<
Maths
350
1lim 0
x x
1lim 0
x x
0
1limx x
0
1limx x
limx
x
1lim 0
x x
1lim
x a x a
1limx a a x
nx
n
lim n
xx
lim n
xx
n
lim n
xx
n
1lim 0nx x
00
0
0
0
0
0 0
x
x
x0x
x0x
uvff v u abc
limaxu x b
lim
x bcv x
lim
axcf x
g x f x h x limax
g x
limaxh x
lim
axf x
f x g x limax
g x
limax
f x
f x g x limax
g x
limax
f x
f x g x lim 0ax
g x
limax
f x
0
sinlim 1x
xx
0
tanlim 1x
xx
0
sin limsin x
xx
0
1 coslim 0x
xx
20
1 cos 1lim2x
xx
<
Maths
351
f fC ; ,O i j
0
limx x
f x
0
limx x
f x
fC
0x x
0limx
f x y
0limx
f x y
fC
0y y
lim 0x
f x a x b
lim 0x
f x a x b
fC
y a x b
limx
f x
y a x b ( )
limx
f xx
0( )
limx
af x
ax
( )
limx
f xx
( )
lim 0x
f xx
limx
f x a x
limx
f x a x
limx
f x a x b
limx
f x
y a x b ( )
limx
f xx
fC x x fC y y
fC
y a x b fC
y a x
<
Maths
352
fIa
fa limx a
f x f a
fa 1limx a
f x f a
1 1 2
fa fa 2limx a
f x f a
2
fI fI
I f I f I
;a b ;f a f b ;f b f a ;a b ; lim
x bf a f x
lim ;x b
f x f a
;a b lim ;x a
f x f b
; limx a
f b f x
;a b lim ; limx a x b
f x f x
lim ; limx b x a
f x f x
f;a b k f a f b
f x k;a b
f;a b k
f a f b f x k;a b
f;a b 0f a f b
ab 0f
f;a b 0f a f b
0f x ;a b
<
Maths
353
ffDafD
fa limx a
f x f af a
x a
fa lim dx a
f x f af a
x a
d gf a f a
fa fa lim g
x a
f x f af a
x a
u v a u u v 1v
uv
u nu u v
u v a u
u v v u
2vv
2
u v v uv
2u
u
1 nn u u 1n .v u v
f x f x
0 a a 1 x a a x
1. nn x nx 1n
2
1x 1
x
1nn
x 1
nx 1n
0; 1
2 x x
xsin cos x cos x xsin sin a a x b cos a x b cos a a x b sin a x b
<
Maths
354
0
0
0lim
x x
f x f xa
x x
f0x
0f x a
fC 0 0;A x f x
0 0 0y f x x x f x
0
0
0lim 0
x x
f x f xx x
f0x
0 0f x
fC 0 0;A x f x
0y f x
0
0
0lim
x x
f x f xa
x x
f
0x 0df x a
fC 0 0;A x f x
0 0 0dy f x x x f x
0
0
0lim
x x
f x f xb
x x
f
0x 0gf x b
fC 0 0;A x f x
0 0 0gy f x x x f x
0
0
0
0
0
0
lim
lim
x x
x x
f x f xx x
f x f xx x
f
0x
0 0g df x f x
fC 0 0;A x f x
A
0
0
0lim
x x
f x f xx x
f
0x
fC 0 0;A x f x
0x x
0
0
0lim
x x
f x f xx x
f
0x
fC 0 0;A x f x
0x x
0
0
0lim
x x
f x f xx x
f
0x
fC 0 0;A x f x
0x x
0
0
0lim
x x
f x f xx x
f
0x
fC 0 0;A x f x
0x x
<
Maths
355
fCf y a x b
f x y
0f x y fC
0f x y fC
0f x y fC
f
fx Dfx D
f x f x
fC
f
fx Dfx D
f x f x
fCO
; fC
fx D 2 fx D
2 2f x f x
x fC
fx D 2 fx D
2f x f x
<
Maths
356
fC gCfg ; ,O i j
f x g x b fC gCb j
f x g x a fC gCa i
f x g x a b fC gC ;v a b
f x g x fC gC f x g x fC gC
f x g x fC gC
f x g x
0x f x g x fC gC
0x f x g x fC gC
f
f x g x 0g x f x g x fC gC
0g x f x g x fC gC
fCf y a x b
m
f x m fC
f x a x m fC
f x m x b fC 0;b
2f x m
f x m
fC
2y my m
f x f m fC
y f m
http://touamimaths.webnode.fr
(01) :
: :
01
1 xxxx
24 2lim41
21lim
xx
x
2 72lim 23
xxx
53
2lim
3
xxx
x
3 2lim 47
xxx
6113
lim6
5
xxxx
x
02
122
lim2
2
xxx
x4
)1)(4(23
lim2
4 xxxx
x
225
103lim
2
2
5
xxx
x522 )2(
212lim
xx
x
334
35lim
2
2
1
xxxx
x6
1510105146
lim2345
23
1
xxxxxxxx
x
03
1x
xx 2
3lim
24
132
lim31
xx
x
230lim
x
x
x 5
xx
xx
2
2
0
1lim
33
9lim
2
3
x
x
x 6
1232
lim2
3
xxx
x
04
13
3lim
3
x
xx
5642
2lim
24
x
xx
22
2lim
2
xx
x 6
12
lim2
xx
x
أتمنى لكم التوفیق األستاذ توامي عمر في خدمتكم[email protected]
http://touamimaths.webnode.fr
3 3lim 2
xxx
724
11lim
0
x
xxx
4 124lim 2
xxxx
8xxxx
xxxx
22
22
2 12
1143lim
05
1x
xx 3sinlim
05
xx
x tan12sin2
lim4
2xx
x sin2sin
lim0
6
23
sin
1cos2lim
3
x
x
x
3x
xx
sinlim
07
xxxx
x cossin1cossin1
lim2
4x
xx sin
cos1lim
0
8)2sin()2tan(
5tan.lim
0 xxxx
x
06
11f 1ℝ 2)1(
x
xxf
2I1Ix 610xf
0712f
21
15
x
xxf
2 1;1x 1000xf 08
f 1416
xx
xf AAx 6,1;4,1xf
09
x
x
x
)1(42lim
1
cos3lim
xxx
x
أتمنى لكم التوفیق األستاذ توامي عمر في خدمتكم[email protected]
http://touamimaths.webnode.fr
10
4xx tan2cos2 xx
-2cos2
1tanlim
4
x
x
x
11f
1
)sin1(2
xx
xxxf
1f
2xxxx
21
12
3x 24xxf f
12f xxxxf 12 2 1xxx 212 2 xℝ+ )(lim xf
x
2)(lim xfx
13
f 1
sin.22
x
xxxf
1f
21x 1
22
x
xxf
3f
14 n
24lim 11
xxxn
x
243
lim9
48
xxxxx n
x
15
nm1
)1.....(.lim
21
1
m
nnn
x x
xxxn
لكم التوفیق األستاذ توامي عمر في خدمتكمأتمنى [email protected]
http://touamimaths.webnode.fr
16
xx
x
x
x
x
xx 444
......21
lim
17
f 9235423
5522
2
xxx
xxxf
1fDf
2xfD
72354
134
223
335
2
22
1
2
2
xx
x
x
x
x
xxf
3 18977
lim1
xfx
18
fℝ
1;15,0
1;22
xxxf
xxxxf
fℝ
19
f 2
11.2
xxxf
1f 2f 3 12 ff10 x
20
f 143.1
21232
2
xxx
xxxf 12 f
f20 x 21
f
1;1
2
1;12
xx
xx
xxxxf
f10 x .
أتمنى لكم التوفیق األستاذ توامي عمر في خدمتكم[email protected]
http://touamimaths.webnode.fr
22
fℝ
0
0;42 2
f
xx
xxxf
fℝ
23
;0f
2;1
2;
coscos
cos
xxf
xxx
xxf
f20x .
24
f
34
sin2
3
xxx
xf
1f 2f 3f
25
fCf 1f 2 xf ,0,4, 3f 4 fC 5 f 3;11 I ;22I 0;43 I 4;4 I
26
f*ℝ x
xxf 1
1h 2
11)1(
3311 2
hh
hhh
fhf
2f1 1f 3f1
2 3 4-1-2-3-4-5-6-7
2
3
-1
-2
-3
-4
-5
-6
0 1
1
x
y
أتمنى لكم التوفیق األستاذ توامي عمر في خدمتكم[email protected]
http://touamimaths.webnode.fr
27 fCfℝ 12 xxxf 1fℝ
20h hh
hhhf
211
3 hhf 11 h0
4 fC
28
f x
xxxf
1
)1(2
1f 2f01 3 xf
29fℝ 12 xxxf 1x xfxfx 12 2x 0.12 xfxfxxfx
30fℝ fC T0 1 )0(f )1(f T 2 fC T 3 3)( xf3)( xf0)( xf 0)( xf
30 f ;x 2cos3cos3 xxxf
( T )
(Cf )
2-1-2-3
234
-10 1
1
x
y
األستاذ توامي عمر في خدمتكمأتمنى لكم التوفیق[email protected]
http://touamimaths.webnode.fr
31fℝ
1.3
2
2
xbxax
xfab
fC ab fC34 xy0
32
afℝ xxxaxf 33. 23 af1x
33fff ,,)(nffℕn
f 0 ℝ x
xf1
1 xf xf xf
2n 1
)( !)1(
n
nn
x
nxf
34
04335 xxx 1;0
35
0123 xx
21
;41
36
f 2;1 124 xxxf 1f 2 3xf 2;1 3210
37
xx
cos22
1
0;
2
أتمنى لكم التوفیق األستاذ توامي عمر في خدمتكم[email protected]
http://touamimaths.webnode.fr
381: xxf 3: xxg
fC gCfg0x
83
87
0 x
39101. xxx
21
41
201. xxx
401043 xxℝ310 2 43 xxℝ
41 Cxx cos
dxx23 0;I
1xx23
cos I
2I xxxf23
cos fI xf f
3xx23
cos I
42
AB H
O B
hkm /40 hkm /40
10AO4BO H
AB
(C)
(d)
0 1
1
x
y
A H
B
O10
حقلال4
أتمنى لكم التوفیق األستاذ توامي عمر في خدمتكم[email protected]
http://touamimaths.webnode.fr
43fD
1ff 2ff 3fTf T
44f ;1 x
xxf
11
1f 2 0xf 2;1 3210 4012 23
45
fx 12
572 2
xxx
xf
fC jiO
,, 1f fC 2 fC 3 fC3 4 fC
5 0f 1f
2
5f
6 fC
7 12
572 2
x
xxxg
g g
46fx
32152
2
2
xxxx
xf
fC jiO
,,
1 31
1
xxxf
2 f fC
g
خدمتكمأتمنى لكم التوفیق األستاذ توامي عمر في [email protected]
http://touamimaths.webnode.fr
fC50 x 3 1: x fC
4f32
1522
2
xxxx
x
5 fC
6mmfx 3.
15.2
2
xmxxmx
xf
mmf 4;1 mf
47I f
2)1(4
.
x
bxaxf fC
ab fC 7;3
II f 2)1(
43
xxxf
1f 2 0xf0x34 0 x 3 fC fC 4 fC 5m 0725412 23 mxmxmx
48I g ;1 132 3 xxxg 1g 2 0xg 7,1;6,1 3x xg ;1
II f ;1 1
13
xxxf
fC jiO
,,cm4 1
xf
x 1lim
xfx lim
2x ;1 23 )1(
)(
x
xgxf
3f
4
11
32
f f110
5 fC0
أتمنى لكم التوفیق األستاذ توامي عمر في خدمتكم[email protected]
http://touamimaths.webnode.fr
6 x 1;1 1
)1(1
3
3
x
xxxxf
fC 7 fC
49fx
44
22
x
xxxf
fC jiO
,, 1 fDf f 2 xf xf 3f 4 2: xy 2: xy fC fC 5 fC T fC xx fC T6 fC0n1n0n1n 7082 23 xx6,15,1 8 T fC
50f 2 ℝ
)2(2633
xxx
xf
)( fCf),,( jiO
1ab2x 2
1 2
xb
xaxf
2 f f
3 2121 xy2x
PM )( fCx PMx PM0 )( fC
أتمنى لكم التوفیق األستاذ توامي عمر في خدمتكم[email protected]
http://touamimaths.webnode.fr
51
I )( fCf),,( jiO
0;
)1(1
2
0;21
123
2
2
xx
x
xxxx
xf
1 f f00 x 2f 3)( fC 4)( fC11 x2x10 2 x 5)( fC
II g 1cos2
1cos2cos3 2
xxx
xg
1g 2g 3 xgg
52
mfx 1.2
xxmx
xfmℝm mCmf jiO
,,
1 mC1m 2 mC
3ab,c 1
.
x
cbxaxfm1m
4 2;1 mm mC mm 1 ℝ 5 xfmmf mmf mmf
53 fx 33 2 xxf )( fC),,( jiO
1f 2f1 3f 4 )( fC
أتمنى لكم التوفیق األستاذ توامي عمر في خدمتكم[email protected]
http://touamimaths.webnode.fr
)( fC 5)( fC2 6)( fC
54 f xxxxf 41 2 )( fCf),,( jiO
1fDf 2 xf
x lim xf
x lim)( fC
32)(lim
xxfx)( fC
)( fC d32 xy 3f04 4f xf f 5)( fC
55 fx
1
12
xxxf
)( fCf),,( jiO
1f)( fC 2 0xf0x5,101,1 0 x 3)( fC
4g x
xxg
1
12)( gC
g )( gC)( fC )( gC)( fC 5)( fC2 xy2x3x
56 fgℝ 1
25
3 2 xxxf 125
3 2 xxxg
)( fC)( gC),,( jiO
1 xf xg 2fg 3)( fC)( gC 4 )()( gf CC
أتمنى لكم التوفیق األستاذ توامي عمر في خدمتكم[email protected]
http://touamimaths.webnode.fr
025.24114 22 yxxy 5u
jiu
23 yx;M),,( jiO
yx ;),,( uiO
xyxy ),,( uiO
57
f
;1;21
2
1;;11 2
xxx
x
xxxxf
)( fCf),,( jiO
1f 2f1x 3f)( fC 4)( fC 5 yxn ;43 x xfyx 1 6 )( fCf 1; 1;2
58
fℝ
0;0
0;112
x
xx
xxf
)( fCf),,( jiO
1f 2f00 x 3 xf
x lim
f11 x
1;1
11)(
10;1
11)(
22
2
22
2
xxx
xxf
xxx
xxf
f ;0 4)( fC
أتمنى لكم التوفیق األستاذ توامي عمر في خدمتكم[email protected]
http://touamimaths.webnode.fr
2 3-1
0 1
1
x
y
iJ M
A
59 mf 12. 22 xmxmxfmm
)( mC),,( jiO
1mmf 2)( mC
3mfm1
m1
431m)(
31C
5g 191
2.31 2 xxxg gC
gC)(31C xx gC
60
),,( jiO
M 0;x0x OMxf 1 f xxf
xf
xlim
2AMO ˆx x
1lim
xxf
x
3 cMOM HOA ˆ xxxf sin0 xxf
x
lim
4xy )( fCf
61
xy
10x
AM 1;1 A
xxM
1;
M AM
1 AM2AM x xd 2AMxd
20x 3
2x
xfxd f
3 f ;0I
f ( x ) = OM
0 1
1
x
y
i
J
M
A
أتمنى لكم التوفیق األستاذ توامي عمر في خدمتكم[email protected]
http://touamimaths.webnode.fr
0xfI210 xfI 4d 5MA AMM
62 1f
nAxAxAxxf
1
......11
21
12 ,,......, AAAn 12...... AAAn
201
......11
21
nAxAxAx
3 05
13
11
12
1
xxxx
63 1g 0; cos sing x x x x g g x 0;
2f 0; sin xf xx
0x 0 1f
f 0; 30f
x3
0 sin6xx x
0; 3
sin6xx x x
' x " x "' x f0 ' 0f 4Cf3cm
64
1g 0 0g 2 1sing x xx
0x
g0 Cg ; ;O i j
CO
أتمنى لكم التوفیق األستاذ توامي عمر في خدمتكم[email protected]
http://touamimaths.webnode.fr
2 1 0gk
k
1k 0;
k 3ACCAA
65 I f 4sin2 xxxf )( fCf),,( jiO
1f 2 0xf4,23,2 3)( fCcm2
II g xxg sin421
1 g
2x 21 xg
3 nuAu 0ℝ A n nn ugu 1
n nn uu21
1
n
02
1uu
n
n
nunx
u
lim
66
fℝ xxxf cos2cos21
)( fC),,( jiO
1 f2 )( fC 2 xf f x xxxf cos21.sin xf ;0x 3 f ;0 )( fC ; )( fCℝ
التوفیق األستاذ توامي عمر في خدمتكمأتمنى لكم [email protected]
http://touamimaths.webnode.fr
67 Fℝ
11
2
xxF 00 F
F xF C),,( jiO
1Gℝ xFxFxG Gℝ xGℝ x 0GF
2H ;0I
xFxFxH
1
HI xH Ix Ix 12FxH 12lim FxF
x
C
3T
2;
2 xxFxT tan
xT T 1F 4Fℝ5 C1 01
أتمنى لكم التوفیق األستاذ توامي عمر في خدمتكم[email protected]