D. D.

SPECIMEN ACADEMICUMDE

PLANIS DIAMETRALIBUSIN CONO,

QUOD ,

CONSENT: AMPL1SS. FACULT PHIL. UPS.PR^SIDE

VIRO CELEBERRIMO

Mag FREDERICOMALLET,

MATH. INF. PROFESS. REG. ET ORD. FAC. PH. H. T. DECAN.ACAD. REG. SCIENT. STOCKH. ET SOCIET. REG.

SCIENT. UPS. MEMBRO,

FUBLICJE CENSURJE SUBMITT1TSTIPEND. HELMF.

Olaus Schilling,WESTMANNUS.

IN AUDIT. GUST. MAJ. D. XIX JUNII MDCCLXXXIV.^Η. A. M. S.

UPS ALIAPUD Johan, Edman, direct. et reg, acad. typogr.

§.I.

Quamquam de Cono ejusque fe&ionibus tammulta egerint Mathematici, ut earum do&ri-nam dudum potuiffe abfolvere jam videantur; ea-dem tarnen Scientia eft quafi nimium ferax verita¬tum, & ingenioiiffimas inveftigandi methodos fup·peditans elegantem adhuc praebet materiem viresartesque Geometrarum exercendi. In hac videlicetSolidi , quod Coni nomine venit, innumeras affe£fcio-nes vel ieparatim & per fe coniiderare licet, ad au-gertdam Stereographiae fcientiam & fcrutamina; veletiam proprietatum Coni tra&ationem ita adftrue-mus, ut Curvarum iimui , quae ex planorum cumfiiperficiebus conicis interfe&ionibus oriuntur , natu-ram diftin&ius eruamus. Prseterea in affe£tionumindagatione, quae fe&ionibus conicis, particularemin Geometria curvarum claffem componentibus, con-veniunt , easdem fpe&abimus, ut vel in Solido ge-neratas, hujusque indolem fibi vindicantes, velaptiore quadam delineatione, ad ufus earum meliusetficiendos, conflru&as*, vel etiam ex natura iEqua-tionum Algebraicarum, fe&iones hafce defcribenti-um , derivatas: in his itaque varietas metbodorumdemonftrandi exoritur cum propoiitionum lemmati-

A earum

* ) 4 (

carum copia, quae nova identidem fubminiftrandoadminicula Mathematicos ad Seiend« culmen eve-

here poteft. Fecit autem haec ubertas materiarumin do&rina Conicorum, ut eo jam converterint ope-ram Geometrae, quo praeeipuas Conicarum affe&io-nes felicius rimari poffent, easdemque leviori opera col-iigere, ad feientiam utiliffimam in breviorem compa-gem redigendam, ad propofitionum ordinem maxi-me naturalem inveniendum, & vera prineipia deter-minanda, ex quibus omnia facilime intelligantur at-que innumera confe&aria breviffimo nexu ded'ucan-tur. Eodem tendit praeiens disquiiitio de Flanis Dia-Wetralibus in Dono , quae nomen fortiuntur a bife£tio-ne re&arum in Cono, inter ie parallelarum& binafuperficierum pun&a conjungentium. Sicut enim inConica fe&ione variae funt diametri, ex genere Se*ftionis & fitu Ordinatarum in quavis fpecie diftin-Qae , ita in folido Coni oportet Plana adeße vicemgerentia diametrorum re£tilinearum in figuris fetfcio-num, & omnes varietates Diametrorum, quae ineisdem accidere poßunt, iufeipientia: de his agereduplici ex causia jam conftituimus, primo quia neulla quidem eorum apud Geometras mentio injicia-tur, & tarnen Diametrorum theoria in curvis fecun-di ordinis maximum trahat momentum; deinde au¬tem, cum praeeipuae fe&ionum proprietäres a folidinatura jam derivari coeperint, id magis neeeßariumerit, ut de diametris monftretur, ne Figurae Corn¬eae confiderationem minus aptam concedamus, adnaturam Se&ionum ejus fufficiencer explicandam at-

que;

9 ) 5 C Φ

que dflucidandam» Noftris autem ut faveat L . Η.innoxiis conatibus, ut certiffima fide iperamus, itamente humillima expetimus»

§. II.Si fuerit A Vertex coni ( Fig. i. 1 BDCG

ejus bafis circularis-, ducta Diametro quavis BC, Cfacio piano per vtrticem A atque linearn BC, erithoc Planum Diametrale.

Sumatur punctum I utcunque in Diametro BC& fiat GIH ipii normalis, erit Gl—IH\ Similiteromnes lineae in piano BDCG, quae linear lΗ flintparallelse, erunt bifeQra a diametro BC iive a pianoABC. Pari ratione quia fe&iones cum BDCG pa¬rallele ut bhcg, funt circulares , earumque interfc-diones bc cum piano ABC evadunt fe&ionum bbegdiametri, erunt diametrorum bc ordinära a piano:ABC bife&e, & quoniam ordinära diametrorum bciunt parallele cum ordinatis GIH, patet omne pla¬num ABC per verticem coni & baieos diametrumtranfiens, in Conis oppofitis determinare fe&ionumparallelarum diametros parallel as, & harum ordinatasuniveriim bifecare, adeooue Planum eife Diametrale.Idena evi&a aequalitate fegmentorum , Gl , IH, itademonilratur: fiat KLM inträ Conum parallela cumGIH & a piano ABC fecla in L erit KL ~ LM:nam dufta per L linea bLc cum BC parallela, eritplanum per bc & KM parallelum cum BDCG &feQiio b McK circularis, in qua bc eil diameter *, jun·»dis ergo AG, AH, eorum planum a fe&ionibus;

A 3 pa^-

# ) 6 ( »

parallells BDCG, bMcK , ita iecabitur, ut fiantg/Z',G//L inter fe parallelae, iive g/Å parallela cum KM>& g/: ib : : Gl : IΗ, adeoque gi = th-, quare iimulerit KL = LM ob angulum bLM re£him. Jam ita-que planum Diametralis nomen mereri uberiusconftat, & quoniam Conos oppoiitos praefcripta ra-tione fecat, Transver(a le etiam dicendum eft, ut ejusconvenientiam cum diametris Hyperbolarum träns·verfis indicemus. Sunt videlicet alia plana Diame-tralia, quae extra conum cadunt & transverialibusSecundaria nominari pofiunt, quorum exemplumfimpliciilimum praebet jam fequens paragraphus.

$. πϊ.Per verticem Coni A fi agatur planum KAL ,

(Fig. 2.) cum baß circulari BMCN paralleinm, eritboc planum Diametrale, of linea cum αχι Coni pa¬rallela erunt bijecla.

Ad centrum Ε circuli BMCN ducatur AEyquae axis coni vocabitur, & cum hac hat parallelaDFG, a quovis fuperficiei Conicae pun£to D edu£ta,per AE & GD tranieat planum GCBA, in quo aga¬tur DH parallela cum BC: jam itaque eritob BE — EC; Sed DH eft parallela cum pianoKAL, quia BC eft eidem parallela, erit ergo obAF=:?DH, GF—^GD five GF =. FD, adeoqueplanum KAL erit Diametrale. Bina planorum dia·metralium jam ailatorum exempla in animum mihiinduxerunt, ut qua ratione phaenomenis Diametro¬

rum

# ) 7 ( #

rum in fe&ionibus Conicis poflit in Solido fatisderidisquirerem: ii enim Conus fuerit re&us, perfpicu-um erit, plana Diametralia in § 2:da defcripta , iiad illa fe&ionum Conicarum fuerint normalia, deter-minare axes ieftionum: in cono namque reÖ:o ACB( Fig. 3·) iit FfGdD fe&io conica, cujus planum a badfecetur in linea DF, fiat DE — EF & CED normalisipd DF, agatur planum ACB & quaevis linea dffe&ionis DGF, parallela cum DF, erit a piano ACBbife&a eidemque normaliter iniiftet, adeoque inter-ieftio planorum ACB & DGF erit axis ieciionis Co¬rneae FfGdD. Simili conftru&ione una Diametro¬rum feftionis in Cono Obliquo determinabitur, quaedmul axis ejusdem reperietur, quando planum DGFipd ACB normaliter iniiftit. Eadem de axi fecundofefctionum hyperbolicarum dici poterunt per $:phurnpraefentem, modo planum fecans fuerit parallelumcum axe Coni, fed quia haec nimis videntur fpecia-lia, eorum explicandi opera hic fuperfedebimus,Sc, Theoria2 noftrae perfequendae gråtia, Lemmata infequentibus neceiiaria ftatim adducemus.

§. IV.i. Sifuerit AEKFB Circulus (Fig. 4.) quem in AB

tangant AC, BC invicem occurrentes in C,jun£ia qzteAB, fiat GH eidem paraüela & fecans tangentes inG, Η, atque circulum in E, F, erit GE ~FH atqueGE.GF=z HF. HE.

Nam fa&a AD = DB, jungatur CD, erit haeclinea Circuli Diameter, & normalis ad AB, unde

EF

e ) 8 ( m

EF, huic parallela, bifecabitur in /, five Ef = /F* fedG/ = /H, ergo GE — FH, & GF = HE , atque GE .

(jE+EF=:HP . HF~FE, five GE. GF—HF. HR.Cor. Si fuerint /fC, Z?C parallel#, erit AB di¬

ameter Circnli, unde ii D/v ad AB bat normalis vellineis C, FC parallela, evadet etiam DK diameterbifecans omnes lineas ipil AB paralielas, ita ut Gl —

AD, Iii — DB Sc El — IF, ex quo fequitur GE =FH Scc.

Schol. Ex allato Lemmate multifarise propofitionesde fe&ionibus conicis derivantur, quarum eas folumhic adferemus, quas praefenti theoriae maxime inier-vituras deprehendemus.

2. Secet planum HEI Ccnutfi EFIGH perverti cem Ε , zf huic paralle lum ducatur KML,ex cujus i?iterfe£lione cum fuperficie Coni oria-tur hyperho la ADB ; fecet autem planum KMLhaßn Coni FlGH in reda AB, cui tangentescirculi HK, IL, occurrant in K i? L, erit AK—BL & AK. KB = KH2 -IB . LA.

Quoniam enim plana ΗEl, KML funt inter fe paralle¬ll, erunt eorum interfe£tiones cum bafi, Hl, KL paralle¬lae, & quia bafis FIGH eil: circulus, erit (per lemma. i.)AK = BL ; item KG2 ή KA . KB = Li2 = LA. LB.

Cor. i. Si plana EHK, ELL, Conum tangentia inlineis EH, ΕΙ, fe invicem iecent in re£la EM, ea-

demque occurrat piano feäionis in MK Sc ML,erunt hae lineae hyperbolarum oppoiitarum Afympto-ti, iive nunquam occurrent fuperficiei Conicae. Sunt

enim

• ) 9 ( m

enim MK, ML parallele cum EH, El, in quibusplana EHK, EIL tangunt Conum.

Cor. 2. Fiat in piano fe£tionis MKL, parallelocum EIH, linea kabl paralleia cum KABL, erit ka~bl Scak . kb = HK* = KA.KB Nam fe&io per paralleiacum bäfi Coni, erit Circulus fecans EHl in linea bi pa¬ralleia cum Hl vel AB vel ab, eruntque hk, Ii, tangen-tes ejusdem Circuli, unde ka — bl, & ka . kb = £/;2,ied kb — KH, ob Figuram parallelogramam hHKk,ergo ka . kb — KH2.

Cor. 3. Si fiat AC = CB ducaturque MC, eritMC Diameter fe£fcionis ADB, Sc ii MC occurrat fu-perficiei in D, fueritque d Di paralleia cum AB, eritDd — D$ — HK. Nam ob KA = BL erit KC = CLadeoque kc — cl, ac = cb ,Dd = Di; fed ob Dd — Dinon poterit d$ fecare fuperficiem Conicam in aliopuncto quam D, ergo dÜ2 = hk2— HK*.

§■ V.3. Si fuerit AB (Fig. 6 & 5.) interfeflio bafeos

Coni cum piano hyperbola ADB , cujus Afymptotifunt MK, ME\ & per A ducatur AE fecans Hy-perbolam vel oppofitam in Ε, atque Afymptotos inG, bl, erit AG = EH.

Per Ε ducatur ΝEFI paralleia cum AB occur-rens Afymptotis in I, N, erit AG :AK : : GE : El.atque AH : AL : ; EH. : £7V; adeoque AG . AH :'

AL. AK: t EG.EH:EN . El, fed AL. AK = EN.El (Lem. 2. §. 4. ) ergo AG . AH - EG . EH, fiveAG. AE~^f EH = EH . AE ip AG; ergo fublato

B utrin-

# ) 10 (

utrinque + AG. EH, er it AG . AE — EH. ΑΕ , iive= EH.

Cor. ι. Si fiat ne parallela cum AE fecans Hyperbolam vel oppoiitam in e & Afymptotos in g,h, erit ηξ — eh, & fa&o AO — OE erit MO Diameter rettarum, in Hyperbolis oppoiitis, parallelarumcum AE. Nam du£ta ab parallela cum AB conci-pi poterit bafis Circularis Coni per ab traniiens, ma-nentibus Afymptotis MG, ΜΗ, unde erit ag — ek,adeoque biie&a GH a linea MO, bifecabit eadem omnesgh huic parallelas, fimulque omnes parallelas AE , ca.

Cor. 2. Quoniam AL : AH :: al : ab, & AK:AG : : ak : ag erit AL . AK: AH . AG: : al. ak : ah\ag, unde ob AL. AK— al. ak erit AH. AG = ab .ag,iive productum fegmentorum AH, AG erit conftans.

4. Sit Pyramis Ε ABC, (Fig. 7.) cujus Vertexin Ε Ü3 bafis ABC, bifecetur latus bafeos AB mD, & per aciem EC atque punäum D ducaturplanum DCE, erit hoc planum diametrale, (ive omnesline# intra Pyramidem dutl#, & cum AB parallel#,erunt a piano DCE bifeft#.

Ponatur eniin FG parallela cum AB occurratpiano D^E in H, & per hanc agatur planum cabparallelum cum bafi CAB, erunt ergo ab, AB interfe parallele, adeoque etiam FG & ab , Ted AD:DB : : ad : db & ad : db : : FH : HG , ob linearumAB, ab, FG parallelifmum, ergo AD : DB :: FEI: HG,& quia AD — DB erit FH — HG.

Cor. Si bafis CAB ( Fig. 8· ) pyramidis ΕABCextendatur ultra CB, atque dufta utcunque DC, fiat

BG

$$ ) II ( ^

BG huic parallela, deinde a£ta GΕ compleatur Py-ramis CB^G, lineä vero BG bifecetur in F, erit pla¬num CFE diametrale in Pyramide CBeG.

5. Si planum DFG (Fig. 9 ) J'ecet Canum ΛBG,atque duce paraüelce FG, fg, in piano DFG dutice,linece DB occurrant, erit FH . HG : fh . bg : : FH,HD : Eh . bd.

Hiec proprietas fegmentorum linearum, in Co-no du&arum, ab ipia natura Coni demonftrari pot-eft, ut Conicorum Scriptores dudum oftenderunt,& in peculiari Differtatione De jegmentis re£larum%juxta Conicam fuperficiem fibi mutuo occurrentiumc? cum rechs pofitione datis paralle larum, diitin&eexplicatum fuit , eandem itaque brevitati ftudentesuberius illuftrare jam intermittimus.

Cor. Si fuerit EH— Db erit FH. HG—fh . hg.Et (i una ponantur FH—HG, fh — hg, erit FH—j'h.Hifce praelibatis facilis erit reliquorum in Cono pla-norum Diametralium coniideratio.

§. VI.Sit Conus FAG, (Fig. 10.) in quo ducatur ΒΗ

parallela cum baß Coni, jungantur AB. AH , α ver-tice A, ad data puncto, F, H, fiat BhHG feåiio perΒ Η parallela cum bafi, adeoque Circulus, &r occur¬rant fibi invicem in D tangentes Circuli ad punctoΒ, Η \ tranfibit planum Diametrale paraüelarum cumΒΗ per hneam AD.

Nam du&a FG diametro Circuli BFHG norma-

li ad ΒΗ, traniibit eadem per occurfum tangenti-B 2 um

) 12 ( «I

um in D adeoque planum per verticem A & ean-dem diametrum, quod eil Diametrale parallelarurncum ßD, per D & A tranfibit.

Cor. i. Si ΒΗ fuerit Diameter Circuli BFHG,erunt BD, HD iibi invicem paralleke & cum lineaAD, quae aciem Prismatis per A iuper bafin ABHconilituet : linea vero ED ducenda erit parallelacum BD.

Cor. 2♦ Per pun&um quodvis α in linea ADducatur planum bah parallelum cum Β AH, & fecansConum in Hyperbola bah, erit ejus interfe£lio ascum piano diametrali ADE diameter Hyperbolse.Nam eadem linea bifecabit ipfam bh, interfe&ionemplani bah cum bafi BFHG omnesque ejus parallelasßvj in figura bah. ( §. 2.).

Cor. 3. In piano ABH ducatur AL parallelacum BH, & planum DaL erit Diametrale. Si enimper Η agatur HLHr parallela cum AE , occurrenslineae ΒΑ in Η Sc AL in L, erit Bfi : HFL : : AL( = 4. ΒΗ): Η"L ( = £ HHK)\ junöa ergo DL, eritplanum DAL diametrale in Pyramide ADΗΗx cujusvertex A & baiis DHtF: Porro fiat planum akmparallelum cum ABH, ut evadant ak, a/ aiymptotiHyperbolae bah, & ducatur αλ parallela cum ,

vel ßH atque /«λ cum r« vel ΕΑ; traniibit DLper λ, iive D/2L erit Diametrale in Pyramide cujusvertex Α & femibaiis DXm, ( §. V. Lern. 4. ) Sedomnes parallela; cum wA & inter Hyperbolam £<*/6ejusque oppoiitam interceptae bifecantur a piano Ώαλ(§. V. Lem. 3,) Similiter in reliquis planis paralle-

<f§? ) *3 (

Iis cum BAH\ ergo planum DAL erit Diametrale inCono, & quemadmodum lineae ae cum AB paral-lelae funt Diametri Transferße Hyperbolarum bae yita omnes «λ, parallel# cum AL, funt Diametri Se-cundee & Conjugata ad ae in Hyperbolis bab.

§. VII.Sitja?n BC (Fig. n.) utcunque dutta in Cono

ABCG, & jnnctis AB, /4C, punftutn B agaturplanum BFHG cum bafe Coni paraüelum, fecansplanum BAC in linea BH\ cccurrant fibi invicemtangentes ad Β & Η in puncto D» /Mo— ßC erit ADΕ planum Diametrale, adeoque DE Dia¬meter JcttiGnis per DB if BC.

Quoniam enim planum ADH tangit Conum inlinea AHC, erit DC tångens fe&ionis Βφί Τ in pun¬cto C; & quia iimul planum ADE eft Diametralein Pyramide ADBC pofito Α ejus vertice, (per Lem¬ma 2 $:phi IV) facile demonftrabitur idem planumeile Diametrale pro omnibus lineis parallelis cumBC, tum in Pyramide ADBC continuata ( Lern. 4.$.V.) quum in ipfo Cono ΑΕφΟ^βι fe£tione hCpCT,(Lem. 3. §. IV. ) proptereaque lineam DE eile Dia¬metrum ejusdem fe&ionis.

Cor. I. Quoniam linea DE eft Diameter fe£tio-nis occurrens eidem in φ & Γ, faftis φΟ, 0Γ χ-qualibus, erit O Centrum fe&ionis. Nam ii fiat OM= OE & KMN parallela cum BC-> erit KM — MN &MN - EB, adeoque OB = ΟΝ & BON linea reda.( §. V. Lem. 5. Cor.;

B 3 Cor. 2.

& ) i4 ( Φ

Cor. 2. Si BD, HD faerint parallel«, erunt quo-que CD, DD, /2D cum iisdem parallel«, & locoPyramidis DABC invenietur Prisma infiilens bafiABC, cujus planum Diametrale erit ADE, undehoc idem in Cono Diametrale erit. (cfr. Cor. i. §.VI.)

Cor. 3. Si fiat AL parallela cum B C erit pla¬num DAL iimul Diametrale: nam AL jacebit inpiano ABC, unde eadem ratione ac in Cor. 2. §. 6.demonflrabitur , quod planum DAL evadat Diame¬trale. Hoc vero ipii ADE Secundum & conjuga-tum dici meretur , quia AL eil parallela DiametrisConjugatis Hyperbolarum, quarum Diametri trans-verf« funt parallel« cum AE.

Cor. 4. Sint BC, bc, du« line« parallel«, & bi-fe£l« in Ε, e, erit planum AEe Diametrale. Namfa&a conftru£tione ad BC ut in pr«fenti propoiitio-ne, traniibit planum ADE per medium pun&umline« bc, adeoque per e, iive puncta Α, Ε, e de-terminabunt iitum plani ΑDE, niii jaceat e in ipialinea ΑΕ.

Cor. 5. Si jungantur B, b, & C, c erit d occurfusearundem linearum in diametro Ee.

§. VIII.DuElis BC utcunque (Fig. 11.) planir tan-

gentibus Conum in AB, AC, occurrant fibi invicemhicc plana in linea ΑΔ, per eandern AΔ atque pun¬ctum medium Ε Imex BC agatur planum, erit hocDiametrale in Cono.

Ducatur planum per B parallelum cum BadConi, nec non tangentes ad B & C ut in §:pho; pr«c.

&

Cor.que CDPyramidiABC, c

hoc idemCor.

num Dapiano Ji.demonftrjtrale. Ηtum diciConjugativerfae Tun

Cor.fe&ae in ι

fa£fca conine, traniilineae bc, ;terminabulinea ΑΕ.

Cor. <

earnndem

Duffisgentibus Chicc planadum medi\Diametrale

DucaciConi, nec ι

m

G ) 15 ( Φ

& coincidet AD cum ipfa ΑΔ, quare planum AAEidem erit ac ADE quod Diametrale modo oftendimus.

Cor. τ. Jungantur AB,AC, erunt hae lineaetan-gentes fe&ionis a piano ABC ort#.

Cor. 2. Sit B$C fe&io Coni ABFCG a pianoquocunque orta, & concurrant tangentes ad B & Cin pun&o Δ, atque biiecetur ipfa BC in Ε, erit pla¬num AAE Diametrale. Nam pera&a conftru&ionemodo citata, erit Δ (ive occurfus tangentium fitus inlinea AD.

Cor. 3. Si plana Conum in B & C tangentia,fecent bafin in lineis parallells, erit linea ΑΔ, & ie-£bo baieos cum piano Diametrali iisdem tangenti-bus parallela.

§■ ix-Sit FG diameter fettionis Ellipticcc BFCQ

(Fig. 12.) fiat FO — OG\ Sit BC ordmata ad Diame-trum FG, & per O agatur LOM ipfi BC parallela ,erttplanum ALM Diametrale bifecans lineas parallelascum FG

Fiat Bb parallela cum FG, & occurret eademfe&ioni in alio pun&o b, jungantur FB, Gb, & fitearum occurfus P\ quoniam vero PO eft Diameterfe£tionis BFCG, (Cor. 5. §. VII.J atque bo — oc, du-catur bc ipfi BC parallela & habebitur GE — Oe, a-deoque Bl· — be. (Cor. Lem. s- § V.) Erit ergo POparallela cum BE, five coincidet cum linea LOM :ied planum APO eft diametrale, ergo etjam planumALM. q. e. d.

Cor. 1.

# ) *6 ( ^

Cor. i. Quoniam LM bifecat parallelas ipfi FG.erit LM Diameter Conjugata ad FG.

Cor. i. In omni fe£tione Conica, (i duae paral¬lele FG, Bb bifecentur in O, o , linea Oo erit Dia¬meter fe£tionis, & bifecabic parallelas cum Bb.

Cor. 3. Si fuerint FG, Bb parallele, & Ff,Gb vel Eb, Ge jungantur, erunt interfe&iones Ρ. Q,fite Diametro Oo.

Cor. 4. Poiitis BR, tangentibus in B, b 8cBo—ob, erit Fo Diameter ie£tionis.

Fc^o/. Ex allatis conftat, quantum valeat con-fideratio planorum Diametralium in Cono ad eruen-dam naturam Diametrorum in fingulis Conorum fe-ftionibus. Hane vero cum feitinanter propofuimus,id nobis haud injucundum ab aliorum opera polli-cemur, ut leve noftrum conamen uiibus Geometra-

rum magis appofitum reddant, totamque Di¬ametrorum Theoriam novis Theoremati-

bus ultra promoveant.