Ln Equilibrio General

7/31/2019 Ln Equilibrio General

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Notas de Clase sobre Equilibrio General

(Preliminar e Incompleto)

Andrs Carvajal

Alvaro Riascos

Royal Holloway, Universidad de Londres

E-mail address: [email protected]

Universidad de los Andes

E-mail address: [email protected]


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Contents

1. Introduccin 12. Marco Terico 43. Mercados Contingentes 54. Mercados Financieros 145. La relacon entre los problemas del consumidor en ambos mercados 226. Mercados Financieros Completos 23

7. Aspectos Positivos del la Teora del Equilibrio General en MercadosCompletos 26

8. Disgresin: El Axioma de Preferencias Reveladas y el Teorema SMD 329. Existencia del Equilibrio en Mercados Completos 4010. Economas Regulares en Mercados Completos: Nmero de Equlibrios,

Esttica Comparativa y Genericidad 4411. Aspectos Normativos de la Teria del Equlibrio General en Mercados

Completos 5112. Identificacin 5413. Disgresin: Dualidad en Mercados Contingentes y el problema de

Identificacin 5714. Beneficios del Comercio 62

Bibliography 6715. Solucion Ejercicios 6816. Existencia del Equilibrio en Mercados Incompletos con Activos

Nominales y Numerarios 7617. Mercados Financieros con Estructuras de Activos Generales 7718. La relacin entre los problemas del consumidor en ambos mercados 8119. Mercados Completos 8120. No Existencia del Equilibrio con Activos Reales y Mercados

Incompletos (Hart 1975). 8221. Ineficiencia del Equilibrio con Activos Reales y Mercados Incompletos 8522. Existencia Generica del Equilibrio con Activos Reales en Mercados

Incompletos. 8823. Identificacin y Refutabilidad. 88

Bibliography 8924. Notacin 90

iii


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1. INTRODUCCIN 1

1. Introduccin

El padre del modelo de Equilibrio General (EG) es sin lugar a dudas Leon

Walras (Francia, 1834-1910). Hijo de economista, Walras fue uno de los grandesexponentes de la tradicin Marginalista, junto con W. Jevons y C. Menger. Ademsde la importancia metodolgica de sus ideas, que fortalecieron el proceso de matem-atizacin de la ciencia econmica, las primeras contribuciones de Walras sentarongran parte del pensamiento econmico moderno. Por una parte, fue Walras quienprimero consider de una manera sistemtica el caso de mltiples mercados (con osin produccin). Adems, fue l quien primero deriv (explcitamente) las curvas dedemanda y oferta como solucin a problemas de maximizacin, y quien introdujoel concepto de equilibrio como aquella situacin en la que, en todos los mercados,oferta y demanda son iguales.

A pesar de que su proyecto acadmico era fundamentalmente de carcter nor-mativo, en parte debido a su orientacin socialista, Walras decidi que las primeraspreguntas que deban responderse en torno a su modelo eran de carcter positivo.

El primer problema que Walras atac fue el de existencia. Su respuesta a esta pre-gunta fue simplista: la observacin de que su modelo generaba un mismo nmerode incgnitas que de ecuaciones le sirvi de argumento para afirmar que la pre-gunta de la existencia del EG tena una respuesta positiva. De la misma forma,Walras introdujo el concepto de tatonador o subastador, consistente en un agenteartificial que se encargaba de ajustar los precios en la direccin que los excesos dedemanda/oferta indicaran, y presumi que bajo este mecanismo el EG era estable.

Con estos aspectos positivos presuntamente resueltos, Walras procedi a abor-dar preguntas normativas como cul debera ser la distribucin de la riqueza y cmoera que sta poda aumentarse.

Walras, para entonces profesor de Lausana, fracas en su intento de popularizarsus ideas entre otros economistas y, de hecho, en la actualidad slo su estudiopositivo del problema de EG y su planteamiento del mismo son considerados aportesal desarrollo de la ciencia.

Cuando Walras decidi que era tiempo de abandonar su posicin en Lausana,decidi tambin buscar alguien que lo reemplazara dentro del grupo de personasque haban sido receptivos de sus ideas. Uno de los corresponsales ms habitualesde Walras, un profesor italiano, le recomend a un joven ingeniero con vocacinmatemtica para la posicin, se trataba de Wilfredo Pareto (noble italiano, nacidodurante el exilio de su padre en Francia, 1848-1923).

A pesar de grandes diferencias ideolgicas y personales, Walras decidi dejar aPareto la posicin y, l crea, el proyecto intelectual.

Fueron muchos los aportes de Pareto, y muy grandes las diferencias entre suenfoque y el de Walras, a pesar de que gran parte de la modelacin fue similar.Un primer punto de partida fue que Pareto abandon el utilitarismo, que hasta

entonces haba sido lugar comn en el pensamiento econmico y haba estado im-plcito en las ideas normativas de Walras. Pareto pens que uno poda deshacersetotalmente del concepto de funcin de utilidad, en tanto ste slo constituye unarepresentacin del concepto relevante, las preferencias, las cuales, al no ser compa-rables interpersonalmente, dejan sin piso la teora utilitarista.

Adicionalmente, como parte de su rechazo del utilitarismo, Pareto se apartdiametralmente del concepto de equilibrio que haba defendido Walras. Para l,el equilibrio se obtena en aquella situacin en la que la tensin entre lo que los


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individuos desean y lo que es posible socialmente es plena en el sentido de que conlos recursos disponibles mejorar la situacin de un agente implicara empeorar lade algn otro.

Pareto adems fue quien plante por primera vez el debate sobre implementacinde resultados, con la idea de que, dado que el EG era simplemente la solucin de unsistema de ecuaciones, un gobierno poda simplemente resolver el sistema de ecua-ciones y calcular e imponer el equilibrio sin necesidad de pasar por el funcionamientodel mercado.

A pesar de su formacin de ingeniero, gran parte de su trabajo se centr enun discurso lgico sin formalizacin matemtica. Sin embargo, es tambin claroque sus resultados fueron obtenidos en gran parte gracias al aporte metodolgicoque vino con el concepto de curva de indiferencia, propuesto por un contemporneosuyo, Francis Ysidro Edgeworth (oligarca irlands/ingls - de madre catalana -,1845-1926).

Ante la muerte de sus padres y sus seis hermanos, Edgeworth haba recibido una

herencia millonaria, la cual le permiti dedicarse al trabajo puramente acadmico,a pesar de enfrentar grandes dificultades para obtener una posicin en alguna in-stitucin prestigiosa. Matemtico autodidacta, sus primeros trabajos en economafueron en la tradicin normativa utilitarista, y condujeron a su definicin de lacurva de indiferencia social.

Adems del enorme aporte metodolgico que esto constituy, Edgeworth tuvoadems enormes contribuciones conceptuales. En primer lugar, l estudi el con-

junto de resultados de intercambio a los que ningn individuo o grupo de individuospoda oponerse efectivamente, en el sentido de lograr una mejora para s aislndosedel intercambio. Su conjetura es que en una economa con un nmero muy alto deagentes, este conjunto se reduca a los resultados de equilibrio segn la definicinde Walras.

El trabajo de Edgeworth fue de muy lenta aceptacin. El decidi incluso ale-

jarse por un tiempo de la economa y, de hecho, hizo importantes contribucionesa la teora de la probabilidad, cuando, finalmente y gracias a recomendaciones dealgunos de sus crticos, le fueron ofrecidas una posicin en Oxford y la posicin deeditor de una revista muy prestigiosa: The Economic Journal. De ah, Edgeworthcontinu contribuyendo al EG, en particular con algunos resultados que parecanparadjicos y fueron poco aceptados (aunque hoy es claro que eran correctos) yprincipalmente a los modelos de competencia imperfecta.

Edgeworth no estableci nunca una lnea de investigacin a seguir, y de hechofueron pocos los economistas que se preocuparon por seguir desarrollando sus ideas.Notables excepciones fueron, como ya dije, Pareto, y adems Irving Fisher (USA,1867-1947).

Fisher, un economista de Yale, fue importante no slo porque, siendo un granformalizador matemtico, expres las ideas de Walras prcticamente como hoy las

utilizamos, y porque, independientemente de Edgeworth, defini la curva de in-diferencia (individual) como hoy lo hacemos, sino porque adems dio una nueva,aunque indirecta, prueba de existencia, al ser el primer economista en preocuparseexpresamente en el problema de computacin del EG: Fisher cre una mquinahidrulica que encontraba correctamente el EG en economas de intercambio.

Entre la primera dcada del siglo XX y 1950, las grandes contribuciones a lateora del EG se detuvieron. Esto cambi cuando, por coincidencia, llegaron a


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1. INTRODUCCIN 3

trabajar a la Cowles Commission en Chicago, Kenneth Arrow (Estados Unidos,1921-an vivo) y Gerard Debreu (Francia, 1921-2004).

Arrow era un estadstico matemtico, no particularmente orientado a la vidaacadmica. Sin embargo, presionado por su asesor de tesis doctoral, l comenz sucarrera con dos contribuciones de gran trascendencia. En primer lugar, con su tesisArrow derrumb las bases del utilitarismo, cuando demostr que, bajo axiomasciertamente plausibles, es imposible construir una funcin de bienestar social queagregue las preferencias individuales. En segundo lugar, ya trabajando en Cowles,Arrow demostr que las diferencias entre las ideas de Walras y aquellas de Paretono eran tan relevantes como hasta entonces se haba credo, en el sentido de quelos enfoques de ellos dos eran fundamentalmente equivalentes. Especficamente, ldemostr que cualquier equilibrio de Walras (bajo ciertos supuestos muy razonablesen cuanto a los individuos) era tambin un equilibrio de Pareto y que cualquierequilibrio de Pareto poda implementarse como uno de Walras, por medio de unaredistribucin de los recursos.

Estos dos resultados, que corresponden a la parte ms importante de la agendade Pareto, se conocen hoy como los dos teoremas fundamentales de economa delbienestar. Coincidencialmente, los mismos resultados fueron descubiertos tambinen Cowles, de manera simultnea pero independiente, por Debreu.

Debreu, un matemtico extraordinario por formacin, y que tambin lleg aCowles por sugerencia de su asesor de tesis doctoral, encontraba que los argumentosde existencia dados por Walras estaban lejos de ser satisfactorios. Al encontrarseen Cowles con Arrow, se form el equipo que logr el que podra considerarsecomo el desarrollo ms importante de la teora econmica en toda su historia:incorporando nuevos mtodos matemticos, en 1954 ellos demostraron que bajociertos supuestos poco controversiales, el equilibrio Walrasiano siempre existe (noslo eso, sino que lo lograron hacer de una manera axiomtica, que no necesitabaclculo diferencial). Este hecho revolucion la forma de hacer teora econmica: a

partir de entonces, cuando un concepto de equilibrio es propuesto, su aceptacin enla comunidad acadmica slo puede lograrse cuando el problema de su existenciaha sido plenamente estudiado.

Pero la agenda de investigacin de Arrow y Debreu no termin aqu. Arrow es-tudi el problema de unicidad del equilibrio para demostrar que las condiciones quedicha unicidad requiere son extremadamente duras. Entre tanto, Debreu demostrque el equilibrio no tiene por qu ser localmente aislado ni estable. Por otra parte,l tambin demostr que el equilibrio casi siempre es localmente aislado y que hayun nmero finito de ellos.

Adems, Debreu demostr que Edgeworth estaba en lo correcto cuando conje-tur que al incrementar el nmero de agentes, el conjunto de asignaciones a las queno se les presenta ninguna objecin converge al conjunto de equilibrios Walrasianos.

En sntesis, Arrow y Debreu asentaron definitivamente la teora econmica que

surgi de la agenda de investigacin de sus predecesores, al punto que el modeloWalrasiano tambin suele conocerse en la actualidad como el modelo de Arrow y De-breu. Adicionalmente ellos propusieron, de manera independiente, la generalizacindel modelo para hacerlo dinmico, e incorporaron aspectos de incertidumbre.

Arrow gan el premio Nobel en 1972 y Debreu lo hizo once aos despus.


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2. Marco Terico

Consideremos una economa de dos periodos. En t = 0 el estado de la naturaleza

es cierto, pero en t = 1 hay S N posibles estados de la naturaleza. DenotemosS = {0, 1,...,S}. Supongamos que existen I N individuos y L N bienes en laeconoma y denotemos I = {1,...,I} y L = {1,...,L}. Denotemos n = L (S+ 1).En esta economa, una canasta de consumo es x = (x0, x1,...,xS) Rn+ donde,s S, xs RL+.

Para cada individuo i I, ui : Rn+ R representa sus preferencias, mientrasque i Rn+ representa la dotacin inicial.

Remark 1. Condiciones particulares de las preferencias, que aqu no asumi-mos, son:

(1) Separabilidad: i I, s S,

buis : R

L+ R tal quex = (x0, x1,...,xS)

Rn+, ui (x) =

XsSbuis (xs).

(2) Separabilidad en expectativas individuales: i I, bui : RL+ R yi I, s S, is R+ tales que i I,

XsS

is = 1 y i I,x = (x0, x1,...,xS) Rn+, ui (x) =

XsS

isbui (xs) . El lado derecho dela anterior igualdad puede expresarse como E

ihbi (xs)i.

(3) VonNewmann-Morgestern: i I, bui : RL+ R y s S, s R+tales que

XsS

s = 1 y i I, x = (x0, x1,...,xS) Rn+, ui (x) =XsS

sbui (xs) .Definition 1. ui : Rn+ R es montona si para x >> y, ui(x) > ui(y) y

estrictamente montona six y, x 6= y implica ui(x) > ui(y).Condition 1. Asumimos que para todo i I:

(1) ui es contnua, montona y estrictamente cncava.(2) En el interior deRn+, u

i es diferenciablemente estrctamente montona

(i.e., x Rn++, Dui (x) >> 0) y diferenciablemente estrctamente cn-cava (x Rn++, D2ui (x) es definida negativa).

(3) Para toda secuencia {xk}

k=1enRn++ tal que xk x Rn++ = Rn+\Rn++

, es cierto que Dui(xk)xk

kDui(xk)k 0 y

Dui (xk) .Remark 2. La primera parte de la condicin (3) quiere decir que cuanto ms

uno se acerca al borde del espacio de consumo, ms se inclina el espacio tangente alas superficies de indiferencia (las superficies de indiferencia son los conjuntos ui,

R donde ui = x Rn+ : ui(x) = .La ltima parte se conoce como condicin de Inada: cuando no se tiene nada

de algn bien, la utilidad marginal de un poco es tan grande como uno quiera. Lacondicin (3) implica que la demanda ptima est siempre en el interior de X.

La condicin (3) esta relacionada a, pero es independiente de, la condicinque pide que los contornos superiores de cada punto interior estn contenidos en elinterior del espacio de consumo. Es decir, que para todo x Rn++,

y Rn+ : ui(y) ui(x) Rn++.


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3. MERCADOS CONTINGENTES 5

Sea u : R2+ R, definida por u(x0, x1) = x0x1. u satisface la condicin de loscontornos pero no la condicin (3). Ahora si u(x0, x1) =

x0 +

x1, entonces u

satisface la condicin (3) pero no la de los contornos.Ambas condiciones garantizan que la demanda es interior. La condicin (3) no

es ordinal mientras que la de los contornos s lo es. Sin embargo, la condicin decontornos excluye funciones de utilidad separables en estados, como por ejemplo,las de utilidad esperada del tipo Von Neumann-Morgenstern.

Remark 3. Estas condiciones no son las ms generales con las que podriamostrabajar. Sin embargo, son lo suficientemente restrictivas para obtener todos losresultados principales y lo suficientemente dbiles para incluir algnos de los ejem-plos ms importantes. Por ejemplo, la satisfacen funciones de utilidad del tipoVonNewmann-Morgestern donde cada bui satisface la condicin 1. Algunos ejemp-los importantes como funciones de utilidad Cobb Douglas no cumplen la condicin1, pues no son cncavas, pero bastaria con que utilizaramos el concepto de quasi-concavidad.

Example 1. Seau : R2+ R, definida por u(x0, x1) = x0 + x1 entonces usatisface la condicin 1.

Una economa es E =I,

ui, iiI

.

3. Mercados Contingentes

Suponga que en el periodo t = 0 se abren mercados spot para los L bienesy que hay mercados de contratos contingentes para cada uno de los S estados ent = 1. Es decir, en t = 0 existe un mercado (o un mercado para cada bien)donde se transan los L bienes a la vista. Quiere decir, que el intercambio de bienestoma lugar en ese mismo momento (t = 0) y no en el futuro. Esto es lo quequremos decir por mercados spot y los precios as los que se intercambia en esemomento es P0. Por mercados contingentes para cada bien queremos decir que ent = 0 se transan promesas de intercambio de bienes en el futuro y cada promesaes diferente para cada esta de la naturaleza diferente en el futuro. Asi, la promesade entregar una unidad del bien l si el estado de la naturaleza es s en t = 1 setranza hoy, en t = 0 para hacer entrega en el futuro, en t = 1, al precio Ps,l .Denotemos por P = (P0, P1,...,PS) Rn++ los precios en estos mercados (spoty contingentes). Cada agente i enfrenta la restriccin de escoger en el siguienteconjunto presupuestal:

B

P, i

=

x Rn+

P x 6 P i

Definition 2. Para cada agente i I, definimos la funcin demanda individ-ual fi : Rn++ R

n+, como f

i

P, i

= arg max

ui (x) : x B

P, i

.

Remark 4. Por las condiciones (1) y (2) y debido a la convexidad de los con-juntos presupuestales, existe una nica solucin al problema de maximizacin, luegola funcin de demanda individual es, de hecho, una funcin y no una correspon-dencia.

Remark 5. Obsrvece que desde el punto de vista del consumidor, lo nico queimporta son los precios relativos. Por ejemplo:

fi

P, i

= fi

P0, i


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donde P0 = PPs,l para cualquier estado s y bien l.

Remark 6. Es fcil ver que P fi P, i = P i, es decir. Los agentes agotantodo su ingreso. Esta caracteristica de la funcin demanda se conoce como la Leyde Walras.

Definition 3. Dada una economa E, un equilibrio en mercados contingenteses

P,

xiiI

tal que:

(1) i I, xi Arg maxui (x) : x B P, i .(2)

PiIx

i =P

iIi

Remark 7. Obsrvece, que por la ley de Walras, cuando n 1 mercados estnen equilibrio (condicin (2)) entonces n mercados estn en equilibrio.

Example 2. (Mas-Colell et. al. 1995. Pgina 521). Sea L = 1, S = 1, I =

2, w

1

= (2, r), w

2

= (r, 2), r = 2

89

219

> 0 y

u1(x1, x2) = x1 x82

8,

u2(x1, x2) = 18

x81 + x2

Obsrece que las funciones de utilidad no satisfacen todas las condiciones im-puestas anteriormente. Sin embargo, intentemos calcular los equilibrios de estaeconoma.

Es fcil ver que los precios de equilibrio son las soluciones a la siguiente ecuacin:p2p1

19+ 2 + r

p2p1

1

p2p1

89= 2 + r

y esta ecuacin tiene tres soluciones p2p1 =12 , 1 y 2.

Remark 8. Los equilibrios en mercados contingentes no son necesariamentenicos.

Proposition 1. La funcion demanda es continua en todo su dominio y difer-enciable enRn++ R

n++. Adems, si

i 6= 0 entonces fi

P, i Rn++.

Consideremos cada una de las anteriores afirmaciones por separado.

3.1. Continuidad. Sea RM, 6= , y : RN una correspondenciade valores no vacos: , () 6= .

Definition 4. Sea de valores compactos:

, () es compacto. Deci-

mos quees hemicontnua superior en si para todo par de secuencias(n)n=1,definida enRM, y (xn)

n=1, definida enRN, y tales que

(1) n N, n ;(2) limn n = ;(3) n N, xn (n);

existe una subsecuencia

xn(k)k=1

y x () tal que limkxn(k) = x. es hemicontnua superior si es hemicontnua superior en todo .


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FIGURA 1.

Una correspondencia hemicontnua superior tiene la propiedad de que su grficoes cerrado en los puntos en los que explota.

Definition 5. es hemicontnua inferior en si para toda secuencia(n)

n=1, definida enRM, tal que

(1) n N, n ;(2) limn n = ;

Entonces para todo x (), existe una secuencia (xn)n=1 enRN tal que(1) n N, xn (n);(2) limnxn = x. es hemicontnua inferior si es hemicontnua inferior en todo .

FIGURA 2.

Una correspondencia hemicontnua inferior tiene la propiedad de que su grficoes abierto en los puntos en los que explota.

Definition 6. es contnua en si es hemicontnua superior e inferioren . es contnua si es contnua en todo .

Una correspondencia contnua no explota.

Theorem 1. SiF : RN es de valores unitarios y es hemicontnua superioro inferior entonces la funcin f : RN, definida implcitamente por{f()} =F(), es contnua.

Exercise 1. Probar el anterior Teorema.

La utilidad del concepto de continuidad de correspondencias es la siguiente:Theorem 2 (El Teorema del Maximo). Sea f : RN R una funcin

contnua y : RN una correspondencia contnua y de valores no vacos ycompactos. La correspondencia F : RN definida por

F() = Arg maxx()

f(x, )

es hemicontnua superior (siendo de valores no vacos y compactos) y la funcinv : R definida por

v () = maxx()

f(x, )

es contnua.

Theorem 3. La correspondencia presupuestal B : Rn++

Rn+

Rn+

es con-tnua.

Proof. Fije (P, ) Rn++ Rn+. Sea ((Pn, n))n=1una secuencia definida enRn++ R

n+ tal que (Pn, n) (P, ). Sea (xn)n=1 una secuencia tal que n N

xn B (Pn, n). Dado que Pn P R++, P R++ tal que n N Pn P.De la misma manera, dado que n , 0 Rn+ tal que n N n 6

0.Ahora, como Pn 0 Pn n luego, P 0 P . Puesto que Pn n P entonces N N tal que n N P (0 +1) Pn n. De otra parte es claro que


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existe Rn+ tal que P P (0 +1) En conclusin P R++, Rn+y N N tal que para todo n N, Pn P, y Pn n 6 P .

Por lo tanto, para todo n

N, xn

B (Pn

, n

)

B (P, ). Esto implica queexiste una subsecuencia xn(k)k=1 de (xn)n=1 que es convergente. Sea x el lmitede esta subsecuencia. Por continuidad del producto interno Pn(k) xn(k) P x,mientras que k N Pn(k) xn(k) 6 Pn(k) n(k) P implica que P x 6 P ,y por tanto x B (P, ). Esto muestra que B es hemicontnua superior en (P, ).Dado que (P, ) era arbitrario, B es hemicontnua superior.

Sean ahora ((Pn, n))

n=1una secuencia definida enRn++R

n+ y x Rn+ tales que

(Pn, n) (P, ) y x B (P, ). Si = 0, el problema es trivial. Supongamosentonces que Rn++. Defina xi = PiiP

P1x1Pi,1

,..., PnxnPi,n

. Es facil ver que i N

xi B (Pi, i) y xi x Esto muestra que B es hemicontnua inferior en (P, ).Dado que (P, ) era arbitrario, B es hemicontnua inferior.

Corollary 1. Seau : RL+ R una funcin de utilidad contnua. La corre-spondencia de demanda es hemicontnua superior y la funcin de utilidad indirectaes contnua. Si u es estrctamente cncava la funcin de demanda es contnua.

3.2. Interioridad.

Theorem 4. Si i 6= 0 entonces fi

P, i Rn++.

Proof. Supongamos, sin perdidad de generalidad que kPk = 1.Defina el conjunto D (P) =

(m, ) R2++

P 1 < m

, donde

1 =

11...1

y la funcin v : D (P) Rn porv (m, ; P) = max

xu (x) s.a.

P x 6 m

x > 1

El Lagrangiano asociado es es : Rn+ R+ Rn+ R, definido por

(x,,; m,,P) = u (x) + (m P x) + (x 1)El problema de maximizacin tiene una solucin x Rn++, la cual, por el

teorema de Kuhn-Tucker, debe satisfacer que, para algun R++ y Rn+Du (x) + = P

(x 1) = 0y por tanto que

Du (x) x + x = P xReemplazando,

Du (x) x + 1 = P x

=v

m(m, ; P) P x

>P x kDu (x)k

2

P Du (x)


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donde la segunda igualdad viene por el teorema de la envolvente (que garantiza quev es diferenciable y tiene esa derivada) y la desigualdad viene de lo siguiente: paradm > 0, por definicin

v (m + dm,; P) > u (x + dx)

para todo dx Rn+ tal que P dx = dm. Por el teorema del valor intermedio, paraalgn x entre x y x + dx, se tiene que

v (m + dm,; P) > u (x) + Du (x) dx

En particular, si

dx = dmDu (x)

P Du (x)

se tiene que

v (m + dm,; P) v (m, ; P)dm

> Du (x) Du (x)

P Du (x)

y tomando el lmite cuando dm 0,v

m(m, ; P) >

Du (x) Du (x)

P Du (x)

=kDu (x)k

2

P Du (x)

luego (recuerde que m = P x),

Du (x) xkDu (x)k

+ 1

kDu (x)k>

m

P

1kDu(x)k

Du (x)

>m

P P> 0

Ahora, defina I = { l {1,...,n}| x,l = }k = max

(max

l{1,...,n}

(Pl0{1,...,n}\{l} Pl0

Pl

), 1

)y = (1,...,n)

> con

l =

(1 si l I

l0IPl0

#({1,...,n}\I)Plsi l {1,...,n} \I

donde # denota la cardinalidad del conjunto. Ahora, para d > 0 tal que (m, + d) D (P) y x +d > ( + d)1, se tiene que

v (m, + d) > u (x +d)

por definicin y dado que P (x +d) = P x 6 m. Por el teorema del valorintermedio, para ex entre x y x +d,v (m, + d) > u (x) + dDu (ex)

= v (m, ) + dDu (ex) de donde, dado que d > 0,

v (m, + d) v (m, )d

> Du (ex)


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y por tanto,v

(m, ) > Du (x)

Por el teorema de la envolvente, esto es

1 > Du (x) y

1 6 Du (x) ()6 Du (x)

||

donde || = (|1| ,..., |n|)> y dado que Du (x) 0. Por definicin de k,

1 6 kDu (x) 1

luego 1 6 kDu (x) (1)

y dado que x > 1 y Du (x) 0, 1 6 kDu (x) x

luego

0 6 1

kDu (x)k

6 kDu (x) xkDu (x)k

Ahora, dejando 0, se tiene, por el teorema del mximo, que x x.Si x / Rn++, se tendra que

Du (x) x

kDu (x)k 0

lo cual es imposible por la condicin que hemos obtenido:

Du (x) xkDu (x)k

+ 1

kDu (x)k>

m

P P> 0

puesto que si Du(x)xkDu(x)k 0, entonces el lado izquierdo de la anterior igualdadtendera a cero.

3.3. Diferenciabilidad. Si m R++, en ocasiones definimos la restriccinpresupuestal B, como:

B (P, m) :=

x Rn+

P x 6 m

En este caso, definimos la funcion de demanda individual f , como:

f(P, m) = arg maxxB(P,m)

u (x)

Es obvio que:f(P, ) = f(P, P )

Luego por la regla de la cadena, si f es una funcin diferenciable, f tambin.

Theorem 5. f es diferenciable.


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Proof. Dado (P, m) Rn++ R++, por el teorema de Kuhn-Tucker, existe = (P, m) R++ tal que

Du f(P, m) (P, m) P = 0m P f(P, m) = 0

Definamos h : Rn++ R++ Rn++ R++ Rn+1 por

h (x,,P,m) =

Du (x) P

m P f(P, m)

Luego,h

f(P, m) , (P, m) , P , m

= 0

y por tanto, por el teorema de la funcin implcita, para demostrar que f y son diferenciables es suficiente demostrar que (P, m) Rn++ R++ la matrizDx,h (x,,P,m) es no singular (para x y tales que h (x,,P,m) = 0). Porconstruccin,

Dx,h (x,,P,m) =

D2u (x) PP> 0

Suponga que Dx,h (x,,P,m) no es de rango completo. Entonces,

a>, b

Rn+1\ {0} tal que

D2u (x) PP> 0

ab

= 0

lo cual es

D2u (x) a = bP

P>a = 0

(ntese que a = 0 es imposible pues eso implicaria que bP b = 0). Ahora, dadoque P = 1

Du (x), se sigue de la segunda ecuacin que Du (x)> a = 0, mientras

que, premultiplicando por a> la primera ecuacin, tenemos que

a>D2u (x) a = a> (b P)

= ba>P

= 0

lo cual contradira el supuesto de concavidad estricta en Rn++.Se sigue entonces que

f ,

es diferenciable y que

D

f,

(P, m) =

D2u

f(P, m)

PP> 0

1 I 0

f(P, m)> 1

Exercise 2. (Aliprantis et al [1990]). Suponga que L = 1, S = 1, I = 2 yu1(x0, x1) = (x1+1)exp(x0), 1 = (2, 1), u2(x0, x1) = x0x1 y 2 = (2, 3). Calcularlos equilibrios de esta economa y dibujar todo en una caja de Edgeworth.

Exercise 3. (Magill et al [1998]). Considere la siguiente economa: I =2, S = 2, L = 1, 1 = (198 , 1, 3),

2 = ( 218 , 5, 3) y las preferencias de los agentesson:

u1(x0, x1, x2) = log (x0) +1

2

1

2log(x1) +

1

2log(x2)


15/93

12 CONTENTS

u2(x0, x1, x2) = log (x0) +1

3

1

2log(x1) +

1

2log(x2)

Calcular el(los) equilibrio(s) de mercados contingentes.


16/93


1

es h.c.i pero no h.c.s.

es h.c.s. pero no h.c.i.


17/93

14 CONTENTS

2

1

]

2

1

]

Figure 1

2

1

12

2

1

12

Figure 2

4. Mercados Financieros

Un activo financiero (nominal), es ra = [ra1 ,...,raS]

> RS. ra es un vectorcolumna y ras representa el retorno (nominal) del activo, en caso de realizarse elestado s de la naturaleza en t = 1.

Ahora supongamos que en el periodo t = 0, slo abre el mercado spot para

los L bienes y mercados para A N activos financieros: r1,...,rA. DenotemosA = {1,...,A}. Adems, en t = 1, en cada estado de la naturaleza, abrirn mercadosspot para los L bienes.

Denotando s S\ {0}, rs =

r1s ,...,rAs

,1 y dados precios spot p Rn++ y

precios q RA de los activos, cada agente enfrenta la restriccin de escoger en el1Ntese que tomamos los vectores rs como filas. En general, tomaremos a los precios como

filas y a las cantidades como columnas.


18/93

4. MERCADOS FINANCIEROS 15

siguiente conjuntol:

Bp, q, i := x Rn+ | y RA : q y +p0 x0 6 p0 i0

(s S\ {0}) : ps xs 6 ps is + rs y La estructura de activos la podemos resumir en la matriz de retornos R, definida

por R =

r1,...,rA

.

Definition 7. Una economia con mercadosfinancieros esE =I, R,

ui, i

iI

Definition 8. Dada una economa E, un equilibrio en el mercado financieroR es

p, q,

xi, yi

iI

tal que:

(1) i I, xi Arg maxui (x) : x Bp, q, i, q yi +p0 xi0 6 p0 i0 y,s S\ {0}, ps xis 6 ps is + rs yi.

(2)

PiIx

i =

PiI

i

(3) XiIyi = 0Remark 9. Si R es de rango mximo por columnas entonces la condicion (3)

sobra.

Exercise 4. (Magill et al [1998]). Considere la siguiente economa: I =

2, S = 2, L = 1, A = 1, R =

11

(i.e. slo hay un activo, que es libre de riesgo),

1 = ( 198 , 1, 3), 2 = ( 218 , 5, 3), y las preferencias de los agentes son

u1(x0, x1, x2) = log (x0) +1

2

1

2log(x1) +

1

2log(x2)

u2(x0, x1, x2) = log (x0) +1

3 1

2

log(x1) +1

2

log(x2)Calcular el equilibrio(s) de mercados financieros. (Obsrvese que este ejercicio esidntico al 3, excepto por que hemos introducido un mercado financiero con un nicoactivo.)

4.1. No Arbitraje. Dado un mercado financiero R, definamos

Q1 =n

q RA : y RA, Ry (0,..., 0)> , Ry 6= 0 = q y > 0o

Q1 es el conjunto de precios de activos financieros con la siguiente propiedad:cualquier portafolio que prometa rendimientos no negativos en todos los estadosde la naturaleza, y estrictamente positivo en al menos un estado de la naturaleza,debe tener un costo estrctamente positivo. Esta condicin se conoce como condi-cin de no-arbitraje. Los precios q en Q1 se llaman precios de no-arbitraje. El

conjunto Q1 se denomina cono de no-arbitraje.Remark 10. Ntese que Q1 es convexo: sean q, q0 Q1 y [0, 1]; suponga

que Ry > (0, ..., 0)>

. Entonces (q+ (1 ) q0) y = q y + (1 ) q0 y > 0, dedondeq+ (1 ) q0 Q1. Ntese que Q1 es un cono. Ntese que Q1 es no-vaco:q =

XsS\{0}

r>s Q1.

Exercise 5. Es Q1 = RA?


19/93

16 CONTENTS

Definamos,Q2 =

q RA : RS++, R = qQ2 es el conjunto de precios de los activos q tales que q = || ||R, donde

|| =SPs=0

s y RS++. Obsrvece que || puede interpretarse como una probabil-idad estrictamente positiva sobre los estados de la natturaleza. Luego podemos in-terpretar

||R

como el retorno esperado del portafolio de activos con una unidad

de cada uno y ||

||R

como el valor presente (descontando por ||) del valor

esperado de este portafolio. Es decir, Q2 son los precios de los activos que puedenexpresarse como el valor presente del valor esperado del retorno del portafolio ac-tivos con una unidad de cada uno.2

Remark 11. Ntese que Q2 es convexo: sean q, q0 Q2 y [0, 1]; porconstruccin, existen , 0

RS++

tales que R = q y 0R = q0; entonces +

(1 ) 0 RS++ y ( + (1 ) 0) R = q+ (1 ) q0, de dondeq+ (1 ) q0 Q2. Ntese que Q2 es un cono: sean q Q2 y R++; por construccin, existe RS++ tal que R = q; entonces, RS++ y R = q, de donde q Q2. Esobvio que Q2 es no vaco.

Exercise 6. (Magill et al [1998]). Considere una economa conS = 3, A = 2y la siguiente estructurafinanciera:

R =

10 2020 30

60 10

(1) Encuentre el conjunto Q1. Adems, demuestre que es un conjunto abierto.(2) Encuentre el conjunto Q2.(3) Ahora, fije un precio de arbitraje cualquiera. Exhiba un portafolio (y1, y2)

sin ningn costo y tal que su retorno sea no negativo en los dos estadosde la naturaleza y estrictamente positivo en por lo menos uno.

El siguiente resultado, muy conocido e intuitivo, ser importante ms adelante..

Theorem 6. (Separacin de convexos):

(1) Sea Q RA un conjunto convexo y cerrado. Dado q RA\Q, existenb RA\ {(0, ..., 0)} y c R tales que q b < c < q b, q Q.

(2) Sean Q0, Q00 RA conjuntos convexos y disyuntos. Entonces, existenb RA\ {(0, ..., 0)} yc R tales que(q0, q00) Q0 Q00, q0 b c q00 b.

Proof. Ver Mas-Collel et al. [1995], Teorema M.G.2.

Con estos teoremas bsicos, es fcil probar el siguiente resultado:Theorem 7. Sean Q0, Q00 RA conjuntos convexos y disyuntos. Sea Q0

cerrado y Q00 compacto Entonces, existen b RA\ {(0,..., 0)} y c R tales que(q0, q00) Q0 Q00, q0 b < c < q00 b.

Exercise 7. Pruebe el anterior teorema.

2Ntese que las probabilidades se toman como vectores fila.


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A B

A B

Figure 3

Este teorema permite demostrar el siguiente lemma :

Lemma 1. (Minkowski-Farkas). Si W es una matriz (S + 1) A entonces obien existe un y RA tal que W y > 0, existe un RS++ tal que

1

W =

(0, ..., 0)>

Proof. Suponga que hWi (RS+1+ \{(0,..., 0)}) = . Sea = {x RS+1+ :S+1Pi=1

xi = 1}. Entonces hWi y son conjuntos convexos y disyuntos. Adems, hWi

es cerrado y es compacto, luego, por el teorema 7, existe RS+1 tal que z1 < z2, para todo (z1, z2) hWi . Esto implica que z2 > 0 paratodo z2 , y por tanto que RS+1++ . Ahora, fijemos z2 . Por construccin,para todo y RA debera ser cierto que (W y) = (W) y < z2, pero sto esimposible excepto cuando W = 0. Dividiendo todos los componentes de por elprimero de ellos se obtiene .

Exercise 8. Se pueden cumplir ambas condiciones en el lema de Minkowski-Farkas?

Cuando en un mercado financiero R, las columnas (los activos) no son lineal-mente independientes, uno puede eliminar todos los activos redundantes y trabajarcon un mercado R0, que tenga rango mximo por columnas y es equivalente al mer-cado R en el sentido de que todas las transferencias de ingresos entre los diferentesestados y periodos que son posibles con R son tambien posibles con R0 y viceversa.

2Notas de clase sobre Equilibrio General. Andrs Carvajal (Banco de la Repblica), AlvaroRiascos (Banco de la Repblica). Enero 19, 2004.


21/93

18 CONTENTS

En adelante eliminamos activos que sean redundantes, en el sentido de quepueden ser replicados por otros activos ya existentes. Es decir, suponemos la sigu-iente condicin:

Condition 2. El mercado financiero R tiene rango mximo por columnas.

La utilidad del lemma de Minkowski-Farkas es que permite demostrar el sigu-iente teorema:

Theorem 8. Q1 = Q2.

Proof. Sean q Q1 yW =

qR

Por la definicin de Q1 y la condicin 2, entonces no es verdad que W y > 0. Sesigue inmediatamente del lema anterior que q Q2.

Suponga ahora que q

Q2. Por definicin,

RS

++tal que R = q. Suponga

ahora que, para y RA cualquiera, Ry > (0, ..., 0)>. Entonces, q y = (R) y = (Ry) > 0, dado que (0, ..., 0). Esto implica que q Q1.

Remark 12. En general, si R no tiene rango mximo por columnas, Q2 Q1.Cuando se consideran mercados financieros de rango mximo por columnas,

puede darse una prueba alternativa del teorema 8 que slo requiere utilizar la versindbil del teorema de separacin de convexos.

Exercise 9. Utilizando la parte 2 del teorema 6, y no el lema de Minkowsky-Farkas, demuestre que Q1 Q2.

La importancia de la condicin de no arbitraje se sigue del siguiente teorema:

Theorem 9. Para todo i I, dado p Rn++, el problemamax

ui (x) : x Bp, q, i

tiene solucin si, y slo si, q Q1.Proof. Suponga que (x, y) soluciona el problema, pero q / Q1. Entonces,

y0 RA tal que Ry0 > (0,..., 0)> y q y0 6 0. Defina y = y+ y0, x0 = x0 y s S,xs = x

s +

hrsy

0

ps,1, 0, ..., 0

i>. Por construccin, x > x, luego x Rn+. Adems,

q y = q y + q y0

6 q y

6 p0 i0 x0en tanto que, s S\ {0},

ps xs = ps x

s + rsy0

6 ps is + rs (y

+ y0)

= ps is + rsy

Esto implica que x Bp, q, i, pero como x > x, bajo monotonicidad estricta,ui (x) > ui (x), una contradiccin.


22/93


Ahora, suponga que q Q1. Por el teorema 8, q Q2, lo cual implica que RS++ tal que R = q. Suponga que x B

p, q, i

. Por definicin, y RA

tal que q y6

p0 i0 x0 y

p1

x1 i1

...pS

xS iS

6 Ry

Reemplazando q = R, tenemos que

Ry 6p0

i0 x0

mientras que

p1

x1 i1

...pS xS iS

6 Ry

As, se sigue que

XsS\{0}

sps

xs is6p0

i0 x0

lo cual implica que x

B P, i con P = (p0, 1p1,...,sps) Rn++. Esto implicaque Bp, q, i B P, i. Dado que Bp, q, i es cerrado y B P, i es com-pacto, entonces B

p, q, i

es compacto y como ui es contnua, entonces existe una

solucin al problema.


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20 CONTENTS

Remark 13. Seaq Q2, RS++ tal que R = q y P = (p0, 1p1,...,sps) .Entonces en el anterior teorema demostramos que: B

p, q, i

B

P, i

.

Exercise 10. En este ejercicio se esboza una prueba alternativa del teorema

9. Sea W(q, R) =

qR

.

(1) Muestre que Bp, q, i

=

x R

n+ |

y RA ,

p0

x0 i0

...pS

xS iS

W(q, R)y

(2) Muestre que si q / Q1 entonces el problema de maximizacion no tienesolucin.

(3) La siguiente es una caracterizacin bien conocida de los conjuntos com-pactos en Rn: K Rn es compacto si, y slo si, para toda secuencia(xn)

n=1 contenida en K existe un subsecuencia, xn(k)

k=1convergente

a un punto de K. Utilizando esta caracterizacin muestre que si q Q1entonces Bp, q, i es compacto.4.2. Precios Descontados. Sea q Q2, RS++ tal que R = q y P =

(p0, 1p1,...,sps). Decimos que P es el precio spot p descontado por y lo lla-maremos precio descontado. Obsvece que la forma de descontar precios spot no esnica. Dado q, en principio pueden existir varios RS++ tales que R = q. Msadelante volveremos sobre este punto.

Definamos:

B0

p, q, i

=

x Rn+ |

y RA

:

q y +p0 x0 6p0 i0

(s S\ {0}) : ps xs = ps is + rs y

,

B

P, i; R

=

x Rn+ |

XsS

Ps

xs is 6 0y RA ,

P1

x1 i1

...PS

xS iS

Ry

y

B0

P, i; R

=

x Rn+ |

XsS

Ps

xs is6 0

y RA ,

P1

x1 i1

...PS

xS iS

= Ry

Decimos que B P, i; R o B0 P, i; R es la restricin presupuestal en mer-cados financieros con precios descontados.Remark 14. Obsrvece que, gracias a la monotonicidad estricta de las fun-

ciones de utilidad:

xi Arg maxui (x) : x Bp, q, i xi Arg maxui (x) : x B0 p, q, iEl siguiente lema lo invocaremos en repetidas ocasiones.


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Lemma 2. Con la misma notacin anteriorB0p, q, i

= B0

P, i; R0

donde

R

0

=

1r1

.SrS

Exercise 11. Probar este lema.

Como consecuencia inmediata tenemos:

Proposition 2. El problema del consumidor en mercados financieros:

max

ui (x) : x B0p, q, i

es equivalente a:

max

ui (x) : x B0

P, i; R0

Remark 15. Obsrvece que si R satisface la condicin 2, entoncesR0 tambinlo hace.

Remark 16. La anterior proposicin pone de manifiesto las restrcciones adi-cionales que la estructura de mercados financieros impone sobre la estructura demercados contingentes. En mercadosfinancieros, los agentes enfrentan la misma re-stricin presupuestal que en mercados contingentes ms un requerimiento adicional.En el segundo perodo, el gasto tiene que serfinanciable con los activosfinancierosdisponibles. Obsrvece que siR tiene rango maximal porfilas(R0 tambin lo tiene)entonces la restrccin del segundo perodo no es importante. Este es una caso muyimportante que utilizaremos como punto de referencia durante el desarrollo de lateora.

Utilizando la idea de precios descontados, vamos introducir otro concepto deequilibrio que resulta estar estrechamente relacionado con el concepto de equilibrio

en mercado financieros y que en la prctica es muy utilizado como herramientaterica.

Definition 9. Dada una economa E, un equilibrio de no arbitraje en el mer-

cado financiero R es

P,

xiiI

tal que:

(1) i I, xi Arg maxui (x) : x B P, i; R(2)

PiIx

i =P

iIi

La importancia de esta definicin radica en la siguiente proposicin que rela-ciona el concepto de de equilibrio en mercados financieros con el de equilibrio deno arbitraje.

Proposition 3. SeaE una economia con mercadosfinancieros: E =

I, R,

ui, i

iI(1) Sip, q, xi, yiiI

es un equilibrio de mercadosfinancieros de la economa

E entonces existe P tal que

P,

xiiI

es un equilibrio de no arbitraje

de la economa E0 =I, R0,

ui, i

iI

donde P = (p0, 1p1,...,sps) ,

R0 =

1r1.

SrS

y es cualquier vector, RS++ tal que R = q.


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22 CONTENTS

(2) Si

P,

xiiI

es un equilibrio de no arbitraje de la economa E en-

tonces existen p, q, yiiI tal que p, q, xi, yiiI es un equilibriode mercados financieros de la economa E0 =

I, R0, ui, iiI

donde

p =

P0,P11

,..., PSS

, q = R0, R0 =

r11.rSS

y es cualquier vector,

RS++.En particular, obsrvece que = (1,..., 1) RS++, y en este caso

p = P, q =SPs=1

rs y R = R0, luego E = E0.

Remark 17. Obsvece que en la segunda parte de la proposicin, q es indepen-diente de pero p y R0 si dependen de .

Proof. Se sigue del lema 2.

5. La relacon entre los problemas del consumidor en ambos mercados

Los problemas que un consumidor enfrenta bajo mercados contingentes y bajomercados financieros guardan la siguiente relacin:

Theorem 10. Dado i I, suponga que a precios (p, q) Rn++RA, (x, y) Rn++ R

A resuelve el problema

max

ui (x)

x Bp, q, icon q y + p0 x0 6 p0

i0 y s S\ {0}, ps xs 6 ps is + rs y. Entonces,

existe P Rn++ tal que x resuelvemaxui (x) : x B P, i

Proof. Consideremos el Lagrangiano del primer problema: LMF : Rn+ RA

R+ RS+ R, definido por:LMF (x,y,0, ) := u

i (x)+0p0

i0 x0

q y+ XsS\{0}

s

rs y +ps

is xs

Bajo interioridad, monotonicidad y cuasiconcavidad estricta, para algn (0, )

R++ RS++, las siguientes condiciones de primer orden deben ser satisfechas:

(s S) : Dxsui (x) = sps

R>

1...

S

= 0q

>

x Bp, q, iReexprese las condiciones de primer orden de esta manera:

(s S) : Dxsui (x) = 0spsR = q

donde =s0

sS

, y defina P =

s0

pssS

.


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6. MERCADOS FINANCIEROS COMPLETOS 23

Ahora considere el Lagrangiano del segundo problema: LMC : Rn+ R+ R,definido por:

LMC

(x, ) := ui

(x) + XsS

Ps is xsLas condiciones de primer orden, que bajo cuasiconcavidad estricta son suficientes,son que exista R++ tal que

(s S) : Dxsui (x) = Psy

Ps

xs is

= 0

Obsrvese que la la segunda condicin es una consecuencia de las condiciones deprimer orden con respecto al portafolio en el primer problema (ver la prueba delteorema 9, en el cual obteniamos B

p, q, i

B P, i). Finalmente si = 0y reemplazando P, se sigue que x tambin satisface las primeras condiciones deprimer orden del segundo problema.

Exercise 12. Dada una economa en mercadosfinancieros, existe un conversodel anterior teorema?

6. Mercados Financieros Completos

Por supuesto, para consideraciones de equilibrio general el anterior resultado noes suficiente, dado que el P que hace al segundo problema equivalente dependeradel individuo en consideracin.

Nos preguntamos ahora qu transferencias de riqueza entre estados de la nat-uraleza son posibles dada una estructura de activos financieros. Cuando cualquiertransferencia es posible, decimos que los mercados financieros son completos:

Definition 10. Un mercados financiero R se dice completo si tiene rango

mximo porfilas.Exercise 13. Demuestre que un mercado financiero R, que satisfaga la condi-

cin 2, es completo si, y slo si, A = S y R es una matriz invertible (ayuda:recuerde que el rango por columnas y por filas de cualquier matriz es igual).

Cuando los mercados financieros son completos entonces podemos ir un pocoms alla del teorema 10 y caracterizar los equilibrios en ambas economas.

Theorem 11. Suponga que el mercado financiero R es completo.(1) Suponga que a precios (p, q) Rn++ RA, para cada i I,

xi, yi

Rn++ R

A resuelve el problema,

max

ui (x)

x B

p, q, i

conq yi +p0 xi0 6p0 i0 y (s S\ {0}) : ps xis 6ps is + rs yi.Entonces, existe P Rn++ tal que para todo i I, xi resuelve

max

ui (x) : x B P, iMs an, si

p, q,

xi, yi

iI

Rn++ RA RnI+ RAI es unequilibrio en mercados financieros, entonces

P,

xiiI

Rn++ RnI+es un equilibrio en mercados contingentes.


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24 CONTENTS

(2) Supongamos que a precios P Rn++, para cada i I, xi Rn+ resuelveel problema

maxui (x) : x B P, iEntonces si existen

p, q,

yiiI

Rn++ RJRJI

tal que para todo

i I,p, q,

xi, yi

iI

resuelve,

max

ui (x)

x Bp, q, iconq yi +p0 x

i0 6p0

i0 y (s S\ {0}) : ps xis 6ps is + rs yi.

Ms an, si

P,

xiiI

Rn++ RnI+ es un equilibrio en merca-dos contingentes, entonces

p, q,

yiiI

Rn++ RJ RJI

es un

equilibrio en mercados financieros.

Proof. Consideremos cada parte por separado:

(1) Dada la prueba del teorema 10, es suficiente demostrar que i, i0

I, 1i0

i =

1

i00

i

0. Pero esto es obvio en mercados completos dado

que, como R es invertible, de la segunda condicin de primer orden:

(i I) :

1

i0

i>

= qR1

La segunda afirmacin es trivial.(2) Sea RS++. Defina p = (P0, P11 ,...

PSS

), q = R. Por el lema 2 tenemos

que B0p, q, i

= B0

P, i; R0

donde R0 =

1r1.

SrS

. Pero si el mer-

cado financiero R es completo, entoces R0 tambien lo es y B0

P, i; R0

=

B0 P, i. Esto implica que para todo i:

xi = Arg max

ui(xi) : x Bp, q, iAhora, como R es invertible, definamos para todo i :

yi = R1

P1

xi1 i1

...PS

xiS iS

Entonces:

XiI

yi =X

iI

R1

P1

xi1 i1

...PS

xiS iS

= R1

P1 XiIxi1 i1

...PS

XiI

xiS iS

=

0...0


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6. MERCADOS FINANCIEROS COMPLETOS 25

Estos dos resultados implican quep, q,

xi, yi

iI

es un equilibrio enel mercado financiero R.

Remark 18. Obsvece que en la segunda parte del anterior teorema podemos

escojer p = P. Basta con escojer = (1, ..., 1) RS++ en la demostracin arriba.

Exercise 14. (Magill et al [1998]). Considere la misma economa del ejerci-cio 4 excepto por la estructura del mercado financiero: ahora suponga que A = 2,

R =

1 11 0

. Calcular el equilibrio de mercados financieros de esta economa

(ayuda: utilizar el anterior teorema).


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26 CONTENTS

7. Aspectos Positivos del la Teora del Equilibrio General en MercadosCompletos

En esta parte de las notas vamos a estudiar con ms detalle el concepto de equi-librio que introdujimos anteriormente para el caso en que los mercados financierosson completos. De hecho, hasta este punto no nos habiamos preguntado sobre la ex-istencia del equilibrio. Esta es la primera pregunta fundamental que nos podemoshacer sobre el concepto de equilibrio y la primera tambin de caracter positivo.Adicionalmente, estudiaremos otras caractersticas positivas como la unicidad delequilibrio, su estabilidad y la refutabilidad de la teora del equilibrio como teoracientfica. Concretamente, nos preguntamos si, a partir de caracteristicas observ-ables en el mundo real como precios, asiganciones agregadas de equilibrio y/o dota-ciones individuales, es posible demostrar la existencia de un una economa tal que,las caracteristicas observadas, sean consistentes con el equilibrio de esta economa.

Para comenzar, ntese un gran problema que tiene el modelo de equilibrio gen-eral. En fsica, uno comienza el anlisis con un proceso dinmico (por ejemplo, las

ecuaciones que caracterizan el movimiento de un pndulo) y el equilibrio aparece,de manera natural, como la situacin en la que las fuerzas dinmicas se cancelan.En equilibrio general, como en muchas otras teoras econmicas, formulamos con-ceptos de equilibrio que no provienen de una dinmica previa!. Puesto en otraspalabras, el concepto de equilibrio que hemos propuesto nos describe precios yasignaciones para los cuales no existe un incentivo a desviarse de las asignacionesde equilibrio y que, en el agregado, es consistente con las decisiones de los demsagentes. Sin embargo, la teora no nos dice cmo llegamos a ellos. Este problemamotiva la siguiente discucin.

7.1. El Subastador Walrasiano. Walras tena en mente un proceso de ajustede precios que correspondeda a lo siguiente. Si un mercado muestra exceso de de-manda, su precio (relativo) debe subir, y si un mercado muestra exceso de oferta,su precio (relativo) debe bajar.

Lo ms cercano que tenemos a un proceso dinmico de ajuste fu un artefactoque Walras denomin el Subastador (Tatonador) y que haca exactamente lo quehemos dicho previamente: mover los precios en la direccin indicada por los excesosde demanda.

As, supongamos que tenemos una economa con mercados contingentes comola descrita anteriormente. Sea P Rn++, y definamos la demanda agregada de laeconoma (como funcin nicamente de los precios), F(P) como:

F(P) =IX

i=1

fi(P)

y la funcin de exceso de demanda (como funcin unicamente de los precios) como:

Z(P) = (Z1(P), Z2(P),...,ZL(P)) = F(P) IXi=1

wi

Como mencionamos anteriormente, las funciones de demanda individual sonfunciones homogeneas de grado cero en los precios, luego la funcin exceso de de-manda es tambin homognea de grado cero. Por lo tanto, vamos a normalizar


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7. ASPECTOS POSITIVOS DEL LA TEORA DEL EQUILIBRIO GENERAL EN MERCADOS COMPLETOS27

los precios de tal forma que estos se encuentren en el simplejo n 1 dimensionalpositivo n1++ =

P Rn++ :

Pnl=1 Pl

.

Lo que el subastador va a hacer es subir los precios de aquellos bienes l paralos cuales Zl(P) > 0 (exceso de demanda) y bajar los precios de aquellos para loscuales Zl(P) < 0 (exceso de oferta).

La forma ms sencilla de lograr esto sera la siguiente. Ante los precios P elsubastador reaccionara definiendo los nuevos precios:

P0 = P + Z(P)

Aqu, sin embargo, el subastador encontraria dos problemas. Para un biencon un gran exceso de oferta, el precio P0l que l definira sera negativo. Y porotro, si P n1++ , Z(P0) / n1++ excepto cuando Z(P) = 0. Para evitar estosproblemas, utilizaremos la siguiente modificacin del mecanismo de ajuste. SeaT : n1++ n1++ definida por:

T(P) =1

nPl=0

(Pl + max{0, Zl(P)})(P1 + max{0, Z1(P)},...,Pn + max{0, Zn(P)})

Exercise 15. Sigue siendo cierto que cuando existe un exceso de demandapor un bien el subastador Walrasiano aumenta el precio de este?

7.2. Existencia del Equilibrio. Utilizando la definicin anterior del mecansmode ajuste del subastador Walrasiano, es relativamente sencillo identificar los preciosde equilibrio.

Proposition 4. SeaE =

I,

ui, i

iI

una economa que satisface las propiedades

usuales. Obsrvece que, si la funcin exceso de damanda es continua, entonces lafuncin de ajuste del subastador Walrasiano T, tambin es continua. Adems, si Ttiene un punto fijo P n1++ , entonces Z(P) = 0.

Proof. Como P es punto fijo de T entonces, Pl =1

nl=0

(Pl +max{0,Zl(P)})(Pl + max{0, Zl(P

)})

para todo l. Utilizando la ley de Walras es fcil probar que ver quenPl=0

(max{0, Zl(P)}) Zl(P) =

0, luego Z(P) 0. Ahora, como P Rn++ entonces Z(P) = 0

Por supuesto, la dificultad radica en demostrar la existencia del punto fijo. In-tuitivamente una aproximacibn sera aplicar el el Teorema del Punto de Fijo deBrower sin embargo, si bien el conjunto n1++ es convexo, este no es compacto pues

nosotros hemos desarrollado toda la teora asumineto que los precios son estricta-mente positivos.

Esto responde informalmente a la pregunta ms importante con relacin anuestro concepto de equilibrio en mercados completos (contingentes). La siguientepregunta que uno suele formularse en trminos de anlisis positivo es la de unicidady luego algo que suele estar muy relacionado, la de estabilidad.

Antes de analizar estos aspectos positivos, introduciremos de manera informalel siguiente resultado que ms adelante abordaremos formalmente.


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28 CONTENTS

7.3. El Teorema SMD. De manera independiente, tres economistas muyfamosos, Hugo Sonnenschein, Rolf Mantel y Gerard Debreu, estudiaron las propiedadesque la estructura habitual del modelo de equilibrio general impone en la funcinde exceso de demanda agregada, Z. Es decir, ellos se preguntaron hasta que puntouna economa E =

I,

ui, iiI

que satisface las condiciones usuales, caracter-iza la funcin exceso de demanda. La respuesta que ellos dieron a este problemafu negativa. Es decir, ellos encontraron que el hecho de que la funcin de de-manda proviniera de una economa que satisface las propiedades usuales imponiamuy pocas restricciones sobre la funcin exceso de demanda. En particular, estasson:

(1) La funcin exceso de demanda (como una funcin de precios) es una fun-cin continua.

(2) La funcin exceso de demanda (como funcin de precios) es homognea

de grado cero.(3) La funcin exceso de demanda satisface la ley de Walras. Para todo

P Rn++,

nXl=1

PlZl(P) = 0

El resultado que Sonnenschein, Mantel y Debreu obtuvieron puede resumirseinformalmente de la siguinete manera. Dada cualquier funcin definida f : Rn++ Rn, que satisfaga las tres propiedades anteriores, existe una economa E =

I,

ui, iiI

,

con por lo menos un nmero mayor o igual de agentes que de bienes de consumo,que satisface las propiedades habitulaes y tal que la funcin f es igual a la funcinexceso de demanda Z de la economa E.

Este resultado se conoce como el teorema Sonnenschein, Mantel y Debreu (oSMD). A continuacin vamos a utilizar este resultado para estudiar otras propiedadespositivas del modelo de Equilibrio General.

7.4. Unicidad. Lo primero que se concluye del teorema de SMD es que nohay por qu esperar que el equilibrio sea nico: no hay ninguna razn por la cualla funcin Z de una economa slo deba tener un precio P normalizado tal queZ(P) = 0.


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Por ejemplo, ignorando la dimensionalidad del problema, uno podra tener queZ es como en el siguiente grfico.3

P

LR

p p p

Z

En cuyo caso tendramos tres precios (normalizados) de equilibrio. Esto no debera

resultar sorprendente. Por una parte, nosotros ya hemos obtenido multiplicidad deequilibrios en algunos de nuestros ejemplos; y por otra, los teoremas de punto fijo,como el que utilizamos para demostrar existencia, aseguran que existe por lo menosun punto fijo pero no que sea necesariamente nico.

De hecho, Arrow demostr que las condiciones para que el equilibrio sea nicoson extremas (bsicamente, que todos los agentes tengan funciones de utilidadCobb-Douglas). Debreu, sin embargo, estaba preocupado por un problema ms

3Por qu? Supongamos que tenemos dos bienes. El eje x representa el precio relativo entrelos dos bienes. El eje y representa el exceso de demanda de uno de los dos bienes. Por la ley deWalras, esta grfica determina la funcin exceso de demanda del otro bien y, por construccin,esta funcin exceso de demanda satisface las tres condiciones del teorema de SMD.


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complicado. Nada garantiza que la funcin Z no sea como a continuacin:

P

LR

Z

En cuyo caso uno tendra un nmero infinito de equilibrios, y lo que es ms grave,tendra un continuo de equilibrios. El problema sera que en una situacin comoesta los equilibrios ni siquiera son nicos en un sentido local: se encuentran in-finitamente cerca! Debreu demostr, sin embargo, que esto casi nunca pasa. Demanera informal supongamos que las dotaciones de la economa no hubieran sido lasque generaron el grfico Z anterior, sino otras levemente diferentes. Uno entonces,esperara una funcin Z0 como a continuacin:

P

LR

Z

Z

donde slo un nmero finito de equilibrios (todos ellos aislados) se presenta. Nece-sitara uno una tremenda coincidencia para que fuera Z y no Z0 la funcin dedemanda agregada de la economa.

En sntesis, no hay razn para esperar que el Equilibrio General sea nico, perocasi siempre uno encuentra que es localmente nico.


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7.5. Estabilidad. Como ya hemos dicho, la definicin de Equilibrio Generalcarece de un mecanismo natural que explique cmo evoluciona la economa cuandouno se encuentra por fuera de equilibrio. Hemos propuesto el mecanismo del sub-astador Walrasiano, que, sin ser natural, parece aceptable. Ntese, sin embargo,que bajo este mecanismo el equilibrio general no tiene por qu ser estable (anlocalmente). Como vimos anteriormente, del Teorma de SMD se sigue que Z puedeser como a continuacin:

P

LR

p p p

Z

P00, an siendo un equilibrio, no es estable bajo el subastador Walrasiano!

7.6. Refutabilidad. Note cmo hemos utilizado hasta ahora el teorema deSMD. Hemos aprovechado el resultado para argumentar que no podemos descartarfunciones exceso de demanda agregada, a pesar de lo mal comportadas que staspuedan resultar. Pareciera como si cualquier cosa fuera compatible con la teoradel equilibrio general, como si uno nunca pudiera refutar la hiptesis de equilibriogeneral.

Esto resultara problemtico, pues segn una importante corriente epistemolg-ica conocida como falsificacionismo, slo las teoras que son refutables son conocimientocientfico.

En efecto, durante mucho tiempo los economistas creamos que del teorema deSMD se desprenda que la hiptesis de equilibrio general no era refutable.

Muy recientemente se ha demostrado que esto no es as. Cuando uno utilizael teorema de SMD est manteniendo las dotaciones fijas y permitiendo slo a losprecios variar. Donald Brown y Rosa Matzkin han demostrado que si uno permiteque las dotaciones sean observables, uno puede refutar la hiptesis de equilibriogeneral. Es decir, la existencia de una economa que satisface las propiedadesusuales y tal que sus equilibrios sean consistentes con los datos observados.

Por ejemplo, tomemos una economa 2 2 en la que se han observado lassiguientes dotaciones y precios:


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p

20

10 10

20

Bien 1, agente 1

Bien 2, agente 2

Bien 2, agente 1

Bien 1, agente 2

w

w

p

B

Bien 2, agente 1

Bien 1, agente 2

Sobreponiendo los dos grficos, obtenemos las asignaciones que seran factiblesen cada caso como equilibrio general (las partes ms gruesas de cada grfico).

20

10

20

p

w

w

p

Bien 1, agente 1

Bien 2, agente 1

Claramente, tales observaciones son inconsistentes con maximizacin individ-ual. Ms an, no es posible que el agente 1 satisfaga el axioma dbil de las pref-erencias reveladas. Esto implica que es imposible que dadas las observaciones de

dotaciones y precios, al mismo tiempo los agentes maximizen su bienestar y losmercados se agoten: es posible refutar la hiptesis de Equilibrio General!.

8. Disgresin: El Axioma de Preferencias Reveladas y el Teorema SMD

Sea X el conjunto de escojencia de los agentes.

8.1. Reglas de Decisin Individual y el Axioma Dbil de PreferenciasReveladas.


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8. DISGRESIN: EL AXIOMA DE PREFERENCIAS REVELADAS Y EL TEOREMA SMD 33

Definition 11. Una estructura de escogenciaC enX es una pareja(B(X), CB)donde B es una familia de subconjuntos de X (que por analoga con la teora delconsumidor llamaremos conjunto de restricciones presupuestales) y C

Bes una

regla de escogencia no vacia (e.g. una correspondencia) CB : B(X) X tal queCB(B) B, CB(B) 6= para todo B B(X).

Definition 12. La estructura de escogencia C = (B(X), CB) cumple con elaxioma dbil de las preferencia reveladas (ADPR) si para algn B B(X) y{x, y} B tal que x CB(B) (es decir, x es escogido cuando la alternativa yexistia), entonces para cualquier otro B0 B(X) tal que{x, y} B0 y y CB(B0),se tiene x CB(B0) (es decir, cuando tenemos que escoger de un nuevo conjuntode alternativas donde x y y son fctibles, no puede ser que escojamos a y y no ax).

El axioma dbil de preferencias reveladas es un axioma fundamental de cualquierestructura de escogencia y es anloga a la propiedad que una preferencia sobre Xsea racional. Ms adelante daremos muchos ejemplos de estructuras de escogenciaque satisfacen el axioma dbil de preferencias reveladas (ver proposicin 5). Unejemplo de una estructura de escogencia que no lo satisface es el siguinete.

Example 3. Sea X = {x,y,z} y considere la siguiente estructura de esco-jencia, C = (B(X), CB) donde B(X) = {{x, y}, {x, y, z}}, CB({x, y}) = {x, y} yCB({x, y, z}) = {y, z}. Esta estructura de escogencia no satisface el ADPR.

El ejemplo ms importante de estructura de escogencia que satisface el ADPRes la estructura de escogencia Walrasiana.

Example 4. Sea X = Rn+ y u : Rn+ R una funcin de utilidad que sat-

isface las propiedades usuales. Definimos la estructura de escogencia WalrasianaCu = (B(X) , CB) donde B(X) =

B (P, ) : P Rn++, w Rn+

y Cu(B (P, )) =

arg max{u(x) : x B (P, )} . Es fcil demostrar que Cu satisface el ADPR.8.2. Preferencias y Racionalidad Individual.

Definition 13. Una relacin de preferencia sobre el conjunto X es una relacinbinaria en X. Decimos que la relacin de preferencia es racional si cumple conlas siguientes propiedades:

(1) Completitud: para todo x, y X o bien x y o y x (o ambas).(2) Transitividad: para todo x, y, z X si x y y y z entonces x z

Cuando x y decimos que x es preferible (dbilmente) a y. Dada una relacinde preferencia sobre un conjunto X (racional o no) definimos la siguiente relacinbinaria en X. x y si y solo si x y y no es verdad que y x. En este caso,cuando x y decimos que x es preferible (estrictamente) a y.

Exercise 16. Mostrar que no es una relacin binaria sobre X completa.

Sin embargo, s es transitiva.Example 5. SeaX cualquier conjunto yU : X R cualquier funcin. Defin-

imos una relacin de la siguiente forma: x y U(x) U(y). Es fcil verificarque es de hecho una relacin de preferencia racional sobre X

Definition 14. Dado C = (B(X), CB) definimos las preferencias reveladas porC como donde:

x y B B(X) tal que {x, y} B y x CB(B)


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Utilizando esta definicin, el ADPR puede expresarse como: x, y X si x yentonces no es verdad que y x. Intuitivamente, si x es revelado preferiblemente(debilmente) a y entonces y no puede ser revelado preferiblemente (estrictamente)a x.

Definition 15. Dado una relacin de preferencia, definimos una estructurade escogencia C = (B(X), CB) como:

CB(B) = {x B : x y, y B} 4

Proposition 5. Si una relacin de preferencia racional entonces C satis-face el axioma dbil de las preferencias reveladas.

Exercise 17. Probar el anterior teorema.

El converso de la anterior proposicin no es vlido. Es decir, dado Dado C =(B(X), CB) que satisface el ADPR, entonces no siempre existe , una relacin depreferencia racional sobre X, tal que CB = CB. En particular,

=. Cuando s

existe , una relacin de preferencia racional sobre X tal que C

B = CB, decimosque racionaliza la estructura de escogencia C relativo a B(X).

Remark 19. Se puede demostrar que la relacion de preferencia que racionalizauna estructura de escogencia no es necesariamente nica.

A continuacin damos un ejemplo de una estructura de escogencia que no esracionalizable.

Example 6. Sea X = {x,y,z} y considere la siguiente estructura de esco-jencia, C = (B(X), CB) donde B(X) = {{x, y}, {y, z}, {x, z}}, CB({x, y}) = {x},CB({y, z}) = {y} y CB({x, z}) = {z}. Esta estructura de escogencia satisface elADPR. Sin embargo, no existe una relacin de preferencia que racionalize la es-tructura de escogencia relativo X. Pues, si esta existiera, digamos , entoncesx y (puesto que CB({x, y}) = CB({x, y}) = {x}, luego x y pero no es verdad

que y x) y y z, luego por transitividad x z. Sin embargo, CB({x, z}) = {z}implica z x, una contradiccin.

Example 7. En al ejemplo anterior falla la transitividad de las preferencias.Es muy fcil dar un ejemplo donde fallen la completitud de las preferencias. SeaC = (B(X), CB) donde B(X) = {{x, y}, {y, z}}, CB({x, y}) = {x}, y CB({y, z}) ={y}. Entonces es imposible compara x y z.

Remark 20. Obsvece que en el ejemplo de Brown y Matzkin, las observa-ciones (P0, w0) y (P00, w00) no son consistentes con ninguna estructura de escogen-cia para el agente 1, C = (B(X), CB) que satisfaga el ADPR, donde X = Rn+ yB(X) =

B (P, ) : P Rn++, w Rn+

. Luego, este par de observaciones no solo

son inconsistentes con la teora del equilibrio general sino con algo an ms funda-mental, escogencias individuales consistentes con el ADPR.

8.3. Demandas Individuales y el Axioma Debil y Fuerte de Prefer-encias Reveladas. Sea x : Rn++ R

n+ Rn+ una funcin que satisface:

(1) x es homognea de grado cero en su primer argumento.(2) x satisface la ley de Walras: P x(P, w) = P w

En este caso diremos que x es una funcin Walrasiana.

4Bajo ciertas condiciones relativamente dbiles uno puede mostrar que CB

(B) 6= .


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Example 8. La funcin de demanda individual de una economa que satisfacelas propiedades habituales.

Definition 16. Decimos que x satisface el Axioma Dbil de Preferencias Rev-eladas (ADPR) si (P, w) , (P0, w0) Rn++ Rn++ tenemos:

(P x (P0, w0) P w) (x (P, w) 6= x (P0, w0)) P0 x (P, w) > P0 w0

Intuitivamente, si a los precios y dotaciones, (P, w) y (P0, w0) , x (P, m) 6=x (P0, m0) son escogencias factibles distintas y el agente revela su preferencia porx (P0, w0) , entonces x (P, w) no puede ser factible cuando los precios e ingresos son(P0, m0) , pues en este caso, x (P0, m0) se revelara preferible a x (P, m).

Remark 21. Si Cu = (B(X) , CB) es la estructura de escogencia Walrasiana,entonces Cu satisface el ADPR si y solo si la funcin de demanda individual f,satisface el ADPR.

Remark 22. Un de las caracterisaziones ms importantes del ADPR de una

funcin Walrasiana es en trminos de la ley de la demanda compensada (i.e elADPR es equivalente a que, ante cambios en precios compensados, el cambio en lademanda y el cambio en los precios ocurren en sentidos contrarios. Ver Mas-Colellet. al. proposicin 2.F.1 pgina 30).

Remark 23. Cuando la funcinx es adems diferenciable y satisface el ADPRentonces la matriz de Slutsky es semidefinida negativa y es siempre singular (ob-srvece que no afirmamos nada sobre la simetra de esta matriz).

Remark 24. Una funcinx Walrasiana, difenciable y que su matriz de Slutskysea semidefinida negativa no satisface necesariamente el ADPR (ver Mas Colell et.al.).

Ahora, una pregunta fundamental que salta a la vista es la siguinete. Es lateora de escogencia con base en preferencias racionales sobre X = Rn+ equivalente a

la teora de escogencia con base en funciones Walrasianas que satisfacen el ADPR?La respuesta es no, la teora de escogencia con base en preferncias racionales esmas restrictiva e informalmente, la razn es la siguinete. La teora de de escogenciacon base en preferencias racionales (ms algunas hiptesis estandard) implica quela ecuacin de Slutsky es simtrica, algo que no es necesariamente cierto para lateora de la escogencia con base en funciones Walrasianas que satisfacen el ADPR.

Esto motiva la introduccin de una propiedad ms fuerte que el ADPR, estoes, el Axioma Fuerte de Preferencias Reveladas.

Definition 17. Una funcin Walrasiana f : Rn++ Rn++ Rn+ satisface el

axioma fuerte de las preferencias reveladas (AFPR) si para todo N y para toda listan

Pi, wi

i=1,...N

otal que:

(1) k N 1, fPk+1, wk+1 6= fPk, wk .(2) Si k N1, Pk f(Pk+1, wk+1) Pk wk PN f(P1, w1) > PN wNIntuitivamente: Si f(P1, w1) es revelado que es preferible a f(PN, wN) (por

transitividad) entonces f(PN, wN) no puede ser revelado como preferible a f(P1, w1).

Remark 25. Cuando n = 2, el AFPR es equivalent al ADPR.

Para la demostracin del siguiente teorema utilizaremos un resultado profundode la teora de conjuntos, el Lema de Zorn.


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Definition 18. Un orden estricto (parcial) sobre cualquier conjunto S es unarelacion binaria sobre S,


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8.4. El Teorema SMD. Sea

Sn1 = P Rn++ kPk = 1la esfera unitaria de precios positivos.

Definition 19. Una economa E genera a Z : Sn1 Rn enSn1 =

P Sn1 : l {1,...,n} , Pl >

donde > 0, si

P Sn1 :XiI

fi

P, i i = Z(P)

Theorem 13 (El teorema SMD). SeaZ : Sn1 Rn una funcin contnuay que satisface la ley de Walras. Para todo > 0, existe una economa E =I = {1,...,I} ,

ui, i

iI

que genera a Z en Sn1 .

Fijemos iiI . En lo que sigue, vamos a hacer una prueba de un resultadomenos ambicioso: vamos a demostrar que podemos construir n funciones de excesode demanda individuales:

z1 : Sn1 Rnz2 : Sn1 Rn

...

zn : Sn1 Rntales que:

(1) Cada zi es contnua, satisface la ley de Walras (i.e., zi(P) P = 0) y paratodo i I:

(k {1,...,K 1}) : Pk zi P

k+1

6 0zi P1 6= zi PK = PK zi P1 > 0Remark 27. Esta condicin para funciones contnuas, x : Sn1

Rn, tales que, P Sn1, x(P) P = 0 (ley de Walras), se conoce comoel AFPR para x.

(2) Las funciones exceso de demanda individuales generan la funcin agre-gada: P Sn1 : X

iI

zi (P) = Z(P)

Proof. Fije l {1,...,n}. Dado que Z es contnua, entonces Zl : Sn1 Res contnua y dado que Sn1 es compacto,

ePl Sn1 tal que

P Sn1 : |Zl (P)| 6 Zl ePlDefina la funcin l : Sn1 R+, por

l (P) =

Zl

ePl+ 1Pl

Ahora, defina : Sn1 R++ por (P) = max {1 (P) , 2 (P) ,...,n (P) , 1}


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es contnua y tiene la propiedad de que l {1,...,n} y P Sn1 ,Zl (P) + (P) Pl > Zl (P) + l (P) Pl

= Zl (P) + Zl ePl+ 1> 1

En notacin vectorial, esto implica queP Sn1 : Z(P) + (P) P Rn++Defina para cada i {1,...,n}, la funcin zi : Sn1 Rn por

zi (P) = (Zi (P) + (P) Pi)

ei PiP

donde ei es el i-simo vector cannico.Para ver que zi satisface la ley de Walras:

P zi

(P) = P (Zi (P) + (P) Pi) ei PiP= (Zi (P) + (P) Pi) P

ei PiP

= (Zi (P) + (P) Pi) (Pi PiP P)= (Zi (P) + (P) Pi)

Pi Pi kPk2

= (Zi (P) + (P) Pi) (Pi Pi)= 0

Ntese adems que para P, P0 Sn1P zi (P0) 6 0 = P (Zi (P0) + (P0) P0i ) ei P0iP0 6 0

= (Zi (P0) + (P0) P0i ) (Pi P0iP0 P) 6 0=

(Pi

P0

i

P0 P) 6 0 (porque P Sn1 : Z(P) + (P) P Rn++)= Pi

P0i6 P0 P6 1

=

(P 6= P0) = PiP0i

< 1

Lo anterior implica el AFPR para zi: suponga un secuencia finita

PkKk=1

enSn1 tal que

(k {1,...,K 1}) : Pk ZPk+1 6 0Z

P1

6= Z

PK

PK Z

P16 0

Entonces,

P1i 6 P2i 6 ... 6 PKi

PK 6= P1

PKi 6 P1i

y por ende

P1i 6 P2i 6 ... 6 P

Ki < P

1i

una contradiccin.


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Finalmente, demostramos que las funciones individuales generan la funcinagregada: sea P Sn1,

XiI

zi (P) =XiI

(Zi (P) + (P) Pi)

ei PiP

= XiI

Zi (P) ei Zi (P) PiP + (P) Piei (P) P2i P= Z(P) P

XiI

Zi (P) Pi

!+ (P) P (P) PkPk2

= Z(P)

dado que z satisface la ley de Walras.


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9. Existencia del Equilibrio en Mercados Completos

La siguinetes propiedades de la funcin exceso de demanda son, independiente-

mente de la prueba de existencia del equilibrio, muy importantes y las enunciaremoscomo un lema.

Sea E =

I,

ui, iiI

donde cada funcin de utilidad satisface las propiedadesusuales. Definamos,

=

(P Rn+

nXl=1

Pl = 1

)y o = Rn++.

Denotamos por Z : o Rn la funcin de exceso de demanda agregada(dependiendo nicamente de los precios):

Z(P) :=XiI

fi

P, i

i

donde fi es la funcin de demanda individual del agente i I con caractersticasui, i

.

Lemma 4. Supongamos que tenemos una economa E =I,

ui, iiI

donde

cada funcin de utilidad satisface las propiedades usuales yX

iIi Rn++. En-

tonces la funcin exceso de demanda Z : o Rn satisface:(1) Es contnua.(2) Ley de Walras: P o, P Z(P) = 0.(3) Es limitada inferiormente: Z Rn tal queZ(P) Z para todo P o.(4) Para toda sequencia

Pkk=1

definida eno tal que Pk P =\o, entonces es cierto que max

Zl

Pk

: l {1,...,n}

. En

particular ZPk .Proof. La continuidad y la ley de Walras son propiedades que demostramos

anteriormente y que son consecuencia de que las funciones de utilidad satisfacen laspropiedades usuales. Sea Z =

XiI

i, entonces Z sirve de limite inferior de lafuncin exceso de demanda. La ltima propiedad la demostraremos por contradic-cin. Supongamos que existen P y una secuencia Pk

k=1definida en o tal

que Pk P , pero no es cierto que maxZl Pk : l {1,...,n} .Entonces, existe x R tal que k N, k > k tal que maxZl Pk : l {1,...,n} 6x. Dado que Z es acotada inferiormente, se sigue que hay una subsecuencia

Pk(m)m=1

tal que

Z

Pk(m),

m=1es limitada. Como

Z

Pk(m),

m=1es

limitada y fi (P, ) Rn+ entonces

fi

Pk(m),

m=1esta limitada para todo i.

Ahora, dado que XiIi Rn++, existe i I tal que P i > 0. Fije un icon esta propiedad. Como

fi

Pk(m),

m=1es limitada existe una subsecuencia

convergente a x Rn+ y que por simplicidad denotaremos de la misma forma. Luegofi

Pk(m), i

m=1 x Rn+. Vamos a fijar un par de bienes fundamentales en

la demostracin. Como P entonces existenel,eel {1,...,n} tal que Pl = 0

y Pl > 0.


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9 . E XIS TE NC IA D EL E QU IL IB RIO E N M ER CA DO S C OM PL ET OS 4 1

Ahora definamos

ex Rn+ de la siguinete forma:

exl = ( xl si l 6= elxl + 1 si l = elDado que ex > x, ui (ex) > ui (x). Por continuidad, existe > 0 tal que

ex0 B (ex) , x0 B (x) , ui (ex0) > ui (x0)Dado que:

(1)

fi

Pk(m), i

m=1 x.

(2) Pk(m)l Pl = 0 y Pk(m)l Pl > 0 y,

(3) Pk(m) i P i > 0Entonces existen m1 N y 0 < < tal que:

(1) fi Pk(m1), i B 2 (x) B (x) .

(2) Pk(m1)l 2+ Pk(m1)l < 0

(3) fil

Pk(m1), i 2 > 0.

Las dos primeras son obvias. La tercera parte es una consecuencia de la interior-idad de las demandas individuales cuando estas se derivan de funciones de utilidadcon las propiedades usuales. Esto es importante para la siguiente definicin.

Definimos la secuencia x como:

xl =

fil

Pk(m1), i

+ 1 si l = elfil

Pk(m1), i 2 si l =eel

fil Pk(m1), i si l 6= el,eelEntonces, x Rn+ (por la parte (3) arriba) y,

Pk(m1) x = Pk(m1) fi

Pk(m1), i

+ Pk(m1)l

2

+ P

k(m1)l< Pk(m1) fi

Pk(m1), i

6 Pk(m1) i

Es decir x B(Pk(m1), wi), luego ui fi Pk(m1), i ui (x) .Sin embargo,(xl e

xl) =

fil

Pk(m1), i xl si l = el

fi

l

Pk(m1), i

2 xl si l =ee

l

fil Pk(m1), i xl si l 6= el,eely como fi

Pk(m1), i

B 2

(x) entonces x B (ex) B (ex), luego: fi Pk(m), i B (x) y x B (ex) lo cual implica que ui (x) > ui fi Pk(m1), i una con-tradiccin.

Para demostar la existencia del equilibrio cuando los mercados son completosvamos a utilizar el siguiente teorema.


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Theorem 14. (Teorema del Punto Fijo de Kakutani). Sea A RN, no vacio,compacto, convexo, y : A A es una correspondencia hemi continua superior-mente tal que(x) es un conjunto convexo para todo x

A. Entonces tienen un

punto fijo (i.e. existe x tal que x (x)).Como sabemos, es suficiente con considerar la existencia del equilibrio en una

economa con mercados contingentes.

Theorem 15 (Existencia). Supongamos que tenemos una economaE =I,

ui, iiI

donde cada funcin de utilidad satisface las propiedades usuales yX

iIi Rn++.

Entonces existe

P,

xiiI

Rn++ RnI+ tal que

P,

xiiI

es un equilibrio en

mercados contingentes.

Proof. Primer paso.

Definamos la correspondencia : de la siguiente manera:

(P o) : (P) = Arg max {Z(P) : }P : (P) = { : P = 0}Si existiera P un punto fijo de (i.e. existe P tal que P (P)), entonces Pes un precio de equilibrio de la economa E. Pues, si P es punto fijo, es obvioque P / de lo contrario P P = 0 P = 0 / ; y si P es punto fijo yP o Z(P) P = 0 Z(P) para todo Z(P) 0 P Z(P) < 0si Z(P) 6= 0, luego Z(P) = 0 y P es un precio de equilibrio.

Segundo paso.

Para demostrar la existencia de un punto fijo, vamos aplicar el Teorema delPunto Fijo de Kakutani 14. Para esto es necesario probar que la correspondencia satisface:

(1) es de valores no vacos (si P o esto es una consecuencia del Teo-rema de Weiestrass, si P es obvio escogiendo de la maneraadecuada).

(2) es de valores convexos.(3) es de valores compactos.(4) es hemicontnua superior: para todo P , toda sequencia Pk

k=1

definida en tal que Pk P y toda sequencia kk=1

definida en tal que k N k Pk existe una subseccuencia k(m) paraalgn Rn con (P) .

Demostramos a continuacin la ultima propiedad (las tres primeras son obvias).Ntese que es inmediato que . Suponga inicialmente que P o. Porconstruccin

k

N tal que,

k > k, Pk

o y el resultado se sigue por

el Teorema del Mximo, dada la continuidad de Z. Ahora, considere P .Consideramos dos casos:

(1)

Pkk=1

no tiene una subsequencia en o y,(2)

Pkk=1

tiene una subsequencia en o.

En el primer caso, sea

Pk(m)m=1

una subsecuencia de

Pkk=1

en talque Pk(m) P y que k(m) Pk tal que k(m) . Por definicinPk(m) k(m) = 0 y en el limite, P = 0 (P) .


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9 . E XIS TE NC IA D EL E QU IL IB RIO E N M ER CA DO S C OM PL ET OS 4 3

En el segundo caso, sea

Pk(m)m=1

una subsecuencia de elementos de

Pkk=1

en o tal que Pk(m) P y k(m) . Fijemos l {1,...,n} tal

que Pl > 0 y supongamos que l > 0. Como maxZl0 Pk(m) : l0 {1,...,n} y k(m)l l > 0, entonces m N tal que, m > m Zl Pk(m) 0. Ahora, Z(Pk(m))k(m) Z(Pk(m))0 para todo 0 , luego si m > m, entonces:

max

nZl0

Pk(m)

: l0 {1,...,n}o

Xl{1,...,n}

k(m)l

> Z(Pk(m)) 0

para todo 0 . Luego maxZl0 Pk(m) : l0 {1,...,n} > Z(Pk(m)) 0 paratodo 0 , pero esto es imposible. Por lo tanto, l = 0 siempre que Pl > 0 y estoimplica que P = 0 (P) .

Dado que es compacto y convexo y es de valores no vacios, compactos yconvexos y que es hemicontnua superior, se sigue del Teorema de Punto Fijo deKakutani que P tal que P (P). Por construccin, P o y Z(P) =0.


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44 CONTENTS

10. Economas Regulares en Mercados Completos: Nmero deEqulibrios, Esttica Comparativa y Genericidad

Ahora nos preocuparemos por conocer el nmero de equilibrios de una economay por describir cmo varan estos equilibrios cuando uno vara la definicin de laeconoma. En particular, como varian los equilibrios cuando variamos las dota-ciones iniciales de los agentes. Sabemos que en el modelo de Equilibrio General conmercados contingentes no hay porque esperar que el equilibrio sea nico (a menosque uno imponga supuestos muy fuertes sobre las preferencias de los agentes).

De ahora en adelante vamos a suponer que tenemos una economia con mercadoscontingentes (i.e., mercados financieros completos) Las preguntas que queremosresponder son:

Bajo qu condiciones puede uno asegurar que una economa tenga unnmero finito de equilibrios (unicidad)?

Bajo qu condiciones puede uno asegurar que ante un choque pequeoa la economa (sus dotaciones), el equilibrio cambie slo un poco (suavi-dad)?

Qu tan restrictivas son las condiciones con las que respondemos lasanteriores preguntas (regularidad)?

Sea E =I,

ui, iiI

una economa que satisface las propiedades usuales y

Sn1++ =

P Rn++ : P1 = 1

Definimos la funcin exceso de demanda Z : Sn1++ RnI+ Rn como Z

P,

1,...,I

=PiIf

i

P, ii donde fi es la funcin de demanda individual del agente i. Ob-

svece que esta funcin exceso de demanda es la misma que definimos anteriormentesolo que aprovechando su hogeneidad de grado cero, hemos escogido normalizar losprecios de una manera diferente. Imponer que el precio del primer bien es siem-

pre uno, establece este bien como el numerario de la economa. Adicionalmente,en la definicin de la funcin exceso de demanda estamos siendo explcitos en sudependencia de las dotaciones individuales de los agentes.

Ahora, por ley de Walras, podemos ignorar una de las componenetes (equiva-lentemente, uno de los bienes) de la funcin exceso de demanda sin perder ningunainformacin. En particular, P Sn1++ es un precio de equilibrio si y solo si,bZP, i

iI= (0, ..., 0) . Hacemos esto con el numerario, de forma que nos con-

centraremos en la demanda agregada truncada: bZ : Sn1++ RnI+ Rn1, definidacomo:

bZ(P, ) =

Z2 (P, )...

Zn (P, )

10.1. Nmero finito de equilibrios. Es bien sabido que salvo en circunstan-

cias muy especificas, el equilibrio no es nico y no podemos, por tanto, definir demanera unvoca una funcin de precios de equilibrio que dependa de las dotacionesindividuales de los agentes. Sin embargo, nos gustara qsaber si dadas dotacionesindividuales

iiI

RnI+ si P es un precio de equilibrio con estas dotaciones (i.e.,bZ(P, ) = (0,..., 0)), existe un conjunto abierto relativo a Sn1++ que contiene a P y


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10. ECONOMAS REGULARES EN MERCADOS COMPLETOS: NMERO DE EQULIBRIOS, ESTTICA COMPARATIV

en el cual no se encuentra ningn otro vector de precios de equilibrio. Cuando estoocurre decimos que el equilibrio es localmente nico. Formalmente,

Definition 20. Dada una economa E = nI, ui, iiIo que satisface laspropiedades usuales, un vector de precios P Sn1++ es un equilibrio localmentenico si bZP, i

iI= (0,..., 0) y existe > 0 tal que para todo P0 B (P)

Sn1++ \ {P},bZP0, i

iI6= (0, ..., 0).

La condicin para que una economa slo tenga equilibrios localmente nicosse conoce como condicin de regularidad .

Definition 21. Una economaE =n

I,

ui, iiI

oque satisface las propiedades

usuales es una economa regular si:

bZP, iiI = (0, ..., 0)T = rango DP2bZ(P, ).DPnbZ(P, ) = n 1

Una economa que no es regular se denomina crtica.

Remark 28. Obsrvece que la matriz en consideracion es una matriz cuadradade dimensin (n 1) .

Remark 29. Si definimos bZ0 : Rn1++ RnI++ Rn1, como bZ0 P, iiI =bZ(1, P), iiI

), entonces E es una economia regular si y solo si (0, ..., 0)T

Rn1

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Ln Equilibrio General

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