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Introduction à la physique des plasmas

Philippe Savoini

1er avril 2009

Table des matières

1 Introduction 4

1.1 description théorique des plasmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 équations de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 les di!érentes approches théoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.1 Théorie des orbites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.2 Théorie cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.3 Théorie multi-fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.4 Théorie magnétohydrodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 échelles caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4.1 hypothèse de quasi-neutralité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4.2 écrantage électrique : la longueur de Debye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4.3 écrantage électrique : la fréquence plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4.4 Critères d’existence d’un plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4.5 ordre de grandeur dans l’univers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Approche particulaire 13

2.1 champs électromagnétiques constants et uniformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1.1 conservation de l’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1.2 champ magnétique uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.3 champ électrique et magnétique uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1.4 force uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2 champs électromagnétiques NON-uniformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.1 champ électrique NON stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.2 champ magnétique NON uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.3 l’e!et miroir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.4 Les invariants adiabatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3 Approche statistique 30

3.1 éléments de théorie cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.1.1 position dans l’espace des phases : description exacte . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.1.2 position dans l’espace des phases : description statistique . . . . . . . . . . . . . . 33

3.1.3 l’équation de Vlasov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.2 le phénomène de collision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2.1 notion de libre parcours moyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2.2 notion d’angle de déviation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2.3 Section e"cace de collision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2.4 section e"cace de transfert d’impulsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3 l’état d’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.3.1 équilibre sans force extérieure : la distribution de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . 45

3.3.2 équilibre en présence d’une force extérieure : formule de Boltzmann . . . . . . . . 47

3.3.3 équilibre en présence d’une charge ponctuelle : comportement collectif . . . . . . . 48

3.3.4 collisions ionisantes dans un équilibre : la relation de Saha . . . . . . . . . . . . . 50

4 Une Approche fluide : la théorie magnétohydrodynamique 52

4.1 équations fluides : la théorie multi-fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.1.1 application à l’équation de Vlasov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.1.2 équations de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.1.3 notion de pression cinétique : un tenseur d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.1.4 relations de fermeture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.2 comparaison approche particulaire et approche fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.2.1 dérive diamagnétique : aspect fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.2.2 dérive diamagnétique : aspect statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.2.3 dérive due au gradient de B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.3 équations fluides : le modèle mono-fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.3.1 hypothèse des variations lentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.3.2 La MHD non idéale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.4 équations fluides : la MHD idéale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.4.1 Théorème de conservation du flux magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.4.2 Le théorème du gel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.4.3 la pression magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.5 Validité de la magnétohydrodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5 Notions élémentaires sur le transport 79

5.1 Transport dans un plasma faiblement ionisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.1.1 Equation de Langevin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.1.2 Définition des coe"cients de di!usion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.1.3 La di!usion ambipolaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.2 Di!usion en présence d’un champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.3 Transport dans un plasma complètement ionisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.3.1 Di!usion en l’absence de champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

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Ce cours d’introduction aux plasmas se veut le plus didactique possible et, de ce fait, ilaborde les di!érents concepts de base qui fondent la physique des plasmas. Ce sont systé-matiquement les démonstrations les plus simples qui seront présentées. Cependant, certainscalculs peuvent sortir du cadre de cette introduction mais sont néanmoins présent afin depermettre à l’étudiant intéressé d’approfondir certains concepts importants et de rendrel’ensemble le plus cohérent possible. Les étudiants ne désirant pas approfondir certainespartie de ce cours, pourront ne pas tenir compte des paragraphes possèdant une barregrisâtre dans la marge.

Par exemple, ceci est un paragraphe non indispensable à la compréhension fondamentale de la physiquedes plasmas. La lecture des zones ”grisâtres” peut être considérée comme une démarche afin de mieuxcomprendre certains détails complexes des plasmas. Enfin, pour les plus courageux ! ! ! ! ! !

Auteur : Philippe Savoini

1. Introduction

Le terme ”plasma” a été introduit dans un premier temps 1 pour désigner un gaz ionisé (observé dansles tubes à décharges) dont la principale propriété était d’étre globalement neutre. Par la suite, ce termea été utilisé en astrophysique pour désigner un état dilué de la matière, analogue à celui d’un gaz, maisprincipalement constitué de particules chargées (électrons + ions) en proportions égales. Les plasmasse confondent donc avec les gaz ionisés et font suite dans l’échelle des températures, aux trois états”classiques”: solides, liquides et gaz. Ils constituent donc un quatrième état de la matière bien qu’iln’existe aucune transition de phase entre gaz et plasmas 2.

Bien que l’analyse théorique des plasmas soit relativement simple (forces entre particules connues exacte-ment, description par la mécanique classique, utilisation d’une approche non relativiste dans la majoritédes cas ...), leur étude ne s’est développée que depuis les années 50. Grâce à des techniques nouvelles,(hyperfréquences puis lasers) les paramètres fondamentaux des plasmas : densité, température, fréquencede collisions, ont pu être déterminés avec précision. Le développement de la radioastronomie puis de larecherche spatiale a permis de découvrir que notre environnement proche et lointain est essentiellementconstitué de plasma. L’environnement terrestre (ionosphère, magnétosphère, vent solaire, couronne so-laire ...) en sont des exemples frappant. De manière plus générale, la physique des plasmas joue un rôleconsidérable dans toute l’astrophysique et la cosmologie, on pense que 99 % de l’Univers (avec un grandU !) est constitué de matière à l’état de plasma. De la même façon, et de manière beaucoup plus terreà terre, de nombreuses techniques nouvelles utilisent les propriétés des plasmas : explosions nucléaires,conversion magnétohydrodynamique et thermoionique de l’énergie, rentrée dans l’atmosphère d’enginsspatiaux, propulsion électrique des satellites (moteur MHD), lasers à gaz, découpage des métaux en sontquelques exemples parmi d’autres, liste non exhaustive qui s’aggrandit de jour en jour.

Puisque l’état de plasma inclut des charges positives et négatives et que leur mouvement relatif produitdes courants, il est évident que les constituants de ce plasma seront influencés par les champs élec-triques et magnétiques présents, et que dans le même temps, ils modifiront de manière auto-cohérenteces mêmes champs. Il est donc essentiel, lorsque l’on s’intéresse à l’étude des plasmas, de traiter leschamps électro-magnétiques comme une part intégrale du système. Les plasmas sont donc le résultat dedeux tendances contradictoires et complémentaires, une tendance au désordre due à l’agitation thermiqueet une tendance à l’organisation due à l’aspect collectif (ou d’auto-organisation, nous y reviendrons ...)que manifeste l’interaction Coulombienne. Ces deux tendances permettent aux plasmas de rester sousforme ionisée, tout en restant globalement neutre. Cet électromagnétisme dans le désordre est devenuavec le temps une branche quasi-autonome de la physique qui en plus des aspects qui lui sont propres faitappel aux connaissances et aux techniques acquises dans d’autres disciplines : mécanique, statistique,électromagnétisme, hydrodynamique, physique atomique. Très varié dans ces applications, la physiquedes plasmas constitue également une extension considérable du champ d’application de ces disciplines.

1.1 description théorique des plasmas

La physique des plasmas consiste donc à résoudre des problèmes auto-cohérents d’interaction des champsélectromagnétiques et des particules chargées. Toute la richesse phénoménologique est due à la natureintrinsèquement non linéaire de ce couplage champ/matière.

1. Ce sont les physiciens américains Irving Langmuir et Levi Tonks en 1929 qui ont forgé ce mot à partir du grec signifiant”quelque chose que l’on façonne, que l’on forme”.

2. En e!et, d’un point de vue physique, la distinction entre solide, liquide et gaz se caractérise par une énergie de liaisonallant de très forte à quasi-inexistante. L’état dans lequel se trouve une substance dépend principalement de la vitessealéatoire (température) des atomes ou des molécules la constituant. L’équilibre entre l’énergie de liaison et son énergiecinétique aléatoire conditionne alors l’état dans laquel se trouve cette substance. Au fur et à mesure que la températures’accroît, l’énergie cinétique dépasse l’énergie de liaison ce qui aboutit à un changement de phase, changement de phasequi se déroule à température constante pour une pression donnée et se caractérise par une quantité d’énergie spécifique àla substance observée que l’on appelle ”chaleur latente”. A l’inverse, le passage de l’état gazeux à l’état de plasma se faitgraduellement avec l’augmentation de la température et ne comporte aucune phase de transition au sens thermodynamiquedu terme.

4

1.2 ÉQUATIONS DE BASE Page 5

1.2 équations de base

La dynamique des particules est gouvernée par l’interaction de ces particules avec les champs externes etles champs électriques

!"E et magnétiques

!"B créés par ces même particules. L’équation de la dynamique

utilisée est alors de la forme :d!"pdt

= md!"vdt

= q(!"E +!"v #!"B ) (1.1)

où!"p = m!"v représente le vecteur impulsion de la particule 3. Il est donc concevable, du moins en principe,de décrire la dynamique d’un plasma en résolvant l’équation (1.1) pour chaque particule présente dans leplasma et ce, en présence simultanément des champs extérieurs appliqués et des champs internes créés parles particules elles-mêmes. Les champs électromagnétiques ”vues” par les di!érentes espèces de particulessont régis par les équations de Maxwell qui s’écrivent usuellement sous leur forme locale 4.

!"$ ·!"E =!

"o=

e (ni ! ne)"o

(équation de poisson) (1.2)!"$ ·!"B = 0 (1.3)

Ces équations font apparaître les termes sources des champs électrique et magnétique. L’équation (1.2)indique que la source du champ électrique est la densité de charge d’espace e (ni ! ne) qui représente ladi!érence entre électrons et ions dans l’hypothèse où il n’y a qu’une seule espèce d’ions de charge e, etl’équation (1.3) postule qu’il n’y a pas de “charges magnétiques” dans l’univers.

!"$ #!"E = !#!"B

#t(loi de Faraday) (1.4)

!"$ #!"B = µo!"j + "oµo

#!"E

#t(équation d’Ampère) (1.5)

Les champs électrique et magnétique ne sont donc pas indépendants mais couplés via leurs variationsspatio-temporelles. L’équation (1.4) met en évidence la partie électromagnétique du champ électriquedont l’existence peut être, via un changement de référentiel adéquate, éliminé au seul profit du champmagnétique. Seule la partie électrostatique (équation 1.2) existe quelque soit le référentiel utilisé. Lesconstantes "o et µo sont respectivement la permitivité et la susceptibilité du vide.

Bien que la théorie de la relativité nous dise que les champs électrique et magnétique ne sont que lamême manifestation d’un champ électromagnétique et qu’aucune distinction formelle ne doit être faiteentre eux, trois points sont à souligner :– Dans un référentiel non-relativiste (ce qui sera toujours le cas ici), les champs

!"E et

!"B ne jouent

généralement pas un rôle identique. Les charges électriques constituent une source pour le champ élec-trique alors qu’aucun monople magnétique n’a jusqu’ici été mis en évidence expérimentalement. Mêmesi certaines théories du champ quantique 5 introduisent naturellement de telles particules dans notreunivers, les cosmologistes invoquent le modèle inflationnaire de l’univers pour expliquer la disparition

3. La dynamique des particules dans un plasma est correctement décrit par les lois de la mécanique classique. Ceciprincipalement car le moment (impulsion) des particules est su"samment élevé et leur densité su"samment basse pour quela distance interparticulaire soient très grandes devant la longueur d’onde de De Broglie (!B). Les e!ets quantiques sontdonc négligeables à part dans le cas de plasmas ayant une très basse température et une densité très élevées : conditionsque nous nous garderons bien de considérer dans ce cours introductif, où nous nous limiterons au cadre classique.

4. Ces 4 équations forment ce que l’on appelle les équations de Maxwell, dont les expressions sont facilement obtenuesà partir de l’équation fondamentale de conservation de la charge. Cette équation repose sur l’hypothèse de base qu’aucuneparticule ou charge ne peut être détruite ou créée en électrodynamique. En d’autres termes, toute variation temporelle dela densité de charge doit être due à la divergence du courant électrique qui transporte ces charges vers ou au-dehors del’élément de volume dV. Principe que l’on écrit usuellement sous la forme

"#

"t+

!"# ·!"j = 0

5. Dès 1931, Dirac a souligné que la quantification de la charge de l’électron pouvait être expliqué naturellement dans lecadre d’une théorie postulant l’existence des monoples magnétiques, ceux-ci pouvant même être peu nombreux (voir unique)dans tout l’univers.


1.3 LES DIFFÉRENTES APPROCHES THÉORIQUES Page 6

de ces monopoles. Cette di!érence fondamentale introduit une disymétrie intrinsèque dans les équa-tions de Maxwell concernant leurs sources matérielles (équations 1.2 et 1.3) modifiant profondément ladynamique et donc le comportement des particules chargées.

– L’existence de champs électriques sur de grandes échelles dans l’univers est très rare du fait de lapossibilité qu’ont les particules de se déplacer le long du champ magnétique et de neutraliser les e!etsde charge d’espace. Ceci a pour conséquence que tout phénomène de charge d’espace qui a pu existerinitialement dans notre univers a disparu depuis longtemps, et seuls les champs électriques

!"E induits

(engendrés par des courants de convection) peuvent encore exister sur des échelles spatio-temporellesimportantes 6. Ces champs sont induits par des champs magnétiques variant temporellement ce quidonne lieu (équation (1.4) de Faraday) à des champs électriques variant eux aussi temporellement.

– A l’inverse, le champ!"B ne peut être aisément neutralisé par des “charges magnétiques” sur les échelles

cosmiques une fois qu’il a été généré par un courant électrique. Alors que les charges positives etnégatives sont en nombre égal dans un volume mascroscopique quelconque, leur mouvement n’est sou-vent pas identique. Ceci donne lieu à une dérive relative électrons-ions qui aux échelles astrophysiquespeut générer des courants très forts. Dans l’approche magnétohydrodynamique (fluide), ce sont cescourants de conduction qui sont responsables de l’existence des champs électriques induits, à leur tourtermes-sources pour le champ magnétique.

1.3 les di!érentes approches théoriques

La simplicité apparante des équations (1.2 à 1.4) ne doit pas nous faire oublier leur caractère non linéaireintroduit avec l’équation (1.1). C’est d’ailleurs ce couplage non linéaire champs-matière qui fait toute larichesse de la physique des plasmas et l’étude des concepts et méthodes d’approximation permettant derésoudre ces équations, le ”fond de commerce” de la théorie des plasmas.

Il existe en fait quatre principales approches de la physique des plasmas utilisant di!érentes approxima-tions suivant les circonstances.

1.3.1 Théorie des orbites

Cette théorie concerne l’étude du mouvement d’une particule individuelle en présence de champsélectrique et magnétique à-priori spécifiés. Cette approche n’est pas réellement celle d’une théorie desplasmas puisqu’elle concerne la dynamique d’une particule dans un champ électromagnétique spécifié etnon modifié par la présence de cette particule. Néanmoins, cette approche est importante pour aider àcomprendre le comportement ”fin” d’une particule, comportement qu’il sera alors possible de généraliserdans certains cas à une assemblée de particules chargées. La di"culté ne sera donc pas le problèmede rétro-action entre champs et particules mais bien plutôt le caractère non linéaire des équations dumouvement en présence de champs non homogènes. Cela sera l’objet du premier chapitre de ce cours.

Cette approche a prouvé son utilité dans le cas de plasmas de faible densité pour lesquels la dynamiqueest essentiellement déterminée par l’interaction des particules avec les champs externes appliqués. C’estle cas par exemple, des plasmas peu denses de la ceinture de radiation de Van Allen, de la couronnesolaire, des rayons cosmiques, des accélérateurs à hautes énergies, des tubes cathodiques, etc ...

1.3.2 Théorie cinétique

Il est évident que le comportement même très intéressant d’une particule individuelle n’est pas d’un intérêtprobant lorsque l’on s’intéresse à une assemblée très importante de particules interagissant ensembles etavec les champs électromagnétiques. Dans le même temps, une distribution de N corps contient beaucouptrop d’informations pour être e"cacement utilisable 7. Afin d’obtenir une description macroscopique duplasma, une approche statistique peut alors s’avérer nécessaire La discernabilité de chaque particuleest alors perdue au profit d’une approche plus globale qui implique une réduction drastique (c’est étudiépour !) du nombre de paramètres à suivre au cours du temps. Dans cette théorie cinétique statistique, il

6. Quelques exceptions sont toutefois à noter, tels les pulsars nouveau-nés. Néanmoins, ces écarts à la quasi-neutralitésont ponctuels par rapport aux échelles de temps caractéristiques de l’univers.

7. De plus, la plupart des sytèmes ayant un grand nombre de degrés de liberté vérifie l’hypothèse de régression descorrélations de Bogolioubov. En résumé, tout système dynamique évolue spontanément sur trois échelles de temps distinctes: une échelle pré-cinétique de l’ordre de l’inverse de la fréquence de collision, l’échelle cinétique (qui nous intéresse ici) etl’échelle fluide (hydrodynamique). Après une période pré-cinétique, la plupart des corrélations entre particules est détruiteet le système peut être décrit par une distribution beaucoup plus simple qui ne dépend plus que de la position, de la vitesseet du temps f(!"r ,!"v , t).


1.4 ÉCHELLES CARACTÉRISTIQUES Page 7

est seulement nécessaire de connaître la fonction de distribution. Le problème se réduit alors à résoudreles équations qui gouvernent l’évolution de cette distribution dans l’espace des vitesses. Cette théoriesera le sujet du deuxième chapitre de ce cours d’introduction à la physique des plasmas. L’exempletype d’une équation cinétique (et la plus simple) est représenté par l’équation de Vlasov. Cette équationexprime l’évolution d’une assemblée de particules chargées en présence de champs électromagnétiquesauto-cohérents lorsque l’on néglige toutes les corrélations à courtes longueurs d’onde (appelées aussicollisions proches ou de type boules de billard).

1.3.3 Théorie multi-fluide

Dans le cas contraire où l’on ne peut plus négliger ces collisions proches, on peut faire l’hypothèse inverseet supposer que chaque espèce arrive à maintenir un équilibre thermodynamique local (ETL) si bienqu’elle peut être décrite comme un fluide ayant une densité, une vitesse et une température locale. Elleconcerne l’étude de la dynamique des fluides conducteurs en présence de champs magnétiques et permetde décrire le plasma comme une collection de particules en terme de moyenne sur de petits volumes dansl’espace des phases. Le plasma est donc un ensemble de di!érents fluides intéragissant à travers leschamps électromagnétiques et est pour cela appelée théorie multi-fluide (ou à deux fluides dans le cas leplus simple). Dans le cadre de cette théorie, il s’ajoute aux équations du paragraphe (1.2), les équationshydrodynamiques de conservation : conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de l’énergiepour chacune des populations mises en jeu.

1.3.4 Théorie magnétohydrodynamique

A la limite des très basses fréquences (échelle de temps très grande), on peut alors traiter le plasmadans son ensemble comme un fluide conducteur unique, un mono-fluide. Cette théorie appelée théoriemagnétohydrodynamique est l’expression la plus simple des équations gouvernant l’évolution d’unplasma, et est de ce fait, largement utilisée dans de nombreux domaines de la physique des plasmaslorsque cela est possible. Il faudra toutefois garder à l’esprit que cette théorie forgée de toutes piècesdans une volonté de simplification extrême possède des limitations fortes, en particulier, certaines de ceshypothèses qui seront discutées dans la suite de ce cours, ne sont ni justifiées ni même justifiables. Lapertinence de cette théorie vient du fait qu’elle permet d’expliquer de nombreux phénomènes physiquesobservés dans les plasmas et donc ne possède de justification que dans la mesure où elle marche, ce qui,il faut bien le reconnaître n’est pas si mal du tout !!!

Les quantités physiques obtenues de cette manière (densité, température, pression, etc...) sont gouvernéespar les lois de conservation de base que sont la conservation de la masse, de l’impulsion et de l’énergie. Decette façon, si les e!ets des champs électromagnétiques sont négligeables, les équations fluides décrivantla dynamique des processus physiques sont les équations de l’hydrodynamique. Elle sera quant à elletraitée dans le troisième chapitre.

1.4 échelles caractéristiques

Les conditions de température et de densité régnant au sein de di!érents milieux naturels ou créés enlaboratoire sont extrêmement disparates. Une façon de s’en persuader est de regarder la valeur queprennent ces deux paramètres pour certains plasmas, reporté dans la tableau (1.6).



ne (cm!3) T (K)gaz faiblement ionisé

ionosphère (couche D : altitude70km) 103 102.5

décharge gazeuse à faible intensité 1011 104

décharge gazeuse à forte intensité 1015 105

convertisseur magnétohydrodynamique 1016 103

gaz fortement ioniségaz interstellaire 100 103.5

vent solaire 100.5 105

ionosphère (couche F : altitude 250 km) 105.5 103

couronne solaire 107 106.5

plasma alcalin d’ionisation superficielle 1012 103

plasma produit par laser 1019 105

explosion thermonucléaire 1020 106

matière denseélectrons dans les métaux 1023 102.5

intérieur des étoiles 1027 107.5

intérieur des naines blanches 1032 107

pulsars 1037 100

(1.6)

D’une façon générale, les plasmas de laboratoire se caractérisent par une densité basse. Afin de maîtrisercette diversité phénoménologique, la première étape est l’identification des di!érentes échelles (temporelleset spatiales) caractéristiques des processus étudiés. Les échelles caractéristiques ainsi déterminées perme-ttront, entre autre, de savoir quel type de comportement (collisionel ou non) domine dans le plasma étudiéet de ce fait quel type d’approche théorique utilisée. Sans rentrer dans une ”zoologie” interminable desdi!érentes échelles pertinentes concernant chaque domaine de la physique du plasma, il est intéressant demettre en évidence les échelles les plus communes que l’on retrouve systématiquement dans la littérature.

1.4.1 hypothèse de quasi-neutralité

La pierre angulaire des théories décrivant l’existence et l’évolution des plasmas peut être décrite en unmot: la ”quasi-neutralité” . Dans un plasma, la matière est dissociée en ses composantes électriquementpositives et négatives. Ceci a pour conséquence que la force agissant sur ces particules n’est pas commedans le cas d’un gaz neutre une force à courte portée 8 mais bien plutôt une force à très long rayond’action (en théorie de portée infinie) : la force de Coulomb. Toute charge interagit donc, en principe, àtout moment avec beaucoup d’autre particules. Ces actions ne sont pas rares mais permanentes, et ontun e!et continu sur le mouvement des particules.

D’autre part, il est à noter que la force électrostatique est une force de grande amplitude dont l’action seratrès importante sur les particules chargées. Pour s’en persuader, il su"t d’estimer un ordre de grandeur decette force en regardant l’accélération d’une particule légère sous l’action d’un champ électrique. L’écartà la quasi-neutralité dans un volume sphérique V induit l’existence d’un potentiel de la forme

!(r) =1

4$"o

Q

r=

14$"o

(qeNe + qiNi)Vr

où Ne et Ni représentent respectivement les densités électroniques et ioniques que l’on supposera uniformesdans la sphère V . En supposant les ions immobiles (formant un fond neutralisant), ce potentiel peut êtreassocié à un champ électrique E et donc une force f qui aboutira à l’accélération d’un électron de chargeq = !e de la forme :

% =1m

f(r) = ! e

m

!(r)r

= ! e

m

14$"o

(qeNe + qiNi)Vr2

Si l’on suppose un écart à la neutralité de l’ordre de 1/100 (|Ne !Ni| /Ne = 1/100) sur une sphère de1cm de rayon et pour une densité de l’ordre de N % 1011 particules par cm!3, on trouve une accélérationde l’ordre de % % 8#1015ms!2, accélération qui est absolument énorme. Il est donc certain que tout écartà la quasi-neutralité sera presque ”instantanément” corrigé par la population la plus mobile, c’est-à-dire

8. Dans un gaz neutre, les collisions sont binaires à cause de la courte portée des forces d’interaction (collision de typeboule de billard). Les déviations subies par les atomes sont donc rares mais extrêmement brutales et décrites par la théoriede Boltzmann.



Figure 1.1: modèle simplifié permettant de définir la longueur de Debye

les électrons. Ceci traduit la tendance naturelle du plasma à rester neutre sur des échelles spatiales L ettemporelles T universelles pour tous les plasmas, ce sont la longueur de Debye et la fréquence plasma (oufréquence de Langmuir).

1.4.2 écrantage électrique : la longueur de Debye

Les charges négatives sont attirées par les charges positives, et réciproquement. Cette tendance naturelleimplique que statistiquement, toute charge va s’entourer d’un surplus de charge de l’autre signe, formantautour d’elle ce que l’on appelle le nuage de Debye. Il est très important de prendre conscience quechaque électron du nuage qui entoure un ion entre et sort de ce nuage en un temps très court. En fait,ce processus est tout à la fois dynamique et statistique et représente un équilibre entre deux tendancesantagonistes, la force Coulombienne qui tend à rapprocher les électrons de l’ion central et l’agitationthermique qui tend à lisser toutes les accumulations de charge 9.

Un modèle simple mono-dimensionnel permet de décrire qualitativement ce phénomène d’écrantage statis-tique. On suppose que les électrons et les ions sont répartis dans l’espace de façon uniforme et en densitéégale. On suppose d’autre part qu’il existe une région de l’espace L de surface indéfinie possédant unsurplus d’électrons de densité constante égale à ne, la symétrie du problème est celle représentée figure(1.1).

Dans cette zone, le champ électrique est variable et obéit à l’équation de Poisson.

dE

dx= !d2!

dx2= !ene

"o

dont la solution générale peut s’écrire

!(x) = &+ 'x! (nee

2"o)x2

ou, en supposant que les conditions aux limites vérifient les relations ! =0 et d!/dx = 0 quand x = 0,

!(x) = !(nee

2"o)x2

Le terme quadratique représente l’e!et sur le potentiel de la charge d’espace constante, ! = !ene. Apartir de ce potentiel, il est aisé d’en déduire l’énergie potentiel (W que devra vaincre un électron ayantune énergie cinétique Ec pour pouvoir atteindre la position x = 0 en partant du bord de la zone L. Ontrouve donc

(W = !e(!(x)! !(0)) =nee2

2"ox2 = Ec =

12kBT

où l’énergie de l’électron est 1/2kBT par degré de liberté, T étant la température du gaz électronique. Onappellera ainsi longueur de Debye 10, la distance maximale susceptible d’être traversée par cet électron

9. Cet équilibre entre l’agitation thermique d’une part et la force Coulombienne d’autre part, est décrite par une distri-bution particulière : la distribution de Boltzmann. On obtient par exemple pour la densité des électrons autour de l’ioncentral, la relation

ne(r) = noe( e!(r)kT )

où $(r) est le potentiel électrostatique autour de l’ion en fonction de la distance relative électrons-ions r. Nous reviendronssur cette expression dans la suite de ce cours.

10. La longueur de Debye est donc bien un compromis entre l’agitation thermique, qui tend à produire une non-neutralitédu plasma, et la densité des particules qui impose cette même neutralité par l’intermédiaire des forces électrostatiques.C’est ce qu’exprime la formule en

pTe/ne définissant !D .



sous le simple e!et de son agitation thermique, on obtient

)2D =

*okBT

nee2(1.7)

Cette structuration en sphère de Debye n’a pas un caractère statique et ordonné mais bien plutôt dy-namique et statistique, un électron participant à plusieurs sphères de Debye simultanément et possédantlui-même une sphère ionique tout en évoluant dans l’espace sous l’e!et de son agitation thermique. Cephénomène d’accumulation statistique et temporaire des charges ”écrante” le champ électrostatique 11.La longueur de Debye peut donc être considérée comme une longueur de corrélation des positions desdi!érentes charges, ou pour le dire autrement, des fluctuations de densité.

1.4.3 écrantage électrique : la fréquence plasma

L’écart à la neutralité est limité à des distances de l’ordre de )D. Il est naturel d’anticiper qu’il puisseexister de la même façon une échelle temporelle. Si l’on introduit une perturbation locale sous la formed’un excès de charge électrique positive ou négative, celui-ci va tendre à revenir vers l’état d’équilibrede neutralité. Là encore, un modèle simplifié à l’extrême permet d’obtenir une estimation de cetteéchelle de temps caractéristique. On considère un plasma constitué d’ions supposés infiniment lourds (dedensité nio), donc au repos, et d’électrons mobiles constituant un fluide chargé de densité neo, tel quenio = neo. L’agitation thermique et les collisions sont supposées négligeables et aucun champ électrique etmagnétique n’est imposé par des sources externes. La perturbation spatiale

!"+ induit alors une séparation

de charge (ne qui se traduit par l’apparition d’un champ électrique!"E . La relation fondamentale de la

dynamqiue s’écrit alors sous la forme

med2!"+dt2

= !e!"E = e

!"$! (1.8)

Par ailleurs le potentiel ! est donné par l’équation de Poisson

&! =e

"o(ne (1.9)

où (ne est la perturbation de densité par rapport à la densité d’équilibre neo. La conservation de lamatière au cours de cette perturbation s’exprime par la loi de conservation habituelle.

#(ne

#t+!"$ · [(neo + (ne)!"v ] = 0 avec !"v =

#!"+

#t

En supposant une perturbation très petite (approximation linéaire !), on obtient

#(ne

#t+ neo

!"$ · #!"+

#t= 0

d’où la relation(ne = !neo

!"$ ·!"+ (1.10)

En utilisant simultanément les équations (1.8), (1.9) et (1.10), on en déduit que

d2(!"' ·!"+ )

dt2=

e

me& !

1neo

d2(ne

dt2= ! e2

me"o(ne

d2(ne

dt2+

neoe2

me"o(ne = 0 (1.11)

Cette dernière équation est l’équation d’un oscillateur harmonique oscillant à la pulsation

,pe =

!neoe2

me"o(1.12)

11. Dans cette introduction, la longueur de Debye a été définie de manière qualitative, un calcul plus rigoureux faisantintervenir la fonction de distribution des électrons permettra d’obtenir la forme de ce potentiel ! induit par un excès decharge et spatialement ”écranté” sur une distance !D.



pulsation appelée par abus de langage fréquence plasma électronique 12. L’équation (1.11) décrit uneforce de rappel linéaire, opérant sur une échelle de temps ,!1

pe . Bien que cette force de rappel ait tendance àrestaurer la neutralité du plasma, elle ne peut y parvenir car à l’instant où la densité des électrons regagnesa valeur initiale neo, l’énergie potentielle du déplacement est convertie en énergie cinétique. Les électrons”ratent” alors leur cible emportés par leur inertie. Ils continuent sur leur lancée créant une nouvelle charged’espace jusqu’à ce que le champ électrique ainsi créé les arrête et tout recommence. On voit donc quetoute perturbation va engendrer une oscillation pendulaire non amortie du plasma autour de sa positiond’équilibre 13. Néanmoins, en moyenne, le plasma arrive à maintenir sa neutralité.

On a considéré le plasma comme un fluide à température nulle, contrairement à l’analyse menée à lasection précédente. Cela s’explique par le fait que ces oscillations sont extrêmement rapides, durantcelles-ci l’équilibre thermodynamique local n’est pas assuré, la notion même de température n’est doncplus pertinente 14.

Le rôle de référence joué par ,!1pe et )D leur valent le statut d’unités naturelles. On notera qu’elles n’ont

pas de valeur absolue mais dépendent des variables thermodynamiques : densité particulaire, température,caractéristiques du milieu étudié. Une relation simple relie ces deux quantités :

)D =vth

,p

où vth est la vitesse thermique associée à la particule considérée. Une particule typique du plasma exploreà la vitesse vth la distance maximale de corrélation (d’interaction) de n’importe quelle autre particulechargée du plasma. Le temps - = 2$,!1

p est donc bien le temps moyen d’amortissement des corrélationsbinaires entre particules chargées.

1.4.4 Critères d’existence d’un plasma

Certaines hypothèses sont sous-jacentes à l’utilisation de la théorie des plasmas. Elles définissent des”critères” d’existence du plasma, critères qui peuvent être approximativement ramenés au nombre dequatre.

premier critère : L’écrantage de Debye est une caractéristique de tous les plasmas (hypothèse dequasi-neutralité !!) bien qu’il n’apparaît pas dans tous les milieux contenant des particules chargées. Unecondition nécessaire et évidente est que les dimensions du système étudié doivent être beaucoup plusgrands comparés à la longueur de Debye. Dans le cas contraire, il n’y a pas assez d’espace pour que lese!ets collectifs (statistiques) puissent exister, et l’ensemble des particules ne constitue pas un plasma. Sion suppose que la dimension du système est L, alors on doit avoir la relation

L >> )D (1.13)

deuxième critère : Le phénomène d’écrantage étant un phénomène statistique, il est d’autre partnécessaire que le nombre de particules dans la sphère de Debye (de rayon )D) soit très important, onpose

neV = ne)3D >> 1 (1.14)

Cette relation, appelée approximation plasma, permet d’utiliser un modèle quasi-fluide pour décrire leplasma et démontre que la longueur de Debye est bien plus grande que la distance moyenne entre deuxparticules.

Dans ces conditions, on peut facilement montrer que l’énergie potentielle d’interaction est beaucoup plus

12. De la même façon des oscillations ioniques peuvent apparaître à la fréquence plasma ionique.

%pi = (me

Mi)1/2%pe

13. C’est pour cette raison qu’un plasma froid peut être assimilé mécaniquement à un oscillateur harmonique !14. Nous reviendrons sur le problème à définir la notion même de température dans le cas des plasmas non collisionnels,

c’est-à-dire, des plasmas dans lesquels les collisions type boule de billard sont totalement négligeables. Ces plasmas présententalors de grands écarts à l’équilibre thermodynamique (définis par une fonction de distribution Maxwellienne) et il devientalors très di"cile d’associer une température à ce plasma.



petite que l’énergie d’agitation thermique, |Uint| << Uth15. Cette inégalité signifie du point de vue

thermodynamique que le plasma se rapproche d’un gaz parfait. On pourra donc utiliser la loi classiquedes gaz parfaits, p = nkBT pour définir la pression interne du plasma. Dans certains cas, les électronset les ions sont séparément en équilibre avec Te (= Ti, si bien que cette formule s’applique pour chaqueespèce de particules en utilisant les pressions partielles pe et pi.

troisième critère : Le troisième critère concerne la quasi-neutralité du plasma. La densité des électronset des ions doit être en égale proportion comme cela a déjà été souligné dans le paragraphe (1.4.1). Nousdevons donc avoir la relation ne =

"! n! où & représente toutes les espèces d’ions possibles existant

dans le plasma. Ce critère découle en fait directement du premier critère. Si le système est beaucoupplus grand que la longueur de Debye alors nécessairement la quasi-neutralité doit être assurée au moinssur de grandes échelles (supérieure à )D).

quatrième critère La fréquence plasma ,pe a été déterminée en négligeant totalement l’influence desneutres. Il est clair que les collisions des électrons sur cette population ne peuvent que perturber, voirdétruire, toute oscillation collective des électrons. Pour que ces oscillations existent, il est nécessaire quela fréquence de collisions électrons-neutre que l’on note .c soit plus faible que la fréquence plasma.

.c <,pe

2$(1.15)

En d’autre termes, le temps moyen entre deux collisions électrons-neutre doit être beaucoup plus grandque toutes les échelles temporelles caractéristiques des variations des paramètres plasmas. Dans le cascontraire, les électrons seront forcés de suivre la dynamique des neutres et le plasma devra plutôt êtreconsidéré comme un gaz neutre.

1.4.5 ordre de grandeur dans l’univers

Les paramètres définissant le plasma peuvent varier dans de grandes proportions suivant les plasmas quel’on regarde. Afin d’avoir une idée des valeurs rencontrées dans notre univers, le tableau ci-dessous donneles valeurs approximatives observées dans certaines situations caractéristiques.

Plasma c (m!3) T (kev) B (T ) ,pe (s!1) )D(m) n)3D /ei (Hz)

Interstellaire 106 10!5 10!9 6 104 0.7 3 105 4 108

Vent solaire 107 10!2 10!8 2 105 7 4 109 10!4

Ionosphère 1012 10!4 10!5 6 107 2 10!3 104 104

Couronne solaire 1012 0.1 10!3 6 107 0.07 4 108 0.5Décharge d’arc 1020 10!3 0.1 6 1011 7 10!7 40 1010

Tokamak 1020 10 10 6 1011 7 10!5 3 107 4 104

15. Dans la suite de ce cours, nous ferons un usage intensif de la théorie des perturbations (linéarisation !!) dans l’étudedes mécanismes de base des plasmas. L’une des conditions à remplir sera que la quantité e!/kBT doit être su"sammentpetite pour permettre des développements à l’ordre 1 des équations non linéaires. Une façon d’apprécier ce rapport est dele calculer pour une charge e se trouvant à une distance r = !D d’une charge test. On trouve alors

|Uint|Uth

=e!

kBT=

e2

4&'o

1

!D

1

kBT

Ce rapport peut alors être réécrit en utilisant l’expression de la longueur de Debye, en e!et on a la relation

e2

'okBT=

1

n!2D

si bien que le rapport de l’énergie potentielle d’interaction sur l’énergie d’agitation thermique prend la forme

|Uint|Uth

=1

4&n!3D

L’inégalité forte de l’équation (1.14) a pour conséquence que

|Uint|Uth

<< 1

Les plasmas pour lesquels cette inégalité est vérifiée sont dits collectifs, ou faiblement couplés (sous-entendu par l’interactionélectrique).


2. Approche particulaire

Afin de mieux comprendre le comportement et l’évolution d’un plasma dans son entier (au niveau macro-scopique), il est important dans un premier temps de regarder la dynamique des particules individuellesdans les champs électromagnétiques. En e!et, il est évident que les trajectoires des particules sont unmaillon primordial dans l’étude d’un plasma. La di"culté d’une telle étude repose essentiellement sur lecaractère non-linéaire de la relation fondamentale de la dynamique lorsque l’on tient compte de la forcede Coulomb et de la force de Lorentz. On a en e!et

md2!"rdt2

= q!"E (!"r , t) + q

d!"rdt#!"B (!"r , t) (2.1)

où!"E et

!"B modifient la dynamique des particules qui à leur tour induisent des champs

!"E et

!"B auto-

cohérents, qui à leur tour modifient les trajectoires des particules, qui à leur tour .... Dans ce chapitre,nous allons donc simplifier ce système bouclé, en ne retenant que l’action des champs électriques etmagnétiques sur la dynamique des particules 1. Cette procédure, appelée aussi théorie des orbites, permetune étude fine des trajectoires des particules dans des champs inhomogènes et en particulier d’étudier lesphénomènes de dérive, phénomènes d’origine microscopique mais qui contribuent au comportement globaldu plasma. Dans ce cours, nous ne considérerons que le cas non relativiste (v2 << c2) et supposeronsque tous les phénomènes radiatifs sont négligeables.

Au vu de la force de Lorentz de l’équation (2.1), il paraît clair que la présence d’un champ magnétique!"B introduit naturellement une direction privilégiée dans l’espace des vitesses. En e!et, cette forcene s’applique que dans la direction perpendiculaire au champ magnétique et de ce fait, aboutit à unedynamique totalement di!érente suivant que l’on se trouve parallèlement ou perpendiculairement auchamp

!"B , illustré par la figure (2.1).

Figure 2.1: Décomposition du vecteur vitesse dans ses composantes parallèle et perpendiculaire

Ceci introduit une anisotropie dans l’espace qui sera souvent mise à profit afin de simplifier au maximumla résolution des équations de la dynamique. La vitesse et le champ électrique de l’équation (2.1) peu-vent donc être décomposés en une composante parallèle et une composante perpendiculaire au champmagnétique telle que : !"v = !"v " + !"v # et

!"E =

!"E " +

!"E#. Les composantes parallèle et perpendiculaire

s’écrivent alors

!"v " = (!"v ·!"b )!"b et

!"E " = (

!"E ·!"b )!"b

!"v # =!"b # (!"v #!"b ) et

!"E# =

!"b # (

!"E #!"b )

où la direction perpendiculaire peut être à son tour décomposer en deux composantes ( !"v # = !"v #1+!"v #2)si cela s’avère nécessaire.

1. On parle alors de test-particules. Les champs magnétiques et électriques sont a-priori donnés et ne sont donc pasa!ectés par le comportement des particules.

13

2.1 CHAMPS ÉLECTROMAGNÉTIQUES CONSTANTS ET UNIFORMES Page 14

2.1 champs électromagnétiques constants et uniformes

Dans le cas d’un champ stationnaire (constant), l’énergie des particules peut être aisément calculée,suivant les cas nous allons voir que soit l’énergie cinétique de la particule, soit son énergie mécanique(cinétique + potentielle) se conserve.

2.1.1 conservation de l’énergie

En absence de champ électrique, la relation fondamentale de la dynamique s’écrit sous la forme

md!"vdt

= q(!"v #!"B ) (2.2)

Cette équation montre que la force magnétique s’applique toujours perpendiculairement au mouvementde la particule et donc, qu’elle ne travaille pas. En multipliant scalairement par !"v l’équation (2.2), onobtient

m!"v · d!"vdt

=d

dt(12mv2) = q!"v · (!"v #!"B ) = 0

Ceci montre que l’énergie cinétique de la particule (Ec = 12mv2) et donc l’amplitude de sa vitesse sont

des constantes 2, et que, de plus, !"v est toujours orthogonale à l’accélération. Ces dernières conditionssont caractéristiques d’un mouvement circulaire uniforme dont nous discuterons les carcatéristiques auparagraphe suivant.

Dans le cas où à la fois un champ magnétostatique et électrostatique sont présents, une méthode similairepermet d’obtenir la relation

m!"v · d!"vdt

=d

dt(12mv2) = q!"v ·!"E

Cette équation peut être modifiée à l’aide des équations de Maxwell. En e!et, puisque!"B = cte alors!"$ # !"E = 0 et donc le champ électrique peut être décrit par un potentiel électrostatique sous la forme!"

E = !!"$0, si bien que l’on peut écrire

d

dt(12mv2) = !q!"v ·!"$0 = !q

d!"rdt

· d0

d!"r = !qd0

dt

expression qui s’exprime sous la forme

d

dt(12mv2 + q0) = 0 (2.3)

Cette relation montre que la somme de l’énergie cinétique et de l’énergie électrostatique de chaque par-ticule se conserve en présence d’un champ électromagnétique statique 3. Cette propriété importante serasouvent mise à contribution pour résoudre et/ou simplifier la plupart des problèmes que nous verrons.

2. Ce résultat reste d’ailleurs valable même dans le cas où le champ magnétique est non uniforme et ce quelque soit sadépendance spatiale. A l’inverse, si le champ magnétique possède une dépendance temporelle alors les équations de Maxwellnous disent qu’il se créer un champ électrique tel que

!"$ %

!"E = !

"!"B

"t

champ électrique dont le travail change l’énergie cinétique de la particule. Nous reviendrons sur ce comportement lorsquel’on verra les invariants adiabatiques à la fin de ce chapitre.

3. Cette expression est en fait tout à fait évidente (on redécouvre la roue !!). En e!et, elle traduit tout simplementque l’énergie mécanique totale d’un système en présence de forces conservatives se conservent. Cette expression découledirectement de ce qu’on appelle le théorème de l’énergie cinétique que l’on écrit

&Ec =X

forces conservatives

W +X

forces NON conservatives

W (2.4)

qui énonce que la variation totale de l’énergie d’un système est égale à la somme du travail de toutes les forces s’appliquantsur ce système, qu’elles soient conservatives ou non-conservatives. Ce théorème très puissant n’est en fait qu’une autre façond’exprimer la relation fondamentale de la dynamique.... En e!et, on a

md!"vdt

=X!"

F

md!"vdt

·!"v =X!"

F ·!"v =X!"

F ·d!"rdt

=X (W

dtd

dt(1

2mv2) =

X (W

dt=> d(

1

2mv2) =

X(W

Cette dernière expression représente l’équation (2.4) pour une variation infinitésimale.



2.1.2 champ magnétique uniforme

Si l’on excepte le cas d’un champ électrostatique seul qui entraîne une accélération constante !"% = qm

!"E ,

le cas le plus simple concerne le mouvement d’une particule en présence d’un champ magnétostatiqueuniforme. L’équation de la dynamique (2.2) peut être décomposée en composantes parallèle et perpen-diculaire au champ

!"B, on trouve

d

dt(!"v " +!"v #) =

q

m([!"v " +!"v #]#!"B )

équation qui peut être scindée en parties, on trouve

d

dt!"v " = 0 (2.5)

d

dt!"v # =

q

m!"v # #

!"B (2.6)

L’équation (2.5) montre que la particule ne subit aucune accélération le long du champ!"B. Dans la direc-

tion perpendiculaire, la conservation de l’énergie nous dit que nous sommes en présence d’un mouvementcirculaire uniforme (| !"v |= cte). L’équation (2.6) décrit une particule tournant donc autour des lignes dechamp magnétique et subissant une accélération centripète de la forme

d

dtv# = % =

v2#r

= , | v# |= q

m| v# || B | (2.7)

d’où l’on tire l’expression de la vitesse angulaire ,, indépendante du rayon

,c =| q | B

m(2.8)

Cette pulsation est appelée par abus de langage 4, la fréquence cyclotronique ou gyromagnétique 5.Inversement proportionnelle à la masse de la particule, elle est plus grande pour les électrons que pourles ions. Cette fréquence est omniprésente dans la théorie des plasmas et il est important de retenir que,c est directement proportionnel à B. En conséquence, si le champ B s’accroît, la fréquence de gyrations’accroît dans les mêmes proportions.

Figure 2.2: Particules chargées dans un champ magnétique : rotation autour des lignes de champ magnétique

L’équation (2.7) permet d’autre part de définir le rayon de gyration de cette particule, on trouve en e!etpour l’expression de r

rc =| v# |,c

=m | v# || q | B

(2.9)

Ce rayon est appelé rayon de Larmor ou rayon cyclotron et est inversement proportionnel àl’amplitude de

!"B . A v# donnée, le rayon de Larmor est proportionnel à la masse des particules et

donc beaucoup plus grand pour les ions que pour les électrons. Le sens de rotation de la particule sedétermine facilement. L’accélération centripète !"% = q

m!"v ##

!"B doit être dirigée vers le centre du cercle.

Ceci est le cas pour un ion positif, s’il parcourt le cercle dans le sens des aiguilles d’une montre commeillustré sur la figure (2.2). Pour les électrons, de charge négative, ils circulent dans le sens inverse. Pourles deux espèces, le sens du courant équivalent est par rapport à la direction du champ

!"B en sens inverse

du sens positif défini par l’orientation usuelle de l’espace. Ainsi, le champ magnétique créé par la particuleen mouvement est toujours dirigé en sens contraire du champ magnétique initial, le plasma est donc unmilieu diamagnétique. Dans le cas général, la vitesse le long de

!"B n’étant pas nulle, la trajectoire des

particules est une hélice s’enroulant autour des lignes de champ.4. Et oui, un de plus ! Ce ne sera pas le dernier ....5. On trouve aussi dans la littérature; fréquence angulaire de gyration ou gyrofréquence ou fréquence de Larmor.



2.1.3 champ électrique et magnétique uniforme

Supposons maintenant que le plasma est soumis à un champ électrique uniforme et statique, superposéau champ magnétique constant considéré dans le paragraphe précédent. L’équation du mouvement s’écritalors

md!"vdt

= q!"E + q(!"v #!"B ) (2.10)

que l’on peut décomposer de la même façon suivant les directions parallèle et perpendiculaire au champ!"B, on obtient

md!"v "

dt= q

!"E " (2.11)

md!"v #

dt= q

!"E# + q(!"v # #

!"B ) (2.12)

De manière évidente, on remarque que le long de!"B, l’équation (2.11) est la même qu’en absence de

champ magnétique : la particule subit une accélération constante. Dans la direction perpendiculaire,l’équation (2.12) est un système di!érentiel linéaire du premier ordre dont la solution générale sanssecond membre vient d’être déterminé dans le paragraphe précédent. La solution particulière du systèmecomplet s’obtient en prenant une vitesse constante que l’on injecte dans l’équation (2.12). Soit !"v d = ctecette solution particulière, alors on peut écrire

0 = q!"E# + q(!"v d #

!"B )

En multipliant vectoriellement par!"B, on trouve alors

0 = q!"E# #

!"B + q(!"v d #

!"B )#!"B = q

!"E# #

!"B + q[

!"B (!"v d ·!"B )!!"v dB

2]

Comme !"v d est par définition perpendiculaire à!"B, !"v d ·!"B = 0 et on trouve finalement

!"v d =!"E# #

!"B

B2(2.13)

On voit qu’un champ électrique uniforme perpendiculaire à!"B n’accélère pas les particules mais crée une

vitesse d’ensemble qui s’ajoute au mouvement circulaire de gyration. On l’appelle vitesse de dérive, oupour des raisons évidentes, vitesse du centre guide. Cette dérive a été représentée sur la figure (2.3)et est identique pour toutes les espèces de particules.

Figure 2.3: Trajectoires cylodes décrites par les électrons et les ions en présence de champs électrique et magné-tique stationnaires.

Il est remarquable que cette vitesse de dérive (équation 2.13) soit indépendante de la charge et de lamasse, les électrons et les ions dérivent à la même vitesse et dans la même direction 6. Son caractère

6. Dans un plasma sans collision cette vitesse de dérive n’induit donc aucun courant de champ croisé. A l’inverse, dansle cas où les collisions avec les neutres ne peuvent plus être négligées, cette dérive donne lieu à un courant perpendiculaire.Cette dérive vient de ce que les ions sont alors plus lents que les électrons du fait des di!érences entre fréquences de collisionsélectron-neutres ()e!n) et ions-neutres ()i!n) (nous y reviendrons). Ce courant perpendiculaire à la fois à

!"E et

!"B et se

déplaçant en sens contraire à !"v d, est connu sous le nom de courant Hall.



universel peut s’expliquer assez facilement 7 : dans le cas d’une charge positive, la force électrique accélèrela particule dans la première partie de son orbite (lorsque son mouvement est dirigé suivant

!"E#, voir

figure (2.3)) augmentant sa vitesse et donc son rayon de gyration rc , à l’inverse, dans la seconde partiede son orbite, elle perd son énergie et donc voit décroître son rayon de gyration. C’est cette di!érenceentre les deux parties de l’orbite qui induit la dérive !"v d. Une particule négative tourne en sens contraire,subit le champ électrique en sens contraire avec pour résultat une dérive dans le même sens. De la mêmefaçon, une particule plus légère possède un rayon de gyration plus petit, donc dérive moins par orbitemais d’autre part possède une fréquence de gyration supérieure et fait plus d’orbite dans le même temps.Les deux e!ets se compensent exactement, la dérive devient donc indépendante de la masse.

2.1.4 force uniforme

Dans le cas très général 8 d’une force!"F qui s’exerce sur une particule chargée en présence d’un champ!"

B , on trouve de la même manière une vitesse de dérive perpendiculaire à la fois à!"F et à

!"B de la forme

!"v F =!"F #!"BqB2

(2.14)

L’exemple le plus commun est la force de gravitation, force négligeable à l’échelle du laboratoire maisqui peut devenir prépondérante dans le cadre de l’astrophysique. Dans le cas d’un champ gravitationneluniforme

!"F = m!"g , la vitesse de dérive s’écrit

!"v g =m!"g #!"B

qB2

Cette vitesse de dérive dépend donc du rapport mq . Des particules de charge opposée vont dériver en sens

contraire. Cette dérive va générer un courant de ”dérive” qui pourra à son tour rétro-agir sur le champ!"B. De plus, les charges allant dans des directions opposées, cette dérive induit une polarisation qui peutgénérer un champ électrique par séparation de charge, et ce champ peut à son tour amplifier le champ

7. Il existe une autre explication tout aussi valable à l’universalité de cette dérive. En e!et, en appliquant la transforma-

tion de Lorentz aux équations de Maxwell, il est aisé de montrer que les champs électrique!"E

!" et magnétique

!"B

!" vus d’un

repère se déplaçant à la vitesse !"u par rapport à un repère au repos où l’on a les champs!"E et

!"B, s’écrivent sous a forme

!"E

!" = *(

!"E" + !"u %

!"B )

!"B

!" = *(

!"B" +

!"uc2

%!"E )

Dans le cas non relativiste qui nous intéresse ici (* = 1 et u << c2) on trouve!"E

!" =

!"E" + !"u %!"

B!"B

!" =

!"B"

On remarque donc que si!"B reste inchangé dans cette transformation, cela n’est pas le cas du champ électrique

!"E . Parmi

tous les repères possibles, il existe un repère particulier dans lequel le champ électrique!"E

!" = 0, et où la particule possède

la trajectoire la plus simple (une simple gyration autour des lignes de champ magnétique, leur centre-guide étant immobile!). Ce repère se déplace donc à la vitesse

!"E

!" = 0 <==> !"u =

!"E" %

!"B

B2

La vitesse !"u de ce repère, dit ”repère magnétique” est alors une grandeur intrinsèque du champ électromagnétique (équationsde Maxwell). Les particules du plasma ne sont pas responsables de son existence, elles ont juste la propriété de matérialiserce repère. C’est dans ce repère que toutes les particules quelque soit leur masse et leur charge auront une vitesse de centre-guide nulle et donc resteront attachées à la même ligne de champ

!"B. Ceci représente la base du comportement fluide des

particules que nous verrons dans le chapitre (4). Pour des champs stationnaires et uniformes, on peut donc dire que le champmagnétique bouge dès que E '= 0. C’est cette propriété qui permet à des particules de ”savoir” si le champ magnétique danslequel elles baignent est immobile ou non, et cela même si on a a!aire à un champ stationnaire et uniforme. Une conséquencede l’existence d’un tel repère est le champ électrique de corotation des planètes magnétisées. En e!et, ces planètes génèrentun dipôle magnétique qui tourne avec elles. Les particules situées dans l’espace vont donc ”voir” ce mouvement et ce sansl’intervention d’aucune collision mécanique, simplement sous l’e!et de ce champ électrique. Ce champ est appelé champélectrique de corotation puisqu’il entraîne toutes les particules (en tout cas leur centre-guide) à tourner à la même vitesseque la planète elle-même, et ainsi à suivre sa rotation.

8. Il faut en fait relativiser la ”généralisation” de l’expression de la vitesse de dérive. En e!et, cette force!"F doit avoir

certaines caractéristiques bien particulières, force uniforme ne dépendant pas de la position de la particule et stationnairene dépendant pas du temps, qui en réduisent singulièrement la généralité.


2.2 CHAMPS ÉLECTROMAGNÉTIQUES NON-UNIFORMES Page 18

!"E initial. Un tel mécanisme se rencontre dans certaines instabilités, dites instabilités de dérive. Commeon peut le voir, bien que le mouvement intrinsèque de la particule peut être aisément décrit, dès quel’on voudra tenir compte du système dynamique auto-cohérent dans son entier (donc de la rétro-actiondes particules sur le champ) les choses se compliqueront très vite, et des approximations seront alorsnécessaires. Nous allons voir un type d’approximation extrêmement répandu dans la théorie des plasma,je veux parler de l’approximation adiabatique ou approximation des variations lentes.

2.2 champs électromagnétiques NON-uniformes

Dès que les champs sont inhomogènes ou qu’ils varient en fonction du temps, l’équation (2.1) est nonlinéaire et sa résolution exacte devient un problème ardu. Une solution analytique étant souvent impossi-ble à obtenir, une solution numérique reste toujours possible. Toutefois, il existe un cas particulier où desrésultats théoriques approximatifs sont possibles, tout en restant d’une grande utilité pour comprendrela dynamique compliquée d’un plasma. Cette approximation repose sur trois propositions indépendantes:– la non prise en compte des détails de la trajectoire des particules, on ne s’occupera que de son centre-

guide– l’hypothèse d’un champ magnétique fort dont les variations spatiales et/ou temporelles sont de faible

amplitude– l’hypothèse d’un champ électrique faibleCes hypothèses peuvent sembler au premier abord très limitatives mais en fait cela n’est pas vraiment lecas. En e!et, pour que cette théorie fonctionne à peu près bien, il faut et il su"t que les variations deschamps restent faibles sur des distances de l’ordre du rayon de gyration des particules. Cette propriétéest commune à nombre d’expériences de laboratoire, y compris les plus intéressantes telle la fusion ther-monucléaire, ainsi que dans nombre de problèmes astrophysiques où les distances de variation des champssont à ”très grande échelle”.

Cette approximation du centre-guide peut être quantifiée de manière assez simple. Si l’on suppose que lavariation du champ

!"B , appelée (B est de la forme (B = rc | !"$B | (où

!"$B représente le gradient de B) surune gyration rc, alors des variations faibles signifient que (B << B 9. Ceci nous permettra de linéariserles équations du mouvement et d’obtenir des informations importantes sur les trajectoires des particules.Toute les équations théoriques présentées dans ce paragraphe sous-tendront cette approximation et serontdonc naturellement limitées à l’ordre un du développement de Taylor.

2.2.1 champ électrique NON stationnaire

Les inhomogénéités du champ électrique sont une des sources de dérive avec celles du champ magnétique.Il n’est pas dans le propos de cette introduction de faire le bestiaire des di!érentes dérives et/ou modifi-cations des trajectoires par des champs NON uniformes et NON stationnaires. Dans ce paragraphe nousallons regarder ce qui arrive lorsque c’est le champ électrique qui varie. Deux cas sont intéressants : Lepremier que je ne traiterais pas concerne un champ électrique variant spatialement, on montre que c’estla fréquence de gyration qui s’en trouve modifiée d’une quantité dépendant du gradient

!"$E. Le second,plus simple, concerne un champ dépendant du temps. Dans ce dernier cas, afin de simplifier les équations,nous ferons aussi l’hypothèse d’un champ magnétique stationnaire ET uniforme et d’un champ électriqueuniforme. Cette dernière hypothèse n’est valide que si les variations de

!"E se font sur une échelle spatiale

beaucoup plus grande que le rayon de gyration de la particule. Sous ces hypothèses, l’équation de ladynamique, se réécrit

md!"vdt

= q(!"E (t) +!"v #!"B )

Dérivant cette équation par rapport au temps, on trouve

md2!"vdt2

= q(d!"E (t)dt

+d!"vdt#!"B ) = q

d!"E (t)dt

+q2

m(!"E (t) +!"v #!"B )#!"B

Afin de simplifier cette expression, on fait l’hypothèse que les variations de!"E sont très lentes et donc

que la vitesse de dérive associée !"v dp est elle-même à variations lentes. Dans ce cas le terme de gauche

9. Cela revient tout simplement à dire que le gradient qu’il soit électrique ou magnétique est beaucoup plus grand que lerayon de gyration de la particule (son rayon de Larmor), c’est-à-dire rc << L où L est l’échelle caractéristique du gradientet de faire un développment de Taylor en rc/L.



disparaît et l’on trouve dans la direction perpendiculaire à!"B

0 =q

m

d!"E#(t)dt

+q2

m2(!"E #(t) + [!"v d +!"v dp]#

!"B )#!"B

où l’on a fait apparaître les vitesses de dérive !"v d dues à la partie uniforme du champ électrique!"E# et

!"v dp due à la partie variable!"E#(t). En développant le double produit vectoriel 10, on obtient finalement

!"v d +!"v dp =!"E# #

!"B

B2+

m

qB2

d!"E#(t)dt

(2.15)

On reconnaît la vitesse de dérive !"v d trouvée précédemment, à laquelle se rajoute une dérive due auxvariations temporelles de

!"E . On parle de dérive de polarisation car les particules de charge et de

masse di!érente ont des vitesses di!érentes. La dérive de polarisation est proportionnelle à la masse, lescourants qui en résulteront seront donc principalement d’origine ionique.

2.2.2 champ magnétique NON uniforme

Dans le cas d’un champ magnétique non uniforme, nous allons voir que d’autre types de dérive ap-paraîssent. En se plaçant dans le référentiel du centre-guide (dérive

!"E # !"B ), la particule durant son

mouvement va voir des variations du champ magnétique que nous allons supposer faibles. En faisantun développement de Taylor à l’ordre un au voisinage de l’origine 11, on peut alors exprimer la relationfondamentale de la dynamique sous la forme

md!"vdt

= q(!"v # [!"B o + 1r ·)"$B]) (2.16)

où intervient dans cette expression, le tenseur)"$B car les variations du champ magnétique peuvent

avoir lieu dans toutes les directions. Par exemple, dans une base cartésienne, toutes les composantes duchamp magnétique peuvent varier suivant les coordonnées spatiales x, y, z. De ce fait, on remarque quel’opérateur décrivant ces modifications est en fait un tenseur d’ordre 2 (une matrice) de la forme

!"$ *!"B + )"$B =

#

$%

"Bx"x

"By

"x"Bz"x

"Bx"y

"By

"y"Bz"y

"Bx"z

"By

"z"Bz"z

&

'(

où* représente le produit tensoriel entre l’opérateur variationnel!"' et le champ ¯B Le tenseur résultant

)"$Bexprime alors toutes les variations spatiales possibles du champ magnétique. Si l’on suppose que le champmagnétique principal

!"B o = Bo

!"e z se trouve le long de l’axe des z, alors ces di!érents termes peuventêtre assez facilement classés en 4 groupes distincts :– les termes de divergence : "Bx

"x , "By

"y , "Bz"z , voir figure(2.4a)

– les termes de gradients : "Bz"x , "Bz

"y (variation perpendiculaire de la composante principale), voir figure(2.4b)– les termes de courbure : "Bx

"z , "By

"z (variation longitudinale des composantes secondaires), voir figure(2.4c)– les termes de cisaillement : "Bx

"y , "By

"x (variation perpendiculaire des composantes secondaires)Le comportement des lignes de champ suivant ces di!érents termes a été résumé sur la figure (2.4). Enfait, ces 9 composantes ne sont pas toutes indépendantes. Puisque l’on a la relation

!"$ · !"B = 0, celadémontre que seulement 2 composantes des termes de divergence sont indépendantes, une faible variationdu champ magnétique le long de z (#Bz/#z (= 0) se traduira donc aussi par une variation suivant une desdeux autres coordonnées, c’est-à-dire #Bx/#x (= 0 et/ou #By/#y (= 0. De plus, un gradient de champmagnétique ne peut exister seul dans le vide (où

!"$ # !"B = 0), si bien qu’il est généralement associéà une courbure des lignes de champ magnétique. Dans la réalité, ces cas d’école ne se rencontrent passéparément, le champ magnétique cumule à la fois divergence, gradient et courbure comme illustré parla figure (2.5)) 12. L’un des avantages de l’approximation du centre-guide est d’obtenir des équationslinéaires (d’ordre un), si bien que chaque e!et peut être étudié séparément, l’e!et cumulatif de tous cese!ets n’étant alors que la somme de chacun de ces termes (additivité des solutions).

10. On a la relation :!"A % (

!"B %!"

C ) =!"B (

!"A ·!"C ) !!"

C (!"A ·!"B )

11. Cela signifie que la variable !"r représentera la position instantanée de la particule durant une gyration par rapport àla position de son centre-guide.

12. Cela est en fait le cas pour toutes les configurations planétaires et stellaires qui se caractérisent à l’ordre zéro par undipôle et dont l’origine est l’e!et dynamo.



Figure 2.4: géométrie des lignes de champ magnétique ayant une divergence (a), un gradient (b) et une courbure(c) suivant la direction x

Figure 2.5: Représentation schématique d’un champ magnétique possédant un gradient et une courbure

En se limitant à l’ordre un, on peut remarquer que l’expression!"r ·$B = (!"r ·!"$)!"B, si bien que l’équation

du mouvement (2.16), prend la forme simple

md!"vdt

= q(!"v #!"B o) + q!"v # (!"r ·!"$)!"B (2.17)

Si le premier terme de l’équation (2.17) décrit le mouvement de gyration que nous avons déjà étudié auparagraphe (2.1), le second terme est nouveau et décrit une force qui dépend de la position instantanée dela particule (de la coordonnée !"r ). Cette dépendance rend la résolution de cette équation extrêmementdi"cile, dont la solution ne pourra être obtenue que numériquement. La question se pose de savoir siles informations contenues dans cette équation ne sont pas trop nombreuses par rapport à ce qui nousintéresse. En e!et, dans le cadre de la théorie du centre-guide, seul nous intéresse le mouvement ” lent” dela particule et non le mouvement de rotation rapide, dont on connaît d’ailleurs déjà les caractéristiques,et qui se rajoute aux mouvements de dérive 13. Une façon simple d’éliminer les fluctuations rapides decette force due à la rotation de la particule est de moyenner sur une gyration. La force moyenne ainsiobtenue pourra alors être considérée comme constante sur une gyration (c’est étudié pour !!) et doncinjectée tout naturellement dans l’équation (2.14) afin d’obtenir la dérive correspondante.

Dérive due au gradient du champ magnétique

Afin de ne pas alourdir inutilement les calculs, nous allons nous placer dans le cas simple où!"B a sa

composante principale le long de z et les variations spatiales de!"B se font perpendiculairement à cette

direction(!"$#), dans le plan (x, y). En supposant des petites perturbations à la trajectoire, on a les

relations

!"r = !"r o +!"r 1

!"v =d!"rdt

= !"v o +!"v 1

13. Dans le cadre de cette théorie, les équations sont linéaires et les solutions des combinaisons linéaires des di!érentessolutions.



où !"r 1 et !"v 1 sont respectivement la position et la vitesse perturbées de la particule dans le référentieldu centre-guide, avec les relations !"r 1 << !"r o et !"v 1 << !"v o. L’équation (2.17) se réécrit, en ne gardantque les termes d’ordre inférieur ou égal à un, sous la forme

md!"v o

dt= q(!"v o #

!"B o) (2.18)

md!"v 1

dt= q(!"v 1 #

!"B o) + q!"v o # (!"r o ·

!"$#)!"B (2.19)

L’équation (2.18) décrit le mouvement de gyration que nous avons déjà étudié précédemment. L’équation(2.19) fait apparaître deux termes : (i) un terme qui constitue une correction au mouvement de gyration 14

et (ii) un terme supplémentaire dont nous allons étudier l’impact sur la trajectoire. Sans perte degénéralité, on peut supposer que le mouvement de gyration circulaire d’ordre zéro se déroulant dans leplan perpendiculaire au champ

!"B est de la forme

!"r o = rc(cos,ct!"e x + "± sin,ct

!"e y)

!"v o =d!"r o

dt= rc,c(! sin,ct

!"e x + "± cos,ct!"e y)

où "± vaut 1 pour les électrons (sens trigonométrique) et -1 pour les ions (sens contraire), ces particulesne tournant pas dans le même sens (voir figure 2.2). Si bien que le terme de force lié au gradient dechamp magnétique s’écrit alors

!"F !$%"B

= q

)*

+

"±r2c,c cos,ct[(cos,ct

""x + "± sin,ct

""y )Bz]

r2c,c sin,ct[(cos,ct

""x + "± sin,ct

""y )Bz]

0

,-

.

puisque seul nous intéressent les mouvements lents par rapport à la rotation des particules, on prendla moyenne sur une gyration en se rappelant que <

/(cos,ct sin,ct)dt >= 0 et <

/(cos2 ,ct)dt >

=</(sin2 ,ct)dt >= 1/2 sur une période. La force due au gradient se réécrit alors sous la forme

<!"F !$%"B

>periode= q

)*

+

12"±r2

c,c""xBz

12"±r2

c,c""yBz

0

,-

. = !e

2r2c,c!"$#B = !e

2v2#,c

!"$#B (2.20)

avec e =| q | et où on a remplacé Bz par B, les lignes de champ étant parallèles à cette direction. Onremarque que cette force a le même sens pour les électrons et les ions 15 et est de sens contraire au gradient!"$#B. Cette force étant uniforme sur une gyration (la moyenne a été faite pour cela !), on peut appliquerla formule générale (2.14) et après réorganisation des termes, on trouve

!"vd!$%"B

=1q

mv2#

2B

!"B #!"$#B

B2(2.21)

Comme toute force transverse, <!"F !$%"B

> produit une dérive perpendiculaire au champ magnétique.Cette dérive dépend du signe de la charge et donc donne lieu à un courant dit de dérive. L’originephysique de cette dérive est une lente accumulation d’oscillations non compensées du rayon de Larmorentre les zones de champ fort et les zones de champ faible. En e!et, d’une zone à l’autre, les rayons degyration ne sont pas les mêmes, petits pour les champs fort et plus grand pour les champs faibles. Leraccordement de ces cercles de rayons di!érents implique nécessairement une dérive lente.

Dérive due à la courbure du champ magnétique

Jusqu’ici nous n’avons pas parlé de courbure des lignes de champ magnétique, pourtant une courbureseule ne peut satisfaire

!"$ #!"B = 0 si bien que dans le vide elle est inséparable de la notion de gradient.Pour calculer la force moyenne s’appliquant sur les particules du fait de la courbure des lignes de champ,on peut faire un calcul du type que celui du paragraphe précédent, mais cela sera un peu long. Unemanière plus rapide d’arriver à nos fins, est de faire l’hypothèse légitime que cette courbure est très faible

14. Ce terme disparaîtra naturellement dans le processus de moyenne temporelle que nous utiliserons pour obtenir la force<

!"F > ”constante” qui s’applique sur la particule dans le référentiel du centre-guide.

15. Attention, pas le même module car %c dépend de la masse de la particule et donc di!ère entre les espèces.



par rapport à la gyration des particules, c’est-à-dire rc << RC où RC est le rayon de courbure des lignesde champ. Dans le référentiel lié à la particule, pour que celle-ci puisse suivre les lignes de force, uneforce centrifuge apparaît. Elle prend la forme usuelle

!"F centrifuge =

0m < v2

" >

RC

1!"n

Cette force centrifuge est orientée vers l’extérieur de la courbure et est portée par la normale principale!"n à la ligne de champ. La vitesse < v2

// > représente la moyenne du carré de la composante suivant!"B de la vitesse thermique (on écrira v2

// pour alléger l’écriture). Cette force étant de nouveau uniformedurant une gyration, la vitesse de dérive associée est donnée par

!"v dC =!"F centrifuge #

!"B

qB2=

0mv2

"

qB2RC

1!"n #!"B (2.22)

Cette dérive est donc orientée perpendiculairement au plan contenant la courbure et de sens opposé pourles ions et les électrons (figure 2.6).

Figure 2.6: Dérive due à la courbure des lignes de champ magnétique

Là encore, on voit apparaître un courant lié à la di!érence de dérive entre les particules de charge opposée.En fait, la plupart des dérives engendrent des courants, et ces courants réagissent sur le champ appliqué: soit en établissant les conditions d’un retour à l’équilibre et l’apparition d’oscillations associées à uneonde, soit en amplifiant la perturbation responsable de la dérive, déclenchant ainsi une instabilité 16.

2.2.3 l’e!et miroir

Bien que cet e!et miroir soit à mettre dans le paragraphe concernant le cas d’un champ magnétiqueNON uniforme, il sera traité à part du fait de son importance dans la compréhension des phénomènesphysiques. Ce type d’e!et a été pour la première fois proposé comme mécanisme possible d’accélérationdes rayons cosmiques. De la même façon, le confinement des particules dans la ceinture de Van Allen enest un autre exemple. En fait, dès que l’amplitude du champ magnétique augmente, les lignes de champ seresserrent et l’e!et miroir existe et ses conséquences pourront être observées. Dans le paragraphe (2.2.2),nous avons étudié le cas d’un gradient (inhomogénéité) perpendiculaire au champ

!"B, que se passe-t-il

maintenant lorsque ce gradient se trouve le long des lignes de champ ?

Puisque les lignes de champ magnétique convergent le long du gradient, on obtient une configurationcomme celle de la figure (2.7)

Il est évident au vu de la figure (2.7) que le champ magnétique se décompose en une composante principaleBz et une composante radiale Br. Sans perte de généralité, on suppose une symétrie de révolution autourde l’axe des z, si bien que l’on a B# = 0 avec #/#2 = 0. De plus, on suppose que le rayon de gyrationde la particule est beaucoup plus petit que l’échelle des variations du champ. On peut alors reprendrel’équation (2.19), en prenant non pas un gradient strictement perpendiculaire à

!"B mais plus général, en

posant!"$B = "

"rB!"e r + ""z B!"e z, on trouve alors dans la base locale qui nous intéresse

!"r o = rc!"e r

!"v o = "±v#!"e # = "±rc,c

!"e #

16. En général, les courants de dérive ont simplement tendance à lisser les gradients ou les courbures qui leur ont donnénaissance.



Figure 2.7: configuration des lignes de champ magnétique pouvant entraîner un e!et miroir

Si bien que l’équation (2.17) permet d’obtenir l’expression de la force

!"F !$%B

= q

)*

+

"±r2c,c[ "

"rBz ]0

!"±r2c,c[ "

"r Br]

,-

.

On retrouve une partie perpendiculaire à la composante magnétique principale Bz qui après une moyennesur une gyration donne

<!"F !$%"B

>= !er2c,c <

#Bz

#r!"e r >= !er2

c,c12#

#rB!"e R

où !"e R est un vecteur unitaire porté par le rayon de courbure des lignes de champ. Cette force ayantune direction opposée au gradient radial, on remarque bien que son sens dirige les particules vers l’axez, et permet aux particules de suivre la courbure des lignes de champ qui se rapprochent. C’est lamême force que l’on avait obtenue précédemment (paragraphe 2.6), dans le cas d’un gradient purementperpendiculaire. La seconde composante de la force de gradient est par contre nouvelle, on a

!"F !$%B

= er2c,c

#

#rBr!"e z (2.23)

Dans cette expression, la composante Br est inconnue mais heureusement nous connaissons une relationsimple reliant Br à Bz. En e!et, la divergence du champ magnétique est toujours nulle. Son expressiondans la base cylindrique avec #/#2 = 0, nous donne

!"$ ·!"B = 0 ==>1r

#

#r(rBr) +

#

#z(Bz) = 0

En faisant alors l’hypothèse habituelle que la composante Bz varie lentement (toujours par rapport autemps de gyration d’une particule), on peut supposer que #Bz/#z est indépendant de r, et cette équations’intègre aisément

Br = !1r

2 r

0

#Bz

#zrdr = ! r

2#Bz

#z

La variation de cette quantité par rapport à r est donc

#Br

#r= !1

2#Bz

#z, !1

2#B

#z(2.24)

Nous avons supposé que la composante principale Bz ne di!ère pas ”beaucoup” de la composante totaleB (les variations spatiales de B sont très faibles dans la région qui nous intéresse !). On somme alors ceterme sur une période gyro-magnétique -c afin d’obtenir la moyenne de la force

!"F !$%B

<#Br

#r>= !1

2<#B

#z>= ! r

21-c

3

gyration

#B

#zd- = !1

2#B

#z

Dans cette dernière équation, on a utilisé le fait que la variation de B est constante sur une gyration.L’équation (2.23) donnant la force parallèle qui s’exerce sur les particules se réécrit alors sous la forme

<!"F !$%#B

>"= er2c,c <

#

#rBr!"e z >= !er2

c,c12#B

#z!"e z = !mv2

#2B

#B

#z!"e z



Cette force peut être réécrite en faisant apparaître explicitement la direction parallèle, on trouve

<!"F !$%#B

>"= !mv2

#2B

!"$"B (2.25)

Cette expression 17 (2.25) montre que lorsqu’il existe une variation longitudinale du champ magnétique(convergence ou divergence des lignes de champ), alors une force axiale s’applique sur les particuleschargées dans la direction de décroissance du champ

!"B. Cette force est indépendante de la charge et

s’applique donc de la même façon pour les ions et les électrons. En résumé, au fur et à mesure qu’uneparticule se propage vers les régions de champ magnétique fort, elle est décélérée sous l’action de la force<!"F !$%#B

>. Sa vitesse v" diminue et peut aller jusqu’à s’annuler sous certaines conditions, la particulesubit alors une réflexion et est de nouveau accélérée dans l’autre direction repartant d’où elle était venue.Ce mécanisme est appelée réflexion miroir.

Bien que dans cette introduction nous n’avons pas présenté de manière exhaustive les di!érents mouve-ments et trajectoires que peuvent avoir une particule en présence de champs électromagnétiques NONuniforme ET NON stationnaire, il paraît clair que dans un plasma réel où tout se superpose, le com-portement des particules chargées peut devenir extrêmement complexe à comprendre. Il existe certainesquantités physiques dont la conservation nous permet d’obtenir une image simple de phénomènes com-plexes. Ces quantités que l’on appelle invariants adiabatiques jouent un rôle central dans la physique desplasmas et seront présentés au paragraphe suivant.

2.2.4 Les invariants adiabatiques

L’étude de la dynamique d’un système se fait de manière usuelle en exprimant les di!érentes variablesphysiques (position et vitesse) en fonction du temps. Si cette méthode est la plus répandue, il existe uneautre approche consistant à rechercher des combinaisons de variables qui à l’inverse son indépendantesdu temps. En e!et, malgré l’évolution du système, il n’est pas exclu que certaines combinaisons devariables temporelles puissent être construites de manière à se compenser mutuellement. L’exemplele plus représentatif est bien sûr la conservation de l’énergie mécanique dans un système conservatif(Ec + Ep = cte). Cette recherche des constantes du mouvement peut être formalisée et systématiséedans le cadre de la mécanique Hamiltonienne où les actions constituent de tels invariants.

Dans ce qui suit, nous ne parlerons pas de constantes du mouvement mais bien plutôt d’invariants. Ene!et, ces invariants ne découlent pas de symétries du type de ceux présents dans un système conservatif,mais découlent de l’existence de trois échelles de temps bien séparées présentes dans un ”plasma réel”.Nous verrons que ces invariants ne sont ”qu’approximativements constants” et ce uniquement dans lecas de faibles variations du système. Pour être valables, ces variations devrons donc vérifier certainesconditions dites approximations adiabatiques :– critère spatial : On suppose que les variations de B dans l’espace sont su"samment lentes (d’échelle

L), et B su"samment fort, pour que la variation relative sur une longueur de gyration reste faiblerc << L.

– critère temporel : On suppose que les variations de B dans le temps sont su"samment lentes(d’échelle T ), et B su"samment fort, pour que la variation relative sur une période de gyration restefaible 2$,!1

c << T.Comme on peut tout de suite le remarquer, cette approximation n’est ni plus ni moins que l’approximationutilisée dans la théorie des orbites pour en déduire les mouvements de dérive. Ceci nous permettrad’utiliser les résultats déjà obtenus pour en déduire ces invariants.

premier invariant adiabatique

Afin d’introduire le premier invariant adiabatique, il est intéressant de revenir sur l’équation (2.25) don-nant la force le long de l’axe d’une configuration magnétique inhomogène

<!"F !$%#B

>"= !mv2

#2B

!"$"B = !µ!"$"B

où µ = mv2"

2B . L’équation de la dynamique projetée suivant le champ!"B , s’écrit alors

md!"v "

dt=<

!"F !$%#B

>"= !µ!"$"B (2.26)

17. Le signe ! traduit l’e!et du diamagnétisme du plasma.



En multipliant scalairement l’équation (2.26) par !"v " de part et d’autre, on obtient

m(!"v " ·d!"v "

dt) =

d

dt(12mv2

") = !µdz

dt

#B

#z= !µ

dB

dt(2.27)

Or nous savons que la force de Lorentz ne travaille pas, il est donc clair que l’énergie cinétique totalese conserve (Ec// + Ec# = cte ) et l’on trouve en utilisant la relation reliant le paramètre µ à l’énergiecinétique perpendiculaire

d

dt(Ec" + Ec#) =

d

dt(12mv2

" +12mv2

#) =d

dt(12mv2

" + µB) = 0 (2.28)

expression que l’on peut développer sous la forme

d

dt(12mv2

") = ! d

dt(µB) = !dµ

dtB ! µ

dB

dt(2.29)

Le champ magnétique ne pouvant être nul, une simple comparaison entre les équations (2.26) et (2.29 )nous montre que

dµ

dt= 0=>µ = cte (2.30)

Le paramètre µ apparaît donc comme une constante du mouvement, ”apparaît” est bien le mot car dans lecalcul on a abusivement remplacé les # par des d. Cet abus n’est tolérable que si les variations de

!"B sont

su"samment lentes (et faibles) pour se limiter à l’ordre un du développement de Taylor du champ!"B .

C’est pour cette raison que l’on parlera ”d’invariant adiabatique” plutôt que de constante du mouvement.µ est souvent référencé dans la littérature comme étant le premier invariant adiabatique, nous en verronsd’autres mais celui-ci est d’une importance capitale dans la compréhension des phénomènes liés à laréflexion miroir et au chau!age magnétique. Deux résultats importants découlant directement de laconservation de cette quantité :

1. conservation du flux magnétique. Une conclusion immédiate de la constance de µ concerne le fluxmagnétique embrassé par une particule lorsqu’elle se déplace dans un champ magnétique inho-mogène. Par définition, le flux magnétique traversant la surface S d’une orbite fermée est donnépar

!m =2 !"

B · d!"S = $r2cB =

2m

e2µ = cte (2.31)

Cette équation démontre donc que lorsqu’une particule se déplace dans une région où le champmagnétique augmente, alors son rayon de gyration décroît de telle sorte que le flux magnétique àtravers son orbite de gyration reste constant 18.

2. cône de perte. Nous avons vu que l’existence d’une force parallèle freine les particules lorsqu’elless’approchent d’une région où le champ magnétique s’accroît. Il peut même arriver que le champ

!"B

soit su"samment fort pour que v" = 0 et que la particule soit réfléchie dans la zone de faible champ.Supposons que nous ayons une configuration comme celle représentée sur la figure (2.8a), dans cecas les particules sont piégées et doivent rester au centre de cette configuration (on parlera debouteille magnétique). Toutefois, ce piégeage est loin d’être parfait, pour s’en persuader il su"t deregarder ce qui se passe pour les particules n’ayant qu’une composante de vitesse parallèle (v# = 0),elles ne ressentent aucune force décélératrice et traversent le ”goulot de la bouteille”, s’échappantdu système. La conservation de µ va nous permettre de quantifier ce processus d’échappementet de trouver un critère simple de piégeage. On suppose que le champ magnétique minimum decette configuration (voir figure 2.8a) est Bo et que le champ magnétique maximum au niveau duresserrement des lignes de forces est Bm .

On recherche alors le point miroir pour une particule chargée dont la vitesse était vo lorsqu’elle se trouvaitdans la zone où régnait Bo. Si le champ au point miroir est B&, alors la conservation de µ et de l’énergiecinétique totale nous donne les relations

µ = cte =mv2

#o

2Bo=

mv!2#

2B! (2.32)

Etotale = cte =12mv2

o =12mv

!2 (2.33)

18. Là encore et sans le dire, nous avons fait l’approximation que le champ!"B restait constant à l’intérieur d’une orbite.

En d’autres termes, que les variations de!"B étaient négligeables (au moins d’ordre deux) par rapport au rayon de gyration

rc. Bref, on a de nouveau utilisé l’approximation adiabatique !



Figure 2.8: a) Configuration schématique de deux miroirs magnétiques se faisant face (bouteille magnétique).(b) Cône de perte des particules dans cette configuration.

avec v2o = v2

"o + v2#o et v

!2 = v!2# . Combinant (2.32) et (2.33), on trouve l’angle que faisait initialement la

direction de vo avec l’axe de révolution

sin2 2 =v2#o

v2o

=v2#o

v!2#

=Bo

B! (2.34)

Dans le cas présent, on doit avoir de plus la relation Bm > B!, cette condition impose que l’angle 2 doit

être supérieur à un minimum 2m tel que :

sin2 2m =Bo

Bm(2.35)

L’angle 2m définit donc le contour d’un cône dans l’espace des vitesses, appelé ”cône de perte” représentésur la figure (2.8b). Toute particule ayant une vitesse vo se trouvant initialement dans ce cône, ne serapas confinée mais s’échappera du système. Une conséquence directe sera donc qu’aucune distributionisotropique ne pourra être obtenue dans ce type de configuration.

second invariant adiabatique

La configuration magnétique de la figure (2.8a) nous permet tout naturellement d’introduire un autremouvement périodique, celui que fait une particule subissant des réflexions successives sur les deux miroirsmagnétiques (M1 et M2). On définit un second invariant (appelé aussi invariant longitudinal) qui prendla forme

J =3 M2

M1

!"v · d!"s =3 M2

M1

v"ds (2.36)

Une démonstration simplifiée peut être donnée sur la conservation de cet invariant. Supposons que nousayons un champ magnétique inhomogène statique (c’est le cas que nous avons le plus étudié jusqu’ici !) etregardons ce qui se passe le long de deux éléments de lignes de champ magnétique. Les deux éléments delongueur ds et ds& sont vus sous un même angle d2 et possèdent un vecteur normal unitaire commun !"n .Une particule chargée peut subir aussi une dérive à travers ces lignes (sous l’action des vitesses de dérivecalculées précédemment). En fait, cela n’arrivera pas du fait de l’invariance de J . En e!et, puisque Jdétermine de manière univoque la longueur de la ligne de force entre deux points de réflexion (

4ds) et

qu’il ne peut exister deux lignes de même longueur ayant le même!"B , nécessairement une particule se

doit de rester toujours sur sa même ligne de champ et ne peut en changer même dans le cas d’un champmagnétique faiblement inhomogène. Si J est bien un invariant alors la quantité v"ds doit donc resterconstante pendant une durée (t. Pour le démontrer, regardons la variation de cette quantité :

((v"ds) = v"((ds) + ((v")ds (2.37)

Expression que l’on peut écrire sans dimension sous la forme

((v"ds)v"ds

=((ds)ds

+((v")v"

(2.38)

Nous allons regarder la valeur que prennent respectivement les deux termes du membre de droite et nousverrons qu’ils s’annullent mutuellement.



!

Figure 2.9: Configuration magnétique montrant deux lignes de champ magnétiques infiniments proches,décritent respectivement par les abcisses curvilignes ds et ds&

Pour calculer le premier terme, il su"t d’obtenir la valeur de ((ds). Les deux longueurs ds et ds& voyantle même angle d2 comme illustrée sur la figure (2.9), on peut relier ces portions d’arc de cercle au rayonde courbure Rc, on a alors les relations

ds

Rc=

ds&

R&c

=>((ds)ds

=ds! ds&

ds=

Rc !R!

c

Rc(2.39)

De plus, la variation du rayon de courbure est égale à la distance parcourue par la particule sous l’e!etde la dérive perpendiculaire aux lignes de champ, si bien que l’on trouve

((ds)ds

=!"v d ·!"n (t

Rc(2.40)

avec !"v d = !"vd!$%B

+ !"v dC , la vitesse de dérive perpendiculaire déduite des équations (2.21) et (2.22).La vitesse de dérive !"v dC (équation 2.22) étant perpendiculaire au vecteur !"n , nous trouvons finalementl’expression

((ds)ds

=!"v

d!$%B

·!"n (tRc

=1q

mv2#

2B

!"B #!"$B

B2Rc·!"n (t =

5µ

qB2RC

6!"B #!"$B ·!"n (t (2.41)

Le calcul du deuxième terme est moins direct. Le champ magnétique étant statique, l’énergie cinétiquetotale de la particule se conserve.

Etotale = Ec" + Ec# =12mv2

" + µB (2.42)

Si bien que l’on peut exprimer la vitesse parallèle sous la forme

v" =7

2m

(Etotale ! µB) (2.43)

où Etotale et µ sont des constantes (invariants !) du mouvement. La variation de v" par rapport au tempsse réduit donc à celle du champ B.

((v")(t

= !12µ#B

#t

182m (Etotale ! µB)

(2.44)

Si bien que l’on trouve

((v")(tv"

= !12µ#B

#t

12m (Etotale ! µB)

= !12µ#B

#t

1Ec"

= ! µ

mv2"

#B

#t(2.45)

Dans cette expression, #B/#t (= 0 car il résulte du mouvement de la particule et représente la variationdu champ B vue par la particule durant son mouvement dans un champ statique inhomogène (on setrouve dans le référentiel de la particule - le centre-guide). On peut donc écrire

#B

#t=

dB

d!"r · d!"rdt

=d!"rdt

·!"$B = !"v d ·!"$B (2.46)



Dans ce cas, on voit que seul le terme !"v dC de la vitesse de dérive totale peut contribuer à cette variationde B, la composante !"v

d!$%B

étant orthogonale à!"$B. L’équation (2.46) se réécrit

#B

#t= !"v dC ·!"$B =

0mv2

"

qB2RC

1(!"n #!"B ) ·!"$B =

0mv2

"

qB2RC

1(!"B #!"$B) ·!"n (2.47)

L’équation (2.45) se réécrit

((v")v"

= ! µ

mv2"

0mv2

"

qB2RC

1(!"B #!"$B) ·!"n = !

5µ

qB2RC

6(!"B #!"$B) ·!"n (t (2.48)

Une simple comparaison des équations (2.41) et (2.48) montre clairement que ((v"ds) = 0. Ceci n’est pastout à fait équivalent à dire que J = cte. Néanmoins, les variations de l’intégrant ne peuvent venir quedes bornes d’intégration constituées par les deux points miroirs. La vitesse parallèle s’annulant en cespoints, la variation de l’intégrale aussi, on a donc bien

dJ

dt= 0 => J = cte (2.49)

De l’invariance de J , on peut déduire un comportement remarquable de l’e!et miroir. En e!et, si l’onsuppose que les miroirs magnétiques se déplacent l’un vers l’autre alors l’énergie parallèle de la particulepiégée entre les deux miroirs doit augmenter. Les miroirs étant séparés d’une distance L, on a alorsJ = 2v"L pour un aller-retour et son énergie parallèle est de la forme

Ec// =mv2

"

2= m

J2

8L2(2.50)

On remarque que si L décroît alors Ec" augmente très rapidement (en 1/L2). Ce mécanisme a été invoquépar Fermi pour expliquer l’origine des rayons cosmiques très énergétiques observés dans l’espace. Fermia supposé que deux nuages stellaires se déplaçant l’un vers l’autre et possédant un champ magnétiquesupérieur à celui du milieu interstellaire ambiant, pouvait piéger et accélérer ces particules cosmiques 19.Ce mécanisme de base doit bien sûr être ra"né pour être directement applicable à l’observation. Enparticulier, J n’étant qu’un invariant ”approximatif” rien ne garantit la régularité des trajectoires, enparticulier, J peut être a!ecté par interaction (échange d’énergie) avec les mouvements de rotation autourdes lignes de champ. De plus, les particules, voyant leur vitesse longitudinale augmenter, peuvent ”tomber”dans le cône de perte et s’évader rapidement, etc...

troisième invariant adiabatique

L’invariance du moment magnétique µ est associée au mouvement de gyration des particules. Celle del’invariant longitudinal J au mouvement le long des lignes de champs. Un troisième invariant lié aumouvement de dérive à travers les lignes de champ peut être identifié lorsque ce mouvement est quasi-périodique. C’est l’invariant de flux ou troisième invariant !.

Figure 2.10: Mise en évidence des trois invariants adiabatiques et de leurs périodes respectives, Tµ, TJ et T!,liées chacune riodique des particules. On a l’inégalité T! >> TJ >> Tµ.

19. Ce mécanisme est connu aujourd’hui sous le nom d’accélération Fermi.



Contrairement à l’invariant longitudinal J, dominé par le terme cinétique (dérive du centre-guide à traversles lignes de champ), la valeur de l’invariant de flux est due essentiellement au terme magnétique (gradientde B). A l’ordre un, lorsque la courbure et le gradient du champ sont pris en compte, le centre-guidedérive et change lentement de ligne de champ. Ce changement engendre une famille de lignes appeléessurface de dérive comme illustré sur la figure (2.10). Cet invariant est moins utile que les deux précédentscar son existence n’est garantie que pour des perturbations extrêmement lentes, très vite perturbé par dela turbulence basse fréquence (qui préserve néanmoins le premier et le second invariant).

Sa démonstration ne sera donc pas donnée dans cette introduction à la physique des plasmas.


3. Approche statistique

Le comportement collectif du plasma est souvent caché sous les termes de longueur de Debye ()De),fréquence plasma (,p), paramètre plasma (ND)... Tous ces termes ont en commun d’inclure des quantitésmoyennées (température, densité) et de décrire les principales caractéristiques globales du plasma. Cecomportement collectif est en fait la conséquence d’interactions multiples entre un nombre très élevé departicules et les champs électrique

!"E (!"x , t) (créés par les particules chargées) et magnétique

!"B (!"x , t)

(générés par les particules se déplaçant à une vitesse !"v ). Ces interactions conduisent à un échanged’impulsion et d’énergie entre particules ainsi qu’avec les champs. Il est donc clair que dans un plasmacontenant un nombre très élevé de particules, chacune générant des champs microscopiques

!"E et

!"B , et

réagissant aux champs créés par les autres particules, les champs moyens possèdent une structure spatialecomplexe et une multitude d’échelles temporelles di!érentes. Vu le très grand nombre de particulescomposant le plasma, une description dynamique de l’ensemble de ses constituants est donc un problèmeinsoluble. Heureusement, il est souvent inutile de s’intéresser au mouvement exact de toutes les particulesconstituant le plasma mais bien plutôt d’étudier ses propriétés statistiques. Il peut être plus facile de nes’intéresser qu’aux variations de quantités moyennées sur un petit volume du plasma (aspect fluide) quiont, elles, des comportements macroscopiques mesurables. Pour a"ner cette description, une approchestatistique est possible. Elle permet entre autre de s’a!ranchir totalement des hypothèses réductricesfluides dont la justification peut être di"cile dans le cas usuel d’un plasma non collisionnel.

3.1 éléments de théorie cinétique

L’approche statistique de l’étude d’un plasma est connue sous le terme de théorie cinétique. Elle permetd’obtenir une description complète du plasma sous réserve de perdre la discernabilité des particules. Si laconnaissance de ces équations est d’une grande importance en physique des plasmas, leurs démonstrationssont en amont de la pratique courante dans ce domaine. Ces outils statistiques sont d’une manipulationun peu délicate et ne seront présentés ici que sommairement, en essayant de faire ressortir l’enchaînementdes idées et des raisonnements conduisant aux équations cinétiques (en particulier l’équation de Vlasov).

3.1.1 position dans l’espace des phases : description exacte

Avant de pouvoir faire des statistiques sur l’ensemble des particules d’un système et décrire l’évolution despropriétés statistiques dans le temps et dans l’espace, il faut savoir déterminer exactement la trajectoire dechacune des particules individuelles du système. Cette description est facilitée si l’on prend les positionset les vitesses comme variables indépendantes dans un espace hypothétique à 6 dimensions avec pour axes(!"x , !"v ) que l’on appelle l’espace des phases. Afin d’alléger l’écriture, on notera !"x le vecteur positionreprésentant la particule de coordonnées (x, y, z) dans l’espace réel; de même le vecteur !"v décrit lescoordonnées de sa vitesse. Une particule est alors caractérisée, à un certain temps to , par un point danscet espace se trouvant dans un élément de volume d!"x d!"v et dont l’évolution temporelle correspond àune trajectoire dans cet espace à 6 dimensions.

Dans un premier temps, on s’intéresse à un gaz constitué d’une seule particule ponctuelle modélisée parl’utilisation d’un Dirac 1. Cette particule a une trajectoire

!"X1(t) qui représente les di!érentes positions !"x

1. La distribution de Dirac possède des propriétés intéressantes dont les principales sont :

( (x)

!0 si x '= 01 si x = 0

"

Z +#

!#( (x) dx = 1

Pour une fonction arbitraire f(x) définie sur l’intervalle ]!(, +([ , on a les relations :Z +#

!#f(x)( (x) dx = f(0)

Z b

af(x)( (x ! xo) dx = f(xo) (a ! xo ! b)

30

3.1 ÉLÉMENTS DE THÉORIE CINÉTIQUE Page 31

occupées par la particule à des temps successifs. De la même façon, cette particule possède une trajectoire!"V1(t) dans l’espace des vitesses !"v . En combinant les coordonnées d’espace !"x et de vitesse !"v dans unespace à 6 dimensions (!"x ,!"v ), la densité d’une particule s’écrit

N1(!"x ,!"v , t) = (9!"x !!"X1(t)

:(9!"v !!"V1(t)

:(3.1)

où (9!"x !!"X1(t)

:+ ( [x!X1(t)] ( [y !Y1(t)] ( [z ! Z1(t)] est une distribution de Dirac.

L’équation (3.1) nous dit que la densité de particule dans l’espace des phases est di!érente de zéroseulement à l’endroit et à la vitesse où se trouve la particule 1 au temps t. Lorsque le temps varie, cettedensité forme une trajectoire dont les caractéristiques dépendent des forces s’exerçant sur cette particule.En fait, pour une particule isolée, cette densité est singulière car elle représente ni plus ni moins que laposition !"x =

!"X1 et !"v =

!"V1 d’une particule ponctuelle dans l’élément de volume d3!"x d3!"v de l’espace

des phases 2.

La densité exacte totale est alors la somme sur toutes les particules ponctuelles constituant le système.

N (!"x ,!"v , t) =N;

i=1

(9!"x !!"Xi(t)

:(9!"v !!"Vi(t)

:(3.2)

Cette équation décrit la densité de particule pour chaque composante du plasma (électrons+ions) prisséparément 3. Elle représente donc le volume total occupé par le plasma dans l’espace des phases; volumequi va se déformer sous l’action des forces s’appliquant sur les particules qui constituent le plasma.Toutefois, il faut souligner que du fait que le nombre de particules ne change pas (conservation dunombre de particules), ce volume bien que changeant de forme se conserve durant l’évolution dynamiquedu plasma. La dérivée totale de N (!"x ,!"v , t) prise le long de la trajectoire décrivant toutes les particules(espace à 6N dimensions) doit donc être nulle 4.

dN (!"x ,!"v , t)dt

= 0 (3.3)

Avant d’aller plus avant, il est intéressant de rappeller ce que l’on connaît sur les particules individuelles.La position de la particule est déterminée par son équation du mouvement sous l’action des champsélectromagnétiques microscopiques 5. Pour une particule i de charge q et de masse m, nous avons doncles relations :

d!"Xi(t)dt

=!"Vi(t) (3.4)

d!"Vi(t)dt

=q

m

9!"Em

<!"Xi(t), t

=+!"Vi(t)#

!"Bm

<!"Xi(t), t

=:(3.5)

où!"Vi(t) est la vitesse instantanée de la particule i, et l’indice “m” fait référence aux champs électrique

et magnétique produits de manière auto-cohérente par les particules ponctuelles 6. Ces champs micro-

2. L’élément de volume d!"x ne doit pas être pris littéralement comme une quantité mathématique infinitésimale maisbien plutôt comme un volume fini su"samment grand pour contenir un grand nombre de particules et su"samment petiten comparaison des échelles spatiales caractéristiques associées aux variations spatiales des paramètres physiques qui nousintéressent. Dans un plasma contenant 1020 particules/m3, par exemple, un élément de volume d3!"x ) 10!12 m3 qui àl’échelle macroscopique peut être considéré comme ponctuel contient toujours 108 particules.

3. Dans le cas, où l’on est intéressé par la densité totale du plasma, il su"t de sommer sur chaque composante s duplasma. (Ntotal =

Pe,i Ns).

4. L’équation (3.3) est remarquable car elle traduit la conservation d’une quantité physique le long de la trajectoire : laparticule (à 6N dimensions) emporte avec elle la valeur de cette quantité. Les équations cinétiques seront de cette forme.

5. par microscopique, on veut signifier que la valeur de ces champs dépendent explicitement de la position de la particule(qui dépend du temps) et du temps lui-même. Chaque particule individuelle voit un champ

!"E et

!"B di!érent et variable

dans le temps.6. Bien entendu, la partie des champs Em et Bm créée par la particule i elle-même a été omise.



scopiques doivent à leur tour satisfaire les équations de Maxwell sous la forme :

!"! ·!"Em(!"x , t) =!m(!"x , t)

"o(3.6)

!"! ·!"Bm(!"x , t) = 0 (3.7)

!"! #!"Em(!"x , t) = !#!"Bm(!"x , t)#t

(3.8)

!"! #!"Bm(!"x , t) = µo!"jm(!"x , t) + µo"o

#!"Em(!"x , t)#t

(3.9)

avec pour la densité de charge et le courant microscopiques, les expressions suivantes :

!m(!"x , t) =;

s=e,i

qs

2d!"vNs(!"x ,!"v , t) (3.10)

!"jm(!"x , t) =

;

s=e,i

qs

2d!"v !"v Ns(!"x ,!"v, t) (3.11)

Les équations (3.6) à (3.11) déterminent les champs microscopiques (exactes !) évalués à partir de laposition exacte des particules, tandis que les équations (3.4) et (3.5) déterminent les trajectoires exactesdes particules en fonction des champs électromagnétiques. Ce système d’équations est fermé; ceci signifieque si nous connaissons la position et la vitesse de toutes les particules ainsi que des champs

!"E et

!"B à

un temps donné, nous pouvons connaître avec précision ces valeurs à un temps ultérieur.

Reprenant l’équation (3.3), on écrit :

dN (!"x ,!"v , t)dt

=#N#t

+d!"xdt

· #N#!"x

+d!"vdt

· #N#!"v

= 0 (3.12)

En développant tous les termes et en utilisant les équations (3.2, 3.4 et 3.5), cette relation s’exprime sousla forme :

dN (!"x ,!"v , t)dt

=d

dt

N;

i=1

Ni =N;

i=1

dNi

dt=#

#t

0N;

i=1

(9!"x !!"Xi(t)

:(9!"v !!"Vi(t)

:1

+N;

i=1

!"Vi(t) ·

#

#!"Xi

<(9!"x !!"Xi(t)

:(9!"v !!"Vi(t)

:=

+N;

i=1

q

m

9!"Em

<!"Xi(t), t

=+!"Vi(t)#

!"Bm

<!"Xi(t), t

=:· #

#!"V i

<(9!"x !!"Xi(t)

:(9!"v !!"Vi(t)

:== 0 (3.13)

que l’on peut réécrire grâce aux propriétés des distributions de Dirac 7, en remplaçant Xi par x et Vi parv 8, sous la forme :

#

#t

0N;

i=1

(9!"x !!"Xi(t)

:(9!"v !!"Vi(t)

:1

+!"v · #

#!"x

0N;

i=1

(9!"x !!"Xi(t)

:(9!"v !!"V i(t)

:1

+q

m

9!"Em

>!"x , t?

+!"v #!"Bm

>!"x , t?:

· #

#!"v

0N;

i=1

(9!"x !!"Xi(t)

:(9!"v !!"Vi(t)

:1= 0 (3.14)

qui peut se réécrire en remarquant que les sommes ne font plus apparaître que la densité (équation 3.2)sous une forme plus compacte

#N#t

+!"v ·!"'xN +q

m

9!"Em

>!"x , t?

+!"v #!"Bm

>!"x , t?:

·!"'vN = 0 (3.15)

-. #N#t

+!"v ·!"'xN +!"% ·!"'vN = 0

7. en particulier, en utilisant l’égalité x(“x !

!"Xi(t)

”=

!"Xi(

“x !

!"Xi(t)

”

8. Ceci en dehors des arguments des fonctions (.



Cette équation en relation avec les équations de Maxwell permet une description exacte du plasma,elle représente l’équation de Klimontovitch (valable pour chaque espèce N constituant le plasma).La connaissance de la position et des vitesses initiales de toutes les particules du plasma détermine lesdensités Ne(!"x ,!"v , t = 0) et Ni(!"x ,!"v , t = 0) (électrons et ions), dont l’évolution ultérieure est décrite parl’équation (3.15) en tenant compte des champs électromagnétiques auto-cohérents décrits par Maxwell.

3.1.2 position dans l’espace des phases : description statistique

La simplicité apparente de cette équation est trompeuse. Toute la di"culté se trouve en fait “cachée” dansle terme d’accélération !"% qui dépend des champs microscopiques vus par chaque particule. Son calculnécessite la connaissance des trajectoires exactes des N particules, ce qui en pratique limite son utilité(N> #>1 !). Une densité exacte, telle que N , est une grandeur très fluctuante puisqu’elle est nulle partoutentre les particules (c’est-à-dire presque partout pour des particules quasi-ponctuelles) et extrêmementgrande (infinie pour une particule ponctuelle) à l’intérieur. De plus, elle évolue sous l’action de champslocaux eux-aussi très fluctuants. Par exemple, le champ électrique est le résultat des e!ets collectifs d’ungrand nombre de particules, mais cette valeur varie énormément dans le temps et dans l’espace suivant quel’on passe plus ou moins près de la position exacte d’une particule (elle diverge sur la position exacte desparticules ponctuelles). La question se pose alors de savoir si la connaissance de ces grandeurs exactes estnécessaire dans la pratique pour décrire un plasma. Ce qui nous intéresse, c’est en fait les champs moyensqui intéragissent avec un nombre très important de particules définissant les variables macroscopiques quidécriront l’état du plasma. Pour ce faire, une description statistique est su"sante, c’est-à-dire moyennéed’une façon ou d’une autre, qui ne ferait apparaître que des grandeurs macroscopiques variant dansl’espace et le temps de façon régulière. Pour le champ électrique par exemple, il serait intéressant depouvoir le décomposer en :– (i) Une composante moyenne

!!"/E0 utilisée dans les équations de Maxwell pour boucler le système

d’équations décrivant le comportement macroscopique du système champ-plasma– (ii) une composante fluctuante

!"(E, dont l’importance n’interviendrait que pour des particules passant

très près l’une de l’autre et que l’on pourrait traiter de manière di!érente 9.L’équation (3.15) n’est donc utile que dans la mesure où elle est un bon point de départ pour obtenirdes équations qui décrivent les propriétés macroscopiques d’un plasma. Cette équation nous renseignesur l’existence ou non au point (!"x ,!"v ) d’une particule de densité infinie. Mais il est en fait beaucoupplus intéressant pour nous de connaître le nombre de particules se trouvant dans le volume &!"x & !"vde l’espace des phases centré au point (!"x ,!"v ), une approche qui est usuellement utilisée en mécaniquestatistique. Ce formalisme est de ce fait souvent appelé description statistique du plasma.

Les propriétés mécaniques de chaque particule sont complètement décrites par la donnée de leur position etde leur impulsion. L’espace des phases (!"x ,!"v ) se décompose en 3 composantes d’espace et 3 composantesde vitesse, chaque particule étant reliée de manière univoque à un point dans cet espace à 6 dimensions.La vitesse dans l’espace des phases est donc la variation combinée de sa position et de sa vitesse dansl’espace ordinaire tri-dimensionnel que l’on note ("

!$x"t , "!$v

"t ). Dans un plasma de N particules, N pointsde cette sorte existent dans l’espace des phases. Si l’on ne s’intéresse qu’aux champs électromagnétiquesà long rayon d’action sur des distances largement supérieures à la longueur de Debye )De, nous pouvonsimaginer un volume 3 centré autour de la position!"x de taille très supérieure à la distance interparticulaire(afin d’avoir une densité de particule dans ce volume très important). Nous pouvons alors compter lenombre de particules se trouvant dans ce volume 3 à l’instant t ayant une vitesse comprise entre !"v et!"v +"!"v , diviser ce nombre par la taille du volume et multiplié par"vx"vy"vz et l’appeler f(!"x ,!"v , t). End’autres termes, cette fonction f(!"x ,!"v , t) représente la densité de particules dans l’espace des phases 10

et est reliée à la densité réelle n qui ne dépend plus que des coordonnées spatiales et du temps, par larelation :

n>!"x , t

?=

+'2

!'

f(!"x ,!"v , t)d3!"v (3.16)

9. Il est à noter que dans les plasmas non-collisionnels qui représentent la majorité des plasmas spatiaux, c’est cettecomposante fluctuante du champ électrique qui est responsable de ce que l’on peut appeler les “collisions” coulombiennesproches ou binaires. C’est donc ces “collisions” que l’on négligera dans l’approche la plus simple, ne retenant que l’actiondes champs collectifs vus par un nombre considérable de particules.

10. Autrement dit, cette fonction de distribution peut être définie comme étant la densité de probabilité correspondant àun nombre “moyen” de particules dans le volume &!"x &!"v . Il s’agit donc bien d’une grandeur statistique représentant lamoyenne spatiale (dans l’espace des phases) de la densité exacte N sur un petit volume entourant (!"x ,!"v).



Cette fonction f est aussi appelée la fonction de distribution du plasma et est utilisée dans tous lescalculs de moyenne qui décriront les propriétés macroscopiques du plasma 11. L’application de ce type demoyenne permet à partir de l’équation de Klimontovitch (3.15), d’obtenir une équation d’évolution de ladistribution f(!"x ,!"v , t). Si l’on suppose que toute grandeur caractéristique du plasma (densité et champs)est décomposable en une valeur moyenne plus un terme de fluctuation, on peut écrire les relations :

N (!"x ,!"v , t) =@N (!"x ,!"v , t)

A+ (N (!"x ,!"v , t) = f(!"x ,!"v , t) + (N (!"x ,!"v , t)

!"Em

>!"x , t?

=!"E>!"x , t

?+ (!"E>!"x , t

?(3.18)

!"Bm

>!"x , t?

=!"B>!"x , t

?+ (!"B>!"x , t

?

où<!"Em >=

!"E ,<

!!"Bm >=

!"B et < (

!"E >=< (

!"B >= /(N 0 = 0. En utilisant ces définitions dans

l’équation (3.15) et en prenant une moyenne d’ensemble, on obtient alors l’équation cinétique du plasmasous la forme:

#f(!"x ,!"v , t)#t

+!"v ·!"'xf(!"x ,!"v , t) +q

m

9!"E>!"x , t

?+!"v #!"B

>!"x , t?:

·!"'vf(!"x ,!"v , t) =

! q

m

B9(!"E>!"x , t

?+!"v #

!"(B>!"x , t

?:·!"'v(N (!"x ,!"v , t)

C(3.19)

La relation (3.19) est la même pour chaque espèce de particule existant dans le plasma (électrons et ions)où il su"t de remplacer f par les fonctions de distribution fe pour les électrons et fi pour les ions. Elledécrit donc l’évolution temporelle du plasma et montre clairement sous cette forme deux parties distinctes:– le membre de gauche ne fait apparaître que des termes moyens qui varient lentement dans l’espace

des phases (!"x ,!"v ), ces termes ne dépendent donc plus de la position exacte de toutes les partic-ules, mais bien plutôt des coordonnées (!"x ,!"v , t) de l’espace des phases. La moyenne d’ensemblea fait disparaître toute dépendance sur la position exacte des particules à l’intérieur d’un volume(v +

D!"x ,!"x + d!"xE D!"v ,!"v + d!"v

Eoccupé par un groupe de particules. Ceci a pour conséquence que

la distribution moyenne des particules ne décrit plus la position exacte des particules dans le volume (v,mais bien plutôt la probabilité de trouver ce groupe dans le volume (v . La fonction f est donc bien uneprobabilité de distribution dont l’équation (3.19) décrit l’évolution sous l’action des champs moyens.Ces champs sont responsables des mouvements collectifs du plasma dont on peut montrer qu’ils sontgénéralement les termes les plus importants. Ces champs à longs rayons d’action vont modifier dras-tiquement la description statistique du plasma. Au contraire des collisions qui tendent sans cesse àrestaurer l’équilibre thermodynamique, les e!ets collectifs ont tendance, au moins temporairement, àorganiser spatio-temporellement le plasma et à le maintenir à l’écart de l’équilibre thermodynamique.

– le membre de droite contient toutes les fluctuations de (N , (E et (B, dont la valeur moyenne est engénéral non nulle (termes non linéaires) et qui représentent toutes les interactions à courte portée quijouent le rôle des collision dans un plasma. On voit que c’est parce qu’il existe un terme non linéairedans l’équation de Klimontovitch qu’il existe un terme de collisions dans l’équation cinétique. C’estlui qui assure le mélange d’échelles et qui couple les valeurs moyennes et les fluctuations particulaires.Sa détermination théorique pose de sérieux problèmes puisque la fonction de distribution f(!"x ,!"v , t)ne distingue pas les particules ponctuelles mais ne tient compte que de leur dépendance dans l’espaceréel et dans l’espace des vitesses.

L’évaluation de ce terme fait appel au caractère discret et quasi-ponctuel des particules matérielles quicomposent le plasma. Ils mettent en jeu les interactions élémentaires qui s’exercent entre un nombre fini(au nombre de deux pour les collisions binaires !!) de particules matérielles. La nature et la description deces interactions élémentaires dépendront bien entendu de la nature des espèces qui composent le plasma.En particulier, les interactions entre particules neutres ou entre particules neutres et particules chargéesseront tout à fait di!érentes des interactions qui peuvent s’établir entre particules chargées de même natureou de nature di!érente. Le premier type d’interaction fait intervenir uniquement des forces à courteportée en ce sens que deux (ou plusieurs) particules ne se voient que lorsque leur distance d’approcheest petite (typiquement de l’ordre de leur propre taille). Le deuxième type d’interaction, au contraire,

11. A toute fonction "(!"x ,!"v , t) de l’espace des phases, on peut associer une valeur moyenne définie par la relation :

˙"

`!"x , t´¸

=1

n`!"x , t

´+#Z

!#

"`!"x , t

´· f(!"x ,!"v , t)d3!"v (3.17)

où n est la densité définie par l’équation (3.16)



dx3x

dv3v1

v2

Figure 3.1: espace des phases

fait intervenir des forces à longue portée, dont l’exemple typique est l’interaction coulombienne. Lanature de ces processus individuels nécessite une description microscopique des interactions qui leurdonnent naissance. Une collision individuelle fait essentiellement tourner (déflection) la vitesse d’uneparticule considérée d’une quantité qui dépend de la vitesse de la particule-cible avec laquelle elle interagit.Par ailleurs, dans cette description individuelle, l’interaction ne fait pas changer significativement laposition des particules et se produit sur des échelles de temps extrêmements petites (avec un temps decollision qui tend vers zéro dans la limite fluide). C’est donc un processus local et instantané quin’introduira de corrélation qu’entre les vitesses des particules, c’est-à-dire dans le sous-espace des vitesses(ou des impulsions, dans l’approximation non relativiste). Ceci est illustré sur la figure (3.1) qui montreles interactions spatialement locales, mais faisant interagir des particules ayant des vitesses di!érentes,établissant à priori des corrélations dans l’espace (!"v ).

Une façon de simplifier l’équation cinétique est de négliger les corrélations entre les champs et de ne tenircompte que des corrélations entre particules via les collisions. L’équation cinétique se réécrit alors :

#f(!"x ,!"v , t)#t

+!"v ·!"$xf(!"x ,!"v , t)

+q

m

9!"E>!"x, t

?+!"v #!"B

>!"x , t?:

·!"$vf(!"x ,!"v , t) =5#f

#t

6

coll

(3.20)

où le terme de droite décrit les variations temporelles de f sous l’action de toutes sortes de collisions.Cette équation est l’équation de Boltzmann, bien connue en mécanique statistique. Dans cette hypothèse,le terme de collision est une intégrale sur les corrélations, intégrale qui a remplacé la moyenne du produitdes fluctuations (densité et champs) de l’équation (3.19). Ceci donne un sens plus précis à la notionde collision qui est alors liée aux corrélations de position. Cette équation reste d’un maniement trèsdélicat car il nécessite de définir parfaitement les di!érentes corrélations entre particules 12. Nous neprésenterons ici, dans un but de simplification que la méthode de fermeture la plus simple, qui consisteà négliger totalement tout type de collisions. Dans ce cas, nous obtenons une équation de la forme :

#f(!"x ,!"v , t)#t

+!"v ·!"'xf(!"x ,!"v , t) +

q

m

9!"E>!"x , t

?+!"v #!"B

>!"x , t?:

·!"'vf(!"x ,!"v , t) = 0 (3.21)

12. Pour dérivé le terme de droite de l’équation de Boltzmann (3.20), on fait implicitement l’hypothèse que le nombred’événements (ou collisions) est proportionnel à une fonctionnel du produit f(!"v 1) · f(!"v 2) où f(!"v 1) est la probabilité quela particule 1 ait une vitesse autour de !"v 1 et f(!"v 2) la probabilité pour que la particule 2 ait une vitesse autour de !"v 2 à lamême position !"x . Cela revient à supposer qu’au point !"x et à l’instant t, la présence d’une particule 2 ayant une vitesse !"v 2

n’a aucune influence sur la présence, au même point et au même instant, d’une particule ayant une vitesse !"v 1. Autrementdit, on suppose l’absence de corrélation entre particules chargées dans le plasma, alors qu’il existe au moins des corrélationsdans l’espace des vitesses (du fait des collisions).

L’hypothèse fondamentale qui sous tend la dérivation de l’équation de Boltzmann est celle du “chaos moléculaire”, del’indépendance statistique des particules du plasma, sauf bien sur au moment infiniment court où se produit la collision.C’est une approximation qui est bonne dans le cas des forces moléculaires à courte portée, mais qui conduit à des erreurs dansle cas des plasmas. En particulier, cette approximation conduit à des divergences dans l’intégration des di!érents momentsde la fonction f(v) qui sont dus à la trop grande importance accordée aux collisions à grand paramètres d’impacts (à faiblesdéviations) qui quoiqu’agissant peu sont très nombreuses. L’introduction de la notion ad hoc de logarithme coulombienln(#) permet de “limiter” les intégrales et de déduire les coe"cients de transport (di!usion, viscosité, ...) du plasma dansla limite des temps longs.

Il est intéressant de constater que de la notion du chaos moléculaire, il sort naturellement que la distribution f est unedistribution de forme maxwellienne comme nous le verrons au paragraphe (3.3.1).



x

v

chemin dynamique{dv

{

dx

t0

t1

Figure 3.2: illustration du théorème de Liouville où un élément de volume se déforme au cours du temps

qui est appelée équation de Vlasov 13. Du fait de sa simplicité (toute relative !) cette équation est la plusutilisée en théorie cinétique.

3.1.3 l’équation de Vlasov

Avant d’utiliser l’équation de Vlasov pour dériver toutes les grandeurs macroscopiques que nous utilisonsdans l’approximation fluide (MHD), il est intéressant de bien comprendre sa signification. Tout d’abord,cette équation néglige toutes les collisions caractérisées par une interaction locale à courte longueur d’onde,c’est-à-dire toute collisions type boule de billard ainsi que les collisions proches coulombiennes (à fortesdéviations). En fait, les seules interactions qui sont prises en compte sont les interactions lointaineslié au mouvement des particules chargées dans le champ coulombien moyen créé par l’ensemble desparticules. Ces champs

!"E et

!"B sont déterminés par le mouvement et la position de l’ensemble des

constituants (toutes les espèces s) du plasma et sont pour cette raison appelé champs auto-cohérentsauxquels on peut, si on le désire, rajouter la contribution de champs externes s’ils existent. Ces champsdépendent donc de la fonction de distribution f , ce qui rend l’équation de Vlasov (3.21) non-linéaire dontla résolution analytique n’est généralement pas possible.

Afin de mieux comprendre la signification de cette équation, il est utile de remarquer qu’elle peut seréécrire sous la forme :

Df

Dt=#f

#t+!"'x

>!"v f?

+!"'v (!"% f) = 0 (3.22)

où D/Dt est la dérivée convective d’un élément de volume d!"x d!"v , !"v et !"% les vecteurs vitesse etaccélération 14. Cette équation nous montre donc qu’en l’absence de collisions la densité dans l’espacedes phases reste constante au cours du temps sous l’action de la seule force de Lorentz à longue portée.Ce comportement est décrit par le théorème de Liouville qui montre qu’un volume (v dans l’espace desphases peut être déformé mais qu’il garde sa densité inchangée. En d’autres termes, pour un observateurse déplaçant avec l’élément de volume, la densité reste constante, l’espace des phases se comporte donccomme un fluide incompressible. Ce comportement est illustré sur la figure (3.2) qui montre l’évolutiontemporelle d’un élément de volume dans l’espace (x, v).

Au temps t0 toutes les particules se trouvent dans un élément de volume avec presque la même vitesseet la même position. A un temps ultérieur t1, ces particules se sont déplacées de manière légèrementdi!érentes, sous l’e!et de leur vitesse initiale légérement di!érente et sous l’action des forces de Lorentzagissant sur elles. Ceci aboutit à une déformation du volume (v; cependant, le nombre de particules dansl’élément de volume (v et donc le volume lui-même se conserve. La fonction de distribution f est doncconstante le long de cette trajectoire.

Attention, il est important de remarquer que ce modèle n’est pas équivalent au modèle fluide utilisé enhydrodynamique. En e!et, dans l’aspect fluide, on introduit le concept de la cellule de volume (v quireprésente une moyenne des particules à l’intérieur de ce volume, leur nombre pouvant varier (particulesentrantes et sortantes de (v) au cours du temps. A l’inverse, l’aspect statistique de Vlasov n’induit qu’uneperte d’information concernant la discernabilité des particules se trouvant dans l’élément de volume (v

13. Cette équation est quelquefois appelée dans la littérature l’équation de Boltzmann sans collision.14. Pour obtenir cette équation, nous avons fait l’hypothèse que la force

!"F est indépendante de la vitesse. Cette hypothèse

qui peut sembler fausse au vu de la forme que prend l’équation de la force de Lorentz est en fait tout à fait justifiée. Ene!et, cette force contient le produit vectoriel de la vitesse avec le champ magnétique !"v %

!"B dont la résultante est toujours

perpendiculaire au vecteur vitesse. L’équation (3.22) ne faisant apparaître qu’un produit scalaire entre!"$v et !"* , les seules

dérivées que l’on fait sont donc du type "*x/"vx qui sont toutes identiquement nulles.


3.2 LE PHÉNOMÈNE DE COLLISION Page 37

Figure 3.3: profil de la force de coulomb créé par une particule en r = 0 et vu par une particule de même charger.

à l’instant initial mais celui-ci représente toujours les mêmes particules dont on peut suivre l’évolutionavec le temps.

3.2 le phénomène de collision

Dans ce chapitre nous avons plusieurs fois utilisé le terme de collision sans pour autant l’expliciter.Pourtant, le phénomène de collision auquel nous allons nous intéresser n’est pas aussi simple que celui in-troduit en mécanique. En e!et, les propriétés fondamentales du plasma dépendent des forces d’interactionauto-cohérentes dont l’origine peut être extérieure au plasma, ou interne, et dépendant des mouvementdes particules elles-mêmes. En fait, en physique des plasmas les termes interactions et collisions sontsynonymes. L’agitation des objets microscopiques qui constituent le plasma les conduit à se rencontrersouvent de façon violente. En raison de leur grande vitesse d’agitation thermique, les électrons jouentun rôle à part dans les processus de collision. Les interactions ionisantes, électrons-atomes neutres, seproduisant lorsque l’énergie des électrons est supérieure au potentiel d’ionisation, sont à l’origine mêmede l’état de plasma. L’ionisation se fait à travers des mécanismes qui fonctionnent dans les deux sens :– Ionisation collisionnelle : e + A-. A+ + e + e et son inverse, la recombinaison diélectronique– Photoionisation : h/ + A-. A+ + e et son inverse, la recombinaison radiativeLa notion même de collision ”mécanique” avec un contact physique entre les particules perd de son utilitédans le monde microscopique qui nous intéresse. Sans aller jusqu’aux échelles quantiques, il est évidentque la collision entre particules peut être interprétée de manière plus constructive comme une interactionentre les champs de force associés à chaque particule 15.

Cette notion est donc une généralisation de celle bien connue utilisée en mécanique. Le phénomène decollision peut être séparé en deux catégories :– Les ”collisions élastiques”. Ce sont les collisions les plus simples. Elles se caractérisent par la conser-

vation de la masse, de l’impulsion et surtout de l’énergie cinétique. Ceci implique qu’il n’y ait aucunchangement dans l’état interne de la particule ainsi que de phénomène de création ou d’annihilation.

– Les ”collisions inélastiques”. Ces collisions induisent des variations dans l’état interne d’une partie oude l’ensemble des particules en interaction. Certaines particules seront détruites, d’autres créées, desprocessus de recombinaison pourront avoir lieu faisant apparaître des particules neutres, des particulesplus lourdes, des processus inverses d’ionisation induiront l’émergence de particules chargées....

En fait, les collisions jouent un rôle important dans le transfert d’énergie entre les di!érentes composantesd’un plasma. Par exemple, c’est ce qui arrive dans le cas d’un plasma possédant une population de neutre

15. Comme illustration, prenons la force électrostatique s’exerçant entre deux particules ponctuelles de même charge. Lesdeux particules passant près l’une de l’autre vont ressentir une variation rapide et forte de cette force comme illustrée parla partie hachurée de la figure (3.3). C’est la variation de l’impulsion (variation rapide de vitesse) associée à cette force quel’on interprète comme une collision proche. D’autre part, la partie non hachurée donne l’évolution lente de la force Favec r, cela signifie que beaucoup de particules voient une force approximativement de même module (donc de variationslentes), et intéragissent simultanément. Cette partie décrit les e!ets collectifs du plasma.



et soumis à un champ électrique!"E . Ce champ ne peut agir sur les neutres, par contre, il va accélérer les

particules chargées qui à leur tour via les collisions vont entraîner/accélérer les neutres.

3.2.1 notion de libre parcours moyen

Les collisions entre particules neutres donnent lieu à ce que l’on appelle le mouvement Brownien. C’est cetype de collision que l’on observe dans les gaz et que l’on décrit de manière explicite par le terme ”collisiontype boule de billard ou sphère dure”. En e!et, le processus de collision fait intervenir deux sphères duressans structure interne. Lors d’une collision frontale, le changement d’impulsion est brutal et peut allerjusqu’à une déviation de 180o. On introduit le concept de libre parcours moyen )lpm, distance parcouruepar une particule entre deux chocs et donc deux déviations. Pour que deux particules puissent se toucher,il faut et il su"t que leur mouvement les amène su"samment proche l’une de l’autre, on parle de sectione"cace de collision 4. Cette surface représente la surface e!ective, le disque, occupé dans l’espace parles deux particules, 4 = $(r1 + r2)2. Si l’on prend l’exemple d’une particule incidente qui pénètre dansun gaz de particules-cible de densité n, à la vitesse < v >, on voit qu’elle va subir N chocs pendantl’intervalle de temps dt tel que N = 4n < v > dt où V = 4 < v > dt représente le volume ”balayé” par laparticule durant dt. Le libre parcours moyen est alors la distance parcourue par la particule divisée parle nombre de chocs.

)lpm =< v > dt

N=

14n

Ce calcul ne tient compte que d’une seule particule incidente ce qui est peu réaliste. Dans le cas générald’un flux de particules ! (d’un faisceau !), la détermination de )lpm di!ère légerement. Soit N(x) =!(x)dt le nombre de particules incidentes pénétrant dans une couche d’épaisseur dx (que l’on supposerainfinie), le nombre de particules du faisceau sortant de cette couche virtuelle, donc n’ayant subi aucunecollision, est alors N(x + dx) = !(x + dx)dt. Si bien que la di!érence représente les particules ayant subiune collision dN = N(x + dx) !N(x) < 0. Si l’on suppose que chacune de ces particules a en moyenneparcouru la distance )lpm avant la collision, alors la fraction de particules, ayant eu une collision, estdx/)lpm et leur nombre total dans la tranche dx est donné par dN = (dx/)lpm)!(x)dt. En égalisant lesdeux expressions, on trouve

dN = N(x + dx)!N(x) = ! dx

)lpmN(x)

dN

N= ! dx

)lpm

Le signe ! apparaît pour traduire la diminution du flux de particules liée aux collisions dans la tranchedx. L’intégration donne

N(x) = Noe! x

"lpm = Noe!($nx)

avec le libre parcours moyen défini par )lpm = 1/n4. Le libre parcours moyen peut donc être interprétécomme étant la distance au-delà de laquelle le nombre de particules a diminué d’un facteur 1/e. End’autres termes, après une distance )lpm, la particule a une probabilité très élevée de subir une collision.Le temps moyen entre deux collisions est

- =)lpm

< v >=

1n4 < v >

et la fréquence de collision .c = n4 < v > . Le formalisme pour les interactions entre particules chargéeset particules neutres est le même qu’entre deux particules neutres.

Pour obtenir le libre parcours moyen et la fréquence de collision, nous n’avons pas fait intervenir lespropriétés microscopiques du choc. Celles-ci vont s’avérer indispensables si l’on désire de plus obtenir desinformations sur le comment de la collision et surtout sur l’angle de déviation 5 de la particule incidente.

3.2.2 notion d’angle de déviation

La dynamique d’une collision binaire (entre deux particules) est gouvernée par une force interparticulaire.Dans le cas de particules neutres, elle est a très court rayon d’action (force de contact). Dans le cas de laforce coulombienne, elle est à très long rayon d’action (décroissance en 1/r2). Cette force est généralementune force centrale

!"F (r) = F (r)!"u r qui agit le long de l’axe reliant les deux particules en interaction. Si



Figure 3.4: (a) Collision binaire dans le référentiel du laboratoire. (b) même type de collision dans le référentiellié à la particule de masse m1.

!"v 1 et !"v 2 sont les vitesses des particules avant le choc, la collision peut être représentée par la figure(3.4a).

Dans ce repère, la résolution du problème n’est pas des plus aisé, et il est plus intéressant de se placerdans le repère du centre de masse qui se déplace à la vitesse

!"v CM =m1!"v 1 + m2

!"v 2

(m1 + m2)

Dans ce repère, la collision se décrit comme l’interaction d’une masse fictive de valeur µ = m1m2/(m1 +m2), se déplaç ant initialement à la vitesse relative !"u = !"v 1!!"v 2 et intéragissant avec un centre fixe siègedu potentiel d’interaction 6(r). En supposant que le choc est élastique et en prenant une force d’interactionde la forme

!"F (r) = F (r)!"u r, il est clair que les constantes du mouvement sont : (i) conservation de la

masse (peu d’intérêt ici !!), (ii) conservation de l’énergie totale et (iii) conservation du moment cinétique!"J . Les trajectoires restant dans le plan initial (conservation de

!"J ), on utilise les coordonnées polaires,

le système s’écrit alors en se rappelant qu’à l’infini la force d’interaction est nulleF

Etotale = 12µu2 = 1

2µ[(r2)2 + r2] + q16(r) = cteJ = µr22 = cte = µbu

(3.23)

A partir de ces équations, il est aisé d’en déduire une équation di!érentielle pour la trajectoire en fonctiondu paramètre 2. En e!et, on a la relation

dr

dt=

dr

d2

d2

dt

En utilisant les équations (3.23) pour éliminer r et 2, on trouve après réarrangement des termes

d2 = ± b

r2

18[1! b2

r2 ! 2q1%(r)µu2 ]

dr (3.24)

Le choix du signe ± doit être fait en fonction d’arguments physiques. En supposant que rm est la distanceminimale d’approche correspondant à l’angle 2m, alors on remarque que lorsque 2 > 2m la distance raugmente avec 2 et le signe + doit être utilisé, pour 2 < 2m c’est donc le signe ! . Cette distanceminimale d’approche étant un extremum, il vient

5dr

d2

6

rm

= 0 ==> [1! b2

r2m

! 2q16(rm)µu2

] = 0

c’est-à-direrm = b

181! 2q1%(rm)

µu2

(3.25)

Au vu de la figure (3.4b), l’angle de déviation final 5 peut s’écrire

5 = $ ! 22(rm) (3.26)

Il su"t donc d’intégrer l’équation (3.24) entre 2(rm) et un angle quelconque 2, et on trouve

2 ! 2(rm) = ±2 r

rm

b

r&218

[1! b2

r!2 ! 2q1%(r!)µu2 ]

dr& (3.27)



Dans le cas particulier où r !" 1, on remarque que les solutions 2(!) !" 0 et 2(+) !" 22(rm) si bienque l’équation (3.27) se réécrit sous la forme

2(rm) =2 '

rm

b

r2

18[1! b2

r2 ! 2q1%(r)µu2 ]

dr (3.28)

En utilisant l’expression de l’équation (3.26), l’angle de déviation prend la forme

5(b, u) = $ ! 22 '

rm

b

r2

18[1! b2

r2 ! 2q1%(r)µu2 ]

dr (3.29)

Cette relation montre que l’angle de déviation 5 ne dépend que du paramètre d’impact b, de l’amplitudede la vitesse relative u et du potentiel d’interaction 6(r). Le calcul de 5 va donc dépendre étroitementdu potentiel 6 considéré. Deux cas particuliers sont à souligner :

1. Interaction de type ”sphère dure”. Dans ce cas précis, on suppose l’existence de deux sphèresdures parfaitement élastiques de rayon R1 et R2. Dans ce cas, le potentiel d’interaction est de laforme

6(r) =F

0 pour r > R1 + R2

1 pour r < R1 + R2

G

Pour b > R1 + R2, il n’y a aucune interaction et nous devons avoir rm = b, dans le cas contraire lesparticules subissent une collision ce que l’on traduit par rm = R1 + R2. Dans tous les cas, puisqueles sphères sont impénétrables, nous avons r > R1 +R2. Après quelques calculs, sans grand intérêt,on trouve pour l’angle de déviation

cos(5

2) =

b

R1 + R2(3.30)

2. Interaction coulombienne. Dans le cas important d’un champ coulombien (particulièrementd’à-propos dans le cas des plasmas !), le potentiel d’interaction créé par une charge q2 est de laforme

6(r) =1

4$"o

q2

r

La distance minimale d’approche s’écrit alors

rm =b2

(b2o + b2)1/2 ! bo

avec bo =1

4$"o

q1q2

µu2(3.31)

où bo représente le paramètre d’impact pour lequel l’énergie potentielle d’interaction est le doublede l’énergie cinétique à l’infini. L’angle de déviation prend alors la forme

coth(5

2) =

b

bo(3.32)

3.2.3 Section e"cace de collision

Là encore, dans le paragraphe précédent, nous n’avons considéré que l’interaction entre deux particules.Lorsque l’on fait intervenir de nombreuses particules incidentes (faisceau), on devra utiliser la notion desection e"cace d’interaction 4. Cette quantité décrit la probabilité, pour une particule incidente, de voirsa direction défléchie dans l’angle solide d# autour de la direction liée à (5,6) 16.

Pour une di!usion provoquée par une force centrale, il y a symétrie autour de l’axe porté par la vitesserelative !"u et 4 ne dépend que de l’angle de déflexion. On peut illustrer le processus de collision par lafigure (3.5).

16. On suppose qu’il existe une proportionalité directe entre les particules incidentes et celles qui sont défléchis. Si l’ondéfini par !incident le flux incident de particules (c’est-à-dire le nombre de particules qui travsersent une surface S pendantle temps dt ), on pose par définition que

dNreflechies

dt= !incident+d$

où dNreflechies/dt représente le nombre de particules ayant intéragit avec le centre di!useur et qui se retrouve dansl’élément de surface dS vu sous l’angle solide d$.



Figure 3.5: Géométrie d’une collision binaire en présence d’une force centrale

Du fait de la relation univoque entre l’angle de déviation 5 et le paramètre d’impact b, les particulesdéfléchies selon l’angle 5 dans l’angle solide d# =2 $ sin5d5 devaient se trouver initialement dans unecouronne de rayon b à db près. Le nombre de particules incidentes dans cette couronne est

dN

dt= !2$bdb

où ! représente le flux de particules incidentes. Toutes ces particules se retrouvent intégralement dansl’angle solide d# si bien que leur nombre total dN est

dN

dt= !2$bdb = !42$ sin5d5 (3.33)

et l’on obtient 4 =b

sin5

HHHHdb

d5

HHHH

équation qui permet de déterminer la section e"cace de collision, dans les cas particuliers que nous avonsdéjà vus. L’utilisation de la valeur absolue est rendue nécessaire car 4 est une grandeur intrinsèquementpositive alors que l’angle de déviation 5 décroît normalement quand le paramètre d’impact b augmente.

1. Interaction de type ”sphère dure”. Utilisant l’équation (3.30) afin d’obtenir la relation reliant5 à b. On trouve alors que HHHH

db

d5

HHHH =12(R1 + R2) sin(

5

2)

et donc que la section e"cace di!érentielle de collision est de la forme

4 =(R1 + R2)2

4(3.34)

relation indépendante de 5. La section e"cace totale, après intégration sur les angles solides, donne

4total = $(R1 + R2)2 (3.35)

2. Interaction coulombienne. Dans ce cas, l’expression (3.32) permet d’obtenirHHHHdb

d5

HHHH =bo

21

sin2(&2 )

ce qui donne la célèbre relation de Rutherford

4 =b2o

41

sin4(&2 )(3.36)

Cette expression ne peut être intégrée car elle diverge pour les valeurs de 5 !" 0, nous verrons,dans la suite de ce chapitre, ce qu’il faut faire pour obtenir une expression cohérente.



A l’échelle du plasma, on s’intéresse plutôt aux collisions électrons-ions quel que soit l’angle 5. Si l’oncherche la section e"cace totale correspondant à une déviation quelconque, on remarque tout de suiteque cette intégrale va diverger pour 5 = 0. Ce ”désastre physique” est une conséquence directe de laforme en 1/r du potentiel d’interaction. L’une des di"cultés de la physique statistique des plasmas serade trouver un moyen d’éliminer ces divergences. On remarque que si 5 tend vers zéro, alors le paramètred’impact b tend vers l’infini. C’est donc bien la longue portée du potentiel électrostatique qui se trouveà l’origine des problèmes de divergence.

Plus précisément, l’énergie potentielle volumique totale associée à une particule de charge q intéragissantavec une densité de charge uniforme n prend la forme

2

r>R

n6(r)2

d3r = 2$n

2 '

R6(r)r2dr (3.37)

où d3r est l’élément de volume contenant la particule. Cette intégrale est divergente si le potentiel 6(r)décroît moins vite que r!3. Ce qui est e!ectivement le cas, pour le potentiel coulombien en 1/r. Uneénergie infinie autour d’une charge est inacceptable d’un point de vue physique. Nous verrons que le faitde prendre en compte les interactions collectives du plasma permettra assez naturellement de résoudre ceproblème en introduisant un potentiel électrostatique non coulombien appelé le potentiel écranté deDebye-Hückel.

3.2.4 section e"cace de transfert d’impulsion

La section e"cace di!érentielle de Rutherford (3.36) a été calculée dans un référentiel où la cible estimmobile. Dans ce cas précis, la quantité de mouvement et l’énergie de la particule incidente (parexemple, l’électron incident) est conservée. Les processus dans lesquels un rayonnement de freinage estémis (Bremsstrahlung) ou absorbé (Bremsstrahlung inverse) pendant la collision ne satisfont pas à ceslois mais sortent du cadre de ce chapitre. Nous allons nous intéresser à ce qui se passe lorsque l’on setrouve dans le référentiel du laboratoire. En e!et, du fait de la trajectoire ”courbe” de la particule aumoment de la collision, le changement de repère n’est pas galiléen. Dans le référentiel du laboratoire, ilse produit à la fois un échange de quantité de mouvement et d’énergie entre le projectile et la cible. Afinde simplifier les expressions, nous ne regarderons que la collision électron-ion. Nous supposerons alorsque la cible (l’ion), beaucoup plus massive que le projectile (l’électron), reste immobile 17. Dans cettehypothèse, nous pourrons utiliser les expressions du paragraphe (3.2.3).

On peut définir une section e"cace de transfert d’impulsion 4ti18 comme étant le rapport entre la quantité

de mouvement transférée par seconde divisée par le flux total incident. Le flux d’impulsion total est égalà !t = !p où p est l’impulsion d’une particule et ! le flux du faisceau incident. Après interaction, uneparticule à été déviée dans la direction donnée par l’angle 5 si bien que l’impulsion projetée le long de ladirection incidente n’est plus égale qu’à p cos5. En utilisant la conservation de l’impulsion avant et aprèsle choc, il est clair que l’impulsion transférée à la cible (c’est-à-dire perdue par la particule) est donnéepar la relation !cible = p(1! cos5), si bien que pour le faisceau entier en utilisant l’équation (3.33), onobtient

!cible =2

(1! cos5)pdN = !p

2(1! cos5)2$bdb = 2$!p

2 '

04(1! cos5) sin5d5 (3.38)

La section e"cace s’obtient en faisant une moyenne

4ti =!cible

!t= 2$

2 '

04(1! cos5) sin5d5 (3.39)

Avec cette expression, il est aisé de la même manière que précédemment d’obtenir la section e"cace detransfert d’impulsion dans les deux cas particuliers.

1. Interaction de type ”sphère dure”. En utilisant l’équation (3.34), et après intégration, ontrouve

4ti = $(R1 + R2)2 (3.40)

On montre que dans le cas précis de collisions sphère dure, la perte d’impulsion en première ap-proximation est totale. Toute l’impulsion est donc transférée à la cible.

17. On se trouve donc en présence d’un gaz dit de Lorentz où seuls les électrons sont mobiles.18. +ti: ti signifie transfert d’impulsion !!



2. Interaction coulombienne. Le problème de divergence rencontré dans le calcul de 4 perdurebien évidemment dans le calcul de 4ti. Le problème venant de la valeur minimale de 5 (égale à 0),nous allons afin d’aller plus loin utiliser l’angle 5min. On trouve alors

4ti = 2$2 '

&min

4(1! cos5) sin5d5 = 4$b2o ln(

1sin(&min

2 )) (3.41)

Le résultat est bien entendu divergent pour 5min = 0, c’est-à-dire pour un paramètre d’impactb !" 1. En prenant le potentiel de Debye-Hückel, on s’a!ranchit de la divergence et l’ontient compte du milieu dans lequel se produit la collision 19. Usuellement, on prend comme bornesupérieure d’interaction, la longueur de Debye )D. En e!et, dans l’introduction, nous avons vuque cette longueur représente la longueur à partir de laquelle la charge centrale est masquée, ondit aussi écrantée, par le nuage des particules environnantes. Si bien que toute particule ayant unparamètre d’impact supérieur à cette valeur ne ”verra” pas la cible et ne sera donc pas déviée. Enremplaçant dans l’équation (3.41) 5min à l’aide de l’équation (3.32) et de la longueur )D, on trouvefinalement

4ti = 4$b2o ln(

!)2

D + b2o

b2o

) = 2$b2o ln(1 +

)2D

b2o

) (3.42)

Dans le cas général, nous avons )D >> bo (voir la démonstration de cette inégalité à la fin de lasection 3.3.3) et l’on peut alors écrire une expression approchée de ce résultat sous la forme

4ti , 4$b2o ln(

)D

bo) = 4$b2

o ln($) (3.43)

où ln((Dbo

) est appelé logarithme coulombien et par simplicité noté ln($). La section e"cace 4ti

que nous venons de calculer est une fonction de la vitesse de l’électron avant la collision parl’intermédiaire de bo. Le logarithme étant à variations lentes 20, 4ti est en première approxima-tion proportionnelle à v!4.

fréquence de collision

La marche au hasard d’un électron dans un plasma dilué est très di!érente de celle de la molécule d’ungaz neutre. En e!et, dans un gaz neutre, peu dense, les forces d’interaction étant à très court rayond’action, la molécule doit parcourir une assez longue distance en ligne droite avant d’être brutalementdévié par une collision (style boule de billard). A l’inverse, dans un plasma dilué, électriquement neutreà grande échelle, le rayon d’écrantage )D, est très supérieur à la distance moyenne entre les ions. Laforce électrostatique, même écranté, reste à longue portée. Un électron est donc toujours en interactionavec un centre di!useur. Sa trajectoire, sinueuse, ne comporte pas de changements brutaux de direction.Ainsi, dans un plasma, contrairement au cas des gaz neutres, les évenements microscopiques sont maldéfinis. Il en est de même de la fréquence de collision qui résulte d’une intégration sur la distribution desvitesses. On peut toutefois obtenir assez facilement une estimation de cette fréquence qui n’aura de sensqu’en ordre de grandeur.

La fréquence de collision associée à la section e"cace 4ti est donnée par la relation

/coll , n4tivth (3.44)

dont la dimension est bien l’inverse d’un temps. On trouve alors en se rappelant que ,p = vth/)D

/coll , n4$b2o ln(

)D

bo)vth =

,p

4$n)3D

ln(4$n)3D)

Un calcul plus précis peut être fait dans l’hypothèse où les électrons sont à l’équilibre à la températureTe, la fonction de distribution est alors du type Maxwell-Boltzmann qui sera déterminée au paragraphe(3.3.1).

fe(v) =7

m

2kBTee!( mv2

2Te)

19. Ce potentiel calculé au paragraphe (3.3.3) est de la forme

!(r) =e

4&'ore! r

"D

Il décroît donc beaucoup plus vite qu’en 1/r et élimine les problèmes de divergence aux faibles angles de déviation.20. Même en prenant des paramètres plasmas (ne et Te) très di!érents, la valeur de # ne change pas beaucoup et reste

du même ordre de grandeur. Généralement, on la prend égale à 10.


3.3 L’ÉTAT D’ÉQUILIBRE Page 44

Le paramètre d’impact définit à l’équation (3.31 ) prend alors la forme

b =Ze2

4$"okBTe

avec comme vitesse représentative de l’agitation thermique, la vitesse vthe =I

kBTe/me. L’équation(3.44) donne dans le cas d’une collisions électrons-ions

/e!i , ni4tivth = ni4$5

Ze2

4$"okBTe

62

ln($ei)7

kBTe

me=

niZ2e4

4$"2o2

me(kBTe)3/2ln($ei) (3.45)

On retiendra essentiellement de cette estimation, la dépendence fonctionnelle en

/e!i 3ni ln($ei)(kBTe)3/2

Le logarithme coulombien restant à peu près constant pour une large gamme de paramètres plasmas,on voit que les hautes températures, associées aux basses densités, réduisent la fréquence des collisions.On peut mettre l’équation (3.45) sous une forme plus compacte en introduisant la fréquence plasma, ontrouve

/e!i =,pe

$eiln($ei) << ,pe (3.46)

La fréquence de collision /e!i reste beaucoup plus petite que la fréquence de plasma. Cette relation peutsembler curieuse puisqu’elle se trouve en contradiction avec l’idée d’un électron en perpétuelle interactionavec un centre di!useur. En réalité, la section e"cace de transfert d’impulsion (3.43) est seulementsupérieur d’un facteur ln($ei), à la section e"cace 4$b2

o pour une déflexion supérieure à 90o. Autrementdit, /e!i est représentative d’une déflexion qui, intégrée sur de nombreuses collisions coulombiennes, estde l’ordre de 90o. L’équation (3.46) ne fait donc que traduire le fait qu’un changement de direction del’ordre de 90o demande un temps très supérieur à ,!1

pe . Il existe des expressions analogues à (3.31) et(3.45) pour les autres collisions coulombiennes : électrons entre eux et ions entre eux. Elles possèdent lamême dépendance fonctionnelle par rapport à la densité et à la température, seuls les coe"cients sontlégèrement di!érents car dans ces équations la masse réduite ne prend pas la même valeur.

L’existence d’un champ magnétique statique altère profondément les propriétés des plasmas en raison dela modification qu’il impose aux trajectoires des particules chargées. Le milieu devient anisotrope. Lesmouvements sont di!érents dans les directions parallèles et perpendiculaires au champ. Les particuless’enroulent autour des lignes de force. L’inverse du temps nécessaire à boucler un tour est l’inversede la fréquence cyclotronique, ,!1

c . Il est évident que si ,c < /coll alors les particules auront subi unemodification de trajectoire avant d’avoir e!ectué un tour complet. La dynamique du plasma reste dominéepar les collisions. Il est d’usage de caractériser les plasmas par la valeur du produit ,c-coll où -coll estl’inverse de la fréquence de collision /coll. On distingue les cas

,c-coll > 1 (plasma magnétisé),c-coll < 1 (plasma collisionnel)

Ce critère doit être appliqué séparément à chaque espèce chargée. Les résultats montrent d’ailleurs quel’on peut avoir simultanément

(,c-coll)electrons < 1 < (,c-coll)ions

c’est-à-dire une situation où les électrons sont magnétisés et non les ions.

3.3 l’état d’équilibre

Le plasma comme tout gaz, est le siège d’une agitation perpétuelle. La définition rigoureuse de l’équilibrethermodynamique implique :– un système fermé– un ensemble de particules décrit par des variables macroscopiques invariantes– un rayonnement en équilibre avec la matière– un bilan globalement nul avec le monde extérieurCes conditions sont rarement remplies toutes à la fois. Cependant, on peut souvent ne pas tenir comptedu rayonnement et définir ainsi des états d’équilibre moins généraux et qui concernent la matière seule.On parlera dans ce cas d’équilibre thermodynamique local (E.T.L.). Dans tous les cas, la mécaniquestatistique va nous permettre de déterminer des relations importantes entre les variables macroscopiquesconvenablement définies.



Figure 3.6: Représentation schématique d’une collision binaire élastique entre deux particules de même masse met ayant la même vitesse !v : (a) trajectoire de la masse m lors d’une collision directe, (b) trajectoire de la secondemasse m lors de la même collision, cette trajectoire représente en fait la collision inverse du cas (a). En (c) estreprésenté les trajectoires apparantes des masses en interaction lorsque l’on ne discerne pas la zone d’interaction.Il semble n’y avoir pas eu de collisions.

3.3.1 équilibre sans force extérieure : la distribution de Maxwell

Par définition, l’état d’équilibre se caractérise par un ensemble de forces se compensant mutuellement.Ceci a pour conséquence immédiate que la fonction de distribution définissant le système est une solutionindépendante du temps (#f/#t = 0). Dans un premier temps, par soucis de simplicité, nous allons aussifaire l’hypothèse qu’il n’existe aucune force extérieure (

!"F ext = 0) et que cette fonction de distribution

f(!"v ) ne dépend que de la vitesse et est donc uniforme dans l’espace (!"$f = 0). L’équation de Boltzmann

(3.20) que nous avons obtenue précédemment, se réécrit alors5#f

#t

6

coll

= 0 (3.47)

et montre qu’une fonction de distribution à l’équilibre ne peut évoluer sous la seule action des collisions 21

se produisant au sein du système. Cette conclusion qui peut sembler triviale au premier abord est en faittrès importante puisqu’elle va nous permettre d’établir la forme de la distribution décrivant l’équilibre,ce sera la distribution de Maxwell ou Maxwellienne.

Du fait de la longue portée de la force de Coulomb, il est clair que des collisions se produisent toujours dansun plasma, si bien que si f(!"v ) n’évolue pas dans le temps, cela signifie qu’à chaque collision correspondle processus inverse de telle sorte que le bilan soit nul.

Supposons que nous soyons en face de collisions élastiques illustrées par la figure (3.6). On voit bienqu’avant la collision nous avions deux particules de vitesse respective !"v 1 et !"v 2 et qu’après la collision,nous avons encore deux particules avec les ”mêmes vitesses”. Bien sur elles ont été échangées, mais dupoint de vue du bilan total, c’est comme si il n’y avait pas eu d’interaction, aucune évolution n’estperceptible 22. Afin d’aller plus loin, nous allons faire l’hypothèse supplémentaire du ”chaos moléculaire”.Cette hypothèse repose sur l’idée que les collisions ne sont pas corrélées entre elles. En d’autres termes,une particule X intéragira avec une particule Y de manière totalement aléatoire et imprévisible et nedépendra pas de la configuration spatio-temporelle des particules et des forces internes 23. Dans cecontexte et en reprenant l’approche probabiliste du paragraphe (3.1.2), on peut remarquer que le nombrede collisions se produisant en !"x dans l’élément de volume d!"x entre les particules ayant une vitesse !"v 1

dans l’élément de volume d!"v 1 et les particules ayant une vitesse !"v 2 dans l’élément de volume d!"v 2 estnécessairement proportionnel au produit des densités

d4 = (f(!"v 1)d!"v 1) (f(!"v 2)d!"v 2) = f1f2d!"v 1d

!"v 2 (3.48)

où l’on a posé f(!"v 1) = f1. Cette expression traduit juste le caractère aléatoire des interactions entre les

21. Il faut prendre ici le terme ”collision” au sens large tel qu’il a été défini à la section précédente.22. Il est important de se rappeler que l’un des fondements de la théorie cinétique est la perte de la discernabilité des

particules au profit d’une probabilité de présence. Dans ce cas, il n’existe aucun moyen de savoir s’il y a eu collision ou sitout simplement ces deux particules ne se sont jamais rencontrées.

23. Cette hypothèse est bien justifiée dans le cas des plasmas dilués où le libre parcours moyen !lpm est beaucoup plusgrand que l’échelle caractéristique des forces d’interaction. Dans les autres cas, c’est tout simplement les observationsexpérimentales qui valident a-posteriori le choix fait du chaos moléculaire. En fait, on peut montrer que la prise en comptede ces corrélations n’aboutit qu’à des corrections d’ordre supérieur et que la Maxwellienne est l’ordre zéro de l’équilibre.



particules constituant ces deux volumes ”infinitésimales” 24. En appliquant le même raisonnement pourle processus de collision ” inverse” qui se déroule dans le même volume d!"x entre les particules ayant unevitesse !"v &

1 dans d!"v &1 et !"v &

2 dans d!"v &2, on trouve d4& = f &

1f&2d!"v &

1d!"v &

2. Chaque collision étant compenséepar une collision inverse, le principe ”heuristique” de l’état d’équilibre nous permet d’écrire

f1f2d!"v 1d

!"v 2 = f &1f

&2d!"v &

1d!"v &

2 (3.49)

Puisque d!"v 1d!"v 2 = d!"v &

1d!"v &

225, on obtient immédiatement l’égalité f1f2 = f &

1f&2 dont nous allons voir

les conséquences sur la forme de la fonction de distribution f.

somme d’invariants

Ce n’est pas la première fois que nous rencontrons des quantités qui se conservent lors d’une collision. Ene!et, la mécanique nous a déjà montré que lors d’une collision élastique entre deux particules de massem1 et m2 ayant respectivement les vitesses !"v 1 et !"v 2 avant la collision, on avait les 5 équations suivantes:

m1 + m2 = m&1 + m&

2 (3.56)m1!"v 1 + m2

!"v 2 = m&1!"v &

1 + m&2!"v &

2 (3.57)12m1v

21 +

12m2v

22 =

12m&

1v2&1 +

12m&

2v2&2 (3.58)

Ces relations représentent la conservation de la masse, de l’impulsion et de l’énergie cinétique. Il estaisé de voir que ces équations permettent une détermination univoque des quantités ”après” la collisionconnaissant le paramètre d’impact b et le plan contenant cette collision. Le problème étant totalementdéfini par ces invariants, tout invariant supplémentaire pourra être exprimé comme combinaison linéairede ces 3 invariants (m, !"p , Ec).

24. Un parallèle peut être fait avec le jeu de dés. Les tirages étant indépendants les uns des autres, la probabilité d’avoiravec les dés le chi!re 6 et 4, respectivement, est de 1/6. Si on lance la paire de dés la probabilité de faire 6 ! 4 est donctout simplement 1

6 · 16 = 1

36 .25. Cette égalité peut être démontrée de nombreuses façons di!érentes. Une manière assez simple de comprendre cette

conservation du volume des vitesses est de revenir au concept de densité de particules par unité de volume. Soit dn =f(!"r ,!"v , t)d!"r d!"v le nombre de particules se trouvant dans l’élément de volume d!"r d!"v à l’instant t. Alors à l’instantultérieur t + (t, l’on se retrouve aux coordonnées

!"r $ = !"r + !"v (t (3.50)!"v $ = !"v + !"* (t (3.51)

où !"* représente l’accélération subie par les particules de ce petit volume pendant (t. Le nombre de particules à l’instantt+ (t est donc donné par la relation dn$ = f(!"r $,!"v $, t)d!"r $d!"v $. La position et la vitesse étant des variables indépendantes,l’équation (3.50) permet d’écrire

d!"r = d!"r $ (3.52)De même, si J est le jacobien de la transformation de v en v$, on a

d!"v $ = |J | d!"v (3.53)

Il devient clair que si l’accélération !"* est indépendante de la vitesse alors nécessairement |J | = 1 et l’on a d!"v $ = d!"v . Dansle cas du plasma, ceci peut sembler inexacte du fait que la force de Lorentz fait apparaître explicitement la vitesse !"v dansson expression. Nous allons voir que cela n’est pas contraignant. L’accélération induite par la force de Lorentz est

!"* =q

m

!"E (!"r ) +

q

m!"v %!"

B (!"r ) (3.54)

En utilisant les équations (3.51) et (3.54), le jacobien J s’écrit sous la forme

J =

˛˛"

!"v $

"!"v

˛˛ =

˛˛˛

1 ! qmBz(t

qmBy(t

! qmBz(t 1 q

mBx(tqm By(t ! q

m Bx(t 1

˛˛˛ (3.55)

On voit bien qu’en prenant la limite (t !" 0, ce déterminant est égal à l’unité, et l’on a d!"v $ = d!"v . Une démonstrationplus rigoureuse peut être faite, même sans passer à la limite, mais celle-ci dépasse le cadre de cette introduction. On secontentera de faire l’hypothèse que le temps d’interaction (de collision) est beaucoup plus petit que le temps caractéristiqued’évolution de la distribution des particules si bien que (t est un infiniment petit d’ordre un. Cette hypothèse est raisonnableet implicitement sous-tendue par les échelles de temps (%!1

pe ) prises en compte en physique des plasmas et dans la théoriecinétique en particulier. Les volumes d!"v se conservant alors le produit lui aussi se conserve.



fonction de distribution maxwellienne

Nous allons appliquer ce concept d’invariants de collision à la fonction de distribution f dont nous avonstrouvé une propriété importante (f1f2 = cte). En prenant le logarithme de cette expression, l’on trouve

ln(f1f2) = ln(f &1f

&2)

ln(f1) + ln(f2) = ln(f &1) + lg(f &

2) (3.59)

L’équation (3.59) démontre que la quantité lg(f) est bien un invariant de collision et qu’il peut être écritcomme combinaison linéaire des autres invariants. On pose alors

ln(f) = m(&+!"' ·!"v ! % 1

2v2) (3.60)

où &,!"' , -% sont des constantes à déterminer. En développant cette expression, et en réorganisant les

termes, on trouve l’expression

ln(f) = m(&+'2

2%! %

2[!"v !

!"'

%]2) (3.61)

en posant !"w =!"' /%, on obtient finalement

f = em(!+#22$ )e!

m$2 [!$v !!$w ]2 = Ce!

m$2 [!$v !!$w ]2 (3.62)

La détermination des 5 constantes C, !"u et % se fait à l’aide des quantités observables de notre système,la densité n, la vitesse moyenne !"u et la température T

n =+'2

!'

fd3!"v (3.63)

!"u =1n

+'2

!'

!"v fd3!"v (3.64)

12mu2 +

3kT

2=

12n

+'2

!'

v2fd3!"v (3.65)

où la vitesse totale des particules !"v est décomposée en une partie moyenne !"u et une partie aléatoire!"c 26. Il su"t d’injecter la relation déterminée en (3.61) pour obtenir les constantes voulues. On trouvefinalement la relation

f = n(m

2$kT)3/2e!( m(v$u)2

2kT ) (3.66)

Ceci est l’expression bien connue d’une fonction de distribution maxwellienne. Elle découle directementdes hypothèses très générales des collisions élastiques et du chaos moléculaire. Il est important de soulignerque la détermination de cette fonction de distribution a été faite de manière totalement indépendante dessections e"caces de collision (et/ou du type d’interaction entre particules), ce qui montre le caractère”universel” de cette distribution pour décrire l’état d’équilibre. De manière très générale, la mécaniquestatistique montre que cette distribution est aussi la plus probable pour décrire un système à l’équilibre,d’où son importance dans toutes les branches de la physique.

3.3.2 équilibre en présence d’une force extérieure : formule de Boltzmann

Nous avons jusqu’ici obtenu l’expression de la fonction de distribution permettant de décrire un équilibreen l’absence de forces extérieures (

!"F ext = 0). Que se passe-t-il donc lorsque une force externe est appliquée

au plasma? Dans un souci de simplicité, nous allons nous limiter au cas d’une force conservatrice. Pardéfinition, cette force dérive d’un potentiel tel que

!"F ext(!"x ) = !!"$U(!"x ) (3.67)

26. C’est grace à cette composante aléatoire de la vitesse que l’on peut parler de température T associée au plasma. Onparlera aussi de vitesse thermique d’une particule, !"v th.



A l’équilibre, nous savons déjà que les collisions n’a!ecteront pas en première approximation la fonction dedistribution, nous pouvons donc utiliser l’équation de Vlasov obtenue précédemment (3.21). La solutionque l’on cherche est une maxwellienne modifiée par la présence d’une force spatiale, on peut donc supposerque la distribution finale sera de la forme

f(!"x ,!"v ) = fM (!"v )%(!"x ) (3.68)

où fM est une distribution maxwellienne non perturbée et % une fonction scalaire ne dépendant que de!"x . L’équation d’évolution de la distribution s’écrit alors

!"v ·!"'fM (!"v )%(!"x ) +

!"F ext(!"x )

m·!"'vfM (!"v )%(!"x ) = 0 (3.69)

fM (!"v )!"v ·!"'%(!"x ) + %(!"x )

!"F ext(!"x )

m·!"'vfM (!"v ) = 0 (3.70)

Afin de simplifier cette expression, il su"t de se rappeler que la fonction fM est donnée par (3.66), sibien que

!"'vfM (!"v ) = !m!"v

kTfM (3.71)

et l’équation (3.69) prend la forme

fM (!"v )!"v ·F!"'%(!"x )! 1

kT%(!"x )

!"F ext(!"x )

G= 0 (3.72)

En substituant la force!"F ext par le gradient et en multipliant scalairement de part et d’autre par le

vecteur déplacement d!"x , on montre facilement que

d%(!"x )%(!"x )

= ! 1kT

dU(!"x ) (3.73)

dont la solution vérifie%(!"x ) = Ce!

U($%x )kT (3.74)

Si l’on suppose que la densité du système à l’équilibre en l’absence de forces extérieures est donnée parl’équation (3.63), la constante C peut être choisie égale à l’unité, et la distribution totale prend la forme

f(!"x ,!"v ) = fM (!"v )e!U($%x )

kT = n(m

2$kT)3/2e!

1kT ( m(v$u)2

2 +U(!$x )) (3.75)

La distribution est alors inhomogène et la densité des particules va dépendre de la coordonnée spatiale!"x . On trouve

n(!"x ) = noe!U($%x )

kT (3.76)

Dans le cas important d’une force électrique, ce potentiel représente le potentiel électrostatique U(!"x ) =q!(!"x ). Lorsque nous voudrons étudier la répartition des particules en présence d’un obstacle ou d’unecharge, c’est cette distribution et cette densité dont il faudra tenir compte.

3.3.3 équilibre en présence d’une charge ponctuelle : comportement collectif

L’étude statistique simplifiée du paragraphe (3.2.4 ) nous a conduit à une inconsistance matérialisée par ladivergence, pour les petits angles de déflection 5 ou, ce qui revient au même, pour les grands paramètresd’impact b, des sections e"caces de collision 4. Pour résumer deux hypothèses sous-tendent ce type decalcul statistique :– l’indépendance statistique de chaque particule chargée contenue dans le plasma (chaos moléculaire)– leur interaction par la force coulombienne comme si les particules étaient dans le vide.Du fait de la ”portée infinie” des interactions coulombiennes dans le vide, il n’est pas di"cile de sepersuader que ces deux hypothèses sont contradictoires. Si la portée des interactions est grande, lesparticules chargées sont ”informées” à distance de la présence des autres et ne peuvent donc pas êtreconsidérées comme rigoureusement indépendantes.

Comme on l’a remarqué précédemment, la théorie est ”sauvée” si l’on introduit une distance minimaled’interaction (un paramètre d’impact maximal) au-delà duquel le potentiel coulombien n’agit plus sur lesautres particules du plasma. C’est cet e!et d’écrantage que nous allons étudier maintenant.



l’écrantage de Debye

Les charges négatives sont attirées par les positives, et réciproquement. Ceci fait que, statistiquement,toute charge dans un plasma a tendance à s’entourer d’un surplus de charges de l’autre signe, formantautour d’elle ce que l’on appelle un nuage de Debye 27. Il est très important de bien comprendre que cenuage n’est pas lié à une particule. Chaque électron du nuage qui entoure un ion entre et sort du nuageen un temps très court, et de même participe à une multitude de sphères de Debye di!érentes. C’estun phénomène d’accumulation statistique et temporaire des charges qui crée cet écrantage de la charge”centrale”.

Prenons un modèle simple, on suppose que les ions et les électrons sont distribués de manière homogèneet en densité égale no dans l’espace. Imaginons que nous introduisions une particule (un ion par exemple)de charge e en !"r = 0 et que seuls les électrons (population la plus mobile) réagissent à l’introductionde cette charge, sa densité devenant n(r) = no + (n(r) 28. Soit ! le potentiel qui se réalise alors dans leplasma en présence de cette densité de charge q(r) donnée par

q(r) = noe! (no + (n(r))e + e((!"r ) (3.77)

où le premier terme du membre de droite représente la densité des ions, le second celle des électrons, etle troisième la charge ponctuelle introduite. L’équation de Poisson permet de relier le potentiel ! à lacharge q(r), par la formule

"! = !q(r)"o

(3.78)

Compte tenu de la symétrie sphérique du problème et de la quasi-neutralité du plasma, il vient

1r2

d

dr(r2 d!

dr) = ! e

"o{((!"r )! (n(r)} (3.79)

La formule de Boltzmann (3.76) nous donne une autre relation reliant le potentiel ! à la densité desélectrons. On a en e!et no + (n(r) = noe

e!kTe si bien que l’équation (3.79) se réécrit

1r2

d

dr(r2 d!

dr) = ! e

"o

J((!"r )! no(1! e

e!kTe )K

(3.80)

Cette équation est non linéaire et de résolution très di"cile, une façon simple de procéder consisteà linéariser le terme de droite en faisant l’hypothèse supplémentaire qui sera vérifiée a-posteriori quekTe >> e!. D’autre part, nous allons éviter la position!"r = 0 pour ne pas faire diverger cette équation 29.Alors, pour !"r (= 0, nous trouvons

1r2

d

dr(r2 d!

dr) = ! noe2

"okTe! = ! 1

)2D

! (3.81)

où )D est appelée longueur de Debye 30. Cette longueur représente la taille typique du nuage d’écrantagede Debye. La solution de l’équation (3.81) qui s’annule à l’infini et est asymptote au potentiel coulombien(e/4$"or) lorsque r !" 0 est :

!(r) =e

4$"ore!

r"D (3.82)

Le facteur exponentiel représente l’écrantage de l’ion par son ”nuage statistique” d’électrons. Ce potentielde Debye-H a été proposé pour la première fois en 1923 à propos des électrolytes forts. La longueurd’écrantage est appelée longueur de Debye. C’est l’ordre de grandeur de la distance sur laquelle le plasmaest susceptible de présenter des écarts à la neutralité électrique. C’est aussi la portée e!ective de l’actionélectrique de toute particule chargée dans un plasma. Il est intéressant de souligner que le potentiel del’ion à la distance )D est encore le tiers de sa valeur en l’absence des électrons. L’écrantage ne peutêtre considéré comme vraiment e"cace que si le potentiel coulombien est divisé par 10, soit une distanced’environ 2.3)D. On a pris l’habitude d’utiliser systématiquement la coupure à )D ce qui a l’avantage

27. En d’autres termes, nous sommes en face de corrélations de position entre les charges.28. Par symétrie sphérique, il est aisé de voir que (n(r)ne dépend que du module de r =

˛!"r˛

29. A la position !"r = 0 se trouve la charge test que nous avons introduite, les particules étant supposées être des sphèresdures sans structure interne, il est légitime d’imaginer qu’aucun électron ne peut parvenir jusqu’à cette position qui, de cefait, peut être exclue de notre calcul.

30. Nous avions déjà déterminé sa valeur dans l’introduction par une autre méthode, voir équation (1.7).



de la simplicité et n’est pas trop pénalisant pour la grande majorité des plasmas 31. Le caractère fort oufaible de l’interaction électrique entre particules chargées peut être apprécié suivant la valeur du rapport

& =q2

4$"odkT(3.84)

représentant le rapport entre l’énergie potentielle et l’énergie cinétique. On parle alors de paramètre decouplage & avec d la distance moyenne entre particules, définie par

43$nd3 = 1

La relation (3.84) devient

& =(43$)1/3 n1/3q2

4$"okT= (

43$)1/3 1

4$1

(n)3D)2/3

(3.85)

On remarque que les plasmas collectifs (no)3D >> 1) sont donc aussi faiblement couplés. C’est-à-dire que

l’énergie thermique reste toujours très supérieure à l’énergie potentielle due à l’interaction électrostatique.

De la même façon, le paramètre d’impact critique bo utilisé dans la section (3.2.2) peut être écritbo

)D% 1

4$"o

q2

kT

1)D

=1

4$(n)3D)

<< 1 (3.86)

On a bo << )D dans un plasma faiblement couplé, ce qui fait que la plupart des collisions entre particulesqui ne sont pas totalement supprimées par l’e!et d’écran sont néanmoins faibles, et la déviation associéepetite. Par contre, les interactions sont à tout moment nombreuses.

3.3.4 collisions ionisantes dans un équilibre : la relation de Saha

Les diverses espèces présentes dans le plasma interagissent entre elles via des interactions inélastiquesconduisant par exemple à l’ionisation des espèces neutres ou au contraire à la recombinaison des ions avecles électrons pour redonner l’espèce neutre correspondante.

Dans un système en équilibre thermodynamique, la mécanique statistique prévoit que la probabilité deréalisation d’un état quantique j donné est Pj = ge!Ej/kt où g est un facteur de normalisation obtenu enfaisant la somme sur tous les état et Ej l’énergie de l’état j. Si bien que le rapport des particules ayantune énergie U1 par rapport à celles ayant une énergie U2 peut s’écrire

n1

n2=

g1

g2e

$(U1$U2)kT (3.87)

où g1 et g2 sont les poids statistiques associés aux énergies U1 et U2. Ces facteurs dits de dégénérescencedonnent le nombre d’états possibles ayant respectivement l’énergie U1 et U2. Si on ne tient compte quede l’énergie de translation Ec = 1

2mv2 et du potentiel d’ionisation 5I , alors les énergies des di!érentesespèces peuvent s’écrire

pour les atomes : UA = !5I +12Mv2

A

pour les ions : UI =12Mv2

I

pour les électrons : Ue =12mv2

e

31. Notre description de la distribution électrique des charges par un ”fluide continu” (introduction de la densité n) n’ade sens que si le nombre des particules dans une sphère de Debye est important.

On doit donc avoir la condition no!3D >> 1.

Cette condition permet de vérifier la validité de l’hypothèse de linéarisation utilisée. En e!et, le rapport q!/kT enr = !D s’écrit sous la forme „

q!

kT

«

r=!D

= e!1 q2

4&'o!DkT(3.83)

En reprenant l’expression de la longueur de Debye, on remarque queq2

'okT=

1

n!2D

si bien que l’équation (3.83) se réécrit „q!

kT

«

r=!D

= e!1 1

4&n!3D

<< 1

La condition no!3D >> 1 implique donc nécessairement q!/kT << 1. On parle de plasmas collectifs ou faiblement couplés

(sous-entendu par l’interaction électrique).



où l’atome montre un terme d’énergie supplémentaire correspondant à son état fondamental, et la masseM désigne la masse (presque commune !) des espèces A et I. Après des calculs longs et fastidieux,on obtient la relation existant entre les densités des trois espèces à l’équilibre thermodynamique, et ceciindépendamment des mécanismes microscopiques qui donnent naissance aux ions (ionisation) ou auxneutres (recombinaison), cette relation s’appelle la loi de Saha :

nIne

nA=

gIge

gA(

mT

2$!2)3/2e!(

%IkT ) (3.88)

où ! est la constante de Planck. Dans les plasmas ”réels” les atomes ou molécules neutres ou ioniséscomportent plusieurs niveaux d’énergie interne di!érents et les poids statistiques gA et gI doivent êtreremplacés, plus précisement, par les fonctions de partition. Cependant, aux températures usuelles, celamodifie peu le résultat de l’équation (3.88). Dans le cas simple de l’hydrogène atomique, on a gH+ = 1,gH = 2 et la loi de Saha s’exprime par l’égalité

nH+

nH= 31027 T 3/2

nH+e!( 13.6

T ) (3.89)

où T est exprimé en eV et nH+ en m!3. On pourra retenir qu’à la pression ordinaire, l’hydrogène estainsi complètement ionisé à une température de 15000(K. De plus, la faible densité des plasmas spatiaux(ne % 1cm!3) assure à ces derniers un très faible taux de recombinaison et donc une forte ionisation (lesplasmas sont dits complètement ionisés). Il est souvent plus pratique d’utiliser le degré d’ionisation

& =nI

nA + nI(3.90)

Il est facile de voir que&

1! & =gIge

gA

1nA + nI

(mT

2$!2)3/2e!(

%IkT ) (3.91)

Le degré d’ionisation dépend de la température et de la densité. Lorsque le plasma est hors équilibre, laloi de Saha n’est plus valable et le calcul des taux d’ionisation devient extrêmement complexe, mais ceciest une autre histoire...


4. Une Approche fluide : la théorie magnétohydrodynamique

Les phénomènes relevant de la magnétohydrodynamique sont décrits par un système d’équations constituéde la réunion des équations de l’hydrodynamique et des équations de Maxwell. En e!et, un plasma estun ensemble de particules que l’on peut décrire sous la forme d’un fluide mais dont l’ionisation estsignificative. Mouvement et énergie thermique sont donc a!ectés par les champs électromagnétiques quià leur tour de manière auto-cohérente modifient le mouvement et l’énergie du système. Ce couplagenécessite donc l’utilisation simultanée de ces équations afin de fermer le système.

Il est intéressant dans un premier temps d’expliciter le terme même de Magnétohydrodynamique. Cemot est la somme de deux termes, Magnéto et hydrodynamique dont la juxtaposition résume lechamp d’investigation de cette théorie. Elle concerne l’étude de la dynamique des fluides conducteursen présence de champs magnétiques et permet de décrire le plasma comme une collection de particulesen terme de moyenne sur de petits volumes dans l’espace des phases. Les quantités physiques obtenuesde cette manière (densité, température, pression, etc...) sont gouvernées par les lois de conservation debase que sont la conservation de la masse, de l’impulsion et de l’énergie. De cette façon, si les e!ets deschamps électromagnétiques sont négligeables, les équations fluides décrivant la dynamique des processusphysiques sont les équations de l’hydrodynamique. Dans le cas d’un plasma, ceci n’est usuellement paspossible et il faut inclure leurs e!ets de manière auto-cohérente en résolvant simultanément les équationsdu mouvement et celles décrivant l’évolution des champs

!"E ,!"B. 1

4.1 équations fluides : la théorie multi-fluides

A part le fait d’avoir négligé les collisions proches, l’équation de Vlasov qui a été déterminée au paragraphe(3.21) est une description exacte du plasma. En prenant les di!érents moments en vitesse de cetteéquation dans l’espace (!"x ,!"v , t), on peut donc obtenir une succession d’équations dans l’espace (!"x , t)qui représentent la théorie multi-fluide dont la MHD est une approximation. L’idée sous-jacente derrièrecette méthode est relativement simple. La fonction de distribution f!(!"x ,!"v , t) est une fonction del’espace, des vitesses et du temps. Or les quantités macroscopiques que sont la densité n, la vitessemoyenne !"u , la température T , etc... ne dépendent plus de la vitesse mais seulement de la positionet du temps. Il est donc naturel d’intégrer cette distribution sur l’espace des vitesses pour obtenir lesdi!érentes quantités physiques qui nous intéressent. En fait, il n’est pas nécessaire de résoudre l’équationde Vlasov (ou de Boltzmann) pour une fonction de distribution particulière afin de déterminer les variablesmacroscopiques intéressantes. Les équations di!érentielles décrivant l’évolution spatio-temporelle de cesvariables macroscopiques peuvent être obtenues directement à partir des équations (3.21) ou (3.19). Ceséquations sont connues sous le nom d’équations macroscopiques de transport dont la solution donnedirectement, sous certaines conditions, les variables macroscopiques fluides.

Cette approche, si elle a le mérite d’établir une relation directe entre particules d’une part et les variablesmacroscopiques d’autre part, ne sera abordée que brièvement dans ce cours faute de temps et de place.

4.1.1 application à l’équation de Vlasov

Afin de ne pas trop alourdir les calculs à e!ectuer pour déterminer les di!érents moments de la fonctionde distribution, nous utiliserons l’équation de Vlasov et donc supposerons dans le reste de ce chapitre queles collisions proches n’existent pas ou sont tout du moins négligeables.

Pour déterminer ces di!érents moments de la fonction de distribution f , on définit une propriété physiquedes particules du plasma 5(!"v ) qui peut être fonction de la vitesse. Puisque l’on sait que la valeur moyennede cette fonction est obtenue en multipliant la fonction f par la valeur 5, en intégrant le produit sur toutle volume des vitesses et en divisant ce résultat par la densité n, l’équation di!érentielle gouvernant lesvariations spatiales et temporelles de la valeur moyenne de 5 peut être obtenue de manière similaire enmultipliant l’équation de Vlasov par la fonction 5 et en intégrant le résultat sur tout l’espace des vitesses.

1. Il est à noter que le terme magnéto souligne l’importance du champ magnétique par rapport au champ électriquedans les équations de la MHD, voir paragraphe (1.2).

52

4.1 ÉQUATIONS FLUIDES : LA THÉORIE MULTI-FLUIDES Page 53

Comme indiqué, on multiplie chaque terme de l’équation (3.21) par 5(!"v ) et on intègre l’équation résul-tante sur tout l’espace des vitesses, on obtient alors :

2

v5#f!#t

d3!"v +2

v5!"v ·!"'xf!d3!"v +

2

v5!"% ·!"'vf!d3!"v = 0 (4.1)

où !"% représente le vecteur accélération dû à la force de Lorentz à partir des champs électromagnétiquesmoyens et f! + f!(!"x ,!"v , t), la fonction de distribution de l’espèce &. Afin d’évaluer cette équation, nousallons procéder terme à terme.

1. Le premier terme peut être écrit sous la forme2

v5#f!#t

d3!"v =#

#t

52

v5f!d3!"v

6!2

vf!#5

#td3!"v (4.2)

Les limites d’intégration ne dépendant ni de l’espace, ni du temps, la dérivée temporelle peut doncêtre déplacée à l’intérieur de l’intégration. Le dernier terme de l’équation (4.2) est égal à 0 puisquela fonction 5 n’est fonction que de la vitesse et ne dépend pas explicitement du temps. En utilisantla définition de la valeur moyenne 2, on obtient :

2

v5#f!#t

d3!"v =#

#t(n! /50!) (4.4)

2. De la même façon, le second terme s’écrit sous la forme :2

v5!"v ·!"'xf!d3!"v =

!"'x ·2

v

!"v 5f!d3!"v

!2

v

<!"v ·!"'x5

=f!d3!"v !

2

v5f!

<!"'x ·!"v

=d3!"v (4.5)

Le terme!"'x · !"v donne zéro puisque les variables !"x , !"v et t sont indépendantes, ainsi que

!"'x5,

car 5(!"v ) ne dépend que de la vitesse. Il vient alors2

v5!"v ·

!"'xf!d3!"v =

!"'x ·

2

v

!"v 5f!d3!"v =!"'x ·

>n!

@5!"vA!

?(4.6)

3. Pour le troisième terme, de manière similaire, on obtient :2

v5!"% ·

!"'vf!d3!"v =

2

v

!"'v · (5!"% f!) d3!"v

!2

vf!<!"% ·

!"'v5

=d3!"v !

2

v5f!

<!"'v ·!"%

=d3!"v (4.7)

La dernière intégrale disparaît si l’on suppose que les composantes Fi des forces s’appliquant surnotre système ne dépendent pas de la composante de vitesse correspondante vi, ce qui est e!ec-tivement le cas pour la force de Lorentz. La première intégrale du terme de droite consiste en unesomme d’intégrales triples de la forme :

2

v

!"'v · (5!"% f!) d3!"v =

222 +'

!'

#

#vx(%x5f!) dvxdvydvz

+222 +'

!'

#

#vy(%y5f!) dvxdvydvz + · · · (4.8)

Pour chacune de ces intégrales, nous avons le résultat :222 +'

!'

#

#vx(%x5f!) dvxdvydvz =

22 +'

!'dvydvz [%x5f!]+'

!' = 0 (4.9)

2. La valeur moyenne d’une quantité , s’écrit par définition sous la forme

< ,(!"x , t) >"=

R#v ,(!"x ,!"v , t)f"(!"x ,!"v , t)d3!"v

R#v f"(!"x ,!"v , t)d3!"v

=1

n"(!"x , t)

Z

#v,(!"x ,!"v , t)f"(!"x ,!"v , t)d3!"v (4.3)



puisque la fonction de distribution f! doit nécessairement tendre vers zéro lorsque v devient in-finiment grand 3. Ce raisonnement étant identique pour chacune des composantes de v, on trouvefinalement 2

v5!"% ·!"'vf!d3!"v = !n!

B!"% ·!"'v5C

!(4.10)

En combinant les résultats ci-dessus, on obtient l’équation de transport générale,

#

#t(n! /50!) +

!"'x ·>n!

@5!"vA!

?! n!

B!"% ·!"'v5C

!= 0 (4.11)

4.1.2 équations de conservation

Cette équation décrit donc l’évolution d’une quantité ne dépendant que de la vitesse (on suppose quel’on se trouve dans un milieu homogène) sous l’action des forces moyennes !"% /m. En fait, au regard del’équation d’origine (3.22), on s’aperçoit que cette équation donnera les di!érentes quantités qui vont seconserver dans le temps (et dans l’espace des phases). Chaque puissance de la fonction 5 (!"v ) permetd’obtenir les di!érentes équations de conservation bien connues dans l’approche fluide.

équation de conservation de la masse

L’équation de continuité, ou équation de conservation de la masse pour l’espèce & se déduit directementde (4.11) en prenant une fonction de la forme 5 (!"v ) = m!, c’est-à-dire un polynome en !"v d’ordre 0. Ona alors les relations :

/50! = m!@5!"vA!

= m!

@!"vA!

= m!!"u !

!"'v5 =

!"'vm! = 0

La substitution de ces résultats dans l’équation de transport générale (4.11) donne l’équation de continuitébien connue :

#

#t(!m!) +

!"'x · (!m!

!"u !) = 0 (4.12)

où !m! = n!m! représente la densité de masse. Dans le cas où l’on dérive cette équation par m!, ontrouve la conservation de la densité de particules n! et en la multipliant par le facteur q!/m!, l’équationde la conservation de la charge :

#

#t(!!) +

!"'x ·<!"

J !

== 0 (4.13)

avec !! = q!n! (la densité de charge) et!"J ! = !!

!"u ! (la densité de courant). Cette équation est doncla forme la plus simple de “conservation” que l’on peut avoir.

3. En fait, pour que cette relation soit valable, il faut que la fonction de distribution utilisée tende vers zéro plus viteque n’importe quelle puissance de v, ce qui est le cas par exemple pour une Maxwellienne.



équation de conservation de l’impulsion

En prenant le moment d’ordre supérieur 5 (!"v ) = m!!"v , on obtient de même l’équation de conservation

de l’impulsion. Après quelques calculs fastidieux que nous ne détaillerons pas ici, on trouve 4

!m!

L#!"u !

#t+<!"u ! ·!"'x

=!"u !

M= n!

!!"/F 0 ! !"'x ·)"p ! (4.14)

avec!!"/F 0 = q!

<!"E +!"u ! #

!"B=

où!"E et

!"B représentent les champs moyens vus par les particules de l’espèce &. Physiquement, cette

équation ne fait que traduire l’accroissement de l’impulsion d’un élément fluide sous l’action conjuguée

4. L’introduction du concept de petit volume spatial inhérent à la ”particule fluide” permet d’introduire une deuxièmeapproche pour la description du mouvement. Jusqu’ici nous avons, en particulier dans l’approche particulaire, utilisée lareprésentation lagrangienne où l’on envisage la dynamique des particules de manière discrètes et où l’on restitue leurtrajectoires en fonction de l’espace et du temps. Les équations du mouvement sont alors écrites pour une particule discrètedont l’identité est fixée.

A l’opposée, la représentation eulérienne suit les variations dans le temps des caractéristiques du milieu en despoints fixes de l’espace. On s’intéresse par exemple, à l’évolution de la masse volumique, de la pression ou de la vitesse enun point (petit volume !) du milieu. Cette représentation s’avère la plus commode en mécanique des fluides et sera doncsystématiquement utilisée dans ce chapitre.

Bien que ces deux approches soient équivalentes, elles sous-tendent une représentation totalement di!érente de l’espaceet de la matière qui peut être brièvement résumée comme suit :

- la représentation lagrangienne : cette représentation est mieux adaptée à l’étude des particules ”discrètes” etpermet une définition rigoureuse de certaines variables comme la vitesse ou l’accélération d’une particule. En particulier,on suit une particule fluide au cours de son mouvement, en spécifiant sa position !"r o à l’instant référence donné to. Si l’onprend la description imagée d’une rivière qui s’écoule, ce point de vue est celui d’un observateur sur une barque entraînée parle courant : la vitesse de la barque représente la vitesse lagrangienne. Les variables lagrangiennes sont donc le déplacement!"- et la vitesse !"v tels que :

-(!"r o, t) et !"v (!"r o, t) ="-(!"r o, t)

"toù "/"t désigne la dérivée à !"r o constant, c’est-à-dire la dérivée en suivant un globule de matière. L’avantage de cettedescription réside dans la simplicité de l’écriture du principe fondamental de la dynamique que l’on écrit sous une formecompacte

md!"vdt

= m"!"v"t

=!"F

m"2!"- (!"r o, t)

"t2=

!"F (!"r o +

!"- , t)

Son principal inconvénient réside dans le fait que les équations de Maxwell s’expriment en fonction de termes sourcescorrespondant à une description eulérienne.

- la représentation eulérienne : Cette approche ne s’attache pas à l’identité de chaque particule fluide mais àl’identité de chaque point de l’espace dans lequel est plongé le fluide. Pour reprendre l’image de la rivière, ce point de vueest celui d’un observateur qui se trouve sur un pont et qui regarde s’écouler la rivière sous ses yeux. Les particules de fluidequi défilent sont di!érentes à chaque instant.

Ces deux représentations d’une même réalité peuvent être aisément reconciliées. A l’instant t, la position et la vitesseeulérienne d’une particule fluide lagrangienne est donnée par

!"r = !"r o +!"- (!"r o, t)

!"v (!"r , t) = !"v (!"r o +!"- (!"r o, t), t) =

"!"- (!"r o, t)

"t

On en déduit les variations totales subies par une variable f quelconque (scalaire ou vectorielle). On a„"f

"t

«

!%r o

="t

"t

"f

"t+"x

"t

"f

"x+"y

"t

"f

"y+"z

"t

"f

"z

="f

"t+ (!"v ·

!"#)f

Nous avons considéré comme lagrangienne les variables !"r o qui sont les coordonnées de la position initiale. On aurait puemployer toute variable qui ne varie pas en suivant une particule fluide.

Pour finir, il est utile d’expliciter la signification des deux termes de l’équation ci-dessus. Si l’on reprend l’exemplesimple d’un voyageur se trouvant dans une barque entraînée par le courant qui s’intéresse, par exemple, à la densité detroncs d’arbres charriés par le courant. Lors de son périple, il va voir cette quantité f varier sous l’e!et de deux termes :

- Le voyageur voit la densité de troncs augmenter autour de lui, au fur et à mesure qu’il s’approche d’une zone où lecourant ralentit. C’est le terme convectif (!"v ·!"#)f.

- Dans le même temps, la barque a ralenti, voire s’est arrêtée, et le voyageur immobile peut voir les troncs s’empilerautour de lui, au fur et à mesure, qu’ils arrivent dans cette zone. C’est le terme stationnaire "f/"t.

L’accroissement total de la densité des troncs d’arbre autour de la barque est donc bien la somme de ces deux contri-butions distinctes, comme explicité par la dérivée eulérienne ci-dessus.



des forces électromagnétiques appliquées au fluide et des forces de pression et de déchirement (viscosité)représenté par le tenseur )"p !. Cette équation établit la condition nécessaire pour obtenir la conservationde l’impulsion. On voit que les équations d’évolution des di!érents moments deviennent rapidement deplus en plus compliquées au fur et à mesure que l’ordre augmente. Afin de ne pas alourdir ce cours, onne montrera pas les ordres suivants, ces premiers calculs faisant déjà apparaître les di"cultés auxquelleson sera invariablement confronté avec cette équation de transport :– Par le simple fait que la vitesse !"v est un vecteur de dimension 3, le moment d’ordre zéro (la densité)

est un scalaire, le premier moment (l’impulsion) est un vecteur, le second (la pression) est un tenseurd’ordre 2 (3 x 3), le troisième un tenseur d’ordre 3 (3 x 3 x3), etc... La pression ne peut donc pas êtreassimilée à un scalaire de manière intuitive. On ne pourra pas admettre sans justification que celle-cipuisse être assimilée à un scalaire, comme on le fait en thermodynamique. Cela ne pourra être qu’uneapproximation en fait di"cilement justifiable dans le cas des plasmas sans collision.

– Le système infini des équations fluides se déduit rigoureusement de l’équation cinétique et ne supposeaucune approximation supplémentaire : chaque équation de transport est aussi exacte que l’équationcinétique d’où elle est tirée. Néanmoins, chaque moment fait apparaître dans son expression le momentd’ordre supérieur. L’ordre 0 (la densité) fait intervenir le moment d’ordre 1 (l’impulsion, en fait lavitesse en non relativiste), l’ordre 1 fait intervenir le moment d’ordre 2 (la pression), l’ordre 2 nécessitele calcul de l’ordre 3 (l’énergie), etc ... Cette hiérarchie infinie doit donc être arrêtée pour obtenir unsystème fini d’équations manipulables. Les hypothèses faites aboutiront à une équation de fermetureoù se situeront toutes les approximations que l’on retrouve dans l’approche fluide.

4.1.3 notion de pression cinétique : un tenseur d’ordre 2

La notion de pression utilisée habituellement vient directement de l’approche thermodynamique qui setrouve être une approximation, valable que dans certaines situations précises (en fait, dans tout fluidecollisionnel). Dans le cas des plasmas, il est nécessaire d’introduire un ra"nement supplémentaire et doncde redéfinir ce que l’on entend par pression cinétique.

Concept de la pression

La pression est usuellement définie comme étant la force par unité de surface exercée par les particulesd’un gaz à travers les collisions qu’elles font avec les murs d’enceinte. Cette force traduit donc le taux detransfert d’impulsion vers les murs d’enceinte. Cette définition s’applique aussi à toute surface immergéedans un gaz et donc par généralisation à une surface virtuelle d

!"S , se déplaçant à une vitesse moyenne

!"u (!"x , t). La pression sur cet élément de surface est alors définie comme étant le taux de transfert del’impulsion des particules par unité de surface et par unité de temps, c’est-à-dire le flux d’impulsionà travers d

!"S dû aux mouvements aléatoires !"c ! des particules (cette surface virtuelle se déplace à la

vitesse du gaz ambiant !). Dans le cas d’un gaz possédant plusieurs espèces de particule, on parlera depression partielle définie à partir de la pression de chaque type de population &. Dans le référentiel del’élément de surface, la pression est donc de la forme )"p ! = !m! < !"c ! * !"c ! >. Dans la suite, nousomettrons l’indice & pour ne pas alourdir les expressions obtenues.

le tenseur de pression

Cette expression est donc un tenseur qui ne fait apparaître que la vitesse aléatoire !"c , on dit qu’il est“centré” < (!"v -!"u ) * (!"v ! !"u ) > . La pression ne prend en compte que les di!érences de vitesse parrapport à la vitesse moyenne fluide, et est donc indépendante du repère. Ceci a pour conséquence directeque, lorsque l’on utilise le moment non centré m < !"v *!"v >, il convient d’ajouter un terme qu’on appellepression “dynamique” . Cette relation n’est ni plus ni moins que la relation qui relie la pression au fluxd’impulsion que l’on notera )"7 !, on trouve :

)"p ! =)"7 ! ! !m!!"u ! *!"u ! (4.15)

où nous avons utilisé le fait que < !"u ! *!"c ! >= !"u !* < !"c ! >= 0.

Le tenseur )"p est ce que l’on appelle aussi dans d’autres contextes 5 le tenseur des contraintes dontl’expression sous forme de scalaire (utilisée dans les équations fluides) repose sur de nombreuses hypothèsesdont il faudra tenir compte pour ne pas commettre de graves contresens. Puisque le vecteur )"p · d!"S =

5. dans l’approche fluide, par exemple !!



x

z

y

Pzx

PxxPyx

Figure 4.1: Composantes du tenseur de pression correspondant à une contrainte normale pxx, et des contraintestangentielles pyx et pzx s’appliquant sur un élément de surface dS dont la normale est orientée le long de l’axedes x.

)"p ·!"n dS représente le flux d’impulsion traversant la surface dS, donc une variation d’impulsion par unitéde temps, il est naturel de lui associer une force de la forme

!"F = !)"p ·!"n 6.

A titre d’illustration, si nous prenons un élément de surface tel que la normale !"n se trouve le long del’axe des x, nous obtenons une force Fx sous la forme :

Fx = !)"p ·!"x = !pxx!"i x ! pyx

!"i y ! pzx

!"i z (4.16)

où !"i x,!"i y,!"i z sont les vecteurs unitaires d’une base carthésienne dont les composantes ont été représen-

tées figure (4.1).

On peut alors remarquer que le terme pxx est dirigé vers la surface dS et peut être assimilé à la pressiondécrite en hydrostatique (pression normale à la surface sur laquelle elle s’applique) et que les termes pyx

et pzx sont dirigés tangentiellement à cette surface et qu’ils représentent les e!orts de cisaillement quesubit cette surface dS, que l’on appelle usuellement viscosité dans la littérature.

Cette notion de force peut être généralisée dans le cas d’un volume. En e!et, si l’on considère maintenantun élement de volume immergé dans le plasma et limité par une surface fermée S, alors la force par unitéde volume due aux mouvements aléatoires des particules est obtenue en prenant la moyenne totale decette force à travers la surface S limitant le volume V et en divisant ce résultat par ce même volume quel’on fait alors tendre vers zéro pour avoir une expression locale. Cette procédure n’est ni plus ni moinsque la définition de la divergence.

limV $'

[1V

3)"p ·!"n dS] =

!"$ ·)"p (4.17)

où en d’autres termes, en utilisant le théorème de Gauss, !/ )"p ·!"n dS = !

4 !"$ ·)"p d3V.

utilisation du terme de pression : approximations courantes

Le tenseur des contraintes peut donc être séparé en deux parties distinctes, (i) une partie décrivant lapression et (ii) l’autre décrivant les e!ets de cisaillement (appelés viscosité) que l’on écrit usuellementsous la forme

)"p = p)"( !)"$ (4.18)

où)"( est le tenseur unitaire purement diagonal et )"$ le tenseur de viscosité ne contenant que des

termes hors diagonale. Il est à noter que l’approximation faite dans l’approche fluide est d’identifier leterme de pression 7, non pas à 1/3Tr[)"p ] (1/3 de la trace du tenseur )"p ) mais bien plutôt à la pression

6. Le signe moins peut être aisément compris en remarquant qu’un flux positif représente une perte d’impulsion parcette surface, ce qui correspond bien à une force exercée par la surface sur le milieu extérieur et donc par équivalence (loide l’action et de la réaction) la force exercée par le milieu extérieur sur cet élément de surface est de signe opposé.

7. Cette notion de pression cinétique (trace du tenseur de pression) permet d’introduire la définition d’une températurecinétique sous la forme

T =m

3kBn

Z(!"v !!"u ) * (!"v !!"u )f(!"v )d3!"v



thermodynamique découlant directement du concept d’équilibre thermodynamique local. Cet équilibredoit donc pouvoir être réalisé au moins le long des degrés de liberté de translation (donc normal auxsurfaces), là où s’applique la pression. Si l’hypothèse d’équilibre thermodynamique local ne peut êtrefaite pour les degrés de liberté translationnels, on doit généralement abandonner l’approche fluide etrevenir à une description cinétique du plasma.

Dans le cas d’une fonction de distribution totalement isotrope, le flux d’impulsion résultant esttoujours colinéaire au vecteur normal !"n , et l’on peut écrire alors )"p · d

!"S = pd

!"S , ainsi le tenseur de

pression se réduit simplement à une pression scalaire )"p = p)"I , comme on en a l’habitude en thermo-

dynamique. Dans un plasma collisionnel, dont l’état d’équilibre en milieu homogène est une fonction dedistribution Maxwellienne isotrope, ce sont les inhomogénéités du milieu qui peuvent créer une anisotropiede cette fonction de distribution, inhomogénéités qui restent très faibles et sont responsables des termesde “viscosité” du tenseur des contraintes )"p .

Dans le cas d’un plasma sans collision, cette approximation (pression scalaire) est di"cilement justifiable.Néanmoins, par mesure de simplification et suivant le degré d’exactitude espéré, on utilisera ce type depression dans les équations fluides principalement sous deux formes :

1. Pression anisotrope : Dans tous les cas pratiques, on utilisera un tenseur de pression diagonaldans un repère lié au champ magnétique. Ceci repose sur l’hypothèse de symétrie de la fonctionde distribution autour du champ B. Pour les mêmes raisons les deux termes perpendiculaires auchamp B sont supposés égaux, mais peuvent être di!érents du terme de pression parallèle

)"p =

#

%p# 0 00 p# 00 0 p"

&

( (4.19)

où on a supposé que le champ magnétique Bo se trouve le long de l’axe des z.

2. Pression isotrope : On se contente souvent d’une hypothèse encore plus simple, celle de l’isotropie.Bien que cette hypothèse soit di"cile à justifier sur le plan théorique, l’expérience montre que desfonctions de distribution trop éloignées de l’isotropie sont souvent instables et donc que même enl’absence de collisions, un plasma ne s’éloigne souvent pas trop de cette configuration.

)"p =

#

%p 0 00 p 00 0 p

&

( (4.20)

Chacune de ces approximations s’utilisent avec des équations de fermeture bien distinctes dont on présen-tera brièvement les formes les plus usuelles paragraphe (4.1.4).

4.1.4 relations de fermeture

A ce stade, il devient évident qu’une façon de fermer la hiérarchie des équations fluides est de faire deshypothèses (même contraignantes) sur le moment d’ordre 3 qui représente le flux de chaleur (le momentdécrivant l’énergie). Cette façon de procéder est cohérente principalement pour deux raisons :

1. Dans la majorité des cas, nous ferons l’hypothèse d’une fonction de distribution Maxwellienne,hypothèse principale de l’approche fluide, qui est toujours valable dans les milieux collisionnels(et pas toujours dans les autres !) et dont l’expression mathématique

f(v) =n2

2$vth

e(v$u)2

2v2th

met clairement en évidence que seuls les trois premiers moments n, u et vth8 sont nécessaires à

sa définition. Ceci explique pourquoi toutes les théories fluides (hydrodynamique, théorie des gaz,

C’est une définition dont le calcul est indépendant de la distribution des particules. En particulier, il n’est pas nécessaired’admettre une vraie température au sens thermodynamique du terme ce qui imposerait d’avoir un système à l’équilibrethermodynamique local. Cette température n’est en fait qu’une mesure de la di!usion en vitesse des particules autour deleur valeur moyenne. Elle a de plus l’avantage de permettre d’appliquer la notion de température à chaque composante duplasma prise individuellement. Cette température cinétique peut donc di!érer d’une population à l’autre, ce qui est souventle cas dans les plasmas non-collisionnels. D’autre part, on peut caractériser ainsi un plasma anisotrope en définissant unetempérature parallèle et une température perpendiculaire au champ magnétique et donc un comportement plus réaliste quedans le cas maxwellien.

8. Au vu de la définition de la pression cinétique +"p = #m < !"c *!"c > utilisée, il est clair que l’on a dans le cas d’unepression scalaire (isotrope), la relation usuelle p = nmv2

th avec v2th égale à la trace du tenseur de pression.



thermodynamique, ...) utilisées dans les milieux collisionnels ne reposent que sur trois grandeursmacroscopiques : la densité, la vitesse et la pression. Si bien que seuls ces trois moments doiventêtre déterminés de manière auto-cohérente, les hypothèses de fermeture de la hiérarchie serontintroduites aux moments supérieurs dont le premier est le flux de chaleur.

2. On montre aussi que, plus on prend en compte des ordres élevés, plus la correction au premiers desmoments de la fonction de distribution devient petite. Suivant les cas, il devient alors assez simplede supposer que les moments d’ordre n > 2 ont une importance physique négligeable et peuventdonc être introduit de façon ad hoc sous une forme simpliste et même non physique.

Les relations de fermeture portent donc principalement sur le moment d’ordre 3 9, c’est-à-dire le flux dechaleur

)"Q . On prendra usuellement cette quantité comme constante,

!"$ ·)"Q = 0. Ceci ne traduit, niplus ni moins, que l’hypothèse adiabatique : hypothèse qui se trouve vérifiée chaque fois que l’on aa!aire à des perturbations qui se propagent parallèlement aux lignes de champ magnétique à des vitessesgrandes par rapport aux vitesses de toutes les particules. On se trouve dans le cas où il n’existe aucuneparticule ”résonnante”, c’est-à-dire aucun échange d’énergie entre ondes et particules. Dans l’hypothèseinverse d’une propagation très lente, les particules ont le temps de ”s’adapter” à la perturbation et ce sontplutôt des lois isothermes qu’il convient de prendre.

L’équation d’état de fermeture que l’on utilise le plus souvent est donc l’équation adiabatique

pn!) = cte (4.21)

où % = (2 + N)/N avec N le nombre de degrés de liberté du système. Cette équation est très approx-imative. En particulier, elle ne tient aucun compte de l’anisotropie intrinsèque du plasma du fait del’existence d’un champ magnétique externe

!"B o.

Cette équation peut donc être ra"née en remarquant que la propagation de la chaleur dans le cas d’unplasma magnétisé peut être séparée en deux contributions indépendantes, (i) une contribution le long deslignes de champ et (ii) une contribution perpendiculaire à

!"B . Ces équations sont connues sous le nom

de doubles équations adiabatiques CGL du nom de leurs auteurs Chew, Goldberger et Low (1956),et s’écrivent sous la forme

d

dt(p"B

2

n3) = 0

d

dt(p#nB

) = 0

Ces lois 10 permettent dans le cas simple d’un plasma subissant une perturbation parallèle au champ!"B

de retrouver l’équation adiabatique (4.21) avec % = 3 (un degré de liberté) le long des lignes de champ et

9. La relation de fermeture porte donc généralement sur l’équation d’énergie, ou équation d’état, reliant la températureà la densité et déterminant la façon dont l’énergie se ”propage” dans le système.

10. La démonstration de ces deux lois étant assez longue elle ne sera pas donnée dans cette introduction. Un raccourcipeut toutefois être obtenu grâce à l’utilisation des invariants adiabatiques. En e!et, la pression perpendiculaire peut s’écriresous la forme

p" = nm < v2" >= 2n < µ > B

Si l’on suppose que nous nous trouvons dans les conditions où µ se conserve, alors nous obtenons directementp"nB

= 2 < µ >= cte

C’est-à-dired

dt(p"nB

) = 0

De la même façon, dans la direction parallèle au champ magnétique, nous avons les relations

p& = nm < v2& >

avec pour le second invariant adiabatique J = 2v&L où L est la longueur caractéristique du système le long des lignes dechamp. On trouve

p&L2

nm= J2 = cte

Cette longueur L peut être exprimée à l’aide des propriétés (n, B) du plasma. La conservation du flux magnétique démontreque le produit BS est constant (BS = C1) où S est la section perpendiculaire aux lignes de champ magnétique sur lequels’appuie un volume V arbitraire. De la même façon, l’équation de conservation des particules montre que nV = C2 avecV = SL. On trouve alors

L =C2

nS=

C2B

C1n,

B

n


4.2 COMPARAISON APPROCHE PARTICULAIRE ET APPROCHE FLUIDE Page 60

% = 2 dans la direction perpendiculaire (deux degrés de liberté). Ces lois sont néanmoins d’un maniementdélicat et sont souvent remplacées par des lois empiriques dites lois polytropes qui prennent la forme

d

dt(

p"n)" ) = 0

d

dt(

p#n)# ) = 0

où les coe"cients %" et %# sont déterminés de façon phénoménologique afin de décrire au mieux le plasmaconsidéré (% = 1 : isotherme, % = 5/3 : adiabatique, % =1 : incompressible, ...).

4.2 comparaison approche particulaire et approche fluide

Une rapide comparaison entre l’équation (2.1) de l’approche particulaire et de l’équation (4.14) del’approche fluide met en évidence des di!érences profondes entre les deux approches. En e!et, nousavons respectivement les équations suivantes :

approche particulaire " md!"vdt

= q(!"E +!"v #!"B ) (4.22)

approche fluide " mn

L#!"u#t

+<!"u ·

!"'x

=!"uM

= qn(!"E +!"u #!"B )!

!"'x ·)"p (4.23)

A part les di!érences liées à l’utilisation de l’approche eulérienne et lagrangienne dans le calcul del’accélération de la particule, nous voyons apparaître un terme supplémentaire dans l’équation fluideen relation avec la pression )"p , quantité macroscopique. La question se pose alors de savoir si ce termesupplémentaire a le moindre impact sur la dynamique des ”particules fluides”. Un élément de réponsepeut être apporté en regardant l’existence d’une vitesse de dérive !"v d liée à ce terme supplémentaire.

4.2.1 dérive diamagnétique : aspect fluide

Afin de ne pas avoir de termes non linéaires à manipuler, nous allons faire l’hypothèse que l’on se trouveà l’équilibre si bien que la somme des forces est nulle. Cette hypothèse simplificatrice est justifiable dansles cas de mouvements très lents par rapport aux échelles caractéristiques du plasma. En e!et, dans cecas le terme !"u · !"'x

!"u est négligeable, hypothèse que l’on pourra vérifier a-posteriori. Si l’on supposede plus que les champs électrique et magnétique sont uniformes, la pression scalaire et qu’il n’existe ungradient que pour la densité n et la pression p, l’équation (4.23) se réécrit alors sous la forme

qn(!"E +!"v d #

!"B )!

!"'xp = 0

En prenant le produit vectoriel avec le champ!"B, on trouve

!"E #!"B + (!"v d #

!"B )#!"B ! 1

qn

!"'xp#!"B = 0

!"v d =!"E #!"B

B2! 1

qn

!"'xp#!"B

B2(4.24)

Cette vitesse de dérive montre une contribution!"E # !"B identique à celle obtenue dans l’approche par-

ticulaire à laquelle s’ajoute une vitesse dépendant du gradient de pression!"'xp. Cette nouvelle dérive,

dite dérive diamagnétique, existe alors même que les centre-guides restent immobiles. Elle dépend de lacharge de la population considérée et induit donc un courant diamagnétique qui ne peut être observédans le cadre de l’approche particulaire. Ce paradoxe peut être en partie élucidé si l’on se rappelle quedans l’approche fluide les quantités physiques macroscopiques n, T , et P sont le résultat d’une moyennespatiale sur de petits volumes.

Si bien que l’on peut réécrire l’expression du second invariant sous la forme

p&

nm

„B

n

«2

= cte

où de manière di!érented

dt(p&B2

n3) = 0

On reconnaît les doubles équations adiabatiques CGL. Bien que cette démonstration ne soit pas tout à fait rigoureuse,elle a le mérite de la simplicité.



Figure 4.2: Mouvement de gyration des ions autour des lignes de champ en présence d’un gradient de densité.Une moyenne dans le cadre noir montre une vitesse d’ensemble vers la gauche alors même que les centre-guidesrestent immobiles.

La figure (4.2) met en évidence l’origine de cette dérive diamagnétique comme une moyenne non compen-sée des vitesses de gyration des particules se trouvant dans le volume d3!"x et qui aboutit à une vitessemoyenne non nulle de ce volume.

L’existence d’une dérive supplémentaire dans l’approche fluide démontre l’incompatibilité intrinsèqueentre ces deux approches. L’idée première serait de supposer que l’approche fluide ignore certains aspectsfondamentaux de la physique des plasmas et qu’elle ne peut donc pas décrire correctement certainsdétails fins de la dynamique des particules. Cela serait une erreur !! Dans son domaine de validité,l’approche fluide donne la même réponse que l’approche particulaire. En particulier, si l’on désire calculerune quantité fluide telle la densité de courant en utilisant l’approche particulaire, il est nécessaire nonseulement de tenir compte de la densité des centre-guides mais AUSSI de calculer la contribution moyennedes particules dont le centre-guide se trouve à une distance de !c du volume étudié 11.

Ce faisant, on peut alors démontrer que les deux approches se réconcilient et donnent les mêmes résultats.

4.2.2 dérive diamagnétique : aspect statistique

Afin de comparer les deux approches, il est nécessaire d’inclure dans l’approche particulaire la notion demoyenne sur un nombre élevé de particules et donc d’utiliser l’approche statistique du chapitre précédent.La vitesse le long de la direction y de toutes les particules se trouvant en x dans l’élément de volume dxs’écrit alors sous la forme

nuydx =2 +'

!'vyf(x,!"v )d3!"v dx (4.25)

où uy est la vitesse moyenne suivant la direction y et vy la vitesse de rotation des particules autour deleur centre-guide (vitesse de gyration). Au vu de la figure (4.2), il est clair que les particules qui serontcomptées dans cette intégrale sont nécessairement les particules dont la position instantanée x est reliéeà leur centre-guide par la relation

x = xcg !vy

,c(4.26)

les autres ne pouvant pas atteindre cette position. Dans cette équation, ,c est la fréquence cyclotroniquecalculée aux positions xcg (on suppose afin de simplifier les calculs que

!"B est uniforme 12) et vy/,c

représente approximativement, au moins en module, le rayon de Larmor. Le signe dans l’équation (4.26)a été choisi afin de suivre l’exemple de la figure (4.2) : lorsque vy est positive, la particule se déplace vers lesx décroissants et vice-versa 13. On peut alors définir une fonction de distribution fcg(xcg, v) représentantla répartition des particules en fonction de leur centre-guide, la vitesse !"v représente toujours la vitessede gyration de la particule et non celle de son centre-guide. En d’autres termes, tout le calcul se faitdans le référentiel du centre-guide où seule la vitesse de gyration apparaît. La distribution des particules

11. Cela signifie seulement que l’on se place dans le cas de la figure (4.2) où la densité de courant est obtenue en moyennantles particules se trouvant dans l’élément de volume d3!"x et aussi en moyennant sur toutes les particules dont les centre-guidesne se trouvent pas dans ce volume mais dont le mouvement de gyration les amène à ”traverser” ce volume.

12. Le cas d’un champ magnétique NON uniforme sera traité dans le paragraphe suivant.13. vy représente la vitesse de gyration des particules autour des lignes de champ. Elle est donc décrite par une fonction

circulaire de la forme vy = v" cos(%ct).



se trouvant en x dans l’élément de volume dx peut donc être exprimée en fonction de la distribution descentre-guides se trouvant en xcg dans l’élément de volume dxcg. On pose

f(x,!"v )dx = fcg(xcg,!"v )dxcg = fcg(x +

vy

,c,!"v )dxcg

Expression que l’on peut modifier en remarquant que dans le cas d’un champ magnétique uniforme,l’équation (4.26) donne un accroissement de la forme dx = dxcg

14. On peut alors déduire l’expression dela vitesse moyenne le long de la direction y, déduite de l’équation (4.25), en faisant un développement deTaylor à l’ordre 1 autour de leur centre-guide :

uy =1n

2 +'

!'vyfcg(x +

vy

,c,!"v )d3!"v

, 1n

2 +'

!'vy[fcg(x,!"v ) +

vy

,c

#

#xfcg(x,!"v )]d3!"v

, 1n

2 +'

!'vyfcg(x,!"v )d3!"v +

1n

1,c

#

#x

2 +'

!'v2

yfcg(x,!"v )d3!"v (4.27)

Dans le cas où la répartition des centre-guides fcg est décrite par une distribution maxwellienne, il estaisé de voir que le premier terme de l’équation (4.27) donne une contribution nulle puisqu’il y a autantde particules ayant une vitesse vy positive que négative. Seul le deuxième terme donne une contributionnon nulle, terme que l’on peut écrire

uy ,1n

1,c

#

#x

2 +'

!'v2

yfcg(x,!"v )d3!"v =1n

1,c

#(nv2th)

#x=

1n

1,c

#

#x(

p

m) (4.28)

avecp

m= nv2

th =2 +'

!'v2

yfcg(x,!"v )d3!"v (4.29)

qui représente la pression du plasma, déduite de l’approche statistique 15. L’équation (4.28) s’écrit alors

uy =1n

1eB

#p

#x(4.30)

expression directement comparable au deuxième terme de l’équation (4.24) et qui représente la vitessede dérive diamagnétique obtenue dans l’approche particulaire. Dans le cas où nous aurions une pressionanisotrope, il su"rait de remplacer p par p#.

On voit donc que même en l’absence de déplacement des centre-guides un courant diamagnétique peutexister, courant qui tend à réduire le champ magnétique dans la région où le nombre des particules est leplus important, voir figure (4.2) (d’où le terme diamagnétique pour qualifier cette dérive !).

14. Cette égalité reflète le fait que puisque seul varie la densité des particules, la distance relative entre centyre-guidesET entre positions instanténées des particules varie dans les même proportions.

15. Le calcul de la pression fait intervenir le moment d’ordre 2 de la fonction de distribution dont on avait esquissél’expression au chapitre précédent. Dans le contexte mono-dimensionnel qui a été utilisé dans ce paragraphe, les définitionsdes premiers moments de la fonction de distribution prennent la forme simple :

densité !" n =

Z +#

!#f(v)dv

vitesse moyenne !" u =< v >=1

n

Z +#

!#vf(v)dv

vitesse quadratique moyenne !" v2th =< (v ! u)2 >=

1

n

Z +#

!#(v ! u)2f(v)dv

flux de chaleur !"Q

nm=< (v ! u)3 >=

1

n

Z +#

!#(v ! u)3f(v)dv

La définition de la pression cinétique et de la température se déduisent de la vitesse thermique définie ci-dessus : on ap = nmv2

th = nkBT.Si bien que la pression a pour expression

p = m

Z +#

!#(v ! u)2f(v)dv



Figure 4.3: Gyrations cyclotroniques des ions en présence d’un gradient de champ magnétique. Pour des centre-guides régulièrement espacés, il y a beaucoup plus d’ions ayant une vitesse vy dirigée vers la droite dans la zonegrise que d’ions allant dans le sens contraire : un courant de dérive apparaît !

Les deux approches sont donc comparables dans le cas où l’on utilise l’approche particulaire en faisant desmoyennes sur des distances de l’ordre du rayon de Larmor (moyennes spatiales sur de petits volumes 16).Dans ce cas précis, les deux approches donnent des résultats tout à fait équivalents.

Cette conclusion très importante met en évidence le problème que l’on peut avoir en utilisant simultané-ment les deux approches. Tout raisonnement mélangeant à la fois des quantités particulaires et fluidesdevra être e!ectué avec le plus grand soin sous peine de contresens grave. Une illustration de ce problèmeconcerne le phénomène de dérive observé dans l’approche particulaire sous l’e!et du gradient de champmagnétique

!"$B. Cette dérive ne faisant intervenir que le champ magnétique!"B et son gradient, il peut

sembler évident que quelque soit l’approche cette dérive existe et prend la même forme. Nous allons voirque ceci n’est pas du tout le cas.

4.2.3 dérive due au gradient de B

Supposons que nous ayons une configuration comme celle illustrée sur la figure (4.3), où apparaît ungradient magnétique le long de la direction x. Pour simplifier le problème, nous supposerons de plus qu’iln’existe aucune courbure des lignes de champ. Le plasma ayant une densité uniforme, les centre-guidessont régulièrement espacés.

Au fur et à mesure que l’on se déplace vers les régions de fort champ magnétique, le rayon de Larmordevient plus petit et un certain déséquilibre global apparaît. La position instantanée de la particule esttoujours décrite par l’équation (4.26) mais dans ce cas, le champ magnétique n’étant pas constant, lafréquence cyclotronique obtenue aux centre-guides varie suivant notre déplacement suivant x. Si l’on faitl’hypothèse d’un gradient de faible amplitude, on peut alors exprimer l’accroissement dxcg de la positiondes particules sous la forme

dxcg

dx= (1! vy

,c

1B

dB

dx)

dxcg = (1! vy

,c

1B

dB

dx)dx (4.31)

Cette équation est bien en accord avec la figure (4.3). Au fur et à mesure que l’on se déplace vers les x

croissants, le champ!"B augmente, les particules se déplaçant dans la région où vy < 0 voient un champ

magnétique plus fort et de ce fait, possèdent un rayon de Larmor plus petit que la distance entre centre-guides dxcg. Ceci a pour résultat que dxcg > dx. Pour les vitesses vy > 0, on obtient le phénomène inverse.La fonction de distribution f(x,!"v ) peut de nouveau être déterminée en fonction de la distribution descentre-guides par un développement de Taylor, on trouve

f(x,!"v )dx = fcg(xcg,!"v )dxcg = fcg(x +

vy

,c,!"v )(1! vy

,c

1B

dB

dx)dx

16. Ce type de moyenne nécessaire dans l’approche statistique ne doit pas être confondu avec les moyennes temporellese!ectuées sur une gyration dans l’approche particulaire afin de mettre en évidence les mouvements d’ensemble des centre-guides.



La vitesse moyenne suivant la direction y s’écrit alors sous la forme

uy =1n

2 +'

!'vyfcg(x +

vy

,c,!"v )(1! vy

,c

1B

dB

dx)d3!"v

, 1n

2 +'

!'vy[fcg(x,!"v ) +

vy

,c

#

#xfcg(x,!"v )](1! vy

,c

1B

dB

dx)d3!"v

En ne gardant que les termes d’ordre un ou inférieurs, on obtient

uy =1n

2 +'

!'vyfcg(x,!"v )d3!"v +

1n

1,c

#

#x

2 +'

!'v2

yfcg(x,!"v )d3!"v ! 1n

1,c

1B

dB

dx

2 +'

!'v2

yfcg(x,!"v )d3!"v

Seuls les termes quadratiques en vy ne disparaissent pas, si bien que la vitesse moyenne uy s’écrit

uy =1n

1eB

#p

#x! m

enB2

dB

dxnv2

th

Le second terme s’exprime en fonction de la température T avec nmv2th = nkBT, si bien que l’on a

uy =1n

1eB

#p

#x! kBT

eB2

dB

dx(4.32)

Cette vitesse moyenne a été évaluée dans le référentiel où les centre-guides xcg sont immobiles. La vitessede dérive totale sera donc la somme des vitesses de dérive utotal

y = ucgy + uy. Or la vitesse de dérive

des centre-guides ucgy en présence d’un gradient magnétique le long de la direction x prend la forme de

l’équation (2.21)

ucgy = v

d!$%"B

=1e

< mv2# >

2B

1B

dB

dx=

1e

kBT

B

1B

dB

dx(4.33)

où < mv2# > représente une moyenne statistique sur un ensemble de centre-guides 17. On remarque

tout de suite que les termes liés au gradient du champ magnétique s’annullent mutuellement et que l’onretrouve, pour la dérive totale uy, l’expression de la vitesse diamagnétique de l’approche fluide. Cerésultat, au premier abord assez étonnant, peut être compris assez simplement :– Tout d’abord, les calculs précédents montrent que la dérive !"v

d!$%"B

existe même dans l’approche fluide.Seulement, cette vitesse est contrebalancée exactement lorsque l’on fait une moyenne sur un nombreimportant de particules. Reprenons l’exemple de la figure (4.3) : on s’aperçoit, lorsque l’on se trouvedans le référentiel du centre-guide, qu’une moyenne spatiale met en évidence une dissymétrie entre lapartie haute et basse des rayons de gyration. Les particules dont le rayon de Larmor est plus petit,sont statistiquement les moins nombreuses et viennent nécessairement du bas de la zone considérée.Sur la figure (4.3), nous avons respectivement deux particules dont la gyration est comptabilisée versla droite et une seule vers la gauche. Cette di!érence crée donc une dérive moyenne vers la gauche,alors même que les centre-guides restent immobiles. Dans le même temps, les centre-guides, quant àeux, subissent une dérive ”réelle” vers la droite du fait de la déformation des orbites dans la directionperpendiculaire au gradient. Ces deux e!ets s’additionnent et s’annullent exactement.

– Une seconde explication reposant sur un raisonnement plus physique peut être avancée. En e!et, dansle cadre de la mécanique, nous savons que la force de Lorentz est toujours perpendiculaire à la vitesse!"v si bien qu’elle ne travaille pas. Un champ magnétique ne peut donc pas a!ecter une distributionmaxwellienne. Cette distribution est la plus probable même en présence d’un gradient de champmagnétique. Si bien que la présence seul d’un gradient ne peut faire varier cette distribution (créer unevitesse d’ensemble, par exemple !!), donc créer un courant de dérive.

En présence d’un champ électrique non uniforme, il devient beaucoup plus di"cile de réconcilier les deuxapproches. Les corrections introduites par l’approche statistique deviennent di"ciles à interpréter et l’ondoit faire appel à des mécanismes beaucoup plus subtiles. En particulier, et à titre d’exemple, en présenced’un gradient de densité, la densité des centre-guides ne correspond plus à la densité réelle des particules,il est alors di"cile de raisonner simultanément suivant les deux approches.

C’est pour cette raison qu’il est important de ne jamais mélanger les deux approches pour la résolutiond’un problème. A moins de savoir exactement ce que l’on fait, on s’expose à des incohérences graves auniveau des résultats physiques. Dorénavant, dans ce chapitre nous ferons exclusivement les calculs dansle cadre fluide.

17. On utilise la définition de la température thermodynamique usuelle1

2< mv2

th >= kBT


4.3 ÉQUATIONS FLUIDES : LE MODÈLE MONO-FLUIDE Page 65

4.3 équations fluides : le modèle mono-fluide

Un plasma peut être aussi considéré comme un fluide conducteur, sans qu’il ne soit besoin de spécifierles di!érentes espèces le constituant. En e!et, les équations de transport macroscopiques, obtenues dansla section précédente, décrivent le comportement macroscopique de chaque espèce du plasma (électrons,ions, particules neutres). Nous allons maintenant voir qu’il est possible de déterminer un système completd’équations de transport décrivant le plasma comme un tout. Chaque variable macroscopique représenterade façon combinée la contribution des di!érentes espèces du plasma. Cette procédure a deux avantages: (i) elle permettra une simplification extrême des équations fluides, c’est l’approche MHD, et (ii) nefera apparaître que des paramètres macroscopiques aisément mesurables. Dans un but de simplificationdes équations, nous ferons l’hypothèse d’un plasma totalement ionisé (absence des atomes neutres) etconstitué d’une seule espèce d’ion de charge, qi = e (proton). On rappelle les équations fluides obtenuespour l’espèce & à la section (4.1.2),

#

#t(!m!) +

!"' · (!m!

!"u !) = 0

!m!

L#!"u !

#t+<!"u ! ·

!"'=!"u !

M= n!q!

<!"E +!"u ! #

!"B=!!"'p! (4.34)

équations qui doivent être complétées par une équation d’état permettant de fermer le système et parles équations de Maxwell. Dans cette approche, nous allons “mélanger” la contribution des di!érentesespèces, il est donc évident que les échelles spatiales (L) et temporelles (,) caractéristiques devront êtrereliées à la population la plus lourde.

4.3.1 hypothèse des variations lentes

Les théories fluides constituent une mécanique des milieux continus où il n’y a pas de charge libre. Enconséquence, un certain nombre d’approximations doivent être vérifiées. La première d’entre elles c’estque le mouvement est non relativiste, si c est la vitesse de la lumière et V la vitesse du fluide, il faut

V

c<< 1

Deux autres approximations découlent ensuite de la condition d’absence de charges libres. Si nous con-sidérons notre milieu comme un plasma totalement ionisé, alors la première condition sur l’écoulementde ce fluide est que

L >> )Debye

où L est l’échelle du mouvement et )Debye la longueur de Debye 18. La séparation de charge peut aussiintervenir si la fréquence du mouvement est trop grande par rapport à la fréquence plasma ,p

19, et ondemandera aussi que l’échelle de temps du mouvement T = L/V vérifie

T >> ,!1p

Ces hypothèses prennent toute leur importance lorsque l’on s’intéresse aux fluides à très basse densitécomme le vent solaire. Le plasma y étant très dilué (faible densité), la séparation de charge peut devenirimportante. Dans ce genre de cas, la magnétohydrodynamique doit céder la place à la physique desplasmas.

Ce type de raisonnement s’applique de la même façon à tout phénomène physique se déroulant dans leplasma considéré comme un fluide. D’une manière générale, toute quantité fluide f d’un système physiquesuit des équations montrant des variations spatio-temporelles de la forme :

18. La longueur de Debye est la distance moyenne au-delà de laquelle la charge d’un ion est écrantée par les électrons.Son expression est

!Debye =

s'okT

nee2

avec 'o la permittivité du vide, k la constante de Boltzmann, ne la densité électyronique et T la température du plasma.Cette condition implique donc que le plasma ne doit pas être ni trop chaud, ni trop dilué.

19. La fréquence plasma %p représente la fréquence d’oscillation des électrons autour de leur position d’équilibre.



!"'(f) % f

L#

#t(f) % f

-(4.35)

Dans le cas où le phénomène étudié est une onde, il est simple de voir qu’alors!"' %

!"k et #/#t % ,, si

bien que les grandeurs caractéristiques sont la longueur d’onde ) et la période T de l’onde qui doiventêtre grandes devant les grandeurs caractéristiques du plasma pour que l’on puisse e!ectivement traiter leplasma comme un fluide. On doit donc avoir :

en temps :1-

<< ,p,,ci (4.36)

en espace :1)

<<1

!Larmor

,1

)Debye(4.37)

L’hypothèse des variations lentes est donc bien une hypothèse fondamentale de l’approche MHD dontil est primordiale de bien comprendre les fondements et les principales conséquences. Dans ce cas, lecourant de déplacement peut être négligé et la quasi-neutralité postulée !e = e(ni ! ne) , 0. Cettedernière hypothèse est très importante en MHD, où elle est plus connue sous le nom d’approximationplasma 20. Cette hypothèse empêche donc d’utiliser l’équation de Poisson

!"'·!"E = !e/"o afin de calculer lechamp électrique. En utilisant l’hypothèse de quasi-neutralité, nous allons donc être en mesure d’exprimerle système d’équations (4.34) en faisant disparaître toute référence à l’espèce &, le système d’équationsrésultant sera alors appelé “équations magnétohydrodynamiques” du plasma.

Afin d’obtenir ce système simplifié, nous allons utiliser les variables suivantes :

!m = mene + mini (4.38)!e = qene + qini = e(ni ! ne) (4.39)

m = me + mi = mi(1 +me

mi) (4.40)

!"u =mene

!"v e + mini!"v i

mene + mini(4.41)

avec !m la densité de masse totale de l’élément fluide, !e sa densité de charge, m sa masse et !"u la vitessede son centre de masse. On trouve alors le système d’équations :

équation de continuité

#

#t!m +

!"' · (!m!"u ) = 0 (4.42)

qui représente la forme usuelle d’une équation de continuité fluide où n’apparaissent plus les di!érentesespèces constituant le plasma. Elle signifie physiquement dans le cas d’un plasma non relativiste etclassique (non quantique) que la masse de l’élément fluide se conserve.

équation de la dynamique

La construction d’une équation de conservation de la densité d’impulsion pour un fluide total (ou équationfluide du mouvement) s’avère plus complexe du fait de l’existence des termes non-linéaires. Afin d’êtrele plus général possible, nous allons inclure un terme de collision simple qui permettra de tenir comptedu transfert d’impulsion entre les électrons et les ions. Cette force de friction représentera soit les

20. Dans un plasma, la procédure permettant de calculer le champ électrique repose sur l’équation du mouvement et nonsur l’équation de Poisson. La raison est que le plasma a une tendance naturelle à rester neutre. Si les ions bougent, alorsles électrons suivront. Le champ électrique doit donc s’ajuster de telle manière que les orbites des ions et des électronspréservent la neutralité. La densité de charge dans le mouvement global du plasma n’est donc pas importante, elle ne sertqu’à préserver la quasi-neutralité et sera telle que l’équation de Poisson est vérifiée. Bien sûr ce genre d’approximationn’est valable qu’aux faibles fréquences, pour lesquelles l’inertie des électrons ne constitue pas un facteur déterminant de leurmouvement.



collisions au sens classique du terme, soit des “collisions anormales” découlant d’interactions ondes-particules. L’existence de telles collisions donne lieu à un e!et Joule, si bien que nous pourrons dela même façon obtenir l’expression d’une loi d’Ohm dans le plasma, couplant les courants aux champsélectromagnétiques.

Ce terme de collision dépend de la vitesse relative entre les deux espèces de particules, et a pour expression!"F e = !me/ei(!"u i ! !"u e) pour le transfert d’impulsion électron-ions et

!"F i = !me/ie(!"u e ! !"u i) pour le

transfert ions-électrons, avec la relation!"F =

!"F e = !!"F i du fait de la conservation de l’impulsion totale.

Avec ces approximations qui sont justifiées dans le cas d’un plasma quasi-neutre (!e , 0), l’équation dumouvement prend la forme

!m[#

#t!"u + (!"u ·!"')!"u ] =

!"j #!"B !!"'p (4.43)

qui représente l’équation de conservation de l’impulsion en magnétohydrodynamique.

loi d’Ohm généralisée

L’équation (4.43) contient un terme faisant apparaître la densité de courant totale !"j comme nouvellevariable. Afin de clore le système ainsi obtenu, il est nécessaire d’introduire une relation supplémentairedonnant l’évolution de

!"j . Cette relation s’appelle la loi d’Ohm généralisée du plasma. On la trouve

en soustrayant les équations de la dynamique de chaque population. Pour des raisons pratiques, il estusuel de multiplier l’équation gouvernant les électrons par mi et l’équation gouvernant les ions par me.Il vient alors facilement en réorganisant les termes pour faire apparaître les dépendances, en négligeantles termes me/mi << 1 et en supposant encore une fois la quasi-neutralité, n % ne % ni.

me

e

#!"j

#t= !

!"'pe + nee

9!"E +!"u e #

!"B:!!"F (4.44)

Avant de simplifier plus en avant cette équation, il est intéressant de souligner deux points :– Bien que nous soyons en face d’une théorie mono-fluide, tous les e!ets thermiques sur la densité de

courant impliquent la pression électronique pe et elle seule. A l’inverse, ce sont les pressions pe et pi

qui modifient la vitesse !"u d’ensemble du centre de masse de l’élément fluide à travers l’équation de ladynamique.

– Dans l’expression de la force de Lorentz, là encore seule la vitesse des électrons !"u e intervient. Si bienque même dans une théorie dite mono-fluide, le fluide électronique ne se comporte pas de la mêmemanière que le fluide ionique et a un impact bien plus prononcé sur la densité de courant !"j 21. Nousreviendrons sur cet aspect dans le paragraphe suivant.

Afin d’éliminer de l’équation (4.44) la vitesse électronique, on remarque que dans l’approximation plasma(quasi-neutralité) et avec un rapport de masse me/mi très petit, on trouve !"u i % !"u et donc

!"u e = !"u !!"j

nee(4.45)

De la même façon, en se rappelant que le terme de collision!"F (ou friction) est proportionnel à la di!érence

des vitesses entre populations de charge opposée, on peut le réécrire sous la forme!"F = 8ne

!"j

où l’on a introduit la quantité 8 = me < /ei > /ne2 = 1/4o, représentant la résistivité du plasma (inversede la conductivité) dont nous parlerons plus en détail lors de la présentation de la MHD non-idéale.L’équation d’Ohm généralisée dans le cas d’un modèle mono-fluide, se réécrit alors en séparant les termespour faire apparaître dans le membre de gauche l’expression usuelle de la loi d’Ohm :

!"E +!"u # !"B = 8

!"j +

1ne

!"j #!"B ! 1

ne

!"'pe +

me

ne2

#!"j

#t(4.46)

Dans le cas de la MHD idéale, on voit que tous les termes du membre de droite doivent être nuls (ounégligeables). Cette équation est importante pour di!érentes raisons. Tout d’abord, elle montre quela loi d’Ohm simple est beaucoup plus compliquée lorsque l’on prend tous les termes, même dans

21. En particulier, si l’on se place dans le cas de la MHD idéale en ne retenant que les termes indépendants du temps(état stationnaire), seul le fluide électronique se trouve “gelé” dans le plasma et non le fluide ionique.



l’approximation MHD. En plus du terme résistif usuel 8!"j , décrivant les collisions se déroulant au sein

du plasma, on trouve un terme de gradient de pression électronique!"'·pe ainsi qu’un terme supplémentaire!"

j #!"B découlant de la force de Lorentz, souvent appelé de ce fait terme de Hall (ou e!et Hall). Ce termesupplémentaire démontre que même dans un plasma non collisionnel, la force de Lorentz peut donner lieuà un courant transverse 22. De même, le terme #!"j /#t peut être interprété comme étant la contributionde l’inertie des électrons au courant total 23.

22. Et non, a une simple dérive!"E %!"

B commune aux deux espèces (électrons + ions).23. Le calcul global concernant la loi d’Ohm a le mérite d’être rapide mais ne permet pas de mettre en évidence l’importance

relatif des di!érents termes dans cette expression. Pour se faire une idée plus précise, il convient de déterminer cette équationen levant une à une les approximations faites.

Etape 1 (ordre 0): hypothèse des variations lentes ("/"t et " !" 0)L’équation de l’impulsion (4.34) à laquelle on ajoute un terme de collision (friction) s’écrit alors pour les ions :

niqi

“!"E + !"u i %

!"B

”+

!"F ie = 0

avec!"F ie = neme)ie(!"u e !!"u i) = !me$ie

e

!"j , en se rappelant que ni ) ne et !"u ) !"u i on obtient

me)ie

ne2

!"j =

!"E + !"u %!"

B

C’est-à-dire!"j = +(

!"E + !"u %!"

B ) avec + =e

me)ie=

1

.

où + est la conductivité du plasma et . sa résistivité. Ceci représente la loi d’Ohm MHD, généralisation de la loi d’Ohm”usuelle”. Les termes composant cette équation sont d’ordre 0 et représentent donc la contribution la plus importante à laloi d’Ohm. Que se passe-t-il lorsqu’on lève un peu l’hypothèse des variations lentes ?

Etape 2 (ordre 1) : on garde les termes variationnels ("/"t et ")L’équation de la quantité de mouvement des ions s’écrit alors

#mi

»"!"u i

"t+

“!"u i ·!"$

”!"u i

–= niqi

“!"E + !"u i %

!"B

”!

!"$ · pi +

!"F ie !

!"j

+(4.47)

En utilisant là encore les relations ni ) ne et !"u ) !"u i, on trouve

#m

»"!"u"t

+“!"u ·

!"$

”!"u–

= nqi

“!"E + !"u %

!"B

”!

!"$ · pi +

!"F ie

équation que l’on peut mettre en parallèle avec la relation de la dynamique fluide (4.43) obtenue précédemment. En égalisantles expressions ainsi obtenues, on trouve

nqi

“!"E + !"u %!"

B”!

!"$ · pi =

!"j %!"

B !!"$ · (pe + pi) +

!"F ie

Le terme de pression ionique disparaît, en réorganisant les termes, on obtient

!"E + !"u %!"

B = .!"j +

!"j %!"

B

ne!

!"$ · pe

ne

Nous voyons donc apparaître des termes correctifs d’ordre 1 par rapport à l’équation que nous avons déterminée précédem-ment. Ces termes correctifs pourront être suivant le problème envisagé négligés ou non. Une étape supplémentaire peut êtrefaite en levant les hypothèses de base de l’approche MHD. En particulier, si la quasi-neutralité en est le socle incontournable(n ) ni ) ne), il n’en est pas de même pour la condition sur le courant total. En e!et, nous avons jusqu’ici implicitementsupposé que les électrons étaient tellement légers que leur inertie était négligeable et donc que nous avions systématiquement: !"u ) !"u i ) !"u e. Que se passe-t-il lorsque nous introduisons l’inertie des électrons dans ces équations ?

Etape 3 (ordre 1) : on tient compte de l’inertie des électrons (me '= 0)Cette hypothèse entraîne des calculs plus longs qui ne seront que brièvement présentés ici, libre au lecteur de les e!ectuer

s’il désire approfondir cet aspect de la loi d’Ohm. Si la masse des électrons ne peut plus être considérée comme nulle alorsnous obtenons

!"u = !"u i +me

mi

!"u e

!"u e = !"u !!"j

ne

En reprenant l’équation (4.47) et en remplaçant la vitesse !"u i par son expression en fonction de !"u et !"u e, on obtient uneéquation ne faisant plus apparaître que la vitesse d’ensemble !"u , la vitesse des électrons et le courant !"

j . Il su"t alors denégliger tous les termes en me

midevant les autres termes ainsi que les termes quadratiques de la forme

me

mi(

!"j

ne·!"#)!"u ou

me

mi(!"u ·!"#)

!"j

ne



4.3.2 La MHD non idéale

Afin d’aller plus loin dans l’analyse de ces équations, nous allons en première étape négliger les troisderniers termes du membre de droite de l’équation (4.46), l’équation d’Ohm prend alors la forme usuelle

!"j =

18(!"E +!"v #!"B ) = 4(

!"E +!"u #!"B ) (4.50)

où 4 représente la conductivité du plasma (l’inverse de sa résistivité).

On peut alors en déduire quelques applications intéressantes dont l’utilité en physique spatiale est primor-diale. Là encore, pour simplifier, nous supposerons que la conductivité est isotrope (scalaire) et constanteà la fois spatialement et temporellement. Avec de telles hypothèses, l’équation d’Ohm (4.46) et l’équationde Faraday permettent d’obtenir la relation

#!"B

#t= !!"$ #!"E = !!"$ # (

1µo4

!"$ #!"B !!"u #!"B )

#!"B

#t=

!"' # (!"u #!"B ) +

1µo4

'2 !"B (4.51)

où!"u représente la vitesse d’un élement fluide et où l’on a utilisé l’identité suivante!"$#(

!"$#!"B ) = !$2!"B.

Cette équation décrit donc l’évolution temporelle du champ magnétique!"B sous les e!ets conjoints (i)

d’un champ électromoteur (!"u # !"B ) qui décrit le transport convectif du plasma et (ii) d’une extinctiondes courants par e!et Joule qui est décrit par un terme de di!usion dépendant de la conductivité 4. Sil’on se place dans le cas où il n’y a aucun champ de vitesse (!"u = 0), alors cette équation est formellementidentique à l’équation de conduction de la chaleur

#T

#t= 9'2 T (4.52)

avec 9 représentant la conduction thermique. En pratique, convection et di!usion se superposent toujoursplus ou moins et il est intéressant d’établir un critère caractérisant l’importance relative des deux termesdu membre de droite de l’équation (4.51) à l’aide d’une simple analyse dimensionnelle. On a les relations:

HHH!"' # (!"u #!"B )

HHH %=uB

L(4.53)

1µo4

HHH'2!"BHHH %=

B

µo4L2(4.54)

où L représente l’échelle spatiale caractéristique de variation du champ!"B . Le rapport du terme de

convection sur le terme de di!usion est appelé le nombre de Reynolds magnétique et est donné par

5m = µo4uL (4.55)

Dans la plupart des problèmes MHD, l’un ou l’autre terme est prédominant si bien que ce nombre deReynolds est soit très grand soit très petit par rapport à 1. Au laboratoire, 5m n’est pas très grand en

Cette simplification est valable pour deux raisons : (i) Tout d’abord, ces termes sont très petits (d’ordre 2) dans le casoù les variations spatiales des quantités !"u et

!"j sont petites. (ii) D’autre part, si nous gardons ces termes, il nous sera

totalement impossible d’extraire l’expression du courant en fonction des autres quantités. Cette dernière raison n’est guèrejustifiable mais tellement utile pour simplifier nos équations qu’elle sera systématiquement utilisée (il ne faut pas oublierque l’approche fluide a été forgée de toutes pièces en vue de simplifier l’étude des plasmas !!). L’équation résultante detoutes ces approximations est

nimi["

"t!"u + (!"u ·

!"$)!"u +

me

mi

"!"j

"t] = nie

h!"E + !"u %

!"B

i!

!"$ · pi (4.48)

!"j %

!"B !

!"$ · p + nime

"!"j

"t= nie

h!"E + !"u %

!"B

i+

!"j %

!"B !

!"$ · pe (4.49)

Après réorganisation des termes, on retrouve la loi d’Ohm généralisée, équation (4.46) :

!"E + !"u %!"

B = .!"j +

1

ne

!"j %!"

B !1

ne

!"$ · pe +

me

ne2

"!"j

"t

- CQFD -


4.4 ÉQUATIONS FLUIDES : LA MHD IDÉALE Page 70

général à cause des dimensions réduites des appareils. Par exemple, pour une température de T = 104K,la conductivité électrique d’un plasma est 4 = 810!4T 3/2, si l’on prend la vitesse caractéristique commeétant un dixième de celle du son, v % 10T 1/2, on trouve pour L = 1m, 5m = 0.8 (labo) et pourL = 1000km, 5m = 8105 (Soleil). Dans le cadre des plasmas chauds, 5m est généralement très grand etil est justifié de négliger le terme de di!usion pour l’évolution du champ

!"B (approximation de la MHD

idéale, nous y reviendrons...). Cependant, dans certaines circonstances, les e!ets résistifs peuvent jouerun rôle important, en particulier lorsque

!"' # (!"u # !"B ) = 0 (surface singulière de certains équilibres ->

tearing mode) ou tout simplement lorsque !"u = 0 (plasma stationnaire).

Dans le cas 5m << 1, c’est le terme de di!usion qui prédomine et l’on peut alors estimer un tempscaractéristique - de changement du champ magnétique (c’est-à-dire un temps de dissipation durant lequell’amplitude du champ B a décru d’un facteur e!1 par rapport à sa valeur initiale). L’équation (4.51)permet d’estimer ce temps - comme étant égal à

B

-, B

µo4L2(4.56)

Le temps de dissipation est donc égal à - = µo4L2 et il montre une dépendance en puissance de deuxpar rapport aux échelles spatiales caractéristiques du milieu : les champs magnétiques s’étendant sur defaibles distances di!usent plus rapidement que ceux ayant de grandes échelles spatiales. De plus, le tempsde dissipation s’accroît linéairement avec la conductivité et pour une conductivité infinie, la dissipationse produit sur des échelles de temps infinies (notion de champ gelé).

Ce type de calcul donne pour le soleil, en supposant qu’il a une dimension linéaire de 7x108m et uneconductivité moyenne de l’ordre de 1016s!1, un temps de dissipation du champ magnétique - d’une valeurde l’ordre de 1.2x1010 années, ce qui représente presque 3 fois l’âge du soleil. Si bien que dans le casoù le soleil a reçu un champ magnétique lors de sa création, celui-ci existerait toujours de nos jours.Toutefois, ceci va à l’encontre des observations qui montrent un champ magnétique solaire variable surdes échelles de temps de l’ordre de l’année voire du mois. Ces observations rendent l’existence d’un champmagnétique fossile extrêmement improbable. On invoque plus volontiers l’e!et dynamo pour expliquerces observations.

4.4 équations fluides : la MHD idéale

Il n’est pas de mon propos de présenter toutes les implications de la magnétohydrodynamique dans lacompréhension des phénomènes physiques complexes se déroulant dans un plasma, mais bien plutôt demontrer quelques résultats importants que l’on peut déduire de cette approche, et ce, dans son approchela plus minimaliste appelé la MHD idéale. En e!et, on peut remarquer que dans le cas où 5m >> 1,

il est justifié de négliger le terme résistif dans l’évolution de!"B, on obtient alors

#!"B

#t=!"' # (!"u #!"B ) (4.57)

cela revient à considérer que J/4 est négligeable dans la loi d’Ohm 24, qui s’écrit alors

!"E = !!"u #!"B (4.58)

Cette dernière relation est extrêmement importante dans sa simplicité et va nous permettre de clarifiercertaines propriétés importantes des plasmas non collisonnels.

4.4.1 Théorème de conservation du flux magnétique

Le concept de ligne de force magnétique utilisé pour visualiser la direction et l’amplitude du champmagnétique

!"B repose sur l’idée de division de l’espace en petites surfaces "S. Chacune de ces surfaces

sont traversées par le même flux "0B si bien que l’amplitude de B en un point quelconque de l’espaceest égale à "0B/"S. Ce concept indispensable pour visualiser les lignes de champ magnétique repose surle théorème de conservation du flux dont une démonstration simple peut être obtenue dans le cadre dela MHD idéale.

24. C’est-à-dire on suppose une conductivité infinie + !" ( dans le plasma, où en d’autres termes, on néglige touteforme de collision qui pourrait entraîner des échanges de quantités de mouvement entre populations de masse di!érente.



"#

"1

Figure 4.4: Contour entourant une surface libre se déplacant dans un champ magnétique avec une vitesse v, vueau temps t et t + dt. L’élément de surface latérale dSbord est en grisée.

Soit"

un certain circuit, susceptible de se déformer au cours du temps. En t = to, on désigne"

par"o et par

"1 en t = t1. Soit Mo un point du circuit, qui en t1 se retrouve au point M1. On désigne par

!"v (Mo) la vitesse de ce point, voir figure (4.4). Pour le moment, il n’est pas nécessaire de supposer quele circuit se déplace avec le fluide, c’est-à-dire que !"v (Mo) n’est pas nécessairement égal à la vitesse dufluide !"u (Mo) en ce point. Avec ces définitions, et pour un intervalle de temps très petit (t1 ! to = dt),on obtient !!!!"

MoM1 = !"v (Mo)(t1 ! to) = !"v (Mo)dt (4.59)

Le flux du champ magnétique prend la forme

0B =2

S

!"B · d!"S (4.60)

et les flux de!"B à travers

"o et

"1 aux temps to et t1 sont respectivement 0o et 01. Pour les comparer,

il su"t de définir une surface 6 couvrant"

o,"

1 et le bord B engendré par !"v (Mo)dt comme illustrésur la figure (4.4 ). En utilisant les relations de Maxwell, on a au temps t1

2

)

!"B (t1) · d

!"S = 0 =

2

Po

!"B (t1) · d

!"S +

2

P1

!"B (t1) · d

!"S +

2

B

!"B (t1) · d

!"S bord (4.61)

avec comme relation

!"B (t1) =

!"B (to) + (t1 ! to)

#!"B

#t(on se limite à l’ordre 1)

d!"S bord = d

!"l #!"v (Mo)(t1 ! to)

d’où la relation2

Po

!"B (to) · d

!"S +

2

P1

!"B (t1) · d

!"S + (t1 ! to)

N2

Po

#!"B

#t· d!"S +

3

Po[d!"l #!"v (Mo)] ·

!"B

O= 0 (4.62)

en identifiant les di!érents termes, et en faisant attention au sens des normales)PP*

PP+

01 =4

P1

!"B (t1) · d

!"S

0o = !4

Po

!"B (to) · d

!"S

"!$B"t = !!"$ #!"E

(4.63)

si bien que l’équation (4.62) se réécrit sous la forme

01 ! 0o + (t1 ! to)

N3

Po[d!"l #!"v (Mo)] ·

!"B !

2

Po

!"$ #!"E · d!"S +

O= 0 (4.64)



$

$

Figure 4.5: Trajectoire de deux particules fluides se trouvant sur la même ligne de champ t, et se déplacant

En utilisant la règle du produit mixte et le théorème de Stockes, et en faisant attention au sens de d!"l

et de d!"S , on obtient finalement la relation

01 = 0o+(t1!to)

N3

Po[!"v (Mo)#

!"B ] · d

!"l +

3

Po

!"E · d

!"l +

O= 0o+(t1!to)

N3

Po[!"E +!"v (Mo)#

!"B ] · d

!"l

O

(4.65)Dans le cas particulier où le circuit suit le fluide alors !"u = !"v , et dans le cadre de la MHD idéale(4 !" 1), l’équation (4.58) a"rme que 01 = 0o. On arrive à la conclusion importante : Le flux àtravers un circuit suivant le fluide reste constant si ce fluide est infiniment conducteur. Il està noter que cette conclusion n’implique que la vitesse perpendiculaire aux lignes de champ magnétiquepuisque la composante parallèle à

!"B ne donne aucune contribution au terme en !"u #!"B.

4.4.2 Le théorème du gel

Ce théorème peut s’énoncer de la manière suivante : Dans un plasma infiniment conducteurl’ensemble des particules de fluide situées sur une même ligne de force à l’instant t, sontencore sur une même ligne de force à tout instant ultérieur. Pour démontrer un tel théorème, ilsu"t de montrer ce résultat pour deux particules infiniment voisines entre deux temps infiniment voisins.

Soit deux particules fluides placées en M1 et M2 à l’instant t comme représentées sur la figure (4.5) etM &

1, M &2 l’emplacement de ces même particules à l’instant ultérieur t + dt. Soit

!"(x(t) le vecteur qui les

joint à l’instant t et!"(x&(t + dt) à t + dt. On peut alors montrer que si le vecteur

!"(x(t) est parallèle à

!"B (M1, t) alors on a aussi

!"(x&(t + dt) qui est parallèle à

!"B (M &

1, t + dt). Pour ce faire, nous allons regarderl’évolution suivant le mouvement de M1 du vecteur,

!"(x#!"B . On a

d(!"(x#!"B )

dt=

d!"(x

dt#!"B +

!"(x# d

!"B

dt(4.66)

De manière évidente sur la figure (4.5), nous avons la relation vectorielle

!"(x(t + dt) =

!"(x(t) +!"u (!"x +

!"(x)dt!!"u (!"x )dt



que l’on peut réécrire sous la forme

!"(x(t + dt)!!"(x(t) = [!"u (!"x +

!"(x)!!"u (!"x )]dt

!"(x(t + dt)!!"(x(t)

dt=

d!"(x(t)dt

= (!"(x(t) ·!"$)!"u

L’évolution du champ magnétique, quant à lui, est décrit dans l’approche idéale par l’équation 25

#!"B

#t=

!"' # (!"u #!"B ) = !!"B (!"$ ·!"u ) + (

!"B ·!"$)!"u ! (!"u ·!"$)

!"B (4.68)

=. d!"B

dt=#!"B

#t+ (!"u ·!"$)

!"B = !!"B (

!"$ ·!"u ) + (!"B ·!"$)!"u (4.69)

où d/dt représente la dérivée ”en suivant la particule fluide” du vecteur magnétique. En injectant lesvariations de

!"(x et de

!"B trouvés ci-dessus dans l’équation (4.66), on trouve

d(!"(x#!"B )

dt= (!"(x(t) ·!"$)!"u #!"B +

!"(x# [!!"B (

!"$ ·!"u ) + (!"B ·!"$)!"u ] (4.70)

Tout le calcul se faisant au point M1 et à l’instant t,!"(x et

!"B sont parallèle et l’on trouve

d(!"(x#!"B )

dt= 0 (4.71)

L’évolution du vecteur!"(x#!"B est donc nulle dans le temps. Cela signifie que deux particules, initialement

sur la même ligne de champ, seront trouvées ultérieurement sur une même ligne de champ. Il fautsouligner que rien n’implique que ces particules restent sur la ligne de champ initiale. Pour cela, il faudraitque nous puissons identifier cette ligne de force, ce qui n’est pas possible. Ce résultat peu quantitatif enlui-même est très utile qualitativement. Seul l’association précise entre particules matérielles et lignes deforce permet de parler du concept de ligne de force identifiable et de parler de ”mouvement d’une lignede force”. En fait, les lignes de champ magnétiques sont ”matérialisées” par le mouvement des particulesfluides qui y sont collées. On dit aussi que le champ est gelé dans le fluide, ou réciproquement le fluidegelé sur les lignes de champ.

4.4.3 la pression magnétique

Un autre concept intéressant concerne le concept de ”pression magnétique”. Afin de l’introduiresimplement, il est usuel de considérer le cas d’un équilibre MHD. Dans ce cas, les relations précédentes (à ) se réduisent au système d’équations magnétostatiques :

!"$p =!"j #!"B (4.72)

!"$ #!"B = µo!"j

!"$ ·!"B = 0

De ce système, il est aisé d’éliminer le courant, on obtient :

!"$p =1µo

(!"$ #!"B )#!"B =

1µo

[!!"$ · (B2

2) + (

!"B ·!"$)

!"B ] (4.73)

pression et tension magnétique

L’équation (4.73) met en évidence deux termes distincts : (i) le premier terme se comporte comme unepression, on l’appelera pour cela, la ”pression magnétique”, (ii) le second dépend des variations de B dansla direction de

!"B mais aussi de ses changements de direction. On remarque que ces termes s’ajoutent et

25. On utilise la relation vectorielle suivante (voir un formulaire de mathématique)!"# % (!"a %

!"b ) = !"a (

!"# ·!"b ) !

!"b (

!"# ·!"a ) + (!"b ·!"#)!"a ! (!"a ·!"#)

!"b (4.67)



peuvent se compenser. Nous pouvons détailler l’apport de ce second terme en le développant sous formede produit tensoriel. Posons

!"B = B!"n où !"n est un vecteur unitaire, alors

(!"B ·!"$)

!"B = B(!"n ·!"$)(B!"n ) = !"n [B(!"n ·!"$)B] + B2(!"n ·!"$)!"n

= !"n (!"n ·!"$)B2

2+ B2(!"n ·!"$)!"n

En injectant cette relation dans l’équation (4.73), on trouve

!"$p =1µo

[!!"$(B2

2) +!"n (!"n ·!"$)

B2

2+ B2(!"n ·!"$)!"n ]

= !()"( !!"n!"n )

!"$(B2

2µo) +

B2

µo(!"n ·!"$)!"n (4.74)

On reconnaît dans l’équation (4.74) le terme!"$(B2/2µo), projeté selon la direction perpendiculaire au

champ magnétique 26, ce que l’on peut traduire sous la forme

()"( !!"n!"n )

!"$(B2

2µo) =

!"$#(B2

2µo) (4.75)

L’autre terme ne dépend que des variations de direction de!"B et peut s’exprimer simplement en fonction

de la courbure des lignes de champ. En e!et, en prenant s pour l’abscisse curviligne, on trouve

!"n ·!"$ =#

#s=. (!"n ·!"$)!"n =

#!"n#s

=!"N

R(4.76)

où!"N est la normale principale à la ligne de champ et R son rayon de courbure. Finalement,

!"$p = !!"$#(B2

2µo) +

B2

µo

!"N

R(4.77)

Le premier terme représente donc bien une ”pression” isotrope B2/2µo et le second une ”tension magné-tique” qui s’exerce le long des lignes de champ que l’on peut assimiler alors à des cordes élastiques. Cettedécomposition est très utile pour avoir une vue intuitive de l’action des forces électromagnétiques sur lecomportement d’un plasma fluide mais il ne faut pas perdre de vue qu’elle peut être trompeuse. En e!et,c’est le courant

!"j qui in-fine détermine la force magnétique, dont la décomposition en deux termes reste

artificielle, les deux contributions ne pouvant être séparées.

confinement du plasma

L’équation (4.77) montre que les termes de pression peuvent être antagonistes suivant le sens de leurgradients respectifs. Cette propriété peut être d’une importance considérable, en particulier, pour lafusion thermonucléaire. Un exemple simple consiste à prendre une configuration à symétrie cylindriquedans laquelle la pression et les forces magnétiques jouent un rôle non négligeable.

Soit un champ magnétique de la forme!"B = B(r)!"e z, le courant associé est donc de la forme

!"j = j(r)!"e #.

La figure (4.6) représente une vue schématique de cette colonne de plasma, pour le champ!"B et le courant

!"j . On calcule facilement l’expression de la force magnétique

!"j #!"B

!"j #!"B =

1µo

(!"$ #!"B )#!"B = ! 1

2µo

d

drB2(r)!"e r (4.78)

En reprenant l’équation d’équilibre (4.72), on obtient alors la relation

d

dr(p +

B2

2µo) = 0 (4.79)

De cette relation, il résulte que les pressions magnétique et cinétique doivent se compenser mutuellementtel que leur somme reste constante.

p +B2

2µo= cte (4.80)

26. Le résultat est naturel puisque la force!"j %!"

B est orthogonale à!"B.



Figure 4.6: Configuration d’une colonne de plasma en " ! pinch.

Dans le cas d’un plasma de taille finie, où la pression doit nécessairement décroître au fur et à mesure quel’on s’approche du bord de la configuration, le champ magnétique croit dans les même proportions. A lalimite dans le cas d’un champ magnétique externe

!"B o su"samment fort, la pression gazeuse s’annule au

bord de la configuration et le plasma se trouve ainsi confiné, on obtient la relation

p +B2

2µo=

B20

2µo(4.81)

Cette équation nous permet de faire deux remarques :– La pression maximale que l’on peut confiner avec un tel champ magnétique est égale à pmax = B2

0/2µo.– La valeur du champ magnétique à l’intérieur de la colonne de plasma est nécessairement inférieure

à sa valeur externe (!"B <

!"B 0). Comme la pression augmente dans le plasma, le champ magnétique

décroît. Cela signifie que sous l’action du champ magnétique appliqué, le mouvement des particulesdonne naissance à un courant électrique et donc un champ magnétique induit qui s’oppose au champappliqué. On retrouve le caractère ”diamagnétique” du plasma que nous avions vu au chapitre (2). Ilest à noter que plus la pression augmente, plus la densité et la vitesse des particules augmentent, etplus le comportement diamagnétique du plasma est prononcé.

Il est donc possible de piéger un plasma dans une telle colonne 27 à condition que B2(r) présente unpuits central. Ce cas idéal malheureusement ne peut exister réellement car cette configuration sou!red’instabilité importante dépassant le cadre de ce cours, mais ceci est une autre histoire ....

le ”!” du plasma

Du fait de l’existence de ces forces antagonistes (force de pression + force magnétique), il est intéressantde pouvoir quantifier leur importance respective. Pour cela nous allons définir ', le paramètre plasma, quireprésente le rapport entre les forces gazeuse et magnétique. Soit Lp et LB les échelles caractéristiquesde p et de B, alors l’équation aux dimensions permet d’obtenir

!"$p % p

Lpet!"j #!"B % B2

2µo

1LB

(4.82)

En supposant de plus que les échelles des gradients sont du même ordre de grandeur, L % Lp % LB28,

on trouve' =

p

B2/2µo(4.83)

Les forces gazeuses sont négligeables dans le cas d’un ' faible, la configuration est essentiellement dominépar le champ magnétique. A l’inverse, lorsque ' est fort, cela signifie que ce sont les forces de pression

27. On parle de configuration / ! pinch. Cette terminologie est empruntée à la fusion contrôlée : / parce que le courant!"j est suivant la direction !"e % et ”pinch” car la force

!"j %!"

B exerce une force de pincement.28. Cette hypothèse est le plus souvent vérifiée expérimentalement, du fait du diamagnétisme du plasma.


4.5 VALIDITÉ DE LA MAGNÉTOHYDRODYNAMIQUE Page 76

(sa température) qui dominent la dynamique du plasma. Par exemple, dans la couronne solaire, lesparamètres caractéristiques sont n , 109cm!3, T = 106K si bien qu’avec un champ magnétique del’ordre de 10 à 100 Gauss (1 Gauss = 10!4T ), on obtient un rapport maximum ' , 3.510!5 << 1. Lacouronne est donc dominée par les forces magnétiques, conclusion compatible avec les observations quimontrent une forte structuration du gaz.

4.5 Validité de la magnétohydrodynamique

En plus des limitations intrinsèques venant de l’approximation plasma (quasi-neutralité), des équationsfluides (distributions de forme maxwellienne) et de l’équation du mouvement (grandes échelles spatio-temporelles) 29, il est clair que l’expression de la loi d’Ohm utilisée “d’habitude” fait appel à d’autreshypothèses simplificatrices, indépendantes des précédentes mais dont il faut aussi tenir compte. En fait,il faut bien retenir que les équations MHD sont une simplification extrême de l’approche multi-fluides,elles ont d’ailleurs été établies afin de permettre la manipulation d’un système simple d’équations 30.Chaque étape conduisant à ce système d’équations repose donc sur des hypothèses simplificatrices et desapproximations qui restreignent le champ d’applicabilité de cette théorie. Ce sont ces limitations dont ilfaudra se souvenir lorsque l’on appliquera la MHD aux problèmes ”réels”.

Les approximations liées à l’équation du mouvement (voir le paragraphe 4.3.1) étant déjà connues, nousallons plus particulièrement nous intéresser à la loi d’Ohm et aux hypothèses nécessaires afin d’obtenirl’expression de la loi d’Ohm en MHD idéale (8 = 1/4 = 0) ou plus simplement les limites de l’hypothèsedu champ gelé dans le plasma. A l’aide des équations de Maxwell, on a

#B

#t= !!"' #!"E

que l’on peut exprimer en faisant disparaître le champ électrique à l’aide de l’équation (4.46), pour obtenir

#B

#t=!"' # (!"u # !"B ! 8!"j ! 1

ne

!"j #!"B +

1ne

!"' ·)"p e !me

ne2

#!"j

#t) (4.84)

Afin de pouvoir simplifier cette expression, il est intéressant d’e!ectuer une analyse en ordre de grandeurterme à terme. On marquera le fait que nous ne nous intéressons qu’aux ordres de grandeur de cesquantités en mettant des crochets, par exemple [B] .

Terme !"u #!"B

Le premier terme de cette équation représente le champ électrique induit qui apparaît dans la descriptiondu champ gelé dans le plasma de la MHD idéale. Tous les autres termes doivent donc pouvoir êtrenégligés. Nous verrons que cela n’est pas le cas, la MHD idéale n’ayant de ce fait aucune justificationthéorique rigoureuse. Elle reste néanmoins très utilisée du fait des simplifications nombreuses qu’elleapporte aux problèmes physiques. Tous les autres termes de cette équation représentent donc des écartsà l’approche idéale.

Terme!"' ·)"p e

Afin de voir si ce terme peut être négligé, il su"t de le comparer au premier | !"u # !"B | . En regardantl’équation aux dimensions, on trouve

91

ne

!"' ·)"p e

:

9!"u #!"B: =

pe

neL· 1uB

=nekBTe

neuBL=

mev2the

euBL=

rce

L

vthe

u

où nous avons tenu compte de l’égalité n % ne, et exprimé la pression partielle des électrons en fonction dela vitesse thermique 31. La grandeur L représente l’échelle spatiale caractéristique du gradient de champmagnétique. Lorsque le gradient de pression divisé par le rayon de Larmor électronique 32 est beaucoup

29. Voir l’introduction pour plus de détails.30. Système simple peut-être mais qui reste dans son essence NON linéaire du fait que la force de Lorentz couple le champ

de vitesse et le champ magnétique.31. On suppose que l’on se trouve dans le cas d’une distribution maxwellienne, approximation fluide des équations MHD.32. Le rayon de Larmor est le rayon de gyration d’une particule chargée autour de ”sa” ligne de champ magnétique, il a

pour expressionrL =

vth

%c=

mvth

eB



plus important que le rapport de la vitesse des électrons sur la vitesse moyenne de l’élément fluide, alorsnous pouvons ignorer ce terme. Ceci se produit naturellement lorsque le plasma est su"samment froid,c’est-à-dire lorsque ' << 1.

Terme "!$j

"t

La dimension du rapport de ce terme avec le terme résistif 8!"j permet de montrer que la variation

temporelle du courant total!"j peut naturellement être négligée dans le cadre de la MHD puisque l’on

suppose des mouvements très lents, donc des temps caractéristiques très longs et des fréquences trèsbasses. En e!et, on montre que 9

mene2

"!$j

"t

:

98!"j: =

me

ne28-=

,

.ei

où - est le temps caractéristique des variations du courant que l’on remplace par son inverse, la fréquencecaractéristique ,. .ei est la fréquence de collision électrons-ions déduite de la définition de la résistivité 8.Le terme d’inertie des électrons peut donc être négligé lorsque la fréquence caractéristique du système estfaible (approximation des grandes échelles temporelles). Il est à noter que cette condition est parfaitementvérifiée dans le cas où .ei (= 0 dans notre approche fluide des grands mouvements mais di"cilementjustifiable dans le cas de la MHD idéale où .ei = 0. En fait, seuls les cas stationnaires (#/#t = 0)permettent de négliger ce terme de façon cohérente.

Terme!"j #!"B

Un problème similaire apparaît lors de l’étude du terme de Hall. En e!et, en faisant le rapport de ceterme avec le terme résistif, on obtient la relation

91ne

!"j #!"B

:

98!"j: =

B

ne8=

eB

me.ei=,ce

.ei

représentant le rapport entre la gyrofréquence électronique et la fréquence de collision. Dans la plupartdes cas, la fréquence de collision .ei est faible en comparaison de ,ce, si bien que négliger le terme deHall est très délicat. Ceci est plus particulièrement vrai en MHD idéale où .ei = 0. Seuls les plasmastrès collisionnels (.ei 7) se trouvant dans un faible champ magnétique (,ce 8) ne sont pas sensibles àcet e!et Hall. Pour tous les autres, et surtout pour les plasmas astrophysiques non collisionnels, le faitde négliger ce terme n’est pas justifiable.

A la lumière de cette discussion, en ne gardant que les termes dont l’élimination ne peut être justifiéede manière rigoureuse et en se plaçant dans le cas d’un plasma non collisionnel (8 petit, MHD idéale),l’équation (4.84) se réécrit :

#B

#t=!"' # (!"u #!"B ! 1

ne

!"j #!"B ! me

ne2

#!"j

#t) (4.85)

Pour aller plus loin dans la discussion, il est intéressant de continuer l’analyse dimensionnelle. En com-parant les deux derniers termes de gauche, on a

9mene2

"!$j

"t

:

91

ne

!"j #!"B

: =me

eB-=

me,

eB=

,

,ce

qui montre que ce rapport est toujours petit devant 1 (,ce >> ,, c’est l’hypothèse des variations lentes!!)et donc que le terme inertiel peut être négligé devant le terme de Hall

!"j #!"B . Finalement, la comparaison

entre les deux termes qui restent, le terme de convection !"u # !"B et le terme de Hall, nous donne, enremarquant que

!"' # !"B = µo

!"j et que le rapport entre la fréquence cyclotronique ,ce et la fréquence

plasma ,pe est égal à ,ce/,pe = B"o/ne

91

ne

!"j #!"B

:

9!"u #!"B: =

B

neµoLu=

c

u

c

,pe

1L

,ce

,pe



C’est une expression assez di"cile à estimer. Néanmoins, on voit que le rapport c/u est très grand(typiquement de l’ordre de 1000) et que le second rapport entre la longueur d’inertie des électrons c/,pe

et L est, quant à lui, petit. En supposant qu’ils s’annulent mutuellement en première approximation, onvoit que l’on pourra négliger le terme de Hall devant la convection si et seulement si ,ce << ,pe, inégalitéqui ne se rencontre que dans les plasmas très denses (tokamaks, coeur des étoiles, etc...) et sûrement pasdans le cas des plasmas spatiaux.

L’utilisation de la loi d’Ohm, dans le cas de la MHD idéale et même non idéale, où l’on néglige le termede Hall pour ne retenir que les termes les plus simples représente donc la partie la moins justifiée del’approche magnétohydrodynamique. C’est-à-dire lorsque l’on prend la relation

!"j = 4o(

!"E +!"u #!"B )

en supposant 4o (= 0 ou de manière encore plus simple!"E = !!"u #!"B en MHD idéale.

Ceci a une conséquence directe intéressante. En e!et, en reprenant l’équation (4.85) et en négligeant leterme inertiel du courant que l’on suppose petit, la loi d’Ohm se réécrit sous la forme

#B

#t=!"' # (!"u #!"B ! 1

ne

!"j #!"B ) (4.86)

que l’on peut modifier en utilisant les équations (4.38 à 4.41) et en se rappelant que lorsque me/mi << 1,!"u % !"u i et que la vitesse des électrons est régie par l’équation (4.45). On trouve alors

#B

#t=!"' # (!"u e #

!"B ) (4.87)

Sous cette forme, il devient clair que l’approche magnétohydrodynamique des plasmas non collisionnels(l’immense majorité des plasmas spatiaux !) lorsque l’e!et Hall n’est pas négligé montre que seule lacomposante électronique se trouve gelée dans le champ magnétique. Les lignes de champmagnétique se déplacent avec le fluide électronique tandis que la vitesse du centre de masse peut ne pasêtre alignée avec ce déplacement. La notion de champ magnétique gelé dans le plasma ne s’applique doncque lorsque les conditions sont telles que l’on peut négliger le terme de Hall, conditions qui ne sont querarement vérifiées en physique spatiale.


5. Notions élémentaires sur le transport

Les plasmas que nous avons jusqu’ici étudiés étaient dans l’ensemble hautement idéalisés, ils étaient infinis,uniformes et de plus ne possédaient qu’un seul type de population ionique (des protons). La réalité esttout autre, et une théorie pour être utile doit en tenir compte. En e!et, un plasma réel est le plus souventde taille fini (étoiles, galaxies, caissons de laboratoire, machines de fusion, etc...) et doit nécessairementfaire apparaître des zones de plus faible pression au niveau de ses bords. Cette non uniformité du plasmava se cumuler aux di!érents types d’interactions entre espèces possibles, interactions entre particuleschargées (interaction de Coulomb) et/ou interactions avec des particules neutres (collisions ”boule debillard”). Toutes ces conditions vont aboutir à des déplacements plus ou moins organisés de matière quel’on qualifie du terme générique de transport. Dans cette introduction, nous laisserons volontairementle problème du ”transport” radiatif ou de rayonnement de côté du fait de sa complexité, problème quin’a d’ailleurs toujours pas reçu de réponse définitive et qui est toujours un domaine central de recherchepour bon nombre d’astrophysiciens.

Ce phénomène de transport sera principalement décomposé en deux parties distinctes : (i) une partiedécrivant le transport d’énergie sous forme électrique, on parlera alors de conductivité du plasma et(ii) d’une partie décrivant le transport d’énergie thermique, on parlera dans ce cas de di!usion. Cesdeux notions sont en fait intimement liée puisqu’elles découlent in-fine du même mécanisme de base :l’existence de collisions entre particules. Cette séparation permettra toutefois de mettre en valeur lesdi!érentes contributions venant du champ électrique et du gradient de densité.

Par définition, une collision entre particules correspond au changement petit mais brusque du vecteurvitesse, provoquant le ”saut” de ces particules d’une orbite gyro-magnétique à une autre, et à un déplace-ment d’ensemble des centre-guides. Après un nombre su"sant de collisions, les particules se retrouventà des distances significatives de leur position initiale. Dans un plasma non uniforme, cette di!usion desparticules correspond au déplacement des particules des zones de forte densité vers les zones de faibledensité, avec pour résultat un lissage du gradient de pression. L’outil de base d’une théorie rigoureuse dece phénomène est bien évidemment l’approche statistique (théorie cinétique) dont la résolution est encoreloin d’être achevée. Du fait de sa complexité, une telle approche n’est pas envisageable dans ce cours,aussi allons nous lui préférer l’approche fluide, moins rigoureuse mais beaucoup plus simple.

En raison de leur faible masse, les électrons sont animés de vitesses supérieures à celles des autres com-posantes. Ils peuvent donc propager de l’énergie (thermique ou électrique), rapidement et loin. Lesespèces lourdes participent aussi à ce transport mais de manière plus modeste. Cette dissymétrie entreespèces peut être mise à profit dans la construction d’un modèle simple décrivant les phénomènes de trans-port 1. En e!et, la prépondérance de la composante électronique va nous permettre des raisonnementsapproximatifs aboutissant à des résultats limités, corrects qualitativement et en ordre de grandeur.

5.1 Transport dans un plasma faiblement ionisé

Comme première étape à notre analyse, la situation de loin la plus accessible concerne les plasmas faible-ment ionisés en l’absence de champ magnétique. Dans ce cas particulier, les collisions sont majoritairementdes collisions électrons-neutres, .en. La dynamique du plasma est alors dominée par ce type de collisionet l’équation de Vlasov se doit d’être abandonnée au profit d’une équation plus générale, l’équation deBoltzmann (3.20).

La détermination du terme de collision est le plus souvent très délicate mais l’approche fluide danslaquelle nous nous limitons, nous permet de simplifier sa détermination en supposant qu’il se traduit parun terme de friction décrivant la perte d’impulsion sous l’e!et des collisions. L’équation du mouvementde la population électronique s’écrit alors sous la forme :

neme

L#!"u e

#t+<!"u e ·

!"'x

=!"u e

M= neqe

!"E !

!"'xpe + (

!"F coll)e (5.1)

1. On parlera de gaz de Lorentz pour décrire ce type de plasma où les ions sont supposés immobiles et où toute ladynamique repose sur les électrons.

79

5.1 TRANSPORT DANS UN PLASMA FAIBLEMENT IONISÉ Page 80

où nous avons supposé un plasma possédant une pression isotrope (scalaire). Le terme de friction (!"F coll)e

représente symboliquement le changement moyen d’impulsion des électrons sous l’e!et des collisions avecles neutres. Ce terme de relaxation peut être exprimé sous une forme phénoménologique comme le produitde la di!érence des vitesses entre projectile et cible avec une fréquence ”e!ective” de collision, supposéeconstante, décrivant le transfert d’impulsion électrons-neutres. On pose

(!"F coll)e = !mene/en(!"u e !!"u n) , !mene/en

!"u e (5.2)

où !"u n représente la vitesse d’ensemble des neutres. Dans les faits, cette vitesse étant beaucoup plus faibleque celle des électrons (population très légère !!), on a !"u n << !"u e, et on la négligera systématiquementdevant celle des électrons 2. Le signe moins dans l’expression de la force de collision signifie juste que lesélectrons, population très rapide, est nécessairement freinée par les neutres.

5.1.1 Equation de Langevin

La situation la plus simple concerne la dynamique des électrons en l’absence de force électrique et degradient de pression, l’équation (5.1) se réécrit

neme

L#!"u e

#t+<!"u e ·

!"'x

=!"u e

M= neme

d!"u e

dt= !mene/en

!"u e (5.3)

équation qui a pour solution!"u e(t) = !"u e(0)e!(*ent) (5.4)

Les collisions électrons-neutres ont pour conséquence de ”freiner” les électrons exponentiellement dans letemps, et ce, à un taux dépendant de la fréquence de collision /en.

5.1.2 Définition des coe"cients de di!usion

Si l’on suppose que nous nous trouvons dans le cas d’un plasma fortement collisionnel, le temps caractéris-tique d’évolution est très supérieur à 1//en. On peut alors estimer qu’un régime permanent est atteint(#ue/#t = 0), et que les particules fluides n’ont pas le temps de ”voir” changer les champs électriques etles gradients de pression entre deux collisions, le second terme de l’équation (5.1) est donc aussi nul 3.L’équation (5.1) se réécrit sous une forme simple

!nee!"E !

!"'xpe !mene/en

!"u = 0 (5.5)

C’est-à-dire

!"ue =!e

me/en

!"E ! 1

mene/en

!"'xpe =!e

me/en

!"E ! kBTe

mene/en

!"'xne = !µe!"E !De

!"'xne

ne(5.6)

où l’on a supposé que la pression partielle des électrons du plasma pouvait être modélisée par l’équationdes gaz parfaits (pe = nekBTe) et que le plasma était isotherme. Cette expression permet de mettre enévidence deux coe"cients distincts pour la population électronique : (i) le coe"cient de mobilité, µe

et (ii) le coe"cient de di!usion, De, tels que :

µe =e

me/en(5.7)

De =kBTe

me/en(5.8)

Leur signification peut être explicitée assez simplement, en séparant la contribution de ces deux coe"cientsdans l’expression de l’équation (5.5).

2. Sans aller jusque là, il su"t de supposer que les neutres ne possèdent pas de vitesse moyenne (un = 0) mais seulementune vitesse aléatoire, thermique, qui elle peut être grande.

3. La suppression au premier membre de l’équation (5.3) du terme (!"u ·!"#)!"u a le mérite d’éliminer un terme non linéaire

di"cile à résoudre autrement. Il suppose implicitement que nous négligeons tout espèce de transport convectif dans leplasma (!"u est supposée très faible).



Coe"cient de mobilité

Dans le cas d’un plasma uniforme (p = cte) et en l’absence de champ magnétique, l’équation (5.5) s’écrit

!nee!"E !mene/en

!"ue = 0 (5.9)

Cette équation ne fait que traduire le fait que l’accélération du champ électrique est exactement contre-balancée par le freinage dû aux collisions. Par définition, le courant

!"j s’écrit en fonction de la vitesse

d’ensemble des électrons. !"j = !ene

!"ue (5.10)

En combinant les équation (5.9) et (5.10), on trouve

!"j =

nee2

me/en

!"E = 4

!"E

expression qui représente ni plus ni moins que la loi d’Ohm dans le cas d’une conductivité constante.

Puisque le coe"cient de mobilité µ défini par l’équation (5.6) est le rapport de la vitesse moyenne !"u auchamp électrique

!"E , on trouve

µe =e

me/en=

4

nee

Le coe"cient µe est donc une mesure de la conductibilité du plasma (mobilité des électrons !) en présenced’un champ électrique. On déduirait de la même manière une conductivité pour la population ionique.

coe"cient de di!usion

Pour justifier le nom donné à D, il est plus rapide de raisonner à partir de l’équation de conservationdu nombre de particules. Si l’on suppose, là encore, que le plasma est isotherme et que le gradient depression est dû à la seule variation de la densité, on obtient

#

#t(ne) +

!"'x · (ne

!"ue) = 0

En l’absence de champ électrique, il est aisé d’utiliser l’équation (5.5) afin d’éliminer la vitesse moyenne!"u , après calculs on trouve

#

#t(ne) = !!"'x · (ne

!"ue) =kBTe

me/en'2

x ne = De '2x ne

Cette relation est connue, en mécanique statistique, sous le nom d’équation de Fick et est caractéristiqued’une loi de di!usion (avec le coe"cient D mesuré en m2s!1) due à une marche au hasard 4. Ceci ne doitpas nous étonner outre mesure puisque l’approche fluide que nous venons d’utiliser repose implicitementsur l’hypothèse fondatrice du ”chaos moléculaire” ou pour le dire autrement, de collisions totalementaléatoires 5. Cette équation démontre que le flux total de particules se fait des régions les plus densesvers les régions les moins denses. Ce flux doit être clairement proportionnel au gradient de densité.

Il est à noter que la loi de Fick n’est pas toujours vérifiée dans les plasmas, et plus particulièrementdans les plasmas non collisionnels. En e!et, du fait de l’existence d’une force électrique à long rayond’action, le mouvement des particules peut être corrélé. De la même façon, le plasma peut être le siègede mouvements organisés à grande échelle (les ondes !!), et donc induire une di!usion (un déplacement)des particules très éloignées de la marche aléatoire.

Une relation simple existe entre ces deux coe"cients, appelée relation d’Einstein. On a

µe =e

kBTeDe (5.11)

Dans un plasma faiblement ionisé, il existe aussi des ions pour lesquels on peut définir une mobilité etun coe"cient de di!usion. Il su"t de remplacer dans les expressions obtenues le e par i.et de mettre

4. où marche de l’ivrogne. Ce modèle est le plus simple permettant de décrire un processus essentiellement aléatoire.5. C’est toujours agréable de rencontrer un modèle physique (l’approche fluide) cohérent avec lui-même...



devant µi un moins. On obtient respectivement pour la mobilité et la di!usion de la population ionique,les termes

µi =e

mi/in

Di =kBTi

mi/in

où pour plus de simplicité, nous avons supposé des particules ionisées une fois. Comme ces équationsle mettent en évidence, ces coe"cients sont plus faibles pour les ions dans le rapport des masses. Lesions réagissent moins vite à une sollicitation extérieure et peuvent en particulier conserver une densitéuniforme alors que celle des électrons subit des variations dans l’espace. Il apparaît dans ce cas un champde charge d’espace, capable à son tour d’entraîner les ions. Ce mécanisme, spécifique des plasmas, va êtreanalysé dans le cadre d’un modèle simple.

5.1.3 La di!usion ambipolaire

Les coe"cients définis jusqu’ici ont été déterminés en négligeant totalement les interactions entre par-ticules chargées. Cette simplification n’est pas toujours possible, en fait, elle est, la plupart du temps,non justifiée. Pour s’en rendre compte, il su"t de comparer les forces mises en jeu dans ces di!érentsmécanismes de transport. Grâce aux équations de Maxwell, nous savons que toute variation de densitéentre populations ionique et électronique crée un champ électrostatique

!"E de charge d’espace de la forme

!"$ ·!"E =!total

"o=

e(ni ! ne)"o

(5.12)

où l’on a supposé des ions chargés une fois. Afin d’estimer l’importance relative de ce champ électrique decharge d’espace dans les problèmes de di!usion, une analyse dimensionnelle est su"sante. Si l’on supposeque la longueur caractéristique du système est L, alors l’équation (5.12) se réécrit

E 9 enL

"o(5.13)

Si bien que la force électrique FE s’exerçant sur les particules chargées est donnée par l’expression

FE 9 enE 9 e2n2L

"o(5.14)

Dans le même temps, la force induisant la di!usion est la force liée aux collisions Fcoll, en utilisant leséquations (5.2) et (5.6), on trouve

Fcoll 9 mn/n!"u = mn/nD

!"'xne

ne9 nkBT

L(5.15)

Le rapport de ces deux forces donne alors

FE

Fcoll9 ne2

"okBTL2 9 L2

)2D

>> 1

La longueur de Debye est en e!et généralement toujours très petite devant les dimensions caractéristiquesdu plasma. Cette relation démontre que l’on ne peut pas négliger les phénomènes de charge d’espacedans l’étude des mécanismes de di!usion. Il va nous falloir revenir sur la détermination des coe"cientsD mais en tenant compte des phénomènes de charge d’espace.

Prenons le cas simple d’un plasma isotherme (T = cte), avec comme condition nécessaire qu’il soitélectriquement neutre (!e = !!i) du fait de la très grande amplitude de la force électrique, et sanscourant macroscopique !"j . En régime permanent, les équations de conservation de la charge pour lesdeux populations s’écrivent :

N !"'x · (ne!"ue) = 0

!"'x · (ni!"ui) = 0


5.2 DIFFUSION EN PRÉSENCE D’UN CHAMP MAGNÉTIQUE Page 83

système qui nous donne la relationni!"ui = ne

!"ue +!"C

où le vecteur!"C est une constante. Ce vecteur est nécessairement nul car il représente la densité de

courant macroscopique (!"C = ni

!"ui ! ne!"ue) qui est nulle dans le plasma. La condition de neutralité

impose alors l’égalité!"ue = !"ui (5.16)

relation qui traduit le phénomène d’entraînement des ions (accélération) par le champ électrique et dansle même temps le ralentissement des électrons. En reprenant l’équation (5.6) pour les deux espèces departicules, on a

!"ue = !µe!"EA !De

!"'xne

ne

!"ui = µi!"EA !Di

!"'xni

ni

où!"EA représente le champ électrique vu par les deux espéces que l’on appelera le champ électrique

ambipolaire. En faisant tomber les indices devenus inutiles (n = ne = ni et !"u = ue), on trouve alors

!"u = !"ue = !"ui = !µe!"EA !De

!"'xn

n= µi

!"EA !Di

!"'xn

n

d’où l’on tire l’expression finale du champ électrique!"EA.

!"EA =

Di !De

µe + µi

!"'xn

n

La vitesse commune aux électrons et aux ions se met alors sous la forme

!"u = !DA

!"'xn

n

avec DA le coe"cient de di!usion ambipolaire

DA =µeDi + µiDe

µe + µi(5.17)

Dans le cas usuel où µe >> µi (la conductibilité étant inversement proportionnelle à la masse), on peutassez facilement estimer la valeur de ce coe"cient. L’équation (5.17) se simplifie et l’on trouve

DA , Di +µi

µeDe = Di +

Te

TiDi (5.18)

où l’on a utilisé la relation d’Einstein (5.11) afin de faire disparaître la conductibilité µ. Cette dernièreexpression montre que lorsque l’on a Te % Ti le coe"cient de di!usion ambipolaire est égal à DA , 2Di,ce qui montre que :– l’e!et du champ électrique ambipolaire est d’augmenter (d’accélérer) la di!usion de la population la

plus lourde. Ce sont les électrons qui ”tirent” les ions vers les zones de basse densité– le taux de di!usion DA commun aux deux espèces est essentiellement contrôlé par la population la plus

lente. Les électrons sont donc ralentis (freinés) par les ions. Le taux de di!usion DA se trouve entreDe et Di, les coe"cients sont calculés en négligeant toute interaction entre particules chargées.

Cet e!et se produit quel que soit le degré d’ionisation du plasma. Néanmoins, le raisonnement reposantsur l’expression de la force de collision Fcoll, les formules précédentes n’ont de sens que pour les gazfaiblement ionisés.

5.2 Di!usion en présence d’un champ magnétique

La présence d’un champ magnétique se traduit par (i) l’introduction d’un terme de force supplémentaireet (ii) l’apparition d’une anisotropie de l’espace qui auront comme conséquence une modification des coef-ficients de di!usion. En fait, une méthode usuelle de confinement du plasma consiste en l’application d’un



Figure 5.1: Phénomène de di!usion des centres-guide sous l’e!et de collisions particules chargées-neutres. Cettedi!usion des particules chargées serait impossible en l’absence de collision.

fort champ magnétique. Les particules chargées tournent alors autour des lignes de champ magnétiqueet restent donc confinées dans un espace de l’ordre de la longueur de gyration !c. Dans un cas réel, ceconfinement va se trouver contrecarré par les phénomènes de collision entre atomes neutres et particuleschargées. Ce comportement particulier est illustré par la figure (5.1) qui montre le déplacement globald’un centre-guide à travers les lignes de champ magnétique.

Quand une particule chargée rencontre une particule neutre, la direction de son vecteur vitesse changed’un angle quelconque. Ceci a pour conséquence que la particule continue de tourner autour d’une autreligne de champ dans le même sens mais avec une phase qui change discontinuement, et donc autourd’un autre centre-guide. Le rayon de Larmor peut lui aussi être modifié si la particule acquiert del’énergie perpendiculaire durant la collision mais cela n’est pas essentiel à la compréhension du processusde di!usion. Par mesure de simplicité, nous supposerons alors que la collision ne change pas l’énergie dela particule et donc que le rayon de gyration reste le même.

Si l’on ne s’intéresse qu’à la population électronique, les équations fluides du mouvement nous permettentd’écrire en régime stationnaire

neqe(!"E +!"u e #

!"B )!!"'xpe !mene/coll

!"u e = 0 (5.19)

où /coll représente la fréquence de collision qui sera précisée par la suite. Il est à noter que l’utilisationde l’hypothèse d’un régime stationnaire n’est pas en contradiction avec l’évolution du plasma. Si l’onsuppose un plasma ”réaliste” avec une forte densité en son centre et une faible sur les bords, la densitéélectronique peut diminuer au cours du temps. Le régime stationnaire signifie juste que nous étudionsle système sur des échelles de temps beaucoup plus petites que le temps moyen caractéristique de ladécroissance de cette densité. La présence du champ électrique ne peut être négligée afin de tenir comptede la di!usion ambipolaire liant les électrons et les ions.

Il est naturel de décomposer l’équation (5.19) suivant les directions parallèle et orthogonale à celle duchamp magnétique. On posera alors

!"u e = !"u " +!"u # et!"E =

!"E " +

!"E#

Evidemment, nous avons!"u " #

!"B = 0

si bien que le long des lignes de champ, on obtient l’équation de transport (5.5) qui nous a permisde trouver les coe"cients de di!usion en l’absence de champ magnétique. Le problème se réduit donc àl’étude de ce qui se passe dans les directions perpendiculaires. L’équation du mouvement dans la directionperpendiculaire prend la forme

neqe(!"E# +!"u e# #

!"B )!

!"'#pe !mene/coll

!"u e# = 0 (5.20)

Afin d’extraire la vitesse perpendiculaire de cette expression, il su"t de multiplier vectoriellement à droitepar

!"B . On trouve alors

neqe(!"E# #

!"B ) + neqe(!"u e# #

!"B )#!"B !

!"'#pe #

!"B !mene/coll

!"u e# #!"B = 0

neqe(!"E # #

!"B )! neqe

!"u e#B2 !!"'#pe #

!"B !mene/coll

!"u e# #!"B = 0



Dans cette expression, nous pouvons éliminer !"u e# #!"B en utilisant l’équation (5.19), ce qui permet

de séparer le vecteur vitesse des autres quantités. En faisant apparaître explicitement la fréquence degyration des électrons #ce = eB/me, et après réorganisation des termes, on trouve

!"u e#(/2coll + #2

ce) = #2ce

!"E# #

!"B

B2! #2

ce

qn

!"'#p#!"BB2

+qe

me/coll

!"E# !

/coll

mene

!"'#pe (5.21)

L’équation (5.21) a le mérite de mettre en évidence sous une forme connue les vitesses de dérive décritespar l’équation (4.24) obtenues dans l’approche fluide (dérive !"v

d!$E"*!$

Bet diamagnétique !"v

d!$+"p

). Ces

dérives ne contribuent pas au transport dans les directions!"E# ou

!"'#p 6. Cette équation peut s’exprimer

sous une forme plus compacte, on trouve

!"u e# =#2

ce

(/2coll + #2

ce)(!"v

d!$E"*!$

B+!"v

d!$+"p

) +qe

me

/coll

(/2coll + #2

ce)!"E# !

/coll

mene

1(/2

coll + #2ce)!"'#pe

!"u e# =1

(1 + /2coll-

2ce)

(!"vd!$E"*!$

B+!"v

d!$+"p

)

+qe

me/coll

1(1 + #2

ce-2coll)

!"E# !

1mene/coll

1(1 + #2

ce-2coll)

!"'#pe (5.22)

avec -ce et -coll respectivement, la période cyclotronique électronique et le temps séparant deux collisons.Dans le cas d’un plasma isotherme, (T = cte), un parallèle peut être fait avec les coe"cients trouvésprécédemment en l’absence de champ magnétique (équations 5.7 et 5.8), on peut alors poser

!"u e# =1

(1 + /2coll-

2ce)

(!"vd!$E"*!$

B+!"v

d!$+"p

) +µe

(1 + #2ce-

2coll)

!"E# !

De

(1 + #2ce-

2coll)

!"'#ne

ne(5.23)

Le même type de calcul appliqué aux ions donnerait un résultat analogue, il su"t de remplacer les epar des i et de changer de signes les deux derniers termes, pour obtenir la vitesse perpendiculaire desions. Il est à noter que les termes de masse apparaissant alors dans l’équation (5.23) font intervenir nonpas la masse des ions seules mais bien plutôt une masse réduite, di!érente suivant que les collisions sefont sur des électrons, sur d’autres ions ou sur des neutres. Les coe"cients de mobilité et de di!usionélectroniques, en présence d’un champ magnétique, s’écrivent alors

µe# =µe

(1 + #2ce-

2coll)

(5.24)

De# =De

(1 + #2ce-

2coll)

(5.25)

Les équations (5.22), (5.24) et (5.25) appellent di!érentes remarques que l’on peut résumer de la sorte :1. La vitesse perpendiculaire est essentiellement constituée de deux parties distinctes : (i) La première,

liée aux dérives usuelles !"vd!$E"*!$

Bet !"v

d!$+"p

, dont les valeurs sont réduites par l’existence decollisions au sein du plasma. Dans le cas où ces collisions avec les neutres deviennent négligeables(/coll !" 0), le coe"cient de ”freinage” 1/(1+ /2

coll-2ce) disparaît et l’on retrouve les dérives usuelles

déduites de l’équation de Vlasov. (ii) La seconde partie est nouvelle. Elle met en évidence unedérive, un déplacement, dans la direction du champ électrique perpendiculaire et le long du gradientde densité. Là encore, ces coe"cients de transport prennent la même forme que dans le cas (

!"B = 0),

au facteur de réduction 1/(1 + /2coll-

2ce) près.

2. Le facteur /coll-ce est donc une quantité très importante lorsque l’on désire confiner un plasma.Comme nous l’avons déjà vu précédemment, lorsque /2

coll-2ce << 1, le champ magnétique a peu

d’e!et sur la di!usion, et nous nous trouvons en face d’un plasma non magnétisé. A l’inverse,lorsque /2

coll-2ce >> 1 le champ magnétique devient important, le plasma est dit magnétisé. Il

réduit dans de grandes proportions le taux de di!usion dans la direction perpendiculaire, et donc,autorise un meilleur confinement du plasma dans les machines de fusion thermonucléaire.

6. En e!et, la dérive!"E %!"

B déplace dans son ensemble tout le plasma, et donc, n’induit aucun transport d’une populationpar rapport à une autre. D’autre part, nous avons vu que la dérive due au gradient de pression

!"#p n’apparaît que lorsde moyennes sur de petits volumes de l’espace et ne correspond pas à un déplacement des centre-guides. Là encore, aucuntransport de masse ou d’énergie n’a lieu.


5.3 TRANSPORT DANS UN PLASMA COMPLÈTEMENT IONISÉ Page 86

3. Dans le cas limite où /2coll-

2ce >> 1, le coe"cient de di!usion (5.25) se réécrit sous la forme

De# ,De

#2ce-

2coll

=kBTe

me#2ce

/en (5.26)

Si bien que le rôle des collisions se trouve inversé par rapport au coe"cient de di!usion déterminéen l’absence de champ magnétique. Dans la direction perpendiculaire à

!"B , D# est proportionnel

à la fréquence de collision. Ceci peut s’expliquer simplement en se rappelant que la di!usionperpendiculaire au champ magnétique

!"B fait nécessairement intervenir des collisions comme cela

est mise en évidence par la figure (5.1).Ces calculs simples ont été e!ectués dans le cadre d’un plasma faiblement ionisé où seules les collisionsentre particules chargées et les neutres étaient prises en compte. On peut se demander s’il est possiblede faire le même type de calcul dans le cas limite opposé où seules les collisions entre particules chargées(collisions coulombiennes) sont prises en compte.

5.3 Transport dans un plasma complètement ionisé

On suppose que le plasma est totalement ionisé et que les seules espèces en présence sont les ions et lesélectrons. Les équations du mouvement vont donc faire apparaître une force de ”friction” où intervient lafréquence de collision électrons-ions .e!i déterminée dans la section (3.2).

5.3.1 Di!usion en l’absence de champ magnétique

En supposant dans un premier temps qu’il n’y a pas de champ magnétique, les équations du mouvements’écrivent en régime stationnaire sous la forme :

neqe!"E !!"'xpe !mene/ei(!"u e !!"u i) = 0

niqi!"E !!"'xpi + mene/ei(!"u e !!"u i) = 0

où le dernier terme représente le transfert de quantité de mouvement d’une population à l’autre 7, faisantintervenir la fréquence de collision /ei électrons-ions. L’une ou l’autre de ces équations fournit la densitéde courant voulue en la multipliant par !e. Dans le cas des électrons, on trouve :

!"j = !ene(!"u e !!"u i) =

nee2

me/ei

!"E +

e

me/ei

!"'xpe

ne= 4!"E +

ekBTe

me/ei

!"'xne

ne

où nous avons utilisé là encore l’hypothèse isotherme pour expliciter la pression p du plasma. On retrouvel’expression obtenue dans le cas d’un plasma faiblement ionisé,

4e =nee2

me/ei= neeµe (5.27)

De =ekBTe

me/ei(5.28)

Mobilité, conductivité électrique et coe"cients de di!usion gardent la même forme à ceci près que lafréquence de collision qui intervient dans ces expressions est di!érente. L’équation (3.46) obtenue auparagraphe 3.2.4, prend la forme

/e!i =,pe

$eiln($ei)

La conductivité s’écrit par exemple,

4e =nee2

me/ei= "o

,2pe

/ei= "o,pe

$ei

ln($ei)

expression que l’on peut aussi écrire en remplaçant la fréquence de collision par l’équation (3.45). Ontrouve alors

4e =4$"2o2

me

(kBTe)3/2

Z2e2

1ln($ei)

(5.29)

7. Cette force de ”friction” est négative dans le cas des électrons (!"u e > !"u i), ce qui traduit un ralentissement de cettepopulation et positive dans le cas de la population ionique. Cette population plus lente étant entraînée à la suite desélectrons.


5.3 TRANSPORT DANS UN PLASMA COMPLÈTEMENT IONISÉ Page 87

Cette dernière relation a le mérite de mettre en évidence la faible dépendance en densité de 4e à traversle logarithme coulombien. Bien sûr la conductivité est proportionnelle au nombre de porteurs de chargerapides (les électrons) mais elle est aussi inversement proportionnelle à la fréquence de collisions donc àla densité des ions. Les deux termes se compensent alors dans un plasma électriquement neutre (ne %ni % n).

Pour la population ionique, on obtiendrait des coe"cients ayant une forme analogue.


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