Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
Front Matter Preface © The McGraw−Hill Companies, 2004
�������
������ ������ �� �� ����� ����� ����� �� �������� ��� �� � �������� ��������� �������� �
����������� ��� �������� ������� ���������� ������� ��������� ��������� ���������� ��� ������
������ ����� ����� ��� ���������� ������ � ��������� ��� ���� ����������� �� � ����� ��
���
��� ��� �� �������� ��� ��� �� � ����� ��� � ������ ������ �� ������ ������ �� �� � ��������� � ���
������ ������� ���� � ���� � ������ �� ���������� � ������ ������ ��� ���� � ����� ������ � ���
������� ���������� �� ��� ���� �� ����� ������ !��� ������� �� ��� �������� �� ��� � ��"���� �� ���
�� �������� ��� �� ��� ���� � ���� � ��� ���� ������� � ���"��� � ������ ��� �� ���������� ��� �
������� ����� ������ �� � ������
#�� ����� ����� �� ����� ������� �� ������� �� ������� ���������� ��� ������ ����� ��
��������"� ��� ��� ��������"� �������� ��� �� �������� � ������ ��� �� ���"�� ��� ������������
�������� �� ���"�� ������� ���"� � �������� ��� ������� � ����� ��� � ���"��� � �������� �� ����
���������� �� "��� � ������"� ��������� $������� ������� ���������� ��� �� ��� �������� ������� ��� ��������
����� � ���"�� �������� �� ������������ ������� ���"� �� � ������� ��"��� �� � ������� �� ���
������
�� �� ��� ������ ��� "����� �� #�������� ������ ����� ������� ��� ������ �� ������ ���������
���� ������ ���"��� � ���"���� ��� ���� ����������� ���� ��� � ����� ��"�������� �� "����
������ ��� ������ �������� ��� ������� %��� ������ �� ����� ������ ������ ��� ���������� ��� ��
����������� ��� �� � ������� ���������� �� �����"����� ��� �����"����� ��"��� ��������� ��� ����������� �
������ ������� � � �������� ������ ��� �������� ����� � � ���� �� "������ ��������� ������ ����� ������
� ���������� &������ ��� ������� ��������� ������ ���� ������ ��"�� ������ �������� ��� � ���� ����� '(�
��� �������� �������� ��� )������� ������ �� ��� ����� ���� ������ �������� �� ����� ������ ������� *��
������������ ��� �� �� �������� �� ����������� �"�� � ����
�� ���� ������ �� � ��� ������ �"� ��� ��� ����������� ������� ���� �� �� ������ +���� ������
� ����� ����� �� � ������ ��� ��� �� ����� ������������ ������� ����� ��� ���"��� � ���� ��
�����"����� ��� �����"����� ��� � ���������,���� �� ������� -����� ���������.� ���� ��� ���� ����
��������� ���"�� ��� ������������ ��������
*������� �� ��� � ��� � ���� �� � !�/����)��� +����0� 1����� +������ ���������� 2����� /������
��� ��� ��������� �����������
+#3!145 ��6+7)4�8
!%57 �%5+ ��6+1$
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
������� �
���� �� �� ��� ���������� ����
��� ����������
����� ��� ��� �� �� ������� ��� ������ �� � ������ ��� � � ���� �� ��� �� ������ ���
�������� ��� ��� ����� � � ���� �� ������� ������ �� ����� �� ����
���� ��� �� ������
���� �� �
��� ��� ������ � �������� ���� ��� ��������� ��������� �� ��� ���� �� ���� �������������� � �� �� ��� ����� ����� �� ���� ����� ��������� �� ��� ���� �� ������� ������� ������� � ��� ��� ������� �� ������ ��� ������� �� ��� ������ ���� ��� ������ ��������
�����!� �� ���� ������� ������ �� ��� ������� �� ����� ���� ������� ���� ���� � ��� �������� � ��� �� ��� ��������� ��� ���� �� ����� ���� ������ ���� ���� ��� �������� ���� ��
��� �� ������
"����� ��� ���!�� #�� �����$ �� ��!�� ������ ��� ����� � �������
%&'� %(&� %)&� %*)� %+,� %)&� %'(� %-*
��� ��� ������ ��� ��� ���� �� ��� ��� ���! ��� ��� ����� � �� ��� ���� ��������� �������. ���� �
�%� �(� �*� �)� �&� �'� �+� �,
����� ���� ���� ������� ������ ��� ������� �� ��� ���� �� ��� ���� /�� ��������
�% � %&'� ��� ���� ������� �( � %(&� ��� ����� ������� � � �
"��� � ��� �� �����
� � ��%��(��*� � � � ��,�
� ������ � ���� ����� �� �����
%
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
������ �� �����
0�� ������ 1��������� ��� � ����������� ��� ����� ��
�
��� 22��!������33� ���� 1��������
��� �� ���������� � ���� ������ ��� ��� ������ �������� �� ��� ����� ����� ����� ��� ��� 1��������� ���� ����� ��� ������� ���� ��
�
���� 22��!������33 ��� 22���������33� ���� 1��������� ����� ��� ������������ � ����� ����! ����������� ���!�� ��� ��������� ��� ��������! ���� ��� !��� �������������� �� ��� ������ ������
4�� �� �
��� ��� ������ � �������� ���� ��� ���� �* ����� ��� ��� ����� �� ���� ��� ����������� ������� ������ �� ���� ������� "����� ��� ���!�� �� ��� ��� �� �* � ����� � ��� ��������� ����� ���� ��� ����� ����
�� ����� ���� ��� ����� � ���1��� ���������� � ��� ���������� �� ��
��������� ��� ��� ����
����� ��� ��� ��������� ���������� ����� �������� ��� ����� ��������������� ���� ��� �
������� ����
����� �� ����� ��� ��������� �� ���� ��������� ��� ��� ����������� ������� ���� ��������� ��� ����������� �� ��� ����� ��� � �������
#�$ ������ ������ ��� �������� �� � �� ��� ����� � ��� � � �������� � ��� �5������������������ ���. ���� �� �� � � ��� ���!���� �� ��� ���������!��� ������ � � ��� ��/����������� �� ��� �� �� ��� ���� ��� ��� ��� ��� �������� �� ��� ����� � ��� �� ������� ��� �� ��� �� ��� � ��� �������� �� ��� ����� �� �� ���� ��������� ��� �������� �� /�!�%5%#�$�
#��$ ���� ���������� ��� ������� �� �� � ����� � � � ���� ������ � � �������� � ���������!��� ��!������ �� � � � ��� ��������! ��� ��� ��������� �� � � 6 �� ��� ������� ��������� �� � � 6� ��� �� ��� �� �� � ��� �������� �� ��� ����� �� ���� ���� ��� ��� � ��� �������� �� ��� ����� ������� ��������� ��� �������� �� /�!� %5%#�$�
0������������� �� ������� ��� ����� � ���� �� ��� �� �� ��� ����� � � ��� �� ��� 0������� �� ���� ���������� ������ ��� �� �� �� ���� ������ � ����� �� ����� ��������! ���� �� ��������������� �� !�������7���� ������ ��� ���� �� 5����� ��%� �(� � � � � �� �� ���� ������ � ������ ������� ������ �������� �� ����� ��� ��� ����� �� �* ������ ������ ����� #"������ %�'$�
��� ������ �� �
��� �� �� ��� 5����� �� ���� ������� ������� � �� � ������ ������ ���������� 5����� �� �� �
� � ��%� �(� � � � � ��� ������ � ��� �� ����� ��� ������ �� ��� ������ ��� ��������� ������� ���� �� ��� �� ��0������� ���� ����
��! ��� ���� �� �� �� ��� ���� ������ ��� ��� ������� �� ��
�!� �"�
z
y
x
0
u
ku
( , , )a b c
( ) Scalar Multiplicationb
( , , )ka kb kc
( , , )a b c′ ′ ′z
y
x
0
v
u
u v+
( , , )a b c
( + , + , + )a a b b c c′ ′ ′
( ) Vector Additiona
( 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" ?:� =� %
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��� ������ � ��� �� ��� ����� ������� � � �� �� ��� ��� ��� ��� ������ �� ��������� ��� �� ��������������! ��������� ��� �1���� �����!� ��� ����� �%� (� *� ��� �(� *� %� ������� ��� ��� ������������ ���� ����� ��� ��� �1��� ���� �����������! ������ ��� ��� �1����
��� ����� �6� 6� � � � � 6� ���� ������ ��� ��� 6 � ������ ��� ��� ����� ��� � ����� ������� � 6�������� ��
#�$ ��� ��������! ��� ������
�(��&�� �+� -�� �6� 6� 6�� �*� )� &���� ��� ��� ����� �����! �� �( ������ ��� ��� ��� �����! �� �*� ��� ����� � ��� 7��� ����� �� �*�
#�$ /��� �� �� � ��� ���� ��� �� �� �� �� %� � �)� (� *��@ ��������� �� �1����� �� ������ �����������! ������ ��� �� �1���� ����
�� � � )� �� � � (� �� % � *"����! ��� ���� ��� �� �1������ ���� � � *� � � �%� � � )�
�#��� ������
"������� � ����� �� 5���� � � ������� ��������� ������ ���� ����7������� "��� � ����� � ������� ����� ����� ���� �� ��� �������� ��� ���� ����7������ ������� ����� ��� ������ ��� ������ /���������� ��� ��������! ��� ������ ����� ���� (� (� *� ��� * ���������� ����������
%
(
� ��
*
�)� �
�%
&
�'
��
���
%�&(*
�%&
���
���
�� ��� ���� ���� �� ��������� ������ ��� ��� ����� � ������ �����!��� ��� ������ ������
��$ ����� %������� %�� �%�%� &������%����
:������ ��� ����� � ��� � �� �� �
� � ��%� �(� � � � � �� ��� � � ��%� �(� � � � � ������� ���� ������� �� �� � ��� ����� �������� � �����! �����������! ��������� ���� � ��� �� ���� ��
�� � � ��% � �%� �( � �(� � � � � � � ����� ������ ������ ��� ����� ������� �� ��� ����� � � � ���� ������ �� ������� ��� � ��� ����� ��������� ���������! ���� ��������� �� � � �� ���� ��
�� � ���%� �(� � � � � �� � ���%� ��(� � � � � �������� ���� �� � ��� �� ��� ��� ����� �� �� ��� �� �� ����� ���� ��������� ������ �� ���������
� ��� �������
4�!���� ��� ���������� ��� ������ �� � � �������
�� � ��%�� ��� �� � � �� ������� ����� �� � ������ ��� ���� �� �� ��� �� � � ������ ��� ������ �� � ��� ��
:� =� %A 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" *
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
4�� ����� �� ��� !��� ����� �%� �(� � � � � �� �� � ��� ����� �%� �(� � � � � �� �� �� �� ���
������� ��� ����� � ��� �����������! ����� ��� ���� ��� ��� �������� ����� ������� �� ���� ���
�����
� � �%�% � �(�( � �*�* � � � � � ����"��� � ����� � � ������ � ���� �������� �� ��� ����� �%� �(� � � � � ���
������� �
#�$ >�� � � �(� )��&� ��� � � �%��'� -�� ����
�� � � �(� %� )� ��&�� �&� -� � �*��%� )�+� � �+�(�� +�)�� +��&�� � �%)� (,��*&��� � ��%��%��'� -� � ��%� '��-�
*�� &� � �'� %(��%&� � ��&� *6��)&� � �%� )(��'6�
#�$ ��� 7��� ����� 6 � �6� 6� � � � � 6� �� � � ������ �� ��� ����� 6 �� ����� ��� �� ����� � � ��%� �(� � � � � ����� 6 � ��% � 6� �( � 6� � � � � � � 6� � ��%� �(� � � � � �� � �
#�$ >�� � �(
*
�)
��
�� ��� � �
*
�%�(
��
��� ���� (�� *� �
)
'
�,
��
���
�-*
'
��
�� �
�&-
�(
��
���
@��� ��������� �� ����� ����� ��� ��������� �� ����� �������� ��� ����� �������������� ����������� �� ��� ��������! ��������
������� ���' /�� �� ����� �� ��� �� � ��� �� ����� �� � � �� ��
#�$ ��� �� � � � �� ��� ��� #$ ���� �� � ��� ���#��$ �� 6 � �� #�$ �� � � ��� � ��� � ���#���$ �� ���� � 6� #��$ ��� ��� � ��� ����#�$ �� � � �� �� #���$ %� � ��
�� ������� ��� ����� �� ������� %�% ����� :������ (� ����� �� ������ �� ��� ������� �� �������
#=������ (�*$�
"����� � ��� � ��� ����� �� � ��� ����� � � �� ��� ��� ���7��� ����� � �� �� ���� � � ������ ������� �� �� ��� � � ��� �� �� ��� ��� �� ������ ������ � � ��������! � � � 6 �� � � 6�
��( ��� )�����* �����
:������ �������� ����� � ��� � �� �. ��
� � ��%� �(� � � � � �� ��� � � ��%� �(� � � � � ����� �� ������ �� �� ������ �� ������ ������ �� � ��� � � ������� ��� ������ �
� � � � �%�% � �(�( � � � � � ������ �� � � � � �������� � ���������! �����������! ��������� ��� �����! ��� �������! �������� ���
����� � ��� � ��� ��� �� �� �������� #�� ����������$ �� ����� ��� ������� � 7���� ���� �� �� � � � � 6�
) 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" ?:� =� %
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
������� ��
#�$ >�� � � �%��(� *�� � � �)� &��%�� � � �(� +� )�� ������ � � � %�)� � (�&� � *��%� � )� %6� * � �-
� � � � (� %)� %( � 6� � � � � ,� *&� ) � *-��� � ��� � ��� �����!�����
#�$ >�� � �(
*
�)
��
�� ��� � �
*
�%�(
��
��� ���� � � � � '� *� , � %%�
#�$ "����� � � �%� (� *� )� ��� � � �'� ���,� (�� /��� � � ���� � ��� � ��� �����!�����
/��� ������ � � � � '� (� � ()� , � �%6� (�� ���� �� � � � � 6 ��� ��� ��� ���%6� (� � 6 �� (� � %6 �� � � &
@��� ��������� �� ��� ��� ������� �� � #����� �� =������ %�%*$ �������
������� ���' /�� �� ����� �� ��� �� � ��� �� ����� � �� ��
#�$ ��� �� � � � � � �� � � �� #���$ � � � � � � ��#��$ ���� � � � ��� � ��� #�$ � � � � 6� ��� � � � � 6 ��� � � 6�
4��� ���� #��$ � ���� �� ��� 22��B� � ���33 ���� ��� ��� ������� �� �� ����� �������� @ #���$ ��� #��$�
� � ���� � ���� � � � ��� � �� � ��� � ������ �� �� ��� ��� 22��B� � ���33 ���� ��� ����� ������� �� �� ����� ��������
��� ���� � ���� ��� ���� ��������� �� ����� ��������� ����� ��������������� ��� ��� ������� �
����� ������ ������� ������
���� )���!��* �� + ������
��� ��� �� ��� �� � ����� � �� �� ������� � �� � ������ �� �� ��� �����!���� 1���� ���� ��� � �� �� ����������� �� � � ��%� �(� � � � � ��� ����
� � � � � ��(% � �(( � � � � � �(
���� �� � � ��� 1���� ���� �� ��� �� �� ��� 1���� �� ��� ��������� �� �� ��� � � 6� ���� � 6 �� ��� ��� �� � � 6�
����� � � ������ � �� ����� �� � � % ��� �1��������� �� � � � � %� /�� �� ���7��� ����� � ���� ��� �����
�� � %� � ��
�� ��� ���1�� ���� ����� �� ��� ��� ��������� � �� ��� �����
�� �����! �� ���� � � ������ ��������� ��
������� ��
#�$ "����� � � �%��(��)� &� *�� �� ��� �� �� ��� ��� ��� �( � � � � � 1�����! ���� ��������� �� � ��������!� � �������
�( � %( � ��(�( � ��)�( � &( � *( � %� )� %'� (&� - � &&���� � � && �
:� =� %A 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" &
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
#�$ >�� � � �%��*� )� (� ��� � � �%(�� %
'� &'� %'�� ����
� � %� -� %'� ) � *6 ��� � �-
*'� %*'
� (&*'
� %*'
��
*'
*'
��
%
� %
��� � � � ���� ����� ��� � � ��� � ���� ������ ������� �� ��� �������7� � � �������
�� � �� �%*6
� �**6
� )*6
� (*6
�
��� � ��� ���1�� ���� ����� �� ��� ��� ��������� � ��
��� ��������! ������� #����� �� =������ %�%)$ � B���� � ��� "�����7 ���1����� �� :����C"�����7 ���1������ �� � ��� �� ��� ������� �� �����������
������� ��$ #"�����7$� /�� �� ����� �� � �� �� �� � �� � ���
D��! ��� ���� ���1������ �� ��� ���� #=������ %�%&$ ��� ��������! ����� B���� � ��� 22�����!�����1�����33 �� 0��B��B�3 ���1������
������� ��( #0��B��B�$� /�� �� ����� �� � �� �� �� � � � � ��
���+���, %�!#�, ���-������
��� ����� ������� ����� � � ��%� �(� � � � � �� ��� � � ��%� �(� � � � � �� �� � � ������� ��������� �
���� �� � �� � ���% � �%�( � ��( � �(�( � � � � � ��% � �%�(
��� ��� ��� ���� ��� ��������� �!��� ���� ��� ���� ������ �� ������� �� ��� 9�������� ����� �( ��
���� �*�
��� ��� � ������� ���7��� ����� �� � �� � � ������ �
�� � � � � ������ ��������� � ���� ������� ����� � ��� "�����7 ���1����� #������� %�*$�
�% � � � ��� � %
4��� ���� �� � � � � 6� ���� � � -6 #�� � � ��($� ��� ���� �!��� ���� ��� ������ ��������� �������!�������
��� ������� �� � ����� � ���� � ���7��� ����� � � ��� ����� ������� ��� ������ �
������� �� � � � ��( �
�� ��� ����� ���� ��� �!��� ���� ��� ���� ������ �� ����� ���������� �� �����
������� �
#�$ "����� � � �%��(� *� ��� � � �(� )� &�� �������� �� �
�%� (�( � ��(� )�( � �*� &�(
� %� *'� ) � )%
�� ��� �� �� ����� � � ��� ��!�� ������� � ��� �� �� ��� ���
� � � � (� ,� %& � -� �( � %� )� - � %)� �( � )� %'� (& � )&
' 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" ?:� =� %
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
����
�� � � � � ��� �-
%)
)&
���
������� �� � � � ��( � �-
)&�(� )� &� � %
&�(� )� &� � (
&�)
&� %
� �
#�$ :������ ��� ����� � ��� � �� /�!� %5(#�$ #���� �������� �������� � ��� $� ��� #�������������$ ���������� ��� ���� � � ��� ����� �E ���� ��!������
�E � � �� � � � � � ��� �� � ��
�� ������ �E� �� ������� �� ��!������ � ��� ���� ����� �� ��� ��������� �� �� ��������!
�E � �E �� �� � ��
�
� �� � ��( �
��� � ��� ��� � ��� ���� ��������� �� ������� ���
��. ��%��� ������, /0�����%���, �����, ���� �� �
��� ������ �����!���� ������� �� 5����� !���� � !��%� �(� � � � � �� ����� � � ����� �� � ��� ��5����� � � ��%� �(� � � � � �� ����� � � ����� #�����$ ���� ��� ���!�� � �� ��� ����� "��%� �(� � � � � ���
���+��1 ������
� ���� �� ����� ����� ��� ���� �� � ����� ��� ����� ���� �� ����� �� ��� ���� � �� � ������� �
��� �� ������� �
������ ��� �����
� � � � � ��% � �%� �( � �(� � � � � � � ��
�!� �"�
z
y
x
0
u
( )b
B b b b( , , )1 2 3
u = B – A
A a a a( , , )1 2 3
P b a b a b a( – , – – )1 1 2 2 3 3
0
u
( )a
Projection of ontou* u v
A
u*B
Cθ
v
:� =� %A 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" +
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
���� � ��
��� � ��� ��� ��� ��!������ ��� ���������� ��� � �������� �� /�!� %5(#�$ ��� �������� ���%� �(� �*� ��� ��%� �(� �*� �� �* ��� ��� ����� � � � � ����� �� ��� ��������!��% � �%� �( � �(� �* � �*��
/�2��2#+��
������� # �� � � ��� �� �� ����� ��%� �(� � � � � �� ����� ���� � ������ �1�������%�% � �(�( � � � �� �� � �
����� ��� ����� � � ��%� �(� � � � � �� �� ���������� � ��� 7������� � ��������� # �� �( � � ���� ��� ���������� # �� �* � � ������ �� ��� ������ � �������� �� /�!� %5*#�$ ��� �*� ���� � � �����!���� ���� �������� ���� �!���� !$
��� ����� !� ��� ��� $���� ��� ����� �� # � ?/�� ��� ������ �� � ���� � �
����� �� # ��� ���� # � ����� �� ��A"���� !� ��� ��� $���� �����! �� #� ��� ���� ��� ���� ��������� �1������� ���� ��
�%�% � �(�( � � � �� �� � � ��� �%�% � �(�( � � � �� �� � �� � !$�� � $� ! � ��% � �%� �( � �(� � � � � � � ��>��
����
� � � � �%��% � �%� � �(��( � �(� � � � �� ��� � ��� ��%�% � �(�( � � � �� ��� � ��%�% � �(�( � � � �� ��� � �� � � 6
��� � � !$�� � �����!���� �� �� � ��������
���� �� �
��� �� % �� � ��
��! �����!� ��� ����� !��%� �(� � � � � �� ��� �� ��� ��������� �� � ���7��� ������ � ��%� �(� � � � � �� ����� �� ��� ����� & ��%� �(� � � � � �� ���� ����
& � ! � � ���% � �% � �%�( � �( � �(��������������������� � � � �
�� %�� � ��� � ���
�������
����� ��� �����
� ��B� �� ��� ���� ����� "��� � ���� % �� �* � �������� �� /�!� %5*#�$�
�!� �"$
, 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" ?:� =� %
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
������� ��
#�$ >�� # �� ��� ����� �� �* �����������! �� ��� ������ �1������ (�� &�� +� � )� ����� ���� !�%� %� %� ���$�&� )� (� ��� ������� �� ��� �1������� ��� ! ��� $ ��� ��� �������� ���� �!����
� � !$�� � $� ! � �&� %� )� %� (� %� � �)� *� %���� �� ��� ����� # � ��� ����� � � �(��&� +� � ������ �� # � ���� � ���������
� � � � �(��&� +� � �)� *� %� � ,� %&� + � 6���� �� � � �����!���� �� ��
#�$ /��� �� �1������ �� ��� ��������� # �� �) ���� ��
� �����!� ��� ����� !�%� *��)� (� ��� � ������ �� ���
����� � � �)��(� &� '��
��� ���������� �� ��� ��B���� �� �� �1������ �� # ��� ��� ��������� �� ��� ������ ����� �. ����� ����1������ �� # ��� �� �� ��� ����
)�% � (�( � &�* � '�) � �
"���������! ! ���� ��� �1������� �� ������
)�%� � (�*� � &��)� � '�(� � � �� )� '� (6� %( � � �� � � �%6
��� )�% � (�( � &�* � '�) � �%6 � ��� �1������ �� # �#�$ /��� ��� ���������� ������������� �� ��� ���� % �� �) ��
��! �����!� ��� ����� !�%� (� *��)� ��� �� ��� ���������
�� � � �&� '��+� ,�� ��� ��� ��� ����� $ �� % ���� � %�"���������� �� ��� ���� �1������ ��� % ���� ��� ��������! ���������� ��������������
�% � & � %� �( � ' � (� �* � �+ � *� �) � , � )��� �1���������
%�� � �& � %� ' � (��+ � *� , � )�
4��� ���� � 6 ���� ��� ����� ! �� %� "���������� �� � % ���� ��� ����� $�'� ,��)� )� �� %�
���� �� �
>�� ' �� �� ������� #����� �� �������$ �� ��� ���� ���� �� ��������� �������� (�' � � � � ����
�� �� ���� �� ���� ����� � ' ����� � �
�!��� ��� ��������! ����� �� ��
(�� � �(%���((��� � � � �(���0������� ��� �������� #�� �� ����$ �� (�� ���� ��� �����
) �� � �(���
� �(%���
��((���
� � � � ��(���
� �
����� � ���!��� �� ��� ����� 4������7��! ) �� ����
��� � ) ��) ����� ��� � ��� ���� ���!��� ����� �� ��� ����� #D��� ����� ���� !���������� �!�������� ��� ������������� �� ���� ����$
:� =� %A 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" -
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
������� �� :������ ��� ���� (�� � ��� � �� � � �� �*� ��B��! ��� �������� �� (�� ?�� ���� ��������� �� (��A����
) �� � ��� �� �� � %������ � � ����� ���!��� �� ��� ����� �� �������7� ) ��� /��� �� ������
) ��( � ��( � ��( � % � %� % � (���� ��� ���� ���!��� ������ ��� �� ��� ���� �������
��� � ) ��) �� ��� (
�� �� (
� %(
� �
��3 ������ �� �* )��%��%�������*, �-4 ���%����
8����� �� �*� ������ ������ ������ ������ �� ��� ������������ �������� �� ����� �� ����� �
������ �������� � ���1����� ��� ��� ��� ����� � �������
� � �%� 6� 6� ������ ��� ���� ����� �� ��� � ����������- � �6� %� 6� ������ ��� ���� ����� �� ��� � ����������4 � �6� 6� %� ������ ��� ���� ����� �� ��� � ����������
���� �� ����� � � ��� �� �� �� �* ��� �� �����
�� ���1��� �� ��� ����� � ��� �� �� � ��� �-� �-
"���� ��� ����� �� -� 4 ��� ���� ����� ��� ��� ������� �����!����� �� ������ ��� ��������! ��� ��������
� � � � %� - � - � %� 4 � 4 � % ��� � � - � 6� � � 4 � 6� - � 4 � 6/����������� ��� ����� ��������� ����
�� ���� �� �� �����
�� �� ��� �-4 �������� � �������"�����
� � �%�� �(-� �*4 ��� � � �%�� �(-� �*4����
�� � � ��% � �%��� ��( � �(�-� ��* � �*�4 ��� �� � ��%�� ��(-� ��*4����� � � � ������ ���
� � � � �%�% � �(�( � �*�* ��� � �� � � � �(% � �(( � �(*
������� �� "����� � � *�� &-� (4 ��� � � )�� ,-� +4�#�$ �� ��� �� �� ��� �����������! ���������� ��������! �� � � +�� *-� &4#�$ �� ��� *�� (�� ��� ������� � ��� ����� ��� ���� ����
*�� (� � �-�� %*-� '4� � ��,�� %'-� %)4� � �� (--� (64#�$ �� ��� � � �� ������� �����������! ��������� ��� ���� ����
� � � � %(� )6� %) � �)(#�$ �� ��� �� ��B� ��� 1���� ���� �� ��� �� �� ��� 1���� �� ��� ����������
� � -� (&� ) � *,
%6 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" ?:� =� %
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��
���1���
����� � � ������ ��������� ��� ����� � ��� � �� �* ���� � ��� ������ �� � ��� �� *� ��� ���������� ������ ��� ����� ������ ��� � ������� � �� �� ��� �� �� ���� �������� ��� ������� ��� �� � � ���� ��� ����������� #�� ����� ���$ ��� �� ��!����� ����� ��� ������� ��� ������ � �������
� �
� �
�������� � �� � �� ��� � � �� �
�������� � ��� ��
���� � ��� � ��� ������ ��� ������� ������� ��� � ��� � ��� ��� �������� �������� ��� �������������� � ��� ������� �� �� ��� ���!���� ������� ���� ��� ������� �� �� ��� ������!���� ����������� ��� ��� ��� ��� ��!���� �� ��� ������������
4�� ����� � � �%�� �(-� �*4 ��� � � �%�� �(-� �*4� ������ � � ��(�* � �*�(��� ��*�% � �%�*�-� ��%�( � �(�%�4
� �% �( �*�% �( �*
���������� �% �( �*�% �( �*
��������-� �% �( �*�% �( �*
���������
���� �� ��� ����� ��������� �� �� � ��� �������� ���� ��� �����% �( �*�% �( �*
� �
#����� ������� ��� ��������� �� � ���� ��� ��������� �� �$ � �������
#%$ :��� ��� ��� ������ ��� ��B� ��� ������������
#($ :��� ��� ����� ������ ��� ��B� ��� ��!���� �� ��� ������������
#*$ :��� ��� ����� ������ ��� ��B� ��� ������������
4��� ���� �� � � � �����. ����� �� � � ��� ������ ��� ���� ������ �� ��� ������ �� � ��� ��������� �� /��� �� � ������ #�$ � � )�� *-� '4� � � (�� &-� *4� #�$ � � �(��%� &�� � � �*� +� '��
#�$ D�) * '
( & �*� �
�� !�� �� � � ��-� *6��� �%(� %(�-� �(6� '�4 � �*-�� ()-� %)4
#�$ D�( �% &* + '
� ��� !�� �� � � ��'� *&� %&� %(� %)� *� � ��)%� *� %+�
���+�4' ��� ���
������� �� ��� ����� �� -� 4 ��� � �������
�� - � 4� -� 4 � �� 4 � � � --� � � �4� 4 � - � ��� �� 4 � �-
���� �� �� ��� ��� ������ ��� -� 4� � � ����� ������������ ����� � ������ 4 ��� ����� 4 ������� �� ������� ������� �� ��� �� ���� �� ��� !��� ��������� � ��� ����� ���� ��� ��� ������� �� ��� �� ���� �� ���������� ��������� � ��� ��!���� �� ��� ����� ����
��� ��������� ��������� �� ��� ���
������� ��� ��������� �� ��� ��������! ��������
������� ��.' >�� �� ��� �� ����� �� �*�
#�$ ��� ����� �� � � �����!���� �� ���� � ��� ��#�$ ��� ������� ���� �� ��� 22������ �������33
� � �� ��������� ��� ����� �� ��� �������������� ������ � ��� ����� �� �� ��?"�� /�!� %5)#�$�A
:� =� %A 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" %%
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
�� ���� ���� ��� ����� �� �� �� � ���� � ��!��5������ ���� ��� ���� ��� ��������! ������� !��
��� ��!������ �� �� ��
�� � � �� �� ������ � � ��� ��!�� ������� � ��� ��
��5 �&���6 �&7���
��� �� �� ������� ������ � ������� � � /������� � ������� ������ � �� ������� ���� ��� �� ������ ������ ����� �1������ �������� ��� �������������� ��� ������ � �������
��� �� � ��� �� �� ��� ��� �� � � � ��� � � ���� �� � ��� �� � ��� �� �� ����� �� � ��� �� � ���� ��� �� � ���
�� ������� ��� ���� ������ � ���� ��� ������� ������ ��� 6�. ���� ��� � ��� 6�
��� � ��
���� ���� ��� ��������� �� �������� ��� �������������� �� ���� ������ ��� ������� ����� ����������������. ���� ��
��� 6� � ��� 6� � ��� �� 6� ��� ��� 6� � ��� 6� � ���� 6���� �� ��� � � � ���� �� � ��� ������� ��� 6� � � ������� ��������� ��� ��
�����
�� ���� ���� ��� �� �� ������� ������ ���� ��� ���� ��������� �� �������� ��� �������������� �
� *�� �� ������� ��B� ��� �� � �� ���� ������ ��� ��� �� 8 �� ������ ������
��� ������� ������ �6� %� � ������� � �� �� �� ��� ��������� ������� ����
�( � �� � �6� %��6� %� � ��%� 6� � �% �� � ��%
�������!�� �� ������� ������ � � ��� �� ��� �� ������� �� ��� ����� � ��� �� � ��� 6� � �6� �� � ��� 6� � ��� 6� � �6� %� � �� ��
�!� �"(
%( 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" ?:� =� %
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��� ���� �������� � � �� ��� ����� � � ;� � ��� � � �� � ��� ������� ���������� ��� ��� ����������� ���� �� �� � ���� ��������� ���� ��� ��� �� ����� ��� �� ��� ������� �� ������� ������� � �� �� ��� � � �� �� ��� �� ������ � ���� ���! ��� ���������� ��� ���������� ��� ����( � �%�
�� � � ��� ��� � ��� ��� � �� �� ��� �� � ��� �� � ��� ����� � ��� ������ ��� � ��� ���� ���� ���( � ���� ��� � ���� ����
�� ��� ����� ��� ���� �� � ��� ���������� �� �
�� � �%� ��� �� � � �� ����
9+����!' ��� ������ � ����������!�% �� �� ����������� �������� �� ��� ����� � � �%� 6� 6� ��
"������ %�'�
��2#�: ��-�!+��, %��#��� �+#��
:������ � ������� ������ � � �� ��� ��� ������ �� � � ������� ��� ������ ��� � �� �� � �� ��
���� ��� � ��� ������ ��� � �( � �(�( � �( � �(� 4��� ���� � � ���� �� ��� ��� �� �� � ��
��� ������ ���� �� �� ������� � ���� � ������ �� �� ��� �����!���� 1���� ���� �� ���� 4�����
��� ����
�
�( � �(
�
4��� ���� ��� � �1��� �� ��� ���� �� ��� ����� ��� �� �� �(�
"����� � �� 6� ���� ��� ����� ��% �� � ��� ������ �� �� � � � ��� !���� ���������� �
��% � �����
� ��( � �( �
�
�( � �( � ����
�� ������
� ���%
������� �� "����� � � (� *� ��� � � &� (�� ����
�� � � �(� *�� � �&� (�� � (� &� *�� (� � +� ��� � �(� *���&� (�� � %6� %&�� )�� '�( � %'� %%��� � (� *� � (� *� ��� �� � &� (� � &� (��
�� &� (�(� *� �
�&� (���(� *���(� *���(� *�� �
)� %-�%*
� )%*
� %-%*�
��� � )� - � %* ��� ��� � (&� ) � (-
��2#�: �#+��
;����� ���� ��� ���� ������ � ��� �� ���������� � ����� �� � ����� ����!���� ��� ������������� ��� �� ���������� � ����� �� ��� ������ "���������� �� ��� ��� ����� ��� �� �� ��� ������������� ��� ������� ������ �� �� � ���� �� /�!� %5)#�$� �� ��� � ���� ��� � ��� ������� ���� ������!�� � �� ��� ����� �� ��� ����� ���� ��� ������������� � ������ ��� ������ ���� ��� ��B� ��� ��������������! � � ������ ��� ��� ���
:� =� %A 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" %*
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��; ������ ��
��� �� �� ��� 5����� �� ������� ������� ������� � � � ������ ������ ������ F�� � �� ������� ���� ��� ������� �� ��� ������ ���� �� ������ ��� ������� �� ��� ������ �������� ��� ������������� �� ��� ����� �������������� �� ��� !��� �
��%� �(� � � � � �� � ��%��(� � � � ��� � ��% � �%� �( � �(� � � � � � � �����%� �(� � � � � �� � ���%� ��(� � � � � ���
����� ��� ��� ��� ��� � �����! �� �
������� ��� :������ ����� � � �(� *�� )� �� *� ��� � � �*� (�� &�� )� '�� �� *� ������ � � �(� *�� )� �� *� � �*� (�� &�� )� '�� � �&� �� )� )�� +� '��
�&� (��� � ��&� (���(� *��� �&� (���)� ��� �&� (���*�� � �%'� %%�� %,� %*�� %&� '��
��� )�����* ���1��� ��
:������ ����� � � ��%� �(� � � � � �� ��� � � ��%��(� � � � ��� �� � ��� �� �� �� ������ �� � ���� � ������� ��� ������ �
� � � � �% ��% � �( ��( � � � � � � ����� ��������� ������ �� ��� ���� ��� ���� ��� � �� ���� �� � ����� ��� ���� �� � � ������ �
� � � � � � �%��% � �(��( � � � � � ���� ���%�( � ��(�( � � � � � ���(
�� ������7� ���� � � � ��� � � ��� ���� ��� ������ ���� � �� 6 ��� 6 ���� � � 6�������� ��� :������ ����� � � �(� *�� )� �� *� &�� ��� � � �*� )�� &�� )� (�� �� *� ����
� � � � �(� *���*� )�� � �)� ���&�� � �*� &���)� (��� �(� *���*� )�� � �)� ����&�� � �*� &���)� (��� ��'� %*�� � ��&� (6�� � �(� ('�� � �-� %-�
� � � � �(� *��( � �)� ��( � �*� &��( � )� -� %'� %� -� (& � ')� �
')
� ,
��� ���� ���� ��� ���� ��������� �� ����� ��������� ����� ��������������� ��� ��� �������� �
������ ������ ������� ������ ������� %�( ��� � ��� ���� ��� �� �� ������� � � � � � � � �
� � � � � � ��� ��� ����� ����� ��� "�����7 ���1����� #������� %�*$ ��� 0��B��B�3 ���1����� #������� %�)$ ������� ��� ���� �� ����!��
��#��1 ����#��
������ �� �
���� 89:��;" ?:� =� %
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
���� >�� � � �(��+� %�� � � ��*� 6� )�� � � �6� &��,�� /����#�$ *�� )��#�$ (�� *�� &��
/��� ������� ��� ����� �������������� ��� ���� ��� ����� ���������
#�$ *�� )� � *�(��+� %� � )��*� 6� )� � �'��(%� *� � �%(� 6��%'� � �%,��(%��%*�#�$ (�� *�� &� � �)��%)� (� � ��-� 6� %(� � �6��(&� )6� � ��&��*-� &)�
��$� >�� � �&
*
�)
��
��� � � �%&
(
��
���� � *�%
�(
��
��� /����
#�$ &�� (��#�$ �(�� )�� *��
/��� ������� ��� ����� �������������� ��� ���� ��� ����� ����������
#�$ &�� (� � &&
*
�)
��
��� ( �%&
(
��
�� � (&%&
�(6
��
��� (�%6
�)
��
�� � (+&
�()
��
��
#�$ �(�� )�� *� ��%6�',
��
��� �)(6
,
��
��� �-*
'
��
�� � �(*%+
((
��
��
��(� /��� � ��� �� ������ #�$ ��� *� � �(� �� ��� #�$ �)� �� � ��(� *��#�$ "���� ��� ����� ��� �1���� �� ��� �����������! ������ �1��� �� ���� ������ ������!
� � (� * � �� �"��� ��� ������ �1������� ��������! � � (� � � %�
#�$ /��� ������� � ��� ����� � �� ������ �)� �� � �(�� *��� ���� �� �����������! ������ �1��� �� ��������� �� ������
) � (�� � � *�"��� ��� �1������ �� ���� � � (� � � '�
��.� ����� ��� ����� � � �%��(� &� � � ������ ����������� �� ��� ����� �% � �%� %� %�� �( � �%� (� *���* � �(��%� %��
�� ���� �� �����
� �� ��� ���� � � ��% � ��( � ��* ���� �� �� � � �� ��B����� /��� �� ���
%
�(&
��
�� � �
%
%
%
��
��� �
%
(
*
��
��� �
(
�%%
��
�� �
�� �� (��� (�� ��� *�� �
��
��
#�� � ���� ��������� �� ����� ����� � ������ ���� � ��� ���� ������! ������ ������������$ "�������������! ������ �1��� �� ���� ����� �� ������
�� �� (� � %�� (�� � � �(�� *�� � � &
��
�� �� (� � %�� *� � �*(�� � � )
��
�� �� (� � %�� *� � �*
&� � %6��� ���1�� ������� �� ��� �����!���� ��� � � � �'� � � *� � � (� ��� � � �'�% � *�( � (�*�
:� =� %A 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" %&
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��3� ����� � � �(��&� *� � � ������ ����������� �� �% � �%��*� (�� �( � �(��)��%�� �* � �%��&� +��/��� ��� �1������� ��� �� ������ �1������ ��� ���� ���� /����
(
�&*
��
�� � �
%
�*(
��
��� �
(
�)�%
��
��� �
%
�&+
��
�� �
�� (�� ��*�� )�� &�(�� �� +�
��
��
"�� ��� �����������! ������ �1��� �� ���� ����� �� ������
�� (�� � � (�*�� )�� &� � �&(�� �� +� � *
��
�� (�� � � ((�� (� � %
� &�� &� � �%��
�� (�� � � ((�� (� � %
6 � *��� ����� �1������� 6�� 6�� 6� � *� �������� ���� ��� ��� �� �� �������� ��� � ������ �� ������� � ������� ����������� �� ��� ����� �%� �(� �*�
��� )�����* �����, ���/��� � � �&� )� %�� � � �*��)� %�� � � �%��(� *�� ����� ���� �� ������ �� ��� ��� �������������#�����!����$G
/��� ��� ��� ������� �� ���� ���� �� ������
� � � � %&� %'� % � 6� � � � � *� ,� * � %)� � � � � &� ,� * � 6��� � ��� � ��� �����!����� � ��� � ��� �����!����� ��� � ��� � ��� ����
��=� /��� � � ���� � ��� � ��� �����!����� ������
#�$ � � �%� ���*� ��� � � �(��&� )�#�$ � � �(� *���)� %� &� ��� � � �'��%� *� +� (���
:������ � � �� �� � � � �1��� �� 6� ��� ���� ��� ��� ��#�$ � � � � %�(� � ���&� � *�)� � �&� � %6� ���� �&� � %6 � 6� �� � � �(�#�$ � � � � %(� *� � %(� +� %6� � +� � +� ���� +� � + � 6� �� � � �%�
���>� /��� �� ������ #�$ � � �*��%(��)�� #�$ � � �(��*� ,��+��/��� ��� �( � � � � � 1�����! ��� ������ ��� �����!� ���� � �
�(
��
#�$ �( � �*�( � ��%(�( � ��)�( � -� %))� %' � %'-� ���� � � %'- � %*#�$ �( � )� -� ')� )- � %('� ���� � � %(' �
%' 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" ?:� =� %
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
����� ;����� ���� ��������� � ���7��� ����� � ���� �����! ��� ���1�� ���� ����� �� �� ��� ������������ � �� �����
�� � %� �
4������7�� #�$ � � �*��)�� #�$ � � �)��(��*� ,�� #�$ � � �%(� (*� � %
)$�
#�$ /��� ��� � � -� %' � (& � &� ���� ����� ���� ���� �� � � &� ��������! �� � �*&� � )
&$�
#�$ ���� � � %'� )� -� ') � -* � ������ � )
-*
� �(
-*
� �*
-*
� ,
-*
�
#�$ 4��� ���� � ��� �� ������ �������� �� � ���� ��� ��� ��� �������7�� ����� ����� ��� ������� � �%( �� 22����� ��������33� ���� �� ��� ��� �� � %(� � �'� ,��*�� ����
�� � *'� ')� - � %6- ��� �� � ��� � '%6-
� ,%6-
� �*%6-
�
����� >�� � � �%��*� )� ��� � � �*� )� +�� /����#�$ �� �� ����� � � ��� ��!�� ������� � ��� �.
#�$ ������� ��� ��� ���������� �� � ���� �.#�$ ���� ��� ��� ������� ������� � ��� ��
/��� ��� � � � � *� %(� (, � %-� �( � %� -� %' � ('� �( � -� %'� )- � +)� ����
#�$ �� � � � � ��� �%-('
+)
�
#�$ ������� �� � � � ��( � �%-
+)�*� )� +� � &+
+)�+'
+)�%**
+)
� � &+
+)�*,
*+�%**
+)
�
#�$ ���� �� � �� � � ��(��+� *� � )� )-� - � '( �
���$� =��� ������� %�(� /�� �� �� ��� �� � ��� � �� ��#�$ ��� �� � � � � � �� � � �� #��$ ���� � � � ��� � ��� #���$ � � � � � � ��#�$ � � � � 6� ��� � � � � 6 ��� � � 6�
>�� � � ��%� �(� � � � � ��� � � ��%� �(� � � � � ��� � � ��%��(� � � � ����#�$ "���� �� � � ��% � �%� �( � �(� � � � � � � ���
��� �� � � � ��% � �%��% � ��( � �(��( � � � � � �� � ���� �%�% � �%�% � �(�( � � � � � �� � ��� ��%�% � �(�( � � � � � ��� � ��%�% � �(�( � � � � � ���� � � �� � � �
#��$ "���� �� � ���%� ��(� � � � � �������� � � � ��%�% � ��(�( � � � � � ��� � ���%�% � �(�( � � � � � ��� � ��� � ��
#���$ � � � � �%�% � �(�( � � � � � �� � �%�% � �(�( � � � � � �� � � � �#�$ "���� �(� � �����!���� ��� ���� �� ��� ���� ��� �� �� �����!���� ���� ������ � �����!�����
� � � � �(% � �(( � � � � � �( � 6/����������� � � � � 6 ��� �� � 6 ��� ���� �� ���� �� ��� � � 6�
:� =� %A 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" %+
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
���(� =��� ������� %�* #"�����7$� �� � �� � ���/�� �� ���� ������ � ��� ���! ������� %�(� �� ���
6 � ��� �� � ��� �� � (�� � �� � (�� � �� � �� � �� � �(( � (�� � �� � �(>�� � � �(� � � (�� � ��� � � �(� ����� ��� ��� ���� �� � �( � � � � � 6� ��� ���� ���� ���1�������� ��������� ������ ��� ��� ���� ����� ��� ������ ���� ��� ����������� ' � �( � )�� � 6 ����1��������� �( � )��� ���
)�� � ��( � )�(�(
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
���>� >�� " �� ��� ���� (�� � �(� * � (� *� ( � &� �� �)� ����� 6 � � )�#�$ /��� ��� ����� ! �� " �����������! �� � (�#�$ /��� ��� ������� ����� $ ��� �������� ����� $ � �� "�#�$ /��� ��� ���� ���!��� ����� � �� ��� ���� " ���� � (�
#�$ "�������� � ( ���� (�� �� !�� ! � � �(� � �)� )� ,� -��#�$ ��� ��������� ���!� ���� � 6 �� � )� ����� $ � � �6� � �6��(� 6� &� ���
$ � � (�)� � �%'� %6� ')� (%��#�$ ��B� ��� �������� �� (��� ���� �� �� ���� ��������� �� (��� �� ������ � ����� ) ���� � ���!��� �� ���
�����
) �� � �(���
� �(� *� *(� (�4�� ��� ) ���� � (. ���� �� �������� � ( �� ��� �1������ ��� ) �� �� ������) � ) �(� � �)� *� %(� )�� ���� �������7� ) �� ������ ��� ������ ���� ���!��� ����� �� �� ���
) � %'� -� %))� %' � %,& ��� � � )%,&
� *%,&
� %(%,&
� )%,&
� �
��%��%������� )������ �� �**, �-4 ���%����, ���� �����
����� >�� � � (�� *-� )4� � � *�� -� (4� � � �� &-� *4� /����#�$ �� �� #�$ (�� *�� )�� #�$ � � � ��� � � �� #�$ � ��� ��
����� ��� ���������� �� �� -� 4 ��� ��B� ��� ��������� �� � ����� �� �*�
#�$ �� �����������! ���������� �� !�� �� � � &�� (-� (4�#�$ /��� ������� ��� ����� �������������� ��� ���� ��� ����� ���������
(�� *�� )� � �)�� '-� ,4� � ��-�� *-� '4� � �)�� (6-� %(4�� ��� %+-� ('4
#�$ 0������ �����������! ���������� ��� ���� ����
� � � � '� *� , � �& ��� � � � � (� %&� %( � �%#�$ ��� ���� � ��� 1���� ���� �� ��� �� �� ��� 1���� �� ��� �����������
� � )� -� %' � (- ��� � � -� %� ) � %)
����� /��� ��� #����������$ �1������ �� ��� ���� %�
#�$ �����!� ��� ����� !�%� *� (� ��� $�(� &��'��#�$ ���������! ��� ����� !�%��(� )� ��� ������������� �� ��� ����� # !��� � ��� �1������
*�� &�� +� � %&�#�$ /��� ��� � � !$�� � $� ! � �%� (��,� � �� (-� ,4� ����
%�� � � � %� ( � *� �, � (� � � � %��� �( � *�-� ��, � (�4#�$ "���� % � ������������� �� # � ��� ���� % � �� ��� ��� ��������� � ��� ������ ����� � � *�� &-� +4
�� # � ���
%�� � �* � %� & � (� + � )� � �* � %��� �& � (�-� �+ � )�4
:� =� %A 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" %-
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
���$� >�� + �� ��� ������ ��( � (�� � %' �� �*�#�$ /��� ��� ������ ����� ���� �� �� �� ��� ������ +�#�$ /��� ��� ���!��� ����� # �� + �� ��� ����� !�%� (� *��
#�$ ��� ������� ��� ��� ������ ����� �� � ������ (��� �� �� � 6 �
���� �� �� � (��� (�-� (�4
����� (�� (�� (� ��� ��� ������� ��������� D��! (��� �� �� � ��( � (��� %'� �� ������(� � �(� (� � (��� (�� (� � (�
��� ���� �� �� � �(�� �(��� (��-� (�4�#�$ ��� ������ �� ��� ������ + �� ��� ����� ! �
��!� � ��%� (� *� � )�� %6-� )4����� � � (�� &-� (4 � ��� ������ �� + �� !� ��� �� �1������ �� # �� ��� ���� (�� &�� (� � ��"�������� ! �� ��� �1������ �� ������ � � %,� ��� ��� ���!��� ����� # �� + �� ! � (�� &�� (� � %,�
���(� 9������ ��� ��������! ����������� ��� ��!���� �� ����������� �� ����� ����
#�$ #�$* )
& -
��������� #��$ ( �%) *
�������