MA261 Introduction au calcul scientifiqueMA261 Introduction au calcul scientifiqueaoût 2007août 2007 @Eric Lunéville

École Nationale Supérieure de Techniques Avancées

Discrétisation Discrétisation

par différences finiespar différences finies

du du laplacienlaplacien

Différences finiesDifférences finies

1

u(x+ h) = u(x) + hu′

(x) +h2

2u′′

(x) +O(h3)

u : R −→ R fonction C3

u(x− h) = u(x)− hu′

(x) +h2

2u′′

(x) +O(h3)

u′

(x) =u(x)− u(x− h)

h+O(h)

u′

(x) =u(x+ h)− u(x)

h+O(h) ordre 1, décentré avant

ordre 1, décentré arrière

u′

(x) =u(x+ h)− u(x− h)

2h+O(h2)

ordre 2, centré

2

x x+ h

u′(x)

u(x+h)−u(x)h

x x+ h

u′(x)

u(x+h)−u(x)h

bonne approximation si h petit et supξ∈[x,x+h]

∣∣∣u′′

(ξ)∣∣∣ petit

u′

(x) =u(x+ h)− u(x)

h+h

2u′′

(ξx) ξx ∈ [x, x+ h]

3

EqEq. de Laplace 1D. de Laplace 1D

−u

′′

(x) = f(x) x ∈ ]0, 1[u(0) = u(1) = 0

(f = 1→ u(x) = x(x− 1))

si u est C4

−u′′(x) =2u(x)− u(x+ h)− u(x− h)

h2+h2

12u(4)(x+ θh) θ ∈ ]−1, 1[

(dms : developpement de Taylor-MacLaurin + th. des valeurs intermediaires)

si f est C2 alors la solution u est C4 avec −u(4) = f′′

et∣∣u(4)(x+ θh)

∣∣ ≤ supx∈[0,1]

∣∣∣f′′

(x)∣∣∣

Rmq :

4

Discrétisation de l’équation

x0 = 0 xN+1 = 1

xi = ih

decoupage de l’intervalle [0, 1] (xi)i=1,N+1 avec xi = ih et h = 1N+1

(découpage régulier pour simplifier)

ui approximation de u(xi) et on note fi = f(xi)

2ui − ui+1 − ui−1h2

= fi pour i = 1, N

u0 = uN+1 = 0

schema a 3 points (ui−1, ui, ui+1)

5

Forme matricielle

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1

h2(2u1 − u2) = f1 i = 1

1

h2(2u2 − u1 − u3) = f2 i = 2

...1

h2(2ui − ui+1 − ui−1) = fi i

...1

h2(2uN−1 − uN − uN−2) = fN−1 i = N − 1

1

h2(2uN − uN−1) = fN= i = N

elimination deu0 et uN+1

A−→U =

−→F

A =1

h2

2 −1

−1 2. . .

. . .. . .

. . .

. . . 2 −1−1 2

−→U =

u1u2...

uN−1uN

−→F =

f1f2...

fN−1fN

systeme lineaire d’ordre N

tridiagonale symétrique

6

Propriété fondamentale

h2(A−→V ,−→V)

= h2N∑

i=1

vi

(A−→V)

i

= v1(2v1 − v2) +i=N−1∑

i=2

vi (2vi − vi+1 − vi−1) + vN (2vN − vN−1)

v21 + v2N +

i=N−1∑

i=2

(vi − vi−1)2 ≥ 0

dms :

(A−→V ,−→V)= 0 −→ v1 = vN = 0 et vi − vi−1 = 0 −→ vi = 0 ∀i = 1, N

−→W k =

(sin

ikπ

N + 1

)

i=1,N

λk = 2

(1− cos

kπ

N + 1

)> 0

elements propres de A

k = 1, N

(2 sin ikhπ − sin(i+ 1)khπ − sin(i− 1)khπ = 2 sin ikhπ (1− cos khπ))

(−→W k

)

k=1,Nbase orthogonale.

A est une matrice tridiagonale symetrique definie positive (donc inversible)

7

Estimation d’erreur

erreur ei = ui − u(xi)

: si f ∈ C2 alorsTTTThhhh´eeeeoooorrrr`eeeemmmmeeee

∥∥∥−→E∥∥∥∞

= supi=1,N

|ei| ≤h2

96sup

x∈[O,1]

|f ′′(x)|

dms : voir polycopie

convergence ponctuelle a l’ordre 2

la qualite de l’approximation depend de la regularite des solutions

RRRReeeemmmmaaaarrrrqqqquuuueeee :::: si f ∈ C0 alors u ∈ C2 et on peut seulement montrer que :

limh−→0

∥∥∥−→E∥∥∥∞

= 0

convergence pouvant etre tres lente !

8

Généralisation en dimension 2Généralisation en dimension 2

0 1

1Eq. de Laplace sur le carre Ω = ]0, 1[× ]0, 1[

−u = f dans Ωu = 0 sur ∂Ω

−−−−uuuu ==== ffff

u = 0

u = 0

u=0

u=0

−u(x) =4u(x, y)− u(x+ h, y)− u(x− h, y)− u(x, y + h)− u(x, y − h)

h2+O(h2)

(u ∈ C4(Ω))

meme variation (h) suivant x et y

obtenu en approchant independamment ∂2xu et ∂2yu par DF d’ordre 2

AAAApppppppprrrrooooxxxxiiiimmmmaaaattttiiiioooonnnn `aaaa llll’’’’oooorrrrddddrrrreeee 2222 dddduuuu llllaaaappppllllaaaacccciiiieeeennnn

9

Discrétisation du problème de Laplace

grille de discretisation de pas h (identique dans les 2 directions)

yj = jh j = 0, n+ 1

xi = ih i = 0, n+ 1

Mij = (xi, yj)i,j=1,n+1

xi = ih

Mijyj = jh

1

h2(4uij − ui+1,j − ui−1,j − ui,j+1 − ui,j−1) = fij 1 ≤ i, j ≤ n

uij = 0 i = 0 ou i = n+ 1 ou j = 0 ou j = n+ 1

uij approximation de u(xi, yj)

fij = f(xi, yj)

schema a 5 pointsi, j

i+ 1, ji− 1, j

i, j + 1

i, j − 1

10

FFFFoooorrrrmmmmeeee mmmmaaaattttrrrriiiicccciiiieeeelllllllleeee On elimine les termes de bord !

Systeme lineaire d’ordre N = n2 : A−→U =

−→F

U•j =

u1j...unj

F•j =

f1j...fnj

vecteurs de dimension n

−→U =

U•1...U•n

−→F =

F•1...F•n

vecteurs de dimension n2

B =

4 −1

−1 4. . .

. . .. . .

. . .

. . . 4 −1−1 4

tridiagonale symetrique par bloc tridiagonale symetrique

A =1

h2

B −I

−I B. . .

. . .. . .

. . .

. . . B −I−I B

11

44--11

--11

44--11

--1144

--11

--11

--11

44--11

--11

44--11

--1144

--11

--11

--11

44--11

--11

44--11

--1144

--11

--11

--11

--11

--11

--11

44--11

--11

44--11

--1144

h2A =

matrice symetrique pentadiagonale

00

00

00

00

12

PPPPrrrroooopppprrrriiii´eeeetttt´eeeessss ddddeeee llll’’’’aaaapppppppprrrrooooxxxxiiiimmmmaaaattttiiiioooonnnn

A est une matrice symetrique definie positive (donc inversible)

dms :

h2(A−→V ,−→V)

= ‖V•1‖2 + ‖V•n‖

2 +∑

j=1,n−1

‖V•j − V•j+1‖2

+h2∑

j=1,n

(BV•j , V•j)

Nb de termes non nuls : 5n2 − 4nsoit un taux de remplissage de l’ordre de 5/n2

Si u ∈ C4(Ω) on a l’estimation d’erreur :

supi,j

|uij − u(xi, yj)| ≤ C0h2 (C0 cte ind. de u)

dms complexe

moins bonne convergence si u est moins regulier

13

ExtensionsExtensions

aaaauuuuttttrrrreeee sssscccchhhh´eeeemmmmaaaa

j + 1

j − 1

j

ii− 1 i+ 1

−u(x) =1

2h2

4u(x, y)−u(x+ h, y + h)− u(x+ h, y − h)−u(x− h, y + h)− u(x− h, y − h)

+O(h2)

schema a 5 points en croix

ii− 1 i+ 1 i+ 2i− 2

schema a 5 points en 1D j + 1

j − 1

j

ii− 1 i+ 1 i+ 2i− 2

j + 2

j − 2

schema a 9 points en 2DIdem en dimension 3

14

ccccoooonnnnddddiiiittttiiiioooonnnn ddddeeee DDDDiiiirrrriiiicccchhhhlllleeeetttt nnnnoooonnnn hhhhoooommmmoooogggg`eeeennnneeee

en 1D−u

′′

(x) = f(x) x ∈ ]0, 1[u(0) = g0 u(1) = g1

equation i = 1 :2u2 − u2 − u0

h2= f1 −→

2u2 − u2h2

= f1 +g0h2

equation i = n :2un − un−1 − un+1

h2= fn −→

2un − un−1h2

= f1 +g1h2

modification du systeme lineaire :

A−→U =

−→F +

1

h2

g0...g1

meme principe en dimension superieure

ccccoooonnnnddddiiiittttiiiioooonnnn ddddeeee NNNNeeeeuuuummmmaaaannnnnnnn

15

en 1D

−u

′′

(x) + αu(x) = f(x) x ∈ ]0, 1[u′(0) = u′(1) = 0

α = 0 probleme mal pose !

2ui − ui+1 − ui−1h2

= fi pour i = 1, Nschema d’ordre 2

manque 2 equationsapproximation d’ordre 1 :

0 = u′(0) =u(h)− u(0)

h+O(h)→ u1 = u0

0 = u′(1) =u(1)− u(1− h)

h+O(h)→ uN+1 = uN

approximation d’ordre 2 (en utilisant l’equation)

u(h) = u(0) + hu′(0) + 12h

2u′′(0) +O(h3)= u(0) + hu′(0) + 1

2h2 (αu(0)− f(0)) +O(h3)

u1 = u0 +12h

2 (αu0 − f0)uN = uN+1 +

12h

2 (αuN+1 − fN+1)

16

en dimension 2

Eq. de Laplace sur le carre Ω = ]0, 1[× ]0, 1[

−u+ αu = f dans Ω∂nu = 0 sur ∂Ω

−→n normale sortante

∂nu =(−→∇u,−→n

)0 1

1

∂n = ∂x∂n = −∂x

∂n = ∂y

∂n = −∂y

ccccoooonnnnddddiiiittttiiiioooonnnn ddddeeee NNNNeeeeuuuummmmaaaannnnnnnn eeeennnn yyyy ==== 0000

u(h, y) = u(0, y) + h∂xu(0, y) +12h

2∂2xu(0, y) +O(h3) (∂xu(0, y) = 0)

= u(0, y) + 12h2(αu− f − ∂2yu(0, y)

)+O(h3) (en utilisant l’eq.)

u1j = u0j +12h

2(αu0j − f0j) +12 (2u0j − u0,j−1 − u0,j+1)

en approchant ∂2yu(0, y) par une DF d’ordre 2

idem pour les autres bords

non valable pour les coins !!!

17

ConclusionsConclusions

• méthode des différences finies simple à mettre en œuvre (dvp Taylor)

• donne des systèmes linéaires sym. def. pos. creux sur les pbs elliptiques

• convergence quadratique si les solutions sont régulières

• permet de traiter la plupart des conditions limites

• mais limitée à des géométries rectangulaires !

méthode alternative : éléments finis