Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
Front Matter Preface © The McGraw−Hill Companies, 2004
�������
������ ������ �� �� ����� ����� ����� �� ����� ��� ��� �� � �� �� ���� ��������� �������� �
�� ��� ������ ��� �� ��� ��� ������� ���������� ����� �� ����� �� �� ������� �� �������� �� ��� � � �� ��
������ ����� � ���� ��� ���������� ����� � � ����� ���� ��� ���� ������� ���� �� � ����� �� ���
��� ��� �� �������� ��� ��� �� � �� ��� ��� � ������ ������ �� ������ ������ �� �� � ��������� � ���
������ � ������ �� �� � ���� � ������ �� �� ����� ��� � ������ ������ ��� ���� � ����� ������ � ���
������� ���������� �� ��� ���� �� ����� �� ���� !��� �� ����� �� ��� �������� �� ��� � ��"���� �� ���
�� �������� ��� �� ��� ���� � ���� � ��� ���� ������� � ���"��� � ������ ��� �� ���������� ��� �
� ����� � ��� �� �� ���� �� � ����� �
#�� ��� �� ����� �� ����� � � ���� � �� ��� ���� �� �� ����� ���������� ��� ������ ��� �� ��
����� �� �"� ��� � �� ������� �"� �� ������ ��� �� �������� � ������ �� � �� ���"�� ��� ��������� ���
�������� �� ���"�� ������� ���"� � ����� �� � ��� ������� � ����� ��� � ���"��� � ���� � ��� �� ����
���������� �� "� �� � ����� �"� ��������� $������� ������� ���������� ��� �� ��� ����� ��� ������� ��� ��������
����� � ���"�� �������� �� ��������� ��� ������� ���"� �� � ������ � ��"��� �� � �� ����� �� ���
��� ���
�� �� ��� ��� ��� ��� "�� ��� �� #�������� ������ �� ��� ������� ��� ��� ��� �� ������ ���� �����
���� ��� ��� ���"��� � �� �"� ��� ��� ���� ����� � ����� ���� ��� � �� ��� ��"�� ��� ��� �� "�� ��
������ ��� ������ �������� ��� ������� %� �� ��� ��� �� ����� ������ ������ ��� �� ������� � ��� ��
�� ������� �� ��� �� � �� ����� ���������� �� �����"����� ��� �����"�� ��� ��"��� ����� ���� ��� �������� ��� �
������ ����� �� � � �������� �� ���� ��� �� ������ ����� � � � ��� �� "������ ��������� ������ ����� ������
� ���������� &������ ��� �� ����� ��������� ������ �� �� ��� ��� ��"�� ������ ���� ���� ��� � ���� ����� '(�
��� �������� ������ �� ��� )���� ��� ������ �� ��� ��� �� ��� � ������ ����� ��� �� ����� ������ ������� *��
������ ������ ��� �� �� �������� �� ����������� �"�� � ����
�� ���� ������ �� � ��� ��� ��� �"� ��� ��� ����������� ������� �� �� �� �� ��� �� � +���� ������
� �� ��� �� ��� �� � ������ ��� ��� � � �� ��� �������� � ��� ������� ����� ��� �� �"� �� � � ��� ��
�����"����� ��� �����"�� ��� ��� � ���������,� ��� �� �� ����� -����� �������� �.� ���� ��� ���� ����
���� ����� ���"�� ��� ��������� ��� ��������
*������� �� ��� � ��� � � ��� �� � !�/����)��� +����0� 1� ���� +������ ���������� 2����� /������
��� ��� ��������� ������� ����
+#3!145 ��6+7)4�8
!%57 �%5+ ��6+1$
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
������� �
�� �� �� �� ��� ���������� �� ��
��� ����������
����� ��� ��� �� �� ���� ��� ��� ������ �� � ������ ��� � � ���� �� ��� �� ������ ����������� ��� ��� ����� � � ���� �� ������� ������ �� ����� �� ���� ���� ��� �� ������
���� �� ���� ��� ������ � �������� ���� ��� ��������� ��������� �� ��� ���� �� ���� �������������� � �� �� ��� ����� ����� �� ���� �� ��� ��������� �� ��� ���� �� ������� ������� ������� � ��� ��� ������� �� ������ ��� ������� �� ��� ������ ���� ��� ������ ��������
�����!� �� ���� ������� ����� � �� ��� ������� �� ����� ���� ������� ���� ���� � ��� �������� � ��� �� ��� ��������� ��� ���� �� ����� ���� ������ ���� ���� ��� �������� ���� ��
�� � �� ������
"����� ��� ���!�� #�� �����$ �� ��!�� ������ ��� ����� � �������
%&'� %(&� %)&� %*)� %+,� %)&� %'(� %-*
��� ��� ������ ��� ��� ���� �� ��� ��� ���! ��� ��� ����� � �� ��� ���� ��������� �������. ���� �
�%� �(� �*� �)� �&� �'� �+� �,
���� � ���� ���� ������� ������ ��� ������� �� ��� ���� �� ��� ���� /�� ��������
�% � %&'� ��� ���� ������� �( � %(&� ��� ����� ������� � � �
"��� � ��� �� �����
� � ��%��(��*� � � � ��,�
� ������ � ���� ����� �� �� ���
%
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
������ �� ��� ��
0�� ������ 1��������� ��� � ����������� ��� ����� ��� ��� 22��!������33� ���� 1����������� �� ���������� � ���� ������ ��� ��� ������ �������� �� ��� ����� ����� ����� ��� ��� 1��������� ���� ����� ��� ������� ���� ��� ���� 22��!������33 ��� 22���������33� ���� 1��������� ����� ��� ������������ � ����� �� ��! ����������� ���!�� ��� ��������� ��� ��������! ���� ��� !� �� �������������� �� ��� ������ �� ����
4�� �� ���� ��� ������ � �������� ���� ��� ���� �* ����� ��� ��� ����� �� ���� ��� ����������� ������� ������ �� ���� ������� "����� ��� ���!�� �� ��� ��� �� �* � ����� � ��� ��������� ����� ���� ��� ����� ������ ��� �� ���� � �� ����� � ���1��� ���������� � ��� ���������� �� ����������� ��� ��� ����
����� ��� ��� ��������� ���������� ����� �������� ��� ����� ��������������� ���� ��� �������� ���� ����� �� ����� ��� ��������� �� ���� ��������� ��� ��� ����������� ������� ���� ��������� ��� ����������� �� ��� ����� ��� � �������
#�$ ������ ������ ��� �������� �� � �� ��� ����� � ��� � � �������� � ��� �5������������������ ���. ���� �� �� � � ��� ���!���� �� ��� ���������!��� ������ � � ��� ��/����������� �� ��� �� �� ��� ���� ��� ��� ��� ��� �������� �� ��� ����� � ��� �� ������� ��� �� ��� �� ��� � ��� �������� �� ��� ����� �� �� ���� ��������� ��� �������� �� /�!�%5%#�$�
#��$ �� � � ������� ��� ��� ������� �� �� � ����� � � � ���� ������ � � �������� � ���������!��� ��!������ �� � � � ��� ��������! ��� ��� ��������� �� � � 6 �� ��� ������� ��������� �� � � 6� ��� �� ��� �� �� � ��� �������� �� ��� ����� �� ���� ���� ��� ��� � ��� �������� �� ��� ����� ������� ��������� ��� �������� �� /�!� %5%#�$�
0������������� �� ������� ��� ����� � ���� �� ��� �� �� ��� ����� � � ��� �� ��� 0���� ��� �� ���� ���������� ������ ��� �� �� �� ���� ������ � ����� �� ����� ��������! ���� �� ��������������� �� !�������7���� ������ ��� ���� �� 5����� ��%� �(� � � � � �� �� ���� ������ � ������ ���� ��� ������ �������� �� ����� ��� ��� ����� �� �* ������ ������ ����� #"������ %�'$�
��� ������ �� �
��� �� �� ��� 5����� �� ���� ������� ������� � �� � ������ ������ ���������� 5����� �� �� �
� � ��%� �(� � � � � ��� ������ � ��� �� �� ��� ��� ������ �� ��� ������ ��� ������� �� ����� �� ���� �� �� � �� ��0���� ��� ���� ������! ��� ���� �� �� �� ��� ���� ������ ��� ��� ������� �� ��
�!� �"�
z
y
x
0
u
ku
( , , )a b c
( ) Scalar Multiplicationb
( , , )ka kb kc
( , , )a b c′ ′ ′z
y
x
0
v
u
u v+
( , , )a b c
( + , + , + )a a b b c c′ ′ ′
( ) Vector Additiona
( 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" ?:� =� %
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��� ������ � ��� �� ��� ����� ������� � � �� �� ��� �� � ��� ��� ������ �� ��������� ��� �� ��������������! ��������� ��� �1���� �����!� ��� ����� �%� (� *� ��� �(� *� %� ������� ��� ��� ������������ ���� ����� ��� ��� �1��� ���� �����������! ������ ��� ��� �1����
��� ����� �6� 6� � � � � 6� ���� ������ ��� ��� 6 � ������ ��� ��� �� ��� ��� � ����� ������� � 6�������� ��
#�$ ��� ��������! ��� ������
�(��&�� �+� -�� �6� 6� 6�� �*� )� &���� ��� ��� ����� �����! �� �( ������ ��� ��� ��� �����! �� �*� ��� ����� � ��� 7��� ����� �� �*�
#�$ /��� �� �� � ��� ���� ��� �� �� �� �� %� � �)� (� *��@ ��������� �� �1����� �� ������ �����������! ������ ��� �� �1���� ����
�� � � )� �� � � (� �� % � *
"�� ��! ��� ��� � ��� �� �1������ ���� � � *� � � �%� � � )�
�#��� ������
"������� � ����� �� 5���� � � ������� ��������� ������ ���� ����7������� "��� � ����� � ������� ����� �� ��� ���� �� ��� �������� ��� ��� � ����7������ ������� ����� ��� ������ ��� �� ���� /���������� ��� ��������! ��� ������ ����� ���� (� (� *� ��� * ���������� ������� ���
%
(
� ��
*
�)� �
�%
&
�'
��
���
%�&(*
�%&
���
���
�� ��� ���� ���� �� ��������� ������ ��� ��� ����� � ������ �����!��� ��� ������ ������
��$ ����� %������� %�� �%�%� &������%����
:������ ��� ����� � ��� � �� �� �
� � ��%� �(� � � � � �� ��� � � ��%� �(� � � � � ������� ���� ������� �� �� � ��� ����� �������� � �����! �����������! ��������� ���� � ��� �� ���� ��
�� � � ��% � �%� �( � �(� � � � � � � ����� ������ ������ ��� ����� ������ � �� ��� ����� � � � ���� ������ �� ������� ��� � ��� ����� ��������� ���������! ���� ��������� �� � � �� ���� ��
�� � ���%� �(� � � � � �� � ���%� ��(� � � � � ������� � ���� �� � ��� �� ��� ��� ����� �� �� ��� �� �� ����� ���� ��������� ������ �� ���������� ��� �������
4�!��� � ��� ���������� ��� ������ �� � � �������
�� � ��%�� ��� �� � � �� ������� ����� �� � ������ ��� �� �� �� �� ��� �� � � ������ ��� ������ �� � ��� ��
:� =� %A 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" *
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
4�� ����� �� ��� !� �� ����� �%� �(� � � � � �� �� � ��� ����� �%� �(� � � � � �� �� �� �� ���������� ��� ����� � ��� �����������! ����� ��� ���� ��� ��� �������� ����� ������� �� ���� ��� �����
� � �%�% � �(�( � �*�* � � � � � ����
"��� � ����� � � ������ � ���� ������ �� �� ��� ����� �%� �(� � � � � ���
������� �
#�$ >�� � � �(� )��&� ��� � � �%��'� -�� ����
�� � � �(� %� )� ��&�� �&� -� � �*��%� )�+� � �+�(�� +�)�� +��&�� � �%)� (,��*&��� � ��%��%��'� -� � ��%� '��-�
*�� &� � �'� %(��%&� � ��&� *6��)&� � �%� )(��'6�
#�$ ��� 7��� ����� 6 � �6� 6� � � � � 6� �� � � ������ �� ��� ����� 6 �� ����� ��� �� ����� � � ��%� �(� � � � � ����� 6 � ��% � 6� �( � 6� � � � � � � 6� � ��%� �(� � � � � �� � �
#�$ >�� � �(
*
�)
��
�� ��� � �
*
�%�(
��
��� ���� (�� *� �
)
'
�,
��
���
�-*
'
��
�� �
�&-
�(
��
���
@��� ��������� �� ����� ����� ��� ��������� �� ����� �������� ��� ����� �������������� ����������� �� ��� ��������! ��������
������� ���' /�� �� ����� �� ��� �� � ��� �� ����� �� � � �� ��
#�$ ��� �� � � � �� ��� ��� # $ ���� �� � ��� ���
#��$ �� 6 � �� # �$ �� � � ��� � ��� � ���
#���$ �� ���� � 6� # ��$ ��� ��� � ��� ����#� $ �� � � �� �� # ���$ %� � ��
�� ������� ��� ����� �� ������� %�% ����� :������ (� ����� �� ������ �� ��� ������� �� �������#=������ (�*$�
"����� � ��� � ��� ����� �� � ��� ����� � � �� ��� ��� ���7��� ����� � �� �� ���� � � ������ ���� ��� �� �� ��� � � ��� �� �� ��� ��� �� ������ ���� �� � � ��������! � � � 6 �� � � 6�
��( ��� )�����* �����
:������ �������� ����� � ��� � �� �. ��
� � ��%� �(� � � � � �� ��� � � ��%� �(� � � � � ����� �� ������ �� �� ������ �� ������ ������ �� � ��� � � ������� ��� ������ �
� � � � �%�% � �(�( � � � � � ��
���� �� � � � � �������� � ���������! �����������! ��������� ��� �����! ��� �������! �������� ��� ����� � ��� � ��� ��� �� �� �� ������ #�� ����������$ �� ����� ��� ������� � 7���� ���� �� �� � � � � 6�
) 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" ?:� =� %
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
������� ��
#�$ >�� � � �%��(� *�� � � �)� &��%�� � � �(� +� )�� ������ � � � %�)� � (�&� � *��%� � )� %6� * � �-
� � � � (� %)� %( � 6� � � � � ,� *&� ) � *-
��� � ��� � ��� �����!�����
#�$ >�� � �(
*
�)
��
�� ��� � �
*
�%�(
��
��� ���� � � � � '� *� , � %%�
#�$ "����� � � �%� (� *� )� ��� � � �'� ���,� (�� /��� � � ���� � ��� � ��� �����!�����
/��� ������ � � � � '� (� � ()� , � �%6� (�� ���� �� � � � � 6 ��� �� � ��� ��
�%6� (� � 6 �� (� � %6 �� � � &
@��� ��������� �� ��� ��� ������� �� � #��� �� �� =������ %�%*$ �������
������� ���' /�� �� ����� �� ��� �� � ��� �� ����� � �� ��
#�$ ��� �� � � � � � �� � � �� #���$ � � � � � � ��#��$ ���� � � � ��� � ��� #� $ � � � � 6� ��� � � � � 6 ��� � � 6�
4��� ���� #��$ � ���� �� ��� 22��B� � ���33 ���� ��� ��� ������� �� �� ����� �������� @ #���$ ��� #��$�
� � ���� � ���� � � � ��� � �� � ��� � ������ �� �� ��� ��� 22��B� � ���33 ���� ��� ����� ������� �� �� ����� ��������
��� ���� � ���� ��� ��� � ��������� �� ����� ��������� ����� ��������������� ��� ��� ������� ������ ������ ������� ������
���� )���!��* �� + ������
��� ��� �� �� � �� � ����� � �� �� ������� � �� � ������ �� �� ��� �����!��� � 1���� ���� ��� � �� �� ����������� �� � � ��%� �(� � � � � ��� ����
� � � � � �
�(% � �(( � � � � � �(
���� �� � � ��� 1���� ���� �� ��� �� �� ��� 1���� �� ��� ��������� �� �� ��� � � 6� ���� � 6 �� ��� ��� �� � � 6�
����� � � ������ � �� ����� �� � � % ��� �1�� ������� �� � � � � %� /�� �� ���7��� ����� � ���� ��� �����
�� � %
� � ��
�� ��� ���1�� ���� ����� �� ��� ��� ��������� � �� ��� ����� �� �����! �� ���� � � ������ ��������� ��
������� ��
#�$ "����� � � �%��(��)� &� *�� �� ��� �� �� ��� ��� ��� �( � � � � � 1�����! ���� ��������� �� � ��������!� � �������
�( � %( � ��(�( � ��)�( � &( � *( � %� )� %'� (&� - � &&
���� � � &&
�
:� =� %A 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" &
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
#�$ >�� � � �%��*� )� (� ��� � � �%(�� %
'� &'� %'�� ����
� � %� -� %'� ) �
*6
��� � �
-
*'� %
*'� (&*'
� %
*'
��
*'
*'
��
%
� %
��� � � � ���� ����� ��� � � ��� � ���� ������ ���� ��� �� ��� �������7� � � �������
�� � �
� � %*6
��**6
�)*6
�(*6
�
��� � ��� ���1�� ���� ����� �� ��� ��� ��������� � ��
��� ��������! ������� #��� �� �� =������ %�%)$ � B���� � ��� "�����7 ���1����� �� :����C"�����7 ���1������ �� � ��� �� ��� ������� �� �����������
������� ��$ #"�����7$� /�� �� ����� �� � �� �� �� � �� � ���
D��! ��� ��� � ���1������ �� ��� ��� � #=������ %�%&$ ��� ��������! ����� B���� � ��� 22�����!�����1�����33 �� 0��B��B�3 ���1������
������� ��( #0��B��B�$� /�� �� ����� �� � �� �� �� � � � � ��
�� �+���, %�!#� , ���-������
��� ��� �� ������� ����� � � ��%� �(� � � � � �� ��� � � ��%� �(� � � � � �� �� � � ������� ��������� �
���� �� � �� � ���% � �%�( � ��( � �(�( � � � � � ��% � �%�(
��� ��� ��� ���� ��� ��������� �!��� ���� ��� ���� ������ �� ������� �� ��� 9�������� ����� �( ������ �*�
��� ��� � ������� ���7��� ����� �� � �� � � ������ �
�� � � � � ���
��� ��������� � ���� ������� ����� � ��� "�����7 ���1����� #������� %�*$�
�% � � � ��� � %
4��� ���� �� � � � � 6� ���� � � -6 #�� � � ��($� ��� ���� �!��� ���� ��� ��� ��� ��������� �������!�������
��� ����� �� �� � ����� � ���� � ���7��� ����� � � ��� ����� ������� ��� ������ �
������� �� � � � ��( �
�� ��� ����� ���� ��� �!��� ���� ��� ���� ������ �� ����� ���������� �� �����
������� �
#�$ "����� � � �%��(� *� ��� � � �(� )� &�� �������� �� �
�%� (�( � ��(� )�( � �*� &�(
�
%� *'� ) �)%
�� ��� �� �� ����� � � ��� ��!�� ������� � ��� �� �� ��� ���
� � � � (� ,� %& � -� �( � %� )� - � %)� �( � )� %'� (& � )&
' 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" ?:� =� %
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
����
�� � � � � ��� � -
%)
)&
���
������� �� � � � ��( � �
-
)&�(� )� &� � %
&�(� )� &� � (
&�)
&� %
� �
#�$ :������ ��� ����� � ��� � �� /�!� %5(#�$ #���� ������� � �������� � ��� $� ��� #�������������$ ���������� ��� ���� � � ��� ����� �E ���� ��!������
�E � � �� � � � � � ��� � � � �
��� ������ �E� �� ������� �� ��!������ � ��� ���� ����� �� ��� ��������� �� �� ��������!
�E � �E �
� � � � ��
�
� � � � ��( �
��� � ��� ��� � ��� ��� � ��������� �� ������� ���
��. ��%��� ������, /0�����%���, �����, ���� �� �
��� ������ �����!���� ������� �� 5����� !���� � !��%� �(� � � � � �� ����� � � ����� �� � ��� ��5����� � � ��%� �(� � � � � �� ����� � � ����� #�����$ ���� ��� ���!�� � �� ��� ����� "��%� �(� � � � � ���
���+��1 ������
� ���� �� ����� ����� ��� ���� �� � ����� ��� ���� � �� �� �� ���� � �� ��� ���� � ��
� ������� � ��
� �� ������� � ��
���� ��� �����
� � � � � ��% � �%� �( � �(� � � � � � � ��
�!� �"�
z
y
x
0
u
( )b
B b b b( , , )1 2 3
u = B – A
A a a a( , , )1 2 3
P b a b a b a( – , – – )1 1 2 2 3 3
0
u
( )a
Projection of ontou* u v
A
u*B
Cθ
v
:� =� %A 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" +
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
���� � ��
��� � �� � ��� ��� ��!������ ��� ���������� ��� � �������� �� /�!� %5(#�$ ��� �������� ���%� �(� �*� ��� ��%� �(� �*� �� �* ��� ��� ����� � � � � ����� �� ��� ��������!��% � �%� �( � �(� �* � �*��
/�2��2#+��
������� # �� � � ��� �� �� ����� ��%� �(� � � � � �� ����� ���� � ������ �1�������%�% � �(�( � � � �� �� � �
����� ��� ����� � � ��%� �(� � � � � �� �� ���������� � ��� 7������� � ��������� # �� �( � � ���� ��� ���������� # �� �* � � ������ �� ��� ������ � �������� �� /�!� %5*#�$ ��� �*� ���� � � �����!���� ���� �������� ���� �!���� !$
��� ����� !� ��� ��� $���� ��� ����� �� # � ?/�� ��� ������ �� � ���� � �
����� �� # ��� ���� # � ����� �� ��A"���� !� ��� ��� $���� �����! �� #� ��� ���� ��� ��� � ��������� �1������� ���� ��
�%�% � �(�( � � � �� �� � � ��� �%�% � �(�( � � � �� �� � �
� � !$�� � $� ! � ��% � �%� �( � �(� � � � � � � ��>��
����
� � � � �%��% � �%� � �(��( � �(� � � � �� ��� � ��� ��%�% � �(�( � � � �� ��� � ��%�% � �(�( � � � �� ��� � �� � � 6
��� � � !$��
� �����!���� �� �� � ��������
���� �� �
��� �� % �� � ����! �����!� ��� ����� !��%� �(� � � � � �� ��� �� ��� ��������� �� � ���7��� ������ � ��%� �(� � � � � �� ����� �� ��� ����� & ��%� �(� � � � � �� ���� ����
& � ! � � ��
�% � �% � �%�( � �( � �(��������������������� � � � �
�� %� � � ��� � ���
�������
����� ��� ����� � ��B� �� ��� ���� ����� "��� � ���� % �� �* � �������� �� /�!� %5*#�$�
�!� �"$
, 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" ?:� =� %
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
������� ��
#�$ >�� # �� ��� ����� �� �* �����������! �� ��� ������ �1������ (�� &�� +� � )� ���� � ���� !�%� %� %� ���$�&� )� (� ��� ������� �� ��� �1������� ��� ! ��� $ ��� ��� �������� ���� �!����
� � !$�� � $� ! � �&� %� )� %� (� %� � �)� *� %�
��� �� ��� ����� # � ��� ����� � � �(��&� +� � ������ �� # � ���� � ���������� � � � �(��&� +� � �)� *� %� � ,� %&� + � 6
���� �� � � �����!���� �� ��
#�$ /��� �� �1������ �� ��� ��������� # �� �) ���� ��� �����!� ��� ����� !�%� *��)� (� ��� � ������ �� ��� ����� � � �)��(� &� '��
��� ���������� �� ��� ��B���� �� �� �1������ �� # ��� ��� ��������� �� ��� ������ ����� �. ����� ����1������ �� # ��� �� �� ��� ����
)�% � (�( � &�* � '�) � �
"���������! ! ���� ��� �1������� �� ������
)�%� � (�*� � &��)� � '�(� � � �� )� '� (6� %( � � �� � � �%6
��� )�% � (�( � &�* � '�) � �%6 � ��� �1������ �� # �#�$ /��� ��� ���������� ������������� �� ��� ���� % �� �) ����! �����!� ��� ����� !�%� (� *��)� ��� �� ��� ���������
�� � � �&� '��+� ,�� ��� ��� ��� ����� $ �� % ���� � %�"���������� �� ��� ��� � �1������ ��� % ���� ��� ��������! ���������� ��������������
�% � & � %� �( � ' � (� �* � �+ � *� �) � , � )��� �1�� �������
%� � � �& � %� ' � (��+ � *� , � )�
4��� ���� � 6 ���� ��� ����� ! �� %� "���������� �� � % ���� ��� ����� $�'� ,��)� )� �� %�
���� �� �
>�� ' �� �� ����� �� #����� �� �������$ �� ��� ���� ���� �� ��������� �������� (�' � � � � ������ �� ���� �� ���� ����� � ' ����� � ��!��� ��� ��������! ����� �� ��
(� � � �(%� ��((� �� � � � �(� ��0���� ��� ��� ���� ��� � #�� �� ����$ �� (� � ���� ��� �����
) � � � �(� ��
� �(%� ��
��((� ��
� � � � ��(� ��
� �
����� � ���!��� �� ��� ��� �� 4������7��! ) � � ����
�� � � ) � �) � �
��� �� � � ��� ���� ���!��� ����� �� ��� ��� �� #D��� ����� ���� !���������� �!�������� ��� ������������� �� ���� ����$
:� =� %A 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" -
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
������� �� :������ ��� ��� � (� � � ��� � �� � � �� �*� ��B��! ��� ���� ��� � �� (� � ?�� ���� ��������� �� (� �A����
) � � � ��� �� �� � %������ � � ����� ���!��� �� ��� ��� �� �� �������7� ) � �� /��� �� ������
) � �( � ��( � ��( � % � %� % � (
���� ��� ���� ���!��� ������ �� � �� ��� ��� � �������
�� � � ) � �) � � � ��
( �
� �� (
�%(
� �
��3 ������ �� �* )��%��%�������*, �-4 ���%����
8����� �� �*� ������ ��� ��� �� ���� ������ �� ��� ������������ �������� �� ����� �� ����� ������� �������� � ���1����� ��� ��� ��� ����� � �������
� � �%� 6� 6� ������ ��� ���� ����� �� ��� � ����������- � �6� %� 6� ������ ��� ���� ����� �� ��� � ����������4 � �6� 6� %� ������ ��� ���� ����� �� ��� � ����������
���� �� ����� � � ��� �� �� �� �* ��� �� ������� ���1��� �� ��� ����� � ��� �� �� � ��� �-� �-
"���� ��� ����� �� -� 4 ��� ���� ����� ��� ��� ������� �����!����� �� ������ ��� ��������! ��� ��������
� � � � %� - � - � %� 4 � 4 � % ��� � � - � 6� � � 4 � 6� - � 4 � 6
/����������� ��� ����� ��������� ������ ��� � �� �� ������� �� ��� �-4 �������� � �������"�����
� � �%�� �(-� �*4 ��� � � �%�� �(-� �*4
����
�� � � ��% � �%��� ��( � �(�-� ��* � �*�4 ��� �� � ��%�� ��(-� ��*4
����� � � � ������ ���
� � � � �%�% � �(�( � �*�* ��� � � � � � � �(% � �(( � �(*
������� �� "����� � � *�� &-� (4 ��� � � )�� ,-� +4�#�$ �� ��� �� �� ��� �����������! ���������� ��������! �� � � +�� *-� &4#�$ �� ��� *�� (�� ��� ������� � ��� ����� ��� ���� ����
*�� (� � �-�� %*-� '4� � ��,�� %'-� %)4� � �� (--� (64#�$ �� ��� � � �� ������� �����������! ��������� ��� ���� ����
� � � � %(� )6� %) � �)(#�$ �� ��� �� ��B� ��� 1���� ���� �� ��� �� �� ��� 1���� �� ��� ����������
� � -� (&� ) �
*,
%6 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" ?:� =� %
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
�� ���1���
����� � � ������ ��������� ��� ����� � ��� � �� �* ���� � ��� ������ �� � ��� �� *� ��� ���������� ������ ��� ����� ������ ��� � ������� � �� �� ��� �� �� ���� �������� ��� ������� ��� �� � � ���� ��� ����������� #�� ����� ���$ ��� �� ��!��� �� ����� ��� ������� ��� ������ � �������
� �
� �
�������� � �� � �� ��� � � �
� �
�������� � ��� ��
���� � ��� � ��� ������ ��� ������� ������� ��� � ��� � ��� ��� �������� �������� ��� �������������� � ��� ������� �� �� ��� ���!���� ������� ���� ��� ������� �� �� ��� ������!���� ����������� ��� ��� ��� ��� ��!��� � �� ��� ������������
4�� ����� � � �%�� �(-� �*4 ��� � � �%�� �(-� �*4� ����
�� � � ��(�* � �*�(��� ��*�% � �%�*�-� ��%�( � �(�%�4
� �% �( �*
�% �( �*
���������� �% �( �*
�% �( �*
��������-� �% �( �*
�% �( �*
���������
���� �� ��� ����� ��������� �� �� � ��� �������� ���� ��� ����
�% �( �*�% �( �*
� �
#����� ������� ��� ��������� �� � ��� � ��� ��������� �� �$ � �������
#%$ :� �� ��� ��� ������ ��� ��B� ��� ������������
#($ :� �� ��� ����� ������ ��� ��B� ��� ��!��� � �� ��� ������������
#*$ :� �� ��� ����� ������ ��� ��B� ��� ������������
4��� ���� �� � � � �����. ����� �� � � ��� ������ ��� �� �� ������ �� �� � ������ �� � ��� ��
������� �� /��� �� � ������ #�$ � � )�� *-� '4� � � (�� &-� *4� #�$ � � �(��%� &�� � � �*� +� '��
#�$ D�) * '
( & �*� �
�� !�� �� � � ��-� *6��� �%(� %(�-� �(6� '�4 � �*-�� ()-� %)4
#�$ D�( �% &
* + '
� ��� !�� �� � � ��'� *&� %&� %(� %)� *� � ��)%� *� %+�
���+�4' ��� ��� ������� �� ��� ����� �� -� 4 ��� � �������
�� - � 4� -� 4 � �� 4 � � � -
-� � � �4� 4 � - � ��� �� 4 � �-���� �� �� ��� ��� ������ ��� -� 4� � � ����� ������������ ����� � ������ 4 ��� ����� 4 ������� �� ������� ������� �� ��� �� ���� �� ��� !� �� ��������� � ��� ����� ���� ��� ��� ������� �� ��� �� ���� �� ���������� ��������� � ��� ��!��� � �� ��� ����� ����
��� ��������� ��������� �� ��� ��� ������� ��� ��������� �� ��� ��������! ��������
������� ��.' >�� �� ��� �� ����� �� �*�
#�$ ��� ����� �� � � �����!���� �� ���� � ��� ��
#�$ ��� ������� ���� �� ��� 22������ �������33
� � �� �
�������� ��� ����� �� ��� �������������� ������ � ��� ����� �� �� ��?"�� /�!� %5)#�$�A
:� =� %A 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" %%
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
�� ���� ���� ��� ����� �� �� �� � ���� � ��!��5������ ���� ��� ���� ��� ��������! ������� !� ���� ��!������ �� �� ��
�� � � �� �� ������ � � ��� ��!�� ������� � ��� ��
��5 �&���6 �&7���
��� �� �� ������� ������ � ������� � � /������� � ������� ������ � �� ������� ���� ��� �� ������ ������ ����� �1������ �������� ��� �������������� ��� ������ � �������
��� �� � ��� �� �� ��� ��� �� � � � ��� � � �
��� �� � ��� �� � ��� �� �� ����� �� � ��� �� � ���� ��� �� � ���
�� ������� ��� ���� ������ � ���� ��� ������� ������ ��� 6�. ���� ��� � ��� 6�
��� � ������ ���� ��� ��������� �� �������� ��� �������������� �� ���� ������ ��� ����� �� ����� ����������������. ���� ��
��� 6� � ��� 6� � ��� �� 6� ��� ��� 6� � ��� 6� � ���� 6���� �� ��� � � � ���� �� � ��� ������� ��� 6� � � ����� �� ��� ������ ��� �������
�� ���� ���� ��� �� �� ������� ������ ���� ��� ��� � ��������� �� �������� ��� �������������� �� *�� �� ������� ��B� ��� �� � �� ���� ������ ��� ��� �� 8 �� �� ���� ������
��� ������� ������ �6� %� � ������� � �� �� �� ��� ��������� ������� ����
�( � �� � �6� %��6� %� � ��%� 6� � �% �� � ��%
�������!�� �� ������� ������ � � ��� �� ��� �� ������� �� ��� ����� � ��� �� � ��� 6� � �6� �� � ��� 6� � ��� 6� � �6� %� � �� ��
�!� �"(
%( 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" ?:� =� %
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��� ��� � �������� � � �� ��� ����� � � ;� � ��� � � �� � ��� ������� ������� ��� ��� ��� ����������� ��� � �� �� � ���� ��� ������ ���� ��� ��� �� ����� ��� �� ��� ������� �� ������� ������� � �� �� ��� � � �� �� ��� �� ���� �� � ���� ���! ��� ��������� � ��� ��������� � ��� ����( � �%�
�� � � ��� ��� � ��� ��� � �� �� ��� �� � ��� �� � ��� ����� � ��� ������ ��� � ��� ���� ���� ���( � ���� ��� � ���� ����
�� ��� ����� ��� �� �� �� � ��� ���������� �� �
�� � �%� ��� �� � � �� ����
9+����!' ��� ������ � ����������!�%
�� �� ����������� ������ �� �� ��� ����� � � �%� 6� 6� ��"������ %�'�
��2#�: ��-�!+��, %� �#��� �+#��
:������ � ������� ������ � � �� ��� ��� ������ �� � � ������� ��� ������ �
�� � �� �� � �� ��
���� ��� � ��� ������ ��� � �( � �(�( � �( � �(� 4��� ���� � � ���� �� ��� ��� �� �� � ��
��� ������ ���� �� �� ������� � ���� � ������ �� �� ��� �����!��� � 1���� ���� �� ���� 4�����
��� ����
�
�( � �(
�
4��� ���� ��� � �1��� �� ��� ���� �� ��� ����� ��� �� �� �(�
"����� � �� 6� ���� ��� �� ��� ��% �� � ��� �� ���� �� �� � � � ��� !� ��� ������� ��� �
��% � ��
���� �
�( � �(� �
�( � �(� ���
�
�� ���
���� ���%
������� �� "����� � � (� *� ��� � � &� (�� ����
�� � � �(� *�� � �&� (�� � (� &� *�� (� � +� �
�� � �(� *���&� (�� � %6� %&�� )�� '�( � %'� %%��� � (� *� � (� *� ��� �� � &� (� � &� (��
�� &� (�(� *� �
�&� (���(� *���(� *���(� *�� �
)� %-�%*
� )
%*� %-%*�
��� � )� - �
%*
��� ��� �
(&� ) �(-
��2#�: �#+��
;����� ���� ��� ���� ������ � ��� �� ���������� � ����� �� � ����� ����!���� ��� ������������� ��� �� ���������� � ����� �� ��� ������ "���������� �� ��� ��� ����� ��� �� �� ��� ������������� ��� ������� ������ �� �� � ���� �� /�!� %5)#�$� �� ��� � ���� ��� � ��� ������� ���� ������!�� � �� ��� ����� �� ��� ����� ���� ��� ������������� � ������ ��� ������ ���� ��� ��B� ��� ��������������! � � ������ ��� ��� ���
:� =� %A 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" %*
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��; ������ ��
��� �� �� ��� 5����� �� ������� ������� ������� � � � ������ ������ ������ F�� � �� ������� ���� ��� ������� �� ��� ������ ��� � �� �� ���� ��� ������� �� ��� ������ �������� ��� ������������� �� ��� ����� �������������� �� ��� !� �� �
��%� �(� � � � � �� � ��%��(� � � � ��� � ��% � �%� �( � �(� � � � � � � �����%� �(� � � � � �� � ���%� ��(� � � � � ���
����� ��� ��� ��� ��� � �����! �� �
������� ��� :������ ����� � � �(� *�� )� �� *� ��� � � �*� (�� &�� )� '�� �� *� ������ � � �(� *�� )� �� *� � �*� (�� &�� )� '�� � �&� �� )� )�� +� '��
�&� (��� � ��&� (���(� *��� �&� (���)� ��� �&� (���*�� � �%'� %%�� %,� %*�� %&� '��
��� )�����* ���1��� ��
:������ ����� � � ��%� �(� � � � � �� ��� � � ��%��(� � � � ��� �� � ��� �� �� �� ������ �� � ���� � ������� ��� ������ �
� � � � �% ��% � �( ��( � � � � � � ��
��� ��������� ������ �� ��� ���� ��� ���� ��� � �� ���� �� � ����� ��� ���� �� � � ������ �
� � � � � �
�%��% � �(��( � � � � � ���� �
��%�( � ��(�( � � � � � ���(
�� ������7� ���� � � � ��� � � ��� ���� ��� ����� � ���� � �� 6 ��� 6 ���� � � 6�
������� ��� :������ ����� � � �(� *�� )� �� *� &�� ��� � � �*� )�� &�� )� (�� �� *� ����� � � � �(� *���*� )�� � �)� ���&�� � �*� &���)� (��
� �(� *���*� )�� � �)� ����&�� � �*� &���)� (��� ��'� %*�� � ��&� (6�� � �(� ('�� � �-� %-�
� � � � �(� *��( � �)� ��( � �*� &��( � )� -� %'� %� -� (& � ')
� �')
� ,
��� ���� ���� ��� ��� � ��������� �� ����� ��������� ����� ��������������� ��� ��� �������� ������� ������ ������� ������ ������� %�( ��� � ��� ���� ��� �� �� ������� � � � � � � � �
� � � � � � ��� ��� ����� ����� ��� "�����7 ���1����� #������� %�*$ ��� 0��B��B�3 ���1����� #������� %�)$ ������� ��� ���� �� ����!��
��#��1 ����#��
������ �� �
���� <�������� ����� �� ��� ��������! ����� ��� �1����
�% � �%� (� *�� �( � �(� *� %�� �* � �%� *� (�� �) � �(� *� %�
8����� ��� �1��� ��� ���� �����������! ������ ��� �1���. ����� ��� �( � �)�
%) 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" ?:� =� %
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
���� >�� � � �(��+� %�� � � ��*� 6� )�� � � �6� &��,�� /����#�$ *�� )��#�$ (�� *�� &��
/��� ������� ��� ����� �������������� ��� ���� ��� ����� ���������
#�$ *�� )� � *�(��+� %� � )��*� 6� )� � �'��(%� *� � �%(� 6��%'� � �%,��(%��%*�#�$ (�� *�� &� � �)��%)� (� � ��-� 6� %(� � �6��(&� )6� � ��&��*-� &)�
��$� >�� � �&
*
�)
��
��� � � �%
&
(
��
���� �
*
�%�(
��
��� /����
#�$ &�� (��#�$ �(�� )�� *��
/��� ������� ��� ����� �������������� ��� ���� ��� ����� ����������
#�$ &�� (� � &
&
*
�)
��
��� (
�%&
(
��
�� �
(&
%&
�(6
��
���
(
�%6�)
��
�� �
(+
&
�()
��
��
#�$ �(�� )�� *� ��%6�',
��
���
�)(6
,
��
���
�-*
'
��
�� �
�(*%+
((
��
��
��(� /��� � ��� �� ������ #�$ ��� *� � �(� �� ��� #�$ �)� �� � ��(� *��#�$ "���� ��� ����� ��� �1���� �� ��� �����������! ������ �1��� �� ���� ������ ������!
� � (� * � �� �
"�� � ��� ������ �1������� ��������! � � (� � � %�
#�$ /��� ������� � ��� ����� � �� ������ �)� �� � �(�� *��� ���� �� �����������! ������ �1��� �� ��������� �� ������
) � (�� � � *�
"�� � ��� �1������ �� ���� � � (� � � '�
��.� ����� ��� ����� � � �%��(� &� � � ������ ����������� �� ��� ����� �% � �%� %� %�� �( � �%� (� *���* � �(��%� %��
�� ���� �� ����� � �� ��� ���� � � ��% � ��( � ��* ���� �� �� � � �� ��B����� /��� �� �� �
%
�(&
��
�� � �
%
%
%
��
��� �
%
(
*
��
��� �
(
�%%
��
�� �
�� �� (��� (�� �
�� *�� �
��
��
#�� � ���� ��� ������ �� ����� ����� � ������ ���� � ��� ���� ������! ������ ������������$ "�������������! ������ �1��� �� ���� ����� �� ������
�� �� (� � %
�� (�� � � �(�� *�� � � &
��
�� �� (� � %
�� *� � �*(�� � � )
��
�� �� (� � %
�� *� � �*&� � %6
��� ���1�� ������� �� ��� �����!���� ��� � � � �'� � � *� � � (� ��� � � �'�% � *�( � (�*�
:� =� %A 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" %&
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��3� ����� � � �(��&� *� � � ������ ����������� �� �% � �%��*� (�� �( � �(��)��%�� �* � �%��&� +��/��� ��� �1�� ����� ��� �� ������ �1������ ��� ���� �� �� /����
(
�&*
��
�� � �
%
�*(
��
��� �
(
�)�%
��
��� �
%
�&+
��
�� �
�� (�� �
�*�� )�� &�(�� �� +�
��
��
"�� ��� �����������! ������ �1��� �� ���� ����� �� ������
�� (�� � � (
�*�� )�� &� � �&(�� �� +� � *
��
�� (�� � � (
(�� (� � %
� &�� &� � �%��
�� (�� � � (
(�� (� � %
6 � *
��� ����� �1������� 6�� 6�� 6� � *� �������� ���� ��� ��� �� �� �������� ��� � ������ �� ������� � ������� ����������� �� ��� ����� �%� �(� �*�
��� )�����* �����, ���/�<��%���0, ���& �� �
��5� /��� � � � ������#�$ � � �(��&� '� ��� � � �,� (��*�#�$ � � �)� (��*� &��%� ��� � � �(� '��%��)� ,��
0������ ��� �����������! ��������� ��� ����
#�$ � � � � (�,� � &�(� � '��*� � %'� %6� %, � �%(#�$ � � � � ,� %(� *� (6� , � �&
��;� >�� � � �&� )� %�� � � �*��)� %�� � � �%��(� *�� ����� ���� �� ������ �� ��� ��� �������������#�����!����$G
/��� ��� ��� ������� �� ���� ���� �� ������
� � � � %&� %'� % � 6� � � � � *� ,� * � %)� � � � � &� ,� * � 6
��� � ��� � ��� �����!����� � ��� � ��� �����!����� ��� � ��� � ��� ����
��=� /��� � � ���� � ��� � ��� �����!����� ������
#�$ � � �%� ���*� ��� � � �(��&� )�#�$ � � �(� *���)� %� &� ��� � � �'��%� *� +� (���
:������ � � �� �� � � � �1��� �� 6� ��� ���� �� � ��� ��#�$ � � � � %�(� � ���&� � *�)� � �&� � %6� ���� �&� � %6 � 6� �� � � �(�#�$ � � � � %(� *� � %(� +� %6� � +� � +� ���� +� � + � 6� �� � � �%�
���>� /��� �� ������ #�$ � � �*��%(��)�� #�$ � � �(��*� ,��+��/��� ��� �( � � � � � 1�����! ��� ������ ��� �����!� ���� � �
�(
��
#�$ �( � �*�( � ��%(�( � ��)�( � -� %))� %' � %'-� ���� � � %'-
� %*
#�$ �( � )� -� ')� )- � %('� ���� � � %('
�
%' 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" ?:� =� %
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
����� ;����� ���� ��������� � ���7��� ����� � ���� �����! ��� ���1�� ���� ����� �� �� ��� ������������ � �� �����
�� � %
� �
4������7�� #�$ � � �*��)�� #�$ � � �)��(��*� ,�� #�$ � � �%(� (*� � %
)$�
#�$ /��� ��� � � -� %' �
(& � &� ���� �� ��� ���� ���� �� � � &� ��������! �� � �*
&� � )
&$�
#�$ ���� � � %'� )� -� ') �
-*
� ����
�� � )-*
��(-*
��*-*
�,-*
�
#�$ 4��� ���� � ��� �� ����� � �������� �� � ���� �� � ��� ��� �������7�� ����� ����� ��� ������� � �%( �� 22����� ��������33� ���� �� ��� ��� �� � %(� � �'� ,��*�� ����
�� � *'� ')� - �
%6-
��� �� � ��� � '
%6- �
,%6-
��*%6-
�
����� >�� � � �%��*� )� ��� � � �*� )� +�� /����#�$ �� �� ����� � � ��� ��!�� ������� � ��� �.
#�$ ������� ��� ��� ���������� �� � ���� �.
#�$ ���� ��� ��� ������� ������� � ��� ��
/��� ��� � � � � *� %(� (, � %-� �( � %� -� %' � ('� �( � -� %'� )- � +)� ����
#�$ �� � � � � ��� � %-
('
+) �
#�$ ������� �� � � � ��( � �
%-
+)�*� )� +� � &+
+)�+'
+)�%**
+)
� � &+
+)�*,
*+�%**
+)
�
#�$ ���� �� � �� � � ��(��+� *� � )� )-� - �
'(
�
���$� =�� � ������� %�(� /�� �� �� ��� �� � ��� � �� ��#�$ ��� �� � � � � � �� � � �� #��$ ���� � � � ��� � ��� #���$ � � � � � � ��#� $ � � � � 6� ��� � � � � 6 ��� � � 6�
>�� � � ��%� �(� � � � � ��� � � ��%� �(� � � � � ��� � � ��%��(� � � � ����#�$ "���� �� � � ��% � �%� �( � �(� � � � � � � ���
��� �� � � � ��% � �%��% � ��( � �(��( � � � � � �� � ���� �%�% � �%�% � �(�( � � � � � �� � ��
� ��%�% � �(�( � � � � � ��� � ��%�% � �(�( � � � � � ���� � � �� � � �
#��$ "���� �� � ���%� ��(� � � � � �������� � � � ��%�% � ��(�( � � � � � ��� � ���%�% � �(�( � � � � � ��� � ��� � ��
#���$ � � � � �%�% � �(�( � � � � � �� � �%�% � �(�( � � � � � �� � � � �#� $ "���� �(� � �����!��� � ��� ���� �� ��� ���� ��� �� �� �����!��� � ���� ������ � �����!��� ��
� � � � �(% � �(( � � � � � �( � 6
/����������� � � � � 6 ��� �� � 6 ��� ���� �� ���� �� ��� � � 6�
:� =� %A 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" %+
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
���(� =�� � ������� %�* #"�����7$� �� � �� � ���/�� �� ���� ������ � ��� ���! ������� %�(� �� �� �
6 � � �� �� � � �� �� � (�� � �� � ( �� � �� � �� � �� � �( ( � (�� � �� � �(>�� � � �(� � � (�� � ��� � � �(� ����� ��� � �� ���� �� � � ( � � � � � 6� ��� ���� ���� ���1�������� ��������� ������ �� � ��� ���� ����� ��� ������ ���� ��� ����������� ' � �( � )�� � 6 ����1�� ������� �( � )��� ���
)�� � ��( � )�(�(<� ����! � ) !� � � ��� ������
���.� =�� � ������� %�) #0��B��B�$� �� � � � � ��@ ��� "�����7 ���1����� ��� ����� ��������� �� ��� ��� ��������
�� �( � ��� �� � ��� �� � �� � �� � (�� � �� � �� � �� � �( � (�� � �( � �� � ��(
��B��! ��� 1���� ���� �� ���� ��� ���� ��� ������ ���1������
������, �����, /0�����%��� �� �
���� �� �����!��� ������� �� 5����� !��%� �(� � � � � �� ����� � � ����� �� � ��� �� 5������ � ��%� �(� � � � � �� ����� � � ����� #�����$ ���� ��� ���!�� � �� ��� ����� "��%� �(� � � � � ���
���3� /��� ��� ����� � ��������� ���� ��� �������� ���� �!���� !$��
��� ��� ������#�$ !�%��(� )� ��� $�'� %��&� �� �*� #�$ !�(� *��'� &� ��� $�+� %� )��,� �� �)�#�$ � � !$
�� � $� ! � �'� %� %� ��(�� �&� )� � �&� *��-�#�$ � � !$
�� � $� ! � �+� (� %� *� )� '� �,� &� � �&��(� %6��%*�
���5� /��� �� �1������ �� ��� ��������� # �� �) ���� ��� �����!� !�*��)� %��(� ��� � ������ ��� � �(� &��'��*��
��� ���������� �� ��� ��B���� �� �� �1������ �� # ��� ��� ��������� �� ��� ������ ����� �� ��� ���1������ �� # � �� ��� ���� (�% � &�( � '�* � *�) � �� "�������� ! ���� ��� �1������ �� ������ � � �('���� �� �1������ �� # � (�% � &�( � '�* � *�) � �('�
���;� /��� �� �1������ �� ��� ����� # �� �* ���� ������� !�%��*��)� ��� � �������� �� ��� ����� # ����������� � ��� �1������ *�� '�� &� � (�
��� ����� # ��� # � ��� �������� �� ��� ��� �� ����� ������ ��������� ��� �������� �� ������������ #����������������$� ����� �� �1������ �� # � �� ��� ���� *�� '�� &� � �� "�������� ! ���� ��� �1������ �� ������� � %� ���� �� �1������ �� # � *�� '�� &� � %�
���=� /��� � ���������� ������������� �� ��� ���� % �� �) ����! �����!� !�)��(� *� %� �� ��� ����������� � � �(� &��+� ,��
���� % ����� �� ��� ����� & ���� ���� ����& � ! � � �� �� � �� � �� �� %� � � ��� � ���
����� ��� ��������� ��B� �� ��� ���� ����� ��� �� ������
�% � )� ( � �( � �(� ( � �* � *� + � �) � %� , �� %� � � �)� ( � �(� ( � *� + � %� , �
%, 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" ?:� =� %
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
���>� >�� " �� ��� ��� � (� � � � (� * � (� *� ( � &� �� �)� ����� 6 � � )�
#�$ /��� ��� ����� ! �� " �����������! �� � (�
#�$ /��� ��� ������� ����� $ ��� �������� ����� $ � �� "�#�$ /��� ��� ���� ���!��� ����� � �� ��� ��� � " ���� � (�
#�$ "�������� � ( ���� (� � �� !�� ! � � �(� � �)� )� ,� -��#�$ ��� ��������� ���!� ���� � 6 �� � )� ����� $ � � �6� � �6��(� 6� &� ���
$ � � (�)� � �%'� %6� ')� (%��#�$ ��B� ��� ���� ��� � �� (� �� ���� �� �� ���� ��������� �� (� �� �� ������ � ����� ) ���� � ���!��� �� ���
��� ��
) � � � �(� ��
� �( � *� * (� ( �4�� ��� ) ���� � (. ���� �� �������� � ( �� ��� �1������ ��� ) � � �� ������) � ) �(� � �)� *� %(� )�� ���� �������7� ) �� ������ ��� ������ ���� ���!��� ����� �� �� �� �
) � %'� -� %))� %' �
%,&
��� � � )
%,& �
*%,&
�%(%,&
�)%,&
� �
��%��%������� )������ �� �**, �-4 ���%����, ���� �����
����� >�� � � (�� *-� )4� � � *�� -� (4� � � �� &-� *4� /����#�$ �� �� #�$ (�� *�� )�� #�$ � � � ��� � � �� #�$ � ��� ��
����� ��� ���������� �� �� -� 4 ��� ��B� ��� ��������� �� � ����� �� �*�
#�$ �� �����������! ���������� �� !�� �� � � &�� (-� (4�#�$ /��� ������� ��� ����� �������������� ��� ���� ��� ����� ���������
(�� *�� )� � �)�� '-� ,4� � ��-�� *-� '4� � �)�� (6-� %(4�� ��� %+-� ('4
#�$ 0������ �����������! ���������� ��� ���� ����
� � � � '� *� , � �& ��� � � � � (� %&� %( � �%#�$ ��� ���� � ��� 1���� ���� �� ��� �� �� ��� 1���� �� ��� �����������
� � )� -� %' �
(-
��� � �
-� %� ) �%)
����� /��� ��� #����������$ �1������ �� ��� ���� %�
#�$ �����!� ��� ����� !�%� *� (� ��� $�(� &��'��#�$ ���������! ��� ����� !�%��(� )� ��� ������������� �� ��� ����� # !� �� � ��� �1������
*�� &�� +� � %&�
#�$ /��� ��� � � !$�� � $� ! � �%� (��,� � �� (-� ,4� ����%� � � � � %� ( � *� �, � (� � � � %��� �( � *�-� ��, � (�4
#�$ "���� % � ������������� �� # � ��� ���� % � �� ��� ��� ��������� � ��� ������ ����� � � *�� &-� +4�� # � ���
%� � � �* � %� & � (� + � )� � �* � %��� �& � (�-� �+ � )�4
:� =� %A 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" %-
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
���$� >�� + �� ��� ������ ��( � (�� � %' �� �*�
#�$ /��� ��� ������ ����� ���� �� �� �� ��� ������ +�#�$ /��� ��� ���!��� ����� # �� + �� ��� ����� !�%� (� *��
#�$ ��� ������� ��� ��� ������ ����� �� � ������ (��� �� �� � 6 �
���� �� �� � (��� (�-� (�4
����� (�� (�� (� ��� ��� ������� ���� ��� �� D��! (��� �� �� � ��( � (��� %'� �� ������(� � �(� (� � (��� (�� (� � (�
��� ���� �� �� � �(�� �(��� (��-� (�4�#�$ ��� ������ �� ��� ������ + �� ��� ����� ! �
��!� � ��%� (� *� � )�� %6-� )4����� � � (�� &-� (4 � ��� ������ �� + �� !� ��� �� �1������ �� # �� ��� ���� (�� &�� (� � ��"�������� ! �� ��� �1������ �� ������ � � %,� ��� ��� ���!��� ����� # �� + �� ! � (�� &�� (� � %,�
���(� 9 ������ ��� ��������! ����������� ��� ��!��� � �� ����������� �� ����� ����
#�$ #�$* )
& -
��������� #��$ ( �%
) *
��������� #���$ ) �&
* �(����
����#�$ #�$ � * '
) (
��������� #��$ � + �&
* (
��������� #���$ � ) �%
, �*����
����
D�� �
� �
�������� � �� � �� ��� � � �
� �
�������� � ��� ��� ����
#�$ #�$ (+� (6 � +� #��$ '� ) � %6� #���$ �,� %& � +�
#�$ #�$ ()� ' � %,� #��$ �%&� %) � �(-� #���$ �,� %( � )�
���.� >�� � � (�� *-� )4� � � *�� -� (4� � � �� &-� *4�/���� #�$ �� �� #�$ �� �
#�$ D�( �* )
* % �(� �
�� !�� �� � � �'� )��� �%(� )�-� �(� -�4 � (�� %'-� %%4
#�$ D�( �* )
% & *
� ��� !�� �� � � ��-� (6��� �)� '�-� �%6� *�4 � �(-�� (-� %*4
���3� /��� �� �� ������ #�$ � � �%� (� *�� � � �)� &� '�. #�$ � � ��)� +� *�� � � �'��&� (��
#�$ D�% ( *
) & '
� ��� !�� �� � � �%(� %&� %(� '� &� ,� � ��*� '��*�
#�$ D��) + *
' �& (
� ��� !�� �� � � �%)� %&� %,� ,� (6� )(� � �(-� ('��((�
���5� /��� � ���� ����� � �����!���� �� � � �%� *� )� ��� � � �(��'��&��/��� ��� �� �� ����� � �����!���� �� � ��� ��
��� ����% * )
( �' �&� �
!� � �� � � ��%&� ()� ,� &� �'� '%� � �-� %*��%(�4������7� �� � �� !�� � � �-�
*-)
� %*�*-)
� �%(�
*-) �
(6 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" ?:� =� %
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
���;� >�� � � ��%� �(� �*� ��� � � ��%� �(� �*� � �� � � ��(�* � �*�(� �*�% � �%�*� �%�( � �(�%��=�� ��
#�$ �� � � �����!���� �� � ��� � ?������� %�&#�$A
#�$ �� �( � �� � ���� � �� � �� � ��( #>�!���!�3 �������$�#�$ �� �� �
� � ��� �� � �%��(�* � �*�(� � �(��*�% � �%�*� � �*��%�( � �(�%�� �%�(�* � �%�*�( � �(�*�% � �%�(�* � �%�*�( � �(�*�% � 6
��� �� � � �����!���� �� �� "�������� �� � � �����!���� �� ��
#�$ �� �� �
�� �( � ��(�* � �*�(�( � ��*�% � �%�*�( � ��%�( � �(�%�( �%��� � ���� � �� � �� � ��( � ��(% � �(( � �(*���(% � �(( � �(*� � ��%�% � �(�( � �*�*�( �(�
9������� �� ��� ��!��5���� ��� �� #%$ ��� #($ �������� ��� ��������
�&���6 �&7���, ������ ��
���=� "����� � � &� *� ��� � � (� )�� /���� #�$ �� �� #�$ �� �� #�$ ���D� ��� ������� ���� �� ��!���� ��!����� ���� �( � �% �� ������ � ����� �� ��� ������� ���� �� ���
#�$ �� � � �&� *�� � �(� )�� � +� �
#�$ �� � � �&� *�� � �(� )�� � &� *�� (� )� � *� +�#�$ �� � �&� *���(� )�� � %6� %)�� %(�( � %6� %)�� %( � ((� %)�
��$>� "������� #�$ �&� *���(� +��� #�$ �)� *��(� #�$ �%� (��*�#�$ �&� *���(� +�� � %6� '�� *&�� (%�( � *%� (-�#�$ �)� *��( � %'� ()�� -�( � +� ()�#�$ �%� (��* � %� '�� %(�( � ,�* � %� '�� %(� ,� � �%%� (�
��$�� "������� #�$ �6� �*� �)� #�$ �&� �'� �+� �,� #�$ �*-� �%+)� �(&(� �*%+�
#�$ �6 � %� �* � �(��� � ��%���� � ��� �) � ��(���(� � ��%���%� � %�
#�$ �& � ��)���� � �%���� � �� �' � ��)���(� � �%���(� � �( � �%� �+ � �* � ��� �, � �) � %�
#�$ D��! �) � % ��� � � �)��� � ��)���� � %��� � ��� �� ��� ��� �������� � ) �� ������ ��� ��������� ��
�*- � �)�-��* � ��)�-�* � %-�* � �* � ��� �%+) � �( � �%� �(&( � �6 � %� �*%+ � �% � �
��$�� /��� ��� ������� �����!��� �� ���� �� ��� ��������!�#�$ '� )�� +� &�� )� �� �*� �� #�$ '� �*� )�� �-��#�$ '� )� � '� )�� +� &� � +� &�� )� � � )� �� �*� � � �*� ��
#�$ �' � '� �* � �*� )� � �)�� �-� � -��
#4��� ���� ��� �����!��� �� � ���� ������ � ��� ���!���� ������� ��� ��� �����!��� �� � ���� ���!���� ������� ��� ��!��� � �� ��� ���!���� �������$
��$$� /��� ��� ��� ��� ���� � � *� )��/�� � � �� ��� �� ��� � �( � �( ��� � �
��� �
�( � �(
�
��� � -� %' � (&� ��� �(&
� &
:� =� %A 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" (%
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��$(� "�����(� +�&� *� �
�� ������ � �������� ��� �� ������� ������� ������� ���� ��������� ��� ����������� � ��� ��������!��� �� ��� ������������
(� +�&� *� �
�(� +���&� *���&� *���&� *�� �
�%%� )%�*)
� � %%*)
� )%*)�
��$.� =�� �� /�� �� ������� ������ �� � � � #�$ �� � � ��� ��� #��$ �� � �� ��� #���$ �� � ��
"����� � � �� �� ��� � � �� �� ����� �� �� �� � � ��
#�$ �� � � ��� ��� � ��� ��� � ��� �� � ��� ���� ��� �� � ��� ��� � �� �� ��� ��
� ��� ��� � ��� ��� � ��� ��
#��$ �� � ��� ������ ��� � ���� ��� � ��� � ����� ���� ��� � ��� � ���� � ��� ������ ��� � �� ��
#���$ �� � �� �� � �� �� � �� ����� � �� �� � �
��$3� =�� �� /�� �� ������� ������ ��� � � ���� � �������@ #��$ �� =������ %�*&�
����( � �������� � ������� ��� � ������� ��� � ���(���(��� 1���� ���� �� ���� ��� !� � � ��� ������ ������
��$5� =�� �� /�� �� ������� ������ ��� � � ��� �� � ��� � ����"����� � � �� �� ��� � � �� �� ����� �� �� �� � � �� :������ ��� ����� � � ��� �� ��� � � ��� ��
�� �(� 4��� ����
��� ��( � �(
�� �� ��� �
�( � �(
�� �
���
��� �� � ���� �� � ��� ���� ���� ��( � ��� ��(
� ��� �� �� �� � �� �
@ 0��B��B�3 ���1����� #=������ %�%&$� �� � � � � �� ��� ���� �� � �� � � � � � � ��� � ���
��$;� /��� ��� ��� ������� � � � ��� � � � ������ #�$ � � �%� (�� *� ��� � � �)� (�� &� '���#�$ � � �*� (�� )�� %� '��� � � �&� �� (� *�� +� (���
;����� ���� �����!��� �� ��� ����� ����� ������ �� ��� ��� �������
��%� � � � � �� � ��%� � � � ��� � �% ��% � � � � � � ��
#�$ � � � � �%� (���)� (�� � �*� ���&� '��� �%� (���)� (�� � �*� ���&� '�� � �%6�� -� (*� � -� %*�
� � � � �)� (���%� (�� � �&� '���*� ��� �)� (���%� (�� � �&� '���*� �� � %6�� -� (*� � -� %*�
#�$ � � � � �*� (���&� �� � �)���(� *�� � �%� '���+� (��� �*� (���&� �� � �)���(� *�� � �%� '���+� (�� � (6� *&�
� � � � �&� ���*� (�� � �(� *���)�� � �+� (���%� '��� �&� ���*� (�� � �(� *����)�� � �+� (���%� '�� � (6� *&�
�� ���� ���� � � � � � � �� ��� ���� ���� �� !������� � ��� �� =������ %�)6�
(( 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" ?:� =� %
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��$=� >�� � � �+� (�� (� &�� ��� � � �%� �� �*� '��� /����#�$ �� �. #�$ (��. #�$ �*� ���. #�$ � � �. #$ � ��� ��#�$ �� � � �+� (�� %� �� (� &�� *� '�� � �,� �� �%� ��#�$ (�� � �%)�� )�(� )�� %6�(� � �)� %)�� �%6� )��#�$ �*� ��� � �*� *�� �� �(� �-� %,�� *�� '�(� � �)� (�� �%&� %&��#�$ � � � � �+� (���%� �� � �(� &����*� '��
� �+� (���%� �� � �(� &����*� '�� � &� -�� *'� *� � �*%� %(�#$ � �
+( � ��(�( � (( � &(
�
,(
��� � �%( � %( � ��*�( � ��'�(
�
)+
��(>� =�� �� /�� �� ����� �� � � ��� �� ����� � � � #�$ � � � � � � �� #��$ ���� � � � ��� � ���#���$ � � ���� � ���� � ���
"����� � � ��%� �(� � � � � �� ��� � � ��%��(� � � � ����#�$ D��! ��� ��������� �� ��� �����!����
� � � � �%��% � �(��( � � � � � ��� � �%��% � �(��( � � � � � ���
� ��%�% � ��(�( � � � � � ��� � �% ��% � �( ��( � � � � � � �� � � � �#��$ "���� �� � ���%� ��(� � � � � ����
���� � � � ��% ��% � ��( ��( � � � � � �� �� � ���% ��% � �( ��( � � � � � � ��� � ��� � ��#:������ ���� ������� %�( �� ����� �� ��$
#���$ D��! #�$ ��� #��$�
� � ���� � ���� � � � ��� � �� � ���� � �� � ���� � ��
��22#�����+�� ����#��
������ �� �
��(�� >�� � � �%��(� )�� � � �*� &� %�� � � �(� %��*�� /����#�$ *�� (�. #�$ &�� *�� )�. #�$ � � �� � � �� � � �. #�$ �� �.#$ �� �� ����� � � ��� ��!�� ������� � ��� �. # � $ ���� ��. #�$ ������� ���
��(�� ;����� =������ %�)% ��� ����� � �%
*
�)
��
��� � � (
%
&
��
��� � �
*
�('
��
���
��($� >�� � � �(��&� )� '��*� ��� � � �&��(� %��+��)�� /����#�$ )�� *�. #�$ &�� (�. #�$ � � �. #�$ � ��� �. #$ ������� ��.# � $ ���� ���
��((� 4������7� ���� ������
#�$ � � �&��+�. #�$ � � �%� (��(� )�. #�$ � � %
(�� %*�*
)
� �
��(.� >�� � � �%� (��(�� � � �*��%(� )�� ��� � � �*�#�$ /��� �� �� �� �� ��#�$ 8���� ���� �� � ���� ��� �� � � � � ��
��(3� /��� � ��� � ������
#�$ ��� �� %� � ��� (� '�. #�$ ��(� �� � ��%��(��
:� =� %A 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" (*
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��(5� /��� �� �� � ����� ��� �� %� �� �� � �(�� �� )� *���
��(;� ����� � � �(� &� � � ������ ����������� �� �% ��� �( ������#�$ �% � �%� (� ��� �( � �*� &�.#�$ �% � �*��)� ��� �( � �(��*��
��(=� ����� � �-
�*%'
��
�� � � ������ ����������� �� �% �
%
*
*
��
��� �( �
(
&
�%
��
��� �* �
)
�(*
��
���
��.>� /��� � � ���� � ��� � ��� �����!����� ������
#�$ � � �*� ���(�� � � �'��)��*�.#�$ � � �&� ���)� (�� � � �%��*� (� (��.#�$ � � �%� +� � � (� �(�� � � �*� ���*� ���
��%��� ������, /0�����%���, ����� �� �
��.�� /��� ��� ����� � ��������� ���� ��� �������� ���� �!���� !$���� ��� ������
#�$ !�(� *��+� ��� $�%��'��&� �� �*.#�$ !�%��,��)� '� ��� $�*��&� (��)� �� �)�
��.�� /��� �� �1������ �� ��� ��������� # �� �) �����
#�$ ������� !�%� (��*� (� ��� � ������ �� � � �(� *��&� '�.#�$ ������� !�*��%� (� &� ��� � �������� �� (�% � *�( � &�* � +�) � )�
��.$� /��� � ���������� ������������� �� ��� ���� �� �) �����
#�$ ��� �����!� ��� ����� !�%� (� %� (� ��� $�*��&� +��-�.#�$ ��� �����!� !�%� %� *� *� ��� � ������������� �� ��� ��������� (�% � )�( � '�* � ,�) � &�
��%��%������� )������ �� �**, �-4 ���%����
��.(� H� �� � � *�� )-� (4� � � (�� &-� *4� � � )�� +-� (4� /����#�$ (�� *�. #�$ *�� )�� (�. #�$ � � �� � � �� � � �. #�$ �� �� ��
��..� /��� ��� �1������ �� ��� ����� # �
#�$ ���� ������ � � *�� )-� &4 ��� ���������! ��� ����� !�%� (��*�.#�$ �������� �� )�� *�� (� � %% ��� ���������! ��� ����� $�(��%� *��
��.3� /��� ��� #����������$ �1������ �� ��� ���� %�
#�$ �����!� ��� ����� !�(� &��*� ��� �� ��� ��������� �� � � )�� &-� +4.#�$ ������������� �� ��� ����� (�� *�� +� � ) ��� ���������! !�%��&� +��
��.5� :������ ��� ��������! ��� � " �� �* ����� 6 � � &�
(� � � *�� (-� �( � *�4#�$ /��� ��� ����� ! �� " �����������! �� � (�
#�$ /��� ��� ������� ����� $ ��� ��� �������� ����� $ ��#�$ /��� ��� ���� ���!��� ����� � �� ��� ��� � " ���� � (�
() 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" ?:� =� %
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��.;� :������ � �� ��! ��� ���� ������� �� ���� � !� �� � ,� � � (�� *-� * 4� ?���� ) � � � �,� ��� ��� �� � � �) � ��� ������� ������� ��� ��� ������ ��� ������������ �� �A ���� � %� ����
#�$ �������. #�$ ������ �. #�$ ���� �. #�$ ������������ � �� �
��.=� /��� � ������ ����� � ��� ��� ���!��� ����� # �� ���� ������ �� ��� !� �� ������
#�$ ������ �(�� *�� � (6 ��� ����� !�%� *� (�.#�$ ������ �( � *�( � &�( � %'6 ��� ����� !�*��(� %��
���� �����
��3>� 9 ������ ��� ��������! ����������� ��� ��!��� � �� ����������� �� ����� ����
#�$( &
* '
��������� * �'
% �)����
����� �) �(+ �*
��������
#�$ � ' )
+ &
��������� � % �*
( )
��������� � , �*
�' �(����
����
��3�� H� �� � � *�� )-� (4� � � (�� &-� *4� � � )�� +-� (4� /����#�$ �� �� #�$ �� �� #�$ �� ��
��3�� H� �� � � �(� %� *�� � � �)��(� (�� � � �%� %� &�� ����#�$ �� �� #�$ �� �� #�$ �� ��
��3$� /��� ��� ����� ) �� ��� �������������� ������ � ��� ����� �� ��� ���
#�$ =������ %�'6� #�$ =������ %�'%�
��3(� /��� � ���� ����� � �����!���� ���
#�$ � � �%� (� *� ��� � � �%��%� (�.#�$ � � *�� -� (4 ��� � � )�� (-� 4�
��3.� =�� � ��� ��������! ��������� �� ��� ��� ��������
#�$ �� � � ���� �� #�$ �� ��� �� � ��� �� � ��� ��#�$ �� � � 6 ��� �� ����� � #$ ��� �� � � � ��� �� � ��� ��#�$ ���� � � � ���� �� � �� ���� # � $ ��� �� � � � �� � ���� �� � ���
�&���6 �&7���
��33� "�������
#�$ �)� +���-� (��. #�$ �*� &��(. #�$%
)� +�. #�$-� (�*� &�. #$ �%� ��*�
��35� "������� #�$%
(�. #�$
(� *�+� *� . #�$ �%&� �(&� �*). #�$
%
*� �
� (�
:� =� %A 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" (&
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��3;� >�� � � (� &� ��� � � +� *�� /����#�$ �� �. #�$ ��. #�$ ���. #�$ ��� ��. #$ ���� ����
��3=� "��� �����
#�$ ;� � � %(��� ��� #�$ �� � � %
(��� ��$ #�$ �� � 6 ������ � � 6 �� � � 6�
������ ��
��5>� >�� � � �%� +�� (� '�� ��� � � �&� (�� *� )��� /����#�$ �� � #�$ �*� ��� #�$ (��� �)� +��� #�$ � � � #$ � ��� ��
��5�� =�� �� /�� �� ����� �� ��� �� �
#�$ ��� �� � � � � � �� � � �� #�$ � � ��� �� � � � �� � � ��
��5�� =�� � ���� ��� ���� �� ����� ��� ��������! ����
�4%� /�� �� ����� �� � � 6. ��� � � 6 �� ��� ��� �� � � 6�
�4(� /�� �� ����� � ��� ������� ������ �� �� � ������4*� /�� �� ����� � ��� �� �� � � � � ��
%� ?�� �� ��22#�����+�� ����#��
��(�� #�$ ��*��%'� )�. #�$ #'�%�*&$. #�$ �*� %(� ,. #�$(%
�
*&
�
%)
.
#$ �*� (%
*&
. # � $
'(
. #�$ � *
*&�*� &� %� � �� -
*&� � %&
*&� � *
*&$
��(�� #:����� �����$ #�$ ��%� +��((�. #�$ ��%� ('��(-�. #�$ �%&��(+� *).#�$
('
�
*6
. #$ �%&��
('
*6 �. # � $
,'
. #�$ � %&
*6� � ��%�� %
(�� &
(�
��($� #�$ ��%*��%)� %*� )&� 6�. #�$ �(6��(-� ((� %'��(*�. #�$ �'. #�$-6
�
-&
�
#$ � '-&�. # � $
%'+
��((� #�$ �&� +'
� -�
+'
�. #�$ �%&� (&�� (
&� )&�. #�$ �'�
%**
��) %**
� -
%**
�
��(.� #�$ *� %*�%(6
� -
��(3� #�$ � � �*� � � &. #�$ � � 6� � � 6� ��� � � %� � � (
��(5� � � �*� � � *� � � *(
��(;� #�$ � � &�% � �(. #�$ � � %'�% � (*�(
��(=� � � *�% � �( � (�*
��.>� #�$ '. #�$ *. #�$ *(
��.�� #�$ � � ��%��-� (�. #�$ ?(� *� '��%6A
(' 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" ?:� =� %
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
1. Vectors in R^n and C^n, Spatial Vectors
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��.�� #�$ (�% � *�( � &�* � '�) � *&. #�$ (�% � *�( � &�* � +�) � �%'
��.$� #�$ �( � %� �+ � (� ' � %� �%% � (�. #�$ �( � %� ) � %� ' � *� �, � *�
��.(� #�$ �(*-� %*4. #�$ *�� '-� %64. #�$ �(6��%(� *+. #�$(-
�
*,
�
'-
��..� #�$ *�� )�� &� � �(6. #�$ )�� *�� (� � �%
��.3� #�$ �) � (� �& � &� + � *�. #�$ �( � %� �* � &� + � +�
��.5� #�$ ! � (�(� � ,�� )-� 4. #�$ $ � (�6� � �*4� $� � (�&� � %(&�� (&-� +4.#�$ � � �'�� (-� 4��
)%
��.;� #�$ �� -� (4. #�$ (�� *-� (4. #�$%+
. #�$ (�� '-
��.=� #�$ - � '�� +-� -4� '�� +�� -� � )&. #�$ - � '�� %(-� %64� *�� '�� &� � %'
��3>� #�$ �*��'� ('. #�$ �(��%6� *)
��3�� #�$ (�� %*-� (*4. #�$ �((�� (-� *+4. #�$ *%�� %'-� '4
��3�� #�$ �&� ,��'�. #�$ �(��+� %�. #�$ ��+��%,� &�
��3$� #�$ %)*. #�$ %+
��3(� #�$ �+� %��*�� &-
. #�$ �&�� %%-� (4��
%&6
��33� #�$ &6� &&�. #�$ �%'� *6�. #�$ %'&�)� +��. #�$ %
(�%� *��. #$ �(� (�
��35� #�$ � %(�. #�$ %
&,�&� (+��. #�$ �%� ���%. #�$ %
&6�)� *��
��3;� #�$ -� (�. #�$ (-� (-�. #�$ %'%��%� )%��. #�$ (� &�� +� *�. #$
(-
�
&,
��3=� #�$ #� . �� �� � 6� ���� ���� � ������ � �6� � 6
��5>� #�$ �'� &�� &� %6��. #�$ ��)� ((�� %(� %'��. #�$ ��,� )%�� �)� **��.#�$ %(� (�. #$
-6
�
&)
:� =� %A 89:��;" �4 � 4< � "= �� >89:��;" (+
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
2. Algebra of Matrices Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
������� �
��� � �� ��� ����
��� ����������
���� ����� ������ ��� ������ ��� �� ���� �������� ���� �� ���� ��� ������ ��� ����� �� ���� ��� ���� �� ����� �� ��� ��� ����� �� ��� ��������� ��� ������ ���������� �� ��� ��� ����� �� ���� �� ���������� ������ �� ���� �������� ��� ��� ��������������� �� ��� � �������� ������ ��� ���� �� ��� �� �� ������� ������ ����� ���������!��� �������� �� ��� ������� ���� �� ""���� �� �����##� ""���� �������������##� ��� ""������������##� ��� � ����� �� ��� ������ ����� ��� ������ $� �� ��� ����� �� ������� �������� ���� �� �� ����� ��� �� ���� �� �� �� ���� �� ���� �� ������ �� ��� �������
�� ���� �� �� ������ ���� ��� ��� ��� ������� ��� �%�� ��� �� �� ����� �� � ������ ������� � ����� &����� ������� �� ���� �� �� �� ������ ���� � �� �� �� ��� ��
��� � ������
' ��� � � ���� ���� � �� ������� � ��� � � ���� � �� ��������� �� � ���� ��� ��� �� ������������� ����� �� �� �������� ���(
� �)) )* � � � )�*) ** � � � *�� � � � � � � � � � � ��) �* � � � ��
����
����
�� ���� �� ���� � ����% � � �� � ���+����� ����� �� ������(
�))� )*� � � � � )��� �*)� **� � � � � *��� � � � � ��)� �*� � � � � ������ �� ������ �� � � �� � ������ ����� �� ������(
))*)� � ��)
����
�����
)***� � ��*
����
����� � � � �
)�*�� � ���
����
����
&�� ���� �� ���� �� ����� �� �,����� � �,�������� ����� �� �� ��� ������ �� - ����������� ���� � ����% �� ������ ����� � � � ���
*.
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
2. Algebra of Matrices Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
' ����% ���� � ��� ��� � ������� �� ����� �� � �� � ����%� ����� � � �� �� ��� �� ����� ���� � �� ����� �� � �� �� �� ����%� ��� ������ � ��� � � ����� ����� � � �� �� ��� ��� �� �����+ ��� �� ��������� ����� � ����� ���� �� ������� �� ��� � � � ������ �� �������� �� ������ �� �� ��������� �� �� ��� ��������� ��� �� ������
' ����% ���� ���� �� �� �� ����� � ��� ��� � � ��� ������ ��� � ����% ���� ���� �� ������ ������� � ����� ��� � � ����� ������ ' ����% ���� ���� � ��� +� �� ����� � ���� ��� � ��� ����������� � ����� �� /�
0����� ���� ���� � ��� �� ����� � ����� ��� ��� �� ��� � ���� �� � ��� �� ���� ��'���� ������ ������ ���� ���� � ��� �����% ����� � ����� ������ ��� �� ��� � ���� ��� ��� �� ���� �� ���� �%� ���� � ������ ������ ���� ���� �� ��� �����% �������
������� �
�� �� ���� ��� ��� � � ) �1 2
/ � �*� �
�� � *� � ����%� 3�� ��� � �)��1� 2� ��� �/� ���*�� ��� ���������� �
)
/
� ��
�1�
� ��
2
�*� �
��� �� *� 1 +� ����% �� �� ����% / � / / / /
/ / / /
� ��
�� ��� �� �� �� � ���� ����
� � *� �
� � � � � �
� �� � 4
) 2
� �
5� �������� �� ������� �� ������� �� ��� ��������� ���� ���� � ����� ����(
� � � �� � � � � )� *� � � 4� � � � � 2
������ �� ���� ����� �� �������� ����� � � *� � � )� � � 1� � � �)�
��� � ���� ����� � �� � � �������� ����
6� � � � �� ��� � � �� �� � ��� ������ ���� �� ��� ��+� ��� � � � ������� �� ��� �� � ����� ����� � �� �� �� ����% ������� �� ����� ��������� ����� ��� � ��� �� ���� ���
� � �)) �)) )* �)* � � � )� �)�*) �*) ** �** � � � *� �*�
� � � � � � � � � � � ��) ��) �* ��* � � � �� ���
����
����
�� ������ �� �� ����% � �� � ����� �� ����� � � � � ������ ��� �� �� ����% ������� �� ���������� ��� ���� �� � �� �� ���� ���
�� ��)) �)* � � � �)��*) �** � � � �*�� � � � � � � � � � � �
��) ��* � � � ���
����
����
$��� ���� � � ��� �� � ���� � � � ������� - ���� ���
�� � ��)�� ��� � � � � � ������ ����% �� �� ����� �� ���� �� �� �� ����% �� ��� �� ����% � � � �� ����� �� � ������� �� � ����� �� ��� �� ������ ���� ������ ��+� �� ��� �����
�7'8� *9 '6:;5<' $ 0'�<3�;� *=
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
2. Algebra of Matrices Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
������� �� 6� � � ) �* �
/ 1 2
� ���� � � 1 > .
) �� �4� �
� ���
� � �) 1 �* > � .
/ ) 1 ���� 2 ��4�
�
2 1 ))
) ) �*
�� ���)� ���*� ������/� ��1� ��2�
�
� �> =
/ )* )2
*� � �� �* �1 >
/ . )/
�)* �). �*1�� = *)
�
�)/ �** �).�� )4 �)
�� ����% *� � �� �� ����� � � ��� ��� �� �� �� � ��� ��
5���� ������ �� ������ ��� �� �������� �� ����% �������� ��� ����� �������������� �������
������� ���� ������ ��� ������ ����� ����� �� ��� ��+� ��� ��� ������ � ��� � � ���(
��� �� �� � � � �� ��� ��� ��� �� � �� ���
���� � / � / � � �� ���� �� � �� � �� � ��
����� � ���� � ���� � � /� ����� ��� �� � ��� ������� � � � � � ������ ) � � � ��
&�� ��� ���� �� / �� ���� ��� ����� �� �� �� +� ����%� '���� �� ��� ��� ����� ��� ��� �� ������
�) �* � � � ��
���� �� �������� ��� �� ��� ��� ��� ���� �� �� �� �� �� ������� ������ ���� ������� ������� � ���� ���
� � � *�� � � � � ��� � � �
��� �� ����� ���� �� ���� *�) ���� �� ������ ���� �� �,���� �� ���� ���� �� ��� ����% �������
� ����� �� 8���� *����$��� �� ��������� ���� ���� *�) �� ������ ��� ���� )�) �� ������ 3� ����� ��
���� �������� �� ������ ��� � ���� �� ����+������ �� �� ��������� �������� ��������
��� ��� ���� ������
5�� � ��� ����% ��������������� �� ���� � ��������� �� ��� ������� �� ����� �� ������ ���� :? ������� ��� �� ����
������ � ��� �� �� �� ���� %������ �������� �� ��� �� ��� �� %������
����)
� ��� � ������������
��) � ���
��� �� �������� ����� � ��� � �� � � ) �� � ���� �������� � �)�
��� � �� � � * �� � ���� �������� � �*�� ��� ��� ���� �� � �)�� �������� � �)� � �*�
�/ '6:;5<' $ 0'�<3�;� @�7'8� *
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
2. Algebra of Matrices Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��� � �� � � � �� � ���� �������� � ���� ��� ��� ���� �� �� ������ ���� ��������
� �)� � �*� � ���- ������� ���� ����� ����� � ������ �� ���
� �)� � �*� � � � � ���$��� ���� �� ��� ��� � ����� �� ���� �� � �� ) ����� � ��� �� �� ��� � �� ����� �� �������� ) ��� � � ������ ��������� �� ����� ��� ����� ������� $�� ���� ������� ��� �� ������ � ��� ��
- ���� ����+ �� �������� �� ������� �� ��� �� �� ��� ��� ��� �) �� ��� ��� �*����� ��� � ���
��*���)
� ��� � � ��)� � ��) )� � ��) *� � � � � ��*�
������� ��
���2��)
�� � �) �* �� �1 �2 ����� �)
� � )�) *�* � � � ���
����2��*
�* � ** �* 1* 2* � 21 ����� �/
� � / )� *�
* � � � ���
������)
���� � )�)� *�*� ���� � � � ����
��� � ���� �������� ����
�� ������ �� ������ � ��� �� ����� ��� �� ������� ����������� � ���� ����� � ��� � ������ � ������ ����
�� ������ �� �� � �� ����% � � � � ��� � ������ ����% � � �� � ���� �� ��� ���� ������� �� ���� �� � �� ����� �� )� ) ����%� ������� �� ���������� ��������� ���� �������� A ���� ���
�� � �)� *� � � � � ���)�*� � ���
����
���� � )�) *�* � � � ��� �
����)
���
- ������+ ���� �� �� � ����� �� � )� ) ����%�� �� ������ �� �� ��� ���� ��� � ��� � ��������� ����� �� ������
������� ��
�� �4��1� 2��
*
�)
��
�� � 4��� ��1��*� 2��)� � *)� .� 2 � .
��� �>��)� .� ��1
�=�*2
����
���� � *1 =� )> )2 � �1
- � ��� ��� �� ��� ����% �������������� �� ����
�7'8� *9 '6:;5<' $ 0'�<3�;� �)
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
2. Algebra of Matrices Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��� ! ��� ������ � � � � � ��� � � ����� � ������ ���� ���� �� ���� �� ������� �� � �� ������ �� ���� �� ��� �� �A ���� � �� �� � � � ����% ��� � �� � � � � ����%� ��� �������� �� �� �� � � � ����% ���� �,��� �� ������� �� ���������� �� �� �� �� � ���� ��� ������ �� �� ���� ���
)) � � � )�� � � � �
) � � � �
� � � � ��) � � � ��
������
������
�)) � � � �)� � � � �)�� � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � �
��) � � � ��� � � � ���
������
�������
)) � � � )�� � � � �� � �� � � � �
�) � � � ��
������
������
�� � � )�)� *�*� � � � ���� �����)
����
�� ������ �� �� ��� ���� �� � �� �� � � � ����% ��� � �� � � � � ����%� �� � �� ��
������� �
��� ��� �� �� � � ) �
* �)� �
��� � � * / �12 �* >
� ��
���� � �� *� * ��� � �� *� �� �� ������ �� �� ���� ��� �� �� � *� � ����%� �� ������ �� ��� �� ���� ������ ����% ��� �������� �� ��� �� @)� �9 �� � �� ��� ������ �� ��
*
2
� ��
/
�*� �
��1>
� �
��������� ���� ���
�� � * )2 /� > �1 ).� �
� )4 �> )1� �
�� ������ �� ����� �� �� ��� �������� �� ����� �� �*��)� �� � �� ��� ������ �� �� ����
�� � )4 �> )1
1� 2 / * �.� >
� �� )4 �> )1
�) * �)1� �
��� ������ � � ) *
� 1
� ���� � � 2 >
/ �*� �
� ���
�� � 2 / >� 1
)2 / ).� .
� �� 2 *
)2 )/
� ���� �� � 2 ). )/ *1
/� > /� .
� �� *� �1
�> �.� �
�� ���� %���� ����� ���� ����% �������������� �� ��� ����������� ��� �� ������� �� ��� ���� ������ �� ��� � ����� 7���� ����% �������������� ��� ������� �� �������� �������
������� ���� 6� ����� � ������� ���� ���� �� ������� ��� ���� � ����(
��� ����� � ����� ����������� ��������� ��� �� � �� �� ���� ���������� �����
����� �� ��� � �� �� �� �� ���������� �����
���� ����� � ����� � ������ �� � �� � ������
- ��� ���� /� � / ��� �/ � /� �� / �� �� +� ����%�
�* '6:;5<' $ 0'�<3�;� @�7'8� *
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
2. Algebra of Matrices Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��" �� ������ �# � ����
�� �������� �� � ����% �� ����� �� � �� �� ����% ������� �� ����� �� ������� �� �� �� ����� ���� � %�����
) * �
1 2 >
� ��
�) 1
* 2
� >
��
�� ��� �)�����2�� �
)
���2
��
��
3� ��� ����� �� � � � �� �� �� � � � ����%� ��� �� � �� �� �� �� � � � ����% �� � � � � �
$��� ���� �� ������ �� � �� ���� �� � ������ ����� ��������� �� ������� �� � ���������� �� � �� �����
�� �%� ���� ����� ����� ������ �� �� ������� ��������
������� ���� 6� � ��� � � ������ ��� �� � � � ������ ���� ���� �� ��� ��� ������ �����(
��� �� ��� � �� �� � ����� ����� � ��� �
���� ��� �� � �� ���� ����� � ���� �
- ������+ ����� �� ����� �� ������� �� � ������ �� �� ������ �� �� ��������� ��� �� ���� ���
��$ �% �� � ������
' ����� ��� � �� � ����% ���� �� ��� ���� �� ��� �� �������� '� � � � ���� ����% �� ������ � �� ����� � ��� �� ������� ����� �� �,����� ��� ��
<���� ���� ��� �� ��� ������ ��� � ���� � ���������� 7���� �� � ���� ������ ���������� �� ��� ��� �� �� ��� ���� ���������� ��������� ����������� �� �������� �� ������������������������ ����� ��������������� ��� ������� ��� � ����� �� ��� � � � ������� ��� �� ������ � ��� �� � � � ����%�
������� �� �� �������� � ���� ������ �� �� �(
� �) * �
�1 �1 �12 > 4
��
�� ��� � �
* �2 )
/ � �*) * �1
��
��
�� �������� � ���� ������ �� �� �(
� � �� �� 1
�1 �) �>> . �
���
���� *� �
* 1 >
�. �. �.)/ )* )1
���
���� �� �
) �1 2
* �1 >
� �1 4
���
���
�� �2 4 �)2
�)* / */
)4 4 ��2
���
���� �� �
*4 �/ ��
�** �*1 �*>�*4 ��/ ���
���
���
�7'8� *9 '6:;5<' $ 0'�<3�;� ��
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
2. Algebra of Matrices Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
&'��&( &�) ��&*�
6� � � � �� � �� �,���� ����%� �� � ���� � � � � ���� �� � �������� �� �� ����� ������ ��� ���������� ���� ���
))� **� ��� � � � � ��
�� ��� �� �� ����� ����� �� �� ��� �� �� ��� ���� ������ &�����
���� � )) ** �� � � � ��
�� �������� ���� �������
������� ���� ������ � � � �� ��� � � �� �� � �,���� ������ ��� � �� � ������ ���(
��� ��� �� � ���� ����� ����� ���� � � ��������� ����� � � ����� ���� ����� � ������
������� �� 6� � ��� � � �� ������ � ��� � �� ;%���� *�>� ���
��� ���� �� � � �)��1� 4 ��� ���� � )� 1 4 � 1
��� ���� �� � � �*� ���1 ��� ���� � * �� 1 � )
0����
��� �� � �� ) � � 2� ��*�� � *� . )1 � .� ���� � � )� 1 4 � 1
����� � 2 /� �2 � ��/� ����� � *4� *1� �� � ��/'� %���� ��� ���� *�1�
��� �� � ���� ����� ���� � � ����� ��*�� � * ���� ������ ������ � �� �� ��� �� ���� � �����
�)��! !+ �&!� ,- �*&(&� �&!� *�.
�� �,���� ���� �� � �� � ����%� ����� �� �� � ������ � �� �� �,���� ����% ���� )#� �� ����� ���� ��� /#� ����� �� ������� ����% �� ������ �� �� ����� ) �� ����� �� ��� �,���� ����%��
� � � � �
0� ������ �� � �� �� � � � ����%� ��� � � � �� � �� � ��� ����� �� �� ����% � ���� �������� �#� �� �� ��� ���� ��� /#� ���� �� ����� �� ���
��� � ��������� �� �� ����� �� $��� ����
�� �� � �� �� � ��
���� ��� ���������� � ����% � �� �� ����� ����% � �� �������� �� ���������� � �� �� ����� ��
������� �� �� �������� � �� ������� ������ �� ��� � ��� 1 ��� �� ��������� ����� ������ �� � � 2(
) / /
/ ) /
/ / )
��
���
)
)
)
)
����
�����
2 / /
/ 2 /
/ / 2
��
���
2
2
2
2
����
����
�1 '6:;5<' $ 0'�<3�;� @�7'8� *
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
2. Algebra of Matrices Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
���&�/ �� 3� �� ������ ������ �� ���� ����?� � ������ �� /#� ��� �� �� �� ���� ����� �� ���� ���� ����� ��� ����� �������
���&�/ �� �� �������� ���� ���� �� � � �� ���� ��
� � � / �� �� �
) �� � �
�
���� �� ������� ����% ��� � ���� �� � �� ���
��0 ��1��� �# � ������- �������� �� �� � ������
6� � � �� �,���� ����% �� � ��� �� !����� �� � � ���� �� �������(
�* � ��� �� � �*�� � � � � ��) � ���� � � � � ��� �/ �
8���������� �� �� ����% � � ���� ����� ����������� �� ��� ����������
� ��� � / )� *�* � � � ��
�
�� �� � ������ �� �� � ��� �� ���� �� � �� �������� ����%(
� ��� � / )� *�* � � � ��
�
@&�� ���� � ��� �� ������� ��� � ��� �� ����������� �� ����% � �� �� ������ � ��� ����������� ������� ����% / �� �� ����� /�9 3� � ��� �� �� +� ����%� ��� � �� ����� � ���� � ���� �� � ����
������� �� ������ � � ) *
� �1� �
� ���
�* � ) *
� �1� �
) *
� �1� �
� 4 �>�= **
� ���� �� � �*� � 4 �>
�= **
� �) *
� �1� �
� �)) �.
24 �)/>� �
������ � ��� � *�* � �� 2 ��� ���� � �* �� � )/� ���
� ��� � *4 �>
�= **
� �� �
) *
� �1� �
2) /
/ )
� �� )> �).
�*4 >)
� �
���� � 4 �>�= **
� � �
) *
� �1� �
� )/) /
/ )
� �� / /
/ /
� �
���� � �� � +� �� �� ���������� �����
��2 ��3������� 4������5� �6 � ������
' ���� ����% � �� ���� �� � ����� ��� � ���� ����� �� �� %���� � ����% � ���� ����
�� � �� �
�� �� �� ������� ����%� ���� � ����% � �� ������ ���� ��� �� ��) � �)� � ��� ��* � �*� � ����
�) � �) � �)���*� � ��)���* � �* � �*
- ���� ���� � ����% � �� ������ �� � ��� ���� �� �� ��)� $��� ���� �� ���� ������ �� �������A���� ��� �� � �� �� ���� �� �� ��� � �� �� ���� �� ��
�7'8� *9 '6:;5<' $ 0'�<3�;� �2
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
2. Algebra of Matrices Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
������� �� ������ ���� � � * 2
) �
� ���� � � � �2
�) *
� �� ���
�� � >� 2 �)/ )/
�� � �2 >
� �� ) /
/ )
� ���� �� � >� 2 )2� )2
�* * �2 >
� �� ) /
/ )
� �
���� � ��� � � ������
3� �� ?���� ����� ��)2� ���� �� � �� ��� ���� �� �� � � ���� �� �� ������ �� ��� ���� �������� �� ����� ���� � ��� ��� ��� ������ � ������ �� 8���� *�)4��
&�� ������ � ��� � � �������� ��� �� �� ������� ��� �����) � ��)��)� 0� ������ ���)��*� � � � ��� � �������� ��� ��� ������ �� ������� ���
��)�* � � �����) � ��)� � � ���)
* ��))
�� ������ �� �� ����� �� �� �� ���
��7��.� �8 & � � � �&!� ,
6� � � �� ������ *� * ����%� ��� � � �
�
� �� - ���� �� ��� � ������ �� ��)� �� ����
�� �� ����������� � �? ** � 1 ������� ��� �)� �)� �*� �*� ���� ����
�
�
� ��) �*�) �*
� �� ) /
/ )
� ��
�) ��) �* ��*�) ��) �* ��*
� �� ) /
/ )
� �
����� �� ��� ���� ���� �� �� ��������� ���� �� �� ������� ����% ����� ��� �������������� ��� � ��������� ���� ��� *� * ������ �� �������(
�) ��) � )� �* ��* � /
�) ��) � /� �* ��* � )
������ � �� ��� � � � � ������ �� ������ ��� �� ��� '������ ��� �� /� � ��� ���� ������� ���� ���� ��?����� �)� �)� �*� �*� ��������
�) ��
��� � �) ��
��� � �* ���
��� � �* �
���'������ ���
��) � �
�
� ��)� ����� ������
����� ����� �
� )
���� ��
�
� �
3� ��� ����� ��� ��� �� /� �� ���� �� � *� * ����% � ��� � ������� ��� � �� �������(
�)� 3������ �� ��� ����� �� �� ��� �����
�*� ��? �� � ����� �� �� ��� ��� ������
��� 0������� �� ������ ����% �� )���� �� ����������� ����� ��� ���� �� ����3� ��� ��� � /� �� ����% � �� ��� ��������
������� �� ��� �� ���� �� � � * �
1 2
� ���� � � ) �
* >
� ��
��� ������ ��� � *�2� � ��1� � )/� )* � �*� ���� ��� �� /� �� ����% � �� ������� ���
��) � )
�*2 ��
�1 *
� �� � 2
*�*
* �)� �
&�� ������ ��� � )�>� � ��*� � >� > � /� ���� ��� � /� �� ����% � ��� �� �����
�> '6:;5<' $ 0'�<3�;� @�7'8� *
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
2. Algebra of Matrices Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
���&�/� �� ���� ����� ���� � ����% �� ������� �� ��� ���� �� � ��� � ���+� �������� ���� �� ���� ������ �� ��� ��� �� ����� .��
��7��.� �8 &� �� � �&!� ,
������ � �� �� ������ �,���� ����%� ����� ��� ���� ��) ����� �� ����� �� ����� ���������� �� � ��������� �� � � � ������ �� ���� ��������� �� �������� �� ���� ������ ��� �� ��������� �� ������ ���� � ��������� �� ������ �� ���� �� ����� ��
���9 ����� � ����� �# �% �� � ������
���� ������ ������ � ���� �� ������ ?���� �� ���� �������
&'��&( &�) �� &�':(&� �&!� *�.
' ���� ����% " � �� �� �� � ���� �� ��� ������ ���� ���� � ��� +�� ���� � ����% ��������� ����� ��
" � ��� ��))� �**� � � � � ������ ��� � ��� �� � ��� � +�� � %�����
� / /
/ �4 /
/ / *
��
��� 1 /
/ �2� �
�
>
/
�=.
����
����
� ��� ���� ������� ����� ��� � ������ ��������� ��
��� ����4� *�� ��� �1��2�� ��� �>� /��=� .��$��� ���� ������ �� /#� �� �� ���� ����% ��� �� ��������
' ���� ����% � � � �� �� ����� �� ����� � ������ �� ����� �� ��� ���� ���� �� ��������� ���� � ���� �� /� ���� ��� �� � � / �� � �� :��� ��� ���� ��� ������ �� ��� *� �� 1 � ���������(
)) )*/ **
� ��
�)) �)* �)��** �*�
���
��
���
)) )* )� )1** *� *1
�� �111
����
����
�'� ���� ��� ���� ������� �� �� ������ ������ �� ���� ������ �� /#����� �������� ���� �������
������� ���� ������ � � � �� ��� � � �� �� � � � � ����� ���� ��� ������� ���(
��� � �� ��� �� � ���� ��� ���� ������ ��� ������
�)) �))� � � � � �� ����� ��))� � � � � ����� �))�))� � � � � �������
���� � ��� ���������� � ���� �� ����% � ��� �� ���� ��� ���� ��� ����
� � �))�� � �**�� � � � � � �����
����� � �� ������� �� ��� ���� �� ��� ��� ���� ���� �� /� ��� ��� ��) %���� �� ������ ���� ����
�7'8� *9 '6:;5<' $ 0'�<3�;� �4
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
2. Algebra of Matrices Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
' ����� �� ����� ��� � �� � ���� ����% ���� ���� ���� �� ��� ���� � ��� +�� - ������� ���� *�2 �� �� �� � ���� ""���� ���## �� ��� ""��� ���� ���## � ""��� ����##�
���&�/� ' ������� ��������� � �� ������ �� ����� �� ����� ��� ������� �� � �� ����� ����� �������� �� ����% ��������� ����� ��������������� ��� ����% ��������������� ������ �� ���������� ���� � ��� �� ��� �� �� �� �� ������� ��� �� �� �� ������ ��� ����� ���� ���� ������ ���� ��� �������
�;�* &( ��&( �<:&�� �&!� *�.� �+���!� *- ��!��'��&(- ����&(
������ ��� � �� � ���� ����% ���� �� ����� ���� ��� � �� ���� ����%� �� �������������� � ��� ��� ������� �� ����� �������� ?���� �� �������
4�� �+���!� * �&!� *�.
' ����% � �� ������� �� �� � �� ;����������� � � � �� �� ������� �� ������� �������� ��������� ���� ���� �� �� ��� ����� � ����� ���� ��� �� ��� � � � �
' ����% � �� ����#������� �� �� � �� �� ����������� �� ��� � � �� � ������ �� ��� ��������� �� ���� � ����% ���� � +�� ���� � � ������ � /�
�&�� ���� � ����% � ���� � ���� �� �� � � � �� � ����
������� � 6� � �* �� 2
�� > 4
2 4 �.
��
���� �
/ � �1�� / 2
1 �2 /
��
���� � ) / /
/ / )
� ��
�� 5� ���������� �� ������� ����� �� � � ����� � �� � �� ���� � �� ��������
��� �� ��� ���� ����� �� � � / ��� ������� ����� � � ����� �� ��� ���� � �� � ��� ���� � ���?�,��������
�� ���� � �� ��� ����� � �� ���� ������� �� �?�,��������
4�� ��!��'��&( �&!� *�.
' �� ����% � �� ���$����� �� �� � ��)� ���� ��� �� ��� � ��� � � ���� � ���� �������� ����� ��� ��������
������� �� 6� � �)=
.=
� 1=
1=
� 1=
� 4=
.=
)=
1=
���
���� 0��������� � �� �� ����� A ���� ��� ��� � � ���� ���� ��� � � �� ����
���� �� � ��)A ���� ��� � �� ���� �����
&�� ������ � �� � �� ���� ���� �� � ����% ���� ���
�) � �)� *� ��� �* � ��)� �*� ���� �� � �)� *� ������ � �� ���� ����� � ���� ��� ��� � � &����
��� �) * ��) �* ��) * �
��
��
) �) )* �* *� �� �
��
�� �
) / /
/ ) /
/ / )
��
�� �
�. '6:;5<' $ 0'�<3�;� @�7'8� *
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
2. Algebra of Matrices Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
0��������� � �� �� ��� ����� ��� ��� ���� �� �� ��������� ��� �� ����� �� �������� ��� ��������(
*) ** *� � )� )�) *�* ��� � /� )) ** �� � /
�)) �** ��� � /� �*) �** �*� � )� �)) �** ��� � /
)) ** �� � /� )�) *�* ��� � /� *) ** *� � )
'������ ��� �) � �) � )� �* � �* � )� �� � �� � )� ��� � � �� � / �� �� �� ���� �� ��� �)� �*� �� � ���� �������� � ���� ���� �� ��� ����
:����� ���?�� � ����� �)� �*� � � � � �� �� �� � ���� �� ��� �� ���$������ ��� �� ����� �� ������� � ���� ����� ��� � ���� ���� �� ��� ���� ���� ���
� � �� � / �� �� �
) �� � �
�
3� ��� ����� � � �� � � � �� � � �� �� B���? ���� ���������- ��� ����� ���� �� ��������� ��� � ������ ���� �� ��� �� � ��� �� ��������� �� ��
������ �� ��������� ��� � �������� ������ ���� �� ������� �� � ���� ��� �� ��������� �� �������� ������ ���� ��� ��� �� ������ �� ����� �� ���
�� ���� ����� �� �� � ������ �� �� �� ���� ���� ��� �� �������� ���� ������
������� ��"� 6� � � � �� ����%� ��� �� �������� � ��������(�� � �� ���� �������� �� ��� �� � ��� �� ��������� ����� �� ������� �� � ��� �� ��������� ���
� � � *� � ��� �� �������� ���� ����� �� 8���� *�*.��
������� ��$� 6� � � � �� *� * ���� ���� ����%� ���� �� ��� �� ���� ��
� � ��� � ��� �� ��� � ��� �
� �� � � ��� � ��� �
��� � � ��� �
� �
4�� ����&( 7�*!��.
' �� ����% � �� ����� �� �� ������� ���� ��� ������� �� � ���� ��� �� ��� � ���� 3� � ���������� ���� ����� � �?�,�������� ��� � �� ������ �� � ���� ��� ����� �������
������� �� 6� � � > ��� >
� �� ���
��� � > ��� >
� �> �
�� >
� �� 12 /
/ 12
� ���� ��� � > �
�� >
� �> ��� >
� �� 12 /
/ 12
� �
���� ��� � ���� �� ����% � �� ������
���� ������� � ������
6� � � � �����% ����%� ���� ��� � ����% ���� �����% ����� <���� ������� )�4� ���� ��� � � �� � �����% ����� ��� �� � � � �� ��� ���!� ��� �� ������� �� � �����% ����% ������� ��� �� �� ����% ������� ��� � �� ��?�� �� ���!� �� �� ��� ��� �� �� ���� ��� �� � � � ������ �� � �� ��� �� � � � � �� �- ���� ���� ���� �� ����� �� � �� ����
�7'8� *9 '6:;5<' $ 0'�<3�;� �=
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
2. Algebra of Matrices Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
�� ��� �������� �� ������� ��� ���!� ����� ������ �� ��� �����% ����% �� ��� �� �������������� �% �� ��� �� �� ���!� �� ������� �� �� ���� ���
�% � � ���� � ��� �&�� ���� �� � �� ��� ��� �% � �� � @��� �%�� �� �C ������ �� �% �9
������� �� 6� � � * . 2� � 1� 4
> )� 1 � *
� �� ��� �% �
*� . �> 2 � ) 1
1 4 �� *
��
���
�;�* &( ���;(�, �&!� *�.� =��� ! &�- � !&�+- ����&(
������ � �����% ����% �� �� ���������� ���� � ��� ��� ���!� �� ������� �% ������������� ?���� �� �����% ������ ������ � ����� ��� �� �� ?���� �� �� ������ ������ ������
' �����% ����% � �� ���� �� � %��� � � � ����#%��� � � ������� ��
�% � � � �% � ���
������ � � � �� �� 7������ �� ��� ���� �� ������� ����� � ���!� ��� ���� ��� �� ��� � � �� � ������� ��� ��� ��� ���� ���� ���� � ��� ��������� �� � �� �?�,�������� ��� ��� ��� �������� � /� �&�� ���� � ���� � ���� �� �% � � � �% � ����
' �����% ����% � �� �� ��� �� �%��) � ��)�% � � ���� ��� ��
�% � ��)�
���� � ���� �������� � ���� ��� �������� - ��� ���� � �����% ����% � �� ������ �� ��� ���� ����� ��� ��������� ��� �� ��������� �� ����� �� �� ��� ������ �� �����% ������
' �����% ����% � �� ���� �� � ����� �� �� ������� ���� �% � ���� ��� ��
��% � �%�
����� � ���� � � ���� ����%�� ���� �������� ���� �� ���� �� �� ������ ��� � �� ���
������� � ������ �� �������� �����% ������(
� �� )� * 1 4
) * �1 �* 1� 4 * 2
��
�� � � )
*
) � �)
) )
) �) /
��
�� � � * � )
) *
� �
�� 5� ���������� �� ��� ���� ����� �� � � �� ��� �� ������� ����� )� * ��� ) * � ���!� ���1 4 ��� 1� 4 � ���!� ��� ��� �* ��� * � ���!� ��� ���� � �� 7�������
��� 0��������� � �� �% ����� � ���� ��� ��% � � ���� ������ �%� � � �� ���� ���� �% � ��)� ����� ���� �
�� �������
�� �� ���� � �� ������ � ������ ��% ��� �%�(
��% � * � )
) *
� �*� � �
) )� *
� �� )1 1� 1
1 1 >
� �
��� �������� �%� � )1 1� 1
1 1 >
� �� ���� ��% � �%�� �� �����% ����% � �� ������
- ��� ���� ��� � ����% � �� ��� 7������ �� �� ��� �� �������� ��� ������ �� �� ��� ������ �����
1/ '6:;5<' $ 0'�<3�;� @�7'8� *
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
2. Algebra of Matrices Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
���� ����> � ������
D��� � ����� �� ���+����� ��� ������ ������� ����� � ��� �������� � ����% � ���� �������������� ����� �� ����� �� �� ����� � ��� ����% ��� � ������ ���� ����?� �� ������ ����� �%����(
) �* / ) �
* � 2 4 �*� ) 1 2 =
1 > �� ) .
����
�����
) �* / ) �
* � 2 4 �*� ) 1 2 =
1 > �� ) .
����
�����
) �* / ) �
* � 2 4 �*� ) 1 2 =
1 > �� ) .
����
����
�� �������� �� �� �������� �� ������� ��� � ��� �� ���� ����?� �� ���� �� ���� �� �������� �� ���� � ��� � ������� �� ����� ��� �� ����������� ���� �� ����?�� !��� �� �� ��� � �� ����������� �� �� ������� ���� �� ��������� ����� �� �� �������� � � �� �� ���� � ��� �� � ����?����% � ���� ����?� � ��
������ ���� � � �� �� ��� � � �� �� � ����? ������ ���� �� ��� ����� �� �� ��� ����������?�� ��� ������ ���� ��������� ����?� ��� �� ��� ��+� ��� ����� �� ��������� ����?��� � ��� � ���� ���� �� ��������� ����� �� � ��� �� ��� ���������� ��� ����? �� � �� � ����� ���������� ��� ���� �� � �� �� ����
� � �
�)) �)) �)* �)* � � � �)� �)�
�*) �*) �** �** � � � �*� �*�
� � � � � � � � � � � �
��) ��) ��* ��* � � � ��� ���
�����
�����
���
�� ���)) ��)* � � � ��)�
��*) ��** � � � ��*�
� � � � � � � � � � � ����) ���* � � � ����
����
����
�� ��� �� ����% �������������� �� ��� �������� ��� ����� ��� ���� ��� ������ ���� & � �& � � ���' � �'��� � ����? ������ ���� ���� �� ���� �� ������� �� ��� ����? & � �� ���� �� �� ���� ����� �� ��� ����? '��� ����� ��� ������ & �'�� �� ������ ���
&' �()) ()* � � � ()�
(*) (** � � � (*�
� � � � � � � � � � � �(�) (�* � � � (��
����
����� �� ( � � & )')� & *'*� � � � & �'��
�� ���� �� �� ���� ������ �� &' �� ���� �������� ��� ������ ��� �� ���� 3� �� ��� �� �� %����8���� *�.2��
�<:&�� �(�*/ �&!� *�.
6� ) � � ����? ����%� ��� ) �� ����� � ����� ���� ��� � ��(
��� ) �� � ���� ����%� ���� �� ����?� ��� � ���� ����%������ �� ��� ���� ����?� � ���� ���� �������
�� ���� ��� ���������� ���� ���� �� ��� ���� �� �� � �� ��� ���� �� ���+����� ��� ���������� ��� ��� � ����� ������������
�7'8� *9 '6:;5<' $ 0'�<3�;� 1)
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
2. Algebra of Matrices Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
������ �� �������� ��� ����? ������(
� �
) * � 1 2
) ) ) ) )
= . 4 > 2
1 1 1 1 1
� 2 � 2 �
������
������
��� � �
) * � 1 2
) ) ) ) )
= . 4 > 2
1 1 1 1 1
� 2 � 2 �
������
������
�� ����? ����% � �� ��� � ���� ����? ����%� ���� �� ����� ��� ���� ��� ���� ����?� � ��� �����$� �� ��� ����� �� ����? ����% � �� � ���� ����? ����%�
�(�*/ &'��&( �&!� *�.
6� ) � �� �� � � ���� ����? ����% ���� ���� �� ������ ���� ����?� � ��� +� ������� ���� ���� � � / ��� �� �� ��� ) �� ����� � ���� � ���� ��� �� - ������� ���� ���� � ����? ��� ��������% �� �����
) � ��� ��))��**� � � � ����� � ) � �)) � �** � � � �� ���
�� �������� �� ����? ��� ���� ������ �� ���� �� �� �� �� �� ����? ����% �� ������� ���� ���� �� �� �� �� ���������� ����?�� ����������� ������ � ��� �� � ���������� ��� ) �� �� ���� ����?��� ���� ����%� ��� � �) � �� � ����? ��� ���� ����% ���
� �) � � ��� � � ��))�� � ��**�� � � � � � ������
'���� ) �� ������� �� ��� ���� �� ��� � �� �������� ���� �� ���� � ���� )�) �� � ����? ��� ���� ����%
���
)�) � ��� ���))) ��
�)** � � � � ��
�)�� �
'���� ������ � ���� ����? ����% �� ����� � ���� ����� �� ����� ��� � �� �� ����?� ���� ����� ���� � +� ������� ��� � ���� ����� �� ����� ��� � �� �� ����?� ���� �� ��� ���� � +��������
������� �� E���� ����� �� �� �������� ���� ����? ������ � ��� ��� ����� ��� ��� ����� � ��� ����(
� �) * /
� 1 2
/ / >
��
��� � �
) / / /
* � 1 /
2 / > /
/ 4 . =
����
����� � �
) / /
/ * �
/ 1 2
��
��� " �
) * /
� 1 2
/ > 4
��
��
�� � �� ��� ���� ��� ���� �� ����? ���� �� ��� ���� �� � +� ����?�
��� � �� ��� ���� ��� ���� ��� ����?� ���� �� ��� ���� � +� ����?��
�� � �� ��� ���� ���� �� ����?� ���� ��� ���� �� ��� ���� � +� ����?��
��� " �� ���� ��� ���� ��� �� ��� ���� ���� '���� �� ��� ���������� �� " ���� ��? �� ���� ��� � ����?��� ���� ��� ����% � � ����? ��� ���� ��� ����%�
1* '6:;5<' $ 0'�<3�;� @�7'8� *
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
2. Algebra of Matrices Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��(7�) ���?(��.
� ���� ����� � �� � � �������� ����
���� :�� � � ) �* �
1 2 �>� �
��� � � � / *
�4 ) .
� �� ���(
�� � �� ��� *� � ���
�� '�� �� ��������� �����(
� � � ) � �* / � *
1� 4 2 ) �> .
� �� 1 > 2
�� > *
� �
��� ��� ���� �� ����� �������������� ��� ��� � ����% ��������(
*� � �� � * �1 >
. )/ �)*� �
�= / �>*) �� �*1
� �� �4 �1 /
�*= 4 ��>� �
�&�� ���� � �������� � �� �� ��� ��� ���� ��� ���� ���������� � �� � ��� ��������� � ����������� ����� ����
���� ��� �� �� �� � �� �� �
� �
� �� � >
�) *�
� � 1 � �
� � �
� ��
-�� ��� ��� �� � ��� � �������(
�� ��
�� ��
� �� � 1 � � >
� � � ) *� �
� �
�� ��������� ���� ���� �� ��� ��� �� ������ �� �������� ����� �� ��� ��������(
�� � � 1� �� � � � >� �� � � � � )� �� � *� �
� *� � 1� *� � > �� *� � � � )� � � �
�� �������� �� � � *� � � 1� � � )� � � ��
���� 8�� ���� *�) ��� ��� ���( ��� �� �� � � � �� ��� ��� ��� �� � �� ���
������ � � � ��� � � �� ��� � � � ��� �� ���� ���� �� ������ ���� ��������� �,���� �� ������ �� ��� ����% ������� � ����� @- ���� ��� ��� ��� ���� ���� �� ��� ���� �� ���� *�) ����� ���������9
��� �� �,��� �� � � �� � � �A ��� �� �,��� �� �� �� � �� � � � �� �� $� �� ��� ������� �,��� �� � � �� � � �� ��� ��� �� �,��� �� � �� �� �� � �� � ��� 7���� �������� �� ��
� � � �� � � � �� � ������ �� �� � ��� � �� �� ��� �������� �,����� ���� �� �� � � � �� ���
��� �� �,��� �� � � �� � � �A ��� �� � � �� �� �� �,��� �� ��� ��� $� �� ��� ����� �� �,���� �� �� ��� �� � � � ��� �� �� ��������� ���� � � �� � �� �� �,��� �� �� ��� 7������ ������ �� � �
�� � � �� � � � �� �
���� ��� �� ��� �� �� ��� �������� �,����� ���� ��� �� � �� ���
�7'8� *9 '6:;5<' $ 0'�<3�;� 1�
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
2. Algebra of Matrices Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
� ���� �������� ����
���� ��������( �� �.��1� 2��
*
�)
��
��� ��� �>��)� 4� 2�
1
�=��*
����
����� �� ��� .��*� 1�
2
�)>
��
��
�� 0������� �� ��������� ���� ��� ���(
�.��1� 2��
*
�)
��
�� � .��� ��1��*� 2��)� � *1� .� 2 � ))
��� 0������� �� ��������� ���� ��� ���(
�>��)� 4� 2�1
�=��*
�����
����� � *1 =� *) )/ � **
�� �� ������ �� ��� ���� ��� �� �� ����% ��� �� ������ ����% ��� ������ ����� ��������
���� 6� �� � �� ���� �� � � � ����%� ��� �� ��+� �� ���� ����% ������� ���� � ����(
�� �*� ����� 1�� �� �)� *���� )�� ��� �1� 1���� ����� �1� )��)� *�� ��� �2� *��*� ��� � � � �*� *��*� 1�
3� ��� ���� �� ������ �� ���� �� �� ��� ����� � ����� ��� ��� �� ������ ���� ��� �� ��+�� �� ��� ����� �� �� ��� ���
�� *� 1� �� ��� ����� ��� ��� ����
��� 1� *� ��� 2� �� � � � *� 1
��"� 6� � � ) �
* �)� �
��� � � * / �1� �* >
� �� ���( �� ��� ��� ���
�� ���� � �� � *� * ��� � � *� � ����%� �� ������ �� �� ���� ��� �� � *� � ����%� �� ������ ��
���� �� �� ��� �� �� ��� �������� �� ��� �� �)� �� �� � �� �� �������*
�
� ��
/
�*� �
��1>
� ��� ��
��������� �� �������(
�� � ) �
* �)� �
* / �1� �* >
� �� * = /� > �1 ).
� �� )) �> )1
� �
�� ������ �� ���� �� �� ����� �� �� ��� �������� �� ����� �� �*��)� �� � �� �� ������� �� �(
�� � ) �
* �)� �
* / �1� �* >
� �� )) �> )1
1� � / * �.� >
� �
����
�� � )) �> )1
) * �)1� �
�
��� �� ��+ �� � �� *� � ��� ���� �� � �� *� *� �� ��� ����� � ��� * � ��� ���� A ��� �� �������� �� ��� �����
11 '6:;5<' $ 0'�<3�;� @�7'8� *
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
2. Algebra of Matrices Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��$� ��� ��� �� � � * � �)1 �* 2
� ���� � �
* �) / >
) � �2 )
1 ) �* *
��
���
���� � �� � *� � ��� � � �� 1 ����%� �� ������ �� �� ���� ��� �� � *� 1 ����%� 0������� ����� �� � �� �� ������� �� � �� ������
�� � 1 �� 1 �* =� ) /� )2 * )* �� *
.� * */ �1� > 2 / )/� )/ *1� * )/
� �� � > �)� )�
*> �2 / �*
� ��
��0� ���( ��) >
�� 2
� �*
�4� �
� ���*
�4� �
) >
�� 2
� �� �� �*��4� ) >
�� 2
� ��
�� �� ��� ����� �� *� * ��� �� ����� �� *� )� �� �� ������ �� ���� �� � *� ) ����%(
) >
�� 2
� �*
�4� �
� *� 1*
�>� �2
� �� �1/
�1)� �
��� �� ������ �� ��� ����� ���� �� ��� ����� �� *� ) ��� �� ����� ����� �� *� *�
�� �� ��� ����� �� )� * ��� �� ����� ����� �� *� *� �� �� ������ �� ���� �� � )� * ���� ����%(
�*��4� ) >
�� 2
� �� �* *)� )*� �2� � �*���*��
��2� ����� /� � / ��� �/ � /� �� �� /#� � ���� ��� �� ����� �������� ������ ��+��� ��������� � ��� � ���� �� +� ���� ���� ���� �� � /�
6� � � ) *
* 1
� ���� � � > *
�� �)� �
� ��� �� � / /
/ /
� ��
���9� 8�� ���� *�*���( ����� � ������6� � � � ��� � � ���� �� � � ����� ��� �� �� � * � �� � �� �� � � � ������ ���
� � �����)
���� ��� ��� �����)
�����
0��������� * � �� �� �� �� �,��� �� ����� ��
� ))� � **� � � � � ��� �����)
� ��� �����)
����)
� �������
$� �� ��� ����� ���������� � �� � � ��� �� �,��� �� ����� ��
)�)� *�*� � � � ���� �����)
���� �����)
����)
��������
�� ���� ���� � ����A ���� ��� ��������� ����� �� ����� ��� ����� � ����� ��������� � ������
����� 8�� ���� *�*����( ��� �� � �� ���
6� � � � ��� � � ���� �� � � ��� �� ��� �� " � � � � ���� �� + � �� � �� � �� , � �� � � � � �� ���
��� � ��� ��� � � �����)
����� � � �����)
���
�7'8� *9 '6:;5<' $ 0'�<3�;� 12
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
2. Algebra of Matrices Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
���� �� �,��� �� �� ����% �� �� ��
� � � � �����)
���� ����)
��� �����)
����� ���
$� �� ��� ����� �� �,��� �� �� ����% �" � ��� �� ��
)�)� *�*� � � � ���� �����)
���� �����)
����� ���
���� ��� �� � �� ��� ���� �� ��������� ����� � �����
�� ������
����� ��� �� ������� �� ��� ����%(
� � ) �* �
4 . �=� �
� � �) * �
* 1 2
� 2 >
��
��� � � �)���� 2��4�� " �
*
�1>
��
��
<��� �� ��� �� ��� ����% �� ������� �� ������ �� ������� �� �� ����%(
�� �) 4
�* .
� �=
��
��� �� �
) * �
* 1 2
� 2 >
��
��� �� �
)
��2
�4
����
����� "� � �*��1� >�
�&�� ���� �� � �A ���� � ����% �� ���� �� � ������� � &�� ���� ���� �� ������� �� �� �� ���� � �� ������� ����� ��� �� ������� �� �� ������ ���� " �� � �� ������
����� 8�� ���� *������( ����� � ���� �
6� � � � � � ��� � � ������ ��� �� �,��� �� �� ��
)�)� *�*� � � � ����
���� �� �� � ,��� ��� ��� �� ����� � &�� ������ � �� � ����� �� � �� �� � ��� �� �� � ����������� �� �� � ���� �� �,��� �� ���� ��
��)�� �*�� � � � � ����� )� *� � � � � ��� � �)� ) �*� * � � � ��� �
���� ����� � ���� � ���� �� ��������� ���� � �����
�% �� � ������
����� ��� �� ��� ���� ��� ��� �� ��� ����%(
�� � �) � >
* �2 .
1 �* =
��
��� ��� � �
* 1 .
� �4 =
�2 / *
��
��� �� � � ) * ��
1 �2 >
� ��
�� �� ��� ���� �� � �������� �� �� ����� ��� �� ��� ��� ��� �� � �� �� ��� � �� ��� �� �
�� �� ��� ����� �� ����� ))� **� ��� ���� �� ��� ���� �� � �������� �� �� ����� )��2� ���=� �� ��� �� � �� �� ��� �� �� ��� ���� ������ ����
���� � )� 2 = � 2
��� �� ��� ���� �� � �������� �� �� ����� *��4� ��� *� 7��
���� � *� 4 * � ���� �� ��� ���� ��� ��� � ���� ���� �� ���� �������
1> '6:;5<' $ 0'�<3�;� @�7'8� *
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
2. Algebra of Matrices Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
����� 6� � � ) *
1 ��� �
� ��� �� � ��� � *�� � 1� 2 ��� ���� � �* *� ))� ���(
�� �*� ��� ��� �� � ���� ��� �����
�� �* � �� � ) *
1 ��� �
) *
1 ��� �
� ) . *� >
1� )* . =
� �� = �1
�. )4
� �
��� �� � ��* � ) *
�1 ��� �
= �1�. )4
� �� =� )> �1 �1
�> *1 �)>� 2)
� �� �4 �/
>/ �>4� �
�� ��� ��������� � �� � ��� 2 �� �� �������� �� � ���� ��������
� ��� � *�� � 1� 2 � *�4 �/
>/ �>4� �
� 1) *
1 ��� �
2) /
/ )
� �
&�� ���� �� ����� �������������� ��� ��� �� ����% ��������(
� ��� � �)1 >/
)*/ �)�1� �
�1 �.�)> )*
� � 2 /
/ 2
� �� �)� 2*
)/1 �))4� �
��� ��������� � �� � ��� )) �� �� �������� �� ����� ��� ��� �������� �� �������(
���� � �* *� � )) � = �1�. )4
� � *
) *
1 ��� �
� ))) /
/ )
� �
� = �1�. )4
� � * 1
. �>� �
�)) /
/ �))� �
� / /
/ /
� �
���� ���� �� �� +� ����%� � �� � ��� �� �� ���������� �����
���"� 6� � � ) �
1 ��� �
� �� ��� � ���+� ������ ���� � � �
�
� ����� ���� �� � ���
��� E���� ��� ���� ������
�� ��� �� �� �� ����% ������� �� � ��� ��� ��� ��� ��� ��� �� � ��� � ����% ������� ����� ���������(
) �
1 ��� �
�
�
� �� �
�
�
� �� ��� ���
� ��
1� � ��
� �� ��
��
� �
�� �� ��������� ����� ���� �� ��� ��� �� ������ � ����� �� ��������(
� �� � ��
1� � �� � ���
*� � �� � /
1� � >� � /� *� � �� � /
�� ����� ���� �� �� ���� ��� ���� ������� �� ��� ��?������ ��� �� ��� �� ���������� �� ���������� �� ������ � ���+� ��������� ��� ���� � � *A ��� � � �� ���� � � ��� *�� �� ����� ���+� �����
��� �� ��� �� ��� ��������� �� � � � �� �� � ������ ��������� � � ���� *� � �� � / �������� � � �
*� ���� � � ��
*� �� ����� ��� ���� ����������
��3������� � ������- ��3�����
���$� ���� ���� � �) / *
* �) �
1 ) .
��
�� ��� � �
�)) * *
�1 / )
> �) �)
��
�� � ������
������ �� ������ ��� ��������
�� ��)) / )* * /� * * /� *
�** 1 ). 1 /� � 1� )� �
�11� 1 1. . /� . . )� .
��
�� �
) / /
/ ) /
/ / )
��
�� �
���� �� � � � ��� ������� ����� ��)2� ���� �� � � '������ ��� � ��� � � ������
�7'8� *9 '6:;5<' $ 0'�<3�;� 14
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
2. Algebra of Matrices Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
���0� ��� �� ����� �� �������� �� ��� ����%(
�� � � 2 �
1 *
� �� ��� � � * ��
) �
� �� �� �* >
� �=� �
�
D� �� ������ �� �� ���� �� � *� * ����% ������ �� ������ *�=�
�� ��� ��� ��� � 2�*� � ��1� � )/� )* � �*� &%� ������� �� ��� ���� ������ ��? ��� ����� �� �� ������ ���� ������ ��� �������� �� )����(
��) � � )
*
* ���1 2
� �� �) �
*
* � 2*
��� ��� ��� ��� � *��� � �����)� � > � � =� &%� ������� �� ��� ���� ������ ��? �� � ������� �� ������ ���� ������ ��� �������� �� )����(
��) � )
=
� �
�) *
� ��
)�
)�
� )=
*=
�� ��� ��� ��� � �*��=� � >��� � ).� ). � /� ���� ��� � /�� ��� �� �����
���2� 6� � �) ) )
/ ) *
) * 1
��
��� ��� ��) �
�) �* ���) �* ���) �* ��
��
���
0��������� � �� ��) ��� ����� �� ��� ���� ���� �� �� ��� ���� �� �� ������� ����% ������� �������� �� ������ �� �� �������� �� �� �� �� ��?�����(
�) �) �) � ) �* �* �* � / �� �� �� � /
�) *�) � / � *�* � ) �� *�� � /
�) *�) 1�) � / �* *�* 1�* � / �� *�� 1�� � )
������ �� �� ������ �� �� ��� ��?����� �����
�) � /� �) � *� �) � �)� �* � �*� �* � �� �* � �)� �� � )� �� � �*� �� � )
���� ��) �/ �* )
* � �*�) �) )
���
���
����&�/� �� �%� ����� ��� �� ������ ��� �� ������ �� �� ��������
���9� 6� � ��� � � ������� ������ ����� �� ��� ��+�� ���� ���� �� �� ���� ������� ��������) � ��)��)� @����� �� ���������� ��)�* � � �����) � ��)
� � � ���)* ��)
) �9
D��� �� ������������� �� ����% ��������������� � �
�������)��)� � �����)���) � � ��) � ���) �
���)��)����� � ��)���)��� � ��) � � ��)� �
���� �����) � ��)��)�
1. '6:;5<' $ 0'�<3�;� @�7'8� *
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
2. Algebra of Matrices Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
� 5�� � � ��� �5� � � ������
����� -�� ��� �� ��� ���� ������ � � ��� �1���� 4�� � � ��� �*��>�� � � ��� ����.� /� 2��8�� �� ��� ������ �� �� ��� ���� ��� /#� ����(
� �1 / /
/ �� /
/ / 4
��
��� � � * /
/ �>� �
� � ��
�./
2
����
����
����� 6� � � ��� �*� �� 2� ��� � � ��� �4� /��1�� ���(�� ��� �*� �*� ��� � ���� �� � ��� � �* �� � *� �� ��) ��� ��)�
�� �� ������ ����% �� �� � ��� ���� ����% ������� �� ���������� ��������� ��� ���� ����A���
�� � ��� �*�4�� ��/�� 2��1�� � ��� �)1� /��*/����� �� ����� �* ��� �* � ������� �� ������ ��� ��� ���� ���A ���
�* � ��� �**� �*� 2*� � ��� �1� =� *2� ��� �* � ��� �1=� /� )>�
��� � ��� �� � ��� ���� ����% ������� �� �������� � ��� �� ��� ��� ���� ���� - ���
� �*� � 1 >� * � .� � ��� � = =� * � )>� � �2� � *2 )2� * � �.
���� � ��� � ��� �.� )>� �.���� �� ���� �� � ��� ���� ����% �� � ��� ���� ����% ������� �� ��?�� �� ���� ��������� �� ���
��� ���� ���� ���� ��) � ��� �)*� )�� )2�� ��� � ��� �� ���� ���� �� �� � / �� �� ��� �����
����� ��� � *� * ����% � ���� ���� �* �� ��� ���� ��� ��� ��
6� � � ) *
� �)� �
� ��� �* � 4 /
/ 4
� �� ����� �� ��� �����
����� ��� �� ��� ���� ��� ����% � ���� ���� �� � . �24/ *4
� ��
�� � � � �
/ �
� �� ��� �� � .� �� � � *A ��� �� � *4� �� � � �� &%� �������� �� ���� � � * ���
� � �(
�* � * �
/ �
� �* �
/ �
� �� 1 2�
/ =
� ���� �� � * �
/ �
� �1 2�
/ =
� �� . )=�
/ *4
� �
���� )=� � �24� � � � ��� '������ ��� � � * ��/ �
� ��
����� 6� � � � �� ��� � � �� �� � ��� ���� ��� ������� 8�� ���� �� �� ��� ���� ��� ������� ���� ))�))� **�**� � � � � ������
6� �� � � ��� ��� � ���
��) ���� ��� ���
��) ��� � ������ � �� ���� �� ��� �� ��� � �
� � � �� �� ���� ��� � � / � ��� � /� ���� � � /� ��� �� �� ��� ���� ���� ������ � �� ���� ��� � � � ��� � � /A ���� �� � � � � ��� �� � /� 7�� � � � �� ������� @���� ���� �� ��� ������ *�2���A �� �������� �� � � ��� �� � ��� �� %�����9
�7'8� *9 '6:;5<' $ 0'�<3�;� 1=
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
2. Algebra of Matrices Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
����� � �� � � ������� ��������� � ���=�5�� �
���"� E���� ���� � ��� ��� �� �� �������� ������ �� ������� � ���� ��� �� � �� �����#������� � ���� �� � ��(
�� � �2 �4 )
�4 . *
) * �1
��
��� ��� � �
/ 1 ���1 / 2
� �2 /
��
��� �� � � / / /
/ / /
� �
�� 5� ���������� �� ������� ����� ���� ��� � �� �� ��� ����� � �4 ��� �4� ) ��� )� * ��� *����� � �� �������� ���� ������� ����� � �����
��� 5� ���������� �� ��� ���� ����� � ��� /� ��� �� ������� ������ 1 ��� �1� �� ��� �� ��� 2��� �2� � � ����� �� ��� ���� 7�� � �� �?�,��������
�� ���� � �� ��� ����� � �� ���� ������� �� �?�,��������
���$� ��� � ��� �� �� � � 1 � *
*� � � � )
� ��� ��������
�� �� ������� ����� � * ��� *� � � ���� �� ��� ���� �������� *� � � � � * � � � 2�
7�� � � 1 4
4 >
� ��
���0� 6� � � �� ������ *� * ���� ���� ���� ����%-
��� 8��( 3� �� �� �� �� ��� �� �� �� ��� * �* � ) ���
� � �
��
� �� � � �
� �
� ��
��� 8�� ���� *�4( � ��� �� ���� ��
� � ��� � ��� �� ��� � ��� �
� �� � � ��� � ��� �
��� � � ��� �
� �
�� ������ ��� �� �� �� ����� �� �� �� ���� �� ��� �� � ��� �� ��������� ��� � �
* �* � )� �* �* � )� � �� � /
��������� �� ������� ��� �� ���� ���� ��� ��
* �* � )� �* �* � )� � �� � /
����� �* � )� * � �*� ���� � � ������ ���( � � �� ��� �� �� � /� �� � � ����� ����( � � ��� ��� ��� � � � /� �� � � �
���� ����� �� �������
� � �
��
� �� � � �
� �
� �
��� ���� * �* � )� � ��� �) � � )� 6� � ��� �� ��� �* � )� ���* �� �� � � ��� �� ���� ������ �����
2/ '6:;5<' $ 0'�<3�;� @�7'8� *
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
2. Algebra of Matrices Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
���2� ��� � *� * ���� ���� ����% � ���� ��� �� �� � ��������� ������� �� ��� 1��&�����+ ��� 1� �� � ��
2� 12�� ���� �� 8���� *�*.�
� ��2
12
� 12
�2
� � �
�2
12
12
� �2
�
���9� ��� � �� � ���� ���� ����% ! ���� ��� ��� ��� � �������� �� �) � �)� )� )� ����* � �/��)� )�� ��������� �&�� ����� �� ����� �) ��� �* � ���� ������
��� ��� � ���+� ���� �� ���� ���� �� �) ��� �*A ��� ����� ������� �� � �) � �* � �*��)��)��6� � � �� ����% ���� ��� � �)� �*� ��A ��� �� ! � �� ����% ������� ��� � �� ������+�� ����� �� �� ����
� �) ) )
/ �) )
* �) �)
��
�� ��� ! �
)� �
�)�
�
�)�
�
�/ �)�
*�
)� *
�*�
>
� �)� >
� �)� >
�
��
��
������� � ������� =������ � � ��� �� � ������
����� ��� �% ��( �� � � �� 2 * 1
> 4 ) .
� �� ��� � �
*� � 2 .
�1 �� 4
�>� 2
��
��
<���� ���� �% � ��� � �� ���!� �� ������ �� �� ����
�� �% � � 2 >� 4
*� 1 )� .
� �� ��� �% � * � �1 �>
2� . � 4 �2 � �
����� ���� ���� � �)*� *
� *
�
� *� � )
�� *
�
�� �������
�� ��� �� � ��� �� ��������� ��(
)
�� *
� �*
�
� �� )
�� *
� �*
�
� �� )
= 1
=
� � 1
=� )
)
�� *
� �*
�
� �� � *
� �� )
�� *
�
� �� *
= 1
=
� � � *
= � 1
=
� �� /
� *
� �� )
�� *
�
� �� � *
� �� )
�� *
�
� �� 1
= )
= 1
=
� �� )
���� � �� �������
����� 8�� �� �����% ����� � �� ���� *�>( 6� � � � �����% ����%� ��� �� �������� ���������� ��� � �� ������� ���� �� ��� �� � ��� �� ��������� ��� ����� �� ������� �� � ����� ��������� ���
��� ���� �� ������ �������� �� �� ���� �� �� �. �� �� ��� ��� � �� � �� � ������%��
��� ���� ���� �� ����� �)� �*� � � � � �� �� �� ��� �� ��������� �� �� ��� � ���� �������� � ���� ���� �� ��� ���� �� �� ��� ������ �� �� �� ���� ��
�)� *� � � � � �� � ��)� �*� � � � � ��� � )��) *
��* � � � ����
������ � �� ������� ��� .)�.*� � � � �.� � ��� ���� ��� �.�) � �.
�* � � � � � �.
�� � �� ������� �� �% � 6�
��% � � ��� 5� ����% ��������������� � � . �.�
� � . � .�� ���� � �� ������� � ��� ��% � � 0���������
�7'8� *9 '6:;5<' $ 0'�<3�;� 2)
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
2. Algebra of Matrices Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
� �� �% ��� ����� ��� ��� � ���� �� �� ��������� ��� �� ����� �� �������� �* ��������(
.) � .) � )� .* � .* � )� � � � � .� � .� � )� ��� . � .� � /� �� �� �
���� �� ��� �� � � ���� ����� ��� � ���� ���� �� ��� ���A ��� ��� ��� �� ��������� �� �������� �� ��������� ��� � �������� ����� ���� �� ������� �� � ���� ��� �� ��������� �� �������� ������ ���� ��� ��� �� ������ �� ����� �� ��� ���� ���� �� �����
����> � ������
����� ������ �� �������� ����? ������ ������ � ��������� �� �� ��� ����%�(
��
) �* / ) �
* � 2 4 �*� ) 1 2 =
��
��� ���
) �* / ) �
* � 2 4 �*� ) 1 2 =
��
��
��� �� ��+ �� ��� ����? ����% ��� ���� �� ��+ �� ��� ����?�
�� �� ����? ����% ��� ��� ��� �� ������ ��� �� ������� �� ������A ��� ��� ��+ �� *� �� ������? ��+� � *� *� *� *� ��� *� ) �� �� ��� ��A ��� )� *� )� *� ��� )� ) �� �� ����� ���
��� �� ��+ �� �� ����? ����% �� �� *A ��� �� ����? ��+� � )� � ��� )� * �� ��� �� �� �� ����
����� ������ �� ���� ����? ��������������� ��
� �) * )
� 1 /
/ / *
��
�� ��� � �
) * � )
1 2 > )
/ / / )
��
��
7 � � + ,
/)�* /
� ���� � � . *
/)�� �
� �� �� +�,�/�.� *�� � �� ��� ����?�� ��� /)�* ���
/)�� � +� ������ �� �� �������� ����� 7��
�� � +. +* ,�
/)�� /�
� ��
� / / /�
= )* )2
)= *> ��
� �
*
�
4
� � )
/
� ����
��� �
= )* )2 1
)= *> �� 4
/ / / *
��
��
����� 6� ) � ��� �������� �� � � ) *
� 1
� �� � � �2�� � � ) �
2 4
� �� ��� )*�
���� ) �� ����? ��� ����� ���� ��� ����?(
�* � 4 )/
)2 **
� �� �* � �*2�� �* � )> *1
1/ >1
� ��
��
)* �
4 )/
)2 **
*2
)> *1
1/ >1
������
������
������� ���� �������
���"� 6� � ��� ��� ���� � ����������� ��� �� � � � ���� ����%� 8��(
�� � � ����� � � ��� �������� � � � ����� � � ���������� � ������� � ���� � ����
������ � ��� � �� �) �
��� ���� � ����) ���
��
2* '6:;5<' $ 0'�<3�;� @�7'8� *
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
2. Algebra of Matrices Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
�� - ��� ����� � � � � � �� ����� ���� �� � ���� / �� ��� ���������� ���
� ��� ���� � �� �)
� � ��
7�� � � ����� � �� �)
� � �� � �� �)
� � � � ��� ����
��� - ��� � ������� � � ��
��� �� ���
� ������� ���
�
���
����
� �� �
�� ���
� � � ������
�� D��� � ������� � ����� ���� � ���� ������� � � ������ � �� � ���� � ���� � ���
�:;;(����!&�+ ���?(��.
�5��� �# � ������
8����� *��4F*�1/ � �� �� �������� ������(
� � ) *
� �1� �
� � � 2 /
�> 4
� �� � � ) �� 1
* > �2� �
� " � � 4 �)1 �. =
� �
���$� ���( �� 2� � *�� ��� *� �*�� �� *� � �"�
���0� ���( �� �� ��� ������ ��� �� ��� ������ @&�� ���� ����� � ������9
���2� ���( �� �* ��� ��� ��� �" ��� �"� �� �"�
���9� ���( �� �� � ��� �� � �� ����� � ��� ���� � @&�� ���� ���� �� ����� �98����� *�1) ��� *�1* � �� �� �������� ������(
� � ) �) *
/ � 1
� �� � � 1 / ��
�) �* �
� �� � �
* �� / )
2 �) �1 *
�) / / �
��
��� " �
*
�)�
��
���
����� ���( �� �� � 1�� ��� ��� �� ��� ��� �"� ��� �"� � � � �"�
����� ���( �� �� � ��� ���� �� ����
����� 6� � � ) *
� >
� �� ��� *� � ����% � ���� �������� ���+� ���� ���� ���� �� � /�
���� 6� �) � �)� /� /�� �* � �/� )� /�� �� � �/� /� )�� ��� � �) * � 1�) �* �� �1) * � 1
��
��� ��� �)�� �*�� ����
����� 6� � � �/� � � � � /� )� /� � � � � /�� �� ) �� �� �� ���� ����(
�� � � � � � �� �� �� �� �� 3� � � � � �� �� ��� � ��� � � ��
��� ���� � ��� ��� ������ �� �� ��� 3� ���
� � ���� � �� ��� �� ��� � � ��
���"� 8�� ���� *�*����� ��� ����( ����� �� ��� � �� ��� ���� ����� � ����� � ������
���$� 8�� ���� *��( ��� �� ��� � �� �� � ���� ��� �� � ����� ���� � ��� �
���0� ����( �� 3� � ��� � +� ��� ��� �� ��� � +� ��� ��� 3� � ��� � +� ������� ��� �� ��� � +��������
�7'8� *9 '6:;5<' $ 0'�<3�;� 2�
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
2. Algebra of Matrices Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
�% �� � ������- ��3�����
���2� ��� �� ��� ���� ��� ��� �� ��� �� �� �������� ������(
�� � �* �2 .
� �> �41 / �)
��
��� ��� � �
) � �1> ) 4
* �2 �)
��
��� �� � � 1 � �>
* �2 /
� �
8����� *�2/F*�2* � �� � � * �2� )
� �� � � 1 �*
) �>� �
� ) � > �1� �*
� ��
���9� ���( �� �* ��� ��� ��� � ��� ��� ����� ��� ��� � �� � *�* � 2� ���� � �* � �� )4�
����� ���( �� �* ��� ��� ��� � ��� ��� ����� ��� ��� � �* *� � **� ���� � �* � �� � >�
����� ��� � ���+� ������ ���� � ���� ���� )� � 1��
����� ��� �� ���� �� ��� �� �� �������� ������ ��� �� %�����(
� � 4 1
2 �
� �� � � * �
1 2
� �� � � 1 �>
�* �
� �� " � 2 �*
> ��� �
����� ��� �� ����� �� � �) ) *
) * 2
) � 4
��
�� ��� � �
) �) )
/ ) �)) � �*
��
���
����� ������ � �� �������� ���� ���� �� �� � ��� ��� � � �� :�� �� %���� �� � ���+� ����% � ���� ������ � �� ��� � �� ��
���"� ��� *� * ������� ������ � ��� � ���� ���� � � �� / ��� � � �� ��� ��������
���$� ����( �� � �� ������� �� ��� ���� �� �� �� �������� ��� �� �������� �� ������� ��� �������������� ���� ��� ��� ��) � ���)�� � �� 3� � ��� � +� �� � +� ������� ��� � �� ��� ��������
� 5�� � � ��� �5� � � ������
���0� 6� � � ��� �)� *���� ��� � � ��� �*��2� /�� ���(�� ��� �*� �*� ��� � ���� �� � ��� � �* 1� � �� �� ��) ��� ��)�
���2� 6� � � ) *
/ )
� ���� � �
) ) /
/ ) )
/ / )
��
��� �� ��� ��� ��� ��� ���
��"9� ��� ��� �� ���� ��� ������ � ���� ���� �* � �� ��( �� � � 1 *)
/ *2
� �� ��� � � ) 1
/ �=� �
�
��"�� 6� � � 2 *
/ �
� �� ��� ��� ����� � �� ����� � �� � ��� �� �� ����������(
�� � ��� � �* � 4� )/� ��� ���� � �* � *2� �� $��� � �* � 1�
��"�� 6� � � ) /
*> *4
� �� ��� � ����% � ���� ���� �� � ��
��"�� 6� � �) . 2
/ = 2
/ / 1
��
��� ��� � ���� ��� ����% � ���� ������� ��� ���� ���� ���� ���� �* � ��
21 '6:;5<' $ 0'�<3�;� @�7'8� *
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
2. Algebra of Matrices Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��"�� D��� ���� �� ����� / ��� )� ��� �� ���� �� �� � ������ ���� �( �� ��� �������� ��� ���� ���� �� ���,��� ��� ��� ��� ���� ���� :����+ �� � � � �������
��"�� 6� "� � � � �� ����� ����% ���� �� �� �� ����� �� ����(
�� "�� � ��� ��� �"� � ��� �� "� "� � "�� � ��� "�"� � "��
��""� ������ �� � �� �� � ��� � � ��� ���� ����
�� ��� *� * ���+� ������ ������ �� � �� ��� ��� ���� ����
��� ������ � �� ���� �������� ���� ���� � ���� ���� � ��� ���� ����
����� � ����� �# �� � � ������
��"$� ��� �� �� � ���� ���� � �� �������� ��(
�� � �* � �
1 2 �
� ) 4
��
��� ��� � �
4 �> *�
� � �*� �* 2
��
���
��"0� ������ � �� � ���� ����%� ����( �� � �� �� �������� ��� � � �� �� �?�,��������
�� � � � �� �� � �� ������� ��� � �� �?�,��������
��"2� -�� � � 1 2
) �
� ��� �� ��� �� � ������� ����% � ��� � �?�,������� ����% ��
��$9� ������ � ��� � � �������� ���� ���� �� �������� � ���� �������(
�� � �� ��� ��� �� ��� ����� �� �� �*�
��� ��� �� � � /� ��� � ���� �� ��� ���������� � ����
��$�� ��� � *� * ���� ���� ����% ! ���� ��� �� �� � ������� ��(
�� ����1�� ��� �)� *��
��$�� ��� � �� � ���� ���� ����% ! ���� ��� ��� ��� � �������� ��(
�� �)� *� �� ��� �/��*� ��� ��� �)� �� )� ��� �)� /��)��
��$�� ������ � ��� � � ���� ���� ������� ���� ���� �� � ��)� �� � ���� ���� �����
��$�� -���� �� �� �������� ������ � �����G � � � �11 �
� �� � � ) �*
* �
� �� � �
) ) )
/ ) )
/ / )
��
���
������� � ������
��$�� ��� �� ����� �� �� � ���� ���� � �� 7������� �� � �� � * �
�� * / ) �
� )� � �)
��
���
��$"� ������ � �� � �����% ����%� ���� ���� ��% ��� �%� � 7�������
��$$� 6� � � � ���� ����%� ���� ����( �� � �% �� 7������� ��� � � �% �� �?�,7��������� � � � �� �� � �� 7������ ��� � �� �?�,7�������
�7'8� *9 '6:;5<' $ 0'�<3�;� 22
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
2. Algebra of Matrices Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��$0� E���� ����� �� �� �������� ������ � ������(
� � �* � �
��*
��
�* � �*
� �� � � )
*
) )�
)� )
� �� � � )
*
) � �)
) )
) �) /
��
��
��$2� ������ � ��� � � ������� ���� ���� �% � ��)� �� � �������
��09� E���� ����� �� �� �������� ������ � �����( � � � 1 )
* �
� ���� � � ) /
)�
� ��
����> � ������
��0�� 6� & �) * / / /
� 1 / / /
/ / 2 ) *
/ / � 1 )
����
���� ��� ' �
� �* / /
* 1 / /
/ / ) *
/ / * ��/ / �1 )
������
�������
�� ��� &' ���� ����? ��������������� ��� ' & ��� ' ����? ��� ���� ������G
�� 3� &' ����? ��� ����G
��0�� 8������� ��� �� �� �������� ������ �� ���� �� ����� � ���� ����? ����% ���� �� ���� ��� ���� ����?��� �������(
� �) / /
/ / *
/ / �
��
��� � �
) * / / /
� / / / /
/ / 1 / /
/ / 2 / /
/ / / / >
������
������� � �
/ ) /
/ / /
* / /
��
��
��0�� ��� )* ��� ) � ��( �� ) �* / / /
/ ) 1 /
/ * ) /
/ / / �
����
����� ��� ) �
) ) / /
* � / /
/ / ) *
/ / 1 2
����
�����
��0�� � ��� ����% ) �� 8���� *�.�� ��� � �) � �� � ��� � �* 1� � 2�
��0�� ������ &0 � �& � � ��� ' � �'��� � ����? ������ �� ����� &' �� ���� ��� �� ���� �� ������� ����� ����? & � �� ���� �� �� ���� �� ��� �� ��� ����? '��� ���� ���� &' � �( ��� ��( � �
�� & �'���
��0"� ������ ) ��� 1 � ����? ��� ���� ������ �� ��������� ����?� ��� �� ��� ��+� ���) � ��� �� � ��� 1 � ��� �� �� ����(��� ) 1 � ��� �� � �� ����� )1 � ��� �� � ������ �) � ��� ��� �� ���� � �) � � ��� � � �� �� �� ��� ���������� � ����
2> '6:;5<' $ 0'�<3�;� @�7'8� *
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
2. Algebra of Matrices Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
�.@��. !� �:;;(����!&�+ ���?(��.
��!&! ��� � � �.)� .*� � � �� ����� � ����% � ���� ��� .)�.*� � � � �
���$� �� ��2� )/� *4���1�� ��� �)4� 1� �)*� )��� �� ��4��*4� ))� �.� �>���4�
���0� �� ��4� )1� �=��*.�� �*)� )/2��=.� �)4��*.2� *=>�A��� �2��)2� */� .� >/��2=�� �*)� )/2��=.A �)4��*.2� *=>�
���2� �� �4��>� �=� **�� ��))� �.� 24��)/>����� �))��=� )4� �4� 2����=�� �)2� �2��2� )/��=.� >=�� �� ��� ����
���9� �� �)� �� *��1�� �2��>� /� 4�� �2��2� )/��1/�
����� �� ��)����� ).� 1� )4� /�� ��� ��2��**� 1� 2� ))�����)*� ).���� �))��)*� /��2� �)2� 2� .� 1�� ��� �=� =�� ��� �))� =�� � � � ��� ����
����� �� �)� /� �)� �� *� 1�� ��� �1� /���� �4��>� )*� 1��.� >9� �� ��� ����
����� �*� 1� >� �)��*����
����� �)� *� �� 1�� ��)� �*� ��� �1�� �)� *� �� 1�
���2� �� *��>��)� ���� � �2� ��� )� )��)� ���� � )� �� ��� ����
���9� �� ��))��)2A =��)1�� ��>4� 1/� �*1��2=�� ��� ��2/� 4/� �1*��1>�� ���� � /
����� �� �)1� 1� �*� �1�� �>/��2*� *>��*///�� ��� � ��� � /� ��1� )/� �2� 1>�
����� � � �*� ��
����� ����1� �2� 4�� �� 2*� �*A *��)�� ��� ����� �)�� *
�A *�� 2
��
����� �)� )��)� *��2� �� �)� *��)�� �)� )� /� �)���� )� �)��1� )�
����� � � �)� *� )� *�� � � �/� /� )� )�� � � �*� *� /� /�
���"� � � �)� *� /� ��� � � �1� �� �� /�
���$� �� % ��2 D� 8���� *�1.
���0� �� �� � ��� �*��)/� /�� �* � ��� �)� 1� =�� �* � ��� �1� *2� /������ � ��� � ��� �*� =� ).�� �� ��) � ��� �)� )
*�� )
��� ��) ��� ��� %���
���2� �� �)� *�� /� )�� ��� �)� �� )*��� � )�� /� )� �� /� /� )�
��"9� �� �*� �� /� 2�� ��*���� /��2�� �*��4� /� 2�� ��*� 4� /� 2�� ��� ���
��"�� �� � � *� ��� � � �2� �� ���
��"�� �)� /� *� ��
��"�� �)� *� )� /� �� )� /� /� *�
�7'8� *9 '6:;5<' $ 0'�<3�;� 24
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
2. Algebra of Matrices Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��"�� '�� ���� ���� �� ��� ���� ���� � / �� � ��� ���� ���� ��� ��� ��� ���� ���� ���� � ) �� � ���,��� ���� �� . �*��� ��� *> �*���)��*�� �� *� �*����)��*��
��""� �� � � �)� )� /� /�� � � �)� *� �� 1�� � � �1� >� /� /�
��"$� �� � � 1� � � )� � � �� ��� � � /� � � �>� � ��� �� ����
��"0� �� % ��2 6� � � )*�� �� � ��� � � )
*�� � �� �
��"2� � � �1� �� �� ��� � � �/� *� �*� /�
��$�� �� ��2� � 1
2A 1
2� �29� ��� �)�
2�
� *� 2
�� *�
2
�� �)�
2� �
��$�� �� �)� )1
�� *�
)1
�� ��
)1
�A /��*�
)��
� �� )�
�A )*�
)24
�� ���
)24�
� �*� )24
� ���� �)�
))�
� �� ))
�� )�
))
�� )�
*
�� /��)�
*�
� �� **
�� �*�
**�
� �� **
� �
��$�� ���
��$�� � � �� � � /� � � �
��$$� �� % ��2 6� � � )*�� �% � ��� � � )
*�� � �% �
��$0� �����
��09� �
��0�� �� &' � ��� ��4� >� )4� )/�� ��)� =� 4��2�� ��� ��� �� ��
��0�� �( ��� ���� ��� ��� ����� ��� ���������A�( ��� ���� ����� ��� ���� ��� ��������� ��� ���� ����� ��� ���� ��� ���������A�( � ����� F �� ���� ���������� �� � �� ��������
��0�� �� ) * � ��� ��1�� �=� .� 1� =�� �=���)� � ��� ��.�� �*2� 11� **� *2�� �*4��
��� ) * � ��� ���� 1� .� ))�� �=� )*� *1� ����)� � ��� ��))� )2� �/� 1)�� �24� 4.� )2>� *)���
��0�� �� ��� ��4�� �.� *1� )*� .�� �)>��� ��� ��� ��*� .� )>� ).)9� �.� */A 1/� 1.)��
2. '6:;5<' $ 0'�<3�;� @�7'8� *
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
3. Systems of Linear Equations
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
������� �
�� �� �� ��� �����������
��� ����������
������� �� ��� �������� ��� �� ��� ���� ��� �������� �� � ��� ������� �� ��� ���� �� ������� ���� � ����� � ��� ���� � ����� �� ����� ��� ������ �� � ������ �� ��� ��������� ������� ��������� �� ������ � ��� ������ � �� ������� �� ���� ��� ���� �� ������ ��� � �� ��� ���� ����� ���� �� ��� ���� ��� ����� � ��� �� ��� ������ ��� ��� �� ���� � ��� � ��� ��� �� ������� ����� ���������
� �� ������� �� ��� �������� ����� ���� � �� ���� ���������� ��� ���������� ��� ���� ���� ���� ���� � �� ��� ����� ��� �� ��� � � ����� �� ��� � ���� ��� � ��� ���� ������� ���� � �� ���� � � � �� ����� �� ���� �� ���� ���� ���� � �� ��� �� ��� ��
��� ���� ����������� ��������
��� ������ ���� ���� �������� ��������� ��� ��� ������� �� ������� �� ��� ��������� �������� ��� ���� �� ����� ���� ������� � �� � ����� ��� �
������ �������� ��� ���������
� ������ ������ � �� ����� �!� �"� � � � � �� � �� ������� ���� ��� �� ��� � ��� ������ ����
�!�! � �"�" � � � � � ���� � � �#�!���� � �!� �"� � � � � ��� ��� � � � ���������� ��� �������� �� � ���� ��� ��������� �� �� � ��� � � ���� ������ �� ��� �� ��� ��������
� ������ �� ��� ��� ������� $#�!% � � �� �� ����� �� ��� �� ����� � � ���������� � ����� ���� ���
�! � �!� �" � �"� � � � � �� � �� � � ��!� �"� � � � � ������� ���� ��� ������ ��������� $������� �� ���������� �� �� �� � ��� �������% � � ��&
�!�! � �"�" � � � � � ���� � �
�� ���� � ���� �� ��� ���� �� �� ��� ��������
'(
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
3. Systems of Linear Equations
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
�� ��!" )������ $#�!% ����� ������� ��� � � �� � �� �� �� ��� �� ������ �� � �� �� ��������� ���� �� � ����� ��� �� � �� ��� �� ������ �� �� � �� �� �� �� ������ ��� �� �� �� �� ��� �� ������ ��� ���� � �� � �� �� �� ������
������� � *����� ��� ������ ��� ������� � �� �� �� ����� �� �� �&
�� "�� #� � +
,� ���� ���� � � '� � � "� � � !� � � ���������� ��� ����� � �'� "� !� � � ������ �� ��� �������� ���� ��
'� "�"� � #�!� � + � '� -� # � + � + � +
�� ��� ���� ����� � � �!� "� #� � ��� � ������� ����� �� ����������� �� �� ��� ��� � � �� ���������&
!� "�"� � #�#� � + � !� -� ( � + � � - � +
�#��� �$ ������ ���������
� ������ �� ��� �������� � � �� �� ��� �������� ��� ��� ���� �� ������ �� �� ���� � ������� �� � ��� �������� �!� �"� � � � � �� � � �� ����� �!� �"� � � � � �� ��� �� ��� � ��� ������ ����
�!!�! � �!"�" � � � � � �!��� � �!
�"!�! � �""�" � � � � � �"��� � �" �#�"����������������������������������������������������
��!�! � ��"�" � � � � � ����� � ��
��� � ��� ��� ��� �� � � ���������� ��� ����� ��� � ��� ��������� �� ��� �� ���� �� � ��� ������� ������ ��� ����� �� � ��� ��� �� �� ��� ������� ���
��� ������ $#�"% � ���� �� �� � $ ���& � �� �% ������� �� � ���� � ���� � �� � � � �� ���� ��� ��� ����� � �� �������� � ���� �� ��� ����� � �� �� ������
��� ������ $#�"% � ��� �� �� ��������� � � ��� �������� �� �� � � .� �� ���� �� � �! � /��" � /� � � � � �� � /� ���� ��� ��� ������ � ��� �� �� ������������ �
� ����� $� � �������� �����% �� ��� ������ $#�"% � � �� �� ����� �� ��� �� ����� � ����������� � ����� � ��� ���� � � ������ �� ���� �� ��� �������� � ��� ������� ��� ��� �� �������� �� ��� ������ � ���� ��� ����� � � ��� ������� ����� �� ��� �������
������� �� *����� ��� ������ ������ �� ��� ��������&
�! � �" � -�# � #�- � '
"�! � #�" � �# � "�- � !
�! � "�" � '�# � -�- � #
�� � � #� - ������ ���� � ��� # �������� � - �� ������ 0��� ��� ������ $�% � ��1� +� !� !� ���$�% � � ��!/� '� !� "� � � ������� �� ��� �������
$�% ��������� ��� ����� �� � ���� �������� �������
�1� +� -�!� � #�!� � ' � �1� +� -� # � ' � ' � '
"��1� � #�+� � !� "�!� � ! � �!+� !1� !� " � ! � ! � !
�1� "�+� � '�!� � -�!� � # � �1� !"� '� - � # � # � #
2��� � � ������ �� ��� ������ ���� � � � ������ �� ���� ��������
$�% ��������� ��� ����� �� � ��� ���� ��������� �������� �������
�!/� '� -�!� � #�"� � ' � �!/� '� -� + � ' � ' � '
"��!/� � #�'� � !� "�"� � ! � �"/� !'� !� - � ! � �1 � !
3�� � � ��� � ������ �� ��� ������� ���� � � ��� � ������ �� ��� ������ �������� $,� �� ��� ���� ����������� � ��� ��� �� � ��������%
+/ �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� :*;�<� #
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
3. Systems of Linear Equations
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��� ������ $#�"% �� ��� �������� � ��� �� �� ��� � �� � � ��� ��� � �� � �������� ��� � ���� �� �� ����� � �� � � ��� �� ������� �� ��� ��� � �� ���� � � ������ ���� �� ���� � � ��� ����� � � ��� �����= ��� �� ���� �� ���� ��� ������ ��� ���� �����
�%���� ���" ������� ��� ��� � � ������ ���� ��� ������ � �� ��� �������� ��� ���� &$% � ����� ������� $% �� ������� � $% �� ����� ����� �� ��������
��� ������� � ���� �� � 5�� #>!� ��� �� �� ����� ���� � ������ �� ���� ���� ���� ��� ������� ������� �� ��� �������� � ��� �� ����� $������ #�-%�
��& ����� ��� ���$'(���� )����(�� �$ � �#���
*����� ���� ��� ���� � ������ $#�"% �� � �������� � � �� ������ ���� � ������ ��� ������������ � ��� ������ ��� ��� ���&
� ��!! �!" � � � �!� �!�"! �"" � � � �"� �"�����������������������������������������! ��" � � � ��� ��
����
���� ��� � �
�!! �!" � � � �!��"! �"" � � � �"����������������������������������! ��" � � � ���
����
����
��� � �� ��� = � � ���� ��� ������� ����� �� ��� ������� ��� ��� ������ ��� = � � ���� ������������ ������
��� ��������� ��� = � � ���� ��� ��� = �� ����������� ���� � ��� ��������� ��� = � ��������� ��� ����� �� ���������� ���� ��=�� � �� � � ���� �� ������.� ��� ��� �� �� �� � � ��� � �������� ��� ����� ����� �� ���������� ��� ��������� ��� = � ��� ��� ��������� ��� = � �� ��������� � )=���� #�" � � �� �����&
� �! ! - # '
" # ! �" !
! " �' - #
��
�� ��� � �
! ! - #
" # ! �"
! " �' -
��
��
�� �=������� � ������� �� � ��� ������ �� � �=���� ��� ���� ���� � ��� ����� �� ����������*�� �� � ������ �� ��� �������� � �������� ���� ���� �� �� ��������� ��� = � � ��� ���
�� ��� ��������� ���� �� �� � �� ������� �� �� ������� �� ��� ������� ��� ���� ����� �� ��� ������� �� ��� ���������� �� �� �� ����� �=���� �� ��� ��� ������ ���� �� ������� �� ������������ �� ��� �������
��&� �*�
*;�<� #? �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� +!
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
3. Systems of Linear Equations
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
�&������� ������ ���������
� ��� ������� � ��� �� �� ��������� � � ��� ���������� � � .� �� ���� �� � � ��� ��� �� �
/�! � /�" � � � � � /�� � � �#�#�
��� ������ �� ���� �� ������� ��� ������� �� ��� ���� �� ��� �������� �� ��������&
$% �� � � /� ���� ��� ������� ��� �� �������
$% �� � � /� ���� ��� � ����� � ��!� �"� � � � � ��� � �� � � �������
��� ������ ���� �� ������
�%���� ���" 6�� � �� � ������ �� ��� �������� ���� ������� � ������ ��� ������� �� ��� ����������� ��
$% �� � � /� ���� ��� ������ � ��� �� �������
$% �� � � /� ���� � ��� �� ������ � �� ��� ������ ������ ������� ��� ������ ��� ����� �������
<� � $% ����� � �� ��� ���� ���� ��� ������ ��� ������� ��� �� ������� �� ��� ������ ��� �� �������<� � $% ����� � �� ��� ���� ���� ��� � ������ � �� � � ������ �� ��� ������ ��� ��������
������& �!��+� �� � �����&������� ������ ��������
3�� �� � �� � ��������� ��� ��� �������� ��� ����� ��� � �� � �� ��� ���������� �� � � � ���.� �� @� ��� ������� ������ �� �� �� ���� ��� � �� �� ���� � � ��� � ���.� � ���������� 5� �=����� �# ��� � � � ��� ����� �� ������ ���������� � ��� ��������
/�! � /�" � '�# � +�- � /�' � 1�+ � A ��� /�� "�� -� � '
,� � ������� ��� �� �� ��� .� � ����������� �� ��� ����� �������� ���� �� � ���� ��
'�# � +�- � 1�+ � A ��� "�� -� � '
�� ���� � ����� ��� ����� �� ���� ����� � � ���
��� �,�-����� �.���)�� ���)�����. �/��������
*����� ��� ������ $#�"% �� � ��� �������� � � �� ������ 6�� � �� ��� ��� ������� ��������� ������� ��� � �������� �� ��������� �!� �"� � � � � ��� ���������� ��� ���� ����� ��� ��������������� ��������� �� � �� ��� ������ ��� �������&
��!�!! � � � � � ����!��! � � � � � ��!�!� � � � � � �������� � �!�! � � � � � ����
���� � � ���� � ������ ���������� �� ��� �������� � ��� ������� ��� ��� ���� ���� $< ���� #�-#%���� ��� ������ �� ��� ������ $#�"% � ��� � ������ �� ��� ��� ��������� ��
+" �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� :*;�<� #
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
3. Systems of Linear Equations
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
������� �� 6�� �!� �"� �# ������� ���������� ��� �� �� �������� � )=���� #�"� 6�� � �� ��� ������� ������� ��
������� �!� �"� �# �� #��"� -� ��������� ��� ���� ������ 3�����
#�!� #�! � #�" � !"�# � (�- � !'
�"�"� �-�! � +�" � "�# � -�- � �"
-�!� -�! � 1�" � "/�# � !+�- � !"
����� �� #�! � '�" � !/�# � "(�- � "'
���� � � � ��� ��������� �� �!� �"� �#� �� �=������� ��� ������ � ��1� +� !� !� �� ��� ������ � ��� ������� �� �� ���� �� ���������� � �� �� ����� � � �� ���������&
#��1� � '�+� � !/�!� � "(�!� � "' � �"-� #/� !/� "( � "' � ( � (
��� ������ ���� �� �����
�%���� ���" ��� ������� �� ��� �������� ���� ��� ���� ������� � ��� ��� � ���� ������� ����� ������ � � ��� ��������� �� ��� �������� � ��� ���� �������
��� ������� �� ��� �������� � � ��� �� �� ��� ���� � ���� ���� ��� ���� �������� ��� ��=���������� ����� ��� ��� �� ����� �������� ������� �� ��� ���������
��� �����# �0��������
��� ������ ��� ����� �� � ������ �� ��� �������� �!� �"� � � � � �� � � ���� ����������������� �
�)! ���� ������ ��� �� ��� ��������� ,� ������ ���� ��� �������� �� ��� �� � � ��� ������� ��� ���&
BB���� ������ �� ��� ��CC � BB�� �� ��CC
�)" 7����� �� ������� �� � ���.� � ����� �� ����� ,� ������ ���� ������� �� � ������ �� ���
$��� � � � /% �� � ���
BB7����� �� �� ���CC � BB��� � ��CC
�)# 7����� �� ������� �� ��� ��� �� � ����� �� ������ ������� ��� ����� ,� ������ ����������� �� � ������ �� ��� ��� �� ��� ��� �� �� � ���&
BB7����� �� �� ��� � ��CC � BB��� � �� � ��CC
��� � �� � � �)" ��� �)# ��� �� ��� �� BB ������CC�
��� ��� � ��� �� �� ��� ����� ������� � ��� ����� � �������� � ��� ������ ���� �� $� ���� �< ���� #�-'%�
�%���� ��1" ������� � ������ �� � �� ��� �������� � ������� � �� � ������ � �� ��� �������� �� � ���� �������� �� ������� � ��� ������ ���� � ��� � ���� ��� ������������
�� ��!" �������� $��� �� ���� � ������ ���� � ��� ���� ���� � � � ����� �% �� ��� �����)" ��� �)# � ��� ����� ���� �� �� ��� ���� ��� ������ ��� ����&
�) 7����� ������� �� �� ��� ��� �� ��� ��� � �� $��� � � � /%� � ����
BB7����� �� �� ��� � � ��CC � BB��� � � �� � ��CC
,� ������.� ���� � ��� ����� �)# ��� :)?� ��� ������� �� � ��������
*;�<� #? �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� +#
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
3. Systems of Linear Equations
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
D������ �������� �� ��� ������ �� ����� ��� ������ �� � ���� ������ �� ��� ��������� ������� �� ���� ��� ����� ��� ����� �� � ����� � � ���� ������ ��� �� �������������� ����� ������ ��� �� ���� ��������
��� ����� �� D������ ������� � � �������� � ���������� ��������
��1 �)��� �,��� �.���)� �� ������ �,������
��� ������ ������ � ��� ����� ���� �� ��� ������� � ��� �� ����� ��� ��� �������� � ����� ������ ����� ���� ������� � � � ����� ���� ���� ���� ��� ������ ���� ��� �� ���� ��������� ���� ��� ��� � ��� ��� ������� ��� ���� � �����
������ �������� �� ��� �!��+�
��� ������ ���� ���� ���� � � ���� � < ���� #�'�
�%���� ��1" *����� ��� ��� ������� �� � ��
$% �� � � /� ���� � � ��� � � ����� ������ �� �� � ��
$% �� � � /� ��� � � /� ���� �� � � ��� �� �������
$% �� � � / ��� � � /� ���� ��� � ���� � � � ������ �� �� � ��
������� �� ����&
$�% -�� ! � �� +� $�% "�� '� � � �� #� $�% -� �� # � "�� !� ��
$�% 7�� �� ��� ������� � ������ � �� � ������� #� � A� ���� � � A#� ��� ����� ������ :���� �� #�-$%?�
$�% 7�� �� ��� ������� � ������ � �� �� ������� /� � 1� ��� ������� ��� �� ������ :���� �� #�-$%?�
$�% 7�� �� ��� ������� � ������ � �� �� ������� /� � /� ���� ��� � ���� � � � ������ :���� �� #�-$%?�
�#��� �$ �+� ������ ��������� �� �+� �!��+�� 2�� � �#��� 3
*����� � ������ �� ��� ��������� ��� ��� �������� � ��� �� ����� � ��� �� ���� ��� �� ���� ��� ������ � �� �
�!�� �!� � !!
�"�� �"� � !"
�#�-�
���� ��� �������� � � ��������� ���� �! ��� �! � � ��� ���� .� �� ��� �" ��� �" � � ��� ���� .� ����� ���� � ������ �� ��� ������ $#�-% ������ �� ��� �� �� �� ����� �� ������� � 5�� #>!� �� � �
��� ��� �� ���� �� ���� ��� � ��� �� ���� ������� � � �� � ��� ���� �" ��� ��� �� �� ����� ��� ������ ��� ������ ��� �� ���� �� � 5�� #>"� ��������&
$!% "�� � �� �� ������ ��� ������;� � ��� ��� ��� ��� ���� � ��� ���� :5�� #>"$�%?� ��� ���� � ���� ��� ��� ���� ������ ������ � ���������� ���� ��� ���������� �� � ��� � � � ��� � ��� ����&
�!
�"
� �!
�"
� � ���������� �!�" � �"�! � /
5� �=����� � 5�� #>"$�%� !�# � �!�"�
+- �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� :*;�<� #
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
3. Systems of Linear Equations
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
$"% "�� � �� �� �� ������;� � ��� ��� ��� � � �� �� :5�� #>"$�%?� ��� ���� � ���� ��� ��� ���� ��� ���� ����� ������� ��� � ��� ������ � ����
�!
�"
� �!
�"
� !!
!"
5� �=����� � 5�� #>"$�%� !�" � #�+ � �#�1�
$#% "�� � �� �� �� ������ ����� �� ����� �;� � ��� ��� ��� ������ :5�� #>"$�%?� ��� ���� � ���� ��� ��� ���� ��� ���� ����� ��� ���� ���� ������ � ���� ��� ���������� ��� ��������� � � � ��� �����
�!
�"
� �!
�"
� !!
!"
5� �=����� � 5�� #>"$�%� !�" � "�- � -�1�
�� ��!" ��� ������ �=� ����� ��� �� ���� � ���� � ��������� �� ����� ��&
�! �!
�" �"
�������� � �!�" � �"�!
0��� ������ � �� ������ � *����� (� ���� ��� ������ $#�-% ��� � ����� ������ � ��� ��� � ������� ����� �� �� ���������� � ��� .� �� $,� ���� ��� ���� ��� ��������� � � �� �� ��� ���� � �������� ��� ���������%
��� ������� ��&����%
��� ������ �� ������ $#�-% ��� �� ������� �� ��� � ����� �� �������� ��� ��� �� ����� ��������� �� � ���� ������� � ��� ��� �� ����� ������� ��� ������ ��� � ����� ������� ���������� ��� ��� ��� ��� �� ���
��&� �*�
y
L1
x
L2
0–3 3
–3
3
L x yL x y
1
2
: – = –1: 3 + 2 = 12
6
y
( )b
L1
x
L2
0 3
–3
3
L x yL x y
1
2
: + 3 = 3: 2 + 6 = –8
6
–3
y
( )c
L L1 2and
x0 3
–3
3
L x yL x y
1
2
: + 2 = 4: 2 + 4 = 8
6
–3
*;�<� #? �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� +'
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
3. Systems of Linear Equations
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��&����% ���" ��� ���� ������� �� ��� ��������� ��� ��� �������� �! ��� �" � ��� �� �������� � ����� �������
/��� �� $5� �� � )������% 4���� ���� ������� �� � �������� �� ���� ��� ������ ���������� ����� �� ���� � � �������� �� ���� ���� � ��� ���� ��� ��� ��� �������� �� ����� � ���������� � ���� ��� ��� ��� �� �����
/��� � $@�� >����������% ���� �� ��� �� ���� � ��� ��� ������� � $���� ������� ��� ����� ����%� ��������� ��� ���� �� ��� �� ���� ��� ��� �� ��� � ��� ��������� ��� �������� �� ����� ��� ���� �� ��� ���� �� �����
<� � � �� ��� ��� #�! ��� �� ����� �� ��� ������ ���� � ��� ������ ���� ��� ���� � ������������ �� ���� � ����� ��� ��� ������� � � �� ������ ��� ��� <� � @ � ��� �����
������� � $9���� *���%� ���� ��� ������
�!� "�� #� � �1
�"� #�� -� � '
��� �� ���� � � ������� � �� ��� �������� �� �� ��� ��� ��� ������� � � �#�! � "�"� ���� �� ������� �! �� �# ��� �" �� " ��� ��� ��� ������ �������� �� �����&
�#�!� �+�� (� � "-
"�"� +�� 1� � !/
������ & !A� � #-
,� ��� ���� ��� ��� ������� �� �� ������� � � "� ,� ��������� � � " ��� ��� �� ��� � ��� ��������� ��� �!���� ���� �� ��� ���� �� ���� �� �������
"�� #�"� � �1 � "�� + � 1 � "� � �" � � � �!
���� � � �!� � � "� � ��� �� � ��!� "� � ��� ����� ������ �� ��� ������� ��� ����� ������ � �=����������� "�# � �#�-� :D����� ���� ��� ��� �� �������� �� ��� �������� ��� ���� �� ��� ���� ��!� "��?
������� �� $3������� *����%
$�% ���� ��� ������
�!� �� #� � -
�"� �"�� +� � '
,� ������� � � �� ��� �������� �� ������� �! �� " ��� ����� � �� �"� ���� �� �� �� ��� ��� ���������� � � "�! � �"� ��� ���� ��� ������ ��� �������
/�� /� � !#
���� ��� � ���.� � �������� � � !#� ���� ��� ������� ��� ��� ������ ��� �� ������� ��� � �=������� ����!���"� � �#�+ � -�'� $D����� ���� ��� ��� �� �������� �� ��� �������� � � �� ���%
$�% ���� ��� ������
�!� �� #� � -
�"� �"�� +� � �1
,� ������� � � �� ��� �������� �� ������� �! �� " ��� ����� � �� �"� ���� �� �� �� ��� ��� ���������� � � "�! � �"� ��� ���� ��� ������ ��� �������
/�� /� � /
��� � ��� �������� �� � � ��� .� �� ���� ��� ������ ��� �� ����� ����� �� �������� ���� �� ������ �� ���������� �� ���� �������� ��� � �=������� ���� !���"� � �#�+ � -���1�� $D����� ���� ��� ����� �������� �� ��� �������� �������%
++ �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� :*;�<� #
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
3. Systems of Linear Equations
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
�� ��� ��� ���� � ������� �� � � �� ��� ��������� ��� �! �� �����
�� #� � - � � � #�� -
���� ��� ���� � ������ �� ��� ������ �
� � #�� -� � � � � � �#�� -� ����� � � $���� � ��������% � ��� ���� �
��4 �.���)� �� �����5��� �� ��6���� ���)
��� ��� ������ �� ����� ������� �� ��� ��������� D������ �������� � � ����� � ������#�+� ;� � �� ������ ��� ���� ����� �� ������� �� ��� ��������& ������� � � ����� �� � ��� ����� � ���� � ������� � ������ �� ��
�����&���� ���
*����� ��� ������ ������ �� ��� ��������� ���� � � �������� ����&
"�! � #�" � '�# � "�- � (
'�" � �# � #�- � !
A�# � �- � #
"�- � 1
���� �� ��� � �� �� ���� �! � ��� ����� �� ���� � ��� � �� �������� ��� ������ �� ���� �" � �������� �� ���� � ��� ������ �������� ��� �� ��� ����� � �� ���� � ��� ������ � ���� � ��� ��������� �� ���� � ������� �� ��� ��� �� ��� ����� �� ���� � ��� � ������ ��������
���� � � ����� ������ ����� ��� � ����� ������� ���� ��� �� ������� �� ����# � ��������� �&
$!% 5 �� ���� ��� ��� ������� �� ��� ��� �� ���� �� ��� �- � -�
$"% ���� ��������� ��� ���� �- � - � ��� ��=�>��>��� �������� ��� ���� �� ��� ��=�>��>��� �� �����# �� �����&
A�# � - � # � A�# � A � �# � !
$#% 3�� ��������� �# � ! ��� �- � - � ��� ������ �������� ��� ���� �� ��� ������ �� ���� �" �������&
'�" � !� !" � ! � '�" � !! � ! � '�" � �!/ � �" � �"
$-% 5���� ��������� �" � �"� �# � !� �- � - � ��� � �� �������� ��� ���� �� ��� � �� �� ���� �! �������&
"�! � +� '� 1 � ( � "�! � # � ( � "�! � + � �! � #
���� �! � # � �" � �"� �# � !� �- � -� � � ���������� ��� ����� � �#��"� !� -� � ��� ����� �������� ��� �������
�� ��!� ��� � � �� ��� ����� �� � �� ��� >���������� $���� � �� ���� ���� ����� ������� ���� ��� ��� = �� ���%� 3����� ���� � �� ����� ��� ���� �� ��� ��� �� ����� �� ��������� ������� �� ��� ��� �� ���� � � ��� � ������ �������� ���� � ����� �� ��� ��=�>��>��� �� ����� ������� � � ����� ������ ��� ��� ��� ������� ��� ��� ��� �� ����� 5� �=����� � ��� �����
*;�<� #? �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� +A
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
3. Systems of Linear Equations
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
� ����� ������� �� ��������� �- � - � � ��� � ������ �������� �� ����� ��� � ����� ������
"�! � #�" � '�# � !A
'�" � �# � �!
A�# � A
,� ���� ����� ��� � ����� ���� ��� ��� ��� �������� ��� �� ���
�(%���� ��� � /�7�� ��� ���� -����8���
��� ������ ������ �� ��� �������� � ��� �� �� � ������� ����&
"�! � +�" � �# � -�- � "�' � A
�# � "�- � "�' � '
#�- � (�' � +
���� �� �� ������� � ������ ��� ��� ��� ����� �� ���� � ���� ������� ���� ���� ��� � �� � �� ��� ��� �� ��� ����� �� ���� � ��� � ������ �������� ��� ����� �� ����� � ��� ������� �!� �#� �-� � ����� �� � �� ���� ��� ��� ���� �� ������ �" ��� �'� � � ���� ���� �� �����
D��� �� ���� ��� �� ������� � �� � � � �� �� ������� ���� ��� ��� ������ �� �&
�!!�! � �!"�" � �!#�# � �!-�- � � � � � �!��� � �!�"�"��" � �"��"�!��"�! � � � � � �"��� � �"
��������������������������������������������������
��� � � � � � ����� � ��
�#�-�
��� � ! � �" � � � � � �� ��� �!!� �"�" � � � � � ����� � ��� .� �� ��� �� � �� ���� � � �!� ��"� � � � � ��� � 3���
���� � � ����� ������ ��� �� ��� ������ ������ � ���� ��� � ��� ������ ���� �� $� ���� � < ���� #�!/%�
�%���� ��4" *����� � ������ �� ��� �������� � ������ �� �� ��� ��� � �������� � ��� ������ ��� � � � ��� ������
$% � � �� ���� �� ��� � � � �� ���� �������� �� �� ����� $� ����� �� �%� ���� ��������� ��� � ����� �������
$% � � �� ���� �� ��� � � � �� � �� ����� ���� ��������� ���� �� ��� � �� � ������ ����� �� ��� �� � � �� �� ���� ��� ���� ������ �� ��� � ���� �� ������������ � ������ �� ��� �������
������� �� ������ ������ ���� ������ �� � �� ����� ���� ��������� ������� ��� ��� � ������� ��� ������ ��� �� ����� ����� �� �������� ���� ���� �� ��� �� � � �� �� ���� ��� ��������� ��� ���� �
��� ���� � ������ �� � ������ ��� � �� �� ���� ��� �� ���� ��� � ���� �� ��� �������� ��������� �� ��� ��� ���� ��� ����� ������ ������ ��� � ��� � � � � � # �������� ��� � � ' �� ��������� ���� ���� � ���� ��� BB<� ���� � 5� �CC �� ��� ������� ��� ��� ���� ���� ���� � ���� ���BB5 ��>E� ��� 5� �CC�
/��� ����( ���
����� � �� � � ������ ���� �������� � �� ��� � �� �� ���� �" ��� �'� ��� �" � � ��� �' � �� ������� ��� ��� >���������� �� ����� ����� �� ��� ���� �� ���� �!� �#� �' � �� �� �� ��� �� ����� � � ����� ��������&
+1 �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� :*;�<� #
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
3. Systems of Linear Equations
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
$!% ��������� �' � � � ��� ��� �������� ��� ���� �� �-&
#�- � (� � + � #�- � +� (� � �- � "� #�
$"% ��������� �- � "� #� ��� �' � � ��� ��� ������ �������� ��� ���� �� �#&
�# � "�"� #�� � "� � ' � �# � -� 1� � ' � �# � !� 1�
$#% ��������� �" � �� �# � !� 1�� �- � "� #�� �' � � ��� ��� � �� �������� ��� ���� �� �!&
"�! � +�� �!� 1�� � -�"� #�� � "� � A � �! � -� #�� (�
���� ����� ��� ���� � ������ � ��������� ���� �
�! � -� #�� (�� �" � �� �# � !� 1�� �- � "� #�� �' � �
� � ����������
� � �-� #�� (�� �� !� 1�� "� #�� ����� � � ��� � � � � �� � � ����� ��
����*-����8�� ���
9�� ��� >���������� �� ���� �� ��� ���� �� ���� �!� �#� �- � ���� � �� �� �� ��� � �� �� ���� �"��� �'� ���� �� ��� ��� ������� ���� �- � "� #�'� ���������� � ��� ������ ������� �����# � !� 1�'� ��� ���� ���������� � ��� � �� ������� ���� �! � -� #�" � (�'� ���� �����
�! � -� #�" � (�'� �" � � �� �� ���� �# � !� 1�'� �- � "� #�'� �' � � �� �� ���
� � ����������
� � �-� #�" � (�'� �"� !� 1�'� "� #�'� �'�� ��� ����# ������� ���� �� ��� ���� � ������ �� ��� �������
,� ������.� ���� ��� � � �� ���� ���� ������� ��� ����� ��� �� �� �� ��� ���� � ������� ��� ������ �� ��� � ��� ���� �� �� ����� ��� ���� � ������ � ���� � ����� �� ������
�� ��!" � �� ���� ������ �� ��� ����� ������ ��� �� ����� �� ������� ��� ����� �� ��� � ���� ���� ��� ���� ����� �� ��� ���� �� ���� �� ��� >����������� 5� �=����� ������ �" � ! ����' � !� �� �����
�- � "� # � '� �# � !� 1 � �A� �! � -� #� ( � �1
���� � ��1��!� A� '� !� � ��� �� ���� ������ �� �������� �� �" � ! ��� �' � !�
��9 5������ ���)�������
��� ��� ������ �� ����� ��� ���� � ������ $#�"% �� ��� �������� � ���� $� �������������� �� �������� ������� �� ��� �� ��&
/��� �� $5� �� � )������% ����>��>���� ������� �� ��� ������ ����� ���� � ������ ��� ���������� �� ������ $���� ������� ��� ������ ��� �� ������% � �� �������� ���� ������ �� ����� � ������ �� ��
/��� � $@�� �� � )������% ����>��>���� ��� >���������� �� ��� ��� ������ �� ��� ���� �������
*;�<� #? �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� +(
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
3. Systems of Linear Equations
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
<� � @ ��� � ���� ���� ���������� � ������ #�-� ���� ����� �� ���� ��� ��� ��� ��� ��� �� <� � �� ���� � �� ������
��&����% ��� $�� 2/��� �3"
��0��" ��� �� � ������ $#�"% �� ��� ���������
��� ������� ���0" 5�� ��� � �� �� ���� � ��� ������ ��� � ���.� � ��������� $���� ��� ���� ���!%�
$�% � ���� �� ���� �!! � /� ���� �� � ������� �� ��� ������ �������� �� ���� ��� � �� �� ���� �!����� � ��� � ���.� � ��������� � ��� � �� ��������
$�% 9�� �!! � � �� � �� ������ �! � �� � �������� �=���� ��� � �� �������� ���� �� �� � � !&
�!� ��� � � ���!��!!� �"� 7����� �� �� ��! � ��
��� ������ ��� ��� ��� ������ �� �&
�!!�! � �!"�" � �!#�# � � � � � �!��� � �!�"�"��" � � � � � �"��� � �"������������������������������������������"
��" � � � � � ����� � ��
��� � �! ���� ��� ����� � ��� ������� �=���� ��� � ��� �!! � /� ��� ��" ������� ��� � �� �� ������� � ���.� � ��������� � ��� ������� ���� ���� ��� � ���
$�% )=���� ���� ��� ������� ��
$!% �� � ��� ��� �� � /�! � /�" � � � � � /�� � � ��� � � /� ����
���<
��� ������ � ����� � �� ��� ��� �� �������
$"% �� � ��� ��� �� � /�! � /�" � � � � � /�� � / � � � � � ����� �� ������ �������� ���� ������ � �� ��� �������
��(������ ���0" 7����� ��� )������ ���� ��� ���� ��� BB���� CC ��������� �� ��� �� � ����������� �=����� ��� � �� ��������
���0��" 5���� ��� ������ � ������ �� � ����� � ������ �� �� � � ������ ��� ������� ��� �������� � ������� ������� �� ���������� �������
��� ��=� ��� � ��� �� ��� )������ ���� � ��� ��� #�"�
$!% ��� ������ ����� � � $�% � ���� ��� ��������&
� � � ��!
�!!� � ��������� �� �� ������
����
$"% ��� ���� ��� ������ ���� ��� ������ ��� ���� � $�%&
7����� �� �� � ��!�! � �!!��
��� ���� ���� � ������ � � ��� ���� � �� � � ���� ����� ��
A/ �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� :*;�<� #
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
3. Systems of Linear Equations
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
5������� ��� ������� �:� 0��
;� � �� ��� ��� � ���� D������ ������� ���� ��� ������ ������ �� ��� ��������&
�!� �� #�� "� � +
�"� "�� -�� #� � 1
�#� �#�� +�� 1� � �'
%�� �& ,� ��� ��� ��������� ! �� � � ��� � �� ������� �! �� ��� ���� � � �� �� ������ � � �� ��������� ������� �" ��� � �� ��� �� � ������� �#� ��� � ���������� �� �����&
$!% 4���� �! �� ��� ����� � � �" ��� ��� � �� �"F ���� �� BB7����� �" �� �"�! � �"CC�
$"% 4���� �! �� ��� ����� � � # ��� ��� � �� �#F ���� �� BB7����� �# �� #�! � �#CC�
����� ����� ���
��"��!� �"�� +�� -� � �!"
�"� "�� -�� #� � 1
3�� �"� "�� � � �-
#�!� #�� (�� +� � !1
�#� �#�� +�� 1� � �'
3�� �#� "�� � � �-
���� ��� � ��� ������ � ������ �� ��� ������ ������&
�!� �� #�� "� � +
�"� "�� � � �-
�#� �#�� "� � !#
$3��� ���� ��� �������� �" ��� �# �� � � ��������� ��� ��� ��� ������� ��� ��� ��� �� ���� ���� ���� ��� �������%
3�=� �� ��� ��� ��������� " �� � � ��� $���% ������ ������� �" �� ��� ���� � � �� �� ������ �� �� ��� $���% �� � ������� �#� ��� � ���������� �� �����&
$#% 4���� �" �� ��� ����� � � #"��� ����� � �� �#F ���� �� BB7����� �# �� #
"�" � �#CC
$��� ������ BB7����� �# �� #�" � "�#CC� ���� � ���� � ������%�
��� ���� ����
#"�"� #�� #
"� � �+
�#� �#�� "� � !#
3�� �#�A"� � A
�
#�"� +�� #� � �!"
"�#� �+�� -� � "+
3�� �#� A� � !-
���� �� ������ � ������ �� ��� ������ ������&
�!� �� #�� "� � +
�"� "�� � � �-
�#� A� � !- �� A"� � A�
��� ������ � ��� � � ����� �� �� �� <� � � � ���������
%�� �& ��� ����� �� ��� �� ����� � � ������� � ��� �� � �� � �� �� �� �� ��� >�������������������&
$!% ���� �� � � �# �� ��� � � "�
$"% ��������� � � " � �"� ��� ���� �� � �� ��� � � �#�
$#% ��������� � � �# ��� � � " � �!� ��� ���� �� � �� ��� � � !�
���� ��� ������ �� ��� � ����� ������ ��� ����� ��� � ��� ������ � �� �����&
� � !� � � �#� � � " � � ���������� � �!��#� "��
*;�<� #? �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� A!
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
3. Systems of Linear Equations
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��������� ��� ��
��� D������ ������� ��� ��� ������ �� ��� ������� �� ��� ��������� �������� �� ������� �=������ ������� �� ���� �� ��� �������� �� ������� � BB��������� �� ���CC� ��� �� ��� �� ��������� �� ��� ����� ������ �����&
3���� )������ ��� ����
�!� �� #�� "� � +
�"� "�� -�� #� � 1
�#� �#�� +�� 1� � �'
�" � "�� � � �- 7����� �" �� �"�! � �"
�# � � #�� "� � !# 7����� �# �� #�! � �#
�# � A� � !- 7����� �# �� #�" � "�#
���� �� � �� �� � �� ���� ��� ����� �� ���� �� ��� � ��� ��������� �� �� ���� ��� D������������� ��� ��� �� ��� ������� �� ��� � �� ���� ��� ��� ��������� ��� �� ��� ���� ���������� ���� ��� ���� ����� �� ��� � ��� �� �������� �������� ��� ��� �� ����� � ��� $���� ���� ��� �������� �� � ������� �� ��� ������ �� ������ ��� ������� � ��� ���� ���� ����� ������ ��������%
��� ������ � � ����� �� � ������� �� �������� $!%� �" �� ��� �# �� ��� ����� � ��� ��� � ��������� �� � ���� ������ ��� >���������� �� ����� �������� ���� ���� � � !� � � �#� � � "�
�� ��!" �� ��� �������� ���� �� �� ��� �������� ��� �� ����� � ���.� � ��������� �� � ��������� ��� � ���� ���������� � ��� �� ��� �� ���� ������ �� ��� ��� �������� ���� ����������� ��� ��������
������� �� ���� ��� ������ ������& �� "�� #� � !
"�� '�� 1� � -
#�� 1�� !#� � A
,� ���� ��� ������ �� D������ ��������
%�� �& $5� �� � )������% ,� ��� ��� ��������� ! �� � � ��� � �� ������� �! �� ��� ���� � � �� �������� � � �� ��� ������ ������� �" ��� � �� ��� �� � ������� �#� ��� � ���������� �� �����&
$!% 4���� �! �� ��� ����� � � �" ��� ��� � �� �"F ���� �� BB7����� �" �� �"�! � �"CC�
$"% 4���� �! �� ��� ����� � � �# ��� ��� � �� �#F ���� �� BB7����� �# �� �#�! � �#CC�
��� ��� ����� ���
�� "�� #� � !
�� "� � "
"�� -� � -
� �� "�� #� � !
�� "� � "
$��� �� � ������� � ������� ���� � � � ����� �� ��� ������ ��������% ��� ������ � ��� � ������ �� � ���� �� �� ��� ��
%�� �& $@�� �� � )������% �� ����� ��� ���� � ������� �� ��� � �� �� ��� � � �� ��� ���� �� � ��� � ����� >����������� ��������� � � � � ��� ������ ������� �� ����� � � "� "�� ���� ��������� � � � ��� � � "� "���� ��� � �� ������� �� �����
�� "�"� "�� � #� � ! � �� -� -�� #� � ! � � � �#� �
���� ��� ������ � ��� ���� � ������ ��� � � � � �� ����� &
� � �#� �� � � "� "�� � � � � � ��#� �� "� "�� ��
A" �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� :*;�<� #
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
3. Systems of Linear Equations
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
������� �� ���� ��� ������ ������&
�! � #�" � "�# � '�- � -
"�! � 1�" � �# � (�- � (
#�! � '�" � !"�# � !A�- � A
,� ��� D������ ��������
%�� �& $5� �� � )������% ,� ��� ��� ��������� ! �� �! � ��� � �� ������� �! �� ��� ���� � � �� �������� �! � �� ��� ������ ������� �" ��� � �� ��� �� � ������� �#� ��� � ���������� �� ��� ��������� �����&
$!% BB7����� �" �� �"�! � �"CC ��� $"% BB7����� �# �� �#�! � �#CC
����� ���&
�! � #�" � "�# � '�- � -
"�" � #�# � �- � !
� -�" � +�# � "�- � �'
,� ��� ��� ��� ��������� " �� �" � ��� ������ ������� �" �� ��� ���� ��� ��� ����� � � " � � �� �������� �" � �� ��� �� � ������� �#� ��� � ���������� �� ��� ��� ���� BB7����� �# �� "�" � �#CC� ���� �������� ��� ������ ��� �������
/�! � /�" � /�# � /�- � �#
��� ������� ���� ������ ��� � ��� ������ ���� �� ������&
0� 3�� *�3��39)
�� ��! �" �� � ��� ����� �=������ <� � � �� D������ ������� ��� �� ������ � ��� ��������� ��� � ������� ���� �� ������ � ��� ��� ������ � ���������� ���� ����� <� � @ ���� ���� ������� ���� � ������ ��� �� �������
�� ��! �" �� � ������ �� ��� �������� ��� �� � ���� ��� �� ����� ��� ��� ��������� ���� ���� �� �� � ��������� �� ��� ��� ��� = �� ��� �� ����� ��� ������� ��� ��� = �� ��� � ����������� �
��; ��6���� )�������� ��< ��������� ���)� ��< �,�-������
��� ��� �� ���� � ������ �� ��� �������� � �� �� �� ��� �� ��������� ��� = � ���� ������� ������ ����� ��� ������ �� ������ ��� ������� � ��� = �������� �� ���� � ��������� �������������� ���� �� ������ ��� ��� ��� ������� � �� ��� ������ � � ��� �� ���������� ��� ����
�(%���� )����(��
� ��� = � � ���� �� ������� ������ � � ��� �� �� � ������� ����� � ��� ������ ��� ����������� $��� � � ������� ������� ������ �� � �� �� � � ��� � �� ���.� � ������ � ��� ��%&
$!% � .� � ���� � ���� � � �� ��� ������ �� ��� ��� =�
$"% )��� ����� ���.� � ��� � � � �� � �� ��� ��� �� ��� ����� ���.� � ��� � � ��� � ������ ���
*;�<� #? �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� A#
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
3. Systems of Linear Equations
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
���� �� � � ���� � �� ������ ��� = � ��� � �=�� ���.� � ��� ��
�!�!� �"�" � � � � � ����� ��� � �! � �" � � � � � ��
��� ��� � ��� �� ����
��� � / �� �� � � �� � � ���� � � �
�
��� ��� �� �!�! � �"�" � � � � � ����� ���� � � ��� ����� ���.� � ������� � ��� �������� ���� � � ����
��� �� � �� ��� ������ ��� =�
������� �� ��� ������ � �� ������ ��� = ����� ����� ���� ���� � ���&
� �
/ " # - ' ( / A
/ / / # - ! " '
/ / / / / ' A "
/ / / / / / 1 +
/ / / / / / / /
������
������
���� �� ���� ��� ����� � � � ������ !"�!-�!+�!A� ��� ���� � �� ��� ��� �� ��� ��� ������ 9��� ��� ������������� ��� ����� � �
�!�! � "� �"�" � #� �#�# � '� �-�- � 1
��� � �! � "� �" � -� �# � +� �- � A� ;� � � � -�
��+ ������(�� ���
� ��� = � � ��� �� �� � ��� ��������� ���� � � � �� ������ ��� =� ���� �� � � ������� ��� ������ ��� ��� $!% ��� $"%� ��� � � ������� ��� ������ ������� ��� � ��� ���&
$#% )��� ���� $����� ���.� � ��� �% � ���� �� !�
$-% )��� ���� � ��� ��� ���.� � ��� � � �� ������
��� ���� ���� ���� ������� �� ������ ��� = ��� � ��� = � �� ������� �� � � ���� � �������� ��� = ��� � ���� �� .� �� ���� ��� ����� :< ��� ��� $!% ��� $"%?� ��� � � ��� = � ��������� �� �� ���� ���� ���� ��� ���� ! :< ��� �� $#%? ��� ��� � ���� ��� �� .� �� ����� ��� �����:< ��� �� $-%?�
��� .� � ��� = / �� ��� �.� ��� ��� ������ ��� = ' �� ��� �.� � � ��� ���� ����� �=����� ����� ��� � �� ������� �� ��
������� �� ��� ������ � � ������ ��� ��� ����� ����� ���� ���� � ���&
" # " / - ' �+
/ / ! ! �# " /
/ / / / / + "
/ / / / / / /
����
�����
! " #
/ / !
/ / /
��
���
/ ! # / / -
/ / / ! / �#
/ / / / ! "
��
��
��� �� � ��� = � ��� �� �=���� �� � ��� = � �� ������� �� �� ��� ������ ��� = � ��� � �� ��������� �� ���� � ���� ��� ������ � ��� �� $-%� ���� �� ��� � � � ���.� � ��� � ����� ��� ������ ���� � ��� �� � ��������� � �� ��� = � ��� � �� ������� �� �� ���� � ������� ����� � ��� �� $#% �� � ��� �� $-%� ���� �� ���� ������ � ��� ���� �� ! ��� ��� � � � ���.� � ��� �� ����� ��� ������
A- �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� :*;�<� #
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
3. Systems of Linear Equations
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��� �����# ��+ �0��������
������� � � � ��� = ��� ��� (!�("� � � � �(�� ��� ������ ��� ����� �� � � � ���� ������������ �������� �
�)! $7�� ���� ������%& ���� ������ ��� (� ��� (�� ��� ��� �� � ���� ��
BB���� ������ (� ��� (�CC � BB(� �� (�CC
�)" $7�� �����%& 7����� �� (� �� � ���.� � ����� �(� �� ����� ��� ��� �� � ���� ��
BB7����� (� �� �(� �� � /�CC � BB�(� � (�CC
�)# $7�� ������%& 7����� �� (� �� ��� ��� �� � ����� �(� �� � �� (� ��� ����� ��� ��� ��� ���� ��
BB7����� (� �� �(� � (�CC � BB�(� � (� � (�CC
��� � �� � � )" ��� )# ��� �� ��� �� BB ������CC�
�������� $��� �� ���� � ������ ���� � ��� ���� ���� � � � ����� �% �� ��� ���� �)" ��� �)#� ��� ����� ���� �� �� ��� ���� ��� ������ ��� ����&
�) 7����� (� �� ��� ��� �� � ����� �(� �� � �� (� ��� � ���.� � ����� � (� �� ����� ��� ��� ��� ���� ��
BB7����� (� �� �(� � � (� �� � /�CC � BB�(� � � (� � (�CC
,� ������.� ���� � ��� ����� �)# ��� :)? ��� �� (� � ��������
��+ ����7����(�� ���! �$ � )����:
� ��� = � � ��� �� �� ��� ��� ���� �� � ��� = �� � ����
� � �
� � ��� �� ������� � �� � �� � �������� �� ������� � �� ��� ������ �� ��� ���� ���� � � ��� �������� ��� =� � � ���� �� ������� ���� �� ��
��� ������ � � ��� ���� ����� �� �� ����������
�%���� ��9" ������� � � ���� ��� � � ���� � � �� �������� ������ ��� ��� ��� �������� ������� ��
�!�! � �"�"� � � � ������� �!�!� �"�"� � � � � �
���� � ��� � ���� ��� ���� ����� �� ���.� � ���� ���� �� � � � ��� ��� ���� ��� ��� � � ��� ���� �������� ���� �� �! � �!� �" � �"� � � � � �� � ���
�%���� ��;" )�� � ��� = � � �� �������� �� � ����� ��� = � �� ������� �� ��
��� � ���� �� ��� ����� ���� ��� � �� ��������� �� *����� -� ��� ����� ��� = � ���� �� #�A ����� ��� ��� ��������� ���� �� ��
9��� ��� ����� ���� ���� �� ��� ��� ��� �� � �� ������� �� ��� �� �� � ��� =�
�'������" ��� ���� �� � ��� = �� � ���� �� ���� � ���� �� ��� ����� �� ����� � �� ������ �� ��� ��
��� �� � � �� � ��� ���� � ��� �� �� � ��� = ���� �������� �� ��� �����=� � ���� ������ = � ����� � � �� ������ � ���� ���� ��� ����� �� ��� ��� � ��� �������� ��� �� ������� ����� �
*;�<� #? �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� A'
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
3. Systems of Linear Equations
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��� ��=� ������ ���� ��� ��� = �� ��� �� D������ �������� ���� ���� �� ������ �� � �� ������ = � $��� ����� ��� �� �� �%� ��� ��� ���� ��� �� ������� �� � �� ��
��� ��� ���� ���� �� ��������� � �� ��� ������ �������� ���� �&
$!% � � � �� ��� ��� = ��
$"% �� � � �� ���� � � ��
$#% �� � � � ��� � � !� ���� � � !�
< ��� �� $"% ����� � �� ��� ���� ���� ���� ������� � �� ��� ���� ��� �� ��� �� ��� ���� �� ��� ��������� 3����&
$% BB���� ������ (� ��� (�CC � �� ��� ��� ���
$% BB7����� (� �� �(�CC ��� BB7����� (� �� �!���(�CC � � ��� ����
$% BB7����� (� �� �(� � (�CC ��� BB7����� (� �� ��(� � (�CC � � ��� ����
��� � � � ��� ���� �� ��� ���� :)? $< ���� #�A#%�
��= 5������ ���)�������� )����> ���)������
��� ������ ���� ��� ��� = ��� ���� ���� �������� ��� ������&
$!% ��� ��� #�# � ����� �� ��� ��� = � ��� �� ������ �� ��
$"% ��� ��� #�- � ����� �� ��� ������ ��� = ��� �� �� ������� �� ��
����� ��� ����� ���� ��� ��� ������� � �� ��� ������ � � ���� ����������� �� $� ������������� �� ����� �� ��� ��� ���� ���� �� ��� ��������� $��� �� � BB �� �����CC � ����BB �����CC � ���� �� � ����� � � ��� = �� ��� ������� � �� ��� ������%
��&����% ��� 2���+��� ��� �������3" ��� ���� � ��� ��� = �� $��� ��� ��� ���� /C� ���� ��������� �� �� � �� ��� BB���>����CC�% ��� ������ � �� �������� � �� ��
���0 �� 5�� ��� � �� ����� ��� � ���.� � ��� �� 6�� �! ������ ��� ������
$�% � ���� �� ���� �!�! � /� ���� �� � ������� �� ��� ������ ��� �� ���� � ���.� � ��� ������ � � ��� � �� �� � ����� �!�
$�% 9�� �!�! �� � ���� �� ����� /C� ���� �!�!�
��������� �� � � !&
�!� ��� � � ����!��!�!� �"� 7����� (� �� �(! � (�
:���� �� ���� ��� ��� ���� �����!��!�!�(! � (� � (��?
���0 �� 7����� ���� ! ��� ��� ������ = �� ��� �� � ��� ��� �=����� ��� � �� ��� ;� � �� �� �"������ ��� � �� ����� � ��� ��������� ��� � ���.� � ��� �� ;����� �� ��� ��� �� ���� "� ������ �"�" � /�
���0� � �� �� *������ ��� ����� � ����� ��� � ������ = ��� ��� .� � ����
,� ������.� ���� �� ��� ��� �� ��� ��� ���� ��� ����� � ��
�!�! � �"�" � � � � � ����
��� � � ������� ��� ����� �� ���.� � ��� � ��� ��� ������ ��� =�
A+ �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� :*;�<� #
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
3. Systems of Linear Equations
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
�� ��! �" ��� ������ ����� � � ���� !$�% � ���� ��� ��������&
� � � ���!
�!�!� � ��� � �� �� ������
����
�� ��! �" ��� ���� ����� ��� ��� ���� � ���� !$�% ��
7����� (� �� ����!(! � �!�!(�
��� ���� ���� � ������ � � ��� ���� � �� � � ���� ����� ��
��&����% ��1 2 �(!+��� ��� �������3" ��� ���� � � ��� = � � ���� � ������ �� � ��� ������� ��
�!�! � �"�" � � � � � ����
��� ������ � ��� �� ������� �� � �� ��
���0 �� $�% $9�� �� ����� �� ��� ��� ���� ����� !�% 4���� ��� ��� ���.� � �� (� �� !������
$�% $9�� ����� ! �� ����� /C� ����� ��� �����% 5� � � � � !� � � "� � � � � "� !&
�!� ��� � � ������ �"� 7����� (� �� �(� � (�
$���� �� ���� ��� ��� ����� �����(� � (� � (��%
���0� � �� ���� 7����� ���� ! �� ��� (��!� (��"� � � � �("�
���0 �� $9�� �� ����� �� ��� � �� ���� ����� !�% 4���� (! �� !��!�!�
��� � � �� ��� ����� �� � �� ��� ��� #�-� ���� �� ���� �� �� � � �� ��� ��� �� ������ ���� �� ��� ��� ��� � ��� �� ��� ���� �� � ���������� � � �����
���������7� ��&����% ��1 <��� /C� ����� ��� ����� �� �� �� � �� ��� ������ �� $ ���� ���� ������� ����� � �� ��� �� ���%�
��� ��� ����� ��� ���� ���� ����� �� �� ��������� ��� = � �� � ������ �� ��� ��������� ��������� ��� ���� �� ����� �� ��� ���� �� ����� ��� ���� ��� ���� � �� ��� ������ ���
�� ��!" ,� ������.� ���� D������ ������� � � ���>����� � ������ ��������&
���&� � 2��&����% ���3� <��� /C� ���� ���� ����� �� �� � �� ��� ��� �� (! �����
���&� 2��&����% ��13� <��� /C� ����� ���� ����� �� �� � �� ��� ������ �� (� ���
��� � � ������ ��� ���� ���� $� )*������ ���� ��� �� ������ � ��� = �� �� �� ������� �� ����� ���� ���� � ���� D����GH� ��� ���� /C� ���� ���� ��� ����� ���� ���� �� � �� � �� ��� � �� ������ �� (! ����� ������� D����GH� ��� ��� �� ���� �� ����� ��� ���� ������ � � ���� ��� ����������� ��� ���>����� D������ ������� ��� ����
������� � *����� ��� ��� = � �! " �# ! "
" - �- + !/
# + �+ ( !#
��
���
$�% 9�� ��� ��� #�# �� ����� � �� �� ������ �� ��
$�% 9�� ��� ��� #�- �� �� ��� ����� � �� �� �� ������� �� ��
*;�<� #? �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� AA
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
3. Systems of Linear Equations
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
$�% 5 �� ��� �!! � ! �� � ���� �� ����� /C� ���� �!!� ���� �� ���� ��� ��� ����� BB7����� (" �� �"(! � ("CC ���BB7����� (# �� �#(! � (#CCF ��� ���� ��� �"# � " �� � ���� �� ����� / ���� �"#� ���� �� ���� ��� ��� ����BB7����� (# �� � #
"(" � (#CC� ��� ����
� �! " �# ! "
/ / " - +
/ / # + A
��
�� �
! " �# ! "
/ / " - +
/ / / / �"
��
��
��� ��� = � ��� � ������ �� ��
$�% 4���� (# �� � !"�� ��� ���� ��� � �#' � !� ��� ���� ��� �#' � ! �� � ���� �� ����� /C� ����� � �� ���
��� ����� BB7����� (" �� �'(# � ("CC ��� ���� BB7����� (! �� �"(# � (!CC� ��� ����
� �! " �# ! "
/ / " - +
/ / / / !
��
�� �
! " �# ! /
/ / " - /
/ / / / !
��
���
4���� (" ��!"�� ��� ���� ��� � �"# � !� ��� ���� ��� �"# � ! �� � ���� �� ����� /C� ����� � �� ��� ��� ����
BB7����� (! �� #(" � (!CC� ��� ����
� �! " �# ! /
/ / ! " /
/ / / / !
��
�� �
! " / A /
/ / ! " /
/ / / / !
��
���
��� ��� ��� = � ��� �� ������� �� � �� ��
�00��(����� �� �#��� � �$ ������ ���������
��� ��� �� ���� � ������ �� ��� �������� � �� �� �� ��� �� ��������� ��� = � ���� ������� �������� ���������� ��������� �� ����� � �� ������ �� � $���� ��� �� ������ ��� ��������� � ������%� ��� ���� �� ��� ������ �� �� �� ������� �� � $���� �������� ���� ��� ������ ����� � ��� ������ �� ��� ��������%� ��� ���������� �� ��� � ����� ����� � �� ��� ������ �����&
$!% ��� ������� � �� ��� ���� �� ��� ��������� ��� = � �� ��� ������ � �������� �� ������ ����� �������� ��� ���� �� ��� ������ �����
$"% ��� ������ ��� � ������ � ��� ��� � ��� ������ �� � �� ��� ��������� ��� = � ���� ��� ���� � �� �� ��� �� � �/� /� � � � � /� �� ��� � � /�
$#% �� ��� �� ������� �� � �� ��� ��������� ��� = � $�=����� .� � ���%� ��� ��������� �� �������� �� ��� � � ���� ��� � ���� �� ! ��� � � ��� ��� ���.� � ��� � � �� �������� �����F����� ��� � ��>�� ��� �� � �� ��� ������ �� ��� ������ �� ��� �������� � ������� �� ����� ����� �� ��� � �� �� ���� �� ��� ���� ����
��� � ����� � ��� ���� �����
������� �� ���� ���� �� ��� ������ �������&
���
�! � �" � "�# � -�- � '
"�! � "�" � #�# � �- � #
#�! � #�" � -�# � "�- � !
���
�! � �" � "�# � #�- � -
"�! � #�" � #�# � �- � #
'�! � A�" � -�# � �- � '
���
�� "�� � � #
"�� '�� � � �-
#�� "�� � � '
$�% 7����� �� ��������� ��� = � �� ������ �� � ��� ���� �� �� ������� �� � �� �����&
� �! ! �" - '
" " �# ! #
# # �- �" !
��
�� �
! ! �" - '
/ / ! �A �A
/ / " �!- �!-
��
�� �
! ! / �!/ �(
/ / ! �A �A
/ / / / /
��
��
A1 �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� :*;�<� #
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
3. Systems of Linear Equations
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
7�� �� ��� �� ������� �� � � �� �� �� � ������ �� ��� �������� �� ����� ��� � �� �� ��� �� � �� ���������� ���� ��
�! � �" � !/�- � �(
�# � A�- � �A�
�! � �(� �" � !/�-�# � �A� A�-
$��� .� � �� � ������ � ��� �������% ���� �� ���� �! ��� �# � � ��� ���� �� ����� ��� �" ��� �- � � ��� � ���� �����
$�% 5 �� ����� �� ��������� ��� = � �� ������ �� � �� �����&
� �! ! �" # -
" # # �! #
' A - ! '
��
�� �
! ! �" # -
/ ! A �A �'
/ " !- �!- !'
��
�� �
! ! �" # -
/ ! A �A �'
/ / / / �'
��
��
��� � � �� ���� �� ������� �� ��� ��� �� ������� �� � �� � � ���� ��� ������ �� � � ���� ��� �� ���� ��������� ��� �� ������� ��������� ��� �� � �� �� ��� ������ ��� = �� ������� �� ��� ������ ��� �������
/�! � /�" � /�# � /�- � �'
���� ��� �� ������� ���� ��� ������ ��� �� �������
$�% 7����� �� ��������� ��� = � �� ������ �� � ��� ���� �� �� ������� �� � �� �����&
� �! " ! #
" ' �! �-
# �" �! '
���
��� �
! " ! #
/ ! �# �!/
/ �1 �- �-
���
��� �
! " ! #
/ ! �# �!/
/ / �"1 �1-
���
���
�! " ! #
/ ! �# �!/
/ / ! #
���
��� �
! " / /
/ ! / �!
/ / ! #
���
��� �
! / / "
/ ! / �!
/ / ! #
���
���
���� ��� ������ ��� ��� ����� ������ � � "� � � �!� � � #� � � ���������� ��� ����� � �"��!� #�� ,����� ���� ��� ������ �� � �� � � ���� ������� ���� ��� ������ ��� ������ ���� � �� �������� �� �� ����� �������
�00��(����� �� �:�����(� ��� ��������� �%���� �
��� ��������� ���� ���� ���� �������� �� ��� �=������ ��� ��������� �� � ������ �� � �������� ��� �������� ���� ��� ����� �� ��� �� �� � ��� =�
�%���� ��=" *����� � ������ �� ��� �������� � � �� ����� ��� ��������� ��� = � � ���������&
$�% ��� ������ ��� � ������ � ��� ��� � �� ��� � �� �� ��$�% ��� ������ � ����� � ��� ��� � �� ��� � �� �� � � ��
%���� �� +�,& ��� ������ ��� � ������ � ��� ��� � �� ������ �� � �� � � ���� ���� ��� ���� � �� �� ��� �� �
�/� /� � � � � /� ��� ��� � � /
�� �� ������ �� � �� � ���� ���� � ��� ���� � � � ���� �� � ��� ��� �� �� ��� ����� �� �� � � �� ���� ���� ���� ��� ������ �� �� �� � ��� � ���� ��� ���� ������ ��� ����� �� ��� � �� �� �� ��� � ���� $�%�
%���� �� +�,& ��� ������ ��� � ����� ������ � ��� ��� � �� ������ �� � ��� �� � �� �� ���� �������� ��� � � � ���� �� ���� �� ����� ���� ����� � � �� ��� � �� �� �� ��� � ���� $�%�
��� ����� � ��� ���� ��� ���� $< ���� #�A-% ���� �� ������ �� � �� ��� ��������� ��� =� � ���� ��� ���������� ���� �� ������ �� � �� ��
*;�<� #? �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� A(
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
3. Systems of Linear Equations
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��? )����> �,����� �� � �.���) �� ������ �,������
��� ���� � ������ $#�"% �� � ��� �������� � � �� ����� � �������� �� ��� ��� = �������
�!! �!" � � � �!��"! �"" � � � �"����������������������������������! ��" � � � ���
����
����
�!�"�#� � ���
������
�������
�!�"� � ���
����
���� � �- � �
��� � � � ���� � ��� ��������� ��� =� - � ��� � ��� ����� ����� �� �� ������ ��� � � ��� � �������� ����� �� ���������� $���� ��=�� � �� �� � � ���� ���� �- � �� � � �� �� ������.� ���� � ���� � � ���� ����� ����� ��%
��� ��������� ���� ��� ������ �� ��� �������� ��� ��� ��� = ������� � � �������� ����� ������� ����� ������ �� ��� ������ � � ������ �� ��� ��� = �������� ��� ��� �� ���
������� �� ��� ������ ������ �� ��� �������� ��� ��� = ������� � � ��������&
�! � "�" � -�# � A�- � -
#�! � '�" � +�# � 1�- � 1
-�! � #�" � "�# � +�- � !!
���
! " �- A
# �' + �1
- �# �" +
��
��
�!�"�#�-
����
���� �
-
1
!!
��
��
,� ���� ���� �! � #� �" � !� �# � "� �- � !� � � � ���� �� ��� ��� ����� � �#� !� "� ! � � ������ �� ��� ����������� ��� $�����% ����� � ��� � ������ �� ��� ��� = ��������
��� ��� = �� � �- � � �� � ������ �� ��� �������� � ��������� �� � ��������� ������������ ��� � ���� � ��� ��� �� ������� �� ��� ��������� ��� � ��� ���� ��� �� � �� ���� ��$���� ��� � 5�� #>!%� ���� �� ������ �� ���� ��� �����
�%���� ���" ������� ��� ��� � � ������ ���� ��� ������ �- � � ���& $�% � ����� ������� $�% ��������� � $�% �� ����� ����� �� ��������
%����& �� ������� �� ���� ���� � �- � � ��� �� � ���� ��� ������� ���� � ��� ������ ������������ ��� � � � ������ ������� �� �- � �F ���� �� � � � ��� �� � �� ����� �� ��� � � ��
��� ��� �� � �� ���� ��� � �� ���� �� � �
����� �� ���� � � �� ��� ����� � ��� �� � � ������ �� �- � �� ���� � ���� ������� � � ������$< ���� #�-A%� �- � � ��� �� ����� ����� �� ��������
���� �� ���� ��� ����� ���� �� � � �� ���� � � ��� �� ��� � $� ��� �����= ��� �%� ������ #�#����� ���� ��� ���� �� ��� � ������ �� ���� ���� ���� ��� ������ ������� �� ��� �������� � ����� ������ ��� � ���� ������� �� ������ � �� � �"� ��� ���� �� ��� ��� � ������ �� ���� �������� ��� ������ ������� �� �� �� ��������� ��� �������� � �� �� �� ������ ��� � ��� �� �� ���������� ������ �� ����� .!� ."� .# � �#� ���� �&
$�% /���� �����0 ;� � ��� �� �� ����� ��� ���� � �=���� ��� �����
$�% 1� �����0 ;� � ��� ����� ��� ��� ���� �� ��� ��� ��� �� ������ ���� �� ��� ������� � ����� ��� ����� ��� �� �� ���
$�% '����� ����� �� ����� 0 ;� � ��� �� �� ����� ��� ��� ���� � � �� $��� � �� �� ���%� � ������� ������ $��� � �� �� ����%�
����� �� �� ����� � � ���� �� � 5�� #>#�
1/ �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� :*;�<� #
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
3. Systems of Linear Equations
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
)����: �������� �$ � ������ �#��� �$ ������ ���������
� ������ �- � � �� ��� �������� � ���� � � ��� ��� � ��� ��� = � �� ���������� � ���� �� ������ � ����� �� ���� ��� ������ ��� ���� �����
�%���� ��?" � ���� � ������ �- � � �� ��� �������� ��� � ����� ������ � ��� ��� � ������ = � � ��� ���� �� ���� � ����� ��!� � ��� ����� ������ �� ��� �������
,� ��� � ��� �� � ���� � � � ��� ���� ���� ��!� � � ����� ������� �� � � ��� ���� ����
����!�� � ����!�� � '� � �
��� ����� ��!� � � ������� 3�� ������� � � ��� ������� �� �� � �� ����
� � '� � ���!��� � ��!���� � ��!�
���� ��� ������ ��!� � ������
������� �� *����� ��� ������ ������ �� ��� ��������� ����� ��������� ��� = � ��� ��� �� ��! � � ���
����&
�� "�� #� � !
�� #�� +� � #
"�� +�� !#� � '
� � �! " #
! # +
" + !#
��
��� ��! �
# �1 #
�! A �#
/ �" !
��
��
@� ���� �� #�(� ��� ����� ������ �� ��� ������ �
��!� �# �1 #
�! A �#
/ �" !
��
��
!
#
'
��
�� �
�+
'
�!
��
��
���� �� � � �+� � � '� � � �!�
( ) Unique solutiona
H2
H3
H1
H1
H2
H3
( ) Infinite number of solutionsc
H3
H H1 2and
(i) (ii) (iii)
H H H1 2 3, , and
(i)
( ) No solutionsb
H3
H2
H1
(ii) (iii) (i )v
H1
H2
H3
H2
H3
H1
H3
��&� �*�
*;�<� #? �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� 1!
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
3. Systems of Linear Equations
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
�� ��!� ,� ������.� ���� ���� �� #�( ���� ��� ����� ��� �� �� ��� ��� ������ �� � ���� �������� ���� �� ����� ��� ��� �� �� � ��������� ��� = � � ��� ����� ��� ���� ���� ����� ��������� � ����� ����� ����� �� � � ���� ��� ��� �� �� � ��������� ��� = �� �� � )=���� #�!-� ������� ���� � ���� � ������ �� D������ ������� $� ���� �� ���� ������ ����� �������� �������� ��� ����� �� ��� ��=�%�
���@ �.���)� �� ������ �,������ �� ������ ��) �������� �� -������
��� ���� � ������ $#�"% �� ��� �������� ��� �� �� ���� �� ��� ������ ����� �������&
�!
�!!�"!� � ���!
����
����� �"
�!"�""� � ���"
����
����� � � � � ��
�!��"�� � ����
����
���� �
�!�"� � ���
����
����
7��� ���� � ����� � � �� � ��� �� �� � ������ ���������� �� ����� � !� "� � � � � � � �� � ��� � �=������ � �!� �"� � � � � �� � � ���� ����
� � �!! � �"" � � � � � ���
���� ����� ��� ���� �� ������ $#�"% �� ��� �������� ��� ��� ����� �������� ����� ������� ���� ������� � ��� ��� � ��� ����� ����� �� ��������� � � ��� ��������� �� ��� ������ �� ������������ ��� =� ,� ����� ��� ���� ����� �� ����
�%���� ���@" � ������ �- � � �� ��� �������� ��� � ������ � ��� ��� � � � � ��� ��������� �� ��� ������ �� ��� ��������� ��� = ��
���� ��� ����� �� ��� � ���� �� �=� ����� � ���� ����� � � �� �� � ��� ��������� �� ����� �!� "� � � � � � � �� ������ �� ����� � ������ �� ��� ���������
������ �� 8������� �:� 0��
������� �� ���� �� � �� ��� ����� � � �!��"� '� �� � ��� ��������� �� ��� ����� �
! � �!� !� !�� " � �!� "� #�� # � �"��!� !�5 �� �� � �� � � �! � �" � �# ��� �� ����� �� �� �� ��� ���� �� ��� ��� �������� ������ �� ��� �������� ���� �� ����� ��������� �� � �� � ��
!
�"
'
��
�� � �
!
!
!
��
��� �
!
"
#
��
��� �
"
�!
!
��
�� �I�
����
!
�"
'
��
�� �
�
�
�
��
���
�
"�
#�
��
���
"�
��
�
��
�� �
�� �� "�
�� "�� �
�� #�� �
��
��
������ �� �������� ��� �� ���� �� ���� ���� ���� ��� ������ �������� ������&
�� �� "� � !
�� "�� � � �"
�� #�� � � '
�II�
1" �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� :*;�<� #
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
3. Systems of Linear Equations
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
5� �������� ����������� �� ���� � ���� ��� ����� � � �� �� ������� ���� � � ���� ���� �� ��� ����������� ������ �� ��� ��������� �� ����� ��� ��� ���� �� � �� ��� ����� ������� $I% � ���� �� ��������� $II%�
3�� �� ���� ��� �������� ������ �� ��� �������� �� ������ ��� ������ �� ������ �� �� �������
�� �� "� � !
�� #� � �#
"�� � � -
��� ����
�� �� "� � !
�� #� � �#
'� � !/
@�� >���������� ���� ��� ������ � � �+� � � #� � � "� ���� � � �+! � #" � "#�
������� �
$�% , �� ��� ����� � � �-� (� !(� �� � ��� ��������� ��
! � �!��"� #�� " � �#��A� !/�� # � �"� !� (��
5�� ��� �������� ������ �� ��� �������� �� � ��� � � �! � �" � �#� ��� ����� ��� ������ �� �������� �� �� ,� ����
�� #�� "� � -
�"�� A�� � � (
#�� !/�� (� � !(
�
�� #�� "� � -
��� � � !A
�� #� � A
�
�� #�� "� � -
��� � � !A
1� � "-
@�� >���������� ���� ��� ������ � � -� � � �"� � � #� ���� � � � ��� ��������� �� !� "� #���������� � � -! � "" � ##�
$�% , �� ��� ����� � � �"� #��'� �� � ��� ��������� ��
! � �!� "��#�� " � �"� #��-�� # � �!� #��'�
5�� ��� �������� ������ �� ��� �������� �� � ��� � � �! � �" � �#� ��� ����� ��� ������ �� �������� �� �� ,� ����
�� "�� � � "
"�� #�� #� � #
�#�� -�� '� � �'
�
�� "�� � � "
��� � � �!
"�� "� � !
�
�� "�� � � "
� '�� '� � �!
/ � #
��� ������ ��� �� ������� ���� � � ������� �� � �� � �� � ��� ��������� �� !� "� #�
������ �� 8�������� �$ ���%�&����� -�(����� ������� ���$'(�����
7��� � �� $������ !�-% ���� ��� ��� $��� % � ����� � � �� ����� � � ��!� � � � � ��� ���� � ��!� � � � � ��� � �� � ������ ��
� � � �!�! � �"�" � � � � � ����
5� ��� �� �� ����� � ��� � � � ��� �� �� ��������� � ��� ��� � ����� � � � /�������� ���� !� "� � � � � � � �� � � � ���.� � �� ��� � ������� ����� �� ��� �����
�� � � � � / �� � � � ��� �� � � � � / �� ���� �
����� �� ��� ����� � � ��� ��� � � �� ���� ��� �� � �� � �� � ��� ��������� �� !� "� � � � � ������ � ��� ���� � ��� ��=� �=�����
*;�<� #? �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� 1#
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
3. Systems of Linear Equations
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
������� �� *����� ��� ������ �� �� ����� � � �#&
! � �!� !� !�� " � �!��#� "�� # � �'��!��-������ ����� � � � �� ��� � �������F ���� ��
! � " � !� #� " � /� ! � # � '� !� - � /� " � # � '� #� 1 � /
������� �� ���� �� � �� � � �-� !-��(� �� � ��� ��������� �� !� "� #�
)��%�� �� 5�� ��� �������� ������ �� ��� �������� �� � )=���� #>!- ��� ���� ������������ � � #! � -" � #�
)��%�� �� $��� ������ ���� ��� ���� ���� ��� ����� � !� "� # � � ������ � �������� ��� �������� � ������ � ���� ���� �% ��� � �� � ��� ��������� �� !� "� # ���� �� ���� ���� � �� �� � �������&
�-� !-��(� � ��!� !� !� � ��!��#� "� � ��'��!��-� �I��� � ��� ��� � ����� �� $I% ��� ������ �� ! �� ���
�-� !-��(� � �!� !� !� � ��!� !� !� � �!� !� !� � ( � #� � � � #
$��� ��� ��� �� �� � �� ���� ���� ! � � ������� �� " ��� �� #�% 3�=� �� � ��� ��� � ����� �� $I% ��� ������ �� "�� �����
�-� !-��(� � �!��#� "� � ��!��#� "� � �!��#� "� � � '+ � !-� � � � �-
5���� �� � ��� ��� � ����� �� $I% ��� ������ �� # �� ���
�-� !-��(� � �'��!��-� � ��'��!��-� � �'��!��-� � -"� -"� � � � !
���� � � #! � -" � #�
��� � ����� � � 4����� " � )=���� #�!+ � ��� � ���� �� 3����&
�%���� ���@" ������� !� "� � � � � � � � ���.� � ������ � ������� ����� � � ��� ����� �� �������� � � ���
� � � � !! � !
! �� � "" � "
" � � � � � � � �
� � �
�
,� ������.� ���� ��� � ���� �� � ���� � ������� ����� � � � �� �� ��� �� ��� �� �� ����� 3���
��� ���� ���� � � � � /� ���� ���� � � � ���.� � ����� �
�� ��!" ��� ������ ���� �� $����� �� � ���� �� #�!/% � ���� ��� 2����� ��������� �� ���� ������ �� �&
�� �� � �
� � �
� � � �
���"
�� � �������� �� � ��������� � ��� ���� ���� 5�� � �� �� �� � ��������
���� 6�)�5����� �.���)� �� ������ �,������
� ������ �� ��� �������� � ��� �� �� ��������� � � ��� �������� �� �� � � .� �� ���� ������������ ������ ��� ��� �� � �- � /� *�� �� ���� � ������ ����� ��� ��� .� � ����� / � �/� /� � � � � /� �� � ������� ���� ��� ���� � �� ��� ������� ���� ����� �� � � ����� ��� ������ ������ � ��� ��� ������ ��� � ���.� � �������
1- �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� :*;�<� #
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
3. Systems of Linear Equations
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
���� � ����������� ������ �- � / ���� ���� �� ���� ��� .� � ������� � ��� ����� �� ��� � �������� �� �F ���
�!!�! � �!"�" � �!#�# � �!-�- � � � � � �!��� � /
�"�"��" � �"��"�!��"�! � � � � � �"��� � /
������������������������������������������������
��� � � � � � ����� � /
;� � � ������� ��� ����� �� �������� � ������ �� � ��� � ������� ��� ����� �� �� ������ ���� ��������� ������ ��� �� � � �� �� �����
��� ������� �� ���.� � ������� ������ �� ��� ������ ��� �����&
$% � � �� ��� ������ ��� ��� ��� .� � �������
$% � � �� ��� ������ ��� � ���.� � �������
���� ����� � �� ���� ��� ���� �������� ���� �� ������ ����� � ������ �� �� � � �� ��� ��������� ��� � ���.� � ������� ��� � ���� ��� ������ ��� ���� �����
�%���� ����" � ����������� ������ �- � / ��� �� � �� ����� ���� �������� ��� � ���.� ��������
������� �� 0��� ��� ������ � ��� ���� �� ��� ������ ����������� ������� ��� � ���.� � ������&
���
�� �� � � /
"�� #�� � � /
�� -�� "� � /
���
�� �� � � /
"�� -�� � � /
#�� "�� "� � /
���
�! � "�" � #�# � -�- � /
"�! � #�" � '�# � A�- � /
'�! � +�" � (�# � 1�- � /
$�% 7����� ��� ������ �� ������ �� � �� �����&
�� �� � � /
�'�� #� � /
�'�� #� � /
��� ������ �� � � /
�'�� #� � /
��� ������ ��� � ���.� � ������� ���� ��� � � � ��� ��� �������� � ��� �� �� �� ����� � ������ �� ��;� � � � � � �� �� ���� 6�� ��� ���� ��� � � '� ����� �� ��� >����������� � � # ��� � � "� ���� ��� ����� � �"� #� '� � � �� ���� ���.� � �������
$�% 7����� ��� ������ �� ������ �� � �� �����&
�� �� � � /
"�� � � /
��� '� � /
��� ����
�� �� � � /
"�� � � /
!!� � /
�� ������ �� �� ��� � � � �� �� �������� � �� �� �� ������ ���� ��� ������ ��� ��� ��� .� � �������
$�% ��� ������ ���� ���� � ���.� � ������ $���� �� #�!!%� ���� ��� � � � ��� �� ����� ��� ��� �� ����������� $;� � �� �� ��� ���� �� ����� ��� ������ �� ������ �� ��%
���� $�� �%� 5������ �������� �$ � 6� �&������ �#���
6�� 3 ������ ��� ���� � ������ �� � ����������� ������ �- � /� � �� �� ���.� � ����������� � !� "� � � � � �� ��� ������ � ��� �� �� � �� � �� 3 � ���� ������ ����� � � 3 ��� ���=� ����� ������ �� � ��� ��������� �� ��� ����� � !� "� � � � � � ���� �� ��� � �=�� ����� ���� ��!� �"� � � � � � ���� ����
� � �!! � �"" � � � � � �
��� ����� �� ���� ���� ����� � � ���� �� ��� ����� �� � �� �� ����� ��� ����� � ���� �������� ��� �� 3 � � ���� �� 3 � � �� ���� 3 � �/�� ���� �� ��� ������ ��� ��� ��� .� � ������� ������� ��3 � /�
*;�<� #? �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� 1'
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
3. Systems of Linear Equations
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��� ������ ���� ��� � ���� � *����� '� ��� �� ��� �� ��� ���� � �����
�%���� ����" 6�� 3 �� ��� ���� � ������ �� � ����������� ������ �- � /� ��� ������� ���� ��������� �� � �� ��� ����������� ������ ��� � �� �� ����� 6�� !� "� � � � � �� ���������� ������� �� ������ ��� �� ��� � �� �� ���� ���� �� ! $� ��� ���.� ���������% ��� ��� ������ � �� �� ���� ���� �� /� ���� �� 3 � � ��� ��� ����� �!� "� � � � � �� � � ���� �� 3 �
,� ������.� ���� ��� ���� � ������ 3 ��� ���� ���� ������ ��� ���� ���� �� #�!" ��� ���� ����� ���� �����
������� �� 5�� ��� ������� ��� � ���� �� ��� ���� � ������ 3 �� ��� ����������� ������
�! � "�" � #�# � "�- � -�' � /
"�! � -�" � '�# � �- � +�' � /
'�! � !/�" � !#�# � -�- � !+�' � /
5 �� ����� ��� ������ �� ������ �� �� ���� ��� ������ ��� �����&
BB7����� �" �� �"�! � �"CC ��� BB7����� �# �� � '�! � �#CC� ��� ���� BB7����� �# �� �"�" � �#CC
����� ��� ����� ���
�! � "�" � #�# � "�- � -�' � /
�# � #�- � "�' � /
"�# � +�- � -�' � /
����! � "�" � #�# � "�- � -�' � /
�# � #�- � "�' � /
��� ������ � ������ �� � ��� �� �� � �� �� ����� �"� �-� �'F ����� �� 3 � #� �� �� ������ ����� � ���� �� � ����� �� 3 � � ������� �� �����&
$!% ��� �" � !� �- � /� �' � /� @�� >���������� ���� ��� ������ ! � ��"� !� /� /� /��$"% ��� �" � /� �- � !� �' � /� @�� >���������� ���� ��� ������ " � �A� /� #� !� /��$#% ��� �" � /� �- � /� �' � !� @�� >���������� ���� ��� ������ # � ��"� /��"� /� !��
��� ����� � ! � ��"� !� /� /� /�� " � �A� /� #� !� /�� # � ��"� /��"� /� !� �� � � ���� �� 3�
�� ��!" ��� ������ �� ��� ������ � )=���� #�!1 ��� �� � ���� � ��� �� �
�! � �" � �# � ���"� !� /� /� /� � ��A� /� #� !� /� � ���"� /��"� /� !�� ��"�� A�� "�� �� #�� "�� �� ��
�
�! � �"�� A�� "�� �" � �� �# � #�� "�� �- � �� �' � �
��� � �� �� � � � � �� � � ���������� ���� �� ���� ��� �� ��������� � ������ �� � ���� ��� �� ���� ��� � �� ��� ���� � ������ ���� ��� ����� �� �� ����� � �" � �� �- � �� �' � ��
���%� �&������ ��� ����(����� 6� �&������ �#��� �
6�� �- � � �� � �������������� ������ �� ��� ��������� ���� �- � / � ���� ��� � ��������������� � ��� 5� �=�����
�� "�� -� � A
#�� '�� +� � 1���
�� "�� -� � /
#�� '�� +� � /
���� � �������������� ������ ��� �� ��������� ����������� �������
1+ �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� :*;�<� #
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
3. Systems of Linear Equations
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��� �������� ������� ��� ������ / �� � �������������� ������ �- � � ��� ��� ������ 3 ���� ��������� ����������� ������ �- � / � �������� � ��� ������ ���� ���
�%���� ����" 6�� �/ �� � �� ���� ������ �� �- � � ��� �� 3 �� ��� ���� � ������ �� �- � /����� ��� ������ � ��� ���� � ������ �� �- � �&
/ � �/ �3 � ��/ � � � � � 3 �
���� �� / � �/ �3 � ������� �� ����� �/ �� ���� ������ � 3 � ,� ���� ���� ��� ���� �� ��� ������� �� ��� � ������ � �#� ��������� ������� 3 � � �� �� ���� ��� � �� 4� ����� �� ���� ��� 5�� #>-� / � �/ �3 � ��� �� �� �� �� 3 ������� �� ����� �/ �� ���� ������ �� 3 � ��� ��������� 3 � � ���� �� ���� ��� � �� 4� ���� / � �/ �3 � � ���� �� �� �� 3 �
���� ���)�����. )�������
6�� � ������ �� ������� � �� ��� ���� ��� �� ���� ������ ��� ����� �� ������ ��� ��� ���� � ��� ��� = �� 3�� �� 5 �� ��� ��� = ������� �� ������ � �� ��� ������ ��� = ' � ���� ��
5 � ��' ����� 5 � ���� ��� ��������� ����� �� �������� �� ��� ������� � �� ��� ���� �� 3��� ���� 5 ������ � ���� � ��� =�
������� �� *����� ��� ������ �� �� ������� � �� ��� �����&
�!� ���� ������ (" ��� (#� �"� 7����� (" �� �+("� �#� 7����� (# �� � -(! � (#�
��� #� # ������� � ��� ��� �� �������� �� ��� ����� ������� � �� ��� ����� � � �� �����&
5! �! / /
/ / !
/ ! /
��
��� 5" �
! / /
/ �+ /
/ / !
��
��� 5# �
! / /
/ ! /
�- / !
��
��
��� ������ ���� ��� � ���� � < ���� #�#-� �����
�%���� ����" 6�� � �� �� ������� � �� ��� ���� ��� �� 5 �� ��� �� �������� �� � ������� ���� =� ����
���� � 5�
��� � � � ��� �� � ��� =�
��&� �*1
*;�<� #? �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� 1A
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
3. Systems of Linear Equations
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
�� ���� �� ��� ��� ���� �� ������ �� ������� � �� ��� ���� � �� � ��� = � ��� �� ������� ��� �������� � �� ��� �� �������� ������� � ��� = 5�
3�� ������� � � ��� ��� �� �� �� ������� � �� ��� ���� �� ��� �� 5 ��� 5 �� ��� �� ����������� ���� ,� ���� $< ���� #�##% ���� 5 � ��� ��� ��� 5 � �� ��� ��� ��� ������ � �� ���� � ������� � �����
% � 5� � � �5"5!
�� ������� � ��� ��� � ��� ����
�00��(������ �$ ��� �����# )����(��
9��� ���� �� #�!#� �� � � ��� �� � ��� $< ���� #�#'% ��� ������ ��� ���� � ��� ��� ����� ����
�%���� ���1" 6�� � �� � ���� � ��� =� ���� ��� ������ � � ��������&
$�% � � ��� ��� $�������� %�
$�% � � �� �������� �� ��� ������ ��� = ' �
$�% � � � � ����� �� ������� � ��� ����
7��� ���� ���� � ��� ��� � ��� � � � ��� ��� � �� � �� � ' � ��� ��=� ���� �� $� ���� �< ���� #�#+% ����� ���� �� ���� ��� ���� ���� ��� �� ��� � ������ � � ��� ��� �� � '� �� � ��� ������� ��� � � ��� ����
�%���� ���4" ������� �� � ' � ���� �� � ' � ��� ����� � � ��!�
7�� ��������� ��� ��� �� ������ � �� �� �� ��� = ���������� ��������� �� � � ���$< ���� #�#A% ��� �������
�%���� ���9" � � �� �������� �� � � ��� ��� � ��� � �=��� � �������� ��� = % ���� ����� � %��
�00��(����� �� ������& �%� ��7���� �$ �� �� � )����:
��� ������ ��� ��� ���� ��� ��� �� �� � ��� =�
��&����% ��4" ��� ���� � � ���� � ��� = �� ��� ������ � ��� ��� �� �� � � ���� ��� ��� �� ���� ����=���
���0 �� 5� � ��� �� "� $��� % ��� = � � ��� ' � ��� � � � ��� ��� ��� �� � ��� ��� ������ ��� = '� ��� ��� ��� �� � �
���0 �� 7�� ����� � �� ������ �� �� �� ��� � ����� ���� ���� � .� � �� � ��� � ��� �� � � ����
���<
� ��� �� ��� ��� $���� ��� � � � � ����� �� ��%
���0 �� 5� ��� �� ����� � �� �� �� ������� �� �
� � �' ����� � ��� ������ ��� = ' ��� ������ � � ��� ��� ��� �� � �
���0 1� ��� ��! � �� ��� ��� = ���� � ��� � ��� ��� ��� �� � �
11 �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� :*;�<� #
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
3. Systems of Linear Equations
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��� ���������� �� ��� ����� ��� ��� � �� ������ ������� � � ��� ��� ���� ���� ��� �������� ��������� � �� ��� ����� �!� �"� � � � � �� ����� �� � � ��� ' ������ ��� ��� ��� �� � � ���� � �� �� ��������� ��� = ' � 6�� 5� �� ��� ������� � ��� = �� �������� �� ��� ��� ���� ��� ����� �� ���������� �� #�!#� �� ���
5� � � �5"5!� � ' � �5� � � �5"5!' �� � ' � �� ��! � 5� � � �5"5!'
���� �� ��! ��� �� ������� �� ������ ��� ������� � �� ��� ����� �!� �"� � � � � �� �� ��� ������ ��� =' � ���� ����� � � ��� ��� ��� �� � � ���� � � ��!� �� ������
������� ��� 5�� ��� ��� �� �� ��� ��� = � �! / "
" �! #
- ! 1
��
���
5 �� �� � ��� $��� % ��� = � � ��� ' ��� �� ����� � �� �� ������ �� �&
� �! / " ! / /
" �! # / ! /
- ! 1 / / !
��
�� �
! / " ! / /
/ �! �! �" ! /
/ ! / �- / !
��
�� �
! / " ! / /
/ �! �! �" ! /
/ / �! �+ ! !
��
��
�� ������ �� �� ��� ��� ��� �� � � � � ����� �� �F ����� � ��� �� ��� ��� 3�=� �� �� ��� �� ����� � �� �� �� ������� �� �&
� �! / / �!! " "
/ �! / - / �!
/ / ! + �! �!
��
�� �
! / / �!! " "
/ ! / �- / !
/ / ! + �! �!
��
��
��� ������ ��� = � ��� � ��� ��� ��� �� ��� ��� ��� =F ����� ��� ��� ��� � ��!� �� ���� �� ���
��! ��!! " "
�- / !
+ �! �!
��
��
��� �����# ���� � �0��������
3�� �� � �� � ��� = ��� ������ !!�!"� � � � �!�� ��� ������ ��� ����� �� �� �������� �� ���������� � �� ��� ������ � � ���� ��������� ����� �������� &�5! $*���� ���� ������%& ���� ������ ������ !� ��� !���5" $*���� �����%& 7����� !� �� �!� $��� � � � /%��5# $*���� ������%& 7����� !� �� �!� � !��
,� ��� ������ ���� �� ��� ����� ��� ����� �� � ���� ����������
�!� !� � !�� �"� �!� � !�� �#� ��!� � !�� � !�
4� ���� � ���� ����� ��� ���� ��� �� ��� �� ��� ���� �� ��� ���� ����� ���� � ��� �� �������� �� ��� �����
3�� �� � ������ �� ������� � ����� ��� ����� ��� �� 2 �� ��� ��� = ������� �� ������ � ����� ������ ��� = ' � ���� ��
2 � � �' �
���� 2 � ���� ��� ��������� ����� �� �������� �� ��� ������� � ����� ��� ���� � � 3��� ���� 2 ������ � ���� � ��� =�
*;�<� #? �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� 1(
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
3. Systems of Linear Equations
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
������� �� *����� ��� ������ ������� � ����� ��� �����&
�!� ���� ������ !! ��� !#� �"� 7����� !# �� �"!#� �#� 7����� !# �� �#!" � !#
��� �� �������� �� �� #� # ������� � ��� ��� � � �� �����&
2! �/ / !
/ ! /
! / /
��
��� 2" �
! / /
/ ! /
/ / �"
��
��� 2# �
! / /
/ ! �#
/ / !
��
��
��� ������ ���� �� � �������� �� ���� �� #�!# �� ��� ������� � �� ��� ������
�%���� ���;" 5� ��� ��� = �� � ��� � �2�
���� �� ��� ���� �� ������ �� ������� � ����� ��� ���� � �� � ��� = � ��� �� ������� ������������� � �� ��� �� �������� ������� � ��� = 2�
)����: ����7����(�
� ��� = � � ��� ���� �� � ��� = � � � ��� �� ������� � �� � �� � �������� �� �� ��� �������� ������ ��� ������� � � �������� �� �� � ��� � �=�� �������� ��� ��� % ��� 6 ���� ����� � %�6� H��� � �� ���������� ��������� �� ��� ��� � �� ��������� ������
��� ��� ���� �� ��� ��������� $� ���� � < ���� #�#1% � �� ������
�%���� ���=" )�� � �� � ��� = � � �������� �� � ����� ��� ��� = �� ��� �� �
'� /
/ /
��� � '� � ��� �>���� � ������ ��� =�
��� ������ ������� ������
�'������" ��� ���������� ����� � � ���� �� #�!1 � ���� ��� ���� �� �� � ���� �� ����3��� ���� ��� ������� �� ��� ��� ��� � ����� ������� �� ��� �� �� � ��� =�
���� �� ���)/�������
������� � � � �������� ��� = ���� ��� �� � ����� ��� $���� % � ����� �� � / ���� ��� ��>������ ��� ������ ���� �� ������� � ��� �� � ����� .�� �� ��� ������ ��� ���� ���� �� � ������ ������� ��������
��&����% ��9" ��� ���� � � ��� = � ��� ��� ������ � � � ����� ��� = / �
���0 �� 7����� �� � � !� "� � � � � �� !&
���0 �� 7����� �� � � �� !� �� "� � � � � �
$�% ��� ��� �� ��������$�% ��� (� �� ���(� � (�
:)�� �� ���� " ��� ����?
:)�� �� ���� ! ���� ����?
(/ �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� :*;�<� #
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
3. Systems of Linear Equations
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��� ����� � ��� � � ���� �������� � �������� �� ��� � �� �� ����� ����� � �� ����� �� ��������� ��� � ����� ��� = �&
� �
! / / � � � / /
��"! ! / � � � / /
��#! ��#" ! � � � / /
���! ���" ���# � � � ������! !
������
������
���� �� � ��� !C� �� ��� ������� /C� ����� ��� ������� ��� ��� ������� �� ��� ����� ��� �� ����>��� � ���� ��� �������
��� ����� ��� = � ��� ��� � ����� ��� = / ������� � ��� ��� #�+ ���� �� ��� ������ �/����� .���� �� ���� � ��� = �� 3����&
�%���� ���?" 6�� � �� � �������� ��� = ���� ��� �� � ����� ��� � ����� �� � / ���� ��� ��>������ ��� ������ ���� � � �/ � ��� � � � ��� ����� ��� � ����� ��� = ��� !C��� ��� ������� ��� / � �� ���� � ����� ��� = ��� �� /C� �� ��� �������
������� ��� ������� � �! " �#
�# �- !#
" ! �'
��
��� ,� ���� ���� � ��� �� ������ �� � ����� �� � �� ��� ��� �����
BB7����� (" �� #(! � ("CC� BB7����� (# �� � "(! � (#CC� ��� ���� BB7����� (# ��#"(" � (#CC
���� ��
� �! " �#
/ " -
/ �# !
��
�� �
! " �#
/ " -
/ / A
��
��
��� ���� �� ��� ������ ����� .���� � � �/ � ��� �
� �! / /
�# ! /
" � #
"!
����
���� ��� / �
! " �#
/ " -
/ / A
���
���
,� ������.�&
$!% ��� ��� �� �#� "�� #"� � � � ��� �������� �� ��� ����� � � ��� ����� ������� � �� ��� ������
$"% / � ��� � ����� �� � �� ��
�00��(����� �� �#��� � �$ ������ ���������
*����� � ������� ��� ��� � � 6�� !��� ������ ��� ����� ��� �� ��� ��� ��� �� � ������� ����� �.� � �� ��� ���� ����� :��� ������� !��� � �������� ���� ��� ��� ��������� � ���� ������������ �� ��� ��� ��� � �? 5 �������� !��� ���� ������ ��� ����� �� ���������� ��������� �=������ �� �� ��� ���� ��� ����� ��� ����� �� ������� ��� ���� ������ ���� ���� �� � ������� ��� �� �=������
*;�<� #? �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� (!
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
3. Systems of Linear Equations
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
3�� ������ � ���� � ������ �� ��� �������� �- � �� ��� �
� � ����� - � ��!� � � � � ��" � � � ��!� � � � � ��"
��� ������� � ��� �� �/ ����� .����� ���� ��� ������ ��� �� � ����� ��� � ����� �� � $� � �� ������ ��� >����������% �� ������ ��� ��� #�+ �� ��� ��������� ��� = � � ���� �� ��� ���������� ��� �����=�� �� ��� ��� #�+ ��� ��� >���������� � �� ����������
!��� � !"�# ��� !��� � !
"�"
��� � � � ��� ����� �� ����������� ��� ���� ����� ������� �� � ���� ���� ��� ����� .���� � � �/ � ����� �� � ����� .� ���
������� �� ���� ��� ���� ��� �� ��� ����� � ��� ��� ��� $ ������ �� ��� ��� = �% �� ��� ���������� �� �� ��� ����� ��� ��� �����=�� �
!��� � !"�"
�� ��� ��� �� ����� ��� ����� .���� � � �/ ��� �� ��� � ��� ��� ��� ��� � !��� � !"�#� ����
������ ��� �� ����� �� � �� ����� ��� �/ ����� .���� ���� � ���� ������ � ������� ;����� ���� � � � ��������� ��� ���� ����� ��� � ��� �/ ����� .���� � ������
�������� �� � ���� ��� = �� �� ���� �� ���� ��� ������
�- � �
�������� �� � �������� �� ���� ��� �������� ����� �� ��� �!��"� � � � ���� ���� ������� ���� �� ��� ��
������ ���� ��� ������ �� ��� ������ ������� ��� ���� � ������ ����� � ��� �� ���� � ����� � ��� � ������� �� � �� ��� ��� �/ ����� .���� �� �� ��� ���� �� ��� ��� ����� .���� �� ���� ��� �������� ���� ��� ��
������� ��� *����� ��� ������ ������ �� ��� ��������&
�� "�� � � �!"�� #�� #� � �"
�#�� !/�� "� � �#
� �- � �� ��� � � �! " !
" # #
�# !/ "
��
�� ��� � �
�!�"�#
��
��
������� �� ���� �� ���� ��� ������ �� �� ���� ��� � � � ����� ���� �� �!��"��#� 5� ��� �� �� ��������! � �!� !� !" � ��� �������
���! � �� � -� ��� � � !� "�
��� � -� � ��� ������ �� �- � ��� ;� � � � �� � ������� �� � �� ����� ��� �/ ����� .���� �� � ��� ���� ��� ����/ ����� .���� �� ���� ��� ������ �� ���� �� ��� �C�� $��� � ���� � < ���� #�-"�%
���7�� /��8�� �
������ �,������� ��������� ��� �.���)����� 0��� ��� ������ ���� �� ��� ������ �������� � ��� &
$�% '�� A�� 1�� � !+� $�% �� ��� �� � �� '� $�% #�� ��� 1� � !+
$�% 3�� ���� ��� � ����� �� �� ��� �� ����� � �� ������ ��� ���
$�% 2��� ���� �� �� ��� �� ' � � ����������
$�% �� � ������� ��� � � � ��� �� �����& �� �� �� �� @������ �� ��� �� � �� � � ��� � ��� ��������;����� � ������� � � � ��������� ��� ������� � ��� � ��� �� ����� �� �� ��
(" �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� :*;�<� #
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
3. Systems of Linear Equations
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
���� 0��� ��� ������ ��� ������ ����� � � � ������� �� �! � "�" � -�# � #�- � !'&$�% � �#� "� !� -� ��� $�% � � �!� "� -� '��$�% ��������� �� ����� #� "�"� � -�!� � #�-� � !'� � !' � !'F ���� � � � �������
$�% ��������� �� ����� !� "�"� � -�-� � #�'� � !'� � - � !'F ��� � � ��� � �������
���� ����& $�% �� � �� $�% #�� -� � � "�� #� $�% A� "�� - � #�� #� �
$�% ���� � � /� ����� �� !�� �� ����� � � ����
$�% 7�� �� � ������ � �� �� ������� /� � A� ��� ������� ��� �� �������
$�% 7�� �� � ������ � �� �� ������� /� � /� )�� � ���� � � � �������
��1� < ��� ���� �� #�-& *����� ��� ������� �� � ��
$% �� � � /� ���� � � ��� � � ����� ������ �� �� � ��
$% �� � � / ��� � � /� ���� �� � � ��� �� �������
$% �� � � / ��� � � /� ���� ��� � ���� � � � ������ �� �� � ��
������� � � /� ���� ��� ���� ��� �=���� ���������� ��� � �� � � ���� ������ � �� � � � �F �������� � � ������� �� ��� ���� ����� ������� �/ � � ������ �� �� � �� �� ���� ��/ � �� 4������ �������� �� !�� ���� �/ � ���� ;���� ��� � ��� ����� ������ �� �� � �� ���� $% � � �����
�� ��� ���� ����� ������� � � /� ����� �� ��� ���� �� �� ���� �� � /� � /� �� � � /� ���� �� � ������ ����� � � ��� � ������ �� �� � �� ��� �� $% � � ����� �� � � /� ���� �� � �� ���� �� ��� ���� � � ������� �� �� � �� ��� �� $% � � �����
��4� ���� ���� �� ��� ������ �������&
$�%"�� '� � !!
#�� -� � '$�%
"�� #� � 1
�+�� (� � +$�%
"�� #� � 1
�-�� +� � �!+
$�% )����� � � �� ��� �������� �� �� ��� ��� ��� ������� � � �#�! � "�"� ��� ���� ��� �������
"#� � �"#� ��� �� � � �!
��������� � � �! � ��� �� ��� � ��� ��������� ��� �!� �� ���
"�� '��!� � !! � "�� ' � !! � "� � + � � � #
���� � � #� � � �! � ��� �� � �#��!� � ��� ����� ������ �� ��� �������
$�% )����� � � �� ��� �������� �� �� ��� ��� ��� ������� � � #�! � �"� ��� ���� ��� �������
/�� /� � #/
��� � � ������ ��� ������� ��� � ���.� � ��������F ����� ��� ������� ��� ��� ������ ���� ��������� $D����� ���� ��� ��� �� �������� �� ��� �������� � � �� ���%
$�% )����� � � �� ��� �������� �� �� ��� ��� ��� ������� � � "�! � �"� ��� ���� ��� �������
/�� /� � /
��� � � ������ ��� ������� ��� � ��� �������� �� � � ��� .� �� ���� ��� ������ ��� �� ���������� �� �������� ���� �� ������ �� ��� ������ �� ���� �������� $D����� ���� ��� ����� �������� �� ��� �������� �������%
�� ��� ��� ���� � ������� ��� � � � ��� ��������� � �! �� �����
"�� #� � 1 � "� � #�� 1 � � � #"�� -
���� ��� ���� � ������ �
� � #"�� -� � � � � � #
"�� -� �
� �
��� � � � ��� ���� �
*;�<� #? �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� (#
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
3. Systems of Linear Equations
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��9� *����� ��� ������
�� �� � -
��� (� � �
$�% 5� ���� ����� �� � ���� ��� ������ ���� � ����� ������J
$�% 5�� ����� �� � �� ����� $�� �% �� ���� ��� ������ ��� �� � ���� ��� �������
$�% )����� � � �� ��� �������� �� �� ��� ��� ��� ������� � � ���! � �"� ��� ���� ��� �������
�(� �"�� � �� -� �!���� ������ ��� � ����� ������ � ��� ��� � ��� ��������� �� � � $!% � ��� .� �� ���� �� � (� �" � /� � � � �#�
$�% ��� ������ ��� �� � ���� ��� ������ � ���� ���� �� $!% � � .� �� ��� ���>���� ��� � .� � ����� � �#� ,��� � � #� ��� ���>���� ��� � .� � ���� �� !" � / � � � !"� ,��� � � �#� ��� ���>���� ��� � .� � ���� �� !"� / � � � �!"� ���� $#� !"% ��� ��#��!"� � � ��� �� � �� ���� ��������� ��� �� � ���� ��� �������
�.���)� �� �����5��� �� ��6���� ���)
��;� 0��� ��� ��� ���� ��� � �� �� ���� � ���� �� ��� ������ �������&
"�! � #�" � +�# � '�- � "�' � A
�# � #�- � A�' � +
�- � "�' � !
���
"�� +�� A� � !
-�� #� � 1
"� � -
���
�� "�� #� � "
"�� #�� � � -
#�� -�� '� � 1
���
$�% �� ������ �� �� ��� ����� �� ����� � � ��� ���� �� ����� ��� ��� ���� � � � ��� � �� �� ����� ;� ��!� �#� �- � � ��� ���� �� ����� ��� �" ��� �' � � ��� � �� �� ����
$�% ��� ����� �� ����� � � �� �� �� �� ���� � � ��� ���� �� ����� ��� � � � �� � �� �� ���� $�� � ���� ����� ������%�
$�% ��� ����� �� ���� ��� � �� �� ���� ����� ��� �� � ������ � ������ �� ��
��=� ���� ��� � ����� ������ � < ���� #�A$�%�
���� � � � � ����� ������� ���� �� ��� >�����������
$% ��� ��� ������� ���� � � "�
$% ��������� � � " � ��� ������ ������� �� ��� -�� + � 1 � � � !"�
$% ��������� � � " ��� � � !"� ��� � �� ������� �� ���
"�� +!
"
�� A�"� � ! � "�� !! � ! � � � '
���� � � '� � � !"� � � " � � �'� !
"� "� � ��� ����� ������ �� ��� �������
��?� ���� ��� ������ ������ � < ���� #�A$�%�
����� �� ����� � �� ��� � �� �� ����� ��� �" � � ��� �' � �� ��� ���� �� ��� ���� �� ���� �� ��� >�����������
$% ��������� �' � � � ��� ��� ������� �� ��� �- � "� � ! � �- � "�� !�
$% ��������� �' � � ��� �- � "�� ! � ��� ������ ������� �� ���
�# � #�"�� !� � A� � + � �# � �� # � + � �# � �� #
(- �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� :*;�<� #
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
3. Systems of Linear Equations
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
$% ��������� �' � �� �- � "�� !� �# � �� #� �" � � � ��� � �� ������� �� ���
"�! � #�� +��� #� � '�"�� !� � "� � A � "�! � #�� !-�� "# � A
� �! � #"�� A�� !'
����
�! �#
"�� A�� !'� �" � �� �# � �� #� �- � "�� !� �' � �
� � #
"�� A�� !'� �� �� #� "�� !� �
�
� ��� �� ���� � �� � �� ��� ���� � ���������� ������� ����� �� ��� ���� �� ��� �!� �#� �- � �� �� �� ��� � �� �� ���� �" ��� �' ���� ���
������ � ��>�� ��� �� � �� ��� ���� � ������&
�! �#
"�" � A�' � !'� �# � �' � #� �- � "�' � !
���@� < ��� ���� �� #�'� *����� ��� ������ $#�-% �� ��� �������� � ������ �� � ��� � ����������� � �� ������
$% �� � � �� ���� ��� ������ ��� � ����� �������
$% �� � � �� ���� �� ��� � �� � � ����� ����� �� ��� �� � � �� �� ��� ��� ���� ������ �� ��� � ���� �� ����� ������� � ������ �� ��� �������
$% ������� � � �� ���� �� ���� � ���� � ������ �- � � ��� � ��� ��� = � �� ���������� � $���� %� ����� ��� ���.� � ������ �������� ���� � � ��� ���� @� ���� �� #�(� ��� ������ ��� ������ �������
$% ������� ����� �� ��� �� � � �� �� ���� ���� � � ����� ������ � ��� ���� �� ����� ����� ��$%� ��� � ����� �������
5������ ���)�������
����� ���� ���� �� ��� ������ �������&
�� "�� -� � �-
"�� '�� (� � �!/
#�� "�� #� � !!
���
�� "�� #� � �!
�#�� �� "� � �A
'�� #�� -� � "
���
�� "�� #� � !
"�� '�� 1� � -
#�� 1�� !#� � A
���7����� ���� ������ �� � ����� � ������ �� � ���� D������ �������&
$�% ���� BB7����� �" �� �"�! � �"CC ��� BB7����� �# �� �#�! � �#CC �� ������ � � �� ��� ������ ����� � ��������� ��� ���� ���� BB7����� �# �� 1�" � �#CC �� ������ � � �� ��� �� � �������� �������� ����� ���
�� "�� -� � �-
�� � � �"
�1�� !'� � "#
��� ����
�� "�� -� � �-
�� � � �"
A� � "#
��� ������ � � � ����� �� �� ���� �� ��� >���������� �� ����� ��� ����� ������ � �"��!� !��$�% )����� � � �� ��� ������ ��� �� � �������� �� ��� ��� ����� BB7����� �" �� #�! � �"CC ���
BB7����� �# �� �'�! � �#CC� ��� ���� ��� �������� ������
�� "�� #� � �!
A�� !!� � �!/
�A�� !!� � A
*;�<� #? �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� ('
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
3. Systems of Linear Equations
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��� ��� ���� BB7����� �# �� �" � �#CC ���� ��� ������ ������ ��� ������� ��� � ���.� ���������&
/�� /�� /� � �#
��� ������� ��� ����� ��� ������ ���� �� �������
$�% )����� � � �� ��� ������ ��� �� � �������� �� ��� ��� ����� BB7����� �" �� �"�! � �"CC ���BB7����� �# �� �#�! � �#CC� ��� ���� ��� ��� ������
�� "�� #� � !
�� "� � "
"�� -� � -
� �� "�� #� � !
�� "� � "
$��� �� � ������� � ������� ���� � � � ����� �� ��� ������ ��������% ��� ������ � � �������� � ��� ���� �� ���� � ��� � ��� � �� �� ��� ��
�� ��� ��� �� ���� � �� � �� ��� ���� � ������� ��� � � � ��� ���� �� � ��� � �� ��� >����������� ��������� � � � � ��� ������ ������� �� ��� � � "� "�� ���� ��������� � � � ���� � "� "� � ��� � �� ������� �� ���
�� "�"� "�� � #� � ! � �� -� � � ! � � � �#� �
���� ��� ���� � ������ �
� � �#� �� � � "� "�� � � � � � ��#� �� "� "�� ����� � � � � �� ����� �
����� ���� ���� �� ��� ������ �������&
�! � #�" � "�# � �- � "�' � "
#�! � (�" � A�# � �- � #�' � A
"�! � +�" � A�# � -�- � '�' � A
���
�! � "�" � #�# � -�- � "
"�! � '�" � "�# � �- � !
'�! � !"�" � A�# � +�- � #
���
7����� ���� ������ �� ������ �� � ���� D������ �������&
$�% ���� BB7����� �" �� �#�! � �"CC ��� BB7����� �# �� �"�! � �#CC �� ������ � � �� ��� ������ ����� � ��������� ��� ����
�! � #�" � "�# � �- � "�' � "
�# � "�- � #�' � !
#�# � +�- � (�' � #
� �! � #�" � "�# � �- � "�' � "
�# � "�- � #�' � !
$,� ����� �#� ���� � � � ����� �� �"�% ��� ������ � � ������ �� � ��� ���� �� ���� �! ��� �#��� � �� �� ���� �"� �-� �'�
�� ��� ��� �� ���� � �� � �� ��� ���� � ������� ��� �" � �� �- � �� �' � �� ��� � �� �� � � ��� ����� �� @�� >���������� ���� �# � !� "�� #� ��� �! � #�� '�� 1�� ��� ���� � ������ �
�! � #�� '�� 1�� �" � �� �# � !� "�� #�� �- � �� �' � �
� � ���������� � �#�� '�� 1�� �� !� "�� #�� �� ���$�% )����� �! � �� ��� ������ ��� �� � �������� �� ��� ��� ����� BB7����� �" �� �"�! � �"CC ���
BB7����� �# �� �'�! � �#CC� ��� ���� ��� ������
�! � "�" � #�# � -�- � "
�" � -�# � A�- � �#
"�" � 1�# � !-�- � �A
��� ��� ���� BB7����� �# �� �"�" � �#CC ���� ��� ������ ��� ������� / � #� ���� ��� ������ ��� �������� $���� ������ ��� ������ ��� �� � �� ����� ���� ��������%�
(+ �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� :*;�<� #
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
3. Systems of Linear Equations
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
����� ���� ���� ��� ��������� �� ���&
"�� #� � #
�� �� � � -
-�� 1�� #� � #'
��� ��������� �� ��� �����&
3���� )������ ��� ����
�"� � !�� "�� #� � # �! � �"
�!� � "�� �� �� � � - �! � �"
�#� -�� 1�� #� � #'
�# � -�� A� � !( 7����� �# �� � -�! � �#
�# � � !#� � !# 7����� �# �� � "�" � �#
;� � $!%� $"%� ��� $# % �� � � � ����� ������� $,� ������.� ���� ��� ��� ������ �� �! ��� �" ����������� �� ���� ������ �� �! ��� �" �� ������%
9��� ��� >���������� ��� ��� � ����� ������ ���� � � �! � �� �#� � � # � �� �"� ��� � � "� �� �!� ���� ��� ����� ������ �� ��� ������ � � � "� � � #� � � �! � ��� � �� � �"� #��!��
���1� *����� ��� ������
�� "�� � � #
��� '� � !/
"�� A�� �� � �
$�% 5�� ����� ����� �� � �� ���� ��� ������ ��� � ����� �������
$�% 5�� ����� �� � �� ����� ��� �� �� ���� ��� ������ ��� �� � ���� ��� �������
7����� ��� ������ �� ������ �� �� ���� �� ������ � � �� ��� �� � ������� �� ��� ��� ����BB7����� �# �� �"�! � �#CC ��� ���� ������ � � �� ��� �� � ������� �� ��� ��� ����BB7����� �# �� �#�" � ��#CC� ��� ����
�� "� � � � #
�� � '� � !/
�� ��� "�� � �� +
��� ����
�� "�� � � #
��� '� � !/
��" � "�� !'�� � ��� +�� #/
)=���� ��� ��� ������� ��" � "�� !'�� � ��� +�� #/�
$�% ��� ������ ��� � ����� ������ � ��� ��� � ��� ��������� �� � � ��� .� �� ���� �� �
�" � "�� !' � ��� '���� #� � / � � � ' ��� � � �#�
$�% ��� ������ ��� �� � ���� ��� ������ � ���� ���� � � .� �� ��� ���>���� ��� � .� � ���� � � ' � � � �#� ,��� � � '� ��� ���>���� ��� � .� � ���� '�� +/ � /� � � � !"� ,��� � � �#� ��� ���>���� ��� � .� � ���� �#�� !" � /� � � � -� ���� �'� !"� ��� ��#� -� � � ��� �� � �� ���� ��������� ��� �� � ���� ��� �������
��6���� )�������� ��< �,�-������� ��< ��������� ���)
���4� 7�� ����� ���� �� ��� ������ ��� ��� �� ������ �� �&
��� � �! " �# /
" - �" "
# + �- #
��
��� ��� � �
�- ! �+
! " �'
+ # �-
��
��
*;�<� #? �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� (A
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
3. Systems of Linear Equations
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
$�% 9�� �!! � ! �� � ���� �� ����� /C� ���� �!!� ���� �� ���� ��� �� ��� ����� BB7����� (" ���"(! � ("CC ��� BB7����� (# �� �#(! � (#CCF ��� ���� ��� �"# � - �� � ���� �� ����� � / ���� �"#����� �� ���� ��� �� ��� ���� BB7����� (# �� �'(" � -(#CC� ����� ��� ����� ���
� �! " �# /
/ / - "
/ / ' #
��
�� �
! " �# /
/ / - "
/ / / "
��
��
��� ��� = � ��� � ������ �� ��
$�% ;��� ��������� � � ����� ���� � ��� ���� ������ ����� !� ��� ��� �� � �� ��� ������ (! ���("� 3�=� ���� ��� ��� ����� BB7����� (" �� -(! � ("CC ��� BB7����� (# �� �+(! � (#CCF ��� �������� ��� ��� ���� BB7����� (# �� (" � (#CC� ����� ��� ����� ���
� �! " �'
�- ! �+
+ # �-
��
�� �
! " �'
/ ( �"+
/ �( "+
��
�� �
! " �'
/ ( �"+
/ / /
��
��
��� ��� = � ��� � ������ �� ��
���9� 0��� �� ��� �� ���� ��> ������� ��� ���� ��� ���� �� ��� ����������� � ���� �� ���� ��������� ��� ����
��� ��> ������� ��� ��� ������� � ������ ��� ��� � ��� ��� � � ����� � �� � ������ ����������� � ������ �� ��� ���� �!�! ��� � ��� ���� ��� �� ��� ����
�����!��!�! �(! � (� � (�
��� ��� ��������� �� ��� ������ ��� ��� � ���� ��� ����� �� ��� ���� ������ ����� �� ���$�� ���% ���� �!�! � ���� �� ��� ������� � ������� � � � ��� �� ���������� ������ ���� ��� ����� �� ������ �� � �� � ������� ���� �� �������
���;� 6�� � �" �" " !
�# + / �!
! �A !/ "
��
��� 7����� � �� ������ �� � ���� ��� ������ ��� ����
5 �� ��� ������ (! ��� (" �� ���� �# ��� �� ���� �� ��� ����� ��� ���� ���� ��� ��� ����� BB7�����(" �� "
#(! � ("CC ��� BB7����� (# �� !
#(! � (#CC� ����� ��� ����� ���
� ��# + / �!
" �" " !
! �A !/ "
��
�� �
�# + / �!
/ " " !#
/ �' !/ '#
���
���
3�� ��� ������ (" ��� (# �� ���� �' ��� �� ���� �� ��� ����� ��� ���� ���� ��� ��� ���� BB7����� (# ��"'(" � (#CC� ,� �����
� ��# + / �!
/ �' !/ '#
/ " " !#
��
�� �
�# + / �!
/ �' !/ '#
/ / + !
��
��
��� ��� = ��� ���� � ����� �� ������ �� � ���� �� �� �������
���=� 7����� ���� �� ��� ������ ��� ��� �� �� ������� �� �&
��� � �" " �! + -
- - ! !/ !#
1 1 �! "+ !(
��
��� ��� � �
' �( +
/ " #
/ / A
��
��
(1 �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� :*;�<� #
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
3. Systems of Linear Equations
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
$�% 5 �� ����� � �� ������ �� � �� ������ ��� ��� ����� BB7����� (" �� �"(! � ("CC ��� BB7����� (#
�� �-(! � (#CC� ��� ���� ������ ��� ��� ���� BB7����� (# �� �(" � (#CC� ����� ��� ����� ���
� �" " �! + -
/ / # �" +
/ / # " A
��
�� �
" " �! + -
/ / # �" +
/ / / - "
��
��
3�� ��� ��� >���������� �� ��� ������ ��� = �� ����� ��� �� ������� �� � �� �� ��������� � ������� (# �� !
-�� ����� ��� ���� �#- � !� ��� ���� ���� ��� ��� ����� BB7����� (" �� "(# � ("CC
��� BB7����� (! �� �+(# � (!CC� ����� ��� ����� ���
� �" " �! + -
/ / # �" '
/ / / ! !"
��
�� �
" " �! / !
/ / # / +
/ / / ! !"
��
��
3�� ����� (" �� !#� �� �� ��� ���� �"# � !� ��� ���� ���� BB7����� (! �� (" � (!CC� �����
� �" " �! / !
/ / ! / "
/ / / ! !"
��
�� �
" " / / #
/ / ! / "
/ / / ! !"
��
��
5���� ����� (! �� !"� �� ��� ���� �!! � !� ���� �� ����� ��� ������ �� ������� �� � �� �&
� �! ! / / #
"
/ / ! / "
/ / / ! !"
��
��
$�% ���� � � � ������ �� �� ��� ��� >���������� �� �����
� �' �( +
/ " #
/ / !
���
��� �
' �( /
/ " /
/ / !
���
��� �
' �( /
/ ! /
/ / !
���
��� �
' / /
/ ! /
/ / !
���
��� �
! / /
/ ! /
/ / !
���
���
��� ��� ��� =� ���� � ��� ������ ��� = ' � � ��� �� ������� �� � �� �� $��� � �=������� ���� �
� ��� ���� ��� �� �� �� ������� �� � ���� �� ' �%
���?� 0��� �� ��� D����GH� ��� ������� ��� ���� ���� ��� �� ������ �� � �� � � ��� = � ���� �� ������� �� ��
��� D����GH� ��� ��� ��� � ��� � ���� ���� �� ��� D������ ������� ��� ���� �=���� ������ � ���� ���� � ���� �� ���� /C� ���� ���� ��� ����� ��� ����� ��� ���� ���� ��� ����� ���� � �� ����� ��� ��=� ����� ���� ��� �� ���� �� ��� ��� ��� � �� ��������� ���� ��� ���� �� ������ � ��� ��������� � � � ���� �� � ����� /C� � ��� ���� ���� ���� ���� �� ��.�� ��� ��� �� ��� ��� �� ��� ��� ����
���@� 6�� � �! �" # ! "
! ! - �! #
" ' ( �" 1
��
��� 9�� D����GH� ��� �� ��� ��� �� ������� �� � �� ��
9�� �!! � ! �� � ���� �� ����� /C� ���� �!! �� ������ ��� ��� ����� BB7����� (" �� �(! � ("CC ���BB7����� (# �� �"(! � (#CC� ��� ����
� �! �" # ! "
/ # ! �" !
/ ( # �- -
��
��
4���� (" �� !"�� �� � ��� ���� �"" � !� ��� ���� � ����� /C� ���� ��� ����� �"" �� ������ ���
*;�<� #? �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� ((
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
3. Systems of Linear Equations
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��� ����� BB7����� (# �� �((" � (#CC ��� BB7����� (! �� "(" � (!CC� ����� ��� ����� ���
� �! �" # ! "
/ ! !#
� "#
!#
/ ( # �- -
����
���� �
! / !!#
� !#
1#
/ ! !#
� "#
!#
/ / / " !
����
����
5���� ����� (# ��!"�� �� � ��� ���� �#- � !� ��� ���� � ����� /C� ����� �#- �� ������ ��� ��� �����
BB7����� (" �� "#(# � ("CC ��� BB7����� (! �� !
#(# � (!CC� ����� ��� ����� ���
� �! / !!
#� !
#1#
/ ! !#
� "#
!#
/ / / ! !"
����
���� �
! / !!#
/ !A+
/ ! !#
/ "#
/ / / ! !"
����
����
���� � ��� �� ������� �� � �� ��
�.���)� �� ������ �,����� �� )����> ���)
����� 5�� ��� ��������� ��� = � ��� ��� ��������� ��� = � �� ��� ������ ������&
�� "�� #� � -
#�� -�� A� � '
+�� 1�� (� � !
5 �� ��� ��� �� ����� � ��� ������� ��� ���� ��� ��� ����� ������ �� ����� � ��� �� ,� ����
�� "�� #� � -
A�� #�� -� � '
1�� (�� +� � !
� ���� � �! " �# -
A # �- '
1 �( + !
��
�� ��� � �
! " �#
A # �-
1 �( +
��
��
����� ���� ���� �� ��� ������ ������� ���� �� ��������� ��� = � &
�� "�� � � #
�� #�� � � '
#�� 1�� -� � !A
���
�� "�� -� � "
"�� #�� '� � #
#�� -�� +� � A
���
�� �� #� � !
"�� #�� � � #
'�� A�� � � A
���
$�% 7����� ��� ��������� ��� = � �� ������ �� � �� �����&
� �! " �! #
! # ! '
# 1 - !A
��
�� �
! " �! #
/ ! " "
/ " A 1
��
�� �
! " �! #
/ ! " "
/ / # -
��
��
3�� � �� ���� ��� �� �������� � ����� ������
�� "�� � � #
�� "� � "
#� � -
��� ���� �� ��� >���������� �� ����� ��� ����� ������
� � !A#� � � � "
#� � � -
#� � �!A
#�� "
#� -#�
��� ������ ����� ��� ������ �� � �� � �� �� ������� �� �� �������
� �! " �! #
/ ! " "
/ / ! -#
����
���� �
! " / !##
/ ! / � "#
/ / ! -#
����
���� �
! / / !A#
/ ! / � "#
/ / ! -#
����
����
��� ��� �� ������� �� ��� ����� �������
!// �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� :*;�<� #
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
3. Systems of Linear Equations
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
$�% 5 �� ����� ��� ��������� ��� = � �� ������ �� � �� �����&
� �! �" - "
" �# ' #
# �- + A
��
�� �
! �" - "
/ ! �# �!
/ " �+ !
��
�� �
! �" - "
/ ! �# �!
/ / / #
��
��
��� �� � �� �� ������� �� ��� ������ ��� ������� /�� /�� /� � #� ���� ��� �� ������� ����BB0� 3�� *�3��39)CC� ��� � ��� ������ ��� ��� �� ������� $3��� ���� ��� ������ �� � ������������� � ��� ��� ������ ��� � �������%
$�% 7����� ��� ��������� ��� = � �� ������ �� � ��� ���� �� �� ������� �� �&
� �! ! # !
" # �! #
' A ! A
��
�� �
! ! # !
/ ! �A !
/ " �!- "
��
�� � ! / !/ /
/ ! �A !
$��� �� � �� �� ��� ������ ��� = � ������� ���� � � � ����� �� ��� ������ �� ��� � ���� � �.� � ���% , �� ���� ��� ������ �� �������� �� ��� �� ������� �� � �� � ��� ���� � ����� ���� �� �� ���� �� ��� ���� ��� �� ����� ��� � ��>�� ��� �� � �� ��� ������&
�� !/� � /
�� A� � !���
� � �!/�
� � !� A�
;� � � � ��� ��� � �� �� ���� ��� �� ���� � ������� ���� � � �� � �� �����&
� � �!/�� � � !� A�� � � � � � ��!/�� !� A�� ��
����� ���� ��� ������ ������ ���� �� ��������� ��� = � &
�! � "�" � #�# � "�- � -�' � !
"�! � '�" � 1�# � �- � +�' � -
�! � -�" � A�# � '�- � "�' � 1
7����� ��� ��������� ��� = � �� ������ �� � ��� ���� �� �� ������� �� �&
� �! " �# �" - !
" ' �1 �! + -
! - A ' " 1
���
��� �
! " �# �" - !
/ ! �" # �" "
/ " �- A �" A
���
��� �
! " �# �" - !
/ ! �" # �" "
/ / / ! " #
���
���
�! " �# / 1 A
/ ! �" / �1 �A
/ / / ! " #
���
��� �
! / ! / "- "!
/ ! �" / �1 �A
/ / / ! " #
���
���
, �� ���� ��� ������ �� �������� �� ��� �� ������� �� � �� � ��� ���� � ����� ��� � �� �� ���� ����� ���� ��� �� ����� ��� � ��>�� ��� �� � �� ��� ������&
�! � �# � "-�' � "!
�" � "�# � 1�' � �A
�- � "�' � #
���
�! � "!� �# � "-�'�" � �A� "�# � 1�'�- � #� "�'
;� � �!� �"� �- � � ��� ���� �� ���� ��� �# ��� �' � � ��� � �� �� ����� 7��� ���� ��� �� ���� � �� � ����� ������ ��� �� ������� � �� ��� � ��>�� ��� �� � �� ��� ������ �� ���� ������ ��� � �� �� �������� �� �� ����� �� ��� �# � �� �' � �� ��� � ����� ����
�! � "!� �� "-�� �" � �A� "�� 1�� �# � �� �- � #� "�� �' � �
� � �"!� �� "-�� �A� "�� 1�� �� #� "�� ������ � ������ �� � �� ��� �������
*;�<� #? �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� !/!
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
3. Systems of Linear Equations
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
������ ��) ��������� 6�)�5����� �.���)�
���1� , �� � �� � ��� ��������� �� !� "� #� ��� �
$�% � � �#� !/� A� ��� ! � �!� #��"�� " � �!� -� "�� # � �"� 1� !�F$�% � � �"� A� 1� ��� ! � �!� "� #�� " � �!� #� '�� # � �!� '� (�F$�% � � �!� '� -� ��� ! � �!� #��"�� " � �"� A��!�� # � �!� +� A��
5�� ��� �������� ������ �� ��� �������� �� � ��� � � �! � �" � �#� ��� ������� ��� ������������ ��� = � �� ��� �������� ������� ��� � � � �!� "� #� �� $;� � !� "� #� � � � ��� �������� � �%
$�% ��� ����� ������� � � �! � �" � �# �� ��� ���� ����� � � �� �����&
#
!/
A
��
�� � �
!
#
�"
��
��� �
!
-
"
��
��� �
"
1
!
��
�� �
�� �� "�
#�� -�� 1�
�"�� "�� �
��
��
5� � ��� �������� ������ �� ��� �������� �� ������ �� �������� ��� �� ���� �� ���� ���� � ������� ����� ��� ������ �� ������ �� �&
�� �� "� � #
#�� -�� 1� � !/
�"�� "�� � � A
�
�� �� "� � #
�� "� � !
-�� '� � !#
�
�� �� "� � #
�� "� � !
�#� � (
��� ������ � � � ����� �� �� @�� >���������� ���� ��� ����� ������ � � "� � � A� � � �#����� � � "! � A" � ##�
��� ������� �� � ��� ��������� ��� = � � �!� "� #� � �� ��� �������� ������� ��� ������ �� ������ �� �&
� �! ! " #
# - 1 !/
�" " ! A
��
�� �
! ! " #
/ ! " !
/ - ' !#
��
�� �
! ! " #
/ ! " !
/ / �# (
��
��
��� ��� ��� = �� ������� �� � � ����� ������ ���� ��� � ����� ������� @�� >���������� ���� ��������� � � "� � � A� � � �#� ���� � � "! � A" � ##�
$�% 5� � ��� ��������� ��� = � � �!� "� #� � �� ��� �������� ������� ��� ����� � �� ��� �������� �&
� �! ! ! "
" # ' A
# ' ( 1
��
�� �
! ! ! "
/ ! # #
/ " + -
��
�� �
! ! ! "
/ ! # #
/ / / �"
��
��
��� �� � �� �� ������� �� ��� ������ ��� ������� /�� /�� /� � �"� ���� ��� �� ������� ������� ������ ��� ��� �� ������� ��� � ������ �� � ���� �� � ��� ��������� �� !� "� #�
$�% 5� � ��� ��������� ��� = � � �!� "� #� � �� ��� �������� ������� ��� ����� � �� ������ �� �&
� �! " ! !
# A + '
�" �! A -
��
�� �
! " ! !
/ ! # "
/ # ( +
��
�� �
! " ! !
/ ! # "
/ / / /
��
��
��� ��� ��� = �� ������� �� ��� ������ ������ ��� � �� �� ��� �&
�� "�� � � !
�� #� � "
���� � ��� �� � ���� �� � ��� ��������� �� !� "� # � ���� ����� 5� �=����� �� ��� � ���� ��� � � !� ���� �� ��� >����������� �� ��� � � �" ��� � � "� ���� � � "! � "" � #�
!/" �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� :*;�<� #
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
3. Systems of Linear Equations
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
���4� 6�� ! � �!� "� -�� " � �"��#� !�� # � �"� !��!� � �#� ���� ���� !� "� # � � � �������� ���� �� � �� � ��� ��������� �� !� "� #� ��� �& $�% � � �A� !+� +�� $�% � � �#� '� "��
�� � ��� ��� � ����� �� �� � �� ����� � �� ���
! � " � "� +� - � /� ! � # � "� "� - � /� " � # � -� #� ! � /
���� ��� �� �� ����� � � �# � � � �������� ��� ����� 5�� � ���������� ��� �� ����� ���� ��� � �! � �" � �#� ��� �
� � � � !! � !
� � � � � "" � "
� � � � � ## � #
$�% ,� ����
� � A� #"� "-
!� -� !+� +#
"!� #� � � !-� -1� +
-� (� !� �"1
!-� � �"� � � !-� !+� +
-� !� !� "-
+� -
���� � � #! � "" � -#�
$�% ,� ����
� � #� !/� 1
!� -� !+� "!
"!� !� � � +� !'� "
-� (� !� �A
!-� � !
"� � � +� '� "
-� !� !� (
+� #
"
���� � � ! � !"" � #
"#�
���9� 5�� ��� ������� ��� � ���� �� ��� ���� � ������ 3 �� ���� �� ��� ������ ������������������&
"�! � -�" � '�# � #�- � /
#�! � +�" � A�# � -�- � /
'�! � !/�" � !!�# � +�- � /
���
�� "�� #� � /
"�� �� � � /
#�� -�� 1� � /
���
$�% 7����� ��� ������ �� ������ �� � ���� ��� ��� ����� BB7����� �" �� �#�! � "�"CC� BB7����� �# ���'�! � "�#CC� ��� ���� BB7����� �# �� �"�" � �#CC� ����� ��� ����� ���&
"�! � -�" � '�# � #�- � /
�# � �- � /
#�# � #�- � /
���"�! � -�" � '�# � #�- � /
�# � �- � /
��� ������ � ������ �� � ��� ��� � �� �� ����� �" ��� �-� �� �� 3 � "� � ���� �!� " �� 3 ����� ������� �� �����&$!% ��� �" � !� �- � /� @�� >���������� ���� �# � /� ��� ���� �! � �"� ���� ! � ��"� !� /� /��$"% ��� �" � /� �- � !� @�� >���������� ���� �# � !� ��� ���� �! � !� ���� " � �!� /� !� !��
$�% 7����� ��� ������ �� ������ �� �� �������
�� "�� #� � /
'�� (� � /
"�� A� � /
���
�� "�� #� � /
'�� (� � /
!A� � /
��� � � � �� � �� �� ���� $��� ������ � � � ����� �� �%� ;���� �� 3 � /� ��� 3 ��� �� �������������� 3 ������� ��� �� ��� .� � ������� ���� �� 3 � �/��
���;� 5�� ��� ������� ��� � ���� �� ��� ���� � ������ 3 �� ��� ������ ����������� ���������� ��� = �������&
�! � "�" � #�# � "�- � -�' � /
"�! � -�" � 1�# � �- � (�' � /
#�! � +�" � !#�# � -�- � !-�' � /
���� ��� ��� ���� ���� ��� �� ���� � �� � �� ��� ���� � ������ �� ��� �������
*;�<� #? �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� !/#
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
3. Systems of Linear Equations
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
,��� � ������ � ������������ �� �� ����� ��� ������ �� �� ��������� ��� = � ���� ���� �� ����������� ��� = � � ���� ��� ��� ����� �� ��� ��������� ��� = � � � .� � ������ ��� � � ���� �.� � ����� �� �� ��� ��> ������� � ������
7����� ��� ��������� ��� = � �� ������ �� �� �������
� �! " # �" -
" - 1 ! (
# + !# - !-
��
�� �
! " # �" -
/ / " ' !
/ / - !/ "
��
�� � ! " # �" -
/ / " ' !
$��� �� � �� �� ��� ������ ��� = � ������� ���� � � � ����� �� ��� ������ �� ��� � ���� � � .� � ���% ,� ��� ��� � ����� � ��� �� ��� �����$�% , �� ���� ��� �� �������� ����������� ������ � ������ �� �&
�! � "�" � #�# � "�- � -�' � /
"�# � '�- � �' � /
��� ������ � ������ �� � ��� �� �� � �� �� ����� �"� �-� �'� �� �� 3 � #� � ���� �!� "� # �� 3��� �� ������� �� �����&
$!% ��� �" � !� �- � /� �' � /� @�� >���������� ���� �# � /� ��� ���� �! � �"� ����! � ��"� !� /� /� /��
$"% ��� �" � /� �- � !� �' � /� @�� >���������� ���� �# � � '"� ��� ���� �! � !"� ����
! � �!"� /�� '"� !� /��
$#% ��� �" � /� �- � /� �' � !� @�� >���������� ���� �# � � !"� ��� ���� �! � � '
"� ����
! � �� '"� /� � !
"� /� !��
:��� ���� ���� � ������ � ��� ���� �� ������� �- � " � $"% ��� �' � " � $#%� ���� ���������� �� " ��� #�? ��� �� ���� � �� � �� ��� ���� � ������ � ������� � �� ��� ������ ��� ��������� �� ��� ���� ����� � ���� �� ����� � �� �� �&
�! � �" � �# � ��"�� !"�� '"�� �� � '
"�� !
"�� �� ��
$�% 7����� ��� ������ �� � �� � �� �� ������� �� �&
� � ! " # �" -
/ / ! '"
!"
� �� ! " # � !(
"'"
/ / ! '"
!"
� �
, �� ���� ��� �� �������� � ��>�� ��� ������&
�! � �"�" �!(
"�- �
'
"�'
�# � � '
"�- �
!
"�'
9��� ����� �������� �� ��� ���� �� ���� �! ��� �#� ����� ��� ����� � ����� �� ����� � ���� �!� "� #�� 3� ���� �� ��� �" � !� �- � /� �' � / �� ��� !F ��� �" � /� �- � !� �' � / �� ���� "F ��� ��� �" � /��- � /� �' � ! �� ��� #�
���=� < ��� ���� �� #�!#� 6�� �/ �� � �� ���� ������ �� �- � �� ��� �� 3 �� ��� ���� � ������ ���- � /� ���� / � �/ �3 � ��/ � � � � � 3 � � ��� ���� � ������ �� �- � ��
6�� � �� � ������ �� �- � /� ����
���/ � �� � ��/ � �� � �� / � �
���� ��� ��� �/ � � � � ������ �� �- � �� �� ��� ���� ����� ������� � � ��� � ������ �� �- � ������
���� �/� � ��� ��/ � �� � � /
��� ��� � �� �/ ������ �� 3 � ���� � � �/ � ��� �/�� �� ��� ���� ��� ������ �� �- � � ��� �� ��������� ����� � ������ �� �- � / �� � ������ �� �- � �� ���� ��� ���� �� � � �����
!/- �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� :*;�<� #
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
3. Systems of Linear Equations
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
���)�����. )�������� �//���������
���?� 6�� �!� �"� �# ������� ���������� ��� ������� � �� ��� �����
BB���� ������ ��� (! ��� ("CC� BB7����� (# �� A(#CC� BB7����� (" �� �#(! � ("CC
5�� ��� �� �������� #>���� � ������� � ��� ��� 5!�5"�5#�
���� ���� ��� ���� �� ��� #� # ������ ��� = '# �� �����
5! �/ ! /
! / /
/ / !
��
��� 5" �
! / /
/ ! /
/ / A
��
��� 5# �
! / /
�# ! /
/ / !
��
��
���@� *����� ��� ������� � �� ��� ����� � < ���� #�"(�
$�% 0��� �� ��� ��� �� ��� ����� ��!! � ��!
" � ��!# �
$�% 5�� ��� �� �������� #>���� � ������� � ��� ��� 5 !� 5
"� 5
#�
$�% ,��� � ��� �������� ������� ��� ��� ��� 5 !� 5
"� 5
# ��� ��� ��� ��� 5!� 5"� 5#J
$�% ��� ��� ��� �� �!� �"� �# � �� ����������
BB���� ������ ��� (! ��� ("CC� BB7����� (# ��!A(#CC� BB7����� (" �� #(! � ("CC�
$�% ���� ���� ��� �� ��� ���� �� ��� #� # ������ ��� = '# �� �����
5 ! �
/ ! /
! / /
/ / !
��
��� 5
" �! / /
/ ! /
/ / !A
��
��� 5
# �! / /
# ! /
/ / !
��
��
$�% ��� ��� ��� 5 !� 5
"� 5
# � �� ���������� ��� ��� ��� �� ��� ��� ��� 5!� 5"� 5#�
����� , �� ���� �� ��� ������ ��� ��� �� � � ����� �� ������� � ��� ���&
��� � � ! �#
�" -
� ��� � �
! " #
/ ! -
/ / !
��
��� ��� ! �
! ! "
" # 1
�# �! "
��
��
��� ������ �� �� ����� � �� � ��� = � �� � � ����� �� ������� � ��� ���&
���0 �� 7�� ����� � �� ��� ������ ��� = ' � ����� � �� �� ��� ������� � �� ��� ������
���0 �� , �� ���� ��� ��� �� �� ��� ������
���0 �� , �� � �� ��� � ����� �� ��� ������� � ��� ��� �� �������� �� ��� ��� �� ��� ������ ������� ��� ��� �� �����
�� � .� � �� ����� � � ���� !� ���� � � ��� �� �������� �� ��� ������ ��� = ' � ��� � ������ �� � ������ � � ����� �� ������� � ��� ����
$�% $!% ,� ����
� � ! �#
�" -
� ! �#
/ �"
� ! �#
/ !
� ! /
/ !
� '
��� � ��� �� ��� ����� � �� ����������
BB7����� (" �� "(! � ("CC� BB7����� (" �� � !"("CC� BB7����� (! �� #(" � (!CC
$"% ���� �� ��� �����&
BB7����� (" �� �"(! � ("CC� BB7����� (" �� �"("CC� BB7����� (! �� #(" � (!CC
$#% � � ! /
�" !
! /
/ �"
! �#
/ !
*;�<� #? �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� !/'
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
3. Systems of Linear Equations
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
$�% $!% ,� ����
� �! " #
/ ! -
/ / !
��
�� �
! " /
/ ! /
/ / !
��
�� �
! / /
/ ! /
/ / !
��
�� � '
��� � ��� �� ��� ����� � �� ����������
BB7����� (" �� � -(# � ("CC� BB7����� (! �� � #(# � (!CC� BB7����� (! �� �"(" � (!CC
$"% ���� �� ��� �����&
BB7����� (" �� -(# � ("CC� BB7����� (! �� #(# � (!CC� BB7����� (! �� "(" � (!CC
$#% � �! / /
/ ! -
/ / !
��
��
! / #
/ ! /
/ / !
��
��
! " /
/ ! /
/ / !
��
��
$�% $!% 5 �� �� ����� ! �� ������ �� �� ,� ����
! �! ! "
" # 1
�# �! "
��
�� �
! ! "
/ ! -
/ " 1
��
�� �
! ! "
/ ! -
/ / /
��
��
�� ������ �� �� ! ��� � .� � ��� BB���<CC� ��� ��� = ! ������ �� �� ������ �� ��� ��������� = ' � ��� ! ������ �� � ���� �� � � ����� �� ������� � ��� ���� $,� ����� � �� ���� � ����! ��� �� ��� ���%
����� 5�� ��� ��� �� ��& $�% � �! " �-
�! �! '
" A �#
��
��� $�% � �
! - �-
! ' �!
# !# �+
��
���
$�% 5� � ��� ��� = � � ��� ' ��� �� ����� � �� ������ �� �&
� �! " �- ! / /
�! �! ' / ! /
" A �# / / !
���
��� �
! " �- ! / /
/ ! ! ! ! /
/ # ' �" / !
���
���
�! " �- ! / /
/ ! ! ! ! /
/ / " �' �# !
���
���
�� ������ �� �� ��� ��� ��� �� � � � � ����� �� �F ����� � ��� �� ��� ��� 5� ��� ����� � �� ��������� �� �&
� �! " / �( �+ "
/ ! / A"
'"
� !"
/ / ! � '"
� #"
!"
����
���� �
! / / �!+ �!! #
/ ! / A"
'"
� !"
/ / ! � '"
� #"
!"
����
����
��� ��� ��� = ��� ��� �� � �' ���!F ���� �� ��! � ��� ��� ��� �� ��� ��� ��� =� ����
��! ��!+ �!! #
A"
'"
� !"
� '"
� #"
!"
����
����
!/+ �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� :*;�<� #
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
3. Systems of Linear Equations
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
$�% 5� � ��� ��� = � � ��� ' ��� �� ����� � �� ������ �� �&
� �! # �- ! / /
! ' �! / ! /
# !# �+ / / !
��
�� �
! # �- ! / /
/ " # �! ! /
/ - + �# / !
��
�� �
! # �- ! / /
/ " # �! ! /
/ / / �! �" !
��
��
�� ������ �� �� � ��� � .� � �� � �� ��� ���F ���� �� � � ��� �� ������ �� � ����� �� ������ ����� � ��� �� ��� ���
����� ���� ���� ��� � ������� � ��� = 5 � ��� ���� ��� �� ��� �� � �� ������� � ��� =�
6�� 5 �� ��� ������� � ��� = �� �������� �� ��� ������� � ��� ���� �� ���� �� ��' � � 5� 6�� � ����� ��� �� ��� ���� �� � ��� �� 5 �� ��� �� �������� ������� � ��� =� ���� �� � �' � � 5 � ����
' � � ���' �� � � �5� � 5 5 ��� ' � ��� �' �� � ��5 � � 55
��� ��� � 5 � ��� ��� �� �� 5�
���1� < ��� ���� �� #�!#& 6�� � �� �� ������� � �� ��� ���� ��� �� 5 �� ��� �� �������� �>���� �������� � ��� =� ���� �� 5 � ��' �� ���� ���� � 5�� ��� � � � ��� �� � ��� =�
6�� (� �� ��� �� � �� �F �� ������ ��� �� � ��� � � �(!� � � � �(�� �� � � � ��� = �� ���� �� ������� ���� �� � �(!� � � � �(��� ,� ��� ��
�� � �/� � � � � /� �!� /� � � � � /�� �� �
;� � �� � ����� ! � ��� ��� ��� �� ��� ��� ���� $< ���� "�-'% ���� ��� � (�� ,� ��� ���� ����' � ��!� �"� � � � � �� � ��� ������ ��� =�
$% 6�� � �� ��� ������� � �� ��� ���� BB���� ������ ��� (� ��� (�CC� ����� �� �� � ��� �� � ��
5 � ��' � � ��!� � � � ����� � � � ������ � � � � �����
���� � �(!� � � � � �(�� � � � ���(�� � � � �(�
����
5� � ��!�� � � � � ����� � � � � ������ � � � � ��� � �(!� � � � � �(�� � � � ���(�� � � � �(� � ����
$% 6�� � �� ��� ������� � �� ��� ���� BB7����� (� �� �(� �� � /�CC� ����� �� �� ��
5 � ��' � � ��!� � � � � ����� � � � � �����
���� � �(!� � � � � ��(�� � � � �(�����
5� � ��!�� � � � � ������ � � � � ��� � �(!� � � � � ��(�� � � � �(� � ����
$% 6�� � �� ��� ������� � �� ��� ���� BB7����� (� �� �(� � (�CC� ����� �� �� ��
5 � ��' � � ��!� � � � � ���� � ��� � � � � �����
���� � �(!� � � � � ��(� � (�� � � � � (�
*;�<� #? �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� !/A
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
3. Systems of Linear Equations
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
9��� ���� � ���� � ������ � ��� � �(� � (� � �� ����
5� � ��!�� � � � � ���� � ����� � � � � ���� �(!� � � � � ��(� � (�� � � � � (� � ����
���4� < ��� ���� �� #�!-& 6�� � �� � ���� � ��� =� ���� ��� ������ � � ��������&
$�% � � ��� ��� $�������� %�
$�% � � �� �������� �� ��� ������ ��� = ' �
$�% � � � � ����� �� ������� � ��� ����
������� � � ��� ��� ��� ������� � � �� �������� �� ��� = � � �� ������� �� �� ���� ��� ��=�� ������� � ��� ��� 5!�5"� � � � �5 ���� ���� 5 � � �5"5!� � �� ���� � � ��� ��� ��� ����������� � ��� = � ��� ���� � � ��� ��� ���� @�� � � � ' � ���� � ��� � .� � ��F ������ � � ������ ���� ���� � � ' � ��� $�% ���� $�%�
�� $�% ����� ���� ��� � �=�� ������� � ��� ��� 5!�5"� � � � �5 ���� ���� 5 � � �5"5!� � ' � ;����� � �5 � � �5"5!��! � 5�!5�!
" � � � �5�! � @�� ��� 5�!
� � � ��� ������� � ��� ���� ���� $�% ���� $�%��� $�% ����� ���� � � 5!5" � � �5 � ��� 5� � � ��� ��� ��� ���F ����� ��� � ����� � � ��� ��� ����
���� $�% ���� $�%� ���� ����� ��� ���� �� � � �����
���9� < ��� ���� �� #�!'& �� �� � ' � ���� �� � ' � ��� ����� � � ��!�
������� � � ��� ��� ���� ���� � � ��� �� �������� �� ��� ������ ��� = ' � ��� �� � � ���������� �� � ��� = ��� � .� � ��� �� ���� �� ��� ��� � �=�� ������� � ��� ��� 5!� � � � �5 ���� ����5 � � �5"5!� ��� � .� � ��� ;���� 5 � � �5"5!�� � 5 � � �5"5!� �� ��� ��� ��� =� ��� ��� � .� � ��� @����� ��� ��� ��� ������ ���� .� � ���F ����� � � ��� ���� ��� ��� �� ��!� ���� ����
� � '� � ���!��� � ��!���� � ��!' � ��!
���;� < ��� ���� �� #�!+& � � �� �������� �� � $� ���� � � �� � ��� ��� � ��� � �=��� ��������� ��� = % ���� ���� � � %��
�� � � �� ���� � � � �� � � ��"��!����� � � �� � 5 � � �5"5!� � %� ��� � % � 5 � � �5"5! � �������� �*���� ���� ������� � � %�� ��� � % � �������� � @� ���� �� #�!-� % � � � ����� �� ������� ���� ���� ��� �� � ��� �� ������� � �� � �� � �������� �� ������� � �� ��� ������ ���� �� � � �� ������� ���� �� � � �����
���=� < ��� ���� �� #�!1& )�� � �� � ��� = � � �������� �� � ����� ��� ��� = �� ��� �� �'� /
/ /
� ��� � '� � ��� � � � ������ ��� =�
��� � ��� � ����� ������ � ��� �� � �� �� ��� ����
���0 �� 7�� ����� � �� �� ������� �� �� ��� ����� ���.� � ��� �� �!�! � �"�" � � � � � �����
���0 �� ���� ������ !! ��� !!�!� ��� ������ !" ��� !"�"
� � � � � ��� ��� ������ !� ��� !��� ��� ���� �
��� = � ��� �� �'� �
/ /
� ��� ����� ���.� � ��� �� �!!� �""� � � � � ����
���0 �� 9�� ����� ��� ������ ��� ��� ��� �� ������ �� ����� ���� ��� � � � ��� � .� �� ���� �� � � !� "� � � � � � ��� � � � � !� � � "� � � � � �� ���� ��� ��� ���� ����!� � !� � !��
��� ��� ��� = ��� ��� ��� �� �� �'� /
/ /
�
!/1 �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� :*;�<� #
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
3. Systems of Linear Equations
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
� �������A�����
���?� 5�� ��� 69 ����������� ��& $�% � �! �# '
" �- A
�! �" !
��
��� $�% � �
! - �#
" 1 !
�' �( A
��
���
$�% 7����� � �� � ����� �� � �� ��� ������ ��� �����&
BB7����� (" �� � "(! � ("CC� BB7����� (# �� (! � (#CC� ��� ����
BB7����� (# �� '"(" � (#CC
����� ��� ����� ��� ��� ������� ��� � ��� � ����� �� � � / &
� �! �# '
/ " �#
/ �' +
��
�� �
! �# '
/ " �#
/ / � #"
��
�� � / ��� � �
! / /
" ! /
�! � '"
!
��
��
��� ��� �� "��!�� '"� � � � ��� �������� �� ��� ����� � �"� !� '
"� ��� ����� �� ��� ������ $�� �
���� � ����� � ��� / �� �� �� � � �/�%
$�% 7����� � �� � ����� �� � �� � �� ������ ��� ��� ����� BB7����� (" �� �"(! � ("CC ��� BB7�����(# �� '(! � (#CC� ����� ��� ����� ���
� �! - �#
/ / A
/ !! �1
��
���
���� �� ���� ��� ������ ������ ��� � � /� ���� � ������ �� � ����� ��� � ����� �� � ������ ����� ������ ��� ������ ���� ����� � � ��� �/ >����� ���� $��� � ���� �=�� � %�/ ����� .���� ������ � ��� = �� ��� � % � � �� ������� ��� =� ��� ���� � ����� .���� �� ������ ��� ����� �� �����=��%
��1@� 5�� ��� �7/ ����� .���� �� ��� ��� = � � < ���� #�#(�
��� � � �7/ ����� .���� ��� � �� ��� ������� ��� � � � � ��� � ����� ��� = ��� !C� �� ��������� $�� � ��� �/ ����� .���� �� �%� 7 � � ������ ��� =� ��� / � �� ���� � ����� ��� = ��� !C��� ��� ������� ���� ���� ����� ��� ��� ������ ��� �� � ��� ��� = / � ��� ����� �/ ����� .���� �� ��� ����� 7 ��� �� ���� �
� �! / /
" ! /
�! � '"
!
��
��� 7 �
! / /
/ " /
/ / � #"
��
��� / �
! �# '
/ ! �#
/ / !
��
��
��1�� 5�� ��� �/ ����� .���� �� ��� ��� = � �! " !
" # #
�# �!/ "
��
���
7����� � �� � ����� �� � �� ��� ������ ��� �����&
�!� BB7����� (" �� �"(! � ("CC� �"� BB7����� (# �� #(! � (#CC� �#� BB7����� (# �� �-(" � (#CC
����� ��� ����� ��� ��� ������� ��� � ��� � ����� �� � � / &
� �! " !
/ �! !
/ �- '
��
�� �
! " !
/ �! !
/ / !
��
�� � / ��� � �
! / /
" ! /
�# - !
��
��
��� ��� �� "��#� - � � � � ��� �������� �� ��� ����� � �"� #��- � ��� ����� �� ��� ������ $�� ����� � ����� � ��� / �� �� �� � � �/�%
*;�<� #? �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� !/(
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
3. Systems of Linear Equations
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��1�� 6�� � �� ��� ��� = � < ���� #�-!� 5�� -!�-"�-#� ��� �& -� � ��� ������ �� �- � �� �� &$�% �! � �!� !� !�� $�% �" � �! � -!� $�% �# � �" � -"�
$�% 5�� ��!�! �� ������ ��� �� ��� ����� $!%� $"%� ��� ���� $#% � < ���� #�-! �� �!&
�! �!
!
!
��
���������!� ��� �"� !
�!
-
��
���������#� !
�!
1
��
��
���� /- � � �� � � �!��!� 1� �� ��� >���������� �� ����� -! � ��"'� (� 1��$�% 5 �� ��� �" � �! � -! � �!� !� !� � ��"'� (� 1� � ��"-� !/� (�� ���� �� �����
�" � ��"-� !/� (" �������!� ��� �"� ��"-� '1��+#" �������#� ��"-� '1��"('"
���� /- � � �� � � ��"-� '1��"('� �� ��� >���������� �� ����� -" � �(-#��#'#��"('��$�% 5 �� ��� �# � �" � -" � ��"-� !/� (� � �(-#��#'#��"('� � �(!(��#-#��"1+�� ����� �� �����
�# � �(-#��#'#��"('" �������!� ��� �"� �(!(��"!1!� "+A!" �������#� �(!(��"!1!� !! #('"
���� /- � � �� � � �(!(��"!1!� !! #('� �� ��� >���������� �� �����
-# � ��#A +"1� !# 'A+� !! #('��
)����������� /�� ��)�
��1�� 6�� � �� � ��� ��������� �� ��� � �������� � � �� ����� � ��� ������ $#�"%� ��� � � ����������
��!�!! � � � � � ����!��! � � � � � ��!�!� � � � � � �������� � �!�! � � � � � ���� �!�
���� ���� ��� ������ �� ��� ������ $#�"% � ��� � ������ �� ��
6�� � ��!� � � � � ��� �� � ������ �� $#�"%� ����
��!�! � ��"�" � � � � � ����� � �� �� � !� "� � � � ��� �"����������� � ��� ���>���� ��� �� $!% ��� ���� $"%� �� ���
��!�!! � � � � � ����!��! � � � � � ��!�!� � � � � � ��������� �!��!!�! � � � � � �!���� � � � � � �����!�! � � � � � ������� �!�! � � � � � ����
��� � ��� ���>���� ��� �� $!%F ����� � � ������ �� $!%�
��11� ������� � ������ � �� ��� �������� � ������� � �� � ������ � �� ������ �� ������� ���� ���� $���� +-%� ���� ���� � ��� � ���� ��� ���� ��������
)��� ������� � � � � � ��� ��������� �� �������� � �� ;����� �� < ���� #�-#� ��� �������� � � ��� �� � ������ �� �� �� ��� ���� ����� ���� ������� � ��� ���� ��� �� ��� �� ������� ���� ����� �� � ��� �� ������� � �� � �� �� ������� � ��� ����� ��� ����� ���� ��� ������ �� � � ������� �� �� ���� � ��� � ���� ��� ���� ��������
��14� < ��� ���� �� #�-& ������� � ������ � �� ��� �������� � ������� � �� � ������ � �� ��������� �� ������� � ��� ������ ���� � ��� � ���� ��� ���� ��������
)��� ���� �� ��� �������� ���� ��� ������ ��� ������ ��� $< ���� #�--%� ���� ��� � ��� ������ ���� ��� ��� ������ � $��� ��� ������ � �������% ���� ��� ���� ��������
!!/ �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� :*;�<� #
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
3. Systems of Linear Equations
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��19� � ������� �� ��� �������� � ��� �� �� ��� � �� � �� ��� ��������� �� �� �������� � ������� ��� ������� � ��� � ���.� � ��������� ���� ���� � � ��������� � ��� ��� � � � ������ �� ������ �� ��
������� � � ������ �� ������ �� �� ���� � ��� � ������� ���� ���� ��� �� � ������ �� ��� ���� ��������� �� �� ��������� ���� �� ���� ��� �� ������� ������ �� � ��� ��������� �� ����������� � �� ���� � � ����������
�� ��� ���� ����� ������� � � ��� ������ �� ������ �� �� ����� � ��� ������� � ������ � ������� � ������ ��� ������� � ��� � ���.� � ��������� ���� � � ��� ��������� �� ��� �������� � ����� ��� �� � � ��� ���������� ���� �� � � �����������
��1;� ������� ��� � � � ������ ����� �� ���� ����� �� ������ ���� � �� ��� ����� � � ��� �� � ��������
������� � �!�� �� � � �"�� ��� ,� ���� ��� ���� ���� �! � �"� ,� ����
�!�� �� � �"�� ��� ��� �� ��! � �"��� �� � /
���� ��� � � � ������� � � � /� ;���� �! � �" � /� ��� �� �! � �"�
��1=� ������� �� � ������� < ���&
$�% ������� � ��� � .� � ��� ���� �� ��� � .� � ���
$�% ������� � ��� � .� � ������ ���� �� ��� � .� � ������
$�% 6�� (� �� ��� .� � �� �� �� ��� !!� � � � �!� ��� ������ �� �� ���� ��� ��� �� �� �� �
�(�!!�(�!"� � � � �(�!�� � �/� /� /� � � � � /�
$�% �" ��� � .� � ��� ��� �� �"�" � ����" ��� � .� � ��� ;���� �� ��� � .� � ������
��00�� �����# /��8�� �
������ �,������� ��� �.���)���1?� 0��� ��� ������ ���� �� ��� ������ ������� � ��� &
$�% #�� -�� "�� � 1� $�% ��� #� � �� $�% "�� #�� �� � -
��4@� ����& $�% �� � "� $�% #�� " � '�� A� "�� $�% +�� "� -� � '� "�� #
��4�� ���� ���� �� ��� ������ �������&
��� "�� #� � !
'�� A� � #
��� -�� "� � '
�+�� #� � !
��� "�� - � #�
'�� � � '
��� "�� -� � !/
#�� +� � !'
��4�� *����� ���� �� ��� ������ ������� � �� ����� � ��� �&
��� �� �� � !
��� -� � �
��� ��� #� � "
!"�� �� � �
��� �� �� � #
"�� '� � �
5� ���� ����� �� � ���� ���� ������ ���� � ����� ������� ��� �� ���� �� � �� ����� ��� �� ���� ���������� ���� �� � ���� ��� ������J
*;�<� #? �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� !!!
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
3. Systems of Linear Equations
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
5������ �.���)� �� ������ �,������
��4�� ����&
��� �� �� "� � -
"�� #�� +� � !/
#�� +�� !/� � !-
��� �� "�� #� � "
"�� #�� 1� � A
#�� -�� !#� � 1
��� �� "�� #� � #
"�� #�� 1� � -
'�� 1�� !(� � !!
��41� ����&
��� �� "� � '
"�� #� � #
#�� "� � A
��� �� "�� #�� " � "
"�� '�� 1�� + � '
#�� -�� '�� " � -
��� �� "�� -�� ' � #
#�� �� '�� " � -
'�� -�� +�� ( � "
��44� ����&
��� "�� �� -� � "
-�� "�� +� � '
+�� #�� 1� � 1
��� �� "�� �� # � #
"�� -�� -�� # � (
#�� +�� �� 1 � !/
��49� *����� ���� �� ��� ������ ������� � �� ����� � ��� �&
��� �� "� � !
�� �� �� � "
��� -� � �
��� �� "�� "� � !
�� ��� #� � #
�� !!�� �� � �
��� �� �� �� � !
�� ��� � � -
��� �� � � �
5� ���� ����� �� � ���� ��� ������ ���� � ����� ������� ��� �� ���� �� � �� ����� ��� �� ���� ��������� ���� �� � ���� ��� ������J ��� ���� �� � ���� ��� ���� ��� ������ �� ������ ��� ������ ��� ������ ������� ,��J
������ ��) ��������� 6�)�5����� �.���)�
��4;� , �� � �� � ��� ��������� �� !� "� #� ��� �&
$�% � � �-��(� "�� ! � �!� "��!�� " � �!� -� "�� # � �!��#� "�F$�% � � �!� #� "�� ! � �!� "� !�� " � �"� +� '�� # � �!� A� 1�F$�% � � �!� -� +�� ! � �!� !� "�� " � �"� #� '�� # � �#� '� 1��
��4=� 6�� ! � �!� !� "�� " � �!� #��"�� # � �-��"��!� � �#� ���� ���� !� "� # � � � �������� ��� � �� � ��� ��� ��������� �� !� "� #� ��� �& $�% � � �'��'� (�� $�% � � �!��#� #�� $�% � � �!� !� !��$.��0 9�� 5�� � �����������%
��4?� 5�� ��� ������� ��� � ���� �� ��� ���� � ������ 3 �� ���� �� ��� ������ ����������� �������&
��� �� �� "� � /
"�� �� � � /
'�� �� -� � /
��� �� "�� #� � /
"�� '�� "� � /
#�� �� -� � /
��� �� "�� #�� � /
"�� -�� A�� - � /
#�� +�� !/�� ' � /
��9@� 5�� ��� ������� ��� � ���� �� ��� ���� � ������ 3 �� ���� �� ��� ������ �������&
��� �! � #�" � "�# � �- � �' � /
"�! � +�" � '�# � �- � �' � /
'�! � !'�" � !"�# � �- � #�' � /
��� "�! � -�" � #�# � �- � "�' � /
#�! � +�" � '�# � "�- � -�' � /
'�! � !/�" � A�# � #�- � -�' � /
!!" �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� :*;�<� #
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
3. Systems of Linear Equations
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��6���� )�������� ��< ��������� ���)
��9�� 7����� ���� �� ��� ������ ��� ��� �� ������ �� � ��� ���� �� �� ������� �� �&
���! ! "
" - (
! ' !"
��
��� ���
! " �! " !
" - ! �" #
# + # �A A
��
��� ���
" - " �" ' !
# + " " / -
- 1 " + �' A
��
��
��9�� 7����� ���� �� ��� ������ ��� ��� �� ������ �� � ��� ���� �� �� ������� �� �&
���! " ! " ! "
" - # ' ' A
# + - ( !/ !!
! " - # + (
����
����� ���
/ ! " #
/ # 1 !"
/ / - +
/ " A !/
����
����� ���
! # ! #
" 1 ' !/
! A A !!
# !! A !'
����
����
��9�� 9��� ��� /C� ��� !C�� �� � ������ "� " ��� ��� � �� ������� �� ��
��91� 9��� ��� /C� ��� !C�� ��� ��� ����� � �� ������ #� # ��� ��� � �� ������� �� ��
���)�����. )�������� �//���������
��94� 6�� �!� �"� �# ������� ���������� ��� ������ ������� � �� ��� �����&
BB���� ������ (" ��� (#CC� BB7����� (" �� #("CC� BB7����� (! �� "(# � (!CC
$�% 5�� ��� �� �������� ������� � ��� ��� 5!�5"�5#�
$�% 5�� ��� ��� �� ��� ����� ��!! � ��!
" � ��!# F ��� �� �������� ������� � ��� ��� 5
!� 5 "� 5
#F ��� ���
�������� ������� ���� ��� 5!�5"�5#�
$�% 0��� �� ��� �� �������� ������� � ����� ��� ����� �!� �"� �#�
$�% 5�� ������� � ��� ��� 2!�2"�2# �� �������� �� �!� �"� �#� ��� ��� �������� ������� ���� ���5!�5"�5#�
��99� )=� ��� ���� �� ��� ������ ��� ��� �� � � ����� �� ������� � ��� ���&
� � ! "
# -
� � � # �+
�" -
� ! � " +
�# �A
� 7 �
! " /
/ ! #
# 1 A
��
��
��9;� 5�� ��� ��� �� �� ���� �� ��� ������ ��� ��� $� � �=���%&
� �! �" �!
" �# !
# �- -
��
��� � �
! " #
" + !
# !/ �!
��
��� ! �
! # �"
" 1 �#
! A !
��
��� 7 �
" ! �!
' " �#
/ " !
��
��
��9=� 5�� ��� ��� �� �� ���� �� ��� ������ �� � ��� ���&
$�% � ��� !C� �� ��� ������ ��� ����������� $��� �� � ���� ����� ��� ������% ��� /C� ������ ��
$�% � ��� !C� �� ��� ����� ��� ������� ��� /C� ������ ��
� �������A�����
��9?� 5�� ��� �/ ����� .���� �� ���� �� ��� ������ ��� ���&
$�%
! �! �!
# �- �"
" �# �"
��
��� $�%
! # �!
" ' !
# - "
��
��� $�%
" # +
- A (
# ' -
��
��� $�%
! " #
" - A
# A !/
��
��
*;�<� #? �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� !!#
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
3. Systems of Linear Equations
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��;@� 6�� � �� ��� ��� = � < ���� #�+($�%� 5�� -!�-"�-#�-- ��� �&
$�% -! � ��� ������ �� �- � �!� ��� � �! � �!� !� !�" �$�% 5� � � !� -� � ��� ������ �� �- � �� � ��� � �� � ���! � -��!�
��;�� 6�� � �� ��� ��� = � < ���� #�+($�%� 5�� ��� �7/ ����� .���� �� ��
)����������� /�� ��)�
��;�� *����� ��� ������ ������� � �� ����� � ��� �&
��� ��� �� � !
��� �� � /��� ��� �� � /
��� �� � !
������� 7 � �� � �� � /� ���� ���� ���� ������ ��� ��� ����� ������&
$�% � � ��7� � � ���7� $�% � � ���7� � � ��7�
��;�� 5�� ��� ��� �� �� ��� �� ��� ���� BB7����� (� �� �(� � � (� �� � /�CC�
��;1� < ��� ���� ������ ��� ��� ����� �� �� ������ �� � $ ���������� ��� �� ������� �� �% �� �� ������������ = � � ���� ���� �� ������ �� � $ ���������� ��� �� ������� �� �% �� ��
��;4� 6�� � �� �� ������� � �� ��� ���� ��� 5 �� ������� � ��� =� ��� �� � �� ��� �� �������� ������� ������ ��� ���� ��� 2 �� ������� � ��� =� < ���&
$�% � ��� � ����" ��" � $�% 2 � 5" � $�% � ��� � �2�
��;9� 4�� = � � ��� ���� �� ��� = �� � ���� � � �� � ��� � �=�� �������� ��� ��� % ��� 6 ���� ����� � %�6� < ��� ���� � � �� ��� ������ ������ ���� �&
$�% � � �� $�% �� � � �� ���� � � �� $�% �� � � � ��� � � !� ���� � � !�
���+��� �� ��00�� �����# /��8�� �
1�����0 � � �(!� ("� � � � ������� ��� ��� = � ��� ��� (!�("� � � � � ��� ������� � ���� �� � � ���� ����
�� ������ $���� ��� �� ������ ��� ���� ����%� ��� ��� � � ���� ���� �� ��������� ��� / ������� � .� � ���
5� �=�����
� � �!� "� #� -� '��+� A��1� / �! " # -
' �+ A �1
/ / / /
��
��
��1?� $�% ��� $�% ���� $�% ��� � �� �� �� ��� ��� � �� �� �� �
��4@� $�% � � "��� $�% �� ������� $�% ��� � ���� � � � ������
��4�� $�% �"��!�� $�% �� ������� $�% �'� "�� $�% �'� "�� ��
��4�� $�% � � �"� �"� "�� ��"��"�� $�% � � �+� �+� -�� ��+��-�� $�% � � '"� �'
"� +�
��4�� $�% �"� !� !"�� $�% �� ������� $�% � ��A�� A� "�� "� ���
��41� $�% �#��!�� $�% � ���� "�� !� "�� �� ��� $�% �� ������
!!- �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� :*;�<� #
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
3. Systems of Linear Equations
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��44� $�% � �!"�� �� !
"�� $�% � �!
"�A� '�� -��� �� !
"�!� ��� ��
��49� $�% � � �#� �#� #�� ��#��#�� $�% � � ' ��� � � �!� �'� A�� ��!��'��$�% � � ! ��� � � �"� �!��"�� ��"� '�
��4;� $�% "��!� #� $�% �'� '"� !� $�% ��� ������
��4=� $�% #��"� !� $�% "#��!� !
#� $�% "
#� !A� !"!
��4?� $�% �� 3 � !� ! � ��!� !� !�� $�% �� 3 � /� �� �����$�% �� 3 � "� ! � ��"� !� /� /�� " � �'� /��"� !�
��9@� $�% �� 3 � #� ! � ��#� !� /� /� /�� " � �A� /��#� !� /�� # � �#� /��!� /� !��$�% �� 3 � "� ! � �"� !� /� /� /�� " � �'� /��'��#� !�
��9�� $�% �!� /�� !"� /� !� '
"� /� $�% �!� "� /� /� -
#� /� /� !� /� !#
#� /� /� /� !� "�
$�% �!� "� /� -� '� #� /� /� !��'� !'"�� '
"� /
��9�� $�% �!� "� /� /��-��"� /� /� !� /� !� "� /� /� /� !� "� !� /�$�% �/� !� /� /� /� /� !� /� /� /� /� !� /� $�% �!� /� /� -� /� !� /��!� /� /� !� "� /
��9�� '& �!� /� /� !� �!� !� /� /� �!� /� /� /� �/� !� /� /� /
��91� !'
��94� $�% �!� /� /� /� /� !� /� !� /� �!� /� /� /� #� /� /� /� !!� �!� /� "� /� !� /� /� /� !�$�% (" � (#�
!#(" � ("� �"(# � (! � (!F ���� 5
� � 5�!� �
$�% !" � !#� #!" � !"� "!# � !! � !!� $�% ���� 2� � 5"� �
��99� � � �!� /� #� /�!� /� /��"�!� "� /� !� � � ��� ��� ����! � �!� /� � #
"� !�!� /� /� !�!� +� /� !�"� /� /� !�
7 � �!//� /!/� #/!�!//� /!/� /"!�!//� /!#� //!�!"/� /!/� //!
��9;� ��! � ��1� !"��'� �'� A��#� !��"� !� � ��� �� ��� ���!�! � �"(
"�� !A
"� A"� � '
"� #"�� !
"� #��"� !� 7�! � �1��#��!� �'� "� !� !/��-��!
��9=� ��! � �!��!� !��!� � � � � /� !��!� !��!� � � � � /� /� !��!� !��!� !� � � � � � � � � � � � � /� � � � /� !��! ��� !C� �� ������� �!C� �� ���� ������� ��� /C� ������ ��
��9?� $�% �!//� #!/� "!!�!��!��!� /��!� !� /� /��!�$�% �!//� "!/� #'!�!� #��!� /��!��#� /� /��!/�$�% �!//� "!/� #
"� !"� !�"� #
"� #� /� !��#� /� /�� A
"�
$�% ��� � � �� �/ ������������
��;@� -! � �!� !��!" ��" � �"� "� /" � -" � �+� -� /" � �# � �1� +� /" � -# � �""� !+��"" � �- � �#/� ""��"" �-- � �1+� +"��+"
��;�� � � �!//� "!/� #'! ����!��!��!/� �!� #��!� /� !��#� /� /� !
��;�� 7����� (� �� ��(� � �!�� �(�
��;4� $�% � ��� � ����" ��" � �5�" �" � ��" �"5" � �2
��;9� $�% � � '�' � $�% �� � � %�6� ���� � � %�!�6�!�$�% �� � � %�6 ��� � � % !6 � ���� � � �%% �!�6 6�
*;�<� #? �2��)4� �5 6�3)�7 )89����3� !!'
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
������� �
�� � �����
��� ����������
���� ����� ���� ��� �� �� ����� ������ �� ���� ������ ���� �� � ����� ��������� ��������� �� ������� �� � ���� ���� �� ���� ����� � ���� �������� ������� �� ������ �� ����� ����� � ���� ������ �� ��������� �������� ���� � �� ������ ������ ���� ������ ��
� �� ���� ���� ����
�� �� ����� �� �
�� ���� ���� ���
� �� � � � ������ ��
������ ������� ������� �� ���� �� �� � ������ ���� �� �� �� �� � � �� ������ �� ���� � ����� ������ ���� �� �� ��� � ��� �������!! ��� �� ������� ���� �" ���
�������!! ���� �� �� ���� �# ��� �������!! ��� ���� ����� ������$� �� ������ �� �������!!� �� ���� ������� ���� �� ���� �� � !� ����������
��������� ���� ���� � ���� �� �� ��������� �� ���������
� � %���� ������ �� �� �
� � � � %����� �� � ����� �� �
�� � � &� �� � �� �
�� � � �� ����� �� � �� �
� � � � �� � ����� �� �
� � � '�������� �� � �� �
� � � (���� �� � �� �
� %���� ��
��� ����� ������
�� ��������� ��� �� ������ �� � ���� ���� � �� �� �� �� �� �������
��������� )� � � � ������� �� ���� ��� ���������
��� ������ ������ ���� ������� �� ��� �� � � � � ��� �� � �� ��
���� �� � � ������� ��� ���� ������� �� ��� � � �� � � � ������� �� � ��
**+
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��� � �� ���� � ������ ���� ��� �� �� � �� �� ��������� ������ ��� �� �������� �� �� � � �
,�*- �� � � � �� �� ,�"- �� �� � ���� �� �� ��� �� . �� ���� �� ���� ������� ���� ����� �� ���
� � � ��� . � . � � � .
,�#- &� ��� � � � � �� �� � ���� �� �� ��� �� ��� �� ���� �� ������� �� ������ ����
�� �� � �� � � � .�,�/- �� � � �� ��,0*- ��� � � ��� ��� �� ��� ����� � � �,0"- � �� � �� ��� �� ��� ������ � � � �,0#- �� � ��� �� ��� ������ � � � �,0/- *� � �� �� �� ���� ����� * � �
�� ���� ������ �������� ����� ���� ��� ��� ��� �� ���� �� �� ������� �� �� �������� �� ������ � ���� ����� ���� �� � ���� ������ �� �� �� ��� � ������$ �� ������ � �� ����������� ����� �� � ������ ���� �����
�� ��� ��� �* � �" � � � �� �� �� ����� 1��� �� ������� �� �� ��� �� �� �� � ���� ������ ��
��� �� $� ���� . �� ���1�� �� �� ������ �� �� � ���� � �� ���1��
��� �2���������� )��� '� �� � �� � ��� � � ��
����� ���������� �� � �� �� �� �� � � �� ��� �� �� �� �� ���1� ������ �� ��3� �� ��� ��� � �� ������� ��� ������ � ����� ���� �� ������!! �� �� �� �� ������
�� �� ���� ���� �� (���� ��� � ������� ������ � ��� �4���� /�"� �� ��������� ����������� �� � ���� �����
������� ���� )� � � � ���� ���� �� � �� �
��� &� ��� ����� � � �� . � � � �. � .�
���� &� . � �� ��� ���� � � � � .� � .�
����� '� �� � .� �� � � �� � � �� ��� � � . � � � .�
���� &� ��� � � �� ��� � � � � ��� � ��� � ����
��� �������� � ����� ������
���� ������ ����� �������� ������ �� ���� ����� ���� ���� � �� ��������� �� ����
�!"#� �
)� � �� ������ �� � �� �������� � �� �1����� �� �� ��� �� �� �� ��� ������� ������� �� � 5 � �� � ���� ���� �� ����� �� ��������� ���������
��� ������ ������ *� "� � � � � � � �*� �"� � � � � �� � * � �*� " � �"� � � � � � � ������ �� � � ������� ��� �*� "� � � � � � � �*� �"� � � � � ���� $� ���� �� � �� �� ������ �� $���
. � .� .� � � � � .�� �� ������ �� � ���� �� �� ��
�*� "� � � � � � � �*��"� � � � ���
25�4� /- 6%2�37 84�2%8 **9
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
3��� ���� ��� � �� ��� �� �� �������� �� �� �� �� 2���� *� �� ���� ���� � �� � �������� �� � ������ �� �� ���� �� ���� *�*� ����� � ��� �� �� ������� ���� �� ���� �� �������� �� �� �� � ���� ���� �� ��
��$%����"$ �!"#� ��
)� �� ��� �� �� �� ��� �� ����������� �� �� ���
�� � . � *� � "�" � � � �� ��� � � *� "� � � �
�� �� ��������� � ����� �� � �� � ��� �� �� � ���� ���� �� ����� �� ������������������
��� ������ ������ 5 �� � �� �� �� �� �� ����� ������� �� � ����� �� ������������
���� �� � � ������� ��� 5 ��� �� �� �� �� ����� ������� �� �� �� ��� �� � ����� � �� ����������� ���
�� $� ���������� . �� �� $� ���� �� ���
��$%����"$ �!"#� ���
)� ��� ��� �� �� �� ��� ����������� �� �� � �� � �� �� � �� �� �� ��� ���� �1��� �� �� ���� ���
�� � . � *� � "�" � � � �� ���
�� � �� ��� ��� �� � ���� ���� �� ���� ���� �� �� ����� �������� �� � ����� ������������� �� �� �������������� �� � ���������� �� � �������� �:��� ��; �� ���� ���� �� ������ <����� �� $� ���������� . �� �� ���� �� ���� �� ������ ��� � �� �� �� �
�"���& �!"#� ����
�� �������� ����� � ������ �� ���� � �� �� ��� �� �� �� ��� �� � ������ ���� ���� �� ��� � ��� ���� �� � ���� ���� �� ���� ���� �� �� ����� �������� �� ����� � ����� �� ����� �������������� �� ������� �� �� ���� �� ���� "�*�
'�#���� �!"#� ��
)� � � � ������� �� �� �� � �� ������ �� � )� �� ��� �� �� �� ��� ��������� �� ����� � ,=�� ���� �� �� �������� ���� � �� ��������- ��� �� �� � ���� ���� �� �������� �� �� ��������� ���������
��� ������ ������ �� ��� �� ��� ��������� � �� � �� �� �� �� �������� � � � �� �� �� ��
� � �� � � � � �� �� � �
���� �� � � ������� ��� �� �� ��� �� � ����� � � �� � �������� � �� �� �� �� �������� �� ���� �� ��
�� � � �� � �� � �
**> 6%2�37 84�2%8 ,25�4� /
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
�� $� ���� �� �� �� �� $� �������� (� ����� ���� �� � � � ���� �� $� ���� . � ����� ���
(� � . �� � ������ �� ��� �������� � �� �� � �� �������� �� �� �� �� ��
�� � � �� � �� � ��� �� ������ �� �� �������� ��
��$)* "�) �'+��$)*
8����� � �� � �� �� ������� �� � �� � ���� ��� ������ � �� � �� ���� �������� �� � ����� ���� � ��� � ��� �� � ���� ���� �� ����� �� ��������� ���������
��� ������ ������ 5 �� � �� � �� �� ����� � ����� �� ��
���� �� � � ������� ��� 5 �� �� �� �� � � �� � � �� �� �� ����� �� ��� �� � �� � ������� �� ��
���� ��� �� ���� ������ �� � ���� ���� � ������ �� � �� ��� ����� ���� ���� �� �� ������� ���������
��� ������ ���,��������- �������. ����
)� � � � ���� ���� �� � �� � ����� � �� � �� � ����� ���������� �� ����� �*� �"� � � � � ���� � �� �� ���� ������ *� "� � � � � � �� ���� ����
� � *�* � "�" � � � �� �������������� � �� � ���� ����������� �� �*� �"� � � � � �� �� �� �� � �������� �� �� ���� 1������
� � �*�* � �"�" � � � �� ������ �*� �"� � � � � �� � ��;���� �������
������� � �)��� 2����������� �� ��� 8����� � ���� �� ���� � � #� 9��/ �� �# �� � ���� ����������� ��
�� �����
�* � *� "� #� �" � "� #� 9� �# � #� ?� +< �; ������ �� �� � ���� ���� � � ��* � ��" � ��#@ ���� ���
#
#
�/
��
�� � �
*
"
#
��
��� �
"
#
9
��
��� �
#
?
+
��
�� �
�� "�� #� � #
"�� #�� ?� � 9
#�� 9�� +� � �/
�&� ���������� ��������� � ��� ����� �� ����� �� �# �� �������� ���� �� �� ��� ��� �� �� �� 1������������ �� ���� 1��������� 7 ����� �� ����� �� ����� ��� ��� �
�� "�� #� � #
��� � � *
�� #� � �*#
�� ���
�� "�� #� � #
��� � � *
� /� � �*"
A��;������������� ��� � �� �������� � � "� � � �/� � � #� ���� � � "�* � /�" � #�#�
���"�/� B����� ���;���� �� 1������ �� ������� � ���� ���� � �� � �� � ��������������� �� ����� �*� �"� � � � � �� �� � �� 1������� �� ������� � ����� �� � � �� ���� 1���������� � �� �� ������ � �� ���������� �� �� �!� � �� ������� �� �� �������� ����� �� 8��� � �������� ��� � ���1� �������� ��� ������ ���� ���������� � �� ��������� �� ���� ��� C �� �������� C �������� � ������ � ����� �� � ���� ����������� �� �� �!��
25�4� /- 6%2�37 84�2%8 **D
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
������� �� �)��� ������������ �� ��� 8����� � ���� �� ���� �� ���������� � � #�" � ?� � ? �� � ����
����������� �� �� �����������
�* � �" � "� � *� �" � "�" � ?� � /� �# � �" � #� � +
< �; ������ �� �� � ���� ���� � � ��* � ��" � ��#@ ���� ���
#�" � ?� � ? � ��" � "� � * � �"�" � ?� � / � ��" � #� � + E�� � ��� ���� �� ��� ��� ��
�*� %���� �� �������� �� �� �E� ����������
#�" � ?� � ? � ��" � "�� � �� "��" � ?�� � /�� ��" � #�� � +�
� �� "�� ��" � "�� ?�� #�� � �� /�� +�8� ��������� �� �� ��� ���� �� � 1��� �� ��� ���� �� �� �� ����� �� ����� ����
�� "�� � � #
"�� ?�� #� � ?
�� /�� +� � �?
�
�� "�� � � #
�� � � �*
"�� ?� � �>
�
�� "�� � � #
�� � � �*
#� � �+
�� ����� �� �� �������� ��� �� ��� � ��������� A��;������������� ��� � �� �������� � � #� � � *� � � �"�����
� � #�* � �" � "�#
�"� �� 1������ �E� �� �������� �� � ����� �� �� ������ �@ ���� ��� �� 1������ ��� � �� ��� ���� �� �� < ��������� �� 1������� �� �� ��;����� �� �� � �� ������ � 1��� �� ��� �� ������ &� ������
8� � � . �� * �� ������� �� /�� +� � �?
8� � � * �� * �� ������� /�� **�� *.� � #
8� � � �* �� * �� ������� �� /� � �9
7 ����� ���� ����� �� ����� ��� �� ������� �� ���;������������� ����� ��� � �� �������� � � #� � � *�� � �"� ���� ������� � � #�* � �" � "�#�
�!"����0 ���*
)� � � � ���� ���� �� � 6���� �*� �"� � � � � �� �� � � ��� �� ��� � � �� ��� � ���������� �� � �� �� � �� � �� � ���� ����������� �� �� ����� �*� �"� � � � � ��� ���� ��� �� �� ���� ������*� "� � � � � � �� ���� ����
� � *�* � "�" � � � �� ����� ��������� ��;� ������ ����� ��� �� ��������
���"�/ �� 8����� �*� �"� � � � � �� ���� �� ���� �� ��� ���� � �� �� � �*� �"� � � � � �� ��������� ��
���"�/ �� 8����� �*� �"� � � � � �� ���� � �� ������ �� �� � ���� ����������� �� ��� �� ����� �!�� ��� �� �!� ������� �� ���� ���� ��
���"�/ �� 8����� �*� �"� � � � � �� ���� � �� ������ �� �� �� �!� �� �� $� ����� ��� �� �!�������� �� $� ���� ���� ���� ��
*". 6%2�37 84�2%8 ,25�4� /
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
������� �� 2���� �� ���� ���� � � �#�
�� < ����� ���� �� ��������� ����� ��� � �������� �� �� �#�
�* � *� .� .� �" � .� *� .� �# � .� .� *8���������� �� � � � �� � �� ��� ���� �� �#� ���
� � �* � ��" � ��#&� ������ � � ?��+� " � �?�* � +�" � "�#�
��� < ����� ���� �� ��������� ����� ���� ��� � �������� �� �� �#�
* � *� *� *� " � *� *� .� # � *� .� .8���������� �� � � � �� � �� ��� ���� �� �#� ��� �4���� /�+"�
� � � �� � � � * � �� � " � � � #
&� ������ � � ?��+� " � " * � > " � ** #�
��� 3� ��� ���� �4���� #�"/� ���� � � "� 9� > ������ � ����� �� � ���� ����������� �� �� �����
�* � *� "� #� �" � *� #� ?� �# � *� ?� D���� ������ �*� �"� �# � ��� ���� �#�
������� �� 2���� �� ���� ���� � � ��� ���������� �� ��� ����������� �� � ���� 2���� �� ���������� �� ��� ��� � ���� �� � ���� ����������� �� �� �� * �����������
*� �� �"� �#� � � � � ��
���� ��� ���� �� � ��� * � �.� ��� � �������� �� �� ������� 3� ��� ���� ���� ����� �� ��� ����� �� �� ��������� �� * ���� �� � � ��
*� � � �� � � �"� � � �#� � � � � � � ��
��� � � �. � *�� ���� ��� � �������� �� �� ����
������� � 2���� �� ���� ���� � � �"�" ���������� �� ��� " � " ������� �� ����� �� ��������� ���
������ �� ��
�** � * .
. .
� �� �*" � . *
. .
� �� �"* � . .
* .
� �� �"" � . .
. *
� �
��� ����� ��� ����� � �� � ��� � ����� �� � ���� ����������� �� �� ��� ������� &� ������
� � ? � +
9 >
� �� ?�** � +�*" � 9�"* � >�""
���� ������ �� ��� ������ �**� �*"� �"*� �"" ���� ��
��1 �,������
���� ������ ���� ��� �� �������� ������ �� � ��������
��������� )� � � � ���� ���� �� � �� �� �� � � ����� �� �� ��� �� � ������� �� ��� �� ����� � ���� ���� �� ���� ���� �� �� �������� �� ���� � ����� �� ����� �������������� �� ��
�� ��� �� ����� �� ����� ���� ��� �� �� � ���� ���� �� �� ���� ���� ������� �� ���������� �� � ���� ����� 5���� �� �� � ����� �� � ���� ���� �� ��� ��� �� �� ������������������� ��� �� � ���� ��� ��� � ��� �� �� 8���� ����� �� � �������� �������� �������
25�4� /- 6%2�37 84�2%8 *"*
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
������� ���� 8����� �� � ����� �� � ���� ���� �� ��� �� � ������� �� � �� �� ��������� ������ ������ ��� �
�� �� $� ���� . ������ �� �
��� &� �� �� � � � � � � ��� �� ��� �� � � � ���� �� ������� �� � �
4���� ��� �� ��� ����� ���� �� ������ ����� ������ �������� �� ����� ���� �� ��� ����� ���� �������� ����� ���� �������������� A��� ������ ��� � ������ ���� �� ��������� 1������� �������������
���� &� �� �� � � � � � � � �� ���� ����������� �� �� � �
=�� �� � � ��� ���� ����� ��� � ������������� �������� ��� ��������� �� �� F.G ���������� ���� $� ���� ���� �� �� ���� ���� � ������ ��� � ������� ���� �� ������ �������� �� ��%������ �� ��������� �������� �������
������� �� 2���� �� ���� ���� � � �#�
�� )� ! ������� �� ��� ����� �� �# ���� ���� � 1���@ ���� ���
! � �� �� � � � � � ��
&� ������ �*� *� *�� ��#��#��#�� �9� 9� 9�� ��"��"��"� � ����� �� ! � B���������� ! �� �� ��������� �� ����� " �� �� ����� �*� *� *� �� ����� �� &��� /�*��� 2���� . � .� .� . ������ �� ! � ���� ������� �� . � 1���� &���� ������ � �� � � ������ ����� �� ! � ���� � � � � �� � � �� �� ������ �� ��� ����� � � �� �� ��������� � ���� ����� �� ! �
�� � � � �� � �� � � �� �� � �� �� �
���� ! �� � ������� �� �#�
��� )� � ��� ���� �� �# ������� ������ �� ������ �� ����� �� &��� /�*���� ��� . � .� .� . ������ �� ����� � ����� ����� ������ �� ����� "� &���� ������ � �� � � ����� �� � ��� � �� � ��� ���� �� ���� �� �� ���� �������� ��� �� ����� "� �� �� &��� /�*���� �� ��� �� � �� ��� ��������� �� � ���� �� �� �� ���� � ���� �� � ������� �� �#�
������� ��
�� )� � � ����� �� ���� ���� �� �� � ������� )� * � �� ����� �� ��� ����� �������� ������ �� �� " � �� ����� �� ��� ������� ������� ��� * �� � ������� �� �� ���� * �������� �� $� ����� . �� * �� ���� �� ����� � ����� �� ����� ��������������� ���� ��� �� ��� �� ����� ������� �� ������������ ������ � ���� ��������� 8�������� " �� � ������� �� ��
z
y
x
0
U
( )a
(1, 1, 1)
�0� �2�
z
y
x
0
W
( )b
u u + v
v
*"" 6%2�37 84�2%8 ,25�4� /
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��� )� � � ��� �� ���� ���� �� �� ������������ ��� �� ���� ��� �� ����������� �� � �� ���� � ���� ��� �� � ������� �� ��� )� 3� � �� ��������� �� ����������� ���� ���� �� ���� �� �� &������� �� ��������� � ����������� �� 3��
�* � # � /�" � ?�+ �� �" � + � 9�/ � D�+ � #�*"
�< ����� ���� ��� �������� � � ��. �� �� �� ��� �� ��� ��� 3� �� � ������� �� ������ )� � � �� ���� ���� �� ������� ���������� ��� �� ��������� * �� ���������� ��������� �� ��
��������� " �� ��������� ��������� � �������� �� ��
�����*�#���� �4 �'+*!"#�*
)� ! �� � �������� �� � ���� ���� �� < ���� ���� �� ��������� ! � �� ���� � ��������� �� 2����� . � ! �� . � � ���� ! �� � ��������@ ���� . � ! � � =�� ������ � �� ������ �� �� ��������� ! � � ��� �� � � ! �� �� � � � &���� ���� ! �� � ��������� ����� ������ � � � �
�� �� � ! �� �� �� � ���� �� �� � ! � � ���� ! � �� � ������� �� ��
�� ���� ���� �����$� �� ��������
������� ���� �� ��������� �� ��� ���� �� �������� �� � ���� ���� � �� � ������� �� ��
��$'���� �!"#� �4 " 5���0����'* �%*���
2���� � ����� �� � � �� ���� 1������� �� � ��;������ ��� �� �������� � ��� � ��� �� � ���� �� �� ���� �� �������� �� �� ���� � ����� �� � ����� �� �� =�� ������ �� ����� ������������ ���� ��� ������ �� ����� ��� �� ��� �� � .� )� � ��� �������� ��� 8��� �. � .��� $� ���� . � � 0���� ������ � �� � ����� �� � ��� � �� � � ��������� �� �� � .� �� ����� �� �� �� � . �� �� � .� ����� �� ��� ������ �� �� � ���
��� �� � ��� ��� � . � �. � . � . � .
���� �� �� ������ �� � ���� �� �� � �������� �� �� � .� ���� ������ �� � ������� �� ��< ���� �� ���� ���� ��������
������� ���� �� �������� �� �� � ��������� ����� �� � . �� � ��;����� �� � ������� �� ��
< ������$ ���� �� �������� �� �� � ������������ ����� �� � � �� ��� � ������� �� �� '������ �� $� ���� . �� ��� ����� �� ��� �������� ���
��6 ������ �����- ��7 ����� � � ������
8����� �*� �"� � � � � �� � ��� ����� �� � ���� ���� �� 7���� �8����� /�/� ���� ��� ���� �� ����� *�* � "�" � � � �� ���� �� �� � � ������� �� ���� � ����� ���������� �� �*� �"� � � � � ����� ��������� �� ��� ���� ���� ������������� ��� ��
�����*� �"� � � � � �� � �������� ���� �� ����� ��� �� �*� �"� � � � � ���
2���� �� $� ���� . ������ �� ������� ����
. � .�* � .�" � � � �� .��
25�4� /- 6%2�37 84�2%8 *"#
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
&������ ������ � �� �� ����� �� ������� ����
� � *�* � "�" � � � �� ��� �� �� � �*�* � �"�" � � � �� �������� �� ��� ����� � � � � ���
�� �� � * � �*�* � " � �"�" � � � �� � � ������
�� � �*�* � �"�" � � � �� �������� �� �� �� �� ���� ����� �� ������� ���� ������ ������ �� � ������� �� ��
0� ������� �� ��� ����� # �� �� ����# �������� �� ��� ���� ������������ �� ����� �� # ����� # � �� �����#���.�� ����� �� ��������� # �� � �������� �� �8����� /�/� �� ����#�
�� ��������� ����� ����� ��� �������� ��� ����� ��� ��
������� ��1� )� # � � ����� �� � ���� ���� ��
��� ��� ����# �� � ������� �� � ���� �������� #�
���� '� �� � ������� �� � ���������� #� ��� ����# � �
2�� ����� ���� �� ���� /�? ��� � ����� �� ������ ���� ����# �� �� �������!! ������� ��� ���������� #�
������� �� 2���� �� ���� ���� � � �#�
�� )� � � ��� ���$� ���� �� �#� ��� ����� �������� �� ��� ����� �������� �� �� B���������� ����� ���� ��� ������ �� ����� " �� �� � ����� �� �� �� ����� �� &��� /�"���
��� )� � �� � � ����� �� �# ���� � ��� �������� �� ��� ���� ��� ������ � �� �� ���� ������ �� ����� "�� �� � ������ �� � �� � �� ����� �� &��� /�"����
��� 2���� �� ����� �* � *� .� .� �" � .� *� .� �# � .� .� * �� �#� 7���� ,%����� /�*��- ���� �� ������ �# �� � ���� ����������� �� �*� �"� �#� ���� ��� �*� �"� �# ��� � �������� �� �� �#� ���� �����������*� �"� �# � �#�
��8 �!"#� �4 " �"���&
)� � � ��$� � �� ������ �� � ����� �� � �� � �� ��� �� ��
%* � **� *"� � � � � *�� %" � "*� ""� � � � � "�� � � � � %� � �*� �"� � � � � ��
0
( )a
u
�0� �2�
0
( )b
u
v
*"/ 6%2�37 84�2%8 ,25�4� /
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��� � ��� �� ����� �� �@ ��� ��� ���� � ������� �� � ���� �� �� ���� �� � �� ��� �� �������� ���� ���
����� � ����%*�%"� � � � �%������������� �� ������� �� � ��� � ��� �� ����� �� � ���� �� ������ ���� �� � �� ��� �� ��������� 3��� ���� ������ � �����& �
7���� ���� ������ � �� � � �� 1�������� ����� � � �� �� � ��� � ������ ��� � �� ��1��� �� ������ �� ��������� =�� ������ ' �� �� ����� ������ �� �������� �� ����������� ������ �� �������� �� � ����� ��
* '������� %� �� %$� " 7���� %� �� �%�� # 7���� %$ �� �%� � %$��� ��� �� �� ' �� � �� �� � � � ���� ����������� �� ��� �� �� 5�� �� �� ���� �� ' ��������� �� �� �� ���� �� �� 3� �� ��� ��� � � ��� ����� �� ���� ������ �� ������� ��' �� ������ �@ ��� �� �� ���� �� � �� ������� �� �� �� ���� �� ' � ���� ������ � �� ' ����� ��� �� ����� ���� ���� � �� ��� ��� � ����� �� ������ �� �������� ���� � ������ �� ��������� �����
������� ��6� 7�� 1������� ������ ��� �� ��� �� �����
< � ��� ��� �� ��� �4����� /�/?C/�/9� ����� ����� �� �� 1������� ������ ������� �� ����� #�+ �� #�9 �� 2���� #��
������� ��9� 8����� � � ��$� �� � � ���$� � �� 1������� ����� ������ ���� ������ ���������
*$*� "$"
� � � � � �$� �� �*�*� �"�"
� � � � � ����
��� � �� � ��� �� ��� ���� �� ���$� ���� ���� ��� � � �� �� ��� ����� ����� �� �� ��� ���������� ���� ��� $* � �*� $" � �"� � � � � $� � ���
������� ��:� 8����� � �� � � �� ��������� ������� ��� � �� � ��� �� ��� �� ���� ���� ���� �� ��� ��� �� ��� ���$� ����
����$$"�% ��;� %�� ����� � �� �� 1������� �� � ���1� ����� �� �� ��������� ����
< ����� �� ���� ����� �� �� ��� ������
������� �� 2���� �� ��������� ��� ��� �� ����� �� �/�
�* � *� "��*� #� �" � "� /� *��"� �# � #� +� #��9 * � *� "��/� **� " � "� /��?� */
)� ! � ������ �� � ���� �� �� � ��� ���� �� ���� ���� ! � �
�� 8��� ���� ��� �� �� � ���� ����������� �� * �� "� �� ���� ���� ��� � �� � ���� ����������� �� �*� �"��#� 3��� ���� � ��� �� ���� ���� ��� ������ �� ���� 1������� � ����������
��� &�� �� ����� � ���� ��� � �*� �"� �# �� �� �� � �� �� ��������� ���� �� ��� �� ����� ����� ��� � * �� " �� �� �� � �� �� ��������� ����
� �* " �* #
" / * �"
# + # �9
���
��� �
* " �* #
. . # �>
. . + �*+
���
��� �
* " . *#
. . * � >#
. . . .
���
���
� � * " �/ **
" / �? */
� �� * " �/ **
. . # �>
� �� * " . *
#
. . * � >#
8��� �� ���$� ��� �� �� ������ �� �� ��������� ��� � � ������� �� �� ����� �� � �� � � 1��������� ! � �
2����� �� ���� �� ��� �� �� ������ ���� �� ���� �� ���
25�4� /- 6%2�37 84�2%8 *"?
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��9 ������ �������� �� ����������
)� � � � ���� ���� �� � �� � �� ��������� ��� �� ������ �� ���� �� �� �� �� �� �� �� ����� �� � �3� ������� ������� ��������� ��� �� �� �� �� ���� �� ���������� ����� �� ������� �� �� �� ���� �� ���� ����� �� �� ���������� �� �����
��������� < ��� ���� �� ����� �*� �"� � � � � �� �� � � ������� ��������� �� �� ���� ������*� "� � � � � � �� � ��� ��� �� ��� .� ���� ����
*�* � "�" � � � �� ��� � .
3������ � ��� ���� �� ����� � ������� ������������
�� ���� ������� ��� � ���� �� �������� 2���� �� ���� 1������
�*�* � �"�" � � � �� ���� � . E�� �� �!� � ��;���� ������� ���� 1������ ������ ��� �� ���� �������� �* � .� �" � .� � � � � �� � .�8����� ���� �� �� ���� ��������� ���� ��� ������ � ��� �����
�*�* � �"�" � � � �� ���� � . ������ �* � .� �" � .� � � � � �� � .
��� �� ����� �*� �"� � � � � �� � ������ �� �� ��� 3� �� ��� ��� � ������ �� 1������ �E� ��� ����$� ��������@ ��� �� ����� � ������ �� ���
� �� # � ��*� �"� � � � � ��� �� ����� �� � �� ������ �� �� � �� �� �� ���� ��� �� ������� �*� �"� � � � � �� � ������ �� �� � �� �� ���
�� ������ �� # �� ����� �� ������ �� �� � �� �� �� ���� ��� �� �� � � � ��� ��������� �*� �"� � � � � �� �� # ���� � ������ �� ���
7"����0� �� �� # � ��*� �"� � � � � ��� ���� ����� � ���� �� �� ��� �� �� � ���� �1��� ������� �� �� ����� � � �� ������� �� ����� �
�� ��������� ��;� ������ ����� ��� �� ���� ��������
���"�/ �� 8����� . �� �� �� �� ����� �*� �"� � � � � ��� ��� �* � .� ��� �� ����� ���� ������� �� ��� ���� � ��� �� ��������� ���� ����������� �� �� �������� �� �* �� .�
*�* � .�" � � � �� .�� � * � . � . � � � �� . � .
���"�/ �� 8����� � �� � ���$� ����� ��� �� �� ������ �� ������ �� �� ��� ����
�� � .� � �� . ������ � � .
���"�/ �� 8����� ��� �� �� ����� �*� �"� � � � � �� � 1��� � �� �� � ����� ������� �� ������ ��� �* � ��"� ��� �� ����� ���� � ������ �� ��� ���� � ��� �� ��������� ��������������� �� �� �������� �� �* �� .�
�* � ��" � .�# � � � �� .�� � .
���"�/ �� ��� ����� �* �� �" � ������ �� �� �� �� ���� �� �� �� ��� �� � ������� ���� ����
���"�/ 1� '� �� �� ��*� � � � � ��� �� ������ �� �� ��� ��� ��� ������� �� �� ��������* � ��"� � � � � ���� �� ���� ������ �� �� ���
���"�/ 6� '� � �� # �� ����� �� ������ �� �� ��� ��� ��� ����� �� # �� ������ �� �� �������������� �� # �������� � ������ �� �� ������ ��� # �� ������ �� ���
*"+ 6%2�37 84�2%8 ,25�4� /
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
������� ��
�� )� � � *� *� .� � � *� #� "� � /� D� ?� ��� �� �� � ������ �� ��� ����
#�� ?�� " � #*� *� . � ?*� #� " � "/� D� ? � .� .� . � .
��� < ���� ���� �� ����� � � *� "� #� � � "� ?� 9� � *� #� ? � ������ �� �� ��� < ��� �� ����1������ ��� ��� � � .� �� �� �� � � ��;���� ������� ���� ��� �
�
*
"
#
��
��� �
"
?
9
��
��� �
*
#
?
��
�� �
.
.
.
��
�� �
�� "�� � � .
"�� ?�� #� � .
#�� 9�� ?� � .
�
�� "�� � � .
�� � � .
"� � .
A��;������������� ��� � � � .� � � .� � � .� < ��� ����� ����
��� ��� � � . ������ � � .� � � .� � � .
���� ������ �� �� � ������ �� �� ���
��� )� � � �� ���� ���� �� ��������� ��� � ���� �� < ���� ���� �� ��������� � � � ��� �� �� � ��� (� � �"� ������ �� �� ��� < ��� �� ���� ���������� 1������ �� � �� � �( � .� �� �� �� � � ��;����������� ���� �������� 1������ ���� ����� �� �� ���� �� ��
� ��� � � ��� � ��" � .
����� �� ���� 1������� � ����� �������� ����� �� � �� ����� �� � � .� � � .� � � .� &� ������
� 8�������� � � .
�� 8�������� � � ���� 8�������� � � ��"
�� ������ �. � �* � �. � .
�� ������ �. � .�� � ��" � .
�� ������ �* � .���" � .�"�/ � .
�
�
�
� � .
� � .
� � .
< ��� ������
�� � �� � �� � . ������ � � .� � � .� � � .
���� ������ �� �� � ������ �� �� ���
����"� �!��)��#� �� �#
)��� �� �� �� �� ���� ���� � � �# ��� � ���� ���������� �� ��������
�� ��� ��� ����� � �� � �� �# � ������ �� �� �� �� ���� �� ��� �� �� �� ��� ��� �������� ����� "� �� ����� �� &��� /�#���
��� ��� �� ����� �� �� �� �# � ������ �� �� �� �� ���� �� ��� �� �� �� ��� ���������� �� ����� "� �� ����� �� &��� /�#����
)��� � ���� � ��� �� ���� ���� ��� ��� � �� ����� �� �# � ������������� ������ �� ���
�0� �2�
25�4� /- 6%2�37 84�2%8 *"9
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
����"� �!��)��#� "�) ����"� ���+��"����*
�� ������� �� ���� �� �� �� ���� ������������ � ������ ��� � 8���������� �� ������ �� ����� � ���� ���� �� ����� �*� �"� � � � � �� � ������ �� �� �� �� ���� �� �� �� ��� ��� ���� ����������� �� �� �����
8������ ���� �� �� � ���� ����������� �� �� �����
�� � *�* � � � �� ��*���* � ��*���* � � � �� ������ �� � ��� ��� �� ���� �� �� � ������
*�* � � � �� ��*���* � �� � ��*���* � � � � ��� � .
�� �� �������� �� �� �� ��� .� 5�� �� ����� � ������ �� ��� 2������� ������ ������� � ������ �� ��� ����
�*�* � � � �� �$�$ � � � � ���� � .� �� �$ �� .
��� � ��� ���� �� �$ ���������
�$ � ��*$ �*�* � � � �� ��*
$ �$�*�$�* � ��*$ �$�*�$�* � � � �� ��*
$ ����
�� �� �$ �� � ���� ����������� �� �� ��� ������< ��� ���� � �������� ����� ������� ���� �� �� ����� ���� ���� ��� ���� ��������
����1�����
����" ���(� 8����� ��� � �� ���$� ����� �*� �"� � � � � �� � ������ �� ��� ��� �� ���� ����� �� � ���� ����������� �� �� �� ��� ������ ���� ��� �� ����� � � * ��������
�� � �*�* � �"�" � � � �� ���*���*
����"� �!��)��#� "�) �#��$�� �"���#�*
2���� �� ��������� ����� ����� �� ���� ������ ��� �� ���� �
� �
. �" # / ? + 9
. . �/ # " # /
. . . . �9 > D
. . . . . �+ 9
. . . . . . .
������
������
3��� ���� �� ��� %"� %#� %/ ��� .!� �� �� ���� ������ ���� �� ���$� ����� �� %*� �� ������ ���� ����������� �� %"� %#� %/ ���� ��� . �� ��� ���� ���� ���� %* ������ � � ��������������� �� �� ��� ���� ��� 8�������� �� ��� %# �� %/ ��� .!� �� �� ��� ������ ���� �����$� ����� �� %"� �� ��� %" ������ � � ���� ����������� �� �� ��� ���� ��� &������� %# ������� � ������� �� %/� ���� %/ ��� � . �� �� ���� ������ ���� �� ���$� ����� �� %#� 6����� �����$� ��� ��� �� ������ ��� %/� %#� %"� %*� �� �� �� � ���� ����������� �� �� �� ��� �������� �� ��� � ������ �� �� �� �� )��� /�*.�
�� ������ �� ���� �� ���� ����� ����� � ��� � �� �� �� ���$� ��� �� ��� ����������� ���� � ��� �� ��������� �� ����� �����
������� ����� �� ���$� ��� �� � ����� �� ����� ��� � ������ �� �� ���
*"> 6%2�37 84�2%8 ,25�4� /
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��: ,���� �� ��������
&��� � ���� ��� 1������� ���� �� �� � ����� �� � ���� ���� �� ��� 1������� �� ��� ��4���� /�">��
�������� �� � �� # � ��*� �"� � � � � ��� �� ����� �� � ���� �� � �� �� ��� �� ��������� ��� ��������*� # �� ������ �� �� ��� �"� # ����� ��
�������� ,� � �� # � ��*� �"� � � � � ��� �� ����� �� � ���� �� � �� �� � � � ��� � ����� ���1����� � ���� ����������� �� �� ����� ������
�� ��������� �� � ��� ������ ���� �� ���� ������
������� ����� )� � � � ���� ���� ���� ���� �� ����� ��� � ����� �� ����� ����� ��� ������� ��� � � ��
� ���� ���� � �� ��� �� � �� )���� ��������� � � ������������� �����
��� � ��� � ��� � ����� ���� � ������ ���� /�*" ���� �� ���� ��� ���� �� � ��� �� ��� ���� �������� �� ���� ������� �� ���� �� �
�� ���� ���� F.G �� �� �� ��� ������� .�8����� � ���� ���� � �� ��� ��� � ���� ������ ��� � �� ��� �� � �� ��)���� ��������� � ��
� ��)����*������������� ���� ��� ������ ���� /�*" �� � ����1��� �� �� ��������� ������� ����!!
���� �� 4���� /�#?��
����" ����� 8����� ��*� �"� � � � � ��� ����� �� �� ������ � *� "� � � � � �� �� ������ �� �� ������ � �� �� � �� ����� �� � �� �� �� ���
� *� "� � � � � �� ��* � ��"� � � � � ����������� �� ��������� �� * � �� ����� �� � � ������ �� ���
3��� �� �� ���� ���� ���� � ��� ���� � �� �� ����� �� �� �������� �� �� � �� �� ��� �� �� ����� �� ����� ���� � �������� ���
�&"�!$�* �4 ,"*�*
���� ��������� ����� �������� ������ �� ���� �� ��� �� �� ���� ���� ����� ������� ������ ����
< = �#��� *!"#� �� 2���� �� ��������� � ����� �� ��
�* � *� .� .� .� � � � � .� .� �" � .� *� .� .� � � � � .� .� � � � � �� � .� .� .� .� � � � � .� *
��� ����� � ������ �� �� ��� �&� ������ ��� ��� � ����� �� ����� �����&������ ��� ���� � � *� "� � � � � � �� � ��� � ����� �� � ���� ����������� �� ������ ������ 8����������
� � *�* � "�" � � � �� ������� ������ �� ����� ��� � ����� �� � ���� �� ���� � ������ ����� �� �� ���� ��� ������� ����� � ��� ������� �� '� ��������� ��� ��� ����� �� � ��� � ������
25�4� /- 6%2�37 84�2%8 *"D
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
<�= �#��� *!"#� � ����� �4 "$$ � � � �"���#�*� �� ��������� ��� ������ ��� � ����� �� �� �������� �"�# �� ��� " � # ������ �� �
* . .
. . .
� ��
. * .
. . .
� ��
. . *
. . .
� ��
. . .
* . .
� ��
. . .
. * .
� ��
. . .
. . *
� �
0� ������� �� �� ���� ���� � � ���� �� ��� � � � ������� �� ��$ � �� ����� ���� �$���� *�� .!� ����� ��� ��� ���� ������ ��� � ����� �� ���� ���� �� ���� � ������ ����� ������� ���� ������ ������ � ���
<�= �#��� *!"#� ��� �4 "$$ !�$%����"$* �4 )�0��� �� �� �� # � �*� �� �"� �#� � � � � ��� �� �� *����������� �� � ����� �� ���� 8���������� ��� ���������� � � �� � � ��� � ���� �� ����� ����������� �� ��� ���� �� �� �� �� ��� ���� ���� ��� ����������� � �������� �� ��� ����� ����� � �� *�
<�= �#��� *!"#� �� �4 "$$ !�$%����"$*� 2���� ��� ���� �� # � ��*�� �"�� � � � � ���� ������������� �� ��� �� �� � ��� �� ����� �� �� �� �� �� ������������ ��� ������������� �� �� � �� ��� � ������ � ���� �� � ���� ����������� �� �� ����� ��#� ���� # ������ � � ����� �� ��� ���� ���� ���� �� ������� �� �� �� ������� < ��� ���� �������� �� #� � �*� �� �"� �#� � � ��� ���������� �� ��� �� ���� �� �� ����� �� �� �� �������� �� ��� ���� ������ #� �� �� ������ ����� �� ���
�������* �� ,"*�*
�� ��������� �� ����� ���� �� 4����� /�#9� /�#>� �� /�#D� ���� � �� �1������
������� ����� )� � � � ���� ���� �� ���� ������� �� ����
��� ��� �� * � �� ����� �� � � ������ �� ���
���� ��� ������ �� �� �� �� # � ��*� �"� � � � � ��� ���� � ����� �� � ����� �� ��
����� ��� �������� �� & � ��*� �"� � � � � ��� �� � ���� � ����� �� � ����� �� ��
������� ���1� 8����� # ����� � ���� ���� �� ����
��� ��� ������� ���� �� ������ �� �� �� ����� �� # ��� � ����� �� ��
���� 8����� �� ��� ��� # �� ���� ���� �� � ���� ����������� �� �� �������� �� #� ��� �� ������� ����� ��� � ����� �� ��
������� ���6� )� � � � ���� ���� �� ���� ������� �� �� # � ��*� �"� � � � � ��� � � �� �������� �� �� �� ����� �� �� ��� # �� ��� �� � ����� �� �@ ���� ��� # ��� ���� �� � ����� �� ��
������� �
�� �� ��������� ��� ����� �� �/ ��� � ����� �� ����� ����
*� *� *� *� .� *� *� *� .� .� *� *� .� .� .� *���� �� ����� � ������ �� �� ��� �� � ���� ���/ � /� �� ���� ��� � ����� �� �/�
��� �� ��������� �� * ����������� �� ��� � �� �������� ��
*� � � *� � � *"� � � � � � � *�
���� �� ���������� �� � ���� ����������� �� �� ��� �����������@ ��� �� ����������� � ������ �� ��� &������ ��� ��� � ����� �� ���� ���� ����� � �� *�
*#. 6%2�37 84�2%8 ,25�4� /
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��� 2���� ��� ��� ����� �� �#@ ���
"?9��*#"� ?>� /#� .��*9� ?"*��#*9� D/� #">��?*"��9#*A� ���� /�*/��� �� ��� ����� ���� � ������ �� ��� ���� ��� ��� ��� �� #� ������������� ���� �#�
����*��� "�) �'+*!"#�*
�� ��������� ���� ���� �� 4���� /�/.� ���� �� ����� ���������� ���� �� ������� ��� ���� ���� �� �� ������� �� � ��������
������� ���9� )� � � ������� �� �� �� ��������� ���� ���� �� ��� �� �� '� ����������� �� � �� ��� � ��
������� �� )� � � ������� �� �� �� ���� �#� =�� ���� ���# � #� ���� /�*9 ���� �� ���� �� �������
�� ��� ���� � .� *� "� � #� �� ��������� ���� ������
�� �� � .� ��� � �.�� � ������
��� �� � *� ��� �� � ��� ������ �� ����� .�
��� �� � "� ��� �� � ���� ������ �� ����� .�
��� �� � #� ��� �� �� ��� ���� �#�
��; ����������� �� ��������- ���> � � ������
)� � � ��� �� � ����� �� � �� � 7���� ���� �� ��� �� � ��� � ��� �� ����� �� � �� ���� �� �� ���� �� �� ����� �������� �� �� ������� �� � ����� �� �� ��� �� �� �� ��������� ������� �������
��������� �� ��� �� � ����� �� ����� ��;���� �� 1��� �� �� ������� ���� �� �������� �� �� ��� �� � �� 1���������� �� ������� �� �� �� ���� �� ��
7����� �� �� ��� ��� � ���� �� ������� �� �� �� � ����� � ��� � ��� �� ����� �� � �� ���� �� ������ ���� �� �� ����� ��������� �� �� ������� �� � ����� �� �� ������� �� �� ��������� ��� ��� � 1��� �� �� ���� ��� �� ��� �� ������� �� � ��� ����� �� ����� ���� ������ � ���� �� ��������� ��� ������ �����
������� ���:� �� ������� ���� �� ������ �� �� �� ��� �� ��� ����� � �� 1��� �� ��������� ���� �� ������ �� �� �� ������� �� �� ���� �� ������� �� �� ������ �� � �� 1��� �� �� ������� �� �� ������ ���� �� ��
���� ������ �� ���� ���� �� ���� ������� �� �� ��; �� � ����� ������ ����� �� ���
,"*�*2 ��)��0 ���+$��*
���� ��������� ����� ��� �� ����� ��� �� ��� ����� � ���� �� �� �������� �� ����� ����������� � ������ 8���������� �� � �� � � �� ��������� ������� �� �� ����� ����� � ����������� � ���� � �� �� ����� ��� �� ��
� �
* " * # * "
" ? ? + / ?
# 9 + ** + D
* ? *. > D D
" + > ** D *"
������
������
�� � �
�* " * # * "
. �* # * " *
. . . �* * "
. . . . . .
. . . . . .
������
������
25�4� /- 6%2�37 84�2%8 *#*
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
< ���� �� ��������� ��� ������ ����� �� ����� �� �� +*�+"� � � � �++ ��� ��� ��������
�� &�� � ����� �� �� �� ���� �� ��
��� &�� ��� ������ +� �� � ���� �� � ���� ����������� �� �� ��� ������� �� ��
��� &�� � ����� �� �� ������ ���� �� ��
��� &�� �� ��; �� ��
�� < � ���� ���� � �� � � �� 1�������� �� ��� ��� �� ��� �� ����� 0���� � �� ������� ���� �� ��� ���$� ��� � ������ �� �� �� �� ��� ��� � ����� �� �� �� ���� ���� ���� ��� ���� ��� � ����� �� �� �� ���� �� �� ���� ���
����� �� ������ *� "� *� #� *� "� .� *� #� *� "� *� .� .� .� *� *� "
��� )� '� � �+*�+"� � � � �+� �� �� �������� �� � ���������� �� �� ��� � ������� �� �� ��� '��* �� '� �� ��������� �� �������� ����� �� ������ ����� �� �� ���� 1������
�*+* � �"+" � � � �� ���*+��* � +����� #�> ���� �� ���� �� ����� ��� � ��������� �� 1���������� +� �� � ���� ����������� �� ���� ��� ������� �� � �� �� ���� �� ��;'� � ��;'��*� �� ��;'� ���� �� ���� �������� �� �� ����� ��� �� '� � =�� �� ��� � ������� �� �� ����� ����� � �� ���� �� �������� �� '� � ���� ������
��;'" � ��;'# � " �� ��;'/ � ��;'? � ��;'+ � #
���� +#� +?� ++ � ��� � ���� ����������� �� �� �� ��� ������� �� ��
��� �� ���� ���� �� ������� ������� +*� +"� +/ � ��� ���� ������������ �� ��� �������� ��� ������� ���� ���� �� ���� ��� � ������ �� �� ��� ���� ��� ��� � ����� �� �������� ���� �� �� ���� ��
����� �� ������� �*� "� #� *� "�& � �"� ?� 9� ?� +�& � �#� +� **� >� **�&
3��� ���� +*� +"� +/ ��� ���� � �������$ �� ���� ������� �� � ���� ������� �� ������ ����� ����� ��� �� ��
��� 5 � � ���� �� ������� �������� �� �� ��; �� � ��� �� ��� �����
��� �� � �� ������ �� �� ����� �� �� ����� ��� �� ��
���� �� �� ������ �� � ������ �� �� ���$� ��� �� �� ����� ��� � ����� �� �� �� ������ ��
����� �� �� ������ �� � ������ �� �� ������� �� �� ����� ��� � ����� �� �� ������ ������ ��
���� ��;� � #�
�!!$�#"���� �� ��)��0 " ,"*�* 4�� � �����*� �"� � � � � ��
&1������ � � ���� � ���� # � ��*� �"� � � � � ��� �� ����� �� � �� � ���� �� �� � ����� �� ��������� �� � ����� �� �� ���� ������ ���� ��� � ����� ��
� ����# � �����*� �"� � � � � ���� ��������� ��� ���������� ����� � ��������� ���� �� �� ���� ���������� �� ���� � �������� ��� �� �������� �� �
*#" 6%2�37 84�2%8 ,25�4� /
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
�$0������ ��� <��8 *!"#� "$0������=
���! �� &�� �� ����� ' ���� �� � � �� ���� ������
���! �� 7�� �� ' �� ����� ����
���! �� 3����� �� ���$� ��� �� �� ����� ������
8������ � ���� �� �� � ����� ���� ���� ���� ��� �� ������� ���� ������ �� ��� ������������������� ���� ���;�
�$0������ ��� <�"*���02�'� "$0������=
���! �� &�� �� ����� ' ���� ������� � �� ���� ������
���! �� 7�� �� ' �� ����� ����
���! �� &� ��� ������ +� �� �� ����� ����� ������� � ������ �� ����� ���� �� ���� �� ��� ������ # �� ���� ������
���! �� 3����� �� ������� ����� �� # ������ ������ �� ������� ���� ��������
< ������$ ���� �� �� ��� �������� � ��� � ����� ���� ��� � �� ���� ������ ������ �� ���� �������� � ��� � ����� ���� ������� � �� ���� ������
������� �� )� � �� ������� �� �? ����� �� �� ��������� ������
�* � *� "� *� #� "� �" � *� #� #� ?� #� �# � #� >� 9� *#� >�/ � *� /� +� D� 9� �? � ?� *#� *#� "?� *D
&�� � ����� �� ���������� �� �� ������� ���� ������ �� �� �� �&�� �� ����� ' ���� ������� � �� ���� ������ �� �� ' �� ����� ����
' �
* * # * ?
" # > / *#
* # 9 + *#
# ? *# D "?
" # > 9 *D
������
������
�
* * # * ?
. * " " #
. . . * "
. . . . .
. . . . .
������
������
�� ������ �� �� ����� ����� ���� �� ������� +*� +"� +/� ���� ������ � ���� ���!! �� ����� �# �� �? ����� ������� �� ������ �� ������� ����� �*� �"� �/� ����� ������ �� �� ������� �� �� ����� ����� ����������� ��� � ����� �� � ����� �� ��������� �� � #�
���"�/� �� :����������� �� �� 2���������� �������� �� ��������� ���� ����� ��� � ����� ����� � �� �������� �� ���� ���� ������ +# �� �� ����� ����� �� %����� /�*# �� ��� ��� ������ ���� ���� �� ���� 1������
��* � ��" � �#
��� � ��������� �� ��� �# �� � ���� ����������� �� �* �� �"� 8�������� �� ���� ���� +? �� ��� ��� ������ ���� ���� �? �� � ���� ����������� �� �� �� ��� ������ < ��� �� ��� ���� �� ��������� �������� �� ���� �� � ���� ����������� �� �� ��� ������ ���� �� ������� ����� ������� �� �� �� �� ��� � ����� �� �
�!!$�#"���� �� 5���0����'* �%*���* �4 ����"� �?'"����*
2���� ����� � ��������� ����� �� � . �� ���� 1������� �� ���� � ��;������ A����� /�/� �� �������� �� �� ���� � ����� �� � ������� �� �� �� ��� ��� � �������� ����������� ����� ���� ���� �� ������� ����� 2���� ?� ��� ��
25�4� /- 6%2�37 84�2%8 *##
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
������� ���;� �� ������� �� �� �������� ���� �� � ��������� ����� �� � . �� �� ���� � �� �� ���� �� ��;����� �� � �� �� ��; �� �� �������� ����� ��
'� �� ��� �� �� ����� �� � . �� �� ����� ���� �� ��� ������ �� � � �������� �����*� ��" � � � � � ����� � )� �$ � �� �������� ������ �� ������ ��$ � * �� ��� ���$� ��������� �� ��������� � ������� 1��� �� .� < ���� �4���� /�?.� ���� �� ��������� �*� �"� � � � � ���� � �������� �� ��@ ��� ��� ��� � ����� �� �� �������� ���� �
< ��� ��� � �� �� ���� ����� �� �� � ����� �� �� �������� ���� �� � �������������� �� � . �� 8����� #�**� 4���� /�/> ���� �� ��� �������
���( ��� �� ����� ���
)� ! �� � ������ �� � ���� ���� �� �� ��� �� ! �� � ����� ! � � �������� �� ��� ������ �� � � ! �� � � ���� ���
! � � �� � � � �� � �� � � ! �� � �=�� ������ ! �� � �������� �� �� ��� �� ��� ����� ���� �4���� /�?#� ���� ! � �� �
������� �� �� 7���� ���� ! � �� ���� � ������� �� �� �� ��������� ���� ���� �� 4���� /�?>����� �� �������� �� ��� ���������
������� ���(� 8����� ! �� � ����� ��������� �������� �� � ���� ���� �� ��� ! � ��� ���� ������� ��
��! � � ��! � �� � ��! � ������� �� )� � � �"�"� �� ���� ���� �� " � " ������� )� ! ������� �� ���� ������ ���� ���� �� ��
$�� �� �� ������� �� ���� ������ ���� ���� ������ �� $�� ���
! � �
. .
� �� �� � .
� .
� �� ��� ! � � �
� .
� �� �� ! � � .
. .
� �� �
���� ��� ! � �������� �� ���� ������ ���� ��� ���� ��� �� .� �� ! � �������� �� ���� ������ �������� �� �� ���� ������ � $�� =�� ���� ��! � "� �� � "� ��! � � *� ����� ��! � � #� ����� �� ���� ��� ���� /�".� ���� ���
��! � � ��! � ��� � ��! � � " � " � * � #
���#� �'�*
�� ���� ���� � �� ��� �� � �� ������ ��� �� ��� �������� ! �� � ��� ��
� � ! � �� �� � � � ��� � ����� �� �� �� ���� �� ��� �� � � �� �� � � ! �� � �
�� ��������� ���� ���� �� 4���� /�?D� �������$� ���� � ������������
������� ����� �� ���� ���� � �� �� ��� ��� �� ��� �������� ! �� �� �� ���� ������ � � ! � � ���� ! � � �.��
������� � 2���� �� ���� ���� � � �#
�� )� ! � �� ������� �� �� � �� �������@ ���� ���
! � �� �� . � � � � �� �� � �.� �� � � �� � � ����� �# � ! � � ���� �� ���� �� �# �� �� ��� �� � ���� �� ! �� � ���� �� � 5���� �# �� ��� �� ��� ��� �� ! �� � ���� ���� ���� � ��� ���1�� &� ������
#� ?� 9 � #� *� . � .� /� 9 �� ���� #� ?� 9 � #��/� . � .� D� 9
*#/ 6%2�37 84�2%8 ,25�4� /
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��� )� ! � �� ������� �� �� � �� ������� ���� ���
! � �� �� . � � � � �� �� � �.� .� � � � � ��=�� ��� ���� � �� � � �# ��� � ����� �� �� ��� �� � ���� �� ! �� � ���� �� � �� �� �� ���� ������
� �� � � � �� . � .� .� ����� ������ �# �� �� ��� ��� �� ! �� @ ���� ��� �# � ! � �
.����"$ ���#� �'�*
�� ������ �� � ��� ��� �� ��� �� �� ���� �� ����� �� �� ������� ���� ���� ��� � �� �������� ��� �� �������� *� "� � � � � �� �����
� � * � " � � � �� ��� �� ���� � � � ��� � ����� �� �� �� ���� �� ��� ��
� � * � " � � � �� ��� * � *� " � "� � � � � � � ��
�� ��������� ����� ��� �
������� ����� 8����� � � * � " � � � �� �� ����� �� ��� �� ������ #� �� � ������ �� ��� �� ����� �� � � ����
�� �� ����� # � � #� �� ������ �� �� �� �� ��
��� '� ��� #� �� � ����� �� � � ��� � #� �� � ����� �� ��
��� ��� � �� * � �� " � � � �� �� ��
������� ����� 8����� � � * � " � � � �� � �� ��� � �� �� � � ���
� � * � " � � � �� ��
���� ����������
)� � � �� �� ��������� ���� ���� �� ���� ����� # � ��*� �"� � � � � ���� ��� ��� ���� � � ���� � ���� ���1��� �� � ���� ����������� �� �� ����� ����� �� #� ���
� � *�* � "�" � � � �� ������ � ������ *� "� � � � � � � ���� �� ���������� �� � ����� �� �� ����� #� �� ��� ��� � ����,*� "� � � � � �- �� � ���� �� ��������� ������ �� � ����� �� #� < ��� ���� ���� �� ���#� ������� ���� ��� # �� �� ���� � ����
���# � �*� "� � � � � ��&� ���������� ��������� ���;�� �� � ��� ��� ���� ������� � � �� � �� �� ��� �� ��� ���������
���"�/� �� ���� � ������ *� "� � � � � � ���� ��� �� ��������� ������ �������*� "� � � � � ��& �� � ����� �� #� �� ����� �� �� ������ ���� ��� ���� �� �� ���� �� ����� �� � �� �� ������ �� ����� �� �� �� � �� �� �� ���� ������ ����� ���� ���� ��� ��� ��2���� +�
25�4� /- 6%2�37 84�2%8 *#?
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
������� �� 2���� �� ���� ���� �"� �� ����������� �� � "� �� �����������
�* � � � *� �" � � � *� �# � � � *" � �" � "� � *
��� � ����� # �� �"�� �� ��� ���� ���� ,�- �� � � "�" � ?� � D ����� �� # �� ������ �� ��������8� � � ��* � ��" � ��# ����� ��;���� ������ �� �� �� �� ���������
"�" � ?� � D � �� � * � �� � * � ��" � "� � *� �� � �� �� � �� ��" � "�� � �� ��" � �� �� "�� � �� �� �
��� �� �� ��������� �� �� ��� ���� �� � 1��� �� ��� ��� �� ������ �� �����
� � "� �� �� "� � �?� �� �� � � D
�� �������� �� �� ����� �� � � #� � � �/� � � "� ����
� � #�* � /�" � "�#� �� ��� ��� � �#��/� "�
������� �� 2���� �� ���� �#� �� ��������� ����� ��� � ����� # �� �#�
�* � *��*� .� �" � *� *� .� �# � .� *� *�� ��� ����� �� � � ?� #� / ����� �� �� ����� # �� ������ �� ��������
8� � � ��* � ��" � ��#� ���� ��� �� � �� � ���� ����������� �� �� ����� ����� ����� ��;���� ������ �� �� ������ ��� ��
?
#
/
��
�� � �
*
�*
.
��
��� �
*
*
.
��
��� �
.
*
*
��
��
�� 1������� ����� �� ���� 1������� �� �� ��������
�� � � ?� ��� �� � � #� � � /
�� �������� �� �� ����� �� � � #� � � "� � � /� ����
� � #�* � "�" � /�#� �� �� ���� � �#� "� /�
���"�/ �� �� �� � �������� ���������� �� �� ��� ����� �� � ���� � ����� �� � ����� #�� �� �� ���� ��� ����� � �������� ����� �� ����� # �� �# �� %����� /�*9� &��� ����� �� �����# ���� �� ����� �� �� � ���� ��� �� ����� ����� ���� � �� ��� ���� ����� �� �#� ��� ���� ������ �� ���� �� ����� �� &��� /�/� ���� ���
�*� �� ������� �� �� �� ������ �� �* ���� ���� ����� ��*���"� �� ������� �� �� �� ������ �� �" ���� ���� ����� ��"���#� �� ������� �� �� �� ������ �� �# ���� ���� ����� ��#��
��� ��� ���� � � � �� � �� 1���������� �� ����� ,� �� � �� �# ���� ��� �� ��� ����� �������� �� �� �� ��� ��� �� ���� ��� �� ��� ����� � ������ ���#� �� ��� ����� �� � ���� ������ �� ����� #� ����� �� ����� �� %����� /�*9� �� ��� ����� �� �� ����� ,?� #� / ���� �� �� ������ �� ���� ,#� "� /-�
���"�/ �� 2���� �� ����� ����� � � ��*� �"� � � � � ��� �� � �� ��
�* � *� .� .� � � � � .� .� �" � .� *� .� � � � � .� .� � � � � � � .� .� .� � � � � .� *)� � � *� "� � � � � � � ��� ���� �� �� ��� �� ��� ����� ���� ����
� � *�* � "�" � � � �� ���� �� �� ���� � �*� "� � � � � ������ ��� �� ��� ���� ���� ���� �� ��� ���� � ����� �� �� ����� ����� � �� � �� � ������ �� ��������� ���� ��
*#+ 6%2�37 84�2%8 ,25�4� /
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
�*����!��*� �4 � "�) �
)� � � � ���� ���� �� ������� � �� � �� ������ # � ��*� �"� � � � � ��� �� � ����� �� �� ������ ���� � � � ������ � �� � ���1� ������ ���# �� �� 3� �� ��� ��� � ��� ������,�*� �"� � � � � ��- �� � ������ � �� � ���1� ���� �*�* � �"�" � � � �� ���� �� �� ���� �� ����� #�� ��� � �������� ������ �� ���� � �� �� &������ ������
� � *�* � "�" � � � �� ��� �� � �*�* � �"�" � � � �� �������
�� � * � �*�* � " � �"�" � � � �� � � ������ � �*�* � �"�" � � � �� ����
�� � �� � ������ ���� ������
��� �# � �* � �*� � � � � � � ��� � �*� � � � � �� � ��*� � � � � ��� � ���# � � �#����# � ��*� �"� � � � � ��� � ��*� "� � � � � �� � ����#
���� �� ���� �������� ������ �� ���� � �� � ���� �� ���� ���� �������� ������ � ����� �� ����� ��������������� < ��� ��� ���� � �� � � ���������� �����
� � �
< ���� ���� ���� ��������
������� ����� )� � � �� �� ��������� ���� ���� �� � �� � ��� � �� � � ������������ ��� ����� ���� � �������� ����������� �� �� ���� �����
�0� �2�
25�4� /- 6%2�37 84�2%8 *#9
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
������� �� 8����� � ���� �� ���� ���� � ��� �� ��������� ������ �� � � �"�# � ������ �� ���
� � * " �#
/ . *
� �� � � * # �/
+ ? /
� �� + � # > �**
*+ *. D
� �
�� ��� ���� ����� �� �� ������ �� �� ����� ����� �� �"�# � �� ��������
��� � �*� "��#� /� .� *�� ��� � �*� #��/� +� ?� /�� �+� � �#� >��**� *+� *.� D�&�� �� ����� ' ���� ��� � �� ���� ��� ���� ����� �� �� ' �� �� ����� ����
' �* " �# / . *
* # �/ + ? /
# > �** *+ *. D
��
�� �
* " �# / . *
. * �* " ? #
. " �" / *. +
��
�� �
* " �# / . *
. * �* " ? #
. . . . . .
��
��
8��� �� ����� ����� ��� ���� ��� ���$� ���� �� ��� ���� ����� ,�-� ,�-� ,+- ���� � ������� �� �������" �� �� � ������ �� ��� ���� ������ �� ������� ������ �� �� + � ������ �� ���
��$@�) ���+$��*
����� ������- ������ ���,��������
���� 8����� � �� � ����� �� � ���� ���� �� 8������� ��� �� �� ��������� ���������
�� �* � #"�� /� � ?�� 9�� ��� �# � "��� #"�� /���� �" � #�� +#�� ?� � 9�� � � �/ � ?�� #
�� ?�
0������� ��� �� ������ ����
�� �* � +�� *"�� ?�� 9� � **�� ?�
��� �" � #�� *>�� #.�� 9� � �>�� #.�
��� �# �� ��� �� ���� �� �� ��� �� �� ����� �� ��� �� �
��� �/ �� ��� �� ���� ������� �� � ���� �� ��� �� �
���� 4�� ���� /�*� )� � � � ���� ���� �� � �� ���� �. � .� ���� .� � .� ����� '� �� � .� ��� � � . � � � .� ���� ��� � ��� � ������� A� ����� ,�"- ���� � � .� � ��� . � . � .� 5��� �� ����� ,0*-� � ���
�. � �. � . � �. � �.� ��� ��. �� ���� �� � ���� �� �� �����
���� &� ������� . � . � .� 5��� �� ����� ,0"-� � ���
.� � . � .� � .�� .�
� ��� �.� �� ���� �� � ���� �� �� �����
����� 8����� �� � . �� � �� .� ��� �� ����� � ����� ��* ���� ���� ��*� � *� ����
� � *� � ��*�� � ��*�� � ��*. � .
���� (���� �� �� � . �� � � �� � . ��� �
. � �. � ���� ��� � ��� ��� �� . � .� � �� � ���� � ��� ���� ��� ��� �� ���� �� � �� �� ��� 1������ ���� ��� � ���� �� � ��� ��� �� ���� �� � �� ������ 1������ ���� ��� � ���� ���� ��� � ��� � ����
*#> 6%2�37 84�2%8 ,25�4� /
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
���� 8��� ����� �� ��� � � ��� ��� ��� �� � � "��
�� (���� �� ������� �� ����������� ���� �� � � �� ��� �� ���� /�*����� ���� ��� � ���� ����
��� � � ���� ��� � ��� ��� � ��� ��� � ��� ��
��� (���� ����� ,0/- �� ��� ����� ,0"-� � ���
�� � � *�� *� � * � *� � "�
���� %���� � � *��"� ? �� �# �� � ���� ����������� �� �� �����
�* � *� *� *� �" � *� "� #� �# � "��*� *< �; ������ �� �� �� �� �� ��;����� ���� ���� � � ��* � ��" � ��#� ���� � 1��
*
�"
?
��
�� � �
*
*
*
��
��� �
*
"
#
��
��� �
"
�*
*
��
�� �
�� �� "� � *
�� "�� � � �"
�� #�� � � ?
�&� ���������� ��������� � ��� �� ����� �� �# �� �������� ���� �� �� ��� ��� �� �� �� 1������������ �� ���� 1��������� 7 ����� �� ����� �� ����� ��� ��� � �� �������� �����
�� �� "� � *� �� #� � �#� ?� � *.
�� ����� �� ��������� �� ��� � ��������� 8������ �� ���;������������� ��� � �� �������� � � �+� � � #�� � "� ���� � � �+�* � #�" � "�#�
����������� ��� ��� �� ������ �����' �� �� 1������� ����� �� ���� 1�������� �� �*��"� �# � �� ��� �� ������� �� ' �� � �� �� ���� ������� �� ��� �� ' �� ����� ����
' �* * " *
* " �* �"
* # * ?
��
�� �
* * " *
. * �# �#
. " �* /
��
�� �
* * " *
. * �# �#
. . ? *.
��
��
�� ���� ����� ������ � �� � �������� ������ ����� ��� � ��������� 8������ �� �������� ����� �����;������������� ��� � �� �������� � � �+� � � #� � � "� ���� � � �+�* � #�" � "�#�
��1� %���� � � "��?� # �� �# �� � ���� ����������� �� �� �����
�* � *��#� "� �" � "��/��*� �# � *��?� 9< �; ������ �� �� �� �� �� ��;����� ���� ���� � � ��* � ��" � ��#� ���� � 1��
"
�?
#
��
�� � �
*
�#
"
��
��� �
"
�/
�*
��
��� �
*
�?
9
��
�� �
�� "�� � � "
�#�� /�� ?� � �?
"�� �� 9� � #
7 ����� �� ����� �� ����� ��� ��� � �� �����
�� "�� � � "� "�� "� � *� . � #
�� ����� �� ����������� �� �� ��� �� ��������� ���� � ������ � ����� �� � ���� ����������� ���*� �"� �#�
25�4� /- 6%2�37 84�2%8 *#D
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��6� %���� �� ���������� � � �" � /� � # �� �� �� � ���� ����������� �� �� �����������
�* � �" � "� � ?� �" � "�" � #�� �# � � � *
8� � �� � ���� ����������� �� �*� �"� �# ����� ��;����� �� �� � �� ������
�" � /� � # � ��" � "� � ? � �"�" � #� � �� � * E< ��� ��� �� ��� �����
�����) �� %���� �� ���� �� �� �E� �� ���� �� �� ��� �� ���� �� � �� ��������
�" � /� � # � ��" � "�� � ?�� "��" � #�� � �� � �� �� "��" � �"�� #�� �� � ?�� #�
8� ��������� �� �� ��� ���� �� � 1��� �� ��� ���� �� �� �� ����� �� ����� ���� ������� �
�� "� � *
�"�� #�� � � /
?�� #� � �#
�
�� "� � *
�� � � +
�*.�� #� � �>
�
�� "� � *
�� � � +
*#� � ?"
�� ����� �� ��������� �� ��� � ��������� 8������ �� ���;������������� ��� � �� �������� � � �#� � � "�� � /� ���� � � �#�* � "�" � /�"�
�����) �� �� 1������ �E� �� �� � ����� �� �@ ���� ��� �� 1������ ��� � �� ��� ���� �� �� ���� � ��� �� �1��� �� ��� ����� �� ������ 1������� �� �� ��;������
�� 8� � � . �� �E� �� ������ �� 1������ �# � ?�� ����� 8� � � * �� �E� �� ������ �� 1������ " � /�� �� "��
��� 8� � � �* �� �E� �� ������ �� 1������ �+ � >�� ?��
8��� �� ����� �� �� �� 1������� �� ����� ������ �� �������� � � �#� � � "� � � /� ����� � �#�* � "�" � /�#�
��9� %���� ' �� � ���� ����������� �� �� ������ �� �� +� ��
' � / 9
9 D
� �� �� � � * *
* *
� �� � � * "
# /
� �� + � * *
/ ?
� �
8� ' �� � ���� ����������� �� �� �� + ����� ��;���� ������ �� �� �� ���� ��� �� ' � ��� ��� �+����� ��� �
/ 9
9 D
� �� � * *
* *
� �� � * "
# /
� �� � * *
/ ?
� �� �� �� � �� "�� �
�� #�� /� �� /�� ?�
� �
&�� �� 1������� ����� �� 1������� �� ������ ������ ��� ���� 1��� �� ��� ����
�� �� � � /� �� "�� � � 9� �� #�� /� � 9� �� /�� ?� � D
7 ����� �� ����� �� ����� ��� ��� �
�� �� � � /� � � #� #� � �#� /� � �/
�� ���� 1������ ��� ���� 8������ �� ����� �� ���;������������� ��� � � � �*� � � #� � � "� ����' � "�� #�� +�
�,������
��:� 4�� ���� /�"� �� � ������� �� � �� �� ��������� ��� ��� ������ ��� �
�� . � � ��� '� �� � � � ��� �� �� �� � �
*/. 6%2�37 84�2%8 ,25�4� /
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
A� ��� �� �������� �� � �� ���� �� �������� �� ���� � ����� �� ����� �������������� � ��� �� �� � ������ ,�*-� ,�/-� ,0*-� ,0"-� ,0#-� ,0/- ��� �� ���� �� ����� �� ����� �� �� ����� � ���� ���� ���� ,�"- �� ,�#- ���� ��� �� � =�� ,�"- ��� � ���� �� $� ���� �� � ������ �� �� ��� &������� �� � � � ��� �*� � �� � � �� �� �� � .� ���� ,�#- ��� ��
��;� )� � � �#� 8��� ���� �� ��� � ������� �� �� ���
�� � �� �� � � � .�� ��� � �� �� � � " � �" � �" *��'� ��� ���� ���� ���� ���� /�" �� ��� ��� �
�� �������� �� ���� ����� ���� ��� ��� �� ���������� ���� � � *� "� # ������ �� � )�� � �#� ��� �� � �#��+��D �� ��� ����� �� � ���� �# �� ������� ���� �� ��� � ��������� ��
��� �������� �� ����� ���� ����� �� ��� �� *� 5�� � � *� .� . �� � � .� *� . ����� �� ���� �� � � *� *� . �� ��� ����� �� � ���� *" � *" � ." � " � *� ���� �� ��� � ������� �� ��
���(� )� � � ��� �� ���� ���� �� �� ������������ H���� ���� � ��� �� � ������� �� �����
�� �������� �� ��� ����������� ���� ������ ����������
��� �������� �� ��� ����������� ���� � �+ �� �� $� �����������
��� �������� �� ��� ����������� ���� ���� �� ���� �� ��
�� =�� ���� ����� �������� �� ����������� �� � ��� ������ ����� �� � &� ������
� � � # � +� � 9�" � ��� *"� � � #
"� #� � 9
"�" ��
��� �� ���� I�� 8���� �� ��� ���� �������� �� $� ����������� �� ���� �� ����� �������� ������������� �� ����� �� �
����� )� � � �� ���� ���� �� ��������� � � � � �� 8��� ���� �� � ������� �� �� ���
�� � � � � � � * � .�� ��� ��������� ���� ���� �� * �� .�
��� � � � � � � # � � *�� ��� ��������� ��������� �� ��� ���� �� # �� *�
��� � � � � � � �� � �� ��� ��� ��� ����������
)� �. ��� �� $� ����������� �� �.� � . �� �� ���� �� ��
�� �. � � ���� �.* � .� 8����� � � � � � ��� � * � . �� �* � .� ����� �� ������ �� �� ����
� � ��* � � * � ��* � . � �. � .
���� � � �� � � �� ��� �� � ��������
��� �. � � ���� �.# � . � �.*� 8����� �� � � � ��� � # � � * �� �# � �*� ����� �� ��������� �� �� � ���
� � ��# � � # � ��# � � * � ��* � � � ��*���� � � �� � � �� ��� �� � ��������
��� . � � ���� �.�� � . � �. � ��.�� 8����� �� � � � ��� � �� � �� � �� ��� � ��������� �� ������ �� ��
� � ���� � � �� � ���� � �� � � ��� � �� � ������� �� �� � � �� ��� �� � ������� �� ��
25�4� /- 6%2�37 84�2%8 */*
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
����� 4�� ���� /�#� �� ��������� �� ��� ���� �� �������� �� � �� � ������� �� ��
)� � � � � � - � � � ��������� �� �������� �� � �� �� � � � � � � - � 8��� ��� � �� � ��������� �� � ��� . � �� �� �� � � -� 5�� . � � 8����� �� � � � ��� �� � � �� �� �� � � -� 8������ � �� � �������� �� �� � � � �� �� � � -� 5�� �� �� � � ���� �� � ������� �� ��
������ �����
����� 8��� ���� �� ����� �* � *� *� *� �" � *� "� #� �# � *� ?� > ���� �#�
< � �� ���� ���� �� ������ ���� � � � �� � �� �# �� � ���� ����������� �� �*� �"� �#� 8�� � ��* � ��" � ��#� ���� ��� ��
� �� � � �*� *� * � �*� "� # � �*� ?� > � �� �� �� �� "�� ?�� �� #�� >�&�� �� 1������� ����� �� �� �� �� ����� ����
�� �� � � �� "�� ?� � ��� #�� >� � �
�
�� �� � � �� /� � ��
"�� 9� � �� �
�� �� � � �� /� � ��
�� � �� "�� �� ���� ����� �� �� ����� ��� �� �� ���������@ �� �����
� � �� ?�� #�� � � #� 9�� /�� � � � "�� ��� � ��������� ���� �*� �"� �# ���� �#�
����� &�� ��� ������ �� � �� � �� ���� � � � �� � �� �# ������ �� � �����*� �"� �#� ��
�* � *� "� .� �" � �*� *� "� �# � #� .��/8� � �� � ���� ����������� �� �*� �"� �# ����� ��;����� �� �� �@ ���� ��� �� � � ��* � ��" � ��#� ����
��� �
� �� � � �*� "� . � ��*� *� " � �#� .��/ � �� �� #�� "�� �� "�� /�&�� �� 1������� ����� �� ���� 1������� �� �� �� �� ����� ����
�� �� #� � "�� � � �
"�� /� � ��
�� �� #� � #�� +� � �� "
"�� /� � ��
�� �� #� � #�� +� � �� "
. � /� "�� #�
�� ���� � � � �� � ������ �� �� �� ���� �� �� ����� �� ���������� �� �� �� ��������� �� �� ���� ��/� "�� #� � .� =��� �� ��������� ���� �*� �"� �# � ��� ���� �� ���� ���� �#�
���1� 8��� ���� �� ���� ���� � � �� �� �� ����������� ������ � ����� �� � ���� ���� ��������������
��� ���� �� # �� ����������� �������� � ���������� �� ������� �� ��� �� ��� �� ���� ���������#� �� # ������ ������� � ���������� �� � ��� ���� �� ���� ����# �� �� �� ��� ���� �� #�
���6� 4�� ���� /�?� )� # � � ����� �� �� ��� ��� �����#� �� � ������� �� � ���������� #����� '� �� � ������� �� � ���������� #� ��� ����# � �
��� 8����� # �� ����� A� �������� ����# � �.�� 5�� ����# � �.� �� � ������� �� � �� # � ����#� 8����� # �� ��� ���� �� � � #� ��� � � *� � ����#@ ��� # � ����#� ����. � .� � ����#� =�� ������ �� � ����#� ���
� � *�* � � � �� ��� ���
��� �� � �* * � � � �� �� � ��$
�$ $
*/" 6%2�37 84�2%8 ,25�4� /
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
�� ��� $ � # �� �� �$ � � ���
�� � � ��
��� ��$
�$ $ �� �� � � ��
���
� �� �
�
����
����� �� �����#� ���� ��� �� � ���� ����������� �� ����� �� #� ���� �����#� �� � ������� �� ��
���� 8����� �*� �"� � � � � �� � #� ��� ��� �� �� ����� �� � ���� ��� �������� *�*� "�"� � � � � ��� � ��� �� �� ��� *�* � "�" � � � �� ��� � � ���� ��� �������� ��� ���� ������������ �� ����� ��#� �� �� ��� �� �� ����# � � �� ����� �
������ ��������
���9� H���� ���� � ��� � �� � � ������ �� ��� ���
�� � � *� "� � � #��?� ��� � � *� "��#� � � /� ?��+��� � � *��#� � � �"� +� ��� � � "� /��>� � � #� +��*"
��� ����� � �� � � ������ �� �� �� �� ���� �� �� �� � ������� �� �� ����
�� =�� ��� I�@ �� � � �"�� ��� =�� ��� I�� �� � � #"��
���:� H���� ���� � ��� � �� � � ������ �� �� ���
�� � � "�" � /� � #� � � /�" � >� � +� ��� � � "�" � #� � /� � � /�" � #� � "�
��� � � * # �/
? . �*
� �� � � �/ �*" *+
�". . /
� �� ��� � � * * *
" " "
� �� � � " " "
# # #
� �
��� ����� � �� � � ������ �� �� �� �� ���� �� �� �� � ������� �� �� ����
�� I�@ �� � � "�� ��� =�� ��� I�� �� � � �/�� ��� =��
���;� H���� ���� � ��� �� ����� � � *� *� "� � � "� #� *� � /� ?� ? �� �# � ������ �� ���
�����) �� 8� � ���� ����������� �� �� �� 1��� �� �� $� ���� ����� ��;����� �� �� � �� ������ ��1������� ��������� ����� �� ���� 1������� �� ��� �� �� ����� �� ����� ���� ���� ��� �
�
*
*
*
��
��� �
"
#
*
��
��� �
/
?
?
��
�� �
.
.
.
��
�� �
�� "�� /� � .
�� #�� ?� � .
"�� �� ?� � .
��� "�� /� � .
�� � � .
�� ����� ����� ��� ���� ��� ���$� 1������� �� �� ��;�����@ ��� �� ��� � � ������ �� ����$� ��������� ���� �� �� � ������ �� ���
�����) �� &�� �� ����� � ���� ������� � �� �� �� �� �� ����� ����
� �* " /
* # ?
" * ?
��
�� �
* " /
. * *
. �# �#
��
�� �
* " /
. * *
. . .
��
��
�� ��� ������ �� ��� ��� � �����@ ��� �� ��� ���� �� � ���� ����������� �� �� ��� �������� � �� �� ���� �� ����� � ������ �� ��� �3��� ���� �� ����� � �� ���� �� ������������� �� 0��� *� '� ��� �� �� ���� ���� �� ��������� �� ��� �� �� ��� ���� ��
�����) �� &�� �� ����� � ���� ��� � �� �� � �� �� �� ����� ����
� �* * "
" # *
/ ? ?
��
�� �
. * "
. * �#
. * �#
��
�� �
* * "
. * �#
. . .
��
��
25�4� /- 6%2�37 84�2%8 */#
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
8��� �� ����� ����� ��� ���� ��� ���$� ���� �� �� ����� � ������ �� ��� ��� �� ��������� ���� � ���� �� ������� "��
���(� H���� ���� � ��� ��� �� �� ��������� ����� �� ����� �� �# �� ������ �� ���
�� �* � *� "� ?� �" � *� #� *� �# � "� ?� 9� �/ � #� *� /���� � � *� "� ?� � � "� ?� *� � *� ?� "���� � � *� "� #� � � .� .� .� � *� ?� +��� I�� ���� ��� ��� ����� �� �# � ������ �� ���
��� (� 0��� " ����@ ���� ��� ��� �� ����� � ���� ������� � �� ���� ������ �� �� ������� �� ����� ����
� �* " *
" ? ?
? * "
��
�� �
* " *
. * #
. �D �#
��
�� �
* " *
. * #
. . "/
��
��
%�� ������ ��� � ����� ���@ ��� �� ���� �� � ���� ����������� �� �� ������ ������ ���� ������� � ������ �� �� ���
��� 8��� . � .� .� . �� �� �� �� ������ �� ����� � ������ �� ���
����� 8��� ���� �� ��������� � � � ��� �� �� ��� �� (� � � ��� � ���� � � ������ �� �� ���
8� � ���� ����������� �� �� ��������� 1��� �� �� $� �������� ( ����� ��;���� ������ �� �� �� ������� �� �� � �� � �( � (@ �� ��� ���� � � .� � � .� � � .� < ������$ ���� �� � �� � �( � ( ���� ������� �� ���� �� �� � ��� �� � � ��� � �(� � .�
����� �� �� 1������ � ��� � � � ��� � � �� � .�
� 8� � � .
�� 8� � � ��"��� 8� � � �
�� ������
�� ������
�� ������
�. � �* � �. � .
�* � �. � ���" � .
�. � ��* � �� � .
�
�
�
� � .��� ���" � .���� �� � .�
�� �� 1������� ��� ���� �� $� ��������� ���� ��� � � .� � � .� � � .� ���� � � �� ( � �������� �� ���
����� 8����� �� ����� �� �� � ������ �� �� ��� 8��� ���� �� ����� �� �� �� �� �� "�� � ���� ������ �� �� ���
8����� ��� � � ��� � � ��� "�� � .� ���
��� ��� ��� ��� ��� "��� � � .�
�� �� ��� �� �� "��� � � .
8��� �� �� � ������ �� �� ��� �� ��������� �� �� ���� 1������ � ��� .@ ���
�� �� � � .� �� �� "� � .� � � .
�� ���� �������� �� �� ���� ��������� ����� �� � � .� � � .� � � .� ���� �� �� �� �� �� "�� ������� �� �� ���
*// 6%2�37 84�2%8 ,25�4� /
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
����� 8��� ���� �� ����� � � * � �� "� �� � *� * � � �� �" � ������ �� �� �� �������� �� � ��� ������ �� �� �� �� �� �� �� ��
7���� ���� ��� ����� � ������ �� �� ��� � �� � �� �� ���� �� �� �� ��� �� � ������� ���� ��� ��� �� ���� �� �� 8���
* � � � * � �*� * � � � * � �� "� � �� �� � ������ �� �� �� �� 3� �� ��� ��� � � �� � ������ �� �� �� �� �� ���� ���� ������� �� ��� 1��� �� 8���������� ��� � �� ��� �� ��� �������� �� � � �� � � �� ���� ���� �� �� ��� �� 1��� �� ��� �������� * � � �� �� ����� �� �������
,���� �� ��������
����� H���� ���� � ��� ��� �� �� ��������� ��� � ����� �� �#�
�� �*� *� *�� �*� .� *�@ ��� �*� *� *�� �*� "� #�� "��*� *���� �*� "� #�� �*� #� ?�� �*� .� *�� �"� #� .�@ ��� �*� *� "�� �*� "� ?�� �?� #� /��
� �� �� =�� ���� � ����� �� �# ���� ������� ������ # ����� ����� ���# � #�
��� �� �� ����� ��� � ����� �� �� ���� �� ��� � ������ �� �� ��� ���� ��� �� ����� ������� � �� ���� ������ �� �� �� �� ����� �� ����� ����
* * *
* " #
" �* *
��
�� �
* * *
. * "
. �# �*
��
�� �
* * *
. * "
. . ?
��
��
�� ����� ����� ��� �� $� ���@ ��� �� �� ����� � ������ �� �� ��� �� �� ��� ���� � ����� �� �#�
��� &�� �� ����� ���� ��� � �� ���� ������ �� �� �� �� ����� �� ����� ����
* * "
* " ?
? # /
��
�� �
* * "
. * #
. �" �+
��
�� �
* * "
. * #
. . .
��
��
�� ����� ����� ��� � $� ��@ ��� �� �� ����� � ������ �� ��� �� �� ��� � ������ � ����� �� �#�
���1� H���� ���� �*� *� *� *�� �*� "� #� "�� �"� ?� +� /�� �"� +� >� ?� ��� � ����� �� �/� '� ���� �� �� ������� �� �� ������� ��� �����
&�� �� ����� ���� ��� � �� ���� ������ �� �� �� �� ����� ����
� �* * * *
* " # "
" ? + /
" + > ?
����
���� �
* * * *
. * " *
. # / "
. / + #
����
���� �
* * * *
. * " *
. . �" �*
. . �" �*
����
���� �
* * * *
. * " *
. . " *
. . . .
����
����
�� ����� ����� ��� � $� ��� 5�� �� ��� ����� � ������ �� �� �� � ��� ��� � ����� ���/� 8��� �� ����� ����� ��� �� ���$� ���� �� ��� ����� ���� � ������� �� ������� #�
���6� %��� ��* � *� *� *� *� �" � "� "� #� /� �� � ����� �� �/�
25�4� /- 6%2�37 84�2%8 */?
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
&��� ��� �� ����� ���� ��� �* �� �"� �� �� �� ����� ����
* * * *
" " # /
� �� * * * *
. . * "
� �
��� * � *� *� *� * �� " � .� .� *� " ���� �� ��� �� �� ����� �� ����� �� �* �� �"� )��# � .� *� .� . �� �/ � .� .� .� *� ��� *� �#� "� �/ ��� � ����� �� ����� ���� ���� ��� ������� �� �� ��� �� ��� ��� � ����� �� �/� 5�� �*� �"� �#� �/ ���� ��� � ����� �� �/�
���9� 2���� �� ������ �� �� ����� �������� �� �� �� �� ����� �������� �� ������� �� 3������ � �� � ���� ���� �� �� �� � �� � ���� ���� �� 3��
�� 8��� ���� �*� �� �� � ����� �� � �� �@ ��� � �� � ���� ���� �� ������� " �� ��
��� 8��� ���� � �� � ���� ���� �� ������ ������� �� 3�
�� &� ��� � � �� � ��� � � � �� � * � ��� �� � � � �� 5�� �*� �� ����� � �� ��&������ �� �* � �� � . � �� �� � .� �� �� � � �� ��� � � . �� � � .� 5�� �*� �� �������� �� �� �� �� �� ���� �*� �� �� � ����� �� � �� ��
��� '� ��� � ����� ���� � �� � ����� ���� ����� ���� ��� � �� ��� � ��� �� ��� ���������� �� 3� ������� ��� �� �� �� * �� ����� *� �� �"� � � � ��� � ������ �� �� �� �� 3� ���� � ������ � �� ������� � �� 3� ���� ������ � �� �� ������ ������� �� 3�
���:� 8����� # � ��*� �"� � � � � ��� �� � ����� �� �� 8��� ���� �� ��������� H�������� � �� A �� ������ �� � � 1��������
��� # �� ������ �� �� �� �� ����� ��
�A� %�� � � � �� � ���1� ���� ����������� �� ����� �� #�
8����� ��� ��� �� 8��� # ����� �� �� ���� � �� � ���� ����������� �� �� ��� ���
� � *�* � "�" � � � �� ��� �� � � �*�* � �"�" � � � �� ����8���������� � ��
. � �� � � * � �*�* � " � �"�" � � � �� � � ����A�� �� �� � ������ �� �� ��� 5�� �� ��������� �� �� ���� ������ � ��� .�
* � �* � .� " � �" � .� � � � � � � �� � .
���� * � �*� " � �"� � � � � � � ��� 5�� �� ��������� �� � �� � ���� ����������� �� �� �� �����1�� ���� ��� ������ �A��
8����� �A� ��� �� ��� # ����� �� 8�����
. � �*�* � �"�" � � � �� ����5���� � � ��� . � .�* � .�" � � � �� .��
A� ���������� �� ��������� �� . �� � ���� ����������� �� �� �� �� ���1�� 5�� ��� �� � . �� �� ��� ������ �� �� ��� ���� �A� ������ ����
�������� �� �,������
���;� &�� � ����� �� ������� �� �� ������� �� �# ����� � �� �� � � � �� � � .�� ��� � �� �� � � � � � ���� =�� ���� �� �#� ����� ���� *� "� # �� � ���� �� � #� =�� ���� �* � *� .��* ��
�" � .� *��* � ��� �� �� �� ����� �� � ���� �� � "� �� �� �* �� �" ��� � ����� �� �
��� �� ���� � � *� *� * � � ��� ���� � ��� �� ��� � �� �� �� 5�� � ��� ���� ������ �� �� � *�
*/+ 6%2�37 84�2%8 ,25�4� /
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
���(� )� � �� ������� �� �/ ����� �� �� �����
�* � *��"� ?��#� �" � "� #� *��/� �# � #� >��#��?�� &�� � ����� �� ������� �� � ��� %��� �� ����� �� �� � ����� �� �/�
�� ����� �������� /�*� �� �� ���� ��������� &�� �� ����� ���� ��� � �� ���� ������ �� �� �� �� ����� ����
� �* �" ? �#
" # * �/
# > �# �?
��
�� �
* �" ? �#
. 9 �D "
. */ �*> /
��
�� �
* �" ? �#
. 9 �D "
. . . .
��
��
�� ���$� ��� *��"� ?��# �� .� 9��D� " �� �� ����� ����� ��� � ����� �� �� �� ���� ��� �� ��� �� � ����� �� ��������� �� � "�
��� < �; ��� ������ �� �� �� ������ ����� ����� �� ���� ��� ������ �� ��� �����*��"� ?��#� .� 9��D� "� �.� .� *� .�� �� �.� .� .� *� � ������ �� �� �� ����� ��� ��� ������� ������� �� �� ��� ��� � ����� �� �/� ����� �� �� ������� �� �� ����� �� �
����� )� � �� ������� �� �? ����� �� �* � *� "��*� #� /� �" � "� /��"� +� >��# � *� #� "� "� +� �/ � *� /� ?� *� >� �? � "� 9� #� #� D� &�� � ����� �� �� ����� ������� � ����� �� �
5 � �� �������� /�"� �� 2���������� ��������� &�� �� ����� ' ���� ������� ���� ���� ��� ���� ������ �� �� �� �� ����� ����
' �
* " * * "
" / # / 9
�* �" " ? #
# + " * #
/ > + > D
������
�������
* " * * "
. . * " #
. . # + ?
. . �* �" �#
. . " / *
������
������
�
* " * * "
. . * " #
. . . . �/
. . . . .
. . . . .
������
������
�� ����� ��������� � �� ������� +*� +#� +?� 5�� �� ������ ��� ����� �*� �#� �? ��� � ����� �� ��� �� � #�
����� )� � � �� ���� ���� �� " � " ������ �� � )� � �� ������� �� ������� �������8��� ���� �� � #� �� �� ��� � ����� �� �
7���� ���� � ����� � � ��$� �� ������� �� �& � �� �� 1���������� ��� �$ � $�� ���� � � �
� �
� �
���� �� ������ " � " ������� ������ 8����� ��� � *� � � .� � � .� ���� � .� � � *� � � .������ � .� � � .� � � *� � ������ �� ������ �������
�* � * .
. .
� �� �" � . *
* .
� �� �# � . .
. *
� �
< ����� ���� # � ��*��"��#� �� � ����� �� @ ���� ��� �� # ����� �� ��� # �� ������ �� �� ���
�� �� ���� ����� � � �
� �
� �� �* � ��" � ��#� ���� # ����� �
��� 8����� ��* � ��" � ��# � .� �� �� �� � � ��;���� ������� ���� ��� ������
�* .
. .
� �� � . *
* .
� �� � . .
. *
� �� . .
. .
� ��
� �
� �
� �� . .
. .
� �
8����� ������ ��� ���� 1��� �� ��� ��� ��� � � � .� � � .� � � .� ���� # �� ������ �� �� �������� # �� � ����� �� � �� ����� �
25�4� /- 6%2�37 84�2%8 */9
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
�5������ �� ������ ��������- ,����- �� ��������
����� 4�� )��� /�*.� 8����� ��� � �� ���$� ����� �*� �"� � � � � �� � ������ �� ������ �� �� ��� �� � ���� ����������� �� �� �� ��� ������
8��� �� �� � ������ �� ��� �� ���� ������ *� � � � � �� ��� ��� .� ���� ����*�* � � � �� ��� � .� )� � � �� ����� ���� ���� ���� � �� .� ���
*�* � � � �� ��� � .���* � � � �� .�� � . � *�* � � � �� ��� � .
8����� � � *@ ��� *�* � .� * �� .� �� �� �* � .� A�� �� �� � ���$� ������ 5�� � � * ��
�� � ��*� *�* � � � �� �*
� ��*���*
���� ��� �� �� � ���� ����������� �� �� �� ��� ������
����� 8����� # � ��*� �"� � � � � ��� ����� � ���� ���� ��
�� '� � �� ��� � � �*� � � � � ��� �� ������ �� �� �� ����� ��
��� '� �� �� � ���� ����������� �� �*� � � � � ���*� ��� # ������� �� ����� ��
�� �� ���� �� � ���� ����������� �� �� ��� ���� ���� ����� �� ���� ������ � � �*� � � � � ��� �� ������ �� ��� 2����� ���� �� �� ���� �� ���� �� �� �� ������� ���� �� ���� ��� � � �*� � � � � ��� �������
��� 8����� �� � �*�* � � � �� ���*���*� )� � � �� 8��� ���� ����� �� � �� � ���� ����������� �� �� �$!����� � � *�* � � � �� ���� 8����������� �� ��� � ������
� � *�* � � � �� ��*���* � ��*�* � � � �� ���*���* � ��*���* � � � �� ���� * � ��*�* � � � �� ��* � ����*���* � ��*���* � � � �� ���
���� ��*� � � � � ���*� ���*� � � � � ��� ����� �� '� ��� �� �� � ��� �� �� ��� �� �������� �� �� ��������� � �������� ���
���1� 4�� )��� /�*#� 8����� ��*� �"� � � � � ��� ����� �� �� ������ � *� "� � � � � �� �� �������� �� ��� ��� � �� �� � �� ����� �� � �� �� �� ���
� *� "� � � � � �� ��*� ��" � � � � � ���������� ��� �� * � �� ����� �� � � ������ �� ���
'� ������ �� ��� �� ���� �� �� ��� ���� �� �� � ��� ��� .� �4��J� 8��� ���� ����� �� � ��� ��4���� /�#/ ����
� *� �*� � � � � ��� *�� ������ �� �� �� ���� ����� �� A� )��� /�*.� �� �� �� ����� �� �*� �� � ���� ����������� �� ���� ��� ������ ���� ���� ������ � *� �� �� ���� � �� �� �� �!�� ��� �$� ���� �� 4���� /�#/� � ��� �� �$ ��� �� �������� �� �*� �� ������ �� �������� ��
� *� �*� � � � � �$�*� �$�*� � � � � ��� "=�� � ��� �� ������ ���� �� ���� "� ���� ��� ���� �"� ����� �� �� ��
� *� "� �*� � � � � �$�*� �$�*� � � � � ��� #�� ������ �� �� �� ���� ����� �� ����� �� )��� /�*.� �� �� �� ����� �� �#� �� � ���� ������������� �� �� ��� ������ < ������$ ���� ���� ���� ������ � * � "� ���� � *� � � � � �� ���� �� ��@ ��� �� ���� � �� �� �� �!�� ��� ��� ����� �� 4���� /�#/� � ��� �� �� ��� ���������� �� �#� �� ������ �� �������� ��
� *� "� �*� � � � � �$�*� �$�*� � � � � ���*� ���*� � � � � ���< ��� �� ������ ���� #� �� �� ����� �� ��� ���� � � ��� �� � �� �� �� !� �� ��
*/> 6%2�37 84�2%8 ,25�4� /
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
�� �� �� �!� �� �� �������� ��� '� � �� ��� � ������ ������ � �������� �� �� �� 1�� ����
� *� � � � � �� ��* � � � � � ������
&������� � ���� ���� � � � �� ��� �������� 3������ ��� � �� �� ���� ����� � ������ �� ���������� � *� � � � � ��� ���� ������ ���� ��* �� � ���� ����������� �� *� � � � � �� ����� ����� ���� ����������� ���� � �� �� ������ �� �� ���
���6� 4�� ���� /�*"� %�� ����� �� � ���� ���� � ��� �� ��� ���� �� ������
8����� ��*� �"� � � � � ��� �� � ����� �� �� �� ������ ��*� �"� � � �� �� ����� ����� �� �� 8��� ���� ����� ���� ����� ��*� �"� � � �� ���� ������� � � ��� ������ � �� �� �� ������ �� �� �� 4���� /�#?� ���� ���)��� /�*#� 3� �� ��� ��� � �� �� ����� ��*� �"� � � �� �������� ��� ���� � ������ ��� ��*� �"� � � � � ��� �������� �� �� �� 4���� /�#?� ���� �� ����� ��*� �"� � � �� �������� ������ � ������ �� �� �� ������ ���
���9� 4�� ���� /�*/� )� � � � ���� ���� �� ���� ������� �� ����
��� ��� �� * � �� ����� ���� � ������ �� ���
���� ��� ������ �� �� �� �� # � ��*� �"� � � � ��� ���� � ����� �� � ����� �� ��
����� ��� �������� �� & � ��*� �"� � � � � ��� �� � ���� � ����� �� � ����� �� ��
8����� � � � *� "� � � � � �� �� � ����� �� ��
��� 8��� � ����� �� ��� �� * � �� ����� � ������ �� �� �� )��� /�*#�
���� A� )��� /�*#� ����� ��� � ��� � � :��� �� # �� ��� � �������� �� �� � ���� � ������8��� # ��� � ��� � ������ # ����� �� � �������� �� �� �� ���� # �� � ����� �� ��
����� 8����� & �� ������ �� ��� ��� ��� �� �� � ���� ����������� �� �� �� ��� ������ A�4���� /�#/� � �� ����� �� �� ����� �� & ������� �� �� �� � �� * �� ���� A� )��� /�*#��� �� �� �� �� � ������ ��� �� ���� �� * ������ ���� ����� ���� �� ���� ���� � ��� ������� ���� & �� ������ �� �� ��� �� ��� & �� � ����� �� ��
���:� 4�� ���� /�*?� 8����� # ����� � ���� ���� �� ����
��� ��� ������� ���� �� ������ �� �� �� ����� �� # ��� � ����� �� ��
���� 8����� �� ��� ��� # �� ���� ���� �� � ���� ����������� �� �� ��� ����� ��#� ��� �� ������� ����� ��� � ����� �� ��
��� 8����� ��*� � � � � ��� �� � ������� ������ �� �� �� ����� �� #� �� ������ � #� ���� �������*� � � � � ��� � �� ������ �� ��� =� �� ��� � � ���� ����������� �� �� ��� ������ 5�� ��� ���� ����������� �� �� ��� ���� � ������� �� ��� # � ������� ���� �� � ��
� � ����# � ������ � �
���� ���� ����� �� �� � ���� �� �� ������ �� �� ��� �� �� � ����� �� ��
���� �� ������� ����� ��� � ������� ������ �� �� �� ����� �� #@ ���� �� ���� �� �� � ����� �� ��
���;� 4�� ���� /�*+� )� � � � ���� ���� �� ���� ������� �� �� # � ��*� �"� � � � � ��� � ��� �� ������ �� �� �� ����� �� �� ��� # �� ��� �� � ����� �� � @ ���� ��� # ��� � ��� ��� ����� �� ��
8����� � � � *� "� � � � � �� �� � ����� �� �� ��� � ����� �� �� ��� � �� ����� ��
# � � � ��*� �"� � � � � ��� *� "� � � � � ��
25�4� /- 6%2�37 84�2%8 */D
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
A� ���� /�*?� � ��� �� ��� # � � ��� ���� ���� �� � ���� ����������� �� �� ��� ����� �������� � ����� �� �� �� 8��� # �� ������ �� �� ��� �� �� �� � ���� ����������� �� �� ��� ���������� �� �������� �� ���� �� #� �� # �� ��� �� �� ����� �� �� ��
���(� 4�� ���� /�*9� )� � � ������� �� �� �� ��������� ���� ���� �� ��� �� �� '���������� �� �� � �� ��� � ��
8��� � �� �� ������� �� ��� �� * � �� ����� � ������ �� ��� &������ ���� � ������� �������� �� ������ �� �� �� ������ �� ������ ������� �� ���� � ������ ���� ������ �� ��
'� ��������� �� � *� � � � � �� �� � ����� �� � ���� ���� �� �� �� �� �� �� �� ���� � ������ �� �� ����� ����� �� �� ���� � � ��� �� � ��
���> � � ������- ��7�� ����� ������
����� &�� �� ��; �� ����� �� �� �� ���� �� ��� �� �� ��������� �������
�� � �* " . �*
" + �# �#
# *. �+ �?
��
��� ��� � �
* # * �" �#
* / # �* �/
" # �/ �9 �#
# > * �9 �>
����
�����
�� 7�� �� � �� ����� ����
� �* " . �*
. " �# �*
. / �+ �"
��
�� �
* " . �*
. " �# �*
. . . .
��
��
�� ��� ���$� ��� *� "� .��* �� .� "��#��* �� �� ����� ��� �� � ��� � ����� ���������� '� ��������� ��;� � "�
��� 7�� �� � �� ����� ����
� �* # * �" �#
. * " * �*
. �# �+ �# #
. �* �" �* *
����
���� �
* # * �" �#
. * " * �*
. . . . .
. . . . .
����
����
�� ��� ���$� ��� *� #� *��"��# �� .� *� "� *��* �� �� ����� ��� �� � ��� � ����� ���������� '� ��������� ��;� � "�
����� 8��� ���� ! � � �� ! �� � �� ��������� �������� �� �#�
! � �����*� �"� �# � ����*� *��*� "� #��*� #� *��?� � ���� *� "� # � ����*��*��#� #��"��>� "� *��#�
&�� �� ����� � ���� ��� � �� ��� �� �� �� � �� �� ��������� ����
� �* * �*
" # �*
# * �?
��
�� �
* * �*
. * *
. �" �"
��
�� �
* . �"
. * *
. . .
��
��
*?. 6%2�37 84�2%8 ,25�4� /
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
=�� ��� �� ����� � ���� ��� � �� $� �� �� �� � �� �� ��������� ����
� �* �* �#
# �" �>
" * �#
��
�� �
* �* �#
. * *
. # #
��
�� �
* . �"
. * *
. . .
��
��
8��� � �� � ��� �� ��� �� ��������� ���� �� �� ����� �� � �� � � 1���� �� �� ! � �
����� )� � �* " * " # *
" / # 9 9 /
* " " ? ? +
# + + *? */ *?
����
�����
�� &�� ��;'�� �� � � *� "� � � � � +� �� '� �� �� �������� �� � ���������� �� �� ��� �������� +*�+"� � � � �+� �� ��
��� <���� ������� +��* � ���� ������������ �� �� ��� ������� +*� � � � �+�K
��� &�� ������� �� � ���� ��� � ����� �� �� ������ ���� �� ��
��� %���� ������ +/ �� � ���� ����������� �� �� ������� �� ��� ����
�� 7�� �� � �� ����� ����
� �* " * " # *
. . * # * "
. . * # " ?
. . # D ? *"
����
���� �
* " * " # *
. . * # * "
. . . . * #
. . . . . .
����
����
3��� ���� ���� ������������� ��� ��� �� ������ '� �� ����� ���@ �� ������ �� ��� ���������� �� �� ����� ��� �� � � �� ����� ��� �� '/� < ;��� ���� ��;'� �� 1��� �� ������ �� ������ �� 1���������� �� ���� �� ���$� ��� �� �� ����� ��� �� '� � ����
��;'* � ��;'" � *� ��;'# � ��;'/ � "
��;'? � ��;'+ � #
��� �� ���� 1������ �*+* � �"+" � � � �� ��+� � +��* ��� � �� ����� ���� �������� ����� '� �� ������ '��*� ���� +��* �� � ���� ����������� �� +*� � � � �+� �� �� ���� �� ��;'� � ��;'��*�� 1���������� �� +��* �� ��� ������� � ������ ���� ��� �� +"� +/� ++ �� � ���� ����������� ���� ��� ��������
��� '� �� ����� ��� �� �� �� ������ � �� �� ���� ��� � �� ���� �������� ���� ������� +*� +#� +? ��� ��� � ����� �� �� ������� ���� �� �� ����������� ����� ������� +"� +/� ++ ��� �� ���������� �� ������� ���� � ���� ������������ �� ��� ��������� � ������� ������ +*� +#� +?�
��� �� ����� ����� ���� �� ���� +/ �� � ���� ����������� �� ������� +* �� +#� �� ������ �����' �� �� ���� 1������ +/ � �+* � �+" �������� �� �� ������� +*� +#� +/ �� � ������ ��� �� �� ����� ���� ��� � �� ����� ��������� $� ����
* * "
. * #
� ��
�� � � "
� � #� � � �*� � � #
���� +/ � �+* � #+# � �+* � #+# � .+?�
����� 8����� � � *� "� � � � � � �� � ���� ����������� �� �� ��� %*�%"� � � � �%� �� � ������ � ���$�� ��� � � �*%* � �"%" � � � �� ��%�� 4�� ����
� � �*�*� � �"�"� � � � �� ������ � � *� "� � � � � �
�� �*�� �"�� � � � � ��� � �� ���� �� �� ��� ������ �� ��
25�4� /- 6%2�37 84�2%8 *?*
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
< � ���� ���� � � �*%* � �"%" � � � �� ��%�� 5��
*� "� � � � � � � �*�**� � � � � �*� � � � �� ����*� � � � � ���� �*�** � � � �� ����*� � � � � �*�*� � � � �� �����
8����� ������ ��� ��������� 1��� �� ��� ���� � ������ �� �� �����
���1� 4�� ���� /�9� 8����� � � ��$� �� � � ���$� � �� 1������� ����� ������ ���������� ����� ����
*$*� "$"
� � � � � �$� �� �*�*� �"�"
� � � � � ����
������ �� &��� /�?�� ��� � �� � ��� �� ��� ���� �� ���$� ���� ���� ��� � � �� �� �������� ���� � �� �� ��� ���������� ���� ��� $* � �*� $" � �"� � � � � $� � ���
2���� � � . �� �� ���� �� � � .� �� �� � � ���� ��� �� ���� ��� � � * �� � � *� <��� ���� ���� $* � �*� 8����� $* � �*� ��� �� $*�� ������ �� � �� $�� 8��� �� ��� �� %E �� � �� �� ���� ���� �� �� � ��� %E � �*%* � �*%" � � � �� ��%�� �� �� %� � �� ��� �� �� 8��� �� $*�������� �� � �� $�� � ���
*$*� �*. � �". � � � �� ��. � .
A�� ���� ����� ���� �� ���� ���� �� ����� ��� *$*�� .� 5�� $* � �* �� � ��������� �* � $*� ���� $* � �*�
=�� �� �� � �� �������� �� � ������ �� ����� �� ��� �� �� �� �� �� �� � �� �������� �� ������� �� ����� �� ��� �� �� �� < ��� ���� �� �� �� ��� �� ��� �� ����� �� ���� ������� ������ �� �� ������� ���� �� �� �� � ���� ����� �������
)� % � *� "� � � � � � � ��� �� �� �� �� �� %*� � � � �%� � �� ��� �� �� 8��� % �� �� �� �� ������ �� �� ���� ������ �*� � � � � �� ���� ���� % � �*%* � �"%" � � � �� ��%�� 8��� � �� �� ����� ��� �� % �� ��� �� ��� �� �� �� �� $*�� ��� �� % �� $�� � � . �� � � $* � �*� &������ ���� � �� �� ��������� ��� �� ���� �� �� �*�� ������ �� � � . ���� �� ���� �*�*
�� .� ��� �"�*� .� � � � � ���* � .� ����
. � �* � �*�*�*� �". � � � �� ��. � �*�*�*
=�� �*�*�� . �� �� �* � .� ���� % �� � ���� ����������� �� %"� � � � �%� �� �� �� �� �� �� ���� �� ���
8��� % ��� ��� �� �� ��� �� �� ���� �� �� �� ������� �� �� �� ���� �� ��� 8�������� �� �� ���� ���� �� ������� �� �� �� ���� �� ��� ���� �� �� �� ��� �� ��� �� ����� �� �� �� ���� �� ��� �
���6� 4�� ���� /�>� 8����� � �� � � �� ��������� ������� ��� � �� � ��� �� ��� ������ �� �� ���� �� ��� ��� �� ��� ���$� ����
3��������� �� � �� � ��� �� ��� ���$� ���� ��� ��� ��� �� ��� �� ����� ���� � ������� �� ��� �� ������
8����� � �� � ��� �� ��� �� ����� �� ������ % �� . �� �� ��� �� �� �� ��� �� ���� �������*� � � � � �� ���� ����
% � �*%* � �"%" � � � �� ��%� *�� �� %� � �� ���$� ��� �� �� �� ���� �� ��� �� � ���� ���� % � %�� ���� ��� ���� �� � * ����� � . �� � �� ��
� �*$*
� � � � � �"$"
� � � ���������������������������������������
�$� � �
����
����� � �
�*�*� � � � � ��"�"
� � � ���������������������������������������
���� � �
����
����
�0� �21
*?" 6%2�37 84�2%8 ,25�4� /
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
)� �$� � �� ����� ��� �� %� ���� �� ��� ���$� ��� �� %� A� �*� �� 4���� /�//�
�$� � �*�*$�� �"�"$�
� � � �� ����$� "
A��� �� 4���� /�/?� ��$� �� � ����� ��� �� �� �� � ���� � �� �� �� � �� �� �� ���� ���$� ��� �� ��$�� ������ �� �� ����� ��� �"�� � ������ �$� � ����$� � 5���� �$� � * �� ��$� � *� ���� � �� � � �� �� @ ��� �� � *�
=�� ������ � �� �� �� ��$� �� �� ����� ��� �� %� � A� �*� �� 4���� /�//�
�$� � �*�*$�� �"�"$�
� � � �� ����$� #
8��� � �� �� �� � ��$� �� �� ���� ���$� ��� �� �� $�� ������ �� �� 5��� �� �#�� �$� � ����$� �&������ �� 4���� /�/?� �$� �� � ����� ��� �� �� �� ���� � �� �� �� � �$� � .� ���� ����$� � .��� ���� ��$� � *� �� � .� ���� ����� % � %�� �� �� ���� �� ��� �
���9� 4�� 2������ /�D� %�� ����� � �� �� 1������� �� � ���1� ����� �� �� ��������� ����
8����� � �� �� 1������� �� ������ �* �� �"� �� �* �� �" � �� �� ��������� ���� �������� � �����* �� ����� � �����"� 5�� �����* � �����"� 8��� �* �� �" � ���� ��������� ���� �* � �" �� ���� /�>� ���� �� ������� �� ��� �
���:� 8����� %� �� �� � �� � �� % �� � �� ���� �� � �� � � ������� 4���
�� %� �� � ���� ����������� �� �� ��� �� ��
��� �� �� ���� �� �� �� ������� �� �� �� ���� �� ��
��� �� ������ ���� �� �� �� ������� �� �� ������ ���� �� ��
��� ��;�� ��;� �� ��;�� ��;���� 8����� % � *� "� � � � � � �� � � ���$�� )� �*� � � � ��� ��� �� ��� �� � �� �*� � � � ��� ���
�������� ���
%� � %�*�%�"� � � � �%��� *�** � "�"* � � � �� ���*� � � � � *�*� � "�"� � � � �� ����� *�**� �*"� � � � � �*� � "�"*� �""� � � � � �"� � � � �� ���*� ��"� � � � � ���� *�* � "�" � � � �� ���
���� %� �� � ���� ����������� �� �� ��� �� �� �� ����� �
��� �� ��� �� �� � %��� �� %� �� �� ��� �� �� �� ����� �� ��� ��� ��� �� �� �� �� �� �� ������ �� �� ���� ������ � ������ �� ����� �
��� (���� ��� ���� � ���
������� � ������& � �����&�& � �����& � ������
��� �� �� ���� �� �� �� ������� �� �� �� ���� �� �@ ��� ��;�� ��;�� &������ �������� ���� �� �� �� ������� �� �� ������ ���� �� �@ ��� ��;�� ��;��
���;� )� � � �� ���1�� ������ 8��� ���� � �� ������� �� �� ���� �� ��;� � ��=�� ���� �� ��� �� �� ���1�� � ����� ����� -� � ������ �� �� ��� ���� -� �� �� ����� ���@
��� ��;-� � �� =�� �� � �� �������� ��� � �� �� 1������� �� -�@ ��� ��;� � �� A�� �� � �� ����������� ��� � �� �� 1������� �� � ����� ���� � $� ��@ ��� ��;� � �� ���� ��� � �� ������� ���� ���� �� ��;� � ��
25�4� /- 6%2�37 84�2%8 *?#
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
������������ �� ������ �3������
��1(� &�� �� ������� �� � ����� �� �� �������� ���� �� ��� ��������� ������
�� "�� "�� �� #� � .
�� "�� #�� �� � � .�#�� +�� >�� �� ?� � .
�� "�� �� "� � .
"�� /�� /�� #� � .
#�� +�� 9�� /� � .
�
�� �� "� � .
"�� #�� #� � .
�� #�� ?� � .
�
�� 7 �� �� ����� �� ����� ����
�� "�� "�� �� #� � .
�� "�� "� � .
"�� /�� /� � .
�
�� "�� "�� �� #� � .
�� "�� "� � .
�� ����� �� ����� ��� ��� ��� ����$�� 1������� �� �� ��;������ 5�� �� ����� ���? � " � # � �������� ����� � �� �� �� ���� �� � #� < ������ � ����� �� �
* 8� � � *� � � .� � � . �� ������ �� �������� �* � �"� *� .� .� .�" 8� � � .� � � *� � � . �� ������ �� �������� �" � ?� .��"� *� .�# 8� � � .� � � .� � � * �� ������ �� �������� �# � �9� .� "� .� *�
�� �� ��*� �"� �#� �� � ����� �� �� �������� ���� �
��� �5 � �� �� ����� ����� �� �� ��������� ������� 7 �� �� �������� ����� � �� ���������
� �* " * �"
" / / �#
# + 9 �/
��
�� �
* " * �"
. . " *
. . / "
��
�� �
* " * �"
. . " *
. . . .
��
��
���� ������ � �� �� �����
�� "�� "�� "� � .
"�� � � .
�� � ������� � � �� �� �� �� � "�
��� 8� � � *� � � . �� ������ �� �������� �* � �"� *� .� .����� 8� � � .� � � " �� ������ �� �������� �" � +� .��*� "�
��� ��*� �"� �� � ����� �� �
��� 7 �� �� �������� ����� � �� ����� ����
� �* * "
" # #
* # ?
��
�� �
* * "
. * � *
. " #
��
�� �
* * "
. * � *
. . ?
��
��
���� ������ � �� � �������� ����� ���� �� � �������� ���� . �� �� ���� ��������� ���� ��� � �.�� 5�� �� � .�
��1�� &�� � ��������� ����� ���� �������� �� �� ����� ��
��*� �"� �#� � �*��"� .� #� *��*��*� /� *� .��"� ?�)� � � �� �� �� �� ��� � � �� �� ���� �� � �� � ���� ����������� �� �� ����� �*� �"� �# ���� ����
� ���� ��� �� �����' ���� ��� ������� � �*� �"� �# �� ���� ���� ������ �� �� �� ��� �� ��
*?/ 6%2�37 84�2%8 ,25�4� /
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
' �� ����� ���� ���� ��� �
' �* * * �
�" �* . �
. �* �" �
# / ? �
����
���� �
* * * �
. * " "�� �
. �* �" �
. * " �#�� �
����
���� �
* * * �
. * " "�� �
. . . "�� �� �
. . . �?�� �� �
����
����
��� � �� � ���� ����������� �� �*� �"� �# �� ��;' � ��;�� �� � �� �� �������� ������� ������ ������ �� �� ���� ��� ���� �� �� ����� ������ �� �� ���� 1��� �� $� �� ������ �� 1�� ��������� ������
"�� �� � � .
?�� � � � � .
��1�� )� ��* � ��" � � � � � ��� � �� � ������� �� � ��������� ����� �� ���� 1������� ���� ���;������ )� �$ � �� �������� �� ����� ��$ � *� �� ��� ��� � ������� 1��� .� 8��� ������ ��������� �*� �"� � � � � �� � ������ �� �� ���
)� � � �� ����� ���� ��� � �� ��� < �������� ������ * �� ������ �*� ��� ������ " �� ������ �"� � � � � ��� ������ � �� ������ �� � �� � ������ �� � � � �����
� � �- �+� �* . . � � � . . �*���* � � � �*�. * . � � � . . �"���* � � � �"��������������������������������������������������������������. . . � � � . * �����* � � � ���
����
����
�� ���� ����� � �� �� ����� ���� �� �� ��� ��� � �� �� ��@ ��� ��;� � �� 8��� � �� � ������� 1�������� ��� ��� �� ��� ��;� ���� ��;� � �� A�� � ��� � ���@ ��� ��� ���� ���� �� ���� ������ �� �� ��� �� ����� �
���- ����� ���- �������������
��1�� )� ! �� � �������� �� � ���� ���� �� 8��� �����
�� ! � � �� � ������� �� ��
��� ! �� � ������� �� ! � �
��� ! � �� �� ������� ������� ���������� ! �� � ���� ��� ! � � ����! � ���� � � �
�� 8��� ! �� � ��������� . � ! �� . � � 5�� . � . � . ������ �� ! � � =�� �������� �� � ! � � ��� � � �� �� �� � �� � ��� �� �� �� � ! �� � � � � ���
�� ��� � �� ��� � � � � � ! � ���� ! � �� � ������� �� ��
��� )� � � ! � 8��� �� � �������� . � � 5�� � � �� . ������ �� ! � � ���� ! � ! � �8�������� � ! � �
��� 8��� ! � �� � ������� �� � ���������� ! �� � �� ���� ���� ������� �� ���� ���� �� ! �� ����� ��� ����! � � ! � �
3� �� ��� ��� � �� � � ! � � ��� � � �� � *�� * � �� � � ! �� � � ���� � �� ����� ����������� �� ����� �� ! � � �� �� � � ����! � � 5�� ! � � ����! � �
�� ��� ��������� ������� ��� �� �� �����
��� 8��� �� � ������� �� �� � ��� ���� �� ���� �� ���� � �����@ ��� � � � A���� ��� � � � 5�� � � �
25�4� /- 6%2�37 84�2%8 *??
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��1�� 2���� �� ��������� �������� �� �?�
! � �����*� �"� �# � �����*� #��"� "� #� *� /��#� /� "� "� #��*��"� D� � ���� *� "� # � �����*� #� .� "� *� *� ?��+� +� #� "� ?� #� "� *�
&�� � ����� �� �� ������� ��� �� ! � � ��� ! � �
�� ! � �� �� ���� ����� �� ��� ��� ������ 5�� ��� �� ����� ���� ��� � �� ���� ��������� �� ��� �� �� �� ����� ����
* # �" " #
* / �# / "
" # �* �" D
* # . " *
* ? �+ + #
" ? # " *
��������
��������
�
* # �" " #
. * �* " �*
. �# # �+ #
. . " . �"
. " �/ / .
. �* 9 �" �?
��������
���������
* # �" " #
. * �* " �*
. . * . �*
. . . . .
. . . . .
. . . . .
��������
��������
�� ��������� �� ���$� ��� �� �� ����� ����� ��� � ����� �� ! � �
*� #��"� "� "� #� .� *��*� "��*� .� .� *� .��*���� ��! � � #�
��� )� � � �� �� �� �� � ��� �� ������ ���� �� �?� &��� �� � ��� �� �� 4���� /�/D� ��������������� ���� �������� ��� � ! �� � ���������
)� ' � �� ����� ���� ������� � �� �� �� �� �� �� ' �� ����� ����
' �
* * " �
# / # �
�" �# �* �
" / �" �
# " D �
������
�������
* * " �
. * �# �#�� �
. . . ��� �� �
. . . /�� "�� �
. . . �+�� �� �
������
������
8� �� ���� �� ���� �� �� ���� ������ 1��� �� $� �� ������ �� ��������� ��������� ����� ������������ �� �� ! �
��� �� � � .� /�� "�� � � .� �+�� �� � � .
=�� �� ' � � �� ����� ���� ������� � �� � �� �� �� �� ' � �� ����� ����
' � �
* * " �
# ? ? �
. �+ # �
" + " �
* # * �
������
�������
* * " �
. " �* �#�� �
. . . �D�� #�� �
. . . /�� "�� �
. . . "�� �� �
������
������
����� �� �� ���� �� ���� �� �� ���� ������ 1��� �� $� �� ������ �� ��������� ��������� ��������� �������� �� �� �
�D � # � � � .� /�� "�� � � .� "�� �� � � .
2����� ���� �� �� ���� ������ �� ������ � ��������� ������ ���� �������� ���� �� ! � � �� �� �� ����� �� ����� ���� ��� ���
��� �� � � .
"�� /�� � � .
>�� ?�� "� � .
�� "� � .
�� �� �� � ������� ����� �� �@ ��� ��! � � *� 8����� � � "� � ������ �� ��������� � *� /��#� /� "� ����� ���� �� 1�� ����� �� ! � �
*?+ 6%2�37 84�2%8 ,25�4� /
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��11� 8����� ! �� � ������� ���� ��������� �������� �� � ���� ���� �� �� ��� � +�&�� �� ������� �������� �� ! � �
8��� ! �� � �������� ! � ����� �������� ! �� @ ����1����� ��! � � /� A�� ��! � ������ � ��� ���� +� ���� ��� � +� 5�� � ��� ��� ������������� ��� ��! � � ? � ��� ��! � � +� A� ���� /�".�
��! � � ��! � �� � ��! � � > � ��! � ���� ��� ��! � � # � ��� ��! � � "�
��16� )� ! �� � �� ��������� �������� �� �#�
! � �� �� � � � � � �� �� � �.� �� ���=�� ���� �� �� ��������� 8��� ���� �# � ! � �
&��� � ���� ���� ! � � �.�� 8����� � � � �� � � ! � � ��� � � � � �� � .� 5�� � .� � � .� � � .� ���� � � . � .� .� .�
=�� � ���� ���� �# � ! � � &�� �� � � � �� � � �#� ���
� � � � � .� �� � �� �� � � � ! �� .� �� � �� � A��� ��� ������ ! � � �.� �� ! � � �# ����� ���� �# � ! � �
��19� 8����� ���� ! �� � �������� �� � ���� ���� � �� ���� # � ���� ����� ! �� #� � � $������ � 8��� ���� # � #� ����� ! � � ����� ������ �� �� ������� �� #� ����� �� ��� � *� "� � � � � �� ��� #* � � � � � #� ����� * � � � �� ���
)� � � ! � � ��� � � �� � �� � � ! �� � � 8��� # ����� ! � � �� � ���� ����������� ����� �� ���� #� ����� � �� � ���� ����������� �� $@ ���
� � *��* � "��" � � � �� ���� �� � � �* $* � �" $" � � � �� �� $��� �� �$ � � ���
� � �� � *��* � "��" � � � �� ���� � �* $* � �" $" � � � �� �� $����� ������ # � #� � ���� $� ����� ! � �
��1:� 4�� ���� /�".� 8����� ! �� � � ����� ��������� �������� �� � ���� ���� �� ���! � ��� ���� ������� ��
��! � � ��! � �� � ��! � 3��� ���� ! � �� � �������� �� ���� ! �� � 8����� ��! � �� �� � �� ��! � � ��
8����� ��*� � � � � ��� �� � ����� �� ! � � A� ���� /�*+� � ��� ��� ���� �� � ����� �� ! �� �� � ������� @ ����
��*� � � � � ��� �*� � � � � ����� �� ��*� � � � � ��� *� � � � � ����� ���� �� ! �� � ��������� )�
� � ��*� � � � � ��� �*� � � � � ����� *� � � � � ����=�� ���� � ��� ������ �� �� � ������ ���� �� ���� �� ��� �� � ��� ���� ���� � �� � �����
�� ! � � 8��� ���� �$� ����� ! �� ���� �� ����� � �� ����� � � ���� �$� �� ����� ! � � ���� �������� �� ���� ���� � �� �� �� ���
8�����
*�* � � � �� ��� � �*�* � � � �� �������� � �* * � � � �� ���� ��� � . *�� �� �$� �� � ������� )�
� � *�* � � � �� ��� � �*�* � � � �� �������� "
25�4� /- 6%2�37 84�2%8 *?9
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
A� �*�� � ���� ���
� � ��* * � � � �� ���� ��� #8��� ���� �$� � ! � � � ! �� �"�@ �� ���� � �� � � � � �� �#�� ���� ������ � � ! � � =�� ���� �� ������ �� ! � � �� �� �� ���� ������ �*� � � � � �� �� ����� � � �*�* � � � �� ����� ����� �� �#�� � ���
�*�* � � � �� ���� � �* * � � � �� ���� ��� � .
A�� ���� �� �� � ����� �� � �� �� �� �� �� ��� 5�� �� ���� 1������ ���� �* � .� � � � � ���� � .�8����������� ���� ���� �*�� � ������
*�* � � � �� ��� � �*�* � � � �� �������� � .
A�� ���� �$� �� � ����� �� ! � �� �� �� �� �� ��� 5�� �� ���� 1������ ����* � .� � � � � � � .� �* � .� � � � � ���� � .�
8��� �*� ������ ���� �� �� �$� �� � ��� .� � � ���� �$� �� �� �� �� ��� �� �� ���� �� ��� �
��1;� 4�� ���� /�"*� � � ! � �� �� ���� �� ��� � � ! � � ���� ! � � �.��8����� � � ! � � ��� ��� � � � ��� � ���1��� ����� �� �� ��� � � �� � �� � � ! ��
� � ����� �� ��������� � � ! � � =�� ������ � � ! � � ���
* � � �� .� �� � � ! � . � � " � � . � �� �� . � ! � � � �
���� � � . � . � . �� ! � � �.��3� �� ��� ��� � ������ � � ! � �� ! � � �.�� )� � � �� 8��� � � ! � � �� ����
� � ! �� � ���� ���� � � �� � < � �� ���� ���� ���� � ��� �� ���1�� 8����� ���� ����� � �� � �� �� �� � ! �� � � � ���
�� � �� � �� �� �� �� �� � � � A�� �� �� � ! �� � � � @ ���� �� ! � � �.��
�� �� � .� � � � .� �� �� � � ��� � �
���� ���� � ��� �� � � � �� ���1�� �� � � ! � �
��6(� 4�� ���� /�"" ��� ��� �������� 8����� � � ! � � ����� ������ # � ��*� � � � � ��� �� #� � � *� � � � � �� � ������ �� �� �� ������ �� ! �� � ��������� ����
�� �� ����� # � #� �� ������ �� �� �� �� ��
��� '� # �� #� � ���� �� ! �� � ��������� ��� # � #� �� � ����� �� ��
��� ��� � ��! � �� �
�� 8����� *�* � � � �� ��� � �* * � � � �� �� � � .� �� �� �$ � ������� ���
*�* � � � �� ��� � �* * � � � �� �� � � . � . � .
�� .� *�* � � � �� ��� � ! �� .� �* * � � � �� �� � � � 8��� ���� � ��� �� . �� ���1�� ������ � ��
*�* � � � �� ��� � . �� �* * � � � �� �� � � .
8��� #* �� ������ �� �� ��� ��� � � .� �� ���� #" �� ������ �� �� ��� ��� �$ � .� ����# � #* � #" �� ������ �� �� ���
��� A� ��� ��� # � #* � #" �� ������ �� �� ��� �� � �� 4���� /�??� # � #* � #" ����� � � ! � ����� # � #* � #" �� � ����� �� ��
��� ���� ������� ����� ��� ��� ����
*?> 6%2�37 84�2%8 ,25�4� /
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
����������
��6�� 7����� �� �� ����� # � ��*� �"� � �*� *� "� #� �� �"� �� �� ��� ���� ���� �� �� ����� � � /��#� ��� � � � ��
'� ��� ���� ��
� � ��* � ��" � �*� * � �"� # � �� "�� �� #�
�� ��� ���� �� � �� ��
�� < ���
/��# � �� "�� �� #� ��� "� � /
�� #� � �#
�� �������� �� � � *>� � � �9� 5�� ��� � �*>��9����� < ���
� � � �� "�� �� #� ��� "� � �� #� � �
�� �������� �� � � #� "�� � � �� �� 5�� ��� � �#� "�� � ���
��6�� &�� �� ��� ���� ���� �� � � � �� � �� �# ����� ���
�� �� ����� ����� � � �*� .� .� .� *� .� .� .� *����� �� ����� # � ��*� �"� �#� � �*� *� *� *� *� .� *� .� .���� 7����� �� �� ����� ����� �� �� ��� ����� �� ���� � �� ��� �� � ������ ���� ��� ���� � �� �� ������ 8� � �� � ���� ����������� �� �*� �"� �# ����� ��;���� ������ �� �� �� ���� ��� �
�
�
��
�� � �
*
*
*
��
��� �
*
*
.
��
��� �
*
.
.
��
�� �
�� �� � � �� � � �� � �
8������ �� ����� ��� � � � �� � � �� �� � � � �� ���� ���# � ��� �� �� � ���
��6�� 2���� �� ���� ���� �#� �� ����������� �� � #�
�� 8��� ���� # � �� � *#� � � *"� � � *� *� �� � ����� �� �#����� &�� �� ��� ���� ���� ��� �� � � #�# � /�" � "� � ? ����� �� #�
�� �� � �� � � *� �� �@ ������ �� ����������� �� # �� �� � � � � ���� �� ���������� �� ����� ����������� �� �� ��� ������������ ���� �� ����������� � ������ �� �� ��� �� � ���� ���#� � /� ��� ��� � ����� �� �#��
��� 8� � �� � ���� ����������� �� �� ����� ����� ����� ��;���� ������ �� �� �� �� < ���
� � #�# � /�" � "� � ? � �� � *# � �� � *" � �� � * � �*� ��# � #�" � #� � * � ��" � "� � * � �� � * � �*� ��# � #��" � #�� � �� ��" � "�� � �� �� � �� �� ��# � �#�� ��" � #�� "�� �� � ��� �� �� �
��� �� ��������� �� �� ��� ���� �� � 1��� �� ��� ��� �� ������
� � #� �#�� � � /� #�� "�� � � "� ��� �� �� � � �?
8������ �� ����� ��� � � � #� � � *#� � � *D� � � /� ���� ��� � �#� *#� *D� /��
25�4� /- 6%2�37 84�2%8 *?D
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��6�� &�� �� ��� ���� ���� �� � � " #
/ �9
� ��� �� �� ���� ���� � ��"�" ����� ���
�� �� ����� # � * *
* *
� ��
* �*
* .
� ��
* �*
. .
� ��
* .
. .
� �� ��
��� �� ����� ����� � � * .
. .
� ��
. *
. .
� ��
. .
* .
� ��
. .
. *
� �� �
�� 8� � �� � ���� ����������� �� �� ����� ����� ����� ��;���� ������ �� �� �� � �� ��������
� � " #
/ � 9
� �� � * *
* *
� �� � * � *
* .
� �� � * � *
. .
� �� � * .
. .
� �� �� �� � �� �� �
�� � �
� �
8� ������ ��� ���� 1��� �� ��� ��� �� ������ �� �����
�� �� � � "� �� �� � � #� �� � � /� � � �9
8������ �� ����� ��� � � � �9� � � **� � � �"*� � � #.� ���� ���# � ��9� **��"*� #.�� �=�� ������ ��� ���� ���� �� � �� � ���� �� �/� ���� ��� � /��
��� %������� � �� � ���� ����������� �� �� ����� ������ ��� �
" #
/ �9
� �� � * .
. .
� �� � . *
. .
� �� � . .
* .
� �� � . .
. *
� �� � �
� �
� �
���� � � "� � � #� � � /� � � �9� 5�� ��� � �"� #� /��9�� ���� ��������� � �� ����� �� ������ �� �� ���
���"�/� ���� ���� �� �� �� ����� ���� ��� �� � �� ��� �� � ����� �� � � ����� ��� ����� ����� �� � ����� �� �� ����� ����� �� � � �� ����� �� � ����� �� �� ���
��61� '� �� ���� � � �"�#� ���� ���� � ��� �� ��������� ������ � ������ �� ���
� � * " #
/ . ?
� �� � � " / 9
*. * *#
� �� + � * " ?
> " **
� �
'� �� ������ � ������ �� ��� �� �� ������� �� � ����� �� �� ������� �� ������ �� �� �������
�� ��� ���� ����� �� �� ���� ������ ����� �� �� ����� ����� �� � � �� ��������
��� � �*� "� #� /� .� ?�� ��� � �"� /� 9� *.� *� *#�� �+� � �*� "� ?� >� "� **�&�� �� ����� ' ���� ��� � �� ���� ��� ���� ������ �� �� ' �� ����� ����
' �* " # / . ?
" / 9 *. * *#
* " ? > " **
��
�� �
* " # / . ?
. . * " * #
. . . . . .
��
��
8��� �� ����� ����� ��� ���� ��� ���$� ���� �� ��� ���� ����� ���� ���� �+� ���� � ���� �� ������� ���� �� �� ��� � ������ �� ��� ���� �� �� + � ������ �� ��� &������ �� � "� �� �� ������
* � * " #
/ . ?
� ��� " � . . *
" * #
� �
������ ��� �� �� ���$� ��� �� �� ����� ����� ��� � ����� �� �
*+. 6%2�37 84�2%8 ,25�4� /
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
������������ ���,����
��66� 2���� � ���� �1��� �� ����� # � ��*� �"� � � � � ���� )� & � �� �1��� �� ����������� ��� # �� �� �� �� ��������� ������ ��������!!� ��� �������� ��� ���������� �������� � ���� �� � ���$� ������ ����� � � ������� �� �� ���� �� ������ 8��� ���� #�� & ���� �� ��� ���� � ���� ���� ���� & �� �� �� �� �� �� ���� �� # �� �� �� ���
3��� ����� �� ��� �������� �� ����� �� & � ���� ������������ �� ����� �� #� 3� �� ������ � ��� ������� ��� �� ���� �� �� ��� ��� �4��J�@ ��� �� ����� �� # � ���� �������������� ����� �� & � ���� # �� & ���� �� ��� ���� � ����� & �� �� �� �� �� �� ���� �� �� � �� �� ���� �� �� �� �� ���� �� # �� ���� �� �� ���
��69� )� � � ��$� �� � � ���$� � �� 1������� �� � ������ �� � �� � �� �� �*� � � � � �� � �������� �� � ���� ���� � �� � )�
�* � **�* � *"�" � � � �� *����" � "*�* � ""�" � � � �� "���
�� � �*�* � �"�" � � � �� ����
* � �**�* � �*"�" � � � �� �*��� " � �"*�* � �""�" � � � �� �"���
�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � ��*�* � ��"�" � � � �� �����
8��� ���� ���� �� � �� ���� �� ��� �����
�������� �� ������ �������!! �� 4���� /�++ �� ���� �� 1������� �� �������� �� ������ ��������� �� �� ����� �� 8��� � �� � � �� 1�������� � ��� � ������ ��� � �� � �1��� �������� �� ��������@ ��� � �� ��� � ������ ��� ���� �� �� ������ ��� �1��� �� ������������� ������ ���� �� � �� ���� �� ��� �����
��6:� )� �*� � � � � �� ����� �� � ���� ���� � �� � �� �� , � ��$� � �� ���1�� ����� �� � )�
* � **�* � *"�" � � � �� *���� � � � � � � �*�* � �"�" � � � �� ������ 8����� , �� �������� 8��� ���� � �� �� ���� ���� �� ��� ����@ ��� � �� ��
�� �� �� �� �� ���� �� ���� �� �� �� ���
��� 8����� , �� ��� �������� 8��� ���� � �� �� �� ���
��� 8����� � �� �� �� �� ��� 8��� ���� , �� ��������
�� 8��� , �� �������� �� �� �� 1������� �� �� � ����� ����� - � 5��� �� �� 4���� /�+9� � �� �� ���� ���� �� ��� ����� ���� �� �� �� �� �� �� �� ���� �� �� ��� ���
��� 8��� , �� ��� �������� �� �� �� 1������� �� � ����� ���� � $� ��� ���� ���� ���� � �� ����� ����� ����� ��� � �������� �� �� ��� ���� � ������ ���� � �� �� �� ���
��� ���� �� �� ������������ �� �� ������� �� ���� �� �� �� ������� ��� ����
��6;� 8����� ���� �*��"� � � � � ������ �� �� �� ��� �� ������ �� ���� �* � �" � � � �� 8��� ������ ����� � � �* � �" � � � � �� ���� ������ �� �� ���
8����� � �� ������ �� ��� ��� �� ���� ����� �*� � � � � �� � � �� ������ *� � � � � � � � ������ �� ��� .� ���� ����
*�* � "�" � � � �� ��� � . *8��� � � ��� �� �� �� � �� �� ���� ��� ��* � � � � ���� ���� ����
�* � ��* � �" � ��" � � � � � �� � ���)� � � �� ������� �� � �� �� ��� ��$ � � � ����*� � � � � ��� '� ������� ���� ���� �* � �" � � � � � ������� ��$ �� ������� �� �� � 5�� �*� �"� � � � � �� � �� � �� ��� �� �*�� �� �� ������ �� ��� �����
����� ���� �� ���������� ���� � �� ������ �� �� ���
25�4� /- 6%2�37 84�2%8 *+*
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��9(� )� � � ����� �� � �� .� �� �� . � � ����� �� � �� �� ����� � . � �� �� �� ������ �� ��� 8����� � �� �� ������� � �� .� �� . �� �� ������� � �� � 8��� ���� � ���� ������� �� �� �
8����� ��*� � � � � ��� �� � ����� �� � �� . �� �*� � � � � �� �� � ����� �� . �� � < ����� �������$ � � � *� � � � ��� $ � *� � � � � �� �� � ����� �� � �� � =�� ���� ���$� �������� �� ������
)� � ��� ������ ���� �� �� 8��� ��*� � � � � ��� ����� � �� .� �� � ���� ����������� �� �� ������ ��������� �� .�
� �*�* � �"�" � � � �� ����� �� � . *8��� �*� � � � � �� ����� . �� � ��� �� � . �� � ���� ����������� �� �� $ ���� ��������� �� �
�* � �*** � �*"" � � � �� �*���" � �"** � �""" � � � �� �"������������������������������������������������������ � ��** � ��"" � � � �� ����
�� ��$ � � 8����������� �� �*�� � ������
� �*** � � � �� �*���* � �"** � � � �� �"���" � � � �� ��** � � � �� ������� �***�* � � � �� �*���* � �"**�" � � � �� �"���" � � � �� ��**�� � � � �� ������� �
��$�$���$
�� �$� � � ���� �� � ���� ����������� �� �� ��$ ���� ��������� �� @ ��� ���$� ����� � �� ��� ���� �� ������ �� � ���� ���� ���$� �� ������ �� �� �� �� � 8������ �� ������
�$� � � � ������$ �$���$ � .@ ���� ���
�***�* � �*""�* � � � �� �*���* � � � �� ��**�� � ��""�� � � � �� ������ � .
�
�*** � �*"" � � � �� �*���* � � � �� ��** � ��"" � � � �� ������ � .
8��� ��*� � � � � ��� �� ������ �� �� �� �� . �� ���� �� ���� ��������� �� �� �� ����� �� .� ����������� ���� � .�
�*** � �*"" � � � �� �*�� � .� � � � � ��** � ��"" � � � �� ���� � .
A�� �*� � � � � �� �� ������ �� �� �� �� @ ���� ���� �� �$� � �
�** � .� �*" � .� � � � � �*� � .� � � � � ��* � .� ��" � .� � � � � ��� � .
���� ������ ���$� �� ������ �� �� �� �� � �� �� ���� �� ��� �
�'!!$�����"�% ���+$��*
����� ������
��9�� 8����� � �� � ����� �� � ���� ���� �� 8������� ��� �� �� ��������� ���������
�� �* � /?�� +� � "#�� �� ��� �# � +#�� "� � ?�� 9��
��� �" � ?"�� #� � /9�� >� ��� �/ � #?�� "��
��9�� )� � � �� �� �� � ���� �� �� �� �� ����� ���� � ����� �� � �� ����� �������������� �� � �� ��
� � � �� � � � �� �� � �� �� � � �� .8��� ���� � ������� ��� �� ������ �� � ���� ���� ���� ,0/-� ���� ��� ���� *� � �� 5�� ,0/- �� ��� �����1��� �� �� ��� �������
*+" 6%2�37 84�2%8 ,25�4� /
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��9�� 8��� ���� ����� ,�/- �� � ���� ���� �� ���� ��� ���� �� � � �� �� ��� � �� ��� �� ��� �������� ��
��9�� )� � � �� �� �� � ���� �� �� �� �� ������ 8��� ���� � �� ��� � ���� ���� �� � ���� � ������� ����� �������������� �� ���
��� � � � �� � � � �� �� � �� �� � � �� ������� � � � �� � � � �� �� � �� �� � � � ������� � � � �� � � .� . �� �� � � �� ������� � � � �� � � �� �� �� �� � � �� ���
��91� )� � � �� �� �� ������ �1���� �*� "� � � �� �� � �� � 8��� ���� � �� � ���� ���� �� ����� ����� �� ����� �������������� �� ��
*� "� � � � � �*� �"� � � � � * � �*� " � �"� � � � �� �*� "� � � � � �*� �"� � � �
��96� )� ! �� � ���� ����� �� � �� � )� � � �� �� �� � ���� ��� � �� � � ! �� � �8��� ���� � �� � ���� ���� �� ���� � ����� �� � �� ����� �������������� �� � �� ��
�� � ��� � � �� ��� � � �� ��� � ��� � ����� ���� � �� ���� �� ������� ������ ������� �� ! �� ��
�,������
��99� H���� ���� � ��� �� � ������� �� �# �� �������� �� ��� ����� �� �� �� �� �# ���� ������� � #�� ��� � �� ��� � � .� ��� � �� � � .� ��� � � "� � � � � "� � #��
��9:� )� � � �� ���� ���� �� ���1�� ������ �� � �� � 8��� ���� �� � ������� �� � �� �������� ����� ������ � � ��$� ���� ��
�� ������� ��& � � � �$ � $��� ��� ����� ��������� ��� �������� ��� ������
��9;� )� �� � � � � ������������ ����� �� ���� 1������� �� � ��;������ ���� ��� � �� .� 8��� ���� ���������� �� �� ��� � ������� �� ��
��:(� 8����� ! �� � �������� �� � �� ����� ! � �� � �������� 8��� ���� ! � � � !�
��:�� )� � � �� ���� ���� �� ��� ��������� ��� �� �� �� � ���� �� 8��� ���� �� � ������� �� � �� �������� �� ���� �� ���� ���������� ��� �� ���������� ,7���� ���� � �� � � �� ������� �� �' � ����� ���� �� � �� � ��� � � �� ' @ �� � � �� ���� �� � �� � � �� �� � ��-
��:�� )� � � �� ���� ���� �4���� /�9?� �� ������ �1���� �*� "� � � �� �� � �� � 8��� ���� �� �������� �� � �� �������� �� ��� �1���� ����� �� . �� �� ��� ����� ��� ���� � ���� ���� �����$� ������
������ ���,��������- ������ �����
��:�� 2���� �� ����� � � *� "� # �� � � "� #� * �� �#�
�� <�� � *� #� > �� � ���� ����������� �� � �� ��
��� <�� � "� /� ? �� � ���� ����������� �� � �� ��
��� &�� � �� ���� � *� ���" �� � ���� ����������� �� � �� ��
��� &�� ��� ������ �� � �� � �� ���� � � �� � �� � ���� ����������� �� � �� ��
25�4� /- 6%2�37 84�2%8 *+#
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��:�� <�� �� ���������� � � � �" � �� � � �� � ���� ����������� �� �� ����������� �* � � � *"��" � � � *� �# � *� ,���� �*� �"� �# ���� �� ���� �"� �� ����������� �� � "�-
��:1� &�� �� ���� �� �# ���� ����� �� ��������� �� ! �� �� ! �� �� �������� ��� ! � �� �� .�� �� �� �� ���� ����� �� �� ����� �*� *� *� �� �*� "� #��
��:6� 4�� ���� �����#� �� �� ��������� �� ��� �������� �� � ���������� #�
��:9� 8��� ���� ����# � ����# � �.�� ���� ��� �� :������ � ����� �� $� ���� ��� � ��� � � �������� �� ���� ����� �� �� ���
��::� 8��� ����� �� '� # � & � ��� ����# � ����& � ��� ���������#� � ����#�
������ �������� �� ������ ����������
��:;� H���� ���� �� ��������� ����� �� �/ � ������ �� �� � �� �� ���
�� *� "��#� *� #� 9� *��"� *� #� 9��/� ��� *� #� *��"� "� ?��*� #� *� #� 9��"�
��;(� H���� ���� �� ��������� ����������� �� �� �� �� � ������ �� �� � �� �� ���
�� � � �# � /�" � #� � #� � � �# � "�" � /� � *� � "�# � �" � #� � ?�
��� � � �# � ?�" � "� � #� � � �# � /�" � #� � /� � "�# � 9�" � 9� � D�
��;�� 8��� ���� �� ��������� ��������� � � �� ( � ������ �� �� ���
�� � � � ��� �� � ��� �� (� � �"� ��� � � � ��� �� � �"�� (� � ��
��;�� 8��� ���� � � � � �� � � �� � �� " � ������ �� �� �� �� ���� �� � � �� � .�
��;�� 8����� �� �� � ������ �� �� �� ������ 4�� ���� # �� ������ �� �� �� ���
�� # � ��� �� " � �� �� � �� �� ��� # � ��� �� # � �� #�� � �� ��
��;�� 8����� ��*� � � � � ��� *� � � � � �� �� � ������ �� �� �� ����� �� �� 8��� ���� ������ � ���� $ � �.��
��;1� 8����� �*� �"� � � � � �� � ������ �� �� ��� 4�� ���� # �� ������ �� �� �� ��
�� # � �*�*� "�"� � � � � ���� �� ��� � �� .�
��� # � ��*� � � � � ���*� � ���*� � � � � ��� �� � �� ���� �� �� �� .�
��;6� 8����� **� � � � � *�� "*� � � � � "�� � � � � �*� � � � � �� � ������ �� �� �� ����� �� �� �� ������ �*� �"� � � � � �� � ������ �� �� �� ����� �� � ���� ���� � �� � 8��� ���� �� �������������� � ���� ������ �� �� ���
* � **�* � � � �� *���� " � "*�* � � � �� "���� � � � � � � �*�* � � � �� ����
,���� �� ��������
��;9� &�� � ����� �� �*� �"� �#� �/ ���� ���� � ����� �� � ������ �� �? ���
�� �* � *� *� *� "� #� �" � *� "��*��"� *� �# � #� ?��*��"� ?� �/ � *� "� *��*� /��� �* � *��"� *� #��*� �" � �"� /��"��+� "� �# � *��#� *� "� *� �/ � #��9� #� >��*��� �* � *� .� *� .� *� �" � *� *� "� *� .� �# � *� "� #� *� *� �/ � *� "� *� *� *��� �* � *� .� *� *� *� �" � "� *� "� .� *� �# � *� *� "� #� /� �/ � /� "� ?� /� +
*+/ 6%2�37 84�2%8 ,25�4� /
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��;:� 2���� �� �������� ! � �� �� �� � � �� "�� � � .� �� � �� �� �� � � � �� � � "�� �� �/�&�� � ����� �� �� ������� ��� �� ! � ��� � ��� ! � �
��;;� &�� � ����� �� �� ������� �� �� �������� ���� �� ��� �� �� ��������� ��������� �������
�� "�� "�� "�� � � .
�� "�� �� #�� "� � .
"�� /�� 9�� �� � � .
� �� "�� �� #�� /� � .
"�� /�� "�� �� ?� � .
"�� /�� "�� /�� "� � .
���((� &�� � ��������� ����� ���� �������� ���� �� ����� �� �� ��������� ��� �� �� ������
�� *��"� .� #��*� "��#� "� ?��#� *��"� *� "��"���� �*� *� "� *� *�� �*� "� *� /� #�� �#� ?� /� D� 9��
���(�� H���� ���� ��� �� �� ��������� �� � ����� �� �� ���� ���� ������ �*� * � �� * � � � �"� * � � � �" � �#� � � � � * � � � �" � � � �� ���* � ������� �* � �� � � �"� �" � �#� � � � � ���" � ���*� ���* � ����
���(�� &�� � ����� �� �� ������� �� �� ������� �� �� ����� ���
�� � � �# � "�" � "� � *� � � �# � #�"� � /� � "�# � �" � 9� � 9�
��� � � �# � �" � #� � "� � � "�# � �" � � � /� � /�# � #�" � ?� � "�
���(�� &�� � ����� �� �� ������� �� �� ������� �� � ��"�" ����� ��
� � * �?
�/ "
� �� � � * *
�* ?
� �� + � " �/
�? 9
� �� / � * �9
�? *
� �
���> � � ������- ��7�� ����� ������
���(�� &�� �� ��; �� ��� �� �� ��������� �������
��
* # �" ? /
* / * # ?
* / " / #
" 9 �# + *#
����
����� ���
* " �# �"
* # �" .
# > �9 �"
" * �D �*.
����
����� ���
* * "
/ ? ?
? > *
�* �" "
����
�����
���(1� &� � � *� "� � � � � ?� �� �� ���� �� �� ������ �� �� �� ������ ���������� �� � ������� �� ��� �� ����������� �������
�� � �* * . " #
* " . " ?
* # . " 9
��
��� ��� � �
* " * . "
* " # . /
* * ? . "
��
���
���(6� )� �� � �* " * # * +
" / # > # D
* " " ? # **
/ > + *+ 9 "+
����
����� ��� � �
* " " * " *
" / ? / ? ?
* " # / / +
# + 9 9 D *.
����
�����
&� ��� ����� ��� +*� � � � �++ ��� ��� ���������
��� &�� ��� �� ��������� ��� ' �
���� &�� �� ������� ���� � ���� ������������ �� �� ��� ��������
����� &�� ������� ����� ��� ++� ���� ��� � ����� �� �� ������ �����
���� %���� ++ �� � ���� ����������� �� �� ����� ����� ������ �� ������
25�4� /- 6%2�37 84�2%8 *+?
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
���(9� H���� ����� �� �� ��������� ������ ��� �� ��� �� �����
� � * �" �*
# �/ ?
� �� � � * �* "
" # �*
� �� + �
* �* #
" �* *.
# �? *
��
��
���(:� H���� ����� �� �� ��������� �������� �� �# � � �������
!* � �����*� *��*� "� #��*� #� *��?�� !" � �����*��*��#� #��"��>� "� *��#�!# � �����*� *� *� *��*� #� #��*� 9�
���(;� H���� ����� �� �� ��������� �������� �� �/ � � �������
!* � �����*� "� *� /� "� /� *� ?� #� +� "� D�� !" � �����*� "� *� "� "� /� *� #��!# � �����*� "� #� *.� "� /� #� **�
����(� &�� � ����� �� ��� �� �� ���� �� ���� �� ������ ���� �� ��� ����� 0�
�� ' �. . # * /
* # * " *
# D / ? "
/ *" > > 9
����
����� ��� ' �
* " * . *
* " " * #
# + ? " 9
" / * �* .
����
�����
������ 8��� ���� �� ��� �� �� �� ��� � ����� �� ����� ���������� �� ���������� ���� ��� �� ������������ �� ����� �� ����� ���������� �� ���������� ����
������ )� � �� � � ������ �� � ������� 8��� ���� ��;�� � ��;� � ��;��
������ )� � � ��;�� �� &�� " � " ������ � �� � ���� �����
�� � � ��;�� ��;���@ ��� � � ��;� � ��;�@ ��� � � ��;�� ��;����
���- ����� ���- �������������
������ 8����� ! �� � ���� ��������� �������� �� #� 8��� ���� ! � �� �.��
����1� 8����� ! �� � �������� �� � ���� ���� ��! � /� �� � ?� �� ��� � 9� &�� �� ������� �������� �� ! � �
����6� )� ! �� � �������� �� �# �� ����� ��! � *� �� � "� �� ! �� � 8��� ���� �# � ! � �
����9� 2���� �� ��������� �������� �� �?�
! � �����*��*��*��"� .� *��"��"� .��#� *��*��"��"� *� � �����*��"��#� .��"� *��*��#� "��/� *��*��"� "��?�
�� &�� ��� ��������� ������ ���� �������� ����� � ! �� � ���������
��� &�� � ����� �� �� ������� �� ! � �
����:� )� !*� !"� !# � �� ��������� �������� �� �#�
!* � �� �� � � � ��� !" � �� �� � � � �� � � .�� !# � �.� .� ��8��� ����� �� �# � !* � !"� ��� �# � !" � !#� ��� �# � !* � !#� <�� �� �� ��� ���K
*++ 6%2�37 84�2%8 ,25�4� /
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
����;� 8����� ! � *� " � �������� �� � ���� ���� �� 8��� ����
! � * � ! � " � ! � * � "&�� �������� �� �" �� ����� 1������ �� ��� ��� �
����(� 8����� *� "� � � � � � � �������� �� � ���� ���� �� 8��� �����
�� ���� *� "� � � � � � � * � " � � � �� ����� '� #� ����� � �� � � *� � � � � �� ��� #* � #" � � � � � #� ����� * � " � � � �� ��
������ 8����� � � ! � � 8��� ���� ��� � ��! � �� �
������ )� # �� & � ������ ������� ������ ���� �������� ��������� �� � ���� ���� � �� �� � � ������� �� ��� # � & �� �� ����� �� ��� �# � �� ���
# � & � �� � � � � #� � � &�� �# � ��� � � � #�,< ���� ��� � # �� � � � #�- )�
# � �*� "� "� #�� & � �*� /� *� ?� "� ?�� � *� *� � � #
&�� � �� # � & � ��� � #� ��� �#� ��� �& � ��� �# � �& � � � � �# � & �
������ 8��� ���� �� ���� �������� �� # � & �� �# ��������
�� 2��������� ���� # � & � & � #���� ���������� ���� #* � #" � ## � #* � #" � ##���� H��������� ���� �# � & � �# � �& �
��� # � �.� � �.� � # � # �� # � � � � � # � ��
������ )� � � �� ���� ���� �� ���1�� ������� )� ! � �� ������� �� ��� �������� ������� �� �� � �� ������� �� ��� �������� ������� &�� � �� ! � � ��� ! � �
����1� )� � � �� ����� ��� ��� �� ���� ����� ! �� �� � �� � �8 4���� /�9+�� )�
�! � ��� . � � � !� �� � � �.� � � �8��� ����� �� �! �� � � �������� �� �� ��� � � �! � � �
����6� 8����� � � ! � � )� �� � �� ����� ��� ��� �� ! �� � 8��� ���� � �� ��������� �� �� �� �� ������ �� � � �� � �� �
����9� (� �� ������ �� ���� �� ���� /�""� ��� ���� /�"#�
����������
����:� �� ����� �* � *��" �� �" � /��9 ��� � ����� # �� �"� &�� �� ��� ���� ���� ��� �� � ����� ��# ��� �� � � ?� #� ��� � � � ��
����;� �� ����� �* � *� "� .� �" � *� #� "� �# � .� *� # ��� � ����� # �� �#� &�� �� ��� ���� ���� ��� ��� ����� �� # ��� �� � � "� 9��/� ��� � � � �� ��
����(� # � ��# � �"� �" � �� � � *� *� �� � ����� �� �#�� &�� �� ��� ���� ���� ��� �� � ����� �� # ����� � � "�# � �" � /� � "� ��� � � �# � ��" � �� � ��
25�4� /- 6%2�37 84�2%8 *+9
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
������ )� � � �"�"� &�� �� ��� ���� ���� ,�- �� � ����� �� # ���
# � * *
* *
� ��
* � *
* *
� ��
* .
. .
� ��� � � # �?
+ 9
� �� � � � �
� �
� ��
�
������ &�� �� ������� �� � ����� �� �� ������� �� �#� ����� ��
� � �# � "�" � #� � /� � � "�# � ?�" � /� � 9� � �# � /�" � � � "
������ &�� �� ������� �� � ����� �� �� ������� �� � � �"�# ����� ��
� � * " *
# * "
� �� � � " / #
9 ? +
� �� + � * " #
? 9 +
� �
������������ ���,����
������ ���� �� � ����� '� ����� ��� �� ���� � �����������
�� '� �*� �"� �# ���� �� ��� ��� � #�
��� '� � �� � / � > ������ ��� ��� ��� ������� � ������ �� ���
��� '� �*� �"� �# � ������ �� �� ��� ��� �*� �"� �#� � ������ �� ���
��� '� �*� �"� �#� �/ � ������ �� �� ��� ��� ��� � /�
��� '� �*� �"� �# ���� �� ��� � �*� �"� �# ���� ��
� � � '� �*� �"� �#� �/ � ������ �� �� ��� ��� �*� �"� �# � ������ �� �� ���
����1� ���� �� � ����� '� ����� ��� �� ���� � �����������
�� '� ��� ������ �� �� ��� � ����� �� ����� ���� ��� �� ������� ����� �� ����� �� ����� ����
��� '� ��� ������ �� �� ��� � ����� �� �� ��������� ���� ��� �� ������� ����� �� ����� �� ����������� ����
��� '� ��� ������ ������� � ����� �� �� ��� � ����� �� �� ��������� ���� ��� �� ������� ����� ���� �� ��������� ����
����6� H���� �� ������� �� �� ���� ���� �� �� ��������� ���1�� �������
�� ������� ������� ��� ����������� �������
��� ������� ������� ��� ����� �������
����9� )� �*� �"� � � � � �� � �������� �� �� � ��� �� � )� � � �� ��������� �� �� �������� �� � � �
*�* � "�" � � � �� ���H�� � ����� �� � �� ����� �������������� �� � ��
*�* � � � �� ��� � �*�* � � � �� ���� � * � �*�* � � � �� �������*�* � "�" � � � �� ��� � �*�* � �"�" � � � �� ����
8��� ���� � �� � ���� ���� �� ���� �� ���� ��������� ����� ���� ���� ��*� � � � � ��� �� � ����� �� ��
��
�$ � .�* � � � �� .�$�* � *�$ � .�$�* � � � �� .��
*+> 6%2�37 84�2%8 ,25�4� /
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��*8��* �� �'!!$�����"�% ���+$��*
��9�� �� �* � "+�� ""�� ��� �� ��� 9�� > �� ��� �� � �� �" �� ��� �� ���� �# � "#�� ?�� ��� H������� �� � �� ��� �� � �� �/ �� ��� ��
��99� �� I�� ��� =�@ ��� *� "� # � ��� �"*� "� # �� ���� =�@ ��� *� .� .� .� *� . � � ��� ��� ��� ���� ��� I����� =�@ ��� *� *� * � � ��� "*� *� * �� � � � � I�
��9;� �� $� ���� . �� ��� � ��������
��:�� �� � #�* � �"� ��� '��������� ��� � � **?� ��� 9� ?�� � � .
��:�� (���� � � ��* � ��" � ��#� � �� � � � � � "� �� � � � �� �
��:1� � � "� ?� .
��:;� �� H�� ��� ��� '� �� ��
��;(� �� '� �� ��� ��� H�� ��
��;9� �� �*� �"� �#� �/@ ��� �*� �"� �#@ ��� �*� �"� �#� �/@ ��� �*� �"� �#
��;:� �� ��! � #� ��� �� � "� ��� ��! � � *
��;;� �� A����� �"��*� .� .� .� /� .� *��*� .� #� .� *� .� *�@ �� � #���� A����� �"��*� .� .� .� *� .� *� .� .�@ �� � "
���((� �� ?�� �� �� � � .� �� �� �� � � .���� "�� � � .� "�� #�� � � .� �� "�� � � .
���(�� �� I�� ��� =�� ���� ����� � �� *� ��� �� �� �������� ���� � �����
���(�� �� �� � "� ��� �� � #
���(�� �� � "
���(�� �� #� ��� "� ��� #
���(1� �� �* � /� �" � ?� �# � �/ � �? � .� ��� �* � /� �" � ?� �# � "� �/ � �? � .
���(6� �� ��� ' � �*� "� .� *� .� #� .� .� *� "� .� *� .� .� .� .� *� "� .�@���� +"� +/� ++@ ����� +*� +#� +?@ ���� ++ � #+* � +# � "++�
��� ��� ' � �*� "� .� .� #� *� .� .� *� .��*��*� .� .� .� *� *� "� .�@���� +"� +?� ++@ ����� +*� +#� +/@ ���� ++ � +* � +# � "+/
���(9� � �� + � �� 1������� ��* . 9
. * /
� �� ��� ��� �
���(:� !* �� !" � �� 1������� ��* . �"
. * *
� �� ��� ��� !#
���(;� !*� !"� !# � �� 1������� ��* " . *
. . * #
� �
25�4� /- 6%2�37 84�2%8 *+D
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
4. Vector Spaces Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
����(� �� ��� *� #� *� "� *� .� .� *��*��*� .� .� .� /� 9@ ���� +*� +"� +?���� ��� *� "� *� .� *� .� .� *� *� "@ ���� +*� +#
������ �� � � * *
. .
� �� � � �* �*
. .
� �@ ��� � � * .
. .
� �� � � . "
. .
� �@
��� � � * .
. .
� �� � � . .
. *
� �
����1� ��! � � "� #� � /
����9� �� ���#�� /�� �� � � .
/�� "�� � � .����
/�� "�� � � .
D�� "�� �� � � .
��� A����� �*��"��?� .� .� .� .� *� .��*�@ ��! � � "
����:� �� ��� �� ��� �� ��� �� ���
����;� '� �"� �� ! � �� �� ��������� �� ��� � � �� �� ������� �� �������
������ �� �"� +� "� 9� #� 9� #� >� /� >�@ ��� �"� #� #� /�@��� �#� +� +� D�@ ��� �#� *"� #� *?� +� *?�@�� �� � � �+� *>� +� "*� D� "*� D� "/� *"� "/�
������ �� H������� ������� ��� �
����:� �� ,�/*� **-� ��� ,�9� /�� "� �-
����;� �� ,�**� *#��*.-� ��� ,�� #�� 9� ��� #�� +� �� "�� /-
����(� �� ,"��*��"� "-@ ��� ,� �� �� �� �� � � � �� �� -
������ �� ,9��*��*#� *.-@ ��� ,�� �� �� �� �� �� � �� "�� "�-
������ �� � "@ ������ ��# � "�" � #� � /� �" � "� � *�
������ �� � "@ ������ ��*� "� *� #� *� "�� �.� .� *� *� #� "��
������ �� &���@ �*� *�� �*� "�� �"� *� ���� �"� ��� ������ &���@ �*� .� .� .�� �.� *� .� .�� �.� .� *� .�� � .� .� .� *���� ��� ��� ��� � � � ��
����1� �� ��� ��� &���@ ��� �� +" ���* . #
. * "
� ���� ���
����6� �� *"��� *� ��� *
"��� *� ��� �� ��� *
*9. 6%2�37 84�2%8 ,25�4� /
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
5. Linear Mappings Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
������� �
�� � � �����
��� ����������
��� ���� ���� �� �� �� ������ ������ �� �� � �� �� ������ �������� ��� ���� �������� � ��� ������ �� �� ������ ���� ���� �� �� ������ � � ���� ������ ���� ��� �� ��� ���� �� ����� ��� ������ � �������� �� � �� ������ ���� � �������� �� ���� �� � � � �� �� �������� �� ��������
��� �������� ��������
�� � ��� � � ��� ���� ������ � �� �� ������ � ���� ������ �� � ���� �� �������� � ���������� �� �� �� ������ ��� � �� ��� ��������� � �� ������ � ������ �� ���! ���� � �� � �� ��� ������ �� �
� � � � �
��� �� � �� ������ �� ����� �� �� �������� ��� � �� ������ �� �� �� ���� "� ��� � � ���� ���� ##� �� �$$���� �� ���� ������ �� � �� � ������� � � � ��
%�� ��� ���� ���� � ������� � � � � � �� � ���� �� �� � ��� ���� ��� ���� � � �� ������� ����� � � � ��� � ��
������� ��� ��� �������� �� ��� ����������� �� � �� ���� �������� �� ���� ���� �� �������� �� ���� ##��� ���$$ ��� � ����&����� �� �������&����� ��������
'������� � ������� � � � � �� (� �� �� ��� ��� �� �� ��� � ���� ���� �� �� �� �� ������ �������� � �� ��� ��� �� �� �� ��� ��� �� �� ��� � �)���� ���� �� �� �� �� ������ � �� �� ���� �� ���������� ���� �� �� ��� ���
� ���� � � � ��� � � � �� ��� � �)���� � �� � � � � ��� � ��"� ���� � ���! �� ���� �� �� ��� � �)���� �� ���� �� ���� �� � ����� �� ��� (� ��� ������ �� �� �� ���������� ����� � ���� �� ������ �� ����� �� ��� �� ��
�� ���� ������� � � � � � ���� ����������� �� ��� �� � � ����� � ���� � ���� � � � �� "� ���� ��� �� �� ��� �� � � ��� �������� � � � � � ��� � � � � ��� ��*��� � � ������ ��� �� � � � ��� ��� � ��� ��� ����� � � �� �� ��� �� ��� ���� �� ���� ������ ��� �� �� �� ��� ������ � ���� ���� ��� ��� � � ������ ��� ���� ��� �� � � �� ��� �� � �� ��� �� �� � � ���� +
����� ���� � �� � � � ��� ����� � ��� �� ����
),)
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
5. Linear Mappings Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
���� ���� �� ##�����$$ ����� �� �� ��� � ���� � �� ����� �� �� ��� ���� ������ � � � ���� �������� � � � � � � ��� ���
� �� � ������� �� ���� �� �� �� �� ��������� ��������
������� �
�! �� � � � � � � �� ��� ��� �� ������� � ���� ���� ���� � � � ����� �-� "� ��� ���� � ��� ��� ��� ���� ���
� ��� � �- �� � �� �-
.��� �� ����� �� �/ �� 0� �� �� ��� ��� � � ��/� � 0� .������� � �)�0� � �/��/� 1����� ��� � 2��� � �� � � � 2 �� �� ����� �� ��
�! �� � � ��� �� �� ��� � � ��� �� �� �� ���� �� ��������� ��*��� � ������� � � � � �+
� ��� � �� � ��� � �� � ��� � �� � �� � � �� � � ���� ��� ��� ��� ��� ��� �� ����� *�� ��*��� �� ������� ������� ��� ��� �� ������ ��*��� �� ������� � � � ������ .����
� ���� �� � � � � ���� � ���� � �� � ��� �� � � ��� ��� �������� � ��� � ��� �� � �� �� ����� �� ��
������� �� �� � � �� ��� �� ����� �� ����������� ���� �� ��� �� ���� � /�- � 3� � -�
�! ��� ������ ��� ��*��� � ������� � � � � ������ ��� ��� ����������� � ���� �� ���� � � � � � ��� ���
��� � �/�- � 3� � -� � 4� � 3
�! ��� �� ������ ��� ���� 2 � )� ��*��� � ������� � � � � �� ��� ��� ��� ��� ���������� � ����
�� � � ��)
2
� ��� �� ��� �� ���� ��)
2
�/�- � 3� � -� � )-
%����� �� �� ������� �� �! �� ���� �� ��� �� ����� � �� � �� ������ *��� �� ������� �� ������� �� �! �� ���� �� ��� �� ����� � �� � � �����
����� ����� !
�� � � ��� � � �� ��� ���� �� ���� � �� ������� � ������� �� � �� � �� �
����� � ��
����� �� ��� ��� �� �� ��� �� ��� ��� �� �� ������� ��� �������� ������
� � ) �5 3
- / �4
� ���� � �
)
/
�3
��
��
���
����� � �� � ) �5 3
- / �4
� � )
/
�3
��
�� � �/4
5)
� �
������� ��� �� � ����� ������������ �� ����� ������ �� ���� � �� ������� �� � �� �� �� �� ������ ����� �� ��� ��� �� �� ����
),- �(6718 91::(6;� <'.1:� 3
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
5. Linear Mappings Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
�"��"!���"� "# ����� !
'������� �� �������� � � � � � ��� � � � �� ���� �� �� ����+
���� � �� �
��� ����������� �� � ��� � ���� �� � � � � �� �� ������� � � � � � � ��*��� �
� � � ���� � � � ������� ��� *�� �� ����� � � � � �� ��� ��� �� ����� � � ��� � � � �� � � ���� � �� =������ � ��� ��##���� ���$$� �� ������� ��� ����� �� *�� ��� � � � � �� �� � � � ��� � � ���� � � ��� ��� ����� � ��� � �� �� � � � � ���� � � ���� �
%� *�� ������ ���� � �� �� ������� ��� �� �������� �� ��*�� �� ������� ��� ����
�$�"��� ���� �� � � � � �� � � � �� � � � � �� ����
� � � � � � � �� � � � �
"� ����� ��� ������ ����� �� � � �� ����
�� � � � � ����� � ��� � � ����� � ��� � �������� � � � � ���� � �� � �� � ���� � ��� � �����
��� �� � � � � ����� � ��� � � � � ���� ��� ����� � � �� ��� �� � � � � � � � �� � � � ��
���%�"%��� ��& ���" ����� !
"� �������� �� ����� ���� ������� ���� �� ���������
�'����"�� 1 ������� � � � � � �� ���� � � ���������� �� )&) �� �� ������! �� �������� ������ � �� ����� ��� ��� ������� �� ��+
�)� (� � �� ��� ��� � ��� �� � �����7������� ���
�-� (� � ��� � � ����� ��� � � ���
�'����"�� 1 ������� � � � � � �� ���� � � ���� �� � ���� � �� � � �� �� ������! �� ����� � � � �� �� ����� �� � ���� ��� � � ��
�'����"�� 1 ������� � � � � � �� ���� � � � ���������� �� ��������� � ���� � ��� � ���� ������! �� � �� � � ���& �&��� ��� �� ��
������� �� �� � � � � �� � � � �� � � � � � � ��*��� �
� ��� � -�� ��� � �/ � �� ���� � �-
��� ������ �� ���� ��� ���� ��� ����� �� ���� 3&)� ��� ��� ��� � �� ���& �&���� ;���� �������� ��� ����� �� ��������>�� �� ���� ���� �� ��� ��� ���� ��� ��� ���� �� �� ��� ��� ��� �� �� �� ;���� �������� ��� ����� �� ��������>�� �� ���� ��� ���� � ���� ��� ���� �� � ��� ��� ��� � �� ��� ��� ���& �&��� ��� �� �� ��� �������� � � - ����- ���� �� ���� ����� 5� ��� �)4 ��� �� ���������
�&�����( ��& ��)��!� ����� !
�� � � ��� ������ � �� � ��� ������� � � � � � ��*��� � � ��� � �� �� ��� �� ��� ��� �� ������� � ���� ������ �� � � ����� �� ������ �� ������� ������� ( �� ����� ���� �� � �� �� � �� !����� ��� ��� � � �� �� ���� ����� � ��
'.1:� 3? �(6718 91::(6;� ),/
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
5. Linear Mappings Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
6�� �� � � � � �� "� ���� � � � � �� ������� �� �� ��� �� � �)� ��
� � � �� ��� � � � ��
"� �������>� �� � ��� �� ������� �� ��� ���� �� � �� � ���& �&��� �������������� � ���� � ��� �� �� ��� � �� ���& �&��� ��� �� � :����� 3�,!� 1���� �� � � �� ��� � �)��� � �� ����� � �� �� ���� ������ �� � ��� ����� � ��� � ��
��* +��,�� ������� -+��,�� �������� ������.
"� ���� �� � � ��*�� ����
�'����"�� �� � ��� " � ��� �� ������ ���� �� ���� *��� � � 1 ������� � � � � " �� ������ � ����� ������ �� ����� � ����� ������ �� � �� ��*�� �� ��������� �� ����� ����+
)! ��� ��� ��� ��� ��# � � � ���� #� � ���� � ��#�� -! ��� ��� ������ $ ��� ��� �� � � �� ��$�� � $�����
6������ � � � � " �� ������ �� � ##���������$$ �� �� ���� ����� ���� �� � ��� �� ������ �� �� ��� ������ ��� ��� �� �� ������ �� ������ ����
�� � ��� $ � 2 �� � ����� ��� -!� �� � ��� ��2� � 2� ���� ����� ������ ������� �@�� �� >������ �� �� � �� >��� ��� ���
6�� ��� ��� ������� �� � � � ��� ��� ��� �� ��# � � � �� � ���
����� �#� � ����� � ���#� � ����� � ���#�
9��� ���������� ��� ��� ������� �� � � ��� ��� ��� �� �� � � � �� � ��� �� ��������� ���� ������ � �������� ��������+
���)�) � �-�- � � � �� ����� � �)���)� � �-���-� � � � �� �������
������ �� 1 ������ ������� � � � � " �� ������ ��� ������ ���>�� � �� ����� ���
����� �#� � ����� � ���#� �A�
��� �� ��� ����� ��� �� ���� ���� ��� �� � � ��*� ����
������ �� ��� ��� ����� � ����� ������ �� ��� ��� ������ ������� �� ������ �� ��� ��� �������������� �� �� ���� � � �� � ���
�� � �%�
),5 �(6718 91::(6;� <'.1:� 3
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
5. Linear Mappings Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
������� �
�! �� � � �/ � �/ � �� ##������ ���$$ ������� �� � �� ��&������ �� ��� � �� �� ������� ��*��� ����� �� �� � ��� �� 2�� "� ���� �� � �� ������� �� � � ��� �� �� ��� # � ���� ��� ���� ����
���� #� � ��� � ��� � � ��� � � ��� � �� � ��� � � ��� 2�� ��� �� 2� � ���� ��� 2� � ���� � ��#�
���� ��� ��� ������ $�
��$�� � ���$�� $�� $�� � �$�� $�� 2� � $��� �� 2� � $������� � �� �������
�! �� % � �- � �- � �� ## ������ ���$$ ������� ��*��� � %��� �� � �� � )� � � -�� <��� ��� % ���� �� ��� �� )� -! � ��� ��� �� � � ��� �� �� �-�? 6� � ��
%�2� � %�2� 2� � �)� -� �� 2
��� �� >��� ��� �� �� �� ������ �� � �� >��� ��� ��� .���� % �� �� �������
������� �� B����� ��� ��� (� ����� 9�������! '������� �� ��� �� ����� � � ���� �� ����������� ���� �� ���� *���
�� �� ���� ��� ���� � ��� ����������� �� � ��� �� $ � ��� �������
�! �� � � � � � �� ������ ��� �������� %�� ������ �� ������ ��
�� � ���
� �
�� �
����
�$���
� $�
�
��� ��� �� � �� � ��� � ��� ��� �$�� � $���� ��� �� ������ ��� ������� �� �������
�! �� � � � � � � �� �� ����� �������� ���
�� � ���� ��)
2
� ��� �
%�� ���� ������ �� ������ �� � �)
2
����� � ������ ��)
2
���� � ��)
2
���� �
��� �)
2
$���� � � $
�)
2
���� �
��� ��� ��� � �� � ���� � ���� ��� ��$�� � $����� ��� �� �� ����� ������� �� �������
������� �� C��� ��� (��� � � 9��������!
�! �� � � � � " � �� ������� �� ������� �� >��� ��� �� 2 � " � ����� ��� �� � � �� ����� ��� ��� ��� �����# � � ��� ��� ������ $ � �� �� ����
���� #� � 2 � 2 � 2 � ���� � ��#� ��� ��$�� � 2 � $2 � $������� � �� ������� "� ���� � �� �� � ������� ��� �� ����� ����� ���� � � � 2�
�! '������� �� ���� � � ������� ! � � � � � ����� ���� ���� � � � �� � � ����� ����� ��� ��� ��� ��� ��# � � ������ ������� �� � � �� �� ����
! ���� �#� � ��� �# � �! ��� � �! �#���� ! �� �������
%� ��� ������ ������ �� :����� 3�)/! ����� � �� ������� �� �������� �� ������ ��������� (���� ������ � ���� � �� � ������ ������� �� ������ ��� �� ������� � � � ����� �� �� ������ � �� � �����
�$�"��� ���� �� � ��� " � ��� �� ������ ���� � *��� � � �� ��)� �-� � � � � �� � � ���� �� � ��� �� �)� �-� � � � � �� � ��� ��� ��� �� " � ���� ���� ���� � � ���� ������ ������� � � � � "��� �� ���)� � �)����-� � �-� � � � ������ � ���
'.1:� 3? �(6718 91::(6;� ),3
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
5. Linear Mappings Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
"� �������>� �� �� ��� ��� �)� �-� � � � � �� �� ������� 3�- ��� ������ ��� ��� ����� ��� ��� ��������� �������� �� ��� ��� ���� � ���� � ���� � ����
����/�! �! +����� ����� !
�� � � ��� ���� � � �� ���� 8����� �� � �� ������� � ������� �� � �� � �� � ����� � �� ����� �� ��� ��� �� �� ��� �� ��� ��� �� �� ������!� "� ���� �� �� ������� D� �� ��� �� ������ ����
����� #� � ���� #� � ��� �# � ����� � ���#����$�� � ��$�� � $���� � $�����
(� � ��� ������ ���� � � �������� �� �������� �� ����
���� #� � ��� �# ��� ��$�� � $������� �� �� ��� ������� � �� �������
0�/�"� ���/� �!"�"��$�!�
��� �� ��� �� �� ��� �� ������ ���� ���������� ��� ��*��� �� '��� �� 5 ���� �� ����� ��� �� ���������� �� �� � ��� �� ���� ��� � � ����� "� ��� ����*�� ��� ������ �
�'����"�� ��� ��� �� ������ � ��� " ���� � ��� ����� ����� ��� �� � � " � �� ���� ���� � � ���� ��� ���& �&��� ��� �� �! ������ ������� � � � � " � ��� ������� � �� ��� ������ ������� ����� � ���� � ��� " �
'������� ��� ��� �� ����� � �� ��������� � ��� �� & � ��� ���� �� �� ���� �� �������
� �� ��&����� ���� ���� ��� �� � � � �� � � � �������� � ��� �� ��&� �� �� ����������� � ���� � ��� ���
��1 2,��,+ �� � ��, �� � +��,�� ������
"� ���� � ��*���� �� ������ ��
�'����"�� �� � � � � " � � ������ �������� ��� $� ��� �� �� ��� �� E�� �� �� �� �� �� ������ � ��� �� ��� �� � �� >��� ��� �� 2 �� " � �� ���
E�� � � �� � � � ���� � 2��� ���� �� ���! �� �� ��� �� (� �� �� �� �� �� ����� ���� � �� " � �� ���
(� � � �� � " � ���� ���� � � � � ��� ����� ���� � ���� ��������� ������ �� ������ ������ :����� 3�--!�
�$�"��� ��*� �� � � � � " � � ������ �������� ���� �� @����� �� � �� � ������ �� � ��� ������� �� � �� � ������ �� " �
6�� ������ �� �)� �-� � � � � �� ���� � ��� �� ����� � ��� �� � � � � " �� ������� "� ���� �� ���)�����-�� � � � ������ ���� (� �� �� � � (� �� ���� ���� ���� � � � � ��� �� ���� � �� ����� �� �$����� � ��� ����� � � �� ���� ���� ������� �)� �-� � � � � �� ��� �����
� � �)�) � �-�- � � � �� ����
����������
� � ���� � ���)�) � �-�- � � � �� ����� � �)���)� � �-���-� � � � �� ���������� �� ��� ��� ���)�����-�� � � � ������ ���� (� ��
),4 �(6718 91::(6;� <'.1:� 3
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
5. Linear Mappings Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
"� �������� � � � �� ���� ���� �
��"�"!���"� ��1� ������ �)� �-� � � � � �� ���� � ��� �� ����� �� ��� ������ � � � � " �� ������� �������)�����-�� � � � ������ ���� (� ��
������� ��
�! �� � � �/ � �/ � �� ������ ��� �� � ��� �� � �� � �� ��&����� <�� ��� ��� �� ���� 3&- �!?� �� ��
���� �� �� � ��� �� 2�
'������ �� ����� �� � �� �� �� ��� ��&������ ����� ���� � �� �� ���� �� �� 2!� 9�������� �� @����� �� � �� ���&����� ����� ���� � �� �� ���� 2� 2� �!� ��� ���
(� � � ���� �� �� � � � 2 � ��&����� ��� E�� � � ���� �� �� � � � 2� � � 2 � �&����
�! �� % � �/ � �/ � �� ������ ������� �� �� � �� � ��� �� � �� �� �&���� ����� �� ����� � <�� ��� ��� ������ 3&- �!?� �� ���
%��� �� �� � �� ��� �� � ��� �� � ��� �� � ��� �� ��
%����� �� �� ��� ���� �� � ��� �� � ���� �� ������ ' ���� �� ������ ���� �� �� � ���� ��� �� ���� �� >������ �� 2 �� ������ �� � �� >��� ��� �� 2� ��� E�� % � �2� %� �� � ��� ����� ����� ��� �� � �� �/ �� ������� �� � ��� �� � �� �/ �� ��� � � ����� � �� � ��� � ��@ � �� ����� �� �� ��� (� % � �/� �� �� ���������
������� �� '������� �� ��� �� ����� � � ���� �� ����������� ���� �� ���� *��� �� ��� �� ( � � � � � �� ����&
������ ��� ����� ��� �� ��� ( � ���� � /� ��/� <���� ���� �� �� � ��� / �� ��� ��� (� ����� �� �� ������ ���
����� ���? "� ����� ��
E�� ( � ������������ �� ������ � - � �-��� ��� (� ( � �
��� *�� ����� ���� �� ��� �� (���- � �� � �� � 2 (���� �� 2 ��� � � /� ��� ������ ����� ���� �� ��� �� ����� ���������� ��� �� � �� �� ���� ������ ��� �� ���� ���������� � ��� ����� ��� � � ����� � �@��� �� �� �&������ ��� �� ��� ���� ����!�
z
y
x
0
( )a
v = a, b, c( )
F = a, b,( ) ( 0)v
�� � �%�
z
y
x
0
G( )v
( )b
θv
'.1:� 3? �(6718 91::(6;� ),,
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
5. Linear Mappings Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
2����3 ��& ��� � "# ����� ����� !
'�������� ���� � / 5 �� ��� � ��� �� ��� ���� ��)� �-� �/� �5 �� �5 ��� �� �� ������!+
� ��) �- �/ �5
�) �- �/ �5
�) �- �/ �5
��
��� �) �
)
2
2
2
����
��� �- �
)
2
2
2
����
��� �/ �
)
2
2
2
����
��� �5 �
)
2
2
2
����
��
8����� �� � ��� � ������ �� � ������ ������� � � �5 � �/� ����� �� ��� ��� �� �5 ��� �/ ��� �������� ����� ��� ���� 6�� �� ��� ���� ��� ��� ���� �5� �� ���� ������ ��)� ��-� ��/� ��5 ���� �� ������� �� D �� ��� ��� ��)� ��-� ��/� ��5 ��� ��������� �� ������ �� �+
��) � �)� �)� �)�) � ��- � �-� �-� �-�) � ��/ � �/� �/� �/�) � ��5 � �5� �5� �5�)
��� �� ����� �� � �� ��������� �� ����� ����� �� ��
%� �� � ��� ����� �� @����� �� � ������ � �� ��� ��� ��� � ��� ����� �� � 2� ���� ����� �� ��@����� �� � �� �� ��� ��� ����� �� �� ���������� ��� �� �* � 2� ������ �� ���� ����� �� ��
"� � � � �� ���� ���� � ���������
��"�"!���"� ���� �� � � ��� � � �� ��� ���� � *��� � ������ �� � ������ ��� � � �� � ��� ����
E�� � � �������� ��� (� � � ��������.��� ����� �! ���� �� �� ����� ����� �� �� ��� ����� �! ���� �� �� ��� ����� �� ��
���� ��& �433��( "# � +����� �����
�� � � � � " � � ������ �������� ��� ��$ �� � �� ��*��� � � �� ��������� �� � � ������ ��� ��������� �� � �� ��*��� � � �� ��������� �� � � @������ �������
���@��� � ����(� �� ��� ���� ���� � ����E�� ����� ��������� ����� �� ������ ������ �� :����� 3�-/! ������
�$�"��� ��5� �� � � �� *�� � ���������� ��� �� � � � � " � ������� ����
��� � � ����E�� �� � ����(� �� � ���� ���� � ���@���8����� �� �� ���@ �� � �� ��� � ��� ���� ��*��� � � �� ��������� �� � � ����� ����� ��� ���
������ (� �� ��� ���� � �� � ������ �������� ��� � � ��*�� ���� ����������� ����� �� ����� �� � ����������� � � ����� ������
������� �� �� � � �5 � �/ � �� ������ ������� ��*��� �
���� �� �� �� � �� � � � � � �� -� � -� � /� � 5�� /� � /� � 5� � 3��
�! ���� � ���� ��� �� ��������� �� �� ����� �� ������ *�� �� ����� �� �� ��� ���� ��� ��� �� �5�
��)� 2� 2� 2� � �)� -� /�� ��2� 2� )� 2� � �)� /� 5���2� )� 2� 2� � ��)��-��/�� ��2� 2� 2� )� � �)� 5� 3�
D� :������ ��� 3�5� �� ����� ��� ��� ���� (� �� .���� ���� �� �� ��� + ����� ���� ��� ���� ����� ��� ���
),F �(6718 91::(6;� <'.1:� 3
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
5. Linear Mappings Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��� ��� ����� � ������� ����+
+ �) - /
�) �- �/
) / 5
) 5 3
����
�� �
) - /
2 2 2
2 ) )
2 - -
����
�� �
) - /
2 ) )
2 2 2
2 2 2
����
��
��� )� -� /! ��� 2� )� )! ���� � ���� �� (� �� .���� ����(� �� � - ��� ���@��� � -�
�! ���� � ���� ��� �� ��������� �� �� @����� �� �� ��� ���� ���� � 2� ����� � � ��� �� �� ���
���� �� �� �� � �� � � � � � �� -� � -� � /� � 5�� /� � /� � 5� � 3�� � �2� 2� 2��� ������������� �������� � ���� � ���� � ��� � ���� �� ��������� ���������� ��� �� ����� ��� �������� �� E�� �+
� � � � � � � � 2
-� � -� � /� � 5� � 2
/� � /� � 5� � 3� � 2
��
� � � � � � � � 2
� � -� � 2
� � -� � 2
��� � � � � � � � 2
� � -� � 2
��� ���� �������� ��� � ��� �� .���� ����E�� �� � - �� ���� ���� � -�
�! �� � � )� � � 2 � � ��� �� ��� ��� �)� )� 2� 2�� ��! �� � � 2� � � ) � � ��� �� ��� ��� )� 2��-� )��
��� �)� )� 2� 2! ��� )� 2��-� )! ���� � ���� ��� E�� ��
1� ����� �� ���� ������� 3�4� ����(� �� � ����E�� �� � 5 � ����5�
���3�/���"� �" �(!���! "# +����� ,64���"�!
�� �* � � ���� � �� �� ��� ���� �� � ��� �� �� � ������ ��� ���� �� � �@������ 6�� �� �� ���� ��� � ������ �� � ������ �������
� � �� � ��
��� �� ��� ��� �� �� ��� ��� �* � � ��� � ������ �� �� �������� �� �� ��� �� � � �� ���� �������� ������� �� �� �������� �� ��� ��� �� �� ������� �� ���������� ��� ��
�* � 2
��� � ������ �� �� @����� �� �� ������ ������� �� 1������� ������� 3�4 � ��� ���������� ��� ��������
����E�� �� � ��� �� � ����(� �� � � � ���@ �
D � �� ���� �� �� ���� �� �@����� �� �� ���������� ��� �� �* � 2� ��� �� ���� ������ ����������� ������ �� '��� �� 5�
�$�"��� 1��7� ��� ��������� �� �� ��� ��� ����� , �� � ��������� ��� �� �* � 2 �� ��������� ���� �� � � � � � ����� � �� �� ���� �� �@����� ��� �� �� ���@ �� ������*���� �� ��� ��
%����� �� �� ���� �� ���� �� ���� �������� �� �� ������� ���� �� �* � 2� �� � � � � �� ���� �� ���� �� ���� ��������� �� �������� �� � ��� ��� ��� ��� �� �* � 2 �������� �� ������� /�)- ����������� ���������� :����� 5�3-!� 1����������� ����� ��� , � �� ��� ���� � ���� ��� �� ��� �������� ,� ��� �� ���� ���� ������ ������� /�)-�
'.1:� 3? �(6718 91::(6;� ),0
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
5. Linear Mappings Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��� ����+�� �� �������+�� +��,�� �������� ��� ���8�� �
�� � � � � " � � ������ �������� 8����� �� ��2� � 2� � �� ���� � � ������ �� �� ����� ������ ���>��� ��� �� � �� 2� �� ��� �� ���� ���� � � �� 2 ��� �� ���� � 2� ��� � � � � " ����������� �� �� >��� ��� �� 2 �� �� ���� ��� �� ����� ����� ���� � �� 2 ��� �� � ��� ������ ��E�� � � �2�������� �� '������� �� ������ ��� ��� � � �/ � �/ ��� �� �� � ��� ��� % � �/ � �/ ��������� �� ���� 3&-� ���
7������ 3�,�! ����� �� @����� �� � �� �� �&����� � �� �������� %� �� � ��� ����� �� @����� �� % ������ � ���� �� �� >���
��� �� 2� ��� % �� �����������
6��������� ������ �������� ��� ���� � ������ ���>�� �� ���� �������� �� ����� ���������� �� ��� � ���������� �� �� �����*������ �� ����� :����� 3�-F! �� ��������� �������
�$�"��� ��9� �� � � � � " � � ���������� ������ �������� ���� �� ����� �� ��� ������������������ �� �� �������� ���������� �
�!"�"��$�!�!
������ � ������ ������� � � � � " �� ���& �&���� ���� ���� 2 � � ��� ��� �� � 2 � " � ��� �� � ������������� ��� �������� �� ���� ��� ��� ������ � �� ���������� ��� ���� � ��#�� ������� #� � ���� � ��#� � 2� ��� ����� �� # � 2 �� � � #� ��� ���� � ��#� ������� � � #� �� ���� �� ���& �&���� ��� �� ���� ������ �� ��������� ������� ����
��"�"!���"� ��:� 1 ������ ������� � � � � " �� ���& �&��� �� ��� ���� �� � �� �����������
8����� �� � ������� � � � � " �� ������ �� ����� ����� �� � �� ������ ��� �� � �� ���� ���� ����� �� ��� ���& �&��� ��� �� �� 1���� ������ �� � ��� �� ����� � �� ���� � � ����� ���� � � ��� �� ����� " ���� �� � � " � �� ���� �� �� ����������� � � � � " �
��� ��������� ������ ������ �� :����� 3�-0! ��������
�$�"��� ��7� ������ � ��� *�� � ��������� ��� ��� � � ��� "� ������ � � � � " �� ������� ����� �� �� ����������� �� ��� ���� �� � �� �����������
��5 ��,������� ;��8 +��,�� �������
"� ��� ��� � ������ ������ �������� �� ������ ���� � � ��� ��� ������ ��������� ���������� ���� ��� ���� ����� �� ��� ���� � ��� ������ �� �� �
�� � � � � " ��� % � � � " � ������ �������� ���� � *��� �� ��� �� � � % ��� �� ����������� $� � ����� $ � � � ��� ��*��� � � �� ��������� �������� ���� � �� � " +
�� � %���� � ���� � %��� ��� �$����� � $����"� ��� ���� �� �� � ��� % ��� ������� ��� � � % ��� $� ��� ���� ������� �����*������ ��� ��� ��� �����# � � ��� ��� ������� �� � � ��
�� � %����� �#� � ����� �#� � %���� �#�� ����� � ���#� � �%��� � �%�#�� � ���� � %���� � � ��#� � %�#��� ��� � %���� � ��� � %��#�
��� �$������ �#� � $����� �#� � $ ����� � ���#��� �$���� � �$��#� � ��$����� � ��$���#�
��� � � % ��� $� ��� �������
)F2 �(6718 91::(6;� <'.1:� 3
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
5. Linear Mappings Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��� ��������� ������ ������
�$�"��� ���<� �� � ��� " � ��� �� ������ ���� � *��� �� ���� �� ������ ��� �� ��� ������ ������������ � �� � " �� � �� ���� ����� ���� �� ���� ��� ��� ������ �� ������ ��� ����� ���� �� ����� ���� ��
��� ��� �� ����� �� ������ �������� �� �� ���� ������� 3�)2 �� ����� ���� �� �
.�����" �.��� .�� ����� ���� �� ���� ##������������$$� "� �������>� �� �� ����� �� ������� 3�)2 ������ � ������� �� .�����" � ���� �� ���� �� ���� ������ �� � ��� �� ������ ��� >��� ������ ��.�����" � �� �� �� � ������ ���� � �� � " � ���� �� � < ��� ��*��� �
<��� � 2
��� ����� ��� �� � � �������� � ��� " ��� �� *�� � ���������� ���� �� ���� �� ��������� �������
�$�"��� ����� ������ ��� � � � ��� ��� " � �� ���� ��� .���� �" �� � ���
�"��"!���"� "# +����� ����� !
6�� ������ �� "� ��� , ��� ��� �� ������ ���� �� ���� *��� �� ��� ������ � � � � " ���% � " � , ��� ������ ��������� "� ��� �� ���� �������� �� �������+
� ��� " ��% ,
8����� �� �� ������� ��� ��� ��� % � � �� �� ������� ���� � �� � , ��*��� � �% ������ � %�������"� ���� �� % � � �� ������ �������� � ��� % ��� ������� �����*������ ��� ��� ��� ��� ��# � � ��� ���������� �� � � � � �� ����
�% � ������ �#� � %������ �#�� � %������ � ���#��� �%������ � �%���#�� � ��% � ����� � ��% � ���#�
��� % �� �� ���������� ������� ��� �� ������ �������� ��� �� ����� ���� �� ���� ��� ��� ������ �� ������ ��� ���
���� �� �� ��������
�$�"��� ����� �� �� "� , � ��� �� ������ ���� �� ������ �� ��������� �������� ��� ������+
� � � � " � � � � � � " ��� % � " � , � %� � " � ,
����� ��� ��� ������ $ � �+
�! % � �� � � �� � % � � � % �� �� ��! �% � %�� �� � % � � � %� � ��
���! $�% � �� � �$%� � � � % � �$���
��9 �+�,=�� ��� � �� +��,�� ��,������
�� � � � ��� �� ����� ���� � *��� � � ���� ��� ��� ��������� �� ������� ���� �� ������ �������� ���� �� ��� �� ����� � �� � � ����� �� ��� ������ �������� �� �� ���� � � � � �� ���� ��� ���� ������ ����� ��� ��� � �� ����� � ����� ������� �� �� "� ���� ��� � ��� �� ��� ��� �� .������ �� ��� �� ����� �� ������ ���������
6�� ��� � �� � ��� �� ����� ���� � ������� 3�F!� ���� �� ��� � � �� ��� ��� ��� � � �-� 9����������� ��� �������� ��% � ��� �� �� ������� ��� % �� ���� � ��� ���� ������ � ��� �� ��� �� ���� �##�� ������ ���$$ ��*��� �� ��� �� <"� ���� ���� ��� � �% ��� ��� �� % � � �� �� ����� ��� ��?
'.1:� 3? �(6718 91::(6;� )F)
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
5. Linear Mappings Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
������� 1� ���� � � ���� � *��� � �� � ��� �� ����� ���� � �� ����� �� ����� ��� ���� ������ ��� �� ��*��� �� �������� ��� ����� ��%�( � � ��� ����� $ � �+
�! ��% � (� � �% � �( �
��! �% � (�� � %� � (� �
���! $�%�� � �$%�� � %�$������ ������ �� ���� � � ����������� ��� �� ���� ���� ��%�( � ��%(��
��� ���� ��*�� ��� �� �� ������ ��� ������� ������� ���� � �� ��������� ���� �
�$�"��� ���*� �� � � � ��� �� ����� ���� �� ���� ��� � �� �� ������� ��� ������ ���� � �� � ������ � ������� ��� �� ��������� (� ��� � � �� ��� ��� ��� � � �-�
���� �� ��� ��� � �� ������ �� ���� � �� ����� ��� ��� � �� � �
�"3(�"���3! ��& +����� ������"�!
%����� �� �� ���� � � ������� ! � � � � ������ � ��� �� 1���� ��� ��� ������ ����� �� � �� ��� ���� ���� �! � !� � �� "� ��� ���� ���� ##������$$ �� �� 6������ �� ��*��
�2 � ! � �- � � ��� �/ � �- �� � � � � � �� �5 � �/ � �� � � �
�� �������� ��� ��� ���������� ���� ���� �� ����
���� � �2 � �)� � �-�- � � � �� ���-
�� ��� ���� �� ������ ����� �� ���� ��*��� �
���� � �2! � �)� � �-�- � � � �� ����
��� ��� ������ $� �� ����� �� $! �� ���� ���� ���� �� ������ � $�! (� ��� ������ �� ��� � �� � �� � �� ������������ ���� �� ���� � 2�
������� � �� � � �/ � �/ � ��*��� � ���� �� �� � �2� �� ��� ��� ��� ��� �� �� � �/�
�� � ! ���� �� �� � �2� �� �� � ��� �� �� � ��� � � �� � � ���/��� �� �� � �-�2� �� �� � ��2� 2� �� � �2� 2� 2�
��� �/ � 2� �� >��� ������� �� ��� �� ���� ����� � �� � >��� �� �� ���������� ���� � �/�
�64��� ����/�! �! +����� ������"�!
�� � ��� � �� ��� �� ����� �� ��� ����� � � �� ����� ���� �� ���� ��� �� ��� � �� + ��*���� ������ ������� �� � �� � �� � ����� � �� ����� �� ��� ��� �� �� ��� ��� �� �� ������!� ����� ��������� �� ���� �� �� � � ����� �� ����� �� ��� � �� � ������ ����� ��� �� ������ � ������ ��������
������ � ��� � ��� �� ����� �� + � ���� �� �� ��� ����� �� �� ��*���� �� �������� ��� ��� �����! ��� �� � �� ���
������ � ����� � ����� � �����" �� � ��������� � ���� ������
(� � ��� ������ �� �� ��� ����� �� ����������� � �� ������� ��� �� � ��� � �� ������ ������������������� �� �� ��� �� � � � ����������� � �� �� �� � ��� � �� ������ ��������� ��� �� ����������� $� ����������� � �� ������ ����� �� � �� � ������ ��������
)F- �(6718 91::(6;� <'.1:� 3
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
5. Linear Mappings Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��)����>3� ������"�! �� ��� �
�� � � � � � � � ������ ����� ��� � �� ���� � � ���� ����� �� � ��� �� �������� �� ��� �� ���� ���� ���) �� ��� � ��� �� ���) � ��)� � ! � %� �� � ��� ����� � �� ����� ��� �� � ������� �� � �� � � ���& �&��� ��� �� �� (� ��� � ����� ��) �� ���� ������ ��� ��) �� �� ������� �� � �� � ������ ����� �� ������ ��:����� 3�)3!�
������ � �� ����� ���� ���� ���� 2 � � ��� ��� �� � � ����� ��� �� � �� ����������� ��� �������� ���� ��� �� ���� � �� ��������� ��������
������� �� �� � � ����� �� ��� �� ����� �� ����������� ���� �� �� � � �� ������� �� � �� ��������� � ) ��
������� �� � �� ���� ��� �� � ����������� �� ��
���2 � �)� � �-�- � � � �� ����� � �2� � �)�- � �-�/ � � � �� ���
��)
���� � �� � ������ ������� ��� � �� ����������� .������� � �� �� �� �� ��� �� � �� �� ����� ����
��� ��� �� ����� � � ���� �� �� ���� ������� ��� ��*�� � ���������� ��� �� � ��� ������������*��� �� ���� � ��� *�� � ���������� 6������ �� ��������� ������ ��������
�$�"��� ���1� �� � � � ������ ����� �� �� � *�� �&����������� ��� �� ����� � � ���� �� ������������ ����� ���� ��� �������� �
�! � �� ����������+ E�� � � �2� ���! � �� �� �� � ��������
��! � �� ���& �&���� ��! � �� ����� ����
��� ����� �� �� ���� ������ ������ ������� ���� ������� 3�4� ����� ���� � ��
��� � � ����E�� �� � ����(� ��D� :������ ��� 3�F� �! ��� ��! ��� �������� � 6� � �� ��! �� �������� � ��! ��� ���!� ���� � ����� �� ������� �� ���� ���� ���� �� �! ��� ���! ��� �������� � ���� �� �� �����
�! ������ �! ������ ���� ����E�� �� � 2� ��� �� �� ���� ��� ��� ���� � �� ��� � � ����(� ������� ����� � � (� � ��� �� � ��� ������ � �� �� �� � �������� ��� �! ������� ���!�
�! ������ ���! ������ ���� � � (� �� ��� �� ��� � � ����(� ��� ��������� �� ���� ��� ��� ����� �� ����E�� �� � 2� ��� �� � �� ����������� ��������� ���! ������� �!�
1����������� ��� ��� ����� ���� ��� �������� �
������� ������ � �� � ����� � � �� ��� ���� �� ���� � ��� � ������ �� � ������ ����� �� ����� ����� �� ��� *�� � ���������� ������� 3�)5 ����� ��� �� ����� �� ��� �� ���� �� ��� �� ����##����������$$ ��� ##����� ���$$ ��� ��� �� ����������� ���� ������� � ����� �� ������
������� �� �� � � �� ������ ����� �� �� �- ��*��� � ���� �� � �-� � �� /� � -��� �! �� ���� �� � �� ����� ���� �� ���� ���� ���� �� � �� ����������� �� ���� �� � �2� 2� � � ��� ��
���������� ��� ��
-� � � � 2 ��� /� � -� � 2
����� ��� � ��� � � �� � � 2� � � 2� .���� � �� ���������� ��� �� ����� ����
�! �� *�� � ������ ��� ��)� �� �� ���� �� � ��� �� ��� �� ��)��� �� � ��� ��� "� ����
�-� � �� /� � -�� � ��� �� ��-� � � � �
/� � -� � �
����� ��� � ��� � �� ���� �� � ��� � � � ��� � � -� � �� � � �/� � -�� ���
��)��� �� � �-� � �� �/� � -�� �� ��)��� �� � �-� � �� �/� � -������� �� ����� � �� ������ ��� ��) ���� � ��� � ��� ��� �� � ��� ��
'.1:� 3? �(6718 91::(6;� )F/
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
5. Linear Mappings Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
�"3)�& ��">3��!
�������
���� � � � ��� ��� ���� ������� �� ���� 3&/ ��*��� � ������� ���� � � ��� �� � �� � � � ��� �� �� �! 6�� ����� �� �� ���� �������� � �� ������ � � ��
�! 6�� ��� ������ �� � ��� �� ��� �������� � � � ��
�! G���
���� �� � � � � � ��� � � � � � ��*��� � ���� 3&5�
�! ���� �� ������� ��� ������� � � � � � � � ��
�! ���� �� ������ �� �� �������� � � � � � �
�! H�� �� ��*�� ��� �� �� ������� ��� ������� � ���� �
� � � � ��� � � � ���� � ��� � �� � � � � ��� � � � ���� � ��� � �
� � � � ��� � � � ���� � ��� � �
%����� �� �� ������ � �� ���� ������ �� �� ##������ �� ������$$ �� ���� 3&5+
� � � � �� � � � � �� � � � � �
�! D� ���� 3&5� �� ����� ����� ���� �� ������� � ��� � ��� �� ��� �� ����� ����� ���� ��� � �� ��.����
(� � � ��� � ��� (� � � � �� �
1���� � ��� �!� �� ����� ����� ���� �� ������� ��� ������� � � ��� � ��� �� ������������(� � � � ��� �� 6� � �� �� ������ �� ��� � � ��� �������� �
�� � �%*
�� � �%1
)F5 �(6718 91::(6;� <'.1:� 3
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
5. Linear Mappings Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��*� '������� �� ������� � � �/ � �- ��*��� � ���� �� �� � ���� �-�� ����+ �! ��-� /� 5�� �! ��3��-� ,�� �! ��)�2� 2�� �� ��� ��� � � �/ ��� �� ���� � 2�
�! �� � � �� �� ������ ��� � � �� ��-� /� 5� � �/ � 5� --� � �)-� 5�� �! ��3��-� ,� � ��- � ,� 3-� � ��)5� -3�� �! �� ���� � 2� ����� � � ��� �� ��� ��� ��� ����� ��� �� �� �+
���� �� �� � ���� �-� � �2� 2� �� �� � 2� �- � 2
��� � � 2 ��� �� ��� � � 2 �� � � 2� (� � ��� ������ � � 2� � � 2 �� � � 2� ��� ��� �� �&���� ��� ���&�����
��1� '������� �� ������� � � �- � �- ��*��� � ���� �� � �/�� -��� �� & � �� �� ������ �� �-� �� ��� �� ��� ��� �� �� �- � �- � )� �! B������ ��&�� �! ���� ��)�&�� �! �� �� �! � �� ������ �� ��&�� ���� ���� ���� � ��� �� � & ��� �� ���� �� � ��� ��� .����
�/�� -�� � ��� �� �� /� � �� -� � � �� � � �
/� � � �
-
����� ��� �� � &� �� ��� �- � �- � )� �� ����
�
-
�-
� �
/
� -
� ) ���-
0� �-
5� )
��� ��&� �� �� ��������
�! �� ���� �� � ��� ��� ����� ��� �� � &� ���� �/�� -�� � ��� �� �� /� � �� -� � �� ����� ��� �� � &� ������ �- � �- � )� ��� �/��- � �-��- � )� 1����������� ��)�&� �� �� ������� 5�- � 0�- � )�
���� �� �� �������� � � � � �� � � � �� � � � � � � ��*��� � ���� 3&3� B� ������ ��� ��� ���� ���� ��� ��� ��+ �! ���& �&���� �! �� �� �! ����� ���� ���� ��� �� ��������
�! ��� ������� � � � � � �� ���& �&���� ����� ���� ������ �� � ��� � �������� ������ ��� ������� � � � � �� �� ���& � ���� ����� � ��� � � � ���� �� ���� ����� 5� ��� ������� � � � � � �� ���& �&����
�! ��� ������� � � � � � �� �� �� �� ����� � � � �� �� �� ����� �� ��� ������ �� �� ��� ������� � � � � �� �� �� ����� ���� ������ �� � �� �� ����� �� ���� ������ �� �� ��� ������� � � � � �
�� ���� �� ��
�! 1 ������� ��� �� ������� �� ��� ���� �� � �� ���& �&��� ��� �� �� .���� ���� � ��� �� ��������
��5� ������ � � � � � ��� � � � �� .���� � � � � � � � � ���� �� :����+
�! (� � ��� ��� ���& �&���� ��� � � �� ���& �&����
�! (� � ��� ��� �� � ��������� ��� � � �� �� �� � ��������
�! (� � � �� ���& �&���� ��� � �� ���& �&����
! (� � � �� �� �� � �������� ��� �� �� �� � ��������
z
y
x
w
B gf C h
5
6
41 a
D
b
c
2
3
A
�� � �%�
'.1:� 3? �(6718 91::(6;� )F3
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
5. Linear Mappings Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
�! ������ � � � ���� � � � � ����� ���� � � ���� � � � ����� ����� �� ���& �&���� � ��� � � ���� ����� � �����& �&���� � � �� "� ���� ������ �� � � � ���� � � � � ���� ������� � � �� ����� � � �� ���& �&����
�! ������ � � �� ����� �� �� �� ���� ���� � � � � ��� ����� ��� � �� ����� � �� �� �� ���� ���� � � � �
��� ����� � ��� � �� ��� � � � ���� � � � ���� � ��� � �� .���� � � �� �� ��
�! ������ � �� �� ���& �&���� ���� ���� ���� ��� ��� ������ � �� � � � ��� ����� � ��� � � ���� ���� � � ���� � � � ���� � � � ���� � � � � ����� .���� � � �� �� ���& �&���� ��������� �� � � �� ���& �&���� ��� � �� � ���& �&����
! (� � � �� ��� � � � ���� � � � ���� � ���� .���� � � � ���� � ���� ������ �� �� �� �� ���� ��� ���������� ��� ����� �� � ��� �� � � � ���� �� �������� ��� ����� �� �� �� � � �� �� �� �� 1���������� �� � � �� �� �� ��� �� � �� ��
��9� :���� �� � � � � � ��� �� ������� �� ��� ���� �� � �� ���& �&��� ��� �� ��
������ � ��� �� �������� ����� ���� ���� � � ��� ��� � �) � � � � ��� ����� � �) � � � �� ���� � � �) � ��� ����� �� �� ���& �&���� � �� ���& �&��� � :����� 3�4 �!� ��� ����� �� �� �� �� � �� �� � �:����� 3�4 !� �� ��� � �� � � ���& �&��� ��� �� ��
6�� ������ � �� � � ���& �&��� ��� �� �� ���� ���� � � � �� �� ����� �� � ���� ������ �� �� ����A� ��� �� � ��� � �� ��� � � �A� ����� � ��A� � �� 6�� �� ���� � �� ������� ���� � � � ��*��� �� �� �A� "� ����+
�! � � � ���� � � � ���� � ��� � �A � � ��� ����� � � �� ����� � � � ���
��! � � � ���� � � ����� � � ��A� � � ��� ����� � � �� ����� � � � ���
1����������� � ��� �� �������� ( � ������� �� �� ������� �
��:� �� � � � � � � ��*��� � � ��� � -� � /� 6�� � �� ���& �&��� ��� �� �� ����� � ��� �� �������������� � �)� ���� � ������ ��� � �)�
�� � � �� ����� �� � ���� �� ������� � � �� ��� � � � ��� � -� � /� .���� � ���� � �� ����� �� �
���� �� ������� ������� � �)� ��� ����� ��� � �� ���� �� � �� �� ���� ��� ��� � � ��� � � )-�� � /��
���� �� ������ ��*���� �� ������� ��� ��� �� � �)��� � )-�� � /�� ��� ���� � ��� ��� �� ��
� �)��� � )-�� � /��
+��,�� �������
��7� ������ �� ������� � � �- � �- �� ��*��� � ���� �� � �� � �� ��� ���� �� � �� �������
"� ���� � ���� �� ���� #� � ���� � ��#� ��� ��$�� � $����� ����� � ��� � ��� ��� ������ � �� �-
��� $ �� ��� ������� �� � � ��� �� ��� # � ���� ���� ����
�� # � �� � ��� � � ��� ��� $� � �$�� $��"� ���� ���� � �� � �� �� ��� ��#� � ��� � ��� ���� ���
���� #� � ��� � ��� � � ��� � �� � �� � � � ��� � � ���� �� � �� �� � ��� � ��� ��� � ���� � ��#�
���
��$�� � ��$�� $�� � �$� � $�� $�� � �� � �� �� � $��������� �� #� $ ���� ��� ����� � �� �������
)F4 �(6718 91::(6;� <'.1:� 3
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
5. Linear Mappings Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
���<� ������ � � �/ � �- �� ��*��� � ���� �� �� � �� � � � �� -� � /� � 5��� ���� �� � �� �������
"� ���� ��� �� ������ "�� ��� ��� ��� �� ������� �� ������� � ��� � ��� �� �� �� ���� ���� � �������� � � �� �� ��) ���
� � ) ) )
- �/ 5
� �
����� ���� ������ ��� �� �� ������ �� ����
���� #� � ���� #� � ��� �# � ���� � ��#���$�� � ��$�� � $���� � $�������
��� � �� �������
����� ���� �� �� ��������� �������� ��� �� ������+
�! � � �- � �- ��*��� � ���� �� � ���� �� �! � � �- � �/ ��*��� � ���� �� � �� � /� -�� � � �� �! � � �/ � �- ��*��� � ���� �� �� � ����� � � �� �! �� � � �)� -� ��� # � �/� 5�� ��� �� # � �5� 4�� 1����
���� � �)�/�� )� � �/� )� ��� ��#� � �/�5�� /� � �)-� /�.����
���� #� � �5�4�� 5� � �-5� 4� �� ���� � ��#� �! ����� ��2� 2� � �/� 2� 2� �� �2� 2� 2�� � ����� � �������
�! �� � � �)� -� /� ��� $ � �/� ���� $� � ��/��4��0�� "� ����
���� � �)� 3� ��� $���� � �/�)� 3� � ��/��)3�����
��$�� � ���/��4��0� � �/��)3� �� $����1����������� � �� �� �������
����� �� � � �� ��� �� ����� �� �&����� ���� �� ������ �� + � �� ��� ���� *��� �� ��� �� � � �� � � � � � � ��*��� � ���� � �+ � +�� ����� � �� ��� �� ��� �� � � ���� �� � �� �������
��� ��� �� ����� � ��� � �� � ��� ��� ������ $� �� ����
��� � �� � �� � ��+ � + �� � �� � �+ � �+ � +� � +�
� ��+ � +�� � ��+ � +�� � ���� � ������� ��$�� � �$��+ � + �$�� � $��+ � � $�+�� � $��+ � +�� � $������� � �� �������
���*� :���� ������� 3�-+ �� � ��� " � ��� �� ������ ���� � *��� � � �� ��)� �-� � � � � �� � � ���� �� ���� �� �)� �-� � � � � �� � ��� ��� ��� �� " � ���� ���� ���� � � ���� ������ ������� � � � � "��� �� ���)� � �)����-� � �-� � � � ������ � ���
����� ��� ���� � ��� � �� ����� �� �� ������+ )! B�*�� �� ������� � � � � " ��� �� ����� � ��� � � )� � � � � �� -! ���� �� � �� ������� /! ���� �� � �� �����
���� �� �� � � � � ����� ��)� � � � � �� �� � ���� �� �� ���� ���� ���� ������� �)� � � � � �� � � ��� ������ � �)�) � �-�- � � � �� ����� "� ��*�� � � � � " �
���� � �)�) � �-�- � � � �� ����
'.1:� 3? �(6718 91::(6;� )F,
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
5. Linear Mappings Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
����� �� �� ��� ����� �� ������� � �� ����&��*����! 6��� ��� � � )� � � � � ��
�� � 2�) � � � �� )�� � � � �� 2��
����� � 2�) � � � �� )�� � � � �� 2�� � ��.����
��� �� *�� � �� �� �� ����� �� ������ ��
���� �� ������ � � �)�) � �-�- � � � �� ���� ��� # � �)�) � �-�- � � � �� ����� ����
�� # � ��) � �)��) � ��- � �-��- � � � �� ��� � �����
���� ��� ��� $ � �� $� � $�)�) � $�-�- � � � �� $����� D� ��*�� ��� �� �� ������� ��
���� � �)�) � �-�- � � � �� ���� ��� ��#� � �)�) � �-�- � � � �� ����
.����
���� #� � ��) � �)��) � ��- � �-��- � � � �� ��� � �����
� ��)�) � �-�- � � � �� ����� � ��)�) � �-�- � � � �� ������ ���� � ��#�
��� ��$�� � $��)�) � �-�- � � � �� ����� � $������� � �� �������
���� *� ������ % � � � " �� ������ ��� %��)� � ��� � � )� � � � � �� ��
� � �)�) � �-�- � � � �� ����
����
%��� � %��)�) � �-�- � � � �� ����� � �)%��)� � �-%��-� � � � �� ��%����� �)�) � �-�- � � � �� ���� � ����
����� %��� � ���� ��� ����� � � � �% � �� ��� � �� ���� ��� �� ������ �� �������
���1� �� � � �- � �- � �� ������ ������� ��� ����� ��)� -� � �-� /� ��� ��2� )� � �)� 5�� <6� � �� ��)� -�� �2� )� �� � ���� �� �-� �� ��� � ������ ��� � ���� � ��� �� ���� � ������� 3�-�? ���� ������� ��� �� �� ��� *�� ���� ���
"�� � ��� �� �� � ������ ������ ��� �� )� -! ��� 2� )! ���� �@����� � ��� ��
��� �� � ��)� -� � ��2� )� � ��� -� � ��� �� � � �� � � -� � �
����� ��� � ��� � �� ���� �� � ��� � � �� � � �� � � �-� � �� ����
���� �� � ���)� -� � ���2� )� � ��-� /� � ��-� � ���)� 5� � ��� �3� � 5��
����� ������ � ������ ������� � � � � " �� ���& �&��� ��� �� �� ���� �� �� ������� ���������) � " � � �� ���� �������
������ �� �� � " � ����� � �� ���& �&��� ��� �� �� ���� ���� ���� ��� ��� �� �� � � ��� ��������� � � ��� ����� � ��� ����� � �� ������� �� ���� ����
���� ��� � ���� � ����� � � � �� ��� ��$�� � $���� � $�
D� ��*�� ��� �� �� ������� ��������
��)��� � �� ��)���� � ��� ��)�� � ��� � �� ��� ��)�$�� � $��
����
��)�� � ��� � �� �� � ��)��� � ��)���� ��� ��)�$�� � $� � $��)������ ��) �� �������
)FF �(6718 91::(6;� <'.1:� 3
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
5. Linear Mappings Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
2,��,+ �� � ��, �� +��,�� �������
���5� �� � � �5 � �/ � �� ������ ������� ��*��� �
���� �� �� �� � �� � � � � � �� � � -� � �� � � � � /� � /������ � ���� ��� �� ��������� ��+ �! �� ����� �� �� �! �� @����� �� ��
�! ���� �� ������ �� �� ��� ���� �� �5+
��)� 2� 2� 2� � �)� )� )�� ��2� 2� )� 2� � �)� -� /���2� )� 2� 2� � ��)� 2� )�� ��2� 2� 2� )� � �)��)��/�
D� :������ ��� 3�5� �� ����� ��� ��� ���� (� �� .���� ���� �� �� ��� ����� ���� ��� ���� �������� ���� ��� ��� ����� � ������� ����+
) ) )
�) 2 )
) - /
) �) �/
�����
�� �
) ) )
2 ) -
2 ) -
2 �- �5
�����
�� �
) ) )
2 ) -
2 2 2
2 2 2
�����
��
��� )� )� )! ��� 2� )� -! ���� � ���� ��� (� �� ����� ����(� �� � -�
�! �� ���� � 2� ����� � � ��� �� �� ��� �� ��� ��
���� �� �� �� � �� � � � � � �� � � -� � �� � � � � /� � /�� � �2� 2� 2��� ������������� �� ���� ���� � ���� � ��� � ���� �� ��������� ���������� ��� �� ����� ��� �������� �� E�� �+
� � � � � � � � 2
� � -� � � � 2
� � � � /� � /� � 2
��
� � � � � � � � 2
� � � � -� � 2
-� � -� � 5� � 2
��� � � � � � � � 2
� � � � -� � 2
��� ���� �������� ��� � ��� �� .���� ����E�� �� � -�
�! �� � � �)� � � 2 � � ��� �� ��� ��� -� )��)� 2!�
��! �� � � 2� � � ) � � ��� �� ��� ��� )� -� 2� )!�
��� -� )��)� 2! ��� )� -� 2� )! ���� � ���� �� E�� ��<1� ����� ��� ����(� �� � ����E�� �� � - � - � 5 � ����5� �� ������ �� ��?
���9� �� % � �/ � �/ � �� ������ ������� ��*��� �
%��� �� �� � �� � -� � �� � � �� � � � � -������ � ���� ��� �� ��������� ��+ �! �� ����� �� %� �! �� @����� �� %�
�! ���� �� ������ �� �� ��� ���� �� �/+
%�)� 2� 2� � �)� 2� )�� %�2� )� 2� � �-� )� )�� %�2� 2� )� � ��)� )��-�D� :������ ��� 3�5� �� ����� ��� ��� ���� (� %� .���� ���� �� �� ��� + ����� ���� ��� ���� �������� ���� ��� ��� ����� � ������� ����+
+ �) 2 )
- ) )
�) ) �-
��
�� �
) 2 )
2 ) �)
2 ) �)
��
�� �
) 2 )
2 ) �)
2 2 2
��
��
��� )� 2� )! ��� 2� )��)! ���� � ���� ��� (� %� ����� ����(� %� � -�
�! �� %��� � 2� ����� � � ��� �� ��� �� ���
%��� �� �� � �� � -� � �� � � �� � � � � -�� � �2� 2� 2�
'.1:� 3? �(6718 91::(6;� )F0
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
5. Linear Mappings Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
�� ������������� �� ���� ���� � ���� � ��� � ���� �� ��������� ���������� ��� �� ����� ��� �������� �� E�� %+
� � -� � � � 2
� � � � 2
� � � � -� � 2
��
� � -� � � � 2
� � � � 2
�� � � � 2
��� � -� � � � 2
� � � � 2
��� ���� ���� ������� �� �� ����� ����E�� %� � )� �� � � )� ��� � � �) ��� � � /� ��� /��)� )!����� � ���� �� E�� %� <1� ����� ��� ����(� %� � ����E�� %� � - � ) � / � ����/� �� �������� %�?
���:� '������� �� �� ��� ������� � � �5 � �/� ����� � �) - / )
) / 3 �-
/ F )/ �/
��
��� ���� � ���� ��� ��
��������� ��+ �! �� ����� �� �� �! �� @����� �� ��
�! ��� ����� ����� �� � �� ���� � (� �� 6�� ����� �) � ������� ����+
�) �) ) /
- / F
/ 3 )/
) �- �/
����
�� �
) ) /
2 ) -
2 - 5
2 �/ �4
����
�� �
) ) /
2 ) -
2 2 2
2 2 2
����
��
��� ��)� )� /�� �2� )� -� �� � ���� �� (� �� ��� ����(� �� � -�
�! .��� E�� � �� �� ��� ��� ����� �� �� ���������� ��� �� �* � 2� ����� * � ��� �� �� ��) � �������� �� �� ��� � �� ����*���� � � ������� ����+
) - / )
2 ) - �/
2 - 5 �4
��
�� �
) - / )
2 ) - �/
2 2 2 2
��
�� ��
� � -� � /� � � � 2
� � -� � /� � 2
��� ���� �������� ��� � ��� �� ��� ����E�� �� � -�
�! �� � � )� � � 2 � �� �� ��� ��� )��-� )� 2!�
��! �� � � 2� � � ) � �� �� ��� ��� �,� /� 2� )!�
��� )��-� )� 2! ��� �,� /� 2� )! ���� � ���� ��� E�� ��
���7� ���� � ������ ��� � � �/ � �5 ����� ����� �� ������� � )� -� 2��5! ��� -� 2��)��/!�
���� � 5 / �� ��� ����� ������ ������ ���� �� �� ����� ��� ���� ���
� �) - -
- 2 2
2 �) �)
�5 �/ �/
����
��
8����� �� � �� ������� � ������ ��� � � �/ � �5 ����� ����� �� ������� � �� ������ �� �� ��� �
�� ��*�� �� ������� ����� ����
���<� ������ � � � � " �� ������ �� � @����� ,� ��� �� � ��� � �� ���� �� �� ##���� $$�� , � ��� # � # � , �� �� �������� �� �� �� ��� � �)��� � �� ,�
"� �� ����� �� �! � �)��� � �� , ��� ��! �� , � � �)����"� *�� ����� �!� ������ �� � � �)���� ���� � ���� � �� ��� ��
� ��� � �� � � ���� � � ��� � � � � � 2
�� �� �� � � � , � ��� �� � �� ��� � �� � �� , � ��� ����� � �)��� � �� , �
)02 �(6718 91::(6;� <'.1:� 3
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
5. Linear Mappings Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
6�� �� ����� ��!� ������ �� � �� , � ���� �� � �� #� ����� # � , � ����� , �� �� @����� �� � � ������ � �#� � 2� 1�����������
� ���� � � ��� #� � � ��� � � �#� � � ��� � 2 � � ��� � �
��� �� � � �)���� ��� �� �� , � � �)����D� � ��������� ����� � �)��� � �� ,�
����� ������ � � � � " ��� % � " � , ��� ������� :����+
�! ���@�% ��� � ���@�%�� �! ���@�% � �� � ���@���� �! ����� ��� � � " � �� ���� ���� %���� �� � %�" �� ��� �� ��� %���� ��� � ��� %�" ��� ����
���@�% � �� � ��� �% � ���� �� � ��� %���� ��� � ��� %�" �� � ���@�%�� �! "� ���� ��� %���� ��� � ��� ��� ��� .����
���@�% ��� � ��� �% � ���� �� � ��� %���� ��� � ��� ��� �� � ���@���
����� :���� ������� 3�/+ �� � � � � " � ������� ����+
�! (� � �� � ������ �� "� �! E�� � �� � ������ �� ��
�! ����� ��2� � 2� �� ���� 2 � (� �� 6�� ������ �� �� � (� � ��� �� � � �� ����� � ��� �� ����� � �� ����� �� �� ���� ���� ��� ��� �� �� � � ��� �� ���� � � ��� ����� � ��� ����
����� ���� � ����� � ������ � �� � ��� � (� �
��� �� ����� �� � �� � ������ �� " �
��! ����� ��2� � 2� �� ���� 2 � E�� �� 6�� ������ ��# � E�� � ��� �� � � �� ����� � ��� # ����� � �� @����� �� �� ���� � 2 ��� ��#� � 2� ���
����� �#� � ����� � ���#� � �2 � �2 � 2 � 2 � 2� ��� �� ��� �# � E�� �
��� �� @����� �� � �� � ������ �� ��
���*� :���� ������� 3�4+ ������ � ��� *�� � ��������� ��� � � � � " �� ������� ����
��� � � ����E�� �� � ����(� �� � ���� ���� � ���@���
������ ����E�� �� � ��� �#)� � � � �# �� � ���� �� E�� �� ��� ������ ����(� �� � � �����)� � � � � �� �� � ���� �� (� �� D� :������ ��� 3�5� (� � ��� *�� � ����������! ����� � � (� �� �������� ��� ��� �)� � � � � �� �� � ��� �� ���)� � �)� � � � ������ � ��� "� ����� �� �� ��
� � �#)� � � � �# � �)� � � � � ���� � ���� �� �� �� ��� �! � ����� �� ��� ��! � �� �������� ���������� � %��� �� ����� �! ��� ��!� ������ � � � � � ����E�� �� � ����(� ��� �! � ����� � � �� � � � � ���� ���� � (� �� ����� �� � ���� (� �� ���� ���� ������� �)� � � � � �� ��� ��
���� � �)�) � � � �� ����� �� �� � �)�) � � � �� ���� � �� ����
����� � ���)�) � � � �� ���� � �� � �)���)� � � � �� ������� � ����� �)�) � � � �� ���� � ���� � 2
��� �� � E�� �� ����� �� #� ���� E�� �� ���� ���� ������� �)� � � � � � � ��� ��
�� � �)#) � � � �� � # � �)�) � � � �� ���� � �
1����������
� � �)�) � � � �� ���� � �)#) � � � �� � #
��� � ����� ��
'.1:� 3? �(6718 91::(6;� )0)
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
5. Linear Mappings Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��! � �� ����� �� ���������� ������
�)#) � � � �� � # � �)�) � � � �� ���� � 2 �)������ ��� � � �� ����
2 � ��2� � ���)#) � � � �� � # � �)�) � � � �� ������ �)��#)� � � � �� � ��# � � �)���)� � � � �� ������� �-�
D ��#�� � 2� ����� #� � E�� �� ��� ��� � � � � �� � ��� �� � -!� �� ���� � ����)�) � � � �� ���� � 2� ����� �� � ��� �������� ���������� � ���� � � 2� �� � ��� �� � )! ������)#) � � � �� � # � 2� ����� �� #� ��� �������� ���������� � ���� �� � 2� ��� � �� ������������������ �
����+�� �� �������+�� +��,�� ���� ��� ���8�� �
���1� B� ������ ��� ��� �� �� ���� �� �� ��������� ������ ���� �� ����������� (� �� � *�� � ���>������ �� � ����� ����� �� 2�
�! � � �- � �- ��*��� � ���� �� � �� � �� � � -��� �! % � �- � �- ��*��� � %��� �� � �-� � 5�� /� � 4��� �! ���� E�� � � �� ��� ���� � 2� ����� � � ��� ���
�� � �� � � -�� � �2� 2� ��� � � � 2
� � -� � 2��
� � � � 2
�� � 2
��� ���� ��� ��� �� � � 2� � � 2� .���� � �� �����������
�! �� %��� �� � �2� 2� � *�� E�� %+
�-� � 5�� /� � 4�� � �2� 2� ��-� � 5� � 2
/� � 4� � 2�� � � -� � 2
��� ��� �� ��� ���>��� ��� ����� ����� � �� � ���� �������� .���� % �� ����������� �� � � ) � � ��� �� ��� ��� � � �-� )�� ����� �� � ���>��� ��� ��� ��� �� %��� � 2�
����� ��� ������ ��� � � �- � �- ��*��� � ���� �� � �� � �� � � -�� �� ���������� � �� �������:����� 3�-5� ���� � ������ ��� ��)�
�� ���� �� � ��� ��� �� �� ��)��� �� � ��� ��� "� ����
�� � �� � � -�� � ��� �� ��� � � � �
� � -� � ���
� � � � �
� � � � �
����� ��� � ��� � �� ���� �� � ��� � � �� � � -� � �� � � � � �� ���
��)��� �� � �-� � �� � � �� �� ��)��� �� � �-� � �� � � �� ��� ������ ��� ��� �� � ����� � ��������� � ��� � � � ��� �� ������ ������!
���5� �� % � �- � �/ � ��*��� � %��� �� � �� � �� � � -�� /� � ��� �! ���� �� % �� ����������� �! ���� � ������ ��� %�)�
�! �� %��� �� � �2� 2� 2� � *�� E�� %� "� ����
�� � �� � � -�� /� � �� � �2� 2� 2� �� � � � � 2� � � -� � 2� /� � � � 2
��� ���� ��� ��� �� � � 2� � � 2� ����� % �� �����������
�! 1� ���� % �� ����������� � �� �� ����� ���� ����� �- ��� �/ ���� �������� ����������� ���������� 3�0 ���� �� ������! 1����������� %�) ���� �� ���� �
)0- �(6718 91::(6;� <'.1:� 3
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
5. Linear Mappings Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
���9� ������ �� � � � � " �� ������ ��� �� � �� �� *�� � ���������� ���� �� � ��� �� ����� �� ����� �� ���� ��������� �� ��� ���� �� � �� ����������� B� ������ ��� ���������� ������ ��������) � �5 � �/�
D� ������� 3�4� ��� � � ����(� �� � ����E�� ��� .���� � ��� (� � ���� �� ���� ��������� �� ������� �� ����E�� �� � 2 �� E�� � � �2� ����� �� ��� ���� �� � �� �����������
����� ����/ �� ���� ��� ����5� �� ���� �� ����(� ) � �� ���� ��� �� ��������� �� �� ������ �5 ��) � 1���������� �� ������ ������� ) � �5 � �/ ��� � �����������
���:� :���� ������� 3�,+ �� � � � � " � � ���������� ������ �������� ���� �� ����� �� ����������� ���������� �� �� �������� ���������� �
������ �)� �-� � � � � �� ��� �������� ���������� ��� ��� �� �� "� ����� �� ���)�����-�� � � � ������ ������� �������� ���������� � ������ �)���)� � �-���-� � � � �� ������� � 2� ����� �� � �� ����� � �� ����������)�) � �-�- � � � �� ����� � 2� .����
�)�) � �-�- � � � �� ���� � E�� �
D � �� ����������� ����� E�� � � �2� .���� �)�) � �-�- � � � �� ���� � 2� ����� �� �� ��� ������������������ � ��� �� �� ��� 2� 1����������� �� ����� ��� �������� ���������� � ��� �� ������ �� �������
���7� :���� ������� 3�0+ ������ � ��� *�� � ��������� ��� ��� � � ��� "� ������ � � � � " ��������� ���� � �� �� ����������� �� ��� ���� �� � �� �����������
(� � �� �� ������������ ��� ���� 2 ���� � 2� ����� � �� ����������� '���������� ������ � ������������� ���� ����E�� �� � 2� D� ������� 3�4� ��� � � ����E�� �� � ����(� ��� ���
��� " � ��� � � ����(� ������� " ��� *�� � ���������� (� � � " � ���� ����� � ���� � �� � "� ��� � �� ���& �&��� ��� �� �� �� ��� � �� �� ������������
��,������� ;��8 +��,�� ���
��*<� B�*�� � � �/ � �- ��� % � �/ � �- � ���� �� �� � �-�� � � �� ��� %��� �� �� � �� � �� ������� ������� ��*���� �� ����+ �! � � %� �! /�� �! -� � 3%�
�! �� � %���� �� �� � ���� �� �� � %��� �� �� � �-�� � � �� � �� � �� �� � �/� � �� -� � �� �! �/����� �� �� � /���� �� �� � /�-�� � � �� � �4�� /� � /�� �! �-� � 3%���� �� �� � -���� �� �� � 3%��� �� �� � -�-�� � � �� � 3�� � �� ��
� �5�� -� � -�� � ��3� � 3�� �3�� � ��� � 3�� �/� � -��
��*�� �� � � �/ � �- ��� % � �- � �- � ��*��� � ���� �� �� � �-�� � � �� ��� %��� �� � ��� ���B����� ������� ��*���� �� ��������+ �! % � �� �! � � %�
�! �% � ����� �� �� � %����� �� ��� � %�-�� � � �� � �� � �� -�� �! ��� ������� � � % �� �� ��*���� ����� �� ����� �� % �� �� ��� ����� �� �� ������ �� ��
��*�� :����+ �! ��� >��� ������� <� ��*��� � <��� � 2 � " ��� ����� � � �� �� �� >��� ������ ��.���� �" �� �! ��� ���� ��� �� � � .���� �" � �� �� ������� ��)��� ����� �� � ��)���
�� � � .���� �" �� ����� ��� ����� � � � +
�� � <���� � ���� � <��� � ���� � 2 � ������������ �� � <���� � ���� ��� ����� � � �� �� ���� � � < � �� ���������� <� � � ��
�� � ��)������ � ���� � ��)����� � ���� � ���� � 2 � <��������� � � ��)�� � <� ��������� ��)�� � � � <� .����� �� � ��)���
'.1:� 3? �(6718 91::(6;� )0/
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
5. Linear Mappings Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��**� ������ �)��-� � � � ��� ��� ������ ���� ���� � �� � " � ���� �� � ��� ��� ������� �)� �-� � � � � ������ ��� ��� � � ��
��)�) � �-�- � � � �� �������� � �)�)��� � �-�-��� � � � �� �������
��� ������� �)�) �� ��*��� � ��)�)���� � �)����� .���� �� ������ ����� ��� � � )� 1����������� ����� ����
��)�) � �-�- � � � �� �������� � ��)�)���� � ��-�- � � � �� ��������� �)�)��� � �-�-��� � � � �� �������
��*1� '������� ������ �������� � � �/ � �-� % � �/ � �-� ( � �/ � �- ��*��� �
���� �� �� � �� � � � �� � � ��� %��� �� �� � �-� � �� � � ��� (��� �� �� � �-�� ������ �� �� %� ( ��� �������� ���������� <�� ������ � �� .����/��-�?�
������� ��� ������� �� �� � � ��
�� � �% � �( � < �)� .��� < �� �� >��� ��������! ��� �) � �)� 2� 2� � �/� �� ���� <��)� � �2� 2� ���
��� � �% � �(���-� � ���)� 2� 2� � �%�2� )� 2� � �(�2� 2� )�� ��)� )� � ��-� )� � ��2� )� � �� � -�� � � � � ��
��� � )!� �� � -�� � � � � �� � �2� 2� ��� ��
� � -� � 2 ��� � � � � � � 2 �-���������� ��� �- � �2� )� 2� � �/� �� ���� <��-� � �2� 2� ���
��� � �% � �(���-� � ���2� )� 2� � �%�2� )� 2� � �(�2� )� 2�� ��)� )� � ��2� )� � ��-� 2� � �� � -�� � � ��
��� � � -� � 2 ��� � � � � 2 �/�H���� -! ��� /!� �� � ���
� � 2� � � 2� � � 2 �5������ )! ������� 5!� �� �������� �� %� ( ��� �������� ���������� �
��*�� �� $ � � ���>��� ������� ���� �� � ������ ��� ) �� ������� �� ��� ���� �� $) �� �������� .���� )�� ������� �� ��� ���� �� �) �� ��������
������ ) �� �������� ���� ) ��� � 2 ��� ���� ��� �� � �� 2� .����
�$) ���� � $) ��� � $2 � 2
��� �� $) �� ��������6�� ������ $) �� �������� ���� �$) ��#� � 2 ��� ���� ��� �� # �� 2� .����
) �$#� � $) �#� � �$) ��#� � 2
D $ �� 2 ��� # �� 2 ������� $# �� 2� ��� ) �� ���� ��������
��*5� ���� �� ��������� ��+
�! .����/��5�� �! .����3��/�� �! .����/�����-�� ! .��� -�/��5��
H�� ��� .�����" �� � ��� ����� ��� � � � ��� ��� " � ��
�! � /�5� � )-� �! ����� ����/��� � 5� � 5�-� � F�
�! � 3�/� � )3� ! ����� ��� -�/ � 4� � 4�5� � -5�
)05 �(6718 91::(6;� <'.1:� 3
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
5. Linear Mappings Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��*9� :���� ������� 3�))� ������ ��� � � � ��� ��� " � �� ���� ��� .���� �" �� � ���
������ ��)� � � � � �� �� � ���� �� � ��� ��)� � � � � �� �� � ���� �� "� D� ������� 3�-� � ������ ��������� .�����" � �� ������ �� ������� � ��� ������ ��������� ������ � �� " � �� ���� ������ � �� �� �� "���*��
�� � .�����" �� � � )� � � � ��� � )� � � � � �
� � �� ������ ������� ��� ����� �� ���� � � � ��� �� ��$� � 2 ��� $ �� �� ��� ��� �� ���� �� �� � � ��� ��� ��� �$� �� � 2� %����� �� ��� ��� ���� ���� �� �� ������ �� ����� �� ������ �� ������ �� �� ���� �� � �� � ���� �� .�����" ��
- ��� ���� ��� ��� ���� .�����" �� '������� �� ��� ���� ��� ��� � � .�����" �� ���������)� � #)����-� � #-� � � � ������ � #�� ����� #$ � " � � �� � ������ ������ ��� �� �� �$�� ����
#$ � �$)�) � �$-�- � � � �� �$���� $ � )� � � � ��� �� � � �)�
'������� �� ������ ������� % � ����)
�� �) �� �� � ����� % �� � ������ ������ ��� �� �� �� � �� ����� ��
��� ������ �� .�����" � �� ������ � �� �� ���� �� � � %�"� ��� ���� � %��$�� $ � )� � � � ��� ����� �� ��$� � 2 ��� $ �� � ��� �$���$� � ���
%��$� �����)
�� �)
�� �� ��$� ��� �)
�$ �$ ��$ � ��� �)
�$ �
� �$)�) � �$-�- � � � �� �$���
���� � )!� %��$� � #$ ��� ���� $� D ���$� � #$ ��� ���� $� 1����������� � ������� 3�-� � � %� �������� ������ �� .�����" ��
- ��� ���� ��� �� ����� �� ���������� ������� ��� ������� �� � ��
����)
�� �)
�� �� � <
��� �$� $ � )� � � � ���
2 � <��$� �����)
�� �)
�� �� ��$� ��� �)
�$ �$ ��$� ��� �)
�$ �
� �$)�) � �$-�- � � � �� �$���
D �� �� ��� �������� ���������� � ������ ��� $ � )� � � � ��� �� ���� �$) � 2� �$- � 2� � � � � �$� � 2� (� � ��������� ��� �� �� � 2� ��� �� ��� �� �������� ���������� �
��*:� :���� ������� 3�)-+ �! % � �� � � �� � % � � � % �� �� ��! �% � %�� �� � % � � � %� � �� ���! $�% � �� � �$%� � � � % � �$��� �! ��� ����� � � ��
�% � �� � � ������ � %��� � � ������ � %����� � � ������ %������ � %�� ����� � �% ������ � �% � � ����� � �% �� � % �� �����
��� % � �� � � �� � % �� � % �� ��
��! ��� ����� � � ��
��% � %�� � ���� � �% � %�������� � %������ � %�������� �% � ����� � �%� ������ � �% � � � %� � �����
��� �% � %�� � � � % � � � %� ���
'.1:� 3? �(6718 91::(6;� )03
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
5. Linear Mappings Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
���! ��� ����� � � ��
�$�% ������� � $�% ������ � $�%������� � �$%������� � �$% � �������� �$�% ������� � $�% ������ � $�%������� � %�$����� � %��$������ � �% � $�����
1����������� $�% ��� � �$%� � � � % � �$��� "� �������>� �� �� �������� ��� ����� � � ����� ������� �� ���� �� ��� ������� �� ���� ����� � ���� ���� �� �� �������!
�+�,=�� �� +��,�� ���
��*7� �� � ��� % � �� ������ ����� ��� �� �- ��*��� � ���� �� � ��� �� ��� %��� �� � �2� ��� ����������� ��*���� �� ��������� ����� ���+ �! � � %� �! -� � /%� �! �%� ! %�� �! �-� � ! %-�
�! �� � %���� �� � ���� �� � %��� �� � ��� �� � �2� �� � ��� -��� �! �-� � /%���� �� � -���� �� � /%��� �� � -��� �� � /�2� �� � �-������ �! ��%���� �� � ��%��� ��� � ��2� �� � ��� 2�� ! �%����� �� � %����� ��� � %��� �� � �2� ��� �! �-��� �� � ������ ��� � ���� �� � ��� ��� 6� � �� �- � ! � �� ���� � � ��������!
� ! %-��� �� � %�%��� ��� � %�2� �� � �2� 2�� 6� � �� %- � <� �� >��� ��������!
��1<� '������� �� ������ ����� �� ) �� �/ ��*��� � ) ��� �� �� � �-�� 5� � �� -� � /� � ��� �! ���� �� ) �� ����� ���� ���� ������� ���+ �! )�)� �! )-� �! )�-�
�! �� , � E�� ) � "� ���� ���� ���� �� ) �� ����������� ����� �� , � �2� �� ) ��� �� �� � �2� 2� 2������� ������
) ��� �� �� � �-�� 5� � �� -� � /� � �� � �2� 2� 2�
��� , �� �� ��� ��� ����� �� �� ���������� ��� ��
-� � 2� 5� � � � 2� -� � /� � � � 2
����� ��� ���� �� ������ ��� ��� 2� 2� 2!� ��� , � �2� .���� ) �� ����������� ��� �� ) ������� ����
�! �� ) ��� �� �� � � � �� �� <��� �� )�)� � �� �� � ��� �� ��?� "� ����
�-�� 5� � �� -� � /� � �� � � � �� �� �� -� � � 5� � � � �� -� � /� � � � �
����� ��� �� �� � �� ���� �� � �� � � �� � � )- � � � - � �� � � , � /� � �� ���
)�)� � �� �� � �)- � - � �� , � /� � �� �� )�)��� �� �� � �)
-�� -� � �� ,� � /� � ��
�! 1���� ) ���� � ��
) -��� �� �� � ) �-�� 5� � �� -� � /� � ��� 5�� 5�-�� � �5� � ��� -�-�� � /�5� � �� � �-� � /� � ���� �5�� 5� � �� )5� � 4� � ��
! 1���� ) ���� � ��
)�-��� �� �� � )�-�)-�� -� � �� ,� � /� � ��
� )5�� -�)
-�� � �-� � ��� ,�)
-�� � /�-� � �� � �,� � /� � ���
� �)5�� �� � �� � )0
-� � 4� � ��
)04 �(6718 91::(6;� <'.1:� 3
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
5. Linear Mappings Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��1�� �� � � �� *�� � ��������� ��� �� ) � � ������ ����� �� �� � ��� ����� ). � ! � ��� ��������� �� . �� �� "� ���� . � ��� ���� �� �� ) �!
�! ���� �� ) �� ����� ���� �! ���� �� . � )�)�
�! ;��� �� ������� ������� �� �� ���� ���� �� ���� �� � �� �� ��*�� � ����������
�! �� ��� � � �� D� ������� 3�)5� ) �� ����� ��� �� ��� ���� �� ) �� �� �� ����� ) �� ����� ��� �� ��� ������ ���@�) � � �� "� ���� � � ���@�! � � ���@�).� � ���@�) � � �� .���� ���@�) � � � ��� ) �� ����� ����
�! ))�) � )�)) � ! � ���� . � !. � �)�)) �. � )�)�).� � )�)! � )�)�
�! �� � � �� ����� �� ����������� �� � ���� �� ���� ���� � �2 � �)� � �-�- � � � �� ����� �� ) ��� . �
�� ����� ��� �� � ��*��� �
) � ����� � 2 � �) � �-� � � � �� �����) ��� .� ����� � �2� � �)�- � � � �� ���
��)
"� ����
�).�� ����� � ) �.� ������ � ) ��2� � �)�- � � � �� �����)� � �2 � �)� � � � �� ���
� � ������� �� ). � ! � �� ���� � � �������� %� �� � ��� ����� �� $ � � ��� $ �� 2� ���
�.) ��$� � .�) �$�� � .�2� � 2 �� $
1����������� .) �� ! �
��1�� �� � ��� % � ������ ����� ��� �� �- ��*��� � ���� �� � �2� �� ��� %��� �� � ��� 2�� ���� �� + �! %� � <� �� >��� �������� �% �� <� �! %- � %�
�! �%����� �� � %����� ��� � %�2� �� � �2� 2�� ����� %� ������� 2 � �2� 2� � ����� ��� �� �� �! �� �-� � �� �� >��� �������� �� ��� %� � <�
%� �� � ��� ����� ��%���� �� � ��%��� �� � ���� 2� � �2� ��� ��� �������� ��%��-� /� � �2� -����� �% �� <� ����� � ���� �� ������ 2 � �2� 2� � ����� ��� �� �� �-�
�! ��� ��� ��� �� �� �! �� �-� �� ���� %-��� �� � %�%��� ��� � %��� 2� � ��� 2� � %��� ��� .���� %- � %�
��1*� ���� �� ��������� ��+ �! ���5�� �! ���-����� �! �� -�/!�
H�� ��� ��� �� � �- ����� ��� � � �� .����+ �! ��� ���5�� � 5- � )4� �! ��� ����-���� � /- � 0� �! ��� �� -�/�� � 4- � /4�
��11� �� / � � ������ ����� �� �� � ��� ����� /- � /� ��� �� ����� �� �� ������ � � � �������! �� "� �� ����� �� /� ��� �� , � �� @������ :����+
�! (� � � "� ��� /��� � �� ����� / �� �� ���� � � ������� �� "�
�! (� / �� ! � ��� / �� �������� ����� /��� � 2 ��� ���� � �� 2�
�! � � " � ,�
�! (� � � "� �� ����� �� /� ��� /��� � � ��� ���� � � �� .����� ���� /- � /� �� ����
� � /��� � /-��� � /�/���� � /��� �! (� / �� ! � ��� ��� ���� � � �� /��� � �� ����� � �� �� D� �!� /��� � �� ���
/��� �� � /��� � /��� � � � � � 2� ����� �� � �� 2
�! "� *�� ���� �� � � " � ,� �� � � �� �� � � /��� ��� # � � � /���� ����
� � /��� � �� /��� � � � #
D� ��I�� ���� � � /��� � "� �� ����� �� /� "� ��� ���� �� # � ,� �� @����� �� /�
/�#� � /��� /���� � /��� � /-��� � /��� � /��� � 2
��� �� # � ,� .���� � � " � ,�"� ��� ���� �� " � , � �2� �� � � " � ,� ����� � � "� /��� � � � ��� �!� ����� � � ,�
/��� � 2� ��� � � /��� � 2 ��� �� " � , � �2���� ���� �� ������ ��� ����� �� � � " � ,�
'.1:� 3? �(6718 91::(6;� )0,
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
5. Linear Mappings Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
�4��3�������( ��">3��!
�������
��1�� B� ������ �� ���� �� �������� �������� ���� ��� � �� � J)� -� /�
��15� �� � � � � � ��� � � � � � ��*��� � � ��� � �- � /� � ) ��� ��� � -� � /� ���� ������� ��*���� �� ������� ��� ��������+ �! � � � �! � � � �! � � ! � � ��
��19� ��� ���� �������� � � � � � *�� � ������ ��� � � �������+ �! � ��� � /� � ,� �! � ��� � �/ � -�
��1:� ��� ��� ������� � � � � �� ���� �� ��� � � � � � � ���
+��,�� �������
��17� ���� �� �� ��������� �������� ��� ������+
�! � � �/ � �- ��*��� � ���� �� �� � �� � -� � /�� 5� � 3� � 4��� �! � � �- � �- ��*��� � ���� �� � ��� � ��� �� � ��� ����� �� �� �� ����� � ��
���<� ���� �� �� ��������� �������� ��� �� ������+
�! � � �- � �- ��*��� � ���� �� � ��-� �-�� �! � � �/ � �- ��*��� � ���� �� �� � �� � )� � � ��� �! � � �- � �- ��*��� � ���� �� � ���� ��� ! � � �/ � �- ��*��� � ���� �� �� � ����� � � ���
����� ���� ���� ��� ����� �� ������ ��� � � �- � �- �� ��*��� � ��)� -� � �/��)� ��� ��2� )� � �-� )��
����� ���� � - - �� ��� � �� ����+
�! �)� /�) ��� �)� 5�) �� � ��-� 3�) ��� �/��)�)� ������ ������
�! �-��5�) ��� ��)� -�) �� � �)� )�) ��� �)� /�)� ������ ������
���*� ���� � - - ������� �� ��� � �� ���� �)� )�) �� � �)� /�) �
���1� �� � � �� ��� �� ����� �� ���� �&����� �� ������ ��� �� + � � *��� ���>��� �� ��� �� �� ���� �� ��*�� �� �� �� ��������� �������� ) � � � � ��� ������� �� ���� �� �� + �! ) ��� � +�� �! ) ��� � �+ � +�� �! ) ��� � + � ��
����� ;��� �� ������� �� � ��������� ��� � � �- � �- ��� �� ��)�2� � �2 � �� �� ���& �&����
���5� �� � � �- � �- � ��*��� � ���� �� � �/� � 3�� -� � /��� ��� �� & � �� �� ������ �� �-� & ������ � ����� ���� � �� ������� �- � �- � )�! ����+ �! �� ����� ��&�� �! �� �������� ��)�&��
���9� '������� �� ������ ��� % � �/ � �/ ��*��� � %��� �� �� � �� � � � �� � � -�� � � /�� ��� �� �� ������ &- �� �/� ����� ������ � �� �� ���� � �� ������� �- � �- � �- � )� ����+ �! %�&&�� �! %�)�&-��
���:� �� ( � �� ����� � � -� � /� � 5 �� �/ ��� �� % � �� ������ ��� �� :����� 3�3,� ����+ �! %�(�� �! %�)�(��
���7� �� , � � ������ �� �� ��� ��������� ���� ���� �� � � � , �� �� �� ��*��� � ��#� � # ��� ����� # � ,����� �� �� �������� ��� �� �������
��5<� ������ � � � � " �� ������� ���� �� ����� � ������
)0F �(6718 91::(6;� <'.1:� 3
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
5. Linear Mappings Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
2,��,+ �� � ��, �� +��,�� �������
��5�� ��� ���� ������ ��� � *�� � ���� ��� �� ��������� �� �� @����� ��� �� ����� �� �+
�! � � �/ � �/ ��*��� � ���� �� �� � �� � -� � /�� -� � 3� � 5�� � � 5� � ��� �! � � �5 � �/ ��*��� � ���� �� �� �� � �� � -� � /� � -�� -� � 5� � ,� � 3�� � � -� � 4� � 3���
��5�� ��� ���� ������ ��� %� *�� � ���� ��� �� ��������� �� �� @����� ��� �� ����� �� %+
�! % � �/ � �- ��*��� � %��� �� �� � �� � � � �� -� � -� � -��� �! % � �/ � �- ��*��� � %��� �� �� � �� � �� � � ��� �! % � �3 � �/ ��*��� �
%��� �� �� �� �� � �� � -� � -� � � � �� � � -� � /� � -� � �� /� � 4� � F� � 3� � ���
��5*� 7��� �� �� ��������� �� ����� �� ������� � ������ ��� ���� �5 �� � �/+
�! � �) - 2 )
- �) - �)
) �/ - �-
��
��� �! � �
) 2 - �)
- / �) )
�- 2 �3 /
��
���
���� � ���� �� ���� �� �� ��������� �� �� @����� ��� �� ����� �� ���� ������ ����
��51� ���� � ������ ������� � � �/ � �/ ����� ����� �� ������� � )� -� /! ��� 5� 3� 4!�
��5�� ���� � ������ ������� % � �5 � �/ ����� @����� �� ������� � )� -� /� 5! ��� 2� )� )� )!�
��55� �� � � �)2���� �� ��� �� ����� �� ����������� �� ������ �)2� '������� �� ������ ��� 5 � � � �� �����5 ���� �� �� ��� � ������ ��� �� 5��5� ���� � ���� ��� �� ��������� ��+ �! �� ����� �� 5� �! �� @����� �� 5�
��59� ������ � � � � " �� ������� ���� �� + �! �� ����� �� ��� ������ �� � �� � ������ �� " � �! �� �������� �� ��� ������ �� " �� � ������ �� ��
��5:� ���� �� �� � � � � " �� �� �� ��� ��� " � ��� �� B� ������ ��� ������ ���� � � �/ � �5 �� ��� �� ��
��57� '������� �� >��� ������� < � � � " ��*��� � <��� � 2� � � � �� ���� �� @����� ��� �� ����� �� <�
��,������� ;��8 +��,�� �������
��9<� �� � � �/ � �- ��� % � �/ � �- � ��*��� � ���� �� �� � ��� � � �� ��� %��� �� �� � �-�� � � ��� ����������� ��*���� �� �������� � � % ��� /� � -%�
��9�� �� ( � �- � �- � ��*��� � (��� �� � ��� -��� H���� �� ���� � ��� % �� :����� 3�,2� *�� ���������*���� �� ��������+ �! ( � � ��� ( �%� �! � � ( ��� % � (� �! ( � �� � %� ��� ( �� � ( � %�
��9�� ���� �� �� ��������� �������� �� %� ( ��� �������� ���������� +
�! ��%�( � .����-��-� ��*��� � ���� �� � ��� -��� %��� �� � ��� � � ��� (��� �� � �2� ��� �! ��%�( � .����/��� ��*��� � ���� �� �� � � � � � �� %��� �� �� � � � �� (��� �� �� � � � ��
��9*� ��� ��% � .�����" �� ���� �� ���@�� � %� � ���@��� � ���@�%�� .��� � ��� *�� � ����������!
��91� �� � � � � " ��� % � " � � � ������� ���� �� �� � ��� % ��� ����������� ��� % �� �� �����������;��� �� ������� ����� % �� �� ���������� % �� �� �
'.1:� 3? �(6718 91::(6;� )00
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
5. Linear Mappings Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��9�� ���� �� ��������� ��+ �! .����-��F�� �! .����5�����/�� �! .��� -�5��-�����
��95� B� ������ ��� ��� �� �� ���� �� �� ��������� ������ ���� �� ����������� (� �� � *�� � ���>��� ��� �� ������ ����� �� 2� � ������� *�� � ������ ��� �� ������� ���+
�! � � �/ � �/ ��*��� � ���� �� �� � �� � � � �� -� � /� � 3�� � � /� � ,��� �! % � �/ � �-��� ��*��� � %��� �� �� � �� � ���- � �� � -� � -��� � � � ��
�! ( � �- � �-��� ��*��� � (��� �� � �� � -���- � �� � ��� � � � ��
��99� "��� ��� ��� .�����" �� � ��� �K
�+�,=�� �� +��,�� ��,������
��9:� �� � ��� % � �� ������ ����� ��� �� �- ��*��� � ���� �� � �� � �� 2� ��� %��� �� � ���� ��� ����������� ��*���� �� ������ ����� ���+ �! � � %� �! 3� � /%� �! �%� ! %�� �! �-� � ! %-�
��97� ���� �� ���� ������ ����� �� ) �� �- �� ���������� ��� *�� � ������ ��� )�) � �����+ �! ) ��� �� � �� � -�� -� � /��� �! ) ��� �� � �-� � /�� /� � 5���
��:<� ���� �� ���� �� �� ��������� ������ ����� ��� ) �� �/ �� ���������� ��� *�� � ������ ��� )�)� �����+ �! ) ��� �� �� � �� � /� � -�� � � 5�� ��� �! ) ��� �� �� � �� � �� � � �� ���
��:�� ���� �� ��������� �� ��� �� �����+ �! � � �,� �! � � �3���� �! � � /�5�
��:�� "���� �� �� ��������� �� ����� ��� � �� ��������� �� �� ������ ��� � �� ������ ����+3� 0� )-� -3� -F� /4� 53� 45� FF� )22K
��:*� �� ) � �� ������ ����� �� �� �- ��*��� � ) ��� �� � �� � -�� /� � 5��� ���� � ������ ��� � �) �� �����+ �!� ��� � �- � -� � /� �! � ��� � �- � 3� � -�
���,++��,�� ���=+, �
��:1� ������ � � � � " �� ������ ��� $ �� � ���>��� ������� :���� �� �� ���� � ��� $� ���� �� ���� @�������� �� ���� ������
��:�� ������ � ��� % ��� ������ ����� ��� �� � ��� �� � �� ����������� 1���� �� � ��� *�� � �������������� �� ���@��%� � ���@�%�� � ���@�%��
��:5� �� � � � � " � ������ ��� �� , � � ������ �� � � ��� ��� ������ �� � � , �� �� ��� ��, � , � "
��*��� � ��, ��� � ���� ��� ����� � �� , � :���� �� ���������+ �! ��, �� ������� �! E�����, � � �E�� �� � , � �! (����, � � ��, ��
��:9� ������ � ��� *�� � ���������� ������ ) �� � ������ ����� �� �� � ��� �� ���@�)-� � ���@�) �� ���� �� E�� ) � (� ) � �2�
��::� ������ � � " � , � �� /) ��� /- � �� ������ ����� ��� �� � ��*��� � /)��� � �� /-��� � #� ������ � � � #� � � " � # � ,� ���� �� + �! /-
) � /) ��� /-- � /-� ����� �� /) ��� /- ��� ������ �����
�! /) � /- � ! � �� ���� � � �������� �! /)/- � < ��� /-/) � <�
��:7� �� /) ��� /- � ������ ����� ��� �� � �� ������� ��� � �!� �!� �! �� :����� 3�FF� :����+
� � (� /) � (� /-�
-22 �(6718 91::(6;� <'.1:� 3
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
5. Linear Mappings Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��7<� �� � ��� # � ������ � �� � ���� ��� �� ����� �� ��� ���� ������ 0 ���� � � �� # �� ��*��� � � �� �� ����� ��� �� �# ��� 2 � � � )� ��� ���� 3�4�!
�! ���� �� �� ���� ������ 0 � ���� ��� ��� � ��� � ������ � �� �� ���� �+ �! �) � ���� �� ��� 2 � � � )� ��! �)�� �-� ��� �) � �- � )� �) � 2� �- � 2�
�! �� � � � � " � ������� ���� �� �� ����� ��0� �� � ���� ������ 0 �� � �� � ���� ������ �� " �
��7�� 1 ��� * �� � ��� �� ����� � �� ���� � � ������ �� �� ���� ������ 0 � ���� ��� �� ���� � ��� ���!-�1 � * �� ��� ����� �� * � �! ���� �� �� �� ����� ��� �� ������ �� � �� ������� �! ������ � � � � " �������� ��� * �� ������� ���� �� ��* � �� �������
��!?��! �" �4��3�������( ��">3��!
��1�� 6���
��15� �! � � � ���� � 5�- � 4� � )� �! � � � ���� � -�- � 4� � )� �! � � ���� � 5� � 0�
! � � � � ���� � �5 � 4�/ � )5�- � )3� � 3
��19� �! � �)��� � )/�� � ,�� �! � �)��� � �����������
� � -/�
��17� ���� �� �� � ���� �� ��) � �����+ �! � � ) - �/
5 �3 4
� �� �! � � � �
�
� �
���<� �! � � �-� -�� $ � /� ��� ��$�� � �/4� /4� $���� � �)-� )-�� �! ��2� �� 2� �! � � �)� -�� � � �/� 5�� ��� ��� � �� � �-5� 4� ���� � ���� � �)5� 4�� ! � � �)� -� /�� $ � �-� ��� ��$�� � �-��)2� $���� � ��-��)2��
����� ���� �� � ��� � -�� �/� � ��
����� �! � � �), 3
-/ �4
� �� �! 6���� -��5! ��� �)� -! ��� �������� �������� �� )� )! ��� )� /!�
���*� � � ) 2
/ 2
� �<(���+ ���� �2� )�) �� � �2� 2�) �?
����� ���� �� � ��-� �-�
���5� �! )/�- � 5-�� � /5�- � )� �! )/�- � 5-�� � -5�- � )
���9� �! �- � F�� � -4�- � 4�� � /F�� � )5�- � )� �! �- � -�� � /�- � -�� � F�� � )5�- � )
�� � �%5
'.1:� 3? �(6718 91::(6;� -2)
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
5. Linear Mappings Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
���:� �! � � � � -� � 5� �! � � )-� � 5
��5�� �! ����E�� �� � )� ��,��-� )�� ����(� �� � -� ��)� -� )�� �2� )� -� �! ����E�� �� � -� ���-� )� 2� 2�� �)� 2��)� )�� ����(� �� � -� ��)� -� )�� �2� )� /�
��5�� �! ����E�� %� � -� ��)� 2��)�� �)��)� 2�� ����(� %� � )� ��)� -� �! ����E�� %� � )� ��)��)� )�� (� % � �-� ��)� 2�� �2� )� �! ����E�� %� � /� ���-� )� 2� 2� 2�� �)� 2��)� )� 2�� ��3� 2� -� 2� )�� ����(� %� � -�
��)� )� /�� �2� )� -�
��5*� �! ����E�� �� � -� ��5��-��3� 2�� �)��/� 2� 3�� ����(� �� � -� ��)� -� )�� �2� )� )� �! ����E�� �� � )� ���)� -
/� )� )�� (� � � �/
��51� ���� �� �� � �� � 5�� -� � 3�� /� � 4��
��5�� ���� �� �� �� � �� � � � �� -� � � � �� 2�
��55� �! �)� �� �-� � � � � �4� �! �)� �� �-� �/
��5:� 6���� ����� ��� �5 � ����/�
��57� E�� < � � � (� < � �2
��9<� �� � %���� �� �� � �� � -�� -� � � � ��� �/� � -%���� �� �� � �/� � 5�� � � -� � /��
��9�� �! �( � ����� �� �� � �� � �� -��� �( �%���� �� �� � �� � �� 5��� �! �� ��*����
�! �( � �� � %����� �� �� � �( �� � ( � %���� �� �� � �-� � � � �� -� � 5��
��91� ���� �� � ��� �� ���%��� �� �� � ��� ��
��9�� �! )4� �! )3� �! -5
��95� �! � � �-��/� )�� �! %�)���- � �� � �� � �� � -�� � � � � -�� �� � � � ��� �! ( �� ����������� �� ����� ���� ����� ����-��� � ����-�
��99� ��� " � )� �� ��� " � ��
��9:� �! �� � %���� �� � ��� ��� �! �3� � /%���� �� � �3� � F�� �/��� �! ��%���� �� � �� � �� 2�� ! �%����� �� � �2� � � ��� �! �-��� �� � �� � �� 2� �� � �� �- � �!� � ! %-��� �� � ���� ����<6� � �� %- � ! � 2� ����� % �� � >��� �� � ��� � �- � )?
��97� �! )�)��� �� � ��/� � -�� -� � ��� �! )�)��� �� � ��5� � /�� �/� � -��
��:<� �! )�)��� �� �� � �� � /� � )5�� � � 5�� ��� �! )�)��� �� �� � �� � �� �� � � � � ��
��:�� �! 50� �! /4� �! )55
��:�� ������+ 0� -3� /4� 45� )22
��:*� �! ) ��� �� � �4� � )5�� -)� � -,��� �! ) ��� �� � �2� 2�� ����� � �) � � 2
-2- �(6718 91::(6;� <'.1:� 3
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
6. Linear Mappings and Matrices
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
������� �
�� � � ����� �� � �����
��� ����������
�������� ��� � � ���� ��� � � � � ��� � ������ ���� � ���� ���� �� ��� �� ������ � � � � �������
� � ���� � ���� � � � �� ����
���� ��� ��������� ������ � � ������� �� ��� ��� �� ����� �� ����� �� � ������ ������ ���������������� ����� �� ��������� �� ������� �� ������ �
���� � ���� ��� � � � � ����
����� � ������ !���� ��� ��� �����" � ����� � ���������� � ��� ��� �� �� � ����������� ������ ��� ���
���� ������ ����� ��� ����� �� ��� � ������������ ���������� � ��� ��� �� ������ ��� �"���� � � ����� �������� �� � �� ��� �"�� � �#�$��� ������� ���� �� ���� ����� ����� �����"�� � ���� ���������� �� � �#�$��� ����% ��� ���������� � ��� ��� �� &� ���� ��� ���� ������ ����% ������������� ���"�� ���� �� ������ ������ ����
��� ����� �������������� �� � ������ ��������
'�� � � ����� ������� ����� �������� ��� ������ ���� � ���� ����� � �� �������� � ���� ��� � � � � ��� �� ��� � � � (�� � ���� � ���� � � � � � ��� �� ������� �� � � �� �� ��� �� ����� ��������� � ��� ������� �� ��� ��� �) ���
� ��� � ����� � ����� � � � �� ������ ��� � ����� � ����� � � � �� ������������������������������������������������������������ ��� � ����� � ����� � � � �� �����
��� �������" ��������� �������
��������� ��� �������� � ��� ��� ����% � ��� �������� ������� � ��� � �� �� ��� �� ����� ������ �� �� ���������� � � ������� �� ��� ��� �� �� ������ ��� ����% � � �� ��� ��� ������ �������� � �� � ������� � ��� ��� � �� ������������
�*+
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
6. Linear Mappings and Matrices
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
,���" ��� ��������� �������� ������ �������� ��� ����% ������������� � � �� � ������� �� ��� ���
��� � � �� �� � �� ������ �� ������ � � � � �� ������ �
��� ��� ��� ������� � �� � �� ��� ��������� ������� � � ���� � ���� � � � � � ���� �������������������� � '�� ��� �� � ��� ����� ������� ������ � �� �� � ��� +�� !�� -������ ���� ��� ����% ������������� � ������� �� ��� ��� � � ���� ��� � ��� ��� �� -���
��� ����� ��� ���� �� ���� ����� �� � ����� ��������� � ��� ��� ������� �� �� ��� ���� �������������������� �� ��� ������ ��������� &� ���
��� � �
�
� �� �� .
�/� �
� ��
�
� �� �
�
-
� ���
�� �� � .
��� -� � �/ ���� ��� ������ �� ���� � � -�� � � ���� 0���� ��� � -��� � �����
��� (�%� ��� ���� �� ���� ����� �� � ����� ��������� � �� �� ��1
��� � �
-
� �� �� �2
��3� �
� ��
�
� �� �
�
-
� ���
�� �� � �2
��� -� � ��3 ���� ��� ������ �� "�� � � ��2� � � �--� ���� ��� � ��2�� � --���
(�� ����� ��� ���������� � ��� �� ��� � ������� �� ���� ��� ����%
��� � -� ��2
��� �--� �
��� ���� ��� ����% ������������� � ������� �� ��� ������ ��� � � ���� ��� � ��� *�� *� �������� ��� �� ����� �� � ����� ��������� � ��� ���� ��� ������� �� �� ��� �� ���� ��� ��� ��
����� �� � ����� ��������� � �� �� ��� &� ���
��� � �� *� � �� �� � ��� � !����� � *� �� � +��-� � +�� � -��
�� �� ��� � � +
! �-� �
(��� ��� ��� ���������� � ��� �� ��� ��� ��� �������� ��� ��� ����� � ���� 4���� ���� ��� ������������ �� ���� ������� ����" ��� ���� ��� � ���
������� �� '�� � � ��� ������ ���� � �������� ���� ��� � � ���� �� ��� �� �+��� �� ��� �� � � ��� �� �������
������� ������ � � ��� � � � � ������� &� ������� ��� ����% �����������" �� ��� ��� �1
��� �� � ��� � � *��� �� � ���� �� � *�+����� �� � � ��� � � ����� �� � *��� �� � *�+��
�+�� � +�+� � *��� �� � *��� �� � +�+��
�� �� �� �* �� *
� * *
* * +
�
�
��
5(��� ��� ��� ���������� � ��� ��� ��� ��� �+�� ��� ��� �������� ��� ��� ����� � ���6
����� ����� ! ��" �#��� ����� �����!��������
�������� ��� �������" ����% �� ����� �� � ������ � ����� ������� �� ��� �� ��� � � ��1
� � + ��! �-
� ��� � � ���� ��� � �
�
� ��
�
-
� � �
�*! '7(84� 94::7(; 4(< 94��7�8 5�04:� /
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
6. Linear Mappings and Matrices
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
�&� ����� ������� � �������� ����� ��� �� �� ����%�� &� ��� ��� ����% ������������� � � ������� ����� ��� ��
��� ����� �� ����� ���� � ����� ��������� � �� �� ��� &� ���
���� � + ��! �-
� ��
�
� �� ��
�/� �
� ��
�
� �� �
�
-
� ��� ��
�� �� � ����� -� � �/
�����" ��� ������ ������ � � 3� � � �!� ���� ���� � 3�� � !���
��� (�%� �� ����� ���� � ����� ��������� � �� �� ��� &� ���
���� � + ��! �-
� ��
-
� �� �!
�3� �
� ��
�
� �� �
�
-
� ��� ��
�� �� � �!��� -� � �3
�����" ��� ������ ������ � � �/� � � �� ���� ���� � �/�� � ��� &�����" ��� ���������� � ������ ���� � ������� "���� �� ��� �������" ����% ������������� � �1
���� � 3 �/�! �
� �
��$��%� ������ �� ��� �� ��� ��� ����% ������������� � � ������� �� ��� ���� ���� � ���� ��� � ���� *�� � �*� ��� � � ��� &� ���
���� � + ��! �-
� ��
*
� �� +
!
� �� +�� � !��
���� � + ��! �-
� �*
�
� �� ��
�-� �
� ���� � -��
�� �� ���� � + ��! �-
� �
(��� ��� ���� �� ��� ���"��� ����% �� ���� ������ �� ���� �� "�����1
��� ����% ������������� � �� � � �$��� ����% � ���� ���� � ������� �� ���
���� ��� � � �� �� ��� ����% � ����� ) ��� ���
���� � �
�& ����#$ '�� ���"�� ����� �����!��������!
(�%� ������ � �"������ �� �����" ����% ��������������� ��� ���� ��� * �� �������� 7� �� ���� �� �� ��� �� �� ��� ����� ����� �� ������� �� ��� ��� �������
�& ����#$ ���� ��� ����� �� ����� ������� � �� ������ ���� � �� ��� � � ���� ��� � � � � ��� � � � ��� ������ �� ��� ����% ������������� �� �� �
���� (� ���� ����� �� ��� ���������� � � ������ ������ � ������� �� ��� ��� ��
���� �� ����� �� ��� ��� ������ �� �� �1
��� ���� � ������� &���� � ��� � ����� ��������� � ��� ��� ������� ��� ��� � � � � ���
���� �� ���� ��� ����% �� �� ����� ������� �� ��� ��������� ������� �� ��� �����
�04:� /6 '7(84� 94::7(; 4(< 94��7�8 �*-
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
6. Linear Mappings and Matrices
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
������� �� '�� ��� �� � ������ � �� �� � ��� +�� !�� -��� ���� ��� ����% ������������� ��� �
������� �� ��� ��� � � ���� ��� � ������� ���-���� ��� *� ����� ��� ��� ���������� � �� �� � �� ������� �� ��� ��� �� &� ���
�
�
� �� �
�
��� �
� ��
�-� �
���� �� � �
���� -� � ���
�� �� � �
�� � ��� �
�����" �� � �� � �� ����� � � �� � ������ � � -�� ��� � � ���� �� ����
�� �� � -�� ����� � ���� ����� ��� �� (�� �� ��� ��� �� ����� �� � ����� ��������� � �� �� �� ����" ��� ��� ����� �� �� ��� ��
���� �� ����� ��� ������� �� ���� &� ���
��� � ����� � �!� �!� � .�� � /����� � ���-� � ���� ++� � ���� � ����
� ��� �� ������� �� ����� ��� ���������� � ��� �� ��� � ������� �� ���� ��� ��$����� ����%
��� � . ��
�/ ���� �
���������! �' ����� �����!��������!
���� ��������� "���� ��� ��� ���������� � ��� ����% �������������� � ����� �������� � �� ������ ���� � � &� ������=� ��� �� �� ���� "���� �������� ��� � � � �
>�� ���� �������� ������ �� :����� /�2� ����� �� ��� ��� ??�����@@ � ����� ������� � �� ������ ��� ��������� � ��� ����% ��������������
�#����$ ���� '�� � �� � � ����� �������� �� ��� � � ������� ��� � � � ����� �� �� ������ ��� � � �� �� ���� � �� ���� �
������� � �������� ��� ����� ������� �� �� �� ��� ��� � � 8%���� /�+� ��� ���
�� �� � ��� +�� !�� -�� �� � � ���� ��� � ������� ���-��'��
� � -��3�� �� �� �� � ���� --�,���" ��� ����� ��� 8%���� /�+� �� "��
��� � �����+�� �� ���� � �--��++��
&� ���� � ������� /�� �� ���� ������ � ������ �� �� ������ ��� 8%���� /�+�1
����� � . ��
�/ ���� �
��
�+� �
� --
�++� �
� ����
;���� ��� � � ������ ���� � � �� ��� �������� ����% �� � �� ��� ����� ������� � �� ����"�� �� � � ����� �������� �� � � ������� /�� ����� �� ��� ��� ??�����@@ � � ��������� ������������ � �� ��������� � ���� �������������� ��� ��%� ��� �������� ������� �� :������ /��* �� /�������� �� ��� ��� ����� ��� ��������� �� �� � ���� ����� ��������� ����� ��� �������� ���� ������������������ �� ����� ������������ �� ��� ����������
�#����$ ���� '�� � � � �#���������� ������ ���� ���� �� ��� � � ��� � � � �� ��� � ����"�� � � � ������� ���� �� ���� ��� �����"1
���� � �� ���� � �� � � �� ���� ������ ���� ������������ ��� ��� �� �� �� � �� � �� �� � � ��
��� � � �� � �� � ��� �� � � �� � �� � ������� ��� � ��� �� ��� � �������� � �� �A������ ����#��#��� �� ������
�*/ '7(84� 94::7(; 4(< 94��7�8 5�04:� /
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
6. Linear Mappings and Matrices
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
�#����$ ��)� ��� �� ����� �������� �� � �� ���� � � � ����� �� �� � � � �����
�0��� � � ������� ��� ����������� � ��� ��� � �� ��
��) �*��+� �� ,����
'�� � � � �#���������� ������ ���� ���� ���� �� &� ��� ����� ���� ���� �� ��� �������� ��� � � � � ����� ������ � � � �� � ����������� � ���� � � �#����� ���� �� ��� �� ����� ������������ � �� �� � �� � ����������� � � � � ����% ���� �� &� �B ��� �������" ����� $�������1
0�� �� ��� �������������� ���"� � �� ������ ������ ���C
7� ����� �� ����� ���� $�������� �� ���� ���� ����������
��������� '�� � � ���� ��� � � � � ��� � ��� � ������ ���� �� �� ��� �� � ���� ��� � � � � ��� ������� ���� ���� �� ������� �� ���� ��� � ��� ??���@@ ��� �� �� ��� ??���@@ ����� ���� ��� ���� ��� ������ �� ��� ??���@@ ��� �� �� � ������� ���$���� � ����� ���������� ��� ������� �� �) ���
�� � ����� � ����� � � � �� ������� � ����� � ����� � � � �� �������������������������������������������������������� � ����� � ����� � � � �� �����
'�� � � ��� �������� � ��� ��� ����% � ��� �������) ��� ��� ��� � � ������ �������� � ���� ���� � �� ����� ��� ���� �!��!����� ��� �� ��� � �������� ��� ��� ��� ��� ??���@@��� � �� ��� ??���@@ ��� ���
��� �������" ����B� �� �� ������
��$��% �� ��� ��� ���"�#� #��� ����% � �� ��� � ������ � ��� ����% ����� ���������� ������������� ��� ��������� ������ ������� � ��� ??���@@ ��� ������� �� ������� �� ��� ??���@@ ��� �)������
� � ������ ������ � � � � ������ �
��$��% �� 4���"������ ����� �� ���"�#� #��� ����% " ��� ��� ??���@@ ��� �� �� ��� ??���@@��� �� �������� " �� � ������ � ��� ����% ����� ������� ��� ������������� ��� ��������� ������������� � ��� ??���@@ ��� ������� �� ������� �� ��� ??���@@ ��� ��) ������
" � ����� �� ������ � � � � � ����� �� �
��$��% )� ���� ��� ������� ��� ��� � � � � �� �� ��� ��� ��� �� �� ������� ������������ ��� ����% ��� ��������� �:����� /��.�� �������� " �� ���������� 7� ��� �� ��� ��� �������" ����������� ������� ��:����� /��.��
�����!����� ��-� '�� � �� " � ��� ��� ���"�#� #��� �������� ���� " � ����
(�� ������� � � ���� ��� � � � � ��� �� ��� � ������ ���� � � �� ������� � � ����� �� ��������"��� ����%� ���� ��� � �������
�� � ����� � ����� � � � �� ������ � � �� �� � � � � �
������������" �� ��� ������� � �� �� ������� ����������� 5:����� /������6� ���� ���� ��� ��������� �� � � � 9�������� � ���� � ��� ���"�#� #��� ����% ��� � �� ��� ��� ��� ���
�04:� /6 '7(84� 94::7(; 4(< 94��7�8 �*3
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
6. Linear Mappings and Matrices
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
������� �� �������� ��� �������" ��� ��� � ��1
� � ���� ��� � ��� ��� +� -�� �� �� � ���� ��� � ������� ������
��� ���� ��� ���"�#� #��� ����% � ��� � �� ��� ??���@@ ��� ���&���� ��� � ��� ��� ��� ������� � �� � ����� ��������� � ��� ���"��� ��� ������� �� �� �� � ��
&� ���
�
��� �
� ��
�
� �� �
+
-
� ���
�� +� � �
��� -� � �� �������" � � �.� � � +
�
��� �
� ��
�
� �� �
+
-
� ���
�� +� � �
��� -� � �� �������" � � ���� � � !
����
�� � �.�� � +��
�� � ����� � !���� ����� � � �. ���
+ !
� ��
(��� ��� ��� ���������� � �� �� �� �� ��� �������� ��� ����� � ��� ���"�#� #��� ����% ��
��� ���� ��� ���"�#� #��� ����% " ��� ��� ??���@@ ��� �� �B �� ��� ??���@@ ��� ��0��� �� ����� ��� � ��� ??���@@ ��� ������� �� �� �� � �
� � ����� ��������� � ��� ??���@@ ���������� �� �� �� � �
�� ���� ������
�� � !�� � +���� � ���� � .��
�� ����� " � ! ��
�+ �.� �
4� �%������ ��� :���������� /�!� " � ���� �7� ��� �� ����� ��� ������ " � ������ �����" �����
������� �� �������� ��� �������" ��� ��� � �+1
� � ���� ��� �+� � ��� *� *�� *� �� *�� *� *� ����� � � ���� ��� �+� � ��� *� ��� �� �� ��� �� �� ���
��� ���� ��� ���"�#� #��� ����% � ��� ��� ��� � �� ��� ��� �� ���� � �� ��� ���� ���� �� �� ���������� ����� ��� ��� ������� � � � ����� ��������� � ���
��� �������� � �� ����������
�� � �� *� �� � �� � �+
�� � �� �� �� � ��� � �� � ��+
�+ � �� �� �� � �� � ��� � ��+
�� ����� � �� � �
* � �
� � �
�
�
��
4"��� ��� ���������� � ��� ��� �+ ���� � ��� ������� �� �� >����� ��� � �� ������ ��� ����% ������������ �� ��� ��� ������� � �� ���� �� ���� ���� ����� ��� ���"��� ��� �� ��� ���� ��� ��
��� ���� ��� ���"�#� #��� ����% " ��� ��� ��� � �� ��� ��� ����� ��������� � ��� ���"�#� #��� ����% " ����� �� �� ����� ��� � ��� ������ ��� ������� �� � �
����� ��������� � ��� ��� �������� � �� ���� ������
�� � �� *� *� � ���� � ��� � �+
�� � *� �� *� � ���� � ��
�+ � *� *� �� � +�� � ��� � �+
�� ����� " ��� �� +
� � ���� * �
�
�
��
&� ������=� ��� �� ��� "� �� ���� �� ����� ����� + + ������� � ����� �$������ D ��� + + ������ ����� � ��� ��� �+�
�*. '7(84� 94::7(; 4(< 94��7�8 5�04:� /
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
6. Linear Mappings and Matrices
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
4������������ �� �� ��� " � ��� � �����" ��� ����% � ��� # � �� ��� �������" �� ��� ������� ���1
�� � � � * *
* � � * � *
� � � * * �
�
�
�� �� * * �� �� +
* � * � � ��* * � �� * �
�
�
�� � �# �����
���� " � ��� ��� �� +
� � ���� * �
�
�
��
�0��� �� ��� ���� ��� �� ��� " �� ��� ������� � ���
��� ������ �� 8%���� /�/��� �� ���� �� "������ &� ���� ���� ������ ������� ����� �� ������ � ����
�����!����� ��.� ��� ���"�#� #��� ����% ��� ��� ���� ��� � � �� �� �� ��� � � �� �� �������% � ����� ������� ��� ������������� ��� ��� ������� � ��
���&�/�����! �' �#�� �0�'0,�!�! �����
����� �� ���� ��� ���"� � ��� ���� ��� ���������� � ������ �� ������ ���� � � ��� �������" ������� �� ������ �� :����� /�����
�#����$ ���� '�� � � ��� ���"�#� #��� ����% ��� ��� � �� ��� �� �� ������ ���� � � ����� �� �� ������ � � � � �� ���1
������ � ���� �� ����� ������� � �����(����� � �� �������� ��� ���������� � � �� ��� ���"��� ��� � � ���� �� "�� ��� ���������� � �
�� ��� ��� ��� ���
��$��% �� 4�����"� � �� ����� ��� ���"�#� #��� ����% ��� ��� ��� ��� � �� ��� ��� ��� ����� ������=� ��� �� �� ��� ��� ���� ���� ��� ���������� � � �� ��� ���"��� ��� � ���� ��� ����������� � �� ��� ��� ��� ���
��$��% �� E����� � ��� ��� �������� ��� ��%�� ��� " � ���� ��� �� ��� ��������� ����% ��� ��� ��� ��� � �� ��� ��� ��� ��� ��� ��%�� ��� �� �� �� " � ��� ���� �!��!��� ������� ����%�
&� ��� "��� ��� ���� � ��� ��� ������� �� ��� ������ ��� ��� ��� � � +� ������ � �� ������"�#� #��� ����% ��� ��� ��� � � ���� ��� �+� �� ��� ��� �� � ���� ��� �+�) ���
�� � ���� � ���� � �+�+�� � ���� � ���� � �+�+�+ � ���� � ���� � �+�+
�� ����� � ��� �� ���� �� ���+ �+ �+
�
�
(�� ������� � � � ��� ��� � � ���� � ���� � �+�+� ����� ����������" �� ��� ��� �+ ��� ���� ������
� � ������ � ���� � �+�+� � ������ � ���� � �+�+� � �+���� � ���� � �+�+�� ���� � ���� � ���+��� � ���� � ���� � ���+��� � �+�� � �+�� � �+�+��+
�04:� /6 '7(84� 94::7(; 4(< 94��7�8 �*2
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
6. Linear Mappings and Matrices
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
����
����� ������+
�
� �� ���� ����� � ���� � ���+���� � ���� � ���+�+�� � �+�� � �+�+
�
�
4�������"���
������ ��� �� ���� �� ���+ �+ �+
�
������+
�
� ����� � ���� � ���+���� � ���� � ���+�+�� � �+�� � �+�+
�
� � ����
������� ����������" ��� �$����� ���� � ����� � � ���� �� "��
������� � ��������� � # ����� � �������� ��%� ������� ������� �� :����� /��/� ����� ��� ���"� � ��� ���� ��� ����%
������������� � ����� ��������
�#����$ ��1� '�� � � ��� ���"�#� #��� ����% ��� ��� � �� ��� �� �� ������ ���� � � ����� �� �� ����� ������� � �� � �
�� ��� � ����� ������ ��� � � �� $ �� ��� ����% �������������� � � �������� ������������� �� � �� �������
$ � �����
������� �� �������� ��� �������" ��� ��� � �+1
� � ���� ��� �+� � ��� *� *�� *� �� *�� *� *� ����� � � ���� ��� �+� � ��� *� ��� �� �� ��� �� �� ������ ���"�#� #��� ����% � ��� � �� � �� ��� ������� ��� ���� ������ �� 8%���� /�/�
��� &���� � � �� +� -� � ����� ��������� � ��� ��� �+� ��� �$���������� ��� ���� �>�� �� �� �� ���� �� �� �������� ����� ��� ������ �$����� � � ��� � ��� � %�+� ��� ���
�
+
-
�
� � �
�
*
�
�
�� �
�
�
�
�
�� %
�
�
�
�
� ��
�� ��� % � �
�� �% � +
�� ��� �% � -
��� �������� �� � � 3� � � �-� % � !� �� � � 3�� � -�� � !�+�>� ��� ����� ���� �� B��� ��� ���� � ��� +� -�� � ����� � �� ��� ���� ���� �� �� ����� B��� ����
����� ���� � ������� /�/�
���� � ������� ��� �� +
� � ���� * �
�
��
+
-
�
� �3
�-!
�
�
����� "��� � � 3�� � -�� � !�+�
��� '�� � �� + ��� �! �
+ �� �
�
�� ����� �� � ������ � ����� ������� �� �+� ���� ��� ����% $ ��� ���������� �
������� �� ��� ��� ��
��* '7(84� 94::7(; 4(< 94��7�8 5�04:� /
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
6. Linear Mappings and Matrices
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��� ��������� � ��� ����% ������������� � � ������� �� ��� ��� � ����� �� �� ����� ��� � ����� �������+� � ����� ��������� � ��� ��� ������� ��� ��� �+ � �� ���� ������
���� � ��� +� -� � ���� � -�� � /�+
���� � �� �� 2� � ���� � �!�� � .�+
��+� � +��!� -� � �3�� � .�� � ��+
�� ����� $ ��� �� �3
�- ��! �./ . �
�
�
��
&� ������=� ��� �� ��� $� �� ���� �� ����� ����� + + ������� � ����� �$������ D ��� + + ������ ����� � ����� ����� ��+��
>� ��� ����� ���� ����� �� B��� � �� ���� �� �� ��� ������� /�3� ��� ���
$ � ����� ��� �� +
� � ���� * �
�
�� + ��� �! �
+ �� �
�
�� � �
* � �
� � �
�
� ��� �� �3
�- ��! �./ . �
�
�
����� � �%������� "���� ��� ��� �������
��- �� ������2
������ � �� $ �� �$��� ������� �� ����� ����� �%���� � ��������� ����% � ���� ���$ � �����) ���� $ �� ��� �� � ����&� �� �� �� $ �� ��� �� � ������ ��� � � ����&� ���� ����� ������� &� ���� �:����� /��2� ��� ��������� � ������� �� � �$�������� ��������
E� ������� /�3 �� ��� ��� ����B� �� ��� ��� �������" ��� �������
�#����$ ��3� ��� ������� ��������� ��� ��� ����� ������� � �� ���� � ��� ������� �� �������
��� ��� �� ��� ����% �������������� � ����� ������� � ��� � �$�������� ���� � ��������������
4 ����� ������� � �� ��� �� � ��� ���&�%��&� � ����� �%���� ��� � � � ���� ��� � �� ������������ ��"��� ����%) ��� ��� � �� ���� ��� �� ��� ���&�%� �� ��� ��������" ������� "���� �� ��� �������" �������
�#����$ ��4� '�� � � ��� ����% ������������� � ����� ������� �� ���� � �� ��"����=�� � ������ � ����� �%���� � ��������� ����% � ���� ��� ����� �� ��"��� ����%�
��� ��� � �� ��"����=�� � �� ���� � ��� ����% ������������� �� � ��"����=�� � ������������� ��������
&� ������=� ��� ��� ����� ������� �� ��"����=��� 0������� �� ���� ���� ������� �*� �������� ����� ������� �� � ����������� � ������ ??������@@ ������� ����� ��� �� ��& �� ��������& ����� ��� ���������� ���� ��$���� ���� ������ � ������ ����������� �� ������������
�5�/����! ��" ��$�&�� ����/�!
������ � �� ������� �� �$��� ������� ��� ���"�� ��� ��� ���� �� ������ �������) ��� ��� �� � � $� �������� � �� ������ �� $� ���� � ������� �������� ��� ������� � � � �� ����� �������� ��� ��� �������" ����� ��� &� �����
� � � � � �� �������� � �� �� ���� E� ������� /�.� ��� ������� �� ���� �������
��� ���������� ������� .� �� ������ ��� ���� �������� �%���� � ���� �������� ��� ����� ������ ��3� �� ������ �������� �%���� � ���� ��������
�04:� /6 '7(84� 94::7(; 4(< 94��7�8 ���
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
6. Linear Mappings and Matrices
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
������� �� �������� ��� �������" ����� ������� �� ��� � �� � � ��1
�� �� � ��� +�� !�� -��� � � ��� *�� *� ���� � � ��� ��� �� -��E� 8%���� /��� ��� ����% �������������� � ������� �� ��� ��� � �� � ��� �������������
� � � +
! �-� �
�� $ � -� ��2
��� �--� �
,���" ����% �� �� ���1
��� <��������� � � ����� � ��*� �� � ���) ���� ���� � � ���� � �� - � �+�>� ��� ����� ���� ����" ����% $� �� ���1
��� <��������� � � ���$� � ��./*� �.+. � ���) ���� ���� � � ��$� � -�� -- � �+�4� �%������� ��� ������� ����� ��� ��� �������
��. ������� �� +������ ������ �����+�
'����� �� �������� ��� "����� ��� � ����� �����"� ��� ��� ������ ���� ���� ������� ������ ��� ' �� ������ ����� ���� ��� ��� ���� � ��� ��� ��� � � � �� ��� ' � �� ������������ �������
� � ���� ��� � � � � ��� �� �� � ���� ��� � � � � ����� ������ �� �%�� ���� ������������� � � �� ' �
������ �� ' �� ����� �����"� ���� ��� ������� ���� ���� � � � � ��� ����" �� ' ��� �� ��� �� ����� ��������� � ��� ��� ������� �� ��) ���
��� � ����� � ����� � � � �� �������� � ����� � ����� � � � �� ��������������������������������������������������������������� � ����� � ����� � � � �� �����
��������� ��� �������� � ��� ��� ����% � ��� �������� ������� � ����� � �� ����� �� �� ����� ������ �� �� ���������� � ������� �� ��� ��� � �� ��� 5&� ���� ��� ��� ������ ��������� �� �� ���� ��� ��� �� �����������6
��� �������" ������� �� ���"��� �� ������� /�� �� ����� �������� �:����� /�/3��
�#����$ ���(� ��� �� ������ � � � � ����� � ���� � ����� � �
��� ��� ����������" ��� ���������� � � �� ��� ��� � � � � ��� �� ���� ��� ���������� � �� ����� ��� �� � ' �
����� ��� �� �� ������ ����� � �� '� ��� ���������� � �� ����� �����"� ��� � ���� ' �� ������ ���� �� �� ������� � 0��� �' �� ��� �������" ������� �� ���"��� �� ������� /�� �� �������������� ����� ��� �� ��� � ��� ������ ��� ������ ���� � �� � � ������� �:����� /�/3��
�#����$ ����� ��� �����" ��0��� �' � ������ � �� � �� �� ������ ���� ��������#���� ��� ��� �� �� �� � 0��� �' � �� �� ���� ��
��� � � �� � �� � ��� �� � � �� � �� � ������� ��� � ��� �� ��� � �������� � �� �A������ ����#��#��� �� ������
��� '7(84� 94::7(; 4(< 94��7�8 5�04:� /
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
6. Linear Mappings and Matrices
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
>�� ��%� ������� �� ���"��� �� ������� /�+ �� ����� �������� �:����� /�/3��
�#����$ ����� '�� �� ��� ��� � ��� � ������ ����� � �' �( � ������������� '�� �� ' ��� � ' ( � ����� �����"�� ����
�� � ������ � ������� �� ��������� ��� ������� �� ��� ��������� ���� ��� ����% ������������� � ��� ����������� � ��� �����"�
�� ��� ����% ������� � ��� ����% �������������� � ��� ��������� �����"��(�%� �� ���� ��� ��� ����% ������������� � ����� �����" �� ' �� ����� ���� ���
��� �� �������� �:����� /�/3��
�#����$ ���) '�� � � ��� ���"�#� #��� ����% ��� ��� � �� ��� �� �� � � �� ��� " � ������"�#� #��� ����% ��� ��� � �� ��� � � �� ' � ����� �� �� ����� ���� ' �
����� � � � "������� � ��7� ����� ������ � � �� ��� ����% ������������� � ����� �����" ������� �� ��� ��� � �� � � ��
$ �� ��� ����% ������������� � ������� �� ��� ��� �� �� � �� ����
$ � "����
>�� ��� �������� ������ �� :����� /�+/� ����� ��� �� ����� �����" ��� ��� ������ ���� � ���������� ������ ���� ' �� � ����������� � ���� ������ ����%� &� ���� ��� ���� ������� �� ���"����� ������� +��. �� � � ��������
�#����$ ���-� '�� �� ' � ����� ��� ��� ��B� � � ���� ����� �%��� ��� � � �� ' ������� ��� ����% ������������� � �� ��� ���
� � # *
* *
� �
����� # �� ��� #�$��� �������� ����%�
��� ��� ����% � �� ����� ��� �� ��& �� ��������& ��� � ��� ����� �� �
��&6�" ���7&�$!
����� �������������� �� ������ ���������
���� �������� ��� ����� �����" ��� �� ������ � �� �� � +�� !�� ��� -�� �� ��� �������" ��� � ��1
� � ���� ��� � ��� *�� *� ��� �� � � ���� ��� � ��� ��� �� +��
��� ���� ��� ����% � �����������" ������� �� ��� ��� ��
��� ���� ��� ����% $ �����������" ������� �� ��� ��� ��
��� ���� � �� ��� ���� ���� ��� ���� � � �� ������ ��� ��� ������� �� ��� ���������� � �� ��� ��� �������" �� �� � ��� � ���� �� ���
��� � �� *� � +� �� � +�� � ������ � *� �� � !��-� � !�� � -��
�� �� � � + !
� �-� �
(��� ��� ��� ��� ������� � ��� ��� ������� �� ������� � ������� �� ��� ����% ��������������
�04:� /6 '7(84� 94::7(; 4(< 94��7�8 ��+
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
6. Linear Mappings and Matrices
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��� ����� ��� ��� �� ����� �� � ����� ��������� � ��� ��� ������� �� �� ��� &� ���
��� � �� �� � ����.� � ��� �� � ��� +�� �� ���� �� � ��
��� +� � �. ���� ��� ������ �� ���� � � �!2� � � +*� ����� ���
��� � �!2�� � +*��
(�%� ��� ��� �� ����� �� � ����� ��������� � ��� ��� ������� �� �� ��� &� ���
��� � �� +� � �.����� � ��� �� � ��� +�� �� ���� �� � �.
��� +� � ��� ���� �� � �� � �� ���� � � �3/� � � !3� 0����
��� � �3/�� � !3��
&���� ��� ��� ������� � �� �� �� � ������� �� ���� $ � �!2 �3/+* !3
� �
���� 4������������ ��� �� ���� ��� ��� ���������� � � ������ ������ �� �� �� �� ������� �� ��� ��� ��&� ���
�� �� � ��� �� � ��� +� � �� ��� ��� +��� �� ���� �� � �
��� +� � �
���� �� � �� � �� ����� � � �� � �� "�� � � �+�� ��� � � ��� �� ����
�� �� � �+�� ����� � ��� �������� ��� ��� ����� �� �� �� �� ��� ��� ���������� � ��� �� ��� ������� �� �1
��� � �� �� � ����.� � �!2�� � +*����� � �� +� � �.����� � �3/�� � !3��
�� �� $ � �!2 �3/+* !3
� �
���� �������� ��� �������" ����� ������� � �� �� �� ��� �1
��� �� � �%� 3�� !�� +�� �� � � ���� ��� � ��� +�� �� -����� ���� ��� ����% ������������� ���� � � ������� �� ��
��� F��� � ���� ���� � ������ �� ��� ������ � � !��+� �� ���
����� ��� ��� ���������� � � ������ ������ � � �� �� �� �� ������� �� ��� ��� �� &� ���
�
�
� �� �
�
+
� �� �
�
-
� �� �� ��
�� �� � �
+�� -� � �
���� �� � �� � �� ����� � � �� � �� "�� � � �-�� ��� � � +�� �� ����
�� �� � �-�� ����� � +�� ����� �� �� ��� � ��-�� ��� +�� ���
��� ,���" ��� ����� �� �� �� �� ��� �� � ��� 3�� !�� +��� �� ������� � ��� +� � ��2� �+� � ����� � 3*������ � ��� -� � �+�� �+� � �*��� � ��/��
�� �� ���� � ��� �*�
�3* ���/� �
�&� ������=� ��� ��� ��� ������� � �� �� �� �� ������� � �������� ��� ����� �� ��� ����%���������������
��� ,�� ��� ����� �� �� � �-�� ����� � +�� ���� �� "��� � !��+� � ��/�� � �-��
��� � �!��+� � �*� 3� � ��+��� � .*��
���� ���� � ���/� �-�� �� ������ � ���+�� .*��
��! '7(84� 94::7(; 4(< 94��7�8 5�04:� /
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
6. Linear Mappings and Matrices
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
4�������"���
���� ���� � ��� �*�
�3* ���/� � ��/
�-
� �� ��+�
.*
� �� ������
����� �� �%������ ��� ������� /����
��)� �������� ��� �������" � � ����% � �� ��� � � ��1
� � � !
- /
� ��� � � ���� ��� � �
��� �
�+
�3� � �
��� ����% � ������ ����� ������� �� ��� ���� ��� ����% $ ��� ���������� ��� �����" �������� �� ��� ��� ��
����� ��� ��� ���������� � � ������ ������ �� ��� ���� ������� �� ��� ��� �� &� ���
�
�
� �� �
�
��� �
� �+
�3� �
���� +� � �
���� 3� � �
���� �� � �� � �� ����� � � �� � �� ���� � � 3�� +�� � � ���� �� ����
�� ��� � 3�� +���� � ���� �������� ��� ��� ����� �� �� ��� �� ��� ��� ���������� � ��� �� ��� ������� �� ��� ��� �1
��� �� !
- /
� ��
��� �
� �/�3
� �� �/+�� � �2��
��� �� !
- /
� �+
�3� �
� �����3
� �� ��+-�� � 3���
&�����" ��� ���������� � ������� ������
$ � �/+ ��+-�2 3�
� �
��-� ���� ��� ����% ������������� � ��� � ��� �������" ����� �������� �� �+ ������� �� ��� ������� � � ���� ��� �+� � �+) ��� ��� ��� �� � ���1��� ������ � �� �� %� � �� ��� +%� !�� -�� /%� 3�� .�� 2%��
��� ������ � ��� + + ����% � �� � �
� + !
- - -
�
��
��� ������ � ��� � �� +� -����� � �� !� /�� �+� � 3� 3� 3�� �������� -�� ����� ��� ����� �� �� ���������� ������ � ��� ����� �� ��� ������� �� �����
��� ���� � �� ��� ���� ���� ������ ����� ��� ��� ������� � ��� ���������� � �� �� %� � ����1
�� �� � �+! �- �/3 . 2
�
�
��� ���� � �� ��� ���� ���� �� � �� ��� ����% � ����� �
��� 0���
��� � �� +� -� � �� � +�� � -�+��� � �� !� /� � ��� � !�� � /�+�+� � 3� 3� 3� � 3�� � 3�� � 3�+
�� �� �� �� � 3
+ ! 3
- / 3
�
�
��� ��� ��� ������� � �� �� ��� ��"�� � ��� ���� ��� ��������
�04:� /6 '7(84� 94::7(; 4(< 94��7�8 ��-
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
6. Linear Mappings and Matrices
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��.� '�� � � ��� ����� ������� �� �+ ������ � ��� �� %� � ��� %� �� !�� +������ ���� ��� ����% ������������� � � ������� �� ��� ���
� � �)��)��)+� � ��� �� ��� �� �� *�� �� *� *����� F��� � ��� ������ � ����� �� �� ������ � �� �+�
����� ��� ��� ���������� � � ������ ������ �� �� �� � �+ ���� ������� �� ��� ��� �� &���� �� �� �� � ����� ��������� � )��)��)+ ����" ��B���� ����� �� �� �� %1
�� �� �� � ��� �� �� � ��� �� *� � %�� *� *� � �� �� %� �� �� �� �� ������������" ���������� �$�� �� ��� ����� �� ���� ��� ������ � �$������
�� �� % � �� �� � � �� � � �
���� ��� ������ �� �� �� % �� ����� � �� �� � �� ��� � � �� � � �� �� % � �� �� ����
�� �� �� � �)� � �� ��)� � �� ��)+� ��� �$���������� ��� �� ��� � ��� �� �� �� ���
��� ���� ��� �� %� � ��� %� �� !�� +����)�� � ��� �� �� � +��+� +� � +)� � /�� � /�+
�)�� � ��� �� *� � ���+� +� � +)� � /)� � -)+
�)+� � ��� *� *� � *� �� +� � +)� � �)� � )+
&���� ��� ���������� �)��� �)��� �)+� � ������� �� "��
��� �+ + +
�/ �/ ��/ - ��
�
�
��� &���� ��� � ����� ��������� � )��)��)+� ����� � � �� �� �� �� � ������ ������ �� �+�
��� � ��� �� �� � ��� �� �� !�� +�� � +�)� � ���� !��)� � ��� /�� ��)+
��� �$����������
����� � �+�� ���� !�� ��� /�� ���4�������"���
������ �+ + +
�/ �/ ��/ - ��
�
��
�� �
�� �
�
� �+�
���� !�
��� /�� �
�
� � �����
���� �������� ��� �������" + + ����% � �� ��� � � �+1
� �� �� �
+ �� *
� ! ��
�
� �� � � ���� ��� �+� ��
�
�
�
��*
�
�
�
���
�
+
�
�
��
�
��
�
��� ����% � ������ ����� ������� �� �+� ���� ��� ����% $ ��� ���������� ��� �����" �������� �� ��� ��� �� ������ ��� � ���������� ����� ������� �� ��� ���� ��� � �+��
����� ��� ��� ���������� � � ������ ������ �� �� �� �� �+ ���� ������� �� ��� ��� �� &� ���
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�� �
*
�
�
�
�� %
�
�
+
�
� ��
�� % � �
�� �� �% � �
�� �� +% � �
��/ '7(84� 94::7(; 4(< 94��7�8 5�04:� /
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
6. Linear Mappings and Matrices
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
���� �� �� �� % �� ����� � �� �� � �� "��
� � �� �� �� � � ��� ��� �� % � �� �
���� �� �� ��� � �� �� ���� � ��� ��� ���� � �� ���+
���� ��� ��� ����� �� �� �� ��� �� ��� ��� ���������� � ���� ���� ��+ ������� �� ��� ��� �1
���� � ��� �� ��� � *� �� +�� � ��� � �� � �+���� � ��� �� *�� � ������ ��� � �!�� � +�� � +�+��+� � ��� �� +�� � *� �� +�� � ���� � �� � ��+
�� $ ��� �! ��� �+ ��� + �
�
�
��1� ��� ��� � ��� �������" ����� ���� �������� ���������� * �� ��� ��� ��� ����% � ������������� * �������� �� ��� ���� ��� � ���1
��� * �� ������ � *�� *� � �� !� �� **� �� � -� .����� * �� ��� ������� �� �� �����������B���� � 2*����� * �� ��� ��G������ �� �� ��� ��� ���� � � ���
��� ���� ��� *�� *� ��� �� ��� ���� ��� � ��� ����� ����� ��"�� ����� * � ������� �� "��
� � � -
! .
� �
��� ,���� ��� ������� *� �� ��� *�� *� � *� �� �� **� �� � ��� *�� ����
� � * ��� *
� �
��� ,���� ��� ��G������ *� �� ��� *�� *� � *���� �� **� �� � ��� *�� ����
� � * ���� *
� �
��3� ��� ��� � � ��+�� ��+�� ���+�� �� ��� � ������ ���� � � �������� � �� �� '�� � ����� ������� ������� �� � � ��� ��� � � � �� ���� ���� ��� ����% ������������� � ������� �� ������ ��
���� ��� ��"� � ��� ��� �������1
�+�� � +�+�
��+�� � �+� � +��+�
���+�� � ���+� � +���+�
� +�+�� � *��+�� � *���+��� ��+�� � +��+�� � *���+��� *�+�� � ���+�� � +���+��
�� ���� �� �+ � *
* + �
* * +
�
�
��4� :���� ������� /��1 '�� � �� � � ����� �������� �� ��� � � ������� ��� � � � ����� ���� ������ � �� � � �� �� ���� � �� ���� �
������ � � ���� ��� � � � � ���� �� �������� �� � � �� � � � � ��
� ��� � ����� � ����� � � � �� ����� ���
��������
���� �� �� �� ��� �#�$��� ����% ����� ��� ��� ��
���� ���� � � � � ���� ��
�04:� /6 '7(84� 94::7(; 4(< 94��7�8 ��3
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
6. Linear Mappings and Matrices
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
(�� �������
� � ���� � ���� � � � �� ���� ���
�������
&�����" ������ ������ � ��� �������� � ��� ������� �� ���
���� � ��� ��� � � � � ���� ��
������������ ����" ��� �������� � � �
� �� � ���
�������
� �� ��
������ ��� �
��
�����
���
��������
�
� ��
���
��
��������
� ��� �
��
�������� � ����� � � � �� ��������
���� �� ���� �� ��� ������ ������ ����� ��� ����� ��
����� � ����� � � � �� ����� +�
>� ��� ����� ���� ��� ��� ����� � �� �� ���� �� ������ � ����������" ��� ��� ��� � �� �� � ����� ��� ����� � ���� E�� ��� ������� � ��� �� ��� �� �+�� 0���� �� �� ���� �� �� ���� ��� ��� ��� �������� ������ �� ���� � �� ���� �
���(� :���� ������� /��1 '�� � � ���� ��� � � � � ��� � ��� �� � ���� �� �� ��� � ��� �"�� � �#�$��� ������� ���� �� ���� ��� �����" ���� � ������ � �� � � �� �� �� ���������� ������������ ��� ��� �� �� �� � �� � �� �� � � �� �� ���1
��� � � �� � �� � ���� ���� ��� � ���� ����� � �� ���#��#��� �� �����
��� ������� �� � � �� � � � � ��
��� ���
�������� �� ���� �
��
��������
�������� ��� ������� � � ����� �� $ � ������ ���� �� � �� �� ��� � $� � &� ���� �� � � �� � � � � ��
� ����� � ��� � ���� ���
������ � ������
���� �� $ �� ��� ����% ��� � ����� �� ���� � �� � �� $�� � �� � $� � �� � ���
���� 4���� �� � � �� � � � � ��
����� � ���� � ���
�������� �
��
����������
���� �� �� ��� ����% ������ �� ������ � ���� � ��� � ���
����� ������� � �� ���#��#���� ����� ����� �����" �� ���������� ���������� � ��� ����� �� ���� 4���� � �� ����� ����� ����% � � ����� �� �� ��� ��"� � ��� ����� ��������
��� ���
��������� � � �� � � � � �
���� ��� ������� �� �������
��. '7(84� 94::7(; 4(< 94��7�8 5�04:� /
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
6. Linear Mappings and Matrices
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
����� :���� ������� /�+1 ��� �� ����� �������� �� � �� �� �� � � � ������,���" ��� ������� �� :����� /��*� �� ���
� � ���� � ����� � �
���
��������
�� ��
����������
� ��
������
��
��������
� �� ��
���
���
���������
���
����� ��� �$ �� ��� ����% �$ � ���� �� ����� ��� ���
��� ������ � 4�������"���
�� � � � �$�� � $��� � �����
���� ��� ������� �� �������
����� '�� � � ��� ����% ������������� � ����� ������� �� :���� ���� �� �� ��������� � ��� ����� ��� � �� �� ��� ����% ������������� � � � �� 5���� � � � � * � �� ���� � � �� � *�6
'�� � � ��� �����" ��� ����� � ������� � ���� ��� ����% ������������� �� &� ���� �� ����� ���� � � �� � � ��� ������ � �� � ���
� � � � �� ��� � �*� ��� ���� �� � ��������� �� �� ��� ��"��� � � ��� ������ � � *� ����� ��� �# �� � # � ����� # � �� ��� �������� �����" �� # �� ��� �������� ����%� ����
� � � �� � ��*# �� � �*�# �� � �*# � � ���� �� ��� ������� ����� �� � � *�
(�� ����� ��� ������� ����� �� ���������� � ��"��� ���� ��� �� ����� ����� � �� � �"��������������
� � � �� � ����� � �������� � � � �� ��� � �*#
��� ���� ������� � ��������� � � � �� ��� � �*#
��� ����
��� � �������� � � � �� ���� �*# � � � ��
�� ��� ������� �� �������
�*��+� �� ,����
��� ��������� ������ ���� �� ���� ������� ���� ���� ������ ������ ������� ��� ���
���� � ���� ��� � � � � ����
���)� �������� ��� �������" ��� � ��1
� � ���� ��� � ��� *�� *� ��� �� � � ���� ��� � ��� +�� �� !��
��� ���� ��� ���"�#� #��� ����% � ��� ��� ���� ��� � �� ��
��� ���� ��� ���"�#� #��� ����% " ��� � �B �� ��
��� ���� ��� ��������� ������ ��� � � � -��+� ������� �� ��
��� ���� � �� ��� ���� ���� ������ ����� ��� ��� ������� �� � � �������1 � � � �
+ !
� �
�04:� /6 '7(84� 94::7(; 4(< 94��7�8 ��2
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
6. Linear Mappings and Matrices
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��� ������ ,�� ��� ��������� � ��� ���"�#� #��� ����%� ��� ��� �%����� ��� ������ �� � � ����� ��������� � ��� ������� �� �� &� �� ���� � ���� �����" ��� ���������� � � ������ ������� � �� �� ������� �� �� &� ���
�� �� � ��� +� � ��� !� � �� �� +�� !�� ���� � � �
+�� !� � �
���� �� � �� � �� ���� � � !�� �� � � �+�� �� ����
� � !�� ���� � �+�� ���� �� ���� � ��� ���� � �!�� �� �+�� ���
,���" ��� ��� ����� �� ���� �� ������" ��� ���������� � ��� �� � ������� ������
�� � �� *� � !�� � +���� � *� �� � ��� � ��
�� " � ! ���+ �
� �
������ � ���� " � ���� ��� ���� �� � ����" ��� ����� �� ��� ������� � � � ����%�����
��� � ! ���+ �
� �
��� ������ &���� � � ����� ��������� � ��� ������� �� �� �� � ����" ��� ��� ����� ��� � �� ��� &� ��� � � -��+� � �+�� � �.��� �� �� ���� � ��+���.�� ������� � ,��� ��� ������� /�/� ��� �� ��� ���� � ������� �� ��� �� ��� ���� � �-��+�� 1
���� � ������� � ! ���+ �
� �-
�+� �
� �+
��.� �
���-� ��� ������� �� � �� �� *�� �� � �� +� ��� �+ � *� �� +� ��� ��� � � �+� ����1
��� ��� ���"�#� #��� ����% � ��� ��� ���� ��� � � ���� ��� �+� �� ��
��� ��� ���"�#� #��� ����% " ��� � �B �� ��
��� ���� � �� ��� ���� ���� ������ ����� ��� ��� ������� � � � �������1 � �� � *
� + �
* � +
�
�
��� ������ 8%����� ��� ��� ������ � � � ����� ��������� � ��� ��� ������� � � � ���������" ��� ���������� � � ������ ������ � � �� �� �� ������� �� ��� ��� �� &� ���
�
�
�
�
� � �
�
�
*
�
�� �
�
+
�
�
�� %
*
�
+
�
� ��
�� � � �
��� +�� % � �
��� +% � �
���� �� �� �� % �� "�� � � 3�� +�� �� � � �/�� +�� �� % � !�� ��� �� ����
� � �� �� �� � 3�� +�� ���� � �/�� +�� ���� � !�� ��� ���+
�� ���� � ��� �� ���� � �3�� +�� �� �/�� +�� �� !�� ��� ���,���" ��� ��� ����� �� ���� �� ���� ������" ��� ���������� � ��� �� � ������� ������
�� � �� *� *� � 3�� � /�� � !�+�� � *� �� *� � �+�� � +�� � ��+�+ � *� *� �� � �� � �� � �+
�� " �3 �+ �
�/ + ��! �� �
�
�
��* '7(84� 94::7(; 4(< 94��7�8 5�04:� /
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
6. Linear Mappings and Matrices
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
������ � ���� ��� � ��� �������" � ��� # � �� ��� ��� �# �����1
�� � * � * *
� + � * � *
* � + * * �
�
�
�� �� � * � * *
* � � �� � *
* � + * * �
�
�
��
�� � * � * *
* � � �� � *
* * � ! �� �
�
�
�� �� * * 3 �+ �
* � * �/ + �
* * � ! �� �
�
�
�� � �# �����
���� " � ��� �3 �+ �
�/ + ��! �� �
�
��
���.� ������ ��� �# �� �#%�� �� ��� ���� �� �� ������ �����������B���� !-� �� ��� ��� ��� ��# ����#%�� �� ���" ��� ���� � � � �� ��� ���� � � ��� �������������
��� ���� ��� ���"�#� #��� ����% ��
��� ���� ��� ���������� � ��� ����� �-� /� ����� ��� "���� ��������
��� ��� ���� ������� �� ��� ��������� � ��� ��� ��# �� ��#%�� ��
�� � ��
����
�� ��
����
�� �� �� � � �
�
����
�� ��
����
��
���� ���� ������� �� ��� ��������� � ��� ���"��� � �� � %�� �� ��� ���� ��� � ���� ���� ����� ������������� � �� �� �� � ������� �� ����
� ���
����
� � ��
����
���
����
���
����
�� �
��� 9������� ��� ���������� � ��� ����� � ���1
��
����
���
����
�
� ��
����
���
����
�� �
-
/
� ��
���
����
���
����
�� �
� ���� � �� �����"���� ��� �� ������ ��� �������� � ���
����� ��� ������� �� � �� �� *�� �� � *� �� ��� �+ � �� �� �� ��� ��� � � �+� ���� ��� ����������� � ������ ������ � � �� �� �� ������� �� ��� ��� ��
������ 8%����� � � ����� ��������� � ��� ��� �+ ����" ��B����� �� �� %� &� ���
�� �� �� � ��� �� *� � �*� �� �� � %�� �� �� � �� %� �� �� �%� �� �%�
���� ������ ��� ������
�� % � �
�� �� �% � �
�� �% � �
��
�� % � �
�� % � ��� �
�� �% � �
��
�� % � �
�� % � ��� �
% � �� �� �
�����" � �B#����������� ������ � � �� �� � � ���� ��� �� % � �� �� �� �����
���� � ��� �� ���� ��� �� �� �� ���
������ � ���� ��� � ��� �������" � ��� # � �� ��� ��� �# ������ ����� � �� ��� ���"�#� #�������% ��� ��� ���� ��� � �� � ��� �� ����� ������ ��� ����% ����� ������� �� ��� ��� ������� � ��
�04:� /6 '7(84� 94::7(; 4(< 94��7�8 ���
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
6. Linear Mappings and Matrices
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
&� ���
�� * � � * *
� � � * � *
* � � * * �
�
�
�� �� * � � * *
* � � �� � *
* � � * * �
�
�
��
�� * � � * *
* � � �� � *
* * � � �� �
�
�
�� �� * * * � ��* � * �� � ��* * � � �� �
�
�
�� � �# �����
���� ��� �* � ��
�� � ��� �� �
�
�
�� �� ���� � ������� �* � ��
�� � ��� �� �
�
�
��
�
�
�
�
�
�� ��� �
���� ��� �
�� �� �
�
�
��
���1� �������� ��� �������" ��� � ��1
� � ���� ��� � ������� +��!�� �� �� � ���� ��� � ��� +�� +� .��
��� ���� ��� ���������� � � � �� �� ������� �� ��� ��� ��
��� ���� ��� ���"�#� #��� ����% � ��� � �� ������ ���� ��� ���������� � � � �� �� ������� �� ��� ��� ������ ���� ��� ���"�#� #��� ����% " ��� �� �B �� ��
��� F��� � " � ����� � � ��� ���� �� �� ������ � � �� �� �� ��� ������� � ����� � � �� ������� /�/��
��� '�� � � ��� � ��� �� ��B����� � �� �) ��� ���
�
�
� �� �
�
��� �
� �+
�!� �
���� +� � �
���� !� � ���
�� +� � �
�� � ��� �
���� �� � �� � �� ����� � � �� � �� "�� � � ��� � +�� �� � � �� �
��� ����
�� �� � ���� +���� � �� �
����� �� ��� ���� � ����� +
��� �� �
����
��� ,�� ��� ��� �� ����� ��� � ��� ��� ������� �� �� �� � �� � ����� ��������� � ��� ��� �������
�� �� �� � �) ��� ���
�� � �� +� � ��� 2���� � �� +
���� � � �+
��� � -
���
�� � +� .� � �/� ����� � +� !��� � ��.�� � 3��
���� � �� ��� ����% ����� ������� �� ��� ���������� � �� �� �� ������� �� ��� ��� �) ��� ���
� � � �+�
��.-�
3
� �
��� '�� � � ��� � ��� �� ��B���� ����� � �� �1
�
�
� �� �
�
+
� �� �
+
.
� ���
�� +� � �
+�� .� � ���
�� +� � �
�� � �� +�
�����" �� � �� � �� "�� � � �.�� +� �� � � +�� �� ����
�� �� � �.�� +���� � +�� ���� �� ��� ����� � ��.�� +�� +�� ���
��� '7(84� 94::7(; 4(< 94��7�8 5�04:� /
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
6. Linear Mappings and Matrices
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��� ,�� ��� ��� �� �%����� ��� � ��� ��� ������� �� �� �� � � � ����� ��������� � ��� ���������� �� �� �� � �
�1
�� � ����� � �.� /��� � +� ���� � ��!�� � -��
�� � +��!� � ��!� ����� � 2� !��� � �+/�� � �+��
&���� ��� ���������� � �� �� �� ������� �� �� � ������� �� ���� " � ��! �+/- �+
� ��
��� "� � ��! �+/- �+
� � � �+�
��.-�
3
� �
� � *
* �
� �� #
� � � ,�� ���� ���� ���� �� ��� �� ����
������� � "���� � ��! �+/- �+
� � ���� +��
�� ���
� �
� �.�� +�
+�� �
� �� �����
���3� ������ � �� ��� ���"�#� #��� ����% ��� ��� ���� �� ��� �)��� �� ������� " �� ������"�#� #��� ����% ��� ��� ��� �)�� �B �� ����� :���� ��� � �� ��������� �� ��� " � ����
������� �� � � �� �� � � � � �� ���
)� � ����� � ����� � � � �� ����� ���
�������� ��
��� �� � � �� �� � � � � ��
�� � ���)� � ���)� � � � �� ���)� ���
������)� ��
'�� � � ����� �� $ � ���� �� ���� � � �� �� " � $� � ���������" ��� ���� ��� ������
)� ���
������
���
������)�
�� ��
���
���
���������
�)�
���� �)�� �� �����
������ � ��� � ����� ��� �� ��� H�����B�� ����� ��� ��� ��� � � � � � � �� ��� � * � � �� �� ������ �$ � ���� �� ���� ��� � ��� � 4�������"��� �$ � # � �� ��
"� � $��� � �$�� � #� � #
���� " � ����
���4� �������� ����� ��$����� � ������� � � ���� ��� � � � � ���� '�� �� � ��� ��$����� � ������������� ��� � � ��� � ��� �������" ??��������� ���������@@1
��� 7�������"� ��� ��������
��� 9������� ������ � ���=��� �����
�+� 4�� �������� � ��� ������ �� ������ �������
��� ��� � �� �� ��� ��� ��� ������ ( � 4���� ���� ��� �� �� ������� ����������� � ������ � � �� ������� ������������
>����� ���� �� ��� ��������� ��� ������� �� �� ����� ���������� � ������� �� �� 4���� ����� ����������� �� � ������� � ��� ��� ����� ��� ������ �� � �� ����� ��������� � ������� �� ��� ���� � ���� ��� ��� ��� ������( � 9�������� �� �� ������� ����������� � �� ���� � ��� ( � �� �� ���� �� ���� � �� ���� � � �� ������� ������������
�04:� /6 '7(84� 94::7(; 4(< 94��7�8 ��+
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
6. Linear Mappings and Matrices
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
���(� '�� � � ����� �� $ � ����� � ��� �$������� � � ������� ���� ���� �� �� ��� ��� ��� � � � � �� ��� ������� �� ������ ���� � ���� �� ��� � � �� �� � � � ��� ��� �� �� )� � ������ �
�� � ����� � ����� � � � �� ����� �� )� � ����� � ����� � � � �� �����
��� ��� ���� �� �)�� ��� ��� ��� ������ � � �
4������" � ??��������� ��������@@ � :����� /��2 �� ���� �� �$������� �� ������" � ��������� ����������� �� ��� ����% �� ���� � �� $ �� ��� �$�������� $ �� � ������ ��� � � ��$����� � ��������� ��� ���������� 0���� �)�� �� � ������ ��� ���� � ��� ������������" ��$����� � ���������� 4�������"��� ���� �� �)�� ��� ��� ��� �����
����� ������ ��� ��� � � � � �� ����" �� ������ ���� � ���� ���� �� �� ������� � � ����� �� ��#�$��� ����% ���� �� ��� � � �� �� � � � � �� ��� �� � ����� � ����� � � � �� ������
��� ������ � �� ���������� ��� ��� ���� �� ���� ��� ��� ��� ������ � � � 0���� ���� ��������� ����������� � �� ���� � ���� �� ������� ������������
��� ������ � �� ���"��� ���� ����������� ��� ��� ���� �� ������� ����������
��� ������ ���� �� ������� ������������ ��� ��� � �� ����������
��� ���� � �� ���������� �� �� ��� �$������� �� ��� �������� ����% # � 0����� � :����� /��2� ���� �� ������� ��� ��� ������ � � � ���� ��� �� ������� ����������� � �� ���� � ��� ����� �� �������������������
��� ���� � �� ��� ���������� �� �� ��� �$������� �� ����% ���� =��� ���� ���� ���� ���� ���� ������� ��� �� ������" ��� ���� ���� ��� � ��������� ���� ���� �� ������� ����������
��� ���� �� ��� ������������� � ��� �������� � ��� ���� �� �� �� ������ ��� ��� ����
����� :���� ������� /�/1 '�� � � ��� ���"�#� #��� ����% ��� ��� � �� ��� �� �� ���������� � � ����� �� �� ������ � � � � �� ��� ����� � � ���� �� ����� ������� � ���� � �
������ � � ���� � � � � ��� �� �� � �)�� � � � �)��� �� �������� �� � � �� � � � � ��
)� � ����� � ����� � � � �� ����� ���
��������
���� � �� ��� �#�$��� ����% ����� ��� ��� ��
���� ���� � � � � ���� ��
4��� ������� � � ��)� � ��)� � � � �� ��)� ���
��� ��)�� ����
����� � ���� ��� � � � � ���� ��
���������" �� )� �� ��� �$����� �� �� �� ����
� � ��
�����)� �
��
�����
���
��������
�� ��
���
���
��������
���
� ��
�������� � ����� � � � �� ��������
4�������"��� ���� �� ��� ������ ������ ����� ��� ����� ��
����� � ����� � � � �� ����� +�
��! '7(84� 94::7(; 4(< 94��7�8 5�04:� /
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
6. Linear Mappings and Matrices
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
>� ��� ����� ���� ��� ��� ����� � ������ �� ������ � ����������" ��� ��� ��� � � � ������ ��� ��� ��� � ����0������� ��� ������� � ��� �� ��� �� �+�� 0���� ������ �� ���� ��� ��� ��� �������� ���� ������ � ���� � � ��������
������������ ����������" ��� ��� � ��� "���� ������� � ��������� � ����� �
������ ��������� �� �*��+� �� ,����
���)� �������� ��� ����� ���� ������� �� �� ������ � �� �� � -�� �� ��� �� �� ��� �������" ��� � ��1
� � ���� ��� � ��� *�� *� ��� �� � � ���� ��� � ��� !�� �� 3��
��� ���� ��� ���"�#� #��� ����% � ��� � �� � �� ��� ���"�#� #��� ����% " ��� � �B�� ��
��� ���� ��� ����% � ��� ���������� �� ��� ��� ��
��� ���� ��� ����% $ ��� ���������� �� ��� ��� ��
��� ���� � �� ��� ���� ���� ������ ����� ��� ������� �� � � ������� �� ���� ��� ���"�#� #��� ����%�� ������ ���� ��� " � ���� ����
� � � �
! 3
� ��� " � ��� � �3 �
! ��� �
��� &���� ��� ��� ������� � � �� � �� �� �� � -�� �� ��� �� � ���� �� "��
� � - ��� �
� �
��� ������ ���� ��� ���������� � ��� �� ��� ������� �� ��� ��� �� ���� �� � ���� � ���������" ��� ���������� � � ������ ������ �� �� �� �� ������� �� ��� ��� �� &� ���
�� �� � ��� !� � ��� 3� � �� ��� !�� 3��� �� ���� �� � �
!�� 3� � �
���� �� � �� � �� ����� � � �� � �� "�� � � �3�� ��� � � !�� �� ����
�� �� � �3�� ����� � !�� ����(�� ��� ��� ����� �� �� �� �� ����
��� � �� !� � �� /� � -�� � ������ � �� 3� � +� ��� � �� � ��
�� �� $ � - �
�� �
� �
������ � E� ������� /�3� $ � ������ ����
$ � ����� � �3 �
! ��� �
- ��� �
� �� �
! 3
� �� - �
�� �
� �
���-� '�� � � � +
! ��� �
���� ��� ����% $ ��� ���������� ��� ����� ������� � ������� �� ��� ���
� � ���� ��� � ���� +�� � ��� -�� �� 5����� � ������ ����� ������� ���� �� ������� �� ������� ��� � � ��6�
������ ���� ��� ���������� � ���� �� ���� ������� �� ��� ��� � � ���� �����" ��� ����������� � ������ ������ ��� ��� �� �� ������� �� ��� ��� �� E� :����� /���
��� ��� � �-�� ����� � +�� ����
�04:� /6 '7(84� 94::7(; 4(< 94��7�8 ��-
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
6. Linear Mappings and Matrices
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
,���" ��� ����� �� ��� ��� � �� ����
���� �� +
! ��� �
�
+
� �� ��
�
� �� �-+�� � +���
�� ���� �� +
! ��� �
�
-
� �� �2
+
� �� �.2�� � -!��
���� $ � �-+ �.2+� -!
� �
������ � ,�� $ � ������ ����� � �� ��� ���"�#� #��� ����% ��� ��� ���� ��� � �� �� ���������� ����� ��� ������� �� � �� �������� �� ���� ��� ���"�#� #��� ����% � �� ���� ��� ��� ����� ������ ���� "����
� � � �
+ -
� ��� ��� � �- �
+ ��� �
���� $ � ����� � � �
+ -
� �� +
! ��� � �- �
+ ��� �
� �-+ �.2+� -!
� �
���.� '�� � �� + �
� - �!� �� �
�
� ���� ��� ����% $ ��� ���������� ��� ����� ������� � ������� �� ���
���
� � ���� ��� �+� � ���� �� *�� � �*� �� ��� � ��� �� ��� �5����� � ����� ������ ����� ������� ���+ �+ ������� �� ��� ���� ��� � � �+6�
������ ���� ��� ���������� � ����� ����� ��+� ������� �� ��� ��� � � ���� �����" ������������� � � ������ ������ � � �� �� �� �� �+ ������� �� ��� ��� �� E� :����� /��/�
���� � �� ���� � ���� ��� ���� � �� �� ���+
,���" ���� ����� �� ��� �� ��� � �� �������� � �!� 3����� � .�� � 3�� � -�+� ���� � �!� �� *�� � �� � /�� � +�+
��+� � �2� !� ��� � +�� � ���� � /�+
&�����" ��� ��� ������� � ��� ��� �+ � ������� ������
$ �. � +
3 �/ ����- + /
�
�
������ � ,�� $ � ������ ����� � �� ��� ���"�#� #��� ����% ��� ��� ���� ��� � �� �� �������% � ������ ������� �� ������ ��� ������� �� �� �� ��� ���� �� :����� /��/� ����
$ � ����� �* � ��
�� � ��� �� �
�
�� + �
� - �!� �� �
�
�� * �
� � �
* � �
�
� �. � +
3 �/ ����- + /
�
�
����� :���� ������� /�31 '�� � � ��� ���"�#� #��� ����% ��� ��� � �� ��� �� �� ���������� � � ����� �� �� ����� ������� � �� � � �� ��� � ����� ����
'�� � � ������ �� � � ����� � ������� /�/� ������ � ���� � ����� ��������� �������� � ����� �� ���� � ����� ���� � �� ���� �
��/ '7(84� 94::7(; 4(< 94��7�8 5�04:� /
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
6. Linear Mappings and Matrices
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
E�� �� ��� ����� � �� ����� � 0��������� ������� � � �� ��� �����
���� ��� �����" � � ���� � �� ���� ��� �� ��� ����� ���+ � �� �� �+ �� ����� + � ��� ��������� ��� � �� ��� � � �������
�� ������2 �� �������
���1� '�� � � ! ��+ /
� ��� � � � �
+ !
� ��
��� ���� $ � ������ ��� F��� � ��$� � ����� ��� F��� � ���$� � ��������� ����� ��� ��� ����" ��� ����� �� ��� ������� � � � ����%� &� ���
��� � �� �+�
� ��
� �
����
$ � ����� � �� �+�
� ��
� �! ��+ /
� �� �
+ !
� �� �- +*
� �3�
��-� �
��� ���� � !� / � �* �� ��$� � �-� �- � �*� 0���� ��$� � �������� ����� � �!� / � +* �� ���$� � �+3-� !*- � +*� 0���� ���$� � ������
���3� ���� ��� ���� � ��� � ��� ����� ���� �������� �� �+ �� :����� /�!�
���� ��� ���� ���� � ��� ��"��� ��������� � �� ����% ������������� � ���� � ��� ����%������������� �� � ��� � ������� �� ��� ���� ��� � "���� �� :����� /�!�
��� ��� � ����� � �� -� 2 � -�
��� ��� � ����� � �� +� - � 2�
��� ��� � ����� � �� !� 3 � ���
���4� &���� � � $ � � �� ������ �� $� ��� ��� � ����� �%���� � ��������� ����% � ���� ��� � � ���$��:���� ��� � �� � �$�������� ������� ��� �$��� ��������) ��� ���
��� � � �� �� ����� �� ��� 7 � � $� ���� $ � ����� 7 � � $ �� $ � ,� ���� � � ,�
��� ��� �������� ����% # �� ���������� �� #�� � # � ���� � � #���# � �� ��� � � ��
��� ���� � � $� ����� �%���� � ��������� ����% � ���� ��� � � ���$�� 0���� $ � ����� � ���������� ��� �� ��� ���������� ���� $ � ��
��� ���� � � $� ����� �%���� � ��������� ����% � ���� ��� � � ���$�� �� ����� $ � ,� ����� �%���� ���������� ����% " ���� ��� $ � "��,"� ����
� � ���$� � ���"��,"�� � ���"���,"�� � "����,"���� "� �� ��� ���������� ���� � � ,�
��)(� ������ $ �� ������ �� �� �� $ � ������ :����1
��� $� � ������� �� �� $� �� ������ �� ���
��� � $� � ���� ���� �� �� ��������� � ��� �� �� � $� �� ������ �� � ������ $ �� ���� � ��������� �� � �� ���� � � �� ���� � ���
�04:� /6 '7(84� 94::7(; 4(< 94��7�8 ��3
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
6. Linear Mappings and Matrices
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��� ��� ���� �� � ��������� �� �� ��� ������ ����� �� � � � � ����������� ������ � � � �� ��� ����������� �� �� �� ����
$� � $$��� � ��������������� � ������
��� ������ � �� � ���� � � � �� ���� �*� ,���" ��� �� � �� ��"�� ����������� ��� �� ��� ��� �� ���
���� ��� � ������� � � � �� ���� �*# ��� ��������� � � � �� �������� � ����*# ��� ��������� � � � �� �������� � �*���#��� ��$
� � � � �� ��$� �*# � � $�
��� E� ��� ���� $� � * � �� ���� � ��� ��� � * � �� ���� � �� � �*��� � *�
����� ��������������� �� +������ ������ �����+�
��)�� '�� ��+ �� � ��� ����� �� ������ � �� �� %� � +�� ��� !%� �� -�� +%����� ���� ��� ����% � �� ��� �������" ��� � �+ �� ��1
� � �)��)��)+� � ��� �� ��� �� �� *�� �� *� *�� �� �� � ���� ��� � ��� +�� �� -����� F��� � ������� /��*1 ��� ����� � �� ��������� � ��� ����% �������������) ��� ��� �� ��
� �� �+ � �� ��� ������ ���� � ������ ���� ���� :����� /��� �� �� � �-�� ����� � +�� ����� ����
)�� � �� �� �� � ����� � 3�� � !��
)�� � �� �� *� � -��!� � �++�� � �2��
)+� � �� *� *� � +� �� � ��+�� � .��
&���� ��� ���������� � )��� )���)+� � ������� �� "��
������ � �3 �++ �+
! �2 .
� �
��� 7 � � �� �� %�� ����� � :����� /�-� � � %)� � �� %�)� � �� ��)+� 4����
�� � +�� ��� !%� �� -�� +%� � ��+�� �*�� �/%��� � .�� ���� �-%���0���� ���� � %� �� %� �� ��� �� ������ �
��+�� �*�� �/%
.�� ���� �-%
� �
����
����� � ���� � �3 �++ ��+! �2 .
� � %
�� �
�� �
�
� � ��+�� �*�� �/%
.�� ���� �-%
� �� ����� �
��)�� '�� ��� �� � ��� ����� �����" ������ � ������1
��� ��� � � � � ��� � ����� � � � �� ������ ����� � � � �� ������ � � � � ����� � � � �� ��������� ��� ��� ��� ���� � ��� ����% �� �����������" ������� �� ��� ���� ��� � �� �� ��
�� ��� ��� ������� � ��� �� �� ��� ���������� � ��� � � � � ������� ���� ��� ����% ������������� � ��� � ��� �������" ����� �����"� ������� �� ��� ����
��� � ��1
��. '7(84� 94::7(; 4(< 94��7�8 5�04:� /
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
6. Linear Mappings and Matrices
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��� ��� �+ ������ � �� �� � +�� �� ��� !�� -�� /������� ��! �� ������ � �� �� �� �� � +�� !�� ��� -�� -�� 3�� �� ��������� ��+ �! ������ � �� �� %� � ��� +�� .%� �� �� %� !�� -%� /���
��� &� ���
�� *� � � � � *� � ���� ���� � � � � ����*� �� � � � � *� � ���� ���� � � � � ���������������������������������������������������������*� *� � � � � �� � ���� ���� � � � � ����
�� ���� �� ���� ��� � � � ������ ��� � � � ��������������������������������������� ��� � � � ���
�
��
���
��� E� ��� ���� �� ���� ���� ���B � ��� ��� ������� � ��� ��B���� �� �� � � � �� �� �� � � ��� ����
�� �� �+ ��� !
- �/
�
�� ��� �� � + �! � �-- 3 �� ��
� �� ���� �� �
� + �.� � �
! * �-* / *
�
��
���
��))� '�� � � � - �+� �! 3
� �� ����� ��� � ���������� �����" ��+ �� ������ � �� � ���
����� ������� �� ������� � �������� ���� ��� ����% �� ��� ���������� ��� �����" ������� �� ��� �������" ��� � �+ �� ��1
��� ��� ���� ��� � �+ �� � ���
��� � � �)��)��)+� � ��� �� ��� �� �� *�� �� *� *�� �� �� � ���� ��� � ��� +�� �� -������ ������� �� ��� ���� ���� �� �� ��� ����% � ����� �
��� ���� :����� 2��� �� �� � �-�� ����� � +�� ����� ����
)�� �� - �+� �! 3
� � �
�
�
�
�
�� � !
!
� �� ����� � .��
)�� �� - �+� �! 3
� � �
�
*
�
�
�� � 3
�+� �
� �!��� � �!��
)+� �� - �+� �! 3
� � �
*
*
�
�
�� � �
�
� �� �.�� � -��
&�����" ��� ��� ������� � )��� )��� )+� � ������� ������ �� � ��� �!� �.. �! -
� ��
��)-� �������� ��� ����� ���� ������� � �� �� ������ � � �� �� � ��� +�� �� !�� �� ��� �������" ��� � ��1
� � ���� ��� � ��� *�� *� ��� �� � � ���� ��� � ��� +�� �� -��
��� ���� ��� ����% � �����������" � ������� �� ��� ��� � �� ��
��� ���� ��� ����% $ �����������" � ������� �� ��� ��� � �� ���&� �� ���� � � ����� �����" ��� ��� ���� ���� ������� ��� ����" ��� ��� �����
�04:� /6 '7(84� 94::7(; 4(< 94��7�8 ��2
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
6. Linear Mappings and Matrices
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��� ���� :����� /��� �� �� � �-�� ����� � +�� ����� 0����
� ��� � � �� *� � �� �� � �.�� � -��� ��� � � *� �� � �+� !� � �+�� � �+��
�� �� � � �. �+
- ��+� �
��� &� ���
� ��� � � �� +� � �3� �+� � �3�� � �+��� ��� � � �� -� � ���� ��� � ����� � ����
�� �� $ � �3 ����+ ��
� �
��).� 0�� �� ��� ������� � �� $ �� :����� /�+! ������C
E� ������� /���� ��� ������� � �� $ �� �$������� �� ��� �����) ��� ��� ����� �%��� ������"���������� � �� " ���� ��� $ � "����� ����� � �� ��� ���"�#� #��� ����% ��� � �� �� �� " �� ������"�#� #��� ����% ��� � �� �� ����
� � � �
+ -
� �� " � �- �
+ ��� �
� "�� � � �
+ -
� �
�� "���� � � �
+ -
� � �. ��+- ��+
� �� �
+ -
� �� �3 ���
�+ ��
� �� $
��)�� :���� ������� /��!1 '�� �� ' � ����� ��� ��� ��B� � � ���� ����� �%��� ��� � ��� ' ���� ��� ��� ����% ������������� � �� ��� �������" ���� ����� # �� ��� #�$����������� ����%1
� � # *
* *
� �
������ ��� � � � �� ��� ' � �� '�� ( � ��� B����� � �� ' � ��� ��"� � � &� �� "���� �����B � � � 0���� ��� ��������� � ��� B����� � �� �� � '�� �)�� � � � �)�� � � ��� � ��� B����� � �� �%���� ���� �� ��� � � 1
���� � � � � � �)�� � � � �)�� � �� �� � ���� �� � ���� � � � � � � � �
���� ���� � � � � � � �� ��� � ' �� ��� ��"� � � 8%���� ���� �� ��� � ' � ��
���� � � � � � � � ��� � � � � ���
>����� ���
��� � �� � ��� � *�� � � � �� *� � *� �� � � � �� *��
��� � �� � *�� � ��� � � � �� *� � *� �� � � � �� *��
������������������������������������������������������������������������������������������
� � � � � *�� � *�� � � � �� �� � *� �� � � � �� *��
)�� � * � *�� � *�� � � � �� *� � *� �� � � � �� *��
������������������������������������������������������������������������������������������
)�� � � * � *�� � *�� � � � �� *� � *� �� � � � �� *��
���� ��� ����% � �� ��� ��� ��� �� ��� ��$����� ����
�+* '7(84� 94::7(; 4(< 94��7�8 5�04:� /
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
6. Linear Mappings and Matrices
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
�5��&�$�����8 ���7&�$!
������� �� ������ ���������
��)1� '�� ��� �� � ������ � �� �� � !�� -�� ��� ������ ���� ��� ����% � �����������" �� ��� ���� ��� ��
��� ���� ��� ����% $ �����������" �� ��� ��� � � ���� ��� � ��� !�� �� 2������ ���� � ���� ��� $ � ��������� ��� � � �� ��� ��� ���� �� ����� � F��� � ��� ��� ���� � ����� �
��)3� '�� ���� �� � ������ � ��� ����% � � - ��� !
� ��
��� ���� ��� ����% $ �����������" � ������� �� ��� ��� � � ���� ��� � ��� +�� �� .��� ������ ��� ����������� ��� �����" � ������� �� ��� ���� ��� ���
��� ��� � � �� ��� ��� ���� �� ������ �
��)4� ��� ��� ����� ���� ������� * �� ��� ��� ��� ����% � �����������" * �������� �� ��� ���� ��� � ���1
��� * �� ��� ������� �� �� �����������B���� � !-����� * �� ��� ��G������ �� �� ��� ��� ���� � � ��
��� * �� ������ � *�� *� � +� -� �� **� �� � 3�������� * �� ������ � *�� �� � +� 3� �� *�� �� � -��!��
��-(� ���� ��� ����% �����������" ��� ����� ���� ������� � �� �+ ������� �� ��� ���� ��� � �+1
��� � �� �� %� � �� �� *�� ��� � �� �� %� � %� �� %� �� �� %����� � �� �� %� � ��� 3�� !%� +�� �� !%� /�� .�� %��
��-�� ����� :����� /�!* ����" ��� ��� � � ���� ��� �+� � ��� �� *�� �� �� +�� �� +� -���
��-�� '�� * � ��� ����� ���� ������� �� �+ ������ �
*�� *� *� � �� �� ��� **� �� *� � �� +� -�� **� *� �� � �� �� ����� ���� ��� ����% � �����������" * ������� �� ��� ���� ��� � �+�
��� ���� ��� ����% $ �����������" * ������� �� ��� ��� � �� :����� /�!��
��-)� '�� ������ ��� �� ������� �������) ��� ��� � ��� � �� ���� 8�� � ��� �������" ���� �� ��� � ������ ���� � � ��������� ���� ��� ����% �����������" �� ��� ���1
��� ���� ���� ������ ��� ��� �� ��� +�� ��� +��� ��� ��-�� ��-�� ���-���
��--� '�� ������ ��� �� ������� ������� �� ��� ������ ���� � � �������� ���� ��� � � ���� �� ��� ������ ���� ��� ����% � � ��� � ��� ,�� � �� ���� ��� �� =��� � � �� � �� � ��
��-.� '�� � � ��� ������ ���� � � � �������� �������� ��� �������" ����% �� ���� ��� � � � 1
� � �
� �
� ��� � � � *
* *
� ��
* �
* *
� ��
* *
� *
� ��
* *
* �
� � �
���� ��� ����% �����������" ��� � ��� �������" ����� �������� � �� � ������� �� �1
��� � �� � �� ��� � �� � � � ��� � �� � �� � �
��-�� '�� �� �� (� ������ ��� �������� �� =��� ��������� ������������� �� ������ ���� � � ��� ���� �� ����� � � � 1 ��� ��� �� � # � ��� �������� ����%� ��� �(� �� � *� ��� =��� ����%�
�04:� /6 '7(84� 94::7(; 4(< 94��7�8 �+�
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
6. Linear Mappings and Matrices
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
�*��+� �� ,����
��-1� ���� ��� ���"�#� #��� ����% � ��� ��� ���� ��� � � �� �� ��� �� ��� ���"�#� #��� ����% "
��� � �B �� �� �� ��� ���������� � � � �� �� ������� �� �� �� ��� �������" ��� �1
��� � � ��� ��� +� -��� ��� � � ��� -�� +� 3������ � � ����+�� +��.��� ��� � � ��� +�� !� -���
��-3� �������� ��� ��� � � ��� ��� �� +�� �� �� � ��� +�� �� !�� � ��� ���� ��� ���"�#� #��� ����%1
��� � ��� � �� ��� ��� " ��� �� �B �� ��
��-4� ������ ��� ��� �# �� �#%�� �� ��� ���� �� �� ������ �����������B���� +*� �� ����� ��� ��# �� ��#%�� �� ��� ����� ����1
��� ��� ���� ������� �� ��� ��������� � ��� ��� ��# �� ��#%������ ��� ���"�#� #��� ����% � �� ��� ��� ��������� �������
��� ��� ��� ���������� � ��� ������ ��� +�� $���-�� ,�� ���
��.(� ���� ��� ���"�#� #��� ����% � ��� ��� ���� ��� � � �+ �� ��� �� ��� ���"�#� #��� ����% "
��� � �B �� �� �� ��� ���������� � � � �� �� �� ������� �� �� ����� � �������� � ��� �������1
��� �� � �� �� *�� �� � *� �� ��� �+ � *� �� ������ �� � �� *� ��� �� � �� �� ��� �+ � �� �� !����� �� � �� �� ��� �� � �� +� !�� �+ � �� -� /��
��.�� ������ ��� ��� �+ �� ��� � � � '�� � �� " � ��� ���"�#� #��� �������� ������������� ��� �� �� �� �� ��� �� �� �+� :���� ��� �" �� ��� ���"�#� #��� ����% ��� �� �� �+�
������ ��������� �� �*��+� �� ,����
��.�� �������� ��� ����� ������� �� �� ������ � �� �� � -�� �� +�� ��� �� ��� �������" ��� � ��1
� � ��� ��� �� +�� �� �� � ��� +�� �� !����� ���� ��� ����% � �����������" ������� �� ��� ��� ��
��� ���� ��� ����% $ �����������" ������� �� ��� ��� ������ ���� ��� ���"�#� #��� ����% � ��� � �� ������ 0�� �� � �� $ ������C
��.)� '�� ���� �� � ������ � ��� ����% � � � ��+ �
� �� ���� ��� ����% $ ��� ���������� ��� ����� �������
� ������� �� ��� � ��� �������" ���1 ��� � � ��� +�� � �� -�� �� ��� � � ��� +�� � �� !�� ��
��.-� '�� ��� �� � ������ � �� �� � �� +�� ��� !��� ���� ��� ����% � ��� ���������� ������� ����� � ��� �������" ���1 ��� � � ��� -�� +� 3��� ��� � � ��� +�� !� -���
��..� '�� ���+ �+ � ������ � ��� ����% � �� + �
� 3 !
� ! +
�
�� ���� ��� ����% $ ��� ���������� ��� �����
������� � ������� �� ��� ��� � � ��� �� ��� � *� �� ��� � �� �� +�� ��
�+� '7(84� 94::7(; 4(< 94��7�8 5�04:� /
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
6. Linear Mappings and Matrices
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
�� ������2 �� �������
��.�� '�� � � � �
� �+� �
�� � � � ��+ �-
� ��
��� ���� $ � ������ ��� F��� � ��� ��$� � ����� ��� F��� � ��� ���$� � ������
��.1� ���� ��� ���� �� ���������� � ��� � ��� �������" ����� ��� �� ��1
��� �� �� � ��� +�� -�� !��� ��� ��� �� � ��� ��� ��� ����
��.3� ���� ��� ���� � ��� � ��� �������" ����� ��� �� �+1
��� �� �� %� � �� +�� +�� �%� �� !�� +%����� ��� �� %� � �� +%� ��� !%� -�� 3���
��.4� ������ � � ���� ��� �� ��� � � � �� � �� � �� ������ � � ��� � +�� � ��� �� � ��� � �� � !��� ������ �� � �)��)�� �� ��� � � �� ����� )� � �� � �� �� )� � ��� � +���
��� ���� ��� ������� � �� $ �����������" � ������� �� ��� ��� � �� ��� ���������������� ���� ��� ����% � ���� ��� $ � ������
���(� '�� � � � � ����% ���� ��� ���� � �� ������ �� ����� � ��� ��� � �� ���� ����%� ��� ��� ���
� � � *
* �
� ��
����� ��� ��� �� ������� ������ �� � ��������� ����% �� ���������� 9��� "�������� ���� ��� ������ ���������� ��� ��� ��B�
����� �������������� �� +������ ������ �����+�
����� ���� ��� ����% ������������� � ��� � ��� �������" ����� ��� ������� �� ��� ���� ��� �� ��1
��� ��+ �� ������ � �� �� %� � ��� !�� 2%� -�� +�� �%����� ��� �! ������ � �� �� � +�� !�� -�� ��� �� 3�� !������ ��! � ������ � ��� ��� �+� �!� � ��� � �� � 3�+ � �!�
���)� '�� ���+ �� � ������ � ��� �� %� � ��� +�� %� !�� �� �%����� ���� ��� ����% � �����������" � ������� �� ��� ���
� � ��� �� *�� �� �� +�� �� +� -�� �� �� � ��� ��� �� +����� ��� �� � � �� �� �� �� �+� ��� ���� �� ������� � ��� F��� � ��� ����� � ������� �
���-� '�� - ��� �� � ������ � -�� �� � ��� 3�� �� +�� �� �������� ��� �������" ��� � ��1
� � ��� ��� �� ��� �� �� � ��� !�� �� -��
��� ���� ��� ����% � �����������" - ������� �� ��� ��� � �� ������ ���� ��� ����% $ �����������" - ������� �� ��� ��� �� �� ��
���.� '�� ��+ �� � ������ � �� �� %� � ��� �� %� +�� ��� !%����� ���� ��� ����% � �����������" � ������� �� ��� ���
� � ��� �� ��� �� �� *�� �� *� *�� �� �� � �� +�� �� !����� F��� � ���� �� �� � � �� �� �� �� �+� ����� � ������ �
�04:� /6 '7(84� 94::7(; 4(< 94��7�8 �++
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
6. Linear Mappings and Matrices
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
����� '�� � �� �� � ��� � � � �� ��� �� � ��� �������� �����" �� � � ��� ��� ��� ����% � �����������" ��������� �� ��� ��� � �� �� �� ��� ������� � ��� ���"�#� #��� ����% � ��� � �� ��� ��� ��� � � ����
���1� :����1 ��� ������� /��*� ��� ������� /���� ��� ������� /���� ��� ������� /��+� 5-���. �� ��� ���� � � ������"��� �������� /�� �:����� /�2�� /�� �:����� /��*�� /�+ �:����� /����� �� /�3 �:����� /��/��6
����������� ���,�� �
���3� ������ �� � �� ������ 4 ������ ( � � �� ��� �� � ��/� ���� ����� � ( � � ( � ������ ( ��
������� ����� �� ��� ( � � ��� ��� �� ���B ����"��� ����% ������������� � � $
* ,
� �
����� � �� � ������%�
���4� ������ � � ' �( � �� ������� ' �� � �� ��� ������� ����� ����� ������� �� �� 4����
������� ��� ' � �� ��� ( � �� ��� ��� �� ���B ��"��� ����% ������������� � � *
* $
� �
����� � �� $ �� �� � � ����������
��1(� ��� ����� �������� �� � �� � �� ��� �� � ����&� � ����� �%���� � ��������� ����� ������� � �� �
���� ��� � � ��� � � � � :����1��� �� � �� ������ � �� ���� � � �� �� ��� � � � � ��� �� ���� �� ������ ����������� 7 �� ��"����=�� ������� �� ��"��� ����%�� ���� �� ������ ����% � �� ��� ��"����=���
��!9��! �� �5��&�$�����8 ���7&�$!
0�������. � ���� ��� � � �� ���������� ����% ���� ���� ������ � � � �
��)1� ��� � � �!� -� ����� ��� $ � ���*� !3.� �2.����3� ��� � � ��� �� !� 2���� ���� � �2�� ��� �!�� ��� �� ���� � �+��� !3�� ��!�� �����
��)3� ��� $ � ��/���.� !� �-���� ��� � �!�� ��� +
��� �
���� �� ������ � ��.�� .�� �
���+�� 3���
��)4� ��� � ����
��� ���
��
�����
��
����
� � ��� �*� �� �� *� ��� �+� 3� -������� ��� �� �.�����
��-(� ��� ��� *� *� *� �� *� *� *� *� ��� �*� *� �� *� �� �� �� �� ����� ����3��!� +� �� !� /��.� ��
��-�� ��� ��� +� -� *��-���*� *� +� /� ��� �*� �� �� ��� �� +� �� *� *���� ��-� -�� �*!� �!2���2�� +-�� �2� ��/� �*.�
��-�� ��� ��� �� �� �� +� �� �� -� �� ��� �/� �3� �/� �!��+��!� *��-��.�
��-)� ��� ��� *� *� *� �� �� *� *� �� ��� �*� �� *� *� *� *� *� *��+� *� *� +� *���� �-� �� *� *� -� �� *� *� -�
��--� ��� � � �*���� �� *� ��� �� � # � *
�+! '7(84� 94::7(; 4(< 94��7�8 5�04:� /
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
6. Linear Mappings and Matrices
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��-.� ��� ��� *� �� *� *� �� *� �� �� *� �� *� *� �� *� ����� ��� �� *� *� �� �� *� *� *� *� �� �� *� *� �� ����� �*���� �� *� ��� �� �� *� �� �� *� � � ����� *� ����� *�
��-1� ��� ��� +� �� -�� ��-� +� ������ ��� � ��-�� �� ��� ������ ��� +� �+��.�� ��.��+� +� ��� ��� � ��.�� +�� +�� ������ ��� +� -� 3�� ��3� +� -����� ��� � ��3�� +�� -�� ������� ��� !� +� -�� �� -
�� �� +
������ ��� � �� -
��� ��� +
��� ���
��-3� ��� � � �+� -� ������ ��� " � ��� -� ����+�
��-4� ��� ��
���+
�� ���� � �
�� ��
���+
� � ��� � � ���
���+
��� �
�� �
�� ��
���+
� ���� ��� � �� ��� +�� � �$� � �� ����-�� � �,� � �� ��� ���
��.(� � �� ��� ����% ����� ������� �� ��� ��� �+�" � ���� ��� � "��� �� ��� ���� " � ��� *� *� ����� �� ��� ������ ��� � ��� �� �� �� ���� ��� ��� ��� #
" � �*���� �� �� +���� ������ ��� ��� � ����� �� ��� +�� ��� ��� �� ��� ��� #" � ���� ����� �3� !���� -��+� ��� ��� � ����� ��� �� �3�� !�� �� -�� +�� ���
��.�� ��� ���+��+2� �+� �/� ��� �+-� !�� ��3��+�� ��� �+� -� ������ ��� $ � �����
��.)� ��� ��.� !�� ��-���-� ��� ��+� �.� � �-����*�
��.-� ��� �!+� /*� �++��!/� ��� �� .3��� �!+
�� !2
�� .���
��..� ��*� .� �*� �+� ��� �.� �-��!� �*�
��.�� ��� ��+!� -3� ��2� +�� ��� ��$� � ���� � �� ��� ���$� � ����� � �-
��.1� ��� ��� � /� ���� � �+ ��� ���� � �� �� ����� � �� � ��
��.3� ��� ��� � �� ��� ���� � *
��.4� ��� � � �+� �� ��� !��$ � �.� ��� ������ ��� � � ��� �� �� +�
����� ��� ����!� 2� -� +���� ��� �+� -� �� !� !���� 3� *� ��� ��� +��3�����
���)� ��� ��2� �� !� 3� �� �� ��� ���� � ���� ��� �� -�� -�� ��� �+�� +�� ��� � ��������� � ���� ���� 3�� 3�� !���
���-� ��� � � �!3� .-� �+.��/2� ��� $ � �3�� ..� �!���-��
���.� � � �+� ��� -� ����.��+�
�04:� /6 '7(84� 94::7(; 4(< 94��7�8 �+-
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
7. Inner Product Spaces, Orthogonality
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
������� �
�� �� ���� ����������� � �����
��� ����������
��� �������� � �� �� ��� � � ������� �� ��������� ���� �� ���� �� ���� ������ � � � �� ��� �������� �� �� ��� � ��� � �� ����� � ���� ���� ������ �� ��� ���� �� ���� ���� ������� �� ������ ��������� � ��� ��� ����� � �� ��� ����� ���� �� �� ��� � ��� � �� ����� � � ���� ���� ������ ������ ���� ��� ������� ������ ����
�� ��� ��� �� ��� �� �
�� �� �� � ��� � ����� �� �
����������� ��� �� �� ��� �� � �� ���� ������ ���� ����� �������� ������ �������� ������ � ���������� ��� ���� ��� � ���� ����� ��!! ��� ����� ������!! ��� �� ������ �� ��� ������� ����
��������� �� �� ��� �� � "����� � ���� ��� ������ �� #������ $ � ��� ��� �� �� ��� ��%� ���� �� ��� ��� ��������� ���� ���� � � �� �� ��� � � � ����� �� ����� ���� � ��� �� ��� �� ���� ����� ����� � ���� ��� �������
��� ��� � ����� ���� �
&� �� �� ���� � ���������
��������� '�� � �� � ���� �� �� ��� �� (����� � �� � ���� �� ��� �� � � � ����� �� ���� ��� � ����������� ������ �� ��� ��� ���� �� ��� �� ����� � "����% ����� ����� � � � �� �������� �������� �����)
�*$� ������� �������� ���$ � ��+� �� � ���$� �� � ���+� ����*+� ��� ���� �������� ��� �� � ��� ����*,� �������� ������ �������� ��� �� � -�� ��� ��� �� � - � ��� ��� � � � -�
��� �� �� ��� � � ���� �� ����� ���� � �� ����� � "����% ����� ����� ������
+,.
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
7. Inner Product Spaces, Orthogonality
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
���� �*$� ������ ���� �� ����� ���� � �� ��� �� ������ �� ��� ���� ������� /��� �*$� ��� ����������� ���� �*+�� �� �����
��� ��$ � ��+� � ���$ � ��+� �� � ���$� �� � ���+� �� � ���� �$� � ���� �+����� ��� ��� ����� ���� � �� ��� �� ��� ������ �� ��� �� �� ������� #������ ����� �� ��������� ������� ���� ��� ������ ��� ����� ������ �����)��
�
�������
����
�� �
�
��
�������� ���
���� ��� �� ����� ���� � ������ ��������� �� ��� �� �0��� � � ������ �������� ��� ��������� �� ��� �� ����
������� � '�� � �� � ���� ����� ���� � ��� �� ����� �� ����������
�,�$ 1�+� +�$ 2�+ � .�,� � .��$� �$� $2��$� �+� � $3��$� �,� 3��+� �$� � +-��+� �+� +1��+� �,�
�+� 2�� 1�� .�� � 3��� �� � $+��� �� +-��� �� ,-��� ��� 3��� �� 3��� �� ,-��� ��
4������ ���� �� ��� ���� �0����� �� ���� ���� ��� �������� ������� ���� ��� �� � ��� ���
������� ���� �*$� �� ����� ������� �-� -� � �-�� -� � -��� -� � -� ���� �*$�� �*+�� �*,� ����0�������� � �*$�� �*+�� ��� ��� ����� ����)
�*,� * � �� -� ���� ��� �� �� ������������ ��� � �� ��� �������� �*$�� �*+�� �*,� �� �� ����� ���� ��
���� �� � �� ���
5� ��� ����� ���� �*,� �� ����� ���� �� ��� �� �� ���� ����� � ��� �� �� �� ���� ��� ��������0���� �� ������� &� ��� ��� ������
��� ��������������� ��
����� ���� ����� ������ �� ����� ��� �� � ����� �� ��� ������� ���+ � ��� �� ���� �� ������0�������
������� * ��� � $ �� �0����������� � ��� �� � $� ���� � �� ����� � ��� ���� ��� �� ���� � ���� ������� 6���� ��7�� �� �� � �� � �� �� ���������� �� ��� �� ��� �� ��� ��� �� � ����� ��� ������ ��
�� � $
��� �
��� � �� � ������� �������� �� ���� �� ��� �� ����� �� ������� ��
��! "�#�$ � �% ��� � ����� ���� �
���� �� ��� ����� ��� ���� �������� ����� ���� � ��� �� ���� �� ���� �����
#��8� 9: *;;6� 8�4</#� (8�#6(� 4���4=4;�'*�> +,9
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
7. Inner Product Spaces, Orthogonality
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
& '�(��� �)�*� � ��
#������ ��� �� �� ��� � ��� ��� � ����� � ������ ����� �� �� �� ������ ��
� � � �$�$ � �+�+ � � � �� ����
����� � � ���� ��� � � ����� ���� �� ��� ������ �� ����� ���� � � ��� ��� ��� ��� ��� �� ��� � ���� �� ���� ��� � �� �� ����)
��� � ���������� �� �
�������������������������������������+$ � �++ � � � �� �+�
�
4� ��� ���� ����� �� ��� 8���� ���� ������� ��� ������ � �� ��� �� �� 4 �� �, � � ���� ���� �� �� �� ���� ��
��������������������������+ � �+ � �+
�� ���� �� ��� ����� ��� ���� �� ��� ����?������ ��� ��� �� �� � � ��� �� �� ��
�,� (�� � ��� 8� �� ���� ������ �� � ���0��� � ��� ����� 6� ������ ������� ��� �� ����� � �� ���� ��� ���� ����� ���� � ��� ��� �� ����� ��������� �������� ����� � ����� ��� �������� � ����� �� ����� ���� � � ��� �� ����� ������ ���� ����� ���� � ������ �������� ������ ��������� *� �� ����� ��� ����� "� ������� ����� �����% � ���
������� ���0������ ��� �� ��� �� �� ���� �� ����������� �� ���� �� ���� ���� ��� �� �� $ ���� ����� ��� *� �� � � ���� ��� �����
��� �� � ���
������ ��� ����� ����� ���� � � ���
������� �� '�� � � �$� ,�1� +�� � � �1�+� +� $�� � � �2�$�+� .� �� �1�
"�% 5� ���������
����� � 2 ,� 3� $+ � ++ ��� ����� � +-� + 1� . � +1
;�� ���� ,� +� � �2� $,�$.� 1�� �����,� +�� �� � +2 $,� ,+� +1 � $3
�� ���� ���� ,����� +����� � ,�++� +�+1� � $3 � �,� +�� ���"�% 5� ���������
��� � ������������������������������$� @� $.� 1
� ������,-
���� ��� � ������������������������������
$.� 1� 1� $� � 2
&� ������7� � ��� � � ����� ��� ����� ���� �� ��� �� ��� ���� ���� � ��� �� ����� ������)
�� � $
��� � � $�����,-
� �,�����,-
� �1�����,-
� �+�����,-
�� �
��� �� � $
��� � �1
2�+
2�+
2�$
2
� �
%&� ���� �*� � ���� �� ��( ��'+�����' �*� � ���
��� ������ ���� �� �� ���� � ����� ��� �� �� ��� � ��� ������� �� ���� � ��� ������������ ��� ��� ���� ��� ����� � � � �� ��� ����� ������ �� ����� ���� � � ���� ��� ����� � �� ������ ��� �� ���� �� ���� ��)
� � � �� ���
� ����� �
*� �� ����� ��� ����� ����� ����� � ���� ������ �� �� ��� � ��� ��� ��������� �� � ������ � ���� �� � ��� �������� ��� ��� ��� ��� � ���
���� �� ��� �� ����� ���� � � ����
+,3 *;;6� 8�4</#� (8�#6(� 4���4=4;�'*�> A#��8� 9
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
7. Inner Product Spaces, Orthogonality
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
������� �� #������ � �� � , 2 ��� ��� � + �� ��� �������� ��� � ��� ���� ����� ���� �
� � � �� �$-
� ����� ��
"�% ���� � � � ���&� ���� � ����� � ,, 2+� ��� �
� � � �� �$-
�,, 2+� � � ,11 2
,,$
-
� ,1 2
,� $$
$+
"�% ���� � � � ��� ����&� ���� � � ���+ � � �� � �� � @+ ,- � +2 ��� �����+ � 1� ����
� � �+ � � � � � � �$-
�@+ ,- � +2� � � ,, $2+ � +2
$
-
� $,
���+ � ��� �� �$-
1 � � $22$
-
� $2
�������� � � � � �����$,
���� ��� �
��$2
�� $
2
���2
��
#����, �*� � # � # ��
'�� # � # ��� ��� �� �� ��� � ��� ���� � � ����� ��� �� ����� ���� � �� ������ � # ��
� �!� � ���!� ������� �� ������ ��� � �� ��� ��� �� ����� ��� ��� ��� ��� ��� ��������� * � ����� ��� ! � ������ ����
� �!� � ���!� � � � ��$
����$
������ ��� � �+ � � � � � � ��$
����$
�+��
���� ��� � �!� �� ��� ��� ��� ��������� ������� �� ��� ! ���� �� ����� ����� � � � �� ��� ��� ����0����� ��� ������� �
-�'.��� �*� �
'�� � �� ��� �� �� ��� � ��� ������� ��0��� �� ���� ������� ��$� �+� �,� � � �� �������� ����$
�+� � �+$ � �++ � � � � � �
���� ��� ��� ��� ���� ��� ������� ��� � ���� �������� ���� ��� ������ �� � ����������� ���� ��� �
� � ��$� �+� � � �� ��� � � ��$� �+� � � ������ �� � � ��$ � �$� �+ � �+� � � �� ��� �� � ���$� ��+� � � ���� ����� ���� � �� ������ �� � ��
��� �� � �$�$ � �+�+ � � � �
��� ���� ��� ���� �� ��������� � ��� ���� ����� �� �� ��� � ��� ����� ���� � �� ���� ����������� ����� ���� � ��� � �� ����� �+?����� � "����� ������
#��8� 9: *;;6� 8�4</#� (8�#6(� 4���4=4;�'*�> +,@
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
7. Inner Product Spaces, Orthogonality
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��/ ���-01��-2��3 �� 4�$��05 ���$��������
��� ����� ����� "����� �� 8����� 9�3% �� ����� ��� #�� ��B( ����7 ���0������ � ( ����7���0������� *� �� ���� �� ���� ���� ��� ��������� ��
�6����� ���� "��& 6+1� 67��8% �� ��� �� ��� � ��� � �� �� ����� ���� � ��� � ��
��� ��+ � ��� ����� �� � ���� ��� � ������;��� �� ������� ���� ���0������ �� ��� �� �����
������� �
"�% #������ ��� ���� ������� �$� � � � � ��� �$� � � � � ��� ����� �� ��� #�� ��B( ����7 ���0�������
��$�$ � �+�+ � � � �� �����+ � ��+$ � � � �� �+����+$ � � � �� �+������ ��� �� ��+ � ���+���+� ����� � � ���� ��� � � �����
"�% '�� � ��� � �� ������� �� ���� � ��� ���� �������� �-� $�� ����� �� ��� #�� ��B( ����7 ���0�������
$-
� ����� �� �+
�$-
� +�� �$-
�+�� �
���� ��� �� � � ���+ � � � �+���+� ���� � �� ��� ����� ���� � ��� � ��-� $��
��� ���� ������ "����� �� 8����� 9�@% ���� ��� ���� ��������� � ���� ��� �� ��� ������������ ��0����� ��� #�� ��B( ����7 ���0�������
�6����� ���� '�� � �� �� ����� ���� � ��� �� ���� ��� ��� �� � �������� ��� ����� ���������)
�;$� ��� � -� ��� ��� � - � ��� ��� � � � -�
�;+� ���� � ��������;,� ��� �� � ��� � ����
��� ������� �;,� �� ����� ��� ������� ���#����$� �� ���� � �� ���� �� � �� ��� ���� ��� ����� ������ ���� ����� � ��� � "�� ���� �� �� � 9?$%� ���� �;,� ������ ���� ��� ��� �� �� ���� � ����� �� ���� �� ������ ���� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ���� �� ������
��9'� :��7��� �� ���;
�� ��� ��7�� �� ��� � ��� � �� �� ����� ���� � ��� � �� ��� ����� ������ � ��� � �� ������ � ����� �� �� � �� � ���� - � � � � ���
� � � ��� ��������
5� ��� #�� ��B( �����7 ���0������� $ � � � � $� ��� � ��� �� �� ������ ��� �� ���0���
%�9� �)�
+1- *;;6� 8�4</#� (8�#6(� 4���4=4;�'*�> A#��8� 9
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
7. Inner Product Spaces, Orthogonality
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
������� ��
"�% #������ �� ��� � � �+� ,� 2� ��� � � �$�1� ,� �� �,� ����
��� �� � + $+� $2 � 2� ��� � ����������������������1� @� +2
� ������,3
�� ��� � ����������������������
$� $.� @� �
�����+.
�
���� ��� �� �� � ������� � ��� � �� ���� ��
� � � 2�����,3
� �����+.
�
;�� ���� � �� �� � ��� �� ��� ��� � � � �� ��������
"�% '�� � �� � , 2 ��� ��� � + �� ��� �������� ��� � ��� ���� ����� ���� � � � � �� � $-� ����� �� 5�
6������ 9�,�
� � � �� � $$$+� � � � � �����
$,�
� ��� � $2
���2
�
���� ��� ���� ��!! � ������� � ��� � �� ���� ��
� � � $$$+
� �����$,
� � $2
���2
�� � � 22
$+�����$,
� ���2
�
;�� ���� � �� �� ����� �� ��� ��� � � � �� �� ������
��< ���-�=���$��0
'�� � �� �� ����� ���� � ��� �� ��� �� ��� �� � � � ��� ���� � �� ������ ��� � �� ���� � �������� � � �
��� �� � -
��� ������� �� ������ �������� � ���� ��� � � �� ��� ��� � �� ���� ��� �� � -� ��� � � �� ��� ��� � ��&� ��� ���� - � � �� ��� ��� � ����� � � �� ��� �
�-� �� � �-�� �� � -��� �� � -
#��������� � � �� ��� ��� � ����� � � �� ���� ��� �� � - ��� ��� � � � - �� �*,�� 4������ ���� � ��� ���� ��� ��� � ��� ��� � � � � -� ����� � �� ��� �� �� ������� � ��� �� ���� ���� �� ���� � ��� ��� �� ��� � ��� ���������� ����!!� ����� � � ��+ "� � � @-�%�
������� ��
"�% #������ ��� �� ��� � � �$� $� $�� � � �$� +�,�� � � �$�1� ,� �� �,� ����
��� �� � $� + , � -� ����� � $ 1� , � -� ����� � $ 3 @ � $.
���� � �� ��� ��� � � ��� �� ��� � ��� � ��� �� ��� ����
"�% #������ ��� �� ���� ��� ��� � �� ��� �� �� ��� � ���� �� ������� �� ���� � ��� ���� ����������� ��� ����
���� � � � ���
��� � � � $+���+ ��� � - - � -
���� ��� ��� � ��� ��� ��� �� ���� �� ��� �� �� ��� � ���� ���
������� � �� �� � � ��$� �+� � � � � ��� �� ��� ��� � � � ��$� �+� � � � � ��� �� �� �
����� � �$�$ � �+�+ � � � �� ���� � -
���� ��� � �� ��� ��� � � � � �������� � �� ����� �0����� ���� �� ����� ��� ��� �������� ��
#��8� 9: *;;6� 8�4</#� (8�#6(� 4���4=4;�'*�> +1$
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
7. Inner Product Spaces, Orthogonality
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
������� �� ���� � ��7�� �� �� � ���� �� ��� ��� � �$ � �$� +� $� ��� �+ � �+� 2� 1� �� �,�
'�� � � ��� $� ��� ���� �� ���� ��$��� � - ��� ��+��� � -� ���� ������ ��� �� ����� ������
�� +$� � � -
+�� 2$� 1� � -�
�� +$� � � -
$� +� � -
���� � �� ��� ��� ��� �������� �� ��� � ���� ������� (�� � � $ � ����� $ � + ��� � � ,� ����� � � �,�+� $� �� �������� ��7�� �� �� ��� ��� � �$ ��� �+�
��� �������� � ���� ��� �� ��� ��� � �$ ��� �+� ;�����7�� �� �� ����� ��� ����� ���� �� ����� ��� � �$ ��� �+)
�� � �
��� � ,�����$1
� � +�����$1
� �$�����$1
�� �
���6�9���' ���*'�����;
'�� % �� � ������ �� ����� ���� � ��� � �� ��� ��� ��� �������� %� ������ �� %� "������% ����!!% ������ ���� �� ��� �� � ���� ��� ��� ��� � ����� �� �� � � %� ���� ���
%� � �� � � � ��� �� � - � ����� � � %�*� ����� ����� � � ���� �� �� � �� �� �� ����
�� � �� � � � ��� �� � -����� ��� �� ������ ��� �� ��� �� � ���� ��� ��� ��� � ��� ���� �� �� ��
&� ���� ���� %� �� � ������� � �� #������ - � %�� ��� � - �� ��� ��� � ����� �� �� �� �� ;������� �� � � %�� ����� � ��� � ����� � ��� � ��� ��� �� �� � � %� �� ����
���� ��� �� � ���� �� � ���� �� � � -� � - � -
���� ��� �� � %�� ��� ������� %� �� � ������ � ��&� ����� ���� ������ �������
���*�;����� ��!� '�� % �� � ������ � �� �� ��� � �� ���� %� �� � ������ � ��
������ �� (����� � �� � ��7�� �� �� �� �,� ���� ����� �� � ������ �� ��� ������ ���(�� �� ����� �� �� ��� ����� �� �, ���� � ��� �� �� & ��� �������� ���� � ��� �� �� �� ���� �� ������ �� � 9?+�
������ �� '�� ' �� ��� ������ ��� � �� � � �� ����� ������ ( � -� ����� � �������� ( � ����� �� ��� ���� ' ��� �� ������ �� ��� C����� ��� ������ ������ ��� � � � ;� �� �� ��� ������ ������������� ' ���� ��� ���� ��� ������� (�� �� ����� �� � ������ �� ��� � ��$� �+� � � � � ��� �� ��� ��� � �� � �� � ��� ��� � ' �� ��� ��� ��� �������� ��� ����� � �
%�9� �)�
+1+ *;;6� 8�4</#� (8�#6(� 4���4=4;�'*�> A#��8� 9
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
7. Inner Product Spaces, Orthogonality
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
������� �� ���� � ����� � ��� ������ � �� �,� ����� � � �$� ,�1��;�� ���� �� ������ ��� �� ��� � � ��� $� �� �� � ���� ����� � -� � �� ,$ 1� � -� ��� ��� ���������
��� $ ��� ��
"$% (�� $ � $� � � - � ����� ��� ������ �$ � �,� $� -��"+% (�� $ � -� � � $ � ����� ��� ������ �$ � �1� -� $��
��� �� ��� �$ ��� �+ �� � ����� � ��� ������ ��� � ��� �0������ ��� ��� � � ����� � ���
(����� ' �� � ������ � �� ���� ��� ' ��� '� ��� ������ �� �� ��� ���� ������� ������ "8����� 9�+3% ��0����� ������� ����� �� ����� �� � ���� ������ �� ������ �� �����
�6����� ��/� '�� ' �� � ������ � �� ���� � �� ��� ���� � ��� ' ��� '�� ���� ��� � � ' �'��
��> ���-�=���$ � �� �� :�� �
#������ � ��� % � ��$� �+� � � � � ��� ��7�� �� ��� �� �� ����� ���� � ��� � �� % �� ����������� � �� � ���� �� ��� �� % ��� ��� ���� ��� % �� ����� ���� �� � % �� ��� ��� ����� � �� �� �� % ��� ���� ��� ��� ���� ��)
"�% ���6�9���'� ���� ��� � - � � �� �
"��% ���6������'� ���� ��� � - � � �� �
$ � � � �
�
)� ������� �� ��� ��� ��� % ����� � ��� �� ��� ���������� �� � �� �� �� % �� ��� �� ��� �� ��� ��� �� �� ���� � ������� % ��� �� �������� ��� �� ����
��� ����� ������� ������
�6����� ��<� (����� % �� �� ��� ��� ��� ��7�� �� ���� ���� % �� �������� ������������
�6����� ��>� ��+�6�9���;� (����� ��$� �+� � � � � ��� �� �� ��� ��� ��� �� ���� ����
��$ � �+ � � � �� ��� � ��$� � ��+� � � � �� ����
����� ������� ��� ����� �� 8������ 9�$2 ��� 9�$.� ����� ������� ���� �� ���� ��� 8���� ���������� �� ��� ��� ��� ��� ������� ��� � �� �� ���� (�� �� ����� ������ ��� �� � -� ����
��� ��+ � ��� �� �� �� � ��� �� � +��� �� � ��� �� � ��� �� � ��� �� � ���+ � ���+
��� � ���� �� �������
������� ��
"�% '�� � � ��$� �+� �,� � ��$� -� -�� �-� $� -�� �-� -� $�� �� ��� ����� ����� 6� ������ ��� � �,� *� �� ���� ����
��$� �+� � ��$� �,� � ��+� �,� � - ��� ��$� �$� � ��+� �+� � ��,� �,� � $
;������ � �� �� �������� ����� �,� D�� ��������� ��� ����� ����� �� �� �������� � ����� ��
"�% '�� � � ������ �� ��� �� �� ��� � ������� �� ���� � ��� �������� � � � � ���� ����� ���� ������� �� � � � �� � �
� � ����� �� ���� ��� ����� �� � ����� �� ������� �� ��� ��� ��� �� � )
�$� � � � +� � ,� � � � � ��� � ��� +� ��� ,� � � ������ ��� ��� ��� ����� � ���������� ��� �� ��� ����� ������ �������
#��8� 9: *;;6� 8�4</#� (8�#6(� 4���4=4;�'*�> +1,
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
7. Inner Product Spaces, Orthogonality
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
���6�9���' :�;�; ��( $����� ���.�������;5 %�&���� ����� ����;
'�� % ����� ��� ����� ����� �� ��� �� �,)
�$ � �$� +� $�� �+ � �+� $�1�� �, � �,�+� $���� ������ �� ����� ���� ��� �� ��� ��� ��� ���� ��� � ���� ��� �������� ������������ ���� % �� ����� ��� ����� �,�
(����� �� ���� � ����� � � �9� $� @� �� � ������ �������� �$� �+� �,� ����� �� ��� � �� � ������ �������� �$� �+� �, ���� ��C���� �$� �+� �, �� ����)
� � �$�$ � �+�+ � �,�, � �9� $� @� � �$�$� +� $� � �+�+� $�1� � �,�,�+� $� �E�
&� �� �� ��� �� �� �����
#��6�( �� 6����� �E� "�� �� #������ ,% � ����� ��� ������
�$ � +�+ � ,�, � 9� +�$ � �+ +�, � $� �$ 1�+ � �, � 9
(��� ��� ������ �� =������� ���������� � ����� �$ � ,� �+ � $� �, � +� ����� � ,�$ �+ � +�,�
#��6�( �� "���� ����� ���� ��� � � ���� ��� ����� �� ��� ��� ��� ���� ��� ��� ��������� �� �� ���������% * �� ��C� ��� ����� ���� � �� � ���� �E� ���� ����� � � ��� �� ��
��� ��� � ��$�+ � �+�+ � �,�,� ��� � ��� ��� � ������ ��� � �� ���� ������� ���
���� �� ����� ��� ��� ��� � �$� �+� �, ��� ��� ���� � ���� ���
�$ ���� �$���$� �$�
� 9� +� @
$� 1� $� $3
.� ,� �+ �
��� �+���+� �+�
� $1� $ ,.
1� $� $.� +$
+$� $
�, ���� �,���,� �,�
� +$ +� @
@� 1� $� +3
$1� +
����� � ���� �� �� � � ,�$ �+ � +�,�
��� �� ����� �� D���� + �� ���� �� ������� ;������ �� ���� ��� ����� ������ "����� ��8����� 9�$9%�
�6����� ���� '�� ��$� �+� � � � � ��� �� �� ��� ��� ����� �� ����� � ��� � � ��
� � ��� �$���$� �$�
�$ ���� �+���+� �+�
�+ � � � �� ��� ������� ���
��
������� ��� � ���� �� ���� ������� ���
�� ����� ��� *����� ���+���� � ���� ����� � � ��� ��� � �� ��
���� �� � � �� ���� �� ��� ������ ������ � �� ���� ���� � ���� ��� ��� � ������ ����������������� � �� ��� ����� �����
+11 *;;6� 8�4</#� (8�#6(� 4���4=4;�'*�> A#��8� 9
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
7. Inner Product Spaces, Orthogonality
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
���?� ����;
'�� � �� �� ����� ���� � ��� �� (����� � �� � ���� ��7�� �� �� �� �� ��� ������ � �� �������� ��� &� ���C ��� ����F� ��� � ��� �!!� ��� �� �� ���� ���� �� �� � 9?,"�%� ���� �� ��� �������� �� � �� � ���� � � � �� �� ��� ��� � �� ���� �����
�� ��� �� � - � ����� ������ � - � � � ����������
� ���� ��� ��� ������� � � ���� � �� ������ ��� ������ ��
��F����� � �� � �����������
(� � � � ���� � �� ���0��� ��� �� �� ����� ��� *����� ���+���� � ���� ����� � � � � ��� � ���� ���� ��
��� ���� ���� �� �������7�� �� ���� "��� 8����� 9�+�2%�
�6����� ��@� (����� �$��+� � � � ��� �� �� ��� ��� ��� ��7�� �� ��� �� �� '�� � �� ����� �� �� �� <����
� � � ��$�$ � �+�+ � � � �� ����������
�$ �����$���$��$�
� �+ �����+���+��+�
� � � � � �� ��������������
���� � �� ��� ��� � �$��+� � � � ����
;�� ���� �� � �� �� ��� ���� ������ �� ��� ������ "������ �� ����% � ��� ��� ���� ���
������� ��� ���� ��� ��F� ��� � �� �� � � � ��� � ������ � ' � �� ������ ������� 5� ������ 9�1� � � ' �'�� ��� � � ��� �� ��������� ���0���� �� ��� ��
� � �� �� ����� � � ' ��� � � '�
&� ����� � � �� ��� ������� � � ���� '� ��� ����� �� �� ��F���' �� �� �� ����� �� �� � 9?+"�%� *������ ����� � ' � ������$��+� � � � ����� ����� ��� �� �� �� ��� ��� ���� ����
��F���' � � �$�$ � �+�+ � � � �� ����
���� �� �� ��� ������ � ��� ��� �� �����
%�9� �)!
#��8� 9: *;;6� 8�4</#� (8�#6(� 4���4=4;�'*�> +12
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
7. Inner Product Spaces, Orthogonality
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��� =��#1��-#�� ���-�=���$�3����� ���� ��
(����� ��$� �+� � � � � ��� �� � ����� �� ����� ���� � ��� � �� 4�� �� ��� ���� ����� � ����� � ����� ��� ����� ��$��+� � � � ���� � �� ����� (��
�$ � �$
�+ � �+ ��+��$���$��$�
�$
�, � �, ��,��$���$��$�
�$ ��,��+���+��+�
�+
�������������������������������������������������������������������������
�� � �� $�����$���$��$�
�$ �����+���+��+�
�+ � � � ������$����$���$�
��$
*� ���� ����� � � � +� ,� � � � � �� �� �����
�� � �� ��$�$ ��+�+ � � � ����$��$
����� ��� � ��������������� �� ��� ������ �� ��� ��� 5� ������ 9�3� �� � �� �� ��� ��� ���� ��� ����� �!�� ���� �$��+� � � � ��� �� �� ��� ��� ����� � � �� ������� ;�����7�� �� � ������ ���� ����� �� �������� ����� � ��
��� ���� ����� ��� �� C��� �� ��� ,�� -%�� �� ����������� ������� ��� ����� �����C� ��� �� �����
������ �� 6� � �� �� �� �� � ������ �������� �� ��� ��� ��� ���� �!�� ��� � �� �� ���������� �� ���� ���� ���� �� � �� �� � ������ �������� �$� �+� � � � � ���
������ �� (�� � ��C�� ��������� �� ��� ��� �� �� � ��� ������� �� ��� �� ������� �� ���� �� ������� � ���� �� ���� �� ��� ��� ��� �� ���������� �� �� �� ���������� � ����� ���� ������� ��� ���� ���$�
������ !� (����� �$� �+� � � � � �� ��� �������� ������������ ��� � ���� �� � ����� �. � ��������� ������� ��� =���B( ����� ��� ����7���� �� ��� � ��� �!� ������ �� ��� �������� � .�
��� ����� ������ "����� �� 8������ 9�+. ��� 9�+9% ��� ��� ���� �� ����� ��� �����C��
�6����� ��A� '�� ��$� �+� � � � � ��� �� ��� ����� �� ����� ���� � ��� � �� ���� ����� ������ ���������� ����� ��$� �+� � � � � ��� � �� � ���� ��� ��� �??����� ������ �� ���� ����� �� ����� ����� ���� ��� � � � $� � � � � ��
�� � ��$�$ � ��+�+ � � � �� �����
�6����� ���B� (����� % � ��$��+� � � � ���� �� �� ��� ��� ����� � � ������ � ' � �� �� ��� ��� ���� �� ��� ������ % � �� ��� ��� ����� � �� ���� ��� �� ��� ��� �� ������$� � � � ��� �� � ���� ��$��+� � � � ���� �� �� ��� ��� ����� � ��
������� �� ����� ��� =���B( ����� ��� ����7���� �� ��� � ��� �� ��� ��� ����� ��� ���� �� ��������
����� � ��� ������ � . �1 ������� ��
�$ � �$� $� $� $�� �+ � �$� +� 1� 2�� �, � �$�,�1�+�
+1. *;;6� 8�4</#� (8�#6(� 4���4=4;�'*�> A#��8� 9
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
7. Inner Product Spaces, Orthogonality
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
"$% ����� ��� �$ � �$ � �$� $� $� $��"+% #�����
�+ ��+��$���$��$�
�$ � �+ $+
1�$ � �+�$� $� +�
(�� �+ � �+�$� $� +��",% #�����
�, ��,��$���$��$�
�$ ��,��+���+��+�
�+ � �, �3�1
�$ �9�$-
�+ � 32� $9
$-� $,
$-� 92
� �
#���� �� ���� � ����� �, � �.�$9�$,� $1������ �$��+��, �� �� ��� ��� ����� � .� ;�����7� ����� �� ��� � ����� �� �������� �����
��$� �+� �,� . � &� ���� ��$�+ � 1� ��+�+ � $-� ��,�+ � @$-� �
�$ �$
+�$� $� $� $�� �+ �
$�����$-
� �+�$� $� +�� �, �$��������@$-
� �$.�$9�$,� $1�
������� � '�� � �� ��� �� �� ��� � ��������� � �� ���� ����� ���� � � � � �� � $$� ����� �� ����� ���
=���B( ����� ��� ����7���� �� ��� � �$� +� ,� � ��� �� ��� ��� ����� � �-� �$� �+� �,� ���� ���� �� �� ����� �
�,������� �� ��� ��� � � ����� � � � � � ��
��� �� �$$
� � � ��$
�� $
$
$
� +���� $� ���� � �� ����
- ���� � �� ��
�
"$% ����� ��� �- � $�
"+% #����� � �� $��$� $� �$� � - � � (�� �$ � �
",% #�����
+ �+� $��$� $� �$�
�+� ��� � �� � +
+,
+�$� � -�� � + $
,
D������� �� , � ����� �+ � ,+ � $�
"1% #�����
, �,� $��$� $� �$�
�,� ��� � ��
�,� ,+ $��,+ $� ,+ $� �,
+ $�
� , -�$� +2+,
�� -�,+ $� � , ,2
D������� �� 2 � ����� �, � 2, ,����� �$� � ,+ $� 2, ,� �� ��� ��0����� ��� ��� ������
������� ;�����7�� ��� ��������� �� 6������ 9�$$ � ���� ��$� � $ ������ ��� ���������
$� � $+�,+ $�� $
+�2, ,�
����� ��� ��� ���� �� /������� ��$� ����� ��� � ������ �� ��� ����� ���������� �0�������
��@ ���-�=���$ �� ������� %���� #����� �
���� �� ��� ��� ����� �� ����� ����� �� ���� ��� ����� ������� � ���� ����� ���� � ��� �� ������ �� ��� �� �� ���� �� ����������� �� ���� �� ���� ���� ��� �� � ��� ������ ��� ����� ���� � ��6� ������ ��� � ���
#��8� 9: *;;6� 8�4</#� (8�#6(� 4���4=4;�'*�> +19
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
7. Inner Product Spaces, Orthogonality
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
���6�9���' #���� �;
� ���� ������ � �� ������ � � �� ��?��� ���� ��� �$ � ��� �� �� ���� ����� ���� � ��� � 0 � ����� �� �� ��� "������ +�.% �� �������� ���� ����7���� �� � ����� ���
�6����� ����� '�� � �� � ���� ������� ���� ��� ����� ��� �0��������) "�% � �� ��� ���� "�% ������ � �� �� �������� ���� "�% ��� ����� � �� �� �������� ����
"���� ������ �� ���� ��� ���� ��� ����� ����� ���� � � ��� *� �� �� ���� � �� �� ���� ��� ��������� ���� ��%
������� ��
"�% '�� � �$�
���,
�$�
���,
�$�
���,
�- $�
���+
�$�
���+
�+�
���.
� $����.
� $����.
�
��
��� ��� ��� � ��� ��� ��� � �� � ���� ��� ��� ���� �� ���� ���� �
�� �� ��� ��� �������
"�% '�� � �� � +� + ��� ��� ������ ����� � ��� ���� ������ �� �� ����
� � � � ��� � ��� � � �
� �� � � � � ��� �
��� � � �
� �
��� ����� �� ������� "����� �� 8������ 9�,9 ��� 9�,3% ��� �������� ������������ ���������� ��� ����� �� ��� �������� ����� � ���� ����� ���� � ��� � ��
�6����� ����� (����� � � ���� ��� � � ���� ��� �������� ����� �� '�� � �� ��� ��� �??����������� �� ��� ����� � � ��� ����� �� ���� � �� ��� ����
�6����� ���!� '�� ��$� � � � � ��� �� �� �������� ����� �� ����� ���� � ��� � �� '�� � � ����� �� ����� ��� ������� ���� ��� ����� � �� ��� �� �� �������� ����� � � )
�� � �$��$ � �+��+ � � � �� ������ � � $� +� � � � � �
��;���C� ������ #���� �;
'�� �� � ���� �������� ������� ���� ��� � � � ���� �� ���� � �� ������ ��+��� �� � �������7�� �� �� � �� ���
��� �� � �� � � -
�� ������ � �� ��� ������� � �� � ������ �� ������� ������� ���� �� ���� �� #������ $+� �������� +� + ����� ��� �� ���� ������ �������� ��� � �� ����� ������ �� ��� ����� ������ "����� ��8����� 9�1,%�
�6����� ���/� � +� + ���� �������� ������ � � �
� �
� �� � �
� �
� ��� ������� ������� � ��� ���
� ��� ��� ��� ������� � ��� � ��� ������� ��� ��� ����������� � � � �� �� � �� �+
�� ��������
������� �� #������ ��� ����� �������� ����� ��)
� $ ,
, 1
� �� ! � $ +
+ ,
� �� � � $ +
+ 2
� �
���� �� �� ������� �������� ��� � � � � 1 @ � 2 �� �� ������ ! �� �� ������� �������� ��� � ��� ��� ��� �����, �� �� ������ ������� � �� ������� �������� ��� � ��� ��� ��� ������� $ ��� 2 ��� �������� ��� ��� �������������� � 2 1 � $ �� ��� ��������
+13 *;;6� 8�4</#� (8�#6(� 4���4=4;�'*�> A#��8� 9
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
7. Inner Product Spaces, Orthogonality
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��� ����� ������ "����� �� 8����� 9�11% �����
�6����� ���<� '�� �� � ���� ������� ������� ������� ���� ��� �� ��� ��� �� � �� � �� �� ��������� � � ���
#����, ��*��;�������� �� �� ����� ���(& �
������ 9�$2 ���� ���� ����� ������� ������� ������ ���������� �� ����� ���� � � ��� ��������� ��� ��� �� ������ �� ���� ��� ������ ���� �������
'�� � �� � ���� ����� ���� � ��� � ���� ����� % � ��$� �+� � � � � ���� ��� ������
� ������ ����� ��� � ���� ����� ����� ��� ���� ����������� � �� ����� ����� � � ������� �� ����� %�
4������ ���� �� �������� � ��� � ��� ����� ���� � �� �������� � ���� ��� ���� ��� � ���� ���� ���� ������� � ��� ��� ����� ���� � � � ��� ��� ����� % � �� D������ � % �� �� ��� ��� ������ ���� �� ��� ���� ��� � % �� �� �������� ������ ���� �� ��� �������� �������
������� � ��� �� ��� �$ � �$� $� -�� �+ � �$� +� ,�� �, � �$� ,� 2� �� � ����� % � 6� ������ ��� � �,� ���� ���
������ ���� ���������� ��� ����� ���� � �� �, �������� � ���� ����� %�
����� ����� �� � ���� ��� � �����
��$� �$� � $� $� - � +���+� �+� � $� 1� @ � $1�
��$� �+� � $� +� - � ,���+� �,� � $� .� $2 � ++�
��$� �,� � $� ,� - � 1
��,� �,� � $� @� +2 � ,2
���� �+ , 1
, $1 ++
1 ++ ,2
��
��� �� ���� ���� �� �������� �
��� ����� ������� "����� �� 8������ 9�12 ��� 9�1.� ����� ������% ����
�6����� ���>� '�� �� ��� ������ ������������� �� ����� ���� � �������� � ����� % � �� ����� ���� �� ��� �� � � �� �� ����
��� �� � ���� �������� ��� ��� ��� ����� ��� " ����% ������� �� ��� �������� � ��� ����� %�
�6����� ����� '�� �� ��� ������ ������������� ��� ����� ���� � � �� ���� �� � ������� ��������������
��A ��#�$ " ��� � ����� ���� �
���� �� ��� ������� �� �� ��� �� ��� ��� ����� ���� �� ����� �� �� ��� ��� ��������� ��� ����� ������� "(� ��� $�9%� ���� ����� ��� �������� ������� � ����� ������ � � �� ��� ������� � � �� ��� ��� ����� �F� ��� �� � � ��)
��� � �+ � �+� ��� �����������������+ � �+
�� �$ � �+ � �$ � �+ �$�+ � �$�+� ��� � �
���� � �� ���� � ��� ��� � �� � ��
��� ����� �������� ��������
#��8� 9: *;;6� 8�4</#� (8�#6(� 4���4=4;�'*�> +1@
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
7. Inner Product Spaces, Orthogonality
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��������� '�� � �� � �� �� ��� � ��� �� (����� � �� � ���� �� ���� �� � � � ����� �� ���� ��� � ����� ������� ������ �� ��� ��� ���� �� ��� �� ����� � "� ����% ����� ����� � � ��� �������� ��� ����� �����)
�0$E� "������ ������% ���$ � ��+� �� � ���$� �� � ���+� ���0+E� "�������� �� ���� ������% ��� �� � ��� ���0,E� "������� ������ ������% ��� �� � -� ��� ��� �� � - � ��� ��� � � � -�
��� �� �� ��� � � ��� � ���� �� ����� ���� � �� ����� � "� ����% ����� ����� ������4������ ���� � ����� ����� ���� � ����� �� ��� ���� ��� ��� �� ��� �� �� ���� �0 +E������ �0$E� "'����� 8������% �� �0�������� � ��� �� �������)
��� ��$ � �+� �� � ��$� �� � ��+� ��� ��� ���� �� � ���� ��4� ��� ���� ����� ������� �*$E� ��� �*+E�� �� �����
��� ��� � ���� �� � ���� �� � ����� �� � ����� ������ ��� �� ���� ��C� ��� �F� ��� � ����� ������ ���� �� �� ��C�� �� ��� �� �� ������ � ����� ����� ���� �� *� � � "8����� 9�19%� ��� ����� ���� � �� ������� ������ �� ��� �� �� ����������� ���
��� ��$ � ��+� � ����� �$� � ����� �+�#������ ������ �� ��� ���� ������ ��� �F� ��� ������ �� ��� �� �� ������� �� ������ �� ���� ����
��
�������
����
� �� �
����������� ���
��� ����� �����C� ��� �� �����
������ �� ���� �0$E� �� ����� ������� ���� �-� -� � �-�� -� � -��� -� � -� � ���� ��� �0$E�� �0+E����� �0,E� ��� �0�������� � �0$E�� �0+E�� ��� ��� ����� ����)
��,E� * � �� -� ���� ��� �� � -�
���� ��� � �� ��� �������� �0$�� �0+E�� ��� �0,E� �� � " �����% ����� ���� � � ��
������ �� 5� �0+E�� ��� �� � ��� ��� ���� ��� �� ���� �� ����� 5� �0,E�� ��� �� ���� �� ���� ��������� ��� � ��� ������� ���� �0���� �� ������� �� ���� ���� ����� ���� � ��� ��� �� ����� ��� � �������������� ���
��� ��� ��� � ��� �� ��
������ !� 5������ ��� ���� �� ����� ��� ����� ��� ������� ��� ��� ��������� ������ ��� ��� �������� ���� �� ����� *� � �� ��� ��������� ������ � ��� ������ �� ���� �����F� ���� ��� ��� ���� �� �� ��� ���� ����
������� �� "#����� 6� ������ (�� � ��%� '�� � � ��� ��� ��� � � ���� ��� � � ���� �� �� ��� �� ��� ����
��� �� � ��
���� � �$�$ � �+�+ � � � �� ����
�� �� ����� ���� � � �� ����� ��� ����� � ������� ����� ����� � ��� � ���� ���� ����� ���� � �� �����#����� 6� ������ (�� �� &� ������ ���� ����� ���� � � �� ������ �������� ������ � �������� ������� � ��� ���� ���� �� ���� ��� ���� ����� ���� � ��� �� ������ ��
��� �� � �� ��
������ �� ���� ����� ��� �� ����� ��� �F� ��� �� � ������� �� * � ��� � ��� ����� �� ���� �� � ��� *� ���� ������� ����� ���� � ���� �� � ��� ���� �� �� � ���
+2- *;;6� 8�4</#� (8�#6(� 4���4=4;�'*�> A#��8� 9
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
7. Inner Product Spaces, Orthogonality
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
������� ��
"�% '�� � �� ��� �� �� ��� � ����� ������� �� ���� � ��� "����% �������� � � � �� ���� ��� ����� ����� ����� ����� ����� � � )
� � � �� ���
� ����� �
"�% '�� . �� ��� �� �� ��� � � � ����� �� ��� �� (����� � ����� ��� ! � ����� ��� �������� . � ���� �������� �� ��� ����� ����� ���� � � . )
� �!� � ���!" � � � ��$
����$
�������
�� ������ !" � �!� � ���� ��� !" �� ��� �F� ��� �������� !�
��� ����� �� � ���� ������� � ����� ����� ���� � ��� �� ���� ��� ���� �� � ���� � ������� ���� ���� � ��������� ������ "����� �� ����� " � � � � � ����� ��� ���� ��� ���� � �������� ������ "����� �� ����� � � % ����� �� ��� ���� ���� "������ 9�$3 �� ����� �� 8����� 9�2-�%
�6����� ���@� "��& 6+1� 67��8% '�� � �� � ����� ����� ���� � ��� �� ����
���� ��� � ������
�6����� ���A� '�� ' �� � ������ � � ����� ����� ���� � ��� � �� ���� � � ' �'��
�6����� ���B� (����� ��$� �+� � � � � ��� �� � ����� � � ����� ����� ���� � ��� � �� ����� � ���� � ��
� � ��� �$���$� �$�
�$ ���� �+���+� �+�
�+ � � � �� ��� ������� ���
��
�6����� ����� (����� ��$� �+� � � � � ��� �� � ����� � � ����� ����� ���� � ��� � �� '�� � ����� ����� ����� ������ ������ �� ��� � ���� ���� ����� � ��� �� � � ��
��� �� � ���� �������� ��� ��� ��� ��� ��� ������� ���� �� ��� �� ��� ���� ����� ����� "1� ���) ���������� �� ���� � ��������� ��� ����� ���� � � ��%
�6����� ����� '�� �� � ��������� ������ "����� " � � � � � �� � ���� (� �( �� ���� ��� ������� ������ ��7�� �� �� ( � ��� ���� ��� �� � �� �� �� �� ����� ���� � � ���
�6����� ���!� '�� �� ��� ������ ���� ���������� �� ����� ���� � � �� ���� �� ���������� ���(� ( �� ���� ��� ������� � ��� ��7�� �� �� �� ���
���B ���# � ���� ���� � ��������$�
&� �� �� ���� � ���������
��������� '�� � �� � ���� � ����� �� �� ��� �� (����� � �� � � � � ����� �� ���� ��� � ����������� ������ �� ���� ���� �� ��� � � �� ����� � �� � � � �� �������� ��� ����� �����)
�;$� ��� � -� ��� ��� � - � ��� ��� � � � -�
�;+� ���� � ��������;,� ��� �� � ��� � ����
� �� �� ��� � � ���� � ��� �� ����� � �� �� ���� ������
#��8� 9: *;;6� 8�4</#� (8�#6(� 4���4=4;�'*�> +2$
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
7. Inner Product Spaces, Orthogonality
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
(����� � �� � ����� �� �� ��� �� ��� ������� ������� �� �� ��� � ��� � �� � �� ������ ��������� ��
���� �� � �� ����� ����� ������ "����� �� 8����� 9�2.% �� ��� ���� ����� ��� ���� �� �� ����� ��� ������ �������� � ��� ��
�6����� ���/� '�� � �� � ����� �� �� ��� �� ���� ��� �� ��� ���� �� � �� �� �������� �������� ����� ����� � ����� ��� �)
�D$� ���� �� � -� ��� ���� �� � - � ��� ��� � � � ��
�D+� ���� �� � ���� ����D,� ���� �� � ������ � ���� ���
�����( �� ��� �*� �; ��( ����� ���(& � �*� �;
(����� � �� �� ����� ���� � ��� �� �� ��� ���� ��� ��� � �� �� � �� � �� ������ ��
��� ��������������� ��
�4�� �� ���� "������ 9�+% ���� ���� ��� ��� ������ �;$�� �;+�� ��� �;,�� ���� ����� ����� ���� ���� � � �� � ����� �� �� ��� �� 4� ��� ���� ����� ����� ��� �� ���� � � �� �� ��� � � ���� � �� �� �� �� ����� ���� � � �� �� ���� �����
����; �� �� ��( ��
��� ����� ����� ����� �������� ���� � �� ��� ��)
���$� � � � � ����� � ������������$� � � � � ����$ � ��$� � ��+� � � � �� �������$� � � � � ����+ �
����������������������������������������������������$�+ � ��+�+ � � � �� ����+
�
";�� ���� ���� ����� ��� ���� � ������ ���� ������� ��� ����� �����% ��� ���� � ��� � �$� ��� � �+��� ����� ��� ��+��$��� � ����� � ��� ���� � ����� ������� 4������ ���� � �+ �� ��� ��� � ��
"����� ������� ��% ���� �� �� ��� ����� ����� ���� � � �� "����� ������� ��%� &� ���� ��� ��� �$� �+����� ��� ��������� ������ � �� �����
������� �� #������ �� ��� � � �$�2� ,� ��� � � �1� +�,� �� �,�
"�% ��� ������� ��� ���� ��� ������� ��� ������� ������ ��� �������� ��� �
���� � 2 ��� ���� � 1
"�% ��� ��?��� ���� ��� ������� ������ ��� �������� ����
���$ � $� 2� , � @ ��� ���$ � 1� +� , � @
"�% ��� ��?��� �� �0��� � ��� �0���� �� ��� ��� ��� �0����� ��� ������� "����� ��� ��� ���� �� ����� ����� ����� ���� � � �,%� ����
���+ �����������������������$� +2� @
� ������,2
���� ���+ �
����������������������$.� 1� @
� ������+@
�
"�% (�� � � � � �$ 1� 2 +� ,� ,� � �,�9� .�� �� ����
����� �� � 9� �$��� �� � ,� 9� . � $.� �+��� �� �������������������������@� 1@� ,.
� ������@1
�
+2+ *;;6� 8�4</#� (8�#6(� 4���4=4;�'*�> A#��8� 9
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
7. Inner Product Spaces, Orthogonality
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
������� �� #������ ��� #�������� ����� �+ ���� �� �� � 9?1�
"�% '�� 2$ �� ��� ��� ����� � � ��� $� �� �+ �� � ���� ���+ � $� ���� 2$ ������ ��� ����� ��� $� �� � �������++ � �+ � $+ � $� ���� 2$ �� ��� ���� �� ��� �� ���� �� �� � 9?1�
"�% '�� 2+ �� ��� ��� ����� � � ��� $� �� �+ �� � ���� ���$ � $� ���� 2$ ������ ��� ����� ��� $� �� � �������$ � ��� � �$� � $� ���� 2+ �� ��� ������ ������ ��� ���� �� ��� �� ���� �� �� � 9?,�
"�% '�� 2, �� ��� ��� ����� � � ��� $� �� �+ �� � ���� ���� � $� ���� 2, ������ ��� ����� ��� $� �� � �������� � �������� �$�� � $� ���� 2, �� ��� �0���� �� ��� ����� ��� ���� �� ��� �� ���� �� �� � 9?,�
����; �� ���� ��
#������ ��� �� �� ��� � � � ���� �� ���� ������� �� ���� � ��� �������� � � � �� �� ������� ��� ����� ������ �� ����� ���� � � � )
� � � �� ���
� ����� �
� ���� ��� ��� ���� ����� ���� � ������ ��� ����� ��� � � � ���� �� "��� � �� ���� �� ���� � �+ ��� � ��%)
� � �+ ��������������������������
� � ���+ ��
��� ����� ����� ��� ���� ���� � � � ���� ��)
� � �$ ���
� � ��� � ��� � � �� � ����� � ����
����� ��� ������ �� ��� ������� ����� �� ���� ��� ����� ��������� ������ � �� ����� ��� ���� ��� ����� �����
%�9� �)/
#��8� 9: *;;6� 8�4</#� (8�#6(� 4���4=4;�'*�> +2,
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
7. Inner Product Spaces, Orthogonality
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��� ���� ��� �� �� ����� �� �� � 9?2� ����
� � �$ � ���� ������� ��� �� ��� � � � ��� ��� ?����
�$� � � �� � ���� ������� ��� �� ���� � ��� �
���� ��� �� ���� �� � ��� ��� � �$ � ���
��� �� �� ��� �� �� ����� �� �� � 9?.� ����
� � �� � ������� ������ � ������� � ��� ��� ?����
��� � � �� � ������� ������ � ������� � ��� �
���� ��� �� ���� �� � ��� ���� � �� � ���
��'C�( ���.'��;
��� � ������
���� 6�����)
"�% �2�$ � 3�+� .�$ 9�+��"�% �,�� 2�� 1� .���"�% �+� ,��+
/�� ��������� �� ��� ������� ���� ���� �������� ��������� ��� �� � ��� ���
a b t
f t( )
( ) is shadeda || f ||1
%�9� �)<
a b t
f t( )
( ) ( , ) is shadedb d f g1
g t( )
%�9� �)>
+21 *;;6� 8�4</#� (8�#6(� 4���4=4;�'*�> A#��8� 9
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
7. Inner Product Spaces, Orthogonality
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
"�% ��C� ��� ����� ���� � �� � ���� � ��� ��� ���� �� � ���� � ��� �� ��)
�2�$ � 3�+� .�$ 9�+� � �2�$� .�$� � �2�$�9�+� � �3�+� .�$� � �3�+�9�+�� ,-��$� �$� ,2��$� �+� � 13��+� �$� 2.��+� �+�
A1� ���3 4������ ��� ���������� ������� ��� ���� �������� ��� ��� �������� "2�B3�%".�B9� % ��������� �� �����:
"� �,�� 2�� 1� .�� � $+��� �� $3��� �� � +-��� �� +-��� ��� $+��� �� � +��� �� ,-��� ��
"�% �+� ,��+ � �+� ,�� +� ,�� � 1��� �� .��� �� .��� �� � @��� ��� 1���+ $+��� �� � @���+
���� #������ �� ��� � � �$� +� 2�� � � �+�,� 2�� � � �1� +�,� �� �,� ����)
"�% � �� "�% � �� "�% � �� "�% ��� �� �� "�% ���� " � % ����"�% D������� ��������� ������� ��� ��� � �� � � � + .� +- � $.�
"�% � � � 1� 1 $+ � 1�
"�% � � � 3 . $2 � $,�
"�% ����� ��� �� � � �,�$� @�� ���� ��� �� � � $+ + +9 � $9� �������������� ���� �*$����� �� � � � �� � � � 1 $, � $9�
"�% ����� ��� ���+ �� �0����� ��� ������� � ��� ����� )
���+ � $+ � ++ � 1+ � $� 1� $. � +$� ��� � ��� ������+$
�
" � % ���+ � 1� @� +2 � ,3� ��� � ��� � �����,3
��
��!� G���� ���� ��� ����� ������ �� ����� ���� � �� �+)
��� �� � �$$$ �$$+ �+$$ � ,�+$+� ����� � � ��$� �+�� � � �$$� $+�&� �� �� ��� ����� ��� &� �� ����� ��� �� �� ������ ������ �� ����)
��� �� � �� � � ��$� �+� $ $
$ ,
� �$$$+
� �
(�� � �� ���� ��� �������� � �� ���� ��� ��� ���� �� ������� �������� ��� ��� ��� �������� $ ��� ,��� �������� ��� ��� ����������� � � � , $ � + �� �������� ����� �� ������ 9�$1� �� ������� ��������� ���� ��� �� ������ 9�$2� ��� �� �� �� ����� ���� ��
��/� #������ ��� �� ��� � � �$� 2� ��� � � �,� 1� �� �+� ����)
"�% ��� �� ���� ����� � � ��� ����� ����� ���� � �� �+�
"�% ��� �� ���� ����� � � ��� ����� ���� � �� �+ �� 8����� 9�,�
"�% ��� ���� ��� ����� ����� ���� � �� �+�
"�% ��� ���� ��� ����� ���� � �� �+ �� 8����� 9�,�
"�% ��� �� � ,� +- � +,�
"�% ��� �� � $ , $ 1 2 ,� , 2 1 � , 1 $2� .- � 11�
"�% ���+ � ��� �� � ��,� 1�� �,� 1�� � @� $. � +2� ��� � ��� � 2�
"�% ���+ � ��� �� � ��,� 1�� �,� 1�� � @ $+ $+� 13 � ,,� ��� � ��� � �����,,
��
#��8� 9: *;;6� 8�4</#� (8�#6(� 4���4=4;�'*�> +22
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
7. Inner Product Spaces, Orthogonality
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��<� #������ ��� ����� ��������� �� ��� ���� ��� ����� ���� � � � � �� � $-� ����� �)
� �� � � +� ��� � , +� ��� � + + ,
"�% ���� � � � �� ��� � � � ���"�% ���� � � � ��� ����"�% ;�����7� � ��� ��
"�% *��� ���� �� ����)
� � � �� �$-
� � +��, +� � �$-
�,+ � 1 1� � ��, � ++ 1
�$
-
� $
� � � �� �$-
� � +��+ + ,� � � 1
1 9+
+ .
� �$
-
� ,9
1
"�% � � � � � � $-� � +�� � +� � � $@
,� ��� � � � � �
����$@,
�� $
,
�����29
�
��� �� �$-
�, +��, +� � $� ��� � ��� ����$
�� $
"�% (�� � � � � � $,
�����29
���� � �� ������� � ���� �� ��� �� ����
�� � $
� � � � � ,�����29
� � � +� ��� �� � � � , +
��>� ���� � � ����� � �� ��� �� �� �������)
"�% � � �$� ,�2� 1� ��� � � �+�1,� 1� $� �� �1�
"�% � @ 3 9
. 2 1
� ���� ! � $ + ,
1 2 .
� ������ � �!� � ���!� ��
/�� � � � ��� ��������
"�% #�����)
��� �� � + @ +-� 1 � +,� ���+ � $� @� +2� $. � 2$� ���+ � 1� @� $.� $ � ,-
���� � � � +,�����2$
� �����,-
� � +,
,��������$9-
�
"�% /�� � �!� � ���!� � � � ��$
����$ ������� ��� ��� ��� ���� �� ��������� ��������
� �!� � @� $.� +$� +1� +2� +1 � $$@
/�� � �+ � � � � � � ��$
����$ �
+�� � ��� ��� ��� �0����� ��� ��� �������� �
� �+ � � � � � @+ � 3+ � 9+ � .+ � 2+ � 1+ � +9$�
�!�+ � �!�!� � $+ � ++ � ,+ � 1+ � 2+ � .+ � @$�
��� �
��� �
� � � ��������+9$
�
�!� � �����@$
�
���� � � � $$@��������+9$
� �����@$
�
+2. *;;6� 8�4</#� (8�#6(� 4���4=4;�'*�> A#��8� 9
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
7. Inner Product Spaces, Orthogonality
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
���� G���� �� � ��� ����� )
"�% 8������� ��� '�� "�� � 9?9%) ��� ��+ � �� ��+ � +���+ � +���+�"�% 8��� �� � ��� �� "��� � ���� ��� ����� ���� � �� �� ������� �� ��� ��� �� ���%)
��� �� � $1���� ��+ �� ��+��
6����� �� ���� � �����)
��� ��+ � ��� �� �� �� � ���+ � +��� �� � ���+ �$��� ��+ � �� �� � �� � ���+ +��� �� � ���+ �+�
��� "$% ��� "+% � �� ��� 8������� ��� '�� "�%� (����� � "+% �� "$% � �����
��� ��+ �� ��+ � 1��� ��<����� �� 1 � ����� ��� "����% ���� �� "�%�
��@� 8��� ������ 9�$ "#�� ��B( ����7%) �� � ��� � �� � ���� ����� ���� � ��� � � �
��� ��+ � ��� ����� �� � ���� ��� � ��������� ��� ���� ������ �
��� �� �� �� � +��� �� � +��� �� � ��� �� � +���+ � +��� �� � ���+
'�� � � ���+� � � +��� ��� � � ���+� (�� � ��� ��+ � -� �� ����
�+ � � � � � -
� ����� ����� � ���� ����� ���� ��� 0������� �������� ���� ���� �� ���� ���� ��� � ������� �����+ 1�� � - � �+ � 1��� ����
1��� ��+ � 1���+���+
<������ �� 1 ���� �� �������
��A� 8��� ������ 9�+) ��� ��� �� �� ����� ���� � ��� � � ��������)
"�% �;$� ��� � -� ��� ��� � - � ��� ��� � � � -�
"�% �;$� ���� � �������"�% �;,� ��� �� � ��� � ����
"�% * � �� -� ���� ��� �� � - ��� ��� � ��� � �������������� ���� -� * � � -� ���� �-� -� � -� #���0������
�-� � ���-
� � -� ���� �;$� �� �����"�% &� ���� ����+ � ���� �� � �+��� �� � �+���+� ��C�� ��� �0���� �� ��� ����� ���� �;+��"�% /��� ��� #�� ��B( ����7 ���0������� �� �����
��� ��+ � ��� �� �� �� � ��� �� � ��� �� � ��� �� � ��� ��� ���+ � +������ � ���+ � ���� � ����+
��C�� ��� �0���� �� ��� ����� ������ �;,��
%�9� �)�
#��8� 9: *;;6� 8�4</#� (8�#6(� 4���4=4;�'*�> +29
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
7. Inner Product Spaces, Orthogonality
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
���-�=���$��05 ���-����#�$ ��#�$ # ���5 ���-�=���$ � ��
���B� ���� � � ���� � � �$� +� �� ,� ��� � � �,� �� 9�2� �� �1 ��� ��� ����
����� ���
��� �� � �$� +� �� ,� �,� �� 9�2� � ,� +� � 9� $2 � @� $+
���� ��� ��� �� � @� $+ � - � ����� � � 1,�
����� '�� ' �� ��� ������� � �2 ������� �� � � �$� +� ,�$� +� ��� � � �+� 1� 9� +�$�� ���� ������ ��� ��� ��� �������� '� '�
&� ���C ��� �� ��� � � ��� $� �� �� � �� � ����
��� �� � �� +$� ,� �� + � -
��� �� � +�� 1$� 9�� +� � -
6��������� � �� ��� �� �� �0������ �� ��� ��� �0�������� ������
�� +$� ,� �� + � -
�� 1� 2 � -
��� ��� ��������� ��� $� �� ��� � �������
"$% (�� $ � $� � � -� � - � ����� ��� ������ �$ � �+�$� -� -� -��"+% (�� $ � -� � � $� � - � ��� ��� ������ �+ � �$,� -�1� $� -��",% (�� $ � -� � � -� � $ � ����� ��� ������ �, � �$9� -� 2� -� $��
��� ��� ��$��+��,� �� � ����� '��
����� '�� � � �$� +� ,� $� �� � �� �� �� �1� ���� �� ��� ��� ����� � ���
���� � ��7�� ������ �� +$� ,�� � -� ��� �$ � �-� -� $�,�� ;� ��� � ��7�� ������ ��� ������
�� +$� ,�� � -� � , � -
��� �+ � �-�2� ,� $�� '������ ��� � ��7�� ������ ��� ������
�� +$� ,�� � -� 2$� ,�� � -� � , � -
��� �, � �$1� +� ,� $�� ���� �$� �+� �, �� �� ��� ��� ����� � ���
���!� '�� ( ����� ��� ����� �� ��� �� �1)
�$ � �$� $� -�$�� �+ � �$� +� $� ,�� �, � �$� $�@� +�� �1 � �$.�$,� $� ,�"�% (�� ���� % �� ��� ��� ��� � ����� �1�
"�% ���� ��� �������� �� ��������� �� �� � � ��� �� �� �� �� �1 �������� � ��� ����� %�
"�% #�����
�$ �+ � $� +� - , � -��+ �, � $� + @� . � -�
�$ �, � $� $� - + � -��+ �1 � $. +.� $� @ � -�
�$ �1 � $. $,� - , � -
�, �1 � $. $, @� . � -
���� % �� ��� ���� ��� ��� � % �� �������� ������������ � ���� ��� % �� � ����� � �1 ��� � ��� ���������� ����������� �� ��� �� � ����� �1�
+23 *;;6� 8�4</#� (8�#6(� 4���4=4;�'*�> A#��8� 9
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
7. Inner Product Spaces, Orthogonality
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
"�% (�� � % �� ��� ���� �� ���� ��� ��� ��� ������ �� ����� � ���� ����� � � ��� ����� �� ���� ���� ������ 9�9� ����
�$ ���� �$���$� �$�
� �� � �
,�
�+ ���� �+���+� �+�
� �� +� �� ,�
$2�
�, ���� �,���,� �,�
� �� � @�� +�
39
�1 ���� �1���1� �1�
� $.� $,�� �� ,�
1,2
��� ��� �������� � ���� ����� � � ��� ����� %�
���/� (����� %� %$� %+ ��� ��� ������� �� 8��� ��� ����� )
"�% % � %���"�% * %$ � %+� ���� %
�+ � %�$ �
"�% %� � ���� �%���
"�% '�� � � %� ���� ��� �� � - � ����� � � %�� ��� � � � %��� � ���� ��� % � %���"�% '�� � � %�+ � ���� ��� �� � - � ����� � � %+� (�� � %$ � %+� ��� �� � - � ����� � � %$� ����
� � %�$ � ��� ��� � %�+ � %�$ �"�% (�� � % � �����%�� ���� "�% ���� �� �����%�� � %� (����� � � %� ��� � � �����%�� ���� ����� �����
�$��+� � � � ��� �� % �� � ���� � � �$�$ � �+�+ � � � �� ���� � ����� ���� � � %�� �� ����
��� �� � ��� �$�$ � �+�+ � � � �� ����� � �$����$� � �+����+� � � � � ��������� �$�-� � �+�-� � � � � ���-� � -
���� � � �����%��� � ���� ��� %� � �����%��� 5�� �� ������ ��� %� � �����%���
���<� 8��� ������ 9�2) (����� % �� �� ��� ��� ��� ��7�� �� ���� ���� % �� ��������������������
(����� % � ��$� �+� � � � � ��� ��� ������
�$�$ � �+�+ � � � �� ���� � - �$���C�� ��� ����� ���� � "$% ���� �$� �� ��
- � �-� �$� � ��$�$ � �+�+ � � � �� ����� �$�� �$��$� �$� � �+��+� �$� � � � �� ������ �$�� �$��$� �$� � �+ -� � � �� �� - � �$��$� �$�
(�� � �$ �� -� �� ���� ��$� �$� �� -� ���� �$ � -� (��������� � � � +� � � � � �� ��C�� ��� ����� ���� � "$%���� ���
- � �-� ��� � ��$�$ � � � � ����� ���� �$��$� ��� � � � �� ������ ��� � � � �� ������ ��� � ������ ���
5�� ���� ��� �� -� ��� ��� � �� � -� ���� % �� �������� ������������
���>� 8��� ������ 9�. "8���� ���%) (����� ��$� �+� � � � � ��� �� �� ��� ��� ��� �� ���� ����
��$ � �+ � � � �� ���+ � ��$�+ � ��+�+ � � � �� ����+6������� ��� ����� ���� �� �� ����
��$ � �+ � � � �� ���+ � ��$ � �+ � � � �� ��� �$ � �+ � � � �� ���� ��$� �$� � ��+� �+� � � � �� ���� ��� �
��������� ���
��� ������ ���� �� ��� � � ���� ���� ��� � ����+ ��� ���� ��� � - � � �� ��
#��8� 9: *;;6� 8�4</#� (8�#6(� 4���4=4;�'*�> +2@
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
7. Inner Product Spaces, Orthogonality
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
����� 8��� ������ 9�9) '�� ��$� �+� � � � � ��� �� �� ��� ��� ����� �� ���� � ��� � � ��
� � ��� �$���$� �$�
�$ ���� �+���+� �+�
�+ � � � �� ��� ������� ���
��
(����� � � �$�$ � �+�+ � � � �� ����� ��C�� ��� ����� ���� � ��� ����� ���� �$ ������
��� �$� � ��$�+ � �+�+ � � � �� ����� �$�� �$��$� �$� � �+��+� �$� � � � �� ������ �$�� �$��$� �$� � �+ -� � � �� �� - � �$��$� �$�
���� �$ ���� �$���$� �$�
� (��������� � � � +� � � � � ��
��� �$� � ��$�$ � �+�+ � � � �� ����� ���� �$��$� ��� � �+��+� ��� � � � �� ������ ���� �$ -� � � �� ������ ��� � � � �� �� - � ������ ���
���� �� ���� �����$� ���
� (���������� � �� �� ��� �0����� � � �$�$ � � � �� ����� �� ����� ��� ������� �������
���@� (����� � � ��$� �+� � � � � ��� �� �� �������� ����� �� 8���)
"�% �� ��� � � �� �� ���� � � ��� �$��$ � ��� �+��+ � � � �� ��� ������"�% ��$�$ � � � � ����� �$�$ � � � �� ����� � �$�+ � �+�+ � � � �� �����
"�% �� ��� �� � � �� �� ���� ��� �� � ��� �$���� �$� � � � �� ��� ������ ����"�% (����� � � �$�$ � �+�+ � � � �� ����� ��C�� ��� ����� ���� � � ���� �$�
��� �$� � ��$�$ � �+�+ � � � �� ����� �$�� �$��$� �$� � �+��+� �$� � � � �� ������ �$�� �$�$� � �+�-� � � � �� ���-� � �$
(��������� � � � +� � � � � ��
��� ��� � ��$�$ � � � �� ���� � � � �� ����� ���� �$��$� ��� � � � �� ������ ��� � � � �� ������ ���� �$�-� � � � �� ���$� � � � �� ���-� � ��
(���������� ��� ��� � �� �� ��� �0����� � � �$�$ � � � �� ����� �� ����� ��� ������� �������
"�% &� ����
����$
���������$
����
� �� ��
����$
�������� ��� �����$
�������� ��� �����$
�������� ���
5�� ���� ��� � - � � �� �� ��� ���� ��� � $ � � � �� ��� �� �� ��0������
����$
���������$
����
� �� ��
��$
���� � �$�$ � �+�+ � � � �� ����
"�% 5� ���� "�%� �� ����
� � ��� �$��$ � � � �� ��� ����� ��� � � ��� �$��$ � � � �� ��� ���������� �� ���� "�%�
��� �� � ��� �$���� �$� � ��� �+���� �+� � � � �� ��� ������ ���
+.- *;;6� 8�4</#� (8�#6(� 4���4=4;�'*�> A#��8� 9
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
7. Inner Product Spaces, Orthogonality
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
���D ������5 =��#1��-#�� �$=����-#5 ���$��������
���A� (����� � �� -� '�� � �� ��� �� �� �� �� (�� ����
� � ���������� �
��������+
�� ��� ���0�� � ���� �� � ���� � � � �� �� ��� ��� � ��
*� ���� � � � �� ��� ��� � � �� ���� ����
�� ��� �� � - � ����� ������ � - � ����� � ������
���� ������������ #��������� ������ � �
����������� ����
�� ��� �� � ����� ������ � ����� ���������� ����� � -
���B� ���� ��� ������ �� ���� � ��� ��� ��F� ��� � � �$�+� ,�1� ��� � � �$� +� $� +� �� �1�
#����� ����� � $ 1� , 3 � 3 ��� ���+ � $� 1� $� 1 � $-� ����
� � 3$-� 1
2��� ��F����� � �� � � 1
2� 3
2� 1
2� 3
2�
����� #������ ��� ������ � . �1 ������� �� ��� �� ���)
�$ � �$� $� $� $�� �+ � �$� $� +� 1�� �, � �$� +�1�,����� "�% �� ��� ��� ����� . � "�% �� �������� ����� . �
"�% /�� ��� =���B( ����� �� ������ 5� �� �� ������ �$ � � � �$� $� $� $�� ;��� ���
�+ ��+��$���$�+
�$ � �$� $� +� 1� 3
1�$� $� $� $� � �$�$� -� +�
(�� �+ � �$�$� -� +�� ���� ���
�, ��,��$���$�+
�$ ��,��+���+�+
�+ � �$� +�1�,� �1�1
�$� $� $� $� �@�.
�$�$� -� +�
� �$+� ,+�,� $�
#���� �� ���� � ����� �, � �$� ,�.� +�� ���� �$��+��, �� �� ��� ��� ����� .�
"�% ;�����7� ��� ��� ��� ����� ������� �$��+��,� (�� � ��$�+ � 1� ��+�+ � .� ��� ��,�+ � 2-���� ����� �� ��� �� �� �������� ����� . )
�$ �$
+�$� $� $� $�� �+ �
$���.
� �$�$� -� +�� �, �$
2���+
� �$� ,�.� +�
����� #������ ��� �� �� ��� � ��� ���� ����� ���� � � � � �� � $-� ����� �� ����� ��� =���B( �����
�� ����� � ��� ��� �$� � +� � ����� �� ��� ��� ��� � �-� �$� �+� ���� ���� �� �� ������
����� ��� �- � $� ���� ���
�� $��$� $� $ �
$+
$ $ � $
+
#���� �� ���� � ����� �$ � + $� ���� ���
+ �+� $��$� $� �$�
�+� + $��+ $� + $� �+ $� � +
$,
$�$�
$.$,
�+ $� � + � $
.
#���� �� ���� � ����� �+ � .+ . � $� ���� �$� + $� .+ . � $� �� ��� ��0����� ��� ��� ����
#��8� 9: *;;6� 8�4</#� (8�#6(� 4���4=4;�'*�> +.$
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
7. Inner Product Spaces, Orthogonality
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
���!� (����� � � �$� ,� 2� 9�� ���� ��� ��F� ��� � �� ' �� �� ���� ����� ��� � � ' ����������7�� �� ��� ����� ' �� ��� ������� � �1 ������� ��)
"�% �$ � �$� $� $� $� ��� �+ � �$�,� 1�+��"�% �$ � �$� $� $� $� ��� �+ � �$� +� ,� +�
"�% (�� � �$ ��� �+ ��� ��� ���� �� ���� ��� ����� ��� ������ �� �����)
�$ ���� �$���$� �$�
� $� ,� 2� 9
$� $� $� $� $.
1� 1
�+ ���� �+���+� �+�
� $ @� +- $1
$� @� $.� 1� +
,-� $
$2
���� � � ��F���' � � �$�$ � �+�+ � 1�$� $� $� $� $$2�$�,� 1�+� � �2@
$2� .,2� 2.$2� .+$2��
"�% (�� � �$ ��� �+ ��� �� ��� ���� ���� ����� ��� =���B( ����� �� ����� � ��� �� ��� ��� ������ '� (�� �$ � �$ � �$� $� $� $�� ���� ���
�+ ��+��$���$��$�
�$ � �$� +� ,� +� 3
1�$� $� $� $� � �$� -� $� -�
(�� �+ � �$� -� $� -�� ;� �����
�$ �����$���$��$�
� $� ,� 2� 9
$� $� $� $� $.
1� 1
�+ �����+���+��+�
$� -� 2� -
$� -� $� -� .
+� ,
���� � � ��F���' � � �$�$ � �+�+ � 1�$� $� $� $� ,�$� -� $� -� � �9� 1� $� 1��
���/� (����� �$ ��� �+ ��� ��7�� ��� ��� �� ���� '�� � �� ��� �� �� �� �� ���� �$ ��� �+ � ����� �� ��� ��� � �$ ��� �+� ����� � � � �$�$ �+�+�
* � �� ��� ��� � �$� ����
- � �� �$�$ �+�+� �$� � ����$� �$��$��$� �+��+��$�� ����$� �$��$��$� �+- � ����$� �$��$��$�
���� �$ � ����$����$��$�� "���� ��� �$ �� ��� ������ � ��� �$�% (��������� � � �� ��� ��� � �+�����
- � �� �$�$ �+�+� �+� � ����+� �+��+��+����� �+ � ����+����+��+�� "���� ��� �+ �� ��� ������ � ��� �+�%
���<� 8��� ������ 9�3) (����� �$��+� � � � ��� �� �� ��� ��� ��� ��7�� �� ��� �� �� '��� � �� <����
� � � ��$�$ � �+�+ � � � �� ������ ����� �� ��������������
���� � �� ��� ��� � �$��+� � � � ����
�� � � $� +� � � � � � ��� ���� ������� � - � � �� �� �� ����
�� �$�$ �+�+ � � � ����� ��� � ������ �$��$���� � � � ��������� � � � ���������� ������ �$ - � � � ��������� � � � �� -� ������ ��������� � ������
�������������
������� � -
���� ��� ������ �� ������
+.+ *;;6� 8�4</#� (8�#6(� 4���4=4;�'*�> A#��8� 9
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
7. Inner Product Spaces, Orthogonality
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
���>� 8��� ������ 9�@) '�� ��$� �+� � � � � ��� �� ��� ����� �� ����� ���� � ��� � �� ���� ����� �������� �������� ����� ��$� �+� � � � � ��� � �� � ���� ��� ��� �??����� ������ �� ���� � ���� ������� ����� ���� ��� � � � $� +� � � � � ��
�� � ��$�$ � ��+�+ � � � �� �����
��� �� ���� ��� =���B( ����� �� ����� ��� �����C� $ ��� , (� ��� 9�9� ���� ��� ����� ����� ����� � ���� � ����� �� ��� ��� ����� ���� � � � ����� ��� ���� ������7� ���� � ����� �� ������������� ���� �� ��� ��� �� �� ����� ��������� ���� �� � �� �� � ������ �������� �$� � � � � �� � ��� ��� ��� � �� �� � ������ �������� �$� � � � � �� �
����� 8��� ������ 9�$-) (����� % � ��$��+� � � � ���� �� �� ��� ��� ����� � � ������ � ' ������ �� ��� ������ % � �� ��� ��� ����� � �� ���� ��� �� ��� ��� �� ��� ���$� � � � ��� �� ����� ��$��+� � � � ���� �� �� ��� ��� ����� � ��
6����� % � � ����� % � ��$� � � � ���� ���$� � � � � ��� � �� ������� ��� =���B( ����� �� ����� � %��� ���� ����� �$��+� � � � ��� ��� � % �� ��� ���� ��� ���� �� ����� �� ��� ���$� � � � ���� �������$��+� � � � ���� �� �� ��� ��� ����� � �� ���� ��� ������ �� ������
���@� 8��� ������ 9�1) '�� ' �� � ������ � �� ���� � � ' �'��
5� ������ 9�@� ����� ������ �� ��� ��� ����� ��$� � � � � ��� ' � ��� �� ������ 9�$- �� �� �������� � �� ��� ��� ����� ��$� �+� � � � � ��� �� ��� � ���$� � � � � �� � '�� * � � �� ����
� � �$�$ � � � �� ����� ����� �$�$ � � � �� ���� � ' ��� ���$���$ � � � �� ���� � '�
� ���� ��� � � ' �'��
4� ��� ���� ����� � � � ' �'�� ���� ����� � -� ���� ������ � � -� ��� � ' �'� � �-����� �� ������� � � ' �'� ��� ' �'� � �-� ��� ��� ������� ������ � � ' �'��
������� ;�� ���� �� ���� ����� ��� ������ � ��� ��� ���� � ��� ����� ��������� &� �����C ������� ������ ��� ���� � ��� �� ��������� ���������
���A� (����� ' �� � ������ � � �����?���������� ��� � �� 8��� ���� ' � '���
5� ������ 9�1� � � ' �'�� ��� ��� � � '� �'��� ��� �
��� ' � ��� � ��� '� ��� ��� '�� � ��� � ��� '�
���� ������ ��� ' � ��� '��� 5�� ' � '�� "��� 8����� 9�$1%� ��� � ' � '��� �� ��0������
��!B� 8��� ��� ����� ) (����� �$��+� � � � ��� �� �� ��� ��� ��� ��7�� �� ��� �� �� '�� ��� ��� �� �� �� � ��� ��� �� �� ��� ������ � ��� ��� ����� � ��� � ����� �$� � � � � ��� ������
� ����$
����
�������� � � ��
��$
����
��������
���� �������� �� ��� ����� ����������� � � �� � ������ �������� �$� � � � ����
5� ������ 9�3� ������ �� ��� ��� � ����� �� ��� ��� � ��� ��� � ��� ������ ��������
�$��+� � � � ���� �������� ���� ��� 8���� ���� ������ ��� ������ �� � � $ � ��
������
�� ��+ � ������ �
� ��� ������� ��+� ��
������ ��+� ���� �����
�� ��+� ��
������ ��+
��� �0���� �� ��� ����� ���� �� �������
#��8� 9: *;;6� 8�4</#� (8�#6(� 4���4=4;�'*�> +.,
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
7. Inner Product Spaces, Orthogonality
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��!�� (����� ��$� �+� � � � � ��� �� �� �������� ��� �� ��� �� �� '�� � �� ��� �� �� �� � ��� ��� �� ����� ������ �� ���� � ���� ����� � � ��� 8��� 5�����!� ���0������)
����$
�+� � ���+
;�� ���� �� � ��� ���� ��� � ���� � $� ����� ���� ���� ��� � - � � �� � ��� ������ �� � � $ � �� �� ��
- � ������� ��
��� ��� � � ��� �� + ��
������ �
��+� � ��� �� �
+����� ��� ���+�
�� ��� �� �
+�+� ��
�+� � ��� �� ��+�
���� ���� �� �� ���0�������
���-�=���$ #����� �
��!�� ���� �� ��� ��� ������ � ���� ���� �� �� �$ � �$,� +,� +,��
����� ��� � ��7�� �� �� �+ � ��� $� �� ��� � �� ��� ��� � �$� ����� � ��� �
- � ��$��+� ��
,� +$
,� +�
,� - � �� +$� +� � -
4�� �� � ������ �� �+ � �-� $�$�� ;�����7� �+ � ����� ��� �� �� �� �� �����
�+ � �-� $����+
��$�
���+
���
;��� ��� � ��7�� �� �� �, � ��� $� �� ���� �� ��� ��� � ��� �$ ��� �+� ����� � ��� �
- � ��$��,� ��
,� +$
,� +�
,� - � �� +$� +� � -
- � ��+��,� �$���+
� $���+
� � - � $ � � -
(�� � � $ ��� ��� ��� ������ �, � �1�$�$�� ;�����7� �, ��� ����� ��� ����� �� �� ���� ���
�, � �1������$3
��$�
�����$3
��$�
�����$3
���
� �$,
+,
+,
- $����+
� $����+
�1�,
���+
� $�,���+
� $�,���+
�
��
������
&� �������7� ���� ��� ���� ������ � �� �� ���0���
��!!� '�� �$ $ $
$ , 1
9 2 +
��
��� <�������� ������� � ��) "�% ��� ��� ��� ��� ����
"�% �� �� ��� ��� ������� "�% ��� ����� ��� ��� ����
"�% >��� ��� � �$� $�$� ��$� ,� 1� � $� , 1 � -� �$� $ $� �9�2� +� � 9 2 + � -� ����$� ,� 1� �9�2� +� � 9 $2� 3 � -�
"�% ;� ��� � ��� ��� ��� �� ���� �� ���� �� �� �$� $�$�+ � $� $� $ � ,�
"�% ;� �� �� �$� $� 9� �$� ,�2� � $� , ,2 � ,$ �� -�
��!/� '�� ! �� ��� ������ ������� �� ������7�� �� � �� �� 8����� 9�,,�
"�% ���� !�
"�% *� ! �� ��� ��� ������H
"�% ��� ��� ����� ! ��� ���H
+.1 *;;6� 8�4</#� (8�#6(� 4���4=4;�'*�> A#��8� 9
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
7. Inner Product Spaces, Orthogonality
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
"�% &� ����
��$� $�$��+ � $� $� $ � ,� ��$� ,� 1��+ � $� @� $. � +.
��9�2� +��+ � 1@� +2� 1 � 93
���� ! �$�
���,
�$�
���,
� $����,
�
$������+.
�,�
�����+.
�1�
�����+.
�
9������93
� 2������93
�+�
�����93
�
���
���
"�% >��� ��� � ��� ��� ! ��� ����� ��� ��� ��� ��� �� ���� �� ����
"�% >��� ��� � ��� ��� ! �� �� �������� ��� �� ���� ����� �� ������ 9�$$� ��� ����� !���� ������� ���� �� �� �������� ����
��!<� 8��� �� � ��� ����� )
"�% � �� ��� ��� � ��� ��� � �� �� ��� ����
"�% * � �� ��� ���� ���� �$ �� ��� ����
"�% * � ��� 4 ��� ��� ���� ���� �4 �� ��� ����
"�% &� ���� ��� �� � �� ���� � �� ��� ��� � ��� ��� � ��� � 0 � ��� ��� � ����� � 0 � ��� ��� ��� �� ��� ����
"�% &� ���� �� � �$� ��� � � �� ��� ���� ����� �� ���� "�%� �$ �� ��� ����
"�% &� ���� �� � �$ ��� 4� � 4$� ���� ��4���4�� � �44��� � �44$�$ � 0 � ���������4�� � ��4�$� ��� � �4 �� ��� ����
��!>� (����� � �� �� ��� ��� ������� (�� ����)
"�% ������� � ��� �� � ��� �� � � � �
"�% ���� � ��� � ����� � � ��
/�� ��� � 0 ��� ��� �� � ����
"�% ������� � ����� ���� � ������ � ��� � ��� ���"�% &� ����
����+ � ������� � ������ � ��� � ��� �� � ���+
��C�� ��� �0���� �� ��� ����� ���� �� �������
��!�� 8��� ������ 9�$+) (����� � � ���� ��� � � ���� ��� �������� ����� �� '�� � �� ��� ��� �??����� ������ �� � � �� ���� � �� ��� ����
(�����
�� � ��$�$ � ��+�+ � � � �� ������ � � $� � � � � � �$�
/��� 8����� 9�$3"�% ��� ��� � � ���� � �� ��������� �� ��
��� � ���� ��� � ��$��$ � ��+��+ � � � �� ������ �+�'�� ! � ����� �� ��� ������ ��� �� ����� �� "$%� "���� � � !� �% (����� !!� � ������ ����
��� � ��$��$ � ��+��+ � � � �� ������ �,�5� "+% ��� ",%� �� ���� ��� � ���� ���� !!� � 0 � � ���� ��� ! �� ��� ���� ��� ��� � � � !� ����� ����
#��8� 9: *;;6� 8�4</#� (8�#6(� 4���4=4;�'*�> +.2
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
7. Inner Product Spaces, Orthogonality
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��!@� 8��� ������ 9�$,) '�� ��$� � � � � ��� �� �� �������� ����� �� ����� ���� � ��� � � � '��� � ����� �� �� ��� ��� ������� ���� ��� ����� � �� ��� �� �� �������� ����� � � )
�� � �$��$ � �+��+ � � � �� ������ � � $� +� � � � � �
(�� � ���� �� ��������� �� ��� �� 8����� 9�$3"�%�
���� ��� � �$��$� � �+��+� � � � �� ������ � ������������ �� ������ ��� ��� ���� ��� ��� ��� ������ � � ������ (�� � � �� ��� ���� ��� ����� �� ���������� ���� ���� ������� ���� ��� � ������� � ���� ���� ���� �� �� �������� ������
��� � ������ �� ������� %���� #����� �
��!A� &�� � ��� ����� �������� ����� �� ��� ������� �������H
"�% � , 1
1 2
� �� "�% ! � 3 ,
, +
� �� "�% � � + $
$ ,
� �� "�% 2 � , 2
2 @
� �
/�� ������ 9�$1 ���� � +� + ���� �������� ������ �� ������� ������� � ��� ��� ��� ������� ���������� ��� � ��� ����������� �� ��������
"�% ;� ��� � � � � $2 $. � $ �� �� ������
"�% >���
"�% ;� ��� � ��� ��� ��� ����� , �� �� ������
"�% >���
��/B� ���� ��� ������ � ���� ��C� �� � ��� ����� ����� �� ������� �������)
"�% � + 1
1 �
� �� "�% ! � 1 �
� @
� �� "�% � � � 2
2 +
� �
"�% ������ � ���� �� �������� ���� � � � +� $. ���� �� �������� ���� ��� +� $. � -� ��� � � � 3�
"�% &� ���� �!� � ,. �+ �������� ���� ��� ,. �+ � -� ��� � �+ � ,. � . � � � .�
"�% � �� ����� �� ������� �������� ��� � � ��� � �� ����� ��� ��� ����� +�
��/�� ���� ��� ������ ���� ���������� ��� ����� ����� ���� � � �+ �������� � �� � ��� ����� ����� �+) ��� ��$ � �$� ,�� �+ � �+� 2��� ��� ��$ � �$� +�� �+ � �1�+��
"�% #����� ��$� �$� � $� @ � $-� ��$� �+� � +� $2 � $9� ��+� �+� � 1� +2 � +@� ���� � $- $9
$9 +@
� ��
"�% #����� ��$��$� � $� 1 � 2� ��$��+� � 1 1 � -� ��+��+� � $.� 1 � +-� ���� � 2 -
- +-
� ��
"(�� � ��� ����� �� ��� ��� ��� ���� ��� ������ �� ��� ����%
��/�� #������ ��� �� �� ��� � �+�� ���� ����� ���� � � � � �� � $$� ����� ��
"�% ���� � � � ��� ����� � �� � � + ��� ��� � + , � 1�
"�% ���� ��� ������ ��� ����� ���� � ���� ����� � � ��� ����� �$� � +� ��"�% G���� ������ 9�$. �� ����� ���� � � � �� � � � �� ��� ���� ����� � � ��� ����� �$� � +��
+.. *;;6� 8�4</#� (8�#6(� 4���4=4;�'*�> A#��8� 9
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
7. Inner Product Spaces, Orthogonality
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
"�% � � � �� �$$
� � +��+ , � 1� � �$$
�, + + � 3� � � 1
1 ,
, + � 3
� �$
$
� 1.
,
"�% ���� �� ��� ��� � � ����� � � � � � ��
��� �� �$$
� � � ��$
�� $
$
$
� +���� $� � � �� �����- � � �� ���
�
���� �$� $� � +� �$� � � -� �$� +� � +,� �� � � +
,� �� +� � -� �+� +� � +
2� ����
�+ - +
,
- +,
-+,
- +2
��
��
"�% &� ���� � � �� � �+� $� -� ��� ���� � �1�,� $� �������� � ��� ���� ������ ����
� � �� ��� � �+� $� -�+ - +
,
- +,
-+,
- +2
��
�� 1
,
$
��
�� � �1� +
,� 1,�
1
,
$
��
�� � 1.
,� � � � ��
��/!� 8��� ������ 9�$1) � � �
� �
� ��� ������� ������� � ��� ��� � � ��� � ��� ������� ���
� � � �� �+ �� ��������
'�� � � ��� $�� � ����
� ��� � �� � � ��� $� � �
� �
� ��
$
� �� ��+ � +��$� �$+
(����� � ��� � - � ����� � �� -� ���� � �$� -� � � � - ��� � �-� $� � � � -� ���� �� ����� ����� � ���� �+� � -� (�� � � � -� �� �� �� �+ � -�
#��������� ������ � � -� � � -� �� �+ � -� #������� ��� �0���� ���� ��
� ��� � � �+ � +�
��$� �+
�+$+
� �� �$+ �+
�$+ � � �� �$
�
� �+
� �� �+
�$+
� ���� ��� � ��� � - � ����� � �� -�
��//� 8��� ������ 9�$2) '�� �� � ���� ������� ������� ������� ���� ��� �� ��� ��� �� � �� � �� ������� ���� � � ���
�� ��� �� ��� �$� �+� ��� ��
��$ � �+� �� � ��$ � �+�� � � ���$ � ��+ � � � ��$ �� ��+ � � ��$� �� � ��+� ������ � ��� � ���� � ��� �� ��� �� ��
���� �� � ����� � � ��� � � ���� ������ �*$� �� ���������
(�� � �� � �� � � ����� ��� ��� � �� �� ���� � � ��� � �� �������� � �������
��� �� � �� � � ��� ��� � �� ���� � ���� � ��� ������ �*+� �� ���������
'������ ��� � �� ������� �������� (� ( � - � ��� ��7�� ( � ��� ���� � ��� ��7�� �� ���� ��� �� � �� � � -� ���� �-� -� � -� - � -� ���� �*,� �� ��������� � ���� ��� ��� �� ��� ��� �� � � ���� ����� ���� ��
#��8� 9: *;;6� 8�4</#� (8�#6(� 4���4=4;�'*�> +.9
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
7. Inner Product Spaces, Orthogonality
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��/<� 8��� ������ 9�$.) '�� �� ��� ������ ������������� �� ����� ���� � �������� � � ����� % �� ����� � ��� �� ��� �� � � �� �� ����
��� �� � ���� ���(����� % � ��$��+� � � � ���� ��� � ������ ��� � ��� � �������� (�����
� � �$�$ � �+�+ � � � � ���� ��� � � �$�$ � �+�+ � � � �� ����
���� ��� �� � ����$
����$
����������� �$�
4� ��� ���� �����
���� ��� � ��$� �+� � � � � ���
�$$ �$+ � � � �$�
�+$ �++ � � � �+�
������������������������������
��$ ��+ � � � ���
�����
�����
�$
�+
���
��
������
������
� ����$
����$�����$
����+� � � � �����$
�����
� � �$
�+
���
��
������
������ � ��
��$
����$
������� �+�
60������ �$� ��� "+% ��� �� �� �������
��/>� 8��� ������ 9�$9) '�� �� ��� ������ ������������� ��� ����� ���� � � �� ���� �� �������� ������� �������
(�� � ������� � ������� � ��� ����� �� ��� �� ��� ��� ��� ������ �� �������� � '�� ( �� �����7�� �� �� �� ��� ���� ��� � ( � ��� ��7�� �� �� � � �� ������ 9�$. ����� �� ����(� ( � ���� ��� � ��� �� � -� ���� �� ������� ��������
��#�$ " ��� � ����� ���� �
��/�� '�� � �� � ����� ����� ���� � ��� �� G���� ��� �������
��� ��$ � ��+� � ����� �$� � ����� �+�
/��� �0+E�� �0$E�� ��� ���� �0+E�� �� ���
��� ��$ � ��+� � ���$ � ��+� �� � ���$� �� � ���+� �� � ����$� �� � ����+� �� � ����� �$� � ����� �+�
��/@� (����� ��� �� � ,� +� �� � ����� ����� ���� � ��� � �� ����)
"�% ��+ 1���� �� "�% ��� �1� ,���� "�% ��, .���� �2 +����"�% ��+ 1���� �� � �+ 1����� �� � �+ 1���,� +�� � $1 $3�
"�% ��� �1� ,���� � �1� ,����� �� � �1 ,���,� +�� � $3 �
"�% ��, .���� �2 +���� � �, .���2 +����� �� � �, .���2� +���,� +�� � $,9 ,-�
+.3 *;;6� 8�4</#� (8�#6(� 4���4=4;�'*�> A#��8� 9
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
7. Inner Product Spaces, Orthogonality
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��/A� ���� ��� ������ �� ���� " ������% � ��� ��� ��F� ��� �� � � �,� 1�� + ,�� ��� � � �2� �� +�� �� �+�
�� ��� ���� � � ������������ #�����
����� � �,� 1���2� �� � �+ ,���+�� � �,� 1���2 �� � �+ ,���+��� $@� $9� . 1� � $,� $,�
����� � +2� $� 1 � ,-
���� � � �$,� $,���,- � $,,-� $,
,-�� � ���� ��� ��F����� � �� � �+.
$2� ,@
$2�� $,
$2� $
$2��
��<B� 8��� ������ 9�$3 "#�� ��B( ����7%) '�� � �� � ����� ����� ���� � ��� �� �������� ��� � �������
* � � -� ��� ���0������ ���� �� � - � - ��� ��� � �� ������ ;� ������ � �� -� /��� ��� � ���+ "� ��� ����� ������ �% ��� ��� �� � ��� ��� �� ������ �� ��� ����+ � -� ����� �� ��� ���� �����)
- � �� ��� ����+ � �� ��� ���� � ��� ����� ��� �� ��� ����� �� ��� ����� �� � ��� ����� ��+��� ��� ���+ +���� ���+ � ���� ���++���+
(�� � $����+ � ��� - � ���+ ���� ���+���+ � �� ��� � ���� ���+ � ���+���+� ��C�� ��� �0����
�� ��� ������ �� ����� ��� ��0����� ���0�������
��<�� ���� �� ��� ��� ����� � �� �� �, ����� � � �$� �� $� ������� �� ������ ��� �� ��� � � ��� $� �� �� � ����
��� �� � � �$� �$ ��� � -
���� �� ������� ��� �$ � �-� $ �� ��� ���� ��� � ������ ��� ������
� �$� �$ ��� � -� �$� ��$ �� � -
���� � �� � ��� ��������� (�� � � $ � ����� $ � ���$� �� � �$� ���+ ��� � � �,� ,�+� D��������� �� +������ ��� ������ �+ � �,� ,� $� �� +%� ��� �� ��� �$ ��� �+ �� �� ��� ��� ����� � ���
��<�� ���� �� �������� ����� ��� ������ � ' �, ������� ��
�$ � �$� �� -� ��� �+ � �$� +� $ �������� ��� =���B( ����� �� ������ (�� �$ � �$ � �$� �� -�� #�����
�+ ��+��$���$�+
�$ � �$� +� $ �� $ +�
+�$� �� -� � �$
+� �� $ $
+�� $ ��
D������� �� + � ���� �� ����� ������� �+ � �$� +�� + �� + +��� ;��� ��� ��$� � ���+
���� ����
��+� � �����$3
�� ;�����7�� ��$��+�� �� ����� ��� ����� �������� ����� ' )
�$ �$���+
� �����+
� � -
� �� �+ �
$� +������$3
� �+ ������$3
� �+ +������
$3�
� �� �
#��8� 9: *;;6� 8�4</#� (8�#6(� 4���4=4;�'*�> +.@
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
7. Inner Product Spaces, Orthogonality
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��<!� ���� ��� ������ � ���� ���������� ��� ����� ����� ���� � � �, �������� � ��� ����� �$� �� $ ���#����� ��� ����� ��� ����� ���� ��)
�$� $� � $���� �� � ��� � $�
�$� �� � �� � ����� $ �� � ��$ �� � $� ��
�$� $ �� � $ � � $� �
�$ �� $ �� � +
����� ���� ��� �� � ��� ��� �� �����
� �$ � $� �
� $ $� �
$ � $ � +
��
��
"�� ���� ���� � �� ���������� ���� ��� �" � ��%
���# � ���� ���� �
��</� #������ �� ��� � � �$� ,�.� 1� ��� � � �,�2� $�+� �� �1� ����)
"�% ���� ��� ����� "�% ���$ ��� ���$� "�% ���+ ��� ���+�"�% ����� ��� �$��� ��� �+��� ���
"�% ��� ������� ��� ���� ��� ������� ��� ������� ������ ��� �������� ��� �
���� � . ��� ���� � 2
"�% ��� ��?��� ���� ��� ������� ������ ��� �������� ����
���$ � $� ,� .� 1 � $1 ��� ���$ � ,� 2� $� + � $$
"�% ��� ��?��� �� �0��� � ��� �0���� �� ��� ��� ��� �0����� ��� ������� "����� ��� ������� �� �� ��� ����� ����� ���� � � �,%� ����
���+ ���������������������������������$� @� ,.� $.
� ������.+
���� ���+ �
������������������������������@� +2� $� 1
� ������,@
�
"�% ����� ��� � � � �+� 3�9� .�� ��������� �� � �� ��� � 3
�$��� �� � �� ��$ � +� 3� 9� . � +,
�+��� �� � �� ��+ ������������������������������������1� .1� 1@� ,.
� ���������$2,
�
��<<� #������ ��� �� ��� � �� � + 1 �� ��-� ,��"�% ���� � � ��� "�% 8�� � �� �� ��� ����� �+� "�% ���� � � �$� "�% ���� � � �+�"�% &� ���C � � �� � ����� � ����� (�� � � �� �� ������������ � �-� ,�� � � ��� ��� � ������� �� � ���� ��
���� � ��� ����� ���� ��� ���������� � �� � -� � �� �� ������� �-� ,�� (�� � � �� � + 1� �� ���+ 1 � - ��� ����� � + �� � ���� �� ����� #�����
� �+� � 1 3 � 1� � �-� � - - � -� � �,� � @ $+ � ,
���� � � �� � � � �+�� � � 1� � 1�
"�% #����� � �� � ������ ������ �� �-� ,�� �� �� - $ + ,
� �� - , 1 ,
8�� ��� ����� �� �+ ��� ���� ���� � ������� ���� ���� � ��� ������ �� ���� �� �� � 9?3�
"�% &� ���C � � �$ � ,-� � ��� �� �� ���� ���� �� �� � 9?9� � �� �� �� ����� �� �-� ,�� ��� �
� � ��� � �+ 1� � 1 +�
� � �$ �,-
�1 +� � � ++ ,
,
� �,
-
� $3 @ � @����
+9- *;;6� 8�4</#� (8�#6(� 4���4=4;�'*�> A#��8� 9
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
7. Inner Product Spaces, Orthogonality
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
"�% � � �++ �,-
� � ��+ � �,-
�1 3, � $.+� � � 2
2 +1 � $.,
,
� �,
-
� $2,
2�
���� � � �+ ���������$2,
2
��
��<>� 8��� ������ 9�+1) '�� � �� � ����� �� �� ��� �� ���� ��� �� ��� ���� �� � �� �� ����������� ����� ����� ����� � ����� ��� �)
�D$� ���� �� � -� ��� ���� �� � - � � � ��
�D+� ���� �� � ���� ����D,�� ����� � ������ � ���� ���
* � �� �� ���� � � �� -� ��� ��� � ���� �� � �� �� � -� ���� ���� �� � �� �� � �-� � -� �����D$� �� ��������� &� ��� ����
���� �� � �� �� � � $�� ��� � � $��� �� �� �� � ���� ����� ���� �� � �� �� � ��� �� � �� ��� � �� �� � �� �� � ������ � ���� ������ �D+� ��� �D,� ��� ���������
�&**'�������+ ���.'��;
��� � ������
��<�� G���� ���� ��� ����� �� �� ����� ���� � � �+� ����� � � ��$� �+� ��� � � �$$� $+�)� ��� �� � �$$$ +�$$+ +�+$$ � 2�+$+
��<@� ���� ��� ������ � � ���� ��� ����� �� �� ����� ���� � � �+� ����� � � ��$� �+� ��� � � �$$� $+�)� ��� �� � �$$$ ,�$$+ ,�+$$ � ��+$+
��<A� #������ ��� �� ��� � � �$�,� ��� � � �+� 2� �� �+� ����)
"�% ��� �� ���� ����� � � ��� ����� ����� ���� � �� �+�
"�% ��� �� ���� ����� � � ��� ����� ���� � �� �+ �� 8����� 9�29�
"�% ��� ���� ��� ����� ����� ���� � �� �+�
"�% ��� ���� ��� ����� ���� � �� �+ �� 8����� 9�29�
��>B� (�� ���� �� � ��� ����� �� �� �� ����� ���� � � �,� ����� � � ��$� �+� �,� ��� � � �$$� $+� $,�)"�% ��� �� � �$$$ � �+$+ ��� "�% ��� �� � �$$+�, � $$�+$,�
%�9� �)@
#��8� 9: *;;6� 8�4</#� (8�#6(� 4���4=4;�'*�> +9$
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
7. Inner Product Spaces, Orthogonality
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��>�� '�� � �� ��� �� �� ��� � � � ����� �� ��� �� (�� ���� � �!� � ���!� � ������ �� ����� ���� � �� ��
��>�� (����� ���� ��� � ������� "���� ��� ��� #�� ��B( ����7 ���0������ ���� �� � �� �0�������% (�� ���� � ���� ��� �������� ����������
��>!� (����� � ��� �� ��� ���� �� ��� ����� ���� �� � � �� �� ��� � � ��� �� 8���)
"�% ��� ��� � � � �� �� ����� ���� � � �� ����� � � � ����� �� � � ��� �� � ���� ���"�% ��� � ���� ���� � �� � � � � -� �� �� ����� ���� � � �� ����� ��� ���� �� � �� ��� ���
���-�=���$��05 ���-�=���$ ��#�$ # ���5 ���-=���$ � ��
��>/� '�� � �� ��� �� �� ��� � ��������� ��� � �� ��� �+ ���� ����� ���� � ������ ��� � � �� � $
-� ����� �� ���� � ����� ��� ������ � ' ��� ��� � ��� � + � $�
��><� ���� � ����� ��� ������ � ' �1 ��� ��� � �$ � �$�+� ,� 1� ��� �+ � �,�2� 9� 3��
��>>� ���� � ����� � ��� ������ � ' �2 ��� ��� � ��� �� ��� �$ � �$� $� ,� 1� $� ��� �+ � �$� +� $� +� $��
��>�� '�� � � �$�+�$� ,� �� � �� �� �� �1� ����)
"�% �� ��� ��� ����� � ��� "�% �� �������� ����� � ���
��>@� '�� ' �� ��� ������ � �1 ��� ��� � �$ � �$� $� +� +� ��� �+ � �-� $� +�$�� ����)"�% �� ��� ��� ����� � ' � "�% �� �������� ����� � '� "#����� ���� 8����� 9�.2�%
��>A� '�� % ����� ��� ����� �� ��� �� �1)
�$ � �$� $� $� $�� �+ � �$� $�$�$�� �, � �$�$� $�$�� �1 � �$�$�$� $�
"�% (�� ���� % �� ��� ��� ��� � ����� �1�
"�% &���� � � �$� ,�2� .� �� � ������ �������� �$� �+� �,� �1�
"�% ���� ��� �������� �� ��������� �� �� � � ��� �� �� �� �� �1 �������� � ��� ����� %�
"�% ;�����7� % � ����� �� �������� ����� �1�
���B� '�� # � #+�+ ���� ����� ���� � � �!� � ���!� �� (�� ���� ��� ����� �� �� �������� ����� � #)
$ -
- -
� ��
- $
- -
� ��
- -
- $
� ��
- -
- $
� �� �
����� '�� # � #+�+ ���� ����� ���� � � �!� � ���!� �� ���� �� ��� ��� ����� � ��� ��� ��� ��������) "�% ��� ��� ����� �� "�% �������� ����� ���
����� (����� ��$� �+� � � � � ��� �� �� ��� ��� ��� �� ���� (�� ���� ��$�$� �+�+� � � � � ����� �� �� ��� ��� ���� ��� � ����� �$� �+� � � � � ���
���!� '�� . ��� ' �� ������ �� � �����?���������� ����� ���� � ��� � �� (�� ����)
"�% �. �' �� � .� �'�� "�% �. �' �� � .� �'��
+9+ *;;6� 8�4</#� (8�#6(� 4���4=4;�'*�> A#��8� 9
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
7. Inner Product Spaces, Orthogonality
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
���D ������5 =��#1��-#�� �$=����-#5 ���$��������
���/� ���� ��� ������ �� ���� � ��� ��F� ��� �� � ��� �� �����)
"�% � � �+� ,�2� ��� � � �$�2� +� �� �,�
"�% � � �$� ,� $� +� ��� � � �$�+� 9� 1� �� �1�
"�% � � + ��� � � � , �� ���� ���� ����� ���� � � � � �� � $-� ����� �
"�% � � $ +
, 1
� ���� � � $ $
2 2
� ��� # � #+�+� ���� ����� ���� � � �!� � ���!� ��
���<� '�� . �� ��� ������ � �1 ������� ��
�$ � �$� $� $� $�� �+ � �$�$� +� +�� �, � �$� +�,�1�"�% ����� ��� =���B( ����� �� ����� � ��� �� ��� ��� ��� �� �������� ����� � .�
"�% ���� ��� ��F� ��� � � �$� +�,� 1� �� . �
���>� (����� � � �$� +� ,� 1� .�� ���� ��� ��F� ��� � �� '� �� �� ���� ����� ��� � � ' ���� ������7���� ��� ����� ' �� ��� ������ � �2 ������� ��)
"�% �$ � �$� +� $� +� $� ��� �+ � �$�$� +�$� $�� "�% �$ � �$� +� $� +� $� ��� �+ � �$� -� $� 2�$��
����� #������ ��� ������ � ' � �+�� ��� ���� ����� ���� � � � � �� � $-� ����� �� ���� ��� ��F� ���
� �� � , �� ' � ""��3 /�� ��� ��� ��� ��������� $� + $� .+ . � $ ������� �� 8����� 9�++�%
���@� #������ ��� ���� ����� ���� � � � � �� � $$� ����� � ��� ��� ������ � ' � �,���
"�% ���� �� ��� ��� ����� � ' �� ������� ��� =���B( ����� �� ����� � �$� � +� ,��"�% ���� ��� ��F� ��� � �� � 2 �� ' �
���-�=���$ #����� �
���A� ���� ��� ������ ��� ������� ��� +� + ��� ��� ����� �� ��� ��$,
�
$ �
� ��
��@B� ���� � ,� , ��� ��� ������ � ���� ���� �� ��� ��� ��������� � � �$� $� $� ��� � � �$�+� ,������� �������
��@�� ���� � �������� ��� ��� ������ � ���� ���� �� �� �$,� +,� +,�� "#����� ���� 8����� 9�,+�%
��@�� ���� ����� �� ��� ! ��� ���� � �� �������$ �#������� � ����� ������ �� ��� ��� ������ � �� � ����! � �� �� (�� ���� ���� ������� �� �� �0������� � ��������
������� %���� #����� � �� ��� � ������
��@!� ���� ��� ������ ���� ���������� ��� ����� ����� ���� � � �+ �������� � �� � ��� ����� �����)
"�% ��$ � �$� 1�� �+ � �+�,��� "�% ��$ � �$�,�� �+ � �.� +���
��@/� #������ ��� ����� ����� ���� � � �+)
� ��� �� � �$$$ +�$$+ +�+$$ � 2�+$+� ����� � � ��$� �+� � � �$$� $+����� ��� ������ ! ���� ���������� ���� ����� ���� � � �+ �������� � �� � ����� �� 8����� 9�3,�
��@<� ���� ��� ������ � ���� ���������� ��� ����� ����� � �, �������� � ��� ����� % �, ������� ��� �� ����$ � �$� $� $�� �+ � �$� +� $�� �, � �$�$� ,��
#��8� 9: *;;6� 8�4</#� (8�#6(� 4���4=4;�'*�> +9,
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
7. Inner Product Spaces, Orthogonality
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��@>� '�� � � �+�� ���� ����� ���� � � � � �� � $-� ����� ��
"�% ���� � � � ��� ����� � �� � � + ��� ��� � + , � 1�
"�% ���� ��� ������ ��� ����� ���� � ���� ����� � � ��� ����� �$� � +� ��"�% G���� ������ 9�$. ���� � � � �� � � � �� ��� ���� ����� � � ��� ����� �$� � +��
��@�� <�������� ��� � ��� ����� ����� �� ��� ������� �������)
"�%$ ,
, 2
� �� "�%
, 1
1 9
� �� "�%
1 +
+ $
� �� "�%
. 9
9 @
� ��
��@@� (����� ��� ! ��� ������� ������� ����� ��� (�� ����) "�% � ! �� ������� ������� ��� "�% � �� �������������� � � � -�
��@A� (����� ! �� � ���� ��?��� ���� ������� (�� ����) "�% !�! �� �������� ��� "�% !�! �� ������� ��������
��#�$ " ��� � ����� ���� �
��AB� G���� ����
��$�$ � �+�+ �$�$ � �+�+� � �$��$��$� �$� � �$
��+��$� �+� � �+��$��+� �$� � �+
��+��+� �+�D�� ��������� ���� ���� ��
��$ �������
��$ ����� ��
��� ��������� ����
��A�� #������ � � �$� �� ,� 1 �� ��� � � �, 1�� $� �� +�� �� �,� ����)
"�% ��� ��� "�% ��� ��� "�% ���� "�% ���� "�% ���� ���
��A�� ���� ��� ������ �� ���� � ��� ��� ��F� ��� ��
"�% � � �,� �� 2 +�� ��� � � �2� �� $� �� �� �+�
"�% � � �$ �� ,�� $� �� ��� � � �$� + �� ,� +�� �� �,�
��A!� '�� � � ��$� �+� ��� � � ��$��+� ���� � �+� G���� ���� ��� ����� �� �� ����� ���� � � �+)
� ��� �� � �$ ��$ � �$� ���$ ��+ � �$ ���+ ��$ � ,�+ ��+
��A/� ���� �� ��� ��� ����� ��� �� �������� ����� � ��� ������ � ' �, ������� �� �$ � �$� �� $� ����+ � �$� �� -� +��
��A<� '�� � � ��$� �+� ��� � � ��$��+� ���� � �+� �� ���� ������ �� �� �� � � � �� ��� ����� �� ��������� � � �+H
� ��� �� � ��$ ��$ � ��$ ��+ � ��+ ��$ � ��+ ��+
��A>� 8��� ��� ����� �� � �� ����� ���� � �� � ����� ��� � � )
��� �� � $1��� ��+ $
1�� ��+ � $
1��� ���+ $
1�� ���+
A#����� ���� 8����� 9�9�%�:
��A�� '�� � �� � ���� ����� ���� � ��� �� (�� ����)
"�% ��� � ��� � ��� ��� � ��� �� � �� � -�
"��% ��� ��+ � ���+ � ���+ � ��� ��� � ��� �� � -�
(�� �� ������������� ���� ��� ���� ���������� ��� �� ���� �� ���� �+�
+91 *;;6� 8�4</#� (8�#6(� 4���4=4;�'*�> A#��8� 9
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
7. Inner Product Spaces, Orthogonality
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��A@� ���� ��� ������ � ���� ���������� ��� ����� ����� ���� � � �, �������� � ��� ����� �$� $� �� $ +���
��AA� � ����� ������ �� �����$ � �� �� ���������� ��� $ � " � �������������� �� ������� � ��� ��� " �����%�� �� �������� ��� �� ��� "�������� � ��� ����� ����� ���� � ��%� ���� � ������� ������ ���� ������ ��) "�% � �������� �$� $ ��� "�% � �������� �$
+� $
+�� $
+ $
+���
���# � ���� ���� �
���BB� #������ �� ��� � � �$�,� 1� $�+� ��� � � �,� $�+�,� $� �� �2� ����)
"�% ���� ��� ���� � "�% ���$ ��� ���$� "�% ���+ ��� ���+� "�% ����� ��� �$��� ��� �+��� ��
���B�� ������ 8����� 9�$-- � � � �$� �� + 1�� ��� � � �$ �� +� ,�� �� �+�
���B�� #������ ��� �� ���� � �� � 2 + ��� ��� � , + �� ��-� 1�� ����)"�% ��� � � ��� "�% �$� � � ��� "�% �+� � � ��
���B�� 8���) "�% � �$ �� � ��� � ��� "�% � �� �� � ��� � ���
���B!� 8���) "�% � �$ �� � ��� � ���� ��� "�% � �� �� � ��� � ���� ���
��;7��; �� �&**'�������+ ���.'��;
)���) 5 � �1$� 1+� � � �� ������ � ������ 5 ���� ��� 1$�1+� � � �
��<@� � � @
��<A� "�% $,� "�% 9$� "�%�����+@
�� "� %
�����3@
�
��>B� '�� � � �-� -� $�� ���� ��� �� � - �� ��� ����
��>/� �9+ 2� $++ 2�
��><� ��$� +� $� -�� �1� 1� -� $��
��>>� �$� -� -� -� $�� �.� +� -� $� -�� �2� +� $� -� -�
��>�� "�% �-� -� ,� $�� �-� ,�,� $�� �+� $-�@� ,��"�% �-� -� ,� $�� �����
$-�
� �-� ,�,� $�� �����$@
�� �+� $-�@� ,�� ��������
$@1�
��>@� "�% �-� +�$� -�� �$2� $� +� 2�� "�% �-� +�$� -�� ���2
�� �$2� $� +� 2�� ��������
+22�
��>A� "�% � � $1�2�$ � ,�+ $,�, � @�1��
"�% ��� � $1��� �� �� �� �� � � �� � �� � �� � � �� ��
����� "�% �-� $� -� -�� �-� -� $� -�� "�% �-�$� $� -�
���/� "�% � � ++,-� "�% � � $
9� "�% � � $2
$13� "�% � � $@
+.
#��8� 9: *;;6� 8�4</#� (8�#6(� 4���4=4;�'*�> +92
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
7. Inner Product Spaces, Orthogonality
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
���<� "�% �$ � �$� $� $� $���+ � �-�+� $� $���, � �$+�1�$�9��"�% ��F���. � � $
9-�$1� $23� 19� 3@�
���>� "�% ��F���' � � $3�+$� +9� +.� +9� +$�� "�% ����� ��� �� ��� ��� ����� � ' �
���� �$ � �$� +� $� +� $� ��� �+ � �-� +� -�,� +�� ���� ��F���' � � $$9�,1� 9.� ,1� 2.� 1+�
����� ��F� � �' � � ,++ ,
2 � $
+-
���@� "�% �$� � ,+ $� 2, ,�� ��F� � �' � � $-@, � 2
+$
���A� ���) ��� �� ����� ��� �� ����� ����� �� ��� ����� ���� ����� � � $,��� � � $
,
���3
�
��@B� � � �$��� $��� $��� $���+��� ,��� 2���+���,���� ����� � � ���,
�� � � �����
$1�
� � � �����,3
�
��@�� $,�$� +� $� +�+� $� +� $�+�
��@!� "�% �$9�$-� $-� $,�� "�% �$-� -� -� 1-�
��@/� "�% �.2�.3� .3� +2�� "�% �23� $.� $.� 3�
��@<� �,� 1� ,� 1� .� +� ,� +� $$�
��@>� "�% 3,$+� "�% �$� �� �� �� �� �� �� �� ��� ����� � � $
+� � � $
,� � � $
1� � � $
2
��@�� "�% ;� "�% >��� "�% ;� "�% >��
��A�� "�% 1�� "�% 1�� "�%�����+3
�� "�%
�����,$
�� "�%
�����2@
�
��A�� "�% � � $+3�$@ 2��� "�% � � $
$@�,� .��
��A/� ��$ � �$� �� $�� ���,
�� �+ � �+�� $ ,�� , ��� �����
+1� �
��A<� � ��� � ���� ��� �������� � � �� ��� �� �� ��������
��A�� � � �$� +�� � � ��� +��
��A@� � � �$� $ �� $� +�� $� �� +� +� ,�� $ +�� + ,�� 2�
��AA� "�% �$� ���,
� ��$� $ �� $� �� $��"�% ��� ��� � ��� ��� �� -� �� ��� �� ���� ����� � � $
+��� � � $�
���+
��
���BB� "�% 1 ��� ,� "�% $$ ��� $,� "�%�����,$
����
�����+1
�� "�% .� $@� @
���B�� "�%�����+-
����
�����$,
�� "�%
���+
� � �����+-
����
���+
� � �����$,
�� "�%
�����++
����
�����$2
�� "�% 9� @�
�����2,
�
���B�� "�% 3� "�% $.� "�% +2.,
+9. *;;6� 8�4</#� (8�#6(� 4���4=4;�'*�> A#��8� 9
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
8. Determinants Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
������� �
�� ������
��� ����������
���� ������ ��� � � � ����� � ��� ��� � ��� �� ����� ����� �� ��������� �� �� ����� ������� � ��� �
��� ��� � � � ������ ��� � � � ����������������������������������� ��� � � � ���
��������
��������
� ����� � ���� �� �� � ��� �� ������ ������ �� ��� ��� � ��� ����� � ��������� �� ��� �� ���� � ��� � ��� ����� �� ��� ���� �� �� ������ ��� �� ������� ��� �� ������ ��� ��
�� ��� ���� ����� �� ��� �� � ���!� �� �� �� �!�� ��� �� �� ������ �� � �� ���� ����� ����� � ���� �� ��� ���� � �� �� ������� ���� � �!�� ��� �� ��� ���� � �� ���� � ������ ��� ���
�� � � � �� �� �� ��� ���� ��� ���� �� �� ���� � ���� ����� � �� ��� �� �� �� � �� ���� � ��� ��� � �������� ! ���
� �� � � �� � ��� �� ��� �� ��� ����� �� ��� �� �� ��� "� ��� � � � � ��� ���� ���� ��� ��� �� � ���� � � � �� � ���� �� � � ����� �� �� ������ ���� �� �� � ������ ���� ���� � � � �� �� �� ��� �����
��� � �������� �� �� � � �� �
#�� ����� �� ��� � ��� � � � �� �� �������$
����� � ��� ������ ������ ���
����
����� ������ � ������
���� �� ��� ���� �� � �� � ��� � � � ����� � �� ����� ��� ����% ���� �� ����� � ����� � ���� ����� ���� �� �� ��� ��� �� �� � ���� �� �� �� �� ������ �� � ����$
��� ������ ���
����
����
�&&
���������
���������
�
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
8. Determinants Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
���� �� �� ��� ���� � ���� �� �� ������ �� �� ����� ����� �� ���������� ��� � ��� �������� �� �� ����� ����� �� � ��������� ���� '�� � �� ��������� � ���� �� ��� ����� ���� "� ��� ��� �� � ����� ��� ������(
������� �
'�( ) �� �� ��� ���� �� �� �� � �� ����� ����� � ��!$
����&� � �&� ����&� � �&� ���� � "� � � � "
' (* "
+ ,
����
����� *�,� � "�+� � "-� �� � �.�
" �
�* &
����
����� �� �- � "�
����������� �� ������ ��������
/��� � ��� � �� ���� ��� � ��� ��0������ ���
��� �� � ����� �� � ��
1� � � �� � � �� �� �� ��� ���� �� �� ��� � �� ��� � ���� ��� �� ����� ��� � �� �� ����� �� � ��� ���� � � �� -� 2� ���� � ���� �� �� �� ����� �� ��� � ����� �������� � ��� ����� ����� �� �������$
� � ���
� ��� � ����� � � �� �
��� ��� �
����
����
�� ��� �
����
����
� � � ���
� ���� � ������ � � �� �
��� ���� ��
����
����
�� ��� �
����
����
3 � ����� � �� ���� ���� �� ���� ���� ���� �� ������� �� ��� �� �� �� ���� ��� �� � ����� ���� !��� ��� � ���� �� �� ����� ��� �� �� ������ �� �������� ��� � ���� �� �� ������ ����� � ��� �� �� � !� ��0���� � �� ��� � �� ��� � ���� 4� �� ��� ����� � � � -� ��� ������� ��� ��! �� ����� �� � �� ���� �� ����� ���
������� �� )��! �� ��� ����� �� �����+�� "� � �*
�� *� � �
�
5 �� �� �� ��� ���� � �� �� ��� � �� ��� � ���$
� � + �"� *
����
����� +�*� � ��"���� � �- , � �,
) �� � �� -� �� ����� ��� � �� �� ����� ��� �� ���� � �� ������� �� ��� ��� � ���� ����� � �� ��� � ����� � ���� �� ��� � ��� �� � ��� �� ���� !��� �� �� �������� ���� ��� ��� ��0 �� ��� �����$
�� � �* �"� *
����
����� &* " � &. �� � + �*
� �
����
����� +� "- � ��,
��� �� �� �� ����� �� �� �� ����� �
� � ���
� &.
�,� "� � � ��
�� ��,
�,� ��
�� � �������� �� �� �
/��� � �� �� ��� "� " ��� � � � ������ �� ��� ���� �� � � � �� �� �������$
����� ���� ��� ��"��� ��� ��"�"� �"� �""
������
������
� �������"" �����"�"� ��"����"� � ��"����"� � �������"" � �����"�"�
�&. #���672898�) :/39;� .
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
8. Determinants Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
4��! ���� �� � � � �������� ��� ������ ���� �� �� �� �� ����� �� �� � � ��� ��� �� ���� �� ������� � ���������� '0� �� � ��( ��� �� �� �� ������� � � ��������� '����� �� � ��(�
�� � ����� � 5 �� .�� ��� ��� �� ��� �� ���! � � ������� � ������ ���� �� ����� ���� � ���� �� �� ��� �� �� ������� �� �� ����� ����� �� �� ���������� ���� � 5 ��.�� ���� �� ��� �� �� ���� !� �� �� ������� �� �� ����� ����� �� �� � ��������� ����� ������ � ���� �� � �� ���� � ������� � �! �� �� ��� ��� ����� �� � �� ���
������� �� 1� � �� � �
- * ��� �" +
�
�
�
� ��� � �" � �
�+ * ��� �" +
�
�
�
�� 5 �� ����� ��� ������
<� �� � ����� � 5 �� .��$
����� � ��*��+� �������� ���"��-� � ��*���� � ��"�������� � +����-�� +-� � -� *� ��� - � ��
����� � ,-� + ��� �-� = "� � .�
���������!� ���" #�� � ����"����� �# ��$��
�� ��� ���� �� �� "� " ��� � � � ����� ��� � � ��� �� �������$
����� � ���������" � ��"�"�� � ��������"" � ��"�"�� ��"�����"� � ����"��
� ������ ��"
�"� �""
�����
������ ���
��� ��"
�"� �""
�����
����� ��"
��� ���
�"� �"�
�����
�����
�� �� � � � �� ���� ��� �� �� �� ��� ����� �� �� � ���� ��� � ��� '� �� ������ �� � ���(��� �� �� �� �� �� � !� ��� �� �� � � �� ���� ��� �� ��� � �� ���� � �� ���
���
��� ��� ��"
��� ��� ��"
�"� �"� �""
��������
��������
� ������ ��� ��"
��� ��� ��"
�"� �"� �""
��������
��������
��"��� ��� ��"
��� ��� ��"
�"� �"� �""
��������
��������
8�� ���� ��� �� � ��� � ��� � ���� �� �� ��� ��� � �� � � ��� ��� �� �� �� ��� ����������� � �� �� ��� � ���
��%� �&�
/39;� .> #���672898�) �&=
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
8. Determinants Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
������� �
� � "
+ �� "
- * ��
��������
��������
� �
� � "
+ �� "
- * ��
��������
��������
� �
� � "
+ �� "
- * ��
��������
��������
"
� � "
+ �� "
- * ��
��������
��������
� ��� "
* ��
�����
������ �
+ "
- ��
�����
����� "
+ ��- *
�����
�����
� ���� �*� � ���+ -� "��- -� � ��" . ,- � **
��' ( ���������
9 ������ �� � �� �� �� ��� �� � � � � � � � �������� ���� �� �� �� �� ���� ���� �� �� !������� �������� �� �� ����� �� �� � � � � �� )��� � ������ �� � � ����� ��
� � � � � � � �
�� �� � � � ��
�
� � � ���� � � � ��� �� �� � ����
�� �� �� ��� ���� ������ ��� � ����� �� ��� ��� �� ���� �� ���� ������ ��� � ��� 2� � � ������ �� �!� ���� �� ��� � ��% ��� � �� � � ��� ��� �� ������ � �� ���� �� � � � � ��� 9���� �� ��� �� ���� �� � � � � ��� � ��� '2� ����� � � ��" � � � ��(
������� ��
'�( �� � �� � � � � � � ������ ��� � )�% ��� � �� ��� ���
' ( �� � "� � " � � � � � , ������ ��� � )"% ��� � ��"� �"�� ��"� �"�� "��� "���
��%� )(����*+ �# � (��"�������
/��� � �� �� ��� ������ �� � � ��� ��� � � ��� �� � � � ���� ��� � � �� !� � ��� ������ ������� �� �� ���� �� � �� !� � ��� ���� �� �!� ��� � �� ?� �� �������� � � � ��� ��� �� ���� ��� �� ���� ���� � � �� ��� � ���� � � �� � ��� � � �� � �� � �� �� �� �� � ������ �� ��
��� � � � � � � !�
�� � � � ���
�
������� ��
'�( 5 �� �� � �� �� � � "*�+� � �*�5� ��� ���� �� � ����� �� ���� �� ����� � ���� ���� � � � ��� � ���� � � �� �� �$
� ����� �" ��� *� ��� ���� ��� ��� �� ��" ����� �"� *� ��� +� ��� ���� ��� ��� �� ��� ���� �*� ��� ���� ��� ��� �� +�
'�� � �� ����� ��� ���� ��� ��� �� �� " � *�( ) �� �� �� � ���� � � �!� ���� � � !���� ��� � � ��
' ( �� ��� �� ������ �� � � ��" � � � � � !� ����� �� � �� �!� ��� � ��
'�( 2� ��� �� ������ �� �� � !� ��� �� � ���� 2� �"� �� ������ ��� ��"� �"�� "�� � !� ��� �������� ��� �"�� ��"� "�� � ����
'�( 1� � � �� ������ �� ���� �������� ��� ����� � ��� � ��� ��!� �� ��� ����� ��� ���� ��
���� � �� ���� � �� ���� � � �� � �� �� �� ���� � � ������������� 2� � � �� ��� �� � �� � � � � �� � �!� ��� � �� ��� ��� �� ������� � �� � � ����
�.- #���672898�) :/39;� .
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
8. Determinants Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��"��,- 4� ��� ���� ����� �� ��� �� ���� �� �� ������ ��� � �� � !� ��� ���� �� ��� ����� 5� ������ " �� �� , ������ ��� � �" � !�� ��� " � ����
��.� � �������� �� ��/�����0 �� �
1� � � ����� � � ���� ��� � �� �� � �! � �� ��/��� � � ������ �� � ����� �� � ���� ���� �� ��� ���� �� ���� ���� ��� ��� �� ���
�� ��� ���� �� ���� ���� ��� ��� ������� )��� � ������ ��� � � ��� � �� ���
�������� � � � ����
���� �� �� �� ������ ��� ��� ������ ! ���� ��� �� �� �� ����� ��� � � �� ������ ���� �� � � � � �� 8�� � �� �� ������ ��� ��� � ���� �������� �� ����� �� ����� ����� ��� ���� ������� �� � � �� �� � � � �� � ��� /��!���� ��� ������ �� � �� ��� �� � ������ �� �� ���!���� ���� �� ��� � � ����� �� �� ���� ��������
�1������- �� ��� ���� �� � � ������ ����� �� ����� � ���� � �� ��� �� ��� �� ���! �� ���������� ��� ���� ������ � ���� �� � �� ��� �� ���� ��
��� �
����� ���������� � � � ����
� ��� �
�������� �������������� � � � ������
�� ��� ���� �� �� ������ ��� � � � �� � �� � �� �� ��
�� ��� ����� ����� ���� �� ���! � � � �� ��� � �� �� �! ��� � � � �� �� ��� ������� �� �� �� ��� "�
������� ��
'�( 1� � � ����� � � �� � ��� �� ) �� �� ��� ���� �� ������ ��� �� �� � !�� ����� � ���� �� ���� �����
' ( 1� � � ����� � � �� � ��� �� 2� ��� �� ������ �� �� � !� ��� �� ������ �� �� � ���� 3��
����� � ��� ������ ���
����
����� ������ � ������
'�( 1� � � ����� � � "� " ��� �� 2� �"� �� ������ ��� ��"� �"�� "�� � !�� ��� �� ������ ��� "��� ��"��"� � ���� 3��
����� ���� ��� ��"��� ��� ��"�"� �"� �""
������
������
� �������"" �����"�"� ��"����"� � ��"����"� � �������"" � �����"�"�
��"��,- 9� � ������ �� ���� �� ��� � �� ��� ���� ����� ������� ���� 9����� ����� � �� �� �� ������ �� !����� ��� ����� ��� ���� �� � � � �� �� �� ��� ����� 2������ � ��! � ���� �� ���� � ����� ��� ����� ���� � �� �� � �� �� ����� �� �������� ������ ������ 2� ��� ����� � ���� ���� � ��� ���� �� �� � � ���� �� � � �� ���� ��� �� ����� ����� �� �� �� �� �� � �� ��� � � " ���!�
/39;� .> #���672898�) �.�
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
8. Determinants Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��2 (��( ��� � �� � ��������
� ��� � �� ��� � ���� � �� �� ��� �����
�3����" ���- �� ��� ���� �� � ��� � � ��� �� ������� �� � ����% ���� �� ��� � ��� ��
?� �� � ���� '��!� � ;���� .���(� ��� ���� ����� �� ��� ���� �� � ��� � � ���������� �� ��� �� � � �� ��! �� ��������� ���� ����� �� �� ������� �� ��
�� ��� ���� '��!� � ;���� .��+( � !� ��� � ���� �� �� �� �� ��� ���� ��� ����� �� ��� �����
�3����" ���- 1� � � � ���� ��� ��
' ( 2� � ��� � �� '������( �� ���� ��� ��� � -�
' ( 2� � ��� ��� ��� ��� ��� '�������(� ��� ��� � -�
' ( 2� � � � ������� ��� � ��� ��� ���! � ���� �� � ������� ��� ��� � �������� � ������ ������ ���� � ��� ����� �� � � �� �� � � �� ��� �� ��� ��
�� ��� ���� '��!� � ;����� .��" ��� .��*( ����� ��� �� ��� ���� �� � ��� � ������� �� �� ������ �� ��� ������ ���� ����
�3����" �� - )����� � � ���� �� ��� � �� �� ������ �� '������( ���� ���
' ( 2� ��� ��� '�������( �� � � ��������� ��� ��� � �����' ( 2� � �� '������( �� � � ���� �� � �� � ����� �� ��� ��� � �����' ( 2� � ���� �� �� � �� '������( �� � � ���� �� ����� �� '������( �� �� ���
��� � ����
��4�� (��������� �# ����"������
� ��� ���� ��� �� �� ���� ������� ��� ����� ����� �� ��� ������
�3����" ��'- �� ��� ���� �� � ������ �� ��� ��� �� � ��� � � �� ������ �� �� ��� �����%���� ��
������ � ����� ������� ���! ���� ���� ���� �� ��� ���� � � ���� �� ��� ! ����� ���
�3����" ��.- 1� � � � ���� ��� �� ��� �� ������ �� � �� !����$
' ( � � �!� ��% ���� �� � ��� �� �!� ����' ( �� � - ��� ���� �� �� ����� ���
' ( �� ��� ���� �� � � ��� ��% ���� �� ����� �� -�
��"��,- #��� �� �� �� ����� ��� �� ���� � ���� ����� ��� � � � � �� �� � �� �!� ����� � �� � � ��� � � �� �� �� ��� �� -� � � ��� � � �� �� �� �� � - ��� ���� �� �� ����� ��� �����! ���� ����� ���� ��� ���� � � � ��� � �� !�����
� ����� ��! ����� .�+ ��� .�* ' � ;����� .��= ��� .��.� ���� !��( �� �� �� ���� �������� ��� �� ��� �� ������ �� ���� '��!� � ;���� .��,(� �� �� � � ��� �� ��� ������ .�+�
�.� #���672898�) :/39;� .
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
8. Determinants Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��""� ��2- 1� � � �� ������ ��� �� ���� �� ��� ��� � �� ���� � �������
6���� ���� ��� �� � ��� � � � � �� � �� � ��� � ���� ����� ��� � � ���� ���� � � ������<� �� �� ���� �� ��� ! ����� �� �� ��� ���� '���� .�+(� �� ��� �� �� ��! ';���� .�"�(�� ������ �� �����
�3����" ��5- )����� � ��� � � � � �� ��� ��� ��� ��� � ����
��5 ������ �� ���������
/��� � �� ������ ��� � � � ������ 1� �� ���� �� ��� ������� ������ � �� � ���� �� ����� �� �� ��� �� ��� ��� ������� �� ��� ���� � ��� � ����� �� ��� �� �� ���� ��� �� �� ��� �� � �� ������� �� ���� ����� �� ���� �� � �� @@� ���AA � ��$
��� � ������� ���8�� ���� �� @@� ���AA ������ ��������� �� �� � ��� ��� � �������� ����� � �� A� �� �� �� �� ������$
� � � � �� � � � � � � � � ��������������������������������
�
���
�
���
� ����� � ���� �� ����� � ��� � ���� ��� ����� � ������
��"��,- �� � �� ������ �� �� ������� ��� � ������� ���� �� �� �� �� ���0���� ������)�� ������ �� �� �� � �� ��� ������ �� � ���� ���
������ � � � �
����� ��� �� �� � � ������ �� �� ����� �� �����
������� �� 1� � �� � "
+ * ,
& . =
�
�
�
�� 5 �� �� ������ �� � ��� ��� ��������$ '�( � �"� ��� ��"� ' ( � "�� ��� �"��
'�( � �"� �� � "
+ * ,
& . =
������
������
� � �
& .
����
����� .� �+ � �,� ��� �� ��" � �����"� �"� � ���,� � ,
' ( � "�� �� � "
+ * ,
& . =
������
������
� � "
* ,
����
����� ��� �* � �"� ��� �� �"� � �����"� "�� � ��"� � �"
������� 6�������
�� ������ �� ���� '��!� � ;���� .�"�( ������
�3����" ���- '�������( �� ��� ���� �� � ���� ��� � � � ����� � ���� �� �� ��� �� �� ����������� �� �� ���� ��� �� �� ����� �� ��� �� '������( �� �� ���� ! ��������$
��� � ������ ������ � � � ������ ��
���������
��� � ������ ������ � � � ������ ��
���������
/39;� .> #���672898�) �."
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
8. Determinants Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
�� ���! ������� �� ��� � ����� �� !��"��� ���������� �� �� ��� ���� �� � �� �� ��� ����� �� ��� ������� ����� � �� �� ������ �� '������( ���� ���� ��� ��� � ����� ��� ��� �� �� �� �������� �� �� ���� �� ��� �� �����
��� 7������� �� � ��������
�� ������ �� ���� ��� ���� �� !����� �� �� � ��� ���� �� �� � �� �� !����� �� �� ���� ���� �� �� �� ��
��%����3" ���- '��$������ �# �3� ��$�� �# � $����"�����( �� ���� � � ����� ������ ��� �� � ����� � �� � � ��
���� �� /���� �� ���� ��� � � �� � ���0 ��� ��� �� -�
���� �� <� �� ��� �� � � !��� ����� ������ �� '������( ���� ��� �� ��� -A� � ��� �� ��� ��� � ��� � �� ������ '��( ����� � �� ����
���� � ������ �� ��� ���� �� �� ������ '��( ����� � �� ����
�� ������ �� ��0� � � ���
��"��, �- 9��� ��� .�� � ������� ��� �� ��� ����� �� �� + � ��� � �� ��� ����� ���� ��� ���� +� �� ��� �� ��� � ������� �� �� ��� �����
��"��, �- B���� �� � � ��� �� �� �� !������� ���� �� �� 9��� ��� .�� ����� � �� �� �������� ��� � ��� �� ������� � ��� � � ��� �� ��� � ������ ��� � ���� ��� ���� � �������� �� �� � ������ �� �� 3��!� �� ���� 0� ���0 �� �� ���� �� �� ��������� � ����� �� ������� ������ �� � �� �� �� ��� �����
������� �� <� 9��� ��� .�� �� �� �� ��� ���� �� � �* + � �
� " � ���* �& �" =
� �� �� +
�
���
�
����
<� ��" � � �� � � !�� �� ��� -A� � �� ��� ��� � ��� �� �� �� � ������� ���� �� ����� �� �� ���� ���@@6���� #� �� ��#� #�AA� @@6���� #" �� "#� #"AA� ��� @@6���� #+ �� #� #+AA ?� ���� .�"'�(� ��!��� �� �� ��� ���� ��� ��� ����� ��� ��� ���� ���� ����
��� �* + � �
� " � ���* �& �" =
� �� �� +
��������
��������
�� �� - *
� " � ��� � - "
" � - �
��������
��������
8�� ����� �� �� �� � ������� )�� ������ ����� ��� ��� ���� ����� � - ��� �� �� ���� ���� �� � �� �� ��� �� �" � �����" � ��� ����
��� � �� � - *
� " � ��� � - "
" � - �
��������
��������
� �� �� *
� � "
" � �
������
������
� ��+� �. *� "-� " +� � ���".� � ".
�.+ #���672898�) :/39;� .
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
8. Determinants Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��8 ��������� �9����
1� � � ����� � �� �� � ��� � �! � �� � ��� �� ��� ���� �� ������� �� ���� �� �"������"������� �� �� ����� �� ��C �� � �� ������� �� �� ��� � �� �������� �� �� 8�����
��C � � ������
� ��� @@����� ��� ��C� ��AA ����� �� � ���� @@��C� ��AA ����� �� �� @@��C� ��AA � ������ ��� �� ���� �� � ���� �������
������� �� 1� � �� " �+- �+ �
� �� *
�
�
�
�� �� �������� �� �� � � ����� �� � ������$
��� � �+ �
�� *
����
����� ��.�
��� � � " �+�� *
����
����� ����
�"� � " �+�+ �
����
����� ��-�
��� � � - �
� *
����
����� ��
��� � � �+� *
����
����� �+�
�"� � � � �+- �
����
����� �+�
��" � - �+� ������
����� +
��" � � � "
� ������
����� *
�"" � � "
- �+����
����� �.
�� ������� �� �� ���! ��� � �� �������� � ��� �� ����� ��� ��C� �� �� �� ���� ��
��C � ���. ��� ��-
� �+ �++ * �.
�
�
�
�
�� ������ �� ���� '��!� � ;���� .�"+( ������
�3����" ��8- 1� � � ��� ���� ��� �� ���
����C �� � ���C ��� � ��� � � �� ��� �� ��� �� ����� � ��� �� -�
��� � �
��� ���C ��
������� � 1� � � �� ��� � � ������ .��-� � ��!
����� � �+- , -� �, + - � �+,���� � ��� ��! �� �!�� ���� �� ���� .�=�
��� � �
��� ���C �� � � �
+,
��. ��� ��-� �+ �++ * �.
�
��
�
�� �
=�"
��+,
*�"
� ��"
� &�"
��"
� ��"
� *+,
+�"
�
��
�
��
���: �((��������� �� ��� �� ;������< ���� �=� ��
/��� � � ����� �� � � �� � � �� ���� ��� � � ��0������ 3 � � ����� � �� '����( ��� ��� ��� � ��� ��� � � � �� � �� ������ !��� �� ���������� 1� �� � �� ��� � ���� �� ��� � ������ �� �� ��� ������ �� � �� �� ������ !��� �� 5������ ��
� � ������ �� � ������� �� � ������� � � � � �� � �������� ���������� ��� ���� � ���� ��� ����� ��� �� ����� �� �� �� ����� �� � � ��������
/39;� .> #���672898�) �.*
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
8. Determinants Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
�3����" ���:- �� '����( ����� �� � � ��� � ����� �� � ��� ���� � � �� -� 2� �� � ���� �� �� ������� �� � � !� ��
�� ����
� �� ����
� � � � � �� ����
�� ���! ���� '��!� � ;���� .��-( � 0���� �� $��%� &"� �� ���! �� ������ �� � ������ ���� � ����� � ���� �� ���� ���� �� �� � ����� � �� �� ��� ���� �� ���� ��� ����0������ ��� ���� � ���� � !� �� ����� �� ��� � �� -� 2� ����� � � � -� �� ���� ��� ��� ��� ������ � ��� �� ����� ��� � ����� ��� 3��!� � �� ��� �� � ��������� ������ � ��! �������� �� ����� ���� '�� � ��!� � ;���� .�*+(�
�3����" ����- 9 ���� ��������� ����� �� � - ��� � ����� ����� �� � ��� ���� �� � ��� � -�
������� �� )��!� �� �� ��� ����� �� �����
� � � � *
�� ��� "� � ���� �� � � "
�
�
5 �� ������ �� ��� ���� � �� �� ��� � �� ��� � ���$
� �� � �
� �� �"� � ��
������
������
� �� , � + " � � *
) �� � �� -� �� ����� ��� � �� �� ����� ��� �� ������ ��� ��� ��� � ����� ���� !��� �� ��� � ��� ���� �� � � �� ��� � �� ��� � ��� �� �� �������� ���� �� � � ���
�� �* � �
�� �� �"" � ��
������
������
� �-� �� �� * �
� �� �"� " ��
������
������
� ��-� �� �� � *
� �� ��� � "
������
������
� �*
���� �� �� �� ����� �� �� �� ����� � � � ���� � +� � � ���� � ��� � � ���� � "� ���� �� ��!��� & � ������ -��
���� �/������ �< ������< (�����(�� ������
1� � � ����� � � ���� ��� � �� �� �� /��� � ��� ��� ��� ������� �� 9� ���� �� ���� ���� �� � � ���� ��� � � � � �� �� �� �� �� ��� ��� �� ' � ���� ��� � � � � �� �� ������ �� ��� ��� � ���' � � �� � ������ � �� �� ����� �� ���� ' �� ���� �� �� ��� �� �� ��� ��� ������� �� ����� ����� ��� �� ��� ����� �� � � ' � ���� !��� ���� ��
���� ' � � ���� � � � � � � � ' ��� ��� ���� ����� ' �� � ����� � ��� �� � �� �� ���
�������������������� ����� ' �� � �� ������� �� � ��� � ��� '8�� ���� � � �� �� �� �� � � � � �� � �� ��� �� )�� �� .�&���� �� ������� �� � ��� � �� � � ��������( 5������ � � � ��� ' � ����� ���� !��� ���� � �� �� ��� ������ �� ��� ���
���� �� ' �������� �� ���"������ ���� ��� �� � �� ';���� .�&+( � �� ��� � �� �� �� � �� �����
�., #���672898�) :/39;� .
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
8. Determinants Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
������� �� 1� � � ����� � � *����� ��� �� ��� �� � � ��� �� + ��� ' � ��� "� * � ��� � � � �"� * ���
' � � ��� + � ��� �� ������� �� � �� � � ��� ���������� � �� � �� � �� �������$
� � � ����� ' �� ���� ��" ��*��� ��" ��*�+� �+" �+*
������
������
��� � �� � ���� �� ' ��� � �"� �"+�*� �*+
����
����
) �� � � + � " * � �& � ���� �� � � �� � ��� � ��� ��� �� �� � �� � ��� ���������� � ���
(�����(�� ������
9 � �� � �������" � �� �� ��� ������ �� �� � �� ���� � �� !������� � �� � ����������� �� �� � �� ��� ��� �� � ������ �� �� ��� �� � ��� ���� �� � �� �� � � �� ��� � �� ������� �� � �� �� ��� �� �� �� ��� ��� ��� ������ ����� ��� ���� ������ � !��
������� � 1� � �� � ��" * +
�" � ��
�
�
�
�� 5 �� �� ���� $�� $�� ��� $" �� �� � �� ��� � ��� �� � �� ��� ��� ���
��� ��� ���� !���
'�( �� � �� � �� ��� � ��� �� �� ��� ��� �
��� � �� �*� � *� � � �� � ��� ��� �� $� � � *� � � +
8�� ���� $� � � ���� �� ��� �� �� 8����� $� � �����' ( �� � �� ���� �� ����� ��� �� �� �� � ������ ������ ��� ��� ��� � � !� � � �� �� �� ����
��� �
� �
" *
����
����� ��� � ��
�" ������
����� ��
* +
� ������
����� ��+
'8�� ���� ��� � ��� �� �� ��� � �� �������� �""� ���� ��� ��� �� �� ���� !���( ����
$� � �� �� �+ � ��+
'�( �� � ���� �� ��� �� ����� �� �� �� �� � ������ ������ ���� �� ���� � �� �� �� �� � ����� ���� �� � ����� ����
$" � ��� � ��-� �+� "� �*� + �� � �++
���� /���> ������ � �� � ��������
�� ������ �� ���� '��!� � ;���� .�",( � �� �� � ���� �� �� � ��� ���
�3����" ����- )����� � �� ��� '���( � ������ ����0 ��� � � �� �� � ������ ����0������� � � � ���� ���
��� � � ������ ������ � � � ������
������� �� 5 �� � � �� �
� " + & .
�� * " � �
- - � � *
- - " �� +
- - * � ,
�
�����
�
�����
/39;� .> #���672898�) �.&
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
8. Determinants Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
8�� ���� � �� ��� � ������ ����0 ��� �� �!����� �� ��� ���� �� ��� � ������ ����0$
� "
�� *
����
����� �- " � �"�
� � *
" �� +
* � ,
������
������
� ��� �- "- �*� �,� �. � �=
��� � � � �"��=� � "&&�
��"��,- )����� � � �
$ �
� �
� �� ����$�� � ���� ��� ��� ��� � � ��� ������
�� ���� � � � ������ � ����$�� ') ;���� .�,.�(
��� � �������� �� 7���
#�� ����� � ���� �� �� ��� ��� �� �� ��� !���� �� �������� 1� &�� &�� � � � � &� � !���� ���� 1� � � �� '��� �( ������ � �� ��� �� �� �� !����� ���� ��
� � ���&� ��&� � � � ��&� � - � �� � � �� � � �� � � � � � '��� � � �� � � � �����������( 1� ( ��� ���� �� !���� �� � '� �� �� � ��� � � ��� ���
( ��� � ������� !��� �� �� ����� � � �� ��� � � �� ��� &�� &�� � � � � &�� 2� ����� ( ��� � - � ��� ���� � �� !���� &�� � � � � &� ����� ��� � ���� ��� ����� �� ��� ��� � ��� ���� � �� !���� � � ���� �������
������� �� 1� &� � ��� �� -�� &� � ��� �� ��� &" � �-� �� "�� 5 �� �� !���� ( ��� �� �� �������� �� � � �"
'5 �� .��( ��� � �� �� �� !�����
�!����� �� ��� ���� �� �� ��� � ���� ��� � &�� &�� &"$
� � -
� � �
- � "
������
������
� " - -� -� �� " � ��
3�� ( ��� � � � �� � ��
���' � ������� �� � ��� �� �( �����
1� ) � � � �� ����� �� � !��� ���� ( � �� � � � ��� ��� 1� � � �� ��� � ������ ���� ) ��� ! �� ��� ��� � � �� (� ��� � � � �� ��� ���� �� )� � ��� ���)�� ��
���)� � ���
z
y
x
0
u3
u2
u1
��%� �&�
�.. #���672898�) :/39;� .
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
8. Determinants Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
2� � � ����� ��� � ������ �� �� ) ��� ! �� ����� ��� � �� �� (� ��� � ��� � � � � ����� �� '���� ,�&( ��� ��� ��� � ��� �� ���� .�&� 2� ��� ����� �� ���! � � � �� ���)� � ������� �� �� ��� ���� ��� � � �� (� '� ��� ���� �� � � � �� � *�""+��,����(
�� ��� ���� '�� � ��!� � ;���� .�,�( ������� ��� ��������� ����� �� ��� ���
�3����" ��� - 1� ) ��� - � � �� ������ �� � !��� ���� (� ���
' ( ���) � -� � ���)� ���-��' ( ) � �!� �� � ��� ���� � ���)� �� -�
������� �� 1� ) � �� ������ �� � �� ����� �� �" ��� �� � � �� ��� � ���� ����� ) ��� ! �� �� �����
��� � �� �"$
)��� �� �� � ���� +� �� �� �� "�� *� �� �� ��� � �� �+ �
� �� "
* � ��
�
�
�
�
���
���)� � ��� � +� ,- � �-� ,� + � �**
���. ������� ����0 �� � ��������
1� ( � � !��� ���� �! � �� � � 1� � � (�� ���� �� � ���� ��� �� ��� �� �������
� � ������� � � � ������ �� �� � !���� � (� �� ������ �� � � � ��� ������
�1������- 9 ����� �� ��� � � �� � �� � &"��"���� � � � � �� � ��� ��������� ���� �$
' ( 2� �� � � $� ������� � ��� � � � � $� � � �� � ��� � � ��� � � � � � ��� � � �$� � � ��
' ( 2� �� � ��� �� � � �� ������� � ��� � � � ��� � � �� � ���� � � ��� � � ��
� ���� ��� ��"���� �� ���� � �� � �� � � ����������
�1������- 9 ����� �� ��� � � �� � �� � �"�������. � ���� � - ���! � ��� ��� ��� ��������� ���� ��
�������� � � � ���� � - ���! �� � ��� � �� �8�� �� � ���� �� �� �� ��� ������ ��� �� � �! � �� � � � ��� ! � � �� �� ������
���� �� �� �� �� �� !���� ������ � � � ���% ���� �� � ��� ! � � � �� ��� � � ������� � � � �����
�� ������ �� ���� '��!� � ;���� .�"&( ������ �� �� ��� ���� ����� ���
�3����" ���'- �� � ��� � �� �� ����� �� �� � ���� ����$
' ( � � ���� � ��� ' ( � � ������ ��� ' ( ��� � � ��
�� � ����� �� � � �� ��� ���� ����� ��% ���� �� ���� � ���� �� ��� ��� � � � �
/39;� .> #���672898�) �.=
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
8. Determinants Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
���!�$ (��?��"�
���(������ �� � ��������
���� �!����� �� ��� ���� �� ��� �� �� ������ �� ��� ��$
'�( � � , *
� "
� �
� ' ( � � � �"+ &
� �
� '�( $ � + �*�� ��
� �
� '�( � � � � * ,
" � �
� �
<� �� �������
� �
����
����� �� � �$
'�( ��� � ,�"� � *��� � �.� �- � .
' ( ��� � �+ �� � �,
'�( �$� � �.� * � ��"'�( ��� � �� � *��� �� � �. � �� � "� � �-� �. � �� � �-� � �.
���� �!����� �� ��� ���� �� ��� �� �� ������ �� ��� ��$
'�( � �� " +
* + "
� � �
�
�
�
�� ' ( � �� �� "
� + ��� * ��
�
�
�
�� '�( $ �� " �*" �� �
� �� �
�
�
�
�
<� �� � ���� � 5 �� .�� �� ���� � �� � � �������$
'�( ��� � ��+���� "�"���� +����*� � ��+��+� � ��"���� � ��"��*� � . = +-� �,� ��� �* � �+
' ( ��� � �. � "-� �� *� . � =
'�( �$� � �� , "-� * +� = � �*
�� � /����� �� ��� ���� �� ��� �� �� ������ �� ��� ��$
'�( � �� " +
* , &
. = �
�
�
�
�� ' ( � �+ �, . =
- �� & �"- - * ,
- - - "
�
���
�
���� '�( $ �
��
�� � �"
"+
��
��� �+ �
�
��
�
���
'�( 4� ��� � ��� �� �� �� � �� �� ������� �� �� � �� �� �� ��� �� ����� ��� ���� � ������� �� �� �� ���� �� @@6���� #� �� ��� #�AA� ���
��� �� " +
* , &
. = �
������
������
�� " +
� - ��. - �
������
������
� -� �+ ",� - �.� " � �&
' ( � � � ������� �� ��� � ������ �� �� � ������ �� � � ���-�'�( �� � ���� � � � ��� � ���� ��� � �� � � ����� 3�� ���� ��� �� �� �� #� �� , ��� ��
����� �� #� �� +� ���
�+$ �" �, ��" � �+� �+ �
������
������
� , �+ �+ +� +. �. � �.� �� �$� � �.
�+� &
,
�=- #���672898�) :/39;� .
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
8. Determinants Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��'� /����� �� ��� ���� �� ��� �� �� ������ �� ��� ��$
'�( � �� * �" ��
�� �" � �*� " �� �
�� �, + "
�
���
�
���� ' ( � �
, � � - *
� � � �� �
� � � �� "
" - � " ���� �� �" + �
�
�����
�
�����
'�( <� �"� � � �� � � !�� �� ��� -A� � �� �� ������� �� ����� �� �� �� ���� ��� @@6���� #� ����#" #�AA� @@6���� #� �� �#" #�AA� ��� @@6���� #+ �� #" #+AA� ���
��� �
� * �" ���� �" � �*� " �� �
�� �, + "
���������
���������
�
- �� � �,- " �� ��� " �� �
- �" � *
���������
���������
��� � �," �� ��
�" � *
�������
�������
� �- "� ", ",� �� �* � �+
' ( 5 �� ��� ��� �� � ��� ���� �� �� +� ��� ��� �� � ��� ���� �� �� "� �� �� �� � ��� ��5 �� .��� 5 �� �� ��� � � �� � � !�� �� ��� -A� � �� ����� ������� �� ����� �� �� �� ���� ���@@6���� #� �� ��#� #�AA� @@6���� #" �� �#� #"AA� ��� @@6���� #* �� #� #*AA� ���
��� �
� - �� + "
� � � �� �
�� - � - �
" - � " ��� - �� � ,
������������
������������
�
� �� + "
�� � - �
" � " ��� �� � "
���������
���������
�
� � + ��- � - -
* � " �*�� �� � &
���������
���������
�� + ��* " �*
�� � &
�������
�������
� �� �-� �-� " �-� �+- � ��-�
���������< ��������� �9�����< ������< (�����(�� ������
��.� 1� � �� � �" +
* �+ & ��+ - , �"" �� * �
�
���
�
����
'�( 5 �� ��"� �� ������� '� ��� � ��( �� & � ��
' ( 5 �� �� � �� ��� �� � ��� � �� �� �� ������ � � ���� +� �� "��'�( 5 �� �� � �� ��� � �� ��� �� �� �� �� ��� �� � � ������ �� �� ���� � ��
� ���� "� �� "��
'�( ��0 �� ��� ���� �� �� ������ � �� � ���� �� �� ��� �� �� � ��� ������ " '���� �� ������� � �� &(� ��� ���� ��� �� ��� ���� �� �����"$
��" � �� � +
+ - �"" �� �
�������
�������
� ���,�� � ,�
�� ������ � " ���� ��� �� ����� ��� �� ��"� ���� �� ��� �� ���� ���� & ����� � �� � ��������� "�
/39;� .> #���672898�) �=�
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
8. Determinants Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
' ( �� �� ����� ��� � � ��� + ��� �� ������ ����� ��� � � ��� "� 3�� �� � �� � �� ��� ����
� � � ��� ��"�+� �+"
����
����� �+ &
�� *
����
����� ��- �+ � �,
��� �� � ��� � �� � �����+�"� � � �� � � ���,� � ,�
'�( �� � �� ��� � �� � �� ��� ����
� � � ��� ��"�"� �""
����
����� � �"
+ ,
����
����� �� �� � �+
8�� ���� ��� �� � ������ �� � �� �� ������ � � � ������ �� � �� �� � � ��� ��� �� 9���� ��� �� �� �� � �� ��� � �� � ��� � !�
��2� 1� � �� � �
� " +
* . =
�
�
�
�� 5 ��$ '�( ���� ' ( ��C �� '�( ��� �� �� ��C ��
'�( ��� � �& �- �,� �*� "�� �. � ��' ( ��0 �� ������� �� �� ��� � �� ��������$
��C � �
" +
. =
����
����
� � +
* =
����
����
� "
* .
����
����
� �
. =
����
����
� �
* =
����
����
� � �
* .
����
����
� �
" +
����
����
� � �
� +
����
����
� �
� "
����
����
�
���������
�
���������
�
��* � �
�� + �"� �� �
�
��
�
��
�
��* �� �
� + ��� �" �
�
��
�
��
'�( ) �� ��� �� -� ��� � �
��� ���C �� ��
���* �� �
� + ��� �" �
�
�
�
� �*�
��
� ��
�� �� �
� ��
"�
� ��
�
��
�
��
��5� 1� � �� � "
+ * ,
- & .
�
�
�
�� ��� �� �� ���� �� ��� �� �� � �� ��� � ��� �� �� �� 5 �� �� ��$
'�( � � �� ' ( � � �� '�( � � "�
'�( �� � �� ��� � ��� �� �� � � �� � ������ ������ ���� �� � �� ��� �� �% ���� ��
�� � ���� � � * . � �+
' ( �� � �� ��� � ��� �� �� � � �� �������� �� �� � ������ ������ ����
�� � ��� ��� �"" �* ,
& .
����
���� � "
- .
����
���� � �
+ *
����
����
'�( �� � ���� �� � �� ��� � �� �� �� "� �� ��� ���� �� �� ���
�" � ��� � +- - .+� -� +�� ,+ � �.
���� 1� � �� " - ��
�+ � * �
� - " ��" �� � +
�
���
�
���� 5 �� �� ���� �� ��� ��� �� �� � �� ��� � ��� �� ��$
'�( � � �� ' ( � � �� '�( � � "� '�( � � +�
�=� #���672898�) :/39;� .
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
8. Determinants Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
���� '�������( ����� �� �� � ������ '� �� !������� ��� ������� ����� �� ��� �� "� + � ��� ��� � �� ��� � �� �� �� ��� �� � �
�
�
� ��
����� ��� �� ��� � �� �� ��
���� �� � +
�
�
� +� �� � +
�
�
� ,� �" � +
"
�
� +� �+ � +
+
�
� �
'�( �� � ��� ��� �"� �+� � � � " + � �-
� � �� �� "
�+ �
����
���� � -
� "
����
���� � ��
" +
����
���� � *
- "
����
���� � �
�� +
����
���� " ��
� +
����
����
� �+ " & , �- �+ � *+
��� �" �� " -
�+ � *
� - "
�������
�������
� " ��
�+ � �
" �� +
�������
�������
� - ��� " ��" � +
�������
�������
� * �
- " ���� � +
�������
�������
� *& ,* �� *+ � �=.
'�( �+ � ����� � "&.
� �������� �� �0�� �� �� ��� �� ;������
��8� )��! �� �� ��� ����� �� �����
"� �� � � �
"� �� � .� *�
"�� � � �� ��
�
�
5 �� ���� �� ���� �� � ������� ���� ��� ������ �� ��� ���� � �� �� ��� � �� ��� � ���$
�� "�� � � �
"� *� �� � .
�� ��� "� � ����� � �
� " ��" * �
� �� �"
������
������
� �"- , , * . �& � ��
) �� � �� -� �� ����� ��� � �� �� ����� ��� �� ������ ��������� � ����� ���� !��� ����� � ��� �� �� �� � � �� ��� � �� ��� � ��� �� �� �������� ���� ���
�� �� " ��. * �
�� �� ��
������
������
� ,,� �� �� � ��" . �
� �� �"
������
������
� ���� �� �� " �
" * .
� �� ��
������
������
� ++
����
� � ���
� ,,
��� "� � � ��
�� ���
��� ��� � � ��
�� ++
��� �
���:� /��� � �� �����
�� � � � �
� �� � � �
� � �� � �
�
�
<� ��� ����� �� �� ���� !���� �� � �� �� �� �� ����� ���$
'�( � �� �� ����� ��� ' ( �� ���� �� ����� ��� '�( �� ����� ���
'�( �� ����� ��� � �� �� ����� �� ��� � �� -� �� � � �� ��� ���� �� �� ��� � �� ��� � ����/�����
� �� � �
� � �
� � �
������
������
� �" � �� � � � � � � �" � "� � � �� � ����� ��
/39;� .> #���672898�) �="
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
8. Determinants Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
���� �� ����� ��� � �� �� ����� �� ���
�� � ����� �� �� -� ���� ����� � �� � ��� � �� �
' ��� �( B���� �� � � ��� �� ����� ���� �� ����� ��� �� ���� �� ����� �� ��� � � �� ��� ������� ��� �� ����� �� ��� � � ���
���� ���� �� (��/� ��
����� 5 �� �� !���� ( ��� �� �� ������� �� � � �" ��� �� �� �� !����$
'�( &� � ��� �� ��� &� � ��� "��+�� &" � ��� ���*��' ( &� � ��� �� +�� &� � ��� ���"�� &" � �*� &� =��
( ��� � �� ������� !��� �� �� ��� ���� �� �� ��� � ���� ��� � �� � !� !����� ����
'�( � � �� � �
� " �+� � �*
������
������
� ��*� + �� " . * � �&� 3�� ( ��� � � � &� � &�
' ( � � �� � +
� � �"* & =
������
������
� =� "- *,� �- ��� ", � -� ���� ( ��� � -� �� � ��� ����� &�� &�� &"
� � � ���� ��� � � ���� �������
����� 5 �� ��� � �� �
" + - - -
� * - - -
- = � - -
- * - , &
- - + " +
�
�����
�
�����
�
" + - - -
� * - - -
- = � - -
- * - , &
- - + " +
�
�����
�
�����
� � '���( � ������ ����0 ��� �% ��� !����� �� ��� ���� �� ��� � ������ ����0$
" +
� *
����
����� �*� . � &� ��� � ��
, &
" +
����
����� �+� �� � "
���� � � � &����"� � +��
��� � 5 �� �� ��� ���� �� )��" �" � �� ��
)��� �� �� � �� "�� +�� �� &�� � *�� "���� ��� ���� �� � � �� ����� ) � ���� �� �� ��� ���� �� ��� ��� � ���� ����� )� ����
�� �� �� ��� � � ���� �� ) � �� ����� ��� � '���� ���� ���� !��� ���� �� �� �� ��� � ����� �� �(� ���
� �� " �+- � &
� * �"
�
�
�
�� ��� �� ���)� � ��� � �, �� - .� "*� - � �.
���'� � � ��� . � .���� ��� �"� �+� ��� � ��� ��
.���� ��� � � � � ��� ��
������ � ����
�� �������
� ��� �� � ������ �� ��� � �� ��� ��� ���� �� ������
� ��� �� � ��� ������ ���� ��
�
��� ��� � ��� ���� �� ������ �� ��� ��� ��� � ��� �� �� �� � � �� 3��. � .���� � � � � �+� � ��� � ������ � �"���� � �+���� � �"���� � �+���" � �+�
�=+ #���672898�) :/39;� .
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
8. Determinants Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
���.� 1� � � � ��� ��� ������ �� ����� ��� )��� ���� ������ � ��������) �� � � ������ ��� ������ � -� ������ � -� 3��
��� ��� �� � ������ ������ ������ ������ � ������ ������3��!� ��� �� � �� � -� 3�� ������ � �������� �� �� ��
( ���������
���2� #�� � �� �� �� '� ��( �� �� ������ �� � � ",+�*��
/���� �� ���� �� �!� ���� ���� �� �� ��� ���� �� ����� �� ���� �� ����� � � � �������� � � � ��� � ���� � � �� 8�����
� � �� " ����� �"� ,� +�� � �� + ����� �"� ,� +� *�� � "� - �����
� � +� � ���� �,�� � *� � ���� �,�� � �� - �����
) �� " + - � � - � = � ���� � � �� ��� ������ ��� ��� ��� � � ���
���5� 1� � � �+*�" ��� � � +�"*� � ������ ��� � �*� 5 ��$ '�( � � �� ' ( ����
6���� ���� � � �+*�" ��� � � +�"*� � ���� ���� �� � � ��
� � � � " + *
� + * � "
�
� ���� � �� ���� � +� ��"� � *� ��+� � �� ��*� � "
� � � � " + *
+ � " * �
�
� ���� � +� ���� � �� ��"� � "� ��+� � *� ��*� � �
'�( �� ����� �� � ��� ��� � �� �� �� "� +� * � �� �������$
� � �� � + *� " * �� + � +� * " "
:���� �� �� ������ �� � ����� � ������� � ���� � ��� ���� � � � � �*�+"�
' ( ?� � � � ��� ���� �� � � � ��� ���� � ���� � �� 3��
��� � � + * � "
� � " + *
�
� � � " + *
+ � * � "
�
� ��� � +�*�"
����� 1� � � �� �� � � � �� � ��� ������ �� � ��� )��� ����� �� ��� �!� �� ��� �� �� � � � ��� ����� � � �� �� � � �� ��D� �D� ���� ����
�D � �D ��� ���D� � �� �D� ������ ! � !��� ���� � � !� � ��� ����� �� �� ���� �� � �� !� � �� ��� ���� ���� � ��� ��� �� '�(�
/���� �D ��� �D �� ���� ���D� � � ��� ���D� � �� ��� � � � � ��� ���� � ���D� � ���D�� ��� � ����� � � � ��� ���� � �D � �D�
���8� /��� � �� ������� ��� . � .���� � � � � ��� ��� ��.�� � �� ��
. � .���� � � � � ��� ��
������ � ��� ��� ��.� � �
��������� � ������
') ;���� .��+�( )��� ���� ��.� � . ��� � � �� !� ������ ��� ��� ��.� � �. ��� � ��� ��� ������ ��� ���� �� ��.� � ���� ��.�
) �� � � �������� ��� �����
��.� � �
��������� � ��� ��� �
�
��� � ������ � ���
���� ��.� � ��.� � �. ����� �� �� ���� �� � �� !� � �� ��� ���� �� ��� �� �� ��� �� � ����� � � �� 8�� ���� �� ��� �� ��� �� �� �� ��
� � � ��� ���� � �� ��
/39;� .> #���672898�) �=*
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
8. Determinants Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
�� � � �� ������ � ��� ��� � ��.� �� �� �� ���� � �� ��� ) �� � � !� � ��� ���� � �� � �� !����� �� �� � ��� ��� �� '�(� � ��! ��.� � . � ��� ���� � � � !�� 3�� ��.� � �. � ��� ���� � � � ����
���:� 1� �� � � ��� )��� ���� ����� � �� � ���� ������ ��� ���� �� ������ �� ��� !� � ��� ��������� ��� � !�� ��� �� ������ �� �� ��� ��� �� !� ������ �� � ����
<� �� ;���� .��=� � ��!
����� � �� . � �� � ���.� � ����.�� � ������ ��.� � ���� ������ ��.9���� ���� ��� �� � �� � ���� ������ ���
����� /��� � �� ������ �� � � �� �� � � � ��� )��� ���� ��� ��� � ��� � ���� �� ������ ���� ���� ����
�������� � � � ���� � �������� � � � ������ ��� � ���� � � � ���
� ��! ��� � � � �� �� ��� �� ������ ��� ) �� � � !�� ��� ��� � � ���� !� � ���� ����3�� ��� ��� � ��� ��
) �� � � ���� � � � �� � � ������ ��� �������� � � � ���� � �������� � � � ���� � ��� ��� ��� � � � � �� ��! ������� ����
����� � �� ����� � �� � � � � ����� � �1� � � ���� � � � ��� ���� �� � � �� � � � � ��
�� � ����� � ������� � ����� � ����� � � � � �� �� ��� �� ������ ��� 3�� � � ����
(����� �� �@ �� ��
����� ;�! ���� .��$ ��� � � ����2� � � ������ ��� �� � � ���� � �� �� � ���� 3��
��� � �
�������� �� ����� ����� � � � ����� �
�������� ���������������� � � � �������
1� � � ���� ?� ;���� .��� ��� � � ��� �� ��� �������������� � � � ������� � ������������ � � � ������� 3����� � �
�������� �������������� � � � ������
3��!� �� � ��� ������ ��� �� ����� �� ��� � � ��� ���� ��� ������ ��� �� ����� �� ��� ������� � � ����
��� � ;�! ���� .�"' ($ 2� ��� ��� '�������( �� � � ��������� ��� ��� � ������ ��! �� ���� �� �� ��� ���� ��� ������� � ��������� 1� � � �� ������� � �� ����
�������� �� ��� ����� ������� �� �� �� ��� ������� �� � ���� � ��������� 2� � � ����� ���� � � ���� ��� �� � ������� 3��� �� ��� ������ �� ��
����� ����� � � � ����� � ��� � ������� � ���� � � � ��� � ��������
��� �
�������� �� ����� ����� � � � ����� �
�������� ����� � ������� � ���� � � � ��� � ����
) �� �� ������� � �� � � �� ��� ������ ��� ����� � �� � ���� ������ �� � ���� �� �������� � ���� �� � ��� ��� ��
��� � �
���������� � ������ � ������� � ���� � � � ��� � ����
?�� �� � ��� ������ ��� �� ����� �� ��� � � � ���� ��� ������ ��� �� ����� �� ��� 3�� ��� � �����
�=, #���672898�) :/39;� .
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
8. Determinants Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
���'� ;�! ���� .��$ ' ( 2� � ��� � �� '������( �� ���� ��� ��� � -�
' ( 2� � ��� ��� ��� ��� ��� '�������(� ��� ��� � -�
' ( 2� � � � ������� ��� ��� � ������ �� � ������ ������ ���� �� � � ��
' ( ���� �� � ��� ����� �� � ����� ��� !� ��� ��� �� ��� �� �� �� ���� ���� ��� �� �� ��� ���� ��� �� ��� � -�
' ( )����� � � �� - � �� 2� � ������� �� ��� ��� ��� ��� �� �� � �� �� ���� � �� ��� � ��3��� �� ;���� .��"� ��� � ����� ��� �� ��� � -�
8�� ������ � � � - � �� ��� ��� � � � �� !� � � ��� ) �� � ��� ��� ��� ��� ���� ���� ���� �� ��� �� � ��� �� � �� ���� ���� ) �� ��� �� � -� �� ��� ���� �� � � ���
' ( )����� � � ����� � ��� � ������� ���� �� �� �� � ���! �� � ������ � ��� ��$ ��� � -���! � � �� /��� � � �� � �� �� ��� ���� �� �$
� � ���� ���������� � � � ���� � �� � � ���� � � � ��)����� �� �� �� ��� � � �� ��� �� ���� � -� ��� � � -� ���� �� ��� �� �� �� �� �� �� � � ���
8�� ������ �� � � ��� �� �� �� ��� � � ��� ��� �� ���� � -% ��� � � -� ���� ��� �� ���� �� �� �� � � �� �� � � ���
) � ����� � ���� � ���� ��� �� �� �� �� �� �� � � �� �� � � � � � � �� �� � � ��� 9���� �������� � ������ � � � ��� � ������ �� � ������ ������
���.� ;�! ���� .�"$ � � ���� �� ��� � �� �� ������ ���� ���
' ( 2� ��� ��� '�������( �� � � ��������� ��� ��� � �����' ( 2� � �� '������( �� � � ���� �� � �� � ����� �� ��� ��� � �����' ( 2� � ���� �� �� � �� '������( �� � � ���� �� ����� �� '������( �� �� ��� ��� � ����
' ( �� � ���� ��� ��!� � ;���� .��"�
' ( 2� �� ��� �� �� � � ���� �� � �� �� ��� !� �� � ��� � ���� �� � �� �� ��� �� ��� � ����� ���� ����� �
����� ���������� � � � ������ � � � � ���� � �
����� ���������� � � � ���� � ����
' ( )����� � � �� �� ��� �� � ���� �� �� ��� �� �� �� <� �� �� ������ � �� ���� �� ��� ��� � �� �� ��� ���� ��� � ��!
��� �
����� ���������� � � � ������ ���� � � � � ����
� ������ ���������� � � � ����� � � � ����
����� ���������� � � � ���� � � � ����
�� �� ��� � �� ��� ���� �� � ��� � ���� ��� ��� ��� ��� � ��� ���� 9���� ����� ������ �' (� �� ��� � ��� �� ����� ��� � �� ��� ���� �� �� ���� ��� � � � - ��� � ����
���2� ;�! 1��� .�,$ 1� � � �� ������ ��� �� ��� ���� � �������/��� � �� ������ �� ���� ���$ ' ( 7��� ��� � �� �� � �������� � �� -�
' ( 2������� ��� ���� ' ( 9�� � ���� �� �� �� �� �� ������
1� �������" � �� ������� �� ������ ��� �� ���� �� �������" � ���� �� �� ����� �� �����! ���� ��� �� �� ��� �� ��� � � � ?� ;���� .��*�
���� � ��� � � �� ���� � ��� � � ��� ��"� � �� � � �
6���� '���� "���( ���� ��� � ��� ��� �� �� ��� � ���� �� �� ����� �� �� ������� �� ���� �� ���� ����� �� ���� .�"� � ���� � �� ������ �� �� �� ��!� �� ����$
����� � ���� � �������� ����� � ���� � �������� ��"�� � ��� � ���� � ��"����
�
/39;� .> #���672898�) �=&
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
8. Determinants Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
���5� )����� � � �� �� !���� �� � ���� ��� � �� ;�! ���� ��� � - � ��� ���� � ��� � -�
?� ���� .�"� �� ���� �� �� ������ �� ���� �� � �� ����� �� � �� �� �� ��� ���� � ������ ��� �� ��� ���� �� � ����� ������ 3�� ��� � - � ��� ���� � ��� � -�
����� ;�! ���� .�*$ 1� � � �� ������ ��� �� ��� �� ������ �� � �� !����$
' ( � � �!� ��� ' ( �� � - ��� ���� �� �� ����� ��� ' ( ����� �� -�
�� ���� � �� �� B���� �� ���� ���� 2� � � �!� ��� � � �� �� !���� �� � � ?�� �� � �� -� 3��� ��;���� .�+-� ��� �� -� 2� � � ��� �!� ��� � � �� �� !���� �� � ��� � � �� � �� ��� 3������� � -� ���� ' ( ��� ' ( � �� !�����
2� �� � - ��� ���� �� ����� �� � � -� ��� � � �� �� !���� �� � ��� � � �!� ��� /��!���� � � � �!� �� � �� �!� ���� ���
� � �� � ������� � ������ � � ���- � -
� �� ���� ����� �� �� �� � -� ���� ' ( ��� ' ( � �� !�����
���8� ;�! ���� .�+$ ���� � �������2� � � � ������ ��� �� � ���� � ������ ��� �� ���� � - � ������� 4� �� ��� ����� � � � ����
� ������ ��� � � �� � � ������ � ������ �� ������ ��� ��� ���� 1��� .�, ��� ����� ��� � ���
���� � ��� � � ������ � ���� � � � ��������������� � ������
�� :� )����� � � �!� ��� ;�! ���� ����� � ���������� � � � 3�� � � �� � � ������ � ��������� ��� �� ����� � ������
�� �� ;�! ���� .�&$ )����� � ��� � � � � �� ��� ��� ��� ��� � ����) �� � ��� � � � � ��� �� � ��� �� �!� �� ��� � � ���� ���� � � ������ ����� �� ��
;���� .�"-� � �� ��� � ������� � ����������� � ���������� � ����� ��0 ���� �������� �� ��� �� ��� ��� � ��� ��� ������� �� ��� ����� ����� ��� ��� ��
������� � �� ��� � ������ � �� �� ��
�� �� ;�! ���� .�. '1�����($ 1� � � ������ ��� �� ��� ���� �� ������� �� ���� ���� �� ��� � � ���� � ������ � � � ������ ��� ��� � ������ � � � ������
) �� ��� � ��� �� � �� ���� ��! �� �� �� ����� ���� ���� �� �� �� � ��� �� ��� �� �� ������ � ��� ����� �� �� ��� ���� �� ��� �� �� ��� �� ����� ���� � � � � ���� �� �� 3�� � ��� � � ��� � �����
��� � ����D�� ����D�� � � � ����D��'8�� ���� �D�� � � ��� �� ��� �!��! �� �� ��� �� �� ��� �� �� ��( ���� �� ���� � ��!� � � ������� ����
�D�� � ��� � ������� ����� �� � �� ��� � ���� �� �� ��� �� �� �� ��� ������ ����� � �� �� ��� ���� '3 ��� ������ ������ �� �D�� ��� � �� �� �� ������� �� ���� ��� �� �� ���� ���� �� ���� �� ���� �� ���� � � � �� �� �� ������� � �� !�����(
5 �� � ���� � �� ��� ���� � � �� � � �� ��� �� ��� �� ��� � ��� ����� � �� ��� �����D�� � ���
����� �������������� � � � �����������
�� � ��� �! ��� ������ ��� � � �� �� �� �� ���� � �� 3��!� �� � � �� !���� ';�!E( ������ �� �! ��� ������ ��� �� ��� � � � � �� � � ���� �D�� � � ��� � ������� ����
�=. #���672898�) :/39;� .
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
8. Determinants Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
8�� � ���� � ��� � ��� �� � ������� �� ��� �� � �� ��� ����� �� �� ��� � � � ����� ��� � ������� �� ��� ������ � �� ��� ����� �� ������ ��� � � � ����� 8�� ���� �� ��� ���� � ��� � ���������� � �� �� ��� ! ��� � ��� �� �� ��� ��� ��� ������� � ��� ������ �� ��� ���������3��!� �� @@� ��AA �� ��� ��� �� �D�� � ������ �� � ��� ��� �� � � ��� 9���� �����
�D�� � ����������� ��� � ������� ���
�� � 1� � � ����� ��� �� � � �� ��� � ���� �� ��� � �� ���� �� �� ��� �� �� � �� �� �� !���� ��� � � � � ���� )��� ����
��� � ����� ����� � � � �����5������ ���� ����� �� � �� ��
������ ������ � � � ������ � - ��� ������ ������ � � � ������ � -
1� � � � ���� ?� ���� .�.�
��� � ����� ����� � � � �����) �� ��� ��� ��� ���� �� �� ��� �� �� �� � �� ��� � ��� �� � � �� � � � � �� 3��
��� � ����� ����� � � � �����8�� �� �� � ���� �� ��� � �� ���� �� �� ��� �� �� � �� �� ��� �� �� �� ) �� �� ��� ��� ��� ���
���� ���� � -� ����� �� �� ���! �����
���� � ������ ������ � � � ������ � -
<� �� ��� � � ���� � ���� ���� � ���� ������ ������ � � � ������ � -�
�� '� ;�! ���� .�=$ ����C �� � ���C ��� � ���� �1� � � ����� ��� �� ����C �� � � ���� �� ��� �� �� � �
����� ���� � � � � ���� ���) �� ��C � � �� ������� �� �� ��� � �� ��������� �� ��� ������ �� ��C � � �� ������ �� �� ���������� �� ��� �� �� �� ���� ��
�������� � � � ������ ���8�� ��� �� �� ��� � ����C ��� � ���� �� �� ���� ��� �� ���� ��� '�( ��� '�($
�� � ������ ������ � � � ������?� ���� .�. ��� ;���� .�""�
�� � ��� � � � �- � � �� �
�
9���� ����� ����C �� � �� � ������ ��� � � �� ��� � ������ ���� ���� 2� ��� ����� ����C �� � ���� �) � ����� ���C ��� � ���� �
�� .� ;�! ���� .��- '/��A� ��($ �� '����( ����� �� � � ��� � �� �� ����� �� � ��� ���� � � �� -� 2� �� � ���� �� � ���� �� ��� ��
?� �! ��� ������ �� � � ��� � �� �� ����� �� � ��� ���� � � � �!� ��� ��� � � �!� �� � ������� � � � ��� �� -�
8�� ������ � �� -� ?� ���� .�=� ��� � ��������C ��� 7��� ��� �� �� � � �� ���� � ���� �
� � ����� � ��������C ��� ���
/39;� .> #���672898�) �==
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
8. Determinants Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
8�� ���� �� ��� �� �� ��������C �� � �������������� � � � ������ 2� � � � �� �� � � � � ��� � ���� �� '�(�
�� � ������ ���� ���� � � � �����3��!� �� � ;���� .�""� ���� ���� � � � ���� � ��� �� ��� ���� �� �� ��� � ���� �� ������ �� �� ��� ������ �� � �� �� ������ !��� �� ���� �� � �������� �� �� ��
�� 2� ;�! ���� .���$ )����� � �� ��� '���( � ������ ����0 ��� � � �� � ������ ����0������� � � � ���� ���
��� � � ������ ������ � � � ������� �� ���� ��! �� ���� �� � � �� ���� �� ��� � � ���� ��� � �� �� ��� � � $
- �
� �
��� ���� �� �� ���� ���� ������� �� �� �� ����� ���
)����� � � ����� � ������ � � � ��� � ������� ��� � ���� � ������� �� � � �� ?�� � � ���
��� � �
�������� ������������ � � ������
2� � � ��� � � � ��� �� � -� ���� � �� ���� ���� � ���� ������ ��� � ���� ����
�� �� �� � � � � � � � �� �� � � � � � ��� ���� �� � � � � � ��� �� � � � � 1� ����� � ���� �� � � � ��� �� ����� � �� �� � �� � � �� ���
���� ������������ � � ������ � ���� ����������������� � � � ��������� ��� ������ ������ � � � �������� �� ��� � ��� � � ����� ������
�� 5� ;�! ���� .��+$ �� � ��� � �� �� ����� �� � � � � ���� ����$
' ( � � ���� � ��� ' ( � � ������ ��� ' ( ��� � � ���� � ����� �� � � �� ��� ���� ����� ��% ���� �� ���� � ����
1� � � �� ��� ���� ����� ��� ���� � ���� � ���� ���� ���� � ��� � � ' (� ' (� ��� ' (� ��� ���� � � �� ���� ����� �� ��� ��� �� ' (� ' (� ��� ' (�
?� ���� .��� � ��� � � ' ( ��� ' (� 3�� � ���� ���� � � ���� � ��� )����� �� ��� �� ��� � ����� ��� �� ��� � �� ���� �� ���� � � � � �� ����� ���
���� � ����� � � � � �� $�� � � � � ����
��
���� �������� � � � ������������ ����� ������� � � � ������
�
��
���� �������� � � � ����� � � � ������
��
���� �������� � � � ������ � � � ������
� ����� � � � ���� � � � ���� ����� � � � �$�� � � � ����9���� �� ���� .�"' (�
����� � � � � ���� � � � ���� � ������ � � � ���� � � � �������� � � ���� � ��� ��� � ��� � � ' (�
� ��� ���� ��! �� �� ����� �� �� )����� � ��� � � ' (� ' (� ��� ' (� 2� ���� � � � � �� � �� �������� � �� ��� ���� �� ' (� ����� ��� � � � � ��� � ��� � � �� <� �� ' (� � ���� ��! ����
����� � ��� � � � � � ��� � � ��� �� �� � � ���� � � � �� ���8�� ������ � � ������ 4��! ���� �� ��� �� �� �� � �
�� � ����� ���� � � � � ���� � ����� ����� � � � ���������
���� � ������� � � � ������ ����� � � � ������ � � � � ����� � � � ������
"-- #���672898�) :/39;� .
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
8. Determinants Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
<� �� �� ���� � �� �� �� �� � ��� � � ���� �� � ��� �� ��� �� �� ���
��� � ��������� � �������� � � � � ������� �
� ��������� � � � ���� ������ � ��� � � � � � ��� � ����� �� ��� � ����� �! ��� ������ ���� � � � ��� �� �� � ��� � � � � � � 2� ��� �� �� �� �� � �������� �� � �� ��� � �� �� ���� �� ' (�
����� � ��� � � � � � ��� � � -
9���� ����� �� ��� � '�( �� ���� � ����� �! ��� ������ ��� � � ���� � � � ��� <� �� '�(� � �������! ����
���� �
���������� � � � ���� ������ � ��� � � � � � ��� �
�
����� ���������� � � � ���� � �� � � ���� � � � ��
3�� � � �� ��� ���� ����� ��� ��� �� �� ���� � ��!��
������"�����* (��?��"�
���(������ �� � ��������
�� �� �!�����$
'�(� ,
+ �
����
����� ' (
* �
" ������
����� '�(
�� .
�* �"����
����� '�(
+ =
� �"����
����� '�(
�� �
� ����
����
�� 8� 5 �� ��� � ���� ����$ '�(� � + "
� � � =
����
����� -� ' (
� � � +
" � � �
����
����� -
��':� /����� �� ��� ���� �� ��� �� �� ������ �� ��� ��$
'�(
� � �
- * ��� �" +
�
�
�
�� ' (
" �� �+� * ��- , �
�
�
�
�� '�(
�� �� +
, �" ��+ � �
�
�
�
�� '�(
& , *
� � �
" �� �
�
�
�
�
��'�� 5 �� �� ��� ���� �� ��� �� �� ������ �� ��� ��$
'�(
� � � "
� - �� -
" �� � ��+ �" - �
�
���
�
���� ' (
� � " �
" - � ��� �� + "
� � �� �
�
���
�
���
��'�� �!�����$
'�(
� �� " �+� � �� �
" " �* +
* � �� +
��������
��������
� ' (
� �� + �"�� � - �
" � " ��� �� � �"
��������
��������
� '�(
� �� " ��� � �� -
� - + �*� + + �,
��������
��������
/39;� .> #���672898�) "-�
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
8. Determinants Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��' � �!����� ��� �� �� ������ �� ��� �����$
'�(
� � �� " �
� �� � �� "
" � - � ��* � � �" +
�� " �� � ��
����������
����������
� ' (
� " * & =
� + � + �
- - � � "
- - * , �
- - � " �
����������
����������
� '�(
� � " + *
* + " � �
- - , * �
- - - & +
- - - � "
����������
����������
���������< ��������� �9�����< ��7 �� �
��''� 5 �� ������ ��C �� ��� ���� ��$
'�( � �� � -
� � �
- � �
�
�
�
�� ' ( � �� � �
" � -
� � �
�
�
�
�
��'.� 5 �� �� ����� ��� ��C� �� �� ��� ��� � � ;���� .�+��
��'2� 1� � � �
� �
� �
� '�( 5 �� ��C �� ' ( )��� ���� ��C���C �� � �� '�( ��� ��� � � ��C �F
��'5� )��� ���� � � � � ������ '� ������( ��� ��C � � � ������ '� ������(�
��'�� )����� � � ����� � � ������� )��� ����$
'�( � � �!� �� � ��� ���� � ��� � ������ ���� ��� �� -�
' ( �� � ������ ����� �� ��� ' � � � ���( � ����� � �� � ������ �� �� � ������ ����� �� ��
������< (�����(�� ������
��'8� 1� � �� � " �
� - �� "
" �� � *
+ �" - ��
�
���
�
���
��� � �� " �� *
� �" � +
- �* � �
" - * ��
�
���
�
���� 5 �� �� � �� ��� �� � ��� � ��
������� �� �� �� ������ �� ������ ��$
'�( ���� +� "� +�� ' ( ���� +� "� +�� '�( ���� "� �� +�� '�( ���� "� �� +��
��.:� 5� � � �� �� "� �� �� ��� �� �� ��� � �� ��� � ��� �� �� � ��$
'�( � �� " �
� �+ "
* �� �
�
�
�
�� ' ( � �� * �+� , �
" �� -
�
�
�
�� '�( $ �� �+ "
� � *
+ �& ��
�
�
�
�
��.�� 5� � � �� �� "� +� �� �� ��� �� �� ��� � �� ��� � ��� �� �� � ��$
'�( � �� � " ��� �� - *
- � �� �
+ - �� �"
�
���
�
���� ' ( � �
� � � �
- � � "
� " - +
� & + *
�
���
�
���
"-� #���672898�) :/39;� .
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
8. Determinants Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
� �������� �� ��� �� ;������
��.�� )��! �� ������ �� ������ �� ��� �����$
'�("� *� � .
+�� �� � �
�
� ' (��� "� � ��+� &� � ��
�
� '�(��� � � � �"��� * � � ��
�� �� -��
��. � )��! �� ������ �� ������ �� ��� �����$
'�(
��� *� �� � &
� ��� +� � "
"�� +�� ,� � *
�
�� ' (
�� " � � "�
�� "� � �� �
"� � � �� ��
�
�
��.'� ;�! ���� .���$ �� ����� �� � - ��� � ����� ����� �� � ��� ���� � � � ��� � -�
( ���������
��..� 5 �� �� �� �� �� �� ������ ��� � � "��*+� � � �"*�+� � � +�*"� � �*�
��.2� 5� �� ������ ��� � ;���� .�**� ��$
'�( � � �� ' ( � � �� '�( ���� '�( ����
��.5� 1� � � ��� )��� ���� � � � ��� ������ �� �� � ��� ������ ��� ���� �� �� � �� � � � � � �� �
��.�� 1� � � �� ��! �� ����� ���� ���� � �� 1� �D � ���� � � �� �� �D��� � �����'�( )��� ���� ��� �D � ��� ��
' ( )��� ���� �� � ��� ������ ��� �� ���� � �� �D ��� ������ ����� ���� ��
���� � ��D � � � ������� � � �
��.8� /��� � � ������ �� � � �� �� � � � ��� 1� ��� � �� ����� ��� � �� ��� ��� �� � � �� ��� � ���� ��� �� � ��� � ��� � � ���� � ��� � � � � � ��� �� )��� ���� ��� � ��� ��
� ������� �� ��� �� �( ������
��2:� 5 �� �� ��� ���� �� ��� �� �� ������ �� � �� ��������� ���$
'�( � ��� �� � �� �� � ��� �� � ���� =�� "�� *���' ( � ��" �" � �� �� � ��� �� �� � �"�� ��� *� &�� � � ���'�( � ��" �� � �� �� � ��� �� �� � ��� &�� +�� +�� ,� ����
��2�� 1� �( ( � �� � ���� �� ������ ���� �� � � ���� � �� ���� 5 �� ���� � ( � �� !��� ���� ������� ��� � �� �� ������ �� ����$ '�( ��� �� � � � � �* � ' ( ���� ���� �"� � '�( �� � �� ��� � �
��2�� ;�! ���� .��"$ 1� ) ��� - � � �� ������ �� � !��� ���� (� ���$
' ( ���) � -� � ���)� ���-�� ' ( ) � �!� �� � ��� ���� � ���)� �� -�
��2 � ;�!$ '�( ����( � � �� �� �( � �� ��� �� ������ ' ( �������� � ���� ��� ��� � � �!� ���
���� ���� �� (��/� ��
��2'� 5 �� �� !���� ( ��� �� �� ������� �� � � �" ��� �� �� �� ������ �� !����$
'�( &� � ��� ���"�� &� � �"� +����� &" � ������ *��' ( &� � ��� �� "�� &� � �������+�� &" � �+� �� ���
/39;� .> #���672898�) "-"
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
8. Determinants Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��2.� 5 �� �� !���� ( ��� �� �� ������� �� � � �+ ��� �� �� �� ������ �� !����$
&� � ������ *����� &� � ��� ����� ��� &" � �"� -� �� ��� &+ � ������ +����
��22� 1� ( � �� ���� �� �� � ��� �� � �
� �
� �
�! �� #�� � ���� ��( � � ��� �� '� ������ �� �� ���( ��$
��� �� � � � ��� � �� � � ���
��� �� � � ��� ����� �� � � � � ���
��� �� � � -
� � � �� � � �
��25� 1� � � �� ������ ��� �� ;�! ���� � ������
��2�� 1� ����$�� � ������ �� ������ ��� ��� /��� � �� ������� ����0 ��� � � � �
$ �
� �
� ;�!
���� � � � ������ � ����$�� )��� ���� �� ���� ��� ��� � �� � �� ��� �� �� ��� �������
��28� )����� � � ���������� ���� �� ��� � � � )��� ���� ����� � ���
��5:� 1� ( � �� ���� �� ����� ��� �� ! �� �� ������ �� �� !����� )����� ��( � � �� ����� ������ ��� )��� ����$
'�( ��� � � ��� � � � ��� � � �� � ���� � � ��� � � � ��� � � ��% � �� ������ ��� ��� ��� � ���������
' ( 2� ������ � � � �� � � ���� ������� ��� �������� � � � ��� � -�
��5�� 1� ( � �� ���� �� ����� ��� �� '�� ���!(� ��� ������ ��( � � )��� ���� �� ������ �� ��0������� � �� !���� �� � � �� ������ ��$
�������� � � � ���� � - ���! �� � ��� �� ��� �1� ( � �� ���� �� ������ ��� �� �! �� )����� � � ( � �!� �� ��� �� ����� �� -� # ���( � �� ���� � ������������� �� � � (� 3��
�������� � � � ���� � ����������� � � � ������������� �� � �� ��� �� �� �� ��� �� ��� � �� ��� �� �� ��� )��� ���� � � ���� � �� ��� ������ ��� ������� ��� � � �� '�� � ����� � ��� �� ��� ���� �� ��! ���� ���� � �������(
��5 � )��� ���� . � .���� � � � � ��� � �����(������ �� . � .���� � �� � ���� ������ � ;���� .��=�� � ��� ��� (��� � �� (�������� ��������� � �� ��
(������ �
� � � � � � �
�� �� � � � ���� �
��� ��� � � � ����� ��
��������������������������������������������
����� ����� � � � ������� ����
�
�������
�������������
��5'� 1� � � ��� ��� �� )��� ���� �� � ��� �� � � �� ��� � ' � ��� �� ���������� � �� ��� �� ' �� � �����
��5.� 1� � � �� ������ ��� �� �� ����������" ��� �� � � �� �� �� �� ����� ���� ������ � �� �'���� �� �� ��� �� ��� ��� ������� �� �( ���� ��� ���� � ��� ��� )��� ���� �� ��� ������ ��0�� � � ���� �� �� ��0� ��� �� ��� ��� ���� �� � ���� ������� ��� '� �������(�
"-+ #���672898�) :/39;� .
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
8. Determinants Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
���A��� �� ������"�����* (��?��"�
��������/ � �#�� #�� � � �� ����� � ��� � � �� ��� #��#�� � � �
�� �� '�( ���� ' ( ��"� '�( +,� '�( ���� '�( �� � �
�� 8� '�( "� �-� ' ( *���
��':� '�( ��� ' ( ���� '�( �--� '�( -
��'�� '�( ��"�� ' ( �**
��'�� '�( ""� ' ( -� '�( +*
��' � '�( ���� ' ( �+�� '�( �+,.
��''� '�( ��� � � ��� ��C � � ������� �� ��� ����� ����� -��
' ( ��� � ��� ��C � � ��� -���� �"���� ,� �� ���*�� 9���� ��� � ���C ������
��'.� '�( ���,���=���,�����"-��".���,� �=��.� *����"������"� �� �.���.��' ( ������+���&���=��++� ��� ""� �����=� �� �"� ��� �&� &���=���.�
��'2� '�( ��C � � ���� � ��� ��� '�( � � ��
��'8� '�( �"��"� ' ( ��"���"� '�( "��"� '�( �&���&
��.:� '�( �����&� &"� ' ( &� �-� �-*� '�( �"� *+� -
��.�� '�( ,� �"� ,�����=� ' ( &��"=� �=� �-
��.�� '�( � � ���,� � � �=
�,� ' ( � � � *
�"� � � �
�"� '�( � � � �
�� � � � �
��. � '�( � � *� � � �� � � �� ' ( � �� � � -� �� ����� ������ � ���!� �� ��� �����
��..� '�( ��� � � �� ��� � � ��� ��� � � ��
��.2� '�( � � � � *"�+�� ' ( � � � � *�+�"� '�( ��� � "��*+� '�( ��� � �+�*"
��2:� '�( ���� � � �&� ' ( ���� � � +� '�( ��� � ��
��2�� '�( -� ' ( ,� '�( �
��2'� '�( "-� ' ( -
��2.� �&
��22� '�( ��� ' ( ��� '�( ��� '�( ��� '�( ��� ' � ( ��
/39;� .> #���672898�) "-*
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
9. Diagonalization: Eigenvalues and Eigenvectors
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
������� �
�� ������ ������������ ���
�������� ��
��� ����������
��� ����� �� ��� ����� �� � �������� ���� �� ����� �� �����
� ���� ����� �� ����
������� �� �������� ����� � �� ������ ��� ����� � �� ���� � � ������������ �� ���� ����� ������������ ����� � ��� ��
� �����
�� ��������� ���� ����� �������� �� �������������� �� � ����� �� �� ��������� �� �������� �� ����� ���� �� ����� � ���� � ������
���� � ���� ��� ����� �� ����
������� � ������ ������� � �� � � �� ������ ��� ������ ������� � �� ���� � � ������������ ������ ����� � ���� � �� � ��� �� �� ����� ������������ �� � ������� � �� ���� � �� � ������������� �� ���� ����� �������� �������� ����� ���� �� ������ ������� � �� ����������� ���
!"
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
9. Diagonalization: Eigenvalues and Eigenvectors
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
����� ��� � �� �!� ��� �����" �� ����
��� � ��� �� ����� ��� ���������# �� ����� ��������#� � ������ ����� � ��# � ������ �� ������� ������� � ������ #
��� � � ��
����� � �� � ����� ����� ��� � ����� ��������� � ������� � � ��� �������� �#��� $ ����% ������ ������� ��� �� ������ �� �� &� �� ���� ����� ��# ������ ������� � �� � ���������� # ������ � ������� � ��� ���� ���� ���� � ����� ���� �� ������ � �� ���������� # �� �����
� �����
����� � �� �� ��������� ���� ������'�� ������� ���� � ���� �� �� ��#�( ��� �� ���� �� ������ � ��� ����� �� ���� �� ������
�������� � �
���� �� �#���$��% &���# �
��� ������#��� ��� �� ���� � ��� �� ���# ��# ������ ���� �� ��� �������� ���������� �� ��������� ��� ������ ��������� )������� �� �������������� �� � ����� � �� � ������ ������� � ���� �������� �� ���� �� � ���#������ ���� ���� �� ��� ���� ���� �� ������ �� �� *�� ������� ����������� � �+ � �� ���� ���� ��� �� ���� �� � � �� �� ���� ����, � ���� ��� ���� �� �� � � �� �� ����������� *���������� ������ �� ���� �� � ���#������ ��� ������ ������ ��� �� �� � �� -� ��� �����$��������# �������� �� ������ �� .������� /���#���%� /�������#� ��� �������� ���� ������# ���� ����� ���#������� ���� ����� ���� �� � �����# ����������
��' ���(����)�* �& �)�����*
0������� � ���#������ � ��� � ���� � � � �� ��� � �! ���� � ���� � � 1���� $����� +�2% �� �� � �� ��#
������ ������ ��� �� �����
� ��� � ���� � � � �� ���� �!�
����� � �� �� �����# ������ �� ��������� �� ��# �� � �� � ���� �� � ��� �� � ��� � !� �� ���� ������
������� � 3� � � � +
4
� �� ���� �+ � 5 �!
�6 ++
� �� ��
� ��� � +�+ � � � 6 ��� ���� � �+ � 6� � +
���
� ��� � +�+ � �� 6� � �4 +!
! 44
� �� � �"
�7 ��+
� �� 6 !
! 6
� �� �" �4
+� 5
� �
���
���� � �+ � 6�� +� � 5 �!
�6 �+!
� �� �6 ��!
��6 �+!
� �� �+ !
! �+
� �� ! !
! !
� �
���� � �� � ���� �� �����
��� ��������� ������ $������ �� 8�� ��� 7�5% ��������
�!����+ ���, 3� � ��� � � ���#�������� *�� ��# ������ ����� � ��� ����� ��
$�% � � � ����� � � ��� � ���� $���% ��� ���� � �� ���$��% � ������ � � ������� $��% � ������� � ���� � ����
& ����� �� $��% ���� �� �� ��# �� ���#������� �� � ������
0)/8� 79 :�/;&./3�</��&.( =�;=.>/3?=� /.: =�;=.>=0�&1� !5
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
9. Diagonalization: Eigenvalues and Eigenvectors
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
� ��� �" �# ���� � ���� ���"
.�� ������� �� � �� � � �� � ������ ������� �� � ���� ���� � � 8����� �� � ��� ������ # ����������� ��������� �� ���
�+ � � � � � � � �+ � � � � � �
/���� ��� ��# ���#������ � ��� � ���� � � � �� ��� � �!� �� ����� � �� � �� �� ���� ��# �� �� ��� ���
������, �� ���
� �� � � ���� � � � �� ��� � �!�
����� � �� ��� �� �����# �������� @� ���� ��# �� � �� � ��� �� ���� �� � ��� �� � ��� � !� �� ������������ @� ��� �� �� �������� �� ������� 7�� ���� ��� ������ �������� �� ��# �� ��� �������
��+ �-, ������� � �� � ����� ������������ �� � ������ ������� �� ���� � ��� �� �� ����������������� �� � �� �� ���� �� ��������� � �� � � ! �� ��� ���# �� � ��� � !�
��. �/)�)�����*��� ���(����)�0 �)(��(1/)������ �/�����
3� � � ��� � �� �������� ������ ��� ����� � � �� ���� ����� �� �� �� �������� �����# �������� � �� �� ������������ ��# � � ����� # �� ����� � ���� �� �������� �� �� ��� ������� �� � ���� ����� ��� � �� ��� �� ���������
���� � ������ � �� � ����� ����� ����
���� �� � ���#������ �� � �� ������ �� �� ����� �� �������������� ��� ��!��� �� ��
@� ��� �� ������� ������ �� ������ ���� �� $������ �� 8�� ��� 7�2%�
�!����+ ��', 2� $��$1/ +�����3 =���# ����� � �� � ��� �� �� ��������� ���#�������
��+ �-, ������� � � ��� �� � ��������� ������ ���� �� � � �� � ��������� ����� ��� �������������� � � ���, ��� ����
���� � ����� � �� � �� � ������ � �++� � � � �� � ����
& ����� �� �� ���� �� ���� ��� �� �������� ������� �� ��
������� �� 3� � � �
4 6
� �� �� ��������� ���#������ ��
���� � ��� � �� � � � � �
�4 � � 6
���� � �� � ���� � 6� � �+ � �+ � "� � 5
����/� ������ ���� �� 0�#��#A)������ �������� � �� � ��� �� ����, �� ���
���� � �+ � "�� 5� � � �2
+4 5
� �� �" ��2
�+4 � !
� �� �5 !
! �5
� �� ! !
! !
� �
!2 :�/;&./3�</��&.( =�;=.>/3?=� /.: =�;=.>=0�&1� B0)/8� 7
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
9. Diagonalization: Eigenvalues and Eigenvectors
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
.�� ������� � ��� ��� ������� ������� ��# � ������ ����� � �� ������ ��� @� ���� �� � ��� ���� �� ���� ��������� ���#������� ?���� �� � ������� �� ����
� ��� � ����� � � � ����� � ������ � ��������� � ������� �������� � ��� � ������� ����� � �� �����
?���� �� �� �� ���������� ��� ������ ��� ����� ��� �� ������� ����� � �� �� �����# � ���
� ��� � ����� � �� � ��������� �� ���� ������ �� ��������� �������
�!����+ ��., ������� ������ ���� �� ���� ��������� ���#�������
�! � ����"�� ���$��+� �" �� �%��� ' �# .
����� ��� ������ �������� ��� �� ��������� ���#������� �� ������ �� ������ + ��� �
$�% ������� � � ��� ��+�+� �++
� �� ����
���� � �+ � ���� � �++�� � ����� � �+ � ���� � � �����)��� ���� ������ �� ��� �� �� �� ��� �� ��� �� �� �������� ������� �� ��
$% ������� � ���� ��+ �� �+� �++ �+ � � � + �
��
��� ����
���� � � � ���� �+ � ���� � �++ � � �� � �����$)��� ���� �++� � ������ ���������#� �� ������ �� ���� �++� � �%
������� �� *��� �� ��������� ���#������ �� ��� �� �� ��������� ������(
$�% � � 6
+ �!
� �� $% � 5 ��
" +
� �� $�% " � 6 �+
4 �4
� ��
$�% @� ���� ���� � 6� �! � �6 ��� ��� � 6!� " � 44, ���� ���� � �+ � �6� � 44�
$% @� ���� �� � � 5� + � 7 ��� � � � �4� " � +!, ���� ���� � �+ � 7� � +!�
$�% @� ���� ��"� � 6� 4 � � ��� �"� � �+!� 2 � ��+, ���� ���� � �+ � � � �+�
������� � *��� �� ��������� ���#������ �� � �� � +
! +
� 7
��
���
@� ���� ���� � �� � 7 � � � ��� ������ �� �� �������� ������� ��� �� �������(
��� � +
7
�������� � +�� �++ � � +
� 7
�������� � 5� � � � �
!
�������� �
���� ��� � �++ � � � �� /���� ��� � +5� +� !� "� "� ! � �5� /�������#�
���� � � � � �+ � �� � �5
��+ �-, ��� �������� �� �� ��������� ���#������ ���� �� �� ������� ����� � ���� ������������ ������ �� �������(
�� � ����� �+ � ��� � �++ � � � � � �����@� ��� �� ��� �� �� �� ��� �� ��� �������� ������ �� � �� ����� ��
0)/8� 79 :�/;&./3�</��&.( =�;=.>/3?=� /.: =�;=.>=0�&1� !7
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
9. Diagonalization: Eigenvalues and Eigenvectors
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��� ��� ������� ����� ����� ���� �#��� �� ���� �� ��� ��� ���� �� �� ��� ����� �� ��� ����������
�!����+ ��4, 3� � � �� �������� ������ ���� �� ��������� ���#������ ��
���� � �� � ������ � �+�
��+ � � � �� �������
����� �� �� �� ��� �� �� �������� ������ �� ����� ��
�! � ����"�� ���$��+� � �� ���� � ���� ���
.�� ������� � �� � � �� � ������ ������� �� � ���� ���� � �� ���� ���������� @� ����� ���������������� ��� ��!��� ���� �� � � � �� ��������� ���#������ �� ��# ����� ������������ �� � �1���� �� �� � ��� ��� ����� ������������� �� � � ��� � ����� ����� � �� � ��������� ���������� ���� � ��� ��� �������� ���� # ������� 7� � � ��� ���� �� ���� ��������� ���#�������/�������#� �� ��������� ���#������ �� � �� ���������� �� �� �������� ���� �� ���� �� ����������������� �� � �� �������
���� � �� � � ! �� ��� ���# �� � ��� � !� ����� � ��� �� ��# ���#������ ��� � �� ��# ����������������� �� � � �� ���� �� ��������� ��������� ������ ��� ������ ���������
�!����+ ��'�, 2� $��$1/ +�����3 / ������ ������� � �� � ���� �� �� ��������� ���#�������
��4 �)5��)��6)����0 ��5���)��* )� ��5��������*
3� � � ��# �������� ������ ���� � �� � ���������� # $�� �� ������� �% � �������� ������ � �������� �+� � � � � ��� �� ��� ���# �� ���� ����� � ���� � �������� �� $�����% ����� #�� #+� � � � � #�
��� ��
�#� � ��#��#+ � �+#+������������������������������������
�#� � ��#�
�� ��� � ���� � �� ���� � � ����������� *���������� � � ������ ����� � �� �� ����������� ���������� ������ ���� ���������#� �� ���� ����� #�� #+� � � � � #��
��� � ��� � �������� ����� �� � �� ��������� ���������
�7������� 3� � � ��# ������ ������ / ����� � �� ����� �� �����$��#� �� � �� ���� ����� � �������$�����% ���� � ��� ��
�� � ��
/�# ���� �����#��� ��� ������� �� ����� �� �����$����� �� � �������� � �� ���������� ��
@� ��� �� ��� ����� ������� �� �� �� ��������� � �������� � � �� ���� ��� �� ��������������
����� � ����� � ����� � �������� �� %� �� ��� ��� ���������� �� � �� ���� �� � $8�� ��� 7��7%� ����� �� ���������� �� �� $����� %� � �� ��� %� �� ����� �� ��������� ��� � �� ����� � ������� �������%
��� ���� �������������� $��#� ��� �������������� $����� $�� ������ $��#� ��� ������ $�����% ����������� ���� ������ �� ���������� ��� ����������
�! :�/;&./3�</��&.( =�;=.>/3?=� /.: =�;=.>=0�&1� B0)/8� 7
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
9. Diagonalization: Eigenvalues and Eigenvectors
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��� � ��� � �������� ��� ��������� ���� �� �� ��������� �������
�!����+ ��8� /� �������� ����� � �� ������� � � �������� ����� � �� ��� ���# �� � ��� � �������#���������� ����������� �� ��� ���� �� �������� ������� �� � ��� �� ����������������������� ��� � � ������ ����� � �� �� ����� ����� ������ ��� �� �����������
������� � ����� � �� � ������������ �� � ���� ��# ����� � �� ����� � �� ��������� ���� � ����� �������# ������ �������� ������������
� � �����
?���� ��� ����������� �� ���� �� �� � ������ � �� ���� �� �� �� �������� ����� �� ���� �� ������# �������� ��������#� ������� � � �������� �+� � � � � ���� ����
�! � �������! � ��!��� � � ������!� � � � � � �
!� ����
'��� ��������#� ��� ��# ���#������ � ����� ��� � � ������� � �� ������ � � ����� � ����� � ��+�� � � � � � ��������
*���������� �� �� �������� ������ �� � ��� ����������� ��
� � ������������
�
������+
� � � � �
�������
� ���
���� �� � ���������$� �&#��� ���� �� �, �� ��� + � � ��� �� ����������� �� ��� �����������
������� �� 3� � � �
+ +
� ���� �� �� � �
�+
� ���� �+ � �
�
� �� ����
��� � �
+ +
� ��
�+
� �� �
�+
� �� �� ��� ��+ � �
+ +
� ��
�
� �� 4
4
� �� 4�+
���� �� ��� �+ ��� ���������� �� � ��������� ���������#� � �� ����������� �� � � ��� �+ � 4� & ����� �� ����� �+ ��� �������# ���������� ��� ���� ���� � ���� �� �+� /�������#� � �� ����������� ��� *���������� �� � ��� ����� ����� ������ ��� �� ���������� �� ��� �+� ��� ��� ��
� �
� �
�+ �
�� ��� �� ��� �
�
� �
+
�
�
���� � �� ������� � �� �������� �����
� � ����� ��
� �
+
�
� �
+ +
�� �
�+ �
��
� !
! 4
�
/� ������� �� �������� ������� � ��� 4 �� � ��� �� ����������� ������������� ���������#� � �� ���������� ����� �+� ���� ��� �� ������ �� �� �� ��������� � ��� �� ����������
� � ����� �
� �
�+ �
�� !
! 4
��
� �
+
�
�
/�������#�
�4 �
� �
�+ �
�� !
! +6"
��
� �
+
�
��
�5� 26
�5! 2"
�
'�������� ������� � ��� � � � 6�+ � � � ", ���� � ��� � 6 ��� � �4� � +� ����
� ��� � �� ������ � � �
�+ �
�6 !
! +
��
� �
+
�
�� ��
�+ 4
�
0)/8� 79 :�/;&./3�</��&.( =�;=.>/3?=� /.: =�;=.>=0�&1� ��
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
9. Diagonalization: Eigenvalues and Eigenvectors
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
3���#� �� � ��� � CC������� ������ ���DD �� �� ��������#� ���������
� � ������4
� +� �� � ��� �� �����
� ������
��� � � �
�+ �
�� !
! +
��
� �
+
�
��
6
�
+
4
�
����� + � � ��� ����� ��� ������� ����������� � ��� +�
��+ �-, ��������� ��� ������ �� ��� �� ��������� ��(
�� � � �
� �
� �� ��� ��� � ����� �����
������ �����
� ��
��� ��� ��� �� � ����� # ����������� �� �������� ������� � ��� � �� �� �E��� �� �������� �� ������������� ������� ��� �� ��� �������� ��� ������ # �� ��������� ����
���������" �� ��%��� ���" �# ��%���� ���"
��� � ��� =������ 7�4 ������� �� ��������� �� � �������� ������������ $����������% �� ������� ������ �� �� ��������� ������ $������ �� 8�� ��� 7�+!%� �� ��� ��������� �� ���� �� � ������ � �������������
�!����+ ��9, 3� � � � ������ ������ ���� �� ��������� ��� ����������
$�% / ����� � �� �� ���������� �� ��
$��% ��� ����� � � �� �� �� ���������
$���% ��� ����� � �� � ��� �� �� ��������� ���#������ ���� �� ����� ��������� %� �� �� ���������� � �� �� ������� ���� �� �� ����������� �#��� �� � !�
����� � � �� �� � �� ��� � �� � ����� # �� ����� � ���� �� �������� �� ������ ������ ���� �� ����������� ��� ���� �� ����������� )������� ����� ������� 7�" ��� ��
*��������� ������� �� /��� �� $����# ���#������ ���� �� ������ ���� � ��� � ���%� �� � ��� ����������� ������
�!����+ ��:, 3� � � � ������ ����� ���� �� ������ ���� �� ���� � ��� � ���� ��� �����������
��� ��������� ������� ���� � ���� �� �������#� $��� ������ ��������� � ������� 7�2 ��� �������������� �� ������ �� 8�� ��� 7�+�� ����� ������� 7�7 �� ������ �� 8�� ��� 7�++�%
�!����+ ��;, ������� ��� �+� � � � � �� ��� ������� ���������� �� � ����� � �������� � ���������������� ��� �+� � � � � ��� ���� ��� �+� � � � � �� ��� �������# �����������
�!����+ ���, ������� �� ��������� ���#������ ���� �� �� �������� ����� � �� � ����� �� ������ ������ ��#� ���� � �� � ����� � �+� � � � �� � ���� ���� � �� ������� � �� ������������� � � �������� �+� � � � � ����
�� � �� �� ���������� �� � ����� �� ��� �� �������� !#��������� �� � �� ������ � � �� ��������#�� � �� � ��� �� �� ��������� ���#������ �� �� ����� �� ���!����� !#��������� �� � �� ������ � � ����������� �� �� ���������� ��� %�� ��� ��������� ������ $����� ��������� ��� ������ �������� �������� �� 8�� ��� 7�+ % ������
�!����+ ���<, ��� ������� ��������# �� �� ���������� � �� � ����� � ���� �� ����� �� ���� �����������#�
�+ :�/;&./3�</��&.( =�;=.>/3?=� /.: =�;=.>=0�&1� B0)/8� 7
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
9. Diagonalization: Eigenvalues and Eigenvectors
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
� %�� ��= ���� �� ���� � ���� ���"
0������� � ������ ������� � �� � �� ���� � �� ���� � � ������������ �� � �� � ���������� # ��������� ����� �� ���� � �� ����������� �� �� ��� ���# �� ���� ����� � ���� � � �#�� #+� � � � � #�� �� � �������
� �#�� � ��#�� �#+� � �+#+���������������������������������������� �#�� � ��#�
�� ��� � ���� � �� ���������� # �� �������� �����
� � �������� �+� � � � � ���������� � �� ���� ��
��� � ��� � �������� ����� �� � �� ��������� ��������� ��� �������� ���� ��� ��������� � ����������� ��� ������� ��� ������ �������� � ����
�7������, 3� � � � ������ �������� / ����� � �� ����� �� �����$��#� �� � �� ���� ����� � ����������� � ��� ��
� ��� � ��
=���# ���� �����#��� ��� ������� �� ����� �� �����$����� �� � �������� � ������������ ��
��� �� %� �� ��� ���������� �������� � �� ���������� � �� � �� ���� �� � � ����� �� ���������� ���� $/���������#� � �� �� ���������� �� � �� �� � � �� ��������� ���� �� ��� ���� %� �� �� E����� �� �� � � �%��� �������� ��� ���!����� !#������������ �� �� ���������� � �� � ������ ������� � ��� ������ �� �� ������# �� ���� �� �� ���������� �� � ����� ��
��� ��������� ������� ����# � � ������ ������� � �� � ���� ���� � �� ���� ����������
�!����+ ��8�, � �� � ���������� # � �������� ����� � �� ��� ���# �� ���� ����� � ���� � �� ��������� �� ���������� �� � � �� ��� ���� �� �������� ������� �� � ��� �������������� ������������
�!����+ ��9�, 3� � � � ������ �������� ���� �� ��������� ��� ����������
$�% / ����� � �� �� ���������� �� � �
$��% ��� ������ ������� �� � � �� ���������
$���% ��� ����� � �� � ��� �� �� ��������� ���#������ ���� �� � �
�!����+ ��:�, ������� � �� � ������ ���� ����� ���� � ��� � ���� ��� �����������
�!����+ ��;�, ������� ��� �+� � � � � �� ��� ������� ���������� �� � ������ ������� � �������� ������ ����������� ��� �+� � � � � ��� ���� ��� �+� � � � � �� ��� �������# �����������
�!����+ ����, ������� �� ��������� ���#������ ���� �� � �� � ����� �� � ����� ������ ��#����� � �� � ����� � �+� � � � �� � ���� ���� � �� � ���������� # �� �������� ������ � �������� �+� � � � � ����
�!����+ ���<�, ��� ������� ��������# �� �� ���������� � �� � ���� �� ����� �� ���� �����������#�
0)/8� 79 :�/;&./3�</��&.( =�;=.>/3?=� /.: =�;=.>=0�&1� �
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
9. Diagonalization: Eigenvalues and Eigenvectors
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��+ �-� ��� ��������� ������ ������ �� ����������� �� �� �������������� �� � ������ �������� � �� �������������� �� � ����� ��
�!����+ ����, ������� � �� � ����� ������������ �� � � ���� � �� ����������� �� �� ��� ���# �� � ������������� ���
��8 �������5 ��5���)��* )� ��5��������*0 �)5��)��6��5 �)�����*
���� ����� ����� �� �������� ��� ������� ����������� ��� ���������� ��� � ����� ������ ������ ��� ��� ���������� ������ �� �� � ����������� ����� � ����� ��� �� ����� �� ���������
)�%����!+ ��:, 2� %�� ��= ���� )�%����!+3 ��� ���� �� �� �������� ����� ��
*��� �� *��� �� ��������� ���#������ ���� �� ��
*��� '� *��� �� ���� �� ���� � � ��� �� ����������� �� ��
*��� .� 1���� $�% ��� $% ��� ��� ���������� � �� ��
$�% *��� �� ����� � � �� �� # �� ����� � ���� �� �������� �� ��$% *��� � ���� ��� �� ������� ���� �� �� ����������� �#��� �� � !� $����� ����
����� ��� �������# ���������� ���������� �� � �������� � ��%
*��� 4� 0������� �� ������� � � ���� �+� � � � � �!� �� ��� ���������� � ����� �� ��� �
$�% �� ! �� �� ��� � �� �� ����������� ���$% �� ! � �� ��� � �� ����������� ��� ��������#� �� � � �� ����� ����� ������ ��� ��
���������� ��� �+� � � � � ��� ����
� � ����� � �������� �+� � � � � �������� �� �� �� ���������� ������������ � �� ��������� ���
������� �� ��� ����������� �� �������� �� ������� � � � 4 +
��
� ��
$�% ��� ��������� ���#������ ���� �� � �� ������� @� ����
���� � 4� � � � � ��� � �4� " � ��!�
����
���� � �+ � � � �! � �� � 6��� � +�$+% �� ���� � �� � 6��� � +� � !� ��� ���� �� � 6 ��� �+ � �+ ��� �� ����������� �� ��
$ % $�% @� ��� �� ��������� �� �� � �������� � �� ���������� �� � 6� �� �� �� � 6 ���� �� �������� �� �
� � ��� �� ����� � � �� +
�"
� �� ��� ���������� �������� � �� � 6 ���� �� ������� �� ��
����������� �#��� �� � !� �� ���
�� +
�"
� �'
� �� !
!
� ���
�'� + � !
'� " � !�� �'� + � !
��� �#��� ��� ���# ��� ���� ����� ��� ���� � ������� �������� ��� �������� �� � �+� ��� �� �� ����������� ����� �� ��������� �� �� � 6�
�4 :�/;&./3�</��&.( =�;=.>/3?=� /.: =�;=.>=0�&1� B0)/8� 7
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
9. Diagonalization: Eigenvalues and Eigenvectors
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
$��% @� ��� �� ��������� �+ �� � �������� � �� ���������� �+ � �+� �� �� �+ $�� ��� +% ���� ���������� �� � � � ��� �� �����
� � " +
�
� ���� �� ���������� �#���
"'� + � !
'� � � !�� '� � !�
��� �#��� ��� ���# ��� ���������� �������� ���� � ������� �������� ��# �+ � ���� �� �� ����������� �� ����� �� ��������� �� �+ � �+�
$4% 3� � � �� ����� ����� ������ ��� �� ���������� �� ��� �+� ����
� � + ��
�
� �� ��� �� ��� �
5
�5
� �5
+5
�
/�������#� � � ����� �� �� �������� ����� ����� �������� ������ ��� �� ������������ �����������,�� ���
� � ����� � 5
�5
� �5
+5
�4 +
��
�+ ��
�
�� 6 !
! �+
�
������� �� 0������� �� ����� � 6 ��
�
� �� @� ����
�� � � 6� � 2� � � � �6� � � �"� �� ���� � �+ � 2� � �" � �� � 4�+/�������#� � � 4 �� �� ���# ���������� �� �
�� �� � � 4 ���� �� �������� �� � � ��� �� �����
� � � ��
� ��
� ���� �� ����������� �#���
'� � !
'� � !�� '� � !
��� �#��� ��� ���# ��� ���������� �������, ��� �������� ' � �� � �� ���� � � ��� �� ��� �� �������� ��� �����# ���������� �� � /�������#� �� �� ����������� ��� ���� ���� ���� �� ���� � ���� �������� ������������ �� �
������� �� 0������� �� ����� � � �6
+ �
� �� )��� ���� � � � ! ��� ��� � �7� �! � �� ���� ���� � �+ � �
�� �� ��������� ���#������ �� �� @� ������� �� ����(
$�% � �� � ����� ���� �� ���� ���� �� ���� ���� ��� �� $����% ����� ���� � ��� �� ����������� ��� �� �������������� �� � �� �� ����������� ���
$% � �� � ����� ���� �� ������ ���� �� ���� ���� � �� � ���� � �� ��� �� ����� � ��� ��� ���� � ��� �� ���������������� � ��� ��� ��� ���� � ��� �� ���������� ����������� /�������# ���� ����� � ���������������� � ���� �� ������ ���� � ��� ����
����� � � !
! ��
� �
��������� � �� ����������� �� $���� �%�
��9 �)5��)��6��5 ��)� *(������� �)�����*
����� ��� ���# ���� ������ � �� ��� �� ����������� ��� �� ��� ���� ���� ������ ��# �� ������# $����% ������������ )������� �� � �� � ���� �#����� ������ ��� ���� ��� ���� �� �� ����� .����#��� ���� �� ��������� ��������
�!����+ ���', 3� � � � ���� �#����� ������ ���� ��� ��� � �� �� ��������� ���#������ �������
�!����+ ���., 3� � � � ���� �#����� ������ ������� # ��� � ��� ���������� �� � �������� ������ ����������� �� ��� �+� ���� # ��� � ��� ���������� �� ��� �#� �� � !�
0)/8� 79 :�/;&./3�</��&.( =�;=.>/3?=� /.: =�;=.>=0�&1� �6
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
9. Diagonalization: Eigenvalues and Eigenvectors
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��� � ��� �� ������� ���� �� �� ��������� ���������� ������
�!����+ ���4, 3� � � � ���� �#����� ������ ���� ���� ����� �� ��������� ����� � ��� ��� � ����� �� ���������
��� ��������� ����� � �� � ����� # ����������� � ���� �� ��������� ���������� �� � ����������� ����� �� ��� � ���� �� ��# �� � �� CC����������# ����������� ��DD�
������� �� 3� � � + �+
�+ 6
� �� � ���� �#����� ������ *��� �� ��������� ����� � ��� �� ����� �� ���������
*��� �� ��� �� ��������� ���#������ ���� �� �� @� ����
���� � +� 6 � 5� ��� � �!� 4 � "� �� ���� � �+ � 5� � " � �� � "��� � ��
/�������#� �� � " ��� �+ � � ��� �� ����������� �� ��
$�% �� ����� �� � " ���� �� �������� �� � #����� �� �����
� � �4 �+
�+ ��
� ���� �� ����������� �#���
�4'� + � !
�+'� � !�� +'� � !
/ ������� ������� �� #� � ����+��$% �� ����� �+ � � ���� �� �������� �� � #����� �� �����
� � � �+
�+ 4
� ���� �� ����������� �#��� '� + � !
$��� ����� ������� ����� ��� ���� � �� � ������� �� �� ��� ��������% / ������� ������� ��#+ � �+� ���
/� ������ ���� ������� 7�� � #� ��� #+ ��� ���������� .���������� #� ��� #+ #����� �� ���������� �����
�#� � ������6
��+�
���6
� ��� �#+ � �+�
���6
� ��
���6
�
*�����#� �� � � �� ����� ����� ������ ��� �#� ��� �#+� ���������#� ����
� � �����6
+�
���6
�+�
���6
��
���6
� �
��� ����� � " !
! �
� �
/� ������� �� �������� ������ �� ����� ��� �� ����������� ������������ � �� ������ �� ��
��� �������� �� �� � ��� =������ 7�7 �� ���������� �� �� ��������� ��������� ���� ���� ����������� ����� � ��� �� ����� �� ���������
)�%����!+ ��', 2���!�%�� � � %�� ��= ���� )�%����!+3 ��� ���� �� � ���� �#����� ����� ��
*��� �� *��� �� ��������� ���#������ ���� �� ��
*��� '� *��� �� ����������� �� �� ���� ��� �� ���� �� �����
*��� .� *�� ��� ���������� � �� � �� ��� +� ��� �� ��������� ���� �� �� ����������
*��� 4� .�������� ��� ���������� �� ��� � ���� ��� ����� �� ���������� ���� �� ���
*��� 8� 3� � � �� ����� ����� ������ ��� �� ���������� ���������� �� ��� 4�
�" :�/;&./3�</��&.( =�;=.>/3?=� /.: =�;=.>=0�&1� B0)/8� 7
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
9. Diagonalization: Eigenvalues and Eigenvectors
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
)���� ���� �� >� #� �� &��+"
3� & � � ���� ���#������ �� ����� ��� '�� '+� � � � � '� ��� �� ����# ��� �� & ��� ������ ��, �� ��
&�'�� '+� � � � � '�� ���
��'+� �
����
���'�'�� ����� ��� ��� � �
���� & �� ����� � &#������� ���!� �� ���� ��� �� ���������� ���� '�'�� �� ��� ��� ��� � !� ��� & �� ����� � ���������
��� � ��� ������� ���� & ��������� � ���� �#����� ����� � � ���� ����� ��� � �� ������ � ��� � �
+���� .����#� & �� � ����� �� �� ����� ����
&�� � � ����
����� � � '�� '+� � � � � '�� �� �� ����� ���� �� �� ����� ���� *���������� ������� � � �( �� � �������� ������ �� �� ����� ���� ���� �� ������ �� �� ������� ���� #�����
&�( � � ��( �����( � � (� ������(���� ���� �� �� ����� ������������ �� & �� �� ��� ����� ����
@� ���E �� ��������� ����� � ��� �� �� ���������� �#����#���� � � �( #����� � ��������������� ����� �� ��� ��� ���� ���� �� ��������� ���� � �� ���������� �� � ���� ��� �������� � ������ ��� � ��� ����# #����� ��� �� ��������� ����� ��
������� �� 0������� �� ������� ����
&�'� � � +'+ � 4' � 6 + � ���� � ����� � � + �+
�+ 6
� ���� � � '
� �
F# =������ 7�7�
����� � " !
! �
� �� ����� ����� � � ��
���6
+�
���6
�+����6
��
���6
�
��� ����� � ���������� � �� ��������� ������ ��������� �� ������ �� �� ����� ��� ' ��� �� ���� �� ������� ��� � ��� �(
' � ����6
�� +���6
�� � � +���6
�� ����6
�
���� �� ������ �� &�'� � #����� �� �������� ������� ���� &��� �� � "�+ � �+�
��: �����)� ���(����)�
3� � � ��# ������ ������ 3� ) ��� ����� �� ������� �� ��� ���#������� � ��� ��� ���� � �� � ��������� ��� ���� � ��� � !� ��� �� ) ��� �� �� ���#� ���� �� 0�#��#A)������ ������� 7�� ���� �� ���� ��������� ���#������ ����� �� � ������ � ) ���� 3� !��� ����� �� ���� ���#������ �� ����������� �� ) ���� $��� � ���#������ !��� ����� ��� �� �������% @� ��� !��� �� !���!�� ��� ��!��� �� ������� ��
��+ �-, � ���#������ � ��� �� ! �� !���� �� �� ������� ������� ������ ����
��� ��������� ������ $������ �� ��� ��� 7� % ������
�!����+ ���8, ��� ������� ���#������ !��� �� � ����� $������ �������% � ������� ����# ���#�������� ��� � �� � ����� �� ��������� !��� ������� �� ��������� ���#������ ���� �� ��
����� �� �� ���� ������� ����������� ����� !��� ��� �����
�!����+ ���9, ��� ��������� ���#������ ���� ��� �� ������� ���#������ !��� �� � ����� � ������ ���� ������� �� ������
0)/8� 79 :�/;&./3�</��&.( =�;=.>/3?=� /.: =�;=.>=0�&1� �5
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
9. Diagonalization: Eigenvalues and Eigenvectors
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
���� ������ $������ �� 8�� ��� 7� 6% ���� �� ��# �� !��� � ����� ���# �� ��# ������� �� ������ ��� ��� ������ �� ����� �� ��������� ���� � ������ ���� �� ������� ��� !��� ��� ���� ���� �� ���������� ������ )��� ��# ���� �� ���� ����� ���� �� ���� �� ��������� �������
�!����+ ���:, / ����� � �� �� ���������� �� �� ����� � �� ��� ���# �� � �� � ��� �� �� ����������#������ �� ��
������� � *��� �� ������� ���#������ !��� �� � �+ + �6
5 ��6
� + �4
��
���
*��� ��� �� ��������� ���#������ ���� �� �� @� ����
���� � 6� ��� � �++ � � � +� � 2 � 5 ��� ��� �
)���
���� � � � 6�+ � 5� � � �� � ��+�� � ���� ������� ���#������ !��� ��� ������ ����� /���� ��� ������� �� ���� �� ����� �� ��� � � � ��� � � � ���
���� � � ���� �� !���� ���� !��� �� ����# ��� �� �� ���������(
� ��� � �� � ��� � �� �� ���� � �� � ��� � ��+
@� E���� # �� 0�#��#A)������ �������� �� ���� � ���� � !� )��� �� ���� ���# �� � ���� @� ����
� ��� � ��� � ���� � � �� + �6
" ��6
� + �6
��
�� �� + �6
4 ��6
� + �5
��
�� �
! ! !
! ! !
! ! !
��
��
���� � ��� � !��� � �� � ���� � � � �+ � 4� � �� �� ������� ���#������ �� ��
������� ��
$�% 0������� �� ��������� �� �������� ������� ����� � �� !(
) ��� �� �
� � ! � � � ! !
! � � � � � ! !
���������������������������������! ! ! � � � � �
! ! ! � � � ! �
� �
������ ��� � �
� � ! � � � ! !
! � � � � � ! !
���������������������������������! ! ! � � � � �
! ! ! � � � ! �
� �
������
��� ��� ������ ����� � G����� F��E� ��� �D� �� �� ��������� �D� �� �� �#����������� $�������� �� �� ������� ��� �� �������� ������%� ��� !D� ���������� ��� ����� ����� � ��� �D� �� �� ��������� �D� �� ���������������� ��� !D� ���������� B���� � �� � ������������� �� ) ��� ���9 &�� �� ���� ��
� ��� � �� � ���
�� �� �� ��������� ��� ������� ���#������ �� �� ) ��� �� ��� ��
$% 0������� �� �� ����# ���� ���#������
� ��� � �� � �������� � � � �� ��� � �!
3� "� � � � �� �������� ����� ��� �D� �� �� �#�������� $�������� �� �� ������ ���� �� ��������������%� �� �������� �� �� �������� �� �� ��� ������ ��� !D� ��������� �� �������(
"� � � �
! ! � � � ! ��!� ! � � � ! ���! � � � � ! ��+����������������������������������! ! � � � � �����
� �
������
���� "� � � �� ����� �� ��!������ !����' �� �� ���#������ � ���� '�������� �� ������� ���#������ !��� ����� ��������� ���#������ ���� �� �� �������� ����� "� � � ��� �� ����� � �� �������� ���#������ � ����
�2 :�/;&./3�</��&.( =�;=.>/3?=� /.: =�;=.>=0�&1� B0)/8� 7
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
9. Diagonalization: Eigenvalues and Eigenvectors
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
����+ � ���$��+� � �� ���� � ���� ���
��� !���!�� ��� ��!��� !��� �� � ������ ������� � �� ������ � � �� ���� ���#������ �� ����������� ��� ���� � �� � ���� )������� ��� ��# ���#������ � ���� �� ����
� �� � � ! �� ��� ���# �� � ��� � !
����� � �� ��# ����� ������������ �� � � /�������#� � ��� � ���� �� ���� ������� ���#�������� ������ � ��� ������� �� �� ������� ���#������ �� � ����� ���� ���� ��� �� ������� ���#������ �� � �������������� ��� ��� �� ���� �� ����������
�!����+ ���8�, ��� ������� ���#������ !��� �� � ������ ������� � ������� ����# ���#������ �� ��� ��� � ���� �� ��������� !��� ������� �� ��������� ���#������ ���� �� � �
�!����+ ���9�, ��� ��������� ��� ������� ���#������� �� � ������ ������� � ���� �� ����������� �� ������
�!����+ ���:�, / ����� � �� �� ���������� �� � ������ ������� � �� ��� ���# �� � �� � ��� �� �� ����������#������ !��� �� � �
��; �/)�)�����*��� )� �����)� ���(����)�* �& ?���@ �)�����*
���� ����� �������� �� ����������� �� �� ��������� ���#������ ��� �� ������� ���#������ ������ $������% ��E �������
�! � ����"�� ���$��+� � �# ?�� - ��� �%�� � � ��� �"
������� � �� � ��E ��������� ������ ��# � � ��
! �+
� ������ �� ��� �+ ��� ������ �������
���� �� �� �� ���� � ��E ��������� ������ ��� �������� ��E� �� � �� ��� �� � �+� ����
��� �� � � �� � �� �
! �� � �+
�������� � ��� � ������ � �+�
��� ��� �� ��������� ���#������ �� � �� �� ����� �� �� ��������� ���#������� �� �� �������� ��E� �� ��� �+�
F# �������� �� � ��� �� ��������� ������ ������
�!����+ ���;, ������� � �� � ��E ��������� ����� ��� �������� ��E� ����+� � � � ���� ���� ����������� ���#������ �� � �� �� ����� �� �� ��������� ���#������� �� ���������� ��E� ��, �� ���
�� ��� � ��������+
��� � � �������
������� �� 0������� �� ����� � �7 �� 6 5
2 + �4
! ! "
! ! �� 2
� �
�����
���� � �� � ��E ��������� ����� ��� �������� ��E� � � 7 ��
2
� ���� � "
�� 2
� �� )���
���� � 7� � �+��� � � � 2 � ���
����� � +5� 2 � 6���� � � +4� " � !�
��� ��
��� ������� � �+ � �+� � 6 � �� � 6��� � 5�� ��� � �+ � ��� � ! � �� � 6��� � "�
/�������#� �� ��������� ���#������ �� � �� �� �����
�� ��� � ������ ��� � �� � 6�+�� � "��� � 5�
0)/8� 79 :�/;&./3�</��&.( =�;=.>/3?=� /.: =�;=.>=0�&1� �7
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
9. Diagonalization: Eigenvalues and Eigenvectors
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
����+ � ���$��+� � �# ?�� - � %�� � � ��� �"
��� ��������� ������ $������ �� 8�� ��� 7� "% ������
�!����+ ����� ������� � �� � ��E �������� ����� ��� �������� ��E� ����+� � � � ���� ���� ��������� ���#������ �� � �� ����� � �� ���� ����� ������� $30'% �� �� ����������#������� �� �� �������� ��E� ���
��+ �-, @� ��������� �� ��� ������ ������� � ��E �������� ������� ������� �� ���������������� 7��2 �� ��������� ���#������� ������� � ��E ��������� �������
������� � *��� �� ��������� ���#����� ���� ��� �� ������� ���#������ !��� �� �� ��E �������� �����
� �
+ 6 ! ! !
! + ! ! !
! ! 4 + !
! ! 6 !
! ! ! ! 5
� �
������ � ���������+�� ������� �� � + 6
! +
� ���+ � 4 +
6
� ��� � 5
���� ���� �� �� ����� �� �� ������������ ���#������� ������ �+���� � ��� �� ��� �+� � � ���������#�&�� �� ���� ��
����� � �� � +�+� �+��� � �� � +��� � 5�� � ��� � � � 5
���� ���� � �� � +� �� � 5�+� B/� ������� ��� ���� � 6���� ������� ���#������� !����� !+���� ! ��� �� �� �������� ��E� ����+�� � ���������#� ��� ����� � ��
��������� ���#�������� �� ���
!���� � �� � +�+� !+��� � �� � +��� � 5�� ! ��� � � � 5
F� !��� �� ����� � �� ���� ����� ������� �� !�����!+����! ���� ���� !��� � �� � +�+�� � 5��
*����# ���A��+"
���(����)�* �& �)�����*0 �/)�)�����*��� ���(����)�
���� 3� � � � �+
4 6
� �� *��� � ���� �����(
��� � ��� � �+ � � � 5� �� � ��� � �+ � "� � �
*��� ��� �+ � � �+
4 6
� �� �+
4 6
� �� �5 ��+
+4 �5
� �� ����(
$�% � ��� � �+ � �� 5� � �5 ��+
+4 �5
� �� � "
��+ ��6
� �� 5 !
! 5
� �� � �"
�+ 7
� �
$% � ��� � �+ � "�� � � � �5 ��+
+4 �5
� �� �" �+
�+4 � !
� �� � !
! �
� �� ! !
! !
� �
B���� � �� � ��� �� � ����9
+! :�/;&./3�</��&.( =�;=.>/3?=� /.: =�;=.>=0�&1� B0)/8� 7
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
9. Diagonalization: Eigenvalues and Eigenvectors
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��'� *��� �� ��������� ���#������ ���� �� ��� �� �� ��������� ������(
$�% � � + 6
4 �
� �� $% � 5 �
6 �+
� �� $�% " � �+
7 �
� �
?�� �� ������� ��� � �+ � ��� � � � �� � ��� � +� + ����� � (
$�% ���� � +� � � � ��� � +� +! � ��2� �� ���� � �+ � � � �2
$% �� � � 5� + � 6� � � � ��4� �6 � �� �� ���� � �+ � 6� � �
$�% ��"� � � � !� �"� � �7� �2 � 7� �� ���� � �+ � 7
��.� *��� �� ��������� ���#������ ���� �� ��� �� �� ��������� ������(
$�% � �� +
! 4
" 4 6
��
��� $% �
� " �+
� + !
! �4
��
��
?�� �� ������� ���� � � � ���� �+ � ���� � �++ � � �� � ���� ����� ��� �� �� ����� �� ��� �� �� � ����� � � ����$�% ���� � �� !� 6 � "�
��� � ! 4
4 6
�������� � ��"� �++ � �
" 6
�������� � �� � � � � +
!
�������� � �"
��� � �++ � � � � 6� ��� ��� � 42� "� �"� ! � 2
���� ���� � � � "�+ � 6� � 2
$% �� � � �� +� 4 � ��
�� � + !
�4
�������� � �2� ++ � � �+
! �4
�������� � �4� � � "
� +
�������� � +!
�� � ++ � � 2� ��� � � � �2� �2� 5+ � �"+
���� ���� � � � �+ � 2� � "+
��4� *��� �� ��������� ���#������ ���� �� ��� �� �� ��������� ������(
$�% � �+ 6 � �
� 4 + +
! ! " �6
! ! +
� �
����� $% �
� � + +
! 4
! ! 6 6
! ! ! "
� �
����
$�% � �� ��E �������� ��� �������� ��E�
�� �+ 6
� 4
� ���� �+ �
" �6
+
� �
���� ���� � ��������+
��� � ��+ � "� � ���+ � "� � �
$% ���� �� ���������� ���� � �� � ���� � ��� � 6��� � "��
0)/8� 79 :�/;&./3�</��&.( =�;=.>/3?=� /.: =�;=.>=0�&1� +�
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
9. Diagonalization: Eigenvalues and Eigenvectors
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��8� *��� �� ��������� ���#������ ���� �� ��� �� �� ��������� ������ ��������(
$�% ���+ � �+ ������ # ��'� � � � '� 6 � +'� 5 ��$% �� � � ������ # � � � � �� ���� ����� � �� �� ���� �� ������� ��� ����
� � ���� �� �� ������ ��������� ���#������ ���� �� � ������ ������� �� ����� � �� ��������� ���#������ �� ��#
����� � �� ��������� �� ������ ��������
$�% *��� �� ����� � �� ��������� � ������� � �� ����� ���� �� �+� @� ����
� � 6
+ �5
� �� �� ���� � �+ � ���� � � ��� � �+ � 4� � �
$% *��� �� ����� � ����������� �� ����������� ������� ������� � �� ���� �� @� ����
���� �� � �� � � !���� �� � ���� ����� �� � � ��� � � ������ �� � !��� �� ��� �� � � ! ��
� !
� �
���� � �+ � ���� � � ��� � �+ � ����������
��9� ���� �� � ����� � ��� �� �������� �� ���� �� ���� ��������� ���#�������
F# �� �������� ��������� ��� � ��� � �� � � �� � �� � �� � ���� � ����� ��� �� �������� ���� ������ ����������
����� � ��� � �� � ���� � ��� � � ��� � �� � � ��� ���
��:� 8���� ������� 7��( 3� � ��� � � ���#�������� *�� ��# ������ ����� � ��� ����� ��
$�% � � � ����� � � ��� � ����� $���% ��� ���� � �� ����$��% � ������ � � �������� $��% � ������� � ����� ����
������� � � ���� � � � �� ��� � �! ��� � � !�
! � � � �� �� � !� ����� # ���������
� ��� � ���� � � � �� ���� �!� ��� ���� � !�
! � � � �� ��� !�
$�% ������� ! � � ��� �� � � ! �� � � !� ����
� � � � ��� � ���� � � � �� ��� � ��� � ��! � !�)���
� � � ����� � ��� � ���� � � � �� ��� � ���� ��! � !��� ���
� � ��� � � � �� ���� ��� �!� � !� � � ��� � ����
$��% F# ��������� �� � ���!���! � � � �� ��� � �! �
���!
��!
���� � �����
�� � �!� � ����� � � � �� ��! �����!
�����
)��� � ������ � ���!
��!
���� ���
� ������� � ����!
����
� ���!��!
���
�� ��
��!
�!��!
������� � ���!
��!
���� � � ������
$���% F# ��������� �� � ����� � � � �� ���� � ��!� ��� ��
��� ���� � ����� � � � �� ����� ��!� � �����
� � � � �� ���� �!� � � �� ���
$��% F# $��%� ����� ��� � �� � ���� � � ������ � � ��������
++ :�/;&./3�</��&.( =�;=.>/3?=� /.: =�;=.>=0�&1� B0)/8� 7
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
9. Diagonalization: Eigenvalues and Eigenvectors
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��;� 8���� �� 0�#��#A)������ ������� 7�+( =���# ����� � �� � ��� �� �� �������� ���#�����������
3� � � �� �� ����# �������� ����� ��� �� ���� � �� ��������� ���#������� ��#�
���� � ��� � �� � �� � �������� � � � �� ��� � �!
.�� �� ��� ����� �� ������� ��-��� �� �� ����� �� � �� ��� ������� �� ��� ��� ������ �� �� ������� � �� ��� ���� ��� ���#������� �� � �� ������ �� �������� �� �� ����
��� � ������� � � � �� �� � !
����� �� � ��� �������� ������ ���� � ���� ��� ���������� �� �� F# �� ���������� ������# �� ��������� ��-��� $������� 2�7%� ��� � �� ��� � ��� � ��� � ��
��� � ��� ������� � � � �� �� � !� � ��� � �����
��� � � � �� ��� � �!��1������� �� ���������� ��� ������� ������������ ������ �� � #�����
��� � � � ��+ � � ��� � ����� � � � � � ! � � � � ��� � �� ! � �!�
'�����#��� �� � ��� �������� # ��� ����� � � � � �� �� ���������#� #�����
�� ��� � ��� � ���� ��+ � �� ��� � ��������� � � � � � ! � �+ � � ���� �� ! � �!�
/����� �� � ��� ����� �������� #����� ! �� �� �������� ���� ��� ���� �� �� ��������� ����� �� ���
! � �� � �������� � � � �� ���� �!�
���������� ���� � !� ���� �� �� 0�#��#A)������ ��������
��5���)��* )� ��5��������* �& '�' �)�����*
���� 3� � � �4
+ �"
� ��
$�% *��� ��� ����������� ��� ������������ �����������
$% *��� ������ � ��� � ��� �� � �� ����������� ��� � � ����� �� ���������
$�% *��� ��� �� ��������� ���#������ ���� �� �(���� � �+ � ���� � � ��� � �+ � � � �! � �� � +��� � 6�
��� ���� � � + ��� � � �6 �� ���� ��� �� ����������� �� �� @� ��� ������������ �����������
$�% �� �� � � + ���� �� �������� �� � � � ��� �� ����� � � �� +� � ����� �� ����������������������� �#��� �� � ! #����� �� ���������� ������������ � � � +� @� ����
� � � �4
+ �2
� �� ������������ �
'� 4 � !
+'� 2 � !�� '� 4 � !
��� �#��� ��� ���# ��� ���� ����� ��� ��� �� � �4� �� �� � ������� �������� ���� �� � �4� �� �� ����������� �������� � $��� �������� �� ��������� ��% � � +�
$��% �� �� � � �6 $��� ����������#� ��� 6% ���� �� �������� �� � � � ���
� � 2 �4
+ ��
� �� ������������ �
2'� 4 � !
+'� � !�� +'� � !
��� �#��� ��� ���# ��� ���� ����� ��� ��� �+ � ��� +� �� � ������� �������� ���� �+ � ��� +� �� ����������� �������� � � � 6�
0)/8� 79 :�/;&./3�</��&.( =�;=.>/3?=� /.: =�;=.>=0�&1� +
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
9. Diagonalization: Eigenvalues and Eigenvectors
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
$% 3� � � �� ����� ����� ������ ��� �� ��� �+� ����
� � 4 �
� +
� ���� � � ����� � + !
! �6
� �
.�� �� � �� �� �������� ����� ����� �������� ������ ��� �� ����������� �� � ������������ � ������������ ��������� �� ��
��+ �-, )��� � �� �� ��������� ���� ����� ���� �� ����� ���� �� �+ � �� ����� � ���� �+�� ��� � �� �� ����� �� ��������� $�� ����� ������% � ������� � �� ��� ���� ��
���<� 3� � � + +
�
� ��
$�% *��� ��� ����������� ��� ������������ �����������
$% *��� � ����������� ����� � ��� �� � � ����� �� ��������� ��� ����
$�% *��� �" ��� � ���� ����� �4 � � � "�+ � 5� � �
$�% *��� � CC������� ������ ���DD �� �� �� ��� � ����� ��� �� + � � ��� ��� �������������������
$�% *��� ��� �� ��������� ���#������ ���� �� �(���� � �+ � ���� � � ��� � �+ � 6� � 4 � �� � ���� � 4�
��� ���� � � � ��� � � 4 �� ���� ��� �� ����������� �� �� @� ��� ������������ �����������
$�% �� �� � � � ���� �� �������� �� � � � ��� �� ����� � � �� �� � ����� �� ����������������������� �#��� �� � ! #����� �� ���������� �������� � � � �� @� ����
� � � +
� +
� �� ������������ �
'� + � !
'� + � !�� '� + � !
��� �#��� ��� ���# ��� ���������� �������, ��� �������� ' � +� � ��� ���� �� � �+���� ���� ��������� �������� � $��� �������� �� ���������% �� � � ��
$��% �� �� � � 4 ���� �� �������� �� � � � ���
� � �+ +
� ��
� �� ������������ �
�+'� + � !
'� � !�� '� � !
��� �#��� ��� ���# ��� ���������� �������, ��� �������� ' � �� � �� ���� �+ � ��� �� �� ����������� �������� � � � 4�
$% 3� � � �� ����� ����� ������ ��� �� ��� �+� ����
� � + �
�� �
� ���� � � ����� � � !
! 4
� �� ����� ��� �
�
� �
�
+
�
$�% ?���� �� �������� ���������� � � ������ ��� �" � � ��� 4" � 4!7"� �� ��
�" � ��"��� � + �
�� �
�� !
! 4!7"
��
� �
�
+
�� � "" ++ !
� "6 +5 �
�
/���� � ��� � + ��� � �4� � ��� )���
� ��� � �� ������ � + �
�� �
�+ !
! ��
��
� �
�
+
�� � +
�� !
�
+4 :�/;&./3�</��&.( =�;=.>/3?=� /.: =�;=.>=0�&1� B0)/8� 7
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
9. Diagonalization: Eigenvalues and Eigenvectors
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
$�% )����� !
! �+
� ���� ������ ���� �� �� )��� �� ������� ������ ��� �� � ��
� ������
��� � + �
�� �
�� !
! +
��
� �
�
+
��
4
+
�
6
�
����� =�� �� �� ��������� ���� ������ ������ � ������ ������������ �� �+(
$�% � � 6 "
�+
� �� $% � � ��
+ ��
� �� $�% " � 6 ��
�
� �
*���� ��� ��� ������ ��� ����������� ��� � ������� �� � �� �������# ���������� �����������@��� �� ���� ������ �������� ��� ����������� ��� A �� ��� ���� �� � ���������� # ��������� �����H
$�% *��� ��� ���� � �+ � � � +2 � �� � 5��� � 4�� ��� ���� � � 5 ��� � � �4 ��� �� ����������� �� ��@� ��� ������������ �����������
$�% �� �� � � 5 ���� �� �������� �� � � � ���
� � �+ "
�7
� �� ������������ �
�+'� " � !
'� 7 � !�� '� � !
)��� �� � � � �� �� � ������� ��������
$��% �� �� � � �4 $�� ��� 4% ���� �� �������� �� � � � ���
� � 7 "
+
� �� ������������ �
7'� " � !
'� + � !�� '� + � !
)��� �+ � �+�� � �� � ������� ��������
���� � � ���� �+� � �� � ��� �+�� �� �� � ������� �� �� �������# ���������� ����������� ���� � �� � ���� �� �+� � �� ����������� ��� ?���� �� ���� �� � �� ���������� # �� �������� ������ � �����5��4��
$% *��� ��� �� ��������� ���#������ ���� � �+ � �� ����� ��� �� ���� ����� ���� � � ���� ���������������� � ������ ������������ �� �+� ��� �� ����������� ��� �� ����������� )���� �� ��������� �� �� ����������� ���
$�% *��� ��� ���� � �+ � 2� � �" � �� � 4�+� ���� � � 4 �� �� ���# ���������� �� "� �� �� � � 4 ������ �������� �� " � � ���
� � � ��
� ��
� �� ������������ � '� � !
��� ����������� �#��� ��� ���# ��� ���������� �������, ��� �������� ' � �� � �� ���� � � ��� ���� �� ��������� �� "� *���������� ���� ���� ��� �� ���� ������������ �� �������� ��� � ��� � ���� ��� �� � ������� �� �� �������# ���������� ���������� �� "� *���������� ���� � ���� � ���� �� �+� " �� �� ����������� ���
���'� ������� �� ����� �� 8�� ��� 7��� ��������� � ������ ������� �� ������ ���� �+� ���� ����� ��� ���� �� ����������� �� # ������ � ���� � �� �+ �������� �� ���������� �� �
��� ��������� ���#������ �� �� ���� ���� � �+ � �� /� � ���#������ ���� �� ���� ���� ����,��������#� ���� � �� � ���� � ��� ���� � � � ��� � � �� ��� �� ����������� �� �
$�% �� �� � � � ���� �� �������� �� � � ��� �� ����������� �#���
��� ��'� � !
+'� ���� �� � !�� ��� ��'� � !
��� �#��� ��� ���# ��� ���������� �������, ��� �������� ' � �� � �� �� ���� �� � ��� �� �� �� ����������� �� ����� �� ��������� �� � � ��
0)/8� 79 :�/;&./3�</��&.( =�;=.>/3?=� /.: =�;=.>=0�&1� +6
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
9. Diagonalization: Eigenvalues and Eigenvectors
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
$��% �� �� � � �� $�� ��� �% ���� �� �������� �� � � ��� �� ����������� �#���
��� ��'� � !
+'� ���� �� � !�� ��� ��'� � !
��� �#��� ��� ���# ��� ���������� �������, ��� �������� ' � �� � �� �� ���� �� � ��� �� �� �� ����������� �� ����� �� ��������� �� � � ���
/� � ������ ������ �� ����������� ��� ��������#� � � ���� �+� � ���� �� ��� ��� �� ��� �� � ���� �� �+
�������� �� ���������� �� � ?���� ��� ���� �� �� ���������� # �� �������� ����� � � �����������
���.� 3� * � �� ������ ������������ �� �+ �� ��I�� ��� ���� � ����� �� ���� � �'� ������ � !� $��� *��� 7���%
$�% ���� �� �� � ��� �� ��� �+ � ������ ��� ���������� �� *�
$% ���� �� * �� ����������� ��� ��� ��� � �������� ������������ ��
$�% ��� ���� �� � ��� �� ���� �� �� ���� � �'� ��� ���� �� ��� ���� # *� �� �� *���� � ��� ���� �� �� ����������� �� * �������� � �� ���������� �� � ��
��� ���� �+ � ������ �� ������������ � �� ���� � �'� ��� ���� * ��I�� �+ ��� �� �������,�� ��� *��+� � ��+� ���� �+ �� �� ��������� �� * �������� � �� ���������� �+ � ���
$% )��� � � ���� �+� �� � ���� �� �+ �������� �� ���������� �� *� ���� * �� ����������� ��� ��� ��
�������� ������������ � � � !
! ��
� �$������� � �� ���� �%�
��5���)��* )� ��5��������*
���4� 3� � �4 � ��
+ 6 �+
� � +
��
��� $�% *��� ��� ����������� �� ��
$% *��� � ������� �� � �� �������# ���������� ���������� �� ��
$�% �� � ����������� ��H �� #��� ��� � ��� �� � � ����� �� ���������
$�% *��� ��� �� ��������� ���#������ ���� �� �� @� ����
���� � 4� 6� + � �� ��� ��� � 4!� +� +� 6� 2� 4 � 46
/���� ��� ��� ����� ��� �� ��� �� �(
��� � 6 �+
� +
�������� � �+� �++ � 4 ��
� +
�������� � 7� � � 4 �
+ 6
�������� � �2
)��� ���� � � � ���� �+ � ���� � �++ � � �� � ��� � � � ���+ � 7� � 46
y
x0
L P( )
P
L( )v2
v2y k= x
&�%� �B�
+" :�/;&./3�</��&.( =�;=.>/3?=� /.: =�;=.>=0�&1� B0)/8� 7
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
9. Diagonalization: Eigenvalues and Eigenvectors
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
/������� �� ��� � ������� ���� � ��� � ����� ��� � � �6� �7� ��6� �46� ������� #�#���� ��������� �� ��
�� ��� 7� 46
� +4� 46
�� 2� �6� !
���� � � �� � ��� �� ����� ��� � � �� � ����, ����
���� � �� � ���+ � 2� � �6� � �� � ��� � 6��� � � � �� � �+�� � 6�/�������#� � � ��� � � 6 ��� ����������� �� ��
$% *��� �������# ���������� ���������� ��� ��� ���������� �� ��
$�% �� �� � � ���� �� �������� �� � � � ��� �� �����
� �� � ��
+ + �+
� � ��
��
��� ������������ � '� � � !
)��� # � ������ !� ��� � � ��� !� �� ��� �������# ���������� ���������
$��% �� �� � � 6 ���� �� �������� �� � � � ��� �� �����
� ��� � ��
+ ! �+
� � �
��
��� ������������ �
�'� � � !
+'� + � !
'� � � !
��' � � !
� + � !
&��# �� � ���� ����� ��� )��� + � ��� +� �� �� � ��������
���� � � �#� ��+� � ������� !�� ��� !� ��� ��� +� ��� �� � ������� �� �� �������# ���������� ����������� �� ��
��+ �-, ��� ����� # ��� � ���� ����� �� �� ��# ���� ���������� �������� �� �� �#���'� � � !� &� �� ���� ����� + �� ���������# ���������� �� # ��� � ���� + ������ � � ������������������ �� �� ���� �� ���� ����� ��� �������# �����������
$�% � �� ����������� ��� ���� � ��� ���� �������# ���������� ����������� 3� � � �� ����� ��������� #� ��+� ����
� �� � �
�� ! +
! � �
��
�� ��� � � ����� �
6
��
��
���8� 1���� 8�� ��� 7��4 ��� �� ����� � �� �
5 �6 �
" �" +
��
���
$�% *��� ��� �� ��������� ���#������ ���� �� � @� ����
�� � � !� � � � ��"� �� � �4� ++ � !� � �2� ����
�� � ��+
��������� ���� � � � �+� � �" � �� � +�+�� � 4�� ���� �� � + ��� �+ � �4 ��� �� ����������� �� �
$% *��� � ���� ��� �� ��������� �� ��� ���������� �� �
$�% �� �� �� � + ���� �� �������� �� � � ���
� �� �� �
5 �5 �
" �" !
��
��� ������������ �
'� � � !
5'� 5 � � !
"'� " � !
��'� � � !
� !
��� �#��� ��� ���# ��� ���������� �������, ��� �������� ' � �� � �� � !� ���� # � ��� �� !������ � ���� ��� �� ��������� �� �� � +�
0)/8� 79 :�/;&./3�</��&.( =�;=.>/3?=� /.: =�;=.>=0�&1� +5
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
9. Diagonalization: Eigenvalues and Eigenvectors
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
$��% �� �� �+ � �4 $�� ��� 4% ���� �� �������� �� � � ���
� �5 �� �
5 �� �
" �" "
��
��� ������������ �
5'� � � !
5'� � � !
"'� " � " � !
��'� � � !
" � " � !
��� �#��� ��� ���# ��� ���������� �������, ��� �������� ' � !� � �� � �� ���� � � �!� �� ������� � ���� ��� �� ��������� �� �+ � �4�
���� � � �#� �� �� � ������� �� �� �������# ���������� ���������� �� �
$�% ���� ��� � ��� �� �������# ���������� ����������� �� �� ������� � � �������� �����, �� ��� �� �� ����������� ���
���9� *��� �� ���� ��� ��� ������� ����������� �� �� ���������� �� � + �� �� ����� �� 8�� ���7��6�
��� ���� ��� ��������# �� �� � + �� +� ���� � � + ������� ��� ������� + �� ����� )������� ��������� ��������# �� �� � + �� �� ���� ��� %�� � � $����� %�� �� �� ��������� �� ��%�
���:� 3� � �� � � � ������ # � �'� � � � �+'� � +� +'� � 4� '� � �� *��� �������������� �� � � ��� ��� � ���� �� ��� ���������� �� � ����������� ��H �� ��� ��� �� ���� � ��� �� ������������ � � ��� ��� �� �������� ������������ ��
*��� ��� �� ����� � �� ��������� � ������� � �� ����� ���� �� � # ������ ���� �� ���������� '� � �� ����� ��� ��� ��� �� ��������� ���#������ �� � $��� � %� @� ����
� � � �+ � �+
+ �4
� � ��
��
�� ���
���� � 4� ��� � +
��� � �� �++ � !� � � 4��
��� � 6
��������� ���� � � � 4�+ � 6� � + � �� � ��+�� � +�� ��� �� � � � ��� � � + ��� �� ����������� �� � $���� %� @� ��� ��� �������# ���������� ���������� ��� ��� ���������� �� ��
$�% �� �� � � � ���� �� �������� �� � � � ��� �� �����
� �� � �+
+ + �4
� � �+
��
��� ������������ � '� � + � !
)��� ��� ��� ���� ����� ���� ��� �� ���� ��� �� �������# ���������� ���������� �������� �� � �� *�� �������� # � ������ !� ��� � � �+� !� �� ��� �� ��� �����������
$��% �� �� � � + ���� �� �������� �� � � � ���
� �! � �+
+ � �4
� � �
��
��� ������������ �
� + � !
+'� � 4 � !
'� � � !
��'� � � !
� + � !
&��# �� � ���� ����� ��� )��� + � ��� +� �� �� � ��������
���� � �� ����������� ��� ���� � ��� ���� ���������� ����������� ��������#� �������
� � �#� ��+� � ������� !�� �+� !� ��� ��� +� ����� � ����� � �� ���������� # �� �������� ����� � � ������� �� +��
���;� 8���� �� ��������� ��� � ������ ������� $�����% � (
$�% ��� ����� ! �� �� ���������� �� � �� ��� ���# �� � �� ���������
$% �� � �� �� ���������� �� � � ����� � �� ������ ��� ��� ��� �� �� ���������� �� ����
+2 :�/;&./3�</��&.( =�;=.>/3?=� /.: =�;=.>=0�&1� B0)/8� 7
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
9. Diagonalization: Eigenvalues and Eigenvectors
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
$�% @� ���� �� ! �� �� ���������� �� � �� ��� ���# �� ���� �� � ���� � �� ! ��� �� � ��� � !�� �� ��� ����� ���# �� � �� ���������
$% ���� � �� ������ ��� � �� �����������, ����� # ���� � �� !� F# �������� �� �� ����������� ���� ������ �� ! ��� �� � ��� � ��� /���#��� ��� � �� ������ �� � ���
� � ������� � �������� ��� �� ������ � ����
��������� ��� �� �� ���������� �� ����
����� 3� � � �� ���������� �� � ������ ������� � �� � � � ��� �� %� ������ �� ��� �� ���������� �������� � � $����� �� ���������� �� �%� 8���� �� %� �� � �� ���� �� � � ��� ��� �����(
$�% �� # � %�� ��� �# � %� ��� ��# ����� �� $% �� #� ��� %�� ��� #� � � %��
$�% ���� # � %�� �� ���� � �#� � �#� ���� � ��#� � �� �#� � ���#� � ���#�� ��� �� �# � %��$@� ���� �� ���� ���� ! � � �� �� CC���������DD �� � �� ����� ��� %� � � � �� ���� �� � �%
$% ���� #� � � %�� �� ���� � �#� � �# ��� � ��� � ��� ����� �#� �� � � �#� � � ��� � �#� �� � ��#� ��� ��� �� #� � � %�
��'<� 8���� ������� 7�"( ��� ��������� ��� ���������( $�% ��� ����� � �� �� ���������� �� ��
$��% ��� ����� �� � � �� ���������
$���% ��� ����� � �� � ��� �� �� ��������� ���#������ ���� �� ��
��� ����� � �� �� ���������� �� � �� ��� ���# �� ���� ����� � ������� ���� � ��� ��
�� � �� �� ��� ��� �� � ! �� ��� � ��� � !
�� �� � � �� ��������� �� ��� � ���� � �� � ��� �� ���� � ��� � ��� /���� � �� �� �� ��������� %� �� � �� ������# �� �� � ��� �������� ����� )��� � �� � ������� �� ��� � ��� � !�
��'�� 8���� ������� 7�2�( ������� ��� �+� � � � � �� ��� ������� ���������� �� � �������� � ���������������� ��� �+� � � � � ��� ���� ��� �+� � � � � �� ��� �������# �����������
������� �� ������ �� �� ���� 3� ��� �+� � � � � �� � � ������� �� �� ����� ��� ���� �� ������ ���� ���� @� ���� � � �� ���� �� �� !� /���� # �� ��������# �������� �+� � � � � �� ��� �������# ��������������� �� �� � ������ �� ������ �� �+� � � � � ��� ��#�
�� � �+�+ � � � � � � �� ���� ���$����� ���� �� �� !�� /���#��� � � $�% ��� ����� �� �������# �� � #�����
� ���� � � ��+�+ � � � � � � �� ����� � �+� ��+� � � � �� � � � � �� ��� ���� �+����� �� �� �� ��������� �� � �������� � ��� �� ���� � ���� � ����� �� ������ �� $+% #�����
���� � �+�+�+ � � � � � � � �� ������ � �'�����#��� $�% # �� #�����
���� � �+���+ � � ��� � � � �� ������ �4������ �� ��������� ����� �� $ % ��� $4% ����� � ��� ����� �� �� ����� $ % ���� $4% #�����
�+��� � �+��+ � � ��� � � �� � � � �� ����� � ����� � ! �6����� �+� � � � � � � �� ��� �������# ����������� �� �������� �� $6% ��� ��� � ����� ��� ���
�+��� � �+� � !� � ��� � � � � !� � � � � ����� � ��� � !
)������� �� �� ��� ������ )��� �� � �� �� ! ��� � � �� )��� �+ � !� � � !� � � � � �� � !� ���� ��������� �� �� ���� �� �� !� ���� �� ������ �� �������
0)/8� 79 :�/;&./3�</��&.( =�;=.>/3?=� /.: =�;=.>=0�&1� +7
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
9. Diagonalization: Eigenvalues and Eigenvectors
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��''� 8���� ������� 7�7� ������� ���� � �� � ����� � �+� � � � �� � ��� �� �� ��������� ���#������ ���� �������� ����� �� ��� ������� �� � ���� �� ��� ������ ���� � �� ������� � �� ������������� � � �������� �+� � � � � ����
3� ��� �+� � � � � �� � $�������% ���������� ������������ � �� ����������� ��� ���� �� � ������������ ��� �������# ���������� $������� 7�2%� ��� ���� ���� � ���� �� ��� /�������#� � �� ����������� ��� ����� � �� ������� � � �������� ����� �� ��� �� �������� ������� �� � ��� �� ����������� ���
��'.� 8���� ������� 7��!�( ��� ������� ��������# �� �� ���������� � �� � ���� �� ����� ������ ��� ��������#�
������� �� ������� ��������# �� � �� �� ���� �� ��������� %� ������ � �������# �������������������� ��� � � � � ��� =���� �� �� ���� � � ���� �� � � ��#� ���� � � � � ���+�� � � � �+��� @� ����
� ���� � ���� � ��+� � ��+� � � � � � ���� � ����
� �+�� � ����� � � � �� ����� � ��+� � � � �� ��+�
� �++� � �+��� � � � �� �+��� � +�+� � � � �� +�+�
����������������������������������������������������������������������������
� �+�� � ����� � � � �� ����� � ��+� � � � �� ��+�
���� � � ��� �
!
� ��� �� ����� �� � �� �� � ��� ����� ����� � � ���� ��� � ��� �
���� � �� ��E ��������� �� ��������� ���#������ �� � ��� �� �� ��E ��� ��� ������ ����������� ���#������ �� � ��� ���� �� � � ���� �� ���� ��� ��������# �� � ��� � �� � ���� �� �����������
�)5��)��6��5 ��)� *(������� �)�����*
��'4� 3� � � 5
��
� �� *��� �� ��������� ����� � ��� �� � � ����� �� ���������
*��� ��� �� ��������� ���#������ ���� �� �� @� ����
���� � �+ � ���� � � ��� � �+ � "� � �" � �� � 2��� � +����� �� ����������� �� � ��� � � 2 ��� � � �+� @� ��� ��� ������������ �����������
�� �� � � 2 ���� �� �������� �� � � � ��� �� �����
� � ��
�7
� �� ������������ �
�'� � !
'� 7 � !�� '� � !
/ ������� ������� �� #� � � � ����� �� � � �+ $�� ��� +% ���� �� �������� �� � � � ��� �� �����
� � 7
�
� �� ������������ �
7'� � !
'� � !�� '� � !
/ ������� ������� �� #+ � ���� ��/� ������� ���� � �� �#������ �� ���������� #� ��� #+ ��� ���������� .�������� #� ��� #+ �
� ���� ���������#� �� ��� �����
�#� � � �������!
� ��
������!
� ��� �#+ � ���
������!
�� �
������!
��
*�����#� �� � � �� ����� ����� ������ ��� �� ��� ����� �#� ��� �#+� ���������#� ����
� � �������!
��
������!
��������!
� �������!
�
��� � � ����� � 2 !
! �+
� �
/� ������� �� �������� ������ �� � ��� �� ����������� �� ��
! :�/;&./3�</��&.( =�;=.>/3?=� /.: =�;=.>=0�&1� B0)/8� 7
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
9. Diagonalization: Eigenvalues and Eigenvectors
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��'8� 3� ��� �2 4
�2 �� �+
4 �+ �4
��
��� $�% *��� ��� ����������� �� �
$% *��� � ������� �� � �� ������� ��������� ���������� �� �
$�% *��� �� ��������� ����� � ��� �� � � ��� � �� ���������
$�% *��� ��� �� ��������� ���#������ �� � @� ����
�� � � "� � � � 4!!� �� � !� ++ � �"!� � �56� ����
�� � �� 6
)��� ���� � � � "�+ � � 6� � 4!!� �� ���� ��� �� ������ ��� � ��� ������ 4!!� ������ � � �6� #�#���� ��������� #�����
�6 �� "� � 6� 4!!
� 6� 66� 4!!
�� ��� 2!� !
���� � � 6 �� � ���� �� ����� ������� � �� � 6���+ � ��� � 2!� � �� � 6�+�� � �"�
��� ����������� �� ��� � � �6 $��������# +%� ��� � � �" $��������# �%�
$% *��� �� ��������� ���� ��� ��� ���������� �� �� � � �6 $��� ��� 6% ���� �� �������� �� �� ��� �� ����������� �#���
�"'� 2 � 4 � !� �2'� 4 � + � !� 4'� + � � !
��� ��� 4'� + � � !� ��� �#��� ��� �� ���������� ��������� &�� ������� �� �� � �!� �� +�� @����E � ����� ������� �+ � ��� � ��� ���� �� ��������� � ��� �� ��� ��� ��
4�� +� � � !� ��� ���� � +� � !
&�� ��� ������� �� �+ � ��6��2� 4���� �� � � �" ���� �� �������� �� � � ��� �� ����������� �#���
�6'� 2 � 4 � !� �2'� �5 � + � !� 4'� + � +! � !
���� �#��� #����� � ������� ������� � � �4��+� ��� $/� ������ ���� ������� 7�� � �� ���������� �� ��������� � �� ��� �+�%
���� ��� �+� � ���� � ������� �� �� ������� ��������� ���������� �� �
$�% .�������� ��� �+� � � � ��� �� ���������� ����
��� � ������6
� ��+ � �+�
���������!6
� �� � � �
�����+�
���� � �� �� ����� ����� ������ ��� ���� ��+� �� � ����
� �! �6�
���������!6
4�
�����+�
�����6
�2���������!6
�+������+�
+����6
4�
���������!6
��
�����+�
� �
��� ��� � � ��� � �
�6
�6
�"
� �
���
��'9� 3� &�'� � � '+ � "' � 5 +� *��� �� ��������� �� ������ �� ������������ &�
*��� �� �#����� ����� � �� ��������� & ��� �� ��������� ���#������ ����� @� ����
� � �
�5
� ���� ���� � �+ � "� � �" � �� � +��� � 2�
��� ����������� �� � ��� � � + ��� � � �2� ����� ����� � ��� � �� ��� ����� ���� � �������� ���� �� & ��
&��� �� � +�+ � 2�+
0)/8� 79 :�/;&./3�</��&.( =�;=.>/3?=� /.: =�;=.>=0�&1� �
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
9. Diagonalization: Eigenvalues and Eigenvectors
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��� ������������ ��������� �� ������ �� � ����� # ������ �� ��������� �� �� ���������� �� ��
$�% �� �� � � + ���� �� �������� �� � � � ��� �� �����
� � ��
�7
� �� ������������ �
�'� � !
'� 7 � !�� � '� � !
/ ������� ������� �� #� � � � ���$��% �� �� � � �2 $�� ��� 2% ���� �� �������� �� � � � ��� �� �����
� � 7
�
� �� ������������ �
7'� � !
'� � !�� '� � !
/ ������� ������� �� #+ � ���� ��/� ������� ���� � �� �#������ �� ���������� #� ��� #+ ��� ����������
.�� ��������� #� ��� #+ � � ���� ���������#� �� ��� �����
�#� � � �������!
� ��
������!
� ��� �#+ � ����
������!
� �
������!
��
*�����#� �� � � �� ����� ����� ������ ��� �� ��� ����� �#� ��� �#+� ���������#� ��� ���'� � � ��� �� �� �� �������� ��������� ����� �� ���������� ��� ���
� � �������!
��������!
��������!
�
������!
�����
���� ' � �� ������
�! � � �� ������
�!
&�� �� ���� ������� � ��� � �� ���� �� ' ��� # ����� ��� � �� ��� ���
� � '� ������!
� � � �'� �������!
�����)� ���(����)�
��':� 3� � �4 �+ +
" � 4
�+
��
�� ��� �
�+ +
4 �4 "
+ � 6
��
��� ��� ��������� ���#������ �� �� ������ ��
���� � �� � +��� � ��+� *��� �� ������� ���#������ !��� �� ��� ������
��� ������� ���#������ !��� ��� ������ ����� /���� ��� ���� �� ����� �� ��� � � + ��� � � �� ������� � � ���� �� !���� ���� !��� ��� � ����# ��� �� �� ���������(
� ��� � �� � +��� � �� �� ���� � �� � +��� � ��+
$�% F# �� 0�#��#A)������ �������� ���� � ���� � !� �� �� ���� ���# �� � ���� @� ����
� ��� � ��� +� ���� �� �+ �+ +
" �6 4
�+ �
��
�� �+ +
" �4 4
�+ +
��
�� �
! ! !
! ! !
! ! !
��
��
���� !��� � � ��� � �� � +��� � �� � �+ � � � + �� �� ������� ���#������ �� ��
$% /���� �� � � �� � � !� �� �� ���� ���# �� � ���� @� ��
� � � � � � +� �� � � � �� �+ +
4 �" "
+ �
��
�� + �+ +
4 �6 "
+ � 4
��
�� �
�+ + �+
�4 4 �4
�+ + �+
��
�� �� !
���� !��� �� � ���� /�������#� !��� � ���� � �� � +��� � ��+ �� �� ������� ���#������ �� � B@� ����������� �� �� �� ���� � ����� �� �, �� E��� �� � � ! ���� �� 0�#��#A)������ �������9
+ :�/;&./3�</��&.( =�;=.>/3?=� /.: =�;=.>=0�&1� B0)/8� 7
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
9. Diagonalization: Eigenvalues and Eigenvectors
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��';� *��� �� ������� ���#������ !��� �� ��� �� �� ��������� ������(
$�% � � 6 �
5
� �� $% �
� +
! +
! !
��
��� $�% " � 4 ��
� +
� �
$�% ��� ��������� ���#������ �� � �� ���� � �+ � �+� � + � �� � 4��� � 2�� ���� ���� ��� ����������� �� ������� ���#������ !��� � ���� � �+ � �+� � +�
$% ���� �� ���������� �� ����������� ��� �� �������� ������� �� +� , ��� �� �� ������������#������ �� ���� � �� � ���� � +��� � �� ���� ���� ��� ����� ������ !��� � �����
$�% ��� ��������� ���#������ �� " �� ���� � �+ � "� � 7 � �� � �+� )��� �� ������� ���#������ �� "�� � ��� � � � �� ���� � �� � �+� )������� � �"� �� !� �� ��� " � � �� !� )���
!��� � ���� � ���� � �� � �+�
��'�� ������� � � �#�� #+� � � � � #�� �� � ���� �� � � ��� ������� � ��� , ��� ������ �������� �� � ����� � ��� !D� �� ��� ���� �� ��������� ��� , ��� � �� ! �� �� ������������� ��� !D����������� ��� ���
� �
! �+� � � � � � ���
! ! � + � � � ��+
����������������������������������������! ! ! � � � ������
! ! ! � � � !
� �
������� , �
! � ! � � � !
! ! � � � � !
���������������������������! ! ! � � � �
! ! ! � � � !
� �
������
���� ��( $�% �� � !� $% ,��� �� !� � ,� � !� $����� �������� ���� ���� ��� � ��� ,�%$�% @� ���� ��#�� � ! ���� ��� � � �� ��#�� �� � ������ �� ������ �� ����� �������� #� �� �� ��� ���
��#�� � ���#� � ��+#+ � � � �� ������#���
)��� �+�#�� � ����#��� �� � ������ �� ������ �� ����� �������� #���� /�� �� ��� )������#�� � ! ��� ��� �� ����� ��� ��� �� ���#�� � �����!� � !� ��� �� �� � !� �� �������
$% @� ���� ,�#�� � ! ���� ��� ��� � � �� ,�#�� � �#���� )��� ,��#� � � ��#��� ��� � � �� ���� � �� !��� �� ���� �� !� ���������� ,����#�� � ����#� �� !� ��� �� ,��� �� !� &� �� ���� ����� # $�%� ,� � !�
��.<� 3� � �� ����� �� =������ 7��+$�% �� ��� �D� �� �� ��������� �D� �� �� �������������� ������ �� !� ��� !D� ���������� ���� �� � ��� � �� � ��� �� �� �� ��������� ���#������ ���� ����� ������� ���#������ !��� �� ��
���� � �� ��������� ��� �D� �� �� ��������� ���� � � ��� � �� � ��� �� �� ��������� ���#������� ����!��� �� � ����� �� � � �� F# 8�� ��� 7�+7� ��� �� ���� �� !� )��� !��� � ���� � �� � ����
��.�� *��� �� ��������� ���#������ ���� ��� ������� ���#������ !��� �� ��� �����(
$�% � �
4 � ! ! !
! 4 � ! !
! ! 4 ! !
! ! ! 4 �
! ! ! ! 4
� �
������� $% � � �
+ 5 ! !
! + ! !
! ! � �
! ! �+ 4
� �
����
0)/8� 79 :�/;&./3�</��&.( =�;=.>/3?=� /.: =�;=.>=0�&1�
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
9. Diagonalization: Eigenvalues and Eigenvectors
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
$�% � �� ��E �������� ��� �������� ��E�
� �4 � !
! 4 �
! ! 4
��
�� ��� � 4 �
! 4
� �
��� ��������� ��� ������� ���#������ �� � �� � ��� � �� � 4� ��� �� ��������� ��� ����������#������ �� �� ���� � �� � 4�+� ����
���� � � ������� � �� � 4�6 � !��� � 30' � ���� ���� � �� � 4� $����� 30' ����� ���� ����� �������%� @� ��������� �� �� ������� �� !��� �� �� ���� �� �������� ��E�
$% )��� � � �� ��E �������� ��� �������� ��E� �� � + 5
! +
� ���� � � � �
�+ 4
� ����
��������� ��� ������� ���#������ �� �� �� � ��� � �� � +�+� ��� ��������� ���#������ �� � ������ � �+ � 6� � " � �� � +��� � �� ���� ��� ����� ������ )��� ���� �� ���� �� ������� ���#������� �� � /�������#�
���� � � ������� � �� � +� �� � � � !��� � 30' � ���� ���� � �� � +�+�� � �
��.'� *��� � ����� � ����� ������� ���#������ �� � ��� � � � 2�+ � 6� � 5�
�����# �� � �! ! �5
� ! �6
! � 2
��
��� �� �������� ����� �� � ��� B������ �� =������ 7��+$%9�
��..� 8���� ������� 7��6( ��� ������� ���#������ !��� �� � ����� $������ �������% � ������� ����#���#������ �� ��� � �� � ����� �� �������� $ # �� 0�#��#A)������ �������%� !��� ������� ����������� ���#������ ���� �� ��
������� � ��� �� � ���#������ ��� ���� � ��� � !� F# �� �������� ��������� ���� ���� ���#������� &������ ���� ��� ���� � ��� � !���&��� � ���� ��� ���� � ! �� ��� ���� � ��� !���� �� ������ � � � �� ����������� ��� ����� �� � ��� � ! ��� !��� � !� �� � ��� ���� � !� �� ���� �� !� ��� ���� �� � ���#������ �������� ���� ��� !��� �� ��� � �� � ����� ���� ������� �� �������� �� �� ������� ���#������� �������� � !� ��� �� � ��� � !���&���� �� ��� !��� ������� � ����
��.4� 3� !��� � �� ������� ���#������ �� �� �������� ����� �� 8���� �� �� ������������#������ ���� �� � ������� !�����
������� !��� � �� � ������ � � � �� ����� � ��� :���� ������ � �� �������(
! � �
� � �� ���
+ � �+ � ���� �+�
��� � ���� � �����+ � � � �� �����
��
��
��
��
� � !
��� � � � � � � � � !
�+� � + � ���� ��� � � + � � �
���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � ��� � � ��+
����
�� ��� � ��� � ��� � ������ � � � �� ������ ��� � � ��� � !��� � ���
�� ��� � ���� ! � ���+ � � � � �� � ��+ � ���
����
��� � �� ��� � ��� ! � ���� � � � � �� � ���� � ������ ! � ���+� � � � � �� � ����� �� ! � ����� � � � !� � ���+� + � � �� � � � �� �� ��� � � ��+� � � ���
� ��� � ������� � �+�
��+� � � � �� ������ � ��� � !������E��� �� ��������� �� �� ����� ����� ��� � ��� ���� � �!���� � � !����� ���� � ���� �� � ���#���������� � �� ������� !����, �� ��� �� ��������� ���#������ �� � ������� !�����
4 :�/;&./3�</��&.( =�;=.>/3?=� /.: =�;=.>=0�&1� B0)/8� 7
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
9. Diagonalization: Eigenvalues and Eigenvectors
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��.8� 8���� ������� 7��"( ��� ��������� ���#������ ���� ��� �� ������� ���#������ !��� �� � ������ ���� ������� �� ������
������� � ��� �� �� ������� �� ���#������� �� � ��� ������� !���� ��� � ��� ���� ������� ���� B���� !���������� ����� &� �� ���� ����� �� � ��� ������� ���� ���� # 8�� ��� 7� 4� � ��� ���� ������� !����� F� � ��� ��������� ��, ���� � ��� ���� ������� !���� ���� !��� ��� ���� ���� �� ���� ������� �� ������
��.9� 8���� ������� 7��7( ��� ������� ���#������ !��� �� � ��E �������� ����� � ��� �������� ��E� �� �� ����� � �� ���� ����� ������� $30'% �� �� ������� ���#������� �� �� �������� ��E� ���
@� ����� �� ������ ��� �� ��� � � +� ��� ������� ������ ������� �����# # �������� �������
� � � !
!
� �� ����� � ��� ��� ������ ������� @� ���� � ���� �� �� ������� ���#������ !��� �� �
�� �� ���� ����� ������� �� �� ������� ���#������� ���� ��� ���� �� � ��� � ���������#�
���� !��� �� �� ������� ���#������ �� � �!�� � � !��� !
! !� �� �
� !� ��� ���� !��� � ! ���
!� � � !� ���� ���� �� �� ������� ���#������ �� �� ���� ������� !���� ��������#� ���� ������� !���� ���� !����� � ������� �� ���� ��� �����
.�� �� � ��� � ������ ������� �� ���� ��� ����� ���� � �� � � � ��� !
! � � �� �
� ! !
! !
� �� !� F� !���
�� �� ������� ���#������ �� � , ���� !��� ������� � ���� ���� !��� �� �� ���� ����� ������� �� ���� ��������
��.:� ������� !��� � �� � �������� � � � �� ��� � �! �� �� ������� ���#������ �� �� �������� ����� ��
8���� �� ���������(
$�% � �� ����������� �� ��� ���# �� �� ����� ��� �! �� !�
$% �� � �� ������������ ��� ��� �� � ���#������ �� � �� ������ � � � � ��
$�% ��� ��������� ��� ���������( $�% � �� ������������ $��% ! �� �� � ��� �� !���� $���% �! �� !� ���� �������� �� ����
$% ���� � �� ������������ �! �� ! # $�%� @� ����
!��� � �� � �������� � � � �� ���� �!� � !
���� � �
�!����� � �����
��+ � � � �� ��� �� � �
/�������# ��� � � �
�!����� � �����
��+ � � � �� ��� �
*�����+��� �$ ���A��+"
���(����)�* �& �)�����*
��.;� 3� � � + �
6 �
� ���� � � +
!
� �� *��� � ���� ����� � � �� �� �� ����� � ��� � +�+ � 6� � " ���
���� � � � +�+ � � � �
��.�� 3� � � � +
! �
� �� *��� �+� � � ��� ����� � � � ��� ����
0)/8� 79 :�/;&./3�</��&.( =�;=.>/3?=� /.: =�;=.>=0�&1� 6
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
9. Diagonalization: Eigenvalues and Eigenvectors
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��4<� 3� �2 �+ !
! 2 �+
! ! 2
��
��� *��� � ���� ����� � ��� �� � � �
��4�� *�� ��� ������ ��� � ���#������ ������ �� ��������� ����� �� � ���(
$�% � � + 6
� �
� �� $% � + �
5 �4
� �� $�% " �
� � +
� +
+ � 4
��
��
��4'� 3� � � ��# ������ ����� ��� �� � ��� � ��# ���#������� 8����( $�% �������� � �������
$% � ������� � ���� ����� $�% � ��� � � � ���� � $�% �� � �� �#������ ��� � ��� �� �#������
��4.� 3� � � ������� � � � ��� � � ��E �������� ������ ��� �� � ��� � ��# ���#������ � ���� ���� �� � �� � �� ��E �������� ��� � �� � � ���� � ����� � � � � � �����
��44� 3� � � � ��E ��������� ����� ��� �������� ��E� ��� � � � ���� ��� �� � ��� � ��# ���#������ � ���� ������ � �� � �� ���� � ��E ��������� ������ ��� �������� ��E� � ����� � � � � � �����
��5���)��* )� ��5��������*
��48� *�� ��� �� �� ��������� ������� ��� ��� ����������� ��� ������������ �������# ���������� ����������(
$�% � � + �
+ �6
� �� $% � + 4
�� "
� �� $�% " � � �4
�5
� �
@��� ����� ��� ��� �� ����������� ����� � �� ������������ �� ������
��49� 3� � � + ��
�+
� ��
$�% *��� ����������� ��� ������������ �����������
$% *��� � ����������� ����� � ��� �� � � ����� �� ���������
$�% *��� �" ��� � ��� ����� � ��� � �4 � 6� � 5�+ � +� � 6�
$�% *��� � ����� ��� �� + � ��
��4:� 1���� 8�� ��� 7�4" ��� � � 6 "
�+ �+
� ��
��4;� *�� ��� �� �� ��������� ������� ��� ��� ����������� ��� � ������� �� � �� �������# ��������������������(
$�% � �� �
�6
" �" 4
��
��� $% �
�� �
5 �6 �
" �" +
��
��� $�% " �
� + +
� + ��
�� � 4
��
��
@��� ������ �� � ������������� ��� ��#H
��4�� *�� ��� �� �� ��������� ������ �������� � ��+ � �+� ��� ��� ����������� ��� � ���� ��� ��� ���������(
$�% � �'� � � � '� � '� 6 �� $% � �'� � � � '� � � '� ��
��8<� 3� � � �
� �
� � � � ���� ������ *��� �������# ��� ������� �������� �� �� � �� � �� �� � ��
����������� ��� �� ��� �� �� � ��� �� $����% �������# ���������� �����������
" :�/;&./3�</��&.( =�;=.>/3?=� /.: =�;=.>=0�&1� B0)/8� 7
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
9. Diagonalization: Eigenvalues and Eigenvectors
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��8�� ���� �� ������ � ��� �� ���� �� ���� ������������ ;��� �� ������� �� � +� + ����� � ����� � ��� ��
���� �������� �����������
��8'� ������� � �� �� ��������� �� ������ �������� � ��� ,� ���� �� � �� ���� �� ��������� �� �� ������������� �� � � �,� ����� � ��� � � ��� �������
��8.� ������� � �� �� ��������� �� � ������ ������� � �������� � �� ���������� �� 8����(
$�% *�� � � !� � �� �� ��������� �� �� �������� � ���
$% � ��� �� �� ���������� �� � �� � ��� ��# ���#������ � ����
��84� ������� � �� ! �� �� ���������� �� �� ��������� � � , �� ������ �������� � ��� ,� ���� �� � �� ���� ������������ �� �� ��������� , � �� B-���. ���� �� ,��� �� �� ��������� �� , � ��9
��88� 3� %�� � � � � ���-���� �������� �� ��� %+ � %� ���� �� % �� ����������� �� ���� �� ��� �� �
���������� # �� �������� ����� � � �� !
! !
� �� ����� � �� �� ���E �� %�
�)5��)��6��5 ��)� *(������� �)�����*
��89� *�� ��� �� �� ��������� �#����� ������ �� ��� �� ��������� ����� � ��� �� � � ����� ����������(
$�% � � 6 4
4 ��
� �� $% � � 4 ��
�� 4
� �� $�% � � 5
��
� �
��8:� *�� ��� �� �� ��������� �#����� ������ � ��� �� ������������ � ������� ��������� �� � ������������� ��� �� ��������� ����� � ��� �� � � ��� � �� ��������(
$�% �! � �
� ! �
� � !
��
��� $% �
+ + 4
4 6 2
4 2 �5
��
��
��8;� *��� �� ��������� �� ������ �� ������������ ��� �� �� ��������� ������� �����(
$�% &�'� � � 4'+ � 2' � �� +� $% &�'� � � +'+ � "' � �! +
��8�� *�� ��� �� �� ��������� ������� ����� &�'� � �� ��� �� ��������� �� ������ ���������� '� � �� ������ ����� ��� �� �� �� ��� ��� &��� �� ��($�% &�'� � � � 6'+ � + � �+'� $% &�'� � � � '+ � 4' � " + � +'� 4 � +
��9<� *��� � ���� +� + �#����� ����� � ��� �����������(
$�% � � � ��� � � 4 ��� ��������� # � ��� �� �������� � � � �,
$% � � + ��� � � ��� ��������� # � ��� +� �������� � � � +�
�� ��� ���� ��� � ����� ��� ���� + � ��
�/)�)�����*��� )� �����)� ���(����)�*
��9�� *��� �� ��������� ��� ������� ���#������� �� ��� �� �� ��������� ������(
$�% � � � ��
+ 4 �+
�� ��
��
��� $% �
+ ��
2 �
" ��
��
��
0)/8� 79 :�/;&./3�</��&.( =�;=.>/3?=� /.: =�;=.>=0�&1� 5
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
9. Diagonalization: Eigenvalues and Eigenvectors
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��9'� *��� �� ��������� ��� ������� ���#������� �� ��� �� �� ��������� ������(
$�% � �
+ 6 ! ! !
! + ! ! !
! ! 4 + !
! ! 6 !
! ! ! ! 5
� �
������� $% �
4 �� ! ! !
� + ! ! !
! ! � !
! ! ! �
! ! ! !
� �
������� $�% " �
+ ! ! !
� 4 ! ! !
! ! � !
! ! � !
! ! ! ! 4
� �
������
��9.� 3� � �� � !
! + !
! ! �
��
�� ��� �
+ ! !
! + +
! ! �
��
��� ���� �� � ��� ���� �������� ��������� ���#�������
$��� �� ��� �� �������%� � ���� �� ���� ������� ���#������� ���� ���������� ������ ��# ���� �� ����������� ���#�������
��94� 3� � � �� �������� ����� ��� ���� �� � ! ��� ���� � � �� ���� �� �� � !�
��98� ���� �� � ����� � ��� �� �������� �� ���� �� ���� ������� ���#�������
��99� ������� � ��� �� �� ������� �� ���� ���#������ ��� ���� � ��� � ! ��� � ����� �� ���� �� � ��� �� ��������� ���#������ �� ��
��9:� ���� �� � �� � ����� ����� �� �� ��� ���# �� �� ������� ���#������ �� � �� !��� � � � ��
��9;� *��� � ����� � ����� ������� ���#������ ��( $�% � � 6�+ � "� � 2� $% �4 � 6� � +� � 5� � 4�
��9�� 3� � ��� ��� ���� � ���� ���#������� $������� ������� ���% �� ������� ������ ��� ���� � �� � �������� � ��� � ����� B���� �� ������� ���#������ �� � �� �������9
)�"���" �� *�����+��� �$ ���A��+"
/�������. ! � 0�� 0+� � � � ������ � ����� ��� ���� 0��0+� � � � �
��.;� � ��� � �+"�� � 6��+5� ���� � �4!� 7� �"6��+5�� � � � � "� !� 7� �� � � � �+� !� �6
��.�� �+ � �� 4� !� �� � � �� "� !� �� �� � �� +�� !� �� ��� � ���+� !� �
��4<� 3� � � +� �� � !� +� �� !� !� +� �� � � ��� ��� � � �� � � �+� � � �
��4�� *��� ����( $�% �+ � � � ��� $% �+ � +� � � � $�% � � 5�+ � "� � �
��48� $�% � � �� # � � � ��� � � �4� � � ��� +�� $% � � 4� # � �+� ���$�% � � ��� # � �+� ��� � � �6� � � �+� �� &��# � ��� " �� � ������������, ��� � � #� �
��49� $�% � � �� # � ��� ��� � � 4� � � ����+��$% � � #� ��$�% � ��� � �7��� � �+"� +� �" � +� 24"��+� 246� �4 "7!� 4 "7��$�% � 4
�� �
� � +
� 6
� �
2 :�/;&./3�</��&.( =�;=.>/3?=� /.: =�;=.>=0�&1� B0)/8� 7
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
9. Diagonalization: Eigenvalues and Eigenvectors
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��4:� $�% � � �� # � � ��+�� � � +� � � �+����� $% � � #� ��$�% � ��� � +��"� +� 7� �" � �!+�� �6 !� �6�!��5"4�$�% � � � 4
���+
� �"� "
���+
� +� +
���+
� 4�
���+
��4;� $�% � � �+� # � ��� �� !�� � � ��� !����� � � 4�+ � ��� �� +��$% � � +� # � ��� �� !�� � � �4� � � �!� �� ���$�% � � � # � ��� �� !�� � � ��� !� ��� � � ��+ � �+���� ��� &��# � ��� " �� � ������������, ���
� � #� ��+
��4�� $�% � � +� # � � ����� � � "� � � ��� ��� $% �� ���� �����������
��8<� @� ���� �����+ � 4����� � ! �� ��� ��+ � 4� � !
��8�� � � �� �� !� �
��89� $�% � � +���� ��� +� ���6
� $% � � �� �� ����� ���
+
� $�% � � ���� �� � ������!
�
��8:� $�% � � ��� # � ������ !�� � � ��� ���+�� � � +�+ � ��� �� ���$% � � �� # � �+� ������ � � �+�� � ��� � � ++�+ � ��� +� 4�,
.�������� #� ��+� � ������ �#� ��� �+� ��� �� � � �#� ��� �+� $0�!���. # ��� � ��� �� �������%
��8;� $�% ' � �4�� ��� ������5
� � ���� 4��� �����
�5
� &��� �� � 6�+ � �+�+�$% ' � � �� ��� �����
�!
� � ��� ��� ������!
� &��� �� � �+ � ���+
��8�� $�% ' � � �� +��� ������
� � �� � �+�� ��� �����
�
� &��� �� �� � �+ � 7�+ � 4�+�$% ' � 6��� *�� � )� � +��� +*�� � +)� � ��� *�� ����� ) � ��
���6
� � � ��
����� !
� * � ��
���"
,
&��� �� �� � +�+ � +�+ � 2�+
��9<� $�% � � �+6�� � � � 6� � �
+ ���� ��� �
$% � � �6�4��+� � +
��� � � ���
+ � 4
���
� +
���+
� +���
� +
���+
� ���
� 4
���+
� ���
�
��9�� $�% ���� � !��� � �� � +�+�� � "�� $% ���� � �� � +�+�� � "��!��� � �� � +��� � "�
��9'� $�% ���� � �� � +� �� � 5�+�!��� � �� � +�+�� � 5��$% ���� � �� � �6�!��� � �� � � �$�% ���� � �� � +�+�� � 4�+�� � 6��!��� � �� � +��� � 4��� � 6�
��9;� 3� � � �� �������� ����� B=������ 7��+$%9 ��� ��� �����( $�% �2��"� 6� � $% �4��5� +� 6�
��9�� )��( � �� � ��� �� ���� � � ��� � ���� ����� ���� � ! �� �� ������ �� ���� �� ���� ��� �� ������ �� � ����
0)/8� 79 :�/;&./3�</��&.( =�;=.>/3?=� /.: =�;=.>=0�&1� 7
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
10. Canonical Forms Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
������� �
���� �� �����
���� ����������
��� � �� � ����� ���� � � �� � ��� � � ����� ��������� �� ���� �� ������ �� � ��� �� ����� ������� ����� ������������ ������ �� �� ����� ������� � ������������ ��� ����� ����������� � ��� � � ��� � ����� !��� �� ��� ���� ��� � ���� ������ "� ���� ��� �� ����� ��� ������� ������� ������ ��� ��� ����� ��� #���� ��� ������ ���� �� ����
$� ����� ���� ��� ����� �� ��� #��� ���� �� ��� ����� � � �� ��� ��� �� ��� ��� ������ �������� ���� � � ��� ��� ��� �� �� ��� ���� ���� �� !��� �� ������ � � �� � �� ��� ����� ���� � � ���� �� �� � � �� � �� ��� ��� ���� ��
$� ��� ���� � ��� ���� � � ������� �� �� !��� �� � ��� ���� � ��� ��� ���� �� ��� �� ����� � ��� ������� � � ��� ����� �� ��� ������ ���� �� ����
���� ��� ��� � ����
��� � �� � ����� ���� � �� %���������� �� � ��� � �� & ���� � �� �� ��������� �� �������� �� �����
� ��'' �'( � � � �'
�(( � � � �(
� � � � � ��
����
����
!��� ��� ��� ������ �������� ���� � � �� � �� � � ����� �� ��) ���� ���
���� � ������ � �� � �� � �''��� � �((� � � � �� � ��!�� ����� �� ��� � � ��� �� �� ������� ����� *���� �� +���� ',�(-.�
������� ����� ��� � �� � � �� � ����� ���� ���� ��� ������ �������� �� �� ��� ��������������� !��� ���� ������ � ����� � � �� ��� � � �� ��������� �� � ����� ��������
������� ����� * ���������� ����. ��� � �� � �/ �� ����� ���� ��� ������ �������� �� ����� ����� ���������� !��� � �� ������ � � ����� �� ������ ����� ���� ������ ����������� ����� � � � ���� ��'�� �� ����� ���
01,
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
10. Canonical Forms Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
$� ��� ���� �� ���� � �� �� � ��� ��� ����� �� �� �� �� �� �� ��������� �� � ����� �������� 2�� ���� �� ���� ���� ��� �������� �� � � �� �� ����� ���� ������ �������� � ��� ������������ $� ���� �� ����� ���� � ���� ���3�
������� �� ��� � �� � �/ �� ����� �� ��� ����� ���� �� & ���� � �� �� �������� � � �(� &�� ��������
�
� ����
��� �� �������� � � ��
4� !���� ',�'� � ��� �( �� ������� ���� ������� � ����� �� ���� �� � ��� ��
� ��' 5 � � � 5
�( � � � 5
� � � � � ��
����
���� ��� �( �
�(' 5 � � � 5
�(( � � � 5
� � � � � ��(
����
����
&�� � ������ ���� �� ���� ��� ���� �������� ��� � � �(� � ��� �� ��� � �� �����
� �� � � ���
��
�� �� �������� �� ��
���� ��� �� ��
��� � �� � � �� ������ � � ���� � � � � �� ���� � �� ������� ���� � ��������� �� � ���� ���� ������� ����� �� � � � ������� � ��� � �� "� ���� ���� � ���� ��� � � ������ � ����� ���� � �)���� ��� � ��� �� � ����� ���� �� �� � � ������ �� �� ��� � � ��� � ���� � � ��
������� ��
*�. ��� � ��0 � �0 �� ��� ������� ����� ����� ��� � ����� �� � �� � � �� � ��� �%���� �� �� ����� �*���� �� 6��� ',%'.7
� ��� �� �� � �� � �� � ��� �� � ��� �� � � �� ��
8����� ���� �� � �� � � � ��� �� ,� �� ��� ��%����� � ������ �� � ��� ��� ������� � ) ��� � � ��� %��������� 8����� ��� ���� ��� �%���� � �� �������� ��� �� 6 ������ ��� ���� ��� � � � � ������� � �� � �� � ��� ���� �� ��� ��� ���� ��� � � � � �� ��� �������� ������� � ��
*�. 2�9� ������� �� � � ����� ���� � �� � � ��� �� ��� ���9�� �� ������� � � %��������'%���������� � ���� ��� 6 � ���� � ��� � ��� � � ,� !��� � � ��� � � ��� ��� '%���������� � ���� ��������� �� �� �� �������� ��� � �� � ��
� ���� � �� ��� � ����� � ��� � �
��������� � ���� ���� � ' ��� � � , ����� �� ��� � �� �������� ��� �� !��� � ��� � � ��� � � ��� �� �� ������ � �� ����� � ��� � ��� ��� � � �� �� ������� � � ��
!�� ���� ����� *���� �� +���� ',�0. ����� � �� ������� ���� � �������� � ���� ���
������� ����� ��� � �� � � �� ��� ����� ����� ��� ��� ��� �� ��� ��������� !��� ��� 3���� � �� � �� �������� ��� ��
0
W
y
z
x
U
T( )v
T w( )
θ
θ
v
w
��!� ��"�
���+� ',: ��282"��� 68;<& 01'
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
10. Canonical Forms Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
!�� ���� � ������� � �� ������ � ����� ������������ *+���� ''�=. �� ������
������� ����� & ���� � �� �� �������� � ���� � � � �� � �� !��� � ��� � �� 3 �����
������������ �
, !
� � ���� � �� � ����� ����������� � ��� ���� ��� �� � �
� ��
���# ��� �� �� �� ��"$� ���%�$�����$
� �� � ��� � � �� ����� ��� ���� � �" � � ���� �� �'� � � � ���� ������
� � �' � �( � � � �� ��
�� ���� �� � � � � �� �� ������ ��/ ��� �� ��� ��
� � �' � �( � � � �� ��� ���� �� � ��
!�� ������� ����� *���� �� +���� ',�>. �����
������� ���#� & ���� �'��(� � � � ��� �� � ���� �� � �� ��� � ����
�' � �''��'(� � � � ��''�� � � � � �� � ��'���(� � � � ����
��� ����� � �'��(� � � � ���� ���� ������� !��� � �� ��� ��� � � � � ��� �� �� ��� ����� ��� ��� � � �' � � � �� �� � ����� � ��
2� � ���� � �� � � �� ����� ��� � �� ��� ��� � � � � *��9�. � %�������� � ���� ���'��(� � � � ���) ���� ���
� � �' � � � �� �� ��� � ���� � ��� � � '� � � � � �
��� �� ����� ��� ���� ��� � � � ��� !��� � �� ���� � �� �� �"����#� ��� ��� ����� �� � �� ����� �� ��� ����� � �" � ��� ��� ������ � � �' � � � �� ��� ���� ��� � ���� �� �'� � � � ��� �� ���� ����� � � � �� � ��������� ���� ���" �� �"������ � ��
������ ��� ��� ��� ��� ���� �� � ���� �� � ��� � �� � �� ���� � �� � � ) ��� ��� � � (��� ��� � � 0 ��� � ���� �'� �(� ��� �'��(��0� �� ����� � � ��� �� ���� ������� "� �' ��� �(
����� ��� ���� ���� � � � � ��� �� ���� ������� ����
�'��'� � �''�' � �'(�(�'��(� � �('�' � �((�(
�(��'� � �''�' � �'(�( � �'0�0
�(��(� � �('�' � �((�( � �(0�0
�(��0� � �0'�' � �0(�( � �00�0
� ������� ��� ������� ���� �� ����$ �� ��� ����� ������������ � �'� �(� �� ���� ������7
� � �'' �('�'( �((
� � � �
�'' �(' �0'�'( �(( �0(�'0 �(0 �00
��
��� $ � � ,
, �
�
!�� �� 3 ������� ����� $ �� ��� �� ��� �� � ���� �'� �(��'��(��0� �� � ����� � � *!���� ',�1.���� ���� � ���� � �'���� ��� � ��%� � �(��%��
� �������9���� � ��� ���� �� ���� ����� � ��� ������� ������
������� ���&� & ���� � �� � � �� ����� ��� � ���� � �� ��� ��� � � � � � %�������� � ���� ������� �'� � � � ���� "� �� �� � ����� ����������� � ��� ���� ��� � � � ��� ���� � ���� ��������� �� ��� �� 3 ������� �����
$ � ������'��(� � � � ����
01( ��282"��� 68;<& ?���+� ',
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
10. Canonical Forms Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
���& %��� �' ���%�$�����
!�� ������� ����� ���� ���� ��� ���� � �� � � �� �� ������� ��� ����� ��������� � ��������� �� ���� � ��� ���� ���������� !��� �� ��� ��� ���� �� �������� � ���� ���� � ��
������� ���(� *%�����) �*��+�,����� �������. ��� � �� � � �� � ����� ���� ���� ���������������
"��� � '���' (���( � � � �����
���� ��� ���� �� ������ � ��� ��� ���� ���������� !��� � �� ��� ��� � � � �� %�������� � ���� �� �'� � � � ��� ���� �� �� ��� 3���� � ��� �� � <���� ����� ����� ������� �������� � ��� ���� ��� � � � ���
!�� ���� ��������� ����� �� ��������� ����� !������ ��� ���� � ��������� ����� �����*+���� ',�''. �� ��� ���� �� ������ *���� �� +����� ',�@ ��� ',�',� ���� ������.�
������� ���-� & ���� � �� � � �� ������ ��� � ���� ��� � &���'��� �� ��������� � � ���� �� � � � ��� &��� ��� '��� �� ��������� ����� !��� � �� ��� ��� � � � � ���� %�������� � ���� � � ��� �� ���� � � A� &�� � ��� � � A� '�� ��
������� ���.� "� !���� ',�>� �� ��� �� ��� ������� �������� � � ?��� &��� ��� '��� �� ��� :����� &��� ��� '��� �� ��� ������� ��������� � ��� ���� ���� � � � � ��� ������ �������
$� ���� ��� �� ��� ����� �� ������� ����� � ��� ��� ������� ��� �� ��� ���9���� ���������9���� ����� *��� +���� ',�'( � ��� ��.�
������� ���/� � ����� ���� � �� � � �� ��������9���� �� ��� ��� �� ��� ������� �������� "����� � �� � � ������ � ����� ����������
������� ���/� * ���������� ����. � ����� � �� ������ � � ������� ����� �� ��� ��� �� ���������� �������� �� � �� � � ������ � ����� ����������
������� �� & ���� � � � �� � �/ �� ����� � ��� � �0 � � � B������� ������ �� � �� ������ � � �������
����� �� � �� � ����� ��7 *�. ��� ��� ���� �� *��. ��� ����� ���� ��
&�� � �0 � � � � �� � 9� � ��� �������� ��� � �0 � ' � �� � '���( � � � '�� !�� ������� �������� "��� � �
���� �� � � '� ��� � � � � � ��� �
"��� � �( � � � ' "��� � �0 � '
&�� � ������ �������� �� � �� � � ����� ��������� �� �� � �� �� ��������9���� �� �� 8� ��� ��� ������� � � ��� ��������� �� � �� � � ������ � ����� ��������� �� �� ��� � � �� ��������9���� �� ��
���( ���%�� �� �% � ���$
� ����� ���� � �� � � �� ����� �#����� �� � � � � ��� ������� ������ ) �� ��� � ������� � �#���� � � � �� �� � � � � ���' � �� ����� ���� � �/ �� ����� � �� ����� �������� ��� � , � ��� ������� ������ � ��� � ����� � �� �� � , � � ���' � ,� ������ ��� ����� ��������� � � �������� ���� *�����. � ����� � �� "��� � �� ) ��� � , �� ��� ��� �������� ��
���+� ',: ��282"��� 68;<& 010
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
10. Canonical Forms Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
������� � !�� ������� �� �%�/ �� ���� �� ���� �� ��� �� �� ��� �����7
( � ( ��� �
, ' , � � � , ,
, , ' � � � , ,
��������������������������������, , , � � � , '
, , , � � � , ,
������
������
��� ) ��� �
� ' , � � � , ,
, � ' � � � , ,
��������������������������������, , , � � � � '
, , , � � � , �
������
������
!�� ��� ����� ( � ����� � )���� �#����� �#� �� ������ � '�� ���� ��� ������� * ����� ��� �������&��#.���� ,�� ��������� "� �� � �������� ����� � ����� �� *!�� ����� ( � �� ' �� C �� ��� '� ' 9� ����� ?,:�.
!�� �� �� ����� ) ���� ����� � )���� �#� � �������� � ��� �������� � �� ������ � ��� � ��� �������� '��� ��� � ���������� ��� ,�� ��������� 8����� ����
) ��� � �� � (
"� �� �� �� ���� ��� ���� ��� ����� ���� � �� �� �� ����� ��� ������ �� � � ��� � �� ��� � � � � � ������� ��� � �������� �����
!�� ������� *���� �� +���� ',�'�. �� � � ��������� �� �� � �������� ������
������� ������ ��� � �� � � �� � �������� ���� � ����� �� !��� � ��� � �� 3 ������� ���������������� �� ��� � �� � ������� ���� �� � #��� �������� �� 3 ( � !��� �� ������� �� ( � �� �� ��� ��� ��� ( �� � ��� ��� !�� � ��� � ( � �� �������� �� �� ��/ ��� ��������� �� �� !�� ���� � ��� � ( � ��� ��� �� �/ ��� ��� � ����� � ��
!�� �� � !���� ',�', ���� ���� ��� � ��� � ( � �� � �� �/ �� � ("� � "��' � "��'����� "� �� ��� � ����� � ���
���- 0�� � � ����� � ����
�� ���� � �� �� � � ��� #��� ���� �� �� �� ��� ��� ������ ��� ������� ����������� � ��� ����� ���������� !��� �� ������ � � �� � �� ��� ����� ���� �� "� ��� ���� �� �� ������������ ��� ���� ���� � � � ���� �� ��� � ��� ��� ������ ��� ������� ��������� � �� � ��� ������� ��) �� �� �� � ��� ������ ���� ���� ��� � #��� ���� �� ��� ����� ���� ���� ����� �������� � � ����� �� #��� ���� �� ���
!�� ������� ����� *���� �� +���� ',�'-. ��� ���� ��� )���� ��� �# ��" ) � � ��������� ��
������� ������ ��� � �� � � �� � ����� ���� ���� ��� ������ ��� ������� ��������� ������� �������
���� � �� � �'�' � � � �� � ���� ��� "��� � �� � �'�"' � � � �� � ���"�
���� ��� �� �� ������ � � ����� !��� � ��� � �� 3 ������� ����� ����������� ) ����� � �� � ������� ���� �� � #��� �� 3 )�% � ) ����� 6 �� � ��%� ��� ��������)�% ���� ��� ������� �������7
*�. !��� �� �� ����� �� )�% � �� "�) ��� ��� )�% �� � �� �"��
*��. !�� � � � ��� ��� � ��� )�% �� ��
*���. !�� � ��� � )�% �/ ��� ��� ������ � ������ ��� � ���
*��. !�� � ��� � )�% � �� � ������� �� �� ��/ ��� ��������� �� ��
011 ��282"��� 68;<& ?���+� ',
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
10. Canonical Forms Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
������� �� & ���� ��� ��� ������ ��� ������� ��������� � �� ���� � ��� ���� �������
���� � �� � (�1�� � =�0 ��� "��� � �� � (�(�� � =�0
!��� ��� #��� ���� �� �� � � �� �� � ��� ������� �� 3 ������� ���� ��7
����( '
, (
� �
( '
, (
� �
= ' ,
, = '
, , =
��
��
�
� ����
( '
, (
� � �(�� �(��
= ' ,
, = '
, , =
��
��
�
�
!�� ��� ����� � �� � ��� �� ����������� ������� �� �������� � ��� �������� � () ��� ��� �� �� ����� � �� � ��� ���� ����������� ������� �� �������� � (�
���. �'���� $1$% � $
��� � �� � ����� ���� � � �� � ��� � � � ����� �������� �� �� & ���� � � � ��� � � ,�!�� ��� � ��� �� �� � ��� �� �� ����� ���� ��� ����� �� ��� ��������� �� �� �� � � %��������� ���� � � � ����� ��� �� � #� ���� � � � &������� �� �) �� ����� �� �� *��� � � ��� ����� ������� ��� � � � *��� � � �� ��� 4� +���� ',�=�� �� �� �/ ��������� ����� *��� � � �� ��������� ��� � ��� � %�������� � ���� �� � � �������� ��
2� ����� ��� ��/ �� �
�� � ���� �(���� �0���� � � �
� ���� � � � ���� � �� ��� � �� ��� ����� ������ � � ���� ����� �� � ����� �������� � ���� �� ������ �� ��� �� �� ��� ��/ �� �) ����
����� � ����'���'��� � � � �� �'� ��� � �,�
"���� � �� � ���'���' � � � � �'� � �,
!���
�� ��� ��/ � ��� �������� � ����� ����� � ��� � "��� ���� � ,� $� ��� "���� ��� ����'�#���� � � �� *��� � ��
!�� ������� ����� *���� �� +���� ',�(@. �����
������� ������ ��� *��� � �� ��� "���� �� ������ �� ����� !���7
*�. !�� ��� �� � ���� � � � � ���'���� �� � ����� � *��� � �) ��� � ��� *��� �� � ��
*��. !�� ������� �������� � �� �� "�����*���. !�� ����� ����������� � �� �� ��� ���� ����� �� C �� ��� �"���� "�����
!�"�� � "����) ���� ���
!�"�� �
, , , � � � , ��,' , , � � � , ��', ' , � � � , ��(����������������������������������������, , , � � � , ����(
, , , � � � ' ����'
��������
��������
���/ � ���� � � ����� � ����
"� ���� �� ���� �� ������ ��� ������ ���� �� �� � � ����� ���� � �� � �� $� �������9����� ���� �� ������ ���� ���� ��� ������� �������� ���� �� �� ��� ��� ����� ���������� *;� ������� ���� �� �� ��� ��� � ��� #��� ���� �� ���.
���+� ',: ��282"��� 68;<& 01=
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
10. Canonical Forms Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
����� ������ ��� � �� � � �� � ����� ���� ���� ������� �������� �� ��� ���� ��� �� ���� ��� ���� ��������� !��� � �� ��� ��� � � �
� � *��'� � � � � � �� *���� � �� � % � �� � ���� �� *���� � � ���� �������� � %����������
���' � ���( � � � � � ���� � � ' � ( � � � � � �
��� ��� �� ������� � � ��� � % � �� � ���� �� ��� ��� ���� � ��� � ������� ��� ��� ���� ��� � � %�����������
$� �������9� ���� ��� ���� ����� *���� �� +���� ',�0'. ��� �� ��� ���� ��� �� �� �� ���� % � �� � ���� �� *���� � � �� ��/ ��� ��������� �� � ) � � �� ��� ��� ���� ��� ��� � � %���������� �� ��/ ��� ��������� �� �� !� � � ��� � ��/ � �� 3 ������� ����� �����������
$ � �����!'�!(� � � � �!������ ��� !� �� ������ ���� ��� "� �� �� ��� !� �� ��� ������ ���� �� � ��� ��������� ���� �
D���� ��� +���� B� ������� !���� ��� ����� ',�'0� �� ����� ��� ������� �� ���
������� ����#� ��� � �� � � �� � ����� ���� ���� ������� ��������
"��� � '���"' (���"( � � � ���"
���� ��� ���� �� ������ � ��� ��� ���� ���������� !��� � ��� � ��/ � �� 3������� ����� �����������
$ � �����!''�!'(� � � � �!'�'� � � � �!'�!(� � � � �!�
����� ��� !�% �� ������ ���� ��� "� ���� ��� ��� !�% �� ��� ������ ���� ��� ��� ��������� �����% � ����
"' � '' � '( � � � � � '�'� � � � � " � ' � ( � � � � � �
!�� ���� ����� ����������� � � �� ����� ��� ������# ��� �# ��"� !�� ��������� �����% �� ����� ��� �#�"����� ������ � ��
������� �� ��� � �� � �� � ��� � � �������� - �� ��� ������ ���� 2� ��� ��� � �� � ����� ���� � � ����
������� �������� ��
"��� � '��� (���( � ��1 � 1�0 � ��( � 1� � >��� � 0�(!��� ��� ������ ���� �� �� $ � � � �� ���� �� �� 3 ��� ������ ����� � '��� ��� �� �� 3 ��� ������ ����� � (���(� !��� �� �� ������������7
*�. �����!��1 � 1�0 � ��( � 1� � >�� !��� � 0�(�� !��� � 0�(��*�. �����!��1 � 1�0 � ��( � 1� � >�� !��� � 0�(�� !�� � 0��!�� � 0��!��� ���
*�. ����
, , , >
' , , 1
, ' , ��
, , ' 1
����
�����
, �@
' �
� �
, �@
' �
� ���
��� � *�. ����
, , , >
' , , 1
, ' , ��
, , ' 1
����
�����
, �@
' �
� � �0�� �0�
���
���
����� 2��� �� $% � $
��� � �� � �� � ��� � �� � ���� � ��� ��� � �� � � ���� � � �� "� � �� ��� �� � �� �� �� ������ � � ��� ��� � � �� �� � ���� � � � ) ���� ���
�� � � �� � � � � � �!���� ���� �� ����� ��� ��� � � �� �� $� ��� *+���� ',�((. ���� ����� ���� ������� � ���� � ���� ���C��� � ������
01� ��282"��� 68;<& ?���+� ',
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
10. Canonical Forms Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
������� �� ��� � �� ��� � ���� � � �( ������ ��
� � ��� �� � � � ������� ��� � �� ��� ���� ����� �� ��� �/ ���� � � � � ,� $� �� ������ � �� � ��������� � ��� ���� ������� �� ������ ��� �� � � ��� � ���� �� �� �� ���� �� 6��� ',%(� ��� ��� �� � �� ��� ������ ��� �� �� ������� � �� !� � ��� ���� � � �� �( ���� ����� ��� ��� ����� ������� � ��
"� ��� ������� ������ �� �� ��� ���� � �� ���� � � � � �� � ��� � � � ����� � ��� �� ���� �) �� �� ����� ��� ������� �� � � � �� �� ��� �������� �� ����
������� ����&� ��� � �� � � ���� � � � �� � ��� � �� � ���� � � !��� ��� ���� � � �� � �� ��� � ��� � �� � ���� ��� ������� ������� � ������� ��� � ��� � ������ ����7
��� �� � �� � ��� � � � �� � �� � � � ���� ��� � � � � �� � � � ���� � � �
$� ��� ����� �� ��� �� � !���� ',�'= *+���� ',�(1.� �� �� ��� �� ����� � ��� ���� ���������� �� ���� ������) ���� ��� ������� � � � � �� � � ��� �� � � �� � �� ����
��� �� � �� � � � ��� � ��� � � ��� ���� �� � � � ��� � � � ��� � � �
"� ��� ��� � �� �������� � ���� �� �� ���� ��� ������� ��� � �� �� *���� �� +���� ',�(>.�
������� ����(� & ���� � �� � � ���� � �������� ��� � ����� ���� � �� � �� !��� � ��� �� ������ ���� �� � ��� ������ �� ����� � � � � ��� � �� <���� �� � �� � 9�� ��� ��������� ���� � �� �� � !� � ��� ������� �������� � �� ������� ��� ��������������� � ��
$����3 %��4���,
��� �� �� $1$% � $
����� & ���� � �� � � �� ������ &�� ���� �� � � ��� ������� �� �������� ��� � 7
*�. ,�� *�. �� * . 3���� � �� *�. ����� � ��
*�. $� ���� � �,� � , � ,�) ��� � ,� �� �������� ��� ��
*�. 6 ���� � � � � � ��� � �) ��� � � �� �������� ��� ��
* . ��� � � A� � � !��� � ��� � , � A� � ��� � ��� 3���� � � �� � � ���� � � �� !� � A� � �� �������� ��� ��
*�. &�� � � ��� � "� � � ���� � � �� �� �� ������� � � ���� � � "� � � ��� � ��� ����� � � �� �������� ��� ��
����� & ���� ��� �� � ��� ��� � � %�������� � ���� �� � � �� � ��� � �� &�� ���� ��� ������ ���� � �
� �� �� ��� � %���������
& ���� � � � ) ���� � � �� � ���� �� &�� � �� �� � %��������� � ��� � �� � ���� �� !� � � ��� � �
��� � � �� � %���������
��!� ��"�
���+� ',: ��282"��� 68;<& 01>
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
10. Canonical Forms Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
����� +�� !���� ',�(7 ��� � �� � � �� ������ 6 ��� �������� ���� ��� 3���� � �� � ���������� ��� ��
& ���� � � A� �� �� ����� �� ���� � ,� $� ���� � ��� ���� � ��� ��� ������ � ��� 3���� � �� ������� �� ��� ���� � � �� � � � ���� � ,� &�� � ���� � � ���� �� ���� �� � � � � � � �� �� !� �� �� �/ ����
� �� � � � ���� � �� � �� ����� � � � �� ����� � � �,� � ,
���#� 6��� ��� �������� � ���� �� � � � ( �=
' �(
� ������ �� �� ���� � �(�
4� +���� ',�'� �( ��� ,� �� �������� ��� �� 2� �� � ��� ��� ��� �������� � ���� �� �� � �� ��'%����������� ������ ��� ��� ������ �������� � � ��
���� � �( � ���� � � ��� � �( � '
��� � � ��� � �������� �� *�� �. ��� � � ��� � ������� ��� 4 � ��� '%���������� �������� � ���� �� ����� � ��� ������� ��) �� � �( ��� ,� �� ��� ��� � ���� �� �������� ��� ��
���&� +�� !���� ',�07 & ���� � �� � %��������� !��� � ��� � ����� �� �� 3 ������������ �
, !
� ���� � �� ��� ����� ����������� � ��� ���� ��� �� � � � ��
$� ��� � ����� �'� � � � ���� � � ��� ������ �� � � ����� �'� � � � ���� �'� � � � � �� � �� $� ����
�� ��'� � � ��'� � �''�' � � � �� �'���
�� ��(� � � ��(� � �('�' � � � �� �(���
����������������������������������������������������������
�� ���� � � ���� � ���' � � � �� �����
� ��'� � �''�' � � � �� �'��� � ''�' � � � �� '�
� ��(� � �('�' � � � �� �(��� � ('�' � � � �� (�
��������������������������������������������������������������������������
� ��� � �'�' � � � �� ���� � '�' � � � �� �
4 � ��� ����� � � �� ���� ����� �� ��� ������� � ��� ����� � ��� ����� �� ��� ���� ������ � �/ �����
*&� ��� ��(.� !����� �� ��� ��� ��� �
, !
� ���� � �� ��� ������� � ��� ����� � ��� ����� � ���
��� � � �������� 4� ��� ���� �� ����� � �� ��� ����� � �� ������� � ��� ����� ��� � ��
���(� ��� �� ����� ��� ���� ��� � �� ���� � � �� �������� � ���� � �� +��7
*�. 6 ��� �������� ���� � �� ���� � �� �����*�. !�� ������� �������� � �� ������� ��� ������� �������� � ��
*�. "� ��� � , �� ��� �� � ������� ����� � ����� '� ���� ��� �� �� ����� �������� �� ��� � � ' ��� ���� ��� �� �� ���� � ��������� � ����� ���� ���� � & ���� ����
��� � �� � ��'��' � � � �� �'� � �,
� �� ���� � ���� � ��'
���' � � � �� �,� ����� ��
���'�� �� ���� � ���'���' � � � �� �,� ����
� ����'��� ���� � ���'��' � � � �� �,� ���� � �� ����
!���
*�. ��� "��� ����� ��� ������� �������� � �� !��� �� *�.� "� �� ���� � "�� ���� � ���� � , � ����� � � ) ���� ��� �� �� � 9� � ��� �������� "���� ��� � ��� ������� �������� � �� ������� "����
01- ��282"��� 68;<& ?���+� ',
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
10. Canonical Forms Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��� �� �� �� ��"$� ���%�$�����$
���-� +�� !���� ',�17 & ���� �'��(� � � � ��� �� � ���� �� � � ���� ���� ���� �����
�' � �''��'(� � � � ��''�� � � � � �� � ��'���(� � � � ����
�!��� � �� ��� ��� � � � � ��� �� �� ��� ��� �� ��� ��� � � �
� �� �� � ����� � ��
& ���� � �� � ����� � �� !���� � ��� � � ��
� � �''�'' � � � �� �''�''
� � � � � ��'��' � � � �� ������
� �' � �( � � � �� ��
���� �� � ��'��' � � � �� ������
� ��� $� ���� ��� ���� � � � � � �� ��/ �� & ����
� � ��' � ��
( � � � �� ���� ���� ��
� � ��
&�� � ��'� � � � ����� �� � ����� � ��� ��
� � ��'��' � � � �� ������
� ��� �
� � �''�'' � � � �� �''�''
� � � � � ��'��' � � � �� ������
&�� � � �� � ����� � � � ��% � ��%� � �� � � ��� �� � %� ��� � �� � ���� ��� � ��� � � � � �� ��/ ��
� ������� � �� ��� ��� � � � � ��� ����������� � � ���� � �� ��� ��� � � � � ��� ��� !��� � ��� � � �� � � �' � � � �� ��� ����
�� � ��� &�� � ��%�� �� � ����� � ��� �� � �� �� � ����� �������� � ��� ��%�
� ��� � � �� � ����� �������� � ��� �������� � �� !� � � ����� �� $� �� ��� ���� � �� ������� ������������ & ����
�''�'' � � � �� �''�''
� � � � � ��'��' � � � �� ������
� ,
2�� ���� ��'��' � � � �� ������
� ��� $� ��� ���� ���� , � ,� , � � � , � ��� &�� � � � � � � � , �� ��/ ��
��'��' � � � �� ������
� , � � � '� � � � � �
!�� ���������� � � ��� ����� ��%�� ����� ���� ��� ��� ��� �� ,� !� � � �� ������� ������������ ��� ��� � �� �
����� � ��
���.� & ���� � �� � � �� ����� ��� � ���� � � �' � �( ���� ���� � � � � %�������� ��� �%� ��� ������� � � � � �� &�� ����7
*�. "��� �� ��� ����� ��� � ������ � "'��� ��� "(���� ���� "���� "'���� "(��� �� �������� � ��������� � � � �'� �(� ���� �������
*�. ���� � �'����(���� ���� ������'���� �(��� �� ��� ��� ������ ��������� � � � �'� �(����� �������
*�. 4� +���� ',��� �� � � "'��� ��� "(��� ������� "���� 2� � ���� ��� �� � � ������ � ��� "'��� ���"(���) ���� ��'��� � � , ��� ��(��� � � ,� ��� � � � ) ���� � � � � � ���� � � � ��� � � �� 2�
�� �� � �� �� � �� �� � ��'�� � ��(�� � ,� , � ,
!��� ��� � �� � 9� � ���� ��� � "��� ������� ���� ��� � "��� �� ��� ����� ��� � ������ � "'��� ���"(����
*�. 4� !���� ',�=� � ��� � ����� ����������� $ � � ,
, �
� � ���� � ��� � �� ����� ��������%
���� � �' ��� �(� ���� ������� !���� �� �/ ����
���� � ��� � $ � � �� � � ,
, �� � �
�������� � ��� � ����� � �� � �'����(���
���/� +�� !���� ',�>7 & ���� � �� � � �� ������ ��� � ���� ��� � &���'��� �� ��������� � ����� �� � � � ��� &��� ��� '��� �� ��������� ����� !��� � �� ��� ��� � � � � ��� � %��������� ���� �� � ��� � ���� � � A� &�� � ��� � � A� '�� ��
���+� ',: ��282"��� 68;<& 01@
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
10. Canonical Forms Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
2�� ��� ���� � ��� � �� � %�������� �� !���� ',�(� 2�� ��� � &��� ��� '��� �� ��������� ��������� ����� ��������� ���� ��� ��� � � ����
����&��� � ���'��� � '
��� �� � ��� ���� � � ��� �&�� � � �� �'�� � � � �5�
��� � � � � ����� �� �5�� � � ��� �&�� ��� �� �'�� ��4 � ��� ��� ��� �� ���� � � ������ � � � A� '�� �� ��� �
'�� ���� �&�� �� � ��� �&�� �'�� �� � ��� � �� �� � ��� ��� � ,
&�������� ��� �� �� ��� ������ � �� ��� � � �� ��� � � � � ��� ��! ��� ���� � � � � �� �� � �� ��� ���� � � � � � � � � ���� � � � � � � �� �� ��/ ���
��������� �� �� �������� ��� ���� ��� �&�� � � � � � � � ��� ���� &�� �� � ,� �� �����
��� �&�� �� � ��� �&�� �� � ��� �&�� �� � ��� �&�� ������ �������� �5� � � ���� ��� ���� '�� �� � ,� �� �����
� � ��� �&�� �� � �� �'�� �� � ��� �&�� ��4�� � ��� ���� �� ��� ���� � � � ��� �&�� ��� ��� � � �� ��/ ��� ��������� �� �� &������� � �� ��/ ��� ��������� �� �� ��� � � � � � �� �� �/ ����
������ +�� !���� ',�-7 "� !���� ',�> *+���� ',�@.� �� ��� �� ��� ������� �������� � � *���&��� ��� '��� �� ��� .� ���� &��� �� ��� ������� �������� � ��� ���� ��� �' � � � � ��� '����� ��� ������� �������� � ��� ���� ��� �( � � � ��
��� "'��� ��� "(��� �� ��� ������� ��������� � �' ��� �(� ���� ������� 2�� ���� &��'� � , ���'��(� � , �� � �� � � A� &�� � ��� � � A� '�� �� !� �
"'��� ������� &��� ��� "(��� ������� '��� �'�4� +���� ',�@� ��� �� ��� ����� ��� � ������ � "'��� ��� "(���� 4 � "'��� ��� "(��� �� ������������� ��� � &��� ��� '��� �� ��������� ����� � ������� ��� � "'���"(���� $� ��� ���� ���� ��� � &���'���� !���� �� �/ ����� ������ ���� *'. ��� ��� �� � ���� ��� ��� ��������� �� ��� ����� ���� &��� � "'��� ��� '��� � "(���� �� �/ ����
������ +�� ��� +���� B� ������� !���� ',��7 ��� � �� � � �� � ����� ���� ���� ���������������
"��� � '���' (���( � � � �����
���� ��� ���� �� ������ � ��� ��� ���� ���������� !��� � �� ��� ��� � � � � � %��������� ���� �� �'� � � � ��� ���� �� �� ��� 3���� � ��� �� � <���� ����� �� ��� ������� ��������� ��� ���� ��� � � � ���
!�� �� �� �� ��� ��� � �� !�� ��� � � ' �� ������� & ���� ���� ��� ����� ��� ���� ���� �� � '� 4� !���� ',�>� �� �� ���� � �� ��� ��� � � � � � %�������� � ���� �� �' ��� �'� ���� �' ����� 3���� � '�� �' ��� ���� �' �� ��� 3���� � (�� �( � � � ��� �� � 4� !���� ',�-� ��� ���������������� � ��� ���� ���� � � � �' ��� �' �� '���' ��� (���( � � � ������ ���� �������
B���� ��� ���� ��� � � � �' �� ��'� 4� ��� ��� ���� ���������� �' �� ��� ��� � � � � � ���� ���(� � � � ��� � � ���� �� �� ��� 3���� � ���'�� ��� � � ���� ����� �� ��� ������� �������� � ������� ��� � ��' � ��� 4 � ��� 3���� � ��� �� � � � � (� � � � � � �� �� ������� ������� �� �'� ��� � �����
������� (���( � � � ����� � !� � ��� 3���� � ��� �� �� ��� ���� �� ��� 3���� � ���'�� � ��� � �� ��� ���� ������� ��� � � � �� �� ��� ���� �� ��� ���� ��� � ��' � �� *� � � (� � � � � �.) ��� � ����� �� ��� ���������� �������� � ��� ���� ��� � � � ��� !� � � � �' � �( � � � �� �� �� ��� ������ �� �%������ � ��
0=, ��282"��� 68;<& ?���+� ',
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
10. Canonical Forms Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
������ +�� !���� ',�@7 � ����� ���� � �� � � ��� � ������� ����� ����������� �� ��� ��� ����� ������� ������� "��� �� � �� � � ������ � ����� ����������
& ���� "��� �� � �� � � ������ � ����� ���������) ����
"��� � �� � �'��� � �(� � � � �� � ���
���� ��� �� �� ������ � � ����� 4� ��� +���� B� ������� !����� � �� ��� ��� � � � � � ���� ���'� � � � ���� ���� �� � A��� � ��� �� !� �� �� � � ��� ���� �� � ��� ���� � , � ��� � ���� "� ��� �������� �� � �� �� �� �� ������� � �������� � ��� �������� � ��� 4� !���� ',�1� ��� ��� � ����� ��'� � � � ��� �� � ����� � �� !��� ����� ������ � ������� ��� ��� � � �� ��������9�����
��������� � ���� � �� ��������9����� ����� � ��� � ����� �������� � ������� �� � �� ��� �'� � � � � �
�� ��� ������ � �������� �� � �� !��� ��� ����
�� � � �� � �'� ��� � �(� � � � � �� � �� �
���� �� � ����� �� � ��� ,� !� � �� � � ,� ��� ��� � ��� ������� �������� "��� � � ������� �����������
��� � �� � �'��� � �(� � � � �� � �� �
� ������� "��� �� � �� � � ������ � ����� ����������
���%�� �� �% � ���$5 0�� � � ����� � ����
������ ��� � �� �� ������ & ����� � � � �� ����� � , � � ���'��� � ,� +��7
*�. !�� ��� + � �� � ���� � � � � ���'���� �� ������� ������������
*�. !�� � ���� � � �������� �� + �� � %���������
* . !�� ���� ��� �� � � � � �� �������� � ����� ��
*�. ;������� � ��� ����� ���'���� � � � � � ���� �� � �� ��� ����� � � �� ��� �%�/ �� #����������� �� 3 (� � ����� � *��� E������ ',�=.�
*�. & ����
��� �'� ��� � �(�(��� � � � �� ���'�
��'��� � , �5�
�������� ���' � �5� ��� ���� ����� � ,� �� ����� ����'��� � ,) ��� � ���'��� � ,� � � ,� 2��������� ���( � �5� ��� ���� ����� � , ��� � � ,� �� ���� �'�
��'��� � ,) ��� � �' � ,� 2����������� ���0 � �5� ��� ���� ����� � , ��� � � �' � ,� �� ����� �(�
��'��� � ,) ��� � �( � ,������ ��� ���� � ���� �� ��� ���� ��� ��� ��� �� ,) ��� � + �� ������������
*�. ��� � � �� !���
� � ��� �'� ��� � �(�(��� � � � �� ���'�
��'���
D���� ����� � ,� �� ���� ����
� ��� � �� ��� � �'�(��� � � � �� ���(�
��'��� � �
!� � � �� � %���������
* . 4� ��������� ����� � ,� ��� �� � � � ,� � � � � � � '�
���������� � ������� � ,
!��� ��� �������� ��� � �� � ������ � �� �� ����� ,) ��� �� ��� � � ��� � �� �� �������� � ����� ����� �� 8� ��� ��� ����� ����'��� � ���'��� � ,) ��� � � �� �������� � ����� ��� ��� ��
���+� ',: ��282"��� 68;<& 0='
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
10. Canonical Forms Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
*�. 6 ��� ����� ���'���� ���(���� � � � � � ���� �� � ��
�� ����'���� � ����� � ,�� ����(���� � ���'����� ����0���� � ���(����������������������������������������������������������������������������������� �� ���� � � (����� ��� � � ���
��� �� �� �/ ���� ��� ����� � � �� ���� ����� �� ��� �%�/ �� #��� �������� �� 3 (� �
����#� ��� � �� � � �� ������ ��� � � A� �� ��� � � A� ���'� &�� ����7
*�. � � �� *�. � �� � � � �
*�. & ���� � � � � A� ��� !��� ����� � , ��� � ���'��� � � ������� � � �,� � ,� !� �� � A� ���' � �� 4 � ���� �� � � � ���� � � � ) ��� � � � ��
*�. &�������� �� � � � � A� ���'� ���� ���'��� � ,� !� � ���'��� � ���� ���� � ���,� � , ��� �� �� � � � �
����&� ��� � �� �� ������ ��� , � A� ���(� - � A� ���'� * � A� ��� !����� *+���� ',�'1.�, � - � *� & ����
�'� � � � � ���� �'� � � � � ��� �'� � � � � ��� �'� � � � � ��� �'� � � � � ���'� � � � ������ ����� � , � - � * ���� ������� &�� ����
+ � �'� � � � � ��� ���'�� � � � � � ������� ������� �� - ��� �� ������� ������������
4� +���� ',�'1� � �*� � - � ��� ��� � + � - � 2� � ���� + �� ������� ���������� !��� ���� ������� ������
�'�' � � � �� ���� � �'� ��'� � � � �� ��� ���� � ,
���� �� ����� �� ��� ���� �� �� 9�� 6 ������ ��� � ��� �� ������������ �� ����� �� � ��� �� � �� ����9�� !��������� �� ���
�'� ��'� � � � �� ��� ���� � ��'�' � � � �� ���� � , � A� ���(
��� � ���(��'� ��'� � � � �� ��� ����� � ,
!� � ���'��'�' � � � �� ����� � ,� ��� � �'�' � � � �� ���� � - � A� ���'
&�� � ��� �%� �������� -� �� ����� � ������ ���� ��� ��� �%� �� ���� �� � ��� ��� ������ ����� �� ���� �� � �� �� 9�� !��� ����� �� ��� �� � ���� ��� �%���� �� ������������ ��� � + � �� ��� �� ������������
����(� +�� !���� ',�',7 ��� � �� � � �� � �������� ���� � ����� �� !��� � ��� � ��/ � �� 3������� ����� ����������� �������� � #��� �������� �� 3� (� !��� �� �� ����� �� ( ��� �� ��� ��� ��� ( �� � ��� ��� !�� ���� � ��� � ( � ��� ��� �� �/ �� � ��� � ������ ��
& ���� ��� � � � ��� �' � A� �� �( � A� �(� � � � ��� � A� �� � ��� � ��� "� � ��� ��� �� � '� � � � � �� &�� � � �� � ����� �� �� � � ��� ���' � � ��� � "��' � "� � � 4� +���� ',�'1�
�' � �( � � � � � �� � �
!� �� �� ��� ���� �� �� ��� � ����� �'� � � � � �� � � � � ���� �'� � � � � �"�� �� � ����� � ���
$� �� ��� � ��� ����� � � ���� ���� � � ��� � � ��� ��� ������ ��� "� ���� �� �������� ������ ��� ������ � ���� ��� ����� �� ���� � ���� ��� $� ����� �� �������
��'� �� � �"��'�'� ��(� �� � �"��'�(� � � � � ��"� � "��'� �� � �"�
0=( ��282"��� 68;<& ?���+� ',
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
10. Canonical Forms Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��� �������
��'� � � '� � ���'� ��� ��(� � � '� � ���(� ��� � � � � ��"� � "��'� � � '� � ���"� � "��'� ��
4� ��� �� ����� ������
+' � �' � � � � �"��(� ��'� � � '�� � � � � ��"� � "��'� � � '��
�� � ������� ����������� � ���� � ���'� $� ������ +' � � ����� � ���' �� ��C����� ��� �������� *���� �����.� ��� � �� ����� ��
��"� � "��' � '� � � '�� ��"� � "��' � (� � � '�� � � � � ��"��' � "��(� � � '�
2��� �� ���
��'� � � (� � ���'� � � '�� ��(� � � (� � ���(� � � '�� � � � �
��"��' � "��(� � � (� � ���"��' � "��(� � � '�
����� �� ��� �� ����� ������
+( � �'� � � � � �"��� ��'� � � (�� � � � � ��"��' � "��(� � � (��
�� � ������� ����������� � ���� � ���(� ��� � �� �� ������ � � ����� � ���( �� ��C����� ��������
��"��' � "��( � '� � � (�� ��"��' � "��( � (� � � (�� � � � � ��"��( � "��0� � � (�
����� ��� �� ���� ������ �� ��� � ��� ����� � �� ��� � � �������� ����� � �� ����� �� �����7
��'� �� � � � � ��"� � "��'� ����'� � � '�� � � � � ��"� � "��'� � � '� � � � � ��"��' � "��(� � � '�
�������������������������������������������������������������������������'� (�� � � � � ��"� � "��'� (�� � � � � ��"��' � "��(� (�� � � � � ��"( � "'� (���'� '�� � � � � ��"� � "��'� '�� � � � � ��"��' � "��(� '�� � � � � ��"( � "'� '�� � � � � ��"'� '�
!�� ���� � ��� � ����� � �'� ��� ���� �� �� �� � ����� � �(� �� � 4 � ���� �� ������� � ��� ���� � ���� �� � �� � ��� ��� �� � ����������� ���� �� �� ��� ����� ��� , �� ��� �� � �� �� ������� �� !��� ���
����� %� � ���� % � '� � % � '
, � % � '
�
2� �� �� ��� ?��� +���� ',�'0*�.: ���� � ���� ���� ��� ������ �� �� ��� ���� %� �� �������� ����� ����7 ��������� ���� ��'� '� ��� ����� � ��� ��� � �� � ��'� ��� ���� C ����� � ��(� '���� ����� � ��� �� �� � �� �� �� �� �������� �� �
<���� ���� ���� �� ��� ��� "� � "��' ������� ������ � �� �� ���� ���� ���� ��7
�"��' � "��(� � �"� � "��'� � ("��' � "� � "��( ������� ������ � �� � � '
�������������������������������������������������������������������������������("( � "' � "0 ������� ������ � �� (
("' � "( ������� ������ � �� '
�� �� �� ��� �� ��� ��� �� ��� ������ "� ���� ��� ��� � ��� � ���� "'� � � � �"� �� ��/ ��� ����������� �� ��� � ��� � ������� ������ � �� � �� �� ��/ ��� ��������� �� �� 6������� ��� ��������
"' � �"� � "��'� � �("��' � "� � "��(� � � � �� �("( � "' � "0� � �("' � "(����� ���� ��� � ����� "' � � �� ��� ���� � ��� � ������� ������ � ��
���+� ',: ��282"��� 68;<& 0=0
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
10. Canonical Forms Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
����-� ��� � �
, ' ' , '
, , ' ' '
, , , , ,
, , , , ,
, , , , ,
������
��������� � �
, ' ' , ,
, , ' ' '
, , , ' '
, , , , ,
, , , , ,
������
������� !�� ���� �� ����� ���� � ��� � ��
��� �������� � ����� 0) ���� ��� �0 � , � � �( � ,� ��� �0 � , � � �( � ,� 6��� ��� ������������ �� $� ��� $� �� ���� �� �� ���� �� ������ � � ��� �� ���� �������
&�� � � ��� � �� �������� � ����� 0� $� ��� $� � �� �� � ����� � #��� �������� �� 3 � �� 0���� ��� ����� ���� 0� 2�� ���� ��3��� � ( ��� ��3��� � 0� � � �������� � =� ( � 0 ���� �������� � =� 0 � (� !� � $� � �� ����� 0 ������� �� 3�� ��� � � �� �� �� � �� 0 ��� ��� �� ') ��� $� � �� ����� ( ������� �� 3�� ��� � � �� �� �� � �� 0 ��� �� � �� (� 2������
$� �
, ' , , ,
, , ' , ,
, , , , ,
, , , , ,
, , , , ,
������
������
��� $� �
, ' , , ,
, , ' , ,
, , , , ,
, , , , '
, , , , ,
������
������
����.� +�� !���� ',�'' � ��� #��� ���� �� �� � �� ���� ��
4� ��� ����� �� ������� ������ � �� �� ������� ��� ����� �'� � � � � ��) ���� ���� � �' � � � �� ��� ���� �� � ���"� �� ��� ������� �������� � ��� !� �� �� ���� ���
��' � �'� �"' � �� � � � � ��� � ��� �"� � �
&�� (� � �� � ��� � !���� � � � '� � � � � ��
�� � (� � ��� � ���� ("�
� � �
!��� ��� �� �� ��� � � � ��� � ��� ���� ��� ��� � �������� ���� (�� ��� � �� � ����� "� ��� � �� � ���"��� ��� ������� �������� � ���
2�� �� !���� ',�', � �������� ������ �� �� ��� � ����� � ���� (� �� �� ���� �� ��� "����� ������ �� � (� � ��� �� ��������� �� � �� 3 ������� ����� $� ���� ������� ������ �� ��� ���� ��)�%� !�� ��� � � � ) � ��� ���� �� $� �� �� #��� ���� �� �� ���� �� !���� ',�=� �� � ���������������� � ��
������� �� � �� ��� ���� ��� �� 3� )�% ������� ��� �/ ��� �������� +���� *�. ����� �� ��� �� ����� (� �� � ����� "�� +���� *��. �� � � ��� � � ��� ) ���� ��� ���� ��� ������ ��������� +���� *���.�� � � ��� � ��� � ����� � (� � �� � ��� �� �/ �� � ��� ������ � ������ ��� � ��� �������� � ��� +����*��. ����� �� ��� �� � ���� ��� �� ��� ��� � ��� (� �� ��/ ��� ��������� �� ��
����/� B������� ��� ������� #��� ���� �� ��� ) � � ����� ���� � �� � � ���� ��� ��%���� �������� ���� � �� � (�= ��� ���� ������� �������� "��� � �� � (�(�
) � �� �� � =� = ������ ��� � ���� ��� ����� =� ��� ��� ������� �������� � �� �� (� ��� � ( �� ��� ����������� �� <���� ��� � ��� ������� � � � ( �� "��� �� (� ) � �� ���� �� #��� �� 3 � �� (� ������ ���� � �� �� � �� ( '� !� � ���� �� ��� �� ������������7
) � ����( '
(
� �
( '
(
� � �(�
� � ) � ����
( '
(
� � �(�� �(�� �(�
� �
������ B������� ��� ������� #��� ���� �� ��� � � ����� ���� � �� � � ���� ��� ������ �������� ���� � �� � (�0�� � =�(� "� �� � ���� ��� ��� ������� �������� "����
0=1 ��282"��� 68;<& ?���+� ',
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
10. Canonical Forms Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
&�� � � � ( ��� ������� 0 �� ����� ( � �� ����� ���� ����� � ��� �������� &�������� = � �� �������� �� !� � ���� �� ��� ������������7
*�. ����
( '
( '
(
��
��� = '
=
� �
� � *�. ����
( '
( '
(
��
��� �=�� �=�
�
� �
* . ����( '
(
� � �(�� = '
=
� � �� *�. ����
( '
(
� � �(�� �=�� �=�
� ��
*�. ���� �(�� �(�� �(�� = '
=
� � �� * . ������(�� �(�� �(�� �=�� �=��
!�� ������� �� ��� ������� �������� "��� �� �/ �� � ��� ��9� � ��� ������ �� 3� !� �7
*�. "��� � �� � (�0�� � =�(� *�. "��� � �� � (�0�� � =�� * . "��� � �� � (�(�� � =�(�*�. "��� � �� � (�(�� � =�� *�. "��� � �� � (��� � =�(� * . "��� � �� � (��� � =�
2��� �� $% � � ��� ��� � ����
������ ��� � �� � � ���� � � � �� � ��� � �� &�� ���� ��� ������� �� �/ �������7
*�. � � �� �� *��. � � � � �� *���. � � � � ��
& ���� � � �� �� !��� ���� ������ �, � � � � ���� � � �� �,� ��� � � � � � �, � �� ���������� ���� � � � � �� !��� � � � � �, ���� �, � �� ��� � � � �� �, � �� �� !� � *�. ��� *��. ���/ ��������
$� ��� ���� � � � � � ��� � �� � �� � �� � � � ���� � � � �� !� � *��. ��� *���. �� ��� �/ ��������
������ +�� ��� �������7 !�� ���� � � �� � ������� � ��� � � ���� ���C��� ����� !��� ��7
*�. ��� �� ���� � � � ��� �� � �� ����� ������ �� ���C����
*�. E� � � � � ������ � � ���) �� �� �� � � �� ��
6 ������ � � � � �� � �� ��� ��� �� � � � � �� ��� � ��� �� � � � �� � � ���� � ��
��� � � �� &�� � , � �� �� ���� � � �� , � �� �� ��� � ���� *�.�2� � ���� ��� ���� � � � ��� �� � �� �� ���C���) ���� ��� �� � � ������ � ��� � � � ���
�� �� !��� � � � � � ��� � � � � �� !�� �� � *�. �� ������ �� �� ��� ���� � � � � �� �� ���� � �, �� ��� ������� �� ��� ��� � � �� &�� � � � �� � � �� �, ������ � ��
�� � �,� � � � �� � �� � �� � �� � �, � �
!� � � � �, � �� �� ��� ��� � ��� �� � � � �� ������� �� ��� ��� �� �� &�������� �� � �� ������� �� � � �� ��� � � � � � �� ��
!�� ���� ��������� ����� �� ��� �� � ���� � � � � �� � �� ��� ��� �� � � �� �� ���� �� +����',�('� ���� �� �/ ������� � � � � � ��
������ ��� � �� ��� �� ��� ��� � � ��� ������ � �/ ���� (� � 0� � 1� � ,� B�� ��� ��� ���� �� �� �0�
� �� � ����� �� �� ��� ���� � � �,� ,� ,�� ��� ��� ���� � � �� ��� ������ ������� � ��E/ ���������� ��� ���� � � �� ��� �� ��� ���� � ��� ������ � �/ �����
(� � 0� � 1� � �� � � �"� �� �� ��� ��� �� �� ���� � � ��� �� �� �� ��� �� ��� ��� � ��� ����� �/ ����
(� � 0� � 1� � (� � 0� � 1 (�� � �� � 0�� � �� � 1�� � � � ,
���+� ',: ��282"��� 68;<& 0==
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
10. Canonical Forms Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
����#� & ���� � �� � � ���� � � � �� � ��� � �� &�� ���� ��� ������� �� !���� ',�'= �� ����������) ������� ��� ���� �� � � � � �� � � ��� �� � � �� � �� ����7
��� �� � �� � � � ��� � ��� � � ��� ��� �� � � � ��� � � � ��� � � �
*�. &�� � � � � � �� � � ��� �� � � �� � �� ��� � � �� ��� �� �� ����� � �� 4 � ������ � �� � ��� � ��� � �� � ��� � ��� ��� � �� ��� � �� � �� � � � ��� � ��� � ��
*�. ���� ��� � � � �� � � ������� ��� � ��� � �� ���� �� � ��� � ��� � ��� � � ) � ��������� � � � ��� � ��
����&� ��� � �� � �� � ��� � ��� � � � ���� � � �� &�� ���� ��� ��� �� ��� ��� � ���� ������ ������ � �� �� �� ������
6 ��� �� � � � ��� ��� � � �� �� ����
�� � �� � � � �� � � � � � � �� � � ���� � ������� ����� � ��� � � ���� � � � ������ ������� � �� ������
����(� ��� � �� � � ���� � � � �� � ��� � �� & ���� �'� � � � ���� �� � ����� � � ��� ��� ��� � ������'� � � � � ���� ���� ��% � �% � �� �� � ����� � ��� / ����� ��� �� &�� ���� ��� ��� � �� ��� � �'� � � � � �� �'� � � � ���� �� � ����� � �� !� � ��� � � ��� � � ������� ��
& ���� � � �� &�� � ��%� �� � ����� � ����
�� � � � � � �' ��' � �( ��( � � � �� � ��
��� � � � �'�' � � � �� �� � �� ���� � � �� &�� � ��� �� � ����� � ��
� � �'�' � � � �� �� � �'�' � � � �� ����
� ������� � ����� ��$� �� ��� ���� � �� ������� ������������ & ����
'�' � � � �� � � �'�' � � � �� ���� � , �'�!��� ' ��' � � � �� �� � �, � �
&�� � ��%� �� ������������ ��� �� �� ��� ,� & ����� ���� ��� *'.� �� ��� �'�' � � � �� ���� � ,� &�� � ��� �������������� ��� ��� �� ��� ,� !� � � �� ������� ����������� ��� ������ � ����� � ��
����-� +�� !���� ',�'�7 & ���� � �� � � ���� � �������� ��� � ����� ���� � �� � �� !��� ���� �� � ����� ���� �� � ��� ������ �� �� ��� � � � � ��� � �� <���� �� � �� � 9� ���� ��������� ���� � �� �� � !� � ��� ������� �������� � �� ������� ��� ������� ��������� ��
$� ��� ��� ���� �� �� ���� ������) ����� �� � � � � �� �� ���� �� �� � � � � �� ��� � �� "�� � � � �� �� ���� � � � � �� ���� ��� � � �� � %��������� � �� � �� � � ��� � � ��� � �� � �������
�� �� � � � � � ��� � � � � ��� � � � �� ��� � ��� �/ ����
$� ���� ��� ���� �� �� ������ $� ����
�� ��� � � � � ��� � �� � �� �� � �� � � � � �� � �� � � � � ��� � � ��� � �
� � ��� � � � � ��� � � � �� �� � � � � �� ��� � �
0=� ��282"��� 68;<& ?���+� ',
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
10. Canonical Forms Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
6 �����
�� ���� � � �� � �� ��� � � � � � ���� � � � �� ��� � � � ��� ��� � � � � � �� �� � � �
!� � �� �� ������
2�� � ��� ��� � � � �� ����
�(�� � � � � � (��� � � � � �� ���� � � � �� �� ��� � � � � �� � �� �� � � �� � ��(�� � � ���� � � ( � �� (� &�������� � � �� � ��� � !� �� � ��� ��������
��� � �� � � � �� �, ��
����
�� ��� � � � � �� ���� � � � ����
���� � � � ��������� � � �
� ����
��� � � � � �������� � � � � �� ��
������ � � � � � �� ��� � � ���� � �� � � � �� �� � ������� �� � �� � � � ��� ���� �� � � �� � � � � �� �) ����� �� �� ��� � � � ����!� � ��� ����� �� �����
����.� +�� !���� ',�'7 ��� � �� � � �� � ����� ���� ���� ��� ������ �������� �� ����� ����� ���������� !��� � ��� � ����� �� ��� � � �� ��������� �� � ����� �� ������
!�� �� �� �� ��� ��� � ��� �������� � �� "� ��� � � '� ���� ���� ����� ����������� � � �� �'� ' ������ ��� � �� ����� ���
2� � ���� ��� � � � ' ��� ���� ��� ����� ���� � ��� �� � �������� ���� ���� � &�� � ��� ��� ������ �������� � � �� �� ��� ����� ���������� � ��� �� ����� �� �������� � ��� � �� ����� ����9� ������� � �� ��� � ��� � �''�� ��� � �� ��� '%���������� � ���� � ������� �� �� &�� �� � ����!��� *+���� ',�(�. ��� �� � ��� � � ��� � � � '� 2�� ��� ���� � �� �������� ��� �� 4� !����',�'�� � ��� �� � ����� ���� �� � �� ���� ������� �������� ������� ��� ������� �������� � ��&�� � ��� ��� ������ �������� � � �� � �� � � ����� ���������� � �� ��� ������� ��������)��� � � �� ��� ������� ��� ��� ������ ��������� � �� � !� � �� ��� �� ������� ��� ��������� � ��������� ��� �� �� ��� ���� ���� ������ � ����� ��(� � � � � ��� � �� � � ����
�� ���(� � �(( ��(�� ���0� � �0( ��( � �00 ��0������������������������������������������� ���� � �( �� � �0 ��0 � � � �� � ��
2� ��� �(� � � � � � �� �������� � � ���� ����� � ��� ���� �(� � � � � �� ���� ������� !��� �� �(� � � � � �� �� ������ � � *+���� ',�(�.� &�� � �� ��(� � �(( ��(� �� ����
�� ���(� � �(( ��(( � ,� ��� � � ��(� � �((�( � �
4 � � �� ������� �� �) ��� � � ��(� � �((�( �� � � ������ � �� ����
� ��(� � �((�( � �('�� ��� � � ��(� � �('�� �((�(
&�������� � � � 0� � � � �
� ���� � ��(�( � ��0�0 � � � �� ����� � � � ��� � � ���� � ��'�� ��(�( � � � �� �����
!� �
� ��� � �''�
� ��(� � �('�� �((�(
����������������������������������������
� ��� � �'�� �(�( � � � �� ��
��� ��� � ��� ����� � � �� ���� ����� �� ����� ���
���+� ',: ��282"��� 68;<& 0=>
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
10. Canonical Forms Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
�'���� $1$% � $5 � ���� � � ����� � ����
����/� +�� !���� ',�'(7 ��� *��� � � �� � � % � �� � ���� �� �� ��� ���� ��� � � � *��� � �� ���"���� � �� � ���'�
��' � � � �� �, ��� � %��������� � �� !���7
*�. !�� ��� �� � ���� � � � � ���'���� �� � ����� � *��� � �) ��� � ��� *��� � � � ��
*��. !�� ������� �������� � �� �� "�����*���. !�� ����� � �� �� ��� ���� ����� �� ��� ������ ����� ! � !�"�� � "���� ?��� � ���
'�� ���� ��� �������� ��� �������� � ��� ��� ����� �,� �'� � � � � ���' � "���� �� ��� ���� � ��� ��� ,�� ��������:�
*�. 4� �������� � "����� ����� �� ��� ��� �� � �� ��� ��/ �� � �� � ���� � (���� � � � ���� �� � ����� �������� � ���� �� �� ��� � �� ��� �� �� ��� ��/ �� �) ��� � ��� ��� � � �� � ���� � � � � ���'������ ������� ������������ $� �� ��� ���� � ��� ���� *��� � � � .���� ��� ����� ���� � �� 4� �������� ����� � .���� $� ��� �� ��� ��� ���� ���� � .��� � ���� � & ���� � � �����'��� � .���� ����� ��'��� �� � ����� �������� � �� � � � ����'���� !��� ���� � � ���'���� �� ������ �������� � � ���� � � � ������� 4 � ����� � .���) ��� � ���� � .��� � ���� � ����/ ������ �� ���� � .��� � ��� �������� ���� !� � *���� � � .���� ��� � � �� � ������ �� �������
*��. & ���� "��� � � � ��'��' � � � �� �, �� ��� ������� �������� � ��� !���� ��� � � � *��� � ��
, � "������� � "�� ���� � ���� � ��'��'��� � � � �� �,�
!� � ���� �� � ����� �������� � �� � ���� � � � � ��'���� ��� ������ � � � ������ "��� � � ���� � "����� � �� !��� "��� ������� "����� ��� � � �� � ������� � � ��� ��� � "���� � "����
����� � � ������� ���� � �(������������������������������������������������������������������������������������������������������������������(���� � ���'���������'���� � ����� � ��,�� �'� ��� � �(�
(��� � � �� ���'���'���
�����
4� ��������� ��� ����� � �� �� ���� ����� �� ��� ������ � ��� ����� � ��� ����� � ��� ���������� � �/ �����) ��� � �� �� !� �� �/ ����
������ ��� � �� � � �� ������ ��� � �� � � %�������� � ���� � � � ��� �� ��� ��� �� ���� � ����+��7
*�. !�� !%��������� � � � � ������� ��� ������� �������� � ��
*�. !�� �� %��������� � �� � ��� ������� ��� ������� �������� � ��
*�. !�� � %��������� � � � � �� ��� ������� �������� � ��� ���� ��� � � � *���� �� ��� ������� ��+���� ',��� �� ������� ��� ������� �������� � ��
*�. !�� �� %��������� � �� � ��� ������� ��� ������� �������� � �� � ��� � ������� ��� ��������������� � � �� !���� ',�'��
�����6� "� ��� ��� ���� ��� ����� � �������� � � �� ���� ���� ��� �� � ��� ��� ������������� ���� ��� � %��������� � � � � ��� ��� �� %��������� � �� � ��� �� � ��� �� ���"� ����" � �
0=- ��282"��� 68;<& ?���+� ',
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
10. Canonical Forms Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
������ +�� ����� ',�'07 ��� � �� � � �� � ����� ���� ���� ������� �������� �� ���� ���� ��� �� � ��� ��� ���� ��������� !��� � �� ��� ��� � � � � � % � �� � ���� ��*� � *���� � �� � � '� � � � � �� ���� �������� � %����������
���' � ���( � � � � � ���� � � ' � ( � � � � � �
��� ��� �� ������� � � ��� ��� ��� � � � � � % � �� � ���� �� ��� ��� ���� � ��� � ������� ��� ��� ���� ��� � � %�����������
!�� �� �� �� ��� ��� � ��� �������� � �� "� ��� � � '� ���� � �� ������ � % � �� ��� ��� ���������� 2� � ���� ��� � � ' ��� ���� ��� ����� ���� � ���� �� � ��� �� � �������� ���� ���� ����� ��
&�� � ��� ������� �������� � � �� ���� ���� ������ �' � � � � ���� �� ��'��'� � ,) ��� � ��� � %��������� � �' �� ���� ��� *' � *��'�� � ��� � ��� ���� *' �� � %��������� ��� �� � ��*' ��� ��� �� �� �������� ���� � �� ��� �� �� �� 4� !���� ',�'�� ��� ������� �������� � �� ������� ���) ��� � ������������ ���� � �� ��� �� � ����/ ������ �� ��� ���� �� �� ��� ��� � � � � �� % � �� � ���� ��) ����
�� � *���(� �� � � � � �� *����� �� ����� ��� �������� �� %���������� �� ���( � � � � � ���� � � ( � � � � � ��
$� ���� ���� ���� �� � �� � �( �� ��� ��� ��( ���� � %��������� �� ���( � ��� �� %��������� � ��(� ���� �� ��� �� � �� ��(� !��� �� �( ��� � *'� ��� � ���� ������ � �������� &��� � ��� �
�� �( ��� � &�� ���'� �'�&�� � ��� �� ��� ������� �������� � �� � ����� �� *'.�
, � �� ���� � �� ��(&�� ���'�4 � ��� �� ��� � %��������� � �') ��� � ��� ������� ����(&���� ��� � &��� � ���('��� � ����������� '���� $� ���
�( � � � '�� ���'�&�� � � � �( � '�� ���'� � *'� �( ��� ������ � ��� ��� ��(� !� � ��� � %��������� � �( �� � � ������ � ����� %��������� � ��(� 8� ��� ��� ����� �� *'.�
�� �( ��(� � �� � �� � '�� ���'�� � �� �( ��� � &�� ���'� � ,
����/ ����� ��� � %��������� � �( �� ���( � �� �������&�������� ���� ����� �� �� �0� � � � � �� � � � � ���� �� � �� ��� ���� ��� � %��������� � �� �� ���� � ���
�� %��������� � ��� $� ���
*( � *��(� � �� � � � � *� � *���� � ���� � ����� ��� ����� � ���� � ���� ���� ��� ����� ��� !���� ��� � ���� �� ��� ��� � %��������� � ��
��� ��� �� %��������� � ��� �� 3�� ����
��� � ����� � � � �����'����� ��� ���� �� ����� � � � � �����'������� ����� � *���� � � ��� *���� �� �� ���� ������� � � � (� � � � � �� 4 � �� � *��(� �� � � � � �� *���� �� �) ��� �
��(� � � � � ���(�'���(�� � � � � ���� � � � � �����'������
�� � ����� � ��� !������ �� +���� ',�(� ��� ��� ������ ������� � ����� *��� +���� ',�(>.�
�'� � � � ���'�'��'�� �(� � � � � ��(�'��(�� � � � � ��� � � � � ����'������� � ����� � �� !� �� �� !���� ',�1� � � *��'� � � � � � �� *���� � �� �� �/ ����
"� ������ � ��� ���� ��� �������� '� � � � � � �� ��/ ��� ��������� �� �� &�� � � � ����� � ������� � � ��' � � � �� �� ��� ��� *� � ��� � � '� � � � � �
���� �� �� ��� ������� ������� ���� *+���� ',�=@. �� ��*�� �� � � �� � ���� � �������� �� �� ��������� �� ��� �������� ��� � � �� � � ��� �������� , �� � � �
���+� ',: ��282"��� 68;<& 0=@
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
10. Canonical Forms Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
2� ��� �� � � � � �� �� ������ ��/ ��� �� ��� �� � � �' � � � �� ��� ���� �� � *�� ��� � ����� � �� �� ��� � �� �� ������ ��/ ��� �� ��� ��
�� ���� � �� ���'� � � � �� �� ��������� �� ����� � �� ��*��� ��� � �� ��� ������� ��������� � � � ��� �
' � � � � � � � � � ��' �
!��� �� ��� � � �� ��*'� � � � �� �� ��*����� � ���� �� ��� �� � ���' � � � � � �� �� � �� �(�!�� � ���� � ��� ���� � *(. �� ��/ ��� ��������� �� �� &�� � � '� ��� *(. ��������� ��� � ��� �� �/ �� � � 2��� ��� � � (� ��� *(. ��������� ��� � ��� � � *�� ���. �/ �� � � '� $� ����� ���� ��� ���� �� ��� � , ��� �������� ��� � ��� � � �/ �� � '� !� � ��� � �� ��/ ��� ��������� ��� ��� �� ��� ��� ����� �� �����
������ ��� � �� � >%���������� �� � ��� � �� �� ��� ��� � �� � � �� � ����� ���� ���� ��������������� "��� � ��( � (� � =��� � 0�0� 6��� ��� ������� ������ ���� �� ��� $ � ��
!�� � � � ��� ��� � ��� ������ ���� �� � �� ��� � � >� ���� �� ������ ����� � �� ��!��( � (� � =� ��� �� � �� �� !��� � 0�0� � !��0 � @�( � (>� � (>�� !� � $ � �� �� �� � ��� ��������� 3 ������� ���� ��7
*�. ����, �=
' (
� �
, �=
' (
� �
, , (>
' , �(>
, ' @
��
��
�
� �
*�. ����, �=
' (
� �
, , (>
' , �(>
, ' @
��
��� , �@
' �
� �
� �
* . ����, �=
' (
� �
, , (>
' , �(>
, ' @
��
��� �0�� �0�
��
��
%��0 �����$
������ & ���� � � �' � � � �� ��� !�� ���%� ��� � � ��� ��� � ���� � �� �� ��� ������� /�� � ������� �� /��� � �� ���� � � �' � � � �� ����� � ��� &�� ����7 *�. / �� ������ *�. /( � /�
*�. &�� � ��� � � � � �' � � � �� ��� �� � � �� ��/ ��� ��������� �� �� ��� ������� / �� ���� �������& ����� � � � �� � � ��
' � � � �� ���� ��
� � ��� !���
�� � � ��' � ��'� � � � �� ��� � ��
�� ��� �� � ��' � � � �� ���� ������ � ��� � ��
�� ��� ��/ � � �� �������� � �� � ��� ��� ��� �
/��� �� � �� � ��� � /��� � /��� ��� /���� � ��� � �/���
��� ������ / �� ������
*�. $� ���� ����
�� � ,� � � �� ,� �� � ,� � � �� ,
�� ��� ��/ � � � �������� � �� � �� ) ��� � /���� � �� � !���� � ��� � � ��
/(��� � /�/���� � /���� � �� � /���!� � /( � /� �� �/ ����
0�, ��282"��� 68;<& ?���+� ',
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
10. Canonical Forms Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
����#� & ���� /�� � � �� ����� ��� /( � /� &�� ����7 *�. /��� � � � ��� � � "� /� ���� ������� ��� � / � ��� ����� �� ��� �������� �������) *�. � �� ��� ��� � � � � ��� ����� ��� 3����� /�� � "� / � A� /) * . / �� ��� �C� ��� � � ��� "� /� ��� ������ !� �� �� ��� �� ����������� � ����� ������� � �� � � �� � �C� ��� �� ��� ��� �� �( � � ) ���� ��� ���9���� � ��C� ��� �� ��/ ����� ��� �� ��� ���������
*�. "� � � "� /� ���� ���� ������ � � � � ��� � /��� � �) ��� �� �� �/ ����
/��� � /�/���� � /(��� � /��� � �
*�. ��� � � �� $� �� ���� � �� ��� �� � � /��� � �� /���� 2� /��� � "� / ���� ��� �
/��� /���� � /��� � /(��� � /��� � /��� � ,
�� /��� � A� /� � ������� � � "� / � A� /�2� � ���� � � "� / � A� /� 4� *�.� /��� � � �� � �� � � "� /� 8� ��� ��� ����� /��� � ,
�� � �� � � A� /� !� � � � ,� ��� � "� / � A� / � ,�� !���� �� ������� ����� ���� � �� ������ � � � � ��� ����� ��� 3���� � /�
* . ��� � � � ��� � ���� � � � � �� ���� � � "� / ��� � � A� /� 2�� ���� /��� � � �� *�.� ���/��� � , �� � �� � � A� /� ��� �
/��� � /�� � �� � /��� � /��� � � � , � �
!��� ��� / �� ��� �C� ��� � � ��� ��� ������
����&� & ���� � � � � � ��� � ���� � �� � � �� ������ &�� ���� � ��� � �� ��� � %�������� ����� ��� �� �/ � /� � ���� / �� ��� �C� ��� � � ��� ��
8����� ���� /��� � � � ���� � � �� ��� ���� *�. /��� � � ��� � � � � *��. /��� � , ��� � � ��& ���� /� � �/� ��� � � � � &�� � /��� � ��
� ��� � � �/���� � ��/���� � �/� ���� � /�� ���� � �
��� � � �� � %��������� 2� ��� � � �� &�� � /��� � ,�
/�� ���� � �/� ���� � ��/���� � � �/���� � � �,� � ,� ��� � � ��� � �
��� � � �� ��� � %������������������ � ���� � ��� � �� ��� � %��������� ��� � � � ��� � ���� � � � � �� ���� � � � ���
� � �� !��� � ��� � � ��� � ��� � � ) ��� � /�� ���� � � ��� ��� /�� ���� � ,� !� �
�/� ���� � �/� ��� � �� � �/� ���� � �/� ���� � /�� ���� � /�� ���� � � ������ ��/���� � ��/��� � �� � � �/�� � ��� � � ���!��� ��� �/� ���� � ��/���� � ���� � � � ) ������ /� � �/� �� �/ ����
$7++��������) %��4���,
��� �� �� $1$% � $
����(� & ���� � �� �������� ��� � �� � �� &�� ���� � �� �������� ��� �� � � ��� �������� ����
����-� &�� ���� ���� � ���� � � � �� �������� ��� � ��� �� ��� �������� ��� 9� ������
����.� ��� � �� �������� ��� �'�� � � ��� �(�� � �� +�� � �� ��� �������� ��� �' � �( ��� �'�(�
����/� ��� � �� � � �� ������ +�� ���� ��� �������� �� /� �� � %���������
���#�� ��� � �� � �� � ��� � � �� �������� *����� ���� '. �� ��� ��� ���� �� &�� ���� ��� ����� ����� � ��� �� �������� � ���� � ��� ���� � ,��
���+� ',: ��282"��� 68;<& 0�'
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
10. Canonical Forms Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
���#�� B������� ��� �������� � ���� � � � � ( �1
= �(
� ������ �� � ����� ���� � *�. �(� *��. �(�
���#�� & ���� ��� � � � &�� ���� � �� � � ��� � ����� �� ����� ����������� �� ��� ��� �� ���� ������ %�������� � ���� �� �' � �( � � � � � � � � � ��� � ��� �� � �� � � '� � � � � �
��� �� �� �� �� $�$
���#�� !�� � ���� �� �'� � � � ��� �� ���� � �� �������� �� �' � � � �� �� � ,� �� � ��� ������� ���� �� ��� � ,� &�� ���� �������� � �' � � � �� �� �� ��� ��� �� ��� �� �� ������������ ?��� �������� ��������� ����� ���� � ��� ���:
���##� &�� ���� � � �' � � � �� �� �� ��� ��� ��7 *�. � � �������� ��� *��. � � � '� (� � � � � ���� � ������'� � � � ����'����'� � � � ���� � ,��
���#&� &�� ���� �������� � �' � � � �� �� �� ��� ��� �� ��� ���������� � ��� �' � � � �� ��� ���
���#(� & ���� ��� ��� ������ �������� � � �� � � �� ���� � '���' (���( � � � ����� � ���� ��� ���� �� ������ ���� ��� ���� ���������� ��� � � �' � � � �� �� �� ��� ����� �� ������� � � ��� � %��������� ���� ��� &�� ���� ����� �� ��� ��� ������ �������� � ��� ���� ��� � � � ���
���%�� �� �% � ���$
���#-� & ���� �' ��� �( �� �������� ����� ���� �� ��� ���� �'�( � �(�'� &�� ���� �' � �( ��� �'�( ����� ���������
���#.� & ���� � �� � � ������� �� ������ ����� ��� ������ � ��� ���� ��� ���� ������� �� ,� &�� ���� � �����������
���#/� ��� � �� ��� �� � ��� � � ��������� � ����� �� &�� ���� ��� ��������� ���� � � �� �������� ������ � '�
���&�� &�� ���� ��� #��� �������� �� 3 ����� ( �� ������ � ��� ������� (� *��� ����� ���� '�� ���� ���������� ��� ,�� ��������:�
���&�� &�� ���� �� �������� ���� �� � �� 0 �� ������ �� ��� ��� �� ���� ���� ��� ���� ����� � ������� ��&�� �� ������� ���� ��� ��������� �� �� � � � �������� ���� �� � �� 1�
0�� � � ����� � ����
���&�� 6��� ��� ������� #��� ���� �� ��� � ���� ���� �� ���� ��� ������ �������� ���� ��� ��������������� "��� �� �� �����7
*�. ���� � �� � (�1�� � 0�(� "��� � �� � (�(�� � (��� � 0�(�*�. ���� � �� � >�=� "��� � �� � >�(� * . ���� � �� � (�>� "��� � �� � (�0
���&�� &�� ���� ���� ����� ����� �� ������ � ��� �������� *0��1 D�� ��� #��� ���� �� ���.
���&#� &�� ���� ��� � ����� ���� �� � � ��� � � � � � � �� � � � � � �� �������
���&&� & ���� � �� � ����� ����� ���� ��� ��� �������� ��� &�� ���� � �� ������ � � ����� ���� ��� ����������
0�( ��282"��� 68;<& ?���+� ',
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
10. Canonical Forms Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
�'���� $1$% � $
���&(� & ���� � �� � � �� ������ +�� ���� *��� � � �� ��� ������ ��� � ��� � %�������� � ���� �� �������� ��
���&-� ��� ��� ��� &��� �� ��� � %���������� � � ��� �� ���� ������� &�� ���� �� ��� ��� &��� �� ��������� ��������� ���&��� �� ��� � %��������� � � � ��
���&.� +�� ���� *��� � � � *��� � � �� ��� ��� �� &�� ���� � � ���� &��� �� ��������� ���� � ��� � %��������� � ��
���&/� ��� � � *���� �� ��� � ���� ��� � %��������� � � �� ���� ���� ��� �� � ��� ��� ���� �������� ������ �� &�� ���� �� ��� � �� � � �� � ���� � �������� �� �� ���� ��� ���� �� ��� �������� �� � � �� � ��� �������� , �� � �
� ���� � � ����� � ����
���(�� 6��� ��� ������� ������ ��� � � �� � ����� �� � ���� ������� ��������7
*�. "��� � ��( � (� � 0��� � '�(� *�. "��� � �� � (�0�
���(�� ��� � �� � 1� 1 ����� ���� ������� �������� "��� � ��( � '���( � 0�� 6��� ��� ������ ���� �� �� �� �� � �� � ����� �� *�. ��� ������ ���� 2� *�. ��� ��� ���� �� * . ��� ����� ���� ��
���(�� 6��� ��� ������ ���� �� �� � ��� 1%�/ �� #��� �� 3 ���� ��� � ��� ��������
���(�� +�� ���� ��� ��� ������ �������� � �� ���� � �� � � �� � �� � � ��� ��������� �������
���(#� +�� ���� �� 0� 0 ���� �� ���� ��� ���� ������� ��� ��� ������ ��������� �� �������
���(&� ��� !� ���� ����� ��� ������ ����� � �� ������ �������� ���� &�� ���� ��� �� ��� ��� ������ �������� � !� �����
%��0 �����$
���((� & ���� � � �' � � � �� ��� ��� /� ����� ��� �C� ��� � � ��� ��� +��7 *�. /�/% � ,� � � %)*��. � � /' � � � �� /��
���(-� ��� /'� � � � �/� �� ����� ����� � � � � ����7
*�. /(� � /�� ����� ��� /� �� �C� ����) *��. /�/% � ,� � � %) *���. � � /' � � � �� /��
+�� ���� � � "� /' � � � �� "� /��
���(.� & ���� /�� � � �� � �C� ���� ����� /( � /� +�� ���� / ��� � ����� ����������� � ��� ��
�� ,
, ,
� � ���� � �� ��� ��3 � / ��� �� �� ��� �%�/ �� �������� ������
���(/� +�� ���� ��� �� �C� ���� � ��� ���� ��3 �� ������� *0��1 D�� ��� �� �� � +���� ',��-�.
���-�� & ���� /�� � � �� � �C� ���� +��7
*�. � � / �� � �C� ��� ��� � � "� / � "� �� � /�� *��. � � / �� ��������� *�� '� ' � ,.�
2��� �� $% � $
���-�� ��� � �� � � ���� � � �� & ���� ��� ��� � ���� �' � � � �( � � � � � � � � � � � �� ��� �� ������������������� &�� ���� ��� ��� � �� �� �'� �(� � � � � �� �� � �� ��� ������� ������������
���-�� ��� � �� � � ����� � � �� & ���� ��� ��� � �� �� �'� �(� � � � � �� �� � �� ������� ������������ ��� ����.���� � � � ,�� &�� ���� ��� ��� � ���� �' � � � � � � � � � � � �� ��� �� ��� ������� ������������
���+� ',: ��282"��� 68;<& 0�0
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
10. Canonical Forms Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
���-�� & ���� � � � � � ��� ���� �'� � � � � �� �� � ����� � �� &�� ���� �' � � � � � � � � � � � �� � ����� ���� / ����� ��� �� ���� *8����� ���� � ������ �� ��� �� � ��� ������������� � � ��.
���-#� ��� � �� ��� �� ��� ��� � � ��� ����� �/ ����
�'�' � �(�( � � � �� �� � ,� �� � �
��� ��� � � ��'� �(� � � � � �� � �� +�� ���� ��� ��� �� � � � �� � �� ��� �� ��� ��� � ��� ������/ ����
�'�' � �(�( � � � �� �� � �� ���� � � �'�' � � � �� ��
���-&� ��� � �� ��� �� � ��� � � ��������� �� � ��� ��� � �� ��� � ���� � � ��������� ��������� �� �1� ����� ��� �� �,�
1 � �'�= � � � �� ��1�
� &�� ���� ��� / ����� ��� � ��� ��� �������� 1�
���-(� ��� � ��� � �� � ���� �� � � � � ���� � � � � �� 2�� ���� ��� ��� � � � � � �� � ��� ��� �������� �� � ��� � � �� �� ��� � � � � ������� � � � ) ��� � ��� �� � � ���� � ���� +�� ����*�. ��� �� � � ���� � � ���� *��. ������� � � ������� � � ������� ��
���--� ��� � ��� � �� � ���� �� � �� &�� ���� ��� ���� � � � � �� � �� �� ������� �� ������ ���� �� � ���� ���� � � �� � �� �� � � ��� ���� � � �� � 7
���� � � � � ��� � � � ��� � � � � �� �� � � �
���-.� ��� � �� � � � �� ����� ���� 3���� � ��� ����� �� &�� ���� ��� / �������� � ��� �� ������ � � ��� ��� ������� � ���� � � ������ ������ � � � � ���� 6 ������ ��� ���� � � � � � � � ���� � �� � ��� ����� ��� �� ������� � � ��� ���� ���� ���� � �� �� ��� � �� ��� � �� ����� � ��� �������� ����� ���� � �� *&�� �������.
�,8��, �� $7++��������) %��4���,
���#�� *�. �( ��� ,�� *�. �(� ,���' � �����(� '� (����( � �����(� '� (��
���&�� *�. ����( '
(
� �
( '
(
� �
0 '
0
� � �� ����
( '
(
� � �(�� �(�� 0 '
0
� � ��
*�. ����> '
>
� �
> '
>
� � �>�
� �� ����
> '
>
� � �>�� �>�� �>�
� ��
* . ��� $� ����� � #��� �� 3 ���� � � ( ��� �� �� !���7 �����$0�$0�$'�� �����$0�$(�$(�������$0�$(�$'�$'�� �����$0�$'�$'�$'�$'�
���(�� ��� � � , �0
' (
� �� � , �'
' �(
� �! �
, , -
' , �'(
, ' �
��
���2 � , �1
' 1
� �
*�. ������������ ������������ ����������'��'�� *�. �����!�!�� �����!�2� �(��� �����!� (� (� (�
���(�� ��� � � , �'
' ,
� �� � , 0
' ,
� �
*�. ���������� *�. ������� ���0
��� ���
0� �� * . ����������
���0
��� ���
0� �
���(�� ������� ����� ���� ��� ���� � �� ���1� 1�0����(� 1���
0�1 ��282"��� 68;<& ?���+� ',
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
11. Linear Functionals and the Dual Space
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
������� ��
�� � ������� �� �� ��� �� � �� ��
���� ����������
�� ���� ������ ����� ����� ������ ���� � ����� ��� � ���� ��� ��� � �� �������� ���������� �� ����� �� ������ �� � �� � ����� ��� ��� ������� ��������� ��� �� ������ ��� ��������� ��������� ������ �� � ���� ��� ���� ����� ���� �� ��� ���� ��� ������ ������������ �� ���� ���������� �������� ��� ����� �� ����� ���������� �� � �� � ���� ��� �� � ������� ��� ������ ���� �� ��� ��� �� �� ����� ����
���� ��� �� ��������� ��� �� ��� ���
�� � � � ����� ��� ��� � ��� �� ����� ��� � � �� ���� � ������ ���� ��� ��� ������ ��� ��� ��� ��� � � � � ��� ��� �� ��� ��
���� ��� � ���� � �����
�� ���� ����� � ����� ���������� �� � �� � ����� ����� ���� � ���� ��
������� ���
��� �� �� ��� � � � �� ��� ��!����� ������ ���� ����"� �#� � � � ��� � ��� $�� �� �� ����� ��� �� �� �� � �����
���������� �� ���
��� �� � � �� ����� ��� �� ���������� �� � ��� �� �� ��� � � � �� ������� ������ ���� ��������� � � "
%���� ��� &���� ���� � �� �����' ��� ��� �� �� � ����� ���������� �� ��
��� �� � � �� ����� ��� �� �(�)��� ������� ��� �� �� � �� � � � �� ���� �����
� ��� � �"" � �## � � � �� ���� �� � � �����
$��� ��� � ������� �� � �����* � �� ��� �� ��� �������� ������ $��� �� �� ����� �+����� ""�#,�� ��� �� �� ��� ����� ���������� �� ��
-./
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
11. Linear Functionals and the Dual Space
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
0� $���� /�"%� �� �� �� ����� ����������� �� � ����� ��� � ��� � ��� � �� ���� � ����� ������ �� ��� �������� ��� ������ ������������� ���� ��
��� ����� � ���� � ���� ��� ������� � ����� �� � ��� � �� ����� ����������� �� � ��� � � �� $��� ��� �� ����� �� ��� ����� �� � ��� ������� �� �1�
������� �� �� � � ��� �� ����� ��� �� �(����� ���� ��� �� ������ ������� $�� �� ���� ��� �1 ���
� ������� ��� �� ��� �� �� ������� �� ���������� ��� ����� ���������� � � ��"� � � � � ��� �� �1 ��� �� ����������
���"� �#� � � � � ��� � ��"� �#� � � � � �����#� �#� � � � � ���� � �"�" � �#�# � � � �� ����
������������� �� ������ *������ �� �� ����� �� ���� � ������ ���
���� ��� �����
2��� � �� � ����� ��� �� �������� � ��� �� 0� $���� /�"" �� �������� �� �� ���� ����1 �� ���� � ����� � �� �� �������� " ��� ������� �� ����� ��� ����� �� � ������� � ����� �� �1 ������� � �� +����� ""�- ��� �� ������
������� ����� 2��� �"� � � � � �� �� � ����� �� � ��� �� �� �"� � � � ��� � �1 � �� ���������������� �� ���� ��
������ � ��� � " �� � � �
% �� � �� �
�
$�� �"� � � � ��� �� � ����� �� �1�
$� ���� ����� �� �� ���� �� ����� ��� �� �� �� �� ��� ������ $� ���� �������� ���� ����� 3����4� ���� ���� �� � ����� �� �� ������
�"��"� � "� �"��#� � %� �"��-� � %� � � � � �"���� � %
�#��"� � %� �#��#� � "� �#��-� � %� � � � � �#���� � %
������������������������������������������������������������������������������������������"� � %� ����#� � %� � � � �������"� � %� ������ � "
0� $���� /�#� ��� ����� ������ �� �� ���)� ��� ��(�����
������� ��� 5������ �� ����� �" � �#� "�� �# � �-� "� �� �#� 6��� �� ���� ����� �"��#�7 �4 ����� ����������� �"��� �� � ��� �� ��� �#��� �� � �� � �� ���� ����
�"��"� � "� �"��#� � %� �#��#� � %� �#��#� � "
$�� ���� ���������� ��� �� �� ����� ��� � � ������ �� ����� )�������8
�"��"� � �"�#� "� � #�� � � "
�"��#� � �"�-� "� � -�� � � %
�
����#��"� � �#�#� "� � #� � � � %
�#��#� � �#�-� "� � -� � � � "
�
$� ��������� ���� � � �"� � � - ��� � � "� � � �#� ��� �"��� �� � �� � -� ��� �#��� �� � � � #� ���� ������ ������
$� �*� � � ������ ����� �� +������ ""�, ��� ""�/� ��������� ��� ����������� �� ����� ��� ���� ������
������� ����� �� �"� � � � � �� � � ����� �� � ��� �� �"� � � � ��� � �� ���� ����� �� �1� $��8
��� 6�� ��� ����� � �� � �"���" � �#���# � � � �� ����������� 6�� ��� ����� ���������� � � �1� � � ���"��" � ���#��# � � � �� ��������
-.. ���9 & 6��5$�:� �2 �; $�9 ;� � 2+ 59 <5� +� ""
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
11. Linear Functionals and the Dual Space
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
������� ����� �� �"� � � � � �� ��� �"� � � � ��� � ���� �� � ��� �� �"� � � � ��� ��� �"� � � � � ��� �� ���� �� �1 ���� �� �� ��� ��� ��������� 2��� � �� �� �����(��(����������* ���� �� �� ��� $�� ���"�� �� �� �����(��(����� �����* ���� �� �� ���
���� � ��� ��� ���
7 ���8 9��� ����� ��� � ��� � ���� ��� �1� ���� �������� �� ��� �� ����� ����������� �� ��$��� �1 ����� ��� � ���� ��� �11� ����� �� ��� �� ��� �� �� ���� �������� �� ��� �� ���������������� �� �1�
7 �� ��� ���� ��� � � � ������� � ����� ���� �� � �11� 6���� �� ���� ��� ��� � � �1� ���
����� � ����
�� ������ �� � ��� � ���� ���� �� ����1� � �� ������ 6�� ��� ������� �� � � � ��� ��� ���������������� �� � � �1� ���
������ ��� � ���� ������ � ����� � ����� � ������ � ������
$��� ��� �� �� ����� ��� �� �� � �11� $� ����� ��� ����� ����� �� +����� "#�=� ������
������� ����� �� � ��� ���� ���������� ��� �� ����� � � �� �� �� ���������� �� � ���� �11�
$� ���� ����� � � �� �� ����� �� ������ ������� �� � ���� �11� 7 �����> ���� ��������� �� ��� ���� �11 �� � �� ��� ����(����������� �� ��� �� �� �� ��� ����� ��� ������� �� ���� ��� ��(��(���
�� ���� � ��� ��� ���� ��������� 0� $���� ""�,� �� ������� ����� ������� ������������ �� � � ��� �11� ����� ���� �� ������ ����� ������� � ��� �11 �� ���� ������ ����������� ����� �� � �� �� ��� �� ����� ����������� �� �1 ��� ����� ��� � � �11� 7 ����4���� �� �� �� �� ����� �� �1 ���� �� � ����� �� �� �� ��� �� �� �� ����� �� �11 � � ���� �� ���� �� ���
���� ������������
��� � � ����� ���� ��������� � ������� �� � ����� ��� �� ����� ���������� � � �1 �� ������� ��������� � �� � �� ���� � % ��� ��� � � �� ���� �� ��� � � %� 7 ��� ���� �� �� �� ��� ����������� ����� �� � % ��� ����� �� ��������� � �� �� �� � ������ �� �1� 5������ % � � %� �� ���� �� � � � %� $��� ��� ��� ������� �� ��� � ��� ��� ��� � � ��
���� ������ � ����� � ����� � �%� �% � %
$��� ��� �� � � %� ��� �� � % �� � ������ �� �1��� �� ��� ����� �� � ������ �� �� ��� �� ����� ��� ���������� �� �� ��� ��� �����������
� % �� +����� ""�"" ��� �� ������
������� ����� 2��� � ��� ���� �������� ��� � �� � ������ �� �� $��8
��� ��� � � ��� � % � ���� ��� ���� � %% � �
�� � %% � � � � ����� � % ��� ��� � � � % ��� )���������� � %% � �� %�%� �� � %% �� �� ��� � ������ �� � ���� �� ������������ �� � ��� �11�
5� +� ""? ���9 & 6��5$�:� �2 �; $�9 ;� � 2+ 59 -.=
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
11. Linear Functionals and the Dual Space
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
���� �������� �� � ��� �� ������
�� � �� � � � �� ��������� ����� ����� ���� � ����� ��� � ���� � ����� ��� � � �� ������ ����� ���������� � � �1� �� ���������� � � � �� � ����� ����� ���� � ���� �8
V U KT φ
φ T°
$��� ��� � � � � �1� $��� �� ����������
� � � � �
�� � ����� ���� �1 ���� �1' ���� �� �� �� ��� ���� �� �� ������� �� � � �� ���� ������� ��1� �1 �� ���� ��
����� � � � �
$��� ���������� � ��� ���� ��� ��� � � ��
������� ����� $� ������� ����� �� ���� ���� �� ������
�� � 6�� ��� ������� �� � � � ��� ��� ����� ����������� �� � � �1�
������ ��� � ���� ��� � � � ��� � � � � ��� � � � � ������ � ������$��� ��� �� �� ������ �� �������
7 �����> ���� �� � �� � ����� ����� ���� � ���� � � ��� �� �� � ����� ����� ���� �1 �����1� $� ��� @@�������AA ��� �� ����� �� �� ����� ����� ���� �� ����� ��� ����� ����� ��+����� ""�".��
������� ���!� �� � �� � � � ������ ��� �� � � �� �����* ���������� �� � ������ �� ���� ���� � ��� � �� � � $�� �� ������� �����* �� �� �� �����* ���������� ���� ��1� �1 ������ �� �� ���� ���� �� � ��� ���
��"#�$ ���%"��&
��� ��� � ��� ��� ��� �
����� 6��� �� ����� �"��#��- ���� �� ���� �� �� ����� ��� ����� �� �-8�" � �"��"� -�� �# � �%� "��"�� �- � �%� -��#�
$� ����� ����������� ��� � *���� �� �� ����
�"��� �� � � �"� � �#� � �- � �#��� �� � � �"� � �#� � �- � �-��� �� � � �"� � �#� � �-
0� �������� �� �� ���� ������ ������ � % ��� � �� �� ��� ������ � " ��� � � ��
7 ��� �" �� ������ �"��"� � "� �"��#� � %� �"��-� � %� $��� �����
�"�"��"� -� � �" � �# � -�- � "� �"�%� "��"� � �# � �- � %� �"�%� -��#� � -�# � #�- � %
2������ �� ����� �� )������� ����� �" � "� �# � %� �- � %� $��� �"��� �� � � ��7 ��� �# �� ������ �#��"� � %� �#��#� � "� �#��-� � %� $��� �����
�#�"��"� -� � �" � �# � ��- � %� �#�%� "��"� � �# � �- � "� �#�%� -��#� � -�# � #�- � %
2������ �� ����� �� )������� ����� �" � =� �# � �#� �- � �-� $��� �#��� �� � � =� � #� � - �
-.B ���9 & 6��5$�:� �2 �; $�9 ;� � 2+ 59 <5� +� ""
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
11. Linear Functionals and the Dual Space
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
7 ��� �- �� ������ �-��"� � %� �-��#� � %� �-��-� � "� $��� �����
�-�"��"� -� � �" � �# � ��- � %� �-�%� "��"� � �# � �- � %� �-�%� -��#� � -�# � #�- � "
2������ �� ����� �� )������� ����� �" � �#� �# � "� �- � "� $��� �-��� �� � � �#� � � � �
����� �� � � �� �� � �� � � �� �� ����� ��� �� ��� ���������� �� ��� �"� 6��� �� ������"� �# �� � ���� �� ���� �� �� ����� �"��# �� �1 ���� ��
�"� ���� ��"
%
��� �� ��� �#� ���� ��#
%
��� ��
�� �" � �� �� ��� �# � � � ��� 0� �������� �� �� ���� ������
�"��"� � "� �"��#� � % ��� �#��"� � %� ������ � "
$���
�"��"� �� "%��� ��� �� � �� "
#� � "
�#��"� �� #%�� � ��� �� � #� � #� � %
�
����"��#� �
� "%�� � ��� �� � � � "
#� � %
�#��#� �� #%�� � ��� �� � #� � #� � "
�
2������ ��� ����� ����� � � #� � � �# ��� � � � "#� � � "� $��� �" � #� #�� �# � � "
#� � �� �� �����
�� � ���� �� ���� �� �"��#�
����� +��� $���� ""�"8 2��� �"� � � � � �� �� � ����� �� � ��� �� �� �"� � � � ��� � �1 � ������ ������ � % ��� � �� �� ��� ������ � " ��� � � �� $�� �"� � � � ��� �� � ����� �� �1�
7 ���� ��� ���� �"� � � � ��� ���� �1� �� � � �� ��������� ���� �� �1� ��� ����
���"� � �"� ���#� � �#� � � � � ����� � ��
2� � � �"�" � � � �� ����� $��
���"� � ��"�" � � � �� �������"� � �"�"��"� � �#�#��"� � � � �� ������"�� �" � "� �# � %� � � �� �� � % � �"
2��������� ��� � � #� � � � � ��
����� � ��"�" � � � �� ��������� � �"�"���� � � � �� �������� � � � �� �������� � ��
$��� ����� � ����� ��� � � "� � � � � �� 2��� � ��� � ��� �� �� ����� ������� � � � � �"�" � � � �� ����� ����������� �"� � � � ��� ���� �1�
�� ������ �� � ��� � ���� �"� � � � ��� �� ������� �������� 2����"�" � �#�# � � � �� ���� � '
����� ���� ���� �� �"� ������
% � '��"� � ��"�" � � � �� �������"� � �"�"��"� � �#�#��"� � � � �� ������"�� �" � "� �# � %� � � �� �� � % � �"
2��������� ��� � � #� � � � � ��
% � '���� � ��"�" � � � �� ��������� � �"�"���� � � � �� �������� � � � �� �������� � ��
$��� ��� �" � %� � � � � �� � %� ��� �"� � � � ��� �� ������� �������� ��� �� �� �� � ����� �� �1�
5� +� ""? ���9 & 6��5$�:� �2 �; $�9 ;� � 2+ 59 -.C
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
11. Linear Functionals and the Dual Space
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
����� +��� $���� ""�#8 �� �"� � � � � �� � � ����� �� � ��� �� �"� � � � ��� � �� ���� ����� �� �1�6�� ��� � � ��� ��� � � �1� ��� � �
� ������� ���� � � �� ��������
2���
� �"�" � �#�# � � � �� ���� �"�$��
�"�� � �"�"��"� � �#�"��#� � � � �� ���"���� � �" � "� �# � %� � � �� �� � % � �"
2��������� ��� � � #� � � � � ��
���� � �"����"� � � � �� �������� � � � �� �������� � ��
$��� ��� �"�� � �"� �#�� � �#� � � � ����� � ��� 2����������� ��� ������ ���� �"�� ������ �����*� ��� ����� ����� �� ����� ���������� � �� ���� ���� �� ����
��� � �"�����"� � �#�����#� � � � �� ���������� ���"��"�� � ���#��#�� � � � �� ���������� ����"��" � ���#��# � � � �� ����������
2��� �� ���� ����� ��� ��� � �� � � ���"��# � ���#��# � � � �� �������� �� �������
����� +��� $���� ""�-� �� �� ��� �� � ���� �� � ��� �� �� ��� �� � �� ������ �������� �� �1� �� � � �� �����(��(����� �����* ���� �� �� ��� $�� ���"�� �� �� �����(��(����� �����* ���� �� �� ���
2���� ��� � � "� � � � � ��
�� � ��"�" � ��#�# � � � �� ����� ��� �� � ��"�" � ��#�# � � � �� �����
$�� � � ����� ��� ! � ������ 7 �4 �� ��� ���� ! � ���"�� ��� "� ���� �� ��� �� �� ! ��� �� #� ���� �� ��� ������ �� �� � $��
"� � ���"� ��#� � � � � ���� ��� #� � ���"� ��#� � � � � �����
0� �������� �� �� ���� ������
������ � ���"�" � ��#�# � � � �� ���������"�" � ��#�# � � � �� ������� ��"��" � ��#��# � � � �� ������ � "�#� � ���
�� ��� �� �� 3����4� ����� $���
!�� � �"�#�� � ����� � $
$������ ! � ��� ��" � ���"�� � �� �������
����� 2��� � � �� � �� %� ��� ��� � � �� 2�� ���� ��� *���� � � �1 ���� ���� ���� �� %�
7 *��� � �� � ����� �� �#� � � � � �� �� �� 0� $���� /�#� ��� *���� � ���)� ����� �������� � � ���� ���� ���� � " ��� ����� � %� � � #� � � � � �� ��� � ��� �� ����� ������
���!� +��� $���� ""�,8 2��� ��� � � �� $�� �� ������� ����� � � �� �� �� ���������� ��� ���� �11�
7 ���� ��� ���� �� �� � � �� �� ������ ���� ��� ��� ������ ��� � � ��� ��� ������� �� � � ����� �� � ���� � ��� 6�� ��� ����� ���������� � � �1�
��� ����� � ����� ��� � ����� � ����� � ������ � � ����� � ����� � ������2��� ��� ����� � ����� � ������ ��� ��� � � �1� ��� ��� �� � ���� � ��� $��� �� �� � � �� ��������
�
�
� �
-=% ���9 & 6��5$�:� �2 �; $�9 ;� � 2+ 59 <5� +� ""
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
11. Linear Functionals and the Dual Space
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
�� ���� � � �� � �� %� $��� �� +����� ""�.� ��� *���� � � �1 ��� ���� ���� �� %� �������� � ���� �� %� ��� ���� �� �� %� 2��� � �� % ����� �� �� %� �� �� � � �� �� ����������� ��� ��� ������������ �$���� /�.,��
�� ��� � � ��� �1 � ��� �11� ����� � ��� ���� ��������� ����������� �� ����� � � �� ���� ���������� �� � ���� �11�
������������
���(� 2�� ���� �� � � �1 ���������� � ����� % �� �� ��� � ���������� �� ����� ��� &�%� �� %� ���%% � �����%��%�
2��� � � ����%�� $�� ��� *���� �"� � � � ��� � % ��� ���� � � �"�" � �#�# � � � �� �����
���� � �"���"� � �#���#� � � � �� ������� � �"%� �#%� � � �� ��% � %
2��� � �� �� ��������� ���� �� ����%��� ���������� ����%�� �� �������
���)� 6��� � ����� �� �� ����������� � % �� �� ������ � �� �, ����� ��
�" � �"� #��-� ,� ��� �# � �%� "� ,��"�
0� +����� ""�B� �� ������ �� ��� � ����� �� �� �� �� ����� ����������� � ���� ���� ���"� � % ������#� � %� �� ���"� �#� �-� �,� � ��" � ��# � ��- � ��,� $���
��"� #��-� ,� � � � #� � -� � ,� � % ��� ��%� "� ,��"� � �� ,� � � � %
$� ����� �� � � )������� �� �� ��4�� �� �� �� �� � �� �� ����� ���� ��� �� �������� � ��� ��
�"� 2� � � "� � � % �� ������ �� �������� � � ""� � � �,� � � "� � � %�
�#� 2� � � %� � � " �� ������ �� �������� � � .� � � �"� � � %� � � "�
$� ����� ��������� �"���� � ""�" � ,�# � �- ��� �#���� � .�" � �# � �, ���� � ����� �� � %�
����'� 2�� ����8 ��� 6�� ��� ����� % �� � � % � %%%� ��� �� %" � %#� ��� %%# � %%" �
��� �� � � %� $�� ��� ��� ����� ���������� � � %%� ����� � ���� � %� ��� �� � �%%�%� $������ ������ ������������ �� � ��� �11� � � %%%� ����������� % � %%%�
��� �� � � %%# � $�� ���� � % ��� ��� � � %#� 0�� %" � %#' ��� � ���������� ��� ���� �� %"� ����� � %%" � $����� %%# � %%" �
������ +��� $���� ""�/8 2��� � ��� ���� �������� ��� � �� � ������ �� �� $��8
��� ��� � � ��� � % � ��� �� ���� � %% � ��
��� 2��� ��� � � � ��� ��� � � � � �� 7 ��� �� ��� ���� ��� � % � � � �� 7 ����� � ������"� � � � ��� �� � ��� *��� �� �� � ����� �� �� ��� �"� � � � ���� �"� � � � � ����� 5������ �� ���� �����
�"� � � � ���� �"� � � � � ����
0� �������� �� �� ���� ������ ��� �� �� ���� �A� ���������� ��� ��' ��� �"� � � � ����� � � %� 7����� ���� �� �� � ����� �� � %� �� �� �� ��� �� � ����� �� �1� ��� �� �� �� ������� ��������
5� +� ""? ���9 & 6��5$�:� �2 �; $�9 ;� � 2+ 59 -="
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
11. Linear Functionals and the Dual Space
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
7 �*� ��� ���� �� ���� � %� �� � � � %� 0� $���� ""�#�
� � ���"��" � � � �� ������� � ���"��" � � � �� �����������
� %�" � � � �� %�� � ���"��" � � � �� �����������
� ���"��" � � � �� �����������
5���)����� �"� � � � ����� ���� � % ��� �� �� �� � ����� �� � %� ����������� �� �)����
��� � % � � � � � ��� � � ��� � �
���� 2��� ��� � � � ��� ��� � � �� $�� ��� �1 � � ���� �� ���� ��� � % � � � �� $���� �� ������� � %% � � � �� � �� � �' ������ ��� � � ��� � %%� 0� +����� ""�"%� � � � %%� ������������ � � %%�
������ �� � ��� � � ������� �� �� +��� ���� �� � � �% � �% � � %�
�� � � �� � � �%� $�� � ���������� � � �� ��� ��� �� ���������� � ���������� � ��� �� $��� ���� � �% ��� � � � %� ��� � � �% � � %� $��� �� � � �% � �% �� %�
:� �� ���� ����� ���� � � �% � � %� $�� � ���������� � ��� ���� �� �� � � � � �� ���� � � �� �� � � ��� � � �� ��� ���� � ��� � ���� � %� % � %� $��� � ���������� � � �� ����� � �� � � �%� ����������� �% �� % � �� �� �%�
$� � � ��������� �������� ������ ��� �� �� ����� )�������
���*�+� :���� ���� �� �������� ������� �� ����� �� �� ����' ��� �� ����� ����� ������� �� ���� �� ������ ���������
�������� �� � ��� �� ������
������ �� � � �� ����� ���������� �� �# ���� �� ���� �� � � � #�� 6�� ��� �� �� ����� ��� ������������ � �� �#� ��� ���������� ��8��� � ��� �� � ��� %�� ��� � ��� �� � ��� �� ��� ��� � ��� �� � �#� � -�� /�� #��
0� ��������� ����� � � � � � ���� ��� ���������� � ��� ���� ��� ��� �� ���8
��� ���������� �� � ��� ��� ��� � ���� %� � ��
��� ���������� �� � ��� ��� ��� � ���� � � �� � � � #�� � �� � �#� � �
��� ���������� �� � ��� ��� ��� � ��#� � -�� /� � #�� � �#� � -�� � #�/� � #�� � �B� � =�
������ �� � �� � � � ����� ��� �� �� ��1� �1 � ��� �������� 2�� ���� �� 4��� �� �� �� ������������� �� �� ���� �� � � ���� 3� �� � ��� � �%�
2��� � � 3� ��' ���� ��� ����� � � � � � %� �� � �� � � ��� � � ��� ��� ��� � � � ' ���
��� � ��� ���� � �� � � ���� � '��� � %
7 ��� ���� ��� � % ��� ��� � �� � ' ��� � � ��� � �%� $��� 3� �� � ��� � �%�:� �� ���� ����� ���� � � ��� � �%' ���� ��� ���� � � � % � $��� ��� ��� � � ��
���������� � �� � � ���� � ��� ���� � % � '���7 ��� ���������� � '��� ��� ��� � � � ' ��� ����� � %� $��� � � 3� ��� ��� �� ��� � �% � 3� ���
$� � � ��������� �������� ������ ��� �� �� �)���� )�������
-=# ���9 & 6��5$�:� �2 �; $�9 ;� � 2+ 59 <5� +� ""
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
11. Linear Functionals and the Dual Space
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
������ 2��� � ��� � ��� ���� �������� ��� � �� � � �� ������ +��� ���4�� � � ���4�����2��� ��� � � � ��� ��� � � �� ��� ���� ���4�� � � �� 0� $���� ""�/�
������ � �% � ��� � ������ � � � � � ���4�� � � � � �
0� +����� ""�",� 3� �� � ��� � �%� ��� ������� ���� � � � �� �� ��� ����� � ���� �� �������
���4���� � ��� �1� ����������� � � � �� � �� � � � ���4�� �
������ +��� $���� ""�=8 �� � �� � � � ����� ��� �� � � �� �����* ���������� �� � �� ������ �� �� � ��� � �� � � $�� �� ������� �����* �� �� �� �����* ���������� ���� ��1� �1 �� �� ���� ���� �� � ��� ���
2���� ��� � � "� � � � ���
� ���� � ��"" � ��## � � � �� ���� �"�7 ��� �� ��� ����� ��� � � "� � � � � ��
������ � �"��" � �#��# � � � �� ����� �#� �� �� ��� �� �� �� ���� ���� �� � ��� ��� ���������
�� � � � ��� ���� � � �"�" � �#�# � � � �� ����� $��� �� �"��
� ��� � �"� ��"� � �#� ��#� � � � �� ��� ����� �"��""" � � � �� �"��� � �#��#"" � � � �� �#��� � � � �� �����"" � � � �� ������ ��"�"" � �#�#" � � � �� ����"�" � � � �� ��"�"� � �#�#� � � � �� �������
� ��
��"��"�"� � �#�#� � � � �� �������
���� ��� � � "� � � � � ��
����������� � ���� ���� � ��
��
��"��"�"� � �#�#� � � � �� �������
�
� �"�"� � �#�#� � � � �� ����� �-�:� �� ���� ����� ��� � � "� � � � � ��
��"��" � �#��# � � � �� ��������� � ��"��" � �#��# � � � �� ��������"�" � �#�# � � � �� ������ �"�"� � �#�#� � � � �� ����� �,�
2��� � � � �� ���������� �-� ��� �,� ���� ����
������ � �"��" � �#��# � � � �� ������ � � "� � � � � �
���� �� �#�� $��� �� ����� �� �����
�,--"���./*�0 ���%"��&
��� ��� � ��� ��� ��� �
����!� 6���8 ��� �� �� ��� -�� ��� #�� /�� �� ���- � � ��� ���- � � �� ���� ��
���� �� � � #� � -� � ��� ���� �� � � ,� � #� � -
����(� 6��� �� ���� ����� �� ��� �� �� ����� ��� ���� �� �-8 ��� �"� %� %�� �%� "� %�� �%� %� "����� �"��#� -�� �"��"� "�� �#��,� =��
5� +� ""? ���9 & 6��5$�:� �2 �; $�9 ;� � 2+ 59 -=-
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
11. Linear Functionals and the Dual Space
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
����)� �� � � �� ����� ��� �� ���������� ��� � �� ��� �#� �� �"��#��- � �� ����� ����������� �� �
���� ��
�"� ���� ��"
%
��� ��� �#� ���� � ��"�� �-� ���� � �%�
�� ��� � �� �� � ��# � � ��� ���� ����� �� �������� �� ���� 6��� �� ����� "���� #���� -��� �� �
���� �� ���� �� �"��#��-�
����'� 2��� � � � � ��� ���� ��� � % ����� ���� � % ��� ��� � � �1� 2�� ���� � � � ��� ��� ������ ��
������ 2��� �� � � �1 ��� ���� ���� � % ����� ���� � % ��� ��� � � �� 2�� ���� � � �� ��� ��� ������ ��
������ �� � � �� ����� ��� �� ���������� ��� �� 6�� � � �� ��� �� �� � � �� ��� ���� � ���� 2�� ����8 ��� �� �� �����' ��� �� � �� �� ��� �� �� ���
������ �� � � �� ����� ��� �� ���������� �� ��� �#� �� �� �� � � � � �������� �������� �� �������� ��� ����� ����������� ���� �� ��� ���� � ���� ��� ���� � ���� ��� ���� � ���� 2�� ���� �������� ��������� �������� ��� ��� �� ����� "���� #���� -��� �� � ���� �� ��� �����
������ �� � � �� ����� ��� �� �)��� ������� �� ���� �� �� � �� � � � �� ���� �����' ���� ���� ��� � �"" � �## � � � �� ���� �� � � ������ 2�� ���� � �� ������
������ �� � � � ������ �� �� 6�� ��� ����� ���������� � �� �� ��� ���� ��� �� � ����� ���������� � �� � �������� ���� � ���� ��� ��� � � � ' ���� ��� � �� �� ���������� �� � �� ��
������ �� �"� � � � � �� � �� ����� ����� �� ��� 2�� ���� �� ���� ����� �� �"� � � � � �� �� �� �� �� ��� ��!����������' ���� ��� ����"� � � � � ��� � ���
����!� �� � � � ����� ��� ��� �� �� �"��# � �1 ��� ���� ��� � �� ���� �� ���� � �"����#�������� ������ �� �1� 2�� ���� ���� �" � ' �� �# � '�
������������
����(� �� � � �� ������ �� �, ����� �� �"� #��-� ,�� �"� -��#� .�� �"� ,��"� B�� 6��� � ����� �� ������������� �� ��
����)� �� � � �� ������ �� �- ����� �� �"� "� %� ��� �%� "� "�� 6��� � ����� �� �� ����������� �� ��
����'� 2�� ����� ��� ��� ����� % �� � � ����%� � %%%� �� ����%� �� �� ����� ��� �� %�
������ �� � ��� � � ������� �� � ����� ��� � �� ���� ��������� +��� ���� �� � � �% � �% � � %�
������ 2��� � � � � �� +��� ���� � % � �% �� %�
�������� �� � ��� �� ������
������ �� � � �� ����� ���������� �� �# ���� �� ���� �� � -� � #�� 6�� ��� �� �� ����� ��� ����� ������� ��- � �#� ��� ���������� �� �8��� � ��� �� � � �� � �� � � �� ��� � ��� �� � � �� � � � � #� � ��
������ 2��� �" �� � � ��� �# �� � � �� ������ +��� ���� ��# � �"�� � ��"� ��
#�
-=, ���9 & 6��5$�:� �2 �; $�9 ;� � 2+ 59 <5� +� ""
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
11. Linear Functionals and the Dual Space
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
������ 2��� � �� � � �� ����� ��� � ��� ���� ��������� +��� ���� �� �� � �3� � �%�
������ 2��� � �� � � �� ����� ��� � � � +��� ���� � �� � �� ��� *���� � � �1 ���� ���� ����� � % ������ � "�
����!� �� � � �� ���� ��������� 2�� ���� �� ����� � � �� �� �� ���������� ���� ����� �� � ���������1��1�� ��� � �� ��� ����� ������ �� ���
��� ���� �� ����� ��
����(� �� � � � ����� ��� ��� �� $� ���� ������� � !������ ����� � � � � �� ���� ��� � � � �"� ��� �% � � � "� ����� % �� � �� � �'�� �� � � � % ����� � � %� �� � � �1� ;��
�� � � � � � ���� � %� � � � � � � ���� � %� �� � � � � � ���� � %+��� ���� ����� ��� �� �� ����*�
����)� �� � � � ����� ��� �� ���� ��������� ���������� ( �� � ��� � ���� �� �� 4��� �� � ���>������� ���������� � �� �� 2�� ���� ��� ������ �� � �� �� ���������� �� � ���� ����� �� ��������
�.&1��& /� �,--"���./*�0 ���%"��&
����!� ��� .� � /� � , � ��� .� � C� � - � ��� �".� � ,� � "-
����(� ��� �" � �� �# � �� �- � � ��� �" � �-� � /� � # � �# � #� � �� �- � � � #� �
������ ��� �� ��� � �� $�� ��� ���� � � �� � � ��� ����' ��� ������ �� �� ��
������ "��� ��# � �� � ��� � ��
�� � ���� � �� � #��� ��# � �� � ��� � ��
�� � ���� � �� � -��� ��# � ��� ��� � ��
�� � ���� � ��� �
����(� �"��� �� � �� � /� � � � � �#��� �� � �� � #� � �
����)� ���� �� � � � � � �
������ ��� ���������� �� � � -� � � � # � ��� ���������� �� � � �� � /� � -
5� +� ""? ���9 & 6��5$�:� �2 �; $�9 ;� � 2+ 59 -=/
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
12. Bilinear, Quadratic, and Hermitian Forms
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
������� �
��� ���� ����������� � �������� �����
���� ����������
���� ����� ��� ��� �� ������� �� ��� �������� ��� ��� ��������� �� ������� �� �������� �� ������ �� � �� ��� ���� ��� �� ��� ���� � �� ��� �� �� �������� ��� ������������ � ������ �������� ���� � �������� ������ �� ���� ����� �� ���� �������� � �� �������� �� ���
� ������ �� � � � �� ������� � �� �� ����� �� �� �� ���� � � � ��� � � �� �������� ��� ������� �� �� ����� �� � !� ���� ����� � ���� ����� ���� "� " �� #� ����� �� �� ���� � � � � � ��
���� �� ����� �����
$� � � � ���� ���� �� ���� �������� �� � � � �� � ������� �� �� � �� � ������� �� � � � � ���� ����� �� � �� � � � ��� � �� �� � �%
&�' �� " � � � �� � � � "� �� � � � � ���&��' � � ��" � �� � � � � � �"� � � � � � �( )��� ��������� &�' �� ������ �� ����� �� ��� ��� �������� ��� ��������� &��' �� ������ �� ����� ����� ������ ��������
������� ��
&�' $� � �� ��� ������ �� ��* ���� ��� �� � ���� ��� � � ����� � � �� � � � �"�" � � � � � � �� ����
��� �� � �� ��� ��� �� ��� &!� ����� ��� ��� ������ �� � � ���� ���� � �� � �� ��� ��� �� ��'
&�' $� � ��� � � ������ � ��� ��������� � �� �� $� �� � � � � � ���� �� � � �� � �� ������ ��� ��� �� ��� ���� ���� � ��� � � ��� ����
+,-
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
12. Bilinear, Quadratic, and Hermitian Forms
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
&�' $� � � ���� � ��� �� � ����) �� � � � �� ��� � ��� � ������� ���� �� �� ����� �� ��� ��� � ����� �� � � ��� ��� � � ��� � �� ��� ����� �� ����� �%
�� �� � � ���� � �
���������� � �""�"�" � �" �"� � � � �� �������
�� ���� ���� )������ �� �� ����� � ��� �� �� ��� �� ������� ���������� ���������� �� �� ����)�� .������� &" �"' � �� ����� ����� �� � ����� ���� �� �� ��� ��� �� �� ���� ����
����� �� �������� �����
$� ��� � ���� �� �� �� � �� ��� ���� �� �� � ���� ���� ������ �� � ��� �� ��� �� ���� ��� � � � ��� � ��� ��� � �� � ��� � � ��� �� �� ���%
� � ��� � �� � � � �� � �� � �� ��� � �� � �� � � � ���� �� ����� ���� &���� �� /�� � " �0' ��� ���
������� ���� $� � � � ���� ���� �� �������� � �� �� $� ��"� � � � ��� � ��� ����� �� �� ��� ���� �1� ��� � �� � �� � � "� � � � � � �� � ����� �� ��� �� �� �� �� ���� ����� � �� � ��� ������� ����� �� ������ �� ��� ��� � � � �
���! �� ����� ����� �� ��������
$� � � �� ��� ��� �� � ��� � ! � � "� � � � � � � � ����� �� �� ������ � � � � ���
� �" " � � � �� �� � ��� � � �" " � � � �� �� �
���
� � �� � ��" " � � � �� �� �� �" " � � � �� �� �� ��
������� � �� ��
���� �� ���� � � ������ �� �� � �� �� � �� ����� ����) � � ���� �� ��� � � �� �� �� �� � �� ����� ������������ �� ���� �� �� ����� !
�� ���� �� �� 22����) �� �� !33� !� 22�����33 �� �� ��� ����� �� � � � � ��
� � �� � �
������� � �� �� � ��! ���! �" �"�
4�� ���� �! ����� �� �������� &�� ���' ���� �� �� �� ����� !�5
����"� �� �����# ���"�$��% ��%�����
( ��� ��6� ��� ��� � ����) ������� � �� ��� ��� ������� ��� � �� ����� �� � ���7�� ���� �� ���� �� �� �� ����� ���� &���� �� /�� � " �8'�
������� ���� $� " � � �����9��9����� ����) ��� �� ����� ! �� ����� ����� !�� !� � �� �� ����)������� � �� ��� ��� �� �� ������ ����� !� ��� � � "��" �� �� ����)������� �� �� �� ����� !��
�� ���� ���� �������� �� �� ����� ���������
�&��%��� � ����) � �� ���� ��� �� � ����) �� ����� � � �� �� �� )���� � ���9����� � ����) "���� ���� � � "��"�
:��/� " 5 ;!$!<.�=� >?�@=��!:� �<@ �.=A!�!�< �B=A� +,,
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
12. Bilinear, Quadratic, and Hermitian Forms
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
����� �� ���� " � � ������ ������� �� ��� �� ��� ��� � �������� ( ��6 ����������� ������ ��� �� ��� ��6� ����� " ��� "� � �������� �* ��� �� �� ����� ���������� � 9�����
�&��%��� �� �� �� � �� ��� ��� �� �� ����� ��6� �� �� �� ��6 �� ��� ����) ����������� � ( ��� �� ��������� � ������������ �������� �� ��6� � � ��� � ���6� � � ��� ��
���' � ��������( �� ����� �����
$� � � �� ��� ��� �� �� �� �� �� �%
&�' ���������� �� ��� �� � # �� �� � � � *
&��' � �#$�������� �� � � �� � � ��� � �� �� � � � ��
<�� ������ &�' �� ��� ��� &��' �� ��� ����� �� ��� � ��� ��
# � � � �� � �� � � � � � � � �� � ��� � � ��� �� � � � �� � ��� �B� �� ��� ����� ������ &��' �� �� ��� � �� "� " �� #� ��� &�' �� ��� ����� �� �� � � �� � ��� ��� �� � � ��� ��� !� ��� ����� � ������� ��� �6�9������� � ����� �� ��� "� " �� #�
�� ���� ������ ���� �� � ������� �� ��� ���� &���� �� /�� � " � +' �� �� �� ����
������� ���! $� � �� � ������� �� ��� ��� �� �� ��� �� )���� � ����� �� � �� ����� ������� �� � � ��6 ������� ����) % �� �� ���
% � ����# "
�" #
� �
�# "
�" #
� �
� � � � �# "
�" #
� �
� #�� #�� � � � #�� �
A���� �� ���� �� ����� � ��6� �� ����� � ������ �� 4���� �� �� ��� ��" ��6� ���
!� ������ �� �� ���� ���� ����� ���� ��� � ������� �� ��� ��� ���� ��� �� ��6�
���) �*������� �� ����� �����# +������ �����
���� ������ ���������� �� �������� ������� �� ������� �� ��� ���� ��� �������� ���� ������ ��������� �� ���� �� ������� ������� �� �� � �������� �� �� � � � �� ���� "� " �� #�!� ������ " �-� � �� ����� � �� � �� � � � �� ����� �� �� �������� ����� �� ���
�,���%��� �������� �����
$� � � ��� ��� �� �� ��� �� ���� �� � �������� ��� �� �� � � � ��
� � �� � ��� �B� ��� ��� � ���� ���� �� ������� �� ��� �� � �� ��� ����) ��������� � �� �� � �����������)�
�� ���� �� � �� ������� �� ��� ���� &���� �� /�� � " �"#' �� �� �� ���� &( ����������� � � �������� ���� "� " �� #�'
������� ���' $� � � ������� �� ��� ��� �� �� ��� � ��� � ����� ��"� � � � � �� �� ����� �� ������� �� � ������� ����)� ���� ��� �� ���� ��� � # �� � �� ��
+,C ;!$!<.�=� >?�@=��!:� �<@ �.=A!�!�< �B=A� 4:��/� "
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
12. Bilinear, Quadratic, and Hermitian Forms
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
������� ���' &��%����%�-� ����' $� � � � ������� ����) �� �� ��� � �� ������� �� �������� ����)* ���� ��� �� )���� � ���9����� � ����) " ���� ���� "��" �� ������� �
��"�����.�%��� ��"���%��
=�� ���� � �������� � ����) " �� � ������ �� ����� ������� �������� �� �� ��� ����������� �� ������� ��� & � "��" �� �� � ����� �� ����� �� �������� ��� �� �������� �� ����� �� ��� ��������� ���� ��� ����� �� ����� �� �������� �� ��������� ����) ' �� �� � "� � ���� � ������ �� ���� ��� � ���
��"���%�� ���� &���"�$���� ��"�����.�%��� �� � �,���%��� ��%��/' �� ����� �� � �����������) � � ���� �� �� ��
�%�� �� ��� �� �� � &� ��6' ����) % � �"� ' �� �� �" � � �� �� �� �� � �� % ��� �� �����������) ' �� �� ���� �� � �� % �
�%�� �� .)���� �� ��� �""� �� � �� �����
(��� ') �"" �� #� &?� �"" �� � ����� �� ��� #3� � �� �"" �� % ��� �� �� ���� �� �"" �� �"���� � � � � � � � �%
&�' ��� � �� �� ������� 22=� �� *� �� ���"*" � �""*�33�
&�' ��� � �� ���������� �� ��� ������� 22=� �� (� �� ���"(" � �""(�33�
��� �������� ��� �� ����) % �� �� ���
% � �"" # 1 1
# �" 1 1
� �
�1�
(��� '') �"" � # ��� � �� #� �� ��� � "�
&�' ��� � �� �� ������� 22!������� *" ��� * 33�
&�' ��� � �� ���������� �� ��� ������� 22!������� (" ��� ( 33�&��� �������� ���� � ���� �� ��� ������� ��������� ����� ���� �� ����)�� :�� !�'
(��� ''') � ������� ���� ��� � # ��� ��� ��� �� #�
&�' ��� � �� �� ������� 22=� �� *� �� *� � *�33�
&�' ��� � �� ���������� �� ��� ������� 22=� �� (� �� (� � (�33�
&��� �������� ���� ��� ���� �� ��� ������� ��������� ����� ���� �� ����)�� :�� !!�'
���� % �� ��� � ���� �� �� ��� �1�� �� � �� � ������� ����) �� �� �� ���� ��
�%�� !� =��� ��� ���� ��� �� ����) � &�� �� ����� �� ��� �� ��� �� ��� �� �� ����������)' ���� � �� ������� ���� ��� % �� �������� ���� �� ��� % � � &�+�� �� & ��������� �
�%�� '� �� " � +� � ��� & � "��"�
�����0 � ( ������� ���� �� ��� � �� �� �������� �� ����� ���� ���� �� % � ��� ���� ��� �������� �� �� � ����� �� �� �� � �� %�
�����0 � �� ��������� "� " �� # �� ��� �� :�� !!!� �� � ����� ���� ��� �� # ������ �� #�
:��/� " 5 ;!$!<.�=� >?�@=��!:� �<@ �.=A!�!�< �B=A� +,D
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
12. Bilinear, Quadratic, and Hermitian Forms
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
�� E����������� �� �� ���� � ������ ����� �� /�� � " �D�
������� � $� � �" �+
8 �0
�+ �0 C
�
�
�
� ��� � � ������ D�" �� ��� � �������� � ����) " ���� ���� & � "��" ��
������� �
���� ��� �� � ��6 ����) % � �� ' �* ���� ��� �
% � �� ' � �" �+ " # #
8 �0 # " #
�+ �0 C # # "
�
�
�
��� � �� �� �������� 22=� �� * �� � *" � * 33 ��� 22=� �� *+ �� +*" � *+33 �� % � ��� ��� ��� � ������������ �� ��� �������� 22=� �� ( �� � (" � ( 33 ��� 22=� �� (+ �� +(" � (+33 �� ������
" �+ " # #
# " � " #
# �" + # "
�
�
�
��� ���
" # # " # #
# " � " #
# �" + # "
�
�
�
<)� ��� � �� �� ������� 22=� �� *+ �� � * � *+33 ��� ��� �� ���������� �� ��� ������� 22=� �� (+
�� � ( � (+33 �� ������
" # # " # #
# " � " #
# # �8 , � "
�
�
�
��� ���
" # # " # #
# " # � " #
# # �8 , � "
�
�
�
<�� � ��� �� ������� ���� ��
" �" � ,
# " �
# # "
�
�
�
� ��� ��� & � "�"�" �" # #
# " #
# # �8
�
�
�
( ������� ���� " �� �� ������� �� �� ���� �� � �� �� ��� ����)�
+$�1��%�� �����
( ���� ���� � ���������
�&��%��� � � ������� ,�� � � �� � , ������ �� �� ,��� � ��� �� �� ��� ������� �� ������ �� ��
!� "� " �� # �� �� ��� �� �� ��� ��� ��� � ������� ��� �� �������� ��� , �� �� �� ��������� �� �� %
� � �� � " ,� � �� � ,� � � ,����
<�� ������ �� ����� �� � ������� ����) � � ����� ��� "� " �� #� $����� � � ��� ����� �� ��� ���� �� ����� �� , ��� � ����� �� �� ���
,�� � � �� �� � � ���� � �
���������� �
�
�
���� � �
�
���
�������
�� ���� ���� )������ �� �� ����� � �� �� � �� �� � � �������� ���� <�� �� � ��� ���� ����� ����� ���������
�&��%��� � � , ������ �� , �� ����� � �"� � � � � � � �� �� � �� ������ ���� ���� �� �� ����� ���* ���� ���
,��"� � � � � � � ��� ��
�
��� � �
�
���
�������
+C# ;!$!<.�=� >?�@=��!:� �<@ �.=A!�!�< �B=A� 4:��/� "
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
12. Bilinear, Quadratic, and Hermitian Forms
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
?���� "� " �� #� �� �������� ��� , �� @������� ; ������ � ������� ����) � � ���� ����� � �� ��� ��� � ��� � "
���� ���� @�������� � ��� ; � ������ � �� ����
!� �� ����) ��������� � �� , �� ������� � ��� , ��� �� ������� ���������
,�� � � ���� � �""� " � � �
� � � �� ����
�
���� ��� �� �������� �� ������ ������� , �� ������� �� 22���� ������33 ���� A���� ������ " �0� �� �������� ��� ��� ���� � ��������� &��� "� " �� #��
���2 ��� �*������� �� ����� �����# �3 �� �������
���� ������ ���� ������� �� ��� ���� ��� �������� ���� �� ���� ����� � �� �� � � ��� �� ����� ���� �� � ����� �� �������� ����� �� ���� �� � &���� �� /�� � " �"0' �� ���� ����
������� ���) $� � � ������� ��� �� � �� �� ��� �� )���� � ����� �� � �� ����� ������� �� � ������� ����)� .�� ��� ������� ����) ��������� �� ��� ����� ���� � �� ������� ���� ��� �� ��� ���� � �� ������ �����
�� ���� �� � �� ������� �� � �� -�# � '����� � !�������.� ������� �� �� ��� ������ ��� �� ������� �� ��� ��� � ����� ��� ���� ��
��6� � � � � � ��� ���� � � � � �
��� � ����� � ���� �� ���� " �8�� � ������� �� ��� ��� �� ���� �� �%
&�' �������� ������� �� ,��� � ��� �� � # �� �� � �� #�
&��' ����������� ����������� �� ,��� � ��� �� � # �� �� ��
������� �� $� � �� ��� ������ �� ��� =�� ���� �� � ������� �� ��� ��� �� ��� ( ��� ���� �� � ��
������� ������ ���� ��� �� ��� � ���� �� # �� ���
� � � � � " � � � � � �� � � � #
������ " �8 ��� :���� "+ � �� ��� �� ������� �� � � �������� ��� , �� ����� �� �� � � ������� ����) � �� ���� �� �� �������� ��������� ����) "� !� " �� � � �������� �� ��� , ���� ����� �� ������� ��� ���� �� � "3� ��� �"3� �� ����� ���������� <�� �� � ��� ���� ����� ��� ���
��������, ���2 ��� � �������� ��� , ��� � ����� ��������� �� �� ���
,��"� � � � � � � ��� � � " � � � �� � � � � ��" � � � �� �
�� � �� � �� �� ��6 �� �� ����
��������, ���2 &��%����%�-� ����' ��� � ������� ����) � �� ������� �� �� ����� ������� ����)
& � �����'���'�� #�
�� � �� � �� �� ��6 �� ��
:��/� " 5 ;!$!<.�=� >?�@=��!:� �<@ �.=A!�!�< �B=A� +C"
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
12. Bilinear, Quadratic, and Hermitian Forms
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
���4 5�������� �����
$� � � � ���� ���� �� ���� �������� �� �� ���� ) � � �� � /������� �� �� � �� �������� �� � � � � ���� ����� �� � �� � � ( ��� � �� � � ��
&�' �� " � � � �� � � � "� �� � � � � ���&��' � � �� � ��� ��&�� ���� � � ����� �� ���� ) ���E���� �� � ��'
?���� &�' ��� &��'� � ��
� � ��" � �� � � ���" � �� � � � � ��"� � � � �� � �� �� ��"� � � � �� � � � �� � � �"� � �� � � � �
���� ���
����� � � ��" � �� � � �� � � �"� � �� � � � ���� ���� � )��� ��������� &�' �� ������ �� ��� �� �� ��� ����� � B� �� ��� ����� � )������������ &���' �� ������ �� 22���E���� ���33 �� �� ����� ����� � A���� ��������� &��' � � �� ���� ��� �� � ��� ��� ��� ��� ��� �� �� � �� �� � � ��
�� �� �� �� ������� " �8 ��� " �- �� ������� ���� ��� ��� ��� ���� �� ������� ���������� �� ������� ,�� � �� ���� �� ,��� � ��� ��� �� �� � �� /������� , ������ �� � �������, ������ �� ��������� ���� �� ������� ��� � ( ��� ������ ��� , �� �� �� � ���
� � �� � "0,� � �� � ,� � ��� � "
0,� � ��� � ,� � ����
<�� ������ ! � � "� � � � � � �� � ����� �� �� �� ����) / � ���� �� ��� � � �� �� �� �� � ��
����� ������������ �� �� �� ����� !� ;� &��'� � �� �� � � �� ��* ��� / �� ������� ���� �������� �� �� ������� ���� �� / � � � ���� ��� ������� ��������� �� �������� �� � � �����
�� �)� ���� &�� � ���� �� /�� � " �0,' �� �� ���� ) ��� �� �� ���� " �8 �� � ������� �� ��� �����
������� ���4 $� � � ������� ��� �� � �� �� ��� �� )���� � ����� �� � �� ����� ������� �� � ������� ����)� .�� ��� ������� ����) ��������� �� ��� ����� ���� � �� ������� ���� ��� �� ��� ���� � �� ������ �����
����� �� �� ��� ������ � �� �� ������� ��� � ����� ��� ���� ��
��6� � � � � � ��� ���� � � � � �
��� � ����� � ����� �� ���� " �,���� ����� �� � ������� ��� �� ���� �� �%
&�' �������� ������� �� ,��� � ��� �� � # �� �� � �� #�
&��' ����������� ����������� �� ,��� � ��� �� � # �� �� ��
������� �� $� � �� ��� ������ �� ��* ���� ��� �� ��� � �0�� ��� � � �#�� �� ���
� � �� � � � 0" �#" � 0 �# � � � �� 0� �#�
��� �� � ������� ��� �� ��� A���� �� � �� ������� ������ ����� �� ��� � �0�� �� # �� ���
� � � � 0"�0" � 0 �0 � � � �� 0��0� � �0"� � �0 � � � � �� �0�� � #
+C ;!$!<.�=� >?�@=��!:� �<@ �.=A!�!�< �B=A� 4:��/� "
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
12. Bilinear, Quadratic, and Hermitian Forms
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
���-�1 6��7����
�� ����� �����
����� $� � ��"� � � �+� ��� � � ��"� � � �+�� .)��� �� ����) ��������� ��
� � �� � +�"�" � �"�+ � 8� �" � ,� � � C� �+ � 0�+� � -�+�+
$� � � ����� �� ��� �� �� �������� �� ����� ���
� � �� � ���� � �"� � � �+�+ # �
8 , �C
# 0 �-
�
�
�
�"� �+
�
�
�
����� $� � � �� �� � ����) �� �� ���� ���� �� ������� ���� �� �� � � � � ���� �� � �� ������ �� ���
�� ��� �� � � � ��� ��� ��� �� � ���
���" � �� � � � � ���" � �� ���� � ����" � ���
���� ���
" �� � ��� �� � � ��"�� � � � �� � � �
��� �� ��� �� �� ��� ����� � � ���
�� � ��" � �� � � ������" � �� � � �����" � ����� � � �� � �"� � � �� �� ���� �� ��� �� �� ����� ����� � ��� �� �� � �� ��� ��� �� ���
���!� $� � �� �� ��� ��� �� � ���� ��
��"� � �� ��"� � �� � �"�" � +�"� � 0� �
&�' ���� �� ����) � �� �� �� ����� � " � �"� #�� � �"� "� �&�' ���� �� ����) � �� �� �� ����� ��" � � "�� � � �"��"� �&�' ���� �� �����9��9����� ����) " ��� �� ����� � � �� �� ����� ��� � ��� ���� ����
� � "��"�
&�' �� � � ����� �� ��� � � �� � � ���� �� ���"" � �"� #�� �"� #�� � � #� # � � � " � �"� "�� �"� #�� �
�" � �"� #�� �"� "�� � � +� # � �"� � � �"� "�� �"� "�� � +
���� � � �"
+
� �
�� �� ����) �� �� �� ����� � "� �&�' �� � � ����� �� ��� � ���� ���� ���� �� ��
�"" � � � "�� � � "�� � C� -� 0 � -� � " � �"��"�� � � "�� � �+
�" � � � "�� �"��"� � 0� -� 0 � -� � � �"��"�� �"��"�� � D
���� � � - -
�+ D
� �
�� �� ����) �� �� �� ����� ��"� � �&�' (����� �" ��� � �� ��� �� �� � �� �� �" � " � ��� � � " � � ���
" � "
" �"
� �
� "� � " "
�"
� �
"��" � " "
�"
� � �"
+
� �"
" �"
� �
� - -
�+ D
� �
� ����
:��/� " 5 ;!$!<.�=� >?�@=��!:� �<@ �.=A!�!�< �B=A� +C+
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
12. Bilinear, Quadratic, and Hermitian Forms
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
���'� /�� ���� " �"% $� � � �� �9��������� ���� ���� �� �� $� ��"� � � � ��� � ��� ������� �� ��� ���� �1� ��� � �� � �� � � "� � � � � � �� � ����� �� ��� �� �� �� �� ���� ����� � �� � ��� ������� ���� ��� ��� � � � �
$� � "� � � � � � � �� ����� �� � ��� �� ��� � ( ��� ���� ���� � �� ����� ��� �� $� � ��� � ��������� � �� �� � ���� ( � ��� ���� � �
��� ��� ��� !� ������ �� ���� ����
� �� �� ��
��� �� �� �� �� �� �� � � "� � � � � �
( ���
���� ��
�� �� �� ��
��� ��� �� �� ��
������ ����� �� ��
��������� � ��� � � �� ��
�� ����� ��� ��� ����� ��� �� <)�� ������ ������ � 8� ��� �� �� � � "� � � � � ��
# � 8� �� �� � �� ��� ���� �� �� � ��
�� ��� ��� �� ��� �� ����� ���� � �� �� ��������� ��� ��� �� � ����� �� ��� ��
���)� /�� ���� " � � $� " � �� �����9��9����� ����) ��� � ����� ! �� � ����� !�� $� � � ������) ������� � �� ��� ��� �� �� ����� !� ��� � � "��" �� �� ����) ������� ���� ����� !��
$� � � � �� ���� " �� �� �����9��9����� ����) ��� ! �� !�� � ��� " �!� � �! ��� � ��"��!� � ��! * ��� ��! � ��!�"� � ����
� � �� � ��! ���! � ��!�"��"��!�
���� ��� � � ������ ���� �� �� "��" �� �� ����) �� �� �� ����� !��
�*������� �� ����� �����# +������ �����
���2� ���� �� ������� ����) ���� �������� �� ��� �� �� �� ����� �������� ����%
&�' ,��� �� 0� � +� � 0��� � � C�0 � -�0� 0 �
&�' ,���� �� 0� � +� � �0� �0� &�' ,����� �� 0� � � � 8� � ,0
�� ������� ����) � � ���� ���� ����� ,��"� � � � � ��� ��� �� ������� ��� ��� ��� �� ���������� �� �� ���� �� � � ��� �� ���������� ���� ��� ��� ��� ��� ��� �� �� � �� �� �������� ���� ���� ������ �� ����� ����
&�' � �+ 0
�" �+
0 �+ "
�
�
�
� &�' �� �+ # "
# # �""
# #
�
�
�
� &�' ��� � # #
# �8 #
# # �,
�
�
�
�� ���� ����) ��� �� ������� � ���� �� �������� ��� ,�� �� ������� � ���� ��� ,�� ��� �� ���� ������ ����
���4� ���� �� �������� ��� ,�� � ���� �������� �� ��� �� �� �� ����� ������� ������%
&�' � � 8 �+
�+ C
� �
� &�' � �0 �8 ,
�8 �- C
, C �D
�
�
�
� &�' ( � 0 �" 8
0 �, �- C
�" �- + #
8 C D "
�
���
�
�� �������� ��� ,�� � ���� �������� �� � ������� ����) % �� ���� �� ,�� � � ��%���� � � ��� �� �� �� ��� ���� �� ��6������
+C0 ;!$!<.�=� >?�@=��!:� �<@ �.=A!�!�< �B=A� 4:��/� "
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
12. Bilinear, Quadratic, and Hermitian Forms
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
&�' :����� �� �� ���%
,��� �� � ���� � �� �� 8 �+
�+ C
� ��
�
� �
� 8�� +�� �+�� C�� �
�
� �
� 8� � +��� +��� C� � 8� � -��� C�
�� )����� �� �������� 8 �� �� ���� �� � ��� �� �������� C �� �� ���� �� � � ��������� ���� �� �� ��� �� �������� �- �� �� ���� ������ �� �� �� �� ��� �� �� ���������� ���� �+ ��� �+ �� � &�% ���� �� ���������� ��� �+� ���� � �� �������'�
&�' ���� � �� � +9���� ����)� �� � �� ��6������ ��� �� �� 0 � �"� � � �+� ���
,��� �� 0� � 0� � "#��� -� � "0�0� "-�0� D0
,��"� � � �+� � 0� " � "#�"� � -� � "0�"�+ � "-� �+ � D� +�
� � �� �� ���� ���� �� ��������� �� �� ���� ��� � "� � � �
+ &� � � � � 0 ' � �� ������
������� ���� 0��-��D �� �� ��� �� �������� �� �� ���� ������ �� ���� �� �� ��� �� ������������ ���� ��� ��� ��� &� ���� ���� ���� ��� � ���'�
&�' ���� ( �� � 09���� ����)� �� � ��� ��6������ ���
,��"� � � �+� �0� � � " � ,� � +� + � � 0 � C�"� � �"�+
� "#�"�0 � " � �+ � "-� �0 � "C�+�0
���9� $� � �" �+
�+ , �8
�8 C
�
�
�
� ��� � � ������ " �" �� ��� � ���9����� � ����) " ���� ����
& � "��" �� ������� � ��� ��� ������� �� ������� �� ��
���� ��� �� � ��6 ����) % � �� ' �%
% � �� ' � �" �+ " # #
�+ , �8 # " #
�8 C # # "
�
�
�
?���� �"" � " �� � ������ ��� � �� �� �������� 22=� �� * �� +*" � * 33 ��� 22=� �� *+ ��� *" � *+33 �� % ��� ��� ��� � �� ���������� �� ��� �������� 22=� �� ( �� +(" � ( 33 ���22=� �� (+ �� � (" � (+33 �� � �� ������
" �+ " # #
# � " + " #
# " 0 # # "
�
�
�
��� ���
" # # " # #
# � " + " #
# " 0 # # "
�
�
�
�
<)� ��� � �� �� ������� 22=� �� *+ �� * � *+33 ��� ��� �� ���������� �� ��� �������22=� �� (+ �� ( � (+33 �� ������
" # # " # #
# � " + " #
# # D �" "
�
�
�
��� ���
" # # " # #
# � # + " #
# # "C �" "
�
�
�
<�� � ��� �� ������� ��� ��� �� ������� �� " �� �� �� ���� �� � �� % � ���� ��
" �" + �"
# " "
# #
�
�
�
� ��� ��� & � "��" �" # #
# � #
# # "C
�
�
�
�
<�� & ��� � � ������� ��� � � " ������ ������� ����� ���� �� ������� �� � �������� � � � � � � " � "�
:��/� " 5 ;!$!<.�=� >?�@=��!:� �<@ �.=A!�!�< �B=A� +C8
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
12. Bilinear, Quadratic, and Hermitian Forms
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
���:� F������ � ������ " �"� ����� ������� ��� &��� �������' � ������� ����) ��
:����� �� � ��6 ����) % � �� ' �� �� � ������ ��� �� � ����� �� ����� �� ����������� �� ���������� �� ��� �������� �� �� �� ��� �� % � ����� �� �� ����) �� ���� �� ����� �� ����� ��� ���� � �� � ����� �� ����� ������� ���� 1"�1 � � � � �1� ��� ������ ��� ���� � �� ���������� �� �� 1�� ���� ��� �� � ������ ���� �� ������� ����) & �� �� �� ��� �� % �� ��� ��
& � 1 � � �1 1"�1�" 1
� � � �1
� � +�+� � �� + � 1 � � �1 1"
B� �� ��� ����� �� � ������ �� � ��� �� �� ����� �� �������� �� �� ������� ����) ' �� ������ ��� �� % � ���� ��� �� � ������ ���� �� ����) �� �� ���� ��� �� % �� ��� ��
1 � � �1 1"' � 1 � � �1 1" � +
������ " � +� � � �� & � "��"� ����� �� � ������� ������� �� � ��� ��������
����8� /�� ���� " �0% $� � � ������� �� ��� ��� �� � �� � &�� "� " �� #'� ��� ���� � ����� �� ����� �� ����� �� � ������� ����)�
� ������ " �" ����� ���� �� ������� ����) �� � �� ������� �� � ������� ����)� ���� ������� �� �� �� ������� ���� ��� � ������� ����������
������ $� , � �� �������� ��� ��������� ���� �� ������� �� ��� ��� � G��� �� �� � ������� � � �� � "
,� � �� � ,� � � ,����� &����� ���� "� " �� #�'
( ���
,� � �� � ,� � � ,��� � � � �� � �� � � � � � ��� ��� � � � � � � �� � ��� � � ��� �� � � � � � ��� �� � � � ��
!� "� " �� #� � ��� ����� �� �� ������ �� ���� ��������
������ :����� �� �������� ��� ,��� �� � +� � ��� � ��� �� ��� ������������
� � �� +�� � � �� �
&�' =��� ,��� �� �� ����) ��������� ��� ��� �� ����) � ������� ,��� ���&�' =��� �� ��� ������������ ����� ����) ��������� ��� ��� �� ����) " ���������� ��
�� �������������
&�' ���� ,��� �� ����� ���� �������������
&�' ���� ,��� �� ����� ����) ���������
&�' � ,��� �� � �� �� + "
" �"
� ��
�
� �
� ���� � � + "
" �"
� �
* ��� ,�� � � ���� � �� � � �� ��� �
&�' ��
�
� �
� " �+
"
� ��
�
� �
� ���� " � " �+
"
� �
* ��� � � �
�
� �
� � � �
�
� �
��� � � "� �
&�' ��������� �� � ��� � �� , �� ������
,��� �� � +��� +�� � ��� +��� �� �� � � �� �� � +�� � -�� � D� � � � � � 8�� � +� � � �� � 0�� � � � � +� � + �� � #�
+C- ;!$!<.�=� >?�@=��!:� �<@ �.=A!�!�< �B=A� 4:��/� "
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
12. Bilinear, Quadratic, and Hermitian Forms
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
&�' � ,�� � � ���� ��� � � "� � ���� �� � ��"� � ����
,��� �� � ,�� � � ��"��"� � �� �� "
�+ "
� �+ "
" �"
� �" �+
"
� ��
�
� �
� �� �� + �"-
�"- #
� ��
�
� �
� +� � + �� � #�
4�� )����� �� �� �� �� ���� &�' ��� &�' � ��� �5
����!� :����� ��� ������� ����) � � ������"� � � � � ��� �� �� ���� ����� �� ��� ����� ��� �� "� � � � � � � ��� �� ������� �� � ������� ����) & ���� ������� ���� �"
" � � � � � ��
� �
������� ���� ����%
&�' !� � � �� ��� � ��� ����� & �� ���� ��� ������� ���� � �� � "3� ��� #3��
&�' !� � � �� ��� � ��� ����� & �� ���� ��� ������� ���� � �� � "3�� �"3�� ��� #3��
$� " � ����� "� � � � � ��� ���� �� �����& � "��" � ����� �� �������� ����� �� � ������" " � � � � � ��
� �
&�' $� " � ��������� �� �� � "�������
��� �� �� #
" �� �� � #
�
��� "��" ��� �� ���� ����
&�' $� " � ��������� �� �� � "������������
��� �� �� #
" �� �� � #
�
��� "��" ��� �� ���� ����
�����0 ( ������� ���� &�' �� �� ��� �� �� 22�������33 �� � ��� �� 22��������������33�
����'� /�� ���� " �8% $� � � ������� �� ��� ��� �� � �� �� ��� �� )���� � ����� �� ��� ����� �� ����� �� � ������� ����)� .�� ��� ������� ����) ��������� �� ����� ��� ���� � �� ������� ���� ��� �� ��� ���� � �� ������ �����
;� ���� " �0� �� �� � ����� � "� � � � � � �� � �� ����� �� ����� �� � ������� ����) ��������� � ������� ��� � ������ ����� <�� ������ �#"� � � � �#� �� ����� ����� �� �� �� ����� ������� �� � ������� ����) ���� �� ������� ��� �� ������ ����� ( ��� ����� ������� ��� ����� ��� ���� �� ������� ���� �� ��� ����) ���� ���� ���� ��6� � � � � � � �� � ��� �� ������ ����� ���� � � ���
$� 2 � �� ��� ���� �� "� � � � � � ��� � 3 � �� ��� ���� �� #���"� � � � �#�� ��� ��� �� � # ���� ����� � � 2 � ��� ��� �� � # �� �� ����� � � 3� ��� 2 �3 � �# � <�� ���� ��� 2 � �
��� ��� 3 � �� ��� ��������2 �3 � � ��� 2 � ���3 � ����2 �3 � � � � ��� ��� � # � � � �� � �
;�� ����2 �3 � � ��� � � �* ��� � � �� � � � � � � � ��� ���� � �� �� � � ��� ���� � � ��� �������
�����0 �� ���� ���� ��� ���� ���� �� � �� �� ������ �� ����������� ���� ������ �� �� �� ��� ���� � � �� �� � � � � ���� �� �� ������ � � +�
6�����;� ������� ��� +������ �����
����)� /�� ���� �� �� ����� ��������� �� � ������� ����� �������� ��� , � ����� ��%
&�' �� ������� ���� � � ������� �� ��� ������� ��������� �� ,�
&�' ,�� � � #� �� ��� ����� ���� � �� ���
:��/� " 5 ;!$!<.�=� >?�@=��!:� �<@ �.=A!�!�< �B=A� +C,
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
12. Bilinear, Quadratic, and Hermitian Forms
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
������ ,�� � � �"� " � � �
� � � �� ���
�� !� � �� ��������� � �������� ��� � � � ,�� � � #
���� � �� #� ���� &�' ��� �� &�'� :���� �� ������ &�' �� ��� ��* ���� ��� ������ ��� ������� ��� � � #� $� � � �#� � � � � "� � � � #� � �� ���� ���� ���� � � # )��� " �� �� �� ��������� ���,�� � � � �� ��� �������� ��� �� &�' �� ��� ��� ���� ��� &�' ��� �� &�'� �������� � &�' ��� &�' ������ ���
����2� @���� ���� ��� �� �� �� ����� �������� ���� , �� ������� �����%
&�' ,��� �� 0� � � � � � 0�0� 0�0� ,0
&�' ,��� �� 0� � � � � � �0� 0�0� +0
@������ �� &��� �������' �� ������� ����) � ���������� �� ,�
&�' ��� � �� �������� 22=� �� *+ �� *" � *+33 ��� 22=� �� (+ �� (" � (+33� ��� ��� 22=� �� *+
�� * � *+33 ��� 22=� �� (+ �� ( � (+33� ��� �� �
� �" # �
# �
� � ,
�
�
�
�" # #
# �
# � +
�
�
�
�" # #
# #
# # "
�
�
�
�� ������� ��������� �� , �� � �������� ������� ����� "� � "� �� �� ������� � ���� , �� �������������
&�' ( ���
� �" # "
# "
" +
�
�
�
�" # #
# "
#
�
�
�
�" # #
# " #
# # �
�
�
�
�� �� � ������ ��� � �� �� ������� ��������� �� ,� ���� , �� ��� ������� ������
����4� ���� ���� ,��� �� � �� � ���� �� �� ������� ����� �� ��� �� � �� � � # ��� �� �����������& � � � 0�� � #�
������ � � ��� �� �� #� ��� ��� � �� # � � �� #* ���� � �� #� $� � � ���� ���
,��� � � ������ � ������ � �� � � ��� � �� � ��
����� �� �� ����� � ����� ��%
&�' � � �� � �� � � �� ������� �� �� �� � �� ��
&��' � � �� � �� � � �� ���� �� �9�)���
&���' � � # ��� & � � � 0�� � #�
���� , �� ������� ����� �� ��� �� � �� � � # ��� & � #� 4*��� % & � # �� �� ��� �� ����� � #� �� �
�� �� ������� ����) ���������� �� ,�5
����9� @���� ���� � ��� ��� �� �� �� ����� �������� ���� , �� ������� �����%
&�' ,��� �� � � � 0��� ,� � &�' ,��� �� � � � C��� 8� � &�' ,��� �� � +� � ��� �
:����� �� ����������� & � � � 0��� ��� ��� �� /�� � " �",�
&�' & � "-� C � �" � ���� � � " � # ��� & � #� , �� ������� ������
&�' & � -0� # � 00� ���� & � #� , �� ��� ������� ������
&�' & � 0� " � �C� ���� � � + � # ��� & � #� , �� ������� ������
+CC ;!$!<.�=� >?�@=��!:� �<@ �.=A!�!�< �B=A� 4:��/� "
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
12. Bilinear, Quadratic, and Hermitian Forms
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
5�������� �����
����:� @���� ���� �� �� ����� ������ � �������%
&�'
� +� 0� 8�
� +� 8 -� �
0� 8� -� � �,
�
�
�
� &�'+ � � 0� �
� � - �
0� � � ,
�
�
�
� &�'0 �+ 8
�+ "
8 " �-
�
�
�
� ���� ) ����) � � ���� �� ������� �� �1 � �� ���� ��� �� ��� � �����
&�' H�� ���� �� �� ��� �� ��� ���E���� ��������
&�' <�� �� ������ �� �� ��������
&�' H�� !� ����� � � ����) �� ������� �� ��� �� � �� �� �� ��������
����8� $� � � � ������� ����)� ���� ���� �� � ������� ��� �� �� �� �� ���� �� �� � � � � ��� �� �
�� � �� � � � ��� � �"�� � � � ���
���" � �� � � � � ���" � �� ��� �� � ����" � ���
�� ��
� ���" � �� � ���
� �� � � ��"�� � � � �� �� ���� �� ��� �� �� ��� ����� � � ���
�� � � � � ��� �� � ���� �� �� � ������ � ���1 �� � ��� �� � �� �� ���� �� � ������� ��� �� ��� &*��� % ( �� �� ���� ���� ��� �� �� � ��� � ��� �� �� �� ��� �� �����������'
������ $� � � ������� ��� �� �� $� / � �� ����) �� �� � ����� ! � � � �� �� /�� ���� �����%
&�' � � �� � ��!/ ��! �� � � � � ��
&�' !� " �� �� �����9��9����� ����) ��� ! �� � �� ����� !� �� �� ��� � � "�/ �" &�� � +1/+� �� + � �"� �� �� ����) �� �� �� �� ����� !��
<�� ���� &�' �� �� ���� ) ��� �� �� ���� " � �
&�' $� � � � � ��� ������ � �" " � � � �� �� � ��� � � �" " � � � �� �� �� ���� �� �����
� � �� � ��" " � � � �� �� �� �" " � � � �� �� ��� �
�������� � �� ��� � �"� � � � � ���/ ��"� � � � � ����� � ��! / ��!
&�' ���� " �� �� �����9��9����� ����) ��� ! �� !�� � ��� " �! � � �! ��� "��! � � ��! * ��� ��! � ��! � "� ��� ��! � �"��! � � ���� �� ����
� � �� � ��! / ��! � ��!� "�/ �"��!�;�� ��� � � ������ ���� �� �� ��� "�/ �" �� �� ����) �� �� �� ����� !��
������ $� / �" "� � �
� � 0 � +�
� � � +� ,
�
�
�
� � ������� ����)�
���� � �������� � ����) " ���� ���� & � "�/ �" �� ������� � � ��� ��� �� ������� �� / �
:��/� " 5 ;!$!<.�=� >?�@=��!:� �<@ �.=A!�!�< �B=A� +CD
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
12. Bilinear, Quadratic, and Hermitian Forms
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
?� �� ������ � ������ " �" ���� ��� �� �� ��� �� �������� ��� �� ���������� ���E������ ��� ��������� ���� ��� ��� �� � ��6 ����) % � /� ' �%
% �" "� � � " # #
"� � 0 � +� # " #
� � � +� , # # "
�
�
�
��� � �� �� �������� 22=� �� * �� ��"� ��*" � * 33 ��� 22=� �� *+ �� �*" � *+33 ��� ��� ������������ ���E���� �� ��� �������� 22=� �� ( �� ��"� ��(" � ( 33 ��� 22=� �� (+ ��� �(" � (+33 �� ������
" "� � � " # #
# �8� �"� � " #
# 8� + � # "
�
�
�
��� ���
" # # " # #
# �8� �"� � " #
# 8� + � # "
�
�
�
<)� ��� � �� �� ������� 22=� �� *+ �� �8�* � *+33 ��� �� ���������� ���E���� �� ���������� 22=� �� (+ �� 8�( � (+33 �� ������
" # # " # #
# �8� �"� � " #
# # �"D 8� D� �8�
�
�
�
��� ���
" # # " # #
# # �"� � " #
# # �+C 8� D� �8�
�
�
�
<�� / ��� �� ������� ���� ��� �� ������� �� �� ���� �� � �� % �� "� ���� ��
" �" �"� � 8� D�
# " �8�
# #
�
�
�
� ��� ��� & � "�/ �" �" # #
# #
# # �+C
�
�
�
�
<�� & ��� � � ������� ���� ��� � � " ������ ����� ���� �� ������� �� / ������/� � � " � "�
����� ����� 6��� ���
����!� /�� ���� " �+% $� � �� � ������� ��� �� �� ��� �� )���� � ����� �� � �� ����� ��
����� �� � � ��6 ������� ����) % ���� � ��6� �� �� ���# "
�" #
� �
� #� �� ���� ��
����� � ��6� �� ����� � ������ �� 4���� �� �� ��� �� " ��6� ���
!� � #� ��� �� ���� �� ������� � ��� � ��� �� ��� � � "� ��� � " � � � " � � � � # ����� � #� �������� �� � ��� ����� ���� ��� � � " ��� �� #�
���� �� #� �� )��� &�����' "� � � ���� ���� � "� � �� #� !� ����� �� ��� ���� " �� ���������� ������ � ��� ����� ���� � "� � � " ��� �� � � "� � �"� <�� " ��� � ��� ���������* ����� ��� ���� � "� ��� � "� � � � "� "� � � "� "� � #� $� 2 � ����� "� �*���%
&�' �� ����) ��������� �� �� �������� �� �� 2 �� �� ����� � "� �� # "
�" #
� �
�
&��' !� � 2 � ��� � � " � � � ���
� � "� � �� " � � � "� � �� ��� � � � � �� " � � � � � �
$� 3 �������� �� ���� ����� # � � ���� ���� �#� "� � # ��� �#� � � #� .����� �� ��
3 � �# � � � �#� � � # �� �� � 2 ( � ��� ���� � � 2 �3� !� �� � � ���� 2 �3 � �# � ��� �� �� ����� �� ���� ���� � � 2 �3� $�� � �� ��
� ��� � " � ��� "� ��� # � �� �"����� �� � ��� ����������� �� " ��� � � 2�
+D# ;!$!<.�=� >?�@=��!:� �<@ �.=A!�!�< �B=A� 4:��/� "
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
12. Bilinear, Quadratic, and Hermitian Forms
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
( ���� �)� ���� # � 3� ;� &"' ��� &��'� � � "� � ��� "�* ��� �#� "� � ��� � "� � ��� "� � � � "� � #
���� � �� � � � � ��� � ��� ��
�#� � � ��� � � � ��� � � � � � � #
��� # � 3 ��� ��� �� &"'� � � � #� �� � 3� ���� ����� ���� � � 2 �3 * ��� ����� � 2 �3�
<�� �� �������� �� �� 3 �� �� � ������� �� ��� ��� �� 3� ;� ���������� �� )���� � ����� +� � � � � � �� 3 �� ����� �� ����) ������� ������ �� 3 ��� �� ���� ���� �������� �� "� � +� � � � � � �� � ����� �� � �� ����� �� ����) ������� ��� �� ���� ����
�$�������%��, 6��7����
�� ����� �����
����'� $� � ��"� � � ��� � � ��"� � �� @���� ����� �� �� �� ����� � �� ��� ���� �� � %
&�' � � �� � �"� � +� �"� &�' � � �� � +� � � &�' � � �� � "�
&�' � � �� � �" � � � &�' � � �� � �"� � �"� � & ' � � �� � #
����)� $� � �� �� ��� ��� �� � ���� ��
��"� � �� ��"� � �� � +�"�" � �"� � 0� � � � �
&�' ���� �� ����) � �� �� �� ����� � " � �"� "�� � �"� � �&�' ���� �� ����) � �� �� �� ����� ��" � �"��"�� � � �+� "� �&�' ���� �� �����9��9����� ����) " ��� � � �� ��� � ��� ���� ���� � � "��"�
����2� $� � � �� ���� ���� �� 9���� ������ �� �� $� % � "
+ 8
� �
� ��� � ����� � ����%��� ����� � � ��� 22�33 ����� ���� &�' ���� ���� �� � �� ��� ��� �� �� &�' ���� �� ����) �� �� �� �����
" #
# #
� �
�# "
# #
� �
�# #
" #
� �
�# #
# "
� �� �
����4� $� ��� � � �� �� �� �� ��� ���� �� � �� �� /�� �� �� �����%
&�' !� � � � ��� �� ��� � �� � � ��� � �� ��� � ��
&�' !� � ��� � � ��� ��������� �� �� ��� � � �� � �� ����� � ���� �� ��� ��
����9� $� � ���� �� ����) ��������� �� � �� ��� ��� �� � ���� �� � ����� � � � ���� ���� ��������� �� � �� �� ���������� �� ��� � ���� �� ���� ���� � �� �9���� �������
����:� $� � � �� ��� ��� �� �� �� ��� ����� ! �� �� �
!� � �� � � � � � �� � # �� �� � ! ��� !� � �� � � � ��� � � # �� �� � ! ���� ����% &�' !� ��� !� � �������� �� � * &�' !" � ! ��� �� !�
� !�" ��� !�
� !�" *&�' �# � � �# � � ��
���!8� ������ �� � �� ��� ��� �� �� /�� ����% ��6� � � ��� � � ��� �� � ��� � � ��� �� ��� ������ �� � ��� ���
:��/� " 5 ;!$!<.�=� >?�@=��!:� �<@ �.=A!�!�< �B=A� +D"
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
12. Bilinear, Quadratic, and Hermitian Forms
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
���!�� $� � � �� ��� ��� �� �� �� ��� � �� � � �� � � ��� � �� � � � ���� �� � ��� � ��� � ���� ��� � � � ��� /�� �� �� �����%
&�' � ��� � � ��� ���� ��� � � � � �1�
&�' �� � ��� �� � � ��� ��� �������� ��� � ���� �1�
&�' ��6� � � ��6� �� � � � ��6� �� � ��
���!�� ���� ���� ������� �� ������ &����� �� �' �� �� ����� �� �����* ���� ��%&�' � � �� &��' !� � � �� ��� � � �� &���' !� � � � ��� � � (� ��� � � (�
�*������� �� ����� �����# +������ �����
���!!� ���� �� ������� ����) � � ������ �� ��� �� �� �� ����� �������� ����%
&�' ,��� �� 0� � � � C��� � � "-�0� "0�0� 80 � &�' ,��� �� 0� � ��� � � 0�0� 0
&�' ,��� �� 0� � � � �0� � � &�' ,��� �� 0� � ��� �0
���!'� �� ��� �� �� �� ����� ������� ������ �� ��� � �������� � ����) " ���� ���� & � "��" �� ������� %
&�' � �" #
# + -
- ,
�
�
�
� &�' � �" � "
� 8 +
" + �
�
�
�
� &�' � �" �" #
�" " #
# " "
# �"
�
���
�
���!)� $� ,��� �� � � � -��� +� ��� � � �� �� � � +�� ��
&�' =��� ,��� �� �� ����) ��������� ��� ��� �� ����) � ������� �� �������� ����
&�' =��� �� ��� ������������ ����� ����) ��������� ��� ��� �� ����) " ���������� �� ���������������
&�' ���� ,��� �� �����% &�' ���� ������������� &��' ����) ���������
���!2� �� ��� �� �� �� ����� �������� ���� ,��� �� 0�� ��� � �������� � ��� ������������ )������ ������� � �� �� 0 �� ��� �� ����� � � �� � ���� ���� ,�� �� �� �� ������� %&�' ,��� �� 0� � � � -��� C� � 0�0� �0� D0 �
&�' ,��� �� 0� � � � +��� C�0� " �0� 80 �
&�' ,��� �� 0� � � � ��� +� � 0�0� C�0� -0 �
!� ��� ���� ��� �� ��6 ��� ��������
���!4� I�� �� )��� �� � �������� ��� ,��� �� ���� ���� ,� � � # ��� ,��� � # ��� ,� � �� �� #�
���!9� $� !�� � ���� � ������� �� ��� ���� �� �� ���� ����%
&�' !�� � �� � ������� �� ��� �� &�' !� ��� � � �� ��� ��� !�� � � " ���� "��
���!:� :����� � � �������� �� ������ ,��"� � � � � ��� ���
����" �������� �� ��� � ����
&�' !� �"" �� #� ���� ���� �� ������������
�" � �" �"
�""��" � � � � �� �"����� � � � � � � � � �� � ��
�� �� �� ������� ,��"� � � � � ��� � �"" � " � ,��� � � � � � ���� �� ,� �� � �� � �������� �� ������ �
&�' !� �"" � # ���� ���� �" �� #� ���� ���� �� ������������
�" � �" � � � � � �" � � � �+ � �+� � � � � �� � ��
�� �� �� ������� ,��"� � � � � ��� ��
��� �� ��� �� �"" �� #� ����� ���� ���� ��� �� ��� &�'�*��� � ���� ����� �� ������� ����� , �� 6���� �� ���������� ��� �, ���
+D ;!$!<.�=� >?�@=��!:� �<@ �.=A!�!�< �B=A� 4:��/� "
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
12. Bilinear, Quadratic, and Hermitian Forms
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
6�����;� ������� +������ �����
���'8� @���� ���� � ��� ��� �� �� �� ����� �������� ���� �� ������� �����%
&�' ,��� �� � 0� � 8��� ,� � &�' ,��� �� 0� � � � 0��� 8� � -�0� �0� 00
&�' ,��� �� � � � +��� � � &�' ,��� �� 0� � � � ��� � � 0�0� -�0� ,0
���'�� ���� ���� �� �� �� ���� ���� �� ���� �������� ��� �� ������� �����%
&�' ,��� �� � � � 8��� � � &�' ,��� �� � +� � ��� " �
&�' ,��� �� 0� � � � ��� � � �0� -�0� 0
���'�� ������ � �� � � ������� ������� ����� ����)� ���� ���� � � "�" �� ��� �������� � ����) "�
5�������� �����
���'!� A����� � ������ " �" �� ����� �� � ���� ������� ����) /� �� ���� � �������� � ����) " �� �����& � "�� �" �� ������� �
���''� �� ��� ������� ����) /� ��� � �������� � ����) " ���� ���� & � "�/ �" �� ������� %
&�' / � " �
��
� �
� &�' / � " � +�
� +� �"
� �
� &�' / �" � � �
�� "� �
� � "� �
�
�
�
���� �� ��6 ��� ������� �� ��� ����
���')� $� � � � ���� ) �������� � ����)� ���� ���� / � �1� �� ������� ��� ������� ������
���'2� ( ��� ���� � �� /������� ���� ��� �� � �� �� )���� � �������� � ����) " ���� ���� � � "�� �" ������� �� �� �� �� )���� � �������� � ����) + ���� ���� � � +1�+� ���� ���� ������� ������� ���� ����� �� ������ &4���% !� " � �+� ��� "�� �" � +1�+�'
���'4� /�� ���� " �,% $� � � ������� ��� �� �� ��� �� �� � ����� ! �� � �� ����� �� ����� ��� ������� ����)� ��� �� ���� ������� ��������� ��� �� ��� ���� � �� ������� ���� ��� ����� ���� � �� ������ �����
����� ����� 6��� ���
���'9� $� � ���� �� ����� �� �������� ��� � 1 ���� �� ���������� ���E���� �� ��� �������&�� ��� ��� � �� � �� � ��� �� � �� 1'� ���� ���� �� ����� ����) ���������� �� 1 �� �����E���� ������� �� �� ����� ����) ���������� �� ��
���':� $� � ��� 3 � ���� ����� �� �� � ������� �� �3 � � �� �� � � ������� �� �� � ��� 3 ��%
&�' ���" � �� � #� � � ��"�#� � � �� �#��&��' ��� �#" � �# � � � ���#"� � � ���# ��� �� �� � � �� �� � � �#� � 3� /�� �� �� �����%
&�' �� �� ��� �3 � �� �� ��� ���� �� � ��� 3 �� � ������� �� �� ���� ���� �� ��������� ���� �3 ���� ��
&�' !� ��"� � � � ��� �� � ����� �� �1 ��� ��"� � � � ��� �� � ����� �� 31� ��� � �� � � � "� � � � ��� � � "� � � � � � �� � ����� �� ��� �3 �� �� �� �� ���� �� �����#� � ��������#�� ���� ��� ��� �3 � � ��� � ��� 3�
4<�� ���� �� � � 3� ��� � ������ �� ���� ��� � ���������� �� ���� ������5
:��/� " 5 ;!$!<.�=� >?�@=��!:� �<@ �.=A!�!�< �B=A� +D+
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
12. Bilinear, Quadratic, and Hermitian Forms
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
���)8� $� � � � ���� ���� �� �� � ������� �� � � � � � �� �������������������������������
� ����
� � �� �� � � � �������� &� �$�����' ���� � �� �� ��� �� ��� ����� � ���� �� � � "� � � � ���
�� � � � � � ��� � � �� � � �� � � � � � � � �� � � �� � � � ��� � � ���� � ����� �� ��� ���� ��� ��� ���� � � � �)�� �� �9 ��� ��� �� ���� �� ����������� �� ��"� � � � ��� � # ���� �� � �� �� � �� �� /�� �� �� �����%
&�' �� �� ���� � �� �9 ��� ���� �� � �� � ������� �� �� ���� ���� �� ��������� ���� � � � � � �� � ���� ��
&�' �� �� ���� � �� � ������� �9 ��� ���� �� � �� � ������� �� ���� ��
�����0 � !� � � � ��� � ������ �� ���� ��� � ���������� �� ���� ������
�����0 � !� � � ��� ��� �� �������� �������� �� �� � ������� �9 ��� ��� �� ��
���<��� %� �$�������%��, 6��7����
4�������) % � *"� * � � � �� ����� � ����) % ���� ��� *"�* � � � ��
����'� &�' ��� &�' ��� &�' ��� &�' ��� &�' ��� & ' ��
����)� &�' � � 0� "� ,� +�� &�' � � #��0� #� + �� &�' " � +� 8� � � �
����2� &�' "� #� � #� #� "� #� � +� #� 8� #� #� +� #� 8�
���!!� &�' ��0��C� �0� "� ,� �C� ,� 8�� &�' "� #�� " � #� "� #� � "
� #� #��
&�' #� " � � "
� "� #� � #� "�� &�' #� "
� #� "
� #� "� "
� #� "
� #� "
� #�
���!'� &�' " � "� #�� � #� "�� � #� #� "�� & � �����"� +��D��&�' " � "� ��""� #� "��8� #� #� "�� & � �����"� "�� C��&�' " � "� "��"��0� #� "��"�� � #� #� "� #� #� #� #� "�� & � �����"� "� #��D�
���!)� � � ��+� �+��+�� " � "� � +��"�� ,��� �� � �0+� � 0�� � ",�
���!2� &�' � � � +�� "D�� � � �� ,�� 0 � �� ,�� �� �� � � � � +-� �&�' � � � �� � � �� �� 0 � "� ,�� �� �� � � +� � D�
���!4� ,��� �� � � � � � � �"� "�� � � �"��"�
���'8� &�' ��� &�' ��� &�' ��� &�' ��
���'�� &�' � 8C� &�' � �" � � " � &�' � 8
���''� &�' " � "� �� #� "�� & � ' � � � � &�' " � "�� � +�� #� "�� & � �����"��"0�� � � #�&�' " � "� ���+� �� #� "� �� #� #� "�� & � �����"� "��0�� � � "
�
+D0 ;!$!<.�=� >?�@=��!:� �<@ �.=A!�!�< �B=A� 4:��/� "
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
13. Linear Operators on Inner Product Spaces
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
������� �
�� �� �� ������ ����� � ������� ���� �
���� ����������
���� ����� ������ ��� �� ���� ��� � �� ���� ������ � �� �� ��� ������ ���� �� ������� ��� ���� �� ��� ��� � �� ��� �� �� ���� � � �� ������ ����� �� �� ����� ������������� �� ���� � ��� �� �� �� ��� ��� �� ������ ���� ���� �� �� ���� ���� �� ���������� �� �� !������� ���� �� ��� ������ !������� ���� �� ��" � ����� �������"� �"
��� �� � ��� ��� ��� �� � �� ��
�� � ��� � � ������ �������� �� ������ ��� �� ������ �� ����� � ��� � �" ������� ���� �� ������� �� ���
��� ���� ���� ������"� ��� ��������� ����� ���� ��� ���� ����� � �����" ���� ���� �� ��������� ������ ���� � � ����� ���� � �� � ������ ��� ������ ���� ����� ������ ����� ��������#����"� � ��� ���� �� ����� $� � ��� �� �� ���� �� ���%� �� ������� �� � ������ ����� ��
���� ��� �� � �� � ���� �������� �� ��� �������� &��" ����� �������" ������� ����� �� �' �� �������� � ������ ��� � ���� �� ���� �������� �� ���� ������ ���� ��� ��� �' � ���
���� ����� ���� ����
� �� ���� �� �������� ����� ���������
��������� ( ���� ����� � �� �� ��� ������ ���� � �� ���� �� ��� �� ���� ����� �� �' �� ��� �� ���� �� � ��� �'���� �� �" �� � � ��
�� �������� ����� ����� ���� �� ��%���� ����� ��� � ����� ��������� ������ �� ������ ������� ������ ��
������� ��
��� #� � � � �� �)�*�� ����� ���� �� � ���� ����� �� ��� ���� �� �" �� � � ���
���� �� � ������ � ����� � ����������� �� ������� �� �� � �� �� ��%���� �� ��
+,-
Lipschutz−Lipson:Schaum’s Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, 3/e
13. Linear Operators on Inner Product Spaces
Text © The McGraw−Hill Companies, 2004
��� #� � � � ������ �)�*�� ����� ���� �� � ���� ����� �� ��� ���� �� �" �� ��� ���
���� �� � ����� �� � ���� �� � ���'�� � ���'��
���� �� ���%� �� ������� �' �� � �� �� ��%���� �� ��
������� �' ��" ��� ��� �� ��%���� �� � �� � ���� ����� � �� ���%� �� ������� �� � ��� ������ ." !����� /+�/���� �� ���� ���" ��0� �� ������� ���� ��" ���� �� ��� ��%���
�� �������� ���� ����� �� 1���� /+�2� �� �� ���� ���� �� ���� �������
������� ����� #� � � � ���� ����� �� � ����)���������� ��� ������ ���� � �� �� ���3
��� �� ����� � ���*� ���� ����� �' �� � ���� ���� �� ���� �� � ��� �'���� ���" �� � � �� ����� ��� � ��� �� ��%���� �'��
���� �� � �� �� ����� ��������� � ���� ���� �� ��" ��������� ����� � � ������ �� ��� �� ����� ��������� �� �' �� �� ����� � �� �� ���%� �� ��������' �� � �� �� ������� �� �� � ��� � �� ����
������4 ���� �� ���� ����� ���������� ����� ���� �� ������ ������ � ��� �' ���� ����� �� ��� ���������� ���� � � �� ����� ����" �� ��������� ����� ���� ������4���� ���� ���� �� ��� ����� �� � ��� ������ �������� �1���� /+�+/���� �������� ���� ����� �� 1���� /+�-� ������4� ��� �� �� ������ �� �� ��%�����
������� ����� #� � � �/� �$ � ���� ������ �� � ��� �� � � �� ���3��� ��/ �$�' � � �' �$'� ����� ��/�$�' � �$'�/'�
���� ��� �' � ���'� ���� ��'�' � ��
5��� �� ��������" ���� �� ���� ���� ��� ���� $�+ �� ������ �� �� �������������� �� �������
������ � �!�����"# ��$ ����� ���$ !� �%�!�#
6���� ������ //� ���� � ���� ���������� � �� � ���� ���� � �� � ���� ������ ��� � � ������������� �������� �� �������� ���� ����� /+�+�� ����� �� ��� �� �� ���� �� �� ���� ��������� /+�/�#� � � �� ��� ������ ����� !��� � � � ������ � ������ ���� � ���� �"
����� � ��� ��7��� �� ��" �� � � � ��� ��" �/� �$ � ��
�����/ ��$� � ���/ ��$� �� � ���/� �� ���$� �� � �����/� �����$����� ��� �� �� � ���� ���������� �� �� �� ����� �� ���� �� �� ����� �� ���� ��������� ��� �� ���������� �������� ���� ����� �� 1���� /+�+��
������� ����� #� � � � ���� ���������� �� � ����)���������� ��� ������ ���� �� ��� ������� � ���*� ���� � � � ���� ���� ���� � ��� �� �� �" � � ��
��0 ���� �� ���� ���� �� ��� ����� �� ����� �� ������ �������� �1���� /+�$2��
+,8 #�7!(6 51!6(�56� 57 �77!6 1659:�� �1(�!� ;�<(1� /+