θ
θ β θ θβθβ θ β
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⋅ = + ⋅ = + ⋅ → ⋅ = ⋅ + ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⋅ = −
⋅ = ⋅ = −
∴ = +⎡ ⎤⎣ ⎦
− +⎛ ⎞ ⎛ ⎞→ = → =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠
l v e k v f k v k v f v k v
f v
k v k w
Na figura seguinte representa-se o ângulo 2θ em função do ângulo 1θ para diferentes
valores de β .
A validade da equação ω=E , no caso dos fotões, foi estabelecida (teórica e
experimentalmente) no âmbito do efeito fotoeléctrico – embora já estivesse, de certa
forma, subentendida no estudo da radiação do corpo negro levado a cabo por Max
Planck (1858-1947) em 1900. Vamos agora demonstrar como, no âmbito da teoria da
relatividade restrita, é possível prever a universalidade do quociente ωE (embora o
respectivo valor numérico tenha de ser obtido por via experimental).
175Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
Com efeito, uma vez que os fotões são partículas de massa nula, tem-se – tal como se
viu anteriormente – a equação c p=E . Considerando novamente os referenciais 1S e
2S , como no estudo do efeito Doppler, o momento linear próprio do fotão será
( ) ( )1 20 1 0 2
momento linear próprio ˆ ˆde um fotão c c
→ = + = +q e k f kE E .
Mas então, ao calcular o produto interno ˆ⋅q w , obtém-se a relação entre 2E e 1E , i.e.,
entre as energias de um fotão nos dois referenciais de inércia 1S e 2S .
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( )
1 20 1 2 2 2
0
1 1
2 2 1 1
12 2 1 1
1
122
1
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆcos cos
ˆˆ ˆ cos
cos cos
coscos 1 cos
1 cos
1 cosrelação entre as energias do fotão
1
c cθ θ
γ β
γ θ
θ γ θ β
θ βθ γ β θ
β θ
β θ
β
⋅ = ⋅ + ⋅ = − ← ⋅ = −
⋅ =
⋅ = −
= −⎡ ⎤⎣ ⎦−
∴ = → = −⎡ ⎤⎣ ⎦−
−→ =
−
q w e w k w k w
e w
k w
E E
E E
E E
E
E
( )
( )
122
12 2
1 1122
1
1 cos
1invariante
1 cos
1
β θωω β ω
ωβ θ
β
−=
−⇒ = →
−=
−
E
EE
E
2 2
1 1
valor experimental ωω
→ = =E
E
( ) 20
ˆfotão 0
h ch f
h cp kc
ωωλ
λ
= = =→ → = + → =
= = =q e k q
E
E
Carlos R. Paiva 176
Nota: O raciocício desenvolvido para chegar a este invariante não é circular. Com
efeito, quer o efeito Doppler quer a aberração – necessários neste raciocínio – foram
deduzidos a partir da definição de vector de onda próprio de um fotão. Teve ainda de se
ter em consideração que a massa do fotão é nula, pelo que c p=E . Demonstrou-se,
portanto, que – para um fotão – deve haver uma relação universal entre o momento
linear próprio ( )( )0ˆc= +q e kE e o seu vector de onda próprio ( )( )0
ˆcω= +l e k . Só a
experiência permite determinar esse valor numérico: =q l .
O efeito Compton, que se vai analisar a seguir, é outra das experiências fundamentais
que veio permitir cimentar as ideias anteriores sobre o fotão. Esta experiência foi
conduzida por Arthur Compton (1892-1962) em 1922 e estabelece, de forma inequívoca,
a natureza corpuscular do fotão.
Um fotão de comprimento de onda 1λ colide com um electrão em repouso de massa m .
Após à colisão o fotão passa a ter um comprimento de onda 2λ e é desviado de um
ângulo θ . O electrão, por seu turno, inicia um movimento ao longo de uma direcção
que faz um ângulo φ com a direcção do fotão incidente.
1λ
2λ
m
v
θ
φ1k
2k
Efeito Compton
177Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
( )
( )
11 0 1
22 0 2
0
0
ˆantes da colisãomomento linear do fotão
ˆdepois da colisão
antes da colisãomomento linear do electrão
depois da colisão
c
c
c
c
ω
ω
→ = +→
→ = +
→ =→
′′ ′→ = +
q e k
q e k
q e
q e p
E
E
( )( )
( )( )
1 22 21 1
1
22
ˆ ˆ cosˆ ˆ 1,ˆ ˆ cos
,
v
v mcmc
v m
θ
φ
γ
γ
⎧ ⋅ = −⎪= = − ⎨⋅ = −⎪⎩
′⎧ =⎪= ⎨′ =⎪⎩
k kk k
k v
p v
EE
( )
( )( ) ( )
( ) ( )
21 1
1 2 1 222 2
2 2
1 1
2 22 2 21 1
1 cos ,
1 cos
0,
mmc
v m c
v m
mc
ωω ω θ
ω
γ
γ ω β φ
⋅ =⎧⋅ = −⎡ ⎤ ⎨⎣ ⎦ ⋅ =⎩
′⎧ ⋅ =⎪⎨
′⋅ = −⎡ ⎤⎪ ⎣ ⎦⎩
′= = = =
q qq q
q q
q q
q q
q q q q
1 2conservação do momento linear ′→ + = +q q q q
( ) ( )
21 2 2 2 2 1 2 2 2
2 2 2 21 2 1
0
′ ′⋅ + ⋅ = + ⋅ → ⋅ = ⋅ − ⋅
′+ = + → +
q q q q q q q q q q q q q
q q q q q q ( ) ( )221 22
0′+ ⋅ = +q q q q ( )
( )
( )
2 2 1
2
1 2 1 2 1 2 1 22
2 12
2
2
1 cos
comprimento de onda de Compton
2sin1 cos 2sin 2
2
C
C
m mc
hmc
ω ω θ ω ω
λ
λ λ λλ θ
θθ λ
′ ′+ ⋅ → ⋅ = ⋅
∴ ⋅ = ⋅ − ⋅ → − = −⎡ ⎤⎣ ⎦
→ =
∆ = −⎧∆⎪ ⎛ ⎞→ =⎨ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟− = ⎝ ⎠⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩
q q q q q q
q q q q q q
Carlos R. Paiva 178
( ) ( )2energia cinética do electrão1
após a colisãoT v mcγ→ = −⎡ ⎤⎣ ⎦
( ) ( )
( )
( )
( )( ) ( )
1 21 2
1 21 2
1 2
21
1
2 21
1
1 22
1
ˆ ˆ
1
1 1
1 1
mc v mc Tc c
v mc c
T
T mc
mc
ω ω γ ω ω
ω ω γ
ωωω
ωγ ωω
ω ωγαα ω
⎧ + = + → = −⎪⎪′+ = + → ⎨⎪ = +⎪⎩
⎛ ⎞∴ = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
−= → = −
q q q qk k v
A energia cinética adquirida pelo electrão, após a colisão, corresponde à diminuição de
energia retirada ao fotão: ( )1 2T ω ω= − .
2
1 1
1 1T ωγω α ω
−= = −
179Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
( ) ( )
( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
21 1
1 2 1 22 22
1
2
22
1 21
1 cos 1 cos 1
1 1 cos
1 cos 2 tan 21
1 2 tan 2 11 1 cos
m mc mc
T
ω ωω ω θ ω ω θω
ω α θω
α θ α θω θ ωω α θα θ
− = − → − = −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
− = −⎡ ⎤⎣ ⎦
−⎡ ⎤⎣ ⎦∴ − = → =+ ++ −⎡ ⎤⎣ ⎦
É também possível exprimir a energia cinética exclusivamente em função do ângulo φ .
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 21 2 1 2 1 2
22 2 21 2 1 1
2
21 1
0
2 2 2 00 0 2
′ ′ ′+ = + → + − = → + − = =
′ ′ ′+ + + + ⋅ − ⋅ − ⋅ =
′ ′∴ + ⋅ = ⋅ + ⋅
q q q q q q q q q q q q
q q q q q q q q q q
q
q q q q q q q
( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
2 2 2 2 21 1 1 1
2 2 2
2 2 2
2
21 1
1
2
12 22 2 2
1 cos
1 cos1 1 cos
1 cos1
11
2 cos1 21 cos 1 2 1 tan
m c m m m c
T
T
ω γ ω β φ γ
α α φα γ γ β α φ γ
α α φγ
ω γω ωω α
α φγ αφ ωα α α φ α α φ
′ ′+ ⋅ = ⋅ + ⋅ → + = − +⎡ ⎤⎣ ⎦
+ ++ − = → =
+ −−
⎛ ⎞ −= − =⎜ ⎟
⎝ ⎠
−= → =
+ − + + +
q q q q q q q
Finalmente, igualando as duas expressões para a energia cinética (uma em função do
ângulo θ e a outra em função do ângulo φ ), obtém-se a relação entre estes dois ângulos.
( ) ( )efeito Compton cot 1 tan2θφ α ⎛ ⎞→ = + ⎜ ⎟⎝ ⎠
Na figura seguinte representa-se o ângulo φ em função do ângulo θ para diferentes
valores do parâmetro adimensional α .
Carlos R. Paiva 180
Para 0θ = a energia cinética é nula: o electrão permanece imóvel. O valor máximo da
energia cinética ocorre para θ π= (i.e., 0φ = ) e corresponde a um valor maxγ γ= .
2
1max max 2
1
211 2 11
2
Tmcωαγ
αω
= + → =+ ⎛ ⎞
+ ⎜ ⎟⎝ ⎠
Através da lei da radiação do corpo negro, do efeito fotoeléctrico e do efeito Compton
chegou-se à conclusão inelutável que a radiação electromagnética – além da sua
natureza ondulatória evidenciada, por exemplo, em experiências de interferometria –
exibia, simultaneamente, uma natureza corpuscular: os fotões – enquanto “quanta” de
radiação electromagnética – apesar de terem massa nula (a sua velocidade é sempre
v c= ), têm uma energia ω=E e transportam um momento linear p c=E . Não
obstante a estranheza – do ponto de vista macroscópico – deste facto, a dualidade onda-
corpúsculo dos fotões é uma realidade inescapável da microfísica.
Em 1923 Louis de Broglie (1892-1987) propôs uma nova teoria que seria desenvolvida
na sua tese de doutoramento (1924): toda a matéria tem, além da sua natureza
181Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
corpuscular, uma natureza simultaneamente ondulatória; os fotões constituem, apenas,
um caso particular (e é até possível, de acordo com de Broglie, que a sua massa nem
seja exactamente nula). Mais precisamente: um pequeno feixe de electrões, por exemplo,
deverá sofre difracção ao atravessar uma rede cristalina – tal como se observa com os
raios X (o comprimento de onda associado a um electrão é aliás comparável ao dos
raios X). E, por mais bizarra que pareça esta teoria, surgiu a sua confirmação
experimental em 1927 por Clinton Davisson e Lester Germer. O dualismo onda-
corpúsculo de Louis de Broglie inicia um ramo científico conhecido por mecânica
ondulatória. Mais tarde a mecânica ondulatória daria lugar à moderna mecânica
quântica.
Seguindo de Broglie, qualquer partícula deverá ter – tal como o fotão – uma energia
ω=E . A única diferença é que a massa m não tem que ser necessariamente nula
(nem mesmo a massa dos fotões, de resto). A qualquer partícula é possível atibuir um
vector de onda próprio. A equação =q l passa, assim, a ser universal: aplica-se a
qualquer partícula da matéria.
222 2 0
0
0 0 0
vector de onda próprio
momento linear próprio
partícula onda
dualismo onda-corpúsculo
c c c
c c c
ωω ω
ω
ω
⎛ ⎞⎛ ⎞→ = + → = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞→ = + → + = +⎜ ⎟⎝ ⎠
=⎧→ = → ⎨ =⎩
l e k l k
q e p e p e k
q lp k
E E
E
A uma partícula está associado um feixe de ondas planas. No referencial próprio da
partícula, em que 0=k , será ( )0 0cω=l e e, consequentemente, ( )220 cω=l .
2 2 2 2 20
2
2 2 0c c
c
ωω ω ω
ωω
∂+ = → + =
∂∂
∴ = −∂
k kk
kk
Carlos R. Paiva 182
22
2
2
velocidade relativa da partícula
ˆ ˆvelocidade de fase associada
velocidade de grupo do feixe
p B
g g
d c cd
cw w fk w
c
ω
ω λ
ωω
→ = − = → =
→ = → = = → =
∂→ = − = → =
∂
kv p vp
v k v k
kv v vk
E
E
( )
2
2
comprimento de onda de de Broglie
comprimento de onda (no vácuo)
p g
B
B B
v v v w c
wf
cf
cv f cv
λ
λ
λ λ λ
= =
→ =
→ =
∴ = → =
Como é sempre v c≤ , infere-se que Bλ λ≥ . Só no caso em que c v= (caso dos fotões)
é que se tem Bλ λ= . Para uma partícula em repouso, Bλ = ∞ .
( )
2 22 2 2 2 2 2 2 2 2
0 0 02 2
002
2
1 1
efeito Doppler transversal1
c cc
vvc
ω ω ω ω ω ωω
ωω ω γ ω
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = → + = → + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∴ = → = ←
−
k vk
( )0
fase da onda
t t
t
ω
ω
= + ⋅ = + ⋅ = Φ
→ Φ = + ⋅
p r k r
k r
E
( )
( )
0 0 0
22 2 2 2
2
ˆ ˆ ˆ
1
1 0 0
c vc w c c c
m cc
m
ω ω ω β
ω β
β
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = + → = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞∴ = − =⎜ ⎟⎝ ⎠
= ⇒ = ⇒ =
q e k e k q e k
q
q
183Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
5.7 Diagramas de Lorentz e de Minkowski A utilização da álgebra geométrica no âmbito da relatividade restrita tem um efeito
importante: ao apresentar todos os resultados em 1,3C não se restringe a uma economia
formal da estrutura matemática pois obriga a pensar a física em termos de invariantes de
Lorentz – ao contrário do que é habitual, onde a física é pensada em termos de
covariância. Por exemplo: um acontecimento é expresso pelo invariante 1,3∈a (um
vector de um espaço quadrático – o espaço-tempo de Minkowski) cujas componentes,
essas sim, são grandezas covariantes (i.e., obedecem a uma determinada lei de
transformação entre referenciais de inércia – a transformação de Lorentz).
( ) ( )
( )
( )
1,30 1 2 3 0 1 2 3
1,4 2
0 1 0 2 0 3 0
0 1 0 2 0 3 0
espaço deMinkowski
referencial referencial , invariantes
c t x y z c t x y z
S S
c t x y z
c t x y z
= + + + = + + + ∈ ←
∈ ∈ →
= + + +
= − + +
a e e e e f f f f
a a
ae e e e e e e
Re a e e e e e e
R
( )( )2 2 2 20 0
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
referencial referencial
c t
c t x y z c t x y zS S
⎧⎪⎪ ⇒ = = −⎨⎪⎪⎩
∴ = − − − = − − −
a ae e a R
a
Nesta perspectiva da relatividade restrita em termos da álgebra geométria 1,3C é então
dada pouca relevância aos aspectos “relativísticos” tradicionais – a saber: como é que
diferentes referenciais de inércia se apropriam das grandezas físicas que são invariantes
de Lorentz? Nesta secção vai-se tentar colmatar esse aspecto através da discussão da
dilatação do tempo e da contracção do espaço através de uma linguagem geométrica no
sentido mais tradicional desta palavra: usando diagramas – sejam os diagramas de
Lorentz ou sejam os diagramas de Minkowski.
Para simplificar a discussão, faz-se 1ˆ =v e e 1ˆ =w f , i.e., um boost S S→ reduz-se
agora ao bivector hiperbólico unitário 1 0 1 0ˆ = ∧ = ∧B e e f f (com 2ˆ 1=B ). O índice grego
é, como sempre, 0,1,2,3µ = .
Carlos R. Paiva 184
( )( )
ˆ ˆexp cosh sinhcosh2 2 2tanhˆ ˆexp cosh sinh
2 2 2
bb b
bµ µ µ
ζ ζ ζγ ζβ ζζ ζ ζ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ → = ←=⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
B Be f e
B B
( ) ( ) ( ) ( )21 0 1 0
ˆexp cosh sinh 1b ζ ζ ζ γ β= = + = +B e e e e
( ) ( )( )
20 0 0 0 0 0 0 12
20 0 1 1 1 1 1 0
ˆexpb b b b b
bb b b b b
γ βζ
γ β
= ⇒ = = = += →
= ⇒ = = = +
e e e f e e e eB
e e e f e e e e
2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3
1b b b b
bb bbb b b b
= ⇒ = == = →
= ⇒ = =
e e e f e e
e e e f e e
Obtém-se, então, a transformação de Lorentz em que apenas os vectores ( )0 1,e e são
tranformados em ( )0 1,f f , uma vez que 2 2=f e e 3 3=f e :
0 0 0 00 0 0 0
0 0 1 0 0 0 1 00 0 0 1 0 0 0 1
c t c t c t c tx x x xy y y yz z z z
γ γ β γ γ βγ β γ γ β γ
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟= ⇔ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
.
O físico Hendrik Lorentz (1853-1828) apresentou a transformação, que hoje recebe o
seu nome, em 1904 – embora só com um artigo de Albert Einstein (1879-1955) em
1905 é que o pleno significado físico desta transformação tenha sido descoberto. Note-
se que outros investigadores andaram muito perto da estrutura formal desta
transformação – nomeadamente o matemático Jules Henri Poincaré (1854-1912).
Saliente-se, ainda, que já em 1887 o físico Woldemar Voigt (1850-1919) apresentara a
transformação de Lorentz – embora a transformação por ele considerada fosse:
2
2
2
1 transformação de Voigt (1887)1
vt t xc
x x v tyyv
c zz
γγ
γ
= −
= −= → ←=
−
=
.
185Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
Esta transformação reduz-se à verdadeira transformação de Lorentz após multiplicar
todos os membros do lado direito destas equações pelo factor γ .
Foi o matemático Hermann Minkowski (1864-1909) o primeiro investigador a tentar
obter, em 1907, o significado geométrico associado à transformação de Lorentz. Os
diagramas de Minkowski que iremos apresentar, porém, não são exactamente iguais aos
propostos originalmente por Minkowski: hoje em dia já não se usa, tal como este
matemático advogou, 4x i c t= (com 1i = − ). A visão de Minkowski, porém, é a
correcta:
“Henceforth space by itself, and time by itself, are doomed to fade away into mere shadows, and
only a kind of union of the two will preserve an independent reality.”
Hermann Minkowski, “Space and Time,” in H. A. Lorentz, A. Einstein, H. Minkowski and H.
Weyl, The Principle of Relativity, Dover, New York, 1952, p. 75
A crítica moderna do uso da componente 4x i c t= encontra-se feita numa caixa
intitulada “FAREWELL TO « i c t »” em: C. W. Misner, K. S. Thorne, and J. A.
Wheeler, Gravitation, Freeman, San Francisco, 1973, p. 51.
Uma abordagem à teoria da relatividade restrita ao nível do primeiro ciclo universitário
– que não é a perspectiva que aqui se adopta – talvez deva começar por usar métodos
gráficos. Um método gráfico particularmente interessante é o apresentado em: Hermann
Bondi, Relativity and Common Sense: A New Approach to Einstein, Dover, New York,
1980. Este método é também adoptado em: G. F. R. Ellis and R. M. Williams, Flat and
Curved Space-Times, Oxford University Press, Oxford, 2nd ed., 2000.
Vamos começar por considerer o diagrama de Lorentz como representação gráfica da
transformação de Lorentz. Fazendo ( )sinv cβ α= = vem ( )cos 1α γ= e
( )tan α γ β= . O diagrama de Lorentz (página seguinte) obtém-se quase directamente.
Carlos R. Paiva 186
( ) ( )
( ) ( )
tancos 1
1tan
cos
OROP OU UP OSct c tx xOSOQ OV VQ OR
αα β
γβ
αα
= + = +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞
→ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠= + = +
Comentário: Note-se que as coordenadas do acontecimento ( ),E c t x ou ( ),E c t x são
as componentes covariantes do vector OE . Note-se, ainda, que existe uma rotação de
um ângulo α do eixos ( ),cT X em relação aos eixos ( ),cT X .
A desvantagem do diagrama de Lorentz é que apenas permite visualizar uma única
transformação S S→ . A sua principal vantagem é que não é necessário recorrer a
qualquer calibração especial dos eixos para analisar a dilatação do tempo ou a
contracção do espaço.
O
R
P
E
Q
S
X
cT
X
cTOP ct OR c t
OQ x OS x
= =
= =
α
α
Diagrama de Lorentz
U
V
187Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
Vamos, de seguida, estudar os diagramas de Minkowski. Neles é que analisaremos os
dois efeitos mais divulgados como consequência da transformação de Lorentz – a
dilatação do tempo e a contracção do espaço – que não são mais do que diferentes
manifestações da relatividade do conceito de simultaneidade.
Consideremos, então, a transformação de Lorentz tal que 1 0 1 0ˆ = =B e e f f .
1transformação de Lorentz considerada
1c t c tx x
βγ
β−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞
→ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
( )( )
2 2 2 20 0 1 1
0 0 10 0 1 1
1 1 00 1 1 0
1γ β
γγ β
γ β
= = − = − == +⎧⎪ → ⋅ = − ⋅ =⎨= +⎪⎩ ⋅ = − ⋅ =
e f e ff e e
e f e ff e e
e f e f
Cada acontecimento E do espaço-tempo de Minkowski é então representado: (i) por
( ),E c t x no referencial de inércia S ; (ii) por ( ),E c t x no referencial de inércia S .
( ) ( )0
eixo tan
x c txcT x
x x c tc t
β
θ βγ β
==
→ →= == −
( ) ( )0
eixo tan
c t xc tX c tc t c t x
x
β
γ β θ β
==→ →
= − = =
X
cT
x
c t
θ
cT
cT
X
c t
x
θ
X
Carlos R. Paiva 188
Comentário: Note-se que as coordenadas do acontecimento ( ),E c t x ou ( ),E c t x são
as componentes contravariantes do vector OE .
No diagrama seguinte ilustra-se a relatividade do conceito de simultaneidade: dois
acontecimentos A e B que são simultâneos no referencial S (com B At t= ) não são
simultâneos no referencial S (com B At t> ).
E
O X
X
cT cT
x
x
c t
c t
θ
θ
Diagrama de Minkowski
B
O X
X
cTcT
B Ac t c t=
Bc t
Ac t A
189Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
Usando então diagramas de Minkowski vai-se começar por analisar a dilatação do
tempo. Um relógio, colocado no ponto 0x = do referencial S , mede um intervalo de
tempo 0t . Do ponto de vista do diagrama de Minkowski (figura seguinte) trata-se,
portanto, de medir o intervalo (do tipo tempo) entre dois acontecimentos A e B . Em
ambos os referenciais S e S tem-se ( )0,0A . Porém, no referencial S , deverá ter-se
( )0 ,0B ct ; no referencial S , no entanto, tem-se ( ),B ct v t .
( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )
0 1 0 0
0 0 1 0 0 0 0
0
1 0
dilatação do tempo
AC CB AB c t v t c t
c t v t c t
t t
γ
γ
+ = ∴ + =
⋅ + ⋅ = ⋅
→ =
e e f
e e e e f e
cT
X
X
cT
A
C B
vt
c t 0c t
Carlos R. Paiva 190
Consideremos, agora, um relógio colocado no ponto 0x = do referencial S que mede
um intervalo de tempo 0t . Do ponto de vista do diagrama de Minkowski (figura acima)
trata-se, novamente, de medir o intervalo do tipo tempo entre dois acontecimentos A e
B . Em ambos os referenciais S e S tem-se ( )0,0A . Porém, no referencial S , deverá
ter-se ( )0 ,0B ct ; no referencial S , por outro lado, tem-se ( ),B ct v t− . De facto, o
acontecimento B sobre o eixo cT ( )0x = deverá situar-se sobre a recta ( )x c tβ= − :
para T t= deverá ter-se, portanto, x v t= − .
( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )
0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 0
0
0 1
dilatação do tempo
AB BC AC ct v t c t
c t v t c t
t t
γ
γ
+ = ∴ + =
⋅ + ⋅ = ⋅
→ =
e f f
e f f f f f
A dilataçao do tempo, tal como a contracção do espaço, são efeitos recíprocos.
cT
X
X
cT
0c t
c t
v t
B
A
C
191Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
Analisemos, agora, a contracção do espaço através de um diagrama de Minkowski.
Trata-se de medir o comprimento de uma régua colocada paralelamente ao eixo X (ou
ao eixo X ). Comecemos por considerar, em primeiro lugar, a situação da figura
seguinte em que a régua se encontra em repouso no referencial S .
Como a régua se encontra em repouso no referencial S é indiferente que as suas
extremidades sejam mediadas simultaneamente ou não neste referencial. Porém, o
mesmo não se aplica ao referencial S que vê a régua em movimento: no referencial S
as extremidades da régua têm de ser medidas no mesmo instante – caso contrário o
comprimento da régua não será medido correctamente. Em ambos os referenciais trata-
se, potanto, de medir um intervalo (do tipo espaço) entre dois acontecimentos A e B .
Em ambos os referenciais tem-se ( )0,0A . Quanto ao acontecimento B lê-se: (i)
( )0 0,B β no referencial S ; (ii) ( )0,B no referencial S .
( )( ) ( )( ) ( )
0 1 0 0 1
0 1 1 0 0 1 1 1
0
1 0
contracção do espaço
AC CB AB β
β
γ
γ
+ = ∴ + =
⋅ + ⋅ = ⋅
− −
→ =
e e f
e e e e f e
cT
X
X
cT
0
A
B
C
0β
0
Carlos R. Paiva 192
Consideremos, agora, a perspectiva recíproca: a régua de comprimento 0 encontra-se
em repouso no referencial S .
Os acontecimentos A e B têm de ser simultâneos em S onde a régua é vista em
movimento. Assim, para o acontecimento B , tem-se: (i) ( )0,B em S ; (ii)
( )0 0,B β− em S . Com efeito, o acontecimento B sobre o eixo X ( )0c t = deverá
situar-se sobre a recta c t xβ= − : para 0x = vem 0c t β= − .
( )( ) ( )( ) ( )
1 0 0 0 1
1 1 0 0 1 0 1 1
0
0 1
contracção do espaço
AB BC AC β
β
γ
γ
+ = ∴ + =
⋅ + ⋅ = ⋅
− −
→ =
e f f
e f f f f f
cT
X
X
cT
0
A
0
0β
C
B
193Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
No chamado “paradoxo” dos gémeos a reciprocidade é quebrada: uma das linhas de
universo refere-se a (pelo menos) dois referenciais de inércia; a outra linha de universo
refere-se, apenas, a um único referencial de inércia.
( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
primeiro gémeo OA 2 2
segundo gémeo 2 2
1
OB BA OB OA cT T t
OA OC CA OC OA cT T t
cT cT cT cT T Tγ
γ
→ = + = → = → =
→ = + = → = → =
= ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ =
e
f
e f e e f e
Na realidade, a mudança de referencial de inércia pelo segundo gémeo (ao passar de
OC para CA ) implica uma aceleração pontual infinita. No exemplo que se segue usa-se
o movimento hiperbólico para evitar esta condição draconiana.
Exemplo: Uma nave espacial parte da Terra no ano 2100. Um de dois gémeos nascidos
em 2080 permanece na Terra enquanto que o outro viaja a bordo da nave espacial. A
nave movimenta-se sempre com uma aceleração própria 29.8 m/sα = : na primeira fase
acelera ao longo de uma linha recta durante 0τ anos (medidos no seu tempo próprio);
numa segunda fase desacelera durante mais 0τ anos; numa terceira fase, depois de
inverter a marcha, acelera durante 0τ anos; numa quarta (e última) fase desacelera
durante 0τ anos até que, por fim, aterra. O gémeo astronauta tem, portanto, 020 4τ+
anos de idade aquando do seu regresso à Terra.
X
cT
cT
0 0x v t=O
CB
A
( )( )
0 0
0 0
OB ct
OC c t
=
=
e
f
Carlos R. Paiva 194
Na figura anexa ilustra-se o exemplo anterior para três casos diferentes:
0 1 ano luzτ = ;
0 1.5 anos luzτ = ;
0 2 anos luzτ = .
Nestes três casos, as idades comparativas dos dois gémeos quando estes se voltam a
encontar, serão:
gémeo astronauta gémeo terrestre
0 1τ = 0 1.1868t = 1 0.9189x = 24 anos 24.75 anos
0 1.5τ = 0 2.1735t = 1 1.9848x = 26 anos 28.69 anos
0 2τ = 0 3.7505t = 1 3.6310x = 28 anos 35.00 anos
A idade do gémeo terrestre, aquando do regresso do seu gémeo, é de 020 4 t+ anos.
2 20 0
0 00
0 1 0 00 2
2 1 00
sinh
1
c c t ct xc v
t x v tvx x xt
c
ατα α
α
α
⎛ ⎞= = −⎜ ⎟⎝ ⎠
→ === −⎛ ⎞+ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
195Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
20
1 20
distância máxima da nave espacialno referencial
1
txS t
c
α
α→ =
⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎝ ⎠
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 22
0 2
2 22
0 1 0 0 0 0 02
2 22
1 2 0 1 12
2
2 3 0 2 0 2
primeira fase 0 , 1 1
segunda fase 2 , 1 1
terceira fase 3 , 1 1
quarta fase 4 , 1
ct t x t tc
ct t t t x t x v t t t tc
ct t t t x t x t tc
ct t t t x t x v t t
αα
αα
αα
α
⎛ ⎞≤ ≤ = + −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎛ ⎞
< ≤ = = + − + − + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞< ≤ = = + − + −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
< ≤ = = − − + ( )2
222 1t t
cα⎛ ⎞
+ − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
“The straight line path is the longest distance between any two timelike separated points in flat
four-dimensional spacetime.”
James B. Hartle, Gravity: An Introduction to Einstein’s General Relativity, Addison-Wesley,
San Francisco, 2003, p. 65
Para terminar esta secção de diagramas associadas à transformação de Lorentz vai-se,
agora, analisar o método gráfico – já anteriormente referido – que foi inicialmente
desenvolvido por Herman Bondi. Este método constitui, provavelmente, uma das
formas mais correctas – do ponto de vista pedagógico – para introduzir as ideias
essenciais da relatividade restrita a uma audiência não especializada de neófitos. Este
método gráfico de Bondi é, por vezes, também conhecido por método do radar: todas as
medidas efectuadas partem do princípio de que todos os observadores dispõem de um
radar. Note-se, porém, que este método parte do princípio de que os dois postulados de
Einstein se verificam: (i) o princípio da relatividade (restrita); (ii) a velocidade da luz é
a mesma para todos os obsevadores (inerciais).
Carlos R. Paiva 196
Um observador do referencial ( ),S cT X→ emite um sinal electromagnético no
instante aT t= . Este sinal (raio AD ) atinge um observador do referencial ( ),S cT X→
no instante 0T t= sendo por este reflectido de volta para o primeiro obervador (raio
DC ) que o volta a receber no instante cT t= . Os segmentos de recta AD e DC têm
inclinações (respectivamente, positiva e negativa) a 45 uma vez que se trata de sinais
electromagnéticos e, portanto, viajam com uma velocidade c . Devido ao tempo de
propagação do sinal emitido pelo radar (em S ), deverá ser 0 at t> (mesmo no âmbito da
transformação de Galileu). Façamos, por definição,
0constante do radar (em ) aS t tκ κ→ =
cT
cT
0c t
cc t
bc t
ac t
O
A
B
C
D
Diagrama de Bondi
197Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
onde a constante κ (a determinar) deverá depender da velocidade v cβ= a que o
observador S se afasta do referencial S ao longo do eixo X . Analogamente, o sinal
emitido de volta pelo observador em S , que percorre o segmento de recta DC , deverá
obedecer a uma regra análoga
0constante do radar (em ) cS t tκ κ→ = .
Mas agora, pelo princípio da relatividade, deverá ter-se
princípio da relatividade κ κ→ = .
Consequentemente, virá ( ) 20c a at t t tκ κ κ κ= = = . Logo ( )( )2 1c a aAC c t c t c tκ= − = − .
Por outro lado, tem-se 2 2AC AB BD= = ou, como bBD v t= , ( )2 bAC v t= . Acontece,
porém, que
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
2
2 2
1 1 1 12 2 2
2 1 1
b a c a c a a
b a a
t t t t t t t
AC v t v t c t
κ
κ β κ
= + − = + = +
∴ = = + = +
tendo-se, deste modo,
( )( ) ( )( )2
2 22
11 11
11
a aAC c t c t κκ β κ βκ
βκβ
−= − = + ⇒ =
+
+∴ =
−
onde a solução correspondente à raiz negativa tem de ser rejeitada porque, no limite em
que 0β = , deve recuperar-se a solução 1κ = e não 1κ = − . Finalmente, obtém-se a
expressão da dilatação do tempo.
Carlos R. Paiva 198
( )2
2 0 00 2
0
1 1 1 11 12 2 1 1 2 1
dilatação do tempo
b a
b
t tt t t
t t
κ β βκκ β β β
γ
⎛ ⎞+ + −= + = = + =⎜ ⎟− + −⎝ ⎠
∴ = →
A transformação de Lorentz pode também obter-se, com relativa facilidade, através
deste método do radar usando a figura anexa e notando que DE EF= para o
observador em S , tal como AB BC= para o observador em S .
5.8 Grupo de Lorentz A definição de transformação de Lorentz feita anteriormente é demasiado restritiva. Na
realidade, o que se tem vindo a designar por transformação de Lorentz é, tecnicamente,
o que se designa por um boost. Nesta secção vai-se introduzir, com toda a generalidade,
o chamado grupo de Lorentz. Começemos, então, por recordar a definição de grupo.
Trata-se de um conceito não só fundamental em matemática mas também em física. O
cT
cT
O
A
B
C
P
Diagrama de Bondi:transformação de Lorentz
X
D
E
F
( )( )
,
,
S P c t x
S P c t x
→
→
199Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
conceito de grupo teve as suas origens nos trabalhos dos matemáticos Evariste Galois
(1811-1832) e Niels Henrik Abel (1802-1829).
Um grupo é um par ordenado ( ),G onde G é um conjunto e : G G G× → uma
operação de composição.
• Axiomas de grupo:
( ) ( )
1 1 1
associatividade, , elemento neutro
inverso
a b c a b ca b c G a e e a a
a a a a e a− − −
=∀ ∈ → = =
= =
Notação: Designa-se por ( )Mat ,d F a álgebra matricial das matrizes quadradas d d×
definidas sobre o corpo F .
Um exemplo importante de um grupo é o chamado grupo linear geral de ordem n e que
se representa por ( )GL ,n . Representa-se por I a matriz identidade de ordem n .
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
grupo linear geral de ordem GL , Mat , | det 0
grupo linear especial de ordem SL , Mat , | det 1
grupo ortogonal de ordem O , Mat , |
grupo ortogonal especial d
T
n n A n A
n n A n A
n n A n A A I
= ∈ ≠
= ∈ =
= ∈ =
ALGUNS GRUPOS MATRICIAIS
( ) ( ) ( )e ordem SO , O , SL ,n n n n= ∩
Já se viu anteriormente a importância da métrica de Lorentz no espaço-tempo de
Minkowski.
( )
1 0 0 00 1 0 0
matriz da métrica det 10 0 1 00 0 0 1
η η
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟→ = → = −⎜ ⎟−⎜ ⎟
−⎝ ⎠
Carlos R. Paiva 200
A forma quadrática ( ) 2 2 2 20 1 2 3Q x x x x= − − −x pode ser escrita, em linguagem matricial,
como ( ) TQ X Xη=x . Através da álgebra geométrica 1,3C verificou-se que, numa
transformação de Lorentz (num boost), esta forma quadrática permanece invariante.
Representemos esse boost pela matriz Λ .
( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 20 1 2 3 0 1 2 3
invariância daforma quadrática
num Q x x x x x x x x Q
boost→ Λ = − − − = − − − =x x
( )
( ) ( )
0
10 1 2 3
2
3
0
1 2 2 2 20 1 2 3 0 1 2 3
2
3
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1
T
T
xx
X X x x x xxx
xx
Q X X x x x x x x x xxx
η
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= → =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟− ⎜ ⎟⎜ ⎟= = = − − −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟
−⎝ ⎠⎝ ⎠
x
Mas, por outro lado, será também ( ) ( ) ( )TQ X XηΛ = Λ Λx .
( ) ( ) ( ) ( ) ( )T T T T
T
Q X X X X X X Qη η η
η η
Λ = Λ Λ = Λ Λ = =
∴ Λ Λ =
x x
Define-se, então, o grupo de Lorentz ( )O 1,3 e o grupo de Lorentz especial ( )SO 1,3 .
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
grupo de Lorentz O 1,3 Mat 4, |
grupo de Lorentz especial SO 1,3 O 1,3 SL 4,
T η η= Λ∈ Λ Λ =
= ∩
No grupo de Lorentz, ( )det 1Λ = ± :
201Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2
det det 1
det det det det det
det 1 det 1 .
T
T T
η η
η η
Λ Λ = = −
Λ Λ = Λ Λ = − Λ
∴ Λ = ⇒ Λ = ±
( )( )
reflexões det 1classificação das transformaçõesrotações (subgrupo) det 1de Lorentz
→ Λ = −→
→ Λ = +
00 01 02 03
10 11 12 13
20 21 22 23
30 31 32 33
Λ Λ Λ Λ⎛ ⎞⎜ ⎟Λ Λ Λ Λ⎜ ⎟Λ =⎜ ⎟Λ Λ Λ Λ⎜ ⎟Λ Λ Λ Λ⎝ ⎠
( )
00 10 20 30 00 01 02 03
01 11 21 31 10 11 12 13
02 12 22 32 20 21 22 23
03 13 23 33 30 31 32 33
2 2 2 200 10 20 30
200
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1
0 0 1
T η
Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟Λ Λ Λ Λ −Λ −Λ −Λ −Λ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟Λ Λ = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟Λ Λ Λ Λ −Λ −Λ −Λ −Λ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟Λ Λ Λ Λ −Λ −Λ −Λ −Λ −⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
× → Λ − Λ +Λ +Λ =
∴ Λ = ( ) 002 2 2 210 20 30 00
00
11 1
1Λ ≥⎧
+ Λ +Λ +Λ ⇒ Λ ≥ ⇒ ⎨ Λ ≤ −⎩
00
00
ortócronas (subgrupo) L 1classificação das transformaçõesde Lorentz anti-ortócronas L 1
↑
↓
→ Λ ≥→
→ Λ ≤ −
Conclusão: Existem dois critérios para a classificação das tranformações de Lorentz:
( )det 1Λ = ± ;
00 1Λ ≥ ou 00 1Λ ≤ − .
( )
( )
( )
00
00
00
folha das rotações ortócronas (subgrupo) L det 1, 1
folha das reflexões ortócronas L det 1, 1
folha das rotações anti-ortócronas L det 1, 1
folha das reflex
↑+
↑−
↓+
→ Λ = Λ ≥
→ Λ = − Λ ≥
→ Λ = Λ ≤ −
FOLHAS DO GRUPO DE LORENTZ
( ) 00ões anti-ortócronas L det 1, 1↓− → Λ = − Λ ≤ −
Carlos R. Paiva 202
Nota: Os quatro subconjuntos do grupo de Lorentz são denominados folhas porque é
possível passar, de forma contínua, entre dois quaisquer elementos de cada subconjunto;
tal não é possível, porém, entre elementos de folhas distintas. Note-se que a matriz
identidade IΛ = pertence à folha L↑+ .
Nota importante: No conjunto das quatro folhas do grupo de Lorentz apenas a folha L↑+
das rotações ortócronas constitui um subgrupo: é o grupo das transformações de Lorentz
especiais ortócronas ( )SO 1,3 ↑ em que ( )det 1Λ = e 00 1Λ ≥ .
Uma matriz ( )SO 1,3 ↑Λ∈ que pertença ao subgrupo das transformações de Lorentz
especiais ortócronas pode sempre escrever-se na forma ( )expΛ = Γ .
( ) ( )
( )
1 2 3
1 3 2
2 3 1
3 2 1
31 1 2 2 3 3
31 1 2 2 3 3
2 2 21 2 3
2 2 21 2 3
00
SO 1,3 exp0
0
0,
rotação 0,
transformação de Lorentz simples
T
a a aa b ba b ba b b
a a a
b b b
boost a a a
b b b
I
η η
ζ
θ
↑
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟Λ∈ → Λ = Γ → Γ = → Γ = −Γ⎜ ⎟−⎜ ⎟
−⎝ ⎠⎧ = + + ∈⎪⎨
= + + ∈⎪⎩
→ = = = + +
→ = = = + +
Λ ≠
a e e e
b e e e
b a
a b
0→ ⋅ =a b
hiperbólicas0 elípticas
parabólicas
→ >⋅ = → → <
→ =
TRANSFORMAÇÕES DE LORENTZ SIMPLES
a ba b a b
a b
Consideremos, agora, a forma matricial mais geral de um boost.
203Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
( )
( )
( ) ( )
2 2 2 21 2 3
0 0 0 0
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
ˆvelocidade relativa
ˆ ˆ 1
ˆ ˆ,
x y z x x x
c
s s s s s s
x x x xx x x x
boostx x x xx x x x
β→ =
= + + → = − + + = −
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟→ = Λ = Λ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
v v
v e e e v
v v
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
2
2
2
1 1 1 1ˆ
1 1 1 11 1 1 1
x y z
x x x y y z
y x y y y z
z x z y z z
s s ss s s s s s
S Ss s s s s ss s s s s s
γ γ β γ β γ βγ β γ γ γγ β γ γ γγ β γ γ γ
− − −⎛ ⎞⎜ ⎟− + − − −⎜ ⎟→ → Λ = ⎜ ⎟− − + − −⎜ ⎟⎜ ⎟− − − + −⎝ ⎠
v
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
2
2
2
1 1 1 1ˆ
1 1 1 11 1 1 1
x y z
x x x y y z
y x y y y z
z x z y z z
s s ss s s s s s
S Ss s s s s ss s s s s s
γ γ β γ β γ βγ β γ γ γγ β γ γ γγ β γ γ γ
⎛ ⎞⎜ ⎟+ − − −⎜ ⎟→ → Λ − = ⎜ ⎟− + − −⎜ ⎟⎜ ⎟− − + −⎝ ⎠
v
Por exemplo, quando apenas os eixos ( ) ( )0 1 0 1, ,e e f f estão envolvidos no boost, é
1xs = e 0y zs s= = .
Até aqui, nesta secção, apenas se considerou o grupo de Lorentz na sua forma matricial.
Vai-se, agora, considerar o grupo de Lorentz na perspectiva da álgebra geométrica 1,3C .
Porém, antes de o fazer, há que discutir de forma mais sistemática um conceito que, até
ao momento, apenas se considerou de forma acidental – o conceito de rotor.
Definição básica: Define-se um rotor como sendo o multivector 1,3R C∈ que obedece,
simultaneamente, às duas condições seguintes: (i) é o produto geométrico de um
número par de vectores unitários, i.e., é um multivector par; (ii) sendo 1,3R C∈ o
reverso de R , deverá ter-se 1RR = .
Carlos R. Paiva 204
Note-se que a condição (ii), segundo a qual deve ser 1RR = , é supérflua na álgebra
geométrica 3C . Com efeito, em 3C , o quadrado de um vector unitário é sempre 1+ .
Daí que, se R =mn com 2 2 1= =m n ( )33, C∈ ⊂m n , vem necessariamente
( )( ) 2 23 : 1C R R RR= → = → = = =mn nm mn nm n m .
Porém, em 1,3C , se 41,3, C∈ ⊂m n são vectores unitários então 2 1= ±m e 2 1= ±n .
Logo, a condição 1RR = é necessária: por exemplo, se 2 1=m e 2 1= −n , poderia
obter-se 1RR = − (o que se pretende evitar).
Nota: O pseudoescalar unitário 0123e não é um rotor. De facto, apesar de ser um
multivector par, não observa a propriedade 1RR = : 0123 0123 1= −e e .
Uma das primeiras características fundamentais de um rotor é que a transformação
linear
( )4 4R R R′∈ = = ∈a a a a
dá sempre um novo vector ′a quando, à partida, se tem também um vector a . Com
efeito, seja R = k l mn um rotor e o seu reverso R = nm l k . Então
( ) ( ) ( )( )( )R R
′ = =a a k l mn a nm l k k l m nan m l k .
Porém, como cada um dos factores do tipo =b nan é ainda um vector, infere-se que ′a
é também um novo vector. Com efeito, =b nan é uma reflexão do vector a , quer no
caso em que 2 1=n quer no caso em que 2 1= −n .
205Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
( )( )
( )( )
2222
20 00
1 0
1 0
⊥
⊥ ⊥
= ⋅
= ± ⇒ ∧ = = ⋅ = ± ⋅ =
= ∧
= ± ⇒ ⋅ = = ∧ = ± ∧ =
a n n a
n n a na nn n a n a
a n n a
n n a na nn n a n a
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )0
0
∧ = ∧ + ∧ ∧ = ∧
⇒ ∧ = − ∧∧ = ∧ + ∧ ∧ = − ∧
n n a n n a n n a n n a
n n a n a nn a n n a n n a n n n a
( )
( )
( ) ( )
2
2
2
2
1
1
⊥⊥
⊥
= == = ⋅ + ∧
= −= +→ = ⋅ + ∧
= − = − == − = − ⋅ + ∧
= − −
a n a nnan n n a n a
b a aa an a n n a n
a n a nna nann n n a n a
a a
Uma segunda característica importante dos rotores é que a regra para rodar (lato sensu)
um vector (i.e., ( )R R R=a a ) se generaliza facilmente a qualquer multivector da
álgebra.
( )( )( ) ( )
( )1 2 3 1 2 3 1 1 1 1 2 3
R
u u R R R R R R R R
u u u Ru R
′ ′ ′ ′= = = =
′∴ = =
a a a a a a a a a a a a
Uma terceira característica fundamental dos rotores é que o conjunto dos rotores dotado
da operação de composição constitui o grupo dos rotores.
( )( )
( ) ( ) ( )
( )( )
1 1 12 1 1 2
2 12 2 2
2 1 1 2
R RR
1
R R R RR R R R
R R RR RR R
RR R R R R
′ = = ′′ = =′′→ = →
′ ′′ ′ ′ == =
∴ = =
a a a a a a aa a
a a a a
Carlos R. Paiva 206
Uma quarta característica fundamental dos rotores em 1,3C é que admitem uma
decomposição invariante em termos de um boost e de uma rotação (espacial). Com
efeito, qualquer rotor em 1,3C admite a forma
24
1,3rotor em exp ,2
C R ⎛ ⎞→ = ± ∈⎜ ⎟⎝ ⎠
F F ∧e e = 1, .
Vejamos: um rotor é um multivector par que obedece à condição 1RR = (de acordo
com a definição). Como o bivector F não tem de ser simples no caso geral, infere-se
que
( )
( )
2 2 201230 4
1 21 20123
0123
1 2 2 1 20123 0123
exp
1ˆ exp ˆcos sin2 2 21 ˆ ˆexp exp 12
−
−
= + = Φ
⎧ ⎛ ⎞ ⎧ ⎡ Φ Φ ⎤= − Φ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎪ = +⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠→ ⎣ ⎦⎨ ⎨⎛ ⎞⎪ ⎪= Φ = −Φ =⎜ ⎟ ⎩⎪ ⎝ ⎠⎩
F F F e
B e F F e B
F e B B e F
( )
1 2
1 2
0123
0123 0123 2 2 201232 2
2200
cos2
ˆˆsin2
ˆ ˆ
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ2
ˆˆ 1
ζ
θ ζ θ
ζ θ ζθ
⎧ Φ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎪⎪ Φ⎛ ⎞∴ = → = +⎨ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎪⎪
=⎪⎩
⎧ = = =⎪ → = − +⎨= − =⎪⎩
F B C
C Be
BC CB B Be eF e
B CFF
ˆ ˆˆ ˆexp exp exp exp exp2 2 2 2 2
ˆˆcosh sinh cos sin2 2 2 2
ˆˆcosh cos sinh cos cosh2 2 2 2 2
R ζ θ θ ζ
ζ ζ θ θ
ζ θ ζ θ ζ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝
F B C C B
B C
B C
e e e
e
e
0123
sin2
sinh sin2 2
θ
ζ θ
⎡ ⎛ ⎞⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎠ ⎝ ⎠⎣
⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦e
207Álgebra Geométrica e Electromagnetismo
( )( )
2 44 4
0123 0123
multivector par
ˆ ˆ
ˆ ˆ 1
R
RR RR
→ ∈ ⊕ ⊕
= −
= − → = =
=
B B
C C
e e
∧ ∧∼
∼
( ) ( )ˆdecomposição invariante exp
2de um rotor
ˆrotação expnum e numa rotação2
boost bR b r r b
rboost
ζ
θ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠→ → = =⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
B
Ce e .
Nota: Em geral deve considerar-se o factor ±e = 1 na definição do rotor R . Porém, na
maioria dos casos práticos, basta considerar o caso e =1 . Por exemplo: na operação
( )R u RuR= , a informação sobre o sinal em ±e = 1 desaparece no resultado final.
Vamos agora, finalmente, tratar a transformação de Lorentz com toda a generalidade no
âmbito da álgebra geométrica 1,3C .