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Do originalCalculus - Fifth Edition

Copyrighl 1991, by PWS-Kenl, uma divisao da Wadsworth, Inc.Copyrighl 1995, da Makron Books do Brasil Editora Uda.Copyright 1983, da Editora McGraw-Hili do Brasil, Uda.

Nenhuma parte desla publica

F6RMULAS DE DERIVADAS -.

2D.(u+v)~D.u+D.v

3 D. (uv) ~ uD. v + v D. u

4 Dx(!!.) ~ v Dx u- u Dx vV v2.

7 D. e" ~ e"D. u

8 D.d'~d'lnaD.u

10 D log lul~_I_D ux a U In a x

11 D.senu~eosuD.1l

12 D.eosu~-senuD.u

13 D. tg u ~ see2 U Dx u

14 D.cotu~-CSC2UDxu

15D. see u ~ see u tg it D. u

16 Dx ese u ~ -csc u cot u D. u

17 Dxsen-lu=_~D uvl-rl'"" .r

18 D.eos-lu~~D uvI - U"

19D.tg-lu~_I_D u1+ u2 x

20 D,scc-t u= _~D u- u vu - 1

F6RMULAS DE INTEGRAlS

12Iundu---un+1+C n;

Area A; circunfercncia C; volume V; area de umasuperficie curva S; altura h; raio T.

~b

A~!(a+b)h2

CiRCULO

o

Dw/} )

b

P!USMA

,,'3~-t~{)' :. it/t / i\'rI.~ ~J

I 1'01'1'111' 1',ll Ill( 'AtS

/I"'". H"' I M ,,1,./ .. _ V;;m . (~/a)m

1" ) lj~!j Vnl-Vn'VTJ

1,,1,)' 11"/1'1 ~."fJ(;:r 0" "vV;; ~ n"v;I,llIf"j

"I

II'" a-II"",-n' a"

"01( AIJSOl.UTO (d> 0)

III ,II, I tII" IIIII,,'

1111I IIJ I (desigualdade do triangulo)

""'1"1

ALGEBRA

Se 0 " 0, as raizes de ax2 + bx + C = 0 sao

-b ,fliC4iiCx = 20

y = log. x significa a'I x

log. xy = log. x + log. Y

log! = log x -Iog.y'y

log. 1 = 0

10g.0= 1

TEOREMA BINOMIAL

(x + y)" _ x" + ( ~ ) x" -1 Y + ( ~ ) x" - ~y2 +

... + (nX"-k yk + ... + yO,

onde (~) = k!(nn~ k)!

GEOMETRIA ANALITICAFORMUlA DA DISTA.NClA

d(P" P2) = "{x2 -xlF + (Y2- yyY

EQUA

FUN

INDICE

Capitulo 1 - Revisiio prc-ciilculo ...................................

1,1 Algebra, , , . , , , .. , , . , . , , , , . , , , .. , . , . , , , . , , .. , .. , . , , , , , ,

1.2 Func;6es , , , . , . , , ... , .. , , .. , , , , . , .... , , . , , , . , ... , . , , , , , .. , , , , .

Capitulo 2 - Limites de func;oes .......................................

Introdu~ao ao conceito de limite. , , . , , . , , . , ... , . , , , . , .... , . , , .... , , . , .. ,',,----

Definic;ao de limite, , , .. , .. , . , , . , , , , , , , , .. , . , .

2.12,22,32.42,5",2.6

Tecnicas para a delerminac;ao de limites .. , " .... ,.,., .. " .. "."",.

Limiles que envolvem infinite ."., ,.,." :, , , .. , ., , , . , , , , , , , , , .

Func;6es continuas "', ... " ... ,.", , "., .. ""., ..... , ,.

3,1 Retas langentes e laxas de variac;ao "', .. ,.,",.".,.,.",.""".",."

3.2 Definic;ao de derivada ,.,., .. " ", .. " ,., , "",.,

XXV

12

1733

495064738698 0.;..-

110

113

114124138

xv

16l

174

. 186

A regra da cadeia .

Diferencia~ao implfcita

CapItulo 4 - Aplica~oes da derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

Extremos das funoes 212

o teorema do valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2254.1

4.2

4.3

.' 4.4j

4.5

X4.64.7

4.8

4.9

o teste da derivada primeira ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 233Concavidade e 0 teste da derivada segunda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 243

Resumo dos metodos graficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 254

Problemas de otimizaiio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 264

Movimento retilineo e outras aplicaoes 279

Metodo de Newton 294

CapItulo 5 - Integrais ............................................

A 5.1 Antiderivadas e integra~ao indefinida .

5.4 A integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 339

\,5.5 Propriedades da integral definida 350

A~.6 0 teorema fundamental do calculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 361

5.7 Integra~iio numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . .. . . . . . . . . . .. . .. 375

5.8 Exerclcios de revisiio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 385

~ Capitulo 6 - Aplica~oes da integral definida .............................~~f,'.1 Area. (, / ~: .. '.. ' ' ~ . 6.2 S61idos de revoluiio ; .~" j"'. .' - -, .

'6.3 Volumes por aneis cilindricos .........................................

:::(436445

7.1

'/...7.2

>,3/.7.4

X7.57.6

7.7

A funiio logaritmica natural .

A funiio exponencial natural .

Integra~ao .

Fun~oes exponenciais e logarftmica gerais .

Leis de crescimento e decaimento .

Exerdcios de revisao : : .. : .. : .

Capitulo 8 - Fun~Oes trigonometricas inversas e hiperb6licas ...................

18.1 Fun6es trigonometricas inversas

Capitulo 9 - Tecnicas de integra~ao ...................................~ ..J.l Integraiio por partes : .f 9.2 Integrais trigonometricas .A9.3~.49.5387

388

400

411

;(8.2

8.3

Derivadas e integrais

Fun6es hiperb6licas

Substituic;6es diversas ; .. ; : ................. ,

. Tabuas de integrais ...............................................\ ;. . - .. .

Exerclclos de reVlsao , , , , ,

, 1111Illu 1Il

1111

III

III \

III ,

III

" 1Il11i.

IIIIII11 111"1111~ IlIdclcrminadas ..... 0 00 0 0 0000 0 0 0 0.00 0

1111111111'\'111 lill1iles de inlegra

CAPiTULO 3 As interpretaltoes da derivada como coefi-ciente angular da tangente e como taxa de variac;ao de umafunc;ao foram consideradas simultaneamente, e nao em sec;oesseparadas. Na Sec;ao 3.2 foram introduzidos a regIa da potenciapara numeros racionais e 0 conceito de derivada de ordemsuperior. Deu-se maior eiJfase ao uso de diferenciais comoaproxima

estufa, circulao;;ao dos'ventos dentro de urn tornado, energialiberada pelos terremotos, densidade da atmosfera, movimentodos brao;;osde urn robo e efeitos do gas radon sobre a saude.

EXEMPLOS' Exemplos bem estruturados apresentam so-luo;;oes de problemas analogos aos que constituem as Iistas deexercfcios, Muitos exemplos contem graicos, quadros ou tabclasque auxiliam 0 estudante a compreender os processos e assoluo;;oes, Ha tambCm illistrar;6es legendadas, que constituembreves dernonstrao;;oes do usa de definio;;oes, leis ou teoremas,Sempre que viavel, incluem-se aplicao;;oes que indicam a utili-dade de urn topico,

EXERCiclOS As list as de exerdcios comeo;;am com pro-blemas de rotina e progridem gradativamente ate exercicios maiscomplexos, Muilos exercicios con tendo graicos foram acrescen-tados a esta edio;;ao,as problemas aplicados geralmente vem nofim das listas, para permitir ao estudante ganhar confiano;;a emmanipulao;;oes e ideias novas antes de tentar questoes que exijamanalise de situao;;oes praticas. Uma caracterfstica desta edio;;ao ea inclusao de mais de 300 exercicios marcados com 0 simbolo(9 ,destinados especificamenle para serem resolvidos com 0auxilio de uma calculadora cientifica ou urn computador. Exi-'gem-se recursos graicos para alguns desses exercicios (vejaobservao;;oes contidas no t6pico Calculadoras),

RESPOSTAS A seo;;aode respostas na parte final do livrocontem as respostas da maioria dos exercicios de numero impar.Consideravel esforo;;ofoi desenvolvido para tomar esta seo;;aourninstrumento de aprendizagem e nao urn simples reposit6rio dedados para conferir resposlas, Para ilustrar, se uma resposta e aarea de uma superficie ou 0 volume de urn s61ido, da-se umaintegral definida adequada juntamente com seu valor. Paramuitos exercicios numericos, as respostas sac dadas tanto naforma exata como em forma aproximada, Incluem-se gnlficos,provas e sugestoes sernpre que forem convenientes,

CALCULADORAS Como os estudantes podem ter acessoa diversos tipos de calculadoras ou computadores, nao procura-mos categorizar os exercicios marcados com (9, a enunciado deurn problema deve proporcionar informao;;ao suficiente paraindicar ou sugerir 0 tipo de calculadora ou computador disponi-vel para obter uma soluo;;ao numerica, Por exemplo, se urnexercicio indica que se deve aplicar a regra trapezoidal comn = 4, qualquer calculadora e adequada, desde que a funo;;ao naoseja muito complicada. Ja para n = 20, e recomendavel umacalculadora programavel ou urn computador. Se a soluo;;aode urnexercicio envolve urn grMico, pode ser adequada uma calcula-

dora que imprima grMicos; todavia, funo;;oes ou superficiescomplicadas podem exigir um equipamento computacional so-fisticado. Como a precisao numerica depende tambem do tipode disposilivo computacional utilizado, algumas respos(as apa-recem arrcdondadas para dm\s casas decimais; em oulros casos,a precisao pode chegar a oito casas decimais.

PLANEJAMENTO DO TEXTO E DAS AGURAS 0 textofoi completamente reestruturado de modo a tomar as discussoesmais faceis de seguir e a enfatizar conceitos importantes, Todosos graicos foram refeitos. as graficos de funo;;oes de uma ouduas variaveis foram gerados em computador e desenhados comalto grau de precisao, utilizando a mais modern a tecnologia.

FLEXIBILIDADE As instituio;;oes de ensino que utilizaramas edio;;oes anteriores do livro atestam a flexibilidade do texto.Seo;;oes e capitulos podem ser reordenados de diferentes manei-ras, dependendo dos objetivos e da durao;;ao do curso.

Earl W. Swokowski

A derivada lambem e utilizada na resoluc;ao de problcl1llllque envolvem valores maximos ou minim os, tais como Cub,car uma caixa retangular de volume dado e pete menor Cnsh),calcular a distancia maxima a ser percorrida por urn [ogn II Iobler 0 f1uxo maximo de trafego atraves de uma POIlIt Ideterminar 0 numero de poos a perfurar num campo petrol(fero de modo a obter a produc;ao mais eficienle, delcrrnillil Iponlo enlre duas ConIes luminosas no qual a iluminat;fiv )11

..,AO ESTUDANTE

o calculo Coi descoberto no seculo XVII como instrumento parainvestigar problemas que envolvem movimento. Para estudarobjelos que se movem a velocidades conslanles e ao longo delrajel6rias retiHneas ou circulares, a algebra e a trigonomelriapodem ser suficienles; mas, se a velocidade varia ou se IIIrajel6ria e irregular, 0 calculo torna-se necessario. Uma descri-ao cuidadosa de movimenlo exige defini

\ \ II I ,fl, III" "l/', 1/"11111",111 ""~/::.II;;:IC:,:," --,:,,...~.,...._

maxima e maximizar 0 lucro na fabricac;ao de certo produ't~: asmale maticos freqtientemente utilizam derivadas para dete~lnarlangentes a curvas e para auxiliar na analise de graficosdefunc;6es complexas.

. . Outre>""conceito fundamental do calculo - a inlegral'deji;,ida - e motivado pelo problema da determina

1.1 ALGEBRA

Esta SeliaOcontem t6picos de revisao de algebra que conslituempre-requisitos para 0 calculo. Enunciarernos falos importanles eresolveremos exemplos sem justificar delalhadamenle nossolrabalho. Uma abordagem mais ampla desles assuntos pode serenconlrada em textos de matematica pre-calc;ulo.

Todos os conceilos do calculo baseiam-se em propriedadesdo conjunto ~ dos numeros reais. Ha uma correspondenciabiunivoca entre ~ e os pontos de uma reta real (reta coordenada)1conforme ilustrado na Figura 1.1, onde a e a origem. 0 numeroo (zero) nao e nem positivo nem negativo.

0 B A. . . . .. II .. . .. i> .-3 -2 1-1 I? 1121 I4 n5 as, I-1.5 -I I Vi 2.331t

NUMEROS REA1S I NI,h.tEROS REA1S...- f'O'EGATlVQS _\111 I'OSITIVOS

Se a e b sac reais, ent.ao a> b (a e maior que b) se a-b'e positivo. Uma afirmativa equivalente e b< a (b e menor quea). Referindo-nos ii reta coordenada da Figura 1.1, vernos que a> b se e somente se 0 ponto A correspondente a a esla a direitado pontoB correspondente a b. Outros tipos de desigualdade saca s b, que significa a < b ou a ,; b, e a < b s c, que significaa < be b's c:

ILUSTRA~Ao

5>3(-3f > 0

Demonstra~-se as s~guintes propriedacles:

Propriedades dasdeslgualdades (1.1)

'Proprledades do valor''absoYuto (b > 0) (1.2)

Valem propriedades analogas invertendo-se' os sinais dedesigualdade. Assim, se a < b e b < c, enlao a < c; se a < b,entao a + c < b + c elc.

lal = { a se a " 0-asea

:"'5 ./25 - 4 . 2. (-6)x= 2.2

Uma desigualdade (em x) e uma afinnaC;ao que contemao menos urn dos simbolos , :s, ou ~, lal como

As noc;6es de soluc;ao de uma desigualdade, e resolver umadesigualdade, SaD an~logas aos conceitos correspondentes paraequac;6es.

Freqiientemente referir-nos-emos a illlervalos. Nas defini-c;6esque seguem utilizamos a notac;ao de conjuntos {x: }, ondeo es'pac;o ap6s os'dois pontos e usado para especificar restric;6essobre a variavel x. Em (1.3) designamos (a, b) urn intervaloaberto, [a, b] urn intervalo fechado, [a, b) e (a, b] intervalossemiabertos, e intervalos definidos em terrnos de 00 ou _ce,intervalos infinitos.

NOTAc:;AO DEt1Nlc:;AO GllAFJco

(a,b) {x:a

.------ ........- _..__ ....._---... -----.,.------I (I) I

o 2 3 4

) I I ( I23456

-D,S < x - 3 < D,S

2,5 < x < 3,5

(propriedade do valor absoluto)

(somando 3)

As solu~6es sao numeros reais do intervalo aberto (2,5; 3,5),conforme se ve na Figura 1.4.

2x> 10 (somando 7)

x> 5 (dividindo por 2)

As solu~6es sao dad as por (-00, 2) U (5, 00). Veja 0 grafico naFigura 1.5.

Urn sistema de coordenadas retangulares e urna corres-pondencia entre pares orden ados [a, b] e pontos de urn plano,conforme ilustrado na Figura 1.6. 0 plano e charnado plano

- coordenado ou plano-xy. Note que, neste contexto, (a, b) nao eurn intervalo aberto. Deve-se sempre deixar claro se (a, b)representa urn ponto ou urn intervalo.

b ----~(a,IIIIII

a

b)

(5,2)

(-5, -3) (0, -3) (5:-3)

Formula dadistfmcla (1.4)

Formula doponto medio (1.5)

Demonstra-se que:

A distiincia entre PI e P2 ed(P!, P0 = V(x2 - XI)! + (y! - y1J2

o ponto medio do segmentado PI p! e

M(X':X2, Y':Yl)!y

(n) d(A, lJ)

SOLUC;AO

( S POIIIllS 'SI II IlIl1f '1Ilns .11. 111'"111 I, I, \I ","10 1\ Ii 111111111,'II' (I,ll) I) (I" ), 01\(1)1111\ :

'11'1.11' (I):::lll':lllllli~;'io de xpili X conduz aIllll llllt! cql1a~50

(b) M(-2 + 4 3 + (-2) =M(l 1)2 '2, ','2

Uma equa~ao em x eye uma igualdade como

2x + 3y = 5, Y=,r - 5x + 2 ou T + sen x = 8.Uma solu~ao e urn par ordenado (a,b) tal que toma a equa~aouma identidade quando substituimos x por a e y por b.O gnitIcoda equa~ao consiste em todos os ponlos (a, b) em urn plano quecorrespondem a solu

A Figura 1.11 ilustra urn circulo de centro CCh, k) e raior. Se P(x, y) e urn ponto arbitrario do circulo, entao, pela f6rmulada distancia (1.4), d(P, C) = r, au [d(P,C)]2 = r 2. Isto conduz 11equaao

EquagBo de urn circulo (1.7) \"(X':':h)2+(Y-k)2=,i'

Se 0 raio do circulo e 1, 0 circulo e charnado circulounitario. A equaao do drculo unitario de centro na origem e

Determinar a equaao do circulo de centro CC-2, 3) e que passapelo ponto D(4, 5).

o circulo est a ilustrado na Figura 1.12. Como De urn dos pontosdo drculo, 0 raio r e d(C, D), ou seja,

r=-I(_2_4)2+(3_5)2 =-136+4 =V40

Usando a equaao do drculo com h = -2, k = 3 e r =V40 ternos

(x + 2)2 + (y - 3)2 = 40,

No calculo, costurnamos considerar retas em urn planocoordenado. Suas equa6es SaDdadas pel as seguintes f6rmulas.

(II) Forma Ponto--Coeficienle angular

(ill) Forma Coeficienle angular--Inlerceplo

(1.9) da alguns tipos especiais de retas com seus coeficientesangulares.

(i) Vertical: m nao-definido (i1) Paralelas: m IHorizontal: m = 0

._."Esbo~e_ a.reia definida para cad a par de pontos e determine sell(C. epef\ciente angular. .

(c) A(4,3) e B(-2,3) (d) A(4,-I)eB(4,4)

SOLUC;Ao

x B~~2:~)"'-l-+:+~+~'+-13!-J:)IHI+1 .~ -H-++r1' .r:'~. t(4' -1)

I

I, 'I)

IIII I

2-4 -2 13-(-1) =4""=-2

5-(-1) 6 32-(-2) -4"="23-3 0

4- (-2) =(; =0

(d) 4 - (-1) 5 -, d fi 'd N 'm= 4-4 =O,quenaoe eml o. otequearetae

vertical.

Urna equa~ao linear em x eye uma equa~ao da formam: + by = C (ou ax + by + d = 0), com a e b nao simultaneamentenul os, 0 grafico de urna equa"ao linear e uma reta.

7-21 - (-3)

Podernos usar as coordenadas deA ou deB para (xl' Yt) na forma"ponto-coef.angular'~. (1.8)(ii). Usando A(I, 7) temos:

y-7 =~ (x-I),

(a) Determine 0 coeficiente angular da reta 21: - 5y = 9.

(b) Determine as equa,,6es das retas por P(3, --4), paralela eperpendicular 11 reta (a).

SOLuC;Ao

(a) Escrevendo a equa"ao como 5y = 2x - 9 e dividindo ambosos rnernbros por 5, obternos

2 9y=sx-sCornparando esta equa"ao com a equa"ao geral y = mx + b,vernos que 0 coeficiente angular e m = ~

(b) Por (ii) e (iii) de (1.9), a reta por P(3, --4) paralela 11 reta

(a) tern coeficiente angular ~ e a perpendicular, _~. As2

equa,,6es correspondentes san

y + 4 = ~ (x - 3), ou 2r - 5y = 26

e y + 4 = -% (x - 3), ou 5x + Zy = 7.

Esboce os gnificos de 4x + 3y = 5 e 3x--Zy = 8, e ache 'sell puntude intersec"ao.

As duas equa,,6es sao lineares, logo, os gr('ficos s;,o rclas, I'aratra"ar os graficos podernos usar os ioterccplos-x e us ;ntercep-tos-y, obtidos fazendo-sc x = 0 e y m 0 respcctivalll 'lite.

As coordenadas do ponto P de intersec

- 0.1 )x + (0.1l)\''Y = 1/,[5

(2,51)\"x + (6,27 - ..[f)y = V2

174 I\proxime a menor raiz da seguinte equa~ao:x2 _ (6,7 x 106)x + 1,08 = O. Para evitar caleularliln zero dessa raiz, escreva a formula quadnl.tieaomo

2cx~ -b~

75 A radIo na qual urn comprimido de vitamina Come~a a dissolver-se:depeilde da area da super-ffcie do comprimido. Urna marca de comprimidoI '111forma ciHndr';ca, cornprimento 2 cm, com11'misferios de diametro 0,5 em cad a extremidade(veja a figura). Uma segunda marca de compri-Illi lu vai ser fabricada em forma cililldric~, comH,~ cm de altura.

III) Del'lmine 0 djametro do segundo comprimi-,Ill de modo que a area de sua superficie seja111'11111\do primeiro comprimido.

(10) Ill'lennine 0 volume de cada comprimido.

/I, \1111Iltlll i ""lle

lr- 1-, X

~ ') =( , ) )

1())

I - 1,0,),.......,_1

::: ') ':J , - 'J,)l I -,

~ 'j~

f(x) = ';4 +xI-x

Determine 0 dominie de f.Determine f(5), f(-2), f(-a) e - f(a),

SOLUI;Ao(a) Note-se que f e real se e somente se 0 radicando 4 + x e

nao-negativo e 0 denominador 1 - x e diferente de zero.Assim, f(x) existe se e somente se

ou, equivalentemente, x ;,;-4 ex;" 1.

Logo, 0 dominio e [--4, 1) U (1, 00).

(b) Para achar valores de f, substitufmos x pelos valoresdados:

f(5) = ';4 + 5 = ..f9 =_11-5 -4 4

fG]=2Y ..fIf(-2)= 1-(-2) 3

f( -a) = v'4+""(-iiI _ ';4 - a1-(-a) l+a

-f(a)=- ';4+a = ';4+aI-a a-I

Muitas formulas que ocorrem na matematica e nas cienciasdetemiina'm func,;oes. Porexemplo, a formula A = nl da area Ade urn drculo'de raio r associa a cada real positivo r exatam~nteurn valor de A. A letra r, que represenia urn numero arbitniriodo. dominio, e uma varhivel independente. A letra A, querepresenta '0 contradomfnio, e uma variavel dependente, poisseu valor depellde do valor atribuido a r. Quando duas variaveisreA estao relacionadas desta maneira dizemos que A e fWI~iiode r. Outro exemplo: se urn automovel viaja a uma velocidadeuniforme de 50 km/h, entao a distilncia d (em quil6metros)percorrida no tempo t (em horas) e dada por d = SOt; logo, adistiincia d e uma fun~ao do tempo t.

~1f.~~}1P~~!~m~sf::~~~~~.----~~. ~-.--3m --~ ----,-..~,

ty y = f(x)r--'--------

Co"n~om'o,,1 P( a. f( a)) 1

"1'_ J_ -"1 :I I !fta) 1I I ' I'-----t_~I I a I xi I I. ~- Domlnio de f - ~

Deve-se construir urn tanque de ac,;o,para armazenagem de gaspropano, na forma de urn cilindro circular reto de 3m de alturacom urn hemisferio em cada extremidade. 0 raio r deve ser aind~determinado. Expresse 0 volume V do tanque como func,;ao de r.

A Figura 1.16 ilustra 0 tanque. 0 volume da parte cilindrica edado por 'o?

~ "'?'.@(nl.2) ~~nrOs dois hemisferios das extremidades, considerados em conjuntotern como volume

v = _43n,-3 + 3nr = ~ nr (2r + 15)3 Esta formula exprime V como func,;ao de r.

$e f e uma func,;ao, utilizamos urn graftco para ilustrar avariac,;ao do valor funcional f(x) quando x varia no dominio def. Por deftnic,;ao, 0 grafico de uma func,;iio e 0 graftco daequac,;iioy = f(x) para x no dominio de f. Conforme a Figura1.17, costurI)a-se rotular f(x) 0 graftco de uma func,;ao. Note-seque se pea, b) esta no graftco, entao a coordenada-y b e 0 valorfuncional f(a). A figura exibe 0 dominio de f (conjunto devalores possiveis de x) e 0 contradominio de f (val ores corres-pondentes de y). Conquanto tenhamos considerado 0 dominie eo conlradominio intervalos fechados, eles podem ser intervalosinfinitos ou quaisquer conjuntos de reais.

E importante notar que, como hi! exatamente urn valor f(a)para cada a no dominio, somente urn ponto no grafico terncoordenada-x a, Assim, cada vertical intercepta 0 grafico de umafunc,;iiono maximo em urn ponto. Conseqiientemente, 0 gn\ficode uma func,;ao nao pode ser uma figura tal como urn drculo,que pode ser cortado par uma vertical em mais de urn ponto.

Os inlerceplos-x do gnifico de uma funltao f sao as solultoesdaequaltao f(x) c 0. Tais niimeros sao os zeros da funltao. 0inlerceplo-y do gnifico e f(O), se existir.

Se f e uma fun~iio par - isto e, se f(-x) c f(x) para lodox no dominio de f -entao 0 grafico de f e simetrico em relaltaoao eixo-y, pelo teste de simetria (i) de (1.6). Se f e uma fun~aoimpar - isto e, se f(-x) c -f(x) para to do x no dominio de f- entao 0 grafico de f e simetrico em rela

Se s x s 2, f(x) =x2, e 0 grafico e parte da parabolay = i.Note que (2, 4) nao est a no gnlfico.

Se x 2, os valores funcionais sao sempre I, e 0 graficoe uma semi-reta horizontal com extremidade (2, 1).

Se x e urn numero real, definimos [[xl] como segue:[[x)) = n, oode II e 0 maior inteiro tal que liS X.Se identificames IR com pont os numa reta coordenada,

entao II e 0 primeifo inteiro 11 esquerda de x, ou igual a x.

[[0,5]] = 0[[3]] = 3[[- v'3 ]] = - 2

[[V5]]=2

[[-2,7]] = -3 [[1,8]] = 1 [[-3]] = -3 [[-D,S]] = -1

-2sx

(',1/(',,10 com Gcome/ria Analf/ica Cap. 1

y = 4x'y = ~x'

Se f e g saG fun

Para a fum;ao composta g 0 I, invertemos a ordem,determinando primeiro I(x) e, em seguida g(f(x. 0 dominiede g 0 I e 0 conjunto de lodos os x no dominio de I tais que,I(x) esta no dominio de g.

Se f(x) = r-1 e g(x) = 3x + 5, determine(a) (I 0 g)(x) e 0 dominio de log.

(b) (g 0 f)(x) e 0 dominie de g 0 f.

SOLUc;Ao(a) (f 0 g)(x) = f(g(x

= f(3x + 5)

=(3x +5f-1

=9r + 30x+ 24

definil$ao de log

definil$ao de g

definil$ao de f

o dominio tanto de I como de g e R Como para cada xem ~ (0 dominio de g) 0 valor g(x) esla em ~ (dominio de I),o dominio de log e tambem R

(b) (g 0 f)(x) = g(f(x defini

Suponha que, para urn numero real x, queiramos ca1cular (2x + 5)8usando uma ca1culadora. Primeiro calculariamos 2x + 5 e emseguida elevariamos 0 resultado a potencia 8. Isto sugere fazer

o metoda usado no exemplo precedente pode ser aplicadoa outras fun~6es. Em geral, suponha y = h(x). Para escolher aexpressao interior It = g(x) em uma forma funcional compost a,fa~a a seguinte pergunta: se estivesse us ando uma calculadora,que parte da expressao h(r) seria calculada primeiro? Isto conduzem geral a escolha adequada de It = g(x). Ap6s escolher u, recorraa h(x) para determinar y = f(u). A ilustra~ao que segue contemproblemas tipicos.

ILUSTRAC;Ao

EscolllU de II = g(x)1I=.~-5x+l

Valor do FIlIlfrIO

y = (x3 - 5x + It

y=,h.2_4

2 y= 3x+7

2y=-II

A forma funcional composla nunca e iinica. Considere, porexempl~, a primeira expressao da ilustra: 1

{

X 1 sex,;-226 I(x) = _;2 se -2 < x < 1

-x + 4 se X" 1

{X2 - I--sex -l27 I(x) ~ x + 1

2 se x --1

{

x2 - 428 I(x) = 2 -x se x 2

1 se x - 2

29 (a) f(x) = [[x - 3]]

(e) f(x) = 2[[x]]

30 (a) f(x) = [[x + 2]]

(e) f(x) = ~[[x]]

(b) f(x) = [[x]] - 3

(d) f(x) = [[2x]1

(b) f(x) = [[x]] + 2(d) f(x) = [[~x]]

48 = 1 .~!'-y (x2 + 3x - 5j3

W50 Y= 1 + Tx"

x3-x+l .@ 51 Se I(x) = ~ e g(x) =~, aproxlme

vx.if a g)(2,4) e (g 01)(2,4).

@ 52 Se f(x) =R+1 -I, aproxime f(O,OOOI). Paraevilar ealcular urn valor zero para f(O,OOOI),reescreva a formula de f como

Xlf{x)- R+T + 1Exercs. 31-34: (a) Determine if + g)(x), if - gK~),

ifg)(x) e if Ig)(x). (b) Determine 0 dominie de f + g,1- g,fg e fIg.31 f(x) = VX+ 5;

32 f(x) = ~3 - 2x;

Exercs. 35-42: (a) Determine if a g)(x) e 0 domfniode fog. (b) Determine (g a I)(x) e 0 dominio de g of.

35 f(x) = x2 - 3x; g(x) = vx + 236 f(x) = vx - 15; g(x) = x2 + 2x37 f(x) = vx - 2; g(x) = VX+ 538 f(x) = v3 -x; g(x) = vx+ 2

39 f(x) = v25 -xl; g(x) = vx-3

40 f(x) = v3 -x; g(x) = VXC16

41 f(x) = _x_. g(x)= -x23x+2'

2x33 f(x) =-;

x-4

\\\

g(x) = vx + 5g(x) = vx + 4

3xg(x) = X + 4

3g(x) = ~

53 Deve-se construir uma caixa aberta com urnpeda~o retanguJar de cartoJina de 50 x 76 em,cortando-se uma area x em cada canto e dabran-do-se as lados (veja a figural. Expresse a volumeV da caixa como fun~lio de x. ,

/1x} ./

.' .. " .:./__________ ? ,.., /1'~"-""''''''''

Exercs. 43-50: Determine uma forma funcional com-posta para y.

54 Urn aquario aberto em ci!Jla, de.15 em de altura;deve ter Urn volume de rio It: Sejam x 0comprimento e y a largura (veja'a figural.

(a) Expriinir y como fun~o de x. '.

(b) Exprimir em fun~lio de xa area total de vidronecessario.

43 Y = (x2 + 3x)1f31

45 Y= (X-3)4

f45cm

~

55 Urn baliio de ar quente e Jiberado 3 Ih da tarde esobe verlicalmenle 11 razlio de 2 m/s. Urn pontode observa~lio est a situado a 100m do ponto dochlio direlamenle debaixo do ballio (veja a figural.Sendo t 0 tempo em segundos, apos 1 da tarde,exprima a distancia d do ballio ao ponto deobserva~lio em .fun~lio de t.

56 Deve-se construir urn lanque de a~o em forma deurn ciJindro circular relOde 3m de altura com doishemisferios nos extremos. 0 raio r ainda eSla pardeterminar. Expresse a area S da superficie dotanque em fun~lio de r.

57 De urn ponto exterior P que esta a It unidades deurn cfrculo de raio r, tra~a-se uma tangente aocfrculo (veja a figural. Seja y a distancia do pontoP ao ponto de tangericia T.

(a) Expresse y como fun~o de It. (Sugest5es: Se Ce 0 centro do circulo,PT e perpendicular a CT.)

(b) Se reo raio da terra e It e. a altura de urnfoguete, entao podemos deduzir uma formulapara a distancia maxima (3 terra) que urnastronauta pode ver da nave. Em particular,se It = 321.800m e r = 6.436.000m, de umaaproxima~lio para y.

58 0 trianguloABC esta inscrito em urn semicfrculode diametro 15 (veja a figural.

(a) Se x e 0 comprimento do lade AC, expresseo comprimenlo y do lado BC como fun~ao dex, e indique seu dominio. (Sugestiio: 0 anguloACB e reto.)

(b) Expresse a area do triangulo ABC comofun~iio de x.

~A 15 B

59 As posigaes relativas de uma pista de aeroportoe de uma torre de controle de 6,1m de altura saoiJustradas na proxima figura. A cabeceira da piSlllesta a uma distiincia perpendicular de 100 metrosda base da torre. Se x e a distancia percorrida nilpista par urn avilio, expresse a distancia d enll'o aviiio e a torre de controle como fun~lio de x .

:1\ , \'\ "2 .)' ) "C -:: >'

" . r,-;, "J':

If Wllslru;r urn abrigo retangular aberto11111 I II

(180).1 radiano = ~

Quando se dd a medida em radian os, nao se indicuunidade. Assirn, se urn lingulo tern rnedida em radianos 5,escrevernos 6 = 5 em lugar de 6 = 5 radianos. Quando se tratade rnedida em graus,escrevernos 6 = 5'.

Radianos 0 ~ ~ ~ ~ 2rc 3rc 5rc 7rc 5rc 4rc 3rc 5rc 7rc llrc6 4 3 2 3 4 6 rc 6 4 3 2 3 4 6 2J1:

Graus O' 30' 45' 60' 90' 120' 135' 150' 180' 210' 225" 240' 270' 300' 315' 330' 360'

A tabua acirna exibe a rela

ft I ,II, Ifill '.'111 (Irln"t1I,I" A",,'_"_(i_cn__ C~ap~,_l _

filII

I111111t1111 IrlCBS (1.16)

TlIdosposilivQSt'c~,\();O--~'ee 0> 0

2: ,Se f) e qua/quer angulo (em posi de x radianos ..

Note, por (iii), que nao ha diferen .' 1 + eot2 e = csc2 f)))~ , ,

Cad a identidade fundamental pode ser demonslrada recor-rendo ao item (ii) da Defini

Se a > 0, expre sse ~ ell! termos de uma fun

II II)

1/

e = 5lt6

A Figura 1.35 ilustra 0 angulo e seus angulos de referencia.Utilizando vaiores funcionais de angulos especiais (1.18), ob-temos:

5lt It V3cos (; = -cos "6= -2

5lt It V3Ig (; = -lg"6 = -3

(b) sell 315 = -sell 45 = _Y22

cos 315" = cos 45" = Y22

Se usarmos uma calculadora para aproximar val ores defllnc;oes, os angulos de referenda tornar-se-ao desnecessarios.Como ilustrac;ao, para achar sen 210, colocamos a calculadorano modo grau, inserimos 0 numero 210 e apertamos a tecla SIN,obtendo sen 210 = --0,5, que e 0 valor exato. Usando 0 mesmoprocesso para 240, obtemos a aproximac;ao decimal

Para achar 0 valor exato de sen 240, nao se deve usar umacalculadora. Neste caso, achamos 0 angulo de referencia 60 de240 e usamos 0 teorema sobre angulos de referencia juntamentecom resultados conhecidos sobre angulos especiais, obten~o

sell 240 = -sell 60 = _V32

Para trac;ar 0 griifico do seno e do co-seno, podemos estudara variac;ao de sen e e cas e quando e varia, usando urn cfrculounit,hio U em (ii) da Definic;ao (1.16). Fazendo r = 1, as formulascos e = aIr e sen e = blr tomam as formas mais simples cos e = ae sen e = b. Logo, 0 ponto pea, b) em U pode se denotar porP( cos e, sen ll), conforme ilustrado na Figura 1.36. Fazendo eaumentar de 0 a 21t, 0 ponto P(cos e, sen e) percorre 0 cfrculo

unitario uma vez no senlido anti-horario. Observando a coorde-nada-y, sen e, de P, obtemos os seguintes fatos nos quais as setassao usadas para indicar as variac;oes de e e sen e. (Por exemplo,o ....,.lt/2 indica que e aumenta de 0 a lt/2, e 0....,. 1 significa quesen e aumenta de 0 a 1).

o ....,.~ ....,.It ....,.3lt ~ 2lt2 2

":.~''lI1!,'

~~:\.~..

Se P continua a percorrer U, 0 mesmo padrao se repete aintervalos [m, 4lt] e [4lt, 6ltJ. Em geral, os valores de sen e serepctem em todos os intcrvalos sucessivos de amplitude 2lt. Umafunc;ao f com dominio D e periodica se existe urn. numeropositivo real k tal quc x + k esla em D e f(x+k) = f(x) para todox em D. Isto implica que 0 griifico de f se rcpete a interval ossucessivos de amplitude k. Se existe urn menor numero realposilivo k, e chamado 0 periodo de f. Segue-se que a func;aoseno e peri6dica com periodo 2lt. Utilizando este fato e grafandodiversos pontos, lomando val ores especiais de e tais como lt/6,lt/4 e m/3, oblemos 0 graft co da Figura 1.37(i), em queutilizamos l:J = x como variavel indcpendente (medida emradianos ou numeros reais).

o gr:\fico de y = cos e pode ser obtido 'de modo ana logo,estudando a variac;ao da coordenada-x, cos e, de P na Figura1.36 a mcdida que e cresce. 0 lei tor deve verificar os griificosrestantcs da Figura 1.37. Note que 0 periodo das func;oes tan-gente e co-tangente e It.

Uma equa iio trigonometrica e uma equac;ao que contemexpressoes trigonometricas. Cada identidade fundamental e umexemplo de equac;ao trigonometrica, onde cad a numero (ouallgulo) no dominio da variavel e uma soluc;ao da equac;ao. Seuma equac;ao trigonometrica nao e uma identidade, em geraloblemos soluc;oes utilizando tecnicas analogas as usadas paraequac;oes algebricas. A principal diferenc;a e que primeiroresolvemos a equac;ao trigonometrica em relac;ao a sen x, cos eelc., e em seguida achamos os valores de x ou e que salisfac;ama equac;ao. Se nao se especifica a medida em grollS, entao assoilll;oes de lima eqlla~ao Irigollometrica devem ser expressasem radianos (011;llimeros reais).

u(ii) Y = cosxY

(iii) Y = tgxY

SOLu 0, 0 Iado terminal de e estii no quadrante Iou no quadrante II (veja a Figura 1.38). Assim, hii duassolu~6es para 0 s 8 < 2rt:

(b) Como a fun~ao seno tein periodo 2rt, podemos obler todasas solu~6es adicionando multipJos de 2rt a rt/6 e 5rt/6. Oafvem

8rt285rt2 ..=6 + rtll e = (5 + nil para todo mteno 11

'y I1ti y = sen B y = 2"--m-__~n~~ hnv

~'Irt_7x\:;i1 :DJ3~"1;;;J6 6 6 6 6 6

Uma solu~ao griifica alternativa envolve a determinar;ao doponto em que 0 griifico de y = sen e intercepta a reta horizontaly = 1, con forme ilustra a Figura 1.39.

Dada uma equa

o ultimo numero e uma aproximaao decimal para urn angulode medida n/6 radian os.

E imporlanle nolar que ha muitos va)ores de 0 tais quesen 0 = 0,5, todavia, uma calculadora dii apenas 0 valor entre 0e n/2 (ou entre O e 90). Da mesma forma se sen B = _ 0 5 acalculadora darii uma aproximaao do v~lor 0 = -n/6' (~uo = -30) entre -n/2 e 0 (ou entre -90 cO).

Na Seao S.2 dcfiniremos tambem fun6es denotadas porcos-

I, ou arcos, e tan-I, ou arctg, com as seguintes propriedadcs:

cos-I (cas B) = B se O:s 0 :s lt (ou O:s 0 :s ISO)

Ig-I (Ig 0) = e se -~ < B< ~ (ou -90 < B< 90)

Estas fun6es podem ser cmpregadas da mesma forma queS)N""I (islo e, INV SIN) usada no Exemplo 4. Ao utilizar umacalculadora para achar 0, devem-se observar as restri6es quantoa B. Por exemplo, hii muilos (infinilos) valores de 0 tais que tgo = -1; todavia, uma calculadora dii apenas 0 valor que estii 'entre -n/2 e 0 (ou entre -90 eO). Se se desejam outros valores,pode-se proceder como no excmplo seguinte.

Se 19 0 = -0,4623 e O :s 0 < 360, delermine 0 a menos de 0,1".SOLU

Exercs. 1-2: Ache a medida exala do aogulo emradianos:

1 (a) 150' (b) 120' (c) 450' (d) ....QO

2 (a) 225" (b) 210' (c) 630' (d) -135'

Exercs. 3-4: Ache a medida exala do angulo emgraus:

3 (a) 2Jt3

(b) 5lt6

(b) 4lt3

(d) _ 7lt2

(d) _ 5lt2

(c) 3lt4

(c) lIlt4

4 (a) lIlt6

Exercs. 5-6: Ache 0 comprimenlo do arco quesubtende urn lingulo cenlral e em urn drculo de diamelrod.

. 5 e = 50';(; e = 2,2;

d = 16

d = 120

Exercs. 9-12: Ache as valores das fun~6es trigono-metricas se e e urn angulo agudo.

11 tg e =.1-.,. 12

Exercs. 13-14: Se e esta ria posi~ao padrao. e Q estano lado terminal de e, ache os valores das fun~6estrigon~melricas de e.

Exercs. 15-16: Seja e na posi