LINEAR CONTROLLINEAR CONTROL SYSTEMS SYSTEMS
Ali Karimpour
Associate Professor
Ferdowsi University of Mashhad
Lecture 7
Dr. Ali Karimpour Feb 2013
2
Lecture 7
Topics to be covered include: Controllability and observability.
Definition of controllability and observability. Controllability and observability of different modes.
Canonical forms. Controllable, observable and Jordan canonical forms. Controllability and observability in Jordan forms.
Transfer function of controllable and observable systems.
Controllability and observability from block diagram.
Lecture 7
Dr. Ali Karimpour Feb 2013
3
Controllabilityکنترل پذیری
Definition 1:The state equation (I) or the pair (A,b) is said to be controllable if
for any initial state x0 and any final state x1, there exists an input that transfers
x0 to x1 in a finite time. Otherwise (I) or (A,b) is said to be uncontrollable
، ورودی ای x1 برای هرو x0 را کنترل پذیر گویند اگر برای هر (A,b) یا زوج (I): معادالت 1تعریف
یا زوج (I)معادالت برساند. در غیر اینصورت x1 را در زمان محدود به x0وجود داشته باشد که
(A,b)را کنترل ناپذیر گویند
، ورودی ای x1 برای هرو x0 برای هر گویند اگر کنترل پذیر را (A,b) یا زوج (I): معادالت 1تعریف
یا زوج (I)معادالت برساند. در غیر اینصورت x1 بهزمان محدودرا در x0وجود داشته باشد که
(A,b)ناپذیر گویند را کنترل
)(Iducxy
buAxx
Lecture 7
Dr. Ali Karimpour Feb 2013
4
Controllability testتست کنترل پذیری
Theorem 1:The state equation (I) or the pair (A,b) is controllable if and only if
است اگر و فقط اگرکنترل پذیر (A,b) یا زوج (I): معادالت 1قضیه
)(Iducxy
buAxx
S= | b Ab A2b ….. An-1b | ≠ 0
Lecture 7
Dr. Ali Karimpour Feb 2013
5
Example 1 : Check the controllability of following system : کنترل پذیری سیستم زیر را 1مثال
بررسی کنید
xy
uxx
]011[
1
0
0
6116
100
010
2561
610
100
][ 2bAAbbS
1
2561
610
100
S
This kind of system is controllable so it is called controllable canonical form.
فرم این نوع سیستم همواره کنترل پذیر است لذا به آن . گویندکانونی کنترل پذیر
Lecture 7
Dr. Ali Karimpour Feb 2013
6
Observabilityرویت پذیری
Definition 2:The state equation (I) or the pair (A,c) is said to be observable if
for any unknown initial state x0 , there exists a finite time t1 > 0 such that the
knowledge of the input u and the output y over [0,t1] suffices to determine
Uniquely the initial state x0. Other wise, the equation is unobservable.
x0 برای هر شرط اولیه گویند اگر رویت پذیر را (A,c) یا زوج (I): معادالت 2تعریف [t1,0] در بازه y و خروجی u، وجود داشته باشد که اطالعات ورودی t1>0زمان محدود
کافی باشد در غیر اینصورت سیستم را رویت ناپذیر گویند. x0 منحصر بفردبرای محاسبه
)(Iducxy
buAxx
Lecture 7
Dr. Ali Karimpour Feb 2013
7
Observability testتست رویت پذیری
Theorem 2:The state equation (I) or the pair (A,c) is observable if and only if
و فقط اگر است اگررویت پذیر (A,c) یا زوج (I): معادالت 2قضیه
0
.
.
1
2
ncA
cA
cA
c
V
)(Iducxy
buAxx
Lecture 7
Dr. Ali Karimpour Feb 2013
8
Example 2 : Check the observability of following system : رویت پذیری سیستم زیر را 2مثال
بررسی کنید
xy
uxx
]011[
1
0
0
6116
100
010
5116
110
011
2cA
cA
c
V
0)60(1)115(1
5116
110
011
VSo the system is not
observable.
پس سیستم رویت پذیر نیست
Lecture 7
Dr. Ali Karimpour Feb 2013
9
Controllability test for each mode(system with distinct eigenvalues)
تست کنترل پذیری برای هر مود )سیستمهای دارای مودهای مجزا(
ducxy
buAxx
Eigenvalues of A
Aمقادیر ویژه
1
2 3
n.
.
bAIi |
For the controllability of a mode it is sufficient that the following matrix has full row rank
i
Lecture 7
Dr. Ali Karimpour Feb 2013
10
Observability test for each mode (system with distinct eigenvalues)
تست رویت پذیری برای هر مود )سیستمهای دارای مودهای مجزا(
ducxy
buAxx
Eigenvalues of A
Aمقادیر ویژه
1
2 3
n.
.
c
AIi
For the observability of a mode it is sufficient that the following matrix has full column rank
i
Lecture 7
Dr. Ali Karimpour Feb 2013
11
Example 3: Check the observability and controllability of each mode
: کنترل پذیری و رویت پذیری هر مود را 3مثال بررسی کنید.
xy
trxx
]11[
)(0
1
10
12.
0
00
21SS It is not completely controllable
2,1)2)(1(10
12A-sI 21
sss
s
000
111
:1 ofility Controllab 1
lecontrollabnot is1 1
010
110
:2 ofility Controllab 2
rank row fullnot
rank row full lecontrollab is2 2
Lecture 7
Dr. Ali Karimpour Feb 2013
12
Example 3 : Check the observability and controllability of each mode (continue)
xy
trxx
]11[
)(0
1
10
12.
: کنترل پذیری و رویت پذیری هر مود را 3مثال بررسی کنید )ادامه(.
0 02
11
VV
2,1)2)(1(10
12A-sI 21
sss
s
It is completely observable
observableboth are2,1 So 11
Lecture 7
Dr. Ali Karimpour Feb 2013
13
Poles of transfer functionقطبهای تابع انتقال
xy
uxx
]011[
1
0
0
6116
100
010
31 22
13
Eigenvalues of AAمقادیر ویژه
31 p
22 p
Poles of systemقطبهای سیستم
What happened to -1 ?
)3)(2(
1)(
sssG
13
observablenot and
lecontrollabnot isIt -3
or observablenot isIt -2
or lecontrollabnot isIt - 1
Lecture 7
Dr. Ali Karimpour Feb 2013
14
Similarity transformation propertiesخواص تبدیالت همانندی
ddcPc
PbbPAPA
ˆˆ
ˆˆ
1
1ducxy
buAxx
Pxw
ation transformSimilarity
udwcy
ubwAw
ˆˆ
ˆˆ
1- It can lead to a simpler system. - امکان ساده سازی سیستم1
2- It doesn’t change the eigenvalues. - عدم تغییر مقادیر ویژه2
3- It doesn’t change controllability. - عدم تغییر کنترل پذیری3
4- It doesn’t change observability. - عدم تغییر رویت پذیری4
Lecture 7
Dr. Ali Karimpour Feb 2013
15
Effect of similarity transformation on eigenvalues of system
تاثیر تبدیالت همانندی بر مقادیر ویژه
ddcPc
PbbPAPA
Pxw
ˆˆ
ˆˆ
1
1
ducxy
buAxx
udwcy
ubwAw
ˆˆ
ˆˆ
Similarity transformation doesn’t change the eigenvalues. تبدیل همانندی مقادیر ویژه راتغییر نمی دهد
0 AsI 0ˆ AsI
AsI ˆ 11 PAPsPP 1)( PAsIP 1 PAsIP
AsI
Lecture 7
Dr. Ali Karimpour Feb 2013
16
Effect of similarity transformation on controllability
تاثیر تبدیالت همانندی بر کنترل پذیری
ddcPc
PbbPAPA
ˆˆ
ˆˆ
1
1
ducxy
buAxx
udwcy
ubwAw
ˆˆ
ˆˆ
Similarity transformation doesn’t change the controllability. تبدیل همانندی کنترل پذیری راتغییر نمی دهد
bAbAAbbS n 12 ...
bAbAbAbS n ˆˆ...ˆˆˆˆˆˆ
12
PbPPAPbPPAPbPAPPb n 11121 ... bAbAbAbS n ˆˆ...ˆˆˆˆˆˆ 12
bPAbPAPAbPb n 12 ... bAbAAbbP n 12 ...
Matrix
ility Controllab
PS
SPPSS ˆ
Lecture 7
Dr. Ali Karimpour Feb 2013
17
Effect of similarity transformation on observability
تاثیر تبدیالت همانندی بر رویت پذیری
ddcPc
PbbPAPA
ˆˆ
ˆˆ
1
1
ducxy
buAxx
udwcy
ubwAw
ˆˆ
ˆˆ
Similarity transformation doesn’t change the observability. تبدیل همانندی رویت پذیری راتغییر نمی دهد
1
.
.
ncA
cA
c
VMatrix
ity Observabil
1ˆˆ
.
.
ˆˆ
ˆ
ˆ
nAc
Ac
c
V
With the same proof as pervious slide
Lecture 7
Dr. Ali Karimpour Feb 2013
18
Important canonical formsفرمهای کانونی مهم
1- Controllable canonical form. - فرم کانونی کنترل پذیر 1
2- Observable canonical form. - فرم کانونی رویت پذیر 2
3- Jordan canonical form. - فرم کانونی جردن 3
Lecture 7
Dr. Ali Karimpour Feb 2013
19
Controllable canonical formفرم کانونی کنترل پذیر
xy
uxx
]...[
1
0
.
0
0
...
1...000
...........
0...100
0...010
...1
...10
...........
...000
1...000
S 0 S
xy
uxx
]021[
1
0
0
7148
100
010
8147
12)(
23
sss
ssG
Lecture 7
Dr. Ali Karimpour Feb 2013
20
Observable canonical formفرم کانونی رویت پذیر
xy
uxx
]1...000[
.
1000
...........
...010
...001
...000
...1
...........
1...00
10...00
V 0 V
xy
uxx
]100[
0
2
1
710
1401
800
8147
12)(
23
sss
ssG
Lecture 7
Dr. Ali Karimpour Feb 2013
21
Jordan canonical form for systems with distinct eigenvalues
فرم کانونی جردن برای سیستم با مقادیر ویژه مجزا
xccccy
u
b
b
b
xx
n
nn
]...[
.
.
...000
...........
...........
0...00
0...00
321
2
1
2
1
xy
uxx
]33.05.017.0[
1
3
7
100
020
004
Checking the controllability and observability is very simple
All modes are controllable and observable
تمام مودها کنترل پذیرو رویت پذیر است
4
)7)(17.0()(
s
sg2
)3()5.0(
s 1
)1()33.0(
s
Lecture 7
Dr. Ali Karimpour Feb 2013
22
Extended Jordan canonical form فرم کانونی جردن تعمیم یافته
xcccy
u
b
b
b
xx
r
rr
]...[
.
...000
...........
0...00
0...00
0...01
21
2
1
2
1
1
iff econrollabl are and 11 0 1 b
iff econrollabl is 2 0 2 b
0 rbiff econrollabl is r
.
...
iff observable are and 11 0 1 c
iff observable is 2 0 2 c
0 rciff observable is r
.
...
Lecture 7
Dr. Ali Karimpour Feb 2013
23
Transforms to controllable canonical form
uxx
1
1
10
11
تبدیل به فرم کانونی کنترل پذیر
01
10ˆ 1PAPA
1
0ˆ Pbb
11
01S
01SSystem is
controllable
qA
qP 1]10[ Sq q is last row
of S-1
01
11P
uww
1
0
01
10 Controllable
canonical form
Lecture 7
Dr. Ali Karimpour Feb 2013
24
Transforms to observable canonical form
xy
uxx
]10[
1
1
12
21
تبدیل به فرم کانونی رویت پذیر
1
3ˆ Pbb
12
10V System is
observable 1 AqqP
1
01Vqq is last column of V-1
10
12P
wy
uww
]10[
1
3
21
50
Observable
canonical form
21
50ˆ 1PAPA
0ˆ
10ˆ 1
dd
cPc
Lecture 7
Dr. Ali Karimpour Feb 2013
25
Transfer function of controllable and observable systems.
تابع انتقال سیستمهای کنترل پذیر و رویت پذیر
nnbeALet
ducxy
buAxx
dbAsIcsG 1)()(
Suppose the system is controllable and observableفرض کنید سیستم کنترل پذیر و رویت پذیر باشد
There is no pole zero cancellation in transfer functionحذف صفر و قطب در تابع انتقال نداریم
The degree of transfer function is n است.nدرجه تابع انتقال برابر
Lecture 7
Dr. Ali Karimpour Feb 2013
26
Transfer function of controllable and observable systems.
تابع انتقال سیستمهای کنترل پذیر و رویت پذیر
nnbeALet
ducxy
buAxx
dbAsIcsG 1)()(
Suppose the system is not controllable or is not observableنيستفرض کنید سیستم کنترل پذیر یا رویت پذیر
There is pole zero cancellation in transfer functionداریمحذف صفر و قطب در تابع انتقال
The degree of transfer function is less than n است.nکمتر از درجه تابع انتقال
Lecture 7
Dr. Ali Karimpour Feb 2013
27
Example 4: Transfer function of controllable and observable systems.
: تابع انتقال سیستمهای کنترل پذیر و رویت پذیر 4مثال
xy
uxx
]111[
0
1
1
100
021
321
xy
uxx
]201[
1
1
0
300
010
011
3
2)(
ssG
375
132)(
23
2
sss
sssG
System is controllable
and observable
System is not both controllable and
observable but 3 is controllable and
observableBut we can not know much more information about the system by this method
اما نمی توان اطالعات بیشتری از این روش بدست آورد.
Lecture 7
Dr. Ali Karimpour Feb 2013
28
Controllability and observability from block diagram and state diagram
کنترل پذیری و رویت پذیری از طریق بلوک دیاگرام و دیاگرام حالت
1- Find the numbers of s-1in the block diagram or state diagram. را در بلوک دیاگرام و یا دیاگرام حالت s-1- ابتدا تعداد 1
بدست آورید
2 - Find the transfer function by Mason’s rule- تابع انتقال را با توجه به قانون گین میسون بدست 2
آورید
3 – If the numbers of s-1in the block diagram or state diagram is equal to degree of transfer function then the system is controllable and observable. 3 اگر تعداد -s-1 در بلوک دیاگرام و یا معادالت حالت با
کنترل پذیر و آنگاه سیستم برابر با شددرجه تابع انتقال است.رویت پذیر
Lecture 7
Dr. Ali Karimpour Feb 2013
29
Example 5: Check the controllability and observability of following function.
: کنترل پذیری و رویت پذیری سیستم زیر را بررسی کنید.5مثال
SD
TF
45
1
)(
)()(
2
sssr
scsG
Mason’s rule
The numbers of s-1in the state diagram is 2 and the degree of transfer function is also 2 so the system is controllable and observable.
بوده و درجه تابع انتقال 2 در دیاگرام حالت برابر s-1تعداد است.کنترل پذیر و رویت پذیر است لذا سیستم 2نیز
Lecture 7
Dr. Ali Karimpour Feb 2013
30
Exercise
2-a)Find the eigenvalues of following system.b) Find the pole of transfer function.c) Are the eigenvalues controllable and observable?
xy
uxx
]021[
0
1
0
141
230
312
3- Check the controllability and observability of every mode in the following system.
xy
uxx
]122[
4
3
6
661
221
463
1- Find the modes of following system.uxx
0
1
0
141
230
312
Lecture 7
Dr. Ali Karimpour Feb 2013
31
Exercise (Cont.)
4- Check the controllability and observability of every mode in the following system and compare it with exercise 4.(Note that the system in this exercise and exercise 4 are similar that shown in example 2
wy
uww
]011[
1
0
2
400
010
002
5- Examine the controllability and observability of each mode of the following system.
)()(]101[)()(
1
0
1
)(
400
320
001
)( trtXtctrtXtX
Answer: All modes are controllable. -1 and -4 are observable but -2 is not observable.
Lecture 7
Dr. Ali Karimpour Feb 2013
32
Exercises (Cont.)
7- Check the controllability and observability of every mode in the following system by direct inspection (without calculation). wy
uww
]011[
1
0
2
400
010
002
S-1
-2
11 -3
S-1 -21
S-1
-1 31
r(s) c(s)8- Check the controllability and observability of the following system
6- Consider the following system.a) Find the controllable canonical form. b) Find the observable canonical form.
xy
uxx
]122[
4
3
6
661
221
463
Lecture 7
Dr. Ali Karimpour Feb 2013
33
9- Check the controllability and observability of the following system by transfer function method.
10- Check the controllability and observability of every mode in exercise 5.
2
1
s
s
13
+
+
+
+
11- The eigenvalues of a system are -3,4,-5 and the poles of its transfer function are -3 and -5.(Midterm spring 2008)
a) What is your idea about the observability of each eigenvalue.b) What is your idea about the controllability of each eigenvalue.
Exercises (Cont.)
Lecture 7
Dr. Ali Karimpour Feb 2013
34
Exercises (Cont.)
12- Find a state space realization for following system such that it is neither observable nor controllable.(Final 1391)
1
2)(
s
ssg