Limites

Daniel Barboza Guimarães

Limite de uma Função

Definição: Seja uma função definida para todo número em um intervalo aberto contendo , exceto possivelmente no próprio número . O limite de quando x tente a será , escrito como:

Se, dado , existir tal que:

Se então

Limite de uma Função

Exemplo: . Note que não existe, mas como se

comporta quando ?

0 3 2 70,25 3,5 1,5 60,5 4 1,25 5,50,9 4,8 1,1 5,2

0,99 4,98 1,01 5,020,999 4,998 1,001 5,002

0,9999 4,9998 1,0001 5,0002

Limite de uma Função

Percebemos que quando tende a 1, seja por valores

menores ou maiores que 1, tende a 5, e que cada vez que

chega mais próximo de 1, chega mais próximo de 5, ou

seja:

Portanto:

Se

Se

Limite de uma Função

Teorema: Se e , então .

Este é o teorema da unicidade do limite, que afirma que

se o limite de uma função existe, ele é único.

Teoremas sobre Limites de Funções

• Teorema 1: Se e forem constantes quaisquer, então:

• Teorema 2: Se c for uma constante, então para qualquer

número :

• Teorema 3:

• Teorema 4: Se e , então:

Teoremas sobre Limites de Funções• Obs: O teorema 4 pode ser generalizado para qualquer

número de funções.

• Teorema 5: Se e , então:

• Obs: O teorema 5 pode ser generalizado para qualquer número de funções.

• Teorema 6: Se e for um inteiro positivo qualquer, então:

Teoremas sobre Limites de Funções

• Teorema 7: Se e , então:

se

• Teorema 8: Se e for um inteiro positivo qualquer, então:

se for par,

Limites Laterais

• Quando consideramos estamos interessados nos

valores de no intervalo aberto contendo , mas não no

próprio , então estamos interessados nos valores de

próximos de , valores de maiores (à direita) e menores (à

esquerda) que .

• Estamos então aproximando de por valores a direita e

por valores a esquerda de .

a

Limites Laterais• Definição: Seja uma função que está definida em todos

os números de algum intervalo aberto . Então, o limite de quando tente a pela direita é , escrito como:

Se, para todo , existir um tal que:

Se então

• Do mesmo modo, poderemos ter:

Limites Laterais• Definição: Seja uma função que está definida em todos

os números de algum intervalo aberto . Então, o limite de quando tente a pela esquerda é , escrito como:

Se, para todo , existir um tal que:

Se então

• Teorema: existe e será igual a se e somente se:

Limites Laterais• Exemplo:

• Obs: Se, então não existe.

• Exemplo:

Limites Infinitos• Definição: Seja uma função definida em todo número de

um intervalo aberto contendo , exceto possivelmente no próprio . Quando tente a , cresce indefinidamente e escrevemos:

Se, para qualquer número , existir tal que:

Se então

• Obs: Onde é um número muito grande. • Do mesmo modo poderemos ter.

Limites Infinitos

• Definição: Seja uma função definida em todo número de um intervalo aberto contendo , exceto possivelmente no próprio . Quando tente a e decresce indefinidamente e escrevemos:

Se, para qualquer número , existir tal que:

Se então

• Obs: Onde é um número muito grande.

Limites Infinitos

• Do mesmo modo poderemos ter:– , se estiver definida em todo número de algum intervalo aberto e

se para todo existir um , tal que: Se então ;

– , se estiver definida em todo número de algum intervalo aberto e se para todo existir um , tal que: Se então ;

– , se estiver definida em todo número de algum intervalo aberto e se para todo existir um , tal que: Se então ;

– , se estiver definida em todo número de algum intervalo aberto e se para todo existir um , tal que: Se então .

Limites Infinitos

Exemplo: . Note que não existe, mas como se

comporta quando ?

0,5 4 -0,5 40,2 25 -0,2 250,1 100 -0,1 100

0,01 10000 -0,01 100000,001 1000000 -0,001 1000000

Limites Infinitos

Limites Infinitos

• Teorema: Se for um inteiro positivo qualquer, então:

– Se ;

– Se

• Exemplo: e

• Exemplo: e

Limites Infinitos

• Teorema: Se for um número real qualquer e se e , onde é

uma constante não nula, então:

– Se e se por valores positivos de : ;

– Se e se por valores negativos de : ;

– Se e se por valores positivos de : ;

– Se e se por valores negativos de : ;

Limites Infinitos

• Teorema: Se , onde é uma constante qualquer, então:

– Se , então ;

– Se , então ;

• Teorema: Se e , onde é uma constante não nula, então:

– Se ;

– Se

Limites Infinitos

• Teorema: Se e , onde é uma constante não nula, então:

– Se ;

– Se

• Definição: A reta é uma assíntota vertical do gráfico de ,

se pelo menos uma das afirmativas for verdadeira:

1. ; 3.;

2. 4.

Limites no Infinito

• Definição: Seja uma função definida em algum intervalo aberto , o limite de quando cresce indefinidamente é , definido como:

Se, para todo , não importa quão pequeno, existir tal que:

Se então

• Do mesmo modo, temos que:

Limites no Infinito

• Definição: Seja uma função definida em algum intervalo aberto O limite de quando decresce indefinidamente é , definido como:

Se, para todo , não importa quão pequeno, existir tal que:

Se então

Limites no Infinito

Exemplo:

Então:0 0

1 1

2 1,6

10 1,980198

1000 1,9998

10000 1,9999998

Limites no Infinito

Exemplo:

Então:0 0

-1 1

-2 1,6

-10 1,980198

-1000 1,9998

-10000 1,9999998

Limites no Infinito

• Teorema: Se for um inteiro positivo qualquer, então:

– Se ;

– Se

• Exemplo:

• Exemplo:

Limites no Infinito

• O limite infinito para valores da função quando a variável cresce ou decresce indefinidamente também pode ser considerado, ou seja

• Definição: A reta é uma assíntota horizontal do gráfico de , se pelo menos uma das afirmativas for verdadeira:

1. e para um número , se , então

2. e para um número , se , então .