+ All Categories
Home > Documents > Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Date post: 02-Jan-2022
Category:
Upload: others
View: 3 times
Download: 0 times
Share this document with a friend
425
Lipschutz-Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e Front Matter Preface © The McGraw-Hill Companies, 2004 PREFACE Linear algebra has in recent years become an essential part of the mathemtical background required by mathematicians and mathematics teachers, engineers, computer scientists, physicists, economists, and statisti- cians, among others. This requirement re¯ects the importance and wide applications of the subject matter. This book is designed for use as a textbook for a formal course in linear algebra or as a supplement to all current standard texts. It aims to present an introduction to linear algebra which will be found helpful to all readers regardless of their ®elds of speci®cation. More material has been included than can be covered in most ®rst courses. This has been done to make the book more ¯exible, to provide a useful book of reference, and to stimulate further interest in the subject. Each chapter begins with clear statements of pertinent de®nitions, principles and theorems together with illustrative and other descriptive material. This is followed by graded sets of solved and supplementary problems. The solved problems serve to illustrate and amplify the theory, and to provide the repetition of basic principles so vital to effective learning. Numerous proofs, especially those of all essential theorems, are included among the solved problems. The supplementary problems serve as a complete review of the material of each chapter. The ®rst three chapters treat vectors in Euclidean space, matrix algebra, and systems of linear equations. These chapters provide the motivation and basic computational tools for the abstract investigation of vector spaces and linear mappings which follow. After chapters on inner product spaces and orthogonality and on determinants, there is a detailed discussion of eigenvalues and eigenvectors giving conditions for representing a linear operator by a diagonal matrix. This naturally leads to the study of various canonical forms, speci®cally, the triangular, Jordan, and rational canonical forms. Later chapters cover linear functions and the dual space V*, and bilinear, quadratic and Hermitian forms. The last chapter treats linear operators on inner product spaces. For completeness, there is an appendix on polynomials over a ®eld. The main changes in the third edition have been for pedagogical reasons rather than in content. Speci®cally, the abstract notion of a linear map and its matrix representation appears before and motivates the study of eigenvalues and eigenvectors and the diagonalization of matrices (under similarity). There are also many additional solved and supplementary problems. Finally, we wish to thank the staff of the McGraw-Hill Schaum's Outline Series, especially Barbara Gilson, for their unfailing cooperation. SEYMOUR LIPSCHUT MARC LARS LIPSON
Transcript
Page 1: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

Front Matter Preface © The McGraw−Hill Companies, 2004

�������

������ ������ �� �� ����� ����� ����� �� ����� ��� ��� �� � �� �� ���� ��������� �������� �

�� ��� ������ ��� �� ��� ��� ������� ���������� ����� �� ����� �� �� ������� �� �������� �� ��� � � �� ��

������ ����� � ���� ��� ���������� ����� � � ����� ���� ��� ���� ������� ���� �� � ����� �� ���

��� ��� �� �������� ��� ��� �� � �� ��� ��� � ������ ������ �� ������ ������ �� �� � ��������� � ���

������ � ������ �� �� � ���� � ������ �� �� ����� ��� � ������ ������ ��� ���� � ����� ������ � ���

������� ���������� �� ��� ���� �� ����� �� ���� !��� �� ����� �� ��� �������� �� ��� � ��"���� �� ���

�� �������� ��� �� ��� ���� � ���� � ��� ���� ������� � ���"��� � ������ ��� �� ���������� ��� �

� ����� � ��� �� �� ���� �� � ����� �

#�� ��� �� ����� �� ����� � � ���� � �� ��� ���� �� �� ����� ���������� ��� ������ ��� �� ��

����� �� �"� ��� � �� ������� �"� �� ������ ��� �� �������� � ������ �� � �� ���"�� ��� ��������� ���

�������� �� ���"�� ������� ���"� � ����� �� � ��� ������� � ����� ��� � ���"��� � ���� � ��� �� ����

���������� �� "� �� � ����� �"� ��������� $������� ������� ���������� ��� �� ��� ����� ��� ������� ��� ��������

����� � ���"�� �������� �� ��������� ��� ������� ���"� �� � ������ � ��"��� �� � �� ����� �� ���

��� ���

�� �� ��� ��� ��� ��� "�� ��� �� #�������� ������ �� ��� ������� ��� ��� ��� �� ������ ���� �����

���� ��� ��� ���"��� � �� �"� ��� ��� ���� ����� � ����� ���� ��� � �� ��� ��"�� ��� ��� �� "�� ��

������ ��� ������ �������� ��� ������� %� �� ��� ��� �� ����� ������ ������ ��� �� ������� � ��� ��

�� ������� �� ��� �� � �� ����� ���������� �� �����"����� ��� �����"�� ��� ��"��� ����� ���� ��� �������� ��� �

������ ����� �� � � �������� �� ���� ��� �� ������ ����� � � � ��� �� "������ ��������� ������ ����� ������

� ���������� &������ ��� �� ����� ��������� ������ �� �� ��� ��� ��"�� ������ ���� ���� ��� � ���� ����� '(�

��� �������� ������ �� ��� )���� ��� ������ �� ��� ��� �� ��� � ������ ����� ��� �� ����� ������ ������� *��

������ ������ ��� �� �� �������� �� ����������� �"�� � ����

�� ���� ������ �� � ��� ��� ��� �"� ��� ��� ����������� ������� �� �� �� �� ��� �� � +���� ������

� �� ��� �� ��� �� � ������ ��� ��� � � �� ��� �������� � ��� ������� ����� ��� �� �"� �� � � ��� ��

�����"����� ��� �����"�� ��� ��� � ���������,� ��� �� �� ����� -����� �������� �.� ���� ��� ���� ����

���� ����� ���"�� ��� ��������� ��� ��������

*������� �� ��� � ��� � � ��� �� � !�/����)��� +����0� 1� ���� +������ ���������� 2����� /������

��� ��� ��������� ������� ����

+#3!145 ��6+7)4�8

!%57 �%5+ ��6+1$

Page 2: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

������� �

�� �� �� �� ��� ���������� �� ��

��� ����������

����� ��� ��� �� �� ���� ��� ��� ������ �� � ������ ��� � � ���� �� ��� �� ������ ����������� ��� ��� ����� � � ���� �� ������� ������ �� ����� �� ���� ���� ��� �� ������

���� �� ���� ��� ������ � �������� ���� ��� ��������� ��������� �� ��� ���� �� ���� �������������� � �� �� ��� ����� ����� �� ���� �� ��� ��������� �� ��� ���� �� ������� ������� ������� � ��� ��� ������� �� ������ ��� ������� �� ��� ������ ���� ��� ������ ��������

�����!� �� ���� ������� ����� � �� ��� ������� �� ����� ���� ������� ���� ���� � ��� �������� � ��� �� ��� ��������� ��� ���� �� ����� ���� ������ ���� ���� ��� �������� ���� ��

�� � �� ������

"����� ��� ���!�� #�� �����$ �� ��!�� ������ ��� ����� � �������

%&'� %(&� %)&� %*)� %+,� %)&� %'(� %-*

��� ��� ������ ��� ��� ���� �� ��� ��� ���! ��� ��� ����� � �� ��� ���� ��������� �������. ���� �

�%� �(� �*� �)� �&� �'� �+� �,

���� � ���� ���� ������� ������ ��� ������� �� ��� ���� �� ��� ���� /�� ��������

�% � %&'� ��� ���� ������� �( � %(&� ��� ����� ������� � � �

"��� � ��� �� �����

� � ��%��(��*� � � � ��,�

� ������ � ���� ����� �� �� ���

%

Page 3: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

������ �� ��� ��

0�� ������ 1��������� ��� � ����������� ��� ����� ��� ��� 22��!������33� ���� 1����������� �� ���������� � ���� ������ ��� ��� ������ �������� �� ��� ����� ����� ����� ��� ��� 1��������� ���� ����� ��� ������� ���� ��� ���� 22��!������33 ��� 22���������33� ���� 1��������� ����� ��� ������������ � ����� �� ��! ����������� ���!�� ��� ��������� ��� ��������! ���� ��� !� �� �������������� �� ��� ������ �� ����

4�� �� ���� ��� ������ � �������� ���� ��� ���� �* ����� ��� ��� ����� �� ���� ��� ����������� ������� ������ �� ���� ������� "����� ��� ���!�� �� ��� ��� �� �* � ����� � ��� ��������� ����� ���� ��� ����� ������ ��� �� ���� � �� ����� � ���1��� ���������� � ��� ���������� �� ����������� ��� ��� ����

����� ��� ��� ��������� ���������� ����� �������� ��� ����� ��������������� ���� ��� �������� ���� ����� �� ����� ��� ��������� �� ���� ��������� ��� ��� ����������� ������� ���� ��������� ��� ����������� �� ��� ����� ��� � �������

#�$ ������ ������ ��� �������� �� � �� ��� ����� � ��� � � �������� � ��� �5������������������ ���. ���� �� �� � � ��� ���!���� �� ��� ���������!��� ������ � � ��� ��/����������� �� ��� �� �� ��� ���� ��� ��� ��� ��� �������� �� ��� ����� � ��� �� ������� ��� �� ��� �� ��� � ��� �������� �� ��� ����� �� �� ���� ��������� ��� �������� �� /�!�%5%#�$�

#��$ �� � � ������� ��� ��� ������� �� �� � ����� � � � ���� ������ � � �������� � ���������!��� ��!������ �� � � � ��� ��������! ��� ��� ��������� �� � � 6 �� ��� ������� ��������� �� � � 6� ��� �� ��� �� �� � ��� �������� �� ��� ����� �� ���� ���� ��� ��� � ��� �������� �� ��� ����� ������� ��������� ��� �������� �� /�!� %5%#�$�

0������������� �� ������� ��� ����� � ���� �� ��� �� �� ��� ����� � � ��� �� ��� 0���� ��� �� ���� ���������� ������ ��� �� �� �� ���� ������ � ����� �� ����� ��������! ���� �� ��������������� �� !�������7���� ������ ��� ���� �� 5����� ��%� �(� � � � � �� �� ���� ������ � ������ ���� ��� ������ �������� �� ����� ��� ��� ����� �� �* ������ ������ ����� #"������ %�'$�

��� ������ �� �

��� �� �� ��� 5����� �� ���� ������� ������� � �� � ������ ������ ���������� 5����� �� �� �

� � ��%� �(� � � � � ��� ������ � ��� �� �� ��� ��� ������ �� ��� ������ ��� ������� �� ����� �� ���� �� �� � �� ��0���� ��� ���� ������! ��� ���� �� �� �� ��� ���� ������ ��� ��� ������� �� ��

�!� �"�

z

y

x

0

u

ku

( , , )a b c

( ) Scalar Multiplicationb

( , , )ka kb kc

( , , )a b c′ ′ ′z

y

x

0

v

u

u v+

( , , )a b c

( + , + , + )a a b b c c′ ′ ′

( ) Vector Additiona

( 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" ?:� =� %

Page 4: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��� ������ � ��� �� ��� ����� ������� � � �� �� ��� �� � ��� ��� ������ �� ��������� ��� �� ��������������! ��������� ��� �1���� �����!� ��� ����� �%� (� *� ��� �(� *� %� ������� ��� ��� ������������ ���� ����� ��� ��� �1��� ���� �����������! ������ ��� ��� �1����

��� ����� �6� 6� � � � � 6� ���� ������ ��� ��� 6 � ������ ��� ��� �� ��� ��� � ����� ������� � 6�������� ��

#�$ ��� ��������! ��� ������

�(��&�� �+� -�� �6� 6� 6�� �*� )� &���� ��� ��� ����� �����! �� �( ������ ��� ��� ��� �����! �� �*� ��� ����� � ��� 7��� ����� �� �*�

#�$ /��� �� �� � ��� ���� ��� �� �� �� �� %� � �)� (� *��@ ��������� �� �1����� �� ������ �����������! ������ ��� �� �1���� ����

�� � � )� �� � � (� �� % � *

"�� ��! ��� ��� � ��� �� �1������ ���� � � *� � � �%� � � )�

�#��� ������

"������� � ����� �� 5���� � � ������� ��������� ������ ���� ����7������� "��� � ����� � ������� ����� �� ��� ���� �� ��� �������� ��� ��� � ����7������ ������� ����� ��� ������ ��� �� ���� /���������� ��� ��������! ��� ������ ����� ���� (� (� *� ��� * ���������� ������� ���

%

(

� ��

*

�)� �

�%

&

�'

��

���

%�&(*

�%&

���

���

�� ��� ���� ���� �� ��������� ������ ��� ��� ����� � ������ �����!��� ��� ������ ������

��$ ����� %������� %�� �%�%� &������%����

:������ ��� ����� � ��� � �� �� �

� � ��%� �(� � � � � �� ��� � � ��%� �(� � � � � ������� ���� ������� �� �� � ��� ����� �������� � �����! �����������! ��������� ���� � ��� �� ���� ��

�� � � ��% � �%� �( � �(� � � � � � � ����� ������ ������ ��� ����� ������ � �� ��� ����� � � � ���� ������ �� ������� ��� � ��� ����� ��������� ���������! ���� ��������� �� � � �� ���� ��

�� � ���%� �(� � � � � �� � ���%� ��(� � � � � ������� � ���� �� � ��� �� ��� ��� ����� �� �� ��� �� �� ����� ���� ��������� ������ �� ���������� ��� �������

4�!��� � ��� ���������� ��� ������ �� � � �������

�� � ��%�� ��� �� � � �� ������� ����� �� � ������ ��� �� �� �� �� ��� �� � � ������ ��� ������ �� � ��� ��

:� =� %A 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" *

Page 5: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

4�� ����� �� ��� !� �� ����� �%� �(� � � � � �� �� � ��� ����� �%� �(� � � � � �� �� �� �� ���������� ��� ����� � ��� �����������! ����� ��� ���� ��� ��� �������� ����� ������� �� ���� ��� �����

� � �%�% � �(�( � �*�* � � � � � ����

"��� � ����� � � ������ � ���� ������ �� �� ��� ����� �%� �(� � � � � ���

������� �

#�$ >�� � � �(� )��&� ��� � � �%��'� -�� ����

�� � � �(� %� )� ��&�� �&� -� � �*��%� )�+� � �+�(�� +�)�� +��&�� � �%)� (,��*&��� � ��%��%��'� -� � ��%� '��-�

*�� &� � �'� %(��%&� � ��&� *6��)&� � �%� )(��'6�

#�$ ��� 7��� ����� 6 � �6� 6� � � � � 6� �� � � ������ �� ��� ����� 6 �� ����� ��� �� ����� � � ��%� �(� � � � � ����� 6 � ��% � 6� �( � 6� � � � � � � 6� � ��%� �(� � � � � �� � �

#�$ >�� � �(

*

�)

��

�� ��� � �

*

�%�(

��

��� ���� (�� *� �

)

'

�,

��

���

�-*

'

��

�� �

�&-

�(

��

���

@��� ��������� �� ����� ����� ��� ��������� �� ����� �������� ��� ����� �������������� ����������� �� ��� ��������! ��������

������� ���' /�� �� ����� �� ��� �� � ��� �� ����� �� � � �� ��

#�$ ��� �� � � � �� ��� ��� # $ ���� �� � ��� ���

#��$ �� 6 � �� # �$ �� � � ��� � ��� � ���

#���$ �� ���� � 6� # ��$ ��� ��� � ��� ����#� $ �� � � �� �� # ���$ %� � ��

�� ������� ��� ����� �� ������� %�% ����� :������ (� ����� �� ������ �� ��� ������� �� �������#=������ (�*$�

"����� � ��� � ��� ����� �� � ��� ����� � � �� ��� ��� ���7��� ����� � �� �� ���� � � ������ ���� ��� �� �� ��� � � ��� �� �� ��� ��� �� ������ ���� �� � � ��������! � � � 6 �� � � 6�

��( ��� )�����* �����

:������ �������� ����� � ��� � �� �. ��

� � ��%� �(� � � � � �� ��� � � ��%� �(� � � � � ����� �� ������ �� �� ������ �� ������ ������ �� � ��� � � ������� ��� ������ �

� � � � �%�% � �(�( � � � � � ��

���� �� � � � � �������� � ���������! �����������! ��������� ��� �����! ��� �������! �������� ��� ����� � ��� � ��� ��� �� �� �� ������ #�� ����������$ �� ����� ��� ������� � 7���� ���� �� �� � � � � 6�

) 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" ?:� =� %

Page 6: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

������� ��

#�$ >�� � � �%��(� *�� � � �)� &��%�� � � �(� +� )�� ������ � � � %�)� � (�&� � *��%� � )� %6� * � �-

� � � � (� %)� %( � 6� � � � � ,� *&� ) � *-

��� � ��� � ��� �����!�����

#�$ >�� � �(

*

�)

��

�� ��� � �

*

�%�(

��

��� ���� � � � � '� *� , � %%�

#�$ "����� � � �%� (� *� )� ��� � � �'� ���,� (�� /��� � � ���� � ��� � ��� �����!�����

/��� ������ � � � � '� (� � ()� , � �%6� (�� ���� �� � � � � 6 ��� �� � ��� ��

�%6� (� � 6 �� (� � %6 �� � � &

@��� ��������� �� ��� ��� ������� �� � #��� �� �� =������ %�%*$ �������

������� ���' /�� �� ����� �� ��� �� � ��� �� ����� � �� ��

#�$ ��� �� � � � � � �� � � �� #���$ � � � � � � ��#��$ ���� � � � ��� � ��� #� $ � � � � 6� ��� � � � � 6 ��� � � 6�

4��� ���� #��$ � ���� �� ��� 22��B� � ���33 ���� ��� ��� ������� �� �� ����� �������� @ #���$ ��� #��$�

� � ���� � ���� � � � ��� � �� � ��� � ������ �� �� ��� ��� 22��B� � ���33 ���� ��� ����� ������� �� �� ����� ��������

��� ���� � ���� ��� ��� � ��������� �� ����� ��������� ����� ��������������� ��� ��� ������� ������ ������ ������� ������

���� )���!��* �� + ������

��� ��� �� �� � �� � ����� � �� �� ������� � �� � ������ �� �� ��� �����!��� � 1���� ���� ��� � �� �� ����������� �� � � ��%� �(� � � � � ��� ����

� � � � � �

�(% � �(( � � � � � �(

���� �� � � ��� 1���� ���� �� ��� �� �� ��� 1���� �� ��� ��������� �� �� ��� � � 6� ���� � 6 �� ��� ��� �� � � 6�

����� � � ������ � �� ����� �� � � % ��� �1�� ������� �� � � � � %� /�� �� ���7��� ����� � ���� ��� �����

�� � %

� � ��

�� ��� ���1�� ���� ����� �� ��� ��� ��������� � �� ��� ����� �� �����! �� ���� � � ������ ��������� ��

������� ��

#�$ "����� � � �%��(��)� &� *�� �� ��� �� �� ��� ��� ��� �( � � � � � 1�����! ���� ��������� �� � ��������!� � �������

�( � %( � ��(�( � ��)�( � &( � *( � %� )� %'� (&� - � &&

���� � � &&

:� =� %A 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" &

Page 7: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

#�$ >�� � � �%��*� )� (� ��� � � �%(�� %

'� &'� %'�� ����

� � %� -� %'� ) �

*6

��� � �

-

*'� %

*'� (&*'

� %

*'

��

*'

*'

��

%

� %

��� � � � ���� ����� ��� � � ��� � ���� ������ ���� ��� �� ��� �������7� � � �������

�� � �

� � %*6

��**6

�)*6

�(*6

��� � ��� ���1�� ���� ����� �� ��� ��� ��������� � ��

��� ��������! ������� #��� �� �� =������ %�%)$ � B���� � ��� "�����7 ���1����� �� :����C"�����7 ���1������ �� � ��� �� ��� ������� �� �����������

������� ��$ #"�����7$� /�� �� ����� �� � �� �� �� � �� � ���

D��! ��� ��� � ���1������ �� ��� ��� � #=������ %�%&$ ��� ��������! ����� B���� � ��� 22�����!�����1�����33 �� 0��B��B�3 ���1������

������� ��( #0��B��B�$� /�� �� ����� �� � �� �� �� � � � � ��

�� �+���, %�!#� , ���-������

��� ��� �� ������� ����� � � ��%� �(� � � � � �� ��� � � ��%� �(� � � � � �� �� � � ������� ��������� �

���� �� � �� � ���% � �%�( � ��( � �(�( � � � � � ��% � �%�(

��� ��� ��� ���� ��� ��������� �!��� ���� ��� ���� ������ �� ������� �� ��� 9�������� ����� �( ������ �*�

��� ��� � ������� ���7��� ����� �� � �� � � ������ �

�� � � � � ���

��� ��������� � ���� ������� ����� � ��� "�����7 ���1����� #������� %�*$�

�% � � � ��� � %

4��� ���� �� � � � � 6� ���� � � -6 #�� � � ��($� ��� ���� �!��� ���� ��� ��� ��� ��������� �������!�������

��� ����� �� �� � ����� � ���� � ���7��� ����� � � ��� ����� ������� ��� ������ �

������� �� � � � ��( �

�� ��� ����� ���� ��� �!��� ���� ��� ���� ������ �� ����� ���������� �� �����

������� �

#�$ "����� � � �%��(� *� ��� � � �(� )� &�� �������� �� �

�%� (�( � ��(� )�( � �*� &�(

%� *'� ) �)%

�� ��� �� �� ����� � � ��� ��!�� ������� � ��� �� �� ��� ���

� � � � (� ,� %& � -� �( � %� )� - � %)� �( � )� %'� (& � )&

' 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" ?:� =� %

Page 8: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

����

�� � � � � ��� � -

%)

)&

���

������� �� � � � ��( � �

-

)&�(� )� &� � %

&�(� )� &� � (

&�)

&� %

� �

#�$ :������ ��� ����� � ��� � �� /�!� %5(#�$ #���� ������� � �������� � ��� $� ��� #�������������$ ���������� ��� ���� � � ��� ����� �E ���� ��!������

�E � � �� � � � � � ��� � � � �

��� ������ �E� �� ������� �� ��!������ � ��� ���� ����� �� ��� ��������� �� �� ��������!

�E � �E �

� � � � ��

� � � � ��( �

��� � ��� ��� � ��� ��� � ��������� �� ������� ���

��. ��%��� ������, /0�����%���, �����, ���� �� �

��� ������ �����!���� ������� �� 5����� !���� � !��%� �(� � � � � �� ����� � � ����� �� � ��� ��5����� � � ��%� �(� � � � � �� ����� � � ����� #�����$ ���� ��� ���!�� � �� ��� ����� "��%� �(� � � � � ���

���+��1 ������

� ���� �� ����� ����� ��� ���� �� � ����� ��� ���� � �� �� �� ���� � �� ��� ���� � ��

� ������� � ��

� �� ������� � ��

���� ��� �����

� � � � � ��% � �%� �( � �(� � � � � � � ��

�!� �"�

z

y

x

0

u

( )b

B b b b( , , )1 2 3

u = B – A

A a a a( , , )1 2 3

P b a b a b a( – , – – )1 1 2 2 3 3

0

u

( )a

Projection of ontou* u v

A

u*B

v

:� =� %A 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" +

Page 9: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

���� � ��

��� � �� � ��� ��� ��!������ ��� ���������� ��� � �������� �� /�!� %5(#�$ ��� �������� ���%� �(� �*� ��� ��%� �(� �*� �� �* ��� ��� ����� � � � � ����� �� ��� ��������!��% � �%� �( � �(� �* � �*��

/�2��2#+��

������� # �� � � ��� �� �� ����� ��%� �(� � � � � �� ����� ���� � ������ �1�������%�% � �(�( � � � �� �� � �

����� ��� ����� � � ��%� �(� � � � � �� �� ���������� � ��� 7������� � ��������� # �� �( � � ���� ��� ���������� # �� �* � � ������ �� ��� ������ � �������� �� /�!� %5*#�$ ��� �*� ���� � � �����!���� ���� �������� ���� �!���� !$

��� ����� !� ��� ��� $���� ��� ����� �� # � ?/�� ��� ������ �� � ���� � �

����� �� # ��� ���� # � ����� �� ��A"���� !� ��� ��� $���� �����! �� #� ��� ���� ��� ��� � ��������� �1������� ���� ��

�%�% � �(�( � � � �� �� � � ��� �%�% � �(�( � � � �� �� � �

� � !$�� � $� ! � ��% � �%� �( � �(� � � � � � � ��>��

����

� � � � �%��% � �%� � �(��( � �(� � � � �� ��� � ��� ��%�% � �(�( � � � �� ��� � ��%�% � �(�( � � � �� ��� � �� � � 6

��� � � !$��

� �����!���� �� �� � ��������

���� �� �

��� �� % �� � ����! �����!� ��� ����� !��%� �(� � � � � �� ��� �� ��� ��������� �� � ���7��� ������ � ��%� �(� � � � � �� ����� �� ��� ����� & ��%� �(� � � � � �� ���� ����

& � ! � � ��

�% � �% � �%�( � �( � �(��������������������� � � � �

�� %� � � ��� � ���

�������

����� ��� ����� � ��B� �� ��� ���� ����� "��� � ���� % �� �* � �������� �� /�!� %5*#�$�

�!� �"$

, 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" ?:� =� %

Page 10: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

������� ��

#�$ >�� # �� ��� ����� �� �* �����������! �� ��� ������ �1������ (�� &�� +� � )� ���� � ���� !�%� %� %� ���$�&� )� (� ��� ������� �� ��� �1������� ��� ! ��� $ ��� ��� �������� ���� �!����

� � !$�� � $� ! � �&� %� )� %� (� %� � �)� *� %�

��� �� ��� ����� # � ��� ����� � � �(��&� +� � ������ �� # � ���� � ���������� � � � �(��&� +� � �)� *� %� � ,� %&� + � 6

���� �� � � �����!���� �� ��

#�$ /��� �� �1������ �� ��� ��������� # �� �) ���� ��� �����!� ��� ����� !�%� *��)� (� ��� � ������ �� ��� ����� � � �)��(� &� '��

��� ���������� �� ��� ��B���� �� �� �1������ �� # ��� ��� ��������� �� ��� ������ ����� �. ����� ����1������ �� # ��� �� �� ��� ����

)�% � (�( � &�* � '�) � �

"���������! ! ���� ��� �1������� �� ������

)�%� � (�*� � &��)� � '�(� � � �� )� '� (6� %( � � �� � � �%6

��� )�% � (�( � &�* � '�) � �%6 � ��� �1������ �� # �#�$ /��� ��� ���������� ������������� �� ��� ���� % �� �) ����! �����!� ��� ����� !�%� (� *��)� ��� �� ��� ���������

�� � � �&� '��+� ,�� ��� ��� ��� ����� $ �� % ���� � %�"���������� �� ��� ��� � �1������ ��� % ���� ��� ��������! ���������� ��������������

�% � & � %� �( � ' � (� �* � �+ � *� �) � , � )��� �1�� �������

%� � � �& � %� ' � (��+ � *� , � )�

4��� ���� � 6 ���� ��� ����� ! �� %� "���������� �� � % ���� ��� ����� $�'� ,��)� )� �� %�

���� �� �

>�� ' �� �� ����� �� #����� �� �������$ �� ��� ���� ���� �� ��������� �������� (�' � � � � ������ �� ���� �� ���� ����� � ' ����� � ��!��� ��� ��������! ����� �� ��

(� � � �(%� ��((� �� � � � �(� ��0���� ��� ��� ���� ��� � #�� �� ����$ �� (� � ���� ��� �����

) � � � �(� ��

� �(%� ��

��((� ��

� � � � ��(� ��

� �

����� � ���!��� �� ��� ��� �� 4������7��! ) � � ����

�� � � ) � �) � �

��� �� � � ��� ���� ���!��� ����� �� ��� ��� �� #D��� ����� ���� !���������� �!�������� ��� ������������� �� ���� ����$

:� =� %A 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" -

Page 11: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

������� �� :������ ��� ��� � (� � � ��� � �� � � �� �*� ��B��! ��� ���� ��� � �� (� � ?�� ���� ��������� �� (� �A����

) � � � ��� �� �� � %������ � � ����� ���!��� �� ��� ��� �� �� �������7� ) � �� /��� �� ������

) � �( � ��( � ��( � % � %� % � (

���� ��� ���� ���!��� ������ �� � �� ��� ��� � �������

�� � � ) � �) � � � ��

( �

� �� (

�%(

� �

��3 ������ �� �* )��%��%�������*, �-4 ���%����

8����� �� �*� ������ ��� ��� �� ���� ������ �� ��� ������������ �������� �� ����� �� ����� ������� �������� � ���1����� ��� ��� ��� ����� � �������

� � �%� 6� 6� ������ ��� ���� ����� �� ��� � ����������- � �6� %� 6� ������ ��� ���� ����� �� ��� � ����������4 � �6� 6� %� ������ ��� ���� ����� �� ��� � ����������

���� �� ����� � � ��� �� �� �� �* ��� �� ������� ���1��� �� ��� ����� � ��� �� �� � ��� �-� �-

"���� ��� ����� �� -� 4 ��� ���� ����� ��� ��� ������� �����!����� �� ������ ��� ��������! ��� ��������

� � � � %� - � - � %� 4 � 4 � % ��� � � - � 6� � � 4 � 6� - � 4 � 6

/����������� ��� ����� ��������� ������ ��� � �� �� ������� �� ��� �-4 �������� � �������"�����

� � �%�� �(-� �*4 ��� � � �%�� �(-� �*4

����

�� � � ��% � �%��� ��( � �(�-� ��* � �*�4 ��� �� � ��%�� ��(-� ��*4

����� � � � ������ ���

� � � � �%�% � �(�( � �*�* ��� � � � � � � �(% � �(( � �(*

������� �� "����� � � *�� &-� (4 ��� � � )�� ,-� +4�#�$ �� ��� �� �� ��� �����������! ���������� ��������! �� � � +�� *-� &4#�$ �� ��� *�� (�� ��� ������� � ��� ����� ��� ���� ����

*�� (� � �-�� %*-� '4� � ��,�� %'-� %)4� � �� (--� (64#�$ �� ��� � � �� ������� �����������! ��������� ��� ���� ����

� � � � %(� )6� %) � �)(#�$ �� ��� �� ��B� ��� 1���� ���� �� ��� �� �� ��� 1���� �� ��� ����������

� � -� (&� ) �

*,

%6 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" ?:� =� %

Page 12: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

�� ���1���

����� � � ������ ��������� ��� ����� � ��� � �� �* ���� � ��� ������ �� � ��� �� *� ��� ���������� ������ ��� ����� ������ ��� � ������� � �� �� ��� �� �� ���� �������� ��� ������� ��� �� � � ���� ��� ����������� #�� ����� ���$ ��� �� ��!��� �� ����� ��� ������� ��� ������ � �������

� �

� �

�������� � �� � �� ��� � � �

� �

�������� � ��� ��

���� � ��� � ��� ������ ��� ������� ������� ��� � ��� � ��� ��� �������� �������� ��� �������������� � ��� ������� �� �� ��� ���!���� ������� ���� ��� ������� �� �� ��� ������!���� ����������� ��� ��� ��� ��� ��!��� � �� ��� ������������

4�� ����� � � �%�� �(-� �*4 ��� � � �%�� �(-� �*4� ����

�� � � ��(�* � �*�(��� ��*�% � �%�*�-� ��%�( � �(�%�4

� �% �( �*

�% �( �*

���������� �% �( �*

�% �( �*

��������-� �% �( �*

�% �( �*

���������

���� �� ��� ����� ��������� �� �� � ��� �������� ���� ��� ����

�% �( �*�% �( �*

� �

#����� ������� ��� ��������� �� � ��� � ��� ��������� �� �$ � �������

#%$ :� �� ��� ��� ������ ��� ��B� ��� ������������

#($ :� �� ��� ����� ������ ��� ��B� ��� ��!��� � �� ��� ������������

#*$ :� �� ��� ����� ������ ��� ��B� ��� ������������

4��� ���� �� � � � �����. ����� �� � � ��� ������ ��� �� �� ������ �� �� � ������ �� � ��� ��

������� �� /��� �� � ������ #�$ � � )�� *-� '4� � � (�� &-� *4� #�$ � � �(��%� &�� � � �*� +� '��

#�$ D�) * '

( & �*� �

�� !�� �� � � ��-� *6��� �%(� %(�-� �(6� '�4 � �*-�� ()-� %)4

#�$ D�( �% &

* + '

� ��� !�� �� � � ��'� *&� %&� %(� %)� *� � ��)%� *� %+�

���+�4' ��� ��� ������� �� ��� ����� �� -� 4 ��� � �������

�� - � 4� -� 4 � �� 4 � � � -

-� � � �4� 4 � - � ��� �� 4 � �-���� �� �� ��� ��� ������ ��� -� 4� � � ����� ������������ ����� � ������ 4 ��� ����� 4 ������� �� ������� ������� �� ��� �� ���� �� ��� !� �� ��������� � ��� ����� ���� ��� ��� ������� �� ��� �� ���� �� ���������� ��������� � ��� ��!��� � �� ��� ����� ����

��� ��������� ��������� �� ��� ��� ������� ��� ��������� �� ��� ��������! ��������

������� ��.' >�� �� ��� �� ����� �� �*�

#�$ ��� ����� �� � � �����!���� �� ���� � ��� ��

#�$ ��� ������� ���� �� ��� 22������ �������33

� � �� �

�������� ��� ����� �� ��� �������������� ������ � ��� ����� �� �� ��?"�� /�!� %5)#�$�A

:� =� %A 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" %%

Page 13: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

�� ���� ���� ��� ����� �� �� �� � ���� � ��!��5������ ���� ��� ���� ��� ��������! ������� !� ���� ��!������ �� �� ��

�� � � �� �� ������ � � ��� ��!�� ������� � ��� ��

��5 �&���6 �&7���

��� �� �� ������� ������ � ������� � � /������� � ������� ������ � �� ������� ���� ��� �� ������ ������ ����� �1������ �������� ��� �������������� ��� ������ � �������

��� �� � ��� �� �� ��� ��� �� � � � ��� � � �

��� �� � ��� �� � ��� �� �� ����� �� � ��� �� � ���� ��� �� � ���

�� ������� ��� ���� ������ � ���� ��� ������� ������ ��� 6�. ���� ��� � ��� 6�

��� � ������ ���� ��� ��������� �� �������� ��� �������������� �� ���� ������ ��� ����� �� ����� ����������������. ���� ��

��� 6� � ��� 6� � ��� �� 6� ��� ��� 6� � ��� 6� � ���� 6���� �� ��� � � � ���� �� � ��� ������� ��� 6� � � ����� �� ��� ������ ��� �������

�� ���� ���� ��� �� �� ������� ������ ���� ��� ��� � ��������� �� �������� ��� �������������� �� *�� �� ������� ��B� ��� �� � �� ���� ������ ��� ��� �� 8 �� �� ���� ������

��� ������� ������ �6� %� � ������� � �� �� �� ��� ��������� ������� ����

�( � �� � �6� %��6� %� � ��%� 6� � �% �� � ��%

�������!�� �� ������� ������ � � ��� �� ��� �� ������� �� ��� ����� � ��� �� � ��� 6� � �6� �� � ��� 6� � ��� 6� � �6� %� � �� ��

�!� �"(

%( 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" ?:� =� %

Page 14: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��� ��� � �������� � � �� ��� ����� � � ;� � ��� � � �� � ��� ������� ������� ��� ��� ��� ����������� ��� � �� �� � ���� ��� ������ ���� ��� ��� �� ����� ��� �� ��� ������� �� ������� ������� � �� �� ��� � � �� �� ��� �� ���� �� � ���� ���! ��� ��������� � ��� ��������� � ��� ����( � �%�

�� � � ��� ��� � ��� ��� � �� �� ��� �� � ��� �� � ��� ����� � ��� ������ ��� � ��� ���� ���� ���( � ���� ��� � ���� ����

�� ��� ����� ��� �� �� �� � ��� ���������� �� �

�� � �%� ��� �� � � �� ����

9+����!' ��� ������ � ����������!�%

�� �� ����������� ������ �� �� ��� ����� � � �%� 6� 6� ��"������ %�'�

��2#�: ��-�!+��, %� �#��� �+#��

:������ � ������� ������ � � �� ��� ��� ������ �� � � ������� ��� ������ �

�� � �� �� � �� ��

���� ��� � ��� ������ ��� � �( � �(�( � �( � �(� 4��� ���� � � ���� �� ��� ��� �� �� � ��

��� ������ ���� �� �� ������� � ���� � ������ �� �� ��� �����!��� � 1���� ���� �� ���� 4�����

��� ����

�( � �(

4��� ���� ��� � �1��� �� ��� ���� �� ��� ����� ��� �� �� �(�

"����� � �� 6� ���� ��� �� ��� ��% �� � ��� �� ���� �� �� � � � ��� !� ��� ������� ��� �

��% � ��

���� �

�( � �(� �

�( � �(� ���

�� ���

���� ���%

������� �� "����� � � (� *� ��� � � &� (�� ����

�� � � �(� *�� � �&� (�� � (� &� *�� (� � +� �

�� � �(� *���&� (�� � %6� %&�� )�� '�( � %'� %%��� � (� *� � (� *� ��� �� � &� (� � &� (��

�� &� (�(� *� �

�&� (���(� *���(� *���(� *�� �

)� %-�%*

� )

%*� %-%*�

��� � )� - �

%*

��� ��� �

(&� ) �(-

��2#�: �#+��

;����� ���� ��� ���� ������ � ��� �� ���������� � ����� �� � ����� ����!���� ��� ������������� ��� �� ���������� � ����� �� ��� ������ "���������� �� ��� ��� ����� ��� �� �� ��� ������������� ��� ������� ������ �� �� � ���� �� /�!� %5)#�$� �� ��� � ���� ��� � ��� ������� ���� ������!�� � �� ��� ����� �� ��� ����� ���� ��� ������������� � ������ ��� ������ ���� ��� ��B� ��� ��������������! � � ������ ��� ��� ���

:� =� %A 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" %*

Page 15: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��; ������ ��

��� �� �� ��� 5����� �� ������� ������� ������� � � � ������ ������ ������ F�� � �� ������� ���� ��� ������� �� ��� ������ ��� � �� �� ���� ��� ������� �� ��� ������ �������� ��� ������������� �� ��� ����� �������������� �� ��� !� �� �

��%� �(� � � � � �� � ��%��(� � � � ��� � ��% � �%� �( � �(� � � � � � � �����%� �(� � � � � �� � ���%� ��(� � � � � ���

����� ��� ��� ��� ��� � �����! �� �

������� ��� :������ ����� � � �(� *�� )� �� *� ��� � � �*� (�� &�� )� '�� �� *� ������ � � �(� *�� )� �� *� � �*� (�� &�� )� '�� � �&� �� )� )�� +� '��

�&� (��� � ��&� (���(� *��� �&� (���)� ��� �&� (���*�� � �%'� %%�� %,� %*�� %&� '��

��� )�����* ���1��� ��

:������ ����� � � ��%� �(� � � � � �� ��� � � ��%��(� � � � ��� �� � ��� �� �� �� ������ �� � ���� � ������� ��� ������ �

� � � � �% ��% � �( ��( � � � � � � ��

��� ��������� ������ �� ��� ���� ��� ���� ��� � �� ���� �� � ����� ��� ���� �� � � ������ �

� � � � � �

�%��% � �(��( � � � � � ���� �

��%�( � ��(�( � � � � � ���(

�� ������7� ���� � � � ��� � � ��� ���� ��� ����� � ���� � �� 6 ��� 6 ���� � � 6�

������� ��� :������ ����� � � �(� *�� )� �� *� &�� ��� � � �*� )�� &�� )� (�� �� *� ����� � � � �(� *���*� )�� � �)� ���&�� � �*� &���)� (��

� �(� *���*� )�� � �)� ����&�� � �*� &���)� (��� ��'� %*�� � ��&� (6�� � �(� ('�� � �-� %-�

� � � � �(� *��( � �)� ��( � �*� &��( � )� -� %'� %� -� (& � ')

� �')

� ,

��� ���� ���� ��� ��� � ��������� �� ����� ��������� ����� ��������������� ��� ��� �������� ������� ������ ������� ������ ������� %�( ��� � ��� ���� ��� �� �� ������� � � � � � � � �

� � � � � � ��� ��� ����� ����� ��� "�����7 ���1����� #������� %�*$ ��� 0��B��B�3 ���1����� #������� %�)$ ������� ��� ���� �� ����!��

��#��1 ����#��

������ �� �

���� <�������� ����� �� ��� ��������! ����� ��� �1����

�% � �%� (� *�� �( � �(� *� %�� �* � �%� *� (�� �) � �(� *� %�

8����� ��� �1��� ��� ���� �����������! ������ ��� �1���. ����� ��� �( � �)�

%) 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" ?:� =� %

Page 16: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

���� >�� � � �(��+� %�� � � ��*� 6� )�� � � �6� &��,�� /����#�$ *�� )��#�$ (�� *�� &��

/��� ������� ��� ����� �������������� ��� ���� ��� ����� ���������

#�$ *�� )� � *�(��+� %� � )��*� 6� )� � �'��(%� *� � �%(� 6��%'� � �%,��(%��%*�#�$ (�� *�� &� � �)��%)� (� � ��-� 6� %(� � �6��(&� )6� � ��&��*-� &)�

��$� >�� � �&

*

�)

��

��� � � �%

&

(

��

���� �

*

�%�(

��

��� /����

#�$ &�� (��#�$ �(�� )�� *��

/��� ������� ��� ����� �������������� ��� ���� ��� ����� ����������

#�$ &�� (� � &

&

*

�)

��

��� (

�%&

(

��

�� �

(&

%&

�(6

��

���

(

�%6�)

��

�� �

(+

&

�()

��

��

#�$ �(�� )�� *� ��%6�',

��

���

�)(6

,

��

���

�-*

'

��

�� �

�(*%+

((

��

��

��(� /��� � ��� �� ������ #�$ ��� *� � �(� �� ��� #�$ �)� �� � ��(� *��#�$ "���� ��� ����� ��� �1���� �� ��� �����������! ������ �1��� �� ���� ������ ������!

� � (� * � �� �

"�� � ��� ������ �1������� ��������! � � (� � � %�

#�$ /��� ������� � ��� ����� � �� ������ �)� �� � �(�� *��� ���� �� �����������! ������ �1��� �� ��������� �� ������

) � (�� � � *�

"�� � ��� �1������ �� ���� � � (� � � '�

��.� ����� ��� ����� � � �%��(� &� � � ������ ����������� �� ��� ����� �% � �%� %� %�� �( � �%� (� *���* � �(��%� %��

�� ���� �� ����� � �� ��� ���� � � ��% � ��( � ��* ���� �� �� � � �� ��B����� /��� �� �� �

%

�(&

��

�� � �

%

%

%

��

��� �

%

(

*

��

��� �

(

�%%

��

�� �

�� �� (��� (�� �

�� *�� �

��

��

#�� � ���� ��� ������ �� ����� ����� � ������ ���� � ��� ���� ������! ������ ������������$ "�������������! ������ �1��� �� ���� ����� �� ������

�� �� (� � %

�� (�� � � �(�� *�� � � &

��

�� �� (� � %

�� *� � �*(�� � � )

��

�� �� (� � %

�� *� � �*&� � %6

��� ���1�� ������� �� ��� �����!���� ��� � � � �'� � � *� � � (� ��� � � �'�% � *�( � (�*�

:� =� %A 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" %&

Page 17: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��3� ����� � � �(��&� *� � � ������ ����������� �� �% � �%��*� (�� �( � �(��)��%�� �* � �%��&� +��/��� ��� �1�� ����� ��� �� ������ �1������ ��� ���� �� �� /����

(

�&*

��

�� � �

%

�*(

��

��� �

(

�)�%

��

��� �

%

�&+

��

�� �

�� (�� �

�*�� )�� &�(�� �� +�

��

��

"�� ��� �����������! ������ �1��� �� ���� ����� �� ������

�� (�� � � (

�*�� )�� &� � �&(�� �� +� � *

��

�� (�� � � (

(�� (� � %

� &�� &� � �%��

�� (�� � � (

(�� (� � %

6 � *

��� ����� �1������� 6�� 6�� 6� � *� �������� ���� ��� ��� �� �� �������� ��� � ������ �� ������� � ������� ����������� �� ��� ����� �%� �(� �*�

��� )�����* �����, ���/�<��%���0, ���& �� �

��5� /��� � � � ������#�$ � � �(��&� '� ��� � � �,� (��*�#�$ � � �)� (��*� &��%� ��� � � �(� '��%��)� ,��

0������ ��� �����������! ��������� ��� ����

#�$ � � � � (�,� � &�(� � '��*� � %'� %6� %, � �%(#�$ � � � � ,� %(� *� (6� , � �&

��;� >�� � � �&� )� %�� � � �*��)� %�� � � �%��(� *�� ����� ���� �� ������ �� ��� ��� �������������#�����!����$G

/��� ��� ��� ������� �� ���� ���� �� ������

� � � � %&� %'� % � 6� � � � � *� ,� * � %)� � � � � &� ,� * � 6

��� � ��� � ��� �����!����� � ��� � ��� �����!����� ��� � ��� � ��� ����

��=� /��� � � ���� � ��� � ��� �����!����� ������

#�$ � � �%� ���*� ��� � � �(��&� )�#�$ � � �(� *���)� %� &� ��� � � �'��%� *� +� (���

:������ � � �� �� � � � �1��� �� 6� ��� ���� �� � ��� ��#�$ � � � � %�(� � ���&� � *�)� � �&� � %6� ���� �&� � %6 � 6� �� � � �(�#�$ � � � � %(� *� � %(� +� %6� � +� � +� ���� +� � + � 6� �� � � �%�

���>� /��� �� ������ #�$ � � �*��%(��)�� #�$ � � �(��*� ,��+��/��� ��� �( � � � � � 1�����! ��� ������ ��� �����!� ���� � �

�(

��

#�$ �( � �*�( � ��%(�( � ��)�( � -� %))� %' � %'-� ���� � � %'-

� %*

#�$ �( � )� -� ')� )- � %('� ���� � � %('

%' 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" ?:� =� %

Page 18: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

����� ;����� ���� ��������� � ���7��� ����� � ���� �����! ��� ���1�� ���� ����� �� �� ��� ������������ � �� �����

�� � %

� �

4������7�� #�$ � � �*��)�� #�$ � � �)��(��*� ,�� #�$ � � �%(� (*� � %

)$�

#�$ /��� ��� � � -� %' �

(& � &� ���� �� ��� ���� ���� �� � � &� ��������! �� � �*

&� � )

&$�

#�$ ���� � � %'� )� -� ') �

-*

� ����

�� � )-*

��(-*

��*-*

�,-*

#�$ 4��� ���� � ��� �� ����� � �������� �� � ���� �� � ��� ��� �������7�� ����� ����� ��� ������� � �%( �� 22����� ��������33� ���� �� ��� ��� �� � %(� � �'� ,��*�� ����

�� � *'� ')� - �

%6-

��� �� � ��� � '

%6- �

,%6-

��*%6-

����� >�� � � �%��*� )� ��� � � �*� )� +�� /����#�$ �� �� ����� � � ��� ��!�� ������� � ��� �.

#�$ ������� ��� ��� ���������� �� � ���� �.

#�$ ���� ��� ��� ������� ������� � ��� ��

/��� ��� � � � � *� %(� (, � %-� �( � %� -� %' � ('� �( � -� %'� )- � +)� ����

#�$ �� � � � � ��� � %-

('

+) �

#�$ ������� �� � � � ��( � �

%-

+)�*� )� +� � &+

+)�+'

+)�%**

+)

� � &+

+)�*,

*+�%**

+)

#�$ ���� �� � �� � � ��(��+� *� � )� )-� - �

'(

���$� =�� � ������� %�(� /�� �� �� ��� �� � ��� � �� ��#�$ ��� �� � � � � � �� � � �� #��$ ���� � � � ��� � ��� #���$ � � � � � � ��#� $ � � � � 6� ��� � � � � 6 ��� � � 6�

>�� � � ��%� �(� � � � � ��� � � ��%� �(� � � � � ��� � � ��%��(� � � � ����#�$ "���� �� � � ��% � �%� �( � �(� � � � � � � ���

��� �� � � � ��% � �%��% � ��( � �(��( � � � � � �� � ���� �%�% � �%�% � �(�( � � � � � �� � ��

� ��%�% � �(�( � � � � � ��� � ��%�% � �(�( � � � � � ���� � � �� � � �

#��$ "���� �� � ���%� ��(� � � � � �������� � � � ��%�% � ��(�( � � � � � ��� � ���%�% � �(�( � � � � � ��� � ��� � ��

#���$ � � � � �%�% � �(�( � � � � � �� � �%�% � �(�( � � � � � �� � � � �#� $ "���� �(� � �����!��� � ��� ���� �� ��� ���� ��� �� �� �����!��� � ���� ������ � �����!��� ��

� � � � �(% � �(( � � � � � �( � 6

/����������� � � � � 6 ��� �� � 6 ��� ���� �� ���� �� ��� � � 6�

:� =� %A 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" %+

Page 19: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

���(� =�� � ������� %�* #"�����7$� �� � �� � ���/�� �� ���� ������ � ��� ���! ������� %�(� �� �� �

6 � � �� �� � � �� �� � (�� � �� � ( �� � �� � �� � �� � �( ( � (�� � �� � �(>�� � � �(� � � (�� � ��� � � �(� ����� ��� � �� ���� �� � � ( � � � � � 6� ��� ���� ���� ���1�������� ��������� ������ �� � ��� ���� ����� ��� ������ ���� ��� ����������� ' � �( � )�� � 6 ����1�� ������� �( � )��� ���

)�� � ��( � )�(�(<� ����! � ) !� � � ��� ������

���.� =�� � ������� %�) #0��B��B�$� �� � � � � ��@ ��� "�����7 ���1����� ��� ����� ��������� �� ��� ��� ��������

�� �( � ��� �� � ��� �� � �� � �� � (�� � �� � �� � �� � �( � (�� � �( � �� � ��(

��B��! ��� 1���� ���� �� ���� ��� ���� ��� ������ ���1������

������, �����, /0�����%��� �� �

���� �� �����!��� ������� �� 5����� !��%� �(� � � � � �� ����� � � ����� �� � ��� �� 5������ � ��%� �(� � � � � �� ����� � � ����� #�����$ ���� ��� ���!�� � �� ��� ����� "��%� �(� � � � � ���

���3� /��� ��� ����� � ��������� ���� ��� �������� ���� �!���� !$��

��� ��� ������#�$ !�%��(� )� ��� $�'� %��&� �� �*� #�$ !�(� *��'� &� ��� $�+� %� )��,� �� �)�#�$ � � !$

�� � $� ! � �'� %� %� ��(�� �&� )� � �&� *��-�#�$ � � !$

�� � $� ! � �+� (� %� *� )� '� �,� &� � �&��(� %6��%*�

���5� /��� �� �1������ �� ��� ��������� # �� �) ���� ��� �����!� !�*��)� %��(� ��� � ������ ��� � �(� &��'��*��

��� ���������� �� ��� ��B���� �� �� �1������ �� # ��� ��� ��������� �� ��� ������ ����� �� ��� ���1������ �� # � �� ��� ���� (�% � &�( � '�* � *�) � �� "�������� ! ���� ��� �1������ �� ������ � � �('���� �� �1������ �� # � (�% � &�( � '�* � *�) � �('�

���;� /��� �� �1������ �� ��� ����� # �� �* ���� ������� !�%��*��)� ��� � �������� �� ��� ����� # ����������� � ��� �1������ *�� '�� &� � (�

��� ����� # ��� # � ��� �������� �� ��� ��� �� ����� ������ ��������� ��� �������� �� ������������ #����������������$� ����� �� �1������ �� # � �� ��� ���� *�� '�� &� � �� "�������� ! ���� ��� �1������ �� ������� � %� ���� �� �1������ �� # � *�� '�� &� � %�

���=� /��� � ���������� ������������� �� ��� ���� % �� �) ����! �����!� !�)��(� *� %� �� ��� ����������� � � �(� &��+� ,��

���� % ����� �� ��� ����� & ���� ���� ����& � ! � � �� �� � �� � �� �� %� � � ��� � ���

����� ��� ��������� ��B� �� ��� ���� ����� ��� �� ������

�% � )� ( � �( � �(� ( � �* � *� + � �) � %� , �� %� � � �)� ( � �(� ( � *� + � %� , �

%, 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" ?:� =� %

Page 20: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

���>� >�� " �� ��� ��� � (� � � � (� * � (� *� ( � &� �� �)� ����� 6 � � )�

#�$ /��� ��� ����� ! �� " �����������! �� � (�

#�$ /��� ��� ������� ����� $ ��� �������� ����� $ � �� "�#�$ /��� ��� ���� ���!��� ����� � �� ��� ��� � " ���� � (�

#�$ "�������� � ( ���� (� � �� !�� ! � � �(� � �)� )� ,� -��#�$ ��� ��������� ���!� ���� � 6 �� � )� ����� $ � � �6� � �6��(� 6� &� ���

$ � � (�)� � �%'� %6� ')� (%��#�$ ��B� ��� ���� ��� � �� (� �� ���� �� �� ���� ��������� �� (� �� �� ������ � ����� ) ���� � ���!��� �� ���

��� ��

) � � � �(� ��

� �( � *� * (� ( �4�� ��� ) ���� � (. ���� �� �������� � ( �� ��� �1������ ��� ) � � �� ������) � ) �(� � �)� *� %(� )�� ���� �������7� ) �� ������ ��� ������ ���� ���!��� ����� �� �� �� �

) � %'� -� %))� %' �

%,&

��� � � )

%,& �

*%,&

�%(%,&

�)%,&

� �

��%��%������� )������ �� �**, �-4 ���%����, ���� �����

����� >�� � � (�� *-� )4� � � *�� -� (4� � � �� &-� *4� /����#�$ �� �� #�$ (�� *�� )�� #�$ � � � ��� � � �� #�$ � ��� ��

����� ��� ���������� �� �� -� 4 ��� ��B� ��� ��������� �� � ����� �� �*�

#�$ �� �����������! ���������� �� !�� �� � � &�� (-� (4�#�$ /��� ������� ��� ����� �������������� ��� ���� ��� ����� ���������

(�� *�� )� � �)�� '-� ,4� � ��-�� *-� '4� � �)�� (6-� %(4�� ��� %+-� ('4

#�$ 0������ �����������! ���������� ��� ���� ����

� � � � '� *� , � �& ��� � � � � (� %&� %( � �%#�$ ��� ���� � ��� 1���� ���� �� ��� �� �� ��� 1���� �� ��� �����������

� � )� -� %' �

(-

��� � �

-� %� ) �%)

����� /��� ��� #����������$ �1������ �� ��� ���� %�

#�$ �����!� ��� ����� !�%� *� (� ��� $�(� &��'��#�$ ���������! ��� ����� !�%��(� )� ��� ������������� �� ��� ����� # !� �� � ��� �1������

*�� &�� +� � %&�

#�$ /��� ��� � � !$�� � $� ! � �%� (��,� � �� (-� ,4� ����%� � � � � %� ( � *� �, � (� � � � %��� �( � *�-� ��, � (�4

#�$ "���� % � ������������� �� # � ��� ���� % � �� ��� ��� ��������� � ��� ������ ����� � � *�� &-� +4�� # � ���

%� � � �* � %� & � (� + � )� � �* � %��� �& � (�-� �+ � )�4

:� =� %A 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" %-

Page 21: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

���$� >�� + �� ��� ������ ��( � (�� � %' �� �*�

#�$ /��� ��� ������ ����� ���� �� �� �� ��� ������ +�#�$ /��� ��� ���!��� ����� # �� + �� ��� ����� !�%� (� *��

#�$ ��� ������� ��� ��� ������ ����� �� � ������ (��� �� �� � 6 �

���� �� �� � (��� (�-� (�4

����� (�� (�� (� ��� ��� ������� ���� ��� �� D��! (��� �� �� � ��( � (��� %'� �� ������(� � �(� (� � (��� (�� (� � (�

��� ���� �� �� � �(�� �(��� (��-� (�4�#�$ ��� ������ �� ��� ������ + �� ��� ����� ! �

��!� � ��%� (� *� � )�� %6-� )4����� � � (�� &-� (4 � ��� ������ �� + �� !� ��� �� �1������ �� # �� ��� ���� (�� &�� (� � ��"�������� ! �� ��� �1������ �� ������ � � %,� ��� ��� ���!��� ����� # �� + �� ! � (�� &�� (� � %,�

���(� 9 ������ ��� ��������! ����������� ��� ��!��� � �� ����������� �� ����� ����

#�$ #�$* )

& -

��������� #��$ ( �%

) *

��������� #���$ ) �&

* �(����

����#�$ #�$ � * '

) (

��������� #��$ � + �&

* (

��������� #���$ � ) �%

, �*����

����

D�� �

� �

�������� � �� � �� ��� � � �

� �

�������� � ��� ��� ����

#�$ #�$ (+� (6 � +� #��$ '� ) � %6� #���$ �,� %& � +�

#�$ #�$ ()� ' � %,� #��$ �%&� %) � �(-� #���$ �,� %( � )�

���.� >�� � � (�� *-� )4� � � *�� -� (4� � � �� &-� *4�/���� #�$ �� �� #�$ �� �

#�$ D�( �* )

* % �(� �

�� !�� �� � � �'� )��� �%(� )�-� �(� -�4 � (�� %'-� %%4

#�$ D�( �* )

% & *

� ��� !�� �� � � ��-� (6��� �)� '�-� �%6� *�4 � �(-�� (-� %*4

���3� /��� �� �� ������ #�$ � � �%� (� *�� � � �)� &� '�. #�$ � � ��)� +� *�� � � �'��&� (��

#�$ D�% ( *

) & '

� ��� !�� �� � � �%(� %&� %(� '� &� ,� � ��*� '��*�

#�$ D��) + *

' �& (

� ��� !�� �� � � �%)� %&� %,� ,� (6� )(� � �(-� ('��((�

���5� /��� � ���� ����� � �����!���� �� � � �%� *� )� ��� � � �(��'��&��/��� ��� �� �� ����� � �����!���� �� � ��� ��

��� ����% * )

( �' �&� �

!� � �� � � ��%&� ()� ,� &� �'� '%� � �-� %*��%(�4������7� �� � �� !�� � � �-�

*-)

� %*�*-)

� �%(�

*-) �

(6 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" ?:� =� %

Page 22: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

���;� >�� � � ��%� �(� �*� ��� � � ��%� �(� �*� � �� � � ��(�* � �*�(� �*�% � �%�*� �%�( � �(�%��=�� ��

#�$ �� � � �����!���� �� � ��� � ?������� %�&#�$A

#�$ �� �( � �� � ���� � �� � �� � ��( #>�!���!�3 �������$�#�$ �� �� �

� � ��� �� � �%��(�* � �*�(� � �(��*�% � �%�*� � �*��%�( � �(�%�� �%�(�* � �%�*�( � �(�*�% � �%�(�* � �%�*�( � �(�*�% � 6

��� �� � � �����!���� �� �� "�������� �� � � �����!���� �� ��

#�$ �� �� �

�� �( � ��(�* � �*�(�( � ��*�% � �%�*�( � ��%�( � �(�%�( �%��� � ���� � �� � �� � ��( � ��(% � �(( � �(*���(% � �(( � �(*� � ��%�% � �(�( � �*�*�( �(�

9������� �� ��� ��!��5���� ��� �� #%$ ��� #($ �������� ��� ��������

�&���6 �&7���, ������ ��

���=� "����� � � &� *� ��� � � (� )�� /���� #�$ �� �� #�$ �� �� #�$ ���D� ��� ������� ���� �� ��!���� ��!����� ���� �( � �% �� ������ � ����� �� ��� ������� ���� �� ���

#�$ �� � � �&� *�� � �(� )�� � +� �

#�$ �� � � �&� *�� � �(� )�� � &� *�� (� )� � *� +�#�$ �� � �&� *���(� )�� � %6� %)�� %(�( � %6� %)�� %( � ((� %)�

��$>� "������� #�$ �&� *���(� +��� #�$ �)� *��(� #�$ �%� (��*�#�$ �&� *���(� +�� � %6� '�� *&�� (%�( � *%� (-�#�$ �)� *��( � %'� ()�� -�( � +� ()�#�$ �%� (��* � %� '�� %(�( � ,�* � %� '�� %(� ,� � �%%� (�

��$�� "������� #�$ �6� �*� �)� #�$ �&� �'� �+� �,� #�$ �*-� �%+)� �(&(� �*%+�

#�$ �6 � %� �* � �(��� � ��%���� � ��� �) � ��(���(� � ��%���%� � %�

#�$ �& � ��)���� � �%���� � �� �' � ��)���(� � �%���(� � �( � �%� �+ � �* � ��� �, � �) � %�

#�$ D��! �) � % ��� � � �)��� � ��)���� � %��� � ��� �� ��� ��� �������� � ) �� ������ ��� ��������� ��

�*- � �)�-��* � ��)�-�* � %-�* � �* � ��� �%+) � �( � �%� �(&( � �6 � %� �*%+ � �% � �

��$�� /��� ��� ������� �����!��� �� ���� �� ��� ��������!�#�$ '� )�� +� &�� )� �� �*� �� #�$ '� �*� )�� �-��#�$ '� )� � '� )�� +� &� � +� &�� )� � � )� �� �*� � � �*� ��

#�$ �' � '� �* � �*� )� � �)�� �-� � -��

#4��� ���� ��� �����!��� �� � ���� ������ � ��� ���!���� ������� ��� ��� �����!��� �� � ���� ���!���� ������� ��� ��!��� � �� ��� ���!���� �������$

��$$� /��� ��� ��� ��� ���� � � *� )��/�� � � �� ��� �� ��� � �( � �( ��� � �

��� �

�( � �(

��� � -� %' � (&� ��� �(&

� &

:� =� %A 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" (%

Page 23: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��$(� "�����(� +�&� *� �

�� ������ � �������� ��� �� ������� ������� ������� ���� ��������� ��� ����������� � ��� ��������!��� �� ��� ������������

(� +�&� *� �

�(� +���&� *���&� *���&� *�� �

�%%� )%�*)

� � %%*)

� )%*)�

��$.� =�� �� /�� �� ������� ������ �� � � � #�$ �� � � ��� ��� #��$ �� � �� ��� #���$ �� � ��

"����� � � �� �� ��� � � �� �� ����� �� �� �� � � ��

#�$ �� � � ��� ��� � ��� ��� � ��� �� � ��� ���� ��� �� � ��� ��� � �� �� ��� ��

� ��� ��� � ��� ��� � ��� ��

#��$ �� � ��� ������ ��� � ���� ��� � ��� � ����� ���� ��� � ��� � ���� � ��� ������ ��� � �� ��

#���$ �� � �� �� � �� �� � �� ����� � �� �� � �

��$3� =�� �� /�� �� ������� ������ ��� � � ���� � �������@ #��$ �� =������ %�*&�

����( � �������� � ������� ��� � ������� ��� � ���(���(��� 1���� ���� �� ���� ��� !� � � ��� ������ ������

��$5� =�� �� /�� �� ������� ������ ��� � � ��� �� � ��� � ����"����� � � �� �� ��� � � �� �� ����� �� �� �� � � �� :������ ��� ����� � � ��� �� ��� � � ��� ��

�� �(� 4��� ����

��� ��( � �(

�� �� ��� �

�( � �(

�� �

���

��� �� � ���� �� � ��� ���� ���� ��( � ��� ��(

� ��� �� �� �� � �� �

@ 0��B��B�3 ���1����� #=������ %�%&$� �� � � � � �� ��� ���� �� � �� � � � � � � ��� � ���

��$;� /��� ��� ��� ������� � � � ��� � � � ������ #�$ � � �%� (�� *� ��� � � �)� (�� &� '���#�$ � � �*� (�� )�� %� '��� � � �&� �� (� *�� +� (���

;����� ���� �����!��� �� ��� ����� ����� ������ �� ��� ��� �������

��%� � � � � �� � ��%� � � � ��� � �% ��% � � � � � � ��

#�$ � � � � �%� (���)� (�� � �*� ���&� '��� �%� (���)� (�� � �*� ���&� '�� � �%6�� -� (*� � -� %*�

� � � � �)� (���%� (�� � �&� '���*� ��� �)� (���%� (�� � �&� '���*� �� � %6�� -� (*� � -� %*�

#�$ � � � � �*� (���&� �� � �)���(� *�� � �%� '���+� (��� �*� (���&� �� � �)���(� *�� � �%� '���+� (�� � (6� *&�

� � � � �&� ���*� (�� � �(� *���)�� � �+� (���%� '��� �&� ���*� (�� � �(� *����)�� � �+� (���%� '�� � (6� *&�

�� ���� ���� � � � � � � �� ��� ���� ���� �� !������� � ��� �� =������ %�)6�

(( 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" ?:� =� %

Page 24: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��$=� >�� � � �+� (�� (� &�� ��� � � �%� �� �*� '��� /����#�$ �� �. #�$ (��. #�$ �*� ���. #�$ � � �. #$ � ��� ��#�$ �� � � �+� (�� %� �� (� &�� *� '�� � �,� �� �%� ��#�$ (�� � �%)�� )�(� )�� %6�(� � �)� %)�� �%6� )��#�$ �*� ��� � �*� *�� �� �(� �-� %,�� *�� '�(� � �)� (�� �%&� %&��#�$ � � � � �+� (���%� �� � �(� &����*� '��

� �+� (���%� �� � �(� &����*� '�� � &� -�� *'� *� � �*%� %(�#$ � �

+( � ��(�( � (( � &(

,(

��� � �%( � %( � ��*�( � ��'�(

)+

��(>� =�� �� /�� �� ����� �� � � ��� �� ����� � � � #�$ � � � � � � �� #��$ ���� � � � ��� � ���#���$ � � ���� � ���� � ���

"����� � � ��%� �(� � � � � �� ��� � � ��%��(� � � � ����#�$ D��! ��� ��������� �� ��� �����!����

� � � � �%��% � �(��( � � � � � ��� � �%��% � �(��( � � � � � ���

� ��%�% � ��(�( � � � � � ��� � �% ��% � �( ��( � � � � � � �� � � � �#��$ "���� �� � ���%� ��(� � � � � ����

���� � � � ��% ��% � ��( ��( � � � � � �� �� � ���% ��% � �( ��( � � � � � � ��� � ��� � ��#:������ ���� ������� %�( �� ����� �� ��$

#���$ D��! #�$ ��� #��$�

� � ���� � ���� � � � ��� � �� � ���� � �� � ���� � ��

��22#�����+�� ����#��

������ �� �

��(�� >�� � � �%��(� )�� � � �*� &� %�� � � �(� %��*�� /����#�$ *�� (�. #�$ &�� *�� )�. #�$ � � �� � � �� � � �. #�$ �� �.#$ �� �� ����� � � ��� ��!�� ������� � ��� �. # � $ ���� ��. #�$ ������� ���

��(�� ;����� =������ %�)% ��� ����� � �%

*

�)

��

��� � � (

%

&

��

��� � �

*

�('

��

���

��($� >�� � � �(��&� )� '��*� ��� � � �&��(� %��+��)�� /����#�$ )�� *�. #�$ &�� (�. #�$ � � �. #�$ � ��� �. #$ ������� ��.# � $ ���� ���

��((� 4������7� ���� ������

#�$ � � �&��+�. #�$ � � �%� (��(� )�. #�$ � � %

(�� %*�*

)

� �

��(.� >�� � � �%� (��(�� � � �*��%(� )�� ��� � � �*�#�$ /��� �� �� �� �� ��#�$ 8���� ���� �� � ���� ��� �� � � � � ��

��(3� /��� � ��� � ������

#�$ ��� �� %� � ��� (� '�. #�$ ��(� �� � ��%��(��

:� =� %A 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" (*

Page 25: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��(5� /��� �� �� � ����� ��� �� %� �� �� � �(�� �� )� *���

��(;� ����� � � �(� &� � � ������ ����������� �� �% ��� �( ������#�$ �% � �%� (� ��� �( � �*� &�.#�$ �% � �*��)� ��� �( � �(��*��

��(=� ����� � �-

�*%'

��

�� � � ������ ����������� �� �% �

%

*

*

��

��� �( �

(

&

�%

��

��� �* �

)

�(*

��

���

��.>� /��� � � ���� � ��� � ��� �����!����� ������

#�$ � � �*� ���(�� � � �'��)��*�.#�$ � � �&� ���)� (�� � � �%��*� (� (��.#�$ � � �%� +� � � (� �(�� � � �*� ���*� ���

��%��� ������, /0�����%���, ����� �� �

��.�� /��� ��� ����� � ��������� ���� ��� �������� ���� �!���� !$���� ��� ������

#�$ !�(� *��+� ��� $�%��'��&� �� �*.#�$ !�%��,��)� '� ��� $�*��&� (��)� �� �)�

��.�� /��� �� �1������ �� ��� ��������� # �� �) �����

#�$ ������� !�%� (��*� (� ��� � ������ �� � � �(� *��&� '�.#�$ ������� !�*��%� (� &� ��� � �������� �� (�% � *�( � &�* � +�) � )�

��.$� /��� � ���������� ������������� �� ��� ���� �� �) �����

#�$ ��� �����!� ��� ����� !�%� (� %� (� ��� $�*��&� +��-�.#�$ ��� �����!� !�%� %� *� *� ��� � ������������� �� ��� ��������� (�% � )�( � '�* � ,�) � &�

��%��%������� )������ �� �**, �-4 ���%����

��.(� H� �� � � *�� )-� (4� � � (�� &-� *4� � � )�� +-� (4� /����#�$ (�� *�. #�$ *�� )�� (�. #�$ � � �� � � �� � � �. #�$ �� �� ��

��..� /��� ��� �1������ �� ��� ����� # �

#�$ ���� ������ � � *�� )-� &4 ��� ���������! ��� ����� !�%� (��*�.#�$ �������� �� )�� *�� (� � %% ��� ���������! ��� ����� $�(��%� *��

��.3� /��� ��� #����������$ �1������ �� ��� ���� %�

#�$ �����!� ��� ����� !�(� &��*� ��� �� ��� ��������� �� � � )�� &-� +4.#�$ ������������� �� ��� ����� (�� *�� +� � ) ��� ���������! !�%��&� +��

��.5� :������ ��� ��������! ��� � " �� �* ����� 6 � � &�

(� � � *�� (-� �( � *�4#�$ /��� ��� ����� ! �� " �����������! �� � (�

#�$ /��� ��� ������� ����� $ ��� ��� �������� ����� $ ��#�$ /��� ��� ���� ���!��� ����� � �� ��� ��� � " ���� � (�

() 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" ?:� =� %

Page 26: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��.;� :������ � �� ��! ��� ���� ������� �� ���� � !� �� � ,� � � (�� *-� * 4� ?���� ) � � � �,� ��� ��� �� � � �) � ��� ������� ������� ��� ��� ������ ��� ������������ �� �A ���� � %� ����

#�$ �������. #�$ ������ �. #�$ ���� �. #�$ ������������ � �� �

��.=� /��� � ������ ����� � ��� ��� ���!��� ����� # �� ���� ������ �� ��� !� �� ������

#�$ ������ �(�� *�� � (6 ��� ����� !�%� *� (�.#�$ ������ �( � *�( � &�( � %'6 ��� ����� !�*��(� %��

���� �����

��3>� 9 ������ ��� ��������! ����������� ��� ��!��� � �� ����������� �� ����� ����

#�$( &

* '

��������� * �'

% �)����

����� �) �(+ �*

��������

#�$ � ' )

+ &

��������� � % �*

( )

��������� � , �*

�' �(����

����

��3�� H� �� � � *�� )-� (4� � � (�� &-� *4� � � )�� +-� (4� /����#�$ �� �� #�$ �� �� #�$ �� ��

��3�� H� �� � � �(� %� *�� � � �)��(� (�� � � �%� %� &�� ����#�$ �� �� #�$ �� �� #�$ �� ��

��3$� /��� ��� ����� ) �� ��� �������������� ������ � ��� ����� �� ��� ���

#�$ =������ %�'6� #�$ =������ %�'%�

��3(� /��� � ���� ����� � �����!���� ���

#�$ � � �%� (� *� ��� � � �%��%� (�.#�$ � � *�� -� (4 ��� � � )�� (-� 4�

��3.� =�� � ��� ��������! ��������� �� ��� ��� ��������

#�$ �� � � ���� �� #�$ �� ��� �� � ��� �� � ��� ��#�$ �� � � 6 ��� �� ����� � #$ ��� �� � � � ��� �� � ��� ��#�$ ���� � � � ���� �� � �� ���� # � $ ��� �� � � � �� � ���� �� � ���

�&���6 �&7���

��33� "�������

#�$ �)� +���-� (��. #�$ �*� &��(. #�$%

)� +�. #�$-� (�*� &�. #$ �%� ��*�

��35� "������� #�$%

(�. #�$

(� *�+� *� . #�$ �%&� �(&� �*). #�$

%

*� �

� (�

:� =� %A 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" (&

Page 27: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��3;� >�� � � (� &� ��� � � +� *�� /����#�$ �� �. #�$ ��. #�$ ���. #�$ ��� ��. #$ ���� ����

��3=� "��� �����

#�$ ;� � � %(��� ��� #�$ �� � � %

(��� ��$ #�$ �� � 6 ������ � � 6 �� � � 6�

������ ��

��5>� >�� � � �%� +�� (� '�� ��� � � �&� (�� *� )��� /����#�$ �� � #�$ �*� ��� #�$ (��� �)� +��� #�$ � � � #$ � ��� ��

��5�� =�� �� /�� �� ����� �� ��� �� �

#�$ ��� �� � � � � � �� � � �� #�$ � � ��� �� � � � �� � � ��

��5�� =�� � ���� ��� ���� �� ����� ��� ��������! ����

�4%� /�� �� ����� �� � � 6. ��� � � 6 �� ��� ��� �� � � 6�

�4(� /�� �� ����� � ��� ������� ������ �� �� � ������4*� /�� �� ����� � ��� �� �� � � � � ��

%� ?�� �� ��22#�����+�� ����#��

��(�� #�$ ��*��%'� )�. #�$ #'�%�*&$. #�$ �*� %(� ,. #�$(%

*&

%)

.

#$ �*� (%

*&

. # � $

'(

. #�$ � *

*&�*� &� %� � �� -

*&� � %&

*&� � *

*&$

��(�� #:����� �����$ #�$ ��%� +��((�. #�$ ��%� ('��(-�. #�$ �%&��(+� *).#�$

('

*6

. #$ �%&��

('

*6 �. # � $

,'

. #�$ � %&

*6� � ��%�� %

(�� &

(�

��($� #�$ ��%*��%)� %*� )&� 6�. #�$ �(6��(-� ((� %'��(*�. #�$ �'. #�$-6

-&

#$ � '-&�. # � $

%'+

��((� #�$ �&� +'

� -�

+'

�. #�$ �%&� (&�� (

&� )&�. #�$ �'�

%**

��) %**

� -

%**

��(.� #�$ *� %*�%(6

� -

��(3� #�$ � � �*� � � &. #�$ � � 6� � � 6� ��� � � %� � � (

��(5� � � �*� � � *� � � *(

��(;� #�$ � � &�% � �(. #�$ � � %'�% � (*�(

��(=� � � *�% � �( � (�*

��.>� #�$ '. #�$ *. #�$ *(

��.�� #�$ � � ��%��-� (�. #�$ ?(� *� '��%6A

(' 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" ?:� =� %

Page 28: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��.�� #�$ (�% � *�( � &�* � '�) � *&. #�$ (�% � *�( � &�* � +�) � �%'

��.$� #�$ �( � %� �+ � (� ' � %� �%% � (�. #�$ �( � %� ) � %� ' � *� �, � *�

��.(� #�$ �(*-� %*4. #�$ *�� '-� %64. #�$ �(6��%(� *+. #�$(-

*,

'-

��..� #�$ *�� )�� &� � �(6. #�$ )�� *�� (� � �%

��.3� #�$ �) � (� �& � &� + � *�. #�$ �( � %� �* � &� + � +�

��.5� #�$ ! � (�(� � ,�� )-� 4. #�$ $ � (�6� � �*4� $� � (�&� � %(&�� (&-� +4.#�$ � � �'�� (-� 4��

)%

��.;� #�$ �� -� (4. #�$ (�� *-� (4. #�$%+

. #�$ (�� '-

��.=� #�$ - � '�� +-� -4� '�� +�� -� � )&. #�$ - � '�� %(-� %64� *�� '�� &� � %'

��3>� #�$ �*��'� ('. #�$ �(��%6� *)

��3�� #�$ (�� %*-� (*4. #�$ �((�� (-� *+4. #�$ *%�� %'-� '4

��3�� #�$ �&� ,��'�. #�$ �(��+� %�. #�$ ��+��%,� &�

��3$� #�$ %)*. #�$ %+

��3(� #�$ �+� %��*�� &-

. #�$ �&�� %%-� (4��

%&6

��33� #�$ &6� &&�. #�$ �%'� *6�. #�$ %'&�)� +��. #�$ %

(�%� *��. #$ �(� (�

��35� #�$ � %(�. #�$ %

&,�&� (+��. #�$ �%� ���%. #�$ %

&6�)� *��

��3;� #�$ -� (�. #�$ (-� (-�. #�$ %'%��%� )%��. #�$ (� &�� +� *�. #$

(-

&,

��3=� #�$ #� . �� �� � 6� ���� ���� � ������ � �6� � 6

��5>� #�$ �'� &�� &� %6��. #�$ ��)� ((�� %(� %'��. #�$ ��,� )%�� �)� **��.#�$ %(� (�. #$

-6

&)

:� =� %A 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" (+

Page 29: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

2. Algebra of Matrices Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

������� �

��� � �� ��� ����

��� ����������

���� ����� ������ ��� ������ ��� �� ���� �������� ���� �� ���� ��� ������ ��� ����� �� ���� ��� ���� �� ����� �� ��� ��� ����� �� ��� ��������� ��� ������ ���������� �� ��� ��� ����� �� ���� �� ���������� ������ �� ���� �������� ��� ��� ��������������� �� ��� � �������� ������ ��� ���� �� ��� �� �� ������� ������ ����� ���������!��� �������� �� ��� ������� ���� �� ""���� �� �����##� ""���� �������������##� ��� ""������������##� ��� � ����� �� ��� ������ ����� ��� ������ $� �� ��� ����� �� ������� �������� ���� �� �� ����� ��� �� ���� �� �� �� ���� �� ���� �� ������ �� ��� �������

�� ���� �� �� ������ ���� ��� ��� ��� ������� ��� �%�� ��� �� �� ����� �� � ������ ������� � ����� &����� ������� �� ���� �� �� �� ������ ���� � �� �� �� ��� ��

��� � ������

' ��� � � ���� ���� � �� ������� � ��� � � ���� � �� ��������� �� � ���� ��� ��� �� ������������� ����� �� �� �������� ���(

� �)) )* � � � )�*) ** � � � *�� � � � � � � � � � � ��) �* � � � ��

����

����

�� ���� �� ���� � ����% � � �� � ���+����� ����� �� ������(

�))� )*� � � � � )��� �*)� **� � � � � *��� � � � � ��)� �*� � � � � ������ �� ������ �� � � �� � ������ ����� �� ������(

))*)� � ��)

����

�����

)***� � ��*

����

����� � � � �

)�*�� � ���

����

����

&�� ���� �� ���� �� ����� �� �,����� � �,�������� ����� �� �� ��� ������ �� - ����������� ���� � ����% �� ������ ����� � � � ���

*.

Page 30: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

2. Algebra of Matrices Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

' ����% ���� � ��� ��� � ������� �� ����� �� � �� � ����%� ����� � � �� �� ��� �� ����� ���� � �� ����� �� � �� �� �� ����%� ��� ������ � ��� � � ����� ����� � � �� �� ��� ��� �� �����+ ��� �� ��������� ����� � ����� ���� �� ������� �� ��� � � � ������ �� �������� �� ������ �� �� ��������� �� �� ��� ��������� ��� �� ������

' ����% ���� ���� �� �� �� ����� � ��� ��� � � ��� ������ ��� � ����% ���� ���� �� ������ ������� � ����� ��� � � ����� ������ ' ����% ���� ���� � ��� +� �� ����� � ���� ��� � ��� ����������� � ����� �� /�

0����� ���� ���� � ��� �� ����� � ����� ��� ��� �� ��� � ���� �� � ��� �� ���� ��'���� ������ ������ ���� ���� � ��� �����% ����� � ����� ������ ��� �� ��� � ���� ��� ��� �� ���� �� ���� �%� ���� � ������ ������ ���� ���� �� ��� �����% �������

������� �

�� �� ���� ��� ��� � � ) �1 2

/ � �*� �

�� � *� � ����%� 3�� ��� � �)��1� 2� ��� �/� ���*�� ��� ���������� �

)

/

� ��

�1�

� ��

2

�*� �

��� �� *� 1 +� ����% �� �� ����% / � / / / /

/ / / /

� ��

�� ��� �� �� �� � ���� ����

� � *� �

� � � � � �

� �� � 4

) 2

� �

5� �������� �� ������� �� ������� �� ��� ��������� ���� ���� � ����� ����(

� � � �� � � � � )� *� � � 4� � � � � 2

������ �� ���� ����� �� �������� ����� � � *� � � )� � � 1� � � �)�

��� � ���� ����� � �� � � �������� ����

6� � � � �� ��� � � �� �� � ��� ������ ���� �� ��� ��+� ��� � � � ������� �� ��� �� � ����� ����� � �� �� �� ����% ������� �� ����� ��������� ����� ��� � ��� �� ���� ���

� � �)) �)) )* �)* � � � )� �)�*) �*) ** �** � � � *� �*�

� � � � � � � � � � � ��) ��) �* ��* � � � �� ���

����

����

�� ������ �� �� ����% � �� � ����� �� ����� � � � � ������ ��� �� �� ����% ������� �� ���������� ��� ���� �� � �� �� ���� ���

�� ��)) �)* � � � �)��*) �** � � � �*�� � � � � � � � � � � �

��) ��* � � � ���

����

����

$��� ���� � � ��� �� � ���� � � � ������� - ���� ���

�� � ��)�� ��� � � � � � ������ ����% �� �� ����� �� ���� �� �� �� ����% �� ��� �� ����% � � � �� ����� �� � ������� �� � ����� �� ��� �� ������ ���� ������ ��+� �� ��� �����

�7'8� *9 '6:;5<' $ 0'�<3�;� *=

Page 31: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

2. Algebra of Matrices Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

������� �� 6� � � ) �* �

/ 1 2

� ���� � � 1 > .

) �� �4� �

� ���

� � �) 1 �* > � .

/ ) 1 ���� 2 ��4�

2 1 ))

) ) �*

�� ���)� ���*� ������/� ��1� ��2�

� �> =

/ )* )2

*� � �� �* �1 >

/ . )/

�)* �). �*1�� = *)

�)/ �** �).�� )4 �)

�� ����% *� � �� �� ����� � � ��� ��� �� �� �� � ��� ��

5���� ������ �� ������ ��� �� �������� �� ����% �������� ��� ����� �������������� �������

������� ���� ������ ��� ������ ����� ����� �� ��� ��+� ��� ��� ������ � ��� � � ���(

��� �� �� � � � �� ��� ��� ��� �� � �� ���

���� � / � / � � �� ���� �� � �� � �� � ��

����� � ���� � ���� � � /� ����� ��� �� � ��� ������� � � � � � ������ ) � � � ��

&�� ��� ���� �� / �� ���� ��� ����� �� �� �� +� ����%� '���� �� ��� ��� ����� ��� ��� �� ������

�) �* � � � ��

���� �� �������� ��� �� ��� ��� ��� ���� �� �� �� �� �� ������� ������ ���� ������� ������� � ���� ���

� � � *�� � � � � ��� � � �

��� �� ����� ���� �� ���� *�) ���� �� ������ ���� �� �,���� �� ���� ���� �� ��� ����% �������

� ����� �� 8���� *����$��� �� ��������� ���� ���� *�) �� ������ ��� ���� )�) �� ������ 3� ����� ��

���� �������� �� ������ ��� � ���� �� ����+������ �� �� ��������� �������� ��������

��� ��� ���� ������

5�� � ��� ����% ��������������� �� ���� � ��������� �� ��� ������� �� ����� �� ������ ���� :? ������� ��� �� ����

������ � ��� �� �� �� ���� %������ �������� �� ��� �� ��� �� %������

����)

� ��� � ������������

��) � ���

��� �� �������� ����� � ��� � �� � � ) �� � ���� �������� � �)�

��� � �� � � * �� � ���� �������� � �*�� ��� ��� ���� �� � �)�� �������� � �)� � �*�

�/ '6:;5<' $ 0'�<3�;� @�7'8� *

Page 32: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

2. Algebra of Matrices Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��� � �� � � � �� � ���� �������� � ���� ��� ��� ���� �� �� ������ ���� ��������

� �)� � �*� � ���- ������� ���� ����� ����� � ������ �� ���

� �)� � �*� � � � � ���$��� ���� �� ��� ��� � ����� �� ���� �� � �� ) ����� � ��� �� �� ��� � �� ����� �� �������� ) ��� � � ������ ��������� �� ����� ��� ����� ������� $�� ���� ������� ��� �� ������ � ��� ��

- ���� ����+ �� �������� �� ������� �� ��� �� �� ��� ��� ��� �) �� ��� ��� �*����� ��� � ���

��*���)

� ��� � � ��)� � ��) )� � ��) *� � � � � ��*�

������� ��

���2��)

�� � �) �* �� �1 �2 ����� �)

� � )�) *�* � � � ���

����2��*

�* � ** �* 1* 2* � 21 ����� �/

� � / )� *�

* � � � ���

������)

���� � )�)� *�*� ���� � � � ����

��� � ���� �������� ����

�� ������ �� ������ � ��� �� ����� ��� �� ������� ����������� � ���� ����� � ��� � ������ � ������ ����

�� ������ �� �� � �� ����% � � � � ��� � ������ ����% � � �� � ���� �� ��� ���� ������� �� ���� �� � �� ����� �� )� ) ����%� ������� �� ���������� ��������� ���� �������� A ���� ���

�� � �)� *� � � � � ���)�*� � ���

����

���� � )�) *�* � � � ��� �

����)

���

- ������+ ���� �� �� � ����� �� � )� ) ����%�� �� ������ �� �� ��� ���� ��� � ��� � ��������� ����� �� ������

������� ��

�� �4��1� 2��

*

�)

��

�� � 4��� ��1��*� 2��)� � *)� .� 2 � .

��� �>��)� .� ��1

�=�*2

����

���� � *1 =� )> )2 � �1

- � ��� ��� �� ��� ����% �������������� �� ����

�7'8� *9 '6:;5<' $ 0'�<3�;� �)

Page 33: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

2. Algebra of Matrices Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��� ! ��� ������ � � � � � ��� � � ����� � ������ ���� ���� �� ���� �� ������� �� � �� ������ �� ���� �� ��� �� �A ���� � �� �� � � � ����% ��� � �� � � � � ����%� ��� �������� �� �� �� � � � ����% ���� �,��� �� ������� �� ���������� �� �� �� �� � ���� ��� ������ �� �� ���� ���

)) � � � )�� � � � �

) � � � �

� � � � ��) � � � ��

������

������

�)) � � � �)� � � � �)�� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �

��) � � � ��� � � � ���

������

�������

)) � � � )�� � � � �� � �� � � � �

�) � � � ��

������

������

�� � � )�)� *�*� � � � ���� �����)

����

�� ������ �� �� ��� ���� �� � �� �� � � � ����% ��� � �� � � � � ����%� �� � �� ��

������� �

��� ��� �� �� � � ) �

* �)� �

��� � � * / �12 �* >

� ��

���� � �� *� * ��� � �� *� �� �� ������ �� �� ���� ��� �� �� � *� � ����%� �� ������ �� ��� �� ���� ������ ����% ��� �������� �� ��� �� @)� �9 �� � �� ��� ������ �� ��

*

2

� ��

/

�*� �

��1>

� �

��������� ���� ���

�� � * )2 /� > �1 ).� �

� )4 �> )1� �

�� ������ �� ����� �� �� ��� �������� �� ����� �� �*��)� �� � �� ��� ������ �� �� ����

�� � )4 �> )1

1� 2 / * �.� >

� �� )4 �> )1

�) * �)1� �

��� ������ � � ) *

� 1

� ���� � � 2 >

/ �*� �

� ���

�� � 2 / >� 1

)2 / ).� .

� �� 2 *

)2 )/

� ���� �� � 2 ). )/ *1

/� > /� .

� �� *� �1

�> �.� �

�� ���� %���� ����� ���� ����% �������������� �� ��� ����������� ��� �� ������� �� ��� ���� ������ �� ��� � ����� 7���� ����% �������������� ��� ������� �� �������� �������

������� ���� 6� ����� � ������� ���� ���� �� ������� ��� ���� � ����(

��� ����� � ����� ����������� ��������� ��� �� � �� �� ���� ���������� �����

����� �� ��� � �� �� �� �� ���������� �����

���� ����� � ����� � ������ �� � �� � ������

- ��� ���� /� � / ��� �/ � /� �� / �� �� +� ����%�

�* '6:;5<' $ 0'�<3�;� @�7'8� *

Page 34: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

2. Algebra of Matrices Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��" �� ������ �# � ����

�� �������� �� � ����% �� ����� �� � �� �� ����% ������� �� ����� �� ������� �� �� �� ����� ���� � %�����

) * �

1 2 >

� ��

�) 1

* 2

� >

��

�� ��� �)�����2�� �

)

���2

��

��

3� ��� ����� �� � � � �� �� �� � � � ����%� ��� �� � �� �� �� �� � � � ����% �� � � � � �

$��� ���� �� ������ �� � �� ���� �� � ������ ����� ��������� �� ������� �� � ���������� �� � �� �����

�� �%� ���� ����� ����� ������ �� �� ������� ��������

������� ���� 6� � ��� � � ������ ��� �� � � � ������ ���� ���� �� ��� ��� ������ �����(

��� �� ��� � �� �� � ����� ����� � ��� �

���� ��� �� � �� ���� ����� � ���� �

- ������+ ����� �� ����� �� ������� �� � ������ �� �� ������ �� �� ��������� ��� �� ���� ���

��$ �% �� � ������

' ����� ��� � �� � ����% ���� �� ��� ���� �� ��� �� �������� '� � � � ���� ����% �� ������ � �� ����� � ��� �� ������� ����� �� �,����� ��� ��

<���� ���� ��� �� ��� ������ ��� � ���� � ���������� 7���� �� � ���� ������ ���������� �� ��� ��� �� �� ��� ���� ���������� ��������� ����������� �� �������� �� ������������������������ ����� ��������������� ��� ������� ��� � ����� �� ��� � � � ������� ��� �� ������ � ��� �� � � � ����%�

������� �� �� �������� � ���� ������ �� �� �(

� �) * �

�1 �1 �12 > 4

��

�� ��� � �

* �2 )

/ � �*) * �1

��

��

�� �������� � ���� ������ �� �� �(

� � �� �� 1

�1 �) �>> . �

���

���� *� �

* 1 >

�. �. �.)/ )* )1

���

���� �� �

) �1 2

* �1 >

� �1 4

���

���

�� �2 4 �)2

�)* / */

)4 4 ��2

���

���� �� �

*4 �/ ��

�** �*1 �*>�*4 ��/ ���

���

���

�7'8� *9 '6:;5<' $ 0'�<3�;� ��

Page 35: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

2. Algebra of Matrices Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

&'��&( &�) ��&*�

6� � � � �� � �� �,���� ����%� �� � ���� � � � � ���� �� � �������� �� �� ����� ������ ��� ���������� ���� ���

))� **� ��� � � � � ��

�� ��� �� �� ����� ����� �� �� ��� �� �� ��� ���� ������ &�����

���� � )) ** �� � � � ��

�� �������� ���� �������

������� ���� ������ � � � �� ��� � � �� �� � �,���� ������ ��� � �� � ������ ���(

��� ��� �� � ���� ����� ����� ���� � � ��������� ����� � � ����� ���� ����� � ������

������� �� 6� � ��� � � �� ������ � ��� � �� ;%���� *�>� ���

��� ���� �� � � �)��1� 4 ��� ���� � )� 1 4 � 1

��� ���� �� � � �*� ���1 ��� ���� � * �� 1 � )

0����

��� �� � �� ) � � 2� ��*�� � *� . )1 � .� ���� � � )� 1 4 � 1

����� � 2 /� �2 � ��/� ����� � *4� *1� �� � ��/'� %���� ��� ���� *�1�

��� �� � ���� ����� ���� � � ����� ��*�� � * ���� ������ ������ � �� �� ��� �� ���� � �����

�)��! !+ �&!� ,- �*&(&� �&!� *�.

�� �,���� ���� �� � �� � ����%� ����� �� �� � ������ � �� �� �,���� ����% ���� )#� �� ����� ���� ��� /#� ����� �� ������� ����% �� ������ �� �� ����� ) �� ����� �� ��� �,���� ����%��

� � � � �

0� ������ �� � �� �� � � � ����%� ��� � � � �� � �� � ��� ����� �� �� ����% � ���� �������� �#� �� �� ��� ���� ��� /#� ���� �� ����� �� ���

��� � ��������� �� �� ����� �� $��� ����

�� �� � �� �� � ��

���� ��� ���������� � ����% � �� �� ����� ����% � �� �������� �� ���������� � �� �� ����� ��

������� �� �� �������� � �� ������� ������ �� ��� � ��� 1 ��� �� ��������� ����� ������ �� � � 2(

) / /

/ ) /

/ / )

��

���

)

)

)

)

����

�����

2 / /

/ 2 /

/ / 2

��

���

2

2

2

2

����

����

�1 '6:;5<' $ 0'�<3�;� @�7'8� *

Page 36: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

2. Algebra of Matrices Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

���&�/ �� 3� �� ������ ������ �� ���� ����?� � ������ �� /#� ��� �� �� �� ���� ����� �� ���� ���� ����� ��� ����� �������

���&�/ �� �� �������� ���� ���� �� � � �� ���� ��

� � � / �� �� �

) �� � �

���� �� ������� ����% ��� � ���� �� � �� ���

��0 ��1��� �# � ������- �������� �� �� � ������

6� � � �� �,���� ����% �� � ��� �� !����� �� � � ���� �� �������(

�* � ��� �� � �*�� � � � � ��) � ���� � � � � ��� �/ �

8���������� �� �� ����% � � ���� ����� ����������� �� ��� ����������

� ��� � / )� *�* � � � ��

�� �� � ������ �� �� � ��� �� ���� �� � �� �������� ����%(

� ��� � / )� *�* � � � ��

@&�� ���� � ��� �� ������� ��� � ��� �� ����������� �� ����% � �� �� ������ � ��� ����������� ������� ����% / �� �� ����� /�9 3� � ��� �� �� +� ����%� ��� � �� ����� � ���� � ���� �� � ����

������� �� ������ � � ) *

� �1� �

� ���

�* � ) *

� �1� �

) *

� �1� �

� 4 �>�= **

� ���� �� � �*� � 4 �>

�= **

� �) *

� �1� �

� �)) �.

24 �)/>� �

������ � ��� � *�* � �� 2 ��� ���� � �* �� � )/� ���

� ��� � *4 �>

�= **

� �� �

) *

� �1� �

2) /

/ )

� �� )> �).

�*4 >)

� �

���� � 4 �>�= **

� � �

) *

� �1� �

� )/) /

/ )

� �� / /

/ /

� �

���� � �� � +� �� �� ���������� �����

��2 ��3������� 4������5� �6 � ������

' ���� ����% � �� ���� �� � ����� ��� � ���� ����� �� �� %���� � ����% � ���� ����

�� � �� �

�� �� �� ������� ����%� ���� � ����% � �� ������ ���� ��� �� ��) � �)� � ��� ��* � �*� � ����

�) � �) � �)���*� � ��)���* � �* � �*

- ���� ���� � ����% � �� ������ �� � ��� ���� �� �� ��)� $��� ���� �� ���� ������ �� �������A���� ��� �� � �� �� ���� �� �� ��� � �� �� ���� �� ��

�7'8� *9 '6:;5<' $ 0'�<3�;� �2

Page 37: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

2. Algebra of Matrices Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

������� �� ������ ���� � � * 2

) �

� ���� � � � �2

�) *

� �� ���

�� � >� 2 �)/ )/

�� � �2 >

� �� ) /

/ )

� ���� �� � >� 2 )2� )2

�* * �2 >

� �� ) /

/ )

� �

���� � ��� � � ������

3� �� ?���� ����� ��)2� ���� �� � �� ��� ���� �� �� � � ���� �� �� ������ �� ��� ���� �������� �� ����� ���� � ��� ��� ��� ������ � ������ �� 8���� *�)4��

&�� ������ � ��� � � �������� ��� �� �� ������� ��� �����) � ��)��)� 0� ������ ���)��*� � � � ��� � �������� ��� ��� ������ �� ������� ���

��)�* � � �����) � ��)� � � ���)

* ��))

�� ������ �� �� ����� �� �� �� ���

��7��.� �8 & � � � �&!� ,

6� � � �� ������ *� * ����%� ��� � � �

� �� - ���� �� ��� � ������ �� ��)� �� ����

�� �� ����������� � �? ** � 1 ������� ��� �)� �)� �*� �*� ���� ����

� ��) �*�) �*

� �� ) /

/ )

� ��

�) ��) �* ��*�) ��) �* ��*

� �� ) /

/ )

� �

����� �� ��� ���� ���� �� �� ��������� ���� �� �� ������� ����% ����� ��� �������������� ��� � ��������� ���� ��� *� * ������ �� �������(

�) ��) � )� �* ��* � /

�) ��) � /� �* ��* � )

������ � �� ��� � � � � ������ �� ������ ��� �� ��� '������ ��� �� /� � ��� ���� ������� ���� ���� ��?����� �)� �)� �*� �*� ��������

�) ��

��� � �) ��

��� � �* ���

��� � �* �

���'������ ���

��) � �

� ��)� ����� ������

����� ����� �

� )

���� ��

� �

3� ��� ����� ��� ��� �� /� �� ���� �� � *� * ����% � ��� � ������� ��� � �� �������(

�)� 3������ �� ��� ����� �� �� ��� �����

�*� ��? �� � ����� �� �� ��� ��� ������

��� 0������� �� ������ ����% �� )���� �� ����������� ����� ��� ���� �� ����3� ��� ��� � /� �� ����% � �� ��� ��������

������� �� ��� �� ���� �� � � * �

1 2

� ���� � � ) �

* >

� ��

��� ������ ��� � *�2� � ��1� � )/� )* � �*� ���� ��� �� /� �� ����% � �� ������� ���

��) � )

�*2 ��

�1 *

� �� � 2

*�*

* �)� �

&�� ������ ��� � )�>� � ��*� � >� > � /� ���� ��� � /� �� ����% � ��� �� �����

�> '6:;5<' $ 0'�<3�;� @�7'8� *

Page 38: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

2. Algebra of Matrices Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

���&�/� �� ���� ����� ���� � ����% �� ������� �� ��� ���� �� � ��� � ���+� �������� ���� �� ���� ������ �� ��� ��� �� ����� .��

��7��.� �8 &� �� � �&!� ,

������ � �� �� ������ �,���� ����%� ����� ��� ���� ��) ����� �� ����� �� ����� ���������� �� � ��������� �� � � � ������ �� ���� ��������� �� �������� �� ���� ������ ��� �� ��������� �� ������ ���� � ��������� �� ������ �� ���� �� ����� ��

���9 ����� � ����� �# �% �� � ������

���� ������ ������ � ���� �� ������ ?���� �� ���� �������

&'��&( &�) �� &�':(&� �&!� *�.

' ���� ����% " � �� �� �� � ���� �� ��� ������ ���� ���� � ��� +�� ���� � ����% ��������� ����� ��

" � ��� ��))� �**� � � � � ������ ��� � ��� �� � ��� � +�� � %�����

� / /

/ �4 /

/ / *

��

��� 1 /

/ �2� �

>

/

�=.

����

����

� ��� ���� ������� ����� ��� � ������ ��������� ��

��� ����4� *�� ��� �1��2�� ��� �>� /��=� .��$��� ���� ������ �� /#� �� �� ���� ����% ��� �� ��������

' ���� ����% � � � �� �� ����� �� ����� � ������ �� ����� �� ��� ���� ���� �� ��������� ���� � ���� �� /� ���� ��� �� � � / �� � �� :��� ��� ���� ��� ������ �� ��� *� �� 1 � ���������(

)) )*/ **

� ��

�)) �)* �)��** �*�

���

��

���

)) )* )� )1** *� *1

�� �111

����

����

�'� ���� ��� ���� ������� �� �� ������ ������ �� ���� ������ �� /#����� �������� ���� �������

������� ���� ������ � � � �� ��� � � �� �� � � � � ����� ���� ��� ������� ���(

��� � �� ��� �� � ���� ��� ���� ������ ��� ������

�)) �))� � � � � �� ����� ��))� � � � � ����� �))�))� � � � � �������

���� � ��� ���������� � ���� �� ����% � ��� �� ���� ��� ���� ��� ����

� � �))�� � �**�� � � � � � �����

����� � �� ������� �� ��� ���� �� ��� ��� ���� ���� �� /� ��� ��� ��) %���� �� ������ ���� ����

�7'8� *9 '6:;5<' $ 0'�<3�;� �4

Page 39: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

2. Algebra of Matrices Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

' ����� �� ����� ��� � �� � ���� ����% ���� ���� ���� �� ��� ���� � ��� +�� - ������� ���� *�2 �� �� �� � ���� ""���� ���## �� ��� ""��� ���� ���## � ""��� ����##�

���&�/� ' ������� ��������� � �� ������ �� ����� �� ����� ��� ������� �� � �� ����� ����� �������� �� ����% ��������� ����� ��������������� ��� ����% ��������������� ������ �� ���������� ���� � ��� �� ��� �� �� �� �� ������� ��� �� �� �� ������ ��� ����� ���� ���� ������ ���� ��� �������

�;�* &( ��&( �<:&�� �&!� *�.� �+���!� *- ��!��'��&(- ����&(

������ ��� � �� � ���� ����% ���� �� ����� ���� ��� � �� ���� ����%� �� �������������� � ��� ��� ������� �� ����� �������� ?���� �� �������

4�� �+���!� * �&!� *�.

' ����% � �� ������� �� �� � �� ;����������� � � � �� �� ������� �� ������� �������� ��������� ���� ���� �� �� ��� ����� � ����� ���� ��� �� ��� � � � �

' ����% � �� ����#������� �� �� � �� �� ����������� �� ��� � � �� � ������ �� ��� ��������� �� ���� � ����% ���� � +�� ���� � � ������ � /�

�&�� ���� � ����% � ���� � ���� �� �� � � � �� � ����

������� � 6� � �* �� 2

�� > 4

2 4 �.

��

���� �

/ � �1�� / 2

1 �2 /

��

���� � ) / /

/ / )

� ��

�� 5� ���������� �� ������� ����� �� � � ����� � �� � �� ���� � �� ��������

��� �� ��� ���� ����� �� � � / ��� ������� ����� � � ����� �� ��� ���� � �� � ��� ���� � ���?�,��������

�� ���� � �� ��� ����� � �� ���� ������� �� �?�,��������

4�� ��!��'��&( �&!� *�.

' �� ����% � �� ���$����� �� �� � ��)� ���� ��� �� ��� � ��� � � ���� � ���� �������� ����� ��� ��������

������� �� 6� � �)=

.=

� 1=

1=

� 1=

� 4=

.=

)=

1=

���

���� 0��������� � �� �� ����� A ���� ��� ��� � � ���� ���� ��� � � �� ����

���� �� � ��)A ���� ��� � �� ���� �����

&�� ������ � �� � �� ���� ���� �� � ����% ���� ���

�) � �)� *� ��� �* � ��)� �*� ���� �� � �)� *� ������ � �� ���� ����� � ���� ��� ��� � � &����

��� �) * ��) �* ��) * �

��

��

) �) )* �* *� �� �

��

�� �

) / /

/ ) /

/ / )

��

�� �

�. '6:;5<' $ 0'�<3�;� @�7'8� *

Page 40: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

2. Algebra of Matrices Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

0��������� � �� �� ��� ����� ��� ��� ���� �� �� ��������� ��� �� ����� �� �������� ��� ��������(

*) ** *� � )� )�) *�* ��� � /� )) ** �� � /

�)) �** ��� � /� �*) �** �*� � )� �)) �** ��� � /

)) ** �� � /� )�) *�* ��� � /� *) ** *� � )

'������ ��� �) � �) � )� �* � �* � )� �� � �� � )� ��� � � �� � / �� �� �� ���� �� ��� �)� �*� �� � ���� �������� � ���� ���� �� ��� ����

:����� ���?�� � ����� �)� �*� � � � � �� �� �� � ���� �� ��� �� ���$������ ��� �� ����� �� ������� � ���� ����� ��� � ���� ���� �� ��� ���� ���� ���

� � �� � / �� �� �

) �� � �

3� ��� ����� � � �� � � � �� � � �� �� B���? ���� ���������- ��� ����� ���� �� ��������� ��� � ������ ���� �� ��� �� � ��� �� ��������� �� ��

������ �� ��������� ��� � �������� ������ ���� �� ������� �� � ���� ��� �� ��������� �� �������� ������ ���� ��� ��� �� ������ �� ����� �� ���

�� ���� ����� �� �� � ������ �� �� �� ���� ���� ��� �� �������� ���� ������

������� ��"� 6� � � � �� ����%� ��� �� �������� � ��������(�� � �� ���� �������� �� ��� �� � ��� �� ��������� ����� �� ������� �� � ��� �� ��������� ���

� � � *� � ��� �� �������� ���� ����� �� 8���� *�*.��

������� ��$� 6� � � � �� *� * ���� ���� ����%� ���� �� ��� �� ���� ��

� � ��� � ��� �� ��� � ��� �

� �� � � ��� � ��� �

��� � � ��� �

� �

4�� ����&( 7�*!��.

' �� ����% � �� ����� �� �� ������� ���� ��� ������� �� � ���� ��� �� ��� � ���� 3� � ���������� ���� ����� � �?�,�������� ��� � �� ������ �� � ���� ��� ����� �������

������� �� 6� � � > ��� >

� �� ���

��� � > ��� >

� �> �

�� >

� �� 12 /

/ 12

� ���� ��� � > �

�� >

� �> ��� >

� �� 12 /

/ 12

� �

���� ��� � ���� �� ����% � �� ������

���� ������� � ������

6� � � � �����% ����%� ���� ��� � ����% ���� �����% ����� <���� ������� )�4� ���� ��� � � �� � �����% ����� ��� �� � � � �� ��� ���!� ��� �� ������� �� � �����% ����% ������� ��� �� �� ����% ������� ��� � �� ��?�� �� ���!� �� �� ��� ��� �� �� ���� ��� �� � � � ������ �� � �� ��� �� � � � � �� �- ���� ���� ���� �� ����� �� � �� ����

�7'8� *9 '6:;5<' $ 0'�<3�;� �=

Page 41: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

2. Algebra of Matrices Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

�� ��� �������� �� ������� ��� ���!� ����� ������ �� ��� �����% ����% �� ��� �� �������������� �% �� ��� �� �� ���!� �� ������� �� �� ���� ���

�% � � ���� � ��� �&�� ���� �� � �� ��� ��� �% � �� � @��� �%�� �� �C ������ �� �% �9

������� �� 6� � � * . 2� � 1� 4

> )� 1 � *

� �� ��� �% �

*� . �> 2 � ) 1

1 4 �� *

��

���

�;�* &( ���;(�, �&!� *�.� =��� ! &�- � !&�+- ����&(

������ � �����% ����% �� �� ���������� ���� � ��� ��� ���!� �� ������� �% ������������� ?���� �� �����% ������ ������ � ����� ��� �� �� ?���� �� �� ������ ������ ������

' �����% ����% � �� ���� �� � %��� � � � ����#%��� � � ������� ��

�% � � � �% � ���

������ � � � �� �� 7������ �� ��� ���� �� ������� ����� � ���!� ��� ���� ��� �� ��� � � �� � ������� ��� ��� ��� ���� ���� ���� � ��� ��������� �� � �� �?�,�������� ��� ��� ��� �������� � /� �&�� ���� � ���� � ���� �� �% � � � �% � ����

' �����% ����% � �� �� ��� �� �%��) � ��)�% � � ���� ��� ��

�% � ��)�

���� � ���� �������� � ���� ��� �������� - ��� ���� � �����% ����% � �� ������ �� ��� ���� ����� ��� ��������� ��� �� ��������� �� ����� �� �� ��� ������ �� �����% ������

' �����% ����% � �� ���� �� � ����� �� �� ������� ���� �% � ���� ��� ��

��% � �%�

����� � ���� � � ���� ����%�� ���� �������� ���� �� ���� �� �� ������ ��� � �� ���

������� � ������ �� �������� �����% ������(

� �� )� * 1 4

) * �1 �* 1� 4 * 2

��

�� � � )

*

) � �)

) )

) �) /

��

�� � � * � )

) *

� �

�� 5� ���������� �� ��� ���� ����� �� � � �� ��� �� ������� ����� )� * ��� ) * � ���!� ���1 4 ��� 1� 4 � ���!� ��� ��� �* ��� * � ���!� ��� ���� � �� 7�������

��� 0��������� � �� �% ����� � ���� ��� ��% � � ���� ������ �%� � � �� ���� ���� �% � ��)� ����� ���� �

�� �������

�� �� ���� � �� ������ � ������ ��% ��� �%�(

��% � * � )

) *

� �*� � �

) )� *

� �� )1 1� 1

1 1 >

� �

��� �������� �%� � )1 1� 1

1 1 >

� �� ���� ��% � �%�� �� �����% ����% � �� ������

- ��� ���� ��� � ����% � �� ��� 7������ �� �� ��� �� �������� ��� ������ �� �� ��� ������ �����

1/ '6:;5<' $ 0'�<3�;� @�7'8� *

Page 42: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

2. Algebra of Matrices Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

���� ����> � ������

D��� � ����� �� ���+����� ��� ������ ������� ����� � ��� �������� � ����% � ���� �������������� ����� �� ����� �� �� ����� � ��� ����% ��� � ������ ���� ����?� �� ������ ����� �%����(

) �* / ) �

* � 2 4 �*� ) 1 2 =

1 > �� ) .

����

�����

) �* / ) �

* � 2 4 �*� ) 1 2 =

1 > �� ) .

����

�����

) �* / ) �

* � 2 4 �*� ) 1 2 =

1 > �� ) .

����

����

�� �������� �� �� �������� �� ������� ��� � ��� �� ���� ����?� �� ���� �� ���� �� �������� �� ���� � ��� � ������� �� ����� ��� �� ����������� ���� �� ����?�� !��� �� �� ��� � �� ����������� �� �� ������� ���� �� ��������� ����� �� �� �������� � � �� �� ���� � ��� �� � ����?����% � ���� ����?� � ��

������ ���� � � �� �� ��� � � �� �� � ����? ������ ���� �� ��� ����� �� �� ��� ����������?�� ��� ������ ���� ��������� ����?� ��� �� ��� ��+� ��� ����� �� ��������� ����?��� � ��� � ���� ���� �� ��������� ����� �� � ��� �� ��� ���������� ��� ����? �� � �� � ����� ���������� ��� ���� �� � �� �� ����

� � �

�)) �)) �)* �)* � � � �)� �)�

�*) �*) �** �** � � � �*� �*�

� � � � � � � � � � � �

��) ��) ��* ��* � � � ��� ���

�����

�����

���

�� ���)) ��)* � � � ��)�

��*) ��** � � � ��*�

� � � � � � � � � � � ����) ���* � � � ����

����

����

�� ��� �� ����% �������������� �� ��� �������� ��� ����� ��� ���� ��� ������ ���� & � �& � � ���' � �'��� � ����? ������ ���� ���� �� ���� �� ������� �� ��� ����? & � �� ���� �� �� ���� ����� �� ��� ����? '��� ����� ��� ������ & �'�� �� ������ ���

&' �()) ()* � � � ()�

(*) (** � � � (*�

� � � � � � � � � � � �(�) (�* � � � (��

����

����� �� ( � � & )')� & *'*� � � � & �'��

�� ���� �� �� ���� ������ �� &' �� ���� �������� ��� ������ ��� �� ���� 3� �� ��� �� �� %����8���� *�.2��

�<:&�� �(�*/ �&!� *�.

6� ) � � ����? ����%� ��� ) �� ����� � ����� ���� ��� � ��(

��� ) �� � ���� ����%� ���� �� ����?� ��� � ���� ����%������ �� ��� ���� ����?� � ���� ���� �������

�� ���� ��� ���������� ���� ���� �� ��� ���� �� �� � �� ��� ���� �� ���+����� ��� ���������� ��� ��� � ����� ������������

�7'8� *9 '6:;5<' $ 0'�<3�;� 1)

Page 43: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

2. Algebra of Matrices Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

������ �� �������� ��� ����? ������(

� �

) * � 1 2

) ) ) ) )

= . 4 > 2

1 1 1 1 1

� 2 � 2 �

������

������

��� � �

) * � 1 2

) ) ) ) )

= . 4 > 2

1 1 1 1 1

� 2 � 2 �

������

������

�� ����? ����% � �� ��� � ���� ����? ����%� ���� �� ����� ��� ���� ��� ���� ����?� � ��� �����$� �� ��� ����� �� ����? ����% � �� � ���� ����? ����%�

�(�*/ &'��&( �&!� *�.

6� ) � �� �� � � ���� ����? ����% ���� ���� �� ������ ���� ����?� � ��� +� ������� ���� ���� � � / ��� �� �� ��� ) �� ����� � ���� � ���� ��� �� - ������� ���� ���� � ����? ��� ��������% �� �����

) � ��� ��))��**� � � � ����� � ) � �)) � �** � � � �� ���

�� �������� �� ����? ��� ���� ������ �� ���� �� �� �� �� �� ����? ����% �� ������� ���� ���� �� �� �� �� ���������� ����?�� ����������� ������ � ��� �� � ���������� ��� ) �� �� ���� ����?��� ���� ����%� ��� � �) � �� � ����? ��� ���� ����% ���

� �) � � ��� � � ��))�� � ��**�� � � � � � ������

'���� ) �� ������� �� ��� ���� �� ��� � �� �������� ���� �� ���� � ���� )�) �� � ����? ��� ���� ����%

���

)�) � ��� ���))) ��

�)** � � � � ��

�)�� �

'���� ������ � ���� ����? ����% �� ����� � ���� ����� �� ����� ��� � �� �� ����?� ���� ����� ���� � +� ������� ��� � ���� ����� �� ����� ��� � �� �� ����?� ���� �� ��� ���� � +��������

������� �� E���� ����� �� �� �������� ���� ����? ������ � ��� ��� ����� ��� ��� ����� � ��� ����(

� �) * /

� 1 2

/ / >

��

��� � �

) / / /

* � 1 /

2 / > /

/ 4 . =

����

����� � �

) / /

/ * �

/ 1 2

��

��� " �

) * /

� 1 2

/ > 4

��

��

�� � �� ��� ���� ��� ���� �� ����? ���� �� ��� ���� �� � +� ����?�

��� � �� ��� ���� ��� ���� ��� ����?� ���� �� ��� ���� � +� ����?��

�� � �� ��� ���� ���� �� ����?� ���� ��� ���� �� ��� ���� � +� ����?��

��� " �� ���� ��� ���� ��� �� ��� ���� ���� '���� �� ��� ���������� �� " ���� ��? �� ���� ��� � ����?��� ���� ��� ����% � � ����? ��� ���� ��� ����%�

1* '6:;5<' $ 0'�<3�;� @�7'8� *

Page 44: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

2. Algebra of Matrices Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��(7�) ���?(��.

� ���� ����� � �� � � �������� ����

���� :�� � � ) �* �

1 2 �>� �

��� � � � / *

�4 ) .

� �� ���(

�� � �� ��� *� � ���

�� '�� �� ��������� �����(

� � � ) � �* / � *

1� 4 2 ) �> .

� �� 1 > 2

�� > *

� �

��� ��� ���� �� ����� �������������� ��� ��� � ����% ��������(

*� � �� � * �1 >

. )/ �)*� �

�= / �>*) �� �*1

� �� �4 �1 /

�*= 4 ��>� �

�&�� ���� � �������� � �� �� ��� ��� ���� ��� ���� ���������� � �� � ��� ��������� � ����������� ����� ����

���� ��� �� �� �� � �� �� �

� �

� �� � >

�) *�

� � 1 � �

� � �

� ��

-�� ��� ��� �� � ��� � �������(

�� ��

�� ��

� �� � 1 � � >

� � � ) *� �

� �

�� ��������� ���� ���� �� ��� ��� �� ������ �� �������� ����� �� ��� ��������(

�� � � 1� �� � � � >� �� � � � � )� �� � *� �

� *� � 1� *� � > �� *� � � � )� � � �

�� �������� �� � � *� � � 1� � � )� � � ��

���� 8�� ���� *�) ��� ��� ���( ��� �� �� � � � �� ��� ��� ��� �� � �� ���

������ � � � ��� � � �� ��� � � � ��� �� ���� ���� �� ������ ���� ��������� �,���� �� ������ �� ��� ����% ������� � ����� @- ���� ��� ��� ��� ���� ���� �� ��� ���� �� ���� *�) ����� ���������9

��� �� �,��� �� � � �� � � �A ��� �� �,��� �� �� �� � �� � � � �� �� $� �� ��� ������� �,��� �� � � �� � � �� ��� ��� �� �,��� �� � �� �� �� � �� � ��� 7���� �������� �� ��

� � � �� � � � �� � ������ �� �� � ��� � �� �� ��� �������� �,����� ���� �� �� � � � �� ���

��� �� �,��� �� � � �� � � �A ��� �� � � �� �� �� �,��� �� ��� ��� $� �� ��� ����� �� �,���� �� �� ��� �� � � � ��� �� �� ��������� ���� � � �� � �� �� �,��� �� �� ��� 7������ ������ �� � �

�� � � �� � � � �� �

���� ��� �� ��� �� �� ��� �������� �,����� ���� ��� �� � �� ���

�7'8� *9 '6:;5<' $ 0'�<3�;� 1�

Page 45: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

2. Algebra of Matrices Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

� ���� �������� ����

���� ��������( �� �.��1� 2��

*

�)

��

��� ��� �>��)� 4� 2�

1

�=��*

����

����� �� ��� .��*� 1�

2

�)>

��

��

�� 0������� �� ��������� ���� ��� ���(

�.��1� 2��

*

�)

��

�� � .��� ��1��*� 2��)� � *1� .� 2 � ))

��� 0������� �� ��������� ���� ��� ���(

�>��)� 4� 2�1

�=��*

�����

����� � *1 =� *) )/ � **

�� �� ������ �� ��� ���� ��� �� �� ����% ��� �� ������ ����% ��� ������ ����� ��������

���� 6� �� � �� ���� �� � � � ����%� ��� �� ��+� �� ���� ����% ������� ���� � ����(

�� �*� ����� 1�� �� �)� *���� )�� ��� �1� 1���� ����� �1� )��)� *�� ��� �2� *��*� ��� � � � �*� *��*� 1�

3� ��� ���� �� ������ �� ���� �� �� ��� ����� � ����� ��� ��� �� ������ ���� ��� �� ��+�� �� ��� ����� �� �� ��� ���

�� *� 1� �� ��� ����� ��� ��� ����

��� 1� *� ��� 2� �� � � � *� 1

��"� 6� � � ) �

* �)� �

��� � � * / �1� �* >

� �� ���( �� ��� ��� ���

�� ���� � �� � *� * ��� � � *� � ����%� �� ������ �� �� ���� ��� �� � *� � ����%� �� ������ ��

���� �� �� ��� �� �� ��� �������� �� ��� �� �)� �� �� � �� �� �������*

� ��

/

�*� �

��1>

� ��� ��

��������� �� �������(

�� � ) �

* �)� �

* / �1� �* >

� �� * = /� > �1 ).

� �� )) �> )1

� �

�� ������ �� ���� �� �� ����� �� �� ��� �������� �� ����� �� �*��)� �� � �� �� ������� �� �(

�� � ) �

* �)� �

* / �1� �* >

� �� )) �> )1

1� � / * �.� >

� �

����

�� � )) �> )1

) * �)1� �

��� �� ��+ �� � �� *� � ��� ���� �� � �� *� *� �� ��� ����� � ��� * � ��� ���� A ��� �� �������� �� ��� �����

11 '6:;5<' $ 0'�<3�;� @�7'8� *

Page 46: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

2. Algebra of Matrices Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��$� ��� ��� �� � � * � �)1 �* 2

� ���� � �

* �) / >

) � �2 )

1 ) �* *

��

���

���� � �� � *� � ��� � � �� 1 ����%� �� ������ �� �� ���� ��� �� � *� 1 ����%� 0������� ����� �� � �� �� ������� �� � �� ������

�� � 1 �� 1 �* =� ) /� )2 * )* �� *

.� * */ �1� > 2 / )/� )/ *1� * )/

� �� � > �)� )�

*> �2 / �*

� ��

��0� ���( ��) >

�� 2

� �*

�4� �

� ���*

�4� �

) >

�� 2

� �� �� �*��4� ) >

�� 2

� ��

�� �� ��� ����� �� *� * ��� �� ����� �� *� )� �� �� ������ �� ���� �� � *� ) ����%(

) >

�� 2

� �*

�4� �

� *� 1*

�>� �2

� �� �1/

�1)� �

��� �� ������ �� ��� ����� ���� �� ��� ����� �� *� ) ��� �� ����� ����� �� *� *�

�� �� ��� ����� �� )� * ��� �� ����� ����� �� *� *� �� �� ������ �� ���� �� � )� * ���� ����%(

�*��4� ) >

�� 2

� �� �* *)� )*� �2� � �*���*��

��2� ����� /� � / ��� �/ � /� �� �� /#� � ���� ��� �� ����� �������� ������ ��+��� ��������� � ��� � ���� �� +� ���� ���� ���� �� � /�

6� � � ) *

* 1

� ���� � � > *

�� �)� �

� ��� �� � / /

/ /

� ��

���9� 8�� ���� *�*���( ����� � ������6� � � � ��� � � ���� �� � � ����� ��� �� �� � * � �� � �� �� � � � ������ ���

� � �����)

���� ��� ��� �����)

�����

0��������� * � �� �� �� �� �,��� �� ����� ��

� ))� � **� � � � � ��� �����)

� ��� �����)

����)

� �������

$� �� ��� ����� ���������� � �� � � ��� �� �,��� �� ����� ��

)�)� *�*� � � � ���� �����)

���� �����)

����)

��������

�� ���� ���� � ����A ���� ��� ��������� ����� �� ����� ��� ����� � ����� ��������� � ������

����� 8�� ���� *�*����( ��� �� � �� ���

6� � � � ��� � � ���� �� � � ��� �� ��� �� " � � � � ���� �� + � �� � �� � �� , � �� � � � � �� ���

��� � ��� ��� � � �����)

����� � � �����)

���

�7'8� *9 '6:;5<' $ 0'�<3�;� 12

Page 47: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

2. Algebra of Matrices Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

���� �� �,��� �� �� ����% �� �� ��

� � � � �����)

���� ����)

��� �����)

����� ���

$� �� ��� ����� �� �,��� �� �� ����% �" � ��� �� ��

)�)� *�*� � � � ���� �����)

���� �����)

����� ���

���� ��� �� � �� ��� ���� �� ��������� ����� � �����

�� ������

����� ��� �� ������� �� ��� ����%(

� � ) �* �

4 . �=� �

� � �) * �

* 1 2

� 2 >

��

��� � � �)���� 2��4�� " �

*

�1>

��

��

<��� �� ��� �� ��� ����% �� ������� �� ������ �� ������� �� �� ����%(

�� �) 4

�* .

� �=

��

��� �� �

) * �

* 1 2

� 2 >

��

��� �� �

)

��2

�4

����

����� "� � �*��1� >�

�&�� ���� �� � �A ���� � ����% �� ���� �� � ������� � &�� ���� ���� �� ������� �� �� �� ���� � �� ������� ����� ��� �� ������� �� �� ������ ���� " �� � �� ������

����� 8�� ���� *������( ����� � ���� �

6� � � � � � ��� � � ������ ��� �� �,��� �� �� ��

)�)� *�*� � � � ����

���� �� �� � ,��� ��� ��� �� ����� � &�� ������ � �� � ����� �� � �� �� � ��� �� �� � ����������� �� �� � ���� �� �,��� �� ���� ��

��)�� �*�� � � � � ����� )� *� � � � � ��� � �)� ) �*� * � � � ��� �

���� ����� � ���� � ���� �� ��������� ���� � �����

�% �� � ������

����� ��� �� ��� ���� ��� ��� �� ��� ����%(

�� � �) � >

* �2 .

1 �* =

��

��� ��� � �

* 1 .

� �4 =

�2 / *

��

��� �� � � ) * ��

1 �2 >

� ��

�� �� ��� ���� �� � �������� �� �� ����� ��� �� ��� ��� ��� �� � �� �� ��� � �� ��� �� �

�� �� ��� ����� �� ����� ))� **� ��� ���� �� ��� ���� �� � �������� �� �� ����� )��2� ���=� �� ��� �� � �� �� ��� �� �� ��� ���� ������ ����

���� � )� 2 = � 2

��� �� ��� ���� �� � �������� �� �� ����� *��4� ��� *� 7��

���� � *� 4 * � ���� �� ��� ���� ��� ��� � ���� ���� �� ���� �������

1> '6:;5<' $ 0'�<3�;� @�7'8� *

Page 48: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

2. Algebra of Matrices Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

����� 6� � � ) *

1 ��� �

� ��� �� � ��� � *�� � 1� 2 ��� ���� � �* *� ))� ���(

�� �*� ��� ��� �� � ���� ��� �����

�� �* � �� � ) *

1 ��� �

) *

1 ��� �

� ) . *� >

1� )* . =

� �� = �1

�. )4

� �

��� �� � ��* � ) *

�1 ��� �

= �1�. )4

� �� =� )> �1 �1

�> *1 �)>� 2)

� �� �4 �/

>/ �>4� �

�� ��� ��������� � �� � ��� 2 �� �� �������� �� � ���� ��������

� ��� � *�� � 1� 2 � *�4 �/

>/ �>4� �

� 1) *

1 ��� �

2) /

/ )

� �

&�� ���� �� ����� �������������� ��� ��� �� ����% ��������(

� ��� � �)1 >/

)*/ �)�1� �

�1 �.�)> )*

� � 2 /

/ 2

� �� �)� 2*

)/1 �))4� �

��� ��������� � �� � ��� )) �� �� �������� �� ����� ��� ��� �������� �� �������(

���� � �* *� � )) � = �1�. )4

� � *

) *

1 ��� �

� ))) /

/ )

� �

� = �1�. )4

� � * 1

. �>� �

�)) /

/ �))� �

� / /

/ /

� �

���� ���� �� �� +� ����%� � �� � ��� �� �� ���������� �����

���"� 6� � � ) �

1 ��� �

� �� ��� � ���+� ������ ���� � � �

� ����� ���� �� � ���

��� E���� ��� ���� ������

�� ��� �� �� �� ����% ������� �� � ��� ��� ��� ��� ��� ��� �� � ��� � ����% ������� ����� ���������(

) �

1 ��� �

� �� �

� �� ��� ���

� ��

1� � ��

� �� ��

��

� �

�� �� ��������� ����� ���� �� ��� ��� �� ������ � ����� �� ��������(

� �� � ��

1� � �� � ���

*� � �� � /

1� � >� � /� *� � �� � /

�� ����� ���� �� �� ���� ��� ���� ������� �� ��� ��?������ ��� �� ��� �� ���������� �� ���������� �� ������ � ���+� ��������� ��� ���� � � *A ��� � � �� ���� � � ��� *�� �� ����� ���+� �����

��� �� ��� �� ��� ��������� �� � � � �� �� � ������ ��������� � � ���� *� � �� � / �������� � � �

*� ���� � � ��

*� �� ����� ��� ���� ����������

��3������� � ������- ��3�����

���$� ���� ���� � �) / *

* �) �

1 ) .

��

�� ��� � �

�)) * *

�1 / )

> �) �)

��

�� � ������

������ �� ������ ��� ��������

�� ��)) / )* * /� * * /� *

�** 1 ). 1 /� � 1� )� �

�11� 1 1. . /� . . )� .

��

�� �

) / /

/ ) /

/ / )

��

�� �

���� �� � � � ��� ������� ����� ��)2� ���� �� � � '������ ��� � ��� � � ������

�7'8� *9 '6:;5<' $ 0'�<3�;� 14

Page 49: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

2. Algebra of Matrices Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

���0� ��� �� ����� �� �������� �� ��� ����%(

�� � � 2 �

1 *

� �� ��� � � * ��

) �

� �� �� �* >

� �=� �

D� �� ������ �� �� ���� �� � *� * ����% ������ �� ������ *�=�

�� ��� ��� ��� � 2�*� � ��1� � )/� )* � �*� &%� ������� �� ��� ���� ������ ��? ��� ����� �� �� ������ ���� ������ ��� �������� �� )����(

��) � � )

*

* ���1 2

� �� �) �

*

* � 2*

��� ��� ��� ��� � *��� � �����)� � > � � =� &%� ������� �� ��� ���� ������ ��? �� � ������� �� ������ ���� ������ ��� �������� �� )����(

��) � )

=

� �

�) *

� ��

)�

)�

� )=

*=

�� ��� ��� ��� � �*��=� � >��� � ).� ). � /� ���� ��� � /�� ��� �� �����

���2� 6� � �) ) )

/ ) *

) * 1

��

��� ��� ��) �

�) �* ���) �* ���) �* ��

��

���

0��������� � �� ��) ��� ����� �� ��� ���� ���� �� �� ��� ���� �� �� ������� ����% ������� �������� �� ������ �� �� �������� �� �� �� �� ��?�����(

�) �) �) � ) �* �* �* � / �� �� �� � /

�) *�) � / � *�* � ) �� *�� � /

�) *�) 1�) � / �* *�* 1�* � / �� *�� 1�� � )

������ �� �� ������ �� �� ��� ��?����� �����

�) � /� �) � *� �) � �)� �* � �*� �* � �� �* � �)� �� � )� �� � �*� �� � )

���� ��) �/ �* )

* � �*�) �) )

���

���

����&�/� �� �%� ����� ��� �� ������ ��� �� ������ �� �� ��������

���9� 6� � ��� � � ������� ������ ����� �� ��� ��+�� ���� ���� �� �� ���� ������� ��������) � ��)��)� @����� �� ���������� ��)�* � � �����) � ��)

� � � ���)* ��)

) �9

D��� �� ������������� �� ����% ��������������� � �

�������)��)� � �����)���) � � ��) � ���) �

���)��)����� � ��)���)��� � ��) � � ��)� �

���� �����) � ��)��)�

1. '6:;5<' $ 0'�<3�;� @�7'8� *

Page 50: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

2. Algebra of Matrices Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

� 5�� � � ��� �5� � � ������

����� -�� ��� �� ��� ���� ������ � � ��� �1���� 4�� � � ��� �*��>�� � � ��� ����.� /� 2��8�� �� ��� ������ �� �� ��� ���� ��� /#� ����(

� �1 / /

/ �� /

/ / 4

��

��� � � * /

/ �>� �

� � ��

�./

2

����

����

����� 6� � � ��� �*� �� 2� ��� � � ��� �4� /��1�� ���(�� ��� �*� �*� ��� � ���� �� � ��� � �* �� � *� �� ��) ��� ��)�

�� �� ������ ����% �� �� � ��� ���� ����% ������� �� ���������� ��������� ��� ���� ����A���

�� � ��� �*�4�� ��/�� 2��1�� � ��� �)1� /��*/����� �� ����� �* ��� �* � ������� �� ������ ��� ��� ���� ���A ���

�* � ��� �**� �*� 2*� � ��� �1� =� *2� ��� �* � ��� �1=� /� )>�

��� � ��� �� � ��� ���� ����% ������� �� �������� � ��� �� ��� ��� ���� ���� - ���

� �*� � 1 >� * � .� � ��� � = =� * � )>� � �2� � *2 )2� * � �.

���� � ��� � ��� �.� )>� �.���� �� ���� �� � ��� ���� ����% �� � ��� ���� ����% ������� �� ��?�� �� ���� ��������� �� ���

��� ���� ���� ���� ��) � ��� �)*� )�� )2�� ��� � ��� �� ���� ���� �� �� � / �� �� ��� �����

����� ��� � *� * ����% � ���� ���� �* �� ��� ���� ��� ��� ��

6� � � ) *

� �)� �

� ��� �* � 4 /

/ 4

� �� ����� �� ��� �����

����� ��� �� ��� ���� ��� ����% � ���� ���� �� � . �24/ *4

� ��

�� � � � �

/ �

� �� ��� �� � .� �� � � *A ��� �� � *4� �� � � �� &%� �������� �� ���� � � * ���

� � �(

�* � * �

/ �

� �* �

/ �

� �� 1 2�

/ =

� ���� �� � * �

/ �

� �1 2�

/ =

� �� . )=�

/ *4

� �

���� )=� � �24� � � � ��� '������ ��� � � * ��/ �

� ��

����� 6� � � � �� ��� � � �� �� � ��� ���� ��� ������� 8�� ���� �� �� ��� ���� ��� ������� ���� ))�))� **�**� � � � � ������

6� �� � � ��� ��� � ���

��) ���� ��� ���

��) ��� � ������ � �� ���� �� ��� �� ��� � �

� � � �� �� ���� ��� � � / � ��� � /� ���� � � /� ��� �� �� ��� ���� ���� ������ � �� ���� ��� � � � ��� � � /A ���� �� � � � � ��� �� � /� 7�� � � � �� ������� @���� ���� �� ��� ������ *�2���A �� �������� �� � � ��� �� � ��� �� %�����9

�7'8� *9 '6:;5<' $ 0'�<3�;� 1=

Page 51: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

2. Algebra of Matrices Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

����� � �� � � ������� ��������� � ���=�5�� �

���"� E���� ���� � ��� ��� �� �� �������� ������ �� ������� � ���� ��� �� � �� �����#������� � ���� �� � ��(

�� � �2 �4 )

�4 . *

) * �1

��

��� ��� � �

/ 1 ���1 / 2

� �2 /

��

��� �� � � / / /

/ / /

� �

�� 5� ���������� �� ������� ����� ���� ��� � �� �� ��� ����� � �4 ��� �4� ) ��� )� * ��� *����� � �� �������� ���� ������� ����� � �����

��� 5� ���������� �� ��� ���� ����� � ��� /� ��� �� ������� ������ 1 ��� �1� �� ��� �� ��� 2��� �2� � � ����� �� ��� ���� 7�� � �� �?�,��������

�� ���� � �� ��� ����� � �� ���� ������� �� �?�,��������

���$� ��� � ��� �� �� � � 1 � *

*� � � � )

� ��� ��������

�� �� ������� ����� � * ��� *� � � ���� �� ��� ���� �������� *� � � � � * � � � 2�

7�� � � 1 4

4 >

� ��

���0� 6� � � �� ������ *� * ���� ���� ���� ����%-

��� 8��( 3� �� �� �� �� ��� �� �� �� ��� * �* � ) ���

� � �

��

� �� � � �

� �

� ��

��� 8�� ���� *�4( � ��� �� ���� ��

� � ��� � ��� �� ��� � ��� �

� �� � � ��� � ��� �

��� � � ��� �

� �

�� ������ ��� �� �� �� ����� �� �� �� ���� �� ��� �� � ��� �� ��������� ��� � �

* �* � )� �* �* � )� � �� � /

��������� �� ������� ��� �� ���� ���� ��� ��

* �* � )� �* �* � )� � �� � /

����� �* � )� * � �*� ���� � � ������ ���( � � �� ��� �� �� � /� �� � � ����� ����( � � ��� ��� ��� � � � /� �� � � �

���� ����� �� �������

� � �

��

� �� � � �

� �

� �

��� ���� * �* � )� � ��� �) � � )� 6� � ��� �� ��� �* � )� ���* �� �� � � ��� �� ���� ������ �����

2/ '6:;5<' $ 0'�<3�;� @�7'8� *

Page 52: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

2. Algebra of Matrices Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

���2� ��� � *� * ���� ���� ����% � ���� ��� �� �� � ��������� ������� �� ��� 1��&�����+ ��� 1� �� � ��

2� 12�� ���� �� 8���� *�*.�

� ��2

12

� 12

�2

� � �

�2

12

12

� �2

���9� ��� � �� � ���� ���� ����% ! ���� ��� ��� ��� � �������� �� �) � �)� )� )� ����* � �/��)� )�� ��������� �&�� ����� �� ����� �) ��� �* � ���� ������

��� ��� � ���+� ���� �� ���� ���� �� �) ��� �*A ��� ����� ������� �� � �) � �* � �*��)��)��6� � � �� ����% ���� ��� � �)� �*� ��A ��� �� ! � �� ����% ������� ��� � �� ������+�� ����� �� �� ����

� �) ) )

/ �) )

* �) �)

��

�� ��� ! �

)� �

�)�

�)�

�/ �)�

*�

)� *

�*�

>

� �)� >

� �)� >

��

��

������� � ������� =������ � � ��� �� � ������

����� ��� �% ��( �� � � �� 2 * 1

> 4 ) .

� �� ��� � �

*� � 2 .

�1 �� 4

�>� 2

��

��

<���� ���� �% � ��� � �� ���!� �� ������ �� �� ����

�� �% � � 2 >� 4

*� 1 )� .

� �� ��� �% � * � �1 �>

2� . � 4 �2 � �

����� ���� ���� � �)*� *

� *

� *� � )

�� *

�� �������

�� ��� �� � ��� �� ��������� ��(

)

�� *

� �*

� �� )

�� *

� �*

� �� )

= 1

=

� � 1

=� )

)

�� *

� �*

� �� � *

� �� )

�� *

� �� *

= 1

=

� � � *

= � 1

=

� �� /

� *

� �� )

�� *

� �� � *

� �� )

�� *

� �� 1

= )

= 1

=

� �� )

���� � �� �������

����� 8�� �� �����% ����� � �� ���� *�>( 6� � � � �����% ����%� ��� �� �������� ���������� ��� � �� ������� ���� �� ��� �� � ��� �� ��������� ��� ����� �� ������� �� � ����� ��������� ���

��� ���� �� ������ �������� �� �� ���� �� �� �. �� �� ��� ��� � �� � �� � ������%��

��� ���� ���� �� ����� �)� �*� � � � � �� �� �� ��� �� ��������� �� �� ��� � ���� �������� � ���� ���� �� ��� ���� �� �� ��� ������ �� �� �� ���� ��

�)� *� � � � � �� � ��)� �*� � � � � ��� � )��) *

��* � � � ����

������ � �� ������� ��� .)�.*� � � � �.� � ��� ���� ��� �.�) � �.

�* � � � � � �.

�� � �� ������� �� �% � 6�

��% � � ��� 5� ����% ��������������� � � . �.�

� � . � .�� ���� � �� ������� � ��� ��% � � 0���������

�7'8� *9 '6:;5<' $ 0'�<3�;� 2)

Page 53: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

2. Algebra of Matrices Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

� �� �% ��� ����� ��� ��� � ���� �� �� ��������� ��� �� ����� �� �������� �* ��������(

.) � .) � )� .* � .* � )� � � � � .� � .� � )� ��� . � .� � /� �� �� �

���� �� ��� �� � � ���� ����� ��� � ���� ���� �� ��� ���A ��� ��� ��� �� ��������� �� �������� �� ��������� ��� � �������� ����� ���� �� ������� �� � ���� ��� �� ��������� �� �������� ������ ���� ��� ��� �� ������ �� ����� �� ��� ���� ���� �� �����

����> � ������

����� ������ �� �������� ����? ������ ������ � ��������� �� �� ��� ����%�(

��

) �* / ) �

* � 2 4 �*� ) 1 2 =

��

��� ���

) �* / ) �

* � 2 4 �*� ) 1 2 =

��

��

��� �� ��+ �� ��� ����? ����% ��� ���� �� ��+ �� ��� ����?�

�� �� ����? ����% ��� ��� ��� �� ������ ��� �� ������� �� ������A ��� ��� ��+ �� *� �� ������? ��+� � *� *� *� *� ��� *� ) �� �� ��� ��A ��� )� *� )� *� ��� )� ) �� �� ����� ���

��� �� ��+ �� �� ����? ����% �� �� *A ��� �� ����? ��+� � )� � ��� )� * �� ��� �� �� �� ����

����� ������ �� ���� ����? ��������������� ��

� �) * )

� 1 /

/ / *

��

�� ��� � �

) * � )

1 2 > )

/ / / )

��

��

7 � � + ,

/)�* /

� ���� � � . *

/)�� �

� �� �� +�,�/�.� *�� � �� ��� ����?�� ��� /)�* ���

/)�� � +� ������ �� �� �������� ����� 7��

�� � +. +* ,�

/)�� /�

� ��

� / / /�

= )* )2

)= *> ��

� �

*

4

� � )

/

� ����

��� �

= )* )2 1

)= *> �� 4

/ / / *

��

��

����� 6� ) � ��� �������� �� � � ) *

� 1

� �� � � �2�� � � ) �

2 4

� �� ��� )*�

���� ) �� ����? ��� ����� ���� ��� ����?(

�* � 4 )/

)2 **

� �� �* � �*2�� �* � )> *1

1/ >1

� ��

��

)* �

4 )/

)2 **

*2

)> *1

1/ >1

������

������

������� ���� �������

���"� 6� � ��� ��� ���� � ����������� ��� �� � � � ���� ����%� 8��(

�� � � ����� � � ��� �������� � � � ����� � � ���������� � ������� � ���� � ����

������ � ��� � �� �) �

��� ���� � ����) ���

��

2* '6:;5<' $ 0'�<3�;� @�7'8� *

Page 54: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

2. Algebra of Matrices Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

�� - ��� ����� � � � � � �� ����� ���� �� � ���� / �� ��� ���������� ���

� ��� ���� � �� �)

� � ��

7�� � � ����� � �� �)

� � �� � �� �)

� � � � ��� ����

��� - ��� � ������� � � ��

��� �� ���

� ������� ���

���

����

� �� �

�� ���

� � � ������

�� D��� � ������� � ����� ���� � ���� ������� � � ������ � �� � ���� � ���� � ���

�:;;(����!&�+ ���?(��.

�5��� �# � ������

8����� *��4F*�1/ � �� �� �������� ������(

� � ) *

� �1� �

� � � 2 /

�> 4

� �� � � ) �� 1

* > �2� �

� " � � 4 �)1 �. =

� �

���$� ���( �� 2� � *�� ��� *� �*�� �� *� � �"�

���0� ���( �� �� ��� ������ ��� �� ��� ������ @&�� ���� ����� � ������9

���2� ���( �� �* ��� ��� ��� �" ��� �"� �� �"�

���9� ���( �� �� � ��� �� � �� ����� � ��� ���� � @&�� ���� ���� �� ����� �98����� *�1) ��� *�1* � �� �� �������� ������(

� � ) �) *

/ � 1

� �� � � 1 / ��

�) �* �

� �� � �

* �� / )

2 �) �1 *

�) / / �

��

��� " �

*

�)�

��

���

����� ���( �� �� � 1�� ��� ��� �� ��� ��� �"� ��� �"� � � � �"�

����� ���( �� �� � ��� ���� �� ����

����� 6� � � ) *

� >

� �� ��� *� � ����% � ���� �������� ���+� ���� ���� ���� �� � /�

���� 6� �) � �)� /� /�� �* � �/� )� /�� �� � �/� /� )�� ��� � �) * � 1�) �* �� �1) * � 1

��

��� ��� �)�� �*�� ����

����� 6� � � �/� � � � � /� )� /� � � � � /�� �� ) �� �� �� ���� ����(

�� � � � � � �� �� �� �� �� 3� � � � � �� �� ��� � ��� � � ��

��� ���� � ��� ��� ������ �� �� ��� 3� ���

� � ���� � �� ��� �� ��� � � ��

���"� 8�� ���� *�*����� ��� ����( ����� �� ��� � �� ��� ���� ����� � ����� � ������

���$� 8�� ���� *��( ��� �� ��� � �� �� � ���� ��� �� � ����� ���� � ��� �

���0� ����( �� 3� � ��� � +� ��� ��� �� ��� � +� ��� ��� 3� � ��� � +� ������� ��� �� ��� � +��������

�7'8� *9 '6:;5<' $ 0'�<3�;� 2�

Page 55: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

2. Algebra of Matrices Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

�% �� � ������- ��3�����

���2� ��� �� ��� ���� ��� ��� �� ��� �� �� �������� ������(

�� � �* �2 .

� �> �41 / �)

��

��� ��� � �

) � �1> ) 4

* �2 �)

��

��� �� � � 1 � �>

* �2 /

� �

8����� *�2/F*�2* � �� � � * �2� )

� �� � � 1 �*

) �>� �

� ) � > �1� �*

� ��

���9� ���( �� �* ��� ��� ��� � ��� ��� ����� ��� ��� � �� � *�* � 2� ���� � �* � �� )4�

����� ���( �� �* ��� ��� ��� � ��� ��� ����� ��� ��� � �* *� � **� ���� � �* � �� � >�

����� ��� � ���+� ������ ���� � ���� ���� )� � 1��

����� ��� �� ���� �� ��� �� �� �������� ������ ��� �� %�����(

� � 4 1

2 �

� �� � � * �

1 2

� �� � � 1 �>

�* �

� �� " � 2 �*

> ��� �

����� ��� �� ����� �� � �) ) *

) * 2

) � 4

��

�� ��� � �

) �) )

/ ) �)) � �*

��

���

����� ������ � �� �������� ���� ���� �� �� � ��� ��� � � �� :�� �� %���� �� � ���+� ����% � ���� ������ � �� ��� � �� ��

���"� ��� *� * ������� ������ � ��� � ���� ���� � � �� / ��� � � �� ��� ��������

���$� ����( �� � �� ������� �� ��� ���� �� �� �� �������� ��� �� �������� �� ������� ��� �������������� ���� ��� ��� ��) � ���)�� � �� 3� � ��� � +� �� � +� ������� ��� � �� ��� ��������

� 5�� � � ��� �5� � � ������

���0� 6� � � ��� �)� *���� ��� � � ��� �*��2� /�� ���(�� ��� �*� �*� ��� � ���� �� � ��� � �* 1� � �� �� ��) ��� ��)�

���2� 6� � � ) *

/ )

� ���� � �

) ) /

/ ) )

/ / )

��

��� �� ��� ��� ��� ��� ���

��"9� ��� ��� �� ���� ��� ������ � ���� ���� �* � �� ��( �� � � 1 *)

/ *2

� �� ��� � � ) 1

/ �=� �

��"�� 6� � � 2 *

/ �

� �� ��� ��� ����� � �� ����� � �� � ��� �� �� ����������(

�� � ��� � �* � 4� )/� ��� ���� � �* � *2� �� $��� � �* � 1�

��"�� 6� � � ) /

*> *4

� �� ��� � ����% � ���� ���� �� � ��

��"�� 6� � �) . 2

/ = 2

/ / 1

��

��� ��� � ���� ��� ����% � ���� ������� ��� ���� ���� ���� ���� �* � ��

21 '6:;5<' $ 0'�<3�;� @�7'8� *

Page 56: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

2. Algebra of Matrices Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��"�� D��� ���� �� ����� / ��� )� ��� �� ���� �� �� � ������ ���� �( �� ��� �������� ��� ���� ���� �� ���,��� ��� ��� ��� ���� ���� :����+ �� � � � �������

��"�� 6� "� � � � �� ����� ����% ���� �� �� �� ����� �� ����(

�� "�� � ��� ��� �"� � ��� �� "� "� � "�� � ��� "�"� � "��

��""� ������ �� � �� �� � ��� � � ��� ���� ����

�� ��� *� * ���+� ������ ������ �� � �� ��� ��� ���� ����

��� ������ � �� ���� �������� ���� ���� � ���� ���� � ��� ���� ����

����� � ����� �# �� � � ������

��"$� ��� �� �� � ���� ���� � �� �������� ��(

�� � �* � �

1 2 �

� ) 4

��

��� ��� � �

4 �> *�

� � �*� �* 2

��

���

��"0� ������ � �� � ���� ����%� ����( �� � �� �� �������� ��� � � �� �� �?�,��������

�� � � � �� �� � �� ������� ��� � �� �?�,��������

��"2� -�� � � 1 2

) �

� ��� �� ��� �� � ������� ����% � ��� � �?�,������� ����% ��

��$9� ������ � ��� � � �������� ���� ���� �� �������� � ���� �������(

�� � �� ��� ��� �� ��� ����� �� �� �*�

��� ��� �� � � /� ��� � ���� �� ��� ���������� � ����

��$�� ��� � *� * ���� ���� ����% ! ���� ��� �� �� � ������� ��(

�� ����1�� ��� �)� *��

��$�� ��� � �� � ���� ���� ����% ! ���� ��� ��� ��� � �������� ��(

�� �)� *� �� ��� �/��*� ��� ��� �)� �� )� ��� �)� /��)��

��$�� ������ � ��� � � ���� ���� ������� ���� ���� �� � ��)� �� � ���� ���� �����

��$�� -���� �� �� �������� ������ � �����G � � � �11 �

� �� � � ) �*

* �

� �� � �

) ) )

/ ) )

/ / )

��

���

������� � ������

��$�� ��� �� ����� �� �� � ���� ���� � �� 7������� �� � �� � * �

�� * / ) �

� )� � �)

��

���

��$"� ������ � �� � �����% ����%� ���� ���� ��% ��� �%� � 7�������

��$$� 6� � � � ���� ����%� ���� ����( �� � �% �� 7������� ��� � � �% �� �?�,7��������� � � � �� �� � �� 7������ ��� � �� �?�,7�������

�7'8� *9 '6:;5<' $ 0'�<3�;� 22

Page 57: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

2. Algebra of Matrices Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��$0� E���� ����� �� �� �������� ������ � ������(

� � �* � �

��*

��

�* � �*

� �� � � )

*

) )�

)� )

� �� � � )

*

) � �)

) )

) �) /

��

��

��$2� ������ � ��� � � ������� ���� ���� �% � ��)� �� � �������

��09� E���� ����� �� �� �������� ������ � �����( � � � 1 )

* �

� ���� � � ) /

)�

� ��

����> � ������

��0�� 6� & �) * / / /

� 1 / / /

/ / 2 ) *

/ / � 1 )

����

���� ��� ' �

� �* / /

* 1 / /

/ / ) *

/ / * ��/ / �1 )

������

�������

�� ��� &' ���� ����? ��������������� ��� ' & ��� ' ����? ��� ���� ������G

�� 3� &' ����? ��� ����G

��0�� 8������� ��� �� �� �������� ������ �� ���� �� ����� � ���� ����? ����% ���� �� ���� ��� ���� ����?��� �������(

� �) / /

/ / *

/ / �

��

��� � �

) * / / /

� / / / /

/ / 1 / /

/ / 2 / /

/ / / / >

������

������� � �

/ ) /

/ / /

* / /

��

��

��0�� ��� )* ��� ) � ��( �� ) �* / / /

/ ) 1 /

/ * ) /

/ / / �

����

����� ��� ) �

) ) / /

* � / /

/ / ) *

/ / 1 2

����

�����

��0�� � ��� ����% ) �� 8���� *�.�� ��� � �) � �� � ��� � �* 1� � 2�

��0�� ������ &0 � �& � � ��� ' � �'��� � ����? ������ �� ����� &' �� ���� ��� �� ���� �� ������� ����� ����? & � �� ���� �� �� ���� �� ��� �� ��� ����? '��� ���� ���� &' � �( ��� ��( � �

�� & �'���

��0"� ������ ) ��� 1 � ����? ��� ���� ������ �� ��������� ����?� ��� �� ��� ��+� ���) � ��� �� � ��� 1 � ��� �� �� ����(��� ) 1 � ��� �� � �� ����� )1 � ��� �� � ������ �) � ��� ��� �� ���� � �) � � ��� � � �� �� �� ��� ���������� � ����

2> '6:;5<' $ 0'�<3�;� @�7'8� *

Page 58: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

2. Algebra of Matrices Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

�.@��. !� �:;;(����!&�+ ���?(��.

��!&! ��� � � �.)� .*� � � �� ����� � ����% � ���� ��� .)�.*� � � � �

���$� �� ��2� )/� *4���1�� ��� �)4� 1� �)*� )��� �� ��4��*4� ))� �.� �>���4�

���0� �� ��4� )1� �=��*.�� �*)� )/2��=.� �)4��*.2� *=>�A��� �2��)2� */� .� >/��2=�� �*)� )/2��=.A �)4��*.2� *=>�

���2� �� �4��>� �=� **�� ��))� �.� 24��)/>����� �))��=� )4� �4� 2����=�� �)2� �2��2� )/��=.� >=�� �� ��� ����

���9� �� �)� �� *��1�� �2��>� /� 4�� �2��2� )/��1/�

����� �� ��)����� ).� 1� )4� /�� ��� ��2��**� 1� 2� ))�����)*� ).���� �))��)*� /��2� �)2� 2� .� 1�� ��� �=� =�� ��� �))� =�� � � � ��� ����

����� �� �)� /� �)� �� *� 1�� ��� �1� /���� �4��>� )*� 1��.� >9� �� ��� ����

����� �*� 1� >� �)��*����

����� �)� *� �� 1�� ��)� �*� ��� �1�� �)� *� �� 1�

���2� �� *��>��)� ���� � �2� ��� )� )��)� ���� � )� �� ��� ����

���9� �� ��))��)2A =��)1�� ��>4� 1/� �*1��2=�� ��� ��2/� 4/� �1*��1>�� ���� � /

����� �� �)1� 1� �*� �1�� �>/��2*� *>��*///�� ��� � ��� � /� ��1� )/� �2� 1>�

����� � � �*� ��

����� ����1� �2� 4�� �� 2*� �*A *��)�� ��� ����� �)�� *

�A *�� 2

��

����� �)� )��)� *��2� �� �)� *��)�� �)� )� /� �)���� )� �)��1� )�

����� � � �)� *� )� *�� � � �/� /� )� )�� � � �*� *� /� /�

���"� � � �)� *� /� ��� � � �1� �� �� /�

���$� �� % ��2 D� 8���� *�1.

���0� �� �� � ��� �*��)/� /�� �* � ��� �)� 1� =�� �* � ��� �1� *2� /������ � ��� � ��� �*� =� ).�� �� ��) � ��� �)� )

*�� )

��� ��) ��� ��� %���

���2� �� �)� *�� /� )�� ��� �)� �� )*��� � )�� /� )� �� /� /� )�

��"9� �� �*� �� /� 2�� ��*���� /��2�� �*��4� /� 2�� ��*� 4� /� 2�� ��� ���

��"�� �� � � *� ��� � � �2� �� ���

��"�� �)� /� *� ��

��"�� �)� *� )� /� �� )� /� /� *�

�7'8� *9 '6:;5<' $ 0'�<3�;� 24

Page 59: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

2. Algebra of Matrices Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��"�� '�� ���� ���� �� ��� ���� ���� � / �� � ��� ���� ���� ��� ��� ��� ���� ���� ���� � ) �� � ���,��� ���� �� . �*��� ��� *> �*���)��*�� �� *� �*����)��*��

��""� �� � � �)� )� /� /�� � � �)� *� �� 1�� � � �1� >� /� /�

��"$� �� � � 1� � � )� � � �� ��� � � /� � � �>� � ��� �� ����

��"0� �� % ��2 6� � � )*�� �� � ��� � � )

*�� � �� �

��"2� � � �1� �� �� ��� � � �/� *� �*� /�

��$�� �� ��2� � 1

2A 1

2� �29� ��� �)�

2�

� *� 2

�� *�

2

�� �)�

2� �

��$�� �� �)� )1

�� *�

)1

�� ��

)1

�A /��*�

)��

� �� )�

�A )*�

)24

�� ���

)24�

� �*� )24

� ���� �)�

))�

� �� ))

�� )�

))

�� )�

*

�� /��)�

*�

� �� **

�� �*�

**�

� �� **

� �

��$�� ���

��$�� � � �� � � /� � � �

��$$� �� % ��2 6� � � )*�� �% � ��� � � )

*�� � �% �

��$0� �����

��09� �

��0�� �� &' � ��� ��4� >� )4� )/�� ��)� =� 4��2�� ��� ��� �� ��

��0�� �( ��� ���� ��� ��� ����� ��� ���������A�( ��� ���� ����� ��� ���� ��� ��������� ��� ���� ����� ��� ���� ��� ���������A�( � ����� F �� ���� ���������� �� � �� ��������

��0�� �� ) * � ��� ��1�� �=� .� 1� =�� �=���)� � ��� ��.�� �*2� 11� **� *2�� �*4��

��� ) * � ��� ���� 1� .� ))�� �=� )*� *1� ����)� � ��� ��))� )2� �/� 1)�� �24� 4.� )2>� *)���

��0�� �� ��� ��4�� �.� *1� )*� .�� �)>��� ��� ��� ��*� .� )>� ).)9� �.� */A 1/� 1.)��

2. '6:;5<' $ 0'�<3�;� @�7'8� *

Page 60: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

3. Systems of Linear Equations

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

������� �

�� �� �� ��� �����������

��� ����������

������� �� ��� �������� ��� �� ��� ���� ��� �������� �� � ��� ������� �� ��� ���� �� ������� ���� � ����� � ��� ���� � ����� �� ����� ��� ������ �� � ������ �� ��� ��������� ������� ��������� �� ������ � ��� ������ � �� ������� �� ���� ��� ���� �� ������ ��� � �� ��� ���� ����� ���� �� ��� ���� ��� ����� � ��� �� ��� ������ ��� ��� �� ���� � ��� � ��� ��� �� ������� ����� ���������

� �� ������� �� ��� �������� ����� ���� � �� ���� ���������� ��� ���������� ��� ���� ���� ���� ���� � �� ��� ����� ��� �� ��� � � ����� �� ��� � ���� ��� � ��� ���� ������� ���� � �� ���� � � � �� ����� �� ���� �� ���� ���� ���� � �� ��� �� ��� ��

��� ���� ����������� ��������

��� ������ ���� ���� �������� ��������� ��� ��� ������� �� ������� �� ��� ��������� �������� ��� ���� �� ����� ���� ������� � �� � ����� ��� �

������ �������� ��� ���������

� ������ ������ � �� ����� �!� �"� � � � � �� � �� ������� ���� ��� �� ��� � ��� ������ ����

�!�! � �"�" � � � � � ���� � � �#�!���� � �!� �"� � � � � ��� ��� � � � ���������� ��� �������� �� � ���� ��� ��������� �� �� � ��� � � ���� ������ �� ��� �� ��� ��������

� ������ �� ��� ��� ������� $#�!% � � �� �� ����� �� ��� �� ����� � � ���������� � ����� ���� ���

�! � �!� �" � �"� � � � � �� � �� � � ��!� �"� � � � � ������� ���� ��� ������ ��������� $������� �� ���������� �� �� �� � ��� �������% � � ��&

�!�! � �"�" � � � � � ���� � �

�� ���� � ���� �� ��� ���� �� �� ��� ��������

'(

Page 61: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

3. Systems of Linear Equations

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

�� ��!" )������ $#�!% ����� ������� ��� � � �� � �� �� �� ��� �� ������ �� � �� �� ��������� ���� �� � ����� ��� �� � �� ��� �� ������ �� �� � �� �� �� �� ������ ��� �� �� �� �� ��� �� ������ ��� ���� � �� � �� �� �� ������

������� � *����� ��� ������ ��� ������� � �� �� �� ����� �� �� �&

�� "�� #� � +

,� ���� ���� � � '� � � "� � � !� � � ���������� ��� ����� � �'� "� !� � � ������ �� ��� �������� ���� ��

'� "�"� � #�!� � + � '� -� # � + � + � +

�� ��� ���� ����� � � �!� "� #� � ��� � ������� ����� �� ����������� �� �� ��� ��� � � �� ���������&

!� "�"� � #�#� � + � !� -� ( � + � � - � +

�#��� �$ ������ ���������

� ������ �� ��� �������� � � �� �� ��� �������� ��� ��� ���� �� ������ �� �� ���� � ������� �� � ��� �������� �!� �"� � � � � �� � � �� ����� �!� �"� � � � � �� ��� �� ��� � ��� ������ ����

�!!�! � �!"�" � � � � � �!��� � �!

�"!�! � �""�" � � � � � �"��� � �" �#�"����������������������������������������������������

��!�! � ��"�" � � � � � ����� � ��

��� � ��� ��� ��� �� � � ���������� ��� ����� ��� � ��� ��������� �� ��� �� ���� �� � ��� ������� ������ ��� ����� �� � ��� ��� �� �� ��� ������� ���

��� ������ $#�"% � ���� �� �� � $ ���& � �� �% ������� �� � ���� � ���� � �� � � � �� ���� ��� ��� ����� � �� �������� � ���� �� ��� ����� � �� �� ������

��� ������ $#�"% � ��� �� �� ��������� � � ��� �������� �� �� � � .� �� ���� �� � �! � /��" � /� � � � � �� � /� ���� ��� ��� ������ � ��� �� �� ������������ �

� ����� $� � �������� �����% �� ��� ������ $#�"% � � �� �� ����� �� ��� �� ����� � ����������� � ����� � ��� ���� � � ������ �� ���� �� ��� �������� � ��� ������� ��� ��� �� �������� �� ��� ������ � ���� ��� ����� � � ��� ������� ����� �� ��� �������

������� �� *����� ��� ������ ������ �� ��� ��������&

�! � �" � -�# � #�- � '

"�! � #�" � �# � "�- � !

�! � "�" � '�# � -�- � #

�� � � #� - ������ ���� � ��� # �������� � - �� ������ 0��� ��� ������ $�% � ��1� +� !� !� ���$�% � � ��!/� '� !� "� � � ������� �� ��� �������

$�% ��������� ��� ����� �� � ���� �������� �������

�1� +� -�!� � #�!� � ' � �1� +� -� # � ' � ' � '

"��1� � #�+� � !� "�!� � ! � �!+� !1� !� " � ! � ! � !

�1� "�+� � '�!� � -�!� � # � �1� !"� '� - � # � # � #

2��� � � ������ �� ��� ������ ���� � � � ������ �� ���� ��������

$�% ��������� ��� ����� �� � ��� ���� ��������� �������� �������

�!/� '� -�!� � #�"� � ' � �!/� '� -� + � ' � ' � '

"��!/� � #�'� � !� "�"� � ! � �"/� !'� !� - � ! � �1 � !

3�� � � ��� � ������ �� ��� ������� ���� � � ��� � ������ �� ��� ������ �������� $,� �� ��� ���� ����������� � ��� ��� �� � ��������%

+/ �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� :*;�<� #

Page 62: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

3. Systems of Linear Equations

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��� ������ $#�"% �� ��� �������� � ��� �� �� ��� � �� � � ��� ��� � �� � �������� ��� � ���� �� �� ����� � �� � � ��� �� ������� �� ��� ��� � �� ���� � � ������ ���� �� ���� � � ��� ����� � � ��� �����= ��� �� ���� �� ���� ��� ������ ��� ���� �����

�%���� ���" ������� ��� ��� � � ������ ���� ��� ������ � �� ��� �������� ��� ���� &$% � ����� ������� $% �� ������� � $% �� ����� ����� �� ��������

��� ������� � ���� �� � 5�� #>!� ��� �� �� ����� ���� � ������ �� ���� ���� ���� ��� ������� ������� �� ��� �������� � ��� �� ����� $������ #�-%�

��& ����� ��� ���$'(���� )����(�� �$ � �#���

*����� ���� ��� ���� � ������ $#�"% �� � �������� � � �� ������ ���� � ������ ��� ������������ � ��� ������ ��� ��� ���&

� ��!! �!" � � � �!� �!�"! �"" � � � �"� �"�����������������������������������������! ��" � � � ��� ��

����

���� ��� � �

�!! �!" � � � �!��"! �"" � � � �"����������������������������������! ��" � � � ���

����

����

��� � �� ��� = � � ���� ��� ������� ����� �� ��� ������� ��� ��� ������ ��� = � � ���� ������������ ������

��� ��������� ��� = � � ���� ��� ��� = �� ����������� ���� � ��� ��������� ��� = � ��������� ��� ����� �� ���������� ���� ��=�� � �� � � ���� �� ������.� ��� ��� �� �� �� � � ��� � �������� ��� ����� ����� �� ���������� ��� ��������� ��� = � ��� ��� ��������� ��� = � �� ��������� � )=���� #�" � � �� �����&

� �! ! - # '

" # ! �" !

! " �' - #

��

�� ��� � �

! ! - #

" # ! �"

! " �' -

��

��

�� �=������� � ������� �� � ��� ������ �� � �=���� ��� ���� ���� � ��� ����� �� ����������*�� �� � ������ �� ��� �������� � �������� ���� ���� �� �� ��������� ��� = � � ��� ���

�� ��� ��������� ���� �� �� � �� ������� �� �� ������� �� ��� ������� ��� ���� ����� �� ��� ������� �� ��� ���������� �� �� �� ����� �=���� �� ��� ��� ������ ���� �� ������� �� ������������ �� ��� �������

��&� �*�

*;�<� #? �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� +!

Page 63: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

3. Systems of Linear Equations

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

�&������� ������ ���������

� ��� ������� � ��� �� �� ��������� � � ��� ���������� � � .� �� ���� �� � � ��� ��� �� �

/�! � /�" � � � � � /�� � � �#�#�

��� ������ �� ���� �� ������� ��� ������� �� ��� ���� �� ��� �������� �� ��������&

$% �� � � /� ���� ��� ������� ��� �� �������

$% �� � � /� ���� ��� � ����� � ��!� �"� � � � � ��� � �� � � �������

��� ������ ���� �� ������

�%���� ���" 6�� � �� � ������ �� ��� �������� ���� ������� � ������ ��� ������� �� ��� ����������� ��

$% �� � � /� ���� ��� ������ � ��� �� �������

$% �� � � /� ���� � ��� �� ������ � �� ��� ������ ������ ������� ��� ������ ��� ����� �������

<� � $% ����� � �� ��� ���� ���� ��� ������ ��� ������� ��� �� ������� �� ��� ������ ��� �� �������<� � $% ����� � �� ��� ���� ���� ��� � ������ � �� � � ������ �� ��� ������ ��� ��������

������& �!��+� �� � �����&������� ������ ��������

3�� �� � �� � ��������� ��� ��� �������� ��� ����� ��� � �� � �� ��� ���������� �� � � � ���.� �� @� ��� ������� ������ �� �� �� ���� ��� � �� �� ���� � � ��� � ���.� � ���������� 5� �=����� �# ��� � � � ��� ����� �� ������ ���������� � ��� ��������

/�! � /�" � '�# � +�- � /�' � 1�+ � A ��� /�� "�� -� � '

,� � ������� ��� �� �� ��� .� � ����������� �� ��� ����� �������� ���� �� � ���� ��

'�# � +�- � 1�+ � A ��� "�� -� � '

�� ���� � ����� ��� ����� �� ���� ����� � � ���

��� �,�-����� �.���)�� ���)�����. �/��������

*����� ��� ������ $#�"% �� � ��� �������� � � �� ������ 6�� � �� ��� ��� ������� ��������� ������� ��� � �������� �� ��������� �!� �"� � � � � ��� ���������� ��� ���� ����� ��� ��������������� ��������� �� � �� ��� ������ ��� �������&

��!�!! � � � � � ����!��! � � � � � ��!�!� � � � � � �������� � �!�! � � � � � ����

���� � � ���� � ������ ���������� �� ��� �������� � ��� ������� ��� ��� ���� ���� $< ���� #�-#%���� ��� ������ �� ��� ������ $#�"% � ��� � ������ �� ��� ��� ��������� ��

+" �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� :*;�<� #

Page 64: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

3. Systems of Linear Equations

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

������� �� 6�� �!� �"� �# ������� ���������� ��� �� �� �������� � )=���� #�"� 6�� � �� ��� ������� ������� ��

������� �!� �"� �# �� #��"� -� ��������� ��� ���� ������ 3�����

#�!� #�! � #�" � !"�# � (�- � !'

�"�"� �-�! � +�" � "�# � -�- � �"

-�!� -�! � 1�" � "/�# � !+�- � !"

����� �� #�! � '�" � !/�# � "(�- � "'

���� � � � ��� ��������� �� �!� �"� �#� �� �=������� ��� ������ � ��1� +� !� !� �� ��� ������ � ��� ������� �� �� ���� �� ���������� � �� �� ����� � � �� ���������&

#��1� � '�+� � !/�!� � "(�!� � "' � �"-� #/� !/� "( � "' � ( � (

��� ������ ���� �� �����

�%���� ���" ��� ������� �� ��� �������� ���� ��� ���� ������� � ��� ��� � ���� ������� ����� ������ � � ��� ��������� �� ��� �������� � ��� ���� �������

��� ������� �� ��� �������� � � ��� �� �� ��� ���� � ���� ���� ��� ���� �������� ��� ��=���������� ����� ��� ��� �� ����� �������� ������� �� ��� ���������

��� �����# �0��������

��� ������ ��� ����� �� � ������ �� ��� �������� �!� �"� � � � � �� � � ���� ����������������� �

�)! ���� ������ ��� �� ��� ��������� ,� ������ ���� ��� �������� �� ��� �� � � ��� ������� ��� ���&

BB���� ������ �� ��� ��CC � BB�� �� ��CC

�)" 7����� �� ������� �� � ���.� � ����� �� ����� ,� ������ ���� ������� �� � ������ �� ���

$��� � � � /% �� � ���

BB7����� �� �� ���CC � BB��� � ��CC

�)# 7����� �� ������� �� ��� ��� �� � ����� �� ������ ������� ��� ����� ,� ������ ����������� �� � ������ �� ��� ��� �� ��� ��� �� �� � ���&

BB7����� �� �� ��� � ��CC � BB��� � �� � ��CC

��� � �� � � �)" ��� �)# ��� �� ��� �� BB ������CC�

��� ��� � ��� �� �� ��� ����� ������� � ��� ����� � �������� � ��� ������ ���� �� $� ���� �< ���� #�-'%�

�%���� ��1" ������� � ������ �� � �� ��� �������� � ������� � �� � ������ � �� ��� �������� �� � ���� �������� �� ������� � ��� ������ ���� � ��� � ���� ��� ������������

�� ��!" �������� $��� �� ���� � ������ ���� � ��� ���� ���� � � � ����� �% �� ��� �����)" ��� �)# � ��� ����� ���� �� �� ��� ���� ��� ������ ��� ����&

�) 7����� ������� �� �� ��� ��� �� ��� ��� � �� $��� � � � /%� � ����

BB7����� �� �� ��� � � ��CC � BB��� � � �� � ��CC

,� ������.� ���� � ��� ����� �)# ��� :)?� ��� ������� �� � ��������

*;�<� #? �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� +#

Page 65: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

3. Systems of Linear Equations

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

D������ �������� �� ��� ������ �� ����� ��� ������ �� � ���� ������ �� ��� ��������� ������� �� ���� ��� ����� ��� ����� �� � ����� � � ���� ������ ��� �� �������������� ����� ������ ��� �� ���� ��������

��� ����� �� D������ ������� � � �������� � ���������� ��������

��1 �)��� �,��� �.���)� �� ������ �,������

��� ������ ������ � ��� ����� ���� �� ��� ������� � ��� �� ����� ��� ��� �������� � ����� ������ ����� ���� ������� � � � ����� ���� ���� ���� ��� ������ ���� ��� �� ���� ��������� ���� ��� ��� � ��� ��� ������� ��� ���� � �����

������ �������� �� ��� �!��+�

��� ������ ���� ���� ���� � � ���� � < ���� #�'�

�%���� ��1" *����� ��� ��� ������� �� � ��

$% �� � � /� ���� � � ��� � � ����� ������ �� �� � ��

$% �� � � /� ��� � � /� ���� �� � � ��� �� �������

$% �� � � / ��� � � /� ���� ��� � ���� � � � ������ �� �� � ��

������� �� ����&

$�% -�� ! � �� +� $�% "�� '� � � �� #� $�% -� �� # � "�� !� ��

$�% 7�� �� ��� ������� � ������ � �� � ������� #� � A� ���� � � A#� ��� ����� ������ :���� �� #�-$%?�

$�% 7�� �� ��� ������� � ������ � �� �� ������� /� � 1� ��� ������� ��� �� ������ :���� �� #�-$%?�

$�% 7�� �� ��� ������� � ������ � �� �� ������� /� � /� ���� ��� � ���� � � � ������ :���� �� #�-$%?�

�#��� �$ �+� ������ ��������� �� �+� �!��+�� 2�� � �#��� 3

*����� � ������ �� ��� ��������� ��� ��� �������� � ��� �� ����� � ��� �� ���� ��� �� ���� ��� ������ � �� �

�!�� �!� � !!

�"�� �"� � !"

�#�-�

���� ��� �������� � � ��������� ���� �! ��� �! � � ��� ���� .� �� ��� �" ��� �" � � ��� ���� .� ����� ���� � ������ �� ��� ������ $#�-% ������ �� ��� �� �� �� ����� �� ������� � 5�� #>!� �� � �

��� ��� �� ���� �� ���� ��� � ��� �� ���� ������� � � �� � ��� ���� �" ��� ��� �� �� ����� ��� ������ ��� ������ ��� �� ���� �� � 5�� #>"� ��������&

$!% "�� � �� �� ������ ��� ������;� � ��� ��� ��� ��� ���� � ��� ���� :5�� #>"$�%?� ��� ���� � ���� ��� ��� ���� ������ ������ � ���������� ���� ��� ���������� �� � ��� � � � ��� � ��� ����&

�!

�"

� �!

�"

� � ���������� �!�" � �"�! � /

5� �=����� � 5�� #>"$�%� !�# � �!�"�

+- �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� :*;�<� #

Page 66: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

3. Systems of Linear Equations

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

$"% "�� � �� �� �� ������;� � ��� ��� ��� � � �� �� :5�� #>"$�%?� ��� ���� � ���� ��� ��� ���� ��� ���� ����� ������� ��� � ��� ������ � ����

�!

�"

� �!

�"

� !!

!"

5� �=����� � 5�� #>"$�%� !�" � #�+ � �#�1�

$#% "�� � �� �� �� ������ ����� �� ����� �;� � ��� ��� ��� ������ :5�� #>"$�%?� ��� ���� � ���� ��� ��� ���� ��� ���� ����� ��� ���� ���� ������ � ���� ��� ���������� ��� ��������� � � � ��� �����

�!

�"

� �!

�"

� !!

!"

5� �=����� � 5�� #>"$�%� !�" � "�- � -�1�

�� ��!" ��� ������ �=� ����� ��� �� ���� � ���� � ��������� �� ����� ��&

�! �!

�" �"

�������� � �!�" � �"�!

0��� ������ � �� ������ � *����� (� ���� ��� ������ $#�-% ��� � ����� ������ � ��� ��� � ������� ����� �� �� ���������� � ��� .� �� $,� ���� ��� ���� ��� ��������� � � �� �� ��� ���� � �������� ��� ���������%

��� ������� ��&����%

��� ������ �� ������ $#�-% ��� �� ������� �� ��� � ����� �� �������� ��� ��� �� ����� ��������� �� � ���� ������� � ��� ��� �� ����� ������� ��� ������ ��� � ����� ������� ���������� ��� ��� ��� ��� �� ���

��&� �*�

y

L1

x

L2

0–3 3

–3

3

L x yL x y

1

2

: – = –1: 3 + 2 = 12

6

y

( )b

L1

x

L2

0 3

–3

3

L x yL x y

1

2

: + 3 = 3: 2 + 6 = –8

6

–3

y

( )c

L L1 2and

x0 3

–3

3

L x yL x y

1

2

: + 2 = 4: 2 + 4 = 8

6

–3

*;�<� #? �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� +'

Page 67: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

3. Systems of Linear Equations

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��&����% ���" ��� ���� ������� �� ��� ��������� ��� ��� �������� �! ��� �" � ��� �� �������� � ����� �������

/��� �� $5� �� � )������% 4���� ���� ������� �� � �������� �� ���� ��� ������ ���������� ����� �� ���� � � �������� �� ���� ���� � ��� ���� ��� ��� ��� �������� �� ����� � ���������� � ���� ��� ��� ��� �� �����

/��� � $@�� >����������% ���� �� ��� �� ���� � ��� ��� ������� � $���� ������� ��� ����� ����%� ��������� ��� ���� �� ��� �� ���� ��� ��� �� ��� � ��� ��������� ��� �������� �� ����� ��� ���� �� ��� ���� �� �����

<� � � �� ��� ��� #�! ��� �� ����� �� ��� ������ ���� � ��� ������ ���� ��� ���� � ������������ �� ���� � ����� ��� ��� ������� � � �� ������ ��� ��� <� � @ � ��� �����

������� � $9���� *���%� ���� ��� ������

�!� "�� #� � �1

�"� #�� -� � '

��� �� ���� � � ������� � �� ��� �������� �� �� ��� ��� ��� ������� � � �#�! � "�"� ���� �� ������� �! �� �# ��� �" �� " ��� ��� ��� ������ �������� �� �����&

�#�!� �+�� (� � "-

"�"� +�� 1� � !/

������ & !A� � #-

,� ��� ���� ��� ��� ������� �� �� ������� � � "� ,� ��������� � � " ��� ��� �� ��� � ��� ��������� ��� �!���� ���� �� ��� ���� �� ���� �� �������

"�� #�"� � �1 � "�� + � 1 � "� � �" � � � �!

���� � � �!� � � "� � ��� �� � ��!� "� � ��� ����� ������ �� ��� ������� ��� ����� ������ � �=����������� "�# � �#�-� :D����� ���� ��� ��� �� �������� �� ��� �������� ��� ���� �� ��� ���� ��!� "��?

������� �� $3������� *����%

$�% ���� ��� ������

�!� �� #� � -

�"� �"�� +� � '

,� ������� � � �� ��� �������� �� ������� �! �� " ��� ����� � �� �"� ���� �� �� �� ��� ��� ���������� � � "�! � �"� ��� ���� ��� ������ ��� �������

/�� /� � !#

���� ��� � ���.� � �������� � � !#� ���� ��� ������� ��� ��� ������ ��� �� ������� ��� � �=������� ����!���"� � �#�+ � -�'� $D����� ���� ��� ��� �� �������� �� ��� �������� � � �� ���%

$�% ���� ��� ������

�!� �� #� � -

�"� �"�� +� � �1

,� ������� � � �� ��� �������� �� ������� �! �� " ��� ����� � �� �"� ���� �� �� �� ��� ��� ���������� � � "�! � �"� ��� ���� ��� ������ ��� �������

/�� /� � /

��� � ��� �������� �� � � ��� .� �� ���� ��� ������ ��� �� ����� ����� �� �������� ���� �� ������ �� ���������� �� ���� �������� ��� � �=������� ���� !���"� � �#�+ � -���1�� $D����� ���� ��� ����� �������� �� ��� �������� �������%

++ �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� :*;�<� #

Page 68: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

3. Systems of Linear Equations

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

�� ��� ��� ���� � ������� �� � � �� ��� ��������� ��� �! �� �����

�� #� � - � � � #�� -

���� ��� ���� � ������ �� ��� ������ �

� � #�� -� � � � � � �#�� -� ����� � � $���� � ��������% � ��� ���� �

��4 �.���)� �� �����5��� �� ��6���� ���)

��� ��� ������ �� ����� ������� �� ��� ��������� D������ �������� � � ����� � ������#�+� ;� � �� ������ ��� ���� ����� �� ������� �� ��� ��������& ������� � � ����� �� � ��� ����� � ���� � ������� � ������ �� ��

�����&���� ���

*����� ��� ������ ������ �� ��� ��������� ���� � � �������� ����&

"�! � #�" � '�# � "�- � (

'�" � �# � #�- � !

A�# � �- � #

"�- � 1

���� �� ��� � �� �� ���� �! � ��� ����� �� ���� � ��� � �� �������� ��� ������ �� ���� �" � �������� �� ���� � ��� ������ �������� ��� �� ��� ����� � �� ���� � ��� ������ � ���� � ��� ��������� �� ���� � ������� �� ��� ��� �� ��� ����� �� ���� � ��� � ������ ��������

���� � � ����� ������ ����� ��� � ����� ������� ���� ��� �� ������� �� ����# � ��������� �&

$!% 5 �� ���� ��� ��� ������� �� ��� ��� �� ���� �� ��� �- � -�

$"% ���� ��������� ��� ���� �- � - � ��� ��=�>��>��� �������� ��� ���� �� ��� ��=�>��>��� �� �����# �� �����&

A�# � - � # � A�# � A � �# � !

$#% 3�� ��������� �# � ! ��� �- � - � ��� ������ �������� ��� ���� �� ��� ������ �� ���� �" �������&

'�" � !� !" � ! � '�" � !! � ! � '�" � �!/ � �" � �"

$-% 5���� ��������� �" � �"� �# � !� �- � - � ��� � �� �������� ��� ���� �� ��� � �� �� ���� �! �������&

"�! � +� '� 1 � ( � "�! � # � ( � "�! � + � �! � #

���� �! � # � �" � �"� �# � !� �- � -� � � ���������� ��� ����� � �#��"� !� -� � ��� ����� �������� ��� �������

�� ��!� ��� � � �� ��� ����� �� � �� ��� >���������� $���� � �� ���� ���� ����� ������� ���� ��� ��� = �� ���%� 3����� ���� � �� ����� ��� ���� �� ��� ��� �� ����� �� ��������� ������� �� ��� ��� �� ���� � � ��� � ������ �������� ���� � ����� �� ��� ��=�>��>��� �� ����� ������� � � ����� ������ ��� ��� ��� ������� ��� ��� ��� �� ����� 5� �=����� � ��� �����

*;�<� #? �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� +A

Page 69: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

3. Systems of Linear Equations

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

� ����� ������� �� ��������� �- � - � � ��� � ������ �������� �� ����� ��� � ����� ������

"�! � #�" � '�# � !A

'�" � �# � �!

A�# � A

,� ���� ����� ��� � ����� ���� ��� ��� ��� �������� ��� �� ���

�(%���� ��� � /�7�� ��� ���� -����8���

��� ������ ������ �� ��� �������� � ��� �� �� � ������� ����&

"�! � +�" � �# � -�- � "�' � A

�# � "�- � "�' � '

#�- � (�' � +

���� �� �� ������� � ������ ��� ��� ��� ����� �� ���� � ���� ������� ���� ���� ��� � �� � �� ��� ��� �� ��� ����� �� ���� � ��� � ������ �������� ��� ����� �� ����� � ��� ������� �!� �#� �-� � ����� �� � �� ���� ��� ��� ���� �� ������ �" ��� �'� � � ���� ���� �� �����

D��� �� ���� ��� �� ������� � �� � � � �� �� ������� ���� ��� ��� ������ �� �&

�!!�! � �!"�" � �!#�# � �!-�- � � � � � �!��� � �!�"�"��" � �"��"�!��"�! � � � � � �"��� � �"

��������������������������������������������������

��� � � � � � ����� � ��

�#�-�

��� � ! � �" � � � � � �� ��� �!!� �"�" � � � � � ����� � ��� .� �� ��� �� � �� ���� � � �!� ��"� � � � � ��� � 3���

���� � � ����� ������ ��� �� ��� ������ ������ � ���� ��� � ��� ������ ���� �� $� ���� � < ���� #�!/%�

�%���� ��4" *����� � ������ �� ��� �������� � ������ �� �� ��� ��� � �������� � ��� ������ ��� � � � ��� ������

$% � � �� ���� �� ��� � � � �� ���� �������� �� �� ����� $� ����� �� �%� ���� ��������� ��� � ����� �������

$% � � �� ���� �� ��� � � � �� � �� ����� ���� ��������� ���� �� ��� � �� � ������ ����� �� ��� �� � � �� �� ���� ��� ���� ������ �� ��� � ���� �� ������������ � ������ �� ��� �������

������� �� ������ ������ ���� ������ �� � �� ����� ���� ��������� ������� ��� ��� � ������� ��� ������ ��� �� ����� ����� �� �������� ���� ���� �� ��� �� � � �� �� ���� ��� ��������� ��� ���� �

��� ���� � ������ �� � ������ ��� � �� �� ���� ��� �� ���� ��� � ���� �� ��� �������� ��������� �� ��� ��� ���� ��� ����� ������ ������ ��� � ��� � � � � � # �������� ��� � � ' �� ��������� ���� ���� � ���� ��� BB<� ���� � 5� �CC �� ��� ������� ��� ��� ���� ���� ���� � ���� ���BB5 ��>E� ��� 5� �CC�

/��� ����( ���

����� � �� � � ������ ���� �������� � �� ��� � �� �� ���� �" ��� �'� ��� �" � � ��� �' � �� ������� ��� ��� >���������� �� ����� ����� �� ��� ���� �� ���� �!� �#� �' � �� �� �� ��� �� ����� � � ����� ��������&

+1 �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� :*;�<� #

Page 70: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

3. Systems of Linear Equations

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

$!% ��������� �' � � � ��� ��� �������� ��� ���� �� �-&

#�- � (� � + � #�- � +� (� � �- � "� #�

$"% ��������� �- � "� #� ��� �' � � ��� ��� ������ �������� ��� ���� �� �#&

�# � "�"� #�� � "� � ' � �# � -� 1� � ' � �# � !� 1�

$#% ��������� �" � �� �# � !� 1�� �- � "� #�� �' � � ��� ��� � �� �������� ��� ���� �� �!&

"�! � +�� �!� 1�� � -�"� #�� � "� � A � �! � -� #�� (�

���� ����� ��� ���� � ������ � ��������� ���� �

�! � -� #�� (�� �" � �� �# � !� 1�� �- � "� #�� �' � �

� � ����������

� � �-� #�� (�� �� !� 1�� "� #�� ����� � � ��� � � � � �� � � ����� ��

����*-����8�� ���

9�� ��� >���������� �� ���� �� ��� ���� �� ���� �!� �#� �- � ���� � �� �� �� ��� � �� �� ���� �"��� �'� ���� �� ��� ��� ������� ���� �- � "� #�'� ���������� � ��� ������ ������� �����# � !� 1�'� ��� ���� ���������� � ��� � �� ������� ���� �! � -� #�" � (�'� ���� �����

�! � -� #�" � (�'� �" � � �� �� ���� �# � !� 1�'� �- � "� #�'� �' � � �� �� ���

� � ����������

� � �-� #�" � (�'� �"� !� 1�'� "� #�'� �'�� ��� ����# ������� ���� �� ��� ���� � ������ �� ��� �������

,� ������.� ���� ��� � � �� ���� ���� ������� ��� ����� ��� �� �� �� ��� ���� � ������� ��� ������ �� ��� � ��� ���� �� �� ����� ��� ���� � ������ � ���� � ����� �� ������

�� ��!" � �� ���� ������ �� ��� ����� ������ ��� �� ����� �� ������� ��� ����� �� ��� � ���� ���� ��� ���� ����� �� ��� ���� �� ���� �� ��� >����������� 5� �=����� ������ �" � ! ����' � !� �� �����

�- � "� # � '� �# � !� 1 � �A� �! � -� #� ( � �1

���� � ��1��!� A� '� !� � ��� �� ���� ������ �� �������� �� �" � ! ��� �' � !�

��9 5������ ���)�������

��� ��� ������ �� ����� ��� ���� � ������ $#�"% �� ��� �������� � ���� $� �������������� �� �������� ������� �� ��� �� ��&

/��� �� $5� �� � )������% ����>��>���� ������� �� ��� ������ ����� ���� � ������ ��� ���������� �� ������ $���� ������� ��� ������ ��� �� ������% � �� �������� ���� ������ �� ����� � ������ �� ��

/��� � $@�� �� � )������% ����>��>���� ��� >���������� �� ��� ��� ������ �� ��� ���� �������

*;�<� #? �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� +(

Page 71: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

3. Systems of Linear Equations

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

<� � @ ��� � ���� ���� ���������� � ������ #�-� ���� ����� �� ���� ��� ��� ��� ��� ��� �� <� � �� ���� � �� ������

��&����% ��� $�� 2/��� �3"

��0��" ��� �� � ������ $#�"% �� ��� ���������

��� ������� ���0" 5�� ��� � �� �� ���� � ��� ������ ��� � ���.� � ��������� $���� ��� ���� ���!%�

$�% � ���� �� ���� �!! � /� ���� �� � ������� �� ��� ������ �������� �� ���� ��� � �� �� ���� �!����� � ��� � ���.� � ��������� � ��� � �� ��������

$�% 9�� �!! � � �� � �� ������ �! � �� � �������� �=���� ��� � �� �������� ���� �� �� � � !&

�!� ��� � � ���!��!!� �"� 7����� �� �� ��! � ��

��� ������ ��� ��� ��� ������ �� �&

�!!�! � �!"�" � �!#�# � � � � � �!��� � �!�"�"��" � � � � � �"��� � �"������������������������������������������"

��" � � � � � ����� � ��

��� � �! ���� ��� ����� � ��� ������� �=���� ��� � ��� �!! � /� ��� ��" ������� ��� � �� �� ������� � ���.� � ��������� � ��� ������� ���� ���� ��� � ���

$�% )=���� ���� ��� ������� ��

$!% �� � ��� ��� �� � /�! � /�" � � � � � /�� � � ��� � � /� ����

���<

��� ������ � ����� � �� ��� ��� �� �������

$"% �� � ��� ��� �� � /�! � /�" � � � � � /�� � / � � � � � ����� �� ������ �������� ���� ������ � �� ��� �������

��(������ ���0" 7����� ��� )������ ���� ��� ���� ��� BB���� CC ��������� �� ��� �� � ����������� �=����� ��� � �� ��������

���0��" 5���� ��� ������ � ������ �� � ����� � ������ �� �� � � ������ ��� ������� ��� �������� � ������� ������� �� ���������� �������

��� ��=� ��� � ��� �� ��� )������ ���� � ��� ��� #�"�

$!% ��� ������ ����� � � $�% � ���� ��� ��������&

� � � ��!

�!!� � ��������� �� �� ������

����

$"% ��� ���� ��� ������ ���� ��� ������ ��� ���� � $�%&

7����� �� �� � ��!�! � �!!��

��� ���� ���� � ������ � � ��� ���� � �� � � ���� ����� ��

A/ �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� :*;�<� #

Page 72: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

3. Systems of Linear Equations

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

5������� ��� ������� �:� 0��

;� � �� ��� ��� � ���� D������ ������� ���� ��� ������ ������ �� ��� ��������&

�!� �� #�� "� � +

�"� "�� -�� #� � 1

�#� �#�� +�� 1� � �'

%�� �& ,� ��� ��� ��������� ! �� � � ��� � �� ������� �! �� ��� ���� � � �� �� ������ � � �� ��������� ������� �" ��� � �� ��� �� � ������� �#� ��� � ���������� �� �����&

$!% 4���� �! �� ��� ����� � � �" ��� ��� � �� �"F ���� �� BB7����� �" �� �"�! � �"CC�

$"% 4���� �! �� ��� ����� � � # ��� ��� � �� �#F ���� �� BB7����� �# �� #�! � �#CC�

����� ����� ���

��"��!� �"�� +�� -� � �!"

�"� "�� -�� #� � 1

3�� �"� "�� � � �-

#�!� #�� (�� +� � !1

�#� �#�� +�� 1� � �'

3�� �#� "�� � � �-

���� ��� � ��� ������ � ������ �� ��� ������ ������&

�!� �� #�� "� � +

�"� "�� � � �-

�#� �#�� "� � !#

$3��� ���� ��� �������� �" ��� �# �� � � ��������� ��� ��� ��� ������� ��� ��� ��� �� ���� ���� ���� ��� �������%

3�=� �� ��� ��� ��������� " �� � � ��� $���% ������ ������� �" �� ��� ���� � � �� �� ������ �� �� ��� $���% �� � ������� �#� ��� � ���������� �� �����&

$#% 4���� �" �� ��� ����� � � #"��� ����� � �� �#F ���� �� BB7����� �# �� #

"�" � �#CC

$��� ������ BB7����� �# �� #�" � "�#CC� ���� � ���� � ������%�

��� ���� ����

#"�"� #�� #

"� � �+

�#� �#�� "� � !#

3�� �#�A"� � A

#�"� +�� #� � �!"

"�#� �+�� -� � "+

3�� �#� A� � !-

���� �� ������ � ������ �� ��� ������ ������&

�!� �� #�� "� � +

�"� "�� � � �-

�#� A� � !- �� A"� � A�

��� ������ � ��� � � ����� �� �� �� <� � � � ���������

%�� �& ��� ����� �� ��� �� ����� � � ������� � ��� �� � �� � �� �� �� �� ��� >�������������������&

$!% ���� �� � � �# �� ��� � � "�

$"% ��������� � � " � �"� ��� ���� �� � �� ��� � � �#�

$#% ��������� � � �# ��� � � " � �!� ��� ���� �� � �� ��� � � !�

���� ��� ������ �� ��� � ����� ������ ��� ����� ��� � ��� ������ � �� �����&

� � !� � � �#� � � " � � ���������� � �!��#� "��

*;�<� #? �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� A!

Page 73: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

3. Systems of Linear Equations

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��������� ��� ��

��� D������ ������� ��� ��� ������ �� ��� ������� �� ��� ��������� �������� �� ������� �=������ ������� �� ���� �� ��� �������� �� ������� � BB��������� �� ���CC� ��� �� ��� �� ��������� �� ��� ����� ������ �����&

3���� )������ ��� ����

�!� �� #�� "� � +

�"� "�� -�� #� � 1

�#� �#�� +�� 1� � �'

�" � "�� � � �- 7����� �" �� �"�! � �"

�# � � #�� "� � !# 7����� �# �� #�! � �#

�# � A� � !- 7����� �# �� #�" � "�#

���� �� � �� �� � �� ���� ��� ����� �� ���� �� ��� � ��� ��������� �� �� ���� ��� D������������� ��� ��� �� ��� ������� �� ��� � �� ���� ��� ��� ��������� ��� �� ��� ���� ���������� ���� ��� ���� ����� �� ��� � ��� �� �������� �������� ��� ��� �� ����� � ��� $���� ���� ��� �������� �� � ������� �� ��� ������ �� ������ ��� ������� � ��� ���� ���� ����� ������ ��������%

��� ������ � � ����� �� � ������� �� �������� $!%� �" �� ��� �# �� ��� ����� � ��� ��� � ��������� �� � ���� ������ ��� >���������� �� ����� �������� ���� ���� � � !� � � �#� � � "�

�� ��!" �� ��� �������� ���� �� �� ��� �������� ��� �� ����� � ���.� � ��������� �� � ��������� ��� � ���� ���������� � ��� �� ��� �� ���� ������ �� ��� ��� �������� ���� ����������� ��� ��������

������� �� ���� ��� ������ ������& �� "�� #� � !

"�� '�� 1� � -

#�� 1�� !#� � A

,� ���� ��� ������ �� D������ ��������

%�� �& $5� �� � )������% ,� ��� ��� ��������� ! �� � � ��� � �� ������� �! �� ��� ���� � � �� �������� � � �� ��� ������ ������� �" ��� � �� ��� �� � ������� �#� ��� � ���������� �� �����&

$!% 4���� �! �� ��� ����� � � �" ��� ��� � �� �"F ���� �� BB7����� �" �� �"�! � �"CC�

$"% 4���� �! �� ��� ����� � � �# ��� ��� � �� �#F ���� �� BB7����� �# �� �#�! � �#CC�

��� ��� ����� ���

�� "�� #� � !

�� "� � "

"�� -� � -

� �� "�� #� � !

�� "� � "

$��� �� � ������� � ������� ���� � � � ����� �� ��� ������ ��������% ��� ������ � ��� � ������ �� � ���� �� �� ��� ��

%�� �& $@�� �� � )������% �� ����� ��� ���� � ������� �� ��� � �� �� ��� � � �� ��� ���� �� � ��� � ����� >����������� ��������� � � � � ��� ������ ������� �� ����� � � "� "�� ���� ��������� � � � ��� � � "� "���� ��� � �� ������� �� �����

�� "�"� "�� � #� � ! � �� -� -�� #� � ! � � � �#� �

���� ��� ������ � ��� ���� � ������ ��� � � � � �� ����� &

� � �#� �� � � "� "�� � � � � � ��#� �� "� "�� ��

A" �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� :*;�<� #

Page 74: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

3. Systems of Linear Equations

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

������� �� ���� ��� ������ ������&

�! � #�" � "�# � '�- � -

"�! � 1�" � �# � (�- � (

#�! � '�" � !"�# � !A�- � A

,� ��� D������ ��������

%�� �& $5� �� � )������% ,� ��� ��� ��������� ! �� �! � ��� � �� ������� �! �� ��� ���� � � �� �������� �! � �� ��� ������ ������� �" ��� � �� ��� �� � ������� �#� ��� � ���������� �� ��� ��������� �����&

$!% BB7����� �" �� �"�! � �"CC ��� $"% BB7����� �# �� �#�! � �#CC

����� ���&

�! � #�" � "�# � '�- � -

"�" � #�# � �- � !

� -�" � +�# � "�- � �'

,� ��� ��� ��� ��������� " �� �" � ��� ������ ������� �" �� ��� ���� ��� ��� ����� � � " � � �� �������� �" � �� ��� �� � ������� �#� ��� � ���������� �� ��� ��� ���� BB7����� �# �� "�" � �#CC� ���� �������� ��� ������ ��� �������

/�! � /�" � /�# � /�- � �#

��� ������� ���� ������ ��� � ��� ������ ���� �� ������&

0� 3�� *�3��39)

�� ��! �" �� � ��� ����� �=������ <� � � �� D������ ������� ��� �� ������ � ��� ��������� ��� � ������� ���� �� ������ � ��� ��� ������ � ���������� ���� ����� <� � @ ���� ���� ������� ���� � ������ ��� �� �������

�� ��! �" �� � ������ �� ��� �������� ��� �� � ���� ��� �� ����� ��� ��� ��������� ���� ���� �� �� � ��������� �� ��� ��� ��� = �� ��� �� ����� ��� ������� ��� ��� = �� ��� � ����������� �

��; ��6���� )�������� ��< ��������� ���)� ��< �,�-������

��� ��� �� ���� � ������ �� ��� �������� � �� �� �� ��� �� ��������� ��� = � ���� ������� ������ ����� ��� ������ �� ������ ��� ������� � ��� = �������� �� ���� � ��������� �������������� ���� �� ������ ��� ��� ��� ������� � �� ��� ������ � � ��� �� ���������� ��� ����

�(%���� )����(��

� ��� = � � ���� �� ������� ������ � � ��� �� �� � ������� ����� � ��� ������ ��� ����������� $��� � � ������� ������� ������ �� � �� �� � � ��� � �� ���.� � ������ � ��� ��%&

$!% � .� � ���� � ���� � � �� ��� ������ �� ��� ��� =�

$"% )��� ����� ���.� � ��� � � � �� � �� ��� ��� �� ��� ����� ���.� � ��� � � ��� � ������ ���

*;�<� #? �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� A#

Page 75: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

3. Systems of Linear Equations

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

���� �� � � ���� � �� ������ ��� = � ��� � �=�� ���.� � ��� ��

�!�!� �"�" � � � � � ����� ��� � �! � �" � � � � � ��

��� ��� � ��� �� ����

��� � / �� �� � � �� � � ���� � � �

��� ��� �� �!�! � �"�" � � � � � ����� ���� � � ��� ����� ���.� � ������� � ��� �������� ���� � � ����

��� �� � �� ��� ������ ��� =�

������� �� ��� ������ � �� ������ ��� = ����� ����� ���� ���� � ���&

� �

/ " # - ' ( / A

/ / / # - ! " '

/ / / / / ' A "

/ / / / / / 1 +

/ / / / / / / /

������

������

���� �� ���� ��� ����� � � � ������ !"�!-�!+�!A� ��� ���� � �� ��� ��� �� ��� ��� ������ 9��� ��� ������������� ��� ����� � �

�!�! � "� �"�" � #� �#�# � '� �-�- � 1

��� � �! � "� �" � -� �# � +� �- � A� ;� � � � -�

��+ ������(�� ���

� ��� = � � ��� �� �� � ��� ��������� ���� � � � �� ������ ��� =� ���� �� � � ������� ��� ������ ��� ��� $!% ��� $"%� ��� � � ������� ��� ������ ������� ��� � ��� ���&

$#% )��� ���� $����� ���.� � ��� �% � ���� �� !�

$-% )��� ���� � ��� ��� ���.� � ��� � � �� ������

��� ���� ���� ���� ������� �� ������ ��� = ��� � ��� = � �� ������� �� � � ���� � �������� ��� = ��� � ���� �� .� �� ���� ��� ����� :< ��� ��� $!% ��� $"%?� ��� � � ��� = � ��������� �� �� ���� ���� ���� ��� ���� ! :< ��� �� $#%? ��� ��� � ���� ��� �� .� �� ����� ��� �����:< ��� �� $-%?�

��� .� � ��� = / �� ��� �.� ��� ��� ������ ��� = ' �� ��� �.� � � ��� ���� ����� �=����� ����� ��� � �� ������� �� ��

������� �� ��� ������ � � ������ ��� ��� ����� ����� ���� ���� � ���&

" # " / - ' �+

/ / ! ! �# " /

/ / / / / + "

/ / / / / / /

����

�����

! " #

/ / !

/ / /

��

���

/ ! # / / -

/ / / ! / �#

/ / / / ! "

��

��

��� �� � ��� = � ��� �� �=���� �� � ��� = � �� ������� �� �� ��� ������ ��� = � ��� � �� ��������� �� ���� � ���� ��� ������ � ��� �� $-%� ���� �� ��� � � � ���.� � ��� � ����� ��� ������ ���� � ��� �� � ��������� � �� ��� = � ��� � �� ������� �� �� ���� � ������� ����� � ��� �� $#% �� � ��� �� $-%� ���� �� ���� ������ � ��� ���� �� ! ��� ��� � � � ���.� � ��� �� ����� ��� ������

A- �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� :*;�<� #

Page 76: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

3. Systems of Linear Equations

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��� �����# ��+ �0��������

������� � � � ��� = ��� ��� (!�("� � � � �(�� ��� ������ ��� ����� �� � � � ���� ������������ �������� �

�)! $7�� ���� ������%& ���� ������ ��� (� ��� (�� ��� ��� �� � ���� ��

BB���� ������ (� ��� (�CC � BB(� �� (�CC

�)" $7�� �����%& 7����� �� (� �� � ���.� � ����� �(� �� ����� ��� ��� �� � ���� ��

BB7����� (� �� �(� �� � /�CC � BB�(� � (�CC

�)# $7�� ������%& 7����� �� (� �� ��� ��� �� � ����� �(� �� � �� (� ��� ����� ��� ��� ��� ���� ��

BB7����� (� �� �(� � (�CC � BB�(� � (� � (�CC

��� � �� � � )" ��� )# ��� �� ��� �� BB ������CC�

�������� $��� �� ���� � ������ ���� � ��� ���� ���� � � � ����� �% �� ��� ���� �)" ��� �)#� ��� ����� ���� �� �� ��� ���� ��� ������ ��� ����&

�) 7����� (� �� ��� ��� �� � ����� �(� �� � �� (� ��� � ���.� � ����� � (� �� ����� ��� ��� ��� ���� ��

BB7����� (� �� �(� � � (� �� � /�CC � BB�(� � � (� � (�CC

,� ������.� ���� � ��� ����� �)# ��� :)? ��� �� (� � ��������

��+ ����7����(�� ���! �$ � )����:

� ��� = � � ��� �� �� ��� ��� ���� �� � ��� = �� � ����

� � �

� � ��� �� ������� � �� � �� � �������� �� ������� � �� ��� ������ �� ��� ���� ���� � � ��� �������� ��� =� � � ���� �� ������� ���� �� ��

��� ������ � � ��� ���� ����� �� �� ����������

�%���� ��9" ������� � � ���� ��� � � ���� � � �� �������� ������ ��� ��� ��� �������� ������� ��

�!�! � �"�"� � � � ������� �!�!� �"�"� � � � � �

���� � ��� � ���� ��� ���� ����� �� ���.� � ���� ���� �� � � � ��� ��� ���� ��� ��� � � ��� ���� �������� ���� �� �! � �!� �" � �"� � � � � �� � ���

�%���� ��;" )�� � ��� = � � �� �������� �� � ����� ��� = � �� ������� �� ��

��� � ���� �� ��� ����� ���� ��� � �� ��������� �� *����� -� ��� ����� ��� = � ���� �� #�A ����� ��� ��� ��������� ���� �� ��

9��� ��� ����� ���� ���� �� ��� ��� ��� �� � �� ������� �� ��� �� �� � ��� =�

�'������" ��� ���� �� � ��� = �� � ���� �� ���� � ���� �� ��� ����� �� ����� � �� ������ �� ��� ��

��� �� � � �� � ��� ���� � ��� �� �� � ��� = ���� �������� �� ��� �����=� � ���� ������ = � ����� � � �� ������ � ���� ���� ��� ����� �� ��� ��� � ��� �������� ��� �� ������� ����� �

*;�<� #? �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� A'

Page 77: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

3. Systems of Linear Equations

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��� ��=� ������ ���� ��� ��� = �� ��� �� D������ �������� ���� ���� �� ������ �� � �� ������ = � $��� ����� ��� �� �� �%� ��� ��� ���� ��� �� ������� �� � �� ��

��� ��� ���� ���� �� ��������� � �� ��� ������ �������� ���� �&

$!% � � � �� ��� ��� = ��

$"% �� � � �� ���� � � ��

$#% �� � � � ��� � � !� ���� � � !�

< ��� �� $"% ����� � �� ��� ���� ���� ���� ������� � �� ��� ���� ��� �� ��� �� ��� ���� �� ��� ��������� 3����&

$% BB���� ������ (� ��� (�CC � �� ��� ��� ���

$% BB7����� (� �� �(�CC ��� BB7����� (� �� �!���(�CC � � ��� ����

$% BB7����� (� �� �(� � (�CC ��� BB7����� (� �� ��(� � (�CC � � ��� ����

��� � � � ��� ���� �� ��� ���� :)? $< ���� #�A#%�

��= 5������ ���)�������� )����> ���)������

��� ������ ���� ��� ��� = ��� ���� ���� �������� ��� ������&

$!% ��� ��� #�# � ����� �� ��� ��� = � ��� �� ������ �� ��

$"% ��� ��� #�- � ����� �� ��� ������ ��� = ��� �� �� ������� �� ��

����� ��� ����� ���� ��� ��� ������� � �� ��� ������ � � ���� ����������� �� $� ������������� �� ����� �� ��� ��� ���� ���� �� ��� ��������� $��� �� � BB �� �����CC � ����BB �����CC � ���� �� � ����� � � ��� = �� ��� ������� � �� ��� ������%

��&����% ��� 2���+��� ��� �������3" ��� ���� � ��� ��� = �� $��� ��� ��� ���� /C� ���� ��������� �� �� � �� ��� BB���>����CC�% ��� ������ � �� �������� � �� ��

���0 �� 5�� ��� � �� ����� ��� � ���.� � ��� �� 6�� �! ������ ��� ������

$�% � ���� �� ���� �!�! � /� ���� �� � ������� �� ��� ������ ��� �� ���� � ���.� � ��� ������ � � ��� � �� �� � ����� �!�

$�% 9�� �!�! �� � ���� �� ����� /C� ���� �!�!�

��������� �� � � !&

�!� ��� � � ����!��!�!� �"� 7����� (� �� �(! � (�

:���� �� ���� ��� ��� ���� �����!��!�!�(! � (� � (��?

���0 �� 7����� ���� ! ��� ��� ������ = �� ��� �� � ��� ��� �=����� ��� � �� ��� ;� � �� �� �"������ ��� � �� ����� � ��� ��������� ��� � ���.� � ��� �� ;����� �� ��� ��� �� ���� "� ������ �"�" � /�

���0� � �� �� *������ ��� ����� � ����� ��� � ������ = ��� ��� .� � ����

,� ������.� ���� �� ��� ��� �� ��� ��� ���� ��� ����� � ��

�!�! � �"�" � � � � � ����

��� � � ������� ��� ����� �� ���.� � ��� � ��� ��� ������ ��� =�

A+ �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� :*;�<� #

Page 78: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

3. Systems of Linear Equations

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

�� ��! �" ��� ������ ����� � � ���� !$�% � ���� ��� ��������&

� � � ���!

�!�!� � ��� � �� �� ������

����

�� ��! �" ��� ���� ����� ��� ��� ���� � ���� !$�% ��

7����� (� �� ����!(! � �!�!(�

��� ���� ���� � ������ � � ��� ���� � �� � � ���� ����� ��

��&����% ��1 2 �(!+��� ��� �������3" ��� ���� � � ��� = � � ���� � ������ �� � ��� ������� ��

�!�! � �"�" � � � � � ����

��� ������ � ��� �� ������� �� � �� ��

���0 �� $�% $9�� �� ����� �� ��� ��� ���� ����� !�% 4���� ��� ��� ���.� � �� (� �� !������

$�% $9�� ����� ! �� ����� /C� ����� ��� �����% 5� � � � � !� � � "� � � � � "� !&

�!� ��� � � ������ �"� 7����� (� �� �(� � (�

$���� �� ���� ��� ��� ����� �����(� � (� � (��%

���0� � �� ���� 7����� ���� ! �� ��� (��!� (��"� � � � �("�

���0 �� $9�� �� ����� �� ��� � �� ���� ����� !�% 4���� (! �� !��!�!�

��� � � �� ��� ����� �� � �� ��� ��� #�-� ���� �� ���� �� �� � � �� ��� ��� �� ������ ���� �� ��� ��� ��� � ��� �� ��� ���� �� � ���������� � � �����

���������7� ��&����% ��1 <��� /C� ����� ��� ����� �� �� �� � �� ��� ������ �� $ ���� ���� ������� ����� � �� ��� �� ���%�

��� ��� ����� ��� ���� ���� ����� �� �� ��������� ��� = � �� � ������ �� ��� ��������� ��������� ��� ���� �� ����� �� ��� ���� �� ����� ��� ���� ��� ���� � �� ��� ������ ���

�� ��!" ,� ������.� ���� D������ ������� � � ���>����� � ������ ��������&

���&� � 2��&����% ���3� <��� /C� ���� ���� ����� �� �� � �� ��� ��� �� (! �����

���&� 2��&����% ��13� <��� /C� ����� ���� ����� �� �� � �� ��� ������ �� (� ���

��� � � ������ ��� ���� ���� $� )*������ ���� ��� �� ������ � ��� = �� �� �� ������� �� ����� ���� ���� � ���� D����GH� ��� ���� /C� ���� ���� ��� ����� ���� ���� �� � �� � �� ��� � �� ������ �� (! ����� ������� D����GH� ��� ��� �� ���� �� ����� ��� ���� ������ � � ���� ��� ����������� ��� ���>����� D������ ������� ��� ����

������� � *����� ��� ��� = � �! " �# ! "

" - �- + !/

# + �+ ( !#

��

���

$�% 9�� ��� ��� #�# �� ����� � �� �� ������ �� ��

$�% 9�� ��� ��� #�- �� �� ��� ����� � �� �� �� ������� �� ��

*;�<� #? �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� AA

Page 79: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

3. Systems of Linear Equations

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

$�% 5 �� ��� �!! � ! �� � ���� �� ����� /C� ���� �!!� ���� �� ���� ��� ��� ����� BB7����� (" �� �"(! � ("CC ���BB7����� (# �� �#(! � (#CCF ��� ���� ��� �"# � " �� � ���� �� ����� / ���� �"#� ���� �� ���� ��� ��� ����BB7����� (# �� � #

"(" � (#CC� ��� ����

� �! " �# ! "

/ / " - +

/ / # + A

��

�� �

! " �# ! "

/ / " - +

/ / / / �"

��

��

��� ��� = � ��� � ������ �� ��

$�% 4���� (# �� � !"�� ��� ���� ��� � �#' � !� ��� ���� ��� �#' � ! �� � ���� �� ����� /C� ����� � �� ���

��� ����� BB7����� (" �� �'(# � ("CC ��� ���� BB7����� (! �� �"(# � (!CC� ��� ����

� �! " �# ! "

/ / " - +

/ / / / !

��

�� �

! " �# ! /

/ / " - /

/ / / / !

��

���

4���� (" ��!"�� ��� ���� ��� � �"# � !� ��� ���� ��� �"# � ! �� � ���� �� ����� /C� ����� � �� ��� ��� ����

BB7����� (! �� #(" � (!CC� ��� ����

� �! " �# ! /

/ / ! " /

/ / / / !

��

�� �

! " / A /

/ / ! " /

/ / / / !

��

���

��� ��� ��� = � ��� �� ������� �� � �� ��

�00��(����� �� �#��� � �$ ������ ���������

��� ��� �� ���� � ������ �� ��� �������� � �� �� �� ��� �� ��������� ��� = � ���� ������� �������� ���������� ��������� �� ����� � �� ������ �� � $���� ��� �� ������ ��� ��������� � ������%� ��� ���� �� ��� ������ �� �� �� ������� �� � $���� �������� ���� ��� ������ ����� � ��� ������ �� ��� ��������%� ��� ���������� �� ��� � ����� ����� � �� ��� ������ �����&

$!% ��� ������� � �� ��� ���� �� ��� ��������� ��� = � �� ��� ������ � �������� �� ������ ����� �������� ��� ���� �� ��� ������ �����

$"% ��� ������ ��� � ������ � ��� ��� � ��� ������ �� � �� ��� ��������� ��� = � ���� ��� ���� � �� �� ��� �� � �/� /� � � � � /� �� ��� � � /�

$#% �� ��� �� ������� �� � �� ��� ��������� ��� = � $�=����� .� � ���%� ��� ��������� �� �������� �� ��� � � ���� ��� � ���� �� ! ��� � � ��� ��� ���.� � ��� � � �� �������� �����F����� ��� � ��>�� ��� �� � �� ��� ������ �� ��� ������ �� ��� �������� � ������� �� ����� ����� �� ��� � �� �� ���� �� ��� ���� ����

��� � ����� � ��� ���� �����

������� �� ���� ���� �� ��� ������ �������&

���

�! � �" � "�# � -�- � '

"�! � "�" � #�# � �- � #

#�! � #�" � -�# � "�- � !

���

�! � �" � "�# � #�- � -

"�! � #�" � #�# � �- � #

'�! � A�" � -�# � �- � '

���

�� "�� � � #

"�� '�� � � �-

#�� "�� � � '

$�% 7����� �� ��������� ��� = � �� ������ �� � ��� ���� �� �� ������� �� � �� �����&

� �! ! �" - '

" " �# ! #

# # �- �" !

��

�� �

! ! �" - '

/ / ! �A �A

/ / " �!- �!-

��

�� �

! ! / �!/ �(

/ / ! �A �A

/ / / / /

��

��

A1 �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� :*;�<� #

Page 80: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

3. Systems of Linear Equations

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

7�� �� ��� �� ������� �� � � �� �� �� � ������ �� ��� �������� �� ����� ��� � �� �� ��� �� � �� ���������� ���� ��

�! � �" � !/�- � �(

�# � A�- � �A�

�! � �(� �" � !/�-�# � �A� A�-

$��� .� � �� � ������ � ��� �������% ���� �� ���� �! ��� �# � � ��� ���� �� ����� ��� �" ��� �- � � ��� � ���� �����

$�% 5 �� ����� �� ��������� ��� = � �� ������ �� � �� �����&

� �! ! �" # -

" # # �! #

' A - ! '

��

�� �

! ! �" # -

/ ! A �A �'

/ " !- �!- !'

��

�� �

! ! �" # -

/ ! A �A �'

/ / / / �'

��

��

��� � � �� ���� �� ������� �� ��� ��� �� ������� �� � �� � � ���� ��� ������ �� � � ���� ��� �� ���� ��������� ��� �� ������� ��������� ��� �� � �� �� ��� ������ ��� = �� ������� �� ��� ������ ��� �������

/�! � /�" � /�# � /�- � �'

���� ��� �� ������� ���� ��� ������ ��� �� �������

$�% 7����� �� ��������� ��� = � �� ������ �� � ��� ���� �� �� ������� �� � �� �����&

� �! " ! #

" ' �! �-

# �" �! '

���

��� �

! " ! #

/ ! �# �!/

/ �1 �- �-

���

��� �

! " ! #

/ ! �# �!/

/ / �"1 �1-

���

���

�! " ! #

/ ! �# �!/

/ / ! #

���

��� �

! " / /

/ ! / �!

/ / ! #

���

��� �

! / / "

/ ! / �!

/ / ! #

���

���

���� ��� ������ ��� ��� ����� ������ � � "� � � �!� � � #� � � ���������� ��� ����� � �"��!� #�� ,����� ���� ��� ������ �� � �� � � ���� ������� ���� ��� ������ ��� ������ ���� � �� �������� �� �� ����� �������

�00��(����� �� �:�����(� ��� ��������� �%���� �

��� ��������� ���� ���� ���� �������� �� ��� �=������ ��� ��������� �� � ������ �� � �������� ��� �������� ���� ��� ����� �� ��� �� �� � ��� =�

�%���� ��=" *����� � ������ �� ��� �������� � � �� ����� ��� ��������� ��� = � � ���������&

$�% ��� ������ ��� � ������ � ��� ��� � �� ��� � �� �� ��$�% ��� ������ � ����� � ��� ��� � �� ��� � �� �� � � ��

%���� �� +�,& ��� ������ ��� � ������ � ��� ��� � �� ������ �� � �� � � ���� ���� ��� ���� � �� �� ��� �� �

�/� /� � � � � /� ��� ��� � � /

�� �� ������ �� � �� � ���� ���� � ��� ���� � � � ���� �� � ��� ��� �� �� ��� ����� �� �� � � �� ���� ���� ���� ��� ������ �� �� �� � ��� � ���� ��� ���� ������ ��� ����� �� ��� � �� �� �� ��� � ���� $�%�

%���� �� +�,& ��� ������ ��� � ����� ������ � ��� ��� � �� ������ �� � ��� �� � �� �� ���� �������� ��� � � � ���� �� ���� �� ����� ���� ����� � � �� ��� � �� �� �� ��� � ���� $�%�

��� ����� � ��� ���� ��� ���� $< ���� #�A-% ���� �� ������ �� � �� ��� ��������� ��� =� � ���� ��� ���������� ���� �� ������ �� � �� ��

*;�<� #? �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� A(

Page 81: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

3. Systems of Linear Equations

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��? )����> �,����� �� � �.���) �� ������ �,������

��� ���� � ������ $#�"% �� � ��� �������� � � �� ����� � �������� �� ��� ��� = �������

�!! �!" � � � �!��"! �"" � � � �"����������������������������������! ��" � � � ���

����

����

�!�"�#� � ���

������

�������

�!�"� � ���

����

���� � �- � �

��� � � � ���� � ��� ��������� ��� =� - � ��� � ��� ����� ����� �� �� ������ ��� � � ��� � �������� ����� �� ���������� $���� ��=�� � �� �� � � ���� ���� �- � �� � � �� �� ������.� ���� � ���� � � ���� ����� ����� ��%

��� ��������� ���� ��� ������ �� ��� �������� ��� ��� ��� = ������� � � �������� ����� ������� ����� ������ �� ��� ������ � � ������ �� ��� ��� = �������� ��� ��� �� ���

������� �� ��� ������ ������ �� ��� �������� ��� ��� = ������� � � ��������&

�! � "�" � -�# � A�- � -

#�! � '�" � +�# � 1�- � 1

-�! � #�" � "�# � +�- � !!

���

! " �- A

# �' + �1

- �# �" +

��

��

�!�"�#�-

����

���� �

-

1

!!

��

��

,� ���� ���� �! � #� �" � !� �# � "� �- � !� � � � ���� �� ��� ��� ����� � �#� !� "� ! � � ������ �� ��� ����������� ��� $�����% ����� � ��� � ������ �� ��� ��� = ��������

��� ��� = �� � �- � � �� � ������ �� ��� �������� � ��������� �� � ��������� ������������ ��� � ���� � ��� ��� �� ������� �� ��� ��������� ��� � ��� ���� ��� �� � �� ���� ��$���� ��� � 5�� #>!%� ���� �� ������ �� ���� ��� �����

�%���� ���" ������� ��� ��� � � ������ ���� ��� ������ �- � � ���& $�% � ����� ������� $�% ��������� � $�% �� ����� ����� �� ��������

%����& �� ������� �� ���� ���� � �- � � ��� �� � ���� ��� ������� ���� � ��� ������ ������������ ��� � � � ������ ������� �� �- � �F ���� �� � � � ��� �� � �� ����� �� ��� � � ��

��� ��� �� � �� ���� ��� � �� ���� �� � �

����� �� ���� � � �� ��� ����� � ��� �� � � ������ �� �- � �� ���� � ���� ������� � � ������$< ���� #�-A%� �- � � ��� �� ����� ����� �� ��������

���� �� ���� ��� ����� ���� �� � � �� ���� � � ��� �� ��� � $� ��� �����= ��� �%� ������ #�#����� ���� ��� ���� �� ��� � ������ �� ���� ���� ���� ��� ������ ������� �� ��� �������� � ����� ������ ��� � ���� ������� �� ������ � �� � �"� ��� ���� �� ��� ��� � ������ �� ���� �������� ��� ������ ������� �� �� �� ��������� ��� �������� � �� �� �� ������ ��� � ��� �� �� ���������� ������ �� ����� .!� ."� .# � �#� ���� �&

$�% /���� �����0 ;� � ��� �� �� ����� ��� ���� � �=���� ��� �����

$�% 1� �����0 ;� � ��� ����� ��� ��� ���� �� ��� ��� ��� �� ������ ���� �� ��� ������� � ����� ��� ����� ��� �� �� ���

$�% '����� ����� �� ����� 0 ;� � ��� �� �� ����� ��� ��� ���� � � �� $��� � �� �� ���%� � ������� ������ $��� � �� �� ����%�

����� �� �� ����� � � ���� �� � 5�� #>#�

1/ �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� :*;�<� #

Page 82: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

3. Systems of Linear Equations

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

)����: �������� �$ � ������ �#��� �$ ������ ���������

� ������ �- � � �� ��� �������� � ���� � � ��� ��� � ��� ��� = � �� ���������� � ���� �� ������ � ����� �� ���� ��� ������ ��� ���� �����

�%���� ��?" � ���� � ������ �- � � �� ��� �������� ��� � ����� ������ � ��� ��� � ������ = � � ��� ���� �� ���� � ����� ��!� � ��� ����� ������ �� ��� �������

,� ��� � ��� �� � ���� � � � ��� ���� ���� ��!� � � ����� ������� �� � � ��� ���� ����

����!�� � ����!�� � '� � �

��� ����� ��!� � � ������� 3�� ������� � � ��� ������� �� �� � �� ����

� � '� � ���!��� � ��!���� � ��!�

���� ��� ������ ��!� � ������

������� �� *����� ��� ������ ������ �� ��� ��������� ����� ��������� ��� = � ��� ��� �� ��! � � ���

����&

�� "�� #� � !

�� #�� +� � #

"�� +�� !#� � '

� � �! " #

! # +

" + !#

��

��� ��! �

# �1 #

�! A �#

/ �" !

��

��

@� ���� �� #�(� ��� ����� ������ �� ��� ������ �

��!� �# �1 #

�! A �#

/ �" !

��

��

!

#

'

��

�� �

�+

'

�!

��

��

���� �� � � �+� � � '� � � �!�

( ) Unique solutiona

H2

H3

H1

H1

H2

H3

( ) Infinite number of solutionsc

H3

H H1 2and

(i) (ii) (iii)

H H H1 2 3, , and

(i)

( ) No solutionsb

H3

H2

H1

(ii) (iii) (i )v

H1

H2

H3

H2

H3

H1

H3

��&� �*�

*;�<� #? �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� 1!

Page 83: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

3. Systems of Linear Equations

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

�� ��!� ,� ������.� ���� ���� �� #�( ���� ��� ����� ��� �� �� ��� ��� ������ �� � ���� �������� ���� �� ����� ��� ��� �� �� � ��������� ��� = � � ��� ����� ��� ���� ���� ����� ��������� � ����� ����� ����� �� � � ���� ��� ��� �� �� � ��������� ��� = �� �� � )=���� #�!-� ������� ���� � ���� � ������ �� D������ ������� $� ���� �� ���� ������ ����� �������� �������� ��� ����� �� ��� ��=�%�

���@ �.���)� �� ������ �,������ �� ������ ��) �������� �� -������

��� ���� � ������ $#�"% �� ��� �������� ��� �� �� ���� �� ��� ������ ����� �������&

�!

�!!�"!� � ���!

����

����� �"

�!"�""� � ���"

����

����� � � � � ��

�!��"�� � ����

����

���� �

�!�"� � ���

����

����

7��� ���� � ����� � � �� � ��� �� �� � ������ ���������� �� ����� � !� "� � � � � � � �� � ��� � �=������ � �!� �"� � � � � �� � � ���� ����

� � �!! � �"" � � � � � ���

���� ����� ��� ���� �� ������ $#�"% �� ��� �������� ��� ��� ����� �������� ����� ������� ���� ������� � ��� ��� � ��� ����� ����� �� ��������� � � ��� ��������� �� ��� ������ �� ������������ ��� =� ,� ����� ��� ���� ����� �� ����

�%���� ���@" � ������ �- � � �� ��� �������� ��� � ������ � ��� ��� � � � � ��� ��������� �� ��� ������ �� ��� ��������� ��� = ��

���� ��� ����� �� ��� � ���� �� �=� ����� � ���� ����� � � �� �� � ��� ��������� �� ����� �!� "� � � � � � � �� ������ �� ����� � ������ �� ��� ���������

������ �� 8������� �:� 0��

������� �� ���� �� � �� ��� ����� � � �!��"� '� �� � ��� ��������� �� ��� ����� �

! � �!� !� !�� " � �!� "� #�� # � �"��!� !�5 �� �� � �� � � �! � �" � �# ��� �� ����� �� �� �� ��� ���� �� ��� ��� �������� ������ �� ��� �������� ���� �� ����� ��������� �� � �� � ��

!

�"

'

��

�� � �

!

!

!

��

��� �

!

"

#

��

��� �

"

�!

!

��

�� �I�

����

!

�"

'

��

�� �

��

���

"�

#�

��

���

"�

��

��

�� �

�� �� "�

�� "�� �

�� #�� �

��

��

������ �� �������� ��� �� ���� �� ���� ���� ���� ��� ������ �������� ������&

�� �� "� � !

�� "�� � � �"

�� #�� � � '

�II�

1" �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� :*;�<� #

Page 84: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

3. Systems of Linear Equations

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

5� �������� ����������� �� ���� � ���� ��� ����� � � �� �� ������� ���� � � ���� ���� �� ��� ����������� ������ �� ��� ��������� �� ����� ��� ��� ���� �� � �� ��� ����� ������� $I% � ���� �� ��������� $II%�

3�� �� ���� ��� �������� ������ �� ��� �������� �� ������ ��� ������ �� ������ �� �� �������

�� �� "� � !

�� #� � �#

"�� � � -

��� ����

�� �� "� � !

�� #� � �#

'� � !/

@�� >���������� ���� ��� ������ � � �+� � � #� � � "� ���� � � �+! � #" � "#�

������� �

$�% , �� ��� ����� � � �-� (� !(� �� � ��� ��������� ��

! � �!��"� #�� " � �#��A� !/�� # � �"� !� (��

5�� ��� �������� ������ �� ��� �������� �� � ��� � � �! � �" � �#� ��� ����� ��� ������ �� �������� �� �� ,� ����

�� #�� "� � -

�"�� A�� � � (

#�� !/�� (� � !(

�� #�� "� � -

��� � � !A

�� #� � A

�� #�� "� � -

��� � � !A

1� � "-

@�� >���������� ���� ��� ������ � � -� � � �"� � � #� ���� � � � ��� ��������� �� !� "� #���������� � � -! � "" � ##�

$�% , �� ��� ����� � � �"� #��'� �� � ��� ��������� ��

! � �!� "��#�� " � �"� #��-�� # � �!� #��'�

5�� ��� �������� ������ �� ��� �������� �� � ��� � � �! � �" � �#� ��� ����� ��� ������ �� �������� �� �� ,� ����

�� "�� � � "

"�� #�� #� � #

�#�� -�� '� � �'

�� "�� � � "

��� � � �!

"�� "� � !

�� "�� � � "

� '�� '� � �!

/ � #

��� ������ ��� �� ������� ���� � � ������� �� � �� � �� � ��� ��������� �� !� "� #�

������ �� 8�������� �$ ���%�&����� -�(����� ������� ���$'(�����

7��� � �� $������ !�-% ���� ��� ��� $��� % � ����� � � �� ����� � � ��!� � � � � ��� ���� � ��!� � � � � ��� � �� � ������ ��

� � � �!�! � �"�" � � � � � ����

5� ��� �� �� ����� � ��� � � � ��� �� �� ��������� � ��� ��� � ����� � � � /�������� ���� !� "� � � � � � � �� � � � ���.� � �� ��� � ������� ����� �� ��� �����

�� � � � � / �� � � � ��� �� � � � � / �� ���� �

����� �� ��� ����� � � ��� ��� � � �� ���� ��� �� � �� � �� � ��� ��������� �� !� "� � � � � ������ � ��� ���� � ��� ��=� �=�����

*;�<� #? �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� 1#

Page 85: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

3. Systems of Linear Equations

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

������� �� *����� ��� ������ �� �� ����� � � �#&

! � �!� !� !�� " � �!��#� "�� # � �'��!��-������ ����� � � � �� ��� � �������F ���� ��

! � " � !� #� " � /� ! � # � '� !� - � /� " � # � '� #� 1 � /

������� �� ���� �� � �� � � �-� !-��(� �� � ��� ��������� �� !� "� #�

)��%�� �� 5�� ��� �������� ������ �� ��� �������� �� � )=���� #>!- ��� ���� ������������ � � #! � -" � #�

)��%�� �� $��� ������ ���� ��� ���� ���� ��� ����� � !� "� # � � ������ � �������� ��� �������� � ������ � ���� ���� �% ��� � �� � ��� ��������� �� !� "� # ���� �� ���� ���� � �� �� � �������&

�-� !-��(� � ��!� !� !� � ��!��#� "� � ��'��!��-� �I��� � ��� ��� � ����� �� $I% ��� ������ �� ! �� ���

�-� !-��(� � �!� !� !� � ��!� !� !� � �!� !� !� � ( � #� � � � #

$��� ��� ��� �� �� � �� ���� ���� ! � � ������� �� " ��� �� #�% 3�=� �� � ��� ��� � ����� �� $I% ��� ������ �� "�� �����

�-� !-��(� � �!��#� "� � ��!��#� "� � �!��#� "� � � '+ � !-� � � � �-

5���� �� � ��� ��� � ����� �� $I% ��� ������ �� # �� ���

�-� !-��(� � �'��!��-� � ��'��!��-� � �'��!��-� � -"� -"� � � � !

���� � � #! � -" � #�

��� � ����� � � 4����� " � )=���� #�!+ � ��� � ���� �� 3����&

�%���� ���@" ������� !� "� � � � � � � � ���.� � ������ � ������� ����� � � ��� ����� �� �������� � � ���

� � � � !! � !

! �� � "" � "

" � � � � � � � �

� � �

,� ������.� ���� ��� � ���� �� � ���� � ������� ����� � � � �� �� ��� �� ��� �� �� ����� 3���

��� ���� ���� � � � � /� ���� ���� � � � ���.� � ����� �

�� ��!" ��� ������ ���� �� $����� �� � ���� �� #�!/% � ���� ��� 2����� ��������� �� ���� ������ �� �&

�� �� � �

� � �

� � � �

���"

�� � �������� �� � ��������� � ��� ���� ���� 5�� � �� �� �� � ��������

���� 6�)�5����� �.���)� �� ������ �,������

� ������ �� ��� �������� � ��� �� �� ��������� � � ��� �������� �� �� � � .� �� ���� ������������ ������ ��� ��� �� � �- � /� *�� �� ���� � ������ ����� ��� ��� .� � ����� / � �/� /� � � � � /� �� � ������� ���� ��� ���� � �� ��� ������� ���� ����� �� � � ����� ��� ������ ������ � ��� ��� ������ ��� � ���.� � �������

1- �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� :*;�<� #

Page 86: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

3. Systems of Linear Equations

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

���� � ����������� ������ �- � / ���� ���� �� ���� ��� .� � ������� � ��� ����� �� ��� � �������� �� �F ���

�!!�! � �!"�" � �!#�# � �!-�- � � � � � �!��� � /

�"�"��" � �"��"�!��"�! � � � � � �"��� � /

������������������������������������������������

��� � � � � � ����� � /

;� � � ������� ��� ����� �� �������� � ������ �� � ��� � ������� ��� ����� �� �� ������ ���� ��������� ������ ��� �� � � �� �� �����

��� ������� �� ���.� � ������� ������ �� ��� ������ ��� �����&

$% � � �� ��� ������ ��� ��� ��� .� � �������

$% � � �� ��� ������ ��� � ���.� � �������

���� ����� � �� ���� ��� ���� �������� ���� �� ������ ����� � ������ �� �� � � �� ��� ��������� ��� � ���.� � ������� ��� � ���� ��� ������ ��� ���� �����

�%���� ����" � ����������� ������ �- � / ��� �� � �� ����� ���� �������� ��� � ���.� ��������

������� �� 0��� ��� ������ � ��� ���� �� ��� ������ ����������� ������� ��� � ���.� � ������&

���

�� �� � � /

"�� #�� � � /

�� -�� "� � /

���

�� �� � � /

"�� -�� � � /

#�� "�� "� � /

���

�! � "�" � #�# � -�- � /

"�! � #�" � '�# � A�- � /

'�! � +�" � (�# � 1�- � /

$�% 7����� ��� ������ �� ������ �� � �� �����&

�� �� � � /

�'�� #� � /

�'�� #� � /

��� ������ �� � � /

�'�� #� � /

��� ������ ��� � ���.� � ������� ���� ��� � � � ��� ��� �������� � ��� �� �� �� ����� � ������ �� ��;� � � � � � �� �� ���� 6�� ��� ���� ��� � � '� ����� �� ��� >����������� � � # ��� � � "� ���� ��� ����� � �"� #� '� � � �� ���� ���.� � �������

$�% 7����� ��� ������ �� ������ �� � �� �����&

�� �� � � /

"�� � � /

��� '� � /

��� ����

�� �� � � /

"�� � � /

!!� � /

�� ������ �� �� ��� � � � �� �� �������� � �� �� �� ������ ���� ��� ������ ��� ��� ��� .� � �������

$�% ��� ������ ���� ���� � ���.� � ������ $���� �� #�!!%� ���� ��� � � � ��� �� ����� ��� ��� �� ����������� $;� � �� �� ��� ���� �� ����� ��� ������ �� ������ �� ��%

���� $�� �%� 5������ �������� �$ � 6� �&������ �#���

6�� 3 ������ ��� ���� � ������ �� � ����������� ������ �- � /� � �� �� ���.� � ����������� � !� "� � � � � �� ��� ������ � ��� �� �� � �� � �� 3 � ���� ������ ����� � � 3 ��� ���=� ����� ������ �� � ��� ��������� �� ��� ����� � !� "� � � � � � ���� �� ��� � �=�� ����� ���� ��!� �"� � � � � � ���� ����

� � �!! � �"" � � � � � �

��� ����� �� ���� ���� ����� � � ���� �� ��� ����� �� � �� �� ����� ��� ����� � ���� �������� ��� �� 3 � � ���� �� 3 � � �� ���� 3 � �/�� ���� �� ��� ������ ��� ��� ��� .� � ������� ������� ��3 � /�

*;�<� #? �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� 1'

Page 87: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

3. Systems of Linear Equations

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��� ������ ���� ��� � ���� � *����� '� ��� �� ��� �� ��� ���� � �����

�%���� ����" 6�� 3 �� ��� ���� � ������ �� � ����������� ������ �- � /� ��� ������� ���� ��������� �� � �� ��� ����������� ������ ��� � �� �� ����� 6�� !� "� � � � � �� ���������� ������� �� ������ ��� �� ��� � �� �� ���� ���� �� ! $� ��� ���.� ���������% ��� ��� ������ � �� �� ���� ���� �� /� ���� �� 3 � � ��� ��� ����� �!� "� � � � � �� � � ���� �� 3 �

,� ������.� ���� ��� ���� � ������ 3 ��� ���� ���� ������ ��� ���� ���� �� #�!" ��� ���� ����� ���� �����

������� �� 5�� ��� ������� ��� � ���� �� ��� ���� � ������ 3 �� ��� ����������� ������

�! � "�" � #�# � "�- � -�' � /

"�! � -�" � '�# � �- � +�' � /

'�! � !/�" � !#�# � -�- � !+�' � /

5 �� ����� ��� ������ �� ������ �� �� ���� ��� ������ ��� �����&

BB7����� �" �� �"�! � �"CC ��� BB7����� �# �� � '�! � �#CC� ��� ���� BB7����� �# �� �"�" � �#CC

����� ��� ����� ���

�! � "�" � #�# � "�- � -�' � /

�# � #�- � "�' � /

"�# � +�- � -�' � /

����! � "�" � #�# � "�- � -�' � /

�# � #�- � "�' � /

��� ������ � ������ �� � ��� �� �� � �� �� ����� �"� �-� �'F ����� �� 3 � #� �� �� ������ ����� � ���� �� � ����� �� 3 � � ������� �� �����&

$!% ��� �" � !� �- � /� �' � /� @�� >���������� ���� ��� ������ ! � ��"� !� /� /� /��$"% ��� �" � /� �- � !� �' � /� @�� >���������� ���� ��� ������ " � �A� /� #� !� /��$#% ��� �" � /� �- � /� �' � !� @�� >���������� ���� ��� ������ # � ��"� /��"� /� !��

��� ����� � ! � ��"� !� /� /� /�� " � �A� /� #� !� /�� # � ��"� /��"� /� !� �� � � ���� �� 3�

�� ��!" ��� ������ �� ��� ������ � )=���� #�!1 ��� �� � ���� � ��� �� �

�! � �" � �# � ���"� !� /� /� /� � ��A� /� #� !� /� � ���"� /��"� /� !�� ��"�� A�� "�� �� #�� "�� �� ��

�! � �"�� A�� "�� �" � �� �# � #�� "�� �- � �� �' � �

��� � �� �� � � � � �� � � ���������� ���� �� ���� ��� �� ��������� � ������ �� � ���� ��� �� ���� ��� � �� ��� ���� � ������ ���� ��� ����� �� �� ����� � �" � �� �- � �� �' � ��

���%� �&������ ��� ����(����� 6� �&������ �#��� �

6�� �- � � �� � �������������� ������ �� ��� ��������� ���� �- � / � ���� ��� � ��������������� � ��� 5� �=�����

�� "�� -� � A

#�� '�� +� � 1���

�� "�� -� � /

#�� '�� +� � /

���� � �������������� ������ ��� �� ��������� ����������� �������

1+ �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� :*;�<� #

Page 88: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

3. Systems of Linear Equations

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��� �������� ������� ��� ������ / �� � �������������� ������ �- � � ��� ��� ������ 3 ���� ��������� ����������� ������ �- � / � �������� � ��� ������ ���� ���

�%���� ����" 6�� �/ �� � �� ���� ������ �� �- � � ��� �� 3 �� ��� ���� � ������ �� �- � /����� ��� ������ � ��� ���� � ������ �� �- � �&

/ � �/ �3 � ��/ � � � � � 3 �

���� �� / � �/ �3 � ������� �� ����� �/ �� ���� ������ � 3 � ,� ���� ���� ��� ���� �� ��� ������� �� ��� � ������ � �#� ��������� ������� 3 � � �� �� ���� ��� � �� 4� ����� �� ���� ��� 5�� #>-� / � �/ �3 � ��� �� �� �� �� 3 ������� �� ����� �/ �� ���� ������ �� 3 � ��� ��������� 3 � � ���� �� ���� ��� � �� 4� ���� / � �/ �3 � � ���� �� �� �� 3 �

���� ���)�����. )�������

6�� � ������ �� ������� � �� ��� ���� ��� �� ���� ������ ��� ����� �� ������ ��� ��� ���� � ��� ��� = �� 3�� �� 5 �� ��� ��� = ������� �� ������ � �� ��� ������ ��� = ' � ���� ��

5 � ��' ����� 5 � ���� ��� ��������� ����� �� �������� �� ��� ������� � �� ��� ���� �� 3��� ���� 5 ������ � ���� � ��� =�

������� �� *����� ��� ������ �� �� ������� � �� ��� �����&

�!� ���� ������ (" ��� (#� �"� 7����� (" �� �+("� �#� 7����� (# �� � -(! � (#�

��� #� # ������� � ��� ��� �� �������� �� ��� ����� ������� � �� ��� ����� � � �� �����&

5! �! / /

/ / !

/ ! /

��

��� 5" �

! / /

/ �+ /

/ / !

��

��� 5# �

! / /

/ ! /

�- / !

��

��

��� ������ ���� ��� � ���� � < ���� #�#-� �����

�%���� ����" 6�� � �� �� ������� � �� ��� ���� ��� �� 5 �� ��� �� �������� �� � ������� ���� =� ����

���� � 5�

��� � � � ��� �� � ��� =�

��&� �*1

*;�<� #? �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� 1A

Page 89: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

3. Systems of Linear Equations

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

�� ���� �� ��� ��� ���� �� ������ �� ������� � �� ��� ���� � �� � ��� = � ��� �� ������� ��� �������� � �� ��� �� �������� ������� � ��� = 5�

3�� ������� � � ��� ��� �� �� �� ������� � �� ��� ���� �� ��� �� 5 ��� 5 �� ��� �� ����������� ���� ,� ���� $< ���� #�##% ���� 5 � ��� ��� ��� 5 � �� ��� ��� ��� ������ � �� ���� � ������� � �����

% � 5� � � �5"5!

�� ������� � ��� ��� � ��� ����

�00��(������ �$ ��� �����# )����(��

9��� ���� �� #�!#� �� � � ��� �� � ��� $< ���� #�#'% ��� ������ ��� ���� � ��� ��� ����� ����

�%���� ���1" 6�� � �� � ���� � ��� =� ���� ��� ������ � � ��������&

$�% � � ��� ��� $�������� %�

$�% � � �� �������� �� ��� ������ ��� = ' �

$�% � � � � ����� �� ������� � ��� ����

7��� ���� ���� � ��� ��� � ��� � � � ��� ��� � �� � �� � ' � ��� ��=� ���� �� $� ���� �< ���� #�#+% ����� ���� �� ���� ��� ���� ���� ��� �� ��� � ������ � � ��� ��� �� � '� �� � ��� ������� ��� � � ��� ����

�%���� ���4" ������� �� � ' � ���� �� � ' � ��� ����� � � ��!�

7�� ��������� ��� ��� �� ������ � �� �� �� ��� = ���������� ��������� �� � � ���$< ���� #�#A% ��� �������

�%���� ���9" � � �� �������� �� � � ��� ��� � ��� � �=��� � �������� ��� = % ���� ����� � %��

�00��(����� �� ������& �%� ��7���� �$ �� �� � )����:

��� ������ ��� ��� ���� ��� ��� �� �� � ��� =�

��&����% ��4" ��� ���� � � ���� � ��� = �� ��� ������ � ��� ��� �� �� � � ���� ��� ��� �� ���� ����=���

���0 �� 5� � ��� �� "� $��� % ��� = � � ��� ' � ��� � � � ��� ��� ��� �� � ��� ��� ������ ��� = '� ��� ��� ��� �� � �

���0 �� 7�� ����� � �� ������ �� �� �� ��� � ����� ���� ���� � .� � �� � ��� � ��� �� � � ����

���<

� ��� �� ��� ��� $���� ��� � � � � ����� �� ��%

���0 �� 5� ��� �� ����� � �� �� �� ������� �� �

� � �' ����� � ��� ������ ��� = ' ��� ������ � � ��� ��� ��� �� � �

���0 1� ��� ��! � �� ��� ��� = ���� � ��� � ��� ��� ��� �� � �

11 �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� :*;�<� #

Page 90: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

3. Systems of Linear Equations

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��� ���������� �� ��� ����� ��� ��� � �� ������ ������� � � ��� ��� ���� ���� ��� �������� ��������� � �� ��� ����� �!� �"� � � � � �� ����� �� � � ��� ' ������ ��� ��� ��� �� � � ���� � �� �� ��������� ��� = ' � 6�� 5� �� ��� ������� � ��� = �� �������� �� ��� ��� ���� ��� ����� �� ���������� �� #�!#� �� ���

5� � � �5"5!� � ' � �5� � � �5"5!' �� � ' � �� ��! � 5� � � �5"5!'

���� �� ��! ��� �� ������� �� ������ ��� ������� � �� ��� ����� �!� �"� � � � � �� �� ��� ������ ��� =' � ���� ����� � � ��� ��� ��� �� � � ���� � � ��!� �� ������

������� ��� 5�� ��� ��� �� �� ��� ��� = � �! / "

" �! #

- ! 1

��

���

5 �� �� � ��� $��� % ��� = � � ��� ' ��� �� ����� � �� �� ������ �� �&

� �! / " ! / /

" �! # / ! /

- ! 1 / / !

��

�� �

! / " ! / /

/ �! �! �" ! /

/ ! / �- / !

��

�� �

! / " ! / /

/ �! �! �" ! /

/ / �! �+ ! !

��

��

�� ������ �� �� ��� ��� ��� �� � � � � ����� �� �F ����� � ��� �� ��� ��� 3�=� �� �� ��� �� ����� � �� �� �� ������� �� �&

� �! / / �!! " "

/ �! / - / �!

/ / ! + �! �!

��

�� �

! / / �!! " "

/ ! / �- / !

/ / ! + �! �!

��

��

��� ������ ��� = � ��� � ��� ��� ��� �� ��� ��� ��� =F ����� ��� ��� ��� � ��!� �� ���� �� ���

��! ��!! " "

�- / !

+ �! �!

��

��

��� �����# ���� � �0��������

3�� �� � �� � ��� = ��� ������ !!�!"� � � � �!�� ��� ������ ��� ����� �� �� �������� �� ���������� � �� ��� ������ � � ���� ��������� ����� �������� &�5! $*���� ���� ������%& ���� ������ ������ !� ��� !���5" $*���� �����%& 7����� !� �� �!� $��� � � � /%��5# $*���� ������%& 7����� !� �� �!� � !��

,� ��� ������ ���� �� ��� ����� ��� ����� �� � ���� ����������

�!� !� � !�� �"� �!� � !�� �#� ��!� � !�� � !�

4� ���� � ���� ����� ��� ���� ��� �� ��� �� ��� ���� �� ��� ���� ����� ���� � ��� �� �������� �� ��� �����

3�� �� � ������ �� ������� � ����� ��� ����� ��� �� 2 �� ��� ��� = ������� �� ������ � ����� ������ ��� = ' � ���� ��

2 � � �' �

���� 2 � ���� ��� ��������� ����� �� �������� �� ��� ������� � ����� ��� ���� � � 3��� ���� 2 ������ � ���� � ��� =�

*;�<� #? �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� 1(

Page 91: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

3. Systems of Linear Equations

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

������� �� *����� ��� ������ ������� � ����� ��� �����&

�!� ���� ������ !! ��� !#� �"� 7����� !# �� �"!#� �#� 7����� !# �� �#!" � !#

��� �� �������� �� �� #� # ������� � ��� ��� � � �� �����&

2! �/ / !

/ ! /

! / /

��

��� 2" �

! / /

/ ! /

/ / �"

��

��� 2# �

! / /

/ ! �#

/ / !

��

��

��� ������ ���� �� � �������� �� ���� �� #�!# �� ��� ������� � �� ��� ������

�%���� ���;" 5� ��� ��� = �� � ��� � �2�

���� �� ��� ���� �� ������ �� ������� � ����� ��� ���� � �� � ��� = � ��� �� ������� ������������� � �� ��� �� �������� ������� � ��� = 2�

)����: ����7����(�

� ��� = � � ��� ���� �� � ��� = � � � ��� �� ������� � �� � �� � �������� �� �� ��� �������� ������ ��� ������� � � �������� �� �� � ��� � �=�� �������� ��� ��� % ��� 6 ���� ����� � %�6� H��� � �� ���������� ��������� �� ��� ��� � �� ��������� ������

��� ��� ���� �� ��� ��������� $� ���� � < ���� #�#1% � �� ������

�%���� ���=" )�� � �� � ��� = � � �������� �� � ����� ��� ��� = �� ��� �� �

'� /

/ /

��� � '� � ��� �>���� � ������ ��� =�

��� ������ ������� ������

�'������" ��� ���������� ����� � � ���� �� #�!1 � ���� ��� ���� �� �� � ���� �� ����3��� ���� ��� ������� �� ��� ��� ��� � ����� ������� �� ��� �� �� � ��� =�

���� �� ���)/�������

������� � � � �������� ��� = ���� ��� �� � ����� ��� $���� % � ����� �� � / ���� ��� ��>������ ��� ������ ���� �� ������� � ��� �� � ����� .�� �� ��� ������ ��� ���� ���� �� � ������ ������� ��������

��&����% ��9" ��� ���� � � ��� = � ��� ��� ������ � � � ����� ��� = / �

���0 �� 7����� �� � � !� "� � � � � �� !&

���0 �� 7����� �� � � �� !� �� "� � � � � �

$�% ��� ��� �� ��������$�% ��� (� �� ���(� � (�

:)�� �� ���� " ��� ����?

:)�� �� ���� ! ���� ����?

(/ �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� :*;�<� #

Page 92: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

3. Systems of Linear Equations

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��� ����� � ��� � � ���� �������� � �������� �� ��� � �� �� ����� ����� � �� ����� �� ��������� ��� � ����� ��� = �&

� �

! / / � � � / /

��"! ! / � � � / /

��#! ��#" ! � � � / /

���! ���" ���# � � � ������! !

������

������

���� �� � ��� !C� �� ��� ������� /C� ����� ��� ������� ��� ��� ������� �� ��� ����� ��� �� ����>��� � ���� ��� �������

��� ����� ��� = � ��� ��� � ����� ��� = / ������� � ��� ��� #�+ ���� �� ��� ������ �/����� .���� �� ���� � ��� = �� 3����&

�%���� ���?" 6�� � �� � �������� ��� = ���� ��� �� � ����� ��� � ����� �� � / ���� ��� ��>������ ��� ������ ���� � � �/ � ��� � � � ��� ����� ��� � ����� ��� = ��� !C��� ��� ������� ��� / � �� ���� � ����� ��� = ��� �� /C� �� ��� �������

������� ��� ������� � �! " �#

�# �- !#

" ! �'

��

��� ,� ���� ���� � ��� �� ������ �� � ����� �� � �� ��� ��� �����

BB7����� (" �� #(! � ("CC� BB7����� (# �� � "(! � (#CC� ��� ���� BB7����� (# ��#"(" � (#CC

���� ��

� �! " �#

/ " -

/ �# !

��

�� �

! " �#

/ " -

/ / A

��

��

��� ���� �� ��� ������ ����� .���� � � �/ � ��� �

� �! / /

�# ! /

" � #

"!

����

���� ��� / �

! " �#

/ " -

/ / A

���

���

,� ������.�&

$!% ��� ��� �� �#� "�� #"� � � � ��� �������� �� ��� ����� � � ��� ����� ������� � �� ��� ������

$"% / � ��� � ����� �� � �� ��

�00��(����� �� �#��� � �$ ������ ���������

*����� � ������� ��� ��� � � 6�� !��� ������ ��� ����� ��� �� ��� ��� ��� �� � ������� ����� �.� � �� ��� ���� ����� :��� ������� !��� � �������� ���� ��� ��� ��������� � ���� ������������ �� ��� ��� ��� � �? 5 �������� !��� ���� ������ ��� ����� �� ���������� ��������� �=������ �� �� ��� ���� ��� ����� ��� ����� �� ������� ��� ���� ������ ���� ���� �� � ������� ��� �� �=������

*;�<� #? �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� (!

Page 93: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

3. Systems of Linear Equations

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

3�� ������ � ���� � ������ �� ��� �������� �- � �� ��� �

� � ����� - � ��!� � � � � ��" � � � ��!� � � � � ��"

��� ������� � ��� �� �/ ����� .����� ���� ��� ������ ��� �� � ����� ��� � ����� �� � $� � �� ������ ��� >����������% �� ������ ��� ��� #�+ �� ��� ��������� ��� = � � ���� �� ��� ���������� ��� �����=�� �� ��� ��� #�+ ��� ��� >���������� � �� ����������

!��� � !"�# ��� !��� � !

"�"

��� � � � ��� ����� �� ����������� ��� ���� ����� ������� �� � ���� ���� ��� ����� .���� � � �/ � ����� �� � ����� .� ���

������� �� ���� ��� ���� ��� �� ��� ����� � ��� ��� ��� $ ������ �� ��� ��� = �% �� ��� ���������� �� �� ��� ����� ��� ��� �����=�� �

!��� � !"�"

�� ��� ��� �� ����� ��� ����� .���� � � �/ ��� �� ��� � ��� ��� ��� ��� � !��� � !"�#� ����

������ ��� �� ����� �� � �� ����� ��� �/ ����� .���� ���� � ���� ������ � ������� ;����� ���� � � � ��������� ��� ���� ����� ��� � ��� �/ ����� .���� � ������

�������� �� � ���� ��� = �� �� ���� �� ���� ��� ������

�- � �

�������� �� � �������� �� ���� ��� �������� ����� �� ��� �!��"� � � � ���� ���� ������� ���� �� ��� ��

������ ���� ��� ������ �� ��� ������ ������� ��� ���� � ������ ����� � ��� �� ���� � ����� � ��� � ������� �� � �� ��� ��� �/ ����� .���� �� �� ��� ���� �� ��� ��� ����� .���� �� ���� ��� �������� ���� ��� ��

������� ��� *����� ��� ������ ������ �� ��� ��������&

�� "�� � � �!"�� #�� #� � �"

�#�� !/�� "� � �#

� �- � �� ��� � � �! " !

" # #

�# !/ "

��

�� ��� � �

�!�"�#

��

��

������� �� ���� �� ���� ��� ������ �� �� ���� ��� � � � ����� ���� �� �!��"��#� 5� ��� �� �� ��������! � �!� !� !" � ��� �������

���! � �� � -� ��� � � !� "�

��� � -� � ��� ������ �� �- � ��� ;� � � � �� � ������� �� � �� ����� ��� �/ ����� .���� �� � ��� ���� ��� ����/ ����� .���� �� ���� ��� ������ �� ���� �� ��� �C�� $��� � ���� � < ���� #�-"�%

���7�� /��8�� �

������ �,������� ��������� ��� �.���)����� 0��� ��� ������ ���� �� ��� ������ �������� � ��� &

$�% '�� A�� 1�� � !+� $�% �� ��� �� � �� '� $�% #�� ��� 1� � !+

$�% 3�� ���� ��� � ����� �� �� ��� �� ����� � �� ������ ��� ���

$�% 2��� ���� �� �� ��� �� ' � � ����������

$�% �� � ������� ��� � � � ��� �� �����& �� �� �� �� @������ �� ��� �� � �� � � ��� � ��� ��������;����� � ������� � � � ��������� ��� ������� � ��� � ��� �� ����� �� �� ��

(" �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� :*;�<� #

Page 94: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

3. Systems of Linear Equations

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

���� 0��� ��� ������ ��� ������ ����� � � � ������� �� �! � "�" � -�# � #�- � !'&$�% � �#� "� !� -� ��� $�% � � �!� "� -� '��$�% ��������� �� ����� #� "�"� � -�!� � #�-� � !'� � !' � !'F ���� � � � �������

$�% ��������� �� ����� !� "�"� � -�-� � #�'� � !'� � - � !'F ��� � � ��� � �������

���� ����& $�% �� � �� $�% #�� -� � � "�� #� $�% A� "�� - � #�� #� �

$�% ���� � � /� ����� �� !�� �� ����� � � ����

$�% 7�� �� � ������ � �� �� ������� /� � A� ��� ������� ��� �� �������

$�% 7�� �� � ������ � �� �� ������� /� � /� )�� � ���� � � � �������

��1� < ��� ���� �� #�-& *����� ��� ������� �� � ��

$% �� � � /� ���� � � ��� � � ����� ������ �� �� � ��

$% �� � � / ��� � � /� ���� �� � � ��� �� �������

$% �� � � / ��� � � /� ���� ��� � ���� � � � ������ �� �� � ��

������� � � /� ���� ��� ���� ��� �=���� ���������� ��� � �� � � ���� ������ � �� � � � �F �������� � � ������� �� ��� ���� ����� ������� �/ � � ������ �� �� � �� �� ���� ��/ � �� 4������ �������� �� !�� ���� �/ � ���� ;���� ��� � ��� ����� ������ �� �� � �� ���� $% � � �����

�� ��� ���� ����� ������� � � /� ����� �� ��� ���� �� �� ���� �� � /� � /� �� � � /� ���� �� � ������ ����� � � ��� � ������ �� �� � �� ��� �� $% � � ����� �� � � /� ���� �� � �� ���� �� ��� ���� � � ������� �� �� � �� ��� �� $% � � �����

��4� ���� ���� �� ��� ������ �������&

$�%"�� '� � !!

#�� -� � '$�%

"�� #� � 1

�+�� (� � +$�%

"�� #� � 1

�-�� +� � �!+

$�% )����� � � �� ��� �������� �� �� ��� ��� ��� ������� � � �#�! � "�"� ��� ���� ��� �������

"#� � �"#� ��� �� � � �!

��������� � � �! � ��� �� ��� � ��� ��������� ��� �!� �� ���

"�� '��!� � !! � "�� ' � !! � "� � + � � � #

���� � � #� � � �! � ��� �� � �#��!� � ��� ����� ������ �� ��� �������

$�% )����� � � �� ��� �������� �� �� ��� ��� ��� ������� � � #�! � �"� ��� ���� ��� �������

/�� /� � #/

��� � � ������ ��� ������� ��� � ���.� � ��������F ����� ��� ������� ��� ��� ������ ���� ��������� $D����� ���� ��� ��� �� �������� �� ��� �������� � � �� ���%

$�% )����� � � �� ��� �������� �� �� ��� ��� ��� ������� � � "�! � �"� ��� ���� ��� �������

/�� /� � /

��� � � ������ ��� ������� ��� � ��� �������� �� � � ��� .� �� ���� ��� ������ ��� �� ���������� �� �������� ���� �� ������ �� ��� ������ �� ���� �������� $D����� ���� ��� ����� �������� �� ��� �������� �������%

�� ��� ��� ���� � ������� ��� � � � ��� ��������� � �! �� �����

"�� #� � 1 � "� � #�� 1 � � � #"�� -

���� ��� ���� � ������ �

� � #"�� -� � � � � � #

"�� -� �

� �

��� � � � ��� ���� �

*;�<� #? �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� (#

Page 95: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

3. Systems of Linear Equations

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��9� *����� ��� ������

�� �� � -

��� (� � �

$�% 5� ���� ����� �� � ���� ��� ������ ���� � ����� ������J

$�% 5�� ����� �� � �� ����� $�� �% �� ���� ��� ������ ��� �� � ���� ��� �������

$�% )����� � � �� ��� �������� �� �� ��� ��� ��� ������� � � ���! � �"� ��� ���� ��� �������

�(� �"�� � �� -� �!���� ������ ��� � ����� ������ � ��� ��� � ��� ��������� �� � � $!% � ��� .� �� ���� �� � (� �" � /� � � � �#�

$�% ��� ������ ��� �� � ���� ��� ������ � ���� ���� �� $!% � � .� �� ��� ���>���� ��� � .� � ����� � �#� ,��� � � #� ��� ���>���� ��� � .� � ���� �� !" � / � � � !"� ,��� � � �#� ��� ���>���� ��� � .� � ���� �� !"� / � � � �!"� ���� $#� !"% ��� ��#��!"� � � ��� �� � �� ���� ��������� ��� �� � ���� ��� �������

�.���)� �� �����5��� �� ��6���� ���)

��;� 0��� ��� ��� ���� ��� � �� �� ���� � ���� �� ��� ������ �������&

"�! � #�" � +�# � '�- � "�' � A

�# � #�- � A�' � +

�- � "�' � !

���

"�� +�� A� � !

-�� #� � 1

"� � -

���

�� "�� #� � "

"�� #�� � � -

#�� -�� '� � 1

���

$�% �� ������ �� �� ��� ����� �� ����� � � ��� ���� �� ����� ��� ��� ���� � � � ��� � �� �� ����� ;� ��!� �#� �- � � ��� ���� �� ����� ��� �" ��� �' � � ��� � �� �� ����

$�% ��� ����� �� ����� � � �� �� �� �� ���� � � ��� ���� �� ����� ��� � � � �� � �� �� ���� $�� � ���� ����� ������%�

$�% ��� ����� �� ���� ��� � �� �� ���� ����� ��� �� � ������ � ������ �� ��

��=� ���� ��� � ����� ������ � < ���� #�A$�%�

���� � � � � ����� ������� ���� �� ��� >�����������

$% ��� ��� ������� ���� � � "�

$% ��������� � � " � ��� ������ ������� �� ��� -�� + � 1 � � � !"�

$% ��������� � � " ��� � � !"� ��� � �� ������� �� ���

"�� +!

"

�� A�"� � ! � "�� !! � ! � � � '

���� � � '� � � !"� � � " � � �'� !

"� "� � ��� ����� ������ �� ��� �������

��?� ���� ��� ������ ������ � < ���� #�A$�%�

����� �� ����� � �� ��� � �� �� ����� ��� �" � � ��� �' � �� ��� ���� �� ��� ���� �� ���� �� ��� >�����������

$% ��������� �' � � � ��� ��� ������� �� ��� �- � "� � ! � �- � "�� !�

$% ��������� �' � � ��� �- � "�� ! � ��� ������ ������� �� ���

�# � #�"�� !� � A� � + � �# � �� # � + � �# � �� #

(- �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� :*;�<� #

Page 96: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

3. Systems of Linear Equations

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

$% ��������� �' � �� �- � "�� !� �# � �� #� �" � � � ��� � �� ������� �� ���

"�! � #�� +��� #� � '�"�� !� � "� � A � "�! � #�� !-�� "# � A

� �! � #"�� A�� !'

����

�! �#

"�� A�� !'� �" � �� �# � �� #� �- � "�� !� �' � �

� � #

"�� A�� !'� �� �� #� "�� !� �

� ��� �� ���� � �� � �� ��� ���� � ���������� ������� ����� �� ��� ���� �� ��� �!� �#� �- � �� �� �� ��� � �� �� ���� �" ��� �' ���� ���

������ � ��>�� ��� �� � �� ��� ���� � ������&

�! �#

"�" � A�' � !'� �# � �' � #� �- � "�' � !

���@� < ��� ���� �� #�'� *����� ��� ������ $#�-% �� ��� �������� � ������ �� � ��� � ����������� � �� ������

$% �� � � �� ���� ��� ������ ��� � ����� �������

$% �� � � �� ���� �� ��� � �� � � ����� ����� �� ��� �� � � �� �� ��� ��� ���� ������ �� ��� � ���� �� ����� ������� � ������ �� ��� �������

$% ������� � � �� ���� �� ���� � ���� � ������ �- � � ��� � ��� ��� = � �� ���������� � $���� %� ����� ��� ���.� � ������ �������� ���� � � ��� ���� @� ���� �� #�(� ��� ������ ��� ������ �������

$% ������� ����� �� ��� �� � � �� �� ���� ���� � � ����� ������ � ��� ���� �� ����� ����� ��$%� ��� � ����� �������

5������ ���)�������

����� ���� ���� �� ��� ������ �������&

�� "�� -� � �-

"�� '�� (� � �!/

#�� "�� #� � !!

���

�� "�� #� � �!

�#�� �� "� � �A

'�� #�� -� � "

���

�� "�� #� � !

"�� '�� 1� � -

#�� 1�� !#� � A

���7����� ���� ������ �� � ����� � ������ �� � ���� D������ �������&

$�% ���� BB7����� �" �� �"�! � �"CC ��� BB7����� �# �� �#�! � �#CC �� ������ � � �� ��� ������ ����� � ��������� ��� ���� ���� BB7����� �# �� 1�" � �#CC �� ������ � � �� ��� �� � �������� �������� ����� ���

�� "�� -� � �-

�� � � �"

�1�� !'� � "#

��� ����

�� "�� -� � �-

�� � � �"

A� � "#

��� ������ � � � ����� �� �� ���� �� ��� >���������� �� ����� ��� ����� ������ � �"��!� !��$�% )����� � � �� ��� ������ ��� �� � �������� �� ��� ��� ����� BB7����� �" �� #�! � �"CC ���

BB7����� �# �� �'�! � �#CC� ��� ���� ��� �������� ������

�� "�� #� � �!

A�� !!� � �!/

�A�� !!� � A

*;�<� #? �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� ('

Page 97: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

3. Systems of Linear Equations

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��� ��� ���� BB7����� �# �� �" � �#CC ���� ��� ������ ������ ��� ������� ��� � ���.� ���������&

/�� /�� /� � �#

��� ������� ��� ����� ��� ������ ���� �� �������

$�% )����� � � �� ��� ������ ��� �� � �������� �� ��� ��� ����� BB7����� �" �� �"�! � �"CC ���BB7����� �# �� �#�! � �#CC� ��� ���� ��� ��� ������

�� "�� #� � !

�� "� � "

"�� -� � -

� �� "�� #� � !

�� "� � "

$��� �� � ������� � ������� ���� � � � ����� �� ��� ������ ��������% ��� ������ � � �������� � ��� ���� �� ���� � ��� � ��� � �� �� ��� ��

�� ��� ��� �� ���� � �� � �� ��� ���� � ������� ��� � � � ��� ���� �� � ��� � �� ��� >����������� ��������� � � � � ��� ������ ������� �� ��� � � "� "�� ���� ��������� � � � ���� � "� "� � ��� � �� ������� �� ���

�� "�"� "�� � #� � ! � �� -� � � ! � � � �#� �

���� ��� ���� � ������ �

� � �#� �� � � "� "�� � � � � � ��#� �� "� "�� ����� � � � � �� ����� �

����� ���� ���� �� ��� ������ �������&

�! � #�" � "�# � �- � "�' � "

#�! � (�" � A�# � �- � #�' � A

"�! � +�" � A�# � -�- � '�' � A

���

�! � "�" � #�# � -�- � "

"�! � '�" � "�# � �- � !

'�! � !"�" � A�# � +�- � #

���

7����� ���� ������ �� ������ �� � ���� D������ �������&

$�% ���� BB7����� �" �� �#�! � �"CC ��� BB7����� �# �� �"�! � �#CC �� ������ � � �� ��� ������ ����� � ��������� ��� ����

�! � #�" � "�# � �- � "�' � "

�# � "�- � #�' � !

#�# � +�- � (�' � #

� �! � #�" � "�# � �- � "�' � "

�# � "�- � #�' � !

$,� ����� �#� ���� � � � ����� �� �"�% ��� ������ � � ������ �� � ��� ���� �� ���� �! ��� �#��� � �� �� ���� �"� �-� �'�

�� ��� ��� �� ���� � �� � �� ��� ���� � ������� ��� �" � �� �- � �� �' � �� ��� � �� �� � � ��� ����� �� @�� >���������� ���� �# � !� "�� #� ��� �! � #�� '�� 1�� ��� ���� � ������ �

�! � #�� '�� 1�� �" � �� �# � !� "�� #�� �- � �� �' � �

� � ���������� � �#�� '�� 1�� �� !� "�� #�� �� ���$�% )����� �! � �� ��� ������ ��� �� � �������� �� ��� ��� ����� BB7����� �" �� �"�! � �"CC ���

BB7����� �# �� �'�! � �#CC� ��� ���� ��� ������

�! � "�" � #�# � -�- � "

�" � -�# � A�- � �#

"�" � 1�# � !-�- � �A

��� ��� ���� BB7����� �# �� �"�" � �#CC ���� ��� ������ ��� ������� / � #� ���� ��� ������ ��� �������� $���� ������ ��� ������ ��� �� � �� ����� ���� ��������%�

(+ �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� :*;�<� #

Page 98: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

3. Systems of Linear Equations

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

����� ���� ���� ��� ��������� �� ���&

"�� #� � #

�� �� � � -

-�� 1�� #� � #'

��� ��������� �� ��� �����&

3���� )������ ��� ����

�"� � !�� "�� #� � # �! � �"

�!� � "�� �� �� � � - �! � �"

�#� -�� 1�� #� � #'

�# � -�� A� � !( 7����� �# �� � -�! � �#

�# � � !#� � !# 7����� �# �� � "�" � �#

;� � $!%� $"%� ��� $# % �� � � � ����� ������� $,� ������.� ���� ��� ��� ������ �� �! ��� �" ����������� �� ���� ������ �� �! ��� �" �� ������%

9��� ��� >���������� ��� ��� � ����� ������ ���� � � �! � �� �#� � � # � �� �"� ��� � � "� �� �!� ���� ��� ����� ������ �� ��� ������ � � � "� � � #� � � �! � ��� � �� � �"� #��!��

���1� *����� ��� ������

�� "�� � � #

��� '� � !/

"�� A�� �� � �

$�% 5�� ����� ����� �� � �� ���� ��� ������ ��� � ����� �������

$�% 5�� ����� �� � �� ����� ��� �� �� ���� ��� ������ ��� �� � ���� ��� �������

7����� ��� ������ �� ������ �� �� ���� �� ������ � � �� ��� �� � ������� �� ��� ��� ����BB7����� �# �� �"�! � �#CC ��� ���� ������ � � �� ��� �� � ������� �� ��� ��� ����BB7����� �# �� �#�" � ��#CC� ��� ����

�� "� � � � #

�� � '� � !/

�� ��� "�� � �� +

��� ����

�� "�� � � #

��� '� � !/

��" � "�� !'�� � ��� +�� #/

)=���� ��� ��� ������� ��" � "�� !'�� � ��� +�� #/�

$�% ��� ������ ��� � ����� ������ � ��� ��� � ��� ��������� �� � � ��� .� �� ���� �� �

�" � "�� !' � ��� '���� #� � / � � � ' ��� � � �#�

$�% ��� ������ ��� �� � ���� ��� ������ � ���� ���� � � .� �� ��� ���>���� ��� � .� � ���� � � ' � � � �#� ,��� � � '� ��� ���>���� ��� � .� � ���� '�� +/ � /� � � � !"� ,��� � � �#� ��� ���>���� ��� � .� � ���� �#�� !" � /� � � � -� ���� �'� !"� ��� ��#� -� � � ��� �� � �� ���� ��������� ��� �� � ���� ��� �������

��6���� )�������� ��< �,�-������� ��< ��������� ���)

���4� 7�� ����� ���� �� ��� ������ ��� ��� �� ������ �� �&

��� � �! " �# /

" - �" "

# + �- #

��

��� ��� � �

�- ! �+

! " �'

+ # �-

��

��

*;�<� #? �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� (A

Page 99: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

3. Systems of Linear Equations

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

$�% 9�� �!! � ! �� � ���� �� ����� /C� ���� �!!� ���� �� ���� ��� �� ��� ����� BB7����� (" ���"(! � ("CC ��� BB7����� (# �� �#(! � (#CCF ��� ���� ��� �"# � - �� � ���� �� ����� � / ���� �"#����� �� ���� ��� �� ��� ���� BB7����� (# �� �'(" � -(#CC� ����� ��� ����� ���

� �! " �# /

/ / - "

/ / ' #

��

�� �

! " �# /

/ / - "

/ / / "

��

��

��� ��� = � ��� � ������ �� ��

$�% ;��� ��������� � � ����� ���� � ��� ���� ������ ����� !� ��� ��� �� � �� ��� ������ (! ���("� 3�=� ���� ��� ��� ����� BB7����� (" �� -(! � ("CC ��� BB7����� (# �� �+(! � (#CCF ��� �������� ��� ��� ���� BB7����� (# �� (" � (#CC� ����� ��� ����� ���

� �! " �'

�- ! �+

+ # �-

��

�� �

! " �'

/ ( �"+

/ �( "+

��

�� �

! " �'

/ ( �"+

/ / /

��

��

��� ��� = � ��� � ������ �� ��

���9� 0��� �� ��� �� ���� ��> ������� ��� ���� ��� ���� �� ��� ����������� � ���� �� ���� ��������� ��� ����

��� ��> ������� ��� ��� ������� � ������ ��� ��� � ��� ��� � � ����� � �� � ������ ����������� � ������ �� ��� ���� �!�! ��� � ��� ���� ��� �� ��� ����

�����!��!�! �(! � (� � (�

��� ��� ��������� �� ��� ������ ��� ��� � ���� ��� ����� �� ��� ���� ������ ����� �� ���$�� ���% ���� �!�! � ���� �� ��� ������� � ������� � � � ��� �� ���������� ������ ���� ��� ����� �� ������ �� � �� � ������� ���� �� �������

���;� 6�� � �" �" " !

�# + / �!

! �A !/ "

��

��� 7����� � �� ������ �� � ���� ��� ������ ��� ����

5 �� ��� ������ (! ��� (" �� ���� �# ��� �� ���� �� ��� ����� ��� ���� ���� ��� ��� ����� BB7�����(" �� "

#(! � ("CC ��� BB7����� (# �� !

#(! � (#CC� ����� ��� ����� ���

� ��# + / �!

" �" " !

! �A !/ "

��

�� �

�# + / �!

/ " " !#

/ �' !/ '#

���

���

3�� ��� ������ (" ��� (# �� ���� �' ��� �� ���� �� ��� ����� ��� ���� ���� ��� ��� ���� BB7����� (# ��"'(" � (#CC� ,� �����

� ��# + / �!

/ �' !/ '#

/ " " !#

��

�� �

�# + / �!

/ �' !/ '#

/ / + !

��

��

��� ��� = ��� ���� � ����� �� ������ �� � ���� �� �� �������

���=� 7����� ���� �� ��� ������ ��� ��� �� �� ������� �� �&

��� � �" " �! + -

- - ! !/ !#

1 1 �! "+ !(

��

��� ��� � �

' �( +

/ " #

/ / A

��

��

(1 �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� :*;�<� #

Page 100: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

3. Systems of Linear Equations

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

$�% 5 �� ����� � �� ������ �� � �� ������ ��� ��� ����� BB7����� (" �� �"(! � ("CC ��� BB7����� (#

�� �-(! � (#CC� ��� ���� ������ ��� ��� ���� BB7����� (# �� �(" � (#CC� ����� ��� ����� ���

� �" " �! + -

/ / # �" +

/ / # " A

��

�� �

" " �! + -

/ / # �" +

/ / / - "

��

��

3�� ��� ��� >���������� �� ��� ������ ��� = �� ����� ��� �� ������� �� � �� �� ��������� � ������� (# �� !

-�� ����� ��� ���� �#- � !� ��� ���� ���� ��� ��� ����� BB7����� (" �� "(# � ("CC

��� BB7����� (! �� �+(# � (!CC� ����� ��� ����� ���

� �" " �! + -

/ / # �" '

/ / / ! !"

��

�� �

" " �! / !

/ / # / +

/ / / ! !"

��

��

3�� ����� (" �� !#� �� �� ��� ���� �"# � !� ��� ���� ���� BB7����� (! �� (" � (!CC� �����

� �" " �! / !

/ / ! / "

/ / / ! !"

��

�� �

" " / / #

/ / ! / "

/ / / ! !"

��

��

5���� ����� (! �� !"� �� ��� ���� �!! � !� ���� �� ����� ��� ������ �� ������� �� � �� �&

� �! ! / / #

"

/ / ! / "

/ / / ! !"

��

��

$�% ���� � � � ������ �� �� ��� ��� >���������� �� �����

� �' �( +

/ " #

/ / !

���

��� �

' �( /

/ " /

/ / !

���

��� �

' �( /

/ ! /

/ / !

���

��� �

' / /

/ ! /

/ / !

���

��� �

! / /

/ ! /

/ / !

���

���

��� ��� ��� =� ���� � ��� ������ ��� = ' � � ��� �� ������� �� � �� �� $��� � �=������� ���� �

� ��� ���� ��� �� �� �� ������� �� � ���� �� ' �%

���?� 0��� �� ��� D����GH� ��� ������� ��� ���� ���� ��� �� ������ �� � �� � � ��� = � ���� �� ������� �� ��

��� D����GH� ��� ��� ��� � ��� � ���� ���� �� ��� D������ ������� ��� ���� �=���� ������ � ���� ���� � ���� �� ���� /C� ���� ���� ��� ����� ��� ����� ��� ���� ���� ��� ����� ���� � �� ����� ��� ��=� ����� ���� ��� �� ���� �� ��� ��� ��� � �� ��������� ���� ��� ���� �� ������ � ��� ��������� � � � ���� �� � ����� /C� � ��� ���� ���� ���� ���� �� ��.�� ��� ��� �� ��� ��� �� ��� ��� ����

���@� 6�� � �! �" # ! "

! ! - �! #

" ' ( �" 1

��

��� 9�� D����GH� ��� �� ��� ��� �� ������� �� � �� ��

9�� �!! � ! �� � ���� �� ����� /C� ���� �!! �� ������ ��� ��� ����� BB7����� (" �� �(! � ("CC ���BB7����� (# �� �"(! � (#CC� ��� ����

� �! �" # ! "

/ # ! �" !

/ ( # �- -

��

��

4���� (" �� !"�� �� � ��� ���� �"" � !� ��� ���� � ����� /C� ���� ��� ����� �"" �� ������ ���

*;�<� #? �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� ((

Page 101: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

3. Systems of Linear Equations

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��� ����� BB7����� (# �� �((" � (#CC ��� BB7����� (! �� "(" � (!CC� ����� ��� ����� ���

� �! �" # ! "

/ ! !#

� "#

!#

/ ( # �- -

����

���� �

! / !!#

� !#

1#

/ ! !#

� "#

!#

/ / / " !

����

����

5���� ����� (# ��!"�� �� � ��� ���� �#- � !� ��� ���� � ����� /C� ����� �#- �� ������ ��� ��� �����

BB7����� (" �� "#(# � ("CC ��� BB7����� (! �� !

#(# � (!CC� ����� ��� ����� ���

� �! / !!

#� !

#1#

/ ! !#

� "#

!#

/ / / ! !"

����

���� �

! / !!#

/ !A+

/ ! !#

/ "#

/ / / ! !"

����

����

���� � ��� �� ������� �� � �� ��

�.���)� �� ������ �,����� �� )����> ���)

����� 5�� ��� ��������� ��� = � ��� ��� ��������� ��� = � �� ��� ������ ������&

�� "�� #� � -

#�� -�� A� � '

+�� 1�� (� � !

5 �� ��� ��� �� ����� � ��� ������� ��� ���� ��� ��� ����� ������ �� ����� � ��� �� ,� ����

�� "�� #� � -

A�� #�� -� � '

1�� (�� +� � !

� ���� � �! " �# -

A # �- '

1 �( + !

��

�� ��� � �

! " �#

A # �-

1 �( +

��

��

����� ���� ���� �� ��� ������ ������� ���� �� ��������� ��� = � &

�� "�� � � #

�� #�� � � '

#�� 1�� -� � !A

���

�� "�� -� � "

"�� #�� '� � #

#�� -�� +� � A

���

�� �� #� � !

"�� #�� � � #

'�� A�� � � A

���

$�% 7����� ��� ��������� ��� = � �� ������ �� � �� �����&

� �! " �! #

! # ! '

# 1 - !A

��

�� �

! " �! #

/ ! " "

/ " A 1

��

�� �

! " �! #

/ ! " "

/ / # -

��

��

3�� � �� ���� ��� �� �������� � ����� ������

�� "�� � � #

�� "� � "

#� � -

��� ���� �� ��� >���������� �� ����� ��� ����� ������

� � !A#� � � � "

#� � � -

#� � �!A

#�� "

#� -#�

��� ������ ����� ��� ������ �� � �� � �� �� ������� �� �� �������

� �! " �! #

/ ! " "

/ / ! -#

����

���� �

! " / !##

/ ! / � "#

/ / ! -#

����

���� �

! / / !A#

/ ! / � "#

/ / ! -#

����

����

��� ��� �� ������� �� ��� ����� �������

!// �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� :*;�<� #

Page 102: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

3. Systems of Linear Equations

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

$�% 5 �� ����� ��� ��������� ��� = � �� ������ �� � �� �����&

� �! �" - "

" �# ' #

# �- + A

��

�� �

! �" - "

/ ! �# �!

/ " �+ !

��

�� �

! �" - "

/ ! �# �!

/ / / #

��

��

��� �� � �� �� ������� �� ��� ������ ��� ������� /�� /�� /� � #� ���� ��� �� ������� ����BB0� 3�� *�3��39)CC� ��� � ��� ������ ��� ��� �� ������� $3��� ���� ��� ������ �� � ������������� � ��� ��� ������ ��� � �������%

$�% 7����� ��� ��������� ��� = � �� ������ �� � ��� ���� �� �� ������� �� �&

� �! ! # !

" # �! #

' A ! A

��

�� �

! ! # !

/ ! �A !

/ " �!- "

��

�� � ! / !/ /

/ ! �A !

$��� �� � �� �� ��� ������ ��� = � ������� ���� � � � ����� �� ��� ������ �� ��� � ���� � �.� � ���% , �� ���� ��� ������ �� �������� �� ��� �� ������� �� � �� � ��� ���� � ����� ���� �� �� ���� �� ��� ���� ��� �� ����� ��� � ��>�� ��� �� � �� ��� ������&

�� !/� � /

�� A� � !���

� � �!/�

� � !� A�

;� � � � ��� ��� � �� �� ���� ��� �� ���� � ������� ���� � � �� � �� �����&

� � �!/�� � � !� A�� � � � � � ��!/�� !� A�� ��

����� ���� ��� ������ ������ ���� �� ��������� ��� = � &

�! � "�" � #�# � "�- � -�' � !

"�! � '�" � 1�# � �- � +�' � -

�! � -�" � A�# � '�- � "�' � 1

7����� ��� ��������� ��� = � �� ������ �� � ��� ���� �� �� ������� �� �&

� �! " �# �" - !

" ' �1 �! + -

! - A ' " 1

���

��� �

! " �# �" - !

/ ! �" # �" "

/ " �- A �" A

���

��� �

! " �# �" - !

/ ! �" # �" "

/ / / ! " #

���

���

�! " �# / 1 A

/ ! �" / �1 �A

/ / / ! " #

���

��� �

! / ! / "- "!

/ ! �" / �1 �A

/ / / ! " #

���

���

, �� ���� ��� ������ �� �������� �� ��� �� ������� �� � �� � ��� ���� � ����� ��� � �� �� ���� ����� ���� ��� �� ����� ��� � ��>�� ��� �� � �� ��� ������&

�! � �# � "-�' � "!

�" � "�# � 1�' � �A

�- � "�' � #

���

�! � "!� �# � "-�'�" � �A� "�# � 1�'�- � #� "�'

;� � �!� �"� �- � � ��� ���� �� ���� ��� �# ��� �' � � ��� � �� �� ����� 7��� ���� ��� �� ���� � �� � ����� ������ ��� �� ������� � �� ��� � ��>�� ��� �� � �� ��� ������ �� ���� ������ ��� � �� �� �������� �� �� ����� �� ��� �# � �� �' � �� ��� � ����� ����

�! � "!� �� "-�� �" � �A� "�� 1�� �# � �� �- � #� "�� �' � �

� � �"!� �� "-�� �A� "�� 1�� �� #� "�� ������ � ������ �� � �� ��� �������

*;�<� #? �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� !/!

Page 103: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

3. Systems of Linear Equations

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

������ ��) ��������� 6�)�5����� �.���)�

���1� , �� � �� � ��� ��������� �� !� "� #� ��� �

$�% � � �#� !/� A� ��� ! � �!� #��"�� " � �!� -� "�� # � �"� 1� !�F$�% � � �"� A� 1� ��� ! � �!� "� #�� " � �!� #� '�� # � �!� '� (�F$�% � � �!� '� -� ��� ! � �!� #��"�� " � �"� A��!�� # � �!� +� A��

5�� ��� �������� ������ �� ��� �������� �� � ��� � � �! � �" � �#� ��� ������� ��� ������������ ��� = � �� ��� �������� ������� ��� � � � �!� "� #� �� $;� � !� "� #� � � � ��� �������� � �%

$�% ��� ����� ������� � � �! � �" � �# �� ��� ���� ����� � � �� �����&

#

!/

A

��

�� � �

!

#

�"

��

��� �

!

-

"

��

��� �

"

1

!

��

�� �

�� �� "�

#�� -�� 1�

�"�� "�� �

��

��

5� � ��� �������� ������ �� ��� �������� �� ������ �� �������� ��� �� ���� �� ���� ���� � ������� ����� ��� ������ �� ������ �� �&

�� �� "� � #

#�� -�� 1� � !/

�"�� "�� � � A

�� �� "� � #

�� "� � !

-�� '� � !#

�� �� "� � #

�� "� � !

�#� � (

��� ������ � � � ����� �� �� @�� >���������� ���� ��� ����� ������ � � "� � � A� � � �#����� � � "! � A" � ##�

��� ������� �� � ��� ��������� ��� = � � �!� "� #� � �� ��� �������� ������� ��� ������ �� ������ �� �&

� �! ! " #

# - 1 !/

�" " ! A

��

�� �

! ! " #

/ ! " !

/ - ' !#

��

�� �

! ! " #

/ ! " !

/ / �# (

��

��

��� ��� ��� = �� ������� �� � � ����� ������ ���� ��� � ����� ������� @�� >���������� ���� ��������� � � "� � � A� � � �#� ���� � � "! � A" � ##�

$�% 5� � ��� ��������� ��� = � � �!� "� #� � �� ��� �������� ������� ��� ����� � �� ��� �������� �&

� �! ! ! "

" # ' A

# ' ( 1

��

�� �

! ! ! "

/ ! # #

/ " + -

��

�� �

! ! ! "

/ ! # #

/ / / �"

��

��

��� �� � �� �� ������� �� ��� ������ ��� ������� /�� /�� /� � �"� ���� ��� �� ������� ������� ������ ��� ��� �� ������� ��� � ������ �� � ���� �� � ��� ��������� �� !� "� #�

$�% 5� � ��� ��������� ��� = � � �!� "� #� � �� ��� �������� ������� ��� ����� � �� ������ �� �&

� �! " ! !

# A + '

�" �! A -

��

�� �

! " ! !

/ ! # "

/ # ( +

��

�� �

! " ! !

/ ! # "

/ / / /

��

��

��� ��� ��� = �� ������� �� ��� ������ ������ ��� � �� �� ��� �&

�� "�� � � !

�� #� � "

���� � ��� �� � ���� �� � ��� ��������� �� !� "� # � ���� ����� 5� �=����� �� ��� � ���� ��� � � !� ���� �� ��� >����������� �� ��� � � �" ��� � � "� ���� � � "! � "" � #�

!/" �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� :*;�<� #

Page 104: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

3. Systems of Linear Equations

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

���4� 6�� ! � �!� "� -�� " � �"��#� !�� # � �"� !��!� � �#� ���� ���� !� "� # � � � �������� ���� �� � �� � ��� ��������� �� !� "� #� ��� �& $�% � � �A� !+� +�� $�% � � �#� '� "��

�� � ��� ��� � ����� �� �� � �� ����� � �� ���

! � " � "� +� - � /� ! � # � "� "� - � /� " � # � -� #� ! � /

���� ��� �� �� ����� � � �# � � � �������� ��� ����� 5�� � ���������� ��� �� ����� ���� ��� � �! � �" � �#� ��� �

� � � � !! � !

� � � � � "" � "

� � � � � ## � #

$�% ,� ����

� � A� #"� "-

!� -� !+� +#

"!� #� � � !-� -1� +

-� (� !� �"1

!-� � �"� � � !-� !+� +

-� !� !� "-

+� -

���� � � #! � "" � -#�

$�% ,� ����

� � #� !/� 1

!� -� !+� "!

"!� !� � � +� !'� "

-� (� !� �A

!-� � !

"� � � +� '� "

-� !� !� (

+� #

"

���� � � ! � !"" � #

"#�

���9� 5�� ��� ������� ��� � ���� �� ��� ���� � ������ 3 �� ���� �� ��� ������ ������������������&

"�! � -�" � '�# � #�- � /

#�! � +�" � A�# � -�- � /

'�! � !/�" � !!�# � +�- � /

���

�� "�� #� � /

"�� �� � � /

#�� -�� 1� � /

���

$�% 7����� ��� ������ �� ������ �� � ���� ��� ��� ����� BB7����� �" �� �#�! � "�"CC� BB7����� �# ���'�! � "�#CC� ��� ���� BB7����� �# �� �"�" � �#CC� ����� ��� ����� ���&

"�! � -�" � '�# � #�- � /

�# � �- � /

#�# � #�- � /

���"�! � -�" � '�# � #�- � /

�# � �- � /

��� ������ � ������ �� � ��� ��� � �� �� ����� �" ��� �-� �� �� 3 � "� � ���� �!� " �� 3 ����� ������� �� �����&$!% ��� �" � !� �- � /� @�� >���������� ���� �# � /� ��� ���� �! � �"� ���� ! � ��"� !� /� /��$"% ��� �" � /� �- � !� @�� >���������� ���� �# � !� ��� ���� �! � !� ���� " � �!� /� !� !��

$�% 7����� ��� ������ �� ������ �� �� �������

�� "�� #� � /

'�� (� � /

"�� A� � /

���

�� "�� #� � /

'�� (� � /

!A� � /

��� � � � �� � �� �� ���� $��� ������ � � � ����� �� �%� ;���� �� 3 � /� ��� 3 ��� �� �������������� 3 ������� ��� �� ��� .� � ������� ���� �� 3 � �/��

���;� 5�� ��� ������� ��� � ���� �� ��� ���� � ������ 3 �� ��� ������ ����������� ���������� ��� = �������&

�! � "�" � #�# � "�- � -�' � /

"�! � -�" � 1�# � �- � (�' � /

#�! � +�" � !#�# � -�- � !-�' � /

���� ��� ��� ���� ���� ��� �� ���� � �� � �� ��� ���� � ������ �� ��� �������

*;�<� #? �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� !/#

Page 105: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

3. Systems of Linear Equations

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

,��� � ������ � ������������ �� �� ����� ��� ������ �� �� ��������� ��� = � ���� ���� �� ����������� ��� = � � ���� ��� ��� ����� �� ��� ��������� ��� = � � � .� � ������ ��� � � ���� �.� � ����� �� �� ��� ��> ������� � ������

7����� ��� ��������� ��� = � �� ������ �� �� �������

� �! " # �" -

" - 1 ! (

# + !# - !-

��

�� �

! " # �" -

/ / " ' !

/ / - !/ "

��

�� � ! " # �" -

/ / " ' !

$��� �� � �� �� ��� ������ ��� = � ������� ���� � � � ����� �� ��� ������ �� ��� � ���� � � .� � ���% ,� ��� ��� � ����� � ��� �� ��� �����$�% , �� ���� ��� �� �������� ����������� ������ � ������ �� �&

�! � "�" � #�# � "�- � -�' � /

"�# � '�- � �' � /

��� ������ � ������ �� � ��� �� �� � �� �� ����� �"� �-� �'� �� �� 3 � #� � ���� �!� "� # �� 3��� �� ������� �� �����&

$!% ��� �" � !� �- � /� �' � /� @�� >���������� ���� �# � /� ��� ���� �! � �"� ����! � ��"� !� /� /� /��

$"% ��� �" � /� �- � !� �' � /� @�� >���������� ���� �# � � '"� ��� ���� �! � !"� ����

! � �!"� /�� '"� !� /��

$#% ��� �" � /� �- � /� �' � !� @�� >���������� ���� �# � � !"� ��� ���� �! � � '

"� ����

! � �� '"� /� � !

"� /� !��

:��� ���� ���� � ������ � ��� ���� �� ������� �- � " � $"% ��� �' � " � $#%� ���� ���������� �� " ��� #�? ��� �� ���� � �� � �� ��� ���� � ������ � ������� � �� ��� ������ ��� ��������� �� ��� ���� ����� � ���� �� ����� � �� �� �&

�! � �" � �# � ��"�� !"�� '"�� �� � '

"�� !

"�� �� ��

$�% 7����� ��� ������ �� � �� � �� �� ������� �� �&

� � ! " # �" -

/ / ! '"

!"

� �� ! " # � !(

"'"

/ / ! '"

!"

� �

, �� ���� ��� �� �������� � ��>�� ��� ������&

�! � �"�" �!(

"�- �

'

"�'

�# � � '

"�- �

!

"�'

9��� ����� �������� �� ��� ���� �� ���� �! ��� �#� ����� ��� ����� � ����� �� ����� � ���� �!� "� #�� 3� ���� �� ��� �" � !� �- � /� �' � / �� ��� !F ��� �" � /� �- � !� �' � / �� ���� "F ��� ��� �" � /��- � /� �' � ! �� ��� #�

���=� < ��� ���� �� #�!#� 6�� �/ �� � �� ���� ������ �� �- � �� ��� �� 3 �� ��� ���� � ������ ���- � /� ���� / � �/ �3 � ��/ � � � � � 3 � � ��� ���� � ������ �� �- � ��

6�� � �� � ������ �� �- � /� ����

���/ � �� � ��/ � �� � �� / � �

���� ��� ��� �/ � � � � ������ �� �- � �� �� ��� ���� ����� ������� � � ��� � ������ �� �- � ������

���� �/� � ��� ��/ � �� � � /

��� ��� � �� �/ ������ �� 3 � ���� � � �/ � ��� �/�� �� ��� ���� ��� ������ �� �- � � ��� �� ��������� ����� � ������ �� �- � / �� � ������ �� �- � �� ���� ��� ���� �� � � �����

!/- �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� :*;�<� #

Page 106: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

3. Systems of Linear Equations

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

���)�����. )�������� �//���������

���?� 6�� �!� �"� �# ������� ���������� ��� ������� � �� ��� �����

BB���� ������ ��� (! ��� ("CC� BB7����� (# �� A(#CC� BB7����� (" �� �#(! � ("CC

5�� ��� �� �������� #>���� � ������� � ��� ��� 5!�5"�5#�

���� ���� ��� ���� �� ��� #� # ������ ��� = '# �� �����

5! �/ ! /

! / /

/ / !

��

��� 5" �

! / /

/ ! /

/ / A

��

��� 5# �

! / /

�# ! /

/ / !

��

��

���@� *����� ��� ������� � �� ��� ����� � < ���� #�"(�

$�% 0��� �� ��� ��� �� ��� ����� ��!! � ��!

" � ��!# �

$�% 5�� ��� �� �������� #>���� � ������� � ��� ��� 5 !� 5

"� 5

#�

$�% ,��� � ��� �������� ������� ��� ��� ��� 5 !� 5

"� 5

# ��� ��� ��� ��� 5!� 5"� 5#J

$�% ��� ��� ��� �� �!� �"� �# � �� ����������

BB���� ������ ��� (! ��� ("CC� BB7����� (# ��!A(#CC� BB7����� (" �� #(! � ("CC�

$�% ���� ���� ��� �� ��� ���� �� ��� #� # ������ ��� = '# �� �����

5 ! �

/ ! /

! / /

/ / !

��

��� 5

" �! / /

/ ! /

/ / !A

��

��� 5

# �! / /

# ! /

/ / !

��

��

$�% ��� ��� ��� 5 !� 5

"� 5

# � �� ���������� ��� ��� ��� �� ��� ��� ��� 5!� 5"� 5#�

����� , �� ���� �� ��� ������ ��� ��� �� � � ����� �� ������� � ��� ���&

��� � � ! �#

�" -

� ��� � �

! " #

/ ! -

/ / !

��

��� ��� ! �

! ! "

" # 1

�# �! "

��

��

��� ������ �� �� ����� � �� � ��� = � �� � � ����� �� ������� � ��� ���&

���0 �� 7�� ����� � �� ��� ������ ��� = ' � ����� � �� �� ��� ������� � �� ��� ������

���0 �� , �� ���� ��� ��� �� �� ��� ������

���0 �� , �� � �� ��� � ����� �� ��� ������� � ��� ��� �� �������� �� ��� ��� �� ��� ������ ������� ��� ��� �� �����

�� � .� � �� ����� � � ���� !� ���� � � ��� �� �������� �� ��� ������ ��� = ' � ��� � ������ �� � ������ � � ����� �� ������� � ��� ����

$�% $!% ,� ����

� � ! �#

�" -

� ! �#

/ �"

� ! �#

/ !

� ! /

/ !

� '

��� � ��� �� ��� ����� � �� ����������

BB7����� (" �� "(! � ("CC� BB7����� (" �� � !"("CC� BB7����� (! �� #(" � (!CC

$"% ���� �� ��� �����&

BB7����� (" �� �"(! � ("CC� BB7����� (" �� �"("CC� BB7����� (! �� #(" � (!CC

$#% � � ! /

�" !

! /

/ �"

! �#

/ !

*;�<� #? �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� !/'

Page 107: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

3. Systems of Linear Equations

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

$�% $!% ,� ����

� �! " #

/ ! -

/ / !

��

�� �

! " /

/ ! /

/ / !

��

�� �

! / /

/ ! /

/ / !

��

�� � '

��� � ��� �� ��� ����� � �� ����������

BB7����� (" �� � -(# � ("CC� BB7����� (! �� � #(# � (!CC� BB7����� (! �� �"(" � (!CC

$"% ���� �� ��� �����&

BB7����� (" �� -(# � ("CC� BB7����� (! �� #(# � (!CC� BB7����� (! �� "(" � (!CC

$#% � �! / /

/ ! -

/ / !

��

��

! / #

/ ! /

/ / !

��

��

! " /

/ ! /

/ / !

��

��

$�% $!% 5 �� �� ����� ! �� ������ �� �� ,� ����

! �! ! "

" # 1

�# �! "

��

�� �

! ! "

/ ! -

/ " 1

��

�� �

! ! "

/ ! -

/ / /

��

��

�� ������ �� �� ! ��� � .� � ��� BB���<CC� ��� ��� = ! ������ �� �� ������ �� ��� ��������� = ' � ��� ! ������ �� � ���� �� � � ����� �� ������� � ��� ���� $,� ����� � �� ���� � ����! ��� �� ��� ���%

����� 5�� ��� ��� �� ��& $�% � �! " �-

�! �! '

" A �#

��

��� $�% � �

! - �-

! ' �!

# !# �+

��

���

$�% 5� � ��� ��� = � � ��� ' ��� �� ����� � �� ������ �� �&

� �! " �- ! / /

�! �! ' / ! /

" A �# / / !

���

��� �

! " �- ! / /

/ ! ! ! ! /

/ # ' �" / !

���

���

�! " �- ! / /

/ ! ! ! ! /

/ / " �' �# !

���

���

�� ������ �� �� ��� ��� ��� �� � � � � ����� �� �F ����� � ��� �� ��� ��� 5� ��� ����� � �� ��������� �� �&

� �! " / �( �+ "

/ ! / A"

'"

� !"

/ / ! � '"

� #"

!"

����

���� �

! / / �!+ �!! #

/ ! / A"

'"

� !"

/ / ! � '"

� #"

!"

����

����

��� ��� ��� = ��� ��� �� � �' ���!F ���� �� ��! � ��� ��� ��� �� ��� ��� ��� =� ����

��! ��!+ �!! #

A"

'"

� !"

� '"

� #"

!"

����

����

!/+ �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� :*;�<� #

Page 108: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

3. Systems of Linear Equations

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

$�% 5� � ��� ��� = � � ��� ' ��� �� ����� � �� ������ �� �&

� �! # �- ! / /

! ' �! / ! /

# !# �+ / / !

��

�� �

! # �- ! / /

/ " # �! ! /

/ - + �# / !

��

�� �

! # �- ! / /

/ " # �! ! /

/ / / �! �" !

��

��

�� ������ �� �� � ��� � .� � �� � �� ��� ���F ���� �� � � ��� �� ������ �� � ����� �� ������ ����� � ��� �� ��� ���

����� ���� ���� ��� � ������� � ��� = 5 � ��� ���� ��� �� ��� �� � �� ������� � ��� =�

6�� 5 �� ��� ������� � ��� = �� �������� �� ��� ������� � ��� ���� �� ���� �� ��' � � 5� 6�� � ����� ��� �� ��� ���� �� � ��� �� 5 �� ��� �� �������� ������� � ��� =� ���� �� � �' � � 5 � ����

' � � ���' �� � � �5� � 5 5 ��� ' � ��� �' �� � ��5 � � 55

��� ��� � 5 � ��� ��� �� �� 5�

���1� < ��� ���� �� #�!#& 6�� � �� �� ������� � �� ��� ���� ��� �� 5 �� ��� �� �������� �>���� �������� � ��� =� ���� �� 5 � ��' �� ���� ���� � 5�� ��� � � � ��� �� � ��� =�

6�� (� �� ��� �� � �� �F �� ������ ��� �� � ��� � � �(!� � � � �(�� �� � � � ��� = �� ���� �� ������� ���� �� � �(!� � � � �(��� ,� ��� ��

�� � �/� � � � � /� �!� /� � � � � /�� �� �

;� � �� � ����� ! � ��� ��� ��� �� ��� ��� ���� $< ���� "�-'% ���� ��� � (�� ,� ��� ���� ����' � ��!� �"� � � � � �� � ��� ������ ��� =�

$% 6�� � �� ��� ������� � �� ��� ���� BB���� ������ ��� (� ��� (�CC� ����� �� �� � ��� �� � ��

5 � ��' � � ��!� � � � ����� � � � ������ � � � � �����

���� � �(!� � � � � �(�� � � � ���(�� � � � �(�

����

5� � ��!�� � � � � ����� � � � � ������ � � � � ��� � �(!� � � � � �(�� � � � ���(�� � � � �(� � ����

$% 6�� � �� ��� ������� � �� ��� ���� BB7����� (� �� �(� �� � /�CC� ����� �� �� ��

5 � ��' � � ��!� � � � � ����� � � � � �����

���� � �(!� � � � � ��(�� � � � �(�����

5� � ��!�� � � � � ������ � � � � ��� � �(!� � � � � ��(�� � � � �(� � ����

$% 6�� � �� ��� ������� � �� ��� ���� BB7����� (� �� �(� � (�CC� ����� �� �� ��

5 � ��' � � ��!� � � � � ���� � ��� � � � � �����

���� � �(!� � � � � ��(� � (�� � � � � (�

*;�<� #? �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� !/A

Page 109: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

3. Systems of Linear Equations

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

9��� ���� � ���� � ������ � ��� � �(� � (� � �� ����

5� � ��!�� � � � � ���� � ����� � � � � ���� �(!� � � � � ��(� � (�� � � � � (� � ����

���4� < ��� ���� �� #�!-& 6�� � �� � ���� � ��� =� ���� ��� ������ � � ��������&

$�% � � ��� ��� $�������� %�

$�% � � �� �������� �� ��� ������ ��� = ' �

$�% � � � � ����� �� ������� � ��� ����

������� � � ��� ��� ��� ������� � � �� �������� �� ��� = � � �� ������� �� �� ���� ��� ��=�� ������� � ��� ��� 5!�5"� � � � �5 ���� ���� 5 � � �5"5!� � �� ���� � � ��� ��� ��� ����������� � ��� = � ��� ���� � � ��� ��� ���� @�� � � � ' � ���� � ��� � .� � ��F ������ � � ������ ���� ���� � � ' � ��� $�% ���� $�%�

�� $�% ����� ���� ��� � �=�� ������� � ��� ��� 5!�5"� � � � �5 ���� ���� 5 � � �5"5!� � ' � ;����� � �5 � � �5"5!��! � 5�!5�!

" � � � �5�! � @�� ��� 5�!

� � � ��� ������� � ��� ���� ���� $�% ���� $�%��� $�% ����� ���� � � 5!5" � � �5 � ��� 5� � � ��� ��� ��� ���F ����� ��� � ����� � � ��� ��� ����

���� $�% ���� $�%� ���� ����� ��� ���� �� � � �����

���9� < ��� ���� �� #�!'& �� �� � ' � ���� �� � ' � ��� ����� � � ��!�

������� � � ��� ��� ���� ���� � � ��� �� �������� �� ��� ������ ��� = ' � ��� �� � � ���������� �� � ��� = ��� � .� � ��� �� ���� �� ��� ��� � �=�� ������� � ��� ��� 5!� � � � �5 ���� ����5 � � �5"5!� ��� � .� � ��� ;���� 5 � � �5"5!�� � 5 � � �5"5!� �� ��� ��� ��� =� ��� ��� � .� � ��� @����� ��� ��� ��� ������ ���� .� � ���F ����� � � ��� ���� ��� ��� �� ��!� ���� ����

� � '� � ���!��� � ��!���� � ��!' � ��!

���;� < ��� ���� �� #�!+& � � �� �������� �� � $� ���� � � �� � ��� ��� � ��� � �=��� ��������� ��� = % ���� ���� � � %��

�� � � �� ���� � � � �� � � ��"��!����� � � �� � 5 � � �5"5!� � %� ��� � % � 5 � � �5"5! � �������� �*���� ���� ������� � � %�� ��� � % � �������� � @� ���� �� #�!-� % � � � ����� �� ������� ���� ���� ��� �� � ��� �� ������� � �� � �� � �������� �� ������� � �� ��� ������ ���� �� � � �� ������� ���� �� � � �����

���=� < ��� ���� �� #�!1& )�� � �� � ��� = � � �������� �� � ����� ��� ��� = �� ��� �� �'� /

/ /

� ��� � '� � ��� � � � ������ ��� =�

��� � ��� � ����� ������ � ��� �� � �� �� ��� ����

���0 �� 7�� ����� � �� �� ������� �� �� ��� ����� ���.� � ��� �� �!�! � �"�" � � � � � �����

���0 �� ���� ������ !! ��� !!�!� ��� ������ !" ��� !"�"

� � � � � ��� ��� ������ !� ��� !��� ��� ���� �

��� = � ��� �� �'� �

/ /

� ��� ����� ���.� � ��� �� �!!� �""� � � � � ����

���0 �� 9�� ����� ��� ������ ��� ��� ��� �� ������ �� ����� ���� ��� � � � ��� � .� �� ���� �� � � !� "� � � � � � ��� � � � � !� � � "� � � � � �� ���� ��� ��� ���� ����!� � !� � !��

��� ��� ��� = ��� ��� ��� �� �� �'� /

/ /

!/1 �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� :*;�<� #

Page 110: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

3. Systems of Linear Equations

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

� �������A�����

���?� 5�� ��� 69 ����������� ��& $�% � �! �# '

" �- A

�! �" !

��

��� $�% � �

! - �#

" 1 !

�' �( A

��

���

$�% 7����� � �� � ����� �� � �� ��� ������ ��� �����&

BB7����� (" �� � "(! � ("CC� BB7����� (# �� (! � (#CC� ��� ����

BB7����� (# �� '"(" � (#CC

����� ��� ����� ��� ��� ������� ��� � ��� � ����� �� � � / &

� �! �# '

/ " �#

/ �' +

��

�� �

! �# '

/ " �#

/ / � #"

��

�� � / ��� � �

! / /

" ! /

�! � '"

!

��

��

��� ��� �� "��!�� '"� � � � ��� �������� �� ��� ����� � �"� !� '

"� ��� ����� �� ��� ������ $�� �

���� � ����� � ��� / �� �� �� � � �/�%

$�% 7����� � �� � ����� �� � �� � �� ������ ��� ��� ����� BB7����� (" �� �"(! � ("CC ��� BB7�����(# �� '(! � (#CC� ����� ��� ����� ���

� �! - �#

/ / A

/ !! �1

��

���

���� �� ���� ��� ������ ������ ��� � � /� ���� � ������ �� � ����� ��� � ����� �� � ������ ����� ������ ��� ������ ���� ����� � � ��� �/ >����� ���� $��� � ���� �=�� � %�/ ����� .���� ������ � ��� = �� ��� � % � � �� ������� ��� =� ��� ���� � ����� .���� �� ������ ��� ����� �� �����=��%

��1@� 5�� ��� �7/ ����� .���� �� ��� ��� = � � < ���� #�#(�

��� � � �7/ ����� .���� ��� � �� ��� ������� ��� � � � � ��� � ����� ��� = ��� !C� �� ��������� $�� � ��� �/ ����� .���� �� �%� 7 � � ������ ��� =� ��� / � �� ���� � ����� ��� = ��� !C��� ��� ������� ���� ���� ����� ��� ��� ������ ��� �� � ��� ��� = / � ��� ����� �/ ����� .���� �� ��� ����� 7 ��� �� ���� �

� �! / /

" ! /

�! � '"

!

��

��� 7 �

! / /

/ " /

/ / � #"

��

��� / �

! �# '

/ ! �#

/ / !

��

��

��1�� 5�� ��� �/ ����� .���� �� ��� ��� = � �! " !

" # #

�# �!/ "

��

���

7����� � �� � ����� �� � �� ��� ������ ��� �����&

�!� BB7����� (" �� �"(! � ("CC� �"� BB7����� (# �� #(! � (#CC� �#� BB7����� (# �� �-(" � (#CC

����� ��� ����� ��� ��� ������� ��� � ��� � ����� �� � � / &

� �! " !

/ �! !

/ �- '

��

�� �

! " !

/ �! !

/ / !

��

�� � / ��� � �

! / /

" ! /

�# - !

��

��

��� ��� �� "��#� - � � � � ��� �������� �� ��� ����� � �"� #��- � ��� ����� �� ��� ������ $�� ����� � ����� � ��� / �� �� �� � � �/�%

*;�<� #? �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� !/(

Page 111: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

3. Systems of Linear Equations

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��1�� 6�� � �� ��� ��� = � < ���� #�-!� 5�� -!�-"�-#� ��� �& -� � ��� ������ �� �- � �� �� &$�% �! � �!� !� !�� $�% �" � �! � -!� $�% �# � �" � -"�

$�% 5�� ��!�! �� ������ ��� �� ��� ����� $!%� $"%� ��� ���� $#% � < ���� #�-! �� �!&

�! �!

!

!

��

���������!� ��� �"� !

�!

-

��

���������#� !

�!

1

��

��

���� /- � � �� � � �!��!� 1� �� ��� >���������� �� ����� -! � ��"'� (� 1��$�% 5 �� ��� �" � �! � -! � �!� !� !� � ��"'� (� 1� � ��"-� !/� (�� ���� �� �����

�" � ��"-� !/� (" �������!� ��� �"� ��"-� '1��+#" �������#� ��"-� '1��"('"

���� /- � � �� � � ��"-� '1��"('� �� ��� >���������� �� ����� -" � �(-#��#'#��"('��$�% 5 �� ��� �# � �" � -" � ��"-� !/� (� � �(-#��#'#��"('� � �(!(��#-#��"1+�� ����� �� �����

�# � �(-#��#'#��"('" �������!� ��� �"� �(!(��"!1!� "+A!" �������#� �(!(��"!1!� !! #('"

���� /- � � �� � � �(!(��"!1!� !! #('� �� ��� >���������� �� �����

-# � ��#A +"1� !# 'A+� !! #('��

)����������� /�� ��)�

��1�� 6�� � �� � ��� ��������� �� ��� � �������� � � �� ����� � ��� ������ $#�"%� ��� � � ����������

��!�!! � � � � � ����!��! � � � � � ��!�!� � � � � � �������� � �!�! � � � � � ���� �!�

���� ���� ��� ������ �� ��� ������ $#�"% � ��� � ������ �� ��

6�� � ��!� � � � � ��� �� � ������ �� $#�"%� ����

��!�! � ��"�" � � � � � ����� � �� �� � !� "� � � � ��� �"����������� � ��� ���>���� ��� �� $!% ��� ���� $"%� �� ���

��!�!! � � � � � ����!��! � � � � � ��!�!� � � � � � ��������� �!��!!�! � � � � � �!���� � � � � � �����!�! � � � � � ������� �!�! � � � � � ����

��� � ��� ���>���� ��� �� $!%F ����� � � ������ �� $!%�

��11� ������� � ������ � �� ��� �������� � ������� � �� � ������ � �� ������ �� ������� ���� ���� $���� +-%� ���� ���� � ��� � ���� ��� ���� ��������

)��� ������� � � � � � ��� ��������� �� �������� � �� ;����� �� < ���� #�-#� ��� �������� � � ��� �� � ������ �� �� �� ��� ���� ����� ���� ������� � ��� ���� ��� �� ��� �� ������� ���� ����� �� � ��� �� ������� � �� � �� �� ������� � ��� ����� ��� ����� ���� ��� ������ �� � � ������� �� �� ���� � ��� � ���� ��� ���� ��������

��14� < ��� ���� �� #�-& ������� � ������ � �� ��� �������� � ������� � �� � ������ � �� ��������� �� ������� � ��� ������ ���� � ��� � ���� ��� ���� ��������

)��� ���� �� ��� �������� ���� ��� ������ ��� ������ ��� $< ���� #�--%� ���� ��� � ��� ������ ���� ��� ��� ������ � $��� ��� ������ � �������% ���� ��� ���� ��������

!!/ �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� :*;�<� #

Page 112: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

3. Systems of Linear Equations

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��19� � ������� �� ��� �������� � ��� �� �� ��� � �� � �� ��� ��������� �� �� �������� � ������� ��� ������� � ��� � ���.� � ��������� ���� ���� � � ��������� � ��� ��� � � � ������ �� ������ �� ��

������� � � ������ �� ������ �� �� ���� � ��� � ������� ���� ���� ��� �� � ������ �� ��� ���� ��������� �� �� ��������� ���� �� ���� ��� �� ������� ������ �� � ��� ��������� �� ����������� � �� ���� � � ����������

�� ��� ���� ����� ������� � � ��� ������ �� ������ �� �� ����� � ��� ������� � ������ � ������� � ������ ��� ������� � ��� � ���.� � ��������� ���� � � ��� ��������� �� ��� �������� � ����� ��� �� � � ��� ���������� ���� �� � � �����������

��1;� ������� ��� � � � ������ ����� �� ���� ����� �� ������ ���� � �� ��� ����� � � ��� �� � ��������

������� � �!�� �� � � �"�� ��� ,� ���� ��� ���� ���� �! � �"� ,� ����

�!�� �� � �"�� ��� ��� �� ��! � �"��� �� � /

���� ��� � � � ������� � � � /� ;���� �! � �" � /� ��� �� �! � �"�

��1=� ������� �� � ������� < ���&

$�% ������� � ��� � .� � ��� ���� �� ��� � .� � ���

$�% ������� � ��� � .� � ������ ���� �� ��� � .� � ������

$�% 6�� (� �� ��� .� � �� �� �� ��� !!� � � � �!� ��� ������ �� �� ���� ��� ��� �� �� �� �

�(�!!�(�!"� � � � �(�!�� � �/� /� /� � � � � /�

$�% �" ��� � .� � ��� ��� �� �"�" � ����" ��� � .� � ��� ;���� �� ��� � .� � ������

��00�� �����# /��8�� �

������ �,������� ��� �.���)���1?� 0��� ��� ������ ���� �� ��� ������ ������� � ��� &

$�% #�� -�� "�� � 1� $�% ��� #� � �� $�% "�� #�� �� � -

��4@� ����& $�% �� � "� $�% #�� " � '�� A� "�� $�% +�� "� -� � '� "�� #

��4�� ���� ���� �� ��� ������ �������&

��� "�� #� � !

'�� A� � #

��� -�� "� � '

�+�� #� � !

��� "�� - � #�

'�� � � '

��� "�� -� � !/

#�� +� � !'

��4�� *����� ���� �� ��� ������ ������� � �� ����� � ��� �&

��� �� �� � !

��� -� � �

��� ��� #� � "

!"�� �� � �

��� �� �� � #

"�� '� � �

5� ���� ����� �� � ���� ���� ������ ���� � ����� ������� ��� �� ���� �� � �� ����� ��� �� ���� ���������� ���� �� � ���� ��� ������J

*;�<� #? �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� !!!

Page 113: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

3. Systems of Linear Equations

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

5������ �.���)� �� ������ �,������

��4�� ����&

��� �� �� "� � -

"�� #�� +� � !/

#�� +�� !/� � !-

��� �� "�� #� � "

"�� #�� 1� � A

#�� -�� !#� � 1

��� �� "�� #� � #

"�� #�� 1� � -

'�� 1�� !(� � !!

��41� ����&

��� �� "� � '

"�� #� � #

#�� "� � A

��� �� "�� #�� " � "

"�� '�� 1�� + � '

#�� -�� '�� " � -

��� �� "�� -�� ' � #

#�� �� '�� " � -

'�� -�� +�� ( � "

��44� ����&

��� "�� �� -� � "

-�� "�� +� � '

+�� #�� 1� � 1

��� �� "�� �� # � #

"�� -�� -�� # � (

#�� +�� �� 1 � !/

��49� *����� ���� �� ��� ������ ������� � �� ����� � ��� �&

��� �� "� � !

�� �� �� � "

��� -� � �

��� �� "�� "� � !

�� ��� #� � #

�� !!�� �� � �

��� �� �� �� � !

�� ��� � � -

��� �� � � �

5� ���� ����� �� � ���� ��� ������ ���� � ����� ������� ��� �� ���� �� � �� ����� ��� �� ���� ��������� ���� �� � ���� ��� ������J ��� ���� �� � ���� ��� ���� ��� ������ �� ������ ��� ������ ��� ������ ������� ,��J

������ ��) ��������� 6�)�5����� �.���)�

��4;� , �� � �� � ��� ��������� �� !� "� #� ��� �&

$�% � � �-��(� "�� ! � �!� "��!�� " � �!� -� "�� # � �!��#� "�F$�% � � �!� #� "�� ! � �!� "� !�� " � �"� +� '�� # � �!� A� 1�F$�% � � �!� -� +�� ! � �!� !� "�� " � �"� #� '�� # � �#� '� 1��

��4=� 6�� ! � �!� !� "�� " � �!� #��"�� # � �-��"��!� � �#� ���� ���� !� "� # � � � �������� ��� � �� � ��� ��� ��������� �� !� "� #� ��� �& $�% � � �'��'� (�� $�% � � �!��#� #�� $�% � � �!� !� !��$.��0 9�� 5�� � �����������%

��4?� 5�� ��� ������� ��� � ���� �� ��� ���� � ������ 3 �� ���� �� ��� ������ ����������� �������&

��� �� �� "� � /

"�� �� � � /

'�� �� -� � /

��� �� "�� #� � /

"�� '�� "� � /

#�� �� -� � /

��� �� "�� #�� � /

"�� -�� A�� - � /

#�� +�� !/�� ' � /

��9@� 5�� ��� ������� ��� � ���� �� ��� ���� � ������ 3 �� ���� �� ��� ������ �������&

��� �! � #�" � "�# � �- � �' � /

"�! � +�" � '�# � �- � �' � /

'�! � !'�" � !"�# � �- � #�' � /

��� "�! � -�" � #�# � �- � "�' � /

#�! � +�" � '�# � "�- � -�' � /

'�! � !/�" � A�# � #�- � -�' � /

!!" �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� :*;�<� #

Page 114: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

3. Systems of Linear Equations

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��6���� )�������� ��< ��������� ���)

��9�� 7����� ���� �� ��� ������ ��� ��� �� ������ �� � ��� ���� �� �� ������� �� �&

���! ! "

" - (

! ' !"

��

��� ���

! " �! " !

" - ! �" #

# + # �A A

��

��� ���

" - " �" ' !

# + " " / -

- 1 " + �' A

��

��

��9�� 7����� ���� �� ��� ������ ��� ��� �� ������ �� � ��� ���� �� �� ������� �� �&

���! " ! " ! "

" - # ' ' A

# + - ( !/ !!

! " - # + (

����

����� ���

/ ! " #

/ # 1 !"

/ / - +

/ " A !/

����

����� ���

! # ! #

" 1 ' !/

! A A !!

# !! A !'

����

����

��9�� 9��� ��� /C� ��� !C�� �� � ������ "� " ��� ��� � �� ������� �� ��

��91� 9��� ��� /C� ��� !C�� ��� ��� ����� � �� ������ #� # ��� ��� � �� ������� �� ��

���)�����. )�������� �//���������

��94� 6�� �!� �"� �# ������� ���������� ��� ������ ������� � �� ��� �����&

BB���� ������ (" ��� (#CC� BB7����� (" �� #("CC� BB7����� (! �� "(# � (!CC

$�% 5�� ��� �� �������� ������� � ��� ��� 5!�5"�5#�

$�% 5�� ��� ��� �� ��� ����� ��!! � ��!

" � ��!# F ��� �� �������� ������� � ��� ��� 5

!� 5 "� 5

#F ��� ���

�������� ������� ���� ��� 5!�5"�5#�

$�% 0��� �� ��� �� �������� ������� � ����� ��� ����� �!� �"� �#�

$�% 5�� ������� � ��� ��� 2!�2"�2# �� �������� �� �!� �"� �#� ��� ��� �������� ������� ���� ���5!�5"�5#�

��99� )=� ��� ���� �� ��� ������ ��� ��� �� � � ����� �� ������� � ��� ���&

� � ! "

# -

� � � # �+

�" -

� ! � " +

�# �A

� 7 �

! " /

/ ! #

# 1 A

��

��

��9;� 5�� ��� ��� �� �� ���� �� ��� ������ ��� ��� $� � �=���%&

� �! �" �!

" �# !

# �- -

��

��� � �

! " #

" + !

# !/ �!

��

��� ! �

! # �"

" 1 �#

! A !

��

��� 7 �

" ! �!

' " �#

/ " !

��

��

��9=� 5�� ��� ��� �� �� ���� �� ��� ������ �� � ��� ���&

$�% � ��� !C� �� ��� ������ ��� ����������� $��� �� � ���� ����� ��� ������% ��� /C� ������ ��

$�% � ��� !C� �� ��� ����� ��� ������� ��� /C� ������ ��

� �������A�����

��9?� 5�� ��� �/ ����� .���� �� ���� �� ��� ������ ��� ���&

$�%

! �! �!

# �- �"

" �# �"

��

��� $�%

! # �!

" ' !

# - "

��

��� $�%

" # +

- A (

# ' -

��

��� $�%

! " #

" - A

# A !/

��

��

*;�<� #? �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� !!#

Page 115: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

3. Systems of Linear Equations

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��;@� 6�� � �� ��� ��� = � < ���� #�+($�%� 5�� -!�-"�-#�-- ��� �&

$�% -! � ��� ������ �� �- � �!� ��� � �! � �!� !� !�" �$�% 5� � � !� -� � ��� ������ �� �- � �� � ��� � �� � ���! � -��!�

��;�� 6�� � �� ��� ��� = � < ���� #�+($�%� 5�� ��� �7/ ����� .���� �� ��

)����������� /�� ��)�

��;�� *����� ��� ������ ������� � �� ����� � ��� �&

��� ��� �� � !

��� �� � /��� ��� �� � /

��� �� � !

������� 7 � �� � �� � /� ���� ���� ���� ������ ��� ��� ����� ������&

$�% � � ��7� � � ���7� $�% � � ���7� � � ��7�

��;�� 5�� ��� ��� �� �� ��� �� ��� ���� BB7����� (� �� �(� � � (� �� � /�CC�

��;1� < ��� ���� ������ ��� ��� ����� �� �� ������ �� � $ ���������� ��� �� ������� �� �% �� �� ������������ = � � ���� ���� �� ������ �� � $ ���������� ��� �� ������� �� �% �� ��

��;4� 6�� � �� �� ������� � �� ��� ���� ��� 5 �� ������� � ��� =� ��� �� � �� ��� �� �������� ������� ������ ��� ���� ��� 2 �� ������� � ��� =� < ���&

$�% � ��� � ����" ��" � $�% 2 � 5" � $�% � ��� � �2�

��;9� 4�� = � � ��� ���� �� ��� = �� � ���� � � �� � ��� � �=�� �������� ��� ��� % ��� 6 ���� ����� � %�6� < ��� ���� � � �� ��� ������ ������ ���� �&

$�% � � �� $�% �� � � �� ���� � � �� $�% �� � � � ��� � � !� ���� � � !�

���+��� �� ��00�� �����# /��8�� �

1�����0 � � �(!� ("� � � � ������� ��� ��� = � ��� ��� (!�("� � � � � ��� ������� � ���� �� � � ���� ����

�� ������ $���� ��� �� ������ ��� ���� ����%� ��� ��� � � ���� ���� �� ��������� ��� / ������� � .� � ���

5� �=�����

� � �!� "� #� -� '��+� A��1� / �! " # -

' �+ A �1

/ / / /

��

��

��1?� $�% ��� $�% ���� $�% ��� � �� �� �� ��� ��� � �� �� �� �

��4@� $�% � � "��� $�% �� ������� $�% ��� � ���� � � � ������

��4�� $�% �"��!�� $�% �� ������� $�% �'� "�� $�% �'� "�� ��

��4�� $�% � � �"� �"� "�� ��"��"�� $�% � � �+� �+� -�� ��+��-�� $�% � � '"� �'

"� +�

��4�� $�% �"� !� !"�� $�% �� ������� $�% � ��A�� A� "�� "� ���

��41� $�% �#��!�� $�% � ���� "�� !� "�� �� ��� $�% �� ������

!!- �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� :*;�<� #

Page 116: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

3. Systems of Linear Equations

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��44� $�% � �!"�� �� !

"�� $�% � �!

"�A� '�� -��� �� !

"�!� ��� ��

��49� $�% � � �#� �#� #�� ��#��#�� $�% � � ' ��� � � �!� �'� A�� ��!��'��$�% � � ! ��� � � �"� �!��"�� ��"� '�

��4;� $�% "��!� #� $�% �'� '"� !� $�% ��� ������

��4=� $�% #��"� !� $�% "#��!� !

#� $�% "

#� !A� !"!

��4?� $�% �� 3 � !� ! � ��!� !� !�� $�% �� 3 � /� �� �����$�% �� 3 � "� ! � ��"� !� /� /�� " � �'� /��"� !�

��9@� $�% �� 3 � #� ! � ��#� !� /� /� /�� " � �A� /��#� !� /�� # � �#� /��!� /� !��$�% �� 3 � "� ! � �"� !� /� /� /�� " � �'� /��'��#� !�

��9�� $�% �!� /�� !"� /� !� '

"� /� $�% �!� "� /� /� -

#� /� /� !� /� !#

#� /� /� /� !� "�

$�% �!� "� /� -� '� #� /� /� !��'� !'"�� '

"� /

��9�� $�% �!� "� /� /��-��"� /� /� !� /� !� "� /� /� /� !� "� !� /�$�% �/� !� /� /� /� /� !� /� /� /� /� !� /� $�% �!� /� /� -� /� !� /��!� /� /� !� "� /

��9�� '& �!� /� /� !� �!� !� /� /� �!� /� /� /� �/� !� /� /� /

��91� !'

��94� $�% �!� /� /� /� /� !� /� !� /� �!� /� /� /� #� /� /� /� !!� �!� /� "� /� !� /� /� /� !�$�% (" � (#�

!#(" � ("� �"(# � (! � (!F ���� 5

� � 5�!� �

$�% !" � !#� #!" � !"� "!# � !! � !!� $�% ���� 2� � 5"� �

��99� � � �!� /� #� /�!� /� /��"�!� "� /� !� � � ��� ��� ����! � �!� /� � #

"� !�!� /� /� !�!� +� /� !�"� /� /� !�

7 � �!//� /!/� #/!�!//� /!/� /"!�!//� /!#� //!�!"/� /!/� //!

��9;� ��! � ��1� !"��'� �'� A��#� !��"� !� � ��� �� ��� ���!�! � �"(

"�� !A

"� A"� � '

"� #"�� !

"� #��"� !� 7�! � �1��#��!� �'� "� !� !/��-��!

��9=� ��! � �!��!� !��!� � � � � /� !��!� !��!� � � � � /� /� !��!� !��!� !� � � � � � � � � � � � � /� � � � /� !��! ��� !C� �� ������� �!C� �� ���� ������� ��� /C� ������ ��

��9?� $�% �!//� #!/� "!!�!��!��!� /��!� !� /� /��!�$�% �!//� "!/� #'!�!� #��!� /��!��#� /� /��!/�$�% �!//� "!/� #

"� !"� !�"� #

"� #� /� !��#� /� /�� A

"�

$�% ��� � � �� �/ ������������

��;@� -! � �!� !��!" ��" � �"� "� /" � -" � �+� -� /" � �# � �1� +� /" � -# � �""� !+��"" � �- � �#/� ""��"" �-- � �1+� +"��+"

��;�� � � �!//� "!/� #'! ����!��!��!/� �!� #��!� /� !��#� /� /� !

��;�� 7����� (� �� ��(� � �!�� �(�

��;4� $�% � ��� � ����" ��" � �5�" �" � ��" �"5" � �2

��;9� $�% � � '�' � $�% �� � � %�6� ���� � � %�!�6�!�$�% �� � � %�6 ��� � � % !6 � ���� � � �%% �!�6 6�

*;�<� #? �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� !!'

Page 117: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

������� �

�� � �����

��� ����������

���� ����� ���� ��� �� �� ����� ������ �� ���� ������ ���� �� � ����� ��������� ��������� �� ������� �� � ���� ���� �� ���� ����� � ���� �������� ������� �� ������ �� ����� ����� � ���� ������ �� ��������� �������� ���� � �� ������ ������ ���� ������ ��

� �� ���� ���� ����

�� �� ����� �� �

�� ���� ���� ���

� �� � � � ������ ��

������ ������� ������� �� ���� �� �� � ������ ���� �� �� �� �� � � �� ������ �� ���� � ����� ������ ���� �� �� ��� � ��� �������!! ��� �� ������� ���� �" ���

�������!! ���� �� �� ���� �# ��� �������!! ��� ���� ����� ������$� �� ������ �� �������!!� �� ���� ������� ���� �� ���� �� � !� ����������

��������� ���� ���� � ���� �� �� ��������� �� ���������

� � %���� ������ �� �� �

� � � � %����� �� � ����� �� �

�� � � &� �� � �� �

�� � � �� ����� �� � �� �

� � � � �� � ����� �� �

� � � '�������� �� � �� �

� � � (���� �� � �� �

� %���� ��

��� ����� ������

�� ��������� ��� �� ������ �� � ���� ���� � �� �� �� �� �� �������

��������� )� � � � ������� �� ���� ��� ���������

��� ������ ������ ���� ������� �� ��� �� � � � � ��� �� � �� ��

���� �� � � ������� ��� ���� ������� �� ��� � � �� � � � ������� �� � ��

**+

Page 118: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��� � �� ���� � ������ ���� ��� �� �� � �� �� ��������� ������ ��� �� �������� �� �� � � �

,�*- �� � � � �� �� ,�"- �� �� � ���� �� �� ��� �� . �� ���� �� ���� ������� ���� ����� �� ���

� � � ��� . � . � � � .

,�#- &� ��� � � � � �� �� � ���� �� �� ��� �� ��� �� ���� �� ������� �� ������ ����

�� �� � �� � � � .�,�/- �� � � �� ��,0*- ��� � � ��� ��� �� ��� ����� � � �,0"- � �� � �� ��� �� ��� ������ � � � �,0#- �� � ��� �� ��� ������ � � � �,0/- *� � �� �� �� ���� ����� * � �

�� ���� ������ �������� ����� ���� ��� ��� ��� �� ���� �� �� ������� �� �� �������� �� ������ � ���� ����� ���� �� � ���� ������ �� �� �� ��� � ������$ �� ������ � �� ����������� ����� �� � ������ ���� �����

�� ��� ��� �* � �" � � � �� �� �� ����� 1��� �� ������� �� �� ��� �� �� �� � ���� ������ ��

��� �� $� ���� . �� ���1�� �� �� ������ �� �� � ���� � �� ���1��

��� �2���������� )��� '� �� � �� � ��� � � ��

����� ���������� �� � �� �� �� �� � � �� ��� �� �� �� �� ���1� ������ �� ��3� �� ��� ��� � �� ������� ��� ������ � ����� ���� �� ������!! �� �� �� �� ������

�� �� ���� ���� �� (���� ��� � ������� ������ � ��� �4���� /�"� �� ��������� ����������� �� � ���� �����

������� ���� )� � � � ���� ���� �� � �� �

��� &� ��� ����� � � �� . � � � �. � .�

���� &� . � �� ��� ���� � � � � .� � .�

����� '� �� � .� �� � � �� � � �� ��� � � . � � � .�

���� &� ��� � � �� ��� � � � � ��� � ��� � ����

��� �������� � ����� ������

���� ������ ����� �������� ������ �� ���� ����� ���� ���� � �� ��������� �� ����

�!"#� �

)� � �� ������ �� � �� �������� � �� �1����� �� �� ��� �� �� �� ��� ������� ������� �� � 5 � �� � ���� ���� �� ����� �� ��������� ���������

��� ������ ������ *� "� � � � � � � �*� �"� � � � � �� � * � �*� " � �"� � � � � � � ������ �� � � ������� ��� �*� "� � � � � � � �*� �"� � � � � ���� $� ���� �� � �� �� ������ �� $���

. � .� .� � � � � .�� �� ������ �� � ���� �� �� ��

�*� "� � � � � � � �*��"� � � � ���

25�4� /- 6%2�37 84�2%8 **9

Page 119: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

3��� ���� ��� � �� ��� �� �� �������� �� �� �� �� 2���� *� �� ���� ���� � �� � �������� �� � ������ �� �� ���� �� ���� *�*� ����� � ��� �� �� ������� ���� �� ���� �� �������� �� �� �� � ���� ���� �� ��

��$%����"$ �!"#� ��

)� �� ��� �� �� �� ��� �� ����������� �� �� ���

�� � . � *� � "�" � � � �� ��� � � *� "� � � �

�� �� ��������� � ����� �� � �� � ��� �� �� � ���� ���� �� ����� �� ������������������

��� ������ ������ 5 �� � �� �� �� �� �� ����� ������� �� � ����� �� ������������

���� �� � � ������� ��� 5 ��� �� �� �� �� ����� ������� �� �� �� ��� �� � ����� � �� ����������� ���

�� $� ���������� . �� �� $� ���� �� ���

��$%����"$ �!"#� ���

)� ��� ��� �� �� �� ��� ����������� �� �� � �� � �� �� � �� �� �� ��� ���� �1��� �� �� ���� ���

�� � . � *� � "�" � � � �� ���

�� � �� ��� ��� �� � ���� ���� �� ���� ���� �� �� ����� �������� �� � ����� ������������� �� �� �������������� �� � ���������� �� � �������� �:��� ��; �� ���� ���� �� ������ <����� �� $� ���������� . �� �� ���� �� ���� �� ������ ��� � �� �� �� �

�"���& �!"#� ����

�� �������� ����� � ������ �� ���� � �� �� ��� �� �� �� ��� �� � ������ ���� ���� �� ��� � ��� ���� �� � ���� ���� �� ���� ���� �� �� ����� �������� �� ����� � ����� �� ����� �������������� �� ������� �� �� ���� �� ���� "�*�

'�#���� �!"#� ��

)� � � � ������� �� �� �� � �� ������ �� � )� �� ��� �� �� �� ��� ��������� �� ����� � ,=�� ���� �� �� �������� ���� � �� ��������- ��� �� �� � ���� ���� �� �������� �� �� ��������� ���������

��� ������ ������ �� ��� �� ��� ��������� � �� � �� �� �� �� �������� � � � �� �� �� ��

� � �� � � � � �� �� � �

���� �� � � ������� ��� �� �� ��� �� � ����� � � �� � �������� � �� �� �� �� �������� �� ���� �� ��

�� � � �� � �� � �

**> 6%2�37 84�2%8 ,25�4� /

Page 120: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

�� $� ���� �� �� �� �� $� �������� (� ����� ���� �� � � � ���� �� $� ���� . � ����� ���

(� � . �� � ������ �� ��� �������� � �� �� � �� �������� �� �� �� �� ��

�� � � �� � �� � ��� �� ������ �� �� �������� ��

��$)* "�) �'+��$)*

8����� � �� � �� �� ������� �� � �� � ���� ��� ������ � �� � �� ���� �������� �� � ����� ���� � ��� � ��� �� � ���� ���� �� ����� �� ��������� ���������

��� ������ ������ 5 �� � �� � �� �� ����� � ����� �� ��

���� �� � � ������� ��� 5 �� �� �� �� � � �� � � �� �� �� ����� �� ��� �� � �� � ������� �� ��

���� ��� �� ���� ������ �� � ���� ���� � ������ �� � �� ��� ����� ���� ���� �� �� ������� ���������

��� ������ ���,��������- �������. ����

)� � � � ���� ���� �� � �� � ����� � �� � �� � ����� ���������� �� ����� �*� �"� � � � � ���� � �� �� ���� ������ *� "� � � � � � �� ���� ����

� � *�* � "�" � � � �� �������������� � �� � ���� ����������� �� �*� �"� � � � � �� �� �� �� � �������� �� �� ���� 1������

� � �*�* � �"�" � � � �� ������ �*� �"� � � � � �� � ��;���� �������

������� � �)��� 2����������� �� ��� 8����� � ���� �� ���� � � #� 9��/ �� �# �� � ���� ����������� ��

�� �����

�* � *� "� #� �" � "� #� 9� �# � #� ?� +< �; ������ �� �� � ���� ���� � � ��* � ��" � ��#@ ���� ���

#

#

�/

��

�� � �

*

"

#

��

��� �

"

#

9

��

��� �

#

?

+

��

�� �

�� "�� #� � #

"�� #�� ?� � 9

#�� 9�� +� � �/

�&� ���������� ��������� � ��� ����� �� ����� �� �# �� �������� ���� �� �� ��� ��� �� �� �� 1������������ �� ���� 1��������� 7 ����� �� ����� �� ����� ��� ��� �

�� "�� #� � #

��� � � *

�� #� � �*#

�� ���

�� "�� #� � #

��� � � *

� /� � �*"

A��;������������� ��� � �� �������� � � "� � � �/� � � #� ���� � � "�* � /�" � #�#�

���"�/� B����� ���;���� �� 1������ �� ������� � ���� ���� � �� � �� � ��������������� �� ����� �*� �"� � � � � �� �� � �� 1������� �� ������� � ����� �� � � �� ���� 1���������� � �� �� ������ � �� ���������� �� �� �!� � �� ������� �� �� �������� ����� �� 8��� � �������� ��� � ���1� �������� ��� ������ ���� ���������� � �� ��������� �� ���� ��� C �� �������� C �������� � ������ � ����� �� � ���� ����������� �� �� �!��

25�4� /- 6%2�37 84�2%8 **D

Page 121: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

������� �� �)��� ������������ �� ��� 8����� � ���� �� ���� �� ���������� � � #�" � ?� � ? �� � ����

����������� �� �� �����������

�* � �" � "� � *� �" � "�" � ?� � /� �# � �" � #� � +

< �; ������ �� �� � ���� ���� � � ��* � ��" � ��#@ ���� ���

#�" � ?� � ? � ��" � "� � * � �"�" � ?� � / � ��" � #� � + E�� � ��� ���� �� ��� ��� ��

�*� %���� �� �������� �� �� �E� ����������

#�" � ?� � ? � ��" � "�� � �� "��" � ?�� � /�� ��" � #�� � +�

� �� "�� ��" � "�� ?�� #�� � �� /�� +�8� ��������� �� �� ��� ���� �� � 1��� �� ��� ���� �� �� �� ����� �� ����� ����

�� "�� � � #

"�� ?�� #� � ?

�� /�� +� � �?

�� "�� � � #

�� � � �*

"�� ?� � �>

�� "�� � � #

�� � � �*

#� � �+

�� ����� �� �� �������� ��� �� ��� � ��������� A��;������������� ��� � �� �������� � � #� � � *� � � �"�����

� � #�* � �" � "�#

�"� �� 1������ �E� �� �������� �� � ����� �� �� ������ �@ ���� ��� �� 1������ ��� � �� ��� ���� �� �� < ��������� �� 1������� �� �� ��;����� �� �� � �� ������ � 1��� �� ��� �� ������ &� ������

8� � � . �� * �� ������� �� /�� +� � �?

8� � � * �� * �� ������� /�� **�� *.� � #

8� � � �* �� * �� ������� �� /� � �9

7 ����� ���� ����� �� ����� ��� �� ������� �� ���;������������� ����� ��� � �� �������� � � #� � � *�� � �"� ���� ������� � � #�* � �" � "�#�

�!"����0 ���*

)� � � � ���� ���� �� � 6���� �*� �"� � � � � �� �� � � ��� �� ��� � � �� ��� � ���������� �� � �� �� � �� � �� � ���� ����������� �� �� ����� �*� �"� � � � � ��� ���� ��� �� �� ���� ������*� "� � � � � � �� ���� ����

� � *�* � "�" � � � �� ����� ��������� ��;� ������ ����� ��� �� ��������

���"�/ �� 8����� �*� �"� � � � � �� ���� �� ���� �� ��� ���� � �� �� � �*� �"� � � � � �� ��������� ��

���"�/ �� 8����� �*� �"� � � � � �� ���� � �� ������ �� �� � ���� ����������� �� ��� �� ����� �!�� ��� �� �!� ������� �� ���� ���� ��

���"�/ �� 8����� �*� �"� � � � � �� ���� � �� ������ �� �� �� �!� �� �� $� ����� ��� �� �!�������� �� $� ���� ���� ���� ��

*". 6%2�37 84�2%8 ,25�4� /

Page 122: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

������� �� 2���� �� ���� ���� � � �#�

�� < ����� ���� �� ��������� ����� ��� � �������� �� �� �#�

�* � *� .� .� �" � .� *� .� �# � .� .� *8���������� �� � � � �� � �� ��� ���� �� �#� ���

� � �* � ��" � ��#&� ������ � � ?��+� " � �?�* � +�" � "�#�

��� < ����� ���� �� ��������� ����� ���� ��� � �������� �� �� �#�

* � *� *� *� " � *� *� .� # � *� .� .8���������� �� � � � �� � �� ��� ���� �� �#� ��� �4���� /�+"�

� � � �� � � � * � �� � " � � � #

&� ������ � � ?��+� " � " * � > " � ** #�

��� 3� ��� ���� �4���� #�"/� ���� � � "� 9� > ������ � ����� �� � ���� ����������� �� �� �����

�* � *� "� #� �" � *� #� ?� �# � *� ?� D���� ������ �*� �"� �# � ��� ���� �#�

������� �� 2���� �� ���� ���� � � ��� ���������� �� ��� ����������� �� � ���� 2���� �� ���������� �� ��� ��� � ���� �� � ���� ����������� �� �� �� * �����������

*� �� �"� �#� � � � � ��

���� ��� ���� �� � ��� * � �.� ��� � �������� �� �� ������� 3� ��� ���� ���� ����� �� ��� ����� �� �� ��������� �� * ���� �� � � ��

*� � � �� � � �"� � � �#� � � � � � � ��

��� � � �. � *�� ���� ��� � �������� �� �� ����

������� � 2���� �� ���� ���� � � �"�" ���������� �� ��� " � " ������� �� ����� �� ��������� ���

������ �� ��

�** � * .

. .

� �� �*" � . *

. .

� �� �"* � . .

* .

� �� �"" � . .

. *

� �

��� ����� ��� ����� � �� � ��� � ����� �� � ���� ����������� �� �� ��� ������� &� ������

� � ? � +

9 >

� �� ?�** � +�*" � 9�"* � >�""

���� ������ �� ��� ������ �**� �*"� �"*� �"" ���� ��

��1 �,������

���� ������ ���� ��� �� �������� ������ �� � ��������

��������� )� � � � ���� ���� �� � �� �� �� � � ����� �� �� ��� �� � ������� �� ��� �� ����� � ���� ���� �� ���� ���� �� �� �������� �� ���� � ����� �� ����� �������������� �� ��

�� ��� �� ����� �� ����� ���� ��� �� �� � ���� ���� �� �� ���� ���� ������� �� ���������� �� � ���� ����� 5���� �� �� � ����� �� � ���� ���� �� ��� ��� �� �� ������������������� ��� �� � ���� ��� ��� � ��� �� �� 8���� ����� �� � �������� �������� �������

25�4� /- 6%2�37 84�2%8 *"*

Page 123: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

������� ���� 8����� �� � ����� �� � ���� ���� �� ��� �� � ������� �� � �� �� ��������� ������ ������ ��� �

�� �� $� ���� . ������ �� �

��� &� �� �� � � � � � � ��� �� ��� �� � � � ���� �� ������� �� � �

4���� ��� �� ��� ����� ���� �� ������ ����� ������ �������� �� ����� ���� �� ��� ����� ���� �������� ����� ���� �������������� A��� ������ ��� � ������ ���� �� ��������� 1������� �������������

���� &� �� �� � � � � � � � �� ���� ����������� �� �� � �

=�� �� � � ��� ���� ����� ��� � ������������� �������� ��� ��������� �� �� F.G ���������� ���� $� ���� ���� �� �� ���� ���� � ������ ��� � ������� ���� �� ������ �������� �� ��%������ �� ��������� �������� �������

������� �� 2���� �� ���� ���� � � �#�

�� )� ! ������� �� ��� ����� �� �# ���� ���� � 1���@ ���� ���

! � �� �� � � � � � ��

&� ������ �*� *� *�� ��#��#��#�� �9� 9� 9�� ��"��"��"� � ����� �� ! � B���������� ! �� �� ��������� �� ����� " �� �� ����� �*� *� *� �� ����� �� &��� /�*��� 2���� . � .� .� . ������ �� ! � ���� ������� �� . � 1���� &���� ������ � �� � � ������ ����� �� ! � ���� � � � � �� � � �� �� ������ �� ��� ����� � � �� �� ��������� � ���� ����� �� ! �

�� � � � �� � �� � � �� �� � �� �� �

���� ! �� � ������� �� �#�

��� )� � ��� ���� �� �# ������� ������ �� ������ �� ����� �� &��� /�*���� ��� . � .� .� . ������ �� ����� � ����� ����� ������ �� ����� "� &���� ������ � �� � � ����� �� � ��� � �� � ��� ���� �� ���� �� �� ���� �������� ��� �� ����� "� �� �� &��� /�*���� �� ��� �� � �� ��� ��������� �� � ���� �� �� �� ���� � ���� �� � ������� �� �#�

������� ��

�� )� � � ����� �� ���� ���� �� �� � ������� )� * � �� ����� �� ��� ����� �������� ������ �� �� " � �� ����� �� ��� ������� ������� ��� * �� � ������� �� �� ���� * �������� �� $� ����� . �� * �� ���� �� ����� � ����� �� ����� ��������������� ���� ��� �� ��� �� ����� ������� �� ������������ ������ � ���� ��������� 8�������� " �� � ������� �� ��

z

y

x

0

U

( )a

(1, 1, 1)

�0� �2�

z

y

x

0

W

( )b

u u + v

v

*"" 6%2�37 84�2%8 ,25�4� /

Page 124: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��� )� � � ��� �� ���� ���� �� �� ������������ ��� �� ���� ��� �� ����������� �� � �� ���� � ���� ��� �� � ������� �� ��� )� 3� � �� ��������� �� ����������� ���� ���� �� ���� �� �� &������� �� ��������� � ����������� �� 3��

�* � # � /�" � ?�+ �� �" � + � 9�/ � D�+ � #�*"

�< ����� ���� ��� �������� � � ��. �� �� �� ��� �� ��� ��� 3� �� � ������� �� ������ )� � � �� ���� ���� �� ������� ���������� ��� �� ��������� * �� ���������� ��������� �� ��

��������� " �� ��������� ��������� � �������� �� ��

�����*�#���� �4 �'+*!"#�*

)� ! �� � �������� �� � ���� ���� �� < ���� ���� �� ��������� ! � �� ���� � ��������� �� 2����� . � ! �� . � � ���� ! �� � ��������@ ���� . � ! � � =�� ������ � �� ������ �� �� ��������� ! � � ��� �� � � ! �� �� � � � &���� ���� ! �� � ��������� ����� ������ � � � �

�� �� � ! �� �� �� � ���� �� �� � ! � � ���� ! � �� � ������� �� ��

�� ���� ���� �����$� �� ��������

������� ���� �� ��������� �� ��� ���� �� �������� �� � ���� ���� � �� � ������� �� ��

��$'���� �!"#� �4 " 5���0����'* �%*���

2���� � ����� �� � � �� ���� 1������� �� � ��;������ ��� �� �������� � ��� � ��� �� � ���� �� �� ���� �� �������� �� �� ���� � ����� �� � ����� �� �� =�� ������ �� ����� ������������ ���� ��� ������ �� ����� ��� �� ��� �� � .� )� � ��� �������� ��� 8��� �. � .��� $� ���� . � � 0���� ������ � �� � ����� �� � ��� � �� � � ��������� �� �� � .� �� ����� �� �� �� � . �� �� � .� ����� �� ��� ������ �� �� � ���

��� �� � ��� ��� � . � �. � . � . � .

���� �� �� ������ �� � ���� �� �� � �������� �� �� � .� ���� ������ �� � ������� �� ��< ���� �� ���� ���� ��������

������� ���� �� �������� �� �� � ��������� ����� �� � . �� � ��;����� �� � ������� �� ��

< ������$ ���� �� �������� �� �� � ������������ ����� �� � � �� ��� � ������� �� �� '������ �� $� ���� . �� ��� ����� �� ��� �������� ���

��6 ������ �����- ��7 ����� � � ������

8����� �*� �"� � � � � �� � ��� ����� �� � ���� ���� �� 7���� �8����� /�/� ���� ��� ���� �� ����� *�* � "�" � � � �� ���� �� �� � � ������� �� ���� � ����� ���������� �� �*� �"� � � � � ����� ��������� �� ��� ���� ���� ������������� ��� ��

�����*� �"� � � � � �� � �������� ���� �� ����� ��� �� �*� �"� � � � � ���

2���� �� $� ���� . ������ �� ������� ����

. � .�* � .�" � � � �� .��

25�4� /- 6%2�37 84�2%8 *"#

Page 125: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

&������ ������ � �� �� ����� �� ������� ����

� � *�* � "�" � � � �� ��� �� �� � �*�* � �"�" � � � �� �������� �� ��� ����� � � � � ���

�� �� � * � �*�* � " � �"�" � � � �� � � ������

�� � �*�* � �"�" � � � �� �������� �� �� �� �� ���� ����� �� ������� ���� ������ ������ �� � ������� �� ��

0� ������� �� ��� ����� # �� �� ����# �������� �� ��� ���� ������������ �� ����� �� # ����� # � �� �����#���.�� ����� �� ��������� # �� � �������� �� �8����� /�/� �� ����#�

�� ��������� ����� ����� ��� �������� ��� ����� ��� ��

������� ��1� )� # � � ����� �� � ���� ���� ��

��� ��� ����# �� � ������� �� � ���� �������� #�

���� '� �� � ������� �� � ���������� #� ��� ����# � �

2�� ����� ���� �� ���� /�? ��� � ����� �� ������ ���� ����# �� �� �������!! ������� ��� ���������� #�

������� �� 2���� �� ���� ���� � � �#�

�� )� � � ��� ���$� ���� �� �#� ��� ����� �������� �� ��� ����� �������� �� �� B���������� ����� ���� ��� ������ �� ����� " �� �� � ����� �� �� �� ����� �� &��� /�"���

��� )� � �� � � ����� �� �# ���� � ��� �������� �� ��� ���� ��� ������ � �� �� ���� ������ �� ����� "�� �� � ������ �� � �� � �� ����� �� &��� /�"����

��� 2���� �� ����� �* � *� .� .� �" � .� *� .� �# � .� .� * �� �#� 7���� ,%����� /�*��- ���� �� ������ �# �� � ���� ����������� �� �*� �"� �#� ���� ��� �*� �"� �# ��� � �������� �� �� �#� ���� �����������*� �"� �# � �#�

��8 �!"#� �4 " �"���&

)� � � ��$� � �� ������ �� � ����� �� � �� � �� ��� �� ��

%* � **� *"� � � � � *�� %" � "*� ""� � � � � "�� � � � � %� � �*� �"� � � � � ��

0

( )a

u

�0� �2�

0

( )b

u

v

*"/ 6%2�37 84�2%8 ,25�4� /

Page 126: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��� � ��� �� ����� �� �@ ��� ��� ���� � ������� �� � ���� �� �� ���� �� � �� ��� �� �������� ���� ���

����� � ����%*�%"� � � � �%������������� �� ������� �� � ��� � ��� �� ����� �� � ���� �� ������ ���� �� � �� ��� �� ��������� 3��� ���� ������ � �����& �

7���� ���� ������ � �� � � �� 1�������� ����� � � �� �� � ��� � ������ ��� � �� ��1��� �� ������ �� ��������� =�� ������ ' �� �� ����� ������ �� �������� �� ����������� ������ �� �������� �� � ����� ��

* '������� %� �� %$� " 7���� %� �� �%�� # 7���� %$ �� �%� � %$��� ��� �� �� ' �� � �� �� � � � ���� ����������� �� ��� �� �� 5�� �� �� ���� �� ' ��������� �� �� �� ���� �� �� 3� �� ��� ��� � � ��� ����� �� ���� ������ �� ������� ��' �� ������ �@ ��� �� �� ���� �� � �� ������� �� �� �� ���� �� ' � ���� ������ � �� ' ����� ��� �� ����� ���� ���� � �� ��� ��� � ����� �� ������ �� �������� ���� � ������ �� ��������� �����

������� ��6� 7�� 1������� ������ ��� �� ��� �� �����

< � ��� ��� �� ��� �4����� /�/?C/�/9� ����� ����� �� �� 1������� ������ ������� �� ����� #�+ �� #�9 �� 2���� #��

������� ��9� 8����� � � ��$� �� � � ���$� � �� 1������� ����� ������ ���� ������ ���������

*$*� "$"

� � � � � �$� �� �*�*� �"�"

� � � � � ����

��� � �� � ��� �� ��� ���� �� ���$� ���� ���� ��� � � �� �� ��� ����� ����� �� �� ��� ���������� ���� ��� $* � �*� $" � �"� � � � � $� � ���

������� ��:� 8����� � �� � � �� ��������� ������� ��� � �� � ��� �� ��� �� ���� ���� ���� �� ��� ��� �� ��� ���$� ����

����$$"�% ��;� %�� ����� � �� �� 1������� �� � ���1� ����� �� �� ��������� ����

< ����� �� ���� ����� �� �� ��� ������

������� �� 2���� �� ��������� ��� ��� �� ����� �� �/�

�* � *� "��*� #� �" � "� /� *��"� �# � #� +� #��9 * � *� "��/� **� " � "� /��?� */

)� ! � ������ �� � ���� �� �� � ��� ���� �� ���� ���� ! � �

�� 8��� ���� ��� �� �� � ���� ����������� �� * �� "� �� ���� ���� ��� � �� � ���� ����������� �� �*� �"��#� 3��� ���� � ��� �� ���� ���� ��� ������ �� ���� 1������� � ����������

��� &�� �� ����� � ���� ��� � �*� �"� �# �� �� �� � �� �� ��������� ���� �� ��� �� ����� ����� ��� � * �� " �� �� �� � �� �� ��������� ����

� �* " �* #

" / * �"

# + # �9

���

��� �

* " �* #

. . # �>

. . + �*+

���

��� �

* " . *#

. . * � >#

. . . .

���

���

� � * " �/ **

" / �? */

� �� * " �/ **

. . # �>

� �� * " . *

#

. . * � >#

8��� �� ���$� ��� �� �� ������ �� �� ��������� ��� � � ������� �� �� ����� �� � �� � � 1��������� ! � �

2����� �� ���� �� ��� �� �� ������ ���� �� ���� �� ���

25�4� /- 6%2�37 84�2%8 *"?

Page 127: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��9 ������ �������� �� ����������

)� � � � ���� ���� �� � �� � �� ��������� ��� �� ������ �� ���� �� �� �� �� �� �� �� ����� �� � �3� ������� ������� ��������� ��� �� �� �� �� ���� �� ���������� ����� �� ������� �� �� �� ���� �� ���� ����� �� �� ���������� �� �����

��������� < ��� ���� �� ����� �*� �"� � � � � �� �� � � ������� ��������� �� �� ���� ������*� "� � � � � � �� � ��� ��� �� ��� .� ���� ����

*�* � "�" � � � �� ��� � .

3������ � ��� ���� �� ����� � ������� ������������

�� ���� ������� ��� � ���� �� �������� 2���� �� ���� 1������

�*�* � �"�" � � � �� ���� � . E�� �� �!� � ��;���� ������� ���� 1������ ������ ��� �� ���� �������� �* � .� �" � .� � � � � �� � .�8����� ���� �� �� ���� ��������� ���� ��� ������ � ��� �����

�*�* � �"�" � � � �� ���� � . ������ �* � .� �" � .� � � � � �� � .

��� �� ����� �*� �"� � � � � �� � ������ �� �� ��� 3� �� ��� ��� � ������ �� 1������ �E� ��� ����$� ��������@ ��� �� ����� � ������ �� ���

� �� # � ��*� �"� � � � � ��� �� ����� �� � �� ������ �� �� � �� �� �� ���� ��� �� ������� �*� �"� � � � � �� � ������ �� �� � �� �� ���

�� ������ �� # �� ����� �� ������ �� �� � �� �� �� ���� ��� �� �� � � � ��� ��������� �*� �"� � � � � �� �� # ���� � ������ �� ���

7"����0� �� �� # � ��*� �"� � � � � ��� ���� ����� � ���� �� �� ��� �� �� � ���� �1��� ������� �� �� ����� � � �� ������� �� ����� �

�� ��������� ��;� ������ ����� ��� �� ���� ��������

���"�/ �� 8����� . �� �� �� �� ����� �*� �"� � � � � ��� ��� �* � .� ��� �� ����� ���� ������� �� ��� ���� � ��� �� ��������� ���� ����������� �� �� �������� �� �* �� .�

*�* � .�" � � � �� .�� � * � . � . � � � �� . � .

���"�/ �� 8����� � �� � ���$� ����� ��� �� �� ������ �� ������ �� �� ��� ����

�� � .� � �� . ������ � � .

���"�/ �� 8����� ��� �� �� ����� �*� �"� � � � � �� � 1��� � �� �� � ����� ������� �� ������ ��� �* � ��"� ��� �� ����� ���� � ������ �� ��� ���� � ��� �� ��������� ��������������� �� �� �������� �� �* �� .�

�* � ��" � .�# � � � �� .�� � .

���"�/ �� ��� ����� �* �� �" � ������ �� �� �� �� ���� �� �� �� ��� �� � ������� ���� ����

���"�/ 1� '� �� �� ��*� � � � � ��� �� ������ �� �� ��� ��� ��� ������� �� �� ��������* � ��"� � � � � ���� �� ���� ������ �� �� ���

���"�/ 6� '� � �� # �� ����� �� ������ �� �� ��� ��� ��� ����� �� # �� ������ �� �� �������������� �� # �������� � ������ �� �� ������ ��� # �� ������ �� ���

*"+ 6%2�37 84�2%8 ,25�4� /

Page 128: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

������� ��

�� )� � � *� *� .� � � *� #� "� � /� D� ?� ��� �� �� � ������ �� ��� ����

#�� ?�� " � #*� *� . � ?*� #� " � "/� D� ? � .� .� . � .

��� < ���� ���� �� ����� � � *� "� #� � � "� ?� 9� � *� #� ? � ������ �� �� ��� < ��� �� ����1������ ��� ��� � � .� �� �� �� � � ��;���� ������� ���� ��� �

*

"

#

��

��� �

"

?

9

��

��� �

*

#

?

��

�� �

.

.

.

��

�� �

�� "�� � � .

"�� ?�� #� � .

#�� 9�� ?� � .

�� "�� � � .

�� � � .

"� � .

A��;������������� ��� � � � .� � � .� � � .� < ��� ����� ����

��� ��� � � . ������ � � .� � � .� � � .

���� ������ �� �� � ������ �� �� ���

��� )� � � �� ���� ���� �� ��������� ��� � ���� �� < ���� ���� �� ��������� � � � ��� �� �� � ��� (� � �"� ������ �� �� ��� < ��� �� ���� ���������� 1������ �� � �� � �( � .� �� �� �� � � ��;����������� ���� �������� 1������ ���� ����� �� �� ���� �� ��

� ��� � � ��� � ��" � .

����� �� ���� 1������� � ����� �������� ����� �� � �� ����� �� � � .� � � .� � � .� &� ������

� 8�������� � � .

�� 8�������� � � ���� 8�������� � � ��"

�� ������ �. � �* � �. � .

�� ������ �. � .�� � ��" � .

�� ������ �* � .���" � .�"�/ � .

� � .

� � .

� � .

< ��� ������

�� � �� � �� � . ������ � � .� � � .� � � .

���� ������ �� �� � ������ �� �� ���

����"� �!��)��#� �� �#

)��� �� �� �� �� ���� ���� � � �# ��� � ���� ���������� �� ��������

�� ��� ��� ����� � �� � �� �# � ������ �� �� �� �� ���� �� ��� �� �� �� ��� ��� �������� ����� "� �� ����� �� &��� /�#���

��� ��� �� ����� �� �� �� �# � ������ �� �� �� �� ���� �� ��� �� �� �� ��� ���������� �� ����� "� �� ����� �� &��� /�#����

)��� � ���� � ��� �� ���� ���� ��� ��� � �� ����� �� �# � ������������� ������ �� ���

�0� �2�

25�4� /- 6%2�37 84�2%8 *"9

Page 129: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

����"� �!��)��#� "�) ����"� ���+��"����*

�� ������� �� ���� �� �� �� ���� ������������ � ������ ��� � 8���������� �� ������ �� ����� � ���� ���� �� ����� �*� �"� � � � � �� � ������ �� �� �� �� ���� �� �� �� ��� ��� ���� ����������� �� �� �����

8������ ���� �� �� � ���� ����������� �� �� �����

�� � *�* � � � �� ��*���* � ��*���* � � � �� ������ �� � ��� ��� �� ���� �� �� � ������

*�* � � � �� ��*���* � �� � ��*���* � � � � ��� � .

�� �� �������� �� �� �� ��� .� 5�� �� ����� � ������ �� ��� 2������� ������ ������� � ������ �� ��� ����

�*�* � � � �� �$�$ � � � � ���� � .� �� �$ �� .

��� � ��� ���� �� �$ ���������

�$ � ��*$ �*�* � � � �� ��*

$ �$�*�$�* � ��*$ �$�*�$�* � � � �� ��*

$ ����

�� �� �$ �� � ���� ����������� �� �� ��� ������< ��� ���� � �������� ����� ������� ���� �� �� ����� ���� ���� ��� ���� ��������

����1�����

����" ���(� 8����� ��� � �� ���$� ����� �*� �"� � � � � �� � ������ �� ��� ��� �� ���� ����� �� � ���� ����������� �� �� �� ��� ������ ���� ��� �� ����� � � * ��������

�� � �*�* � �"�" � � � �� ���*���*

����"� �!��)��#� "�) �#��$�� �"���#�*

2���� �� ��������� ����� ����� �� ���� ������ ��� �� ���� �

� �

. �" # / ? + 9

. . �/ # " # /

. . . . �9 > D

. . . . . �+ 9

. . . . . . .

������

������

3��� ���� �� ��� %"� %#� %/ ��� .!� �� �� ���� ������ ���� �� ���$� ����� �� %*� �� ������ ���� ����������� �� %"� %#� %/ ���� ��� . �� ��� ���� ���� ���� %* ������ � � ��������������� �� �� ��� ���� ��� 8�������� �� ��� %# �� %/ ��� .!� �� �� ��� ������ ���� �����$� ����� �� %"� �� ��� %" ������ � � ���� ����������� �� �� ��� ���� ��� &������� %# ������� � ������� �� %/� ���� %/ ��� � . �� �� ���� ������ ���� �� ���$� ����� �� %#� 6����� �����$� ��� ��� �� ������ ��� %/� %#� %"� %*� �� �� �� � ���� ����������� �� �� �� ��� �������� �� ��� � ������ �� �� �� �� )��� /�*.�

�� ������ �� ���� �� ���� ����� ����� � ��� � �� �� �� ���$� ��� �� ��� ����������� ���� � ��� �� ��������� �� ����� �����

������� ����� �� ���$� ��� �� � ����� �� ����� ��� � ������ �� �� ���

*"> 6%2�37 84�2%8 ,25�4� /

Page 130: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��: ,���� �� ��������

&��� � ���� ��� 1������� ���� �� �� � ����� �� � ���� ���� �� ��� 1������� �� ��� ��4���� /�">��

�������� �� � �� # � ��*� �"� � � � � ��� �� ����� �� � ���� �� � �� �� ��� �� ��������� ��� ��������*� # �� ������ �� �� ��� �"� # ����� ��

�������� ,� � �� # � ��*� �"� � � � � ��� �� ����� �� � ���� �� � �� �� � � � ��� � ����� ���1����� � ���� ����������� �� �� ����� ������

�� ��������� �� � ��� ������ ���� �� ���� ������

������� ����� )� � � � ���� ���� ���� ���� �� ����� ��� � ����� �� ����� ����� ��� ������� ��� � � ��

� ���� ���� � �� ��� �� � �� )���� ��������� � � ������������� �����

��� � ��� � ��� � ����� ���� � ������ ���� /�*" ���� �� ���� ��� ���� �� � ��� �� ��� ���� �������� �� ���� ������� �� ���� �� �

�� ���� ���� F.G �� �� �� ��� ������� .�8����� � ���� ���� � �� ��� ��� � ���� ������ ��� � �� ��� �� � �� ��)���� ��������� � ��

� ��)����*������������� ���� ��� ������ ���� /�*" �� � ����1��� �� �� ��������� ������� ����!!

���� �� 4���� /�#?��

����" ����� 8����� ��*� �"� � � � � ��� ����� �� �� ������ � *� "� � � � � �� �� ������ �� �� ������ � �� �� � �� ����� �� � �� �� �� ���

� *� "� � � � � �� ��* � ��"� � � � � ����������� �� ��������� �� * � �� ����� �� � � ������ �� ���

3��� �� �� ���� ���� ���� � ��� ���� � �� �� ����� �� �� �������� �� �� � �� �� ��� �� �� ����� �� ����� ���� � �������� ���

�&"�!$�* �4 ,"*�*

���� ��������� ����� �������� ������ �� ���� �� ��� �� �� ���� ���� ����� ������� ������ ����

< = �#��� *!"#� �� 2���� �� ��������� � ����� �� ��

�* � *� .� .� .� � � � � .� .� �" � .� *� .� .� � � � � .� .� � � � � �� � .� .� .� .� � � � � .� *

��� ����� � ������ �� �� ��� �&� ������ ��� ��� � ����� �� ����� �����&������ ��� ���� � � *� "� � � � � � �� � ��� � ����� �� � ���� ����������� �� ������ ������ 8����������

� � *�* � "�" � � � �� ������� ������ �� ����� ��� � ����� �� � ���� �� ���� � ������ ����� �� �� ���� ��� ������� ����� � ��� ������� �� '� ��������� ��� ��� ����� �� � ��� � ������

25�4� /- 6%2�37 84�2%8 *"D

Page 131: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

<�= �#��� *!"#� � ����� �4 "$$ � � � �"���#�*� �� ��������� ��� ������ ��� � ����� �� �� �������� �"�# �� ��� " � # ������ �� �

* . .

. . .

� ��

. * .

. . .

� ��

. . *

. . .

� ��

. . .

* . .

� ��

. . .

. * .

� ��

. . .

. . *

� �

0� ������� �� �� ���� ���� � � ���� �� ��� � � � ������� �� ��$ � �� ����� ���� �$���� *�� .!� ����� ��� ��� ���� ������ ��� � ����� �� ���� ���� �� ���� � ������ ����� ������� ���� ������ ������ � ���

<�= �#��� *!"#� ��� �4 "$$ !�$%����"$* �4 )�0��� �� �� �� # � �*� �� �"� �#� � � � � ��� �� �� *����������� �� � ����� �� ���� 8���������� ��� ���������� � � �� � � ��� � ���� �� ����� ����������� �� ��� ���� �� �� �� �� ��� ���� ���� ��� ����������� � �������� �� ��� ����� ����� � �� *�

<�= �#��� *!"#� �� �4 "$$ !�$%����"$*� 2���� ��� ���� �� # � ��*�� �"�� � � � � ���� ������������� �� ��� �� �� � ��� �� ����� �� �� �� �� �� ������������ ��� ������������� �� �� � �� ��� � ������ � ���� �� � ���� ����������� �� �� ����� ��#� ���� # ������ � � ����� �� ��� ���� ���� ���� �� ������� �� �� �� ������� < ��� ���� �������� �� #� � �*� �� �"� �#� � � ��� ���������� �� ��� �� ���� �� �� ����� �� �� �� �������� �� ��� ���� ������ #� �� �� ������ ����� �� ���

�������* �� ,"*�*

�� ��������� �� ����� ���� �� 4����� /�#9� /�#>� �� /�#D� ���� � �� �1������

������� ����� )� � � � ���� ���� �� ���� ������� �� ����

��� ��� �� * � �� ����� �� � � ������ �� ���

���� ��� ������ �� �� �� �� # � ��*� �"� � � � � ��� ���� � ����� �� � ����� �� ��

����� ��� �������� �� & � ��*� �"� � � � � ��� �� � ���� � ����� �� � ����� �� ��

������� ���1� 8����� # ����� � ���� ���� �� ����

��� ��� ������� ���� �� ������ �� �� �� ����� �� # ��� � ����� �� ��

���� 8����� �� ��� ��� # �� ���� ���� �� � ���� ����������� �� �� �������� �� #� ��� �� ������� ����� ��� � ����� �� ��

������� ���6� )� � � � ���� ���� �� ���� ������� �� �� # � ��*� �"� � � � � ��� � � �� �������� �� �� �� ����� �� �� ��� # �� ��� �� � ����� �� �@ ���� ��� # ��� ���� �� � ����� �� ��

������� �

�� �� ��������� ��� ����� �� �/ ��� � ����� �� ����� ����

*� *� *� *� .� *� *� *� .� .� *� *� .� .� .� *���� �� ����� � ������ �� �� ��� �� � ���� ���/ � /� �� ���� ��� � ����� �� �/�

��� �� ��������� �� * ����������� �� ��� � �� �������� ��

*� � � *� � � *"� � � � � � � *�

���� �� ���������� �� � ���� ����������� �� �� ��� �����������@ ��� �� ����������� � ������ �� ��� &������ ��� ��� � ����� �� ���� ���� ����� � �� *�

*#. 6%2�37 84�2%8 ,25�4� /

Page 132: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��� 2���� ��� ��� ����� �� �#@ ���

"?9��*#"� ?>� /#� .��*9� ?"*��#*9� D/� #">��?*"��9#*A� ���� /�*/��� �� ��� ����� ���� � ������ �� ��� ���� ��� ��� ��� �� #� ������������� ���� �#�

����*��� "�) �'+*!"#�*

�� ��������� ���� ���� �� 4���� /�/.� ���� �� ����� ���������� ���� �� ������� ��� ���� ���� �� �� ������� �� � ��������

������� ���9� )� � � ������� �� �� �� ��������� ���� ���� �� ��� �� �� '� ����������� �� � �� ��� � ��

������� �� )� � � ������� �� �� �� ���� �#� =�� ���� ���# � #� ���� /�*9 ���� �� ���� �� �������

�� ��� ���� � .� *� "� � #� �� ��������� ���� ������

�� �� � .� ��� � �.�� � ������

��� �� � *� ��� �� � ��� ������ �� ����� .�

��� �� � "� ��� �� � ���� ������ �� ����� .�

��� �� � #� ��� �� �� ��� ���� �#�

��; ����������� �� ��������- ���> � � ������

)� � � ��� �� � ����� �� � �� � 7���� ���� �� ��� �� � ��� � ��� �� ����� �� � �� ���� �� �� ���� �� �� ����� �������� �� �� ������� �� � ����� �� �� ��� �� �� �� ��������� ������� �������

��������� �� ��� �� � ����� �� ����� ��;���� �� 1��� �� �� ������� ���� �� �������� �� �� ��� �� � �� 1���������� �� ������� �� �� �� ���� �� ��

7����� �� �� ��� ��� � ���� �� ������� �� �� �� � ����� � ��� � ��� �� ����� �� � �� ���� �� ������ ���� �� �� ����� ��������� �� �� ������� �� � ����� �� �� ������� �� �� ��������� ��� ��� � 1��� �� �� ���� ��� �� ��� �� ������� �� � ��� ����� �� ����� ���� ������ � ���� �� ��������� ��� ������ �����

������� ���:� �� ������� ���� �� ������ �� �� �� ��� �� ��� ����� � �� 1��� �� ��������� ���� �� ������ �� �� �� ������� �� �� ���� �� ������� �� �� ������ �� � �� 1��� �� �� ������� �� �� ������ ���� �� ��

���� ������ �� ���� ���� �� ���� ������� �� �� ��; �� � ����� ������ ����� �� ���

,"*�*2 ��)��0 ���+$��*

���� ��������� ����� ��� �� ����� ��� �� ��� ����� � ���� �� �� �������� �� ����� ����������� � ������ 8���������� �� � �� � � �� ��������� ������� �� �� ����� ����� � ����������� � ���� � �� �� ����� ��� �� ��

� �

* " * # * "

" ? ? + / ?

# 9 + ** + D

* ? *. > D D

" + > ** D *"

������

������

�� � �

�* " * # * "

. �* # * " *

. . . �* * "

. . . . . .

. . . . . .

������

������

25�4� /- 6%2�37 84�2%8 *#*

Page 133: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

< ���� �� ��������� ��� ������ ����� �� ����� �� �� +*�+"� � � � �++ ��� ��� ��������

�� &�� � ����� �� �� �� ���� �� ��

��� &�� ��� ������ +� �� � ���� �� � ���� ����������� �� �� ��� ������� �� ��

��� &�� � ����� �� �� ������ ���� �� ��

��� &�� �� ��; �� ��

�� < � ���� ���� � �� � � �� 1�������� �� ��� ��� �� ��� �� ����� 0���� � �� ������� ���� �� ��� ���$� ��� � ������ �� �� �� �� ��� ��� � ����� �� �� �� ���� ���� ���� ��� ���� ��� � ����� �� �� �� ���� �� �� ���� ���

����� �� ������ *� "� *� #� *� "� .� *� #� *� "� *� .� .� .� *� *� "

��� )� '� � �+*�+"� � � � �+� �� �� �������� �� � ���������� �� �� ��� � ������� �� �� ��� '��* �� '� �� ��������� �� �������� ����� �� ������ ����� �� �� ���� 1������

�*+* � �"+" � � � �� ���*+��* � +����� #�> ���� �� ���� �� ����� ��� � ��������� �� 1���������� +� �� � ���� ����������� �� ���� ��� ������� �� � �� �� ���� �� ��;'� � ��;'��*� �� ��;'� ���� �� ���� �������� �� �� ����� ��� �� '� � =�� �� ��� � ������� �� �� ����� ����� � �� ���� �� �������� �� '� � ���� ������

��;'" � ��;'# � " �� ��;'/ � ��;'? � ��;'+ � #

���� +#� +?� ++ � ��� � ���� ����������� �� �� �� ��� ������� �� ��

��� �� ���� ���� �� ������� ������� +*� +"� +/ � ��� ���� ������������ �� ��� �������� ��� ������� ���� ���� �� ���� ��� � ������ �� �� ��� ���� ��� ��� � ����� �� �������� ���� �� �� ���� ��

����� �� ������� �*� "� #� *� "�& � �"� ?� 9� ?� +�& � �#� +� **� >� **�&

3��� ���� +*� +"� +/ ��� ���� � �������$ �� ���� ������� �� � ���� ������� �� ������ ����� ����� ��� �� ��

��� 5 � � ���� �� ������� �������� �� �� ��; �� � ��� �� ��� �����

��� �� � �� ������ �� �� ����� �� �� ����� ��� �� ��

���� �� �� ������ �� � ������ �� �� ���$� ��� �� �� ����� ��� � ����� �� �� �� ������ ��

����� �� �� ������ �� � ������ �� �� ������� �� �� ����� ��� � ����� �� �� ������ ������ ��

���� ��;� � #�

�!!$�#"���� �� ��)��0 " ,"*�* 4�� � �����*� �"� � � � � ��

&1������ � � ���� � ���� # � ��*� �"� � � � � ��� �� ����� �� � �� � ���� �� �� � ����� �� ��������� �� � ����� �� �� ���� ������ ���� ��� � ����� ��

� ����# � �����*� �"� � � � � ���� ��������� ��� ���������� ����� � ��������� ���� �� �� ���� ���������� �� ���� � �������� ��� �� �������� �� �

*#" 6%2�37 84�2%8 ,25�4� /

Page 134: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

�$0������ ��� <��8 *!"#� "$0������=

���! �� &�� �� ����� ' ���� �� � � �� ���� ������

���! �� 7�� �� ' �� ����� ����

���! �� 3����� �� ���$� ��� �� �� ����� ������

8������ � ���� �� �� � ����� ���� ���� ���� ��� �� ������� ���� ������ �� ��� ������������������� ���� ���;�

�$0������ ��� <�"*���02�'� "$0������=

���! �� &�� �� ����� ' ���� ������� � �� ���� ������

���! �� 7�� �� ' �� ����� ����

���! �� &� ��� ������ +� �� �� ����� ����� ������� � ������ �� ����� ���� �� ���� �� ��� ������ # �� ���� ������

���! �� 3����� �� ������� ����� �� # ������ ������ �� ������� ���� ��������

< ������$ ���� �� �� ��� �������� � ��� � ����� ���� ��� � �� ���� ������ ������ �� ���� �������� � ��� � ����� ���� ������� � �� ���� ������

������� �� )� � �� ������� �� �? ����� �� �� ��������� ������

�* � *� "� *� #� "� �" � *� #� #� ?� #� �# � #� >� 9� *#� >�/ � *� /� +� D� 9� �? � ?� *#� *#� "?� *D

&�� � ����� �� ���������� �� �� ������� ���� ������ �� �� �� �&�� �� ����� ' ���� ������� � �� ���� ������ �� �� ' �� ����� ����

' �

* * # * ?

" # > / *#

* # 9 + *#

# ? *# D "?

" # > 9 *D

������

������

* * # * ?

. * " " #

. . . * "

. . . . .

. . . . .

������

������

�� ������ �� �� ����� ����� ���� �� ������� +*� +"� +/� ���� ������ � ���� ���!! �� ����� �# �� �? ����� ������� �� ������ �� ������� ����� �*� �"� �/� ����� ������ �� �� ������� �� �� ����� ����� ����������� ��� � ����� �� � ����� �� ��������� �� � #�

���"�/� �� :����������� �� �� 2���������� �������� �� ��������� ���� ����� ��� � ����� ����� � �� �������� �� ���� ���� ������ +# �� �� ����� ����� �� %����� /�*# �� ��� ��� ������ ���� ���� �� ���� 1������

��* � ��" � �#

��� � ��������� �� ��� �# �� � ���� ����������� �� �* �� �"� 8�������� �� ���� ���� +? �� ��� ��� ������ ���� ���� �? �� � ���� ����������� �� �� �� ��� ������ < ��� �� ��� ���� �� ��������� �������� �� ���� �� � ���� ����������� �� �� ��� ������ ���� �� ������� ����� ������� �� �� �� �� ��� � ����� �� �

�!!$�#"���� �� 5���0����'* �%*���* �4 ����"� �?'"����*

2���� ����� � ��������� ����� �� � . �� ���� 1������� �� ���� � ��;������ A����� /�/� �� �������� �� �� ���� � ����� �� � ������� �� �� �� ��� ��� � �������� ����������� ����� ���� ���� �� ������� ����� 2���� ?� ��� ��

25�4� /- 6%2�37 84�2%8 *##

Page 135: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

������� ���;� �� ������� �� �� �������� ���� �� � ��������� ����� �� � . �� �� ���� � �� �� ���� �� ��;����� �� � �� �� ��; �� �� �������� ����� ��

'� �� ��� �� �� ����� �� � . �� �� ����� ���� �� ��� ������ �� � � �������� �����*� ��" � � � � � ����� � )� �$ � �� �������� ������ �� ������ ��$ � * �� ��� ���$� ��������� �� ��������� � ������� 1��� �� .� < ���� �4���� /�?.� ���� �� ��������� �*� �"� � � � � ���� � �������� �� ��@ ��� ��� ��� � ����� �� �� �������� ���� �

< ��� ��� � �� �� ���� ����� �� �� � ����� �� �� �������� ���� �� � �������������� �� � . �� 8����� #�**� 4���� /�/> ���� �� ��� �������

���( ��� �� ����� ���

)� ! �� � ������ �� � ���� ���� �� �� ��� �� ! �� � ����� ! � � �������� �� ��� ������ �� � � ! �� � � ���� ���

! � � �� � � � �� � �� � � ! �� � �=�� ������ ! �� � �������� �� �� ��� �� ��� ����� ���� �4���� /�?#� ���� ! � �� �

������� �� �� 7���� ���� ! � �� ���� � ������� �� �� �� ��������� ���� ���� �� 4���� /�?>����� �� �������� �� ��� ���������

������� ���(� 8����� ! �� � ����� ��������� �������� �� � ���� ���� �� ��� ! � ��� ���� ������� ��

��! � � ��! � �� � ��! � ������� �� )� � � �"�"� �� ���� ���� �� " � " ������� )� ! ������� �� ���� ������ ���� ���� �� ��

$�� �� �� ������� �� ���� ������ ���� ���� ������ �� $�� ���

! � �

. .

� �� �� � .

� .

� �� ��� ! � � �

� .

� �� �� ! � � .

. .

� �� �

���� ��� ! � �������� �� ���� ������ ���� ��� ���� ��� �� .� �� ! � �������� �� ���� ������ �������� �� �� ���� ������ � $�� =�� ���� ��! � "� �� � "� ��! � � *� ����� ��! � � #� ����� �� ���� ��� ���� /�".� ���� ���

��! � � ��! � ��� � ��! � � " � " � * � #

���#� �'�*

�� ���� ���� � �� ��� �� � �� ������ ��� �� ��� �������� ! �� � ��� ��

� � ! � �� �� � � � ��� � ����� �� �� �� ���� �� ��� �� � � �� �� � � ! �� � �

�� ��������� ���� ���� �� 4���� /�?D� �������$� ���� � ������������

������� ����� �� ���� ���� � �� �� ��� ��� �� ��� �������� ! �� �� �� ���� ������ � � ! � � ���� ! � � �.��

������� � 2���� �� ���� ���� � � �#

�� )� ! � �� ������� �� �� � �� �������@ ���� ���

! � �� �� . � � � � �� �� � �.� �� � � �� � � ����� �# � ! � � ���� �� ���� �� �# �� �� ��� �� � ���� �� ! �� � ���� �� � 5���� �# �� ��� �� ��� ��� �� ! �� � ���� ���� ���� � ��� ���1�� &� ������

#� ?� 9 � #� *� . � .� /� 9 �� ���� #� ?� 9 � #��/� . � .� D� 9

*#/ 6%2�37 84�2%8 ,25�4� /

Page 136: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��� )� ! � �� ������� �� �� � �� ������� ���� ���

! � �� �� . � � � � �� �� � �.� .� � � � � ��=�� ��� ���� � �� � � �# ��� � ����� �� �� ��� �� � ���� �� ! �� � ���� �� � �� �� �� ���� ������

� �� � � � �� . � .� .� ����� ������ �# �� �� ��� ��� �� ! �� @ ���� ��� �# � ! � �

.����"$ ���#� �'�*

�� ������ �� � ��� ��� �� ��� �� �� ���� �� ����� �� �� ������� ���� ���� ��� � �� �������� ��� �� �������� *� "� � � � � �� �����

� � * � " � � � �� ��� �� ���� � � � ��� � ����� �� �� �� ���� �� ��� ��

� � * � " � � � �� ��� * � *� " � "� � � � � � � ��

�� ��������� ����� ��� �

������� ����� 8����� � � * � " � � � �� �� ����� �� ��� �� ������ #� �� � ������ �� ��� �� ����� �� � � ����

�� �� ����� # � � #� �� ������ �� �� �� �� ��

��� '� ��� #� �� � ����� �� � � ��� � #� �� � ����� �� ��

��� ��� � �� * � �� " � � � �� �� ��

������� ����� 8����� � � * � " � � � �� � �� ��� � �� �� � � ���

� � * � " � � � �� ��

���� ����������

)� � � �� �� ��������� ���� ���� �� ���� ����� # � ��*� �"� � � � � ���� ��� ��� ���� � � ���� � ���� ���1��� �� � ���� ����������� �� �� ����� ����� �� #� ���

� � *�* � "�" � � � �� ������ � ������ *� "� � � � � � � ���� �� ���������� �� � ����� �� �� ����� #� �� ��� ��� � ����,*� "� � � � � �- �� � ���� �� ��������� ������ �� � ����� �� #� < ��� ���� ���� �� ���#� ������� ���� ��� # �� �� ���� � ����

���# � �*� "� � � � � ��&� ���������� ��������� ���;�� �� � ��� ��� ���� ������� � � �� � �� �� ��� �� ��� ���������

���"�/� �� ���� � ������ *� "� � � � � � ���� ��� �� ��������� ������ �������*� "� � � � � ��& �� � ����� �� #� �� ����� �� �� ������ ���� ��� ���� �� �� ���� �� ����� �� � �� �� ������ �� ����� �� �� �� � �� �� �� ���� ������ ����� ���� ���� ��� ��� ��2���� +�

25�4� /- 6%2�37 84�2%8 *#?

Page 137: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

������� �� 2���� �� ���� ���� �"� �� ����������� �� � "� �� �����������

�* � � � *� �" � � � *� �# � � � *" � �" � "� � *

��� � ����� # �� �"�� �� ��� ���� ���� ,�- �� � � "�" � ?� � D ����� �� # �� ������ �� ��������8� � � ��* � ��" � ��# ����� ��;���� ������ �� �� �� �� ���������

"�" � ?� � D � �� � * � �� � * � ��" � "� � *� �� � �� �� � �� ��" � "�� � �� ��" � �� �� "�� � �� �� �

��� �� �� ��������� �� �� ��� ���� �� � 1��� �� ��� ��� �� ������ �� �����

� � "� �� �� "� � �?� �� �� � � D

�� �������� �� �� ����� �� � � #� � � �/� � � "� ����

� � #�* � /�" � "�#� �� ��� ��� � �#��/� "�

������� �� 2���� �� ���� �#� �� ��������� ����� ��� � ����� # �� �#�

�* � *��*� .� �" � *� *� .� �# � .� *� *�� ��� ����� �� � � ?� #� / ����� �� �� ����� # �� ������ �� ��������

8� � � ��* � ��" � ��#� ���� ��� �� � �� � ���� ����������� �� �� ����� ����� ����� ��;���� ������ �� �� ������ ��� ��

?

#

/

��

�� � �

*

�*

.

��

��� �

*

*

.

��

��� �

.

*

*

��

��

�� 1������� ����� �� ���� 1������� �� �� ��������

�� � � ?� ��� �� � � #� � � /

�� �������� �� �� ����� �� � � #� � � "� � � /� ����

� � #�* � "�" � /�#� �� �� ���� � �#� "� /�

���"�/ �� �� �� � �������� ���������� �� �� ��� ����� �� � ���� � ����� �� � ����� #�� �� �� ���� ��� ����� � �������� ����� �� ����� # �� �# �� %����� /�*9� &��� ����� �� �����# ���� �� ����� �� �� � ���� ��� �� ����� ����� ���� � �� ��� ���� ����� �� �#� ��� ���� ������ �� ���� �� ����� �� &��� /�/� ���� ���

�*� �� ������� �� �� �� ������ �� �* ���� ���� ����� ��*���"� �� ������� �� �� �� ������ �� �" ���� ���� ����� ��"���#� �� ������� �� �� �� ������ �� �# ���� ���� ����� ��#��

��� ��� ���� � � � �� � �� 1���������� �� ����� ,� �� � �� �# ���� ��� �� ��� ����� �������� �� �� �� ��� ��� �� ���� ��� �� ��� ����� � ������ ���#� �� ��� ����� �� � ���� ������ �� ����� #� ����� �� ����� �� %����� /�*9� �� ��� ����� �� �� ����� ,?� #� / ���� �� �� ������ �� ���� ,#� "� /-�

���"�/ �� 2���� �� ����� ����� � � ��*� �"� � � � � ��� �� � �� ��

�* � *� .� .� � � � � .� .� �" � .� *� .� � � � � .� .� � � � � � � .� .� .� � � � � .� *)� � � *� "� � � � � � � ��� ���� �� �� ��� �� ��� ����� ���� ����

� � *�* � "�" � � � �� ���� �� �� ���� � �*� "� � � � � ������ ��� �� ��� ���� ���� ���� �� ��� ���� � ����� �� �� ����� ����� � �� � �� � ������ �� ��������� ���� ��

*#+ 6%2�37 84�2%8 ,25�4� /

Page 138: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

�*����!��*� �4 � "�) �

)� � � � ���� ���� �� ������� � �� � �� ������ # � ��*� �"� � � � � ��� �� � ����� �� �� ������ ���� � � � ������ � �� � ���1� ������ ���# �� �� 3� �� ��� ��� � ��� ������,�*� �"� � � � � ��- �� � ������ � �� � ���1� ���� �*�* � �"�" � � � �� ���� �� �� ���� �� ����� #�� ��� � �������� ������ �� ���� � �� �� &������ ������

� � *�* � "�" � � � �� ��� �� � �*�* � �"�" � � � �� �������

�� � * � �*�* � " � �"�" � � � �� � � ������ � �*�* � �"�" � � � �� ����

�� � �� � ������ ���� ������

��� �# � �* � �*� � � � � � � ��� � �*� � � � � �� � ��*� � � � � ��� � ���# � � �#����# � ��*� �"� � � � � ��� � ��*� "� � � � � �� � ����#

���� �� ���� �������� ������ �� ���� � �� � ���� �� ���� ���� �������� ������ � ����� �� ����� ��������������� < ��� ��� ���� � �� � � ���������� �����

� � �

< ���� ���� ���� ��������

������� ����� )� � � �� �� ��������� ���� ���� �� � �� � ��� � �� � � ������������ ��� ����� ���� � �������� ����������� �� �� ���� �����

�0� �2�

25�4� /- 6%2�37 84�2%8 *#9

Page 139: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

������� �� 8����� � ���� �� ���� ���� � ��� �� ��������� ������ �� � � �"�# � ������ �� ���

� � * " �#

/ . *

� �� � � * # �/

+ ? /

� �� + � # > �**

*+ *. D

� �

�� ��� ���� ����� �� �� ������ �� �� ����� ����� �� �"�# � �� ��������

��� � �*� "��#� /� .� *�� ��� � �*� #��/� +� ?� /�� �+� � �#� >��**� *+� *.� D�&�� �� ����� ' ���� ��� � �� ���� ��� ���� ����� �� �� ' �� �� ����� ����

' �* " �# / . *

* # �/ + ? /

# > �** *+ *. D

��

�� �

* " �# / . *

. * �* " ? #

. " �" / *. +

��

�� �

* " �# / . *

. * �* " ? #

. . . . . .

��

��

8��� �� ����� ����� ��� ���� ��� ���$� ���� �� ��� ���� ����� ,�-� ,�-� ,+- ���� � ������� �� �������" �� �� � ������ �� ��� ���� ������ �� ������� ������ �� �� + � ������ �� ���

��$@�) ���+$��*

����� ������- ������ ���,��������

���� 8����� � �� � ����� �� � ���� ���� �� 8������� ��� �� �� ��������� ���������

�� �* � #"�� /� � ?�� 9�� ��� �# � "��� #"�� /���� �" � #�� +#�� ?� � 9�� � � �/ � ?�� #

�� ?�

0������� ��� �� ������ ����

�� �* � +�� *"�� ?�� 9� � **�� ?�

��� �" � #�� *>�� #.�� 9� � �>�� #.�

��� �# �� ��� �� ���� �� �� ��� �� �� ����� �� ��� �� �

��� �/ �� ��� �� ���� ������� �� � ���� �� ��� �� �

���� 4�� ���� /�*� )� � � � ���� ���� �� � �� ���� �. � .� ���� .� � .� ����� '� �� � .� ��� � � . � � � .� ���� ��� � ��� � ������� A� ����� ,�"- ���� � � .� � ��� . � . � .� 5��� �� ����� ,0*-� � ���

�. � �. � . � �. � �.� ��� ��. �� ���� �� � ���� �� �� �����

���� &� ������� . � . � .� 5��� �� ����� ,0"-� � ���

.� � . � .� � .�� .�

� ��� �.� �� ���� �� � ���� �� �� �����

����� 8����� �� � . �� � �� .� ��� �� ����� � ����� ��* ���� ���� ��*� � *� ����

� � *� � ��*�� � ��*�� � ��*. � .

���� (���� �� �� � . �� � � �� � . ��� �

. � �. � ���� ��� � ��� ��� �� . � .� � �� � ���� � ��� ���� ��� ��� �� ���� �� � �� �� ��� 1������ ���� ��� � ���� �� � ��� ��� �� ���� �� � �� ������ 1������ ���� ��� � ���� ���� ��� � ��� � ����

*#> 6%2�37 84�2%8 ,25�4� /

Page 140: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

���� 8��� ����� �� ��� � � ��� ��� ��� �� � � "��

�� (���� �� ������� �� ����������� ���� �� � � �� ��� �� ���� /�*����� ���� ��� � ���� ����

��� � � ���� ��� � ��� ��� � ��� ��� � ��� ��

��� (���� ����� ,0/- �� ��� ����� ,0"-� � ���

�� � � *�� *� � * � *� � "�

���� %���� � � *��"� ? �� �# �� � ���� ����������� �� �� �����

�* � *� *� *� �" � *� "� #� �# � "��*� *< �; ������ �� �� �� �� �� ��;����� ���� ���� � � ��* � ��" � ��#� ���� � 1��

*

�"

?

��

�� � �

*

*

*

��

��� �

*

"

#

��

��� �

"

�*

*

��

�� �

�� �� "� � *

�� "�� � � �"

�� #�� � � ?

�&� ���������� ��������� � ��� �� ����� �� �# �� �������� ���� �� �� ��� ��� �� �� �� 1������������ �� ���� 1��������� 7 ����� �� ����� �� ����� ��� ��� � �� �������� �����

�� �� "� � *� �� #� � �#� ?� � *.

�� ����� �� ��������� �� ��� � ��������� 8������ �� ���;������������� ��� � �� �������� � � �+� � � #�� � "� ���� � � �+�* � #�" � "�#�

����������� ��� ��� �� ������ �����' �� �� 1������� ����� �� ���� 1�������� �� �*��"� �# � �� ��� �� ������� �� ' �� � �� �� ���� ������� �� ��� �� ' �� ����� ����

' �* * " *

* " �* �"

* # * ?

��

�� �

* * " *

. * �# �#

. " �* /

��

�� �

* * " *

. * �# �#

. . ? *.

��

��

�� ���� ����� ������ � �� � �������� ������ ����� ��� � ��������� 8������ �� �������� ����� �����;������������� ��� � �� �������� � � �+� � � #� � � "� ���� � � �+�* � #�" � "�#�

��1� %���� � � "��?� # �� �# �� � ���� ����������� �� �� �����

�* � *��#� "� �" � "��/��*� �# � *��?� 9< �; ������ �� �� �� �� �� ��;����� ���� ���� � � ��* � ��" � ��#� ���� � 1��

"

�?

#

��

�� � �

*

�#

"

��

��� �

"

�/

�*

��

��� �

*

�?

9

��

�� �

�� "�� � � "

�#�� /�� ?� � �?

"�� �� 9� � #

7 ����� �� ����� �� ����� ��� ��� � �� �����

�� "�� � � "� "�� "� � *� . � #

�� ����� �� ����������� �� �� ��� �� ��������� ���� � ������ � ����� �� � ���� ����������� ���*� �"� �#�

25�4� /- 6%2�37 84�2%8 *#D

Page 141: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��6� %���� �� ���������� � � �" � /� � # �� �� �� � ���� ����������� �� �� �����������

�* � �" � "� � ?� �" � "�" � #�� �# � � � *

8� � �� � ���� ����������� �� �*� �"� �# ����� ��;����� �� �� � �� ������

�" � /� � # � ��" � "� � ? � �"�" � #� � �� � * E< ��� ��� �� ��� �����

�����) �� %���� �� ���� �� �� �E� �� ���� �� �� ��� �� ���� �� � �� ��������

�" � /� � # � ��" � "�� � ?�� "��" � #�� � �� � �� �� "��" � �"�� #�� �� � ?�� #�

8� ��������� �� �� ��� ���� �� � 1��� �� ��� ���� �� �� �� ����� �� ����� ���� ������� �

�� "� � *

�"�� #�� � � /

?�� #� � �#

�� "� � *

�� � � +

�*.�� #� � �>

�� "� � *

�� � � +

*#� � ?"

�� ����� �� ��������� �� ��� � ��������� 8������ �� ���;������������� ��� � �� �������� � � �#� � � "�� � /� ���� � � �#�* � "�" � /�"�

�����) �� �� 1������ �E� �� �� � ����� �� �@ ���� ��� �� 1������ ��� � �� ��� ���� �� �� ���� � ��� �� �1��� �� ��� ����� �� ������ 1������� �� �� ��;������

�� 8� � � . �� �E� �� ������ �� 1������ �# � ?�� ����� 8� � � * �� �E� �� ������ �� 1������ " � /�� �� "��

��� 8� � � �* �� �E� �� ������ �� 1������ �+ � >�� ?��

8��� �� ����� �� �� �� 1������� �� ����� ������ �� �������� � � �#� � � "� � � /� ����� � �#�* � "�" � /�#�

��9� %���� ' �� � ���� ����������� �� �� ������ �� �� +� ��

' � / 9

9 D

� �� �� � � * *

* *

� �� � � * "

# /

� �� + � * *

/ ?

� �

8� ' �� � ���� ����������� �� �� �� + ����� ��;���� ������ �� �� �� ���� ��� �� ' � ��� ��� �+����� ��� �

/ 9

9 D

� �� � * *

* *

� �� � * "

# /

� �� � * *

/ ?

� �� �� �� � �� "�� �

�� #�� /� �� /�� ?�

� �

&�� �� 1������� ����� �� 1������� �� ������ ������ ��� ���� 1��� �� ��� ����

�� �� � � /� �� "�� � � 9� �� #�� /� � 9� �� /�� ?� � D

7 ����� �� ����� �� ����� ��� ��� �

�� �� � � /� � � #� #� � �#� /� � �/

�� ���� 1������ ��� ���� 8������ �� ����� �� ���;������������� ��� � � � �*� � � #� � � "� ����' � "�� #�� +�

�,������

��:� 4�� ���� /�"� �� � ������� �� � �� �� ��������� ��� ��� ������ ��� �

�� . � � ��� '� �� � � � ��� �� �� �� � �

*/. 6%2�37 84�2%8 ,25�4� /

Page 142: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

A� ��� �� �������� �� � �� ���� �� �������� �� ���� � ����� �� ����� �������������� � ��� �� �� � ������ ,�*-� ,�/-� ,0*-� ,0"-� ,0#-� ,0/- ��� �� ���� �� ����� �� ����� �� �� ����� � ���� ���� ���� ,�"- �� ,�#- ���� ��� �� � =�� ,�"- ��� � ���� �� $� ���� �� � ������ �� �� ��� &������� �� � � � ��� �*� � �� � � �� �� �� � .� ���� ,�#- ��� ��

��;� )� � � �#� 8��� ���� �� ��� � ������� �� �� ���

�� � �� �� � � � .�� ��� � �� �� � � " � �" � �" *��'� ��� ���� ���� ���� ���� /�" �� ��� ��� �

�� �������� �� ���� ����� ���� ��� ��� �� ���������� ���� � � *� "� # ������ �� � )�� � �#� ��� �� � �#��+��D �� ��� ����� �� � ���� �# �� ������� ���� �� ��� � ��������� ��

��� �������� �� ����� ���� ����� �� ��� �� *� 5�� � � *� .� . �� � � .� *� . ����� �� ���� �� � � *� *� . �� ��� ����� �� � ���� *" � *" � ." � " � *� ���� �� ��� � ������� �� ��

���(� )� � � ��� �� ���� ���� �� �� ������������ H���� ���� � ��� �� � ������� �� �����

�� �������� �� ��� ����������� ���� ������ ����������

��� �������� �� ��� ����������� ���� � �+ �� �� $� �����������

��� �������� �� ��� ����������� ���� ���� �� ���� �� ��

�� =�� ���� ����� �������� �� ����������� �� � ��� ������ ����� �� � &� ������

� � � # � +� � 9�" � ��� *"� � � #

"� #� � 9

"�" ��

��� �� ���� I�� 8���� �� ��� ���� �������� �� $� ����������� �� ���� �� ����� �������� ������������� �� ����� �� �

����� )� � � �� ���� ���� �� ��������� � � � � �� 8��� ���� �� � ������� �� �� ���

�� � � � � � � * � .�� ��� ��������� ���� ���� �� * �� .�

��� � � � � � � # � � *�� ��� ��������� ��������� �� ��� ���� �� # �� *�

��� � � � � � � �� � �� ��� ��� ��� ����������

)� �. ��� �� $� ����������� �� �.� � . �� �� ���� �� ��

�� �. � � ���� �.* � .� 8����� � � � � � ��� � * � . �� �* � .� ����� �� ������ �� �� ����

� � ��* � � * � ��* � . � �. � .

���� � � �� � � �� ��� �� � ��������

��� �. � � ���� �.# � . � �.*� 8����� �� � � � ��� � # � � * �� �# � �*� ����� �� ��������� �� �� � ���

� � ��# � � # � ��# � � * � ��* � � � ��*���� � � �� � � �� ��� �� � ��������

��� . � � ���� �.�� � . � �. � ��.�� 8����� �� � � � ��� � �� � �� � �� ��� � ��������� �� ������ �� ��

� � ���� � � �� � ���� � �� � � ��� � �� � ������� �� �� � � �� ��� �� � ������� �� ��

25�4� /- 6%2�37 84�2%8 */*

Page 143: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

����� 4�� ���� /�#� �� ��������� �� ��� ���� �� �������� �� � �� � ������� �� ��

)� � � � � � - � � � ��������� �� �������� �� � �� �� � � � � � � - � 8��� ��� � �� � ��������� �� � ��� . � �� �� �� � � -� 5�� . � � 8����� �� � � � ��� �� � � �� �� �� � � -� 8������ � �� � �������� �� �� � � � �� �� � � -� 5�� �� �� � � ���� �� � ������� �� ��

������ �����

����� 8��� ���� �� ����� �* � *� *� *� �" � *� "� #� �# � *� ?� > ���� �#�

< � �� ���� ���� �� ������ ���� � � � �� � �� �# �� � ���� ����������� �� �*� �"� �#� 8�� � ��* � ��" � ��#� ���� ��� ��

� �� � � �*� *� * � �*� "� # � �*� ?� > � �� �� �� �� "�� ?�� �� #�� >�&�� �� 1������� ����� �� �� �� �� ����� ����

�� �� � � �� "�� ?� � ��� #�� >� � �

�� �� � � �� /� � ��

"�� 9� � �� �

�� �� � � �� /� � ��

�� � �� "�� �� ���� ����� �� �� ����� ��� �� �� ���������@ �� �����

� � �� ?�� #�� � � #� 9�� /�� � � � "�� ��� � ��������� ���� �*� �"� �# ���� �#�

����� &�� ��� ������ �� � �� � �� ���� � � � �� � �� �# ������ �� � �����*� �"� �#� ��

�* � *� "� .� �" � �*� *� "� �# � #� .��/8� � �� � ���� ����������� �� �*� �"� �# ����� ��;����� �� �� �@ ���� ��� �� � � ��* � ��" � ��#� ����

��� �

� �� � � �*� "� . � ��*� *� " � �#� .��/ � �� �� #�� "�� �� "�� /�&�� �� 1������� ����� �� ���� 1������� �� �� �� �� ����� ����

�� �� #� � "�� � � �

"�� /� � ��

�� �� #� � #�� +� � �� "

"�� /� � ��

�� �� #� � #�� +� � �� "

. � /� "�� #�

�� ���� � � � �� � ������ �� �� �� ���� �� �� ����� �� ���������� �� �� �� ��������� �� �� ���� ��/� "�� #� � .� =��� �� ��������� ���� �*� �"� �# � ��� ���� �� ���� ���� �#�

���1� 8��� ���� �� ���� ���� � � �� �� �� ����������� ������ � ����� �� � ���� ���� ��������������

��� ���� �� # �� ����������� �������� � ���������� �� ������� �� ��� �� ��� �� ���� ���������#� �� # ������ ������� � ���������� �� � ��� ���� �� ���� ����# �� �� �� ��� ���� �� #�

���6� 4�� ���� /�?� )� # � � ����� �� �� ��� ��� �����#� �� � ������� �� � ���������� #����� '� �� � ������� �� � ���������� #� ��� ����# � �

��� 8����� # �� ����� A� �������� ����# � �.�� 5�� ����# � �.� �� � ������� �� � �� # � ����#� 8����� # �� ��� ���� �� � � #� ��� � � *� � ����#@ ��� # � ����#� ����. � .� � ����#� =�� ������ �� � ����#� ���

� � *�* � � � �� ��� ���

��� �� � �* * � � � �� �� � ��$

�$ $

*/" 6%2�37 84�2%8 ,25�4� /

Page 144: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

�� ��� $ � # �� �� �$ � � ���

�� � � ��

��� ��$

�$ $ �� �� � � ��

���

� �� �

����

����� �� �����#� ���� ��� �� � ���� ����������� �� ����� �� #� ���� �����#� �� � ������� �� ��

���� 8����� �*� �"� � � � � �� � #� ��� ��� �� �� ����� �� � ���� ��� �������� *�*� "�"� � � � � ��� � ��� �� �� ��� *�* � "�" � � � �� ��� � � ���� ��� �������� ��� ���� ������������ �� ����� ��#� �� �� ��� �� �� ����# � � �� ����� �

������ ��������

���9� H���� ���� � ��� � �� � � ������ �� ��� ���

�� � � *� "� � � #��?� ��� � � *� "��#� � � /� ?��+��� � � *��#� � � �"� +� ��� � � "� /��>� � � #� +��*"

��� ����� � �� � � ������ �� �� �� �� ���� �� �� �� � ������� �� �� ����

�� =�� ��� I�@ �� � � �"�� ��� =�� ��� I�� �� � � #"��

���:� H���� ���� � ��� � �� � � ������ �� �� ���

�� � � "�" � /� � #� � � /�" � >� � +� ��� � � "�" � #� � /� � � /�" � #� � "�

��� � � * # �/

? . �*

� �� � � �/ �*" *+

�". . /

� �� ��� � � * * *

" " "

� �� � � " " "

# # #

� �

��� ����� � �� � � ������ �� �� �� �� ���� �� �� �� � ������� �� �� ����

�� I�@ �� � � "�� ��� =�� ��� I�� �� � � �/�� ��� =��

���;� H���� ���� � ��� �� ����� � � *� *� "� � � "� #� *� � /� ?� ? �� �# � ������ �� ���

�����) �� 8� � ���� ����������� �� �� �� 1��� �� �� $� ���� ����� ��;����� �� �� � �� ������ ��1������� ��������� ����� �� ���� 1������� �� ��� �� �� ����� �� ����� ���� ���� ��� �

*

*

*

��

��� �

"

#

*

��

��� �

/

?

?

��

�� �

.

.

.

��

�� �

�� "�� /� � .

�� #�� ?� � .

"�� �� ?� � .

��� "�� /� � .

�� � � .

�� ����� ����� ��� ���� ��� ���$� 1������� �� �� ��;�����@ ��� �� ��� � � ������ �� ����$� ��������� ���� �� �� � ������ �� ���

�����) �� &�� �� ����� � ���� ������� � �� �� �� �� �� ����� ����

� �* " /

* # ?

" * ?

��

�� �

* " /

. * *

. �# �#

��

�� �

* " /

. * *

. . .

��

��

�� ��� ������ �� ��� ��� � �����@ ��� �� ��� ���� �� � ���� ����������� �� �� ��� �������� � �� �� ���� �� ����� � ������ �� ��� �3��� ���� �� ����� � �� ���� �� ������������� �� 0��� *� '� ��� �� �� ���� ���� �� ��������� �� ��� �� �� ��� ���� ��

�����) �� &�� �� ����� � ���� ��� � �� �� � �� �� �� ����� ����

� �* * "

" # *

/ ? ?

��

�� �

. * "

. * �#

. * �#

��

�� �

* * "

. * �#

. . .

��

��

25�4� /- 6%2�37 84�2%8 */#

Page 145: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

8��� �� ����� ����� ��� ���� ��� ���$� ���� �� �� ����� � ������ �� ��� ��� �� ��������� ���� � ���� �� ������� "��

���(� H���� ���� � ��� ��� �� �� ��������� ����� �� ����� �� �# �� ������ �� ���

�� �* � *� "� ?� �" � *� #� *� �# � "� ?� 9� �/ � #� *� /���� � � *� "� ?� � � "� ?� *� � *� ?� "���� � � *� "� #� � � .� .� .� � *� ?� +��� I�� ���� ��� ��� ����� �� �# � ������ �� ���

��� (� 0��� " ����@ ���� ��� ��� �� ����� � ���� ������� � �� ���� ������ �� �� ������� �� ����� ����

� �* " *

" ? ?

? * "

��

�� �

* " *

. * #

. �D �#

��

�� �

* " *

. * #

. . "/

��

��

%�� ������ ��� � ����� ���@ ��� �� ���� �� � ���� ����������� �� �� ������ ������ ���� ������� � ������ �� �� ���

��� 8��� . � .� .� . �� �� �� �� ������ �� ����� � ������ �� ���

����� 8��� ���� �� ��������� � � � ��� �� �� ��� �� (� � � ��� � ���� � � ������ �� �� ���

8� � ���� ����������� �� �� ��������� 1��� �� �� $� �������� ( ����� ��;���� ������ �� �� �� ������� �� �� � �� � �( � (@ �� ��� ���� � � .� � � .� � � .� < ������$ ���� �� � �� � �( � ( ���� ������� �� ���� �� �� � ��� �� � � ��� � �(� � .�

����� �� �� 1������ � ��� � � � ��� � � �� � .�

� 8� � � .

�� 8� � � ��"��� 8� � � �

�� ������

�� ������

�� ������

�. � �* � �. � .

�* � �. � ���" � .

�. � ��* � �� � .

� � .��� ���" � .���� �� � .�

�� �� 1������� ��� ���� �� $� ��������� ���� ��� � � .� � � .� � � .� ���� � � �� ( � �������� �� ���

����� 8����� �� ����� �� �� � ������ �� �� ��� 8��� ���� �� ����� �� �� �� �� �� "�� � ���� ������ �� �� ���

8����� ��� � � ��� � � ��� "�� � .� ���

��� ��� ��� ��� ��� "��� � � .�

�� �� ��� �� �� "��� � � .

8��� �� �� � ������ �� �� ��� �� ��������� �� �� ���� 1������ � ��� .@ ���

�� �� � � .� �� �� "� � .� � � .

�� ���� �������� �� �� ���� ��������� ����� �� � � .� � � .� � � .� ���� �� �� �� �� �� "�� ������� �� �� ���

*// 6%2�37 84�2%8 ,25�4� /

Page 146: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

����� 8��� ���� �� ����� � � * � �� "� �� � *� * � � �� �" � ������ �� �� �� �������� �� � ��� ������ �� �� �� �� �� �� �� ��

7���� ���� ��� ����� � ������ �� �� ��� � �� � �� �� ���� �� �� �� ��� �� � ������� ���� ��� ��� �� ���� �� �� 8���

* � � � * � �*� * � � � * � �� "� � �� �� � ������ �� �� �� �� 3� �� ��� ��� � � �� � ������ �� �� �� �� �� ���� ���� ������� �� ��� 1��� �� 8���������� ��� � �� ��� �� ��� �������� �� � � �� � � �� ���� ���� �� �� ��� �� 1��� �� ��� �������� * � � �� �� ����� �� �������

,���� �� ��������

����� H���� ���� � ��� ��� �� �� ��������� ��� � ����� �� �#�

�� �*� *� *�� �*� .� *�@ ��� �*� *� *�� �*� "� #�� "��*� *���� �*� "� #�� �*� #� ?�� �*� .� *�� �"� #� .�@ ��� �*� *� "�� �*� "� ?�� �?� #� /��

� �� �� =�� ���� � ����� �� �# ���� ������� ������ # ����� ����� ���# � #�

��� �� �� ����� ��� � ����� �� �� ���� �� ��� � ������ �� �� ��� ���� ��� �� ����� ������� � �� ���� ������ �� �� �� �� ����� �� ����� ����

* * *

* " #

" �* *

��

�� �

* * *

. * "

. �# �*

��

�� �

* * *

. * "

. . ?

��

��

�� ����� ����� ��� �� $� ���@ ��� �� �� ����� � ������ �� �� ��� �� �� ��� ���� � ����� �� �#�

��� &�� �� ����� ���� ��� � �� ���� ������ �� �� �� �� ����� �� ����� ����

* * "

* " ?

? # /

��

�� �

* * "

. * #

. �" �+

��

�� �

* * "

. * #

. . .

��

��

�� ����� ����� ��� � $� ��@ ��� �� �� ����� � ������ �� ��� �� �� ��� � ������ � ����� �� �#�

���1� H���� ���� �*� *� *� *�� �*� "� #� "�� �"� ?� +� /�� �"� +� >� ?� ��� � ����� �� �/� '� ���� �� �� ������� �� �� ������� ��� �����

&�� �� ����� ���� ��� � �� ���� ������ �� �� �� �� ����� ����

� �* * * *

* " # "

" ? + /

" + > ?

����

���� �

* * * *

. * " *

. # / "

. / + #

����

���� �

* * * *

. * " *

. . �" �*

. . �" �*

����

���� �

* * * *

. * " *

. . " *

. . . .

����

����

�� ����� ����� ��� � $� ��� 5�� �� ��� ����� � ������ �� �� �� � ��� ��� � ����� ���/� 8��� �� ����� ����� ��� �� ���$� ���� �� ��� ����� ���� � ������� �� ������� #�

���6� %��� ��* � *� *� *� *� �" � "� "� #� /� �� � ����� �� �/�

25�4� /- 6%2�37 84�2%8 */?

Page 147: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

&��� ��� �� ����� ���� ��� �* �� �"� �� �� �� ����� ����

* * * *

" " # /

� �� * * * *

. . * "

� �

��� * � *� *� *� * �� " � .� .� *� " ���� �� ��� �� �� ����� �� ����� �� �* �� �"� )��# � .� *� .� . �� �/ � .� .� .� *� ��� *� �#� "� �/ ��� � ����� �� ����� ���� ���� ��� ������� �� �� ��� �� ��� ��� � ����� �� �/� 5�� �*� �"� �#� �/ ���� ��� � ����� �� �/�

���9� 2���� �� ������ �� �� ����� �������� �� �� �� �� ����� �������� �� ������� �� 3������ � �� � ���� ���� �� �� �� � �� � ���� ���� �� 3��

�� 8��� ���� �*� �� �� � ����� �� � �� �@ ��� � �� � ���� ���� �� ������� " �� ��

��� 8��� ���� � �� � ���� ���� �� ������ ������� �� 3�

�� &� ��� � � �� � ��� � � � �� � * � ��� �� � � � �� 5�� �*� �� ����� � �� ��&������ �� �* � �� � . � �� �� � .� �� �� � � �� ��� � � . �� � � .� 5�� �*� �� �������� �� �� �� �� �� ���� �*� �� �� � ����� �� � �� ��

��� '� ��� � ����� ���� � �� � ����� ���� ����� ���� ��� � �� ��� � ��� �� ��� ���������� �� 3� ������� ��� �� �� �� * �� ����� *� �� �"� � � � ��� � ������ �� �� �� �� 3� ���� � ������ � �� ������� � �� 3� ���� ������ � �� �� ������ ������� �� 3�

���:� 8����� # � ��*� �"� � � � � ��� �� � ����� �� �� 8��� ���� �� ��������� H�������� � �� A �� ������ �� � � 1��������

��� # �� ������ �� �� �� �� ����� ��

�A� %�� � � � �� � ���1� ���� ����������� �� ����� �� #�

8����� ��� ��� �� 8��� # ����� �� �� ���� � �� � ���� ����������� �� �� ��� ���

� � *�* � "�" � � � �� ��� �� � � �*�* � �"�" � � � �� ����8���������� � ��

. � �� � � * � �*�* � " � �"�" � � � �� � � ����A�� �� �� � ������ �� �� ��� 5�� �� ��������� �� �� ���� ������ � ��� .�

* � �* � .� " � �" � .� � � � � � � �� � .

���� * � �*� " � �"� � � � � � � ��� 5�� �� ��������� �� � �� � ���� ����������� �� �� �� �����1�� ���� ��� ������ �A��

8����� �A� ��� �� ��� # ����� �� 8�����

. � �*�* � �"�" � � � �� ����5���� � � ��� . � .�* � .�" � � � �� .��

A� ���������� �� ��������� �� . �� � ���� ����������� �� �� �� �� ���1�� 5�� ��� �� � . �� �� ��� ������ �� �� ��� ���� �A� ������ ����

�������� �� �,������

���;� &�� � ����� �� ������� �� �� ������� �� �# ����� � �� �� � � � �� � � .�� ��� � �� �� � � � � � ���� =�� ���� �� �#� ����� ���� *� "� # �� � ���� �� � #� =�� ���� �* � *� .��* ��

�" � .� *��* � ��� �� �� �� ����� �� � ���� �� � "� �� �� �* �� �" ��� � ����� �� �

��� �� ���� � � *� *� * � � ��� ���� � ��� �� ��� � �� �� �� 5�� � ��� ���� ������ �� �� � *�

*/+ 6%2�37 84�2%8 ,25�4� /

Page 148: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

���(� )� � �� ������� �� �/ ����� �� �� �����

�* � *��"� ?��#� �" � "� #� *��/� �# � #� >��#��?�� &�� � ����� �� ������� �� � ��� %��� �� ����� �� �� � ����� �� �/�

�� ����� �������� /�*� �� �� ���� ��������� &�� �� ����� ���� ��� � �� ���� ������ �� �� �� �� ����� ����

� �* �" ? �#

" # * �/

# > �# �?

��

�� �

* �" ? �#

. 9 �D "

. */ �*> /

��

�� �

* �" ? �#

. 9 �D "

. . . .

��

��

�� ���$� ��� *��"� ?��# �� .� 9��D� " �� �� ����� ����� ��� � ����� �� �� �� ���� ��� �� ��� �� � ����� �� ��������� �� � "�

��� < �; ��� ������ �� �� �� ������ ����� ����� �� ���� ��� ������ �� ��� �����*��"� ?��#� .� 9��D� "� �.� .� *� .�� �� �.� .� .� *� � ������ �� �� �� ����� ��� ��� ������� ������� �� �� ��� ��� � ����� �� �/� ����� �� �� ������� �� �� ����� �� �

����� )� � �� ������� �� �? ����� �� �* � *� "��*� #� /� �" � "� /��"� +� >��# � *� #� "� "� +� �/ � *� /� ?� *� >� �? � "� 9� #� #� D� &�� � ����� �� �� ����� ������� � ����� �� �

5 � �� �������� /�"� �� 2���������� ��������� &�� �� ����� ' ���� ������� ���� ���� ��� ���� ������ �� �� �� �� ����� ����

' �

* " * * "

" / # / 9

�* �" " ? #

# + " * #

/ > + > D

������

�������

* " * * "

. . * " #

. . # + ?

. . �* �" �#

. . " / *

������

������

* " * * "

. . * " #

. . . . �/

. . . . .

. . . . .

������

������

�� ����� ��������� � �� ������� +*� +#� +?� 5�� �� ������ ��� ����� �*� �#� �? ��� � ����� �� ��� �� � #�

����� )� � � �� ���� ���� �� " � " ������ �� � )� � �� ������� �� ������� �������8��� ���� �� � #� �� �� ��� � ����� �� �

7���� ���� � ����� � � ��$� �� ������� �� �& � �� �� 1���������� ��� �$ � $�� ���� � � �

� �

� �

���� �� ������ " � " ������� ������ 8����� ��� � *� � � .� � � .� ���� � .� � � *� � � .������ � .� � � .� � � *� � ������ �� ������ �������

�* � * .

. .

� �� �" � . *

* .

� �� �# � . .

. *

� �

< ����� ���� # � ��*��"��#� �� � ����� �� @ ���� ��� �� # ����� �� ��� # �� ������ �� �� ���

�� �� ���� ����� � � �

� �

� �� �* � ��" � ��#� ���� # ����� �

��� 8����� ��* � ��" � ��# � .� �� �� �� � � ��;���� ������� ���� ��� ������

�* .

. .

� �� � . *

* .

� �� � . .

. *

� �� . .

. .

� ��

� �

� �

� �� . .

. .

� �

8����� ������ ��� ���� 1��� �� ��� ��� ��� � � � .� � � .� � � .� ���� # �� ������ �� �� �������� # �� � ����� �� � �� ����� �

25�4� /- 6%2�37 84�2%8 */9

Page 149: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

�5������ �� ������ ��������- ,����- �� ��������

����� 4�� )��� /�*.� 8����� ��� � �� ���$� ����� �*� �"� � � � � �� � ������ �� ������ �� �� ��� �� � ���� ����������� �� �� �� ��� ������

8��� �� �� � ������ �� ��� �� ���� ������ *� � � � � �� ��� ��� .� ���� ����*�* � � � �� ��� � .� )� � � �� ����� ���� ���� ���� � �� .� ���

*�* � � � �� ��� � .���* � � � �� .�� � . � *�* � � � �� ��� � .

8����� � � *@ ��� *�* � .� * �� .� �� �� �* � .� A�� �� �� � ���$� ������ 5�� � � * ��

�� � ��*� *�* � � � �� �*

� ��*���*

���� ��� �� �� � ���� ����������� �� �� �� ��� ������

����� 8����� # � ��*� �"� � � � � ��� ����� � ���� ���� ��

�� '� � �� ��� � � �*� � � � � ��� �� ������ �� �� �� ����� ��

��� '� �� �� � ���� ����������� �� �*� � � � � ���*� ��� # ������� �� ����� ��

�� �� ���� �� � ���� ����������� �� �� ��� ���� ���� ����� �� ���� ������ � � �*� � � � � ��� �� ������ �� ��� 2����� ���� �� �� ���� �� ���� �� �� �� ������� ���� �� ���� ��� � � �*� � � � � ��� �������

��� 8����� �� � �*�* � � � �� ���*���*� )� � � �� 8��� ���� ����� �� � �� � ���� ����������� �� �� �$!����� � � *�* � � � �� ���� 8����������� �� ��� � ������

� � *�* � � � �� ��*���* � ��*�* � � � �� ���*���* � ��*���* � � � �� ���� * � ��*�* � � � �� ��* � ����*���* � ��*���* � � � �� ���

���� ��*� � � � � ���*� ���*� � � � � ��� ����� �� '� ��� �� �� � ��� �� �� ��� �� �������� �� �� ��������� � �������� ���

���1� 4�� )��� /�*#� 8����� ��*� �"� � � � � ��� ����� �� �� ������ � *� "� � � � � �� �� �������� �� ��� ��� � �� �� � �� ����� �� � �� �� �� ���

� *� "� � � � � �� ��*� ��" � � � � � ���������� ��� �� * � �� ����� �� � � ������ �� ���

'� ������ �� ��� �� ���� �� �� ��� ���� �� �� � ��� ��� .� �4��J� 8��� ���� ����� �� � ��� ��4���� /�#/ ����

� *� �*� � � � � ��� *�� ������ �� �� �� ���� ����� �� A� )��� /�*.� �� �� �� ����� �� �*� �� � ���� ����������� �� ���� ��� ������ ���� ���� ������ � *� �� �� ���� � �� �� �� �!�� ��� �$� ���� �� 4���� /�#/� � ��� �� �$ ��� �� �������� �� �*� �� ������ �� �������� ��

� *� �*� � � � � �$�*� �$�*� � � � � ��� "=�� � ��� �� ������ ���� �� ���� "� ���� ��� ���� �"� ����� �� �� ��

� *� "� �*� � � � � �$�*� �$�*� � � � � ��� #�� ������ �� �� �� ���� ����� �� ����� �� )��� /�*.� �� �� �� ����� �� �#� �� � ���� ������������� �� �� ��� ������ < ������$ ���� ���� ���� ������ � * � "� ���� � *� � � � � �� ���� �� ��@ ��� �� ���� � �� �� �� �!�� ��� ��� ����� �� 4���� /�#/� � ��� �� �� ��� ���������� �� �#� �� ������ �� �������� ��

� *� "� �*� � � � � �$�*� �$�*� � � � � ���*� ���*� � � � � ���< ��� �� ������ ���� #� �� �� ����� �� ��� ���� � � ��� �� � �� �� �� !� �� ��

*/> 6%2�37 84�2%8 ,25�4� /

Page 150: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

�� �� �� �!� �� �� �������� ��� '� � �� ��� � ������ ������ � �������� �� �� �� 1�� ����

� *� � � � � �� ��* � � � � � ������

&������� � ���� ���� � � � �� ��� �������� 3������ ��� � �� �� ���� ����� � ������ �� ���������� � *� � � � � ��� ���� ������ ���� ��* �� � ���� ����������� �� *� � � � � �� ����� ����� ���� ����������� ���� � �� �� ������ �� �� ���

���6� 4�� ���� /�*"� %�� ����� �� � ���� ���� � ��� �� ��� ���� �� ������

8����� ��*� �"� � � � � ��� �� � ����� �� �� �� ������ ��*� �"� � � �� �� ����� ����� �� �� 8��� ���� ����� ���� ����� ��*� �"� � � �� ���� ������� � � ��� ������ � �� �� �� ������ �� �� �� 4���� /�#?� ���� ���)��� /�*#� 3� �� ��� ��� � �� �� ����� ��*� �"� � � �� �������� ��� ���� � ������ ��� ��*� �"� � � � � ��� �������� �� �� �� 4���� /�#?� ���� �� ����� ��*� �"� � � �� �������� ������ � ������ �� �� �� ������ ���

���9� 4�� ���� /�*/� )� � � � ���� ���� �� ���� ������� �� ����

��� ��� �� * � �� ����� ���� � ������ �� ���

���� ��� ������ �� �� �� �� # � ��*� �"� � � � ��� ���� � ����� �� � ����� �� ��

����� ��� �������� �� & � ��*� �"� � � � � ��� �� � ���� � ����� �� � ����� �� ��

8����� � � � *� "� � � � � �� �� � ����� �� ��

��� 8��� � ����� �� ��� �� * � �� ����� � ������ �� �� �� )��� /�*#�

���� A� )��� /�*#� ����� ��� � ��� � � :��� �� # �� ��� � �������� �� �� � ���� � ������8��� # ��� � ��� � ������ # ����� �� � �������� �� �� �� ���� # �� � ����� �� ��

����� 8����� & �� ������ �� ��� ��� ��� �� �� � ���� ����������� �� �� �� ��� ������ A�4���� /�#/� � �� ����� �� �� ����� �� & ������� �� �� �� � �� * �� ���� A� )��� /�*#��� �� �� �� �� � ������ ��� �� ���� �� * ������ ���� ����� ���� �� ���� ���� � ��� ������� ���� & �� ������ �� �� ��� �� ��� & �� � ����� �� ��

���:� 4�� ���� /�*?� 8����� # ����� � ���� ���� �� ����

��� ��� ������� ���� �� ������ �� �� �� ����� �� # ��� � ����� �� ��

���� 8����� �� ��� ��� # �� ���� ���� �� � ���� ����������� �� �� ��� ����� ��#� ��� �� ������� ����� ��� � ����� �� ��

��� 8����� ��*� � � � � ��� �� � ������� ������ �� �� �� ����� �� #� �� ������ � #� ���� �������*� � � � � ��� � �� ������ �� ��� =� �� ��� � � ���� ����������� �� �� ��� ������ 5�� ��� ���� ����������� �� �� ��� ���� � ������� �� ��� # � ������� ���� �� � ��

� � ����# � ������ � �

���� ���� ����� �� �� � ���� �� �� ������ �� �� ��� �� �� � ����� �� ��

���� �� ������� ����� ��� � ������� ������ �� �� �� ����� �� #@ ���� �� ���� �� �� � ����� �� ��

���;� 4�� ���� /�*+� )� � � � ���� ���� �� ���� ������� �� �� # � ��*� �"� � � � � ��� � ��� �� ������ �� �� �� ����� �� �� ��� # �� ��� �� � ����� �� � @ ���� ��� # ��� � ��� ��� ����� �� ��

8����� � � � *� "� � � � � �� �� � ����� �� �� ��� � ����� �� �� ��� � �� ����� ��

# � � � ��*� �"� � � � � ��� *� "� � � � � ��

25�4� /- 6%2�37 84�2%8 */D

Page 151: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

A� ���� /�*?� � ��� �� ��� # � � ��� ���� ���� �� � ���� ����������� �� �� ��� ����� �������� � ����� �� �� �� 8��� # �� ������ �� �� ��� �� �� �� � ���� ����������� �� �� ��� ���������� �� �������� �� ���� �� #� �� # �� ��� �� �� ����� �� �� ��

���(� 4�� ���� /�*9� )� � � ������� �� �� �� ��������� ���� ���� �� ��� �� �� '���������� �� �� � �� ��� � ��

8��� � �� �� ������� �� ��� �� * � �� ����� � ������ �� ��� &������ ���� � ������� �������� �� ������ �� �� �� ������ �� ������ ������� �� ���� � ������ ���� ������ �� ��

'� ��������� �� � *� � � � � �� �� � ����� �� � ���� ���� �� �� �� �� �� �� �� ���� � ������ �� �� ����� ����� �� �� ���� � � ��� �� � ��

���> � � ������- ��7�� ����� ������

����� &�� �� ��; �� ����� �� �� �� ���� �� ��� �� �� ��������� �������

�� � �* " . �*

" + �# �#

# *. �+ �?

��

��� ��� � �

* # * �" �#

* / # �* �/

" # �/ �9 �#

# > * �9 �>

����

�����

�� 7�� �� � �� ����� ����

� �* " . �*

. " �# �*

. / �+ �"

��

�� �

* " . �*

. " �# �*

. . . .

��

��

�� ��� ���$� ��� *� "� .��* �� .� "��#��* �� �� ����� ��� �� � ��� � ����� ���������� '� ��������� ��;� � "�

��� 7�� �� � �� ����� ����

� �* # * �" �#

. * " * �*

. �# �+ �# #

. �* �" �* *

����

���� �

* # * �" �#

. * " * �*

. . . . .

. . . . .

����

����

�� ��� ���$� ��� *� #� *��"��# �� .� *� "� *��* �� �� ����� ��� �� � ��� � ����� ���������� '� ��������� ��;� � "�

����� 8��� ���� ! � � �� ! �� � �� ��������� �������� �� �#�

! � �����*� �"� �# � ����*� *��*� "� #��*� #� *��?� � ���� *� "� # � ����*��*��#� #��"��>� "� *��#�

&�� �� ����� � ���� ��� � �� ��� �� �� �� � �� �� ��������� ����

� �* * �*

" # �*

# * �?

��

�� �

* * �*

. * *

. �" �"

��

�� �

* . �"

. * *

. . .

��

��

*?. 6%2�37 84�2%8 ,25�4� /

Page 152: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

=�� ��� �� ����� � ���� ��� � �� $� �� �� �� � �� �� ��������� ����

� �* �* �#

# �" �>

" * �#

��

�� �

* �* �#

. * *

. # #

��

�� �

* . �"

. * *

. . .

��

��

8��� � �� � ��� �� ��� �� ��������� ���� �� �� ����� �� � �� � � 1���� �� �� ! � �

����� )� � �* " * " # *

" / # 9 9 /

* " " ? ? +

# + + *? */ *?

����

�����

�� &�� ��;'�� �� � � *� "� � � � � +� �� '� �� �� �������� �� � ���������� �� �� ��� �������� +*�+"� � � � �+� �� ��

��� <���� ������� +��* � ���� ������������ �� �� ��� ������� +*� � � � �+�K

��� &�� ������� �� � ���� ��� � ����� �� �� ������ ���� �� ��

��� %���� ������ +/ �� � ���� ����������� �� �� ������� �� ��� ����

�� 7�� �� � �� ����� ����

� �* " * " # *

. . * # * "

. . * # " ?

. . # D ? *"

����

���� �

* " * " # *

. . * # * "

. . . . * #

. . . . . .

����

����

3��� ���� ���� ������������� ��� ��� �� ������ '� �� ����� ���@ �� ������ �� ��� ���������� �� �� ����� ��� �� � � �� ����� ��� �� '/� < ;��� ���� ��;'� �� 1��� �� ������ �� ������ �� 1���������� �� ���� �� ���$� ��� �� �� ����� ��� �� '� � ����

��;'* � ��;'" � *� ��;'# � ��;'/ � "

��;'? � ��;'+ � #

��� �� ���� 1������ �*+* � �"+" � � � �� ��+� � +��* ��� � �� ����� ���� �������� ����� '� �� ������ '��*� ���� +��* �� � ���� ����������� �� +*� � � � �+� �� �� ���� �� ��;'� � ��;'��*�� 1���������� �� +��* �� ��� ������� � ������ ���� ��� �� +"� +/� ++ �� � ���� ����������� ���� ��� ��������

��� '� �� ����� ��� �� �� �� ������ � �� �� ���� ��� � �� ���� �������� ���� ������� +*� +#� +? ��� ��� � ����� �� �� ������� ���� �� �� ����������� ����� ������� +"� +/� ++ ��� �� ���������� �� ������� ���� � ���� ������������ �� ��� ��������� � ������� ������ +*� +#� +?�

��� �� ����� ����� ���� �� ���� +/ �� � ���� ����������� �� ������� +* �� +#� �� ������ �����' �� �� ���� 1������ +/ � �+* � �+" �������� �� �� ������� +*� +#� +/ �� � ������ ��� �� �� ����� ���� ��� � �� ����� ��������� $� ����

* * "

. * #

� ��

�� � � "

� � #� � � �*� � � #

���� +/ � �+* � #+# � �+* � #+# � .+?�

����� 8����� � � *� "� � � � � � �� � ���� ����������� �� �� ��� %*�%"� � � � �%� �� � ������ � ���$�� ��� � � �*%* � �"%" � � � �� ��%�� 4�� ����

� � �*�*� � �"�"� � � � �� ������ � � *� "� � � � � �

�� �*�� �"�� � � � � ��� � �� ���� �� �� ��� ������ �� ��

25�4� /- 6%2�37 84�2%8 *?*

Page 153: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

< � ���� ���� � � �*%* � �"%" � � � �� ��%�� 5��

*� "� � � � � � � �*�**� � � � � �*� � � � �� ����*� � � � � ���� �*�** � � � �� ����*� � � � � �*�*� � � � �� �����

8����� ������ ��� ��������� 1��� �� ��� ���� � ������ �� �� �����

���1� 4�� ���� /�9� 8����� � � ��$� �� � � ���$� � �� 1������� ����� ������ ���������� ����� ����

*$*� "$"

� � � � � �$� �� �*�*� �"�"

� � � � � ����

������ �� &��� /�?�� ��� � �� � ��� �� ��� ���� �� ���$� ���� ���� ��� � � �� �� �������� ���� � �� �� ��� ���������� ���� ��� $* � �*� $" � �"� � � � � $� � ���

2���� � � . �� �� ���� �� � � .� �� �� � � ���� ��� �� ���� ��� � � * �� � � *� <��� ���� ���� $* � �*� 8����� $* � �*� ��� �� $*�� ������ �� � �� $�� 8��� �� ��� �� %E �� � �� �� ���� ���� �� �� � ��� %E � �*%* � �*%" � � � �� ��%�� �� �� %� � �� ��� �� �� 8��� �� $*�������� �� � �� $�� � ���

*$*� �*. � �". � � � �� ��. � .

A�� ���� ����� ���� �� ���� ���� �� ����� ��� *$*�� .� 5�� $* � �* �� � ��������� �* � $*� ���� $* � �*�

=�� �� �� � �� �������� �� � ������ �� ����� �� ��� �� �� �� �� �� �� � �� �������� �� ������� �� ����� �� ��� �� �� �� < ��� ���� �� �� �� ��� �� ��� �� ����� �� ���� ������� ������ �� �� ������� ���� �� �� �� � ���� ����� �������

)� % � *� "� � � � � � � ��� �� �� �� �� �� %*� � � � �%� � �� ��� �� �� 8��� % �� �� �� �� ������ �� �� ���� ������ �*� � � � � �� ���� ���� % � �*%* � �"%" � � � �� ��%�� 8��� � �� �� ����� ��� �� % �� ��� �� ��� �� �� �� �� $*�� ��� �� % �� $�� � � . �� � � $* � �*� &������ ���� � �� �� ��������� ��� �� ���� �� �� �*�� ������ �� � � . ���� �� ���� �*�*

�� .� ��� �"�*� .� � � � � ���* � .� ����

. � �* � �*�*�*� �". � � � �� ��. � �*�*�*

=�� �*�*�� . �� �� �* � .� ���� % �� � ���� ����������� �� %"� � � � �%� �� �� �� �� �� �� ���� �� ���

8��� % ��� ��� �� �� ��� �� �� ���� �� �� �� ������� �� �� �� ���� �� ��� 8�������� �� �� ���� ���� �� ������� �� �� �� ���� �� ��� ���� �� �� �� ��� �� ��� �� ����� �� �� �� ���� �� ��� �

���6� 4�� ���� /�>� 8����� � �� � � �� ��������� ������� ��� � �� � ��� �� ��� ������ �� �� ���� �� ��� ��� �� ��� ���$� ����

3��������� �� � �� � ��� �� ��� ���$� ���� ��� ��� ��� �� ��� �� ����� ���� � ������� �� ��� �� ������

8����� � �� � ��� �� ��� �� ����� �� ������ % �� . �� �� ��� �� �� �� ��� �� ���� �������*� � � � � �� ���� ����

% � �*%* � �"%" � � � �� ��%� *�� �� %� � �� ���$� ��� �� �� �� ���� �� ��� �� � ���� ���� % � %�� ���� ��� ���� �� � * ����� � . �� � �� ��

� �*$*

� � � � � �"$"

� � � ���������������������������������������

�$� � �

����

����� � �

�*�*� � � � � ��"�"

� � � ���������������������������������������

���� � �

����

����

�0� �21

*?" 6%2�37 84�2%8 ,25�4� /

Page 154: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

)� �$� � �� ����� ��� �� %� ���� �� ��� ���$� ��� �� %� A� �*� �� 4���� /�//�

�$� � �*�*$�� �"�"$�

� � � �� ����$� "

A��� �� 4���� /�/?� ��$� �� � ����� ��� �� �� �� � ���� � �� �� �� � �� �� �� ���� ���$� ��� �� ��$�� ������ �� �� ����� ��� �"�� � ������ �$� � ����$� � 5���� �$� � * �� ��$� � *� ���� � �� � � �� �� @ ��� �� � *�

=�� ������ � �� �� �� ��$� �� �� ����� ��� �� %� � A� �*� �� 4���� /�//�

�$� � �*�*$�� �"�"$�

� � � �� ����$� #

8��� � �� �� �� � ��$� �� �� ���� ���$� ��� �� �� $�� ������ �� �� 5��� �� �#�� �$� � ����$� �&������ �� 4���� /�/?� �$� �� � ����� ��� �� �� �� ���� � �� �� �� � �$� � .� ���� ����$� � .��� ���� ��$� � *� �� � .� ���� ����� % � %�� �� �� ���� �� ��� �

���9� 4�� 2������ /�D� %�� ����� � �� �� 1������� �� � ���1� ����� �� �� ��������� ����

8����� � �� �� 1������� �� ������ �* �� �"� �� �* �� �" � �� �� ��������� ���� �������� � �����* �� ����� � �����"� 5�� �����* � �����"� 8��� �* �� �" � ���� ��������� ���� �* � �" �� ���� /�>� ���� �� ������� �� ��� �

���:� 8����� %� �� �� � �� � �� % �� � �� ���� �� � �� � � ������� 4���

�� %� �� � ���� ����������� �� �� ��� �� ��

��� �� �� ���� �� �� �� ������� �� �� �� ���� �� ��

��� �� ������ ���� �� �� �� ������� �� �� ������ ���� �� ��

��� ��;�� ��;� �� ��;�� ��;���� 8����� % � *� "� � � � � � �� � � ���$�� )� �*� � � � ��� ��� �� ��� �� � �� �*� � � � ��� ���

�������� ���

%� � %�*�%�"� � � � �%��� *�** � "�"* � � � �� ���*� � � � � *�*� � "�"� � � � �� ����� *�**� �*"� � � � � �*� � "�"*� �""� � � � � �"� � � � �� ���*� ��"� � � � � ���� *�* � "�" � � � �� ���

���� %� �� � ���� ����������� �� �� ��� �� �� �� ����� �

��� �� ��� �� �� � %��� �� %� �� �� ��� �� �� �� ����� �� ��� ��� ��� �� �� �� �� �� �� ������ �� �� ���� ������ � ������ �� ����� �

��� (���� ��� ���� � ���

������� � ������& � �����&�& � �����& � ������

��� �� �� ���� �� �� �� ������� �� �� �� ���� �� �@ ��� ��;�� ��;�� &������ �������� ���� �� �� �� ������� �� �� ������ ���� �� �@ ��� ��;�� ��;��

���;� )� � � �� ���1�� ������ 8��� ���� � �� ������� �� �� ���� �� ��;� � ��=�� ���� �� ��� �� �� ���1�� � ����� ����� -� � ������ �� �� ��� ���� -� �� �� ����� ���@

��� ��;-� � �� =�� �� � �� �������� ��� � �� �� 1������� �� -�@ ��� ��;� � �� A�� �� � �� ����������� ��� � �� �� 1������� �� � ����� ���� � $� ��@ ��� ��;� � �� ���� ��� � �� ������� ���� ���� �� ��;� � ��

25�4� /- 6%2�37 84�2%8 *?#

Page 155: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

������������ �� ������ �3������

��1(� &�� �� ������� �� � ����� �� �� �������� ���� �� ��� ��������� ������

�� "�� "�� �� #� � .

�� "�� #�� �� � � .�#�� +�� >�� �� ?� � .

�� "�� �� "� � .

"�� /�� /�� #� � .

#�� +�� 9�� /� � .

�� �� "� � .

"�� #�� #� � .

�� #�� ?� � .

�� 7 �� �� ����� �� ����� ����

�� "�� "�� �� #� � .

�� "�� "� � .

"�� /�� /� � .

�� "�� "�� �� #� � .

�� "�� "� � .

�� ����� �� ����� ��� ��� ��� ����$�� 1������� �� �� ��;������ 5�� �� ����� ���? � " � # � �������� ����� � �� �� �� ���� �� � #� < ������ � ����� �� �

* 8� � � *� � � .� � � . �� ������ �� �������� �* � �"� *� .� .� .�" 8� � � .� � � *� � � . �� ������ �� �������� �" � ?� .��"� *� .�# 8� � � .� � � .� � � * �� ������ �� �������� �# � �9� .� "� .� *�

�� �� ��*� �"� �#� �� � ����� �� �� �������� ���� �

��� �5 � �� �� ����� ����� �� �� ��������� ������� 7 �� �� �������� ����� � �� ���������

� �* " * �"

" / / �#

# + 9 �/

��

�� �

* " * �"

. . " *

. . / "

��

�� �

* " * �"

. . " *

. . . .

��

��

���� ������ � �� �� �����

�� "�� "�� "� � .

"�� � � .

�� � ������� � � �� �� �� �� � "�

��� 8� � � *� � � . �� ������ �� �������� �* � �"� *� .� .����� 8� � � .� � � " �� ������ �� �������� �" � +� .��*� "�

��� ��*� �"� �� � ����� �� �

��� 7 �� �� �������� ����� � �� ����� ����

� �* * "

" # #

* # ?

��

�� �

* * "

. * � *

. " #

��

�� �

* * "

. * � *

. . ?

��

��

���� ������ � �� � �������� ����� ���� �� � �������� ���� . �� �� ���� ��������� ���� ��� � �.�� 5�� �� � .�

��1�� &�� � ��������� ����� ���� �������� �� �� ����� ��

��*� �"� �#� � �*��"� .� #� *��*��*� /� *� .��"� ?�)� � � �� �� �� �� ��� � � �� �� ���� �� � �� � ���� ����������� �� �� ����� �*� �"� �# ���� ����

� ���� ��� �� �����' ���� ��� ������� � �*� �"� �# �� ���� ���� ������ �� �� �� ��� �� ��

*?/ 6%2�37 84�2%8 ,25�4� /

Page 156: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

' �� ����� ���� ���� ��� �

' �* * * �

�" �* . �

. �* �" �

# / ? �

����

���� �

* * * �

. * " "�� �

. �* �" �

. * " �#�� �

����

���� �

* * * �

. * " "�� �

. . . "�� �� �

. . . �?�� �� �

����

����

��� � �� � ���� ����������� �� �*� �"� �# �� ��;' � ��;�� �� � �� �� �������� ������� ������ ������ �� �� ���� ��� ���� �� �� ����� ������ �� �� ���� 1��� �� $� �� ������ �� 1�� ��������� ������

"�� �� � � .

?�� � � � � .

��1�� )� ��* � ��" � � � � � ��� � �� � ������� �� � ��������� ����� �� ���� 1������� ���� ���;������ )� �$ � �� �������� �� ����� ��$ � *� �� ��� ��� � ������� 1��� .� 8��� ������ ��������� �*� �"� � � � � �� � ������ �� �� ���

)� � � �� ����� ���� ��� � �� ��� < �������� ������ * �� ������ �*� ��� ������ " �� ������ �"� � � � � ��� ������ � �� ������ �� � �� � ������ �� � � � �����

� � �- �+� �* . . � � � . . �*���* � � � �*�. * . � � � . . �"���* � � � �"��������������������������������������������������������������. . . � � � . * �����* � � � ���

����

����

�� ���� ����� � �� �� ����� ���� �� �� ��� ��� � �� �� ��@ ��� ��;� � �� 8��� � �� � ������� 1�������� ��� ��� �� ��� ��;� ���� ��;� � �� A�� � ��� � ���@ ��� ��� ���� ���� �� ���� ������ �� �� ��� �� ����� �

���- ����� ���- �������������

��1�� )� ! �� � �������� �� � ���� ���� �� 8��� �����

�� ! � � �� � ������� �� ��

��� ! �� � ������� �� ! � �

��� ! � �� �� ������� ������� ���������� ! �� � ���� ��� ! � � ����! � ���� � � �

�� 8��� ! �� � ��������� . � ! �� . � � 5�� . � . � . ������ �� ! � � =�� �������� �� � ! � � ��� � � �� �� �� � �� � ��� �� �� �� � ! �� � � � � ���

�� ��� � �� ��� � � � � � ! � ���� ! � �� � ������� �� ��

��� )� � � ! � 8��� �� � �������� . � � 5�� � � �� . ������ �� ! � � ���� ! � ! � �8�������� � ! � �

��� 8��� ! � �� � ������� �� � ���������� ! �� � �� ���� ���� ������� �� ���� ���� �� ! �� ����� ��� ����! � � ! � �

3� �� ��� ��� � �� � � ! � � ��� � � �� � *�� * � �� � � ! �� � � ���� � �� ����� ����������� �� ����� �� ! � � �� �� � � ����! � � 5�� ! � � ����! � �

�� ��� ��������� ������� ��� �� �� �����

��� 8��� �� � ������� �� �� � ��� ���� �� ���� �� ���� � �����@ ��� � � � A���� ��� � � � 5�� � � �

25�4� /- 6%2�37 84�2%8 *??

Page 157: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��1�� 2���� �� ��������� �������� �� �?�

! � �����*� �"� �# � �����*� #��"� "� #� *� /��#� /� "� "� #��*��"� D� � ���� *� "� # � �����*� #� .� "� *� *� ?��+� +� #� "� ?� #� "� *�

&�� � ����� �� �� ������� ��� �� ! � � ��� ! � �

�� ! � �� �� ���� ����� �� ��� ��� ������ 5�� ��� �� ����� ���� ��� � �� ���� ��������� �� ��� �� �� �� ����� ����

* # �" " #

* / �# / "

" # �* �" D

* # . " *

* ? �+ + #

" ? # " *

��������

��������

* # �" " #

. * �* " �*

. �# # �+ #

. . " . �"

. " �/ / .

. �* 9 �" �?

��������

���������

* # �" " #

. * �* " �*

. . * . �*

. . . . .

. . . . .

. . . . .

��������

��������

�� ��������� �� ���$� ��� �� �� ����� ����� ��� � ����� �� ! � �

*� #��"� "� "� #� .� *��*� "��*� .� .� *� .��*���� ��! � � #�

��� )� � � �� �� �� �� � ��� �� ������ ���� �� �?� &��� �� � ��� �� �� 4���� /�/D� ��������������� ���� �������� ��� � ! �� � ���������

)� ' � �� ����� ���� ������� � �� �� �� �� �� �� ' �� ����� ����

' �

* * " �

# / # �

�" �# �* �

" / �" �

# " D �

������

�������

* * " �

. * �# �#�� �

. . . ��� �� �

. . . /�� "�� �

. . . �+�� �� �

������

������

8� �� ���� �� ���� �� �� ���� ������ 1��� �� $� �� ������ �� ��������� ��������� ����� ������������ �� �� ! �

��� �� � � .� /�� "�� � � .� �+�� �� � � .

=�� �� ' � � �� ����� ���� ������� � �� � �� �� �� �� ' � �� ����� ����

' � �

* * " �

# ? ? �

. �+ # �

" + " �

* # * �

������

�������

* * " �

. " �* �#�� �

. . . �D�� #�� �

. . . /�� "�� �

. . . "�� �� �

������

������

����� �� �� ���� �� ���� �� �� ���� ������ 1��� �� $� �� ������ �� ��������� ��������� ��������� �������� �� �� �

�D � # � � � .� /�� "�� � � .� "�� �� � � .

2����� ���� �� �� ���� ������ �� ������ � ��������� ������ ���� �������� ���� �� ! � � �� �� �� ����� �� ����� ���� ��� ���

��� �� � � .

"�� /�� � � .

>�� ?�� "� � .

�� "� � .

�� �� �� � ������� ����� �� �@ ��� ��! � � *� 8����� � � "� � ������ �� ��������� � *� /��#� /� "� ����� ���� �� 1�� ����� �� ! � �

*?+ 6%2�37 84�2%8 ,25�4� /

Page 158: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��11� 8����� ! �� � ������� ���� ��������� �������� �� � ���� ���� �� �� ��� � +�&�� �� ������� �������� �� ! � �

8��� ! �� � �������� ! � ����� �������� ! �� @ ����1����� ��! � � /� A�� ��! � ������ � ��� ���� +� ���� ��� � +� 5�� � ��� ��� ������������� ��� ��! � � ? � ��� ��! � � +� A� ���� /�".�

��! � � ��! � �� � ��! � � > � ��! � ���� ��� ��! � � # � ��� ��! � � "�

��16� )� ! �� � �� ��������� �������� �� �#�

! � �� �� � � � � � �� �� � �.� �� ���=�� ���� �� �� ��������� 8��� ���� �# � ! � �

&��� � ���� ���� ! � � �.�� 8����� � � � �� � � ! � � ��� � � � � �� � .� 5�� � .� � � .� � � .� ���� � � . � .� .� .�

=�� � ���� ���� �# � ! � � &�� �� � � � �� � � �#� ���

� � � � � .� �� � �� �� � � � ! �� .� �� � �� � A��� ��� ������ ! � � �.� �� ! � � �# ����� ���� �# � ! � �

��19� 8����� ���� ! �� � �������� �� � ���� ���� � �� ���� # � ���� ����� ! �� #� � � $������ � 8��� ���� # � #� ����� ! � � ����� ������ �� �� ������� �� #� ����� �� ��� � *� "� � � � � �� ��� #* � � � � � #� ����� * � � � �� ���

)� � � ! � � ��� � � �� � �� � � ! �� � � 8��� # ����� ! � � �� � ���� ����������� ����� �� ���� #� ����� � �� � ���� ����������� �� $@ ���

� � *��* � "��" � � � �� ���� �� � � �* $* � �" $" � � � �� �� $��� �� �$ � � ���

� � �� � *��* � "��" � � � �� ���� � �* $* � �" $" � � � �� �� $����� ������ # � #� � ���� $� ����� ! � �

��1:� 4�� ���� /�".� 8����� ! �� � � ����� ��������� �������� �� � ���� ���� �� ���! � ��� ���� ������� ��

��! � � ��! � �� � ��! � 3��� ���� ! � �� � �������� �� ���� ! �� � 8����� ��! � �� �� � �� ��! � � ��

8����� ��*� � � � � ��� �� � ����� �� ! � � A� ���� /�*+� � ��� ��� ���� �� � ����� �� ! �� �� � ������� @ ����

��*� � � � � ��� �*� � � � � ����� �� ��*� � � � � ��� *� � � � � ����� ���� �� ! �� � ��������� )�

� � ��*� � � � � ��� �*� � � � � ����� *� � � � � ����=�� ���� � ��� ������ �� �� � ������ ���� �� ���� �� ��� �� � ��� ���� ���� � �� � �����

�� ! � � 8��� ���� �$� ����� ! �� ���� �� ����� � �� ����� � � ���� �$� �� ����� ! � � ���� �������� �� ���� ���� � �� �� �� ���

8�����

*�* � � � �� ��� � �*�* � � � �� �������� � �* * � � � �� ���� ��� � . *�� �� �$� �� � ������� )�

� � *�* � � � �� ��� � �*�* � � � �� �������� "

25�4� /- 6%2�37 84�2%8 *?9

Page 159: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

A� �*�� � ���� ���

� � ��* * � � � �� ���� ��� #8��� ���� �$� � ! � � � ! �� �"�@ �� ���� � �� � � � � �� �#�� ���� ������ � � ! � � =�� ���� �� ������ �� ! � � �� �� �� ���� ������ �*� � � � � �� �� ����� � � �*�* � � � �� ����� ����� �� �#�� � ���

�*�* � � � �� ���� � �* * � � � �� ���� ��� � .

A�� ���� �� �� � ����� �� � �� �� �� �� �� ��� 5�� �� ���� 1������ ���� �* � .� � � � � ���� � .�8����������� ���� ���� �*�� � ������

*�* � � � �� ��� � �*�* � � � �� �������� � .

A�� ���� �$� �� � ����� �� ! � �� �� �� �� �� ��� 5�� �� ���� 1������ ����* � .� � � � � � � .� �* � .� � � � � ���� � .�

8��� �*� ������ ���� �� �� �$� �� � ��� .� � � ���� �$� �� �� �� �� ��� �� �� ���� �� ��� �

��1;� 4�� ���� /�"*� � � ! � �� �� ���� �� ��� � � ! � � ���� ! � � �.��8����� � � ! � � ��� ��� � � � ��� � ���1��� ����� �� �� ��� � � �� � �� � � ! ��

� � ����� �� ��������� � � ! � � =�� ������ � � ! � � ���

* � � �� .� �� � � ! � . � � " � � . � �� �� . � ! � � � �

���� � � . � . � . �� ! � � �.��3� �� ��� ��� � ������ � � ! � �� ! � � �.�� )� � � �� 8��� � � ! � � �� ����

� � ! �� � ���� ���� � � �� � < � �� ���� ���� ���� � ��� �� ���1�� 8����� ���� ����� � �� � �� �� �� � ! �� � � � ���

�� � �� � �� �� �� �� �� � � � A�� �� �� � ! �� � � � @ ���� �� ! � � �.��

�� �� � .� � � � .� �� �� � � ��� � �

���� ���� � ��� �� � � � �� ���1�� �� � � ! � �

��6(� 4�� ���� /�"" ��� ��� �������� 8����� � � ! � � ����� ������ # � ��*� � � � � ��� �� #� � � *� � � � � �� � ������ �� �� �� ������ �� ! �� � ��������� ����

�� �� ����� # � #� �� ������ �� �� �� �� ��

��� '� # �� #� � ���� �� ! �� � ��������� ��� # � #� �� � ����� �� ��

��� ��� � ��! � �� �

�� 8����� *�* � � � �� ��� � �* * � � � �� �� � � .� �� �� �$ � ������� ���

*�* � � � �� ��� � �* * � � � �� �� � � . � . � .

�� .� *�* � � � �� ��� � ! �� .� �* * � � � �� �� � � � 8��� ���� � ��� �� . �� ���1�� ������ � ��

*�* � � � �� ��� � . �� �* * � � � �� �� � � .

8��� #* �� ������ �� �� ��� ��� � � .� �� ���� #" �� ������ �� �� ��� ��� �$ � .� ����# � #* � #" �� ������ �� �� ���

��� A� ��� ��� # � #* � #" �� ������ �� �� ��� �� � �� 4���� /�??� # � #* � #" ����� � � ! � ����� # � #* � #" �� � ����� �� ��

��� ���� ������� ����� ��� ��� ����

*?> 6%2�37 84�2%8 ,25�4� /

Page 160: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

����������

��6�� 7����� �� �� ����� # � ��*� �"� � �*� *� "� #� �� �"� �� �� ��� ���� ���� �� �� ����� � � /��#� ��� � � � ��

'� ��� ���� ��

� � ��* � ��" � �*� * � �"� # � �� "�� �� #�

�� ��� ���� �� � �� ��

�� < ���

/��# � �� "�� �� #� ��� "� � /

�� #� � �#

�� �������� �� � � *>� � � �9� 5�� ��� � �*>��9����� < ���

� � � �� "�� �� #� ��� "� � �� #� � �

�� �������� �� � � #� "�� � � �� �� 5�� ��� � �#� "�� � ���

��6�� &�� �� ��� ���� ���� �� � � � �� � �� �# ����� ���

�� �� ����� ����� � � �*� .� .� .� *� .� .� .� *����� �� ����� # � ��*� �"� �#� � �*� *� *� *� *� .� *� .� .���� 7����� �� �� ����� ����� �� �� ��� ����� �� ���� � �� ��� �� � ������ ���� ��� ���� � �� �� ������ 8� � �� � ���� ����������� �� �*� �"� �# ����� ��;���� ������ �� �� �� ���� ��� �

��

�� � �

*

*

*

��

��� �

*

*

.

��

��� �

*

.

.

��

�� �

�� �� � � �� � � �� � �

8������ �� ����� ��� � � � �� � � �� �� � � � �� ���� ���# � ��� �� �� � ���

��6�� 2���� �� ���� ���� �#� �� ����������� �� � #�

�� 8��� ���� # � �� � *#� � � *"� � � *� *� �� � ����� �� �#����� &�� �� ��� ���� ���� ��� �� � � #�# � /�" � "� � ? ����� �� #�

�� �� � �� � � *� �� �@ ������ �� ����������� �� # �� �� � � � � ���� �� ���������� �� ����� ����������� �� �� ��� ������������ ���� �� ����������� � ������ �� �� ��� �� � ���� ���#� � /� ��� ��� � ����� �� �#��

��� 8� � �� � ���� ����������� �� �� ����� ����� ����� ��;���� ������ �� �� �� �� < ���

� � #�# � /�" � "� � ? � �� � *# � �� � *" � �� � * � �*� ��# � #�" � #� � * � ��" � "� � * � �� � * � �*� ��# � #��" � #�� � �� ��" � "�� � �� �� � �� �� ��# � �#�� ��" � #�� "�� �� � ��� �� �� �

��� �� ��������� �� �� ��� ���� �� � 1��� �� ��� ��� �� ������

� � #� �#�� � � /� #�� "�� � � "� ��� �� �� � � �?

8������ �� ����� ��� � � � #� � � *#� � � *D� � � /� ���� ��� � �#� *#� *D� /��

25�4� /- 6%2�37 84�2%8 *?D

Page 161: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��6�� &�� �� ��� ���� ���� �� � � " #

/ �9

� ��� �� �� ���� ���� � ��"�" ����� ���

�� �� ����� # � * *

* *

� ��

* �*

* .

� ��

* �*

. .

� ��

* .

. .

� �� ��

��� �� ����� ����� � � * .

. .

� ��

. *

. .

� ��

. .

* .

� ��

. .

. *

� �� �

�� 8� � �� � ���� ����������� �� �� ����� ����� ����� ��;���� ������ �� �� �� � �� ��������

� � " #

/ � 9

� �� � * *

* *

� �� � * � *

* .

� �� � * � *

. .

� �� � * .

. .

� �� �� �� � �� �� �

�� � �

� �

8� ������ ��� ���� 1��� �� ��� ��� �� ������ �� �����

�� �� � � "� �� �� � � #� �� � � /� � � �9

8������ �� ����� ��� � � � �9� � � **� � � �"*� � � #.� ���� ���# � ��9� **��"*� #.�� �=�� ������ ��� ���� ���� �� � �� � ���� �� �/� ���� ��� � /��

��� %������� � �� � ���� ����������� �� �� ����� ������ ��� �

" #

/ �9

� �� � * .

. .

� �� � . *

. .

� �� � . .

* .

� �� � . .

. *

� �� � �

� �

� �

���� � � "� � � #� � � /� � � �9� 5�� ��� � �"� #� /��9�� ���� ��������� � �� ����� �� ������ �� �� ���

���"�/� ���� ���� �� �� �� ����� ���� ��� �� � �� ��� �� � ����� �� � � ����� ��� ����� ����� �� � ����� �� �� ����� ����� �� � � �� ����� �� � ����� �� �� ���

��61� '� �� ���� � � �"�#� ���� ���� � ��� �� ��������� ������ � ������ �� ���

� � * " #

/ . ?

� �� � � " / 9

*. * *#

� �� + � * " ?

> " **

� �

'� �� ������ � ������ �� ��� �� �� ������� �� � ����� �� �� ������� �� ������ �� �� �������

�� ��� ���� ����� �� �� ���� ������ ����� �� �� ����� ����� �� � � �� ��������

��� � �*� "� #� /� .� ?�� ��� � �"� /� 9� *.� *� *#�� �+� � �*� "� ?� >� "� **�&�� �� ����� ' ���� ��� � �� ���� ��� ���� ������ �� �� ' �� ����� ����

' �* " # / . ?

" / 9 *. * *#

* " ? > " **

��

�� �

* " # / . ?

. . * " * #

. . . . . .

��

��

8��� �� ����� ����� ��� ���� ��� ���$� ���� �� ��� ���� ����� ���� ���� �+� ���� � ���� �� ������� ���� �� �� ��� � ������ �� ��� ���� �� �� + � ������ �� ��� &������ �� � "� �� �� ������

* � * " #

/ . ?

� ��� " � . . *

" * #

� �

������ ��� �� �� ���$� ��� �� �� ����� ����� ��� � ����� �� �

*+. 6%2�37 84�2%8 ,25�4� /

Page 162: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

������������ ���,����

��66� 2���� � ���� �1��� �� ����� # � ��*� �"� � � � � ���� )� & � �� �1��� �� ����������� ��� # �� �� �� �� ��������� ������ ��������!!� ��� �������� ��� ���������� �������� � ���� �� � ���$� ������ ����� � � ������� �� �� ���� �� ������ 8��� ���� #�� & ���� �� ��� ���� � ���� ���� ���� & �� �� �� �� �� �� ���� �� # �� �� �� ���

3��� ����� �� ��� �������� �� ����� �� & � ���� ������������ �� ����� �� #� 3� �� ������ � ��� ������� ��� �� ���� �� �� ��� ��� �4��J�@ ��� �� ����� �� # � ���� �������������� ����� �� & � ���� # �� & ���� �� ��� ���� � ����� & �� �� �� �� �� �� ���� �� �� � �� �� ���� �� �� �� �� ���� �� # �� ���� �� �� ���

��69� )� � � ��$� �� � � ���$� � �� 1������� �� � ������ �� � �� � �� �� �*� � � � � �� � �������� �� � ���� ���� � �� � )�

�* � **�* � *"�" � � � �� *����" � "*�* � ""�" � � � �� "���

�� � �*�* � �"�" � � � �� ����

* � �**�* � �*"�" � � � �� �*��� " � �"*�* � �""�" � � � �� �"���

�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � ��*�* � ��"�" � � � �� �����

8��� ���� ���� �� � �� ���� �� ��� �����

�������� �� ������ �������!! �� 4���� /�++ �� ���� �� 1������� �� �������� �� ������ ��������� �� �� ����� �� 8��� � �� � � �� 1�������� � ��� � ������ ��� � �� � �1��� �������� �� ��������@ ��� � �� ��� � ������ ��� ���� �� �� ������ ��� �1��� �� ������������� ������ ���� �� � �� ���� �� ��� �����

��6:� )� �*� � � � � �� ����� �� � ���� ���� � �� � �� �� , � ��$� � �� ���1�� ����� �� � )�

* � **�* � *"�" � � � �� *���� � � � � � � �*�* � �"�" � � � �� ������ 8����� , �� �������� 8��� ���� � �� �� ���� ���� �� ��� ����@ ��� � �� ��

�� �� �� �� �� ���� �� ���� �� �� �� ���

��� 8����� , �� ��� �������� 8��� ���� � �� �� �� ���

��� 8����� � �� �� �� �� ��� 8��� ���� , �� ��������

�� 8��� , �� �������� �� �� �� 1������� �� �� � ����� ����� - � 5��� �� �� 4���� /�+9� � �� �� ���� ���� �� ��� ����� ���� �� �� �� �� �� �� �� ���� �� �� ��� ���

��� 8��� , �� ��� �������� �� �� �� 1������� �� � ����� ���� � $� ��� ���� ���� ���� � �� ����� ����� ����� ��� � �������� �� �� ��� ���� � ������ ���� � �� �� �� ���

��� ���� �� �� ������������ �� �� ������� �� ���� �� �� �� ������� ��� ����

��6;� 8����� ���� �*��"� � � � � ������ �� �� �� ��� �� ������ �� ���� �* � �" � � � �� 8��� ������ ����� � � �* � �" � � � � �� ���� ������ �� �� ���

8����� � �� ������ �� ��� ��� �� ���� ����� �*� � � � � �� � � �� ������ *� � � � � � � � ������ �� ��� .� ���� ����

*�* � "�" � � � �� ��� � . *8��� � � ��� �� �� �� � �� �� ���� ��� ��* � � � � ���� ���� ����

�* � ��* � �" � ��" � � � � � �� � ���)� � � �� ������� �� � �� �� ��� ��$ � � � ����*� � � � � ��� '� ������� ���� ���� �* � �" � � � � � ������� ��$ �� ������� �� �� � 5�� �*� �"� � � � � �� � �� � �� ��� �� �*�� �� �� ������ �� ��� �����

����� ���� �� ���������� ���� � �� ������ �� �� ���

25�4� /- 6%2�37 84�2%8 *+*

Page 163: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��9(� )� � � ����� �� � �� .� �� �� . � � ����� �� � �� �� ����� � . � �� �� �� ������ �� ��� 8����� � �� �� ������� � �� .� �� . �� �� ������� � �� � 8��� ���� � ���� ������� �� �� �

8����� ��*� � � � � ��� �� � ����� �� � �� . �� �*� � � � � �� �� � ����� �� . �� � < ����� �������$ � � � *� � � � ��� $ � *� � � � � �� �� � ����� �� � �� � =�� ���� ���$� �������� �� ������

)� � ��� ������ ���� �� �� 8��� ��*� � � � � ��� ����� � �� .� �� � ���� ����������� �� �� ������ ��������� �� .�

� �*�* � �"�" � � � �� ����� �� � . *8��� �*� � � � � �� ����� . �� � ��� �� � . �� � ���� ����������� �� �� $ ���� ��������� �� �

�* � �*** � �*"" � � � �� �*���" � �"** � �""" � � � �� �"������������������������������������������������������ � ��** � ��"" � � � �� ����

�� ��$ � � 8����������� �� �*�� � ������

� �*** � � � �� �*���* � �"** � � � �� �"���" � � � �� ��** � � � �� ������� �***�* � � � �� �*���* � �"**�" � � � �� �"���" � � � �� ��**�� � � � �� ������� �

��$�$���$

�� �$� � � ���� �� � ���� ����������� �� �� ��$ ���� ��������� �� @ ��� ���$� ����� � �� ��� ���� �� ������ �� � ���� ���� ���$� �� ������ �� �� �� �� � 8������ �� ������

�$� � � � ������$ �$���$ � .@ ���� ���

�***�* � �*""�* � � � �� �*���* � � � �� ��**�� � ��""�� � � � �� ������ � .

�*** � �*"" � � � �� �*���* � � � �� ��** � ��"" � � � �� ������ � .

8��� ��*� � � � � ��� �� ������ �� �� �� �� . �� ���� �� ���� ��������� �� �� �� ����� �� .� ����������� ���� � .�

�*** � �*"" � � � �� �*�� � .� � � � � ��** � ��"" � � � �� ���� � .

A�� �*� � � � � �� �� ������ �� �� �� �� @ ���� ���� �� �$� � �

�** � .� �*" � .� � � � � �*� � .� � � � � ��* � .� ��" � .� � � � � ��� � .

���� ������ ���$� �� ������ �� �� �� �� � �� �� ���� �� ��� �

�'!!$�����"�% ���+$��*

����� ������

��9�� 8����� � �� � ����� �� � ���� ���� �� 8������� ��� �� �� ��������� ���������

�� �* � /?�� +� � "#�� �� ��� �# � +#�� "� � ?�� 9��

��� �" � ?"�� #� � /9�� >� ��� �/ � #?�� "��

��9�� )� � � �� �� �� � ���� �� �� �� �� ����� ���� � ����� �� � �� ����� �������������� �� � �� ��

� � � �� � � � �� �� � �� �� � � �� .8��� ���� � ������� ��� �� ������ �� � ���� ���� ���� ,0/-� ���� ��� ���� *� � �� 5�� ,0/- �� ��� �����1��� �� �� ��� �������

*+" 6%2�37 84�2%8 ,25�4� /

Page 164: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��9�� 8��� ���� ����� ,�/- �� � ���� ���� �� ���� ��� ���� �� � � �� �� ��� � �� ��� �� ��� �������� ��

��9�� )� � � �� �� �� � ���� �� �� �� �� ������ 8��� ���� � �� ��� � ���� ���� �� � ���� � ������� ����� �������������� �� ���

��� � � � �� � � � �� �� � �� �� � � �� ������� � � � �� � � � �� �� � �� �� � � � ������� � � � �� � � .� . �� �� � � �� ������� � � � �� � � �� �� �� �� � � �� ���

��91� )� � � �� �� �� ������ �1���� �*� "� � � �� �� � �� � 8��� ���� � �� � ���� ���� �� ����� ����� �� ����� �������������� �� ��

*� "� � � � � �*� �"� � � � � * � �*� " � �"� � � � �� �*� "� � � � � �*� �"� � � �

��96� )� ! �� � ���� ����� �� � �� � )� � � �� �� �� � ���� ��� � �� � � ! �� � �8��� ���� � �� � ���� ���� �� ���� � ����� �� � �� ����� �������������� �� � �� ��

�� � ��� � � �� ��� � � �� ��� � ��� � ����� ���� � �� ���� �� ������� ������ ������� �� ! �� ��

�,������

��99� H���� ���� � ��� �� � ������� �� �# �� �������� �� ��� ����� �� �� �� �� �# ���� ������� � #�� ��� � �� ��� � � .� ��� � �� � � .� ��� � � "� � � � � "� � #��

��9:� )� � � �� ���� ���� �� ���1�� ������ �� � �� � 8��� ���� �� � ������� �� � �� �������� ����� ������ � � ��$� ���� ��

�� ������� ��& � � � �$ � $��� ��� ����� ��������� ��� �������� ��� ������

��9;� )� �� � � � � ������������ ����� �� ���� 1������� �� � ��;������ ���� ��� � �� .� 8��� ���� ���������� �� �� ��� � ������� �� ��

��:(� 8����� ! �� � �������� �� � �� ����� ! � �� � �������� 8��� ���� ! � � � !�

��:�� )� � � �� ���� ���� �� ��� ��������� ��� �� �� �� � ���� �� 8��� ���� �� � ������� �� � �� �������� �� ���� �� ���� ���������� ��� �� ���������� ,7���� ���� � �� � � �� ������� �� �' � ����� ���� �� � �� � ��� � � �� ' @ �� � � �� ���� �� � �� � � �� �� � ��-

��:�� )� � � �� ���� ���� �4���� /�9?� �� ������ �1���� �*� "� � � �� �� � �� � 8��� ���� �� �������� �� � �� �������� �� ��� �1���� ����� �� . �� �� ��� ����� ��� ���� � ���� ���� �����$� ������

������ ���,��������- ������ �����

��:�� 2���� �� ����� � � *� "� # �� � � "� #� * �� �#�

�� <�� � *� #� > �� � ���� ����������� �� � �� ��

��� <�� � "� /� ? �� � ���� ����������� �� � �� ��

��� &�� � �� ���� � *� ���" �� � ���� ����������� �� � �� ��

��� &�� ��� ������ �� � �� � �� ���� � � �� � �� � ���� ����������� �� � �� ��

25�4� /- 6%2�37 84�2%8 *+#

Page 165: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��:�� <�� �� ���������� � � � �" � �� � � �� � ���� ����������� �� �� ����������� �* � � � *"��" � � � *� �# � *� ,���� �*� �"� �# ���� �� ���� �"� �� ����������� �� � "�-

��:1� &�� �� ���� �� �# ���� ����� �� ��������� �� ! �� �� ! �� �� �������� ��� ! � �� �� .�� �� �� �� ���� ����� �� �� ����� �*� *� *� �� �*� "� #��

��:6� 4�� ���� �����#� �� �� ��������� �� ��� �������� �� � ���������� #�

��:9� 8��� ���� ����# � ����# � �.�� ���� ��� �� :������ � ����� �� $� ���� ��� � ��� � � �������� �� ���� ����� �� �� ���

��::� 8��� ����� �� '� # � & � ��� ����# � ����& � ��� ���������#� � ����#�

������ �������� �� ������ ����������

��:;� H���� ���� �� ��������� ����� �� �/ � ������ �� �� � �� �� ���

�� *� "��#� *� #� 9� *��"� *� #� 9��/� ��� *� #� *��"� "� ?��*� #� *� #� 9��"�

��;(� H���� ���� �� ��������� ����������� �� �� �� �� � ������ �� �� � �� �� ���

�� � � �# � /�" � #� � #� � � �# � "�" � /� � *� � "�# � �" � #� � ?�

��� � � �# � ?�" � "� � #� � � �# � /�" � #� � /� � "�# � 9�" � 9� � D�

��;�� 8��� ���� �� ��������� ��������� � � �� ( � ������ �� �� ���

�� � � � ��� �� � ��� �� (� � �"� ��� � � � ��� �� � �"�� (� � ��

��;�� 8��� ���� � � � � �� � � �� � �� " � ������ �� �� �� �� ���� �� � � �� � .�

��;�� 8����� �� �� � ������ �� �� �� ������ 4�� ���� # �� ������ �� �� �� ���

�� # � ��� �� " � �� �� � �� �� ��� # � ��� �� # � �� #�� � �� ��

��;�� 8����� ��*� � � � � ��� *� � � � � �� �� � ������ �� �� �� ����� �� �� 8��� ���� ������ � ���� $ � �.��

��;1� 8����� �*� �"� � � � � �� � ������ �� �� ��� 4�� ���� # �� ������ �� �� �� ��

�� # � �*�*� "�"� � � � � ���� �� ��� � �� .�

��� # � ��*� � � � � ���*� � ���*� � � � � ��� �� � �� ���� �� �� �� .�

��;6� 8����� **� � � � � *�� "*� � � � � "�� � � � � �*� � � � � �� � ������ �� �� �� ����� �� �� �� ������ �*� �"� � � � � �� � ������ �� �� �� ����� �� � ���� ���� � �� � 8��� ���� �� �������������� � ���� ������ �� �� ���

* � **�* � � � �� *���� " � "*�* � � � �� "���� � � � � � � �*�* � � � �� ����

,���� �� ��������

��;9� &�� � ����� �� �*� �"� �#� �/ ���� ���� � ����� �� � ������ �� �? ���

�� �* � *� *� *� "� #� �" � *� "��*��"� *� �# � #� ?��*��"� ?� �/ � *� "� *��*� /��� �* � *��"� *� #��*� �" � �"� /��"��+� "� �# � *��#� *� "� *� �/ � #��9� #� >��*��� �* � *� .� *� .� *� �" � *� *� "� *� .� �# � *� "� #� *� *� �/ � *� "� *� *� *��� �* � *� .� *� *� *� �" � "� *� "� .� *� �# � *� *� "� #� /� �/ � /� "� ?� /� +

*+/ 6%2�37 84�2%8 ,25�4� /

Page 166: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��;:� 2���� �� �������� ! � �� �� �� � � �� "�� � � .� �� � �� �� �� � � � �� � � "�� �� �/�&�� � ����� �� �� ������� ��� �� ! � ��� � ��� ! � �

��;;� &�� � ����� �� �� ������� �� �� �������� ���� �� ��� �� �� ��������� ��������� �������

�� "�� "�� "�� � � .

�� "�� �� #�� "� � .

"�� /�� 9�� �� � � .

� �� "�� �� #�� /� � .

"�� /�� "�� �� ?� � .

"�� /�� "�� /�� "� � .

���((� &�� � ��������� ����� ���� �������� ���� �� ����� �� �� ��������� ��� �� �� ������

�� *��"� .� #��*� "��#� "� ?��#� *��"� *� "��"���� �*� *� "� *� *�� �*� "� *� /� #�� �#� ?� /� D� 9��

���(�� H���� ���� ��� �� �� ��������� �� � ����� �� �� ���� ���� ������ �*� * � �� * � � � �"� * � � � �" � �#� � � � � * � � � �" � � � �� ���* � ������� �* � �� � � �"� �" � �#� � � � � ���" � ���*� ���* � ����

���(�� &�� � ����� �� �� ������� �� �� ������� �� �� ����� ���

�� � � �# � "�" � "� � *� � � �# � #�"� � /� � "�# � �" � 9� � 9�

��� � � �# � �" � #� � "� � � "�# � �" � � � /� � /�# � #�" � ?� � "�

���(�� &�� � ����� �� �� ������� �� �� ������� �� � ��"�" ����� ��

� � * �?

�/ "

� �� � � * *

�* ?

� �� + � " �/

�? 9

� �� / � * �9

�? *

� �

���> � � ������- ��7�� ����� ������

���(�� &�� �� ��; �� ��� �� �� ��������� �������

��

* # �" ? /

* / * # ?

* / " / #

" 9 �# + *#

����

����� ���

* " �# �"

* # �" .

# > �9 �"

" * �D �*.

����

����� ���

* * "

/ ? ?

? > *

�* �" "

����

�����

���(1� &� � � *� "� � � � � ?� �� �� ���� �� �� ������ �� �� �� ������ ���������� �� � ������� �� ��� �� ����������� �������

�� � �* * . " #

* " . " ?

* # . " 9

��

��� ��� � �

* " * . "

* " # . /

* * ? . "

��

���

���(6� )� �� � �* " * # * +

" / # > # D

* " " ? # **

/ > + *+ 9 "+

����

����� ��� � �

* " " * " *

" / ? / ? ?

* " # / / +

# + 9 9 D *.

����

�����

&� ��� ����� ��� +*� � � � �++ ��� ��� ���������

��� &�� ��� �� ��������� ��� ' �

���� &�� �� ������� ���� � ���� ������������ �� �� ��� ��������

����� &�� ������� ����� ��� ++� ���� ��� � ����� �� �� ������ �����

���� %���� ++ �� � ���� ����������� �� �� ����� ����� ������ �� ������

25�4� /- 6%2�37 84�2%8 *+?

Page 167: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

���(9� H���� ����� �� �� ��������� ������ ��� �� ��� �� �����

� � * �" �*

# �/ ?

� �� � � * �* "

" # �*

� �� + �

* �* #

" �* *.

# �? *

��

��

���(:� H���� ����� �� �� ��������� �������� �� �# � � �������

!* � �����*� *��*� "� #��*� #� *��?�� !" � �����*��*��#� #��"��>� "� *��#�!# � �����*� *� *� *��*� #� #��*� 9�

���(;� H���� ����� �� �� ��������� �������� �� �/ � � �������

!* � �����*� "� *� /� "� /� *� ?� #� +� "� D�� !" � �����*� "� *� "� "� /� *� #��!# � �����*� "� #� *.� "� /� #� **�

����(� &�� � ����� �� ��� �� �� ���� �� ���� �� ������ ���� �� ��� ����� 0�

�� ' �. . # * /

* # * " *

# D / ? "

/ *" > > 9

����

����� ��� ' �

* " * . *

* " " * #

# + ? " 9

" / * �* .

����

�����

������ 8��� ���� �� ��� �� �� �� ��� � ����� �� ����� ���������� �� ���������� ���� ��� �� ������������ �� ����� �� ����� ���������� �� ���������� ����

������ )� � �� � � ������ �� � ������� 8��� ���� ��;�� � ��;� � ��;��

������ )� � � ��;�� �� &�� " � " ������ � �� � ���� �����

�� � � ��;�� ��;���@ ��� � � ��;� � ��;�@ ��� � � ��;�� ��;����

���- ����� ���- �������������

������ 8����� ! �� � ���� ��������� �������� �� #� 8��� ���� ! � �� �.��

����1� 8����� ! �� � �������� �� � ���� ���� ��! � /� �� � ?� �� ��� � 9� &�� �� ������� �������� �� ! � �

����6� )� ! �� � �������� �� �# �� ����� ��! � *� �� � "� �� ! �� � 8��� ���� �# � ! � �

����9� 2���� �� ��������� �������� �� �?�

! � �����*��*��*��"� .� *��"��"� .��#� *��*��"��"� *� � �����*��"��#� .��"� *��*��#� "��/� *��*��"� "��?�

�� &�� ��� ��������� ������ ���� �������� ����� � ! �� � ���������

��� &�� � ����� �� �� ������� �� ! � �

����:� )� !*� !"� !# � �� ��������� �������� �� �#�

!* � �� �� � � � ��� !" � �� �� � � � �� � � .�� !# � �.� .� ��8��� ����� �� �# � !* � !"� ��� �# � !" � !#� ��� �# � !* � !#� <�� �� �� ��� ���K

*++ 6%2�37 84�2%8 ,25�4� /

Page 168: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

����;� 8����� ! � *� " � �������� �� � ���� ���� �� 8��� ����

! � * � ! � " � ! � * � "&�� �������� �� �" �� ����� 1������ �� ��� ��� �

����(� 8����� *� "� � � � � � � �������� �� � ���� ���� �� 8��� �����

�� ���� *� "� � � � � � � * � " � � � �� ����� '� #� ����� � �� � � *� � � � � �� ��� #* � #" � � � � � #� ����� * � " � � � �� ��

������ 8����� � � ! � � 8��� ���� ��� � ��! � �� �

������ )� # �� & � ������ ������� ������ ���� �������� ��������� �� � ���� ���� � �� �� � � ������� �� ��� # � & �� �� ����� �� ��� �# � �� ���

# � & � �� � � � � #� � � &�� �# � ��� � � � #�,< ���� ��� � # �� � � � #�- )�

# � �*� "� "� #�� & � �*� /� *� ?� "� ?�� � *� *� � � #

&�� � �� # � & � ��� � #� ��� �#� ��� �& � ��� �# � �& � � � � �# � & �

������ 8��� ���� �� ���� �������� �� # � & �� �# ��������

�� 2��������� ���� # � & � & � #���� ���������� ���� #* � #" � ## � #* � #" � ##���� H��������� ���� �# � & � �# � �& �

��� # � �.� � �.� � # � # �� # � � � � � # � ��

������ )� � � �� ���� ���� �� ���1�� ������� )� ! � �� ������� �� ��� �������� ������� �� �� � �� ������� �� ��� �������� ������� &�� � �� ! � � ��� ! � �

����1� )� � � �� ����� ��� ��� �� ���� ����� ! �� �� � �� � �8 4���� /�9+�� )�

�! � ��� . � � � !� �� � � �.� � � �8��� ����� �� �! �� � � �������� �� �� ��� � � �! � � �

����6� 8����� � � ! � � )� �� � �� ����� ��� ��� �� ! �� � 8��� ���� � �� ��������� �� �� �� �� ������ �� � � �� � �� �

����9� (� �� ������ �� ���� �� ���� /�""� ��� ���� /�"#�

����������

����:� �� ����� �* � *��" �� �" � /��9 ��� � ����� # �� �"� &�� �� ��� ���� ���� ��� �� � ����� ��# ��� �� � � ?� #� ��� � � � ��

����;� �� ����� �* � *� "� .� �" � *� #� "� �# � .� *� # ��� � ����� # �� �#� &�� �� ��� ���� ���� ��� ��� ����� �� # ��� �� � � "� 9��/� ��� � � � �� ��

����(� # � ��# � �"� �" � �� � � *� *� �� � ����� �� �#�� &�� �� ��� ���� ���� ��� �� � ����� �� # ����� � � "�# � �" � /� � "� ��� � � �# � ��" � �� � ��

25�4� /- 6%2�37 84�2%8 *+9

Page 169: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

������ )� � � �"�"� &�� �� ��� ���� ���� ,�- �� � ����� �� # ���

# � * *

* *

� ��

* � *

* *

� ��

* .

. .

� ��� � � # �?

+ 9

� �� � � � �

� �

� ��

������ &�� �� ������� �� � ����� �� �� ������� �� �#� ����� ��

� � �# � "�" � #� � /� � � "�# � ?�" � /� � 9� � �# � /�" � � � "

������ &�� �� ������� �� � ����� �� �� ������� �� � � �"�# ����� ��

� � * " *

# * "

� �� � � " / #

9 ? +

� �� + � * " #

? 9 +

� �

������������ ���,����

������ ���� �� � ����� '� ����� ��� �� ���� � �����������

�� '� �*� �"� �# ���� �� ��� ��� � #�

��� '� � �� � / � > ������ ��� ��� ��� ������� � ������ �� ���

��� '� �*� �"� �# � ������ �� �� ��� ��� �*� �"� �#� � ������ �� ���

��� '� �*� �"� �#� �/ � ������ �� �� ��� ��� ��� � /�

��� '� �*� �"� �# ���� �� ��� � �*� �"� �# ���� ��

� � � '� �*� �"� �#� �/ � ������ �� �� ��� ��� �*� �"� �# � ������ �� �� ���

����1� ���� �� � ����� '� ����� ��� �� ���� � �����������

�� '� ��� ������ �� �� ��� � ����� �� ����� ���� ��� �� ������� ����� �� ����� �� ����� ����

��� '� ��� ������ �� �� ��� � ����� �� �� ��������� ���� ��� �� ������� ����� �� ����� �� ����������� ����

��� '� ��� ������ ������� � ����� �� �� ��� � ����� �� �� ��������� ���� ��� �� ������� ����� ���� �� ��������� ����

����6� H���� �� ������� �� �� ���� ���� �� �� ��������� ���1�� �������

�� ������� ������� ��� ����������� �������

��� ������� ������� ��� ����� �������

����9� )� �*� �"� � � � � �� � �������� �� �� � ��� �� � )� � � �� ��������� �� �� �������� �� � � �

*�* � "�" � � � �� ���H�� � ����� �� � �� ����� �������������� �� � ��

*�* � � � �� ��� � �*�* � � � �� ���� � * � �*�* � � � �� �������*�* � "�" � � � �� ��� � �*�* � �"�" � � � �� ����

8��� ���� � �� � ���� ���� �� ���� �� ���� ��������� ����� ���� ���� ��*� � � � � ��� �� � ����� �� ��

��

�$ � .�* � � � �� .�$�* � *�$ � .�$�* � � � �� .��

*+> 6%2�37 84�2%8 ,25�4� /

Page 170: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��*8��* �� �'!!$�����"�% ���+$��*

��9�� �� �* � "+�� ""�� ��� �� ��� 9�� > �� ��� �� � �� �" �� ��� �� ���� �# � "#�� ?�� ��� H������� �� � �� ��� �� � �� �/ �� ��� ��

��99� �� I�� ��� =�@ ��� *� "� # � ��� �"*� "� # �� ���� =�@ ��� *� .� .� .� *� . � � ��� ��� ��� ���� ��� I����� =�@ ��� *� *� * � � ��� "*� *� * �� � � � � I�

��9;� �� $� ���� . �� ��� � ��������

��:�� �� � #�* � �"� ��� '��������� ��� � � **?� ��� 9� ?�� � � .

��:�� (���� � � ��* � ��" � ��#� � �� � � � � � "� �� � � � �� �

��:1� � � "� ?� .

��:;� �� H�� ��� ��� '� �� ��

��;(� �� '� �� ��� ��� H�� ��

��;9� �� �*� �"� �#� �/@ ��� �*� �"� �#@ ��� �*� �"� �#� �/@ ��� �*� �"� �#

��;:� �� ��! � #� ��� �� � "� ��� ��! � � *

��;;� �� A����� �"��*� .� .� .� /� .� *��*� .� #� .� *� .� *�@ �� � #���� A����� �"��*� .� .� .� *� .� *� .� .�@ �� � "

���((� �� ?�� �� �� � � .� �� �� �� � � .���� "�� � � .� "�� #�� � � .� �� "�� � � .

���(�� �� I�� ��� =�� ���� ����� � �� *� ��� �� �� �������� ���� � �����

���(�� �� �� � "� ��� �� � #

���(�� �� � "

���(�� �� #� ��� "� ��� #

���(1� �� �* � /� �" � ?� �# � �/ � �? � .� ��� �* � /� �" � ?� �# � "� �/ � �? � .

���(6� �� ��� ' � �*� "� .� *� .� #� .� .� *� "� .� *� .� .� .� .� *� "� .�@���� +"� +/� ++@ ����� +*� +#� +?@ ���� ++ � #+* � +# � "++�

��� ��� ' � �*� "� .� .� #� *� .� .� *� .��*��*� .� .� .� *� *� "� .�@���� +"� +?� ++@ ����� +*� +#� +/@ ���� ++ � +* � +# � "+/

���(9� � �� + � �� 1������� ��* . 9

. * /

� �� ��� ��� �

���(:� !* �� !" � �� 1������� ��* . �"

. * *

� �� ��� ��� !#

���(;� !*� !"� !# � �� 1������� ��* " . *

. . * #

� �

25�4� /- 6%2�37 84�2%8 *+D

Page 171: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

����(� �� ��� *� #� *� "� *� .� .� *��*��*� .� .� .� /� 9@ ���� +*� +"� +?���� ��� *� "� *� .� *� .� .� *� *� "@ ���� +*� +#

������ �� � � * *

. .

� �� � � �* �*

. .

� �@ ��� � � * .

. .

� �� � � . "

. .

� �@

��� � � * .

. .

� �� � � . .

. *

� �

����1� ��! � � "� #� � /

����9� �� ���#�� /�� �� � � .

/�� "�� � � .����

/�� "�� � � .

D�� "�� �� � � .

��� A����� �*��"��?� .� .� .� .� *� .��*�@ ��! � � "

����:� �� ��� �� ��� �� ��� �� ���

����;� '� �"� �� ! � �� �� ��������� �� ��� � � �� �� ������� �� �������

������ �� �"� +� "� 9� #� 9� #� >� /� >�@ ��� �"� #� #� /�@��� �#� +� +� D�@ ��� �#� *"� #� *?� +� *?�@�� �� � � �+� *>� +� "*� D� "*� D� "/� *"� "/�

������ �� H������� ������� ��� �

����:� �� ,�/*� **-� ��� ,�9� /�� "� �-

����;� �� ,�**� *#��*.-� ��� ,�� #�� 9� ��� #�� +� �� "�� /-

����(� �� ,"��*��"� "-@ ��� ,� �� �� �� �� � � � �� �� -

������ �� ,9��*��*#� *.-@ ��� ,�� �� �� �� �� �� � �� "�� "�-

������ �� � "@ ������ ��# � "�" � #� � /� �" � "� � *�

������ �� � "@ ������ ��*� "� *� #� *� "�� �.� .� *� *� #� "��

������ �� &���@ �*� *�� �*� "�� �"� *� ���� �"� ��� ������ &���@ �*� .� .� .�� �.� *� .� .�� �.� .� *� .�� � .� .� .� *���� ��� ��� ��� � � � ��

����1� �� ��� ��� &���@ ��� �� +" ���* . #

. * "

� ���� ���

����6� �� *"��� *� ��� *

"��� *� ��� �� ��� *

*9. 6%2�37 84�2%8 ,25�4� /

Page 172: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

5. Linear Mappings Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

������� �

�� � � �����

��� ����������

��� ���� ���� �� �� �� ������ ������ �� �� � �� �� ������ �������� ��� ���� �������� � ��� ������ �� �� ������ ���� ���� �� �� ������ � � ���� ������ ���� ��� �� ��� ���� �� ����� ��� ������ � �������� �� � �� ������ ���� � �������� �� ���� �� � � � �� �� �������� �� ��������

��� �������� ��������

�� � ��� � � ��� ���� ������ � �� �� ������ � ���� ������ �� � ���� �� �������� � ���������� �� �� �� ������ ��� � �� ��� ��������� � �� ������ � ������ �� ���! ���� � �� � �� ��� ������ �� �

� � � � �

��� �� � �� ������ �� ����� �� �� �������� ��� � �� ������ �� �� �� ���� "� ��� � � ���� ���� ##� �� �$$���� �� ���� ������ �� � �� � ������� � � � ��

%�� ��� ���� ���� � ������� � � � � � �� � ���� �� �� � ��� ���� ��� ���� � � �� ������� ����� � � � ��� � ��

������� ��� ��� �������� �� ��� ����������� �� � �� ���� �������� �� ���� ���� �� �������� �� ���� ##��� ���$$ ��� � ����&����� �� �������&����� ��������

'������� � ������� � � � � �� (� �� �� ��� ��� �� �� ��� � ���� ���� �� �� �� �� ������ �������� � �� ��� ��� �� �� �� ��� ��� �� �� ��� � �)���� ���� �� �� �� �� ������ � �� �� ���� �� ���������� ���� �� �� ��� ���

� ���� � � � ��� � � � �� ��� � �)���� � �� � � � � ��� � ��"� ���� � ���! �� ���� �� �� ��� � �)���� �� ���� �� ���� �� � ����� �� ��� (� ��� ������ �� �� �� ���������� ����� � ���� �� ������ �� ����� �� ��� �� ��

�� ���� ������� � � � � � ���� ����������� �� ��� �� � � ����� � ���� � ���� � � � �� "� ���� ��� �� �� ��� �� � � ��� �������� � � � � � ��� � � � � ��� ��*��� � � ������ ��� �� � � � ��� ��� � ��� ��� ����� � � �� �� ��� �� ��� ���� �� ���� ������ ��� �� �� �� ��� ������ � ���� ���� ��� ��� � � ������ ��� ���� ��� �� � � �� ��� �� � �� ��� �� �� � � ���� +

����� ���� � �� � � � ��� ����� � ��� �� ����

),)

Page 173: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

5. Linear Mappings Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

���� ���� �� ##�����$$ ����� �� �� ��� � ���� � �� ����� �� �� ��� ���� ������ � � � ���� �������� � � � � � � ��� ���

� �� � ������� �� ���� �� �� �� �� ��������� ��������

������� �

�! �� � � � � � � �� ��� ��� �� ������� � ���� ���� ���� � � � ����� �-� "� ��� ���� � ��� ��� ��� ���� ���

� ��� � �- �� � �� �-

.��� �� ����� �� �/ �� 0� �� �� ��� ��� � � ��/� � 0� .������� � �)�0� � �/��/� 1����� ��� � 2��� � �� � � � 2 �� �� ����� �� ��

�! �� � � ��� �� �� ��� � � ��� �� �� �� ���� �� ��������� ��*��� � ������� � � � � �+

� ��� � �� � ��� � �� � ��� � �� � �� � � �� � � ���� ��� ��� ��� ��� ��� �� ����� *�� ��*��� �� ������� ������� ��� ��� �� ������ ��*��� �� ������� � � � ������ .����

� ���� �� � � � � ���� � ���� � �� � ��� �� � � ��� ��� �������� � ��� � ��� �� � �� �� ����� �� ��

������� �� �� � � �� ��� �� ����� �� ����������� ���� �� ��� �� ���� � /�- � 3� � -�

�! ��� ������ ��� ��*��� � ������� � � � � ������ ��� ��� ����������� � ���� �� ���� � � � � � ��� ���

��� � �/�- � 3� � -� � 4� � 3

�! ��� �� ������ ��� ���� 2 � )� ��*��� � ������� � � � � �� ��� ��� ��� ��� ���������� � ����

�� � � ��)

2

� ��� �� ��� �� ���� ��)

2

�/�- � 3� � -� � )-

%����� �� �� ������� �� �! �� ���� �� ��� �� ����� � �� � �� ������ *��� �� ������� �� ������� �� �! �� ���� �� ��� �� ����� � �� � � �����

����� ����� !

�� � � ��� � � �� ��� ���� �� ���� � �� ������� � ������� �� � �� � �� �

����� � ��

����� �� ��� ��� �� �� ��� �� ��� ��� �� �� ������� ��� �������� ������

� � ) �5 3

- / �4

� ���� � �

)

/

�3

��

��

���

����� � �� � ) �5 3

- / �4

� � )

/

�3

��

�� � �/4

5)

� �

������� ��� �� � ����� ������������ �� ����� ������ �� ���� � �� ������� �� � �� �� �� �� ������ ����� �� ��� ��� �� �� ����

),- �(6718 91::(6;� <'.1:� 3

Page 174: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

5. Linear Mappings Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

�"��"!���"� "# ����� !

'������� �� �������� � � � � � ��� � � � �� ���� �� �� ����+

���� � �� �

��� ����������� �� � ��� � ���� �� � � � � �� �� ������� � � � � � � ��*��� �

� � � ���� � � � ������� ��� *�� �� ����� � � � � �� ��� ��� �� ����� � � ��� � � � �� � � ���� � �� =������ � ��� ��##���� ���$$� �� ������� ��� ����� �� *�� ��� � � � � �� �� � � � ��� � � ���� � � ��� ��� ����� � ��� � �� �� � � � � ���� � � ���� �

%� *�� ������ ���� � �� �� ������� ��� �� �������� �� ��*�� �� ������� ��� ����

�$�"��� ���� �� � � � � �� � � � �� � � � � �� ����

� � � � � � � �� � � � �

"� ����� ��� ������ ����� �� � � �� ����

�� � � � � ����� � ��� � � ����� � ��� � �������� � � � � ���� � �� � �� � ���� � ��� � �����

��� �� � � � � ����� � ��� � � � � ���� ��� ����� � � �� ��� �� � � � � � � � �� � � � ��

���%�"%��� ��& ���" ����� !

"� �������� �� ����� ���� ������� ���� �� ���������

�'����"�� 1 ������� � � � � � �� ���� � � ���������� �� )&) �� �� ������! �� �������� ������ � �� ����� ��� ��� ������� �� ��+

�)� (� � �� ��� ��� � ��� �� � �����7������� ���

�-� (� � ��� � � ����� ��� � � ���

�'����"�� 1 ������� � � � � � �� ���� � � ���� �� � ���� � �� � � �� �� ������! �� ����� � � � �� �� ����� �� � ���� ��� � � ��

�'����"�� 1 ������� � � � � � �� ���� � � � ���������� �� ��������� � ���� � ��� � ���� ������! �� � �� � � ���& �&��� ��� �� ��

������� �� �� � � � � �� � � � �� � � � � � � ��*��� �

� ��� � -�� ��� � �/ � �� ���� � �-

��� ������ �� ���� ��� ���� ��� ����� �� ���� 3&)� ��� ��� ��� � �� ���& �&���� ;���� �������� ��� ����� �� ��������>�� �� ���� ���� �� ��� ��� ���� ��� ��� ���� �� �� ��� ��� ��� �� �� �� ;���� �������� ��� ����� �� ��������>�� �� ���� ��� ���� � ���� ��� ���� �� � ��� ��� ��� � �� ��� ��� ���& �&��� ��� �� �� ��� �������� � � - ����- ���� �� ���� ����� 5� ��� �)4 ��� �� ���������

�&�����( ��& ��)��!� ����� !

�� � � ��� ������ � �� � ��� ������� � � � � � ��*��� � � ��� � �� �� ��� �� ��� ��� �� ������� � ���� ������ �� � � ����� �� ������ �� ������� ������� ( �� ����� ���� �� � �� �� � �� !����� ��� ��� � � �� �� ���� ����� � ��

'.1:� 3? �(6718 91::(6;� ),/

Page 175: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

5. Linear Mappings Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

6�� �� � � � � �� "� ���� � � � � �� ������� �� �� ��� �� � �)� ��

� � � �� ��� � � � ��

"� �������>� �� � ��� �� ������� �� ��� ���� �� � �� � ���& �&��� �������������� � ���� � ��� �� �� ��� � �� ���& �&��� ��� �� � :����� 3�,!� 1���� �� � � �� ��� � �)��� � �� ����� � �� �� ���� ������ �� � ��� ����� � ��� � ��

��* +��,�� ������� -+��,�� �������� ������.

"� ���� �� � � ��*�� ����

�'����"�� �� � ��� " � ��� �� ������ ���� �� ���� *��� � � 1 ������� � � � � " �� ������ � ����� ������ �� ����� � ����� ������ �� � �� ��*�� �� ��������� �� ����� ����+

)! ��� ��� ��� ��� ��# � � � ���� #� � ���� � ��#�� -! ��� ��� ������ $ ��� ��� �� � � �� ��$�� � $�����

6������ � � � � " �� ������ �� � ##���������$$ �� �� ���� ����� ���� �� � ��� �� ������ �� �� ��� ������ ��� ��� �� �� ������ �� ������ ����

�� � ��� $ � 2 �� � ����� ��� -!� �� � ��� ��2� � 2� ���� ����� ������ ������� �@�� �� >������ �� �� � �� >��� ��� ���

6�� ��� ��� ������� �� � � � ��� ��� ��� �� ��# � � � �� � ���

����� �#� � ����� � ���#� � ����� � ���#�

9��� ���������� ��� ��� ������� �� � � ��� ��� ��� �� �� � � � �� � ��� �� ��������� ���� ������ � �������� ��������+

���)�) � �-�- � � � �� ����� � �)���)� � �-���-� � � � �� �������

������ �� 1 ������ ������� � � � � " �� ������ ��� ������ ���>�� � �� ����� ���

����� �#� � ����� � ���#� �A�

��� �� ��� ����� ��� �� ���� ���� ��� �� � � ��*� ����

������ �� ��� ��� ����� � ����� ������ �� ��� ��� ������ ������� �� ������ �� ��� ��� �������������� �� �� ���� � � �� � ���

�� � �%�

),5 �(6718 91::(6;� <'.1:� 3

Page 176: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

5. Linear Mappings Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

������� �

�! �� � � �/ � �/ � �� ##������ ���$$ ������� �� � �� ��&������ �� ��� � �� �� ������� ��*��� ����� �� �� � ��� �� 2�� "� ���� �� � �� ������� �� � � ��� �� �� ��� # � ���� ��� ���� ����

���� #� � ��� � ��� � � ��� � � ��� � �� � ��� � � ��� 2�� ��� �� 2� � ���� ��� 2� � ���� � ��#�

���� ��� ��� ������ $�

��$�� � ���$�� $�� $�� � �$�� $�� 2� � $��� �� 2� � $������� � �� �������

�! �� % � �- � �- � �� ## ������ ���$$ ������� ��*��� � %��� �� � �� � )� � � -�� <��� ��� % ���� �� ��� �� )� -! � ��� ��� �� � � ��� �� �� �-�? 6� � ��

%�2� � %�2� 2� � �)� -� �� 2

��� �� >��� ��� �� �� �� ������ �� � �� >��� ��� ��� .���� % �� �� �������

������� �� B����� ��� ��� (� ����� 9�������! '������� �� ��� �� ����� � � ���� �� ����������� ���� �� ���� *���

�� �� ���� ��� ���� � ��� ����������� �� � ��� �� $ � ��� �������

�! �� � � � � � �� ������ ��� �������� %�� ������ �� ������ ��

�� � ���

� �

�� �

����

�$���

� $�

��� ��� �� � �� � ��� � ��� ��� �$�� � $���� ��� �� ������ ��� ������� �� �������

�! �� � � � � � � �� �� ����� �������� ���

�� � ���� ��)

2

� ��� �

%�� ���� ������ �� ������ �� � �)

2

����� � ������ ��)

2

���� � ��)

2

���� �

��� �)

2

$���� � � $

�)

2

���� �

��� ��� ��� � �� � ���� � ���� ��� ��$�� � $����� ��� �� �� ����� ������� �� �������

������� �� C��� ��� (��� � � 9��������!

�! �� � � � � " � �� ������� �� ������� �� >��� ��� �� 2 � " � ����� ��� �� � � �� ����� ��� ��� ��� �����# � � ��� ��� ������ $ � �� �� ����

���� #� � 2 � 2 � 2 � ���� � ��#� ��� ��$�� � 2 � $2 � $������� � �� ������� "� ���� � �� �� � ������� ��� �� ����� ����� ���� � � � 2�

�! '������� �� ���� � � ������� ! � � � � � ����� ���� ���� � � � �� � � ����� ����� ��� ��� ��� ��� ��# � � ������ ������� �� � � �� �� ����

! ���� �#� � ��� �# � �! ��� � �! �#���� ! �� �������

%� ��� ������ ������ �� :����� 3�)/! ����� � �� ������� �� �������� �� ������ ��������� (���� ������ � ���� � �� � ������ ������� �� ������ ��� �� ������� � � � ����� �� �� ������ � �� � �����

�$�"��� ���� �� � ��� " � ��� �� ������ ���� � *��� � � �� ��)� �-� � � � � �� � � ���� �� � ��� �� �)� �-� � � � � �� � ��� ��� ��� �� " � ���� ���� ���� � � ���� ������ ������� � � � � "��� �� ���)� � �)����-� � �-� � � � ������ � ���

'.1:� 3? �(6718 91::(6;� ),3

Page 177: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

5. Linear Mappings Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

"� �������>� �� �� ��� ��� �)� �-� � � � � �� �� ������� 3�- ��� ������ ��� ��� ����� ��� ��� ��������� �������� �� ��� ��� ���� � ���� � ���� � ����

����/�! �! +����� ����� !

�� � � ��� ���� � � �� ���� 8����� �� � �� ������� � ������� �� � �� � �� � ����� � �� ����� �� ��� ��� �� �� ��� �� ��� ��� �� �� ������!� "� ���� �� �� ������� D� �� ��� �� ������ ����

����� #� � ���� #� � ��� �# � ����� � ���#����$�� � ��$�� � $���� � $�����

(� � ��� ������ ���� � � �������� �� �������� �� ����

���� #� � ��� �# ��� ��$�� � $������� �� �� ��� ������� � �� �������

0�/�"� ���/� �!"�"��$�!�

��� �� ��� �� �� ��� �� ������ ���� ���������� ��� ��*��� �� '��� �� 5 ���� �� ����� ��� �� ���������� �� �� � ��� �� ���� ��� � � ����� "� ��� ����*�� ��� ������ �

�'����"�� ��� ��� �� ������ � ��� " ���� � ��� ����� ����� ��� �� � � " � �� ���� ���� � � ���� ��� ���& �&��� ��� �� �! ������ ������� � � � � " � ��� ������� � �� ��� ������ ������� ����� � ���� � ��� " �

'������� ��� ��� �� ����� � �� ��������� � ��� �� & � ��� ���� �� �� ���� �� �������

� �� ��&����� ���� ���� ��� �� � � � �� � � � �������� � ��� �� ��&� �� �� ����������� � ���� � ��� ���

��1 2,��,+ �� � ��, �� � +��,�� ������

"� ���� � ��*���� �� ������ ��

�'����"�� �� � � � � " � � ������ �������� ��� $� ��� �� �� ��� �� E�� �� �� �� �� �� ������ � ��� �� ��� �� � �� >��� ��� �� 2 �� " � �� ���

E�� � � �� � � � ���� � 2��� ���� �� ���! �� �� ��� �� (� �� �� �� �� �� ����� ���� � �� " � �� ���

(� � � �� � " � ���� ���� � � � � ��� ����� ���� � ���� ��������� ������ �� ������ ������ :����� 3�--!�

�$�"��� ��*� �� � � � � " � � ������ �������� ���� �� @����� �� � �� � ������ �� � ��� ������� �� � �� � ������ �� " �

6�� ������ �� �)� �-� � � � � �� ���� � ��� �� ����� � ��� �� � � � � " �� ������� "� ���� �� ���)�����-�� � � � ������ ���� (� �� �� � � (� �� ���� ���� ���� � � � � ��� �� ���� � �� ����� �� �$����� � ��� ����� � � �� ���� ���� ������� �)� �-� � � � � �� ��� �����

� � �)�) � �-�- � � � �� ����

����������

� � ���� � ���)�) � �-�- � � � �� ����� � �)���)� � �-���-� � � � �� ���������� �� ��� ��� ���)�����-�� � � � ������ ���� (� ��

),4 �(6718 91::(6;� <'.1:� 3

Page 178: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

5. Linear Mappings Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

"� �������� � � � �� ���� ���� �

��"�"!���"� ��1� ������ �)� �-� � � � � �� ���� � ��� �� ����� �� ��� ������ � � � � " �� ������� �������)�����-�� � � � ������ ���� (� ��

������� ��

�! �� � � �/ � �/ � �� ������ ��� �� � ��� �� � �� � �� ��&����� <�� ��� ��� �� ���� 3&- �!?� �� ��

���� �� �� � ��� �� 2�

'������ �� ����� �� � �� �� �� ��� ��&������ ����� ���� � �� �� ���� �� �� 2!� 9�������� �� @����� �� � �� ���&����� ����� ���� � �� �� ���� 2� 2� �!� ��� ���

(� � � ���� �� �� � � � 2 � ��&����� ��� E�� � � ���� �� �� � � � 2� � � 2 � �&����

�! �� % � �/ � �/ � �� ������ ������� �� �� � �� � ��� �� � �� �� �&���� ����� �� ����� � <�� ��� ��� ������ 3&- �!?� �� ���

%��� �� �� � �� ��� �� � ��� �� � ��� �� � ��� �� ��

%����� �� �� ��� ���� �� � ��� �� � ���� �� ������ ' ���� �� ������ ���� �� �� � ���� ��� �� ���� �� >������ �� 2 �� ������ �� � �� >��� ��� �� 2� ��� E�� % � �2� %� �� � ��� ����� ����� ��� �� � �� �/ �� ������� �� � ��� �� � �� �/ �� ��� � � ����� � �� � ��� � ��@ � �� ����� �� �� ��� (� % � �/� �� �� ���������

������� �� '������� �� ��� �� ����� � � ���� �� ����������� ���� �� ���� *��� �� ��� �� ( � � � � � �� ����&

������ ��� ����� ��� �� ��� ( � ���� � /� ��/� <���� ���� �� �� � ��� / �� ��� ��� (� ����� �� �� ������ ���

����� ���? "� ����� ��

E�� ( � ������������ �� ������ � - � �-��� ��� (� ( � �

��� *�� ����� ���� �� ��� �� (���- � �� � �� � 2 (���� �� 2 ��� � � /� ��� ������ ����� ���� �� ��� �� ����� ���������� ��� �� � �� �� ���� ������ ��� �� ���� ���������� � ��� ����� ��� � � ����� � �@��� �� �� �&������ ��� �� ��� ���� ����!�

z

y

x

0

( )a

v = a, b, c( )

F = a, b,( ) ( 0)v

�� � �%�

z

y

x

0

G( )v

( )b

θv

'.1:� 3? �(6718 91::(6;� ),,

Page 179: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

5. Linear Mappings Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

2����3 ��& ��� � "# ����� ����� !

'�������� ���� � / 5 �� ��� � ��� �� ��� ���� ��)� �-� �/� �5 �� �5 ��� �� �� ������!+

� ��) �- �/ �5

�) �- �/ �5

�) �- �/ �5

��

��� �) �

)

2

2

2

����

��� �- �

)

2

2

2

����

��� �/ �

)

2

2

2

����

��� �5 �

)

2

2

2

����

��

8����� �� � ��� � ������ �� � ������ ������� � � �5 � �/� ����� �� ��� ��� �� �5 ��� �/ ��� �������� ����� ��� ���� 6�� �� ��� ���� ��� ��� ���� �5� �� ���� ������ ��)� ��-� ��/� ��5 ���� �� ������� �� D �� ��� ��� ��)� ��-� ��/� ��5 ��� ��������� �� ������ �� �+

��) � �)� �)� �)�) � ��- � �-� �-� �-�) � ��/ � �/� �/� �/�) � ��5 � �5� �5� �5�)

��� �� ����� �� � �� ��������� �� ����� ����� �� ��

%� �� � ��� ����� �� @����� �� � ������ � �� ��� ��� ��� � ��� ����� �� � 2� ���� ����� �� ��@����� �� � �� �� ��� ��� ����� �� �� ���������� ��� �� �* � 2� ������ �� ���� ����� �� ��

"� � � � �� ���� ���� � ���������

��"�"!���"� ���� �� � � ��� � � �� ��� ���� � *��� � ������ �� � ������ ��� � � �� � ��� ����

E�� � � �������� ��� (� � � ��������.��� ����� �! ���� �� �� ����� ����� �� �� ��� ����� �! ���� �� �� ��� ����� �� ��

���� ��& �433��( "# � +����� �����

�� � � � � " � � ������ �������� ��� ��$ �� � �� ��*��� � � �� ��������� �� � � ������ ��� ��������� �� � �� ��*��� � � �� ��������� �� � � @������ �������

���@��� � ����(� �� ��� ���� ���� � ����E�� ����� ��������� ����� �� ������ ������ �� :����� 3�-/! ������

�$�"��� ��5� �� � � �� *�� � ���������� ��� �� � � � � " � ������� ����

��� � � ����E�� �� � ����(� �� � ���� ���� � ���@���8����� �� �� ���@ �� � �� ��� � ��� ���� ��*��� � � �� ��������� �� � � ����� ����� ��� ���

������ (� �� ��� ���� � �� � ������ �������� ��� � � ��*�� ���� ����������� ����� �� ����� �� � ����������� � � ����� ������

������� �� �� � � �5 � �/ � �� ������ ������� ��*��� �

���� �� �� �� � �� � � � � � �� -� � -� � /� � 5�� /� � /� � 5� � 3��

�! ���� � ���� ��� �� ��������� �� �� ����� �� ������ *�� �� ����� �� �� ��� ���� ��� ��� �� �5�

��)� 2� 2� 2� � �)� -� /�� ��2� 2� )� 2� � �)� /� 5���2� )� 2� 2� � ��)��-��/�� ��2� 2� 2� )� � �)� 5� 3�

D� :������ ��� 3�5� �� ����� ��� ��� ���� (� �� .���� ���� �� �� ��� + ����� ���� ��� ���� ����� ��� ���

),F �(6718 91::(6;� <'.1:� 3

Page 180: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

5. Linear Mappings Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��� ��� ����� � ������� ����+

+ �) - /

�) �- �/

) / 5

) 5 3

����

�� �

) - /

2 2 2

2 ) )

2 - -

����

�� �

) - /

2 ) )

2 2 2

2 2 2

����

��

��� )� -� /! ��� 2� )� )! ���� � ���� �� (� �� .���� ����(� �� � - ��� ���@��� � -�

�! ���� � ���� ��� �� ��������� �� �� @����� �� �� ��� ���� ���� � 2� ����� � � ��� �� �� ���

���� �� �� �� � �� � � � � � �� -� � -� � /� � 5�� /� � /� � 5� � 3�� � �2� 2� 2��� ������������� �������� � ���� � ���� � ��� � ���� �� ��������� ���������� ��� �� ����� ��� �������� �� E�� �+

� � � � � � � � 2

-� � -� � /� � 5� � 2

/� � /� � 5� � 3� � 2

��

� � � � � � � � 2

� � -� � 2

� � -� � 2

��� � � � � � � � 2

� � -� � 2

��� ���� �������� ��� � ��� �� .���� ����E�� �� � - �� ���� ���� � -�

�! �� � � )� � � 2 � � ��� �� ��� ��� �)� )� 2� 2�� ��! �� � � 2� � � ) � � ��� �� ��� ��� )� 2��-� )��

��� �)� )� 2� 2! ��� )� 2��-� )! ���� � ���� ��� E�� ��

1� ����� �� ���� ������� 3�4� ����(� �� � ����E�� �� � 5 � ����5�

���3�/���"� �" �(!���! "# +����� ,64���"�!

�� �* � � ���� � �� �� ��� ���� �� � ��� �� �� � ������ ��� ���� �� � �@������ 6�� �� �� ���� ��� � ������ �� � ������ �������

� � �� � ��

��� �� ��� ��� �� �� ��� ��� �* � � ��� � ������ �� �� �������� �� �� ��� �� � � �� ���� �������� ������� �� �� �������� �� ��� ��� �� �� ������� �� ���������� ��� ��

�* � 2

��� � ������ �� �� @����� �� �� ������ ������� �� 1������� ������� 3�4 � ��� ���������� ��� ��������

����E�� �� � ��� �� � ����(� �� � � � ���@ �

D � �� ���� �� �� ���� �� �@����� �� �� ���������� ��� �� �* � 2� ��� �� ���� ������ ����������� ������ �� '��� �� 5�

�$�"��� 1��7� ��� ��������� �� �� ��� ��� ����� , �� � ��������� ��� �� �* � 2 �� ��������� ���� �� � � � � � ����� � �� �� ���� �� �@����� ��� �� �� ���@ �� ������*���� �� ��� ��

%����� �� �� ���� �� ���� �� ���� �������� �� �� ������� ���� �� �* � 2� �� � � � � �� ���� �� ���� �� ���� ��������� �� �������� �� � ��� ��� ��� ��� �� �* � 2 �������� �� ������� /�)- ����������� ���������� :����� 5�3-!� 1����������� ����� ��� , � �� ��� ���� � ���� ��� �� ��� �������� ,� ��� �� ���� ���� ������ ������� /�)-�

'.1:� 3? �(6718 91::(6;� ),0

Page 181: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

5. Linear Mappings Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��� ����+�� �� �������+�� +��,�� �������� ��� ���8�� �

�� � � � � " � � ������ �������� 8����� �� ��2� � 2� � �� ���� � � ������ �� �� ����� ������ ���>��� ��� �� � �� 2� �� ��� �� ���� ���� � � �� 2 ��� �� ���� � 2� ��� � � � � " ����������� �� �� >��� ��� �� 2 �� �� ���� ��� �� ����� ����� ���� � �� 2 ��� �� � ��� ������ ��E�� � � �2�������� �� '������� �� ������ ��� ��� � � �/ � �/ ��� �� �� � ��� ��� % � �/ � �/ ��������� �� ���� 3&-� ���

7������ 3�,�! ����� �� @����� �� � �� �� �&����� � �� �������� %� �� � ��� ����� �� @����� �� % ������ � ���� �� �� >���

��� �� 2� ��� % �� �����������

6��������� ������ �������� ��� ���� � ������ ���>�� �� ���� �������� �� ����� ���������� �� ��� � ���������� �� �� �����*������ �� ����� :����� 3�-F! �� ��������� �������

�$�"��� ��9� �� � � � � " � � ���������� ������ �������� ���� �� ����� �� ��� ������������������ �� �� �������� ���������� �

�!"�"��$�!�!

������ � ������ ������� � � � � " �� ���& �&���� ���� ���� 2 � � ��� ��� �� � 2 � " � ��� �� � ������������� ��� �������� �� ���� ��� ��� ������ � �� ���������� ��� ���� � ��#�� ������� #� � ���� � ��#� � 2� ��� ����� �� # � 2 �� � � #� ��� ���� � ��#� ������� � � #� �� ���� �� ���& �&���� ��� �� ���� ������ �� ��������� ������� ����

��"�"!���"� ��:� 1 ������ ������� � � � � " �� ���& �&��� �� ��� ���� �� � �� �����������

8����� �� � ������� � � � � " �� ������ �� ����� ����� �� � �� ������ ��� �� � �� ���� ���� ����� �� ��� ���& �&��� ��� �� �� 1���� ������ �� � ��� �� ����� � �� ���� � � ����� ���� � � ��� �� ����� " ���� �� � � " � �� ���� �� �� ����������� � � � � " �

��� ��������� ������ ������ �� :����� 3�-0! ��������

�$�"��� ��7� ������ � ��� *�� � ��������� ��� ��� � � ��� "� ������ � � � � " �� ������� ����� �� �� ����������� �� ��� ���� �� � �� �����������

��5 ��,������� ;��8 +��,�� �������

"� ��� ��� � ������ ������ �������� �� ������ ���� � � ��� ��� ������ ��������� ���������� ���� ��� ���� ����� �� ��� ���� � ��� ������ �� �� �

�� � � � � " ��� % � � � " � ������ �������� ���� � *��� �� ��� �� � � % ��� �� ����������� $� � ����� $ � � � ��� ��*��� � � �� ��������� �������� ���� � �� � " +

�� � %���� � ���� � %��� ��� �$����� � $����"� ��� ���� �� �� � ��� % ��� ������� ��� � � % ��� $� ��� ���� ������� �����*������ ��� ��� ��� �����# � � ��� ��� ������� �� � � ��

�� � %����� �#� � ����� �#� � %���� �#�� ����� � ���#� � �%��� � �%�#�� � ���� � %���� � � ��#� � %�#��� ��� � %���� � ��� � %��#�

��� �$������ �#� � $����� �#� � $ ����� � ���#��� �$���� � �$��#� � ��$����� � ��$���#�

��� � � % ��� $� ��� �������

)F2 �(6718 91::(6;� <'.1:� 3

Page 182: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

5. Linear Mappings Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��� ��������� ������ ������

�$�"��� ���<� �� � ��� " � ��� �� ������ ���� � *��� �� ���� �� ������ ��� �� ��� ������ ������������ � �� � " �� � �� ���� ����� ���� �� ���� ��� ��� ������ �� ������ ��� ����� ���� �� ����� ���� ��

��� ��� �� ����� �� ������ �������� �� �� ���� ������� 3�)2 �� ����� ���� �� �

.�����" �.��� .�� ����� ���� �� ���� ##������������$$� "� �������>� �� �� ����� �� ������� 3�)2 ������ � ������� �� .�����" � ���� �� ���� �� ���� ������ �� � ��� �� ������ ��� >��� ������ ��.�����" � �� �� �� � ������ ���� � �� � " � ���� �� � < ��� ��*��� �

<��� � 2

��� ����� ��� �� � � �������� � ��� " ��� �� *�� � ���������� ���� �� ���� �� ��������� �������

�$�"��� ����� ������ ��� � � � ��� ��� " � �� ���� ��� .���� �" �� � ���

�"��"!���"� "# +����� ����� !

6�� ������ �� "� ��� , ��� ��� �� ������ ���� �� ���� *��� �� ��� ������ � � � � " ���% � " � , ��� ������ ��������� "� ��� �� ���� �������� �� �������+

� ��� " ��% ,

8����� �� �� ������� ��� ��� ��� % � � �� �� ������� ���� � �� � , ��*��� � �% ������ � %�������"� ���� �� % � � �� ������ �������� � ��� % ��� ������� �����*������ ��� ��� ��� ��� ��# � � ��� ���������� �� � � � � �� ����

�% � ������ �#� � %������ �#�� � %������ � ���#��� �%������ � �%���#�� � ��% � ����� � ��% � ���#�

��� % �� �� ���������� ������� ��� �� ������ �������� ��� �� ����� ���� �� ���� ��� ��� ������ �� ������ ��� ���

���� �� �� ��������

�$�"��� ����� �� �� "� , � ��� �� ������ ���� �� ������ �� ��������� �������� ��� ������+

� � � � " � � � � � � " ��� % � " � , � %� � " � ,

����� ��� ��� ������ $ � �+

�! % � �� � � �� � % � � � % �� �� ��! �% � %�� �� � % � � � %� � ��

���! $�% � �� � �$%� � � � % � �$���

��9 �+�,=�� ��� � �� +��,�� ��,������

�� � � � ��� �� ����� ���� � *��� � � ���� ��� ��� ��������� �� ������� ���� �� ������ �������� ���� �� ��� �� ����� � �� � � ����� �� ��� ������ �������� �� �� ���� � � � � �� ���� ��� ���� ������ ����� ��� ��� � �� ����� � ����� ������� �� �� "� ���� ��� � ��� �� ��� ��� �� .������ �� ��� �� ����� �� ������ ���������

6�� ��� � �� � ��� �� ����� ���� � ������� 3�F!� ���� �� ��� � � �� ��� ��� ��� � � �-� 9����������� ��� �������� ��% � ��� �� �� ������� ��� % �� ���� � ��� ���� ������ � ��� �� ��� �� ���� �##�� ������ ���$$ ��*��� �� ��� �� <"� ���� ���� ��� � �% ��� ��� �� % � � �� �� ����� ��� ��?

'.1:� 3? �(6718 91::(6;� )F)

Page 183: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

5. Linear Mappings Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

������� 1� ���� � � ���� � *��� � �� � ��� �� ����� ���� � �� ����� �� ����� ��� ���� ������ ��� �� ��*��� �� �������� ��� ����� ��%�( � � ��� ����� $ � �+

�! ��% � (� � �% � �( �

��! �% � (�� � %� � (� �

���! $�%�� � �$%�� � %�$������ ������ �� ���� � � ����������� ��� �� ���� ���� ��%�( � ��%(��

��� ���� ��*�� ��� �� �� ������ ��� ������� ������� ���� � �� ��������� ���� �

�$�"��� ���*� �� � � � ��� �� ����� ���� �� ���� ��� � �� �� ������� ��� ������ ���� � �� � ������ � ������� ��� �� ��������� (� ��� � � �� ��� ��� ��� � � �-�

���� �� ��� ��� � �� ������ �� ���� � �� ����� ��� ��� � �� � �

�"3(�"���3! ��& +����� ������"�!

%����� �� �� ���� � � ������� ! � � � � ������ � ��� �� 1���� ��� ��� ������ ����� �� � �� ��� ���� ���� �! � !� � �� "� ��� ���� ���� ##������$$ �� �� 6������ �� ��*��

�2 � ! � �- � � ��� �/ � �- �� � � � � � �� �5 � �/ � �� � � �

�� �������� ��� ��� ���������� ���� ���� �� ����

���� � �2 � �)� � �-�- � � � �� ���-

�� ��� ���� �� ������ ����� �� ���� ��*��� �

���� � �2! � �)� � �-�- � � � �� ����

��� ��� ������ $� �� ����� �� $! �� ���� ���� ���� �� ������ � $�! (� ��� ������ �� ��� � �� � �� � �� ������������ ���� �� ���� � 2�

������� � �� � � �/ � �/ � ��*��� � ���� �� �� � �2� �� ��� ��� ��� ��� �� �� � �/�

�� � ! ���� �� �� � �2� �� �� � ��� �� �� � ��� � � �� � � ���/��� �� �� � �-�2� �� �� � ��2� 2� �� � �2� 2� 2�

��� �/ � 2� �� >��� ������� �� ��� �� ���� ����� � �� � >��� �� �� ���������� ���� � �/�

�64��� ����/�! �! +����� ������"�!

�� � ��� � �� ��� �� ����� �� ��� ����� � � �� ����� ���� �� ���� ��� �� ��� � �� + ��*���� ������ ������� �� � �� � �� � ����� � �� ����� �� ��� ��� �� �� ��� ��� �� �� ������!� ����� ��������� �� ���� �� �� � � ����� �� ����� �� ��� � �� � ������ ����� ��� �� ������ � ������ ��������

������ � ��� � ��� �� ����� �� + � ���� �� �� ��� ����� �� �� ��*���� �� �������� ��� ��� �����! ��� �� � �� ���

������ � ����� � ����� � �����" �� � ��������� � ���� ������

(� � ��� ������ �� �� ��� ����� �� ����������� � �� ������� ��� �� � ��� � �� ������ ������������������� �� �� ��� �� � � � ����������� � �� �� �� � ��� � �� ������ ��������� ��� �� ����������� $� ����������� � �� ������ ����� �� � �� � ������ ��������

)F- �(6718 91::(6;� <'.1:� 3

Page 184: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

5. Linear Mappings Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��)����>3� ������"�! �� ��� �

�� � � � � � � � ������ ����� ��� � �� ���� � � ���� ����� �� � ��� �� �������� �� ��� �� ���� ���� ���) �� ��� � ��� �� ���) � ��)� � ! � %� �� � ��� ����� � �� ����� ��� �� � ������� �� � �� � � ���& �&��� ��� �� �� (� ��� � ����� ��) �� ���� ������ ��� ��) �� �� ������� �� � �� � ������ ����� �� ������ ��:����� 3�)3!�

������ � �� ����� ���� ���� ���� 2 � � ��� ��� �� � � ����� ��� �� � �� ����������� ��� �������� ���� ��� �� ���� � �� ��������� ��������

������� �� �� � � ����� �� ��� �� ����� �� ����������� ���� �� �� � � �� ������� �� � �� ��������� � ) ��

������� �� � �� ���� ��� �� � ����������� �� ��

���2 � �)� � �-�- � � � �� ����� � �2� � �)�- � �-�/ � � � �� ���

��)

���� � �� � ������ ������� ��� � �� ����������� .������� � �� �� �� �� ��� �� � �� �� ����� ����

��� ��� �� ����� � � ���� �� �� ���� ������� ��� ��*�� � ���������� ��� �� � ��� ������������*��� �� ���� � ��� *�� � ���������� 6������ �� ��������� ������ ��������

�$�"��� ���1� �� � � � ������ ����� �� �� � *�� �&����������� ��� �� ����� � � ���� �� ������������ ����� ���� ��� �������� �

�! � �� ����������+ E�� � � �2� ���! � �� �� �� � ��������

��! � �� ���& �&���� ��! � �� ����� ����

��� ����� �� �� ���� ������ ������ ������� ���� ������� 3�4� ����� ���� � ��

��� � � ����E�� �� � ����(� ��D� :������ ��� 3�F� �! ��� ��! ��� �������� � 6� � �� ��! �� �������� � ��! ��� ���!� ���� � ����� �� ������� �� ���� ���� ���� �� �! ��� ���! ��� �������� � ���� �� �� �����

�! ������ �! ������ ���� ����E�� �� � 2� ��� �� �� ���� ��� ��� ���� � �� ��� � � ����(� ������� ����� � � (� � ��� �� � ��� ������ � �� �� �� � �������� ��� �! ������� ���!�

�! ������ ���! ������ ���� � � (� �� ��� �� ��� � � ����(� ��� ��������� �� ���� ��� ��� ����� �� ����E�� �� � 2� ��� �� � �� ����������� ��������� ���! ������� �!�

1����������� ��� ��� ����� ���� ��� �������� �

������� ������ � �� � ����� � � �� ��� ���� �� ���� � ��� � ������ �� � ������ ����� �� ����� ����� �� ��� *�� � ���������� ������� 3�)5 ����� ��� �� ����� �� ��� �� ���� �� ��� �� ����##����������$$ ��� ##����� ���$$ ��� ��� �� ����������� ���� ������� � ����� �� ������

������� �� �� � � �� ������ ����� �� �� �- ��*��� � ���� �� � �-� � �� /� � -��� �! �� ���� �� � �� ����� ���� �� ���� ���� ���� �� � �� ����������� �� ���� �� � �2� 2� � � ��� ��

���������� ��� ��

-� � � � 2 ��� /� � -� � 2

����� ��� � ��� � � �� � � 2� � � 2� .���� � �� ���������� ��� �� ����� ����

�! �� *�� � ������ ��� ��)� �� �� ���� �� � ��� �� ��� �� ��)��� �� � ��� ��� "� ����

�-� � �� /� � -�� � ��� �� ��-� � � � �

/� � -� � �

����� ��� � ��� � �� ���� �� � ��� � � � ��� � � -� � �� � � �/� � -�� ���

��)��� �� � �-� � �� �/� � -�� �� ��)��� �� � �-� � �� �/� � -������� �� ����� � �� ������ ��� ��) ���� � ��� � ��� ��� �� � ��� ��

'.1:� 3? �(6718 91::(6;� )F/

Page 185: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

5. Linear Mappings Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

�"3)�& ��">3��!

�������

���� � � � ��� ��� ���� ������� �� ���� 3&/ ��*��� � ������� ���� � � ��� �� � �� � � � ��� �� �� �! 6�� ����� �� �� ���� �������� � �� ������ � � ��

�! 6�� ��� ������ �� � ��� �� ��� �������� � � � ��

�! G���

���� �� � � � � � ��� � � � � � ��*��� � ���� 3&5�

�! ���� �� ������� ��� ������� � � � � � � � ��

�! ���� �� ������ �� �� �������� � � � � � �

�! H�� �� ��*�� ��� �� �� ������� ��� ������� � ���� �

� � � � ��� � � � ���� � ��� � �� � � � � ��� � � � ���� � ��� � �

� � � � ��� � � � ���� � ��� � �

%����� �� �� ������ � �� ���� ������ �� �� ##������ �� ������$$ �� ���� 3&5+

� � � � �� � � � � �� � � � � �

�! D� ���� 3&5� �� ����� ����� ���� �� ������� � ��� � ��� �� ��� �� ����� ����� ���� ��� � �� ��.����

(� � � ��� � ��� (� � � � �� �

1���� � ��� �!� �� ����� ����� ���� �� ������� ��� ������� � � ��� � ��� �� ������������(� � � � ��� �� 6� � �� �� ������ �� ��� � � ��� �������� �

�� � �%*

�� � �%1

)F5 �(6718 91::(6;� <'.1:� 3

Page 186: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

5. Linear Mappings Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��*� '������� �� ������� � � �/ � �- ��*��� � ���� �� �� � ���� �-�� ����+ �! ��-� /� 5�� �! ��3��-� ,�� �! ��)�2� 2�� �� ��� ��� � � �/ ��� �� ���� � 2�

�! �� � � �� �� ������ ��� � � �� ��-� /� 5� � �/ � 5� --� � �)-� 5�� �! ��3��-� ,� � ��- � ,� 3-� � ��)5� -3�� �! �� ���� � 2� ����� � � ��� �� ��� ��� ��� ����� ��� �� �� �+

���� �� �� � ���� �-� � �2� 2� �� �� � 2� �- � 2

��� � � 2 ��� �� ��� � � 2 �� � � 2� (� � ��� ������ � � 2� � � 2 �� � � 2� ��� ��� �� �&���� ��� ���&�����

��1� '������� �� ������� � � �- � �- ��*��� � ���� �� � �/�� -��� �� & � �� �� ������ �� �-� �� ��� �� ��� ��� �� �� �- � �- � )� �! B������ ��&�� �! ���� ��)�&�� �! �� �� �! � �� ������ �� ��&�� ���� ���� ���� � ��� �� � & ��� �� ���� �� � ��� ��� .����

�/�� -�� � ��� �� �� /� � �� -� � � �� � � �

/� � � �

-

����� ��� �� � &� �� ��� �- � �- � )� �� ����

-

�-

� �

/

� -

� ) ���-

0� �-

5� )

��� ��&� �� �� ��������

�! �� ���� �� � ��� ��� ����� ��� �� � &� ���� �/�� -�� � ��� �� �� /� � �� -� � �� ����� ��� �� � &� ������ �- � �- � )� ��� �/��- � �-��- � )� 1����������� ��)�&� �� �� ������� 5�- � 0�- � )�

���� �� �� �������� � � � � �� � � � �� � � � � � � ��*��� � ���� 3&3� B� ������ ��� ��� ���� ���� ��� ��� ��+ �! ���& �&���� �! �� �� �! ����� ���� ���� ��� �� ��������

�! ��� ������� � � � � � �� ���& �&���� ����� ���� ������ �� � ��� � �������� ������ ��� ������� � � � � �� �� ���& � ���� ����� � ��� � � � ���� �� ���� ����� 5� ��� ������� � � � � � �� ���& �&����

�! ��� ������� � � � � � �� �� �� �� ����� � � � �� �� �� ����� �� ��� ������ �� �� ��� ������� � � � � �� �� �� ����� ���� ������ �� � �� �� ����� �� ���� ������ �� �� ��� ������� � � � � �

�� ���� �� ��

�! 1 ������� ��� �� ������� �� ��� ���� �� � �� ���& �&��� ��� �� �� .���� ���� � ��� �� ��������

��5� ������ � � � � � ��� � � � �� .���� � � � � � � � � ���� �� :����+

�! (� � ��� ��� ���& �&���� ��� � � �� ���& �&����

�! (� � ��� ��� �� � ��������� ��� � � �� �� �� � ��������

�! (� � � �� ���& �&���� ��� � �� ���& �&����

! (� � � �� �� �� � �������� ��� �� �� �� � ��������

z

y

x

w

B gf C h

5

6

41 a

D

b

c

2

3

A

�� � �%�

'.1:� 3? �(6718 91::(6;� )F3

Page 187: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

5. Linear Mappings Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

�! ������ � � � ���� � � � � ����� ���� � � ���� � � � ����� ����� �� ���& �&���� � ��� � � ���� ����� � �����& �&���� � � �� "� ���� ������ �� � � � ���� � � � � ���� ������� � � �� ����� � � �� ���& �&����

�! ������ � � �� ����� �� �� �� ���� ���� � � � � ��� ����� ��� � �� ����� � �� �� �� ���� ���� � � � �

��� ����� � ��� � �� ��� � � � ���� � � � ���� � ��� � �� .���� � � �� �� ��

�! ������ � �� �� ���& �&���� ���� ���� ���� ��� ��� ������ � �� � � � ��� ����� � ��� � � ���� ���� � � ���� � � � ���� � � � ���� � � � � ����� .���� � � �� �� ���& �&���� ��������� �� � � �� ���& �&���� ��� � �� � ���& �&����

! (� � � �� ��� � � � ���� � � � ���� � ���� .���� � � � ���� � ���� ������ �� �� �� �� ���� ��� ���������� ��� ����� �� � ��� �� � � � ���� �� �������� ��� ����� �� �� �� � � �� �� �� �� 1���������� �� � � �� �� �� ��� �� � �� ��

��9� :���� �� � � � � � ��� �� ������� �� ��� ���� �� � �� ���& �&��� ��� �� ��

������ � ��� �� �������� ����� ���� ���� � � ��� ��� � �) � � � � ��� ����� � �) � � � �� ���� � � �) � ��� ����� �� �� ���& �&���� � �� ���& �&��� � :����� 3�4 �!� ��� ����� �� �� �� �� � �� �� � �:����� 3�4 !� �� ��� � �� � � ���& �&��� ��� �� ��

6�� ������ � �� � � ���& �&��� ��� �� �� ���� ���� � � � �� �� ����� �� � ���� ������ �� �� ����A� ��� �� � ��� � �� ��� � � �A� ����� � ��A� � �� 6�� �� ���� � �� ������� ���� � � � ��*��� �� �� �A� "� ����+

�! � � � ���� � � � ���� � ��� � �A � � ��� ����� � � �� ����� � � � ���

��! � � � ���� � � ����� � � ��A� � � ��� ����� � � �� ����� � � � ���

1����������� � ��� �� �������� ( � ������� �� �� ������� �

��:� �� � � � � � � ��*��� � � ��� � -� � /� 6�� � �� ���& �&��� ��� �� �� ����� � ��� �� �������������� � �)� ���� � ������ ��� � �)�

�� � � �� ����� �� � ���� �� ������� � � �� ��� � � � ��� � -� � /� .���� � ���� � �� ����� �� �

���� �� ������� ������� � �)� ��� ����� ��� � �� ���� �� � �� �� ���� ��� ��� � � ��� � � )-�� � /��

���� �� ������ ��*���� �� ������� ��� ��� �� � �)��� � )-�� � /�� ��� ���� � ��� ��� �� ��

� �)��� � )-�� � /��

+��,�� �������

��7� ������ �� ������� � � �- � �- �� ��*��� � ���� �� � �� � �� ��� ���� �� � �� �������

"� ���� � ���� �� ���� #� � ���� � ��#� ��� ��$�� � $����� ����� � ��� � ��� ��� ������ � �� �-

��� $ �� ��� ������� �� � � ��� �� ��� # � ���� ���� ����

�� # � �� � ��� � � ��� ��� $� � �$�� $��"� ���� ���� � �� � �� �� ��� ��#� � ��� � ��� ���� ���

���� #� � ��� � ��� � � ��� � �� � �� � � � ��� � � ���� �� � �� �� � ��� � ��� ��� � ���� � ��#�

���

��$�� � ��$�� $�� � �$� � $�� $�� � �� � �� �� � $��������� �� #� $ ���� ��� ����� � �� �������

)F4 �(6718 91::(6;� <'.1:� 3

Page 188: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

5. Linear Mappings Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

���<� ������ � � �/ � �- �� ��*��� � ���� �� �� � �� � � � �� -� � /� � 5��� ���� �� � �� �������

"� ���� ��� �� ������ "�� ��� ��� ��� �� ������� �� ������� � ��� � ��� �� �� �� ���� ���� � �������� � � �� �� ��) ���

� � ) ) )

- �/ 5

� �

����� ���� ������ ��� �� �� ������ �� ����

���� #� � ���� #� � ��� �# � ���� � ��#���$�� � ��$�� � $���� � $�������

��� � �� �������

����� ���� �� �� ��������� �������� ��� �� ������+

�! � � �- � �- ��*��� � ���� �� � ���� �� �! � � �- � �/ ��*��� � ���� �� � �� � /� -�� � � �� �! � � �/ � �- ��*��� � ���� �� �� � ����� � � �� �! �� � � �)� -� ��� # � �/� 5�� ��� �� # � �5� 4�� 1����

���� � �)�/�� )� � �/� )� ��� ��#� � �/�5�� /� � �)-� /�.����

���� #� � �5�4�� 5� � �-5� 4� �� ���� � ��#� �! ����� ��2� 2� � �/� 2� 2� �� �2� 2� 2�� � ����� � �������

�! �� � � �)� -� /� ��� $ � �/� ���� $� � ��/��4��0�� "� ����

���� � �)� 3� ��� $���� � �/�)� 3� � ��/��)3�����

��$�� � ���/��4��0� � �/��)3� �� $����1����������� � �� �� �������

����� �� � � �� ��� �� ����� �� �&����� ���� �� ������ �� + � �� ��� ���� *��� �� ��� �� � � �� � � � � � � ��*��� � ���� � �+ � +�� ����� � �� ��� �� ��� �� � � ���� �� � �� �������

��� ��� �� ����� � ��� � �� � ��� ��� ������ $� �� ����

��� � �� � �� � ��+ � + �� � �� � �+ � �+ � +� � +�

� ��+ � +�� � ��+ � +�� � ���� � ������� ��$�� � �$��+ � + �$�� � $��+ � � $�+�� � $��+ � +�� � $������� � �� �������

���*� :���� ������� 3�-+ �� � ��� " � ��� �� ������ ���� � *��� � � �� ��)� �-� � � � � �� � � ���� �� ���� �� �)� �-� � � � � �� � ��� ��� ��� �� " � ���� ���� ���� � � ���� ������ ������� � � � � "��� �� ���)� � �)����-� � �-� � � � ������ � ���

����� ��� ���� � ��� � �� ����� �� �� ������+ )! B�*�� �� ������� � � � � " ��� �� ����� � ��� � � )� � � � � �� -! ���� �� � �� ������� /! ���� �� � �� �����

���� �� �� � � � � ����� ��)� � � � � �� �� � ���� �� �� ���� ���� ���� ������� �)� � � � � �� � � ��� ������ � �)�) � �-�- � � � �� ����� "� ��*�� � � � � " �

���� � �)�) � �-�- � � � �� ����

'.1:� 3? �(6718 91::(6;� )F,

Page 189: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

5. Linear Mappings Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

����� �� �� ��� ����� �� ������� � �� ����&��*����! 6��� ��� � � )� � � � � ��

�� � 2�) � � � �� )�� � � � �� 2��

����� � 2�) � � � �� )�� � � � �� 2�� � ��.����

��� �� *�� � �� �� �� ����� �� ������ ��

���� �� ������ � � �)�) � �-�- � � � �� ���� ��� # � �)�) � �-�- � � � �� ����� ����

�� # � ��) � �)��) � ��- � �-��- � � � �� ��� � �����

���� ��� ��� $ � �� $� � $�)�) � $�-�- � � � �� $����� D� ��*�� ��� �� �� ������� ��

���� � �)�) � �-�- � � � �� ���� ��� ��#� � �)�) � �-�- � � � �� ����

.����

���� #� � ��) � �)��) � ��- � �-��- � � � �� ��� � �����

� ��)�) � �-�- � � � �� ����� � ��)�) � �-�- � � � �� ������ ���� � ��#�

��� ��$�� � $��)�) � �-�- � � � �� ����� � $������� � �� �������

���� *� ������ % � � � " �� ������ ��� %��)� � ��� � � )� � � � � �� ��

� � �)�) � �-�- � � � �� ����

����

%��� � %��)�) � �-�- � � � �� ����� � �)%��)� � �-%��-� � � � �� ��%����� �)�) � �-�- � � � �� ���� � ����

����� %��� � ���� ��� ����� � � � �% � �� ��� � �� ���� ��� �� ������ �� �������

���1� �� � � �- � �- � �� ������ ������� ��� ����� ��)� -� � �-� /� ��� ��2� )� � �)� 5�� <6� � �� ��)� -�� �2� )� �� � ���� �� �-� �� ��� � ������ ��� � ���� � ��� �� ���� � ������� 3�-�? ���� ������� ��� �� �� ��� *�� ���� ���

"�� � ��� �� �� � ������ ������ ��� �� )� -! ��� 2� )! ���� �@����� � ��� ��

��� �� � ��)� -� � ��2� )� � ��� -� � ��� �� � � �� � � -� � �

����� ��� � ��� � �� ���� �� � ��� � � �� � � �� � � �-� � �� ����

���� �� � ���)� -� � ���2� )� � ��-� /� � ��-� � ���)� 5� � ��� �3� � 5��

����� ������ � ������ ������� � � � � " �� ���& �&��� ��� �� �� ���� �� �� ������� ���������) � " � � �� ���� �������

������ �� �� � " � ����� � �� ���& �&��� ��� �� �� ���� ���� ���� ��� ��� �� �� � � ��� ��������� � � ��� ����� � ��� ����� � �� ������� �� ���� ����

���� ��� � ���� � ����� � � � �� ��� ��$�� � $���� � $�

D� ��*�� ��� �� �� ������� ��������

��)��� � �� ��)���� � ��� ��)�� � ��� � �� ��� ��)�$�� � $��

����

��)�� � ��� � �� �� � ��)��� � ��)���� ��� ��)�$�� � $� � $��)������ ��) �� �������

)FF �(6718 91::(6;� <'.1:� 3

Page 190: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

5. Linear Mappings Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

2,��,+ �� � ��, �� +��,�� �������

���5� �� � � �5 � �/ � �� ������ ������� ��*��� �

���� �� �� �� � �� � � � � � �� � � -� � �� � � � � /� � /������ � ���� ��� �� ��������� ��+ �! �� ����� �� �� �! �� @����� �� ��

�! ���� �� ������ �� �� ��� ���� �� �5+

��)� 2� 2� 2� � �)� )� )�� ��2� 2� )� 2� � �)� -� /���2� )� 2� 2� � ��)� 2� )�� ��2� 2� 2� )� � �)��)��/�

D� :������ ��� 3�5� �� ����� ��� ��� ���� (� �� .���� ���� �� �� ��� ����� ���� ��� ���� �������� ���� ��� ��� ����� � ������� ����+

) ) )

�) 2 )

) - /

) �) �/

�����

�� �

) ) )

2 ) -

2 ) -

2 �- �5

�����

�� �

) ) )

2 ) -

2 2 2

2 2 2

�����

��

��� )� )� )! ��� 2� )� -! ���� � ���� ��� (� �� ����� ����(� �� � -�

�! �� ���� � 2� ����� � � ��� �� �� ��� �� ��� ��

���� �� �� �� � �� � � � � � �� � � -� � �� � � � � /� � /�� � �2� 2� 2��� ������������� �� ���� ���� � ���� � ��� � ���� �� ��������� ���������� ��� �� ����� ��� �������� �� E�� �+

� � � � � � � � 2

� � -� � � � 2

� � � � /� � /� � 2

��

� � � � � � � � 2

� � � � -� � 2

-� � -� � 5� � 2

��� � � � � � � � 2

� � � � -� � 2

��� ���� �������� ��� � ��� �� .���� ����E�� �� � -�

�! �� � � �)� � � 2 � � ��� �� ��� ��� -� )��)� 2!�

��! �� � � 2� � � ) � � ��� �� ��� ��� )� -� 2� )!�

��� -� )��)� 2! ��� )� -� 2� )! ���� � ���� �� E�� ��<1� ����� ��� ����(� �� � ����E�� �� � - � - � 5 � ����5� �� ������ �� ��?

���9� �� % � �/ � �/ � �� ������ ������� ��*��� �

%��� �� �� � �� � -� � �� � � �� � � � � -������ � ���� ��� �� ��������� ��+ �! �� ����� �� %� �! �� @����� �� %�

�! ���� �� ������ �� �� ��� ���� �� �/+

%�)� 2� 2� � �)� 2� )�� %�2� )� 2� � �-� )� )�� %�2� 2� )� � ��)� )��-�D� :������ ��� 3�5� �� ����� ��� ��� ���� (� %� .���� ���� �� �� ��� + ����� ���� ��� ���� �������� ���� ��� ��� ����� � ������� ����+

+ �) 2 )

- ) )

�) ) �-

��

�� �

) 2 )

2 ) �)

2 ) �)

��

�� �

) 2 )

2 ) �)

2 2 2

��

��

��� )� 2� )! ��� 2� )��)! ���� � ���� ��� (� %� ����� ����(� %� � -�

�! �� %��� � 2� ����� � � ��� �� ��� �� ���

%��� �� �� � �� � -� � �� � � �� � � � � -�� � �2� 2� 2�

'.1:� 3? �(6718 91::(6;� )F0

Page 191: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

5. Linear Mappings Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

�� ������������� �� ���� ���� � ���� � ��� � ���� �� ��������� ���������� ��� �� ����� ��� �������� �� E�� %+

� � -� � � � 2

� � � � 2

� � � � -� � 2

��

� � -� � � � 2

� � � � 2

�� � � � 2

��� � -� � � � 2

� � � � 2

��� ���� ���� ������� �� �� ����� ����E�� %� � )� �� � � )� ��� � � �) ��� � � /� ��� /��)� )!����� � ���� �� E�� %� <1� ����� ��� ����(� %� � ����E�� %� � - � ) � / � ����/� �� �������� %�?

���:� '������� �� �� ��� ������� � � �5 � �/� ����� � �) - / )

) / 3 �-

/ F )/ �/

��

��� ���� � ���� ��� ��

��������� ��+ �! �� ����� �� �� �! �� @����� �� ��

�! ��� ����� ����� �� � �� ���� � (� �� 6�� ����� �) � ������� ����+

�) �) ) /

- / F

/ 3 )/

) �- �/

����

�� �

) ) /

2 ) -

2 - 5

2 �/ �4

����

�� �

) ) /

2 ) -

2 2 2

2 2 2

����

��

��� ��)� )� /�� �2� )� -� �� � ���� �� (� �� ��� ����(� �� � -�

�! .��� E�� � �� �� ��� ��� ����� �� �� ���������� ��� �� �* � 2� ����� * � ��� �� �� ��) � �������� �� �� ��� � �� ����*���� � � ������� ����+

) - / )

2 ) - �/

2 - 5 �4

��

�� �

) - / )

2 ) - �/

2 2 2 2

��

�� ��

� � -� � /� � � � 2

� � -� � /� � 2

��� ���� �������� ��� � ��� �� ��� ����E�� �� � -�

�! �� � � )� � � 2 � �� �� ��� ��� )��-� )� 2!�

��! �� � � 2� � � ) � �� �� ��� ��� �,� /� 2� )!�

��� )��-� )� 2! ��� �,� /� 2� )! ���� � ���� ��� E�� ��

���7� ���� � ������ ��� � � �/ � �5 ����� ����� �� ������� � )� -� 2��5! ��� -� 2��)��/!�

���� � 5 / �� ��� ����� ������ ������ ���� �� �� ����� ��� ���� ���

� �) - -

- 2 2

2 �) �)

�5 �/ �/

����

��

8����� �� � �� ������� � ������ ��� � � �/ � �5 ����� ����� �� ������� � �� ������ �� �� ��� �

�� ��*�� �� ������� ����� ����

���<� ������ � � � � " �� ������ �� � @����� ,� ��� �� � ��� � �� ���� �� �� ##���� $$�� , � ��� # � # � , �� �� �������� �� �� �� ��� � �)��� � �� ,�

"� �� ����� �� �! � �)��� � �� , ��� ��! �� , � � �)����"� *�� ����� �!� ������ �� � � �)���� ���� � ���� � �� ��� ��

� ��� � �� � � ���� � � ��� � � � � � 2

�� �� �� � � � , � ��� �� � �� ��� � �� � �� , � ��� ����� � �)��� � �� , �

)02 �(6718 91::(6;� <'.1:� 3

Page 192: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

5. Linear Mappings Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

6�� �� ����� ��!� ������ �� � �� , � ���� �� � �� #� ����� # � , � ����� , �� �� @����� �� � � ������ � �#� � 2� 1�����������

� ���� � � ��� #� � � ��� � � �#� � � ��� � 2 � � ��� � �

��� �� � � �)���� ��� �� �� , � � �)����D� � ��������� ����� � �)��� � �� ,�

����� ������ � � � � " ��� % � " � , ��� ������� :����+

�! ���@�% ��� � ���@�%�� �! ���@�% � �� � ���@���� �! ����� ��� � � " � �� ���� ���� %���� �� � %�" �� ��� �� ��� %���� ��� � ��� %�" ��� ����

���@�% � �� � ��� �% � ���� �� � ��� %���� ��� � ��� %�" �� � ���@�%�� �! "� ���� ��� %���� ��� � ��� ��� ��� .����

���@�% ��� � ��� �% � ���� �� � ��� %���� ��� � ��� ��� �� � ���@���

����� :���� ������� 3�/+ �� � � � � " � ������� ����+

�! (� � �� � ������ �� "� �! E�� � �� � ������ �� ��

�! ����� ��2� � 2� �� ���� 2 � (� �� 6�� ������ �� �� � (� � ��� �� � � �� ����� � ��� �� ����� � �� ����� �� �� ���� ���� ��� ��� �� �� � � ��� �� ���� � � ��� ����� � ��� ����

����� ���� � ����� � ������ � �� � ��� � (� �

��� �� ����� �� � �� � ������ �� " �

��! ����� ��2� � 2� �� ���� 2 � E�� �� 6�� ������ ��# � E�� � ��� �� � � �� ����� � ��� # ����� � �� @����� �� �� ���� � 2 ��� ��#� � 2� ���

����� �#� � ����� � ���#� � �2 � �2 � 2 � 2 � 2� ��� �� ��� �# � E�� �

��� �� @����� �� � �� � ������ �� ��

���*� :���� ������� 3�4+ ������ � ��� *�� � ��������� ��� � � � � " �� ������� ����

��� � � ����E�� �� � ����(� �� � ���� ���� � ���@���

������ ����E�� �� � ��� �#)� � � � �# �� � ���� �� E�� �� ��� ������ ����(� �� � � �����)� � � � � �� �� � ���� �� (� �� D� :������ ��� 3�5� (� � ��� *�� � ����������! ����� � � (� �� �������� ��� ��� �)� � � � � �� �� � ��� �� ���)� � �)� � � � ������ � ��� "� ����� �� �� ��

� � �#)� � � � �# � �)� � � � � ���� � ���� �� �� �� ��� �! � ����� �� ��� ��! � �� �������� ���������� � %��� �� ����� �! ��� ��!� ������ � � � � � ����E�� �� � ����(� ��� �! � ����� � � �� � � � � ���� ���� � (� �� ����� �� � ���� (� �� ���� ���� ������� �)� � � � � �� ��� ��

���� � �)�) � � � �� ����� �� �� � �)�) � � � �� ���� � �� ����

����� � ���)�) � � � �� ���� � �� � �)���)� � � � �� ������� � ����� �)�) � � � �� ���� � ���� � 2

��� �� � E�� �� ����� �� #� ���� E�� �� ���� ���� ������� �)� � � � � � � ��� ��

�� � �)#) � � � �� � # � �)�) � � � �� ���� � �

1����������

� � �)�) � � � �� ���� � �)#) � � � �� � #

��� � ����� ��

'.1:� 3? �(6718 91::(6;� )0)

Page 193: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

5. Linear Mappings Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��! � �� ����� �� ���������� ������

�)#) � � � �� � # � �)�) � � � �� ���� � 2 �)������ ��� � � �� ����

2 � ��2� � ���)#) � � � �� � # � �)�) � � � �� ������ �)��#)� � � � �� � ��# � � �)���)� � � � �� ������� �-�

D ��#�� � 2� ����� #� � E�� �� ��� ��� � � � � �� � ��� �� � -!� �� ���� � ����)�) � � � �� ���� � 2� ����� �� � ��� �������� ���������� � ���� � � 2� �� � ��� �� � )! ������)#) � � � �� � # � 2� ����� �� #� ��� �������� ���������� � ���� �� � 2� ��� � �� ������������������ �

����+�� �� �������+�� +��,�� ���� ��� ���8�� �

���1� B� ������ ��� ��� �� �� ���� �� �� ��������� ������ ���� �� ����������� (� �� � *�� � ���>������ �� � ����� ����� �� 2�

�! � � �- � �- ��*��� � ���� �� � �� � �� � � -��� �! % � �- � �- ��*��� � %��� �� � �-� � 5�� /� � 4��� �! ���� E�� � � �� ��� ���� � 2� ����� � � ��� ���

�� � �� � � -�� � �2� 2� ��� � � � 2

� � -� � 2��

� � � � 2

�� � 2

��� ���� ��� ��� �� � � 2� � � 2� .���� � �� �����������

�! �� %��� �� � �2� 2� � *�� E�� %+

�-� � 5�� /� � 4�� � �2� 2� ��-� � 5� � 2

/� � 4� � 2�� � � -� � 2

��� ��� �� ��� ���>��� ��� ����� ����� � �� � ���� �������� .���� % �� ����������� �� � � ) � � ��� �� ��� ��� � � �-� )�� ����� �� � ���>��� ��� ��� ��� �� %��� � 2�

����� ��� ������ ��� � � �- � �- ��*��� � ���� �� � �� � �� � � -�� �� ���������� � �� �������:����� 3�-5� ���� � ������ ��� ��)�

�� ���� �� � ��� ��� �� �� ��)��� �� � ��� ��� "� ����

�� � �� � � -�� � ��� �� ��� � � � �

� � -� � ���

� � � � �

� � � � �

����� ��� � ��� � �� ���� �� � ��� � � �� � � -� � �� � � � � �� ���

��)��� �� � �-� � �� � � �� �� ��)��� �� � �-� � �� � � �� ��� ������ ��� ��� �� � ����� � ��������� � ��� � � � ��� �� ������ ������!

���5� �� % � �- � �/ � ��*��� � %��� �� � �� � �� � � -�� /� � ��� �! ���� �� % �� ����������� �! ���� � ������ ��� %�)�

�! �� %��� �� � �2� 2� 2� � *�� E�� %� "� ����

�� � �� � � -�� /� � �� � �2� 2� 2� �� � � � � 2� � � -� � 2� /� � � � 2

��� ���� ��� ��� �� � � 2� � � 2� ����� % �� �����������

�! 1� ���� % �� ����������� � �� �� ����� ���� ����� �- ��� �/ ���� �������� ����������� ���������� 3�0 ���� �� ������! 1����������� %�) ���� �� ���� �

)0- �(6718 91::(6;� <'.1:� 3

Page 194: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

5. Linear Mappings Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

���9� ������ �� � � � � " �� ������ ��� �� � �� �� *�� � ���������� ���� �� � ��� �� ����� �� ����� �� ���� ��������� �� ��� ���� �� � �� ����������� B� ������ ��� ���������� ������ ��������) � �5 � �/�

D� ������� 3�4� ��� � � ����(� �� � ����E�� ��� .���� � ��� (� � ���� �� ���� ��������� �� ������� �� ����E�� �� � 2 �� E�� � � �2� ����� �� ��� ���� �� � �� �����������

����� ����/ �� ���� ��� ����5� �� ���� �� ����(� ) � �� ���� ��� �� ��������� �� �� ������ �5 ��) � 1���������� �� ������ ������� ) � �5 � �/ ��� � �����������

���:� :���� ������� 3�,+ �� � � � � " � � ���������� ������ �������� ���� �� ����� �� ����������� ���������� �� �� �������� ���������� �

������ �)� �-� � � � � �� ��� �������� ���������� ��� ��� �� �� "� ����� �� ���)�����-�� � � � ������ ������� �������� ���������� � ������ �)���)� � �-���-� � � � �� ������� � 2� ����� �� � �� ����� � �� ����������)�) � �-�- � � � �� ����� � 2� .����

�)�) � �-�- � � � �� ���� � E�� �

D � �� ����������� ����� E�� � � �2� .���� �)�) � �-�- � � � �� ���� � 2� ����� �� �� ��� ������������������ � ��� �� �� ��� 2� 1����������� �� ����� ��� �������� ���������� � ��� �� ������ �� �������

���7� :���� ������� 3�0+ ������ � ��� *�� � ��������� ��� ��� � � ��� "� ������ � � � � " ��������� ���� � �� �� ����������� �� ��� ���� �� � �� �����������

(� � �� �� ������������ ��� ���� 2 ���� � 2� ����� � �� ����������� '���������� ������ � ������������� ���� ����E�� �� � 2� D� ������� 3�4� ��� � � ����E�� �� � ����(� ��� ���

��� " � ��� � � ����(� ������� " ��� *�� � ���������� (� � � " � ���� ����� � ���� � �� � "� ��� � �� ���& �&��� ��� �� �� �� ��� � �� �� ������������

��,������� ;��8 +��,�� ���

��*<� B�*�� � � �/ � �- ��� % � �/ � �- � ���� �� �� � �-�� � � �� ��� %��� �� �� � �� � �� ������� ������� ��*���� �� ����+ �! � � %� �! /�� �! -� � 3%�

�! �� � %���� �� �� � ���� �� �� � %��� �� �� � �-�� � � �� � �� � �� �� � �/� � �� -� � �� �! �/����� �� �� � /���� �� �� � /�-�� � � �� � �4�� /� � /�� �! �-� � 3%���� �� �� � -���� �� �� � 3%��� �� �� � -�-�� � � �� � 3�� � �� ��

� �5�� -� � -�� � ��3� � 3�� �3�� � ��� � 3�� �/� � -��

��*�� �� � � �/ � �- ��� % � �- � �- � ��*��� � ���� �� �� � �-�� � � �� ��� %��� �� � ��� ���B����� ������� ��*���� �� ��������+ �! % � �� �! � � %�

�! �% � ����� �� �� � %����� �� ��� � %�-�� � � �� � �� � �� -�� �! ��� ������� � � % �� �� ��*���� ����� �� ����� �� % �� �� ��� ����� �� �� ������ �� ��

��*�� :����+ �! ��� >��� ������� <� ��*��� � <��� � 2 � " ��� ����� � � �� �� �� >��� ������ ��.���� �" �� �! ��� ���� ��� �� � � .���� �" � �� �� ������� ��)��� ����� �� � ��)���

�� � � .���� �" �� ����� ��� ����� � � � +

�� � <���� � ���� � <��� � ���� � 2 � ������������ �� � <���� � ���� ��� ����� � � �� �� ���� � � < � �� ���������� <� � � ��

�� � ��)������ � ���� � ��)����� � ���� � ���� � 2 � <��������� � � ��)�� � <� ��������� ��)�� � � � <� .����� �� � ��)���

'.1:� 3? �(6718 91::(6;� )0/

Page 195: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

5. Linear Mappings Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��**� ������ �)��-� � � � ��� ��� ������ ���� ���� � �� � " � ���� �� � ��� ��� ������� �)� �-� � � � � ������ ��� ��� � � ��

��)�) � �-�- � � � �� �������� � �)�)��� � �-�-��� � � � �� �������

��� ������� �)�) �� ��*��� � ��)�)���� � �)����� .���� �� ������ ����� ��� � � )� 1����������� ����� ����

��)�) � �-�- � � � �� �������� � ��)�)���� � ��-�- � � � �� ��������� �)�)��� � �-�-��� � � � �� �������

��*1� '������� ������ �������� � � �/ � �-� % � �/ � �-� ( � �/ � �- ��*��� �

���� �� �� � �� � � � �� � � ��� %��� �� �� � �-� � �� � � ��� (��� �� �� � �-�� ������ �� �� %� ( ��� �������� ���������� <�� ������ � �� .����/��-�?�

������� ��� ������� �� �� � � ��

�� � �% � �( � < �)� .��� < �� �� >��� ��������! ��� �) � �)� 2� 2� � �/� �� ���� <��)� � �2� 2� ���

��� � �% � �(���-� � ���)� 2� 2� � �%�2� )� 2� � �(�2� 2� )�� ��)� )� � ��-� )� � ��2� )� � �� � -�� � � � � ��

��� � )!� �� � -�� � � � � �� � �2� 2� ��� ��

� � -� � 2 ��� � � � � � � 2 �-���������� ��� �- � �2� )� 2� � �/� �� ���� <��-� � �2� 2� ���

��� � �% � �(���-� � ���2� )� 2� � �%�2� )� 2� � �(�2� )� 2�� ��)� )� � ��2� )� � ��-� 2� � �� � -�� � � ��

��� � � -� � 2 ��� � � � � 2 �/�H���� -! ��� /!� �� � ���

� � 2� � � 2� � � 2 �5������ )! ������� 5!� �� �������� �� %� ( ��� �������� ���������� �

��*�� �� $ � � ���>��� ������� ���� �� � ������ ��� ) �� ������� �� ��� ���� �� $) �� �������� .���� )�� ������� �� ��� ���� �� �) �� ��������

������ ) �� �������� ���� ) ��� � 2 ��� ���� ��� �� � �� 2� .����

�$) ���� � $) ��� � $2 � 2

��� �� $) �� ��������6�� ������ $) �� �������� ���� �$) ��#� � 2 ��� ���� ��� �� # �� 2� .����

) �$#� � $) �#� � �$) ��#� � 2

D $ �� 2 ��� # �� 2 ������� $# �� 2� ��� ) �� ���� ��������

��*5� ���� �� ��������� ��+

�! .����/��5�� �! .����3��/�� �! .����/�����-�� ! .��� -�/��5��

H�� ��� .�����" �� � ��� ����� ��� � � � ��� ��� " � ��

�! � /�5� � )-� �! ����� ����/��� � 5� � 5�-� � F�

�! � 3�/� � )3� ! ����� ��� -�/ � 4� � 4�5� � -5�

)05 �(6718 91::(6;� <'.1:� 3

Page 196: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

5. Linear Mappings Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��*9� :���� ������� 3�))� ������ ��� � � � ��� ��� " � �� ���� ��� .���� �" �� � ���

������ ��)� � � � � �� �� � ���� �� � ��� ��)� � � � � �� �� � ���� �� "� D� ������� 3�-� � ������ ��������� .�����" � �� ������ �� ������� � ��� ������ ��������� ������ � �� " � �� ���� ������ � �� �� �� "���*��

�� � .�����" �� � � )� � � � ��� � )� � � � � �

� � �� ������ ������� ��� ����� �� ���� � � � ��� �� ��$� � 2 ��� $ �� �� ��� ��� �� ���� �� �� � � ��� ��� ��� �$� �� � 2� %����� �� ��� ��� ���� ���� �� �� ������ �� ����� �� ������ �� ������ �� �� ���� �� � �� � ���� �� .�����" ��

- ��� ���� ��� ��� ���� .�����" �� '������� �� ��� ���� ��� ��� � � .�����" �� ���������)� � #)����-� � #-� � � � ������ � #�� ����� #$ � " � � �� � ������ ������ ��� �� �� �$�� ����

#$ � �$)�) � �$-�- � � � �� �$���� $ � )� � � � ��� �� � � �)�

'������� �� ������ ������� % � ����)

�� �) �� �� � ����� % �� � ������ ������ ��� �� �� �� � �� ����� ��

��� ������ �� .�����" � �� ������ � �� �� ���� �� � � %�"� ��� ���� � %��$�� $ � )� � � � ��� ����� �� ��$� � 2 ��� $ �� � ��� �$���$� � ���

%��$� �����)

�� �)

�� �� ��$� ��� �)

�$ �$ ��$ � ��� �)

�$ �

� �$)�) � �$-�- � � � �� �$���

���� � )!� %��$� � #$ ��� ���� $� D ���$� � #$ ��� ���� $� 1����������� � ������� 3�-� � � %� �������� ������ �� .�����" ��

- ��� ���� ��� �� ����� �� ���������� ������� ��� ������� �� � ��

����)

�� �)

�� �� � <

��� �$� $ � )� � � � ���

2 � <��$� �����)

�� �)

�� �� ��$� ��� �)

�$ �$ ��$� ��� �)

�$ �

� �$)�) � �$-�- � � � �� �$���

D �� �� ��� �������� ���������� � ������ ��� $ � )� � � � ��� �� ���� �$) � 2� �$- � 2� � � � � �$� � 2� (� � ��������� ��� �� �� � 2� ��� �� ��� �� �������� ���������� �

��*:� :���� ������� 3�)-+ �! % � �� � � �� � % � � � % �� �� ��! �% � %�� �� � % � � � %� � �� ���! $�% � �� � �$%� � � � % � �$��� �! ��� ����� � � ��

�% � �� � � ������ � %��� � � ������ � %����� � � ������ %������ � %�� ����� � �% ������ � �% � � ����� � �% �� � % �� �����

��� % � �� � � �� � % �� � % �� ��

��! ��� ����� � � ��

��% � %�� � ���� � �% � %�������� � %������ � %�������� �% � ����� � �%� ������ � �% � � � %� � �����

��� �% � %�� � � � % � � � %� ���

'.1:� 3? �(6718 91::(6;� )03

Page 197: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

5. Linear Mappings Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

���! ��� ����� � � ��

�$�% ������� � $�% ������ � $�%������� � �$%������� � �$% � �������� �$�% ������� � $�% ������ � $�%������� � %�$����� � %��$������ � �% � $�����

1����������� $�% ��� � �$%� � � � % � �$��� "� �������>� �� �� �������� ��� ����� � � ����� ������� �� ���� �� ��� ������� �� ���� ����� � ���� ���� �� �� �������!

�+�,=�� �� +��,�� ���

��*7� �� � ��� % � �� ������ ����� ��� �� �- ��*��� � ���� �� � ��� �� ��� %��� �� � �2� ��� ����������� ��*���� �� ��������� ����� ���+ �! � � %� �! -� � /%� �! �%� ! %�� �! �-� � ! %-�

�! �� � %���� �� � ���� �� � %��� �� � ��� �� � �2� �� � ��� -��� �! �-� � /%���� �� � -���� �� � /%��� �� � -��� �� � /�2� �� � �-������ �! ��%���� �� � ��%��� ��� � ��2� �� � ��� 2�� ! �%����� �� � %����� ��� � %��� �� � �2� ��� �! �-��� �� � ������ ��� � ���� �� � ��� ��� 6� � �� �- � ! � �� ���� � � ��������!

� ! %-��� �� � %�%��� ��� � %�2� �� � �2� 2�� 6� � �� %- � <� �� >��� ��������!

��1<� '������� �� ������ ����� �� ) �� �/ ��*��� � ) ��� �� �� � �-�� 5� � �� -� � /� � ��� �! ���� �� ) �� ����� ���� ���� ������� ���+ �! )�)� �! )-� �! )�-�

�! �� , � E�� ) � "� ���� ���� ���� �� ) �� ����������� ����� �� , � �2� �� ) ��� �� �� � �2� 2� 2������� ������

) ��� �� �� � �-�� 5� � �� -� � /� � �� � �2� 2� 2�

��� , �� �� ��� ��� ����� �� �� ���������� ��� ��

-� � 2� 5� � � � 2� -� � /� � � � 2

����� ��� ���� �� ������ ��� ��� 2� 2� 2!� ��� , � �2� .���� ) �� ����������� ��� �� ) ������� ����

�! �� ) ��� �� �� � � � �� �� <��� �� )�)� � �� �� � ��� �� ��?� "� ����

�-�� 5� � �� -� � /� � �� � � � �� �� �� -� � � 5� � � � �� -� � /� � � � �

����� ��� �� �� � �� ���� �� � �� � � �� � � )- � � � - � �� � � , � /� � �� ���

)�)� � �� �� � �)- � - � �� , � /� � �� �� )�)��� �� �� � �)

-�� -� � �� ,� � /� � ��

�! 1���� ) ���� � ��

) -��� �� �� � ) �-�� 5� � �� -� � /� � ��� 5�� 5�-�� � �5� � ��� -�-�� � /�5� � �� � �-� � /� � ���� �5�� 5� � �� )5� � 4� � ��

! 1���� ) ���� � ��

)�-��� �� �� � )�-�)-�� -� � �� ,� � /� � ��

� )5�� -�)

-�� � �-� � ��� ,�)

-�� � /�-� � �� � �,� � /� � ���

� �)5�� �� � �� � )0

-� � 4� � ��

)04 �(6718 91::(6;� <'.1:� 3

Page 198: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

5. Linear Mappings Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��1�� �� � � �� *�� � ��������� ��� �� ) � � ������ ����� �� �� � ��� ����� ). � ! � ��� ��������� �� . �� �� "� ���� . � ��� ���� �� �� ) �!

�! ���� �� ) �� ����� ���� �! ���� �� . � )�)�

�! ;��� �� ������� ������� �� �� ���� ���� �� ���� �� � �� �� ��*�� � ����������

�! �� ��� � � �� D� ������� 3�)5� ) �� ����� ��� �� ��� ���� �� ) �� �� �� ����� ) �� ����� ��� �� ��� ������ ���@�) � � �� "� ���� � � ���@�! � � ���@�).� � ���@�) � � �� .���� ���@�) � � � ��� ) �� ����� ����

�! ))�) � )�)) � ! � ���� . � !. � �)�)) �. � )�)�).� � )�)! � )�)�

�! �� � � �� ����� �� ����������� �� � ���� �� ���� ���� � �2 � �)� � �-�- � � � �� ����� �� ) ��� . �

�� ����� ��� �� � ��*��� �

) � ����� � 2 � �) � �-� � � � �� �����) ��� .� ����� � �2� � �)�- � � � �� ���

��)

"� ����

�).�� ����� � ) �.� ������ � ) ��2� � �)�- � � � �� �����)� � �2 � �)� � � � �� ���

� � ������� �� ). � ! � �� ���� � � �������� %� �� � ��� ����� �� $ � � ��� $ �� 2� ���

�.) ��$� � .�) �$�� � .�2� � 2 �� $

1����������� .) �� ! �

��1�� �� � ��� % � ������ ����� ��� �� �- ��*��� � ���� �� � �2� �� ��� %��� �� � ��� 2�� ���� �� + �! %� � <� �� >��� �������� �% �� <� �! %- � %�

�! �%����� �� � %����� ��� � %�2� �� � �2� 2�� ����� %� ������� 2 � �2� 2� � ����� ��� �� �� �! �� �-� � �� �� >��� �������� �� ��� %� � <�

%� �� � ��� ����� ��%���� �� � ��%��� �� � ���� 2� � �2� ��� ��� �������� ��%��-� /� � �2� -����� �% �� <� ����� � ���� �� ������ 2 � �2� 2� � ����� ��� �� �� �-�

�! ��� ��� ��� �� �� �! �� �-� �� ���� %-��� �� � %�%��� ��� � %��� 2� � ��� 2� � %��� ��� .���� %- � %�

��1*� ���� �� ��������� ��+ �! ���5�� �! ���-����� �! �� -�/!�

H�� ��� ��� �� � �- ����� ��� � � �� .����+ �! ��� ���5�� � 5- � )4� �! ��� ����-���� � /- � 0� �! ��� �� -�/�� � 4- � /4�

��11� �� / � � ������ ����� �� �� � ��� ����� /- � /� ��� �� ����� �� �� ������ � � � �������! �� "� �� ����� �� /� ��� �� , � �� @������ :����+

�! (� � � "� ��� /��� � �� ����� / �� �� ���� � � ������� �� "�

�! (� / �� ! � ��� / �� �������� ����� /��� � 2 ��� ���� � �� 2�

�! � � " � ,�

�! (� � � "� �� ����� �� /� ��� /��� � � ��� ���� � � �� .����� ���� /- � /� �� ����

� � /��� � /-��� � /�/���� � /��� �! (� / �� ! � ��� ��� ���� � � �� /��� � �� ����� � �� �� D� �!� /��� � �� ���

/��� �� � /��� � /��� � � � � � 2� ����� �� � �� 2

�! "� *�� ���� �� � � " � ,� �� � � �� �� � � /��� ��� # � � � /���� ����

� � /��� � �� /��� � � � #

D� ��I�� ���� � � /��� � "� �� ����� �� /� "� ��� ���� �� # � ,� �� @����� �� /�

/�#� � /��� /���� � /��� � /-��� � /��� � /��� � 2

��� �� # � ,� .���� � � " � ,�"� ��� ���� �� " � , � �2� �� � � " � ,� ����� � � "� /��� � � � ��� �!� ����� � � ,�

/��� � 2� ��� � � /��� � 2 ��� �� " � , � �2���� ���� �� ������ ��� ����� �� � � " � ,�

'.1:� 3? �(6718 91::(6;� )0,

Page 199: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

5. Linear Mappings Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

�4��3�������( ��">3��!

�������

��1�� B� ������ �� ���� �� �������� �������� ���� ��� � �� � J)� -� /�

��15� �� � � � � � ��� � � � � � ��*��� � � ��� � �- � /� � ) ��� ��� � -� � /� ���� ������� ��*���� �� ������� ��� ��������+ �! � � � �! � � � �! � � ! � � ��

��19� ��� ���� �������� � � � � � *�� � ������ ��� � � �������+ �! � ��� � /� � ,� �! � ��� � �/ � -�

��1:� ��� ��� ������� � � � � �� ���� �� ��� � � � � � � ���

+��,�� �������

��17� ���� �� �� ��������� �������� ��� ������+

�! � � �/ � �- ��*��� � ���� �� �� � �� � -� � /�� 5� � 3� � 4��� �! � � �- � �- ��*��� � ���� �� � ��� � ��� �� � ��� ����� �� �� �� ����� � ��

���<� ���� �� �� ��������� �������� ��� �� ������+

�! � � �- � �- ��*��� � ���� �� � ��-� �-�� �! � � �/ � �- ��*��� � ���� �� �� � �� � )� � � ��� �! � � �- � �- ��*��� � ���� �� � ���� ��� ! � � �/ � �- ��*��� � ���� �� �� � ����� � � ���

����� ���� ���� ��� ����� �� ������ ��� � � �- � �- �� ��*��� � ��)� -� � �/��)� ��� ��2� )� � �-� )��

����� ���� � - - �� ��� � �� ����+

�! �)� /�) ��� �)� 5�) �� � ��-� 3�) ��� �/��)�)� ������ ������

�! �-��5�) ��� ��)� -�) �� � �)� )�) ��� �)� /�)� ������ ������

���*� ���� � - - ������� �� ��� � �� ���� �)� )�) �� � �)� /�) �

���1� �� � � �� ��� �� ����� �� ���� �&����� �� ������ ��� �� + � � *��� ���>��� �� ��� �� �� ���� �� ��*�� �� �� �� ��������� �������� ) � � � � ��� ������� �� ���� �� �� + �! ) ��� � +�� �! ) ��� � �+ � +�� �! ) ��� � + � ��

����� ;��� �� ������� �� � ��������� ��� � � �- � �- ��� �� ��)�2� � �2 � �� �� ���& �&����

���5� �� � � �- � �- � ��*��� � ���� �� � �/� � 3�� -� � /��� ��� �� & � �� �� ������ �� �-� & ������ � ����� ���� � �� ������� �- � �- � )�! ����+ �! �� ����� ��&�� �! �� �������� ��)�&��

���9� '������� �� ������ ��� % � �/ � �/ ��*��� � %��� �� �� � �� � � � �� � � -�� � � /�� ��� �� �� ������ &- �� �/� ����� ������ � �� �� ���� � �� ������� �- � �- � �- � )� ����+ �! %�&&�� �! %�)�&-��

���:� �� ( � �� ����� � � -� � /� � 5 �� �/ ��� �� % � �� ������ ��� �� :����� 3�3,� ����+ �! %�(�� �! %�)�(��

���7� �� , � � ������ �� �� ��� ��������� ���� ���� �� � � � , �� �� �� ��*��� � ��#� � # ��� ����� # � ,����� �� �� �������� ��� �� �������

��5<� ������ � � � � " �� ������� ���� �� ����� � ������

)0F �(6718 91::(6;� <'.1:� 3

Page 200: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

5. Linear Mappings Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

2,��,+ �� � ��, �� +��,�� �������

��5�� ��� ���� ������ ��� � *�� � ���� ��� �� ��������� �� �� @����� ��� �� ����� �� �+

�! � � �/ � �/ ��*��� � ���� �� �� � �� � -� � /�� -� � 3� � 5�� � � 5� � ��� �! � � �5 � �/ ��*��� � ���� �� �� �� � �� � -� � /� � -�� -� � 5� � ,� � 3�� � � -� � 4� � 3���

��5�� ��� ���� ������ ��� %� *�� � ���� ��� �� ��������� �� �� @����� ��� �� ����� �� %+

�! % � �/ � �- ��*��� � %��� �� �� � �� � � � �� -� � -� � -��� �! % � �/ � �- ��*��� � %��� �� �� � �� � �� � � ��� �! % � �3 � �/ ��*��� �

%��� �� �� �� �� � �� � -� � -� � � � �� � � -� � /� � -� � �� /� � 4� � F� � 3� � ���

��5*� 7��� �� �� ��������� �� ����� �� ������� � ������ ��� ���� �5 �� � �/+

�! � �) - 2 )

- �) - �)

) �/ - �-

��

��� �! � �

) 2 - �)

- / �) )

�- 2 �3 /

��

���

���� � ���� �� ���� �� �� ��������� �� �� @����� ��� �� ����� �� ���� ������ ����

��51� ���� � ������ ������� � � �/ � �/ ����� ����� �� ������� � )� -� /! ��� 5� 3� 4!�

��5�� ���� � ������ ������� % � �5 � �/ ����� @����� �� ������� � )� -� /� 5! ��� 2� )� )� )!�

��55� �� � � �)2���� �� ��� �� ����� �� ����������� �� ������ �)2� '������� �� ������ ��� 5 � � � �� �����5 ���� �� �� ��� � ������ ��� �� 5��5� ���� � ���� ��� �� ��������� ��+ �! �� ����� �� 5� �! �� @����� �� 5�

��59� ������ � � � � " �� ������� ���� �� + �! �� ����� �� ��� ������ �� � �� � ������ �� " � �! �� �������� �� ��� ������ �� " �� � ������ �� ��

��5:� ���� �� �� � � � � " �� �� �� ��� ��� " � ��� �� B� ������ ��� ������ ���� � � �/ � �5 �� ��� �� ��

��57� '������� �� >��� ������� < � � � " ��*��� � <��� � 2� � � � �� ���� �� @����� ��� �� ����� �� <�

��,������� ;��8 +��,�� �������

��9<� �� � � �/ � �- ��� % � �/ � �- � ��*��� � ���� �� �� � ��� � � �� ��� %��� �� �� � �-�� � � ��� ����������� ��*���� �� �������� � � % ��� /� � -%�

��9�� �� ( � �- � �- � ��*��� � (��� �� � ��� -��� H���� �� ���� � ��� % �� :����� 3�,2� *�� ���������*���� �� ��������+ �! ( � � ��� ( �%� �! � � ( ��� % � (� �! ( � �� � %� ��� ( �� � ( � %�

��9�� ���� �� �� ��������� �������� �� %� ( ��� �������� ���������� +

�! ��%�( � .����-��-� ��*��� � ���� �� � ��� -��� %��� �� � ��� � � ��� (��� �� � �2� ��� �! ��%�( � .����/��� ��*��� � ���� �� �� � � � � � �� %��� �� �� � � � �� (��� �� �� � � � ��

��9*� ��� ��% � .�����" �� ���� �� ���@�� � %� � ���@��� � ���@�%�� .��� � ��� *�� � ����������!

��91� �� � � � � " ��� % � " � � � ������� ���� �� �� � ��� % ��� ����������� ��� % �� �� �����������;��� �� ������� ����� % �� �� ���������� % �� �� �

'.1:� 3? �(6718 91::(6;� )00

Page 201: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

5. Linear Mappings Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��9�� ���� �� ��������� ��+ �! .����-��F�� �! .����5�����/�� �! .��� -�5��-�����

��95� B� ������ ��� ��� �� �� ���� �� �� ��������� ������ ���� �� ����������� (� �� � *�� � ���>��� ��� �� ������ ����� �� 2� � ������� *�� � ������ ��� �� ������� ���+

�! � � �/ � �/ ��*��� � ���� �� �� � �� � � � �� -� � /� � 3�� � � /� � ,��� �! % � �/ � �-��� ��*��� � %��� �� �� � �� � ���- � �� � -� � -��� � � � ��

�! ( � �- � �-��� ��*��� � (��� �� � �� � -���- � �� � ��� � � � ��

��99� "��� ��� ��� .�����" �� � ��� �K

�+�,=�� �� +��,�� ��,������

��9:� �� � ��� % � �� ������ ����� ��� �� �- ��*��� � ���� �� � �� � �� 2� ��� %��� �� � ���� ��� ����������� ��*���� �� ������ ����� ���+ �! � � %� �! 3� � /%� �! �%� ! %�� �! �-� � ! %-�

��97� ���� �� ���� ������ ����� �� ) �� �- �� ���������� ��� *�� � ������ ��� )�) � �����+ �! ) ��� �� � �� � -�� -� � /��� �! ) ��� �� � �-� � /�� /� � 5���

��:<� ���� �� ���� �� �� ��������� ������ ����� ��� ) �� �/ �� ���������� ��� *�� � ������ ��� )�)� �����+ �! ) ��� �� �� � �� � /� � -�� � � 5�� ��� �! ) ��� �� �� � �� � �� � � �� ���

��:�� ���� �� ��������� �� ��� �� �����+ �! � � �,� �! � � �3���� �! � � /�5�

��:�� "���� �� �� ��������� �� ����� ��� � �� ��������� �� �� ������ ��� � �� ������ ����+3� 0� )-� -3� -F� /4� 53� 45� FF� )22K

��:*� �� ) � �� ������ ����� �� �� �- ��*��� � ) ��� �� � �� � -�� /� � 5��� ���� � ������ ��� � �) �� �����+ �!� ��� � �- � -� � /� �! � ��� � �- � 3� � -�

���,++��,�� ���=+, �

��:1� ������ � � � � " �� ������ ��� $ �� � ���>��� ������� :���� �� �� ���� � ��� $� ���� �� ���� @�������� �� ���� ������

��:�� ������ � ��� % ��� ������ ����� ��� �� � ��� �� � �� ����������� 1���� �� � ��� *�� � �������������� �� ���@��%� � ���@�%�� � ���@�%��

��:5� �� � � � � " � ������ ��� �� , � � ������ �� � � ��� ��� ������ �� � � , �� �� ��� ��, � , � "

��*��� � ��, ��� � ���� ��� ����� � �� , � :���� �� ���������+ �! ��, �� ������� �! E�����, � � �E�� �� � , � �! (����, � � ��, ��

��:9� ������ � ��� *�� � ���������� ������ ) �� � ������ ����� �� �� � ��� �� ���@�)-� � ���@�) �� ���� �� E�� ) � (� ) � �2�

��::� ������ � � " � , � �� /) ��� /- � �� ������ ����� ��� �� � ��*��� � /)��� � �� /-��� � #� ������ � � � #� � � " � # � ,� ���� �� + �! /-

) � /) ��� /-- � /-� ����� �� /) ��� /- ��� ������ �����

�! /) � /- � ! � �� ���� � � �������� �! /)/- � < ��� /-/) � <�

��:7� �� /) ��� /- � ������ ����� ��� �� � �� ������� ��� � �!� �!� �! �� :����� 3�FF� :����+

� � (� /) � (� /-�

-22 �(6718 91::(6;� <'.1:� 3

Page 202: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

5. Linear Mappings Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��7<� �� � ��� # � ������ � �� � ���� ��� �� ����� �� ��� ���� ������ 0 ���� � � �� # �� ��*��� � � �� �� ����� ��� �� �# ��� 2 � � � )� ��� ���� 3�4�!

�! ���� �� �� ���� ������ 0 � ���� ��� ��� � ��� � ������ � �� �� ���� �+ �! �) � ���� �� ��� 2 � � � )� ��! �)�� �-� ��� �) � �- � )� �) � 2� �- � 2�

�! �� � � � � " � ������� ���� �� �� ����� ��0� �� � ���� ������ 0 �� � �� � ���� ������ �� " �

��7�� 1 ��� * �� � ��� �� ����� � �� ���� � � ������ �� �� ���� ������ 0 � ���� ��� �� ���� � ��� ���!-�1 � * �� ��� ����� �� * � �! ���� �� �� �� ����� ��� �� ������ �� � �� ������� �! ������ � � � � " �������� ��� * �� ������� ���� �� ��* � �� �������

��!?��! �" �4��3�������( ��">3��!

��1�� 6���

��15� �! � � � ���� � 5�- � 4� � )� �! � � � ���� � -�- � 4� � )� �! � � ���� � 5� � 0�

! � � � � ���� � �5 � 4�/ � )5�- � )3� � 3

��19� �! � �)��� � )/�� � ,�� �! � �)��� � �����������

� � -/�

��17� ���� �� �� � ���� �� ��) � �����+ �! � � ) - �/

5 �3 4

� �� �! � � � �

� �

���<� �! � � �-� -�� $ � /� ��� ��$�� � �/4� /4� $���� � �)-� )-�� �! ��2� �� 2� �! � � �)� -�� � � �/� 5�� ��� ��� � �� � �-5� 4� ���� � ���� � �)5� 4�� ! � � �)� -� /�� $ � �-� ��� ��$�� � �-��)2� $���� � ��-��)2��

����� ���� �� � ��� � -�� �/� � ��

����� �! � � �), 3

-/ �4

� �� �! 6���� -��5! ��� �)� -! ��� �������� �������� �� )� )! ��� )� /!�

���*� � � ) 2

/ 2

� �<(���+ ���� �2� )�) �� � �2� 2�) �?

����� ���� �� � ��-� �-�

���5� �! )/�- � 5-�� � /5�- � )� �! )/�- � 5-�� � -5�- � )

���9� �! �- � F�� � -4�- � 4�� � /F�� � )5�- � )� �! �- � -�� � /�- � -�� � F�� � )5�- � )

�� � �%5

'.1:� 3? �(6718 91::(6;� -2)

Page 203: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

5. Linear Mappings Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

���:� �! � � � � -� � 5� �! � � )-� � 5

��5�� �! ����E�� �� � )� ��,��-� )�� ����(� �� � -� ��)� -� )�� �2� )� -� �! ����E�� �� � -� ���-� )� 2� 2�� �)� 2��)� )�� ����(� �� � -� ��)� -� )�� �2� )� /�

��5�� �! ����E�� %� � -� ��)� 2��)�� �)��)� 2�� ����(� %� � )� ��)� -� �! ����E�� %� � )� ��)��)� )�� (� % � �-� ��)� 2�� �2� )� �! ����E�� %� � /� ���-� )� 2� 2� 2�� �)� 2��)� )� 2�� ��3� 2� -� 2� )�� ����(� %� � -�

��)� )� /�� �2� )� -�

��5*� �! ����E�� �� � -� ��5��-��3� 2�� �)��/� 2� 3�� ����(� �� � -� ��)� -� )�� �2� )� )� �! ����E�� �� � )� ���)� -

/� )� )�� (� � � �/

��51� ���� �� �� � �� � 5�� -� � 3�� /� � 4��

��5�� ���� �� �� �� � �� � � � �� -� � � � �� 2�

��55� �! �)� �� �-� � � � � �4� �! �)� �� �-� �/

��5:� 6���� ����� ��� �5 � ����/�

��57� E�� < � � � (� < � �2

��9<� �� � %���� �� �� � �� � -�� -� � � � ��� �/� � -%���� �� �� � �/� � 5�� � � -� � /��

��9�� �! �( � ����� �� �� � �� � �� -��� �( �%���� �� �� � �� � �� 5��� �! �� ��*����

�! �( � �� � %����� �� �� � �( �� � ( � %���� �� �� � �-� � � � �� -� � 5��

��91� ���� �� � ��� �� ���%��� �� �� � ��� ��

��9�� �! )4� �! )3� �! -5

��95� �! � � �-��/� )�� �! %�)���- � �� � �� � �� � -�� � � � � -�� �� � � � ��� �! ( �� ����������� �� ����� ���� ����� ����-��� � ����-�

��99� ��� " � )� �� ��� " � ��

��9:� �! �� � %���� �� � ��� ��� �! �3� � /%���� �� � �3� � F�� �/��� �! ��%���� �� � �� � �� 2�� ! �%����� �� � �2� � � ��� �! �-��� �� � �� � �� 2� �� � �� �- � �!� � ! %-��� �� � ���� ����<6� � �� %- � ! � 2� ����� % �� � >��� �� � ��� � �- � )?

��97� �! )�)��� �� � ��/� � -�� -� � ��� �! )�)��� �� � ��5� � /�� �/� � -��

��:<� �! )�)��� �� �� � �� � /� � )5�� � � 5�� ��� �! )�)��� �� �� � �� � �� �� � � � � ��

��:�� �! 50� �! /4� �! )55

��:�� ������+ 0� -3� /4� 45� )22

��:*� �! ) ��� �� � �4� � )5�� -)� � -,��� �! ) ��� �� � �2� 2�� ����� � �) � � 2

-2- �(6718 91::(6;� <'.1:� 3

Page 204: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

6. Linear Mappings and Matrices

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

������� �

�� � � ����� �� � �����

��� ����������

�������� ��� � � ���� ��� � � � � ��� � ������ ���� � ���� ���� �� ��� �� ������ � � � � �������

� � ���� � ���� � � � �� ����

���� ��� ��������� ������ � � ������� �� ��� ��� �� ����� �� ����� �� � ������ ������ ���������������� ����� �� ��������� �� ������� �� ������ �

���� � ���� ��� � � � � ����

����� � ������ !���� ��� ��� �����" � ����� � ���������� � ��� ��� �� �� � ����������� ������ ��� ���

���� ������ ����� ��� ����� �� ��� � ������������ ���������� � ��� ��� �� ������ ��� �"���� � � ����� �������� �� � �� ��� �"�� � �#�$��� ������� ���� �� ���� ����� ����� �����"�� � ���� ���������� �� � �#�$��� ����% ��� ���������� � ��� ��� �� &� ���� ��� ���� ������ ����% ������������� ���"�� ���� �� ������ ������ ����

��� ����� �������������� �� � ������ ��������

'�� � � ����� ������� ����� �������� ��� ������ ���� � ���� ����� � �� �������� � ���� ��� � � � � ��� �� ��� � � � (�� � ���� � ���� � � � � � ��� �� ������� �� � � �� �� ��� �� ����� ��������� � ��� ������� �� ��� ��� �) ���

� ��� � ����� � ����� � � � �� ������ ��� � ����� � ����� � � � �� ������������������������������������������������������������ ��� � ����� � ����� � � � �� �����

��� �������" ��������� �������

��������� ��� �������� � ��� ��� ����% � ��� �������� ������� � ��� � �� �� ��� �� ����� ������ �� �� ���������� � � ������� �� ��� ��� �� �� ������ ��� ����% � � �� ��� ��� ������ �������� � �� � ������� � ��� ��� � �� ������������

�*+

Page 205: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

6. Linear Mappings and Matrices

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

,���" ��� ��������� �������� ������ �������� ��� ����% ������������� � � �� � ������� �� ��� ���

��� � � �� �� � �� ������ �� ������ � � � � �� ������ �

��� ��� ��� ������� � �� � �� ��� ��������� ������� � � ���� � ���� � � � � � ���� �������������������� � '�� ��� �� � ��� ����� ������� ������ � �� �� � ��� +�� !�� -������ ���� ��� ����% ������������� � ������� �� ��� ��� � � ���� ��� � ��� ��� �� -���

��� ����� ��� ���� �� ���� ����� �� � ����� ��������� � ��� ��� ������� �� �� ��� ���� �������������������� �� ��� ������ ��������� &� ���

��� � �

� �� �� .

�/� �

� ��

� �� �

-

� ���

�� �� � .

��� -� � �/ ���� ��� ������ �� ���� � � -�� � � ���� 0���� ��� � -��� � �����

��� (�%� ��� ���� �� ���� ����� �� � ����� ��������� � �� �� ��1

��� � �

-

� �� �� �2

��3� �

� ��

� �� �

-

� ���

�� �� � �2

��� -� � ��3 ���� ��� ������ �� "�� � � ��2� � � �--� ���� ��� � ��2�� � --���

(�� ����� ��� ���������� � ��� �� ��� � ������� �� ���� ��� ����%

��� � -� ��2

��� �--� �

��� ���� ��� ����% ������������� � ������� �� ��� ������ ��� � � ���� ��� � ��� *�� *� �������� ��� �� ����� �� � ����� ��������� � ��� ���� ��� ������� �� �� ��� �� ���� ��� ��� ��

����� �� � ����� ��������� � �� �� ��� &� ���

��� � �� *� � �� �� � ��� � !����� � *� �� � +��-� � +�� � -��

�� �� ��� � � +

! �-� �

(��� ��� ��� ���������� � ��� �� ��� ��� ��� �������� ��� ��� ����� � ���� 4���� ���� ��� ������������ �� ���� ������� ����" ��� ���� ��� � ���

������� �� '�� � � ��� ������ ���� � �������� ���� ��� � � ���� �� ��� �� �+��� �� ��� �� � � ��� �� �������

������� ������ � � ��� � � � � ������� &� ������� ��� ����% �����������" �� ��� ��� �1

��� �� � ��� � � *��� �� � ���� �� � *�+����� �� � � ��� � � ����� �� � *��� �� � *�+��

�+�� � +�+� � *��� �� � *��� �� � +�+��

�� �� �� �* �� *

� * *

* * +

��

5(��� ��� ��� ���������� � ��� ��� ��� ��� �+�� ��� ��� �������� ��� ��� ����� � ���6

����� ����� ! ��" �#��� ����� �����!��������

�������� ��� �������" ����% �� ����� �� � ������ � ����� ������� �� ��� �� ��� � � ��1

� � + ��! �-

� ��� � � ���� ��� � �

� ��

-

� � �

�*! '7(84� 94::7(; 4(< 94��7�8 5�04:� /

Page 206: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

6. Linear Mappings and Matrices

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

�&� ����� ������� � �������� ����� ��� �� �� ����%�� &� ��� ��� ����% ������������� � � ������� ����� ��� ��

��� ����� �� ����� ���� � ����� ��������� � �� �� ��� &� ���

���� � + ��! �-

� ��

� �� ��

�/� �

� ��

� �� �

-

� ��� ��

�� �� � ����� -� � �/

�����" ��� ������ ������ � � 3� � � �!� ���� ���� � 3�� � !���

��� (�%� �� ����� ���� � ����� ��������� � �� �� ��� &� ���

���� � + ��! �-

� ��

-

� �� �!

�3� �

� ��

� �� �

-

� ��� ��

�� �� � �!��� -� � �3

�����" ��� ������ ������ � � �/� � � �� ���� ���� � �/�� � ��� &�����" ��� ���������� � ������ ���� � ������� "���� �� ��� �������" ����% ������������� � �1

���� � 3 �/�! �

� �

��$��%� ������ �� ��� �� ��� ��� ����% ������������� � � ������� �� ��� ���� ���� � ���� ��� � ���� *�� � �*� ��� � � ��� &� ���

���� � + ��! �-

� ��

*

� �� +

!

� �� +�� � !��

���� � + ��! �-

� �*

� �� ��

�-� �

� ���� � -��

�� �� ���� � + ��! �-

� �

(��� ��� ���� �� ��� ���"��� ����% �� ���� ������ �� ���� �� "�����1

��� ����% ������������� � �� � � �$��� ����% � ���� ���� � ������� �� ���

���� ��� � � �� �� ��� ����% � ����� ) ��� ���

���� � �

�& ����#$ '�� ���"�� ����� �����!��������!

(�%� ������ � �"������ �� �����" ����% ��������������� ��� ���� ��� * �� �������� 7� �� ���� �� �� ��� �� �� ��� ����� ����� �� ������� �� ��� ��� �������

�& ����#$ ���� ��� ����� �� ����� ������� � �� ������ ���� � �� ��� � � ���� ��� � � � � ��� � � � ��� ������ �� ��� ����% ������������� �� �� �

���� (� ���� ����� �� ��� ���������� � � ������ ������ � ������� �� ��� ��� ��

���� �� ����� �� ��� ��� ������ �� �� �1

��� ���� � ������� &���� � ��� � ����� ��������� � ��� ��� ������� ��� ��� � � � � ���

���� �� ���� ��� ����% �� �� ����� ������� �� ��� ��������� ������� �� ��� �����

�04:� /6 '7(84� 94::7(; 4(< 94��7�8 �*-

Page 207: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

6. Linear Mappings and Matrices

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

������� �� '�� ��� �� � ������ � �� �� � ��� +�� !�� -��� ���� ��� ����% ������������� ��� �

������� �� ��� ��� � � ���� ��� � ������� ���-���� ��� *� ����� ��� ��� ���������� � �� �� � �� ������� �� ��� ��� �� &� ���

� �� �

��� �

� ��

�-� �

���� �� � �

���� -� � ���

�� �� � �

�� � ��� �

�����" �� � �� � �� ����� � � �� � ������ � � -�� ��� � � ���� �� ����

�� �� � -�� ����� � ���� ����� ��� �� (�� �� ��� ��� �� ����� �� � ����� ��������� � �� �� �� ����" ��� ��� ����� �� �� ��� ��

���� �� ����� ��� ������� �� ���� &� ���

��� � ����� � �!� �!� � .�� � /����� � ���-� � ���� ++� � ���� � ����

� ��� �� ������� �� ����� ��� ���������� � ��� �� ��� � ������� �� ���� ��� ��$����� ����%

��� � . ��

�/ ���� �

���������! �' ����� �����!��������!

���� ��������� "���� ��� ��� ���������� � ��� ����% �������������� � ����� �������� � �� ������ ���� � � &� ������=� ��� �� �� ���� "���� �������� ��� � � � �

>�� ���� �������� ������ �� :����� /�2� ����� �� ��� ��� ??�����@@ � ����� ������� � �� ������ ��� ��������� � ��� ����% ��������������

�#����$ ���� '�� � �� � � ����� �������� �� ��� � � ������� ��� � � � ����� �� �� ������ ��� � � �� �� ���� � �� ���� �

������� � �������� ��� ����� ������� �� �� �� ��� ��� � � 8%���� /�+� ��� ���

�� �� � ��� +�� !�� -�� �� � � ���� ��� � ������� ���-��'��

� � -��3�� �� �� �� � ���� --�,���" ��� ����� ��� 8%���� /�+� �� "��

��� � �����+�� �� ���� � �--��++��

&� ���� � ������� /�� �� ���� ������ � ������ �� �� ������ ��� 8%���� /�+�1

����� � . ��

�/ ���� �

��

�+� �

� --

�++� �

� ����

;���� ��� � � ������ ���� � � �� ��� �������� ����% �� � �� ��� ����� ������� � �� ����"�� �� � � ����� �������� �� � � ������� /�� ����� �� ��� ��� ??�����@@ � � ��������� ������������ � �� ��������� � ���� �������������� ��� ��%� ��� �������� ������� �� :������ /��* �� /�������� �� ��� ��� ����� ��� ��������� �� �� � ���� ����� ��������� ����� ��� �������� ���� ������������������ �� ����� ������������ �� ��� ����������

�#����$ ���� '�� � � � �#���������� ������ ���� ���� �� ��� � � ��� � � � �� ��� � ����"�� � � � ������� ���� �� ���� ��� �����"1

���� � �� ���� � �� � � �� ���� ������ ���� ������������ ��� ��� �� �� �� � �� � �� �� � � ��

��� � � �� � �� � ��� �� � � �� � �� � ������� ��� � ��� �� ��� � �������� � �� �A������ ����#��#��� �� ������

�*/ '7(84� 94::7(; 4(< 94��7�8 5�04:� /

Page 208: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

6. Linear Mappings and Matrices

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

�#����$ ��)� ��� �� ����� �������� �� � �� ���� � � � ����� �� �� � � � �����

�0��� � � ������� ��� ����������� � ��� ��� � �� ��

��) �*��+� �� ,����

'�� � � � �#���������� ������ ���� ���� ���� �� &� ��� ����� ���� ���� �� ��� �������� ��� � � � � ����� ������ � � � �� � ����������� � ���� � � �#����� ���� �� ��� �� ����� ������������ � �� �� � �� � ����������� � � � � ����% ���� �� &� �B ��� �������" ����� $�������1

0�� �� ��� �������������� ���"� � �� ������ ������ ���C

7� ����� �� ����� ���� $�������� �� ���� ���� ����������

��������� '�� � � ���� ��� � � � � ��� � ��� � ������ ���� �� �� ��� �� � ���� ��� � � � � ��� ������� ���� ���� �� ������� �� ���� ��� � ��� ??���@@ ��� �� �� ��� ??���@@ ����� ���� ��� ���� ��� ������ �� ��� ??���@@ ��� �� �� � ������� ���$���� � ����� ���������� ��� ������� �� �) ���

�� � ����� � ����� � � � �� ������� � ����� � ����� � � � �� �������������������������������������������������������� � ����� � ����� � � � �� �����

'�� � � ��� �������� � ��� ��� ����% � ��� �������) ��� ��� ��� � � ������ �������� � ���� ���� � �� ����� ��� ���� �!��!����� ��� �� ��� � �������� ��� ��� ��� ��� ??���@@��� � �� ��� ??���@@ ��� ���

��� �������" ����B� �� �� ������

��$��% �� ��� ��� ���"�#� #��� ����% � �� ��� � ������ � ��� ����% ����� ���������� ������������� ��� ��������� ������ ������� � ��� ??���@@ ��� ������� �� ������� �� ��� ??���@@ ��� �)������

� � ������ ������ � � � � ������ �

��$��% �� 4���"������ ����� �� ���"�#� #��� ����% " ��� ��� ??���@@ ��� �� �� ��� ??���@@��� �� �������� " �� � ������ � ��� ����% ����� ������� ��� ������������� ��� ��������� ������������� � ��� ??���@@ ��� ������� �� ������� �� ��� ??���@@ ��� ��) ������

" � ����� �� ������ � � � � � ����� �� �

��$��% )� ���� ��� ������� ��� ��� � � � � �� �� ��� ��� ��� �� �� ������� ������������ ��� ����% ��� ��������� �:����� /��.�� �������� " �� ���������� 7� ��� �� ��� ��� �������" ����������� ������� ��:����� /��.��

�����!����� ��-� '�� � �� " � ��� ��� ���"�#� #��� �������� ���� " � ����

(�� ������� � � ���� ��� � � � � ��� �� ��� � ������ ���� � � �� ������� � � ����� �� ��������"��� ����%� ���� ��� � �������

�� � ����� � ����� � � � �� ������ � � �� �� � � � � �

������������" �� ��� ������� � �� �� ������� ����������� 5:����� /������6� ���� ���� ��� ��������� �� � � � 9�������� � ���� � ��� ���"�#� #��� ����% ��� � �� ��� ��� ��� ���

�04:� /6 '7(84� 94::7(; 4(< 94��7�8 �*3

Page 209: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

6. Linear Mappings and Matrices

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

������� �� �������� ��� �������" ��� ��� � ��1

� � ���� ��� � ��� ��� +� -�� �� �� � ���� ��� � ������� ������

��� ���� ��� ���"�#� #��� ����% � ��� � �� ��� ??���@@ ��� ���&���� ��� � ��� ��� ��� ������� � �� � ����� ��������� � ��� ���"��� ��� ������� �� �� �� � ��

&� ���

��� �

� ��

� �� �

+

-

� ���

�� +� � �

��� -� � �� �������" � � �.� � � +

��� �

� ��

� �� �

+

-

� ���

�� +� � �

��� -� � �� �������" � � ���� � � !

����

�� � �.�� � +��

�� � ����� � !���� ����� � � �. ���

+ !

� ��

(��� ��� ��� ���������� � �� �� �� �� ��� �������� ��� ����� � ��� ���"�#� #��� ����% ��

��� ���� ��� ���"�#� #��� ����% " ��� ��� ??���@@ ��� �� �B �� ��� ??���@@ ��� ��0��� �� ����� ��� � ��� ??���@@ ��� ������� �� �� �� � �

� � ����� ��������� � ��� ??���@@ ���������� �� �� �� � �

�� ���� ������

�� � !�� � +���� � ���� � .��

�� ����� " � ! ��

�+ �.� �

4� �%������ ��� :���������� /�!� " � ���� �7� ��� �� ����� ��� ������ " � ������ �����" �����

������� �� �������� ��� �������" ��� ��� � �+1

� � ���� ��� �+� � ��� *� *�� *� �� *�� *� *� ����� � � ���� ��� �+� � ��� *� ��� �� �� ��� �� �� ���

��� ���� ��� ���"�#� #��� ����% � ��� ��� ��� � �� ��� ��� �� ���� � �� ��� ���� ���� �� �� ���������� ����� ��� ��� ������� � � � ����� ��������� � ���

��� �������� � �� ����������

�� � �� *� �� � �� � �+

�� � �� �� �� � ��� � �� � ��+

�+ � �� �� �� � �� � ��� � ��+

�� ����� � �� � �

* � �

� � �

��

4"��� ��� ���������� � ��� ��� �+ ���� � ��� ������� �� �� >����� ��� � �� ������ ��� ����% ������������ �� ��� ��� ������� � �� ���� �� ���� ���� ����� ��� ���"��� ��� �� ��� ���� ��� ��

��� ���� ��� ���"�#� #��� ����% " ��� ��� ��� � �� ��� ��� ����� ��������� � ��� ���"�#� #��� ����% " ����� �� �� ����� ��� � ��� ������ ��� ������� �� � �

����� ��������� � ��� ��� �������� � �� ���� ������

�� � �� *� *� � ���� � ��� � �+

�� � *� �� *� � ���� � ��

�+ � *� *� �� � +�� � ��� � �+

�� ����� " ��� �� +

� � ���� * �

��

&� ������=� ��� �� ��� "� �� ���� �� ����� ����� + + ������� � ����� �$������ D ��� + + ������ ����� � ��� ��� �+�

�*. '7(84� 94::7(; 4(< 94��7�8 5�04:� /

Page 210: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

6. Linear Mappings and Matrices

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

4������������ �� �� ��� " � ��� � �����" ��� ����% � ��� # � �� ��� �������" �� ��� ������� ���1

�� � � � * *

* � � * � *

� � � * * �

�� �� * * �� �� +

* � * � � ��* * � �� * �

�� � �# �����

���� " � ��� ��� �� +

� � ���� * �

��

�0��� �� ��� ���� ��� �� ��� " �� ��� ������� � ���

��� ������ �� 8%���� /�/��� �� ���� �� "������ &� ���� ���� ������ ������� ����� �� ������ � ����

�����!����� ��.� ��� ���"�#� #��� ����% ��� ��� ���� ��� � � �� �� �� ��� � � �� �� �������% � ����� ������� ��� ������������� ��� ��� ������� � ��

���&�/�����! �' �#�� �0�'0,�!�! �����

����� �� ���� ��� ���"� � ��� ���� ��� ���������� � ������ �� ������ ���� � � ��� �������" ������� �� ������ �� :����� /�����

�#����$ ���� '�� � � ��� ���"�#� #��� ����% ��� ��� � �� ��� �� �� ������ ���� � � ����� �� �� ������ � � � � �� ���1

������ � ���� �� ����� ������� � �����(����� � �� �������� ��� ���������� � � �� ��� ���"��� ��� � � ���� �� "�� ��� ���������� � �

�� ��� ��� ��� ���

��$��% �� 4�����"� � �� ����� ��� ���"�#� #��� ����% ��� ��� ��� ��� � �� ��� ��� ��� ����� ������=� ��� �� �� ��� ��� ���� ���� ��� ���������� � � �� ��� ���"��� ��� � ���� ��� ����������� � �� ��� ��� ��� ���

��$��% �� E����� � ��� ��� �������� ��� ��%�� ��� " � ���� ��� �� ��� ��������� ����% ��� ��� ��� ��� � �� ��� ��� ��� ��� ��� ��%�� ��� �� �� �� " � ��� ���� �!��!��� ������� ����%�

&� ��� "��� ��� ���� � ��� ��� ������� �� ��� ������ ��� ��� ��� � � +� ������ � �� ������"�#� #��� ����% ��� ��� ��� � � ���� ��� �+� �� ��� ��� �� � ���� ��� �+�) ���

�� � ���� � ���� � �+�+�� � ���� � ���� � �+�+�+ � ���� � ���� � �+�+

�� ����� � ��� �� ���� �� ���+ �+ �+

(�� ������� � � � ��� ��� � � ���� � ���� � �+�+� ����� ����������" �� ��� ��� �+ ��� ���� ������

� � ������ � ���� � �+�+� � ������ � ���� � �+�+� � �+���� � ���� � �+�+�� ���� � ���� � ���+��� � ���� � ���� � ���+��� � �+�� � �+�� � �+�+��+

�04:� /6 '7(84� 94::7(; 4(< 94��7�8 �*2

Page 211: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

6. Linear Mappings and Matrices

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

����

����� ������+

� �� ���� ����� � ���� � ���+���� � ���� � ���+�+�� � �+�� � �+�+

4�������"���

������ ��� �� ���� �� ���+ �+ �+

������+

� ����� � ���� � ���+���� � ���� � ���+�+�� � �+�� � �+�+

� � ����

������� ����������" ��� �$����� ���� � ����� � � ���� �� "��

������� � ��������� � # ����� � �������� ��%� ������� ������� �� :����� /��/� ����� ��� ���"� � ��� ���� ��� ����%

������������� � ����� ��������

�#����$ ��1� '�� � � ��� ���"�#� #��� ����% ��� ��� � �� ��� �� �� ������ ���� � � ����� �� �� ����� ������� � �� � �

�� ��� � ����� ������ ��� � � �� $ �� ��� ����% �������������� � � �������� ������������� �� � �� �������

$ � �����

������� �� �������� ��� �������" ��� ��� � �+1

� � ���� ��� �+� � ��� *� *�� *� �� *�� *� *� ����� � � ���� ��� �+� � ��� *� ��� �� �� ��� �� �� ������ ���"�#� #��� ����% � ��� � �� � �� ��� ������� ��� ���� ������ �� 8%���� /�/�

��� &���� � � �� +� -� � ����� ��������� � ��� ��� �+� ��� �$���������� ��� ���� �>�� �� �� �� ���� �� �� �������� ����� ��� ������ �$����� � � ��� � ��� � %�+� ��� ���

+

-

� � �

*

�� �

�� %

� ��

�� ��� % � �

�� �% � +

�� ��� �% � -

��� �������� �� � � 3� � � �-� % � !� �� � � 3�� � -�� � !�+�>� ��� ����� ���� �� B��� ��� ���� � ��� +� -�� � ����� � �� ��� ���� ���� �� �� ����� B��� ����

����� ���� � ������� /�/�

���� � ������� ��� �� +

� � ���� * �

��

+

-

� �3

�-!

����� "��� � � 3�� � -�� � !�+�

��� '�� � �� + ��� �! �

+ �� �

�� ����� �� � ������ � ����� ������� �� �+� ���� ��� ����% $ ��� ���������� �

������� �� ��� ��� ��

��* '7(84� 94::7(; 4(< 94��7�8 5�04:� /

Page 212: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

6. Linear Mappings and Matrices

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��� ��������� � ��� ����% ������������� � � ������� �� ��� ��� � ����� �� �� ����� ��� � ����� �������+� � ����� ��������� � ��� ��� ������� ��� ��� �+ � �� ���� ������

���� � ��� +� -� � ���� � -�� � /�+

���� � �� �� 2� � ���� � �!�� � .�+

��+� � +��!� -� � �3�� � .�� � ��+

�� ����� $ ��� �� �3

�- ��! �./ . �

��

&� ������=� ��� �� ��� $� �� ���� �� ����� ����� + + ������� � ����� �$������ D ��� + + ������ ����� � ����� ����� ��+��

>� ��� ����� ���� ����� �� B��� � �� ���� �� �� ��� ������� /�3� ��� ���

$ � ����� ��� �� +

� � ���� * �

�� + ��� �! �

+ �� �

�� � �

* � �

� � �

� ��� �� �3

�- ��! �./ . �

����� � �%������� "���� ��� ��� �������

��- �� ������2

������ � �� $ �� �$��� ������� �� ����� ����� �%���� � ��������� ����% � ���� ���$ � �����) ���� $ �� ��� �� � ����&� �� �� �� $ �� ��� �� � ������ ��� � � ����&� ���� ����� ������� &� ���� �:����� /��2� ��� ��������� � ������� �� � �$�������� ��������

E� ������� /�3 �� ��� ��� ����B� �� ��� ��� �������" ��� �������

�#����$ ��3� ��� ������� ��������� ��� ��� ����� ������� � �� ���� � ��� ������� �� �������

��� ��� �� ��� ����% �������������� � ����� ������� � ��� � �$�������� ���� � ��������������

4 ����� ������� � �� ��� �� � ��� ���&�%��&� � ����� �%���� ��� � � � ���� ��� � �� ������������ ��"��� ����%) ��� ��� � �� ���� ��� �� ��� ���&�%� �� ��� ��������" ������� "���� �� ��� �������" �������

�#����$ ��4� '�� � � ��� ����% ������������� � ����� ������� �� ���� � �� ��"����=�� � ������ � ����� �%���� � ��������� ����% � ���� ��� ����� �� ��"��� ����%�

��� ��� � �� ��"����=�� � �� ���� � ��� ����% ������������� �� � ��"����=�� � ������������� ��������

&� ������=� ��� ��� ����� ������� �� ��"����=��� 0������� �� ���� ���� ������� �*� �������� ����� ������� �� � ����������� � ������ ??������@@ ������� ����� ��� �� ��& �� ��������& ����� ��� ���������� ���� ��$���� ���� ������ � ������ ����������� �� ������������

�5�/����! ��" ��$�&�� ����/�!

������ � �� ������� �� �$��� ������� ��� ���"�� ��� ��� ���� �� ������ �������) ��� ��� �� � � $� �������� � �� ������ �� $� ���� � ������� �������� ��� ������� � � � �� ����� �������� ��� ��� �������" ����� ��� &� �����

� � � � � �� �������� � �� �� ���� E� ������� /�.� ��� ������� �� ���� �������

��� ���������� ������� .� �� ������ ��� ���� �������� �%���� � ���� �������� ��� ����� ������ ��3� �� ������ �������� �%���� � ���� ��������

�04:� /6 '7(84� 94::7(; 4(< 94��7�8 ���

Page 213: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

6. Linear Mappings and Matrices

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

������� �� �������� ��� �������" ����� ������� �� ��� � �� � � ��1

�� �� � ��� +�� !�� -��� � � ��� *�� *� ���� � � ��� ��� �� -��E� 8%���� /��� ��� ����% �������������� � ������� �� ��� ��� � �� � ��� �������������

� � � +

! �-� �

�� $ � -� ��2

��� �--� �

,���" ����% �� �� ���1

��� <��������� � � ����� � ��*� �� � ���) ���� ���� � � ���� � �� - � �+�>� ��� ����� ���� ����" ����% $� �� ���1

��� <��������� � � ���$� � ��./*� �.+. � ���) ���� ���� � � ��$� � -�� -- � �+�4� �%������� ��� ������� ����� ��� ��� �������

��. ������� �� +������ ������ �����+�

'����� �� �������� ��� "����� ��� � ����� �����"� ��� ��� ������ ���� ���� ������� ������ ��� ' �� ������ ����� ���� ��� ��� ���� � ��� ��� ��� � � � �� ��� ' � �� ������������ �������

� � ���� ��� � � � � ��� �� �� � ���� ��� � � � � ����� ������ �� �%�� ���� ������������� � � �� ' �

������ �� ' �� ����� �����"� ���� ��� ������� ���� ���� � � � � ��� ����" �� ' ��� �� ��� �� ����� ��������� � ��� ��� ������� �� ��) ���

��� � ����� � ����� � � � �� �������� � ����� � ����� � � � �� ��������������������������������������������������������������� � ����� � ����� � � � �� �����

��������� ��� �������� � ��� ��� ����% � ��� �������� ������� � ����� � �� ����� �� �� ����� ������ �� �� ���������� � ������� �� ��� ��� � �� ��� 5&� ���� ��� ��� ������ ��������� �� �� ���� ��� ��� �� �����������6

��� �������" ������� �� ���"��� �� ������� /�� �� ����� �������� �:����� /�/3��

�#����$ ���(� ��� �� ������ � � � � ����� � ���� � ����� � �

��� ��� ����������" ��� ���������� � � �� ��� ��� � � � � ��� �� ���� ��� ���������� � �� ����� ��� �� � ' �

����� ��� �� �� ������ ����� � �� '� ��� ���������� � �� ����� �����"� ��� � ���� ' �� ������ ���� �� �� ������� � 0��� �' �� ��� �������" ������� �� ���"��� �� ������� /�� �� �������������� ����� ��� �� ��� � ��� ������ ��� ������ ���� � �� � � ������� �:����� /�/3��

�#����$ ����� ��� �����" ��0��� �' � ������ � �� � �� �� ������ ���� ��������#���� ��� ��� �� �� �� � 0��� �' � �� �� ���� ��

��� � � �� � �� � ��� �� � � �� � �� � ������� ��� � ��� �� ��� � �������� � �� �A������ ����#��#��� �� ������

��� '7(84� 94::7(; 4(< 94��7�8 5�04:� /

Page 214: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

6. Linear Mappings and Matrices

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

>�� ��%� ������� �� ���"��� �� ������� /�+ �� ����� �������� �:����� /�/3��

�#����$ ����� '�� �� ��� ��� � ��� � ������ ����� � �' �( � ������������� '�� �� ' ��� � ' ( � ����� �����"�� ����

�� � ������ � ������� �� ��������� ��� ������� �� ��� ��������� ���� ��� ����% ������������� � ��� ����������� � ��� �����"�

�� ��� ����% ������� � ��� ����% �������������� � ��� ��������� �����"��(�%� �� ���� ��� ��� ����% ������������� � ����� �����" �� ' �� ����� ���� ���

��� �� �������� �:����� /�/3��

�#����$ ���) '�� � � ��� ���"�#� #��� ����% ��� ��� � �� ��� �� �� � � �� ��� " � ������"�#� #��� ����% ��� ��� � �� ��� � � �� ' � ����� �� �� ����� ���� ' �

����� � � � "������� � ��7� ����� ������ � � �� ��� ����% ������������� � ����� �����" ������� �� ��� ��� � �� � � ��

$ �� ��� ����% ������������� � ������� �� ��� ��� �� �� � �� ����

$ � "����

>�� ��� �������� ������ �� :����� /�+/� ����� ��� �� ����� �����" ��� ��� ������ ���� � ���������� ������ ���� ' �� � ����������� � ���� ������ ����%� &� ���� ��� ���� ������� �� ���"����� ������� +��. �� � � ��������

�#����$ ���-� '�� �� ' � ����� ��� ��� ��B� � � ���� ����� �%��� ��� � � �� ' ������� ��� ����% ������������� � �� ��� ���

� � # *

* *

� �

����� # �� ��� #�$��� �������� ����%�

��� ��� ����% � �� ����� ��� �� ��& �� ��������& ��� � ��� ����� �� �

��&6�" ���7&�$!

����� �������������� �� ������ ���������

���� �������� ��� ����� �����" ��� �� ������ � �� �� � +�� !�� ��� -�� �� ��� �������" ��� � ��1

� � ���� ��� � ��� *�� *� ��� �� � � ���� ��� � ��� ��� �� +��

��� ���� ��� ����% � �����������" ������� �� ��� ��� ��

��� ���� ��� ����% $ �����������" ������� �� ��� ��� ��

��� ���� � �� ��� ���� ���� ��� ���� � � �� ������ ��� ��� ������� �� ��� ���������� � �� ��� ��� �������" �� �� � ��� � ���� �� ���

��� � �� *� � +� �� � +�� � ������ � *� �� � !��-� � !�� � -��

�� �� � � + !

� �-� �

(��� ��� ��� ��� ������� � ��� ��� ������� �� ������� � ������� �� ��� ����% ��������������

�04:� /6 '7(84� 94::7(; 4(< 94��7�8 ��+

Page 215: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

6. Linear Mappings and Matrices

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��� ����� ��� ��� �� ����� �� � ����� ��������� � ��� ��� ������� �� �� ��� &� ���

��� � �� �� � ����.� � ��� �� � ��� +�� �� ���� �� � ��

��� +� � �. ���� ��� ������ �� ���� � � �!2� � � +*� ����� ���

��� � �!2�� � +*��

(�%� ��� ��� �� ����� �� � ����� ��������� � ��� ��� ������� �� �� ��� &� ���

��� � �� +� � �.����� � ��� �� � ��� +�� �� ���� �� � �.

��� +� � ��� ���� �� � �� � �� ���� � � �3/� � � !3� 0����

��� � �3/�� � !3��

&���� ��� ��� ������� � �� �� �� � ������� �� ���� $ � �!2 �3/+* !3

� �

���� 4������������ ��� �� ���� ��� ��� ���������� � � ������ ������ �� �� �� �� ������� �� ��� ��� ��&� ���

�� �� � ��� �� � ��� +� � �� ��� ��� +��� �� ���� �� � �

��� +� � �

���� �� � �� � �� ����� � � �� � �� "�� � � �+�� ��� � � ��� �� ����

�� �� � �+�� ����� � ��� �������� ��� ��� ����� �� �� �� �� ��� ��� ���������� � ��� �� ��� ������� �� �1

��� � �� �� � ����.� � �!2�� � +*����� � �� +� � �.����� � �3/�� � !3��

�� �� $ � �!2 �3/+* !3

� �

���� �������� ��� �������" ����� ������� � �� �� �� ��� �1

��� �� � �%� 3�� !�� +�� �� � � ���� ��� � ��� +�� �� -����� ���� ��� ����% ������������� ���� � � ������� �� ��

��� F��� � ���� ���� � ������ �� ��� ������ � � !��+� �� ���

����� ��� ��� ���������� � � ������ ������ � � �� �� �� �� ������� �� ��� ��� �� &� ���

� �� �

+

� �� �

-

� �� �� ��

�� �� � �

+�� -� � �

���� �� � �� � �� ����� � � �� � �� "�� � � �-�� ��� � � +�� �� ����

�� �� � �-�� ����� � +�� ����� �� �� ��� � ��-�� ��� +�� ���

��� ,���" ��� ����� �� �� �� �� ��� �� � ��� 3�� !�� +��� �� ������� � ��� +� � ��2� �+� � ����� � 3*������ � ��� -� � �+�� �+� � �*��� � ��/��

�� �� ���� � ��� �*�

�3* ���/� �

�&� ������=� ��� ��� ��� ������� � �� �� �� �� ������� � �������� ��� ����� �� ��� ����%���������������

��� ,�� ��� ����� �� �� � �-�� ����� � +�� ���� �� "��� � !��+� � ��/�� � �-��

��� � �!��+� � �*� 3� � ��+��� � .*��

���� ���� � ���/� �-�� �� ������ � ���+�� .*��

��! '7(84� 94::7(; 4(< 94��7�8 5�04:� /

Page 216: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

6. Linear Mappings and Matrices

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

4�������"���

���� ���� � ��� �*�

�3* ���/� � ��/

�-

� �� ��+�

.*

� �� ������

����� �� �%������ ��� ������� /����

��)� �������� ��� �������" � � ����% � �� ��� � � ��1

� � � !

- /

� ��� � � ���� ��� � �

��� �

�+

�3� � �

��� ����% � ������ ����� ������� �� ��� ���� ��� ����% $ ��� ���������� ��� �����" �������� �� ��� ��� ��

����� ��� ��� ���������� � � ������ ������ �� ��� ���� ������� �� ��� ��� �� &� ���

� �� �

��� �

� �+

�3� �

���� +� � �

���� 3� � �

���� �� � �� � �� ����� � � �� � �� ���� � � 3�� +�� � � ���� �� ����

�� ��� � 3�� +���� � ���� �������� ��� ��� ����� �� �� ��� �� ��� ��� ���������� � ��� �� ��� ������� �� ��� ��� �1

��� �� !

- /

� ��

��� �

� �/�3

� �� �/+�� � �2��

��� �� !

- /

� �+

�3� �

� �����3

� �� ��+-�� � 3���

&�����" ��� ���������� � ������� ������

$ � �/+ ��+-�2 3�

� �

��-� ���� ��� ����% ������������� � ��� � ��� �������" ����� �������� �� �+ ������� �� ��� ������� � � ���� ��� �+� � �+) ��� ��� ��� �� � ���1��� ������ � �� �� %� � �� ��� +%� !�� -�� /%� 3�� .�� 2%��

��� ������ � ��� + + ����% � �� � �

� + !

- - -

��

��� ������ � ��� � �� +� -����� � �� !� /�� �+� � 3� 3� 3�� �������� -�� ����� ��� ����� �� �� ���������� ������ � ��� ����� �� ��� ������� �� �����

��� ���� � �� ��� ���� ���� ������ ����� ��� ��� ������� � ��� ���������� � �� �� %� � ����1

�� �� � �+! �- �/3 . 2

��� ���� � �� ��� ���� ���� �� � �� ��� ����% � ����� �

��� 0���

��� � �� +� -� � �� � +�� � -�+��� � �� !� /� � ��� � !�� � /�+�+� � 3� 3� 3� � 3�� � 3�� � 3�+

�� �� �� �� � 3

+ ! 3

- / 3

��� ��� ��� ������� � �� �� ��� ��"�� � ��� ���� ��� ��������

�04:� /6 '7(84� 94::7(; 4(< 94��7�8 ��-

Page 217: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

6. Linear Mappings and Matrices

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��.� '�� � � ��� ����� ������� �� �+ ������ � ��� �� %� � ��� %� �� !�� +������ ���� ��� ����% ������������� � � ������� �� ��� ���

� � �)��)��)+� � ��� �� ��� �� �� *�� �� *� *����� F��� � ��� ������ � ����� �� �� ������ � �� �+�

����� ��� ��� ���������� � � ������ ������ �� �� �� � �+ ���� ������� �� ��� ��� �� &���� �� �� �� � ����� ��������� � )��)��)+ ����" ��B���� ����� �� �� �� %1

�� �� �� � ��� �� �� � ��� �� *� � %�� *� *� � �� �� %� �� �� �� �� ������������" ���������� �$�� �� ��� ����� �� ���� ��� ������ � �$������

�� �� % � �� �� � � �� � � �

���� ��� ������ �� �� �� % �� ����� � �� �� � �� ��� � � �� � � �� �� % � �� �� ����

�� �� �� � �)� � �� ��)� � �� ��)+� ��� �$���������� ��� �� ��� � ��� �� �� �� ���

��� ���� ��� �� %� � ��� %� �� !�� +����)�� � ��� �� �� � +��+� +� � +)� � /�� � /�+

�)�� � ��� �� *� � ���+� +� � +)� � /)� � -)+

�)+� � ��� *� *� � *� �� +� � +)� � �)� � )+

&���� ��� ���������� �)��� �)��� �)+� � ������� �� "��

��� �+ + +

�/ �/ ��/ - ��

��� &���� ��� � ����� ��������� � )��)��)+� ����� � � �� �� �� �� � ������ ������ �� �+�

��� � ��� �� �� � ��� �� �� !�� +�� � +�)� � ���� !��)� � ��� /�� ��)+

��� �$����������

����� � �+�� ���� !�� ��� /�� ���4�������"���

������ �+ + +

�/ �/ ��/ - ��

��

�� �

�� �

� �+�

���� !�

��� /�� �

� � �����

���� �������� ��� �������" + + ����% � �� ��� � � �+1

� �� �� �

+ �� *

� ! ��

� �� � � ���� ��� �+� ��

��*

���

+

��

��

��� ����% � ������ ����� ������� �� �+� ���� ��� ����% $ ��� ���������� ��� �����" �������� �� ��� ��� �� ������ ��� � ���������� ����� ������� �� ��� ���� ��� � �+��

����� ��� ��� ���������� � � ������ ������ �� �� �� �� �+ ���� ������� �� ��� ��� �� &� ���

� � �

�� �

*

�� %

+

� ��

�� % � �

�� �� �% � �

�� �� +% � �

��/ '7(84� 94::7(; 4(< 94��7�8 5�04:� /

Page 218: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

6. Linear Mappings and Matrices

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

���� �� �� �� % �� ����� � �� �� � �� "��

� � �� �� �� � � ��� ��� �� % � �� �

���� �� �� ��� � �� �� ���� � ��� ��� ���� � �� ���+

���� ��� ��� ����� �� �� �� ��� �� ��� ��� ���������� � ���� ���� ��+ ������� �� ��� ��� �1

���� � ��� �� ��� � *� �� +�� � ��� � �� � �+���� � ��� �� *�� � ������ ��� � �!�� � +�� � +�+��+� � ��� �� +�� � *� �� +�� � ���� � �� � ��+

�� $ ��� �! ��� �+ ��� + �

��1� ��� ��� � ��� �������" ����� ���� �������� ���������� * �� ��� ��� ��� ����% � ������������� * �������� �� ��� ���� ��� � ���1

��� * �� ������ � *�� *� � �� !� �� **� �� � -� .����� * �� ��� ������� �� �� �����������B���� � 2*����� * �� ��� ��G������ �� �� ��� ��� ���� � � ���

��� ���� ��� *�� *� ��� �� ��� ���� ��� � ��� ����� ����� ��"�� ����� * � ������� �� "��

� � � -

! .

� �

��� ,���� ��� ������� *� �� ��� *�� *� � *� �� �� **� �� � ��� *�� ����

� � * ��� *

� �

��� ,���� ��� ��G������ *� �� ��� *�� *� � *���� �� **� �� � ��� *�� ����

� � * ���� *

� �

��3� ��� ��� � � ��+�� ��+�� ���+�� �� ��� � ������ ���� � � �������� � �� �� '�� � ����� ������� ������� �� � � ��� ��� � � � �� ���� ���� ��� ����% ������������� � ������� �� ������ ��

���� ��� ��"� � ��� ��� �������1

�+�� � +�+�

��+�� � �+� � +��+�

���+�� � ���+� � +���+�

� +�+�� � *��+�� � *���+��� ��+�� � +��+�� � *���+��� *�+�� � ���+�� � +���+��

�� ���� �� �+ � *

* + �

* * +

��4� :���� ������� /��1 '�� � �� � � ����� �������� �� ��� � � ������� ��� � � � ����� ���� ������ � �� � � �� �� ���� � �� ���� �

������ � � ���� ��� � � � � ���� �� �������� �� � � �� � � � � ��

� ��� � ����� � ����� � � � �� ����� ���

��������

���� �� �� �� ��� �#�$��� ����% ����� ��� ��� ��

���� ���� � � � � ���� ��

�04:� /6 '7(84� 94::7(; 4(< 94��7�8 ��3

Page 219: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

6. Linear Mappings and Matrices

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

(�� �������

� � ���� � ���� � � � �� ���� ���

�������

&�����" ������ ������ � ��� �������� � ��� ������� �� ���

���� � ��� ��� � � � � ���� ��

������������ ����" ��� �������� � � �

� �� � ���

�������

� �� ��

������ ��� �

��

�����

���

��������

� ��

���

��

��������

� ��� �

��

�������� � ����� � � � �� ��������

���� �� ���� �� ��� ������ ������ ����� ��� ����� ��

����� � ����� � � � �� ����� +�

>� ��� ����� ���� ��� ��� ����� � �� �� ���� �� ������ � ����������" ��� ��� ��� � �� �� � ����� ��� ����� � ���� E�� ��� ������� � ��� �� ��� �� �+�� 0���� �� �� ���� �� �� ���� ��� ��� ��� �������� ������ �� ���� � �� ���� �

���(� :���� ������� /��1 '�� � � ���� ��� � � � � ��� � ��� �� � ���� �� �� ��� � ��� �"�� � �#�$��� ������� ���� �� ���� ��� �����" ���� � ������ � �� � � �� �� �� ���������� ������������ ��� ��� �� �� �� � �� � �� �� � � �� �� ���1

��� � � �� � �� � ���� ���� ��� � ���� ����� � �� ���#��#��� �� �����

��� ������� �� � � �� � � � � ��

��� ���

�������� �� ���� �

��

��������

�������� ��� ������� � � ����� �� $ � ������ ���� �� � �� �� ��� � $� � &� ���� �� � � �� � � � � ��

� ����� � ��� � ���� ���

������ � ������

���� �� $ �� ��� ����% ��� � ����� �� ���� � �� � �� $�� � �� � $� � �� � ���

���� 4���� �� � � �� � � � � ��

����� � ���� � ���

�������� �

��

����������

���� �� �� ��� ����% ������ �� ������ � ���� � ��� � ���

����� ������� � �� ���#��#���� ����� ����� �����" �� ���������� ���������� � ��� ����� �� ���� 4���� � �� ����� ����� ����% � � ����� �� �� ��� ��"� � ��� ����� ��������

��� ���

��������� � � �� � � � � �

���� ��� ������� �� �������

��. '7(84� 94::7(; 4(< 94��7�8 5�04:� /

Page 220: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

6. Linear Mappings and Matrices

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

����� :���� ������� /�+1 ��� �� ����� �������� �� � �� �� �� � � � ������,���" ��� ������� �� :����� /��*� �� ���

� � ���� � ����� � �

���

��������

�� ��

����������

� ��

������

��

��������

� �� ��

���

���

���������

���

����� ��� �$ �� ��� ����% �$ � ���� �� ����� ��� ���

��� ������ � 4�������"���

�� � � � �$�� � $��� � �����

���� ��� ������� �� �������

����� '�� � � ��� ����% ������������� � ����� ������� �� :���� ���� �� �� ��������� � ��� ����� ��� � �� �� ��� ����% ������������� � � � �� 5���� � � � � * � �� ���� � � �� � *�6

'�� � � ��� �����" ��� ����� � ������� � ���� ��� ����% ������������� �� &� ���� �� ����� ���� � � �� � � ��� ������ � �� � ���

� � � � �� ��� � �*� ��� ���� �� � ��������� �� �� ��� ��"��� � � ��� ������ � � *� ����� ��� �# �� � # � ����� # � �� ��� �������� �����" �� # �� ��� �������� ����%� ����

� � � �� � ��*# �� � �*�# �� � �*# � � ���� �� ��� ������� ����� �� � � *�

(�� ����� ��� ������� ����� �� ���������� � ��"��� ���� ��� �� ����� ����� � �� � �"��������������

� � � �� � ����� � �������� � � � �� ��� � �*#

��� ���� ������� � ��������� � � � �� ��� � �*#

��� ����

��� � �������� � � � �� ���� �*# � � � ��

�� ��� ������� �� �������

�*��+� �� ,����

��� ��������� ������ ���� �� ���� ������� ���� ���� ������ ������ ������� ��� ���

���� � ���� ��� � � � � ����

���)� �������� ��� �������" ��� � ��1

� � ���� ��� � ��� *�� *� ��� �� � � ���� ��� � ��� +�� �� !��

��� ���� ��� ���"�#� #��� ����% � ��� ��� ���� ��� � �� ��

��� ���� ��� ���"�#� #��� ����% " ��� � �B �� ��

��� ���� ��� ��������� ������ ��� � � � -��+� ������� �� ��

��� ���� � �� ��� ���� ���� ������ ����� ��� ��� ������� �� � � �������1 � � � �

+ !

� �

�04:� /6 '7(84� 94::7(; 4(< 94��7�8 ��2

Page 221: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

6. Linear Mappings and Matrices

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��� ������ ,�� ��� ��������� � ��� ���"�#� #��� ����%� ��� ��� �%����� ��� ������ �� � � ����� ��������� � ��� ������� �� �� &� �� ���� � ���� �����" ��� ���������� � � ������ ������� � �� �� ������� �� �� &� ���

�� �� � ��� +� � ��� !� � �� �� +�� !�� ���� � � �

+�� !� � �

���� �� � �� � �� ���� � � !�� �� � � �+�� �� ����

� � !�� ���� � �+�� ���� �� ���� � ��� ���� � �!�� �� �+�� ���

,���" ��� ��� ����� �� ���� �� ������" ��� ���������� � ��� �� � ������� ������

�� � �� *� � !�� � +���� � *� �� � ��� � ��

�� " � ! ���+ �

� �

������ � ���� " � ���� ��� ���� �� � ����" ��� ����� �� ��� ������� � � � ����%�����

��� � ! ���+ �

� �

��� ������ &���� � � ����� ��������� � ��� ������� �� �� �� � ����" ��� ��� ����� ��� � �� ��� &� ��� � � -��+� � �+�� � �.��� �� �� ���� � ��+���.�� ������� � ,��� ��� ������� /�/� ��� �� ��� ���� � ������� �� ��� �� ��� ���� � �-��+�� 1

���� � ������� � ! ���+ �

� �-

�+� �

� �+

��.� �

���-� ��� ������� �� � �� �� *�� �� � �� +� ��� �+ � *� �� +� ��� ��� � � �+� ����1

��� ��� ���"�#� #��� ����% � ��� ��� ���� ��� � � ���� ��� �+� �� ��

��� ��� ���"�#� #��� ����% " ��� � �B �� ��

��� ���� � �� ��� ���� ���� ������ ����� ��� ��� ������� � � � �������1 � �� � *

� + �

* � +

��� ������ 8%����� ��� ��� ������ � � � ����� ��������� � ��� ��� ������� � � � ���������" ��� ���������� � � ������ ������ � � �� �� �� ������� �� ��� ��� �� &� ���

� � �

*

�� �

+

�� %

*

+

� ��

�� � � �

��� +�� % � �

��� +% � �

���� �� �� �� % �� "�� � � 3�� +�� �� � � �/�� +�� �� % � !�� ��� �� ����

� � �� �� �� � 3�� +�� ���� � �/�� +�� ���� � !�� ��� ���+

�� ���� � ��� �� ���� � �3�� +�� �� �/�� +�� �� !�� ��� ���,���" ��� ��� ����� �� ���� �� ���� ������" ��� ���������� � ��� �� � ������� ������

�� � �� *� *� � 3�� � /�� � !�+�� � *� �� *� � �+�� � +�� � ��+�+ � *� *� �� � �� � �� � �+

�� " �3 �+ �

�/ + ��! �� �

��* '7(84� 94::7(; 4(< 94��7�8 5�04:� /

Page 222: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

6. Linear Mappings and Matrices

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

������ � ���� ��� � ��� �������" � ��� # � �� ��� ��� �# �����1

�� � * � * *

� + � * � *

* � + * * �

�� �� � * � * *

* � � �� � *

* � + * * �

��

�� � * � * *

* � � �� � *

* * � ! �� �

�� �� * * 3 �+ �

* � * �/ + �

* * � ! �� �

�� � �# �����

���� " � ��� �3 �+ �

�/ + ��! �� �

��

���.� ������ ��� �# �� �#%�� �� ��� ���� �� �� ������ �����������B���� !-� �� ��� ��� ��� ��# ����#%�� �� ���" ��� ���� � � � �� ��� ���� � � ��� �������������

��� ���� ��� ���"�#� #��� ����% ��

��� ���� ��� ���������� � ��� ����� �-� /� ����� ��� "���� ��������

��� ��� ���� ������� �� ��� ��������� � ��� ��� ��# �� ��#%�� ��

�� � ��

����

�� ��

����

�� �� �� � � �

����

�� ��

����

��

���� ���� ������� �� ��� ��������� � ��� ���"��� � �� � %�� �� ��� ���� ��� � ���� ���� ����� ������������� � �� �� �� � ������� �� ����

� ���

����

� � ��

����

���

����

���

����

�� �

��� 9������� ��� ���������� � ��� ����� � ���1

��

����

���

����

� ��

����

���

����

�� �

-

/

� ��

���

����

���

����

�� �

� ���� � �� �����"���� ��� �� ������ ��� �������� � ���

����� ��� ������� �� � �� �� *�� �� � *� �� ��� �+ � �� �� �� ��� ��� � � �+� ���� ��� ����������� � ������ ������ � � �� �� �� ������� �� ��� ��� ��

������ 8%����� � � ����� ��������� � ��� ��� �+ ����" ��B����� �� �� %� &� ���

�� �� �� � ��� �� *� � �*� �� �� � %�� �� �� � �� %� �� �� �%� �� �%�

���� ������ ��� ������

�� % � �

�� �� �% � �

�� �% � �

��

�� % � �

�� % � ��� �

�� �% � �

��

�� % � �

�� % � ��� �

% � �� �� �

�����" � �B#����������� ������ � � �� �� � � ���� ��� �� % � �� �� �� �����

���� � ��� �� ���� ��� �� �� �� ���

������ � ���� ��� � ��� �������" � ��� # � �� ��� ��� �# ������ ����� � �� ��� ���"�#� #�������% ��� ��� ���� ��� � �� � ��� �� ����� ������ ��� ����% ����� ������� �� ��� ��� ������� � ��

�04:� /6 '7(84� 94::7(; 4(< 94��7�8 ���

Page 223: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

6. Linear Mappings and Matrices

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

&� ���

�� * � � * *

� � � * � *

* � � * * �

�� �� * � � * *

* � � �� � *

* � � * * �

��

�� * � � * *

* � � �� � *

* * � � �� �

�� �� * * * � ��* � * �� � ��* * � � �� �

�� � �# �����

���� ��� �* � ��

�� � ��� �� �

�� �� ���� � ������� �* � ��

�� � ��� �� �

��

�� ��� �

���� ��� �

�� �� �

��

���1� �������� ��� �������" ��� � ��1

� � ���� ��� � ������� +��!�� �� �� � ���� ��� � ��� +�� +� .��

��� ���� ��� ���������� � � � �� �� ������� �� ��� ��� ��

��� ���� ��� ���"�#� #��� ����% � ��� � �� ������ ���� ��� ���������� � � � �� �� ������� �� ��� ��� ������ ���� ��� ���"�#� #��� ����% " ��� �� �B �� ��

��� F��� � " � ����� � � ��� ���� �� �� ������ � � �� �� �� ��� ������� � ����� � � �� ������� /�/��

��� '�� � � ��� � ��� �� ��B����� � �� �) ��� ���

� �� �

��� �

� �+

�!� �

���� +� � �

���� !� � ���

�� +� � �

�� � ��� �

���� �� � �� � �� ����� � � �� � �� "�� � � ��� � +�� �� � � �� �

��� ����

�� �� � ���� +���� � �� �

����� �� ��� ���� � ����� +

��� �� �

����

��� ,�� ��� ��� �� ����� ��� � ��� ��� ������� �� �� �� � �� � ����� ��������� � ��� ��� �������

�� �� �� � �) ��� ���

�� � �� +� � ��� 2���� � �� +

���� � � �+

��� � -

���

�� � +� .� � �/� ����� � +� !��� � ��.�� � 3��

���� � �� ��� ����% ����� ������� �� ��� ���������� � �� �� �� ������� �� ��� ��� �) ��� ���

� � � �+�

��.-�

3

� �

��� '�� � � ��� � ��� �� ��B���� ����� � �� �1

� �� �

+

� �� �

+

.

� ���

�� +� � �

+�� .� � ���

�� +� � �

�� � �� +�

�����" �� � �� � �� "�� � � �.�� +� �� � � +�� �� ����

�� �� � �.�� +���� � +�� ���� �� ��� ����� � ��.�� +�� +�� ���

��� '7(84� 94::7(; 4(< 94��7�8 5�04:� /

Page 224: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

6. Linear Mappings and Matrices

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��� ,�� ��� ��� �� �%����� ��� � ��� ��� ������� �� �� �� � � � ����� ��������� � ��� ���������� �� �� �� � �

�1

�� � ����� � �.� /��� � +� ���� � ��!�� � -��

�� � +��!� � ��!� ����� � 2� !��� � �+/�� � �+��

&���� ��� ���������� � �� �� �� ������� �� �� � ������� �� ���� " � ��! �+/- �+

� ��

��� "� � ��! �+/- �+

� � � �+�

��.-�

3

� �

� � *

* �

� �� #

� � � ,�� ���� ���� ���� �� ��� �� ����

������� � "���� � ��! �+/- �+

� � ���� +��

�� ���

� �

� �.�� +�

+�� �

� �� �����

���3� ������ � �� ��� ���"�#� #��� ����% ��� ��� ���� �� ��� �)��� �� ������� " �� ������"�#� #��� ����% ��� ��� ��� �)�� �B �� ����� :���� ��� � �� ��������� �� ��� " � ����

������� �� � � �� �� � � � � �� ���

)� � ����� � ����� � � � �� ����� ���

�������� ��

��� �� � � �� �� � � � � ��

�� � ���)� � ���)� � � � �� ���)� ���

������)� ��

'�� � � ����� �� $ � ���� �� ���� � � �� �� " � $� � ���������" ��� ���� ��� ������

)� ���

������

���

������)�

�� ��

���

���

���������

�)�

���� �)�� �� �����

������ � ��� � ����� ��� �� ��� H�����B�� ����� ��� ��� ��� � � � � � � �� ��� � * � � �� �� ������ �$ � ���� �� ���� ��� � ��� � 4�������"��� �$ � # � �� ��

"� � $��� � �$�� � #� � #

���� " � ����

���4� �������� ����� ��$����� � ������� � � ���� ��� � � � � ���� '�� �� � ��� ��$����� � ������������� ��� � � ��� � ��� �������" ??��������� ���������@@1

��� 7�������"� ��� ��������

��� 9������� ������ � ���=��� �����

�+� 4�� �������� � ��� ������ �� ������ �������

��� ��� � �� �� ��� ��� ��� ������ ( � 4���� ���� ��� �� �� ������� ����������� � ������ � � �� ������� ������������

>����� ���� �� ��� ��������� ��� ������� �� �� ����� ���������� � ������� �� �� 4���� ����� ����������� �� � ������� � ��� ��� ����� ��� ������ �� � �� ����� ��������� � ������� �� ��� ���� � ���� ��� ��� ��� ������( � 9�������� �� �� ������� ����������� � �� ���� � ��� ( � �� �� ���� �� ���� � �� ���� � � �� ������� ������������

�04:� /6 '7(84� 94::7(; 4(< 94��7�8 ��+

Page 225: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

6. Linear Mappings and Matrices

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

���(� '�� � � ����� �� $ � ����� � ��� �$������� � � ������� ���� ���� �� �� ��� ��� ��� � � � � �� ��� ������� �� ������ ���� � ���� �� ��� � � �� �� � � � ��� ��� �� �� )� � ������ �

�� � ����� � ����� � � � �� ����� �� )� � ����� � ����� � � � �� �����

��� ��� ���� �� �)�� ��� ��� ��� ������ � � �

4������" � ??��������� ��������@@ � :����� /��2 �� ���� �� �$������� �� ������" � ��������� ����������� �� ��� ����% �� ���� � �� $ �� ��� �$�������� $ �� � ������ ��� � � ��$����� � ��������� ��� ���������� 0���� �)�� �� � ������ ��� ���� � ��� ������������" ��$����� � ���������� 4�������"��� ���� �� �)�� ��� ��� ��� �����

����� ������ ��� ��� � � � � �� ����" �� ������ ���� � ���� ���� �� �� ������� � � ����� �� ��#�$��� ����% ���� �� ��� � � �� �� � � � � �� ��� �� � ����� � ����� � � � �� ������

��� ������ � �� ���������� ��� ��� ���� �� ���� ��� ��� ��� ������ � � � 0���� ���� ��������� ����������� � �� ���� � ���� �� ������� ������������

��� ������ � �� ���"��� ���� ����������� ��� ��� ���� �� ������� ����������

��� ������ ���� �� ������� ������������ ��� ��� � �� ����������

��� ���� � �� ���������� �� �� ��� �$������� �� ��� �������� ����% # � 0����� � :����� /��2� ���� �� ������� ��� ��� ������ � � � ���� ��� �� ������� ����������� � �� ���� � ��� ����� �� �������������������

��� ���� � �� ��� ���������� �� �� ��� �$������� �� ����% ���� =��� ���� ���� ���� ���� ���� ������� ��� �� ������" ��� ���� ���� ��� � ��������� ���� ���� �� ������� ����������

��� ���� �� ��� ������������� � ��� �������� � ��� ���� �� �� �� ������ ��� ��� ����

����� :���� ������� /�/1 '�� � � ��� ���"�#� #��� ����% ��� ��� � �� ��� �� �� ���������� � � ����� �� �� ������ � � � � �� ��� ����� � � ���� �� ����� ������� � ���� � �

������ � � ���� � � � � ��� �� �� � �)�� � � � �)��� �� �������� �� � � �� � � � � ��

)� � ����� � ����� � � � �� ����� ���

��������

���� � �� ��� �#�$��� ����% ����� ��� ��� ��

���� ���� � � � � ���� ��

4��� ������� � � ��)� � ��)� � � � �� ��)� ���

��� ��)�� ����

����� � ���� ��� � � � � ���� ��

���������" �� )� �� ��� �$����� �� �� �� ����

� � ��

�����)� �

��

�����

���

��������

�� ��

���

���

��������

���

� ��

�������� � ����� � � � �� ��������

4�������"��� ���� �� ��� ������ ������ ����� ��� ����� ��

����� � ����� � � � �� ����� +�

��! '7(84� 94::7(; 4(< 94��7�8 5�04:� /

Page 226: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

6. Linear Mappings and Matrices

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

>� ��� ����� ���� ��� ��� ����� � ������ �� ������ � ����������" ��� ��� ��� � � � ������ ��� ��� ��� � ����0������� ��� ������� � ��� �� ��� �� �+�� 0���� ������ �� ���� ��� ��� ��� �������� ���� ������ � ���� � � ��������

������������ ����������" ��� ��� � ��� "���� ������� � ��������� � ����� �

������ ��������� �� �*��+� �� ,����

���)� �������� ��� ����� ���� ������� �� �� ������ � �� �� � -�� �� ��� �� �� ��� �������" ��� � ��1

� � ���� ��� � ��� *�� *� ��� �� � � ���� ��� � ��� !�� �� 3��

��� ���� ��� ���"�#� #��� ����% � ��� � �� � �� ��� ���"�#� #��� ����% " ��� � �B�� ��

��� ���� ��� ����% � ��� ���������� �� ��� ��� ��

��� ���� ��� ����% $ ��� ���������� �� ��� ��� ��

��� ���� � �� ��� ���� ���� ������ ����� ��� ������� �� � � ������� �� ���� ��� ���"�#� #��� ����%�� ������ ���� ��� " � ���� ����

� � � �

! 3

� ��� " � ��� � �3 �

! ��� �

��� &���� ��� ��� ������� � � �� � �� �� �� � -�� �� ��� �� � ���� �� "��

� � - ��� �

� �

��� ������ ���� ��� ���������� � ��� �� ��� ������� �� ��� ��� �� ���� �� � ���� � ���������" ��� ���������� � � ������ ������ �� �� �� �� ������� �� ��� ��� �� &� ���

�� �� � ��� !� � ��� 3� � �� ��� !�� 3��� �� ���� �� � �

!�� 3� � �

���� �� � �� � �� ����� � � �� � �� "�� � � �3�� ��� � � !�� �� ����

�� �� � �3�� ����� � !�� ����(�� ��� ��� ����� �� �� �� �� ����

��� � �� !� � �� /� � -�� � ������ � �� 3� � +� ��� � �� � ��

�� �� $ � - �

�� �

� �

������ � E� ������� /�3� $ � ������ ����

$ � ����� � �3 �

! ��� �

- ��� �

� �� �

! 3

� �� - �

�� �

� �

���-� '�� � � � +

! ��� �

���� ��� ����% $ ��� ���������� ��� ����� ������� � ������� �� ��� ���

� � ���� ��� � ���� +�� � ��� -�� �� 5����� � ������ ����� ������� ���� �� ������� �� ������� ��� � � ��6�

������ ���� ��� ���������� � ���� �� ���� ������� �� ��� ��� � � ���� �����" ��� ����������� � ������ ������ ��� ��� �� �� ������� �� ��� ��� �� E� :����� /���

��� ��� � �-�� ����� � +�� ����

�04:� /6 '7(84� 94::7(; 4(< 94��7�8 ��-

Page 227: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

6. Linear Mappings and Matrices

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

,���" ��� ����� �� ��� ��� � �� ����

���� �� +

! ��� �

+

� �� ��

� �� �-+�� � +���

�� ���� �� +

! ��� �

-

� �� �2

+

� �� �.2�� � -!��

���� $ � �-+ �.2+� -!

� �

������ � ,�� $ � ������ ����� � �� ��� ���"�#� #��� ����% ��� ��� ���� ��� � �� �� ���������� ����� ��� ������� �� � �� �������� �� ���� ��� ���"�#� #��� ����% � �� ���� ��� ��� ����� ������ ���� "����

� � � �

+ -

� ��� ��� � �- �

+ ��� �

���� $ � ����� � � �

+ -

� �� +

! ��� � �- �

+ ��� �

� �-+ �.2+� -!

� �

���.� '�� � �� + �

� - �!� �� �

� ���� ��� ����% $ ��� ���������� ��� ����� ������� � ������� �� ���

���

� � ���� ��� �+� � ���� �� *�� � �*� �� ��� � ��� �� ��� �5����� � ����� ������ ����� ������� ���+ �+ ������� �� ��� ���� ��� � � �+6�

������ ���� ��� ���������� � ����� ����� ��+� ������� �� ��� ��� � � ���� �����" ������������� � � ������ ������ � � �� �� �� �� �+ ������� �� ��� ��� �� E� :����� /��/�

���� � �� ���� � ���� ��� ���� � �� �� ���+

,���" ���� ����� �� ��� �� ��� � �� �������� � �!� 3����� � .�� � 3�� � -�+� ���� � �!� �� *�� � �� � /�� � +�+

��+� � �2� !� ��� � +�� � ���� � /�+

&�����" ��� ��� ������� � ��� ��� �+ � ������� ������

$ �. � +

3 �/ ����- + /

������ � ,�� $ � ������ ����� � �� ��� ���"�#� #��� ����% ��� ��� ���� ��� � �� �� �������% � ������ ������� �� ������ ��� ������� �� �� �� ��� ���� �� :����� /��/� ����

$ � ����� �* � ��

�� � ��� �� �

�� + �

� - �!� �� �

�� * �

� � �

* � �

� �. � +

3 �/ ����- + /

����� :���� ������� /�31 '�� � � ��� ���"�#� #��� ����% ��� ��� � �� ��� �� �� ���������� � � ����� �� �� ����� ������� � �� � � �� ��� � ����� ����

'�� � � ������ �� � � ����� � ������� /�/� ������ � ���� � ����� ��������� �������� � ����� �� ���� � ����� ���� � �� ���� �

��/ '7(84� 94::7(; 4(< 94��7�8 5�04:� /

Page 228: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

6. Linear Mappings and Matrices

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

E�� �� ��� ����� � �� ����� � 0��������� ������� � � �� ��� �����

���� ��� �����" � � ���� � �� ���� ��� �� ��� ����� ���+ � �� �� �+ �� ����� + � ��� ��������� ��� � �� ��� � � �������

�� ������2 �� �������

���1� '�� � � ! ��+ /

� ��� � � � �

+ !

� ��

��� ���� $ � ������ ��� F��� � ��$� � ����� ��� F��� � ���$� � ��������� ����� ��� ��� ����" ��� ����� �� ��� ������� � � � ����%� &� ���

��� � �� �+�

� ��

� �

����

$ � ����� � �� �+�

� ��

� �! ��+ /

� �� �

+ !

� �� �- +*

� �3�

��-� �

��� ���� � !� / � �* �� ��$� � �-� �- � �*� 0���� ��$� � �������� ����� � �!� / � +* �� ���$� � �+3-� !*- � +*� 0���� ���$� � ������

���3� ���� ��� ���� � ��� � ��� ����� ���� �������� �� �+ �� :����� /�!�

���� ��� ���� ���� � ��� ��"��� ��������� � �� ����% ������������� � ���� � ��� ����%������������� �� � ��� � ������� �� ��� ���� ��� � "���� �� :����� /�!�

��� ��� � ����� � �� -� 2 � -�

��� ��� � ����� � �� +� - � 2�

��� ��� � ����� � �� !� 3 � ���

���4� &���� � � $ � � �� ������ �� $� ��� ��� � ����� �%���� � ��������� ����% � ���� ��� � � ���$��:���� ��� � �� � �$�������� ������� ��� �$��� ��������) ��� ���

��� � � �� �� ����� �� ��� 7 � � $� ���� $ � ����� 7 � � $ �� $ � ,� ���� � � ,�

��� ��� �������� ����% # �� ���������� �� #�� � # � ���� � � #���# � �� ��� � � ��

��� ���� � � $� ����� �%���� � ��������� ����% � ���� ��� � � ���$�� 0���� $ � ����� � ���������� ��� �� ��� ���������� ���� $ � ��

��� ���� � � $� ����� �%���� � ��������� ����% � ���� ��� � � ���$�� �� ����� $ � ,� ����� �%���� ���������� ����% " ���� ��� $ � "��,"� ����

� � ���$� � ���"��,"�� � ���"���,"�� � "����,"���� "� �� ��� ���������� ���� � � ,�

��)(� ������ $ �� ������ �� �� �� $ � ������ :����1

��� $� � ������� �� �� $� �� ������ �� ���

��� � $� � ���� ���� �� �� ��������� � ��� �� �� � $� �� ������ �� � ������ $ �� ���� � ��������� �� � �� ���� � � �� ���� � ���

�04:� /6 '7(84� 94::7(; 4(< 94��7�8 ��3

Page 229: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

6. Linear Mappings and Matrices

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��� ��� ���� �� � ��������� �� �� ��� ������ ����� �� � � � � ����������� ������ � � � �� ��� ����������� �� �� �� ����

$� � $$��� � ��������������� � ������

��� ������ � �� � ���� � � � �� ���� �*� ,���" ��� �� � �� ��"�� ����������� ��� �� ��� ��� �� ���

���� ��� � ������� � � � �� ���� �*# ��� ��������� � � � �� �������� � ����*# ��� ��������� � � � �� �������� � �*���#��� ��$

� � � � �� ��$� �*# � � $�

��� E� ��� ���� $� � * � �� ���� � ��� ��� � * � �� ���� � �� � �*��� � *�

����� ��������������� �� +������ ������ �����+�

��)�� '�� ��+ �� � ��� ����� �� ������ � �� �� %� � +�� ��� !%� �� -�� +%����� ���� ��� ����% � �� ��� �������" ��� � �+ �� ��1

� � �)��)��)+� � ��� �� ��� �� �� *�� �� *� *�� �� �� � ���� ��� � ��� +�� �� -����� F��� � ������� /��*1 ��� ����� � �� ��������� � ��� ����% �������������) ��� ��� �� ��

� �� �+ � �� ��� ������ ���� � ������ ���� ���� :����� /��� �� �� � �-�� ����� � +�� ����� ����

)�� � �� �� �� � ����� � 3�� � !��

)�� � �� �� *� � -��!� � �++�� � �2��

)+� � �� *� *� � +� �� � ��+�� � .��

&���� ��� ���������� � )��� )���)+� � ������� �� "��

������ � �3 �++ �+

! �2 .

� �

��� 7 � � �� �� %�� ����� � :����� /�-� � � %)� � �� %�)� � �� ��)+� 4����

�� � +�� ��� !%� �� -�� +%� � ��+�� �*�� �/%��� � .�� ���� �-%���0���� ���� � %� �� %� �� ��� �� ������ �

��+�� �*�� �/%

.�� ���� �-%

� �

����

����� � ���� � �3 �++ ��+! �2 .

� � %

�� �

�� �

� � ��+�� �*�� �/%

.�� ���� �-%

� �� ����� �

��)�� '�� ��� �� � ��� ����� �����" ������ � ������1

��� ��� � � � � ��� � ����� � � � �� ������ ����� � � � �� ������ � � � � ����� � � � �� ��������� ��� ��� ��� ���� � ��� ����% �� �����������" ������� �� ��� ���� ��� � �� �� ��

�� ��� ��� ������� � ��� �� �� ��� ���������� � ��� � � � � ������� ���� ��� ����% ������������� � ��� � ��� �������" ����� �����"� ������� �� ��� ����

��� � ��1

��. '7(84� 94::7(; 4(< 94��7�8 5�04:� /

Page 230: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

6. Linear Mappings and Matrices

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��� ��� �+ ������ � �� �� � +�� �� ��� !�� -�� /������� ��! �� ������ � �� �� �� �� � +�� !�� ��� -�� -�� 3�� �� ��������� ��+ �! ������ � �� �� %� � ��� +�� .%� �� �� %� !�� -%� /���

��� &� ���

�� *� � � � � *� � ���� ���� � � � � ����*� �� � � � � *� � ���� ���� � � � � ���������������������������������������������������������*� *� � � � � �� � ���� ���� � � � � ����

�� ���� �� ���� ��� � � � ������ ��� � � � ��������������������������������������� ��� � � � ���

��

���

��� E� ��� ���� �� ���� ���� ���B � ��� ��� ������� � ��� ��B���� �� �� � � � �� �� �� � � ��� ����

�� �� �+ ��� !

- �/

�� ��� �� � + �! � �-- 3 �� ��

� �� ���� �� �

� + �.� � �

! * �-* / *

��

���

��))� '�� � � � - �+� �! 3

� �� ����� ��� � ���������� �����" ��+ �� ������ � �� � ���

����� ������� �� ������� � �������� ���� ��� ����% �� ��� ���������� ��� �����" ������� �� ��� �������" ��� � �+ �� ��1

��� ��� ���� ��� � �+ �� � ���

��� � � �)��)��)+� � ��� �� ��� �� �� *�� �� *� *�� �� �� � ���� ��� � ��� +�� �� -������ ������� �� ��� ���� ���� �� �� ��� ����% � ����� �

��� ���� :����� 2��� �� �� � �-�� ����� � +�� ����� ����

)�� �� - �+� �! 3

� � �

�� � !

!

� �� ����� � .��

)�� �� - �+� �! 3

� � �

*

�� � 3

�+� �

� �!��� � �!��

)+� �� - �+� �! 3

� � �

*

*

�� � �

� �� �.�� � -��

&�����" ��� ��� ������� � )��� )��� )+� � ������� ������ �� � ��� �!� �.. �! -

� ��

��)-� �������� ��� ����� ���� ������� � �� �� ������ � � �� �� � ��� +�� �� !�� �� ��� �������" ��� � ��1

� � ���� ��� � ��� *�� *� ��� �� � � ���� ��� � ��� +�� �� -��

��� ���� ��� ����% � �����������" � ������� �� ��� ��� � �� ��

��� ���� ��� ����% $ �����������" � ������� �� ��� ��� � �� ���&� �� ���� � � ����� �����" ��� ��� ���� ���� ������� ��� ����" ��� ��� �����

�04:� /6 '7(84� 94::7(; 4(< 94��7�8 ��2

Page 231: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

6. Linear Mappings and Matrices

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��� ���� :����� /��� �� �� � �-�� ����� � +�� ����� 0����

� ��� � � �� *� � �� �� � �.�� � -��� ��� � � *� �� � �+� !� � �+�� � �+��

�� �� � � �. �+

- ��+� �

��� &� ���

� ��� � � �� +� � �3� �+� � �3�� � �+��� ��� � � �� -� � ���� ��� � ����� � ����

�� �� $ � �3 ����+ ��

� �

��).� 0�� �� ��� ������� � �� $ �� :����� /�+! ������C

E� ������� /���� ��� ������� � �� $ �� �$������� �� ��� �����) ��� ��� ����� �%��� ������"���������� � �� " ���� ��� $ � "����� ����� � �� ��� ���"�#� #��� ����% ��� � �� �� �� " �� ������"�#� #��� ����% ��� � �� �� ����

� � � �

+ -

� �� " � �- �

+ ��� �

� "�� � � �

+ -

� �

�� "���� � � �

+ -

� � �. ��+- ��+

� �� �

+ -

� �� �3 ���

�+ ��

� �� $

��)�� :���� ������� /��!1 '�� �� ' � ����� ��� ��� ��B� � � ���� ����� �%��� ��� � ��� ' ���� ��� ��� ����% ������������� � �� ��� �������" ���� ����� # �� ��� #�$����������� ����%1

� � # *

* *

� �

������ ��� � � � �� ��� ' � �� '�� ( � ��� B����� � �� ' � ��� ��"� � � &� �� "���� �����B � � � 0���� ��� ��������� � ��� B����� � �� �� � '�� �)�� � � � �)�� � � ��� � ��� B����� � �� �%���� ���� �� ��� � � 1

���� � � � � � �)�� � � � �)�� � �� �� � ���� �� � ���� � � � � � � � �

���� ���� � � � � � � �� ��� � ' �� ��� ��"� � � 8%���� ���� �� ��� � ' � ��

���� � � � � � � � ��� � � � � ���

>����� ���

��� � �� � ��� � *�� � � � �� *� � *� �� � � � �� *��

��� � �� � *�� � ��� � � � �� *� � *� �� � � � �� *��

������������������������������������������������������������������������������������������

� � � � � *�� � *�� � � � �� �� � *� �� � � � �� *��

)�� � * � *�� � *�� � � � �� *� � *� �� � � � �� *��

������������������������������������������������������������������������������������������

)�� � � * � *�� � *�� � � � �� *� � *� �� � � � �� *��

���� ��� ����% � �� ��� ��� ��� �� ��� ��$����� ����

�+* '7(84� 94::7(; 4(< 94��7�8 5�04:� /

Page 232: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

6. Linear Mappings and Matrices

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

�5��&�$�����8 ���7&�$!

������� �� ������ ���������

��)1� '�� ��� �� � ������ � �� �� � !�� -�� ��� ������ ���� ��� ����% � �����������" �� ��� ���� ��� ��

��� ���� ��� ����% $ �����������" �� ��� ��� � � ���� ��� � ��� !�� �� 2������ ���� � ���� ��� $ � ��������� ��� � � �� ��� ��� ���� �� ����� � F��� � ��� ��� ���� � ����� �

��)3� '�� ���� �� � ������ � ��� ����% � � - ��� !

� ��

��� ���� ��� ����% $ �����������" � ������� �� ��� ��� � � ���� ��� � ��� +�� �� .��� ������ ��� ����������� ��� �����" � ������� �� ��� ���� ��� ���

��� ��� � � �� ��� ��� ���� �� ������ �

��)4� ��� ��� ����� ���� ������� * �� ��� ��� ��� ����% � �����������" * �������� �� ��� ���� ��� � ���1

��� * �� ��� ������� �� �� �����������B���� � !-����� * �� ��� ��G������ �� �� ��� ��� ���� � � ��

��� * �� ������ � *�� *� � +� -� �� **� �� � 3�������� * �� ������ � *�� �� � +� 3� �� *�� �� � -��!��

��-(� ���� ��� ����% �����������" ��� ����� ���� ������� � �� �+ ������� �� ��� ���� ��� � �+1

��� � �� �� %� � �� �� *�� ��� � �� �� %� � %� �� %� �� �� %����� � �� �� %� � ��� 3�� !%� +�� �� !%� /�� .�� %��

��-�� ����� :����� /�!* ����" ��� ��� � � ���� ��� �+� � ��� �� *�� �� �� +�� �� +� -���

��-�� '�� * � ��� ����� ���� ������� �� �+ ������ �

*�� *� *� � �� �� ��� **� �� *� � �� +� -�� **� *� �� � �� �� ����� ���� ��� ����% � �����������" * ������� �� ��� ���� ��� � �+�

��� ���� ��� ����% $ �����������" * ������� �� ��� ��� � �� :����� /�!��

��-)� '�� ������ ��� �� ������� �������) ��� ��� � ��� � �� ���� 8�� � ��� �������" ���� �� ��� � ������ ���� � � ��������� ���� ��� ����% �����������" �� ��� ���1

��� ���� ���� ������ ��� ��� �� ��� +�� ��� +��� ��� ��-�� ��-�� ���-���

��--� '�� ������ ��� �� ������� ������� �� ��� ������ ���� � � �������� ���� ��� � � ���� �� ��� ������ ���� ��� ����% � � ��� � ��� ,�� � �� ���� ��� �� =��� � � �� � �� � ��

��-.� '�� � � ��� ������ ���� � � � �������� �������� ��� �������" ����% �� ���� ��� � � � 1

� � �

� �

� ��� � � � *

* *

� ��

* �

* *

� ��

* *

� *

� ��

* *

* �

� � �

���� ��� ����% �����������" ��� � ��� �������" ����� �������� � �� � ������� �� �1

��� � �� � �� ��� � �� � � � ��� � �� � �� � �

��-�� '�� �� �� (� ������ ��� �������� �� =��� ��������� ������������� �� ������ ���� � � ��� ���� �� ����� � � � 1 ��� ��� �� � # � ��� �������� ����%� ��� �(� �� � *� ��� =��� ����%�

�04:� /6 '7(84� 94::7(; 4(< 94��7�8 �+�

Page 233: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

6. Linear Mappings and Matrices

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

�*��+� �� ,����

��-1� ���� ��� ���"�#� #��� ����% � ��� ��� ���� ��� � � �� �� ��� �� ��� ���"�#� #��� ����% "

��� � �B �� �� �� ��� ���������� � � � �� �� ������� �� �� �� ��� �������" ��� �1

��� � � ��� ��� +� -��� ��� � � ��� -�� +� 3������ � � ����+�� +��.��� ��� � � ��� +�� !� -���

��-3� �������� ��� ��� � � ��� ��� �� +�� �� �� � ��� +�� �� !�� � ��� ���� ��� ���"�#� #��� ����%1

��� � ��� � �� ��� ��� " ��� �� �B �� ��

��-4� ������ ��� ��� �# �� �#%�� �� ��� ���� �� �� ������ �����������B���� +*� �� ����� ��� ��# �� ��#%�� �� ��� ����� ����1

��� ��� ���� ������� �� ��� ��������� � ��� ��� ��# �� ��#%������ ��� ���"�#� #��� ����% � �� ��� ��� ��������� �������

��� ��� ��� ���������� � ��� ������ ��� +�� $���-�� ,�� ���

��.(� ���� ��� ���"�#� #��� ����% � ��� ��� ���� ��� � � �+ �� ��� �� ��� ���"�#� #��� ����% "

��� � �B �� �� �� ��� ���������� � � � �� �� �� ������� �� �� ����� � �������� � ��� �������1

��� �� � �� �� *�� �� � *� �� ��� �+ � *� �� ������ �� � �� *� ��� �� � �� �� ��� �+ � �� �� !����� �� � �� �� ��� �� � �� +� !�� �+ � �� -� /��

��.�� ������ ��� ��� �+ �� ��� � � � '�� � �� " � ��� ���"�#� #��� �������� ������������� ��� �� �� �� �� ��� �� �� �+� :���� ��� �" �� ��� ���"�#� #��� ����% ��� �� �� �+�

������ ��������� �� �*��+� �� ,����

��.�� �������� ��� ����� ������� �� �� ������ � �� �� � -�� �� +�� ��� �� ��� �������" ��� � ��1

� � ��� ��� �� +�� �� �� � ��� +�� �� !����� ���� ��� ����% � �����������" ������� �� ��� ��� ��

��� ���� ��� ����% $ �����������" ������� �� ��� ��� ������ ���� ��� ���"�#� #��� ����% � ��� � �� ������ 0�� �� � �� $ ������C

��.)� '�� ���� �� � ������ � ��� ����% � � � ��+ �

� �� ���� ��� ����% $ ��� ���������� ��� ����� �������

� ������� �� ��� � ��� �������" ���1 ��� � � ��� +�� � �� -�� �� ��� � � ��� +�� � �� !�� ��

��.-� '�� ��� �� � ������ � �� �� � �� +�� ��� !��� ���� ��� ����% � ��� ���������� ������� ����� � ��� �������" ���1 ��� � � ��� -�� +� 3��� ��� � � ��� +�� !� -���

��..� '�� ���+ �+ � ������ � ��� ����% � �� + �

� 3 !

� ! +

�� ���� ��� ����% $ ��� ���������� ��� �����

������� � ������� �� ��� ��� � � ��� �� ��� � *� �� ��� � �� �� +�� ��

�+� '7(84� 94::7(; 4(< 94��7�8 5�04:� /

Page 234: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

6. Linear Mappings and Matrices

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

�� ������2 �� �������

��.�� '�� � � � �

� �+� �

�� � � � ��+ �-

� ��

��� ���� $ � ������ ��� F��� � ��� ��$� � ����� ��� F��� � ��� ���$� � ������

��.1� ���� ��� ���� �� ���������� � ��� � ��� �������" ����� ��� �� ��1

��� �� �� � ��� +�� -�� !��� ��� ��� �� � ��� ��� ��� ����

��.3� ���� ��� ���� � ��� � ��� �������" ����� ��� �� �+1

��� �� �� %� � �� +�� +�� �%� �� !�� +%����� ��� �� %� � �� +%� ��� !%� -�� 3���

��.4� ������ � � ���� ��� �� ��� � � � �� � �� � �� ������ � � ��� � +�� � ��� �� � ��� � �� � !��� ������ �� � �)��)�� �� ��� � � �� ����� )� � �� � �� �� )� � ��� � +���

��� ���� ��� ������� � �� $ �����������" � ������� �� ��� ��� � �� ��� ���������������� ���� ��� ����% � ���� ��� $ � ������

���(� '�� � � � � ����% ���� ��� ���� � �� ������ �� ����� � ��� ��� � �� ���� ����%� ��� ��� ���

� � � *

* �

� ��

����� ��� ��� �� ������� ������ �� � ��������� ����% �� ���������� 9��� "�������� ���� ��� ������ ���������� ��� ��� ��B�

����� �������������� �� +������ ������ �����+�

����� ���� ��� ����% ������������� � ��� � ��� �������" ����� ��� ������� �� ��� ���� ��� �� ��1

��� ��+ �� ������ � �� �� %� � ��� !�� 2%� -�� +�� �%����� ��� �! ������ � �� �� � +�� !�� -�� ��� �� 3�� !������ ��! � ������ � ��� ��� �+� �!� � ��� � �� � 3�+ � �!�

���)� '�� ���+ �� � ������ � ��� �� %� � ��� +�� %� !�� �� �%����� ���� ��� ����% � �����������" � ������� �� ��� ���

� � ��� �� *�� �� �� +�� �� +� -�� �� �� � ��� ��� �� +����� ��� �� � � �� �� �� �� �+� ��� ���� �� ������� � ��� F��� � ��� ����� � ������� �

���-� '�� - ��� �� � ������ � -�� �� � ��� 3�� �� +�� �� �������� ��� �������" ��� � ��1

� � ��� ��� �� ��� �� �� � ��� !�� �� -��

��� ���� ��� ����% � �����������" - ������� �� ��� ��� � �� ������ ���� ��� ����% $ �����������" - ������� �� ��� ��� �� �� ��

���.� '�� ��+ �� � ������ � �� �� %� � ��� �� %� +�� ��� !%����� ���� ��� ����% � �����������" � ������� �� ��� ���

� � ��� �� ��� �� �� *�� �� *� *�� �� �� � �� +�� �� !����� F��� � ���� �� �� � � �� �� �� �� �+� ����� � ������ �

�04:� /6 '7(84� 94::7(; 4(< 94��7�8 �++

Page 235: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

6. Linear Mappings and Matrices

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

����� '�� � �� �� � ��� � � � �� ��� �� � ��� �������� �����" �� � � ��� ��� ��� ����% � �����������" ��������� �� ��� ��� � �� �� �� ��� ������� � ��� ���"�#� #��� ����% � ��� � �� ��� ��� ��� � � ����

���1� :����1 ��� ������� /��*� ��� ������� /���� ��� ������� /���� ��� ������� /��+� 5-���. �� ��� ���� � � ������"��� �������� /�� �:����� /�2�� /�� �:����� /��*�� /�+ �:����� /����� �� /�3 �:����� /��/��6

����������� ���,�� �

���3� ������ �� � �� ������ 4 ������ ( � � �� ��� �� � ��/� ���� ����� � ( � � ( � ������ ( ��

������� ����� �� ��� ( � � ��� ��� �� ���B ����"��� ����% ������������� � � $

* ,

� �

����� � �� � ������%�

���4� ������ � � ' �( � �� ������� ' �� � �� ��� ������� ����� ����� ������� �� �� 4����

������� ��� ' � �� ��� ( � �� ��� ��� �� ���B ��"��� ����% ������������� � � *

* $

� �

����� � �� $ �� �� � � ����������

��1(� ��� ����� �������� �� � �� � �� ��� �� � ����&� � ����� �%���� � ��������� ����� ������� � �� �

���� ��� � � ��� � � � � :����1��� �� � �� ������ � �� ���� � � �� �� ��� � � � � ��� �� ���� �� ������ ����������� 7 �� ��"����=�� ������� �� ��"��� ����%�� ���� �� ������ ����% � �� ��� ��"����=���

��!9��! �� �5��&�$�����8 ���7&�$!

0�������. � ���� ��� � � �� ���������� ����% ���� ���� ������ � � � �

��)1� ��� � � �!� -� ����� ��� $ � ���*� !3.� �2.����3� ��� � � ��� �� !� 2���� ���� � �2�� ��� �!�� ��� �� ���� � �+��� !3�� ��!�� �����

��)3� ��� $ � ��/���.� !� �-���� ��� � �!�� ��� +

��� �

���� �� ������ � ��.�� .�� �

���+�� 3���

��)4� ��� � ����

��� ���

��

�����

��

����

� � ��� �*� �� �� *� ��� �+� 3� -������� ��� �� �.�����

��-(� ��� ��� *� *� *� �� *� *� *� *� ��� �*� *� �� *� �� �� �� �� ����� ����3��!� +� �� !� /��.� ��

��-�� ��� ��� +� -� *��-���*� *� +� /� ��� �*� �� �� ��� �� +� �� *� *���� ��-� -�� �*!� �!2���2�� +-�� �2� ��/� �*.�

��-�� ��� ��� �� �� �� +� �� �� -� �� ��� �/� �3� �/� �!��+��!� *��-��.�

��-)� ��� ��� *� *� *� �� �� *� *� �� ��� �*� �� *� *� *� *� *� *��+� *� *� +� *���� �-� �� *� *� -� �� *� *� -�

��--� ��� � � �*���� �� *� ��� �� � # � *

�+! '7(84� 94::7(; 4(< 94��7�8 5�04:� /

Page 236: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

6. Linear Mappings and Matrices

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��-.� ��� ��� *� �� *� *� �� *� �� �� *� �� *� *� �� *� ����� ��� �� *� *� �� �� *� *� *� *� �� �� *� *� �� ����� �*���� �� *� ��� �� �� *� �� �� *� � � ����� *� ����� *�

��-1� ��� ��� +� �� -�� ��-� +� ������ ��� � ��-�� �� ��� ������ ��� +� �+��.�� ��.��+� +� ��� ��� � ��.�� +�� +�� ������ ��� +� -� 3�� ��3� +� -����� ��� � ��3�� +�� -�� ������� ��� !� +� -�� �� -

�� �� +

������ ��� � �� -

��� ��� +

��� ���

��-3� ��� � � �+� -� ������ ��� " � ��� -� ����+�

��-4� ��� ��

���+

�� ���� � �

�� ��

���+

� � ��� � � ���

���+

��� �

�� �

�� ��

���+

� ���� ��� � �� ��� +�� � �$� � �� ����-�� � �,� � �� ��� ���

��.(� � �� ��� ����% ����� ������� �� ��� ��� �+�" � ���� ��� � "��� �� ��� ���� " � ��� *� *� ����� �� ��� ������ ��� � ��� �� �� �� ���� ��� ��� ��� #

" � �*���� �� �� +���� ������ ��� ��� � ����� �� ��� +�� ��� ��� �� ��� ��� #" � ���� ����� �3� !���� -��+� ��� ��� � ����� ��� �� �3�� !�� �� -�� +�� ���

��.�� ��� ���+��+2� �+� �/� ��� �+-� !�� ��3��+�� ��� �+� -� ������ ��� $ � �����

��.)� ��� ��.� !�� ��-���-� ��� ��+� �.� � �-����*�

��.-� ��� �!+� /*� �++��!/� ��� �� .3��� �!+

�� !2

�� .���

��..� ��*� .� �*� �+� ��� �.� �-��!� �*�

��.�� ��� ��+!� -3� ��2� +�� ��� ��$� � ���� � �� ��� ���$� � ����� � �-

��.1� ��� ��� � /� ���� � �+ ��� ���� � �� �� ����� � �� � ��

��.3� ��� ��� � �� ��� ���� � *

��.4� ��� � � �+� �� ��� !��$ � �.� ��� ������ ��� � � ��� �� �� +�

����� ��� ����!� 2� -� +���� ��� �+� -� �� !� !���� 3� *� ��� ��� +��3�����

���)� ��� ��2� �� !� 3� �� �� ��� ���� � ���� ��� �� -�� -�� ��� �+�� +�� ��� � ��������� � ���� ���� 3�� 3�� !���

���-� ��� � � �!3� .-� �+.��/2� ��� $ � �3�� ..� �!���-��

���.� � � �+� ��� -� ����.��+�

�04:� /6 '7(84� 94::7(; 4(< 94��7�8 �+-

Page 237: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

7. Inner Product Spaces, Orthogonality

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

������� �

�� �� ���� ����������� � �����

��� ����������

��� �������� � �� �� ��� � � ������� �� ��������� ���� �� ���� �� ���� ������ � � � �� ��� �������� �� �� ��� � ��� � �� ����� � ���� ���� ������ �� ��� ���� �� ���� ���� ������� �� ������ ��������� � ��� ��� ����� � �� ��� ����� ���� �� �� ��� � ��� � �� ����� � � ���� ���� ������ ������ ���� ��� ������� ������ ����

�� ��� ��� �� ��� �� �

�� �� �� � ��� � ����� �� �

����������� ��� �� �� ��� �� � �� ���� ������ ���� ����� �������� ������ �������� ������ � ���������� ��� ���� ��� � ���� ����� ��!! ��� ����� ������!! ��� �� ������ �� ��� ������� ����

��������� �� �� ��� �� � "����� � ���� ��� ������ �� #������ $ � ��� ��� �� �� ��� ��%� ���� �� ��� ��� ��������� ���� ���� � � �� �� ��� � � � ����� �� ����� ���� � ��� �� ��� �� ���� ����� ����� � ���� ��� �������

��� ��� � ����� ���� �

&� �� �� ���� � ���������

��������� '�� � �� � ���� �� �� ��� �� (����� � �� � ���� �� ��� �� � � � ����� �� ���� ��� � ����������� ������ �� ��� ��� ���� �� ��� �� ����� � "����% ����� ����� � � � �� �������� �������� �����)

�*$� ������� �������� ���$ � ��+� �� � ���$� �� � ���+� ����*+� ��� ���� �������� ��� �� � ��� ����*,� �������� ������ �������� ��� �� � -�� ��� ��� �� � - � ��� ��� � � � -�

��� �� �� ��� � � ���� �� ����� ���� � �� ����� � "����% ����� ����� ������

+,.

Page 238: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

7. Inner Product Spaces, Orthogonality

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

���� �*$� ������ ���� �� ����� ���� � �� ��� �� ������ �� ��� ���� ������� /��� �*$� ��� ����������� ���� �*+�� �� �����

��� ��$ � ��+� � ���$ � ��+� �� � ���$� �� � ���+� �� � ���� �$� � ���� �+����� ��� ��� ����� ���� � �� ��� �� ��� ������ �� ��� �� �� ������� #������ ����� �� ��������� ������� ���� ��� ������ ��� ����� ������ �����)��

�������

����

�� �

��

�������� ���

���� ��� �� ����� ���� � ������ ��������� �� ��� �� �0��� � � ������ �������� ��� ��������� �� ��� �� ����

������� � '�� � �� � ���� ����� ���� � ��� �� ����� �� ����������

�,�$ 1�+� +�$ 2�+ � .�,� � .��$� �$� $2��$� �+� � $3��$� �,� 3��+� �$� � +-��+� �+� +1��+� �,�

�+� 2�� 1�� .�� � 3��� �� � $+��� �� +-��� �� ,-��� ��� 3��� �� 3��� �� ,-��� ��

4������ ���� �� ��� ���� �0����� �� ���� ���� ��� �������� ������� ���� ��� �� � ��� ���

������� ���� �*$� �� ����� ������� �-� -� � �-�� -� � -��� -� � -� ���� �*$�� �*+�� �*,� ����0�������� � �*$�� �*+�� ��� ��� ����� ����)

�*,� * � �� -� ���� ��� �� �� ������������ ��� � �� ��� �������� �*$�� �*+�� �*,� �� �� ����� ���� ��

���� �� � �� ���

5� ��� ����� ���� �*,� �� ����� ���� �� ��� �� �� ���� ����� � ��� �� �� �� ���� ��� ��������0���� �� ������� &� ��� ��� ������

��� ��������������� ��

����� ���� ����� ������ �� ����� ��� �� � ����� �� ��� ������� ���+ � ��� �� ���� �� ������0�������

������� * ��� � $ �� �0����������� � ��� �� � $� ���� � �� ����� � ��� ���� ��� �� ���� � ���� ������� 6���� ��7�� �� �� � �� � �� �� ���������� �� ��� �� ��� �� ��� ��� �� � ����� ��� ������ ��

�� � $

��� �

��� � �� � ������� �������� �� ���� �� ��� �� ����� �� ������� ��

��! "�#�$ � �% ��� � ����� ���� �

���� �� ��� ����� ��� ���� �������� ����� ���� � ��� �� ���� �� ���� �����

#��8� 9: *;;6� 8�4</#� (8�#6(� 4���4=4;�'*�> +,9

Page 239: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

7. Inner Product Spaces, Orthogonality

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

& '�(��� �)�*� � ��

#������ ��� �� �� ��� � ��� ��� � ����� � ������ ����� �� �� �� ������ ��

� � � �$�$ � �+�+ � � � �� ����

����� � � ���� ��� � � ����� ���� �� ��� ������ �� ����� ���� � � ��� ��� ��� ��� ��� �� ��� � ���� �� ���� ��� � �� �� ����)

��� � ���������� �� �

�������������������������������������+$ � �++ � � � �� �+�

4� ��� ���� ����� �� ��� 8���� ���� ������� ��� ������ � �� ��� �� �� 4 �� �, � � ���� ���� �� �� �� ���� ��

��������������������������+ � �+ � �+

�� ���� �� ��� ����� ��� ���� �� ��� ����?������ ��� ��� �� �� � � ��� �� �� ��

�,� (�� � ��� 8� �� ���� ������ �� � ���0��� � ��� ����� 6� ������ ������� ��� �� ����� � �� ���� ��� ���� ����� ���� � ��� ��� �� ����� ��������� �������� ����� � ����� ��� �������� � ����� �� ����� ���� � � ��� �� ����� ������ ���� ����� ���� � ������ �������� ������ ��������� *� �� ����� ��� ����� "� ������� ����� �����% � ���

������� ���0������ ��� �� ��� �� �� ���� �� ����������� �� ���� �� ���� ���� ��� �� �� $ ���� ����� ��� *� �� � � ���� ��� �����

��� �� � ���

������ ��� ����� ����� ���� � � ���

������� �� '�� � � �$� ,�1� +�� � � �1�+� +� $�� � � �2�$�+� .� �� �1�

"�% 5� ���������

����� � 2 ,� 3� $+ � ++ ��� ����� � +-� + 1� . � +1

;�� ���� ,� +� � �2� $,�$.� 1�� �����,� +�� �� � +2 $,� ,+� +1 � $3

�� ���� ���� ,����� +����� � ,�++� +�+1� � $3 � �,� +�� ���"�% 5� ���������

��� � ������������������������������$� @� $.� 1

� ������,-

���� ��� � ������������������������������

$.� 1� 1� $� � 2

&� ������7� � ��� � � ����� ��� ����� ���� �� ��� �� ��� ���� ���� � ��� �� ����� ������)

�� � $

��� � � $�����,-

� �,�����,-

� �1�����,-

� �+�����,-

�� �

��� �� � $

��� � �1

2�+

2�+

2�$

2

� �

%&� ���� �*� � ���� �� ��( ��'+�����' �*� � ���

��� ������ ���� �� �� ���� � ����� ��� �� �� ��� � ��� ������� �� ���� � ��� ������������ ��� ��� ���� ��� ����� � � � �� ��� ����� ������ �� ����� ���� � � ���� ��� ����� � �� ������ ��� �� ���� �� ���� ��)

� � � �� ���

� ����� �

*� �� ����� ��� ����� ����� ����� � ���� ������ �� �� ��� � ��� ��� ��������� �� � ������ � ���� �� � ��� �������� ��� ��� ��� ��� � ���

���� �� ��� �� ����� ���� � � ����

+,3 *;;6� 8�4</#� (8�#6(� 4���4=4;�'*�> A#��8� 9

Page 240: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

7. Inner Product Spaces, Orthogonality

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

������� �� #������ � �� � , 2 ��� ��� � + �� ��� �������� ��� � ��� ���� ����� ���� �

� � � �� �$-

� ����� ��

"�% ���� � � � ���&� ���� � ����� � ,, 2+� ��� �

� � � �� �$-

�,, 2+� � � ,11 2

,,$

-

� ,1 2

,� $$

$+

"�% ���� � � � ��� ����&� ���� � � ���+ � � �� � �� � @+ ,- � +2 ��� �����+ � 1� ����

� � �+ � � � � � � �$-

�@+ ,- � +2� � � ,, $2+ � +2

$

-

� $,

���+ � ��� �� �$-

1 � � $22$

-

� $2

�������� � � � � �����$,

���� ��� �

��$2

�� $

2

���2

��

#����, �*� � # � # ��

'�� # � # ��� ��� �� �� ��� � ��� ���� � � ����� ��� �� ����� ���� � �� ������ � # ��

� �!� � ���!� ������� �� ������ ��� � �� ��� ��� �� ����� ��� ��� ��� ��� ��� ��������� * � ����� ��� ! � ������ ����

� �!� � ���!� � � � ��$

����$

������ ��� � �+ � � � � � � ��$

����$

�+��

���� ��� � �!� �� ��� ��� ��� ��������� ������� �� ��� ! ���� �� ����� ����� � � � �� ��� ��� ����0����� ��� ������� �

-�'.��� �*� �

'�� � �� ��� �� �� ��� � ��� ������� ��0��� �� ���� ������� ��$� �+� �,� � � �� �������� ����$

�+� � �+$ � �++ � � � � � �

���� ��� ��� ��� ���� ��� ������� ��� � ���� �������� ���� ��� ������ �� � ����������� ���� ��� �

� � ��$� �+� � � �� ��� � � ��$� �+� � � ������ �� � � ��$ � �$� �+ � �+� � � �� ��� �� � ���$� ��+� � � ���� ����� ���� � �� ������ �� � ��

��� �� � �$�$ � �+�+ � � � �

��� ���� ��� ���� �� ��������� � ��� ���� ����� �� �� ��� � ��� ����� ���� � �� ���� ����������� ����� ���� � ��� � �� ����� �+?����� � "����� ������

#��8� 9: *;;6� 8�4</#� (8�#6(� 4���4=4;�'*�> +,@

Page 241: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

7. Inner Product Spaces, Orthogonality

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��/ ���-01��-2��3 �� 4�$��05 ���$��������

��� ����� ����� "����� �� 8����� 9�3% �� ����� ��� #�� ��B( ����7 ���0������ � ( ����7���0������� *� �� ���� �� ���� ���� ��� ��������� ��

�6����� ���� "��& 6+1� 67��8% �� ��� �� ��� � ��� � �� �� ����� ���� � ��� � ��

��� ��+ � ��� ����� �� � ���� ��� � ������;��� �� ������� ���� ���0������ �� ��� �� �����

������� �

"�% #������ ��� ���� ������� �$� � � � � ��� �$� � � � � ��� ����� �� ��� #�� ��B( ����7 ���0�������

��$�$ � �+�+ � � � �� �����+ � ��+$ � � � �� �+����+$ � � � �� �+������ ��� �� ��+ � ���+���+� ����� � � ���� ��� � � �����

"�% '�� � ��� � �� ������� �� ���� � ��� ���� �������� �-� $�� ����� �� ��� #�� ��B( ����7 ���0�������

$-

� ����� �� �+

�$-

� +�� �$-

�+�� �

���� ��� �� � � ���+ � � � �+���+� ���� � �� ��� ����� ���� � ��� � ��-� $��

��� ���� ������ "����� �� 8����� 9�@% ���� ��� ���� ��������� � ���� ��� �� ��� ������������ ��0����� ��� #�� ��B( ����7 ���0�������

�6����� ���� '�� � �� �� ����� ���� � ��� �� ���� ��� ��� �� � �������� ��� ����� ���������)

�;$� ��� � -� ��� ��� � - � ��� ��� � � � -�

�;+� ���� � ��������;,� ��� �� � ��� � ����

��� ������� �;,� �� ����� ��� ������� ���#����$� �� ���� � �� ���� �� � �� ��� ���� ��� ����� ������ ���� ����� � ��� � "�� ���� �� �� � 9?$%� ���� �;,� ������ ���� ��� ��� �� �� ���� � ����� �� ���� �� ������ ���� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ���� �� ������

��9'� :��7��� �� ���;

�� ��� ��7�� �� ��� � ��� � �� �� ����� ���� � ��� � �� ��� ����� ������ � ��� � �� ������ � ����� �� �� � �� � ���� - � � � � ���

� � � ��� ��������

5� ��� #�� ��B( �����7 ���0������� $ � � � � $� ��� � ��� �� �� ������ ��� �� ���0���

%�9� �)�

+1- *;;6� 8�4</#� (8�#6(� 4���4=4;�'*�> A#��8� 9

Page 242: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

7. Inner Product Spaces, Orthogonality

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

������� ��

"�% #������ �� ��� � � �+� ,� 2� ��� � � �$�1� ,� �� �,� ����

��� �� � + $+� $2 � 2� ��� � ����������������������1� @� +2

� ������,3

�� ��� � ����������������������

$� $.� @� �

�����+.

���� ��� �� �� � ������� � ��� � �� ���� ��

� � � 2�����,3

� �����+.

;�� ���� � �� �� � ��� �� ��� ��� � � � �� ��������

"�% '�� � �� � , 2 ��� ��� � + �� ��� �������� ��� � ��� ���� ����� ���� � � � � �� � $-� ����� �� 5�

6������ 9�,�

� � � �� � $$$+� � � � � �����

$,�

� ��� � $2

���2

���� ��� ���� ��!! � ������� � ��� � �� ���� ��

� � � $$$+

� �����$,

� � $2

���2

�� � � 22

$+�����$,

� ���2

;�� ���� � �� �� ����� �� ��� ��� � � � �� �� ������

��< ���-�=���$��0

'�� � �� �� ����� ���� � ��� �� ��� �� ��� �� � � � ��� ���� � �� ������ ��� � �� ���� � �������� � � �

��� �� � -

��� ������� �� ������ �������� � ���� ��� � � �� ��� ��� � �� ���� ��� �� � -� ��� � � �� ��� ��� � ��&� ��� ���� - � � �� ��� ��� � ����� � � �� ��� �

�-� �� � �-�� �� � -��� �� � -

#��������� � � �� ��� ��� � ����� � � �� ���� ��� �� � - ��� ��� � � � - �� �*,�� 4������ ���� � ��� ���� ��� ��� � ��� ��� � � � � -� ����� � �� ��� �� �� ������� � ��� �� ���� ���� �� ���� � ��� ��� �� ��� � ��� ���������� ����!!� ����� � � ��+ "� � � @-�%�

������� ��

"�% #������ ��� �� ��� � � �$� $� $�� � � �$� +�,�� � � �$�1� ,� �� �,� ����

��� �� � $� + , � -� ����� � $ 1� , � -� ����� � $ 3 @ � $.

���� � �� ��� ��� � � ��� �� ��� � ��� � ��� �� ��� ����

"�% #������ ��� �� ���� ��� ��� � �� ��� �� �� ��� � ���� �� ������� �� ���� � ��� ���� ����������� ��� ����

���� � � � ���

��� � � � $+���+ ��� � - - � -

���� ��� ��� � ��� ��� ��� �� ���� �� ��� �� �� ��� � ���� ���

������� � �� �� � � ��$� �+� � � � � ��� �� ��� ��� � � � ��$� �+� � � � � ��� �� �� �

����� � �$�$ � �+�+ � � � �� ���� � -

���� ��� � �� ��� ��� � � � � �������� � �� ����� �0����� ���� �� ����� ��� ��� �������� ��

#��8� 9: *;;6� 8�4</#� (8�#6(� 4���4=4;�'*�> +1$

Page 243: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

7. Inner Product Spaces, Orthogonality

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

������� �� ���� � ��7�� �� �� � ���� �� ��� ��� � �$ � �$� +� $� ��� �+ � �+� 2� 1� �� �,�

'�� � � ��� $� ��� ���� �� ���� ��$��� � - ��� ��+��� � -� ���� ������ ��� �� ����� ������

�� +$� � � -

+�� 2$� 1� � -�

�� +$� � � -

$� +� � -

���� � �� ��� ��� ��� �������� �� ��� � ���� ������� (�� � � $ � ����� $ � + ��� � � ,� ����� � � �,�+� $� �� �������� ��7�� �� �� ��� ��� � �$ ��� �+�

��� �������� � ���� ��� �� ��� ��� � �$ ��� �+� ;�����7�� �� �� ����� ��� ����� ���� �� ����� ��� � �$ ��� �+)

�� � �

��� � ,�����$1

� � +�����$1

� �$�����$1

�� �

���6�9���' ���*'�����;

'�� % �� � ������ �� ����� ���� � ��� � �� ��� ��� ��� �������� %� ������ �� %� "������% ����!!% ������ ���� �� ��� �� � ���� ��� ��� ��� � ����� �� �� � � %� ���� ���

%� � �� � � � ��� �� � - � ����� � � %�*� ����� ����� � � ���� �� �� � �� �� �� ����

�� � �� � � � ��� �� � -����� ��� �� ������ ��� �� ��� �� � ���� ��� ��� ��� � ��� ���� �� �� ��

&� ���� ���� %� �� � ������� � �� #������ - � %�� ��� � - �� ��� ��� � ����� �� �� �� �� ;������� �� � � %�� ����� � ��� � ����� � ��� � ��� ��� �� �� � � %� �� ����

���� ��� �� � ���� �� � ���� �� � � -� � - � -

���� ��� �� � %�� ��� ������� %� �� � ������ � ��&� ����� ���� ������ �������

���*�;����� ��!� '�� % �� � ������ � �� �� ��� � �� ���� %� �� � ������ � ��

������ �� (����� � �� � ��7�� �� �� �� �,� ���� ����� �� � ������ �� ��� ������ ���(�� �� ����� �� �� ��� ����� �� �, ���� � ��� �� �� & ��� �������� ���� � ��� �� �� �� ���� �� ������ �� � 9?+�

������ �� '�� ' �� ��� ������ ��� � �� � � �� ����� ������ ( � -� ����� � �������� ( � ����� �� ��� ���� ' ��� �� ������ �� ��� C����� ��� ������ ������ ��� � � � ;� �� �� ��� ������ ������������� ' ���� ��� ���� ��� ������� (�� �� ����� �� � ������ �� ��� � ��$� �+� � � � � ��� �� ��� ��� � �� � �� � ��� ��� � ' �� ��� ��� ��� �������� ��� ����� � �

%�9� �)�

+1+ *;;6� 8�4</#� (8�#6(� 4���4=4;�'*�> A#��8� 9

Page 244: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

7. Inner Product Spaces, Orthogonality

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

������� �� ���� � ����� � ��� ������ � �� �,� ����� � � �$� ,�1��;�� ���� �� ������ ��� �� ��� � � ��� $� �� �� � ���� ����� � -� � �� ,$ 1� � -� ��� ��� ���������

��� $ ��� ��

"$% (�� $ � $� � � - � ����� ��� ������ �$ � �,� $� -��"+% (�� $ � -� � � $ � ����� ��� ������ �$ � �1� -� $��

��� �� ��� �$ ��� �+ �� � ����� � ��� ������ ��� � ��� �0������ ��� ��� � � ����� � ���

(����� ' �� � ������ � �� ���� ��� ' ��� '� ��� ������ �� �� ��� ���� ������� ������ "8����� 9�+3% ��0����� ������� ����� �� ����� �� � ���� ������ �� ������ �� �����

�6����� ��/� '�� ' �� � ������ � �� ���� � �� ��� ���� � ��� ' ��� '�� ���� ��� � � ' �'��

��> ���-�=���$ � �� �� :�� �

#������ � ��� % � ��$� �+� � � � � ��� ��7�� �� ��� �� �� ����� ���� � ��� � �� % �� ����������� � �� � ���� �� ��� �� % ��� ��� ���� ��� % �� ����� ���� �� � % �� ��� ��� ����� � �� �� �� % ��� ���� ��� ��� ���� ��)

"�% ���6�9���'� ���� ��� � - � � �� �

"��% ���6������'� ���� ��� � - � � �� �

$ � � � �

)� ������� �� ��� ��� ��� % ����� � ��� �� ��� ���������� �� � �� �� �� % �� ��� �� ��� �� ��� ��� �� �� ���� � ������� % ��� �� �������� ��� �� ����

��� ����� ������� ������

�6����� ��<� (����� % �� �� ��� ��� ��� ��7�� �� ���� ���� % �� �������� ������������

�6����� ��>� ��+�6�9���;� (����� ��$� �+� � � � � ��� �� �� ��� ��� ��� �� ���� ����

��$ � �+ � � � �� ��� � ��$� � ��+� � � � �� ����

����� ������� ��� ����� �� 8������ 9�$2 ��� 9�$.� ����� ������� ���� �� ���� ��� 8���� ���������� �� ��� ��� ��� ��� ������� ��� � �� �� ���� (�� �� ����� ������ ��� �� � -� ����

��� ��+ � ��� �� �� �� � ��� �� � +��� �� � ��� �� � ��� �� � ��� �� � ���+ � ���+

��� � ���� �� �������

������� ��

"�% '�� � � ��$� �+� �,� � ��$� -� -�� �-� $� -�� �-� -� $�� �� ��� ����� ����� 6� ������ ��� � �,� *� �� ���� ����

��$� �+� � ��$� �,� � ��+� �,� � - ��� ��$� �$� � ��+� �+� � ��,� �,� � $

;������ � �� �� �������� ����� �,� D�� ��������� ��� ����� ����� �� �� �������� � ����� ��

"�% '�� � � ������ �� ��� �� �� ��� � ������� �� ���� � ��� �������� � � � � ���� ����� ���� ������� �� � � � �� � �

� � ����� �� ���� ��� ����� �� � ����� �� ������� �� ��� ��� ��� �� � )

�$� � � � +� � ,� � � � � ��� � ��� +� ��� ,� � � ������ ��� ��� ��� ����� � ���������� ��� �� ��� ����� ������ �������

#��8� 9: *;;6� 8�4</#� (8�#6(� 4���4=4;�'*�> +1,

Page 245: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

7. Inner Product Spaces, Orthogonality

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

���6�9���' :�;�; ��( $����� ���.�������;5 %�&���� ����� ����;

'�� % ����� ��� ����� ����� �� ��� �� �,)

�$ � �$� +� $�� �+ � �+� $�1�� �, � �,�+� $���� ������ �� ����� ���� ��� �� ��� ��� ��� ���� ��� � ���� ��� �������� ������������ ���� % �� ����� ��� ����� �,�

(����� �� ���� � ����� � � �9� $� @� �� � ������ �������� �$� �+� �,� ����� �� ��� � �� � ������ �������� �$� �+� �, ���� ��C���� �$� �+� �, �� ����)

� � �$�$ � �+�+ � �,�, � �9� $� @� � �$�$� +� $� � �+�+� $�1� � �,�,�+� $� �E�

&� �� �� ��� �� �� �����

#��6�( �� 6����� �E� "�� �� #������ ,% � ����� ��� ������

�$ � +�+ � ,�, � 9� +�$ � �+ +�, � $� �$ 1�+ � �, � 9

(��� ��� ������ �� =������� ���������� � ����� �$ � ,� �+ � $� �, � +� ����� � ,�$ �+ � +�,�

#��6�( �� "���� ����� ���� ��� � � ���� ��� ����� �� ��� ��� ��� ���� ��� ��� ��������� �� �� ���������% * �� ��C� ��� ����� ���� � �� � ���� �E� ���� ����� � � ��� �� ��

��� ��� � ��$�+ � �+�+ � �,�,� ��� � ��� ��� � ������ ��� � �� ���� ������� ���

���� �� ����� ��� ��� ��� � �$� �+� �, ��� ��� ���� � ���� ���

�$ ���� �$���$� �$�

� 9� +� @

$� 1� $� $3

.� ,� �+ �

��� �+���+� �+�

� $1� $ ,.

1� $� $.� +$

+$� $

�, ���� �,���,� �,�

� +$ +� @

@� 1� $� +3

$1� +

����� � ���� �� �� � � ,�$ �+ � +�,�

��� �� ����� �� D���� + �� ���� �� ������� ;������ �� ���� ��� ����� ������ "����� ��8����� 9�$9%�

�6����� ���� '�� ��$� �+� � � � � ��� �� �� ��� ��� ����� �� ����� � ��� � � ��

� � ��� �$���$� �$�

�$ ���� �+���+� �+�

�+ � � � �� ��� ������� ���

��

������� ��� � ���� �� ���� ������� ���

�� ����� ��� *����� ���+���� � ���� ����� � � ��� ��� � �� ��

���� �� � � �� ���� �� ��� ������ ������ � �� ���� ���� � ���� ��� ��� � ������ ����������������� � �� ��� ����� �����

+11 *;;6� 8�4</#� (8�#6(� 4���4=4;�'*�> A#��8� 9

Page 246: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

7. Inner Product Spaces, Orthogonality

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

���?� ����;

'�� � �� �� ����� ���� � ��� �� (����� � �� � ���� ��7�� �� �� �� �� ��� ������ � �� �������� ��� &� ���C ��� ����F� ��� � ��� �!!� ��� �� �� ���� ���� �� �� � 9?,"�%� ���� �� ��� �������� �� � �� � ���� � � � �� �� ��� ��� � �� ���� �����

�� ��� �� � - � ����� ������ � - � � � ����������

� ���� ��� ��� ������� � � ���� � �� ������ ��� ������ ��

��F����� � �� � �����������

(� � � � ���� � �� ���0��� ��� �� �� ����� ��� *����� ���+���� � ���� ����� � � � � ��� � ���� ���� ��

��� ���� ���� �� �������7�� �� ���� "��� 8����� 9�+�2%�

�6����� ��@� (����� �$��+� � � � ��� �� �� ��� ��� ��� ��7�� �� ��� �� �� '�� � �� ����� �� �� �� <����

� � � ��$�$ � �+�+ � � � �� ����������

�$ �����$���$��$�

� �+ �����+���+��+�

� � � � � �� ��������������

���� � �� ��� ��� � �$��+� � � � ����

;�� ���� �� � �� �� ��� ���� ������ �� ��� ������ "������ �� ����% � ��� ��� ���� ���

������� ��� ���� ��� ��F� ��� � �� �� � � � ��� � ������ � ' � �� ������ ������� 5� ������ 9�1� � � ' �'�� ��� � � ��� �� ��������� ���0���� �� ��� ��

� � �� �� ����� � � ' ��� � � '�

&� ����� � � �� ��� ������� � � ���� '� ��� ����� �� �� ��F���' �� �� �� ����� �� �� � 9?+"�%� *������ ����� � ' � ������$��+� � � � ����� ����� ��� �� �� �� ��� ��� ���� ����

��F���' � � �$�$ � �+�+ � � � �� ����

���� �� �� ��� ������ � ��� ��� �� �����

%�9� �)!

#��8� 9: *;;6� 8�4</#� (8�#6(� 4���4=4;�'*�> +12

Page 247: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

7. Inner Product Spaces, Orthogonality

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��� =��#1��-#�� ���-�=���$�3����� ���� ��

(����� ��$� �+� � � � � ��� �� � ����� �� ����� ���� � ��� � �� 4�� �� ��� ���� ����� � ����� � ����� ��� ����� ��$��+� � � � ���� � �� ����� (��

�$ � �$

�+ � �+ ��+��$���$��$�

�$

�, � �, ��,��$���$��$�

�$ ��,��+���+��+�

�+

�������������������������������������������������������������������������

�� � �� $�����$���$��$�

�$ �����+���+��+�

�+ � � � ������$����$���$�

��$

*� ���� ����� � � � +� ,� � � � � �� �� �����

�� � �� ��$�$ ��+�+ � � � ����$��$

����� ��� � ��������������� �� ��� ������ �� ��� ��� 5� ������ 9�3� �� � �� �� ��� ��� ���� ��� ����� �!�� ���� �$��+� � � � ��� �� �� ��� ��� ����� � � �� ������� ;�����7�� �� � ������ ���� ����� �� �������� ����� � ��

��� ���� ����� ��� �� C��� �� ��� ,�� -%�� �� ����������� ������� ��� ����� �����C� ��� �� �����

������ �� 6� � �� �� �� �� � ������ �������� �� ��� ��� ��� ���� �!�� ��� � �� �� ���������� �� ���� ���� ���� �� � �� �� � ������ �������� �$� �+� � � � � ���

������ �� (�� � ��C�� ��������� �� ��� ��� �� �� � ��� ������� �� ��� �� ������� �� ���� �� ������� � ���� �� ���� �� ��� ��� ��� �� ���������� �� �� �� ���������� � ����� ���� ������� ��� ���� ���$�

������ !� (����� �$� �+� � � � � �� ��� �������� ������������ ��� � ���� �� � ����� �. � ��������� ������� ��� =���B( ����� ��� ����7���� �� ��� � ��� �!� ������ �� ��� �������� � .�

��� ����� ������ "����� �� 8������ 9�+. ��� 9�+9% ��� ��� ���� �� ����� ��� �����C��

�6����� ��A� '�� ��$� �+� � � � � ��� �� ��� ����� �� ����� ���� � ��� � �� ���� ����� ������ ���������� ����� ��$� �+� � � � � ��� � �� � ���� ��� ��� �??����� ������ �� ���� ����� �� ����� ����� ���� ��� � � � $� � � � � ��

�� � ��$�$ � ��+�+ � � � �� �����

�6����� ���B� (����� % � ��$��+� � � � ���� �� �� ��� ��� ����� � � ������ � ' � �� �� ��� ��� ���� �� ��� ������ % � �� ��� ��� ����� � �� ���� ��� �� ��� ��� �� ������$� � � � ��� �� � ���� ��$��+� � � � ���� �� �� ��� ��� ����� � ��

������� �� ����� ��� =���B( ����� ��� ����7���� �� ��� � ��� �� ��� ��� ����� ��� ���� �� ��������

����� � ��� ������ � . �1 ������� ��

�$ � �$� $� $� $�� �+ � �$� +� 1� 2�� �, � �$�,�1�+�

+1. *;;6� 8�4</#� (8�#6(� 4���4=4;�'*�> A#��8� 9

Page 248: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

7. Inner Product Spaces, Orthogonality

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

"$% ����� ��� �$ � �$ � �$� $� $� $��"+% #�����

�+ ��+��$���$��$�

�$ � �+ $+

1�$ � �+�$� $� +�

(�� �+ � �+�$� $� +��",% #�����

�, ��,��$���$��$�

�$ ��,��+���+��+�

�+ � �, �3�1

�$ �9�$-

�+ � 32� $9

$-� $,

$-� 92

� �

#���� �� ���� � ����� �, � �.�$9�$,� $1������ �$��+��, �� �� ��� ��� ����� � .� ;�����7� ����� �� ��� � ����� �� �������� �����

��$� �+� �,� . � &� ���� ��$�+ � 1� ��+�+ � $-� ��,�+ � @$-� �

�$ �$

+�$� $� $� $�� �+ �

$�����$-

� �+�$� $� +�� �, �$��������@$-

� �$.�$9�$,� $1�

������� � '�� � �� ��� �� �� ��� � ��������� � �� ���� ����� ���� � � � � �� � $$� ����� �� ����� ���

=���B( ����� ��� ����7���� �� ��� � �$� +� ,� � ��� �� ��� ��� ����� � �-� �$� �+� �,� ���� ���� �� �� ����� �

�,������� �� ��� ��� � � ����� � � � � � ��

��� �� �$$

� � � ��$

�� $

$

$

� +���� $� ���� � �� ����

- ���� � �� ��

"$% ����� ��� �- � $�

"+% #����� � �� $��$� $� �$� � - � � (�� �$ � �

",% #�����

+ �+� $��$� $� �$�

�+� ��� � �� � +

+,

+�$� � -�� � + $

,

D������� �� , � ����� �+ � ,+ � $�

"1% #�����

, �,� $��$� $� �$�

�,� ��� � ��

�,� ,+ $��,+ $� ,+ $� �,

+ $�

� , -�$� +2+,

�� -�,+ $� � , ,2

D������� �� 2 � ����� �, � 2, ,����� �$� � ,+ $� 2, ,� �� ��� ��0����� ��� ��� ������

������� ;�����7�� ��� ��������� �� 6������ 9�$$ � ���� ��$� � $ ������ ��� ���������

$� � $+�,+ $�� $

+�2, ,�

����� ��� ��� ���� �� /������� ��$� ����� ��� � ������ �� ��� ����� ���������� �0�������

��@ ���-�=���$ �� ������� %���� #����� �

���� �� ��� ��� ����� �� ����� ����� �� ���� ��� ����� ������� � ���� ����� ���� � ��� �� ������ �� ��� �� �� ���� �� ����������� �� ���� �� ���� ���� ��� �� � ��� ������ ��� ����� ���� � ��6� ������ ��� � ���

#��8� 9: *;;6� 8�4</#� (8�#6(� 4���4=4;�'*�> +19

Page 249: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

7. Inner Product Spaces, Orthogonality

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

���6�9���' #���� �;

� ���� ������ � �� ������ � � �� ��?��� ���� ��� �$ � ��� �� �� ���� ����� ���� � ��� � 0 � ����� �� �� ��� "������ +�.% �� �������� ���� ����7���� �� � ����� ���

�6����� ����� '�� � �� � ���� ������� ���� ��� ����� ��� �0��������) "�% � �� ��� ���� "�% ������ � �� �� �������� ���� "�% ��� ����� � �� �� �������� ����

"���� ������ �� ���� ��� ���� ��� ����� ����� ���� � � ��� *� �� �� ���� � �� �� ���� ��� ��������� ���� ��%

������� ��

"�% '�� � �$�

���,

�$�

���,

�$�

���,

�- $�

���+

�$�

���+

�+�

���.

� $����.

� $����.

��

��� ��� ��� � ��� ��� ��� � �� � ���� ��� ��� ���� �� ���� ���� �

�� �� ��� ��� �������

"�% '�� � �� � +� + ��� ��� ������ ����� � ��� ���� ������ �� �� ����

� � � � ��� � ��� � � �

� �� � � � � ��� �

��� � � �

� �

��� ����� �� ������� "����� �� 8������ 9�,9 ��� 9�,3% ��� �������� ������������ ���������� ��� ����� �� ��� �������� ����� � ���� ����� ���� � ��� � ��

�6����� ����� (����� � � ���� ��� � � ���� ��� �������� ����� �� '�� � �� ��� ��� �??����������� �� ��� ����� � � ��� ����� �� ���� � �� ��� ����

�6����� ���!� '�� ��$� � � � � ��� �� �� �������� ����� �� ����� ���� � ��� � �� '�� � � ����� �� ����� ��� ������� ���� ��� ����� � �� ��� �� �� �������� ����� � � )

�� � �$��$ � �+��+ � � � �� ������ � � $� +� � � � � �

��;���C� ������ #���� �;

'�� �� � ���� �������� ������� ���� ��� � � � ���� �� ���� � �� ������ ��+��� �� � �������7�� �� �� � �� ���

��� �� � �� � � -

�� ������ � �� ��� ������� � �� � ������ �� ������� ������� ���� �� ���� �� #������ $+� �������� +� + ����� ��� �� ���� ������ �������� ��� � �� ����� ������ �� ��� ����� ������ "����� ��8����� 9�1,%�

�6����� ���/� � +� + ���� �������� ������ � � �

� �

� �� � �

� �

� ��� ������� ������� � ��� ���

� ��� ��� ��� ������� � ��� � ��� ������� ��� ��� ����������� � � � �� �� � �� �+

�� ��������

������� �� #������ ��� ����� �������� ����� ��)

� $ ,

, 1

� �� ! � $ +

+ ,

� �� � � $ +

+ 2

� �

���� �� �� ������� �������� ��� � � � � 1 @ � 2 �� �� ������ ! �� �� ������� �������� ��� � ��� ��� ��� �����, �� �� ������ ������� � �� ������� �������� ��� � ��� ��� ��� ������� $ ��� 2 ��� �������� ��� ��� �������������� � 2 1 � $ �� ��� ��������

+13 *;;6� 8�4</#� (8�#6(� 4���4=4;�'*�> A#��8� 9

Page 250: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

7. Inner Product Spaces, Orthogonality

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��� ����� ������ "����� �� 8����� 9�11% �����

�6����� ���<� '�� �� � ���� ������� ������� ������� ���� ��� �� ��� ��� �� � �� � �� �� ��������� � � ���

#����, ��*��;�������� �� �� ����� ���(& �

������ 9�$2 ���� ���� ����� ������� ������� ������ ���������� �� ����� ���� � � ��� ��������� ��� ��� �� ������ �� ���� ��� ������ ���� �������

'�� � �� � ���� ����� ���� � ��� � ���� ����� % � ��$� �+� � � � � ���� ��� ������

� ������ ����� ��� � ���� ����� ����� ��� ���� ����������� � �� ����� ����� � � ������� �� ����� %�

4������ ���� �� �������� � ��� � ��� ����� ���� � �� �������� � ���� ��� ���� ��� � ���� ���� ���� ������� � ��� ��� ����� ���� � � � ��� ��� ����� % � �� D������ � % �� �� ��� ��� ������ ���� �� ��� ���� ��� � % �� �� �������� ������ ���� �� ��� �������� �������

������� � ��� �� ��� �$ � �$� $� -�� �+ � �$� +� ,�� �, � �$� ,� 2� �� � ����� % � 6� ������ ��� � �,� ���� ���

������ ���� ���������� ��� ����� ���� � �� �, �������� � ���� ����� %�

����� ����� �� � ���� ��� � �����

��$� �$� � $� $� - � +���+� �+� � $� 1� @ � $1�

��$� �+� � $� +� - � ,���+� �,� � $� .� $2 � ++�

��$� �,� � $� ,� - � 1

��,� �,� � $� @� +2 � ,2

���� �+ , 1

, $1 ++

1 ++ ,2

��

��� �� ���� ���� �� �������� �

��� ����� ������� "����� �� 8������ 9�12 ��� 9�1.� ����� ������% ����

�6����� ���>� '�� �� ��� ������ ������������� �� ����� ���� � �������� � ����� % � �� ����� ���� �� ��� �� � � �� �� ����

��� �� � ���� �������� ��� ��� ��� ����� ��� " ����% ������� �� ��� �������� � ��� ����� %�

�6����� ����� '�� �� ��� ������ ������������� ��� ����� ���� � � �� ���� �� � ������� ��������������

��A ��#�$ " ��� � ����� ���� �

���� �� ��� ������� �� �� ��� �� ��� ��� ����� ���� �� ����� �� �� ��� ��� ��������� ��� ����� ������� "(� ��� $�9%� ���� ����� ��� �������� ������� � ����� ������ � � �� ��� ������� � � �� ��� ��� ����� �F� ��� �� � � ��)

��� � �+ � �+� ��� �����������������+ � �+

�� �$ � �+ � �$ � �+ �$�+ � �$�+� ��� � �

���� � �� ���� � ��� ��� � �� � ��

��� ����� �������� ��������

#��8� 9: *;;6� 8�4</#� (8�#6(� 4���4=4;�'*�> +1@

Page 251: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

7. Inner Product Spaces, Orthogonality

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��������� '�� � �� � �� �� ��� � ��� �� (����� � �� � ���� �� ���� �� � � � ����� �� ���� ��� � ����� ������� ������ �� ��� ��� ���� �� ��� �� ����� � "� ����% ����� ����� � � ��� �������� ��� ����� �����)

�0$E� "������ ������% ���$ � ��+� �� � ���$� �� � ���+� ���0+E� "�������� �� ���� ������% ��� �� � ��� ���0,E� "������� ������ ������% ��� �� � -� ��� ��� �� � - � ��� ��� � � � -�

��� �� �� ��� � � ��� � ���� �� ����� ���� � �� ����� � "� ����% ����� ����� ������4������ ���� � ����� ����� ���� � ����� �� ��� ���� ��� ��� �� ��� �� �� ���� �0 +E������ �0$E� "'����� 8������% �� �0�������� � ��� �� �������)

��� ��$ � �+� �� � ��$� �� � ��+� ��� ��� ���� �� � ���� ��4� ��� ���� ����� ������� �*$E� ��� �*+E�� �� �����

��� ��� � ���� �� � ���� �� � ����� �� � ����� ������ ��� �� ���� ��C� ��� �F� ��� � ����� ������ ���� �� �� ��C�� �� ��� �� �� ������ � ����� ����� ���� �� *� � � "8����� 9�19%� ��� ����� ���� � �� ������� ������ �� ��� �� �� ����������� ���

��� ��$ � ��+� � ����� �$� � ����� �+�#������ ������ �� ��� ���� ������ ��� �F� ��� ������ �� ��� �� �� ������� �� ������ �� ���� ����

��

�������

����

� �� �

����������� ���

��� ����� �����C� ��� �� �����

������ �� ���� �0$E� �� ����� ������� ���� �-� -� � �-�� -� � -��� -� � -� � ���� ��� �0$E�� �0+E����� �0,E� ��� �0�������� � �0$E�� �0+E�� ��� ��� ����� ����)

��,E� * � �� -� ���� ��� �� � -�

���� ��� � �� ��� �������� �0$�� �0+E�� ��� �0,E� �� � " �����% ����� ���� � � ��

������ �� 5� �0+E�� ��� �� � ��� ��� ���� ��� �� ���� �� ����� 5� �0,E�� ��� �� ���� �� ���� ��������� ��� � ��� ������� ���� �0���� �� ������� �� ���� ���� ����� ���� � ��� ��� �� ����� ��� � �������������� ���

��� ��� ��� � ��� �� ��

������ !� 5������ ��� ���� �� ����� ��� ����� ��� ������� ��� ��� ��������� ������ ��� ��� �������� ���� �� ����� *� � �� ��� ��������� ������ � ��� ������ �� ���� �����F� ���� ��� ��� ���� �� �� ��� ���� ����

������� �� "#����� 6� ������ (�� � ��%� '�� � � ��� ��� ��� � � ���� ��� � � ���� �� �� ��� �� ��� ����

��� �� � ��

���� � �$�$ � �+�+ � � � �� ����

�� �� ����� ���� � � �� ����� ��� ����� � ������� ����� ����� � ��� � ���� ���� ����� ���� � �� �����#����� 6� ������ (�� �� &� ������ ���� ����� ���� � � �� ������ �������� ������ � �������� ������� � ��� ���� ���� �� ���� ��� ���� ����� ���� � ��� �� ������ ��

��� �� � �� ��

������ �� ���� ����� ��� �� ����� ��� �F� ��� �� � ������� �� * � ��� � ��� ����� �� ���� �� � ��� *� ���� ������� ����� ���� � ���� �� � ��� ���� �� �� � ���

+2- *;;6� 8�4</#� (8�#6(� 4���4=4;�'*�> A#��8� 9

Page 252: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

7. Inner Product Spaces, Orthogonality

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

������� ��

"�% '�� � �� ��� �� �� ��� � ����� ������� �� ���� � ��� "����% �������� � � � �� ���� ��� ����� ����� ����� ����� ����� � � )

� � � �� ���

� ����� �

"�% '�� . �� ��� �� �� ��� � � � ����� �� ��� �� (����� � ����� ��� ! � ����� ��� �������� . � ���� �������� �� ��� ����� ����� ���� � � . )

� �!� � ���!" � � � ��$

����$

�������

�� ������ !" � �!� � ���� ��� !" �� ��� �F� ��� �������� !�

��� ����� �� � ���� ������� � ����� ����� ���� � ��� �� ���� ��� ���� �� � ���� � ������� ���� ���� � ��������� ������ "����� �� ����� " � � � � � ����� ��� ���� ��� ���� � �������� ������ "����� �� ����� � � % ����� �� ��� ���� ���� "������ 9�$3 �� ����� �� 8����� 9�2-�%

�6����� ���@� "��& 6+1� 67��8% '�� � �� � ����� ����� ���� � ��� �� ����

���� ��� � ������

�6����� ���A� '�� ' �� � ������ � � ����� ����� ���� � ��� � �� ���� � � ' �'��

�6����� ���B� (����� ��$� �+� � � � � ��� �� � ����� � � ����� ����� ���� � ��� � �� ����� � ���� � ��

� � ��� �$���$� �$�

�$ ���� �+���+� �+�

�+ � � � �� ��� ������� ���

��

�6����� ����� (����� ��$� �+� � � � � ��� �� � ����� � � ����� ����� ���� � ��� � �� '�� � ����� ����� ����� ������ ������ �� ��� � ���� ���� ����� � ��� �� � � ��

��� �� � ���� �������� ��� ��� ��� ��� ��� ������� ���� �� ��� �� ��� ���� ����� ����� "1� ���) ���������� �� ���� � ��������� ��� ����� ���� � � ��%

�6����� ����� '�� �� � ��������� ������ "����� " � � � � � �� � ���� (� �( �� ���� ��� ������� ������ ��7�� �� �� ( � ��� ���� ��� �� � �� �� �� �� ����� ���� � � ���

�6����� ���!� '�� �� ��� ������ ���� ���������� �� ����� ���� � � �� ���� �� ���������� ���(� ( �� ���� ��� ������� � ��� ��7�� �� �� �� ���

���B ���# � ���� ���� � ��������$�

&� �� �� ���� � ���������

��������� '�� � �� � ���� � ����� �� �� ��� �� (����� � �� � � � � ����� �� ���� ��� � ����������� ������ �� ���� ���� �� ��� � � �� ����� � �� � � � �� �������� ��� ����� �����)

�;$� ��� � -� ��� ��� � - � ��� ��� � � � -�

�;+� ���� � ��������;,� ��� �� � ��� � ����

� �� �� ��� � � ���� � ��� �� ����� � �� �� ���� ������

#��8� 9: *;;6� 8�4</#� (8�#6(� 4���4=4;�'*�> +2$

Page 253: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

7. Inner Product Spaces, Orthogonality

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

(����� � �� � ����� �� �� ��� �� ��� ������� ������� �� �� ��� � ��� � �� � �� ������ ��������� ��

���� �� � �� ����� ����� ������ "����� �� 8����� 9�2.% �� ��� ���� ����� ��� ���� �� �� ����� ��� ������ �������� � ��� ��

�6����� ���/� '�� � �� � ����� �� �� ��� �� ���� ��� �� ��� ���� �� � �� �� �������� �������� ����� ����� � ����� ��� �)

�D$� ���� �� � -� ��� ���� �� � - � ��� ��� � � � ��

�D+� ���� �� � ���� ����D,� ���� �� � ������ � ���� ���

�����( �� ��� �*� �; ��( ����� ���(& � �*� �;

(����� � �� �� ����� ���� � ��� �� �� ��� ���� ��� ��� � �� �� � �� � �� ������ ��

��� ��������������� ��

�4�� �� ���� "������ 9�+% ���� ���� ��� ��� ������ �;$�� �;+�� ��� �;,�� ���� ����� ����� ���� ���� � � �� � ����� �� �� ��� �� 4� ��� ���� ����� ����� ��� �� ���� � � �� �� ��� � � ���� � �� �� �� �� ����� ���� � � �� �� ���� �����

����; �� �� ��( ��

��� ����� ����� ����� �������� ���� � �� ��� ��)

���$� � � � � ����� � ������������$� � � � � ����$ � ��$� � ��+� � � � �� �������$� � � � � ����+ �

����������������������������������������������������$�+ � ��+�+ � � � �� ����+

";�� ���� ���� ����� ��� ���� � ������ ���� ������� ��� ����� �����% ��� ���� � ��� � �$� ��� � �+��� ����� ��� ��+��$��� � ����� � ��� ���� � ����� ������� 4������ ���� � �+ �� ��� ��� � ��

"����� ������� ��% ���� �� �� ��� ����� ����� ���� � � �� "����� ������� ��%� &� ���� ��� ��� �$� �+����� ��� ��������� ������ � �� �����

������� �� #������ �� ��� � � �$�2� ,� ��� � � �1� +�,� �� �,�

"�% ��� ������� ��� ���� ��� ������� ��� ������� ������ ��� �������� ��� �

���� � 2 ��� ���� � 1

"�% ��� ��?��� ���� ��� ������� ������ ��� �������� ����

���$ � $� 2� , � @ ��� ���$ � 1� +� , � @

"�% ��� ��?��� �� �0��� � ��� �0���� �� ��� ��� ��� �0����� ��� ������� "����� ��� ��� ���� �� ����� ����� ����� ���� � � �,%� ����

���+ �����������������������$� +2� @

� ������,2

���� ���+ �

����������������������$.� 1� @

� ������+@

"�% (�� � � � � �$ 1� 2 +� ,� ,� � �,�9� .�� �� ����

����� �� � 9� �$��� �� � ,� 9� . � $.� �+��� �� �������������������������@� 1@� ,.

� ������@1

+2+ *;;6� 8�4</#� (8�#6(� 4���4=4;�'*�> A#��8� 9

Page 254: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

7. Inner Product Spaces, Orthogonality

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

������� �� #������ ��� #�������� ����� �+ ���� �� �� � 9?1�

"�% '�� 2$ �� ��� ��� ����� � � ��� $� �� �+ �� � ���� ���+ � $� ���� 2$ ������ ��� ����� ��� $� �� � �������++ � �+ � $+ � $� ���� 2$ �� ��� ���� �� ��� �� ���� �� �� � 9?1�

"�% '�� 2+ �� ��� ��� ����� � � ��� $� �� �+ �� � ���� ���$ � $� ���� 2$ ������ ��� ����� ��� $� �� � �������$ � ��� � �$� � $� ���� 2+ �� ��� ������ ������ ��� ���� �� ��� �� ���� �� �� � 9?,�

"�% '�� 2, �� ��� ��� ����� � � ��� $� �� �+ �� � ���� ���� � $� ���� 2, ������ ��� ����� ��� $� �� � �������� � �������� �$�� � $� ���� 2, �� ��� �0���� �� ��� ����� ��� ���� �� ��� �� ���� �� �� � 9?,�

����; �� ���� ��

#������ ��� �� �� ��� � � � ���� �� ���� ������� �� ���� � ��� �������� � � � �� �� ������� ��� ����� ������ �� ����� ���� � � � )

� � � �� ���

� ����� �

� ���� ��� ��� ���� ����� ���� � ������ ��� ����� ��� � � � ���� �� "��� � �� ���� �� ���� � �+ ��� � ��%)

� � �+ ��������������������������

� � ���+ ��

��� ����� ����� ��� ���� ���� � � � ���� ��)

� � �$ ���

� � ��� � ��� � � �� � ����� � ����

����� ��� ������ �� ��� ������� ����� �� ���� ��� ����� ��������� ������ � �� ����� ��� ���� ��� ����� �����

%�9� �)/

#��8� 9: *;;6� 8�4</#� (8�#6(� 4���4=4;�'*�> +2,

Page 255: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

7. Inner Product Spaces, Orthogonality

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��� ���� ��� �� �� ����� �� �� � 9?2� ����

� � �$ � ���� ������� ��� �� ��� � � � ��� ��� ?����

�$� � � �� � ���� ������� ��� �� ���� � ��� �

���� ��� �� ���� �� � ��� ��� � �$ � ���

��� �� �� ��� �� �� ����� �� �� � 9?.� ����

� � �� � ������� ������ � ������� � ��� ��� ?����

��� � � �� � ������� ������ � ������� � ��� �

���� ��� �� ���� �� � ��� ���� � �� � ���

��'C�( ���.'��;

��� � ������

���� 6�����)

"�% �2�$ � 3�+� .�$ 9�+��"�% �,�� 2�� 1� .���"�% �+� ,��+

/�� ��������� �� ��� ������� ���� ���� �������� ��������� ��� �� � ��� ���

a b t

f t( )

( ) is shadeda || f ||1

%�9� �)<

a b t

f t( )

( ) ( , ) is shadedb d f g1

g t( )

%�9� �)>

+21 *;;6� 8�4</#� (8�#6(� 4���4=4;�'*�> A#��8� 9

Page 256: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

7. Inner Product Spaces, Orthogonality

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

"�% ��C� ��� ����� ���� � �� � ���� � ��� ��� ���� �� � ���� � ��� �� ��)

�2�$ � 3�+� .�$ 9�+� � �2�$� .�$� � �2�$�9�+� � �3�+� .�$� � �3�+�9�+�� ,-��$� �$� ,2��$� �+� � 13��+� �$� 2.��+� �+�

A1� ���3 4������ ��� ���������� ������� ��� ���� �������� ��� ��� �������� "2�B3�%".�B9� % ��������� �� �����:

"� �,�� 2�� 1� .�� � $+��� �� $3��� �� � +-��� �� +-��� ��� $+��� �� � +��� �� ,-��� ��

"�% �+� ,��+ � �+� ,�� +� ,�� � 1��� �� .��� �� .��� �� � @��� ��� 1���+ $+��� �� � @���+

���� #������ �� ��� � � �$� +� 2�� � � �+�,� 2�� � � �1� +�,� �� �,� ����)

"�% � �� "�% � �� "�% � �� "�% ��� �� �� "�% ���� " � % ����"�% D������� ��������� ������� ��� ��� � �� � � � + .� +- � $.�

"�% � � � 1� 1 $+ � 1�

"�% � � � 3 . $2 � $,�

"�% ����� ��� �� � � �,�$� @�� ���� ��� �� � � $+ + +9 � $9� �������������� ���� �*$����� �� � � � �� � � � 1 $, � $9�

"�% ����� ��� ���+ �� �0����� ��� ������� � ��� ����� )

���+ � $+ � ++ � 1+ � $� 1� $. � +$� ��� � ��� ������+$

" � % ���+ � 1� @� +2 � ,3� ��� � ��� � �����,3

��

��!� G���� ���� ��� ����� ������ �� ����� ���� � �� �+)

��� �� � �$$$ �$$+ �+$$ � ,�+$+� ����� � � ��$� �+�� � � �$$� $+�&� �� �� ��� ����� ��� &� �� ����� ��� �� �� ������ ������ �� ����)

��� �� � �� � � ��$� �+� $ $

$ ,

� �$$$+

� �

(�� � �� ���� ��� �������� � �� ���� ��� ��� ���� �� ������� �������� ��� ��� ��� �������� $ ��� ,��� �������� ��� ��� ����������� � � � , $ � + �� �������� ����� �� ������ 9�$1� �� ������� ��������� ���� ��� �� ������ 9�$2� ��� �� �� �� ����� ���� ��

��/� #������ ��� �� ��� � � �$� 2� ��� � � �,� 1� �� �+� ����)

"�% ��� �� ���� ����� � � ��� ����� ����� ���� � �� �+�

"�% ��� �� ���� ����� � � ��� ����� ���� � �� �+ �� 8����� 9�,�

"�% ��� ���� ��� ����� ����� ���� � �� �+�

"�% ��� ���� ��� ����� ���� � �� �+ �� 8����� 9�,�

"�% ��� �� � ,� +- � +,�

"�% ��� �� � $ , $ 1 2 ,� , 2 1 � , 1 $2� .- � 11�

"�% ���+ � ��� �� � ��,� 1�� �,� 1�� � @� $. � +2� ��� � ��� � 2�

"�% ���+ � ��� �� � ��,� 1�� �,� 1�� � @ $+ $+� 13 � ,,� ��� � ��� � �����,,

��

#��8� 9: *;;6� 8�4</#� (8�#6(� 4���4=4;�'*�> +22

Page 257: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

7. Inner Product Spaces, Orthogonality

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��<� #������ ��� ����� ��������� �� ��� ���� ��� ����� ���� � � � � �� � $-� ����� �)

� �� � � +� ��� � , +� ��� � + + ,

"�% ���� � � � �� ��� � � � ���"�% ���� � � � ��� ����"�% ;�����7� � ��� ��

"�% *��� ���� �� ����)

� � � �� �$-

� � +��, +� � �$-

�,+ � 1 1� � ��, � ++ 1

�$

-

� $

� � � �� �$-

� � +��+ + ,� � � 1

1 9+

+ .

� �$

-

� ,9

1

"�% � � � � � � $-� � +�� � +� � � $@

,� ��� � � � � �

����$@,

�� $

,

�����29

��� �� �$-

�, +��, +� � $� ��� � ��� ����$

�� $

"�% (�� � � � � � $,

�����29

���� � �� ������� � ���� �� ��� �� ����

�� � $

� � � � � ,�����29

� � � +� ��� �� � � � , +

��>� ���� � � ����� � �� ��� �� �� �������)

"�% � � �$� ,�2� 1� ��� � � �+�1,� 1� $� �� �1�

"�% � @ 3 9

. 2 1

� ���� ! � $ + ,

1 2 .

� ������ � �!� � ���!� ��

/�� � � � ��� ��������

"�% #�����)

��� �� � + @ +-� 1 � +,� ���+ � $� @� +2� $. � 2$� ���+ � 1� @� $.� $ � ,-

���� � � � +,�����2$

� �����,-

� � +,

,��������$9-

"�% /�� � �!� � ���!� � � � ��$

����$ ������� ��� ��� ��� ���� �� ��������� ��������

� �!� � @� $.� +$� +1� +2� +1 � $$@

/�� � �+ � � � � � � ��$

����$ �

+�� � ��� ��� ��� �0����� ��� ��� �������� �

� �+ � � � � � @+ � 3+ � 9+ � .+ � 2+ � 1+ � +9$�

�!�+ � �!�!� � $+ � ++ � ,+ � 1+ � 2+ � .+ � @$�

��� �

��� �

� � � ��������+9$

�!� � �����@$

���� � � � $$@��������+9$

� �����@$

+2. *;;6� 8�4</#� (8�#6(� 4���4=4;�'*�> A#��8� 9

Page 258: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

7. Inner Product Spaces, Orthogonality

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

���� G���� �� � ��� ����� )

"�% 8������� ��� '�� "�� � 9?9%) ��� ��+ � �� ��+ � +���+ � +���+�"�% 8��� �� � ��� �� "��� � ���� ��� ����� ���� � �� �� ������� �� ��� ��� �� ���%)

��� �� � $1���� ��+ �� ��+��

6����� �� ���� � �����)

��� ��+ � ��� �� �� �� � ���+ � +��� �� � ���+ �$��� ��+ � �� �� � �� � ���+ +��� �� � ���+ �+�

��� "$% ��� "+% � �� ��� 8������� ��� '�� "�%� (����� � "+% �� "$% � �����

��� ��+ �� ��+ � 1��� ��<����� �� 1 � ����� ��� "����% ���� �� "�%�

��@� 8��� ������ 9�$ "#�� ��B( ����7%) �� � ��� � �� � ���� ����� ���� � ��� � � �

��� ��+ � ��� ����� �� � ���� ��� � ��������� ��� ���� ������ �

��� �� �� �� � +��� �� � +��� �� � ��� �� � +���+ � +��� �� � ���+

'�� � � ���+� � � +��� ��� � � ���+� (�� � ��� ��+ � -� �� ����

�+ � � � � � -

� ����� ����� � ���� ����� ���� ��� 0������� �������� ���� ���� �� ���� ���� ��� � ������� �����+ 1�� � - � �+ � 1��� ����

1��� ��+ � 1���+���+

<������ �� 1 ���� �� �������

��A� 8��� ������ 9�+) ��� ��� �� �� ����� ���� � ��� � � ��������)

"�% �;$� ��� � -� ��� ��� � - � ��� ��� � � � -�

"�% �;$� ���� � �������"�% �;,� ��� �� � ��� � ����

"�% * � �� -� ���� ��� �� � - ��� ��� � ��� � �������������� ���� -� * � � -� ���� �-� -� � -� #���0������

�-� � ���-

� � -� ���� �;$� �� �����"�% &� ���� ����+ � ���� �� � �+��� �� � �+���+� ��C�� ��� �0���� �� ��� ����� ���� �;+��"�% /��� ��� #�� ��B( ����7 ���0������� �� �����

��� ��+ � ��� �� �� �� � ��� �� � ��� �� � ��� �� � ��� ��� ���+ � +������ � ���+ � ���� � ����+

��C�� ��� �0���� �� ��� ����� ������ �;,��

%�9� �)�

#��8� 9: *;;6� 8�4</#� (8�#6(� 4���4=4;�'*�> +29

Page 259: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

7. Inner Product Spaces, Orthogonality

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

���-�=���$��05 ���-����#�$ ��#�$ # ���5 ���-�=���$ � ��

���B� ���� � � ���� � � �$� +� �� ,� ��� � � �,� �� 9�2� �� �1 ��� ��� ����

����� ���

��� �� � �$� +� �� ,� �,� �� 9�2� � ,� +� � 9� $2 � @� $+

���� ��� ��� �� � @� $+ � - � ����� � � 1,�

����� '�� ' �� ��� ������� � �2 ������� �� � � �$� +� ,�$� +� ��� � � �+� 1� 9� +�$�� ���� ������ ��� ��� ��� �������� '� '�

&� ���C ��� �� ��� � � ��� $� �� �� � �� � ����

��� �� � �� +$� ,� �� + � -

��� �� � +�� 1$� 9�� +� � -

6��������� � �� ��� �� �� �0������ �� ��� ��� �0�������� ������

�� +$� ,� �� + � -

�� 1� 2 � -

��� ��� ��������� ��� $� �� ��� � �������

"$% (�� $ � $� � � -� � - � ����� ��� ������ �$ � �+�$� -� -� -��"+% (�� $ � -� � � $� � - � ��� ��� ������ �+ � �$,� -�1� $� -��",% (�� $ � -� � � -� � $ � ����� ��� ������ �, � �$9� -� 2� -� $��

��� ��� ��$��+��,� �� � ����� '��

����� '�� � � �$� +� ,� $� �� � �� �� �� �1� ���� �� ��� ��� ����� � ���

���� � ��7�� ������ �� +$� ,�� � -� ��� �$ � �-� -� $�,�� ;� ��� � ��7�� ������ ��� ������

�� +$� ,�� � -� � , � -

��� �+ � �-�2� ,� $�� '������ ��� � ��7�� ������ ��� ������

�� +$� ,�� � -� 2$� ,�� � -� � , � -

��� �, � �$1� +� ,� $�� ���� �$� �+� �, �� �� ��� ��� ����� � ���

���!� '�� ( ����� ��� ����� �� ��� �� �1)

�$ � �$� $� -�$�� �+ � �$� +� $� ,�� �, � �$� $�@� +�� �1 � �$.�$,� $� ,�"�% (�� ���� % �� ��� ��� ��� � ����� �1�

"�% ���� ��� �������� �� ��������� �� �� � � ��� �� �� �� �� �1 �������� � ��� ����� %�

"�% #�����

�$ �+ � $� +� - , � -��+ �, � $� + @� . � -�

�$ �, � $� $� - + � -��+ �1 � $. +.� $� @ � -�

�$ �1 � $. $,� - , � -

�, �1 � $. $, @� . � -

���� % �� ��� ���� ��� ��� � % �� �������� ������������ � ���� ��� % �� � ����� � �1 ��� � ��� ���������� ����������� �� ��� �� � ����� �1�

+23 *;;6� 8�4</#� (8�#6(� 4���4=4;�'*�> A#��8� 9

Page 260: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

7. Inner Product Spaces, Orthogonality

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

"�% (�� � % �� ��� ���� �� ���� ��� ��� ��� ������ �� ����� � ���� ����� � � ��� ����� �� ���� ���� ������ 9�9� ����

�$ ���� �$���$� �$�

� �� � �

,�

�+ ���� �+���+� �+�

� �� +� �� ,�

$2�

�, ���� �,���,� �,�

� �� � @�� +�

39

�1 ���� �1���1� �1�

� $.� $,�� �� ,�

1,2

��� ��� �������� � ���� ����� � � ��� ����� %�

���/� (����� %� %$� %+ ��� ��� ������� �� 8��� ��� ����� )

"�% % � %���"�% * %$ � %+� ���� %

�+ � %�$ �

"�% %� � ���� �%���

"�% '�� � � %� ���� ��� �� � - � ����� � � %�� ��� � � � %��� � ���� ��� % � %���"�% '�� � � %�+ � ���� ��� �� � - � ����� � � %+� (�� � %$ � %+� ��� �� � - � ����� � � %$� ����

� � %�$ � ��� ��� � %�+ � %�$ �"�% (�� � % � �����%�� ���� "�% ���� �� �����%�� � %� (����� � � %� ��� � � �����%�� ���� ����� �����

�$��+� � � � ��� �� % �� � ���� � � �$�$ � �+�+ � � � �� ���� � ����� ���� � � %�� �� ����

��� �� � ��� �$�$ � �+�+ � � � �� ����� � �$����$� � �+����+� � � � � ��������� �$�-� � �+�-� � � � � ���-� � -

���� � � �����%��� � ���� ��� %� � �����%��� 5�� �� ������ ��� %� � �����%���

���<� 8��� ������ 9�2) (����� % �� �� ��� ��� ��� ��7�� �� ���� ���� % �� ��������������������

(����� % � ��$� �+� � � � � ��� ��� ������

�$�$ � �+�+ � � � �� ���� � - �$���C�� ��� ����� ���� � "$% ���� �$� �� ��

- � �-� �$� � ��$�$ � �+�+ � � � �� ����� �$�� �$��$� �$� � �+��+� �$� � � � �� ������ �$�� �$��$� �$� � �+ -� � � �� �� - � �$��$� �$�

(�� � �$ �� -� �� ���� ��$� �$� �� -� ���� �$ � -� (��������� � � � +� � � � � �� ��C�� ��� ����� ���� � "$%���� ���

- � �-� ��� � ��$�$ � � � � ����� ���� �$��$� ��� � � � �� ������ ��� � � � �� ������ ��� � ������ ���

5�� ���� ��� �� -� ��� ��� � �� � -� ���� % �� �������� ������������

���>� 8��� ������ 9�. "8���� ���%) (����� ��$� �+� � � � � ��� �� �� ��� ��� ��� �� ���� ����

��$ � �+ � � � �� ���+ � ��$�+ � ��+�+ � � � �� ����+6������� ��� ����� ���� �� �� ����

��$ � �+ � � � �� ���+ � ��$ � �+ � � � �� ��� �$ � �+ � � � �� ���� ��$� �$� � ��+� �+� � � � �� ���� ��� �

��������� ���

��� ������ ���� �� ��� � � ���� ���� ��� � ����+ ��� ���� ��� � - � � �� ��

#��8� 9: *;;6� 8�4</#� (8�#6(� 4���4=4;�'*�> +2@

Page 261: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

7. Inner Product Spaces, Orthogonality

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

����� 8��� ������ 9�9) '�� ��$� �+� � � � � ��� �� �� ��� ��� ����� �� ���� � ��� � � ��

� � ��� �$���$� �$�

�$ ���� �+���+� �+�

�+ � � � �� ��� ������� ���

��

(����� � � �$�$ � �+�+ � � � �� ����� ��C�� ��� ����� ���� � ��� ����� ���� �$ ������

��� �$� � ��$�+ � �+�+ � � � �� ����� �$�� �$��$� �$� � �+��+� �$� � � � �� ������ �$�� �$��$� �$� � �+ -� � � �� �� - � �$��$� �$�

���� �$ ���� �$���$� �$�

� (��������� � � � +� � � � � ��

��� �$� � ��$�$ � �+�+ � � � �� ����� ���� �$��$� ��� � �+��+� ��� � � � �� ������ ���� �$ -� � � �� ������ ��� � � � �� �� - � ������ ���

���� �� ���� �����$� ���

� (���������� � �� �� ��� �0����� � � �$�$ � � � �� ����� �� ����� ��� ������� �������

���@� (����� � � ��$� �+� � � � � ��� �� �� �������� ����� �� 8���)

"�% �� ��� � � �� �� ���� � � ��� �$��$ � ��� �+��+ � � � �� ��� ������"�% ��$�$ � � � � ����� �$�$ � � � �� ����� � �$�+ � �+�+ � � � �� �����

"�% �� ��� �� � � �� �� ���� ��� �� � ��� �$���� �$� � � � �� ��� ������ ����"�% (����� � � �$�$ � �+�+ � � � �� ����� ��C�� ��� ����� ���� � � ���� �$�

��� �$� � ��$�$ � �+�+ � � � �� ����� �$�� �$��$� �$� � �+��+� �$� � � � �� ������ �$�� �$�$� � �+�-� � � � �� ���-� � �$

(��������� � � � +� � � � � ��

��� ��� � ��$�$ � � � �� ���� � � � �� ����� ���� �$��$� ��� � � � �� ������ ��� � � � �� ������ ���� �$�-� � � � �� ���$� � � � �� ���-� � ��

(���������� ��� ��� � �� �� ��� �0����� � � �$�$ � � � �� ����� �� ����� ��� ������� �������

"�% &� ����

����$

���������$

����

� �� ��

����$

�������� ��� �����$

�������� ��� �����$

�������� ���

5�� ���� ��� � - � � �� �� ��� ���� ��� � $ � � � �� ��� �� �� ��0������

����$

���������$

����

� �� ��

��$

���� � �$�$ � �+�+ � � � �� ����

"�% 5� ���� "�%� �� ����

� � ��� �$��$ � � � �� ��� ����� ��� � � ��� �$��$ � � � �� ��� ���������� �� ���� "�%�

��� �� � ��� �$���� �$� � ��� �+���� �+� � � � �� ��� ������ ���

+.- *;;6� 8�4</#� (8�#6(� 4���4=4;�'*�> A#��8� 9

Page 262: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

7. Inner Product Spaces, Orthogonality

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

���D ������5 =��#1��-#�� �$=����-#5 ���$��������

���A� (����� � �� -� '�� � �� ��� �� �� �� �� (�� ����

� � ���������� �

��������+

�� ��� ���0�� � ���� �� � ���� � � � �� �� ��� ��� � ��

*� ���� � � � �� ��� ��� � � �� ���� ����

�� ��� �� � - � ����� ������ � - � ����� � ������

���� ������������ #��������� ������ � �

����������� ����

�� ��� �� � ����� ������ � ����� ���������� ����� � -

���B� ���� ��� ������ �� ���� � ��� ��� ��F� ��� � � �$�+� ,�1� ��� � � �$� +� $� +� �� �1�

#����� ����� � $ 1� , 3 � 3 ��� ���+ � $� 1� $� 1 � $-� ����

� � 3$-� 1

2��� ��F����� � �� � � 1

2� 3

2� 1

2� 3

2�

����� #������ ��� ������ � . �1 ������� �� ��� �� ���)

�$ � �$� $� $� $�� �+ � �$� $� +� 1�� �, � �$� +�1�,����� "�% �� ��� ��� ����� . � "�% �� �������� ����� . �

"�% /�� ��� =���B( ����� �� ������ 5� �� �� ������ �$ � � � �$� $� $� $�� ;��� ���

�+ ��+��$���$�+

�$ � �$� $� +� 1� 3

1�$� $� $� $� � �$�$� -� +�

(�� �+ � �$�$� -� +�� ���� ���

�, ��,��$���$�+

�$ ��,��+���+�+

�+ � �$� +�1�,� �1�1

�$� $� $� $� �@�.

�$�$� -� +�

� �$+� ,+�,� $�

#���� �� ���� � ����� �, � �$� ,�.� +�� ���� �$��+��, �� �� ��� ��� ����� .�

"�% ;�����7� ��� ��� ��� ����� ������� �$��+��,� (�� � ��$�+ � 1� ��+�+ � .� ��� ��,�+ � 2-���� ����� �� ��� �� �� �������� ����� . )

�$ �$

+�$� $� $� $�� �+ �

$���.

� �$�$� -� +�� �, �$

2���+

� �$� ,�.� +�

����� #������ ��� �� �� ��� � ��� ���� ����� ���� � � � � �� � $-� ����� �� ����� ��� =���B( �����

�� ����� � ��� ��� �$� � +� � ����� �� ��� ��� ��� � �-� �$� �+� ���� ���� �� �� ������

����� ��� �- � $� ���� ���

�� $��$� $� $ �

$+

$ $ � $

+

#���� �� ���� � ����� �$ � + $� ���� ���

+ �+� $��$� $� �$�

�+� + $��+ $� + $� �+ $� � +

$,

$�$�

$.$,

�+ $� � + � $

.

#���� �� ���� � ����� �+ � .+ . � $� ���� �$� + $� .+ . � $� �� ��� ��0����� ��� ��� ����

#��8� 9: *;;6� 8�4</#� (8�#6(� 4���4=4;�'*�> +.$

Page 263: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

7. Inner Product Spaces, Orthogonality

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

���!� (����� � � �$� ,� 2� 9�� ���� ��� ��F� ��� � �� ' �� �� ���� ����� ��� � � ' ����������7�� �� ��� ����� ' �� ��� ������� � �1 ������� ��)

"�% �$ � �$� $� $� $� ��� �+ � �$�,� 1�+��"�% �$ � �$� $� $� $� ��� �+ � �$� +� ,� +�

"�% (�� � �$ ��� �+ ��� ��� ���� �� ���� ��� ����� ��� ������ �� �����)

�$ ���� �$���$� �$�

� $� ,� 2� 9

$� $� $� $� $.

1� 1

�+ ���� �+���+� �+�

� $ @� +- $1

$� @� $.� 1� +

,-� $

$2

���� � � ��F���' � � �$�$ � �+�+ � 1�$� $� $� $� $$2�$�,� 1�+� � �2@

$2� .,2� 2.$2� .+$2��

"�% (�� � �$ ��� �+ ��� �� ��� ���� ���� ����� ��� =���B( ����� �� ����� � ��� �� ��� ��� ������ '� (�� �$ � �$ � �$� $� $� $�� ���� ���

�+ ��+��$���$��$�

�$ � �$� +� ,� +� 3

1�$� $� $� $� � �$� -� $� -�

(�� �+ � �$� -� $� -�� ;� �����

�$ �����$���$��$�

� $� ,� 2� 9

$� $� $� $� $.

1� 1

�+ �����+���+��+�

$� -� 2� -

$� -� $� -� .

+� ,

���� � � ��F���' � � �$�$ � �+�+ � 1�$� $� $� $� ,�$� -� $� -� � �9� 1� $� 1��

���/� (����� �$ ��� �+ ��� ��7�� ��� ��� �� ���� '�� � �� ��� �� �� �� �� ���� �$ ��� �+ � ����� �� ��� ��� � �$ ��� �+� ����� � � � �$�$ �+�+�

* � �� ��� ��� � �$� ����

- � �� �$�$ �+�+� �$� � ����$� �$��$��$� �+��+��$�� ����$� �$��$��$� �+- � ����$� �$��$��$�

���� �$ � ����$����$��$�� "���� ��� �$ �� ��� ������ � ��� �$�% (��������� � � �� ��� ��� � �+�����

- � �� �$�$ �+�+� �+� � ����+� �+��+��+����� �+ � ����+����+��+�� "���� ��� �+ �� ��� ������ � ��� �+�%

���<� 8��� ������ 9�3) (����� �$��+� � � � ��� �� �� ��� ��� ��� ��7�� �� ��� �� �� '��� � �� <����

� � � ��$�$ � �+�+ � � � �� ������ ����� �� ��������������

���� � �� ��� ��� � �$��+� � � � ����

�� � � $� +� � � � � � ��� ���� ������� � - � � �� �� �� ����

�� �$�$ �+�+ � � � ����� ��� � ������ �$��$���� � � � ��������� � � � ���������� ������ �$ - � � � ��������� � � � �� -� ������ ��������� � ������

�������������

������� � -

���� ��� ������ �� ������

+.+ *;;6� 8�4</#� (8�#6(� 4���4=4;�'*�> A#��8� 9

Page 264: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

7. Inner Product Spaces, Orthogonality

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

���>� 8��� ������ 9�@) '�� ��$� �+� � � � � ��� �� ��� ����� �� ����� ���� � ��� � �� ���� ����� �������� �������� ����� ��$� �+� � � � � ��� � �� � ���� ��� ��� �??����� ������ �� ���� � ���� ������� ����� ���� ��� � � � $� +� � � � � ��

�� � ��$�$ � ��+�+ � � � �� �����

��� �� ���� ��� =���B( ����� �� ����� ��� �����C� $ ��� , (� ��� 9�9� ���� ��� ����� ����� ����� � ���� � ����� �� ��� ��� ����� ���� � � � ����� ��� ���� ������7� ���� � ����� �� ������������� ���� �� ��� ��� �� �� ����� ��������� ���� �� � �� �� � ������ �������� �$� � � � � �� � ��� ��� ��� � �� �� � ������ �������� �$� � � � � �� �

����� 8��� ������ 9�$-) (����� % � ��$��+� � � � ���� �� �� ��� ��� ����� � � ������ � ' ������ �� ��� ������ % � �� ��� ��� ����� � �� ���� ��� �� ��� ��� �� ��� ���$� � � � ��� �� ����� ��$��+� � � � ���� �� �� ��� ��� ����� � ��

6����� % � � ����� % � ��$� � � � ���� ���$� � � � � ��� � �� ������� ��� =���B( ����� �� ����� � %��� ���� ����� �$��+� � � � ��� ��� � % �� ��� ���� ��� ���� �� ����� �� ��� ���$� � � � ���� �������$��+� � � � ���� �� �� ��� ��� ����� � �� ���� ��� ������ �� ������

���@� 8��� ������ 9�1) '�� ' �� � ������ � �� ���� � � ' �'��

5� ������ 9�@� ����� ������ �� ��� ��� ����� ��$� � � � � ��� ' � ��� �� ������ 9�$- �� �� �������� � �� ��� ��� ����� ��$� �+� � � � � ��� �� ��� � ���$� � � � � �� � '�� * � � �� ����

� � �$�$ � � � �� ����� ����� �$�$ � � � �� ���� � ' ��� ���$���$ � � � �� ���� � '�

� ���� ��� � � ' �'��

4� ��� ���� ����� � � � ' �'�� ���� ����� � -� ���� ������ � � -� ��� � ' �'� � �-����� �� ������� � � ' �'� ��� ' �'� � �-� ��� ��� ������� ������ � � ' �'��

������� ;�� ���� �� ���� ����� ��� ������ � ��� ��� ���� � ��� ����� ��������� &� �����C ������� ������ ��� ���� � ��� �� ��������� ���������

���A� (����� ' �� � ������ � � �����?���������� ��� � �� 8��� ���� ' � '���

5� ������ 9�1� � � ' �'�� ��� ��� � � '� �'��� ��� �

��� ' � ��� � ��� '� ��� ��� '�� � ��� � ��� '�

���� ������ ��� ' � ��� '��� 5�� ' � '�� "��� 8����� 9�$1%� ��� � ' � '��� �� ��0������

��!B� 8��� ��� ����� ) (����� �$��+� � � � ��� �� �� ��� ��� ��� ��7�� �� ��� �� �� '�� ��� ��� �� �� �� � ��� ��� �� �� ��� ������ � ��� ��� ����� � ��� � ����� �$� � � � � ��� ������

� ����$

����

�������� � � ��

��$

����

��������

���� �������� �� ��� ����� ����������� � � �� � ������ �������� �$� � � � ����

5� ������ 9�3� ������ �� ��� ��� � ����� �� ��� ��� � ��� ��� � ��� ������ ��������

�$��+� � � � ���� �������� ���� ��� 8���� ���� ������ ��� ������ �� � � $ � ��

������

�� ��+ � ������ �

� ��� ������� ��+� ��

������ ��+� ���� �����

�� ��+� ��

������ ��+

��� �0���� �� ��� ����� ���� �� �������

#��8� 9: *;;6� 8�4</#� (8�#6(� 4���4=4;�'*�> +.,

Page 265: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

7. Inner Product Spaces, Orthogonality

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��!�� (����� ��$� �+� � � � � ��� �� �� �������� ��� �� ��� �� �� '�� � �� ��� �� �� �� � ��� ��� �� ����� ������ �� ���� � ���� ����� � � ��� 8��� 5�����!� ���0������)

����$

�+� � ���+

;�� ���� �� � ��� ���� ��� � ���� � $� ����� ���� ���� ��� � - � � �� � ��� ������ �� � � $ � �� �� ��

- � ������� ��

��� ��� � � ��� �� + ��

������ �

��+� � ��� �� �

+����� ��� ���+�

�� ��� �� �

+�+� ��

�+� � ��� �� ��+�

���� ���� �� �� ���0�������

���-�=���$ #����� �

��!�� ���� �� ��� ��� ������ � ���� ���� �� �� �$ � �$,� +,� +,��

����� ��� � ��7�� �� �� �+ � ��� $� �� ��� � �� ��� ��� � �$� ����� � ��� �

- � ��$��+� ��

,� +$

,� +�

,� - � �� +$� +� � -

4�� �� � ������ �� �+ � �-� $�$�� ;�����7� �+ � ����� ��� �� �� �� �� �����

�+ � �-� $����+

��$�

���+

���

;��� ��� � ��7�� �� �� �, � ��� $� �� ���� �� ��� ��� � ��� �$ ��� �+� ����� � ��� �

- � ��$��,� ��

,� +$

,� +�

,� - � �� +$� +� � -

- � ��+��,� �$���+

� $���+

� � - � $ � � -

(�� � � $ ��� ��� ��� ������ �, � �1�$�$�� ;�����7� �, ��� ����� ��� ����� �� �� ���� ���

�, � �1������$3

��$�

�����$3

��$�

�����$3

���

� �$,

+,

+,

- $����+

� $����+

�1�,

���+

� $�,���+

� $�,���+

��

������

&� �������7� ���� ��� ���� ������ � �� �� ���0���

��!!� '�� �$ $ $

$ , 1

9 2 +

��

��� <�������� ������� � ��) "�% ��� ��� ��� ��� ����

"�% �� �� ��� ��� ������� "�% ��� ����� ��� ��� ����

"�% >��� ��� � �$� $�$� ��$� ,� 1� � $� , 1 � -� �$� $ $� �9�2� +� � 9 2 + � -� ����$� ,� 1� �9�2� +� � 9 $2� 3 � -�

"�% ;� ��� � ��� ��� ��� �� ���� �� ���� �� �� �$� $�$�+ � $� $� $ � ,�

"�% ;� �� �� �$� $� 9� �$� ,�2� � $� , ,2 � ,$ �� -�

��!/� '�� ! �� ��� ������ ������� �� ������7�� �� � �� �� 8����� 9�,,�

"�% ���� !�

"�% *� ! �� ��� ��� ������H

"�% ��� ��� ����� ! ��� ���H

+.1 *;;6� 8�4</#� (8�#6(� 4���4=4;�'*�> A#��8� 9

Page 266: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

7. Inner Product Spaces, Orthogonality

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

"�% &� ����

��$� $�$��+ � $� $� $ � ,� ��$� ,� 1��+ � $� @� $. � +.

��9�2� +��+ � 1@� +2� 1 � 93

���� ! �$�

���,

�$�

���,

� $����,

$������+.

�,�

�����+.

�1�

�����+.

9������93

� 2������93

�+�

�����93

���

���

"�% >��� ��� � ��� ��� ! ��� ����� ��� ��� ��� ��� �� ���� �� ����

"�% >��� ��� � ��� ��� ! �� �� �������� ��� �� ���� ����� �� ������ 9�$$� ��� ����� !���� ������� ���� �� �� �������� ����

��!<� 8��� �� � ��� ����� )

"�% � �� ��� ��� � ��� ��� � �� �� ��� ����

"�% * � �� ��� ���� ���� �$ �� ��� ����

"�% * � ��� 4 ��� ��� ���� ���� �4 �� ��� ����

"�% &� ���� ��� �� � �� ���� � �� ��� ��� � ��� ��� � ��� � 0 � ��� ��� � ����� � 0 � ��� ��� ��� �� ��� ����

"�% &� ���� �� � �$� ��� � � �� ��� ���� ����� �� ���� "�%� �$ �� ��� ����

"�% &� ���� �� � �$ ��� 4� � 4$� ���� ��4���4�� � �44��� � �44$�$ � 0 � ���������4�� � ��4�$� ��� � �4 �� ��� ����

��!>� (����� � �� �� ��� ��� ������� (�� ����)

"�% ������� � ��� �� � ��� �� � � � �

"�% ���� � ��� � ����� � � ��

/�� ��� � 0 ��� ��� �� � ����

"�% ������� � ����� ���� � ������ � ��� � ��� ���"�% &� ����

����+ � ������� � ������ � ��� � ��� �� � ���+

��C�� ��� �0���� �� ��� ����� ���� �� �������

��!�� 8��� ������ 9�$+) (����� � � ���� ��� � � ���� ��� �������� ����� �� '�� � �� ��� ��� �??����� ������ �� � � �� ���� � �� ��� ����

(�����

�� � ��$�$ � ��+�+ � � � �� ������ � � $� � � � � � �$�

/��� 8����� 9�$3"�% ��� ��� � � ���� � �� ��������� �� ��

��� � ���� ��� � ��$��$ � ��+��+ � � � �� ������ �+�'�� ! � ����� �� ��� ������ ��� �� ����� �� "$%� "���� � � !� �% (����� !!� � ������ ����

��� � ��$��$ � ��+��+ � � � �� ������ �,�5� "+% ��� ",%� �� ���� ��� � ���� ���� !!� � 0 � � ���� ��� ! �� ��� ���� ��� ��� � � � !� ����� ����

#��8� 9: *;;6� 8�4</#� (8�#6(� 4���4=4;�'*�> +.2

Page 267: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

7. Inner Product Spaces, Orthogonality

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��!@� 8��� ������ 9�$,) '�� ��$� � � � � ��� �� �� �������� ����� �� ����� ���� � ��� � � � '��� � ����� �� �� ��� ��� ������� ���� ��� ����� � �� ��� �� �� �������� ����� � � )

�� � �$��$ � �+��+ � � � �� ������ � � $� +� � � � � �

(�� � ���� �� ��������� �� ��� �� 8����� 9�$3"�%�

���� ��� � �$��$� � �+��+� � � � �� ������ � ������������ �� ������ ��� ��� ���� ��� ��� ��� ������ � � ������ (�� � � �� ��� ���� ��� ����� �� ���������� ���� ���� ������� ���� ��� � ������� � ���� ���� ���� �� �� �������� ������

��� � ������ �� ������� %���� #����� �

��!A� &�� � ��� ����� �������� ����� �� ��� ������� �������H

"�% � , 1

1 2

� �� "�% ! � 3 ,

, +

� �� "�% � � + $

$ ,

� �� "�% 2 � , 2

2 @

� �

/�� ������ 9�$1 ���� � +� + ���� �������� ������ �� ������� ������� � ��� ��� ��� ������� ���������� ��� � ��� ����������� �� ��������

"�% ;� ��� � � � � $2 $. � $ �� �� ������

"�% >���

"�% ;� ��� � ��� ��� ��� ����� , �� �� ������

"�% >���

��/B� ���� ��� ������ � ���� ��C� �� � ��� ����� ����� �� ������� �������)

"�% � + 1

1 �

� �� "�% ! � 1 �

� @

� �� "�% � � � 2

2 +

� �

"�% ������ � ���� �� �������� ���� � � � +� $. ���� �� �������� ���� ��� +� $. � -� ��� � � � 3�

"�% &� ���� �!� � ,. �+ �������� ���� ��� ,. �+ � -� ��� � �+ � ,. � . � � � .�

"�% � �� ����� �� ������� �������� ��� � � ��� � �� ����� ��� ��� ����� +�

��/�� ���� ��� ������ ���� ���������� ��� ����� ����� ���� � � �+ �������� � �� � ��� ����� ����� �+) ��� ��$ � �$� ,�� �+ � �+� 2��� ��� ��$ � �$� +�� �+ � �1�+��

"�% #����� ��$� �$� � $� @ � $-� ��$� �+� � +� $2 � $9� ��+� �+� � 1� +2 � +@� ���� � $- $9

$9 +@

� ��

"�% #����� ��$��$� � $� 1 � 2� ��$��+� � 1 1 � -� ��+��+� � $.� 1 � +-� ���� � 2 -

- +-

� ��

"(�� � ��� ����� �� ��� ��� ��� ���� ��� ������ �� ��� ����%

��/�� #������ ��� �� �� ��� � �+�� ���� ����� ���� � � � � �� � $$� ����� ��

"�% ���� � � � ��� ����� � �� � � + ��� ��� � + , � 1�

"�% ���� ��� ������ ��� ����� ���� � ���� ����� � � ��� ����� �$� � +� ��"�% G���� ������ 9�$. �� ����� ���� � � � �� � � � �� ��� ���� ����� � � ��� ����� �$� � +��

+.. *;;6� 8�4</#� (8�#6(� 4���4=4;�'*�> A#��8� 9

Page 268: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

7. Inner Product Spaces, Orthogonality

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

"�% � � � �� �$$

� � +��+ , � 1� � �$$

�, + + � 3� � � 1

1 ,

, + � 3

� �$

$

� 1.

,

"�% ���� �� ��� ��� � � ����� � � � � � ��

��� �� �$$

� � � ��$

�� $

$

$

� +���� $� � � �� �����- � � �� ���

���� �$� $� � +� �$� � � -� �$� +� � +,� �� � � +

,� �� +� � -� �+� +� � +

2� ����

�+ - +

,

- +,

-+,

- +2

��

��

"�% &� ���� � � �� � �+� $� -� ��� ���� � �1�,� $� �������� � ��� ���� ������ ����

� � �� ��� � �+� $� -�+ - +

,

- +,

-+,

- +2

��

�� 1

,

$

��

�� � �1� +

,� 1,�

1

,

$

��

�� � 1.

,� � � � ��

��/!� 8��� ������ 9�$1) � � �

� �

� ��� ������� ������� � ��� ��� � � ��� � ��� ������� ���

� � � �� �+ �� ��������

'�� � � ��� $�� � ����

� ��� � �� � � ��� $� � �

� �

� ��

$

� �� ��+ � +��$� �$+

(����� � ��� � - � ����� � �� -� ���� � �$� -� � � � - ��� � �-� $� � � � -� ���� �� ����� ����� � ���� �+� � -� (�� � � � -� �� �� �� �+ � -�

#��������� ������ � � -� � � -� �� �+ � -� #������� ��� �0���� ���� ��

� ��� � � �+ � +�

��$� �+

�+$+

� �� �$+ �+

�$+ � � �� �$

� �+

� �� �+

�$+

� ���� ��� � ��� � - � ����� � �� -�

��//� 8��� ������ 9�$2) '�� �� � ���� ������� ������� ������� ���� ��� �� ��� ��� �� � �� � �� ������� ���� � � ���

�� ��� �� ��� �$� �+� ��� ��

��$ � �+� �� � ��$ � �+�� � � ���$ � ��+ � � � ��$ �� ��+ � � ��$� �� � ��+� ������ � ��� � ���� � ��� �� ��� �� ��

���� �� � ����� � � ��� � � ���� ������ �*$� �� ���������

(�� � �� � �� � � ����� ��� ��� � �� �� ���� � � ��� � �� �������� � �������

��� �� � �� � � ��� ��� � �� ���� � ���� � ��� ������ �*+� �� ���������

'������ ��� � �� ������� �������� (� ( � - � ��� ��7�� ( � ��� ���� � ��� ��7�� �� ���� ��� �� � �� � � -� ���� �-� -� � -� - � -� ���� �*,� �� ��������� � ���� ��� ��� �� ��� ��� �� � � ���� ����� ���� ��

#��8� 9: *;;6� 8�4</#� (8�#6(� 4���4=4;�'*�> +.9

Page 269: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

7. Inner Product Spaces, Orthogonality

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��/<� 8��� ������ 9�$.) '�� �� ��� ������ ������������� �� ����� ���� � �������� � � ����� % �� ����� � ��� �� ��� �� � � �� �� ����

��� �� � ���� ���(����� % � ��$��+� � � � ���� ��� � ������ ��� � ��� � �������� (�����

� � �$�$ � �+�+ � � � � ���� ��� � � �$�$ � �+�+ � � � �� ����

���� ��� �� � ����$

����$

����������� �$�

4� ��� ���� �����

���� ��� � ��$� �+� � � � � ���

�$$ �$+ � � � �$�

�+$ �++ � � � �+�

������������������������������

��$ ��+ � � � ���

�����

�����

�$

�+

���

��

������

������

� ����$

����$�����$

����+� � � � �����$

�����

� � �$

�+

���

��

������

������ � ��

��$

����$

������� �+�

60������ �$� ��� "+% ��� �� �� �������

��/>� 8��� ������ 9�$9) '�� �� ��� ������ ������������� ��� ����� ���� � � �� ���� �� �������� ������� �������

(�� � ������� � ������� � ��� ����� �� ��� �� ��� ��� ��� ������ �� �������� � '�� ( �� �����7�� �� �� �� ��� ���� ��� � ( � ��� ��7�� �� �� � � �� ������ 9�$. ����� �� ����(� ( � ���� ��� � ��� �� � -� ���� �� ������� ��������

��#�$ " ��� � ����� ���� �

��/�� '�� � �� � ����� ����� ���� � ��� �� G���� ��� �������

��� ��$ � ��+� � ����� �$� � ����� �+�

/��� �0+E�� �0$E�� ��� ���� �0+E�� �� ���

��� ��$ � ��+� � ���$ � ��+� �� � ���$� �� � ���+� �� � ����$� �� � ����+� �� � ����� �$� � ����� �+�

��/@� (����� ��� �� � ,� +� �� � ����� ����� ���� � ��� � �� ����)

"�% ��+ 1���� �� "�% ��� �1� ,���� "�% ��, .���� �2 +����"�% ��+ 1���� �� � �+ 1����� �� � �+ 1���,� +�� � $1 $3�

"�% ��� �1� ,���� � �1� ,����� �� � �1 ,���,� +�� � $3 �

"�% ��, .���� �2 +���� � �, .���2 +����� �� � �, .���2� +���,� +�� � $,9 ,-�

+.3 *;;6� 8�4</#� (8�#6(� 4���4=4;�'*�> A#��8� 9

Page 270: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

7. Inner Product Spaces, Orthogonality

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��/A� ���� ��� ������ �� ���� " ������% � ��� ��� ��F� ��� �� � � �,� 1�� + ,�� ��� � � �2� �� +�� �� �+�

�� ��� ���� � � ������������ #�����

����� � �,� 1���2� �� � �+ ,���+�� � �,� 1���2 �� � �+ ,���+��� $@� $9� . 1� � $,� $,�

����� � +2� $� 1 � ,-

���� � � �$,� $,���,- � $,,-� $,

,-�� � ���� ��� ��F����� � �� � �+.

$2� ,@

$2�� $,

$2� $

$2��

��<B� 8��� ������ 9�$3 "#�� ��B( ����7%) '�� � �� � ����� ����� ���� � ��� �� �������� ��� � �������

* � � -� ��� ���0������ ���� �� � - � - ��� ��� � �� ������ ;� ������ � �� -� /��� ��� � ���+ "� ��� ����� ������ �% ��� ��� �� � ��� ��� �� ������ �� ��� ����+ � -� ����� �� ��� ���� �����)

- � �� ��� ����+ � �� ��� ���� � ��� ����� ��� �� ��� ����� �� ��� ����� �� � ��� ����� ��+��� ��� ���+ +���� ���+ � ���� ���++���+

(�� � $����+ � ��� - � ���+ ���� ���+���+ � �� ��� � ���� ���+ � ���+���+� ��C�� ��� �0����

�� ��� ������ �� ����� ��� ��0����� ���0�������

��<�� ���� �� ��� ��� ����� � �� �� �, ����� � � �$� �� $� ������� �� ������ ��� �� ��� � � ��� $� �� �� � ����

��� �� � � �$� �$ ��� � -

���� �� ������� ��� �$ � �-� $ �� ��� ���� ��� � ������ ��� ������

� �$� �$ ��� � -� �$� ��$ �� � -

���� � �� � ��� ��������� (�� � � $ � ����� $ � ���$� �� � �$� ���+ ��� � � �,� ,�+� D��������� �� +������ ��� ������ �+ � �,� ,� $� �� +%� ��� �� ��� �$ ��� �+ �� �� ��� ��� ����� � ���

��<�� ���� �� �������� ����� ��� ������ � ' �, ������� ��

�$ � �$� �� -� ��� �+ � �$� +� $ �������� ��� =���B( ����� �� ������ (�� �$ � �$ � �$� �� -�� #�����

�+ ��+��$���$�+

�$ � �$� +� $ �� $ +�

+�$� �� -� � �$

+� �� $ $

+�� $ ��

D������� �� + � ���� �� ����� ������� �+ � �$� +�� + �� + +��� ;��� ��� ��$� � ���+

���� ����

��+� � �����$3

�� ;�����7�� ��$��+�� �� ����� ��� ����� �������� ����� ' )

�$ �$���+

� �����+

� � -

� �� �+ �

$� +������$3

� �+ ������$3

� �+ +������

$3�

� �� �

#��8� 9: *;;6� 8�4</#� (8�#6(� 4���4=4;�'*�> +.@

Page 271: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

7. Inner Product Spaces, Orthogonality

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��<!� ���� ��� ������ � ���� ���������� ��� ����� ����� ���� � � �, �������� � ��� ����� �$� �� $ ���#����� ��� ����� ��� ����� ���� ��)

�$� $� � $���� �� � ��� � $�

�$� �� � �� � ����� $ �� � ��$ �� � $� ��

�$� $ �� � $ � � $� �

�$ �� $ �� � +

����� ���� ��� �� � ��� ��� �� �����

� �$ � $� �

� $ $� �

$ � $ � +

��

��

"�� ���� ���� � �� ���������� ���� ��� �" � ��%

���# � ���� ���� �

��</� #������ �� ��� � � �$� ,�.� 1� ��� � � �,�2� $�+� �� �1� ����)

"�% ���� ��� ����� "�% ���$ ��� ���$� "�% ���+ ��� ���+�"�% ����� ��� �$��� ��� �+��� ���

"�% ��� ������� ��� ���� ��� ������� ��� ������� ������ ��� �������� ��� �

���� � . ��� ���� � 2

"�% ��� ��?��� ���� ��� ������� ������ ��� �������� ����

���$ � $� ,� .� 1 � $1 ��� ���$ � ,� 2� $� + � $$

"�% ��� ��?��� �� �0��� � ��� �0���� �� ��� ��� ��� �0����� ��� ������� "����� ��� ������� �� �� ��� ����� ����� ���� � � �,%� ����

���+ ���������������������������������$� @� ,.� $.

� ������.+

���� ���+ �

������������������������������@� +2� $� 1

� ������,@

"�% ����� ��� � � � �+� 3�9� .�� ��������� �� � �� ��� � 3

�$��� �� � �� ��$ � +� 3� 9� . � +,

�+��� �� � �� ��+ ������������������������������������1� .1� 1@� ,.

� ���������$2,

��<<� #������ ��� �� ��� � �� � + 1 �� ��-� ,��"�% ���� � � ��� "�% 8�� � �� �� ��� ����� �+� "�% ���� � � �$� "�% ���� � � �+�"�% &� ���C � � �� � ����� � ����� (�� � � �� �� ������������ � �-� ,�� � � ��� ��� � ������� �� � ���� ��

���� � ��� ����� ���� ��� ���������� � �� � -� � �� �� ������� �-� ,�� (�� � � �� � + 1� �� ���+ 1 � - ��� ����� � + �� � ���� �� ����� #�����

� �+� � 1 3 � 1� � �-� � - - � -� � �,� � @ $+ � ,

���� � � �� � � � �+�� � � 1� � 1�

"�% #����� � �� � ������ ������ �� �-� ,�� �� �� - $ + ,

� �� - , 1 ,

8�� ��� ����� �� �+ ��� ���� ���� � ������� ���� ���� � ��� ������ �� ���� �� �� � 9?3�

"�% &� ���C � � �$ � ,-� � ��� �� �� ���� ���� �� �� � 9?9� � �� �� �� ����� �� �-� ,�� ��� �

� � ��� � �+ 1� � 1 +�

� � �$ �,-

�1 +� � � ++ ,

,

� �,

-

� $3 @ � @����

+9- *;;6� 8�4</#� (8�#6(� 4���4=4;�'*�> A#��8� 9

Page 272: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

7. Inner Product Spaces, Orthogonality

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

"�% � � �++ �,-

� � ��+ � �,-

�1 3, � $.+� � � 2

2 +1 � $.,

,

� �,

-

� $2,

2�

���� � � �+ ���������$2,

2

��

��<>� 8��� ������ 9�+1) '�� � �� � ����� �� �� ��� �� ���� ��� �� ��� ���� �� � �� �� ����������� ����� ����� ����� � ����� ��� �)

�D$� ���� �� � -� ��� ���� �� � - � � � ��

�D+� ���� �� � ���� ����D,�� ����� � ������ � ���� ���

* � �� �� ���� � � �� -� ��� ��� � ���� �� � �� �� � -� ���� ���� �� � �� �� � �-� � -� �����D$� �� ��������� &� ��� ����

���� �� � �� �� � � $�� ��� � � $��� �� �� �� � ���� ����� ���� �� � �� �� � ��� �� � �� ��� � �� �� � �� �� � ������ � ���� ������ �D+� ��� �D,� ��� ���������

�&**'�������+ ���.'��;

��� � ������

��<�� G���� ���� ��� ����� �� �� ����� ���� � � �+� ����� � � ��$� �+� ��� � � �$$� $+�)� ��� �� � �$$$ +�$$+ +�+$$ � 2�+$+

��<@� ���� ��� ������ � � ���� ��� ����� �� �� ����� ���� � � �+� ����� � � ��$� �+� ��� � � �$$� $+�)� ��� �� � �$$$ ,�$$+ ,�+$$ � ��+$+

��<A� #������ ��� �� ��� � � �$�,� ��� � � �+� 2� �� �+� ����)

"�% ��� �� ���� ����� � � ��� ����� ����� ���� � �� �+�

"�% ��� �� ���� ����� � � ��� ����� ���� � �� �+ �� 8����� 9�29�

"�% ��� ���� ��� ����� ����� ���� � �� �+�

"�% ��� ���� ��� ����� ���� � �� �+ �� 8����� 9�29�

��>B� (�� ���� �� � ��� ����� �� �� �� ����� ���� � � �,� ����� � � ��$� �+� �,� ��� � � �$$� $+� $,�)"�% ��� �� � �$$$ � �+$+ ��� "�% ��� �� � �$$+�, � $$�+$,�

%�9� �)@

#��8� 9: *;;6� 8�4</#� (8�#6(� 4���4=4;�'*�> +9$

Page 273: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

7. Inner Product Spaces, Orthogonality

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��>�� '�� � �� ��� �� �� ��� � � � ����� �� ��� �� (�� ���� � �!� � ���!� � ������ �� ����� ���� � �� ��

��>�� (����� ���� ��� � ������� "���� ��� ��� #�� ��B( ����7 ���0������ ���� �� � �� �0�������% (�� ���� � ���� ��� �������� ����������

��>!� (����� � ��� �� ��� ���� �� ��� ����� ���� �� � � �� �� ��� � � ��� �� 8���)

"�% ��� ��� � � � �� �� ����� ���� � � �� ����� � � � ����� �� � � ��� �� � ���� ���"�% ��� � ���� ���� � �� � � � � -� �� �� ����� ���� � � �� ����� ��� ���� �� � �� ��� ���

���-�=���$��05 ���-�=���$ ��#�$ # ���5 ���-=���$ � ��

��>/� '�� � �� ��� �� �� ��� � ��������� ��� � �� ��� �+ ���� ����� ���� � ������ ��� � � �� � $

-� ����� �� ���� � ����� ��� ������ � ' ��� ��� � ��� � + � $�

��><� ���� � ����� ��� ������ � ' �1 ��� ��� � �$ � �$�+� ,� 1� ��� �+ � �,�2� 9� 3��

��>>� ���� � ����� � ��� ������ � ' �2 ��� ��� � ��� �� ��� �$ � �$� $� ,� 1� $� ��� �+ � �$� +� $� +� $��

��>�� '�� � � �$�+�$� ,� �� � �� �� �� �1� ����)

"�% �� ��� ��� ����� � ��� "�% �� �������� ����� � ���

��>@� '�� ' �� ��� ������ � �1 ��� ��� � �$ � �$� $� +� +� ��� �+ � �-� $� +�$�� ����)"�% �� ��� ��� ����� � ' � "�% �� �������� ����� � '� "#����� ���� 8����� 9�.2�%

��>A� '�� % ����� ��� ����� �� ��� �� �1)

�$ � �$� $� $� $�� �+ � �$� $�$�$�� �, � �$�$� $�$�� �1 � �$�$�$� $�

"�% (�� ���� % �� ��� ��� ��� � ����� �1�

"�% &���� � � �$� ,�2� .� �� � ������ �������� �$� �+� �,� �1�

"�% ���� ��� �������� �� ��������� �� �� � � ��� �� �� �� �� �1 �������� � ��� ����� %�

"�% ;�����7� % � ����� �� �������� ����� �1�

���B� '�� # � #+�+ ���� ����� ���� � � �!� � ���!� �� (�� ���� ��� ����� �� �� �������� ����� � #)

$ -

- -

� ��

- $

- -

� ��

- -

- $

� ��

- -

- $

� �� �

����� '�� # � #+�+ ���� ����� ���� � � �!� � ���!� �� ���� �� ��� ��� ����� � ��� ��� ��� ��������) "�% ��� ��� ����� �� "�% �������� ����� ���

����� (����� ��$� �+� � � � � ��� �� �� ��� ��� ��� �� ���� (�� ���� ��$�$� �+�+� � � � � ����� �� �� ��� ��� ���� ��� � ����� �$� �+� � � � � ���

���!� '�� . ��� ' �� ������ �� � �����?���������� ����� ���� � ��� � �� (�� ����)

"�% �. �' �� � .� �'�� "�% �. �' �� � .� �'��

+9+ *;;6� 8�4</#� (8�#6(� 4���4=4;�'*�> A#��8� 9

Page 274: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

7. Inner Product Spaces, Orthogonality

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

���D ������5 =��#1��-#�� �$=����-#5 ���$��������

���/� ���� ��� ������ �� ���� � ��� ��F� ��� �� � ��� �� �����)

"�% � � �+� ,�2� ��� � � �$�2� +� �� �,�

"�% � � �$� ,� $� +� ��� � � �$�+� 9� 1� �� �1�

"�% � � + ��� � � � , �� ���� ���� ����� ���� � � � � �� � $-� ����� �

"�% � � $ +

, 1

� ���� � � $ $

2 2

� ��� # � #+�+� ���� ����� ���� � � �!� � ���!� ��

���<� '�� . �� ��� ������ � �1 ������� ��

�$ � �$� $� $� $�� �+ � �$�$� +� +�� �, � �$� +�,�1�"�% ����� ��� =���B( ����� �� ����� � ��� �� ��� ��� ��� �� �������� ����� � .�

"�% ���� ��� ��F� ��� � � �$� +�,� 1� �� . �

���>� (����� � � �$� +� ,� 1� .�� ���� ��� ��F� ��� � �� '� �� �� ���� ����� ��� � � ' ���� ������7���� ��� ����� ' �� ��� ������ � �2 ������� ��)

"�% �$ � �$� +� $� +� $� ��� �+ � �$�$� +�$� $�� "�% �$ � �$� +� $� +� $� ��� �+ � �$� -� $� 2�$��

����� #������ ��� ������ � ' � �+�� ��� ���� ����� ���� � � � � �� � $-� ����� �� ���� ��� ��F� ���

� �� � , �� ' � ""��3 /�� ��� ��� ��� ��������� $� + $� .+ . � $ ������� �� 8����� 9�++�%

���@� #������ ��� ���� ����� ���� � � � � �� � $$� ����� � ��� ��� ������ � ' � �,���

"�% ���� �� ��� ��� ����� � ' �� ������� ��� =���B( ����� �� ����� � �$� � +� ,��"�% ���� ��� ��F� ��� � �� � 2 �� ' �

���-�=���$ #����� �

���A� ���� ��� ������ ��� ������� ��� +� + ��� ��� ����� �� ��� ��$,

$ �

� ��

��@B� ���� � ,� , ��� ��� ������ � ���� ���� �� ��� ��� ��������� � � �$� $� $� ��� � � �$�+� ,������� �������

��@�� ���� � �������� ��� ��� ������ � ���� ���� �� �� �$,� +,� +,�� "#����� ���� 8����� 9�,+�%

��@�� ���� ����� �� ��� ! ��� ���� � �� �������$ �#������� � ����� ������ �� ��� ��� ������ � �� � ����! � �� �� (�� ���� ���� ������� �� �� �0������� � ��������

������� %���� #����� � �� ��� � ������

��@!� ���� ��� ������ ���� ���������� ��� ����� ����� ���� � � �+ �������� � �� � ��� ����� �����)

"�% ��$ � �$� 1�� �+ � �+�,��� "�% ��$ � �$�,�� �+ � �.� +���

��@/� #������ ��� ����� ����� ���� � � �+)

� ��� �� � �$$$ +�$$+ +�+$$ � 2�+$+� ����� � � ��$� �+� � � �$$� $+����� ��� ������ ! ���� ���������� ���� ����� ���� � � �+ �������� � �� � ����� �� 8����� 9�3,�

��@<� ���� ��� ������ � ���� ���������� ��� ����� ����� � �, �������� � ��� ����� % �, ������� ��� �� ����$ � �$� $� $�� �+ � �$� +� $�� �, � �$�$� ,��

#��8� 9: *;;6� 8�4</#� (8�#6(� 4���4=4;�'*�> +9,

Page 275: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

7. Inner Product Spaces, Orthogonality

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��@>� '�� � � �+�� ���� ����� ���� � � � � �� � $-� ����� ��

"�% ���� � � � ��� ����� � �� � � + ��� ��� � + , � 1�

"�% ���� ��� ������ ��� ����� ���� � ���� ����� � � ��� ����� �$� � +� ��"�% G���� ������ 9�$. ���� � � � �� � � � �� ��� ���� ����� � � ��� ����� �$� � +��

��@�� <�������� ��� � ��� ����� ����� �� ��� ������� �������)

"�%$ ,

, 2

� �� "�%

, 1

1 9

� �� "�%

1 +

+ $

� �� "�%

. 9

9 @

� ��

��@@� (����� ��� ! ��� ������� ������� ����� ��� (�� ����) "�% � ! �� ������� ������� ��� "�% � �� �������������� � � � -�

��@A� (����� ! �� � ���� ��?��� ���� ������� (�� ����) "�% !�! �� �������� ��� "�% !�! �� ������� ��������

��#�$ " ��� � ����� ���� �

��AB� G���� ����

��$�$ � �+�+ �$�$ � �+�+� � �$��$��$� �$� � �$

��+��$� �+� � �+��$��+� �$� � �+

��+��+� �+�D�� ��������� ���� ���� ��

��$ �������

��$ ����� ��

��� ��������� ����

��A�� #������ � � �$� �� ,� 1 �� ��� � � �, 1�� $� �� +�� �� �,� ����)

"�% ��� ��� "�% ��� ��� "�% ���� "�% ���� "�% ���� ���

��A�� ���� ��� ������ �� ���� � ��� ��� ��F� ��� ��

"�% � � �,� �� 2 +�� ��� � � �2� �� $� �� �� �+�

"�% � � �$ �� ,�� $� �� ��� � � �$� + �� ,� +�� �� �,�

��A!� '�� � � ��$� �+� ��� � � ��$��+� ���� � �+� G���� ���� ��� ����� �� �� ����� ���� � � �+)

� ��� �� � �$ ��$ � �$� ���$ ��+ � �$ ���+ ��$ � ,�+ ��+

��A/� ���� �� ��� ��� ����� ��� �� �������� ����� � ��� ������ � ' �, ������� �� �$ � �$� �� $� ����+ � �$� �� -� +��

��A<� '�� � � ��$� �+� ��� � � ��$��+� ���� � �+� �� ���� ������ �� �� �� � � � �� ��� ����� �� ��������� � � �+H

� ��� �� � ��$ ��$ � ��$ ��+ � ��+ ��$ � ��+ ��+

��A>� 8��� ��� ����� �� � �� ����� ���� � �� � ����� ��� � � )

��� �� � $1��� ��+ $

1�� ��+ � $

1��� ���+ $

1�� ���+

A#����� ���� 8����� 9�9�%�:

��A�� '�� � �� � ���� ����� ���� � ��� �� (�� ����)

"�% ��� � ��� � ��� ��� � ��� �� � �� � -�

"��% ��� ��+ � ���+ � ���+ � ��� ��� � ��� �� � -�

(�� �� ������������� ���� ��� ���� ���������� ��� �� ���� �� ���� �+�

+91 *;;6� 8�4</#� (8�#6(� 4���4=4;�'*�> A#��8� 9

Page 276: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

7. Inner Product Spaces, Orthogonality

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��A@� ���� ��� ������ � ���� ���������� ��� ����� ����� ���� � � �, �������� � ��� ����� �$� $� �� $ +���

��AA� � ����� ������ �� �����$ � �� �� ���������� ��� $ � " � �������������� �� ������� � ��� ��� " �����%�� �� �������� ��� �� ��� "�������� � ��� ����� ����� ���� � ��%� ���� � ������� ������ ���� ������ ��) "�% � �������� �$� $ ��� "�% � �������� �$

+� $

+�� $

+ $

+���

���# � ���� ���� �

���BB� #������ �� ��� � � �$�,� 1� $�+� ��� � � �,� $�+�,� $� �� �2� ����)

"�% ���� ��� ���� � "�% ���$ ��� ���$� "�% ���+ ��� ���+� "�% ����� ��� �$��� ��� �+��� ��

���B�� ������ 8����� 9�$-- � � � �$� �� + 1�� ��� � � �$ �� +� ,�� �� �+�

���B�� #������ ��� �� ���� � �� � 2 + ��� ��� � , + �� ��-� 1�� ����)"�% ��� � � ��� "�% �$� � � ��� "�% �+� � � ��

���B�� 8���) "�% � �$ �� � ��� � ��� "�% � �� �� � ��� � ���

���B!� 8���) "�% � �$ �� � ��� � ���� ��� "�% � �� �� � ��� � ���� ���

��;7��; �� �&**'�������+ ���.'��;

)���) 5 � �1$� 1+� � � �� ������ � ������ 5 ���� ��� 1$�1+� � � �

��<@� � � @

��<A� "�% $,� "�% 9$� "�%�����+@

�� "� %

�����3@

��>B� '�� � � �-� -� $�� ���� ��� �� � - �� ��� ����

��>/� �9+ 2� $++ 2�

��><� ��$� +� $� -�� �1� 1� -� $��

��>>� �$� -� -� -� $�� �.� +� -� $� -�� �2� +� $� -� -�

��>�� "�% �-� -� ,� $�� �-� ,�,� $�� �+� $-�@� ,��"�% �-� -� ,� $�� �����

$-�

� �-� ,�,� $�� �����$@

�� �+� $-�@� ,�� ��������

$@1�

��>@� "�% �-� +�$� -�� �$2� $� +� 2�� "�% �-� +�$� -�� ���2

�� �$2� $� +� 2�� ��������

+22�

��>A� "�% � � $1�2�$ � ,�+ $,�, � @�1��

"�% ��� � $1��� �� �� �� �� � � �� � �� � �� � � �� ��

����� "�% �-� $� -� -�� �-� -� $� -�� "�% �-�$� $� -�

���/� "�% � � ++,-� "�% � � $

9� "�% � � $2

$13� "�% � � $@

+.

#��8� 9: *;;6� 8�4</#� (8�#6(� 4���4=4;�'*�> +92

Page 277: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

7. Inner Product Spaces, Orthogonality

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

���<� "�% �$ � �$� $� $� $���+ � �-�+� $� $���, � �$+�1�$�9��"�% ��F���. � � $

9-�$1� $23� 19� 3@�

���>� "�% ��F���' � � $3�+$� +9� +.� +9� +$�� "�% ����� ��� �� ��� ��� ����� � ' �

���� �$ � �$� +� $� +� $� ��� �+ � �-� +� -�,� +�� ���� ��F���' � � $$9�,1� 9.� ,1� 2.� 1+�

����� ��F� � �' � � ,++ ,

2 � $

+-

���@� "�% �$� � ,+ $� 2, ,�� ��F� � �' � � $-@, � 2

+$

���A� ���) ��� �� ����� ��� �� ����� ����� �� ��� ����� ���� ����� � � $,��� � � $

,

���3

��@B� � � �$��� $��� $��� $���+��� ,��� 2���+���,���� ����� � � ���,

�� � � �����

$1�

� � � �����,3

��@�� $,�$� +� $� +�+� $� +� $�+�

��@!� "�% �$9�$-� $-� $,�� "�% �$-� -� -� 1-�

��@/� "�% �.2�.3� .3� +2�� "�% �23� $.� $.� 3�

��@<� �,� 1� ,� 1� .� +� ,� +� $$�

��@>� "�% 3,$+� "�% �$� �� �� �� �� �� �� �� ��� ����� � � $

+� � � $

,� � � $

1� � � $

2

��@�� "�% ;� "�% >��� "�% ;� "�% >��

��A�� "�% 1�� "�% 1�� "�%�����+3

�� "�%

�����,$

�� "�%

�����2@

��A�� "�% � � $+3�$@ 2��� "�% � � $

$@�,� .��

��A/� ��$ � �$� �� $�� ���,

�� �+ � �+�� $ ,�� , ��� �����

+1� �

��A<� � ��� � ���� ��� �������� � � �� ��� �� �� ��������

��A�� � � �$� +�� � � ��� +��

��A@� � � �$� $ �� $� +�� $� �� +� +� ,�� $ +�� + ,�� 2�

��AA� "�% �$� ���,

� ��$� $ �� $� �� $��"�% ��� ��� � ��� ��� �� -� �� ��� �� ���� ����� � � $

+��� � � $�

���+

��

���BB� "�% 1 ��� ,� "�% $$ ��� $,� "�%�����,$

����

�����+1

�� "�% .� $@� @

���B�� "�%�����+-

����

�����$,

�� "�%

���+

� � �����+-

����

���+

� � �����$,

�� "�%

�����++

����

�����$2

�� "�% 9� @�

�����2,

���B�� "�% 3� "�% $.� "�% +2.,

+9. *;;6� 8�4</#� (8�#6(� 4���4=4;�'*�> A#��8� 9

Page 278: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

8. Determinants Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

������� �

�� ������

��� ����������

���� ������ ��� � � � ����� � ��� ��� � ��� �� ����� ����� �� ��������� �� �� ����� ������� � ��� �

��� ��� � � � ������ ��� � � � ����������������������������������� ��� � � � ���

��������

��������

� ����� � ���� �� �� � ��� �� ������ ������ �� ��� ��� � ��� ����� � ��������� �� ��� �� ���� � ��� � ��� ����� �� ��� ���� �� �� ������ ��� �� ������� ��� �� ������ ��� ��

�� ��� ���� ����� �� ��� �� � ���!� �� �� �� �!�� ��� �� �� ������ �� � �� ���� ����� ����� � ���� �� ��� ���� � �� �� ������� ���� � �!�� ��� �� ��� ���� � �� ���� � ������ ��� ���

�� � � � �� �� �� ��� ���� ��� ���� �� �� ���� � ���� ����� � �� ��� �� �� �� � �� ���� � ��� ��� � �������� ! ���

� �� � � �� � ��� �� ��� �� ��� ����� �� ��� �� �� ��� "� ��� � � � � ��� ���� ���� ��� ��� �� � ���� � � � �� � ���� �� � � ����� �� �� ������ ���� �� �� � ������ ���� ���� � � � �� �� �� ��� �����

��� � �������� �� �� � � �� �

#�� ����� �� ��� � ��� � � � �� �� �������$

����� � ��� ������ ������ ���

����

����� ������ � ������

���� �� ��� ���� �� � �� � ��� � � � ����� � �� ����� ��� ����% ���� �� ����� � ����� � ���� ����� ���� �� �� ��� ��� �� �� � ���� �� �� �� �� ������ �� � ����$

��� ������ ���

����

����

�&&

���������

���������

Page 279: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

8. Determinants Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

���� �� �� ��� ���� � ���� �� �� ������ �� �� ����� ����� �� ���������� ��� � ��� �������� �� �� ����� ����� �� � ��������� ���� '�� � �� ��������� � ���� �� ��� ����� ���� "� ��� ��� �� � ����� ��� ������(

������� �

'�( ) �� �� ��� ���� �� �� �� � �� ����� ����� � ��!$

����&� � �&� ����&� � �&� ���� � "� � � � "

' (* "

+ ,

����

����� *�,� � "�+� � "-� �� � �.�

" �

�* &

����

����� �� �- � "�

����������� �� ������ ��������

/��� � ��� � �� ���� ��� � ��� ��0������ ���

��� �� � ����� �� � ��

1� � � �� � � �� �� �� ��� ���� �� �� ��� � �� ��� � ���� ��� �� ����� ��� � �� �� ����� �� � ��� ���� � � �� -� 2� ���� � ���� �� �� �� ����� �� ��� � ����� �������� � ��� ����� ����� �� �������$

� � ���

� ��� � ����� � � �� �

��� ��� �

����

����

�� ��� �

����

����

� � � ���

� ���� � ������ � � �� �

��� ���� ��

����

����

�� ��� �

����

����

3 � ����� � �� ���� ���� �� ���� ���� ���� �� ������� �� ��� �� �� �� ���� ��� �� � ����� ���� !��� ��� � ���� �� �� ����� ��� �� �� ������ �� �������� ��� � ���� �� �� ������ ����� � ��� �� �� � !� ��0���� � �� ��� � �� ��� � ���� 4� �� ��� ����� � � � -� ��� ������� ��� ��! �� ����� �� � �� ���� �� ����� ���

������� �� )��! �� ��� ����� �� �����+�� "� � �*

�� *� � �

5 �� �� �� ��� ���� � �� �� ��� � �� ��� � ���$

� � + �"� *

����

����� +�*� � ��"���� � �- , � �,

) �� � �� -� �� ����� ��� � �� �� ����� ��� �� ���� � �� ������� �� ��� ��� � ���� ����� � �� ��� � ����� � ���� �� ��� � ��� �� � ��� �� ���� !��� �� �� �������� ���� ��� ��� ��0 �� ��� �����$

�� � �* �"� *

����

����� &* " � &. �� � + �*

� �

����

����� +� "- � ��,

��� �� �� �� ����� �� �� �� ����� �

� � ���

� &.

�,� "� � � ��

�� ��,

�,� ��

�� � �������� �� �� �

/��� � �� �� ��� "� " ��� � � � ������ �� ��� ���� �� � � � �� �� �������$

����� ���� ��� ��"��� ��� ��"�"� �"� �""

������

������

� �������"" �����"�"� ��"����"� � ��"����"� � �������"" � �����"�"�

�&. #���672898�) :/39;� .

Page 280: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

8. Determinants Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

4��! ���� �� � � � �������� ��� ������ ���� �� �� �� �� ����� �� �� � � ��� ��� �� ���� �� ������� � ���������� '0� �� � ��( ��� �� �� �� ������� � � ��������� '����� �� � ��(�

�� � ����� � 5 �� .�� ��� ��� �� ��� �� ���! � � ������� � ������ ���� �� ����� ���� � ���� �� �� ��� �� �� ������� �� �� ����� ����� �� �� ���������� ���� � 5 ��.�� ���� �� ��� �� �� ���� !� �� �� ������� �� �� ����� ����� �� �� � ��������� ����� ������ � ���� �� � �� ���� � ������� � �! �� �� ��� ��� ����� �� � �� ���

������� �� 1� � �� � �

- * ��� �" +

� ��� � �" � �

�+ * ��� �" +

�� 5 �� ����� ��� ������

<� �� � ����� � 5 �� .��$

����� � ��*��+� �������� ���"��-� � ��*���� � ��"�������� � +����-�� +-� � -� *� ��� - � ��

����� � ,-� + ��� �-� = "� � .�

���������!� ���" #�� � ����"����� �# ��$��

�� ��� ���� �� �� "� " ��� � � � ����� ��� � � ��� �� �������$

����� � ���������" � ��"�"�� � ��������"" � ��"�"�� ��"�����"� � ����"��

� ������ ��"

�"� �""

�����

������ ���

��� ��"

�"� �""

�����

����� ��"

��� ���

�"� �"�

�����

�����

�� �� � � � �� ���� ��� �� �� �� ��� ����� �� �� � ���� ��� � ��� '� �� ������ �� � ���(��� �� �� �� �� �� � !� ��� �� �� � � �� ���� ��� �� ��� � �� ���� � �� ���

���

��� ��� ��"

��� ��� ��"

�"� �"� �""

��������

��������

� ������ ��� ��"

��� ��� ��"

�"� �"� �""

��������

��������

��"��� ��� ��"

��� ��� ��"

�"� �"� �""

��������

��������

8�� ���� ��� �� � ��� � ��� � ���� �� �� ��� ��� � �� � � ��� ��� �� �� �� ��� ����������� � �� �� ��� � ���

��%� �&�

/39;� .> #���672898�) �&=

Page 281: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

8. Determinants Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

������� �

� � "

+ �� "

- * ��

��������

��������

� �

� � "

+ �� "

- * ��

��������

��������

� �

� � "

+ �� "

- * ��

��������

��������

"

� � "

+ �� "

- * ��

��������

��������

� ��� "

* ��

�����

������ �

+ "

- ��

�����

����� "

+ ��- *

�����

�����

� ���� �*� � ���+ -� "��- -� � ��" . ,- � **

��' ( ���������

9 ������ �� � �� �� �� ��� �� � � � � � � � �������� ���� �� �� �� �� ���� ���� �� �� !������� �������� �� �� ����� �� �� � � � � �� )��� � ������ �� � � ����� ��

� � � � � � � �

�� �� � � � ��

� � � ���� � � � ��� �� �� � ����

�� �� �� ��� ���� ������ ��� � ����� �� ��� ��� �� ���� �� ���� ������ ��� � ��� 2� � � ������ �� �!� ���� �� ��� � ��% ��� � �� � � ��� ��� �� ������ � �� ���� �� � � � � ��� 9���� �� ��� �� ���� �� � � � � ��� � ��� '2� ����� � � ��" � � � ��(

������� ��

'�( �� � �� � � � � � � ������ ��� � )�% ��� � �� ��� ���

' ( �� � "� � " � � � � � , ������ ��� � )"% ��� � ��"� �"�� ��"� �"�� "��� "���

��%� )(����*+ �# � (��"�������

/��� � �� �� ��� ������ �� � � ��� ��� � � ��� �� � � � ���� ��� � � �� !� � ��� ������ ������� �� �� ���� �� � �� !� � ��� ���� �� �!� ��� � �� ?� �� �������� � � � ��� ��� �� ���� ��� �� ���� ���� � � �� ��� � ���� � � �� � ��� � � �� � �� � �� �� �� �� � ������ �� ��

��� � � � � � � !�

�� � � � ���

������� ��

'�( 5 �� �� � �� �� � � "*�+� � �*�5� ��� ���� �� � ����� �� ���� �� ����� � ���� ���� � � � ��� � ���� � � �� �� �$

� ����� �" ��� *� ��� ���� ��� ��� �� ��" ����� �"� *� ��� +� ��� ���� ��� ��� �� ��� ���� �*� ��� ���� ��� ��� �� +�

'�� � �� ����� ��� ���� ��� ��� �� �� " � *�( ) �� �� �� � ���� � � �!� ���� � � !���� ��� � � ��

' ( �� ��� �� ������ �� � � ��" � � � � � !� ����� �� � �� �!� ��� � ��

'�( 2� ��� �� ������ �� �� � !� ��� �� � ���� 2� �"� �� ������ ��� ��"� �"�� "�� � !� ��� �������� ��� �"�� ��"� "�� � ����

'�( 1� � � �� ������ �� ���� �������� ��� ����� � ��� � ��� ��!� �� ��� ����� ��� ���� ��

���� � �� ���� � �� ���� � � �� � �� �� �� ���� � � ������������� 2� � � �� ��� �� � �� � � � � �� � �!� ��� � �� ��� ��� �� ������� � �� � � ����

�.- #���672898�) :/39;� .

Page 282: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

8. Determinants Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��"��,- 4� ��� ���� ����� �� ��� �� ���� �� �� ������ ��� � �� � !� ��� ���� �� ��� ����� 5� ������ " �� �� , ������ ��� � �" � !�� ��� " � ����

��.� � �������� �� ��/�����0 �� �

1� � � ����� � � ���� ��� � �� �� � �! � �� ��/��� � � ������ �� � ����� �� � ���� ���� �� ��� ���� �� ���� ���� ��� ��� �� ���

�� ��� ���� �� ���� ���� ��� ��� ������� )��� � ������ ��� � � ��� � �� ���

�������� � � � ����

���� �� �� �� ������ ��� ��� ������ ! ���� ��� �� �� �� ����� ��� � � �� ������ ���� �� � � � � �� 8�� � �� �� ������ ��� ��� � ���� �������� �� ����� �� ����� ����� ��� ���� ������� �� � � �� �� � � � �� � ��� /��!���� ��� ������ �� � �� ��� �� � ������ �� �� ���!���� ���� �� ��� � � ����� �� �� ���� ��������

�1������- �� ��� ���� �� � � ������ ����� �� ����� � ���� � �� ��� �� ��� �� ���! �� ���������� ��� ���� ������ � ���� �� � �� ��� �� ���� ��

��� �

����� ���������� � � � ����

� ��� �

�������� �������������� � � � ������

�� ��� ���� �� �� ������ ��� � � � �� � �� � �� �� ��

�� ��� ����� ����� ���� �� ���! � � � �� ��� � �� �� �! ��� � � � �� �� ��� ������� �� �� �� ��� "�

������� ��

'�( 1� � � ����� � � �� � ��� �� ) �� �� ��� ���� �� ������ ��� �� �� � !�� ����� � ���� �� ���� �����

' ( 1� � � ����� � � �� � ��� �� 2� ��� �� ������ �� �� � !� ��� �� ������ �� �� � ���� 3��

����� � ��� ������ ���

����

����� ������ � ������

'�( 1� � � ����� � � "� " ��� �� 2� �"� �� ������ ��� ��"� �"�� "�� � !�� ��� �� ������ ��� "��� ��"��"� � ���� 3��

����� ���� ��� ��"��� ��� ��"�"� �"� �""

������

������

� �������"" �����"�"� ��"����"� � ��"����"� � �������"" � �����"�"�

��"��,- 9� � ������ �� ���� �� ��� � �� ��� ���� ����� ������� ���� 9����� ����� � �� �� �� ������ �� !����� ��� ����� ��� ���� �� � � � �� �� �� ��� ����� 2������ � ��! � ���� �� ���� � ����� ��� ����� ���� � �� �� � �� �� ����� �� �������� ������ ������ 2� ��� ����� � ���� ���� � ��� ���� �� �� � � ���� �� � � �� ���� ��� �� ����� ����� �� �� �� �� �� � �� ��� � � " ���!�

/39;� .> #���672898�) �.�

Page 283: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

8. Determinants Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��2 (��( ��� � �� � ��������

� ��� � �� ��� � ���� � �� �� ��� �����

�3����" ���- �� ��� ���� �� � ��� � � ��� �� ������� �� � ����% ���� �� ��� � ��� ��

?� �� � ���� '��!� � ;���� .���(� ��� ���� ����� �� ��� ���� �� � ��� � � ���������� �� ��� �� � � �� ��! �� ��������� ���� ����� �� �� ������� �� ��

�� ��� ���� '��!� � ;���� .��+( � !� ��� � ���� �� �� �� �� ��� ���� ��� ����� �� ��� �����

�3����" ���- 1� � � � ���� ��� ��

' ( 2� � ��� � �� '������( �� ���� ��� ��� � -�

' ( 2� � ��� ��� ��� ��� ��� '�������(� ��� ��� � -�

' ( 2� � � � ������� ��� � ��� ��� ���! � ���� �� � ������� ��� ��� � �������� � ������ ������ ���� � ��� ����� �� � � �� �� � � �� ��� �� ��� ��

�� ��� ���� '��!� � ;����� .��" ��� .��*( ����� ��� �� ��� ���� �� � ��� � ������� �� �� ������ �� ��� ������ ���� ����

�3����" �� - )����� � � ���� �� ��� � �� �� ������ �� '������( ���� ���

' ( 2� ��� ��� '�������( �� � � ��������� ��� ��� � �����' ( 2� � �� '������( �� � � ���� �� � �� � ����� �� ��� ��� � �����' ( 2� � ���� �� �� � �� '������( �� � � ���� �� ����� �� '������( �� �� ���

��� � ����

��4�� (��������� �# ����"������

� ��� ���� ��� �� �� ���� ������� ��� ����� ����� �� ��� ������

�3����" ��'- �� ��� ���� �� � ������ �� ��� ��� �� � ��� � � �� ������ �� �� ��� �����%���� ��

������ � ����� ������� ���! ���� ���� ���� �� ��� ���� � � ���� �� ��� ! ����� ���

�3����" ��.- 1� � � � ���� ��� �� ��� �� ������ �� � �� !����$

' ( � � �!� ��% ���� �� � ��� �� �!� ����' ( �� � - ��� ���� �� �� ����� ���

' ( �� ��� ���� �� � � ��� ��% ���� �� ����� �� -�

��"��,- #��� �� �� �� ����� ��� �� ���� � ���� ����� ��� � � � � �� �� � �� �!� ����� � �� � � ��� � � �� �� �� ��� �� -� � � ��� � � �� �� �� �� � - ��� ���� �� �� ����� ��� �����! ���� ����� ���� ��� ���� � � � ��� � �� !�����

� ����� ��! ����� .�+ ��� .�* ' � ;����� .��= ��� .��.� ���� !��( �� �� �� ���� �������� ��� �� ��� �� ������ �� ���� '��!� � ;���� .��,(� �� �� � � ��� �� ��� ������ .�+�

�.� #���672898�) :/39;� .

Page 284: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

8. Determinants Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��""� ��2- 1� � � �� ������ ��� �� ���� �� ��� ��� � �� ���� � �������

6���� ���� ��� �� � ��� � � � � �� � �� � ��� � ���� ����� ��� � � ���� ���� � � ������<� �� �� ���� �� ��� ! ����� �� �� ��� ���� '���� .�+(� �� ��� �� �� ��! ';���� .�"�(�� ������ �� �����

�3����" ��5- )����� � ��� � � � � �� ��� ��� ��� ��� � ����

��5 ������ �� ���������

/��� � �� ������ ��� � � � ������ 1� �� ���� �� ��� ������� ������ � �� � ���� �� ����� �� �� ��� �� ��� ��� ������� �� ��� ���� � ��� � ����� �� ��� �� �� ���� ��� �� �� ��� �� � �� ������� �� ���� ����� �� ���� �� � �� @@� ���AA � ��$

��� � ������� ���8�� ���� �� @@� ���AA ������ ��������� �� �� � ��� ��� � �������� ����� � �� A� �� �� �� �� ������$

� � � � �� � � � � � � � � ��������������������������������

���

���

� ����� � ���� �� ����� � ��� � ���� ��� ����� � ������

��"��,- �� � �� ������ �� �� ������� ��� � ������� ���� �� �� �� �� ���0���� ������)�� ������ �� �� �� � �� ��� ������ �� � ���� ���

������ � � � �

����� ��� �� �� � � ������ �� �� ����� �� �����

������� �� 1� � �� � "

+ * ,

& . =

�� 5 �� �� ������ �� � ��� ��� ��������$ '�( � �"� ��� ��"� ' ( � "�� ��� �"��

'�( � �"� �� � "

+ * ,

& . =

������

������

� � �

& .

����

����� .� �+ � �,� ��� �� ��" � �����"� �"� � ���,� � ,

' ( � "�� �� � "

+ * ,

& . =

������

������

� � "

* ,

����

����� ��� �* � �"� ��� �� �"� � �����"� "�� � ��"� � �"

������� 6�������

�� ������ �� ���� '��!� � ;���� .�"�( ������

�3����" ���- '�������( �� ��� ���� �� � ���� ��� � � � ����� � ���� �� �� ��� �� �� ����������� �� �� ���� ��� �� �� ����� �� ��� �� '������( �� �� ���� ! ��������$

��� � ������ ������ � � � ������ ��

���������

��� � ������ ������ � � � ������ ��

���������

/39;� .> #���672898�) �."

Page 285: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

8. Determinants Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

�� ���! ������� �� ��� � ����� �� !��"��� ���������� �� �� ��� ���� �� � �� �� ��� ����� �� ��� ������� ����� � �� �� ������ �� '������( ���� ���� ��� ��� � ����� ��� ��� �� �� �� �������� �� �� ���� �� ��� �� �����

��� 7������� �� � ��������

�� ������ �� ���� ��� ���� �� !����� �� �� � ��� ���� �� �� � �� �� !����� �� �� ���� ���� �� �� �� ��

��%����3" ���- '��$������ �# �3� ��$�� �# � $����"�����( �� ���� � � ����� ������ ��� �� � ����� � �� � � ��

���� �� /���� �� ���� ��� � � �� � ���0 ��� ��� �� -�

���� �� <� �� ��� �� � � !��� ����� ������ �� '������( ���� ��� �� ��� -A� � ��� �� ��� ��� � ��� � �� ������ '��( ����� � �� ����

���� � ������ �� ��� ���� �� �� ������ '��( ����� � �� ����

�� ������ �� ��0� � � ���

��"��, �- 9��� ��� .�� � ������� ��� �� ��� ����� �� �� + � ��� � �� ��� ����� ���� ��� ���� +� �� ��� �� ��� � ������� �� �� ��� �����

��"��, �- B���� �� � � ��� �� �� �� !������� ���� �� �� 9��� ��� .�� ����� � �� �� �������� ��� � ��� �� ������� � ��� � � ��� �� ��� � ������ ��� � ���� ��� ���� � �������� �� �� � ������ �� �� 3��!� �� ���� 0� ���0 �� �� ���� �� �� ��������� � ����� �� ������� ������ �� � �� �� �� ��� �����

������� �� <� 9��� ��� .�� �� �� �� ��� ���� �� � �* + � �

� " � ���* �& �" =

� �� �� +

���

����

<� ��" � � �� � � !�� �� ��� -A� � �� ��� ��� � ��� �� �� �� � ������� ���� �� ����� �� �� ���� ���@@6���� #� �� ��#� #�AA� @@6���� #" �� "#� #"AA� ��� @@6���� #+ �� #� #+AA ?� ���� .�"'�(� ��!��� �� �� ��� ���� ��� ��� ����� ��� ��� ���� ���� ����

��� �* + � �

� " � ���* �& �" =

� �� �� +

��������

��������

�� �� - *

� " � ��� � - "

" � - �

��������

��������

8�� ����� �� �� �� � ������� )�� ������ ����� ��� ��� ���� ����� � - ��� �� �� ���� ���� �� � �� �� ��� �� �" � �����" � ��� ����

��� � �� � - *

� " � ��� � - "

" � - �

��������

��������

� �� �� *

� � "

" � �

������

������

� ��+� �. *� "-� " +� � ���".� � ".

�.+ #���672898�) :/39;� .

Page 286: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

8. Determinants Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��8 ��������� �9����

1� � � ����� � �� �� � ��� � �! � �� � ��� �� ��� ���� �� ������� �� ���� �� �"������"������� �� �� ����� �� ��C �� � �� ������� �� �� ��� � �� �������� �� �� 8�����

��C � � ������

� ��� @@����� ��� ��C� ��AA ����� �� � ���� @@��C� ��AA ����� �� �� @@��C� ��AA � ������ ��� �� ���� �� � ���� �������

������� �� 1� � �� " �+- �+ �

� �� *

�� �� �������� �� �� � � ����� �� � ������$

��� � �+ �

�� *

����

����� ��.�

��� � � " �+�� *

����

����� ����

�"� � " �+�+ �

����

����� ��-�

��� � � - �

� *

����

����� ��

��� � � �+� *

����

����� �+�

�"� � � � �+- �

����

����� �+�

��" � - �+� ������

����� +

��" � � � "

� ������

����� *

�"" � � "

- �+����

����� �.

�� ������� �� �� ���! ��� � �� �������� � ��� �� ����� ��� ��C� �� �� �� ���� ��

��C � ���. ��� ��-

� �+ �++ * �.

�� ������ �� ���� '��!� � ;���� .�"+( ������

�3����" ��8- 1� � � ��� ���� ��� �� ���

����C �� � ���C ��� � ��� � � �� ��� �� ��� �� ����� � ��� �� -�

��� � �

��� ���C ��

������� � 1� � � �� ��� � � ������ .��-� � ��!

����� � �+- , -� �, + - � �+,���� � ��� ��! �� �!�� ���� �� ���� .�=�

��� � �

��� ���C �� � � �

+,

��. ��� ��-� �+ �++ * �.

��

�� �

=�"

��+,

*�"

� ��"

� &�"

��"

� ��"

� *+,

+�"

��

��

���: �((��������� �� ��� �� ;������< ���� �=� ��

/��� � � ����� �� � � �� � � �� ���� ��� � � ��0������ 3 � � ����� � �� '����( ��� ��� ��� � ��� ��� � � � �� � �� ������ !��� �� ���������� 1� �� � �� ��� � ���� �� ��� � ������ �� �� ��� ������ �� � �� �� ������ !��� �� 5������ ��

� � ������ �� � ������� �� � ������� � � � � �� � �������� ���������� ��� ���� � ���� ��� ����� ��� �� ����� �� �� �� ����� �� � � ��������

/39;� .> #���672898�) �.*

Page 287: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

8. Determinants Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

�3����" ���:- �� '����( ����� �� � � ��� � ����� �� � ��� ���� � � �� -� 2� �� � ���� �� �� ������� �� � � !� ��

�� ����

� �� ����

� � � � � �� ����

�� ���! ���� '��!� � ;���� .��-( � 0���� �� $��%� &"� �� ���! �� ������ �� � ������ ���� � ����� � ���� �� ���� ���� �� �� � ����� � �� �� ��� ���� �� ���� ��� ����0������ ��� ���� � ���� � !� �� ����� �� ��� � �� -� 2� ����� � � � -� �� ���� ��� ��� ��� ������ � ��� �� ����� ��� � ����� ��� 3��!� � �� ��� �� � ��������� ������ � ��! �������� �� ����� ���� '�� � ��!� � ;���� .�*+(�

�3����" ����- 9 ���� ��������� ����� �� � - ��� � ����� ����� �� � ��� ���� �� � ��� � -�

������� �� )��!� �� �� ��� ����� �� �����

� � � � *

�� ��� "� � ���� �� � � "

5 �� ������ �� ��� ���� � �� �� ��� � �� ��� � ���$

� �� � �

� �� �"� � ��

������

������

� �� , � + " � � *

) �� � �� -� �� ����� ��� � �� �� ����� ��� �� ������ ��� ��� ��� � ����� ���� !��� �� ��� � ��� ���� �� � � �� ��� � �� ��� � ��� �� �� �������� ���� �� � � ���

�� �* � �

�� �� �"" � ��

������

������

� �-� �� �� * �

� �� �"� " ��

������

������

� ��-� �� �� � *

� �� ��� � "

������

������

� �*

���� �� �� �� ����� �� �� �� ����� � � � ���� � +� � � ���� � ��� � � ���� � "� ���� �� ��!��� & � ������ -��

���� �/������ �< ������< (�����(�� ������

1� � � ����� � � ���� ��� � �� �� �� /��� � ��� ��� ��� ������� �� 9� ���� �� ���� ���� �� � � ���� ��� � � � � �� �� �� �� �� ��� ��� �� ' � ���� ��� � � � � �� �� ������ �� ��� ��� � ���' � � �� � ������ � �� �� ����� �� ���� ' �� ���� �� �� ��� �� �� ��� ��� ������� �� ����� ����� ��� �� ��� ����� �� � � ' � ���� !��� ���� ��

���� ' � � ���� � � � � � � � ' ��� ��� ���� ����� ' �� � ����� � ��� �� � �� �� ���

�������������������� ����� ' �� � �� ������� �� � ��� � ��� '8�� ���� � � �� �� �� �� � � � � �� � �� ��� �� )�� �� .�&���� �� ������� �� � ��� � �� � � ��������( 5������ � � � ��� ' � ����� ���� !��� ���� � �� �� ��� ������ �� ��� ���

���� �� ' �������� �� ���"������ ���� ��� �� � �� ';���� .�&+( � �� ��� � �� �� �� � �� �����

�., #���672898�) :/39;� .

Page 288: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

8. Determinants Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

������� �� 1� � � ����� � � *����� ��� �� ��� �� � � ��� �� + ��� ' � ��� "� * � ��� � � � �"� * ���

' � � ��� + � ��� �� ������� �� � �� � � ��� ���������� � �� � �� � �� �������$

� � � ����� ' �� ���� ��" ��*��� ��" ��*�+� �+" �+*

������

������

��� � �� � ���� �� ' ��� � �"� �"+�*� �*+

����

����

) �� � � + � " * � �& � ���� �� � � �� � ��� � ��� ��� �� �� � �� � ��� ���������� � ���

(�����(�� ������

9 � �� � �������" � �� �� ��� ������ �� �� � �� ���� � �� !������� � �� � ����������� �� �� � �� ��� ��� �� � ������ �� �� ��� �� � ��� ���� �� � �� �� � � �� ��� � �� ������� �� � �� �� ��� �� �� �� ��� ��� ��� ������ ����� ��� ���� ������ � !��

������� � 1� � �� � ��" * +

�" � ��

�� 5 �� �� ���� $�� $�� ��� $" �� �� � �� ��� � ��� �� � �� ��� ��� ���

��� ��� ���� !���

'�( �� � �� � �� ��� � ��� �� �� ��� ��� �

��� � �� �*� � *� � � �� � ��� ��� �� $� � � *� � � +

8�� ���� $� � � ���� �� ��� �� �� 8����� $� � �����' ( �� � �� ���� �� ����� ��� �� �� �� � ������ ������ ��� ��� ��� � � !� � � �� �� �� ����

��� �

� �

" *

����

����� ��� � ��

�" ������

����� ��

* +

� ������

����� ��+

'8�� ���� ��� � ��� �� �� ��� � �� �������� �""� ���� ��� ��� �� �� ���� !���( ����

$� � �� �� �+ � ��+

'�( �� � ���� �� ��� �� ����� �� �� �� �� � ������ ������ ���� �� ���� � �� �� �� �� � ����� ���� �� � ����� ����

$" � ��� � ��-� �+� "� �*� + �� � �++

���� /���> ������ � �� � ��������

�� ������ �� ���� '��!� � ;���� .�",( � �� �� � ���� �� �� � ��� ���

�3����" ����- )����� � �� ��� '���( � ������ ����0 ��� � � �� �� � ������ ����0������� � � � ���� ���

��� � � ������ ������ � � � ������

������� �� 5 �� � � �� �

� " + & .

�� * " � �

- - � � *

- - " �� +

- - * � ,

�����

�����

/39;� .> #���672898�) �.&

Page 289: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

8. Determinants Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

8�� ���� � �� ��� � ������ ����0 ��� �� �!����� �� ��� ���� �� ��� � ������ ����0$

� "

�� *

����

����� �- " � �"�

� � *

" �� +

* � ,

������

������

� ��� �- "- �*� �,� �. � �=

��� � � � �"��=� � "&&�

��"��,- )����� � � �

$ �

� �

� �� ����$�� � ���� ��� ��� ��� � � ��� ������

�� ���� � � � ������ � ����$�� ') ;���� .�,.�(

��� � �������� �� 7���

#�� ����� � ���� �� �� ��� ��� �� �� ��� !���� �� �������� 1� &�� &�� � � � � &� � !���� ���� 1� � � �� '��� �( ������ � �� ��� �� �� �� !����� ���� ��

� � ���&� ��&� � � � ��&� � - � �� � � �� � � �� � � � � � '��� � � �� � � � �����������( 1� ( ��� ���� �� !���� �� � '� �� �� � ��� � � ��� ���

( ��� � ������� !��� �� �� ����� � � �� ��� � � �� ��� &�� &�� � � � � &�� 2� ����� ( ��� � - � ��� ���� � �� !���� &�� � � � � &� ����� ��� � ���� ��� ����� �� ��� ��� � ��� ���� � �� !���� � � ���� �������

������� �� 1� &� � ��� �� -�� &� � ��� �� ��� &" � �-� �� "�� 5 �� �� !���� ( ��� �� �� �������� �� � � �"

'5 �� .��( ��� � �� �� �� !�����

�!����� �� ��� ���� �� �� ��� � ���� ��� � &�� &�� &"$

� � -

� � �

- � "

������

������

� " - -� -� �� " � ��

3�� ( ��� � � � �� � ��

���' � ������� �� � ��� �� �( �����

1� ) � � � �� ����� �� � !��� ���� ( � �� � � � ��� ��� 1� � � �� ��� � ������ ���� ) ��� ! �� ��� ��� � � �� (� ��� � � � �� ��� ���� �� )� � ��� ���)�� ��

���)� � ���

z

y

x

0

u3

u2

u1

��%� �&�

�.. #���672898�) :/39;� .

Page 290: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

8. Determinants Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

2� � � ����� ��� � ������ �� �� ) ��� ! �� ����� ��� � �� �� (� ��� � ��� � � � � ����� �� '���� ,�&( ��� ��� ��� � ��� �� ���� .�&� 2� ��� ����� �� ���! � � � �� ���)� � ������� �� �� ��� ���� ��� � � �� (� '� ��� ���� �� � � � �� � *�""+��,����(

�� ��� ���� '�� � ��!� � ;���� .�,�( ������� ��� ��������� ����� �� ��� ���

�3����" ��� - 1� ) ��� - � � �� ������ �� � !��� ���� (� ���

' ( ���) � -� � ���)� ���-��' ( ) � �!� �� � ��� ���� � ���)� �� -�

������� �� 1� ) � �� ������ �� � �� ����� �� �" ��� �� � � �� ��� � ���� ����� ) ��� ! �� �� �����

��� � �� �"$

)��� �� �� � ���� +� �� �� �� "�� *� �� �� ��� � �� �+ �

� �� "

* � ��

���

���)� � ��� � +� ,- � �-� ,� + � �**

���. ������� ����0 �� � ��������

1� ( � � !��� ���� �! � �� � � 1� � � (�� ���� �� � ���� ��� �� ��� �� �������

� � ������� � � � ������ �� �� � !���� � (� �� ������ �� � � � ��� ������

�1������- 9 ����� �� ��� � � �� � �� � &"��"���� � � � � �� � ��� ��������� ���� �$

' ( 2� �� � � $� ������� � ��� � � � � $� � � �� � ��� � � ��� � � � � � ��� � � �$� � � ��

' ( 2� �� � ��� �� � � �� ������� � ��� � � � ��� � � �� � ���� � � ��� � � ��

� ���� ��� ��"���� �� ���� � �� � �� � � ����������

�1������- 9 ����� �� ��� � � �� � �� � �"�������. � ���� � - ���! � ��� ��� ��� ��������� ���� ��

�������� � � � ���� � - ���! �� � ��� � �� �8�� �� � ���� �� �� �� ��� ������ ��� �� � �! � �� � � � ��� ! � � �� �� ������

���� �� �� �� �� �� !���� ������ � � � ���% ���� �� � ��� ! � � � �� ��� � � ������� � � � �����

�� ������ �� ���� '��!� � ;���� .�"&( ������ �� �� ��� ���� ����� ���

�3����" ���'- �� � ��� � �� �� ����� �� �� � ���� ����$

' ( � � ���� � ��� ' ( � � ������ ��� ' ( ��� � � ��

�� � ����� �� � � �� ��� ���� ����� ��% ���� �� ���� � ���� �� ��� ��� � � � �

/39;� .> #���672898�) �.=

Page 291: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

8. Determinants Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

���!�$ (��?��"�

���(������ �� � ��������

���� �!����� �� ��� ���� �� ��� �� �� ������ �� ��� ��$

'�( � � , *

� "

� �

� ' ( � � � �"+ &

� �

� '�( $ � + �*�� ��

� �

� '�( � � � � * ,

" � �

� �

<� �� �������

� �

����

����� �� � �$

'�( ��� � ,�"� � *��� � �.� �- � .

' ( ��� � �+ �� � �,

'�( �$� � �.� * � ��"'�( ��� � �� � *��� �� � �. � �� � "� � �-� �. � �� � �-� � �.

���� �!����� �� ��� ���� �� ��� �� �� ������ �� ��� ��$

'�( � �� " +

* + "

� � �

�� ' ( � �� �� "

� + ��� * ��

�� '�( $ �� " �*" �� �

� �� �

<� �� � ���� � 5 �� .�� �� ���� � �� � � �������$

'�( ��� � ��+���� "�"���� +����*� � ��+��+� � ��"���� � ��"��*� � . = +-� �,� ��� �* � �+

' ( ��� � �. � "-� �� *� . � =

'�( �$� � �� , "-� * +� = � �*

�� � /����� �� ��� ���� �� ��� �� �� ������ �� ��� ��$

'�( � �� " +

* , &

. = �

�� ' ( � �+ �, . =

- �� & �"- - * ,

- - - "

���

���� '�( $ �

��

�� � �"

"+

��

��� �+ �

��

���

'�( 4� ��� � ��� �� �� �� � �� �� ������� �� �� � �� �� �� ��� �� ����� ��� ���� � ������� �� �� �� ���� �� @@6���� #� �� ��� #�AA� ���

��� �� " +

* , &

. = �

������

������

�� " +

� - ��. - �

������

������

� -� �+ ",� - �.� " � �&

' ( � � � ������� �� ��� � ������ �� �� � ������ �� � � ���-�'�( �� � ���� � � � ��� � ���� ��� � �� � � ����� 3�� ���� ��� �� �� �� #� �� , ��� ��

����� �� #� �� +� ���

�+$ �" �, ��" � �+� �+ �

������

������

� , �+ �+ +� +. �. � �.� �� �$� � �.

�+� &

,

�=- #���672898�) :/39;� .

Page 292: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

8. Determinants Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��'� /����� �� ��� ���� �� ��� �� �� ������ �� ��� ��$

'�( � �� * �" ��

�� �" � �*� " �� �

�� �, + "

���

���� ' ( � �

, � � - *

� � � �� �

� � � �� "

" - � " ���� �� �" + �

�����

�����

'�( <� �"� � � �� � � !�� �� ��� -A� � �� �� ������� �� ����� �� �� �� ���� ��� @@6���� #� ����#" #�AA� @@6���� #� �� �#" #�AA� ��� @@6���� #+ �� #" #+AA� ���

��� �

� * �" ���� �" � �*� " �� �

�� �, + "

���������

���������

- �� � �,- " �� ��� " �� �

- �" � *

���������

���������

��� � �," �� ��

�" � *

�������

�������

� �- "� ", ",� �� �* � �+

' ( 5 �� ��� ��� �� � ��� ���� �� �� +� ��� ��� �� � ��� ���� �� �� "� �� �� �� � ��� ��5 �� .��� 5 �� �� ��� � � �� � � !�� �� ��� -A� � �� ����� ������� �� ����� �� �� �� ���� ���@@6���� #� �� ��#� #�AA� @@6���� #" �� �#� #"AA� ��� @@6���� #* �� #� #*AA� ���

��� �

� - �� + "

� � � �� �

�� - � - �

" - � " ��� - �� � ,

������������

������������

� �� + "

�� � - �

" � " ��� �� � "

���������

���������

� � + ��- � - -

* � " �*�� �� � &

���������

���������

�� + ��* " �*

�� � &

�������

�������

� �� �-� �-� " �-� �+- � ��-�

���������< ��������� �9�����< ������< (�����(�� ������

��.� 1� � �� � �" +

* �+ & ��+ - , �"" �� * �

���

����

'�( 5 �� ��"� �� ������� '� ��� � ��( �� & � ��

' ( 5 �� �� � �� ��� �� � ��� � �� �� �� ������ � � ���� +� �� "��'�( 5 �� �� � �� ��� � �� ��� �� �� �� �� ��� �� � � ������ �� �� ���� � ��

� ���� "� �� "��

'�( ��0 �� ��� ���� �� �� ������ � �� � ���� �� �� ��� �� �� � ��� ������ " '���� �� ������� � �� &(� ��� ���� ��� �� ��� ���� �� �����"$

��" � �� � +

+ - �"" �� �

�������

�������

� ���,�� � ,�

�� ������ � " ���� ��� �� ����� ��� �� ��"� ���� �� ��� �� ���� ���� & ����� � �� � ��������� "�

/39;� .> #���672898�) �=�

Page 293: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

8. Determinants Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

' ( �� �� ����� ��� � � ��� + ��� �� ������ ����� ��� � � ��� "� 3�� �� � �� � �� ��� ����

� � � ��� ��"�+� �+"

����

����� �+ &

�� *

����

����� ��- �+ � �,

��� �� � ��� � �� � �����+�"� � � �� � � ���,� � ,�

'�( �� � �� ��� � �� � �� ��� ����

� � � ��� ��"�"� �""

����

����� � �"

+ ,

����

����� �� �� � �+

8�� ���� ��� �� � ������ �� � �� �� ������ � � � ������ �� � �� �� � � ��� ��� �� 9���� ��� �� �� �� � �� ��� � �� � ��� � !�

��2� 1� � �� � �

� " +

* . =

�� 5 ��$ '�( ���� ' ( ��C �� '�( ��� �� �� ��C ��

'�( ��� � �& �- �,� �*� "�� �. � ��' ( ��0 �� ������� �� �� ��� � �� ��������$

��C � �

" +

. =

����

����

� � +

* =

����

����

� "

* .

����

����

� �

. =

����

����

� �

* =

����

����

� � �

* .

����

����

� �

" +

����

����

� � �

� +

����

����

� �

� "

����

����

���������

���������

��* � �

�� + �"� �� �

��

��

��* �� �

� + ��� �" �

��

��

'�( ) �� ��� �� -� ��� � �

��� ���C �� ��

���* �� �

� + ��� �" �

� �*�

��

� ��

�� �� �

� ��

"�

� ��

��

��

��5� 1� � �� � "

+ * ,

- & .

�� ��� �� �� ���� �� ��� �� �� � �� ��� � ��� �� �� �� 5 �� �� ��$

'�( � � �� ' ( � � �� '�( � � "�

'�( �� � �� ��� � ��� �� �� � � �� � ������ ������ ���� �� � �� ��� �� �% ���� ��

�� � ���� � � * . � �+

' ( �� � �� ��� � ��� �� �� � � �� �������� �� �� � ������ ������ ����

�� � ��� ��� �"" �* ,

& .

����

���� � "

- .

����

���� � �

+ *

����

����

'�( �� � ���� �� � �� ��� � �� �� �� "� �� ��� ���� �� �� ���

�" � ��� � +- - .+� -� +�� ,+ � �.

���� 1� � �� " - ��

�+ � * �

� - " ��" �� � +

���

���� 5 �� �� ���� �� ��� ��� �� �� � �� ��� � ��� �� ��$

'�( � � �� ' ( � � �� '�( � � "� '�( � � +�

�=� #���672898�) :/39;� .

Page 294: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

8. Determinants Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

���� '�������( ����� �� �� � ������ '� �� !������� ��� ������� ����� �� ��� �� "� + � ��� ��� � �� ��� � �� �� �� ��� �� � �

� ��

����� ��� �� ��� � �� �� ��

���� �� � +

� +� �� � +

� ,� �" � +

"

� +� �+ � +

+

� �

'�( �� � ��� ��� �"� �+� � � � " + � �-

� � �� �� "

�+ �

����

���� � -

� "

����

���� � ��

" +

����

���� � *

- "

����

���� � �

�� +

����

���� " ��

� +

����

����

� �+ " & , �- �+ � *+

��� �" �� " -

�+ � *

� - "

�������

�������

� " ��

�+ � �

" �� +

�������

�������

� - ��� " ��" � +

�������

�������

� * �

- " ���� � +

�������

�������

� *& ,* �� *+ � �=.

'�( �+ � ����� � "&.

� �������� �� �0�� �� �� ��� �� ;������

��8� )��! �� �� ��� ����� �� �����

"� �� � � �

"� �� � .� *�

"�� � � �� ��

5 �� ���� �� ���� �� � ������� ���� ��� ������ �� ��� ���� � �� �� ��� � �� ��� � ���$

�� "�� � � �

"� *� �� � .

�� ��� "� � ����� � �

� " ��" * �

� �� �"

������

������

� �"- , , * . �& � ��

) �� � �� -� �� ����� ��� � �� �� ����� ��� �� ������ ��������� � ����� ���� !��� ����� � ��� �� �� �� � � �� ��� � �� ��� � ��� �� �� �������� ���� ���

�� �� " ��. * �

�� �� ��

������

������

� ,,� �� �� � ��" . �

� �� �"

������

������

� ���� �� �� " �

" * .

� �� ��

������

������

� ++

����

� � ���

� ,,

��� "� � � ��

�� ���

��� ��� � � ��

�� ++

��� �

���:� /��� � �� �����

�� � � � �

� �� � � �

� � �� � �

<� ��� ����� �� �� ���� !���� �� � �� �� �� �� ����� ���$

'�( � �� �� ����� ��� ' ( �� ���� �� ����� ��� '�( �� ����� ���

'�( �� ����� ��� � �� �� ����� �� ��� � �� -� �� � � �� ��� ���� �� �� ��� � �� ��� � ����/�����

� �� � �

� � �

� � �

������

������

� �" � �� � � � � � � �" � "� � � �� � ����� ��

/39;� .> #���672898�) �="

Page 295: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

8. Determinants Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

���� �� ����� ��� � �� �� ����� �� ���

�� � ����� �� �� -� ���� ����� � �� � ��� � �� �

' ��� �( B���� �� � � ��� �� ����� ���� �� ����� ��� �� ���� �� ����� �� ��� � � �� ��� ������� ��� �� ����� �� ��� � � ���

���� ���� �� (��/� ��

����� 5 �� �� !���� ( ��� �� �� ������� �� � � �" ��� �� �� �� !����$

'�( &� � ��� �� ��� &� � ��� "��+�� &" � ��� ���*��' ( &� � ��� �� +�� &� � ��� ���"�� &" � �*� &� =��

( ��� � �� ������� !��� �� �� ��� ���� �� �� ��� � ���� ��� � �� � !� !����� ����

'�( � � �� � �

� " �+� � �*

������

������

� ��*� + �� " . * � �&� 3�� ( ��� � � � &� � &�

' ( � � �� � +

� � �"* & =

������

������

� =� "- *,� �- ��� ", � -� ���� ( ��� � -� �� � ��� ����� &�� &�� &"

� � � ���� ��� � � ���� �������

����� 5 �� ��� � �� �

" + - - -

� * - - -

- = � - -

- * - , &

- - + " +

�����

�����

" + - - -

� * - - -

- = � - -

- * - , &

- - + " +

�����

�����

� � '���( � ������ ����0 ��� �% ��� !����� �� ��� ���� �� ��� � ������ ����0$

" +

� *

����

����� �*� . � &� ��� � ��

, &

" +

����

����� �+� �� � "

���� � � � &����"� � +��

��� � 5 �� �� ��� ���� �� )��" �" � �� ��

)��� �� �� � �� "�� +�� �� &�� � *�� "���� ��� ���� �� � � �� ����� ) � ���� �� �� ��� ���� �� ��� ��� � ���� ����� )� ����

�� �� �� ��� � � ���� �� ) � �� ����� ��� � '���� ���� ���� !��� ���� �� �� �� ��� � ����� �� �(� ���

� �� " �+- � &

� * �"

�� ��� �� ���)� � ��� � �, �� - .� "*� - � �.

���'� � � ��� . � .���� ��� �"� �+� ��� � ��� ��

.���� ��� � � � � ��� ��

������ � ����

�� �������

� ��� �� � ������ �� ��� � �� ��� ��� ���� �� ������

� ��� �� � ��� ������ ���� ��

��� ��� � ��� ���� �� ������ �� ��� ��� ��� � ��� �� �� �� � � �� 3��. � .���� � � � � �+� � ��� � ������ � �"���� � �+���� � �"���� � �+���" � �+�

�=+ #���672898�) :/39;� .

Page 296: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

8. Determinants Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

���.� 1� � � � ��� ��� ������ �� ����� ��� )��� ���� ������ � ��������) �� � � ������ ��� ������ � -� ������ � -� 3��

��� ��� �� � ������ ������ ������ ������ � ������ ������3��!� ��� �� � �� � -� 3�� ������ � �������� �� �� ��

( ���������

���2� #�� � �� �� �� '� ��( �� �� ������ �� � � ",+�*��

/���� �� ���� �� �!� ���� ���� �� �� ��� ���� �� ����� �� ���� �� ����� � � � �������� � � � ��� � ���� � � �� 8�����

� � �� " ����� �"� ,� +�� � �� + ����� �"� ,� +� *�� � "� - �����

� � +� � ���� �,�� � *� � ���� �,�� � �� - �����

) �� " + - � � - � = � ���� � � �� ��� ������ ��� ��� ��� � � ���

���5� 1� � � �+*�" ��� � � +�"*� � ������ ��� � �*� 5 ��$ '�( � � �� ' ( ����

6���� ���� � � �+*�" ��� � � +�"*� � ���� ���� �� � � ��

� � � � " + *

� + * � "

� ���� � �� ���� � +� ��"� � *� ��+� � �� ��*� � "

� � � � " + *

+ � " * �

� ���� � +� ���� � �� ��"� � "� ��+� � *� ��*� � �

'�( �� ����� �� � ��� ��� � �� �� �� "� +� * � �� �������$

� � �� � + *� " * �� + � +� * " "

:���� �� �� ������ �� � ����� � ������� � ���� � ��� ���� � � � � �*�+"�

' ( ?� � � � ��� ���� �� � � � ��� ���� � ���� � �� 3��

��� � � + * � "

� � " + *

� � � " + *

+ � * � "

� ��� � +�*�"

����� 1� � � �� �� � � � �� � ��� ������ �� � ��� )��� ����� �� ��� �!� �� ��� �� �� � � � ��� ����� � � �� �� � � �� ��D� �D� ���� ����

�D � �D ��� ���D� � �� �D� ������ ! � !��� ���� � � !� � ��� ����� �� �� ���� �� � �� !� � �� ��� ���� ���� � ��� ��� �� '�(�

/���� �D ��� �D �� ���� ���D� � � ��� ���D� � �� ��� � � � � ��� ���� � ���D� � ���D�� ��� � ����� � � � ��� ���� � �D � �D�

���8� /��� � �� ������� ��� . � .���� � � � � ��� ��� ��.�� � �� ��

. � .���� � � � � ��� ��

������ � ��� ��� ��.� � �

��������� � ������

') ;���� .��+�( )��� ���� ��.� � . ��� � � �� !� ������ ��� ��� ��.� � �. ��� � ��� ��� ������ ��� ���� �� ��.� � ���� ��.�

) �� � � �������� ��� �����

��.� � �

��������� � ��� ��� �

��� � ������ � ���

���� ��.� � ��.� � �. ����� �� �� ���� �� � �� !� � �� ��� ���� �� ��� �� �� ��� �� � ����� � � �� 8�� ���� �� ��� �� ��� �� �� �� ��

� � � ��� ���� � �� ��

/39;� .> #���672898�) �=*

Page 297: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

8. Determinants Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

�� � � �� ������ � ��� ��� � ��.� �� �� �� ���� � �� ��� ) �� � � !� � ��� ���� � �� � �� !����� �� �� � ��� ��� �� '�(� � ��! ��.� � . � ��� ���� � � � !�� 3�� ��.� � �. � ��� ���� � � � ����

���:� 1� �� � � ��� )��� ���� ����� � �� � ���� ������ ��� ���� �� ������ �� ��� !� � ��� ��������� ��� � !�� ��� �� ������ �� �� ��� ��� �� !� ������ �� � ����

<� �� ;���� .��=� � ��!

����� � �� . � �� � ���.� � ����.�� � ������ ��.� � ���� ������ ��.9���� ���� ��� �� � �� � ���� ������ ���

����� /��� � �� ������ �� � � �� �� � � � ��� )��� ���� ��� ��� � ��� � ���� �� ������ ���� ���� ����

�������� � � � ���� � �������� � � � ������ ��� � ���� � � � ���

� ��! ��� � � � �� �� ��� �� ������ ��� ) �� � � !�� ��� ��� � � ���� !� � ���� ����3�� ��� ��� � ��� ��

) �� � � ���� � � � �� � � ������ ��� �������� � � � ���� � �������� � � � ���� � ��� ��� ��� � � � � �� ��! ������� ����

����� � �� ����� � �� � � � � ����� � �1� � � ���� � � � ��� ���� �� � � �� � � � � ��

�� � ����� � ������� � ����� � ����� � � � � �� �� ��� �� ������ ��� 3�� � � ����

(����� �� �@ �� ��

����� ;�! ���� .��$ ��� � � ����2� � � ������ ��� �� � � ���� � �� �� � ���� 3��

��� � �

�������� �� ����� ����� � � � ����� �

�������� ���������������� � � � �������

1� � � ���� ?� ;���� .��� ��� � � ��� �� ��� �������������� � � � ������� � ������������ � � � ������� 3����� � �

�������� �������������� � � � ������

3��!� �� � ��� ������ ��� �� ����� �� ��� � � ��� ���� ��� ������ ��� �� ����� �� ��� ������� � � ����

��� � ;�! ���� .�"' ($ 2� ��� ��� '�������( �� � � ��������� ��� ��� � ������ ��! �� ���� �� �� ��� ���� ��� ������� � ��������� 1� � � �� ������� � �� ����

�������� �� ��� ����� ������� �� �� �� ��� ������� �� � ���� � ��������� 2� � � ����� ���� � � ���� ��� �� � ������� 3��� �� ��� ������ �� ��

����� ����� � � � ����� � ��� � ������� � ���� � � � ��� � ��������

��� �

�������� �� ����� ����� � � � ����� �

�������� ����� � ������� � ���� � � � ��� � ����

) �� �� ������� � �� � � �� ��� ������ ��� ����� � �� � ���� ������ �� � ���� �� �������� � ���� �� � ��� ��� ��

��� � �

���������� � ������ � ������� � ���� � � � ��� � ����

?�� �� � ��� ������ ��� �� ����� �� ��� � � � ���� ��� ������ ��� �� ����� �� ��� 3�� ��� � �����

�=, #���672898�) :/39;� .

Page 298: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

8. Determinants Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

���'� ;�! ���� .��$ ' ( 2� � ��� � �� '������( �� ���� ��� ��� � -�

' ( 2� � ��� ��� ��� ��� ��� '�������(� ��� ��� � -�

' ( 2� � � � ������� ��� ��� � ������ �� � ������ ������ ���� �� � � ��

' ( ���� �� � ��� ����� �� � ����� ��� !� ��� ��� �� ��� �� �� �� ���� ���� ��� �� �� ��� ���� ��� �� ��� � -�

' ( )����� � � �� - � �� 2� � ������� �� ��� ��� ��� ��� �� �� � �� �� ���� � �� ��� � ��3��� �� ;���� .��"� ��� � ����� ��� �� ��� � -�

8�� ������ � � � - � �� ��� ��� � � � �� !� � � ��� ) �� � ��� ��� ��� ��� ���� ���� ���� �� ��� �� � ��� �� � �� ���� ���� ) �� ��� �� � -� �� ��� ���� �� � � ���

' ( )����� � � ����� � ��� � ������� ���� �� �� �� � ���! �� � ������ � ��� ��$ ��� � -���! � � �� /��� � � �� � �� �� ��� ���� �� �$

� � ���� ���������� � � � ���� � �� � � ���� � � � ��)����� �� �� �� ��� � � �� ��� �� ���� � -� ��� � � -� ���� �� ��� �� �� �� �� �� �� � � ���

8�� ������ �� � � ��� �� �� �� ��� � � ��� ��� �� ���� � -% ��� � � -� ���� ��� �� ���� �� �� �� � � �� �� � � ���

) � ����� � ���� � ���� ��� �� �� �� �� �� �� � � �� �� � � � � � � �� �� � � ��� 9���� �������� � ������ � � � ��� � ������ �� � ������ ������

���.� ;�! ���� .�"$ � � ���� �� ��� � �� �� ������ ���� ���

' ( 2� ��� ��� '�������( �� � � ��������� ��� ��� � �����' ( 2� � �� '������( �� � � ���� �� � �� � ����� �� ��� ��� � �����' ( 2� � ���� �� �� � �� '������( �� � � ���� �� ����� �� '������( �� �� ��� ��� � ����

' ( �� � ���� ��� ��!� � ;���� .��"�

' ( 2� �� ��� �� �� � � ���� �� � �� �� ��� !� �� � ��� � ���� �� � �� �� ��� �� ��� � ����� ���� ����� �

����� ���������� � � � ������ � � � � ���� � �

����� ���������� � � � ���� � ����

' ( )����� � � �� �� ��� �� � ���� �� �� ��� �� �� �� <� �� �� ������ � �� ���� �� ��� ��� � �� �� ��� ���� ��� � ��!

��� �

����� ���������� � � � ������ ���� � � � � ����

� ������ ���������� � � � ����� � � � ����

����� ���������� � � � ���� � � � ����

�� �� ��� � �� ��� ���� �� � ��� � ���� ��� ��� ��� ��� � ��� ���� 9���� ����� ������ �' (� �� ��� � ��� �� ����� ��� � �� ��� ���� �� �� ���� ��� � � � - ��� � ����

���2� ;�! 1��� .�,$ 1� � � �� ������ ��� �� ��� ���� � �������/��� � �� ������ �� ���� ���$ ' ( 7��� ��� � �� �� � �������� � �� -�

' ( 2������� ��� ���� ' ( 9�� � ���� �� �� �� �� �� ������

1� �������" � �� ������� �� ������ ��� �� ���� �� �������" � ���� �� �� ����� �� �����! ���� ��� �� �� ��� �� ��� � � � ?� ;���� .��*�

���� � ��� � � �� ���� � ��� � � ��� ��"� � �� � � �

6���� '���� "���( ���� ��� � ��� ��� �� �� ��� � ���� �� �� ����� �� �� ������� �� ���� �� ���� ����� �� ���� .�"� � ���� � �� ������ �� �� �� ��!� �� ����$

����� � ���� � �������� ����� � ���� � �������� ��"�� � ��� � ���� � ��"����

/39;� .> #���672898�) �=&

Page 299: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

8. Determinants Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

���5� )����� � � �� �� !���� �� � ���� ��� � �� ;�! ���� ��� � - � ��� ���� � ��� � -�

?� ���� .�"� �� ���� �� �� ������ �� ���� �� � �� ����� �� � �� �� �� ��� ���� � ������ ��� �� ��� ���� �� � ����� ������ 3�� ��� � - � ��� ���� � ��� � -�

����� ;�! ���� .�*$ 1� � � �� ������ ��� �� ��� �� ������ �� � �� !����$

' ( � � �!� ��� ' ( �� � - ��� ���� �� �� ����� ��� ' ( ����� �� -�

�� ���� � �� �� B���� �� ���� ���� 2� � � �!� ��� � � �� �� !���� �� � � ?�� �� � �� -� 3��� ��;���� .�+-� ��� �� -� 2� � � ��� �!� ��� � � �� �� !���� �� � ��� � � �� � �� ��� 3������� � -� ���� ' ( ��� ' ( � �� !�����

2� �� � - ��� ���� �� ����� �� � � -� ��� � � �� �� !���� �� � ��� � � �!� ��� /��!���� � � � �!� �� � �� �!� ���� ���

� � �� � ������� � ������ � � ���- � -

� �� ���� ����� �� �� �� � -� ���� ' ( ��� ' ( � �� !�����

���8� ;�! ���� .�+$ ���� � �������2� � � � ������ ��� �� � ���� � ������ ��� �� ���� � - � ������� 4� �� ��� ����� � � � ����

� ������ ��� � � �� � � ������ � ������ �� ������ ��� ��� ���� 1��� .�, ��� ����� ��� � ���

���� � ��� � � ������ � ���� � � � ��������������� � ������

�� :� )����� � � �!� ��� ;�! ���� ����� � ���������� � � � 3�� � � �� � � ������ � ��������� ��� �� ����� � ������

�� �� ;�! ���� .�&$ )����� � ��� � � � � �� ��� ��� ��� ��� � ����) �� � ��� � � � � ��� �� � ��� �� �!� �� ��� � � ���� ���� � � ������ ����� �� ��

;���� .�"-� � �� ��� � ������� � ����������� � ���������� � ����� ��0 ���� �������� �� ��� �� ��� ��� � ��� ��� ������� �� ��� ����� ����� ��� ��� ��

������� � �� ��� � ������ � �� �� ��

�� �� ;�! ���� .�. '1�����($ 1� � � ������ ��� �� ��� ���� �� ������� �� ���� ���� �� ��� � � ���� � ������ � � � ������ ��� ��� � ������ � � � ������

) �� ��� � ��� �� � �� ���� ��! �� �� �� ����� ���� ���� �� �� �� � ��� �� ��� �� �� ������ � ��� ����� �� �� ��� ���� �� ��� �� �� ��� �� ����� ���� � � � � ���� �� �� 3�� � ��� � � ��� � �����

��� � ����D�� ����D�� � � � ����D��'8�� ���� �D�� � � ��� �� ��� �!��! �� �� ��� �� �� ��� �� �� ��( ���� �� ���� � ��!� � � ������� ����

�D�� � ��� � ������� ����� �� � �� ��� � ���� �� �� ��� �� �� �� ��� ������ ����� � �� �� ��� ���� '3 ��� ������ ������ �� �D�� ��� � �� �� �� ������� �� ���� ��� �� �� ���� ���� �� ���� �� ���� �� ���� � � � �� �� �� ������� � �� !�����(

5 �� � ���� � �� ��� ���� � � �� � � �� ��� �� ��� �� ��� � ��� ����� � �� ��� �����D�� � ���

����� �������������� � � � �����������

�� � ��� �! ��� ������ ��� � � �� �� �� �� ���� � �� 3��!� �� � � �� !���� ';�!E( ������ �� �! ��� ������ ��� �� ��� � � � � �� � � ���� �D�� � � ��� � ������� ����

�=. #���672898�) :/39;� .

Page 300: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

8. Determinants Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

8�� � ���� � ��� � ��� �� � ������� �� ��� �� � �� ��� ����� �� �� ��� � � � ����� ��� � ������� �� ��� ������ � �� ��� ����� �� ������ ��� � � � ����� 8�� ���� �� ��� ���� � ��� � ���������� � �� �� ��� ! ��� � ��� �� �� ��� ��� ��� ������� � ��� ������ �� ��� ���������3��!� �� @@� ��AA �� ��� ��� �� �D�� � ������ �� � ��� ��� �� � � ��� 9���� �����

�D�� � ����������� ��� � ������� ���

�� � 1� � � ����� ��� �� � � �� ��� � ���� �� ��� � �� ���� �� �� ��� �� �� � �� �� �� !���� ��� � � � � ���� )��� ����

��� � ����� ����� � � � �����5������ ���� ����� �� � �� ��

������ ������ � � � ������ � - ��� ������ ������ � � � ������ � -

1� � � � ���� ?� ���� .�.�

��� � ����� ����� � � � �����) �� ��� ��� ��� ���� �� �� ��� �� �� �� � �� ��� � ��� �� � � �� � � � � �� 3��

��� � ����� ����� � � � �����8�� �� �� � ���� �� ��� � �� ���� �� �� ��� �� �� � �� �� ��� �� �� �� ) �� �� ��� ��� ��� ���

���� ���� � -� ����� �� �� ���! �����

���� � ������ ������ � � � ������ � -

<� �� ��� � � ���� � ���� ���� � ���� ������ ������ � � � ������ � -�

�� '� ;�! ���� .�=$ ����C �� � ���C ��� � ���� �1� � � ����� ��� �� ����C �� � � ���� �� ��� �� �� � �

����� ���� � � � � ���� ���) �� ��C � � �� ������� �� �� ��� � �� ��������� �� ��� ������ �� ��C � � �� ������ �� �� ���������� �� ��� �� �� �� ���� ��

�������� � � � ������ ���8�� ��� �� �� ��� � ����C ��� � ���� �� �� ���� ��� �� ���� ��� '�( ��� '�($

�� � ������ ������ � � � ������?� ���� .�. ��� ;���� .�""�

�� � ��� � � � �- � � �� �

9���� ����� ����C �� � �� � ������ ��� � � �� ��� � ������ ���� ���� 2� ��� ����� ����C �� � ���� �) � ����� ���C ��� � ���� �

�� .� ;�! ���� .��- '/��A� ��($ �� '����( ����� �� � � ��� � �� �� ����� �� � ��� ���� � � �� -� 2� �� � ���� �� � ���� �� ��� ��

?� �! ��� ������ �� � � ��� � �� �� ����� �� � ��� ���� � � � �!� ��� ��� � � �!� �� � ������� � � � ��� �� -�

8�� ������ � �� -� ?� ���� .�=� ��� � ��������C ��� 7��� ��� �� �� � � �� ���� � ���� �

� � ����� � ��������C ��� ���

/39;� .> #���672898�) �==

Page 301: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

8. Determinants Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

8�� ���� �� ��� �� �� ��������C �� � �������������� � � � ������ 2� � � � �� �� � � � � ��� � ���� �� '�(�

�� � ������ ���� ���� � � � �����3��!� �� � ;���� .�""� ���� ���� � � � ���� � ��� �� ��� ���� �� �� ��� � ���� �� ������ �� �� ��� ������ �� � �� �� ������ !��� �� ���� �� � �������� �� �� ��

�� 2� ;�! ���� .���$ )����� � �� ��� '���( � ������ ����0 ��� � � �� � ������ ����0������� � � � ���� ���

��� � � ������ ������ � � � ������� �� ���� ��! �� ���� �� � � �� ���� �� ��� � � ���� ��� � �� �� ��� � � $

- �

� �

��� ���� �� �� ���� ���� ������� �� �� �� ����� ���

)����� � � ����� � ������ � � � ��� � ������� ��� � ���� � ������� �� � � �� ?�� � � ���

��� � �

�������� ������������ � � ������

2� � � ��� � � � ��� �� � -� ���� � �� ���� ���� � ���� ������ ��� � ���� ����

�� �� �� � � � � � � � �� �� � � � � � ��� ���� �� � � � � � ��� �� � � � � 1� ����� � ���� �� � � � ��� �� ����� � �� �� � �� � � �� ���

���� ������������ � � ������ � ���� ����������������� � � � ��������� ��� ������ ������ � � � �������� �� ��� � ��� � � ����� ������

�� 5� ;�! ���� .��+$ �� � ��� � �� �� ����� �� � � � � ���� ����$

' ( � � ���� � ��� ' ( � � ������ ��� ' ( ��� � � ���� � ����� �� � � �� ��� ���� ����� ��% ���� �� ���� � ����

1� � � �� ��� ���� ����� ��� ���� � ���� � ���� ���� ���� � ��� � � ' (� ' (� ��� ' (� ��� ���� � � �� ���� ����� �� ��� ��� �� ' (� ' (� ��� ' (�

?� ���� .��� � ��� � � ' ( ��� ' (� 3�� � ���� ���� � � ���� � ��� )����� �� ��� �� ��� � ����� ��� �� ��� � �� ���� �� ���� � � � � �� ����� ���

���� � ����� � � � � �� $�� � � � � ����

��

���� �������� � � � ������������ ����� ������� � � � ������

��

���� �������� � � � ����� � � � ������

��

���� �������� � � � ������ � � � ������

� ����� � � � ���� � � � ���� ����� � � � �$�� � � � ����9���� �� ���� .�"' (�

����� � � � � ���� � � � ���� � ������ � � � ���� � � � �������� � � ���� � ��� ��� � ��� � � ' (�

� ��� ���� ��! �� �� ����� �� �� )����� � ��� � � ' (� ' (� ��� ' (� 2� ���� � � � � �� � �� �������� � �� ��� ���� �� ' (� ����� ��� � � � � ��� � ��� � � �� <� �� ' (� � ���� ��! ����

����� � ��� � � � � � ��� � � ��� �� �� � � ���� � � � �� ���8�� ������ � � ������ 4��! ���� �� ��� �� �� �� � �

�� � ����� ���� � � � � ���� � ����� ����� � � � ���������

���� � ������� � � � ������ ����� � � � ������ � � � � ����� � � � ������

"-- #���672898�) :/39;� .

Page 302: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

8. Determinants Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

<� �� �� ���� � �� �� �� �� � ��� � � ���� �� � ��� �� ��� �� �� ���

��� � ��������� � �������� � � � � ������� �

� ��������� � � � ���� ������ � ��� � � � � � ��� � ����� �� ��� � ����� �! ��� ������ ���� � � � ��� �� �� � ��� � � � � � � 2� ��� �� �� �� �� � �������� �� � �� ��� � �� �� ���� �� ' (�

����� � ��� � � � � � ��� � � -

9���� ����� �� ��� � '�( �� ���� � ����� �! ��� ������ ��� � � ���� � � � ��� <� �� '�(� � �������! ����

���� �

���������� � � � ���� ������ � ��� � � � � � ��� �

����� ���������� � � � ���� � �� � � ���� � � � ��

3�� � � �� ��� ���� ����� ��� ��� �� �� ���� � ��!��

������"�����* (��?��"�

���(������ �� � ��������

�� �� �!�����$

'�(� ,

+ �

����

����� ' (

* �

" ������

����� '�(

�� .

�* �"����

����� '�(

+ =

� �"����

����� '�(

�� �

� ����

����

�� 8� 5 �� ��� � ���� ����$ '�(� � + "

� � � =

����

����� -� ' (

� � � +

" � � �

����

����� -

��':� /����� �� ��� ���� �� ��� �� �� ������ �� ��� ��$

'�(

� � �

- * ��� �" +

�� ' (

" �� �+� * ��- , �

�� '�(

�� �� +

, �" ��+ � �

�� '�(

& , *

� � �

" �� �

��'�� 5 �� �� ��� ���� �� ��� �� �� ������ �� ��� ��$

'�(

� � � "

� - �� -

" �� � ��+ �" - �

���

���� ' (

� � " �

" - � ��� �� + "

� � �� �

���

���

��'�� �!�����$

'�(

� �� " �+� � �� �

" " �* +

* � �� +

��������

��������

� ' (

� �� + �"�� � - �

" � " ��� �� � �"

��������

��������

� '�(

� �� " ��� � �� -

� - + �*� + + �,

��������

��������

/39;� .> #���672898�) "-�

Page 303: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

8. Determinants Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��' � �!����� ��� �� �� ������ �� ��� �����$

'�(

� � �� " �

� �� � �� "

" � - � ��* � � �" +

�� " �� � ��

����������

����������

� ' (

� " * & =

� + � + �

- - � � "

- - * , �

- - � " �

����������

����������

� '�(

� � " + *

* + " � �

- - , * �

- - - & +

- - - � "

����������

����������

���������< ��������� �9�����< ��7 �� �

��''� 5 �� ������ ��C �� ��� ���� ��$

'�( � �� � -

� � �

- � �

�� ' ( � �� � �

" � -

� � �

��'.� 5 �� �� ����� ��� ��C� �� �� ��� ��� � � ;���� .�+��

��'2� 1� � � �

� �

� �

� '�( 5 �� ��C �� ' ( )��� ���� ��C���C �� � �� '�( ��� ��� � � ��C �F

��'5� )��� ���� � � � � ������ '� ������( ��� ��C � � � ������ '� ������(�

��'�� )����� � � ����� � � ������� )��� ����$

'�( � � �!� �� � ��� ���� � ��� � ������ ���� ��� �� -�

' ( �� � ������ ����� �� ��� ' � � � ���( � ����� � �� � ������ �� �� � ������ ����� �� ��

������< (�����(�� ������

��'8� 1� � �� � " �

� - �� "

" �� � *

+ �" - ��

���

���

��� � �� " �� *

� �" � +

- �* � �

" - * ��

���

���� 5 �� �� � �� ��� �� � ��� � ��

������� �� �� �� ������ �� ������ ��$

'�( ���� +� "� +�� ' ( ���� +� "� +�� '�( ���� "� �� +�� '�( ���� "� �� +��

��.:� 5� � � �� �� "� �� �� ��� �� �� ��� � �� ��� � ��� �� �� � ��$

'�( � �� " �

� �+ "

* �� �

�� ' ( � �� * �+� , �

" �� -

�� '�( $ �� �+ "

� � *

+ �& ��

��.�� 5� � � �� �� "� +� �� �� ��� �� �� ��� � �� ��� � ��� �� �� � ��$

'�( � �� � " ��� �� - *

- � �� �

+ - �� �"

���

���� ' ( � �

� � � �

- � � "

� " - +

� & + *

���

���

"-� #���672898�) :/39;� .

Page 304: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

8. Determinants Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

� �������� �� ��� �� ;������

��.�� )��! �� ������ �� ������ �� ��� �����$

'�("� *� � .

+�� �� � �

� ' (��� "� � ��+� &� � ��

� '�(��� � � � �"��� * � � ��

�� �� -��

��. � )��! �� ������ �� ������ �� ��� �����$

'�(

��� *� �� � &

� ��� +� � "

"�� +�� ,� � *

�� ' (

�� " � � "�

�� "� � �� �

"� � � �� ��

��.'� ;�! ���� .���$ �� ����� �� � - ��� � ����� ����� �� � ��� ���� � � � ��� � -�

( ���������

��..� 5 �� �� �� �� �� �� ������ ��� � � "��*+� � � �"*�+� � � +�*"� � �*�

��.2� 5� �� ������ ��� � ;���� .�**� ��$

'�( � � �� ' ( � � �� '�( ���� '�( ����

��.5� 1� � � ��� )��� ���� � � � ��� ������ �� �� � ��� ������ ��� ���� �� �� � �� � � � � � �� �

��.�� 1� � � �� ��! �� ����� ���� ���� � �� 1� �D � ���� � � �� �� �D��� � �����'�( )��� ���� ��� �D � ��� ��

' ( )��� ���� �� � ��� ������ ��� �� ���� � �� �D ��� ������ ����� ���� ��

���� � ��D � � � ������� � � �

��.8� /��� � � ������ �� � � �� �� � � � ��� 1� ��� � �� ����� ��� � �� ��� ��� �� � � �� ��� � ���� ��� �� � ��� � ��� � � ���� � ��� � � � � � ��� �� )��� ���� ��� � ��� ��

� ������� �� ��� �� �( ������

��2:� 5 �� �� ��� ���� �� ��� �� �� ������ �� � �� ��������� ���$

'�( � ��� �� � �� �� � ��� �� � ���� =�� "�� *���' ( � ��" �" � �� �� � ��� �� �� � �"�� ��� *� &�� � � ���'�( � ��" �� � �� �� � ��� �� �� � ��� &�� +�� +�� ,� ����

��2�� 1� �( ( � �� � ���� �� ������ ���� �� � � ���� � �� ���� 5 �� ���� � ( � �� !��� ���� ������� ��� � �� �� ������ �� ����$ '�( ��� �� � � � � �* � ' ( ���� ���� �"� � '�( �� � �� ��� � �

��2�� ;�! ���� .��"$ 1� ) ��� - � � �� ������ �� � !��� ���� (� ���$

' ( ���) � -� � ���)� ���-�� ' ( ) � �!� �� � ��� ���� � ���)� �� -�

��2 � ;�!$ '�( ����( � � �� �� �( � �� ��� �� ������ ' ( �������� � ���� ��� ��� � � �!� ���

���� ���� �� (��/� ��

��2'� 5 �� �� !���� ( ��� �� �� ������� �� � � �" ��� �� �� �� ������ �� !����$

'�( &� � ��� ���"�� &� � �"� +����� &" � ������ *��' ( &� � ��� �� "�� &� � �������+�� &" � �+� �� ���

/39;� .> #���672898�) "-"

Page 305: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

8. Determinants Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��2.� 5 �� �� !���� ( ��� �� �� ������� �� � � �+ ��� �� �� �� ������ �� !����$

&� � ������ *����� &� � ��� ����� ��� &" � �"� -� �� ��� &+ � ������ +����

��22� 1� ( � �� ���� �� �� � ��� �� � �

� �

� �

�! �� #�� � ���� ��( � � ��� �� '� ������ �� �� ���( ��$

��� �� � � � ��� � �� � � ���

��� �� � � ��� ����� �� � � � � ���

��� �� � � -

� � � �� � � �

��25� 1� � � �� ������ ��� �� ;�! ���� � ������

��2�� 1� ����$�� � ������ �� ������ ��� ��� /��� � �� ������� ����0 ��� � � � �

$ �

� �

� ;�!

���� � � � ������ � ����$�� )��� ���� �� ���� ��� ��� � �� � �� ��� �� �� ��� �������

��28� )����� � � ���������� ���� �� ��� � � � )��� ���� ����� � ���

��5:� 1� ( � �� ���� �� ����� ��� �� ! �� �� ������ �� �� !����� )����� ��( � � �� ����� ������ ��� )��� ����$

'�( ��� � � ��� � � � ��� � � �� � ���� � � ��� � � � ��� � � ��% � �� ������ ��� ��� ��� � ���������

' ( 2� ������ � � � �� � � ���� ������� ��� �������� � � � ��� � -�

��5�� 1� ( � �� ���� �� ����� ��� �� '�� ���!(� ��� ������ ��( � � )��� ���� �� ������ �� ��0������� � �� !���� �� � � �� ������ ��$

�������� � � � ���� � - ���! �� � ��� �� ��� �1� ( � �� ���� �� ������ ��� �� �! �� )����� � � ( � �!� �� ��� �� ����� �� -� # ���( � �� ���� � ������������� �� � � (� 3��

�������� � � � ���� � ����������� � � � ������������� �� � �� ��� �� �� �� ��� �� ��� � �� ��� �� �� ��� )��� ���� � � ���� � �� ��� ������ ��� ������� ��� � � �� '�� � ����� � ��� �� ��� ���� �� ��! ���� ���� � �������(

��5 � )��� ���� . � .���� � � � � ��� � �����(������ �� . � .���� � �� � ���� ������ � ;���� .��=�� � ��� ��� (��� � �� (�������� ��������� � �� ��

(������ �

� � � � � � �

�� �� � � � ���� �

��� ��� � � � ����� ��

��������������������������������������������

����� ����� � � � ������� ����

�������

�������������

��5'� 1� � � ��� ��� �� )��� ���� �� � ��� �� � � �� ��� � ' � ��� �� ���������� � �� ��� �� ' �� � �����

��5.� 1� � � �� ������ ��� �� �� ����������" ��� �� � � �� �� �� �� ����� ���� ������ � �� �'���� �� �� ��� �� ��� ��� ������� �� �( ���� ��� ���� � ��� ��� )��� ���� �� ��� ������ ��0�� � � ���� �� �� ��0� ��� �� ��� ��� ���� �� � ���� ������� ��� '� �������(�

"-+ #���672898�) :/39;� .

Page 306: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

8. Determinants Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

���A��� �� ������"�����* (��?��"�

��������/ � �#�� #�� � � �� ����� � ��� � � �� ��� #��#�� � � �

�� �� '�( ���� ' ( ��"� '�( +,� '�( ���� '�( �� � �

�� 8� '�( "� �-� ' ( *���

��':� '�( ��� ' ( ���� '�( �--� '�( -

��'�� '�( ��"�� ' ( �**

��'�� '�( ""� ' ( -� '�( +*

��' � '�( ���� ' ( �+�� '�( �+,.

��''� '�( ��� � � ��� ��C � � ������� �� ��� ����� ����� -��

' ( ��� � ��� ��C � � ��� -���� �"���� ,� �� ���*�� 9���� ��� � ���C ������

��'.� '�( ���,���=���,�����"-��".���,� �=��.� *����"������"� �� �.���.��' ( ������+���&���=��++� ��� ""� �����=� �� �"� ��� �&� &���=���.�

��'2� '�( ��C � � ���� � ��� ��� '�( � � ��

��'8� '�( �"��"� ' ( ��"���"� '�( "��"� '�( �&���&

��.:� '�( �����&� &"� ' ( &� �-� �-*� '�( �"� *+� -

��.�� '�( ,� �"� ,�����=� ' ( &��"=� �=� �-

��.�� '�( � � ���,� � � �=

�,� ' ( � � � *

�"� � � �

�"� '�( � � � �

�� � � � �

��. � '�( � � *� � � �� � � �� ' ( � �� � � -� �� ����� ������ � ���!� �� ��� �����

��..� '�( ��� � � �� ��� � � ��� ��� � � ��

��.2� '�( � � � � *"�+�� ' ( � � � � *�+�"� '�( ��� � "��*+� '�( ��� � �+�*"

��2:� '�( ���� � � �&� ' ( ���� � � +� '�( ��� � ��

��2�� '�( -� ' ( ,� '�( �

��2'� '�( "-� ' ( -

��2.� �&

��22� '�( ��� ' ( ��� '�( ��� '�( ��� '�( ��� ' � ( ��

/39;� .> #���672898�) "-*

Page 307: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

9. Diagonalization: Eigenvalues and Eigenvectors

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

������� �

�� ������ ������������ ���

�������� ��

��� ����������

��� ����� �� ��� ����� �� � �������� ���� �� ����� �� �����

� ���� ����� �� ����

������� �� �������� ����� � �� ������ ��� ����� � �� ���� � � ������������ �� ���� ����� ������������ ����� � ��� ��

� �����

�� ��������� ���� ����� �������� �� �������������� �� � ����� �� �� ��������� �� �������� �� ����� ���� �� ����� � ���� � ������

���� � ���� ��� ����� �� ����

������� � ������ ������� � �� � � �� ������ ��� ������ ������� � �� ���� � � ������������ ������ ����� � ���� � �� � ��� �� �� ����� ������������ �� � ������� � �� ���� � �� � ������������� �� ���� ����� �������� �������� ����� ���� �� ������ ������� � �� ����������� ���

!"

Page 308: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

9. Diagonalization: Eigenvalues and Eigenvectors

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

����� ��� � �� �!� ��� �����" �� ����

��� � ��� �� ����� ��� ���������# �� ����� ��������#� � ������ ����� � ��# � ������ �� ������� ������� � ������ #

��� � � ��

����� � �� � ����� ����� ��� � ����� ��������� � ������� � � ��� �������� �#��� $ ����% ������ ������� ��� �� ������ �� �� &� �� ���� ����� ��# ������ ������� � �� � ���������� # ������ � ������� � ��� ���� ���� ���� � ����� ���� �� ������ � �� ���������� # �� �����

� �����

����� � �� �� ��������� ���� ������'�� ������� ���� � ���� �� �� ��#�( ��� �� ���� �� ������ � ��� ����� �� ���� �� ������

�������� � �

���� �� �#���$��% &���# �

��� ������#��� ��� �� ���� � ��� �� ���# ��# ������ ���� �� ��� �������� ���������� �� ��������� ��� ������ ��������� )������� �� �������������� �� � ����� � �� � ������ ������� � ���� �������� �� ���� �� � ���#������ ���� ���� �� ��� ���� ���� �� ������ �� �� *�� ������� ����������� � �+ � �� ���� ���� ��� �� ���� �� � � �� �� ���� ����, � ���� ��� ���� �� �� � � �� �� ����������� *���������� ������ �� ���� �� � ���#������ ��� ������ ������ ��� �� �� � �� -� ��� �����$��������# �������� �� ������ �� .������� /���#���%� /�������#� ��� �������� ���� ������# ���� ����� ���#������� ���� ����� ���� �� � �����# ����������

��' ���(����)�* �& �)�����*

0������� � ���#������ � ��� � ���� � � � �� ��� � �! ���� � ���� � � 1���� $����� +�2% �� �� � �� ��#

������ ������ ��� �� �����

� ��� � ���� � � � �� ���� �!�

����� � �� �� �����# ������ �� ��������� �� ��# �� � �� � ���� �� � ��� �� � ��� � !� �� ���� ������

������� � 3� � � � +

4

� �� ���� �+ � 5 �!

�6 ++

� �� ��

� ��� � +�+ � � � 6 ��� ���� � �+ � 6� � +

���

� ��� � +�+ � �� 6� � �4 +!

! 44

� �� � �"

�7 ��+

� �� 6 !

! 6

� �� �" �4

+� 5

� �

���

���� � �+ � 6�� +� � 5 �!

�6 �+!

� �� �6 ��!

��6 �+!

� �� �+ !

! �+

� �� ! !

! !

� �

���� � �� � ���� �� �����

��� ��������� ������ $������ �� 8�� ��� 7�5% ��������

�!����+ ���, 3� � ��� � � ���#�������� *�� ��# ������ ����� � ��� ����� ��

$�% � � � ����� � � ��� � ���� $���% ��� ���� � �� ���$��% � ������ � � ������� $��% � ������� � ���� � ����

& ����� �� $��% ���� �� �� ��# �� ���#������� �� � ������

0)/8� 79 :�/;&./3�</��&.( =�;=.>/3?=� /.: =�;=.>=0�&1� !5

Page 309: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

9. Diagonalization: Eigenvalues and Eigenvectors

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

� ��� �" �# ���� � ���� ���"

.�� ������� �� � �� � � �� � ������ ������� �� � ���� ���� � � 8����� �� � ��� ������ # ����������� ��������� �� ���

�+ � � � � � � � �+ � � � � � �

/���� ��� ��# ���#������ � ��� � ���� � � � �� ��� � �!� �� ����� � �� � �� �� ���� ��# �� �� ��� ���

������, �� ���

� �� � � ���� � � � �� ��� � �!�

����� � �� ��� �� �����# �������� @� ���� ��# �� � �� � ��� �� ���� �� � ��� �� � ��� � !� �� ������������ @� ��� �� �� �������� �� ������� 7�� ���� ��� ������ �������� �� ��# �� ��� �������

��+ �-, ������� � �� � ����� ������������ �� � ������ ������� �� ���� � ��� �� �� ����������������� �� � �� �� ���� �� ��������� � �� � � ! �� ��� ���# �� � ��� � !�

��. �/)�)�����*��� ���(����)�0 �)(��(1/)������ �/�����

3� � � ��� � �� �������� ������ ��� ����� � � �� ���� ����� �� �� �� �������� �����# �������� � �� �� ������������ ��# � � ����� # �� ����� � ���� �� �������� �� �� ��� ������� �� � ���� ����� ��� � �� ��� �� ���������

���� � ������ � �� � ����� ����� ����

���� �� � ���#������ �� � �� ������ �� �� ����� �� �������������� ��� ��!��� �� ��

@� ��� �� ������� ������ �� ������ ���� �� $������ �� 8�� ��� 7�2%�

�!����+ ��', 2� $��$1/ +�����3 =���# ����� � �� � ��� �� �� ��������� ���#�������

��+ �-, ������� � � ��� �� � ��������� ������ ���� �� � � �� � ��������� ����� ��� �������������� � � ���, ��� ����

���� � ����� � �� � �� � ������ � �++� � � � �� � ����

& ����� �� �� ���� �� ���� ��� �� �������� ������� �� ��

������� �� 3� � � �

4 6

� �� �� ��������� ���#������ ��

���� � ��� � �� � � � � �

�4 � � 6

���� � �� � ���� � 6� � �+ � �+ � "� � 5

����/� ������ ���� �� 0�#��#A)������ �������� � �� � ��� �� ����, �� ���

���� � �+ � "�� 5� � � �2

+4 5

� �� �" ��2

�+4 � !

� �� �5 !

! �5

� �� ! !

! !

� �

!2 :�/;&./3�</��&.( =�;=.>/3?=� /.: =�;=.>=0�&1� B0)/8� 7

Page 310: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

9. Diagonalization: Eigenvalues and Eigenvectors

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

.�� ������� � ��� ��� ������� ������� ��# � ������ ����� � �� ������ ��� @� ���� �� � ��� ���� �� ���� ��������� ���#������� ?���� �� � ������� �� ����

� ��� � ����� � � � ����� � ������ � ��������� � ������� �������� � ��� � ������� ����� � �� �����

?���� �� �� �� ���������� ��� ������ ��� ����� ��� �� ������� ����� � �� �� �����# � ���

� ��� � ����� � �� � ��������� �� ���� ������ �� ��������� �������

�!����+ ��., ������� ������ ���� �� ���� ��������� ���#�������

�! � ����"�� ���$��+� �" �� �%��� ' �# .

����� ��� ������ �������� ��� �� ��������� ���#������� �� ������ �� ������ + ��� �

$�% ������� � � ��� ��+�+� �++

� �� ����

���� � �+ � ���� � �++�� � ����� � �+ � ���� � � �����)��� ���� ������ �� ��� �� �� �� ��� �� ��� �� �� �������� ������� �� ��

$% ������� � ���� ��+ �� �+� �++ �+ � � � + �

��

��� ����

���� � � � ���� �+ � ���� � �++ � � �� � �����$)��� ���� �++� � ������ ���������#� �� ������ �� ���� �++� � �%

������� �� *��� �� ��������� ���#������ �� ��� �� �� ��������� ������(

$�% � � 6

+ �!

� �� $% � 5 ��

" +

� �� $�% " � 6 �+

4 �4

� ��

$�% @� ���� ���� � 6� �! � �6 ��� ��� � 6!� " � 44, ���� ���� � �+ � �6� � 44�

$% @� ���� �� � � 5� + � 7 ��� � � � �4� " � +!, ���� ���� � �+ � 7� � +!�

$�% @� ���� ��"� � 6� 4 � � ��� �"� � �+!� 2 � ��+, ���� ���� � �+ � � � �+�

������� � *��� �� ��������� ���#������ �� � �� � +

! +

� 7

��

���

@� ���� ���� � �� � 7 � � � ��� ������ �� �� �������� ������� ��� �� �������(

��� � +

7

�������� � +�� �++ � � +

� 7

�������� � 5� � � � �

!

�������� �

���� ��� � �++ � � � �� /���� ��� � +5� +� !� "� "� ! � �5� /�������#�

���� � � � � �+ � �� � �5

��+ �-, ��� �������� �� �� ��������� ���#������ ���� �� �� ������� ����� � ���� ������������ ������ �� �������(

�� � ����� �+ � ��� � �++ � � � � � �����@� ��� �� ��� �� �� �� ��� �� ��� �������� ������ �� � �� ����� ��

0)/8� 79 :�/;&./3�</��&.( =�;=.>/3?=� /.: =�;=.>=0�&1� !7

Page 311: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

9. Diagonalization: Eigenvalues and Eigenvectors

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��� ��� ������� ����� ����� ���� �#��� �� ���� �� ��� ��� ���� �� �� ��� ����� �� ��� ����������

�!����+ ��4, 3� � � �� �������� ������ ���� �� ��������� ���#������ ��

���� � �� � ������ � �+�

��+ � � � �� �������

����� �� �� �� ��� �� �� �������� ������ �� ����� ��

�! � ����"�� ���$��+� � �� ���� � ���� ���

.�� ������� � �� � � �� � ������ ������� �� � ���� ���� � �� ���� ���������� @� ����� ���������������� ��� ��!��� ���� �� � � � �� ��������� ���#������ �� ��# ����� ������������ �� � �1���� �� �� � ��� ��� ����� ������������� �� � � ��� � ����� ����� � �� � ��������� ���������� ���� � ��� ��� �������� ���� # ������� 7� � � ��� ���� �� ���� ��������� ���#�������/�������#� �� ��������� ���#������ �� � �� ���������� �� �� �������� ���� �� ���� �� ����������������� �� � �� �������

���� � �� � � ! �� ��� ���# �� � ��� � !� ����� � ��� �� ��# ���#������ ��� � �� ��# ����������������� �� � � �� ���� �� ��������� ��������� ������ ��� ������ ���������

�!����+ ��'�, 2� $��$1/ +�����3 / ������ ������� � �� � ���� �� �� ��������� ���#�������

��4 �)5��)��6)����0 ��5���)��* )� ��5��������*

3� � � ��# �������� ������ ���� � �� � ���������� # $�� �� ������� �% � �������� ������ � �������� �+� � � � � ��� �� ��� ���# �� ���� ����� � ���� � �������� �� $�����% ����� #�� #+� � � � � #�

��� ��

�#� � ��#��#+ � �+#+������������������������������������

�#� � ��#�

�� ��� � ���� � �� ���� � � ����������� *���������� � � ������ ����� � �� �� ����������� ���������� ������ ���� ���������#� �� ���� ����� #�� #+� � � � � #��

��� � ��� � �������� ����� �� � �� ��������� ���������

�7������� 3� � � ��# ������ ������ / ����� � �� ����� �� �����$��#� �� � �� ���� ����� � �������$�����% ���� � ��� ��

�� � ��

/�# ���� �����#��� ��� ������� �� ����� �� �����$����� �� � �������� � �� ���������� ��

@� ��� �� ��� ����� ������� �� �� �� ��������� � �������� � � �� ���� ��� �� ��������������

����� � ����� � ����� � �������� �� %� �� ��� ��� ���������� �� � �� ���� �� � $8�� ��� 7��7%� ����� �� ���������� �� �� $����� %� � �� ��� %� �� ����� �� ��������� ��� � �� ����� � ������� �������%

��� ���� �������������� $��#� ��� �������������� $����� $�� ������ $��#� ��� ������ $�����% ����������� ���� ������ �� ���������� ��� ����������

�! :�/;&./3�</��&.( =�;=.>/3?=� /.: =�;=.>=0�&1� B0)/8� 7

Page 312: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

9. Diagonalization: Eigenvalues and Eigenvectors

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��� � ��� � �������� ��� ��������� ���� �� �� ��������� �������

�!����+ ��8� /� �������� ����� � �� ������� � � �������� ����� � �� ��� ���# �� � ��� � �������#���������� ����������� �� ��� ���� �� �������� ������� �� � ��� �� ����������������������� ��� � � ������ ����� � �� �� ����� ����� ������ ��� �� �����������

������� � ����� � �� � ������������ �� � ���� ��# ����� � �� ����� � �� ��������� ���� � ����� �������# ������ �������� ������������

� � �����

?���� ��� ����������� �� ���� �� �� � ������ � �� ���� �� �� �� �������� ����� �� ���� �� ������# �������� ��������#� ������� � � �������� �+� � � � � ���� ����

�! � �������! � ��!��� � � ������!� � � � � � �

!� ����

'��� ��������#� ��� ��# ���#������ � ����� ��� � � ������� � �� ������ � � ����� � ����� � ��+�� � � � � � ��������

*���������� �� �� �������� ������ �� � ��� ����������� ��

� � ������������

������+

� � � � �

�������

� ���

���� �� � ���������$� �&#��� ���� �� �, �� ��� + � � ��� �� ����������� �� ��� �����������

������� �� 3� � � �

+ +

� ���� �� �� � �

�+

� ���� �+ � �

� �� ����

��� � �

+ +

� ��

�+

� �� �

�+

� �� �� ��� ��+ � �

+ +

� ��

� �� 4

4

� �� 4�+

���� �� ��� �+ ��� ���������� �� � ��������� ���������#� � �� ����������� �� � � ��� �+ � 4� & ����� �� ����� �+ ��� �������# ���������� ��� ���� ���� � ���� �� �+� /�������#� � �� ����������� ��� *���������� �� � ��� ����� ����� ������ ��� �� ���������� �� ��� �+� ��� ��� ��

� �

� �

�+ �

�� ��� �� ��� �

� �

+

���� � �� ������� � �� �������� �����

� � ����� ��

� �

+

� �

+ +

�� �

�+ �

��

� !

! 4

/� ������� �� �������� ������� � ��� 4 �� � ��� �� ����������� ������������� ���������#� � �� ���������� ����� �+� ���� ��� �� ������ �� �� �� ��������� � ��� �� ����������

� � ����� �

� �

�+ �

�� !

! 4

��

� �

+

/�������#�

�4 �

� �

�+ �

�� !

! +6"

��

� �

+

��

�5� 26

�5! 2"

'�������� ������� � ��� � � � 6�+ � � � ", ���� � ��� � 6 ��� � �4� � +� ����

� ��� � �� ������ � � �

�+ �

�6 !

! +

��

� �

+

�� ��

�+ 4

0)/8� 79 :�/;&./3�</��&.( =�;=.>/3?=� /.: =�;=.>=0�&1� ��

Page 313: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

9. Diagonalization: Eigenvalues and Eigenvectors

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

3���#� �� � ��� � CC������� ������ ���DD �� �� ��������#� ���������

� � ������4

� +� �� � ��� �� �����

� ������

��� � � �

�+ �

�� !

! +

��

� �

+

��

6

+

4

����� + � � ��� ����� ��� ������� ����������� � ��� +�

��+ �-, ��������� ��� ������ �� ��� �� ��������� ��(

�� � � �

� �

� �� ��� ��� � ����� �����

������ �����

� ��

��� ��� ��� �� � ����� # ����������� �� �������� ������� � ��� � �� �� �E��� �� �������� �� ������������� ������� ��� �� ��� �������� ��� ������ # �� ��������� ����

���������" �� ��%��� ���" �# ��%���� ���"

��� � ��� =������ 7�4 ������� �� ��������� �� � �������� ������������ $����������% �� ������� ������ �� �� ��������� ������ $������ �� 8�� ��� 7�+!%� �� ��� ��������� �� ���� �� � ������ � �������������

�!����+ ��9, 3� � � � ������ ������ ���� �� ��������� ��� ����������

$�% / ����� � �� �� ���������� �� ��

$��% ��� ����� � � �� �� �� ���������

$���% ��� ����� � �� � ��� �� �� ��������� ���#������ ���� �� ����� ��������� %� �� �� ���������� � �� �� ������� ���� �� �� ����������� �#��� �� � !�

����� � � �� �� � �� ��� � �� � ����� # �� ����� � ���� �� �������� �� ������ ������ ���� �� ����������� ��� ���� �� ����������� )������� ����� ������� 7�" ��� ��

*��������� ������� �� /��� �� $����# ���#������ ���� �� ������ ���� � ��� � ���%� �� � ��� ����������� ������

�!����+ ��:, 3� � � � ������ ����� ���� �� ������ ���� �� ���� � ��� � ���� ��� �����������

��� ��������� ������� ���� � ���� �� �������#� $��� ������ ��������� � ������� 7�2 ��� �������������� �� ������ �� 8�� ��� 7�+�� ����� ������� 7�7 �� ������ �� 8�� ��� 7�++�%

�!����+ ��;, ������� ��� �+� � � � � �� ��� ������� ���������� �� � ����� � �������� � ���������������� ��� �+� � � � � ��� ���� ��� �+� � � � � �� ��� �������# �����������

�!����+ ���, ������� �� ��������� ���#������ ���� �� �� �������� ����� � �� � ����� �� ������ ������ ��#� ���� � �� � ����� � �+� � � � �� � ���� ���� � �� ������� � �� ������������� � � �������� �+� � � � � ����

�� � �� �� ���������� �� � ����� �� ��� �� �������� !#��������� �� � �� ������ � � �� ��������#�� � �� � ��� �� �� ��������� ���#������ �� �� ����� �� ���!����� !#��������� �� � �� ������ � � ����������� �� �� ���������� ��� %�� ��� ��������� ������ $����� ��������� ��� ������ �������� �������� �� 8�� ��� 7�+ % ������

�!����+ ���<, ��� ������� ��������# �� �� ���������� � �� � ����� � ���� �� ����� �� ���� �����������#�

�+ :�/;&./3�</��&.( =�;=.>/3?=� /.: =�;=.>=0�&1� B0)/8� 7

Page 314: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

9. Diagonalization: Eigenvalues and Eigenvectors

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

� %�� ��= ���� �� ���� � ���� ���"

0������� � ������ ������� � �� � �� ���� � �� ���� � � ������������ �� � �� � ���������� # ��������� ����� �� ���� � �� ����������� �� �� ��� ���# �� ���� ����� � ���� � � �#�� #+� � � � � #�� �� � �������

� �#�� � ��#�� �#+� � �+#+���������������������������������������� �#�� � ��#�

�� ��� � ���� � �� ���������� # �� �������� �����

� � �������� �+� � � � � ���������� � �� ���� ��

��� � ��� � �������� ����� �� � �� ��������� ��������� ��� �������� ���� ��� ��������� � ����������� ��� ������� ��� ������ �������� � ����

�7������, 3� � � � ������ �������� / ����� � �� ����� �� �����$��#� �� � �� ���� ����� � ����������� � ��� ��

� ��� � ��

=���# ���� �����#��� ��� ������� �� ����� �� �����$����� �� � �������� � ������������ ��

��� �� %� �� ��� ���������� �������� � �� ���������� � �� � �� ���� �� � � ����� �� ���������� ���� $/���������#� � �� �� ���������� �� � �� �� � � �� ��������� ���� �� ��� ���� %� �� �� E����� �� �� � � �%��� �������� ��� ���!����� !#������������ �� �� ���������� � �� � ������ ������� � ��� ������ �� �� ������# �� ���� �� �� ���������� �� � ����� ��

��� ��������� ������� ����# � � ������ ������� � �� � ���� ���� � �� ���� ����������

�!����+ ��8�, � �� � ���������� # � �������� ����� � �� ��� ���# �� ���� ����� � ���� � �� ��������� �� ���������� �� � � �� ��� ���� �� �������� ������� �� � ��� �������������� ������������

�!����+ ��9�, 3� � � � ������ �������� ���� �� ��������� ��� ����������

$�% / ����� � �� �� ���������� �� � �

$��% ��� ������ ������� �� � � �� ���������

$���% ��� ����� � �� � ��� �� �� ��������� ���#������ ���� �� � �

�!����+ ��:�, ������� � �� � ������ ���� ����� ���� � ��� � ���� ��� �����������

�!����+ ��;�, ������� ��� �+� � � � � �� ��� ������� ���������� �� � ������ ������� � �������� ������ ����������� ��� �+� � � � � ��� ���� ��� �+� � � � � �� ��� �������# �����������

�!����+ ����, ������� �� ��������� ���#������ ���� �� � �� � ����� �� � ����� ������ ��#����� � �� � ����� � �+� � � � �� � ���� ���� � �� � ���������� # �� �������� ������ � �������� �+� � � � � ����

�!����+ ���<�, ��� ������� ��������# �� �� ���������� � �� � ���� �� ����� �� ���� �����������#�

0)/8� 79 :�/;&./3�</��&.( =�;=.>/3?=� /.: =�;=.>=0�&1� �

Page 315: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

9. Diagonalization: Eigenvalues and Eigenvectors

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��+ �-� ��� ��������� ������ ������ �� ����������� �� �� �������������� �� � ������ �������� � �� �������������� �� � ����� ��

�!����+ ����, ������� � �� � ����� ������������ �� � � ���� � �� ����������� �� �� ��� ���# �� � ������������� ���

��8 �������5 ��5���)��* )� ��5��������*0 �)5��)��6��5 �)�����*

���� ����� ����� �� �������� ��� ������� ����������� ��� ���������� ��� � ����� ������ ������ ��� ��� ���������� ������ �� �� � ����������� ����� � ����� ��� �� ����� �� ���������

)�%����!+ ��:, 2� %�� ��= ���� )�%����!+3 ��� ���� �� �� �������� ����� ��

*��� �� *��� �� ��������� ���#������ ���� �� ��

*��� '� *��� �� ���� �� ���� � � ��� �� ����������� �� ��

*��� .� 1���� $�% ��� $% ��� ��� ���������� � �� ��

$�% *��� �� ����� � � �� �� # �� ����� � ���� �� �������� �� ��$% *��� � ���� ��� �� ������� ���� �� �� ����������� �#��� �� � !� $����� ����

����� ��� �������# ���������� ���������� �� � �������� � ��%

*��� 4� 0������� �� ������� � � ���� �+� � � � � �!� �� ��� ���������� � ����� �� ��� �

$�% �� ! �� �� ��� � �� �� ����������� ���$% �� ! � �� ��� � �� ����������� ��� ��������#� �� � � �� ����� ����� ������ ��� ��

���������� ��� �+� � � � � ��� ����

� � ����� � �������� �+� � � � � �������� �� �� �� ���������� ������������ � �� ��������� ���

������� �� ��� ����������� �� �������� �� ������� � � � 4 +

��

� ��

$�% ��� ��������� ���#������ ���� �� � �� ������� @� ����

���� � 4� � � � � ��� � �4� " � ��!�

����

���� � �+ � � � �! � �� � 6��� � +�$+% �� ���� � �� � 6��� � +� � !� ��� ���� �� � 6 ��� �+ � �+ ��� �� ����������� �� ��

$ % $�% @� ��� �� ��������� �� �� � �������� � �� ���������� �� � 6� �� �� �� � 6 ���� �� �������� �� �

� � ��� �� ����� � � �� +

�"

� �� ��� ���������� �������� � �� � 6 ���� �� ������� �� ��

����������� �#��� �� � !� �� ���

�� +

�"

� �'

� �� !

!

� ���

�'� + � !

'� " � !�� �'� + � !

��� �#��� ��� ���# ��� ���� ����� ��� ���� � ������� �������� ��� �������� �� � �+� ��� �� �� ����������� ����� �� ��������� �� �� � 6�

�4 :�/;&./3�</��&.( =�;=.>/3?=� /.: =�;=.>=0�&1� B0)/8� 7

Page 316: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

9. Diagonalization: Eigenvalues and Eigenvectors

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

$��% @� ��� �� ��������� �+ �� � �������� � �� ���������� �+ � �+� �� �� �+ $�� ��� +% ���� ���������� �� � � � ��� �� �����

� � " +

� ���� �� ���������� �#���

"'� + � !

'� � � !�� '� � !�

��� �#��� ��� ���# ��� ���������� �������� ���� � ������� �������� ��# �+ � ���� �� �� ����������� �� ����� �� ��������� �� �+ � �+�

$4% 3� � � �� ����� ����� ������ ��� �� ���������� �� ��� �+� ����

� � + ��

� �� ��� �� ��� �

5

�5

� �5

+5

/�������#� � � ����� �� �� �������� ����� ����� �������� ������ ��� �� ������������ �����������,�� ���

� � ����� � 5

�5

� �5

+5

�4 +

��

�+ ��

�� 6 !

! �+

������� �� 0������� �� ����� � 6 ��

� �� @� ����

�� � � 6� � 2� � � � �6� � � �"� �� ���� � �+ � 2� � �" � �� � 4�+/�������#� � � 4 �� �� ���# ���������� �� �

�� �� � � 4 ���� �� �������� �� � � ��� �� �����

� � � ��

� ��

� ���� �� ����������� �#���

'� � !

'� � !�� '� � !

��� �#��� ��� ���# ��� ���������� �������, ��� �������� ' � �� � �� ���� � � ��� �� ��� �� �������� ��� �����# ���������� �� � /�������#� �� �� ����������� ��� ���� ���� ���� �� ���� � ���� �������� ������������ �� �

������� �� 0������� �� ����� � � �6

+ �

� �� )��� ���� � � � ! ��� ��� � �7� �! � �� ���� ���� � �+ � �

�� �� ��������� ���#������ �� �� @� ������� �� ����(

$�% � �� � ����� ���� �� ���� ���� �� ���� ���� ��� �� $����% ����� ���� � ��� �� ����������� ��� �� �������������� �� � �� �� ����������� ���

$% � �� � ����� ���� �� ������ ���� �� ���� ���� � �� � ���� � �� ��� �� ����� � ��� ��� ���� � ��� �� ���������������� � ��� ��� ��� ���� � ��� �� ���������� ����������� /�������# ���� ����� � ���������������� � ���� �� ������ ���� � ��� ����

����� � � !

! ��

� �

��������� � �� ����������� �� $���� �%�

��9 �)5��)��6��5 ��)� *(������� �)�����*

����� ��� ���# ���� ������ � �� ��� �� ����������� ��� �� ��� ���� ���� ������ ��# �� ������# $����% ������������ )������� �� � �� � ���� �#����� ������ ��� ���� ��� ���� �� �� ����� .����#��� ���� �� ��������� ��������

�!����+ ���', 3� � � � ���� �#����� ������ ���� ��� ��� � �� �� ��������� ���#������ �������

�!����+ ���., 3� � � � ���� �#����� ������ ������� # ��� � ��� ���������� �� � �������� ������ ����������� �� ��� �+� ���� # ��� � ��� ���������� �� ��� �#� �� � !�

0)/8� 79 :�/;&./3�</��&.( =�;=.>/3?=� /.: =�;=.>=0�&1� �6

Page 317: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

9. Diagonalization: Eigenvalues and Eigenvectors

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��� � ��� �� ������� ���� �� �� ��������� ���������� ������

�!����+ ���4, 3� � � � ���� �#����� ������ ���� ���� ����� �� ��������� ����� � ��� ��� � ����� �� ���������

��� ��������� ����� � �� � ����� # ����������� � ���� �� ��������� ���������� �� � ����������� ����� �� ��� � ���� �� ��# �� � �� CC����������# ����������� ��DD�

������� �� 3� � � + �+

�+ 6

� �� � ���� �#����� ������ *��� �� ��������� ����� � ��� �� ����� �� ���������

*��� �� ��� �� ��������� ���#������ ���� �� �� @� ����

���� � +� 6 � 5� ��� � �!� 4 � "� �� ���� � �+ � 5� � " � �� � "��� � ��

/�������#� �� � " ��� �+ � � ��� �� ����������� �� ��

$�% �� ����� �� � " ���� �� �������� �� � #����� �� �����

� � �4 �+

�+ ��

� ���� �� ����������� �#���

�4'� + � !

�+'� � !�� +'� � !

/ ������� ������� �� #� � ����+��$% �� ����� �+ � � ���� �� �������� �� � #����� �� �����

� � � �+

�+ 4

� ���� �� ����������� �#��� '� + � !

$��� ����� ������� ����� ��� ���� � �� � ������� �� �� ��� ��������% / ������� ������� ��#+ � �+� ���

/� ������ ���� ������� 7�� � #� ��� #+ ��� ���������� .���������� #� ��� #+ #����� �� ���������� �����

�#� � ������6

��+�

���6

� ��� �#+ � �+�

���6

� ��

���6

*�����#� �� � � �� ����� ����� ������ ��� �#� ��� �#+� ���������#� ����

� � �����6

+�

���6

�+�

���6

��

���6

� �

��� ����� � " !

! �

� �

/� ������� �� �������� ������ �� ����� ��� �� ����������� ������������ � �� ������ �� ��

��� �������� �� �� � ��� =������ 7�7 �� ���������� �� �� ��������� ��������� ���� ���� ����������� ����� � ��� �� ����� �� ���������

)�%����!+ ��', 2���!�%�� � � %�� ��= ���� )�%����!+3 ��� ���� �� � ���� �#����� ����� ��

*��� �� *��� �� ��������� ���#������ ���� �� ��

*��� '� *��� �� ����������� �� �� ���� ��� �� ���� �� �����

*��� .� *�� ��� ���������� � �� � �� ��� +� ��� �� ��������� ���� �� �� ����������

*��� 4� .�������� ��� ���������� �� ��� � ���� ��� ����� �� ���������� ���� �� ���

*��� 8� 3� � � �� ����� ����� ������ ��� �� ���������� ���������� �� ��� 4�

�" :�/;&./3�</��&.( =�;=.>/3?=� /.: =�;=.>=0�&1� B0)/8� 7

Page 318: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

9. Diagonalization: Eigenvalues and Eigenvectors

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

)���� ���� �� >� #� �� &��+"

3� & � � ���� ���#������ �� ����� ��� '�� '+� � � � � '� ��� �� ����# ��� �� & ��� ������ ��, �� ��

&�'�� '+� � � � � '�� ���

��'+� �

����

���'�'�� ����� ��� ��� � �

���� & �� ����� � &#������� ���!� �� ���� ��� �� ���������� ���� '�'�� �� ��� ��� ��� � !� ��� & �� ����� � ���������

��� � ��� ������� ���� & ��������� � ���� �#����� ����� � � ���� ����� ��� � �� ������ � ��� � �

+���� .����#� & �� � ����� �� �� ����� ����

&�� � � ����

����� � � '�� '+� � � � � '�� �� �� ����� ���� �� �� ����� ���� *���������� ������� � � �( �� � �������� ������ �� �� ����� ���� ���� �� ������ �� �� ������� ���� #�����

&�( � � ��( �����( � � (� ������(���� ���� �� �� ����� ������������ �� & �� �� ��� ����� ����

@� ���E �� ��������� ����� � ��� �� �� ���������� �#����#���� � � �( #����� � ��������������� ����� �� ��� ��� ���� ���� �� ��������� ���� � �� ���������� �� � ���� ��� �������� � ������ ��� � ��� ����# #����� ��� �� ��������� ����� ��

������� �� 0������� �� ������� ����

&�'� � � +'+ � 4' � 6 + � ���� � ����� � � + �+

�+ 6

� ���� � � '

� �

F# =������ 7�7�

����� � " !

! �

� �� ����� ����� � � ��

���6

+�

���6

�+����6

��

���6

��� ����� � ���������� � �� ��������� ������ ��������� �� ������ �� �� ����� ��� ' ��� �� ���� �� ������� ��� � ��� �(

' � ����6

�� +���6

�� � � +���6

�� ����6

���� �� ������ �� &�'� � #����� �� �������� ������� ���� &��� �� � "�+ � �+�

��: �����)� ���(����)�

3� � � ��# ������ ������ 3� ) ��� ����� �� ������� �� ��� ���#������� � ��� ��� ���� � �� � ��������� ��� ���� � ��� � !� ��� �� ) ��� �� �� ���#� ���� �� 0�#��#A)������ ������� 7�� ���� �� ���� ��������� ���#������ ����� �� � ������ � ) ���� 3� !��� ����� �� ���� ���#������ �� ����������� �� ) ���� $��� � ���#������ !��� ����� ��� �� �������% @� ��� !��� �� !���!�� ��� ��!��� �� ������� ��

��+ �-, � ���#������ � ��� �� ! �� !���� �� �� ������� ������� ������ ����

��� ��������� ������ $������ �� ��� ��� 7� % ������

�!����+ ���8, ��� ������� ���#������ !��� �� � ����� $������ �������% � ������� ����# ���#�������� ��� � �� � ����� �� ��������� !��� ������� �� ��������� ���#������ ���� �� ��

����� �� �� ���� ������� ����������� ����� !��� ��� �����

�!����+ ���9, ��� ��������� ���#������ ���� ��� �� ������� ���#������ !��� �� � ����� � ������ ���� ������� �� ������

0)/8� 79 :�/;&./3�</��&.( =�;=.>/3?=� /.: =�;=.>=0�&1� �5

Page 319: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

9. Diagonalization: Eigenvalues and Eigenvectors

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

���� ������ $������ �� 8�� ��� 7� 6% ���� �� ��# �� !��� � ����� ���# �� ��# ������� �� ������ ��� ��� ������ �� ����� �� ��������� ���� � ������ ���� �� ������� ��� !��� ��� ���� ���� �� ���������� ������ )��� ��# ���� �� ���� ����� ���� �� ���� �� ��������� �������

�!����+ ���:, / ����� � �� �� ���������� �� �� ����� � �� ��� ���# �� � �� � ��� �� �� ����������#������ �� ��

������� � *��� �� ������� ���#������ !��� �� � �+ + �6

5 ��6

� + �4

��

���

*��� ��� �� ��������� ���#������ ���� �� �� @� ����

���� � 6� ��� � �++ � � � +� � 2 � 5 ��� ��� �

)���

���� � � � 6�+ � 5� � � �� � ��+�� � ���� ������� ���#������ !��� ��� ������ ����� /���� ��� ������� �� ���� �� ����� �� ��� � � � ��� � � � ���

���� � � ���� �� !���� ���� !��� �� ����# ��� �� �� ���������(

� ��� � �� � ��� � �� �� ���� � �� � ��� � ��+

@� E���� # �� 0�#��#A)������ �������� �� ���� � ���� � !� )��� �� ���� ���# �� � ���� @� ����

� ��� � ��� � ���� � � �� + �6

" ��6

� + �6

��

�� �� + �6

4 ��6

� + �5

��

�� �

! ! !

! ! !

! ! !

��

��

���� � ��� � !��� � �� � ���� � � � �+ � 4� � �� �� ������� ���#������ �� ��

������� ��

$�% 0������� �� ��������� �� �������� ������� ����� � �� !(

) ��� �� �

� � ! � � � ! !

! � � � � � ! !

���������������������������������! ! ! � � � � �

! ! ! � � � ! �

� �

������ ��� � �

� � ! � � � ! !

! � � � � � ! !

���������������������������������! ! ! � � � � �

! ! ! � � � ! �

� �

������

��� ��� ������ ����� � G����� F��E� ��� �D� �� �� ��������� �D� �� �� �#����������� $�������� �� �� ������� ��� �� �������� ������%� ��� !D� ���������� ��� ����� ����� � ��� �D� �� �� ��������� �D� �� ���������������� ��� !D� ���������� B���� � �� � ������������� �� ) ��� ���9 &�� �� ���� ��

� ��� � �� � ���

�� �� �� ��������� ��� ������� ���#������ �� �� ) ��� �� ��� ��

$% 0������� �� �� ����# ���� ���#������

� ��� � �� � �������� � � � �� ��� � �!

3� "� � � � �� �������� ����� ��� �D� �� �� �#�������� $�������� �� �� ������ ���� �� ��������������%� �� �������� �� �� �������� �� �� ��� ������ ��� !D� ��������� �� �������(

"� � � �

! ! � � � ! ��!� ! � � � ! ���! � � � � ! ��+����������������������������������! ! � � � � �����

� �

������

���� "� � � �� ����� �� ��!������ !����' �� �� ���#������ � ���� '�������� �� ������� ���#������ !��� ����� ��������� ���#������ ���� �� �� �������� ����� "� � � ��� �� ����� � �� �������� ���#������ � ����

�2 :�/;&./3�</��&.( =�;=.>/3?=� /.: =�;=.>=0�&1� B0)/8� 7

Page 320: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

9. Diagonalization: Eigenvalues and Eigenvectors

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

����+ � ���$��+� � �� ���� � ���� ���

��� !���!�� ��� ��!��� !��� �� � ������ ������� � �� ������ � � �� ���� ���#������ �� ����������� ��� ���� � �� � ���� )������� ��� ��# ���#������ � ���� �� ����

� �� � � ! �� ��� ���# �� � ��� � !

����� � �� ��# ����� ������������ �� � � /�������#� � ��� � ���� �� ���� ������� ���#�������� ������ � ��� ������� �� �� ������� ���#������ �� � ����� ���� ���� ��� �� ������� ���#������ �� � �������������� ��� ��� �� ���� �� ����������

�!����+ ���8�, ��� ������� ���#������ !��� �� � ������ ������� � ������� ����# ���#������ �� ��� ��� � ���� �� ��������� !��� ������� �� ��������� ���#������ ���� �� � �

�!����+ ���9�, ��� ��������� ��� ������� ���#������� �� � ������ ������� � ���� �� ����������� �� ������

�!����+ ���:�, / ����� � �� �� ���������� �� � ������ ������� � �� ��� ���# �� � �� � ��� �� �� ����������#������ !��� �� � �

��; �/)�)�����*��� )� �����)� ���(����)�* �& ?���@ �)�����*

���� ����� �������� �� ����������� �� �� ��������� ���#������ ��� �� ������� ���#������ ������ $������% ��E �������

�! � ����"�� ���$��+� � �# ?�� - ��� �%�� � � ��� �"

������� � �� � ��E ��������� ������ ��# � � ��

! �+

� ������ �� ��� �+ ��� ������ �������

���� �� �� �� ���� � ��E ��������� ������ ��� �������� ��E� �� � �� ��� �� � �+� ����

��� �� � � �� � �� �

! �� � �+

�������� � ��� � ������ � �+�

��� ��� �� ��������� ���#������ �� � �� �� ����� �� �� ��������� ���#������� �� �� �������� ��E� �� ��� �+�

F# �������� �� � ��� �� ��������� ������ ������

�!����+ ���;, ������� � �� � ��E ��������� ����� ��� �������� ��E� ����+� � � � ���� ���� ����������� ���#������ �� � �� �� ����� �� �� ��������� ���#������� �� ���������� ��E� ��, �� ���

�� ��� � ��������+

��� � � �������

������� �� 0������� �� ����� � �7 �� 6 5

2 + �4

! ! "

! ! �� 2

� �

�����

���� � �� � ��E ��������� ����� ��� �������� ��E� � � 7 ��

2

� ���� � "

�� 2

� �� )���

���� � 7� � �+��� � � � 2 � ���

����� � +5� 2 � 6���� � � +4� " � !�

��� ��

��� ������� � �+ � �+� � 6 � �� � 6��� � 5�� ��� � �+ � ��� � ! � �� � 6��� � "�

/�������#� �� ��������� ���#������ �� � �� �� �����

�� ��� � ������ ��� � �� � 6�+�� � "��� � 5�

0)/8� 79 :�/;&./3�</��&.( =�;=.>/3?=� /.: =�;=.>=0�&1� �7

Page 321: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

9. Diagonalization: Eigenvalues and Eigenvectors

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

����+ � ���$��+� � �# ?�� - � %�� � � ��� �"

��� ��������� ������ $������ �� 8�� ��� 7� "% ������

�!����+ ����� ������� � �� � ��E �������� ����� ��� �������� ��E� ����+� � � � ���� ���� ��������� ���#������ �� � �� ����� � �� ���� ����� ������� $30'% �� �� ����������#������� �� �� �������� ��E� ���

��+ �-, @� ��������� �� ��� ������ ������� � ��E �������� ������� ������� �� ���������������� 7��2 �� ��������� ���#������� ������� � ��E ��������� �������

������� � *��� �� ��������� ���#����� ���� ��� �� ������� ���#������ !��� �� �� ��E �������� �����

� �

+ 6 ! ! !

! + ! ! !

! ! 4 + !

! ! 6 !

! ! ! ! 5

� �

������ � ���������+�� ������� �� � + 6

! +

� ���+ � 4 +

6

� ��� � 5

���� ���� �� �� ����� �� �� ������������ ���#������� ������ �+���� � ��� �� ��� �+� � � ���������#�&�� �� ���� ��

����� � �� � +�+� �+��� � �� � +��� � 5�� � ��� � � � 5

���� ���� � �� � +� �� � 5�+� B/� ������� ��� ���� � 6���� ������� ���#������� !����� !+���� ! ��� �� �� �������� ��E� ����+�� � ���������#� ��� ����� � ��

��������� ���#�������� �� ���

!���� � �� � +�+� !+��� � �� � +��� � 5�� ! ��� � � � 5

F� !��� �� ����� � �� ���� ����� ������� �� !�����!+����! ���� ���� !��� � �� � +�+�� � 5��

*����# ���A��+"

���(����)�* �& �)�����*0 �/)�)�����*��� ���(����)�

���� 3� � � � �+

4 6

� �� *��� � ���� �����(

��� � ��� � �+ � � � 5� �� � ��� � �+ � "� � �

*��� ��� �+ � � �+

4 6

� �� �+

4 6

� �� �5 ��+

+4 �5

� �� ����(

$�% � ��� � �+ � �� 5� � �5 ��+

+4 �5

� �� � "

��+ ��6

� �� 5 !

! 5

� �� � �"

�+ 7

� �

$% � ��� � �+ � "�� � � � �5 ��+

+4 �5

� �� �" �+

�+4 � !

� �� � !

! �

� �� ! !

! !

� �

B���� � �� � ��� �� � ����9

+! :�/;&./3�</��&.( =�;=.>/3?=� /.: =�;=.>=0�&1� B0)/8� 7

Page 322: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

9. Diagonalization: Eigenvalues and Eigenvectors

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��'� *��� �� ��������� ���#������ ���� �� ��� �� �� ��������� ������(

$�% � � + 6

4 �

� �� $% � 5 �

6 �+

� �� $�% " � �+

7 �

� �

?�� �� ������� ��� � �+ � ��� � � � �� � ��� � +� + ����� � (

$�% ���� � +� � � � ��� � +� +! � ��2� �� ���� � �+ � � � �2

$% �� � � 5� + � 6� � � � ��4� �6 � �� �� ���� � �+ � 6� � �

$�% ��"� � � � !� �"� � �7� �2 � 7� �� ���� � �+ � 7

��.� *��� �� ��������� ���#������ ���� �� ��� �� �� ��������� ������(

$�% � �� +

! 4

" 4 6

��

��� $% �

� " �+

� + !

! �4

��

��

?�� �� ������� ���� � � � ���� �+ � ���� � �++ � � �� � ���� ����� ��� �� �� ����� �� ��� �� �� � ����� � � ����$�% ���� � �� !� 6 � "�

��� � ! 4

4 6

�������� � ��"� �++ � �

" 6

�������� � �� � � � � +

!

�������� � �"

��� � �++ � � � � 6� ��� ��� � 42� "� �"� ! � 2

���� ���� � � � "�+ � 6� � 2

$% �� � � �� +� 4 � ��

�� � + !

�4

�������� � �2� ++ � � �+

! �4

�������� � �4� � � "

� +

�������� � +!

�� � ++ � � 2� ��� � � � �2� �2� 5+ � �"+

���� ���� � � � �+ � 2� � "+

��4� *��� �� ��������� ���#������ ���� �� ��� �� �� ��������� ������(

$�% � �+ 6 � �

� 4 + +

! ! " �6

! ! +

� �

����� $% �

� � + +

! 4

! ! 6 6

! ! ! "

� �

����

$�% � �� ��E �������� ��� �������� ��E�

�� �+ 6

� 4

� ���� �+ �

" �6

+

� �

���� ���� � ��������+

��� � ��+ � "� � ���+ � "� � �

$% ���� �� ���������� ���� � �� � ���� � ��� � 6��� � "��

0)/8� 79 :�/;&./3�</��&.( =�;=.>/3?=� /.: =�;=.>=0�&1� +�

Page 323: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

9. Diagonalization: Eigenvalues and Eigenvectors

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��8� *��� �� ��������� ���#������ ���� �� ��� �� �� ��������� ������ ��������(

$�% ���+ � �+ ������ # ��'� � � � '� 6 � +'� 5 ��$% �� � � ������ # � � � � �� ���� ����� � �� �� ���� �� ������� ��� ����

� � ���� �� �� ������ ��������� ���#������ ���� �� � ������ ������� �� ����� � �� ��������� ���#������ �� ��#

����� � �� ��������� �� ������ ��������

$�% *��� �� ����� � �� ��������� � ������� � �� ����� ���� �� �+� @� ����

� � 6

+ �5

� �� �� ���� � �+ � ���� � � ��� � �+ � 4� � �

$% *��� �� ����� � ����������� �� ����������� ������� ������� � �� ���� �� @� ����

���� �� � �� � � !���� �� � ���� ����� �� � � ��� � � ������ �� � !��� �� ��� �� � � ! ��

� !

� �

���� � �+ � ���� � � ��� � �+ � ����������

��9� ���� �� � ����� � ��� �� �������� �� ���� �� ���� ��������� ���#�������

F# �� �������� ��������� ��� � ��� � �� � � �� � �� � �� � ���� � ����� ��� �� �������� ���� ������ ����������

����� � ��� � �� � ���� � ��� � � ��� � �� � � ��� ���

��:� 8���� ������� 7��( 3� � ��� � � ���#�������� *�� ��# ������ ����� � ��� ����� ��

$�% � � � ����� � � ��� � ����� $���% ��� ���� � �� ����$��% � ������ � � �������� $��% � ������� � ����� ����

������� � � ���� � � � �� ��� � �! ��� � � !�

! � � � �� �� � !� ����� # ���������

� ��� � ���� � � � �� ���� �!� ��� ���� � !�

! � � � �� ��� !�

$�% ������� ! � � ��� �� � � ! �� � � !� ����

� � � � ��� � ���� � � � �� ��� � ��� � ��! � !�)���

� � � ����� � ��� � ���� � � � �� ��� � ���� ��! � !��� ���

� � ��� � � � �� ���� ��� �!� � !� � � ��� � ����

$��% F# ��������� �� � ���!���! � � � �� ��� � �! �

���!

��!

���� � �����

�� � �!� � ����� � � � �� ��! �����!

�����

)��� � ������ � ���!

��!

���� ���

� ������� � ����!

����

� ���!��!

���

�� ��

��!

�!��!

������� � ���!

��!

���� � � ������

$���% F# ��������� �� � ����� � � � �� ���� � ��!� ��� ��

��� ���� � ����� � � � �� ����� ��!� � �����

� � � � �� ���� �!� � � �� ���

$��% F# $��%� ����� ��� � �� � ���� � � ������ � � ��������

++ :�/;&./3�</��&.( =�;=.>/3?=� /.: =�;=.>=0�&1� B0)/8� 7

Page 324: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

9. Diagonalization: Eigenvalues and Eigenvectors

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��;� 8���� �� 0�#��#A)������ ������� 7�+( =���# ����� � �� � ��� �� �� �������� ���#�����������

3� � � �� �� ����# �������� ����� ��� �� ���� � �� ��������� ���#������� ��#�

���� � ��� � �� � �� � �������� � � � �� ��� � �!

.�� �� ��� ����� �� ������� ��-��� �� �� ����� �� � �� ��� ������� �� ��� ��� ������ �� �� ������� � �� ��� ���� ��� ���#������� �� � �� ������ �� �������� �� �� ����

��� � ������� � � � �� �� � !

����� �� � ��� �������� ������ ���� � ���� ��� ���������� �� �� F# �� ���������� ������# �� ��������� ��-��� $������� 2�7%� ��� � �� ��� � ��� � ��� � ��

��� � ��� ������� � � � �� �� � !� � ��� � �����

��� � � � �� ��� � �!��1������� �� ���������� ��� ������� ������������ ������ �� � #�����

��� � � � ��+ � � ��� � ����� � � � � � ! � � � � ��� � �� ! � �!�

'�����#��� �� � ��� �������� # ��� ����� � � � � �� �� ���������#� #�����

�� ��� � ��� � ���� ��+ � �� ��� � ��������� � � � � � ! � �+ � � ���� �� ! � �!�

/����� �� � ��� ����� �������� #����� ! �� �� �������� ���� ��� ���� �� �� ��������� ����� �� ���

! � �� � �������� � � � �� ���� �!�

���������� ���� � !� ���� �� �� 0�#��#A)������ ��������

��5���)��* )� ��5��������* �& '�' �)�����*

���� 3� � � �4

+ �"

� ��

$�% *��� ��� ����������� ��� ������������ �����������

$% *��� ������ � ��� � ��� �� � �� ����������� ��� � � ����� �� ���������

$�% *��� ��� �� ��������� ���#������ ���� �� �(���� � �+ � ���� � � ��� � �+ � � � �! � �� � +��� � 6�

��� ���� � � + ��� � � �6 �� ���� ��� �� ����������� �� �� @� ��� ������������ �����������

$�% �� �� � � + ���� �� �������� �� � � � ��� �� ����� � � �� +� � ����� �� ����������������������� �#��� �� � ! #����� �� ���������� ������������ � � � +� @� ����

� � � �4

+ �2

� �� ������������ �

'� 4 � !

+'� 2 � !�� '� 4 � !

��� �#��� ��� ���# ��� ���� ����� ��� ��� �� � �4� �� �� � ������� �������� ���� �� � �4� �� �� ����������� �������� � $��� �������� �� ��������� ��% � � +�

$��% �� �� � � �6 $��� ����������#� ��� 6% ���� �� �������� �� � � � ���

� � 2 �4

+ ��

� �� ������������ �

2'� 4 � !

+'� � !�� +'� � !

��� �#��� ��� ���# ��� ���� ����� ��� ��� �+ � ��� +� �� � ������� �������� ���� �+ � ��� +� �� ����������� �������� � � � 6�

0)/8� 79 :�/;&./3�</��&.( =�;=.>/3?=� /.: =�;=.>=0�&1� +

Page 325: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

9. Diagonalization: Eigenvalues and Eigenvectors

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

$% 3� � � �� ����� ����� ������ ��� �� ��� �+� ����

� � 4 �

� +

� ���� � � ����� � + !

! �6

� �

.�� �� � �� �� �������� ����� ����� �������� ������ ��� �� ����������� �� � ������������ � ������������ ��������� �� ��

��+ �-, )��� � �� �� ��������� ���� ����� ���� �� ����� ���� �� �+ � �� ����� � ���� �+�� ��� � �� �� ����� �� ��������� $�� ����� ������% � ������� � �� ��� ���� ��

���<� 3� � � + +

� ��

$�% *��� ��� ����������� ��� ������������ �����������

$% *��� � ����������� ����� � ��� �� � � ����� �� ��������� ��� ����

$�% *��� �" ��� � ���� ����� �4 � � � "�+ � 5� � �

$�% *��� � CC������� ������ ���DD �� �� �� ��� � ����� ��� �� + � � ��� ��� �������������������

$�% *��� ��� �� ��������� ���#������ ���� �� �(���� � �+ � ���� � � ��� � �+ � 6� � 4 � �� � ���� � 4�

��� ���� � � � ��� � � 4 �� ���� ��� �� ����������� �� �� @� ��� ������������ �����������

$�% �� �� � � � ���� �� �������� �� � � � ��� �� ����� � � �� �� � ����� �� ����������������������� �#��� �� � ! #����� �� ���������� �������� � � � �� @� ����

� � � +

� +

� �� ������������ �

'� + � !

'� + � !�� '� + � !

��� �#��� ��� ���# ��� ���������� �������, ��� �������� ' � +� � ��� ���� �� � �+���� ���� ��������� �������� � $��� �������� �� ���������% �� � � ��

$��% �� �� � � 4 ���� �� �������� �� � � � ���

� � �+ +

� ��

� �� ������������ �

�+'� + � !

'� � !�� '� � !

��� �#��� ��� ���# ��� ���������� �������, ��� �������� ' � �� � �� ���� �+ � ��� �� �� ����������� �������� � � � 4�

$% 3� � � �� ����� ����� ������ ��� �� ��� �+� ����

� � + �

�� �

� ���� � � ����� � � !

! 4

� �� ����� ��� �

� �

+

$�% ?���� �� �������� ���������� � � ������ ��� �" � � ��� 4" � 4!7"� �� ��

�" � ��"��� � + �

�� �

�� !

! 4!7"

��

� �

+

�� � "" ++ !

� "6 +5 �

/���� � ��� � + ��� � �4� � ��� )���

� ��� � �� ������ � + �

�� �

�+ !

! ��

��

� �

+

�� � +

�� !

+4 :�/;&./3�</��&.( =�;=.>/3?=� /.: =�;=.>=0�&1� B0)/8� 7

Page 326: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

9. Diagonalization: Eigenvalues and Eigenvectors

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

$�% )����� !

! �+

� ���� ������ ���� �� �� )��� �� ������� ������ ��� �� � ��

� ������

��� � + �

�� �

�� !

! +

��

� �

+

��

4

+

6

����� =�� �� �� ��������� ���� ������ ������ � ������ ������������ �� �+(

$�% � � 6 "

�+

� �� $% � � ��

+ ��

� �� $�% " � 6 ��

� �

*���� ��� ��� ������ ��� ����������� ��� � ������� �� � �� �������# ���������� �����������@��� �� ���� ������ �������� ��� ����������� ��� A �� ��� ���� �� � ���������� # ��������� �����H

$�% *��� ��� ���� � �+ � � � +2 � �� � 5��� � 4�� ��� ���� � � 5 ��� � � �4 ��� �� ����������� �� ��@� ��� ������������ �����������

$�% �� �� � � 5 ���� �� �������� �� � � � ���

� � �+ "

�7

� �� ������������ �

�+'� " � !

'� 7 � !�� '� � !

)��� �� � � � �� �� � ������� ��������

$��% �� �� � � �4 $�� ��� 4% ���� �� �������� �� � � � ���

� � 7 "

+

� �� ������������ �

7'� " � !

'� + � !�� '� + � !

)��� �+ � �+�� � �� � ������� ��������

���� � � ���� �+� � �� � ��� �+�� �� �� � ������� �� �� �������# ���������� ����������� ���� � �� � ���� �� �+� � �� ����������� ��� ?���� �� ���� �� � �� ���������� # �� �������� ������ � �����5��4��

$% *��� ��� �� ��������� ���#������ ���� � �+ � �� ����� ��� �� ���� ����� ���� � � ���� ���������������� � ������ ������������ �� �+� ��� �� ����������� ��� �� ����������� )���� �� ��������� �� �� ����������� ���

$�% *��� ��� ���� � �+ � 2� � �" � �� � 4�+� ���� � � 4 �� �� ���# ���������� �� "� �� �� � � 4 ������ �������� �� " � � ���

� � � ��

� ��

� �� ������������ � '� � !

��� ����������� �#��� ��� ���# ��� ���������� �������, ��� �������� ' � �� � �� ���� � � ��� ���� �� ��������� �� "� *���������� ���� ���� ��� �� ���� ������������ �� �������� ��� � ��� � ���� ��� �� � ������� �� �� �������# ���������� ���������� �� "� *���������� ���� � ���� � ���� �� �+� " �� �� ����������� ���

���'� ������� �� ����� �� 8�� ��� 7��� ��������� � ������ ������� �� ������ ���� �+� ���� ����� ��� ���� �� ����������� �� # ������ � ���� � �� �+ �������� �� ���������� �� �

��� ��������� ���#������ �� �� ���� ���� � �+ � �� /� � ���#������ ���� �� ���� ���� ����,��������#� ���� � �� � ���� � ��� ���� � � � ��� � � �� ��� �� ����������� �� �

$�% �� �� � � � ���� �� �������� �� � � ��� �� ����������� �#���

��� ��'� � !

+'� ���� �� � !�� ��� ��'� � !

��� �#��� ��� ���# ��� ���������� �������, ��� �������� ' � �� � �� �� ���� �� � ��� �� �� �� ����������� �� ����� �� ��������� �� � � ��

0)/8� 79 :�/;&./3�</��&.( =�;=.>/3?=� /.: =�;=.>=0�&1� +6

Page 327: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

9. Diagonalization: Eigenvalues and Eigenvectors

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

$��% �� �� � � �� $�� ��� �% ���� �� �������� �� � � ��� �� ����������� �#���

��� ��'� � !

+'� ���� �� � !�� ��� ��'� � !

��� �#��� ��� ���# ��� ���������� �������, ��� �������� ' � �� � �� �� ���� �� � ��� �� �� �� ����������� �� ����� �� ��������� �� � � ���

/� � ������ ������ �� ����������� ��� ��������#� � � ���� �+� � ���� �� ��� ��� �� ��� �� � ���� �� �+

�������� �� ���������� �� � ?���� ��� ���� �� �� ���������� # �� �������� ����� � � �����������

���.� 3� * � �� ������ ������������ �� �+ �� ��I�� ��� ���� � ����� �� ���� � �'� ������ � !� $��� *��� 7���%

$�% ���� �� �� � ��� �� ��� �+ � ������ ��� ���������� �� *�

$% ���� �� * �� ����������� ��� ��� ��� � �������� ������������ ��

$�% ��� ���� �� � ��� �� ���� �� �� ���� � �'� ��� ���� �� ��� ���� # *� �� �� *���� � ��� ���� �� �� ����������� �� * �������� � �� ���������� �� � ��

��� ���� �+ � ������ �� ������������ � �� ���� � �'� ��� ���� * ��I�� �+ ��� �� �������,�� ��� *��+� � ��+� ���� �+ �� �� ��������� �� * �������� � �� ���������� �+ � ���

$% )��� � � ���� �+� �� � ���� �� �+ �������� �� ���������� �� *� ���� * �� ����������� ��� ��� ��

�������� ������������ � � � !

! ��

� �$������� � �� ���� �%�

��5���)��* )� ��5��������*

���4� 3� � �4 � ��

+ 6 �+

� � +

��

��� $�% *��� ��� ����������� �� ��

$% *��� � ������� �� � �� �������# ���������� ���������� �� ��

$�% �� � ����������� ��H �� #��� ��� � ��� �� � � ����� �� ���������

$�% *��� ��� �� ��������� ���#������ ���� �� �� @� ����

���� � 4� 6� + � �� ��� ��� � 4!� +� +� 6� 2� 4 � 46

/���� ��� ��� ����� ��� �� ��� �� �(

��� � 6 �+

� +

�������� � �+� �++ � 4 ��

� +

�������� � 7� � � 4 �

+ 6

�������� � �2

)��� ���� � � � ���� �+ � ���� � �++ � � �� � ��� � � � ���+ � 7� � 46

y

x0

L P( )

P

L( )v2

v2y k= x

&�%� �B�

+" :�/;&./3�</��&.( =�;=.>/3?=� /.: =�;=.>=0�&1� B0)/8� 7

Page 328: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

9. Diagonalization: Eigenvalues and Eigenvectors

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

/������� �� ��� � ������� ���� � ��� � ����� ��� � � �6� �7� ��6� �46� ������� #�#���� ��������� �� ��

�� ��� 7� 46

� +4� 46

�� 2� �6� !

���� � � �� � ��� �� ����� ��� � � �� � ����, ����

���� � �� � ���+ � 2� � �6� � �� � ��� � 6��� � � � �� � �+�� � 6�/�������#� � � ��� � � 6 ��� ����������� �� ��

$% *��� �������# ���������� ���������� ��� ��� ���������� �� ��

$�% �� �� � � ���� �� �������� �� � � � ��� �� �����

� �� � ��

+ + �+

� � ��

��

��� ������������ � '� � � !

)��� # � ������ !� ��� � � ��� !� �� ��� �������# ���������� ���������

$��% �� �� � � 6 ���� �� �������� �� � � � ��� �� �����

� ��� � ��

+ ! �+

� � �

��

��� ������������ �

�'� � � !

+'� + � !

'� � � !

��' � � !

� + � !

&��# �� � ���� ����� ��� )��� + � ��� +� �� �� � ��������

���� � � �#� ��+� � ������� !�� ��� !� ��� ��� +� ��� �� � ������� �� �� �������# ���������� ����������� �� ��

��+ �-, ��� ����� # ��� � ���� ����� �� �� ��# ���� ���������� �������� �� �� �#���'� � � !� &� �� ���� ����� + �� ���������# ���������� �� # ��� � ���� + ������ � � ������������������ �� �� ���� �� ���� ����� ��� �������# �����������

$�% � �� ����������� ��� ���� � ��� ���� �������# ���������� ����������� 3� � � �� ����� ��������� #� ��+� ����

� �� � �

�� ! +

! � �

��

�� ��� � � ����� �

6

��

��

���8� 1���� 8�� ��� 7��4 ��� �� ����� � �� �

5 �6 �

" �" +

��

���

$�% *��� ��� �� ��������� ���#������ ���� �� � @� ����

�� � � !� � � � ��"� �� � �4� ++ � !� � �2� ����

�� � ��+

��������� ���� � � � �+� � �" � �� � +�+�� � 4�� ���� �� � + ��� �+ � �4 ��� �� ����������� �� �

$% *��� � ���� ��� �� ��������� �� ��� ���������� �� �

$�% �� �� �� � + ���� �� �������� �� � � ���

� �� �� �

5 �5 �

" �" !

��

��� ������������ �

'� � � !

5'� 5 � � !

"'� " � !

��'� � � !

� !

��� �#��� ��� ���# ��� ���������� �������, ��� �������� ' � �� � �� � !� ���� # � ��� �� !������ � ���� ��� �� ��������� �� �� � +�

0)/8� 79 :�/;&./3�</��&.( =�;=.>/3?=� /.: =�;=.>=0�&1� +5

Page 329: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

9. Diagonalization: Eigenvalues and Eigenvectors

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

$��% �� �� �+ � �4 $�� ��� 4% ���� �� �������� �� � � ���

� �5 �� �

5 �� �

" �" "

��

��� ������������ �

5'� � � !

5'� � � !

"'� " � " � !

��'� � � !

" � " � !

��� �#��� ��� ���# ��� ���������� �������, ��� �������� ' � !� � �� � �� ���� � � �!� �� ������� � ���� ��� �� ��������� �� �+ � �4�

���� � � �#� �� �� � ������� �� �� �������# ���������� ���������� �� �

$�% ���� ��� � ��� �� �������# ���������� ����������� �� �� ������� � � �������� �����, �� ��� �� �� ����������� ���

���9� *��� �� ���� ��� ��� ������� ����������� �� �� ���������� �� � + �� �� ����� �� 8�� ���7��6�

��� ���� ��� ��������# �� �� � + �� +� ���� � � + ������� ��� ������� + �� ����� )������� ��������� ��������# �� �� � + �� �� ���� ��� %�� � � $����� %�� �� �� ��������� �� ��%�

���:� 3� � �� � � � ������ # � �'� � � � �+'� � +� +'� � 4� '� � �� *��� �������������� �� � � ��� ��� � ���� �� ��� ���������� �� � ����������� ��H �� ��� ��� �� ���� � ��� �� ������������ � � ��� ��� �� �������� ������������ ��

*��� ��� �� ����� � �� ��������� � ������� � �� ����� ���� �� � # ������ ���� �� ���������� '� � �� ����� ��� ��� ��� �� ��������� ���#������ �� � $��� � %� @� ����

� � � �+ � �+

+ �4

� � ��

��

�� ���

���� � 4� ��� � +

��� � �� �++ � !� � � 4��

��� � 6

��������� ���� � � � 4�+ � 6� � + � �� � ��+�� � +�� ��� �� � � � ��� � � + ��� �� ����������� �� � $���� %� @� ��� ��� �������# ���������� ���������� ��� ��� ���������� �� ��

$�% �� �� � � � ���� �� �������� �� � � � ��� �� �����

� �� � �+

+ + �4

� � �+

��

��� ������������ � '� � + � !

)��� ��� ��� ���� ����� ���� ��� �� ���� ��� �� �������# ���������� ���������� �������� �� � �� *�� �������� # � ������ !� ��� � � �+� !� �� ��� �� ��� �����������

$��% �� �� � � + ���� �� �������� �� � � � ���

� �! � �+

+ � �4

� � �

��

��� ������������ �

� + � !

+'� � 4 � !

'� � � !

��'� � � !

� + � !

&��# �� � ���� ����� ��� )��� + � ��� +� �� �� � ��������

���� � �� ����������� ��� ���� � ��� ���� ���������� ����������� ��������#� �������

� � �#� ��+� � ������� !�� �+� !� ��� ��� +� ����� � ����� � �� ���������� # �� �������� ����� � � ������� �� +��

���;� 8���� �� ��������� ��� � ������ ������� $�����% � (

$�% ��� ����� ! �� �� ���������� �� � �� ��� ���# �� � �� ���������

$% �� � �� �� ���������� �� � � ����� � �� ������ ��� ��� ��� �� �� ���������� �� ����

+2 :�/;&./3�</��&.( =�;=.>/3?=� /.: =�;=.>=0�&1� B0)/8� 7

Page 330: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

9. Diagonalization: Eigenvalues and Eigenvectors

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

$�% @� ���� �� ! �� �� ���������� �� � �� ��� ���# �� ���� �� � ���� � �� ! ��� �� � ��� � !�� �� ��� ����� ���# �� � �� ���������

$% ���� � �� ������ ��� � �� �����������, ����� # ���� � �� !� F# �������� �� �� ����������� ���� ������ �� ! ��� �� � ��� � ��� /���#��� ��� � �� ������ �� � ���

� � ������� � �������� ��� �� ������ � ����

��������� ��� �� �� ���������� �� ����

����� 3� � � �� ���������� �� � ������ ������� � �� � � � ��� �� %� ������ �� ��� �� ���������� �������� � � $����� �� ���������� �� �%� 8���� �� %� �� � �� ���� �� � � ��� ��� �����(

$�% �� # � %�� ��� �# � %� ��� ��# ����� �� $% �� #� ��� %�� ��� #� � � %��

$�% ���� # � %�� �� ���� � �#� � �#� ���� � ��#� � �� �#� � ���#� � ���#�� ��� �� �# � %��$@� ���� �� ���� ���� ! � � �� �� CC���������DD �� � �� ����� ��� %� � � � �� ���� �� � �%

$% ���� #� � � %�� �� ���� � �#� � �# ��� � ��� � ��� ����� �#� �� � � �#� � � ��� � �#� �� � ��#� ��� ��� �� #� � � %�

��'<� 8���� ������� 7�"( ��� ��������� ��� ���������( $�% ��� ����� � �� �� ���������� �� ��

$��% ��� ����� �� � � �� ���������

$���% ��� ����� � �� � ��� �� �� ��������� ���#������ ���� �� ��

��� ����� � �� �� ���������� �� � �� ��� ���# �� ���� ����� � ������� ���� � ��� ��

�� � �� �� ��� ��� �� � ! �� ��� � ��� � !

�� �� � � �� ��������� �� ��� � ���� � �� � ��� �� ���� � ��� � ��� /���� � �� �� �� ��������� %� �� � �� ������# �� �� � ��� �������� ����� )��� � �� � ������� �� ��� � ��� � !�

��'�� 8���� ������� 7�2�( ������� ��� �+� � � � � �� ��� ������� ���������� �� � �������� � ���������������� ��� �+� � � � � ��� ���� ��� �+� � � � � �� ��� �������# �����������

������� �� ������ �� �� ���� 3� ��� �+� � � � � �� � � ������� �� �� ����� ��� ���� �� ������ ���� ���� @� ���� � � �� ���� �� �� !� /���� # �� ��������# �������� �+� � � � � �� ��� �������# ��������������� �� �� � ������ �� ������ �� �+� � � � � ��� ��#�

�� � �+�+ � � � � � � �� ���� ���$����� ���� �� �� !�� /���#��� � � $�% ��� ����� �� �������# �� � #�����

� ���� � � ��+�+ � � � � � � �� ����� � �+� ��+� � � � �� � � � � �� ��� ���� �+����� �� �� �� ��������� �� � �������� � ��� �� ���� � ���� � ����� �� ������ �� $+% #�����

���� � �+�+�+ � � � � � � � �� ������ � �'�����#��� $�% # �� #�����

���� � �+���+ � � ��� � � � �� ������ �4������ �� ��������� ����� �� $ % ��� $4% ����� � ��� ����� �� �� ����� $ % ���� $4% #�����

�+��� � �+��+ � � ��� � � �� � � � �� ����� � ����� � ! �6����� �+� � � � � � � �� ��� �������# ����������� �� �������� �� $6% ��� ��� � ����� ��� ���

�+��� � �+� � !� � ��� � � � � !� � � � � ����� � ��� � !

)������� �� �� ��� ������ )��� �� � �� �� ! ��� � � �� )��� �+ � !� � � !� � � � � �� � !� ���� ��������� �� �� ���� �� �� !� ���� �� ������ �� �������

0)/8� 79 :�/;&./3�</��&.( =�;=.>/3?=� /.: =�;=.>=0�&1� +7

Page 331: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

9. Diagonalization: Eigenvalues and Eigenvectors

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��''� 8���� ������� 7�7� ������� ���� � �� � ����� � �+� � � � �� � ��� �� �� ��������� ���#������ ���� �������� ����� �� ��� ������� �� � ���� �� ��� ������ ���� � �� ������� � �� ������������� � � �������� �+� � � � � ����

3� ��� �+� � � � � �� � $�������% ���������� ������������ � �� ����������� ��� ���� �� � ������������ ��� �������# ���������� $������� 7�2%� ��� ���� ���� � ���� �� ��� /�������#� � �� ����������� ��� ����� � �� ������� � � �������� ����� �� ��� �� �������� ������� �� � ��� �� ����������� ���

��'.� 8���� ������� 7��!�( ��� ������� ��������# �� �� ���������� � �� � ���� �� ����� ������ ��� ��������#�

������� �� ������� ��������# �� � �� �� ���� �� ��������� %� ������ � �������# �������������������� ��� � � � � ��� =���� �� �� ���� � � ���� �� � � ��#� ���� � � � � ���+�� � � � �+��� @� ����

� ���� � ���� � ��+� � ��+� � � � � � ���� � ����

� �+�� � ����� � � � �� ����� � ��+� � � � �� ��+�

� �++� � �+��� � � � �� �+��� � +�+� � � � �� +�+�

����������������������������������������������������������������������������

� �+�� � ����� � � � �� ����� � ��+� � � � �� ��+�

���� � � ��� �

!

� ��� �� ����� �� � �� �� � ��� ����� ����� � � ���� ��� � ��� �

���� � �� ��E ��������� �� ��������� ���#������ �� � ��� �� �� ��E ��� ��� ������ ����������� ���#������ �� � ��� ���� �� � � ���� �� ���� ��� ��������# �� � ��� � �� � ���� �� �����������

�)5��)��6��5 ��)� *(������� �)�����*

��'4� 3� � � 5

��

� �� *��� �� ��������� ����� � ��� �� � � ����� �� ���������

*��� ��� �� ��������� ���#������ ���� �� �� @� ����

���� � �+ � ���� � � ��� � �+ � "� � �" � �� � 2��� � +����� �� ����������� �� � ��� � � 2 ��� � � �+� @� ��� ��� ������������ �����������

�� �� � � 2 ���� �� �������� �� � � � ��� �� �����

� � ��

�7

� �� ������������ �

�'� � !

'� 7 � !�� '� � !

/ ������� ������� �� #� � � � ����� �� � � �+ $�� ��� +% ���� �� �������� �� � � � ��� �� �����

� � 7

� �� ������������ �

7'� � !

'� � !�� '� � !

/ ������� ������� �� #+ � ���� ��/� ������� ���� � �� �#������ �� ���������� #� ��� #+ ��� ���������� .�������� #� ��� #+ �

� ���� ���������#� �� ��� �����

�#� � � �������!

� ��

������!

� ��� �#+ � ���

������!

�� �

������!

��

*�����#� �� � � �� ����� ����� ������ ��� �� ��� ����� �#� ��� �#+� ���������#� ����

� � �������!

��

������!

��������!

� �������!

��� � � ����� � 2 !

! �+

� �

/� ������� �� �������� ������ �� � ��� �� ����������� �� ��

! :�/;&./3�</��&.( =�;=.>/3?=� /.: =�;=.>=0�&1� B0)/8� 7

Page 332: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

9. Diagonalization: Eigenvalues and Eigenvectors

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��'8� 3� ��� �2 4

�2 �� �+

4 �+ �4

��

��� $�% *��� ��� ����������� �� �

$% *��� � ������� �� � �� ������� ��������� ���������� �� �

$�% *��� �� ��������� ����� � ��� �� � � ��� � �� ���������

$�% *��� ��� �� ��������� ���#������ �� � @� ����

�� � � "� � � � 4!!� �� � !� ++ � �"!� � �56� ����

�� � �� 6

)��� ���� � � � "�+ � � 6� � 4!!� �� ���� ��� �� ������ ��� � ��� ������ 4!!� ������ � � �6� #�#���� ��������� #�����

�6 �� "� � 6� 4!!

� 6� 66� 4!!

�� ��� 2!� !

���� � � 6 �� � ���� �� ����� ������� � �� � 6���+ � ��� � 2!� � �� � 6�+�� � �"�

��� ����������� �� ��� � � �6 $��������# +%� ��� � � �" $��������# �%�

$% *��� �� ��������� ���� ��� ��� ���������� �� �� � � �6 $��� ��� 6% ���� �� �������� �� �� ��� �� ����������� �#���

�"'� 2 � 4 � !� �2'� 4 � + � !� 4'� + � � !

��� ��� 4'� + � � !� ��� �#��� ��� �� ���������� ��������� &�� ������� �� �� � �!� �� +�� @����E � ����� ������� �+ � ��� � ��� ���� �� ��������� � ��� �� ��� ��� ��

4�� +� � � !� ��� ���� � +� � !

&�� ��� ������� �� �+ � ��6��2� 4���� �� � � �" ���� �� �������� �� � � ��� �� ����������� �#���

�6'� 2 � 4 � !� �2'� �5 � + � !� 4'� + � +! � !

���� �#��� #����� � ������� ������� � � �4��+� ��� $/� ������ ���� ������� 7�� � �� ���������� �� ��������� � �� ��� �+�%

���� ��� �+� � ���� � ������� �� �� ������� ��������� ���������� �� �

$�% .�������� ��� �+� � � � ��� �� ���������� ����

��� � ������6

� ��+ � �+�

���������!6

� �� � � �

�����+�

���� � �� �� ����� ����� ������ ��� ���� ��+� �� � ����

� �! �6�

���������!6

4�

�����+�

�����6

�2���������!6

�+������+�

+����6

4�

���������!6

��

�����+�

� �

��� ��� � � ��� � �

�6

�6

�"

� �

���

��'9� 3� &�'� � � '+ � "' � 5 +� *��� �� ��������� �� ������ �� ������������ &�

*��� �� �#����� ����� � �� ��������� & ��� �� ��������� ���#������ ����� @� ����

� � �

�5

� ���� ���� � �+ � "� � �" � �� � +��� � 2�

��� ����������� �� � ��� � � + ��� � � �2� ����� ����� � ��� � �� ��� ����� ���� � �������� ���� �� & ��

&��� �� � +�+ � 2�+

0)/8� 79 :�/;&./3�</��&.( =�;=.>/3?=� /.: =�;=.>=0�&1� �

Page 333: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

9. Diagonalization: Eigenvalues and Eigenvectors

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��� ������������ ��������� �� ������ �� � ����� # ������ �� ��������� �� �� ���������� �� ��

$�% �� �� � � + ���� �� �������� �� � � � ��� �� �����

� � ��

�7

� �� ������������ �

�'� � !

'� 7 � !�� � '� � !

/ ������� ������� �� #� � � � ���$��% �� �� � � �2 $�� ��� 2% ���� �� �������� �� � � � ��� �� �����

� � 7

� �� ������������ �

7'� � !

'� � !�� '� � !

/ ������� ������� �� #+ � ���� ��/� ������� ���� � �� �#������ �� ���������� #� ��� #+ ��� ����������

.�� ��������� #� ��� #+ � � ���� ���������#� �� ��� �����

�#� � � �������!

� ��

������!

� ��� �#+ � ����

������!

� �

������!

��

*�����#� �� � � �� ����� ����� ������ ��� �� ��� ����� �#� ��� �#+� ���������#� ��� ���'� � � ��� �� �� �� �������� ��������� ����� �� ���������� ��� ���

� � �������!

��������!

��������!

������!

�����

���� ' � �� ������

�! � � �� ������

�!

&�� �� ���� ������� � ��� � �� ���� �� ' ��� # ����� ��� � �� ��� ���

� � '� ������!

� � � �'� �������!

�����)� ���(����)�

��':� 3� � �4 �+ +

" � 4

�+

��

�� ��� �

�+ +

4 �4 "

+ � 6

��

��� ��� ��������� ���#������ �� �� ������ ��

���� � �� � +��� � ��+� *��� �� ������� ���#������ !��� �� ��� ������

��� ������� ���#������ !��� ��� ������ ����� /���� ��� ���� �� ����� �� ��� � � + ��� � � �� ������� � � ���� �� !���� ���� !��� ��� � ����# ��� �� �� ���������(

� ��� � �� � +��� � �� �� ���� � �� � +��� � ��+

$�% F# �� 0�#��#A)������ �������� ���� � ���� � !� �� �� ���� ���# �� � ���� @� ����

� ��� � ��� +� ���� �� �+ �+ +

" �6 4

�+ �

��

�� �+ +

" �4 4

�+ +

��

�� �

! ! !

! ! !

! ! !

��

��

���� !��� � � ��� � �� � +��� � �� � �+ � � � + �� �� ������� ���#������ �� ��

$% /���� �� � � �� � � !� �� �� ���� ���# �� � ���� @� ��

� � � � � � +� �� � � � �� �+ +

4 �" "

+ �

��

�� + �+ +

4 �6 "

+ � 4

��

�� �

�+ + �+

�4 4 �4

�+ + �+

��

�� �� !

���� !��� �� � ���� /�������#� !��� � ���� � �� � +��� � ��+ �� �� ������� ���#������ �� � B@� ����������� �� �� �� ���� � ����� �� �, �� E��� �� � � ! ���� �� 0�#��#A)������ �������9

+ :�/;&./3�</��&.( =�;=.>/3?=� /.: =�;=.>=0�&1� B0)/8� 7

Page 334: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

9. Diagonalization: Eigenvalues and Eigenvectors

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��';� *��� �� ������� ���#������ !��� �� ��� �� �� ��������� ������(

$�% � � 6 �

5

� �� $% �

� +

! +

! !

��

��� $�% " � 4 ��

� +

� �

$�% ��� ��������� ���#������ �� � �� ���� � �+ � �+� � + � �� � 4��� � 2�� ���� ���� ��� ����������� �� ������� ���#������ !��� � ���� � �+ � �+� � +�

$% ���� �� ���������� �� ����������� ��� �� �������� ������� �� +� , ��� �� �� ������������#������ �� ���� � �� � ���� � +��� � �� ���� ���� ��� ����� ������ !��� � �����

$�% ��� ��������� ���#������ �� " �� ���� � �+ � "� � 7 � �� � �+� )��� �� ������� ���#������ �� "�� � ��� � � � �� ���� � �� � �+� )������� � �"� �� !� �� ��� " � � �� !� )���

!��� � ���� � ���� � �� � �+�

��'�� ������� � � �#�� #+� � � � � #�� �� � ���� �� � � ��� ������� � ��� , ��� ������ �������� �� � ����� � ��� !D� �� ��� ���� �� ��������� ��� , ��� � �� ! �� �� ������������� ��� !D����������� ��� ���

� �

! �+� � � � � � ���

! ! � + � � � ��+

����������������������������������������! ! ! � � � ������

! ! ! � � � !

� �

������� , �

! � ! � � � !

! ! � � � � !

���������������������������! ! ! � � � �

! ! ! � � � !

� �

������

���� ��( $�% �� � !� $% ,��� �� !� � ,� � !� $����� �������� ���� ���� ��� � ��� ,�%$�% @� ���� ��#�� � ! ���� ��� � � �� ��#�� �� � ������ �� ������ �� ����� �������� #� �� �� ��� ���

��#�� � ���#� � ��+#+ � � � �� ������#���

)��� �+�#�� � ����#��� �� � ������ �� ������ �� ����� �������� #���� /�� �� ��� )������#�� � ! ��� ��� �� ����� ��� ��� �� ���#�� � �����!� � !� ��� �� �� � !� �� �������

$% @� ���� ,�#�� � ! ���� ��� ��� � � �� ,�#�� � �#���� )��� ,��#� � � ��#��� ��� � � �� ���� � �� !��� �� ���� �� !� ���������� ,����#�� � ����#� �� !� ��� �� ,��� �� !� &� �� ���� ����� # $�%� ,� � !�

��.<� 3� � �� ����� �� =������ 7��+$�% �� ��� �D� �� �� ��������� �D� �� �� �������������� ������ �� !� ��� !D� ���������� ���� �� � ��� � �� � ��� �� �� �� ��������� ���#������ ���� ����� ������� ���#������ !��� �� ��

���� � �� ��������� ��� �D� �� �� ��������� ���� � � ��� � �� � ��� �� �� ��������� ���#������� ����!��� �� � ����� �� � � �� F# 8�� ��� 7�+7� ��� �� ���� �� !� )��� !��� � ���� � �� � ����

��.�� *��� �� ��������� ���#������ ���� ��� ������� ���#������ !��� �� ��� �����(

$�% � �

4 � ! ! !

! 4 � ! !

! ! 4 ! !

! ! ! 4 �

! ! ! ! 4

� �

������� $% � � �

+ 5 ! !

! + ! !

! ! � �

! ! �+ 4

� �

����

0)/8� 79 :�/;&./3�</��&.( =�;=.>/3?=� /.: =�;=.>=0�&1�

Page 335: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

9. Diagonalization: Eigenvalues and Eigenvectors

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

$�% � �� ��E �������� ��� �������� ��E�

� �4 � !

! 4 �

! ! 4

��

�� ��� � 4 �

! 4

� �

��� ��������� ��� ������� ���#������ �� � �� � ��� � �� � 4� ��� �� ��������� ��� ����������#������ �� �� ���� � �� � 4�+� ����

���� � � ������� � �� � 4�6 � !��� � 30' � ���� ���� � �� � 4� $����� 30' ����� ���� ����� �������%� @� ��������� �� �� ������� �� !��� �� �� ���� �� �������� ��E�

$% )��� � � �� ��E �������� ��� �������� ��E� �� � + 5

! +

� ���� � � � �

�+ 4

� ����

��������� ��� ������� ���#������ �� �� �� � ��� � �� � +�+� ��� ��������� ���#������ �� � ������ � �+ � 6� � " � �� � +��� � �� ���� ��� ����� ������ )��� ���� �� ���� �� ������� ���#������� �� � /�������#�

���� � � ������� � �� � +� �� � � � !��� � 30' � ���� ���� � �� � +�+�� � �

��.'� *��� � ����� � ����� ������� ���#������ �� � ��� � � � 2�+ � 6� � 5�

�����# �� � �! ! �5

� ! �6

! � 2

��

��� �� �������� ����� �� � ��� B������ �� =������ 7��+$%9�

��..� 8���� ������� 7��6( ��� ������� ���#������ !��� �� � ����� $������ �������% � ������� ����#���#������ �� ��� � �� � ����� �� �������� $ # �� 0�#��#A)������ �������%� !��� ������� ����������� ���#������ ���� �� ��

������� � ��� �� � ���#������ ��� ���� � ��� � !� F# �� �������� ��������� ���� ���� ���#������� &������ ���� ��� ���� � ��� � !���&��� � ���� ��� ���� � ! �� ��� ���� � ��� !���� �� ������ � � � �� ����������� ��� ����� �� � ��� � ! ��� !��� � !� �� � ��� ���� � !� �� ���� �� !� ��� ���� �� � ���#������ �������� ���� ��� !��� �� ��� � �� � ����� ���� ������� �� �������� �� �� ������� ���#������� �������� � !� ��� �� � ��� � !���&���� �� ��� !��� ������� � ����

��.4� 3� !��� � �� ������� ���#������ �� �� �������� ����� �� 8���� �� �� ������������#������ ���� �� � ������� !�����

������� !��� � �� � ������ � � � �� ����� � ��� :���� ������ � �� �������(

! � �

� � �� ���

+ � �+ � ���� �+�

��� � ���� � �����+ � � � �� �����

��

��

��

��

� � !

��� � � � � � � � � !

�+� � + � ���� ��� � � + � � �

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � ��� � � ��+

����

�� ��� � ��� � ��� � ������ � � � �� ������ ��� � � ��� � !��� � ���

�� ��� � ���� ! � ���+ � � � � �� � ��+ � ���

����

��� � �� ��� � ��� ! � ���� � � � � �� � ���� � ������ ! � ���+� � � � � �� � ����� �� ! � ����� � � � !� � ���+� + � � �� � � � �� �� ��� � � ��+� � � ���

� ��� � ������� � �+�

��+� � � � �� ������ � ��� � !������E��� �� ��������� �� �� ����� ����� ��� � ��� ���� � �!���� � � !����� ���� � ���� �� � ���#���������� � �� ������� !����, �� ��� �� ��������� ���#������ �� � ������� !�����

4 :�/;&./3�</��&.( =�;=.>/3?=� /.: =�;=.>=0�&1� B0)/8� 7

Page 336: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

9. Diagonalization: Eigenvalues and Eigenvectors

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��.8� 8���� ������� 7��"( ��� ��������� ���#������ ���� ��� �� ������� ���#������ !��� �� � ������ ���� ������� �� ������

������� � ��� �� �� ������� �� ���#������� �� � ��� ������� !���� ��� � ��� ���� ������� ���� B���� !���������� ����� &� �� ���� ����� �� � ��� ������� ���� ���� # 8�� ��� 7� 4� � ��� ���� ������� !����� F� � ��� ��������� ��, ���� � ��� ���� ������� !���� ���� !��� ��� ���� ���� �� ���� ������� �� ������

��.9� 8���� ������� 7��7( ��� ������� ���#������ !��� �� � ��E �������� ����� � ��� �������� ��E� �� �� ����� � �� ���� ����� ������� $30'% �� �� ������� ���#������� �� �� �������� ��E� ���

@� ����� �� ������ ��� �� ��� � � +� ��� ������� ������ ������� �����# # �������� �������

� � � !

!

� �� ����� � ��� ��� ������ ������� @� ���� � ���� �� �� ������� ���#������ !��� �� �

�� �� ���� ����� ������� �� �� ������� ���#������� ���� ��� ���� �� � ��� � ���������#�

���� !��� �� �� ������� ���#������ �� � �!�� � � !��� !

! !� �� �

� !� ��� ���� !��� � ! ���

!� � � !� ���� ���� �� �� ������� ���#������ �� �� ���� ������� !���� ��������#� ���� ������� !���� ���� !����� � ������� �� ���� ��� �����

.�� �� � ��� � ������ ������� �� ���� ��� ����� ���� � �� � � � ��� !

! � � �� �

� ! !

! !

� �� !� F� !���

�� �� ������� ���#������ �� � , ���� !��� ������� � ���� ���� !��� �� �� ���� ����� ������� �� ���� ��������

��.:� ������� !��� � �� � �������� � � � �� ��� � �! �� �� ������� ���#������ �� �� �������� ����� ��

8���� �� ���������(

$�% � �� ����������� �� ��� ���# �� �� ����� ��� �! �� !�

$% �� � �� ������������ ��� ��� �� � ���#������ �� � �� ������ � � � � ��

$�% ��� ��������� ��� ���������( $�% � �� ������������ $��% ! �� �� � ��� �� !���� $���% �! �� !� ���� �������� �� ����

$% ���� � �� ������������ �! �� ! # $�%� @� ����

!��� � �� � �������� � � � �� ���� �!� � !

���� � �

�!����� � �����

��+ � � � �� ��� �� � �

/�������# ��� � � �

�!����� � �����

��+ � � � �� ��� �

*�����+��� �$ ���A��+"

���(����)�* �& �)�����*

��.;� 3� � � + �

6 �

� ���� � � +

!

� �� *��� � ���� ����� � � �� �� �� ����� � ��� � +�+ � 6� � " ���

���� � � � +�+ � � � �

��.�� 3� � � � +

! �

� �� *��� �+� � � ��� ����� � � � ��� ����

0)/8� 79 :�/;&./3�</��&.( =�;=.>/3?=� /.: =�;=.>=0�&1� 6

Page 337: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

9. Diagonalization: Eigenvalues and Eigenvectors

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��4<� 3� �2 �+ !

! 2 �+

! ! 2

��

��� *��� � ���� ����� � ��� �� � � �

��4�� *�� ��� ������ ��� � ���#������ ������ �� ��������� ����� �� � ���(

$�% � � + 6

� �

� �� $% � + �

5 �4

� �� $�% " �

� � +

� +

+ � 4

��

��

��4'� 3� � � ��# ������ ����� ��� �� � ��� � ��# ���#������� 8����( $�% �������� � �������

$% � ������� � ���� ����� $�% � ��� � � � ���� � $�% �� � �� �#������ ��� � ��� �� �#������

��4.� 3� � � ������� � � � ��� � � ��E �������� ������ ��� �� � ��� � ��# ���#������ � ���� ���� �� � �� � �� ��E �������� ��� � �� � � ���� � ����� � � � � � �����

��44� 3� � � � ��E ��������� ����� ��� �������� ��E� ��� � � � ���� ��� �� � ��� � ��# ���#������ � ���� ������ � �� � �� ���� � ��E ��������� ������ ��� �������� ��E� � ����� � � � � � �����

��5���)��* )� ��5��������*

��48� *�� ��� �� �� ��������� ������� ��� ��� ����������� ��� ������������ �������# ���������� ����������(

$�% � � + �

+ �6

� �� $% � + 4

�� "

� �� $�% " � � �4

�5

� �

@��� ����� ��� ��� �� ����������� ����� � �� ������������ �� ������

��49� 3� � � + ��

�+

� ��

$�% *��� ����������� ��� ������������ �����������

$% *��� � ����������� ����� � ��� �� � � ����� �� ���������

$�% *��� �" ��� � ��� ����� � ��� � �4 � 6� � 5�+ � +� � 6�

$�% *��� � ����� ��� �� + � ��

��4:� 1���� 8�� ��� 7�4" ��� � � 6 "

�+ �+

� ��

��4;� *�� ��� �� �� ��������� ������� ��� ��� ����������� ��� � ������� �� � �� �������# ��������������������(

$�% � �� �

�6

" �" 4

��

��� $% �

�� �

5 �6 �

" �" +

��

��� $�% " �

� + +

� + ��

�� � 4

��

��

@��� ������ �� � ������������� ��� ��#H

��4�� *�� ��� �� �� ��������� ������ �������� � ��+ � �+� ��� ��� ����������� ��� � ���� ��� ��� ���������(

$�% � �'� � � � '� � '� 6 �� $% � �'� � � � '� � � '� ��

��8<� 3� � � �

� �

� � � � ���� ������ *��� �������# ��� ������� �������� �� �� � �� � �� �� � ��

����������� ��� �� ��� �� �� � ��� �� $����% �������# ���������� �����������

" :�/;&./3�</��&.( =�;=.>/3?=� /.: =�;=.>=0�&1� B0)/8� 7

Page 338: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

9. Diagonalization: Eigenvalues and Eigenvectors

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��8�� ���� �� ������ � ��� �� ���� �� ���� ������������ ;��� �� ������� �� � +� + ����� � ����� � ��� ��

���� �������� �����������

��8'� ������� � �� �� ��������� �� ������ �������� � ��� ,� ���� �� � �� ���� �� ��������� �� �� ������������� �� � � �,� ����� � ��� � � ��� �������

��8.� ������� � �� �� ��������� �� � ������ ������� � �������� � �� ���������� �� 8����(

$�% *�� � � !� � �� �� ��������� �� �� �������� � ���

$% � ��� �� �� ���������� �� � �� � ��� ��# ���#������ � ����

��84� ������� � �� ! �� �� ���������� �� �� ��������� � � , �� ������ �������� � ��� ,� ���� �� � �� ���� ������������ �� �� ��������� , � �� B-���. ���� �� ,��� �� �� ��������� �� , � ��9

��88� 3� %�� � � � � ���-���� �������� �� ��� %+ � %� ���� �� % �� ����������� �� ���� �� ��� �� �

���������� # �� �������� ����� � � �� !

! !

� �� ����� � �� �� ���E �� %�

�)5��)��6��5 ��)� *(������� �)�����*

��89� *�� ��� �� �� ��������� �#����� ������ �� ��� �� ��������� ����� � ��� �� � � ����� ����������(

$�% � � 6 4

4 ��

� �� $% � � 4 ��

�� 4

� �� $�% � � 5

��

� �

��8:� *�� ��� �� �� ��������� �#����� ������ � ��� �� ������������ � ������� ��������� �� � ������������� ��� �� ��������� ����� � ��� �� � � ��� � �� ��������(

$�% �! � �

� ! �

� � !

��

��� $% �

+ + 4

4 6 2

4 2 �5

��

��

��8;� *��� �� ��������� �� ������ �� ������������ ��� �� �� ��������� ������� �����(

$�% &�'� � � 4'+ � 2' � �� +� $% &�'� � � +'+ � "' � �! +

��8�� *�� ��� �� �� ��������� ������� ����� &�'� � �� ��� �� ��������� �� ������ ���������� '� � �� ������ ����� ��� �� �� �� ��� ��� &��� �� ��($�% &�'� � � � 6'+ � + � �+'� $% &�'� � � � '+ � 4' � " + � +'� 4 � +

��9<� *��� � ���� +� + �#����� ����� � ��� �����������(

$�% � � � ��� � � 4 ��� ��������� # � ��� �� �������� � � � �,

$% � � + ��� � � ��� ��������� # � ��� +� �������� � � � +�

�� ��� ���� ��� � ����� ��� ���� + � ��

�/)�)�����*��� )� �����)� ���(����)�*

��9�� *��� �� ��������� ��� ������� ���#������� �� ��� �� �� ��������� ������(

$�% � � � ��

+ 4 �+

�� ��

��

��� $% �

+ ��

2 �

" ��

��

��

0)/8� 79 :�/;&./3�</��&.( =�;=.>/3?=� /.: =�;=.>=0�&1� 5

Page 339: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

9. Diagonalization: Eigenvalues and Eigenvectors

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��9'� *��� �� ��������� ��� ������� ���#������� �� ��� �� �� ��������� ������(

$�% � �

+ 6 ! ! !

! + ! ! !

! ! 4 + !

! ! 6 !

! ! ! ! 5

� �

������� $% �

4 �� ! ! !

� + ! ! !

! ! � !

! ! ! �

! ! ! !

� �

������� $�% " �

+ ! ! !

� 4 ! ! !

! ! � !

! ! � !

! ! ! ! 4

� �

������

��9.� 3� � �� � !

! + !

! ! �

��

�� ��� �

+ ! !

! + +

! ! �

��

��� ���� �� � ��� ���� �������� ��������� ���#�������

$��� �� ��� �� �������%� � ���� �� ���� ������� ���#������� ���� ���������� ������ ��# ���� �� ����������� ���#�������

��94� 3� � � �� �������� ����� ��� ���� �� � ! ��� ���� � � �� ���� �� �� � !�

��98� ���� �� � ����� � ��� �� �������� �� ���� �� ���� ������� ���#�������

��99� ������� � ��� �� �� ������� �� ���� ���#������ ��� ���� � ��� � ! ��� � ����� �� ���� �� � ��� �� ��������� ���#������ �� ��

��9:� ���� �� � �� � ����� ����� �� �� ��� ���# �� �� ������� ���#������ �� � �� !��� � � � ��

��9;� *��� � ����� � ����� ������� ���#������ ��( $�% � � 6�+ � "� � 2� $% �4 � 6� � +� � 5� � 4�

��9�� 3� � ��� ��� ���� � ���� ���#������� $������� ������� ���% �� ������� ������ ��� ���� � �� � �������� � ��� � ����� B���� �� ������� ���#������ �� � �� �������9

)�"���" �� *�����+��� �$ ���A��+"

/�������. ! � 0�� 0+� � � � ������ � ����� ��� ���� 0��0+� � � � �

��.;� � ��� � �+"�� � 6��+5� ���� � �4!� 7� �"6��+5�� � � � � "� !� 7� �� � � � �+� !� �6

��.�� �+ � �� 4� !� �� � � �� "� !� �� �� � �� +�� !� �� ��� � ���+� !� �

��4<� 3� � � +� �� � !� +� �� !� !� +� �� � � ��� ��� � � �� � � �+� � � �

��4�� *��� ����( $�% �+ � � � ��� $% �+ � +� � � � $�% � � 5�+ � "� � �

��48� $�% � � �� # � � � ��� � � �4� � � ��� +�� $% � � 4� # � �+� ���$�% � � ��� # � �+� ��� � � �6� � � �+� �� &��# � ��� " �� � ������������, ��� � � #� �

��49� $�% � � �� # � ��� ��� � � 4� � � ����+��$% � � #� ��$�% � ��� � �7��� � �+"� +� �" � +� 24"��+� 246� �4 "7!� 4 "7��$�% � 4

�� �

� � +

� 6

� �

2 :�/;&./3�</��&.( =�;=.>/3?=� /.: =�;=.>=0�&1� B0)/8� 7

Page 340: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

9. Diagonalization: Eigenvalues and Eigenvectors

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��4:� $�% � � �� # � � ��+�� � � +� � � �+����� $% � � #� ��$�% � ��� � +��"� +� 7� �" � �!+�� �6 !� �6�!��5"4�$�% � � � 4

���+

� �"� "

���+

� +� +

���+

� 4�

���+

��4;� $�% � � �+� # � ��� �� !�� � � ��� !����� � � 4�+ � ��� �� +��$% � � +� # � ��� �� !�� � � �4� � � �!� �� ���$�% � � � # � ��� �� !�� � � ��� !� ��� � � ��+ � �+���� ��� &��# � ��� " �� � ������������, ���

� � #� ��+

��4�� $�% � � +� # � � ����� � � "� � � ��� ��� $% �� ���� �����������

��8<� @� ���� �����+ � 4����� � ! �� ��� ��+ � 4� � !

��8�� � � �� �� !� �

��89� $�% � � +���� ��� +� ���6

� $% � � �� �� ����� ���

+

� $�% � � ���� �� � ������!

��8:� $�% � � ��� # � ������ !�� � � ��� ���+�� � � +�+ � ��� �� ���$% � � �� # � �+� ������ � � �+�� � ��� � � ++�+ � ��� +� 4�,

.�������� #� ��+� � ������ �#� ��� �+� ��� �� � � �#� ��� �+� $0�!���. # ��� � ��� �� �������%

��8;� $�% ' � �4�� ��� ������5

� � ���� 4��� �����

�5

� &��� �� � 6�+ � �+�+�$% ' � � �� ��� �����

�!

� � ��� ��� ������!

� &��� �� � �+ � ���+

��8�� $�% ' � � �� +��� ������

� � �� � �+�� ��� �����

� &��� �� �� � �+ � 7�+ � 4�+�$% ' � 6��� *�� � )� � +��� +*�� � +)� � ��� *�� ����� ) � ��

���6

� � � ��

����� !

� * � ��

���"

,

&��� �� �� � +�+ � +�+ � 2�+

��9<� $�% � � �+6�� � � � 6� � �

+ ���� ��� �

$% � � �6�4��+� � +

��� � � ���

+ � 4

���

� +

���+

� +���

� +

���+

� ���

� 4

���+

� ���

��9�� $�% ���� � !��� � �� � +�+�� � "�� $% ���� � �� � +�+�� � "��!��� � �� � +��� � "�

��9'� $�% ���� � �� � +� �� � 5�+�!��� � �� � +�+�� � 5��$% ���� � �� � �6�!��� � �� � � �$�% ���� � �� � +�+�� � 4�+�� � 6��!��� � �� � +��� � 4��� � 6�

��9;� 3� � � �� �������� ����� B=������ 7��+$%9 ��� ��� �����( $�% �2��"� 6� � $% �4��5� +� 6�

��9�� )��( � �� � ��� �� ���� � � ��� � ���� ����� ���� � ! �� �� ������ �� ���� �� ���� ��� �� ������ �� � ����

0)/8� 79 :�/;&./3�</��&.( =�;=.>/3?=� /.: =�;=.>=0�&1� 7

Page 341: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

10. Canonical Forms Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

������� �

���� �� �����

���� ����������

��� � �� � ����� ���� � � �� � ��� � � ����� ��������� �� ���� �� ������ �� � ��� �� ����� ������� ����� ������������ ������ �� �� ����� ������� � ������������ ��� ����� ����������� � ��� � � ��� � ����� !��� �� ��� ���� ��� � ���� ������ "� ���� ��� �� ����� ��� ������� ������� ������ ��� ��� ����� ��� #���� ��� ������ ���� �� ����

$� ����� ���� ��� ����� �� ��� #��� ���� �� ��� ����� � � �� ��� ��� �� ��� ��� ������ �������� ���� � � ��� ��� ��� �� �� ��� ���� ���� �� !��� �� ������ � � �� � �� ��� ����� ���� � � ���� �� �� � � �� � �� ��� ��� ���� ��

$� ��� ���� � ��� ���� � � ������� �� �� !��� �� � ��� ���� � ��� ��� ���� �� ��� �� ����� � ��� ������� � � ��� ����� �� ��� ������ ���� �� ����

���� ��� ��� � ����

��� � �� � ����� ���� � �� %���������� �� � ��� � �� & ���� � �� �� ��������� �� �������� �� �����

� ��'' �'( � � � �'

�(( � � � �(

� � � � � ��

����

����

!��� ��� ��� ������ �������� ���� � � �� � �� � � ����� �� ��) ���� ���

���� � ������ � �� � �� � �''��� � �((� � � � �� � ��!�� ����� �� ��� � � ��� �� �� ������� ����� *���� �� +���� ',�(-.�

������� ����� ��� � �� � � �� � ����� ���� ���� ��� ������ �������� �� �� ��� ��������������� !��� ���� ������ � ����� � � �� ��� � � �� ��������� �� � ����� ��������

������� ����� * ���������� ����. ��� � �� � �/ �� ����� ���� ��� ������ �������� �� ����� ����� ���������� !��� � �� ������ � � ����� �� ������ ����� ���� ������ ����������� ����� � � � ���� ��'�� �� ����� ���

01,

Page 342: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

10. Canonical Forms Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

$� ��� ���� �� ���� � �� �� � ��� ��� ����� �� �� �� �� �� �� ��������� �� � ����� �������� 2�� ���� �� ���� ���� ��� �������� �� � � �� �� ����� ���� ������ �������� � ��� ������������ $� ���� �� ����� ���� � ���� ���3�

������� �� ��� � �� � �/ �� ����� �� ��� ����� ���� �� & ���� � �� �� �������� � � �(� &�� ��������

� ����

��� �� �������� � � ��

4� !���� ',�'� � ��� �( �� ������� ���� ������� � ����� �� ���� �� � ��� ��

� ��' 5 � � � 5

�( � � � 5

� � � � � ��

����

���� ��� �( �

�(' 5 � � � 5

�(( � � � 5

� � � � � ��(

����

����

&�� � ������ ���� �� ���� ��� ���� �������� ��� � � �(� � ��� �� ��� � �� �����

� �� � � ���

��

�� �� �������� �� ��

���� ��� �� ��

��� � �� � � �� ������ � � ���� � � � � �� ���� � �� ������� ���� � ��������� �� � ���� ���� ������� ����� �� � � � ������� � ��� � �� "� ���� ���� � ���� ��� � � ������ � ����� ���� � �)���� ��� � ��� �� � ����� ���� �� �� � � ������ �� �� ��� � � ��� � ���� � � ��

������� ��

*�. ��� � ��0 � �0 �� ��� ������� ����� ����� ��� � ����� �� � �� � � �� � ��� �%���� �� �� ����� �*���� �� 6��� ',%'.7

� ��� �� �� � �� � �� � ��� �� � ��� �� � � �� ��

8����� ���� �� � �� � � � ��� �� ,� �� ��� ��%����� � ������ �� � ��� ��� ������� � ) ��� � � ��� %��������� 8����� ��� ���� ��� �%���� � �� �������� ��� �� 6 ������ ��� ���� ��� � � � � ������� � �� � �� � ��� ���� �� ��� ��� ���� ��� � � � � �� ��� �������� ������� � ��

*�. 2�9� ������� �� � � ����� ���� � �� � � ��� �� ��� ���9�� �� ������� � � %��������'%���������� � ���� ��� 6 � ���� � ��� � ��� � � ,� !��� � � ��� � � ��� ��� '%���������� � ���� ��������� �� �� �� �������� ��� � �� � ��

� ���� � �� ��� � ����� � ��� � �

��������� � ���� ���� � ' ��� � � , ����� �� ��� � �� �������� ��� �� !��� � ��� � � ��� � � ��� �� �� ������ � �� ����� � ��� � ��� ��� � � �� �� ������� � � ��

!�� ���� ����� *���� �� +���� ',�0. ����� � �� ������� ���� � �������� � ���� ���

������� ����� ��� � �� � � �� ��� ����� ����� ��� ��� ��� �� ��� ��������� !��� ��� 3���� � �� � �� �������� ��� ��

0

W

y

z

x

U

T( )v

T w( )

θ

θ

v

w

��!� ��"�

���+� ',: ��282"��� 68;<& 01'

Page 343: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

10. Canonical Forms Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

!�� ���� � ������� � �� ������ � ����� ������������ *+���� ''�=. �� ������

������� ����� & ���� � �� �� �������� � ���� � � � �� � �� !��� � ��� � �� 3 �����

������������ �

, !

� � ���� � �� � ����� ����������� � ��� ���� ��� �� � �

� ��

���# ��� �� �� �� ��"$� ���%�$�����$

� �� � ��� � � �� ����� ��� ���� � �" � � ���� �� �'� � � � ���� ������

� � �' � �( � � � �� ��

�� ���� �� � � � � �� �� ������ ��/ ��� �� ��� ��

� � �' � �( � � � �� ��� ���� �� � ��

!�� ������� ����� *���� �� +���� ',�>. �����

������� ���#� & ���� �'��(� � � � ��� �� � ���� �� � �� ��� � ����

�' � �''��'(� � � � ��''�� � � � � �� � ��'���(� � � � ����

��� ����� � �'��(� � � � ���� ���� ������� !��� � �� ��� ��� � � � � ��� �� �� ��� ����� ��� ��� � � �' � � � �� �� � ����� � ��

2� � ���� � �� � � �� ����� ��� � �� ��� ��� � � � � *��9�. � %�������� � ���� ���'��(� � � � ���) ���� ���

� � �' � � � �� �� ��� � ���� � ��� � � '� � � � � �

��� �� ����� ��� ���� ��� � � � ��� !��� � �� ���� � �� �� �"����#� ��� ��� ����� �� � �� ����� �� ��� ����� � �" � ��� ��� ������ � � �' � � � �� ��� ���� ��� � ���� �� �'� � � � ��� �� ���� ����� � � � �� � ��������� ���� ���" �� �"������ � ��

������ ��� ��� ��� ��� ���� �� � ���� �� � ��� � �� � �� ���� � �� � � ) ��� ��� � � (��� ��� � � 0 ��� � ���� �'� �(� ��� �'��(��0� �� ����� � � ��� �� ���� ������� "� �' ��� �(

����� ��� ���� ���� � � � � ��� �� ���� ������� ����

�'��'� � �''�' � �'(�(�'��(� � �('�' � �((�(

�(��'� � �''�' � �'(�( � �'0�0

�(��(� � �('�' � �((�( � �(0�0

�(��0� � �0'�' � �0(�( � �00�0

� ������� ��� ������� ���� �� ����$ �� ��� ����� ������������ � �'� �(� �� ���� ������7

� � �'' �('�'( �((

� � � �

�'' �(' �0'�'( �(( �0(�'0 �(0 �00

��

��� $ � � ,

, �

!�� �� 3 ������� ����� $ �� ��� �� ��� �� � ���� �'� �(��'��(��0� �� � ����� � � *!���� ',�1.���� ���� � ���� � �'���� ��� � ��%� � �(��%��

� �������9���� � ��� ���� �� ���� ����� � ��� ������� ������

������� ���&� & ���� � �� � � �� ����� ��� � ���� � �� ��� ��� � � � � � %�������� � ���� ������� �'� � � � ���� "� �� �� � ����� ����������� � ��� ���� ��� � � � ��� ���� � ���� ��������� �� ��� �� 3 ������� �����

$ � ������'��(� � � � ����

01( ��282"��� 68;<& ?���+� ',

Page 344: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

10. Canonical Forms Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

���& %��� �' ���%�$�����

!�� ������� ����� ���� ���� ��� ���� � �� � � �� �� ������� ��� ����� ��������� � ��������� �� ���� � ��� ���� ���������� !��� �� ��� ��� ���� �� �������� � ���� ���� � ��

������� ���(� *%�����) �*��+�,����� �������. ��� � �� � � �� � ����� ���� ���� ���������������

"��� � '���' (���( � � � �����

���� ��� ���� �� ������ � ��� ��� ���� ���������� !��� � �� ��� ��� � � � �� %�������� � ���� �� �'� � � � ��� ���� �� �� ��� 3���� � ��� �� � <���� ����� ����� ������� �������� � ��� ���� ��� � � � ���

!�� ���� ��������� ����� �� ��������� ����� !������ ��� ���� � ��������� ����� �����*+���� ',�''. �� ��� ���� �� ������ *���� �� +����� ',�@ ��� ',�',� ���� ������.�

������� ���-� & ���� � �� � � �� ������ ��� � ���� ��� � &���'��� �� ��������� � � ���� �� � � � ��� &��� ��� '��� �� ��������� ����� !��� � �� ��� ��� � � � � ���� %�������� � ���� � � ��� �� ���� � � A� &�� � ��� � � A� '�� ��

������� ���.� "� !���� ',�>� �� ��� �� ��� ������� �������� � � ?��� &��� ��� '��� �� ��� :����� &��� ��� '��� �� ��� ������� ��������� � ��� ���� ���� � � � � ��� ������ �������

$� ���� ��� �� ��� ����� �� ������� ����� � ��� ��� ������� ��� �� ��� ���9���� ���������9���� ����� *��� +���� ',�'( � ��� ��.�

������� ���/� � ����� ���� � �� � � �� ��������9���� �� ��� ��� �� ��� ������� �������� "����� � �� � � ������ � ����� ����������

������� ���/� * ���������� ����. � ����� � �� ������ � � ������� ����� �� ��� ��� �� ���������� �������� �� � �� � � ������ � ����� ����������

������� �� & ���� � � � �� � �/ �� ����� � ��� � �0 � � � B������� ������ �� � �� ������ � � �������

����� �� � �� � ����� ��7 *�. ��� ��� ���� �� *��. ��� ����� ���� ��

&�� � �0 � � � � �� � 9� � ��� �������� ��� � �0 � ' � �� � '���( � � � '�� !�� ������� �������� "��� � �

���� �� � � '� ��� � � � � � ��� �

"��� � �( � � � ' "��� � �0 � '

&�� � ������ �������� �� � �� � � ����� ��������� �� �� � �� �� ��������9���� �� �� 8� ��� ��� ������� � � ��� ��������� �� � �� � � ������ � ����� ��������� �� �� ��� � � �� ��������9���� �� ��

���( ���%�� �� �% � ���$

� ����� ���� � �� � � �� ����� �#����� �� � � � � ��� ������� ������ ) �� ��� � ������� � �#���� � � � �� �� � � � � ���' � �� ����� ���� � �/ �� ����� � �� ����� �������� ��� � , � ��� ������� ������ � ��� � ����� � �� �� � , � � ���' � ,� ������ ��� ����� ��������� � � �������� ���� *�����. � ����� � �� "��� � �� ) ��� � , �� ��� ��� �������� ��

���+� ',: ��282"��� 68;<& 010

Page 345: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

10. Canonical Forms Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

������� � !�� ������� �� �%�/ �� ���� �� ���� �� ��� �� �� ��� �����7

( � ( ��� �

, ' , � � � , ,

, , ' � � � , ,

��������������������������������, , , � � � , '

, , , � � � , ,

������

������

��� ) ��� �

� ' , � � � , ,

, � ' � � � , ,

��������������������������������, , , � � � � '

, , , � � � , �

������

������

!�� ��� ����� ( � ����� � )���� �#����� �#� �� ������ � '�� ���� ��� ������� * ����� ��� �������&��#.���� ,�� ��������� "� �� � �������� ����� � ����� �� *!�� ����� ( � �� ' �� C �� ��� '� ' 9� ����� ?,:�.

!�� �� �� ����� ) ���� ����� � )���� �#� � �������� � ��� �������� � �� ������ � ��� � ��� �������� '��� ��� � ���������� ��� ,�� ��������� 8����� ����

) ��� � �� � (

"� �� �� �� ���� ��� ���� ��� ����� ���� � �� �� �� ����� ��� ������ �� � � ��� � �� ��� � � � � � ������� ��� � �������� �����

!�� ������� *���� �� +���� ',�'�. �� � � ��������� �� �� � �������� ������

������� ������ ��� � �� � � �� � �������� ���� � ����� �� !��� � ��� � �� 3 ������� ���������������� �� ��� � �� � ������� ���� �� � #��� �������� �� 3 ( � !��� �� ������� �� ( � �� �� ��� ��� ��� ( �� � ��� ��� !�� � ��� � ( � �� �������� �� �� ��/ ��� ��������� �� �� !�� ���� � ��� � ( � ��� ��� �� �/ ��� ��� � ����� � ��

!�� �� � !���� ',�', ���� ���� ��� � ��� � ( � �� � �� �/ �� � ("� � "��' � "��'����� "� �� ��� � ����� � ���

���- 0�� � � ����� � ����

�� ���� � �� �� � � ��� #��� ���� �� �� �� ��� ��� ������ ��� ������� ����������� � ��� ����� ���������� !��� �� ������ � � �� � �� ��� ����� ���� �� "� ��� ���� �� �� ������������ ��� ���� ���� � � � ���� �� ��� � ��� ��� ������ ��� ������� ��������� � �� � ��� ������� ��) �� �� �� � ��� ������ ���� ���� ��� � #��� ���� �� ��� ����� ���� ���� ����� �������� � � ����� �� #��� ���� �� ���

!�� ������� ����� *���� �� +���� ',�'-. ��� ���� ��� )���� ��� �# ��" ) � � ��������� ��

������� ������ ��� � �� � � �� � ����� ���� ���� ��� ������ ��� ������� ��������� ������� �������

���� � �� � �'�' � � � �� � ���� ��� "��� � �� � �'�"' � � � �� � ���"�

���� ��� �� �� ������ � � ����� !��� � ��� � �� 3 ������� ����� ����������� ) ����� � �� � ������� ���� �� � #��� �� 3 )�% � ) ����� 6 �� � ��%� ��� ��������)�% ���� ��� ������� �������7

*�. !��� �� �� ����� �� )�% � �� "�) ��� ��� )�% �� � �� �"��

*��. !�� � � � ��� ��� � ��� )�% �� ��

*���. !�� � ��� � )�% �/ ��� ��� ������ � ������ ��� � ���

*��. !�� � ��� � )�% � �� � ������� �� �� ��/ ��� ��������� �� ��

011 ��282"��� 68;<& ?���+� ',

Page 346: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

10. Canonical Forms Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

������� �� & ���� ��� ��� ������ ��� ������� ��������� � �� ���� � ��� ���� �������

���� � �� � (�1�� � =�0 ��� "��� � �� � (�(�� � =�0

!��� ��� #��� ���� �� �� � � �� �� � ��� ������� �� 3 ������� ���� ��7

����( '

, (

� �

( '

, (

� �

= ' ,

, = '

, , =

��

��

� ����

( '

, (

� � �(�� �(��

= ' ,

, = '

, , =

��

��

!�� ��� ����� � �� � ��� �� ����������� ������� �� �������� � ��� �������� � () ��� ��� �� �� ����� � �� � ��� ���� ����������� ������� �� �������� � (�

���. �'���� $1$% � $

��� � �� � ����� ���� � � �� � ��� � � � ����� �������� �� �� & ���� � � � ��� � � ,�!�� ��� � ��� �� �� � ��� �� �� ����� ���� ��� ����� �� ��� ��������� �� �� �� � � %��������� ���� � � � ����� ��� �� � #� ���� � � � &������� �� �) �� ����� �� �� *��� � � ��� ����� ������� ��� � � � *��� � � �� ��� 4� +���� ',�=�� �� �� �/ ��������� ����� *��� � � �� ��������� ��� � ��� � %�������� � ���� �� � � �������� ��

2� ����� ��� ��/ �� �

�� � ���� �(���� �0���� � � �

� ���� � � � ���� � �� ��� � �� ��� ����� ������ � � ���� ����� �� � ����� �������� � ���� �� ������ �� ��� �� �� ��� ��/ �� �) ����

����� � ����'���'��� � � � �� �'� ��� � �,�

"���� � �� � ���'���' � � � � �'� � �,

!���

�� ��� ��/ � ��� �������� � ����� ����� � ��� � "��� ���� � ,� $� ��� "���� ��� ����'�#���� � � �� *��� � ��

!�� ������� ����� *���� �� +���� ',�(@. �����

������� ������ ��� *��� � �� ��� "���� �� ������ �� ����� !���7

*�. !�� ��� �� � ���� � � � � ���'���� �� � ����� � *��� � �) ��� � ��� *��� �� � ��

*��. !�� ������� �������� � �� �� "�����*���. !�� ����� ����������� � �� �� ��� ���� ����� �� C �� ��� �"���� "�����

!�"�� � "����) ���� ���

!�"�� �

, , , � � � , ��,' , , � � � , ��', ' , � � � , ��(����������������������������������������, , , � � � , ����(

, , , � � � ' ����'

��������

��������

���/ � ���� � � ����� � ����

"� ���� �� ���� �� ������ ��� ������ ���� �� �� � � ����� ���� � �� � �� $� �������9����� ���� �� ������ ���� ���� ��� ������� �������� ���� �� �� ��� ��� ����� ���������� *;� ������� ���� �� �� ��� ��� � ��� #��� ���� �� ���.

���+� ',: ��282"��� 68;<& 01=

Page 347: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

10. Canonical Forms Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

����� ������ ��� � �� � � �� � ����� ���� ���� ������� �������� �� ��� ���� ��� �� ���� ��� ���� ��������� !��� � �� ��� ��� � � �

� � *��'� � � � � � �� *���� � �� � % � �� � ���� �� *���� � � ���� �������� � %����������

���' � ���( � � � � � ���� � � ' � ( � � � � � �

��� ��� �� ������� � � ��� � % � �� � ���� �� ��� ��� ���� � ��� � ������� ��� ��� ���� ��� � � %�����������

$� �������9� ���� ��� ���� ����� *���� �� +���� ',�0'. ��� �� ��� ���� ��� �� �� �� ���� % � �� � ���� �� *���� � � �� ��/ ��� ��������� �� � ) � � �� ��� ��� ���� ��� ��� � � %���������� �� ��/ ��� ��������� �� �� !� � � ��� � ��/ � �� 3 ������� ����� �����������

$ � �����!'�!(� � � � �!������ ��� !� �� ������ ���� ��� "� �� �� ��� !� �� ��� ������ ���� �� � ��� ��������� ���� �

D���� ��� +���� B� ������� !���� ��� ����� ',�'0� �� ����� ��� ������� �� ���

������� ����#� ��� � �� � � �� � ����� ���� ���� ������� ��������

"��� � '���"' (���"( � � � ���"

���� ��� ���� �� ������ � ��� ��� ���� ���������� !��� � ��� � ��/ � �� 3������� ����� �����������

$ � �����!''�!'(� � � � �!'�'� � � � �!'�!(� � � � �!�

����� ��� !�% �� ������ ���� ��� "� ���� ��� ��� !�% �� ��� ������ ���� ��� ��� ��������� �����% � ����

"' � '' � '( � � � � � '�'� � � � � " � ' � ( � � � � � �

!�� ���� ����� ����������� � � �� ����� ��� ������# ��� �# ��"� !�� ��������� �����% �� ����� ��� �#�"����� ������ � ��

������� �� ��� � �� � �� � ��� � � �������� - �� ��� ������ ���� 2� ��� ��� � �� � ����� ���� � � ����

������� �������� ��

"��� � '��� (���( � ��1 � 1�0 � ��( � 1� � >��� � 0�(!��� ��� ������ ���� �� �� $ � � � �� ���� �� �� 3 ��� ������ ����� � '��� ��� �� �� 3 ��� ������ ����� � (���(� !��� �� �� ������������7

*�. �����!��1 � 1�0 � ��( � 1� � >�� !��� � 0�(�� !��� � 0�(��*�. �����!��1 � 1�0 � ��( � 1� � >�� !��� � 0�(�� !�� � 0��!�� � 0��!��� ���

*�. ����

, , , >

' , , 1

, ' , ��

, , ' 1

����

�����

, �@

' �

� �

, �@

' �

� ���

��� � *�. ����

, , , >

' , , 1

, ' , ��

, , ' 1

����

�����

, �@

' �

� � �0�� �0�

���

���

����� 2��� �� $% � $

��� � �� � �� � ��� � �� � ���� � ��� ��� � �� � � ���� � � �� "� � �� ��� �� � �� �� �� ������ � � ��� ��� � � �� �� � ���� � � � ) ���� ���

�� � � �� � � � � � �!���� ���� �� ����� ��� ��� � � �� �� $� ��� *+���� ',�((. ���� ����� ���� ������� � ���� � ���� ���C��� � ������

01� ��282"��� 68;<& ?���+� ',

Page 348: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

10. Canonical Forms Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

������� �� ��� � �� ��� � ���� � � �( ������ ��

� � ��� �� � � � ������� ��� � �� ��� ���� ����� �� ��� �/ ���� � � � � ,� $� �� ������ � �� � ��������� � ��� ���� ������� �� ������ ��� �� � � ��� � ���� �� �� �� ���� �� 6��� ',%(� ��� ��� �� � �� ��� ������ ��� �� �� ������� � �� !� � ��� ���� � � �� �( ���� ����� ��� ��� ����� ������� � ��

"� ��� ������� ������ �� �� ��� ���� � �� ���� � � � � �� � ��� � � � ����� � ��� �� ���� �) �� �� ����� ��� ������� �� � � � �� �� ��� �������� �� ����

������� ����&� ��� � �� � � ���� � � � �� � ��� � �� � ���� � � !��� ��� ���� � � �� � �� ��� � ��� � �� � ���� ��� ������� ������� � ������� ��� � ��� � ������ ����7

��� �� � �� � ��� � � � �� � �� � � � ���� ��� � � � � �� � � � ���� � � �

$� ��� ����� �� ��� �� � !���� ',�'= *+���� ',�(1.� �� �� ��� �� ����� � ��� ���� ���������� �� ���� ������) ���� ��� ������� � � � � �� � � ��� �� � � �� � �� ����

��� �� � �� � � � ��� � ��� � � ��� ���� �� � � � ��� � � � ��� � � �

"� ��� ��� � �� �������� � ���� �� �� ���� ��� ������� ��� � �� �� *���� �� +���� ',�(>.�

������� ����(� & ���� � �� � � ���� � �������� ��� � ����� ���� � �� � �� !��� � ��� �� ������ ���� �� � ��� ������ �� ����� � � � � ��� � �� <���� �� � �� � 9�� ��� ��������� ���� � �� �� � !� � ��� ������� �������� � �� ������� ��� ��������������� � ��

$����3 %��4���,

��� �� �� $1$% � $

����� & ���� � �� � � �� ������ &�� ���� �� � � ��� ������� �� �������� ��� � 7

*�. ,�� *�. �� * . 3���� � �� *�. ����� � ��

*�. $� ���� � �,� � , � ,�) ��� � ,� �� �������� ��� ��

*�. 6 ���� � � � � � ��� � �) ��� � � �� �������� ��� ��

* . ��� � � A� � � !��� � ��� � , � A� � ��� � ��� 3���� � � �� � � ���� � � �� !� � A� � �� �������� ��� ��

*�. &�� � � ��� � "� � � ���� � � �� �� �� ������� � � ���� � � "� � � ��� � ��� ����� � � �� �������� ��� ��

����� & ���� ��� �� � ��� ��� � � %�������� � ���� �� � � �� � ��� � �� &�� ���� ��� ������ ���� � �

� �� �� ��� � %���������

& ���� � � � ) ���� � � �� � ���� �� &�� � �� �� � %��������� � ��� � �� � ���� �� !� � � ��� � �

��� � � �� � %���������

��!� ��"�

���+� ',: ��282"��� 68;<& 01>

Page 349: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

10. Canonical Forms Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

����� +�� !���� ',�(7 ��� � �� � � �� ������ 6 ��� �������� ���� ��� 3���� � �� � ���������� ��� ��

& ���� � � A� �� �� ����� �� ���� � ,� $� ���� � ��� ���� � ��� ��� ������ � ��� 3���� � �� ������� �� ��� ���� � � �� � � � ���� � ,� &�� � ���� � � ���� �� ���� �� � � � � � � �� �� !� �� �� �/ ����

� �� � � � ���� � �� � �� ����� � � � �� ����� � � �,� � ,

���#� 6��� ��� �������� � ���� �� � � � ( �=

' �(

� ������ �� �� ���� � �(�

4� +���� ',�'� �( ��� ,� �� �������� ��� �� 2� �� � ��� ��� ��� �������� � ���� �� �� � �� ��'%����������� ������ ��� ��� ������ �������� � � ��

���� � �( � ���� � � ��� � �( � '

��� � � ��� � �������� �� *�� �. ��� � � ��� � ������� ��� 4 � ��� '%���������� �������� � ���� �� ����� � ��� ������� ��) �� � �( ��� ,� �� ��� ��� � ���� �� �������� ��� ��

���&� +�� !���� ',�07 & ���� � �� � %��������� !��� � ��� � ����� �� �� 3 ������������ �

, !

� ���� � �� ��� ����� ����������� � ��� ���� ��� �� � � � ��

$� ��� � ����� �'� � � � ���� � � ��� ������ �� � � ����� �'� � � � ���� �'� � � � � �� � �� $� ����

�� ��'� � � ��'� � �''�' � � � �� �'���

�� ��(� � � ��(� � �('�' � � � �� �(���

����������������������������������������������������������

�� ���� � � ���� � ���' � � � �� �����

� ��'� � �''�' � � � �� �'��� � ''�' � � � �� '�

� ��(� � �('�' � � � �� �(��� � ('�' � � � �� (�

��������������������������������������������������������������������������

� ��� � �'�' � � � �� ���� � '�' � � � �� �

4 � ��� ����� � � �� ���� ����� �� ��� ������� � ��� ����� � ��� ����� �� ��� ���� ������ � �/ �����

*&� ��� ��(.� !����� �� ��� ��� ��� �

, !

� ���� � �� ��� ������� � ��� ����� � ��� ����� � ���

��� � � �������� 4� ��� ���� �� ����� � �� ��� ����� � �� ������� � ��� ����� ��� � ��

���(� ��� �� ����� ��� ���� ��� � �� ���� � � �� �������� � ���� � �� +��7

*�. 6 ��� �������� ���� � �� ���� � �� �����*�. !�� ������� �������� � �� ������� ��� ������� �������� � ��

*�. "� ��� � , �� ��� �� � ������� ����� � ����� '� ���� ��� �� �� ����� �������� �� ��� � � ' ��� ���� ��� �� �� ���� � ��������� � ����� ���� ���� � & ���� ����

��� � �� � ��'��' � � � �� �'� � �,

� �� ���� � ���� � ��'

���' � � � �� �,� ����� ��

���'�� �� ���� � ���'���' � � � �� �,� ����

� ����'��� ���� � ���'��' � � � �� �,� ���� � �� ����

!���

*�. ��� "��� ����� ��� ������� �������� � �� !��� �� *�.� "� �� ���� � "�� ���� � ���� � , � ����� � � ) ���� ��� �� �� � 9� � ��� �������� "���� ��� � ��� ������� �������� � �� ������� "����

01- ��282"��� 68;<& ?���+� ',

Page 350: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

10. Canonical Forms Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��� �� �� �� ��"$� ���%�$�����$

���-� +�� !���� ',�17 & ���� �'��(� � � � ��� �� � ���� �� � � ���� ���� ���� �����

�' � �''��'(� � � � ��''�� � � � � �� � ��'���(� � � � ����

�!��� � �� ��� ��� � � � � ��� �� �� ��� ��� �� ��� ��� � � �

� �� �� � ����� � ��

& ���� � �� � ����� � �� !���� � ��� � � ��

� � �''�'' � � � �� �''�''

� � � � � ��'��' � � � �� ������

� �' � �( � � � �� ��

���� �� � ��'��' � � � �� ������

� ��� $� ���� ��� ���� � � � � � �� ��/ �� & ����

� � ��' � ��

( � � � �� ���� ���� ��

� � ��

&�� � ��'� � � � ����� �� � ����� � ��� ��

� � ��'��' � � � �� ������

� ��� �

� � �''�'' � � � �� �''�''

� � � � � ��'��' � � � �� ������

&�� � � �� � ����� � � � ��% � ��%� � �� � � ��� �� � %� ��� � �� � ���� ��� � ��� � � � � �� ��/ ��

� ������� � �� ��� ��� � � � � ��� ����������� � � ���� � �� ��� ��� � � � � ��� ��� !��� � ��� � � �� � � �' � � � �� ��� ����

�� � ��� &�� � ��%�� �� � ����� � ��� �� � �� �� � ����� �������� � ��� ��%�

� ��� � � �� � ����� �������� � ��� �������� � �� !� � � ����� �� $� �� ��� ���� � �� ������� ������������ & ����

�''�'' � � � �� �''�''

� � � � � ��'��' � � � �� ������

� ,

2�� ���� ��'��' � � � �� ������

� ��� $� ��� ���� ���� , � ,� , � � � , � ��� &�� � � � � � � � , �� ��/ ��

��'��' � � � �� ������

� , � � � '� � � � � �

!�� ���������� � � ��� ����� ��%�� ����� ���� ��� ��� ��� �� ,� !� � � �� ������� ������������ ��� ��� � �� �

����� � ��

���.� & ���� � �� � � �� ����� ��� � ���� � � �' � �( ���� ���� � � � � %�������� ��� �%� ��� ������� � � � � �� &�� ����7

*�. "��� �� ��� ����� ��� � ������ � "'��� ��� "(���� ���� "���� "'���� "(��� �� �������� � ��������� � � � �'� �(� ���� �������

*�. ���� � �'����(���� ���� ������'���� �(��� �� ��� ��� ������ ��������� � � � �'� �(����� �������

*�. 4� +���� ',��� �� � � "'��� ��� "(��� ������� "���� 2� � ���� ��� �� � � ������ � ��� "'��� ���"(���) ���� ��'��� � � , ��� ��(��� � � ,� ��� � � � ) ���� � � � � � ���� � � � ��� � � �� 2�

�� �� � �� �� � �� �� � ��'�� � ��(�� � ,� , � ,

!��� ��� � �� � 9� � ���� ��� � "��� ������� ���� ��� � "��� �� ��� ����� ��� � ������ � "'��� ���"(����

*�. 4� !���� ',�=� � ��� � ����� ����������� $ � � ,

, �

� � ���� � ��� � �� ����� ��������%

���� � �' ��� �(� ���� ������� !���� �� �/ ����

���� � ��� � $ � � �� � � ,

, �� � �

�������� � ��� � ����� � �� � �'����(���

���/� +�� !���� ',�>7 & ���� � �� � � �� ������ ��� � ���� ��� � &���'��� �� ��������� � ����� �� � � � ��� &��� ��� '��� �� ��������� ����� !��� � �� ��� ��� � � � � ��� � %��������� ���� �� � ��� � ���� � � A� &�� � ��� � � A� '�� ��

���+� ',: ��282"��� 68;<& 01@

Page 351: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

10. Canonical Forms Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

2�� ��� ���� � ��� � �� � %�������� �� !���� ',�(� 2�� ��� � &��� ��� '��� �� ��������� ��������� ����� ��������� ���� ��� ��� � � ����

����&��� � ���'��� � '

��� �� � ��� ���� � � ��� �&�� � � �� �'�� � � � �5�

��� � � � � ����� �� �5�� � � ��� �&�� ��� �� �'�� ��4 � ��� ��� ��� �� ���� � � ������ � � � A� '�� �� ��� �

'�� ���� �&�� �� � ��� �&�� �'�� �� � ��� � �� �� � ��� ��� � ,

&�������� ��� �� �� ��� ������ � �� ��� � � �� ��� � � � � ��� ��! ��� ���� � � � � �� �� � �� ��� ���� � � � � � � � � ���� � � � � � � �� �� ��/ ���

��������� �� �� �������� ��� ���� ��� �&�� � � � � � � � ��� ���� &�� �� � ,� �� �����

��� �&�� �� � ��� �&�� �� � ��� �&�� �� � ��� �&�� ������ �������� �5� � � ���� ��� ���� '�� �� � ,� �� �����

� � ��� �&�� �� � �� �'�� �� � ��� �&�� ��4�� � ��� ���� �� ��� ���� � � � ��� �&�� ��� ��� � � �� ��/ ��� ��������� �� �� &������� � �� ��/ ��� ��������� �� �� ��� � � � � � �� �� �/ ����

������ +�� !���� ',�-7 "� !���� ',�> *+���� ',�@.� �� ��� �� ��� ������� �������� � � *���&��� ��� '��� �� ��� .� ���� &��� �� ��� ������� �������� � ��� ���� ��� �' � � � � ��� '����� ��� ������� �������� � ��� ���� ��� �( � � � ��

��� "'��� ��� "(��� �� ��� ������� ��������� � �' ��� �(� ���� ������� 2�� ���� &��'� � , ���'��(� � , �� � �� � � A� &�� � ��� � � A� '�� �� !� �

"'��� ������� &��� ��� "(��� ������� '��� �'�4� +���� ',�@� ��� �� ��� ����� ��� � ������ � "'��� ��� "(���� 4 � "'��� ��� "(��� �� ������������� ��� � &��� ��� '��� �� ��������� ����� � ������� ��� � "'���"(���� $� ��� ���� ���� ��� � &���'���� !���� �� �/ ����� ������ ���� *'. ��� ��� �� � ���� ��� ��� ��������� �� ��� ����� ���� &��� � "'��� ��� '��� � "(���� �� �/ ����

������ +�� ��� +���� B� ������� !���� ',��7 ��� � �� � � �� � ����� ���� ���� ���������������

"��� � '���' (���( � � � �����

���� ��� ���� �� ������ � ��� ��� ���� ���������� !��� � �� ��� ��� � � � � � %��������� ���� �� �'� � � � ��� ���� �� �� ��� 3���� � ��� �� � <���� ����� �� ��� ������� ��������� ��� ���� ��� � � � ���

!�� �� �� �� ��� ��� � �� !�� ��� � � ' �� ������� & ���� ���� ��� ����� ��� ���� ���� �� � '� 4� !���� ',�>� �� �� ���� � �� ��� ��� � � � � � %�������� � ���� �� �' ��� �'� ���� �' ����� 3���� � '�� �' ��� ���� �' �� ��� 3���� � (�� �( � � � ��� �� � 4� !���� ',�-� ��� ���������������� � ��� ���� ���� � � � �' ��� �' �� '���' ��� (���( � � � ������ ���� �������

B���� ��� ���� ��� � � � �' �� ��'� 4� ��� ��� ���� ���������� �' �� ��� ��� � � � � � ���� ���(� � � � ��� � � ���� �� �� ��� 3���� � ���'�� ��� � � ���� ����� �� ��� ������� �������� � ������� ��� � ��' � ��� 4 � ��� 3���� � ��� �� � � � � (� � � � � � �� �� ������� ������� �� �'� ��� � �����

������� (���( � � � ����� � !� � ��� 3���� � ��� �� �� ��� ���� �� ��� 3���� � ���'�� � ��� � �� ��� ���� ������� ��� � � � �� �� ��� ���� �� ��� ���� ��� � ��' � �� *� � � (� � � � � �.) ��� � ����� �� ��� ���������� �������� � ��� ���� ��� � � � ��� !� � � � �' � �( � � � �� �� �� ��� ������ �� �%������ � ��

0=, ��282"��� 68;<& ?���+� ',

Page 352: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

10. Canonical Forms Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

������ +�� !���� ',�@7 � ����� ���� � �� � � ��� � ������� ����� ����������� �� ��� ��� ����� ������� ������� "��� �� � �� � � ������ � ����� ����������

& ���� "��� �� � �� � � ������ � ����� ���������) ����

"��� � �� � �'��� � �(� � � � �� � ���

���� ��� �� �� ������ � � ����� 4� ��� +���� B� ������� !����� � �� ��� ��� � � � � � ���� ���'� � � � ���� ���� �� � A��� � ��� �� !� �� �� � � ��� ���� �� � ��� ���� � , � ��� � ���� "� ��� �������� �� � �� �� �� �� ������� � �������� � ��� �������� � ��� 4� !���� ',�1� ��� ��� � ����� ��'� � � � ��� �� � ����� � �� !��� ����� ������ � ������� ��� ��� � � �� ��������9�����

��������� � ���� � �� ��������9����� ����� � ��� � ����� �������� � ������� �� � �� ��� �'� � � � � �

�� ��� ������ � �������� �� � �� !��� ��� ����

�� � � �� � �'� ��� � �(� � � � � �� � �� �

���� �� � ����� �� � ��� ,� !� � �� � � ,� ��� ��� � ��� ������� �������� "��� � � ������� �����������

��� � �� � �'��� � �(� � � � �� � �� �

� ������� "��� �� � �� � � ������ � ����� ����������

���%�� �� �% � ���$5 0�� � � ����� � ����

������ ��� � �� �� ������ & ����� � � � �� ����� � , � � ���'��� � ,� +��7

*�. !�� ��� + � �� � ���� � � � � ���'���� �� ������� ������������

*�. !�� � ���� � � �������� �� + �� � %���������

* . !�� ���� ��� �� � � � � �� �������� � ����� ��

*�. ;������� � ��� ����� ���'���� � � � � � ���� �� � �� ��� ����� � � �� ��� �%�/ �� #����������� �� 3 (� � ����� � *��� E������ ',�=.�

*�. & ����

��� �'� ��� � �(�(��� � � � �� ���'�

��'��� � , �5�

�������� ���' � �5� ��� ���� ����� � ,� �� ����� ����'��� � ,) ��� � ���'��� � ,� � � ,� 2��������� ���( � �5� ��� ���� ����� � , ��� � � ,� �� ���� �'�

��'��� � ,) ��� � �' � ,� 2����������� ���0 � �5� ��� ���� ����� � , ��� � � �' � ,� �� ����� �(�

��'��� � ,) ��� � �( � ,������ ��� ���� � ���� �� ��� ���� ��� ��� ��� �� ,) ��� � + �� ������������

*�. ��� � � �� !���

� � ��� �'� ��� � �(�(��� � � � �� ���'�

��'���

D���� ����� � ,� �� ���� ����

� ��� � �� ��� � �'�(��� � � � �� ���(�

��'��� � �

!� � � �� � %���������

* . 4� ��������� ����� � ,� ��� �� � � � ,� � � � � � � '�

���������� � ������� � ,

!��� ��� �������� ��� � �� � ������ � �� �� ����� ,) ��� �� ��� � � ��� � �� �� �������� � ����� ����� �� 8� ��� ��� ����� ����'��� � ���'��� � ,) ��� � � �� �������� � ����� ��� ��� ��

���+� ',: ��282"��� 68;<& 0='

Page 353: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

10. Canonical Forms Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

*�. 6 ��� ����� ���'���� ���(���� � � � � � ���� �� � ��

�� ����'���� � ����� � ,�� ����(���� � ���'����� ����0���� � ���(����������������������������������������������������������������������������������� �� ���� � � (����� ��� � � ���

��� �� �� �/ ���� ��� ����� � � �� ���� ����� �� ��� �%�/ �� #��� �������� �� 3 (� �

����#� ��� � �� � � �� ������ ��� � � A� �� ��� � � A� ���'� &�� ����7

*�. � � �� *�. � �� � � � �

*�. & ���� � � � � A� ��� !��� ����� � , ��� � ���'��� � � ������� � � �,� � ,� !� �� � A� ���' � �� 4 � ���� �� � � � ���� � � � ) ��� � � � ��

*�. &�������� �� � � � � A� ���'� ���� ���'��� � ,� !� � ���'��� � ���� ���� � ���,� � , ��� �� �� � � � �

����&� ��� � �� �� ������ ��� , � A� ���(� - � A� ���'� * � A� ��� !����� *+���� ',�'1.�, � - � *� & ����

�'� � � � � ���� �'� � � � � ��� �'� � � � � ��� �'� � � � � ��� �'� � � � � ���'� � � � ������ ����� � , � - � * ���� ������� &�� ����

+ � �'� � � � � ��� ���'�� � � � � � ������� ������� �� - ��� �� ������� ������������

4� +���� ',�'1� � �*� � - � ��� ��� � + � - � 2� � ���� + �� ������� ���������� !��� ���� ������� ������

�'�' � � � �� ���� � �'� ��'� � � � �� ��� ���� � ,

���� �� ����� �� ��� ���� �� �� 9�� 6 ������ ��� � ��� �� ������������ �� ����� �� � ��� �� � �� ����9�� !��������� �� ���

�'� ��'� � � � �� ��� ���� � ��'�' � � � �� ���� � , � A� ���(

��� � ���(��'� ��'� � � � �� ��� ����� � ,

!� � ���'��'�' � � � �� ����� � ,� ��� � �'�' � � � �� ���� � - � A� ���'

&�� � ��� �%� �������� -� �� ����� � ������ ���� ��� ��� �%� �� ���� �� � ��� ��� ������ ����� �� ���� �� � �� �� 9�� !��� ����� �� ��� �� � ���� ��� �%���� �� ������������ ��� � + � �� ��� �� ������������

����(� +�� !���� ',�',7 ��� � �� � � �� � �������� ���� � ����� �� !��� � ��� � ��/ � �� 3������� ����� ����������� �������� � #��� �������� �� 3� (� !��� �� �� ����� �� ( ��� �� ��� ��� ��� ( �� � ��� ��� !�� ���� � ��� � ( � ��� ��� �� �/ �� � ��� � ������ ��

& ���� ��� � � � ��� �' � A� �� �( � A� �(� � � � ��� � A� �� � ��� � ��� "� � ��� ��� �� � '� � � � � �� &�� � � �� � ����� �� �� � � ��� ���' � � ��� � "��' � "� � � 4� +���� ',�'1�

�' � �( � � � � � �� � �

!� �� �� ��� ���� �� �� ��� � ����� �'� � � � � �� � � � � ���� �'� � � � � �"�� �� � ����� � ���

$� �� ��� � ��� ����� � � ���� ���� � � ��� � � ��� ��� ������ ��� "� ���� �� �������� ������ ��� ������ � ���� ��� ����� �� ���� � ���� ��� $� ����� �� �������

��'� �� � �"��'�'� ��(� �� � �"��'�(� � � � � ��"� � "��'� �� � �"�

0=( ��282"��� 68;<& ?���+� ',

Page 354: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

10. Canonical Forms Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��� �������

��'� � � '� � ���'� ��� ��(� � � '� � ���(� ��� � � � � ��"� � "��'� � � '� � ���"� � "��'� ��

4� ��� �� ����� ������

+' � �' � � � � �"��(� ��'� � � '�� � � � � ��"� � "��'� � � '��

�� � ������� ����������� � ���� � ���'� $� ������ +' � � ����� � ���' �� ��C����� ��� �������� *���� �����.� ��� � �� ����� ��

��"� � "��' � '� � � '�� ��"� � "��' � (� � � '�� � � � � ��"��' � "��(� � � '�

2��� �� ���

��'� � � (� � ���'� � � '�� ��(� � � (� � ���(� � � '�� � � � �

��"��' � "��(� � � (� � ���"��' � "��(� � � '�

����� �� ��� �� ����� ������

+( � �'� � � � � �"��� ��'� � � (�� � � � � ��"��' � "��(� � � (��

�� � ������� ����������� � ���� � ���(� ��� � �� �� ������ � � ����� � ���( �� ��C����� ��������

��"��' � "��( � '� � � (�� ��"��' � "��( � (� � � (�� � � � � ��"��( � "��0� � � (�

����� ��� �� ���� ������ �� ��� � ��� ����� � �� ��� � � �������� ����� � �� ����� �� �����7

��'� �� � � � � ��"� � "��'� ����'� � � '�� � � � � ��"� � "��'� � � '� � � � � ��"��' � "��(� � � '�

�������������������������������������������������������������������������'� (�� � � � � ��"� � "��'� (�� � � � � ��"��' � "��(� (�� � � � � ��"( � "'� (���'� '�� � � � � ��"� � "��'� '�� � � � � ��"��' � "��(� '�� � � � � ��"( � "'� '�� � � � � ��"'� '�

!�� ���� � ��� � ����� � �'� ��� ���� �� �� �� � ����� � �(� �� � 4 � ���� �� ������� � ��� ���� � ���� �� � �� � ��� ��� �� � ����������� ���� �� �� ��� ����� ��� , �� ��� �� � �� �� ������� �� !��� ���

����� %� � ���� % � '� � % � '

, � % � '

2� �� �� ��� ?��� +���� ',�'0*�.: ���� � ���� ���� ��� ������ �� �� ��� ���� %� �� �������� ����� ����7 ��������� ���� ��'� '� ��� ����� � ��� ��� � �� � ��'� ��� ���� C ����� � ��(� '���� ����� � ��� �� �� � �� �� �� �� �������� �� �

<���� ���� ���� �� ��� ��� "� � "��' ������� ������ � �� �� ���� ���� ���� ��7

�"��' � "��(� � �"� � "��'� � ("��' � "� � "��( ������� ������ � �� � � '

�������������������������������������������������������������������������������("( � "' � "0 ������� ������ � �� (

("' � "( ������� ������ � �� '

�� �� �� ��� �� ��� ��� �� ��� ������ "� ���� ��� ��� � ��� � ���� "'� � � � �"� �� ��/ ��� ����������� �� ��� � ��� � ������� ������ � �� � �� �� ��/ ��� ��������� �� �� 6������� ��� ��������

"' � �"� � "��'� � �("��' � "� � "��(� � � � �� �("( � "' � "0� � �("' � "(����� ���� ��� � ����� "' � � �� ��� ���� � ��� � ������� ������ � ��

���+� ',: ��282"��� 68;<& 0=0

Page 355: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

10. Canonical Forms Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

����-� ��� � �

, ' ' , '

, , ' ' '

, , , , ,

, , , , ,

, , , , ,

������

��������� � �

, ' ' , ,

, , ' ' '

, , , ' '

, , , , ,

, , , , ,

������

������� !�� ���� �� ����� ���� � ��� � ��

��� �������� � ����� 0) ���� ��� �0 � , � � �( � ,� ��� �0 � , � � �( � ,� 6��� ��� ������������ �� $� ��� $� �� ���� �� �� ���� �� ������ � � ��� �� ���� �������

&�� � � ��� � �� �������� � ����� 0� $� ��� $� � �� �� � ����� � #��� �������� �� 3 � �� 0���� ��� ����� ���� 0� 2�� ���� ��3��� � ( ��� ��3��� � 0� � � �������� � =� ( � 0 ���� �������� � =� 0 � (� !� � $� � �� ����� 0 ������� �� 3�� ��� � � �� �� �� � �� 0 ��� ��� �� ') ��� $� � �� ����� ( ������� �� 3�� ��� � � �� �� �� � �� 0 ��� �� � �� (� 2������

$� �

, ' , , ,

, , ' , ,

, , , , ,

, , , , ,

, , , , ,

������

������

��� $� �

, ' , , ,

, , ' , ,

, , , , ,

, , , , '

, , , , ,

������

������

����.� +�� !���� ',�'' � ��� #��� ���� �� �� � �� ���� ��

4� ��� ����� �� ������� ������ � �� �� ������� ��� ����� �'� � � � � ��) ���� ���� � �' � � � �� ��� ���� �� � ���"� �� ��� ������� �������� � ��� !� �� �� ���� ���

��' � �'� �"' � �� � � � � ��� � ��� �"� � �

&�� (� � �� � ��� � !���� � � � '� � � � � ��

�� � (� � ��� � ���� ("�

� � �

!��� ��� �� �� ��� � � � ��� � ��� ���� ��� ��� � �������� ���� (�� ��� � �� � ����� "� ��� � �� � ���"��� ��� ������� �������� � ���

2�� �� !���� ',�', � �������� ������ �� �� ��� � ����� � ���� (� �� �� ���� �� ��� "����� ������ �� � (� � ��� �� ��������� �� � �� 3 ������� ����� $� ���� ������� ������ �� ��� ���� ��)�%� !�� ��� � � � ) � ��� ���� �� $� �� �� #��� ���� �� �� ���� �� !���� ',�=� �� � ���������������� � ��

������� �� � �� ��� ���� ��� �� 3� )�% ������� ��� �/ ��� �������� +���� *�. ����� �� ��� �� ����� (� �� � ����� "�� +���� *��. �� � � ��� � � ��� ) ���� ��� ���� ��� ������ ��������� +���� *���.�� � � ��� � ��� � ����� � (� � �� � ��� �� �/ �� � ��� ������ � ������ ��� � ��� �������� � ��� +����*��. ����� �� ��� �� � ���� ��� �� ��� ��� � ��� (� �� ��/ ��� ��������� �� ��

����/� B������� ��� ������� #��� ���� �� ��� ) � � ����� ���� � �� � � ���� ��� ��%���� �������� ���� � �� � (�= ��� ���� ������� �������� "��� � �� � (�(�

) � �� �� � =� = ������ ��� � ���� ��� ����� =� ��� ��� ������� �������� � �� �� (� ��� � ( �� ��� ����������� �� <���� ��� � ��� ������� � � � ( �� "��� �� (� ) � �� ���� �� #��� �� 3 � �� (� ������ ���� � �� �� � �� ( '� !� � ���� �� ��� �� ������������7

) � ����( '

(

� �

( '

(

� � �(�

� � ) � ����

( '

(

� � �(�� �(�� �(�

� �

������ B������� ��� ������� #��� ���� �� ��� � � ����� ���� � �� � � ���� ��� ������ �������� ���� � �� � (�0�� � =�(� "� �� � ���� ��� ��� ������� �������� "����

0=1 ��282"��� 68;<& ?���+� ',

Page 356: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

10. Canonical Forms Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

&�� � � � ( ��� ������� 0 �� ����� ( � �� ����� ���� ����� � ��� �������� &�������� = � �� �������� �� !� � ���� �� ��� ������������7

*�. ����

( '

( '

(

��

��� = '

=

� �

� � *�. ����

( '

( '

(

��

��� �=�� �=�

� �

* . ����( '

(

� � �(�� = '

=

� � �� *�. ����

( '

(

� � �(�� �=�� �=�

� ��

*�. ���� �(�� �(�� �(�� = '

=

� � �� * . ������(�� �(�� �(�� �=�� �=��

!�� ������� �� ��� ������� �������� "��� �� �/ �� � ��� ��9� � ��� ������ �� 3� !� �7

*�. "��� � �� � (�0�� � =�(� *�. "��� � �� � (�0�� � =�� * . "��� � �� � (�(�� � =�(�*�. "��� � �� � (�(�� � =�� *�. "��� � �� � (��� � =�(� * . "��� � �� � (��� � =�

2��� �� $% � � ��� ��� � ����

������ ��� � �� � � ���� � � � �� � ��� � �� &�� ���� ��� ������� �� �/ �������7

*�. � � �� �� *��. � � � � �� *���. � � � � ��

& ���� � � �� �� !��� ���� ������ �, � � � � ���� � � �� �,� ��� � � � � � �, � �� ���������� ���� � � � � �� !��� � � � � �, ���� �, � �� ��� � � � �� �, � �� �� !� � *�. ��� *��. ���/ ��������

$� ��� ���� � � � � � ��� � �� � �� � �� � � � ���� � � � �� !� � *��. ��� *���. �� ��� �/ ��������

������ +�� ��� �������7 !�� ���� � � �� � ������� � ��� � � ���� ���C��� ����� !��� ��7

*�. ��� �� ���� � � � ��� �� � �� ����� ������ �� ���C����

*�. E� � � � � ������ � � ���) �� �� �� � � �� ��

6 ������ � � � � �� � �� ��� ��� �� � � � � �� ��� � ��� �� � � � �� � � ���� � ��

��� � � �� &�� � , � �� �� ���� � � �� , � �� �� ��� � ���� *�.�2� � ���� ��� ���� � � � ��� �� � �� �� ���C���) ���� ��� �� � � ������ � ��� � � � ���

�� �� !��� � � � � � ��� � � � � �� !�� �� � *�. �� ������ �� �� ��� ���� � � � � �� �� ���� � �, �� ��� ������� �� ��� ��� � � �� &�� � � � �� � � �� �, ������ � ��

�� � �,� � � � �� � �� � �� � �� � �, � �

!� � � � �, � �� �� ��� ��� � ��� �� � � � �� ������� �� ��� ��� �� �� &�������� �� � �� ������� �� � � �� ��� � � � � � �� ��

!�� ���� ��������� ����� �� ��� �� � ���� � � � � �� � �� ��� ��� �� � � �� �� ���� �� +����',�('� ���� �� �/ ������� � � � � � ��

������ ��� � �� ��� �� ��� ��� � � ��� ������ � �/ ���� (� � 0� � 1� � ,� B�� ��� ��� ���� �� �� �0�

� �� � ����� �� �� ��� ���� � � �,� ,� ,�� ��� ��� ���� � � �� ��� ������ ������� � ��E/ ���������� ��� ���� � � �� ��� �� ��� ���� � ��� ������ � �/ �����

(� � 0� � 1� � �� � � �"� �� �� ��� ��� �� �� ���� � � ��� �� �� �� ��� �� ��� ��� � ��� ����� �/ ����

(� � 0� � 1� � (� � 0� � 1 (�� � �� � 0�� � �� � 1�� � � � ,

���+� ',: ��282"��� 68;<& 0==

Page 357: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

10. Canonical Forms Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

����#� & ���� � �� � � ���� � � � �� � ��� � �� &�� ���� ��� ������� �� !���� ',�'= �� ����������) ������� ��� ���� �� � � � � �� � � ��� �� � � �� � �� ����7

��� �� � �� � � � ��� � ��� � � ��� ��� �� � � � ��� � � � ��� � � �

*�. &�� � � � � � �� � � ��� �� � � �� � �� ��� � � �� ��� �� �� ����� � �� 4 � ������ � �� � ��� � ��� � �� � ��� � ��� ��� � �� ��� � �� � �� � � � ��� � ��� � ��

*�. ���� ��� � � � �� � � ������� ��� � ��� � �� ���� �� � ��� � ��� � ��� � � ) � ��������� � � � ��� � ��

����&� ��� � �� � �� � ��� � ��� � � � ���� � � �� &�� ���� ��� ��� �� ��� ��� � ���� ������ ������ � �� �� �� ������

6 ��� �� � � � ��� ��� � � �� �� ����

�� � �� � � � �� � � � � � � �� � � ���� � ������� ����� � ��� � � ���� � � � ������ ������� � �� ������

����(� ��� � �� � � ���� � � � �� � ��� � �� & ���� �'� � � � ���� �� � ����� � � ��� ��� ��� � ������'� � � � � ���� ���� ��% � �% � �� �� � ����� � ��� / ����� ��� �� &�� ���� ��� ��� � �� ��� � �'� � � � � �� �'� � � � ���� �� � ����� � �� !� � ��� � � ��� � � ������� ��

& ���� � � �� &�� � ��%� �� � ����� � ����

�� � � � � � �' ��' � �( ��( � � � �� � ��

��� � � � �'�' � � � �� �� � �� ���� � � �� &�� � ��� �� � ����� � ��

� � �'�' � � � �� �� � �'�' � � � �� ����

� ������� � ����� ��$� �� ��� ���� � �� ������� ������������ & ����

'�' � � � �� � � �'�' � � � �� ���� � , �'�!��� ' ��' � � � �� �� � �, � �

&�� � ��%� �� ������������ ��� �� �� ��� ,� & ����� ���� ��� *'.� �� ��� �'�' � � � �� ���� � ,� &�� � ��� �������������� ��� ��� �� ��� ,� !� � � �� ������� ����������� ��� ������ � ����� � ��

����-� +�� !���� ',�'�7 & ���� � �� � � ���� � �������� ��� � ����� ���� � �� � �� !��� ���� �� � ����� ���� �� � ��� ������ �� �� ��� � � � � ��� � �� <���� �� � �� � 9� ���� ��������� ���� � �� �� � !� � ��� ������� �������� � �� ������� ��� ������� ��������� ��

$� ��� ��� ���� �� �� ���� ������) ����� �� � � � � �� �� ���� �� �� � � � � �� ��� � �� "�� � � � �� �� ���� � � � � �� ���� ��� � � �� � %��������� � �� � �� � � ��� � � ��� � �� � �������

�� �� � � � � � ��� � � � � ��� � � � �� ��� � ��� �/ ����

$� ���� ��� ���� �� �� ������ $� ����

�� ��� � � � � ��� � �� � �� �� � �� � � � � �� � �� � � � � ��� � � ��� � �

� � ��� � � � � ��� � � � �� �� � � � � �� ��� � �

0=� ��282"��� 68;<& ?���+� ',

Page 358: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

10. Canonical Forms Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

6 �����

�� ���� � � �� � �� ��� � � � � � ���� � � � �� ��� � � � ��� ��� � � � � � �� �� � � �

!� � �� �� ������

2�� � ��� ��� � � � �� ����

�(�� � � � � � (��� � � � � �� ���� � � � �� �� ��� � � � � �� � �� �� � � �� � ��(�� � � ���� � � ( � �� (� &�������� � � �� � ��� � !� �� � ��� ��������

��� � �� � � � �� �, ��

����

�� ��� � � � � �� ���� � � � ����

���� � � � ��������� � � �

� ����

��� � � � � �������� � � � � �� ��

������ � � � � � �� ��� � � ���� � �� � � � �� �� � ������� �� � �� � � � ��� ���� �� � � �� � � � � �� �) ����� �� �� ��� � � � ����!� � ��� ����� �� �����

����.� +�� !���� ',�'7 ��� � �� � � �� � ����� ���� ���� ��� ������ �������� �� ����� ����� ���������� !��� � ��� � ����� �� ��� � � �� ��������� �� � ����� �� ������

!�� �� �� �� ��� ��� � ��� �������� � �� "� ��� � � '� ���� ���� ����� ����������� � � �� �'� ' ������ ��� � �� ����� ���

2� � ���� ��� � � � ' ��� ���� ��� ����� ���� � ��� �� � �������� ���� ���� � &�� � ��� ��� ������ �������� � � �� �� ��� ����� ���������� � ��� �� ����� �� �������� � ��� � �� ����� ����9� ������� � �� ��� � ��� � �''�� ��� � �� ��� '%���������� � ���� � ������� �� �� &�� �� � ����!��� *+���� ',�(�. ��� �� � ��� � � ��� � � � '� 2�� ��� ���� � �� �������� ��� �� 4� !����',�'�� � ��� �� � ����� ���� �� � �� ���� ������� �������� ������� ��� ������� �������� � ��&�� � ��� ��� ������ �������� � � �� � �� � � ����� ���������� � �� ��� ������� ��������)��� � � �� ��� ������� ��� ��� ������ ��������� � �� � !� � �� ��� �� ������� ��� ��������� � ��������� ��� �� �� ��� ���� ���� ������ � ����� ��(� � � � � ��� � �� � � ����

�� ���(� � �(( ��(�� ���0� � �0( ��( � �00 ��0������������������������������������������� ���� � �( �� � �0 ��0 � � � �� � ��

2� ��� �(� � � � � � �� �������� � � ���� ����� � ��� ���� �(� � � � � �� ���� ������� !��� �� �(� � � � � �� �� ������ � � *+���� ',�(�.� &�� � �� ��(� � �(( ��(� �� ����

�� ���(� � �(( ��(( � ,� ��� � � ��(� � �((�( � �

4 � � �� ������� �� �) ��� � � ��(� � �((�( �� � � ������ � �� ����

� ��(� � �((�( � �('�� ��� � � ��(� � �('�� �((�(

&�������� � � � 0� � � � �

� ���� � ��(�( � ��0�0 � � � �� ����� � � � ��� � � ���� � ��'�� ��(�( � � � �� �����

!� �

� ��� � �''�

� ��(� � �('�� �((�(

����������������������������������������

� ��� � �'�� �(�( � � � �� ��

��� ��� � ��� ����� � � �� ���� ����� �� ����� ���

���+� ',: ��282"��� 68;<& 0=>

Page 359: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

10. Canonical Forms Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

�'���� $1$% � $5 � ���� � � ����� � ����

����/� +�� !���� ',�'(7 ��� *��� � � �� � � % � �� � ���� �� �� ��� ���� ��� � � � *��� � �� ���"���� � �� � ���'�

��' � � � �� �, ��� � %��������� � �� !���7

*�. !�� ��� �� � ���� � � � � ���'���� �� � ����� � *��� � �) ��� � ��� *��� � � � ��

*��. !�� ������� �������� � �� �� "�����*���. !�� ����� � �� �� ��� ���� ����� �� ��� ������ ����� ! � !�"�� � "���� ?��� � ���

'�� ���� ��� �������� ��� �������� � ��� ��� ����� �,� �'� � � � � ���' � "���� �� ��� ���� � ��� ��� ,�� ��������:�

*�. 4� �������� � "����� ����� �� ��� ��� �� � �� ��� ��/ �� � �� � ���� � (���� � � � ���� �� � ����� �������� � ���� �� �� ��� � �� ��� �� �� ��� ��/ �� �) ��� � ��� ��� � � �� � ���� � � � � ���'������ ������� ������������ $� �� ��� ���� � ��� ���� *��� � � � .���� ��� ����� ���� � �� 4� �������� ����� � .���� $� ��� �� ��� ��� ���� ���� � .��� � ���� � & ���� � � �����'��� � .���� ����� ��'��� �� � ����� �������� � �� � � � ����'���� !��� ���� � � ���'���� �� ������ �������� � � ���� � � � ������� 4 � ����� � .���) ��� � ���� � .��� � ���� � ����/ ������ �� ���� � .��� � ��� �������� ���� !� � *���� � � .���� ��� � � �� � ������ �� �������

*��. & ���� "��� � � � ��'��' � � � �� �, �� ��� ������� �������� � ��� !���� ��� � � � *��� � ��

, � "������� � "�� ���� � ���� � ��'��'��� � � � �� �,�

!� � ���� �� � ����� �������� � �� � ���� � � � � ��'���� ��� ������ � � � ������ "��� � � ���� � "����� � �� !��� "��� ������� "����� ��� � � �� � ������� � � ��� ��� � "���� � "����

����� � � ������� ���� � �(������������������������������������������������������������������������������������������������������������������(���� � ���'���������'���� � ����� � ��,�� �'� ��� � �(�

(��� � � �� ���'���'���

�����

4� ��������� ��� ����� � �� �� ���� ����� �� ��� ������ � ��� ����� � ��� ����� � ��� ���������� � �/ �����) ��� � �� �� !� �� �/ ����

������ ��� � �� � � �� ������ ��� � �� � � %�������� � ���� � � � ��� �� ��� ��� �� ���� � ����+��7

*�. !�� !%��������� � � � � ������� ��� ������� �������� � ��

*�. !�� �� %��������� � �� � ��� ������� ��� ������� �������� � ��

*�. !�� � %��������� � � � � �� ��� ������� �������� � ��� ���� ��� � � � *���� �� ��� ������� ��+���� ',��� �� ������� ��� ������� �������� � ��

*�. !�� �� %��������� � �� � ��� ������� ��� ������� �������� � �� � ��� � ������� ��� ��������������� � � �� !���� ',�'��

�����6� "� ��� ��� ���� ��� ����� � �������� � � �� ���� ���� ��� �� � ��� ��� ������������� ���� ��� � %��������� � � � � ��� ��� �� %��������� � �� � ��� �� � ��� �� ���"� ����" � �

0=- ��282"��� 68;<& ?���+� ',

Page 360: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

10. Canonical Forms Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

������ +�� ����� ',�'07 ��� � �� � � �� � ����� ���� ���� ������� �������� �� ���� ���� ��� �� � ��� ��� ���� ��������� !��� � �� ��� ��� � � � � � % � �� � ���� ��*� � *���� � �� � � '� � � � � �� ���� �������� � %����������

���' � ���( � � � � � ���� � � ' � ( � � � � � �

��� ��� �� ������� � � ��� ��� ��� � � � � � % � �� � ���� �� ��� ��� ���� � ��� � ������� ��� ��� ���� ��� � � %�����������

!�� �� �� �� ��� ��� � ��� �������� � �� "� ��� � � '� ���� � �� ������ � % � �� ��� ��� ���������� 2� � ���� ��� � � ' ��� ���� ��� ����� ���� � ���� �� � ��� �� � �������� ���� ���� ����� ��

&�� � ��� ������� �������� � � �� ���� ���� ������ �' � � � � ���� �� ��'��'� � ,) ��� � ��� � %��������� � �' �� ���� ��� *' � *��'�� � ��� � ��� ���� *' �� � %��������� ��� �� � ��*' ��� ��� �� �� �������� ���� � �� ��� �� �� �� 4� !���� ',�'�� ��� ������� �������� � �� ������� ���) ��� � ������������ ���� � �� ��� �� � ����/ ������ �� ��� ���� �� �� ��� ��� � � � � �� % � �� � ���� ��) ����

�� � *���(� �� � � � � �� *����� �� ����� ��� �������� �� %���������� �� ���( � � � � � ���� � � ( � � � � � ��

$� ���� ���� ���� �� � �� � �( �� ��� ��� ��( ���� � %��������� �� ���( � ��� �� %��������� � ��(� ���� �� ��� �� � �� ��(� !��� �� �( ��� � *'� ��� � ���� ������ � �������� &��� � ��� �

�� �( ��� � &�� ���'� �'�&�� � ��� �� ��� ������� �������� � �� � ����� �� *'.�

, � �� ���� � �� ��(&�� ���'�4 � ��� �� ��� � %��������� � �') ��� � ��� ������� ����(&���� ��� � &��� � ���('��� � ����������� '���� $� ���

�( � � � '�� ���'�&�� � � � �( � '�� ���'� � *'� �( ��� ������ � ��� ��� ��(� !� � ��� � %��������� � �( �� � � ������ � ����� %��������� � ��(� 8� ��� ��� ����� �� *'.�

�� �( ��(� � �� � �� � '�� ���'�� � �� �( ��� � &�� ���'� � ,

����/ ����� ��� � %��������� � �( �� ���( � �� �������&�������� ���� ����� �� �� �0� � � � � �� � � � � ���� �� � �� ��� ���� ��� � %��������� � �� �� ���� � ���

�� %��������� � ��� $� ���

*( � *��(� � �� � � � � *� � *���� � ���� � ����� ��� ����� � ���� � ���� ���� ��� ����� ��� !���� ��� � ���� �� ��� ��� � %��������� � ��

��� ��� �� %��������� � ��� �� 3�� ����

��� � ����� � � � �����'����� ��� ���� �� ����� � � � � �����'������� ����� � *���� � � ��� *���� �� �� ���� ������� � � � (� � � � � �� 4 � �� � *��(� �� � � � � �� *���� �� �) ��� �

��(� � � � � ���(�'���(�� � � � � ���� � � � � �����'������

�� � ����� � ��� !������ �� +���� ',�(� ��� ��� ������ ������� � ����� *��� +���� ',�(>.�

�'� � � � ���'�'��'�� �(� � � � � ��(�'��(�� � � � � ��� � � � � ����'������� � ����� � �� !� �� �� !���� ',�1� � � *��'� � � � � � �� *���� � �� �� �/ ����

"� ������ � ��� ���� ��� �������� '� � � � � � �� ��/ ��� ��������� �� �� &�� � � � ����� � ������� � � ��' � � � �� �� ��� ��� *� � ��� � � '� � � � � �

���� �� �� ��� ������� ������� ���� *+���� ',�=@. �� ��*�� �� � � �� � ���� � �������� �� �� ��������� �� ��� �������� ��� � � �� � � ��� �������� , �� � � �

���+� ',: ��282"��� 68;<& 0=@

Page 361: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

10. Canonical Forms Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

2� ��� �� � � � � �� �� ������ ��/ ��� �� ��� �� � � �' � � � �� ��� ���� �� � *�� ��� � ����� � �� �� ��� � �� �� ������ ��/ ��� �� ��� ��

�� ���� � �� ���'� � � � �� �� ��������� �� ����� � �� ��*��� ��� � �� ��� ������� ��������� � � � ��� �

' � � � � � � � � � ��' �

!��� �� ��� � � �� ��*'� � � � �� �� ��*����� � ���� �� ��� �� � ���' � � � � � �� �� � �� �(�!�� � ���� � ��� ���� � *(. �� ��/ ��� ��������� �� �� &�� � � '� ��� *(. ��������� ��� � ��� �� �/ �� � � 2��� ��� � � (� ��� *(. ��������� ��� � ��� � � *�� ���. �/ �� � � '� $� ����� ���� ��� ���� �� ��� � , ��� �������� ��� � ��� � � �/ �� � '� !� � ��� � �� ��/ ��� ��������� ��� ��� �� ��� ��� ����� �� �����

������ ��� � �� � >%���������� �� � ��� � �� �� ��� ��� � �� � � �� � ����� ���� ���� ��������������� "��� � ��( � (� � =��� � 0�0� 6��� ��� ������� ������ ���� �� ��� $ � ��

!�� � � � ��� ��� � ��� ������ ���� �� � �� ��� � � >� ���� �� ������ ����� � �� ��!��( � (� � =� ��� �� � �� �� !��� � 0�0� � !��0 � @�( � (>� � (>�� !� � $ � �� �� �� � ��� ��������� 3 ������� ���� ��7

*�. ����, �=

' (

� �

, �=

' (

� �

, , (>

' , �(>

, ' @

��

��

� �

*�. ����, �=

' (

� �

, , (>

' , �(>

, ' @

��

��� , �@

' �

� �

� �

* . ����, �=

' (

� �

, , (>

' , �(>

, ' @

��

��� �0�� �0�

��

��

%��0 �����$

������ & ���� � � �' � � � �� ��� !�� ���%� ��� � � ��� ��� � ���� � �� �� ��� ������� /�� � ������� �� /��� � �� ���� � � �' � � � �� ����� � ��� &�� ����7 *�. / �� ������ *�. /( � /�

*�. &�� � ��� � � � � �' � � � �� ��� �� � � �� ��/ ��� ��������� �� �� ��� ������� / �� ���� �������& ����� � � � �� � � ��

' � � � �� ���� ��

� � ��� !���

�� � � ��' � ��'� � � � �� ��� � ��

�� ��� �� � ��' � � � �� ���� ������ � ��� � ��

�� ��� ��/ � � �� �������� � �� � ��� ��� ��� �

/��� �� � �� � ��� � /��� � /��� ��� /���� � ��� � �/���

��� ������ / �� ������

*�. $� ���� ����

�� � ,� � � �� ,� �� � ,� � � �� ,

�� ��� ��/ � � � �������� � �� � �� ) ��� � /���� � �� � !���� � ��� � � ��

/(��� � /�/���� � /���� � �� � /���!� � /( � /� �� �/ ����

0�, ��282"��� 68;<& ?���+� ',

Page 362: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

10. Canonical Forms Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

����#� & ���� /�� � � �� ����� ��� /( � /� &�� ����7 *�. /��� � � � ��� � � "� /� ���� ������� ��� � / � ��� ����� �� ��� �������� �������) *�. � �� ��� ��� � � � � ��� ����� ��� 3����� /�� � "� / � A� /) * . / �� ��� �C� ��� � � ��� "� /� ��� ������ !� �� �� ��� �� ����������� � ����� ������� � �� � � �� � �C� ��� �� ��� ��� �� �( � � ) ���� ��� ���9���� � ��C� ��� �� ��/ ����� ��� �� ��� ���������

*�. "� � � "� /� ���� ���� ������ � � � � ��� � /��� � �) ��� �� �� �/ ����

/��� � /�/���� � /(��� � /��� � �

*�. ��� � � �� $� �� ���� � �� ��� �� � � /��� � �� /���� 2� /��� � "� / ���� ��� �

/��� /���� � /��� � /(��� � /��� � /��� � ,

�� /��� � A� /� � ������� � � "� / � A� /�2� � ���� � � "� / � A� /� 4� *�.� /��� � � �� � �� � � "� /� 8� ��� ��� ����� /��� � ,

�� � �� � � A� /� !� � � � ,� ��� � "� / � A� / � ,�� !���� �� ������� ����� ���� � �� ������ � � � � ��� ����� ��� 3���� � /�

* . ��� � � � ��� � ���� � � � � �� ���� � � "� / ��� � � A� /� 2�� ���� /��� � � �� *�.� ���/��� � , �� � �� � � A� /� ��� �

/��� � /�� � �� � /��� � /��� � � � , � �

!��� ��� / �� ��� �C� ��� � � ��� ��� ������

����&� & ���� � � � � � ��� � ���� � �� � � �� ������ &�� ���� � ��� � �� ��� � %�������� ����� ��� �� �/ � /� � ���� / �� ��� �C� ��� � � ��� ��

8����� ���� /��� � � � ���� � � �� ��� ���� *�. /��� � � ��� � � � � *��. /��� � , ��� � � ��& ���� /� � �/� ��� � � � � &�� � /��� � ��

� ��� � � �/���� � ��/���� � �/� ���� � /�� ���� � �

��� � � �� � %��������� 2� ��� � � �� &�� � /��� � ,�

/�� ���� � �/� ���� � ��/���� � � �/���� � � �,� � ,� ��� � � ��� � �

��� � � �� ��� � %������������������ � ���� � ��� � �� ��� � %��������� ��� � � � ��� � ���� � � � � �� ���� � � � ���

� � �� !��� � ��� � � ��� � ��� � � ) ��� � /�� ���� � � ��� ��� /�� ���� � ,� !� �

�/� ���� � �/� ��� � �� � �/� ���� � �/� ���� � /�� ���� � /�� ���� � � ������ ��/���� � ��/��� � �� � � �/�� � ��� � � ���!��� ��� �/� ���� � ��/���� � ���� � � � ) ������ /� � �/� �� �/ ����

$7++��������) %��4���,

��� �� �� $1$% � $

����(� & ���� � �� �������� ��� � �� � �� &�� ���� � �� �������� ��� �� � � ��� �������� ����

����-� &�� ���� ���� � ���� � � � �� �������� ��� � ��� �� ��� �������� ��� 9� ������

����.� ��� � �� �������� ��� �'�� � � ��� �(�� � �� +�� � �� ��� �������� ��� �' � �( ��� �'�(�

����/� ��� � �� � � �� ������ +�� ���� ��� �������� �� /� �� � %���������

���#�� ��� � �� � �� � ��� � � �� �������� *����� ���� '. �� ��� ��� ���� �� &�� ���� ��� ����� ����� � ��� �� �������� � ���� � ��� ���� � ,��

���+� ',: ��282"��� 68;<& 0�'

Page 363: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

10. Canonical Forms Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

���#�� B������� ��� �������� � ���� � � � � ( �1

= �(

� ������ �� � ����� ���� � *�. �(� *��. �(�

���#�� & ���� ��� � � � &�� ���� � �� � � ��� � ����� �� ����� ����������� �� ��� ��� �� ���� ������ %�������� � ���� �� �' � �( � � � � � � � � � ��� � ��� �� � �� � � '� � � � � �

��� �� �� �� �� $�$

���#�� !�� � ���� �� �'� � � � ��� �� ���� � �� �������� �� �' � � � �� �� � ,� �� � ��� ������� ���� �� ��� � ,� &�� ���� �������� � �' � � � �� �� �� ��� ��� �� ��� �� �� ������������ ?��� �������� ��������� ����� ���� � ��� ���:

���##� &�� ���� � � �' � � � �� �� �� ��� ��� ��7 *�. � � �������� ��� *��. � � � '� (� � � � � ���� � ������'� � � � ����'����'� � � � ���� � ,��

���#&� &�� ���� �������� � �' � � � �� �� �� ��� ��� �� ��� ���������� � ��� �' � � � �� ��� ���

���#(� & ���� ��� ��� ������ �������� � � �� � � �� ���� � '���' (���( � � � ����� � ���� ��� ���� �� ������ ���� ��� ���� ���������� ��� � � �' � � � �� �� �� ��� ����� �� ������� � � ��� � %��������� ���� ��� &�� ���� ����� �� ��� ��� ������ �������� � ��� ���� ��� � � � ���

���%�� �� �% � ���$

���#-� & ���� �' ��� �( �� �������� ����� ���� �� ��� ���� �'�( � �(�'� &�� ���� �' � �( ��� �'�( ����� ���������

���#.� & ���� � �� � � ������� �� ������ ����� ��� ������ � ��� ���� ��� ���� ������� �� ,� &�� ���� � �����������

���#/� ��� � �� ��� �� � ��� � � ��������� � ����� �� &�� ���� ��� ��������� ���� � � �� �������� ������ � '�

���&�� &�� ���� ��� #��� �������� �� 3 ����� ( �� ������ � ��� ������� (� *��� ����� ���� '�� ���� ���������� ��� ,�� ��������:�

���&�� &�� ���� �� �������� ���� �� � �� 0 �� ������ �� ��� ��� �� ���� ���� ��� ���� ����� � ������� ��&�� �� ������� ���� ��� ��������� �� �� � � � �������� ���� �� � �� 1�

0�� � � ����� � ����

���&�� 6��� ��� ������� #��� ���� �� ��� � ���� ���� �� ���� ��� ������ �������� ���� ��� ��������������� "��� �� �� �����7

*�. ���� � �� � (�1�� � 0�(� "��� � �� � (�(�� � (��� � 0�(�*�. ���� � �� � >�=� "��� � �� � >�(� * . ���� � �� � (�>� "��� � �� � (�0

���&�� &�� ���� ���� ����� ����� �� ������ � ��� �������� *0��1 D�� ��� #��� ���� �� ���.

���&#� &�� ���� ��� � ����� ���� �� � � ��� � � � � � � �� � � � � � �� �������

���&&� & ���� � �� � ����� ����� ���� ��� ��� �������� ��� &�� ���� � �� ������ � � ����� ���� ��� ����������

0�( ��282"��� 68;<& ?���+� ',

Page 364: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

10. Canonical Forms Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

�'���� $1$% � $

���&(� & ���� � �� � � �� ������ +�� ���� *��� � � �� ��� ������ ��� � ��� � %�������� � ���� �� �������� ��

���&-� ��� ��� ��� &��� �� ��� � %���������� � � ��� �� ���� ������� &�� ���� �� ��� ��� &��� �� ��������� ��������� ���&��� �� ��� � %��������� � � � ��

���&.� +�� ���� *��� � � � *��� � � �� ��� ��� �� &�� ���� � � ���� &��� �� ��������� ���� � ��� � %��������� � ��

���&/� ��� � � *���� �� ��� � ���� ��� � %��������� � � �� ���� ���� ��� �� � ��� ��� ���� �������� ������ �� &�� ���� �� ��� � �� � � �� � ���� � �������� �� �� ���� ��� ���� �� ��� �������� �� � � �� � ��� �������� , �� � �

� ���� � � ����� � ����

���(�� 6��� ��� ������� ������ ��� � � �� � ����� �� � ���� ������� ��������7

*�. "��� � ��( � (� � 0��� � '�(� *�. "��� � �� � (�0�

���(�� ��� � �� � 1� 1 ����� ���� ������� �������� "��� � ��( � '���( � 0�� 6��� ��� ������ ���� �� �� �� �� � �� � ����� �� *�. ��� ������ ���� 2� *�. ��� ��� ���� �� * . ��� ����� ���� ��

���(�� 6��� ��� ������ ���� �� �� � ��� 1%�/ �� #��� �� 3 ���� ��� � ��� ��������

���(�� +�� ���� ��� ��� ������ �������� � �� ���� � �� � � �� � �� � � ��� ��������� �������

���(#� +�� ���� �� 0� 0 ���� �� ���� ��� ���� ������� ��� ��� ������ ��������� �� �������

���(&� ��� !� ���� ����� ��� ������ ����� � �� ������ �������� ���� &�� ���� ��� �� ��� ��� ������ �������� � !� �����

%��0 �����$

���((� & ���� � � �' � � � �� ��� ��� /� ����� ��� �C� ��� � � ��� ��� +��7 *�. /�/% � ,� � � %)*��. � � /' � � � �� /��

���(-� ��� /'� � � � �/� �� ����� ����� � � � � ����7

*�. /(� � /�� ����� ��� /� �� �C� ����) *��. /�/% � ,� � � %) *���. � � /' � � � �� /��

+�� ���� � � "� /' � � � �� "� /��

���(.� & ���� /�� � � �� � �C� ���� ����� /( � /� +�� ���� / ��� � ����� ����������� � ��� ��

�� ,

, ,

� � ���� � �� ��� ��3 � / ��� �� �� ��� �%�/ �� �������� ������

���(/� +�� ���� ��� �� �C� ���� � ��� ���� ��3 �� ������� *0��1 D�� ��� �� �� � +���� ',��-�.

���-�� & ���� /�� � � �� � �C� ���� +��7

*�. � � / �� � �C� ��� ��� � � "� / � "� �� � /�� *��. � � / �� ��������� *�� '� ' � ,.�

2��� �� $% � $

���-�� ��� � �� � � ���� � � �� & ���� ��� ��� � ���� �' � � � �( � � � � � � � � � � � �� ��� �� ������������������� &�� ���� ��� ��� � �� �� �'� �(� � � � � �� �� � �� ��� ������� ������������

���-�� ��� � �� � � ����� � � �� & ���� ��� ��� � �� �� �'� �(� � � � � �� �� � �� ������� ������������ ��� ����.���� � � � ,�� &�� ���� ��� ��� � ���� �' � � � � � � � � � � � �� ��� �� ��� ������� ������������

���+� ',: ��282"��� 68;<& 0�0

Page 365: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

10. Canonical Forms Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

���-�� & ���� � � � � � ��� ���� �'� � � � � �� �� � ����� � �� &�� ���� �' � � � � � � � � � � � �� � ����� ���� / ����� ��� �� ���� *8����� ���� � ������ �� ��� �� � ��� ������������� � � ��.

���-#� ��� � �� ��� �� ��� ��� � � ��� ����� �/ ����

�'�' � �(�( � � � �� �� � ,� �� � �

��� ��� � � ��'� �(� � � � � �� � �� +�� ���� ��� ��� �� � � � �� � �� ��� �� ��� ��� � ��� ������/ ����

�'�' � �(�( � � � �� �� � �� ���� � � �'�' � � � �� ��

���-&� ��� � �� ��� �� � ��� � � ��������� �� � ��� ��� � �� ��� � ���� � � ��������� ��������� �� �1� ����� ��� �� �,�

1 � �'�= � � � �� ��1�

� &�� ���� ��� / ����� ��� � ��� ��� �������� 1�

���-(� ��� � ��� � �� � ���� �� � � � � ���� � � � � �� 2�� ���� ��� ��� � � � � � �� � ��� ��� �������� �� � ��� � � �� �� ��� � � � � ������� � � � ) ��� � ��� �� � � ���� � ���� +�� ����*�. ��� �� � � ���� � � ���� *��. ������� � � ������� � � ������� ��

���--� ��� � ��� � �� � ���� �� � �� &�� ���� ��� ���� � � � � �� � �� �� ������� �� ������ ���� �� � ���� ���� � � �� � �� �� � � ��� ���� � � �� � 7

���� � � � � ��� � � � ��� � � � � �� �� � � �

���-.� ��� � �� � � � �� ����� ���� 3���� � ��� ����� �� &�� ���� ��� / �������� � ��� �� ������ � � ��� ��� ������� � ���� � � ������ ������ � � � � ���� 6 ������ ��� ���� � � � � � � � ���� � �� � ��� ����� ��� �� ������� � � ��� ���� ���� ���� � �� �� ��� � �� ��� � �� ����� � ��� �������� ����� ���� � �� *&�� �������.

�,8��, �� $7++��������) %��4���,

���#�� *�. �( ��� ,�� *�. �(� ,���' � �����(� '� (����( � �����(� '� (��

���&�� *�. ����( '

(

� �

( '

(

� �

0 '

0

� � �� ����

( '

(

� � �(�� �(�� 0 '

0

� � ��

*�. ����> '

>

� �

> '

>

� � �>�

� �� ����

> '

>

� � �>�� �>�� �>�

� ��

* . ��� $� ����� � #��� �� 3 ���� � � ( ��� �� �� !���7 �����$0�$0�$'�� �����$0�$(�$(�������$0�$(�$'�$'�� �����$0�$'�$'�$'�$'�

���(�� ��� � � , �0

' (

� �� � , �'

' �(

� �! �

, , -

' , �'(

, ' �

��

���2 � , �1

' 1

� �

*�. ������������ ������������ ����������'��'�� *�. �����!�!�� �����!�2� �(��� �����!� (� (� (�

���(�� ��� � � , �'

' ,

� �� � , 0

' ,

� �

*�. ���������� *�. ������� ���0

��� ���

0� �� * . ����������

���0

��� ���

0� �

���(�� ������� ����� ���� ��� ���� � �� ���1� 1�0����(� 1���

0�1 ��282"��� 68;<& ?���+� ',

Page 366: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

11. Linear Functionals and the Dual Space

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

������� ��

�� � ������� �� �� ��� �� � �� ��

���� ����������

�� ���� ������ ����� ����� ������ ���� � ����� ��� � ���� ��� ��� � �� �������� ���������� �� ����� �� ������ �� � �� � ����� ��� ��� ������� ��������� ��� �� ������ ��� ��������� ��������� ������ �� � ���� ��� ���� ����� ���� �� ��� ���� ��� ������ ������������ �� ���� ���������� �������� ��� ����� �� ����� ���������� �� � �� � ���� ��� �� � ������� ��� ������ ���� �� ��� ��� �� �� ����� ����

���� ��� �� ��������� ��� �� ��� ���

�� � � � ����� ��� ��� � ��� �� ����� ��� � � �� ���� � ������ ���� ��� ��� ������ ��� ��� ��� ��� � � � � ��� ��� �� ��� ��

���� ��� � ���� � �����

�� ���� ����� � ����� ���������� �� � �� � ����� ����� ���� � ���� ��

������� ���

��� �� �� ��� � � � �� ��� ��!����� ������ ���� ����"� �#� � � � ��� � ��� $�� �� �� ����� ��� �� �� �� � �����

���������� �� ���

��� �� � � �� ����� ��� �� ���������� �� � ��� �� �� ��� � � � �� ������� ������ ���� ��������� � � "

%���� ��� &���� ���� � �� �����' ��� ��� �� �� � ����� ���������� �� ��

��� �� � � �� ����� ��� �� �(�)��� ������� ��� �� �� � �� � � � �� ���� �����

� ��� � �"" � �## � � � �� ���� �� � � �����

$��� ��� � ������� �� � �����* � �� ��� �� ��� �������� ������ $��� �� �� ����� �+����� ""�#,�� ��� �� �� ��� ����� ���������� �� ��

-./

Page 367: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

11. Linear Functionals and the Dual Space

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

0� $���� /�"%� �� �� �� ����� ����������� �� � ����� ��� � ��� � ��� � �� ���� � ����� ������ �� ��� �������� ��� ������ ������������� ���� ��

��� ����� � ���� � ���� ��� ������� � ����� �� � ��� � �� ����� ����������� �� � ��� � � �� $��� ��� �� ����� �� ��� ����� �� � ��� ������� �� �1�

������� �� �� � � ��� �� ����� ��� �� �(����� ���� ��� �� ������ ������� $�� �� ���� ��� �1 ���

� ������� ��� �� ��� �� �� ������� �� ���������� ��� ����� ���������� � � ��"� � � � � ��� �� �1 ��� �� ����������

���"� �#� � � � � ��� � ��"� �#� � � � � �����#� �#� � � � � ���� � �"�" � �#�# � � � �� ����

������������� �� ������ *������ �� �� ����� �� ���� � ������ ���

���� ��� �����

2��� � �� � ����� ��� �� �������� � ��� �� 0� $���� /�"" �� �������� �� �� ���� ����1 �� ���� � ����� � �� �� �������� " ��� ������� �� ����� ��� ����� �� � ������� � ����� �� �1 ������� � �� +����� ""�- ��� �� ������

������� ����� 2��� �"� � � � � �� �� � ����� �� � ��� �� �� �"� � � � ��� � �1 � �� ���������������� �� ���� ��

������ � ��� � " �� � � �

% �� � �� �

$�� �"� � � � ��� �� � ����� �� �1�

$� ���� ����� �� �� ���� �� ����� ��� �� �� �� �� ��� ������ $� ���� �������� ���� ����� 3����4� ���� ���� �� � ����� �� �� ������

�"��"� � "� �"��#� � %� �"��-� � %� � � � � �"���� � %

�#��"� � %� �#��#� � "� �#��-� � %� � � � � �#���� � %

������������������������������������������������������������������������������������������"� � %� ����#� � %� � � � �������"� � %� ������ � "

0� $���� /�#� ��� ����� ������ �� �� ���)� ��� ��(�����

������� ��� 5������ �� ����� �" � �#� "�� �# � �-� "� �� �#� 6��� �� ���� ����� �"��#�7 �4 ����� ����������� �"��� �� � ��� �� ��� �#��� �� � �� � �� ���� ����

�"��"� � "� �"��#� � %� �#��#� � %� �#��#� � "

$�� ���� ���������� ��� �� �� ����� ��� � � ������ �� ����� )�������8

�"��"� � �"�#� "� � #�� � � "

�"��#� � �"�-� "� � -�� � � %

����#��"� � �#�#� "� � #� � � � %

�#��#� � �#�-� "� � -� � � � "

$� ��������� ���� � � �"� � � - ��� � � "� � � �#� ��� �"��� �� � �� � -� ��� �#��� �� � � � #� ���� ������ ������

$� �*� � � ������ ����� �� +������ ""�, ��� ""�/� ��������� ��� ����������� �� ����� ��� ���� ������

������� ����� �� �"� � � � � �� � � ����� �� � ��� �� �"� � � � ��� � �� ���� ����� �� �1� $��8

��� 6�� ��� ����� � �� � �"���" � �#���# � � � �� ����������� 6�� ��� ����� ���������� � � �1� � � ���"��" � ���#��# � � � �� ��������

-.. ���9 & 6��5$�:� �2 �; $�9 ;� � 2+ 59 <5� +� ""

Page 368: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

11. Linear Functionals and the Dual Space

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

������� ����� �� �"� � � � � �� ��� �"� � � � ��� � ���� �� � ��� �� �"� � � � ��� ��� �"� � � � � ��� �� ���� �� �1 ���� �� �� ��� ��� ��������� 2��� � �� �� �����(��(����������* ���� �� �� ��� $�� ���"�� �� �� �����(��(����� �����* ���� �� �� ���

���� � ��� ��� ���

7 ���8 9��� ����� ��� � ��� � ���� ��� �1� ���� �������� �� ��� �� ����� ����������� �� ��$��� �1 ����� ��� � ���� ��� �11� ����� �� ��� �� ��� �� �� ���� �������� �� ��� �� ���������������� �� �1�

7 �� ��� ���� ��� � � � ������� � ����� ���� �� � �11� 6���� �� ���� ��� ��� � � �1� ���

����� � ����

�� ������ �� � ��� � ���� ���� �� ����1� � �� ������ 6�� ��� ������� �� � � � ��� ��� ���������������� �� � � �1� ���

������ ��� � ���� ������ � ����� � ����� � ������ � ������

$��� ��� �� �� ����� ��� �� �� � �11� $� ����� ��� ����� ����� �� +����� "#�=� ������

������� ����� �� � ��� ���� ���������� ��� �� ����� � � �� �� �� ���������� �� � ���� �11�

$� ���� ����� � � �� �� ����� �� ������ ������� �� � ���� �11� 7 �����> ���� ��������� �� ��� ���� �11 �� � �� ��� ����(����������� �� ��� �� �� �� ��� ����� ��� ������� �� ���� ��� ��(��(���

�� ���� � ��� ��� ���� ��������� 0� $���� ""�,� �� ������� ����� ������� ������������ �� � � ��� �11� ����� ���� �� ������ ����� ������� � ��� �11 �� ���� ������ ����������� ����� �� � �� �� ��� �� ����� ����������� �� �1 ��� ����� ��� � � �11� 7 ����4���� �� �� �� �� ����� �� �1 ���� �� � ����� �� �� �� ��� �� �� �� ����� �� �11 � � ���� �� ���� �� ���

���� ������������

��� � � ����� ���� ��������� � ������� �� � ����� ��� �� ����� ���������� � � �1 �� ������� ��������� � �� � �� ���� � % ��� ��� � � �� ���� �� ��� � � %� 7 ��� ���� �� �� �� ��� ����������� ����� �� � % ��� ����� �� ��������� � �� �� �� � ������ �� �1� 5������ % � � %� �� ���� �� � � � %� $��� ��� ��� ������� �� ��� � ��� ��� ��� � � ��

���� ������ � ����� � ����� � �%� �% � %

$��� ��� �� � � %� ��� �� � % �� � ������ �� �1��� �� ��� ����� �� � ������ �� �� ��� �� ����� ��� ���������� �� �� ��� ��� �����������

� % �� +����� ""�"" ��� �� ������

������� ����� 2��� � ��� ���� �������� ��� � �� � ������ �� �� $��8

��� ��� � � ��� � % � ���� ��� ���� � %% � �

�� � %% � � � � ����� � % ��� ��� � � � % ��� )���������� � %% � �� %�%� �� � %% �� �� ��� � ������ �� � ���� �� ������������ �� � ��� �11�

5� +� ""? ���9 & 6��5$�:� �2 �; $�9 ;� � 2+ 59 -.=

Page 369: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

11. Linear Functionals and the Dual Space

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

���� �������� �� � ��� �� ������

�� � �� � � � �� ��������� ����� ����� ���� � ����� ��� � ���� � ����� ��� � � �� ������ ����� ���������� � � �1� �� ���������� � � � �� � ����� ����� ���� � ���� �8

V U KT φ

φ T°

$��� ��� � � � � �1� $��� �� ����������

� � � � �

�� � ����� ���� �1 ���� �1' ���� �� �� �� ��� ���� �� �� ������� �� � � �� ���� ������� ��1� �1 �� ���� ��

����� � � � �

$��� ���������� � ��� ���� ��� ��� � � ��

������� ����� $� ������� ����� �� ���� ���� �� ������

�� � 6�� ��� ������� �� � � � ��� ��� ����� ����������� �� � � �1�

������ ��� � ���� ��� � � � ��� � � � � ��� � � � � ������ � ������$��� ��� �� �� ������ �� �������

7 �����> ���� �� � �� � ����� ����� ���� � ���� � � ��� �� �� � ����� ����� ���� �1 �����1� $� ��� @@�������AA ��� �� ����� �� �� ����� ����� ���� �� ����� ��� ����� ����� ��+����� ""�".��

������� ���!� �� � �� � � � ������ ��� �� � � �� �����* ���������� �� � ������ �� ���� ���� � ��� � �� � � $�� �� ������� �����* �� �� �� �����* ���������� ���� ��1� �1 ������ �� �� ���� ���� �� � ��� ���

��"#�$ ���%"��&

��� ��� � ��� ��� ��� �

����� 6��� �� ����� �"��#��- ���� �� ���� �� �� ����� ��� ����� �� �-8�" � �"��"� -�� �# � �%� "��"�� �- � �%� -��#�

$� ����� ����������� ��� � *���� �� �� ����

�"��� �� � � �"� � �#� � �- � �#��� �� � � �"� � �#� � �- � �-��� �� � � �"� � �#� � �-

0� �������� �� �� ���� ������ ������ � % ��� � �� �� ��� ������ � " ��� � � ��

7 ��� �" �� ������ �"��"� � "� �"��#� � %� �"��-� � %� $��� �����

�"�"��"� -� � �" � �# � -�- � "� �"�%� "��"� � �# � �- � %� �"�%� -��#� � -�# � #�- � %

2������ �� ����� �� )������� ����� �" � "� �# � %� �- � %� $��� �"��� �� � � ��7 ��� �# �� ������ �#��"� � %� �#��#� � "� �#��-� � %� $��� �����

�#�"��"� -� � �" � �# � ��- � %� �#�%� "��"� � �# � �- � "� �#�%� -��#� � -�# � #�- � %

2������ �� ����� �� )������� ����� �" � =� �# � �#� �- � �-� $��� �#��� �� � � =� � #� � - �

-.B ���9 & 6��5$�:� �2 �; $�9 ;� � 2+ 59 <5� +� ""

Page 370: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

11. Linear Functionals and the Dual Space

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

7 ��� �- �� ������ �-��"� � %� �-��#� � %� �-��-� � "� $��� �����

�-�"��"� -� � �" � �# � ��- � %� �-�%� "��"� � �# � �- � %� �-�%� -��#� � -�# � #�- � "

2������ �� ����� �� )������� ����� �" � �#� �# � "� �- � "� $��� �-��� �� � � �#� � � � �

����� �� � � �� �� � �� � � �� �� ����� ��� �� ��� ���������� �� ��� �"� 6��� �� ������"� �# �� � ���� �� ���� �� �� ����� �"��# �� �1 ���� ��

�"� ���� ��"

%

��� �� ��� �#� ���� ��#

%

��� ��

�� �" � �� �� ��� �# � � � ��� 0� �������� �� �� ���� ������

�"��"� � "� �"��#� � % ��� �#��"� � %� ������ � "

$���

�"��"� �� "%��� ��� �� � �� "

#� � "

�#��"� �� #%�� � ��� �� � #� � #� � %

����"��#� �

� "%�� � ��� �� � � � "

#� � %

�#��#� �� #%�� � ��� �� � #� � #� � "

2������ ��� ����� ����� � � #� � � �# ��� � � � "#� � � "� $��� �" � #� #�� �# � � "

#� � �� �� �����

�� � ���� �� ���� �� �"��#�

����� +��� $���� ""�"8 2��� �"� � � � � �� �� � ����� �� � ��� �� �� �"� � � � ��� � �1 � ������ ������ � % ��� � �� �� ��� ������ � " ��� � � �� $�� �"� � � � ��� �� � ����� �� �1�

7 ���� ��� ���� �"� � � � ��� ���� �1� �� � � �� ��������� ���� �� �1� ��� ����

���"� � �"� ���#� � �#� � � � � ����� � ��

2� � � �"�" � � � �� ����� $��

���"� � ��"�" � � � �� �������"� � �"�"��"� � �#�#��"� � � � �� ������"�� �" � "� �# � %� � � �� �� � % � �"

2��������� ��� � � #� � � � � ��

����� � ��"�" � � � �� ��������� � �"�"���� � � � �� �������� � � � �� �������� � ��

$��� ����� � ����� ��� � � "� � � � � �� 2��� � ��� � ��� �� �� ����� ������� � � � � �"�" � � � �� ����� ����������� �"� � � � ��� ���� �1�

�� ������ �� � ��� � ���� �"� � � � ��� �� ������� �������� 2����"�" � �#�# � � � �� ���� � '

����� ���� ���� �� �"� ������

% � '��"� � ��"�" � � � �� �������"� � �"�"��"� � �#�#��"� � � � �� ������"�� �" � "� �# � %� � � �� �� � % � �"

2��������� ��� � � #� � � � � ��

% � '���� � ��"�" � � � �� ��������� � �"�"���� � � � �� �������� � � � �� �������� � ��

$��� ��� �" � %� � � � � �� � %� ��� �"� � � � ��� �� ������� �������� ��� �� �� �� � ����� �� �1�

5� +� ""? ���9 & 6��5$�:� �2 �; $�9 ;� � 2+ 59 -.C

Page 371: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

11. Linear Functionals and the Dual Space

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

����� +��� $���� ""�#8 �� �"� � � � � �� � � ����� �� � ��� �� �"� � � � ��� � �� ���� ����� �� �1�6�� ��� � � ��� ��� � � �1� ��� � �

� ������� ���� � � �� ��������

2���

� �"�" � �#�# � � � �� ���� �"�$��

�"�� � �"�"��"� � �#�"��#� � � � �� ���"���� � �" � "� �# � %� � � �� �� � % � �"

2��������� ��� � � #� � � � � ��

���� � �"����"� � � � �� �������� � � � �� �������� � ��

$��� ��� �"�� � �"� �#�� � �#� � � � ����� � ��� 2����������� ��� ������ ���� �"�� ������ �����*� ��� ����� ����� �� ����� ���������� � �� ���� ���� �� ����

��� � �"�����"� � �#�����#� � � � �� ���������� ���"��"�� � ���#��#�� � � � �� ���������� ����"��" � ���#��# � � � �� ����������

2��� �� ���� ����� ��� ��� � �� � � ���"��# � ���#��# � � � �� �������� �� �������

����� +��� $���� ""�-� �� �� ��� �� � ���� �� � ��� �� �� ��� �� � �� ������ �������� �� �1� �� � � �� �����(��(����� �����* ���� �� �� ��� $�� ���"�� �� �� �����(��(����� �����* ���� �� �� ���

2���� ��� � � "� � � � � ��

�� � ��"�" � ��#�# � � � �� ����� ��� �� � ��"�" � ��#�# � � � �� �����

$�� � � ����� ��� ! � ������ 7 �4 �� ��� ���� ! � ���"�� ��� "� ���� �� ��� �� �� ! ��� �� #� ���� �� ��� ������ �� �� � $��

"� � ���"� ��#� � � � � ���� ��� #� � ���"� ��#� � � � � �����

0� �������� �� �� ���� ������

������ � ���"�" � ��#�# � � � �� ���������"�" � ��#�# � � � �� ������� ��"��" � ��#��# � � � �� ������ � "�#� � ���

�� ��� �� �� 3����4� ����� $���

!�� � �"�#�� � ����� � $

$������ ! � ��� ��" � ���"�� � �� �������

����� 2��� � � �� � �� %� ��� ��� � � �� 2�� ���� ��� *���� � � �1 ���� ���� ���� �� %�

7 *��� � �� � ����� �� �#� � � � � �� �� �� 0� $���� /�#� ��� *���� � ���)� ����� �������� � � ���� ���� ���� � " ��� ����� � %� � � #� � � � � �� ��� � ��� �� ����� ������

���!� +��� $���� ""�,8 2��� ��� � � �� $�� �� ������� ����� � � �� �� �� ���������� ��� ���� �11�

7 ���� ��� ���� �� �� � � �� �� ������ ���� ��� ��� ������ ��� � � ��� ��� ������� �� � � ����� �� � ���� � ��� 6�� ��� ����� ���������� � � �1�

��� ����� � ����� ��� � ����� � ����� � ������ � � ����� � ����� � ������2��� ��� ����� � ����� � ������ ��� ��� � � �1� ��� ��� �� � ���� � ��� $��� �� �� � � �� ��������

� �

-=% ���9 & 6��5$�:� �2 �; $�9 ;� � 2+ 59 <5� +� ""

Page 372: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

11. Linear Functionals and the Dual Space

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

�� ���� � � �� � �� %� $��� �� +����� ""�.� ��� *���� � � �1 ��� ���� ���� �� %� �������� � ���� �� %� ��� ���� �� �� %� 2��� � �� % ����� �� �� %� �� �� � � �� �� ����������� ��� ��� ������������ �$���� /�.,��

�� ��� � � ��� �1 � ��� �11� ����� � ��� ���� ��������� ����������� �� ����� � � �� ���� ���������� �� � ���� �11�

������������

���(� 2�� ���� �� � � �1 ���������� � ����� % �� �� ��� � ���������� �� ����� ��� &�%� �� %� ���%% � �����%��%�

2��� � � ����%�� $�� ��� *���� �"� � � � ��� � % ��� ���� � � �"�" � �#�# � � � �� �����

���� � �"���"� � �#���#� � � � �� ������� � �"%� �#%� � � �� ��% � %

2��� � �� �� ��������� ���� �� ����%��� ���������� ����%�� �� �������

���)� 6��� � ����� �� �� ����������� � % �� �� ������ � �� �, ����� ��

�" � �"� #��-� ,� ��� �# � �%� "� ,��"�

0� +����� ""�B� �� ������ �� ��� � ����� �� �� �� �� ����� ����������� � ���� ���� ���"� � % ������#� � %� �� ���"� �#� �-� �,� � ��" � ��# � ��- � ��,� $���

��"� #��-� ,� � � � #� � -� � ,� � % ��� ��%� "� ,��"� � �� ,� � � � %

$� ����� �� � � )������� �� �� ��4�� �� �� �� �� � �� �� ����� ���� ��� �� �������� � ��� ��

�"� 2� � � "� � � % �� ������ �� �������� � � ""� � � �,� � � "� � � %�

�#� 2� � � %� � � " �� ������ �� �������� � � .� � � �"� � � %� � � "�

$� ����� ��������� �"���� � ""�" � ,�# � �- ��� �#���� � .�" � �# � �, ���� � ����� �� � %�

����'� 2�� ����8 ��� 6�� ��� ����� % �� � � % � %%%� ��� �� %" � %#� ��� %%# � %%" �

��� �� � � %� $�� ��� ��� ����� ���������� � � %%� ����� � ���� � %� ��� �� � �%%�%� $������ ������ ������������ �� � ��� �11� � � %%%� ����������� % � %%%�

��� �� � � %%# � $�� ���� � % ��� ��� � � %#� 0�� %" � %#' ��� � ���������� ��� ���� �� %"� ����� � %%" � $����� %%# � %%" �

������ +��� $���� ""�/8 2��� � ��� ���� �������� ��� � �� � ������ �� �� $��8

��� ��� � � ��� � % � ��� �� ���� � %% � ��

��� 2��� ��� � � � ��� ��� � � � � �� 7 ��� �� ��� ���� ��� � % � � � �� 7 ����� � ������"� � � � ��� �� � ��� *��� �� �� � ����� �� �� ��� �"� � � � ���� �"� � � � � ����� 5������ �� ���� �����

�"� � � � ���� �"� � � � � ����

0� �������� �� �� ���� ������ ��� �� �� ���� �A� ���������� ��� ��' ��� �"� � � � ����� � � %� 7����� ���� �� �� � ����� �� � %� �� �� �� ��� �� � ����� �� �1� ��� �� �� �� ������� ��������

5� +� ""? ���9 & 6��5$�:� �2 �; $�9 ;� � 2+ 59 -="

Page 373: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

11. Linear Functionals and the Dual Space

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

7 �*� ��� ���� �� ���� � %� �� � � � %� 0� $���� ""�#�

� � ���"��" � � � �� ������� � ���"��" � � � �� �����������

� %�" � � � �� %�� � ���"��" � � � �� �����������

� ���"��" � � � �� �����������

5���)����� �"� � � � ����� ���� � % ��� �� �� �� � ����� �� � %� ����������� �� �)����

��� � % � � � � � ��� � � ��� � �

���� 2��� ��� � � � ��� ��� � � �� $�� ��� �1 � � ���� �� ���� ��� � % � � � �� $���� �� ������� � %% � � � �� � �� � �' ������ ��� � � ��� � %%� 0� +����� ""�"%� � � � %%� ������������ � � %%�

������ �� � ��� � � ������� �� �� +��� ���� �� � � �% � �% � � %�

�� � � �� � � �%� $�� � ���������� � � �� ��� ��� �� ���������� � ���������� � ��� �� $��� ���� � �% ��� � � � %� ��� � � �% � � %� $��� �� � � �% � �% �� %�

:� �� ���� ����� ���� � � �% � � %� $�� � ���������� � ��� ���� �� �� � � � � �� ���� � � �� �� � � ��� � � �� ��� ���� � ��� � ���� � %� % � %� $��� � ���������� � � �� ����� � �� � � �%� ����������� �% �� % � �� �� �%�

$� � � ��������� �������� ������ ��� �� �� ����� )�������

���*�+� :���� ���� �� �������� ������� �� ����� �� �� ����' ��� �� ����� ����� ������� �� ���� �� ������ ���������

�������� �� � ��� �� ������

������ �� � � �� ����� ���������� �� �# ���� �� ���� �� � � � #�� 6�� ��� �� �� ����� ��� ������������ � �� �#� ��� ���������� ��8��� � ��� �� � ��� %�� ��� � ��� �� � ��� �� ��� ��� � ��� �� � �#� � -�� /�� #��

0� ��������� ����� � � � � � ���� ��� ���������� � ��� ���� ��� ��� �� ���8

��� ���������� �� � ��� ��� ��� � ���� %� � ��

��� ���������� �� � ��� ��� ��� � ���� � � �� � � � #�� � �� � �#� � �

��� ���������� �� � ��� ��� ��� � ��#� � -�� /� � #�� � �#� � -�� � #�/� � #�� � �B� � =�

������ �� � �� � � � ����� ��� �� �� ��1� �1 � ��� �������� 2�� ���� �� 4��� �� �� �� ������������� �� �� ���� �� � � ���� 3� �� � ��� � �%�

2��� � � 3� ��' ���� ��� ����� � � � � � %� �� � �� � � ��� � � ��� ��� ��� � � � ' ���

��� � ��� ���� � �� � � ���� � '��� � %

7 ��� ���� ��� � % ��� ��� � �� � ' ��� � � ��� � �%� $��� 3� �� � ��� � �%�:� �� ���� ����� ���� � � ��� � �%' ���� ��� ���� � � � % � $��� ��� ��� � � ��

���������� � �� � � ���� � ��� ���� � % � '���7 ��� ���������� � '��� ��� ��� � � � ' ��� ����� � %� $��� � � 3� ��� ��� �� ��� � �% � 3� ���

$� � � ��������� �������� ������ ��� �� �� �)���� )�������

-=# ���9 & 6��5$�:� �2 �; $�9 ;� � 2+ 59 <5� +� ""

Page 374: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

11. Linear Functionals and the Dual Space

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

������ 2��� � ��� � ��� ���� �������� ��� � �� � � �� ������ +��� ���4�� � � ���4�����2��� ��� � � � ��� ��� � � �� ��� ���� ���4�� � � �� 0� $���� ""�/�

������ � �% � ��� � ������ � � � � � ���4�� � � � � �

0� +����� ""�",� 3� �� � ��� � �%� ��� ������� ���� � � � �� �� ��� ����� � ���� �� �������

���4���� � ��� �1� ����������� � � � �� � �� � � � ���4�� �

������ +��� $���� ""�=8 �� � �� � � � ����� ��� �� � � �� �����* ���������� �� � �� ������ �� �� � ��� � �� � � $�� �� ������� �����* �� �� �� �����* ���������� ���� ��1� �1 �� �� ���� ���� �� � ��� ���

2���� ��� � � "� � � � ���

� ���� � ��"" � ��## � � � �� ���� �"�7 ��� �� ��� ����� ��� � � "� � � � � ��

������ � �"��" � �#��# � � � �� ����� �#� �� �� ��� �� �� �� ���� ���� �� � ��� ��� ���������

�� � � � ��� ���� � � �"�" � �#�# � � � �� ����� $��� �� �"��

� ��� � �"� ��"� � �#� ��#� � � � �� ��� ����� �"��""" � � � �� �"��� � �#��#"" � � � �� �#��� � � � �� �����"" � � � �� ������ ��"�"" � �#�#" � � � �� ����"�" � � � �� ��"�"� � �#�#� � � � �� �������

� ��

��"��"�"� � �#�#� � � � �� �������

���� ��� � � "� � � � � ��

����������� � ���� ���� � ��

��

��"��"�"� � �#�#� � � � �� �������

� �"�"� � �#�#� � � � �� ����� �-�:� �� ���� ����� ��� � � "� � � � � ��

��"��" � �#��# � � � �� ��������� � ��"��" � �#��# � � � �� ��������"�" � �#�# � � � �� ������ �"�"� � �#�#� � � � �� ����� �,�

2��� � � � �� ���������� �-� ��� �,� ���� ����

������ � �"��" � �#��# � � � �� ������ � � "� � � � � �

���� �� �#�� $��� �� ����� �� �����

�,--"���./*�0 ���%"��&

��� ��� � ��� ��� ��� �

����!� 6���8 ��� �� �� ��� -�� ��� #�� /�� �� ���- � � ��� ���- � � �� ���� ��

���� �� � � #� � -� � ��� ���� �� � � ,� � #� � -

����(� 6��� �� ���� ����� �� ��� �� �� ����� ��� ���� �� �-8 ��� �"� %� %�� �%� "� %�� �%� %� "����� �"��#� -�� �"��"� "�� �#��,� =��

5� +� ""? ���9 & 6��5$�:� �2 �; $�9 ;� � 2+ 59 -=-

Page 375: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

11. Linear Functionals and the Dual Space

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

����)� �� � � �� ����� ��� �� ���������� ��� � �� ��� �#� �� �"��#��- � �� ����� ����������� �� �

���� ��

�"� ���� ��"

%

��� ��� �#� ���� � ��"�� �-� ���� � �%�

�� ��� � �� �� � ��# � � ��� ���� ����� �� �������� �� ���� 6��� �� ����� "���� #���� -��� �� �

���� �� ���� �� �"��#��-�

����'� 2��� � � � � ��� ���� ��� � % ����� ���� � % ��� ��� � � �1� 2�� ���� � � � ��� ��� ������ ��

������ 2��� �� � � �1 ��� ���� ���� � % ����� ���� � % ��� ��� � � �� 2�� ���� � � �� ��� ��� ������ ��

������ �� � � �� ����� ��� �� ���������� ��� �� 6�� � � �� ��� �� �� � � �� ��� ���� � ���� 2�� ����8 ��� �� �� �����' ��� �� � �� �� ��� �� �� ���

������ �� � � �� ����� ��� �� ���������� �� ��� �#� �� �� �� � � � � �������� �������� �� �������� ��� ����� ����������� ���� �� ��� ���� � ���� ��� ���� � ���� ��� ���� � ���� 2�� ���� �������� ��������� �������� ��� ��� �� ����� "���� #���� -��� �� � ���� �� ��� �����

������ �� � � �� ����� ��� �� �)��� ������� �� ���� �� �� � �� � � � �� ���� �����' ���� ���� ��� � �"" � �## � � � �� ���� �� � � ������ 2�� ���� � �� ������

������ �� � � � ������ �� �� 6�� ��� ����� ���������� � �� �� ��� ���� ��� �� � ����� ���������� � �� � �������� ���� � ���� ��� ��� � � � ' ���� ��� � �� �� ���������� �� � �� ��

������ �� �"� � � � � �� � �� ����� ����� �� ��� 2�� ���� �� ���� ����� �� �"� � � � � �� �� �� �� �� ��� ��!����������' ���� ��� ����"� � � � � ��� � ���

����!� �� � � � ����� ��� ��� �� �� �"��# � �1 ��� ���� ��� � �� ���� �� ���� � �"����#�������� ������ �� �1� 2�� ���� ���� �" � ' �� �# � '�

������������

����(� �� � � �� ������ �� �, ����� �� �"� #��-� ,�� �"� -��#� .�� �"� ,��"� B�� 6��� � ����� �� ������������� �� ��

����)� �� � � �� ������ �� �- ����� �� �"� "� %� ��� �%� "� "�� 6��� � ����� �� �� ����������� �� ��

����'� 2�� ����� ��� ��� ����� % �� � � ����%� � %%%� �� ����%� �� �� ����� ��� �� %�

������ �� � ��� � � ������� �� � ����� ��� � �� ���� ��������� +��� ���� �� � � �% � �% � � %�

������ 2��� � � � � �� +��� ���� � % � �% �� %�

�������� �� � ��� �� ������

������ �� � � �� ����� ���������� �� �# ���� �� ���� �� � -� � #�� 6�� ��� �� �� ����� ��� ����� ������� ��- � �#� ��� ���������� �� �8��� � ��� �� � � �� � �� � � �� ��� � ��� �� � � �� � � � � #� � ��

������ 2��� �" �� � � ��� �# �� � � �� ������ +��� ���� ��# � �"�� � ��"� ��

#�

-=, ���9 & 6��5$�:� �2 �; $�9 ;� � 2+ 59 <5� +� ""

Page 376: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

11. Linear Functionals and the Dual Space

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

������ 2��� � �� � � �� ����� ��� � ��� ���� ��������� +��� ���� �� �� � �3� � �%�

������ 2��� � �� � � �� ����� ��� � � � +��� ���� � �� � �� ��� *���� � � �1 ���� ���� ����� � % ������ � "�

����!� �� � � �� ���� ��������� 2�� ���� �� ����� � � �� �� �� ���������� ���� ����� �� � ���������1��1�� ��� � �� ��� ����� ������ �� ���

��� ���� �� ����� ��

����(� �� � � � ����� ��� ��� �� $� ���� ������� � !������ ����� � � � � �� ���� ��� � � � �"� ��� �% � � � "� ����� % �� � �� � �'�� �� � � � % ����� � � %� �� � � �1� ;��

�� � � � � � ���� � %� � � � � � � ���� � %� �� � � � � � ���� � %+��� ���� ����� ��� �� �� ����*�

����)� �� � � � ����� ��� �� ���� ��������� ���������� ( �� � ��� � ���� �� �� 4��� �� � ���>������� ���������� � �� �� 2�� ���� ��� ������ �� � �� �� ���������� �� � ���� ����� �� ��������

�.&1��& /� �,--"���./*�0 ���%"��&

����!� ��� .� � /� � , � ��� .� � C� � - � ��� �".� � ,� � "-

����(� ��� �" � �� �# � �� �- � � ��� �" � �-� � /� � # � �# � #� � �� �- � � � #� �

������ ��� �� ��� � �� $�� ��� ���� � � �� � � ��� ����' ��� ������ �� �� ��

������ "��� ��# � �� � ��� � ��

�� � ���� � �� � #��� ��# � �� � ��� � ��

�� � ���� � �� � -��� ��# � ��� ��� � ��

�� � ���� � ��� �

����(� �"��� �� � �� � /� � � � � �#��� �� � �� � #� � �

����)� ���� �� � � � � � �

������ ��� ���������� �� � � -� � � � # � ��� ���������� �� � � �� � /� � -

5� +� ""? ���9 & 6��5$�:� �2 �; $�9 ;� � 2+ 59 -=/

Page 377: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

12. Bilinear, Quadratic, and Hermitian Forms

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

������� �

��� ���� ����������� � �������� �����

���� ����������

���� ����� ��� ��� �� ������� �� ��� �������� ��� ��� ��������� �� ������� �� �������� �� ������ �� � �� ��� ���� ��� �� ��� ���� � �� ��� �� �� �������� ��� ������������ � ������ �������� ���� � �������� ������ �� ���� ����� �� ���� �������� � �� �������� �� ���

� ������ �� � � � �� ������� � �� �� ����� �� �� �� ���� � � � ��� � � �� �������� ��� ������� �� �� ����� �� � !� ���� ����� � ���� ����� ���� "� " �� #� ����� �� �� ���� � � � � � ��

���� �� ����� �����

$� � � � ���� ���� �� ���� �������� �� � � � �� � ������� �� �� � �� � ������� �� � � � � ���� ����� �� � �� � � � ��� � �� �� � �%

&�' �� " � � � �� � � � "� �� � � � � ���&��' � � ��" � �� � � � � � �"� � � � � � �( )��� ��������� &�' �� ������ �� ����� �� ��� ��� �������� ��� ��������� &��' �� ������ �� ����� ����� ������ ��������

������� ��

&�' $� � �� ��� ������ �� ��* ���� ��� �� � ���� ��� � � ����� � � �� � � � �"�" � � � � � � �� ����

��� �� � �� ��� ��� �� ��� &!� ����� ��� ��� ������ �� � � ���� ���� � �� � �� ��� ��� �� ��'

&�' $� � ��� � � ������ � ��� ��������� � �� �� $� �� � � � � � ���� �� � � �� � �� ������ ��� ��� �� ��� ���� ���� � ��� � � ��� ����

+,-

Page 378: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

12. Bilinear, Quadratic, and Hermitian Forms

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

&�' $� � � ���� � ��� �� � ����) �� � � � �� ��� � ��� � ������� ���� �� �� ����� �� ��� ��� � ����� �� � � ��� ��� � � ��� � �� ��� ����� �� ����� �%

�� �� � � ���� � �

���������� � �""�"�" � �" �"� � � � �� �������

�� ���� ���� )������ �� �� ����� � ��� �� �� ��� �� ������� ���������� ���������� �� �� ����)�� .������� &" �"' � �� ����� ����� �� � ����� ���� �� �� ��� ��� �� �� ���� ����

����� �� �������� �����

$� ��� � ���� �� �� �� � �� ��� ���� �� �� � ���� ���� ������ �� � ��� �� ��� �� ���� ��� � � � ��� � ��� ��� � �� � ��� � � ��� �� �� ���%

� � ��� � �� � � � �� � �� � �� ��� � �� � �� � � � ���� �� ����� ���� &���� �� /�� � " �0' ��� ���

������� ���� $� � � � ���� ���� �� �������� � �� �� $� ��"� � � � ��� � ��� ����� �� �� ��� ���� �1� ��� � �� � �� � � "� � � � � � �� � ����� �� ��� �� �� �� �� ���� ����� � �� � ��� ������� ����� �� ������ �� ��� ��� � � � �

���! �� ����� ����� �� ��������

$� � � �� ��� ��� �� � ��� � ! � � "� � � � � � � � ����� �� �� ������ � � � � ���

� �" " � � � �� �� � ��� � � �" " � � � �� �� �

���

� � �� � ��" " � � � �� �� �� �" " � � � �� �� �� ��

������� � �� ��

���� �� ���� � � ������ �� �� � �� �� � �� ����� ����) � � ���� �� ��� � � �� �� �� �� � �� ����� ������������ �� ���� �� �� ����� !

�� ���� �� �� 22����) �� �� !33� !� 22�����33 �� �� ��� ����� �� � � � � ��

� � �� � �

������� � �� �� � ��! ���! �" �"�

4�� ���� �! ����� �� �������� &�� ���' ���� �� �� �� ����� !�5

����"� �� �����# ���"�$��% ��%�����

( ��� ��6� ��� ��� � ����) ������� � �� ��� ��� ������� ��� � �� ����� �� � ���7�� ���� �� ���� �� �� �� ����� ���� &���� �� /�� � " �8'�

������� ���� $� " � � �����9��9����� ����) ��� �� ����� ! �� ����� ����� !�� !� � �� �� ����)������� � �� ��� ��� �� �� ������ ����� !� ��� � � "��" �� �� ����)������� �� �� �� ����� !��

�� ���� ���� �������� �� �� ����� ���������

�&��%��� � ����) � �� ���� ��� �� � ����) �� ����� � � �� �� �� )���� � ���9����� � ����) "���� ���� � � "��"�

:��/� " 5 ;!$!<.�=� >?�@=��!:� �<@ �.=A!�!�< �B=A� +,,

Page 379: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

12. Bilinear, Quadratic, and Hermitian Forms

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

����� �� ���� " � � ������ ������� �� ��� �� ��� ��� � �������� ( ��6 ����������� ������ ��� �� ��� ��6� ����� " ��� "� � �������� �* ��� �� �� ����� ���������� � 9�����

�&��%��� �� �� �� � �� ��� ��� �� �� ����� ��6� �� �� �� ��6 �� ��� ����) ����������� � ( ��� �� ��������� � ������������ �������� �� ��6� � � ��� � ���6� � � ��� ��

���' � ��������( �� ����� �����

$� � � �� ��� ��� �� �� �� �� �� �%

&�' ���������� �� ��� �� � # �� �� � � � *

&��' � �#$�������� �� � � �� � � ��� � �� �� � � � ��

<�� ������ &�' �� ��� ��� &��' �� ��� ����� �� ��� � ��� ��

# � � � �� � �� � � � � � � � �� � ��� � � ��� �� � � � �� � ��� �B� �� ��� ����� ������ &��' �� �� ��� � �� "� " �� #� ��� &�' �� ��� ����� �� �� � � �� � ��� ��� �� � � ��� ��� !� ��� ����� � ������� ��� �6�9������� � ����� �� ��� "� " �� #�

�� ���� ������ ���� �� � ������� �� ��� ���� &���� �� /�� � " � +' �� �� �� ����

������� ���! $� � �� � ������� �� ��� ��� �� �� ��� �� )���� � ����� �� � �� ����� ������� �� � � ��6 ������� ����) % �� �� ���

% � ����# "

�" #

� �

�# "

�" #

� �

� � � � �# "

�" #

� �

� #�� #�� � � � #�� �

A���� �� ���� �� ����� � ��6� �� ����� � ������ �� 4���� �� �� ��� ��" ��6� ���

!� ������ �� �� ���� ���� ����� ���� ��� � ������� �� ��� ��� ���� ��� �� ��6�

���) �*������� �� ����� �����# +������ �����

���� ������ ���������� �� �������� ������� �� ������� �� ��� ���� ��� �������� ���� ������ ��������� �� ���� �� ������� ������� �� �� � �������� �� �� � � � �� ���� "� " �� #�!� ������ " �-� � �� ����� � �� � �� � � � �� ����� �� �� �������� ����� �� ���

�,���%��� �������� �����

$� � � ��� ��� �� �� ��� �� ���� �� � �������� ��� �� �� � � � ��

� � �� � ��� �B� ��� ��� � ���� ���� �� ������� �� ��� �� � �� ��� ����) ��������� � �� �� � �����������)�

�� ���� �� � �� ������� �� ��� ���� &���� �� /�� � " �"#' �� �� �� ���� &( ����������� � � �������� ���� "� " �� #�'

������� ���' $� � � ������� �� ��� ��� �� �� ��� � ��� � ����� ��"� � � � � �� �� ����� �� ������� �� � ������� ����)� ���� ��� �� ���� ��� � # �� � �� ��

+,C ;!$!<.�=� >?�@=��!:� �<@ �.=A!�!�< �B=A� 4:��/� "

Page 380: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

12. Bilinear, Quadratic, and Hermitian Forms

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

������� ���' &��%����%�-� ����' $� � � � ������� ����) �� �� ��� � �� ������� �� �������� ����)* ���� ��� �� )���� � ���9����� � ����) " ���� ���� "��" �� ������� �

��"�����.�%��� ��"���%��

=�� ���� � �������� � ����) " �� � ������ �� ����� ������� �������� �� �� ��� ����������� �� ������� ��� & � "��" �� �� � ����� �� ����� �� �������� ��� �� �������� �� ����� �� ��� ��������� ���� ��� ����� �� ����� �� �������� �� ��������� ����) ' �� �� � "� � ���� � ������ �� ���� ��� � ���

��"���%�� ���� &���"�$���� ��"�����.�%��� �� � �,���%��� ��%��/' �� ����� �� � �����������) � � ���� �� �� ��

�%�� �� ��� �� �� � &� ��6' ����) % � �"� ' �� �� �" � � �� �� �� �� � �� % ��� �� �����������) ' �� �� ���� �� � �� % �

�%�� �� .)���� �� ��� �""� �� � �� �����

(��� ') �"" �� #� &?� �"" �� � ����� �� ��� #3� � �� �"" �� % ��� �� �� ���� �� �"" �� �"���� � � � � � � � �%

&�' ��� � �� �� ������� 22=� �� *� �� ���"*" � �""*�33�

&�' ��� � �� ���������� �� ��� ������� 22=� �� (� �� ���"(" � �""(�33�

��� �������� ��� �� ����) % �� �� ���

% � �"" # 1 1

# �" 1 1

� �

�1�

(��� '') �"" � # ��� � �� #� �� ��� � "�

&�' ��� � �� �� ������� 22!������� *" ��� * 33�

&�' ��� � �� ���������� �� ��� ������� 22!������� (" ��� ( 33�&��� �������� ���� � ���� �� ��� ������� ��������� ����� ���� �� ����)�� :�� !�'

(��� ''') � ������� ���� ��� � # ��� ��� ��� �� #�

&�' ��� � �� �� ������� 22=� �� *� �� *� � *�33�

&�' ��� � �� ���������� �� ��� ������� 22=� �� (� �� (� � (�33�

&��� �������� ���� ��� ���� �� ��� ������� ��������� ����� ���� �� ����)�� :�� !!�'

���� % �� ��� � ���� �� �� ��� �1�� �� � �� � ������� ����) �� �� �� ���� ��

�%�� !� =��� ��� ���� ��� �� ����) � &�� �� ����� �� ��� �� ��� �� ��� �� �� ����������)' ���� � �� ������� ���� ��� % �� �������� ���� �� ��� % � � &�+�� �� & ��������� �

�%�� '� �� " � +� � ��� & � "��"�

�����0 � ( ������� ���� �� ��� � �� �� �������� �� ����� ���� ���� �� % � ��� ���� ��� �������� �� �� � ����� �� �� �� � �� %�

�����0 � �� ��������� "� " �� # �� ��� �� :�� !!!� �� � ����� ���� ��� �� # ������ �� #�

:��/� " 5 ;!$!<.�=� >?�@=��!:� �<@ �.=A!�!�< �B=A� +,D

Page 381: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

12. Bilinear, Quadratic, and Hermitian Forms

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

�� E����������� �� �� ���� � ������ ����� �� /�� � " �D�

������� � $� � �" �+

8 �0

�+ �0 C

� ��� � � ������ D�" �� ��� � �������� � ����) " ���� ���� & � "��" ��

������� �

���� ��� �� � ��6 ����) % � �� ' �* ���� ��� �

% � �� ' � �" �+ " # #

8 �0 # " #

�+ �0 C # # "

��� � �� �� �������� 22=� �� * �� � *" � * 33 ��� 22=� �� *+ �� +*" � *+33 �� % � ��� ��� ��� � ������������ �� ��� �������� 22=� �� ( �� � (" � ( 33 ��� 22=� �� (+ �� +(" � (+33 �� ������

" �+ " # #

# " � " #

# �" + # "

��� ���

" # # " # #

# " � " #

# �" + # "

<)� ��� � �� �� ������� 22=� �� *+ �� � * � *+33 ��� ��� �� ���������� �� ��� ������� 22=� �� (+

�� � ( � (+33 �� ������

" # # " # #

# " � " #

# # �8 , � "

��� ���

" # # " # #

# " # � " #

# # �8 , � "

<�� � ��� �� ������� ���� ��

" �" � ,

# " �

# # "

� ��� ��� & � "�"�" �" # #

# " #

# # �8

( ������� ���� " �� �� ������� �� �� ���� �� � �� �� ��� ����)�

+$�1��%�� �����

( ���� ���� � ���������

�&��%��� � � ������� ,�� � � �� � , ������ �� �� ,��� � ��� �� �� ��� ������� �� ������ �� ��

!� "� " �� # �� �� ��� �� �� ��� ��� ��� � ������� ��� �� �������� ��� , �� �� �� ��������� �� �� %

� � �� � " ,� � �� � ,� � � ,����

<�� ������ �� ����� �� � ������� ����) � � ����� ��� "� " �� #� $����� � � ��� ����� �� ��� ���� �� ����� �� , ��� � ����� �� �� ���

,�� � � �� �� � � ���� � �

���������� �

���� � �

���

�������

�� ���� ���� )������ �� �� ����� � �� �� � �� �� � � �������� ���� <�� �� � ��� ���� ����� ����� ���������

�&��%��� � � , ������ �� , �� ����� � �"� � � � � � � �� �� � �� ������ ���� ���� �� �� ����� ���* ���� ���

,��"� � � � � � � ��� ��

��� � �

���

�������

+C# ;!$!<.�=� >?�@=��!:� �<@ �.=A!�!�< �B=A� 4:��/� "

Page 382: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

12. Bilinear, Quadratic, and Hermitian Forms

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

?���� "� " �� #� �� �������� ��� , �� @������� ; ������ � ������� ����) � � ���� ����� � �� ��� ��� � ��� � "

���� ���� @�������� � ��� ; � ������ � �� ����

!� �� ����) ��������� � �� , �� ������� � ��� , ��� �� ������� ���������

,�� � � ���� � �""� " � � �

� � � �� ����

���� ��� �� �������� �� ������ ������� , �� ������� �� 22���� ������33 ���� A���� ������ " �0� �� �������� ��� ��� ���� � ��������� &��� "� " �� #��

���2 ��� �*������� �� ����� �����# �3 �� �������

���� ������ ���� ������� �� ��� ���� ��� �������� ���� �� ���� ����� � �� �� � � ��� �� ����� ���� �� � ����� �� �������� ����� �� ���� �� � &���� �� /�� � " �"0' �� ���� ����

������� ���) $� � � ������� ��� �� � �� �� ��� �� )���� � ����� �� � �� ����� ������� �� � ������� ����)� .�� ��� ������� ����) ��������� �� ��� ����� ���� � �� ������� ���� ��� �� ��� ���� � �� ������ �����

�� ���� �� � �� ������� �� � �� -�# � '����� � !�������.� ������� �� �� ��� ������ ��� �� ������� �� ��� ��� � ����� ��� ���� ��

��6� � � � � � ��� ���� � � � � �

��� � ����� � ���� �� ���� " �8�� � ������� �� ��� ��� �� ���� �� �%

&�' �������� ������� �� ,��� � ��� �� � # �� �� � �� #�

&��' ����������� ����������� �� ,��� � ��� �� � # �� �� ��

������� �� $� � �� ��� ������ �� ��� =�� ���� �� � ������� �� ��� ��� �� ��� ( ��� ���� �� � ��

������� ������ ���� ��� �� ��� � ���� �� # �� ���

� � � � � " � � � � � �� � � � #

������ " �8 ��� :���� "+ � �� ��� �� ������� �� � � �������� ��� , �� ����� �� �� � � ������� ����) � �� ���� �� �� �������� ��������� ����) "� !� " �� � � �������� �� ��� , ���� ����� �� ������� ��� ���� �� � "3� ��� �"3� �� ����� ���������� <�� �� � ��� ���� ����� ��� ���

��������, ���2 ��� � �������� ��� , ��� � ����� ��������� �� �� ���

,��"� � � � � � � ��� � � " � � � �� � � � � ��" � � � �� �

�� � �� � �� �� ��6 �� �� ����

��������, ���2 &��%����%�-� ����' ��� � ������� ����) � �� ������� �� �� ����� ������� ����)

& � �����'���'�� #�

�� � �� � �� �� ��6 �� ��

:��/� " 5 ;!$!<.�=� >?�@=��!:� �<@ �.=A!�!�< �B=A� +C"

Page 383: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

12. Bilinear, Quadratic, and Hermitian Forms

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

���4 5�������� �����

$� � � � ���� ���� �� ���� �������� �� �� ���� ) � � �� � /������� �� �� � �� �������� �� � � � � ���� ����� �� � �� � � ( ��� � �� � � ��

&�' �� " � � � �� � � � "� �� � � � � ���&��' � � �� � ��� ��&�� ���� � � ����� �� ���� ) ���E���� �� � ��'

?���� &�' ��� &��'� � ��

� � ��" � �� � � ���" � �� � � � � ��"� � � � �� � �� �� ��"� � � � �� � � � �� � � �"� � �� � � � �

���� ���

����� � � ��" � �� � � �� � � �"� � �� � � � ���� ���� � )��� ��������� &�' �� ������ �� ��� �� �� ��� ����� � B� �� ��� ����� � )������������ &���' �� ������ �� 22���E���� ���33 �� �� ����� ����� � A���� ��������� &��' � � �� ���� ��� �� � ��� ��� ��� ��� ��� �� �� � �� �� � � ��

�� �� �� �� ������� " �8 ��� " �- �� ������� ���� ��� ��� ��� ���� �� ������� ���������� �� ������� ,�� � �� ���� �� ,��� � ��� ��� �� �� � �� /������� , ������ �� � �������, ������ �� ��������� ���� �� ������� ��� � ( ��� ������ ��� , �� �� �� � ���

� � �� � "0,� � �� � ,� � ��� � "

0,� � ��� � ,� � ����

<�� ������ ! � � "� � � � � � �� � ����� �� �� �� ����) / � ���� �� ��� � � �� �� �� �� � ��

����� ������������ �� �� �� ����� !� ;� &��'� � �� �� � � �� ��* ��� / �� ������� ���� �������� �� �� ������� ���� �� / � � � ���� ��� ������� ��������� �� �������� �� � � �����

�� �)� ���� &�� � ���� �� /�� � " �0,' �� �� ���� ) ��� �� �� ���� " �8 �� � ������� �� ��� �����

������� ���4 $� � � ������� ��� �� � �� �� ��� �� )���� � ����� �� � �� ����� ������� �� � ������� ����)� .�� ��� ������� ����) ��������� �� ��� ����� ���� � �� ������� ���� ��� �� ��� ���� � �� ������ �����

����� �� �� ��� ������ � �� �� ������� ��� � ����� ��� ���� ��

��6� � � � � � ��� ���� � � � � �

��� � ����� � ����� �� ���� " �,���� ����� �� � ������� ��� �� ���� �� �%

&�' �������� ������� �� ,��� � ��� �� � # �� �� � �� #�

&��' ����������� ����������� �� ,��� � ��� �� � # �� �� ��

������� �� $� � �� ��� ������ �� ��* ���� ��� �� ��� � �0�� ��� � � �#�� �� ���

� � �� � � � 0" �#" � 0 �# � � � �� 0� �#�

��� �� � ������� ��� �� ��� A���� �� � �� ������� ������ ����� �� ��� � �0�� �� # �� ���

� � � � 0"�0" � 0 �0 � � � �� 0��0� � �0"� � �0 � � � � �� �0�� � #

+C ;!$!<.�=� >?�@=��!:� �<@ �.=A!�!�< �B=A� 4:��/� "

Page 384: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

12. Bilinear, Quadratic, and Hermitian Forms

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

���-�1 6��7����

�� ����� �����

����� $� � ��"� � � �+� ��� � � ��"� � � �+�� .)��� �� ����) ��������� ��

� � �� � +�"�" � �"�+ � 8� �" � ,� � � C� �+ � 0�+� � -�+�+

$� � � ����� �� ��� �� �� �������� �� ����� ���

� � �� � ���� � �"� � � �+�+ # �

8 , �C

# 0 �-

�"� �+

����� $� � � �� �� � ����) �� �� ���� ���� �� ������� ���� �� �� � � � � ���� �� � �� ������ �� ���

�� ��� �� � � � ��� ��� ��� �� � ���

���" � �� � � � � ���" � �� ���� � ����" � ���

���� ���

" �� � ��� �� � � ��"�� � � � �� � � �

��� �� ��� �� �� ��� ����� � � ���

�� � ��" � �� � � ������" � �� � � �����" � ����� � � �� � �"� � � �� �� ���� �� ��� �� �� ����� ����� � ��� �� �� � �� ��� ��� �� ���

���!� $� � �� �� ��� ��� �� � ���� ��

��"� � �� ��"� � �� � �"�" � +�"� � 0� �

&�' ���� �� ����) � �� �� �� ����� � " � �"� #�� � �"� "� �&�' ���� �� ����) � �� �� �� ����� ��" � � "�� � � �"��"� �&�' ���� �� �����9��9����� ����) " ��� �� ����� � � �� �� ����� ��� � ��� ���� ����

� � "��"�

&�' �� � � ����� �� ��� � � �� � � ���� �� ���"" � �"� #�� �"� #�� � � #� # � � � " � �"� "�� �"� #�� �

�" � �"� #�� �"� "�� � � +� # � �"� � � �"� "�� �"� "�� � +

���� � � �"

+

� �

�� �� ����) �� �� �� ����� � "� �&�' �� � � ����� �� ��� � ���� ���� ���� �� ��

�"" � � � "�� � � "�� � C� -� 0 � -� � " � �"��"�� � � "�� � �+

�" � � � "�� �"��"� � 0� -� 0 � -� � � �"��"�� �"��"�� � D

���� � � - -

�+ D

� �

�� �� ����) �� �� �� ����� ��"� � �&�' (����� �" ��� � �� ��� �� �� � �� �� �" � " � ��� � � " � � ���

" � "

" �"

� �

� "� � " "

�"

� �

"��" � " "

�"

� � �"

+

� �"

" �"

� �

� - -

�+ D

� �

� ����

:��/� " 5 ;!$!<.�=� >?�@=��!:� �<@ �.=A!�!�< �B=A� +C+

Page 385: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

12. Bilinear, Quadratic, and Hermitian Forms

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

���'� /�� ���� " �"% $� � � �� �9��������� ���� ���� �� �� $� ��"� � � � ��� � ��� ������� �� ��� ���� �1� ��� � �� � �� � � "� � � � � � �� � ����� �� ��� �� �� �� �� ���� ����� � �� � ��� ������� ���� ��� ��� � � � �

$� � "� � � � � � � �� ����� �� � ��� �� ��� � ( ��� ���� ���� � �� ����� ��� �� $� � ��� � ��������� � �� �� � ���� ( � ��� ���� � �

��� ��� ��� !� ������ �� ���� ����

� �� �� ��

��� �� �� �� �� �� �� � � "� � � � � �

( ���

���� ��

�� �� �� ��

��� ��� �� �� ��

������ ����� �� ��

��������� � ��� � � �� ��

�� ����� ��� ��� ����� ��� �� <)�� ������ ������ � 8� ��� �� �� � � "� � � � � ��

# � 8� �� �� � �� ��� ���� �� �� � ��

�� ��� ��� �� ��� �� ����� ���� � �� �� ��������� ��� ��� �� � ����� �� ��� ��

���)� /�� ���� " � � $� " � �� �����9��9����� ����) ��� � ����� ! �� � ����� !�� $� � � ������) ������� � �� ��� ��� �� �� ����� !� ��� � � "��" �� �� ����) ������� ���� ����� !��

$� � � � �� ���� " �� �� �����9��9����� ����) ��� ! �� !�� � ��� " �!� � �! ��� � ��"��!� � ��! * ��� ��! � ��!�"� � ����

� � �� � ��! ���! � ��!�"��"��!�

���� ��� � � ������ ���� �� �� "��" �� �� ����) �� �� �� ����� !��

�*������� �� ����� �����# +������ �����

���2� ���� �� ������� ����) ���� �������� �� ��� �� �� �� ����� �������� ����%

&�' ,��� �� 0� � +� � 0��� � � C�0 � -�0� 0 �

&�' ,���� �� 0� � +� � �0� �0� &�' ,����� �� 0� � � � 8� � ,0

�� ������� ����) � � ���� ���� ����� ,��"� � � � � ��� ��� �� ������� ��� ��� ��� �� ���������� �� �� ���� �� � � ��� �� ���������� ���� ��� ��� ��� ��� ��� �� �� � �� �� �������� ���� ���� ������ �� ����� ����

&�' � �+ 0

�" �+

0 �+ "

� &�' �� �+ # "

# # �""

# #

� &�' ��� � # #

# �8 #

# # �,

�� ���� ����) ��� �� ������� � ���� �� �������� ��� ,�� �� ������� � ���� ��� ,�� ��� �� ���� ������ ����

���4� ���� �� �������� ��� ,�� � ���� �������� �� ��� �� �� �� ����� ������� ������%

&�' � � 8 �+

�+ C

� �

� &�' � �0 �8 ,

�8 �- C

, C �D

� &�' ( � 0 �" 8

0 �, �- C

�" �- + #

8 C D "

���

�� �������� ��� ,�� � ���� �������� �� � ������� ����) % �� ���� �� ,�� � � ��%���� � � ��� �� �� �� ��� ���� �� ��6������

+C0 ;!$!<.�=� >?�@=��!:� �<@ �.=A!�!�< �B=A� 4:��/� "

Page 386: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

12. Bilinear, Quadratic, and Hermitian Forms

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

&�' :����� �� �� ���%

,��� �� � ���� � �� �� 8 �+

�+ C

� ��

� �

� 8�� +�� �+�� C�� �

� �

� 8� � +��� +��� C� � 8� � -��� C�

�� )����� �� �������� 8 �� �� ���� �� � ��� �� �������� C �� �� ���� �� � � ��������� ���� �� �� ��� �� �������� �- �� �� ���� ������ �� �� �� �� ��� �� �� ���������� ���� �+ ��� �+ �� � &�% ���� �� ���������� ��� �+� ���� � �� �������'�

&�' ���� � �� � +9���� ����)� �� � �� ��6������ ��� �� �� 0 � �"� � � �+� ���

,��� �� 0� � 0� � "#��� -� � "0�0� "-�0� D0

,��"� � � �+� � 0� " � "#�"� � -� � "0�"�+ � "-� �+ � D� +�

� � �� �� ���� ���� �� ��������� �� �� ���� ��� � "� � � �

+ &� � � � � 0 ' � �� ������

������� ���� 0��-��D �� �� ��� �� �������� �� �� ���� ������ �� ���� �� �� ��� �� ������������ ���� ��� ��� ��� &� ���� ���� ���� ��� � ���'�

&�' ���� ( �� � 09���� ����)� �� � ��� ��6������ ���

,��"� � � �+� �0� � � " � ,� � +� + � � 0 � C�"� � �"�+

� "#�"�0 � " � �+ � "-� �0 � "C�+�0

���9� $� � �" �+

�+ , �8

�8 C

� ��� � � ������ " �" �� ��� � ���9����� � ����) " ���� ����

& � "��" �� ������� � ��� ��� ������� �� ������� �� ��

���� ��� �� � ��6 ����) % � �� ' �%

% � �� ' � �" �+ " # #

�+ , �8 # " #

�8 C # # "

?���� �"" � " �� � ������ ��� � �� �� �������� 22=� �� * �� +*" � * 33 ��� 22=� �� *+ ��� *" � *+33 �� % ��� ��� ��� � �� ���������� �� ��� �������� 22=� �� ( �� +(" � ( 33 ���22=� �� (+ �� � (" � (+33 �� � �� ������

" �+ " # #

# � " + " #

# " 0 # # "

��� ���

" # # " # #

# � " + " #

# " 0 # # "

<)� ��� � �� �� ������� 22=� �� *+ �� * � *+33 ��� ��� �� ���������� �� ��� �������22=� �� (+ �� ( � (+33 �� ������

" # # " # #

# � " + " #

# # D �" "

��� ���

" # # " # #

# � # + " #

# # "C �" "

<�� � ��� �� ������� ��� ��� �� ������� �� " �� �� �� ���� �� � �� % � ���� ��

" �" + �"

# " "

# #

� ��� ��� & � "��" �" # #

# � #

# # "C

<�� & ��� � � ������� ��� � � " ������ ������� ����� ���� �� ������� �� � �������� � � � � � � " � "�

:��/� " 5 ;!$!<.�=� >?�@=��!:� �<@ �.=A!�!�< �B=A� +C8

Page 387: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

12. Bilinear, Quadratic, and Hermitian Forms

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

���:� F������ � ������ " �"� ����� ������� ��� &��� �������' � ������� ����) ��

:����� �� � ��6 ����) % � �� ' �� �� � ������ ��� �� � ����� �� ����� �� ����������� �� ���������� �� ��� �������� �� �� �� ��� �� % � ����� �� �� ����) �� ���� �� ����� �� ����� ��� ���� � �� � ����� �� ����� ������� ���� 1"�1 � � � � �1� ��� ������ ��� ���� � �� ���������� �� �� 1�� ���� ��� �� � ������ ���� �� ������� ����) & �� �� �� ��� �� % �� ��� ��

& � 1 � � �1 1"�1�" 1

� � � �1

� � +�+� � �� + � 1 � � �1 1"

B� �� ��� ����� �� � ������ �� � ��� �� �� ����� �� �������� �� �� ������� ����) ' �� ������ ��� �� % � ���� ��� �� � ������ ���� �� ����) �� �� ���� ��� �� % �� ��� ��

1 � � �1 1"' � 1 � � �1 1" � +

������ " � +� � � �� & � "��"� ����� �� � ������� ������� �� � ��� ��������

����8� /�� ���� " �0% $� � � ������� �� ��� ��� �� � �� � &�� "� " �� #'� ��� ���� � ����� �� ����� �� ����� �� � ������� ����)�

� ������ " �" ����� ���� �� ������� ����) �� � �� ������� �� � ������� ����)� ���� ������� �� �� �� ������� ���� ��� � ������� ����������

������ $� , � �� �������� ��� ��������� ���� �� ������� �� ��� ��� � G��� �� �� � ������� � � �� � "

,� � �� � ,� � � ,����� &����� ���� "� " �� #�'

( ���

,� � �� � ,� � � ,��� � � � �� � �� � � � � � ��� ��� � � � � � � �� � ��� � � ��� �� � � � � � ��� �� � � � ��

!� "� " �� #� � ��� ����� �� �� ������ �� ���� ��������

������ :����� �� �������� ��� ,��� �� � +� � ��� � ��� �� ��� ������������

� � �� +�� � � �� �

&�' =��� ,��� �� �� ����) ��������� ��� ��� �� ����) � ������� ,��� ���&�' =��� �� ��� ������������ ����� ����) ��������� ��� ��� �� ����) " ���������� ��

�� �������������

&�' ���� ,��� �� ����� ���� �������������

&�' ���� ,��� �� ����� ����) ���������

&�' � ,��� �� � �� �� + "

" �"

� ��

� �

� ���� � � + "

" �"

� �

* ��� ,�� � � ���� � �� � � �� ��� �

&�' ��

� �

� " �+

"

� ��

� �

� ���� " � " �+

"

� �

* ��� � � �

� �

� � � �

� �

��� � � "� �

&�' ��������� �� � ��� � �� , �� ������

,��� �� � +��� +�� � ��� +��� �� �� � � �� �� � +�� � -�� � D� � � � � � 8�� � +� � � �� � 0�� � � � � +� � + �� � #�

+C- ;!$!<.�=� >?�@=��!:� �<@ �.=A!�!�< �B=A� 4:��/� "

Page 388: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

12. Bilinear, Quadratic, and Hermitian Forms

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

&�' � ,�� � � ���� ��� � � "� � ���� �� � ��"� � ����

,��� �� � ,�� � � ��"��"� � �� �� "

�+ "

� �+ "

" �"

� �" �+

"

� ��

� �

� �� �� + �"-

�"- #

� ��

� �

� +� � + �� � #�

4�� )����� �� �� �� �� ���� &�' ��� &�' � ��� �5

����!� :����� ��� ������� ����) � � ������"� � � � � ��� �� �� ���� ����� �� ��� ����� ��� �� "� � � � � � � ��� �� ������� �� � ������� ����) & ���� ������� ���� �"

" � � � � � ��

� �

������� ���� ����%

&�' !� � � �� ��� � ��� ����� & �� ���� ��� ������� ���� � �� � "3� ��� #3��

&�' !� � � �� ��� � ��� ����� & �� ���� ��� ������� ���� � �� � "3�� �"3�� ��� #3��

$� " � ����� "� � � � � ��� ���� �� �����& � "��" � ����� �� �������� ����� �� � ������" " � � � � � ��

� �

&�' $� " � ��������� �� �� � "�������

��� �� �� #

" �� �� � #

��� "��" ��� �� ���� ����

&�' $� " � ��������� �� �� � "������������

��� �� �� #

" �� �� � #

��� "��" ��� �� ���� ����

�����0 ( ������� ���� &�' �� �� ��� �� �� 22�������33 �� � ��� �� 22��������������33�

����'� /�� ���� " �8% $� � � ������� �� ��� ��� �� � �� �� ��� �� )���� � ����� �� ��� ����� �� ����� �� � ������� ����)� .�� ��� ������� ����) ��������� �� ����� ��� ���� � �� ������� ���� ��� �� ��� ���� � �� ������ �����

;� ���� " �0� �� �� � ����� � "� � � � � � �� � �� ����� �� ����� �� � ������� ����) ��������� � ������� ��� � ������ ����� <�� ������ �#"� � � � �#� �� ����� ����� �� �� �� ����� ������� �� � ������� ����) ���� �� ������� ��� �� ������ ����� ( ��� ����� ������� ��� ����� ��� ���� �� ������� ���� �� ��� ����) ���� ���� ���� ��6� � � � � � � �� � ��� �� ������ ����� ���� � � ���

$� 2 � �� ��� ���� �� "� � � � � � ��� � 3 � �� ��� ���� �� #���"� � � � �#�� ��� ��� �� � # ���� ����� � � 2 � ��� ��� �� � # �� �� ����� � � 3� ��� 2 �3 � �# � <�� ���� ��� 2 � �

��� ��� 3 � �� ��� ��������2 �3 � � ��� 2 � ���3 � ����2 �3 � � � � ��� ��� � # � � � �� � �

;�� ����2 �3 � � ��� � � �* ��� � � �� � � � � � � � ��� ���� � �� �� � � ��� ���� � � ��� �������

�����0 �� ���� ���� ��� ���� ���� �� � �� �� ������ �� ����������� ���� ������ �� �� �� ��� ���� � � �� �� � � � � ���� �� �� ������ � � +�

6�����;� ������� ��� +������ �����

����)� /�� ���� �� �� ����� ��������� �� � ������� ����� �������� ��� , � ����� ��%

&�' �� ������� ���� � � ������� �� ��� ������� ��������� �� ,�

&�' ,�� � � #� �� ��� ����� ���� � �� ���

:��/� " 5 ;!$!<.�=� >?�@=��!:� �<@ �.=A!�!�< �B=A� +C,

Page 389: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

12. Bilinear, Quadratic, and Hermitian Forms

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

������ ,�� � � �"� " � � �

� � � �� ���

�� !� � �� ��������� � �������� ��� � � � ,�� � � #

���� � �� #� ���� &�' ��� �� &�'� :���� �� ������ &�' �� ��� ��* ���� ��� ������ ��� ������� ��� � � #� $� � � �#� � � � � "� � � � #� � �� ���� ���� ���� � � # )��� " �� �� �� ��������� ���,�� � � � �� ��� �������� ��� �� &�' �� ��� ��� ���� ��� &�' ��� �� &�'� �������� � &�' ��� &�' ������ ���

����2� @���� ���� ��� �� �� �� ����� �������� ���� , �� ������� �����%

&�' ,��� �� 0� � � � � � 0�0� 0�0� ,0

&�' ,��� �� 0� � � � � � �0� 0�0� +0

@������ �� &��� �������' �� ������� ����) � ���������� �� ,�

&�' ��� � �� �������� 22=� �� *+ �� *" � *+33 ��� 22=� �� (+ �� (" � (+33� ��� ��� 22=� �� *+

�� * � *+33 ��� 22=� �� (+ �� ( � (+33� ��� �� �

� �" # �

# �

� � ,

�" # #

# �

# � +

�" # #

# #

# # "

�� ������� ��������� �� , �� � �������� ������� ����� "� � "� �� �� ������� � ���� , �� �������������

&�' ( ���

� �" # "

# "

" +

�" # #

# "

#

�" # #

# " #

# # �

�� �� � ������ ��� � �� �� ������� ��������� �� ,� ���� , �� ��� ������� ������

����4� ���� ���� ,��� �� � �� � ���� �� �� ������� ����� �� ��� �� � �� � � # ��� �� �����������& � � � 0�� � #�

������ � � ��� �� �� #� ��� ��� � �� # � � �� #* ���� � �� #� $� � � ���� ���

,��� � � ������ � ������ � �� � � ��� � �� � ��

����� �� �� ����� � ����� ��%

&�' � � �� � �� � � �� ������� �� �� �� � �� ��

&��' � � �� � �� � � �� ���� �� �9�)���

&���' � � # ��� & � � � 0�� � #�

���� , �� ������� ����� �� ��� �� � �� � � # ��� & � #� 4*��� % & � # �� �� ��� �� ����� � #� �� �

�� �� ������� ����) ���������� �� ,�5

����9� @���� ���� � ��� ��� �� �� �� ����� �������� ���� , �� ������� �����%

&�' ,��� �� � � � 0��� ,� � &�' ,��� �� � � � C��� 8� � &�' ,��� �� � +� � ��� �

:����� �� ����������� & � � � 0��� ��� ��� �� /�� � " �",�

&�' & � "-� C � �" � ���� � � " � # ��� & � #� , �� ������� ������

&�' & � -0� # � 00� ���� & � #� , �� ��� ������� ������

&�' & � 0� " � �C� ���� � � + � # ��� & � #� , �� ������� ������

+CC ;!$!<.�=� >?�@=��!:� �<@ �.=A!�!�< �B=A� 4:��/� "

Page 390: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

12. Bilinear, Quadratic, and Hermitian Forms

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

5�������� �����

����:� @���� ���� �� �� ����� ������ � �������%

&�'

� +� 0� 8�

� +� 8 -� �

0� 8� -� � �,

� &�'+ � � 0� �

� � - �

0� � � ,

� &�'0 �+ 8

�+ "

8 " �-

� ���� ) ����) � � ���� �� ������� �� �1 � �� ���� ��� �� ��� � �����

&�' H�� ���� �� �� ��� �� ��� ���E���� ��������

&�' <�� �� ������ �� �� ��������

&�' H�� !� ����� � � ����) �� ������� �� ��� �� � �� �� �� ��������

����8� $� � � � ������� ����)� ���� ���� �� � ������� ��� �� �� �� �� ���� �� �� � � � � ��� �� �

�� � �� � � � ��� � �"�� � � � ���

���" � �� � � � � ���" � �� ��� �� � ����" � ���

�� ��

� ���" � �� � ���

� �� � � ��"�� � � � �� �� ���� �� ��� �� �� ��� ����� � � ���

�� � � � � ��� �� � ���� �� �� � ������ � ���1 �� � ��� �� � �� �� ���� �� � ������� ��� �� ��� &*��� % ( �� �� ���� ���� ��� �� �� � ��� � ��� �� �� �� ��� �� �����������'

������ $� � � ������� ��� �� �� $� / � �� ����) �� �� � ����� ! � � � �� �� /�� ���� �����%

&�' � � �� � ��!/ ��! �� � � � � ��

&�' !� " �� �� �����9��9����� ����) ��� ! �� � �� ����� !� �� �� ��� � � "�/ �" &�� � +1/+� �� + � �"� �� �� ����) �� �� �� �� ����� !��

<�� ���� &�' �� �� ���� ) ��� �� �� ���� " � �

&�' $� � � � � ��� ������ � �" " � � � �� �� � ��� � � �" " � � � �� �� �� ���� �� �����

� � �� � ��" " � � � �� �� �� �" " � � � �� �� ��� �

�������� � �� ��� � �"� � � � � ���/ ��"� � � � � ����� � ��! / ��!

&�' ���� " �� �� �����9��9����� ����) ��� ! �� !�� � ��� " �! � � �! ��� "��! � � ��! * ��� ��! � ��! � "� ��� ��! � �"��! � � ���� �� ����

� � �� � ��! / ��! � ��!� "�/ �"��!�;�� ��� � � ������ ���� �� �� ��� "�/ �" �� �� ����) �� �� �� ����� !��

������ $� / �" "� � �

� � 0 � +�

� � � +� ,

� � ������� ����)�

���� � �������� � ����) " ���� ���� & � "�/ �" �� ������� � � ��� ��� �� ������� �� / �

:��/� " 5 ;!$!<.�=� >?�@=��!:� �<@ �.=A!�!�< �B=A� +CD

Page 391: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

12. Bilinear, Quadratic, and Hermitian Forms

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

?� �� ������ � ������ " �" ���� ��� �� �� ��� �� �������� ��� �� ���������� ���E������ ��� ��������� ���� ��� ��� �� � ��6 ����) % � /� ' �%

% �" "� � � " # #

"� � 0 � +� # " #

� � � +� , # # "

��� � �� �� �������� 22=� �� * �� ��"� ��*" � * 33 ��� 22=� �� *+ �� �*" � *+33 ��� ��� ������������ ���E���� �� ��� �������� 22=� �� ( �� ��"� ��(" � ( 33 ��� 22=� �� (+ ��� �(" � (+33 �� ������

" "� � � " # #

# �8� �"� � " #

# 8� + � # "

��� ���

" # # " # #

# �8� �"� � " #

# 8� + � # "

<)� ��� � �� �� ������� 22=� �� *+ �� �8�* � *+33 ��� �� ���������� ���E���� �� ���������� 22=� �� (+ �� 8�( � (+33 �� ������

" # # " # #

# �8� �"� � " #

# # �"D 8� D� �8�

��� ���

" # # " # #

# # �"� � " #

# # �+C 8� D� �8�

<�� / ��� �� ������� ���� ��� �� ������� �� �� ���� �� � �� % �� "� ���� ��

" �" �"� � 8� D�

# " �8�

# #

� ��� ��� & � "�/ �" �" # #

# #

# # �+C

<�� & ��� � � ������� ���� ��� � � " ������ ����� ���� �� ������� �� / ������/� � � " � "�

����� ����� 6��� ���

����!� /�� ���� " �+% $� � �� � ������� ��� �� �� ��� �� )���� � ����� �� � �� ����� ��

����� �� � � ��6 ������� ����) % ���� � ��6� �� �� ���# "

�" #

� �

� #� �� ���� ��

����� � ��6� �� ����� � ������ �� 4���� �� �� ��� �� " ��6� ���

!� � #� ��� �� ���� �� ������� � ��� � ��� �� ��� � � "� ��� � " � � � " � � � � # ����� � #� �������� �� � ��� ����� ���� ��� � � " ��� �� #�

���� �� #� �� )��� &�����' "� � � ���� ���� � "� � �� #� !� ����� �� ��� ���� " �� ���������� ������ � ��� ����� ���� � "� � � " ��� �� � � "� � �"� <�� " ��� � ��� ���������* ����� ��� ���� � "� ��� � "� � � � "� "� � � "� "� � #� $� 2 � ����� "� �*���%

&�' �� ����) ��������� �� �� �������� �� �� 2 �� �� ����� � "� �� # "

�" #

� �

&��' !� � 2 � ��� � � " � � � ���

� � "� � �� " � � � "� � �� ��� � � � � �� " � � � � � �

$� 3 �������� �� ���� ����� # � � ���� ���� �#� "� � # ��� �#� � � #� .����� �� ��

3 � �# � � � �#� � � # �� �� � 2 ( � ��� ���� � � 2 �3� !� �� � � ���� 2 �3 � �# � ��� �� �� ����� �� ���� ���� � � 2 �3� $�� � �� ��

� ��� � " � ��� "� ��� # � �� �"����� �� � ��� ����������� �� " ��� � � 2�

+D# ;!$!<.�=� >?�@=��!:� �<@ �.=A!�!�< �B=A� 4:��/� "

Page 392: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

12. Bilinear, Quadratic, and Hermitian Forms

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

( ���� �)� ���� # � 3� ;� &"' ��� &��'� � � "� � ��� "�* ��� �#� "� � ��� � "� � ��� "� � � � "� � #

���� � �� � � � � ��� � ��� ��

�#� � � ��� � � � ��� � � � � � � #

��� # � 3 ��� ��� �� &"'� � � � #� �� � 3� ���� ����� ���� � � 2 �3 * ��� ����� � 2 �3�

<�� �� �������� �� �� 3 �� �� � ������� �� ��� ��� �� 3� ;� ���������� �� )���� � ����� +� � � � � � �� 3 �� ����� �� ����) ������� ������ �� 3 ��� �� ���� ���� �������� �� "� � +� � � � � � �� � ����� �� � �� ����� �� ����) ������� ��� �� ���� ����

�$�������%��, 6��7����

�� ����� �����

����'� $� � ��"� � � ��� � � ��"� � �� @���� ����� �� �� �� ����� � �� ��� ���� �� � %

&�' � � �� � �"� � +� �"� &�' � � �� � +� � � &�' � � �� � "�

&�' � � �� � �" � � � &�' � � �� � �"� � �"� � & ' � � �� � #

����)� $� � �� �� ��� ��� �� � ���� ��

��"� � �� ��"� � �� � +�"�" � �"� � 0� � � � �

&�' ���� �� ����) � �� �� �� ����� � " � �"� "�� � �"� � �&�' ���� �� ����) � �� �� �� ����� ��" � �"��"�� � � �+� "� �&�' ���� �� �����9��9����� ����) " ��� � � �� ��� � ��� ���� ���� � � "��"�

����2� $� � � �� ���� ���� �� 9���� ������ �� �� $� % � "

+ 8

� �

� ��� � ����� � ����%��� ����� � � ��� 22�33 ����� ���� &�' ���� ���� �� � �� ��� ��� �� �� &�' ���� �� ����) �� �� �� �����

" #

# #

� �

�# "

# #

� �

�# #

" #

� �

�# #

# "

� �� �

����4� $� ��� � � �� �� �� �� ��� ���� �� � �� �� /�� �� �� �����%

&�' !� � � � ��� �� ��� � �� � � ��� � �� ��� � ��

&�' !� � ��� � � ��� ��������� �� �� ��� � � �� � �� ����� � ���� �� ��� ��

����9� $� � ���� �� ����) ��������� �� � �� ��� ��� �� � ���� �� � ����� � � � ���� ���� ��������� �� � �� �� ���������� �� ��� � ���� �� ���� ���� � �� �9���� �������

����:� $� � � �� ��� ��� �� �� �� ��� ����� ! �� �� �

!� � �� � � � � � �� � # �� �� � ! ��� !� � �� � � � ��� � � # �� �� � ! ���� ����% &�' !� ��� !� � �������� �� � * &�' !" � ! ��� �� !�

� !�" ��� !�

� !�" *&�' �# � � �# � � ��

���!8� ������ �� � �� ��� ��� �� �� /�� ����% ��6� � � ��� � � ��� �� � ��� � � ��� �� ��� ������ �� � ��� ���

:��/� " 5 ;!$!<.�=� >?�@=��!:� �<@ �.=A!�!�< �B=A� +D"

Page 393: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

12. Bilinear, Quadratic, and Hermitian Forms

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

���!�� $� � � �� ��� ��� �� �� �� ��� � �� � � �� � � ��� � �� � � � ���� �� � ��� � ��� � ���� ��� � � � ��� /�� �� �� �����%

&�' � ��� � � ��� ���� ��� � � � � �1�

&�' �� � ��� �� � � ��� ��� �������� ��� � ���� �1�

&�' ��6� � � ��6� �� � � � ��6� �� � ��

���!�� ���� ���� ������� �� ������ &����� �� �' �� �� ����� �� �����* ���� ��%&�' � � �� &��' !� � � �� ��� � � �� &���' !� � � � ��� � � (� ��� � � (�

�*������� �� ����� �����# +������ �����

���!!� ���� �� ������� ����) � � ������ �� ��� �� �� �� ����� �������� ����%

&�' ,��� �� 0� � � � C��� � � "-�0� "0�0� 80 � &�' ,��� �� 0� � ��� � � 0�0� 0

&�' ,��� �� 0� � � � �0� � � &�' ,��� �� 0� � ��� �0

���!'� �� ��� �� �� �� ����� ������� ������ �� ��� � �������� � ����) " ���� ���� & � "��" �� ������� %

&�' � �" #

# + -

- ,

� &�' � �" � "

� 8 +

" + �

� &�' � �" �" #

�" " #

# " "

# �"

���

���!)� $� ,��� �� � � � -��� +� ��� � � �� �� � � +�� ��

&�' =��� ,��� �� �� ����) ��������� ��� ��� �� ����) � ������� �� �������� ����

&�' =��� �� ��� ������������ ����� ����) ��������� ��� ��� �� ����) " ���������� �� ���������������

&�' ���� ,��� �� �����% &�' ���� ������������� &��' ����) ���������

���!2� �� ��� �� �� �� ����� �������� ���� ,��� �� 0�� ��� � �������� � ��� ������������ )������ ������� � �� �� 0 �� ��� �� ����� � � �� � ���� ���� ,�� �� �� �� ������� %&�' ,��� �� 0� � � � -��� C� � 0�0� �0� D0 �

&�' ,��� �� 0� � � � +��� C�0� " �0� 80 �

&�' ,��� �� 0� � � � ��� +� � 0�0� C�0� -0 �

!� ��� ���� ��� �� ��6 ��� ��������

���!4� I�� �� )��� �� � �������� ��� ,��� �� ���� ���� ,� � � # ��� ,��� � # ��� ,� � �� �� #�

���!9� $� !�� � ���� � ������� �� ��� ���� �� �� ���� ����%

&�' !�� � �� � ������� �� ��� �� &�' !� ��� � � �� ��� ��� !�� � � " ���� "��

���!:� :����� � � �������� �� ������ ,��"� � � � � ��� ���

����" �������� �� ��� � ����

&�' !� �"" �� #� ���� ���� �� ������������

�" � �" �"

�""��" � � � � �� �"����� � � � � � � � � �� � ��

�� �� �� ������� ,��"� � � � � ��� � �"" � " � ,��� � � � � � ���� �� ,� �� � �� � �������� �� ������ �

&�' !� �"" � # ���� ���� �" �� #� ���� ���� �� ������������

�" � �" � � � � � �" � � � �+ � �+� � � � � �� � ��

�� �� �� ������� ,��"� � � � � ��� ��

��� �� ��� �� �"" �� #� ����� ���� ���� ��� �� ��� &�'�*��� � ���� ����� �� ������� ����� , �� 6���� �� ���������� ��� �, ���

+D ;!$!<.�=� >?�@=��!:� �<@ �.=A!�!�< �B=A� 4:��/� "

Page 394: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

12. Bilinear, Quadratic, and Hermitian Forms

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

6�����;� ������� +������ �����

���'8� @���� ���� � ��� ��� �� �� �� ����� �������� ���� �� ������� �����%

&�' ,��� �� � 0� � 8��� ,� � &�' ,��� �� 0� � � � 0��� 8� � -�0� �0� 00

&�' ,��� �� � � � +��� � � &�' ,��� �� 0� � � � ��� � � 0�0� -�0� ,0

���'�� ���� ���� �� �� �� ���� ���� �� ���� �������� ��� �� ������� �����%

&�' ,��� �� � � � 8��� � � &�' ,��� �� � +� � ��� " �

&�' ,��� �� 0� � � � ��� � � �0� -�0� 0

���'�� ������ � �� � � ������� ������� ����� ����)� ���� ���� � � "�" �� ��� �������� � ����) "�

5�������� �����

���'!� A����� � ������ " �" �� ����� �� � ���� ������� ����) /� �� ���� � �������� � ����) " �� �����& � "�� �" �� ������� �

���''� �� ��� ������� ����) /� ��� � �������� � ����) " ���� ���� & � "�/ �" �� ������� %

&�' / � " �

��

� �

� &�' / � " � +�

� +� �"

� �

� &�' / �" � � �

�� "� �

� � "� �

���� �� ��6 ��� ������� �� ��� ����

���')� $� � � � ���� ) �������� � ����)� ���� ���� / � �1� �� ������� ��� ������� ������

���'2� ( ��� ���� � �� /������� ���� ��� �� � �� �� )���� � �������� � ����) " ���� ���� � � "�� �" ������� �� �� �� �� )���� � �������� � ����) + ���� ���� � � +1�+� ���� ���� ������� ������� ���� ����� �� ������ &4���% !� " � �+� ��� "�� �" � +1�+�'

���'4� /�� ���� " �,% $� � � ������� ��� �� �� ��� �� �� � ����� ! �� � �� ����� �� ����� ��� ������� ����)� ��� �� ���� ������� ��������� ��� �� ��� ���� � �� ������� ���� ��� ����� ���� � �� ������ �����

����� ����� 6��� ���

���'9� $� � ���� �� ����� �� �������� ��� � 1 ���� �� ���������� ���E���� �� ��� �������&�� ��� ��� � �� � �� � ��� �� � �� 1'� ���� ���� �� ����� ����) ���������� �� 1 �� �����E���� ������� �� �� ����� ����) ���������� �� ��

���':� $� � ��� 3 � ���� ����� �� �� � ������� �� �3 � � �� �� � � ������� �� �� � ��� 3 ��%

&�' ���" � �� � #� � � ��"�#� � � �� �#��&��' ��� �#" � �# � � � ���#"� � � ���# ��� �� �� � � �� �� � � �#� � 3� /�� �� �� �����%

&�' �� �� ��� �3 � �� �� ��� ���� �� � ��� 3 �� � ������� �� �� ���� ���� �� ��������� ���� �3 ���� ��

&�' !� ��"� � � � ��� �� � ����� �� �1 ��� ��"� � � � ��� �� � ����� �� 31� ��� � �� � � � "� � � � ��� � � "� � � � � � �� � ����� �� ��� �3 �� �� �� �� ���� �� �����#� � ��������#�� ���� ��� ��� �3 � � ��� � ��� 3�

4<�� ���� �� � � 3� ��� � ������ �� ���� ��� � ���������� �� ���� ������5

:��/� " 5 ;!$!<.�=� >?�@=��!:� �<@ �.=A!�!�< �B=A� +D+

Page 395: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

12. Bilinear, Quadratic, and Hermitian Forms

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

���)8� $� � � � ���� ���� �� �� � ������� �� � � � � � �� �������������������������������

� ����

� � �� �� � � � �������� &� �$�����' ���� � �� �� ��� �� ��� ����� � ���� �� � � "� � � � ���

�� � � � � � ��� � � �� � � �� � � � � � � � �� � � �� � � � ��� � � ���� � ����� �� ��� ���� ��� ��� ���� � � � �)�� �� �9 ��� ��� �� ���� �� ����������� �� ��"� � � � ��� � # ���� �� � �� �� � �� �� /�� �� �� �����%

&�' �� �� ���� � �� �9 ��� ���� �� � �� � ������� �� �� ���� ���� �� ��������� ���� � � � � � �� � ���� ��

&�' �� �� ���� � �� � ������� �9 ��� ���� �� � �� � ������� �� ���� ��

�����0 � !� � � � ��� � ������ �� ���� ��� � ���������� �� ���� ������

�����0 � !� � � ��� ��� �� �������� �������� �� �� � ������� �9 ��� ��� �� ��

���<��� %� �$�������%��, 6��7����

4�������) % � *"� * � � � �� ����� � ����) % ���� ��� *"�* � � � ��

����'� &�' ��� &�' ��� &�' ��� &�' ��� &�' ��� & ' ��

����)� &�' � � 0� "� ,� +�� &�' � � #��0� #� + �� &�' " � +� 8� � � �

����2� &�' "� #� � #� #� "� #� � +� #� 8� #� #� +� #� 8�

���!!� &�' ��0��C� �0� "� ,� �C� ,� 8�� &�' "� #�� " � #� "� #� � "

� #� #��

&�' #� " � � "

� "� #� � #� "�� &�' #� "

� #� "

� #� "� "

� #� "

� #� "

� #�

���!'� &�' " � "� #�� � #� "�� � #� #� "�� & � �����"� +��D��&�' " � "� ��""� #� "��8� #� #� "�� & � �����"� "�� C��&�' " � "� "��"��0� #� "��"�� � #� #� "� #� #� #� #� "�� & � �����"� "� #��D�

���!)� � � ��+� �+��+�� " � "� � +��"�� ,��� �� � �0+� � 0�� � ",�

���!2� &�' � � � +�� "D�� � � �� ,�� 0 � �� ,�� �� �� � � � � +-� �&�' � � � �� � � �� �� 0 � "� ,�� �� �� � � +� � D�

���!4� ,��� �� � � � � � � �"� "�� � � �"��"�

���'8� &�' ��� &�' ��� &�' ��� &�' ��

���'�� &�' � 8C� &�' � �" � � " � &�' � 8

���''� &�' " � "� �� #� "�� & � ' � � � � &�' " � "�� � +�� #� "�� & � �����"��"0�� � � #�&�' " � "� ���+� �� #� "� �� #� #� "�� & � �����"� "��0�� � � "

+D0 ;!$!<.�=� >?�@=��!:� �<@ �.=A!�!�< �B=A� 4:��/� "

Page 396: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

13. Linear Operators on Inner Product Spaces

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

������� �

�� �� �� ������ ����� � ������� ���� �

���� ����������

���� ����� ������ ��� �� ���� ��� � �� ���� ������ � �� �� ��� ������ ���� �� ������� ��� ���� �� ��� ��� � �� ��� �� �� ���� � � �� ������ ����� �� �� ����� ������������� �� ���� � ��� �� �� �� ��� ��� �� ������ ���� ���� �� �� ���� ���� �� ���������� �� �� !������� ���� �� ��� ������ !������� ���� �� ��" � ����� �������"� �"

��� �� � ��� ��� ��� �� � �� ��

�� � ��� � � ������ �������� �� ������ ��� �� ������ �� ����� � ��� � �" ������� ���� �� ������� �� ���

��� ���� ���� ������"� ��� ��������� ����� ���� ��� ���� ����� � �����" ���� ���� �� ��������� ������ ���� � � ����� ���� � �� � ������ ��� ������ ���� ����� ������ ����� ��������#����"� � ��� ���� �� ����� $� � ��� �� �� ���� �� ���%� �� ������� �� � ������ ����� ��

���� ��� �� � �� � ���� �������� �� ��� �������� &��" ����� �������" ������� ����� �� �' �� �������� � ������ ��� � ���� �� ���� �������� �� ���� ������ ���� ��� ��� �' � ���

���� ����� ���� ����

� �� ���� �� �������� ����� ���������

��������� ( ���� ����� � �� �� ��� ������ ���� � �� ���� �� ��� �� ���� ����� �� �' �� ��� �� ���� �� � ��� �'���� �� �" �� � � ��

�� �������� ����� ����� ���� �� ��%���� ����� ��� � ����� ��������� ������ �� ������ ������� ������ ��

������� ��

��� #� � � � �� �)�*�� ����� ���� �� � ���� ����� �� ��� ���� �� �" �� � � ���

���� �� � ������ � ����� � ����������� �� ������� �� �� � �� �� ��%���� �� ��

+,-

Page 397: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e

13. Linear Operators on Inner Product Spaces

Text © The McGraw−Hill Companies, 2004

��� #� � � � ������ �)�*�� ����� ���� �� � ���� ����� �� ��� ���� �� �" �� ��� ���

���� �� � ����� �� � ���� �� � ���'�� � ���'��

���� �� ���%� �� ������� �' �� � �� �� ��%���� �� ��

������� �' ��" ��� ��� �� ��%���� �� � �� � ���� ����� � �� ���%� �� ������� �� � ��� ������ ." !����� /+�/���� �� ���� ���" ��0� �� ������� ���� ��" ���� �� ��� ��%���

�� �������� ���� ����� �� 1���� /+�2� �� �� ���� ���� �� ���� �������

������� ����� #� � � � ���� ����� �� � ����)���������� ��� ������ ���� � �� �� ���3

��� �� ����� � ���*� ���� ����� �' �� � ���� ���� �� ���� �� � ��� �'���� ���" �� � � �� ����� ��� � ��� �� ��%���� �'��

���� �� � �� �� ����� ��������� � ���� ���� �� ��" ��������� ����� � � ������ �� ��� �� ����� ��������� �� �' �� �� ����� � �� �� ���%� �� ��������' �� � �� �� ������� �� �� � ��� � �� ����

������4 ���� �� ���� ����� ���������� ����� ���� �� ������ ������ � ��� �' ���� ����� �� ��� ���������� ���� � � �� ����� ����" �� ��������� ����� ���� ������4���� ���� ���� �� ��� ����� �� � ��� ������ �������� �1���� /+�+/���� �������� ���� ����� �� 1���� /+�-� ������4� ��� �� �� ������ �� �� ��%�����

������� ����� #� � � �/� �$ � ���� ������ �� � ��� �� � � �� ���3��� ��/ �$�' � � �' �$'� ����� ��/�$�' � �$'�/'�

���� ��� �' � ���'� ���� ��'�' � ��

5��� �� ��������" ���� �� ���� ���� ��� ���� $�+ �� ������ �� �� �������������� �� �������

������ � �!�����"# ��$ ����� ���$ !� �%�!�#

6���� ������ //� ���� � ���� ���������� � �� � ���� ���� � �� � ���� ������ ��� � � ������������� �������� �� �������� ���� ����� /+�+�� ����� �� ��� �� �� ���� �� �� ���� ��������� /+�/�#� � � �� ��� ������ ����� !��� � � � ������ � ������ ���� � ���� �"

����� � ��� ��7��� �� ��" �� � � � ��� ��" �/� �$ � ��

�����/ ��$� � ���/ ��$� �� � ���/� �� ���$� �� � �����/� �����$����� ��� �� �� � ���� ���������� �� �� �� ����� �� ���� �� �� ����� �� ���� ��������� ��� �� ���������� �������� ���� ����� �� 1���� /+�+��

������� ����� #� � � � ���� ���������� �� � ����)���������� ��� ������ ���� �� ��� ������� � ���*� ���� � � � ���� ���� ���� � ��� �� �� �" � � ��

��0 ���� �� ���� ���� �� ��� ����� �� ����� �� ������ �������� �1���� /+�$2��

+,8 #�7!(6 51!6(�56� 57 �77!6 1659:�� �1(�!� ;�<(1� /+

Page 398: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...
Page 399: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...
Page 400: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...
Page 401: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...
Page 402: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...
Page 403: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...
Page 404: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...
Page 405: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...
Page 406: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...
Page 407: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...
Page 408: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...
Page 409: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...
Page 410: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...
Page 411: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...
Page 412: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...
Page 413: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...
Page 414: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...
Page 415: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...
Page 416: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...
Page 417: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...
Page 418: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...
Page 419: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...
Page 420: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...
Page 421: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...
Page 422: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...
Page 423: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...
Page 424: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...
Page 425: Lipschutz−Lipson:Schaum’s Front Matter Preface © The ...

Recommended