Date post: | 02-Jan-2016 |
Category: |
Documents |
Upload: | whitcomb-jagger |
View: | 19 times |
Download: | 2 times |
1
MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATION
MMETODY ETODY
SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATION22
Jaroslav [email protected]
Pavel [email protected]
Katedra Řídicí technikyElektrotechnická fakulta
České vysoké učení technické v Praze
2
MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONúvodúvod
Úvod
Matematickénástroje
Deterministická
identifikace
Simulace
Závěr
V tomto semináři ukážeme:
• využití matematických nástrojů z minulé přednášky v algoritmech deterministické identifikace
• použití těchto algoritmů na jednoduchých příkladech a také na reálných datech
3
MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATION
Metody deterministické 4SID si kladou za cíl určit z posloupnosti naměřených vstupně/výstupních dat:
• řád systému a posloupnost stavů• a nakonec z této posloupnosti stavů určit matice stavového modelu A, B, C, D.
připomenutí z minulapřipomenutí z minula
Stavový model systému (m vstupů, l výstupů, řád n):
Pro odvození deterministické identifikace budeme uvažovat systém bez přítomnosti šumu wk=0 a vk=0
Úvod
Matematickénástroje
Deterministická
identifikace
Simulace
Závěr
4
MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONpřipomenutí připomenutí -- maticový tvar maticový tvar
Stavový model v maticovém tvaru:
Up, Uf - Hankelovy matice „minulých“/„budoucích“ vstupních dat
Yp, Yf - Hankelovy matice „minulých“/„budoucích“ výstupních dat
Xp, Xf - časová posloupnost „minulých“/„budoucích“ stavů systému
i - rozšířená matice pozorovatelnostiHi - Toeplitzova matice impulsní odezvyi - reverzovaná matice řiditelnosti
Úvod
Matematickénástroje
Deterministická
identifikace
Simulace
Závěr
počítané z matic A,B,C,D
5
MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONpřipomenutí připomenutí -- maticový tvar maticový tvar
Maticový zápis stavových rovnic systému odpovídá rozepsaným diferenčním rovnicím:Úvod
Matematické
nástroje
Deterministická
identifikace
Simulace
Závěr
indexy značí čas a nikoliv složky vektoru
6
MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONpřipomenutí připomenutí -- maticový tvar maticový tvar
Úvod
Matematickénástroje
Deterministická
identifikace
Simulace
Závěr
v prvním sloupci
jsou výstupy počítány jako odezva na počáteční stav x0 a posloupnost vstupů:
v druhém sloupci
jsou výstupy počítány jako odezva na počáteční stav x1 a posloupnost vstupů:
atd…
7
MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONpřipomenutí - nejednoznačnostpřipomenutí - nejednoznačnost
Stavový model je nejednoznačný vzhledem k volbě báze stavového prostoru.
Jeden systém tak může být popsán nekonečně mnoha stavovými modely, které jsou ovšem svázány podobnostní transformací T.
Libovolná regulární transformační matice popisuje transformaci mezi ekvivalentními stavovými modely.
Výsledek stavové identifikace tak není v maticích A, B, C, D numericky jednoznačný.
Úvod
Matematickénástroje
Deterministická
identifikace
Simulace
Závěr
8
MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONpřipomenutí - nejednoznačnostpřipomenutí - nejednoznačnost
Stejnou transformaci můžeme napsat i pro již zavedenou matici posloupnosti stavů Xi:
jelikož je transformační matice T nesingulární budou řádkové prostory generované řádky matice Xi a Zi stejné.
4SID algoritmy proto nehledají konkrétní stavovou posloupnost Xi, ale právě prostor generovaný řádky
matice Xi , jehož libovolná báze tvoří platnou stavovou posloupnost. •K nalezení tohoto řádkového prostoru jsou používány geometrické nástroje numerické algebry. •Nejednoznačnost ve volbě báze je dána nejednoznačností stavového modelu vůči podobnostní transformaci.
Úvod
Matematickénástroje
Deterministická
identifikace
Simulace
Závěr
9
MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONpřipomenutí – geometrická interpretacepřipomenutí – geometrická interpretace
Geometrická interpretace maticových rovnic
Na násobení maticemi i, Hi, Ai, i zleva můžeme nahlížet jako na řádkové úpravy násobených matic. Z tohoto pohledu pak každý řádek matice Yf vzniká jako
lineární kombinace řádků matic Xf a Uf.
i . Xf
Hi . UfYf
Xf
Uf
Úvod
Matematickénástroje
Deterministická
identifikace
Simulace
Závěr
10
MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONalgoritmy deterministické identifikacealgoritmy deterministické identifikace
Algoritmy deterministické identifikace:• Průsečíkový algoritmus• Projekční algoritmus• Sjednocující projekční algoritmus (Theorem 2)Odlišují se odolností proti šumu.
Využívají geometrických vlastností vazeb mezi řádkovými prostory matic Up, Uf, Yp, Yf, Xp a Xf popsaných maticovými rovnicemi systému.
Téměř výhradně pracujeme s řádkovými vektory blokových Hankelových matic (časové posloupnosti) a nikoliv např. s vektory vstupů nebo stavů z jednoho časového okamžiku.
Úvod
Matematickénástroje
Deterministická
identifikace
Simulace
Závěr
11
MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONprůnikový (intersection) algoritmusprůnikový (intersection) algoritmus (1) (1)
Řádkový prostor sekvence stavů Xf lze získat jako průnik mezi řádkovým prostorem minulých dat (Up, Yp) a řádkovým prostorem budoucích dat (Uf, Yf):
Libovolná báze tohoto průnikem vzniklého prostoru tvoří platnou posloupnost stavů. Nejednoznačnost ve volbě báze odpovídá podobnostní transformaci stavového modelu T.
Identifikační metoda pracující na základě velmi jednoduché vlastnosti řádkových prostorů datových Hankelových matic.
Úvod
Matematickénástroje
Deterministická
identifikace
Simulace
Závěr
12
MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONprůnikový (intersection) algoritmusprůnikový (intersection) algoritmus (2) (2)
K nalezení průniku lze použít například principiálních úhlů a principiálních směrů mezi podprostory počítaných pomocí SVD (minulá přednáška).
Principiální úhly uvažujeme jako zobecnění úhlu mezi dvěma vektory na úhly mezi dvěma podprostory.
Počet principiálních úhlů je roven dimenzi menšího ze dvou podprostorů.
Průnik mezi dvěma podprostory nalezneme jako prostor generovaný principiálními směry odpovídajících nulovým principiálním úhlům.
Úvod
Matematickénástroje
Deterministická
identifikace
Simulace
Závěr
13
MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONprůnikový (intersection) algoritmusprůnikový (intersection) algoritmus ( (33))
Nalezení průniku za použití principiálních úhlů a principiálních směrů počítaných pomocí SVD:
Singulární rozklad
Matice S má na diagonále kosíny principiálních úhlů mezi principiálními směry danými řádky matice U a VT.
Počet principiálních úhlů blížících se nule udává odhad dimenze průniku a tím také řád systému. Odpovídající principiální směry pak tvoří bázi tohoto průniku a tím i platnou posloupnost stavů systému.
Úvod
Matematickénástroje
Deterministická
identifikace
Simulace
Závěr
14
MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONprůnikový algoritmusprůnikový algoritmus – – příkladpříklad (1) (1)
SISO systém 3. řádu:
Naměřeno 200 vzorků
Úvod
Matematickénástroje
Deterministická
identifikace
Simulace
Závěr
15
MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONprůnikový algoritmusprůnikový algoritmus – – příkladpříklad ( (22))
Volba počtu řádek blokových Hankelových matic:i = 10
Umožní identifikovat systémy až do desátého řádu.
1) Z naměřených 200 vzorků sestavíme datové Hankelovy matice s rozměry:
kde počet sloupců j je zvolen tak, aby byla využita všechna data:
j = (počet vzorků) – 2i = 180
Úvod
Matematickénástroje
Deterministická
identifikace
Simulace
Závěr
16
MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONprůnikový algoritmusprůnikový algoritmus – – příkladpříklad (3) (3)
Dále budeme pracovat s řádkovými prostory těchto matic. V našem případě tedy ve 180-ti rozměrném prostoru.
20 40 60 80 100 120 140 160 180
2
4
6
8
10
20 40 60 80 100 120 140 160 180
2
4
6
8
10
Yf
Hankelovy datové matice (vykresleno pomocí pcolor):
YpÚvod
Matematické
nástroje
Deterministická
identifikace
Simulace
Závěr
17
MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONprůnikový algoritmusprůnikový algoritmus – – příkladpříklad (4) (4)
2) Vypočteme principiální úhly mezi řádkovými prostory minulých dat (Wp) a budoucích dat (Wf):
Vypočteme součin projekčních matic a provedeme jejich singulární rozklad.
Z matice singulárních čísel S vypočteme principiální úhly:
z počtu singulárních čísel blížících se nule odhadneme řád systému.
Úvod
Matematickénástroje
Deterministická
identifikace
Simulace
Závěr
PrincpialniUhly = acos(diag(S))*180/pi;
18
MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONprůnikový algoritmusprůnikový algoritmus – – příkladpříklad ( (55))
Prvních 15 nejmenších principiálních úhlů:
Tři nulové principiální úhly ukazují na prostor průsečíku s dimenzí 3 a tím na systém 3. řádu.
Odpovídající řádky matice U (s normou rovné jedné) pak tvoří posloupnost stavů. Ta je nejednoznačná vůči podobnostní transformaci.
Úvod
Matematickénástroje
Deterministická
identifikace
Simulace
Závěr
19
MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONprůnikový algoritmusprůnikový algoritmus – – příkladpříklad ( (66))
3) Nakonec jsou z posloupnosti stavů, vstupu a výstupu pomocí nejmenších čtverců určeny matice systému A, B, C, D.
Porovnání skutečného a naidentifikovaného systému:
Úvod
Matematickénástroje
Deterministická
identifikace
Simulace
Závěr
20
MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONvliv šumuvliv šumu
Začneme-li přidávat k měření šum bude se zhoršovat jednoznačnost odhadu řádu systému.
Minulá a budoucí data budou postupně ztrácet průnik – první tři původně nulové principiální úhly budou růst:
5% šum 10% šum 20% šum
Pomocí SVD můžeme určit aproximaci průniku pro zvolený řád systému.
nárůst šumu měření% k maximální hodnotě výstupu
Úvod
Matematickénástroje
Deterministická
identifikace
Simulace
Závěr
21
MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONdůkaz průnikového algoritmu (1)důkaz průnikového algoritmu (1)
Jak je možné, že stačí (zdánlivě) tak málo?:
Ukážeme následující:1. Xf leží v řádkovém prostoru budoucích dat (Wf)
2. Xf leží také v řádkovém prostoru minulých dat (Wp)
3. prostor průniku má dimenzi rovnou řádu systému n
čímž dokážeme, že libovolná báze prostoru vzniklého průnikem minulých a budoucích dat tvoří správnou (přípustnou) posloupnost stavů.
Úvod
Matematickénástroje
Deterministická
identifikace
Simulace
Závěr
22
MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONdůkaz průnikového algoritmu (důkaz průnikového algoritmu (22))
1. Xf leží v řádkovém prostoru budoucích dat
z maticové rovnice systému
lze budoucí stavy napsat jako
výsledkem násobení maticí zleva je matice jejíž řádky jsou tvořeny lineární kombinací řádků násobené matice.
To ukazuje, že Xf leží v řádkovém prostoru budoucích dat:
Úvod
Matematickénástroje
Deterministická
identifikace
Simulace
Závěr
23
MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONdůkaz průnikového algoritmu (důkaz průnikového algoritmu (33))
2. Xf leží také v řádkovém prostoru minulých datÚvod
Matematické
nástroje
Deterministická
identifikace
Simulace
Závěr
Ze stavových rovnic:
můžeme Xf zapsat jako:
Což ukazuje, že také Xf leží v řádkovém prostoru minulých dat
24
MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONdůkaz průnikového algoritmu (důkaz průnikového algoritmu (44))
3. prostor průniku má dimenzi rovnou řádu systému n
Důkaz následující rovnosti je delší.
Omezíme se proto na výčet podmínek, za kterých platí:
• Řádky Hankelových matic Up, Uf jsou lineárně nezávislé. To lze zajistit dostatečným počtem vzorků.
• Řádky matic Xp a Xf jsou lineárně nezávislé. To odpovídá v identifikaci obvyklé podmínce dostatečného vybuzení systému.
Úvod
Matematickénástroje
Deterministická
identifikace
Simulace
Závěr
25
MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONprůnikový algoritmus - poznámkyprůnikový algoritmus - poznámky
Poznámky:• stavová matice a Hankelovy matice vstupů U a matice výstupů Y mají počet sloupců přibližně rovný počtu naměřených vzorků• řádkové vektory se kterými 4SID pracuje tak mohou mít rozměry v řádech 100, 1000, …• je tak potřeba rozlišovat mezi stavovým prostorem systému a řádkový prostor matice Xi
Stavový prostor – n rozměrný s dimenzí n (n řád systému). Leží v něm všechny stavy tj. sloupce matice Xi .
Řádkový prostor matice Xi – j rozměrný s dimenzí n.
Báze je dána řádky matice Xi
Úvod
Matematickénástroje
Deterministická
identifikace
Simulace
Závěr
26
MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATION
K nalezení systémových matic stačí vyřešit soustavu rovnic:
Rozměry matic díky odhadu řádu systému známe.
Ui|i resp. Yi|i je jeden blokový řádek vstupních resp. výstupních dat.
Soustava rovnic je přeurčená, avšak pro náš deterministický případ také konzistentní – tudíž není nutné použít metodu nejmenších čtverců.
Z předchozích kroků algoritmu známe: • odhad řádu systému (ze singulárních čísel)• stavovou posloupnost Xf
získání matic stavového modelu (1)získání matic stavového modelu (1)
Úvod
Matematickénástroje
Deterministická
identifikace
Simulace
Závěr
známé známé
27
MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONzískání matic stavového modelu (2)získání matic stavového modelu (2)
Úvod
Matematickénástroje
Deterministická
identifikace
Simulace
Závěr
V případě použití deterministické identifikace na zašuměná data je použití metody nejmenších čtverců nutné:
28
MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONvlastnosti SVD pro Subspace metodyvlastnosti SVD pro Subspace metody (1) (1)
4SID metody používají singulární rozklad pro zjištění báze řádkového nebo sloupcového prostoru matice a pro jeho aproximaci prostorem nižšího řádu. Pro matici A2 Rm £ n:
kde matice S1 je čtvercová matice s k nenulovými singulárními čísly na diagonále. Pak matice U a V jsou rozděleny následovně:
Potom pro řádkový resp. sloupcový prostor matice A platí:
navíc řádky V1T resp. sloupce U1 tvoří ortogonální bázi
řádkového resp. sloupcového prostoru matice A.
Úvod
Matematickénástroje
Deterministická
identifikace
Simulace
Závěr
29
MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONvlastnosti SVD pro Subspace metodyvlastnosti SVD pro Subspace metody (2) (2)
Z hlediska šumu umožňuje SVD jednoduchou aproximaci řádkových/sloupcových podprostorů.
PříkladMatice A má v řádcích 5 vektorů ležících v rovině (x,y).V matici Anoise je k těmto vektorů přidán šum.
Ukážeme, že pomocí SVD lze určit řádkový prostor matice A (nalézt jeho dimenzi a bázi) a také použití SVD pro odstranění šumu z Anoise a nalezení aproximace řádkového prostoru prostorem nižšího řádu.
Úvod
Matematickénástroje
Deterministická
identifikace
Simulace
Závěr
30
MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONvlastnosti SVD pro Subspace metodyvlastnosti SVD pro Subspace metody (3) (3)
-2-1.5
-1-0.5
00.5
11.5
2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-0.5
0
0.5
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-0.5
0
0.5
červeně – vektory z řádků matice A
modře – vektory z řádků matice Anoise
Úvod
Matematickénástroje
Deterministická
identifikace
Simulace
Závěr
31
MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONvlastnosti SVD pro Subspace metodyvlastnosti SVD pro Subspace metody (4) (4)
SVD SVD
Pro porovnání vypočteme normálové vektory k rovinám představujícím řádkové prostory matic A a Anoise:
Úvod
Matematickénástroje
Deterministická
identifikace
Simulace
Závěr
32
MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONsjednocující projekční algoritmussjednocující projekční algoritmus
Algoritmus bez konkrétního názvu označovaný v literatuře jako „Theorem 2“ podle knihy „De Moor: Subspace Identification for Linear Systems”, ve které byl pod tímto označením zaveden.
Pomocí váhových matic W1, W2 představující volné parametry algoritmu, zahrnuje ostatní deterministické algoritmy.
Je založen na šikmé projekci prostoru budoucích výstupů do prostoru minulých dat podél podél prostoru budoucích vstupů .
kde
Úvod
Matematickénástroje
Deterministická
identifikace
Simulace
Závěr
33
MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONstručný princip (1)stručný princip (1)
Stručný princip Podle maticové rovnice systému:
jsou vektory řádkového prostoru blokové Hankelovy matice Yf získány jako suma lineární kombinace vektorů z řádkového prostoru posloupnosti stavů Xf a lineární kombinace vektorů z řádkového prostoru blokové Hankelovy matice Uf.
i . Xf
Hi . UfYf
Úvod
Matematickénástroje
Deterministická
identifikace
Simulace
Závěr
34
MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONstručný princip (2)stručný princip (2)
Stručný princip 2Lze ukázat, že vektory posloupnosti stavů lze získat jako lineární kombinaci řádkových vektorů blokových Hankelových matic minulých dat:
vypočteme-li tedy projekci Yf na Wp podél Uf , zbavíme se
tak složky výstupu generované vstupem Uf. Projekcí tak
dostaneme řádkový prostor Xf daný součinem i . Xf, jehož činitele (řádkový a sloupcový prostor) můžeme určit pomocí singulárního rozkladu.
i . Xf
Hi . UfYf
Wp
Úvod
Matematickénástroje
Deterministická
identifikace
Simulace
Závěr
35
MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONkroky algoritmu (1)kroky algoritmu (1)
Postup:1) Výpočet šikmé projekce (např. pomocí LS)
2) Singulární rozklad matice řádkového prostoru projekce
kde váhové matice W1 a W2 jsou zvoleny, tak aby:
3) Určení řádu systému podle počtu nenulových singulárních čísel v matici S1
Úvod
Matematickénástroje
Deterministická
identifikace
Simulace
Závěr
36
MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONkroky algoritmu (2)kroky algoritmu (2)
4) Výpočet rozšířené matice pozorovatelnosti (sloupcový prostor projekce)
5) Pro posloupnost stavů dostaneme singulárním rozkladem část stavů ležících ve sloupcovém prostor matice W2:
6) Posloupnost stavů nakonec dostaneme jako
Úvod
Matematickénástroje
Deterministická
identifikace
Simulace
Závěr
37
MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONpoznámky k algoritmupoznámky k algoritmu
Poznámky:• volba matic W1 a W2 určují výslednou bázi pro stavový
prostor. Transformační matice T je těmito maticemi parametrizována T(W1, W2).
• Sjednocující projekční algoritmus má následující algebraickou interpretaci:
ze které může být vidět, že cílem 4SID algoritmů je nalezení subprostoru stavů. Jeho libovolná báze tvoří potom posloupnost stavů – tato báze (báze řádkového prostoru) je nalezena pomocí SVD.
Úvod
Matematickénástroje
Deterministická
identifikace
Simulace
Závěr
38
MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONddůkazůkaz (1) (1)
Jak již bylo ukázáno matici posloupnosti budoucích stavů Xf můžeme získat jako lineární kombinaci minulých dat.Ze stavových rovnic:
můžeme Xp zapsat jako:
Úvod
Matematickénástroje
Deterministická
identifikace
Simulace
Závěr
39
MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATION
Rovnici pro budoucí výstupy Yf potom můžeme přepsat:
ortogonální projekcí obou stran rovnice na prostor kolmý k prostoru budoucích vstupů Uf dostaneme:
Z matice můžeme singulárním rozkladem získat bázi řádkového prostoru Xi neboť i má plnou sloupcovou hodnost (podobně pro bázi col(i) ).
ddůkazůkaz ( (22))
Úvod
Matematickénástroje
Deterministická
identifikace
Simulace
Závěr
40
MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONpříklad (1)příklad (1)
Stejná data jako pro průnikový algoritmus:
Naměřeno 200 vzorků
SISO systém 3. řádu:
Úvod
Matematickénástroje
Deterministická
identifikace
Simulace
Závěr
41
MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATION
0 2 4 6 8 1010
-2
10-1
100
101 Singular Values
Order
příklad (2)příklad (2)
K výstupním datům přidán šum.
Singulární čísla matice
Počet velkých singulárních čísel dává dobrý odhad řádu systému -> n=3.
Úvod
Matematickénástroje
Deterministická
identifikace
Simulace
Závěr
42
MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONpříklad (příklad (33))
0 50 100 150 200-10
-5
0
5
10výstup systemusimulovaný výstup
0 50 100 150 200-0.05
0
0.05Odchylka simulovaného výstupu [%]
Porovnání skutečného a naidentifikovaného systému:Úvod
Matematické
nástroje
Deterministická
identifikace
Simulace
Závěr
43
MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONHydraulický servoválecHydraulický servoválec
Úvod
Matematickénástroje
Deterministická
identifikace
Simulace
Závěr
Použití metod Subspace Identification pro identifikaci reálného systému z naměřených dat.
Parametry válce:
jmenovitý zdvih: 50 mmjmenovitá síla: 125 kN
Parametry servoventilu:
jmenovitý průtok: 240 l/min
perioda vzorkování: 0,5 ms
44
MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONnaměřená datanaměřená data
Úvod
Matematickénástroje
Deterministická
identifikace
Simulace
Závěr
0 2 4 6 8 10 12 14-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2Vstupní dataVýstupní data
Hydraulický válec používán k testování silentbloků pro automobily. Vstupní data tak představují změřené nárazy a vibrace při testovací jízdě automobilem.
45
MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONodhad řádu systémuodhad řádu systému
Úvod
Matematickénástroje
Deterministická
identifikace
Simulace
Závěr
0 2 4 6 8 1010
-4
10-3
10-2
10-1
100
Singular Values
Order
Odhad řádu systému pomocí singulárních čísel
46
MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONstavový model odhadovaného systémustavový model odhadovaného systému
Úvod
Matematickénástroje
Deterministická
identifikace
Simulace
Závěr
Matice identifikovaného systému
Vypočtené chyby pro metodu Subspace identification a pro ARX model:
47
MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONporovnání výstupů porovnání výstupů
Úvod
Matematickénástroje
Deterministická
identifikace
Simulace
Závěr
5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
Porovnání simulovaných výstupu a reálného výstupu
reálný výstupARX identifikaceSubspace identification
48
MMETODY ETODY SSUBSPACE UBSPACE IIDENTIFICATIONDENTIFICATIONzávěrzávěr
Úvod
Matematickénástroje
Deterministická
identifikace
Simulace
Závěr
V této přednášce jsme:
• představili jiný přístup k metodám identifikace systémů,
• ukázali základy metod Subspace Identification a především jejich deterministickou část,
• ukázali, že 4SID metody i přes jejich abstraktnost jsou použitelné pro praktické aplikace.