Locally normal space 10Wikipedia

Contents

1 Alexandro extension 11.1 Example: inverse stereographic projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 The Alexandro extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4 The one-point compactication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.5 Further examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Alexandrov topology 42.1 Characterizations of Alexandrov topologies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Duality with preordered sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2.1 The Alexandrov topology on a preordered set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2.2 The specialization preorder on a topological space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2.3 Equivalence between preorders and Alexandrov topologies . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2.4 Equivalence between monotony and continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2.5 Category theoretic description of the duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2.6 Relationship to the construction of modal algebras from modal frames . . . . . . . . . . . 7

2.3 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Approach space 93.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.3 Equivalent denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.4 Categorical properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4 Axiom 124.1 Etymology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.2 Historical development . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

i

ii CONTENTS

4.2.1 Early Greeks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.2.2 Modern development . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.2.3 Other sciences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.3 Mathematical logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.3.1 Logical axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.3.2 Non-logical axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.3.3 Role in mathematical logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.3.4 Further discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.6 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5 Baire space 205.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205.2 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5.2.1 Modern denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205.2.2 Historical denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215.4 Baire category theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215.5 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225.8 Sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

6 Baire space (set theory) 236.1 Topology and trees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236.3 Relation to the real line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

7 Base (topology) 257.1 Simple properties of bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257.2 Objects dened in terms of bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267.3 Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267.4 Base for the closed sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267.5 Weight and character . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

7.5.1 Increasing chains of open sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

CONTENTS iii

8 Bijection 298.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

8.2.1 Batting line-up of a baseball team . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308.2.2 Seats and students of a classroom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

8.3 More mathematical examples and some non-examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318.4 Inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318.5 Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318.6 Bijections and cardinality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318.7 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328.8 Bijections and category theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328.9 Generalization to partial functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338.10 Contrast with . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338.11 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338.12 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338.13 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348.14 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

9 Binary relation 359.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

9.1.1 Is a relation more than its graph? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369.1.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

9.2 Special types of binary relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369.2.1 Difunctional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

9.3 Relations over a set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389.4 Operations on binary relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

9.4.1 Complement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409.4.2 Restriction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409.4.3 Algebras, categories, and rewriting systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

9.5 Sets versus classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419.6 The number of binary relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419.7 Examples of common binary relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429.10 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439.11 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

10 Borel set 4510.1 Generating the Borel algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

10.1.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4610.2 Standard Borel spaces and Kuratowski theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4610.3 Non-Borel sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

iv CONTENTS

10.4 Alternative non-equivalent denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4710.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4710.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4710.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4810.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

11 Boundary (topology) 4911.1 Common denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5011.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5011.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5111.4 Boundary of a boundary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5211.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5211.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

12 Bounded set 5312.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5312.2 Metric space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5312.3 Boundedness in topological vector spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5312.4 Boundedness in order theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5412.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5512.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

13 Cartesian product 5613.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

13.1.1 A deck of cards . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5713.1.2 A two-dimensional coordinate system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

13.2 Most common implementation (set theory) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5713.2.1 Non-commutativity and non-associativity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5813.2.2 Intersections, unions, and subsets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5913.2.3 Cardinality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

13.3 n-ary product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6013.3.1 Cartesian power . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6013.3.2 Finite n-ary product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6013.3.3 Innite products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

13.4 Other forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6113.4.1 Abbreviated form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6113.4.2 Cartesian product of functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

13.5 Denitions outside of Set theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6213.5.1 Category theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6213.5.2 Graph theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

13.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6213.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

CONTENTS v

13.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

14 Category (mathematics) 6414.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6514.2 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6514.3 Small and large categories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6614.4 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6614.5 Construction of new categories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

14.5.1 Dual category . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6614.5.2 Product categories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

14.6 Types of morphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6714.7 Types of categories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6814.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6814.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6814.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

15 Category of topological spaces 7015.1 As a concrete category . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7015.2 Limits and colimits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7115.3 Other properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7115.4 Relationships to other categories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7115.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

16 Category theory 7316.1 An abstraction of other mathematical concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7416.2 Utility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

16.2.1 Categories, objects, and morphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7416.2.2 Functors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7516.2.3 Natural transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

16.3 Categories, objects, and morphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7516.3.1 Categories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7516.3.2 Morphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

16.4 Functors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7616.5 Natural transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7716.6 Other concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

16.6.1 Universal constructions, limits, and colimits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7716.6.2 Equivalent categories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7816.6.3 Further concepts and results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7816.6.4 Higher-dimensional categories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

16.7 Historical notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7916.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7916.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

vi CONTENTS

16.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8016.11Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8116.12External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

17 Cauchy sequence 8317.1 In real numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8417.2 In a metric space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8417.3 Completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

17.3.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8417.3.2 Counter-example: rational numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8417.3.3 Counter-example: open interval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8517.3.4 Other properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

17.4 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8617.4.1 In topological vector spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8617.4.2 In topological groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8617.4.3 In groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8617.4.4 In constructive mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8617.4.5 In a hyperreal continuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

17.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8717.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8717.7 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8717.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

18 Clopen set 8818.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8918.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8918.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8918.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

19 Closed set 9019.1 Equivalent denitions of a closed set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9019.2 Properties of closed sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9019.3 Examples of closed sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9019.4 More about closed sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9119.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9119.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

20 Closure (topology) 9220.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

20.1.1 Point of closure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9220.1.2 Limit point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9220.1.3 Closure of a set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

20.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

CONTENTS vii

20.3 Closure operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9420.4 Facts about closures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9420.5 Categorical interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9520.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9520.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9520.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9520.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

21 Compact space 9621.1 Historical development . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9721.2 Basic examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9821.3 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

21.3.1 Open cover denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9821.3.2 Equivalent denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9921.3.3 Compactness of subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

21.4 Properties of compact spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10021.4.1 Functions and compact spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10021.4.2 Compact spaces and set operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10021.4.3 Ordered compact spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

21.5 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10121.5.1 Algebraic examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

21.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10221.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10321.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10321.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

22 Compact-open topology 10522.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10522.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10522.3 Frchet dierentiable functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10622.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10622.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

23 Comparison of topologies 10723.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10723.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10723.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10723.4 Lattice of topologies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10823.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10823.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10823.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

24 Complement (set theory) 109

viii CONTENTS

24.1 Relative complement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10924.2 Absolute complement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11024.3 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11124.4 Complements in various programming languages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11124.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11324.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11324.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

25 Complete metric space 11425.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11425.2 Some theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11525.3 Completion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11525.4 Topologically complete spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11625.5 Alternatives and generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11625.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11625.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11725.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

26 Complex plane 11826.1 Notational conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11826.2 Stereographic projections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12026.3 Cutting the plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

26.3.1 Multi-valued relationships and branch points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12126.3.2 Restricting the domain of meromorphic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12226.3.3 Specifying convergence regions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

26.4 Gluing the cut plane back together . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12326.5 Use of the complex plane in control theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12426.6 Other meanings of complex plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12426.7 Terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12526.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12526.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12626.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12626.11External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

27 Connected space 12727.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

27.1.1 Connected components . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12827.1.2 Disconnected spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

27.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12827.3 Path connectedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12927.4 Arc connectedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13027.5 Local connectedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

CONTENTS ix

27.6 Set operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13027.7 Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13327.8 Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13327.9 Stronger forms of connectedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13427.10See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13427.11References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

27.11.1 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13427.11.2 General references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

28 Consistency 13528.1 Consistency and completeness in arithmetic and set theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13528.2 First-order logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

28.2.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13628.2.2 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13628.2.3 Basic results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13628.2.4 Henkins theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13728.2.5 Sketch of proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

28.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13728.4 Footnotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13728.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13828.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

29 Continuous function 13929.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13929.2 Real-valued continuous functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

29.2.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13929.2.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14229.2.3 Non-examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14529.2.4 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14629.2.5 Directional and semi-continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

29.3 Continuous functions between metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14829.3.1 Uniform, Hlder and Lipschitz continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

29.4 Continuous functions between topological spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14929.4.1 Alternative denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15129.4.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15229.4.3 Homeomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15329.4.4 Dening topologies via continuous functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

29.5 Related notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15329.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15429.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15429.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

x CONTENTS

30 Contractible space 15630.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15630.2 Locally contractible spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15630.3 Examples and counterexamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15630.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

31 Cosmic space 15831.1 Examples and properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15831.2 Unsolved problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15831.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15831.4 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

32 Countable set 15932.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15932.2 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15932.3 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15932.4 Formal denition and properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16032.5 Minimal model of set theory is countable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16532.6 Total orders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16532.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16632.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16632.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16632.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

33 Cover (topology) 16733.1 Cover in topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16733.2 Renement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16733.3 Compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16833.4 Covering dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16833.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16833.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16933.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16933.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

34 Dense set 17034.1 Density in metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17034.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17034.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17134.4 Related notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17134.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17134.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

34.6.1 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17234.6.2 General references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

CONTENTS xi

35 Dense-in-itself 17335.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17335.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

36 Development (topology) 17436.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

37 Discrete space 17537.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17537.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17537.3 Uses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17737.4 Indiscrete spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17737.5 Quotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17737.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17737.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

38 Disjoint sets 17838.1 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17838.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17938.3 Intersections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17938.4 Disjoint unions and partitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18038.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18038.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18038.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

39 Disjoint union 18239.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18239.2 Set theory denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18239.3 Category theory point of view . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18339.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18339.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

40 Dispersion point 18440.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

41 Door space 18541.1 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18541.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

42 Dunce hat (topology) 18642.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18742.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

43 Empty set 188

xii CONTENTS

43.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18843.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

43.2.1 Operations on the empty set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19143.3 In other areas of mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

43.3.1 Extended real numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19143.3.2 Topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19143.3.3 Category theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

43.4 Questioned existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19243.4.1 Axiomatic set theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19243.4.2 Philosophical issues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

43.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19343.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19343.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19343.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

44 Equivalence class 19444.1 Notation and formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19444.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19544.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19544.4 Graphical representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19644.5 Invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19644.6 Quotient space in topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19644.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19644.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19744.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19744.10Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

45 Equivalence relation 19945.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19945.2 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19945.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

45.3.1 Simple example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19945.3.2 Equivalence relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20045.3.3 Relations that are not equivalences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

45.4 Connections to other relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20045.5 Well-denedness under an equivalence relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20145.6 Equivalence class, quotient set, partition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

45.6.1 Equivalence class . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20145.6.2 Quotient set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20145.6.3 Projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20145.6.4 Equivalence kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20145.6.5 Partition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

CONTENTS xiii

45.7 Fundamental theorem of equivalence relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20245.8 Comparing equivalence relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20245.9 Generating equivalence relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20245.10Algebraic structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

45.10.1 Group theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20345.10.2 Categories and groupoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20445.10.3 Lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

45.11Equivalence relations and mathematical logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20445.12Euclidean relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20545.13See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20545.14Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20545.15References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20645.16External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

46 Filter (mathematics) 20846.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20946.2 General denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20946.3 Filter on a set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

46.3.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21046.3.2 Filters in model theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21046.3.3 Filters in topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

46.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21346.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21346.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

47 Final topology 21447.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21447.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21447.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21547.4 Categorical description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21647.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21647.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

48 Fine topology (potential theory) 21748.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21748.2 Observations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21748.3 Properties of the ne topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21748.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

49 Finite set 21949.1 Denition and terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21949.2 Basic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21949.3 Necessary and sucient conditions for niteness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

xiv CONTENTS

49.4 Foundational issues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22149.5 Set-theoretic denitions of niteness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

49.5.1 Other concepts of niteness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22249.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22249.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22249.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22349.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

50 First-countable space 22450.1 Examples and counterexamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22450.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22450.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22550.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

51 F set 22651.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22651.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22651.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

52 Generic point 22752.1 Denition and motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22752.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22752.3 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22752.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

53 Glossary of topology 22953.1 A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23053.2 B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23153.3 C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23153.4 D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23353.5 E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23353.6 F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23353.7 G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23453.8 H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23453.9 I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23553.10K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23553.11L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23653.12M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23653.13N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23753.14O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23853.15P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23853.16Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23953.17R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

CONTENTS xv

53.18S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24053.19T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24153.20U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24253.21W . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24353.22Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24353.23References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24353.24External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

54 G set 24554.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24554.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24554.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

54.3.1 Basic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24654.4 G space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24654.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24654.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24654.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

55 H-closed space 24855.1 Examples and equivalent formulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24855.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24855.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

56 Hausdor space 24956.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24956.2 Equivalences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25056.3 Examples and counterexamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25056.4 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25056.5 Preregularity versus regularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25156.6 Variants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25156.7 Algebra of functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25256.8 Academic humour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25256.9 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25256.10Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25256.11References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

57 Hereditary property 25357.1 In topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25357.2 In graph theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

57.2.1 Monotone property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25357.3 In model theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25457.4 In matroid theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25457.5 In set theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

xvi CONTENTS

57.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

58 Hilbert manifold 25658.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25658.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25658.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25758.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25758.5 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

59 Homeomorphism 25859.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25859.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

59.2.1 Non-examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25959.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26059.4 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26059.5 Informal discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26159.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26159.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26159.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

60 Homogeneous space 26260.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

60.1.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26360.2 Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26360.3 Homogeneous spaces as coset spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26460.4 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26460.5 Prehomogeneous vector spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26460.6 Homogeneous spaces in physics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26560.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26560.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

61 Homotopy 26661.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

61.1.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26861.2 Homotopy equivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

61.2.1 Null-homotopy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26861.3 Invariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26861.4 Relative homotopy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26961.5 Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26961.6 Category . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26961.7 Timelike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26961.8 Lifting property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26961.9 Extension property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

CONTENTS xvii

61.10Isotopy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27061.11Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27061.12See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27061.13References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27161.14Sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

62 Hyperconnected space 27262.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27262.2 Hyperconnectedness vs. connectedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27262.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27262.4 Irreducible components . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27362.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27362.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

63 Identity function 27463.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27563.2 Algebraic property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27563.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27563.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27563.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

64 If and only if 27664.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27664.2 Usage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

64.2.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27664.2.2 Proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27764.2.3 Origin of i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

64.3 Distinction from if and only if . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27764.4 More general usage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27864.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27864.6 Footnotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27864.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

65 Image 27965.1 Characteristics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27965.2 Imagery (literary term) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27965.3 Moving image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28065.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28065.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28065.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

66 Image (mathematics) 28466.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

xviii CONTENTS

66.1.1 Image of an element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28566.1.2 Image of a subset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28566.1.3 Image of a function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

66.2 Inverse image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28566.3 Notation for image and inverse image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

66.3.1 Arrow notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28566.3.2 Star notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28566.3.3 Other terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

66.4 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28666.5 Consequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28666.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28766.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28766.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

67 Index set 28867.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28867.2 Other uses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28867.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28867.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

68 Inmum and supremum 28968.1 Inma of real numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29068.2 Inma in partially ordered sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29068.3 Supremum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

68.3.1 Supremum of a set of real numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29168.3.2 Suprema within partially ordered sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29268.3.3 Comparison with other order theoretical notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29368.3.4 Least-upper-bound property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

68.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29468.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29468.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

69 Injective function 29569.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29669.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29769.3 Injections can be undone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30069.4 Injections may be made invertible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30069.5 Other properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30069.6 Proving that functions are injective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30169.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30169.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30269.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

CONTENTS xix

69.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

70 Interior (topology) 30370.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

70.1.1 Interior point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30470.1.2 Interior of a set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

70.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30470.3 Interior operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30570.4 Exterior of a set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30570.5 Interior-disjoint shapes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30670.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30670.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30670.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

71 Interval (mathematics) 30871.1 Notations for intervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

71.1.1 Including or excluding endpoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30871.1.2 Innite endpoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30971.1.3 Integer intervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

71.2 Terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30971.3 Classication of intervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

71.3.1 Intervals of the extended real line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31071.4 Properties of intervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31071.5 Dyadic intervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31171.6 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

71.6.1 Multi-dimensional intervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31171.6.2 Complex intervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

71.7 Topological algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31171.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31271.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31271.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

72 Isolated point 31372.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31472.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31472.3 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

73 Kolmogorov space 31573.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31573.2 Examples and nonexamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

73.2.1 Spaces which are not T0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31573.2.2 Spaces which are T0 but not T1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

73.3 Operating with T0 spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

xx CONTENTS

73.4 The Kolmogorov quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31673.5 Removing T0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31773.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

74 Kuratowski closure axioms 31874.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31874.2 Connection to other axiomatizations of topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

74.2.1 Induction of Topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31874.2.2 Induction of closure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31974.2.3 Recovering notions from topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

74.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31974.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31974.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31974.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

75 Limit point 32075.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32075.2 Types of limit points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32075.3 Some facts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32175.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32175.5 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

76 Lindelf space 32376.1 Properties of Lindelf spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32376.2 Properties of strongly Lindelf spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32376.3 Product of Lindelf spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32376.4 Generalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32476.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32476.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32476.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

77 Locally compact space 32577.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32577.2 Examples and counterexamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

77.2.1 Compact Hausdor spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32677.2.2 Locally compact Hausdor spaces that are not compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32677.2.3 Hausdor spaces that are not locally compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32677.2.4 Non-Hausdor examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

77.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32777.3.1 The point at innity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32777.3.2 Locally compact groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

77.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32877.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328

CONTENTS xxi

78 Locally connected space 32978.1 Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33078.2 Denitions and rst examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330

78.2.1 First examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33178.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33178.4 Components and path components . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

78.4.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33278.5 Quasicomponents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

78.5.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33278.6 More on local connectedness versus weak local connectedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33378.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33378.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33378.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33478.10Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

79 Locally nite collection 33579.1 Examples and properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

79.1.1 Compact spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33579.1.2 Second countable spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

79.2 Closed sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33679.3 Countably locally nite collections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33679.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

80 Locally Hausdor space 33780.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

81 Locally normal space 33881.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33881.2 Examples and properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33881.3 Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33881.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33881.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

82 Locally regular space 34082.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34082.2 Examples and properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34082.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34082.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340

83 Loop (topology) 34183.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34183.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342

84 Mathematical analysis 343

xxii CONTENTS

84.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34484.2 Important concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

84.2.1 Metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34584.2.2 Sequences and limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

84.3 Main branches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34684.3.1 Real analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34684.3.2 Complex analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34684.3.3 Functional analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34684.3.4 Dierential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34684.3.5 Measure theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34784.3.6 Numerical analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

84.4 Other topics in mathematical analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34784.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348

84.5.1 Physical sciences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34884.5.2 Signal processing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34884.5.3 Other areas of mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348

84.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34884.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34984.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35084.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350

85 Meagre set 35185.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

85.1.1 Relation to Borel hierarchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35185.2 Terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35185.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35285.4 BanachMazur game . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35285.5 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352

85.5.1 Subsets of the reals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35285.5.2 Function spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352

85.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35285.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35285.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353

86 Metacompact space 35486.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35486.2 Covering dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35486.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35486.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

87 Metric map 35687.1 Category of metric maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

CONTENTS xxiii

87.2 Strictly metric maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35687.3 Multivalued version . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35687.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35787.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357

88 Metric space 35888.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35888.2 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35888.3 Examples of metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35988.4 Open and closed sets, topology and convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36088.5 Types of metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360

88.5.1 Complete spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36088.5.2 Bounded and totally bounded spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36188.5.3 Compact spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36288.5.4 Locally compact and proper spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36288.5.5 Connectedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36288.5.6 Separable spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

88.6 Types of maps between metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36288.6.1 Continuous maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36388.6.2 Uniformly continuous maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36388.6.3 Lipschitz-continuous maps and contractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36388.6.4 Isometries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36488.6.5 Quasi-isometries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364

88.7 Notions of metric space equivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36488.8 Topological properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .