LOGICA MATEMATICA

ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA

MODULO DE LOGICA MATEMTICA

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIAESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERA

LGICA MATEMTICALGICA MATEMTICALGICA MATEMTICALGICA MATEMTICA

G



UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIAESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERA

CIENCIAS BSICAS


GEORFFREY ACEVEDO GONZLEZ

Medelln, 2011

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERA


NZLEZ

Lgica Matemtica

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Jaime Alberto Leal Afanador

Rector

Dra. Elizabeth Vidal Arizabaleta

Vicerrectora Acadmica y de Investigacin

Dr. Roberto de Jess Salazar Ramos

Asesor de Rectora

Dra. Gloria C. Herrera Snchez

Vicerrectora de Medios y Mediaciones Pedaggicas

Dr. Edgar Guillermo Rodrguez

Vicerrector Vicerrectora de Desarrollo Regional Comunitario

Gustavo Gmez

Decano Escuela de Ciencias Bsicas, Tecnologa e Ingeniera

Maribel Crdoba Guerrero

Secretaria General

Jorge Eliecer Rondn

Coordinador de Ciencias Bsicas

MDULO CURSO LGICA MATEMTICA PRIMERA EDICIN (EN EDICIN)

Copyrigth

Universidad Nacional Abierta y a Distancia

PROHIBIDA LA REPRODUCCIN Y PUBLICACIN PARCIAL O TOTAL DE ESTA OBRA SIN AUTORIZACIN DE LA UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD

ISBN

2011

Centro Nacional de Medios para el Aprendizaje

Actualizacin, Edicin y Diagramacin Georffrey Acevedo Gonzlez Medelln, Colombia. 28 de Julio de 2011 (material en prensa)

Este material tiene como referencia principal el mdulo diseado por la Dra. Nubia Janeth Galindo Patio en el ao de 1999 para la Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD. Santa Fe de Bogot. D.C. 1999

Portada: Aristteles segn un manuscrito de su Historia naturalis. Roma 1457 (Cod. vindob. phil. gr.).

Medelln Colombia Julio de 2011.



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OH dicha de entender,

mayor que la de imaginar o la de sentir! Borges.

Introduccin

Este mdulo est concebido para ser un curso introductorio a la lgica Matemtica.

Antes de dar inicio al desarrollo de los temas del curso, y en general, para toda actividad, es importante que nos interroguemos por el origen y propsito de dicho conocimiento, Qu problemas busc resolver el hombre mediante dicho conocimiento? Qu preguntas vamos a contestar con el aprendizaje del curso? Qu competencias se espera que el estudiante desarrolle? Por qu se consideran importantes estas competencias? Por qu, siendo yo un estudiante de regencia de farmacia, o un estudiante de ingeniera, o mejor an, un estudiante de psicologa, debo tomar el curso de Lgica Matemtica?

Entre las competencias que debe tener un estudiante, se destaca su capacidad para construir razonamientos deductivos e inductivos, tal que le permitan verificar hiptesis as como generar nuevas, una competencia necesaria, no slo para la investigacin cientfica, sino necesaria para actividades como proponer argumentos vlidos en un ensayo o para debatir ideas.

Se considera que la lgica matemtica acompaada de las competencias lingsticas permite plantear las mejores soluciones a diferentes tipos de problemas. Al punto que son estas las competencias que son evaluadas por las universidades para determinar el acceso a programas de educacin superior.

La competencia lgico matemtica no hace referencia exclusiva a operaciones con

representaciones simblicas y ejercicios complejos. En este curso aprenders cmo en nuestro lenguaje cotidiano hacemos uso de los razonamientos lgicos deductivos e inductivos, siguiendo unas estructuras bsicas que nos permiten afirmar que un razonamiento es o no vlido.

Ya Platn en la Repblica nos propone que antes del estudio de una ciencia social como lo es la filosofa era necesaria la preparacin de la mente por medio del estudio de la geometra euclidiana, en la cual el discpulo deba entrenarse haciendo demostraciones de teoremas de la geometra, demostraciones que slo se logran siguiendo una secuencia lgica de pasos ordenados.

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Hoy, muchas instituciones educativas exigen a sus aspirantes a cualquier programa acadmico, presentar pruebas de admisin que pretenden evaluar las competencias tanto lingsticas como lgico matemticas. Mediante estas evaluaciones, las instituciones pretenden elegir entre todos sus aspirantes a aquellos que se encuentren ms preparados para aprender. Esto es para comprender y elaborar razonamientos lgicos deductivos e inductivos cada vez ms complejos.

En este sentido, el curso de lgica matemtica es importante para mejorar en la interpretacin y construccin de razonamientos lgicos presentes tanto en el lenguaje cotidiano como en todas las reas especializadas del conocimiento. Es por esta razn que el curso de lgica matemtica es un curso transversal a todos los programas acadmicos ofertados por la Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD.

Para leer el mdulo slo se requieren conceptos de conjuntos numricos, y

operaciones algebraicas bsicas. La intencin es que el estudiante pueda aprender de este mdulo por s mismo, en este sentido es un texto escrito ms para los estudiantes que para el tutor.

En el curso de lgica matemtica, analizaremos diferentes operaciones entre conjuntos, tales como unin, interseccin y complemento, entre otras operaciones, que nos permitirn aclarar la comprensin de las relaciones entre los conectivos lgicos usados en el lenguaje natural, partiendo para ello una representacin grfica. A la par desarrollaremos las destrezas lgico matemticas, dando solucin a problemas como ste:

De acuerdo con una encuesta virtual realizada a cincuenta estudiantes de la UNAD, los amantes de la msica de Juanes son 15; mientras que los que nicamente gustan de la msica de Shakira son 20, Cuntos son fanticos de los dos artistas si 10 de los encuestados, entre los 25 que no son fanticos de Shakira, afirman ser fanticos de Juanes?

Comprenderemos cmo trabajan los conectivos lgicos que usamos diariamente en

nuestro leguaje y que pocas veces nos detenemos a analizar y a comprender, por ejemplo, nuestro amigo Boole afirma que cuando gane su equipo predilecto har fiesta, pasado un tiempo encontramos que Boole est festejando pero que su equipo predilecto ha perdido Se est contradiciendo el amigo Boole con su afirmacin inicial?, En este curso descubriremos y analizaremos el conectivo lgico que ha usado Boole en su afirmacin para concluir sobre este asunto.

Identificar los conectivos lgicos, las premisas y comprender su funcin en el lenguaje nos permitir disear frases cada vez ms complejas sin que se pierda la coherencia en la construccin gramatical.

Posteriormente aprenderemos ha simplificar expresiones complejas o difciles de



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descifrar usando el lenguaje natural, para ello utilizaremos leyes expresadas por medio de smbolos. Por ejemplo, al expresar en lenguaje natural que es falso que Augustus no miente; por medio de la lgica aprendemos a llegar a la simplificacin: Augustus miente mediante el Algebra de Boole, utilizando leyes lgicas bsicas que nos permiten validar la simplificacin hecha con un argumento ms all de la simple intuicin.

Gracias al desarrollo informtico un estudiante de psicologa, puede implementar una

funcin lgica en una hoja de clculo como Excel o Calc, que le permita obtener en segundos el resultado de la aplicacin de un Test psicolgico a una poblacin. En general, gracias a los principios bsicos de la lgica se pueden implementar funciones de aplicacin en todas las reas del conocimiento.

Otra interesante aplicacin de la lgica es en el proceso de validar nuestros

argumentos. Por ejemplo, analicemos que puede concluirse de la siguiente afirmacin: si llueve hace fro, posteriormente ocurre que hace fro, es entonces correcto concluir que llueve?, Por medio de la lgica transformaremos esta expresin en lenguaje simblico que posteriormente podremos analizar por medio de una tabla de verdad y descubrir en qu caso especfico la conclusin puede no derivarse de sus premisas.

En el mundo de la argumentacin siempre estamos utilizando unos principios lgicos bsicos que estudiaremos en el curso de Lgica Matemtica, permitindonos mejorar en la construccin de argumentos ms fuertes, basados en los cimientos de la lgica.

Buen Viento y Buena mar.

Georffrey Acevedo Gonzlez.1

1Tutor de Ciencias Bsicas de la Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD desde 1995. Ingeniero Electrnico de la Universidad de Antioquia. Maestro en educacin del Tecnolgico de Monterrey. www.georffrey.com [email protected] [email protected]

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CONTENIDO POR LECCIONES Unidad 1 Principios de Lgica

Captulo 1 Introduccin a la lgica

Leccin No.1 Introduccin a la lgica Leccin No. 2 Proposiciones Leccin No. 3 Conectivos lgicos fundamentales Leccin No. 4 Condicional y Bicondicional Leccin No. 5 Tablas de verdad

Captulo 2 Tautologa

Leccin No. 6 Tautologa Leccin No. 7 Proposiciones equivalentes Leccin No. 8 Tautologa trivial y doble negacin Leccin No. 9 Implicacin directa, contraria, recproca y contrarrecproca Leccin No. 10 Leyes de la lgica

Captulo 3 Cuantificadores y proposiciones categricas

Leccin No. 11 Cuantificadores Leccin No. 12 Proposiciones categricas Leccin No. 13 Representacin de las proposiciones categricas Leccin No. 14 Clasificacin de las proposiciones categricas Leccin No. 15 Proposiciones contrarias, de contingencia y subcontrarias

Unidad 2 Razonamientos lgicos

Captulo 4 Razonamientos lgicos

Leccin No. 16 Razonamiento lgico Leccin No. 17 El mtodo cientfico Leccin No. 18 Silogismos categricos Leccin No. 19 Validez de un argumento Leccin No. 20 Prueba formal de validez



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Captulo 5 Inferencias Lgicas

Leccin No. 21 Inferencia lgica Leccin No. 22 Leyes de inferencia Leccin No. 23 Aplicacin de las leyes de inferencia Leccin No. 24 Demostracin directa e indirecta Leccin No. 25 La refutacin

Captulo 6 Argumentos Inductivos

Leccin No. 26 Argumento Inductivo Leccin No. 27 El problema de la induccin Leccin No. 28 La analoga Leccin No. 29 La fuerza de los argumentos Leccin No. 30 Analoga refutadora

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INDICE DE CONTENIDO Introduccin ???????????????????????????????????3 Smbolos usados ?????????????????????????????..???11 Objetivos, conducta de entrada, fase de reconocimiento?????????????..??12 UNIDAD 1 Principios de Lgica

1 Captulo: Introduccin a la Lgica ........................................................................................ 26 1.1 Contextualizacin Histrica de la Lgica ................................................................................. 27

1.2 Clasificacin de la lgica .......................................................................................................... 28

1.3 Propsito de la lgica ................................................................................................................ 29

1.4 Lgica y Lingstica .................................................................................................................. 29

1.4.1 Lenguajes naturales y artificiales .............................................................................................. 30

1.5 Componentes del proceso semitico ......................................................................................... 33

1.6 Ramas de la semitica ............................................................................................................... 35

1.7 Proposiciones ............................................................................................................................ 38

1.7.1 Representacin de las proposiciones ......................................................................................... 39

1.7.2 Clasificacin de las proposiciones ............................................................................................ 42

1.7.3 Proposiciones Compuestas ........................................................................................................ 42

1.8 Conectivos Lgicos ................................................................................................................... 45

1.8.1 Conjuncin: ...................................................................................................................... 45

1.8.2 La disyuncin v .................................................................................................................... 49

1.8.3 La negacin ~ ............................................................................................................................ 53

1.8.4 El condicional ............................................................................................................... 55 1.8.5 El bicondicional ........................................................................................................... 58 1.9 Tablas de Verdad ....................................................................................................................... 66

1.9.1 Construccin de Tablas de Verdad ............................................................................................ 67

2 Captulo: Tautologa ............................................................................................................... 75 2.1 Tautologa .................................................................................................................................. 76

2.2 Proposiciones equivalentes ....................................................................................................... 78

2.2.1 Tautologa trivial ....................................................................................................................... 80

2.2.2 Doble Negacin ......................................................................................................................... 80

2.3 Implicacin directa, contraria,recproca y contrarecproca ....................................................... 82

2.4 Leyes del algebra de proposiciones ........................................................................................... 84

3 Captulo: Cuantificadores y proposiciones categricas ....................................................... 85 3.1 Cuantificadores .......................................................................................................................... 86

3.1.1 Cuantificador universal y existencial ........................................................................................ 86

3.2 Proposiciones categricas ......................................................................................................... 89

3.2.1 Cualidad y cantidad de las proposiciones categricas .............................................................. 90

3.3 Simbologa y diagramas para proposiciones categricas .......................................................... 91



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3.3.1 Clasificacin de las proposiciones categricas ......................................................................... 96

3.4 Proposiciones contrarias, de contingenica y subcontrarias ..................................................... 100

3.4.1 Proposiciones contradictorias .................................................................................................. 100

3.4.2 Proposiciones contrarias .......................................................................................................... 101

3.4.3 Proposicin Contingente ......................................................................................................... 102

3.4.4 Proposiciones Subcontrarias ................................................................................................... 103

UNIDAD 2 Razonamientos Lgicos

4 Captulo: Razonamientos lgicos ......................................................................................... 107 4.1 Razonar .................................................................................................................................... 108

4.1.1 Razonamiento inductivo .......................................................................................................... 108

4.1.2 Razonamiento deductivo ......................................................................................................... 109

4.2 Silogismos categricos ............................................................................................................ 112

4.3 Validez de un argumento ......................................................................................................... 116

4.3.1 Prueba formal de validez ......................................................................................................... 117

4.3.2 Prueba de invalidez ................................................................................................................. 117

5 captulo: Inferencias lgicas ................................................................................................. 121 5.1 Inferencias Lgicas ................................................................................................................. 122

5.1.1 Modus Ponens (M. P) o Modus Ponendo Ponens (MPP) .................................................... 123

5.1.2 Modus Tollens (M.T) o Modus Tollendo Tollens (MTT) ...................................................... 127

5.1.3 Silogismo Hipottico (S: H) .................................................................................................... 129

5.1.4 Silogismo disyuntivo (S. D) o Modus Tollendo Ponens (MTP) ............................................. 131

5.1.5 Dilema constructivo (D.C) ...................................................................................................... 133

5.1.6 Absorcin (Abs) ...................................................................................................................... 133

5.1.7 Simplificacin (Simp.) ............................................................................................................ 134

5.1.8 Conjuncin (Conj) ................................................................................................................... 134

5.1.9 Adicin (Ad.) .......................................................................................................................... 134

5.2 La demostracin ...................................................................................................................... 139

5.2.1 La demostracin directa .......................................................................................................... 139

5.2.2 La demostracin indirecta ....................................................................................................... 140

5.2.3 La demostracin por recursin ................................................................................................ 140

5.2.4 La demostracin por refutacin ............................................................................................... 142

6 Captulo: Argumentos Inductivos ........................................................................................ 143 6.1 Argumento inductivo por analoga .......................................................................................... 146

6.1.1 Evaluacin de los argumentos analgicos ............................................................................... 148

Informacin de Retorno 150 Laboratorio 183 Referencias .185

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INDICE DE TABLAS

Tabla No. 1 Lenguaje Natural y Artificial ............................................................................................... 40 Tabla No. 2 Tabla de verdad de la conjuncin ......................................................................................... 47 Tabla No. 3 Tabla de vedad de la disyuncin ........................................................................................... 51 Tabla No. 4 Tabla de vedad de la negacin .............................................................................................. 53 Tabla No. 5 Tabla de vedad para el condicional ...................................................................................... 57 Tabla No. 6 Tabla de vedad para el condicional ...................................................................................... 60 Tabla No. 7 Valores de verdad de los conectivos lgicos ......................................................................... 66



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INDICE DE FIGURAS

Figura No. 1 Teorema de Pitgoras. ...................................................................................................... 32 Figura No. 2 Conjuncin ......................................................................................................................... 46 Figura No. 3 Disyuncin ....................................................................................................................... 50 Figura No. 4 Negacin ............................................................................................................................. 53 Figura No. 5 Ejemplo actividad de transferencia I - ............................................................................. 64 Figura No. 6Ejemplo actividad de transferencia II - ............................................................................. 65

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INDICE DE ILUSTRACIONES

Imagen No. 1 . Scrates. Detalle de La escuela de Atenas - fresco de Raffaello Sanzio (1511) ............. 31 Imagen No. 2. Pitgoras (582 a.c).. Detalle. La escuela de Atenas - fresco de Raffaello Sanzio (1511)32 Imagen No. 3 Euclides. Padre de la Geometra. Detalle. La escuela de Atenas - fresco de Raffaello Sanzio (1511) ............................................................................................................................................ 32



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Smbolos usados Conjuntos:Conjuntos:Conjuntos:Conjuntos:

Conjunto universal

, Conjunto vaco

Operaciones entre conjuntos:Operaciones entre conjuntos:Operaciones entre conjuntos:Operaciones entre conjuntos: Unin Interseccin Diferencia Diferencia simtrica Contenido en No est contenido en

Relaciones entre elementos y conjuntosRelaciones entre elementos y conjuntosRelaciones entre elementos y conjuntosRelaciones entre elementos y conjuntos Pertenece a No pertenece a

Conectivos lgicos:Conectivos lgicos:Conectivos lgicos:Conectivos lgicos: Conjuncin Disyuncin , ~ Negacin Implicacin Equivalencia

Indicadores de relacin:Indicadores de relacin:Indicadores de relacin:Indicadores de relacin: < Menor que Menor o igual que > Mayor que Mayor o igual que Diferente a

Conjuntos numricos:Conjuntos numricos:Conjuntos numricos:Conjuntos numricos: Conjunto de nmeros naturales Conjunto de nmeros enteros

+ Conjunto de nmeros enteros positivos

Conjunto de nmeros enteros negativos Conjunto de nmeros reales Conjunto de nmeros complejos

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Objetivo General

Proporcionar al estudiante herramientas que le permitan reconocer, elaborar y determinar la validez de razonamientos lgicos tanto deductivos como inductivos.

Objetivos especficos Desarrollar las competencias para expresar razonamientos lgicos en lenguaje simblico. Identificar y aplicar las diferentes leyes de la lgica en procesos de argumentacin, al llevarlas al lenguaje natural. Hacer uso de principios del lgebra Booleana para simplificar expresiones del lenguaje natural. Desarrollar competencias para la construccin de funciones lgicas en programas de computacin, como las hojas de clculo o de lenguajes de programacin.



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Para alcanzar un aprendizaje significativo, tres condiciones importantes son necesarias: La significatividad psicolgica, la significatividad lgica del material y la motivacin. Para tal fin, se han estructurado las diferentes herramientas pedaggicas y didcticas del curso en tres fases de aprendizaje: reconocimiento, profundizacin y transferencia. A continuacin daremos inicio a la fase de reconocimiento, en la cual, partiremos de las experiencias previas de aprendizaje, ya sean stas adquiridas en el estudio de un campo especfico del conocimiento o adquiridas en el desarrollo de actividades diferentes a las acadmicas. Para lograr este objetivo se ha diseado una actividad didctica, que dispone el ambiente para que por medio de algunas herramientas y tcnicas, puedas objetivar esas experiencias previas alcanzadas en tu mundo vital. De esta manera, logrars pasar del mundo impensado de las experiencias a la sistematizacin de las mismas, o de las prenociones a las nociones. Es decir, se trata de un ejercicio de motivacin para que te involucres en los procesos iniciales de aprendizaje y actives tus estructuras cognitivas. Salazar (2008) Pero, ante todo, debemos contar con tu disposicin para el aprendizaje. Para contribuir con el factor de la motivacin, se ha dispuesto el primer OVA, objeto virtual de aprendizaje, el cual es un audio en mp3 con algunos elementos que te motivar para el desarrollo de las competencias del curso.

Audio1.MP3

http://www.georffrey.co

m/portal/attachments/art

icle/46/conferencia1mar

zo20de2011.mp3

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Cuntas horas debo dedicar al estudio del curso de lgica matemtica? El curso de lgica matemtica es un curso de dos crditos acadmicos, por lo tanto un curso de dos unidades. Un crdito acadmico corresponde a 48 horas de estudio, de las cuales 12 horas son de acompaamiento tutorial y 36 horas son de estudio independiente. Esto significa que para matricular el curso de lgica matemtica debers disponer de 72 horas de estudio independiente. Para un perodo acadmico es de 16 semanas, y si consideramos 100 das en el proceso, considerando las pausas activas, esto se traducir en un promedio de una (1) hora diaria. En ninguna otra metodologa como en la educacin a distancia, debemos hacer una cuidadosa gestin del tiempo. La invitacin es para desarrollar un cronograma de organizacin de las actividades acadmicas de acuerdo a los temas de cada curso y al tiempo disponible.



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A continuacin daremos inicio a la fase de reconocimiento, en la cual, partiremos de las experiencias previas de aprendizaje. Recuerda que la disposicin frente al conocimiento es una condicin para lograr un aprendizaje significativo:

1. Qu entiendes por lgica?

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2. Podramos hacer un debate de ideas sin hacer uso de la lgica? Analiza cundo hacemos uso de la lgica.

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3. Qu recuerdas de la evolucin histrica de la lgica?

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4. Analiza porqu es importante la competencia lgico matemtica para apropiar nuevo conocimiento.

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5. En tus palabras, plantea la diferencia entre lenguaje simblico y lenguaje natural

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6. Cul es tu definicin intuitiva de conjunto?

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7. Plantea varios ejemplos de conjuntos. Cmo describiras un conjunto con una cantidad infinita de elementos?

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8. Cmo representas un conjunto? 1.

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9. Qu formas de determinar un conjunto conoces? 2.

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10. Cmo definiras un conjunto finito, infinito, vaco, unitario, universal y de partes? 3.

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11. Qu relacin conoces entre conjuntos y entre conjuntos y sus elementos?

Cmo se representan stas? 4.

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12. Cun son iguales dos conjuntos? Cundo son completamente diferentes? ________________________________________________________________________________________________________________________

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13. Qu operaciones entre conjuntos conoces? 5.

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14. Qu conoces del lgebra de conjuntos? Cules leyes recuerdas? Cmo haras una demostracin grfica de estas leyes? Cmo aplicaras el principio de dualidad en estas leyes? ________________________________________________________________________________________________________________________

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15. En los siguientes diagramas sombrea las reas correspondientes a las operaciones sealadas:

15.1. A unin B

U

c. d.

B A

U

A

B C

B A

U U

a. b.

B A



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15.2. A interseccin B

15.3. A menos B

U

c. d.

B A

U

A

B C

B A

U U

a. b.

B A

U

c. d.

B A

U

A

B C

B A

U U

a. b.

B A

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16. Propn una expresin de la cual puedas decir que es verdadera. Cmo expresaras la negacin de la misma proposicin?

6.

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17. Te has encontrado con un argumento que parece lgico, pero que cuando

lo analizamos detenidamente encontramos que no era tal? A continuacin se propone plantearlo:

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18. Menciona las caractersticas comunes que encuentras en un razonamiento

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19. Describe, cmo determinas la validez de un argumento

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20. Entre dos personas inmersas en un debate. Cmo podramos determinar que el argumento de uno es ms fuerte que el del otro?

21.

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Querido estudiante, en los temas que encontrars a continuacin iniciamos el proceso de asociacin de los saberes previos con conceptos especficos del curso de lgica matemtica. En esta fase encontrars material y actividades didcticas diseadas para que puedas apropiar conceptos y teoras que te permitirn alcanzar las metas de aprendizaje establecidas para el curso.

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Unidad 11

Principios de Lgica

Introduccin En esta unidad, partiremos de la contextualizacin histrica de la lgica hacia la definicin de la unidad fundamental de la lgica la proposicin. Aprenderemos a identificar y clasificar las proposiciones, y estableceremos criterios e instrumentos de comparacin entre los diferentes tipos de proposiciones.

Justificacin

Esta unidad es significativamente importante en la formacin de cualquier profesional, desde la ptica de la necesidad de la apropiacin de una fundamentacin conceptual bsica para fortalecer la destreza en la identificacin de las proposiciones como elemento fundamental de la lgica y la comprensin de la relacin biunvoca entre el lenguaje simblico y el lenguaje natural. Estas herramientas nos permitirn desarrollar las competencias para el desarrollo de la segunda unidad, en donde, haciendo uso de lo aprendido nos introduciremos en el anlisis de validez de los razonamientos lgicos.



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Intencionalidades formativas

Propsitos

Desarrollar en el estudiante habilidades de comunicacin en contextos diversos mediante la articulacin de lenguajes icnicos, simblicos o artificiales como el de la lgica proposicional para dinamizar procesos de aprendizaje en diferentes campos del saber.

Objetivos

Que el estudiante relacione expresiones del lenguaje simblico y del lenguaje natural mediante anlisis comparativo e interpretacin de la funcionalidad de las variables lgicas y operacionabiliadad de los conectivos lgicos como elementos estructurales de la lgica proposicional transcribibles a otras formas de comunicacin en diferentes contextos del saber.

Metas

El estudiante plantear y formular expresiones lgicas en lenguaje natural y lenguaje simblico como evidencia del anlisis comparativo e interpretativo de la funcin que cumplen variables y conectores lgicos como elementos estructurales de las expresiones lgicas en el estudio de situaciones particulares propuestas para tal fin.

Competencias

El estudiante relaciona e interpreta expresiones del lenguaje simblico y del lenguaje natural en la formulacin y representacin de estructuras semnticas lgicas en trminos de variables y conectores lgicos como elementos estructurales de la lgica proposicional articulables a diferentes formas de comunicacin en diversos contextos.

Captulos de la unidad:

Captulo 1: Introduccin a la lgica Captulo 2: Tautologas Captulo 3: Cuantificadores y crculos de Euler

Lgica Matemtica

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CA

PT

UL

O 1

1 Captulo: Introduccin a la Lgica

Objetivo general

El propsito de este captulo es brindar al estudiante algunos elementos del desarrollo histrico de la lgica matemtica y su correspondiente

clasificacin. As como de brindar las herramientas para identificar y construir

proposiciones lgicas.

Objetivos especficos

Realizar la clasificacin de la lgica

Reconocer el propsito de la lgica

Determinar la diferencia entre lenguaje natural y artificial

Analizar los componentes del proceso semitico

Distinguir las reas de la semitica

Identificar y construir proposiciones lgicas simples y compuestas

Construir tablas de verdad



27

LLLeeecccccciiinnn NNNooo...111 IIInnntttrrroooddduuucccccciiinnn aaa lllaaa lllgggiiicccaaa

1.1 Contextualizacin Histrica de la Lgica

Concete a ti mismo ("gnosei seauton") es la frase que apareca en el santuario del Dios Olmpico Apolo y que se atribuye a Tales de Mileto (639 a.c), quien es considerado como el primer representante de la filosofa occidental: tanto as como para reconocrsele como el iniciador de la indagacin racional sobre el universo, a Tales de Mileto se atribuye plantear explicaciones de la naturaleza sin hacer referencia a lo sobrenatural. Es as, como los precursores de la filosofa, llamados los presocrticos, representaron una innovacin en el pensamiento, al tratar de explicar las cosas por si mismas. En el perodo Socrtico, los filsofos pasarn de preocuparse por los temas de la naturaleza a ocuparse en el hombre. En este perodo aparecen los sofistas, quienes profundizan en el arte de discutir, a ellos debemos lo que en la lgica se denomina un sofisma, argumentos que parecen vlidos pero que realmente no lo son. Originalmente logos significa palabra o discurso, por lo que en un principio se defini la lgica como la rama de la gramtica que se ocupaba de ciertas formas de lenguaje. Como la palabra es la expresin, o manifestacin del pensamiento y el pensamiento racional es la base de la filosofa, puede decirse en general, que la lgica es la ciencia del pensamiento racional; es importante aclarar que la lgica no se ocupa del contenido de los pensamientos sino de la manera o forma de los pensamientos. En respuesta a la necesidad de construir argumentos, para defender o refutar pensamientos de los dems, Aristteles, considerado por los griegos. El padre de la lgica, creo mtodos sistemticos para analizar y evaluar dichos argumentos, para lo cual desarroll la lgica proposicional estableciendo procedimientos para determinar la verdad o falsedad de proposiciones compuestas. El gran matemtico Gottfried Leibniz en 1646 fue el primero en intentar reformar la lgica clsica, planteando que la dependencia lgica entre proposiciones es demostrada reduciendo argumentos complejos en simples, para lo cual propuso representar el conocimiento, en una forma que pudiera ser usado por un razonamiento mecnico y a ste esquema (lgica simblica) lo llam una caracterstica universal.2 2 Galindo Patio N. J. (1999). Lgica Matemtica. Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD. Santa Fe de Bogot. D.C. 1999

Lgica Matemtica

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El proceso de la lgica continu en el siglo XIX. En 1847 el matemtico ingls George Boole en compaa de Augustus de Morgan hizo notar el parentesco entre las operaciones lgicas con las matemticas, pues a partir de los operadores aritmticos de adicin, multiplicacin y sustraccin crearon los operadores lgicos equivalentes de unin, interseccin y negacin; adems formularon los principios del razonamiento simblico y el anlisis lgico. A Boole se le atribuye la invencin de las tablas de verdad para comprobar la veracidad de proposiciones compuestas. 3 Este trabajo fue retomado por Bertrand Russell y Alfred Whitehead en 1910 en su obra Principio Matemtico, quienes codificaron la lgica simblica en su presente forma definindola como la Ciencia de todas las operaciones conceptuales posibles, por esta razn la fundacin de la lgica formal moderna se le atribuye a ellos. 4

1.2 Clasificacin de la lgica La lgica se puede clasificar como lgica tradicional o no formal y lgica simblica o formal:

1. Lgica tradicional o no formal. 2. Lgica simblica o formal.

En la lgica no formal o lgica tradicional se considera la destreza para interpretar y distinguir un razonamiento correcto de un razonamiento incorrecto como un producto de la experiencia humana obtenida en la relacin con el mundo circundante. En palabras de Galindo (1999), se consideran los procesos psicobiolgicos del pensamiento lgico. La lgica como ciencia constituye la lgica formal o simblica, la cual se encarga de investigar, desarrollar y establecer los principios fundamentales que siguen la validez de la inferencia; es considerada como uno de los sistemas mediante el cual se llega a formas puras y rigurosas. 5 En el pensamiento simblico, las palabras se manipulan, segn las reglas establecidas, como si fueran simples signos sin preocuparse por su sentido.

De all, que afirmemos que la lgica se ocupa de la forma de los pensamientos y no de su contenido.

3,4,5 Galindo Patio N. J. (1999). Lgica Matemtica. Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD. Santa Fe de Bogot. D.C. 1999



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1.3 Propsito de la lgica

La lgica ofrece mtodos que ensean cmo formar proposiciones, evaluar sus valores de verdad y determinar si unas conclusiones se pueden deducir correctamente a partir de proposiciones supuestas; adems, la lgica es una ciencia que se interesa por las relaciones existentes entre las proposiciones, con el fin de obtener precisin, claridad y generalidad en los razonamientos. La precisin la logra mediante el uso de smbolos, los cuales tienen como funcin primordial eliminar las ambigedades que la estructura del lenguaje ordinario no puede evitar con facilidad. La claridad y generalidad, la consigue en la medida en que el usuario se familiariza con los elementos bsicos de un argumento lgico, tanto en su representacin simblica como en su significado para luego establecer un lenguaje simblico artificial, que le permita simplificar argumentos lgicos complicados; de esta manera, el smbolo permite concentracin sobre lo esencial de un contexto dado, incrementando la fiabilidad con que se aplica el conocimiento. 6

1.4 Lgica y Lingstica

Por su origen y desarrollo natural, han sido reconocidos dos tipos bsicos de lenguajes: los lenguajes naturales y los lenguajes formales o artificiales. Los lenguajes naturales no se establecieron a travs de ninguna teora, entre ellos estn el castellano, el francs y el ingls. Las teoras y gramticas de lenguajes naturales, fueron establecidas a posteriori, es decir despus de que el lenguaje ya haba madurado. Los lenguajes formales como las matemticas y la lgica, fueron desarrollados, generalmente, a partir del establecimiento de una teora, la cual da las bases para que a travs de dichos lenguajes se pueda desarrollar la misma teora.

6 Galindo Patio N. J. (1999). Lgica Matemtica. Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD. Santa Fe de Bogot. D.C. 1999

Lgica Matemtica

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Los lenguajes naturales y formales tienen puntos en comn, en principio, se tiene la existencia de un conjunto finito llamado alfabeto, el cual esta constituido de smbolos simples llamados comnmente letras. En los lenguajes naturales se tienen como ejemplos los alfabetos: latino, griego y rabe-persa, entre otros. En los formales como la lgica se tiene el lxico del clculo proposicional y de predicados.

Mediante la concatenacin de las letras del alfabeto se forman los monemas, fonemas o palabras que se encuentran en el interior de un enunciado, de tal forma que un lenguaje se considera como un conjunto infinito de oraciones o enunciados que se forman con palabras. En los sistemas formales los enunciados del lenguaje consisten en una lista de smbolos, (lgicos o matemticos) sujetos a diversas interpretaciones. En un lenguaje formal, las palabras y las oraciones estn perfectamente definidas, una palabra mantiene el mismo significado prescindiendo del contexto o de su uso. Los lenguajes formales son, por esto, necesariamente exentos de cualquier componente semntico fuera de sus operadores y relaciones, y es gracias a esta ausencia de significado especial, que los lenguajes formales pueden ser usados para modelar una teora de la ingeniera de sistemas, mecnica, elctrica, entre otras. 7

1.4.1 Lenguajes naturales y artificiales

Podemos considerar el lenguaje como un sistema de signos que expresan ideas y que se utiliza para establecer comunicacin. El hombre se comunica y participa de este proceso mediante el lenguaje natural humano; sin lenguaje, o con un lenguaje rudimentario, el hombre estara limitado socialmente. Cuando el hombre aprende a nombrar todo lo que le rodea y luego es capaz de relacionar el objeto solamente con su nombre, el lenguaje se convierte en smbolo, es decir, toma vida independiente del objeto, de tal forma que se puede afirmar que el lenguaje no slo es un instrumento de comunicacin sino tambin de pensamiento; por lo tanto, para el hombre el lenguaje es exterior e interior,




pues le permite establecer comunicacin y mediante l acumula y transmite sus experiencias utilizando los procesos de simplificacin y generalizacin. De otra parte se puede hablar de lenguaje natural o artificial . El lenguaje natural nace de una orgcomunidad, y se encuentra dotado de gran cantidad de signos, sobresalido las vocales; mientras que elpersonas deciden usar signos especiales, para oestableciendo reglas que faciliten la oplenguaje de la matemticas, de la fsica, qumica y de otras ciencia. Este tipo de lenguaje posee gran cantidad de signos y nace de la exigenciainformacin por lo que se le conoce como formas de comunicacin, que pueden ser escritas por medio de conos, con lenguajes analgicos y digitales.

Lenguaje Natural

Imagen No.

Lenguaje Artificial

8 Galindo Patio N. J. (1999). Lgica Matemtica.1999



pues le permite establecer comunicacin y mediante l acumula y transmite sus experiencias utilizando los procesos de simplificacin y generalizacin.

De otra parte se puede hablar de lenguaje natural o artificial . El lenguaje natural nace de una organizacin espontnea de las capacidades lingsticas de una comunidad, y se encuentra dotado de gran cantidad de signos, sobresalido las vocales; mientras que el lenguaje artificial se genera cuando una o ms personas deciden usar signos especiales, para obtener mejor comunicacin, estableciendo reglas que faciliten la operatividad entre los signos; por ejemplo, el lenguaje de la matemticas, de la fsica, qumica y de otras ciencia. Este tipo de lenguaje posee gran cantidad de signos y nace de la exigenciainformacin por lo que se le conoce como formas de comunicacin, que pueden ser escritas por medio de conos, con lenguajes analgicos y digitales.

Imagen No. 1 . Scrates. Detalle de La escuela de Atenas - fresco de Raffaello Sanzio (1511)

. Lgica Matemtica. Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD.

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pues le permite establecer comunicacin y mediante l acumula y transmite sus experiencias utilizando los procesos de simplificacin y generalizacin.

De otra parte se puede hablar de lenguaje natural o artificial . El lenguaje natural anizacin espontnea de las capacidades lingsticas de una

comunidad, y se encuentra dotado de gran cantidad de signos, sobresalido las lenguaje artificial se genera cuando una o ms

btener mejor comunicacin, ratividad entre los signos; por ejemplo, el

lenguaje de la matemticas, de la fsica, qumica y de otras ciencia. Este tipo de lenguaje posee gran cantidad de signos y nace de la exigencia de conservar informacin por lo que se le conoce como formas de comunicacin, que pueden ser escritas por medio de conos, con lenguajes analgicos y digitales. 8

Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD. Santa Fe de Bogot. D.C.

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2 2 2h a b= +

Figura No. Imagen No.

Detalle. La escuela de Atenas de Raffaello Sanzio (1511

2 2 2h a b= +

2h2a

2b

Imagen No. 3 Euclides. Padre de la GeometraDetalle. La escuela de Atenas de Raffaello Sanzio (1511)

Figura No. 1 Teorema de Pitgoras.

A

H

D

B

F

G

L

Lgica Matemtica

Imagen No. 2. Pitgoras (582 a.c)..

La escuela de Atenas - fresco de Raffaello Sanzio (1511)

Euclides. Padre de la Geometra. La escuela de Atenas - fresco

de Raffaello Sanzio (1511)

C

E

K

H



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1.5 Componentes del proceso semitico

Iniciamos esta seccin asignndole el trmino semitica a la ciencia que estudia los sistemas de signos, se encarga de estudiar las condiciones de comunicabilidad y comprensibilidad de un mensaje, ensea en qu consisten los signos y cules son las leyes que los gobiernan. En el proceso semitico deben tenerse en cuenta tres vertientes: el emisor, el receptor y el contexto del mensaje. El emisor es quien inicia la comunicacin enviando un mensaje al receptor; esta operacin implica un contexto (aquello de lo que se habla), signos y por lo tanto un cdigo. La funcin del signo consiste en comunicar ideas por medio de mensajes, estos signos pueden ser naturales: el humo significa fuego, nubes indicio de lluvia; o artificiales (smbolos): bandera, escudo; o analgicos (icnicos): fotografas, esquemas, etc. El signo es el vehculo de toda comunicacin y pensamiento. Sus caractersticas estn determinadas por el lugar que el signo ocupa en el sistema y por sus relaciones con los dems signos de dicho sistema.

La funcin esencial de los cdigos es evitar toda confusin entre el signo y el mensaje. Si los signos se encuentran en una relacin lgica de exclusin, de inclusin o de interseccin, se pueden presentar tres tipos de cdigos:

Exclusin:

B

C

A

Lgica Matemtica

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Inclusin Interseccin

El emisor debe codificar el mensaje de tal forma que cuando el receptor reciba el mensaje y lo decodifique pueda reconstruir su sentido a partir de los signos y de las relaciones existentes entre ellos. 9


B C

A

B

C

A



35

1.6 Ramas de la semitica

Actualmente se reconocen tres reas en el campo de la semitica as: sintaxis, semntica y pragmtica. El primero establece con claridad y divulgar esta clasificacin fue Morris en 1938, quien defini la pragmtica como el estudio de la relacin de los signos con los intrpretes, la semntica como el de las relaciones de los signos con los objetos a los que se aplican y la sintaxis como el de las relaciones formales entre los mismos signos. Galindo (1999)

Ejercicio Propuesto 1: A continuacin te invitamos a plantear la pertinencia del curso de lgica matemtica para tu programa de estudio: __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________

Lgica Matemtica

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La lgica se clasifica en:

1. Tradicional o no formal: son los procesos psicobiolgicos del pensamiento lgico y mtodos de inferencia, que permiten interpretar y distinguir el razonamiento correcto del incorrecto, mediante la experiencia humana, ya sea por el conocimiento o por la observacin de su entorno.

2. Formal o simblica: Es la encargada de investigar, desarrollar y establecer reglas de

inferencia, que conducen a formas puras y rigurosas de pensamiento. La lgica simblica, manipula las palabras como signos, sin tener en cuenta su sentido.

La lgica pretende que sus razonamientos se caractericen por: 1. Precisin: mediante el uso de signos

2. Claridad: en la medida que el usuario se familiariza con los elementos bsicos de un

argumento lgico en su forma (representacin simblica) y su significado.

3. Generalidad: mediante el lenguaje simblico artificial, el usuario, por una parte simplifica argumentos lgicos complicados y por otra parte, establece reglas que le permiten generalizar conceptos e incrementar la fiabilidad con que se aplica el conocimiento.

Lenguaje: Sistema de signos que expresan ideas y se utilizan para establecer comunicacin. Lenguaje natural: Nace de las capacidades lingsticas de una comunidad. Lenguaje artificial: Es aquel que utiliza signos para obtener una comunicacin ms precisa y clara.



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Amigo estudiante, recuerda que la motivacin es una de las tres condiciones para lograr un aprendizaje significativo: 1. Cmo se puede definir la lgica?

2. Elabore un resumen sinttico de la historia de la lgica?

3. Mediante un cuadro sinptico, clasifique la lgica con sus caractersticas fundamentales

4. Cul es el propsito de la lgica?

5. Escriba y explique las componentes del proceso semitico.

6. Enuncie las ramas de la semitica.

Lgica Matemtica

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LLLeeecccccciiinnn NNNooo...222 PPPrrrooopppooosssiiiccciiiooonnneeesss

1.7 Proposiciones La proposicin lgica constituye el elemento fundamental de la lgica. Una proposicin lgica es un enunciado lingstico que debe cumplir con la condicin de ser susceptible de poder ser verdadero o falso.

Por ejemplo:

La temperatura ambiente es mayor de 20 grados es un enunciado que puede ser

Verdadero o Falso. La proposicin puede ser verdadera o falsa en un momento dado, decimos entonces que, el valor de verdad de una proposicin lgica es, por definicin, verdadero o falso, y es representado por las letras V o F. El valor de verdad de la proposicin de acuerdo a la relacin de su contenido con la realidad no es el objeto de estudio de la lgica. Es por esta razn que se afirme que la lgica habla de lo posible, pero no de lo real. De esta manera, dada la proposicin hace fro, independiente de las creencias de cualquiera o de la realidad de que est o no haciendo fro, independiente del lenguaje o de la forma lingstica usada como la temperatura est baja, la lgica slo se ocupa de la posibilidad de ser verdadero o falso de la proposicin. De all que se suela afirmar que la verdad lgica es una verdad formal, que no tiene contenido. Observemos que las proposiciones se dan mediante un enunciado lingstico, generalmente en la forma gramatical de oracin enunciativa: Recordemos que la oracin enunciativa se corresponde con los actos de habla declarativos, los cuales comunican sin ms, un hecho: Juan es Colombiano. Estas expresiones contienen un sujeto perfectamente definido o dado por el contexto, un predicado y una conjugacin del verbo ser, observemos algunos ejemplos:



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Ejemplos: Hoy es sbado

Soy estudiante de psicologa

New York es llamada la capital del mundo De esta manera, podemos afirmar que la lgica se ocupa de las proposiciones. Ms adelante, estudiaremos reglas que permiten la transformacin de unas expresiones en otras equivalentes, y veremos como, de acuerdo a estas reglas o leyes lgicas, a partir del valor de verdad de una o varias proposiciones logramos inferir la verdad o falsedad de otras proposiciones.

1.7.1 Representacin de las proposiciones La lgica utiliza un lenguaje exacto que no da lugar a imprecisiones, para tal fin toma como elemento bsico de anlisis a la proposicin, que no es otra cosa que una oracin del lenguaje cotidiano con un significado mucho ms limitado; en tales condiciones, se puede considerar una proposicin como una excepcin lingstica que tiene la propiedad de ser verdadera o falsa. Galindo (1999) Las proposiciones se representan simblicamente mediante el uso de letras minsculas del alfabeto tales como p, q, r, s, ..., x, y, z, las cuales reciben el nombre de letras o variables proposicionales; de esta forma, el lenguaje proposicional se hace ms simple y exacto que el lenguaje natural. As, tambin se logra simplificar la escritura de argumentos lgicos complicados, creando un lenguaje simblico artificial, en donde se establece un conjunto de reglas claras, bien definidas y que no presentan las ambigedades ni vaguedades del lenguaje corriente o natural: Los siguientes ejemplos ilustran cmo se pueden simbolizar las proposiciones:

Ejemplos: p : Hoy es sbado q : Estudio filosofa r : Colombia es el pas con el mayor nmero de especies de aves del mundo x : 4 + 3 = 10

Lgica Matemtica

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En el lenguaje cotidiano se encuentran expresiones como las siguientes:

Ejemplos:

Las rosas son rojas y tienen espinas. La seleccin Colombia gan o perdi? En el pas no hay violencia. Si estudio lgica matemtica entonces podr determinar la validez de

un razonamiento lgico.

4 es un nmero par si y slo si se puede dividir por 2.

Para la formacin de las oraciones del ejemplo anterior se utilizaron las expresiones

especiales: y, o, no, si entonces, s y slo si, que sirvieron para unir o enlazar los enunciados; denominamos a stas partculas o trminos de enlace "nexos o conectivas", que establecen relaciones sintcticas como funcin de coordinacin y subordinacin determinadas entre las proposiciones que la integran; tal ocurre en la funcin de las conjunciones en las oraciones compuestas de la lengua. Al igual que a las proposiciones, tambin les asignamos un lenguaje simblico as:

Tabla No. 1 Lenguaje Natural y Artificial

Lenguaje Natural Lenguaje Artificial

y

o

no

Si FF. entonces

Si y slo si



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Partiendo del ejemplo anterior, podemos hallar la notacin simblica de las expresiones planteadas:

Ejemplos:

Las rosas son rojas y tienen espinas.

p : Las rosas son rojas q : Las rosas tienen espinas

p q

La seleccin Colombia gan o perdi?

r: La seleccin Colombia gan? s: La seleccin Colombia perdi?

r s En el pas no hay violencia.

t : En el pas hay violencia.

t Si estudio lgica matemtica entonces podr determinar la validez de

un razonamiento lgico

x : Estudio lgica matemtica y : Ser un destacado ingeniero de sistemas

x y 4 es un nmero par si y slo si se puede dividir por 2.

u : 4 es un nmero par v : 4 es divisible por 2

u v

Lgica Matemtica

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1.7.2 Clasificacin de las proposiciones En lgica se consideran y se simbolizan dos clases de proposiciones: atmicas o simples y moleculares o compuestas, veamos:

1.7.2.1 Proposiciones simples

Se denominan proposiciones simples aquellas oraciones que no utilizan conectivos lgicos. Estos son algunos ejemplos:

p : El eclipse es un fenmeno natural q : La luna es un satlite de la tierra r : La UNAD es una universidad abierta s: -3 es el inverso aditivo de 3.

El valor de verdad de una proposicin simple puede ser verdadero (V) o falso (F), pero no los dos valores al mismo tiempo, pues dejara de ser proposicin. Recordemos que una proposicin debe tener sentido completo, es decir debe ser posible asignarle un valor de verdad (es falsa o verdadera).

Ejemplos: 1 + 4 = 5 3 es nmero par

Medelln es la capital de Antioquia

1.7.3 Proposiciones Compuestas

Si se unen dos o ms proposiciones simples, mediante trminos de enlace, tales como no, y, o, siFentonces, se forman las proposiciones compuestas; el valor de verdad de dichas proposiciones es verdadero o falso, dependiendo slo de los valores de verdad de las proposiciones simples que las conforman.



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Ejemplos: La igualdad de oportunidades conduce a la paz

Si un tringulo es issceles, entonces es equiltero Quieres gaseosa o helado

Las proposiciones compuestas son aquellas que se obtienen combinando dos o ms proposiciones simples mediante trminos de enlace. Estos son algunos ejemplos de proposiciones compuestas:

Sean: p : Est lloviendo q: El sol brilla

p q

Est lloviendo y el sol brilla

Sean: x : Quieres caf? y : Quieres t?

x y quieres caf o t?

Sean: s : Llueve r : Hace fro

r s Si llueve entonces hace fro

Sean: p : Un tringulo es equiltero q: Un tringulo tiene sus tres lados iguales

p q

Un tringulo es equiltero si y slo si tiene sus tres lados iguales.

Lgica Matemtica

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La veracidad o falsedad de una proposicin compuesta, depende del valor de verdad de cada una de las proposiciones simples que la conforman y de la manera como estn combinadas; para tal fin, en las prximas secciones estudiaremos ms detenidamente la forma de enlazar o unir proposiciones simples de tal manera que se puedan fijar criterios para establecer cundo una proposicin compuesta es verdadera o falsa. Veamos algunos ejemplos de oraciones que no son proposiciones porque no se les puede asignar un valor de verdad (falso o verdadero).

Ejemplos: 1. El tringulo es menor que el crculo

Esta oracin no es proposicin, puesto que no especifica el criterio de comparacin, es decir, el rea, permetro, B, entre las figuras geomtricas.

2. x + 5 = 8

Aqu, x es una variable independiente, por lo tanto puede tomar cualquier valor y por consiguiente no se puede afirmar nada.

Ejercicio Propuesto 2: Plantea cinco expresiones asociadas a tu programa de estudio que no sean proposicones y cinco expresiones que si lo sean:

Son proposiciones No son proposiciones



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1.8 Conectivos Lgicos Como ya se dijo en la seccin anterior, los smbolos que sirven para enlazar dos o ms proposiciones simples, se llaman conectivos lgicos. Los conectivos lgicos son: la conjuncin, la disyuncin, la negacin, el condicional y el bicondicional.

1.8.1 Conjuncin:

Sean p y q dos proposiciones simples. La proposicin compuesta p y q simbolizada por p q, se denomina la conjuncin de p y q.

Ejemplo 1: r s : 6 es nmero par y entero positivo, en donde: r : 6 es un nmero par. : y s : entero positivo.

Ejemplo 2: p q : Diego estudia psicoanlisis y Ana estudia conductismo.

p : Diego estudia psicoanlisis y q : Ana estudia conductismo

Para determinar el valor de verdad de proposicin compuesta formada por dos proposiciones simples unidas por una conjuncin utilizaremos la representacin grfica mediante el uso de los diagramas de VENN. Los diagramas de VENN, a travs de reas sombreadas muestran claramente el conjunto de verdad de la operacin que se est realizando, veamos: La siguiente figura representa el conjunto de verdad de la conjuncin, donde:

U = {todas las personas} P = {personas que juegan futbol}

LLLeeecccccciiinnn NNNooo...333 CCCooonnneeeccctttiiivvvooosss lllgggiiicccooosss fffuuunnndddaaammmeeennntttaaallleeesss

Lgica Matemtica

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Q = {personas que son Colombianas} P(x) = x es un jugador de ftbol Q(x) = x es un Colombiano

( ) ( )p x q x x es un jugador de futbol y x es un Colombiano

( ) ( ){ } { }/ todas las personas que juegan futbol y son ColombianasP Q x p x q x = = Como se dijo en la seccin anterior, el valor de verdad de una proposicin compuesta no slo depende del conectivo lgico, sino del valor de verdad de cada una de sus proposiciones simples. Por lo tanto, surgen las siguientes posibilidades:

Caso 1: Que p sea verdadera y q sea verdadera Caso 2: Que p sea verdadera y q sea falsa Caso 3: Que p sea falsa y q sea verdadera Caso 4: Que p sea falsa y q sea falsa

Estudiemos estos cuatro casos en el ejercicio propuesto:

Caso 1: r: Santiago es jugado de futbol s: Santiago es Colombiano r s : Verdadera (V)

Caso 2: r: Santiago es jugado de futbol

s: Santiago no es Colombiano r s : Falsa (F)

Caso 3: r: Santiago no es jugado de futbol s: Santiago es Colombiano r s : Falsa (F)

Caso 4: r : Falsa. Santiago no es jugado de futbol s: Falsa. Santiago no es Colombiano

Q U

P

Figura No. 2 Conjuncin



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r s : Falsa (F). A continuacin se analizan estas posibilidades para el ejemplo 1:

Caso 1: r: Verdadera 6 es un nmero par s: Verdadera 6 es un entero positivo r s : Verdadera (V)

Caso 2: r: Verdadera 6 es un nmero par

s: Falsa 6 no es un entero positivo r s : Falsa (F)

Caso 3: r: Falsa 6 no es un nmero par s: Verdadera 6 es un entero positivo r s : Falsa (F)

Caso 4: r : Falsa 6 no es un nmero par

s: Falsa 6 no es un entero positivo r s : Falsa (F)

Podemos resumir estos resultados utilizando la siguiente tabla, llamada tabla de verdad de la conjuncin:

De tal manea que podemos concluir que la conjuncin es verdadera nicamente cuando las dos proposiciones simples son verdadera, en cualquier otro caso la conjuncin es falsa.

p q p q V V V V F F F V F F F F

Tabla No. 2 Tabla de verdad de la conjuncin

Lgica Matemtica

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Ejercicio Propuesto 3: Plantea el anlisis de todos los casos y valores de verdad para el ejemplo 2:

Ejercicio propuesto

Termino de escribir mi programa de computacin y luego jugar tenis

CASO 1:

CASO 2:

CASO 3:

CASO 4:



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1.8.2 La disyuncin v Sean p y q dos proposiciones simples. La proposicin p o q, simbolizada p v q se llama disyuncin de p y q.

Ejemplo 1: Uso del o incluyente

r v s: Juan estudia ingeniera o Paola estudia medicina

r : Juan estudia ingeniera v : o s: Paola estudia medicina

Ejemplo 2: Uso del o excluyente

x v y : Quieres helado o gaseosa.

x : Quieres helado. v : o y: Quieres gaseosa.

Ejemplo 3: Uso del o excluyente

p v q: Alexandra vive en Bogot o en Barranquilla. p : Alexandra vive en Bogot. v : o q : Alexandra vive en Barranquilla. Los ejemplos anteriores muestran los usos del operador o. En el ejemplo 2 tenemos el llamado o incluyente el cual hace que el valor de verdad de una de las dos proposiciones simples repercuta en el valor verdadero de la proposicin disyuntiva; mientras que el conectivo lgico o de los ejemplos 2 y 3 acta como un o excluyente, donde el valor de verdad de una proposicin excluye la veracidad de la otra proposicin, esto hace que la proposicin disyuntiva siempre tome el valor verdadero.

Lgica Matemtica

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Para establecer el valor de verdad de una proposicin disyuntiva, consideremos las siguientes funciones proposicionales: U = {personas que son Colombianas} P(x) = x es una persona que vive en Bogot Q(x) = x es una persona que vive en Barranquilla

( ) ( )p x q x x es un Colombiano que vive en Bogot o x es un Colombiano que vive en Barranquilla

( ) ( ){ } { }/ todos los Colombianos que viven en Bogot o en BarranquillaP Q x p x q x = = Por consiguiente el conjunto de verdad de la disyuncin es exactamente la unin de los conjunto de verdad de sus componentes; su representacin grfica es la parte sombreada de la siguiente figura:

Como se analiz en la conjuncin, el valor de verdad de la proposicin compuesta no slo depende del conectivo lgico, sino del valor de verdad de cada una de sus proposiciones simples. Por lo tanto, surgen las mismas cuatro posibilidades:

Caso 1: Que p sea verdadera y q sea verdadera Caso 2: Que p sea verdadera y q sea falsa Caso 3: Que p sea falsa y q sea verdadera Caso 4: Que p sea falsa y q sea falsa

A continuacin se analizan estas posibilidades para las siguientes dos proposiciones:

Sean : r: 2 es un nmero par s: 5 es un nmero impar

Q U

P

Figura No. 3 Disyuncin



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Caso 1: r: Verdadera 2 es par s: Verdadera 5 es impar r s : Verdadera (V) 2 es par o 5 es impar

Caso 2: r: Verdadera 2 es par

s: Falsa 5 es no es impar r s : Verdadera (V) 2 es par o 5 no es impar

Caso 3: r: Falsa 2 no es par s: Verdadera 5 es impar r s : Verdadera (V) 2 no es par o 5 es impar

Caso 4: r : Falsa 2 no es par

s: Falsa 2 no es impar r s : Falsa (F) 2 no es par o 5 no es impar

De lo planteado en los casos anteriores podemos concluir que la tabla de verdad de la disyuncin es:

Tabla No. 3 Tabla de vedad de la disyuncin

Es decir, la disyuncin es falsa solamente cuando las dos proposiciones simples son falsas. En los otros casos es verdadera.

p q p q V V V V F V F V V F F F

Lgica Matemtica

52

Ejercicio Propuesto 4: Plantea ejemplos de premisas r y s asociados con tu programa de estudio, tal que te permitan verificar el valor de verdad de la proposicin compuesta r s . Usa como referencia los cuatro casos anteriores.

Premisas elegidas

r = s=

CASO 1:

CASO 2:

CASO 3:

CASO 4:

Mi conclusin:



53

1.8.3 La negacin ~

Sea p una proposicin simple. Se define la negacin de p mediante la proposicin compuesta no p simbolizada por: ~ p o por p

Ejemplo 1: p : 3 es un nmero entero primo. p : 3 no es un nmero entero primo, tambin se puede leer.

es falso que 3 es un nmero entero primo.

Ejemplo 2: q : El automvil de Francisco es rojo. ~ q: El automvil de Francisco no es rojo ,o, es falso que el automvil de

Francisco es rojo.

Claramente se puede establecer que si una proposicin es verdadera su negacin es falsa y recprocamente, si una proposicin es falsa su negacin es verdadera, por lo tanto la tabla de verdad de la negacin es:

Tabla No. 4 Tabla de vedad de la negacin

La representacin en diagramas de Venn de la negacin es como sigue:

U = {personas que son Colombianas}, ( )p x = x es una persona que no vive en Bogot ( )p x = x es una persona que no vive en Bogot

El rea sombreada corresponde a la negacin de P

p ~p V F F V

U

P ~P

Figura No. 4 Negacin

Lgica Matemtica

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Ejercicio Propuesto 5: Plantea cinco ejemplos de premisas asociados con tu programa de estudio, y su correspondiente negacin. Consideras que es necesario emplear siempre la palabra NO para negar una proposicin?

Premisa Negacin de la premisa



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1.8.4 El condicional Se dice que una proposicin compuesta es condicional, si esta formada por dos proposiciones simples enlazadas por la expresin siFentonces. Si p y q representan dos proposiciones, la expresin si p entonces q se simboliza as: p q y se lee p implica q.

La proposicin precedida por la expresin si, se llama antecedente o hiptesis y la proposicin precedida por la expresin entonces, se llama consecuente o conclusin de la implicacin. En la expresin p q , el antecedente es p y el consecuente es q. Las proposiciones condicionales se pueden enunciar en nuestro lenguaje natural de diferentes maneras, algunas son:

Si p entonces q p slo si q q si p p es suficiente para q q es necesaria para p

Los siguientes ejemplos ilustran los anteriores enunciados:

Si un entero es mltiplo de 4 entonces es divisible por 2 Apruebo el semestre slo si estudio El algoritmo esta bien enunciado si el programa corre Si dos rectas nunca se cortan necesariamente son paralelas Si es conductista entonces reduce toda conducta humana a la relacin

estmulo-respuesta

LLLeeecccccciiinnn NNNooo...444 CCCooonnneeeccctttiiivvvooosss lllgggiiicccooosss CCCooonnndddiiiccciiiooonnnaaalll yyy BBBiiicccooonnndddiiiccciiiooonnnaaalll

Lgica Matemtica

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Ejercicio Propuesto 6: Elije una proposicin condicional asociada con tu programa de estudio y plantea la misma expresin de diferentes formas sin cambiar su sentido.

Proposicines condicionales

elegidas

Manera 1

Manera 2

Manera 3

Manera 4

Manera 5



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Cmo determinar el valor de verdad de la proposicin condicional? Supongamos verdadera la siguiente proposicin:

Si es un da soleado entonces hace calor

Sea p: es un da soleado q: hace calor Como lo analizamos en los casos anteriores, surgen cuatro posibilidades:

Caso 1: Es un da soleado y hace calor. En este caso el antecedente y el consecuente se cumplen. Por lo tanto la proposicin compuesta p qes verdadera.

Caso 2: Es un da soleado pero no hace calor. En este caso el antecedente se

cumple pero no se cumple el consecuente. Por lo tanto la proposicin compuesta p q es falsa.

Caso 3: No es un da soleado pero a pesar de esto hace calor. En este caso

encontramos que aunque el antecedente se cumple el consecuente no. No obstante esto no hace falsa la proposicin compuesta original Si es un da soleado entonces hace calor. Por lo tanto la proposicin compuesta p q es verdadera.

Caso 4: Es no es un da soleado y no hace calor. En este caso no se da el

antecedente y no se cumple el consecuente. Por lo tanto la proposicin compuesta p q es verdadera.

De los casos planteados concluimos que la tabla de verdad para la implicacin toma los siguientes valores:

Tabla No. 5 Tabla de vedad para el condicional

p q p q V V V V F F F V V F F V

Lgica Matemtica

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1.8.5 El bicondicional Se denomina bicondicional a la proposicin formada por dos proposiciones simples conectadas por la expresin s y slo s. Simblicamente si p y q son proposiciones simples, la doble implicacin p q constituye un bicondicional, donde p recibe el nombre de primer miembro y q segundo miembro. El bicondicional est formado por las implicaciones p q y q p , las cuales deben tener el mismo valor de verdad para formar una equivalencia entre p y q; en consecuencia, se dice que la proposicin p es equivalente a la proposicin q y se acostumbra a escribir p q . La proposicin bicondicional tiene varias formas de traduccin ms no de significacin, veamos:

p s y slo si q

q s y slo si p

si p entonces q y recprocamente

si q entonces q y recprocamente

p es una condicin necesaria y suficiente para q

q es una condicin necesaria y suficiente para p

Ejercicio Propuesto 7: Construye una proposicin bicondicional con dos premisas asociadas a tu programa de estudio, luego rescribe la proposicin bicondicional sin cambiar su sentido. Cuntas maneras diferentes de expresar la misma idea en leguaje natural encuentras? Premisa 1: _______________________________________________________________ Premisa 2: _______________________________________________________________ Proposicin bicondicional: ___________________________________________________ ________________________________________________________________________ La misma proposicin bicondicional expresada de otra manera: ___________________________________________________________________________



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A continuacin un ejemplo con premisas asociadas a la geometra:

Ejemplo 1: Dadas las proposiciones atmicas:

p: Un tringulo es rectngulo q: Un tringulo tiene un ngulo recto

El bicondicional p q se puede traducir de las siguientes formas:

Un tringulo es rectngulo s y slo s tiene un ngulo recto.

Un tringulo tiene un ngulo recto s y slo s es un tringulo rectngulo

Si un tringulo es rectngulo entonces tiene un ngulo recto y si un tringulo tiene un ngulo recto entonces es un tringulo rectngulo.

Una condicin necesaria y suficiente para que un tringulo sea rectngulo es que tenga un ngulo recto.

Una condicin necesaria y suficiente para que un tringulo tenga un ngulo recto es que sea un tringulo rectngulo.

Un tringulo rectngulo es equivalente a un tringulo con un ngulo recto.

Cmo determinar el valor de verdad de la proposicin

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